Международный университет природы, общества и человека «Дубна» Кафедра системного анализа и управления Курсовая работа Принятие решений на примере задачи распознавания образов с использованием алгоритма «Дискриминантная функция» по курсу «Теория принятия решений» Выполнила: студентка II курса гр. 2014 Хлупина А.А. Ст. преподаватель: Булякова И.А. Дубна, 2007 Содержание Введение ................................................................................................................... 3 Теоретическая часть ................................................................................................ 4 Метод решения задачи. .............................................................................................................4 Линейный дискриминантный анализ. .....................................................................................4 Квадратичный дискриминантный анализ. ..............................................................................6 Распознавание с отказами. ........................................................................................................6 Практическая часть ................................................................................................. 8 Постановка задачи. ....................................................................................................................8 Исходные данные ......................................................................................................................8 Решение ....................................................................................................................................12 Заключение ............................................................................................................ 20 Список литературы ............................................................................................... 21 2 Введение Дискриминантный анализ — это раздел математической статистики, содержанием которого является разработка методов решения задач различения (дискриминации) объектов наблюдения по определенным признакам. Методы дискриминантного анализа находят применение в различных областях: медицине, социологии, психологии, экономике и т.д. При наблюдении больших статистических совокупностей часто появляется необходимость разделить неоднородную совокупность на однородные группы (классы). Такое расчленение в дальнейшем при проведении статистического анализа дает лучшие результаты моделирования зависимостей между отдельными признаками. Дискриминантный анализ оказывается очень удобным и при обработке результатов тестирования отдельных лиц. Например, при выборе кандидатов на определенную должность можно всех опрашиваемых претендентов разделить на две группы: «подходит» и «не подходит». Можно привести еще один пример применения дискриминантного анализа в экономике. Для оценки финансового состояния своих клиентов при выдаче им кредита банк классифицирует их на надежных и ненадежных по ряду признаков. Таким образом, в тех случаях, когда возникает необходимость отнесения того или иного объекта к одному из реально существующих или выделенных определенным способом классов, можно воспользоваться дискриминантным анализом. 