task8 2016

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ
À. Ñ. Åðåìèí, È. Â. Îëåìñêîé, Î. Ñ. Ôèðþëèíà
Ïðàêòèêóì íà ÝÂÌ ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì
Òåìà 8. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2016
Ñîäåðæàíèå
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Îäíîøàãîâûå ìåòîäû
Ìåòîäû ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà . . . . . . . . . . . . . . .
ßâíûå ìåòîäû Ðóíãå Êóòòû
Ïîñòðîåíèå ìåòîäîâ Ðóíãå Êóòòû . . . .
Äâóõýòàïíûå ìåòîäû âòîðîãî ïîðÿäêà . . .
Ìåòîäû òðåòüåãî ïîðÿäêà ñ òðåìÿ ýòàïàìè
Ìåòîäû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
4
4
6
. 7
. 11
. 12
. 14
Ñõîäèìîñòü ÿâíûõ îäíîøàãîâûõ ìåòîäîâ
16
Ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè . . . . . . . . . . . . . . 16
Ìàæîðàíòíàÿ îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè . . . . . . . . . . 18
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè ìåòîäà . . . . . . . . 20
Ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ßÌÐÊ
Ìåòîä Ðóíãå îöåíêè ïîëíîé ïîãðåøíîñòè . . . . . .
Ìåòîä Ðóíãå äëÿ îöåíêè ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè .
Àâòîìàòè÷åñêèé âûáîð øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ . . . .
Àëãîðèòì âûáîðà íà÷àëüíîãî øàãà . . . . . . . . . .
Èñïîëüçîâàíèå ðàçëè÷íûõ õàðàêòåðèñòèê òî÷íîñòè
Êà÷åñòâî àëãîðèòìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Íåäîñòàòêè ÿâíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå Êóòòû . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
25
27
27
29
31
Çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû
31
Ëèòåðàòóðà
33
Âàðèàíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
 îáëàñòè D = {x0 6 x 6 xf , |y i − y0i | 6 ȳi , i = 1, m} ∈ Rn+1
îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f : D → Rm ,
f ≡ f (x, y 1 , . . . , y m ),
(x, y 1 , . . . , y m ) ∈ D.
Îáîçíà÷èì y = (y 1 , . . . , y m )T , è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî f òîæå âåêòîðñòîëáåö äëèíû m.
Íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÎÄÓ)
dy
= f (x, y),
dx
(1)
óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
(2)
y(x0 ) = y0 .
Èñïîëüçóÿ ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé Ïèêàðà1 , ìîæíî ïîëó÷èòü òî÷íîå ðåøåíèå y(x) çàäà÷è Êîøè2 (1), (2) êàê ïðåäåë
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
y0 (x), y1 (x), . . . , yk (x), . . . ,
ãäå
Z
(3)
x
yk (x) = y(x0 ) +
f (x, yk−1 (x))dx,
k = 1, 2, . . .
(4)
x0
Äëÿ ñõîäèìîñòè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
1 Øàðëü Ýì
èëü Ïèêàð (ôð. Charles Emile
Picard) (18561941), ôðàíöóçñêèé
ìàòåìàòèê. Èçâåñòåí ôóíäàìåíòàëüíûìè ðåçóëüòàòàìè â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Âíåñ ñóùåñòâåííûé âêëàä òàêæå â òåîðèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé, òåîðèþ ôóíêöèé, òîïîëîãèþ, òåîðèþ ãðóïï. Äëÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ðàçðàáîòàë àíàëîã òåîðèè Ãàëóà. ×àñòü åãî òðóäîâ ïîñâÿùåíà èñòîðèè è ôèëîñîôèè ìàòåìàòèêè.
2 Îãþñò
åí Ëó
è Êîø
è (ôð. Augustin Louis Cauchy) (17891857), ôðàíöóçñêèé
ìàòåìàòèê è ìåõàíèê. Âïåðâûå äàë ñòðîãîå îïðåäåëåíèå îñíîâíûì ïîíÿòèÿì
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëó, íåïðåðûâíîñòè, ïðîèçâîäíîé, äèôôåðåíöèàëó, èíòåãðàëó, ñõîäèìîñòè ðÿäà è ò. ä.  êîìïëåêñíîì àíàëèçå ñîçäàë òåîðèþ
èíòåãðàëüíûõ âû÷åòîâ.  ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå èçó÷àë êðàåâóþ çàäà÷ó ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, êîòîðàÿ ñ òåõ ïîð íàçûâàåòñÿ ¾çàäà÷åé Êîøè¿. Òàêæå çàíèìàëñÿ ìåõàíèêîé ñïëîøíûõ ñðåä, îïòèêîé, àñòðîíîìèåé è äðóãèìè îáëàñòÿìè
åñòåñòâîçíàíèÿ.
2
ˆ f (x, y) íåïðåðûâíà â D,
ˆ f (x, y) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà3 ïî àðãóìåíòó y
kf (x, y ∗ ) − f (x, y ∗∗ )k 6 Lky ∗ − y ∗∗ k
(5)
äëÿ âñåõ x ∈ [x0 , xf ] è âñåõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ y ∗ è y ∗∗ .
Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ yk (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê òî÷íîìó
ðåøåíèþ çàäà÷è Êîøè, ïîýòîìó äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k îòêëîíåíèå ky(x)−yk (x)k íå ïðåâûøàåò çàäàííîé âåëè÷èíû. Òàêèì îáðàçîì,
â êà÷åñòâå èñêîìîãî ðåøåíèÿ ìîæíî âçÿòü yk (x). Ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ýòîãî ìåòîäà çàòðóäíåíà ïî ïðè÷èíå òîãî, ÷òî äëÿ ñëîæíîé
ôóíêöèè f (x, y) èíòåãðàë íå áåðåòñÿ â êâàäðàòóðàõ è ðåøåíèå íåëüçÿ
ïîëó÷èòü â àíàëèòè÷åñêîì âèäå.
Îáñóæäàåìûå íèæå ÷èñëåíííûå ìåòîäû èçâåñòíû êàê äèñêðåòíûå, ò. å. òàêèå ìåòîäû, ïîñðåäñòâîì êîòîðûõ âû÷èñëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé yn ≈ y(xn ) ê ðåøåíèþ íà ìíîæåñòâå òî÷åê
xn+1 = xn +hn+1 , n = 0, 1, ..., N −1. Ïðè÷åì xN = xf . Çíà÷åíèå hn > 0
íàçûâàåòñÿ n-ì øàãîì ñåòêè.  áîëüøèíñòâå ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ áóäåì ñ÷èòàòü øàãè ïîñòîÿííûìè, ò. å. ∀n = 1, ..., N hn = h,
h = const > 0.
Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ áóäåì ïðåäïîëàãàòü m = 1. Â ðàìêàõ
äàííîãî ïîñîáèÿ ïðèìåíåíèå èçó÷àåìûõ ìåòîäîâ ê ñèñòåìå ïðîèçâîäèòñÿ ôîðìàëüíîé çàìåíîé ñêàëÿðîâ íà âåêòîðû.
3 Ð
óäîëüô Îòòî
Ñ
èãèçìóíä Ë
èïøèö (íåì. Rudolf Otto Sigismund Lipschitz)
(18321903), íåìåöêèé ìàòåìàòèê.  îñíîâíîì ðàáîòàë â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè
è àëãåáðû. Êîíñòàíòà Ëèïøèöà èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ.
3
Îäíîøàãîâûå ìåòîäû
Îäíîøàãîâûå ìåòîäû ìåòîäû, êîòîðûå äàþò ïîñëåäîâàòåëüíûå
ïðèáëèæåíèÿ yn+1 ê çíà÷åíèÿì òî÷íîãî ðåøåíèÿ y(xn+1 ) â óçëàõ
ñåòêè xn+1 íà îñíîâå ðàíåå âû÷èñëåííûõ (èëè çàäàííûõ íà÷àëüíûìè
óñëîâèÿìè) ïðèáëèæåíèé yn ê ðåøåíèþ â òî÷êàõ xn .  îáùåì âèäå
èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
yn+1 = F (f, xn+1 , yn+1 , xn , yn ).
(6)
Êàê ìîæíî çàìåòèòü, â ïðàâîé ÷àñòè â îáùåì âèäå ñîäåðæèòñÿ
èñêîìîå çíà÷åíèå yn+1 .  òîì ñëó÷àå, êîãäà òàêîé çàâèñèìîñòè íåò,
ìåòîä íàçûâàþò ÿâíûì
yn+1 = F (f, xn+1 , xn , yn ).
(7)
Èìåííî òàêèå ìåòîäû ðàññìîòðåíû â íàñòîÿùåì ïîñîáèè. Ìåòîäû
îáùåãî âèäà (6) íàçûâàþò íåÿâíûìè, òàê êàê â íèõ çíà÷åíèå yn+1
íå âûðàæåíî íàïðÿìóþ è äëÿ åãî íàõîæäåíèÿ ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü
àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå.
Ìåòîäû ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü f (x, y) äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà p. Òîãäà èñêîìîå ðåøåíèå y(x) èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî p+1-ãî
ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Òî÷íîå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ â óçëå xn+1 , åñëè
èçâåñòíî òî÷íîå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ â òî÷êå xn , çàïèøåì ïî ôîðìóëå
Òåéëîðà4 :
hp (p)
hp+1 (p+1)
y (xn ) +
y
(ξ) =
p!
(p + 1)!
= y(xn ) + h∆(xn , y(xn ), h), h = xn+1 − xn , ξ ∈ (xn , xn+1 ).
y(xn+1 ) = y(xn ) + hy 0 (xn ) + . . . +
4 Áðóê Ò
åéëîð (àíãë. Brook Taylor) (16851731), àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê. Çàíèìàëñÿ çàäà÷àìè ïî âåñüìà ðàçíîîáðàçíûì òåìàì: î öåíòðå êà÷àíèé, î ïîëåòå
ñíàðÿäîâ, î âçàèìîäåéñòâèè ìàãíèòîâ, î êàïèëëÿðíûõ ÿâëåíèÿõ, î ñöåïëåíèè
ìåæäó æèäêîñòÿìè è òâåðäûìè òåëàìè. Ïîìèìî ôîðìóëû, âûðàæàþùåé çíà÷åíèå ãîëîìîðôíîé ôóíêöèè ÷åðåç çíà÷åíèÿ âñåõ åå ïðîèçâîäíûõ â îäíîé òî÷êå,
â òðàêòàòå 17151717 ãã. ïðåäñòàâèë òåîðèþ êîëåáàíèÿ ñòðóí, â êîòîðîé îí ïðèøåë ê òåì æå ñàìûì ðåçóëüòàòàì, ê êîòîðûì âïîñëåäñòâèè ïðèøëè Äàëàìáåð è
Ëàãðàíæ.
4
Åñëè òåïåðü ýòîò ðÿä îáîðâàòü, îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ïåðâûìè p + 1
÷ëåíàìè (äî hp ) è çàìåíèòü òî÷íîå çíà÷åíèå y(xn ) åãî ïðèáëèæåíèåì
yi , òî ïîëó÷èì ôîðìóëó
yn+1 = yn + hϕ(xn , yn , h) = yn + hyn0 +
h2 00
hp (p)
yn + . . . +
y
2
p! n
(8)
äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ. Ïðîèçâîäíûå, âõîäÿùèå â
