Лекция 2 Иррациональные уравнения и неравенства ⇔

Лекция 2
Иррациональные уравнения и неравенства
2.1. Решение иррациональных уравнений
Арифметическим квадратным корнем, или просто корнем из неотрицательного
числа а назовем такое неотрицательное число b, что a = b2. Тогда уравнение
вида √𝑓(𝑥) = g(x) будет равносильно следующей системе:
𝑓(𝑥) = 𝑔2 (𝑥),
√𝑓(𝑥) = g(x)⇔{
𝑔(𝑥) ≥ 0.
Неравенство g(x) ≥0 является необходимым, так как квадратный корень есть
величина неотрицательная. Область определения f(x) ≥ 0 здесь следует из
уравнения f(x) = g2(x) и того факта, что g2(x) при всех значениях переменной х
является неотрицательным числом. Уравнение вида √𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)
будет
равносильно следующей системе:
√𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥),
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥),
⇔{
𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑔(𝑥) ≥ 0
⇔{
Любая из указанных систем является равносильной исходному уравнению, так
как из равенства чисел f(x) и g(x) и из условия, что одно из этих чисел неотрицательно, всегда следует, что и другое число также является
неотрицательным.
Задача 1. Решить уравнение
√24 − 10𝑥 = 3- 4х.
Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе:
3
𝑥≤
4
3 − 4𝑥 ≥ 0
𝑥≤ ,
5
3 ⇔𝑥 = − .
4
⇔
{
⇔{
{
2
𝑥=
8
24 − 10𝑥 = (3 − 4𝑥)
[ 25
16𝑥 2 − 14𝑥 − 15 = 0.
3
𝑥=−
8
5
Ответ: − .
8
Задача 2. Решить уравнение
√15 + 5𝑥 - √19 − 5𝑥 = 2.
Решение. Найдем область определения данного уравнения, для чего решим
𝑥 ≥ −3
19
15 + 5х ≥ 0,
19 ⇔ 𝑥𝜖 [−3; ] .
следующую систему: {
⇔{
𝑥≤
5
19 − 5x ≥ 0
5
Перепишем исходное уравнение следующим образом:
√15 + 5𝑥 = √19 − 5𝑥 + 2.
Так как на области определения обе части уравнения неотрицательны, можем
возвести их в квадрат:
5𝑥 − 4 ≥ 0
15 + 5X = 19-5X+ 4√19 − 5𝑥+4⇔2√19 − 5𝑥=5X - 4⇔{
⇔
76 − 20𝑥 = (5𝑥 − 4)2
4
𝑥≥ ,
5
{
⇔ 𝑥 = 2.
2
5𝑥 − 4𝑥 − 12 = 0
Найденный корень принадлежит области определения данного уравнения.
Ответ: 2.
Задача 3. Найти все решения уравнения
√𝑥 + 2 - √𝑥 − 1=√2𝑥 − 3.
Решение. Найдем область определения данного уравнения, для чего решим
следующую систему:
𝑥 + 2 ≥ 0,
3
{ 𝑥 − 1 ≥ 0, ⇔ 𝑥𝜖 [ ; +∞).
2
2𝑥 − 3 ≥ 0
Преобразуем уравнение к виду
√𝑥 + 2 = √𝑥 − 1 - √2𝑥 − 3.
Так как на области определения обе части уравнения неотрицательны, можем
возвести их в квадрат:
x+2=x-1+2√(𝑥 − 1)(2𝑥 − 3) +2x – 3 ⇔ √2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 = 33 − 𝑥 ≥ 0,
𝑥≤3
x⇔{ 2
⇔ [𝑥=−3
2 ⇔{ 2
𝑥=2.
2𝑥 − 5𝑥 + 3 = (3 − 𝑥)
𝑥 +𝑥−6=0
Области определения удовлетворяет х = 2.
Ответ: 2.
Задача 4. Найти все действительные решения уравнения
(x + 1)√𝑥 2 + 𝑥 − 2=2x + 2.
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
(x +
1)(√𝑥 2
+𝑥−2–
𝑥+1=0,
{ 2
𝑥
2)=0⇔[ 2 +𝑥−2≥0
√𝑥 +𝑥−2 – 2=0
⇔.√𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 2 ⇔
𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 4⇔x=2, x=-3
Ответ: -3; 2.
