ОТС-пр-оконч-ред-2

Министерство информационных технологий и связи
Российской Федерации
ФГОБУ ВПО «Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
Уральский технический институт связи и информатики ( филиал )
Д.В.Астрецов Е.В.Вострецова
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Научный редактор - проф., канд. техн. наук Д.В. Астрецов
Екатеринбург
2012
УДК 621.39(076.1)
ББК 32.88я73
А 91
Рецензенты:
кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем ФГАОУ ВПО
«УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» (зав. кафедрой доц.,
канд. техн. наук А.А.Язовский),
профессор, доктор физ.-мат. наук А. Д. Ивлиев (Российский профессиональнопедагогический университет)
Авторы: Д.В.Астрецов, Е.В.Вострецова
А 91 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ: Учебное пособие
/Д.В. Астрецов, Е.В. Вострецова. Екатеринбург:УрТИСИ ФГОБУ ВПО
«СибГУТИ», 2012.
ISBN 5-321-00912-0
Настоящее
учебно-методическое
пособие
предназначено
для
использования преподавателями и студентами в практических занятиях по курсу
«Общая теория связи», а также для самостоятельной работы по изучению этого
курса. Каждый раздел пособия начинается с краткого изложения теоретического
материала, затем рассматривается процедура решения типовых задач, в
заключение студентам предлагается самостоятельно решить несколько задач.
Пособие может быть использовано студентами других специальностей при
изучении курсов, связанных с теорией связи.
Библиогр.: 5 назв. Рис. 33. Табл. 1.70 с.
Подготовлено кафедрой общепрофессиональных дисциплин технических
специальностей
УДК 621.39(076.1)

ISBN 5-321-00912-0
ББК 32.88я73
 ФГОБУ ВПО УрТИСИ СибГУТИ ( филиал),
 Д.В. Астрецов, Е.В. Вострецова, 2012
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4
1. РАСЧЁТ СПЕКТРОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ...................... 5
1.1. Спектральное представление периодических сигналов............................... 5
1.2. Спектральное представление непериодических сигналов ........................... 6
1.3. Основные свойства преобразования Фурье................................................... 6
2. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ УОЛША .............. 14
3. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ.
ПРОХОЖДЕНИЕ АМ-СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ ....... 21
4. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ. ПРОХОЖДЕНИЕ
СИГНАЛОВ С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ
ЦЕПИ ...................................................................................................................... 25
5. ДЕМОДУЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ С АИМ ............................................................. 31
6. ДЕМОДУЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ С ШИМ ............................................................ 36
7. РАСЧЁТ МАКСИМАЛЬНОГО ЧИСЛА КАНАЛОВ ПРИ ЗАДАННОМ
ВИДЕ МОДУЛЯЦИИ. СИСТЕМЫ С ЧАСТОТНЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ
КАНАЛОВ ............................................................................................................. 42
8. РАСЧЁТ МАКСИМАЛЬНОГО ЧИСЛА КАНАЛОВ ПРИ ЗАДАННОМ
ВИДЕ МОДУЛЯЦИИ. СИСТЕМЫ С ВРЕМЕННЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ
КАНАЛОВ.............................................................................................................. 48
9. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО
ПРОЦЕССА ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПЬЮ В СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ ........... 53
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ………………………………………….61
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................................... 68
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее
учебно-методическое
пособие
предназначено
для
использования преподавателями и студентами в практических занятиях по курсу
«Общая теория связи», а также для самостоятельной работы по изучению этого
курса.
Тематика задач, в основном, совпадает с тематикой практических занятий,
предусмотренной рабочими программами по дисциплине «Общая теория связи»,
для студентов всех форм обучения. Настоящее издание предназначено для
практических занятий по первой части дисциплины. В связи с тем, что тематика
практических занятий второй части совпадает с тематикой курсовой работы и
представлена в методических указаниях по выполнению курсовой работы, в
настоящем издании она отсутствует. В дальнейшем предполагается дополнение
настоящего издания материалом, изучаемым во второй части курса.
Каждый раздел пособия начинается с краткого изложения теоретического
материала, затем рассматривается процедура решения типовых задач, в
заключение студентам предлагается самостоятельно решить несколько задач. В
основном задачи для самостоятельного решения совпадают по характеру с
примерными задачами, однако есть небольшое число задач, требующих
дополнительного изучения теоретических основ курса, если студент заранее не
овладел этим материалом. Разумеется, не исключена возможность консультации
по методам решения таких задач непосредственно у преподавателей.
4
1. РАСЧЕТ СПЕКТРОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
1.1. Спектральное представление периодических сигналов
К периодическим относятся сигналы, обладающие свойством:
S (t) = S (t + T),
где T- период сигнала.
Разложение периодического сигнала по базису тригонометрических
функций – это разложение его в ряд Фурье. В качестве ортонормированного
базиса рассматривают функции:
1, cos 1t, sin 1t, cos 21t, sin21t,… cos n1t, sin n1t, …
(1.1)
…exp(-j21t), exp(-j1t), 1, exp(j1t), exp(j21t),…;
(1.2)
или
1 = 2/T – основная частота последовательности.
В случае (1.1) получаем тригонометрический ряд Фурье, в случае (1.2)комплексный ряд Фурье.
Для тригонометрического ряда Фурье

a
S (t )  0   (an cos nω1t  bn sin nω1t ) ,
2 n1
где коэффициенты ряда:
T /2
T /2
T /2
2
2
2
a

S
(
t
)
cos
n
ω
tdt
a0 
S (t )dt , n
S (t ) cos nω1tdt .
, bn 
1
T T/ 2
T T/ 2
T T/ 2
Другая, эквивалентная формула записи тригонометрического ряда:

a
S (t )  0   An cos( nω1t  φ n ) ,
2 n1
где
bn
,
an
an  An cos φ n , bn  An sin φ n .
В общем случае периодический сигнал содержит независящую от времени
постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, или
гармоник, с частотами, кратными основной частоте последовательности.
Для четного сигнала s (t) = s (– t), коэффициенты аn ≠ 0, bn= 0.
Для нечетного сигнала s (t) = – s (– t), коэффициенты bn= 0, аn ≠ 0.
Графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного
сигнала называется спектральной диаграммой. По горизонтальной оси
откладываются частоты гармоник, а по вертикали – амплитуды (амплитудная
диаграмма) или начальные фазы (фазовая диаграмма).
При разложении в комплексный ряд Фурье:
An  an2  bn2 , φ n  arctg
5
s (t ) 

C
n  
n
exp( jnω1t ) ,
T /2
где Cn 
1
s(t ) exp(  jnω1t )dt .
T T/ 2
Спектр сигнала содержит компоненты на отрицательной полуоси частот,
причём С-n = Сn* (* обозначено комплексно-сопряжённое число).
Между коэффициентами комплексного и тригонометрического ряда
существует связь:
An  2 Cn , φn  arg Cn .
1.2. Спектральное представление непериодических сигналов
Для непериодических сигналов справедливо преобразование Фурье:

1
s(t ) 
G ( jω) exp( jωt )dω.
2π 
Функция G(j)) называется спектральной плотностью сигнала s(t).
Функции G(j) и s(t) представляют собой две математические модели одного и
того же физического процесса: одна из них отражает частотный состав сигнала, а
другая описывает изменение сигнала с течением времени.
Спектральная плотность сигнала определяется с использованием прямого
преобразования Фурье:

G ( jω)   s (t ) exp(  jωt )dt .

Так как спектральная плотность является комплексной функцией, то
определяют её модуль (амплитудный спектр) и аргумент (фазовый спектр). По
форме амплитудного спектра можно судить о распределении энергии сигнала по
частоте: энергия пропорциональна квадрату амплитуды спектральной плотности,
то есть |G(j)| 2 имеет физический смысл энергии, приходящейся на 1 Гц.
При определении спектральной плотности широко используются свойства
преобразования Фурье.
1.3. Основные свойства преобразования Фурье:
1). Свойство линейности
n
n
 a s (t )   a G ( jω).
i 1
i i
i 1
i
i
2). Дифференцирование сигнала
s / (t )  jωG( jω) .
6
3). Интегрирование сигнала
t
 s(t )dt 
0
G( jω)
.
jω
4). Изменение масштаба независимой переменной (теорема подобия)
s (at ) 
 jω 
G  .
  
1
5). Смещение по времени (теорема запаздывания)
s(t  t0 )  e  jαt0 G ( jω) .
6). Умножение изображений (теорема свёртывания)
t
 s (τ)s (t  τ)dτ  G ( jω)G ( jω) .
1
2
1
2
0
7). Спектральная плотность гармонической функции s (t) = cos (0t)
G( jω)  π(δ(ω  ω0 )  δ(ω  ω0 )).
8). Спектральная плотность радиоимпульса
1
G ( jω)  (G A ( j (ω ω 0 ))e j  G A ( j (ω  ω 0 ))e  j ) ,
2
где GA(j) - спектральная плотность огибающей A(t).
9). Спектральная плотность δ-функции s(t) = δ (t):
G ( jω)  1.
 Примеры решения задач
Задача 1.1
Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных
видеоимпульсов с известными параметрами Тu, Т, А, чётную относительно t = 0
(рис. 1.1).
Решение
Скважность последовательности
Q = T/Tи.
Находим коэффициенты ряда:
7
a0 A
 ,
2 Q
an 
Tи / 2
nω1Tи
2A
2A
cos
n
ω
tdt

sin
.
1
T Tи / 2
πn
2
s(t)
А
0
t
Tи
Т
Рис. 1.1. Периодическая последовательность импульсов, чётная
относительно t = 0
Так как сигнал чётный, то bn = 0.
Окончательная форма записи:

A
sin( nπ / Q)
s (t )  (1  2
cos nω1t ).
Q
nπ / Q
n 1
На рис. 1.2 представлен амплитудный спектр последовательности
импульсов при скважности Q = 5.
На рис. 1.3 изображён амплитудный спектр сигнала из примера 1.1 при
разложении в комплексный ряд Фурье. Он построен с использованием связи
между коэффициентами комплексного и тригонометрического рядов.
An
A1
A2
a0/2
A3
0 1 2 3 4 5
6 7
8
9
/1
Рис. 1.2. Амплитудный спектр последовательности импульсов при
скважности Q=5, разложение в тригонометрический ряд Фурье
8
Сn
/1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
6
Рис. 1.3. Амплитудный спектр последовательности импульсов при
скважности Q=5, разложение в комплексный ряд Фурье
Задача 1.2
Определить
спектральную
длительностью Т и амплитудой А.
плотность
прямоугольного
импульса
Решение
A,
T
t ,
2
s(t) =
0, t 
T
.
2
Спектральная плотность

G ( jω)   s (t )e
 jωt
T /2
dt 

 Ae
T / 2
 jωt

A
dt 
(e
 jω
jωT
2
e

jωT
2
)
ωT
2A
ωT
2 .

sin
 AT
ω
T
ω
2
2
Графики сигнала и его спектральной плотности изображены на рис. 1.4.
sin
G(j)
s(t)
A
T
A
-2/T
t
-Т/2
0
Т
0
2/T
4/T
/
Рис. 1.4.2Прямоугольный импульс и его спектральная плотность
9

Задача 1.3
Определить спектральную плотность треугольного импульса (рис. 1.5).
s(t)
A
t
0
-Т/2
Т/2
Рис. 1.5. Треугольный импульс
Решение
Задачу решаем с использованием свойств преобразования Фурье,
используем при этом метод производной. Часто проще найти спектральную
плотность производной от сигнала, чем спектральную плотность самого сигнала.
Переход к спектральной плотности самого сигнала делается с использованием
свойств преобразования Фурье.
1). Рассмотрим сигнал
s 2 (t ) 
ds(t )
(рис. 1.6.).
dt
Пусть сигнал s(t) имеет
спектральную плотность G(j), а сигнал s2(t) спектральную плотность G2(j).
Тогда
G2 ( jω)  jωG( jω) .
2). Продифференцируем сигнал s2(t) (рис. 1.6 и 1.7),
d 2 s(t ) ds 2 (t )
s 3 (t ) 

.
dt
dt 2
Тогда
G3 ( jω)  jωG2 ( jω)  ω 2G ( jω) .
s2(t)
2A/Т
Т/2
0
-Т/2
-2A/Т
Рис. 1.6. Сигнал s2(t)
10
t
s3(t)
(2A/Т)(t-T/2)
(2A/Т)(t+T/2)
t
-Т/2
0
Т/2
(-4A/Т)(t)
Рис. 1.7. Сигнал s3(t)
3). s3(t) = (2A/Т)(t + T/2) - (4A/Т)(t) + (2A/Т) (t - T/2).
4). Определим спектральную плотность сигнала s3 (t):
T
T
 2A  j 2  4A   2A   j 2
G3 ( jω)  

e

e
 T 
 T   T 
5). Определим спектральную плотность исходного сигнала
ωT
ωT
  1   2 A  j 2  4 A   2 A   j 2
G( jω)  G3 ( jω) / ω   2  

e

e
 ω   T 
 T   T 
2
ωT

 AT  sin 4



2
 ωT


 4
2


 .