3 Теоретическая часть Дискриминантный анализ используется для решение задач распознавания в ситуациях, когда в материале обучения (МО) представлены объекты K образов (K=2,3,…), распределенные нормально. Метод решения задачи. Дискриминантный анализ основан на предположении, что объекты, составляющие каждый из образов, многомерно нормально распределены. Мы опираемся на эталонные объекты. Теоретически разделяются: — линейный дискриминантный анализ, когда матрицы ковариации для разных образов равны; — квадратичный дискриминантный анализ, когда матрицы ковариации для разных объектов различны. Линейный дискриминантный анализ. Рассмотрим случай, когда в МО имеется два образа. Оказывается, что при равных ковариационных матрицах поверхность с одной стороны, от которой больше вероятность принадлежности к одному из образов, а с другой к другому (критерий Байеса), является гиперплоскость, т.е. линейная поверхность размерности n-1 (n – размерность пространства). Уравнение гиперплоскости в общем виде можно записать следующим образом: D( x) b x p 0 . В данном случае эта поверхность вычисляется следующим образом: T D x 0.5 x M1 x M 2 1 M1 M 2 0 (1), где x – n-мерный вектор столбец в пространстве свойств x x1 , x2 ,..., xn ; M1 – математическое ожидание (среднее) объектов 1-го образа; M 2 – математическое ожидание (среднее) объектов 2-го образа; T – транспонирование; – матрица коэффициентов ковариации. Формула (1) называется уравнением линейной дискриминантной функции. 4 Коэффициенты ковариации вычисляются следующим образом: ij M xi M i x j M j , где M – знак математического ожидания. Коэффициенты ковариации тесно связан с коэффициентом корреляции: Kij где ij i j , i — среднее квадратичное отклонение ( Di ) i-го свойства; j — среднее квадратичное отклонение ( D j ) j-го свойства; Дисперсия Di M xi M i . 2 Дискриминантная плоскость разбивает все пространство на две части. При этом точки пространства, относимые к 1-му образу, при подстановки своих координат в дискриминантную функцию дадут Dx 0 , а точки 2-го образа — Dx 0 . Таким образом, подставляя координаты, интересующих нас объектов выборки, мы по дискриминантной функции определим, к какому из двух образов принадлежит объект (понятно, что с определенной долей вероятности). На рисунке (рис. 1) для двумерного случая это выглядит следующим образом: Значение матриц ковариации вычисляются по формулам: x1 D1 1 12 D1/ 2 / 12 D2 ; 12 . D / 12 / 2 Есть параметр, говорящий о качестве x2 рис. 1 разбиения с помощью дискриминантной функции – это расстояние Махаланобиса: M 1 M 2 T M 1 1 M 2 . Разбиение тем лучше, чем больше . 5 Квадратичный дискриминантный анализ. Был рассмотрен случай, когда матрицы ковариации для разных образов равны, и для распознавания использовалась линейная дискиминантная функция. Теперь рассмотрим ситуацию, когда матрицы ковариаций разных образов не совпадают. Для различных ковариационных матриц байесовский критерий предлагает строить квадратичную дискриминантную функцию. Однако, на практике ее строят чрезвычайно редко, поскольку никогда нельзя с точностью сказать равны или нет ковариационные матрицы. Мы ведь имеем только оценки, так как работаем не со всей генеральной совокупностью объектов, а только с выборкой из нее. Поэтому обычно вычисляют усредненную ковариационную матрицу для двух образов: K1 1 K 2 2 K1 K 2 , K1 – число объектов в 1-ой выборке; где K2 – число объектов во 2-ой выборке; 1 – ковариационная матрица для 1-го образа; 2 – ковариационная матрица для 2-го образа. После этого применяется линейный дискриминантный анализ. Распознавание с отказами. Пусть имеется k образов, где k 2 (т.