Загрузил Владимир Кузьменко

MetZaoch2

Реклама
Cевастополь 2006
2
Министерство образования и науки Украины
Севастопольский национальный технический университет
И.Т. Овсянников
М.П. Евстигнеев
А.Г. Рыбаков
Методические указания и контрольные
задания по курсу общей физики
для студентов заочной формы обучения
инженерно-технических специальностей СевНТУ
под редакцией профессора А.Н. Веселкова
Издание 2-е исправленное и дополненное
3
ББК
Ф 50
УДК 53.1
Рецензенты: В.Г. Хромов, доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой технической механики и
машиноведения СевНТУ
В.А. Гусев, доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой электронной техники СевНТУ
Научный редактор: С.Ф. Барановский, доктор физико-математических наук, профессор
Овсянніков І.Т. Методичні вказівки та контрольні завдання з курсу
загальної фізики для студентів заочної форми навчання інженерно-технічних спеціальностей СевНТУ / І.Т. Овсянніков, М.П. Євстигнєєв,
О.Г. Рибаков / під
редакцією професора О.Н. Веселкова.–
Севастополь: Вид-во СевНТУ, 2006.– 224 с.
Методичні вказівки містять програму з курсу загальної фізики,
вимоги до виконання та оформлення контрольних робіт, варіанти
завдань за темами. З увіх розділів наведены основні формули і
співвідношення, приклади розв’язання типових задач, перелік учбової
та довідникової літератури. В додатку є необхідні довідкові материали.
Овсянников И.Т. Методические указания и контрольные задания по
курсу общей физики для студентов заочной формы обучения
инженерно-технических специальностей СевНТУ / И.Т. Овсянников,
М.П. Евстигнеев, А.Г. Рыбаков / под
ред. профессора А.Н.
Веселкова.– Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006.– 224 с.
Методические указания включают программу по курсу общей
физики, требования к выполнению и оформлению контрольных работ,
варианты заданий по темам. По всем разделам приведены основные
формулы и соотношения, примеры решения типовых задач, перечень
учебной и справочной литературы. В приложении представлены
необходимые справочные материалы.
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры физики
СевНТУ, протокол № 1 от 29 августа 2005 г.
© Издательство СевНТУ, 2006
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель настоящих методических указаний - оказать помощь
студентам заочной формы обучения инженерно-технических
специальностей СевНТУ в изучении курса общей физики.
В пособии материал курса физики распределен на шесть
разделов. В каждом из них даны основные формулы, примеры
решения задач и контрольные задания. Кроме того, в пособии
даны общие методические указания, рабочая программа курса
физики, сведения о приближенных вычислениях и некоторые
справочные таблицы.
В пособии учтены особенности учебных планов разных
специальностей – различие в числе контрольных работ и во
времени, отводимом для изучения курса физики. Для этого даны
две таблицы вариантов контрольных работ: одна для студентов,
выполняющих пять контрольных работ, и вторая – для
студентов, выполняющих три контрольные работы. Таблицы
вариантов контрольных работ студентам, занимающихся по
специальной программе, выдаются кафедрой физики СевНТУ.
5
ПРОГРАММА
Программа составлена на основе «Программы курса физики
для инженерно-технических специальностей высших учебных
заведений», утвержденной Учебно-методическим управлением
по высшему образованию 26 июня 1981 г.
Введение
Предмет физики. Методы физического исследования: опыт,
гипотеза, эксперимент, теория. Роль физики в развитии техники
и влияние техники на развитие физики.
Физические основы классической механики
Механическое движение как простейшая форма движения
материи. Элементы кинематики материальной точки. Скорость
и ускорение точки. Нормальное и тангенциальное ускорения.
Радиус кривизны траектории.
Динамика материальной точки и поступательного движения
твердого тела. Закон инерции и инерциальные системы отсчета.
Законы динамики материальной точки и системы материальных
точек. Внешние и внутренние силы. Центр масс (центр инерции)
механической системы и его закон движения. Закон сохранения
импульса.
Энергия как универсальная мера различных форм движения
и взаимодействия. Работа переменной силы. Кинетическая
энергия механической системы и ее связь с работой внешних и
внутренних сил, приложенных к системе.
Поле как форма материи, осуществляющая силовое
взаимодействие между частицами вещества. Потенциальная
энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее
связь с силой, действующей на материальную точку. Понятие о
градиенте скалярной функции координат. Напряженность,
потенциал поля. Потенциальная энергия системы. Закон
сохранения механической энергии.
6
Закон сохранения и превращения энергии как проявление
неуничтожимости материи и ее движения. Применение законов
сохранения к столкновению упругих и неупругих тел.
Элементы кинематики вращательного движения. Угловая
скорость и угловое ускорение, их связь с линейными скоростями
и ускорениями точек вращающегося тела. Момент силы
относительно оси. Момент импульса тела относительно
неподвижной оси вращения. Момент инерции тела
относительно оси. Уравнение динамики вращательного
движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения
момента импульса. Неинерциальные системы отсчета. Силы
инерции.
Элементы специальной (частной) теории относительности
Преобразования
Галилея.
Механический
принцип
относительности.
Постулаты
специальной
теории
относительности.
Преобразования
Лоренца.
Понятие
одновременности. Относительность длин и промежутков
времени. Интервал между событиями и его инвариантность по
отношению к выбору инерциальной системы отсчета как
проявление
взаимосвязи
пространства
и
времени.
Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский
импульс.
Основной
закон
релятивистской
динамики
материальной
точки.
Релятивистское
выражение
для
кинетической энергии. Взаимосвязь массы и энергии.
Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.
Границы
применимости
классической
(ньютоновской)
механики.
Механические колебания и волны в упругих средах
Гармонические механические колебания. Кинематические
характеристики гармонических колебаний. Дифференциальное
уравнение гармонических колебаний. Пружинный, физический
и математический маятники. Энергия гармонических колебаний.
Сложение гармонических колебаний одного направления и
одинаковой
частоты.
Биения.
Сложение
взаимно
7
перпендикулярных колебаний. Дифференциальное уравнение
затухающих колебаний и его решение. Дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда
смещения и фаза вынужденных колебаний. Понятие о
резонансе.
Волновые процессы. Механизм образования механических
волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны.
Уравнение бегущей волны. Длина волны и волновое число.
Энергия волны. Интерференция волн. Образование стоячих
волн. Уравнение стоячей волны и его анализ.
Основы молекулярной физики и термодинамики
Статический и термодинамический методы исследования.
Термодинамические параметры. Вывод уравнения молекулярнокинетической теории идеальных газов для давления. Средняя
кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое
толкование термодинамической температуры. Число степеней
свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии
по степеням свободы молекул. Внутренняя энергия идеального
газа. Работа газа при изменении его объема. Количество
теплоты. Теплоемкость. Первое начало термодинамики.
Применение первого начала термодинамики к изопроцессам и
адиабатному
процессу
идеального
газа.
Зависимость
теплоемкости идеального газа от вида процесса. Классическая
теория теплоемкостей идеальных газов.
Закон Максвелла для распределения молекул идеального
газа по скоростям и энергиям теплового движения.
Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения
частиц во внешнем потенциальном поле. Среднее число
столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.
Время релаксации. Явления переноса в термодинамически
неравновесных системах. Опытные законы диффузии,
теплопроводности и внутреннего трения. Молекулярнокинетическая теория этих явлений.
Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс
(цикл). Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл
Карно и его КПД для идеального газа. Второе начало
термодинамики. Независимость КПД цикла Карно от природы
8
рабочего тела. Энтропия. Энтропия идеального газа.
Статистическое толкование второго начала термодинамики.
Отступления от законов идеальных газов. Реальные газы.
Силы
и
потенциальная
энергия
межмолекулярного
взаимодействия. Эффективный диаметр молекул. Уравнение
Ван-дер-Ваальса и его анализ. Фазовые переходы I и II рода.
Критическое состояние. Внутренняя энергия реального газа.
Особенности жидкого и твердого состояний вещества.
Электростатика
Закон сохранения электрического заряда. Электрическое
поле. Основные характеристики электростатического поля –
напряженность и потенциал. Напряженность как градиент
потенциала. Расчет электростатических полей методом
суперпозиции. Поток вектора напряженности. Теорема
Остроградского – Гаусса для электростатического поля в
вакууме. Применение теоремы Остроградского – Гаусса к
расчету поля. Электрическое поле в веществе. Свободные и
связанные заряды в диэлектриках. Типы диэлектриков.
Электронная и ориентационная поляризация. Поляризованность.
Диэлектрическая восприимчивость вещества. Электрическое
смещение. Диэлектрическая проницаемость среды. Вычисление
напряженности поля в диэлектрике. Сегнетоэлектрики.
Проводники в электрической поле. Поле внутри проводника
и у его поверхности. Распределение зарядов в проводнике.
Электроемкость уединенного проводника. Взаимная емкость
двух проводников. Конденсаторы. Энергия заряженного
проводника, конденсатора и системы проводников. Энергия
электростатического поля. Объемная плотность энергии.
Постоянный электрический ток
Постоянный электрический ток, его характеристики и
условия существования. Классическая электронная теория
электропроводности металлов и ее опытные обоснования.
Вывод закона Ома в дифференциальной форме из электронных
представлений. Закон Видемана – Франца. Закон Ома в
интегральной форме. Разность потенциалов, электродвижущая
9
сила,
напряжение.
Затруднения
классической
теории
электропроводности металлов Границы применимости закона
Ома. Ток в газах. Плазма. Работа выхода электронов из металла.
Термоэлектронная эмиссия.
Электромагнетизм
Магнитное поле. Магнитная индукция. Закон Ампера.
Магнитное поле тока. Закон Био – Савара – Лапласа и его
применение к расчету магнитного поля. Магнитное поле
прямолинейного проводника с током. Магнитное поле
кругового тока. Магнитный момент витка с током. Вихревой
характер магнитного поля. Закон полного тока (циркуляция
вектора магнитной индукции) для магнитного поля в вакууме и
его применение к расчету магнитного поля тороида и длинного
соленоида. Действие магнитного поля на движущийся заряд.
Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле.
Принцип действия циклических ускорителей заряженных
частиц. Эффект Холла. Контур с током в магнитном поле.
Магнитный поток. Работа перемещения проводника и контура с
током в магнитном поле.
Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея).
Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции и его вывод
из закона сохранения энергии. Явление самоиндукции.
Индуктивность. Токи при замыкании и размыкании цепи.
Явление взаимной индукции. Взаимная индуктивность. Энергия
системы проводников с током. Объемная плотность энергии
магнитного поля.
Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов.
Типы магнетиков. Намагниченность. Микро- и макротоки.
Элементарная теория диа- и парамагнетизма. Магнитная
восприимчивость вещества и ее зависимость от температуры.
Закон полного тока для магнитного поля в веществе.
Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость
среды.
Ферромагнетики.
Опыты
Столетова.
Кривая
намагничивания. Магнитный гистерезис. Точка Кюри. Домены.
Спиновая природа ферромагнетизма.
10
Основы теории Максвелла для электромагнитного поля.
Ток смещения. Уравнения Максвелла для электромагнитного
поля в интегральной форме.
Электромагнитные колебания и волны
Гармонические электромагнитные колебания и их
характеристики.
Дифференциальное
уравнение
электромагнитных колебаний. Электрический колебательный
контур.
Энергия
электромагнитных
колебаний.
Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний и
его решение. Дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных
колебаний. Случай резонанса. Электромагнитные волны.
Дифференциальное уравнение электромагнитной волны.
Основные
свойства
электромагнитных
волн.
Монохроматическая волна. Энергия электромагнитных волн.
Поток энергии. Вектор Умова – Пойнтинга.
Волновая оптика
Интерференция света. Когерентность и монохроматичность
световых волн. Расчет интерференционной картины от двух
когерентных
источников.
Оптическая
длина
пути.
Интерференция света в тонких пленках. Интерферометры.
Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон
Френеля. Прямолинейное распространение света. Дифракция
Френеля на круглом отверстии и диске. Дифракция
Фраунгофера на одной щели и дифракционной решетке.
Разрешающая способность оптических приборов. Дифракция на
пространственной решетке. Формула Вульфа – Брэгга.
Исследование структуры кристаллов. Оптически неоднородная
среда. Дисперсия света. Области нормальной и аномальной
дисперсии. Электронная теория дисперсии света. Эффект
Доплера. Излучение Вавилова – Черенкова. Поляризация света.
Естественный и поляризованный свет. Поляризация света при
отражении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление.
Одноосные кристаллы. Поляроиды и поляризационные призмы.
Закон Малюса.
11
Квантовая природа излучения
Тепловое излучение. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа.
Закон Стефана – Больцмана. Распределение энергии в
спектре абсолютно черного тела. Закон смещения Вина.
Квантовая гипотеза и формула Планка. Оптическая пирометрия.
Внешний фотоэффект и его законы. Фотоны. Уравнение
Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Масса и импульс
фотона. Давление света. Опыты Лебедева. Квантовое и волновое
объяснения давления света. Эффект Комптона и его теория.
Элементы атомной физики и квантовой механики
Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма
свойств вещества. Формула де Бройля. Соотношение
неопределенностей как проявление корпускулярно-волнового
дуализма свойств материи. Волновая функция и ее
статистический
смысл.
Ограниченность
механического
детерминизма. Принцип причинности в квантовой механике.
Стационарные состояния. Уравнение Шредингера для
стационарных состояний. Свободная частица. Туннельный
эффект. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной
яме». Квантование энергии и импульса частицы. Понятие о
линейном гармоническом осцилляторе. Атом водорода. Главное,
орбитальное и магнитное квантовые числа.
Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона. Спиновое
квантовое число. Фермионы и бозоны. Принцип Паули.
Распределение электронов в атоме по состояниям. Понятие об
энергетических уровнях молекул. Спектры атомов и молекул.
Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения. Понятие о
лазере.
Элементы физики твердого тела
Элементы зонной теории твердых тел. Распределение
электронов проводимости в металле по энергиям при
абсолютном нуле температуры. Энергия Ферми. Влияние
температуры на распределение электронов. Уровень Ферми.
12
Вырожденный электронный газ. Электропроводность металлов.
Сверхпроводимость. Магнитные свойства сверхпроводника.
Энергетические зоны в кристаллах. Распределение электронов
по энергетическим зонам. Валентная зона и зона проводимости.
Металлы, диэлектрики и полупроводники. Собственная
проводимость полу проводников. Квазичастицы – электроны
проводимости и дырки. Эффективная масса электрона в
кристалле.
Примесная
проводимость
полупроводников.
Электронный и дырочный полупроводники. Контактные
явления. Контакт электронного и дырочного полупроводника (pn-переход)
и
его
вольтамперная
характеристика
Фотоэлектрические
явления
в
полупроводниках.
Люминесценция твердых тел.
Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
Заряд, размер и масса атомного ядра. Массовое и зарядовое
числа. Момент импульса ядра и его магнитный момент. Состав
ядра.
Работы
Иваненко
и
Гейзенберга.
Нуклоны.
Взаимодействие нуклонов и понятие о свойствах и природе
ядерных сил. Дефект массы и энергия связи ядра.
Закономерности и происхождение альфа- бета- и гаммаизлучений атомных ядер. Ядерные реакции и законы
сохранения. Реакция деления ядер. Цепная реакция деления.
Понятие о ядерной энергетике. Реакция синтеза атомных ядер.
Проблема управляемых термоядерных реакций. Элементарные
частицы. Их классификация и взаимная превращаемость.
Четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильные,
электромагнитные, слабые и гравитационные.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Савельев И.В. Курс физики: Учеб.пособие для
студентов втузов / И.В. Савельев. – В 3-х т. – Т.1:
Механика. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1989. –
350 с.
2. Савельев И.В. Курс физики: Учеб.пособие для
студентов втузов / В 3-х т. – Т.2: Электричество и
магнетизм. Волны. Оптика. – М.: Наука, 1989. – 496 с.
13
3. Савельев И.В. Курс физики: Учеб.пособие для
студентов втузов / В 3-х т. – Т.3: Квантовая оптика.
Атомная физика. Физика твердого тела. Физика
атомного ядра и элементарных частиц. – М.: Наука,
1989. – 301 с.
4. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.:
Высш. шк., 2002. – 542 с.
5. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу общей физики
с решениями – М.: Высш. шк., 2002. – 592 с.
6. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу
физики – СПб. Спецлит, 2001. – 328 с.
7. Чертов А.Г. Задачник по физике: Учеб.пособие – М.:
Высш. шк., 1981. – 496 с., ил.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Детлаф А.А.
Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М.
Яворский – М.: Высш. шк., 2002. – 718 с.: ил.
2. Чертов
А.Г.
Единицы
физических
величин.
Учеб.пособие для вузов – М.: Высш. шк., 1977. – 287 с.
14
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1. Учебная работа студента-заочника по изучению курса
общей физики складывается из следующих основных
элементов: самостоятельного изучения физики по учебным
пособиям, решения задач, выполнения контрольных и
лабораторных работ, сдачи зачетов и экзаменов.
Студентам рекомендуется:
а) изучать курс систематически в течение всего учебного
процесса;
б) выбрав какое-либо учебное пособие в качестве основного
для определенной части курса, придерживаться данного
пособия. Замена одного пособия другим в процессе изучения
может привести к утрате логической связи между отдельными
вопросами;
в) при чтении учебного пособия составлять конспект, в
котором записывать законы и формулы, выражающие эти
законы, определения физических величин и их единиц, делать
чертежи и решать типовые задачи;
г) чтобы научиться решать задачи и подготовиться к
выполнению контрольной работы, следует после изучения
очередного
раздела
учебника
внимательно
разобрать
помещенные в данном пособии примеры решения типовых
задач, решить ряд задач из задачников по физике.
2. За время изучения курса общей физики студент-заочник
должен представить на кафедру физики в зависимости от
специальности от трех до пяти контрольных работ.
3. Номера задач, которые студент должен включить в свою
контрольную работу, определяются по таблицам вариантов (см.,
например, стр. 54). Номер варианта должен совпадать с
последней цифрой номера зачетной книжки (шифр студента).
4. Контрольные работы выполняются только чернилами в
обычной школьной тетради, на обложке которой приводятся
сведения по следующему образцу:
15
Контрольная работа № 1
по физике студента
группы Р-11з СевНТУ
Петрова Сергея Павловича
шифр 212135
Адрес: г. Севастополь, пр. Победы, 2, кв. 8
5. Условия задач в контрольной работе нужно переписывать
полностью без сокращений, а затем выписать столбиком все
данные в условии задачи физические величины и выразить их в
единицах СИ.
Для замечаний преподавателя на страницах тетради
оставлять поля.
6. При решении задач необходимо выполнять следующее:
а) прочитать условие задачи. Выяснить, какие физические
явления или процессы в ней заданы;
б)
вспомнить
определения
физических
величин,
характеризующих как эти явления, так и свойства тел, в них
участвующих; какие физические законы справедливы для
явлений, заданных в условии задачи;
в) сделать чертеж (схему, рисунок), поясняющий
содержание и решение задачи (в тех случаях, когда это
возможно и необходимо).
7. Решение задачи сопровождать краткими, но
исчерпывающими пояснениями:
а) указать основные законы и формулы, на которых
базируется решение, дать словесную формулировку этих
законов, разъяснить буквенные обозначения формул;
б) если при решении задачи применяется формула,
полученная для частного случая, не выражающая какой-нибудь
физический закон или не являющаяся определением какойнибудь физической величины, то ее следует вывести.
8. Решить полученное уравнение или систему уравнений,
отражающие физический процесс, в общем виде относительно
искомой величины, т.е. выразить искомую физическую
величину в буквенных обозначениях величин, заданных в
условии задачи. При таком способе решения не производятся
числовые вычисления по промежуточным формулам.
16
9. После получения расчетной формулы для проверки ее
правильности следует подставить в правую часть формулы
вместо символов величин обозначения единиц этих величин в
единицах СИ, произвести с ними необходимые действия и
убедиться в том, что полученная при этом единица
соответствует искомой величине. Если соответствия нет, то это
означает, что задача решена неверно (см.пример 5 на стр.35 и
пример на стр.85).
10. Числовые значения величин при подстановке в
расчетную формулу следует выражать только в единицах СИ.
Константы физических величин и другие справочные данные
выбираются из таблиц настоящего пособия (стр. 215-220).
11. При подстановке в расчетную формулу, а также при
записи ответа, числовые значения величин следует записывать
как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой
перед запятой на соответствующую степень десяти. Например,
вместо 3520 надо записать 3.52103, вместо 0.000125 записать
1.2510-4 и т.п.
12. Вычисления по расчетной формуле надо производить с
соблюдением правил приближенных вычислений (см.
«Сведения о приближенных вычислениях»). Как правило,
окончательный ответ следует записывать с тремя значащими
цифрами. Это относится и к случаю, когда результат получен с
применением калькулятора.
Получив числовой ответ, оцените его реальность.
13. В конце контрольной работы указать, каким учебником
или учебным пособием студент пользовался при изучении
физики (название учебника, автор, год издания). Это делается
для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать,
что студенту следует изучить для завершения контрольной
работы.
14. Высылать на рецензию следует одновременно не более
одной работы. Во избежание одних и тех же ошибок очередную
работу
следует
высылать
только
после
получения
положительной рецензии на предыдущую.
15. Если контрольная работа при рецензировании не
зачтена, студент обязан представить ее на повторную рецензию
после исправления отмеченных ошибок и решения неверно
17
решенных задач. Повторную работу необходимо представить
вместе с незачтенной.
16. Контрольные работы должны быть представлены на
рецензию не позднее 10-15 дней до начала лабораторноэкзаменационной сессии в вузе.
Сведения о приближенных вычислениях
При решении физических задач числовые значения, с
которыми приходится иметь дело, большей частью являются
приближенными. Задачи с приближенными данными нужно
решать с соблюдением правил подсчета значащих цифр.
Значащими называются все цифры, кроме нуля, а также и нуль в
двух случаях: 1) когда он стоит между значащими цифрами; 2)
когда он стоит в конце числа и когда известно, что единицы
соответствующего разряда в данном числе нет.
Приближенные вычисления следует вести с соблюдением
следующих правил:
1. Так как с помощью вычислений получить результат
более точный, чем исходные данные, невозможно, то
достаточно производить вычисления с числами, содержащими
не больше знаков, чем в исходных данных.
2. При сложении или вычитании приближенных чисел,
имеющих различную точность, более точное число должно быть
округлено до точности менее точного. Например:
9,6 + 0,176 = 9,6 + 0,2 = 9,8;
100,8 - 0,425 = 100,8 - 0,4 = 100,4.
3. При умножении и делении следует в полученном
результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет
приближенное число с наименьшим количеством значащих
цифр. Например:
0,637  0,23  5,2 = 0,76, но не 0,761852;
6,32:3 = 2, но не 2,107.
4. При возведении в квадрат или в куб нужно сохранять
столько значащих цифр, сколько их имеется в основании
степени. Например:
1,232 = 1,51, но не 1,5129;
3,013 = 27,3, но не 27,270901.
18
5. При извлечении квадратного или кубического корня в
результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их
имеет подкоренное число. Например:
1,19  10 6 = 1,09  10-3, но не 1,09087  10-3;
10 = 2,1, но не 2,154.
6. При вычислении сложных выражений соблюдаются
указанные правила в зависимости от вида производимых
действий. В промежуточных результатах следует сохранять на
одну значащую цифру больше. Например: 5,2  14,062  33 ,92 .
3,1  2,005 10
Сомножитель 3,1 имеет наименьшее число значащих цифр
– две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений
должны округляться до трех значащих цифр:
3
(5,2  14,062)  3,92 19,3 1,98 38,2


 6,14 103
3
3
3,1  2,005 10
6,22 10
6,22
После округления результата до двух значащих цифр
получаем 6,110-3.
7. Если число незначительно отличается от единицы, можно
пользоваться приближенными формулами.
Если а, b, с много меньше единицы (меньше 0,05), то
можно принимать:
1) (1  a)(1  b)(1  c)  1  a  b  c
2)
3)
4)
5)
6)
7)
1
1 a
1 a
1
1 a 1 a
2
1
3
1 a  1  a
3
(1  a) n  1  n  a
1
1 a2  1 a2
2
1
1
 1 a2
2
1 a2
19
1
8)
 1
1
a
2
1 a
9) e  1  a
10) ln( 1  a)   a
1 a
 2a
11) ln
1 a
a
8. Если угол 5 и выражен в радианах, то в первом
приближении можно принять: sin   tg   ; cos  1.
Соблюдая эти правила, студент сэкономит время на
вычислении искомых величин при решении физических задач.
20
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ
1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Основные законы и формулы

Средняя путевая скорость и среднее ускорение
 υ 
ΔS
;
Δt
 a 
Δυ
Δt
где S - путь, пройденный точкой за интервал времени t.
Путь S в отличие от разности координат x = x2 – x1 не
может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. S0.
 Мгновенная скорость и мгновенное ускорение
υ

dx
dt
или
a
dυ d 2 S
 2
dt
dt
υ
dS
;
dt
Тангенциальная и нормальная составляющая ускорения
dυ
υ2
a 
; an 
,
dt
R
где R – радиус кривизны траектории.
 Полное ускорение
 

a  a  an ; a  a2  an2

Кинематическое уравнение равнопеременного движения
материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси
X
ax  t 2
x  x 0  υ0 x  t 
,
2
где хо – начальная координата движущейся точки в момент
времени t = 0;
υ ox – проекция скорости точки на ось Х в этот момент
21
времени;
ax – проекция мгновенного ускорения на ось Х.
 Скорость и путь равнопеременного поступательного
движения
 υ  υo  a  t

a t2

S  υo  t  2

Угловая скорость и угловое ускорение

Кинематические
уравнения
вращательного движения



 d  dω
ω
; ε
.
dt
dt
равнопеременного
 ω  ωo  ε  t

ε t2



ω

t

o

2
Связь между линейными и угловыми величинами при
вращательном движении: длина дуги, пройденная точкой
S  R,
где  – угол поворота тела,
R – радиус вращения точки;
2
υ  ω  R ; a  ε  R ; a n  ω  R .


Импульс (количество движения) материальной точки массой

m, движущейся со скоростью υ ,


p  mυ .
Основное уравнение динамики поступательного движения
(второй закон Ньютона)



 d m  υ  dp
Fi  m  a 


dt
dt
i 1
n
 Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила упругости
F  k  x ,
где k – коэффициент упругости;
x – абсолютная деформация;
б) сила трения скольжения
22
Fтр  f  N ,
где f – коэффициент трения;
N – сила нормального давления;
в) сила гравитационного взаимодействия (сила тяготения)
Fтяг  γ
m1m2
,
r2
где  – гравитационная постоянная;
m1 и m2 – массы взаимодействующих тел;
r – расстояние между телами (тела рассматриваются
как материальные точки);
г) сила, действующая на тело, движущееся по дуге окружности
радиуса R
Fn  man 

mυ 2
 mω 2 R .
R
Закон сохранения импульса (количества движения) для
замкнутой (изолированной) системы
n

m υ
i 1
i i
 const ,
или для двух тел (i = 2):






m1υ1  m2υ2  m1u1  m2u2 ,
где υ1 и υ2 – скорости тел в начальный момент времени (до
взаимодействия);
 
u1 и u 2 – скорости тех же тел после их взаимодействия.
 Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно
T
mυ 2
p2
, или T 
.
2
2m
 Потенциальная энергия:
а) упругодеформированного тела
kx2
П
,
2
где k – коэффициент упругости (жесткость) тела;
x – абсолютная деформация;
б) гравитационного взаимодействия тел
23
П  γ
m1m2
;
r
в) тела, поднятого над поверхностью Земли
П  mgh ,
где g – ускорение свободного падения;
h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой
(формула справедлива при условии h<<RЗ , где RЗ – радиус
Земли).
 Закон сохранения полной механической энергии (для
замкнутой системы)
Е = Т+П = const.

Работа А, совершаемая внешними силами, определяется как
мера изменения энергии системы (тела): A = Е = Е2 - Е1
 Работа:
а) постоянной силы F:
A  FS cos α ,
где

-
угол

перемещения S ;
между
направлениями
силы

F
б) переменной силы F:
b
A   F cos α dS
a
где a и b – координаты начальной и конечной точек пути;
в) упругой силы
A
kx2
.
2
N
ΔA
;
Δt
 Мощность:
а) средняя за время t
б) мгновенная
N

dA
dS
 Fυ cos α .
, или N  F cos α
dt
dt
Напряженность гравитационного поля Земли
и
24

γMЗ
 Fтяг
 
, или  
,
m
( R З  h) 2
где МЗ – масса Земли;
RЗ – радиус Земли;
h – высота над поверхностью Земли.
 Потенциал гравитационного поля Земли

γMЗ
П
, или   
.
m
RЗ  h
 Момент инерции материальной точки
I  mr 2 ,
где r – радиус (расстояние от точки до оси вращения).
 Момент инерции системы (тела)
n


I   mi ri2 , или I  r dm  ρ r dV ,
i 1
2
m
2
V
где dm – элементарная масса тела;
dV – элементарный объем тела;
 – плотность вещества тела.
 Моменты инерции некоторых тел массой m относительно
оси, проходящей через центр масс (центр симметрии):
а) полого (тонкостенного) и сплошного цилиндров (или диска)
радиуса R
I п.ц.  mR2 ; I ц 
1
mR 2 ;
2
б) шара радиуса R
I ш  0,4mR 2 ;
в) тонкого стержня длиной
перпендикулярна стержню
I
l,
если
ось
вращения
1
ml 2 ;
12
то же, но ось вращения проходит через один из концов стержня
I
1 2
ml ;
3
г) тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера)
I  I 0  ma 2 ,
25
где I0 – момент инерции тела относительно оси,
параллельной данной и проходящей через его центр инерции;
a – расстояние между параллельными осями.
 Момент силы относительно неподвижной оси вращения





M  [ r  F ] , или M = F d,

где r – радиус-вектор;
d – плечо силы F.

Момент импульса материальной точки относительно
неподвижной точки

L  [ r , m υ ] , или




L  Iω .
Основное уравнение динамики вращательного движения
твердого тела


 dL

.
M  I , или M 
dt
Проекция на ось Z момента импульса тела, вращающегося
относительно неподвижной оси Z
n
Lz = Iz, или L z   mi υi ri ,
i 1

где  - угловая скорость тела.
Закон сохранения момента импульса (количества движения)
для изолированной системы
n

I ω
i 1
i
i
 const ,
где Ii – момент инерции тел относительно оси Zi;
i – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси
Z.
 Кинетическая энергия вращающегося тела относительно
неподвижной оси
Tвр 

I z ω2
L2
, или Tвр  z .
2
2I z
Работа при вращательном движении
dA = Md,
где d – угол поворота тела.
26

Кинематическое уравнение
материальной точки
гармонических
колебаний
x  A cos(ωt  0 ) ,
где х – смещение колеблющейся точки от положения
равновесия;
А – амплитуда колебаний;
 – круговая или циклическая частота;
0 – начальная фаза колебаний;
t – время.
ω
2π
 2πν ,
T
где Т – период колебаний точки;
v – частота колебаний.
 Скорость и ускорение материальной точки, совершающей
гармонические колебания:
υ
a

dx
 –Asin(t+0);
dt
dυ
 –A2cos(t+0) = –2x.
dt
Сила, под действием которой точка массой m совершает
гармоническое колебание (возвращающая сила)
F  ma  mA 2 cos(t   0 )  kx ,
где k  mω 2 (m – масса точки), x  A cos(t  0 ) .

Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся
точки:
m 2 mA2 2 sin 2 (t   0 )

2
2
2
2 2
kx
mA  cos 2 (t   0 )
П

2
2
T

Полная энергия колеблющейся точки
Е = Т+П =
1
1
mA2 ω 2  kA2 .
2
2
 Период собственных колебаний:
а) математического маятника
27
T  2π
l
,
g
где l – длина маятника;
g – ускорение свободного падения;
б) пружинного маятника
T  2π
m
k
где m – масса колеблющегося тела;
k – жесткость пружины;
в) физического маятника
T  2π
I
L
 2π
,
mga
g
где I – момент инерции колеблющегося тела относительно
оси колебаний;
а – расстояние до центра тяжести маятника от оси
колебаний;
L

I
– приведенная длина физического маятника.
ma
Уравнение затухающих колебаний (в среде, где сила
сопротивления пропорциональна первой степени скорости)
x = Aoe- tsin(t+1) или x = Aoe- tcos(t+2),
где А – амплитуда в момент времени t = 0;
е – основание натурального логарифма;
 – коэффициент затухания.
 Логарифмический декремент затухания
λ  ln
Ai
 δT
Ai 1
где Аi и Аi+1 – амплитуды двух последовательных колебаний.
 Сложение гармонических колебаний одного направления с
одинаковой частотой (периодом), но разными амплитудами
и начальными фазами:
x1  A1sin( ωt  1 ) , x2  A2 sin( ωt   2 )
Результирующее колебание выражается уравнением
28
x  x1  x2  Asin( ωt   o ) ,
A
где
A12  A22  2 A1 A2 cos( 2   1 ) –
амплитуда
результирующего колебания;
 o  arctg

A1sin 1  A2 sin  2
– его начальная фаза.
A1cos1  A2 cos 2
Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний
одинакового периода, но разных амплитуд и начальных фаз.
x1  A1sin( ωt  1 ) , y  A2 cos(ωt   2 ) .
Траектория результирующего колебания задается уравнением:
x2 y2
2 xy
 2 
cos( 2  1 )  sin 2 ( 2  1 ) .
2
A1 A2 A1 A2
В зависимости от разности фаз и амплитуд это будет либо
прямая, либо эллипс, либо окружность.
 Длина волны
λ  υT 
υ
,
v
где Т – период колебания;
υ – скорость распространения волны;
v – частота колебаний.
 Уравнение плоской бегущей волны:
y = Acos(t –
x
) = Acos(t – kx),
υ
где y – смещение любой из точек среды с координатой x (от
источника колебаний) в момент времени t (рисунок
1);
υ – скорость распространения колебаний в среде;
k
2π
– волновое число;
λ
 – длина волны.
29
y

y
B
0
x



F
Разность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на
расстояниях х1 и х2 от источника колебаний
2π ( x2  x1 ) 2π

x .
λ
λ
При падении плоской волны на границу раздела двух сред
возникает отраженная волна, которая, складываясь с
падающей волной, образует стоячую волну.
Уравнение стоячей волны
y = 2A cos kx sin t,
где A(x) = 2A cos kx – амплитуда стоячей волны.
Амплитуда
стоячей
удовлетворяющих

D
Рис. 22
Рисунок
1
   2  1 

x
B
Рисунок
Рис.1
E
0
x
y
A C
волны
условию
максимальна
x  2n
λ
4
и
в
точках,
называемых
пучностями стоячей волны. Здесь n = 0,1,2,3… (рис. 2; точки
А, С, Е,…).
Амплитуда стоячей волны минимальная в точках,
удовлетворяющих условию x  ( 2n  1 )
λ
и называемых
4
узлами стоячей волны (рисунок 2; точки В, D, F,…).
30
Примеры решения задач
Пример 1. Движение тела массой 2 кг задано уравнением х
= 6t +3t+1 (м). Найти зависимость скорости и ускорения от
времени. Вычислить силу, действующую на тело, и импульс
тела в конце второй секунды.
3
Дано:
x = 6t3+3t+1
m = 2 кг
t=2с
υ (t)-? A(t)-?
F-? p-?
Решение:
Мгновенную
скорость
находим
производную от координаты по времени:
υ
как
dx
 18t 2  3
dt
Мгновенное ускорение определяется первой
производной от скорости по времени или второй производной
от координаты по времени:
a
dυ d 2 x
; a = 36t.

dt dt 2
Сила, действующая на тело, определяется по второму
закону Ньютона: F = ma, где a - ускорение в конце второй
секунды.
Тогда F = m36t; F = 2362 = 144 (H).
Импульс тела p = m υ = m(18t2+3); p = 2(1822+3) = 150
(кгм/с).
Ответ: υ = 18t2+3 (м/с); а = 36t (м/с2); F = 144 H; p =
150 кгм/с.
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по
закону  = A+Bt+Ct2, где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = –2 рад/с2.
Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r =
0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.
Дано:
А = 10 рад
В = 20 рад/с
С = – 2рад/с2
r = 0,1 м
Решение:
Полное ускорение точки, движущейся по
кривой линии, может быть найдено как
геометрическая
сумма
тангенциального

ускорения a , направленного по касательной к
траектории, и
31

t=4с
a-?
нормального ускорения a n , направленного к
центру кривизны траектории (рисунок 3):
  
a  a  an .


