Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра прикладных информационных технологий и программирования КУРСОВОЙ ПРОЕКТ по дисциплине «Надёжность информационных систем» на тему «_______________________________________________________________________ _______________________________________» Выполнил (а): Обучающийся (аяся) гр. _____________ (аббревиатуры групп) ________ _________ __________ (дата) (подпись) (инициалы, фамилия) Руководитель курсового проекта: к.т.н., доцент П.А. Сеченов __________ ________ ______________ (оценка) Новокузнецк 20___г. 1 (дата) (подпись) Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра прикладных информационных технологий и программирования УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой __________ ______________ (подпись) (инициалы, фамилия) «____» ____________ 20__г. ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОГО ПРОЕКТА по дисциплине «Надёжность информационных систем» на тему «_______________________________________________________________________ ________________________________________________» обучающегося (ейся) ________________________________________________________________ СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОГО ПРОЕКТА 1. Теоретический анализ задачи: цель работы, выбор и обоснование методов для расчета показателей надежности информационных систем. 2. Расчет показателей надежности: невосстанавливаемых систем; серии невосстанавливаемых объектов; нерезервированных элементов с использованием законов распределения; определение показателей надежности системы со структурной избыточностью. 3. Составление пояснительной записки. Задание к курсовой работе принял: «___» __________ _____г. _________________________________ Руководитель курсового проекта _____________ 2 П.А. Сеченов Содержание Введение ............................................................................................................................... 4 1 Расчет показателей надежности нерезервированных невосстанавливаемых информационных систем .................................................................................................... 5 2 Определение показателей надежности системы со структурной избыточностью .. 12 Задача 1 ............................................................................................................................... 12 Этап 1 .................................................................................................................................. 14 Этап 2 .................................................................................................................................. 14 Этап 3 .................................................................................................................................. 19 Этап 4 .................................................................................................................................. 20 Этап 5 .................................................................................................................................. 22 Этап 6 .................................................................................................................................. 22 Задача 2 ............................................................................................................................... 23 Заключение......................................................................................................................... 32 Библиографический список .............................................................................................. 33 3 Введение Надежность свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования [1]. Цель работы: изучить способы расчетов показателей надежности различных информационных систем. Задачи: 1. Рассчитать и анализировать показатели надежности серии невосстанавливаемых объектов системы, используя статистический ряд для дальнейшего расчета показателей безотказности. 2. Определить показатели надежности системы со структурной избыточностью; в ходе работы необходимо: значения произвести расчеты системы, если все линии имеют одинаковые коэффициента готовности и построить соответствующий график зависимости; определить ребро или ребра, которые дают максимальное приращение при увеличении их надежности; провести анализ результатов расчетов и сформулировать выводы по результатам исследования; рассчитать показатели значимости и вклада линий связи в надежность системы, сформулировать выводы о влиянии этих элементов на обеспечение надежности системы. 