РП ФЭТ Ангеом и линал Направление 210700..нные технологии

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
“Высшая школа экономикиˮ»
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета «Высшая школа экономики»
Факультет электроники и телекоммуникаций
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия»
для направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
Автор программы:
Маргаритов В.С., старший преподаватель, [email protected]
Одобрена на заседании кафедры высшей математики ___ ____________ 2013 г.
Зав. кафедрой В. М. Четвериков
Рекомендована учебно-методической комиссией ФЭТ ___ ____________ 2013 г.
Председатель
Утверждена учёным советом ФЭТ ___ _____________2013 г.
Учёный секретарь ________________________
Москва, 2013
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры − разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом ФГОС
 Образовательной программой 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы
связи».
 рабочим учебным планом университета по направлению 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра, утвержденным в 2012 году.
 Цели освоения дисциплины
 знакомство с понятиями аналитической геометрии и линейной алгебры как основы значительной части математического аппарата дифференциальных уравнений, функционального анализа,
теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин;
– освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
 развитие способности интерпретации формальных алгебраических структур, развитие четкого логического мышления.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать базовые понятия и основные формулы дисциплины
 Понимать взаимосвязь понятий курса
 Понимать доказательства ключевых теорем
 Иметь навыки использования математического аппарата дисциплины в дальнейшей
учебной и профессиональной деятельности
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную
речь на русском языке, готовить и редактировать тексты профессионального назначения, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-7);
способность к логически правильному мышлению, обобщению, анализу, критическому
осмыслению информации, систематизации, прогнозированию, постановке исследовательских
задач и выбору путей их решения на основании принципов научного познания (ОК-9);
способность самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития социальных и профессиональных компетенций, изменения вида своей профессиональной деятельности (ОК-10);
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
способность применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
способность готовить научно-технические отчеты, обзоры, публикации по результатам
выполненных работ (ПК-17).
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественно-научного
цикла дисциплин .
5 Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
Название раздела
Векторная алгебра
Определители порядка n
Аналитическая геометрия
Матрицы, системы линейных уравнений
Комплексные числа. Элементы теории
многочленов.
Линейные операторы
Итого:
Всего
часов
Аудиторные
часы
Самостоятельная
работа
Лекции
Семинары
22
10
38
20
16
6
2
8
4
4
8
4
14
8
6
8
4
16
8
6
26
132
6
30
10
50
10
52
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
3
Текущий
(неделя)
Контрольная работа
Промежуточный
Домашнее задание
Зачет
Итоговый
Экзамен
5
*
4
7
Письменная работа
80 минут
3
Письменная работа
Письменная работа
*
Устный
a. Критерии оценки знаний, навыков
На контрольной работе студент должен применять математический аппарат к решению конкретных задач.
В домашней работе студент должен самостоятельно применять изученные методы к решению поставленных задач и приготовить отчет по результатам выполненной работы.
На зачете студент должен продемонстрировать знание основных понятий, формул и их логических связей, умение применять различные методы к решению задач курса.
На экзамене студент должен уметь выявлять сущность математических проблем, логически
верно и аргументировано излагать доказательства теорем, понимать связи между различными понятиями курса.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
б. Порядок формирования оценок по дисциплине
Накопленная оценка за текущий контроль в 3-ем и 4-ом модулях учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная,3 = Одз1 ;
Онакопленная,4 = 0,5*Одз2 + 0,5*Ок/р ;
Способ округления накопленной оценки текущего контроля — арифметический, в спорной
ситуации — в пользу студента.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
1. За 3-ий модуль:
Орезульт,3 = 0,5* Онакопленная,3 + 0,5*·Озач
2. За 4-ый модуль
Орезульт,4 = 0,4* Онакопленная,4 + 0,6*·Оэкз
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета — арфиметический, в спорной ситуации - в пользу студента.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для
компенсации оценки за текущий контроль.
На зачете студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую
задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.
На экзамене студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.
В диплом выставляет результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется
по следующей формуле:
Орезульт, итог = 0,5 Орезульт,3 + 0,5 Орезульт,4
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине — арифметический, в
спорной ситуации - в пользу студента.
