В.М.Старжинский ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ В книге излагаются методы исследования существенно нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Книга состоит из двух частей. В первой части дается сочетание метода Ляпунова, метода малого параметра Пуанкаре и метода усреднения. Вторая часть книги посвящена приложению теории нормальных форм к автономным системам третьего, четвертого и шестого порядков. Рассматриваются механические, физические и электромеханические примеры. Книга предназначена для специалистов в области прикладной математики, студентов старших курсов и аспирантов физико-технических и физикоматематических факультетов. Содержание Предисловие 7 Часть первая. Колебания в системах Ляпунова Глава I. Вводная 11 § 1. Преобразование систем Ляпунова 11 1.1. Общий случай 11 1.2. Системы уравнений второго порядка 14 § 2. О методе Пуанкаре определения периодических решений 16 неавтономных квазилинейных систем 2.1. Дифференциальные уравнения порождающего решения и первых 17 поправок 2.2. Нерезонансный случай 18 2.3. Резонансный случай 20 2.4. Уравнения в вариациях для периодического невозмущенного 22 движения 2.5. Случай различных мультипликаторов невозмущенной системы 23 уравнений в вариациях 2.6. Случай кратных мультипликаторов 24 2.7. Примеры 26 § 3. Вынужденные колебания прядильных центрифуг 31 3.1. Постановка задачи и уравнения движения 31 3.2. Определение периодического решения 33 3.3. Исследование устойчивости 35 Глава II. Колебательные цепи 37 § 1. Свободные, целиком упругие колебательные цепи 37 1.1. Определение понятия колебательные цепи 37 1.2. Определение положений равновесия 40 1.3. Асимптотическая устойчивость в большом нижнего положения 43 равновесия при наличии сил сопротивления 1.4. Уравнения в вариациях для вертикальных колебаний системы 45 1.5. Консервативный случай 47 1.6. Устойчивость вертикальных колебаний пружинного маятника 47 § 2. Свободные, не целиком упругие колебательные цепи 2.1. Постановка задачи 2.2. Кинетическая и потенциальная энергии 2.3. Пример 2.4. Маятник на свободной упругой подвеске 2.5. Маятник на упругой подвеске в направляющих Глава III. Применение методов малого параметра к колебаниям в системах Ляпунова § 1. Процесс срыва вертикальных колебаний пружинного маятника 1.1. Первый этап 1.2. Второй этап 1.3. Третий этап § 2. О связи радиальных и вертикальных колебаний частиц в циклических ускорителях 2.1. Первый этап 2.2. Второй этап 2.3. Третий этап § 3. Процесс срыва вертикальных колебании маятника на упругой подвеске в направляющих 3.1. Определение нетривиальных периодических режимов второй этап 3.2. Исследование переходного процесса (третий этап) § 4. Периодические режимы маятника на свободной упругой подвеске 4.1. Преобразование уравнений движения 4.2. Периодические решения Глава IV. Колебания в видоизмененных системах Ляпунова § 1. Системы Ляпунова с демпфированием 1.1. Преобразование уравнений движения 1.2. Полная система уравнений в вариациях по параметру Пуанкаре и ее решение 1.3. О колебаниях механической системы с одной степенью свободы при наличии нелинейностей разного вида 1.4. Уравнение Дюффинга с линейным демпфированием 1.5. Пружинный маятник с линейным демпфированием § 2. О системах типа Ляпунова 2.1. Постановка задачи 2.2. Преобразование системы типа Ляпунова Часть вторая. Приложение теории нормальных форм к задачам колебаний Глава V. Краткие сведения по теории нормальных форм вещественных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений § 1. Первоначальные сведения 1.1. Постановка задачи 1.2. Основная теорема А. Д. Брюно 51 51 53 55 58 61 63 64 64 65 63 71 71 73 74 75 75 76 78 78 79 80 80 80 82 85 88 90 93 94 55. 