A
r
an
0
a
Так как векторы a и a n
взаимно перпендикулярны, то
модуль ускорения
a  a2  an2
a
Рисунок 3
(1).
Модули тангенциального и
нормального ускорения точки
вращающегося
тела
выражаются
формулами:
a  εr , a n  ω 2 r ,
где  – модуль угловой
скорости тела;
 – модуль его углового ускорения.
Подставляя выражения a и a n в формулу (1), находим:
a  ε 2 r 2  ω 4 r 2  r ε 2  ω 4 (2).
Угловую скорость  найдем, взяв первую производную
угла поворота по времени: ω 
d
 B  2Ct .
dt
В момент времени t4 с модуль угловой скорости
 = [20+2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от
угловой скорости по времени: ε 
dω
,  = 2С = 2(-2) рад/с2 =
dt
– 4 рад/с2.
Подставляя значения ,  и r в формулу (2), получаем:
a  0,1 (4) 2  4 4 м/с2 = 1,65 м/с2.
Ответ: а = 1,65 м/с2.
32
Пример 3. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью υ o
= 50м/с, а спустя  = 1 с из того же места, в том же направлении
и с той же скоростью бросили второй мяч. Когда и где
встретятся мячи? Какова будет их скорость в момент встречи?
Как со временем изменяется расстояние между мячами и
скорость второго мяча относительно первого?
Дано:
υ o = 50 м/с
=1
tв-? h-?
υ 1в-? υ 2в-?
x-? υ от-?
x
xв
Решение:
За начало системы координат примем точку
бросания мячей, ось Ох направим вертикально
вверх. Для наглядности законы движения тел
изобразим графически (рисунок 4). Запишем
уравнения для координат первого и второго мяча
в любой момент времени t:
gt 2
;
x1  υo t 
2
I
x 2  υo (t  τ) 
II
h
0

Рис. 4
υo t в 
tв
t
g (t  τ) 2
2
В момент встречи tв
координаты
мячей
равны, т.е. х1 = х2 или
1 2
1
gt в  υo (t в  τ)  g (t в  τ) 2
2
2
Решим это уравнение относительно tв:
υo t в 
1 2
1
1
gt в  υo t в  υo τ  gt в2  gt в τ  gτ 2 ;
2
2
2
1
gt в τ  τ (υo  gτ) ;
2
υ
1
t в  o  τ , где g = 9,8 м/с2.
g 2
33
tв 
50м/с
1
  1с  5,6с
2
2
9,8м/с
Подставляя это значение tв в уравнение для х1 или х2,
получим:
2
υ
υ
1  1 υ
1 
1
1 υ2 1
x в  h  υo  o  τ   g  o  τ   o  υo τ   o  υo τ 
g 2
2 g 2
g 2  2 g 2 
υ
gτ 2
1
 gτ 2  o 
8
2g
8
50м/с 2
9,8м/с 2  1с
h

 126,1м
8
2  9,8м/с 2
В любой момент времени t скорости мячей υ1  υ0  gt и
2
υ2  υ0  g (t  τ) .
В момент встречи мячей их скорости будут
υ1в  υ0  gt в = 50 м/с – 9,8 м/с2  5,6 с = – 4,9 м/с,
υ2в  υ0  g (t в  τ) = 50-9,8(5,6-1) = 4,9 (м/с).
Оба мяча имеют одинаковые по модулю скорости, но
направленные навстречу друг другу. Первый мяч падает, второй
– поднимается вверх.
В любой момент времени t расстояние между мячами
Δx  x1  x2  υo t 
 υo t  υo τ 
gt 2
1
1
 [υo (t  τ)  g(t  τ)2 ]  υo t  gt 2 
2
2
2
1 2
1
1
gt  gtτ  gτ 2  gτ 2  υ o τ  gtτ .
2
2
2
Скорость второго мяча относительно первого
υ от = υ2 – υ1 = υ o– g(t–) – ( υ o– gt) = υ o– gt + g – υ o+ gt =
g = const
υ от = 9,8 м/с2  1 с = 9,8 м/с
Ответ: tв5,6 с; h = 126,1 м; υ1в = – 4,9 м/с; υ 2 в = 4,9
м/с;
34
х =
1 2
g + υ o –gt; υ от = 9,8 м/с = const.
2
Пример 4. На железнодорожной платформе, движущейся со
скоростью υ = 36 км/ч, укреплено орудие, ствол которого
направлен в сторону движения платформы и приподнят над
горизонтом на угол  = 45о. Орудие произвело выстрел, в
результате чего скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза.
Найти скорость u снаряда (относительно орудия) при вылете из
ствола. Масса снаряда m = 40 кг, масса платформы с орудием
(без снаряда) M = 1,5 т.
Дано:
υ = 36 км/ч = 10
м/с
 = 45о
n=2
m = 40 кг
M = 1,5 т = 1500
кг
u-?
Решение:
На систему платформа с орудием –
снаряд извне действуют две силы: тяжести


(m+M) g и реакции N рельсов. До
выстрела эти силы уравновешивались, так
как система двигалась равномерно. Во
время выстрела сила взаимодействия между
платформой и рельсами
возрастает
вследствие явления
отдачи, поэтому
равновесие сил,
приложенных
к
системе,
нарушается:
N>(m+M)g.
Следовательно, во время выстрела система не является
замкнутой, ее импульс изменяется. Однако следует учесть, что
обе рассмотренные силы действуют по вертикали, в то время
как
в
горизонтальном
u
c направлении никакие силы на

систему не действуют (трением

N
колес платформы о рельсы

пренебрегаем).
Поэтому
n
проекция импульса системы на

горизонтальное
направление
(направление
движения
x
платформы)
есть
величина
(m+M)g
постоянная. Рассматривая все
Рисунок 5
движения
относительно
поверхности земли, получим:
35
mυc cos β  M
υ
 (m  M )υ , (1)
n
где υ с cos  – проекция на ось Ох скорости υ с снаряда
относительно Земли (рисунок 5).
Чтобы связать скорость υ с с искомой скоростью u, будем
рассматривать движение снаряда относительно Земли как
сложное, состоящее из двух: со скоростью u относительно
υ
орудия и со скоростью вместе с орудием относительно Земли.
n


 υ
Тогда υ c  u  .
n
Перепишем это уравнение в проекции на ось Ох:
υc cos   u cos  
υ
.
n
Тогда уравнение (1) примет вид:

m u cos α 

υ
υ
  M  (m  M )υ ;
n
n
mnu cos α  mυ  Mυ  nυ(m  M ) ;
mnu cos α  υ(m  M )( n  1) ;
u
υ(m  M )( n  1)
.
mn cos α
Произведем вычисления:
u
10(40  1500)( 2  1)
м/с = 272,3 м/с.
40  2  cos 45
Ответ: u = 272,3 м/с.
36
Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета
вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h =
5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была
сжата на x = 10 см. Массой пружины и силами трения
пренебречь.
Дано:
m = 20 г = 0,02
кг
h=5м
x = 10 см = 0,1
см
h-?
Решение:
Рассмотрим систему пружина – пуля.
Так как на тела системы действуют только
консервативные силы, то для решения задачи
можно применить закон сохранения энергии
в
механике.
Согласно
ему
полная
механическая энергия Е1 системы в
начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е2
в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.
Е1 = Е2, или Т1 +П1 = Т2 + П2 ,
(1)
где Т1, Т2, П1 и П2 – кинетические и потенциальные энергии
системы в начальном и конечном состояниях.
Так как кинетические энергии пули в начальном и
конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид:
П1 = П2
(2)
Примем потенциальную энергию пули в поле тяготения
Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а
высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой
пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет
равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. П1 =
1 2
kx ,
2
а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на
высоте h, т.е. П2 = mgh. Подставив выражения П1 и П2 в
формулу (2), найдем
1 2
kx = mgh, откуда
2
2mgh
(3)
x2
Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости
k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин
подставим их единицы:
k
37
[m][ g ][ h] 1кг 1м/с 1м 1кг  м  с


1м
[ x] 2
1м 2
2
-2
1
Н
.
м
Убедившись, что полученная единица является единицей
жесткости (1Нм), подставим в формулу (3) значения величин и
произведем вычисления:
2  0,02  9,81  5 Н
Н
k
 196 .
2
м
м
(0,1)
Ответ: k = 196 H/м.
Пример 6. На горизонтальную ось насажен шкив радиуса R
= 10 см. На шкив намотан шнур, к свободному концу которого
подвесили гирю массой m = 0,5 кг. Масса шкива М = 2 кг.
Считая массу шкива равномерно распределенной по ободу,
определить ускорение a, с которым будет опускаться гиря, силу
натяжения Т нити и силу давления N шкива на ось.
Дано:
Решение:
R = 10 см = 0,1
Поскольку ускорение центра инерции
м
шкива ac = 0 и шкив только вращается,
m = 0,5 кг
уравнения движения шкива запишутся в виде

М = 2 кг
F
а)
(1)
M i  Iε
i  0 , б)
g = 9,8 м/с2

На шкив действуют сила тяжести Mg ,
а-? T-? N-?

сила натяжения T нити и сила реакции

O

N

T
Рисунок 6

N оси. Последняя по третьему закону
Ньютона численно равна искомой силе
R
Mg

T
mg
a
x
давления шкива на ось. Сила N
направлена
вертикально
вверх.
Уравнение (1,а) в проекциях на ось Ох
имеет вид:
Mg+T-N = 0. (2)
Шкив вращается под действием лишь
момента силы Т. Следовательно,
уравнение (1,б) дает:
TR = I.
(3)
38
Момент инерции шкива, поскольку его масса равномерно
распределена по ободу, найдем по формуле:
I = MR2
(4)
Уравнения (2) и (3), описывающие движение шкива,
содержат три неизвестных: T, N и . Недостающее уравнение
запишем, применив второй закон Ньютона для поступательного
движения гири (в проекциях на ось Ох):
mg-T = ma
(5)
Так как шнур сматывается со шкива без проскальзывания,
то ускорение гири равно линейному ускорению точек на ободе
шкива. Следовательно, угловое ускорение шкива
ε
a
R
(6)
Подставив в (3) значения I,  по формулам (4) и (6), получим:
T = Ma
(7)
Решая систему уравнений (2), (5), (7), найдем все три
неизвестные величины:
mg
M ( M  2m) g
Mmg
; T
; N
.
a
M m
M m
M m
Произведем вычисления:
0,5  9,81
м/с 2  1,96м/с 2 .
2  0,5
2  0,5  9,81
T
H  3,92H .
2  0,5
2(2  2  0,5)  9,81
N
H  23,54H .
2  0,5
Ответ: a = 1,96 м/с2; Т = 3,92 Н; N = 23,54 H.
a
Пример 7. Платформа, имеющая форму диска, может
вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит
человек. На какой угол  повернется платформа, если человек
пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную
(на платформе) точку? Масса платформы m1 = 280 кг, масса
человека m2 = 80 кг. Момент инерции человека рассчитывать
как для материальной точки.
39
Дано:
m1 =280 кг
m2 = 80 кг
 -?
O
Решение:
Перемещаясь
по
платформе,
человек
взаимодействует с ней. Согласно условию задачи,
момент внешних сил относительно оси вращения,
совпадающей с геометрической осью платформы,
можно
считать
равной
нулю.
Следовательно,
для
системы
x платформа – человек выполняется
A

 закон сохранения момента импульса,
A
который запишем так:
Рисунок 7
где



L2  I 1ω1  I 2 ω 2
–


L1  L2 ,



L1  I1ω0  I 2 ω0
–
момент
импульса
системы
в
начальном состоянии,
момент импульса системы в
конечном состоянии.
Следовательно,




(1)
I1ω 0  I 2 ω 0  I ω1  I 2 ω 2 ,
где I1 и I2 – моменты инерции платформы и человека
относительно оси, проходящей через центр платформы
в начальный момент (человек стоит на краю
платформы).
Момент инерции платформы
I1 
1
m1 R 2 ,
2
где R – радиус платформы.
Момент инерции человека относительно центра платформы
I 2  m2 R 2 .
0 – начальная угловая скорость платформы и человека (0 = 0).
I1 – момент инерции платформы с человеком:
I 1 
1
m1 R 2  m2 R 2 .
2
40
1 – конечная угловая скорость платформы с человеком.
– конечная угловая скорость человека.
2
За время t обхода человеком края платформы платформа
повернется на угол , а сам человек – на угол (2-).
Следовательно, угловая скорость человека ω 2 
платформы с человеком
ω1  
2π - 
, а
Δt
 , так как платформа
Δt
вращается в противоположную сторону движения человека
(назад). Тогда уравнение (1) примет вид:

2π  
1

,
0   m1  m 2  R 2 
 m2 R 2 
Δt
Δt
2

1

или  m1  m 2     m 2 (2π   ) .
2

m1  2m2  4π  m2  2m2 ,

4π  m2
.
m1  m2
Произведем вычисления:

4π  80
8π
рад 
рад = 96
280  4  80
15
Ответ:  = 96о.
Пример 8. Какую минимальную работу нужно совершить,
чтобы забросить тело массой m = 1000 кг с поверхности Земли
на Луну? Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60
радиусам Земли. Масса М Земли больше массы m Луны в 81 раз.
Считать, что при перемещении тела взаимное положение Луны
и Земли не меняется. Сопротивление воздуха не учитывать.
41
Дано:
Решение:
Тело массой m необходимо перемещать
m = 1000 кг
все время в суммарном гравитационном поле
l = 60Rз
Земли и Луны. На прямой, соединяющей
Mз = 81mл
центры Земли и Луны, есть точка С (рисунок
Аmin-?
8), в которой гравитационные поля Земли и
Луны
уравновешиваются (з =
l
л). Точка С делит весь


С
путь тела m на две части.
З
Л
RЗ
На первом участке от
m
mЛ Земли до точки С сила
МЗ
x
тяготения
суммарного
Рисунок 8
гравитационного
поля
Земли и Луны направлена к
Земле, на втором участке от точки С до Луны – к Луне.
Очевидно, на первом участке необходимо совершать работу
против сил тяготения, а на втором участке – не обязательно, так
как достигнув точки С с любой, сколь угодно малой скоростью,
тело тут же начнет двигаться ускоренно к Луне под действием
сил тяготения.
Следовательно, работа будет минимальной, если тело
достигнет точки С с минимальной скоростью, необходимой для
дальнейшего движения. Эту скорость, а значит, и кинетическую
энергию тела в точке С можно считать равной нулю.
Таким образом, работа пойдет только на увеличение
потенциальной энергии тела в суммарном поле тяготения Земли
и Луны. Поэтому она может быть вычислена по формуле
A = - m(1-2) = m(2-1), (1)
где 1 и 2 – потенциалы гравитационного поля у поверхности
Земли и в точке С соответственно.
Из принципа суперпозиции (наложения) полей следует, что
потенциал в каждой точке пространства
 = з+л
(2)
где з и л - потенциалы полей тяготения Земли и Луны в этой
точке.
42
Так как потенциал поля, созданного материальной точкой
массой m на расстоянии r от нее, равен:
M
mл
m
, то получим 1   γ З  γ
,
r
RЗ
l - RЗ
M
MЗ
M
или 1  γ З  γ
 γ З .
RЗ
81  59 RЗ
RЗ
M
m
2   З  γ л ,
x
lx
  γ
где х – расстояние от центра Земли до точки С.
Поскольку
модули
векторов
напряженности
гравитационных полей Земли и Луны в точке С равны: з = л,
то получим:
MЗ
mл
81m
mл
, или γ 2 л  γ
γ
2
2
x
(l - x)
x
(60 RЗ -x) 2
Решив эти уравнения, найдем: х1 = 54RЗ; х2 = 67,5RЗ.
Корень х2>67,5RЗ не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, х1 = 54RЗ. Тогда
M
MЗ
MЗ
MЗ
M
 2  γ З  γ
 γ
γ
 0,02γ З
54RЗ
81(60RЗ  54RЗ )
54RЗ
81  6RЗ
RЗ
Подставив значения потенциалов 1 и 2 в формулу (1),
γ
получим:


M
M
Amin  m 0,02γ З    γ З
RЗ 
RЗ


M  m
  0,98γ З
;
RЗ

MЗ
Так как ускорение силы тяжести на Земле g  
 9,81
RЗ
м/с2, то получим: Amin  0,98 gRЗ m , где RЗ = 6,37106 м –
радиус Земли.
Произведем вычисления:
Amin = 0,98  9,81  6,37  106  103 Дж = 61,2  109 Дж.
Ответ: Amin = 61,2  109 Дж.
43
Пример 9. Материальная точка массой 20 г совершает
гармонические колебания с периодом 2 сек. Определить
амплитуду колебаний, максимальные скорость и ускорение
колеблющейся точки, если максимальная кинетическая энергия
ее равна 0,05 Дж.
Дано:
m =20 г = 0,02 кг
Т=2с
Ек max = 0,05 Дж
А-? υ max-? amax-?
Решение:
Полная энергия колеблющейся точки
массой m равна Еkmax: Е = Еkmax =
1
m2A2,
2
2π
. Откуда амплитуда
T
1 2 E k max
T 2Ek max
, или A 
.
A
ω
m
2π
m
где  =
Уравнение гармонических колебаний точки x = Asin(t+o).
Скорость точки υ 
скорости υmax  ωA 
dx
 ωAcos(ωt   o ) , где амплитуда
dt
2π
A.
T
Ускорение колеблющейся точки
a
dυ
 ω 2 Asin( ωt   o ) ,
dt
где амплитуда ускорения a max
4π 2
 ω A  2 A . υmax
T
2
Максимальную скорость точки можно найти из уравнения
Ек max =
1
2
m υmax
, откуда υmax 
2
2 E k max
.
m
Произведем вычисления:
2с
2  0,05Дж
 0,71м .
2  3,14
0,02кг
2  3,14

 0,71м  2,23м/с .
2с
A
υmax
44
a max 
4  (3,14)
 0,71м  7м/с 2 .
2
(2c)
2
m
2  0,05Дж
 2,23м/с .
0,02кг
Ответ: А = 0,71 м; υmax = 2,23 м/с;
υmax 
l
a max = 7 м/с .
2
O
r C
a
Пример 10. На верхнем конце тонкого стержня
длиной 30 см и массой 100 г укреплен маленький
R
шарик (материальная точка) массой 20 г, на нижнем –
шарик радиусом 5 см и массой 180 г. Определить
M
период колебаний стержня с шариками около
Рисунок 9
горизонтальной оси, проходящей через точку О в
центре стержня (рисунок 9).
Дано:
Решение:
l = 30 см = 0,3 м
Период
колебаний
физического
mст = 100 г = 0,1 маятника, каким является стержень с
кг
шариками, определяется по формуле:
m = 20 г = 0,02
I
,
T  2π
кг
m
ga
общ
R = 5 см = 0,05 м
М = 180 г = 0,18
где I – момент инерции маятника;
кг
mобщ – масса маятника;
Т-?
а – расстояние от центра тяжести (центра масс)
маятника до оси вращения.
Момент инерции физического маятника I состоит из
моментов инерции I1 и I2 обоих шариков и момента инерции I3
стержня: I = I1+I2+I3.
2
l
Момент инерции верхнего шарика I 1  m  ;
2
момент инерции нижнего шарика (по теореме Штейнера) I2 =
2
Iш+Mr2 =
2
l

MR2+M   R  ; момент инерции стержня
5
2

45
относительно оси, проходящей через его середину I3 =
2
.
Общий
момент
инерции
2
физического
1
mстl
12
маятника:
2
2
1
l
l

I  m   MR 2  M   R   mст l 2 .
5
2
2
 12
l/2
a l/2-a+R
O
C
mg
mстg
Рисунок 10
Масса маятника
mобщ = mст+m+M.
R
Mg
Для
определения
расстояния а напишем
условие
равновесия
стержня
с
шариками,
находящегося
в
горизонтальном
положении, относительно
центра тяжести (рисунок 10).
l

l

mg  a   mст ga  Mg   a  R   0
2

2

l

l

m  a   mст a  M   a  R 
2

2

m
l
l
 ma  mст a  M  Ma  MR
2
2
l
l

M   R  m
2
2 M (l  2 R )  ml

a 

m  mст  M
2(m  mст  M )
Тогда период колебаний стержня
46
2
2
2
1
l
l

m   MR 2  M   R   mст l 2
5
2
2
 12
T  2π

M (l  2 R ) - ml
(mст  m  M ) g
2(m  mст  M )
 ml 2 2MR 2 M (l  2 R) mст l 2
2



4
5
4
12

 2π
g M (l  2 R)  ml 
 2π



 
15ml 2  24MR 2  15M (l  2 R) 2  5mст l 2
.
30 g M (l  2 R)  ml 
Произведем вычисления:
15  0,02  (0,3)2  24  0,18  (0,05)2  15  0,18  (0,3  2  0,05)2  5  0,1  (0,3)2
T  2  3,14

30  9,8  0,18  (0,3  2  0,05)  0,02  0,3
 2  3,14
0,027  0,0108  0,432  0,045

30  9,8  (0,072  0,006)
 2  3,14
Ответ: Т = 1,02 с.
0,5148
 1,02 с.
19,404
47
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ТЕРМОДИНАМИКА
Основные законы и формулы

Количество вещества1 тела (системы)
ν
N
,
NA
где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и
т.п.), составляющих тело (систему);
NA – постоянная Авогадро (NA = 6.021023 моль-1).
 Молярная масса вещества
M 
m
,
v
где m – масса однородного тела (системы);
 – количество вещества этого тела.
 Относительная молекулярная масса вещества
M r   ni Ari
где ni – число атомов i-го химического элемента, входящих в
состав молекулы данного вещества;
Ari – относительная атомная масса этого вещества.
Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И.
Менделеева.
 Связь молярной массы М с относительной молекулярной
массой вещества
M=Mr10-3 кг/моль.
 Количество вещества смеси газов
ν  ν1  ν2  ...  νn 
m
m1 m2

 ...  n ,
M1 M 2
Mn
Количество вещества выражается в молях. Моль равен количеству
вещества системы, содержащей столько же структурных элементов,
сколько содержится атомов в углероде – 12 массой 0.012 кг
1
48
где i, mi, Mi – соответственно количество вещества, масса,
молярная масса i-го компонента смеси.
 Уравнение состояния идеального газа (уравнение
Менделеева-Клапейрона)
PV 
m
RT  νRT ,
M
где m – масса газа;
M – молярная масса газа;
R – молярная газовая постоянная;
 – количество вещества;
T – термодинамическая температура.
 Основные газовые законы, являющиеся частными случаями
уравнения Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:
а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T=const,
m=const)
PV=const,
или для двух состояний газа P1V1=P2V2;
б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: P=const; m=const)
V
=const,
T
или для двух состояний
V1 V2
;

T1 T2
в) закон Шарля (изохорный процессе: V=const, m=const)
P
=const,
T
P P
или для двух состояний 1  2 ;
T1 T2
г) объединенный газовый закон (m=const)
PV
PV
PV
=const, или 1 1  2 2 ,
T
T1
T2
где P1, V1, T1 – давление, объем и температура газа в
начальном состоянии;
P2, V2, T2 – те же величины в конечном состоянии.
 Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов:
P=P1+P2+…+Pn,
где Pi – парциальные давления компонентов смеси;
49
n – число компонентов смеси.
Парциальным давлением называется давление газа, которое
производил бы этот газ, если бы только он один находился в
сосуде, занятом смесью.
 Концентрация молекул
n
N NAρ
,

V
M
где N – число молекул, содержащихся в данной системе;
 – плотность вещества;
V – объем системы.
Формула справедлива не только для газов, но и для
агрегатного состояния вещества.
 Зависимость давления газа от концентрации n молекул и
температуры:
p=nkT,
где k – постоянная Больцмана ( k 

R
).
NA
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
идеальных газов
1
nm0  υ кв  2 ,
3
2
или p  n  E к  ,
3
p
где n – концентрация молекул;
mo – масса одной молекулы;
< υ кв> – средняя квадратичная скорость молекул;
<Eк> – средняя кинетическая энергия поступательного
движения молекулы газа.
 Средняя полная кинетическая энергия молекулы газа
 E i 
i
kT
2
где i - число степеней свободы молекулы. (i=iпост+iвращ)
 Скорости молекул:
а)  υ 
8RT
8kT

- средняя арифметическая;
πM
πmo
50
б)  υ кв 
в) υв 
3RT
3kT

- средняя квадратичная;
M
mo
2 RT

M
2kT
- наиболее вероятная,
mo
где mo – масса одной молекулы.
 Относительная скорость молекулы
u
υ
υв
где υ – скорость данной молекулы.
 Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа
за 1 секунду:
 z  2πd 2 n  υ  ,
где d – эффективный диаметр молекулы;
n – концентрация молекул;
< υ > – средняя арифметическая скорость молекул.
 Средняя длина свободного пробега молекул газа
 l 

υ

z
1
2πd 2 n
.
Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)
F η
dυ
S,
dz
где F – сила внутреннего трения между движущимися
слоями газа (жидкости) площадью S;
dυ
– градиент скорости;
dz
 – коэффициент внутреннего трения (динамическая
вязкость).
η

1
ρ  υ  l  .
3
Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме (CV) и
постоянном давлении (CP):
51
CV 

Связь между удельной c и молярной C теплоемкостями
c


iR
i2
R.
, CP 
2
2
Cν
, Cν  c  M .
M
Уравнение Майера для молярных теплоемкостей газа
CP – C V = R .
Внутренняя энергия идеального газа
U
i m
m

RT 
CV T ,
2 M
M
где CV – теплоемкость одного моля газа при постоянном
объеме.
 Первое начало термодинамики
Q = U + A,
где Q – количество теплоты, сообщенное системе (газу) или
отданное ею;
U – изменение внутренней энергии системы;
A – работа, совершенная системой против внешних сил.
 Изменение внутренней энергии идеального газа:
U 

i m
m
  R  ΔT 
 CV  ΔT .
2 M
M
Полная работа при изменении объема газа
A
V2
 p  dV ,
V1
где V1 и V2 – соответственно начальный и конечный объемы газа.
 Работа газа:
а) при изобарном процессе
A  p(V2  V1 ) , или A 
m
R(T 2  T1 ) ;
M
б) при изотермическом процессе
A
V
p
m
m
RT  ln 2 , или A 
RT  ln 1 ;
M
V1
M
p2
в) при адиабатическом процессе
52
m
CV (T2  T1 ) , или
M
γ 1
γ 1
RT m   V1   p1V1   V1  
1     
1     ,
A
γ  1 M   V2   γ  1   V2  




A   U  
где T1, T2 и V1, V2 – соответственно начальные и конечные
температура и объем газа;
γ
CP i  2
– показатель адиабаты.

CV
i

Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона):

Термический КПД для кругового процесса (цикла)
PV=const; TV-1=const; TP1-=const.
η
Q
A Q1  Q 2

 1 2 ,
Q1
Q1
Q1
где Q1 – количество теплоты, полученное системой от
нагревателя;
Q2 – количество теплоты, отданное системой
холодильнику;
A – работа, совершаемая за цикл.
 Термический КПД цикла Карно
η
Q1  Q 2 T1  T2
,

Q1
T1
где T1 – температура нагревателя;
T2 – температура холодильника.
 Изменение энтропии при равновесном переходе системы из
состояния 1 в состояние 2:
2
ΔS12  S 2  S1  
1
2
dQ
dU  dA

.
T
T
1
53
Примеры решения задач
Пример 1. Определить для серной кислоты:
1) относительную молекулярную массу Mr;
2) молярную массу М.
Решение.
1.
Относительная
молекулярная
масса
вещества
M r   ni Ar,i ,
определяется по формуле
где ni – число атомов i-го элемента, входящих в молекулу;
Аr,i – относительная атомная масса i-го элемента.
Химическая формула серной кислоты имеет вид H2SO4.
Следовательно, Mr=n1Ar,1+n2Ar,2+n3Ar,3.
Из формулы серной кислоты следует, что n1=2 (два атома
водорода), n2=1 (один атом серы) и n3=4 (четыре атома
кислорода). Значения относительных атомных масс водорода,
серы и кислорода находим в таблице Д. И. Менделеева: Ar,1=1;
Ar,2=32; Ar,3=16.
Тогда получим: Mr=21+132+416=98.
2. Молярную массу серной кислоты находим по формуле:
M=Mr10-3 кг/моль.
Следовательно, M=9810-3 кг/моль.
Пример 2. В баллоне объемом 10 л находится гелий под
давлением p1=1 MПа и при температуре Т1=300 К. После того,
как из баллона было взято m=10 г гелия, температура в баллоне
понизилась до T2=290 К. Определить давление p2 гелия,
оставшегося в баллоне.
Дано:
V=10 л = 10-2 м3
p1=1МПа=106Па
T1=300К
m=10г=10-2кг
Т2=290К
Решение:
Запишем
уравнение
МенделееваКлапейрона для конечного состояния газа:
p2V 
m2
RT2 ,
M
(1)
где m2 – масса гелия в баллоне в конечном
состоянии;
54
М – молярная масса гелия (M=410 кг/моль);
R – молярная газовая постоянная (R=8,31 Дж/мольК).
Искомое давление:
-3
p2 
m2 RT2
.
MV
(2)
Массу m2 гелия выразим через массу m1, соответствующую
начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:
m2=m1-m.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона для начального
состояния получаем: m1 
Mp1V
Mp1V
. Тогда m2 
m.
RT1
RT1
Подставив это выражение в уравнение (2), найдем:
 Mp V
 RT
T
m RT2
.
p2   1  m  2 , или p2  2 p1 
T1
M V
 RT1
 MV
Произведем вычисления:
 290
10 2 8,31  290 
6

Па 
p2  
 10 

3
2
300
4

10
10


5
3,64  10 Па  0,364МПа
Ответ: p2=0,364 МПа.
Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию <вр>
вращательного движения одной молекулы кислорода при
температуре Т=350 К, а также кинетическую энергию Ек
вращательного движения всех молекул кислорода массой m=4 г.
Дано:
Т=350 К
m=4 г=410-3 кг
<вр>-? Ек-?
Решение:
На каждую степень свободы молекулы
газа приходится одинаковая средняя
энергия  ε 
1
kT ,
2
где k – постоянная Больцмана;
Т – термодинамическая температура газа.
55
Так как вращательному движению двухатомной молекулы
(молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени
свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы
кислорода
1
 ε в р  2  kT  kT .
2
Кинетическая
энергия
(1)
вращательного
движения
всех
молекул газа
Eк=<вр>N.
(2)
Число всех молекул газа
N=NA =NA
m
,
M
(3)
где NA – постоянная Авогадро;
 – количество вещества;
m – масса газа;
М – молярная масса газа.
Подставив выражение (3) в формулу (2), получаем:
Eк 
N A m  ε вр 
M
.
(4)
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода
М=3210-3 кг/моль; k=1,3810-23 Дж/К; NA=6,021023 моль-1:
<>=1,3810-23350 Дж = 4,8310-21 Дж,
6,02  10 23  4  10 3  4,83  10 21
Eк 
Дж  364Дж
32  10 3
Ответ: <вр>=4.8310-21 Дж; Ек=364 Дж.
Пример 4. Кислород массой m=2 кг занимает объем V1=1 м3
и находится под давлением p1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала
при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при
постоянном объеме до давления p3=0,5 МПа. Найти изменение
U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и
теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.
56
Дано:
m=2 кг
V1=1 м3
p1=0,2 МПа=2105 Па
p1=const
V2=3 м3
V2=const
p3=0,5 МПа=5105 Па
U-? A-? Q-? p(V)-?
Решение:
Изменение внутренней энергии газа
U 
i m
R  ΔT ,
2M
где i – число степеней молекулы газа
(для двухатомных молекул кислорода
i=5);
T=T3–T1 – разность температур
газа в конечном (третьем) и начальном
состояниях.
Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения
m
RT :
M
pV M
pV M
и T3  3 2 .
T1  1 1
mR
mR
Менделеева-Клапейрона pV 
Тогда
U 
i m
i m  p3V2 M p1V 1M  i
R(T3  T1 ) 
R

   p3V2  p1V1 
2M
2 M  mR
mR  2
.
Произведем вычисления:
U 
5
(5  10 5  3  2  10 5  1)Дж  32,5  10 5 Дж  3,25МДж .
2
Работа расширения газа при постоянном давлении
(p1=const) выражается формулой A1=p1V=p1(V2–V1). Работа
газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е.
А2=0. Следовательно, полная работа, совершенная газом:
А=А1+А2=А1=p1(V2–V1).
Произведем вычисления:
A=2105(3-1) Дж = 4105 Дж.
Согласно первому закону термодинамики, теплота Q,
переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии U
и работы A: Q=U+A. Следовательно,
57
P,105Па
P3
Q=32,510 Дж + 410 Дж =
=36,5105 Дж =3,65 МДж.
5
3
5
График процесса приведен на
рисунке 11.
P1
1 1
O V
1
2
V2 V, м3
Рисунок 11
Пример 5. В цилиндре под поршнем находится водород
массой m=0,02 кг при температуре T1=300 К. Водород сначала
расширился адиабатно, увеличив свой объем в n1=5 раз, а затем
был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2=5
раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и
работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить
процесс графически.
Дано:
Решение:
M=0,02 кг
Температуры
и
объемы
газа,
Т1=300 К
совершающего адиабатический процесс,
n1=5
связаны между собой соотношением
γ 1
n2=5
T2  V1 


  ,
(1)
T2-? A1-? A2-?
T1
 V2 
C
i2
где  – показатель адиабаты, γ  P 
;
CV
i
i – число степеней свободы молекулы.
Для водорода как двухатомного газа i=5. Следовательно,
 
V
T
52
1
 1,4 . Так как n1  2  5 , то 2  γ 1 , откуда
5
V1
T1 n1
T
(2)
T2  γ11 .
n1
Работа А1 газа при адиабатическом расширении может
быть определена по формуле:
58
A1 
m
m i
CV (T1  T2 ) 
R(T1  T2 ) ,
M
M 2
(3)
где СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме;
М – молярная масса газа.
Работа А2 при изотермическом процессе может быть
выражена в виде:
A2 
V
m
1
m
RT 2 ln
, (4)
RT2 ln 3 , или A2 
M
n2
M
V2
V
где n2  2  5 .
V3
Подставляя числовые значения величин в выражения (2),
(3) и (4), произведем вычисления, учитывая, что для водорода
М=210-3 кг/моль.
T2 
300 300

 157 К .
51, 41 5 0, 4
(50,4=x; или lg x=0,4lg5=0,2796, тогда x=1,91; 50,4=1,91)
0,02  5  8,31
 (300  157)Дж  29,7  10 3 Дж  29,7кДж .
3
2  10  2
0,02  8.31
1
A2 
 157  ln Дж 
3
P
5
2  10
1
= – 20998Дж= –21кДж.
P1
A1 
Знак «–» показывает, что при
сжатии работа газа совершается
над газом внешними силами.
График процесса представлен
на рисунке 12.
P2
ададиабата
иа
ба
та
3
изотер
изотермама
O V
1
Рис. 12
Рисунок
12
2
V2
V
Пример 6. Температура нагревателя тепловой машины 500 К.
Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой
машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность
машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж
теплоты.
59
Дано:
Tн=500 К
Тх=400 К
Qн=1675 Дж
t=1 c
-? N-?
Решение:
КПД машины, работающей по циклу
Карно, определяется по формуле
η
Tн  Tх
,
Тн
или η 
(1)
A
.
Qн
(2)
Полная мощность машины
A
,
(3)
t
ηQ н
.
(4)
N
t
N
или
Подставляя числовые значения в выражения (1) и (4),
получим:
500  400
 0,2 ; =20%.
500
0,2  1675Дж
N
 335Вт .
1c
Ответ: =20%; N=335 Вт.
η
Пример 7. Найти изменение энтропии при переходе 8 г
кислорода от объема 10 л при температуре 80С к объему 40 л
при температуре 300оС.
Дано:
m=8 г=810-3 кг
V1=10 л=10-2 м3
T1=353 К
V2=40 л=410-2 м3
T2=573 К
Решение:
Изменение энтропии:
2
ΔS  
1
Согласно
термодинамики
dQ
.
T
первому
закону
dQ = dU + dA
i m
RdT – изменение внутренней энергии газа;
где dU 
2M
dA = p  dV – работа газа при изменении объема.
60
m
RT
M
mRT
m
dV
RT
находим давление газа p 
. Тогда dA 
, а
MV
M
V
i m
m
dV
dQ  dU  dA 
RdT 
RT
.
2M
M
V
2
2
2
dQ
i m dT
m RT dV

R


Следовательно ΔS  
T
2M T
M T V
1
1
1
Из
уравнения
Менделеева-Клапейрона
T
pV 
V
T
V
i m 2 dT m 2 dV i m
m

R

R

R ln 2 
R ln 2 ,
2 M T1 T
M V1 V
2M
T1 M
V1
или ΔS 
m
M
i T
V 
R ln 2  ln 2  .
V1 
 2 T1
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода i=5;
М=3210-3 кг/моль.
 5 573
8  10 3
4  10 2  Дж
Дж

ΔS 
 8,31   ln
 ln
 5,4
3
2 
К
32  10
10  К
 2 353
Ответ: S = 5,4 Дж/К.
61
КОНТРОЛЬНАЯ
Вар.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
110
101
102
103
104
105
106
107
108
109
120
111
112
113
114
115
116
117
118
119
130
121
122
123
124
125
126
127
128
129
РАБОТА № 1
Номера
140 150
131 141
132 142
133 143
134 144
135 145
136 146
137 147
138 148
139 149
задач
160 170
151 161
152 162
153 163
154 164
155 165
156 166
157 167
158 168
159 169
180
171
172
173
174
175
176
177
178
179
190
181
182
183
184
185
186
187
188
189
200
191
192
193
194
195
196
197
198
199
101.Тело брошено вертикально вверх с начальной
скоростью υ o=4м/с. Когда оно достигло верхней точки полета
из того же начального пункта, с той же начальной скоростью υ о
вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h
от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха
не учитывать.
102. Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой
наибольшей высоты hm достигнет мяч во время игры, если он от
одного игрока к другому летит t=2 с?
103. Тело брошено под углом =30 к горизонту со
скоростью υ о=30 м/с. Каковы будут нормальное аn и
тангенциальное a ускорения тела через время t=1 с после
начала движения? Сопротивление воздуха не учитывать.
104. Материальная точка движения по окружности с
постоянной угловой скоростью =
π
рад/с. Во сколько раз путь
6
S, пройденный точкой за время t=4 с, будет больше модуля ее
перемещения r? Принять, что в момент начала отсчета времени

радиус-вектор r , задающий положение точки на окружности,
относительно исходного положения, был повернут на угол
o=
π
рад.
3
105. Тело массой 2 кг движется прямолинейно со
62
скоростью, зависимость которой от времени выражается
уравнением υ =6t2+10t. Определить путь, пройденный телом за
5 секунд, и силу, действующую на тело в конце пятой секунды.
106. Под действием постоянной силы F=10 H тело движется
прямолинейно и зависимость пройденного пути от времени
имеет вид S=10-5t+t2. Найти массу тела и импульс тела в конце
шестой секунды.
107. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением
=2 рад/с. Через t=0,5 с после начала движения полное
ускорение колеса стало равно a=13,6 см/с2. Найти радиус колеса.
108. Тело брошено со скоростью υ о=10 м/с под углом
=45 к горизонту. Найти радиус R кривизны траектории тела
через t=1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не
учитывать.
109. Определить начальную скорость υ о, с которой тело
брошено вертикально вверх, если точку, находящуюся на
высоте h=60 м, оно проходило два раза с промежутком времени
t=4 с. Сопротивление воздуха не учитывать.
110. Диск радиусом R=0,2 м вращается согласно уравнению
=A+Bt+Ct3, где A=3 рад, B= –1 рад/с, C=0,1 рад/с3 .
Определить тангенциальное а , нормальное аn и полное a
ускорения точек на окружности диска для момента времени t=10
с.