 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.4
Определить спектр периодической последовательности
импульсов (рис. 1.8)
треугольных
s(t)
A
t
-Т/2
Т/2
0
Рис. 1.8. Периодическая последовательность треугольных импульсов
11
Задача 1.5
Определить спектральную плотность пилообразного импульса (рис. 1.9)
s(t)
U
m
-Т/2
/2
0
t
-Um
Рис. 1.9. Пилообразный импульс
Задача 1.6
Найти и построить спектры импульсов, изображённых на рис. 1.10,
считая, что дальше импульсы повторяются периодически с периодом Т,
Представить изображённые на рис. 1.10 сигналы рядами Фурье.
s(t)
s(t)
0

 t
Um
0

t
-Um
-A
s(t)
s(t)
Um
0
 
Um
T/3


t
0
-Um
-Um
Рис. 1.10. К задаче 1.7
12
T/2
t
Задача 1.7
Определить спектр периодической последовательности пилообразных
импульсов
S (t )
U0
 5T / 4
 T / 4
3T / 4
 T  3T / 4
0
T / 4
T
5T / 4
t
U0
Рис. 1.11. Периодическая последовательность пилообразных импульсов
Представить график амплитудного спектра и записать выражения для ряда
Фурье.
Задача 1.8
Найти спектральную плотность
колокольной (гауссовской) формы:
сигнала,

являющегося
импульсом
t2
2 τ2
S (t )  U 0 e и .
где τи- половина длительности импульса по уровню 0,61 от максимального
значения U0.
Представить результат в виде графика спектральной плотности от
аргумента θ  ω и .
Примечание:
При интегрировании воспользоваться интегралом Эйлера-Пуассона:

π
 Ax  2 BxC
dx 
e
e
A
2
B 2  AC
A
.
Задача 1.9.
Найти спектральную плотность сигнала
S t   U 0 

t2
 exp  
2
и
 2  и
t




где  и - половина длительности импульса по относительному уровню 0.61, U 0  1В
13
- уровень сигнала.
Представить результат в виде графика модуля спектральной плотности в
зависимости от    и .
Обратить внимание на условие задачи 1.8.
Задача 1.10.
Найти спектральную плотность сигнала

t2
S t   U 0  1  2
 и
2


  exp   t

 2  2
и






где  и - половина длительности центрального импульса по нулевому уровню, U 0 максимальное значение сигнала.
Представить результат в виде графика зависимости модуля спектральной
плотности от произведения    и .
Обратить внимание на условия задач 1.8 и 1.9.
Задача 1.11.
Спектральная плотность сигнала записывается в виде
 s  j  
U0

e  j 1     1    ,
1, x  0,
- единичная функция.
0, x  0.
где 1x   
|  ( j ) |
s
U

0
0

U 0  0.01В
  10 4
1
с
  100 мкс
Найти выражение для сигнала и построить его график.
14
/

2. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ УОЛША
 Основные расчётные соотношения
Функции Уолша представляют собой комбинации прямоугольных
импульсов, легко реализуемые средствами цифровой техники. Сигнал
представляется в виде ряда

t
t
t
s(t )   Ck φ k (t )  С0 wal 0 ( )  С1wal1 ( )  С2 wal 2 ( )  ...
τи
τи
τи
k 0
t
φ k (t )  wal k ( ) - функция Уолша k-го порядка.
τи
При конечном числе членов ряда существует некоторая погрешность
такого разложения.
Обозначим θ  t / τ и , где τ и - длительность сигнала. Графики первых
функций Уолша изображены на рис. 2.1.
wal2()
wal0()
1
1
0
-1/2
-1/2
0
1/2
1/2


-1
wal3()
wal1()
1
1
-1/2
0
1/2

-1/2
0
-1
-1
Рис. 2.1. Графики первых четырёх функций Уолша
15
1/2

Система функций Уолша является ортонормированной, следовательно,
справедливо равенство:
T /2
1, l  k ,
wal
(
θ
)
wal
(
θ
)
d
θ


l
 k
0, l  k.
T / 2
Коэффициенты ряда определяются по формуле:
1/ 2
Сk 
 s(θ)wal
k
(θ)dθ .
1 / 2
Погрешность разложения по функциям Уолша определяется разностью
энергий.
Абсолютная погрешность равна
E = Es – Esw,
где Es – энергия исходного сигнала,
Т /2
Es 
s
2
(t )dt .
T / 2
Esw – энергия аппроксимированного сигнала,
E sw  (C0  C1  C2  ...)T .
2
2
2
Относительная погрешность равна
δ
E
.
Es
 Примеры решения задач
Задача 2.1
Разложить по системе функций Уолша сигнал (рис. 2.2):
s(t) = U0/2 + U0t/и, -и/2 < t < и/2.
Определить погрешность разложения.
s(t)
U
0
-и/2
0
и/2
t
Рис.2.2. Сигнал к задаче 2.1
16
Решение
1). Перейдём к нормированному времени θ = t/и
s(t) = U0/2 + U0θ, – 1/2 < θ <  /2.
2). Определим нулевой коэффициент разложения. Он численно равен
площади импульса (рис. 2.3, а):
1/ 2
1/ 2
U
С0   s(θ) wal0 (θ)dθ   s(θ) 1dθ  0 .
2
1 / 2
1 / 2
3). Определим первый коэффициент разложения (рис. 2.3, б):
1/ 2
0
1/ 2
U
С1   s(θ) wal1 (θ)dθ   s(θ)  (1)dθ   s(θ) 1dθ  0 .
4
1 / 2
1 / 2
0
Вычисления легко проводить, пользуясь следующим свойством. При
интегрировании произведения сигнала на функцию Уолша получается число,
пропорциональное площади части импульса. В зависимости от знака функции
на интервале эту часть следует вычесть или добавить к результату. Например,
при вычислении первого коэффициента (рис. 2.3):
С1 = – S1+S2 = – S1 +(S3 + S4) = S4 = U0/4.
s()
а
U0
С0
s()
б
U0
С0+С1
-1/2
0
1/2
-/2

0
1/2

С
1
Рис. 2.3. Сигнал и первые два коэффициента разложения по функциям
Уолша
4). Определим второй коэффициент разложения.
Сигнал s() представим в виде:
s() = sн() + U0/2,
где sн() = U0 - нечётная функция. Функция wal2() является чётной,
поэтому
1/ 2
1/ 2
1/ 2
U0
U
С2   ( sн (θ)  ) wal 2 (θ)dθ   ( sн (θ) wal 2 (θ)dθ   0 wal 2 (θ)dθ  0 .
2
2
1 / 2
1 / 2
1 / 2
17
wal1()
1
U
S3
0
s()
S4
-/2
/2
0

S
1
-1
Рис. 2.4. К определению второго коэффициента ряда Уолша
5). Определим третий коэффициент ряда (рис. 2.5).
wal3()
1
U0
S3
S1
s()
-/2
/2
0
S2

S4
-1
Рис. 2.5. К определению третьего коэффициента ряда Уолша
18
Также доказывается, что все члены ряда с чётными номерами равны 0.
С3 = S1 – S2 + S3 – S4 = – U0/8.
Таким образом, с учётом четырёх первых членов ряда,
U
U
U
s(θ)  0 wal 0 (θ)  0 wal1 (θ)  0 wal 3 (θ) .
2
4
8
При аппроксимации четырьмя первыми членами
ступенчатая функция (рис. 2.6).
ряда получается
s()
U0
С0
-/2
0
1/2

С3
С1
Рис. 2.6. Аппроксимация сигнала четырьмя первыми функциями Уолша
6). Продолжая ряд дальше, получаем:
1
1
1
1
s(θ)  U 0 ( wal 0 (θ)  wal1 (θ)  wal 3 (θ)  wal 5 (θ) 
2
4
8
16
1
1
 wal 7 (θ)  ...  (1) k 1 2 k 2 wal 2 k 1 (θ)  U 0
32
2
7). Определим погрешность разложения.
Для рассматриваемого сигнала
 /2
 /2
2t t 2 
64
 U 0 U 0t 
2 1
2
Es   

U0 τ .
 dt   U 0    2 dt 
2
τ 
192
4 τ τ 
 / 2 
 / 2
2
  U 0 2  U 0 2  U 0 2

1 1 1
 21U 0 τ


Esw           ... τ  U 0 τ    ... 
.
 2   4   8 

64
 4 16 64



64  63 2
E 
U0 τ .
192
1
1
δ
 .
64 8
2
19
 Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.2
Разложить по функциям Уолша сигнал:
 Ut 
τ
τ
,   t  .
s(t )  U 0 1 
τ 
2
2

Найти погрешность представления тремя первыми членами ряда.
Задача 2.3
Разложить в ряд по функциям Уолша сигнал:
π
π
s(t )  U 0 cos ω 0 t , 
t 
.
2ω 0
2ω 0
Найти погрешность представления сигнала тремя первыми членами ряда.
Задача 2.4
Представить рядом по функциям Уолша отрезок синусоиды
s(t )  U 0 sin ω 0 t , 
π
π
t 
.
2ω 0
2ω 0
Вычислить погрешность представления тремя первыми членами ряда.
Задача 2.5
Разложить в ряд по функциям Уолша сигнал в задаче 2.3, заданный на
интервале

π
π
t 
ω0
ω0
с
вычислением
относительной
погрешности
представления тремя первыми членами ряда.
Задача 2.6
Разложить в ряд по функциям Уолша сигнал из задачи 2.4, заданный на
интервале

π
π
t 
ω0
ω0
с
вычислением
относительной
погрешности
представления тремя первыми членами ряда.
Задача 2.7
Разложить в ряд по функциям Уолша сигнал:
2t
s(t )  U 0 (1 
), t  τ .
τ
Вычислить погрешность представления тремя первыми членами ряда.
20
Задача 2.8
Разложить в ряд по функциям Уолша и найти погрешность представления
тремя первыми членами ряда сигнал:
t
s(t )  U 0 ((1  ( ) 2 ),
τ
21
t  τ.
3. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ.
ПРОХОЖДЕНИЕ АМ-СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
 Основные расчётные соотношения
1). Сигнал с амплитудной модуляцией (АМ):
sАМ(t) = U0(1 + m(t))cos(0t + 0),
где m – коэффициент модуляции, характеризует максимальное отклонение
амплитуды, 0 < m < 1;
(t) – нормированное сообщение, –1 < (t) < 1.
2). Спектр АМ-сигнала при однотональной модуляции, (t) = cos t
(рис. 3.1) вычисляется перемножением косинусов:
sАМ(t) = U0 (1 + m cos t)cos (0t + 0) =
= U0cos(0t + 0) + U0 m cos t cos (0t + 0) =
= U0cos(0t + 0) + (1/2) m U0cos((0 – )t + 0) + (1/2) m U0cos((0 + )t + 0) =
uнес(t) + uнб(t) + uвб(t).
u нес (t )  U 0 cos (ω 0 t  φ 0 );
U 0m
cos ((ω 0  )t  φ 0 );
2
U m
u вб (t )  0 cos ((ω 0  )t  φ 0 ).
2
Ширина спектра c = 2.
u нб (t ) 
U
0
(1/2)mU
(1/2)mU
0
0

