Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «…………………….…НАИМЕНОВАНИЕ ВУЗА……….………………» Кафедра «……………………………….………………» РЕФЕРАТ по дисциплине «Теория автоматического управления» тема «Дифференцирующее звено» выполнил студент группы № _________ _______________________ (Фамилия И.О.) Проверил ________________ _______________________ (должность) (Фамилия И.О.) Город 2019 г. Содержание Введение ....................................................................................................................... 3 1. Математическое описание дифференцирующего звена ..................................... 4 2. Временные характеристики дифференцирующего звена ................................... 5 3. Частотные характеристики дифференцирующего звена..................................... 5 4. Пример физической реализации дифференцирующего звена ............................ 7 Список литературы...................................................................................................... 9 2 Ключевые слова Дифференцирующее звено, идеальное дифференцирующее звено, дифференцирующее звено с замедлением, передаточная функция, постоянная времени, АФХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ. Введение Для расчёта различных систем автоматического регулирования обычно разбиваются динамические звенья. Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое определенным дифференциальным уравнением. Обозначим входную величину звена через х1, а выходную через х2 (рис. 1). Возмущение, действующее на звено, обозначим f(t). Рис. 1. Статическая характеристика любого звена линейной (линеаризованной) системы может быть изображена прямой линией (рис. 2). Рис. 2. Статические характеристики линейных звеньев 3 а) звено позиционного (статического) типа; б) звено интегрирующего типа; в) звено дифференцирующего типа Рассмотрим в качестве примера дифференцирующее звено. 1. Математическое описание дифференцирующего звена В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью x2 k dx1 dt связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной (рис.2, в), откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности k является коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность [сек]. 1.1. Идеальное дифференцирующее звено Звено описывается уравнением вида: (1) Передаточная функция звена имеет вид: (2) 1.2. Дифференцирующее звено с замедлением Звено описывается уравнением вида: (3) Передаточная функция звена имеет вид: (4) 4 Звено условно последовательно можно звеньев представить — в идеального виде двух включенных дифференцирующего и апериодического первого порядка. 2. Временные характеристики дифференцирующего звена Временные характеристики идеального дифференцирующего звена и дифференцирующего звена с замедлением отличаются. Они представлены в таблице 1, ниже. Таблица 1 – Временные характеристики дифференцирующих звеньев Тип звена и его передаточная Переходная функция Функция веса функция Идеальное дифференцирующее звено W(p) = kp Дифференцирующее звено с замедлением 3. Частотные характеристики дифференцирующего звена Амплитудная частотная характеристика имеет иной вид, чем у идеального звена. Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких 5 частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится к значению при k/T при ω → ∞. Для звеньев, представляющих собой RC- или RL-цепь (рис. 4, a и b), k = T и на высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице. Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю при ω → ∞. Здесь также видно, что это звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот. Л. а. х. строится по выражению: (5) Асимптотическая л. a. x. может быть представлена в виде двух прямых. Одна из них имеет положительный наклон 20 дб/дек (при ω < 1/T), а вторая — параллельна оси частот (при ω > 1/T). Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена и дифференцирующего звена с замедлением представлены в таблице 2, ниже. Таблица 2 – Частотные характеристики дифференцирующих звеньев Тип звена и его частотная Амплитудно- Амплитудная и передаточная фазовая фазовая функция Идеальное дифференцирующ ее звено W(jω) = k jω 6 Логарифмическая Дифференцирующ ее звено с замедлением 4. Пример физической реализации дифференцирующего звена Примеры идеальных дифференцирующих звеньев изображены на рис. 3. Единственным идеальным дифференцирующим звеном, которое точно описывается уравнением (1), является тахогенератор постоянного тока (рис. 3, а), если в качестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора α, а в качестве выходной — э.д.с. якоря е. Рис. 3. В тахогенераторе постоянного тока при неизменном потоке возбуждения э.д.с. в якоре пропорциональна скорости вращения: e = kΩ. Скорость вращения есть производная по времени от угла поворота: d d . Следовательно, e k . В режиме, близком к холостому ходу dt dt 7 (сопротивление нагрузки велико), можно считать, что напряжение якоря равно э. д. с.: u = e. Тогда u k d . dt Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена может рассматриваться операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3, б). Примеры использования дифференцирующее звено с замедлением изображены на рис. 4. Наиболее часто употребляются электрические цепи (рис. 4, а, б и в). В некоторых случаях используются дифференцирующие устройства, состоящие из гидравлического демпфера и пружины (рис. 4, г). Рис. 4. Составим, например, уравнение для дифференцирующего конденсатора (рис. 4, а). Ток в рассматриваемой цепи определяется уравнением (6) Переходя к изображениям и решая это уравнение относительно тока, получаем: 8 (7) Напряжение на выходе цепи (8) где Т = RC — постоянная времени цепи. Список литературы 1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования – Изд. 3-е, испр. – М: Наука, 2003. – 767 с. С. 87 – 90. 2. Дифференцирующие звенья [Электронный ресурс]. Адрес обращения: http://scask.ru/g_book_b_tau.php?id=20 (дата обращения: 20.12.2019). 9