ïðàâóþ ÷àñòü (8), ìîãóò áûòü ôàêòè÷åñêè íàéäåíû ïîñëåäîâàòåëüíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì:
yn0 = f (xn , yn ),
yn00 = {fx0 + f fy0 }
yn000
=
00
{fxx
+
(9)
,
xn
00
2f fxy +
00
f 2 fyy
+
(fx0
+
f fy0 )fy0 } x
n
è ò. ä. Òàê äëÿ p = 1 è p = 2 ïîëó÷èì ðàñ÷åòíûå ñõåìû
yn+1 = yn + hf (xn , yn ) (ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà)
(10)
è
yn+1
h 0
0
= yn +h f (xn , yn ) +
f (xn , yn ) + f (xn , yn )fy (xn , yn ) , (11)
2 x
ïî êîòîðûì ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå {yi }. Òàêèå ôîðìóëû íå òðåáóþò âû÷èñëåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ
íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ïîçâîëÿþò ëåãêî ìåíÿòü øàã èíòåãðèðîâàíèÿ.
Íåäîñòàòêîì ðàñ÷åòíûõ ñõåì ìåòîäà ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî èõ ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå îãðàíè÷åíî ëèøü çàäà÷àìè, äëÿ êîòîðûõ ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ ïîëíûå ïðîèçâîäíûå âûñøåãî
ïîðÿäêà.
5
ßâíûå ìåòîäû Ðóíãå Êóòòû
Ðóíãå5 , Õîéí6 è Êóòòà7 ïðåäëîæèëè ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ïðèðàùåíèÿ ϕ(xn , yn , h), êîòîðîå îêàæåòñÿ äîñòàòî÷íî áëèçêî
ê ∆(xn , y(xn ), h), íî íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèè f (x, y).
Ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèþ yn+1 , îñíîâàííûé íà
èñïîëüçîâàíèè ïðèáëèæåííûõ ðÿäîâ Òåéëîðà, è íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì
Ðóíãå Êóòòû.
Îáùàÿ ñõåìà ÿâíûõ ìåòîäîâ áûëà âïåðâûå âûïèñàíà Êóòòîé, õîòÿ ïåðâûå èç òàêèõ ìåòîäîâ áûëè ïðåäñòàâëåíû Ðóíãå è Õîéíîì.
Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü s öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìû
áóäåì íàçûâàòü ÷èñëîì ¾ýòàïîâ¿, èëè ¾ñòàäèé¿, è a21 , a31 , . . . , as1 ,
as2 , . . . , as,s−1 , b1 , . . . , bs , c1 , . . . , cs âåùåñòâåííûå êîýôôèöèåíòû.
Òîãäà ìåòîä íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ â òî÷êå x1 = x0 + h
y(x1 ) ≈ y1 = y0 + h
s
X
bi Ki , ãäå
i=1
Ki = f x0 + ci h, y0 + h
i−1
X
(12)
aij Kj ,
i = 1, ..., s,
j=1
íàçûâàåòñÿ s-ýòàïíûì ÿâíûì
äëÿ çàäà÷è Êîøè (1), (2).
ìåòîäîì Ðóíãå Êóòòû
(ßÌÐÊ)
Îïðåäåëåíèå 2. Ãîâîðÿò, ÷òî ßÌÐÊ (12) èìååò
ïîðÿäîê p (ïîðÿäîê
èëè ëîêàëüíûé ïîðÿäîê ), åñëè äëÿ äîñòàòî÷íî
ãëàäêèõ çàäà÷ (1), (2) è äîñòàòî÷íî ìàëîãî øàãà h
òî÷íîñòè íà øàãå,
ky(x1 ) − y1 k 6 Chp+1 .
(13)
5 Êàðë Äàâ
èä Òîëüìå Ð
óíãå (íåì. Carl David Tolme Runge) (18561927), íåìåöêèé ìàòåìàòèê, ôèçèê è ñïåêòðîñêîïèñò. Âíåñ ñóùåñòâåííûé âêëàä â ÷èñëåííûé
àíàëèç, â ÷àñòíîñòè, ÿâèëñÿ îäíèì èç ðàçðàáîò÷èêîâ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íîñÿùèõ òåïåðü îáùåå íàçâàíèå ìåòîäîâ
òèïà Ðóíãå Êóòòû, à òàêæå ïðàêòè÷åñêîãî ìåòîäà îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.
6 Êàðë Õîéí (èëè Ãîéí) (íåì. Karl Heun) (18591929), íåìåöêèé ìàòåìàòèê.
Çàíèìàëñÿ òåîðèåé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé è ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.
7 Ì
àðòèí Âèëüãåëüì Êóòòà (íåì. Martin Wilhelm Kutta) (18671944), íåìåöêèé ìàòåìàòèê. Ïîìèìî ìåòîäîâ Ðóíãå Êóòòû, èçâåñòåí áëàãîäàðÿ ðàáîòå íàä
àýðîäèíàìè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, êîòîðîé â Ðîññèè çàíèìàëñÿ Íèêîëàé Åãîðîâè÷
Æóêîâñêèé. Â çàðóáåæíîé ëèòåðàòóðå òåîðåìà Æóêîâñêîãî íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Êóòòû Æóêîâñêîãî.
6
Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè ðÿäû Òåéëîðà äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ y(x0 + h) è
ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ ê íåìó y1 ñîâïàäàþò äî ÷ëåíà hp âêëþ÷èòåëüíî.
Âñå ïîñëåäóþùèå øàãè äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèé â òî÷êàõ
x2 , x3 è äàëåå âûïîëíÿþòñÿ ïî òåì æå ñàìûì ôîðìóëàì, íî âìåñòî
(x0 , y0 ) íà÷àëüíûìè äàííûìè âûñòóïàþò (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) è ò. ä.
Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîøàãîâûõ ìåòîäîâ òèïà Ðóíãå Êóòòû
óäîáíî èñïîëüçîâàòü òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå êîýôôèöèåíòîâ. Ñëåäóþùàÿ òàáëèöà íîñèò íàçâàíèå òàáëèöû Áóò÷åðà 8
0
c2
c3
..
.
cs
a21
a31
..
.
a32
..
.
as1
b1
as2
b2
..
.
···
···
as,s−1
bs−1
bs
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íà ñâîáîäíûõ ìåñòàõ ñòîÿò íóëè. Ïðè çàïèñè èõ
îïóñêàþò, òàê êàê ýòà ÷àñòü òàáëèöû â ÿâíûõ ìåòîäàõ íå èñïîëüçóåòñÿ.
Ëþáîé ßÌÐÊ õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëîì ýòàïîâ, êîòîðîå äàåò ïðåäñòàâëåíèå î òðåáóåìûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàòàõ, òàê êàê ñàìûì
òðóäîåìêèì ñ÷èòàåòñÿ âû÷èñëåíèå ôóíêöèè f , è ïîðÿäêîì.
ßÌÐÊ î÷åíü ïðîñòû â ðåàëèçàöèè è ïîòîìó øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé: îíè íå òðåáóåò âû÷èñëåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé è ïîçâîëÿþò ëåãêî ìåíÿòü øàã èíòåãðèðîâàíèÿ (â ñîîòâåñòâóþùåì ðàçäåëå ïîñîáèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ,
çà÷åì è êàê). Ïðè÷åì â îòëè÷èå îò ìåòîäà Òåéëîðà çäåñü íå òðåáóåòñÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëíûõ ïðîèçâîäíûõ òî÷íîãî ðåøåíèÿ. È ïðèðàùåíèå èùåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âû÷èñëåíèé ïðàâîé ÷àñòè
èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íà øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ïîñòðîåíèå ìåòîäîâ Ðóíãå Êóòòû
Âïîëíå çàêîíîìåðíî âîçíèêàþò âîïðîñû, êàê æå ïîäîáðàòü êîýôôèöèåíòû ìåòîäà äëÿ îáåñïå÷åíèÿ æåëàåìîãî ïîðÿäêà p, êàêîå ìèíè8 Äæîí ×
àðëüç Áóò÷åð (àíãë. John Charles Butcher) (ðîä. 1933), íîâîçåëàíäñêèé ìàòåìàòèê. Ðàáîòàåò â îáëàñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, â ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî ðàáîò ïîñâÿùåíî ìåòîäàì
Ðóíãå Êóòòû è îáùèì ìíîãîøàãîâûì ìåòîäàì.
7
ìàëüíîå ÷èñëî ýòàïîâ s äëÿ ýòîãî íóæíî è êàêîãî ïîðÿäêà ìîæíî
äîáèòüñÿ ïðè çàäàííîì s.
Îòâåòèì íà ïåðâûé âîïðîñ. Äëÿ èçëîæåíèÿ àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ s-ýòàïíîãî ßÌÐÊ ïîðÿäêà p ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ
Ψ(h) = y(x1 ) − y1 = y(x1 ) − y(x0 ) − h
s
X
bi K i ,
(14)
i=1
êîòîðóþ â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòüþ
îäíîøàãîâîãî ìåòîäà.
Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ôóíêöèÿ f (x, y)
èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äî íåêîòîðîãî ïîðÿäêà p.
Òîãäà èñêîìîå ðåøåíèå áóäåò èìåòü íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî
ïîðÿäêà p + 1. Âûáåðåì ïàðàìåòðû ìåòîäà bi , ci , aij òàê, ÷òîáû
ðàçëîæåíèå ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè (14) ïî ñòåïåíÿì h â ðÿä Òåéëîðà
Ψ(h) =
p
X
Ψ(v) (0)
v=0
v!
hv +
Ψ(p+1) (ϑh) p+1
h ,
(p + 1)!
0 < ϑ 6 1,
(15)
íà÷èíàëîñü ñî ñòåïåíè p + 1 ïðè ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f (x, y) è
ïðîèçâîëüíîì øàãå h, ò. å.
Ψ(h) =
Ψ(p+1) (ϑh) p+1
h ,
(p + 1)!
0 < ϑ 6 1.
(16)
Ýòî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðàìåòðû ìåòîäà bi ,
ci , aij îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ
Ψ(0) = Ψ0 (0) = Ψ00 (0) = · · · = Ψ(p) (0) = 0.
(17)
Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ ìåòîäà ïîðÿäêà p âñåãäà íàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ f (x, y), äëÿ êîòîðîé
Ψ(p+1) (0) 6= 0.
Ïî ïîñòðîåíèþ ìåòîäà ÿñíî, ÷òî óñëîâèå Ψ(0) = 0 âûïîëíÿåòñÿ
âñåãäà. Óñëîâèÿ æå Ψ(v) (0) = 0, v = 1, ..., p îçíà÷àþò âûïîëíåíèå
ðàâåíñòâ
y (v) (x0 ) = v
s
X
(v−1)
bi Ki
i=1
,
h=0
8
v = 1, ..., p.
(18)
Ïðîèçâîäíûå y (v) ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû óêàçàííûì ðàíåå ñïîñî(v)
áîì (9). Ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíûõ Ki .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
Xi = x0 + ci h,
Y i = y0 + h
i−1
X
aij Kj .
j=1
Òîãäà
(v)
K1 = f (x0 , y0 ),
K1
≡ 0,
v > 1,
à äëÿ i > 2 ïîëó÷èì
Ki |h=0 = f (x0 , y0 ),
Ki = f (Xi , Yi ),
Ki0
=
fx0 (Xi , Yi )ci
+
fy0 (Xi , Yi )
i−1
X
aij (Kj + hKj0 ),
j=1
Ki0 |h=0


