Квантовая Механика

1
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
ЛЕКЦИЯ 1
При рассмотрении проблемы электромагнитного излучения твердых тел
классическая физика столкнулась с непреодолимыми трудностями. Данные
теоретических расчетов существенно не совпадали с экспериментальными
данными в области коротковолнового диапазона излучения.
В 1900 г. Максом Планком была выдвинута принципиально новая
физическая гипотеза о дискретности энергии теплового излучения и наличии
ее минимальной порции – кванта энергии излучения. Эта гипотеза позволила
Планку описать равновесное тепловое излучение во всех диапазонах длин
волн.
Развивая гипотезу о квантах, Альберт Эйнштейн выдвинул
корпускулярную теорию излучения, в которой электромагнитное излучение
представлялось как поток частиц, названных фотонами. Фотонная теория
излучения смогла объяснить явления квантовой оптики.
В дальнейшем идея корпускулярно-волнового дуализма была обобщена
на все материальные объекты в природе, что привело к созданию квантовой
физики.
Законы теплового излучения
Тепловым излучением называется электромагнитное излучение,
испускаемое нагретыми телами за счёт своей внутренней энергии в широком
диапазоне частот.
Если несколько нагретых излучающих тел окружить идеально
отражающей оболочкой, то внутри оболочки установится термодинамическое
равновесие, т.е. температуры всех тел станут равными, а распределение
энергии между телами и излучением не будет изменяться со временем. Такое
излучение, находящееся в равновесии с излучающими телами называют
равновесным. Равновесность является основным свойством теплового
излучения. Другие виды излучения этим свойством не обладают.
Для равновесного излучения, которому можно приписать температуру
излучающих тел, можно рассчитать и термодинамические характеристики,
например, внутреннюю энергию, давление, энтропию и т.д.
Равновесное тепловое излучение однородно, т.е. его плотность энергии
одинакова во всех точках внутри полости, где оно заключено. Такое
излучение изотропно и неполяризовано - оно содержит все возможные


направления распространения и направления колебаний векторов Е и Н .
2
Энергию, излучаемую с единицы поверхности нагретого тела в единицу
времени и приходящуюся на единичный диапазон частот, называют
спектральной испускательной способностью тела или спектральной
плотностью энергетической светимости.
r ,T  r (, T ),
[r ,T ]  Дж/м2
ω – частота излучения;
Т – температура тела.
Суммарная мощность, излучаемая с единицы поверхности тела по
всему диапазону частот

P
RT    r ,Т d ,
S 0
[ RT ]  Вт/м2
Называется энергетической светимостью.
Спектральную испускательную способность можно представить и как
функцию длины волны излучения λ.
rλ,Т dλ = rω,T dω.
d
2c
2с
r

r


r


 ,T
 ,T
 ,T
Учитывая, что
d
 получаем
2 .
Знак << – >> носит формальный характер т.к. указывает лишь на то, что
с возрастанием длины волны λ частота убывает, и его можно опустить.
Спектральной поглощательной
безразмерную величину
a ,T 
способностью
тела
называют
dФ
dФ , где
dФω – поток падающего на поверхность тела излучения в узком диапазоне
частот dω, вблизи частоты ω;
dФ - поток излучения, поглощаемый телом.
a ,T  a(, T )
3
a ,T  1
Тело, у которого
называют серым телом.
и одинакова по всему диапазону частот
Абсолютно черным телом (АЧТ) называют тело, у которого a ,T  1
на всех частотах и при любых температурах. В теории теплового излучения
оно является эталонным телом.
Моделью АЧТ является замкнутая полость с малым отверстием, диаметр
которого значительно меньше поперечных размеров полости, которая может
иметь любую форму и может быть изготовлена из любого непрозрачного
материала.
Именно малому отверстию в полости
и приписывается свойство АЧТ.
Если
стенки полости поддерживать при некоторой
температуре Т, то отверстие будет излучать
как абсолютно черное тело с температурой Т.
Закон Кирхгофа
Отношение испускательной и поглощательной способностей одинаково
для всех тел в природе, включая абсолютно черное тело, и является
одной и той же универсальной функцией частоты (длины волны) и
температуры тела.
 r ,T

a
  ,Т
 r ,T

a
  ,T
r,T
и
r,T
  r ,T
 
 a
1   ,T

r,T
  ... 
 f ( , T )

1
2
  r ,T
 
 a
1   ,T

r,T
  ... 
  ( , T ) ,

1
2
- испускательные способности АЧТ
r,T  r,T 
2c
2
или
где
4

Зная r ,T
и aω,T реального тела можно определить энергию,
излучаемую этим телом в любом диапазоне частот.
Закон Стефана-Больцмана
Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна
четвертой степени его абсолютной (термодинамической) температуры.
RТ* = σT4 ,
где
σ = 5,671.10-8 Вт/м2К4 - постоянная Стефана-Больцмана.
Для реальных тел RТ = AТR* = AT .σT4 , где АТ - интегральная
поглощательная способность тела, которая зависит от температуры и всегда
меньше единицы ( АТ < 1 ).
Закон смещения Вина
Длина волны, на которую приходится максимум испускательной
способности АЧТ, обратно пропорциональна его абсолютной
температуре.
λм = в/T , где
в = 2,898.10-3 м.К - постоянная Вина
Для реальных тел закон Вина
Выполняется лишь качественно , т.е.
с ростом температуры любого тела
длина волны, вблизи которой тело
излучает больше всего
энергии,
смещается в сторону коротких длин
волн, но зависимость не такая простая.
Задача
Максимум энергии в спектре Солнца приходится на диапазон длин волн
вблизи 470 нм. Считая Солнце абсолютно черным телом, рассчитайте, на
сколько уменьшается ежегодно масса Солнца за счет излучения. Через
сколько лет масса Солнца уменьшится на 1%? В настоящее время масса
Солнца Мс=2.1030 кг. Его эквивалентный диаметр Dо= 1,4.109 м.
Решение:
5
Используя закон Вина, найдем температуру Солнца
Т
в
2,898  10 3

 6,16  10 3 К
9
470  10
М
По закону Стефана-Больцмана находим энергию, излучаемую с 1м2 за 1
секунду
R = σ.T4= 5,671.10-8.(6,16.103)4 = 8,17.107 Вт/м2.
Энергия, излучаемая всей поверхностью Солнца за год
Е = R.S.t = R.πDo2.t = 8,17.107.π.(1,4.109)2.31,6.106 = 5.1033 Дж.
Соответствующая потеря массы за 1 год
E 5  10 33
m  2 
 5,6  1016 кг
16
c
9  10
Для уменьшения массы Солнца на 1% потребуется время
0,01M C 0,01  2  10 30
t 

 4  1011 лет.
16
m
5,6  10
Объемная плотность энергии теплового излучения
Если внутри замкнутой полости произвольной формы с идеально
отражающими стенками поместить небольшое АЧТ с температурой Т , то
полость равномерно заполнится равновесным тепловым излучением с
объемной плотностью энергии uТ  u(T), зависящей от температуры.

иТ   u ,T d
0
[иТ ]  Дж/м3 ,
,
где
uω,T  u(ω,T) - объемная плотность энергии излучения, приходящейся на
интервал частот от ω до (ω+dω) - спектральная
плотность энергии при данной Т.
Между испускательной способностью АЧТ
можно вывести соотношение
c
r,T  u ,T
4

[и ,Т ]  Дж.с/м3.
r*ω,T
и функцией
c
RT  uT , где
4
uω,T
6
с - скорость электромагнитных волн в вакууме.
Для теоретического обоснования полученных в экспериментах
зависимостей rλ,T , а. следовательно, и rω,T необходимо было создать
теорию, позволяющую найти uω,T .
Формулы Рэлея-Джинса и Вина
Применяя
к
тепловому
излучению
классический
закон
равнораспределения энергии по степеням свободы ( на каждую стоячую
электромагнитную волну частотой ω приходится в среднем энергия kT)
Рэлей и Джинс получили
и ,Т
2
 2 3 kT
 с

2

kT
r*ω,T =
4 2 с 2
Попытка получить закон Стефана – Больцмана из этой формулы
приводит
к
абсурдному
результату,
получившему
название
–
«ультрафиолетовая катастрофа»:


kT
RT   r ,T d  2 2   2 d  
4 c 0
0
Формула Релея – Джинса согласуется с экспериментом только в
области малых частот (больших значений λ).
В области больших частот ω ( малых значений λ ) эксперимент хорошо
согласовывается с эмпирической формулой Вина


r ,T  C1   3  exp   C2  ,
T

где
С1 и С2 - константы
7
Гипотеза о квантах. Формула Планка
Планк получил формулу для
uω,T , хорошо согласующуюся с
экспериментальными данными во всем диапазоне частот. Для этого он ввел
гипотезу, коренным образом противоречащую представлениям классической
физики о непрерывном испускании и поглощении электромагнитного
излучения веществом.
Планк
предположил,
что
энергия
испускаемого
телом
электромагнитного излучения может принимать не любые, а только вполне
определенные дискретные значения
En = nεo ,
Пропорциональные некоторой элементарной энергии ( кванту энергии)
ω,
ε0 = hν =
h = 6,626.10-34 Дж.с
и

где
h
= 1,05.10-34Дж.с = 0,658.10-15эВ.с
2
=
-
постоянные Планка.
Размерность физической величины «энергия  время» в механике
называют действием, поэтому постоянную Планка называют также квантом
действия. Постоянная Планка имеет также размерность момента импульса
(Дж.с = Н .с.м)
Используя понятие кванта энергии Планк получил известную формулу
Планка
и ,Т
 3
 2 3
 с
1
e

kT

1
r
Задача
Используя формулу Планка для
Больцмана и Вина.
Решение:

1)

R* =  r d  4 2 c 2
0

 ,T

3

0
e

kT
c
 3
 u ,T 

2 2
4
4 с

 ,T
r*ω,T
1
e

kT
1
.
доказать законы Стефана-
d
1
Из таблиц определенных интегралов («Приложения» к сборнику задач
Иродова)

x 3 dx  4
 2k 4
4
0 e x  1  15 , т.е. R* = 60c 2  3  T

R* = σT4 , где σ =
 2k 4
60c 2  3
.
8
2) Закон смещения Вина получается при анализе формулы Планка на
экстремум.
m
m


 kT


2
3


3 m  e
 1   m
e kT
3

kT
d 







2

0 = d 
, т.е.
m
4 2 c 2





2 2
kT


 e kT  1
 4 c  e  1 







m
m
 kT



1   m
 e kT
3 e
kT



При α  1 можно записать e  1   .
  m
  m   m 
3
1


1


1 

Тогда
kT
kT
kT





2
 m
kT
2c
c в





Учитывая, что m
m , получаем окончательно m kT Т , где
c
в
k .
Лекция 2
Фотоэффект
Дальнейшее развитие квантовая гипотеза Планка получила прежде всего
в работах Эйнштейна, который выдвинул гипотезу о световых квантах –
фотонах.
Фотон – это ультрарелятивистская незаряженная частица, имеющая
нулевую массу покоя и всегда движущуюся со скоростью с. Если при
неупругом столкновении с другой элементарной частицей фотон
«останавливается», то он исчезает, передавая всю свою энергию этой частице.
Энергия фотона определяется выражением
 ф  h 
hc

  
2  с

.
Формально фотону можно приписать релятивистскую массу
mф = εф/с2 = hν/c2 = h/cλ =
Импульс фотона
рф= εф/с = h/λ = hν/c =
 2  

.
с2
с
2  


9

.
с
Если направление распространения световой волны задать волновым

2
вектором k , где ( k 
), то



рф  k .
Впервые отдельные фотоны излучения были обнаружены в опытах,
проведенных Боте при облучении тонкой металлической фольги слабым
пучком рентгеновского излучения, под действием которого она сама
становилась источником рентгеновского излучения.
Если бы энергия этого излучения распространялась в виде сферических
волн, то левый и правый счетчики Сл и Сп должны срабатывать
практически одновременно, а самописцы Л и П , связанные со счетчиками,
должны оставлять метки на движущейся ленте друг против друга. Опыт,
однако показал, что счетчики реагировали совершенно независимо друг от
друга. Все происходило так, как если бы излучение фольги
Ф
распространялось в виде отдельных квантов, которые могли попадать либо в
левый, либо в правый счетчик.
Гипотеза о корпускулярных свойствах света позволила объяснить
результаты экспериментов по фотоэлектрическому эффекту, совершенно
непонятных с позиций классической электромагнитной теории.
Внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов
вещества под действием электромагнитного излучения.
Исследование закономерностей фотоэффекта проводят на установке с
фотоэлементом в виде вакуумной двухэлектродной лампы, схематически
показанной на рисунке.
10
Металлический катод К при освещении его через кварцевое окошко
видимым светом или ультрафиолетовым излучением испускает электрона.
Эти фотоэлектроны, достигая антикатода А , обеспечивают протекание в
цепи электрического тока, который фиксируется миллиамперметром.
Источники питания подключены так, что позволяют изменять полярность
подаваемого на фотоэлемент напряжения.
Здесь же приведен качественный вид вольт-амперной характеристики
такого фотоэлемента для случая неизменного светового потока, падающего на
катод. Ускоряющему электрическому полю соответствует положительное
напряжение, в области которого все испускаемые катодом электроны
достигают анода, обусловливая фототок насыщения Iнас.
При отрицательном напряжении (U<0) фотоэлектрон попадает в
тормозящее электрическое поле, преодолеть которое он может, лишь имея
определенный запас кинетической энергии. При некотором отрицательном
напряжении, модуль которого Uз называют задерживающим напряжением
(потенциалом), фототок становится равным нулю.
Измерив Uз , можно определить максимальную кинетическую энергию
Кm или максимальную скорость  m фотоэлектронов.
me m2
Km 
 e U 3
2
Законы фотоэффекта
1) Для монохроматического света определенной длины волны фототок
насыщения пропорционален световому потоку, падающему на катод.
2) Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от
величины светового потока, а определяется лишь частотой излучения.
3) Для каждого вещества катода существует своя граничная частота νк,
11
такая, что излучение с частотой ν < νк , фотоэффекта не вызывает
(красная граница).
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
В процессе соударения фотона со свободным
фотон передаёт электрону энергию
электроном металла
εф = Ав + Кm , где
Ав – работа выхода электрона из металла (минимальная энергия,
необходимая для преодоления потенциального барьера при освобождении
электрона из данного металла катода).
Из этого уравнения непосредственно вытекают второй и третий законы
фотоэффекта. Если εф < Aв получаем простые формулы для частоты и длины
волны красной границы
ν к = Ав/h;
К 
АВ

и
λк = hc/Ав = 2π
 с/А
в
Первый закон фотоэффекта (закон Столетова) также объясняется
корпускулярной природой света – число вырванных из металла электронов и,
следовательно, фототок насыщения пропорциональны числу падающих на
металл фотонов, которое определяется величиной потока энергии излучения.
Важной количественной характеристикой фотоэффекта является
квантовый выход
Y, определяющий число вылетевших электронов,
приходящихся на один, падающий на металл фотон.
Y  10-4 электрон/фотон для ν  νк
Y = 0,01…0,05 электрон/фотон для εф  1 эВ.
Y  0,1 электрон/фотон для εф  103 эВ (рентгеновское излучение).
Эффект Комптона
При большой энергии фотонов ( > 0,01 МэВ ) процесс поглощения
фотонов электронами вещества становится маловероятным. В этом случае
при взаимодействии электромагнитного излучения с веществом наблюдается
его рассеяние с изменением направления распространения.
12
Эффектом Комптона называется явление увеличения длины волны
излучения вследствие рассеяния его веществом. Изменение длины волны не
зависит от материала рассеивающего образца и исходной длины волны λ , а
определяется только величиной угла рассеяния θ.
∆λ = λ’ – λ = Λk(1 – cosθ) , где
λ’ – комптоновское смещение ( длина волны рассеянного излучения)
Λк=2,426.10-12м – комптоновская длина волны электрона, полученная
Комптоном экспериментально.
Диафрагмы D1 и D2 выделяли узкий пучок монохроматического
рентгеновского излучения, который падал затем на исследуемый образец
О. Для исследования
спектрального состава рассеянного излучения
оно после прохода ряда диафрагм попадало на кристалл К рентгеновского
спектрографа, а затем в счётчик С или на фотопластинку.
Классическая теория оказалась не в состоянии объяснить
закономерности комптоновского рассеяния и в первую очередь появление
смещенной компоненты. С точки зрения классической теории
электромагнитного излучения электрон сам как антенна под действием
падающей волны начинает излучать вторичные сферические волны на
частоте падающего излучения.
Фотонная теория излучения объясняет этот эффект как следствие
упругого рассеяния фотона Ф  Ф’ на свободном электроне вещества.
Формула Комптона оказывается следствием законов сохранения энергии и
импульса при упругом соударении фотона и электрона.
Пусть на покоящийся электрон с энергией
mес2 падает фотон с
энергией εф и импульсом рф = εф/с. После столкновения энергия и импульс
фотона станут ε’ф и р’ф = ε’ф/с, а энергия и импульс электрона отдачи Е и
р.
Поскольку в результате столкновения электрон может стать
релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской
13
механики из которой для электрона можно записать условие
инвариантности энергии и импульса
Е2 - р2с2 = me2c4
В соответствии с законами сохранения энергии и импульса системы
фотон-электрон до и после столкновения можно записать следующие
равенства:
ЗСЭ: εф + mec2 = ε’ф + Е  Е2 = (εф – ε’ф + mec2)2
ЗСИ: р2 = (εф/с)2 + (ε’ф/с)2 - 2(εфε’ф/с2) cosθ
или
р2с2 = εф2 + ε’ф2 - 2εфε’ф cosθ
Равенство для ЗСИ
треугольника импульсов.
на основе теоремы косинусов для
записано
Подставляя значения Е2 и р2с2 в условие инвариантности получаем
 ф ф '
1  cos 
mec 2
2с
2с

'



'






ф
ф
С учётом того, что
и

'
2
ф  ф '
имеем
окончательно λ’ - λ = Λк(1- cos θ), где Λк = m c = 2,42.10-12 м
e
С помощью счетчиков рассеянных фотонов
Ф
и электронов
отдачи Э установленных симметрично относительно, рассеивателя Р и
включённых в схему совпадений С было доказано экспериментально
существование индивидуального столкновения фотона с электроном.
14
Задача
При облучении вещества рентгеновским излучением с некоторой длиной
волны
λ
обнаружили, что максимальная кинетическая энергия
релятивистских электронов отдачи равна Км. Определить λ.
Решение:


К =Км если р = рмакс , что возможно только если векторы р ф , рф ' и

р коллинеарны, т.е. θ = 0
Учитывая, что Е = mc2 + K , получаем для законов сохранения энергии и
импульса:
ЗСЭ: εф – ε’ф = Км
ф 
.
2εф = Км + р с , где

2с

ЗСИ: εф/с + ε’ф/с = р
р.с = (Км.(Км + 2mec2)1/2
Так как
2
2с

( смотри ниже Приложение ) то
 К м  К м ( К м  2me c )
К
2
mc 2
v2
1 2
c
 mc 2


4с

2 me c 2
К м (1  1 
)
Kм
Приложение:
v2
mc 2
1 2 
c
K  mc 2

v2
m2c 4
1 2 
c
( K  mc 2 ) 2
c K ( K  2mc 2 )
m2c 4
c
2
2
2 4
2 4
v  c 1

 K  2 Kmc  m c  m c 
( K  mc 2 ) 2 K  mc 2
K  mc 2
p
mv
v2
1 2
c
mc K ( K  2mc 2 ) ( K  mc 2 ) 1



K ( K  2mc 2 )
2
2
c
K  mc
mc
pc  K ( K  2mc 2 ) .
и окончательно
15
Корпускулярно-волновой дуализм света
Свет есть материальный объект, обладающий как волновыми, так и
корпускулярными свойствами. При определённых условиях, т.е. в ряде
оптических явлений, свет проявляет свои волновые свойства, а в других
корпускулярные.
Существуют оптические явления, которые могут быть объяснены
качественно и количественно как волновой, так и корпускулярной теориями
света. Например, давление, оказываемое светом при падении его на вещество.
Двойственная природа света получила название корпускулярно –
волнового дуализма света.
В физике свет оказался первым объектом, у которого была обнаружена
двойственная корпускулярно-волновая природа. Дальнейшее развитие физики
значительно расширило класс таких объектов.
Лекция 3
Волновые свойства микрочастиц
Гипотеза де Бройля
Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой
корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Каждая
материальная частица наряду с корпускулярными обладает волновыми
свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные
характеристики частицы, остаются такими же как и у фотона, т.е.
Е  h   
hc

и
p
h


2

:
 
p  k
Согласно гипотезе де Бройля, свободно движущейся частице,
обладающей энергией Е и импульсом р соответствует волновой процесс
с частотой

Е

2


Б
и длиной волны
р .
Примечание: в настоящее время в СИ килограммом называют массу тела,
для которой частота де Бройля точно равна
с2
(299792458) 2
Б 

 1,356392664  10 50 Гц
34
2 6,6260693  10
16
Волна де Бройля распространяется в направлении скорости частицы.
Она не является электромагнитной и имеет специфическую природу, для
которой нет аналога в классической физике , но которая должна обладать
такими свойствами волн как интерференция и дифракция
m0 v 2
p2
Б 
Для нерелятивистской частицы К  2  2m 
0
р
Для релятивистской частицы
и
Б 
2

р
2
2 m0 K 1 
K
2 m0 c 2
2
2 m0 K
1
K
K ( K  2m0 c 2 )  2m0 K 1 
с
2m0 c 2
Б

1
К
2 m0 c 2
Оценим величину волн де Бройля для микро и макро-объектов.
Для нерелятивистского электрона, прошедшего ускоряющую разность
потенциалов U ~ 150 B получаем
Б 
2
2me eU
 10 10 м
Размеры атомов и расстояния между молекулами в твёрдых телах имеют
тот же порядок ~ 10-10 м.
Для макроскопического, но достаточно малого объекта – пылинки, масса
которой m0= 10-6г, а скорость v = 1 мм/с получаем
Б 
2 2

 6,626 10  22 м
р
m0
Такая длина волны значительно меньше наименьшего из известных в
природе размеров – размеров атомного ядра, порядок которого 10-15 м.
Волновые свойства частиц проявляются максимальным образом в тех
случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными
размерами области движения частицы
λБ ~ L ,
например, при взаимодействии электрона с атомами
17
В тех случаях, когда
λБ << L (пример с пылинкой), волновые
свойства частицы становятся несущественными, и для описания движения
таких объектов необходимо пользоваться законами классической механики.
Дифракция микрочастиц
Первые экспериментальные исследования, подтвердившие волновую
природу частиц были выполнены при исследовании дифракции электронов на
кристаллической решётке. Дебройлевская длина волны электрона при
ускоряющей разности потенциалов ~ 100 В имеет порядок ~ 10-10 м.
Расстояние между атомными плоскостями в кристалле имеет такой же
порядок. Поэтому, так же как и в случае рентгеновского излучения, кристалл
может играть роль дифракционной решётки для электронных волн.
Пусть имеется совершенный кристалл, обладающий идеальной, без
каких либо нарушений кристаллической решёткой, и электроны падают на
кристалл под углом скольжения
семейству плоскостей.

по отношению к рассеивающему
β = π - 2θ – угол между падающим и дифрагирующим пучками электронов.
При значении угла θ , удовлетворяющему условию Брэгга-Вульфа
2d.sin θ = т.λБ
( т = 1; 2; 3; 4… )
возникает интенсивный дифракционный максимум отражённой волны. Здесь
d – расстояние между отражающими плоскостями (постоянная решётки
кристалла).
Дифракционные максимумы появляются в тех случаях, когда разность
хода волн, отражённых от соседних атомных плоскостей, равна целому числу
длин волн де Бройля, т.е. имеет место интерференция.
С учётом преломления электронных волн в кристалле условие БрегаВульфа принимает вид
2d ne2  cos 2   nБ , где
ne – показатель преломления электронных волн в кристалле.
18
Результаты экспериментов по дифракции электронов, проведённые
американцами Девиссоном и Джермером на монокристалле никеля, а также
англичанином Дж.Томпсоном и советским физиком Тартаковским на тонкой
поликристаллической фольге хорошо совпали с теоретической формулой
Брэгга-Вульфа.
В 1921г. немецкий физик Рамзауэр, исследуя упругое рассеяние
электронов на атомах аргона, обнаружил явление, являющееся электронным
аналогом хорошо известного в оптике пятна Пуассона. Если энергия
электрона такова, что его дебройлевская длина волны сравнима с диаметром
атома, то в результате дифракции электрона на атоме электроны проходят
через атом аргона, не испытывая какого либо отклонения от направления
своего первоначального движения.
Позднее была обнаружена дифракция тепловых нейтронов, т.е.
нейтронов, энергия которых сравнима с энергией
3
kT
2
при комнатной
температуре Т ~ 300 K. Для таких нейтронов
Б 
2
2m n E

2
3mn kT
~ 10-10 м , где
mn – масса нейтрона.
На рисунке приведена традиционная схема эксперимента по дифракции
нейтронов.
Нейтроны,
выходящие из ядерного реактора R , проходят через замедлитель S и
теряют в нём часть своей энергии. Далее через коллимирующую систему К ,
формирующую узконаправленный пучок, они попадают на кристалл С, в
котором и происходит дифракция. Дифрагировавший пучок нейтронов
регистрируется детектором нейтронов D.
В дальнейшем были обнаружены при дифракции на кристаллах
волновые свойства атомов гелия, молекул водорода и тяжёлых молекул
фторфуллерена
С60F48. Таким образом гипотеза де Бройля имеет
19
универсальный характер для всех частиц, независимо от их природы и
внутреннего устройства.
Парадоксальное поведение микрочастиц
Эксперименты по дифракции частиц вынуждают констатировать
наличие парадокса: - «электрон – это одновременно частица и волна».
Физика – наука опытная. Можно, и во многих случаях полезно,
проводить «мысленные эксперименты». Больше 50 лет назад был выполнен
мысленный эксперимент, аналогичный опыту Юнга
по
изучению
интерференции света от двух щелей.
После прохождения пучка электронов через две щели на экране образуется
система максимумов и минимумов, положение которых можно рассчитать по
формулам волновой оптики, если каждому электрону сопоставить
дебройлевскую волну (экран б ).
Электрон никогда не расщепляются.
Электрон может пройти либо через щель 1, либо через щель 2.
Следовательно
распределение их на экране должно быть суммой
распределений 1 и 2 (пунктир на экране a ), что совершенно не совпадает с
интерференционной картиной. Более того, если сначала открыть щель 1, а
потом постепенно открывать щель 2,увеличивая её ширину, то по здравому
смыслу число электронов, приходящих в т. Р ежесекундно должно возрастать,
а оно уменьшается до нуля. Т.е. дело обстоит так, что каждый электрон,
проходя через какую-то щель, «чувствует» и соседнюю щель, корректируя
своё поведение. Или подобно волне проходит сразу через обо щели (!?).
Для «объяснения» этих парадоксальных результатов был создан
математический
аппарат,
который,
совместно
с
полученными
экспериментальными результатами,
всегда правильно предсказывает
наблюдаемые явления.
Этот аппарат ставит в соответствие каждой частице некоторую

комплексную пси-функцию Ψ( r ,t). Формально она обладает свойствами
классических волн, поэтому её часто называют волновой функцией.
20
Уравнение волны де Бройля
Плоская волна частотой ω , распространяющаяся вдоль оси ОХ может
быть представлена в комплексной форме
ξ(х,t) = A exp ( - i(ωt – kx)), где i – мнимая единица
Согласно гипотезе де Бройля, свободной частице с энергией Е
импульсом р, движущейся вдоль оси ОХ, соответствует плоская волна
Ψ(х,t) = A exp ( 
и
i
(E .t – p .x)),

распространяющуюся в том же направлении и описывающая волновые
свойства частицы. Эту волну называют волной де Бройля.
Волны материи (т.е. волны де Бройля) в процессе распространения
могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по
обычным волновым законам.
Условие постоянства фазы волны де Бройля имеет вид
E.t – p.x = const
Дифференцируя это соотношение, находим фазовую скорость волны
dx E m0 c 2 c 2
Ф   

dt p m0 
Т.к.  < c, то фазовая скорость волны де Бройля оказывается больше
скорости света в вакууме с.
Ограничения на скорость, накладываемые теорией относительности,
справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии.
Фазовая скорость волны де Бройля не характеризует ни один из этих
процессов, поэтому на её величину не накладывается никаких ограничений.
Она имеет чисто символическое значение и является принципиально
ненаблюдаемой величиной.
d d   dE




ГР
Групповая скорость волны де Бройля
dk d k  dp .
21
Согласно теории относительности связь между Е и р для частицы с
массой m определяется соотношением
Е2 = р2с2 + m2c4
Дифференцируя это соотношение, получаем
2
dE
pc


