Загрузил Andrey Kharitonov

Курсовая работа ЭМПИВ

Реклама
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ
(МТУСИ)
Кафедра технической электродинамики и антенн
«Анализ электромагнитного поля в
прямоугольном волноводе»
Проверил:
доцент кафедры ТЭДиА
Выполнил:
студент группы БРТ1801
Муравцов А.Д.
Харитонов Андрей
Москва 2020
Содержание
1. Техническое задание…………………………………………………………...3
2. Определение комплексных амплитуд составляющих вектора ⃗Е…………..5
3. Определение диапазона частот, в котором рассматриваемое поле - бегущая
волна…………………………………………………………………………..…...7
⃗ и
4. Выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов Е
⃗Н
⃗ ……............………………………………………………………………….…..7
5. Расчет и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих
векторов поля от координат x, y, z………………………………...……….....8
6. Проверка выполнения граничных условий………………………………….14
7. Определение комплексных амплитуд плотностей поверхностных
токов и зарядов……………………..……………………………………………14
8. Определение выражений для комплексного вектора Пойнтинга. Среднее за
период значение плотности потока энергии. Амплитуда плотности
реактивного потока энергии………...…………………………………………..16
9. Вычисление среднего за период потока энергии через поперечное сечение
трубы………………………..…………………………………………………….18
10. Определение фазовой скорости и скорости распространения энергии.
Расчет и построение графиков их зависимостей от частоты…...…………….18
11. Определение коэффициента затухания волны………………...…………..21
12. Расчёт и построение частотной зависимости коэффициента затухания
волны в волноводе………………………………………...……………………..23
13. Определение типа волны, распространяющейся в волноводе, структура
силовых линий электрического и магнитного полей этой волны, структура
силовых линий плотности поверхностного тока проводимости,
протекающего по стенкам волновода……………………….....……………….25
14. Вывод………………………………………….……….……………………..27
15. Использованная литература………………………………………...………28
1. Техническое задание.
В полой трубе прямоугольного сечения (рис. 1) с идеально проводящими
стенками создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба
заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютные
диэлектрическая и магнитная проницаемости равны εa и μa соответственно.
Известно, что комплексная амплитуда вектора напряжённости
электрического поля равна:
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
⃗Е̇ m=y
⃗ 0 E0sin
𝑒
,
𝑎
𝜆
2𝜋
𝑎
𝜆
где 𝛽 = 𝑘√1 − ( )2 , k=𝜔√𝜀𝑎 𝜇𝑎 =
, 𝜔 = 2𝜋𝑓, - частота электромагниных
колебаний; 𝜆 = 𝐶⁄𝑓- длина волны, распространяющейся в однородной
изотропной непроводящей среде с параметрами εa и μa; 𝐶 = 1⁄
√𝜀𝑎 𝜇𝑎
скорость света в этой среде.
Исходные данные:
№
вар
2
Е0
В/м
80
εr
μr
3
1
a
см
4
b
см
2
𝛽𝑧0
2𝜋
0,75
f1
ГГц
6,0
f2
ГГц
2,5
2. Пользуясь уравнениями Максвелла, определим комплексные
амплитуды составляющих вектора Н̇.
Дан волновод с идеально проводящими стенками, заполненный однородной
изотропной средой без потерь. По волноводу распространяется
электромагнитное поле. Известна комплексная амплитуда вектора
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
⃗ ̇ m=y
напряжённости электрического поля: Е
⃗ 0 E0sin
𝑒
𝑎
Для изучения электромагнитного поля необходимо описать его, определив все
составляющие векторов электрической и магнитной напряжённостей.
Впоследствии мы будем использовать полученные в этом пункте выражения,
для того чтобы изучить свойства поля.
Исходя из технического задания, запишем выражения для комплексных
амплитуд составляющих вектора Е̇, полагая, что множитель единичного
вектора 𝑥0 является комплексной амплитудой иксовой составляющей ,
множитель 𝑦0 является комплексной амплитудой игрековой составляющей
, а множитель 𝑧0 является комплексной амплитудой зетовой составляющей
. Таким образом, получим:
𝐸̇ mx=0
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
𝐸̇ my= E0sin
𝑒
𝑎
𝐸̇ mz=0
(1)
(2)
(3)
Воспользуемся вторым уравнением Максвелла в комплексной форме:
⃗ ̇ m , где  a = 0  r - абсолютная магнитная проницаемость.
𝑟𝑜𝑡𝐸⃗̇ m= - jωμa𝐻
Найдем 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗̇ m :
𝑟𝑜𝑡𝐸⃗̇ m
𝜕𝐸̇𝑚𝑦
𝑧0 (
𝜕𝑥
|
=
−
𝜕𝐸̇𝑚𝑥
𝜕𝑦
𝑥0
𝑦0
𝑧0
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝐸̇𝑚𝑥
𝐸̇𝑚𝑦
𝐸̇𝑚𝑧
|=
𝜕𝐸̇𝑚𝑧
𝑥0 (
𝜕𝑦
−
𝜕𝐸̇𝑚𝑦
𝜕𝑧
) − 𝑦0 (
)
̇
𝜕𝐸̇𝑚𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝐸̇𝑚𝑥
𝜕𝑧
)+
(5)
⃗ из второго уравнения
Выразим комплексную амплитуду вектора ⃗Н
Максвелла:
⃗ ̇ m = 1 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗̇ m
𝐻
−jωμ𝑎
Спроектируем полученное равенство на оси координат:
⃗ ̇ 𝑚𝑥 =
𝐻
⃗ ̇ 𝑚𝑦 =
𝐻
⃗ ̇ 𝑚𝑧 =
𝐻
{
1
−jωμ𝑎
1
−jωμ𝑎
1
−jωμ𝑎
̇
(𝑟𝑜𝑡𝐸⃗𝑚 )
𝑥
(𝑟𝑜𝑡𝐸⃗̇ 𝑚 )
(6)
𝑦
(𝑟𝑜𝑡𝐸⃗̇ 𝑚 )
𝑧
Подставим проекции ротора из формулы (5) в формулы (6):
̇
̇
̇
⃗ ̇ 𝑚𝑥 = 1 (𝜕𝐸𝑚𝑧 − 𝜕𝐸𝑚𝑦) = 1 𝜕𝐸𝑚𝑦
𝐻
−jωμ𝑎
𝜕𝑦
⃗ ̇ 𝑚𝑦 = − (
𝐻
1
−jωμ𝑎
𝜕𝐸̇𝑚𝑦
⃗ ̇ 𝑚𝑧 = 1 (
𝐻
{
−jωμ𝑎
𝜕𝑥
)(
−
𝜕𝑧
𝜕𝐸̇ ̇
𝑚𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐸̇𝑚𝑥
𝜕𝑦
jωμ𝑎
−
𝜕𝐸̇𝑚𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑧
)=0
𝜕𝐸̇𝑚𝑦
1
) = −jωμ (
𝑎
̇ ̇
⃗ ̇ 𝑚𝑦 = 0 , так как 𝜕𝐸𝑚𝑧 = 0 и
𝐻
𝜕𝑥
Исходя из формул (1) и (3),
𝜕𝐸̇𝑚𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝐸̇𝑚𝑧
𝜕𝑦
(7)
𝜕𝑥
)
=0
=0 и
𝜕𝐸̇𝑚𝑥
𝜕𝑦
= 0.