4 1 Расчет показателей надежности нерезервированных невосстанавливаемых информационных систем Цель: на основе представленных статистических данных (таблица 1) провести расчет и анализ показателей надежности серии невосстанавливаемых объектов. Таблица 1 – Исходные данные № объекта Время наблюдения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2100 2400 1800 2200 2700 1700 2300 2200 2300 2600 Время отказа 66 79 166 155 111 215 53 35 164 204 114 462 407 384 548 245 418 261 580 412 440 653 501 842 854 362 814 614 674 561 863 1066 592 1001 1270 393 882 1075 1163 1054 1146 1466 1121 1548 1352 536 1409 1718 1418 1852 Отказов 1240 1671 1342 1737 1842 1005 1880 2186 1528 2049 1557 2316 1744 2129 2355 1695 2253 2002 2179 2484 2246 2599 8 7 7 7 8 7 7 6 8 8 2619 Решение: Определим наработку до отказа по всем объектам, используя формулу 1 [2]. 𝑇𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1 . (1) Результаты расчетов представлены в таблице 2. Таблица 2 – Результаты расчетов № Время объекта наблюдения 1 2100 2 2400 3 1800 4 2200 5 2700 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 66 79 166 155 111 48 383 241 229 437 326 191 94 458 306 423 413 91 159 416 283 400 529 547 82 94 205 221 189 490 317 645 402 392 513 445 5 264 Отказов 8 7 7 7 8 Продолжение таблицы 2 № Время объекта наблюдения 6 1700 7 2300 8 2200 9 2300 10 2600 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 215 53 35 164 204 30 365 226 416 208 117 396 353 94 149 31 68 461 489 493 143 527 643 255 798 469 471 468 110 197 690 373 651 435 T8 67 115 Отказов 7 7 6 8 8 Минимальное и максимальное значения из представленных в таблице 2: 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 798 ч., 𝑇𝑚𝑖𝑛 = 30 ч. Определяем диапазон значений, используя формулу 2: 𝜉 = 𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 . (2) 𝜉 = 768 ч. Исходное количество данных равно N=73. Количество интервалов и их длину можно найти, используя формулы 3 и 4: 𝑘 = √𝑁. (3) 𝜉 ∆𝑇 = . 𝑘 (4) 𝑘 = √𝑁 = √73 ≈ 8; ∆𝑇 = 𝜉 𝑘 = 768 8 = 96. Расчет частости и накопленной частости по интервалам представлен в таблице 3. 6 Таблица 3 – Расчет частости и накопленной частости по интервалам № интервала Начало интервала Конец интервала Количество изделий, отказавших в интервале 1 2 3 4 5 6 7 8 30 130 230 330 430 530 630 730 130 230 330 430 530 630 730 830 ∑ 18 16 7 12 14 1 4 1 73 Частость 0,246575 0,219178 0,09589 0,164384 0,191781 0,013699 0,054795 0,013699 1 Накопленная частость 0,246575342 0,465753425 0,561643836 0,726027397 0,917808219 0,931506849 0,98630137 1 Гистограммы частости и накопленной частости представлены на рисунках 1 и 2. 0,3 0,25 Частость 0,2 0,15 0,1 0,05 0 30 130 230 330 430 530 Время Рисунок 1 – Гистограмма частости 7 630 730 1,2 Накопленная частость 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 30 130 230 330 430 530 630 730 Время Рисунок 2 – Гистограмма накопленной частости Количество отказавших деталей с нарастающим итогом на средину каждого периода определяется по формуле 5 [3]: ∆𝑛(𝑡𝑖 ) = ∆𝑛(𝑡𝑖−1 ) + Количество 𝑛(𝑡𝑖 ) + 𝑛(𝑡𝑖−1 ) . 2 работоспособных изделий на середину каждого (5) периода определяется по формуле 6: 𝑁(𝑡) = 𝑁 − ∆𝑛(𝑡). (6) Статистическая оценка вероятности безотказной работы на середину каждого периода определяется по формуле 7: 𝑃̂(𝑡) = 1 − ∆𝑛(𝑡) 𝑁(𝑡) = . 𝑁 𝑁 8 (7) Статистическая оценка вероятности отказа на середину каждого периода определяется по формуле 8: 𝑄̂(𝑡) = ∆𝑛(𝑡) . 𝑁 (8) Статистическая оценка плотности вероятности отказов определяется по формуле 9 [4]: 𝑓̂(𝑡) = ∆𝑛(𝑡) . 𝑁∆𝑡 (9) Результаты расчетов приведены в таблице 4. Таблица 4 – Результаты расчетов Начало интервала Конец интервала Середина интерва ла Количество отказавших изделий 30 130 230 330 430 530 630 730 130 230 330 430 530 630 730 830 80 180 280 380 480 580 680 780 18 16 7 12 14 1 4 1 Количество Количестработово споотказавсобных ших изделий изделий на на середисередину ну интервала интервала 9 64 26 47 37,5 35,5 47 26 60 13 67,5 5,5 70 3 72,5 0,5 P(t) Q(t) f(t) 0,87671 0,64384 0,4863 0,35616 0,17808 0,07534 0,0411 0,00685 0,123288 0,356164 0,513699 0,643836 0,821918 0,924658 0,958904 0,993151 0,000457 0,001319 0,001903 0,002385 0,003044 0,003425 0,003551 0,003678 На рисунке 3 представлен график зависимости вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказа по экспериментальным данным Q(t) от времени. 