2Е.dE = 2pc2.dp
dp
E
Т.о.
 ГР
рс 2 рс 2
p




2
Е
mc
m
, т.е. групповая скорость волны де
Бройля равна скорости движения частицы –  .
О преломлении дебройлевских волн
 В – фазовая скорость волны де Бройля в вакууме, а  С – в
Пусть
среде.
Считая, что подобно электромагнитным волнам частота ν не меняется
при переходе из вакуума в среду, получаем для показателя преломления
 B БВ БВ
n=      
C
БС
БС
Попадая из вакуума в кристалл(металл), электроны оказываются в
потенциальной
яме, где их
энергия возрастает на «глубину»
потенциальной ямы.
2
2
U  0


 1 0 ,
Так как λБ = 2m K
получаем
n
=
2me eU
U
U
e
где
φ0 – внутренний потенциал кристалла.
Задача
22
Нерелятивистская частица массы m1 с кинетической энергией
налетает на покоящуюся частицу с массой m2.
~

Найти дебройлевскую длину волны
центра масс.
К1
обеих частиц в системе их
Решение:
В Ц-системе импульсы обеих
противоположны по направлению
~
р1  ~
р2  ~
р

частиц
равны
по
модулю
и
~ ~
~ 2
1  2    ~
р
Скорость центра масс ( Ц-системы )



m1v1  m2 v2
m1v1

vC 

m1  m2
m1  m2
Скорость частицы m1
  
~
в Ц-системе v  v1  vC . Тогда

m1  m1m2 v1
~
 
р1  m1v~1  m1v1 1 
.
m

m
m1  m2
1
2 

Учитывая,
что
m1v12
m1v1  m v  m1
2  2m1 K1
2
2 2
1 1
окончательно
~

2(m1  m2 )
m2 2m1 K1
получаем
.
Лекция 4
Соотношения неопределённостей
В классической физике исчерпывающее описание состояния частицы
определяются динамическими параметрами, такими как координаты,
импульс, момент импульса, энергия и др.
Отличие микрочастицы от макроскопической частицы заключается в
том, что существует принципиальный предел точности, с которой подобные
23
параметры могут быть указаны и измерены. В частности, для описания
движения микрочастицы понятие траектории в некоторых случаях
оказывается неприемлемым ( интерференция электрона от двух щелей).
Отличие микрочастицы от электромагнитной волны состоит в том, что
свет, используя, например, полупрозрачное зеркало, можно разделить на две
части и отдельно исследовать каждую из них. Микрочастица во всех опытах
проявляет себя как единое целое. Нельзя наблюдать часть электрона или
нейтрона.
Пусть электроны падают нормально на непрозрачную преграду, в
которой имеется щель АВ шириной ∆х
Если падающие электроны обладают определённым импульсом р0 ,
2
Б 
р0
то этим электронам соответствует плоская волна с
и волновым
 p 0
вектором k 

Поскольку волна распределена по всему пространству, то каждый
электрон до прохождения через щель имеет точно определённый импульс

р 0 ( px= 0, py= p0, pz= 0 ) и неопределённую координату х.
При прохождении электрона через щель ситуация существенным
образом меняется. Неопределённость координаты х становится равной
ширине щели ∆х, но при этом появляется неопределённость проекции
импульса ∆рх , обусловленная дифракцией электронов на щели.
Б
Согласно теории дифракции
pX
 sin 1  tg1 
х
p0 .
24
Принимая, что ∆рх ~ px , получаем
х  р Х  2 .
Более строгий вывод даёт следующий результат
х  р Х 
Это соотношение называется
Гейзенберга.
Для других координатных осей:
y  p y 

2

2
соотношением неопределённостей
и
z  p z 

2.
В то же время не существует никаких принципиальных ограничений на
точность определения координаты и проекции импульса на другую
координатную ось, например, ∆х и ∆ру.
Соотношение Гейзенберга задаёт теоретический предел точности
измерения характеристик микрочастицы, но никак не связано с погрешностью
измерений конкретных измерительных приборов.
На практике для оценочных расчётах часто используют соотношение
∆х.∆рх

С помощью соотношения неопределённостей можно получать важные
физические результаты, а также проводить численные оценки, не прибегая к
точному но трудоёмкому решению задачи.
Рассмотрим для примера атом водорода и будем считать, что электрон
движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r со скоростью v
1 е 2 me 2

2
4 0 r
r


Будем считать, что ∆х = r , a ∆p = p = mev. Тогда rmev
2
 0  2
r
 0,13  10 10 м
2
me e
и
25
Следовательно, радиус орбиты электрона, т.е. радиус атома не может быть
меньше найденного значения. В свою очередь это означает, что электрон не
может упасть на ядро, т.е. атом является устойчивым образованием.
Кроме координат и проекций импульса существуют другие пары
физических величин, которые не могут быть измерены одновременно точно.
Особо следует выделить соотношение, которое называется соотношением
неопределённостей для энергии и времени

E 
t
Система, имеющая среднее время жизни
∆t , не может быть
охарактеризована определённым значением энергии. Разброс энергии
Е 

t
возрастает с уменьшением времени жизни системы и частота
излучения также должна иметь неопределённость
 
Е
, т.е.

спектральные линии должны иметь конечную ширину (уширение).
Следствия из соотношений неопределённостей:
1) Первым следствием из соотношения неопределённостей является
отсутствие траектории у микрочастиц (для частиц с высокой энергией и
∆х  10
-6
м неопределённость импульса

∆рх =
~ 10-28 кг.м/с ,что
2х
значительно меньше значения самого импульса р. Это означает, что для
этих частиц λБ оказывается очень малой и для описания поведения таких
частиц должна применяться классическая механика и можно говорить о
траектории частицы ).


2) Отсутствие состояния покоя. Если ∆х = а , то ∆рх
.
2а
Полагая рх мин  ∆рх мин находим минимальную (не равную нулю) энергию
микрочастицы
2
рхмин
2
Емин 

,
2m 8ma2
26
т.е. в квантовой механике микрочастица не может находится в
состоянии полного покоя.
3) Теряет смысл деление полной энергии частицы на кинетическую и
потенциальную. Кинетическая энергия зависит от импульса частицы, а
потенциальная энергия от её координаты. Но координата и импульс не могут
одновременно иметь определённые значения. Равенство Е = К + U для
мгновенных значений невозможно (в квантовой механике принято
потенциальную энергию обозначать буквой
U ). Такое равенство
справедливо лишь для средних значений энергии
<E> = <K> + <U>.
Статистический смысл волновой пси-функции
Для микрочастиц из-за соотношения неопределённостей теряет смысл
классическое определение состояния частицы (координаты и импульса).
В соответствии с корпускулярно-волновым дуализмом в квантовой

теории состояние частицы задаётся
пси-функцией
Ψ( r , t) , которая
является комплексной величиной и формально обладает волновыми
свойствами.
Движение любой микрочастицы по отдельности подчиняется
вероятностным законам. Распределение вероятности, характеризующее это
движение, проявляется в регистрации достаточно большого числа частиц. Это
распределение оказывается таким же, как распределение интенсивности
волны: там, где интенсивность волны больше, регистрируется и большее
число частиц.
В квантовой теории постановка вопроса состоит не в точном
предсказании событий, а в определении вероятностей этих событий, по
которым по определённым правилам рассчитывают средние значения
физических величин.

r
Ψ( , t )
Пси-функция
и является той величиной, которая позволяет
находить эти вероятности.
Квантовая механика базируется на нескольких постулатах.
Правильность этих постулатов может быть подтверждена сравнением
предсказаний квантовой механики с результатами экспериментов.
Первый постулат квантовой механики гласит: состояние частицы в

r,t
квантовой механике описывается
волновой функцией
Ψ(
),
являющейся функцией пространственных координат и времени и имеющей
27
вероятностный смысл т.е. определяющей вероятность нахождения частицы
в различных областях пространства.

r,t
Волновая функция Ψ (
) в нерелятивистском случае находится из
уравнения Шрёдингера .
Остальные постулаты будут приведены позже.
dP
Если
w=
- плотность вероятности того, что в момент времени
dV
t  0 частица может быть обнаружена в точке пространства М = М(х,y,z)
то
w = Ψ Ψ* = 
.
2
, где
Ψ* - функция, комплексно сопряжённая с функцией
общем случае комплекснозначной функцией.
Ψ
, являющейся в
Вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области
пространства конечного объёма V можно рассчитать
Р   dP   wdV    dV
2
V
V
Так как вероятность нахождения частицы во всём пространстве
V   равна единице, то
  dV  1
2
V 
Иногда интеграл берётся не по всему пространству, а по той области, в
которой Ψ-функция отлична от нуля.
Данное соотношение называют условием нормировки волновой
функции, которое означает, что во всей области, где
находится с достоверностью.
0
, частица
На волновую Ψ-функцию накладываются определённые ограничения –
так называемые условия регулярности волновой функции:
волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной
функцией пространственных координат, за исключением, быть может
отдельных точек. Непрерывными должны быть также частные производные
 

х ; у и z .
28
Принцип суперпозиции квантовых состояний: если частица может
находится в квантовом состоянии Ψ1 , а также в другом квантовом
состоянии
Ψ2 , то эта частица может также находится в квантовом
состоянии, описываемом волновой функцией
Ψ = С1Ψ1 + С2Ψ2 , где
С1 и С2 - в общем случае комплексные числа.
Для нормированных функций
С1  С2
2
2
1
Уравнение Шрёдингера
В классической механике волновым уравнением называют уравнение
вида
1  2
 2 2 .
v t
Например, для электромагнитной волны имеем
2
2Е
 Е   0 0  2 .
t
В квантовой механике
общее временное уравнение Шредингера
позволяет определить в любой момент времени волновую функцию Ψ для
2

F =  gradU ,
частицы массой
т0 , движущейся в силовом поле
описываемом скалярной потенциальной функцией U(x, y, z, t)
2 
2т0
2m 
U   0 i

 t .
В большей части учебников это уравнение записывается в следующем
традиционном виде:

2 2
i

  U  
t
2т0
 1 - мнимая единица;
2
2
2
2
  2  2  2 - оператор Лапласа в декартовых координатах;
х
у
z
i =
29
2 

2 
1

1 
ctg  
   2
 2  2 2  2 
2
2
r  r r sin  

r
r 
r
2
2
2
-
оператор Лапласа в
сферических координатах.
Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона,
законы термодинамики, уравнения Максвелла для электродинамики не может
быть выведено. Его следует рассматривать как некоторое научное положение,
справедливость которого подтверждается данными экспериментов в атомной
и ядерной физике.
В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых
полях, для которых силовая функция не зависит от времени, т.е.


U (r , t )  U (r ) .
Такие силовые поля называют стационарными силовыми полями. В этом

U
(r
) имеет смысл потенциальной энергии
случае силовая функция
частицы.
В стационарных полях квантовая система может находится в состояниях
с определённым значением энергии
Е. Эти состояния называют
стацоинарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся в
таких состояниях – стационарными задачами квантовой механики.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид
2 
2m0
E  U   0 .
2
1
КВАНТОВАЯ 2
Лекция 5
Стационарные задачи квантовой механики
Итак – уравнение Шрёдингера для стационарных состояний
2 
2т0
( Е  U )  0 ,
2

а волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом
состоянии, имеет вид
Е
( х, у, z, t )  ( x, y, z)  e it , где   .

Плотность вероятности обнаружения частицы при этом
w  ( x, y, z, t )  ( x, y, z)  e
2
2
it 2
 ( x, y, z)  e it  e it  ( x, y, z)
2
2
т.е. не зависит от времени.
В стационарных состояниях от времени также не зависят вектор
плотности потока вероятности j и средние значения физических
величин.
Условие нормировки
принимает вид
волновой
функции
для
таких состояний
2
 ( x, y, z) dV  1

Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками.
Одномерная потенциальная яма
Потенциальная энергия частицы внутри ямы ( 0 < x < a ) постоянна и
равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность.
2
Уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси
ОХ:
d 2  2m0
 2 E  U ( x)    0
dx 2

U (x)   , то для выполнения этого условия
Так как вне ямы
необходимо, чтобы ( х)  0 . В силу непрерывности функция Ψ(х) должна
обращаться в нуль и на границах ямы.
Таким образом, задача о движении частицы в одномерной
прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками сводится к
решению уравнения
d 2  2m0
 2 E  0
dx 2

при 0 < x < a
с граничными условиями Ψ(0) = 0 и Ψ(а) = 0 .
d 2
 k 2  0
Введя обозначение k 
получаем
.
2
dx
Из теории колебаний известно, что решением этого уравнения является
выражение
2 m0
Е
2
( х)  А  sin(kx   0 ) .
или
Используя граничное условие Ψ(0) = 0 получаем В = 0 (или  0  0 ) и
( х)  А  sin kx  B  cos kx
( x)  A  sin kx .
Используя граничное условие Ψ(а) = 0 получаем
A  sin ka  0
и если
A  0 . то ka    n , где n = 1; 2; 3 …
Значение n = 0 не удовлетворяет условию задачи т.к. при этом   0 ,
а это означает, что частица в яме отсутствует.
Таким образом
k 2 2
 2 2 2
Еn 

n ,
2
2m0 2m0 a
Видно, что частица, находящаяся
в потенциальной яме, может иметь
только дискретные, квантовые значения
энергии.
Число n называют квантовым
числом, а соответствующее ему значение
Еn – уровнем энергии. Уровень Е1
называется основным состоянием, а все
остальные – возбуждёнными ( n = 2 - первое возбуждённое состояние).
где n = 1; 2; 3 …
3
Энергетическое расстояние между соседними уровнями
E n  E n1  E n 
 2 2
2m0 a 2
2n  1
Для молекулы газа с т0 ~ 10-27 кг в сосуде размером а = 0,1 м и n > 1
получаем
Еn  7  10 20 n эВ ,
т.е. E n намного меньше энергии теплового хаотического движения
молекулы ( kT  2,6  10 2 эВ ) и дискретностью энергетического спектра
движущейся молекулы можно пренебречь.
Для свободного электрона в атоме ( a  10 10 м ) получаем En  75n эВ и
это сравнимо с энергией связи электрона в атоме ЕСВ ~ 10 эВ.
Волновая функция
потенциальной яме
частицы
в
n ( x)  A  sin
одномерной
прямоугольной
nx
a
Множитель А находим из условия нормировки Ψ-функции:

1
 n x  dx  A
2

a
2
2
 sin
0
nx
a
dx  A 2
a
2

A
2
a
и тогда
окончательно
n ( x) 
2
nx
sin
a
a при ( 0 < x < a ).
В основном состоянии частица с наибольшей вероятностью находится
в середине ямы, а в 1-ом возбуждённом состоянии ( n = 2) вероятность
нахождения частицы в центре ямы равна нулю, хотя пребывание частицы в
левой и правой половинах ямы равновероятно.
4
Плотность вероятности нахождения частицы в основном состоянии:
w1 x   1 
2
2 2 
sin  x  ,
a
a 
в первом возбуждённом состоянии:
w2 x   2
2

2 2  2 
sin 
x .
a
 a 
Вероятность нахождения частицы в области
в основном состоянии:
x1 < x < x2 , где x2 < a
2 2 2 x
Р1 х1  x  x2    sin
dx ,
a x1
a
x
в первом возбуждённом состоянии:
2 2 2 2x
P2 x1  x  x2    sin
dx .
a x1
a
x
Двумерная потенциальная яма
Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.


Где Ώ = х, у  : 0  x  a1, 0  y  a2
- прямоугольная область на
плоскости (х,у).
Вне потенциальной ямы х, у   0 .
Поскольку движение частицы в яме вдоль осей ох и оу происходит
независимо, то
х, у   1 х   2  у  ,
а уравнение Шрёдингера имеет вид
 2 х, у  
2т0
Е  х, у   0 или
2
2  у 
2т0
 1 х 
 2  у 




х


Е  1 х 2  у 
1
х 2
у 2
2
2
5
2
Разделив левую и правую часть на
1 х   2  у  получаем
2т0
 2 1 х 
 2 2  у 
1





Е
1 х  х 2
2  у 
у 2
2
1
Поскольку в правой части уравнения стоит постоянная величина, то и
слева оба слагаемых должны быть постоянными величинами, и представив
энергию Е в виде двух слагаемых Е = Е1 + Е2 можно разделить
уравнение Шрёдингера для двумерной задачи на два одномерных уравнения:
 2 1 х  2т0
 2 Е1  1 х   0
х 2

и
 2 2  у  2т0
 2 Е 2  2  у   0
у 2

,
решения которых такие же как и для одномерного случая:
1,n1 x  
n x
2
sin 1
a1
a1
2,n 2  y  
и
n y
2
sin 2
, где n1; n2 = 1, 2, 3,
a2
a2
…
В результате нормированная волновая функция частицы, находящейся
в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими
стенками:
n x n y
4
n1,n 2 x, y  
sin 1 sin 2 . а энергия
a1a 2
a1
a2
Е n1,n 2
2
 2  2  n1 
n
    2

2m0  a1   a 2




2

 .

Если потенциальная яма квадратная ( а1 = а2 = а) то
E n1,n 2 
 2 2
2m0 a
2
n
2
1

 n22 , где n1; n2 = 1, 2, 3, …
Видно, что одному и тому же энергетическому уровню
Еn1,n2 ,
определяемому квантовыми числами n1 и n2 при n1  n2 соответствуют
два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями
Ψn1,n2 и Ψn2,n1.
6
Энергетический уровень, которому соответствует несколько
состояний частицы называется вырожденным энергетическим уровнем.
Энергетический уровень, которому соответствует только одно
состояние частицы, называется невырожденным. Для квадратной
потенциальной ямы невырожденными являются энергетические уровни, для
которых n1 = n2 .
Трёхмерная потенциальная яма (потенциальный ящик)
Здесь G = x, y, z  : 0  x  a1 ,0  y  a2 ,0  z  a3  - внутренняя
область прямоугольного параллелепипеда.
Вне ящика x, y, z   0 , а внутри x, y, z   1 x  2  y   3 z  .
Используя тот же метод, что и для двумерной ямы получаем
 2 1 х  2т0
 2 Е1  1 х   0 ;
х 2

 2 2  у  2т0
 2 Е 2  2  у   0 ;
у 2

n1,n 2,n3 x, y, z  
En1,n 2,n3 
 2 3 z  2m0
 2 E3  3 z   0
z 2

n z
n x
n y
8
sin 1  sin 2  sin 3
a1a 2 a3
a1
a2
a3
2
2
2
 2  2  n1   n2   n3  
         , где
2m0  a1   a2   a3  


n1, n2, n3 = 1, 2, 3, … - квантовые числа.
В кубическом потенциальном ящике ( а1 = а2 = а3 = а ) получаем
En1,n 2,n3 
 2 2
2m0 a
2
n
2
1

 n22  n32 .
Энергетические уровни в кубической потенциальной яме, для которых
n1 = n2 = n3 , являются невырожденными, все остальные уровни вырождены.
7
Число вырожденных состояний определённого энергетического
уровня называется кратностью вырождения уровня. Вопрос о кратности
вырождения энергетических уровней в кубической яме рассматривается в
задаче на семинарском занятии.
Плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма для
основного состояния в кубической яме:
w1,1,1 x, y, z  
8
2  x 
2  y 
2  z 
sin

sin

sin




 .
a3
a
 a
a
Вероятность нахождения частицы в основном состоянии в некоторой
области x1  x  x2 ,  y1  y  y2 , z1  z  z 2  , где x2, y2, z2 < a
8
P 3
a
2  x 
2  y 
2  z 
sin

sin

sin




x y z  a   a   a dxdydz .
1 1 1
x2 y 2 z 2
Cферически-симметричная потенциальная яма радиусом а
U( r ) = 0 при r < a
и U( r ) = 
при r > a .
Уравнение Шрёдингера для области r < a :
2 
2т0
Е  0
2
В сферически-симметричной яме Ψ-функция не зависит от угловых
координат
θ
и
φ
и можно использовать только радиальную
составляющую оператора Лапласа
8
2 2 
  2  
r r , т.е.
r
2
r
 2  2  2m0

 2 E  0
r 2 r r

 2  2 

 k 2  0 ,
2
r r
r
или
где
k2 
Для решения этого уравнения используют подстановку
Тогда
2 m0
E
2
 r  
u r 
.
r
 1 u 1

 u r 
r r r r 2
2
1 u 1  2 u 2
1 u
 2

 3 u r   2
2
2
r
r r r r
r
r r
После подстановки получаем
 2u
 k 2  u r   0
2
r
Решение этого уравнения имеет вид
ur   A sinkr   0 
r  

A
sin kr   0 
r
Так как Ψ( r )   при r = 0 то получаем φ0 = 0 .
Используя условие непрерывности Ψ –функции, имеем
A
a   sin ka  0
ka  n , где n = 1, 2, 3, …

a
En 
 2 2
2 m0 a
2
n 2 ( c учётом того, что k 2  2m0 E ) .
2

Коэффициент А находим из условия нормировки:
1
 r 
V 
2
a
dV   r  4r dr  4A
2
2
a
2
0
 sin
0
Таким образом
n r  
2
 nr 
2

dr  2aA 
 a 
A
1
2a
 nr 
sin
.
r 2a  a 
1
Плотность вероятности (вероятность нахождения частицы в шаровом
слое единичной толщины) в основном состоянии:
wШ1  1  4r 2 
2
2 2  r  1 
2r 
1
2
2  r 
r

sin

1

cos
sin

4




.


a
a 
r 2 2a
 a  a
a
9
Лекция 6
Квантовый гармонический осциллятор
( параболическая потенциальная яма)
Гармоническим осциллятором называется система, способная
совершать гармонические колебания. Примером таких колебаний в
квантовой механике являются колебания атомов в твёрдых телах, молекулах
и т.д.
На рисунке слева изображена потенциальная энергия
U
взаимодействия атомов в двухатомной молекуле ( типа
NaCl )
в
зависимости от расстояния r между ядрами атомов. Из вида кривой U( r )
следует, что атомы в молекуле могут совершать колебания относительно
равновесного расстояния r0 между ядрами.
Квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится
к задаче о движении частицы вдоль оси ох
в параболической
потенциальной яме под действием возвращающей квазиупругой силы
(рисунок справа) Fx = – kx .
Выражение для потенциальной энергии такого осциллятора имеет вид
kx2 m0 2 2
U x  

x , где
2
2

k
m0
-
собственная частота классического гармонического
осциллятора.
Графиком этой функции U( x ) является парабола.
Точки х = – а0 и х = а0 , в которых полная энергия
являются для классической частицы точками поворота.
Амплитуду колебаний находим из выражения
т0 2 а02
Е
2

а0 
2Е
.
т0  2
E = U( x ) ,
10
Уравнение Шрёдингера в данном случае имеет вид
 2  2т0
 2
х 2


т0 2 х 2 
 Е 
  0 .
2


Это уравнение имеет конечные, однозначные, непрерывные и гладкие
решения (собственные функции) при собственных значениях Е , равных
,
1

E n    n  
2

где n = 0, 1, 2, 3, …
Энергетические уровни расположены на одинаковом расстоянии друг
от друга Е   .
Минимальная энергия ( её называют нулевой энергией)
Е0 

2
Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно для
всех квантовых систем и является следствием принципа неопределённостей.
Для квантового осциллятора возможны переходы лишь между
соседними «стационарными» уровнями , при которых квантовое число
n изменяется на единицу ∆n =  1 ( правило отбора ) . При каждом из
этих переходов испускается или поглощается фотон с энергией 
, где   его циклическая частота.
На следующем рисунке приведены графики распределения плотности
вероятности Ψ2( х ) месторасположения частицы при n = 0 , 1, 2, 9.
n=0
n=1
n=2
n=9
Жирными отрезками на оси ох показаны интервалы, на концах
которых
E = U.
Классическая частица при колебаниях за пределы
интервала заходить не может. Квантовая частица может быть
обнаружена и вне пределов этих интервалов.
11
Одномерный потенциальный порог и барьер
Движение частицы в области потенциального порога
Потенциальным порогом ( потенциальной стенкой ) называют силовое
поле, в котором потенциальная энергия частицы имеет вид
Пусть слева на порог налетает частица с полной энергией
Е . На
языке квантовой теории это означает, что на порог слева «падает»
дебройлевская волна
x, t   A  e i kx t  .
Чтобы удовлетворить граничным условиям для Ψ и

х
при х = 0,
должны существовать как прошедшая волна, так и отражённая. Так как
ω в
Е
этих волнах одна и та же     , то в расчётах можно ограничиться только


координатной частью этих волн, а именно Ψ( х ).
Задача состоит в том, чтобы сначала найти амплитуды отражённой и
падающей волн, а затем коэффициенты отражения R и пропускания D .
Уравнение Шрёдингера для частицы в данном силовом поле имеет вид:
 2 1 2т0
 2 Е  1  0
в области I ( x < 0 )
х 2

 2 2 2т0
 2 Е  U 0 2  0
в области II ( x > 0 )
х 2

1).Низкий порог ( Е > U0 )
Общее решение уравнения Шрёдингера имеет вид:
1 ( x  0)  A1  eik1x  B1  eik1x ,
2 ( x  0)  A2  e ik2 x  B2  e ik2 x
где
, где
k1 
k2 
2 m0 E
2
2 m0  E  U 
2
Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой А1 ,
причём вещественной, а отражённая – амплитудой В1 . В области II ( x > 0)
имеется только проходящая волна, поэтому В2 = 0 .
Из условия непрерывности Ψ и

х
1 0  2 0 или
1
0  2 0 или
х
х
12
в точке х = 0 следует, что
А1  В1  А2
и
A1k1  B1k1  A2 k 2
Тогда
A2
2k1
B1 k1  k 2


и
A1 k1  k 2
A1 k1  k 2
Для определения коэффициентов R и D вводят понятие плотности
потока вероятности j , вектор которого определяется через волновую
функцию следующим образом:
 i
j
  grad     grad
2m0


В соответствии с видом Ψ-функции для падающей, отражённой и
прошедшей волн имеем:
jпад ~ k1A12 , jотр ~ k1B12 и jпрош ~ k2A22
Теперь можно записать
для коэффициента отражения
2
1 1U0 / E 
jОТР  В1 

R
    
1 1U / E 
j ПАД  А1 
0


2
для коэффициента пропускания
2
4 1U0 / E
j
k A 
4k1k 2
D  ПРОШ  2  2  

j ПАД
k1  A1 
k1  k 2 2 (1  1  U 0 / E ) 2
Видно, что
R + D = 1 , что и должно быть по определению.
Коэффициенты R и D не зависят от направления движения частицы: слева
направо или наоборот.
В классическом случае при E > U0 должно быть R = 0.
Эффект надбарьерного отражения ( R > O ) является чисто
квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств.
2). Высокий порог ( E < U0 ).
В этом случае
Коэффициент отражения
k2 
2m0
E  U 0 
2
k  k2
R 1
k1  k 2
является чисто мнимым.
2
 1 т.к. числитель и знаменатель –
величины комплексно-сопряжённые. Таким образом, отражение будет
полным, а D = 0.
13
Но волновая функция при
x > 0 не обращается в нуль, т.е.
микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопических
частиц недоступны.
Плотность вероятности нахождения частицы в области
II
определяется выражением
2
2k1
4k
P
2
 2

w2 x  0 
 2 x  
 exp  2k 2 x   2 1 2 exp 
2m0 U 0  E   x
x
k1  ik 2
k1  k 2
 

2
и зависит от массы т0 , разности ( U0 – E ) и расстояния от границы
порога.
Для электрона с
(U0 – E) = 1 эВ
вероятность нахождения на
расстоянии от порога сравнимым с размерами атома
( х = 10-10 м )
достаточно велика, а на расстоянии в 10 раз большем ( х = 10-9 м ) ничтожно
мала.
Отражение хотя и является полным
(R = 1) не обязательно
происходит на самом пороге. Частица может проникнуть в область II ,
а затем выйти из неё ( аналогично полному внутреннему отражению в
оптике).
Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Рассмотрим одномерный прямоугольный потенциальный барьер
Частица движется слева направо. Слева от барьера имеем падающую и
отраженную волну, а за барьером только прошедшую волну.
Уравнение Шрёдингера для областей I, II и III имеет вид:
 2 1 х 
2
 k1 1 x   0
2
х
2
 2 x 
2
 k 2 2 x   0
2
x
2
 3 x 
2
 k1 3 x   0
2
x
Где
k1 
2 m0 E
,
2
k2 
2m0 U 0  E 
2
Волновые функции, являющиеся решением этих уравнений
1 х   А1e ik1x  B1e ik1x
2 x   A2 e k2 x  B2 e  k2 x
3 x   A3 e
14
ik1x
 B3 e
ik1x
Из решения этой системы уравнений получают, применив некоторые
упрощающие допущения, выражение для коэффициента прозрачности D
прямоугольного барьера
 2a

D  exp 
2m0 U 0  E 
 

Для потенциального барьера произвольной формы
 2 x2

D  exp   2m0 U x   E dx
  x1

Пределы интегрирования
х1
и
х2
определяют из решения
уравнения U( x ) = E .
Туннельный эффект
Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которого
превышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта
(частица, проходя под барьером, как бы движется в туннеле). При
прохождении через барьер полная энергия частицы Е не меняется.
Туннельный эффект представляет собой чисто квантовое явление.
Этим эффектом объясняются многие физические явления; например,
холодная эмиссия электронов из металла (автоэмиссия), альфа-распад,
спонтанное деление ядер и др.
На левом рисунке представлен потенциальный барьер треугольной
формы, имеющий место на границе металл-вакуум в явлении холодной
эмиссии электронов из металла. Электрон в металле находится в
потенциальной яме глубиной
U0 . Если вблизи поверхности металла