Найдём выражения для частных производных составляющих комплексной
амплитуды вектора E по соответствующим координатам:
𝜕𝐸̇𝑚𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐸̇𝑚𝑦
= −𝑗𝛽E0sin
2𝜋𝑥
𝑎
2𝜋𝑥
2𝜋
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
= E0cos
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝜕𝑥
𝑎 
𝑎
Подставим полученные выражения в выражения для составляющих вектора
𝐻̇ (7):
1
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
𝐻̇mx=
(−𝑗𝛽E0sin
𝑒
)
jωμa
𝑎
𝐻̇my=0
1
2𝜋
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
𝐻̇mz=
( E0cos
𝑒
)
−jωμa
𝑎
𝑎
В итоге получаем:
1
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
𝐻̇mx= −
E0 𝛽 sin
𝑒
ωμa
𝑎
𝐻̇my=0
𝐻̇mz=
1 2𝜋
ωμa 𝑎
E0cos
2𝜋𝑥
𝑎
𝑒
𝜋
−𝑗(𝛽𝑧− )
2
(8)
(9)
(10)
𝐸̇ mx=0
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
𝐸̇ my= E0sin
𝑒
(1)
(2)
𝐸̇ mz=0
(3)
𝑎
3. Определим диапазон частот, в котором параметр β – действительное
число, т.е. рассматриваемое поле – бегущая волна.
По условию задачи 𝛽 = 𝑘√1 − (
случае, если 1 − (
𝜆
𝜆кр
𝜆
𝜆кр
)2 . Значит, β будет действительным в
)2 ≥ 0, т.е. при λ≤λкр
𝜆кр = 𝑎 = 0.04м = 4 см
Этому диапазону длин волн соответствует диапазон частот:
νф
f ∈ [𝑓кр , ∞), где fкр =
νф =
𝜆кр
с
√ 𝜀𝑟 𝜇 𝑟
с
𝑓кр =
, где с = 3 ∗ 108 м/с – скорость света в вакууме.
=
𝜆кр ∗√𝜀𝑟 𝜇𝑟
3∗108
0.04∗√2.5∗1
= 4.75*109 Гц.
𝑓1 < 𝑓кр < 𝑓2
2,5 ГГц < 4,75 ГГц < 6,0 ГГц
4. Запишем выражения для мгновенных значений всех составляющих
векторов поля Е̇ и Н̇ для двух случаев:
а) когда f больше критической частоты, найденной в п.3;
б) когда f меньше этой частоты.
Для получения выражений для мгновенных значений составляющих
векторов поля необходимо помножить их комплексные амплитуды на
выражение 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 и выделить действительную часть.
𝐸 = 𝑅𝑒(𝐸̇𝑚 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 )
𝐻 = 𝑅𝑒(𝐻̇𝑚 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 )
Для случая, когда 𝑓 > 𝑓кр , выражения для комплексных амплитуд
составляющих используются без изменений.
Тогда, используя равенства (1), (2), (3) и (8), (9), (10), получим выражения:
𝐸𝑥 = 0
2𝜋𝑥
𝐸𝑦 = 𝐸0 sin
cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧)
𝑎
𝐸𝑧 = 0
𝐻𝑥 = −
1
ωμa
𝐸0 𝛽 sin
2𝜋𝑥
𝑎
cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧)
𝐻𝑦 = 0
1
{𝐻𝑧 = ωμa 𝐸0
2𝜋
𝑎
cos
2𝜋𝑥
𝑎
𝜋
cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + )
2
(11)
Для случая, когда 𝑓 < 𝑓кр , вводим описанную в п.3 замену: 𝛽 = −𝑗𝛼.
Выражения будут иметь вид:
𝐸𝑥 = 0
2𝜋𝑥
𝐸𝑦 = 𝐸0 sin
𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡)
𝑎
𝐸𝑧 = 0
𝐻𝑥 =
1
ωμa
𝐸0 𝛼 sin
2𝜋𝑥
𝑎
𝜋
(12)
𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 + )
2
𝐻𝑦 = 0
1
{𝐻𝑧 = ωμa 𝐸0
2𝜋
𝑎
cos
2𝜋𝑥
𝑎
𝜋
𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 + )
2
5. Построим графики амплитуд составляющих векторов поля.
Для начала выпишем амплитуды ненулевых составляющих векторов поля,
пользуясь выражениями (11) для частот выше критической и выражениями
(12) для частот ниже критической.
а) 𝑓 > 𝑓кр
𝐸𝑚𝑦 = 𝐸0 sin
𝐻𝑚𝑧 =
𝑎
1
2𝜋𝑥
𝐸 𝛽 sin
ωμa 0
𝑎
1
2𝜋
2𝜋𝑥
𝐸
cos
ωμa 0 𝑎
𝑎
𝐻𝑚𝑥 = −
{
2𝜋𝑥
(13)
б) 𝑓 < 𝑓кр
𝐸𝑚𝑦 = 𝐸0 sin
𝐻𝑚𝑥 =
1
ωμa
1
2𝜋𝑥
𝑎
𝐸0 𝛼 sin
𝐻 =
𝐸
{ 𝑚𝑧 ωμa 0
2𝜋
𝑎
𝑒 −𝛼𝑧
2𝜋𝑥
cos
𝑒 −𝛼𝑧
𝑎
2𝜋𝑥
𝑎
(14)
𝑒 −𝛼𝑧
Рассчитаем константы, которые входят в формулы (13) и (14):
𝜀𝑟 = 3
107
Ф
−12
𝜀0 =
=
8.854
∗
10
(
)
4 ∗ 𝜋 ∗ с2
м
Ф
𝜀𝑎 = 𝜀0 ∗ 𝜀𝑟 = 8.854 ∗ 10−12 ∗ 3 = 2,656 ∗ 10−11 ( )
м
𝜇𝑟 = 1
𝜇0 = 4 ∗ 𝜋 ∗ 10−7 = 1.257 ∗ 10−6 (
Гн
)
м
𝜇а = 𝜇0 ∗ 𝜇𝑟 = 1.257 ∗ 10−6 ∗ 1 = 1.257 ∗ 10−6 (
𝑓1 = 6 ∗ 109 Гц
Гн
)
м
рад
𝜔1 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓1 = 2 ∗ 3.14 ∗ 6 ∗ 109 = 3.77 ∗ 1010 (
)
с
𝑓2 = 2,5 ∗ 109 Гц
рад
𝜔2 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓2 = 2 ∗ 3.14 ∗ 2,5 ∗ 109 = 1.57 ∗ 1010 (
)
с
1
1
м
С=
=
= 1.73 ∗ 108 ( )
с
√𝜀𝑎 ∗ 𝜇а √2,656 ∗ 10−11 ∗ 1.257 ∗ 10−6
С 1.73 ∗ 108
𝜆1 = =
= 0.029 м
𝑓1
6 ∗ 109
С 1.73 ∗ 108
𝜆2 = =
= 0.069 м