111. Определить импульс p , полученный стенкой при
ударе о нее шарика массой m=300 г, если шарик двигался со
скоростью υ =90 м/с под углом =60 к плоскости стенки. Удар
о стенку считать упругим.
112. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному
пути со скоростью υ 1=3 м/с, в сторону, противоположную
движению тележки, прыгает человек, после чего скорость
тележки изменилась и стала равной u1=4 м/с. Определить
горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке
относительно тележки. Масса тележки m1=210 кг, масса
человека m2=70 кг.
113. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень
массой m1=2,5 кг под углом =30 к горизонту со скоростью
υ =10 м/с. Какова будет начальная скорость υ о движения
конькобежца, если масса его m2=60 кг? Перемещением
63
конькобежца во время броска пренебречь.
114. На полу стоит тележка в виде длинной доски,
снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит
человек. Масса его m1=60 кг, масса доски m2=20 кг. С какой
скоростью u (относительно пола) будет двигаться тележка, если
человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски)
υ =1 м/с? Массой колес и трением пренебречь.
115. На сколько переместится относительно берега лодка
длиной l=3,5 м и массой m1=200 кг, если стоящий на корме
человек массой m2=80 кг переместится на нос лодки? Считать
лодку расположенной перпендикулярно берегу.
116. Лодка длиной l=3 м и массой m=120 кг стоит на
спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами
m1=60 кг и m2=90 кг. На сколько сдвинется лодка относительно
воды, если рыбаки поменяются местами?
117. Плот массой m1=150 кг и длиной l=2 м плавает на воде.
На плоту находится человек, масса которого m2=80 кг. С какой
наименьшей скоростью υ и под каким углом  к плоскости
горизонта должен прыгнуть человек вдоль плота, чтобы попасть
на его противоположный край?
118. Молекула массой m=4,6510-26 кг, летящая со
скоростью υ =600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом 60
к нормали и под таким же углом упруго отскакивает от нее без
потери скорости. Найти импульс силы, полученный стенкой за
время удара.
119. На железнодорожной платформе, движущейся по
инерции со скоростью υ o=3 км/ч, укреплено орудие. Масса
платформы с орудием M=10 т. Ствол орудия направлен в
сторону движения платформы. Снаряд массой m=10 кг вылетает
из ствола под углом =60 к горизонту. Определить скорость υ
снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость
платформы уменьшилась в n=2 раза.
120. На железнодорожной платформе установлено орудие.
Масса платформы с орудием M=15 т. Орудие стреляет вверх под
углом =60 к горизонту в направлении пути. С какой
скоростью υ 1 покатится платформа вследствие отдачи, если
масса снаряда m=20 кг и он вылетает со скоростью υ 2=600 м/с?
121. На краю платформы в виде диска диаметром D=2 м,
вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой
64
1=8 мин , стоит человек массой m1=70 кг. Когда человек
перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой 2
-1
=10 мин-1. Определить массу m2 платформы. Момент инерции
человека рассчитывать как для материальной точки.
122. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром
D=0,8 м и массой m1=6 кг стоит человек массой m2=60 кг. С
какой угловой скоростью  начнет вращаться скамья, если
человек поймает летящий на него мяч массой m=0,5 кг?
Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии r =
0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча υ =5 м/с.
123. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках
стержень вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень
служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем
конце стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается с
частотой  =15 c-1. С какой угловой скоростью 2 будет
вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол
=180 и колесо окажется на нижнем конце стержня?
Суммарный момент инерции человека и скамьи I=8 кгм2,
радиус колеса R=25 см. Массу колеса m=2,5 кг можно считать
равномерно распределенной по ободу. Считать, что центр
тяжести человека с колесом находится на оси платформы.
124. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках
стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с
человеком вращается с угловой скоростью 1=4 рад/с. С какой
угловой скоростью 2 будет вращаться скамья с человеком, если
повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное
положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи I=5
кгм2. Длина стержня l=1,8 м, его масса m=6 кг. Считать, что
центр тяжести стержня с человеком находится на оси
платформы.
125. Платформа в виде диска диаметром D=3 м и массой
m1=180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой
угловой скоростью  будет вращаться эта платформа, если по ее
краю пойдет человек массой m2=70 кг со скоростью υ =1,8 м/с
относительно платформы?
126. Платформа, имеющая форму диска, вращается около
вертикальной оси с частотой n1 = 10 мин-1. На краю платформы
стоит человек. С какой частотой n2 будет вращаться платформа,
если человек перейдет к ее центру? Масса платформы m1=280
65
кг, масса человека m2=80 кг. Платформу считать круглым
однородным диском, а человека – точечной массой.
127. Горизонтальная платформа массой m1=150 кг
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр
платформы с частотой  = 8 мин -1. Человек массой m2=70 кг
стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью
 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края
платформы к ее центру? Считать платформу круглым,
однородным диском, а человека – материальной точкой.
128. Однородный стержень длиной l=1,0 м может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один
из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля
массой m=7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси.
Определить массу M стержня, если в результате попадания пули
он отклонится на угол α=60. Принять скорость пули υ =360 м/с.
129. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с
ней вращается по инерции с частотой 1=0,5 с-1. Момент
инерции тела человека относительно оси вращения I=1,6 кгּм2. В
вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой
m=2 кг каждая. Расстояние между гирями l1=1,6 м. Сколько
оборотов в секунду будет делать скамья с человеком, если он
опустит руки и расстояние l2 между гирями станет равным 0,4
м? Моментом инерции скамейки пренебречь.
130. Горизонтальная платформа массой m=25 кг и радиусом
R=0.8 м вращается с частотой 1=18 мин -1 В центре платформы
стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая
платформу диском, определить частоту вращения платформы,
если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от
I1=3,5 кгּм2 до I2= 1 кгּм2.
131. Если на верхний конец вертикально расположенной
спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на
lo=3 мм. На сколько сожмется пружина, если этот же груз упадет
на верхний конец пружины с высоты h=9 см?
132. Молот массой m1=5 кг ударяет небольшой кусок
железа, лежащий на наковальне. Масса наковальни m2=100 кг.
Массой куска железа можно пренебречь. Удар абсолютно
неупругий. Определить КПД удара.
133. Шар катится без скольжения по горизонтальной
поверхности. Полная кинетическая энергия шара T=14 Дж.
66
Определить кинетическую энергию поступательного и
вращательного движения.
134. Пуля массой m=10 г летит со скоростью υ =800 м/с,
вращаясь около продольной оси с угловой скоростью ω=3000
об/с. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d=8 мм,
определить полную кинетическую энергию Т пули.
135. На скамье Жуковского сидит человек и держит в
вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой
гири до оси вращения скамьи l1=50 см. Скамья вращается с
частотой 1=1 с-1. Как изменится частота вращения скамьи и
какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что
расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2= 20 см?
Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно
оси вращения Io=2,5 кгм2. Ось вращения проходит через центр
масс человека и скамьи.
136. Маятник в виде однородного шара, жестко
скрепленного с тонким стержнем, длина которого равна радиусу
шара, может качаться вокруг горизонтальной оси, проходящей
через конец стержня. В шар нормально к его поверхности
ударилась пуля массой m=10 г, летевшая горизонтально со
скоростью υ =800 м/с, и застряла в шаре. Масса шара M=10 кг,
его радиус R=15 см. На какой угол  отклонится маятник в
результате удара пули? Массой стержня пренебречь.
137.
Сплошной
однородный
диск
катится
по
горизонтальной плоскости со скоростью υ =10 м/с. Какое
расстояние S пройдет диск до остановки, если его предоставить
самому себе? Коэффициент трения при движении диска μ=0,02.
138. Маховик массой m=4 кг свободно вращается с частотой
 =720 мин -1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его
центр. Массу маховика считать равномерно распределенной по
его ободу радиусом R=40 см. Через t=30 с под действием
тормозящего момента маятник остановился. Найти тормозящий
момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной
остановки.
139. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом
R=20 см был раскручен до угловой скорости ω1=480 об/мин и
затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик
остановился. Найти момент М сил трения, считая его
постоянным, если до полной остановки маховик сделал N=200
67
оборотов.
140. Тело массой m=0,5 кг бросают вертикально вверх со
скоростью υ o=20 м/c. В момент падения на землю скорость тела
равна 16 м/с. Определить силу сопротивления воздуха и время
движения тела. В течение всего времени движения силу
сопротивления воздуха считать постоянной.
141. Ракета, летевшая над поверхностью Земли на высоте
h=230 км, в результате кратковременного действия мощной
тормозной установки останавливается. С какой скоростью
упадет ракета на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Считать известными ускорение свободного падения у
поверхности Земли и ее радиус.
142. Из бесконечности на поверхность Земли падает
метеорит массой m=30 кг. Определить работу А сил
гравитационного поля Земли при этом. Ускорение свободного
падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать
известными.
143. Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение
года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от
центра Земли до центра Луны равно 3,84·108 м?
144. На каком расстоянии от центра Земли должно
находиться тело, чтобы силы его притяжения к Земле и Луне
взаимно уравновешивались? Считать, что масса М Земли
больше массы m Луны в 81 раз, а расстояние между их центрами
равно 60 радиусам Земли.
145. Определить значение потенциала φ и напряженность σ
гравитационного поля на поверхности Земли и Солнца.
146. Вычислить значение первой (круговой) и второй
(параболической) космических скоростей вблизи поверхности
Луны.
147. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета
со скоростью υ =5 км/c. На какую высоту она поднимется?
148. Определить радиус R планеты, у которой на экваторе
вес тела на =20% меньше чем на полюсе. Масса планеты
М=6·1024 кг, сутки на ней составляют Т=24 часа.
149. Радиус малой планеты r =100 км, средняя плотность
вещества планеты ρ=3000 кг/м3. Определить параболическую
(вторую космическую) скорость у поверхности этой планеты.
150. Искусственный спутник, используемый в системе
68
телесвязи, запущен в плоскости земного экватора так, что все
время находится в зените одной и той же точки Земли. Во
сколько раз радиус орбиты спутника больше радиуса Земли
R3=6370 км?
151. Тело массой m=0,02 кг совершает гармонические
колебания с амплитудой А=0,05 м и частотой  = 10 c-1,
начальная фаза колебания равна нулю. Определить полную
энергию колеблющегося тела и максимальную силу,
действующую на тело. Написать уравнение гармонического
колебания.
152. Шарик массой m=60 г колеблется с периодом Т=2 с. В
начальный момент времени смещение шарика xo=8 см и он
обладает энергией Е=0,02 Дж. Записать уравнение простого
гармонического колебания шарика.
153. По условию задачи 152 определить возвращающую
силу, действующую на шарик в момент времени t=5 с после
начала колебания.
154. Материальная точка массой m=5 г совершает
гармонические колебания с частотой =0,5 c-1. Амплитуда
колебаний А=0,03 м. Определить скорость точки в момент,
когда смещение ее равно х=1,5 см.
155. Определить частоту простых гармонических колебаний
обруча радиусом R=50 см около горизонтальной оси,
проходящей через образующую обруча.
156. Материальная точка совершает простые гармонические
колебаний так, что в начальный момент времени смещение xo=4
см, а скорость υ o=10 см/c. Определить амплитуду А и
начальную фазу φo колебаний, если их период Т=2 с.
157. На стержне длиной l=50 см укреплены два одинаковых
шарика: один на конце стержня, другой – в середине стержня.
Стержень с
шариками совершает колебания около
горизонтальной оси, проходящей через свободный конец
стержня. Определить период колебаний стержня. Массой
стержня пренебречь.
158. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой
M=200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной
пружине с жесткостью k=500 H/м. В шар попадает пуля массой
m=10 г, летящая со скоростью υ =300 м/c, и застревает в нем.
Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха,
69
определить амплитуду А и период колебаний Т шара.
159. Математический маятник длиной l1=20 см и
физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной
l2=30 см синхронно колеблются около одной и той же
горизонтальной оси. Определить расстояние a центра тяжести
стержня от оси колебаний.
160. Тонкий однородный стержень длиной l=40 см
свободно вращается вокруг горизонтальной оси, отстоящей на
расстоянии a=12 см от его середины. Определить частоту 
колебаний стержня относительно этой оси.
161. В баллоне емкостью V=15 л находится смесь,
содержащая m1=10 г водорода, m2=54 г водяного пара и m3=60 г
окиси углерода. Определить давление смеси газов в баллоне при
температуре t=27С.
162. При давлении p=705 кПа и температуре t=26С
плотность некоторого газа ρ=12,5 кг/м3. Определить
относительную молекулярную массу Mr газа.
163. В баллоне находится газ при температуре T1=350 К. До
какой температуры T2 надо нагреть газ, чтобы его давление
увеличилось в 1,5 раза?
164. В сосуде объемом V=2 м3 находится смесь m1=4 кг
гелия и m2=2кг водорода при температуре t=27С. Определить
давление и молярную массу смеси газов.
165. В пустой сосуд, объем которого V=5 л, впустили V1=3
дм3 азота под давлением p1=250 кПа и V2=4 дм3 водорода под
давлением p2=50кПа. Найти давление образовавшейся смеси.
166. Сколько молекул водорода находится в сосуде
емкостью V=2 л, если средняя квадратичная скорость движения
молекул < υ кв>=500 м/c, а давление на стенки сосуда p=103 Па?
167. В сосуде емкостью V=200 см3 находится газ при
температуре t=47С. Из-за утечки газа из сосуда просочилось
N=1021
молекул. На сколько снизилось давление газа в сосуде?
168. В сосуде емкостью V=10 л находится m=2 г кислорода.
Определить среднюю длину свободного пробега молекул.
Диаметр молекулы кислорода d=0,27 нм.
169. Средняя длина свободного пробега молекулы азота при
некоторых условиях <l>=2 см. Найти плотность ρ азота при
этих условиях. Эффективный диаметр молекул азота принять
70
равным 0,38 нм.
170. Вычислить удельные теплоемкости сV и сP газа, зная,
что его молярная масса М=410-3 кг/моль и показатель адиабаты
γ=1,67.
171. Найти кинетическую энергию Ек вращательного
движения всех молекул кислорода массой m=5 г при
температуре t=65C.
172. Смесь двух газов состоит из гелия массой m1=5 г и
водорода массой m2=2 г. Найти отношение молярных
теплоемкостей C P C этой смеси.
V
173. В сосуде объемом V=10 л находится одноатомный газ
при нормальных условиях. Определить теплоемкость CV этого
газа при постоянном объеме.
174. Углекислый газ при температуре t=40С и под
давлением p=350 кПа занимает объем V=10 л. Определить
теплоемкость CP этого газа при постоянном давлении.
175. Идеальный газ при давлении p=0,4 МПа и температуре
Т=350 К занимает объем V=300 л. Определить показатель
адиабаты  идеального газа, если теплоемкость этого газа при
постоянном объеме СV=857 Дж/К.
176. Определить суммарную кинетическую энергию Ек
поступательного движения всех молекул гелия при температуре
Т=120 К, содержащихся в количестве вещества ν=1,5 моля.
177. Молярная внутренняя энергия кислорода Uμ=6,02
кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию <εвр>
вращательного движения одной молекулы кислорода.
178. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также
среднюю кинетическую энергию <ε> одной молекулы этого газа
при температуре Т =300 К, если количество вещества водорода
ν=0,5 моль.
179. Определить удельные теплоемкости сV и сP газа, если
известно, что при нормальных условиях его удельный объем
V=0,7 м3/кг. Какой это газ?
180. Водород массой m=20 г находится при температуре
t=37С. Найти: 1) среднюю кинетическую энергию <> одной
молекулы водорода; 2) среднюю кинетическую энергию <Eвр>
вращательного движения всех молекул водорода. Газ считать
идеальным.
71
181. Найти работу и изменение внутренней энергии при
адиабатном расширении m=1 кг воздуха, если его объем
увеличился в n=10 раз. Начальная температура воздуха t=15С.
182. В закрытом сосуде находится смесь азота массой
m1=56 г и кислорода массой m2=64 г. Определить изменение
внутренней энергии смеси, если ее охладили на t=20С.
183. Во сколько раз увеличится объем v=1 моля водорода
при изотермическом расширении при температуре t=27С, если
при этом была затрачена теплота Q=4 кДж?
184. Водород, занимающий объем V1=5 л и находящийся
под давлением P1=105 Па, адиабатно сжат до объема V2=1 л.
Найти работу сжатия и изменение внутренней энергии
водорода.
185. Определить количество теплоты Q, которое надо
сообщить кислороду объемом V=50 л при его изохорном
нагревании, чтобы давление газа повысилось на p=0,5 МПа.
186. При изотермическом расширении азота при
температуре T=280К объем его увеличился в n=2 раза.
Определить: 1) совершенную при расширении газа работу A; 2)
изменение внутренней энергии U; 3) количество теплоты Q,
полученное газом. Масса азота m=0,2 кг.
187. Определить работу A, которую совершит азот, если ему
при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q = 21
кДж. Найти также изменение U внутренней энергии газа.
188. Определить работу, совершенную кислородом в
результате изобарического расширения, если при этом затрачена
теплота Q = 35 кДж.
189. В результате изобарического процесса при давлении p=2
МПа водород массой m=280 г совершил работу A=1,43 кДж.
Определить конечный объем газа, если начальная температура
водорода T1 = 290 К.
190. Азот объемом V1=5 л находится под давлением 1 МПа.
Определить, какое количество теплоты Q необходимо сообщить
газу, чтобы увеличить его давление вдвое в результате
изохорного процесса.
191. Под давлением p1=3 МПа находится кислород объемом
V1=2 л. Найти, какое количество теплоты необходимо сообщить
газу, чтобы увеличить его объем в два раза в результате
изобарического процесса.
72
192. Азот массой m=200 г и температурой T1=250 К был
адиабатически сжат. При этом была совершена работа A=30
кДж. Определить конечную температуру T2 газа.
193. Совершая прямой цикл Карно, газ отдал холодильнику
0,25 теплоты, полученной от нагревателя. Определить
температуру Тх холодильника, если температура нагревателя
Tн=500 К.
194. Определить работу А1 изотермического расширения
газа, совершающего цикл Карно, КПД которого = 0,4, если
работа изотермического сжатия А2=4,8 Дж.
195. Водород массой m=10 г изобарно расширяется, при
этом его объем увеличивается в 2 раза. Определить изменение
энтропии водорода при этом процессе.
196. Определить изменение энтропии при изобарном
нагревании азота массой m=0,1 кг от температуры t1=17С до
t2=100С.
197. Определить изменение энтропии при изохорическом
нагревании двухатомного газа в количестве =2 моля, если при
этом его термодинамическая температура увеличилась в n=2
раза.
198. Определить изменение энтропии свинца массой m=4 кг
при охлаждении его от t1=327С до t2=0С. (Cуд.св.=126 Дж/кгК)
199. При изобарическом нагревании кислорода массой 1 кг
его температура увеличилась в n=3 раза. Определить изменение
энтропии при этом процессе.
200. Объем гелия, масса которого m=2 кг, увеличился в n=5
раз при изотермическом нагревании. Найти изменение энтропии
в этом случае.
73
3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Основные законы и формулы

Закон Кулона
F
q1  q 2
4εε 0 r 2
,
где F – сила взаимодействия точечных зарядов q1 и q2;
r – расстояние между зарядами;
 – диэлектрическая проницаемость среды;
0 – электрическая постоянная (0=8,8510-12 Ф/м).


Напряженность E и потенциал  электрического поля:

 F
П
,
E
q0
q0
где F – cила, действующая на единичный точечный
положительный заряд q0, помещенный в данную
точку поля;
Π – потенциальная энергия точечного положительного
заряда q0, находящегося в данной токе поля (при
условии, что потенциальная энергия заряда,
удаленного в бесконечность, равна нулю).
 Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в
электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда:


F  qE ; П  q .

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой
точечных зарядов (принцип суперпозиции, или наложения,
электрических полей):
n 
n

E   Ei ,     i ,
i 1
i 1

где E i ,  i – напряженность и потенциал в данной точке
поля, создаваемого i-ым зарядом.
 Напряженность и потенциал поля, создаваемого:
1) точечным зарядом
74
E
q
q
,
,
2
4εε 0 r
4εε 0 r
где r – расстояние от заряда q до точки, в которой
определяются напряженность и потенциал;
2) проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r
от центра сферы:
q
(при r<R);
4εε 0 R
q
q
б) E 
;
(при r=R);
2
4εε 0 R
4εε 0 R
q
q
в) E 
;
(при r>R),
2
4εε 0 r
4εε 0 r
а) Е = 0;  

где q – заряд сферы.
Линейная плотность заряда
τ
q
,
l
где l – длина заряженного тела.
 Поверхностная плотность заряда
σ

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной
равномерно заряженной линией или бесконечно длинным
цилиндром на расстоянии r от нити или оси цилиндра:
E

q
.
S
τ
,
2εε 0 r
где  – линейная плотность заряда.
Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно
заряженной плоскостью:
E
σ
,
2εε 0
где  – поверхностная плотность заряда.
Напряженность поля между двумя равномерно и
разноименно заряженными бесконечными параллельными
плоскостями (поле плоского конденсатора)
75
E

σ
.
εε 0
Напряженность
и
потенциал
поля,
создаваемого
распределенными зарядами. Если заряд равномерно
распределен вдоль линии с линейной плотностью , то на
линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dq =
  dl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и
применять формулы:

dE 


τ  dl
r
τ  dl
 ; d 
,
2
4εε 0 r
4εε 0 r r
где r – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента
dl к точке, в которой вычисляется напряженность.
Используя принцип суперпозиции электрических полей,

находим интегрированием напряженность E и потенциал 
поля, создаваемого распределенным зарядом:

E
τ
4εε 0

dl r
l r 2  r ;

τ
4εε 0
dl
r
.
l
Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной
линии (см. примеры 3 и 4).
 Связь потенциала с напряженностью:
а) в общем случае


       
;
E   grad , или E   i
j
k
y
z 
 x
б) в случае однородного поля
E
1   2
d
,
где d – расстояние между точками с потенциалами 1 и 2,
взятое вдоль электрической силовой линии;
в) в случае поля, обладающего центральной или осевой
симметрией

E
d
.
dr
Электрический момент диполя


p  q l ,
где q – заряд;
76

l – плечо диполя (векторная величина, направленная от

отрицательного заряда к положительному и численно
равная расстоянию между зарядами).
Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с
потенциалом 1 в точку с потенциалом 2
A12  q(1   2 ) , или A  q  El dl ,

где Еl – проекция вектора напряженности E на направление
перемещения;
dl – величина перемещения.
В случае однородного поля
A  qEl cos  ,
где l – величина перемещения;

 – угол между направлением вектора E и направлением


перемещения l .
Электроемкость:
а) уединенного проводника
C
q

,
где  – потенциал проводника (при условии, что в
бесконечности потенциал проводника равен нулю);
б) плоского конденсатора
C
εε S
q
, или C  0 ,
U
d
где U – разность потенциалов пластин конденсатора;
S – площадь пластины (одной) конденсатора;
d – расстояние между пластинами;
в) уединенной проводящей сферы (шара) радиуса R
C  4εε 0 R .

Электроемкость батареи конденсаторов:
а) при последовательном соединении
1
1
1
1


 ... 
,
C C1 C 2
Cn
б) при параллельном соединении:
С = С1 + С2 + …….+ Сn ,
77
где n – число конденсаторов в батарее.
 Энергия заряженного уединенного проводника

C 2 q q 2
.
W


2
2
2C
Энергия заряженного конденсатора
W

CU 2 qU q 2
.


2
2
2C
Объемная плотность энергии электрического поля
ω

W εε 0 E 2
.

V
2
Сила постоянного тока
I
q
dq
, или I 
,
t
dt
где q, dq – заряд, прошедший через поперечное сечение
проводника за время t, или dt.
 Плотность тока
j
I
,
S
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Связь плотности тока со средней скоростью  υ 
направленного движения заряженных частиц
j  qn  υ  ,
где q – заряд частицы;
n – концентрация заряженных частиц.
 Закон Ома:
а) для однородного участка цепи, не содержащего ЭДС

I
1   2
R

U
,
R
где 1   2  U – разность потенциалов (напряжение) на
концах участка цепи;
R – сопротивление участка;
б) для участка цепи, содержащего ЭДС
I
(1   2 )  ε
,
R
78
где  – ЭДС источника тока на данном участке;
R – полное сопротивление участка (сумма внешних и
внутренних сопротивлений);
в) для замкнутой (полной) цепи
I
ε
,
Rr
где R – внешнее сопротивление цепи;
r – внутреннее сопротивление источника тока с ЭДС ;
г) в дифференциальной форме


j  γE ,
где j – плотность тока;
 – удельная проводимость;
Е – напряженность электрического поля.
 Связь удельной проводимости  с подвижностью b
заряженных частиц (ионов)
γ  qi n(b   b  ) ,
где qi – заряд иона;
n – концентрация ионов;
b+ и b- – подвижности положительных и отрицательных
ионов.
 Сопротивление R и проводимость  однородного
проводника длиной l и площадью поперечного сечения S:
Rρ
l
1 γS
;σ 
,
S
R
l
где  – удельное сопротивление проводника;
γ
1
– удельная проводимость проводника.
ρ
Сопротивление проводника с переменным
вычисляется путем интегрирования выражения
dR  ρ

dl
.
S
Общее сопротивление системы проводников:
а) R 
n
R
i 1
i
– при последовательном соединении;
сечением
79
n
1
1
– при параллельном соединении,

R i 1 Ri
б)
где Ri – сопротивление i-го проводника.
 Законы Кирхгофа:
а) первый закон:
Ii  0 ,
где
I

– алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле;
i
б) второй закон:
где
I R
ε

i
i
i
 I R  ε
i
i
i
,
– алгебраическая сумма произведений сил токов
на сопротивления участков;
– алгебраическая сумма ЭДС,
входящих
в
рассматриваемый замкнутый контур.
Работа тока
а) для любого участка цепи:
A  IUt ;
U 2t
б) для участка, не содержащего Э.Д.С: A  I Rt , A 
.
R
U2
Мощность тока: P  IU ; P  I 2 R ; P 
.
R
2



Закон Джоуля-Ленца (тепловое действие тока в проводнике
сопротивлением R за время прохождения тока t)
Q  I 2 Rt .
Полная мощность, выделяющаяся в замкнутой цепи
P  Iε 
где  – ЭДС источника тока.
ε2
,
Rr
80
Примеры решения задач
Пример 1. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = 1 нКл
расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой
заряд q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы
указанная система зарядов находилась в равновесии.
Дано:
q= q2 = q3 = 1 нКл
Q4-?
Решение:
Все три заряда, расположенные по
вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях.
+ q2
Поэтому
достаточно
выяснить,
какой
заряд
следует
F4 - q4
поместить в центре
q1
q3 треугольника,
F3
чтобы
какой+
+
r1 r

нибудь один из
F23
трех
зарядов,
F2
например,
q1,
Рисунок
Рис. 13
13
находился
в
равновесии. Заряд q1 будет находиться в равновесии, если
векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рисунок
13):

 
F2  F3  F4  0 ,


или F23  F4  0 ,
где
(1)



F2 , F3 , F4 – силы, с которыми соответственно
действуют на заряд q , заряды q ,q ,q .
1
2



3 4 
F23  F2  F3 – равнодействующая сил F2 и F3 .


Так как силы F23 и F4 направлены по одной прямой в
противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно
заменить скалярным: F23 – F4 = 0, откуда F4 = F23.
81
По закону Кулона F4 
где
r1 
cos 30 
r
2
α
cos
2

q1  q 4
4εε 0 r12
,
r
r
,

2 cos 30
3
cos α  cos 60 
1
,
2
3
.
2
F2  F3 
q1q 2
, так как q1 = q2 = q3.
4εε 0 r 2
По теореме косинусов
F23  F22  F32  2F1 F2 cos α  F2 2(1  cos α) .
Так как F4 
то получим:
q1 q 4
 r 
4εε 0 

 3
2

3q1 q 4
,
4εε 0 r 2
3q1q4
q1q2

 2(1  cos α) ,
2
4εε 0 r
4εε 0 r 2
или 3q4  q2 2(1  cos α) , откуда q 4 
q2 2(1  cos α)
.
3
Произведем вычисления:
1
 1 1
q4   10 9  21     10 9  3  5,77  10 10 (Кл).
3
 2 3
Ответ: q4 = – 5,77  10-10 Кл. Следует отметить, что
равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
82
Пример 2. Определить напряженность электрического поля,
созданного диполем, в точке на перпендикуляре к плечу диполя
на расстоянии d=50 см от его центра, если заряды диполя q1 =
10-8 Кл и q2 = –10-8 Кл, а плечо диполя l = 5 см.
Дано:
Решение:
d=50 см=0,5 м
По
принципу
суперпозиции
-8
q1 = 10 Кл
напряженность поля диполя в точке О равна
сумме напряженностей Е от заряда q1 и Е2 от
q2 = –10-8 Кл
 

l=5 см=510-2 м заряда q2: E  E1  E 2 , или в проекциях на ось
Е-?
Ох: Е = Е1 cos α + Е2 cos α (рисунок 14).
Так как заряды диполя точечные, то
q
,
4εε 0 r 2
Е = 2Е1 cos α .
l
+q
-

+
-q
d
Из рисунка находим
E2
r
 E
x
O
E1
E1  E 2 
1
r  d 2  l2 ,
4
l
l
cos α  2 
.
r
1 2
2
2 d  l
4
Тогда
Рис. 14
E  2
q

l

 2 1 2  2 d 2  1 l2
4εε 0  d  l 
4
4 

2ql
2ql
.


2
2
2
2 12
4d  l 2(4d  l )
εε 0 (4d 2  l 2 ) 3 2
4εε 0 

4
2
2
Так как l 2 << 4d 2 , то слагаемым l2 можно пренебречь.
Следовательно, E 
Произведем вычисления:
2ql
ql

.
2 32
εε 0 (4d )
4εε 0 d 3
83
8
2
10  5  10
В
В
 36 .
12
3
м
4  3,14  8,85  10  1  (0,5) м
Ответ: Е = 36 В/м.
E
Пример 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности,
равномерно распределен заряд с линейной плотностью  = 10

нКл/м. Определить напряженность E и потенциал 
электрического поля, создаваемого таким распределенным
зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина
нити составляет 1/3 длины окружности и равна l =15 см.
Дано:
 =10 нКл/м=10-8 Кл/м
l=15 см=0,15 м
Е-?  -?
Решение:
Выберем оси координат так,
чтобы начало координат совпадало с
центром кривизны дуги, а ось Оy была
бы
симметрично расположена относительно концов дуги (рисунок
15). На нити выделим элемент длины dl. Заряд dq =   dl,
находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.
Определим напряженность электрического поля в точке О.
Для этого найдем сначала
создаваемого зарядом dq:
напряженность

τ  dl
dE 
4εε 0 r 2


dE
поля,

r
 ,
r
где r – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в
которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор dE через проекции dEx и dEy на оси
координат:

 

dE  i dE x  j dE y ,

где i и j – единичные векторы направлений (орты).

Напряженность E найдем интегрированием:
84
y
dE
dEy

j
O

3
i dEx
x

3

d
r
R
dq= dl
dl
Рисунок 15
Рис. 15

 

E   dE  i  dE x  j  dE y .
l
l
l
Интегрирование ведется вдоль дуги длиной l. В силу
симметрии
 dE
x
 0 . Тогда
l
 
E  j  dE y ,
l
τ  dl cos 
где dE y  dE cos  
.
4ε 0 r 2
Так как r  R  const ; dl  R  d , то
τRd 
τ
dE y 
 cos  
 cos   d .
2
4ε 0 R
4ε 0 R
Приняв во внимание симметричное расположение дуги
относительно оси Оy, пределы интегрирования возьмем от 0 до

, а результат удвоим:
3
85

  3 τ cos   d
 τ
E j
2  j
4ε 0 R
20
0

3
 cos   d 
0
τ
  τ 3
 sin  j
.
2ε 0 R
3
4ε 0 R
Выразив радиус R через длину нити l ( 3l  2R 
  τ 3
 τ 3
3l
R
), получим: E  j
.
 j
3l
2
6ε 0 l
4ε 0 
2

Из этой формулы видно, что напряженность E поля по

 j

τ
 sin  0 3
2πε 0 R

 j
направлению совпадает с осью Оу и численно равна:
E
3τ
.
6ε 0 l
Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала
найдем потенциал d, создаваемый точечным зарядом dq в
точке О:
τ  dl
τ  dl

. Тогда:
4ε 0 r 4ε 0 R
2R
τ
l
τ
τl
3  τ ;

dl 


4ε 0 R 0
4ε 0 R 4ε 0 R 6ε 0
τ

.
6ε 0
d 
Произведем вычисления:
E
3τ
3  10 8
В
В

 2,18  10 3 .
12
6ε 0 l
м
6  8,85  10  0,15 м
τ
10 8

В  188 В.
6ε 0 6  8,85  10 12
Ответ: Е = 2,18 кВ/м;  = 188 В.

86
Пример 4. На тонком стержне длиной l = 20 см равномерно
распределен электрический заряд Q. На продолжении оси
стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца
находится точечный заряд q1 = 40 нКл, который
взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Найти
линейную плотность  заряда на стержне.
Дано:
l=20 см=0,2 м
a= 10 см=0,1 м
q1=40 нКл=410-8 Кл
F=6 мкН=610-6 Н
-?
Решение:
Сила
взаимодействия
F
заряженного стержня с точечным
зарядом q1 зависит от линейной
плотности  заряда на стержне. Зная
эту зависимость, можно определить .
Заряд на стержне
не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно
применить нельзя. А если выделим из стержня малый участок dr
с зарядом dq =   dr
dr
r
(рисунок 16), который
можно
рассматривать
a
dq
+q1 как точечный, тогда по
l
закону Кулона:
Рис. 16
dF 
q1 τdr
.
4ε 0 r 2
Интегрируя это выражение в пределах от a до (a+l), получим:
qτ
F 1
4ε 0
a l

a
a l
q τ  1
q τ 1
q1 τl
dr
1 
 1  
 1  

2
4ε 0  r  a
4ε 0  a a  l  4ε 0 a(a  l )
r
;
откуда τ 
4ε 0 a(a  l ) F
.
q1l
Проверим, дает ли расчетная формула единицу линейной
плотности электрического заряда.
Ф
1  1м  1м  1Н
[ε 0 ]  [ a ]  [ a  l ]  [ F ]
[ τ] 
 м

[q1 ]  [l ]
1Кл  1м
87
1Ф  1Н


1Кл
1
Кл
 1Н
1Кл  1Н 1Кл  1Н 1Кл  1Н
Кл
В
.