Е , способствующее выходу
имеется электрическое поле напряжённостью
электронов из металла, то потенциальная энергия электрона вблизи
поверхности металла может быть представлена в виде
15

U x   U 0  e  E  x
При туннелировании электронов через этот барьер происходит их
выход из металла даже при низких температурах.
На правом рисунке представлен потенциальный барьер α-частицы в
поле ядра. На больших расстояниях
r
между
α-частицей и ядром
действуют силы кулоновского отталкивания и потенциальная энергия
частицы
U r  
Ze  2e
,
4 0 r
1
где
Ze – заряд дочернего ядра; 2е – заряд α-частицы.
Внутри ядра (r < r0 ) α-частица находится в потенциальной яме,
выйти из которой она может только за счёт туннельного эффекта.
Прохождение частицы над барьером
( E > U0 )
Частица массой т0 падает на прямоугольный потенциальный барьер
высотой U0 и шириной а . Энергия частицы Е больше высоты барьера.
В этом случае решение системы уравнений Шрёдингера для трёх
областей: I – ( x < 0 ), II – ( 0 < x < a ), III – ( x > a ) даёт следующие
значения для коэффициента прохождения D .
1


U0
2m0 E  U 0  
2


D  1 
sin  a 
2




 4 E E  U 0 
Частица беспрепятственно проходит над таким барьером ( D = 1 ) при
значениях энергии равных
E
 2 2
n 2  U 0 , где n = 1, 2, 3, …
2m0 a
2
( sin = 0 )
При других значениях энергии существует отличная от нуля
вероятность отражения частицы от барьера.
Пролёт частицы над потенциальной ямой конечной глубины ( E >
U0 )
Частица пролетает над потенциальной ямой конечной глубины U0 и
ширины а слева направо вдоль оси ох.
16
Решая систему уравнений Шрёдингера для трёх областей, получаем
выражение для коэффициента прохождения
D , характеризующего
вероятность прохождения частицы над ямой:

 2m0 E 
U0

D  1 
sin 2  a
2

 

 4 E E  U 0 
1
Коэффициент прохождения
D зависит от соотношения между
энергией частицы и глубиной потенциальной ямы и в общем случае
оказывается меньше единицы (частица может отразится от потенциальной
ямы даже если E > U0 ). Данное явление, полностью отсутствующее в
классической физике, объясняется наличием у частицы волновых
свойств.
Частица не испытывает отражения на границах ямы ( D = 1 ) только
если sin = 0 . Это условие выполняется при значениях энергии частицы
E
 2 2
2m0 a
2
n 2  U 0 , где n = 1, 2, 3, …
Рассмотренная модель поведения частицы вблизи симметричной
прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины хорошо качественно
описывает движение электрона вблизи атома. В частности, проведённый
анализ даёт квантово-механическое объяснение эффекта Рамзауэра, где
наблюдалась аномальная прозрачность атомов инертных газов для пучка
электронов при определённых значениях кинетической энергии (K = E – U0).
Б
2т0 Е
a

п
а


n
Условие
можно представить в виде
2
2
(λБ – длина волны де Бройля электрона внутри ямы ). Это условие определяет
гашение за счёт интерференции волн, отражённых от двух границ ямы
аналогично
просветлению
оптики
при
интерференции
двух
электромагнитных волн от двух сторон просветляющей тонкой плёнки.
КОШКА ШРЁДИНГЕРА
Кошка ( или кот ) Шрёдингера – герой кажущегося парадоксальным
мысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотел
продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от
субатомных систем к макроскопическим.
17
Кошка помещена в закрытый ящик, где на неё направлен ствол ружья.
В ящике находится также микрочастица, при попадании которой в курок
ружья, ружьё стреляет и кошка погибает.
Если частица находится в первом квантовом состоянии, описываемом
волновой функцией
Ψ1 , в котором вероятность обнаружить частицу в
области вблизи курка равна нулю, то кошка в ящике жива.
Пусть в состоянии
Ψ2 вероятность нахождения частицы вблизи
курка равна единице. В этом случае кошка мертва.
Согласно принципу суперпозиции

1
2
1 
1
2
2
И непонятно жива или мертва кошка?
Системы, в которых формально объединены как классические так
и квантовые объекты не всегда корректны для исследования.
Лекция 7
Операторы физических величин
Ранее было сказано, что состояние квантовой частицы определяется не
координатами и импульсом, а заданием Ψ-функции, вид которой зависит от
конкретного потенциального поля ( 1-ый постулат квантовой механики ).
Волновая функция, описывающая сама по себе распределение по
координатам, определяет также распределение по импульсам и другим
динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия,
момент импульса и др.
Таким образом
Ψ-функция полностью определяет не только
«положение» частицы, но и все её динамические характеристики.
Для получения информации о физических величинах, связанных с
движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный
математический аппарат, в котором используют операторы
физических величин и результаты их действия на волновую функцию.
18
Оператором называют символическое обозначение математической
операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией.
Примером оператора могут служить умножение на х , или на какую-либо
функцию
f(x), дифференцирование по
х
т.е.

;
х
2
, операторы
х 2
набла -  , лапласиан -  2 и т.д.
В квантовой механике операторы принято обозначать буквами со
«шляпкой», например , Q̂ , а его действие на некоторую функцию f( x )
записывают как Q̂f x  .
Некоторые свойства операторов:
1). Операторы можно складывать:
.
Действие такого
Аˆ  Вˆ
суммарного оператора на любую функцию f( x) даёт результат
Аˆ  Вˆ  f x  Aˆ f x  Bˆf x
2). Под произведением операторов
понимают оператор,
Аˆ Вˆ
результат действия которого на любую функцию f(x) равен
Аˆ Вˆ  f x  Aˆ Bˆf x .
Т.е. функция f(x) сначала подвергается действию оператора В̂ , а затем
полученный результат – действию оператора А̂ .
Следует иметь ввиду, что не всегда Аˆ Вˆ  Вˆ Аˆ . Если такое равенство
соблюдается, то это значит, что операторы А̂ и В̂ коммутируют друг с
другом (коммутирующие операторы ).
Пример некоммутирующих операторов – это х и
f
  
,
x  f  x
x
 x 
f

 
 x  f  xf   f  x
x
x
 x 
а


:
х
х



х.
х х
3). Оператор А̂ называют линейным, если для любых двух функций
f1 и f2 и любых постоянных а1 и а2 выполняется соотношение
Aˆ a1 f1  a2 f 2   a1 Aˆ f1  a2 Aˆ f 2 .
С линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.
Оператором физической величины может быть только линейный
самосопряжённый (эрмитов) оператор. Самосопряжённым называют
оператор, который совпадает со своим сопряжённым оператором. В этом
случае для произвольных функций 1 и 2 тождественно выполняется
следующее интегральное равенство


 f1 ( Аˆ f 2 )dV   f 2 ( Aˆ f1 )dV
V
4). Если
Aˆ f  Bˆ f
V
то
Aˆ  Bˆ .
Представление физических величин операторами
в квантовой механике
19
Второй постулат квантовой механики – каждой физической
величине соответствует определённый линейный эрмитов оператор этой
физической величины. При этом соотношения между операторами в
квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между
соответствующими им физическими величинами в классической механике.
1. Оператор координаты
yˆ  y ; zˆ 
 


rˆ  e x xˆ  e y yˆ  e z zˆ .
xˆ  x ;
2. Оператор импульса

;
x
z
.


pˆ z  i ;
;
y
z

      
̂
p  i  i e x
 ey
 e z  .
y
z 
 x
3. Оператор квадрата импульса
 2
2
 
2
2
2
pˆ 2   pˆ x    pˆ y    pˆ z    2  2   2  2  2  2 
y
z 
 x
4. Оператор момента импульса



ex e y ez
рˆ х  i
pˆ y  i
  
L  r ; р = x
y
z
px
py
pz
 
 
Lˆ x  ypˆ z  zpˆ y  i y  z 
y 
 z

 
Lˆ y  zpˆ x  xpˆ z  i z  x 
z 
 x
 

Lˆ z  xpˆ y  ypˆ x  i x  y 
x 
 y
В сферической системе координат (r , , )


 
 ,
Lˆ x  i sin 
 ctg  cos 








 
,
Lˆ y  i cos 
 ctg  sin 

 


Lˆ z  i
.

5. Оператор квадрата момента импульса
Lˆ2  Lˆ x Lˆ x  Lˆ y Lˆ y  Lˆ z Lˆ z
В cферической системе координат ( r, θ, φ )
20
Lˆ2   2 2 , , где
1  
 
1
2
 , 
 sin  

sin   
  sin 2   2
в сферической системе координат.
2
- угловая часть оператора Лапласа
6. Операторы энергий
Кинетическая энергия в классической механике
т0 2
p2
К

2
2 m0
В соответствии со вторым постулатом получаем
рˆ 2
2 2
ˆ
К

 .
2 т0
2 т0
Для потенциальной энергии
в стационарном силовом поле U 
kx2
2
k 2 kx2
ˆ
U  xˆ 
 U . Это определение Uˆ  U справедливо не
получаем:
2
2
только для гармонического осциллятора но о в общем случае для частицы,
движущейся в стационарном силовом поле, где её потенциальная энергия
U  U ( x, y, z) определена в любой точке пространства.
Оператор полной энергии
2 2
ˆ
ˆ
ˆ
H  K U  
  U x, y, z 
2m0
Этот оператор называют оператором функции Гамильтона или
гамильтонианом, который является основным оператором квантовой
механики, определяющим все особенности квантовой системы.
Уравнение Шрёдингера в операторной форме принимает вид:

Временное – Hˆ   i
t
Для стационарных состояний – Н̂  Е  
Собственные функции и собственные значения операторов
Состояние, в котором физическая величина Q имеет определённое
значение ( так называемое собственное состояние ), описывается Ψфункцией, являющейся решением уравнения
Q̂  Q  
Примером такого уравнения является уравнение Шрёдингера для
стационарного состояния.
21
Физический смысл могут иметь лишь такие решения этого
уравнения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие.
Эти условия называются естественными или стандартными.
Функции,
являющиеся
решением
данного
уравнения
и
удовлетворяющие естественным условиям называются
собственными
функциями оператора Q̂ .
Те значения величины Q , при которых эти решения существуют,
называются собственными значениями физической величины
Q ,
например, собственные значения энергий в потенциальных ямах.
Набор (спектр) собственных значений физической величины
Q
иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Примером
дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые
состоят из ряда отдельных тонких линий.
Рассмотрим несколько задач о нахождении спектров собственных
значений:
1). Координата х
х̂  х  хˆ  х и
х   ; т.е. спектр непрерывный.
2). Проекция импульса рх
р̂ х   р х  

 i

 px  
x

Функция Ψ определена при всех значениях
значений рх непрерывен ( р х   ; ).
 p 
  C  exp   i x x 
 

рх т.е. спектр собственных
3). Проекция момента импульса Lz
L̂z   Lz  

 i

 Lz  


 L 
  C  exp  i z  
  
Собственные функции оператора
должны быть однозначными
L̂ z
функциями. Так как угловая координата
φ
является циклической
переменной, то условие однозначности собственной функции сводится к
условию её периодичности :
  2    
Тогда
где
 L   2  
 L
 L 2 

exp  i z
exp  i z
  exp  i z 
 1



  
  
m  0,1,2,3,... Следовательно спектр дискретный.
т    С  exp im  
Значение константы
C
1
2
2
Lz 2
 2  m ,

1
exp im 
2
выбрано из условия нормировки

0


m
 m d  1
22
4). Квадрат момента импульса
L2
Спектр собственных значений оператора
оказывается
L̂2
2
2
дискретным, т.е. уравнение Lˆ   L  имеет решения только для значений
L2   2  l l  1 , где l = 0; 1; 2; 3; …
Собственные функции оператора
l ,m  Yl ,m  ,  
L̂2
l = 0; 1; 2; 3; …
имеют вид:
т  0;1;2;3;...  l .
Задача
Найти собственные значения оператора
собственной функции
2
ˆ
А   2 , принадлежащее
х
  С  sin 2 x , где С – постоянная.
Решение:
Т.к. Q̂  Q   то
Но

2
 A  .
x 2
 2
 4С  sin 2 x
х 2
Следовательно
А =4 .
Лекция 8
Измерение физических величин в квантовых системах
Пусть известна волновая функция, описывающая состояние частицы в
квантовой системе. Каков будет результат измерения физической величины
Q в этой системе?
Третий постулат квантовой механики: в результате измерения
физической величины
Q
в любой квантовой системе могут быть
получены только такие значения, которые являются собственными
значениями оператора Q̂ , соответствующего этой величине.
Этот постулат устанавливает связь между теорией и возможностью её
экспериментальной проверки.
Так, например, используя найденные спектры собственных значений
операторов L̂2 и L̂ z , можно утверждать, что при измерении модуля
23
орбитального момента импульса атомов всегда будут получаться значения
L   l l  1 ( l = 0; 1; 2; … ), а для проекции момента
L  L2 из набора
импульса на направление z в экспериментах будут получены значения
Lz  m   , m  0,1,2,...
Какое конкретное собственное значение Qn оператора Q̂ будет
результатом измерения физической величины Q в квантовом состоянии,
описываемом волновой функцией Ψ ?
Если представить совокупность большого числа одинаковых
независимых квантовых систем, в которых тождественные частицы все
находятся в одинаковых квантовых состояниях (квантовый ансамбль), то,
измеряя физическую величину Q в различных системах этого ансамбля,
мы всегда будем получать в результате измерения одно и то же значение Qn
если состояние частицы описывается волновой функцией
Ψn,, которое
является одной из собственных функций оператора Q̂ .
Если волновая функция не будет являться собственной функцией
оператора Q̂ , то в таком квантовом состоянии физическая величина Q
не имеет определённого значения, и измерения в различных системах
квантового ансамбля будут давать разные значения Q1, Q2, Q3, … Qn . При
этом каждое значение Qn в квантовом ансамбле будет обнаруживаться с
определённой вероятностью Рп .
Если две разные физические величины
а
и
в
могут быть
одновременно точно измерены, то соответствующие им операторы А̂ и В̂
должны быть коммутирующими операторами, т.е. для них должно
выполняться соотношение Аˆ Вˆ  Вˆ Аˆ .
Определение среднего значения любой физической
величины
В квантовых системах, в которых физическая величина Q не имеет
определённого значения, имеет смысл находить среднее значение, т.е.
математическое ожидание результатов измерений в серии из большого числа
измерений
 Q    Pn Qn .
n
Для того, чтобы рассчитать вероятности
Рп следует разложить
волновую функцию Ψ в ряд по полной системе собственных функций Ψп
оператора Q̂ :
   С п п
п
Такое разложение всегда возможно и коэффициенты этого разложения
вычисляются по формуле
Сп 


п
V 
 dV
24
Искомая вероятность
Рп
представленного выше разложения
равна квадрату модуля
Рп  С п
Qn n  Qˆ n
С учётом того, что
Сп
2
из
2
получаем окончательную формулу
 


  Qˆ  dV ,
Q
V 
которую часто
механики.
рассматривают
как
четвёртый постулат квантовой
 Q     Qˆ dx .
Для одномерного случая :
Отметим, что если Ψ =Ψп , то получаем естественный результат
Q


n
V 
Qˆ  dV  Q    dV  Q
n

n
n
n
n
V 
Квантовая механика позволяет дать численную оценку потенциальных
возможностей того или иного поведения квантового объекта. И хотя
вероятность того или иного результата измерения в квантовой механике
относится к отдельному объекту, для экспериментального определения
численного значения этой вероятности необходимо многократное
повторение измерений в квантовом ансамбле одинаковых систем.
Задача 1
В некоторый момент частица находится в состоянии, описываемом
Ψ-функцией, координатная часть которой х  А  ехр ikx  x 2 / a 2  , где А
и а - неизвестные постоянные.
Найти средние значения координаты х и проекции импульса рх .
Решение:
а) в соответствии с 4-ым постулатом квантовой механики



x2 

 x   x dx  AA  x  exp   2 2 dx
a 





Поскольку подинтегральная функция нечётная, то интеграл равен нулю
Следовательно
<x>=0
б)
рˆ x   i

, где
x

x 

 x    ik  2 2  .
x
a 

25
Тогда в соответствии с 4-ым постулатом квантовой механики


 
x 
x2 

 
 p x      pˆ x  dx      i
dx  iAA   ik  2 2  exp   2 2 dx 
x 
a 
a 










x2 
x
x2 
x2 







 iAA  ik  exp   2 2 dx  iAA  2 2 exp   2 2 dx  iAA  ik  exp   2 2 dx  0
a 
a 
a 




 a



(во втором интеграле подинтегральная функция нечётная).
Из условия нормировки Ψ-функции следует, что



x2 
 dx  AA exp   2 a 2 dx  1


В результате окончательно получаем
 р х   k .
Задача 2
В момент времени t = 0 волновая функция частицы в одномерной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид
 7x 
 3x 
( x)  A  sin
  cos
.
2
a
2
a




Считая, что масса частицы равна т0, найдите среднюю кинетическую
энергию частицы в данном состоянии. Укажите, суперпозицией каких
состояний частицы в потенциальной яме является данное состояние. Найдите
волновую функцию ( x, t ).
Решение :
Воспользуемся формулой Эйлера:
26
7x
i
 i 72ax
 e  e 2a
 7x 
 3x 
 ( x)  A  sin 

cos

A




2i
 2a 
 2a 


3x
i
  i 32ax
  e  e 2a

2
 
 





x
x
i 2
i 2 
 i ax 5 i ax 5
Ae
e
e a  e a  A   x 
 x  
 


sin

2

sin



  5  .


2
2i
2i
2
a


 a 




Постоянный множитель А находим из условия нормировки:
A2  2 2x
A2
a
4
2 5x 
1   х  dx 
sin

sin
dx


2


A

.


4 0 
a
a 
4
2
a
0
Для частицы массы т0 в одномерной потенциальной яме с бесконечно
высокими непроницаемыми стенками
a
a
2
n x  
2  x 
sin  n 
a a 
и
En 
 2  2
2m0 a
2
 n2 .
Таким образом, функция х  принимает следующий окончательный вид:
n x  
1  x
x  1
2 x   5 x.
 sin  2  sin  5  
a
a
a 
2
В силу ортонормированности волновых функций
п вероятность
обнаружения частицы в состоянии с волновой функцией п равна квадрату
коэффициента при п . В данном случае С2 = С5 =
1
и Р2 = Р5 = ½.
2
Тогда
 29  2  2
1   2 2
 2 2
К  Е  Р2  Е2  Р5  Е5  
4
 25   
.
2
2
2.
2  2т0 а
2т0 а
 2 2т0 а
Волновая функция
стационарного состояния
x, t 
определяется из условия , что для
п x, t   e
Т.е.
i
 Ent

 n x .
27
i
i
 E5 t

1    E2 t

  x, t  
 2 x   e
 5 x .
e
2

КВАНТОВАЯ 3
Лекция 9
Ядерная модель атома
Резерфорд на основании результатов эксперимента по рассеянию
α-частиц на атомах металлической фольги обосновал планетарную модель
строения атома.
Согласно этой модели, атом состоит из тяжёлого положительно
заряженного ядра очень малых размеров (~ 10-15 м ), вокруг которого по
некоторым орбитам движутся электроны. Радиусы этих орбит имеют
размеры ~ 10-10 м.
Наличие у электрона заряда делает планетарную модель
противоречивой с точки зрения классической физики, т.к. вращающийся
вокруг ядра электрон, как и любая ускоренно движущаяся заряженная
частица должен излучать электромагнитные волны. Спектр такого излучения
должен быть непрерывным. В опытах наблюдается линейчатый спектр
излучения атомов. Кроме того, непрерывное излучение уменьшает энергию
электрона, и он из-за уменьшения орбиты обязан был бы упасть на ядро.
Постулаты Нильса Бора
Нильс Бор «спас» планетарную модель для атома водорода,
сформулировав три постулата.
1. Электрон в атоме может двигаться только по определённым
стационарным орбитам с определённым номером
п = 1; 2; 3; …
Движущийся по стационарной замкнутой орбите электрон обладает
неизменной полной энергией Еп .
2. Разрешёнными стационарными орбитами являются только те, для
которых угловой момент импульса электрона равен целому кратному
значению постоянной Планка
Ln  n ( п = 1; 2; 3; … ) .
3.
Испускание или поглощение кванта излучения происходит при
переходе атома из одного стационарного состояния в
другое.
Частота излучения
 пк 
Ек  Еп

Расчёт атома водорода по Н.Бору
е 2 me 2 п

4 0 rn2
rn
1
те - масса электрона
me п  rn  n
п = 1; 2; 3; …
Решая систему из этих двух уравнений получаем:
4 0  2 2
rn 
n  an 2 ,
2
me e
где
а = 0,529 . 10-10 м - радиус 1-ой стационарной
орбиты в атоме водорода
n 
e
2
4 0 n

1  2,2  10 6 м / с
Кинетическая энергия электрона
К
те п2
те е 4

2
32 2 02  2 п 2
Потенциальная энергия электрона U  
e2
4 0 rn

me e 4
16 2 02  2 n 2
Полная энергия электрона на п-ой орбите
E  K U  
me e 4
1
13,6
  2 эВ
2
32   n
n
2
2
0
2
Для частоты излучения при переходе из к в п состояние получаем
 пк
1 
 1
 R  2  2  ,
k 
n
где
R 
me e 4
32  
2
2
0
3
 2,07  1016 c 1 - постоянная Ридберга
Существуют также постоянные Ридберга для ν и λ :
R
2
R
R  
2c
R 
для
для
1 
 1
 2 ;
2
k 
n
1
1 
 1
 R  2  2 
nk
k 
n
 nk  R 
Для водородоподобных атомов ( ион гелия Не+ с Z = 2, двухкратноионизованный литий Li++ c Z = 3, трёхкратноионизованный бериллий
Ве+++ с Z = 4 и т.д. ) радиусы орбит электрона оказываются в Z раз
меньше, чем в атоме водорода, а энергетический спектр водородоподобного
иона получается умножением на Z2
13,6
E n   2 Z 2 эВ.
n
Квантовая теория атома
Хотя теория Бора даёт хорошие результаты для водородоподобных
атомов, она не может рассматриваться как законченная теория атомных
явлений.
С позиций современной физики атом является физической системой,
которая заведомо не может быть описана классической теорией, не
учитывающей волновых свойств движущегося в атоме электрона, так как
длина волны де Бройля такого электрона сравнима с размерами атома.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром водородоподобного атома
U r   
Z  e2
,
4 0 r
где
r – расстояние между электроном и ядром, которое в первом приближении
будем считать точечным.
Движение электрона в таком поле
можно рассматривать как движение в
некоторой сферической потенциальной
яме.
Спектр энергий электрона должен
быть дискретным, т.е. состоять
из
отдельных энергетических уровней со
значениями
полной энергии электрона
Е1; Е2; Е3 и т.д.
Уравнение Шрёдингера Н̂  Е    имеет вид
2т
   2е

2

Z  e2 
 Е 
    0
4

r
0 

Решение этого уравнения проводят в сферической системе координат
r, θ, φ , центр которой совпадает с центром ядра атома. В такой системе
Ψ = Ψ(r, θ, φ) , а оператор Лапласа
 2   2r 
1 2
 , ,
r2
где
 2r 
1  
 
1
2
1   2 
2


sin


,
r




 ,
sin   
  sin 2   2
r 2 r  r 
Используя оператор квадрата момента импульса в сферической системе
координат
Lˆ2   2  2 ,
уравнение Шрёдингера преобразуют к виду
2
1 ˆ2
Ze 2
2

 r  
L 
  E
2те
4 0 r
2me r 2
Решение этого уравнения ищут в виде произведения двух функций с
разделяющимися переменными
Ψ = X( r ) . Y( θ, φ ).
C учётом естественных требований, налагаемых на Ψ-функцию она
должна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой.
В процессе решения обнаруживается, что этим требованиям можно
удовлетворить при любых положительных значениях энергии
Е , но в
области отрицательных значений Е – только при дискретных значениях, а
именно, если
me e 4
Z2
En  
32 2 02  2 n 2 , где
п = 1; 2; 3; … ,
что соответствует связанным состояниям электрона в атоме.
Таким образом решение уравнения Шрёдингера приводит в случае
Е< 0 к тому же результату, что и теория Нильса Бора но без использования
каких либо дополнительных постулатов.
Основное различие заключается в интерпретации состояний
электрона: в теории Бора – это движение по стационарным круговым
орбитам, а в решении уравнения Шрёдингера орбиты теряют
физический смысл – их место занимают Ψ-функции.
Лекция 10
Волновые функции и квантовые числа
Собственные функции уравнения Шрёдингера для атома, т.е.
Ψфункции содержат, как выяснилось, три целочисленных параметра – n, l, m :
Ψ = Ψnlm( r, θ, φ )
n - главное квантовое число ( то же, что и в выражениях для Еп )
п = 1; 2; 3; …
l – орбитальное (азимутальное)
квантовое число, определяющее
модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона.
В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового
числа п орбитальное квантовое число может иметь следующие значения:
l = 0; 1; 2; 3; … ; (п – 1).
Стационарные волновые функции
Ψnlm( r ,θ, φ), описывающие
различные квантовые состояния атома, являются собственными функциями
не только оператора полной энергии Н̂ , но и оператора квадрата момента
импульса L̂2 , т.е.
Lˆ2 nlm  l l  1 2  nlm .
Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает
определённым значением квадрата момента импульса.
Орбитальное квантовое число l однозначно определяет модуль
орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона:
L   l l  1
Данное условие квантования момента импульса не совпадает с
квантованием момента импульса в теории Н.Бора ( L  n ).
Принципиальное отличие этих соотношений состоит в том, что в
квантовой теории возможны состояния с
L = 0 , а при классическом
описании движения электрона в атоме по определённой орбите в любом
состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса.
Эксперименты подтверждают существование квантовых состояний
атома с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт
подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа
описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и
предсказать свойства атома.
Вероятностный способ описания движения частиц является
единственно правильным способом описания свойств атомных систем –
таков вывод современной физики.
Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с
испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие
переходы, для которых орбитальное квантовое число
l изменяется на
единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов
l  1 , называется правилом отбора. Наличие этого правила
обусловлено тем, что фотон уносит или вносит не только квант энергии, но и
вполне определённый момент импульса, изменяющий орбитальное квантовое
число электрона всегда на единицу.
т - магнитное квантовое число
В квантовом состоянии с заданным значением
орбитального квантового числа
l
магнитное
квантовое число может принимать ( 2l + 1 )
различных значений из ряда:
т = 0;  1;2;3;...  l
Физический смысл магнитного квантового числа т вытекает из того,
что волновая функция Ψnlm( r, θ, φ), описывающая квантовое состояние
электрона в атоме водорода, является также и собственной функцией
оператора проекции импульса
L̂Z
Lˆ Z nlm  m    nlm .
Из определения собственной функции (см. Лекцию 7 ) получаем
LZ  m  
Эту формулу называют формулой пространственного квантования.
Символы состояний
Различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми
буквами латинского алфавита в зависимости от значения орбитального
квантового числа l
Квантовое число l
Символ состояния
0
s
1
p
2
d
3
f
4
g
5
h
Значение главного квантового числа п указывают перед символом
состояния с данным числом l . Например, электрон, имеющий п = 3 и l =2
обозначают символом 3d. Последовательность имеет следующий вид:
1s (для п =1) 2s, 2p (для п = 2) 3s, 3p, 3d (для п = 3) и т.д.
Примеры некоторых нормированных волновых функций
ряда квантовых состояний водородоподобных атомов
Здесь   Z
Ψnlm для
r
. Z – заряд ядра , r – расстояние от центра атома ,
a
4 0  2
а
 0,529  10 10 м - универсальная константа, равная 1-ому
2
те е
боровскому радиусу электрона в атоме
водорода.
Образ атома в квантовой теории может быть представлен в виде облака
плотности вероятности
2
w = nlm
Пространственное
распределение
плотности
вероятности
обнаружения
электрона в различных квантовых
состояниях
атома
водорода
можно представить следующим
образом
Орбитальный магнитный момент
Так как движущийся в классической теории Бора вокруг ядра электрон
является заряженной частицей, то такое его движение обусловливает
протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно
охарактеризовать орбитальным магнитным моментом рм .
Для расчёта орбитального магнитного момента в квантовой теории