9 1,2 1 0,8 0,6 P(t) 0,4 Q(t) 0,2 0 0 30 300 570 840 1110 1380 1650 Время Рисунок 3 – График зависимости вероятности безотказной работы и вероятности отказа от времени Средняя наработка до отказа определяется по формуле 10 [5]: 𝑡̅ = ∑ 𝑛𝑖 + 𝑡𝑖,сер . 𝑁 (10) Результаты промежуточных расчетов средней наработки до отказа представлены в таблице 5. Таблица 5 – Результаты промежуточных расчетов средней наработки до отказа Середина интервала 80 180 280 380 480 580 680 780 Количество отказавших изделий 𝑡𝑖,сер ∙ 𝑛𝑖 𝑡𝑖,сер ∙ 𝑛𝑖2 18 16 7 12 14 1 4 1 ∑ 1440 2880 1960 4560 6720 580 2720 780 17835 2073600 8294400 3841600 2,1E+07 4,5E+07 336400 7398400 608400 108418725 10 Дисперсия определяется по формуле 11: 2 ∑ 𝑛𝑖 + 𝑡𝑖,сер − 𝑡̅ 2 . 𝑁 Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле 12 [2]: Д= 𝜎 = √Д. (11) (12) Коэффициент вариации определяется по формуле 13: 𝜎 𝑣= . 𝑡̅ Д = 1124519; 𝜎 = 1060,4; 𝑣 = 3,58. 11 (13) 2 Определение показателей надежности системы со структурной избыточностью Задача 1 Цель: разработать и реализовать на ЭВМ аналитические модели для определения Кг пути между вершинами 1 и 6. Для этого следует построить два вида моделей: на основе метода перебора возможных состояний системы; на основе построения функции работоспособности системы с использованием (КПУФ) – формулы Уоринга. Модели должны позволить производить расчет при различных значениях вероятности работоспособного состояния каждого из ребер графа. Необходимо также: произвести расчеты Кг системы, если все линии имеют одинаковые значения коэффициента готовности, равные 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, и построить соответствующий график зависимости; определить ребро или ребра, которые дают максимальное приращение Кг при увеличении их надежности; провести анализ результатов расчетов и сформулировать выводы по результатам исследования; рассчитать показатели значимости и вклада линий связи в надежность системы, сформулировать выводы о влиянии этих элементов на обеспечение надежности системы. Данные для задачи 1: Исходный граф системы представлен на рисунке 4 12 Рисунок 4 – Исходный граф системы В таблице 6 представлена информация о наличии ребер графа системы в соответствии с вариантом. Таблица 6 – Наличие ребер графа системы № п/п 9 1 1 2 1 3 1 4 1 Ребра графа системы 5 6 7 8 9 1 0 1 0 1 10 0 11 0 12 0 13 0 В таблице 7 представлена информация о коэффициентах готовности ребер. Таблица 7 –Коэффициенты готовности № п/п 9 1 0,6 2 0,9 3 0,9 Ребра графа системы 4 5 6 7 8 9 0,65 0,75 0,75 0,85 13 10 11 12 13 Решение задачи 1: Этап 1 Воспроизводим конкретную структуру системы в соответствии с вариантом (рисунок 5). Рисунок 5 – Граф системы с учетом наличия ребер по варианту Определяются КПУФ как перечни ребер, одновременная работоспособность которых обеспечивает возможность передачи информации между вершинами 1 и 6. Этап 2 Для реализации модели осуществляется перебор всех возможных состояний системы, определяемых различными комбинациями работоспособности ребер выбранной структуры. Каждое ребро может иметь два состояния (работоспособно и не работоспособно), поэтому общее количество возможных состояний будет равно 2n, где n – количество ребер графа. Количество возможных состояний равно 128. 14 Составим таблицу истинности для состояний ребер графа (таблица 8). Таблица 8 – Таблица истинности состояний ребер графа Состояния ребер 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 7 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 9 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Наличие связи между 1 и 6 вершинами 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Коэффициенты готовности ребер 1 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 2 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,1 0,1 3 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,9 0,9 15 4 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,65 0,65 5 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 7 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 9 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 Общая вероят- Вероятность ность с учетом готоввыбранных ности путей системы 0,140970 0,140970375 0,060416 0,060415875 0,024877 0,024877125 0,010662 