е. известны эталоны для этих образов). Тогда можно построить линейную дискриминантную функцию для любой пары образов: Dij x , где i, j – образы. D1,2 x1 x относится к i-му образу, если Dij x 0 для всех j, или к области D2,3 1 отказа, если такового i – нет. 2 Посмотрим как это выглядит на 4 графике (рис. 2), где D – гиперплоскости; D1,3 3 1, 2, 3 – образы; 4 – область отказа. x2 рис. 2 6 В область отказа попадают такие точки, для которых невозможно определить принадлежность к одному из образов. Другими словами точка отказа – это такая точка, координаты которой при подстановке в дискриминантную функцию дают следующие значения: D1, 2 A 0 A 1 ; D1,3 A 0 A 3 ; D2,3 A 0 A 2 ; D A 0 A 4 . Дискриминантный анализ эффективно использовать при достаточно близком расположении образов и даже при небольшом их наложении. Практика показала, что дискриминантный анализ хорошо работает и для случая, когда нет многомерного нормального распределения. При этом необходимо, чтобы распределение по каждому образу было все таки симметрично и унимодально. Правда, при этом алгоритм уже нельзя рассматривать как статистический, а можно говорить об эвристическом алгоритме распознавания образов. 7 Практическая часть Постановка задачи. Исследуем, какие свойства относят квартиру к одной из трех категорий: (1) 1комнатной, (2) 2-комнатной или (3) 3-комнатной. В данной задаче имеются 3 образа: 1 – 1-комнатная квартира, 2 – 2-комнатная квартира и 3 – 3-комнатная квартира и 3 свойства: общая площадь, жилая площадь и цена квартиры. Известна часть представителей каждого образа и значения их свойств (табл. 1). Требуется отнести квартиры (МЭ) к каждому из образов (табл. 2). Исходные данные Таблица 1. общ. площадь (кв.м.) 44 29 31 28 40 48 44 36 26 29 41 27 47 34 47 28 49 54 52 34 46 41 36 32 28 39 30 48 44 29 Материал обучения цена (тысяч кол-во $) комнат 50 50 58 55 54 49 48 51 60 57 56 59 61 53 49 40 54 62 59 47 59 54 56 49 51 58 54 63 51 45 жилая площадь 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 22 20 23 31 40 37 28 18 19 36 18 39 20 36 15 32 42 43 23 35 26 27 23 16 27 20 39 31 21 8 52 47 46 39 47 43 42 32 36 44 56 57 59 58 69 60 64 73 56 60 60 68 64 66 57 67 65 71 68 65 72 77 60 64 70 79 67 64 58 63 57 74 60 73 69 71 70 60 79 69 100 120 88 93 87 101 87 57 56 58 59 60 61 51 50 57 66 72 79 80 85 83 77 88 91 90 100 89 94 97 81 75 89 96 94 91 94 86 89 88 99 91 96 98 93 94 101 94 110 118 112 120 93 99 89 94 123 130 149 150 145 173 165 127 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 44 39 38 24 35 30 29 18 22 35 40 41 43 42 53 50 52 60 42 49 50 54 51 53 55 56 50 59 58 49 60 61 48 51 58 62 56 51 43 45 42 62 42 57 47 57 56 51 65 50 80 101 62 73 63 81 61 9 94 84 118 100 97 118 115 123 93 92 99 109 103 189 156 191 183 179 178 184 187 182 167 154 185 132 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 74 70 99 84 74 100 95 106 74 73 78 95 96 Таблица 2. жилая площадь 16 26 40 39 21 15 18 21 35 15 20 21 37 24 28 20 21 34 37 26 19 49 25 24 23 43 23 22 33 26 28 27 37 40 14 35 37 41 Материал экзамена общ. площадь цена (тысяч (кв.м.) $) 26 57 34 48 49 52 48 48 33 45 26 45 29 50 30 47 48 58 26 50 32 51 33 52 53 44 36 54 37 44 30 45 36 48 45 54 48 47 39 49 31 52 65 96 39 57 42 58 41 49 52 49 34 55 39 58 48 50 40 50 37 44 38 50 49 50 52 55 26 45 47 47 49 58 53 53 кол-во комнат 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 32 33 50 52 62 60 37 64 54 65 64 55 40 51 61 56 62 59 58 50 54 49 55 65 48 44 59 66 50 60 51 61 51 89 42 56 45 44 61 41 49 54 95 90 79 89 84 100 88 98 101 102 95 87 85 104 94 45 46 62 65 77 74 48 78 70 76 74 67 56 65 76 68 75 71 70 64 71 62 67 74 65 58 72 78 64 75 67 73 65 106 60 67 58 60 76 56 60 69 113 107 93 106 98 117 104 115 118 119 115 103 100 122 112 56 59 97 117 103 94 57 73 122 118 116 92 75 78 95 80 93 102 121 92 104 99 81 87 119 107 106 122 73 93 74 114 112 151 80 94 81 111 112 90 100 89 155 178 185 133 169 143 130 187 168 159 162 140 172 171 148 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 49 90 70 72 70 61 113 84 90 93 84 144 162 176 137 0 0 0 0 0 На рис. 1 изображены объекты материала обучения и материала экзамена. Образы 250 200 1 к.