СРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ177

Алгебраические сравнения с одной
переменной
1. Основные понятия
Сравнение вида
с0+с1x+c2x2+…+cnxn  0 (mod m),
(1)
где f(x)= с0+с1x+c2x2+…+cnxn – многочлен с
целыми коэффициентами от переменной х,
принимающей целочисленные значения,
называется алгебраическим сравнением с одной
переменной.
,
При одних значениях х сравнение (1) может
оказаться истинным, а при других – ложным.
Как и для уравнений, можно поставить задачу
решить сравнение (1), т.е. найти такие
значения переменной х, при которых это
сравнение истинно.
Такие значения переменной х называются
решениями сравнения (1).
90. Если f(x) – многочлен с целыми коэффициентами
и a  b (mod m), то f(a)  f(b) (mod m).
сравнение (1) либо не имеет
решений, либо имеет
бесконечно много решений и
они образуют один или
несколько классов вычетов по
модулю m.
под числом решений сравнения (1)
будем понимать число классов
вычетов, удовлетворяющих сравнению
(1).
• Поэтому
• Ясно, что таких классов столько, сколько вычетов полной системы по
модулю m удовлетворяет сравнению (1).
•Одним из способов решения сравнения
(1) – это непосредственное испытание
всех вычетов полной системы (метод
подбора)
1) 2x3 +3x–50 (mod 7)
Непосредственной проверкой убеждаемся,
что среди наименьших по абсолютной
величине вычетов 0, 1, 2, 3 по модулю
7 только число 1 является решением
первого сравнения.
Таким образом, x1(mod 7) (класс 1 по
модулю 7) – единственное решение
сравнения 1).
2)
x3-x+10 (mod 3)
Ни одно из чисел 0, 1 не является решением
второго сравнения, и поэтому оно не имеет
решений.
x2+x-20 (mod 5)
Среди вычетов 0,1, 2 по модулю 5
только числа 1 и –2 являются решением
сравнения 3). Таким образом, x 1(mod 5)
и x -2(mod 5) (т.е. классы 1 и 2 по
модулю 5) – два решения сравнения 3)
3)
Два сравнения с переменной называются
равносильными, если множество их решений
совпадают.
Сравнения, как и уравнения, можно решать с
помощью преобразований, которые приводят к
более простым равносильным сравнениям.
Приведем несколько преобразований, которые
приводят к сравнению, равносильному
данному.
1*. Если к обеим частям алгебраического
сравнения (1) прибавить один и тот же
многочлен g(x) с целыми коэффициентами, то
получим сравнение, равносильное сравнению (1).
◘ Требуется доказать, что сравнение
f(x)  0 (mod m)
(1)
(1) равносильно сравнению
f(x)+g(x)  g(x) (mod m).
Это следует из того, что для любого x0  Z имеет место
f ( x0 )  m   f ( x0 )  g ( x0 )   g ( x0 ) m
. ◙
Замечание 1. В силу 1* любое сравнение вида
h(х)g(x) (mod m) можно привести к виду
f(x)  0 (mod m) (1), когда в правой части
сравнения стоит нуль.
Следствие 2. К любой части сравнения можно
прибавить число, кратное модулю, т.е.
a  b (mod m)  a + mk  b (mod m)
2*. Прибавление к любой части
алгебраического сравнения
f(x)  0 (mod m)
числа, кратного модулю, приводит к
сравнению, равносильному сравнению (1).
◘ Вытекает из следствия 2 из свойства 20
сравнений. ◙
(1)
3*. Если обе части алгебраического
сравнения
f(x)  0 (mod m)
(1)
умножить или поделить на число k, взаимно
простое с модулем m, то получим
сравнение, равносильное сравнению (1).
4*. Умножение
обеих частей сравнения
и модуля на одно и то же
натуральное число, а также деление
на их общий натуральный делитель
приводит к сравнению,
равносильному сравнению (1).
Замечание 3. Следует
иметь в виду, что хотя
сравнениям
f(x)  0 (mod m) и df(x) 0(mod md)
удовлетворяют одни и те же числа, они образуют по
модулю md в d раз больше классов, чем по модулю
m.
Например, сравнения х0(mod 5) и 3x0(mod 15)
равносильные сравнения, но по модулю 5 их
решения образуют один класс {5k}, а по модулю 15
три класса: {15k}, {15k+5}, {15k+10},
k =0, 1, 2… . ◙
5*. Если в алгебраическом сравнении (1)
заменить коэффициенты сравнимыми по
модулю m числами, то получим сравнение,
равносильное сравнению (1).
◘ В самом деле, если aici(mod m) при i=0, 1, 2 … n, то
по свойству 100 сравнений для любого x0Z имеем
a 0  a1 x0  a 2 x02  ...  a n x0n  c0  c1 x0  ...  c n x0n (mod m)
Отсюда , f  x0   0mod m   g  x0   0mod m 
где g ( x)  c  c x  ...  c x n
0
1
n
Последнее и означает равносильность сравнений
f(x)0(mod m) и g(х)0(mod m). ◙
3х–60 (mod 5) 
 3x 6 (mod 5) 
x 2 (mod 5)
Ответ: 2  {5k  2 | k  Z} – единственное решение
сравнения 1).
◘ 1)
2) 10x6-15x4+30x3+71x2+940 (mod 5) 
x2  1 (mod 5) 
x 1 (mod 5)
  {k   | k  Z}
Ответ:   {k   | k  Z}
– решения сравнения 2). ◙
2. Сравнения
первой степени
Любое сравнение первой степени с
помощью равносильных преобразований
можно привести к виду
axb (mod m)
(2)
Следующее утверждение решает задачу
исследования сравнения (2).
Т е о р е м а 1.
1) Если НОД(a,b) = 1, то сравнение (2)
имеет единственное решение.
2) Если НОД(a,m) = d >1 и b d , то
сравнение (2) имеет d решений.
3) Если НОД(a,m) = d >1 и b d , то
сравнение (2) не имеет решений.
Метод Эйлера.
a ( m )  1(mod m)
Если (a, m)  , то и
,
следовательно, a ( m ) b  b(mod m ) .
Отсюда уже видно, что x  b a ( m )1 (mod m)
есть решение сравнения
ax  b (mod m)
x  (mod );
x  ba
 ( m ) 1
(mod m)