 - 


Рис. 3.1. Амплитудный спектр АМ-сигнала при однотональной модуляции
3). Спектр сигнала при сложном модулирующем колебании,
(t) =

i
cos  i t .
i
22
sАМ(t) = U0 (1 +
 m cos  t )cos (0t + 0) =
i
i
i
= U0cos(0t + 0) + U0
 m cos  t cos (0t + 0)
i
= U0cos(0t + 0) +
i
i
+ (1/2) U0  mi cos((0 – i)t + 0) + (1/2) U0
i
m
i
cos((0 + i)t + 0).
i
Ширина спектра c = 2в , где в
модулирующего сигнала
– верхняя частота спектра
 Примеры решения задач
Задача 3.1
АМ-сигнал подаётся на вход резонансного усилителя. Параметры
сигнала:
- частота модулирующего сигнала  = 23103 рад/с,
- коэффициент модуляции m = 1/3,
- амплитуда сигнала U0 = 10-4 В.
Параметры усилителя:
- коэффициент передачи
K0
K ( jω) 
,
1  j (ω  ω 0 ) τ к
К0 = 100,
- резонансная частота контура 0 = 2106 рад/с,
- постоянная времени контура к определяется из соотношения
к = 1.
Найти коэффициент модуляции сигнала на выходе усилителя.
Решение
1. Определим коэффициент передачи усилителя на частотах несущей и
боковых составляющих.
K ( jω 0 )  K 0  100;
K ( j (ω 0  ) 
K ( j (ω 0  Ω) 
K0
1   (ω 0  (ω 0  ))
2
2
K0
1  τ 2 (ω 0  (ω 0  Ω)) 2


100
1  ( τΩ )
2
100
1  ( τΩ ) 2


100
11
2
100
1  12

100

100
2
2
;
.
2). Определим напряжения на выходе усилителя для несущей и боковых
составляющих.
23
Uнес = U0 ‫׀‬K(j0)‫ = ׀‬10-2 (В)
1 1
10 2
 4 100

Uнб = (1/2) m U0 ‫׀‬K(j(0 - )‫ = ׀‬  10
(В).
2 3
2 6 2
1 1
100 10 2

Uвб = (1/2) m U0 ‫׀‬K(j(0 + )‫ = ׀‬  10 4
(В).
2 3
2 6 2
3). Определим коэффициент модуляции сигнала на выходе усилителя.
U нб  U вб
2 10 2
1
m1 


.
2
U нес
6 2 10
3 2
 Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.2
Сигнал s(t) с АМ поступает на вход усилителя с полосовым фильтром
Баттерворта, коэффициент передачи которого имеет вид (при ω0 >> ωc):
K ( jω) 
K0
 ω  ω0   ω  ω0 
   j

1  j 2 
ω c 
 ωc  
2
,
где K0 = 50 – коэффициент передачи усилителя на несущей частоте сигнала ω 0,
совпадающей с частотой настройки фильтра;
ω c = 2π 2  103 с-1 – частота среза фильтра.
π
π
s(t )  U 0 (1  m cos(  t  )) cos(  0 t  ) ,
6
3
3 -1
-4
где m = 0,5; Ω = 2π 10 с ; U0 = 10 В.
Найти спектр сигнала на входе и выходе усилителя и закон изменения
огибающей сигнала.
Задача 3.3
Сигнал s(t) с АМ поступает на вход усилителя с полосовым фильтром
Баттерворта. Коэффициент передачи усилителя приблизительно равен:
K ( jω) 
K0
2ΔΔ
 jω   jω 
1 j
 2
 
ωc
 ω   ω c 
2
3
,
где К0 = 40 – коэффициент передачи усилителя на частоте настройки фильтра ω0;
Δ ω = ω - ω 0 – расстройка сигнала относительно частоты 0= 2π*105 *с-1;
ωс = 2π 3 103 с-1– частота среза фильтра.
π
s (t )  U 0 (1  0.8 cos 1t  0.2 cos  2 t ) cos(ω 0 t  ) ,
2
-1
где Ω1 = 2π 1500 с ;
Ω2 = 2π 2 103 с-1;
U0 = 2 10-4 В.
Найти амплитудный спектр сигнала на входе и выходе усилителя.
24
Задача 3.4
Найти закон изменения огибающей сигнала на выходе избирательного
усилителя при условии, что сигнал и усилитель имеют параметры, приведенные в
задаче 3.3.
Задача 3.5
Сигнал s(t) с АМ поступает на вход усилителя с полосовым фильтром.
Коэффициент передачи избирательного усилителя описывается равенством:
K ( jω) 
K0
2ω  jω 

1  jξ

ω c  ω c 
2
,
где K0 = 103 – коэффициент передачи усилителя на частоте настройки фильтра 0;
Δ ω = ω - ω 0 – расстройка сигнала относительно частоты ω0 = 2π 106 с-1;
ωс = 2π 104 – частота среза фильтра.
π
π
s (t )  U 0 (1  0.8 cos( t  )) cos(ω 0 t  ) ,
4
6
2π
10 4 с-1, ξ = 0,5.
2
Найти амплитудные спектры входного и выходного сигналов. Рассчитать
относительный уровень энергии боковых составляющих спектра по отношению к
энергии несущей для входного и выходного сигналов.
где  
Задача 3.6
Найти закон изменения огибающей сигнала на выходе усилителя,
параметры которого приведены в задаче 3.5. Параметры входного сигнала взять
такими же, как в задаче 3.5.
25
4. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ.
ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ЧЕРЕЗ
ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
 Основные расчётные соотношения
К сигналам с угловой модуляцией относятся сигналы с фазовой и
частотной модуляцией.
1). Сигнал с фазовой модуляцией (ФМ):
sФМ(t) = U0 cos (0t +  (t)) = U0cos (0t + m(t) + 0),
где  (t)) = m(t) + 0,
m – индекс фазовой модуляции, равный максимальному отклонению
фазы,
(t) – нормированное сообщение, -1 < (t) < 1.
2). Сигнал с частотной модуляцией (ЧМ):
sЧМ(t) = U0 cos (0t + (t)) = U0 cos (0t + Δω М  λ (t)dt + 0),
где M – девиация частоты –
среднего значения.
Полная фаза такого колебания
максимальное отклонение частоты от
(t) = 0t + Δω М  λ (t)dt + 0 .
Мгновенная частота
d
 0  Δω M λ (t ) .
dt
3). Выражение для сигнала с малым индексом модуляции при
гармоническом сообщении, m < 0,5, (t) = sin t:
ω( t ) 
sФМ(t) = U0 cos (0t + m sin t + 0) = U0 cos (0t + 0) cos (m sin t) –
- U0 sin (0t + 0) sin (m sin t).
При малом индексе модуляции (рис. 4.1)
sФМ(t)  U0cos(0t + 0) - U0sin(0t + 0) m sin t =
= U0cos(0t + 0) – (1/2) m U0cos((0 – )t + 0) +
+ (1/2) m U0cos((0 + )t + 0) = uнес(t) – uнб(t) + uвб(t).
Ширина спектра c = 2.
Девиация частоты M = m < 0,5 , то есть если девиация частоты
26
меньше частоты модулирующего колебания, то ширина спектра равна удвоенной
частоте модулирующего колебания.
U0
(1/2)mU0
 - 



(1/2)mU0
Рис. 4.1. Спектр ФМ-сигнала при малом индексе модуляции
4). Спектр сигнала с большим индексом модуляции
Спектр имеет сложную структуру и зависит от индекса модуляции
(рис. 4.2). Общее выражение для сигнала, справедливое при произвольном
индексе модуляции, имеет вид [3]:
s(t )  U 0

J
k  
k
(m) cos(ω 0  k)t ,
где Jk (m) – функция Бесселя k-го индекса от аргумента m.
Функция Бесселя знакопеременна, следовательно, существуют значения
индекса модуляции m, при котором значение функции равно 0. Например,
несущая отсутствует, J0(m) = 0 при m = 2,905; 5,2; 8,654; 11,931,… [3].
Для построения спектра нужно знать значения функции Бесселя.
U0J1(m) U0J1(m)
U0J0(m) U J (m)
U0J2(m)
0 2
U0Jn(m)

  
n
Рис. 4.2. Спектр ЧМ-сигнала при произвольном индексе модуляции
Ширина спектра определяется приближённо по формуле Манаева:
c = 2  (m + 1).
Если модулирующий сигнал не гармонический, то в приведённую
формулу вместо частоты  следует подставить верхнюю частоту спектра
модулирующего сигнала.
27
 Примеры решения задач
Задача 4.1
ЧМ-сигнал подаётся на вход резонансного усилителя. Параметры
сигнала:
 частота модулирующего сигнала  = 2 3 103 рад/с,
 индекс модуляции m = 1/3,
 амплитуда сигнала U0 = 10-4 В.
Параметры усилителя:
 коэффициент передачи
K0
K ( j ) 
,
1  j (ω  ω 0 ) τ к
K0 = 100.
 резонансная частота контура 0 = 2106 рад/с,
 постоянная времени контура к определяется из соотношения
 к = 1.
Найти девиацию частоты на выходе усилителя.
Решение
1). Определим коэффициент передачи усилителя на частотах несущей и
боковых составляющих.
K ( jω 0 )  K 0  100;
K ( j (ω 0  ) 
K ( j (ω 0  Ω) 
K0
1   (ω 0  (ω 0  ))
2
2
K0
1  τ 2 (ω 0  (ω 0  Ω)) 2


100
1  ( τΩ )
2
100
1  ( τΩ ) 2


100
11
2
100
1  12

100

100
2
2
;
.
2). Определим напряжения на выходе усилителя для несущей и боковых
составляющих.
Uнес = U0 ‫׀‬K(j0)‫ = ׀‬10-4 (В)
1 1
100 10 2
  10 4

(В).
2 3
2 6 2
1 1
10 2
 4 100

Uвб = (1/2) m U0 ‫׀‬K(j(0 + ) ‫ = ׀‬  10
(В).
2 3
2 6 2
Uнб = (1/2) m U0 ‫׀‬K(j(0 - ) ‫= ׀‬
3). Определим индекс модуляции на выходе усилителя.
m1 
U нб  U вб
2  10  2
1
.