Задача 5. Решить уравнение
5√1 + |𝑥 2 − 1|=3+|5x+ 3|.
Решение. Начнем решать данную задачу с раскрытия модулей по определению,
для чего составим следующую таблицу для определения знаков (табл. 1).
Таблица 1
(-∞;-1]
𝑥2 − 1
5x+3
+
-
3
3
(-1; - ]
5
-
(- ; 1]
5
+
(1;+∞)
+
+
Данное уравнение равносильно совокупности четырех систем:
𝑥 ≤ −1,
5√1 + (𝑥 2 − 1) = 3 − (5𝑥 + 3)
3
−1 < 𝑥 ≤ − ,
5
⇔
{
2
5√1 − (𝑥 − 1) = 3 − (5𝑥 + 3)
𝑥 ≤ −1,
{
|𝑥| = −𝑥
{
3
− < 𝑥 ≤ 1,
5
{
5√1 − (𝑥 2 − 1) = 3 + (5𝑥 + 3)
𝑥>1
{
[ 5√1 + (𝑥 2 − 1) = 3 + (5𝑥 + 3)
3
−1 < 𝑥 ≤ − ,
5
{
2
√2 − 𝑥 = −𝑥
3
− < 𝑥 ≤ 1,
5
{
5√2 − 𝑥 2 = 6 + 5𝑥
𝑥 > 1,
{
[
5|𝑥| = 6 + 5𝑥
( Последняя равносильность следует из того, что √𝑥 2 = |𝑥|.)
Легко видеть, что первая система совокупности имеет решением промежуток
х ≤ -1, так как для всех таких х равенство | х | = — х является верным.
Во второй системе при всех указанных х правая часть иррационального
уравнения положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
2-х2 = x2⇔x = ±1, поэтому вторая система решений не имеет.
И в третьей системе при всех указанных х правая часть иррационального
уравнения положительна, поэтому и здесь можно возвести обе части в квадрат:
7
1
25 (2- х2)= (6 + 5x)2 <=> 25х2 + 30x-7 = 0 ⇔ х =− , х = ,
1
5
5
поэтому решением третьей системы будет х = .
5
И наконец, четвертая система решений не имеет, так как при всех х > 1 верно
равенство
| х | = х, а значит, уравнение примет вид 5х = 6 + 5x.
1
Ответ: xϵ(-∞;-l]U{ }.
5
Задача 6. Решить уравнение
3√𝑥 + 4=5-2|x+2|.
Решение. Пусть √𝑥 + 4 = у, у ≥ 0. Тогда х = у2 - 4. Исходное уравнение примет
следующий вид:
5
5 − 3𝑦 ≥ 0,
𝑦≤ ,
3
3y = 5-2| у2-4 + 2 |⇔2| у2-2 |=5-3у⇔{ 2𝑦2−4=5−3𝑦, ⇔ { 2𝑦2+3𝑦−9=0
⇔
[ 2𝑦2−4=3𝑦−5
[
2𝑦 2 −3𝑦+1=0
5
𝑦≤ ,
3
𝑦 = −3
3
7
𝑦=
𝑥=−
2
4
3
𝑦 = ⇔ [𝑦 = 1 ⇔ [ 𝑥 = −3
2
15
1
𝑥=− .
𝑦=1
𝑦=
4
1
2
{[ 𝑦 = 2
(Последняя равносильность следует из того, что y≥0.)
15
7
Ответ: − ; −3; −
4
4
Задача 7. Решить уравнение
|𝑥 3 | − |3𝑥|
= 0.
√3𝑥 2 − 4𝑥 − 2 − 2 + |𝑥|
Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе:
|𝑥 3 | − |3𝑥| = 0,
3𝑥 2 − 4𝑥 − 2 ≥ 0,
{
√3𝑥 2 − 4𝑥 − 2 ≠ 2 − |𝑥|
Решим первое уравнение этой системы:
|𝑥 3 | − |3𝑥| = 0 ⇔ |𝑥|(𝑥 2 − 3) = 0 ⇔ 𝑥 = 0, 𝑥 = ±√3.