кв . 150 цена 2 к.кв . 3 к.кв . 100 МЭ 50 0 0 20 40 60 80 100 120 140 общ. площадь Рис. 1и 2 и между 2 и 3 образами. Решение 1. Вычисляем математическое ожидание для каждого свойства, каждого образа: M1 M2 средняя общ.пл. средняя цена средняя жил.пл. 39,2 54,7 28,825 M3 65,5 93,3 51,775 101,0 165,3 81,95 Мi – математическое ожидание для i-ого образа. средняя общ.пл. средняя цена средняя жил.пл. M1-M2 -26,2 -38,6 -22,95 M2-M3 -35,5 -72,0 -30,175 M1+M2 104,7 148,0 80,6 M2+M3 166,5 258,6 133,725 M1-M3 -61,8 -110,6 -53,125 M1+M3 140,3 219,975 110,775 2. Построим матрицы ковариации: Матрица ковариации для 1 образа: 12 65,39475831 15,45126111 63,50792818 15,45126111 28,769375 16,368125 63,50792818 16,368125 69,294375 Матрица ковариации для 2 образа: 40,699375 24,9575 36,981875 24,9575 125,71 6,9175 36,981875 6,9175 44,124375 Матрица ковариации для 3 образа: 141,1983988 88,92908133 156,9474912 88,92908133 419,11 93,565 156,9474912 93,565 190,4475 3. Вычислим среднюю и обратную матрицы ковариации: Средняя матрица ковариации для 1 и 2 образов 45,17612916 20,20438055 50,24490159 20,20438055 77,2396875 11,6428125 50,24490159 11,6428125 56,709375 Обратная матрица ковариации 1 и 2 образов -1,544008944 0,203987709 1,326122653 0,203987709 -0,013589793 -0,177944457 1,326122653 -0,177944457 -1,120786964 Средняя матрица ковариации для 2 и 3 образов 63,70446628 46,28136044 76,97041373 46,28136044 223,51 35,8 76,97041373 35,8 92,89875 Обратная матрица ковариации 2 и 3 образов -0,721628727 0,057188283 0,575860506 0,057188283 0,000236293 -0,04747389 0,575860506 -0,04747389 -0,44806476 Средняя матрица ковариации для 1 и 3 образов 90,66263848 39,94386785 94,65444918 39,94386785 158,8829167 42,10041667 94,65444918 42,10041667 109,67875 Обратная матрица ковариации 1 и 3 образов 13 0,112573908 -0,002847867 -0,096059856 -0,002847867 0,007078644 -0,0002594 -0,096059856 -0,0002594 0,092118241 4. Вычислим коэффициенты b и p Для образов 1 и 2: b12 = 2,190385893 -0,742470522 -2,192958018 p12 = -1351,05946 Для образов 2 и 3: b23 = 4,157512047 -0,617354197 -3,531577574 p23 = -1527,631272 Для образов 1 и 3: b13 = -1,536574503 -0,593353629 1,069478346 p13 = 113,7887413 5. Вычисляем дискриминантную функцию и проводим распознавание. В табл. 3 приведены результаты вычислений. Таблица 3. D(X)12 15,90745 16,75062 10,09422 12,14217 18,94339 21,17611 18,02225 18,6783 8,44274 19,04042 16,71994 15,95341 13,15472 14,08097 17,584 19,67557 17,07277 10,88348 12,85529 15,34149 16,63219 -13,1292 12,06737 D(X)23 39 39 32 34 38 41 39 40 30 40 37 37 31 35 38 40 36 33 33 35 38 14 33 D(X)13 7,287869449 11,03023955 0,58090434 3,421415011 8,999483204 13,33863465 8,970578034 12,42249946 -6,79003466 10,3718665 5,906457589 4,846007804 -4,026999682 2,258012078 10,93288725 12,53972837 2,60969881 -0,876374984 1,875811947 2,754013405 5,780200117 -40,48654224 -3,06229397 ??? 