𝑓2
2,5 ∗ 109
2 ∗ 𝜋 2 ∗ 3.14
𝑘1 =
=
= 216.662 м−1
𝜆1
0.029
2 ∗ 𝜋 2 ∗ 3.14
𝑘2 =
=
= 91.061 м−1
𝜆2
0.069
𝜆1 2
0.029 2
√
√
𝛽 = 𝑘1 ∗ 1 − ( ) = 216.662 ∗ 1 − (
) = 149.226 м−1
𝑎
0.04
𝜆2 2
0.069 2
√
𝛼 = 𝑘2 ∗ ( ) − 1 = 91.061 ∗ √(
) − 1 = 127,993 м−1
𝑎
0.04
0,75 ∗ 2 ∗ 𝜋 1,5 ∗ 3.14
𝑧0 =
=
= 0.031м
𝛽
149.226
2∗𝜋
= 157,1 м−1
а
1
1
А
−
∗ 𝐸0 ∗ 𝛽 = −
∗
80
∗
149.226
=
−0.25
(
)
𝜔1 ∗ 𝜇𝑎
3.77 ∗ 1010 ∗ 1.257 ∗ 10−6
м
1
2∗𝜋
1
2 ∗ 3.14
А
∗ 𝐸0 ∗
=
∗
80
∗
=
0.265
(
)
𝜔1 ∗ 𝜇𝑎
𝑎
3.77 ∗ 1010 ∗ 1.257 ∗ 10−6
0.04
м
1
1
А
∗ 𝐸0 ∗ 𝛼 = −
∗
80
∗
127,993
=
0.519
(
)
𝜔2 ∗ 𝜇𝑎
1.57 ∗ 1010 ∗ 1.257 ∗ 10−6
м
1
2∗𝜋
1
2 ∗ 3.14
А
∗ 𝐸0 ∗
=
∗
80
∗
=
0.637
(
)
𝜔2 ∗ 𝜇𝑎
𝑎
1.57 ∗ 1010 ∗ 1.257 ∗ 10−6
0.04
м
Подставив в формулы (13) и (14) рассчитанные константы, получим:
а) Для 𝑓 > 𝑓кр
𝐸𝑚𝑦 = 80 ∗ sin(157,1 ∗ 𝑥)
В
м
𝐻𝑚𝑥 = −0.25 sin(157,1 ∗ 𝑥)
А
А
м
{𝐻𝑚𝑧 = 0.265 cos(157,1 ∗ 𝑥) м
б) Для 𝑓 < 𝑓кр
𝐸𝑚𝑦 = 80 ∗ sin(157,1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧
В
м
А
м
А
= 0.637 ∗ cos(157,1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧
м
𝐻𝑚𝑥 = 0.519 ∗ sin(157,1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧
{𝐻𝑚𝑧
1) Расчет и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих
векторов поля в сечении z=z0 от координаты x при y=0,5b в интервале
на частотах 𝑓1 и 𝑓2 :
а) 𝑓 > 𝑓кр
В
𝐸𝑚𝑦 = 80 ∗ sin(157,1 ∗ 𝑥)
м
А
𝐻𝑚𝑥 = −0.25 sin(157,1 ∗ 𝑥)
м
А
𝐻𝑚𝑧 = 0.265 cos(157,1 ∗ 𝑥)
м
б) 𝑓 < 𝑓кр
𝐸𝑚𝑦 = 80 ∗ sin(157,1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −127,993∗0.031 = 1,51 ∗ sin(157,1 ∗ 𝑥) В/м
𝐻𝑚𝑥 = 0.519 ∗ sin(157,1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −127,993∗0.031 = 0.0098 ∗ sin(157,1 ∗ 𝑥) А/м
𝐻𝑚𝑧 = 0.637 ∗ cos(157,1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −127,993∗0.031 = 0.012 ∗ cos(157,1 ∗ 𝑥) А/м
Указанные формулы были запрограммированы в математическом
пакете MathCAD 15, где были построены графики данных зависимостей. Для
случая 𝑓 > 𝑓кр результаты показаны на рис.2-3 Для случая 𝑓 < 𝑓кр результаты
показаны на рис.4-5.
2) расчёт и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих
векторов поля в сечении z=z0 от координаты y при x=0,2a в интервале 0≤y≤b
на частотах 𝑓1 и 𝑓2 :
а) 𝑓 > 𝑓кр
𝐸𝑚𝑦 = 80 ∗ sin(157,1 ∗ 0,008) = 1,75
В
м
А
м
А
= 0.265 cos(157,1 ∗ 0,008) = 0,265
м
𝐻𝑚𝑥 = −0.25 sin(157,1 ∗ 0,008) = −0,005
𝐻𝑚𝑧
б) 𝑓 < 𝑓кр
𝐸𝑚𝑦 = 80 ∗ sin(157,1 ∗ 0,008) ∗ 𝑒 −127,993∗0.031 = 0,033 В/м
𝐻𝑚𝑥 = 0.519 ∗ sin(157,1 ∗ 0,008) ∗ 𝑒 −127,993∗0.031 = 0.00021А/м
𝐻𝑚𝑧 = 0.637 ∗ cos(157,1 ∗ 0,008) ∗ 𝑒 −127,993∗0.031 = 0.012А/м
Указанные формулы были запрограммированы в математическом
пакете MathCAD 15, где были построены графики данных зависимостей. Для
случая 𝑓 > 𝑓кр результаты показаны на рис.6-7. Для случая 𝑓 < 𝑓кр результаты
показаны на рис.8-9.
3) расчёт и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих
векторов поля от координаты z вдоль линии x=0,2a; y=0,2b в интервале
0≤z≤2z0 на частотах 𝑓1 и 𝑓2 :
а) 𝑓 > 𝑓кр
В
𝐸𝑚𝑦 = 80 ∗ sin(157,1 ∗ 0,008) = 1,75
м
А
𝐻𝑚𝑥 = −0.25 sin(157,1 ∗ 0,008) = −0,005
м
А
𝐻𝑚𝑧 = 0.265 cos(157,1 ∗ 0,008) = 0,265
м
б) 𝑓 < 𝑓кр
𝐸𝑚𝑦 = 80 ∗ sin(157,1 ∗ 0,008) ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧 = 1,75 ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧
В
м
А
м
А
𝐻𝑚𝑧 = 0.637 ∗ cos(157,1 ∗ 0,008) ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧 = 0,637 ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧
м
Указанные формулы были запрограммированы в математическом
пакете MathCAD 15, где были построены графики данных зависимостей. Для
случая 𝑓 > 𝑓кр результаты показаны на рис. 10-11. Для случая 𝑓 < 𝑓кр
результаты показаны на рис. 12-13.
𝐻𝑚𝑥 = 0.519 ∗ sin(157,1 ∗ 0,008) ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧 = 0,011 ∗ 𝑒 −127,993∗𝑧
В выражениях пп. 1а, 2а, 3а λ=0.029 (м), ω=3.77 ∗ 1010 (рад/с), z0=0.031
(м), β=149.226 м−1 , а в пп. 1б, 2б, 3б λ=0.069 (м), ω=1.57 ∗ 1010 (рад/с), z0=
0.031 (м) и α=127,993 м−1 .