7 Содержание дисциплины
Изложение строится по разделам и темам. Содержание темы может распределяться по
лекционным и практическим занятиям.
1.Векторная алгебра. Определители
1. Векторы. Аксиомы векторного пространства. Пример: многочлены. Геометрические векторы.
Понятие свободного вектора. Арифметические действия над векторами. Проверка аксиом. Понятие
подпространства. Подпространства в двумерном и трехмерном пространствах геометрических векторов.
2. Понятие базиса. Ориентация пары векторов на плоскости и тройки векторов в пространстве. Векторное произведение. Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные
векторы. Базис векторного пространства. Координаты вектора в базисе. Пример: многочлены. Понятие размерности векторного пространства. Базис на плоскости. Ориентация пары векторов на
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
плоскости. Базис в пространстве. Ориентация тройки векторов в пространстве. Стандартный базис.
Пара векторов в пространстве. Векторное произведение. Определение векторного произведения.
3. Скалярное произведение. Проекция вектора на вектор. Угол между векторами. Свойства
векторного произведения. Определение скалярного произведения в векторном пространстве.
Пример: многочлены. Скалярное произведение геометрических векторов. Определение скалярного
произведения геометрических векторов. Формула для вычисления скалярного произведения в координатах. Определение угла между векторами произвольного векторного пространства. Пример:
многочлены. Ортогональная проекция вектора на вектор и ее свойства. Формула для вычисления
векторного произведения в координатах. Свойства векторного произведения.
4. Определители. Определения матрицы, определителя n-го порядка. Геометрический смысл определителя 2-го порядка. Геометрический смысл определителя 3-го порядка. Разложение определителя по произвольной строке. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк.
Вычисление определителя приведением к треугольному виду. Определитель транспонированной
матрицы.
2.Аналитическая геометрия
5. Уравнение первой степени от двух переменных. Уравнение первой степени от трех переменных. Уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве: по нормали и точке, в отрезках, через две (три) точки. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору (каноническое и параметрическое уравнения). Взаимное расположение двух прямых на плоскости
(двух плоскостей в пространстве). Угол между прямыми на плоскости и плоскостями в пространстве. Условие перпендикулярности двух прямых в терминах их угловых коэффициентов. Формула
расстояния от точки до прямой на плоскости (до плоскости в пространстве). Пучок прямых на плоскости (плоскостей в пространстве). Теорема о пучке плоскостей.
6. Система двух уравнений первой степени от трех переменных. Общее, каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой: по точке и направляющему вектору, по двум точкам. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в
пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Расстояние от точки до
прямой в пространстве.
7. Уравнение второй степени от двух переменных. Понятие кривой второго порядка. Формулы
преобразования координат при повороте и параллельном переносе. Теорема классификации кривых
второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Фокальные свойства эллипса,
гиперболы и параболы.
8. Уравнение второй степени от трех переменных. Понятие поверхности второго порядка. Теорема классификации поверхностей второго порядка (без док).
9. Комплексные числа. Определение комплексного числа. Свойства арифметических операций с
комплексными числами. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Модуль, сопряжение,
деление комплексных чисел. Комплексная плоскость. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент произведения и частного комплексных чисел. Формула Муавра. Вычисление корней n-ой степени из комплексного числа.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
10. Элементы теории многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Основная
теорема алгебры (без док.). Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей над
C и над R.
3.Системы линейных уравнений. Матрицы.
11. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Общее и частное решения системы. Однородные, совместные, определенные, эквивалентные системы линейных уравнений (СЛУ). Расширенная
матрица системы. Элементарные преобразования строк матрицы системы. Главный ступенчатый
вид матрицы (ГСВ). Алгоритм приведения матрицы к ГСВ. Единственность ГСВ матрицы. Решение
системы линейных уравнений методом Гаусса. Главные и второстепенные переменные. Запись решения системы в общем, параметрическом и векторном виде. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений. Связь между общими решениями неоднородной и соответствующей ей однородной СЛУ. Понятие ранга матрицы. Связь между рангом матрицы и размерностью пространства решений СЛУ. Критерий совместности системы. Критерий единственности решения системы линейных уравнений. Доказательство леммы о линейной зависимости (корректность понятия размерности векторного пространства). Понятие о ранге матрицы как размерности
системы строк (системы столбцов).