следует определять пространственную плотность электрического тока
je

через плотность потока вероятности j


je  e  j
,

i
j
  grad      grad .
2me

где
Связь механического
гиромагнитным отношением
и
магнитного

моментов
определяется
рМ
Г0 
.
L
Точный квантово-механический расчёт даёт
выражение получается и из теории Бора )
Г0 
е
.
2 те
(причём это же
Тогда
Б 
р М  Г О  L   Б l l  1
.
где
е
 0,927.10-23 Дж/Тл - магнетон Бора – универсальная
2 те
постоянная, служащая единицей измерения магнитных моментов атомов.
Возмржные значения проекции магнитного момента атома на
выделенное направление Z
pZ  m   Б .
Энергетический спектр электрона в атоме водорода
1
–
переход
в
возбуждённое состояние
2 – ионизация
Wi= –E1 = 13,6 эВ
атома
Ширина спектральных линий
Линии в спектре излучения атомов не являются бесконечно узкими –
это соответствовало бы значению неопределённости ∆Е = 0, т.е. точно
определённой энергии кванта излучения.
Спектральные линии, наблюдаемые в эксперименте, имеют конечную,
так называемую естественную ширину
линии Г , которая представляет собой
разброс энергий фотонов относительно
некоторого среднего значения, характеризующего центр линии.
Эта ширина связана с временем
жизни атома в возбуждённом состоянии
соотношением
Г   
Экспериментальное определение ширины
время
  10 7  10 8
Г
позволило оценить
с.
Лекция 11
Спин электрона
Пространственное квантование атома
утверждает дискретность
проекции магнитного момента атома на направление внешнего магнитного
поля
p ZM  m Б
.
Продемонстрировать
данное
явление
экспериментально Штерну и Герлаху в 1922 г.
а – схема установки;
впервые
удалось
б – форма межполюсного канала магнита
Узкий атомный пучок пропускают через неоднородное
магнитное поле

с существенным градиентом магнитной индукции В , которая в данном
опыте достаточно велика и направлена вдоль оси Z .
На пролетающие в зазоре магнита атомы вдоль направления
магнитного поля действует сила
FZ  p ZM 
B
,
z
обусловленная градиентом индукции неоднородного магнитного поля и
зависящая от значения проекции магнитного момента атома на направление
поля. Эта сила отклоняет движущийся атом в направлении оси Z , причём
за время пролёта магнита движущийся атом отклоняется тем больше, чем
больше сила FZ .
С позиций классической физики магнитный момент атомов вещества
вследствие их хаотического теплового движения при влёте в магнитное поле
может иметь любое направление в пространстве. В результате пролетевшие
через магнит атомы серебра должны были образовать сплошную широкую
зеркальную полосу на стеклянной пластинке.
В эксперименте была получена серия узких дискретных зеркальных
полосок из напылённых атомов, что объясняется квантовой теорией о
наличии пространственного квантования магнитных моментов атома.
Однако в этом же эксперименте был получен
и результат,
находящийся в противоречии с квантовой теорией.
Из квантовой теории следует, что вследствие симметрии электронного
облака механический и магнитный моменты атома, находящегося в основном
состоянии, равны нулю и для таких атомов на стеклянной подложке в опыте
Штерна-Герлаха должна быть в центе одна узкая полоска. На самом деле
поток расщепился на два пучка, которые напылили две узкие полоски,
сдвинутые симметрично вверх и вниз. Измерение этих сдвигов позволило
определить магнитный момент невозбуждённого атома серебра. Его
проекция на ось Z оказалась равной +μБ и - μБ .
Противоречие с квантовой теорией наблюдалось и при изучении
тонкой структуры оптических спектров щелочных металлов. Линии
оказались двойными. Расщепление спектральных линий очевидно связано с
расщиплением самих энергетических уровней, что никак не следует из
решения уравнения Шрёдингера.
В экспериментах с ферромагнетиками было обнаружено аномальное
значение гиромагнитного отношения, отличающееся от ожидаемого значения
в два раза.
В 1925 г. Гаудсмит и Уленбек выдвинули гипотезу о наличии у
электрона собственного магнитного момента, названного спином ( от англ.
spin – кружение, верчение ).
Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением
электрона вокруг своей оси, подобно вращению Земли вокруг земной оси при
движении по околосолнечной орбите.
Однако такая модель вращающегося заряженного шарика оказалась
несостоятельной. Расчёт показал, что ни при каких допустимых скоростях
меньших скорости света нельзя вращением электрона индуцировать
магнитный момент, равный по величине магнетону Бора. Гиромагнитное
отношение для вращающегося электрона оказалось в 2 раза меньше, чем то ,
что было получено в опытах.
Спин электрона не имеет классического аналога. Он характеризует
внутреннее свойство квантовой частицы, связанное с наличием у неё
дополнительной степени свободы. Это количественная характеристика и для
электрона она равна s = ½ ( такая же важная как масса те и заряд -е ).
Спином обладают и некоторые другие частицы. У протона и нейтрона
s = ½ , а у фотона s = 1.
По аналогии с орбитальными моментами можно определить значения
собственных механического и магнитного моментов электрона
L   l l  1

LS   ss  1 
p M   Б l l  1

p SM  2 Б ss  1  3 Б
3

2
Гиромагнитное соотношение
рМ
е
ГО 

L
2 те

p SM 2 Б
е
ГS 


 2ГО
LS

те
Проекции собственных моментов на выделенное направление
определяется спиновым квантовым числом
Z
1
mS =  s =  .
2
При этом
LSZ  mS    

2
M
pSZ
 2mS   Б    Б
Из полученных соотношений следует, что значение спинового момента
электрона постоянно, а с дополнительной степенью свободы электрона
связана
Z-проекция этого момента, которая определяется спиновым
квантовым числом mS и принимает два значения. О таких двух квантовых
состояниях обычно говорят как о состояниях со спином, направленным
вверх ( mS = +
1
)
2
1
2
или вниз ( mS =  ) . Поэтому, определяя квантовое
состояние электрона в любой системе, следует указать также и ориентацию
спина.
Таким образом квантовое состояние электрона в атоме следует
определять набором из четырёх квантовых чисел
При этом каждому значению главного квантового числа
соответствует
п
2 2l  1  2n 2
возможных комбинаций других квантовых чисел.
Кроме четырёх основных квантовых чисел существуют и другие
квантовые числа. Например, квантовое число
j , определяющее
результирующий момент импульса атома водорода , обусловленный
сложением орбитального и собственного моментов электрона.
Как и для любого момента импульса в квантовой системе,
результирующий момент определяется из выражения
L j   j  j  1 ,
в котором квантовое число j может иметь значения
j lsl
1
2
и
j  ls  l
1
2
1
имеет только одно значение. При
2
1
1
от нуля возможны два значения j  l 
и j  l  , которые
2
2
Если l = 0 , то j =
соответствуют двум различным
относительно орбитального.
ориентациям
l отличном
спинового
момента
Для квантового числа полного момента импульса атома также
выполняется правило отбора
j  0,  1 .
С механическими моментами связаны магнитные моменты, которые
взаимодействуют друг с другом подобно тому, как взаимодействуют два
замкнутых тока. Это взаимодействие называется спин-орбитальным . Оно
изменяет полную энергию атома, и . следовательно, в квантовых состояниях
с различными квантовыми числами j атом должен обладать различными
энергиями. Это приводит к расщиплению линий в оптическом спектре
атома.
Атом во внешнем магнитном поле
В сложном многоэлектронном атоме каждый из
N
электронов
обладает орбитальным и спиновым механическим и магнитным моментами.
При сложении моментов отдельных электронов в результирующий момент
атома возможны два случая:
1). Орбитальный и спиновый моменты каждого электрона
складываются в суммарный момент. Такой вид связи называется JJ – связью.
Обычно такая связь наблюдается у тяжёлых атомов.
2). У лёгких и средних атомов чаще встречается LS –связь, в которой
все орбитальные механические моменты отдельных электронов
складываются в орбитальный момент
£L=  LL  1 , где
L = 0; 1; 2; 3; … - квантовое число суммарного орбитального момента атома.
Спиновые моменты импульса всех электронов атома складываются в
суммарный спиновый момент
£S=  S S  1 , где
S – квантовое число суммарного спинового момента атома.
N
.
2
1 3 5
N
Если число электронов N – нечётное , то S = ; ; ; .
2 2 2
2
Если число электронов N – чётное , то S = 0; 1; 2; … ;
Все возможные значения результирующего механического момента
атома определяются по формуле
£J =  J J  1 , где
J – квантовое число результирующего механического момента атома.
J  L  S ,
L  S  1,
LS
Проекция
результирующего механического момента атома на
выделенное направление Z определяется по формуле
£J Z = mJ  , где
квантовое число тJ принимает ( 2J + 1 ) значений из ряда
mJ = - J, ( -J + 1), … , ( J – 1 ), + J
Результирующий
формуле
g  1
магнитный момент атома
PJM  g   Б J J  1 ,
J J  1  S S  1  LL  1
2 J J  1
рассчитывается по
где
- фактор Ланде , который может иметь
значения даже равным нулю , т.е. у многоэлектронного атома магнитный
момент может быть равным нулю, даже если механический момент отличен
от нуля.
g  1 , если результирующий спин S = 0 и
g  2 , если квантовое число L = 0 .
Проекция результирующего магнитного момента атома на выделенное
направление Z внешнего магнитного поля
PJZM  g   Б  тJ
Квантовая теория обосновывает правила отбора для квантовых
чисел L, S и J при переходах атома из одного квантового состояния в
другое. Обычно имеют место только такие переходы, в которых
∆L = 0,  1 ;
∆S = 0 ;
∆J = 0,  1
Эффект Зеемана

При помещении
магнитного момента Р М во внешнее магнитное поле

с индукцией
W за счёт
В он приобретает дополнительную энергию
магнитного взаимодействия:
M 
W   P  B   PZM  B
Поэтому, если изолированный атом в состоянии с квантовым числом J
попадает в магнитное поле, то энергия его уровня Е изменяется так, что
это изменение ∆ЕJ в зависимости от взаимной ориентации магнитного
момента и магнитного поля соответствует одному из ( 2J + 1) возможных
значений
E J  PJZM  B  g   Б  mJ  B
.
В системе излучающих атомов (например, в газе), помещённой в
магнитное поле, появятся атомы с различными энергиями исходного уровня.
Следствием этого является расщипление спектральных линий
излучения атомов, помещённых в магнитное поле , которое впервые
наблюдал Зееман в 1896 г.
Лекция 12
Вынужденное излучение атомов.
Лазеры
Квантовая теория равновесного излучения
Эйнштейн с позиции квантовой теории теоретически рассмотрел
проблему равновесного излучения, когда при некоторой температуре Т
вещество находится в термодинамическом равновесии с излучением,
занимающим объём некоторой полости.
Будем
считать
вещество
состоящим
из
одинаковых
не
взаимодействующих друг с другом атомов, которые могут находиться только
в двух квантовых состояниях:
Е1 – основное состояние атома;
Е2 – возбуждённое состояние атома ( Е2 > E1 ).
Причём возбуждение происходит только при поглощении атомами излучения
с частотой ω
  Е2  Е1
В рассматриваемой модели излучение в полости будет
монохроматичным и именно такой частоты. Объёмную плотность энергии
этого излучения в полости обозначим как
иω,Т , считая температуру
системы заданной и равной Т .
Атом
в
возбуждённом
состоянии может находится в
течении очень малого промежутка
времени (~ 10-8 c ) и переходит в
основное состояние даже при отсутствии внешнего воздействия, испустив
квант энергии  .
Такое самопроизвольное, не обусловленное внешними причинами,
излучение возбуждённого атома называется спонтанным излучением.
Будем считать, что
N1 – число атомов в рассматриваемой системе находящихся в
основном состоянии;
N2 – число возбуждённых атомов;
N = N1 + N2 – общее число атомов.
Вероятность спонтанного излучения в теории Эйнштейна определяется
значением некоторого коэффициента А, такого, что в рассматриваемой
системе в единицу времени будет наблюдаться Z21 = A.N2 спонтанных
переходов атомов из возбуждённого состояния в основное. Величину Z21
можно назвать скоростью таких переходов, которые увеличивают энергию
излучения за счёт уменьшения энергии вещества.
Спонтанное излучение неполяризованно и имеет очень малое время
когерентности. Такое излучение испускают обычные источники света
(Солнце, нагретые тела и т.д.).
Невозбуждённый атом, поглощая
излучение,
может
перейти
в
возбуждённое состояние. Вероятность
такого процесса определяется значением коэффициента В12 .
Скорость перехода атомов из
основного в возбуждённое состояние
Z12 = B12.N1.uω,T .
При равновесии системы вещество – излучение должно выполняться
условие

Z12 = Z21
B12.N1.uω,T = A.N2
Соотношение между N1 и N2 в состоянии термодинамического
излучения соответствует распределению Больцмана
N2
 E  E1 
 exp  2
.
N1
kT 

Тогда
A N2
A
 E  E1 
u ,T 

 exp  2
.
B12 N1 B12
kT 

Опыт показывает, что иω,Т при Т   неограниченно растёт, а
теория, согласно данной формуле приводит к тому, что
и 
,Т Т 

А
.
В12
Эйнштейн пришёл к выводу, что в рассматриваемой равновесной
системе происходит ещё один процесс – вынужденное излучение.
Вероятность процесса вынужденного
излучения
характеризуется
коэффициентом В21 . Скорость такого
процесса определяется как
Z`21 = B21.N2.uω,T .
Теперь условие равновесия системы
Z12 = Z21 + Z`21
или
B12.N1.uω,T = A.N2 + B21.N2.uω,T
Теперь и левая и правая часть равенства содержат множитель
неограниченно растущий при Т   .
Кроме того, при
N2
 E  E1 
 exp  2
N1
kT 

и
T 
с учётом
иω,Т ,
N 2  N1
получаем (т.к. и ,Т   )
В12 = В21 = В .
Таким образом, в теории остаются два коэффициента
А и В,
характеризующие вероятности рассматриваемых в системе процессов
взаимодействия излучения и вещества.
Между этими коэффициентами есть связь, которая получается из
 3
1
формулы Планка и ,Т   2 с 3
   и выражается формулой
ехр 
 1
 кТ

 2с3
В=
А.
 3
Свойства вынужденного излучения
1). Вынужденное излучение распространяется строго в том же
направлении, что и излучение, его вызвавшее.
2). Фаза волны вынужденного излучения, испускаемого атомом, точно
совпадает с фазой падающей волны.
3). Вынужденное излучение линейно поляризовано, с той же
плоскостью поляризации , что и падающее излучение.
Т.о. вынужденное излучение при распространении в веществе
отличается от спонтанного излучения ничтожно малой расходимостью пучка,
а также когерентностью и линейной поляризацией волны.
Среды с инверсной заселённостью энергетических
уровней
В соответствии с законом Бугера
I(X) = IO.exp(-μ.x) ,
где
I(X) – интенсивность излучения в веществе на глубине х > 0;
IO – интенсивность излучения на входе в слой вещества;
μ – коэффициент поглощения вещества.
Для сред, поглощающих излучение, коэффициент μ положителен, но
существует возможность создавать среды, усиливающие вынужденное
излучение, т.е. с отрицательным коэффициентом μ .
Такие среды
должны иметь
инверсную
заселённость
энергетических уровней, т.е. число
атомов в возбуждённом состоянии в
среде превышает число атомов в
основном состоянии.
На пути
фотонов в этом случае чаще
встречаются возбуждённые атомы,
чем атомы в основном состоянии.
Поэтому индуцированное излучение
фотонов происходит чаще чем их поглощение.
При прохождении света нужной частоты через вещество с инверсной
заселённостью уровней поток света не ослабляется, а усиливается.
В обычном равновесном состоянии вещества всегда N1 > N2 . Такое
состояние вещества называется состоянием с нормальной заселённостью
энергетических уровней.
Для создания активной среды с инверсной заселённостью
энергетических уровней необходимы специальные условия, обеспечивающие
дополнительную генерацию возбуждённых атомов.
Квантовые генераторы
В первом приборе квантовой электроники – молекулярном генераторе
активной средой являлся пучок молекул аммиака NН3 , из которого с
помощью сложного квадрупольного конденсатора выводились молекулы с
меньшей энергией, а обогащённый возбуждёнными молекулами пучок
представлял собой активную среду. В объёмном резонаторе, взаимодействуя
с молекулярным пучком, вынужденное излучение частотой ν = 24840 МГц
усиливалось.
Молекулярные квантовые генераторы такого типа, работающие в СВЧ
диапазоне, получили название мазеров. Они применяются в радиолокаторах,
радиотелескопах, линиях космической связи, в устройствах для измерения
частоты колебаний и промежутков времени с высокой точностью.
В 1960 г. был создан оптический квантовый генератор, получивший
название лазер.
Обычно в возбуждённом состоянии атомы находятся лишь 10 -9 – 10-7 с.
Однако некоторые атомы имеют возбуждённые состояния, в которых они
могут находиться довольно длительное время, например, 10-3 с. Такие
состояния называются метастабильными.
Процесс перевода среды в инверсное состояние, необходимое для
работы
ОКГ, называется накачкой усиливающей среды. Практически
накачка осуществляется по трёхуровневой схеме. В первом лазере,
работающем по трёхуровневой схеме был генератор с рубиновым
кристаллом в качестве усиливающей среды ( Al2O3 c примесью Cr2O3 ).
Активным веществом служили ионы Cr3+.
Ближайшими к основному уровню С в Cr3+ являются две широкие
энергетические зоны А и двойной метастабильный уровень В.
Интенсивное облучение рубина зелёным светом мощной импульсной
лампы накачки, наполненной неоном и криптоном переводит ионы хрома на
уровни зоны А, откуда происходят безизлучательные переходы на уровни
В. Избыток энергии передаётся кристаллической решётке рубина. В
результате создаётся инверсная заселённость ионами хрома уровней В и
оптический квантовый генератор работает на двух линиях красного света λ
= 692,7 нм и λ = 694,3 нм , соответствующих переходу ионов хрома с
уровней В на уровень С .
Лавинообразное нарастание интенсивности в активной среде означает,
что такая среда действует как усилитель электромагнитных волн.
Эффект усиления света в ОКГ увеличивается при многократном
прохождении света через один и тот же слой усиливающей среды.
Фотон, движущийся параллельно оси
активной среды 1 , рождает лавину фотонов,
летящих в том же направлении. Часть этой
лавины (~8%) пройдёт через полупрозрачное
зеркало 3 наружу, а часть (92%) отразится и
будет нарастать в активной среде. Часть лавины
фотонов, дошедших до сплошного зеркала 2 ,
поглотится в нём, но после отражения от зеркала
2 усиленный поток фотонов будет двигаться так
же, как и первоначальный затравочный фотон.
Многократно усиленный поток фотонов,
вышедший из ОКГ сквозь полупрозрачное
зеркало 3 , создаёт пучок света большой
интенсивности, остро направленный, с малым
расхождением.
Опыт показывает, что генерация света
возникает только при определённой длине резонатора ( расстоянии между
зеркалами ) кратному целому числу полуволн
Lk

2.
В этом случае на выходе лазера происходит сложение амплитуд
световых волн, т.е. в резонаторе образуется стоячая волна.
Мощность светового излучения импульсного лазера
(время
-8
-10
9
высвечивания 10 – 10 с ) может быть более 10 Вт т.е. превышать
мощность крупной электростанции.
ВОПРОСЫ К РУБЕЖНОМУ КОНТРОЛЮ
1. Законы теплового излучения:
1.1 Кирхгофа;
1.2 Вина;
1.3 Стефана-Больцмана.
2. Квантовые свойства излучения:
2.1 Гипотеза Планка;
2.2 Формула Планка;
2.3 Вывод законов Вина и Стефана-Больцмана из формулы Планка;
2.4 Фотоэффект (законы Столетова и уравнение Эйнштейна);
2.5 Эффект Комптона;
2.6 Корпускулярно-волновой дуализм света.
3. Волновые свойства микрочастиц:
3.1 Гипотеза де Бройля;
3.2 Дифракция микрочастиц;
3.3 Принцип неопределённости Гейзенберга;
3.4 Задание состояния микрочастицы комплексной пси-функцией;
3.5 Плоская волна де Бройля и её свойства (преломление,
интерференция, дифракция);
3.6 Статистический смусл пси-функции и условия, которым она
должна удовлетворять;
3.7 Принцип суперпозиции квантовых состояний;
3.8 Уравнение Шрёдингера;
3.8.1 Общее;
3.8.2 Стационарное.
4. Стационарные задачи квантовой механики:
4.1 Частица в одномерной пот. яме с бесконечно высокими стенками;
4.2 Частица в трехмерной потенциальной яме… Понятие о
вырожденных энергетических уровнях;
4.3 Одномерный потенциальный порог и барьер. Туннельный
эффект.
4.4 Сканирующий туннельный микроскоп.
4.5 Гармонический квантовый осциллятор.
5. Представление физических величин операторами:
5.1 Операторы физических величин;
5.2 Гамильтониан;
5.3 Основные постулаты квантовой механики;
5.4 Вероятностный характер результатов измерений в квантовой
механике.
5.5 Вычисление средних значений физических величин в квантовых
системах.
6. Ядерная модель атома:
6.1 Постулаты Н.Бора;
6.2 Стационарное уравнение Шрёдингера для атома водорода;
6.3 Волновые функции и квантовые числа;
6.4 Правила отбора квантовых чисел;
6.5 Спектр атома водорода (серия Лаймана, серия Бальмера);
6.6 Ширина спектральных линий.
7.1 Механический и магнитный моменты атома. Опыт Штерна и
Герлаха.
7.2 Орбитальный, спиновый и полный угловые моменты. Спинорбитальное взаимодействие.
7.3 Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана.
8. Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты «А» и
«В» Эйнштейна. Активные среды с инверсной заселённостью
энергетических уровней.
ОКГ. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров и
их применение.
Лекция 13
Квантовые системы из одинаковых частиц
Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от
свойств макроскопических объектов, проявляются не только при
рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения
системы микрочастиц. Наиболее отчётливо это видно на примере
физических систем, состоящих из одинаковых частиц, – систем электронов,
протонов, нейтронов и т.д.
Для системы из N частиц с массами т01 , т02 , … т0i , … m0N ,
имеющих координаты (xi, yi, zi) , волновая функция может быть представлена
в виде
Ψ ( x1, y1, z1, … xi, yi, zi, … xN, yN, zN, t ) .
Для элементарного объёма
величина
dVi = dxi .dyi .dzi
w = x1 , y1 , z1 ,...xi , yi , zi ,...xN , y N , z N , t  dV1  ...dVi ...  dVN
2
определяет вероятность того, что одна частица находится в объёме dV1 ,
другая в объёме dV2 и т.д.
Таким образом, зная волновую функцию системы частиц, можно найти
вероятность любой пространственной конфигурации системы микрочастиц, а
также вероятность любой механической величины как у системы в целом, так
и у отдельной частицы, а также вычислить среднее значение механической
величины.
Волновую функцию системы частиц находят из уравнения Шрёдингера

Hˆ   i
,
t
где
Ĥ  оператор функции Гамильтона для системы частиц
N
 2

ˆ
H   
 i2  U i xi , yi , z i , t  +
i 1  2mOi

U x , y , z , x
N
i  j 1
ij
i
i
i
j
, yj,zj  .
Здесь
2
2
2
  2  2  2
xi yi z i
2
i
U i xi , yi , zi , t   силовая функция для i-ой частицы во внешнем
поле, а
U ij xi , y j , zi , x j , y j , z j   энергия взаимодействия i-ой и j-ой
частиц.
13-2
Неразличимость тождественных частиц в квантовой
механике
Частицы, обладающие одинаковыми массой, электрическим зарядом,
спином и т.д. будут вести себя в одинаковых условиях совершенно
одинаковым образом.
Гамильтониан такой системы частиц с одинаковыми массами moi и
одинаковыми силовыми функциями
Ui
можно записать в виде,
представленном выше.
Если в системе поменять
i-ую
и
j-ую частицы, то в силу
тождественности одинаковых частиц состояние системы не должно
изменяться. Неизменной останется полная энергия системы, а также все
физические величины, характеризующие её состояние.
Принцип тождественности одинаковых частиц: в системе
одинаковых частиц
реализуются лишь такие состояния, которые не
меняются при перестановке частиц местами.
Симметричные и антисимметричные состояния
Введём оператор перестановки частиц в рассматриваемой системе -
 P̂i j . Действие этого оператора заключается в том, что он переставляет
местами i-ую и j-ую частицы системы.
Принцип тождественности одинаковых частиц в квантовой механике
приводит к тому, что все возможные состояния системы, образованной
одинаковыми частицами, делятся на два типа:
симметричные, для которых
Pˆi j S x1 y1 z1 ,...xN y N z N , t   S x1 y1 z1 ,...xN y N z N , t 
и
антисимметричные, для которых
Pˆi j S x1 y1 z1,...xN yN z N , t   S x1 y1 z1 ,...xN yN z N , t 
Если волновая функция, описывающая состояние системы, в какой
либо момент времени является симметричной (антисимметричной) , то этот
тип симметрии сохраняется и в любой другой момент времени.
Бозоны и фермионы
Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми
функциями, называются бозонами. Системы, состоящие из таких частиц,
подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятся
фотоны, π- и к-мезоны,
фононы в твёрдом теле,
экситоны
в
полупроводниках и диэлектриках. Все бозоны обладают нулевым или
целочисленным спином.
Частицы, состояния которых описываются
антисимметричными
волновыми функциями, называются фермионами. Системы, состоящие из
таких частиц, подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионам
относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и все элементарные
частицы и античастицы с полуцелым спином.
Связь между спином частицы и типом статистики остаётся
справедливой и в случае сложных частиц, состоящих из элементарных. Если
суммарный спин сложной частицы равен целому числу или нулю, то эта
частица является бозоном, а если он равен полуцелому числу, то частица
является фермионом.
Пример: α-частица ( 24 Не ) состоит из двух протонов и двух нейтронов
т.е. четырёх фермионов со спинами
1
2
+ . Следовательно спин ядра
4
2
Не
равен 2 и это ядро является бозоном.
3
Ядро лёгкого изотопа
состоит из двух протонов и одного
2 Не
нейтрона (три фермиона) . Спин этого ядра
3
2
1
1
. Следовательно
2
ядро
Не  фермион.
Принцип Паули ( запрет Паули )
В системе тождественных фермионов не может быть двух частиц,
находящихся в одном и том же квантовом состоянии.
Что же касается системы, состоящей из бозонов, то принцип
симметрии волновых функций не некладывает каких либо ограничений на
состояния системы. В одном и том же состоянии может находиться любое
число тождественных бозонов.
Периодическая система элементов
На первый взгляд представляется, что в атоме все электроны должны
заполнить уровень с наименьшей возможной энергией. Опыт же показывает,
что это не так.
В соответствии с принципом Паули, в атоме не может быть электронов
с одинаковыми значениями всех четырёх квантовых чисел.
Каждому значению главного квантового числа п соответствует 2п2
состояний, отличающихся друг от друга значениями квантовых чисел l , m
и mS .
Совокупность электронов атома с одинаковыми значения квантового
числа п образует так называемую оболочку. В соответствии с номером п
Значение п
Оболочка
Число возможных состояний
1
К
2
2
L
8
3
M
18
4
N
32
5
O
50
Оболочки подразделяются на подоболочки , отличающиеся квантовым
числом l . Число состояний в подоболочке равно 2(2l + 1).
Различные состояния
квантовых чисел т и mS .
Оболочка
К
Подоболочка 1s
т
0
в
2s
0
L
2p
+1 0

тS


Число
электронов
2
2

6
подоболочке
отличаются
значениями
M
-1
3s
0
3p
+1 0 -1
3d
+2 +1 0 -1
-2





2


6



10
Понимание периодической системы элементов основано на идее об
оболочечной структуре электронного облака атома.
Каждый следующий атом получается из предыдущего добавлением
заряда ядра на единицу (е) и добавлением одного электрона, который
помещают в разрешённое принципом Паули состояние с наименьшей
энергией.
Лекция 14
Квантовые статистические распределения
Особенности поведения частиц, связанные с неразличимостью
тождественных частиц в квантовой механике, проявляются и в
статистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц. Это
приводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовой
механике отличаются от статистических распределений, известных из
классической физики. Кроме того, статистические свойства бозонов и
фермионов в силу кардинального отличия в поведении этих частиц также
оказываются различными.
В классической физике распределение частиц по энергиям описывается
хорошо известными из курса молекулярной физики
распределением
Максвелла
dN M  AM  e

K
kT
dp x  dp y  dp z
и
распределением Больцмана
dN Б  АБ  е

U
kT
dx  dy  dz ,
где
АМ и АБ – нормировочные константы;
К и U – кинетическая и потенциальная энергия частиц.
В классической физике при выводе распределений считается, что
одинаковые частицы принципиально различимы.
Проиллюстрируем различие в распределении классических и
квантовых частиц на следующем примере. Пусть нужно распределить две
частицы по трём состояниям (ячейкам). Классические частицы будем
отмечать номерами 1 и 2 , а квантовые в силу тождественности
одинаковыми кружками.
Фермионы в соответствии с принципом Паули могут находиться в
каждой ячейке только поодиночке. Для бозонов никаких ограничений на
распределение их по ячейкам не накладывается.
Для классических частиц число возможных распределений равно
девяти (вероятность каждого распределения – 1/9). Для бозе–частиц
получается шесть распределений (вероятность – 1/6). Для ферми–частиц
реализуется только три распределения с вероятностью выпадения каждого из
них, равной 1/3.
Распределение Бозе – Эйнштейна
Идеальный газ из бозонов (бозе–газ) – описывается квантовой
статистикой Бозе –Эйнштейна.
Распределение Бозе–Эйнштейна – закон, выражающий распределение
частиц по энергетическим состояниям в бозе–газе: при статистическом
равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i - ом
состоянии с энергией Еi при температуре системы Т равно
1
N i Б-Э =
E 
exp  i
 1
kT