i−1


X
= fx0 ci + f fy0
aij


j=1
,
(x0 ,y0 )
00
00
Ki00 = fxx
(Xi , Yi )c2i + 2fxy
(Xi , Yi )ci
i−1
X
aij (Kj + hKj0 )+
j=1

2
i−1
X
00
aij (Kj + hKj0 ) +
+ fyy
(Xi , Yi ) 
j=1

+ fy0 (Xi , Yi ) 
i−1
X

aij (2Kj0 + hKj00 ) ,
j=1
Ki00 |h=0 =


00 2
00
fxx
ci + 2f fxy
ci

+ 2fy0
i−1
X
aij

2
i−1
X
00 
+ f 2 fyy
aij  +
j=1
i−1
X
aij
fx0 cj + f fy0
j=1
j−1
X
ν=1
j=1
ajν
!


è ò. ä.
(x0 ,y0 )
Èñïîëüçóÿ ýòè ôîðìóëû è ôîðìóëû (9), âèäèì, ÷òî
Ps â óðàâíåíèè
(18) ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà f (x0 , y0 ), à â ëåâîé ñòîèò i=1 bi f (x0 , y0 ).
9
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìåòîä èìåë ïîðÿäîê 1, íåîáõîäèìî, ÷òîáû
s
X
(19)
bi = 1.
i=1
Óðàâíåíèÿ äëÿ áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ñóùåñòâåííî óïðîùàþòñÿ, åñëè ââåñòè äîïîëíèòåëüíûå ñâÿçè ìåæäó ïàðàìåòðàìè ìåòîäà
i−1
X
aij = cj ,
i = 1, ..., s.
(20)
j=1
Òîãäà ïîðÿäîê 2 îáåñïå÷èâàåòñÿ òîëüêî îäíèì íîâûì óñëîâèåì
s
X
bi c i =
1
,
2
(21)
bi c2i =
1
,
3
(22)
i=1
à ïîðÿäîê 3 åùå äâóìÿ:
s
X
i=1
s
X
i=1
bi
i−1
X
aij cj =
j=1
1
.
6
(23)
Âûáèðàÿ ÷èñëî ýòàïîâ s, ìû ïî ñóòè çàäàåì êîëè÷åñòâî ïîäëåæàùèõ îïðåäåëåíèþ ïàðàìåòðîâ ìåòîäà. Æåëàåìûé ïîðÿäîê ìåòîäà
p ïîñðåäñòâîì (17) îïðåäåëÿåò ñèñòåìó íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé, êîòîðîé ýòè ïàðàìåòðû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü. Óðàâíåíèÿ âõîäÿùèå â ýòó ñèñòåìó íàçûâàþòñÿ óñëîâèÿìè ïîðÿäêà. Èíîãäà
ê óñëîâèÿì ïîðÿäêà äîáàâëÿþò è äðóãèå îãðàíè÷åíèÿ, ñâÿçàííûå ñ
äîïîëíèòåëüíûìè êðèòåðèÿìè: ìèíèìàëüíûé îáúåì òðåáóåìîé îïåðàòèâíîé ïàìÿòè, óìåíüøåíèå ñðåäíåãî ÷èñëà âû÷èñëåíèé ïðàâîé
÷àñòè, ôèêñèðîâàííûå óçëû, ïîâûøåíèå ÷èñëåííîé óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà, îáåñïå÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ è äð.
Ñàìî ñîáîé, ÷òî ïðè çàäàííûõ p è s ó ñèñòåìû óñëîâèé ïîðÿäêà ìîæåò êàê áûòü íåñêîëüêî ðåøåíèé (ñåìåéñòâî), òàê è íå áûòü
ðåøåíèé âîâñå. Îòâåòû íà âîïðîñû î ñâÿçè ÷èñëà ýòàïîâ è ïîðÿäêà
ñëåäóåò èç ðàçðåøèìîñòè ýòîé ñèñòåìû.
10
Äâóõýòàïíûå ìåòîäû âòîðîãî ïîðÿäêà
Ïîñòðîèì ìåòîä âòîðîãî ïîðÿäêà. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó ðàâåíñòâà
c1 = 0 óñëîâèå (21) íå ìîæåò áûòü óäîâëåòâîðåíî ïðè s = 1. Òàêèì
îáðàçîì, íàõîäèì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò îäíîýòàïíîãî ÿâíîãî ìåòîäà
âòîðîãî ïîðÿäêà.
Âûáåðåì s = 2. Óñëîâèÿ ïîðÿäêà ïðèìóò âèä
b1 + b2 = 1,
1
b2 c 2 = ,
2
(24)
a21 = c2 (èëè b2 a21 =
1
, åñëè íå ó÷èòûâàòü (20)).
2
 ýòîé ñèñòåìå òðè óðàâíåíèÿ è ÷åòûðå íåèçâåñòíûõ. Åå ðåøåíèå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî. Âûáåðåì, íàïðèìåð, c2 â êà÷åñòâå ñâîáîäíîãî ïàðàìåòðà. Ïîëó÷èì
a21 = c2 ,
b2 =
1
,
2c2
b1 = 1 −
1
,
2c2
c2 6= 0.
(25)
Îáû÷íî âûáèðàþò òàêèå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå äàþò óäîáíûå
äëÿ âû÷èñëåíèé ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû, è òàêèå, êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò
ïîäàâëåíèå òîãî èëè èíîãî ñëàãàåìîãî â ãëàâíîì ÷ëåíå ïîãðåøíîñòè
(âûðàæåíèè, ñîäåðæàùåì hp+1 ).
Íàïðèìåð, ïîëàãàÿ c2 = 1/2 ïîëó÷èì ôîðìóëó, ïîñòðîåííóþ Ðóíãå â 1895 ãîäó, êàê óñîâåðøåíñòâîâàíèå ìåòîäà Ýéëåðà9 ïåðâûé
ìåòîä Ðóíãå Êóòòû:
h
h
(26)
y(x0 + h) ≈ y0 + hf x0 + , y0 + f (x0 , y0 ) .
2
2
Åãî íàçûâàþò ÿâíûì ìåòîäîì ñðåäíåé òî÷êè. Åñëè ïîäñòàâèòü çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ôîðìóëû äëÿ Ki00 , ìîæíî âûðàçèòü ëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî h3 :
h3 00
00
00
fxx +2f fxy
+f 2 fyy
+ 4 fy0 fx0 +f (fy0 )2
+ O(h4 ).
y(x1 ) − y1 =
24
(x0 ,y0 )
9 Ëåîí
àðä Ýéëåð
(íåì. Leonhard Euler) (17071783), øâåéöàðñêèé, íåìåöêèé
è ðîññèéñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê, âíåñøèé ôóíäàìåíòàëüíûé âêëàä â ðàçâèòèå ýòèõ íàóê. Àâòîð òðóäîâ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, äèôôåðåíöèàëüíîé
ãåîìåòðèè, òåîðèè ÷èñåë, ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì, íåáåñíîé ìåõàíèêå, ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, îïòèêå, àñòðîíîìèè, áàëëèñòèêå, êîðàáëåñòðîåíèþ, òåîðèè
ìóçûêè è äðóãèì îáëàñòÿì. Îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ e íàçûâàåòñÿ
êîíñòàíòîé Ýéëåðà è îáîçíà÷àåòñÿ ïåðâîé áóêâîé åãî ôàìèëèè.
11
Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) íå çàâèñèò îò y , òî çàäà÷à
ñâîäèòñÿ ê ÷èñëåííîìó èíòåãðèðîâàíèþ: âñå ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå
ïðîèçâîäíûå ïî y èñ÷åçàþò, è ìåòîä Ðóíãå ñòàíîâèòñÿ ðàâíîñèëåí
êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ (ïåðâûé ýòàï ñòàíîâèòñÿ íå íóæíûì).
Çíà÷åíèå c2 = 1 äàåò ìåòîä Õîéíà, èëè ÿâíûé ìåòîä òðàïåöèé,
èëè óñîâåðøåíñòâîâàííûé ìåòîä Ýéëåðà :
y(x0 + h) ≈ y0 +
h
f (x0 , y0 ) + f (x0 + h, y0 + hf (x0 , y0 )) .
2
(27)
Ìåòîäè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ìåòîäà Õîéíà èìååò âèä
y(x1 )−y1 = −
h3 00
00
00
fxx +2f fxy
+f 2 fyy
−2 fy0 fx0 +f (fy0 )2
+O(h4 ).
12
(x0 ,y0 )
Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íå
çàâèñèò îò y , òî ïðèìåíåíèå ìåòîäà Õîéíà ñòàíîâèòñÿ ðàâíîñèëüíî
èñïîëüçîâàíèþ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû òðàïåöèé.
Òàáëèöû Áóò÷åðà äëÿ ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ èìåþò âèä
0
0
1
2
1
2
0
1
1
1
2
1
Ìåòîä Ðóíãå
1
2
Ìåòîä Õîéíà
Ìåòîäû òðåòüåãî ïîðÿäêà ñ òðåìÿ ýòàïàìè
Èç-çà óñëîâèÿ (23) ÿâíûå ìåòîäû ñ äâóìÿ ýòàïàìè íå ìîãóò èìåòü
òðåòèé ïîðÿäîê (ïðîâåðüòå!), ïîýòîìó ïîëîæèì s = 3.  ýòîì ñëó÷àå
ñèñòåìà èç øåñòè óðàâíåíèé ñ âîñåìüþ íåèçâåñòíûìè äàåò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé. Ïðèâåäåì äâà íàèáîëåå ïîïóëÿðíûõ ìåòîäà.
Ïåðâûé ìåòîä Ðóíãå Êóòòû òðåòüåãî ïîðÿäêà ïîñòðîèë Õîéí â
1900 ãîäó. Åãî ôîðìóëà
1
3 y(x0 + h) ≈ y0 + h K1 + K3 ,
4
4
12
(28)
ãäå
K1 = f (x0 , y0 ),
1
1
K2 = f x0 + h, y0 + hK1 ,
3
3
2
2
K3 = f x0 + h, y0 + hK2 .
3
3
Âòîðîé ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà10 íà ñëó÷àé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è èìååò âèä
1
4
1 y(x0 + h) ≈ y0 + h K1 + K2 + K3 ,
(29)
6
6
6
ãäå
K1 = f (x0 , y0 ),
1
1
K2 = f x0 + h, y0 + hK1 ,
2
2
K3 = f (x0 + h, y0 − hK1 + 2hK2 ).
Ó ýòîãî ìåòîäà åñòü íåïðèÿòíàÿ îñîáåííîñòü. Íàëè÷èå îòðèöàòåëüíîãî êîýôôèöèåíòà a31 è êîýôôèöèåíòà a32 , ïðåâûøàþùåãî 1, âîïåðâûõ, ñêàçûâàåòñÿ íà ðîñòå ïîãðåøíîñòè â ñâÿçè ñ îêðóãëåíèåì,
à âî-âòîðûõ, â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ èç-çà ýòîãî ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ
âû÷èñëèòü ôóíêöèþ f âíå çîíû åå îïðåäåëåíèÿ ïî âòîðîìó àðãóìåíòó. Òåì íå ìåíåå, â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ýòîò ìåòîä
ðàáîòàåò íå õóæå, ÷åì ìåòîä Õîéíà (28).
Òàáëèöû Áóò÷åðà äëÿ ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ èìåþò âèä
0
1
3
2
3
0
1
3
0
2
3
1
4
0
3
4
Ìåòîä Õîéíà
ïîðÿäêà 3
1
2
1
2
1
−1
2
1
6
2
3
1
6
Ìåòîä ¾Ñèìïñîíà¿
ïîðÿäêà 3
10 Ò
îìàñ Ñ
èìïñîí (àíãë. Thomas Simpson) (17101761), àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê, íàèáîëåå èçâåñòíûé ïî âûâåäåííîìó èì è íàçâàííîìó â åãî ÷åñòü ïðàâèëó
âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, â êîòîðîì ïîäûíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ çàìåíÿåòñÿ íà ïðèáëèæàþùóþ åå ïàðàáîëó.
13
Ìåòîäû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìåòîäîâ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ÷åòûðå ýòàïà. Òàêèõ ìåòîäîâ òàê æå, êàê è òðåõýòàïíûõ ìåòîäîâ
òðåòüåãî ïîðÿäêà, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî. Ñàìûì øèðîêî èçâåñòíûì è ïðèìåíÿåìûì ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé ¾êëàññè÷åñêèé¿
ìåòîä Ðóíãå Êóòòû (ïî-àíãëèéñêè åãî íàçûâàþò The Runge
Kutta method ). Îí òàêæå êàê è ìåòîä (29) îñíîâàí íà êâàäðàòóðíîé
ôîðìóëå Ñèìïñîíà, íî ñîõðàíÿåò åå ïîâûøåííóþ òî÷íîñòü (äëÿ ÷åãî
òðåáóåòñÿ ÷åòâåðòûé ýòàï).
1
1
1
1 y(x0 + h) ≈ y0 + h K1 + K2 + K3 + K4 ,
6
3
3
6
(30)
K1 = f (x0 , y0 ),
1
1
K2 = f x0 + h, y0 + hK1 ,
2
2
1
1
K3 = f x0 + h, y0 + hK2 ,
2
2
