Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа L q1, q2;.....qs; q1, q2;.....qs; t , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей q1, q2;.....qs; q1, q2;.....qs, а затем составляется система s уравнений Лагранжа d L L , dt qi qi i 1, 2,.......s (1) Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы: qi и p i L / qi . Чтобы перейти от набора переменных q1, q2;.....qs; q1, q2;.....qs к новому набору переменных q1, q2;.....qs; p1, p2;.....ps нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа dL не через дифференциалы dq и dq , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов dq и dp i . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных qi ; p i . Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы s 1, т.е. с одной обобщенной координатой q1 q t . Тогда L L q; q; t , и уравнение Лагранжа будет имеет вид: d dt L L q q (2) В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные q и q входят в него явно не симметричным образом. Время t играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. пара- 1 метра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная L / t . Уравнение (2) можно формально записать в виде dpq dt L L , где pq q q (3) p q - обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате q . В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа L q; q; t : dL q; q; t L L L L dq dq dt pq dq pq dq dt q q t t (4) В полученном выражении нужно исключить дифференциал dq , выразив его через дифференциал dpq . Для этого воспользуемся очевидным равенством d qpq qdpq pq dq pq dq d qpq qdpq (5) Подставляя это в соотношение (4) получим dL q; q; t L L dq d qpq qdpq dt , т.е. q t d L qpq pq dq qdpq L L dt ; d pq q L qdpq pq dq dt t t (6) Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению L qL E q (7) Величина L qp q в уравнении (6) выражена через обобщенные координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина H q; pq ; t pq q L (8) называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6) dH q; p; t qdpq pq dq или 2 L dt t (9) H q pq t ; H q t ; pq (10) Это и есть искомые уравнения в переменных q и p q - уравнения Гамильтона. Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные q и p q входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения. Наличие слагаемого с dt в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что H L t q , pq t q ,q (11) Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы s. В этом случае будем иметь: s H qi ; pi t pi qi L (12) i 1 s s i 1 i 1 dH qi ; pi ; t qi dpi pi dqi H / qi pi t ; , 2s H / p q t ; i i L dt t i 1, 2,...s (13) (14) Рассмотрим несколько простых примеров. 1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы m , движущейся в произвольном поле U x , y, z . a). Функция и уравнения Лагранжа 3 mv 2 L r;r U r ; 2 d L L ; dt v r mx U / x; my U / y; mz U / z; (15) b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. v p / m , то H r; p p p p 2 x 2 y 2m 2 z U r ; H x pi ; i , т.е. H x t ; i pi px U / x; x t px / m; p U / y; y y t p y / m; p U / z; z z t pz / m; (16) Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона. 2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы m , движущейся в произвольном поле U , , z . a). Функция и уравнения Лагранжа d L L ; dt d L L m 2 2 2 z 2 ; L U , , z ; 2 dt d L L ; dt z z 1 U 2 m ; 1 U ; 2 m 1 U ; z m z b). Функция и уравнения Гамильтона Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы 4 (17) E m 2 2 2 z 2 / 2 U , , z через обобщенные импульсы p L / m 2 ; p L / m ; pz L / z mz (18) Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы: p / m 2 ; p / m ; z pz / m (19) Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона: H , , z; p , p , pz 2 1 2 p p pz2 U , , z 2 2m (20) Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах p t H / ; t H / p ; p t H / ; t H / p ; pz t H / z; z t H / p ; z p t p2 / m 3 U / ; t p / m; p t U / ; 2 t p / m ; pz t U / z; z t p / m; z (21) 3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда q t x t и U x kx 2 / 2 . H x; px 2 x 2 p kx ; 2m 2 x t px / m ; H x px ; H x t ; px px kx; x t px / m; mx t kx ; x t 2 x; 2 k / m (22) (23) Получили обычное уравнение для линейного осциллятора. 4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника m длиной l , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось Oy направлена вниз, так, что U mgy mgl cos . - угол отклонения от положения равновесия. В цилиндрических координатах L ml 2 2 mgl cos ; p L / ml 2 M z ; 2 E ml 2 2 / 2 mgl cos ; 5 H ; p p2 2ml 2 mgl cos (24) Уравнения Гамильтона p t H / ; , t H / p ; p t mgl sin ; 2 t p / ml ; (25) т.е. t p / ml 2 ; t 2 sin ; 2 g / l (26) Получили обычное уравнение колебания математического маятника. Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: s 1. Её обобщенные координата q t и импульс p q t удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10) H q pq t ; H q t ; pq Пусть f q; p q ; t (27) - некоторая функция величин q , p q и времени t . Составим её полную про- изводную по времени, учитывая, что величины q t и p q t тоже зависят от времени df q; pq ; t dt f f f q pq t q pq (28) Поскольку q t H / p q и p q t H / q , то выражение (28) принимает вид df q; pq ; t dt Здесь введено обозначение H , f Выражение f H , f t (29) H f H f pq q q pq (30) H , f , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин H и f . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных f q1, q2 ,...; p1, p2 ,...; t равна H f H f qi pi i 1 pi qi s H , f 6 (31) где s - число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31) g f g f qi pi i 1 pi qi s g , f (32) Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства 1. g , f f , g 2. f , c 0 где c - постоянная 3. ( g1 g 2 ), f g1 , f g 2 , f 4. g1 g 2 , f g1 g 2 , f g 2 g1 , f Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных f q1, q2 ,...; p1, p2 ,...; t справедливо соотношение df f H , f dt t то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю. 7 (33)