12. Арифметические действия над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Формулы
Крамера. Мультипликативное свойство определителя. Умножение, сложение, транспонирование матриц и их свойства. Единичная матрица. Понятие обратной матрицы. Доказательство равенства правой и левой обратных матриц. Матричная форма записи системы линейных уравнений.
Формулы Крамера для нахождения обратной матрицы и решения определенной системы линейных
уравнений. Понятие элементарной матрицы. Метод Гаусса нахождения обратной матрицы. Понятие
невырожденной матрицы. Критерии существования обратной матрицы. Мультипликативное свойство определителя.
4. Начала теории линейных операторов.
13. Линейные операторы. Понятие линейного оператора. Ядро и образ оператора. Примеры операторов поворота, проекции, диффиренцирования. Композиция операторов. Обратный оператор. Критерий обратимости оператора. Формула, связывающая координаты вектора в разных базисах. Матрица линейного оператора. Формула, связывающая матрицы линейного оператора в разных базисах.
Собственные векторы. Диагонализируемые операторы. Критерий диагонализируемости линейного
оператора. Алгоритм нахождения собственных векторов. Изометрические операторы в трехмерном
пространстве. Операторы, заданные симметрической матрицей в стандартном базисе, в трехмерном
пространстве.
8 Образовательные технологии
При реализации различных видов учебной работы используются активные формы проведения занятий- разбор практических задач, обсуждение фундаментальных понятий курса и их взаимосвязей, выявление связей с другими математическими дисциплинами, построение математических
моделей практических задач.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
a. Тематика заданий текущего контроля
Примерный вариант домашней работы №1
(При решении домашней работы студент должен продемонстрировать владение основными
понятиями, формулами и методами аналитической геометрии и векторной алгебры. При отчете за
домашнюю работу студенту могут быть заданы вопросы, касающиеся как практического, так и теоретического материала, относящегося к этой работе, на основании которых преподаватель в праве
не засчитать решение одной или нескольких задач.)
1. Векторная алгебра
1. Найти угол между векторами 3a  b и a  2b , если известны координаты a1;2;1 и
b1;1;2в стандартном базисе.
2. Найти площадь треугольника ABC , если известны координаты его вершин: A1;1;5 ,
B2;0;2, C1;1;1
3. Вычислить объем пирамиды ABCD , если известны координаты ее вершин A1;1;1 ,
B1;2;6 , C1;2;0 , D3;5;4
2. Прямые и плоскости (эти задачи были разработаны коллективом кафедры МИЭМ)
3. Кривые второго порядка (эти задачи были разработаны коллективом кафедры МИЭМ)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
Привести кривые к каноническому виду. Сделать чертеж, изобразив на нем исходную, каноническую и вспомогательные системы координат.
1) 25x2 + 30xy + 9y2 – 18x + 30y – 204 = 0
2) 4x2 + 12xy + 13y2 – 40x – 76y + 100 = 0
4. Определители
Вычислить определитель 4-го порядка методом приведения к треугольному виду.
Примерный вариант для домашней работы № 2
1. Комплексные числа
1. Выполнить сложение, умножение, деление комплексных чисел в алгебраической форме.
2. Записать комплексное число в тригонометрической форме, возвести в степень, используя формулу Муавра.
3. Используя формулы для вычисления корней n-ой степени, разложить над
R и над C многочлен вида z n  w .
2. Системы линейных уравнений (эти задачи были разработаны коллективом кафедры
МИЭМ)
1

2
Дана матрица A: 
4

5

1
1
3
3
1
0
2
1
0 1

1 0
.
1 2

2 1

1. а) Записать систему линейных алгебраических уравнений, расширенною матрицею которой служит матрица A.
б) Привести матрицу A с помощью элементарных преобразований над строками и отбрасывания нулевых строк к главной ступенчатой матрице B.