При х = 0 не выполняется второе неравенство системы. При х = ±√3 второе
неравенство выполняется.
Пусть x = √3. Проверим третье условие системы:
2
2
√3(√3) − 4√3 − 2 = √(2 − √3) = 2 − √3,
то есть x = √3 не является решением системы. Аналогично поступим и при
х = —√3 :
2
2
√3(−√3) + 4√3 − 2 = √(2 + √3) = 2 + √3
то есть х = —√3 является решением системы.
Ответ: —√3.
Задача 8. Число a подобрано так, что уравнение
√𝑥 − √3+𝑎2 𝑥 2 +2ax(√6-√3)=6√2 - 9
имеет решение. Найти это решение.
Решение. Данное уравнение можно преобразовать к следующему виду:
√𝑥 − √3+𝑎2 𝑥 2 +2ax(√6-√3)+(√6 − √3)2 =0⇔
𝑥 = √3,
√𝑥 − √3+(𝑎𝑥 + (√6 − √3))2 =0 { 𝑥 − √3 = 0
⇔{
ax + √6 − √3 = 0
𝑎 = 1 − √2.
Ответ:√3.
Задача 9. Найти пару (x; y), удовлетворяющую уравнению
xу = 4(√𝑦 − 1),
для которой х принимает наибольшее значение.
Решение. Пусть х = 0, тогда у = 1. Если х ≠ 0, то рассмотрим данное уравнение
как квадратное относительно √𝑦:
x(√𝑦)2 − 4√𝑦 + 4 = 0
Для существования решений этого уравнения необходимо выполнение условия
𝐷
D≥0⇔ = 4 − 4𝑥 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≤ 1.
4
Наибольшее возможное значение х при этом — это х = 1. Так как аргумент
квадратного уравнения (√𝑦 ) принимает не все действительные значения,
необходимо проверить существование решения:
x=1⇔(√𝑦)2 − 4√𝑦 + 4 = 0 ⇔ √𝑦 = 2 ⇔ y=4
Эта пара чисел и будет ответом в данной задаче.
Ответ: х = 1, у = 4.
Задачи для самостоятельного решения
Решите уравнение (1-8).
1. √6 − 4𝑥 − 𝑥 2 =х +4.
2. 2√𝑥 + 5=х + 2.
3. √2𝑥 2 + 8𝑥 + 7 - x = 2.
4. 4√𝑥 + 1=|2x-1| + 3.
5. (x+ l)√16𝑥 + 17= (x + 1)(8x - 23).
6. x2-24-2√𝑥 2 − 24 = 15.
7. 8√12 + 16𝑥 − 16𝑥 2 + 4X - 4𝑥 2 =33.
8. y2+2√𝑦 2 + 3𝑦 − 4 - 4 + 3y = 0.
9. Найдите все действительные решения уравнения √2𝑥 2 − 4𝑥 =
√𝑥 2 + 1+√𝑥 2 − 1.
Решите уравнение (10-11).
10. √3𝑥 − 5 - √4 − 𝑥 = 1.
11. √|𝑥 2 + 14𝑥 + 47| − 1 = |x+7| - 1.
12. Найдите область значений функции y = √−З𝑥 2 + 12Х − 3.
13. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
a2𝑥 2 +2a(√2 - l)x + √𝑥 − 2=2√2 - 3
имеет решение.
14. Для каждого значения параметра а определите число решений уравнения
√2|𝑥| − 𝑥 2 =а.
Ответы: 1. -1.
2. 4.
3. -1.
4. 0; 3.
5. -1; 4.
6. -7; 7
1
7. .
2
8. -4;1.
9. -√2 + √5.
10. 3.
11. -9; -8; -6; -5.
12. xϵ[-3;0].
1−√2
13.
.
2
14. Если a < 1, то нет решений; если a = 0, то три решения; если 0 < а < 1, то
четыре решения; если а = 1, то два решения; если а> 1, то нет решений.
2.2. Решение иррациональных неравенств
Неравенство вида √𝑓(𝑥)< √𝑔(𝑥) равносильно следующей системе:
𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥),
√𝑓(𝑥)< √𝑔(𝑥) ⇔{
𝑓(𝑥) ≥ 0.