0,010661625 0,046990 0,046990125 0,020139 0,020138625 0,008292 0,008292375 0,003554 0 0,075907 0,075907125 0,032532 0,032531625 0,013395 0 0,005741 0 0,025302 0,025302375 0,010844 0,010843875 0,004465 0 0,001914 0 0,015663 0,015663375 0,006713 0,006712875 0,002764 0 0,001185 0 0,005221 0,005221125 0,002238 0,002237625 0,000921 0 0,000395 0 0,008434 0,008434125 0,003615 0,003614625 0,001488 0 0,000638 0 0,002811 0,002811375 0,001205 0,001204875 0,000496 0 0,000213 0 0,015663 0,015663375 0,006713 0,006712875 Продолжение таблицы 8 Состояния ребер Коэффициенты готовности ребер Наличие связи между 1 и 6 вершинами 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 7 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 9 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 3 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 16 4 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 5 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 7 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 9 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 Общая вероят- Вероятность ность с учетом готоввыбранных ности путей системы 0,002764 0,001185 0,005221 0,002238 0,000921 0,000395 0,008434 0,003615 0,001488 0,000638 0,002811 0,001205 0,000496 0,000213 0,001740 0,000746 0,000307 0,000132 0,000580 0,000249 0,000102 0,000044 0,000937 0,000402 0,000165 0,000071 0,000312 0,000134 0,000055 0,000024 0,093980 0,040277 0,016585 0,007108 0,031327 0,013426 0,005528 0,002764125 0,001184625 0,005221125 0 0,000921375 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,09398025 0,04027725 0,01658475 0,00710775 0 0 0 Продолжение таблицы 8 Состояния ребер Коэффициенты готовности ребер Наличие связи между 1 и 6 вершинами 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 5 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 7 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 9 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 2 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 3 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 17 4 0,65 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,35 0,35 0,35 0,35 5 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 7 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 9 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 Общая вероятность готовности системы Вероятность с учетом выбранных путей 0,002369 0,050605 0,021688 0,008930 0,003827 0,016868 0,007229 0,002977 0,001276 0,010442 0,004475 0,001843 0,000790 0,003481 0,001492 0,000614 0,000263 0,005623 0,002410 0,000992 0,000425 0,001874 0,000803 0,000331 0,000142 0,010442 0,004475 0,001843 0,000790 0,003481 0,001492 0,000614 0,000263 0,005623 0,002410 0,000992 0,000425 0 0,05060475 0 0 0 0 0 0 0 0,01044225 0 0 0 0 0 0 0 0,00562275 0 0 0 0 0 0 0 0,01044225 0,00447525 0,00184275 0,00078975 0 0 0 0 0 0 0 0 Продолжение таблицы 8 Состояния ребер 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 7 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 9 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Наличие связи между 1 и 6 вершинами 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Коэффициенты готовности ребер 1 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 3 0,9 0,9 0,9 0,9 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 4 0,35 0,35 0,35 0,35 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 7 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 9 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 ∑ Общая вероят- Вероятность ность с учетом готоввыбранных ности путей системы 0,001874 0 0,000803 0 0,000331 0 0,000142 0 0,001160 0 0,000497 0 0,000205 0 0,000088 0 0,000387 0 0,000166 0 0,000068 0 0,000029 0 0,000625 0 0,000268 0 0,000110 0 0,000047 0 0,000208 0 0,000089 0 0,000037 0 0,000015 0 1 0,777468375 Определение возможности связи между вершинами графа под номерами 1 и 6 при текущих состояниях ребер графа определяется при помощи условия записанного в виде, указанного в формуле 14. = ЕСЛИ(ИЛИ(И(𝐵4 = 1; 𝐻4 = 1; 𝐷4 = 1; 𝐸4 = 1); И(𝐵4 = 1; 𝐶4 = 1; 𝐺4 = 1); И(𝐹4 = 1; 𝐷4 = 1; 𝐸4 = 1); И(𝐹4 = 1; 𝐻4 = 1; 𝐶4 = 1; 𝐺4 = 1)); 1; 0). 