K4 = f (x0 + h, y0 + hK3 ).
Äðóãèì ïðèìåðîì ìåòîäà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ìîæåò ñëóæèòü
îáîáùåíèå êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû 3/8.
1
3
3
1 y(x0 + h) ≈ y0 + h K1 + K2 + K3 + K4 ,
8
8
8
8
(31)
K1 = f (x0 , y0 ),
1
1
K2 = f x0 + h, y0 + hK1 ,
3
3
2
1
K3 = f x0 + h, y0 − hK1 + hK2 ,
3
3
K4 = f (x0 + h, y0 + hK1 − hK2 + hK3 ).
 îòëè÷èå îò ñèòóàöèè ñ êâàäðàòóðíûìè ôîðìóëàìè, êîëè÷åñòâî
âû÷èñëåíèé ôóíêöèè f ó ìåòîäà (30) è ó ìåòîäà 3/8 ñîâïàäàåò. Ïðè
ýòîì, âòîðîé îêàçûâàåòñÿ òî÷íåå â òîì ñìûñëå, ÷òî êîýôôèöèåíòû
ïðè ãëàâíûõ ÷ëåíàõ ïîãðåøíîñòè ó íåãî ìåíüøå.
14
Èõ òàáëèöû Áóò÷åðà
0
1
2
1
2
1
0
1
2
0
2
2
0
1
1
6
1
3
1
3
0
1
3
2
3
1
1
6
¾Êëàññè÷åñêèé¿ ìåòîä
Ðóíãå Êóòòû
1
3
1
−
3
1
−1
1
1
8
3
8
3
8
1
1
8
Ïðàâèëî 3/8
Áóò÷åð ïîêàçàë, ÷òî ÿâíûå ìåòîäû ïÿòîãî ïîðÿäêà äîëæíû èìåòü
íå ìåíüøå øåñòè ýòàïîâ, øåñòîãî ïîðÿäêà íå ìåíüøå ñåìè, à ñåäüìîãî ïîðÿäêà íå ìåíüøå äåâÿòè.
15
Ñõîäèìîñòü ÿâíûõ îäíîøàãîâûõ ìåòîäîâ
Ïîñêîëüêó çàäà÷åé ïðèìåíåíèÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ íà÷àëüíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íå ñîâåðøåíèå îäíîãî øàãà, à ïîëó÷åíèå ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèþ íà âñåì èíòåðâàëå, íåîáõîäèìî èçó÷èòü, ïðè
êàêèõ óñëîâèÿõ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñòðåìèòñÿ ê òî÷íîìó è ñ
êàêîé ñêîðîñòüþ. Ñâîéñòâî ÷èñëåííîãî ìåòîäà îáåñïå÷èâàòü ñòðåìëåíèå ïðèáëèæåíèÿ yN ê òî÷íîìó ðåøåíèþ y(xN ) â òî÷êå xN ïðè
ñòðåìëåíèè ìàêñèìàëüíîé äëèíû øàãà h ê íóëþ íàçûâàåòñÿ ñõîäèìîñòüþ ìåòîäà. Ìåòîäû, íå îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì ñõîäèìîñòè,
ïðàêòè÷åñêè íå ïðèãîäíû.
Çäåñü ëåãêî ïðîâåñòè àíàëîãèþ ñ ñîñòàâíûìè êâàäðàòóðíûìè
ôîðìóëàìè.  ñëó÷àå ïðîñòîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ìû òîæå èçó÷àëè
êàê áûñòðî ñòðåìèëàñü ê íóëþ ìåòîäè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè óìåíüøåíèè ìàêñèìàëüíîãî øàãà.
Äëÿ îöåíêè ñõîäèìîñòè èçó÷àåìûõ ìåòîäîâ ïðîâåäåì àíàëèç ïîãðåøíîñòåé, êîòîðûå âîçíèêàþò â õîäå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ.
Ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè
Ðàññìîòðèì ïîãðåøíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè ðåøåíèè çàäà÷è (1), (2).
Âî-ïåðâûõ, íà÷àëüíîå óñëîâèå y(x0 ) = y0 ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî
(çàäàíî) ñ íåêîòîðîé ïîãðåøíîñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî çàäà÷è
(1), (2) ðåøàåòñÿ çàäà÷à
(
ȳ 0 (x) = f (x, ȳ(x)),
(32)
ȳ(x0 ) = ȳ0
ñ èçìåíåííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì
ȳ0 = y0 + R0 .
Ðåøåíèå ȳ(x) çàäà÷è (32) íå ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì èñõîäíîé çàäà÷è
(1), (2).
Îïðåäåëåíèå 3. Ðàçíîñòü
ξn = y(xn ) − ȳ(xn )
íàçûâàåòñÿ íåóñòðàíèìîé ïîãðåøíîñòüþ ðåøåíèÿ ȳ(x) (â òî÷êå xn ).
16
Âî-âòîðûõ, ïðèìåíåíèå ÷èñëåííîãî ìåòîäà (6) äëÿ íàõîæäåíèÿ
ðåøåíèÿ â òî÷êå x1 ïî ôîðìóëå ȳ1 = F (f, x1 , x0 , ȳ0 ) ïîðîæäàåò ëîêàëüíóþ ìåòîäè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü ïåðâîãî øàãà (ñì. (14))
%1 = Ψ(x1 − x0 ) = ȳ(x1 ) − ȳ1 .
È äîïîëíèòåëüíî ê ýòîìó, âñëåäñòâèå îøèáîê îêðóãëåíèÿ è ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè f (x, y) äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ ȳ1 âûïîëíÿåòñÿ íåòî÷íî. Ôàêòè÷åñêè,
íàéäåííîå çíà÷åíèå ŷ1 óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ
F (f, x1 , x0 , ȳ0 ) − ŷ1 = δ1 .
Îïðåäåëåíèå 4. Íåâÿçêà δ íàçûâàåòñÿ
Îïðåäåëåíèå 5. Ðàçíîñòü η = ȳ − ŷ íàçûâàåòñÿ
ïîãðåøíîñòüþ îêðóãëåíèÿ.
1
ïîãðåøíîñòüþ.
1
1
1
âû÷èñëèòåëüíîé
Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ñîâåðøåíèÿ ïåðâîãî øàãà, ó íàñ åñòü ïðèáëèæåíèå ŷ1 ê ðåøåíèþ ȳ(x1 ), ïðè÷åì
ȳ(x1 ) = ŷ1 + %1 + δ1 .
Íà âòîðîì øàãå ìû áóäåì ðåøàòü íîâóþ íà÷àëüíóþ çàäà÷ó
( 0
ȳ(2) (x) = f (x, ȳ(2) (x)),
ȳ(2) (x1 ) = ŷ1 .
(33)
Ïðèáëèæåíèå ŷ2 ê åå ðåøåíèþ ȳ(2) (x2 ) â òî÷êå x2 òàêæå áóäåò ñîäåðæàòü ìåòîäè÷åñêóþ è âû÷èñëèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè, ò. å.
ȳ(2) (x2 ) = ŷ2 + %2 + δ2 .
Ïîäîáíîå íàêîïëåíèå ïîãðåøíîñòåé áóäåò ïðîèñõîäèòü íà êàæäîì
øàãå. Íà n-ì øàãå ìû ðåøàåì çàäà÷ó
(
0
ȳ(n)
(x) = f (x, ȳ(n) (x)),
(34)
ȳ(n) (xn−1 ) = ŷn−1 .
Äëÿ óíèâåðñàëüíîñòè (34) ïîëàãàåì ȳ(1) (x) ≡ ȳ(x).
Îïðåäåëåíèå 6. Ðàçíîñòü ìåæäó çíà÷åíèåì ðåøåíèÿ ȳ(x ) çàäà÷è
n
(32) è åãî ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì ŷn , âû÷èñëåííûì ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû ŷi = F (f, xi , xi−1 , ŷi−1 ), i = 1, ..., n
îäíîøàãîâîãî ìåòîäà,
εn = ȳ(xn ) − ŷn
17
íàçûâàåòñÿ ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ìåòîäà ïîñëå n øàãîâ. Åñëè
ñîâåðøåí âñåãî îäèí øàã, òî ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ε1 ðàâíà ñóììå
ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè ìåòîäà íà ïåðâîì øàãå è âû÷èñëèòåëüíîé
ïîãðåøíîñòè.
Çàìå÷àíèå.
×àñòî íàëè÷èå âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè â ïðîöåññå îáðàçîâàíèÿ ãëîáàëüíîé íå ó÷èòûâàþò. Äëÿ îöåíêè ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè è èçó÷åíèÿ ñõîäèìîñòè ìåòîäà âû÷èñëèòåëüíóþ
ïîãðåøíîñòü ïîëàãàþò ðàâíîé íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ôîðìèðóåòñÿ òîëüêî èç ñóììû ïåðåíåñåííûõ â òî÷êó xn
ëîêàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé âñåõ ïðåäûäóùèõ øàãîâ.
Îïðåäåëåíèå 7. Ðàçíîñòü ìåæäó òî÷íûì ðåøåíèåì y(x ) çàäà÷è
n
(1), (2) è ïðèáëèæåííûì ôàêòè÷åñêè íàéäåííûì ðåøåíèåì ŷn
Rn = y(xn ) − ŷn = ξn + εn
(35)
íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ïîñëå n
øàãîâ. Ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñêëàäûâàåòñÿ
èç íåóñòðàíèìîé ïîãðåøíîñòè, ïîãðåøíîñòè ìåòîäà è âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè.
Ìàæîðàíòíàÿ îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè
Ðàññìîòðèì, íàñêîëüêî áîëüøîé ìîæåò áûòü ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü
ïðè íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ çíà÷åíèÿõ ëîêàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé.
Èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èçâåñòíî, ÷òî ðàçíîñòü
ìåæäó òî÷íûìè ðåøåíèÿìè y(x) è z(x) äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþùèìè íà÷àëüíûì óñëîâèÿì y(x0 ) = y0 è
z(x0 ) = z0 ñîîòâåòñòâåííî, îãðàíè÷åíà:
ky(x) − z(x)k 6 ky0 − z0 keL(x−x0 ) ,
(36)
ãäå L êîíñòàíòà Ëèïøèöà ïî âòîðîìó àðãóìåíòó f (ñì. (5)).
Ñ èñïîëüçîâàíèåì (36) è ó÷åòîì m = 1 (ìîäóëü âìåñòî íîðìû)
|ξn | 6 |R0 |eL(xn −x0 )
è
|εn | 6
n
X
(37)
(|%i | + |δi |)eL(xn −xi ) ,
i=1
òàê êàê êàæäûé øàã ìû ðåøàåì íîâóþ íà÷àëüíóþ çàäà÷ó, ðåøåíèå
êîòîðîé îòëè÷àåòñÿ îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, íî ñ
êàæäûì øàãîì îñòàâøèéñÿ îòðåçîê ðåøåíèÿ âñå ìåíüøå.
18
Òåïåðü ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü ïîñëå n øàãîâ
|Rn | 6 |R0 |eL(xn −x0 ) +
n
X
(|%i | + |δi |)eL(xn −xi ) 6
i=1
6e
L(xn −x0 )
!
n
X
(|%i | + |δi |) .
|R0 | +
(38)
i=1
Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ïîðÿäêà p, ìîæåì èñïîëüçîâàòü îöåíêó åãî ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè (13)
|%i | 6 C|xi − xi−1 |p+1 ,
i = 1, ..., n,
à îãðàíè÷èâàÿ äëèíó øàãà è îïðåäåëÿÿ âåðõíþþ ãðàíèöó âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè
h = max |xi − xi−1 |,
i=1,..,n
δ = max |δi |,
i=1,..,n
çàïèøåì
n
X
i=1
îòêóäà
|%i | 6
n
X
C|xi − xi−1 |hp = C(xn − x0 )hp ,
i=1
|Rn | 6 eL(xn −x0 ) (|R0 | + C(xn − x0 )hp + nδ).
(39)
Çàìå÷àíèå. Äëÿ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìàæîðàíòíàÿ îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè áóäåò èìåòü âèä
kRn k 6 emL(xn −x0 ) (kR0 k + C(xn − x0 )hp + nδ)
(40)
ñ çàìåíàìè ìîäóëÿ íà íîðìó â îïðåäåëåíèÿõ ïîðÿäêà è δ .
Èç (39) ñëåäóåò, ÷òî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè, ïîëó÷åííîå ñ èñïîëüçîâàíèåì îäíîøàãîâîãî ìåòîäà ïîðÿäêà òî÷íîñòè p
ñõîäèòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ çàäà÷è ïðè h → 0, åñëè
|R0 | → 0 è δ → 0.