в) Указать, какие неизвестные в системе уравнений, построенной в пункте а), являются главными, а какие − свободными. Найти общее решение этой системы уравнений. Решение выразить в
четырёх видах: в виде явных формул, выражающих главные неизвестные через свободные; в векторной форме; в параметрической форме; в векторно-параметрической форме. Найти какое-либо
частное решение системы.
г) Записать однородную систему линейных уравнений, соответствующую системе, построенной в пункте а). Найти её общее решение в четырёх видах (см. пункт в)). Найти базис подпространства её решений.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
д) Записать общее решение неоднородной системы уравнений как сумму общего решения
однородной системы и частного решения неоднородной системы (в векторном виде).
2. а) Найти базис набора столбцов матрицы A.
б) Выразить каждый столбец в виде линейной комбинации базисных столбцов.
в) Найти ранг матрицы A
2 . Решить СЛУ методом Крамера.
Примерное задание для контрольной работы
1. Вычислить обратную матрицу методом Гаусса. Сделать проверку.
2. Вычислить обратную матрицам по формулам Крамера. Сделать проверку.
б. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки.
Задачи к зачету
На зачете студентам будет предложено за 80 минут решить 5 задач, по условию близких к
задачам домашней контрольной работы.
Ориентировочный список вопросов к экзамену по всему курсу
1.Векторная алгебра. Определители.
Векторы.
1. Аксиомы векторного пространства. Пример: многочлены.
2. Геометрические векторы. Понятие свободного вектора. Арифметические действия над векторами. Проверка аксиом.
3. Понятие подпространства. Подпространства в двумерном и трехмерном пространствах геометрических векторов.
Понятие базиса. Ориентация пары векторов на плоскости и тройки векторов в пространстве.
Понятие векторного произведения.
4. Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.
5. Базис векторного пространства. Координаты вектора в базисе. Пример: многочлены. Понятие
размерности векторного пространства. Базисы на плоскости и в пространстве
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
6. Ориентация пары векторов на плоскости. Ориентация тройки векторов в пространстве. Стандартный базис. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Определение векторного произведения.
Скалярное произведение. Проекция вектора на вектор. Угол между векторами. Свойства векторного произведения.
7. Определение скалярного произведения в векторном пространстве. Пример: многочлены. Скалярное произведение геометрических векторов. Формула для вычисления скалярного произведения в координатах.
8. Определение угла между векторами произвольного векторного пространства. Пример: многочлены. Ортогональная проекция вектора на вектор и ее свойства.
9. Формула для вычисления векторного произведения в координатах. Свойства векторного произведения.
Определители.
10. Определения матрицы, определителя n-го порядка. Геометрический смысл определителя 2-го
порядка. Геометрический смысл определителя 3-го порядка.
11. Перемена строк в определителе местами. Доказательство свойств определителя по строкам.
12. Определитель транспонированной матрицы. Доказательство свойств определителя по столбцам.
13. Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк. Приведение определителя к
треугольному виду. Определитель треугольной матрицы. Определитель с блоком нулей.
2.Аналитическая геометрия
Уравнение первой степени от двух переменных. Уравнение первой степени от трех переменных. Система двух уравнений первой степени от трех переменных.
14. Уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве: по нормали и точке, в отрезках,
через две (три) точки. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору (каноническое и параметрическое уравнения).
15. Взаимное расположение двух прямых на плоскости (двух плоскостей в пространстве). Угол
между прямыми на плоскости и плоскостями в пространстве. Условие перпендикулярности двух
прямых в терминах их угловых коэффициентов.
16. Формула расстояния от точки до прямой на плоскости (до плоскости в пространстве).
17. Пучок прямых на плоскости (плоскостей в пространстве). Теорема о пучке плоскостей
18. Общее, каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой:
по точке и направляющему вектору, по двум точкам.
19. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве.
20. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
21. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
Уравнение второй степени от двух переменных.
22. Формулы преобразования координат при повороте и параллельном переносе.
23. Понятие кривой второго порядка. Теорема классификации кривых второго порядка.
24. Определение типа кривой с помощью инвариантов.
25. Фокальные свойства эллипса, гиперболы и параболы.