68 98 98 99 1.3. Теорема Пуанкаре § 2. Дополнительные сведения 2.1. Некоторые свойства нормализующих преобразований 2.2. Классификация нормальных форм и возможность их интегрирования 2.3. Понятие о степенных преобразованиях 2.4. Теорема А. Д. Брюно о сходимости и расходимости нормализующих преобразований § 3. Практический способ вычисления коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы 3.1. Основные тождества 3.2. Вычислительная альтернатива 3.3. Основные тождества в общем виде и их преобразование 3.4. Вычислительная альтернатива в общем случае 3.5. Замечание о переходе от симмотризованных коэффициентов к обычным 3.6. Формулы для коэффициентов при четвертых степенях 3.7. Случаи непростых элементарных делителей матрицы линейной части Глава VI. Нормальная форма систем произвольного порядка в случае асимптотической устойчивости по линейному приближению § 1. Демпфированные колебательные системы 1.1. Приведение к диагональному виду 1.2. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования 1.3. Общее решение исходной системы (решение задачи Коши в общем виде) § 2. Примеры 2.1. Система с одной степенью свободы 2.2. Колебания массы на пружине при линейном демпфировании Глава VII. Нормальные формы систем третьего порядка §. 1. Случай пары чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части 1.1. Приведение к нормальной форме 1.2. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы 1.3. Применение степенного преобразования 1.4. Свободные колебания следящего электропривода § 2. Случай нейтральности линейного приближения 2.1. Нормальная форма 2.2. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы 2.3. Замечание о сходимости 2.4. Некоторые суждения об устойчивости 2.5. Интегрирование нормальной формы в квадратичном приближении 101 102 102 102 104 106 107 107 109 111 115 117 117 118 122 122 122 123 124 126 126 127 130 130 130 132 134 136 140 140 142 144 144 146 2.6. Пример § 3. Нормальные формы систем третьего порядка в случае нулевого собственного значения матрицы линейной части 3.1. Нормальная форма и нормализующее преобразование 3.2. Интегрирование нормальной формы 3.3. Замечание о сходимости 3.4. Свободные колебания следящей системы с телевизионным измерительным устройством Глаза VIII. Нормальные формы систем четвертого и шестого порядка в случае нейтральности линейного приближения 1.1. Замечание о коэффициентах диагонального вида 1.2. Приведение к нормальной форме 1.3. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальных форм 1.4. Критерий А. М. Молчанова устойчивости колебаний 1.5. Критерий Ю. Н. Бибикова — В. А. Плисса § 2. Задача А. Ю. Ишлинского 2.1. Преобразование уравнений движения к ляпуновскому виду 2.2. Преобразование системы ляпуновского вида 2.3. Определение периодических решений 2.4. Преобразование уравнений движения к диагональному виду и нормальной форме 2.5. Решение задачи Коши в общем виде 2.6. Первоначальные суждения об устойчивости 2.7. Построение функции Ляпунова § 3. О траектории, описываемой центром поперечного сечения вала за один оборот 3.1. Постановка задачи и уравнения движения 3.2. Приведение к диагональному виду 3.3. Приведение к нормальной форме 3.4. Решение задачи Коши в общем виде § 4. Системы шестого порядка 4.1. Решения резонансного уравнения 4.2. Нормальные формы 4.3. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальных форм 4.4. Об устойчивости по третьему приближению. Критерий А. М. Молчанова Глава IX. Колебания тяжелого твердого тела с закрепленной точкой около нижнего положения равновесия § 1. Случай, когда центр тяжести расположен в одной из главных плоскостей эллипсоида инерции для закрепленной точки 1.1. Приведение к диагональному виду 1.2. Приведение к ляпуновскому виду 149 151 151 152 153 154 159 159 160 163 165 167 167 167 170 172 175 176 178 179 180 180 183 187 188 190 191 193 195 198 201 201 201 204 1.3. Резонансы 205 1.4. Простейшие движения 205 1.5. Преобразование уравнений диагонального вида 206 1.6. Возможные обобщения 208 1.7. Ситуация, близкая к случаю Ковалевской 208 1.8. Применение метода последовательных приближений 210 1.9. Замечания по определению положения твердого тела с закрепленной 211 точкой § 2. Общий случай 212 2.1. Опорная система координат 213 2.2. Специальные оси координат 214 2.3. Уравнения движения тяжелого твердого тела в специальных осях 216 2.4. Приведение к ляпуновскому виду 218 2.5. Резонансы 