,
где
k – постоянная Больцмана,
T – термодинамическая температура,
μ – химический потенциал – термодинамическая функция состояния,
определяющая изменение внутренней энергии системы.
Одним из условий термодинамического равновесия системы является
равенство химического потенциала для всех частей системы.
Для систем бозонов с постоянным числом частиц химический
потенциал может принимать только отрицательные значения ( μ < 0 ).
Величину N i
называют также числом заполнения энергетического
уровня с энергией Еi ( далее будем для краткости писать просто Е ).
Из анализа распределения
Б – Э
следует, что число бозонов,
находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем
E
не ограничено и при малых значениях параметра 
 может оказаться
 kT 
очень большим, а при Е = 0 в системе бозонов может происходить бозе –
конденсация , с которой связаны такие явления, как сверхпроводимость и
сверхтекучесть.
Рассмотрим случай малых чисел заполнения ( будем
Ni
Б Э
<< 1 ). Это условие выполняется при
E
exp 
 >> 1
 kT 
считать
или при
E

 >> 1 . Тогда можно записать
 kT 

 E
 exp  
  A  e kT ,
 kT 
E
Ni
Б Э
где
  
А  exp   .
 kT 
Отсюда следует, что при малых числах заполнения, или, как говорят, в
случае разреженного газа бозонов распределения
Б – Э переходит в
классическое распределение Максвелла – Больцмана.
<N>
I – статистическое распределение
Максвелла – Больцмана;
II–статистическое распределение
Бозе – Эйнштейна
Газ, свойства которого в силу
тождественности частиц в квантовой
механике отличаются от свойств
классического
идеального
газа,
называется вырожденным газом.
Газ
бозонов
является
вырожденным. Только в случае, когда N Б Э << 1 , вырождение снимается и
разреженный бозе–газ ведёт себя подобно классическому газу.
Обычные газы, атомы которых являются бозонами, при нормальных
температурах и давлениях не являются вырожденными и подчиняются
классической статистике. Вырождение для них наступает либо при очень
низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. тогда, когда
эти газы перестают быть идеальными.
С помощью распределения Бозе–Эйнштейна описываются свойства
теплового излучения, теплоёмкость кристаллов и многие другие физические
явления.
Для систем бозонов с переменным числом частиц химический
потенциал равен нулю ( μ = 0 ). Распределение Бозе–Эйнштейна для систем
с переменным числом частиц принимает вид
Ni
Б Э

1
.
 E 
exp    1
 kT 
Пример: пользуясь распределением Б – Э можно получить формулу
Планка для равновесного излучения.
Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки
которой нагреты до комнатной температуры Т . Это излучение представляет
собой идеальный газ фотонов, т.е. систему бозонов с переменным числом
Е  
частиц, распределение по энергиям которых с учётом того, что
описывается выражением
Nф 
1
  
exp 
 1
 kT 
Плотность квантовых состояний
g(E),
т.е. число состояний
приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов
описывается выражением
g ф E  
V
E2 ,
2 3 3
 c
где
V – объём полости; с – скорость света в вакууме; Е/с – импульс фотонов
нерелятивистских электронов с импульсом
2  те
 23
3/ 2
g Э Е  
(по аналогии с плотностью квантовых состояний
V E
для
р  2те  Е )
Энергия излучения в узком энергетическом интервале от Е до (Е+dE)
складывается из энергий отдельных фотонов и равна
<Nф>.gф(E).E.dE
В частотном интервале, соответствующему данному энергетическому
интервалу
от

Е

до
  d    E  dE 

 
можно получить выражение для той же самой энергии с помощью объёмной
спектральной плотности энергии излучения иω,Т , представляющей собой
энергию излучения в одиночном частотном интервале, отнесённую к единице
объёма
uω,T..V .dω = <Nф>gф(E)E.dE .
Тогда, заменив
u ,T

dE
на
d
и
Е
1
V  E2
  d
 2 3 3 E
V  d
 c
  
exp 
 1
 kT 
на

 
 3

 2c3
получим
1
.
  
exp 
 1
 kT 
Лекция 15
Распределение Ферми–Дирака
Квантовая статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из
фермионов – ферми–газ.
Распределение Ферми–Дирака – закон , выражающий распределение
частиц по энергетическим состояниям в ферми–газе:
при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия
среднее число частиц в i–ом состоянии с энергией Ei при температуре
Т равно:
Ni
Ф Д

1
.
 Ei   
exp 
 1
 kT 
Из этой формулы следует, что
<Ni>Ф-Д
не может быть больше
единицы. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может
находиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом Паули
Химический потенциал для фермионов может быть только
положительным ( μ > 0 ). Иначе при Т  0 числа заполнения стали бы
равными нулю, чего естественно быть не может.
Для случая малых чисел заполнения ( <Ni>Ф-Д << 1 ) получаем
E
exp 
  1
 kT 
и
E
 1
kT
Тогда (пренебрегая единицей в знаменателе) получаем
 E
 E 
 N i  Ф Д  exp  
  A  exp  
 ,
kT 

 kT 
где
А = ехр 
 

 kT 
Распределение Ферми–Дирака при малых числах заполнения
(разреженный газ фермионов) переходит в классическое распределение
Максвелла–Больцмана.
I – статистическое распределение
Максвелла–Больцмана;
II – статистическое распределение
Ферми–Дирака.
Можно сделать вывод, что разреженные
квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются
вырожденными и подчиняются классической статистике.
Хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же
результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остаётся
неизменной.
Кардинальное различие между статистическими распределениями
Максвелла–Больцмана и Ферми–Дирака наблюдаются
при
E
1 .
kT
Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в
большом количестве. Для них <Ni> тем больше, чем меньше их энергия Е.
Что же касается фермионов, то максимальное их число в одном квантовом
состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом
Паули.
Химический потенциал μ имеет размерность энергии и в случае
фермионов его называют энергией Ферми или уровнем Ферми и
обозначают EF. При этом распределение Ферми–Дирака принимает вид
<Ni>Ф-Д =
Энергия Ферми
температуры Т.
является
1
.
 E  EF 
exp 
 1
 kT 
медленно
меняющейся
функцией
Подставляя в это выражение Т = 0 (говоря о Т = 0, подразумевают,
что температура может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е.
Т  0 ) получаем
<Ni>Ф-Д = 1 при E < EF(0)
<Ni>Ф-Д = 0 при E > EF(0)
Здесь ЕF(0) – значение энергии Ферми при Т = 0.
Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния с
энергиями E < EF(0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния
с энергиями E > EF(0) – свободными.
Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что при
Т  0 энергия Ферми EF(0) является максимальной энергией , которой
могут обладать фермионы.
Ниже приведены графики зависимости
(слева) и при Т  0 (справа)
<Ni>
от
Е
при
Т=0
При
Т = 0
распределение Ферми–Дирака представляет собой
ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при Е = ЕF(0).
При температуре отличной от нуля резкий скачок <Ni>Ф-Д от единицы
до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширина
которой порядка kT
1
При любой температуре отличной от нуля N i Ф  Д 
при E = EF.
2
Наряду с энергией Ферми EF при анализе поведения ферми-частиц
вводится также импульс Ферми
pF
и
скорость Ферми
υF ,
определяемые соотношениями
p F  2mo E F
и
F 
2E F
mo .
Это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать
ферми-частица с массой то при температуре Т = 0.
Электронный газ в металлах
Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при
образовании кристаллической решётки от атомов отщепляются некоторые
слабее всего связанные с ними (валентные) электроны. Эти электроны
проводимости, обеспечивающие электропроводность металлов, в первом
приближении можно рассматривать как идеальный газ свободных
электронов, для которых металлический образец является потенциальной
ямой.
В случае
Т = 0
электроны располагаются на самых нижних
доступных для них энергетических уровнях.
Согласно принципу Паули, на
каждом энергетическом уровне
будет находиться по два электрона
с различной ориентацией спинов
 1
 
 2
Если число электронов в металле
равно N, то при Т = 0 будут
заполнены первые N/2 уровней с
энергией
E  Emax  E F . Число
заполненных
и
свободных
энергетических уровней очень
велико, и они расположены настолько плотно, что энергетический спектр
электронов можно считать квазинепрерывным.
Найдём функцию распределения электронов проводимости по
энергиям.
Число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от Е до
E  dE равно
dN  g ( E )  N i Ф Д dE , где
3
2  me 2
g (E) 
 V  E - плотность квантовых состояний электронов в
 23
металле . т.е. число состояний, приходящихся
на единичный энергетический интервал.
Полное число свободных электронов в металле


0
0
N =  dN   g ( E )  N i  Ф Д dE = V

3
2  me 2
 E
 23
1
dE
 E  EF 
exp 
 1
 kT 
Концентрация электронов п в металле

п=
N
=
V

0
3
2  me 2
 E
 23
1
dE .
 E  EF 
exp 
 1
 kT 
Функция
3
F(E) =
называется
энергиям.
dn
dE
2 me 2
 E
=  23
1
 E  EF 
exp 
 1
kT


функцией распределения свободных электронов
по
С помощью функции распределения F(E) можно найти среднее
значение любой физической величины Q, зависящей от Е

Q 
 Q( E )  F ( E )  dE
0

 F ( E ) dE

1
n
o
При Т = 0 функция F(E) имеет вид
 Q( E )  F ( E ) dE
3
F(E) = 
2 me 2
E
 23
0
при
при
E  E F (0)
E  E F (0)
Распределение электронов по энергиям описывается выражением
3
2 me 2
E dE при E  E F (0)
 23
0
при
E  E F (0)
dn = 
Из физического смысла функции
распределения следует, что площадь под
кривой F(E) численно равна концентрации
п свободных электронов в металле.
Верхний предел интегрирования для
вычисления п при Т = 0 нужно брать
равным EF(0). Тогда интегрируя, получаем
EF (0)
п=

0
3
2 me 2
 2 3
3
3
2 2 me 2
2 .




E
0
E dE 
F
2 3
3  
Отсюда находим EF(0):

2
3 2 п
EF(0) =
2 те

2
3
Расчёты показывают, что энергия Ферми электронного газа в металлах
составляет несколько электрон–вольт.
Наряду с энергией Ферми вводится
понятие
температуры Ферми
ТF,
которая
определяется
следующим
образом:
kTF = EF(0)

TF 
E F (0)
.
k
Справа
представлено
схематическое распределение электронов
по энергетическим уровням при Т > 0
Все состояния, энергия которых
меньше энергии Ферми на величину
порядка kT, заняты электронами. Все
состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину
порядка kT, оказываются свободными. В области энергий шириной порядка
kT
вблизи энергии Ферми имеются уровни, частично заполненные
электронами. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут
принимать участие в различных физических процессах в металлах. Только их
энергия может изменяться в ходе этих процессов.
Зависимость
F(E)
при
Т> 0 имеет участки S1 и S2 ,
площади которых одинаковы и
определяют число электронов в
единице
объёма
металла,
перешедших при нагреве образца с
заполненных уровней
(S1)
на
незаполненные (S2).
Интеграл
п
E 
=  dn
0
позволяет получить приближённое значение EF при EF >> kT.
  2  kT  2 

  .
E F  E F (0) 1 
 12  E F (0)  
Условие EF >> kT выполняется для всего диапазона температур, при
котором металлы существуют в твёрдом виде, а при температуре близкой к
комнатной EF  EF (0) .
Вырожденный электронный газ
Вырожденный электронный газ – это газ, свойства которого
существенно отличаются от свойств классического идеального газа
вследствие неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике.
Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда,
когда среднее расстояние между частицами < a > становится меньше или
сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы λБ , т.е. а  Б .
Температурой вырождения называется температура, ниже которой
проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его
частиц. Для газа, состоящего из фермионов, температурой вырождения
является температура Ферми ТF, которая тем больше, чем меньше масса
частиц и чем больше их концентрация. Так как масса электрона очень мала
(те = 9,1.10 – 30 кг ), а концентрация электронов в металлах достаточно велика
( 1028 … 1029 м – 3 ) то TF ~ 104 K.
Cледовательно, электронный газ в металлах оказывается
вырожденным при всех температурах, при которых металл остаётся в
твёрдом состоянии.
Лекция 16
Эмиссия электронов из металла
Эмиссия электронов может возникать при нагреве металлов
(термоэлектронная эмиссия), при облучении металлов различными
частицами, например фотонами (фотоэлектронная эмиссия), при приложении
к металлу сильных электрических полей (автоэлектронная эмиссия) и т.д.
Работа выхода электронов из металла
Известно, что в металле имеются газ свободных электронов и
положительно заряженные ионы, расположенные в узлах кристаллической
решётки. Эти ионы создают внутри металла электрическое поле, потенциал
которого φ периодически меняется вдоль прямой, проходящей через узлы
решётки. Усредняя этот потенциал, будем считать, что всюду внутри металла
он одинаков и равен φо .
а – внутренний потенциал φ
б – энергетические уровни электронов в металле при Т = 0
Таким образом, свободный электрон, находящийся в металле, обладает
потенциальной энергией Uo = - eφo
При переходе электрона из металла в вакуум его потенциальная
энергия U становится равной нулю, т.е. металл является для электрона
потенциальной ямой глубиной Uo.
Чтобы извлечь электрон из металла необходимо совершить работу
выхода
Ав = Uo – EF, где
EF – уровень Ферми, определяемый кинетической энергией электронов
даже при Т = 0.
Работа выхода – это наименьшая работа, которую необходимо
совершить, чтобы удалить из металла электроны, находящиеся на
уровне Ферми.
При
T > 0
работу выхода определяют так же с помощью
соотношения Ав = Uo – EF.
Работа выхода является важной характеристикой поверхности металла
и зависит от ее состояния, наличия примесей в поверхностном слое и ряда
других факторов.
Для чистого вольфрама Uo = 13,45 эВ
EF = 8,95 эВ
Ав = 4,5 эВ
Нанесение на поверхность вольврама тонкого слоя атомов цезия
позволяет снизить работу выхода с 4,50 до 1,36 эВ.
Термоэлектронная эмиссия
При повышении температуры металла кинетическая энергия теплового
хаотического движения электронов увеличивается и может стать настолько
большой, что некоторые из электронов смогут преодолевать потенциальный
барьер Uo на границе металла и выходить наружу.
а – функция распределения F(E)
при Т1 = 0 (пунктирная линия)
и при T2 > 0 (сплошная линия)
б – значения Uo , EF и АВ для
вольфрама
При
Т1 = 0 свободные электроны не могут покидать вольфрам,
поскольку глубина потенциальной ямы
Uo = 13,45 эВ превышает
максимальное значение их кинетической энергии, равное EF = 8,95 эВ. При
нагреве металла до температуры
T2 ~ 1000 K
“хвост” функции
распределения F(E)
заходит за уровень Uo , т.е. у некоторой части
электронов кинетическая энергия превышает глубину потенциальной ямы и
они могут покинуть металл. Испускание электронов нагретыми телами
называется термоэлектронной эмиссией.
Если металл поместить в электрическое поле, напряжённость которого
направлена к поверхности металла, то это поле будет отводить
вышедшие электроны от металла. В вакууме вблизи поверхности металла
будет создаваться направленное движение электронов, т.е. появляется
термоэлектронный ток.
Термоэлектронную эмиссию можно наблюдать а помощью вакуумного
диода – двухэлектродной лампы.
Катод такого диода обычно
представляет из себя проволоку, по
которой пропускают ток, для
нагрева джоулевым теплом.
При
холодном
катоде
электронам не хватает энергии,
чтобы покинуть катод и ток через
диод не течёт. При нагреве катода
до высокой температуры (от 900 до
2900 К для разных типов катодов)
электроны выходят с поверхности
катода и ускоряются электрическим полем, создавая ток, текущий через
диод.
Из типичной ВАХ вакуумного диода следует, что при нагретом
катоде ток через диод может
протекать даже при отрицательных
значениях подаваемого напряжения,
то
есть
наиболее
энергичные
электроны,
покинувшие
катод,
доходят до анода, несмотря на
небольшое тормозящее электрическое
поле.
При положительном значении
напряжения
и между анодом и
катодом вылетающие электроны увлекаются электрическим полем, но
зависимость создаваемого электрического тока от напряжения не является
линейной, т.е. закон Ома не выполняется. Начальный участок
ВАХ
достаточно хорошо описывается законом «трёх вторых» Ленгмюра

Е
I ~ u3/2
Такой характер зависимости I(u) обусловлен влиянием на движение
электронов
в
лампе
отрицательного
пространственного
заряда,
формируемого электронами, не достигшими анода.
При дальнейшем увеличении
и
всё большая часть вылетевших с
поверхности катода электронов будет увлекаться к аноду. Наконец начиная с
некоторого напряжения, все испущенные катодом электроны будут падать на
анод. Термоэлектронный ток в диоде достигает своего максимального
значения IS , называемого током насыщения.
Плотность тока насыщения jS характеризует эмиссионные свойства
катода – максимальное число электронов, которое может испустить катод с
единицы поверхности в единицу времени при данной температуре.
Величину jS вычисляют по формуле Ричардсона–Дэшмана
 A 
j S  A  T 2 exp   B  ,
 kT 
А=
4ете k 2
2 
3
где
 1,2.106 А/(м2К2) – универсальная константа (постоянная
Ричардсона).
Видно, что jS очень сильно зависит от АВ и Т . Так для волфрама
повышение температуры от 1000 К до 2500 К увеличивает плотность
тока эмиссии практически от нуля до 3000 А/м2 , а покрытие поверхности
вольфрама мономолекулярным слоем оксида тория ThO2 , уменьшающее
работу выхода, даёт возможность при Т = 1900 К получать jS = 10 000 A/м2
Эффект Шоттки
Выясним, какие силы действуют на вылетевший из металла
термоэлектрон и как они зависят от расстояния
х
от электрона до
поверхности металла. Пусть
х
значительно превышает период
кристаллической решётки, а поверхность металла является плоской и
непрерывной.
а – поле системы электрон–металл
б – поле, создаваемое электроном
и его зеркальным изображением
Согласно методу зеркальных изображений, сила, которая действует на
электрон со стороны проводящей поверхности, отстоящей от него на
расстоянии х , будет такой же, как между зарядами
– е
и
+е,
расположенными на расстоянии 2х друг от друга
1
е2
е2
Fиз 

.
4 О (2 х) 2 16 о х 2
Потенциальная энергия электрона в таком силовом поле
U из  
e2
16 o x
.
Если к поверхности металла приложить внешнее электрическое поле
из металла, то потенциальную
энергию электрона в электрическом поле можно представить в виде

Е , способствующее выходу электронов
U ЭЛ

 Uo  e  Е  x .
Суммарную потенциальную энергию электрона, находящегося вблизи
поверхности металла, помещённого в электрическое поле, можно
представить как

е2
е Е  х .
U = Uиз + UЭЛ = Uo 
16 о х
Во внешнем электрическом поле работа выхода электрона из
металла уменьшается на величину  АВ . Это уменьшение приводит к
тому, что большее число электронов преодолевает потенциальный
барьер на границе металл–вакуум, что ведёт к увеличению силы тока
электронной эмиссии (эффект Шоттки).
Расчёты дают выражение
∆АВ
=

е3  Е
4 о
, а формула Ричардсона–Дэшмана принимает вид

 1
 AB  AB 
2
2
j S  A  T exp  
  A  T exp 
kT


 kT


e 3  Е 
 AB 
.
  exp  
4 o 
 kT 

Холодная (автоэлектронная) эмиссия электронов
из металлов
Пусть вблизи поверхности металла имеется электрическое поле
напряжённостью Е , способствующее выходу электронов из металла.
Рассматривая эффект Шоттки, было показано наличие потенциального
барьера на границе металл–вакуум. Туннелирование электронов через такой
барьер и объясняет явление холодной эмиссии – выход электронов из
металла при низких температурах.
Согласно представлениям классической физики, электрон не может
преодолеть потенциальный барьер, но в квантовой механике вероятность
туннелирования электрона из металла определяется коэффициентом
прохождения через потенциальный барьер
X


 2 O

D  exp   2me U ( x)  E  dx 


  0

.
Для упрощения расчёта рассматривают туннелирование электронов
через треугольный потенциальный
барьер, где


U ( x)  U o  e  Е  x  E F  AB  e  Е  x
Коэффициент прозрачности такого барьера

 2 X0

D  exp   2me ( E F  AB  e  Е  x  E ) dx ,
  0

где верхний предел интегрирования определяется из условия
U(xo) = E.
Интегрируя , получаем
3
 4

2
2
m
(
E

A

E
)
e

D( E )  exp 
 F
B
 .
3e
Е


Введём обозначение

Ео 
где

Е0
4
2me
3e
3
2
 ( AB  E F  E ) ,
имеет смысл напряжённости эффективного электрического поля.

 Eo 
D  exp    
Тогда
и плотность тока холодной
 Е 


эмиссии

Eo

 E 
o 

j  jo D  j0  exp    
Е 



8
9
~ (10  10 )В/м – усреднённое по энергиям электронов значение

Ео .
Туннелируют через потенциальный барьер в основном электроны,
энергия которых близка к энергии Ферми EF .

Чтобы создать большую напряжённость электрического поля
Е
вблизи поверхности металла, автоэлектронные эмиттеры делают в виде
поверхностей с малым радиусом кривизны: конуса, иглы, лезвия и т.д.
1
ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Лекция 17
Зонная теория твёрдых тел
Рассматривая квантовую теорию электропроводности металлов не
учитывалось, что положительные ионы кристаллической решётки создают в
металле электрическое поле и как вообще появляются электроны
проводимости, которые в кристаллах металлов есть, а в кристаллах
диэлектриков отсутствуют.
В зонной теории твёрдое кристаллическое тело рассматривается
как строго периодическая структура, в которой ионы создают
электрическое поле. Точное решение уравнения Шрёдингера для такой
системы множества частиц невозможно, поэтому используют
различные упрощающие приближения.
Модель Кронига–Пенни учитывает движение только внешних
электронов в поле периодически расположенных ионных остовов,
содержащих ядро атома и электроны внутренних подоболочек. В этом случае
удобнее использовать уравнение Шрёдингера для электрона, движущегося в
более слабом поле с потенциалом периодически расположенных ионных
остовов. Однако такой подход позволяет решать только одномерные задачи
движения электронов.
Существуют ещё два метода решения задачи, которые приводят
практически к одинаковым результатам.
Приближение сильной связи предполагает, что имеется совокупность
большого числа изолированных атомов, у каждого из которых электроны
имеют свою систему дискретных энергетических уровней. Связь электронов
со своими атомами так сильна, что лишь валентные электроны при
сближении атомов на расстояния, сравнимые с размерами атомов, переходят
от одного атома к другому.
Приближение слабой связи полагает, что энергия взаимодействия
электронов с решёткой много меньше их кинетической энергии (например, в
металлах). В этом случае считают, что электроны в кристалле движутся
внутри потенциальной ямы, размером с кристалл. Это позволяет
пользоваться уравнением Шрёдингера для свободных электронов (модель
электронного ферми–газа)
внутри трёхмерной потенциальной ямы
кубической формы, учитывая, однако, что электроны движутся в
периодическом поле кристаллической решётки.
Как в модели сильной связи, так и в модели слабой связи (модели
почти свободных электронов) на шкале энергии электронов имеются участки
разрешённых и запрещённых значений энергии, причём число электронных
2
состояний в каждой разрешённой энергетической зоне кратно удвоенному
числу атомов кристалла.
Энергетические зоны в кристаллах в приближении
сильной связи
В изолированном атоме имеются дискретные энергетические уровни
энергии En,l . Считается, что они зависят от главного п и орбитального l
квантовых чисел. В то же время энергетические уровни вырождены по
квантовым числам т и тS, т.е. уровни, соответствующие различным
значениям магнитного и спинового квантовых чисел, совпадают.
Энергетические уровни электронов в атомах, находящихся в
возбуждённых состояниях, имеют конечную ширину ∆En,l , связанную с
соотношением неопределённости
∆En,l .τп  
Время жизни атома в возбуждённом состоянии  п  10 8 с, и тогда
Еп,l  10 6 эВ. Расстояние между уровнями ~ 1 эВ .
В газе соседние атомы А
и В удалены друг от друга
на расстояние
L>>d (d –
диаметр атома). Потенциаль–
ный барьер для валентных
электронов а
и
b в
соседних атомах слишком
широк, так, что вероятность
просачивания
электронов
сквозь него практически равна
нулю. Поэтому все вещества в
газообразном состоянии ведут себя как диэлектрические среды до тех пор,
пока внешние воздействия не вызовут их ионизацию.
В
кристаллах
расстояние
между атомами столь мало ( L~ d~
10-10 м), что происходи перекрытие
их электрических полей. Потенции–
альные кривые, разграничивающие
соседние атомы, частично наклады–
ваются
друг на друга и дают
потенциальные
кривые
для
электронов типа а и b. Происхо–
дит понижение и сужение потенци–
ального барьера для валентных
электронов
атомов.
За
счёт
3
туннельного эффекта электрон
соседнему.
«уходит» от своего атома и переходит к
Для упрощения вычислений можно считать, что потенциальный барьер
прямоугольный. Тогда прозрачность барьера
 2d

D  exp 
2me (U o  E  .
 

Для электрона в атоме толщина потенциального барьера d~ 10-10 м.
Тогда при U o  E  6 эВ (10-18 Дж) получаем D  0,05.
Число ударов электрона о стенки барьера за единицу времени
n

a
,
где
υ ~ 106 м/с – скорость движения электрона в атоме;
a ~ 10-10 м – ширина потенциальной «ямы», в которой находится
электрон.
Время жизни валентного электрона в атоме есть величина, обратная
частоте:

1


1
~ 2  10 15 c .
Dn
Т.о.
τ
в этом случае на семь порядков меньше времени жизни
валентного электрона в возбуждённом состоянии изолированного атома. При
таких значениях τ не имеет смысла говорить о принадлежности валентных
электронов к определённым атомам. Они становятся «обобществлёнными» и
образуют квантовый электронный газ. Эти электроны могут перемещаться по
всему кристаллу.
Из соотношения неопределённостей получаем оценку ширины
энергетического уровня валентного электрона в кристалле
Е 


 2 эВ.
Узкий энергетический уровень валентного электрона в изолированном
атоме расширяется в кристалле в широкую полосу – зону разрешённых
значений энергии электронов шириной порядка единиц электрон–вольт.
Разрешённые энергетические зоны 1
отделены друг от друга зонами 2 запрещённых
значений энергии электронов.
Разрешённая зона тем шире, чем больше
энергия En,l электрона на соответствующем
уровне в изолированном атоме.
Возможные значения энергий электронов
в пределах разрешённой энергетической зоны
квантованы, а общее число их конечно.
4
В кристалле, состоящем из
N
атомов, уровню энергии
En,l
изолированного атома соответствует зона, состоящая из (2l+1)N дискретных
уровней, на каждом из которых может находится не более двух электронов с
антипараллельными спинами.
Для электронов внутренних оболочек атомов уменьшается
прозрачность потенциального барьера и вероятность туннельного перехода
электрона от одного атома к другому оказывается очень малой. Например,
для электрона атома натрия в основном состоянии 1S среднее время жизни
20
  10 лет. Следовательно, электроны внутренних оболочек атомов в
кристаллах прочно связаны со «своими» атомами и имеют энергетические
уровни такие же узкие, как и в отдельном атоме.
Зонная структура в металлах, полупроводниках
и диэлектриках
Существование энергетических зон позволяет объяснить с единой
точки зрения существование металлов, полупроводников и диэлектриков.
Разрешённую зону, полностью заполненную электронами и
возникшую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в
основном состоянии атома, называют валентной зоной.
Зона, заполненная электронами частично или пустая (при Т = 0 К),
называется зоной проводимости.
Металлы.
а) Если самая верхняя зона,
содержащая электроны, заполне–
на лишь частично, то энергии
теплового движения электронов
(kT ~ 10-4 эВ) достаточно, чтобы
электроны перешли на свободные
уровни в этой зоне (стали
свободными), обеспечивая про–
водимость металлов.
б) Если валентная зона перекрывается свободной зоной, то образуется
гибридная
зона,
которая заполнена валентными электронами лишь
частично, что также обеспечивает проводимость металлического типа
(например, у щелочно–земельных металлов).
Полупроводники.
Если уровни валентной зоны полностью
заняты электронами, то для того чтобы
электрон попал в зону проводимости ему
необходимо сообщить энергию, не меньшую,
чем ширина запрещённой зоны ∆Е.
5
Если
∆Е невелика (порядка нескольких десятых долей эВ) то
энергия теплового движения оказывается достаточной для того, чтобы
перевести часть электронов в верхнюю свободную зону проводимости. Эти
электроны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых
находятся валентные электроны в металле. Одновременно станет возможным
переход электронов валентной зоны на её освободившиеся верхние уровни.
Такие вещества называются собственными полупроводниками.
Диэлектрики.
Если ширина запрещённой зоны ∆Е велика (условно более 2 эВ) то в
этом случае кристалл называется диэлетриком.
В твёрдых диэлектриках электроны могут перемещаться по кристаллу с
тепловыми скоростями. Однако это движение хаотично и не создаёт
направленного электронного «дрейфа» электрического тока. Тепловое
движение в этом случае не может забросить в свободную зону заметное
число электронов.
Современное представление о строении диэлектриков совершенно
отличается от представлений о связанных зарядах, лежащих в основе
классической теории диэлектриков.
Электроны в кристаллах диэлектриков следует считать в некотором
смысле более свободными, чем в металлах так как внешнее электрическое
поле не может заставить их двигаться в определённом направлении и создать
электрический ток.
Лекция 18
Электропроводимость металлов
Квантово–механический расчёт показывает, что в случае идеальной
кристаллической решётки электроны проводимости не испытывали бы при
своём движении никакого сопротивления и электропроводность металлов
была бы бесконечно большой.
Однако, кристаллическая решётка имеет нарушения строгой
периодичности из–за наличия примесей или вакансий (отсутствие атомов в
узле) и из–за тепловых колебаний решётки.
Удельное электрическое сопротивление металлов
ρ = ρколеб + ρприм .
Слагаемое
ρколеб
уменьшается с понижением температуры и
обращается в нуль при Т = 0 К .
6
Пусть в единице объёма металла имеется п свободных электронов.
Среднюю скорость этих электронов называют дрейфовой скоростью.