U нес
6 210  2 3 2
4). Определим девиацию частоты на выходе усилителя.
M1 = m1 =
1
3 2
3  2π  1000  2π
28
1000
2
(рад/с).
Задача 4.2
Определить отношение мощности боковых к мощности несущей для
сигнала с параметрами:
 частота модулирующего сигнала  = 2  103 рад/с,
 индекс модуляции m = 4,
 амплитуда сигнала U0 = 1В,
 частота несущей  = 2 106 рад/с.
Построить амплитудный спектр сигнала.
Решение
1). Отношение мощности боковых к мощности несущей рассчитывается
по формуле:
5
2 U
5
2
iБ
2 J i ( m)
2
Pбок
 i 1 2
 i 1 2
.
Pнес
U нес
J 0 ( m)
2). Так как индекс модуляции m = 4, то расчёт в соответствии с
формулой Манаева проводится для первых пяти гармоник, определим их
амплитуды (табл. 4.1).
J0(4) =  0,397; J1(4) =  0,066; J2(4) = 0,364;
J3(4) = 0,430; J4(4) =  0,381; J5(4) = 0,132.
3) Проведём расчёты:
5
Pбок

Pнес
2  J i ( m)
2
i  5
2
J 0 ( m)
2(0,066 2  0,364 2  0,432  0,2812  0,132 2 )

 10 .
0,397 2
Таблица 4.1
Значение функций Бесселя Jk(m)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
1
0.765
0,440
0,115
0.020
0,002
2 10-4
2 10-5
10-6
m
3
-0,260
0,339
0,486
0,309
0,132
0,043
1,011
0,003
2
0,224
0,577
0,353
0,129
0,034
0,007
0,001
2 10-4
29
4
-0,397
-0,066
0,364
0,430
0,281
0,132
0,049
0,015
5
-0,178
-0,328
0,047
0,0365
0,391
0,261
0,131
0,053
4) Построим амплитудный спектр сигнала
U, В
0,430
0,132
2 106 + 4 2 103
2 106 + 3 2 103
0,066
2 106
2 106 - 2 103
2 106 - 2 2 103
2 106 - 3 2 103
2 106 - 4 2 103
0,066
0,381
0,364
2 106 + 2 2 103
0,132
2 106 - 5 2 103
0,397
0,364
2 106 + 2 103
0,381
2 106 + 5 2 103
0,430
, рад/с
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.3
ЧМ-сигнал поступает на вход резонансного усилителя. Параметры сигнала
и усилителя совпадают с заданными в задаче 4.1. Как изменится девиация
частоты, если частота модулирующего колебания Ω увеличится вдвое?
Задача 4.4
На вход усилителя с полосовым фильтром поступает сигнал
SФМ (t )  U 0 cos(ω0t  0,2 cos 1t  0,2 cos  2t ) ,
где ω0 = 2π  107 с-1, Ω1=2π 104 с-1,  2 =2π 2 104 с-1, U0=10-3 В.
Усилитель с фильтром имеет коэффициент передачи
K0
K ( jω) 
,
1  j 2 (ω  ω0 ) k  [ j (ω  ω0 )τ k ]2
где k = 1/  2 , K0 = 100.
Найти закон изменения сигнала на выходе усилителя.
Задача 4.5
Сигнал с частотной однотональной модуляцией имеет девиацию частоты
∆fм = 50 кГц. Найти отношение мощностей (энергий) боковых составляющих к
мощности (энергии) несущей при частоте модуляции F =10 кГц. Определить
ширину спектра сигнала.
30
Задача 4.6
Сигнал с фазовой модуляцией SФМ(t) записывается в виде
SФМ (t )  U 0 cos(ω0t  0,3 cos 1t  0,1cos  2t ) .
Найти закон изменения его частоты и девиацию частоты при условии
1 = 2103 c-1, 2 = 22103 c-1.
Записать выражение для сигнала, частота которого меняется по закону
 t2 
ω(t )  ω 0  S  t  exp   2  ,
 2τ 
где  = 2106 c-1, S = 105 c-2,  = 10-2 c.
Определить девиацию частоты, индекс модуляции сигнала и его ширину
спектра.
Задача 4.7
Частота сигнала меняется по пилообразному закону с периодом
Т = 210-2 с (рис. 4.3)
Законы изменения частоты:
ω (t )  ω 0  Δω (t ),
S t ,  T / 4  t  T / 4

где ω(t )  ω m  S (t  T / 2), T / 4  t  T / 2 ,
ω  S (t  T / 2),  T / 2  t  T / 4
 m
4ω m 4  2π  10 7
S

 2π  2  10 9 с 2 .
2
T
2  10
(t)
m
Т/4
-Т/4
-Т/2
0
Т/2

t
m
Рис. 4.3. Закон изменения приращения частоты сигнала
Девиация частоты m = 2107 c-1. Рассчитать
и представить в
графическом виде закон изменения фазы сигнала на одном периоде модуляции.
Определить индекс модуляции и ширину спектра.
31
5. ДЕМОДУЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ С АИМ
 Основные расчётные соотношения
Сигналы с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ) можно представить
в виде
sАИМ(t) = U0(1 + M(t)) f(t),
где f(t) - периодическая последовательность импульсов единичной
амплитуды (рис. 5.1).
sАИМ(t)
t
T

Рис. 5.1 Сигнал с АИМ
Самый простой способ демодуляции сигнала с АИМ – применение в
качестве демодулятора фильтра нижних частот (ФНЧ), рис. 5.2. В этом случае
uc(t) близко по форме к сообщению, дополнительно содержит постоянную
составляющую и помехи.
sАИМ(t)
uc(t)
ФНЧ
Рис. 5.2. Схема демодулятора АИМ
Рассмотрим случай однотональной модуляции,
(t) = cos t.
Спектр АИМ-сигнала может быть найден из его представления рядом
Фурье:
32
kτ
U τ U τ
2U 0
2 cos kt 
sв х (t )  0  0 M cos  M t 

T
T
π k 1
k
kτ
kτ
 sin
 sin
2U 0
2 cos k (   )t  2U 0 M
2 cos k (   )t.

M

М
М
π
k
π
k
k 1
k 1

sin
Спектр
модулированного
сигнала
и
амплитудно-частотная
характеристика ФНЧ выбираются из условия: коэффициент передачи ФНЧ
должен быть велик на частоте FM и достаточно мал на частоте (F - FM). Здесь
FM – частота модулирующего сообщения, FM = (1/2)M, F – частота
следования импульсов, F = 1/Т (рис. 5.3). Основные искажения в
демодулированном сигнале возникают из-за попадания в сигнал на выходе
ФНЧ группы спектральных составляющих около частоты F.
U0
/T
0 FM
F-FM
F F+FM
f
Рис. 5.3. Спектр АИМ сигнала при однотональной модуляции. Пунктиром
показана амплитудно-частотная характеристика ФНЧ.
Искажения характеризуются коэффициентом нелинейных искажений,
который равен среднеквадратической ошибке и определяется, в основном,
группой спектральных составляющих вблизи частоты F. Амплитуды
напряжений на выходе фильтра обозначим UF - на частоте F , UFН – амплитуда
нижней боковой на частоте (F-FM), UFВ – амплитуда верхней боковой на
частоте (F+FM). Относительная среднеквадратическая ошибка равна
U FH  U F  U FB
2
δ
2
2
,
U FM
где UFM - амплитуда напряжения на частоте FM. В формуле все напряжения
определяются с учётом коэффициента передачи фильтра.
33
 Примеры решения задач
Задача 5.1
На входе демодулятора действует АИМ-сигнал с параметрами
- период следования импульсов Т= 1 мс;
- длительность импульсов τ = 10 мкс;
- амплитуда напряжения на входе U0=1 В;
- частота модулирующего сигнала FМ = 200 Гц;
- коэффициент модуляции М = 0,7.
Рассчитать относительную среднеквадратическую ошибку на выходе
демодулятора при использовании в качестве демодулятора:
а) ФНЧ первого порядка с коэффициентом передачи
1
K ф ( jω) 
.
1  jω ф
б) ФНЧ Баттерворта третьего порядка с коэффициентом передачи
1
K ф ( jω) 
.
6
1  ω6 τ ф
Решение
1). Пусть частота среза фильтра 0 совпадает с верхней частотой спектра
сообщенияM,
0 = M ,
тогда
τф 
1
1

.
 М 2πFM
2). Рассчитаем коэффициент передачи фильтра на частотах , ( +M),
( -M), M.

1
K ф ( j) 
 0;
 ф 
0
1
K ф ( j (   М ) 

;
(   0 ) ф    0
K ф ( j (   М ) 
K ф ( j М ) 
0
1

;
(  0 ) ф   0
1
;
2
3). Рассчитаем амплитуды низкочастотных спектральных составляющих на
выходе фильтра UF, UFН, UFВ, UFM, используя формулу для спектра АИМ и
приняв k = 1.
34
τ
10 5
1
U FM  U 0 M K ( j M )  1 3  0,7 
 0,5 10 2 В;
T
10
2
5
2U 0 πτ
2 π 10 200
UF 
K ( j)  
 3  0,4 10 2 В;
3
π T
π 10
10
2U 0 πτ
2 π 10 5
200
U FН 
М K ( j (   0 ))  
0,7 
 0,175 10 2 В;
3
3
π T
π 10
2π  (10  200)
5
2U 0 πτ
2 π 10
200
U FВ 
М K ( j (  0 ))  
0,7 
 0,116 10 2 В.
3
3
π T
π 10
2π  (10  200)
4).
Рассчитаем
относительную
среднеквадратическую
ошибку,
определяющую уровень нелинейных искажений:
0.175 2  0,4 2  0,116 2 10 2
δ
 0,9 .
0,5 10 2
Таким образом, уровень помех при использовании фильтра первого
порядка почти равен уровню сигнала.
Улучшить качество выделения сообщения можно различными путями:
а) увеличить частоту следования импульсов F. При этом в
многоканальной системе передачи информации уменьшается число каналов,
для сохранения числа каналов нужно уменьшать длительность импульсов ;
б) улучшить качество фильтра. Рассмотрим, как изменится
среднеквадратичная ошибка при использовании фильтра Баттерворта третьего
порядка.
Рассчитаем коэффициент передачи фильтра на частотах , ( +M),( M), M.
1
1
 0 
K ф ( j) 



;


3
3
  5
1  (τ) 6 τ ф
3
1
3
3
3
3

  0 
1
1
 

K ф ( j (   М )  

;
3
 (   ) τ      
4
0
ф 
0 



  0 
1
1
 
  3 ;
K ф ( j (   М )  

 (   ) τ 
6
0
ф 
   0 

1
K ф ( j М ) 
;
2
Определим амплитуды спектральных составляющих на выходе фильтра
на частотах , ( +M),( -M), M.
U FM
τ
10 5
1
 U 0 M K ( j M )  1  3  0,7 
 0,5  10 2 В;
T
10
2
35
2U 0 πτ
2 π 10 5 1
UF 
K ( j)  
 3  1,6 10 4 В;
3
π T
π 10
5
2U 0 πτ
2 π 10 5
1
U FН 
М K ( j (   0 ))  
0,7  3  10 4 В;
3
π T
π 10
4
5
2U 0 πτ
2 π 10
1
U FВ 
М K ( j (   0 ))  
0,7  3  6,5 10 5 В.
3
π T
π 10
6
Рассчитаем относительную среднеквадратическую ошибку.
1,6 2  12  0,65 2 10 4
δ
 0,04 .
0,5 10 2
Таким образом, при использовании фильтра
среднеквадратическая ошибка составляет всего 4%.
третьего
порядка
 Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.2
На входе демодулятора действует АИМ-сигнал
sАИМ(t) = U0(1 + M1cos1t + M2cos 2t) f(t).
1 = 2  400 рад/с, 2 = 2  800 рад/с,  = 2 2000 рад/с, 0 = 2 =
= 2  800 рад/с, длительность импульсов = 10 мкс, напряжение на входе
U0 = 1 В, коэффициенты модуляции M1 = 0,4 и M2 = 0,6.
Рассчитать относительную среднеквадратическую ошибку на выходе
демодулятора при использовании в качестве демодулятора ФНЧ Баттерворта
четвёртого порядка с характеристикой, модуль коэффициента передачи
которого равен
1
,
K ф ( j) 
8
8
1   ф
где τ ф =1/Ω0
Задача 5.3
На вход демодулятора поступает сигнал SАИМ(t) = U0 (1 + M cos ΩM (t))f(t),
ΩM = 2π  300 рад/с, Ω = 2π 2000 рад/с, τ = 20 мкс, средняя амплитуда
напряжения на входе U0 = 0,5 В, М=0,6.
Рассчитать относительную среднеквадратичную ошибку процесса на
выходе демодулятора при использовании в качестве демодулятора ФНЧ с
коэффициентом передачи
 ω2 

K ф (ω)  exp  
2  ,
 2 0 
где Ω0 = Ωм.
36
6. ДЕМОДУЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ С ШИМ
 Основные расчётные соотношения
Сигналы с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) представляют
собой последовательность импульсов, длительность которых изменяется в
соответствии с законом сообщения:
(t) = 0 + M (t) = 0 (1 + m(t)),
где (t) – нормированное сообщение, -1 < (t) < 1;
m = M/0 – индекс ШИМ, m < 1;
M – девиация длительности импульса, отклонение длительности от
среднего значения.
Спектр содержит бесконечный ряд гармоник даже при однотональной
модуляции (рис. 6.1). Частота модуляции обычно выбирается с условием
M ≤ 0,5 (M),
где  = 2/Т.
U0/T
0 M
MM  MM