1
1Кл
1В  1Кл
1Дж
1Н  1м
м
Найденная единица является единицей линейной плотности
заряда.
Произведем вычисления:
τ
4  3,14  8,85  10 12  0,1  (0,1  0,2)  6  10 6 Кл

м
4  10 8  0,2
 2,5  10 9
Ответ:  = 2,5 нКл/м.
Кл
нКл
 2,5
.
м
м
Пример 5. В поле, созданном прямым бесконечно длинным
цилиндром радиуса R=1 см и равномерно заряженным с
поверхностной плотностью  =0,2 нКл/см2, находится точечный
заряд q=25 нКл на расстоянии r=10 см от оси цилиндра. Найти
силу, действующую на этот заряд.
Дано:
R=1 см=0,01 м
 =0,2 нКл/см2=210-6 Кл/м2
q=25 нКл=2510-8 Кл
r=10 см=0,1 м
Решение:
Сила, действующая на
заряд q, находящийся в поле



F  qE ,
где E – напряженность поля.
Напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

F -?
E
τ
,
2ε 0 r
где  – линейная плотность заряда.
По определению

Q
Q
,а  ,
l
S
где Q – заряд, равномерно распределенный по поверхности
цилиндра.
88
Тогда Q =  l =  S =  2Rl, откуда τ  2R .
Следовательно,
τ
R
qR

, а F  qE 
.
ε0r
2ε 0 r ε 0 r
E
Произведем вычисления:
25  10 9  10 2  2  10 6
Н  56,5  10 5 Н  565мкН .
12
8,85  10  0,1


Ответ: Сила F сонаправлена с напряженностью E ,
F
которая в силу симметрии перпендикулярна поверхности
цилиндра и равна F=565 мкН.
Пример 6. Электрическое поле создается двумя зарядами
q1= 4 мкКл и q2= –2 мкКл, находящимся на расстоянии a=0,1 м
друг от друга. Определить работу А1-2 сил поля по перемещению
заряда q=50 нКл из точки 1 в точку 2 (рисунок 17).
Дано:
q1=4 мкКл=410-6 Кл
q2= –2 мкКл= –210-6 Кл
а=0,1 м
q=50 нКл=510-8 Кл
A1-2 -?
По
принципу
электричеcких полей
2
1
2
q1
+
a
q
1
a
Рис. 17
Решение:
Для определения работы А1-2 сил
поля воспользуемся формулой
А1-2 = q (1 – 2),
где 1 и 2 – потенциалы точек 1 и
2 поля.
a
-
q2
1 
q1
4ε 0
a
2

суперпозиции
q2
4ε 0
a
2

2(q1  q2 )
;
4ε 0 a
q1
 q2
q2
2
2 


.
4ε 0 a
4ε 0 a 2 4ε 0 a
q1
89
Тогда
A12 

q 
q  
1 
 q1

 q 2  
  q2 
2q1  q2   
q1  2 
4ε 0 a 
2
 2
 4ε 0 a  

.
Произведем вычисления:
A12 


5  10 8
1 

 4  10 6  2 
  2  10 6  Дж 
12
4  3,14  8,85  10  0,1 
2


=14,310-3 Дж=14,3 мДж.
Ответ: А1-2 = 14,3 мДж.
Пример 7. Плоский воздушный конденсатор, расстояние
между пластинами которого d1=5 мм, подключен к источнику
напряжения с ЭДС =180 В. Площадь пластин конденсатора
S=175 см2. Найти работу по раздвижению пластин до расстояния
d2=12 мм в двух случаях: 1) конденсатор перед раздвижением
пластин отключен от источника: 2) конденсатор в процессе
раздвижения пластин все время соединен с источником.
Дано:
d1=5 мм=510-3 м
=180 В
S=175 см2=1,7510-2 м2
d2=12 мм=1210-3 м
A1-? A2-?
Решение:
1) Работа, совершаемая при
раздвижении пластин, после
отключения конденсатора от источника
напряжения
A1 = W = W2 - W1,
где W1 – энергия заряженного
конденсатора до раздвижения пластин;
W2 – энергия конденсатора после раздвижения пластин.
εε S
C1U 12
q12

Так как W1 
, где q1 – заряд и C1  0 –
2
2C1
d1
емкость конденсатора до раздвижения пластин, то:
90
W1 
2
1
q d1
;
2εε 0 S
аналогично, после раздвижения пластин
W1 
q 22 d 2
.
2εε 0 S
Если конденсатор отключен от источника ЭДС, то заряд q
на его пластинах остается постоянным в процессе раздвижения
пластин. Следовательно,
q1  q2  C1U 1  C1 
εε 0 Sε
. Тогда:
d1
εε 0 Sε 2
q 22 d 2
q12 d1
q12
A1  W2  W1 


( d 2  d1 ) 
( d 2  d1 )
2εε 0 S 2εε 0 S 2εε 0 S
2d12
.
εε 0 Sε 2
A1 
(d 2  d1 ) .
2d12
Произведем вычисления:
A1 
8,85  10 12  1  180 2  1,75  10 2  (12  10 3  5  10 3 )
=
2  (5  10 3 ) 2
= 70510-9 Дж = 705 нДж.
2)Если конденсатор соединен с источником, то разность
потенциалов на его пластинах остается постоянной, а заряд
конденсатора изменяется. Полная работа, совершаемая при
раздвижении пластин,
А = А2 – Аист.,
где А2 – работа внешней силы;
Аист = q = (q1 – q2) – работа источника по
перемещению заряда q;
q1 = С1   – заряд конденсатора до раздвижения пластин;
q2 = С2   – заряд конденсатора после раздвижения
пластин.
Работу источника Аист мы взяли со знаком минус, так как
при перемещении заряда с положительной обкладки на
отрицательную источник совершает отрицательную работу.
91
Иначе, полная
конденсатора:
работа
равна
изменению
энергии
А = W = W2 – W1.
Тогда получим: А2 – Аист = W2 – W1, откуда
А2 = W2 – W1 + Аист.
εε Sε 2
εε Sε 2
1
1
Здесь W1  C1ε 2  0
и W2  C 2 ε 2  0
2
2d 1
2
2d 2
–
энергия конденсатора до и после раздвижения пластин.
 εε S εε S 
Aист  ε(C1ε  C2ε)  ε 2 (C1  C2 )  ε 2  0  0  
d2 
 d1
2
 Sε (d 2  d1 )
 0
d1d 2
Следовательно,
A2 
εε 0 Sε 2 εε 0 Sε 2 εε 0 Sε 2 (d 2  d1 ) εε 0 Sε 2



(d 2  d1 ) ;
2d 1
2d 2
d1 d 2
2d 1 d 2
A2 
εε 0 Sε 2
(d 2  d1 ) .
2d 1 d 2
Произведем вычисления:
A2 
8,85  10 12  1  1,75  10 2  180 2  (12  10 3  5  10 3 )
Дж 
2  5  10 3  12  10 3
= 293  10-9 Дж = 293 нДж.
Ответ: А1 = 705 нДж; А2 = 293 нДж.
Пример 8. На концах проводника сопротивлением R=50 Ом
равномерно нарастает напряжение от Uо =2 В до U =5 В в
течение времени  =15 с. Найти заряд, прошедший по этому
проводнику.
92
Дано:
R=50 Ом
Uо =2 В
U =5 В
 =15 с
q-?
Решение:
Так как сила тока в проводнике изменяется со
временем, то заряд, прошедший по проводнику
t2
q   Idt , где t1=0, t2=.
t1
τ
По закону Ома I 
U
U
, тогда q   dt .
R
R
0
Так как напряжение со временем равномерно нарастает, то
оно может быть выражено формулой
U = Uo + Kt,
где K – коэффициент пропорциональности.
У нас K 
U  U 0 5В  2В
В

 0,2
τ
15с
с
Тогда
τ
τ
τ
U 0  Kt
U
U τ
Kt
K
dt   0 dt   dt  0  dt   t  dt 
R
R
R
R 0
R0
0
0
0
τ
q

U 0 τ Kτ 2



(2U 0  Kτ)
R
2R 2R
Подставив числовые значения, получим:
q
15
(2  2  0,2  15)  1,05 (Кл).
2  50
Ответ: q = 1,05 Кл.
Пример 9. Определить ЭДС ε 2 второго элемента в цепи
(рис.18), если ε1 =2 В, R1=100 Ом, R2=50 Ом, R3=20 Ом.
Гальванометр регистрирует силу тока I3=50 мА, идущего в
направлении,
указанном
стрелкой.
Сопротивлением
гальванометра и внутренним сопротивлением элементов
пренебречь.
93
Дано:
ε1 =2 В
R1=100 Ом
R2=50 Ом
R3=20 Ом
I3=50мА=510-2A
ε 2 -?
Решение:
Выберем направление токов I1, I2, I3
через сопротивления R1, R2, R3. По первому
закону Кирхгофа для узла В имеем: I1 – I2 –
I3 = 0.
По второму закону Кирхгофа имеем:
- для контура I (ABC ε1 A) I1 R1  I 2 R2  ε1 ;
- для контура II (ABD ε 2 A) I 1 R1  I 3 R3  ε 2 .
После
подстановки
1
числовых
значений
в
+ полученные формулы получим
R2
R1
I
B
систему уравнений:
A
I1
R3
I3
C
I2
I 1  I 2  0,05  0

,
100 I 1  50 I 2  2
100 I  0,05  20  ε
1
2

 I 1  I 2  0,05

или 50 I 1  25 I 2  1 .
100 I  ε  1
1
2

г
II
D
+ -
2
Рисунок
Рис.1818
Так как требуется определить только одно неизвестное ε 2
из трех, то воспользуемся методом определителей. Составим и
вычислим определитель  системы:
1
1
0
  50
25
0 1
100
0
1
25
0
0
1
 (1)
50
0
100  1
 25  50  75
Составим и вычислим определитель  ε 2 :
 1 0,05
1
ε 2  50
25
1
100
0
1
 0,05
50
25
100
0
1
25
1
0
1
 (1)
50
1
100  1
 25  50  100  125  300 .

94
Числовое значение ЭДС: ε 2 
ε 2  300

 4 В.

 75
Ответ: ε 2 = 4 В.
Пример 10. Батарея состоит из n=5 последовательно
соединенных элементов, каждый с ЭДС ε i =1,4 В и внутренним
сопротивлением ri=0,3 Ом. При каком токе полезная мощность
батареи Рn=8 Вт? Найти наибольшую полезную мощность
батареи.
Дано:
Решение:
n=5
Полезная мощность батареи
ε i =1,4 В
Pn = I2R,
ri=0,3 Ом
где R – сопротивление внешней цепи;
Рn=8 Вт
I – сила тока в цепи, которая определяется по
I-? Рn max-?
закону Ома:
nε i
(n – число элементов в батарее).
nri  R
nε i
P
как R  n2 , то получим: I 
,
Pn
I
nri  2
I
I
Так
или
Pn
)  nε i ;
I2
P
nri I  n  nε i ; nri I 2  nε i I  Pn  0 .
I
I (nri 
Решая это квадратное уравнение, найдем:
2 2
I1,2 
nε i  n ε i  4 nri Pn
2 nri
.
Подставляя числовые значения, получим:
I1, 2
5  1,4  5 2  (1,4) 2  4  5  0,3  8 7  1
;


2  5  0,3
3
I1 = 2,67 A; I2 = 2 А.
Полезная мощность, выделяемая во внешней части цепи:
95
Pn  I 2 R 
2
2
i
n ε R
.
(nri  R) 2
Эта мощность будет максимальной при выполнении условия:
dPn
 0,
dR
d  n 2 ε i2 R  n 2 ε i2 ( R  nri ) 2  n 2 ε i2 R  2( R  nri )
или



dR  ( R  nri ) 2 
( R  nri ) 3
n 2 ε i2 ( R  nri )( R  nri  2 R)

0
( R  nri ) 3
( R  nri )( R  nri  2 R)  0
R  nri  2R  0 ; R  Rmax  nri
Подставляя
Pn 
2
найденное
значение
Rmax
в
формулу
2
i
n ε R
, получим:
(nri  R) 2
Pn max 
n 2 ε i2 nri
n 3 ε i2 ri nε i2
;


4ri
(nri  nri ) 2 4n 2 ri 2
Pn max 
5  (1,4) 2
 8,2 (Вт).
4  0,3
Ответ: I1 = 2,7 А; I2 = 2 А; Рn max = 8,2 Вт.
Пример 11. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом
равномерно нарастает за t =2с от I0=0 до I=6 А. Определить
количество теплоты, выделившейся в проводнике за первые три
секунды.
Дано:
Решение:
R=20 Ом
По закону Джоуля-Ленца
t =2с
dQ = I2Rdt
(1)
I0=0
Так как сила тока является функцией времени, то
I=6 А
I=Kt,
(2)
=3 с
где K – коэффициент пропорциональности,
численно равный приращению тока в единицу
Q-?
времени:
96
K
I I  I 0 6  0
А


 3  .
t
t
2
с
С учетом (2) формула (1) примет вид:
dQ = K2Rt2dt.
За первые  =3 с выделится количество теплоты:
t2
t2
t3
Q   K Rt dt  K R  t dt  K R
3
t1
t1
2
2
2
2
Произведем вычисления: Q 
t2  τ

2
t1  0
1 2 3
K Rτ .
3
1 2
 3  20  33  1620 (Дж).
3
Ответ: Q=1620 Дж.
Пример 12. Определить концентрацию дырок в
полупроводнике германия при такой температуре, когда его
удельное сопротивление ρ=0,5 Омм, если подвижности
электронов и дырок соответственно равны bn=0,40 м2/Вс;
bр=0,20 м2/Вс.
Дано:
ρ=0,5 Омм
bn=0,40 м2/Вс
bр=0,20 м2/Вс
n-?
Решение:
Удельная проводимость собственных
полупроводников равна:
γ = en (bn + bр),
где bп и bр – подвижности электронов и
дырок соответственно;
e – заряд электрона;
п – концентрация свободных электронов, т.е. число их в
единице объема.
В собственном полупроводнике концентрация дырок равна
концентрации свободных электронов.
Так как γ 
1

1

, то получим:
 en(bn  b p ) , откуда n 
1
e(bn  b p )
Подставив числовые значения величины, найдем:
97
n
1
м  3  2,08  1019 м  3
0,5  1,6  10 (0,40  0,20)
19
Ответ: п = 2,08 ∙ 1019 м -3.
98
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
Вар.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
210
201
202
203
204
205
206
207
208
209
220
211
212
213
214
215
216
217
218
219
Номера
230 240
221 231
222 232
223 233
224 234
225 235
226 236
227 237
228 238
229 239
задач
250
241
242
243
244
245
246
247
248
249
260
251
252
253
254
255
256
257
258
259
270
261
262
263
264
265
266
267
268
269
280
271
272
273
274
275
276
277
278
279
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2а
Вар.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
220
211
212
213
214
215
216
217
218
219
233
235
237
234
231
232
238
236
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
Номера
260 276
251 275
255 272
252 271
253 270
254 268
256 269
257 266
258 267
259 265
задач
309 315
308 316
307 317
306 320
305 327
304 328
303 312
302 330
301 311
310 326
350
341
342
343
344
345
346
347
348
349
365
366
367
368
369
370
361
362
363
364
380
371
372
373
374
375
376
377
378
379
201. Три одинаковых точечных заряда q1=q2=q3=2 нКл
находятся в вершинах равностороннего треугольника со

сторонами a=10 см. Определить модуль и направление силы F ,
действующей на один из зарядов со стороны двух других.
99
202. Два одинаково заряженных шарика подвешены в одной
точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на
угол . Шарики погружают в масло. Найти плотность ρ масла,
если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло
остается неизменным. Плотность материала шариков ρо=1,5103
кг/м3, диэлектрическая проницаемость масла ε = 2,2.
203. Точечные заряды q1=30 мкКл и q2= –20 мкКл находятся
на расстоянии d=20 см друг от друга. Определить

напряженность электрического поля E в точке, удаленной от
первого заряда на расстояние r1=30 см, а от второго – на r2= 15
см.
204. Четыре одинаковых заряда q1=q2=q3=q4=40 нКл
закреплены в вершинах квадрата со стороной а=10 см. Найти

силу F , действующую на один из этих зарядов со стороны трех
остальных.
205. Точечные заряды q1=20 мкКл и q2= –10 мкКл находятся
на расстоянии d=5 см друг от друга. Определить напряженность
поля в точке, удаленной на расстояние r1=3 см от первого и на

расстояние r2= 4 см от второго заряда. Найти также силу F ,
действующую в этой точке на точечный заряд q=1 мкКл.
206. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды
q1=q2= q3=q4= 810-10 Кл. Какой отрицательный заряд q нужно
поместить в центре квадрата, чтобы система находилась в
равновесии?
207. Два одинаковых положительных заряда q1=q2=0,1
мкКл находятся в воздухе на расстоянии а=8 см друг от друга.
Определить напряженность поля в точке О, находящейся на
середине отрезка, соединяющего заряды, и в точке A,
расположенной на расстоянии r=5 см от зарядов.
208. На расстоянии d=20 см друг от друга расположены два
точечных заряда: q1= –50 нКл и q2=100 нКл. Определить силу

F , действующую на заряд q3= –10 нКл, удаленный от обоих
зарядов на одинаковое расстояние, равное d.
209. Два шарика массой m=1 г каждый подвешены на нитях в
одной точке. Длина каждой нити l=10 см. Какие одинаковые
заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол
= 60?
100
210. Два небольших одинаковых шарика массой m = 0,1 г
каждый подвешенный в одной точке на нитях одинаковой
длины l =25 см. После того, как шарикам были сообщены
одинаковые заряды, они разошлись на расстояние r=5 см друг от
друга. Найти заряд каждого шарика.
211. Тонкий стержень длиной l =20 см несет равномерно
распределенный заряд с линейной плотностью τ=0,1 мкКл/м.

E
Определить
напряженность
электрического
поля,
создаваемого распределенным зарядом в точке А, лежащей на
оси стержня на расстоянии а = 20 см от его конца.
212. Бесконечный тонкий стержень, ограниченный с одной
стороны, несет равномерно распределенный заряд с линейной

плотностью τ = 0,5 мкКл/м. Определить напряженность E
электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в
точке A, лежащей на оси стержня на расстоянии 15 см от его
начала.
213. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно
распределен заряд Q=20 мкКл. Определить потенциал φ
электростатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси,
проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на
расстоянии а=20 cм от центра кольца.
214. По тонкому полукольцу равномерно распределен заряд
с линейной плотностью τ =0,2 мкКл/м. Определить потенциал
электростатического поля в точке, лежащей на оси полукольца и
удаленной от его центра на расстояние, равное радиусу
полукольца.
215. На продолжении оси тонкого прямого стержня,
равномерно заряженного с линейной плотностью заряда τ = 15
нКл/см на расстоянии а=40 см от конца стержня находится
точечный заряд q=10 мкКл. Второй конец стержня уходит в
бесконечность. Определить силу, действующую на заряд q.
216. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом r=5 см. Он
равномерно заряжен с линейной плотностью τ =800 нКл/см.
Определить потенциал φ в точке, расположенной на оси кольца
на расстоянии h=10см от его центра.
217. Тонкостенный бесконечно длинный цилиндр
диаметром d=10 см равномерно заряжен с поверхностной
плотностью заряда  = 4 мкКл/м2. Найти напряженность поля в
101
точке, отстоящей от поверхности цилиндра на расстоянии а =
15см.
218. Электростатическое поле создано
2
зарядами q1=2мкКл и q2 = –2 мкКл,
находящимися на расстоянии а=10 см друг
2a
от друга. Определить работу сил поля,
q2 совершаемую при перемещении заряда q =
0,5 мкКл из точки 1 в точку 2 (рис. 19).
a
219. Электрическое поле образовано
+
бесконечно длинной заряженной нитью, 1
q1
линейная плотность заряда которой τ =20
2a
нКл/м. Определить разность потенциалов U
Рис.
19
Рис. 19
двух точек поля, отстоящих от нити на
расстояние r1 = 10 см и r2 = 15 см.
220. Поле образовано точечным диполем с электрическим
моментом р = 200 пКлм. Определить разность потенциалов U
двух точек поля, расположенных симметрично относительно
диполя на его оси на расстоянии r = 40 см от центра диполя.
221. Узкий пучок электронов, обладающих скоростью
υ =2104 км/с, проходит в вакууме посередине между
обкладками плоского конденсатора. Какую наименьшую
разность потенциалов нужно приложить к пластинам, чтобы
электроны не вышли из конденсатора? Расстояние между
пластинами d = 1 см, длина их l = 3 см.
222. Точечный заряд q = 10-8 Кл находится на расстоянии l =
50 см от поверхности шара радиусом R = 9 см и заряженного
до потенциала φш = 25 кВ. Какую работу надо совершить для
уменьшения расстояния между шаром и зарядом до l2 = 20 см?
223. В центре полого металлического шара радиусом R = 1
м с зарядом q = 3,35 нКл находится маленький шарик с зарядом
qо = 6,68 нКл. Определить потенциалы и напряженность поля в
точках, находящихся от центра шара на расстояниях l = 0,5; 1;
10 м.
224. Электрон, летевший горизонтально со скоростью υ = 1500
км/с, влетел в однородное электрическое поле с
напряженностью Е = 100 В/см, направленное вертикально вверх.
Какова будет по величине и направлению скорость электрона
через t = 10-9 с?
102
225. Протон, начальная скорость которого υ = 210 м/с,
влетает в однородное электрическое поле (Е = 300 В/см) так, что
вектор скорости совпал с направлением линий напряженности.
Какой путь должен пройти протон в направлении линий поля,
чтобы его скорость удвоилась?
226. По направлению силовой линии электрического поля,
созданного бесконечной плоскостью, заряженной отрицательно
с поверхностной плотностью  = 2,5410-2 мкКл/м2, летит
электрон. Определить минимальное расстояние, на которое
может подойти к плоскости электрон, если на расстоянии lo = 5
см он имел кинетическую энергию Т = 60 эВ.
227. Пучок электронов направлен параллельно пластинам
плоского конденсатора длиной l = 5 см с расстоянием между
пластинами d = 3 см. С какой скоростью влетели электроны в
конденсатор, если известно, что они отклонились за время
полета в конденсаторе на х = 3 мм? Разность потенциалов между
пластинами U = 700 В. Определить кинетическую энергию
электронов.
228. Определить потенциал в начальной точке перемещения
заряда q1 = –610-8 Кл, движущегося в поле заряда q2 = +410-8
Кл, если энергия, затраченная на перемещение заряда Е = 610-5
Дж, а потенциал конечной точки 2 = 1500 В. Установить, на
каком расстоянии находились заряды в начале и в конце
перемещения.
229. Какой минимальной скоростью
должен
обладать
протон,
υ min
находящийся на расстоянии l = 3R от
поверхности
металлического
шара 
радиуса R и заряженного до потенциала 
2
1
= 400 В, чтобы он мог достигнуть
поверхности шара?
a
2a
230. Электрическое поле создано
бесконечной заряженной прямой линией с
равномерно распределенным зарядом ( =
10 нКл/м). Определить кинетическую
Рис. 20
энергию Т2 электрона в точке 2, если в
5
103
точке 1 его кинетическая энергия Т1 = 200 эВ (рисунке 20).
231. Обкладки плоского конденсатора площадью S = 100
см2, расстояние между которыми d = 3 мм, взаимодействуют с
силой F = 120 мН. Определить разность потенциалов между
обкладками.
232. Обкладки плоского конденсатора, расстояние между
которыми d = 2 мм, взаимодействуют с силой F = 100 мН. Найти
заряд конденсатора, если разность потенциалов между
обкладками U = 500 В.
233. Пылинка, заряд которой q = 6,410-18 Кл, масса m = 10-14
кг, удерживается в равновесии в плоском конденсаторе с
расстоянием между обкладками d = 4 мм. Определить разность
потенциалов U между обкладками.
234. Определить силу взаимодействия F между обкладками
плоского конденсатора, если он находится в спирте ( = 25).
Площадь обкладок S = 200 см2, расстояние между ними d = 5
мм. Обкладки заряжены до разности потенциалов U = 200 В.
235. При разности потенциалов U1 = 900 В в середине
между обкладками плоского конденсатора в равновесии
находилась
пылинка.
Расстояние
между
обкладками
конденсатора d = 10 мм. При уменьшении напряжения до U2
пылинка через время t = 0,5 с достигла нижней обкладки.
Определить это напряжение.
236. Конденсатор, заряженный до напряжения U = 200В,
соединен с незаряженным конденсатором такой же
электроемкости: а) параллельно; б) последовательно. Какое
напряжение установится между обкладками конденсатора в
обоих случаях?
237. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора
соединены последовательно и подключены к источнику
электрического тока с постоянной ЭДС. Внутрь одного из них
вносят диэлектрик с диэлектрической проницаемостью =4.
Диэлектрик заполняет все пространство между обкладками
конденсатора. Как и во сколько раз изменится напряженность
электрического поля в этом конденсаторе?
238. Два конденсатора электроемкостью С1 = 3 мкФ и С2 = 5
мкФ соединены последовательно и подсоединены к источнику
постоянного напряжения U = 12 В. Определить заряд каждого
конденсатора и разность потенциалов между его обкладками.
239.
Пространство
между
пластинами
плоского
конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика: парафина
104
толщиной d1 = 0,3 см и стекла толщиной d2 = 0,25 см. Разность
потенциалов между обкладками U = 200 В. Определить
напряженность Е поля и падение потенциала в каждом из слоев.
240. Два конденсатора одинаковой электроемкости С = 6
мкФ каждый заряжены один до U1 = 100 В, другой до U2 = 200 В.
Затем конденсаторы соединили последовательно. Определить
изменение энергии системы.
241. Расстояние между пластинами плоского конденсатора
d = 2,5 мм, площадь пластин S = 200 см2. Конденсатор заряжен
до разности потенциалов U = 2 кВ. Диэлектрик – слюда.
Определить энергию W поля конденсатора и плотность энергии
ω поля.
242. Плоский воздушный конденсатор с площадью
обкладок S = 150 см2 и расстоянием между ними d = 6 мм
заряжен до U = 400 В. Определить, как изменятся
электроемкость и энергия конденсатора, если параллельно его
обкладкам внести металлическую пластину толщиной а=1 мм.
243. Найти напряженность поля плоского конденсатора и
объемную плотность энергии, если расстояние между
обкладками конденсатора d = 0,05 м. Конденсатор заряжен до
разности потенциалов U = 600 В и обладает энергией W = 3,2
мкДж.
244. Определить работу, совершаемую при раздвигании
обкладок плоского конденсатора площадью S = 100 см2 каждая
на расстояние d =1,5 см, при условии, что обкладки несут
заряд q1 = 0,4 мкКл и q2 = –0,4 мкКл.
245. Напряженность Е поля внутри плоского конденсатора с
площадью обкладок по S = 100 см2 равна 120 кВ/м. Напряжение
на конденсаторе U = 600 В. Определите энергию W,
поверхностную плотность заряда  и электроемкость С
конденсатора.
246. Определить энергию и силу притяжения обкладок
плоского конденсатора при условии, что разность потенциалов
между обкладками U = 5 кВ, заряд каждой обкладки q = 0,1
мкКл, расстояние между обкладками d = 1 см.
247. На пластинах плоского воздушного конденсатора с
площадью пластин S = 150 см2 находится заряд q = 510-8 Кл.
Каковы сила взаимного притяжения между пластинами и
объемная плотность энергии поля конденсатора?
105
248. Найти силу притяжения F между пластинами плоского
конденсатора, если площадь каждой пластины S = 100 см2,
расстояние между ними d = 3 мм, диэлектрическая
проницаемость среды между пластинами ε = 3,5. Конденсатор
подключен к источнику постоянного напряжения U = 250 В.
249. Найти количество теплоты Q, выделившееся при
соединении одноименно заряженных обкладок конденсаторов
С1 с зарядом q = 40ּ10-8 Кл и С2 емкостью 0,05 мкФ. Разности
потенциалов между обкладками конденсаторов U1 = 120 В и U2
= 50 В.
250. Разность потенциалов между обкладками плоского
конденсатора U=300В. Пространство между пластинами
заполнено двумя слоями диэлектрика: гетинаксом (1 = 5,2)
толщиной d1 = 0,2 см и слоем канифоли (2 = 3,5) толщиной d2 =
0,3 см. Определить напряженность Е поля и падение потенциала
в каждом из слоев.
251. От источника тока, ЭДС которого Е = 1500 В,
требуется передать энергию на расстояние l =10 км.
Потребляемая мощность P = 6 кВт. Найти минимальные потери
мощности в сети, если диаметр алюминиевых подводящих
проводов d = 0,5 см.
252. Внешняя электрическая цепь потребляет мощность Р =
200 Вт. ЭДС батареи Е = 150 В, внутреннее сопротивление r = 5
Ом. Определить силу тока I в цепи, напряжение U, под которым
находится внешняя цепь, и ее сопротивление R.
253. В сеть напряжением U = 200 В подключили катушку с
сопротивлением
R1 = 2 кОм и вольтметр, соединенные
последовательно. Показание вольтметра U1 = 100 В. Когда
катушку заменили другой, вольтметр показал U2 = 80 В.
Определить сопротивление R2 другой катушки.
254. При включении электромотора в сеть напряжением U =
300 В он потребляет ток I = 5 А. Определить мощность,
потребляемую мотором, и его КПД, если сопротивление
обмотки мотора R = 10 Ом.
255. ЭДС батареи Е = 60 В. Наибольшая сила тока, которую
может дать батарея, Imax = 15 А. Определить максимальную
мощность Pmax , которая может выделяться во внешней цепи.
256. От источника с напряжением U = 800 В необходимо
передать потребителю мощность P = 20 кВт на некоторое
106
расстояние. Какое наибольшее сопротивление может иметь
линия передач, чтобы потери энергии в ней не превышали 10%
от передаваемой мощности?
257. Определите силу тока Iк.з. короткого замыкания
источника ЭДС, если при внешнем сопротивлении R1 = 10 Ом
сила тока в цепи I1 = 0,4 A, а при внешнем сопротивлении R2 =
25 Ом сила тока в цепи I2 = 0,2 A.
258. Два источника с различными ЭДС (1 =1,0 В, 2=2 В) и
внутренними сопротивлениями (r1 = 0,5 Ом и r2 = 0,1 Ом)
включены параллельно с внешним сопротивлением R.
Определите значение этого сопротивления, если амперметр,
включенный в цепь первого элемента, показывает 1,5 А.
Сопротивление амперметра RА = 0,05 Ом.
259. Источники тока с ЭДС (1=4 В, 2=6 В) и одинаковыми
внутренними сопротивлениями r1 = r2 = 1,2 Ом, включены
параллельно с внешним сопротивлением R = 4 Ом. Определите
токи, идущие через элементы и через внешнее сопротивление.
260. Два элемента с ЭДС по 1,5 В и внутренними
сопротивлениями r1 = 3 Ом и r2 = 2 Ом соединяются
последовательно и замыкаются на внешнее сопротивление.
Каким должно быть внешнее сопротивление, чтобы разность
потенциалов на полюсах первого элемента равнялась нулю?
261. Определите заряд q, прошедший по резистору с
сопротивлением R = 1 Ом, при равномерном возрастании
напряжения на концах резистора от U1 = 1 В до U2 = 5 В в
течение времени τ = 10 с.
262. Определите количество теплоты Q, выделяющейся в
резисторе за первые две секунды, если сила тока в нем за это
время возрастает по линейному закону от I1=0 до I2=4 А.
Сопротивление резистора R=10 Ом.
263. При выключении источника тока сила тока в цепи
убывает по закону I  I 0 e t , где I0 = 10 А, α = 5102 с-1.
Определите количество теплоты Q, которое выделяется в
резисторе сопротивлением R=5 Ом после выключения
источника тока.
264. За время t=20 с при равномерно возрастающей силе тока от
нуля до некоторого максимума в проводнике сопротивлением
107
R=5 Ом выделилось количество теплоты Q = 4 кДж. Определите
скорость нарастания силы тока.
265. Сила тока в проводнике сопротивлением 15 Ом
изменяется со временем по закону I  I 0 e t , где I0 = 20 А, α =
102 с-1. Определите количество теплоты Q, выделившееся в
проводнике за время τ =10-2 с.
266. Сила тока в проводнике изменяется со временем по
закону I=I0sint. Найти заряд q, проходящий через поперечное
сечение проводника за время t, равное половине периода T, если
начальная сила тока I0 = 10 А, циклическая частота ω=50 с-1.
267. За время τ = 10 С при равномерно возрастающей силе
тока от нуля до некоторого максимума в проводнике
сопротивлением R = 25 Ом выделилось количество теплоты Q =
40 кДж. Определите среднюю силу тока <I> в проводнике.
268. В проводнике за время τ = 10 с при равномерно
возрастании силы тока от I1 = 1,5 А до I2 = 3 А выделилось
количество теплоты Q = 15 кДж. Найти сопротивление R
проводника.
269. По проводнику сопротивлением R = 10 Ом течет
равномерно возрастающий ток. За время τ = 8 с в проводнике
выделилось количество теплоты Q = 2500 Дж. Найти заряд q,
проходящий в проводнике за это время, если сила тока в
начальный момент времени I0=0.
270. Сила тока в цепи изменяется по закону I=I0sint.
Определить количество теплоты Q, которое выделится в
проводнике сопротивлением R = 10 Ом за время, равное
четверти периода (от t1 = 0 до t2= ¼Т), где Т = 10 с, I0 = 2 A.
271. Определите ток короткого замыкания источника ЭДС,
если при внешнем сопротивлении R1=10 Ом ток в цепи I1=0,5А,
а при сопротивлении R2=250 Ом – а ток I2=0,1 А.
272. Вольтметр, сопротивление которого r = 900 Ом,
включенный в сеть последовательно с сопротивлением R1,
показал напряжение U1=198 В, а при включении его
последовательно с сопротивлением R2=2R1 показал напряжение
U2=180 В. Определите сопротивление R1 и напряжение в цепи.
273. По медному проводу сечением S=0,1 мм2 течет ток силой
I=0,2 А. Определите силу, действующую на отдельные
108
свободные электроны со стороны электрического поля.
Удельное сопротивление меди ρ=17 нОмм.
274. Электрическая плитка мощностью P=2 кВт с
нихромовой спиралью предназначена для включения в сеть
напряжением U=220 В. Сколько метров проволоки диаметром
d=0,5 мм надо взять для изготовления спирали, если
температура
нити
накаливания
t=900С?
Удельное
сопротивление нихрома при 0С ρ0 = 1 мкОмм, а
температурный коэффициент сопротивления α = 4·10-4 K-1.
275. Плоский конденсатор с расстоянием между
пластинами
d=2
мм,
заполненный
целлулоидом
с
диэлектрической проницаемостью ε = 3,5 и удельным
сопротивлением  =2·1010 Омсм, включен в цепь батареи с ЭДС
ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом. Чему равна
напряженность Е электрического поля в конденсаторе, если его
емкость С = 2 мкФ.
276. Через аккумулятор в конце зарядки течет ток I1=4 А.
При этом напряжение на его клеммах U1=25 В. При разрядке
того же аккумулятора током I2=6 А напряжение на его клеммах
U2=20 В. Найти ток короткого замыкания.
277. В медном проводнике длиной l = 1,5 м и площадью
поперечного сечения S=0,4 мм2 идет ток. При этом ежесекундно
выделяется количество теплоты Q=0,35 Дж. Сколько электронов
проходит за 1 с через поперечное сечение этого проводника?
278. Между пластинами плоского конденсатора площадью
S=250 см2 каждая находится V=0,5 л водорода. Концентрация
ионов в газе n=5,3107 см-3. Какое напряжение U нужно
приложить к пластинам конденсатора, чтобы получить ток
силой I=2,5 мкА? Подвижность положительных ионов водорода
b+=5,410-4 м2/Вс, отрицательных b–=7,410-4 м2/Вс.
279. Воздух между плоскими электродами ионизационной
камеры ионизируется рентгеновскими лучами. Сила тока,
текущего через камеру I=2,5 мкА. К электродам приложена
разность потенциалов U=150 В, площадь каждого электрода
S=200 см2, расстояние между ними d=1,5 см. Определите
концентрацию n ионов между пластинами, если ток далек от
насыщения. Заряд каждого иона равен элементарному заряду.
Подвижность положительных ионов воздуха b+=1,410-4 м2/Вс;
отрицательных b–=1,910-4 м2/Вс.
109
280. Трубка длиной l=0,6 м и площадью поперечного
сечения S=5 мм2 наполнена азотом, ионизированным так, что в
объеме V=1 см3 его находится при равновесии n=109 пар ионов.
Заряд каждого иона равен элементарному заряду. Найти
сопротивление R трубки. Подвижность положительных ионов
азота b+=1,2710-4 м2/Вс, отрицательных b–= 1,8110-4 м2/Вс.
110
4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И
ВОЛНЫ
Основные законы и формулы

Закон Био-Савара-Лапласа для элемента проводника с током

 μμ0 I [dl  r ]
 μμ0 I sin α 
dB 
,
или
d
B

dl ,
4r 3
4r 2
где  – магнитная проницаемость изотропной среды;
0 – магнитная постоянная (0 = 410-7 Гн/м);
r – радиус-вектор, направленный от элемента

проводника dl к точке, в которой определяется


магнитная индукция dB поля;
α – угол между радиусом-вектором и направлением тока в
элементе провода.
Магнитная индукция поля, созданного:
а) бесконечно длинным прямым проводником с током
B
μμ 0 I
,
2r0
где r0 – расстояние от оси провода до точки, в которой
определяется магнитная индукция;
б) в центре кругового витка с током
B
μμ 0 I
,
2R
где R – радиус витка;
в) отрезком проводника с током (рис. 21,а)
B
μμ0 I
4r0
(cos α1  cos α 2 ) .
Обозначения ясны из рисунка.
111
а)
б)
б)
a)
1
B
B
rr00
II

I
B
B
r0
r0
I
При
симметричном
расположении концов провода
относительно точки, в которой
определяется
магнитная
индукция (рисунок 21,б) –
cos α1  cos α2  cos α , тогда
B

μμ0 I cos α
.
2r0
г) бесконечно длинным
соленоидом на его оси (внутри
соленоида)
B  μμ0 In ,
где n – отношение числа
витков соленоида к его длине.
д) на оси кругового тока
2
Рис. 21
B
μμ0 IR 2
3
2 2
,
2( R 2  h )
где h – расстояние от центра витка до точки, в которой
определяется магнитная индукция.


 Связь магнитной индукции B с напряженностью H
магнитного поля


B  μμ0 H .

Сила действующая на прямой провод с током в однородном
магнитном поле (закон Ампера)
 

F  I [l  B ] , или F  IBl sin α ,
где l – длина провода;
 – угол между направлением тока в проводе и вектором

магнитной индукции B .
Если поле неоднородно и провод не является прямым, то:

 

dF  I [dl  B ]
где dl – элемент провода с током I.
 Магнитный момент плоского контура с током I:


Pm  ISn ,
112

где n – единичный вектор нормали к плоскости контура,

направление которой определяется в соответствии с
правилом буравчика;
S – площадь контура.
Механический (вращательный) момент, действующий на
контур с током, помещенный в однородное магнитное поле

 
M  [ Pm  B] ,или M  Pm B sin α ,


где α – угол между векторами Pm и B .

Сила Лоренца


 
F  q[υ  B] , или F  qB sin α ,
где υ – скорость заряженной частицы;


α – угол между векторами υ и B .
Если заряженная частица находится одновременно в
электрическом и магнитном полях, то под силой Лоренца
понимают выражение:


 
F  qE  q[υ  B] .
 Магнитный поток:
а) в случае однородного магнитного поля и плоской
поверхности
Ф  BS cos α , или Ф  Bn S ,
где S – площадь контура;

α – угол между нормалью n к плоскости контура и

вектором магнитной индукции B ;
б) в случае неоднородного
поверхности:
поля
и
произвольной
Ф   Bn dS ,
S
(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток)
  NФ .
Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной
намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.
 Работа по перемещению замкнутого контура с током в
магнитном поле
A  I  Ф .
113

Основной
Фарадея)
закон
электромагнитной
εi  N 

ЭДС самоиндукции
dI
.
dt
Индуктивность контура
L

(закон
dФ
d

.
dt
dt
ε s  L

индукции
Ф
.
I
Индуктивность соленоида, имеющего N витков
L  μμ 0
N 2S
, или L  μμ 0 n 2V ,
l
N
– отношение числа витков соленоида к его длине;
l
V  Sl – объем соленоида.
где n 

Разность потенциалов на концах провода длиной l,

движущегося со скоростью υ в магнитном поле
U  Blυ sin α ,


где α - угол между векторами υ и B .
 Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении
магнитного потока, пронизывающего этот контур
q

Ф
N  Ф 

, или q 
,
R
R
R
где R – сопротивление контура.
Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей
сопротивлением R и индуктивностью L:
а) при замыкании цепи
Rt




I  I 0 1  e L  ,


где I 0 
ε
– сила тока цепи при t = 0;
R
t – время, прошедшее после замыкания цепи.
б) при размыкании цепи
114
I  I 0e
Rt

L
,
где t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.
 Энергия магнитного поля

LI 2
.
W
2
Объемная плотность энергии магнитного поля
ω
W BH μμ0 H 2
B2
,



V
2
2
2 μμ0
где B – магнитная индукция;
H – напряженность;
V – объем магнитного поля.
 Закон полного тока для магнитного поля в веществе

(теорема о циркуляции вектора B )
 
 B dl   0  I i .
i
L


Циркуляция вектора напряженности H магнитного поля
вдоль замкнутого контура, охватывающего ток I (закон
полного тока для тока проводимости)
H l dl  I ,


где Hl – проекция вектора напряженности H на направление
касательной к контуру, содержащей элемент dl;
I – сила тока, который охватывается контуром.
 Период собственных электромагнитных колебаний в
контуре (формула Томпсона)
T  2 LC ,
где L – индуктивность;
C – электроемкость контура.
При наличии потерь в контуре (при наличии омического
сопротивления
R)
собственные
колебания
являются
затухающими, причем период колебаний
115
2
T
1  R 
 
LC  2 L 
2
,
а сила тока в контуре изменяется по закону затухающих
колебаний:
i  I 0e


Rt
2L
sin ωt .
Скорость распространения электромагнитных волн в среде
υ
c
εμ
,
где с – скорость электромагнитных волн в вакууме (с = 3108
м/с);
 – диэлектрическая проницаемость среды;
 – магнитная проницаемость среды.
116
Примеры решения задач
Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода
А и С, по которым текут в одном направлении токи силой I1 = I2
= I = 50 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга.

Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого
проводниками с током в точке D, отстоящей от оси одного
провода на расстоянии r1 = 5 см, от другого – на r2= 12 см.
Дано:
I1 = I2 = I = 50 А
d = 10 см = 0,10 м
r1 = 5 см = 0,05 м
r2 = 12 см = 0,12 м
Решение:
Воспользуемся
принципом
суперпозиции магнитных полей. Для этого
определим
направления
магнитных


индукций B1 и B 2 полей, создаваемых
каждым
проводником
с
током
в
отдельности, и сложим их геометрически:
 

B  B1  B2 .
Модуль вектора В может быть
найден по теореме косинусов:

B -?
B
B2

D
B1

B  B12  B22  2 B1 B2 cos α ,
r2
r1
I1
I2
d
+
+
A
C
Рис.
22
Рис. 22
где α – угол между векторами


B1 и B 2 .
B1 
μμ0 I1
μμ0 I 2
; B2 
.
2r1
2r2
Тогда
2
2
 μμ I   μμ I 
μμ I μμ I
B   0 2    0 2   2  0 1  0 2  cos α 
2r1 2r2
 2r1   2r2 

μμ0 I
2
1
1 2 cos α
.
 2
2
r1r2
r1 r2
(*)
Угол α =ADC – как углы при вершинах треугольников с
взаимно перпендикулярными сторонами.
Из АDС по теореме косинусов запишем:
117
r r d
.
2r1 r2
2
1
d 2  r12  r22  2r1r2 cos α , откуда cos α 
2
2
2
Подставим числовые значения и произведем вычисления:
cos α 
5 2  12 2  10 2
69

 0,575 .
2  5  12
120
Подставив в формулу (*) числовые значения физических
величин, получим:
B
1  4  107  50
1
1
2  0,575


Тл 
2
2
2
(0,05)
(0,12)
0,05  0,12
 25,71  10 5 Тл  257,1мкТл
Ответ: В = 357,1 мкТл.
Пример 2. Изолированный прямолинейный проводник
изогнут в виде прямого угла со стороной l = 20 см. В
плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом R
= 10 см так, что стороны угла являются касательными к
нему (рисунок 23, а). Найти индукцию магнитного поля в
центре кольца. Силы токов в проводниках одинаковы и
равны I = 2 А. Влияние проводящих проводов не
учитывать.
б) B
a)
B
1
1
I1
1
A
I1
O
r0
r0
2
R
I1
1
2
I2
B
Рисунок
Рис. 2323
A
2
M
118
Дано:
l = 20 см = 0,20 м
R = 10 см = 0,10 м
I1 = I2 = I = 2 А
В-?
где

B1
Решение:
Воспользуемся законом Био-СавараЛапласа и принципом суперпозиции
магнитных полей. Вектор магнитной
индукции суммарного поя в точке О
 

B  B1  B2 ,
– индукция магнитного поля, создаваемого
прямолинейным проводником, согнутым в виде
прямого угла;

B 2 – кругового проводника радиусом R.
Эти векторы перпендикулярны плоскости, в которой лежат
прямой проводник АВ и круговой проводник радиусом R = r0, и
совпадают по направлению (направлены на нас). Магнитная
индукция, создаваемая в точке М конечным отрезком АВ
прямого проводника на расстоянии r0 от него (рисунок 23,б)
равна
B0 
μμ0 I 1
(cos α1  cos α 2 ) .
4r0
Заметим,
что
при
симметричном расположении точки М относительно отрезка АВ
провода эта формула примет вид:
B0 
μμ0 I1
cos α1 ,
2r0
так как cos α2   cos α1 , а α1 = 45.
Индукция от двух сторон угла составляет:
B1  2B0 
μμ0 I1
cos α1 , где cos α1  cos 45  0,707
r0
Индукция магнитного поля в центре окружности радиуса
R=r0 равна
B2 
μμ0 I 2
.
2r0
Результирующая индукция магнитного поля в центре
кольца
B  B1  B2 
μμ0 I1
μμ I
μμ I  cos α 1 
cos α  0 2  0 
 .
r0
2r0
r0  
2
119
Произведем вычисления:
B
1  4  3,14  10 7  2  0,707 1 
   182,16  10 7 (Тл).

0,10
3
,
14
2

Ответ: В=18,210-6 Тл=18,2 мкТл.
Пример 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R =

10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию B в точке
А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.
y
B
dBy
dB

A
dBx
x
r
Idl

O

R
dl
I
Рис. 24
Дано:
R = 10 см = 0,10 м
I=8А
r = 20 см = 0,20 м
Решение:
Выделим на кольце элемент проводника dl с
током I и от него в точку А проведем радиус-


вектор r (рисунок 24). Вектор dB магнитной
индукции поля, создаваемого элементом тока

Idl в точке А, направим в соответствии с
правилом буравчика.
120
Согласно принципу суперпозиции магнитных полей,

B
магнитная
индукция
в
точке
А
определяется
интегрированием:


B   dB ,
l
где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор dB на две составляющие:


dBx ,
параллельную плоскости кольца, и dBy перпендикулярную
плоскости кольца, т. е.



dB  dBx  dBy .



Тогда B   dBx   dB y .
l
l


В силу симметрии  dBx  0 . Векторы dB y от различных
l
элементов dl сонаправлены, поэтому скалярное значение

вектора B будет равно:
B   dBy ,
l
μμ0 Idl
sin α (по закону Био-Саварагде dBy  dB cos β и dB 
4r 2


Лапласа). Так как вектор dl перпендикулярен r , то sin α =1.
Следовательно,
2R
μμ0 I  dl
μμ I cos β
μμ I cos β  2R
,
cosβ  0 2
dl  0
2

4r
4r
4r 2
l
0
R
где cos β 
(рис. 24).
r
R
μμ 0 I   2R
μμ 0 IR 2
r

Тогда получим: B 
.
4r 2
2r 3 
Проверим размерность искомой величины B :
B
121
[ μ ]  [I ]  [R 2 ]
[ B]  0

[r 3 ]

1
Гн
 1А  1м 2
1Гн  1А 1Вб  1А
м



3
1м
1м 2
1А  1м 2
1Вб 1Тл  1м 2

 1Тл .
1м 2
1м 2
Произведем вычисления:
μμ IR 2 `1  4  10 7  80  (0,10) 2
B 0 3 
Тл  6,28  10 5 Тл  62,8мкТл
2r
2  (0,20) 3

Ответ: Вектор B направлен по оси кольца (пунктирная
стрелка на рисунке 24) и численно равен 62,8 мкТл.
Пример 4. По тонкому стержню длиной l = 50 см
равномерно распределен заряд q = 60 нКл. Стержень вращается
с частотой ν = 12 с–1 относительно оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через стержень на расстоянии а =
1
l от
3
одного из его концов. Определить магнитный момент Pm,
обусловленный вращением стержня.
Дано:
l =50 см = 0,50 м
q = 60 нКл = 6010-9 Кл
ν = 12 с–1
1
а= l
3
Pm -?
Решение:
По
определению
магнитный
момент плоского контура с током I
равна


Pm  nIS ,

где n – единичный вектор
нормали к плоскости контура S.
Выделим элемент стержня длиной
dr с зарядом на нем dq 
q
 dr . При вращении стержня
l
относительно оси О элементарный круговой ток в данном
случае определяется выражением
dI 
dq
 ν  dq ,
T
122
где  - частота вращения стержня. Магнитный момент
элементарного кругового тока dPm = SdI, где S – площадь,
ограниченная окружностью, описываемой элементом стержня dr
с зарядом dq (S = r2, где r – радиус этой окружности (рис. 25)).
Тогда
dPm  r  dI  r ν  dq 
2
2
r 2 νq  dr
l
.
Магнитный
момент
Pm,
обусловленный
вращением
стержня длиной l вокруг оси О,
определяем интегрированием двух
частей стержня:
x
0,
dr
O
dq
Рис. 25
a
πr 2 νqdr
πr 2 νqdr
,

l
l
0
0
1
2
1
x la l l  l и a  l –
3
3
3
Pm  Pm1  Pm 2  
где
Pm
a n r
пределы
интегрирования.
2
l
3
1
l
3
 2l
πνq 2
πνq 2
πνq  r 3 3 r 3
Pm 
r dr 
r dr 


l 0
l 0
l  3 0
3

πνq  8 3 1 3  1
2

 l  l   πνql .
l  81
81  9
1
Pm  πνql 2 .
9
1
l
3
0





Произведем вычисления:
Pm 


1
 3,14  12  60  10 9  (0,5) 2  62,8  10 9  62,8 нА  м 2 .
9
Ответ: Pm = 62,8 нАм2.
123
Пример 5. Длинный
провод с током I = 50 А
изогнут под углом α =
120.
Определить

магнитную индукцию B в
точке А (рисунок 26).
Расстояние
d = 5 см.

2
A
d
I
Рис. 26
Решение:
Изогнутый провод можно рассматривать
как два длинных провода, концы которых
соединены в точке О (рисунок 27). В
соответствии с принципом суперпозиции

магнитных полей магнитная индукция B в
точке
А
будет
равна
геометрической
сумме

магнитных индукций B1 и
I = 50 A
α = 120
d = 5 см = 510-2 м

B -?
1
1
I
r0

+
I
Рисунок 26
Дано:
A
1

B2

2
B d 2 O
I
Рисунок
Рис.2727
полей, создаваемых
отрезком
длинных
проводов 1 и 2, т.е.
 

B  B1  B2 . Магнитная

индукция B 2 равна нулю.
Это следует из закона БиоСавара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси

 
 μμ0 I [dl  r ]

[
d
l
 r ]  0 ).
провода, dB  0 ; ( dB 
;
у
нас
4r 3
Магнитную индукцию В1 найдем, воспользовавшись
выражением для магнитной индукции поля, создаваемого
отрезком провода с током I:
B1 
μI
(cos α1  cos α 2 ) ,
4r0
124
где r0 – кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А. В
нашем случае α10 (провод длинный), cos α1  1 , α2 = α = 120
(cos α2 = cos 120 = = 
1
). Расстояние
2
r0  d sin(   α )  d sin α  d sin 120  d 
3
2
Тогда магнитная индукция
  1  μ I 3
 1       0
.
4d
3   2 
4d
2
3 μ0 I
Так как B  B1 (B2=0), то B 
.
4d


Вектор B сонаправлен с вектором B1 и определяется
B1 
μ0 I
правилом правого винта. На рисунке 27 это направление
отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости
чертежа, от нас)
Проверим, дает ли правая часть равенства единицу
магнитной индукции (Тл):
[μ 0 ]  [I ] 1Гн 1А 1В  с 1А
1Дж


 2
 1Н2 1м 
2
[d ]
м 1м
1м  А
1м 1А 1м 1А
 1 Н  1Тл
А м
Произведем вычисления:
3  4 10 7  50
Тл  17,3 10 5 Тл  173мкТл .
2
4  5 10
B
Ответ: В=173 мкТл.
Пример 6. Бесконечно длинный провод с током I = 80 А изогнут
так, как это изображено на рисунке 28. Определить магнитную

индукцию B в точке О. Радиус дуги R = 10 см.
125
I
2
I
I
I
R
2R
I
4
1
1
O
I
I 5
O
2R
3
2
Рис. 29
Рис. 28
Дано:
r0 R
Решение:

Магнитную индукцию B в точке О
найдем, используя принцип суперпозиции
магнитных полей:
I = 80 A
R = 10 см = 0,1 м

B -?
n 

B   Bi .
i 1
Разобьем провод на пять частей (рисунок 29): три
прямолинейных (1,3 и 5) и две дуги полуокружностей (2 и 4)
радиусами R и 2R. Тогда
  



B  B1  B2  B3  B4  B5 ,





где B1 , B 2 , B3 , B 4 и B5 – магнитные индукции поля в точке О,
создаваемые током I, текущим на выделенных пяти участках
длинного провода. Так как точка О лежит на оси проводов 1 и 3,






то B1  0 и B3  0 . Тогда B  B2  B4  B5 .
Учитывая, что в соответствии с правилом буравчика


векторы B 4 и B5 направлены перпендикулярно плоскости

чертежа на нас, вектор B 2 – перпендикулярно плоскости
чертежа от нас, векторную сумму можно заменить
алгебраической: В = В4+В5 – В2.
Магнитные индукции В2 и В4 в точке О создаются лишь
половинами кругового тока, поэтому (в соответствии с законом
Био-Савара-Лапласа):
126
μμ I
1 μμ0 I

 0 ;
2 2  2R
8R
1 μμ I μμ I
B4   0  0 .
2 2R
4R
B2 
Магнитную индукцию В5 найдем, воспользовавшись
выражением для магнитной индукции поля, создаваемого
отрезком провода с током I:
μμ0 I
(cos α1  cos α 2 ) .
4r0

В нашем случае r0  R , α1 
( cos α1  0 ), α 2  
2
( cos α2  1). Тогда
μμ I
B5  0 .
4R
B5 
Используя найденные выражения для В2, В4 и В5, получим
B
μμ0 I μμ0 I μμ0 I μμ0 I
μμ I



(2  2   )  0 (  2) .
4R
4R
8R
8R
8R
μμ0 I
B
(  2) .
8R
Произведем вычисления:
B
Гн
 80А
м
(3,14  2)  205,6  10 6 Тл  205,6мкТл
8π  0,1м
1  4π  10 7
Ответ: В = 205,6 мкТл.
Пример 7. На упругой нити, постоянная кручения которой С = 9,810-6
Нм/рад, подвешена квадратная рамка со стороной а = 3 см,
содержащая N = 200 витков тонкого провода. Плоскость рамки
совпадает с направлением линии индукции внешнего магнитного
поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если
при пропускании по рамке тока I = 1 А она повернулась на угол
 = 60.
127
Дано:
С = 9,810-6 Нм/рад
a = 3 см = 0,03 м
I=1А
 = 60
N = 200
В-?
Решение:
На рамку действуют два вращающих

момента сил: M 1 – момент сил, с
которым внешнее
магнитное
поле

действует на рамку с током I, и M 2 –
момент упругих сил, возникающих при
закручивании
нити, на которой подвешена
рамка. Рамка будет находиться
в равновесии при выполнении
условия:


M1  M 2  0 .
M2
Направления
этих
моментов противоположны друг
другу, поэтому получим:
I

(1)
M1  M 2  0 ,
Pm
где M 1  Pm B sin α (Pm –
a

магнитный момент рамки с
I
B
током, В – индукция магнитного
поля, α – угол между нормалью
к
плоскости
рамки
и
M1
направлением линий индукции
магнитного поля, рис. 30);
Рисунок
Рис.30
30
(С
–
M 2  C 
постоянная
кручения,
показывающая величину момента упругой силы, возникающей
при повороте рамки на угол, равный единице,  – угол поворота
рамки).
Если учесть, что Pm  ISN  Ia 2 N , где I – сила тока в
рамке, S – площадь рамки, а – сторона квадратной рамки, N –
число витков рамки; равенство (1) можно переписать в виде:
NIa 2 B sin α  C  0 ,
откуда B 
C
NIa 2 sin α
(2)
128
Из рис. 30 видно, что α 

2
  , значит, sin α  cos  . С
учетом этого равенство (2) примет вид:
B
C
.
NIa 2 cos 
Подставим числовые значения и произведем вычисления:
9,8  10 6 

3
Тл  11,4  10 5 Тл .
200  1  (0,03) 2  0,5
Ответ: В=11,410-5 Тл.
B
Пример 8. Магнитное поле создано кольцевым
проводником радиусом R = 20 см, по которому течет ток I = 100
А. На оси кольца расположено другое кольцо малых размеров с
магнитным моментом Pm = 10-2 Ам2. Плоскости колец
параллельны, а расстояние между ними х = 1 см. Определить
силу, действующую на малое кольцо.
Дано:
R = 20 см = 0,2 м
I = 100 А
Pm = 10-2 Ам2
x = 1 см = 0,01 м
F-?
IO
R
B
x
Рис. 31

вектором Pm .
O1
Решение:
В неоднородном магнитном поле на
контур действует сила
Pm
где
F

  dB
,
F  Pm
dx

dB
– изменение
dx
вектора
индукции
магнитного
поля,
рассчитанного на единицу длины
вдоль направления, совпадающего с
Индукция магнитного поля на оси кругового тока
μμ0 IR 2
B
,
2( R 2  x 2 ) 3 2
129
где х – расстояние от центра кольца до точки, в которой
определяется магнитная индукция. Тогда


μμ0 IR 2
dB μμ0 IR 2 
1




dx
2  (R 2  x 2 )3 2 
2

3 
 
 2
2
2
( R  x )  


5
2


μμ0 IR 2  3 2
2
0 IR x
2
   3 μμ

(
R

x
)

2
x

2  2
2( R 2  x 2 )5 2

3 μμ0 IR 2 x  Pm
и F
.
2( R 2  x 2 ) 5 2
Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу
силы (Н):
[ μ]  [ μ0 ]  [ I ]  [ R 2 ]  [ x]  [ Pm ]

(R 2  x 2 )5 2

1

Гн
 1А  1м 2  1м  1А  м 2
м

(1м 2 ) 5 2
1В  с  А  м 4  А 1Дж 1Н  м



 1Н .
1м
1м
1А  м 5
Произведем вычисления:
F
3  1  4  3,14  10 7  100  (0,2) 2  0,01  10 2

2 (0,2)  (0,01)
2

2 52
H  2,35  10 6 H .
Ответ: F = 1,35 мкН.
Пример 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле
(В = 0,5 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 8 см.
Определить магнитный момент Pm эквивалентного кругового
тока.
Дано:
Решение:
В = 0,5 Тл
Движение электрона в однородном
R = 8 см
магнитном поле будет происходить по
окружности только в том случае, когда
Pm-?
электрон
влетит
в
магнитное
поле
перпендикулярно линиям
130
 
индукции υ B . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору

скорости υ , то она сообщит электрону центростремительное

ускорение a n .

Пусть линии магнитной индукции B перпендикулярны
плоскости чертежа и направлены «от нас», тогда направление

вектора υ и траектория электрона указаны на рисунок 32.
Движение
электрона
по
+ + + + +
окружности эквивалентно круговому
B
+ + + + + току, который в данном случае
определяется выражением
+
+

+
+
+ +
- Fл
e
+ + +
R
+
+
+
+
+
+
I экв 
e
T
,
где е – заряд электрона;
Т – период его обращения.
Рис. 32
Период обращения T 
2R
,
υ
где 2R – длина окружности (путь, проходимый электроном за
период Т со скоростью υ ).
Тогда I экв 
e υ
2R
.
Магнитный момент Pm эквивалентного кругового тока
Pm  I экв  S ,
Где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой
электроном ( S  R 2 ). Следовательно
Pm 
e υ
2R
 R 2 
Так как Fл  Fц .с. , или e Bυ 
1
e υR .
2
e BR
mυ 2
, то υ 
. Подставив
m
R
это выражение в равенство (*), получим
2
Pm 
(*)
e BR 2
2m
где е = 1,610-19 Кл, m = 9,110-31 кг.
Произведем вычисления:
,
131
19
2
(1,6  10 Кл)  0,5Тл  (8  10 м)
 7,03  1012 А  м2 
 31
2  9,1  10 кг
2
 7,03пА  м
Pm 
2
2
Ответ: Pm = 7,03 пАм2.
Пример 10. Электрон движется в однородном магнитном
поле (В=10 мТл) по винтовой линии, радиус которой R = 1 см и
шаг и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона
и его скорость υ .
Дано:
В = 10 мТл = 1010-3 Тл
R = 1 см = 10-2 м
h = 6 см = 610-2 м
Т-? υ -?
Решение:
Электрон будет двигаться по
винтовой линии, если он влетает в
однородное магнитное поле под
некоторым углом ( α 

2
) к линиям
магнитной индукции. Разложим, как показано на рисунке 33,

скорость υ электрона на две составляющие:
  
υ  υx  υ y .
По
модулю
υ  υ x2  υ y2 ,
где
υ x  υ  cos α ;
υ y  υ  sin α .
На
электрон
Fл  e υB sin α  e Bυ y
действует
сила
Лоренца
132
Y
h
V
Vy
X
B

Vx
e
O
Fл
R
Рисунок
33
Рис. 33
Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение
an 
υ y2
R
. Согласно второму закону Ньютона можно написать
Fл  me an , или e Bυ y 
me υ y2
R
, откуда υ y 
e BR
me
. Период
обращения электрона связан с составляющей скорости υ y
соотношением
T
2R
.
υy
Тогда получим: T 
2me
.
eB
Произведем вычисления:
T
2  3,14  9,1  10 31 кг
 3,57  10 9 с  3,57нс .
19
3
1,6  10 Кл  10  10 Тл
За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль
силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е.
h  T  υ x , откуда
υx 
e Bh
h

.
T 2me
133
Модуль скорости электрона
 e Bh
υ  υ  υ  
 2me
2
x
2
y
2
2
  e BR 
e B  h 2
2
 
 

 R .
  m 
me  2 
  e 
Подставим числовые значения величин и произведем
вычисления:
1,6  1019  10  10 3
υ
9,1  10 31
2
 6  10 2 

  (10  2 ) 2 м/с 
2

3,14


 2,46  107 м/с  24,6Мм/с
Ответ: Т = 3,57 нс, υ = 24,6 Мм/с.
Пример 11. Катушка, содержащая N = 1000 витков,
равномерно вращается с частотой  = 10 с-1 относительно оси
АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям
индукции однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл).
Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех
моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α
= 60 с линиями поля. Площадь катушки S = 100 см2.
Дано:
N = 1000
 = 10 с-1
В = 0,04 Тл
α = 60
S = 100 см2 = 10-2 м2
i-?
Решение:
По закону Фарадея-Максвелла:
d
.
dt
Потокосцепление   NФ , где N –
εi  
число витков катушки, пронизываемых
магнитным потоком Ф.
Тогда получим: ε i   N
dФ
.
dt
134

t
n
Магнитный
поток,
пронизывающий
катушку
в
момент времени t, изменяется по
закону Ф  BS cos ωt , где ω –
угловая
скорость
катушки
( ω  2ν ).
Мгновенное значение ЭДС
индукции:
ε i  N ( ω BS sinω t )  .
 ω BSN sinω t
Если
учесть,
что
угол
Рис. 34
ωt 


sin   α   cos α , то получим
2


2
α
(рисунок
34),
а
ε i  2BSN cos α .
Произведем вычисления:
ε i  2  3,14  10  0,04  10 2  1000  cos 60B  12,56B
Ответ: εi =12,56 В.
Пример 12. Квадратная проволочная рамка со стороной а
= 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном
магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки
составляет угол  = 30 с линиями магнитной индукции.
Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное
поле выключить.
Дано:
а = 5 см = 510-2 м
R = 10 мОм = 10-2 Ом
В = 40 мТл = 410-2 Тл
 = 60
Решение:
При выключении магнитного поля
произойдет изменение магнитного
потока. Вследствие этого в рамке
возникает ЭДС индукции
εi  
dФ
dt
135
Эта ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток,
мгновенное значение которого, согласно закону Ома для полной
Ii 
цепи, равно
Ii R  
εi
, R – сопротивление рамки. Тогда
R
dФ
.
dt
Так как мгновенное значение силы индукционного тока
dq
Ii 
, то это выражение можно переписать в виде
dt
dq
dФ
R  
, откуда
dt
dt
dФ
dq  
.
R
Проинтегрировав это выражение, найдем:
q
 dq  
0
Ф
Ф  Ф2
1 2
.
dФ , или q  1

R Ф1
R
Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние)
Ф2=0, последнее равенство перепишется в виде q 
По
Ф1
.
R
определению
магнитного
потока
имеем
Ф1  BS cos  , где S – площадь рамки. Рамка квадратная, т.е. S
= а2. Тогда Ф1  Ba 2 cos  и
q
Ba 2
cos  .
R
Произведем вычисления:
q
4  10 2  (5  10 2 )  cos 30
Кл  8,67  10  3 Кл  8,67мКл .
2
10
Ответ: q = 8,67 мКл.
Пример 13. Плоский квадратный контур со стороной а =
10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в
однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А,
136
совершаемую внешними силами при повороте контура
относительно оси, проходящей через середину его
противоположных сторон, на угол: 1) 1 = 90; 2) 2 = 3. При
повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Дано:
а = 10 см = 0,1 м
I = 100 А
В = 1 Тл
1 = 90
2 = 3
А1-? А2-?
Решение:
На контур с током в магнитном поле
действует момент силы (рисунок 35)
(1)
M  Pm B sin  ,
где Pm  IS  Ia 2 – магнитный момент
контура;
В – магнитная индукция;


 – угол между векторами Pm и B .
По
условию
задачи
в
начальном
положении
контур
a
свободно установился в магнитном
поле. При этом момент силы равен
I
нулю (М = 0), а значит,  = 0, т.е.


Pm
векторы Pm и B сонаправлены.
I

a
Если внешние силы выведут контур
B
из положения равновесия, то
возникший момент сил будут
M
стремиться возвратить контур в
исходное положение. Против этого
момента и будет совершаться
Рис. 3535
Рисунок
работа внешними силами. Так как
момент сил переменный (зависит от угла поворота ), то для
подсчета
работы
применим
формулу
работы
в
дифференциальной форме dA  Md .
Учитывая формулу (1), получаем
dA  IBa 2 sin   d .
Работа А при повороте на конечный угол  равна

A  IBa 2  sin   d .
0
1. Работа при повороте на угол 1 = 90
(2)
137
 2
 2
A1  IBa 2  sin   d  IBa 2 ( cos  ) 0  IBa 2 .
0
Произведем вычисления:
A1  100A  1Тл  (0,1м) 2  1Дж .
2. Работа при повороте на угол 2 = 3.
В этом случае, учитывая, что угол 2 мал, заменим в
выражении (2) sin    :
2
A2  IBa 2    d 
0
1
IBa 2 22 .
2
Выразим угол 2 в радианах: 2 = 3 = 0,0523 рад. Тогда
1
 100A  1Тл  (0,1м) 2  (0,0523рад) 2 
2
 1,37 10 3 Дж  1,37мДж .
Ответ: А1 = 1 Дж; А2 = 1,37 мДж.
A2 
Пример 14. По соленоиду течет ток I = 5 А. Длина
соленоида l = 1 м, число витков N = 500. В соленоид вставлен
железный сердечник. Найти намагниченность j и объемную
плотность энергии магнитного поля  соленоида.
Дано:
Решение:
I=5А
Намагниченность
определяется
отношением
L = 1 м магнитного момента к объему магнетика и связана с
N = 500 напряжённостью магнитного поля соотношением
j  χH , где χ – магнитная восприимчивость среды.
j-? -?
Поле соленоида можно считать однородным. В этом случае
напряжённость поля вычисляется по формуле H  In 
где n 
IN
,
l
N
– число витков, приходящихся на единицу
l
длины соленоида.
Связь между магнитной восприимчивостью χ и
магнитной проницаемостью μ среды выражается формулой
χ  μ 1.
138
Используя соотношение B  μμ 0 H , находим μ 
 B
B
.
μ0 H

Тогда получим: j  χH  ( μ  1) H  
 1 H ;
 μ0 H

j
B
H.
μ0
(*)
Определим напряженность магнитного поля соленоида
H
IN 5  500
А

 2500  .
l
1
м
По графику на рис. 36 находим, что напряжённости Н =
2500 А/м соответствует индукция магнитного поля В = 1,45 Тл.
Подставим в формулу (*) значения физических величин и
произведём вычисления:
j
1,45Тл
4  3,14  10 7
Гн
м
 2500
А
А
 11,52  10 5 .
м
м
Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида
вычисляется по формуле
А
BH
м  1812,5 Дж .
ω

2
2
м3
3
Ответ: j = 11,52 А/м; ω = 1812,5 Дж/м .
1,45Тл  2500
139
В, Тл
1,5
Железо
1,25
Сталь
1,0
0,75
Чугун
0,5
0,25
0
500
Н, А/м
1000 1500 2000 2500 3000
Рис. 36
140
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
Вар.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
310
301
302
303
304
305
306
307
308
309
320
311
312
313
314
315
316
317
318
319
330
321
322
323
324
325
326
327
328
329
Номера
340
331
332
333
334
335
336
337
338
339
задач
350
341
342
343
344
345
346
347
348
349
360
351
352
353
354
355
356
357
358
359
370
361
362
363
364
365
366
367
368
369
380
371
372
373
374
375
376
377
378
379
301. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это
показано на рис. 37. Радиус дуги окружности R=10 см.

Определите магнитную индукцию B поля, создаваемого в
точке О током I=50 А, текущим по этому проводу.

302. Магнитный момент Pm тонкого проводящего кольца

Pm =5 Ам2. Определите магнитную индукцию B в точке А,
находящейся на оси кольца и удаленной от точек кольца на
расстояние r =20 см (рисунок 38).
303. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно
длинным проводам текут токи I1=100 А и I2=200 А. Определите

магнитную индукцию B в точке А (рисунок 39). Расстояние
d=10 см.
304. По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным
под прямым углом, текут токи I1=100 А и I2=200 А. Определите

магнитную индукцию B в точке А, равноудаленной от проводов
на расстояние d=20 см (рисунок 40).
305. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как
показано на рисунке 41, течет ток I=200 А. Определите
магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=15 см.
141
A
I
r
R
O
Pm
R
O
I
I
Рисунок
37
Рис. 37
Рисунок
38
Рис. 38
A
d
d
I2
I1
d
I1
A
Рисунок
39
Рис. 39
d
I2
Рисунок
Рис.
40 40
I
R
I
I
R
O
R
I
R
120°
O
Рисунок
41
Рис. 41
Рисунок
Рис.4242
142
A
A
r
r 
I

R
R
O
I
O
Рис. 44
Рис. 43
A
I
d

d
d
A
+
I
I
Рис. 45
I
Рис. 46
306. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как
показано на рисунке 42, течёт ток I=150 А. Определите

магнитную индукцию B в точке О. Радиус дуги R =20 см.
307. По тонкому кольцу радиусом R =20 см течeт ток I=100

А Определите магнитную индукцию B на оси кольца в точке А
(рисунок 43). Угол β 

6
.
308. По тонкому кольцу течёт ток I=100 А. Определите

индукцию магнитного поля B в точке А, равноудаленной от
точек кольца на расстояние r =10 см (рисунок 44). Угол α 

3
.
143
309. Бесконечно длинный провод с током I=50 А изогнут
под прямым углом (рис. 45). Определите магнитную индукцию

B в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла на
расстоянии d=10 см от его вершины.
310. По двум бесконечно длинным, прямым параллельным
проводам текут одинаковые токи I=60 А в противоположных

направлениях. Определите индукцию магнитного поля B в
точке А (рисунок 46), равноудалённой от проводов на
расстояние d=15 см. Угол β 

3
.
311. Электрон, влетающий в однородное магнитное поле
под углом α=60 к линиям магнитной индукции, движется по
спирали диаметром d=10 см с периодом обращения Т=610-5 с.
Определите скорость электрона, напряженность магнитного
поля и шаг спирали.
312. Протон, обладающий энергией W=0,5 кэВ, влетает в
вакууме в однородное магнитное поле напряжённостью Н = 1
кА
перпендикулярно полю. Определите скорость протона,
м
силу Лоренца и радиус траектории его движения.
313. Как нужно расположить алюминиевый проводник,
имеющий площадь поперечного сечения S=3,7810-9 м2, по
которому проходит ток силой I1=1 А, относительно
горизонтально расположенного проводника с током I2=5 А,
чтобы алюминиевый проводник находился в равновесии?
314.
Определите
напряжённость
однородного
горизонтального магнитного поля, в котором в равновесии
находится незакрепленный прямолинейный медный проводник
с током I=15 А. Диаметр проводника d=4 мм.
315. Частица, обладающая энергией W=16 МэВ, движется в
однородном магнитном поле с индукцией В=2,4 Тл по
окружности радиусом R=24,5 см. Определите заряд этой
частицы, если её скорость υ = 2,72107 м/с.
316. Определите площадь поперечного сечения
прямолинейного алюминиевого проводника, движущегося с
ускорением a=0,4 м/с2 в однородном магнитном поле с
индукцией В=2,210-4 Тл. По проводнику течёт ток силой I=5 А,
144
его направление движения перпендикулярно вектору индукции

B.
317. Внутри длинного соленоида перпендикулярно его оси
расположен проводник длиной l=5 см, по которому проходит

ток силой I1=10 А. Какая сила F действует на проводник, если
соленоид имеет n=25 витков на сантиметр длины и по его
обмотке течет ток силой I2=5 А?
318. Каким образом нужно расположить прямолинейный
алюминиевый проводник в однородном магнитном поле с
индукцией В = 0,04 Тл и какой силы ток пропустить по нему,
чтобы он находился в равновесии. Радиус проводника R = 1 мм.
319. Какова должна быть скорость электрона, чтобы его
траектория была прямолинейной при движении во взаимно
перпендикулярных магнитном и электрическом полях? Поля
однородны и имеют соответственно напряжённости H=100 А/м
и E=500 В/м.
320. Электрон разгоняется в вакууме из состояния покоя
под действием электрического поля и влетает в однородное
магнитное поле перпендикулярно к линиям магнитной
индукции. Определите ускоряющую разность потенциалов U и
напряжённость магнитного поля Н, если электрон описывает
окружность радиуса R=7,5810-3 м за время t=5,9610-10 c.
321. Соленоид (катушка) длиной l =15 см с сердечником
из мягкого железа имеет обмотку, содержащую N=1200 витков.
Сечение катушки круг диаметром d=2,4 см. Какой ток должен
проходить по виткам обмотки, чтобы на оси катушки возник
магнитный поток Ф=5,410-4 Вб? Зависимость между
напряженностью Н и индукцией В поля для железа взять из рис.
36.
322. На замкнутый стальной сердечник (тороид) длиной
l=20 см и площадью поперечного сечения S=3,1 см2 намотана
катушка, содержащая N=100 витков. Определите магнитный
поток в сердечнике, если по его обмотке течёт ток I=1,6 А.
Зависимость между напряжённостью Н и индукцией магнитного
поля В для стали приведена на рисунке 36.
323. С какой силой действует постоянный электрический ток в I1
= 10 А, проходящий по прямолинейному бесконечно длинному
проводнику, на контур из провода, изогнутого в форме
квадрата со стороной a=40 см. Контур расположен в плоскости с
145
прямолинейным проводником так, что две его стороны
параллельны проводнику. Расстояние от прямолинейного тока
до ближайшей стороны контура равно b=5 см. Сила тока в
контуре I2=2,5 А. Направление силы тока I2 в ближайшей
стороне контура совпадает с направлением силы тока I1, в
проводнике.
324. Длина соленоида без сердечника l=25 см. Поток
магнитной индукции через площадь поперечного сечения
соленоида равен Ф = 6,28 мкВб. Определите магнитный момент
Pm этого соленоида.
325. В однородном магнитном поле с напряженностью
Н=5000 А/м находится квадратный проводящий контур со
стороной а=5 см и током I=10 А. Плоскость квадрата составляет
с направлением поля угол =30. Определите работу удаления
контура за пределы поля.
326. Плоская катушка из N=500 витков радиусом R =10 см
находится в магнитном поле с напряжённостью Н=20 кА/м.
Плоскость катушки перпендикулярна направлению поля. По
катушке течет ток I=5 А. Какую работу необходимо совершить,
чтобы повернуть катушку на угол =90 вокруг оси,
совпадающей с диаметром катушки.
327. Квадратный контур со стороной а=15 см, по
которому течет ток I=10 А, свободно установился в однородном
магнитном поле (В=20 мТл). Определите изменение П
потенциальной энергии контура при повороте вокруг оси,
лежащей в плоскости контура, на угол =180.
328. По витку радиусом R =20 см течет ток I=50 А. Виток
помещен в однородное магнитное поле напряжённостью Н=15
кА/м. Определите момент силы М, действующей на виток, если
плоскость витка составляет угол =60 с линиями индукции
поля.
329. По обмотке соленоида с железным сердечником течет
ток I = 1,5 А. Длина соленоида l = 0,5 м, площадь поперечного
сечения S = 50 см2 и число витков N = 1000. Определите
энергию магнитного поля соленоида. Используйте график
зависимости индукции магнитного поля от напряженности,
приведённый на рис. 36.
330. Прямолинейный проводник с током I=5 А и длиной l
146
=1 м вращается со скоростью  = 50 с в плоскости,
перпендикулярной магнитному полю, относительно оси,
проходящей через конец проводника. Напряжённость
магнитного поля 500 А/м. Определите работу, совершаемую
сторонними силами при вращении проводника за время t=5
мин.
331. В однородное магнитное поле напряженностью
Н=1000 А/м помещена катушка площадью поперечного сечения
S=250 см2, содержащая n=500 витков провода, по которому
течёт ток I=5 А. Найти вращающий момент М1, действующий на
катушку, если ось катушки составляет угол =30 с линиями
поля.
332. Напряжённость Н магнитного поля в центре
кругового витка равна 100 А/м. Магнитный момент витка Pm =5
Ам2. Найти силу тока I в витке и радиус R витка.
333. В однородном магнитном поле напряжённостью
Н=2103 А/м свободно установился виток радиусом R =30 см, по
которому течет ток силой I=10 А. Какую работу А нужно
совершить, чтобы повернуть виток относительно диаметра на
-1
угол  