6. Проверка граничных условий.
Проверка граничных условий на границе раздела сред диэлектрик –
идеальный металл заключается в проверке истинности утверждений Еτ=0 и
Нn=0, т.е. равенства нулю касательной вектора 𝐸̇ и нормальной вектора 𝐻̇
проекций (составляющих).
1) Для касательных составляющих вектора Е̇:
2𝜋𝑥
Правая стенка x=0: 𝐸𝑦 = 𝐸0 sin
𝑒 −𝑗𝛽𝑧 |x=0 = 0; Ez = 0.
𝑎
Верхняя стенка y=b: Ex = 0; Ez = 0.
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
Левая стенка: x=a: 𝐸𝑦 = 𝐸0 sin
𝑒
|x=a = 0; Ez = 0.
𝑎
Нижняя стенка: y=0: Ex = 0; Ez = 0.
2) Для нормальных составляющих вектора Н̇:
1
2𝜋𝑥
Правая стенка x=0: 𝐻𝑥 = −
Е0 𝛽𝑒 −𝑗𝛽𝑧 sin
|x=0 = 0.
𝜔𝜇а
𝑎
Верхняя стенка y=b: Hy = 0.
1
2𝜋𝑥
Левая стенка: x=a: 𝐻𝑥 = −
Е0 𝛽𝑒 −𝑗𝛽𝑧 sin
|x=а = 0.
𝜔𝜇а
𝑎
Нижняя стенка: y=0: Hy = 0.
Т. к. выражения для касательных составляющих вектора Е̇ и для нормальных
составляющих вектора Н̇ обращаются в ноль, соответственно, граничные
условия на границе раздела сред «диэлектрик – идеальный металл»
выполняются.
7. Комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и
зарядов.
Комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов определяются
следующими соотношениями:
⃗̇ ]
𝑗̇ = [𝑛⃗ , 𝐻
(15)
𝑠𝑚
0
𝑚
Комплексные
амплитуды
плотностей
определяются следующими соотношениями:
⃗ ̇ ) = 𝜀 𝐸̇
𝜌̇ = 𝜀 (𝑛⃗ , 𝐻
𝑠𝑚
𝑎
0
𝑚
поверхностных
зарядов
(16)
𝑎 𝑛
Вышеизложенные соотношения справедливы на границе раздела сред
«диэлектрик – идеальный металл».
Найдем комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и
зарядов на всех стенках трубы:
а) для правой стенки трубы (x=0) нормаль совпадает с вектором 𝑥0 : 𝑛⃗0 = 𝑥0 .
⃗ являются составляющие
Касательными к этой стенке составляющими вектора 𝐻
вдоль осей y и z, то есть:
⃗ ̇ 𝑚 = 𝑦0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑦 + 𝑧0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑧
𝐻
⃗
Подставим это выражение в формулу (15). Комплексные выражение вектора 𝐻
определяются выражениями (4), (5), (6). Тогда комлексная амплитуда плотности
поверхностных токов будет равна:
̇ = [𝑥 , 𝑦 ∗ 𝐻̇ + 𝑧 ∗ 𝐻̇ ] = [𝑥 , 𝑦 ∗ 𝐻̇ ] + [𝑥 , 𝑧 ∗ 𝐻̇ ] = 𝑧 ∗ 0|x=0
𝑗𝑠𝑚
0 0
𝑚𝑦
0
𝑚𝑧
0 0
𝑚𝑦
0 0
𝑚𝑧
0
𝜋
𝜋
1 2𝜋
1
2𝜋
−𝑗(𝛽𝑧− )
−𝑗(𝛽𝑧− )
̇
2
2
− 𝑦0 ∗ 𝐻𝑚𝑧 |x=0 = −𝑦0 ∗
E0cos(0) 𝑒
= −𝑦0 ∗
E0 𝑒
ωμa 𝑎
ωμa 𝑎
Нормальной к этой стенке составляющей вектора 𝐸⃗ будет составляющая 𝐸̇𝑚𝑥 .
Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле
(16) будет равна нулю:
𝜌̇ 𝑠𝑚 = 0
б) для левой стенки трубы (х=а) нормаль противоположна вектору 𝑥0 :
𝑛⃗0 = −𝑥0 .
⃗ являются составляющие
Касательными к этой стенке составляющими вектора 𝐻
вдоль осей y и z, то есть:
⃗ ̇ 𝑚 = 𝑦0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑦 + 𝑧0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑧
𝐻
⃗
Подставим это выражение в формулу (15). Комплексные выражение вектора 𝐻
определяются выражениями (4), (5), (6). Тогда комлексная амплитуда плотности
поверхностных токов будет равна:
̇ = [−𝑥 , 𝑦 ∗ 𝐻̇ + 𝑧 ∗ 𝐻̇ ] = [−𝑥 , 𝑦 ∗ 𝐻̇ ] + [−𝑥 , 𝑧 ∗ 𝐻̇ ] = −𝑧 ∗
𝑗𝑠𝑚
0 0
𝑚𝑦
0
𝑚𝑧
0 0
𝑚𝑦
0 0
𝑚𝑧
0
𝜋
𝜋
1 2𝜋
2𝜋𝑎
1 2𝜋
−𝑗(𝛽𝑧−
)
−𝑗(𝛽𝑧−
)
2 = 𝑦 ∗
2
0|x=a +𝑦0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑧 |x=a = 𝑦0 ∗
E0cos ( ) 𝑒
E
𝑒
0
0
ωμa 𝑎
𝑎
ωμa 𝑎
Нормальной к этой стенке составляющей вектора 𝐸⃗ будет составляющая 𝐸̇𝑚𝑥 .
Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле
(16) будет равна нулю:
𝜌̇ 𝑠𝑚 = 0
в) для нижней стенки трубы (y=0) нормаль совпадает с вектором 𝑦0 :
𝑛⃗0 = 𝑦0 .
⃗ являются составляющие
Касательными к этой стенке составляющими вектора 𝐻
вдоль осей x и z, то есть:
⃗ ̇ 𝑚 = 𝑥0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑥 + 𝑧0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑧
𝐻
⃗
Подставим это выражение в формулу (15). Комплексные выражение вектора 𝐻
определяются выражениями (4), (5), (6). Тогда комлексная амплитуда плотности
поверхностных токов будет равна:
̇ = [𝑦 , 𝑥 ∗ 𝐻̇ + 𝑧 ∗ 𝐻̇ ] = [𝑦 , 𝑥 ∗ 𝐻̇ ] + [𝑦 , 𝑧 ∗ 𝐻̇ ] = −𝑧 ∗
𝑗𝑠𝑚
0 0
𝑚𝑥
0
𝑚𝑧
0 0
𝑚𝑥
0 0
𝑚𝑧
0
1 2𝜋
2𝜋𝑥 −𝑗(𝛽𝑧−𝜋)
1
2𝜋𝑥
2 −𝑧 ∗
𝐻̇𝑚𝑥 |y=0 +𝑥0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑧 |y=0 = −𝑥0 ∗
E0cos
𝑒
E0 𝛽 sin
0
ωμa 𝑎
𝑎
ωμa
𝑎
−𝑗𝛽𝑧
𝑒
Нормальной к этой стенке составляющей вектора 𝐸⃗ будет составляющая 𝐸̇𝑚𝑦 .
Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле
(16) будет равна:
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
𝜌̇ 𝑠𝑚 = 𝜀𝑎 E0 sin
𝑒
𝑎
г) для верхней стенки трубы (y=b) нормаль противоположна вектору 𝑦0 :
𝑛⃗0 = −𝑦0 .
⃗ являются составляющие
Касательными к этой стенке составляющими вектора 𝐻
вдоль осей x и z, то есть:
⃗ ̇ 𝑚 = 𝑥0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑥 + 𝑧0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑧
𝐻
⃗
Подставим это выражение в формулу (15). Комплексные выражение вектора 𝐻
определяются выражениями (4), (5), (6). Тогда комлексная амплитуда плотности
поверхностных токов будет равна:
̇ = [−𝑦 , 𝑥 ∗ 𝐻̇ + 𝑧 ∗ 𝐻̇ ] = [−𝑦 , 𝑥 ∗ 𝐻̇ ] + [−𝑦 , 𝑧 ∗ 𝐻̇ ] = 𝑧 ∗
𝑗𝑠𝑚
0 0
𝑚𝑥
0
𝑚𝑧
0 0
𝑚𝑥
0 0
𝑚𝑧
0
1
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
1 2𝜋
2𝜋𝑥
𝐻̇𝑚𝑥 |y=b −𝑥0 ∗ 𝐻̇𝑚𝑧 |y=b = −𝑧0 ∗
E0 𝛽 sin
𝑒
− 𝑥0 ∗
E0 𝑐𝑜𝑠
𝑒
𝜋
−𝑗(𝛽𝑧− )
2
ωμa
𝑎
𝜔𝜇𝑎 𝑎
𝑎
Нормальной к этой стенке составляющей вектора 𝐸⃗ будет составляющая 𝐸̇𝑚𝑦 .
Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле
(16) будет равна:
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
𝜌̇ 𝑠𝑚 = 𝜀𝑎 E0 sin
𝑒
𝑎
8. Определим выражения для комплексного вектора Пойнтинга, среднее за
период значение плотности потока энергии и амплитуду плотности
реактивного потока энергии.
Комплексный вектор Пойнтинга определяется как половина векторного
произведения комплексной амплитуды вектора напряжённости электрического
поля на комплексно сопряжённое комплексной амплитуды вектора
напряжённости магнитного поля. Составляющие полей нам известны,
подставляем их в формулу, упрощаем выражение.
⃗П
⃗ = 1 [𝐸⃗̇ 𝑚 , 𝐻
⃗̀ 𝑚 ] = 1 [𝑦0 𝐸̇𝑚𝑦 , 𝑥0 𝐻̀𝑚𝑥 + 𝑧0 𝐻̀𝑚𝑧 ] = 1 [𝑦0 𝐸̇𝑚𝑦 , 𝑥0 𝐻̀𝑚𝑥 ] +
1
2
2
2
1
2
1
[𝑦0 𝐸̇𝑚𝑦 , 𝑧0 𝐻̀𝑚𝑧 ] = −𝑧0 ∗ 2 𝐸̇𝑚𝑦 𝐻̀𝑚𝑥 + 𝑥0 ∗ 2 𝐸̇𝑚𝑦 𝐻̀𝑚𝑧
(17)
1) Для случая, когда 𝑓 > 𝑓кр
Рассмотрим сначала режим бегущей волны. Запишем выражения для
комплексно сопряжённых составляющих вектора Н̀. Для этого поменяем знак
в выражениях (8) и (10) перед мнимой единицей:
1
2𝜋𝑥 𝑗𝛽𝑧
𝐻̀𝑚𝑥 = −
E0 𝛽 sin
𝑒
(18)
𝐻̀𝑚𝑧 =
ωμa
1 2𝜋
𝑎
2𝜋𝑥 𝑗(𝛽𝑧−𝜋)
2
E0cos
𝑒
ωμa 𝑎
𝑎
(19)
С учётом этих равенств и выражения (2), вектор Пойнтинга по формуле (17)
примет вид:
⃗П
⃗ = −𝑧0 ∗ 1 [Е0 sin 2𝜋𝑥 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 ] ∗ [− 1 Е0 𝛽 sin 2𝜋𝑥 𝑒 𝑗𝛽𝑧 ] + 𝑥0 ∗
2
2𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑧
[Е0 sin
𝑒
]
2
𝑎
2𝜋𝑥 2
0
1
(sin
𝛽
2ωμ𝑎
𝑎
) ∗𝑒 +
∗ (sin
2𝜋𝑥 2
𝑎
𝑎
∗[
1 2𝜋
ωμ𝑎
2𝜋𝑥
Е0 cos
ωμ𝑎 𝑎
1
𝑥0 ∗ ∗ Е0 2
2
∗
1
ωμ𝑎
𝜋
) + 𝑥0 ∗ Е0 2 ∗ 2ωμ
∗
𝑎𝑎
𝑎
2𝜋
𝑎
𝑒
𝜋
2
𝑗(𝛽𝑧− )
∗ sin
∗ sin
4𝜋𝑥
𝑎
𝑎
2𝜋𝑥
𝑎
1
] = 𝑧0 ∗ ∗ Е0 2 ∗ 𝛽 ∗
∗ cos
2
2𝜋𝑥
𝑎
∗𝑒
𝑗𝜋
2
−
1
ωμ𝑎
∗
= 𝑧0 ∗ Е0 2 ∗
𝑗𝜋
∗ 𝑒− 2
Подставив константы, рассчитанные в п. 5, получим:
⃗⃗ = 𝑧0 ∗ 10 ∗ (sin(157,1 ∗ 𝑥))2 + 𝑥0 ∗ 5,3 ∗ sin(314 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −𝑗∗1.571
П
Заметим, что составляющая по оси у чисто мнимая, а составляющая по оси z –
действительная, значит вдоль z и происходит перенос энергии. Среднее за
период значение плотности потока энергии тогда:
𝛽
2𝜋𝑥 2
2
⃗П
⃗ ср = 𝑅𝑒П
⃗⃗ = 𝑧0 ∗ Е0 ∗
∗ (sin
)
2ωμ𝑎
𝑎
Амплитуда плотности реактивного потока энергии будет равна:
⃗П
⃗ макс.реакт = ImП
⃗⃗ = −𝑥0 ∗ Е0 2 ∗
𝜋
2ωμ𝑎 𝑎
∗ sin
4𝜋𝑥
𝑎
Подставив константы, рассчитанные в п. 5, получим:
⃗П
⃗ ср = 𝑅𝑒П
⃗⃗ = 𝑧0 ∗ 10 ∗ (sin(157,1 ∗ 𝑥))2
⃗⃗ макс.реакт = ImП
⃗⃗ = −𝑥0 ∗ 5,3 ∗ sin(314 ∗ 𝑥)
П
2) Для случая, когда 𝑓 < 𝑓кр