Рис. 6.1. Фрагмент спектра сигнала с ШИМ
При оценке качества выделения сообщения из сигнала учитывают 1 – 2
боковых составляющих. Амплитуды спектральных составляющих с частотами
0, M, , (  M),(  M) определяются по формулам:
U0 
U М
U 
U 0 τ0
;
T
U τ
 0 М;
T
2U 0 τ 0
T
τ 0
2 J  τ M ;
0
τ 0
 2 
2
sin
37
τ 0
2U 0 τ 0
2 J  τ M ;
U М 
1
τ 0
T
 2 
2
τ 0
sin
2U 0 τ 0
2 J  τ M 
U 2М 
2
τ 0
T
 2 ,
2
sin
где Jk(x) - функция Бесселя k-го индекса. При малых x можно
приближённо считать J0 (x)  1 – x2/2, J1 (x)  x /2, J2 (x)  x2/8.
Для демодуляции ШИМ-сигналов применяют ФНЧ, при этом в сигнале
на
выходе
присутствуют
комбинационные
искажения
вследствие
неидеальности характеристик ФНЧ. Уровень искажений на выходе зависит от
порядка фильтра. Коэффициент нелинейных искажений определяется по
формуле
U Мвых  U вых  U  Мвых
2

2
U Mввы
2
,
в которой амплитуды напряжений определяются на выходе фильтра:
U МВЫХ  U M K ф ( j М ) ;
U ВЫХ  U  K ф ( j) ;
U   МВЫХ  U   M K ф ( j (   М ) ;
U   МВЫХ  U   M K ф ( j (   М ) .
 Примеры решения задач
Задача 6.1
На входе демодулятора действует ШИМ-сигнал с параметрами:
- период следования импульсов Т = 10-3 с;
- средняя длительность импульсов 0 = 10-5 с;
- девиация длительности импульсов M = 0,8  10-5 с;
- амплитуда напряжения U0 = 1 В;
- частота модулирующего сигнала M = 2  200 рад/с.
Рассчитать коэффициент нелинейных искажений демодулированного
сигнала при использовании ФНЧ различных порядков.
Решение
а) определим коэффициент нелинейных искажений при использовании
ФНЧ первого порядка с коэффициентом передачи передачи
38
K ф ( jω) 
1
1  jωτф .
Рассчитаем амплитуды основных спектральных составляющих на входе
фильтра.
τ M
2π 103  0,8 10 5

 8π 10 3  0,025;
2
2
 τ M 
 τ M 
J0 
  1; J1 
  0,063. 
2
2




5
1  0,8  10
U0 
 8  10 3 В;
3
10
2  0,8  10 5
U М 
 0,016 В;
10 3
2  1  10 5
U 
 0,02 В;
10 3
2  1  10 5
U М 
0,063  1,26  10 3 В.
3
10
Рассчитаем коэффициент передачи фильтра на частотах M, ,
( +M),( -M).
K ф ( j ω) 
1
1 j
K ф ( jω) 
ω ;
М
1

М
ω
при  >> M;
2
 ω 

1  

 М
1
K ф ( j М ) 
;
2

200 1
K ф ( j)  М 
 ;

1000 5
М
200
1
K ф ( j (   М ) 

 ;
   М 1000  200 4
М
200
1
K ф ( j (   М ) 

 .
   М 1000  200 6
Рассчитаем амплитуды основных спектральных составляющих на выходе
фильтра
39
1
U МВЫХ  U M K ф ( j М )  8 10 3
2
 5,7 10 3 В;
1
U ВЫХ  U  K ф ( j)  0,02   4 10 3 В
5
1
 2 10 3 В;
4
1
U   МВЫХ  U   M K ф ( j (   М )  8  10 3   1,3  10 3 В.
6
Рассчитаем коэффициент нелинейных искажений демодулированного
сигнала:
U   МВЫХ  U   M K ф ( j (   М )  8 10 3 
(4  10 3 ) 2  (3,15  10 4 ) 2  (2,1  10 4 ) 2
δ
 0,82 .
5,7  10 3
При использовании в качестве демодулятора фильтра первого порядка
коэффициент нелинейных искажений высок.
б) определим коэффициент нелинейных искажений при использовании
ФНЧ третьего порядка с коэффициентом передачи передачи. При  >> M
K ф ( jω) 
 
 М 
 ω  при  >> M;
3
1
 ω
1  
 М



23
При этом коэффициент передачи на частотах гармоник изменится:
1
    200 
K ф ( j)   М   
  3;
5
    1000 
3
3
 М
K ф ( j (   М )  
   М
3
3
3
3
 
200
1

  
  3;
4
  1000  200 
 М  
200
1

  
K ф ( j (   М )  
  3.
6
    М   1000  200 
Амплитуды гармоник на выходе фильтра:
1
U ВЫХ  U  K ф ( j)  0,02  3  1,6  10 4 В;
5
1
U   МВЫХ  U   M K ф ( j (   М )  8 10 3  3  0,125 10 3 В;
4
1
U   МВЫХ  U   M K ф ( j (   М )  8 10 3  3  0,04 10 3 В.
6
Коэффициент нелинейных искажений демодулированного сигнала:
40
(1,6 10 4 ) 2  (0,2 10 4 ) 2  (0,06 10 4 ) 2
δ
 0,03 .
5,7 10 3
Задача 6.2
На входе демодулятора действует ШИМ-сигнал, модулированный
речевым процессом, спектр которого представлен на рис. 6.2. Основные
параметры сигнала:
- частота следования импульсов F = 8 ·103 Гц (период следования
импульсов Т = 125 мкс);
- средняя длительность импульсов 0 = 2 ·10-5 с;
- девиация длительности импульсов M = 1,6 · 10-5 с;
- амплитуда напряжения U0 = 1 В;
- средняя частота модулирующего сигнала FM = 300 Гц (рис. 6.2).
Рассчитайте коэффициент нелинейных искажений демодулированного
сигнала при использовании ФНЧ первого порядка.
0
300
3400
f
Рис. 6.2. Спектр речевого процесса
Решение
Наибольшие искажения вносит составляющая с частотой  = 2F,
поэтому нелинейные искажения рассчитаем по формуле
2
U ВЫХ
U
δ
 ВЫХ .
U МВЫХ
U МВЫХ
Рассчитаем амплитуды гармоник с частотами M = 2FM,:
U τ
11,6 10 5
U М  0 M 
 0,128 В;
T
1,25 10 4
41
τ 0
2U 0 τ 0
2 J  τ M  
U 
0
τ 0
T
 2 
2
2π  8 10 3  2 10 5
sin
 2π  8 10 31,6 10 5 
2 1  2 10 5
2
  0,054 В.

J 0 
2
1,25 10 4 2π  8 10 3  2 10 5


2
Рассчитаем коэффициент передачи фильтра на этих частотах:
1
K ф ( j М ) 
;
2

300
K ф ( j )  М 
 0,0375.

8000
Рассчитаем амплитуды гармоник на выходе фильтра:
sin
U МВЫХ  U M K ф ( j М )  0,128
U ВЫХ
1
 0,09 В;
2
 U  K ф ( j)  0,054  0,0375  0,002 В.
Рассчитаем коэффициент нелинейных искажений
δ
0,002
 0,2.
0,09
 Задачи для самостоятельного решения
Задача 6.3 Рассчитайте коэффициент нелинейных искажений
демодулированного сигнала (задача 6.2) при использовании ФНЧ Баттерворта
четвертого порядка с частотой среза Ω0=2π*3400 рад/с и модулем коэффициента
передачи
1
| K ( jω) |
8 .
 ω 

1  

 0
Задача 6.4
На вход демодулятора, использующего ФНЧ Баттерворта второго порядка
с коэффициентом передачи K ф ( j )  [1  2 jω /  0  ( jω /  0 ) 2 ]1 , поступает сигнал
с ШИМ, промодулированный сообщением λ(t)=cosΩ0t, где Ω0 = 2π ∙ 103 рад/с,
τ0 = 20 мкс, ∆τм = 10 мкс, Ω = 2π ∙ 5 103 рад/с. Рассчитать коэффициент
нелинейных искажений сообщения на выходе демодулятора.
42
7. РАСЧЁТ МАКСИМАЛЬНОГО ЧИСЛА КАНАЛОВ ПРИ
ЗАДАННОМ ВИДЕ МОДУЛЯЦИИ. СИСТЕМЫ С ЧАСТОТНЫМ
РАЗДЕЛЕНИЕМ КАНАЛОВ
Основные расчётные соотношения
ИС 1
ИС 2
ИС N
модулятор 1
модулятор 2
модулятор N
сумматор (устройство
уплотнения каналов)
При одноступенчатой модуляции максимальное число каналов равно
отношению ширины частотного диапазона к ширине спектра сигнала в канале
и зависит от вида модуляции:
N = f /fC,
где f – ширина диапазона,
fC - ширина спектра сигнала.
В многоканальных системах связи применяется двухступенчатая модуляция
(рис. 7.1).
модулятор
второй
ступени
УМ
генератор
несущей
Рис. 7.1. Многоканальная система связи. ИС – источник сообщений, УМ –
усилитель мощности
При частотном уплотнении каналов для определения полосы частот,
необходимой для системы, сначала рассчитывается полоса частот, занимаемая
сигналом после первой ступени модуляции fK. Произведение NfK = fВГС
определяет верхнюю частоту группового сигнала и является верхней частотой
для модулирующего колебания во второй ступени. На приёмной стороне
разделение каналов осуществляется после первого демодулятора при помощи
полосовых фильтров.
o Примеры решения задач
Задача 7.1
Для радиовещания отведён диапазон частот с
fmin = 150 кГц,
fmax = 750 кГц. Рассчитать максимальное число каналов при использовании
амплитудно-модулированных сигналов с верхней частотой спектра сообщения
Fв = 6 кГц.
43
Решение
1). Ширина спектра АМ-сигнала определяется по формуле:
fC = fAM = 2Fв,
fC = 2 · 6 = 12 кГц.
2). Ширина частотного диапазона:
f = fmax – fmin,
f = 750 – 150 = 600 кГц.
3). Максимальное число каналов:
N = f /fC,
N = 600/12 = 50 каналов.
Задача 7.2
Рассчитать максимальное число каналов, размещающихся в диапазоне
частот от fmin = 88 МГц до fmax = 108 МГц при использовании сигналов с
частотной модуляцией, имеющих параметры: девиация частоты fМ = 50 кГц,
верхняя частота спектра сообщения Fв = 12 кГц.
Решение
1). Ширина спектра ЧМ-сигнала определяется по формуле Манаева:
fС =2(m + 1) Fв = 2mFв + 2Fв = 2fМ + 2Fв,
где m – индекс модуляции.
Следовательно,
fC = fЧM = 2fМ + 2Fв,
fC = 2· 50 + 2 · 12 = 124 кГц.
2). Ширина частотного диапазона:
f = fmax - fmin,
f = 108 – 88 = 20 МГц.
3). Максимальное число каналов:
N = f /fC,
N = (20 ·106 ) / (124 ·103) = 161,3 ≈161 канал.
Задача 7.3
Рассчитать максимальное число каналов с однополосной модуляцией
(ОПМ) с верхней частотой спектра сообщения Fв = 3 кГц, размещающихся в
диапазоне частот от fmin = 1000 кГц до fmax = 1600 кГц.
Решение
1). Ширина спектра ОПМ-сигнала определяется по формуле:
44
fC = fОПM = Fв,
fC = 3 кГц.
2). Ширина частотного диапазона:
f = fmax - fmin,
f = 1600 – 1000 = 600 кГц.
3). Максимальное число каналов:
N = f /fC,
N = 600/3 = 200 каналов.
Задача 7.4
Сколько каналов телевизионного вещания можно разместить в диапазоне
частот от fmin = 400 МГц до fmax = 800 МГц? Спектр телевизионного сигнала
(рис. 7.2) имеет ширину от fminTV = (f0 - 1,5) МГц до fma xTV = (f0 + 6,5) МГц.
fminTV f0
fmaxTV
f
Рис. 7.2. Спектр телевизионного сигнала
Решение
1). Ширина спектра телевизионного сигнала определяется по формуле:
fC = fmaxTV - fminTV,
fC = 1,5 + 6,5 = 8 МГц.
2). Ширина частотного диапазона:
f = fmax - fmin,
f = 800 - 400 = 400 МГц.
3). Максимальное число каналов:
N = f /fC,
N = 400/8 = 50 каналов.
Задача 7.5
Какова ширина спектра сигнала при двухступенчатой модуляции АМФМ, если известна верхняя частота спектра сообщения FB и число каналов?
Решение
1). Ширина спектра сигнала в одном канале:
45
fK = 2FB;
2). Ширина спектра группового сигнала:
fВГС = NmaxfK.
3). Ширина спектра сигнала после второй ступени модуляции:
fC = 2fВГС (1 + m) = 4 NmaxFB (1 + m) .
Задача 7.6
Система построена по принципу ФМ-АМ, то есть ФМ в первой ступени,
АМ во второй. Какое число каналов можно разместить в полосе частот
fC = 1 МГц, если верхняя частота спектра сообщения FB =200 Гц, индекс
фазовой модуляции m = 4.
Решение
1). Ширина спектра после первой ступени модуляции:
fK = fФМ = 2FB (1 + m) = 2 · 200 · 5 = 2· 103 Гц.
2). Ширина спектра группового сигнала:
fВГС = NmaxfK.
3). Ширина спектра после второй ступени модуляции:
fC = 2fВГС = 4 NmaxFB (1 + m).
Таким образом максимальное число каналов, которое можно разместить в
данной полосе,
f C
106
1000
N