Область определения g(x) ≥ 0 следует автоматически из двух данных
неравенств. Неравенство вида √𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) равносильно следующей системе:
𝑓(𝑥) < 𝑔2 (𝑥),
√𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) { 𝑓(𝑥) ≥ 0,
𝑔(𝑥) > 0.
Неравенство g(x) > 0 является необходимым, так как квадратный корень есть
величина неотрицательная. И наконец, неравенство вида √𝑓(𝑥)> g(x) равносильно совокупности двух систем:
√𝑓(𝑥)>
𝑔(𝑥)≥0,
{
𝑓(𝑥)>𝑔2 (𝑥),
g(x)⇔[ 𝑔(𝑥)<0,
{
𝑓(𝑥)≥0
то есть в случае, когда g(x) ≥ 0, мы возводим обе части в квадрат, а в случае
g(x) < 0 неравенство верно на всей области определения, так как любое
неотрицательное число всегда больше любого отрицательного.
Задача 1. Решить неравенство
√𝑥 2 + 4𝑥 − 5 − 2𝑥 + 3>0.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
3
√𝑥 2 + 4𝑥 − 5 − 2𝑥 +
2𝑥−3<0
{ 2
𝑥 +4𝑥−5≥0
3>0⇔[
2𝑥−3<0
{𝑥 2 +4𝑥−5>(2𝑥−3)2
𝑥< ,
2
{
𝑥𝜖(−∞;−5]𝑈[1;+∞),
⇔
3
[
𝑥≥ ,
2
{
2
3𝑥 −16𝑥+14<0.
⇔
3
2
𝑥𝜖(−∞;−5]𝑈[1; ),
3
𝑥≥ ,
2
[
⇔[
{8− 22
8+√22
√
<𝑥<
3
3
2
𝑥𝜖(−∞;−5]𝑈[1; )
3
8+√22
≤𝑥<
2
3
⇔ 𝑥𝜖(−∞; −5]𝑈 [1;
8+√22
).
3
3
8+√22
Ответ: 𝑥𝜖(−∞; −5]U [1;
).
3
Задача 2. Решить неравенство
√5𝑥 2 + 61х <4x + 2.
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе:
5𝑥 2 + 61х ≥ 0,
х(5х + 61) > 0,
4х + 2 > 0,
⇔
⇔
2𝑥 ≥ −1
2
2
2
5𝑥 + 61𝑥 < (4𝑥 + 2)
11𝑥 − 45𝑥 + 4 > 0
{
{
61
𝑥𝜖 (−∞; − ] 𝑈[0; +∞)
5
1
𝑥𝜖(− ; +∞)
2
1
1
⇔ 𝑥𝜖 [0; ) 𝑈(4; +∞).
11
{𝑥𝜖 (−∞; − 11] 𝑈(4; +∞)
1
Ответ: 𝑥𝜖 [0; ) 𝑈(4; +∞).
11
Задача 3. Решить неравенство
(x-l)√𝑥 2 − 𝑥 − 2 ≥0.
Решение. Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
𝑥=−1
𝑥=−1,
x2 −х−2=0,
𝑥=2,
𝑥=2
[ x2 −х−2>0 ⇔[ 𝑥𝜖(−∞;−1)𝑈(2;+∞),⇔[
{
,
{
𝑥𝜖(2;
+∞)
𝑥−1≥0
𝑥≥1.
⇔ 𝑥𝜖{−1}𝑈[2; +∞)
Ответ: 𝑥𝜖{−1}𝑈[2; +∞).
Задача 4. Решить неравенство
|x+3|≤6-3√1 − 𝑥.
Решение. Пусть √1 − 𝑥 = у, у≥0. Тогда х = 1 - у2. Исходное неравенство примет
следующий вид:
|1-y2+3 |≤6-3y⇔| 4- y2 |≤6-3у <=>
4 − 𝑦 2 ≤ 6 − 3𝑦,
𝑦 2 − 3𝑦 + 2 ≥ 0,
𝑦𝜖(−∞; 1]𝑈[2; +∞),
⇔
⇔{
⇔ 𝑦𝜖[−5; 1]𝑈{2}
{
{
2
2
𝑦𝜖[−5; 2]
4 − 𝑦 ≥ 3𝑦 − 6
𝑦 + 3𝑦 − 10 ≤ 0
Если у = 2, то х = -3; если -5 ≤ y ≤ 1, то -5 ≤ √1 − 𝑥 ≤ 1⇔0≤ 1 − 𝑥 ≤ 1 ⇔
0≤ 𝑥 ≤ 1
Ответ: х ϵ {-3} U [0; 1].