18 (14) Сумма всех вероятностей возможных состояний системы равна 1, а сумма вероятностей всех путей, работоспособное состояние которых может соединить вершины графа 1 и 6, равна 0,777468375. Этап 3 Для выполнения 3 этапа находим кратчайшие пути от вершины 1 к вершине 6. Возможные пути для работоспособного состояния системы указаны в таблице 9. Таблица 9 – Полученные пути Путь Номера ребер А1 А2 А3 A4 1 1 5 5 9 2 3 9 3 7 4 2 4 7 Подставив коэффициент готовности для каждого ребра, получаем таблицу 10. Таблица 10 – Коэффициенты готовности каждого ребра Путь А1 А2 А3 A4 Коэффициент готовности ребер 0,6 0,6 0,75 0,75 0,7 0,9 0,9 0,7 0,9 0,85 0,65 0,9 0,65 0,85 Для нахождения вероятности для каждого пути необходимо перемножить коэффициенты готовности каждого ребра. Для нахождения вероятности групповых путей следует перемножить коэффициенты готовности всех входящих в путь ребер, исключая повторы. Результаты расчетов представлены в таблице 11. 19 Таблица 11 –Вероятности работоспособных путей Группа путей Коэффициент готовности группы путей A1 A2 A3 A4 A1A4 A2A4 A3A4 A1A2 A1A3 A2A3 A1A2A3 A1A2A4 A2A3A4 A1A3A4 A1A2A3A4 0,6561 0,729 0,729 0,6561 0,478297 0,59049 0,531441 0,187961 0,184275 0,201386 0,14097 0,14097 0,14097 0,14097 0,14097 Общая вероятность всех путей находим по формуле Уоринга (формула 15). 𝑃с = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 − 𝐴1𝐴4 − 𝐴2𝐴4 − 𝐴3𝐴4 − 𝐴1𝐴2 − 𝐴1𝐴3 − 𝐴2𝐴3 + (15) 𝐴1𝐴2𝐴3 + 𝐴1𝐴2𝐴4 + 𝐴2𝐴3𝐴4 + 𝐴1𝐴3𝐴4 − 𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4. Вероятность работы системы, рассчитанная по формуле 15 равна 0,777468, что совпадает со значением, полученным методом перебора. Этап 4 На 4 этапе необходимо найти зависимость коэффициента готовности для случая равной надежности всех линий связи. В таблице 12 представлен список значений вероятностей всех ребер графа и общий коэффициент готовности для всей системы при этих значениях. 20 Таблица 12 – Коэффициенты готовности ребер и системы Значения вероятностей элементов Исходное значение вероятности ребер 0,6 0,7 0,8 0,9 Общая вероятность работоспособности системы 0,777468 0,38808 0,647416 0,89295 0,939025 Построим гистограмму, показывающую вероятность работоспособности системы, в зависимости от вероятности работы элементов. 1 0,9 Вероятность раюоты системы 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Исходные данные 0,6 0,7 0,8 0,9 Коэффициенты готовности Рисунок 6 – Зависимость вероятности работы системы от вероятности работы элементов 21 Из визуального анализа гистограммы видно, что при повышении коэффициента готовности всех элементов увеличивается вероятность безотказной работы всей системы. Этап 5 На пятом этапе нужно найти те ребра, изменение коэффициента готовности которых наиболее сильно отразится на работоспособности всей системы. Для этого необходимо установить коэффициент готовности для всех элементов равным 0,5 и для одного из элемента изменить это значение на 0,9. Рассчитав общую вероятность безотказной работы всей системы, можно сделать выводы о наличии и количестве весомых ребер. Расчет осуществляется с помощью формулы 15. Результаты представлены в таблице 13. Таблица 13 – Коэффициенты готовности ребер и вероятность работы системы Коэффициенты готовности ребер 1 2 3 4 5 7 9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Вероятность работы системы 0,31875 0,38125 0,36875 0,38125 0,38125 0,38125 0,36875 Так как количество кратчайших путей равно 4, а все участвующие в них ребра задействованы в общей сложности по 2 раза, то количество ребер, оказывающих наибольшее влияние на работоспособность системы равно 4. Это ребра под номерами 2,3,4 и 7. Этап 6 Определим значимость вклада линий связи в надежность системы в целом. 22 Для этого найдем меру важности каждого ребра и показатель вклада ребра в надежность системы по формуле 16: (16) В𝑗 = 𝐼𝑘 (𝑗) ∙ 𝐾г𝑗 . Относительный вклад ребра определяется по формуле 17 [6]: 𝑏𝑗 = В𝑗 (17) . ∑𝑛𝑖=1 В𝑖 𝑘 Результаты расчетов представлены в таблице 14. Таблица 14 – Показатели значимости вклада каждого ребра № ребра Мера важности ребра Вклад ребра 1 2 3 4 5 7 9 2 2 2 2 2 2 2 1,2 1,8 1,8 1,6 1,2 1,7 1,4 Относительный вклад ребра 0,11215 0,168224 0,168224 0,151495 0,110187 0,158879 0,130841121 Анализируя данные в таблице 14, можно сказать, что наибольший вклад в систему вносят ребра под номерами 2, 3, 4 и 7, что не противоречит результатам этапа 5. Задача 2 Цель: рассчитать коэффициенты готовности системы с использованием методов перебора и формулы Уоринга согласно варианту. Данные для задачи 2: 23 Система связи отражена на графе (рисунок 7). Рисунок 7 – Исходный граф