6
?
334. Рамка в виде кольца с током I=1 А и радиусом R =2
см находится в воздухе в однородном магнитном поле,
напряженность которого Н=75 А/м. Плоскость рамки составляет
угол  =10 с вектором напряженности поля. Какую работу надо
совершить, чтобы повернуть рамку перпендикулярно полю?
335. На оси контура с током, магнитный момент которого
Pm = 0,1 Ам2 находится другой такой же контур. Магнитный
момент второго контура перпендикулярен оси первого контура.
Расстояние между контурами r =1 м. Вычислить механический
момент М, действующий на второй контур. Размеры контуров
малы по сравнению с расстоянием между ними.
336. Тороид с ферромагнитным сердечником ( = 2500)
содержит
n=20 витков на 1 см. Найти объёмную плотность
энергии в тороиде, если по его обмотке протекает ток I=5 А.
337. Соленоид без сердечника имеет длину l=60 см и
поперечное сечение S =30 см2. Какой ток I течет по однослойной
обмотке из проволоки диаметром d =0,5 мм при напряжении U
147
=15 В, если за время t =20 мкс в обмотке выделяется количество
теплоты, равное энергии поля внутри соленоида? Поле считать
однородным.
338. Квадратная рамка площадью S =100 см2 равномерно
вращается с частотой v =5 с-1 относительно оси, лежащей в
плоскости рамки и перпендикулярной линиям индукции
однородного магнитного поля (В=0,5 Тл). Найти среднее
значение ЭДС индукции  ε i  , возникающей в рамке за время,
в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку,
изменится от нуля до максимального значения.
339. В средней части соленоида, содержащего n=10
витков/см, помещен круговой виток диаметром d=3 см.
Плоскость витка расположена под углом =60 к оси соленоида.
Найти магнитный поток Ф, пронизывающий виток, если по
обмотке соленоида течет ток I=5 А.
340. Рамка гальванометра длиной a=4 см и шириной
b=1,5 см, содержащая N=200 витков тонкой проволоки,
находится в однородном магнитном поле напряженностью
H=8103 А/м. Плоскость рамки параллельна линиям
напряженности поля. Найти вращающий момент М,
действующий на рамку, когда по виткам течет ток силой I=1 мА.
341. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,8
Тл равномерно вращается рамка из провода сопротивлением
0,05 Ом. Площадь рамки S = 250 см2. Ось вращения лежит в
плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции.
Определите заряд q, который потечет по рамке при изменении
угла между нормалью к рамке и линиями индукции от 0 до 60.
342. Замкнутый тонкий алюминиевый провод массой
m = 6 г согнут в виде квадрата и помещен в однородное
магнитное поле (В=0,5 Тл) так, что его плоскость
перпендикулярна линиям поля. Найти заряд q, который потечет
по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные
вершины, вытянуть в прямую линию.
343. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,6
Тл находится проволочная рамка диаметром d=10 см,
содержащая N = 200 витков плоскость рамки составляет угол 
=30 с линиями индукции. Какой заряд q потечет по рамке при
выключении магнитного поля, если сопротивление рамки R =15
Ом?
148
344. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл
под углом  =30 к полю расположена медная квадратная рамка
со стороной a=0,5 м. Диаметр провода d=0,2 мм. Рамку
повернули перпендикулярно полю. Какое количество
электричества индуцировалось в рамке?
345. В однородном магнитном поле с индукцией В = 610-2
Тл находится соленоид диаметром d=8 см, имеющий N=80
витков медной проволоки сечением S0=1 мм2. Соленоид
поворачивают на угол α=180 за время t =0,2 с так, что его ось
остается направленной вдоль поля. Найти среднее значение
ЭДС, возникающей в соленоиде, и индукционный заряд.
Удельное сопротивление меди  =1,710-8 Омм.
346. Рамка из провода сопротивлением R =10-2 Ом
равномерно вращается в однородном магнитном поле с
индукцией B =0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и
перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки S=100
см2.Какое количество электричества протечет через рамку за
время поворота ее на угол α =30 в трёх случаях: 1) от 0 до 30;
2) от 30 до 60; 3) от 60 до 90.
347. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл
расположен плоский проволочный виток, площадь которого S =
103 см2, а сопротивление R = 2 Ом, таким образом, что его
плоскость составляет угол  = 40 с линиями индукции. Виток
замкнут на гальванометр. На какой угол повернули виток, если
полный заряд, протекший через гальванометр при повороте
витка, q =7,510-5 Кл.
348. Квадратная рамка из медной проволоки порщадью S =
25 см2 помещена в магнитное поле с индукцией B =0,1 Тл.
Плоскость рамки перпендикулярна силовым линиям поля. Какое
количество электричества пройдет по контуру рамки при
исчезновении магнитного поля? Площадь поперечного сечения
медной проволоки S0 =1 мм2.
349. В магнитное поле, напряженность которого Н= 103
А/м, помещена катушка, состоящая из N = 500 витков
проволоки. Сопротивление катушки 50 Ом, площадь ее
поперечного сечения S = 15 см2 и составляет угол  = 60 с
направлением
магнитного
поля.
Какое
количество
электричества протечет по катушке при исчезновении
магнитного поля?
149
350. Из алюминиевой проволоки сечением S0 = 2 мм2
сделан круговой контур радиусом r = 5 см и помещен в
однородное магнитное поле, напряженность которого Н = 2500
А/м. Плоскость контура перпендикулярна направлению
магнитного поля. Какое количество электричества протечет
через контур при повороте его на угол α = 90?
351. По соленоиду течет ток силой I = 1А. Магнитный
поток, пронизывающий поперечное сечение сердечника, Ф = 2
мкВб. Найти индуктивность соленоида, если он имеет N = 500
витков.
352. На магнитный цилиндрический каркас длиной l = 60 см
и диаметром D = 5 см с магнитной проницаемостью  = 208
намотан в один слой провод диаметром d = 0,25 мм так, что
витки плотно прилегают друг к другу. Вычислить
индуктивность L получившегося соленоида.
353. Индуктивность L соленоида, намотанного в один слой
на каркас с магнитной проницаемостью  = 250, равна 0,5 мГн.
Длина соленоида l = 0,4 м, диаметр D = 1,5 см. Определить
число витков соленоида.
354. Индуктивность катушки L = 30 мГн. Катушка имеет N1
= 150 витков, намотанных на ферромагнитный цилиндрический
стержень. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L2 = 120
мГн, обмотку катушки сняли и заменили обмоткой из более
тонкой проволоки. Сколько витков оказалось в катушке после
перемотки?
355. На стальной полностью размагниченный сердечник
длиной l = 70 см и диаметром D = 4,5 см намотано в один слой
N=300 витков провода. Вычислите индуктивность L
получившегося соленоида при силе тока I = 2,8 А. Используйте
график зависимости индукции магнитного поля от
напряжённости, приведенный на рис. 36.
356. Катушка имеет железный полностью размагниченный
сердечник длиной l = 30 см и сечением S = 5 см2.
Напряженность Н магнитного поля при силе тока I = 0,5 А равна
1200 А/м. Определить индуктивность катушки. График
зависимости В от Н приведён на рис. 36.
357. На картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см намотана
в один слой медная изоляционная проволока диаметром d = 0,3
мм так, что витки проволоки вплотную прилегают друг к другу.
150
Сколько витков имеет катушка, если её индуктивность
L = 740 мкГн?
358. Замкнутый соленоид с железным сердечником
( μ = 1500) длиной l = 1,5 м и сечением 25 см2 содержит N = 2500
витков. Найти энергию магнитного поля соленоида, если по
нему проходит ток I = 2 А.
359. Сколько метров тонкого провода надо взять для
изготовления соленоида длины l0 = 100 см с индуктивностью
L = 1 мГн, если диаметр сечения соленоида значительно меньше
его длины?
360. Какой длины нужно взять проволоку диаметром d = 1
мм, чтобы изготовить однослойный соленоид с индуктивностью
L = 1 мГн. Площадь поперечного сечения соленоида S = 7,5 см2.
Сердечник отсутствует.
361.
К
источнику
тока
подключили
катушку
индуктивностью L = 1,5 Гн. Определите сопротивление
катушки, если за время t = 3 с сила тока в катушке достигнет
85% предельного значения.
362. По соленоиду сопротивлением R = 5 Ом и
индуктивностью L = 1,6 мГн течет ток I0 = 1 А. Какое
количество электричества протечет через обмотку соленоида,
если концы ее замкнуть накоротко?
363. Источник тока замкнули на соленоид с
индуктивностью L = 2,5 Гн и сопротивлением R = 15 Ом. Через
сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,9
предельного значения?
364. Имеется катушка, индуктивность которой L = 0,5 Гн и
сопротивление 2,5 Ом. Найти, во сколько раз уменьшится сила
тока в катушке через t = 0,05 с после того, как ЭДС источника
тока выключена и катушка замкнута накоротко.
365. Имеется катушка длиной l = 20 см и диаметром d = 2
см. Обмотка катушки состоит из N = 200 витков медной
проволоки (ρ = 17 нОмм), площадь поперечного сечения
которой S0 = 1 мм2. Катушка включена в цепь с некоторой ЭДС.
При помощи переключателя ЭДС выключается и катушка
замыкается накоротко. Через сколько времени после
выключения ЭДС сила тока в цепи уменьшится в n =2 раза?
366. Соленоид имеет однослойную обмотку из плотно
прилегающих друг к другу N = 100 витков алюминиевого
151
провода (ρ =26 нОмм) длиной l = 5 м и диаметром d = 0,3 мм.
Площадь поперечного сечения соленоида S = 7 см2 и по нему
течет ток I0 = 0,5 А. Определите количество электричества q,
протекающее по соленоиду, если его концы закоротить.
367. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением R
= 58 Ом. Через время t = 0,1 с сила тока в катушке достигла 96%
максимального значения. Определите индуктивность катушки.
368. В электрической цепи, содержащей катушку
индуктивностью L = 2,5 Гн и источника тока. Не разрывая цепи
источник тока отключили. Через время t = 5 мс сила тока в
катушке уменьшится до 0,001 первоначального значения.
Определите сопротивление катушки.
369. По замкнутой цепи с сопротивлением R = 120 Ом течет
ток. Через время t = 8 мс после размыкания цепи сила тока в
ней уменьшилась в n = 40 раз. Определите индуктивность цепи.
370. Источник тока замкнули на соленоид индуктивностью
L = 6,5 Гн и сопротивлением 185 Ом. Через какое время сила
тока в цепи достигнет 75% максимального значения?
371. Воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых
пластин по S = 20 см2 каждая, соединен параллельно с катушкой
индуктивностью L = 1 мГн. Полученный колебательный контур
резонирует на волну длиной  = 10 м. Определите расстояние
между пластинами конденсатора.
372. Колебательный контур состоит из конденсатора и
катушки индуктивности. Определить частоту колебаний,
возникающих в контуре, если максимальная сила тока в катушке
индуктивности Im = 1,2 А, максимальная разность потенциалов
на обкладках конденсатора Um = 1200 В, энергия контура W = 1
мДж.
373. Катушка (без сердечника) длиной l = 50 см и сечением S1 =
3 см2 имеет N = 1000 витков и соединена параллельно с
воздушным конденсатором, состоящим из двух пластин
площадью S2 = 75 см2 каждая. Расстояние между пластинами d =
5 мм. Определите частоту  колебаний контура.
374. Колебательный контур состоит из катушки с
индуктивностью L=5 мГн и плоского конденсатора. Расстояние
между обкладками конденсатора d = 4 мм, площадь обкладок S
= 2 см2 каждая, диэлектрик – слюда (1 = 6,0). Как изменится
период колебаний в контуре, если в качестве диэлектрика взять
152
эбонит (2 = 2,6)?
375. Скорость распространения электромагнитных волн в
кабеле уменьшилась на 30% после того, как пространство между
внешним и внутренним проводниками кабеля заполнили
диэлектриком. Определить диэлектрическую проницаемость
диэлектрика.
376. На сколько процентов уменьшится скорость
распространения электромагнитных волн в кабеле, если
пространство между внешним и внутренним проводниками
кабеля
заполнить
диэлектриком
с
диэлектрической
проницаемостью  = 6?
377. Колебательный контур состоит из плоского
конденсатора и катушки индуктивностью L = 5 мГн. Расстояние
между обкладками конденсатора d = 3 мм, площадь обкладок S
= 2,5 см2 каждая, диэлектрик – слюда (1 = 6,0). На сколько герц
изменится частота колебаний в контуре, если заменить
диэлектрик в конденсаторе на парафин (2 = 2,0)?
378. Конденсатор ёмкостью С = 500 пФ соединен
параллельно с катушкой длиной l = 30 см и сечением S = 4,5 см2,
содержащей N = 1000 витков. Сердечник немагнитный. Найти
частоту  колебаний контура.
379. Колебательный контур, состоящий из катушки
индуктивности и конденсатора электроемкостью С = 1 нФ,
имеет частоту колебаний  = 5 мГц. Найти максимальную силу
тока, протекающего по катушке, если энергия контура W = 0,5
мкДж.
380. Два параллельных провода, погруженные в глицерин,
индуктивно
соединены с генератором электромагнитных
колебаний частотой  = 4,2108 Гц. Расстояние между
пучностями стоячих волн на проводах l = 7 см. Найти
диэлектрическую проницаемость  глицерина. Магнитную
проницаемость его принять равной единице.
153
5. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА.
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
Основные законы и формулы

Скорость света в среде
υ
c
n
где с – скорость света в вакууме;
n – показатель преломления среды (абсолютный).
 Оптическая длина пути, проходимого световым лучом в
однородной среде с показателем преломления n
L  nl ,
где l – геометрическая длина пути световой волны.
 Оптическая разность хода двух световых волн (лучей)
  L2  L1 .
 Условие максимального усиления света при интерференции
(интерференционный максимум)
   kλ0 (k=0,1,2,3,…),
где λ0 – длина световой волны в вакууме.
Условие максимального ослабления света (интерференционный
минимум)
  (2k  1)

λ0
(k=0,1,2,3,…).
2
Оптическая разность хода световых лучей отражённых от
двух поверхностей тонкой пластинки (плёнки), по обе
стороны которой находятся одинаковые среды
  2dn cos i2 
λ0
,
2
или   2d n 2  sin 2 i1 
где d – толщина пластинки (плёнки);
λ0
,
2
154
n – показатель преломления (абсолютный) вещества
пластинки;
i1 – угол падения;
i2 – угол преломления света в плёнке.
 Радиусы тёмных колец Ньютона в отражённом свете
rк  kRλ (k=0,1,2,3,…).
Радиусы светлых колец Ньютона в отражённом свете
rк  (2k  1) R
λ
(k=0,1,2,3,…).
2
где k – порядковый номер кольца (k = 0 соответствует
центральному тёмному пятну);
R – радиус кривизны линзы;
 – длина световой волны в среде между линзой и
пластинкой.
 Условия дифракционных максимумов и минимумов от
одной щели
a sin   (2k  1)
λ
(k=1,2,3…);
2
a sin    kλ (k=1,2,3…),
где а – ширина щели;
k – порядковый номер;
 – угол дифракции.
 Условие главных максимумов дифракционной решётки
d sin    kλ (k=1,2,3…),
где d – постоянная (период) дифракционной решётки,
 – угол дифракции.
 Разрешающая способность (сила) дифракционной решётки
R
λ
 kN ,
λ
где  – наименьшая разность длин волн двух соседних
спектральных линий ( и +), при которой эти линии
могут быть видны раздельно в спектре, полученном
посредством данной решетки;
N – полное число щелей решётки;
k – порядок спектра.
 Формула Вульфа – Брэггов
155
2d sin θ  kλ (k=1,2,3…),
где θ – угол скольжения (угол между направлением
параллельного пучка рентгеновского излучения,
падающего на кристалл, и атомной плоскостью в
кристалле);
d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.
 Степень поляризации света
P
I max  I min
,
I max  I min
где Imax и Imin – максимальная и минимальная интенсивности
света, соответствующие двум взаимно перпендикулярным
направлениям световых колебаний в луче.
 Закон Брюстера
tg iB =
n2
 n21 ,
n1
где i – угол падения, при котором отразившийся от границы
раздела
двух
диэлектриков
луч
полностью
поляризован;
n21 – относительный показатель преломления второй среды
относительно первой.
 Закон Малюса
I  I 0 cos 2 α ,
где I0 – интенсивность плоскополяризованного света,
падающего на анализатор;
I – интенсивность этого света после анализатора;
α – угол между главными плоскостями поляризации
(пропускания) поляризатора и анализатора.
 Угол вращения (поворота) плоскости поляризации
монохроматического света при прохождении через
оптически активное вещество:
а)   α  d (в кристаллах твердых тел),
где α – постоянная вращения;
d – длина пути, пройденного светом в оптически активном
веществе;
б)   [α]Cd (в растворах),
где [α] – удельное вращение;
156

С – массовая концентрация оптически активного
вещества в растворе.
Закон Стефана – Больцмана
Re  σT 4
где Re – энергетическая светимость (излучательность)
абсолютно чёрного тела;
 – постоянная Стефана – Больцмана;
T – термодинамическая температура Кельвина.
Если излучаемое тело не является абсолютно чёрным
(серое тело), то
Re  α т σT 4
где αт – коэффициент поглощения (коэффициент излучения)
серого тела. Эта величина, равная отношению потока излучения
Фe , поглощённого данным телом, к потоку излучения Фe ,
падающего на это тело:
αт 
Фе
,
Фе
зависит от природы тела и его температуры.
Поток излучения Фe есть энергия, испускаемая телом в
единицу времени. ( Фe  Re S , где S – площадь поверхности
излучателя).
 Закон смещения Вина:
λmax 
b
,
T
где λmax – длина волны, на которую приходится максимум
энергии излучения;
b = 2,9·10-3 м·К – постоянная смещения Вина.
 Второй закон Вина: максимальное значение спектральной
плотности энергетической светимости (rλ ) max абсолютно
черного тела пропорционально пятой степени абсолютной
температуры
(rλ ) max  CT 5 ,
где С = 1,2910-5
Вт
– постоянная Вина.
м K5
3
157

Формула
Планка
для
спектральной
плотности
энергетической светимости абсолютно черного тела,
нагретого до абсолютной температуры Т
rλ ,T 
2hc 2

λ5
или rv ,T 
1
e
hc
1
kλT
,
2hv
1
 hv ,
2
1
c
e kT
3
где h=6,6310-34 Джс – постоянная Планка,
с=3108 м/с – скорость света в вакууме,
e – основание натуральных логарифмов,
k=1,3810-23 Дж/K – постоянная Больцмана.
 Энергия фотона
E  hv 
где ћ 

hc
, или E  ћω,
λ
h
– постоянная Планка;
2
 – частота фотона;
 – циклическая частота.
Масса фотона
mф 
E hv h

 ,
c 2 c 2 cλ
где с – скорость света в вакууме;
λ – длина волны фотона.
 Импульс фотона
p ф  mф c 

hv h
 .
c
λ
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
2
me υmax
hv  A 
 A  Tmax ,
2
где hv – энергия фотона, падающего на поверхность металла;
А – работа выхода электрона;
Т – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
 Красная граница фотоэффекта
158
v min 
hc
A
, или  max 
,
A
h
где vmin – минимальная частота света, при которой еще
возможен фотоэффект;
 max

– максимальная длина волны света, начиная с
которой фотоэффект прекращается.
Давление света при нормальном падении на поверхность
p
Ee
(1  ρ)  ω(1  ρ) ,
c
где Ее – энергетическая освещенность (облученность)
поверхности;
 – объемная плотность энергии излучения;
с – скорость света в вакууме;
 – коэффициент отражения.
 Изменение длины волны при эффекте Комптона
h
(1  cos θ ) ,
m0 c
h
θ
λ  2
sin 2
m0 c
2
λ  λ2  λ1 
где λ1 – длина волны падающего фотона;
λ2 – длина волны рассеянного фотона;
θ – угол рассеяния фотона после столкновения с
частицей;
m0 – масса покоящейся частицы.
Величина  
h
m0 c
называется комптоновской длиной
волны. При рассеянии на электроне  = 2,4310-12 м.
159
Примеры решения задач
Пример 1. На стеклянный клин (n=1,5) с малым углом
нормально к его грани падает параллельный пучок лучей
монохроматического света с длиной волны λ = 0,6 мкм. При
этом на отрезке клина длиной l =1 см возникает m=10 темных
интерференционных полос. Определить угол клина.
Дано:
n=1,5
λ=0,6 мкм=610-7 м
l=1 см=10-2 м
m=10
α-?
Решение:
Параллельный пучок света, падая
нормально к грани клина, отражается как
от верхней, так и от нижней грани. Эти
отраженные лучи света когерентны.
Поэтому на поверхности клина будут
наблюдаться
интерференционные полосы.
Так как угол
1
2
клина мал, то
dk+m
отраженные
k+m
k d
k+1

лучи 1 и 2 света
k
l
(рисунок
47 )
будут
Рисунок
Рис.47
47
практически
параллельны.
Тем-ные полосы вид-ны на тех участках клина, для которых
разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин
волн:
  (2k  1)
λ
(k=0, 1, 2,…)
2
(1)
Оптическая разность хода световых волн, отраженных от
двух поверхностей тонкой пластинки
  2dn cos i2 
где d – толщина пластинки;
i2 – угол преломления света.
Тогда формула (1) примет вид:
λ
,
2
160
2d k n cos i2 
λ
λ
 (2k  1)
2
2
(2)
где dk – толщина клина в том месте, где наблюдается темная
полоса, соответствующая номеру k;
n – показатель преломления стекла.
Согласно
условию,
угол
падения
равен
нулю;
следовательно, и угол преломления i2 равен нулю, а cos i2 = 1.
Упростив равенство (2), получим
(3)
2d k n  kλ .
Пусть произвольной темной полосе k-го номера
соответствует толщина dk клина, а темной полосе k+m-го номера
– толщина dk+m клина. Тогда (см. рис. 47), учитывая, что m полос
укладывается на расстоянии l, найдем:
sin α 
(d k  m  d k )
.
l
(4)
Так как угол α очень мал, то sin α  α . Выразив из (3)
dk 
kλ
( k  m) λ
и d k m 
и подставив их в формулу (4),
2n
2n
получим:
α
(k  m) λ  kλ mλ

.
2nl
2nl
Произведем вычисления:
10  6  10 7
α
 рад  2  10 4 рад .
2
2  1,5  10
Но 1 рад = 2,06 . 105 секунд, следовательно

a  2  10 4  2,06  105  41,2
Ответ: искомый угол равен 41,2 .
Пример 2. В просветленной оптике для устранения
отражения света на поверхность линзы наносится тонкая пленка
вещества с показателем преломления n=1,26, меньшим, чем у
стекла. При какой толщине пленки отражение света от линзы не
161
будет наблюдаться? Длина волны падающего света λ = 0,55 мкм,
угол падения i=30.
Дано:
Решение:
n = 1,26
Свет, падая на систему пленка-7
стекло
под углом i, отражается как от
λ= 0,55 мкм =5,510 м
верхней I, так и от нижней II
m = 10
поверхности пленки (рис. 48). Лучи S1
d-?
и S2 когерентны, так как образованы из одного луча S. Результат
интерференции этих лучей будет зависеть от оптической
разности хода. Лучи отражаются от среды с большим
показателем преломления, поэтому как на верхней, так и на
нижней поверхности пленки происходит потеря полуволны и,
следовательно, оптическая разность хода волн равна
  2d n 2  sin 2 i .
S
S1
i
S2
1(воздух)
n1n(воздух)
I
Условие
максимального
ослабления
освещенности
(интерференционный
минимум) имеет вид
  (2k  1)
d
n>n1
II
n2(стекло)
nn22>n
(стекло)
1
Рис. 48
Рисунок 48
2
λ
,
2
где k = 1, 2, 3… –
порядок
интерференционного
минимума.
Тогда получим
2
2 d k n  sin i 
 ( 2 k  1) λ ,
2
откуда d k 
(2k  1) λ
4 n 2  sin 2 i
.
Полагая k = 1, 2, 3,…, получим ряд возможных значений
толщины пленки:
162
d1 
d1 
d2 
3λ
4 n  sin i
3  5,5  10 7 м
2
2
; d2 
4 1,26  sin 30
2
2
5  5,5  10 7 м
5λ
4 n  sin 2 i
2
и т.д.
 3,5  10 7 м  0,35 мкм ;
 5,9  10 7 м  0,59 мкм .
4 1,26  sin 30
Ответ: d1= 0,35 мкм; d2= 0,59 мкм и т.д.
2
2
Пример 3. На
d
D
дифракционную
решетку Д нормально
линза
падает
монохроматический
свет с длиной волны
L
λ= 0,65 мкм. На экране
Э,
расположенном
параллельно решетке и
Э
3
2 1
0
1 2
3
отстоящем от нее на
l
расстояние L = 0,5 м,
наблюдается
Рисунок
Рис.
4949
дифракционная
картина
(рисунок 49). Расстояние между дифракционными
максимумами первого порядка l=10 см. Определить постоянную
дифракционной решетки d и общее число главных максимумов
N, получаемых с помощью этой решетки.
Дано:
Решение:
Условие главных максимумов
λ= 0,65 мкм = 610-7 м
дифракционной
решетки:
L= 0,5 м
l= 10 см = 0,10 м
d sin    kλ ,
(1)
k= 1
где d – постоянная дифракционной
d-? N-?
решетки;
 – угол дифракции;
λ
–
длина
волны
падающего
на
решетку
монохроматического света;
k – порядок главных дифракционных максимумов.
163
l
l
 L (см. рис. 49), то sin  = tg  =
.
2
2L
l
2 kλ L
 kλ , откуда d 
Тогда получим d
.
2L
l
Так как
Подставляя числовые значения величин, получим
d
2  1  6,5  10 7 м  0,5м
 6,5  10 6 м  6,5мкм
0,10м
Общее
число
главных
максимумов,
даваемых
дифракционной решеткой, определяем из условия, что
максимальный угол отклонения лучей от нормального
направления распространения не может превышать 90, т.е. sin
90=1, тогда формула (1) примет вид:
k max 
d
.
λ
Общее число максимумов N  2k max  1  2
d
 1 , т. е.
λ
влево и вправо от центрального максимума будут наблюдаться
по kmax максимумов:
6,5  10 6 м
N  2
 1  21 .
6,5  10 7 м
Ответ: d = 6,15 мкм, N = 21.
Пример 4. Луч света, проходя слой льда, падает на
алмазную
пластинку,
частично
отражается,
частично
преломляется. Определить, каким должен быть угол падения,
чтобы отраженный луч был максимально поляризован. Найти
степень поляризации отраженного и преломленного света для
этого угла падения с помощью формулы Френеля.
Дано:
n1=1,31 (лед)
n2=2,42 (алмаз)
io-? P1-? P2-?
Решение:
Согласно закону Брюстера, луч света,
отраженный от диэлектрика, максимально
поляризован в том случае, если тангенс угла
падения численно равен относительному
164
показателю преломления второй среды относительно первой:
tg i Б 
i0
n1

n2
n2
.
n1
лед
лед
2
r
алмаз
алмаз
(1)
Если i0 = iБ, то
отраженный
и
преломленный
лучи
взаимно
перпендикулярны
(рисунок
50).
Проходящий
свет
i0  arctg
 arctg
Рис. 50
поляризован лишь частично. Из
выражения (1) находим
С помощью формул Френеля
поляризации отраженного луча:
P1 
I max
2,42
 61,5
1,31
определяем
степень
I max  I min
.
I max  I min
2
Здесь
n2

n1
 sin( i  r ) 
 0,5I 0 
 ,
 sin( i  r ) 
2
I min
 tg (i  r ) 
 0,5I 0 
 –
 tg (i  r ) 
интенсивности света, распространявшегося в
направлениях, перпендикулярном и параллельном
плоскости падения;
I0 – интенсивность естественного света;
i – угол падения;
r – угол преломления.
Если свет падает на диэлектрик под углом полной поляризации
(i = i0), то, учитывая, что i0 + r = 90, для отраженного луча
I max  0,5I 0 sin 2 (i0  r ) ,
получим
I min  0 , так как
sin( i0  r )  sin 90  1 , tg (i0  r )  tg 90   .
Степень поляризации отраженного луча
165
P1 
I max  I min I max  0

 1, или P1  100 %,
I max  I min I max  0
т. е. луч максимально поляризован.
Найдем интенсивности света после преломления в
направлениях, перпендикулярном и параллельном плоскости
преломления:
  0,5I 0  0,5I 0 sin 2 (i0  r )  0,5I 0 [1  sin 2 (i0  r )] ;
I max
  0,5I 0 .
I min
Степень поляризации преломленного луча:
P2 
  I max

I min
0,5I 0  0,5I 0[1  sin 2 (i0  r )]
sin 2 (i0  r )


  I max

I min
0,5I 0  0,5I 0 [1  sin 2 (i0  r )] 2  sin 2 (i0  r )
где i0 = 61,5; r = 90 – i0 = 90 – 61,5 = 28,5.
sin 2 (61,5  28,5)
(0,54) 2
P2 

 0,17 , или
2  sin 2 (61,5  28,5) 2  (0,54) 2
P2  17%
Ответ: i0 = 61,5; P1 = 100%; P2 = 17%.
Пример 5. Два николя N1 и N2 расположены так, что угол
между их плоскостями пропускания составляет α=60.
Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность I0
естественного света: 1) при прохождении через один николь N1;
2) при прохождении через оба николя. Каждый николь
поглощает 5% света, падающего на него. Потери на отражение
света не учитывать.
Дано:
α = 60
k = 0,05
1)
I0
I
-? 2) 0 -?
I2
I1
Решение:
1) Естественный свет, падая на грань
призмы
Николя
(рисунок
51),
расщепляется
вследствие
двойного
лучепреломления
на
два
луча:
обыкновенный и необыкновенный. Оба
луча одинаковы по интенсивности и
полностью поляризованы, но во взаимно
перпендикулярных плоскостях.
166
Естественн
Естественный
ый свет
A
свет
I0
N1
Обыкновенный луч
Поляризованный свет
I1
N2
I2
B Необыкновенный луч

Рисунок
Рис.
51 51
Обыкновенный луч (о) вследствие полного отражения от границы АВ
отбрасывается
на
зачерненную поверхность призмы и
поглощается ею. Необыкновенный луч (е) проходит через
призму без отклонения, интенсивность его уменьшается из-за
поглощения света призмой на величину kI0. Таким образом,
интенсивность света, прошедшего через поляризатор (через
первую призму N1), равна
I1  0,5(1  k ) I 0 ,
где k – коэффициент поглощения света в призме (k = 0,05);
I0 – интенсивность естественного света, падающего на
поляризатор.
Относительное уменьшение интенсивности света при
прохождении через первый николь N1 равно:
I0
I0
2


I 1 0,5(1  k ) I 0 1  k
(*)
Произведем вычисления:
I0
2

 2,1 .
I 1 1  0,05
Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.
2) Плоскополяризованный пучок света интенсивности I1
падает на второй николь N2 – анализатор и также расщепляется
на два луча различной интенсивности: обыкновенный и
необыкновенный.
Обыкновенный
пучок
полностью
поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не
167
интересует. Интенсивность I2 необыкновенного луча,
вышедшего из призмы N2 (анализатора) определяется законом
Малюса (без учета поглощения света в анализаторе):
I 2  I 1 cos 2 α ,
где α – угол между плоскостями поляризации поляризатора (N1)
и анализатора (N2).
Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором
николе, получаем:
I 2  I1 (1  k ) cos 2 α .
Искомое уменьшение интенсивности света
при
прохождении его через оба николя равно:
I0
I0
.

I 2 I 1 (1  k ) cos 2 α
I
Заменяя отношение 0 его выражением по формуле (*),
I1
получаем:
I0
2
.

2
I 2 (1  k ) cos 2 α
Произведем вычисления:
I0
2

 8,86 .
I 2 (1  0,05) 2 cos 2 60
Итак, после прохождения света через два николя
интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.
Пример 6. Плоскополяризованный монохроматический
пучок света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда
на пути пучка поместили кварцевую пластинку, интенсивность I
пучка света после поляроида стала равна половине
интенсивности I0 пучка, падающего на поляроид. Определить
минимальную толщину кварцевой пластинки. Поглощением и
отражением света поляроидом пренебречь, постоянную
вращения α кварца принять равной 48,9 град/мм.
168
Дано:
Решение:
Полное гашение света поляроидом
означает, что плоскость пропускания
поляроида (штриховая линия на рисунке
α = 48,9 град/мм
52)
перпендикулярна
плоскости
d-?
колебаний
(I
–
I)
плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к
повороту плоскости колебаний света на угол
  αd ,
где d – толщина пластины.
Угол между плоскостью пропускания поляроида и новым
направлением (II – II) плоскости колебаний падающего на
поляроид плоскополяризованного света
1
I = I0
2
 II
I
β


I

2
 .
Воспользуемся законом Малюса
I  I 0 cos 2 β , или


I  I 0 cos 2      I 0 sin 2  .
2

I
I
Откуда sin  
, а   arcsin
.
I0
I0
II
Рис. 52
Тогда получим: αd  arcsin
I
1
, откуда d  arcsin
I0
α
I
.
I0
Произведем вычисления во внесистемных единицах:
d
1
1
0,785
 arcsin
мм 
мм  16мкм .
48,9
2
48,9
Ответ: d =16 мкм.
Пример 7. Во сколько раз увеличится мощность излучения
абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения
передвинется от красной границы (λкр = 0,76 мкм) видимого
спектра к его фиолетовой границе (λф = 0,38 мкм)?
169
Дано:
λкр = 0,76 мкм = 7,610-7 м
λф = 0,38 мкм = 3,810-7 м
x
Pф
Ркр
Решение:
Длина волны, на которую
приходится максимум энергии
излучения абсолютно черного
тела, определяется из закона
смещения Вина:
-?
λmax 
b
,
T
(1)
где Т – термодинамическая температура излучателя;
b = 2,910-3 мK – постоянная Вина.
По формуле (1) определяем температуру излучателя,
соответствующую красной и фиолетовой границам видимой
области спектра:
Tкр 
b
b
; Tф 
.
λкр
λф
Мощность излучения абсолютно черного тела
P  Re S ,
где Rе – энергетическая светимость абсолютно черного тела;
S – площадь поверхности излучающего тела.
В соответствии с законом Стефана-Больцмана
Re  σT 4 ,
где  – постоянная Стефана-Больцмана.
Тогда для красной и фиолетовой границ видимой области
спектра
Pкр  σTкр4 S , а Pф  σTф4 S .
Следовательно,
4
 b 
σS  
4
λ 
 λкр 
Pф
ф 

 .
x


4
λ 
Pкр
 b 
 ф 

σS 
λ 
 кр 
Произведем вычисления:
170
4
 7,6  10 7 м 
  2 4  16 .
x  
7
3,8

10
м


Ответ: Мощность излучения увеличится в 16 раз.
Пример 8. Определить с помощью формулы Планка
энергетическую светимость Re абсолютно черного тела,
приходящуюся на узкий интервал длин волн λ = 10Å,
соответствующий
максимуму
спектральной
плотности
энергетической светимости при температуре тела Т = 3000 K.
Дано:
λ = 10Å =1010-10 м
Т = 3000 K
Re -?
Решение:
Спектральная
плотность
энергетической светимости абсолютно
черного
тела
характеризует
распределение энергии в
спектре излучения тела по длинам волн и выражается формулой
rλ ,T 
dRe
, где dRe – энергетическая светимость, приходящаяся
dλ
на интервал длин волн от λ до λ+d λ. Отсюда следует, что
Re  rλ ,T  λ ,
где rλ ,T 
2hc 2

5
1

e
hc
λkТ
– формула Планка.
1
Используя закон смещения Вина λ0 
b
, формулу Планка
T
можно записать так:
rλ ,T 
2hc 2T 5

b5
2hc 2
T 5 ,
hc
hc


e bk  1 b 5  e bk  1




5
или rλ,T  C  T .
1

171
Эту формулу иногда называют вторым законом Вина.
2hc 2
Вт
5
.
Тогда

1
,
29

10
3
5
hc
м

K


b 5  e bk  1


расчетная формула Re  rλ0T  λ примет упрощенный вид:
Константа
C
Re  C  T 5  λ .
Подставив числовые значения величин, получим:
Re  1,29  10 5
Вт
Вт
 (3000 K)5  10 9 м  3,2  10 3 2
5
м K
м
3
Ответ: Re = 3,2 кВт/м2.
Пример 9. Определить максимальную скорость υmax
фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1)
ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ1 = 0,155 мкм;
2) γ-излучением с длиной волны λ2=1 пм.
Дано:
1) λ1 = 0,155 мкм =1,5510-7 м
2) λ2 = 1 пм = 110-12 м
υmax -?
Решение:
Максимальную скорость
фотоэлектронов можно
определить из уравнения
Эйнштейна для фотоэффекта:
(1)
ε  A  Tmax ,
где ε 
hc
– энергия фотонов, падающих на поверхность
λ
металла;
А – работа выхода электрона из металла;
Тmax
–
максимальная
кинетическая
энергия
фотоэлектронов.
Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона,
вызывающего фотоэффект: если энергия ε фотона много меньше
энергии покоя Е0 электрона, то кинетическую энергию
фотоэлектрона можно найти по классической формуле:
172
Tmax 
2
e max
mυ
2
,
(2)
если же энергия ε фотона сравнима по величине с энергией
покоя Е0 электрона, то кинетическую энергию фотоэлектронов
необходимо вычислять по релятивистской формуле
 1

υ
T  E  E0  E0 
 1 , где β  max .
 1 β2

c


1) Вычислим энергию
излучения по формуле:
фотона
(3)
ультрафиолетового
hc 6,63  10 34  3  10 8
ε1 

Дж  1,28  10 18 Дж ,
7
λ1
1,55  10
или ε1 
1,28  10 18
эВ  8эВ .
1,6  10 -19
Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии
покоя электрона (Е0 = 0,51 МэВ). Следовательно, кинетическая
энергия фотоэлектрона может быть выражена по классической
формуле (2):
ε1  A 
2
me υmax
, откуда υmax 
2
2(ε1  A)
,
me
где А = 7,510-19 Дж = 4,7 эВ – работа выхода электронов из
серебра.
Произведем вычисления:
υmax
2(1,28  10 18  7,5  10 19 )Дж
м

 1,08  10 6
31
с
9,1  10 кг
2) Вычислим энергию фотона γ-излучения:
ε2 
hс 6,63  10 34  3  10 8

Дж  1,99  10 13 Дж ,
12
λ2
10
или ε 2 
1,99  10 -13
эВ  1,24  10 6 эВ  1,24 МэВ .
19
1,6  10
Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала
по сравнению с энергией фотона (ε2 = 1,24 МэВ), поэтому можно
принять, что максимальная кинетическая энергия электрона
173
равна энергии фотона: Тmax = ε2 = 1,24 МэВ. В данном случае для
вычисления
скорости
фотоэлектрона
следует
взять
релятивистскую формулу кинетической энергии (3). Из этой
формулы найдем
(2 E0  T )  T
β
.
E0  T
Заметив, что υ  c  β и Тmax = ε2, получим
υmax 
c (2 E0  ε 2 )  ε 2
E0  ε 2
.
Произведем вычисления:
υmax
3  10 8 м/с (2  0,51  1,24)МэВ  1,24МэВ

 2,85  10 8 м/с
(0,51  1,24)МэВ
Ответ: 1) υmax = 1,08106 м/с; 2) υmax = 2,85108 м/c.
Пример 10. Угол рассеяния фотона с энергией ε1 = 1,2 МэВ
на свободном электроне θ = 60. Найти длину волны
рассеянного фотона, энергию и импульс электрона отдачи.
Кинетической энергией электрона до соударения пренебречь.
Дано:
ε1 = 1,2 МэВ = 1,9210-13 Дж
θ = 60
λ2-? Те-? Ре-?
λ  λ2  λ1 
Решение:
Изменение длины волны фотона при комптоновском
рассеянии равно
h
(1  cos θ )   (1  cos θ ) ,
m0 c
(1)
где λ1 и λ2 – длины волн падающего и рассеянного фотонов;
h = 6,63-34 Джс – постоянная Планка;
m0 = 9,1110-31 кг – масса покоя электрона;
с = 3108 м/с – скорость света в вакууме;
 = 2,4310-12 м – комптоновская длина волны электрона;
θ – угол рассеяния (рис. 53).