Задача 5. Решить неравенство
1
√ 1 − 𝑥 − √𝑥 > 3 .
√
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе:
𝑥 ≤ 1,
1 − 𝑥 ≥ 0,
1
𝑥 ≥ 0,
𝑥 ≥ 0,
0≤𝑥< ,
2
1
⇔
𝑥 < , ⇔{
1 − 𝑥 > 𝑥,
1⇔
2
2
𝑥
−
𝑥
<
1
9
1
1 − 𝑥 − 2√(1 − 𝑥)𝑥 + 𝑥 >
2
3 {√𝑥 − 𝑥 < 3
{
1
1
0
≤
𝑥
<
0≤𝑥< ,
3−√5
2
2
{
⇔{
⇔
𝑥𝜖[0;
)
3−√5
3+√5
6
2
𝑥𝜖(−∞;
)𝑈(
; +∞)
9𝑥 − 9𝑥 + 1 > 0
6
6
3−√5
Ответ: 𝑥𝜖[0;
).
6
Задача 6. Решить неравенство
√|1 − 8𝑥| − 2 ≤ x+1.
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе:
|1 − 8х| − 2 ≥ 0,
х + 1 > 0,
{
|1 − 8х| − 2 ≤ (𝑥 + 1)2
1 − 8𝑥 ≥ 2
[
|1 − 8х| ≥ 2,
1 − 8𝑥 ≤ −2,
х > −1,
⇔
⇔
𝑥 > −1
|1 − 8х| ≤ 𝑥 2 + 2𝑥 + 3.
1 − 8𝑥 ≤ 𝑥 2 + 2𝑥 + 3
{
{1 − 8𝑥 ≥ −𝑥 2 − 2𝑥 − 3
1
3
𝑥𝜖 (−1; − ] 𝑈[ ; +∞)
8
8
𝑥𝜖(−∞; −5 − √23]𝑈[−5 + √23;+ ∞)⇔
{ 𝑥𝜖(−∞; 3 − √5]𝑈[3 + √5;+ ∞)
1
3
xϵ[−5 + √23;− ]U[ ; 3 − √5]𝑈[ 3 + √5; +∞).
8
8
Рис. 1
1
3
Ответ: xϵ[−5 + √23;− ]U[ ; 3 − √5]𝑈[ 3 + √5; +∞).
8
8
Задача 7. Решить неравенство
3√|𝑥 + 1| − 3 ≥ √𝑥 2 − 2𝑥 − 3.
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе:
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ≥ 0,
{
9(|𝑥 + 1| − 3) ≥ 𝑥 2 − 2𝑥 − 3
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ≥ 0,
⇔{
9|𝑥 + 1| ≥ 𝑥 2 − 2𝑥 − 24
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ≥ 0
2
⇔ { 𝑥 − 11𝑥 + 15 ≤ 0,
[ 2
𝑥 + 7𝑥 + 33 ≤ 0
𝑥𝜖(−∞; −1]𝑈[3; +∞),
2
𝑥
−
2𝑥
−
3
≥
0
⇔{ 2
⇔ { 11 − √61 11 + √61
𝑥 − 11𝑥 + 15 ≤ 0
𝑥𝜖[
;
2
2
11 + √61
⇔ 𝑥𝜖 [3;
].
2
Ответ: 𝑥𝜖 [3;
11+√61
2
].
Задача 8. При каждом значении параметра а найти все решения неравенства
х + 2а-2√3𝑎𝑥 + 𝑎2 > 0.
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе:
3𝑎𝑥 + 𝑎2 ≥ 0,
𝑎(3𝑥 + 𝑎) ≥ 0,
2
𝑥 + 2𝑎 > 0,
2√3𝑎𝑥 + 𝑎 < 𝑥 + 2𝑎 ⇔ {
⇔ { 𝑥 > −2𝑎,
2
2
12𝑎𝑥 + 4𝑎 < (𝑥 + 2𝑎)
𝑥 2 − 8𝑎𝑥 > 0.