1 1 1 1 1 1 1 1 отказ 1 1 1 отказ 1 1 1 1 отказ 1 1 1 2 отказ проверка на ошибки 13,0744164 33,53826 50,73509 17,45029061 40,11716 63,08892 13,92636333 36,36845 53,12999 15,36800246 39,85175 62,72821 12,29444218 34,82638 53,43849 11,57203918 33,57286 53,73797 13,21374159 35,46803 57,26919 14,79042276 37,19706 58,15642 14,34005576 38,47371 57,4872 14,88928878 37,58034 55,72701 10,52881313 35,17265 56,0626 14,57079697 38,07897 56,54398 6,785758599 31,06148 47,08482 15,47286513 35,65972 51,48703 12,34039945 33,04194 50,99663 22,91901356 41,09119 63,07269 10,38387063 29,42478 40,6788 4,55486254 27,26883 38,94388 6,086084975 29,53793 44,86657 17,60672787 37,95879 58,25559 8,408397047 31,00607 45,53019 12,81299728 32,73962 46,55453 12,79771792 35,71745 54,12017 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 11,19402 15,37766 10,35748 14,18962 12,0692 12,14583 14,71795 17,584 14,96776 11,37747 8,223613 21,3191 13,33767 7,960361 8,738503 10,31518 8,694378 -13,1101 -22,5281 -20,3348 -15,6154 8,583898 -8,00301 -25,9317 -26,9745 -25,5844 -12,6714 -1,10476 -5,72665 -16,5783 -7,88508 -15,6706 -18,3003 -26,0766 -11,3672 -18,4396 -13,8214 -7,97283 -13,3404 -22,8104 -15,738 -20,2053 -29,2188 -3,25157 -15,3846 -4,41089 -24,1048 -20,2494 -50,3938 -4,31203 -13,6686 -4,77534 -17,8393 -23,8397 -7,65484 -13,8557 -11,6397 31 33 32 36 32 31 34 38 36 32 30 41 33 30 30 31 30 16 10 9 12 31 16 6 7 8 16 22 19 11 18 12 12 8 16 10 15 18 15 9 15 10 5 21 12 19 8 11 -13 19 16 21 12 7 19 16 15 -9,334849453 -3,52757064 0,959676757 3,668329109 -6,864082637 -4,182162324 0,624085274 10,93288725 4,766712626 -1,440823442 -5,808880054 12,2691563 1,273429757 -6,18765247 -5,089268953 -4,202038933 -6,449195976 -35,40069402 -49,7385334 -49,17569317 -41,3647437 -4,057724339 -30,77270213 -58,24921737 -53,33098806 -50,14061014 -34,76940666 -23,82225064 -27,66722024 -43,96176799 -28,11625927 -40,16900788 -42,57132757 -53,37795035 -35,50707488 -49,10542656 -37,65687962 -28,24251674 -31,86387657 -55,20315405 -41,60480237 -46,48131658 -57,70807323 -24,23335594 -42,30796458 -28,36695473 -50,62576342 -47,84124361 -93,34141257 -30,7963601 -34,88663557 -25,10812968 -47,05136589 -54,04877967 -31,65307672 -35,17708424 -37,13197312 отказ отказ 1 1 отказ отказ 1 1 1 отказ отказ 1 1 отказ отказ отказ отказ 2 2 2 2 отказ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 17,14524546 18,07749299 11,35424609 15,83131757 5,735082539 12,74197898 19,72897665 6,797372555 8,880243344 8,362205058 11,35607879 7,784860076 8,858265504 13,46904487 17,43305935 13,08553181 5,811219192 0,176657083 -3,152705018 -4,258621066 -6,05492803 -8,93392313 -4,174535862 -9,944638563 -14,13756155 -7,797827708 -13,8557443 -9,300204926 -13,57904582 -13,64589976 -7,490451304 -3,446017023 -11,53293369 -13,27216796 -14,88319245 -12,86959094 -12,27489919 -11,80546822 -14,2118655 -8,587084644 -14,50017794 -13,26238671 -17,73762548 -15,37718549 -11,93734341 -10,04217042 -14,30011465 -9,702781945 -22,73558331 -20,54331372 -22,67851062 -23,88012583 -14,17007217 -16,39351822 -9,443195523 -17,3123191 -25,59051488 38,74827 38,76678 33,34446 37,95195 29,95349 32,85414 41,01506 30,30428 32,11752 31,97352 32,23415 30,13582 30,97379 33,69294 37,05626 34,02543 30,6068 23,04462 21,03872 20,11768 19,27057 15,98801 22,23441 17,67087 13,59199 19,3468 16,47528 19,3814 14,29609 15,24026 18,361 26,06167 16,69905 14,55466 13,85287 16,17276 14,73931 15,41324 11,82837 19,03744 14,76475 14,90777 9,189969 14,55929 16,19126 17,42166 13,17663 17,7633 9,023925 10,15978 7,726651 5,446087 13,50892 12,42405 19,67225 10,53803 5,605392 60,14203 57,61527 48,32374 57,03998 44,36154 48,69445 64,98621 47,12276 49,72917 48,98492 44,52195 43,40026 43,60582 50,00645 54,20129 48,17943 44,44987 27,79824 23,17767 21,65012 19,15045 15,1991 