(41)
Ðàññìîòðèì ñìûñë êàæäîãî èç òðåõ ñëàãàåìûõ â (39).
Ïåðâîå ñëàãàåìîå íåóñòðàíèìàÿ ïîãðåøíîñòü, êîòîðàÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå óçëû. Åå âêëàä â ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü ìåòîäà îãðàíè÷åí ôîðìóëîé (37).
19
Âòîðîé ÷ëåí ïîêàçûâàåò âêëàä ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè, âîçíèêàþùåé èç-çà òîãî, ÷òî íàõîäèòñÿ íå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è, à
ïðèáëèæåíèå ê íåìó ïî ôîðìóëå îäíîøàãîâîãî ìåòîäà. Ãëîáàëüíàÿ
ìåòîäè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ìåòîäà ïîðÿäêà p ïðîïîðöèîíàëüíà hp .
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå âîçíèêàåò çà ñ÷åò îøèáîê îêðóãëåíèÿ. Åãî
âåëè÷èíà íå ïðåâîñõîäèò eL(xn −x0 ) δ/h. Åñëè çíà÷åíèå δ îãðàíè÷åíî
ñíèçó 0 < δ0 6 δ , à â âû÷èñëèòåëüíîé ïðàêòèêå òàê è áûâàåò (â ñèëó
êîíå÷íîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñåë â ìàøèííîé ïàìÿòè), è ïðè ýòîì
äëèíà øàãà h ñëèøêîì ìàëà (à çíà÷èò ÷èñëî øàãîâ î÷åíü âåëèêî), òî
âû÷èñëèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ìîæåò äîñòèãàòü áîëüøèõ çíà÷åíèé.
Ïîãðåøíîñòü ìåòîäà ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî ìàëîé
çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ øàãà. Âû÷èñëèòåëüíàÿ æå ïîãðåøíîñòü ìîæåò
áûòü ñíèæåíà çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ ðàçðÿäíîé ñåòêè ìàøèíû (íî ýòè
âîçìîæíîñòè îãðàíè÷åíû). Íåóñòðàíèìóþ ïîãðåøíîñòü ìîæíî ñíèçèòü òîëüêî çà ñ÷åò áîëåå òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
Ïðàâèëüíàÿ îðãàíèçàöèÿ âû÷èñëèòåëüíîãî ïðîöåññà ýòî áàëàíñ
ìåæäó âñåìè ïàðàìåòðàìè âëèÿþùèìè íà ïîãðåøíîñòü: òðåáóåìîé
òî÷íîñòüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è, òî÷íîñòüþ çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé,
ïîðÿäêîì ÷èñëåííîãî ìåòîäà, âåëè÷èíîé øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ, èñïîëüçóåìîé äëèíîé ðàçðÿäíîé ñåòêè.
Îòäåëüíûå ñîñòàâëÿþùèå, âõîäÿùèå â ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü Rn
ìîãóò äàâàòü îòêëîíåíèÿ îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ â ðàçíûå ñòîðîíû. Ïîýòîì îöåíêè (39) è (40) ÿâëÿþòñÿ çàâûøåííûìè. Íà ïðàêòèêå îíè íå
èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷íîñòè îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà.
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè ìåòîäà
Ðàññìîòðèì êàê âåäåò ñåáÿ ãëîáàëüíàÿ ïðîãðåøíîñòü ìåòîäà â îòñóòñòâèå íåóñòðàíèìîé è âû÷èñëèòåëüíîé ïðîãðåøíîñòåé.  ýòîì ðàçäåëå è äàëåå ìû îïóñòèì èñïîëüçîâàíèå ÷åðòû íàä y , ïîñêîëüêó áîëåå
íå òðåáóåòñÿ ïðîâîäèòü ðàçëè÷èå ìåæäó èñõîäíîé çàäà÷åé (1), (2) è
çàäà÷åé ñ èçìåíåííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì (32). Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïóñòèì ¾êðûøêó¿, òàê êàê áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôàêòè÷åñêè
âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ŷn ñîâïàäàþò ñ òî÷íûìè ðåçóëüòàòàìè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà, êîòîðûå îáîçíà÷èì yn .
Èòàê, ïóñòü ñäåëàí n − 1 øàã è ïîëó÷åíî ïðèáëèæåíèå yn−1 â
òî÷êå xn−1 . Ðåøàåòñÿ íà÷àëüíàÿ çàäà÷à (34)
(
0
y(n)
(x) = f (x, y(n) (x)),
(42)
y(n) (xn−1 ) = yn−1 .
20
Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü f (x, y) èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà p+2 âêëþ÷èòåëüíî, òî äëÿ ëîêàëüíîé ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè îäíîøàãîâîãî ìåòîäà ïîðÿäêà òî÷íîñòè p íà n-ì øàãå äëèíîé h = xn − xn−1
ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå
y(n) (xn ) − yn = Φ(xn−1 , yn−1 )hp+1 + O(hp+2 ),
(43)
ãäå
Φ(xn−1 , yn−1 ) =
1
(p + 1)!
dp+1 y(n) (xn ) − F (f, xn , xn−1 , yn−1 )
.
dhp+1
h=0
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè ïîñëå
n øàãîâ áóäåò èìåòü âèä
εn = ζ(xn )hp + O(hp+1 ),
(44)
ãäå êîýôôèöèåíò ãëàâíîãî ÷ëåíà ïîãðåøíîñòè
Z xn
Z xn
∂f
ζ(xn ) =
Φ(ξ, y(ξ)) exp
(τ, y(τ ))dτ dξ.
∂y
x0
ξ
Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ h ãëàâíûé ïîãðåøíîñòè εn ≈ ζ(xn )hp . Ýòî
çíà÷åíèå äîñòàòî÷íî õîðîøî îòðàæàåò è ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü Rn
èç (35) â òîì ñëó÷àå, êîãäà âêëàä íåóñòðàíèìîé è âû÷èñëèòåëüíîé
ïîãðåøíîñòåé, à òàêæå ÷ëåíîâ ïîðÿäêà O(hp+1 ), âõîäÿùèõ â (44),
ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ãëàâíûì ÷ëåíîì. Ôîðìàëüíî ýòè òðåáîâàíèÿ
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
R0 = O(hp+1 ),
δ = O(hp+2 ).
(45)
Òàêèì îáðàçîì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (45), ïðè h → 0 äëÿ
ïîëíîé ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñïðàâåäëèâî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå
Rn = ζ(xn )hp + O(hp+1 ) ≈ ζ(xn )hp .
(46)
Ñàìî ñîáîé, ýòà îöåíêà òàêæå íå ÿâëÿåòñÿ óäîáíîé äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ.
21
Ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ßÌÐÊ
Ïðè ðåàëèçàöèè ìåòîäîâ íåîáõîäèìî îöåíèâàòü ãëîáàëüíóþ è ëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòè, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÷òîáû îáåñïå÷èòü äëèíó øàãà h, äîñòàòî÷íî ìàëóþ äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè âû÷èñëÿåìûõ ðåçóëüòàòîâ, à ñ äðóãîé ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü äîñòàòî÷íî
áîëüøóþ äëèíó øàãà âî èçáåæàíèå áåñïîëåçíîé âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû.
Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â âû÷èñëèòåëüíîì ïðîöåññå íåóñòðàíèìîé ïîãðåøíîñòüþ è ïîãðåøíîñòüþ îêðóãëåíèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî â ýòîì ðàçäåëå ÷åðòà íàä y èñïîëüçóåòñÿ â
äðóãîì ñìûñëå ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîëíûì àíàëèçîì ïîãðåøíîñòåé.
Ìåòîä Ðóíãå îöåíêè ïîëíîé ïîãðåøíîñòè
Ïîëàãàåì, ÷òî â òî÷êå xn ïî s-ýòàïíîìó ìåòîäó p-ãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè (12) ñ ïîñòîÿííûì øàãîì h âû÷èñëåíî ïðèáëèæåííîå ȳn èñõîäíîé
çàäà÷è Êîøè. Ñ ó÷åòîì (46) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
y(xn ) − ȳn = ζ(xn )hp + O(hp+1 ).
Èñïîëüçóÿ òó æå ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó ñ øàãîì h2 , âû÷èñëèì â òîé
æå òî÷êå xn äðóãîå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ ỹ2n (ìû ñîâåðøèì 2n øàãîâ,
ïîòîìó òàêîé èíäåêñ). Ïðè äîñòàòî÷íîì ìàëîì h ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê
p
h
y(xn ) − ỹ2n = ζ(xn )
+ O(hp+1 )
2
ñ òåì æå êîýôôèöåíòîì ζ(xn ).
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàéäåì
R̄n = y(xn ) − ȳn =
ỹ2n − ȳn
+ O(hp+1 ),
1 − 2−p
(47)
ỹ2n − ȳn
+ O(hp+1 ).
(48)
2p − 1
 êà÷åñòâå ðåøåíèÿ â òî÷êå xn èìååò ñìûñë ïðèíÿòü çíà÷åíèå ỹ2n
êàê áîëåå òî÷íîå ïî ñðàâíåíèþ ñ ȳi . Åãî îöåíêà ïîãðåøíîñòè (48),
R̃2n = y(xn ) − ỹ2n =
22
îäíàêî ìîæíî äîïîëíèòåëüíî óâåëè÷èòü ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïðèáëèæåíèÿ, åñëè âûðàçèòü åãî èç (47) èëè (48)
y(xn ) = ȳn + R̄n = ỹ2n + R̃2n = ỹ2n +
ỹ2n − ȳn
+ O(hp+1 ).
2p − 1
(49)
Êàê âèäíî, ïîãðåøíîñòü ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò ïîðÿäîê O(hp+1 ).
Ïðè ðàñ÷åòàõ âñåãäà çàäàåòñÿ êàêàÿ-òî ãðàíèöà äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè tol > 0 (îò àíãë. tolerance äîïóñê). Îöåíêà ïîãðåøíîñòè
ìîæåò áûòü ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå äîïóñêà.  ïåðâîì ñëó÷àå âñòàåò âîïðîñ î âûáîðå ìåíüøåé äëèíû øàãà,
äàþùåé îöåíêó ïîãðåøíîñòè, íå ïðåâûøàþùóþ tol, âî âòîðîì îá
óâåëè÷åíèè äëèíû øàãà äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, äîïóñêàåìîãî
ãðàíèöåé òî÷íîñòè.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé
htol ≈ h
tol
|R̄n |
p1
h
=
2
tol
|R̃2n |
p1
.
(50)
Ìåòîä Ðóíãå äëÿ îöåíêè ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè
Ïðèìåíåíèå îöåíêè ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè íà ïðàêòèêå îêàçûâàåòñÿ ñëèøêîì òðóäîåìêèì èç-çà íåîáõîäèìîñòè ïåðåñ÷èòûâàòü ðåøåíèå ñ íîâûì ïîñòîÿííûì øàãîì íà âñåì èíòåðâàëå [x0 , xf ] â ñëó÷àå,