Возможны три случая.
1. Если а > 0, то система принимает вид:
𝑎
𝑥≥− ,
3𝑥 + 𝑎 ≥ 0,
3
{ 𝑥 ≥ −2𝑎, ⇔ { 𝑥 ≥ −2𝑎,
𝑥 2 − 8𝑎𝑥 > 0
𝑥(𝑥 − 8𝑎) > 0.
Решением неравенства в этом случае являются (рис. 2)
|
●
-2a
|○
𝑎
3
○|
0
|○
8a
x
Рис.2
2. Если а = 0, подстановкой в исходное неравенство легко получаем, что
x>0.
3. Если а < 0, то система запишется следующим образом:
3𝑥 + 𝑎 ≤ 0,
{ 𝑥 ≥ −2𝑎,
𝑥 2 − 8𝑎𝑥 > 0
Данная система решений не имеет.
Ответ: если a < 0, то нет решений; если a = 0, то
𝑎
х ϵ(0; +∞); если a > 0, то х ϵ[- ; 0)U (8a; + ∞).
3
Задача 9. Пусть
f(x) = √𝑥 2 − 4𝑥 + 4 −3, g(x) = √𝑥 - a,
где a —параметр. Решить относительно х неравенство
f(g(x))≤0.
Решение. Так как
f(x) = √𝑥 2 − 4𝑥 + 4 −3 = √(𝑥 − 2)2 −3=|x-2|-3,
то данное неравенство можно записать следующим образом:
| (√𝑥-a)-2|-3≤0 <=>| √𝑥- a - 2 | ≤3 ⇔
𝑥 − a − 2 ≤ 3,
𝑥 ≤ a + 5,
⇔ {√
{√
√𝑥 − a − 2 ≥ −3
√𝑥 ≥ a − 1
Возможны три случая.
1. Если a < -5, то а + 5 < 0, поэтому первое неравенство, а значит, и вся
система решений не имеют.
2. Если -5 ≤ a ≤1, то a + 5 ≥ 0, а a - 1 ≤ 0, поэтому первое неравенство
равносильно неравенству 0 ≤ х ≤ (а + 5)2, а второе — х ≥ 0. Решением
системы в этом случае является промежуток х ϵ [0; (а + 5)2].
3. Если а>1,то а + 5>0 и а-1>0,и а —1≤ √𝑥 ≤ a + 5
равносильно (а - 1)2 ≤ х ≤ (а + 5)2.
Ответ: если а < -5, то нет решений; если -5 ≤ а ≤ 1, то х ϵ[0;(а + 5)2];если
а> 1,то х ϵ[(а- 1)2; (а + 5)2].
Задачи для самостоятельного решения
1. Решите неравенство √−𝑥 2 + 6𝑥 −5>8-2x.
2. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству
√𝑥 2 — Зх + 2 ≤ 3х — 3.
Решите неравенство (3—14),
3. √2𝑥 + 3≥x.
4. √2𝑥 2 + 15х − 17>х + 3.
1
7𝑥−1
𝑥
𝑥
5. 5√1 − >
.
6. (x2+8x + 15)√𝑥 + 4 ≥0.
7. √4𝑧 − 3 − 𝑧 2 >0.
8. √𝑥 − 3 ≤3-|x-6|.
9. √(2𝑥 + 1)4 − (2𝑥 + 1)2+ (2x +1)2 ≥ 0.
10.√𝑥 2 + 𝑥 + 4 ≤ 2𝑥 + |3𝑥 − 2|.
11. √𝑥 + 8(3 − √8 + 𝑥) <
12.
4𝑥+15−4𝑥 2
√4𝑥+15+2𝑥
𝑥+16
.
2√8+𝑥−10
≥0
13. √𝑥 2 + 3𝑥 + 2 < 1 + √𝑥 2 − 𝑥 + 1.
14. (√
2−𝑥
𝑥
−
𝑥+1 −2
)
2𝑥
≥0
Найдите область определения функции (15-16).