1 n 
 i
п i 1

В отсутствие внешнего поля  др  0 и электрический ток в металле

отсутствует. При наложении внешнего электрического
дрейфовая
Е
 др 
скорость не равна нулю и возникает электрический
ток. При этом на

электроны проводимости действует сила е  Е и сила сопротивления среды


Fтр  r   др , где r – коэффициент пропорциональности.
Уравнение движения для «среднего» электрона имеет вид

e
m 

d др
dt


 e  E  r   др ,
где
– эффективная масса электрона, учитывающая действие на
электрон внутреннего электрического поля кристалла и позволяющего считать, что электрон с этой эффективной массой
движется под влиянием одного только внешнего поля.
Эффективная масса те
может сильно отличаться от фактической
массы электрона те и даже может принимать отрицательные значения.
При выключении электрического поля Е  0 и получаем уравнение
те
m

e

d др
dt

 r   др  0

,
решение которого

r 
t ,
 
m
e 


 др (t )   др (0)  exp  

где
 др (0)  значение дрейфовой скорости в момент выключения поля.
За время

те
r
(время релаксации)
значение дрейфовой скорости
уменьшается в е раз.
Значение установившейся дрейфовой скорости

фиксированном значении внешнего электрического поля Е
приравняв нулю

d др
dt
при
можно найти
. Тогда


 е  Е  r   др  0


 др


 др


е Е
e  E 
.


r
me
Если  др умножить на заряд электрона (-е) и концентрацию электронов
п можно получить установившееся значение плотности электрического
тока в металле (закон Ома в локальной
 форме):



е  Е 
j  e  n   др  

(

е
)

п



Е
, где
те
7

пе 2
те

удельная электропроводность металла.
Расчёт электропроводности по данной формуле даёт хорошее согласие
с опытными данными. При этом получается в согласии с опытом σ ~ 1/Т , а
классическая теория даёт σ ~ 1 / Т .
Различие между классической и квантовой теориями заключается в
том, что в классической теории предполагается, что все электроны под

действием внешнего электрического поля участвуют в создании  др . При
квантово-механической трактовке считается, что коллективное движение под
действием внешнего электрического поля воспринимается только
электронами, занимающими состояния вблизи уровня Ферми , и только эти

электроны вносят вклад в  др . Кроме того в классической трактовке не
используется понятие эффективной массы те .
Сверхпроводимость
В 1911 г
Камерлинг-Оннес обнаружил, что электрическое
сопротивление ртути при температуре 4,15 К скачкообразно обращается в
нуль. Это явление, названное сверхпроводимостью было затем обнаружено
и для других металлов и их соединений, Температура, при которой
начинается сверхпроводимость, называется критической температурой –
Тk .
В последние 40 лет был обнаружен ряд высокотемпературных
сверхпроводников на основе металлооксидной керамики (соединения типа
La-Ba-Cu-O и Y-Ba-Cu-O ) с критической температурой выше 100 К .
Для сверхпроводника характерно то, что магнитное поле не проникает
в его толщу (эффект Мейсснера). Формально можно сказать, что
сверхпроводник обладает нулевой магнитной проницаемостью ( μ = 0 ) т.е.
является идеальным диамагнетиком.
Достаточно
сильное
внешнее
магнитное поле разрушает сверхпроводящее
состояние. Значение магнитной индукции,
при котором это происходит, называется
критическом и обозначается – Bk .
Если усиливать ток, текущий через
сверхпроводник, включённый в общую
цепь, то при значении плотности тока jk
сверхпроводящее состояние разрушается.
Значение
jk
зависит от температуры
подобно зависимости Bk .
8
Сверхпроводимость представляет собой явление, в котором, как и в
сверхтекучести, квантово-механические эффекты обнаруживаются в
макроскопических масштабах. Но электроны являются ферми-частицами, а
сверхтекучесть может наблюдаться только в системе бозе-частиц.
Электроны в металле кроме кулоновского отталкивания испытывают
особый вид взаимного притяжения, которое в сверхпроводящем состоянии
преобладает над отталкиванием. В результате электроны проводимости
объединяются в так называемые куперовские пары . Электроны каждой
такой пары имеют противоположно направленные спины. Спин пары равен
нулю, и она представляет собой бозон. Бозоны находятся в основном
состоянии, из которого их трудно перевести в возбуждённое состояние.
Следовательно, куперовские пары, придя в согласованное движение,
остаются в этом состоянии неограниченно долго.
Возбуждённое состояние электронной системы, находящейся в
сверхпроводящем
состоянии,
отделено
от
основного
состояния
энергетической щелью ширины Есв . Поэтому квантовые переходы этой
системы не всегда будут возможными. При малых скоростях своего
движения (отвечающих плотности тока, меньшей jk ) электронная система
не будет возбуждаться, а это и означает движение без потерь энергии, т.е. без
электрического сопротивления.
Ширина энергетической щели Есв с ростом температуры уменьшается
и обращается в нуль при критической температуре Tk . Все куперовские
пары разрушаются, и вещество переходит в нормальное состояние.
Лекция 19
Собственная и примесная проводимость полупроводников
Собственная проводимость полупроводников
Между металлами с удельным сопротивлением 10-8 – 10-6 Ом.м и
диэлектриками с удельным сопротивлением 108 – 1013 Ом.м находится
много материалов, относящихся к полупроводникам с ρ = 10-5 – 108 Ом.м .
К самым типичным представителям полупроводников относятся
германий, кремний и теллур.
Полупроводник называется беспримесным, если он идеально
химически чист и имеет идеально правильную кристаллическую решётку.
Его
проводимость
называется
собственной
проводимостью
полупроводника .
9
В полупроводниках при обычных температурах удельное
сопротивление
ρ
быстро уменьшается с ростом температуры в
отличие от металлов, где ρ ~ T .
В полупроводниках ширина запрещённой зоны (так называемая
энергия активизации собственной проводимости) ∆Е< 2 эВ. Полупроводник
не проводит электрический ток лишь при сравнительно низкой температуре
близкой к абсолютному нулю, когда все уровни валентной зоны полностью
заполнены электронами, а в зоне проводимости электроны отсутствуют. В
этом случае электрическое поле не может перебросить электроны из
валентной зоны в зону проводимости и полупроводник ведёт себя как
диэлектрик.
С повышением температуры возрастает вероятность перехода
электронов из валентной зоны в зону проводимости в результате теплового
возбуждения. В этих условиях электрическое поле получает возможность
изменять состояние электронов, находящихся в зоне проводимости. Кроме
того, вследствие образования вакантных уровней в валентной зоне электроны
этой зоны также могут изменять свою скорость под воздействием внешнего
поля.
При наличии вакантных уровней поведение электронов валентной зоны
может быть представлено как движение положительно заряженных
квазичастиц, получивших название дырок.
Вакантные состояния в валентной зоне можно рассматривать как
совокупность двух частиц – электрона и дырки, обладающих численно
равными и противоположными по знаку электрическими зарядами,
эффективными массами, спинами и другими характеристиками.
qд + qэ = 0 ; mд* + mэ* = 0

qд = e > 0 ;
тд* = - тэ* > 0
Введение на все вакантные места валентной зоны электронов
превращает эту зону в полностью заполненную электронами, так, что
10
проводимость можно считать обусловленной только электронами в зоне
проводимости и дырками в валентной зоне.
Плотность тока при собственной проводимости полупроводника
складывается из плотности тока электронов и дырок
  


j  jд  j э  е  п    д   э
,
где
п = пэ = пд – концентрации электронов и дырок;


 э ;  д – средние скорости упорядоченного движения электронов и
дырок.

э
Пусть  э   
– подвижность электронов, а
Е

д
 д   – подвижность дырок .
Е
Тогда


j  nэ   э  пд   д   е  Е
Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны
проводимости описывается функцией Ферми–Дирака (с учётом того, что
электроны обладают одной и той же энергией Еi в двух состояниях,
различающихся ориентацией спина)
Ni 
2
 E  EF 
exp  i
 1
 kT 
Это распределение можно сделать очень наглядным, изобразив график
распределения совместно со схемой энергетических зон.
11
У собственных полупроводников отсчитанное от потолка валентной
зоны значение уровня Ферми равно
1
Е F  E
2
Это означает, что уровень Ферми лежит посредине запрещённой зоны.
Следовательно, для электронов , перешедших в зону проводимости, величина
(Еi – ЕF) мало отличается от половины ширины запрещённой зоны. Уровни
зоны проводимости лежат на хвосте кривой распределения. Вероятность
заполнения электронами уровней дна зоны проводимости
f(E) ~ exp(-∆E / 2kT).
Количество электронов в зоне проводимости, а следовательно и
количество образовавшихся дырок, будет пропорционально этому
выражению. Поскольку проводимость Ϭ пропорциональна числу носителей
тока, она также пропорциональна f(E). Следовательно


   О  ехр  
Е 

2kT  , где
О
– практически не зависимая
от температуры константа.
По наклону графика ln σ от 1/Т
можно определить ширину зоны ∆Е.
При встрече в кристалле свободного электрона зоны проводимости с
дыркой они рекомбинируют, т.е. исчезают. На схеме уровней процессу
рекомбинации соответствует переход электрона из зоны проводимости на
один из свободных уровней валентной зоны.
Вероятность процесса рождения пары свободных электронов и дырок
быстро растёт с температурой.
Вероятность рекомбиниции
пропорциональна числу свободных
электронов и дырок.
Следовательно, каждой температуре соответствует определённая
равновесная концентрация электронов и дырок, которая изменяется с
температурой пропорционально значению f(E) ~ exp(-∆E / 2kT).
12
При достаточно высокой температуре собственная проводимость
наблюдается во всех без исключения полупроводниках.
В полупроводниках, содержащих примесь, электропроводность
слагается из собственной и примесной проводимостей.
Примесная проводимость полупроводников
Примесная проводимость полупроводников возникает, если некоторые
атомы данного полупроводника заменить в узлах кристаллической решётки
атомами, валентность которых отличается на единицу от валентности
основных атомов.
Решётка германия с примесью
пятивалентных атомов фосфора.
Для образования ковалентных
связей атому фосфора достаточно
четырёх электронов. Пятый валентный
электрон легко отщипляется от атома
за счёт теплового движения, образуя
странствующий свободный электрон.
При этом этот электрон не образует
дырки, т.к. избыточный положительный
заряд .возникающий в окрестности
атома примеси связан с этим атомом и перемещаться по решётке не может.
Таким образом, в полупроводнике с примесью, валентность
которой на единицу больше валентности основных атомов, имеется
только один вид носителей тока – электроны (полупроводник п-типа от
слова
negative). Атомы примеси, поставляющие электроны
проводимости, называются донорами.
У трёхвалентного атома примеси
(бора) в решётке кремния недостаточно
электронов для образования связей со
всеми четыремя соседями. Поэтому одна
из связей оказывается местом, способным
захватить электрон. При переходе на это
место электрона из соседней пары
возникает дырка, которая будет кочевать
по кристаллу. Избыточный отрицательный заряд вблизи атома примеси не
связан с данным атомом и не может стать носителем тока.
Полупроводники с дырочной проводимостью принадлежат к р-типу
(от слова positive).
13
Примеси, вызывающие возникновение дырок, называются
акцепторными (валентность примеси на единицу меньше валентности
основных атомов).
Примеси искажают поле решётки, что приводит к возникновению на
энергетической схеме примесных уровней, расположенных в запрещённой
зоне кристалла.
Уровень Ферми в полупроводниках п-типа располагается в верхней
половине запрещённой зоны, а в полупроводниках р-типа – в нижней
половине запрещённой зоны. При повышении температуры уровень Ферми в
полупроводниках обоих типов смещается к середине запрещённой зоны.
Существенное влияние на электрические свойства кристалла
происходит если донорские уровни расположены недалеко от дна зоны
проводимости или если акцепторные уровни расположены недалеко от
потолка валентной зоны.
При повышении температуры концентрация примесных носителей тока
быстро достигает насыщения и всё в большей степени начинает сказываться
собственная проводимость.
При низких температурах преобладает примесная, а при высоких –
собственная проводимость.
Лекция 20
Фотопроводимость полупроводников.
Фотопроводимость
полупроводников
–
это
электрическая
проводимость, возбуждённая электромагнитным
излучением за счёт
обусловленного действием света перераспределением электронов по
энергетическим уровням.
Фотопроводимость обусловлена внутренним фотоэффектом. В
полупроводнике под действием света образуются дополнительные
неравновесные носители тока.
14
Общая удельная электрическая проводимость полупроводника
   О   ф , где
 О  темновая удельная электрическая проводимость;
 ф  удельная электрическая фотопроводимость.
У собственного беспримесного полупроводника фотон с энергией,
равной или большей ширины запрещённой зоны
  Е  переводит
электрон из валентной зоны в зону проводимости. При этом образуется пара
– электрон в зоне проводимости и дырка в валентной зоне.
 ф  е  пс  э  э   д  д
пс
,
где

число пар неравновесных носителей – электронов и дырок,
генерируемых светом в единице объёма полупроводника за 1 с ;
э
и
д
 среднее время жизни электронов и дырок.
В примесных донорных и акцепторных полупроводниках электроны
под действием света могут переходить из валентной зоны на уровни примеси
или с примесных уровней в зону проводимости.
  Еа , где Еа  энергия
Требование к энергии фотона
активации соответствующей проводимости, означает, что существует
красная граница внутреннего фотоэффекта
2с
кр 
Е а
Для собственной проводимости полупроводника при Еа  Е  2эВ
получаем кр  600 нм, что соответствует жёлтому свету.
Видимый и ультрафиолетовый свет может вызвать фотопроводимость
не только полупроводников, но и диэлектриков, у которых Е > 2 эВ.
У примесных полупроводников энергия активации проводимости ~
0,01 – 0,1 эВ и кр ~ 10 5  10 4 м, что соответствует инфрокрасной области
света.
15
На внутреннем фотоэффекте основано действие фотосопротивлений.
Количество образующихся носителей тока пропорционально падающему
световому
потоку.
В
видимой
части
спектра
применяются
фотосопротивления , изготовленные из сернистого кадмия
CdS.
Фотосопротивления из PbS, PbSe, PbTe , InSb используются в качестве
детекторов инфракрасного излучения (Sb – сурьма)
Световая чувствительность
I
(мА/лм) у полупроводниковых
Ф
фотосопротивлений приблизительно в 100000 раз больше, чем у вакуумных
фотоэлементов.
В области р-п перехода или на границе металла с полупроводником
может наблюдаться
вентильный фотоэффект. Он заключается в
возникновении под действием света электродвижущей силы (фото-ЭДС).
Сплошная кривая – ход
потенциальной энергии электронов
в (р-п)-переходе.
Штриховая кривая – ход
потенциальной энергии дырок
в (р-п)-переходе.
Неосновные для данной области носители (электроны в р-области и
дырки в п-области), возникшие под действием света, беспрепятственно
проходят через переход. В результате в
р-области накапливается
избыточный положительный заряд, а в
п-области – избыточный
отрицательный. Это приводит к возникновению разности потенциалов,
которое и представляет собой фото-ЭДС. Если подключить кристалл с (р-п)переходом к внешней нагрузке, то в ней будет течь ток. На этом основано
действие фотометров и солнечных батарей.
Эффект Холла в полупроводниках
В полупроводниках так же как и в металлах наблюдается эффект
Холла, т.е. возникновение разности потенциалов в направлении
перпендикулярному взаимно перпендикулярным векторам магнитного поля


j
, а вдоль стороны в направлен
В и плотности электрического тока

вектор магнитной индукции В .
16

В акцепторном полупроводнике с плотностью тока
связана
j

дрейфовая скорость движения дырок  д .
Дырки под действием магнитной составляющей силы Лоренца


 
FM  e   д , В

начнут собираться на ближней грани, где будет формироваться избыток
положительного заряда, а на задней грани – избыток отрицательного заряда.

Эти заряды создают электрическое поле
Е Х , которое препятствует

движению дырок вдоль оси Z , действуя на них с силой е  Е Х Когда силы


уравновесятся, процесс накопления заряда прекратится и
FM и
e  EX



установится значение Е Х , соответствующее значениям  д и В .



 
Условие равновесия: е  Е Х  е   д , В .
 
 

 
j, B
Е


R

j , B , где
получаем
Х
e  nд
R – постоянная Холла (R>0 для акцепторного
полупроводника).



Учитывая, что j  e  nд  д

Для донорного полупроводника Е Х 
j , B
 enэ
 
 
 
 R  j , B , где R<0.
Если значения концентраций электронов и дырок в полупроводнике
сопоставимы, то


j  пэ   э  пд   д   е  Е ,
а условие равновесия:
17
пд  д Fмд  пд  д Е Х  е  пэ  э Fмэ  пэ  э Е Х  е
Или






пд  д  е   д  Е  В  пд  д Е Х  е  пэ  э  е   э Е  В  пэ  э Е Х  е

и

Е Х В пд   д2  пэ   э2
 
пд   д  п э   э .
Е
Учитывая,
что
R
EX
ЕХ


j  B пэ  э  пд  д е Е  В
,
получаем
окончательно
R
nд   д2  пэ   э2
пд   д  пэ   э 2  е
.
Если проводник беспримесный (пд = пэ) то
ЕХ
  В   д   э 
Е
и
можно найти разность подвижностей электронов и дырок.
Лекция 21
Контактные явления
Контакт двух проводников
Каждый проводник характеризуется своей работой выхода Ав и
энергией Ферми ЕF.
Энергия Ферми играет роль максимальной кинетической энергии
электрона при условии, что Т = 0. Тогда электрон с минимальной (почти
нулевой) кинетической энергией обладает полной энергией Еmin , которая
совпадает с его потенциальной энергией внутри проводника.
Значение энергии, отвечающей уровню Ферми, в статистике ФермиДирака имеет смысл химического потенциала для электронов. Согласно
статистической физике химический потенциал системы, части которой могут
обмениваться частицами, должен быть одинаковым во всех точках системы.
То есть при контакте двух проводников энергии ЕF1 и EF2 должны иметь
18
одно и то же значение.
проводниках.
Ниже приведены схемы уровней энергии в
до контакта
после контакта
Электроны из области 1 с более высоким уровнем Ферми переходят в
область 2 с меньшим уровнем Ферми, и область 1 приобретает
положительный избыточный потенциал, а область 2 - отрицательный. В
результате выравнивания уровней энергии Ферми возникает внешняя
контактная разность потенциалов
 
А 2  А1
е
и внутренняя контактная разность потенциалов
~ 1 2 B
 min 
E 2 k  E1k
e
.
При очень высокой концентрации электронов в проводниках толщина
переходного слоя оказывается очень малой – порядка одного межатомного
расстояния и средней длины волны де-Бройля электрона. Поэтому электроны
относительно свободно проходят через переходный слой.
Рассмотрим два проводника, сваренных в областях стыка А и В
.
19
Если температура в точках А и В одинакова (ТА = ТВ) то ток в цепи
не потечёт, поскольку стыки полностью идентичны. Если ТА > TВ , то в цепи
потечёт ток, появление которого обусловлено несколькими причинами.
1) Работа выхода и энергия Ферми у различных веществ по разному
зависят от температуры, вследствие чего контактная разность потенциалов в
областях стыков будет разная и появляется термо-ЭДС EТ , которая
сложным образом зависит от материалов проводников 1 и 2 и температуры
стыков.
2) В области горячего стыка А средняя скорость электронов больше
чем в области стыка В и возникают диффузионные потоки электронов от А
к В, которые зависят от материала и поэтому в проводниках 1 и 2 будут
разные.
3) Разные температуры в областях А и В приводят к появлению
тепловых потоков фононов , которые, взаимодействуя с электронами,
передают им свой импульс и тем самым увлекают их за собой. Потоки
электронов будут направлены от горячих областей к холодным, но они будут
различными для проводников из разных материалов.
Фононом принято называть квант энергии колебаний квантового
осциллятора. Понятие фонона распространяют и на упругие колебания в
твёрдом теле. Считают, что фонон подобно фотону обладает такими
 
р  k   . При
свойствами частицы как энергия   
и импульс
взаимодействии фононов между собой и с другими частицами их энергию и
импульс необходимо учитывать при записи законов сохранения энергии и
импульса.
Появление тока в цепи можно использовать в тепловых генераторах
тока, но к.п.д. таких генераторов на проводниках очень мал (доли процента).
Термопары. Эффективно использовать контактный переход двух
проводников можно для измерения температуры.
EТ
Если один из проводников имеет разрыв, то тока в цепи не будет, а в
месте разрыва появится разность потенциалов, которую можно измерить
компенсационным вольтметром. Такое устройство называют термопарой.
ЭДС термопары сложным образом зависит как от материала термопары, так
20
и от температуры областей А и В. Для измерения температуры один из
стыков термопары помещают в сосуд с тающим льдом (0оС), а другой в
точку, где измеряется температура.
Для каждой термопары составляют зависимость «температура горячего
спая – ЭДС» ( Т = f(ET) ), которая почти всегда нелинейная.
Контакт двух полупроводников
до контакта
после контакта
При контакте полупроводников п и р типов уровни Ферми обоих
полупроводников должны сравняться, что осуществляется за счёт перехода
электронов из области 1 в область 2 и появляется контактная разность
потенциалов  .
За счёт малой концентрации электронов и дырок в области контакта
полупроводников толщина переходного слоя будет равна примерно 10-6 м.
Она значительно превышает межатомное расстояние и длину свободного
пробега электронов и дырок. Поэтому обеднение переходного слоя
носителями заряда не восполняется в полной мере их проникновением из
областей 1 и 2.
Наибольшее практическое значение имеет контакт двух идентичных
полупроводников
пи
р-типа, например, кремния, легированного
донорными и акцепторными примесями.
Контактные явления в р-п-переходе нагляднее анализировать с
помощью понятий «электроны – дырки», «основные – неосновные
носители».
21
Левая часть кристалла (р-типа) содержит основные носители – дырки,
примерно такое же количество отрицательных акцепторных ионов и
незначительное количество электронов.
Правая часть (п-типа) содержит основные носители – электроны,
положительные донорные ионы и небольшое количество дырок. Для примера
положим, что основных носителей в 106 раз больше, чем неосновных.
Вследствие хаотичного движения электроны устремляются из побласти в
р-область, а дырки – в обратном направлении, где они
рекомбинируют вблизи границы раздела. В результате этого вблизи контакта
практически не остаётся свободных носителей, а имеются только
неподвижные ионы, которые создают вблизи контактной плоскости двойной
слой зарядов – слева отрицательных, справа – положительных.
Эти неподвижные
заряды и создают в р-п-переходе контактное

электрическое поле Е К с разностью потенциалов  порядка одного
вольта.
Потенциальная энергия электрона, изображённая на рисунке сплошной
линией, выше в р-области, а для дырок – в п-области.
Высота потенциального энергетического барьера – е..∆φ.
22
Вне контактной области, где поля нет, свободные частицы движутся
хаотично. Количество этих частиц, наталкивающихся на контакт за единицу
времени, зависит от их концентрации и скорости и площади контакта.
Если в слой объёмных зарядов влетает неосновной носитель, то
контактное поле «подхватывает» его и «перебрасывает» в другую область.
Неосновные носители как бы «скатываются» вниз с потенциального барьера.
Основные носители, наоборот, должны «взобраться» на барьер, чтобы
пройти через переход. Для этого они должны обладать кинетической
энергией, превышающей высоту барьера. Доля таких частиц очень мала.
За положительное направление тока через р-п-переход принято
направление движения положительного заряда из р-области в п-область.
Это ток основных носителей. Ток неосновных носителей – отрицательный.
Высота потенциального барьера е.∆φ в условии равновесия примерно
равна запрещённой зоне полупроводника. Она устанавливается
автоматически так, чтобы суммарный ток через переход основных и
неосновных носителей был равен нулю:
Тогда
I = Iосн – Iнеосн = 0.
  e 
I ОСН  I НЕОСН  I 0  exp 
 , где
 kT 
I0 – слабозависящая от температуры постоянная величина.
Лекция 22
Вольт – амперная характеристика идеального р-п-перехода
(идеального полупроводникового диода)
Для включения р-п-перехода в электрическую цепь на кристалл с
обеих сторон наносят специально изготовленные контакты, имеющие очень
малое сопротивление. В результате получают полупроводниковый диод.
Если к диоду подключить источник электропитания, то через него
будет протекать ток I , зависящий от подаваемого напряжения U.
В зависимости от значения и полярности питающего напряжения
изменяется высота барьера в р-п-переходе при неизменной полярности
двойного слоя зарядов.
Ток неосновных носителей «скатывающихся» с барьера остаётся
постоянным при изменении высоты барьера, а ток основных носителей
«взбирающихся» на барьер, очень чувствителен к его высоте: – при
23
повышении барьера он быстро уменьшается до нуля, а при понижении
барьера может возрасти на несколько порядков.
e  U 
e  U 
При прямом включении р-п-перехода внешнее электрическое поле

направлено против Е К и ток основных и неосновных носителей становится
 e  U  
 eU
e 
  I 0 exp  

I ОСН  I 0 exp  

exp


 kT
kT
kT





 e 
I НЕОСН  I 0 exp  
.
 kT 

,


Общий ток через р-п-переход
 e   e U
I  I ОСН  I НЕОСН  I 0 exp  
exp
 kT   kT
  eU
 
  1  I НЕОСН exp 


  kT
 
 
  1 .