задания 2 Для данного варианта наличие или отсутствие ребер указано в таблице 15. Таблица 15 – Количество элементов и их соответствующие вероятности безотказной работы № п/п 9 1 1 2 0 3 1 4 1 Наличие ребер графа сети 5 6 7 8 9 1 0 1 0 0 10 1 11 0 12 1 13 0 В соответствии с данным в таблице 15 получаем граф, изображенный на рисунке 8. Рисунок 8 – Граф задания с учетом наличия ребер согласно варианту 24 Решение задачи 2: Для реализации модели осуществляется перебор всех возможных состояний системы, определяемых различными комбинациями работоспособности ребер выбранной структуры. Каждое ребро может иметь два состояния (работоспособно и не работоспособно), поэтому общее количество возможных состояний будет равно 2n, где n – количество ребер графа [7]. Количество возможных состояний равно 128. Таблица истинности для состояний ребер графа представлена в таблице 16. Таблица 16 – Таблица истинности состояний ребер графа Состояния ребер 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 7 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 9 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Наличие связи между 1 и 6 вершинами 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Коэффициенты готовности ребер 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 25 5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Общая Вероятность вероятность с учетом выбранных готовности путей системы 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Продолжение таблицы 16 Состояния ребер 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 7 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 9 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Наличие связи между 1 и 6 вершинами 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Коэффициенты готовности ребер 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 26 5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Общая Вероятность вероятность с учетом выбранных готовности путей системы 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0 0 0 0 0 0 0 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0 0 0 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0,007813 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Продолжение таблицы 16 Состояния ребер 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 7 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 9 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Наличие связи между 1 и 6 вершинами 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Коэффициенты готовности ребер 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 27 5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Общая Вероятность вероятность с учетом выбранных готовности путей системы 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Продолжение таблицы 16 Состояния ребер 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 7 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 9 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Наличие связи между 1 и 6 вершинами 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Коэффициенты готовности ребер 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Общая Вероятность вероятность с учетом выбранных готовности путей системы 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0,0078125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Определение возможности связи между вершинами графа под номерами 1 и 2 при текущих состояниях ребер графа определяется при помощи условия записанного в виде, указанно в формуле 14. Сумма всех вероятностей возможных состояний системы равна 1, а сумма вероятностей всех путей, работоспособное состояние которых может соединить вершины графа 1 и 2 равна 0,179688. Далее находим кратчайшие пути. Ребра, которые входят в этот путь, указаны в таблице 17. 28 Таблица 17 – Полученные пути Путь А1 А2 А3 1 1 1 Номера ребер 4 5 4 10 4 7 3 12 Далее подставим вероятность для каждого ребра в таблицу 18 Таблица 18 – Коэффициенты готовности каждого ребра Путь Коэффициент готовности ребер А1 0,5 0,5 0,5 0,5 А2 0,5 0,5 0,5 0,5 А3 0,5 0,5 0,5 Для нахождения вероятности для каждого пути необходимо перемножить коэффициенты готовности каждого ребра. Для нахождения вероятности групповых путей следует перемножить коэффициенты готовности всех входящих в путь ребер, исключая повторы. Результаты расчетов представлены в таблице 19. Таблица 19 – Коэффициенты готовности групп ребер Группа путей Коэффициент готовности группы путей А1 A2 A3 A1A2 A1A3 A2A3 A1A2A3 0,0625 0,0625 0,125 0,015625 0,03125 0,03125 0,007813 Общая вероятность работоспособного состояния системы находим по формуле Уоринга (формула 15). Далее необходимо найти коэффициенты готовности системы, используя метод перебора и формулу Уоринга. 