На рисунке P1 и P2 – импульсы падающего и рассеянного
фотонов. Из формулы (1) находим:
174
λ2  λ1  λ  λ1  (1  cos θ ) .
hc
Так как ε 1 
, то получим:
λ1
hc
λ2 
 (1  cos θ ) .
(2)
ε1
P2
P1
Pe
Рис. 53
Энергия электрона
отдачи
по
закону сохранения энергии равна Те = ε1 – ε 2, где ε 2 – энергия
рассеянного фотона.
ε2 
hc
hc
hc



λ2 hc  h (1  cos θ )
 1 1  cos θ 

hc 
ε1 m0 c
m0 c 2 
 ε1
1
εE


;
1 1  cos θ E0  ε1 (1  cos θ )

ε1
E0
ε1 E0
ε12 (1  cos θ )
Тогда Te  ε 1 
;

E0  ε 1 (1  cos θ ) E0  ε1 (1  cos θ )
ε 12 (1  cos θ )
,
Te 
E0  ε 1 (1  cos θ )
(3)
где Е0 = 0,51 МэВ = 8,210-14 Дж – энергия покоя электрона.
Зная энергию электрона, найдем импульс электрона
отдачи (релятивистский импульс частицы)
Pe 
1
Te (Te  2 E 0 ) .
c
(4)
Подставляя числовые значения в формулы (2), (3) и (4),
получаем:
175
λ2 
34
6,63  10 Дж  с  3  10 м/с
 2,43  10 12 м(1  cos 60) 
13
1,92  10 Дж
8
 2,25  10 12 м
(1,2МэВ ) 2 (1  cos 60)
Te 
0,51МэВ  1,2МэВ(1  cos 60)
 0,648МэВ  1,04  10 13 Дж
Pe 
1
1,04 10 13 Дж(1,04 10 13 Дж  2  8,2 10 14 Дж) 
8
3 10 м/с
кг  м
 5,55 10  22
с
λ2
= 2,2510-12
Ре = 5,5510-22 кгм/с.
Ответ:
м;
Те
=
1,0410-13
Дж;
Пример 11. На зачерненную поверхность нормально падает
монохроматический свет с длиной волны λ = 0,65 мкм,
производя давление p=510-6 Па. Определить концентрацию
фотонов вблизи поверхности и число фотонов, падающих на
площадь S = 1 м2 в t = 1 с.
Дано:
λ =0,65 мкм = 6,510-7 м
p = 510-6 Па
S = 1 м2
t=1с
n0-? N-?
p
Решение:
Давление
света
при
нормальном
падении
на
поверхность с коэффициентом
отражения ρ вычисляется по
формуле
Ee
(1  ρ) или p  ω(1  ρ) , (1)
c
где Ее – энергетическая освещенность поверхности;
с – скорость света в вакууме;
ω – объемная плотность энергии.
Объемная плотность энергии равна произведению
концентрации фотонов (число фотонов в единице объема) на
энергию одного фотона:
176
hc
hc
, т.е. ω  n0
,
λ
λ
ωλ
откуда n0 
.
hc
ε  hv 
(2)
Из выражения (1) определяем объемную плотность энергии
ω
Тогда n0 
n0 
p
.
1 ρ
pλ
, где ρ = 0 (зачерненная поверхность).
hc(1  ρ)
5  10 6 Па  6,5  10 -7 м
1
 1,6  1013 .
34
8
м
6,63  10 Дж  с  3  10 м/с (1  0)
Число фотонов, падающих на площадь S = 1 м2 в 1 секунду,
численно равно отношению энергетической освещенности к
энергии одного фотона:
N
Ee Ee λ
.

hv
hc
Из выражения (1) энергетическая освещенность
Ee 
pc
pcλ
pλ
, тогда N 
,

1 ρ
hc(1  ρ)
h
так как ρ = 0.
5  10 6 Па  6,5  10 7 м
 4,8  10 2 с 1  м 2
34
6,63  10 Дж  с
Ответ: n0 = 1,61013 м-3; N = 4,81021 м -2.
N
177
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№4
Вар.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
410
401
402
403
404
405
406
407
408
409
420
411
412
413
414
415
416
417
418
419
Номера
430
440
421
431
422
432
423
433
424
434
425
435
426
436
427
437
428
438
429
439
КОНТРОЛЬНАЯ
Вар.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
410
404
405
406
408
412
416
420
418
419
427
432
430
431
422
434
429
437
440
439
458
460
459
448
445
455
450
444
447
451
Номера
470 480
466 471
469 472
457 473
456 474
467 475
454 476
453 477
452 478
468 479
задач
450
460
441
451
442
452
443
453
444
454
445
455
446
456
447
457
448
458
449
459
470
461
462
463
464
465
466
467
468
469
480
471
472
473
474
475
476
477
478
479
Р А Б О Т А № 4а
задач
503 512
501 513
504 514
502 517
505 518
508 520
509 511
510 515
507 519
506 516
530
521
522
523
524
525
526
527
528
529
538
532
533
534
535
536
537
531
539
540
566
553
555
542
549
544
548
550
563
567
401. Расстояние между двумя когерентными источниками d=0,9
мм. Источники, испускающие монохроматический свет с
длиной волны λ=642 нм, расположены на расстоянии l =3,5 м от
экрана. Определите число светлых полос, располагающихся на х
= 1 см длины экрана.
178
402. На тонкий стеклянный клин нормально падает
монохроматический свет. Наименьшая толщина клина, с
которой видны интерференционные полосы, d = 0,1 мкм,
расстояние между полосами х = 5 мм. Определите длину волны
падающего света и угол между поверхностями клина.
403. На каком расстоянии от экрана находятся когерентные
источники света (λ = 0,6 мкм), расстояние между которыми d =
0,4 мм, а ширина светлых интерференционных полос на экране
х = 2 мм? Решение пояснить рисунком.
404. Определите показатель преломления материала, из
которого изготовлен клин, преломляющий угол которого α =
310-4 рад, если на l = 1 см приходится N = 22
интерференционные полосы максимума интенсивности света.
Длина волны нормально падающего монохроматического света
λ = 0,415 мкм.
405. На тонкий стеклянный клин (n = 1,6) падает нормально
свет с длиной волны λ = 0,5 мкм, расстояние между соседними
темными интерференционными полосами в отраженном свете
х = 0,3 мм. Определите угол между поверхностями клина.
406. Расстояние между двумя когерентными источниками
света d = 2 мм, они удалены от экрана на l = 2 м. Найти длину
волны, излучаемую когерентными источниками, если
расстояние на экране между третьим и пятым минимумами
интерференционной картины х =1 ,2 см.
407. На мыльную пленку с показателем преломления n =
1,33 падает по нормали монохроматический свет с длиной волы
λ = 0,6 мкм. Отраженный свет в результате интерференции
имеет наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная
толщина dmin пленки?
408. На мыльную пленку (n = 1,33) падает белый свет под
углом 45. При какой наименьшей толщине пленки отраженные
лучи будут окрашены в желтый цвет (λ = 600 нм)?
409. Когда на пути одного из интерференционных лучей
(λ = 0,8 мкм) в опыте Юнга поместили перпендикулярно ему
тонкую стеклянную пластину (n = 1,5), то интерференционная
картина на экране изменилась на противоположную. При какой
наименьшей толщине dmin пластинки это возможно?
410. На тонкую пленку в направлении нормали к ее
поверхности падает монохроматический свет с длиной волы λ =
179
500 нм. Вследствие интерференции отраженный от нее свет был
максимально усилен. Определите минимальную толщину dmin
пленки, если показатель преломления материала пленки n = 1,4.
411. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим
светом. Наблюдение ведется
в
отраженном свете. Радиусы двух соседних темных колец
равны соответственно rk = 4,0 мм и rk+1 = 4,38 мм. Радиус
кривизны линзы R = 6,4 м. Найти порядковые номера колец и
длину волны падающего света.
412. Установка для наблюдения колец Ньютона в
отраженном свете освещается монохроматическим светом,
падающим нормально. После того как пространство между
линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью,
радиусы темных колец уменьшились в 1,25 раза. Найти
показатель преломления жидкости.
413. Плосковыпуклая линза с радиусом сферической
поверхности R = 12,5 см прижата к стеклянной пластинке.
Диаметр десятого темного кольца Ньютона в отраженном света
Dk = 1 мм. Определите длину волны света.
414. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается
нормально падающим монохроматическим светом (λ = 590 нм).
Радиус кривизны линзы R = 5 см. Определите толщину dk
воздушного промежутка в том месте, где в отраженном свете
наблюдается третье светлое кольцо.
415. Плосковыпуклая стеклянная линза с фокусным
расстоянием F = 1 м лежит выпуклой стороной на стеклянной
пластинке. Радиус пятого темного кольца в проходящем свете
r5 = 1,1 мм. Определите длину световой волны λ.
416. Установка для получения колец Ньютона освещается
светом от ртутной лампы, падающим нормально. Наблюдение
производится в проходящем свете. Какое по порядку светлое
кольцо, соответствующее линии λ1 = 579,1 нм, совпадает со
следующим светлым кольцом, соответствующим линии
λ2 = 577 нм?
417. Плосковыпуклая линза с показателем преломления
n = 1,6 выпуклой стороной лежит на стеклянной пластинке.
Радиус третьего светлого кольца Ньютона в отраженном свете
(λ = 0,6 мкм) равен 0,9 мм. Определите фокусное расстояние
линзы.
180
418. Установка для наблюдения колец Ньютона в
отраженном свете освещается монохроматическим светом λ =
600 нм, падающим нормально. Пространство между линзой и
стеклянной пластинкой заполнено водой. Найти толщину слоя
воды между линзой и стеклянной пластинкой в том месте, где
наблюдается второе светлое кольцо.
419. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом с длиной волны λ = 0,65 мкм,
падающим нормально. Пространство между линзой и
стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, и наблюдение
ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы R = 4 м.
Определите показатель преломления жидкости, если радиус
третьего светлого кольца r = 2,3 мм.
420. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней
плосковыпуклой линзой с радиусом кривизны R = 0,5 м
находится жидкость. Найдите показатель преломления
жидкости, если радиус третьего светлого кольца Ньютона в
проходящем свете с длиной волны λ = 0,6 мкм равен r3 = 0,82
мм.
421. На пластинку с щелью шириной а = 0,1 мм падает
нормально к ней монохроматический свет с длиной волны
λ = 0,7 мкм. Определите ширину центральной светлой полосы,
если экран удален от щели на расстояние l = 1 м.
422. На дифракционную решетку длиной l = 15 мм,
содержащую
N=3000
штрихов,
падает
нормально
монохроматический свет с длиной волны λ = 550 нм.
Определите: 1) общее число дифракционных максимумов,
наблюдаемых в решетке; 2) угол, соответствующий последнему
максимуму.
423. Монохроматический свет нормально падает на
дифракционную решетку. Определите угол дифракции,
соответствующий максимуму пятого порядка, если максимум
третьего порядка отклонен на 1 = 20.
424. На дифракционную решетку нормально падает
монохроматический свет. Определите угол дифракции для
линии λ = 0,55 мкм в четвертом порядке, если этот угол для
линии
λ = 0,6 мкм в третьем порядке составляет 30.
425. На узкую щель нормально падает монохроматический
свет. Угол дифракционного максимума для спектра второго
181
порядка  = 2. Определите, сколько длин волн падающего света
укладывается на ширине щели.
426. Две дифракционные решетки имеют одинаковую
ширину l = 4 мм, но разные периоды, равные d1 = 4 мкм и
d2 = 2 мкм. Определите и сравните их наибольшую
разрешающую способность для желтой линии натрия (λ = 0,589
нм).
427. Какую разность длин волн может «разрешить»
дифракционная решетка в спектре второго порядка для
фиолетовых лучей (λ = 0,4 мкм), если период решетки d = 2 мкм,
а ширина ее l = 2 см?
428. На грань кристалла каменной соли падает пучок
параллельных рентгеновских лучей с длиной волны λ = 0,15 нм.
Под каким углом к атомной плоскости наблюдается
дифракционный максимум третьего порядка, если расстояние
между атомными плоскостями кристалла d=0,285 нм.
429. На дифракционную решетку с постоянной d = 5 мкм
под углом α = 30 падает монохроматический свет с длиной
волны λ=0,5 мкм. Определите угол  дифракции для главного
максимума третьего порядка
430. Определите длину λ1 световой волны спектральной
линии, изображение которой, даваемое дифракционной
решеткой в спектре третьего порядка, совпадает с изображением
линии λ2 = 0,38 мкм в спектре четвертого порядка.
431. Луч света переходит из воды (n1 = 1,33) в алмаз
(n2 = 2,42) так, что луч, отраженный от границы раздела этих
сред, оказывается максимально поляризован. Определите угол γ
между падающим и преломленным лучами.
432. Угол между плоскостями поляризации николей равен
 = 30. Интенсивность света, прошедшего такую систему,
уменьшилась в n = 5 раз. Пренебрегая потерей света при
отражении, определите коэффициент поглощения света k в
каждом из николей, считая их одинаковыми.
433. Луч света переходит из кварца (n1 = 1,55) в жидкость,
частично отражаясь, частично преломляясь. Отраженный луч
максимально поляризован при угле падения i  436 .
Определите показатель преломления n2 жидкости и скорость
распространения света в ней.
182
434. При прохождении естественного света через два
николя, угол между плоскостями поляризации которых  = 45,
происходит ослабление света. Коэффициент поглощения света в
поляризаторе равен k1= 0,08, а в анализаторе k2= 0,1. Найдите, во
сколько раз изменилась интенсивность естественного света
после прохождения этой системы.
435. Плоскополяризованный свет, длина которого в вакууме
λ = 590 нм, падает на пластинку исландского шпата
перпендикулярно его оптической оси. Принимая показатели
преломления исландского шпата для обыкновенного и
необыкновенного лучей соответственно n0=1,66 и nе=1,49,
определите длины волн этих лучей в кристалле.
436. Предельный угол полного внутреннего отражения для
пучка света на границе жидкости с воздухом равен 43. Каков
должен быть угол падения света из воздуха на поверхность
жидкости, чтобы отраженный луч был максимально
поляризован?
437. Угол максимальной поляризации при отражении света
от кристалла каменной соли равен 57. Определите скорость
распространения света в этом кристалле.
438. Под каким углом к горизонту должно находиться
Солнце, чтобы лучи, отраженные от поверхности озера, были
максимально поляризованы?
439. Луч света, проходящий через слой воды (n1=1,33),
падает на кварцевую пластинку (n2=1,55), частично отражается,
частично преломляется. Преломленный луч перпендикулярен
отраженному. Определите угол между падающим и
преломленным лучами.
440. На пластинку из кварца перпендикулярно ее
оптической оси падает плоскополяризованный свет, длина
волны которого в вакууме λ=530 нм. Определите показатели
преломления кварца для обыкновенного (n0) и необыкновенного
(nе) лучей, если длины волн этих лучей в кристалле
соответственно равны λ0=344 нм и λе=341 нм.
υmax
441.
Определите
максимальную
скорость
фотоэлектрона, вырванного с поверхности платины (работа
выхода электрона А = 6,3 эВ), при облучении γ-квантом с
энергией
ε = 1,53 МэВ.
183
442. Определите длину волны γ-излучения, падающего на
платиновую пластину (работа выхода электрона из платины А =
6,3 эВ), если максимальная скорость фотоэлектронов была
υmax = 3 Мм/с.
443.
Определите
максимальную
скорость
υmax
фотоэлектронов, вырываемых с поверхности меди (работа
выхода электрона А = 5,2 эВ), при облучении γ-излучением с
длиной волны
λ = 2,5 пм.
444. Определите, на какое максимальное расстояние от
поверхности электрода может удалится фотоэлектрон,
вырванный с поверхности серебряного электрода при облучении
его монохроматическим светом с длиной волны λ = 85 нм, если
вне электрода имеется задерживающее электрическое поле
напряженностью Е = 10 В/см. Красная граница фотоэффекта для
серебра λ0 = 264 нм.
445. Фотоэлектроны вырываются с поверхности серебряной
пластинки (работа выхода А = 4,7 эВ) фотонами с энергией
ε = 5 эВ. Определите максимальный импульс, передаваемый
поверхности этой пластинки при вылете электрона и полный
импульс, полученный пластинкой.
446. Если освещать катод вакуумного фотоэлемента
монохроматическим светом с длиной волны λ1 = 350 нм, то
фототок прекращается при задерживающем напряжении U1 =
12,5 В. Как изменится задерживающее напряжение при
увеличении длины волны на 20%?
447.
На
поверхность
металла
падает
пучок
ультрафиолетового излучения (λ = 0,25 мкм). Красная граница
фотоэффекта
λ0 = 0,62 мкм. Какая доля энергии фотона
расходуется на сообщение электрону кинетической энергии?
448. При освещении катода вакуумного фотоэлемента
монохроматическим
светом
частотой
v1=21015
Гц
фотоэлектроны полностью задерживаются тормозящим полем
при напряжении U1 = 7 В. При увеличении частоты падающего
света на 45% задерживающее напряжение оказалось равным U2
= 10,7 В. Вычислите по этим экспериментальным данным
постоянную Планка.
449. Энергия фотона равна кинетической энергии
электрона, имевшего начальную скорость υ0 =106 м/с и
184
ускоренного разностью потенциалов U = 4 В. Определите длину
волны фотона.
450.
Уединенный
цинковый
шарик
облучают
монохроматическим светом длиной волны λ = 40 нм.
Определите, до какого потенциала зарядится шарик. Работа
выхода электронов из цинка А = 4,0 эВ.
451. Во сколько раз увеличится поток излучения абсолютно
черного тела, если максимум энергии излучения передвинется
от красной границы (λк = 0,76 мкм) видимого спектра к его
фиолетовой границе (λф = 0,38 мкм)?
452. Какую мощность нужно подводить к свинцовому
шарику радиусом r = 4 см, чтобы поддерживать его температуру
t1 = 27С, если температура окружающей среды t2 = –23С?
Считать, что теплота теряется только вследствие излучения.
Поглощательная способность свинца αт=0,6.
453.
Определите
количество
теплоты,
теряемое
поверхностью расплавленной платины при t = 1770С за t = 1
мин., если площадь поверхности S = 100 см2. Коэффициент
поглощения принять равным αт = 0,8.
454. Максимум энергии излучения абсолютно черного тела
приходится на длину волны λ = 450 нм. Определите температуру
и энергетическую светимость тела.
455. Площадь поверхности нити накала 60-ваттной
вольфрамовой лампы накаливания S=0,5 см2. Коэффициент
поглощения вольфрама αт=0,6. Определите температуру нити
накала.
456. Принимая спектр Солнца за спектр излучения
абсолютно черного тела, определите мощность суммарного
(интегрального) (т.е. приходящегося на все длины волн)
излучения, если максимум испускательной способности
соответствует длине волны λmax = 0,48 мкм. Радиус Солнца
считать равным
Rс = 6,95105 км.
457. Определите длину волны, соответствующую
максимальной
спектральной
плотности
энергетической
светимости абсолютно черного тела равной (rλ,т)max = 4,161011
Вт/м3. Постоянные Вина b = 2,910-3 мК; С = 1,3105 Вт/м3K5.
458. Максимум спектральной плотности энергетической
светимости (rλ,т) яркой красноватой звезды Арктур приходится
на длину волны λ=5800 Å. Принимая, что звезда излучает как
185
абсолютно черное тело, определите температуру поверхности
звезды. (Необходимые постоянные см. задачу № 457).
459. Муфельная печь, потребляющая мощность Р = 1 кВт,
имеет отверстие площадью S = 100 cм2. Определите долю η
мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура ее
внутренней поверхности равна Т = 1 кK.
460. Средняя энергетическая светимость поверхности
Земли равна Re = 0,54 Дж/см2мин. Если условно считать, что
Земля излучает как серое тело с коэффициентом черноты αт =
0,25, определите длину волы λmax, на которую приходится
максимум энергии излучения.
461. Определите силу светового давления на зеркальную
поверхность площадью S = 100 см2, если интенсивность
светового потока, падающего нормально на эту поверхность,
равна
Ее = 2,5 кВт/м2.
462. Определите давление на черную поверхность,
создаваемое светом с длиной волны λ = 0,4 мкм, если
ежесекундно на поверхность S = 1 см2 падает n = 61016 фотонов.
463. Световое давление, испытываемое зеркальной
поверхностью площадью S = 1 см2, равно р = 10-6 Па.
Определите длину волны монохроматического света, если
ежесекундно падает
n = 51012 фотонов.
464. Определите давление света на стенки колбы
электрической лампы мощностью Р = 100 Вт. Колба лампы –
сфера радиусом R = 5 см, стенки которой отражают 10%
падающего на них света. Считать, что вся потребляемая лампой
мощность идет на излучение.
465. Давление монохроматического света с длиной волны
λ = 0,6 мкм на черную поверхность равно р = 10-7 Па. Сколько
фотонов падает ежесекундно на 1 м2 поверхности?
466. Ежесекундно на зеркальную поверхность площадью S
= 1 м2 нормально падает n = 151020 фотонов. Определите длину
волны монохроматического света, если давление света на
поверхность р = 5 мкПа.
467. На зеркальную поверхность нормально падает
монохроматический свет с длиной волны λ = 0,55 мкм. Поток
излучения Фе составляет 0,45 Вт. Определите: 1) число фотонов,
падающих на поверхность за время t = 5 с; 2) силу давления,
испытываемую этой поверхностью.
186
468. Точечный источник монохроматического (λ = 1 нм)
излучения находится в центре сферической зачерненной колбы
радиусом R = 10 см. Определите световое давление р,
производимое на внутреннюю поверхность колбы, если
мощность источника Р = 1 кВт.
469. Параллельный пучок монохроматических лучей
(λ = 0,5 мкм) падает на зачерненную поверхность и производит
на нее давление р=10-9 Н/см2. Определите концентрацию n0
фотонов в световом пучке.
470. Давление света, производимое на зеркальную
поверхность р = 5 мПа. Определите концентрацию n0 фотонов
вблизи поверхности, если частота света, падающего на
поверхность, v = 61014 Гц.
471. В результате комптоновского эффекта электрон
приобрел кинетическую энергию (отдачи) Тmax = 0,5 МэВ.
Определите энергию ε1 падающего фотона, если длина волны
рассеянного фотона λ2 = 0,025 нм.
472. Фотон с энергией ε1 = 1,3 МэВ в результате эффекта
Комптона был рассеян на свободном электроне. Определите
комптоновскую длину волны λ2 рассеянного фотона, если угол
рассеяния фотона θ = 60.
473. Фотон с импульсом р1 = 1,02 МэВ/с (здесь с – скорость
света в вакууме) в результате эффекта Комптона был рассеян на
свободном электроне на угол θ = 30. Определите импульс р2 (в
МэВ/с) рассеянного фотона.
474. Фотон с длиной волны  = 1 пм при соударении со
свободным электроном испытал комптоновское рассеяние под
углом θ = 60. Определите долю энергии, оставшуюся у фотона.
475. Фотон с энергией ε1 = 0,51 МэВ в результате эффекта
Комптона был рассеян на угол θ = 180. Определите энергию
электрона отдачи.
476. Фотон с длиной волны λ = 6 пм испытал
комптоновское рассеяние под углом θ = 90 на первоначально
покоившемся свободном
электроне. Определите импульс
электрона отдачи.
477. Фотон с энергией ε1=0,5 МэВ рассеялся под углом
θ = 180 на свободном электроне. Определите долю энергии
фотона, приходящуюся на рассеянный фотон.
187
478. Фотон с энергией ε1=0,3 МэВ рассеялся под углом
θ = 120 на первоначально покоившемся электроне. Определите
кинетическую энергию Те электрона отдачи.
479. В результате эффекта Комптона фотон с энергией
ε1=1,5 МэВ был рассеян на свободном электроне на угол
θ = 120 Определите энергию ε2 рассеянного фотона.
480. Определите длину волны рентгеновского излучения,
если при комптоновском рассеянии этого излучения под углом
θ = 60 на свободном электроне длина волны рассеянного
излучения оказалась равной λ2 = 57 пм.
188
6. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ
И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Основные законы и формулы

Первый постулат Бора. Электрон в атоме водорода
движется, не излучая, по круговой орбите, для которой
момент импульса электрона
me υn rn  n , или me υn rn  n
h
,
2
где me – масса электрона;
υn – скорость электрона на n-ой орбите;
rn – радиус n-ой стационарной орбиты;
ħ = 1,0510-34 Джс, или h = 6,6310-34 Джс – постоянная
Планка;
n = 1, 2, 3,… – квантовое число (номер орбиты
электрона).
 Второй постулат Бора. При переходе электрона с одной
орбиты на другую атом водорода излучает или поглощает
квант энергии:
hv  E n2  E n1 ,
где E n1 и E n2 – полные энергии электрона в атоме на
соответствующей орбите.
 Полная энергия электрона в атоме водорода
En  
1 me e 4
(n = 1, 2, 3,…),

n 2 8h 2 ε 02
где n – номер орбиты;
me – масса электрона;
е – заряд электрона;
ε0 = 8,8510-12 Ф/м – электрическая постоянная;
h – постоянная Планка.
189

Формула, позволяющая найти частоты v или длины волн λ,
соответствующие линиям водородного спектра (сериальная
формула Бальмера)
v
 1
c
1 
 Rc  2  2  ,
λ
 n1 n2 
где R – постоянная Ридберга (R = 1,10107 м-1);
с – скорость света в вакууме;
n1 и n2 – квантовые числа, определяющие номера орбит
электрона.
Для водородоподобных ионов формула имеет вид:
v

 1
c
1 
 RcZ 2  2  2  ,
λ
 n1 n2 
где Z – порядковый номер в таблице Менделеева.
Длина волны де Бройля
λ

h
h
 ,
mυ p
где p=m υ – модуль импульса движущейся частицы.
Импульс частицы и его связь с кинетической энергией T:
а) p  m0 υ ; p 
б) p  mυ 
2m0T ;
m0 υ
υ
1  
c
2
; p
1
(2 E 0  T )T ,
c
где m0 – масса покоя частицы;
m – релятивистская масса частицы;
υ – скорость частицы;
с – скорость света в вакууме;
Е0 – энергия покоя частицы (Е0 = m0с2).
 Соотношение неопределенностей:
а) для координаты и импульса
p x  x   ,
где Рх – неопределенность проекции импульса на ось Х;
х – неопределенность координаты;
190
б) для энергии и времени
E  t   ,
где Е – неопределенность энергии;
t – неопределенность времени жизни квантовой системы в
данном энергетическом состоянии.
 Одномерное уравнение Шредингера для стационарных
состояний
d 2 ψ 2m

( E  U )ψ ( x)  0 ,
dx 2  2
где ψ(х) – волновая функция, описывающая состояние
частицы;
m – масса частицы;
Е – полная энергия частицы;
U = U(х) – потенциальная энергия частицы.
 Плотность вероятности
dω( x )
2
 ψ ( x) ,
dx
где dω(x) – вероятность того, что частица может быть
обнаружена вблизи точки с координатой x на участке dx.
 Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2
x2
ω   ψ ( x) dx
2
x1

Решение уравнение Шредингера для одномерного
бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального
ящика:
а) ψ n ( x) 
2
n
sin
x – собственная нормированная волновая
l
l
функция;
б) E n 
 2 2n2
2ml 2
– собственное значение энергии, где n –
квантовое число (n = 1, 2, 3,…); l – ширина ящика.
В области 0  x  l U = ∞ и ψ(х) = 0.
191

Коэффициент
прозрачности
прямоугольного
потенциального барьера, т.е. вероятность прохождения
(туннелирования) микрочастицы сквозь барьер:
D  D0 e

2l
2 m (U  E )

,
где D0 – коэффициент, по порядку величины близкий к
единице;
U – высота потенциального барьера;
l – его ширина;
Е – энергия частицы;
m – масса частицы.
 Закон радиоактивного распада
dN = –λNdt , или N  N 0 e  λt ,
где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt;
N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t;
N0 – число ядер в начальный момент (t = 0);
λ – постоянная радиоактивного распада.
 Число ядер, распавшихся за время t:
N  N 0  N  N 0 (1  e  λt ) .

Период полураспада
T1 
2

Среднее время жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал
времени, за который число нераспавшихся ядер
уменьшилось в е раз:
τ

ln 2
.
λ
1
.
λ
Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе
N
mN A
,
M
где m – масса изотопа;
М – молярная масса;
NA – постоянная Авогадро (NA=6,021023 моль-1).
 Активность радиоактивного изотопа
192
A
dN
 λN , или A  A0 e  λt ,
dt
где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt;
А0 – активность изотопа в начальный момент времени (t =
0), А0=λN0.
 Удельная активность изотопа
a

A
.
m
Дефект массы ядра
m  Zm p  ( A  Z )mn  m я ,
где Z – зарядовое число (число протонов в ядре);
А – массовое число (число нуклонов в ядре);
(А-Ζ) – число нейтронов в ядре;
mр – масса протона;
mn – масса нейтрона;
mя – масса ядра.
 Энергия связи ядра
Есв = mс2,
где Δm – дефект массы ядра;
с – скорость света в вакууме.
Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна Есв =
931Δm Мэв, где дефект массы Δm – в а.е.м.; 931 – коэффициент
пропорциональности (1 а.е.м.  931 МэВ).
 Правило смещения:
1) для α-распада: ZA X  ZA42Y  24He ;
X  Z A1Y  10 e ;
3) для β+ -распада: X  Z A1Y  10 e .
2) для β- -распада:

A
Z
A
Z
Ядерные реакции. Символическая запись ядерной реакции
может быть дана или в развернутом виде, например:
9
4
Be  11H  24 He  36Li
или сокращенно
9
Be ( p, α) 6 Li .
При сокращенной записи порядковый номер атома не пишут,
так как он определяется химическим символом атома. В скобках
на первом месте ставят обозначение бомбардирующей частицы,
193
на втором – обозначение частицы, вылетающей из составного
ядра, и за скобками – химический символ ядра-продукта.
Обозначения частиц: р – протон, n – нейрон, d – дейтрон, t –
тритий (тритон), α-альфа-частица, γ-гамма-фотон.
 Энергетический эффект ядерной реакции
Q = c2[(m1+m2) – (m3+m4)],
где m1 – масса покоя ядра-мишени;
m2 – масса покоя бомбардирующей частицы,
(m3 + m4) – сумма масс покоя ядер продуктов реакции.
Если m1 + m2 > m3 + m4, то энергия освобождается, реакция
экзотермическая. Если m1 + m2 < m3 + m4, то энергия
поглощается, реакция эндотермическая.
 При решении задач на ядерные реакции применяются
законы сохранения:
1) электрического заряда: z1 + z2 = z3 + z4;
2) суммарного числа нуклонов: А1 + А2 = А3 + А4;
3) релятивистской полной энергии: Е1 + Е2 = Е3 + Е4; или
m0 c 2  T  m0 c 2  T  ,
где
m c
0
2

 T



– сумма энергий покоя частиц и их
кинетических энергий до реакции; справа то же для частиц
после реакции;
4) импульса: р1 + р2 = р3 + р4.
194
Примеры решения задач
Пример 1. Определите потенциал ионизации и первый
потенциал возбуждения атома водорода.
Решение.
Потенциалом
ионизации
Ui
называют
ту
наименьшую разность потенциалов, которую должен пройти в
ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с данным
невозбужденным атомом ионизировать его. Работа по удалению
электрона из атома Аi равна работе сил электрического поля,
ускоряющего электрон, eUi, поэтому Аi=eUi.
Учитывая квантовый характер поглощения энергии атомом,
можно сказать, что работа ионизации Аi равна кванту энергии
hv, поглощенному атомом водорода при переходе электрона с
первой боровской орбиты на бесконечно удаленную орбиту.
Тогда, применив сериальную формулу Бальмера и положив в
ней n1 = 1; n2 = ∞, получим:
Ai  hv 
 1
hc
1 
 hcR 2  2   hcR .
λ
 n1 n2 
Следовательно
Ai hcR
;

e
e
6,63  10 34 Дж  с  3  108 м/с  1,097  10 7 м 1
Ui 
 13,6В .
1,6  10 19 Кл
Ui 
П е р в ы й п о т е н ц и а л в о з б у ж д е н и я U1 есть та
наименьшая разность потенциалов, которую должен пройти в
ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с
невозбужденным атомом перевести его в первое возбужденное
состояние. Для атома водорода это соответствует переходу
электрона с первой боровской орбиты на вторую. Приравняв
работу сил ускоряющего электрического поля eU1 кванту
энергии hν, поглощенному атомом при его переходе в первое
возбужденное состояние, получим:
 1
1 
eU 1  hv  hcR 2  2  ,
 n1 n2 
195
где n1=1, n2=2. Откуда:
U1 
hcR  1
1  3 hcR 3
 Ui .
 2  2
e 1
4
2  4 e
Производим вычисления:
3
 13,6B  10,2B .
4
Ответ: Ui = 13,6 В; U1 = 10,2 В.
U1 
Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно
пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U.
Определите длину волны де Бройля электрона для двух случаев:
1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ.
Дано:
Решение:
-31
Длина волны де Бройля для
m0 = 9,110 кг
частицы определяется формулой
e = 1,610-19 Кл
h
U1 = 51 B
(1)
λ ,
4
U2 = 510 кВ = 5110 В
p
λ1-? λ2-?
где р – импульс частицы.
Импульс частицы связан с ее кинетической энергией Т
соотношением:
1) в нерелятивистском (классическом) случае (когда
кинетическая энергия частицы Т много меньше ее энергии покоя
Е0 = m0с2):
p  2m0T ,
(2)
где m0 – масса покоя частицы;
2) в релятивистском случае (когда кинетическая энергия Т
сравнима с энергией покоя Е0 частицы):
p
1
(2 E 0  T )T ,
c
(3)
где с – скорость света в вакууме.
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего
заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и
U2 =510 кВ, с энергией покоя электрона Е0 = m0с2 = 0,51 МэВ и в
зависимости от этого решим, какую из формул (2) или (3)
следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
196
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую
разность потенциалов U1 равна T = еU.
В первом случае
T1=еU1 = 1,610-19 Кл  51 В = 81,610-19 Дж =
= 51 эВ = 0,5110-4 МэВ,
что много меньше энергии покоя электрона Е0 = 0,51 МэВ.
Следовательно, в этом случае можно применять формулу (2).
Тогда:
λ1 
h

p
h
2m0T1

6,63  10 34 Дж  с
2  9,1  10 31 кг  81,6  10 19 Дж

6,63  10 34 Дж  с

 172  10 12 м  172 пм .
кг  м
38,5  10  25
с
Во втором случае кинетическая энергия
T2 = еU2 = 51104 эВ = 0,51 МэВ,
т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо
применить релятивистскую формулу (3). Тогда получим:
λ2 
h

p2
hc
(2 E0  T2 )T2
;
Так как Т2 = Е0 = m0c2, то получим:
λ2 
hc
(2 E0  E0 ) E0

hc
3E

2
0
hc
3E 0

hc
3m0 c
2

h
3m0 c
;
Произведем вычисления:
λ2 
6,63  10 34 Дж  с
31
3  9,1  10 кг  3  10 м/с
Ответ: λ1 = 172 пм; λ2 = 1,4 пм.
8
 1,4  10 12 м  1,4 пм .
Пример 3. Используя соотношение неопределенностей
Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать
электронов. Считать радиус ядра равным Rя = 10-13 см.
Дано:
Rя = 10-13 см = 10-15 м
ħ = 1,0510-34 Джс
Решение:
Соотношение неопределенностей для
координаты и импульса имеет вид
197
Δх·Δрх ≥ ћ,
где Δх – неопределенность координаты частицы (в данном
случае электрона);
Δрх – неопределенность импульса электрона;
ћ – постоянная Планка.
Если неопределенность координаты принять равной
радиусу ядра, т.е. Δх = Rя, то неопределенность импульса
электрона выразим следующим образом:
p x 

.
x
Так как Δрх=mΔVх, то m  υ x 


и υ x 
.
x
x  m
Вычислим неопределенность скорости электрона:
υ x 
1,05  10 34 Дж  с
м
 1,15  1011 .
15
31
с
10 м  9,1  10 кг
Сравнивая полученное значение υ x со скоростью света в
вакууме с = 3108 м/с, видим, что υ x  c , а это невозможно.
Следовательно, ядра не могут содержать электронов.
Пример 4. Электрон находится в бесконечно глубоком,
прямоугольном, потенциальном ящике шириной l. В каких
точках в интервале (0<х<l) плотности вероятности нахождения
электрона на втором и третьем энергетических уровнях
одинаковы? Вычислить значение плотности вероятности для
этих точек. Решение пояснить графиком.
Дано:
0<х<l
2
ψ 2 ( x)  ψ 3 ( x)
х-?
2
ψ n (x) -?
2
Решение:
Вероятность обнаружить частицу
в интервале х1<х<х2 определяется
выражением:
ω
x2
ψ
2
n
( x) dx ,
x1
где ψn(х) – нормированная собственная ψ-функция, отвечающая
данному состоянию. Нормированная собственная ψ-функция,
198
описывающая состояние электрона в потенциальном ящике,
имеет вид:
2
n
sin
x.
l
l
ψ n ( x) 
Возбужденным состоянием (n1=2) и (n2=3) отвечают
собственные функции:
ψ 2 ( x) 
2
2
sin
x и ψ 3 ( x) 
l
l
2
2
3
sin
x.
l
l
2
По условию задачи ψ 2 ( x)  ψ 3 ( x) , тогда получим:
2
3
x  sin 2
x , или
l
l
2
3
sin 2
x  sin 2
 0.
l
l
sin 2
(sin
2
3
2
3
x  sin
)(sin
x  sin
x)  0 .
l
l
l
l
Используя соотношения:
получим:
2 cos
sin α  sin β  2 cos
α β
αβ
 sin
,
2
2
sin α  sin β  2 sin
α β
αβ
 cos
,
2
2
5
5x
 x 
 x 
 x  sin     2 sin
 cos    0 ;
2l
2l
 2l 
 2l 
5x
5x  
x
x 

 cos
 cos   0 .
  2 sin
   2 sin
2l
2l  
2l
2l 

Так как 2 sin α  cos α  sin 2α , то выражение (*) примет вид:
 sin
5x
x
 sin
 0.
l
l
(*)
199
Решим полученное уравнение:
1) sin
5x
5x
5x
 0 , или sin
 sin n , откуда
 n , а
l
l
l
nl
, где n=0, 1, 2, 3,…
5
1
2
3
4
Тогда x1  l ; x 2  l ; x3  l ; x 4  l .
5
5
5
5
x
x
x
 0 , или sin
 sin n , откуда
 n , а x  nl –
2) sin
l
l
l
x
это значение не удовлетворяет условию задачи (0<х<l).
Следовательно, x1 
1
2
3
4
l ; x 2  l ; x3  l ; x 4  l .
5
5
5
5
Вычислим значение плотности вероятности в этих точках:
2
ψ n ( x) 
2
2 2 n
sin
x.
l
l
2
Так как ψ 2 ( x)  ψ 3 ( x) , то вычисление сделаем только для
состояния n=2 (электрон находится на втором энергетическом
уровне):
Для x1 
1
l:
5
2
2
2 1
2
2 2  2 
1,8
;
 2 ( x1 )  sin 2
 l  sin 2
  sin
 
l
l 5
l
5
l
5 
l
2
2
2
2 2
2
4 
0,7
2
2
x 2  l :  2 ( x 2 )  sin 2
 l   sin
;
 
5
l
l 5
l
5 
l
2
3
2
2 3
2
6 
0,7
2
x3  l :  2 ( x3 )  sin 2
 l   sin
;
 
5
l
l 5
l
5 
l
2
4
2
2 4
2  8 
1,8
2
l :  2 ( x 4 )  sin 2
 l   sin
.
 