Уравнение второй степени от трех переменных.
26. Понятие поверхности второго порядка. Теорема классификации поверхностей второго порядка
(без док).
Комплексные числа.
27. Определение комплексного числа. Свойства арифметических операций с комплексными числами.
28. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Модуль, сопряжение, деление комплексных
чисел.
29. Комплексная плоскость. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи
комплексного числа. Модуль и аргумент произведения и частного комплексных чисел.
30. Формула Муавра. Вычисление корней n-ой степени из комплексного числа.
Элементы теории многочленов.
31. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
32. Основная теорема алгебры (без док.). Разложение многочлена в произведение неприводимых
множителей над C и над R.
3.Системы линейных уравнений. Матрицы.
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
33. Общее и частное решения системы. Однородные, совместные, определенные, эквивалентные
системы линейных уравнений (СЛУ). Расширенная матрица системы.
34. Элементарные преобразования строк матрицы системы. Главный ступенчатый вид матрицы
(ГСВ). Алгоритм приведения матрицы к ГСВ.
35. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Главные и второстепенные переменные. Запись решения системы в общем, параметрическом и векторном виде.
36. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений. Связь между общими
решениями неоднородной и соответствующей ей однородной СЛУ.
37. Понятие ранга матрицы. Связь между рангом матрицы и размерностью пространства решений
однородной СЛУ.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
38. Критерий совместности системы. Критерий единственности решения системы линейных уравнений.
39. Доказательство леммы о линейной зависимости (корректность понятия размерности векторного
пространства).
40. Понятие о ранге матрицы как размерности системы строк (системы столбцов).
41. Обоснование единственности ГСВ матрицы.
Арифметические действия над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Формулы Крамера. Мультипликативное свойство определителя.
42. Умножение, сложение, транспонирование матриц и их свойства. Единичная матрица. Понятие
обратной матрицы. Доказательство равенства правой и левой обратных матриц.
43. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Формулы Крамера для нахождения обратной матрицы и решения определенной системы линейных уравнений.
44. Понятие элементарной матрицы. Метод Гаусса нахождения обратной матрицы.
45. Понятие невырожденной матрицы. Критерии существования обратной матрицы.
46. Мультипликативное свойство определителя.
4. Начала теории линейных операторов.
Линейные операторы.
47. Понятие линейного оператора. Ядро и образ оператора. Примеры операторов поворота, проекции, диффиренцирования.
48. Композиция операторов. Обратный оператор. Критерий обратимости оператора.
49. Формула, связывающая координаты вектора в разных базисах.
50. Матрица линейного оператора. Формула, связывающая матрицы линейного оператора в разных
базисах.
51. Собственные значения и собственные векторы. Диагонализируемые операторы. Критерий диагонализируемости линейного оператора. Алгоритм нахождения собственных векторов.
52. Изометрические операторы в трехмерном пространстве.
53. Операторы, заданные симметрической матрицей в стандартном базисе, в трехмерном простран-
стве.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для
направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра
А) Основная литература (базовые учебники и задачник )
Федотов А.Г., Карпов Б.В. Аналитическая геометрия. Учебное пособие. МГИЭМ, М.,2005
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Лаборатория базовых знаний,
2003.
Клетеник Д.В. "Сборник задач по аналитической геометрии". Москва, Наука, Физматлит,
1998.
Андреев К.К., Бусяцкая И.К. Линейные операторы, часть 1. М., МИЭМ, 2007. (Есть электронная версия: http://kirill-andreyev.narod2.ru)
Андреев К.К., Бусяцкая И.К. Линейные операторы, часть 2. М., МИЭМ, 2008. (Есть электронная версия: http://kirill-andreyev.narod2.ru)
Б) Дополнительная литература
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.,:Добросвет, 2007.
Кострикин А.И. Введение в алгебру.М.:Физматлит, 2001.
Кострикин А.И., Манин Ю.И.. Линейная алгебра и геометрия. С.-Петербург:Лань,2005.
В) Программные средства
Для успешного освоения дисциплины, студент использует следующие программные средства:
программа TheMatrix приведения матрицы к ГСВ