Для этого случая комплексно сопряжённые составляющие вектора Н̀ примут
вид (делаем в выражениях (8) и (10) замену    j и меняем знак перед
мнимой единицей):
1
2𝜋𝑥 −𝛼𝑧 −𝑗 𝜋
̀
𝐻𝑚𝑥 =
E0 𝛼 sin
𝑒 𝑒 2
𝐻̀𝑚𝑧 =
ωμa
1 2𝜋
ωμa 𝑎
E0cos
𝑎
2𝜋𝑥
𝑎
𝜋
𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 −𝑗 2
С учётом этих равенств и применив вышеуказанную замену к выражению (2),
вектор Пойнтинга по формуле (17) примет вид:
𝜋
⃗⃗ = −𝑧0 ∗ 1 [Е0 sin 2𝜋𝑥 𝑒 −𝛼𝑧 ] ∗ [ 1 Е0 𝛼 sin 2𝜋𝑥 𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 −𝑗 2 ] + 𝑥0 ∗
П
2
𝑎
ωμa
𝑎
2𝜋𝑥 −𝛼𝑧
1 2𝜋
2𝜋𝑥 −𝛼𝑧 −𝑗 𝜋
1
1
[Е0 sin
𝑒 ]∗[
Е0 cos
𝑒 𝑒 2 ] = −𝑧0 ∗ ∗ Е0 2 ∗ 𝛼 ∗
∗
2
𝑎
ωμa 𝑎
𝑎
2
ωμ𝑎
𝜋
2𝜋𝑥 2
1
1
2𝜋
2𝜋𝑥
2𝜋𝑥
(sin 𝑎 ) ∗ 𝑒 −2𝛼𝑧 𝑒 −𝑗 2 + 𝑥0 ∗ 2 ∗ Е0 2 ∗ ωμ ∗ 𝑎 ∗ sin 𝑎 ∗ cos 𝑎 ∗ 𝑒 −2𝛼𝑧 ∗
𝑎
𝑗𝜋
𝜋
2
𝛼
2𝜋𝑥
𝜋
𝑒 − 2 = −𝑧0 ∗ Е0 2 ∗
∗ (sin ) ∗ 𝑒 −2𝛼𝑧 ∗ 𝑒 −𝑗 2 + 𝑥0 ∗ Е0 2 ∗
∗
2ωμ𝑎
𝑎
2ωμ𝑎 𝑎
𝑗𝜋
4𝜋𝑥
−
−2𝛼𝑧
1
sin
𝑎
∗𝑒
∗𝑒
2
Подставив константы, рассчитанные в п. 5, получим:
⃗⃗ = −𝑧0 ∗ 20,76 ∗ (sin(157,1 ∗ 𝑥))2 ∗ 𝑒 −255,986∗𝑧 ∗ 𝑒 −𝑗∗1.571 + 𝑥0 ∗ 12,74 ∗
П
sin(314 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −255,986∗𝑧 ∗ 𝑒 −𝑗∗1.571
В этом случае вектор Пойнтинга чисто мнимый и переноса энергии не
происходит, поэтому:
⃗П
⃗ ср = 𝑅𝑒П
⃗⃗ = 0
Амплитуда плотности реактивного потока энергии будет равна:
⃗⃗ макс.реакт = ImП
⃗⃗ = 𝑧0 ∗ Е0 2 ∗
П
4𝜋𝑥
𝛼
2ωμ𝑎
∗ (sin
2𝜋𝑥 2
𝑎
𝜋
) ∗ 𝑒 −2𝛼𝑧 − 𝑥0 ∗ Е0 2 ∗ 2ωμ
𝑎𝑎
∗
sin
∗ 𝑒 −2𝛼𝑧
𝑎
Подставив константы, рассчитанные в п. 5, получим:
⃗⃗ макс.реакт = ImП
⃗⃗ = 𝑧0 ∗ 20,76 ∗ (sin(157,1 ∗ 𝑥))2 ∗ 𝑒 −255.986∗𝑧 ∗ 𝑒 −𝑗∗1.571 −
П
𝑥0 ∗ 12,74 ∗ sin(314 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 −255,986∗𝑧
9. Вычислим средний за период поток энергии через поперечное сечение
волновода.
Для этого проинтегрируем выражения для плотности активного потока
энергии по площади поперечного сечения волновода. Чтобы перейти к
декартовым координатам, необходимо умножить среднее значение вектора
Пойнтинга на единичную орту 𝑧0 , так как перпендикуляр к сечению направлен
по z. Взяв двойной интеграл с пределами по размерам стенок волновода,
получим:
⃗⃗ ср 𝑑𝑆 = ∫ П
⃗⃗ ср 𝑑𝑆 = ∫𝑏 ∫𝑎 П
⃗⃗ ср 𝑧0 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
(P∑ ) = ∮ П
𝑺
𝑺⊥
0 0
ср
2
𝑏 𝑎
𝑏
𝑎
1
2𝜋𝑥
1
2𝜋𝑥 2
2
2
∫0 ∫0 [Е0 𝛽 2ωμ (sin 𝑎 ) ] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2ωμ Е0 𝛽 ∫0 𝑑𝑦 ∫0 (sin 𝑎 ) 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
2
𝑎
𝑎
𝑎
2𝜋𝑥
𝑎
4𝜋𝑥 2
Е0 2 𝛽 ∫0 (2 (sin ) )𝑑𝑥 =
Е0 2 𝛽 ∫0 (1 − cos ) 𝑑𝑥 =
4ωμ𝑎
𝑎
4ωμ𝑎
𝑎
2
𝑎
𝑎
4𝜋𝑎
𝑎
Е 2 𝛽 [𝑎 − sin
]=
Е 2𝛽
4ωμ𝑎 0
4𝜋
𝑎
4ωμ𝑎 0
=
(20)
Подставив в полученное выражение все необходимые значения констант
и параметров для 𝑓 > 𝑓кр , найдём численное значение среднего за период
потока энергии, проходящей через поперечное сечение трубы. Получим:
(0.04)2
(P∑ )ср = 4∗3.77∗1010∗1.257∗10−6 (80)2 ∗ 149,226 = 80,6 ∗ 10−4 Вт.
10. Фазовая скорость и скорость распространения энергии.
Фазовую скорость вычисляем по формуле:
С
1,73 ∗ 108
м
𝜈ф =
=
= 3.274 ∗ 108 ( )
8
с
С
√1 −
√1 − 1.73 ∗ 10 9
𝑎𝑓1
0.04 ∗ 6 ∗ 10
Фазовая скорость и скорость распространения энергии связаны
следующим соотношением:
𝜈ф ∗ 𝜈э = С2
Отсюда скорость распространения энергии равна:
2
С2
С 2
1.73 ∗ 108
8
𝜈э =
= С ∗ √1 − ( ) = 1.73 ∗ 10 √1 − (
)
𝜈ф
𝑎𝑓1
0.04 ∗ 6 ∗ 109
м
= 1.199 ∗ 108 ( )
с
Графики зависимостей Vф и Vэ от частоты, запрограммированные в пакете
MathCad 15, приведены на рис.14.