 250 каналов.
4 FB (1  m) 4  200  5
4
Задача 7.7
Система построена по принципу ОПМ-ОПМ. Какое число каналов можно
разместить в полосе частот fC = 300 кГц, если верхняя частота спектра
сообщения FB = 3 кГц.
Решение
1). Ширина спектра после первой ступени модуляции:
fK = fОПМ = FB = 3· 103 Гц.
2). Ширина спектра группового сигнала:
fВГС = NmaxfK.
3). Ширина спектра после второй ступени модуляции:
fC = fВГС = NmaxFB .
46
Таким образом максимальное число каналов, которое можно разместить в
данной полосе,
f
300
N C 
 100 каналов.
FB
3
Задача 7.8
Верхняя частота спектра сообщения FB = 10 кГц, девиация частоты
fМ = 40 кГц, индекс модуляции m = 4. Полоса частот, отведённая для системы,
fC = 106 Гц. В каком случае можно разместить больше каналов в системе – при
ЧМ-ФМ или ФМ-ЧМ?
Решение
1). Рассмотрим систему ЧМ-ФМ.
Ширина спектра после первой ступени модуляции
fK = fЧМ = 2fМ + 2FB.
Ширина спектра группового сигнала
fВГС = NmaxfK = NmaxfЧМ = Nmax (2fМ + 2FB).
Ширина спектра после второй ступени модуляции
fC = fФМ = 2fВГС(1 + m) = 2Nmax (2fМ + 2FB) (1 + m) ,
таким образом максимальное число каналов, которое можно разместить в
данной полосе,
f C
106
N

 1 канал.
2(1  m)( 2f M  2 FB ) 2  5  (2  40  103  2  10 4 )
2). Рассмотрим систему ФМ-ЧМ.
Ширина спектра после первой ступени модуляции
fK = fфМ = FB(1 + m).
Ширина спектра группового сигнала
fВГС = NmaxfK = NmaxfФМ = Nmax FB(1 + m).
Ширина спектра после второй ступени модуляции
fC = fЧМ = 2fМ + 2fВГС,
таким образом максимальное число каналов, которое можно разместить в
данной полосе,
f C  2f М 106  40  103
N

 4 канала.
4 FB (1  m)
4  10 4  5
47
 Задачи для самостоятельного решения
Задача 7.9
Определить максимальное число каналов в системе с ОПМ-ЧМ со
следующими параметрами: верхняя частота спектра сообщения FB = 1 кГц,
девиация частоты fМ = 40 кГц, полоса рабочих частот системы fC = 2 · 106 Гц.
Задача 7.10
Определить максимальное число каналов в системе с ЧМ-ЧМ при
верхней частоте спектра сообщения FB = 1 кГц, девиациях частоты fМ1 = 1 кГц
и fМ2 = 100 кГц. Выделенная для системы полоса частот fC = 5 МГц.
Задача 7.11
Сообщения имеют верхнюю частоту спектра FВ = 103 Гц. Для
многоканальной системы выделена полоса частот ∆f = 880 кГц. Рассчитать,
сколько каналов можно разместить в данной полосе при использовании
модуляции ЧМ-АМ при девиации частоты ∆ f М = 10 кГц.
Задача 7.12
Рассчитать максимальное число каналов в системе, указанной в задаче 7.11,
при тех же параметрах модуляции сигнала и FВ = 1 кГц в случае АМ-ЧМ.
48
8. РАСЧЁТ МАКСИМАЛЬНОГО ЧИСЛА КАНАЛОВ ПРИ
ЗАДАННОМ ВИДЕ МОДУЛЯЦИИ. СИСТЕМЫ С ВРЕМЕННЫМ
РАЗДЕЛЕНИЕМ КАНАЛОВ
Основные расчётные соотношения
Рассмотрим расчёт максимального числа каналов в многоканальных
системах с временным разделением каналов (ВРК) для двух видов модуляции АИМ и ШИМ.
Расчёт числа каналов при АИМ
Период дискретизации сигнала (рис. 8.1) определяется верхней частотой
спектра сообщения FВ и не может быть больше, чем
T
1
.
2 FB
Длительность импульсов, формирующих сигнал одного канала, И и
длительность защитного промежутка З должны быть, по меньшей мере, равны,
так как при оптимальной фильтрации длительность импульсов увеличивается
вдвое. Следовательно, интервал времени, отводимый для каждого канала, канальный интервал - составляет К = 2И.
s
1 канал
1 канал
2 канал
4 канал
2 канал
3 канал
0
И З
t
Т
Рис. 8.1. Структура сигнала при ВРК
Полоса приёмного устройства зависит от длительности канальных
импульсов
1
f С 
.
τИ
Максимальное число каналов в системе
49
f
T
T

 C .
τ K 2τ И 4 FВ
Если в системе двухступенчатая модуляция, например АИМ-ЧМ или
АИМ-АМ, то длительностью канального импульса определяется верхняя
частота группового сигнала f ВГС :
1
f ВГС 
.
2τ И
Полоса приёмника зависит от вида модуляции во второй ступени.
Например, при АИМ-ЧМ
fC = fЧМ = 2fМ + 2fВГС,
при АИМ-АМ
fC = fАМ = 2fВГС.
N MAX 
Расчёт числа каналов при ШИМ
Период следования канальных импульсов
определяется верхней частотой спектра сообщения
T
для
каждого
канала
1
.
2 FB
Длительность канального импульса (рис. 8.2) равна
И(t) = 0 + M() = 0(1 + m(t)),
где m = M/0 – индекс ШИМ.
Канальный интервал определяется средней длительностью импульса,
девиацией длительности и длительностью защитного промежутка:
К = 0 + M + З = И(t) = 0 (1 + m)З.
Минимальная длительность защитного промежутка равна
З = MIN = = 0 (1 - m).
Следовательно, минимальный интервал времени, отводимый под один
канал, К = 20.
s
0
min

max
T
K
Рис. 8.2. Структура сигнала с ШИМ
50
t
Максимальное число каналов при ШИМ равно
T
1
N MAX 

.
2τ 0 4 τ 0 FВ
Для видеосигнала ширина спектра определяется длительностью самого
короткого импульса:
1
1
f С 

..
2τ MIN 2τ 0 (1  m )
Для радиосигнала ширину спектра группового сигнала определяет
длительность самого короткого импульса:
f ВГС 
1
 MIN

1
 0 (1  m ) .
Ширина полосы приёмника определяется видом модуляции во второй
ступени:
ШИМ – АМ: fC = fАМ = 2fВГС.
ШИМ – ЧМ: fC = fЧМ = 2fМ + 2fВГС.
ШИМ – ФМ : fC = fФМ = 2fВГС(1 + mф).
 Примеры решения задач
Задача 8.1
В системе с ВРК длительность импульсов И = 1 мкс. Сколько каналов
можно разместить при верхней частоте спектра сообщения FВ = 6 кГц?
Решение
N MAX 
T
1
1


 41 канал.
2τ И 4 FВ τ И 4  6 10 3 10 6
Задача 8.2
Для передачи сообщений с верхней частотой FВ = 500 Гц проектируется
четырёхканальная система связи. Какова будет ширина спектра сигнала при
АМ и ЧМ во второй ступени? Девиация частоты при ЧМ fМ = 20 кГц.
Решение
1). Рассчитаем ширину спектра группового сигнала. Для этого сначала
определим длительность канального импульса.
τИ 
Т
1
1


 0,5  10 3 с;
3
2 N 4 FB N 4  0,5  10
51
f ВГС 
1
 1000 Гц.
2τ И
2). Рассчитаем ширину спектра при АМ.
fC = fАМ = 2fВГС = 2 ·1 ·103 = 2 кГц.
3). Рассчитаем ширину спектра при ЧМ.
fC = fЧМ = 2ΔfВГС + 2ΔfМ = 2 · 1 + 2·20= 42 кГц.
Задача 8.3
Определите максимальное число каналов и полосу видеоусилителя
системы, работающей с ШИМ. Параметры сигнала: верхняя частота спектра
сообщения FВ = 3 кГц, средняя длительность импульса 0 = 1 мкс, индекс ШИМ
m= 0,8.
Решение
Максимальное число каналов:
1
1
N MAX 

 83 канала.
6
4 0 FВ 4 10  3 10 3
Полоса пропускания видеоусилителя должна быть равна полосе частот,
занимаемой сигналом:
1
1
1
f С 


 2,5 10 6 Гц.
6
2τ MIN 2τ 0 (1  m ) 2 10 (1  0,8)
Задача 8.4
Определите максимальное число каналов в системе ШИМ-ФМ с
параметрами: верхняя частота спектра сообщения FВ = 10 кГц, индекс ШИМ
m= 0,8, индекс фазовой модуляции mФ= 4, полоса пропускания приёмника
fC = 10 МГц.
Решение
Рассчитаем верхнюю частоту спектра группового сигнала:
f C
10 6 10
f ВГС 

 10 6 Гц.
2(1  mФ )
25
По верхней частоте спектра группового сигнала определим минимальную
длительность импульса:
1
τ MIN 
 10 6 с.
f ВГС
Рассчитаем среднюю длительность импульса:
τ MIN
10 6
τ0 