15. y=
√𝑥 2 −9
√−𝑥 2 +𝑥+20
16. y=√
4𝑥−𝑥 2 −4
𝑥 2 +𝑥−2
.
.
17. Для всех значений а решите неравенство
a-2 <(a-l)√𝑥 + 1.
18. Для каждого значения, а решите неравенство
√𝑎2 − 𝑥 2 ≥a + l.
Ответы: 1. х ϵ (3; 5].
2. xϵ {1} U [2; +∞).
3
3. x ϵ [- ; 3].
2
4. xϵ(-∞;1
17
2
√185−9
; +∞).
2
]𝑈 (
1
5. xϵ(− ; − ).
3
8
6. х ϵ {-4} U [-3; +∞).
7. zϵ(1; 3).
8. х ϵ {3} U [4; 7].
1
9. xϵ(-∞;-l]U{− } 𝑈[0; +∞).
2
7
10. xϵ(-∞;0]U[ ; +∞).
8
11. xϵ(17; 248).
15
3
3 5
12. xϵ [− ; − )𝑈(− ; ].
4
13. xϵ
2
2 2
√13−1
(-∞;-2]U[-1;
).
6
1
1
14. xϵ(0; )𝑈( ; 1)𝑈(1; 2]
5
5
15. x 𝜖 (-4; -3 ] U [ 3 ; 5 ) .
16.xϵ(-2;l)U{2}.
3−2𝑎
17.Если а<1,то х ϵ[-1; 2
); если 1≤ а <2, то х ϵ [-1; +∞); если a ≥ 2,
𝑎 −2𝑎+1
то xϵ(
3−2𝑎
𝑎2 −2𝑎+1
; +∞).
1
18. Если a < -1, то х ϵ [a; -a]; если -1≤ а≤− , то
2
хϵ[ —√— 2а — 1; √— 2а — 1]; если
1
а > - , то решений нет.
2
2.3. Обобщенный метод интервалов
Решение задачи обобщенным методом интервалов состоит из следующих
этапов.
1. Приводим неравенство к виду f(x) > 0 (< 0, ≥0,≤0).
2. Находим область определения неравенства.
3. Находим корни числителя и знаменателя и выбираем из них те, которые
принадлежат области определения.
4. Эти корни разбивают область определения на промежутки; определяем
знаки на каждом промежутке. В определении знаков ошибаться нельзя!
5. Записываем ответ, не забывая включить корни числителя, если
неравенство нестрогое, и исключить корни знаменателя.
Задача 1. Решить неравенство
√2 − 𝑥 + 4𝑥 − 3
≥ 2.
𝑥
Решение. Решим неравенство, методом интервалов, предварительно
преобразовав его к следующему виду:
√2−𝑥+2𝑥−3
𝑥
≥ 0 (*)
1. Найдем область определения неравенства: 2-х≥0⇔х ≤ 2.
2. Найдём корни числителя и знаменателя: х=0-корень знаменателя,
3
3 − 2𝑥 ≥ 0
𝑥≤ ,
2
⇔
√2 − 𝑥 = 3 − 2𝑥 ⇔{2 − 𝑥 = (3 − 2𝑥)2 ⇔ {
2
4𝑥 − 11𝑥 + 7 = 0
х=1- корень числителя.
3. Данные корни разбивают область определения на три промежутка;
определим знаки левой части неравенства (*) на каждом из них (рис. 4):
+
○
0
●
1
+
●
2
Рис.4.
4. Запишем ответ, не забывая исключить корень знаменателя.
Ответ: х ϵ(-∞; 0) U [1; 2].
Задача 2. Решить неравенство
√−25𝑥 2 + 15𝑥 − 2(8x2- 6x + l)≥0.
Решение. Запишем данное неравенство следующим образом:
√(5𝑥 − 2)(1 − 5𝑥) (4х - 1)(2х -1) ≥ 0.
1. Найдем область определения неравенства:
1
2
(5х - 2)(1 -5х)≥0 ⇔ ≤ 𝑥 ≤ .
5
5
1
1
2. Число х = не входит в область определения неравенства, а число х = разбивает
2
4
область определения на два промежутка. Определим знаки левой части неравенства на
каждом из них (рис. 5).