 
При обратном включении диода внешнее электрическое поле

усиливает существующее в приграничной области электрическое поле Е К и
высота энергетического порога увеличивается до e    U . Ток основных
носителей уменьшается, при практически неизменном токе неосновных
носителей, который лимитируется очень малым числом неосновных
носителей.
24
При некоторых значениях отрицательного напряжения
р-п-переход стремится к насыщению: IНАС= IНЕОСН .
U ток через
При очень больших значениях обратного напряжения может произойти
пробой р-п-перехода : UC – напряжение пробоя.
При пробое полупроводника, так же как и при пробое диэлектрика
очень большая напряжённость электрического поля ускоряет электрон на
очень малом расстоянии до энергий, способных выбить другой электрон из
ковалентной связи, что вскоре приводит к образованию электронной лавины.
Явление пробоя можно использовать в полупроводниковых стабилизаторах
напряжения.
а) – прямое включение: дырки и электроны всё время подходят к
границе раздела, где рекомбинируют.
б) – обратное включение: дырки и электроны ушли от границы раздела
и их больше нет.
Выпрямление тока и детектирование сигналов
25
Для
этих
целей
испльзуют
устройство,
называемое
полупроводниковым диодом, главная часть которого р-п-переход.
а) однофазный выпрямитель
Если на вход подать синусоидальный сигнал, то диод пропустит только
положительные полуволны синусоиды. На выходе сигнал будет иметь вид,
как на рисунке справа. Чтобы получить огибающую сигнала, используют
дополнительный конденсатор
С , который при зарядке и разрядке
сглаживает острые полуволны. По такой схеме работают простейшие
выпрямители напряжения и детекторы радиосигналов – устройства,
позволяющие выделить огибающую высокочастотного сигнала, несущую
полезную информацию.
б) однофазный выпрямитель с диодным мостиком
в) трёхфазное выпрямление по схеме Ларионова (пульсации < 6%)
26
Конденсаторы переменной ёмкости
Распределение заряда в области р-п-перехода аналогична схеме
распределения заряда в плоском конденсаторе. Роль расстояния между
пластинами играет толщина запорного слоя.
Ёмкость такого конденсатора переменной ёмкости (варикапа)
изменяется в широких пределах под воздействием внешнего напряжения.
Светоиспускающие диоды
На границе раздела областей дырки, поступающие из р-области,
рекомбинируют с электронами, поступающими из п-области. При этом
происходит переход электрона из зоны проводимости в валентную зону, что
сопровождается испусканием кванта электромагнитного излучения. Частота
излучения (от инфракрасного до ультрафиолетового) зависит от подбора
ширины зон в полупроводнике.
Светоиспускающие диоды имеют КПД на порядок выше, чем у ламп
накаливания ( ~80%) и очень большой ресурс, так как не содержат нитей
накаливания в обычных лампах накаливания, катодов в газоразрядных
лампах.
Лазерные светоиспускающие диоды
В таких диодах необходимо создать инверсную заселённость (много
электронов в возбуждённом состоянии и мало в основном). Для этого в
качестве
материалов
р-п-перехода
используют
вырожденные
27
полупроводники, в которых обеспечивается очень высокая концентрация
основных носителей. В таких полупроводниках можно обеспечивать условие
инверсной заселённости (много электронов (N2el) в возбуждённом состоянии
и мало в основном состоянии (N1el)) в области р-п-перехода.
В качестве зеркал лазерного резонатора используют отполированные
торцы самого полупроводникового кристалла. Одно из них делают частично
прозрачным (нижнее на рисунке) для выхода излучения из резонатора.
Лазерные диоды – миниатюрны, экономичны, обеспечивают
достаточно сильный световой поток. Их используют в оптических
устройствах записи и чтения информации, лазерных принтерах, системах
передачи информации по световолоконным кабелям и т.д.
Источники тока на р-п-переходе
1) Полупроводниковые солнечные элементы.
Поглощённый в области
р-п-перехода квант электромагнитного
излучения создаёт пару электрон-дырка. Электрическое поле перемещает
электрон в п-область, а дырку в р-область.
При постоянном облучении р-п-перехода потоком фотонов в робласти накапливаются дырки, а в п-области накапливаются электроны и в
цепи через нагрузку начинает течь ток.
Технически полупроводниковые солнечные элементы обычно
получают в виде пластины полупроводника р-типа, на которую нанесён
тонкий прозрачный слой металла, который можно считать аналогом
полупроводника
п-типа. Затем на слой металла наносят прозрачное
защитное покрытие. Один элемент обычно обеспечивает напряжение порядка
долей вольта и ток в несколько миллиампер. Для обеспечения необходимой
мощности элементы соединяют последовательно и параллельно в батарею
большой площади.
28
2) Полупроводниковые тепловые элементы.
Принцип работы полупроводниковых тепловых элементов аналогичен
работе полупроводниковых солнечных элементов с тем отличием, что в
области р-п-перехода пары электрон- дырка образуются за счёт его нагрева.
Рекомбинация пар электрон-дырка сопровождаются выделением
теплоты, поэтому требуется теплоотвод к радиатору или теплообменнику.
Подобную схему можно использовать в работе полупроводниковых
охладителей – устройств, при пропускании тока через которые происходит
охлаждение одной стороны устройства и нагрев другой.
Полупроводниковый транзистор
С помощью соответствующих примесей в кристалле германия или
кремния создают три области р-п-р или п-р-п, которые равноценны по
29
своим параметрам, но кристаллы р-п-р-типа применяются чаще, потому, что
они проще в изготовлении.
Оба р-п-перехода соединяют с двумя источниками тока. При этом
переход «эмиттер-база» включают в прямом (пропускном) направлении, а
переход «коллектор-база» - в обратном (запирающем).
Пока цепь эмиттера разомкнута, в цепи коллектора ток очень мал. Как
только замыкают цепь эмиттера, «дырки» - основные носители эмиттера –
переходят из него в очень узкую ( 10  15мкм ) п-область базы, откуда большая
их часть
( 95  99% ) проходят в
р-область к коллектору, образуя
коллекторный ток. Остальные дырки образуют ток базы.
IЭ – IБ – IК = 0
(Принято ток, направленный к транзистору, считать положительным).
Схема с общей базой
IK = A.IЭ, где А = 0,95 – 0,995 –
коэффициент усиления по току.
I K  I Э и U КБ  U ЭБ
Тогда
I ЭU КБ ~ I ЭU ЭБ
Транзистор в схеме с общей базой
работает как усилитель мощности
т.е. небольшие изменения входной
мощности
вызывают
большие
изменения выходной мощности.
Схема с общим эмиттером (применяется наиболее часто)
В – коэффициент усиления по
току в схеме с общим
эмиттером.
IK  B  IБ
и
IБ  IЭ  IК
Тогда
В
IK
А

 20  200
IЭ  IK 1 А
30
Широкое применение полупроводниковых приборов началось с того,
что электронные лампы не стали справляться с высокими частотами в
радиолокационной технике.
1
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Лекция 23
АТОМНОЕ ЯДРО
Основная масса материи в атоме не распределена равномерно по
объёму атома, а сконцентрирована в плотном ядре, размер которого (~10 -15 м)
составляет одну стотысячную часть размера самого атома. Плотность
ядерного вещества очень велика  2  1017 кг / м 3 .
Ядро имеет положительный заряд, кратный элементарному заряду е. и
соответствующие спину ядра механический и магнитный моменты.
Взаимодействие магнитных моментов электронов атома и его ядра
приводит к расщеплению спектральных линий излучения атома, равному
 ~ 10 12 м , что обусловливает сверхтонкую структуру оптического спектра
атома.
Состав ядра – нуклоны (протоны и нейтроны).
Протон – р – стабильная частица (время жизни -  ), ядро атома
водорода, обладает положительным зарядом е и массой
тр = 1,67265.10-27 кг = 1,00729 а.е.м. = 1836,15 те = 938,28 МэВ.
Спин протона S = 1 2 .
Собственный магнитный момент р р  2,7928  Я , где
е
Я 
 5,051  10 27 Дж/Тл - ядерный магнетон.
2т р
Собственный магнитный момент протона приблизительно в 660 раз
меньше собственного магнитного момента электрона.
Нейтрон – п – электрически незаряженная элементарная частица с
массой
тп = 1,67495.10-27 кг = 1,00898 а.е.м. = 1838,68 те = 939,55 МэВ.
М
Спин нейтрона S = 1 2 .
рпМ  1,913 Я . Знак минус
Собственный магнитный момент
указывает, что механический и магнитный моменты нейтрона имеют
противоположное значение.
В свободном состоянии нейтрон нестабилен ( среднее время жизни
 15 мин) и самопроизвольно распадается, превращаясь в протон и испуская
электрон и антинейтрино
п  р  е  ~е .
2
Характеристики атомного ядра
Z – зарядовое число равное количеству протонов в ядре и являющееся
атомным номером в таблице Менделеева.
А – массовое число равное количеству нуклонов в ядре.
N =(A – Z) – число нейтронов в ядре.
Символически записывают AXZ , например, 238U92.
Поскольку для числа Z существует только один символ химического
элемента, его часто не указывают. Например, 238U.
Конкретные атомы с данным числом протонов и нейтронов называют
нуклидами.
Нуклиды с одинаковым числом протонов называют изотопами. Атомы
изотопов обладают практически очень близкими физико-химическими
свойствами, за исключением некоторых случаев. Сильнее всего это различие
у трёх изотопов водорода: 1Н1 , 2Н1 (дейтерий), 3Н1 (тритий). Ядра дейтерия и
трития называют – дейтрон (d) и тритон (t) .
В настоящее время известно около 1500 различных ядер с Z от 1 до
117 и А от 1 до 271. Примерно 15 часть этих ядер устойчивы. Многие
ядра с Z от 93 до 115 были получены искусственным путём посредством
ядерных реакций.
Размеры ядер зависят от числа содержащихся в них нуклонов.
В первом приближении ядро можно считать сферическим и при А > 10
эффективный радиус большинства ядер довольно точно определяется
формулой
R = 1,3.А1/3 Ф, где
Ф = 1 фм = 10-15 м – ферми (название применяемой в ядерной физике
единицы длины, равной одному фемтометру.
Спин ядра – I . Он слагается из спинов нуклонов. Спин нуклона
1
равен 2 , поэтому спин I ядра может быть как целым, так и полуцелым – в
зависимости от числа нуклонов.
В основных состояниях всех стабильных ядер I  9 2 . Это указывает на
то, что моменты импульса большинства нуклонов в ядре взаимно
компенсируют друг друга, располагаясь «антипараллельно».
У всех ядер с чётными числами протонов и нейтронов спин основного
состояния I = 0.
Масса и энергия связи ядра
Масса ядра не является аддитивной величиной – она не равна сумме
масс образующих ядро нуклонов. Причиной является сильное
взаимодействие нуклонов в ядре.
3
Из-за этого взаимодействия для полного разделения ядра на отдельные
свободные нуклоны необходимо произвести минимальную работу, которая и
определяет энергию связи ядра Есв .
Наоборот, при образовании ядра из свободных нуклонов эта энергия
выделяется (в виде, например, электромагнитного излучения).
Если выразить массы нуклонов и ядра в энергетических единицах, то
Есв = Z.mp + N.mn – mЯ
Так как в таблицах приводятся массы не ядер, а нуклидов то на
практике пользуются формулой
Есв = Z.mH + N.mn – ma , где
тН – масса нуклида 1Н.
тa – масса нуклида, соответствующего массе ядра.
Если имеются таблицы дефектов масс нуклидов то пользуются
формулой
Есв = Z.∆H + N.∆n - ∆a , где
∆Н = (тН – 1) а.е.м. ,
∆п = (тп – 1) а.е.м. ,
∆a = (ma – A) а.е.м. ,
1 а.е.м. = 931,5 МэВ
За «начало отсчёта» принят нуклид
12
С, дефект массы которого равен
нулю.
Удельной энергией связи называют энергию, приходящуюся в среднем
на один нуклон, т.е. ( ЕСВ А ) . Эта величина характеризует меру прочности
ядра : чем больше ЕСВ А , тем ядро прочнее.
Работа, необходимая для расщепления ядра массы т на две частицы с
массами т1 и т2 равна энергии связи этих частиц в исходном ядре
АР = Есв = ∆1 + ∆2 - ∆a
или
АР = Есв = Есв я – (Есв1 + Есв2).
Рассмотрим график зависимости ЕСВ А от массового числа А.
Наиболее прочными являются
ядра с массовыми числами А~ 50  60,
т.е. элементов от Cr до Zn.
Как с ростом, так и с
уменьшением А удельная энергия
связи уменьшается, и тяжёлым ядрам
становится энергетически выгодным
делиться, образуя при этом более
прочные ядра, а лёгким ядрам,
наоборот выгодно сливаться друг с
другом.
4
В обоих случаях выделяется энергия. Например, при делении ядра
U – около 200 МэВ ( в основном в виде кинетической энергии
разлетающихся под действием кулоновских сил отталкивания осколков).
235
А при слиянии дейтрона с тритоном (d + t = α + n) происходит синтез
α-частиц
(4Не) с выделением энергии 17,6 МэВ. В первом случае
выделяемую энергию называют атомной , во втором – термоядерной. На
единицу массы во втором случае выделяется в 5 раз больше энергии, чем в
первом.
Ядерные силы
Огромная энергия связи нуклонов в ядрах (по сравнению с энергией
связи электронов в атоме ~ 10 эВ) означает, что между нуклонами действуют
мощные ядерные силы притяжения, по сравнению с которыми
электромагнитные силы отталкивания в сотни раз слабее.
Особенности ядерных сил:
1) Радиус действия ~ 10-15 м (короткодействующие). На существенно
меньших расстояниях притяжение нуклонов сменяется их отталкиванием. На
больших расстояниях ядерные силы не проявляются.
2) Зарядовая независимость, что проявляется в одинаковости сил
взаимодействия нуклонов п-п, р-р, п-р.
3) Эти силы не являются центральными, т.к. зависят от ориентыции
спинов нуклонов.
4) Обладают свойством насыщения – каждый нуклон в ядре
взаимодействует с ограниченным числом ближайших нуклонов.
Механизм взаимодействия нуклонов:
Согласно классической физике взаимодействие между частицами
осуществляется посредством силовых полей.
Квантовая физика не изменила такое представление, но учла квантовые
свойства самого поля: всякому полю должна соответствовать определённая
частица – квант поля, которая и является переносчиком взаимодействия.
Один из взаимодействующих нуклонов испускает квант поля, другой его
поглощает.
Существенно, что обмен частицами лежит в основе вообще всех
взаимодействий и является фундаментальным квантовым свойством природы
(например, электромагнитные взаимодействия осуществляются путём обмена
фотонами).
Квантами поля при взаимодействии нуклонов являются π–мезоны,
занимающие промежуточное положение по массе между электроном и
нуклоном.
5
По законам классической физики такие процессы идти не могут в связи
с нарушением закона сохранения энергии. Не может свободный нейтрон
самопроизвольно превратиться в
нейтрон+π-мезон, суммарная масса
которых больше массы нейтрона.
Квантовая теория этот запрет устраняет. Из соотношения
неопределённостей
следует, что энергия системы может
Е  t ~ 
претерпевать отклонения ∆Е, длительность которых не должна превышать
величины t   Е . В этом случае нарушение закона сохранения энергии
при испускании π-мезона обнаружить нельзя.
Частицы, испускание и поглощение которых происходит с кажущимся
нарушением закона сохранения энергии, называются виртуальными
частицами.
Одиночный нуклон всегда окружён так называемой «мезонной шубой»
т.е. облаком виртуальных π-мезонов, которые безостановочно испускаются и
поглощаются нуклоном.
Когда два нуклона сближаются и их мезонные шубы начинают
соприкасаться, создаются условия для обмена виртуальными мезонами –
возникает ядерное взаимодействие. Радиус действия ядерных сил
l

m  c
имеет порядок комптоновской длины волны. Из опыта известно, что
l  10 15 м, что позволяет оценить массу π-мезона: тπ~270 me.
Зависимость радиуса действия ядерных сил от массы виртуальных
частиц – переносчиков взаимодействия – фундаментальный квантовый
закон.
Этот закон определяет дальнодействие электромагнитных сил,
поскольку кванты электромагнитного поля – виртуальные фотоны являются
безмассовыми частицами, которые могут иметь сколь угодно малую
энаргию.
Деление тяжёлых ядер и цепные реакции
Наиболее интересными с точки зрения получения ядерной энергии
являются реакции деления тяжёлых ядер, вызываемые попаданием в ядро
нейтрона.
Одна из наиболее вероятных реакций деления ядра урана происходит
следующим образом:
235
U + n  140Cs + 94 Rb + 2n + 200 МэВ
Большая часть ядерной энергии этой реакции (~165 МэВ) выделяется в
виде кинетической энергии ядер-осколков. Осколки быстро тормозятся в
окружающей среде, вызывая её нагрев.
6
Испускание при делении ядра урана нескольких нейтронов делает
возможным осуществление цепной реакции деления.
Среда, в которой наблюдается цепная ядерная реакция называется
активной.
Важной характеристикой интенсивности размножения нейтронов
является коэффициент размножения – К, равный отношению количества
нейтронов в двух последних поколениях.
К < 1 (подкритический режим) – цепная реакция деления не может
развиваться;
К = 1 (критический режим) – цепная реакция протекает стационарно;
К > 1 (надкритический режим) – ядерный взрыв.
Причиной уменьшения коэффициента К является пржде всего наличие
в среде неделящихся ядер, которые могут захватываь нейтроны.
Природный уран содержит 99,28% изотопа 239U и лишь 0,71%
изотопа 235U. Нейтроны с энергией меньше 1 МэВ поглощаются ядрами
238
U без последующего деления. Поэтому в природном уране цепная реакция
развиваться не может.
К уменьшению коэффициента размножения приводит также выход
нейтронов из активной среды, имеющей конечные размеры. Характерный
размер активной зоны, при котором коэффициент размножения становится
равным единице, называется критическим размером, а масса делящегося
вещества в активной зоне таких размеров называется критической массой.
При массе делящегося вещества меньше критической цепная реакция
не протекает.
Условия для протекания управляемой цепной реакции деления (К = 1)
реализуются в ядерных (атомных) реакторах.
В реакторе на медленных (тепловых) нейтронах с энергией меньше
0,5 эВ управляемая цепная реакция деления может протекать в природном
или в слабо обогащённом уране, что достигается введением в реактор
специального вещества – замедлителя.
В
активной
зоне
реактора
расположены
тепловыделяющие
элементы (твэлы) 1 и замедлитель 2.
Твэлы представляют собой блоки из
делящегося материала, заключённые в
герметичную
оболочку,
слабо
поглощающую нейтроны. За счёт
энергии, выделяющейся при делении
ядер, твэлы разогреваются. Отвод тепла
из
активной
зоны
реактора
к
электрогенерирующему
блоку
осуществляется теплоносителем
3 ,
омывающим твэлы.
7
Активная зона окружена отражателем
нейтронов
4, уменьшающим утечку
На практике твёрдыми
замедлителями
являются
бериллий и графит, а
жидким – тяжёлая вода.
Уменьшения кинети –
ческой энергии нейтрона от
1 МэВ до 0,5 эВ в замедли –
теле
происходит
в
результате
многократных
(около
50)
соударений
нейтрона с ядрами атомов
замедлителя.
Регулирующие стержни
(управляющие и аварийные)
изготавливают из материала
сильно
поглощающего
нейтроны (кадмий или бор).
Термоядерная реакция
Одной из возможных реакций синтеза лёгких ядер является ядерная
реакция, которая может протекать в смеси из дейтерия и трития:
2
Н + 3Н  01п + 4Не + 17,6 МэВ.
Требующийся для этой реакции тритий может быть получен из лития:
6
Li + 01 п  3H + 4He.
Для сближения ядер 2Н и 3Н на расстояние порядка радиуса действия
ядерных сил необходимо преодолеть кулоновский барьер высотой ~10 эВ, а
для этого сталкивающимся ядрам следует сообщить достаточно высокую
кинетическую энергию, т.е. смесь нужно разогреть до температуры порядка
108 К.
В варианте неуправляемого термоядерного взрыва в водородной бомбе
нагрев до таких температур осуществляется взрывом плутониевой атомной
бомбы.
Для осуществления реакции управляемого термоядерного синтеза
(УТС) необходимо высокотемпературную дейтериево-тритиевую плазму,
8
нагретую до Т~108 К удерживать от контакта со стенками реактора в течение
времени τ, определяемого критерием Лоусона пя.τ = 1020 с/м3, где
nя – объёмная концентрация ядер в горячей плазме ( d + t).
В установках типа
«Токамак»
реализуется идея магнитного
удержания плазмы, предложенная российскими физиками Таммом и
Сахаровым. Создание плазмы, её нагрев до термоядерных температур и
отрыв от стенок торообразной рабочей камеры осуществляют импульсным
током газового разряда, вызываемого в плазме индукционным способом.
Главная трудность – неустойчивость плазменного шнура.
Н.Г.Басов и О.Н.Крохин в 1962 г. предложили способ осуществления
реакции УТС связанный с разогревом, сжатием и удержанием термоядерной
мишени с помощью воздействия на неё мощных пучков лазерного излучения.
В таких установках критерий Лоусона следует превзойти по крайней мере в
сотни раз, так как световая энергия лазерного пучка составляет примерно 1%
от подводимой к лазеру электроэнергии.
Лекция 24
РАДИОАКТИВНОСТЬ
Радиоактивность заключается в самопроизвольном распаде ядер с
испусканием одной или нескольких частиц. Такие ядра и соответствующие
им нуклиды называют радиоактивными (в отличие от стабильных ядер).
Радиоактивное ядро называют материнским, а ядра, образующиеся в
результате распада, - дочерними.
Необходимым условием радиоактивного распада является то, что масса
исходного ядра должна превышать сумму масс продуктов распада. Таким
образом каждый распад происходит с выделением энергии.
Основной закон радиоактивного распада
N  N0  et
или
(-dN = λ.N.dt)
N0 – число ядер в момент t = 0.
N – число нераспавшихся ядер к моменту времени t.
 – постоянная распада (величина характерная для каждого вещества).
Интенсивность радиоактивного распада характеризуется активностью
А
dN
   N , Бк
dt
В СИ единицей активности является беккерель
1 Бк =
1 распад
.
1с
9
Внесистемная единица активности – кюри ( 1 Кu = 3,7.1010
распад
).
с
Активность в расчёте на единицу массы вещества называют удельной
активностью.
Период полураспада Т – время, за которое распадается половина
первоначального количества ядер.
N0
 N 0  e T
2

Таким образом, можно записать
Среднее время жизни

1

T
ln 2

 0,693
N  N0  e

0, 693t
T

.
 N0  2

t
T
– время , за которое первоначальное
количество ядер уменьшается в е раз. Данное выражение получается из
рассуждения


1
1
1
1

t  N t  
t    N dt 
t    N 0  e t dt  .



N0
N0 0
N0 0

Так как Т 
0,693

, то получаем Т = 0,693.τ .
Период полураспада для известных в настоящее время радиоактивных
ядер находится в пределах от 3.10-7 с до 5.1015 лет.
Пример:
Найти среднее время жизни радионуклида 55Со , если его активность
уменьшается на η = 4 % за время t0 = 60 мин = 1 час.
А    N



t 
N  N 0  e 
В нашем случае  
A  A0  e t
А0  А
t
 1  е t0 . Тогда ln 1       t 0   0
А0

t0
1
 

 25,5 ч .
ln 1   
ln 0,96
Радиоактивность подразделяют на естественную и искусственную.
Первая относится к радиоактивным ядрам, существующим в природных
условиях, а вторая – к ядрам, полученным посредством ядерных реакций в
лабораторных условиях.
Основные типы радиоактивности
Альфа–распад – самопроизвольное испускание ядром α-частицы (4Не) .
A
Z
X  ZA42Y  24He
10
α-частицы испускают только тяжёлые ядра.
Кинетическая энергия, с которой
α-частицы вылетают из
распадающегося ядра порядка нескольких МэВ.
В воздухе пробег α-частицы при нормальном давлении составляет
несколько сантиметров (их энергия расходуется на образование ионов на
своём пути).
Пример:
Покоившееся ядро 213Ро испустило α-частицу с энергией Кα = 8,34
МэВ. При этом дочернее ядро оказалось в основном состоянии. Найти
суммарную энергию Q , освобождающуюся в этом процессе (энергию αраспада).
Q = Кα+ КД , где
КД – кинетическая энергия дочернего ядра.
Из закона сохранения импульса: рα= рД.
р2
Учитывая, что К  
2т
и
КД 
р 2Д
2т Д
получаем тα.Кα = тД.КД .
Окончательно получаем:

т 
 т  т 

Q = Кα 1     Кα  Д
 = Кα 


тД 


тД


т Ро
 т Ро  т
213

= 8,5 МэВ.
 = 8,34 
213

4

Покидая ядро, α-частице приходится преодолевать потенциальный
барьер, высота которого превосходит её энергию .
Внутренняя
сторона
барьера
обусловлена ядерными силами, а
внешняя
силами
кулоновского
отталкивания дочернего ядра.
Преодоление
α-частицей
потенциального
барьера в данных
условиях
происходит
благодаря
туннельному эффекту. Квантовая
теория, учитывая волновые свойства
α-частицы,
«позволяет»
ей
с
определённой вероятностью проникать
сквозь такой барьер
Бета –распад (массовое число А не меняется).
1) Электронный β--распад – ядро испускает электрон и его зарядовое
число Z становится (Z+1).
2) Позитронный β+ -распад – ядро испускает позитрон: Z  (Z – 1).
3) К–захват – ядро захватывает один из электронов К-оболочки атома
и его зарядовое число становится (Z – 1). На освободившееся место в
К-оболочке переходит электрон с другой оболочки, и поэтому К-захват
всегда сопровождается характерным рентгеновским излучением.
11
Энергия β--распада :
Энергия β+-распада :
Энергия К–захватa :
Q- = (MM – MD).c2
Q+ = (MM - MD + 2.me).c2
QK = (MM – MD).c2
ММ – масса материнского ядра;
МD – масса дочернего ядра.
При выполнении всех трёх процессов Q > 0.
Энергия, выделяемая при распаде, распределяется между электроном и
электронным нейтрино (νе) или электронным антинейтрино (~е ) – частицей
электрически нейтральной и обладающей очень большой проникающей
способностью. Существование нейтрино обусловлено необходимостью
сохранения момента импульса в реакции распада.
Отличительной чертой β-распада является превращение в ядре
нейтрона в протон, и наоборот:
п  р  е   ~е
(β- -распад)
р  п  е   е
(β+-распад)
е   р  п  е
(К–захват)
Известно, что спин нейтрона, протона и электрона одинаков и равен ½.
Участие в β-распаде ещё одной частицы со спином ½ (спин нейтрино
равен ½ ) диктуется как раз законом сохранения момента импульса.
Энергия, выделяющаяся при β-распаде лежит в пределах от 0,0168 МэВ
до 16 МэВ. Период полураспада Т  10 2 с  4 1012 лет.
Гамма–распад – испускание кванта энергии от 10 кэВ до 5 МэВ
возбуждённым ядром при переходе его в нормальное состояние. В отличие
от β-распада этот процесс внутриядерный, а не внутринуклонный.
γ-кванты – коротковолновое электромагнитное излучение.
Изолированный свободный нуклон не может испустить или поглотить
γ-квант, так как при этом были бы нарушены законы сохранения энергии и
импульса.
γ-излучение сопровождает α- и β-распады ядер. Это происходит в тех
случаях, когда распад с переходом материнского ядра в основное состояние
дочернего ядра напрямую либо маловероятен, либо запрещён правилами
отбора.
Эффект Мёссбауэра –
– это явление резонансного испускания и поглощения γ-квантов ядрами
атомов кристалла с отдачей, которую воспринимает не ядро, а весь кристалл
в целом, не меняя своего внутреннего состояния (т.е. без возбуждения
колебаний решётки).
12
Спектры излучения атомных ядер возникают подобно спектрам
излучения атомов и молекул.
Атомы наиболее интенсивно поглощают электромагнитные волны
частоты, соответствующей переходу из основного состояния атома в первое
возбуждённое состояние. Это явление называют резонансным поглощением.
Резонансное поглощение γ-кванта должно переводить ядро в
возбуждённое состояние подобно тому, как поглощение света переводит в
возбуждённое состояние атом или молекулу. Однако энергия и импульс
γ-кванта во много раз больше, чем у фотона видимого света.
По закону сохранения импульса атомное ядро при излучении γ-кванта
приобретает импульс, равный импульсу излучённого γ-кванта и
направленный в противоположную сторону:


р Я   р , где
р 

.
с
У ядра появляется кинетическая энергия отдачи
К
р2
 2 2
, где М – масса ядра.

2М 2Мс 2
Тогда энергия γ-кванта
  Е1  Е0  
 2 2
 E1  E0 
2Мс 2
то есть энергия этого γ-кванта меньше энергии, необходимой для перевода
такого же ядра из нормального состояния в возбуждённое, и резонансное
поглощение γ-квантов ядрами обычно не наблюдается.
Мёссбауэр открыл, что в некоторых кристаллах можно создать такие
условия, при которых импульс отдачи при излучении γ-кванта сообщается
не отдельному ядру, а всему кристаллу в целом. При этом изменение
кинетической энергии кристалла из-за большой его массы (по сравнению с
массой одного ядра) приближается к нулю, а энергия излучения γ-кванта
оказывается почти в точности равной энергии перехода (Е1 – Е0). При
пропускании пучка таких γ-квантов через образец, содержащий атомные
ядра того же изотопа, наблюдается резонансное поглощение.
Замечательной
особенностью
эффекта
Мёссбауэра
является
необычайно
малая
ширина
спектральной
линии
поглощения
 
 10 15

 
для

Fe  .