 5  10 6 с.
1  m 1  0,8
52
Определим максимальное число каналов:
N MAX 
T
1
1


 5 каналов.
2τ 0 4τ 0 FВ 4  5  10 6  10  103
 Задачи для самостоятельного решения
Задача 8.5
Задана полоса частот канала ∆f на несущей частоте и верхняя частота
спектра Fв каждого из сообщений в многоканальной системе. Сравнить, в каком
случае можно достичь большего числа каналов – при АМ-АМ с частотным или
АИМ-АМ – с временным?
Задача 8.6
Рассчитать полосу частот, занимаемую сигналом ШИМ-ФМ при верхней
частоте спектра сообщений Fв = 4 кГц, числе каналов N = 100, индексе ШИМ
mτ = 0,7 и манипуляции фазы во второй ступени на , т.е при переходе от
передачи импульса к «паузе» фаза сигнала меняется на противоположную.
Соотношение между периодом следования импульсов Т и верхней частотой
спектра сообщений Fв полагать Т = 1/(2,5 Fв)..
Задача 8.7
Рассчитать максимальное число каналов в системе с модуляцией ШИМ –
ЧМ при полосе радиоканала ∆f = 106 Гц, верхней частоте спектров сообщений
Fв = 1000 Гц, индексе ШИМ mτ = 0,7 и девиации частоты во второй ступени
∆fm = 1/τмин.
53
9. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПЬЮ В СТАЦИОНАРНОМ
РЕЖИМЕ
 Основные расчетные соотношения
Рассматриваются задачи анализа корреляционных характеристик
случайного процесса Y(t) на выходе линейной цепи c коэффициентом передачи
K(jω) при действии на входе случайного процесса X(t) (рис. 9.1).
X(t)
Y(t)
K(jω)
Рис.9.1. К постановке задачи
На вход линейной цепи (которая может быть, в частности, математической
моделью канала связи) поступает случайный процесс Х(t) с известными
математическим ожиданием M[X(t)] и функцией корреляции КX(τ). Функция
корреляции процесса Y(t) ищется в стационарном режиме, т.е. после окончания
переходного процесса, вызванного включением случайной
составляющей
(центрированного процесса) Х(t).
В приведенной постановке наиболее рациональным путем является
использование частотного метода анализа спектрально-корреляционных
характеристик случайных процессов, преобразованных линейными цепями [3]. В
этом случае используется спектральная плотность мощности (СПМ) случайного
процесса, связанная с функцией корреляции входного процесса Х(t) прямым
преобразованием Винера-Хинчина

S X (ω)  2  K X ( τ)e
 jωτ


dx  4 K X ( τ) cos ωτ dt.
0
Спектральная плотность мощности выходного процесса Y(t) равна [3]:
2
SY (ω)  K ( jω) S X (ω) .
Функция корреляции входного процесса X(t) при этом может быть найдена
обратным преобразованием Винера-Хинчина [3]:


1
1
jωτ
K X ( τ) 
S
(
ω
)
e
d
ω

S X (ω) cos ωτ dτ.
X
4π 
2π 0
В случае, если условием задачи предусмотрено определение дисперсии
(мощности переменной составляющей) процесса Y(t), то учитывая равенство
у2 = Ky(0), можно получить
54


1
σ 
SY (ω)dω   SY ( f )df .
2π 0
0
2
Y
Последнее соотношение, показывающее, что мощность переменной
составляющей стационарного случайного процесса Y(t) является интегралом от
СПМ на положительных частотах, имеет прозрачное физическое содержание, и,
тем самым, оправдывает нестандартную расстановку коэффициентов в прямом и
обратном преобразовании Фурье.
Что касается преобразования математического ожидания mX(t) в
математическое
ожидание
mY(t),
то,
поскольку
mX(t)
является
детерминированным процессом, для нахождения mY(t) используются временные
и частотные методы, изучаемые в курсе «Основы теории цепей».
Для интегрирования спектральной плотности мощности может оказаться
полезным следующее соотношение для интеграла от квадрата модуля дробнорациональной функции:
2

C0  C1 jω  ...  C n 1 ( jω) n 1
1
In 
dω.
2π  d 0  d1 jω  d 2 ( jω) 2  ...  d n ( jω) n
Значение интеграла In, где индекс указывает на порядок полинома в
знаменателе подынтегральной функции, зависит от значений коэффициентов
полиномов в числителе и знаменателе дробно-рациональной функции. В
справочнике [5] приведены выражения для интегралов In, простейшие из которых
приведены ниже:
2
c0
I2 
,
2d 0 d1
c d c d
I2  1 0 0 2 ,
2 d 0 d1 d 2
2
I3 
2
2
2
2
c2 d 0 d1  (c1  2 c0 c2)d 0 d 3  c0 d 2 d 3
.
2 d 0 d 3 ( d1 d 2  d 0 d 3 )
Для более высоких значений порядка цепи n необходимо обратиться к
справочнику [5]. Поскольку приведенное выше выражение для интеграла In
предусматривает интегрирование в бесконечных пределах, а формула для расчета
дисперсии – от нуля до бесконечности, то для получения значения дисперсии
случайного
процесса
необходимо
взять
половину
интеграла
при
соответствующем значении порядка n.
 Примеры решения задач
Задача 9.1
На вход линейной
цепи,
коэффициент
55
передачи
которой
равен
K ( jω) 
1
,
1  jωTФ
поступает случайный процесс Х(t), имеющий функцию
корреляции
К Х (τ)  σ X exp( α τ ) .
2
где Х2 = 0,01В2, α = 2 10-3 с-1, Тф = 2  10-3 с.
Найти дисперсию процесса Y(t) на выходе цепи.
Решение
Рассчитываем СПМ процесса Х(t):

S X (ω)  2  σ X e
2 α τ
e
 jωτ
dτ  2σ X

2
2

 0 α  jωτ

 1
1 
 ( α  jω ) τ
 e


d
τ

e
d
τ

2


 α  jω α  jω  




0
 

2
4 xσ X
4 xσ X


;
(α  jω)(α  jω) α  jω 2
SY (ω)  S X (ω) K ( jω) 
4ασ X
2

4ασ X
α  jω
2

(α  jω)(1  jωTФ )
2

;

σY
1  jωTФ
2
2
2
α  (1  αTФ ) jω  TФ ( jω) 2
2
2
4α  X
2
4ασ X
1
2

S X (ω) K ( jω) dω 

2 0
2π
2 
 α  (1  αT
0
Ф
dω
) jω  TФ ( jω)
2 2
.
Интеграл вычисляем с учётом приведённого выше выражения для In, где
n = 2. Значения вспомогательных переменных:
n = 2; C0 = 1; C1 = 0; d0 =  ; d1 = 1 + aTф; d2 = Тф.
Тогда
2
σY
2
2
4ασ X
0.01
2 c0 d 2

 4ασ X

 0,002 B 2 .
2I 2
4d 0 d1d 2 (1  4)
Задача 9.2
На вход линейной цепи поступает случайный процесс с функцией
ω 2 τ 2
2
). Найти функцию корреляции процесса на
корреляции K X ( τ)  σ X exp( 
2
выходе цепи, если ее коэффициент передачи равен
 ω2 

K ( jω)  exp  
2 .
4

ω


56
Решение
Находим СПМ входного процесса


 ω2 τ 2


 dτ .
exp


j
ωτ

2




Для вычисления воспользуемся интегралом Эйлера – Пуассона:
S X (ω)  2  K x ( τ) exp(  jωτ) dτ  2σ X

e
 Ax2  2 BxC


2
π B 2  AC
e A .
A
Обозначим
ω 2
jω
A
,B
, C  0.
2
2
Тогда
S X (ω)  2σ X
2
 ω 2 2  2σ X 2 2π
2π
 ω2 
 
exp  
exp  
.
2 
ω
ω
 2ω 2 
 4ω 
Находим
2
2
 ω2
 ω2 
2σ X 2 π
ω 2  2σ X 2π

SY (ω)  S X (ω) K ( jω) 
exp  

exp   2  .
2
2 
ω

ω
2

ω
2

ω


 ω 
2
Функцию корреляции KY() находим обратным преобразованием Винера Хинчина, использовав снова интеграл Эйлера – Пуассона с обозначениями
1
jτ
А
, B  , C  0:
2
2
ω

2
σ
2π
1
K X ( τ) 
SY (ω) e jω τ dω  X

4 π 
2πω

2
 ω2

σX
 ω 2 τ 2 


exp


j
ωτ
d
ω

.
exp  
  ω 2

2
4



Задача 9.3
На вход ФНЧ с коэффициентом передачи K ( jω) 
1
поступает сумма
1  jωTФ
гармонического сигнала S (t )  U 0 cos(ω0t   0 ) и помехи n(t), являющейся белым
шумом со спектральной плотностью N0. Найти отношение средних мощностей
сигнала и помехи на выходе
фильтра, если
0 = 1/(2Tф), Тф = 10-4 с,
N0 = 10-10 Bт/Гц, U0= 3 10-3 В.
Решение
Поскольку для расчета отношения мощностей не имеет значения величина
сопротивления, на котором рассеиваются указанные мощности, будем считать
его равным 1 Ом. Мощности сигнала и помехи в этом случае называются
удельными.
Средняя удельная мощность сигнала на выходе фильтра равна
57
1
USВЫХ2,
2
PSВЫХ =
где USВЫХ - амплитуда сигнала на выходе фильтра.
U0
U SВЫХ  U 0 K ( jω 0 ) 
PSВЫХ
1  ω Tф
2
0
.
2
( 3  10 3 ) 2


 1,2  10 6 Вт.
2
2
2
2(1  ω0 Tф ) 2(1  0.5 )
U0
Средняя удельная мощность шума на выходе фильтра равна его дисперсии
PN ВЫХ  

2
NВЫХ

2
N0
N0
1
dω
10 10

N
K
(
j
ω
)
d
ω



 2,5 10 7 Вт.
0
2
4


2
2π 0
2π 0 1  ω Tф
4Т ф 4 10
Находим отношение средних мощностей сигнала и помехи
q2 
PSВЫХ
1,2  10 6

 4,8 .
PN ВЫХ 2,5  10 7
 Задачи для самостоятельного решения
Задача 9.4
На вход ФНЧ Баттерворта четвертого
коэффициента передачи которого равен
K ( jω) 
2
1
8
ω
1   
 ωc 
порядка,
квадрат
модуля
,
поступает сумма сигнала s(t) = U0 cos (ωct + φ) и помехи – белого шума со
спектральной плотностью N0 = 10-10 Вт/Гц. Амплитуда
входного
сигнала
-3
-4 -1
U0 = 10 В, ωс = 2π·10 с .
Найти отношение средних мощностей сигнала и помехи на выходе
фильтра. При вычислениях использовать равенство

dx
π

0 1  x 2k
π .
2k sin
2k
Задача 9.5
На вход усилителя с ФНЧ поступает случайный процесс Х(t) c функцией
корреляции
KX(τ) = 0,04exp(-22),
где ∆ω = 2π  105 с-1.
58
Коэффициент передачи усилителя с фильтром описан равенством
 2ω 2 

K(jω) = K0 exp(  
2 ,

ω


где K0 = 10.
Найти функцию корреляции процесса на выходе усилителя с ФНЧ.
Задача 9.6
На вход усилителя с ФНЧ поступает сумма сигнала s(t) = U0 cos(ω0t + φ0)
(ω0 = 2105с-1, U0 = 10-2 В)
и
помехи
n(t),
функция
корреляции
которой
Kn(τ) = σ2n exp(-α|τ|),
где α = 10с-1, σ2n = 10-6 Вт.
Коэффициент передачи усилителя с фильтром имеет вид:
K(jω)=
K0
 jω 
jω
1 2
  
ωc
 ωc 
2
,
где K0 =10, ωс = 2105 с-1
Найти отношение средних мощностей сигнала и помехи на выходе
усилителя.
Задача 9.7
На вход ФНЧ с коэффициентом передачи

ω2
K(ω)= e 2 ω ,
где ∆ω = 106 с-1 поступает сумма сигнала s(t)=U0 e ω t и помехи в виде
белого шума со спектральной плотностью N0=10-14 Вт/Гц. Амплитуда сигнала
U0=10-3 В.
Найти
отношение
максимального
значения
сигнала
к
среднеквадратичному отклонению шума на выходе фильтра.
2
2 2
Задача 9.8
 1  e  jωτ
На вход усилителя с коэффициентом передачи K ( jω)  K 0 
 jωτ

 , где

К0 = 10, τ = 10-5 с поступает прямоугольный импульс длительнcтью τ, амплитудой
U0 = 10-4 В, а также белый шум со спектральной плотностью N0 = 10-17 Вт/Гц.
Найти отношение максимального («пикового») значения сигнала к
среднеквадратичному отклонению шума на выходе усилителя. При нахождении
сигнала на выходе фильтра учесть материал раздела 1, а также выражение

1 при a  0;
2 sin ax
dx  

π0 x
  1 при a  0.
59
Задача 9.9.