åñëè òåêóùåå ïðèáëèæåíèå íå óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì íà òî÷íîñòü. Êðîìå òîãî, â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå çàäà÷ ìîæíî âûäåëèòü èíòåðâàëû, íà êîòîðûõ ðåøåíèå âåäåò ñåáÿ ïî ðàçíîìó è âêëàä
øàãîâ íà êîòîðûõ â ãëîáàëüíóþ ïîãðåøíîñòü ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àåòñÿ. Òàê, ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü øàãîâ íà èòåðâàëå, ãäå ðåøåíèå
âåäåò ñåáÿ äîñòàòî÷íî ïîë
oãî (ìàëà êîíñòàíòà Ëèïøèöà) è ïðîèçâîäíûå p + 1-ãî ïîðÿäêà, âõîäÿùèå â ëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòü, òàêæå
íåâåëèêè, áóäåò ñðàâíèòåëüíî ìàëà è åå âêëàä â ãëîáàëüíóþ ïîãðåøíîñòü áóäåò êóäà ìåíüøå, ÷åì âêëàä îøèáîê íà èíòåðâàëàõ, ãäå ðåøåíèå ðåçêî èçìåíÿåòñÿ. Ñ÷èòàÿ ñ ïîñòîÿííîé äëèíîé øàãà, ìû áóäåì
âûíóæäåíû îðèåíòèðîâàòüñÿ êàê ðàç íà ïîãðåøíîñòè ¾êðóòûõ¿ øàãîâ, è áóäåì ñîâåðøàòü ìíîãî íåíóæíûõ øàãîâ â ¾ïîëîãîé¿ ÷àñòè
ðåøåíèÿ.
Àëüòåðíàòèâîé òàêîìó ïîäõîäó ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå ñ ïåðåìåííûì
øàãîì. ×åì ¾êðó÷å¿ ðåøåíèå, òåì ìåíüøå ìû áóäåì äåëàòü øàã,
òàê æå, êàê áåãóí ïî ïåðåñå÷åííîé ìåñòíîñòè äåëàåò áîëåå ìåëêèå
øàãè íà ðåçêèõ ñïóñêàõ è êðóòûõ ïîäúåìàõ. Îäíàêî äëÿ ýòîãî íàì
23
ïðèäåòñÿ îöåíèâàòü íå ãëîáàëüíóþ ïîãðåøíîñòü, êîòîðóþ ìû óæå
íå ñìîæåì òàê ëåãêî ïðèáëèçèòü, êàê â ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî øàãà.
Ìû áóäåì îöåíèâàòü ëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòü è ïîòðåáóåì, ÷òîáû íà
êàæäîì øàãå èìåííî ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâîñõîäèëà íåêîòîðîãî îãðàíè÷åíèÿ tol > 0. Ñâåäåíèé î ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè è
åå îöåíîê â ýòîì ñëó÷àå ó íàñ íåò, êðîìå ìàæîðàíòíîé îöåíêè (39)
èëè (40) (íà ñàìîì äåëå îíà ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà ïîä èñïîëüçîâàíèå âåëè÷èíû tol, à íå ìàêñèìàëüíîé äëèíû øàãà h, íî ìû íå áóäåì
ïðèâîäèòü çäåñü ýòó ôîðìóëó). Íà ïðàêòèêå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïî÷òè
âñåãäà ðåàëüíàÿ ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ìàæîðàíòíîé îöåíêè, è ïîòîìó äîñòàòî÷íî îáåñïå÷èòü íà êàæäîì øàãå
îãðàíè÷åííîñòü ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè.
Êàêèì æå îáðàçîì îöåíèâàåòñÿ ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü (43)? Åå,
òî÷íî òàê æå êàê è ãëîáàëüíóþ, ìîæíî îöåíèâàòü ïî ïðàâèëó Ðóíãå.
Ïðîñòî òåïåðü âìåñòî n øàãîâ äëèíîé h è 2n øàãîâ äëèíîé h2 äëÿ
èñõîäíîé çàäà÷è (1), (2) ìû ñîâåðøàåì îäèí è äâà øàãà äëèíàìè
hn = xn − xn−1 è h2n ñîîòâåòñòâåííî, ðåøàÿ çàäà÷ó (42). Ïîëó÷àåì
äâà ïðèáëèæåíèÿ â òî÷êå xn : ȳn ñ øàãîì hn è ȳ¯n ïîñëå äâóõ øàãîâ
hn
hn
1
2 (ê òîìó æå ïîëó÷àåì åùå ïðèáëèæåíèå ȳn− 2 â òî÷êå xn−1 + 2
ïîñëå ïåðâîãî ïîëîâèííîãî øàãà, íî îíî íå èñïîëüçóåòñÿ â îöåíêå
ïîãðåøíîñòè). Ïðàâèëî Ðóíãå ïðèíèìàåò âèä
ȳ¯n − ȳn
,
(51)
%̄n = y(n) (xn ) − ȳn = r̄n + O(hp+1
r̄n =
n ),
1 − 2−p
ȳ¯n − ȳn
%̄¯n = y(n) (xn ) − ȳ¯n = r̄¯n + O(hp+1
r̄¯n = p
,
(52)
n ),
2 −1
ãäå r̄n è r̄¯n îöåíêè ïîãðåøíîñòåé %̄n è %̄¯n ñîîòâåòñòâåííî.
Ñàìî ñîáîé, ìû ìîæåì óâåëè÷èòü òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ìû ñäåëàëè äëÿ ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè (49):
ȳ¯n − ȳn
.
(53)
y(n) (xn ) ≈ ȳn + r̄n = ȳ¯n + r̄¯n = ȳ¯n + p
2 −1
Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî íà êàæäîì øàãå äëÿ ïðèìåíåíèÿ
ïðàâèëà Ðóíãå òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü 3s − 1 çíà÷åíèå ïðàâîé ÷àñòè,
÷òî ïî÷òè âòðîå ñëîæíåå ïðîñòîãî ñîâåðøåíèÿ øàãà äëèíîé hn .
Óïðàæíåíèå. Âûâåäèòå ôîðìóëû (51)(53) ïî-äðóãîìó, ïîëüçóÿñü
òîëüêî àñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè (43)
(Óêàçàíèå: ðàçëîæèòå ëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòü íà âòîðîì ïîëîâèííîì øàãå â ðÿä â òîé æå òî÷êå (xn−1 , yn−1 ), ÷òî è äâå äðóãèõ ).
24
Àâòîìàòè÷åñêèé âûáîð øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ
Òåïåðü, ïîëüçóÿñü îöåíêîé ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè (51) èëè (52) ìû
ìîæåì ñîñòàâèòü àëãîðèòì âûáîðà äëèíû íîâîãî øàãà (èëè òîãî æå
ñàìîãî, åñëè åãî ïðåäûäóùàÿ äëèíà áûëà ñëèøêîì áîëüøîé), êîòîðàÿ áóäåò îáåñïå÷èâàòü òðåáóåìóþ âåëè÷èíó ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè. Ïðè ýòîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî â ñèëó ïðèáëèæåííîãî õàðàêòåðà âñåõ îöåíîê ñëèøêîì áîëüøîå èçìåíåíèå äëèíû øàãà â ëþáóþ
ñòîðîíó ìîæåò ïðèâåñòè ê êà÷åñòâåííîìó èçìåíåíèþ ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ, ïîýòîìó íå ðåêîìåíäóåòñÿ ñèëüíî óâåëè÷èâàòü èëè óìåíüøàòü åå.
Ïðàâèëî Ðóíãå, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ÿâëÿåòñÿ âåñüìà äîðîãîñòîÿùèì: òðåáóåòñÿ 3s − 1 ýòàï. Íà ñòð. 26 ïðèâåäåì àëãîðèòì, êîòîðûé íàèáîëåå åñòåñòâåííî ñâÿçàí ñ ýòèì ñïîñîáîì îöåíêè ëîêàëüíîé
ïîãðåøíîñòè è èñïîëüçóåò âñå ïîëó÷àåìûå íà øàãå ïðèáëèæåíèÿ ȳn ,
ȳ¯n è ȳn− 12 .  ñëó÷àå 1 àëãîðèòìà, êîãäà øàã íå ïðèíèìàåòñÿ, åãî ïåðåñ÷åò òðåáóåò òîëüêî 2s − 1 íîâîå âû÷èñëåíèå ôóíêöèè f (x, y). Îòìåòèì, ÷òî ÷àùå âñåãî, èñõîäÿ èç ñîîáðàæåíèé òî÷íîñòè èëè ñâîéñòâ
ðåøàåìîé íà÷àëüíîé çàäà÷è, èçâåñòíà íåêîòîðàÿ ìàêñèìàëüíàÿ äîïóñòèìàÿ äëèíà øàãà hmax .
Ïîìèìî ïðàâèëà Ðóíãå ñóùåñòâóþò äðóãèå ñïîñîáû îöåíêè ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè, íå èñïîëüçóþùèå âû÷èñëåíèÿ íà ïîëîâèííîì
øàãå. Äëÿ íèõ ïîëîâèííîå äåëåíèå è óäâîåíèå øàãà íååñòåñòâåííî. Ê
òîìó æå èçìåíåíèå äëèíû øàãà âñåãî â äâà ðàçà íå âñåãäà ïîçâîëÿåò
ñðàçó æå ïîäîéòè áëèçêî ê ãðàíèöå äîïóñòèìîé òî÷íîñòè. Ïîòîìó
âûáîð íîâîé äëèíû øàãà ëîãè÷íåå äåëàòü ïî ôîðìóëå, àíàëîãè÷íîé
ôîðìóëå (50). Îäíàêî ðàññìîòðåíèå ýòèõ âîïðîñîâ âûõîäèò çà ðàìêè
íàñòîÿùåãî ìåòîäè÷åñêîãî ïîñîáèÿ.
Óïðàæíåíèå. Ìîäèôèöèðóéòå àëãîðèòì óïðàâëåíèÿ äëèíîé øàãà
íà ñòð. 26, èñïîëüçóÿ ñðàâíåíèå îöåíêè ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè áîëåå òî÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ r̄¯n ñ äîïóñêîì tol.
Êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîâûñèòü òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé, áåç óâåëè÷åíèÿ çàòðàò?
25
Àëãîðèòì óäâîåíèÿ è äåëåíèÿ øàãà ïîïîëàì
Çàäàíà ëîêàëüíàÿ òî÷íîñòü tol > 0. Èñïîëüçóåòñÿ ÷åòûðå âàðèàíòà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû îöåíêè ëîêàëüíîé
ïîãðåøíîñòè r̄n , ïîëó÷àåìîé íà n-ì øàãå äëèíîé hn .
1. kr̄n k > tol · 2p
Íè ȳn , íè ȳ¯n íå îáåñïå÷èâàþò íåîáõîäèìóþ òî÷íîñòü. Íóæíî
ïîâòîðèòü n-é øàã åùå ðàç ñ ìåíüøåé äëèíîé. Âûáèðàåì
hn :=
hn
,
2
ȳn := ȳn− 21
è ïåðåñ÷èòûâàåì çíà÷åíèÿ ȳn− 12 è ȳ¯n ñ íîâûì øàãîì.
2. tol < kr̄n k 6 tol · 2p
Ïðèáëèæåíèå ȳ¯n äàåò íóæíóþ òî÷íîñòü. Ìîæåì ïðèíÿòü ðåçóëüòàòû ñäåëàííîãî øàãà, îäíàêî âåëèêà âåðîÿòíîñòü, ÷òî íîâûé øàã òîé æå äëèíû ïðèâåäåò ê ñëèøêîì áîëüøîé âåëè÷èíå
ïîãðåøíîñòè, ïîýòîìó ïðèíèìàåì
hn+1 :=
hn
,
2
yn := ȳ¯n
è ïåðåõîäèì ê íîâîìó øàãó.
3. tol ·
1
2p+1
6 kr̄n k 6 tol
Ïðèáëèæåíèå ȳn òîæå äàåò íóæíóþ òî÷íîñòü. Ïðèíèìàåì ñäåëàííûé øàã è îñòàâëÿåì äëèíó áåç èçìåíåíèé. Ïîëàãàåì
hn+1 := hn ,
yn := ȳn
è ïåðåõîäèì ê íîâîìó øàãó.
4. kr̄n k < tol ·
1
2p+1
Ïðèáëèæåíèå ȳn îêàçûâàåòñÿ ñëèøêîì òî÷íûì, òàê ÷òî äàæå
äâîéíîé øàã áûë áû äîñòàòî÷íî òî÷åí. Âûáèðàåì
hn+1 := min(2hn , hmax ),
è ïåðåõîäèì ê íîâîìó øàãó.
26
yn := ȳn
Àëãîðèòì âûáîðà íà÷àëüíîãî øàãà
Àëãîðèòì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ øàãîì ìîæåò íà÷àòü ðàáîòó
ñ ëþáîé íà÷àëüíîé äëèíîé øàãà. Îäíàêî, åñëè îíà âûáðàíà ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ ñëèøêîì ìíîãî îòáðîøåííûõ âû÷èñëåíèé, ïîêà îíà áóäåò óìåíüøåíà, èëè áóäåò ñîâåðøåíî
ñëèøêîì ìíîãî ìàëåíüêèõ øàãîâ, ïîêà äëèíà íå áóäåò óâåëè÷åíà äî
ïîäõîäÿùåãî ïî òî÷íîñòè çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë àâòîìàòèçèðîâàòü âûáîð íà÷àëüíîãî øàãà.
1. Âû÷èñëèòü f (x0 , y0 );
2. Íàéòè
∆=
1
max (|x0 |, |xk |)
p+1
+ |f (x0 , y0 )|p+1 ;
3. Âûáðàòü íà÷àëüíûé øàã
h1 =
tol
∆
1
p+1
.