Из графика видно, что при критической частоте фазовая скорость стремится
к бесконечности, а скорость распространения энергии равна нулю. Если
частоты выше критической, то фазовая скорость уменьшается, а скорость
распространения энергии увеличивается. При этом обе скорости стремятся к
скорости света в данной среде.
распространения энергии увеличивается. При этом обе скорости стремятся
к скорости света в данной среде.
11. Опеределим коэффициент затухания волны.
Учтём, что стенки волновода выполнены из реального металла,
проводимость которого равна 𝜎 = 3.7 ∗ 107 Сим/м.
Закон изменения энергии вдоль оси z выглядит следующим образом:
𝑃(𝑧) = 𝑃0 𝑒 −2𝛼м 𝑧
Рассмотрим прохождение энергии через элементарный объём,
ограниченный стенками волновода и двумя плоскостями, перпендикулярными
оси z. Плоскости расположим в крайних сечения (положения 0 и 1 м). Тогда:
∆𝑃пот = 𝑃0 − 𝑃(𝑧) = 𝑃0 − 𝑃0 𝑒 −2𝛼м 𝑧
Разложим 𝑒 −2𝛼м в ряд Тейлора:
(21)
−2𝛼м (−2𝛼м )2
𝑒
=1+
+
+⋯
1!
2!
Учитывая только два первых члена, подставим ряд в формулу (21) и
выразим коэффициент затухания:
∆𝑃пот |∆𝑧=1 м ∆𝑃пот |∆𝑧=1 м
𝛼м =
=
2𝑃(𝑧)
2(P∑ )
−2𝛼м
ср
Для определения мощности потерь в стенках воспользуемся формулой:
𝑅𝑠
𝑅𝑠
∆𝑃пот = ∮ |𝐻1𝜏 |2 𝑑𝑆 = ∆𝑧 ∮ |𝐻1𝜏 |2 𝑑𝑙
2 𝐿
2
𝐿
𝑅𝑠
∆𝑃пот |∆𝑧=1 м = ∮ |𝐻1𝜏 |2 𝑑𝑙
2 𝐿
Таким образом, формула для коэффициента затухания волны будет иметь
вид:
𝛼м =
𝑅𝑠 ∮𝐿 |𝐻1𝜏 |2 𝑑𝑙
2
2(P∑ )
(22)
ср
где 𝑅𝑠 = 𝑅𝑒 (𝑍с ) = 𝑅𝑒 (𝑍с2 ) = 𝑅𝑒 (√
1
𝜔𝜇𝑎
√
𝜎
√
2
=√
𝜇𝑎
𝜋
𝜔𝜇
𝜎
𝜀𝑎 −𝑗
𝜔
𝜔𝜇𝑎
) ≈ 𝑅𝑒 (√ −𝑗𝜎𝑎 ) = 𝑅𝑒 (𝑒 𝑗 4 √
𝜋𝑓𝜇𝑎
𝜎
)=
(23)
𝜎
𝑎
𝑎
𝑏
∮𝐿 |𝐻1𝜏 |2 𝑑𝑙 = 2 (∫0 𝐻̇𝑚𝑥 ∗ 𝐻̀𝑚𝑥 𝑑𝑥|𝑦=0 + ∫0 𝐻̇𝑚𝑧 ∗ 𝐻̀𝑚𝑧 𝑑𝑥|𝑦=0 + ∫0 𝐻̇𝑚𝑧 ∗
𝑏
𝐻̀𝑚𝑧 𝑑𝑦|𝑥=0 + ∫0 𝐻̇𝑚𝑦 ∗ 𝐻̀𝑚𝑦 𝑑𝑦|𝑥=0 )
(24)
Вычислим отдельно произведения, используя выражения (8) и (18), (10) и
(19):
1
𝐻̇𝑚𝑥 ∗ 𝐻̀𝑚𝑥 = −
𝐸0 2 ∗ 𝛽 2 ∗ (sin
𝐻̇𝑚𝑧 ∗ 𝐻̀𝑚𝑧 =
2𝜋
2
ωμ𝑎
2𝜋𝑥 2
𝑎
E0 𝛽 sin
2𝜋𝑥
𝑎
𝑒 −𝑗𝛽𝑧 ∗ (−
1
ωμ𝑎
) E0 𝛽 sin
2𝜋𝑥
𝑎
𝑒 𝑗𝛽𝑧 = (
1
ωμ𝑎
2
) ∗
)
1 2𝜋
E0cos
ωμ𝑎 𝑎
2𝜋𝑥 2
2𝜋𝑥
𝑎
𝜋
𝑒 −𝑗(𝛽𝑧−2 ) ∗
1 2𝜋
ωμ𝑎 𝑎
E0cos
2𝜋𝑥
𝑎
𝜋
𝑒 𝑗(𝛽𝑧− 2 ) = (
1
ωμ𝑎
2
) ∗
𝐸0 2 ∗ ( ) (cos )
𝑎
𝑎
Используя полученные произведения, вычислим интегралы, входящие в
выражение (24):
2
2
2
𝑎
𝑎
1
2𝜋𝑥
1
2
2
∫0 𝐻̇𝑚𝑥 ∗ 𝐻̀𝑚𝑥 𝑑𝑥 = ∫0 (ωμ ) ∗ 𝐸0 ∗ 𝛽 2 ∗ (sin 𝑎 ) dx = (ωμ ) ∗ 𝐸0 ∗ 𝛽 2 ∗
𝑎
2𝜋𝑥 2
(sin
)
∫0
𝑎
𝑎
4𝜋𝑎
4𝜋
sin
𝑎
1
𝑑𝑥 = ∗ 𝐸0 2 ∗
2
] = 𝐸0 2 ∗
𝑎
𝑎𝛽 2
𝑎
𝛽2
𝑎
(1
∫
2
2
ω μ𝑎 0
− 𝑐𝑜𝑠
4𝜋𝑥
𝑎
𝛽2
1
) 𝑑𝑥 = 2 ∗ 𝐸0 2 ∗ ω2 μ
𝑎
2
∗ [𝑎 −
2ω2 μ𝑎 2
2
2
2
2
𝑎
𝑎
1
2𝜋
2𝜋𝑥
4𝜋
2
∫0 𝐻̇𝑚𝑧 ∗ 𝐻̀𝑚𝑧 𝑑𝑥 = ∫0 (ωμ ) ∗ 𝐸0 ∗ ( 𝑎 ) (cos 𝑎 ) 𝑑𝑥 = 𝑎2 ω2μ
𝑎
𝑎
2𝜋𝑥 2
2𝜋2
𝑑𝑥
=
(cos
)
∫0
𝑎
𝑎2 ω2 μ𝑎 2
2
𝑎
4𝜋𝑎
2𝜋
sin
] = 2 2 ∗ 𝐸0 2
4𝜋
𝑎
𝑎ω μ
𝑎
𝐸0 2 ∫0 (1
∗
+ 𝑐𝑜𝑠
4𝜋𝑥
𝑎
2𝜋2
) 𝑑𝑥 = 𝑎2 ω2μ
𝑎
2
𝑎
2
∗ 𝐸0 2 ∗
∗ 𝐸0 2 [𝑎 +
𝑎
Т.к. для 3-го интеграла х=0, то cos(0)=1, поэтому:
𝑏
𝑏 4𝜋2
𝑏
4𝜋2
2
̇
̀
𝐻
∗
𝐻
𝑑𝑦
=
∗
𝐸
𝑑𝑦
=
∗ 𝐸0 2 ∫ 𝑑𝑦 =
∫ 𝑚𝑧
∫ 2 2 2
𝑚𝑧
0
2 2
2
0
0 𝑎 ω μ𝑎
0
𝑎 ω μ𝑎
4𝜋2 𝑏
𝑎2 ω2 μ𝑎 2
∗ 𝐸0 2
𝑏
∫0 𝐻̇𝑚𝑦 ∗ 𝐻̀𝑚𝑦 𝑑𝑦|𝑥=0 = 0, т.к 𝐻̇𝑚𝑦 = 0 и 𝐻̀𝑚𝑦 = 0
Подставляем вычисленные интегралы в выражение (24):
𝑎𝛽 2
2
∮𝐿 |𝐻1𝜏 |2 𝑑𝑙 = 2 (𝐸0 ∗ 2ω2 μ
𝑎3 𝛽 2 +4𝜋2 𝑎+8𝜋2 𝑏
𝐸0 2 (
𝑎2 ω2 μ𝑎 2
𝑎
+
2
2𝜋2
𝑎ω2 μ𝑎
∗ 𝐸0 2 +
2
4𝜋2 𝑏
𝑎2 ω2 μ𝑎 2
∗ 𝐸0 2 ) =
)
(25)
Рассчитаем коэффициент затухния, для этого подставим полученные
выражения (20), (23), (25) в формулу (22):
1
𝛼м = √
2
√
𝑎3 𝛽2 +4𝜋2 𝑎+8𝜋2 𝑏
)
𝑎2 ω2 μ𝑎 2
𝑎2
2(
Е 2 𝛽)
4ωμ𝑎 0
2
𝜋𝑓𝜇𝑎 𝐸0 (
𝜎
𝜋𝑓𝜇𝑎 3 2
(𝑎 𝛽 +4𝜋2 𝑎+8𝜋2 𝑏)
𝜎
𝑎2 ω2 μ𝑎 2 𝑎2 𝛽
=√
𝜋𝑓𝜇𝑎 2 𝑎3 𝛽2 +4𝜋2 𝑎+8𝜋2 𝑏
𝐸0 (
)
𝜎
𝑎2 ω2 μ𝑎 2
4𝑎2 𝐸0 2 𝛽
4ωμ𝑎
√
=
𝜋𝑓𝜇𝑎 𝑎3 𝛽 2 +4𝜋2 𝑎+8𝜋2 𝑏
𝜎
(
𝑎4 ωμ𝑎 𝛽
=
)
(26)
Рассчитаем коэффициент затухания для частоты f1, подставив в
записанную выше формулу (26) значения рассчитанных констант:
𝛼м = √
3.14∗6∗109 ∗1.257∗10−6 0.043 ∗149,2262 +4∗3.142 ∗0.04+8∗3.142 ∗0.02
Нп
10−3 ( )
м
3.7∗107
(