На вход ФНЧ с треугольной АЧХ K    1 

 
 при   0 поступает
 0 
белый шум со спектральной плотностью мощности
N 0  10 8 Вт  с . Найти
функцию корреляции K y   процесса на выходе фильтра, если  0  2  10 5 .
1
c
Задача 9.10.
На вход ФНЧ с прямоугольной АЧХ (идеального ФНЧ) с частотой среза
 с  2  10 4
1
с
поступает белый шум со спектральной плотностью мощности
N 0  10 7 Вт  с . Найти выражение для функции корреляции процесса Y t  на его
выходе и значение его дисперсии  y 2 .
60
10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
Задачи по тематике этого раздела курса «Теория электрической связи»
обычно связаны с расчётами среднего количества информации, содержащегося в
одном элементе сообщения (энтропия сообщения или его источника),
производительности, избыточности и некоторых других информационных
характеристик источников сообщений [1,2], а также параметров, определяющих
значение пропускной способности дискретных и непрерывных каналов связи
[1,2].
 Основные расчётные соотношения
Энтропией называется среднее количество информации, приходящееся на
один элемент (отчёт) сообщения. Для дискретного сообщения она может быть
рассчитана по формуле
n
H  x    p k  log 2 p k ,
k 1
где pk - вероятность события, которое заключается в том, что сообщение xt 
принимает значение x k из n возможных x1 , x 2 , …, x n .
Количество информации содержащейся в m элементах дискретного
сообщения xt  может быть найдено из выражения
I  m  H x  .
Основными свойствами энтропии H x являются:
1. Неотрицательность H x  0 .
2. Равенство нулю H x  0 при детерминированном характере сообщения,
когда pxk   1 при нулевых значениях остальных вероятностях сообщений,
образующих полную группу значений сообщения xt  ____
3. Энтропия H x максимальна при равновероятных состояниях x k , k  1, n ,
может быть найдена из равенства
H макс  log 2 n .
Наряду с энтропией источник сообщения может обладать такими
информационными характеристиками, как избыточность
R  1
H x 
,
H м акс
показывающую степень несовершенства
сообщения, и производительность,
61
информационной
насыщенности
Vn  F  H x 
характеризующую количество информации, «поставляемой» источником в
единицу времени.
В последнем выражении F - количество элементов сообщения,
поступающее в единицу времени (частота символов сообщения).
При непрерывном сообщении энтропия может быть найдена по формуле
H x   
xммак
 W x  log h  W xdx ,
2
xмми
где
x мин ,
сообщения,
x макс -
соответственно, минимальное и максимальное значения
W x  -
плотность
вероятности
сообщения
x,
h-
параметр,
характеризующий минимальный интервал изменения сообщения, приводящий к
существенному изменению информации, содержащейся в сообщении, в
частности им может быть интервал квантования, если таковое предусмотрено
задачей.
В случае h  1 энтропия
H Д x   
xммак
 W x  log
2
W x dx
xмми
называется дифференциальной, её абсолютное значение не представляет
самостоятельного интереса, но может быть использовано при сравнении
значений энтропии сообщений с разными законами распределения. В этом случае
параметр h играет роль масштабного коэффициента.
При достаточно малых значениях h энтропия непрерывного сообщения
обладает следующими свойствами:
1. Энтропия H x  0 .
2. При детерминированных сообщениях xt  , когда lim W x    x  x0  , где  x2  x2 0
дисперсия процесса xt  , энтропия сообщения стремится к нулю.
3. Сообщение xt  имеет максимальную энтропию для следующих условий:
3.1. При ограниченных максимальных и минимальных значениях
сообщения xt  максимальную энтропию имеет сообщение с распределением
равномерной плотности на интервале возможных значений сообщения.
3.2. При неограниченных максимальных и минимальных значениях xt  с
заданным значением дисперсии  x2
максимальной энтропией обладает
сообщение, имеющее нормальное распределение с дисперсией, равной  x2 .
3.3. При ограниченных снизу и неограниченных сверху значениях xt  при
62
фиксированной
экспоненциальное
 x2
дисперсии
максимальной
распределение
с
энтропией
параметром,
обладает
x -
равным
среднеквадратичному отключению сообщения.
Производительность источника непрерывного сообщения, имеющего
верхнюю частоту спектра FB , может быть найдена из выражения
Vn  2  FB  H x 
Количество информации, произведённое при этом источником за интервал
времени T , может быть вычислено по формуле
I  Vn  T  H x   2  FB  T

Примеры решения задач
Задача 10.1
Телеграфный код Морзе состоит из четырёх «знаков»: точки, тире,
короткой и длинной пауз. Вероятности появления этих «знаков» в телеграфном
тексте равны соответственно p1  p2  0.35 , p3  0.2 , p4  0.1 .
Найти:
а) Количество информации, переданное по каналу связи за 20 минут при условии,
что скорость передачи равна 600 знаков в минуту;
б) Избыточность источника сообщений.
Решение
Найдём энтропию источника сообщения
4
H x    p k  log 2 p k  2  0.35  log 2 0.35  0.2  log 2 0.2  0.1  log 2 0.1  1.86 бит симв.
k 1
Учитывая,
что
при
максимальное значение
H макс  log 2 4  2 бит симв , находим избыточность источника:
n4
R  1
энтропии
равно
H x 
1.86
 1
 0.07 .
H м акс
2
Количество информации, переданное по каналу связи:
I  1.86  600  20  22320бит
Задача 10.2
Найти максимальное количество информации, содержащееся в
телевизионном кадре, состоящим из 625 строк, в каждой из которых 819
63
яркостных точек («пикселей»). В каждом пикселе яркость принимает 8 значений
(«градаций»)
вероятности
которых
равны
p3  p 4  p5  p 6 
1
. Рассчитать избыточность источника.
16
p1  p8 
1
,
8
p 2  p7 
1
,
4
Решение
Полагая, что значение яркости каждого из пикселей независимо по
отношению ко всем остальным, количество информации в кадре можно найти из
равенства:
I  H x  819  625  H x  511875бит ,
8
где H x    p k  log 2 p k  (2  log 2  2  log 2  4 
1
8
k 1
1
8
1
4
1
4
1
1
log 2 )  2.76 бит симв
16
16
Находя избыточность источника по приведённой ниже формуле, с учётом
H макс  log 2 8  3 бит симв , можно получить R  1 
2.76
 0.08.
3
Количество информации в кадре можно получить, перемножая 2.76 на
511875 с результатом I  1412775бит  1.412775Мбит .
Задача 10.3
Плотность вероятности непрерывного случайного сообщения имеет вид
x
1 a
W x  
 e , где a  1В (распределение Лапласа).
2a
Полагая интервал h  10 3 В , найти:
а) количество информации, передаваемой сообщением за время T  100с , если
FB  3500 Гц ;
б) избыточность источника сообщения.
Решение
Найдём энтропию заданного непрерывного сообщения:
x
 h x
1 a
H x    
 e  log 2   e a
 2a
2
a




dx  log 2  2a  e   12.45 бит симв .

 h 

Количество информации, передаваемое указанным сообщением, находим с
помощью равенства:
I  2  FB  H x  T  2  3500 100 12.45  8715000бит .
Для нахождения избыточности с учётом того, что сообщение, имеющее
64
распределение Лапласа, является неограниченным ни сверху, ни снизу. Поэтому
максимальной энтропией для подобных сообщений обладает сообщение,
имеющее нормальное распределение. Для корректного сравнения необходимо
дисперсию нормального распределения положить равной дисперсии заданного в
задаче процесса, распределённого по закону Лапласа. Вычисляя дисперсию
случайного процесса, имеющего распределение Лапласа, можно получить:
 x2 
Энтропия
сообщения

x
x2  a
2
2
 2a  e dx  2a  2B .
x1 ,
имеющего
нормальное
распределение
с
полученным выше значением дисперсии, равна:

H  x1    

1
2   x
e

x2
2 x2

 x2
h
 log 2 
 exp  
2
 2   x
 2 x
Таким образом:
R  1
 2  e   x

 dx  log 2 


h



  12.56 бит симв


H x 
12.45
 1
 0.0088 .
H x1 
12.56
Задача 10.4
Найти производительность источника сообщений, которая необходима для
управления зенитной ракетой. Полоса пропускания системы управления FB  1Гц .
Решение
Для управления зенитной ракетой необходима передача команд «вправо»,
«влево», «вверх», «вниз», т.е. сообщение может быть дискретным с числом
состояний n  4 .
1
4
___
Вероятности команд полагаем одинаковыми, т.е. p k  , k  1,4 .
Таким образом, энтропия H x  log 2 4  2 бит симв .
При этом требуемая производительность Vn  2  FB  H x   4 бит с .

Задачи для самостоятельного решения
Задача 10.5
Источник бинарного сообщения имеет вероятность «единиц» p1  0.8 и
вероятность нулей
p0  0.2 . Найти избыточность источника и количество
информации, производимое за время T  10 4 c при частоте следования символов
65
F  20кГц .
Задача 10.6
Дискретное сообщение, полученное применением «дельта-модуляции»
имеет три состояния, вероятности которых равны: p1  0.5 , p2  0.3 , p3  0.2 .
Найти:
а) избыточность источника сообщения;
б) количество информации, передаваемого за 10 минут с частотой следования
символов F  10 5 Гц .
Задача 10.7
Непрерывное сообщение xt  , имеющее распределение с плотностью
вероятности
W x  
1
Uм

x
 1 
 Uм

 , где U м  2В .


Найти:
а) избыточность источника сообщения при h  10 2 В ;
б) количество информации, содержащееся в сообщении, верхняя частота спектра
которого
а
длительность
сообщения
FB  100кГц ,
T  1час .
Задача 10.8
Непрерывный случайный процесс имеет распределение равномерной
плотности
W x  
1
,  U м  x  U м , где U м  2В .
2U м
Найти энтропию источника и количество информации, преданное за время
T  30с при FB  5кГц , если h  10 4 В .
Задача 10.9
Сигнал с дискретной четырёхуровневой фазовой модуляцией имеет
вероятности состояний p1  0.45 , p2  0.35 , p3  0.15 , p4  0.05 .
Найти избыточность источника сообщения и количество информации,
переданной за время T  1час при частоте следования символов F  10 6 Гц .
66
Задача 10.10
Сообщение xt   U м  Cost  имеет распределение косинуса равномерно
распределенной фазы на интервале   ,  
W x  
1
 U м  1  x
, где U м  3В .
2
U м2
Найти избыточность источника сообщения и количество информации,
переданное за время T  10мин при FB  100 Гц и h  3  10 3 В .
67
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Биккенин Р.Р. Теория электрической связи: учебное пособие для студ.
высших учебных заведений / Р.Р. Биккенин, М.Н.Чесноков. – М. :
Издательский центр «Академия» , 2010.
2. Клюев Л.Л. Теория электрической связи: учебник для вузов / Л.Л. Клюев.
Минск: Техноперспектива, 2008.
3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник для вузов / С.И.
Баскаков. М.: Высшая школа, 2004.
4. Захаров В.Н. Справочник по радиоэлектронным системам: В 2 т. Т.1. / В.Н.
Захаров, Б.Х. Кривицкий, Н.С. Мамаев и др.; под ред. Б.Х. Кривицкого. М.:
Энергия, 1979.
5. Паршин А.В. Теория электрической связи: учебное пособие для вузов / А.В.
Паршин, Е.А. Субботин. Екатеринбург: УрТИСИ, 2004.
68
Учебно-методическое издание
Дмитрий Вячеславович Астрецов
Елена Владимировна Вострецова
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Компьютерная верстка Е.В. Вострецовой
69
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
70