220 2.6. Применение метода последовательных приближений 221 Краткие литературные указания 225 Литература 229 Предметный указатель 254 Предметный указатель Дюффинга уравнение с линейным Альтернатива вычислительная демпфированием 88 нормальных форм 109, 115, 120 Задача Ишлинского 167 Бибикова—Плисса критерий 167 Инвариантные лучи 199 Брюно теорема о бирациональном Колебания бетатронные 71 преобразовании 106 - гибкого вала 181 - - о преобразовании нормальных - роторных систем 180 форм 102 - свободные следящего - - о структуре нормальных форм 103 электропривода 137 - - о сходимости и расходимости - системы с одной степенью свободы нормализующих преобразований 106 85, 126 - - основная 99 Колебательные системы Ван-дер Поля подстановка 68 демпфированные 122 - уравнение 26 - цепи, определение 39 Вращения перманентные 206 - - положения равновесия 40 Главная часть решения 140 - - свободные, не целиком упругие 51 Движения маятникообразные 206 - - целиком упругие 40 - простейшие тяжелого твердого тела - - устойчивость 43 206 Критерий Бибикова—Плисса 167 Демпфированные колебательные - Молчанова для систем четвертого системы 122 порядка 165 Дифференциальные уравнения - - шестого порядка 200 возмущенного движения 22 Ляпунова подстановка 12, 14, 81 - - движения центрифуги 32 - система дифференциальных - - первых поправок 17 уравнений 11 - теорема 12 Маятник на свободной упругой подвеске 58 - на упругой подвеске в направляющих 61 - пружинный 48 - - с линейным демпфированием 90, 127 Метод Пуанкаре определения периодических решений неавтономных систем 17 Механическая система с одной степенью свободы 85, 126 Молчанова критерий для систем четвертого порядка 165 - - шестого порядка 200 Нерезонансные члены нормальной формы 102 Нормализующее преобразование 99, 108, 111 Нормальная форма 99, 108, 111 Оси координат опорные 213 - - специальные Харламова 215 Перекачка энергии маятника на упругой подвеске 77 - - при ботатронных колебаниях 74 - - пружинного маятника 70 Подстановка Ван-дер Поля 68 - Ляпунова 12, 14, 81 Полная система уравнений в вариациях по параметру Паункаре 83 Порождающее решение 17 Преобразование нормализующее 99, 108, 111 - степенное (бпрациональное) 104 Приведение к диагональному виду 159 Применение метода последовательных приближений 210, 221 Пружинный маятник 48 - - с линейным демпфированием 90, 127 Прядильная центрифуга 31 Пуанкаре метод определения периодических решений неавтономных систем 17 - теорема 101 Резонансное уравнение 99, 108 Резонансные члены нормальной формы 102 Резонансы в системах четвертого порядка 161 - - шестого порядка 194 - тяжелого твердого тела 205 Решение порождающее 17 Решения резонансного уравнения нетривиальные 162, 192 - - полутривиальные 192 - - тривиальные 161, 192 Свободные колебания следящего электропривода 137 Система, близкая к системе Ляпунова 93 - дифференциальных уравнений Ляпунова 11 - Ляпунова с демпфированием 80 - ляпуновского вида 171 - типа Ляпунова 93 - уравнений в вариациях по параметру 83 Ситуация, близкая к случаю Ковалевской 208 Следящая система с телевизионным измерительным устройством 154 Следящий электропривод 136 Спектр линейной части систем третьего порядка 130 Способ практический вычисления нормальных форм 107 Структура коэффициентов диагонального вида 160 Тензор гирационный 214 - инерции 214 Теорема Брюно о бирациональном преобразовании 106 - - о преобразовании нормальных форм 102 - - о структуре нормальных форм 103 - - о сходимости и расходимости нормализующих преобразований 106 - - основная 99 - Ляпунова 12 - об устойчивости для колебательных цепей 43 - Пуанкаре 101 Тождества основные для нормальных форм 109, 112 Уравнение Ван-дер Поля 26 - Дюффинга с линейным демпфированием 88 - резонансное 99, 108 Уравнения в вариациях для колебательных цепей 38 - - для периодического невозмущенного движения 22 - Эйлера 201 - Эйлера-Пуассона 202 Форма нормальная 99, 108, 111 Харламова оси координат специальные 215 Центрифуга прядильная 31 Цепи колебательные 39 Эйлера уравнения 201 Эйлера-Пуассона уравнения 202