×àñòî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íàõîäÿòñÿ â îñîáîì ïîëîæåíèè, ãäå áîëüøèíñòâî êîìïîíåíò âåêòîðà f (x0 , y0 ) íóëè.  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî äîáàâèòü åùå äâà øàãà:
4. Ñäåëàòü îäèí øàã ìåòîäîì Ýéëåðà ñ äëèíîé øàãà h1 , ïîëó÷åííîé â ï. 3, ïîëó÷èâ ïðèáëèæåíèå u1 â òî÷êå x0 + h1 ;
5. Ïîâòîðèòü øàãè 13 àëãîðèòìà, âçÿâ òî÷êó (x0 + h1 , u1 ) âìåñòî
(x0 , y0 ), ïîëó÷èòü ïðèáëèæåíèå h01 è ïîëîæèòü
h1 := min(h1 , h01 ).
Èñïîëüçîâàíèå ðàçëè÷íûõ õàðàêòåðèñòèê òî÷íîñòè
×àùå â àëãîðèòìàõ âûáîðà øàãà èñïîëüçóþò íå àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü %, à îòíîñèòåëüíóþ %/|y|, òàê êàê áîëåå çíà÷èìûì ÿâëÿåòñÿ
ïîëó÷åíèå íóæíîãî ÷èñëà âåðíûõ öèôð âñåõ êîìïîíåíòîâ ðåøåíèÿ,
27
íàñêîëüêî áû îíè íè ðàçëè÷àëèñü ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå. Îäíàêî
â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ ñòàíîâÿòñÿ î÷åíü ìàëû
èëè, òåì áîëåå, îáðàùàþòñÿ â íóëü, âñå æå ïðîâåðÿåòñÿ ìàëîñòü àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè.
Îáû÷íî çàäàþò ðàçëè÷íûå äîïóñêè íà îòíîñèòåëüíóþ è àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòè. Îáîçíà÷èì èõ rtol è atol (îò relative è absolute )
ñîîòâåòñòâåííî. Ìîæíî óäîáíî îáúåäèíèòü â îäíîé ôîðìóëå ïðîâåðêó îòíîñèòåëüíîé è àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòåé è îäíîâðåìåííî èçáåæàòü äåëåíèÿ íà ìàëóþ âåëè÷èíû (åñëè |y| ìàëî). Ñ÷èòàåì, ÷òî
òî÷íîñòü óäîâëåòâîðåíà, åñëè
|%| 6 rtol · |y| + atol.
(54)
Ïîñêîëüêó íà ïðàêòèêå atol íà ïîðÿäêè ìåíüøå ÷åì rtol, òî â ñëó÷àå,
êîãäà çíà÷åíèå |y| äîñòàòî÷íî âåëèêî, âåëè÷èíà ïðàâîé ÷àñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûì ñëàãàåìûì è ìû ïðîâåðÿåì ìàëîñòü îòíîñèòåëüíîé
ïîãðåøíîñòè. Åñëè æå |y| äîñòàòî÷íî ìàëî, òî íà÷èíàåò äîìèíèðîâàòü atol è ïðîâåðÿåòñÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü.
Íàïðèìåð, ïóñòü ìû ðàáîòàåì ñ òî÷íîñòüþ double, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò õðàíèòü ïðèìåðíî øåñòíàäöàòü äåñÿòè÷íûõ öèôð â çàïèñè
÷èñëà. Ïóñòü rtol = 10−6 , òî åñòü ìû òðåáóåì, ÷òîáû îòâåò ñîäåðæàë
øåñòü âåðíûõ äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ, íî áûëî áû íàèâíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî
ìîæíî ïîëó÷èòü øåñòü âåðíûõ öèôð, åñëè ñàìà âåëè÷èíà áëèçêà ê
íóëþ. Ïîòîìó, çàäàäèì atol = 10−12 è òåì ñàìûì áóäåì ïðîâåðÿòü
òîëüêî òå öèôðû, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ðàçðÿäàì á
îëüøèì ÷åì
10−12 .
Òàê åñëè
y = 0.033 166 247 903 554,
òî
rtol · |y| + atol = 0.000 000 033 167 248.
Òàêèì îáðàçîì ïðè ïðîâåðêå ïîãðåøíîñòü äîëæíà áûòü ïîðÿäêà
10−8 , ÷òî äàåò øåñòü âåðíûõ öèôð â y .
Åñëè æå
y = 0.000 000 003 316 625,
òî
rtol · |y| + atol = 0.000 000 000 001 0033
è ïîãðåøíîñòü äîëæíà áûòü ïîðÿäêà 10−12 , ÷òî îçíà÷àåò ëèøü òðè
âåðíûõ äåñÿòè÷íûõ çíàêà äëÿ y . Åñëè æå |y| < atol, òî ìû âîîáùå
28
íå ïðîâåðÿåì åãî ïîãðåøíîñòü, ñ÷èòàÿ åãî ðàâíûì âû÷èñëèòåëüíîìó
íóëþ.
Äëÿ ñèñòåì ÎÄÓ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ íàêëàäûâàòü ðàçíûå îãðàíè÷åíèÿ íà ïîãðåøíîñòè äëÿ ðàçíûõ êîìïîíåíò ðåøåíèÿ, íàïðèìåð,
åñëè îäíà ÷àñòü íåèçâåñòíûõ ñîîòâåòñòâóåò êîîðäèíàòàì îáúåêòà, à
äðóãàÿ ñêîðîñòÿì èõ èçìåíåíèÿ, èëè îäíà çàðÿäàì íà óçëàõ
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, à äðóãàÿ òîêàì ÷åðåç ýòè óçëû. Õàðàêòåðíûå
âåëè÷èíû ðàçíûõ ïî ôèçè÷åñêîé ïðèðîäå èñêîìûõ ôóíêöèé ìîãóò
ñèëüíî ðàçëè÷àòüñÿ, è äîáèâàòüñÿ îäèíàêîâîé òî÷íîñòè (àáñîëþòíîé
èëè îòíîñèòåëüíîé) ñòàíîâèòñÿ íåöåëåñîîáðàçíî. Âåñü âåêòîð ðåøåíèÿ ðàçäåëÿåòñÿ òîãäà íà ïîäâåêòîðû wi , äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ
ïîãðåøíîñòü σi ñðàâíèâàåòñÿ ñî ñâîèìè ñîáñòâåííûìè rtoli è atoli (â
ïðåäåëüíîì ñëó÷àå âñå ïîäâåêòîðû ÿâëÿþòñÿ îòäåëüíûìè êîìïîíåíòàìè).
Ìîæåò áûòü è òàê, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ èç ïîäâåêòîðîâ ðåøåíèÿ
ìû âîîáùå íå âåäåì êîíòðîëü ïîãðåøíîñòè. Äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ wi
ïðîâåðÿåì ìàëîñòü íîðìû ïîãðåøíîñòè
(55)
kσi k 6 rtoli · kwi k + atoli .
×àñòî èñïîëüçóþòñÿ íîðìû
kσk∞ = max |σ i | (íîðìà-ìàêñèìóì),
kσk1 =
16i6m
m
X
i
|σ |,
(56)
i=1
kσk2 =
n
X
(σ i )2
!1/2
(åâêëèäîâà íîðìà).
i=1
Êà÷åñòâî àëãîðèòìà
Áðîñàÿ â âîäó êàìåøêè, ñìîòðè íà êðóãè, èìè
îáðàçóåìûå; èíà÷å òàêîå áðîñàíèå áóäåò ïóñòîþ
çàáàâîþ.
Êîçüìà Ïðóòêîâ
Ðàññìîòðèì â ýòîì ðàçäåëå íåêîòîðûå êðèòåðèè êà÷åñòâà àëãîðèòìà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè: íàäåæíîñòü, òî÷íîñòü è îáúåì âû÷èñëåíèé.
Íàäåæíîñòü. Ïðè ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ìåòîäîâ ñòîèò çàäà÷à
ðåãóëèðîâàòü âåëè÷èíó ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè ïîñðåäñòâîì èçìåíå29
íèÿ äëèíû øàãà. Ìåòîä ìîæíî ñ÷èòàòü íàäåæíûì, åñëè îí óäà÷íî
ñ ýòèì ñïðàâëÿåòñÿ, òî åñòü äîñòàòî÷íî áûñòðî àäàïòèðóåò äëèíó
øàãà è ñîõðàíÿåò ïîãðåøíîñòü ìåíüøåé äîïóñêà, íî áëèçêîé ê íåìó.
Äëÿ îöåíêè íàäåæíîñòè ðåøàþò çàäà÷ó ñ èçâåñòíûì àíàëèòè÷åñêèì
ðåøåíèåì è íà êàæäîì øàãå âû÷èñëÿþò îòíîøåíèå èñòèííîé ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè íà øàãå %n ê åå îöåíêå rn
ηn =
%n
.
rn
(57)
Ñïîñîá îöåíêè ïîãðåøíîñòè è ñîîòâåòñòâóþùåå óïðàâëåíèå äëèíîé øàãà îñíîâûâàþòñÿ íà ïðèáëèæåíèè âûðàæåíèÿ ïîðÿäêà O(hp+1 ),
êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê Chp+1 + O(hp+2 ). Îíè âûïîëíÿþòñÿ
äîñòàòî÷íî õîðîøî ëèøü òîãäà, êîãäà ïðè èçìåíåíèè äëèíû øàãà
êîýôôèöèåíò C ïðè ãëàâíîì ÷ëåíå ýòîãî âûðàæåíèÿ îñòàåòñÿ ïî÷òè íåèçìåííûì, ÷òî îáåñïå÷èâàåòñÿ â íåêîòîðîì èíòåðåâàëå èçìåíåíèÿ äëèíû øàãà. Åñëè ïðè ñîâåðøåíèè íîâîãî øàãà ηn ìàëî ìåíÿåòñÿ, çíà÷èò ïîãðåøíîñòü îöåíèâàåòñÿ ïî÷òè òàê æå òî÷íî, êàê è íà
ïðåäûäóùåì øàãå, è ìû ìîæåì òàê æå óïðàâëÿòü äëèíîé øàãà.
Åñëè æå ïðîèñõîäèò ðåçêîå èçìåíåíèå óðîâíÿ ηn , ýòî çíà÷èò, ÷òî
ëèáî ïîâåäåíèå ñàìîãî ðåøåíèÿ ñèëüíî èçìåíèëîñü è òåïåðü õîðîøàÿ
îöåíêà ïîãðåøíîñòè âîçìîæíà â äðóãîì èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ äëèíû
øàãà, ëèáî (åñëè èçâåñòíî, ÷òî â òåñòîâîé çàäà÷å ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ
íå èçìåíÿëîñü) ïëîõà ñàìà ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà.
Òî÷íîñòü. Ïðîâåðêà òî÷íîñòè ìåòîäà ïðîâîäèòñÿ ïóòåì àíàëèçà ïî-
âåäåíèÿ ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ äîïóñêàõ tol íà ëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòü. Íàñ èíòåðåñóåò,
ˆ íåïðåðûâíî ëè óìåíüøàåòñÿ ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü â êîíå÷íîé
òî÷êå xf (èëè íåñêîëüêèõ òî÷êàõ âíóòðè èíòåðâàëà ðåøåíèÿ)
ïðè óìåíüøåíèè çàäàâàåìîé äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè tol, è
ˆ ïðàâèëüíî ëè ðàáîòàåò àëãîðèòì, êîãäà òðåáóåòñÿ âûñîêàÿ òî÷íîñòü?
Îáúåì âû÷èñëåíèé. Äëÿ îäíîøàãîâûõ ìåòîäîâ òàêîé õàðàêòåðè-
ñòèêîé ñëóæèò êîëè÷åñòâî âû÷èñëåíèé ïðàâîé ÷àñòè Θ(tol) ñèñòåìû ÎÄÓ íà èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ [t0 , tf ] äëÿ êàæäîé çàäàííîé
òî÷íîñòè tol. Ñàìî ñîáîé, ýòà âåëè÷èíà çàâèñèò íå òîëüêî îò ÷èñëà
ýòàïîâ ìåòîäà, íî è îò åãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè (÷åì îí âûøå, òåì ñ
áîëüøèì øàãîì ìîæíî èäòè), è îò íàäåæíîñòè óïðàâëåíèÿ øàãîì
(÷åì ìåíüøå îòáðîøåííûõ øàãîâ, òåì ëó÷øå).
30
Íåäîñòàòêè ÿâíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå Êóòòû
ˆ Çàâèñèìîñòü ïîðÿäêà òî÷íîñòè ìåòîäà îò êîëè÷åñòâà âû÷èñëåíèé ïðàâîé ÷àñòè,
ˆ Îöåíêà ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò, ñðàâíèìûõ ïî îáúåìó ñ âû÷èñëèòåëüíûìè çàòðàòàìè íà ïîëó÷åíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ.
Çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû
1. Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ ïîðÿäêà äëÿ äâóõýòàïíîãî ßÌÐÊ âòîðîãî
ïîðÿäêà, ïîñòðîéòå ðàñ÷åòíóþ ñõåìó âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè çíà÷åíèè ïàðàìåòðà c2 , óêàçàííîì â âàðèàíòå.
2. Â âàðèàíòå çàäàíèÿ íàéäèòå ìåòîä-îïïîíåíò, ñ êîòîðûì áóäåò
ïðîâîäèòüñÿ ñðàâíåíèå ïîñòðîåííîãî ìåòîäà.
3. Äëÿ îáîèõ ìåòîäîâ ïîñòðîéòå è ïðîãðàììíî ðåàëèçóéòå àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè

1

0

B y (x),
y
(x)
=
2x
y
(x)

2
4
 1



 0
B
(y3 (x) − A) y4 (x),
y2 (x) = 2Bx exp
(58)
C


 y 0 (x) = 2Cxy (x),


4
3


 y 0 (x) = −2x ln y (x),
1
4
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì y1 (0) = y2 (0) = y4 (0) = 1, y3 (0) = A, íà
îòðåçêå x = [0, 5].
Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è èìååò âèä
2
y1 (x) = esin x ,
y3 (x) = C sin x2 + A,
2
y2 (x) = eB sin x ,
y4 (x) = cos x2 .
Ðåøåíèå ïðîâîäèòå ñ ïîñòîÿííûì øàãîì.
ˆ Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè íîðìû òî÷íîé ïîëíîé ïîãðåøíîñòè â êîíöå îòðåçêà îò äëèíû øàãà â äâîéíîé ëîãàðèôìè÷åñêîé øêàëå äëÿ äëèí øàãîâ 1/2k , k = 0, ..., 6.
Ïîñòðîéòå íà òîì æå ãðàôèêå ïðÿìóþ ñ íàêëîíîì äâà
31
(è ñ íàêëîíîì, ðàâíûì ïîðÿäêó ìåòîäà-îïïîíåíòà, åñëè
îí îòëè÷åí îò äâóõ). Óáåäèòåñü, ÷òî ðåàëèçîâàííûé ìåòîä
ïîêàçûâàåò ñõîäèìîñòü ïðàâèëüíîãî ïîðÿäêà.
ˆ Îöåíèâàÿ ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü ïî ïðàâèëó Ðóíãå, íàéäèòå
äëèíó îïòèìàëüíîãî øàãà hopt , îáåñïå÷èâàþùåãî ïîãðåøíîñòü íå ïðåâîñõîäÿùóþ tol = 10−5 . Ïîñòðîéòå ãðàôèê
çàâèñèìîñòè íîðìû òî÷íîé ïîëíîé ïîãðåøíîñòè îò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ïðè ðåøåíèè ñ hopt .
4. Äëÿ îáîèõ ìåòîäîâ ðåàëèçóéòå àëãîðèòì ñ àâòîìàòè÷åñêèì âûáîðîì äëèíû øàãà, îñíîâàííûé íà îöåíêå ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè ïî ïðàâèëó Ðóíãå. Ïðîâåðüòå íàäåæíîñòü äâóõ àëãîðèòìîâ,
èõ ýêîíîìè÷íîñòü.
ˆ Èñïîëüçóéòå çíà÷åíèÿ rtol = 10−6 è atol = 10−12 . Ïîñòðîéòå ãðàôèê ðåøåíèÿ.
ˆ Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè äëèíû øàãà îò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Íà ãðàôèêå îòìåòüòå ðàçíûìè ñèìâîëàìè îòáðîøåííûå è ïðèíÿòûå øàãè.
ˆ Äëÿ òîãî æå ðåøåíèÿ ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè íîðìû òî÷íîé ïîëíîé ïîãðåøíîñòè îò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.
ˆ Ïðîâåäèòå ðàñ÷åòû äëÿ çíà÷åíèé rtol = 10−4 , 10−5 , 10−6 ,
10−7 è 10−8 (atol = 10−12 âî âñåõ ñëó÷àÿõ). Ïîñòðîéòå
çàâèñèìîñòü ÷èñëà îáðàùåíèé ê ïðàâîé ÷àñòè îò rtol â
äâîéíîé ëîãàðèôìè÷åñêîé øêàëå.
Âàðèàíòû
1. c
2. c
3. c
4. c
5. c
6. c
7. c
2
= 0.05, A = 3, B = 3, C = −3, îïïîíåíò ìåòîä (26).
2
= 0.10, A = −3, B = 2, C = 1, îïïîíåíò ìåòîä (27).
2
= 0.15, A = −2, B = −2, C = 2, îïïîíåíò ìåòîä (28).
2
= 0.20, A = 2, B = −1, C = −1, îïïîíåíò ìåòîä (29).
2
= 0.25, A = 1, B = 1.5, C = −2, îïïîíåíò ìåòîä (30).
2
= 0.30, A = −1, B = −3, C = 3, îïïîíåíò ìåòîä (31).
2
= 0.35, A = 3, B = −3, C = 3, îïïîíåíò ìåòîä (26).
32
8. c
9. c
10. c
11. c
12. c
13. c
14. c
15. c
16. c
17. c
18. c
19. c
20. c
2
= 0.40, A = −3, B = 2.5, C = 1, îïïîíåíò ìåòîä (27).
2
= 0.45, A = −2, B = 2, C = −2, îïïîíåíò ìåòîä (28).
2
= 0.55, A = 2, B = −1, C = 2, îïïîíåíò ìåòîä (29).
2
= 0.60, A = 1, B = 3, C = 3, îïïîíåíò ìåòîä (30).
2
= 0.65, A = −1, B = −2, C = −1, îïïîíåíò ìåòîä (31).
2
= 0.70, A = 3, B = 1.5, C = −1, îïïîíåíò ìåòîä (26).
2
= 0.75, A = −3, B = −2, C = −2, îïïîíåíò ìåòîä (27).
2
= 0.80, A = −2, B = 3, C = −1, îïïîíåíò ìåòîä (28).
2
= 0.85, A = 2, B = −2, C = 3, îïïîíåíò ìåòîä (29).
2
= 0.90, A = 1, B = −3, C = 2, îïïîíåíò ìåòîä (30).
2
= 0.95, A = −1, B = −1, C = −3, îïïîíåíò ìåòîä (31).
2
=
√
5
2
2
=
3
2
− 12 , A = 3, B = −1, C = −2, îïïîíåíò ìåòîä (28).
√
−
5
2 ,
A = −3, B = 2.5, C = 2, îïïîíåíò ìåòîä (30).
Ëèòåðàòóðà
1. Õàéðåð Ý., Íåðñåòò Ñ. Ï., Âàííåð Ã. Ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íåæåñòêèå çàäà÷è Ì.: Ìèð,
1990. 512 ñ.
2. Âåðæáèöêèé Â. Ì. Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ: ó÷åáíèê äëÿ âóçîâ Ì.: Äèðåêò-Ìåäèà, 2013. 847 ñ.
3. Áàõâàëîâ Í. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï., Êîáåëüêîâ Ã. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû, 8-å èçä. Ì.: ÁÈÍÎÌ. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2015. 639 c.
Áèîãðàôè÷åñêèå ñâåäåíèÿ âçÿòû èç Âèêèïåäèè (ru.wikipedia.org).
33