5
l
l 5
l
5 
l
1,8
2
2
Итак, для точек х1 и х4: ψ 2 ( x)  ψ 3 ( x) 
;
l
x4 
200
2
2
Для точек х2 и х3: ψ 2 ( x)  ψ 3 ( x) 
0,7
.
l
Построим график (рисунок 54).
| n(x)| 2
| 2(x)| 2
| 3(x)| 2
2
l
1,5
l
1
l
0,5
l
0
x1
x2
x3
x4
l
x
Рис. 54
Пример 5. Определите начальную активность А0
радиоактивного препарата магния 27Mg массой m = 0,2 мкг, а
также его активность А через время t = 6 ч. Период полураспада
Т1/2 магния считать известным.
Дано:
27
Mg
m = 0,2 мкг = 210-10 кг
М = 2710-3 кг/моль
t = 6 ч = 63,6103 с
Т1/2 = 10 мин = 600 с
А0-? А-?
Решение:
Активность
А
изотопа
характеризует
скорость
радиоактивного
распада
и
определяется отношением числа dN
ядер, распавшихся за интервал
времени dt, к этому интервалу:
A
dN
.
dt
Знак «минус» показывает, что число N радиоактивных ядер с
течением времени убывает.
Воспользуемся законом радиоактивного распада
N = N0е-λt.
Тогда: A  

d N0e
dt
 λt
  λN e
201
 λt
.
0
Начальную активность А0 препарата получим при t = 0: А0 =
ln 2
. Число N0
T1 / 2
λN0, где постоянная радиоактивного распада λ 
радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе массой m, равно:
N 0  vN A 
m
N A , где М – молярная масса изотопа.
M
NА = 6,021023 моль-1 – постоянная Авогадро.
Следовательно, A0 
m n2
A

 NA e
M T1

ln 2
t
T1
2
m ln 2

NA;
M T1 / 2

, или A  A0 e
0 , 693
t
T1
2
.
2
Произведем вычисления:
A0 
2  10 1  0,693  6,02  10 23
Бк  5,15  1012 Бк  5,15ТБк .
27  10 3  600

0 , 69363, 6103
600
A  5,15  10  e
Бк  81,5Бк .
Ответ: А0 = 5,15 ТБк; А = 81,5 Бк.
12
7
3
Пример 6. Вычислите дефект массы и энергию связи ядра
Li .
Решение.
Дефект массы ядра Δm есть разность между суммой масс
свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, то
есть:
m  Zm p  ( A  Z )mn  m я ,
(1)
где Z – атомный номер изотопа (число протонов в ядре);
А – массовое число (число нуклонов, составляющих
ядро);
mр, mn и mя – соответственно массы протона, нейтрона и
ядра.
202
В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных
атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно
преобразовать так, чтобы в нее входила масса mа нейтрального
атома. Масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и
электронов, составляющих электронную оболочку атома: mа =
mя + Zmе, откуда mя = mа – Zmе. Тогда формула (1) примет
вид:
m  Z (m p  me )  ( A  Z )mn  ma .
Замечая, что mp + me = m 1 H (масса атома водорода),
1
окончательно получим:
m  ZmH  ( A  Z )mn  mа .
Подставив в это выражение числовые значения масс в а.е.м.
(см. табл. 15 и 17 Приложения), получим:
m  [3 1,00783  (7  3) 1,00867  7,01601 ]а.е.м.  0,04216 а,0
.мм
а.е.м
Для вычисления энергии связи ядра воспользуемся
формулой
Есв = 931 Δm (МэВ):
Есв = 9310,04216 МэВ = 39,2 МэВ.
Ответ: Δm = 0,04216 а.е.м.; Есв = 39,2 МэВ.
Пример 7. При соударении α-частицы с ядром бора 105 B
произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось
два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода
1
1 H . Определите порядковый номер и массовое число второго
ядра, запишите символически ядерную реакцию и определите ее
энергетический эффект.
Решение.
Обозначим неизвестное ядро символом
частица представляет собой ядро гелия
имеет вид:
4
2
4
2
A
Z
X . Так как α-
He , запись реакции
He  105B11H  ZAX .
Применив закон сохранения заряда, получим уравнение:
2+5=1+Z, откуда Z=6. Применив закон сохранения числа
203
нуклонов, получим уравнение: 4+10=1+А, откуда А=13.
Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа
углерода 136C . Теперь можем записать ядерную реакцию в
окончательном виде:
4
10
1
13
2 He  5 B 1 H  6 C .
Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по
формуле:
Q = 931[(mHe + mB) – (mH + mC)] МэВ.
Заменяя массы исходных ядер и массы ядер продуктов реакции
массами нейтральных атомов (см. табл.15 Приложения) и
подставив их в расчетную формулу, получим:
Q = 931[4,00260+10,01294) – (1,00783+13,00335)] МэВ =
4,06 МэВ.
Ответ: Q = 4,06 МэВ.
Пример 8. Определить энергию реакции 10В(n,α)7Li,
протекающей в результате взаимодействия весьма медленных
нейтронов с покоящимися ядрами бора. Найти также
кинетические энергии продуктов реакции.
Решение.
Ядерная реакция 10В(n,α)7Li состоит в следующем. Ядро
бора 105 B , поглотив медленный нейтрон 01 n , превращается в
промежуточное ядро
11
5
B . Последнее, будучи возбужденным,
испускает α-частицу (т.е. ядро гелия
7
3
4
2
He ), превращаясь в ядро
лития Li . В развернутом виде реакция записывается так:
10
5
B  01n 
 B  Li  He .
11
5
7
3
4
2
Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции) Q
определяется по формуле:
Q  c 2 [(m10B  mn )  (m 7 Li  m 4 He )] Дж,
(1)
или Q  931[( m 10 B  mn )  (m 7 Li  m 4 He )] МэВ.
Заменив массы покоя ядер атомов массами покоя самих атомов
(см. табл. 15 Приложения), получим:
Q = 931(10,01294+1,00867–7,01601–
– 4,00260) МэВ = 2,8 МэВ.
204
Чтобы найти кинетические энергии продуктов реакции –
ядра лития 7Li и α-частицы, применим закон сохранения
релятивистской энергии и закон сохранения импульса:
m B c 2 T B  mn c 2  Tn  m Li c 2  TLi  m He c 2  THe , или
c 2 (m B  mn  m Li  m He )  TB  Tn  TLi  THe ;
с учетом равенства (1) получим:
Q  TB  Tn  TLi  THe .
Из условия задачи следует, что величинами TB и Tn можно
пренебречь. Тогда получим для суммы кинетических энергий
частиц 7Li и 4Не:
TLi + THе = Q
(2)




По закону сохранения импульса: p 10 B  p n  p 7 Li  p 4 He .
Полагая суммарный импульс частиц до реакции равным нулю,
получим:


p Li  p He  0 .
Отсюда для модулей импульсов имеем: p Li  p He .
Импульсы частиц и их кинетические энергии связаны
соотношением p 
mT . Следовательно:
mLi TLi  mHeTHe
(3)
Решаем систему уравнений (2), (3):
Т.к. THe  Q  TLi , то mLi TLi  mHe (Q  TLi ),
TLi (mLi  mHe )  mHe Q  TLi 
THe 
QmHe
;
mLi  mHe
QmLi
.
mLi  mHe
Произведем вычисления:
TLi 
2,8МэВ  4,00260а.е.м.
 1,02МэВ .
(7,01601  4,00260)а.е.м.
205
THe 
2,8МэВ  7,01601а.е.м.
 1,78МэВ .
(7,01601  4,00260)а.е.м.
Ответ: Q = 2,8 МэВ; ТLi = 1,02 МэВ; ТНе = 1,78 МэВ.
Пример 9. Позитрон с кинетической энергией Т = 0,75 МэВ
налетает на покоящийся свободный электрон. В результате
аннигиляции возникает два γ-фотона с одинаковыми энергиями.
Определите угол θ между направлениями из разлета.
Дано:
Решение:
Процесс аннигиляции
Т = 0,75 МэВ = 0,751,610-13 Дж
электрона е - и позитрона
m0 = 9,110-31 кг
е + происходит по схеме
1 = 2 = 
е-+е+→γ+γ и подчиняется
θ-?
законам сохранения энергии и импульса. Согласно закону

сохранения импульса, импульс позитрона p e  равен векторной
сумме импульсов γ-фотонов





p1 и p 2
(рисунок 55): p e   p1  p 2 .
ε
При этом p1  p 2  , где ε – энергия
c
каждого γ-фотона.
Из рисунка 55 получим: cos
тогда:
cos
θ pe  c

2
2ε
p1

pe
θ pe
,

2 2 p1
p2
(*)
Рис. 55
Чтобы вычислить угол θ, надо определить импульс
позитрона p e  и энергию ε каждого γ-фотона. Импульс
позитрона найдем, зная его кинетическую энергию Т. Поскольку
величина Т превышает энергию покоя позитрона m0c2 = 0,511
МэВ, то позитрон следует рассматривать как релятивистскую
206
частицу. В этом случае импульс частицы выражается формулой

1
pe 
(2 E 0  T )T .
c
Энергию γ-фотона ε определим с помощью закона
сохранения релятивистской энергии:
m0 c 2  T  m0 c 2  T  ,
где
m c
0

2



– сумма энергий покоя частиц до реакции, а
T
– сумма их кинетических энергий. Справа стоят величины,
относящиеся к частицам после реакции. Учитывая, что масса
покоя фотонов равна нулю:
m0  0 , а полная энергия

фотонов есть их кинетическая энергия, т.е.
T   2ε , и что
электрон и позитрон обладают одинаковой массой покоя m0,
получим: 2m0 c 2  T  2ε .
Подставив в уравнение (*) значение 2ε и значение импульса
позитрона p e  , найдем:
1
( 2m0 c 2  T )  c
θ c
cos 

2
2m0 c 2  T
Так
как
энергия
покоя
m0c2 = 0,511 МэВ, то получим:
θ
1
cos 
2
2  0,511МэВ
0,75МэВ
Ответ: θ = 99.
T

2m0 c 2  T
электрона
1
2m0 c 2
1
T
(позитрона)
 0,651 ; θ  99 .
1
.
207
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5
Вар.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
510
501
502
503
504
505
506
507
508
509
520
511
512
513
514
515
516
517
518
519
Номера задач
530
540
550
521
531
541
522
532
542
523
533
543
524
534
544
525
535
545
526
536
546
527
537
547
528
538
548
529
539
549
560
551
552
553
554
555
556
557
558
559
570
561
562
563
564
565
566
567
568
569
501. Определите частоту света, излучаемого атомом
водорода, при переходе электрона на уровень с главным
квантовым числом n1=2, если радиус орбиты электрона
изменился в 9 раз.
502. При переходе электрона в атоме водорода из
возбужденного состояния в основное радиус орбиты электрона
уменьшился в 16 раз. Определите длину волны излученного
фотона.
503. Во сколько раз изменится период Т вращения
электрона в атоме водорода, если при переходе в
невозбужденное состояние атом излучил фотон с длиной волны
λ = 97,5 нм?
504. В каких пределах λ должна лежать длина волн
монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов
водорода квантами этого света радиус rn орбиты электрона
увеличился в 16 раз?
505. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант
света с длиной волны λ = 1215 Å. Определите радиус rn
электронной орбиты возбужденного атома водорода и скорость
υn электрона на этой орбите.
506. Определите интервал длин волн, в котором заключена
спектральная серия Бальмера для атома водорода, а также
максимальную и минимальную энергии фотона в этой серии.
208
507. Пользуясь теорией Бора, определите частоту f
вращения электрона по третьей орбите атома водорода.
508. Используя теорию Бора, определите орбитальный
магнитный момент электрона, движущегося по второй орбите
атома водорода.
509. Энергия ионизации атома водорода Ei = 13,6 эВ.
Определите энергию фотона, соответствующую второй линии
серии Бальмера.
510. Зная, что первый потенциал возбуждения атома
водорода U1 = 10,2 В, определите в электрон-вольтах энергию
фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии
Лаймана.
511. Определите энергию Т, которую необходимо
дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская
длина волны уменьшилась от λ1 = 0,2 нм до λ2 = 0,1 нм.
512. Определите длину волны де Бройля молекулы
водорода, движущейся со средней квадратичной скоростью при
температуре Т =300 K.
513. Определите длину волны де Бройля электрона,
прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 103 В.
514. Масса движущегося электрона в 2 раза больше массы
покоя. Определите длину волны де Бройля для такого
электрона.
515. Сравнить длины волн де Бройля электрона,
прошедшего разность потенциалов 1000 В и атома водорода,
движущегося со скоростью равной средней квадратичной
скорости при температуре Т = 300 K.
516. Какой кинетической энергией должен обладать протон,
чтобы дебройлевская волны протона была равна его
комптоновской длине волны.
517.
Заряженная
частица,
ускоренная
разностью
потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля λ = 2,02
пм. Определите массу частицы, если известно, что заряд ее
численно равен заряду электрона.
518. Определите длину волны де Бройля для атома
водорода, движущегося при температуре t = 20С с наиболее
вероятной скоростью.
519. Определите длину волны де Бройля для электрона,
находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.
209
520. Протон движется в однородном магнитном поле с
индукцией В = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м.
Определите длину волны де Бройля для протона.
521. Оцените с помощью соотношения неопределенностей
минимальную
кинетическую
энергию
Tmin
электрона,
движущегося внутри сферической области диаметром d = 0,1
нм.
522. Определите относительную неопределенность
p
p
импульса движущейся частицы, если допустить, что
неопределенность ее координаты равна длине волны де Бройля.
523.
Используя
соотношение
неопределенностей
E  t   , оцените уширение энергетического уровня в атоме
водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в
возбужденном состоянии (время жизни атома в возбужденном
состоянии   10-8 с).
524. Среднее время жизни t атома в возбужденном
состоянии составляет около 10-8 с. При переходе атома в
нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны
которого равна <λ> = 400 нм. Оцените относительную ширину
λ
излучаемой спектральной линии, если не происходит
λ
уширения линии за счет других процессов.
525. Электрон в атоме водорода движется по первой
боровской орбите (r1 = 52,8 пм). Принимая, что допускаемая
неопределенность скорости составляет 10% от ее числового
значения, определите неопределенность координаты электрона.
Применимо ли в данном случае для электрона понятие
траектории?
526. Электрон, обладающий кинетической энергией
Т = 1,5 кэВ, оставляет след на фотопластинке, полученный с
помощью камеры Вильсона, шириной х = 1 мкм. Определите,
можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении
электрона от законов классической механики.
527. Оцените с помощью соотношения неопределенностей
скорость электрона в атоме водорода, полагая размер атома d =
0,1 нм. Сравните полученную величину со скоростью электрона
на первой боровской орбите данного атома.
210
528.
Используя
соотношение
неопределенностей
xpx  h, оцените минимальную энергию Emin протона,
находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l =
1 Å.
529. Длина волны фотона, излучаемого атомом, λ = 0,6 мкм.
Принимая время жизни атома в возбужденном состоянии t =
10-8 с, определите отношение естественной ширины
энергетического уровня Е, на который был возбужден
электрон, к энергии, излученной атомом.
530. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов
U = 1 кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет
0,1% от ее числового значения. Определите неопределенность
координаты электрона. Является ли электрон в данных условиях
квантовой или классической частицей?
531. Частица находится в основном состоянии в бесконечно
глубокой потенциальной яме шириной l с абсолютно
непроницаемыми стенками. Во сколько раз отличаются
вероятности местонахождения частицы: 1 – в крайней трети и
2 – в крайней четверти ящика?
532. Частица в бесконечно глубоком, одномерном,
прямоугольном ящике находится в основном состоянии. Какова
вероятность  обнаружения частицы в крайней четверти ящика?
533. Электрон находится в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме шириной l = 1 нм в
возбужденном состоянии. Определите минимальное значение
энергии электрона и вероятность нахождения электрона в
интервале 0  x 
l
второго энергетического уровня.
3
534. В прямоугольной потенциальной яме шириной l с
абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < l ) находится
частица в основном состоянии. Найдите вероятность 
местонахождения этой частицы в области
1
3
lx l.
4
4
535. Электрон находится в одномерной потенциальной яме с
бесконечно высокими стенками, шириной l = 1,410-9 м.
Определите энергию, излучаемую при переходе электрона с
третьего энергетического уровня на второй.
211
536. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной
яме» шириной l с бесконечно высокими стенками находится в
возбужденном состоянии (n = 2). Определите вероятность
обнаружения частицы в области
3
5
l  x l.
8
8
537. Электрон находится в одномерном прямоугольном
потенциальном ящике шириной l. Определите среднее значение
координаты <x> электрона (0 < x < l ).
538. Определите ширину l одномерной прямоугольной
«потенциальной ямы» с бесконечно высокими стенками, если
при переходе электрона с третьего энергетического уровня на
второй излучается энергия Е = 1 эВ.
539. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной
яме шириной l с бесконечно высокими стенками находится в
возбужденном состоянии. Определите вероятность нахождения
частицы в интервале 0  x 
1
l на третьем энергетическом
2
уровне.
540. Электрон находится в одномерной прямоугольной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина
которой l = 1 нм. Определите наименьшую разность
энергетических уровней электрона.
541. Определите период полураспада радиоактивного
изотопа, если 62,5% начального количества ядер этого изотопа
распалось за время t = 849 с.
542. Период полураспада радиоактивного изотопа аргона
41
Ar
равен 110 мин. Определить время, в течение которого
18
распадается 25% начального количества атомов.
543. Определите постоянную распада и число атомов
радона, распавшихся в течение суток, если первоначальная
масса радона m = 10 г.
60
Co равен 5,3
544. Период полураспада изотопа кобальта 27
года. Определите, какая доля (%) первоначального количества
ядер этого изотопа распадается за время t = 5 лет.
32
P имеющего
545. Определите массу m изотопа фосфора 15
активность А = 1Кu.
212
546. Определите период полураспада Т1/2 радиоактивного
изотопа, если его активность А за время t = 15 сут. уменьшилась
на 25% по сравнению с первоначальной.
547. Определите удельную активность а (число распадов
в 1 с на 1 кг вещества) изотопа урана 238
92 U , если период его
полураспада Т1/2 = 4,5109 лет.
548. Принимая, что все атомы изотопа йода 131
53 I (период
полураспада Т1/2 = 8 сут.) массой m = 1 мкг радиоактивны,
определите: 1) начальную активность А0 этого изотопа; 2) его
активность А через 5 суток.
549. Определите, сколько ядер в m = 4 мг радиоактивного
изотопа церия 144
58 Ce распадается в течение времени t = 1 год.
Период полураспада церия Т1/2 = 285 сут.
550. Определите период полураспада Т1/2 радиоактивного
полония 210
84 Po , если m = 1 г этого изотопа образует в год
V = 89,5 см3 гелия при нормальных условиях.
551. Определить энергию, которую нужно затратить для
отрыва нейтрона (энергию связи нейтрона в ядре) от ядра 178 O .
552. Определить удельную энергию связи (т.е. среднюю
энергию связи, приходящуюся на один нуклон) ядра 126C .
553. Энергия связи ядра, состоящего из двух протонов и
одного нейтрона, равна Есв = 7,72 МэВ. Определите массу
нейтрального атома, имеющего это ядро.
554. Какое количество энергии освободится при соединении
одного протона и двух нейтронов в атомное ядро?
555. Сколько энергии выделится при образовании одного
грамма гелия 24 He из протонов и нейтронов?
556. Определите наименьшую энергию, необходимую для
разделения ядра 24 He на две одинаковые части.
557. Определите энергию связи, приходящуюся на один
нуклон (т. е. удельную энергию связи ядра) в ядре атома
27
Al .
алюминия 13
558. Определите массу нейтрального атома, если ядро этого
атома состоит из трех протонов и двух нейтронов, а энергия
связи ядра равна Есв = 26,3 МэВ.
213
559. Вычислите дефект массы, энергию связи и удельную
энергию связи для элемента 47Ag108.
560. Определить, какое количество энергии освобождается
при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное
ядро.
561. Определите максимальную кинетическую энергию Т
электрона, вылетающего при   -распаде нейтрона. Напишите
уравнение распада.
562.
Вычислите
энергию
термоядерной
реакции
2
3
4
1
1 H  1 H  2 He  0 n . Поглощается или выделяется энергия?
563. Определите количество теплоты Q, выделившееся при
образовании m =1 г гелия в результате ядерной реакции
2
2
3
1
1 H  1 H  2 He  0 n .
24
564. При облучении α-частицей ядра атома 12
Mg
образуется новый элемент и нейтрон. Определите: 1) какой
элемент получается в результате этой реакции; 2) тепловой
эффект этой реакции.
24
565. Жолио-Кюри облучали магний 12
Mg α-частицами, в
результате чего испускался нейтрон и образовывалось
искусственно-радиоактивное ядро, испытывающее   -распад.
Запишите эту реакцию.
566. Какая энергия выделится, если при реакции
9
2
10
1
подвергнуть превращению все ядра,
4 Be  1 H  5 B  0 n
находящиеся в m = 5 г бериллия?
567. Электрон и позитрон, имевшие одинаковые
кинетические энергии Т = 0,51 МэВ, при воздействии
превратились в два одинаковых фотона. Определите энергию ε
каждого фотона и соответствующую ему длину волны λ.
568. Определите скорости продуктов реакции 10 B(n, α) 7 Li ,
протекающей в результате взаимодействия тепловых нейтронов
с покоящимися ядрами бора.
569. Считая, что в одном акте деления ядра урана 235U
освобождается энергия 200 МэВ, определите массу m этого
изотопа, подвергшегося делению при взрыве атомной бомбы с
214
тротиловым эквивалентом m1 = 3010 кг, если тепловой
эквивалент тротила q =4,19 МДж/кг.
570. Определите тепловые эффекты следующих реакций:
7
Li(p,n)7Be и 16O(d , α)14N .
6
215
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Основные физические постоянные (округленные значения)
Физическая постоянная
Нормальное
ускорение
свободного падения
Гравитационная постоянная
Постоянная Авогадро
Молярная газовая постоянная
Стандартный объем*
Постоянная Больцмана
Элементарный заряд
Скорость света в вакууме
Постоянная Стефана-Больцмана
Постоянная закона смещения
Вина
Постоянная Планка
Постоянная Ридберга
Радиус Бора
Комптоновская длина волны
Магнетон Бора
Энергия
ионизации
атома
водорода
Атомная единица массы
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
Обознач.
g
G
NA
R
Vm
k
e
c

b
h
ħ
R
a
Λ
B
E1
а.е.м.
ε0
0
Значение
9,81 м/с2
6,6710-11 м3/(кгс2)
6,021023 моль-1
8,31 Дж/(мольK)
22,410-3 м3/моль
1,3810-23 Дж/K
1,6010-19 Кл
3,00108 м/с
5,6710-8 Вт/(м2К4)
2,9010-3 мК
6,6310-34 Джс
1,0510-34 Джс
1,10107 м-1
0,52910-10 м
2,4310-12 м
0,92710-23 Ам2
2,1810-18 Дж (13,6 эВ)
1,66010-27 кг
8,8510-12 Ф/м
410-7 Гн/м
2. Некоторые астрономические величины
Наименование
Радиус Земли
Масса Земли
Радиус Солнца
Масса Солнца
Радиус Луны
Масса Луны
*
Значение
6,37106 м
5,981024 кг
6,95108 м
1,981030 кг
1,74106 м
7,331022 кг
Молярный объем идеального газа при нормальных условиях.
216
Расстояние от центра Земли до центра Солнца
Расстояние от центра Земли до центра Луны
1,491011 м
3,84108 м
3. Плотность твердых тел
Твердое тело
Алюминий
Барий
Ванадий
Висмут
Железо
Литий
Плотность, кг/м3
2,70103
3,50103
6,02103
9,80103
7,88103
0,53103
Твердое тело
Медь
Никель
Свинец
Серебро
Цезий
Цинк
Плотность, кг/м3
8,93103
8,90103
11,3103
10,5103
1,90103
7,15103
4. Плотность жидкостей
Жидкость
Вода (при 4С)
Глицерин
Ртуть
Плотность, кг/м3
1,00103
1,26103
13,6103
Жидкость
Сероуглерод
Спирт
Плотность, кг/м3
1,26103
0,80103
5. Плотность газов (при нормальных условиях)
Газ
Водород
Воздух
Плотность, кг/м3
0,09
1,29
Газ
Гелий
Кислород
Плотность, кг/м3
0,18
1,43
6. Коэффициент поверхностного натяжения жидкостей
Жидкость
Вода
Мыльная пена
Коэффициент,
мН/м
72
40
Жидкость
Ртуть
Спирт
Коэффициент,
мН/м
500
22
7. Эффективный диаметр молекулы
Газ
Азот
Водород
Диаметр, м
3,010-10
2,310-10
Газ
Гелий
Кислород
Диаметр, м
1,910-10
2,710-10
217
8. Диэлектрическая проницаемость
Вещество
Вода
Масло
трансформатор
ное
Проницаемость
81
Вещество
Парафин
Стекло
Проницаемость
2,0
7,0
2,2
9. Удельное сопротивление металлов
Металл
Удельное
сопротивление,
Омм
5,510-8
9,810-8
1,710-8
2,610-8
Вольфрам
Железо
Медь
Алюминий
Металл
Удельное
сопротивление,
Омм
1,110-6
2210-8
1,610-8
Нихром
Свинец
Серебро
10. Энергия ионизации
Вещество
Водород
Гелий
Литий
Ртуть
Ei, Дж
2,1810-18
3,9410-18
1,2110-17
1,6610-18
Ei, эВ
13,6
24,6
75,6
10,4
11. Подвижность ионов в газах, м2/(Вс)
Газ
Азот
Водород
Воздух
Положительные ионы
1,2710-4
5,410-4
1,410-4
Отрицательные ионы
1,8110-4
7,410-4
1,910-4
12. Показатель преломления
Вещество
Алмаз
Вода
Глицерин
Показатель
2,42
1,33
1,47
Вещество
Кварц
Скипидар
Стекло
Каменная соль
Показатель
1,55
1,48
1,50
1,54
218
13. Работа выхода электронов
Металл
Калий
Литий
Платина
Рубидий
Серебро
Цезий
Цинк
А, Дж
3,510-19
3,710-19
1010-19
3,410-19
7,510-19
3,210-19
6,410-19
А, эВ
2,2
2,3
6,3
2,1
4,7
2,0
4,0
14. Относительные атомные массы (округленные значения) Ar и
порядковые номера Z некоторых элементов
Элемент
Азот
Алюминий
Аргон
Барий
Ванадий
Водород
Вольфрам
Гелий
Железо
Золото
Калий
Кальций
Кислород
Магний
Симв.
N
Al
Ar
Ba
V
H
W
He
Fe
Au
K
Ca
O
Mg
Ar
14
27
40
137
60
1
184
4
56
197
39
40
16
24
Z
7
13
18
56
23
1
74
2
26
79
19
20
8
12
Элемент
Марганец
Медь
Молибден
Натрий
Неон
Никель
Олово
Платина
Ртуть
Сера
Серебро
Углерод
Уран
Хлор
Симв.
Mn
Cu
Mo
Na
Ne
Ni
Sn
Pt
Hg
S
Ag
C
U
Cl
Ar
55
64
96
23
20
59
119
195
201
32
108
12
238
35
Z
25
29
42
11
10
28
50
78
80
16
47
6
92
17
15. Массы атомов легких изотопов
Изотоп
Нейтрон
Водород
Символ
1
0
n
Масса,
а.е.м.
1,00867
1
1
H
1,00783
2
1
H
2,01410
Изотоп
Берилий
Бор
Символ
7
2
Be
9
2
10
5
Be
B
11
5
B
Масса,
а.е.м.
7,01693
9,01219
10,01294
11,00930
219
3
1
3
2
Гелий
4
2
Литий
H
3,01605
He
3,01603
He
4,00260
6
3
Li
6,01513
7
3
Li
7,01601
Углерод
12
6
C
12,00000
13
6
C
13,00335
14
6
C
14,00324
Азот
14
7
N
14,00307
Кислород
16
8
O
15,99491
17
8
O
16,99913
16. Периоды полураспада радиоактивных изотопов
Изотоп
Актиний
Символ
225
89
Йод
Ac
Период полурвспада
10 сут
I
8 сут
Co
5,3 г
131
53
Кобальт
60
27
Магний
27
12
226
86
Mg
10 мин
Ra
1590 лет
222
86
Rn
3,8 сут
Стронций
90
38
Sr
27 лет
Фосфор
32
15
Радий
Радон
Церий
144
58
P
14,3 сут
Ce
285 сут
17. Масса и энергия покоя некоторых частиц
Частица
Электрон
Протон
Нейтрон
Дейтрон
Е0
m0
кг
9,1110-31
1,67210-27
1,67510-27
3,3510-27
а.е.м.
0,00055
1,00728
1,00867
2,01355
Дж
8,1610-14
1,5010-10
1,5110-10
3,0010-10
МэВ
0,511
938
939
1876
220
α-частица
Нейтральн
ый
-мезон
6,6410-27
4,00149
5,9610-10
3733
2,4110-28
0,14498
2,1610-11
135
18. Приставки и множители для образования десятичных кратных
и дольных единиц
Наименование
Экса
Пэта
Тера
Гига
Мега
Кило
Гекто
Дека
Деци
Санти
Милли
Микро
Нано
Пико
Фемто
Атто
Обозначение приставки
русское
Международное
Э
E
П
P
Т
T
Г
G
М
M
к
K
г
H
да
Da
д
d
с
c
м
m
мк

н
n
п
p
ф
f
а
a
Множитель
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
19. Латинский алфавит
Обозначение
буквы
A, a
B, b
C, c
D, d
E, e
F, f
G, g
H, h
I, i
J, j
Название буквы
а
бе
це
де
е
эф
ге (же)
аш (ха)
и
йот (жи)
Обозначение
буквы
N, n
O, o
P, p
Q, q
R, r
S, s
T, t
U, u
V, v
W, w
Название буквы
эн
о
пэ
ку
эр
эс
тэ
у
ве
дубель-ве
221
K, k
L, l
M, m
ка
эль
эм
X, x
Y, y
Z, z
икс
игрек
зет
20. Греческий алфавит.
Обозначение
буквы






H, 





Название буквы
Альфа
Бета
Гамма
Дельта
Эпсилон
Дзета
Эта
Тэта
Йота
Каппа
Лямбда
мю
Обозначение
буквы








Ф,
X,x
,
,
Название буквы
Ню
Кси
Омикрон
Пи
Ро
Сигма
Тау
Ипсилон
Фи
Хи
Пси
Омега
222
Содержание
Предисловие.............................................................................. 3
Рабочая программа ................................................................... 4
Библиографический список ................................................... 11
Общие методические указания ............................................. 13
Учебные материалы по разделам курса физики .................. 19
1. Физические основы классической механики ................... 19
Основные законы и формулы ............................................ 19
Примеры решения задач .................................................... 29
2. Молекулярная физика. Термодинамика. .......................... 46
Основные законы и формулы ............................................ 46
Примеры решения задач .................................................... 52
Контрольная работа № 1 .................................................... 60
3. Электростатика. Постоянный электрический ток. .......... 72
Основные законы и формулы ............................................ 72
Примеры решения задач .................................................... 79
Контрольная работа № 2 .................................................... 97
Контрольная работа № 2’................................................... 97
4. Электромагнетизм. Электромагнитные
колебания и волны............................................................ 109
Основные законы и формулы .......................................... 109
Примеры решения задач .................................................. 115
Контрольная работа № 3 .................................................. 139
5. Волновая оптика. Квантовая природа излучения .......... 152
Основные законы и формулы .......................................... 152
Примеры решения задач .................................................. 158
Контрольная работа № 4 .................................................. 176
Контрольная работа № 4а ................................................ 176
6. Элементы атомной физики и квантовой механики.
Физика атомного ядра. ..................................................... 187
223
Основные законы и формулы ................................................ 187
Примеры решения задач .................................................... 193
Контрольная работа № 5 .................................................... 207
Приложения ............................................................................ 215
224
Овсянніков Іван Тимофійович
Євстигнєєв Максим Павлович
Рибаков Олександр Григорович
Під редакцією професора Веселкова Олексія Никоновича
Методичні вказівки та контрольні завдання
з курсу загальної фізики
для студентів заочної форми навчання
інженерно-технічних спеціальностей
СевНТУ
Видання 2-е, виправлене і доповнене
Відповідальний за випуск: В.Л. Лучин, к.т.н., доц..
Коректор Ю.М. Кравченко
Нормоконтролер: Г.М. Персідськов
Компьютерна верстка: С.Є. Дьяченко
Здано в набір______Підписано до друку______ ДК №1272 від 17.03.03
Формат 60x901/16. Офс.Печ. Умов. л. 14.,0. Тираж______ Заказ №____
Видавництво “СевНТУ”. Севастополь, 99053, Стрілецька балка.
Студмістечко, Науково-методичний центр, т.23-52-10.
E-mail¨root@sevgtu.sebastopol.ua
Кафедра фізики СевНТУ, т. 23-51-10
E-mail: rybakovag2001@mail.ru
Скачать