57
Это
означает,
что
появляется
возможность
зарегистрировать изменение энергии γ-кванта на величину, составляющую
10-15 от его первоначального значения.
13
Радиоактивные ряды
Ядра, возникающие в результате радиоактивных превращений, могут
сами оказаться радиоактивными и т.д.. В итоге возникает ряд радиоактивных
превращений.
Все α- и β-радиоактивные элементы можно объединить в четыре
радиоактивные ряда, родоначальниками которых являются 235U; 236U; 237Np
и 238U .
Ряд нептуния состоит из изотопов, не встречающихся в природе, а
получающихся искусственным путём.
Остальные три ряда обусловлены естественной радиоактивностью и
заканчиваются различными стабильными изотопами свинца:
235
U  ...  207Pb
236
U  ...  208Pb
238
U  ...  206Pb (ряд Тория
232
Тh).
Закон сложного распада
Пусть λ1 – постоянная распада материнского ядра;
λ2 – постоянная распада дочернего ядра.
Изменение с течением времени числа материнских и дочерних ядер:
dN1
 1  N1
dt
Тогда
N1  N 01  e 1t
Если N 02  0 , то
и
dN 2
 1  N1  2  N 2 .
dt

1
1  2t
e .
N 2  N 01
 e 1t1   N 02  N 01
2  1
2  1 

N 2  N 01
и
1
2  1
e
1t

 e 2t .
Источники радиоактивных излучений
Более половины элементов таблицы Менделеева имеют естественные
радиоактивные изотопы, но многие из них обладают очень большим
периодом полураспада (для 238U – 4,5 млрд. лет; для 232Th – 14 млрд. лет).
Но в природе встречаются радиоактивные изотопы со значительно
более короткими периодами полураспада (радий 226Ra – 1600 лет; радон 222Rn
– 3,82 дня; полоний 218Ро – 3 мин.).
14
В тканях растений, животных и человека в наибольшем количестве
содержатся радиоактивные изотопы калия и углерода.
В природном калии на долю β-радиоактивного изотопа 40К с периодом
полураспада 1,24 млрд. лет приходится 0,012 %. В 1 г природного калия
происходит приблизительно 1900 β-распадов в минуту.
Радиоактивность углерода в биологических тканях обусловлена
присутствием радиоактивного изотопа углерода 14С (Т  5570 лет), который
образуется в верхних слоях земной атмосферы под воздействием потока
быстрых заряженных частиц из космоса. Изотоп 14С усваивается из воздуха
растениями, а затем попадает в состав тканей животных и человека.
По остаточной радиоактивности ископаемых растительного или
животного происхождения в археологии определяют примерные даты того
или иного события.
Лекция 25
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Сначала элементарными считались частицы, из которых состоят атомы
и их ядра – т.е. электроны, протоны и нейтроны.
Впоследствии оказалось, что протоны и нейтроны имеют внутреннюю
структуру. В число элементарных также включили фотоны и нейтрино.
По мере возрастания мощности ускорителей и усовершенствования
методики эксперимента, было обнаружено около 400 элементарных частиц.
В настоящее время элементарными называют частицы, которые на
современном уровне развития физики нельзя считать соединением других,
более «простых» частиц, существующих в свободном состоянии.
Элементарная частица в процессе взаимодействия с другими частицами или
полями должна вести себя как единое целое.
Хотя нейтрон распадается на протон, электрон и антинейтрино, нельзя
считать, что он состоит из этих частиц. «Внутри» нейтрона этих частиц нет.
Поэтому нейтрон считается элементарной частицей. Точно так же мюон,
который распадается на электрон и два нейтрино:
   е   ~е   
не состоит из этих частиц, а они рождаются в процессе распада мюона.
15
Античастицы
Уравнение Шрёдингера является нерелятивистским. Наличие у
электрона спина из этого уравнения не следовало и вводилось в теорию как
опытный факт.
Волновое уравнение Дирака, полученное в 1928 г. и учитывающее
релятивистские эффекты, объединило теорию относительности и кванты. Из
этого уравнения теоретически вытекало наличие у электрона спина. Кроме
того, из уравнения Дирака получалось, что у электрона должен быть
«двойник» – частица с положительным элементарным зарядом.
В 1932 г. позитроны были экспериментально обнаружены в
космическом излучении.
В дальнейшем было показано, что у всех элементарных частиц
имеются античастицы.
В 1955 г. был обнаружен антипротон 11 ~р ; в 1956 г. – антинейтрон 01 п~
и т.д..
Так, антинейтрино, выделяющееся при распаде нейтрона по схеме
1
0

п
р
1
1

0
1
е

0
0
~е
может захватываться протоном и образовывать нейтрон и позитрон:
~е
 11р  01п  10 е~ .
А вот нейтрон с этим антинейтрино не взаимодействует. Зато нейтрон
хорошо взаимодействует с нейтрино по схеме:
0
0
е

0
0
п 
1
0
р  10 е .
1
1
Таким образом, электронные нейтрино и антинейтрино являются
разными частицами, отличающимися только знаком спина. Тоже можно
сказать про нейтрон и антинейтрон.
Существуют также частицы, полностью совпадающие со своими
античастицами. Это фотон, пи-нуль-мезон π0 и эта-мезон η0.
Из уравнения Дирака также следовало, что при столкновении частицы
с античастицей они исчезают (аннигилируют), превращаясь в два γ-кванта,
например:
0
1
е 
0
1
е~  
или рождаются при прохождении
атомного ядра:


0
1
е 
0
1
 
γ-кванта
большой энергии вблизи
е~ , причём    2те  с 2  1,022 МэВ.
16
Действующие в мире элементарных частиц законы сохранения не
допускают возможности возникновения одиночных античастиц.
Основные характеристики элементарных частиц
а) Масса – т (измеряется в энергетических единицах (МэВ или ГэВ)).
б) Среднее время жизни – τ (служит мерой стабильности частицы и
измеряется в с ) .
в) Спин – J – собственный момент импульса частицы. Принимает
целые и полуцелые значения. ( Измеряется в единицах  ).
г) Электрический заряд – q (измеряется в единицах элементарного
заряда е ). Для всех частиц в свободном состоянии он равен 0 или  1 .
д) Магнитный момент – μ – максимальное значение проекции вектора



собственного магнитного момента Рт частицы. Векторы Рт и J (спин)




коллинеарны. Если Рт  J то   0 , а если Рт  J , то μ < 0. Магнитные
моменты
μ элементарных частиц обычно измеряют в единицах
соответствующих магнетонов  0 
магнетон Бора  0   Б 
е
2т
(например, для электрона
это
е
).
2 те
Фундаментальные взаимодействия
Взаимодействие
Механизм
обмена
Сильное
Электромагнитное
Слабое
глюонами
фотонами
промежут.
бозонами
гравитонами
Гравитационное
Интенсивность Длительность Радиус
процессов, с действия,
м
-23
1
10
10-15
1/137
10-16

-6
-13
10
10
10-18
10-38
?

Интенсивность (или константу взаимодействия) представляют в
относительных единицах, где за единицу принята интенсивность при
сильных взаимодействиях.
1) Сильные взаимодействия удерживают нуклоны в ядрах. Частицы,
участвующие в сильном взаимодействии, называются адронами (протон,
нейтрон, гипероны, мюоны и др.). Короткодействующие.
2) Электромагнитные взаимодействия значительно слабее сильных,
но дальнодействующие. Именно эти силы вызывают разлёт осколков,
которые образуются при делении атомных ядер. Они также ответственны за
все электрические и магнитные явления, а также за оптические,
механические, тепловые и химические явления.
17
3) Слабые взаимодействия являются универсальными. Они
присутствуют при взаимодействиях всех частиц кроме фотона. Несмотря на
свою малую интенсивность и короткодействие эти взаимодействия играют
очень важную роль в природе. Они ответственны за все виды β-распада
ядер, за многие распады элементарных частиц, а также за все процессы
взаимодействия нейтрино с веществом. Кроме того, слабое взаимодействие
играет определяющую роль в реакциях, происходящих на Солнце и других
звёздах.
4) Гравитационные взаимодействия испытывают все частицы без
исключения, но для элементарных частиц, масса которых ничтожно мала,
гравитационное взаимодействие не имеет существенного значения.
Систематика элементарных частиц
Бозоны и фермионы
Бозоны – частицы с нулевым или целочисленным спином (фотон,
мезон, и др.).
Фермионы – частицы с полуцелым спином (электрон, мюон, таон,
нейтрино, протон, нейтрон и др.).
По времени жизни τ элементарные частицы подразделяются на
Стабильные (протон, фотон, электрон и нейтрино);
Квазистабильные
(τ
>
10-20c),
распадающиеся
за
счёт
электромагнитного или слабого взаимодействия.
Резонансы (τ ~ 10-23c), распадающиеся за счёт сильного
взаимодействия.
Классификация элементарных частиц
Переносчики взаимодействия:
Фотоны (γ-кванты) – переносчики электромагнитного взаимодействия;
W и Z – бозоны – переносчики слабого взаимодействия;
Глюоны – переносчики сильного взаимодействия;
18
Гравитоны – гипотетические переносчики гравитационного взаимодействия.
Лептоны – частицы, не участвующие в сильных взаимодействиях и
имеющие спин ½ (электроны, мюоны, таоны и соответствующие им
нейтрино). Лептоны принимают участие в слабых и электромагнитных
(кроме нейтрино) взаимодействиях. У всех лептонов не обнаружена
внутренняя структура.
Адроны – частицы, участвующие в сильных взаимодействиях. Самая
многочисленная группа частиц. Как правило, они участвуют и в
электромагнитных и слабых взаимодействиях. Адроны подразделяются на:
Мезоны – адроны с нулевым или целочисленным спином (бозоны);
Барионы – частицы с полуцелым спином (фермионы) и массой, не меньше
массы протона.
 – ламбда-гиперон
 – сигма-гиперон
 – кси-гиперон
Законы сохранения
Законы сохранения играют особо важную роль в физике элементарных
частиц.
1) Они не только ограничивают последствия различных
взаимодействий, но определяют так же все возможности этих последствий, и
поэтому отличаются высокой степенью предсказательности.
2) В этой области физики открытие законов сохранения опережает
создание последовательной теории. Многие законы сохранения для
элементарных частиц уже установлены из опыта, а соответствующие
фундаментальные законы их поведения ещё неизвестны. Поэтому законы
сохранения играют здесь главную роль и позволяют анализировать процессы,
механизм которых ещё не раскрыт.
Кроме законов сохранения энергии, импульса и момента импульса
существуют законы сохранения пяти зарядов:
электрического (Q),
барионного (В) и
трёх лептонных (Le), (Lμ), (Lτ).
Барионный заряд
В = +1 для барионов (нуклонов и гиперонов)
В = – 1 для антибарионов
В = 0 для всех остальных частиц.
19
В замкнутой системе для всех процессов с участием барионов и
антибарионов суммарный барионный заряд будет сохраняться.
Согласно этому закону, например, протон р не может превратиться в
позитрон 10 е~ и фотон γ , хотя это не запрещено законами сохранения
энергии, импульса, момента и электрического заряда (у протона В = 1, а у
позитрона и γ-кванта В = 0).
Из этого же закона следует, что антибарион может рождаться только в
паре со своим барионом. Например:
р  р  р  р  р  ~
р .
Лептонные заряды:
электронный Le (для е и νе);
мюонный Lμ (для μ и νμ);
таонный Lτ (для τ и ντ).
 е ;   ;   – электронное, мюонное и таонное нейтрино, которые
являются разными.
Le = Lμ = Lτ = +1 для лептонов ( е  , е ,   ,  ,  ,  )
Le = Lμ = Lτ = – 1 для антилептонов ( е  ,~е ,   ,~ ,  ,~ )
Le = Lμ = Lτ = 0 для всех остальных элементарных частиц.
В замкнутой системе при любых процессах разность между числом
лептонов и антилептонов сохраняется.
Например, закон сохранения лептонного заряда требует, чтобы при
распаде нейтрона
п  р  е   ~е .
Для гиперонов применяется ещё такая квантовая характеристика как
странность – S.
S = – 1 у О , , К 
S= –2 у 
S = – 3 у 
У соответствующих античастиц странность одинакова по модулю но
имеет знак « + ».
В сильных и электромагнитных взаимодействиях странность
сохраняется, а в слабых меняется на  1 .
Кварковая структура адронов
Все адроны построены из частиц, названных кварками.
В настоящее время установлено, что существуют шесть типов кварков:
u, d, s, c, b и t. Спин всех кварков равен ½ (кварки являются фермионами), а
барионный заряд В = 1/3. Кроме странности S кварки обладают ещё такими
20
квантовыми характеристиками как шарм (очарование) – С,
(прелесть) – b, правдивость (истинность) – t
красота
Соответствующие антикварки отличаются от кварков знаками зарядов
Q, B, S, C, b и t.
Анализ показывает, что каждый мезон является парой
кваркантикварк, а каждый барион состоит из трёх кварков.
Для выполнения принципа Паули, который запрещает одинаковым
частицам с полуцелым спином находиться в одном и том же состоянии было
выдвинуто предположение о наличии у кварков некой внутренней степени
свободы, из-за которой кварки одного типа могут отличаться друг от друга.
Эту степень свободы назвали цветом.
Каждый тип кварка характеризуют тремя цветами: красный, зелёный и
голубой. Их смесь бесцветна (белый). Цвет каждого кварка считается
дополнительным к цвету антикварка, так что пара кварк-антикварк еак же
бесцветна.
Противоречие с принципом Паули бало устранено с помощью
принципа бесцветности адронов.
По самым современным представлениям сильные взаимодействия
осуществляются путём обмена между кварками безмассовыми частицами –
глюонами, являющимися квантами поля, которое кварки создают и которое
на них же и воздействует. При испускании и поглощении глюонов цвет
кварков изменяется, но их тип сохраняется ( и-кварк не превращается в sкварк).
Анализ результатов, полученных при прямом просвечивании нуклонов
электронами высоких энергий, привёл к заключению, что внутри адронов
электроны рассеиваются на точечных частицах с электрическими зарядами
+2/3 и –1/3, причём эти частицы (кварки) ведут себя как бесструктурные
точечные элементы.
В свободном состоянии кварки не существуют. Существует две
гипотезы:
21
1). Сила взаимодействия между кварками не убывает с увеличением
расстояния между ними (подобно силе упругости) и нужно затратить
неограниченно большую энергию, чтобы вырвать кварк из адрона.
2). Кварки имеют очень большую массу. Это означает, что их энергия
связи в адронах весьма велика и оказывается недоступной для современных
ускорителей.
В настоящее время считают, что истинно элементарными или
фундаментальными частицами являются фотон, лептоны и кварки.
Лекция 26
Взаимодействие ионизирующих излучений с веществом
В веществе быстрые заряженные частицы взаимодействуют с
электронными оболочками и ядрами атомов.
А). Электрон, получив дополнительную энергию, переходит на один из
удалённых энергетических уровней или совсем покидает атом. Происходит
возбуждение или ионизация атома.
Б). При прохождении вблизи атомного ядра быстрая заряженная
частица испытывает торможение в его электрическом поле, которое
сопровождается испусканием квантов тормозного рентгеновского излучения.
В). Возможно упругое и неупругое соударение заряженных частиц с
атомными ядрами.
Длина пробега частицы зависит от:
– её заряда;
– массы;
– начальной энергии;
– свойств среды.
Пробег увеличивается с возрастанием начальной энергии,
уменьшением плотности среды, с уменьшением массы частицы (при
одинаковых энергиях массивные частицы имеют меньшую скорость и более
эффективно взаимодействуют с атомами среды).
Проникающую способность β-частиц обычно характеризуют
толщиной слоя вещества, полностью поглощающего все β-частицы.
Пластина алюминия толщиной 3,5 мм полностью защищает от β-частиц с
энергией Емакс = 2 МэВ.
α-частицы имеют малый пробег в веществе: ~ 2,5 см в воздухе и
сотые доли мм в мягких тканях человека.
α- и β-излучения не представляют большой опасности при внешнем
облучении, но могут причинить серьёзный вред здоровью при попадании
внутрь человека с пищей, водой и воздухом или при загрязнении
радиоактивными веществами поверхности тела.
22
Нейтроны
при движении в веществе не взаимодействуют с
электронными оболочками атомов, но при столкновении с атомными ядрами
они могут выбивать из них заряженные частицы, которые ионизируют и
возбуждают атомы среды.
γ-кванты взаимодействуют в основном с электронными оболочками
атомов, передавая часть своей энергии электронам (явление фотоэффекта,
эффекта Комптона или рождение электрон-позитронных пар). Возникающие
быстрые электроны производят ионизацию атомов среды.
Пробег γ-квантов и нейтронов в воздухе измеряется сотнями метров,
а в твёрдом веществе от десятков см до нескольких метров.
Потоки γ-квантов и нейтронов представляют наибольшую опасность
для человека при внешнем облучении.
Энергия
γ-квантов, МэВ
0,5
5,0
Толщина слоя вещества, ослабляющая поток
γ-излучения в десять раз, см
вода
бетон
свинец
24
12
1,3
76
36
4,7
Детектирование различных излучений
Так как все виды элементарных частиц в конечном итоге приводят к
ионизации атомов среды то приборы для регистрации этих частиц основаны
на выявлении актов ионизации.
Первая группа приборов – устройства, регестрирующие факт
пролёта частицы –
ионизационные камеры, газоразрядные,
сцинтилляционные, полупроводниковые и черенковские счётчики.
В сцинтилляционном счётчике заряженная частица вызывает
возбуждение атомов, которые переходя в основное состояние дают заметную
вспышку (сцинтилляцию). Счётчик состоит из датчика, светопровода и
фотоумножителя. Импульсы с фотоумножителя подвергаются счёту.
Полупроводниковый счётчик – полупроводниковый диод. В
нормальном состоянии диод заперт. При прохождении через переходный
р-п-слой быстрая заряженная частица порождает электроны и дырки
открывающие диод.
Счётчики часто объединяют в группы, чтобы зарегистрировать только
такие события, которые отмечаются одновременно несколькими приборами.
Вторая группа приборов – трековые устройства – камеры Вильсона,
диффузионные, пузырьковые, искровые и эмульсионные камеры.
В камере Вильсона дорожка из ионов становится видимой потому, что
на ионах происходит конденсация пересыщенных паров какой либо
жидкости (обычно пары спирта в инертном газе). Прибор работает циклами
(0,1 с через 100 с) так как пересыщение достигается быстрым
адиабатическим расширением рабочей смеси.
23
В диффузионной камере пересыщение достигается в результате
диффузии паров спирта от тёплой (t = 10oC) крышки камеры к охлаждаемому
(t = – 70оС) дну. В отличие от камеры Вильсона диффузионная камера
работает непрерывно.
В пузырьковой камере пересыщенные пары заменены прозрачной
перегретой жидкостью (давление жидкости ниже давления насыщенного
пара).
Эмульсионная камера состоит из толстой пачки тонких фотопластин.
После облучения пачка разбирается на слои, каждый из которых проявляется
и просматривается под микроскопом. Перед разборкой пачки на все слои
наносится с помощью рентгеновских лучей одинаковая координатная сетка.
Искровая камера состоит из системы плоских параллельных друг
другу металлических электродов, которые соединены через один с
заземлением. Если в момент подачи на незаземлённые электроды
высоковольтного импульса через камеру пролетает ионизирующая частица,
то её путь будет отмечен цепочкой искр.
Дозиметрия
Поглощённая доза излучения (ПДИ) – равна отношению энергии,
переданной ионизирующим излучением веществу, к массе вещества
D
E
.
m
Единицей ПДИ в СИ является грей (Гр): 1 Гр = 1 Дж/кг.
На практике используется внесистемная единица – рад: 1 рад = 0,01 Гр.
Экспозиционная доза (ЭзД) – отношение электрического заряда ионов
одного знака, возникающих в сухом воздухе при его облучении фотонами, к
массе воздуха:
Х 
q
.
M
В СИ единицей ЭзД является кулон/кг.
На практике употребляется внесистемная единица ЭзД – рентген (Р):
1 Р = 2,58 .10 –4 Кл/кг.
Доза в 1 рентген накапливается за 1 час на расстоянии 1 м от
радиоактивного препарата радия массой 1 грамм.
При облучении мягких тканей организма человека экспозиционной
дозе 1 Р соответствует поглощённая доза 8,8 мГр
1 Р  0,01 Гр  1 Гр  100 Р .
Коэффициент относительной биологической
(ОБЭ) или коэффициент качества
К = 1 – для рентгеновского и γ-излучения
эффективности
24
К = 3 – для тепловых нейтронов (ЕК ~ 0,5 МэВ)
К = 7 – для тепловых нейтронов (ЕК ~ 5 МэВ).
Эквивалентная доза (ЭД) – произведение ПДИ на коэффициент ОБЭ:
Н = D.K .
Единицей ЭД в СИ является зиверт (Зв): 1 Зв = 1 Гр при К = 1.
На практике используется внесистемная единица ЭД – биологический
эквивалент рентгена (бэр):
1 бэр = 0.01 Зв .
Биологическое действие ионизирующих излучений на живые
организмы – это ионизация атомов и молекул в клетках.
Первые признаки общего острого поражения организма взрослого
человека обнаруживаются начиная с 0,5  1,0 Зв . При такой ЭД начинаются
нарушения в работе кроветворной системы человека. При Н = ( 3  5 ) Зв
около 50% облучённых умирает от лучевой болезни в течение 1  2 мес. из-за
поражения костного мозга.
Значительная часть повреждений, вызванных реакцией в живых
клетках, является необратимыми.
Доза Н = 1 Зв приводит в среднем на 1000 облучённых к
2 случаям лейкоза,
10 случаям рака щитовидной железы,
10 случаям рака молочной железы у женщин,
5 случаям рака лёгких.
Естественный фон облучения
В любом месте на поверхности Земли, под землёй, в воде, в
атмосферном воздухе и в космическом пространстве существует
ионизирующая радиация различных видов и разного происхождения.
Дозы облучения, близкие к уровню естественного фона, не
представляют сколько-нибудь серьёзной опасности для живых организмов.
Доза внешнего фонового гамма-излучения колеблется в большинстве
мест от 0,3 до 0,6 мЗв за 1 год кроме мест, где почвы содержат большое
количество урана и тория.
Под действием первичного космического излучения (потока протонов)
возникает вторичное космическое излучение (поток γ-квантов и быстрых
электронов и мюонов). Земная атмосфера надёжно защищает всё живое на
Земле от его воздействия (0,3 мЗв за 1 год на уровне моря).
Кроме внешнего облучения, каждый живой организм подвергается
внутреннему
облучению.
Воздействие
β-частиц
и
γ-излучения
радиоактивного калия и углерода обусловливает дозу ~ 0,2 мЗв за год.
Наиболее значительный вклад в дозу внутреннего облучения вносит
радиоактивный газ – радон, попадающий в организм человека при дыхании.
25
В большинстве помещений (особенно в подвалах и 1-ых этажах) удельная
активность радона в 25 раз выше уровня вне зданий.
Среднее значение эквивалентной дозы облучения, обусловленной
естественным радиационным фоном, составляет около 2 мЗв за 1 год (1 мЗв
за счёт радона).
Средняя эквивалентная доза, получаемая человеком за год в
промышленно развитых регионах от искусственных источников
ионизирующей радиации ~ 1 мЗв за год.
Биологическое влияние малых доз излучения – не будь
радиоактивности и космического излучения, видимо, не было бы и человека
на Земле. Небольшие дозы излучения, сравнимые с уровнем естественного
фона, стимулируют развитие растений и организмов.
Предельно-допустимые дозы (ПДД)
Люди некоторых профессий подвергаются дополнительному
облучению (врачи и инженеры рентгенологи, работники АЭС, физики
экспериментаторы, космонавты, сотрудники аэрофлота, военные). Для этих
профессий ПДД = 50 мЗв/год.
Допустимый уровень разового аварийного облучения для населения –
0,1 Зв.
При систематическом облучении населения установлена доза не более
0,1 ПДД (5 мЗв/год).
За всё время жизни человека допустимая доза для населения составляет
0,35 Зв = 35 бэр.
При ежедневном просмотре TV – программ по три-четыре часа в день
за год будет получена доза ~ 10 – 5 Зв ( в 100 раз меньше уровня
естественного фона).
Лекция 27
КВАНТОВЫЕ ОБЪЕКТЫ НАНОТЕХНОЛОГИЙ
Цель нанотехнологий состоит в управлении поведением отдельных
наночастиц (атомов, молекул, молекулярных систем) при создании новых
наноустройств и материалов со специальными физическими, химическими и
биологическими свойствами.
Приборы нанотехнологий
1). Сканирующий туннельный микроскоп.
Принцип работы был рассмотрен в лекции, где излагался туннельный
эффект.
26
СТМ позволяет изучать поверхность проводящих образцов путём
измерения туннельного тока между образцом и острой иглой, подводящейся
к нему на расстояние, составляющее доли нанометров.
Важной особенностью СТМ является то, что помимо измерительных
функций наблюдения он может выполнять и активные исследовательские
функции: осуществлять захват и перемещение отдельных атомов, проводить
локальные химические реакции, манипулировать отдельными молекулами,
атомами и даже квантовыми точками , собирая из них заранее заданные
структуры.
При горизонтальном способе перемещения атомов по поверхности
образца игла СТМ осуществляет «перекатывание» атома по поверхности.
Процесс вертикального перемещения атомов подобен работе
башенного крана. Атом с помощью иглы СТМ отрывают от поверхности
образца, перемещают в нужное место и затем опускают и «отцепляют»,
приближая остриё к поверхности и переключая напряжение на игле.
2). Атомно-силовой микроскоп.
АСМ в отличие от СТМ позволяет исследовать поверхности не только
проводников, но и полупроводников и диэлектриков.
В основе работы АСМ лежит ванн-дер-ваальсовское взаимодействие
между атомами заострённой иглы, подводимой к поверхности образца, и
атомами поверхности.
При больших расстояниях r между
остриём иглы и поверхностью образца
действует сила притяжения. При малых r
электронные облака атомов поверхности
и острия перекрываются, что приводит к
электростатическому
отталкиванию.
Силы притяжения и отталкивания
уравновешивают друг друга при r = r* 
0,2 нм.
Обычно
используют
бесконтактный метод, когда r  5 нм
и режим работы «постоянной силы».
Игла АСМ расположена на
конце
миниатюрной
гибкой
консольной балки – кантилевера,
изгиб
которого
регистрируется
оптическим или пьезорезистивным
зондирующим узлом.
Современные АСМ позволяют
проводить исследования поверхнос-
27
ти с очень высоким разрешением, вплоть до атомных при изучении
неоргонических и синтетических материалов и биологических объектов.
Оригинальное применение методам АСМ нашли в
IBM. Они
предложили принципиально новое квантовое устройство записи и хранения
информации («Многоножка»), принцип работы которого основан на
механическом сканировании системой из большого количества АСМ-зондов
(4096 шт) тонкой полимерной плёнки толщиной 70 нм, нанесённой на
кремниевую подложку. При этом чип размером в 5 см2 может хранить
информацию, содержащуюся на 25 DVD-дисках (~ 153 Гбайт).
Объекты нанотехнологий
Это объекты, имеющие кристаллическую структуру с размерами хотя
бы в одном направлении от 0,1 нм до 1 мкм .
Квантовая яма – наноструктура,
в
которой
движение
электрона
ограничено в одном направлении.
На практике квантовую яму
можно получить, расположив тонкий
слой полупроводника с меньшей
шириной запрещённой зоны (Ез1) между
двумя более толстыми слоями полупроводника
с
большей
шириной
запрещённой зоны.
Квантовая нить (проволока) – наноструктура, в которой движение
электрона ограничено в двух направлениях.
Квантовая точка – наноструктура, в которой движение электрона
ограничено в трёх направлениях, как в потенциальном ящике. Квантовые
точки формируются подобным образом как и квантовые ямы. Они
представляют собой выращенные специальным образом наноостровкивключения одного полупроводника в матрице или на поверхности другого
полупроводника.
Квантовые точки могут иметь форму пирамид, сфер, сплющенных
капель и т.д., но всегда это своеобразная ловушка, удерживающая электроны
внутри себя.
Поведение электронов в квантовых точках хорошо описывается
моделью потенциального ящика. Это касается как дискретности
энергетического спектра электрона, так и плотности вероятности нахождения
электрона в том или ином квантовом состоянии.
28
Квантовую точку можно рассматривать как «искусственный атом»,
лишённый ядра.
На основе квантовых точек создаются новые виды полупроводниковых
сверхмалых лазеров и другие принципиально новые устройства и методы
исследований во всех областях современных высоких технологий и
биологии.
Углеродные нанотрубки – представляют собой цилиндрическую
поверхность, образованную правильными шестиугольниками из атомов
углерода. При диаметре от долей нанометра до нескольких нанометров
углеродные трубки могут достигать в длину несколько сантиметров.
В зависимости от размеров и структуры нанотрубки могут обладать
свойствами как проводников так и полупроводников.
Проводимость нанотрубок, обладающих металлическим типом
проводимости, может быть очень большой. Они могут пропускать ток
плотностью до 109 А/см2 , тогда как медный провод из-за джоулева нагрева
плавится уже при j = 106 А/см2.
Углеродные нанотрубки обладают также уникальными механическими
свойствами, что является следствием их атомной структуры. Предел
прочности однослойной углеродной нанотрубки более чем в 20 раз выше,
чем у стали, а плотность в 4 раза ниже (детали в 4 раза легче стальных и в два
раза легче деталей из магниевых, титановых и алюминиевых сплавов).
Структурные и электронные свойства нанотрубок обеспечивают
широкие возможности их использования при создании электронных
устройств нанометровых размеров – выпрямителей, транзисторов,
осцилляторов с очень высоким быстродействием, плоских мониторов,
катодолюминисцентных источников света и т.д.
Ожидается, что плотность записи информации в наноэлектронике
будет больше, чем в кремниевой микроэлектронике, примерно на три
порядка.
Уникальные перспективы имеют углеродные нанотрубки в медицине, в
частности при создании мозговых имплантов головного мозга , а так же в
информационных нейросетевых технологиях и при создании искусственного
интеллекта.
Три основных направления развития нанотехнологий
1). Создание электронных схем, размеры активных элементов которых
сравнимы с размерами атомов и молекул.
2). Разработка и изготовление нанороботов молекулярных размеров.
3). Сборка из атомов и молекул любых структур и конструкций.
29