МФТИ, 2012-2013 уч.г., 22.11.2012 Примерный план лекции №12 и основные определения. Темы: Выбор потребителя в условиях неопределенности План 1. Денежные лотереи и представление предпочтений на лотереях функцией ожидаемой полезности; единственность функции ожидаемой полезности с точностью до положительного линейного преобразования. 2. Отношение к риску; денежный эквивалент лотереи и премия за риск. 3. Модель спроса на рисковый актив или задача формирования оптимального портфеля инвестиций. Основные определения 1. Пусть X x1 ,..., x N - множество возможных исходов (будем рассматривать денежные исходы). Простой лотереей будем называть набор вероятностей L ( 1 ,, N ) , где 0 n 1 N – вероятность исхода x n и i 1 . Обозначим множество простых лотерей через . i 1 Определение. Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если каждому исходу x n можно присвоить число u ( x n ) таким образом, что для любых двух лотерей N N n 1 n 1 L равносильно U ( L) u ( xn ) n u ( xn ) n U ( L) . L ( 1 ,, N ) и L' ( 1 ,, N ) : L ~ Функция U, определенная на лотереях, называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности Неймана-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern). Функцию u (x) , определенную на денежных суммах, принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли (будем считать ее непрерывной и возрастающей). Утверждение (Единственность функции ожидаемой полезности). Если функция U : R – ~ функция ожидаемой полезности, представляющая предпочтения, определенные на , то U другая функция ожидаемой полезности, отражающая те же предпочтения на тогда и только ~ тогда, когда существуют числа 0 и такие, что U ( L) U ( L) для любой лотереи L . 2. Определение. Будем говорить, что индивид несклонен к риску, если любая лотерея L ( 1 ,.., N ) для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи, N i 1 i xi , полученного с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее, то говорят, что он строго несклонен к риску или рискофоб. Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью. Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил. 1 МФТИ, 2012-2013 уч.г., 22.11.2012 Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности u (x) (для рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной функции полезности u (x) (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску индивида элементарная функция полезности линейна: u ( x) ax b , где a 0 . Определение. Денежным (гарантированным) эквивалентом лотереи L ( 1 ,.., N ) будем называть сумму денег CE (L) (полученную с определенностью), которая приносит индивиду N такую же полезность, что и данная лотерея: u (CE ( L)) i u ( xi ) . i 1 Премия за риск – максимальная сумма денег, от которой индивид готов отказаться, чтобы не N участвовать в риске: ( L) i xi CE ( L) . i 1 Утверждение: Для индивида-рискофоба для любой лотереи L ( 1 ,.., N ) выполнено: N CE ( L) i xi (т.е. он любую лотерею оценивает в сумму меньшую ее ожидаемого i 1 выигрыша). 3. Задача формирования оптимального портфеля инвестиций (из двух активов: рискового и безрискового). Пусть индивид-рискофоб решает, как ему распределить свое богатство w 0 между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 рубль в этот актив, он получит c 1 рублей. Вложив 1 рубль во второй актив, можно получить a с вероятностью и b с вероятностью (1 ) , где a c , b c , (0, 1) . Будем считать, что предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности, u ( x) 0 и u ( x) 0 для любого x 0 . Обозначим через x1 вложения в безрисковый актив, x 2 – вложения в рисковый актив, x1 x2 w . Тогда в «хорошем» состоянии природы (которое наступает с вероятностью ) индивид будет иметь сумму денег cx1 ax2 cw x2 (a c) , а в «плохом» его богатство составит cx1 bx2 cw x2 (b c) . Задача индивида выбрать такой уровень инвестиций в рисковый актив ~ x2 [0, w] , который является решением задачи максимизации ожидаемой полезности: U u(cw x2 (a c)) (1 )u(cw x2 (b c)) max . 0 x2 w Условия первого порядка этой задачи (необходимые и достаточные в силу строгой вогнутости функции полезности рискофоба): (a c)u(cw ~ x2 (a c)) (1 )(b c)u(cw ~ x2 (b c)) 0 при ~ x2 0 (a c)u(cw ~ x2 (a c)) (1 )(b c)u(cw ~ x2 (b c)) 0 при 0 ~ x2 w (a c)u(cw ~ x2 (a c)) (1 )(b c)u(cw ~ x2 (b c)) 0 при ~ x2 w . Утверждение: Для индивида-рискофоба условие a (1 )b c является необходимым и достаточным условием положительности спроса на рисковый актив. 2