x     (mod )
x   (mod )
   (mod )
   (mod )
   (mod )
   (mod )
         (mod )
x   (mod ). Z    k  
x     (mod )
   (mod )
  (mod )
  (mod )
  (mod )
x   (mod )
С помощью подходящих дробей.
Это по существу самый эффективный способ, когда
равносильные преобразования не приводят к цели. Суть этого
метода:
Составим подходящие дроби для числа
m
 (q1 , q2 , ..., qn )
a
x  b ()
n 
Pn  (mod m) 
решение сравнения (2)
 x   (mod )
      
      
      
      
      
   

 (, , , , , )

qk
Pk
k
0
–2
1
-1
1
1
0
2
3
1
3
10
2
5 8
53 434
3
4
x   ()    (mod )
x   (mod )
x   (mod )
3
5
Связь между сравнениями и неопределенными уравнениями
ax  by  c
(1)
Пусть (а, b)=1, b>0
(1)равносильно уравнению
ax-c=b(-y)
ax  c (mod b)
(2)
(3)
Пусть x  x0  bt , t  0,  1 2, ...
Решение сравнения (3).
Тогда из уравнения (2) имеем
c  ax c  ax0
y

 at , t  0,  1,...
b
b
Таким образом, любое решение
уравнения (1) находится по
формуле:
 x  x0  bt


c  ax0
 y  y0  at, t  0  1,  2, ..., y0  b
x
a
 (mod m)
Если (a, m)=d >1, то сравнение
Не имеет решений.
Опр.1. Наименьшее из натуральных чисел,
x
a
 (mod m)
удовлетворяющих сравнению
где (a, m)=1
называется показателем
числа а по модулю m и обозначается
Pm (a).
Если Pm (a) =(m) , то что a называется
первообразным корнем по модулю m.
Т е о р е м а 1. Если то a  b(mod m), то
Pm (a)= Pm (b) есть все вычеты одного
класса по модулю имеют один и тот же
показатель.
Т е о р е м а 2. Если Pm (a)=, то числа
δ 
(1)
a  , a, a , a


попарно несравнимы по модулю m .
Следствие. Если a первообразный корень
(то есть  =(m) ) то система (1) является
приведенной системой по модулю m
Т е о р е м а 3. Если Pm (a)=, то
x
y
a

a
(mod m) и x  y(modδ)
сравнение
равносильны .
Опр 1. Если ( g , m)   и (a, m)  1, то всякое
неотрицательное число x
x
удовлетворяющее сравнению g  a(mod m)
называется индексом числа а при
основании q по модулю m.
Обозначение x  ind g a по модулю m
Т е о р е м а (существования). Если – g
первообразный корень по модулю m и то
среди чисел 0, 1, 2, . ,φ(m)  . Существует
единственное значение ind g a
по
модулю .