29 При это нужно учитывать, что все ребра должны иметь одинаковые коэффициенты готовности равные 0,5, а два любых ребра также могут иметь коэффициент готовности равный 0,98. Все возможные состояния системы, при которых коэффициенту готовности двух любых ребер присваивается значение 0,98 представлены в таблице 20. Таблица 20 – Коэффициенты готовности групп ребер 1 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 3 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 Коэффициенты готовности ребер 4 5 7 10 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,98 0,5 0,5 0,98 0,5 0,98 0,5 0,98 0,5 0,5 0,98 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,98 0,98 0,5 0,5 0,98 0,5 0,98 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,98 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,98 0,98 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,98 0,98 0,5 0,5 0,98 0,5 0,98 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 30 12 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,98 0,5 0,5 0,5 0,5 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 Вероятность работы системы 0,396288 0,690288 0,396288 0,484488 0,396288 0,396288 0,396288 0,246288 0,248088 0,217488 0,217488 0,396288 0,484488 0,396288 0,396288 0,246288 0,248088 0,217488 0,217488 0,248088 0,484488 0,248088 0,248088 0,396288 0,217488 0,396288 0,217488 0,246288 0,396288 0,217488 0,396288 0,217488 0,248088 Максимальное значение коэффициента готовности системы равно 0,690288, такое значение получается при увеличении коэффициента готовности ребер под номерами 1 и 4 до 0,98, что говорит о том, что эти ребра оказывают наибольшее влияние на работоспособность всей системы в целом. 31 Заключение При выполнении курсового проекта были реализованы следующие задачи: 1. Был проведен расчет и анализ показателей надежности серии невосстанавливаемых объектов, в ходе которых были выполнены следующие задачи: по статистическим данным был произведен расчет показателей безотказности информационной системы, где на средину каждого заданного временного периода были вычислены: количество отказавших деталей нарастающим итогом; количество работоспособных изделий, статистическую оценку вероятности безотказной работы; статистическую оценку вероятности отказа; был проведен расчет числовых характеристик наработки до отказа, в ходе которого также были вычислены дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. 2. Были определены показатели надежности системы со структурной избыточностью, в ходе работы были выполнены следующие этапы: реализация модели расчета коэффициента готовности системы с использованием метода перебора состояний; реализация модели расчета коэффициента готовности системы с использованием формулы Уоринга; построение графика зависимости коэффициента готовности для случая равной надежности всех линий связи; определение значимости линий связи; определение показателей значимости и вклада линий связи в надежность системы в целом. 32 Библиографический список 1. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике (ССНТ). Основные понятия. Термины и определения. – М: Изд-во стандартов, 2002. – 156 с. 2. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности / Б.В Гнеденко. – М: Наука, 1965. – 524 с. 3. КБГУ. Лекция: Надежность информационных систем [Электронный ресурс]. – URL: http://nadegnost.narod.ru/lection1.html (дата обращения 22.12.2019) 4. Расулова С.С. Надежность вычислительных машин и систем. Учебное пособие / С.С. Расулова. – ТГТУ, 1995. – 156 с. 5. Громов Ю.Ю., Иванова О.Г., Мосягина Н.Г., Набатов К.А. Надежность информационных систем: Учебное пособие / Ю.Ю. Громов, О.Г. Иванова. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2010. – 160 с. 6. Ермаков А.А. Основы надежности информационных систем: Учебное пособие / А.А. Ермаков – Иркутск: ИрГУПС, 2006. – 151с. 7. Громов Ю.Ю., Иванова О.Г., Кулаков Ю.В., Дискретная математика: Учебное пособие / Ю.В. Кулаков. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2012. – 128 с. 33