0.04 4 ∗3.77∗1010 ∗1.257∗10−6 ∗149,226
) = 6,44 ∗
12. Рассчитаем и построим график зависимости коэффициента затухания
волны в волноводе от частоты.
𝑎3 (4𝜋 2 𝑓 2 ε𝑎 μ𝑎 [1 − (
𝜋𝑓𝜇𝑎
𝛼м = 𝛼м (𝑓) = √
𝜎
𝐶 2
) ]) + 4𝜋 2 𝑎 + 8𝜋 2 𝑏
𝑎𝑓
𝑎4 ωμ𝑎 (2𝜋𝑓√ε𝑎 μ𝑎 √1 − (
(
𝐶 2
) )
𝑎𝑓
)
График этой зависимости, запрограммированной в пакете MathCad 15,
представлен на рис. 15.
Из графика видно, что процесс действительно затухающий (с ростом
частоты уменьшается коэффициент затухания). При приближении к
критической частоте наблюдаются большие потери энергии, а при удалении
от критической частоты мы видим резкое падение затухания.
13. Определим тип волны, распространяющейся в волноводе. Изобразим
структуру силовых линий электрического и магнитного полей этой
волны и плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по
стенкам волновода.
Данная волна является волной типа H 01 . Такой вывод можно сделать, исходя
из того, что имеется 𝐻𝑧 − составляющая, но нет составляющей 𝐸𝑧, а также из
рисунков 2 и 5, отражающих зависимость z-составляющей вектора
напряжённости магнитного поля от координат x и y. Вдоль х поле
распределено равномерно, а вдоль y укладывается одна полуволна.
Структуры полей волны и поверхностных токов представлены на рисунках
16 и 17.
14. Вывод.
Данная работа была посвящена теоретическому исследованию
электромагнитного поля в прямоугольном волноводе. В ходе изучения
данного поля с помощью известной комплексной амплитуды вектора
напряжённости электрического поля мы смогли полностью описать поле,
найдя все составляющие обоих его векторов. Была установлена критическая
частота, дающая возможность судить о том, в каком диапазоне волна
является бегущей. Построив графики зависимостей амплитуд от координат,
мы пришли к заключению, что представленная волна относится к типу H01 ,
так как зависимость от координаты x имеет линейный характер, а график
зависимости от координаты y даёт понять, что на стенке укладывается одна
полуволна. На примере верхней стенки волновода было проверено
выполнение граничных условий для касательной составляющей вектора Е и
нормальной составляющей вектора Н. Также были найдены комплексные
амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов. Записав выражения
для вектора Пойнтинга в предварительно найденных диапазонах бегущей и
стоячей волны, мы убедились в правильности предыдущих вычислений: в
предполагаемом режиме стоячей волны переносы энергии, в отличии от
режима бегущей волны, не было. Мы определили фазовую скорость и
скорость распространения энергии, а также графически построили их
зависимости от частоты, для наглядности указав значение скорости света для
данной среды. Использование граничных условий Леонтовича-Щукина
помогло нам в определении коэффициента затухания для заданной волны.
Его зависимость от частоты также была нанесена на график. Имея
представление о волне на основании исследований, нам удалось изобразить
структуру силовых линий электрического и магнитного полей и структуру
силовых линий плотности поверхностного тока проводимости,
протекающего по стенкам волновода. Наглядные подтверждения
правильности полученных данных в виде графиков дают нам возможность
говорить о том, что мы верно построили математическую модель поля.
15. Список использованной литературы.
1. «Техническая электродинамика»: Ю.В. Пименов, В.И. Вольман, А.Д.
Муравцов под редакцией Ю.В. Пименова, издательство «Радио и Связь»,
Москва, 2000 год.
2. «Методические указания по курсу: математические основы теории
электромагнитных полей и волн»: В.И. Корнюхин, издательство «Радио и
Связь», Москва, 2011 год.
Скачать