+
-
●
●
●
1
1
2
5
4
5
2
4. Запишем ответ, не забывая включить x = , так как неравенство — нестрогое.
5
1 1
2
Ответ: 𝑥𝜖 [ ; ] 𝑈 { }.
5 4
5
Задача 3. Решить неравенство
√𝑥 2 + 𝑥 − 6 + 3𝑥 + 13
> 1.
𝑥+5
Решение. Решим неравенство методом интервалов, предварительно преобразовав его к
следующему виду:
√𝑥 2 +𝑥−6+2𝑥+8
𝑥+5
> 0 (*)
1. Найдем область определения неравенства:
𝑥 2 + х - 6 ≥ 0 ⇔ х ϵ (-∞; -3] U [2; +∞).
2. Найдем корни числителя и знаменателя: х = - 5 - корень знаменателя,
−2𝑥 − 8 ≥ 0,
𝑥 ≤ −4,
⇔
√𝑥 2 + 𝑥 − 6 = −2𝑥 − 8 ⇔{ 2
2 ⇔{
2
𝑥 + 𝑥 − 6 = (−2𝑥 − 8)
3𝑥 + 31𝑥 + 70 = 0
x=- 7- корень числителя.
3. Данные корни разбивают область определения на четыре промежутка; определим
знаки левой части неравенства (*) на каждом из них (рис. 6).
+
Рис.6.
○ -7
○
-5
+ ●
-3
● +
2 x
4. Запишем ответ, не забывая исключить корень числителя (так как неравенство —
строгое) и корень знаменателя.
Ответ: х ϵ (-∞; -7) U (-5; -3] U [2; +∞).
Задача 4. Решить неравенство
√4𝑥 − 7 − 3𝑥 + 5
≤ 0.
16 − 3𝑥 2 + 22𝑥
Решение. Решим данное неравенство методом интервалов.
1. Найдем область определения неравенства:
7
4х-7≥ 0 ⇔ х≥ .
4
2. Найдем корни числителя и корни знаменателя:
2
х =- и х = 8 — корни знаменателя, из них области определения неравенства
3
принадлежит только х = 8. Для того, чтобы найти корни числителя, необходимо решить
уравнение
3𝑥 − 5 ≥ 0,
√4𝑥 − 7 = 3𝑥 − 5 ⇔ {
4𝑥 − 7 = (3𝑥 − 5)2
5
𝑥≥ ,
3
⇔{
⇔𝑥 =2и𝑥 =
2
9𝑥 − 34𝑥 + 32 = 0
16
9
.
3. Полученные корни разбивают область определения на четыре промежутка; найдем
знаки на каждом из них (рис. 7):
Рис.7.
4. Запишем ответ, не забывая исключить корень знаменателя.
7 16
Ответ: хϵ[ ; ]𝑈[2; 8).
4
9
Задачи для самостоятельного решения
Решите неравенство (1-10).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
√48−2𝑥−𝑥 2
1−𝑥
√𝑥−1
𝑥 2 −5𝑥+6
2
2−√𝑥+3
1
< 1.
≤ 0.
≤ 1.
≥
2
4−√𝑥
√𝑥+2
√𝑥 2 −5𝑥+8
3−𝑥
√6+𝑥−𝑥 2
≥ 1.
≥
2𝑥+5
√51−2𝑥−𝑥 2
1−𝑥
.
√6+𝑥−𝑥 2
𝑥+4
< 1.
.
8.
9.
√1−𝑥 3 −1
1+𝑥
√𝑥 2 −6−3
|𝑥−1|−4
5𝑥−3
≤ 𝑥.
≥ 1.
10.
< 1.
√7𝑥−4
Ответы:
47
1. хϵ[-8; -√ ) U (1; 6].
2
2. х ϵ {1} U (2; 3).
3. xϵ {-3} и (1; +∞).
4.xϵ {0} и (16; +∞).
5.хϵ [1; 3).
6. хϵ [-2; -1] U {3}.
7. xϵ[-l-2√13;-5)UU(l;-l + 2√13].
8. хϵ [-2; -1) U [0; 1].
5
9. xϵ(-3;- √6]U[√6; ]𝑈(5;+∞).
2
4 37+√69
10. х ϵ ( ;
7
50
).