29,37996 18,84573 11,79232 19,25683 14,66335 22,25972 11,27826 12,43607 20,99553 40,52378 17,92056 10,42337 12,01593 17,33624 10,5406 16,29567 7,902211 20,71411 11,24936 14,26309 1,745065 12,58038 14,80948 14,87975 5,182357 15,34684 1,120986 -3,50337 -3,87654 -13,1719 10,47033 7,377304 23,32919 6,140207 -11,7435 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 -54,335 -62,2659 -60,9334 -42,7053 -55,7961 -50,7099 -40,8881 -68,8253 -61,7278 -58,2229 -57,7178 -44,8201 -57,6133 -64,2238 -51,0057 -7,21792 -48,9216 -48,0547 -55,499 -39,1438 -17 -20 -16 -9 -14 -15 -7 -25 -21 -19 -20 -9 -15 -24 -15 20 -16 -7 -14 -7 1св-во (рис.2) 12 x -100,0539785 -109,8290567 -104,2347509 -82,66104726 -97,0765736 -93,73264127 -78,87731572 -118,9060086 -109,0335781 -104,1604916 -107,2806029 -84,34375584 -100,8603051 -113,751502 -95,43340697 -27,22000069 -98,87448035 -86,38375201 -101,7711931 -85,37908182 y 26 79 23 x y x -6,94062 -17,9999 -9,43309 -8,10082 -13,8275 -15,6036 -3,53114 -18,7084 -5,88932 -27,3021 -18,378 -18,2948 -23,9205 -24,9038 -27,4776 -16,6213 -12,7134 -12,5959 -21,3466 -4,65995 -31,4464 -50,9926 -44,3488 -37,0416 -55,0241 -52,6809 -30,011 -63,1421 -32,9311 -74,9792 -58,6162 -61,9798 -66,1962 -70,494 -72,8023 -57,9617 -48,5942 -46,2893 -61,8679 -20,1312 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 40 40 z 99,46503296 550,6700441 y 26 123 -38,95854078 -54,00494366 -42,5992925 -42,98538315 -52,32333122 -54,24779736 -32,4071297 -62,05828766 -45,48522567 -71,26600842 -62,16887487 -58,39673082 -65,85619087 -67,11487877 -71,54037566 -58,93704463 -52,19056982 -48,72749983 -66,36363056 -42,68986216 z -2,887527939 153,4694571 56 123 13 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 40 40 z 196,5386786 -246,4289809 40 40 16 Свойство 1 250 200 цена 150 100 1 к.кв. 50 2 к.кв. 3 к.кв. 0 -50 0 20 40 60 80 100 120 140 ДФ12 ДФ23 -100 ДФ13 -150 МЭ -200 -250 -300 общ. площадь Рис.2. 2св-во (рис.3) 12 x y 40 123 23 x y 72 191 13 z 38,41431716 283,275256 x z 207,2154834 1008,609458 y 40 191 40 40 40 40 z 160,2836664 -230,7525366 40 40 17 Свойство 2 200 150 жилая площадь 100 1 к.кв. 50 2 к.кв. 0 -50 0 50 100 150 200 250 3 к.кв. ДФ12 ДФ23 -100 ДФ13 -150 МЭ -200 -250 -300 общ. площадь Рис.3 3св-во (рис.4) 12 x y 15 65 23 x y 40 106 13 z -35,33897766 112,167612 x z -8,285417474 436,1851906 y 15 106 40 40 40 40 z 225,0247596 -10,63281965 40 40 18 Свойство 3 250 200 жилая площадь 1 к.кв. 150 2 к.кв. 3 к.кв. 100 ДФ12 ДФ23 ДФ13 50 МЭ 0 0 20 40 60 80 100 120 140 -50 общая площадь Рис.4. 19 Заключение Дискриминантный анализ эффективно использовать при достаточно близком расположении образов и даже при небольшом их наложении и когда в материале обучения присутствует 2 и более образов. Для решения данной задачи использовался алгоритм «Дискриминантная функция», т.к. в материале обучения присутствует 3 образа и объекты обучения имеют нормальное распределение, т.е. образы компактны. В результате для данной задачи распознавание с помощью алгоритма «Дискриминантная функция» дало ошибку 1-го и 2-го рода и область отказа. Объекты материала экзамены были полностью распознаны. 20 Список литературы 1. Вапник В.Н., Червоненскис А.Я. Теория распознавания образов. – М. 1974. 2. Васотев В.И. Распознавательные системы. – Киев. 1969. 3. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания образов. – М. 1977. 4. Добрынин В.Н., Черемисина Е.Н., Булякова И.А и др. Математические методы системного анализа и теория принятия решений. – Дубна. 2002. 5. Черемисина Е.Н. Конспект лекций по ТПР. 21