Загрузил Azamat Shayakhmet

Надежность в технике

Реклама
УДК 621.192
ББК 30.14
Т77
Рецензент
чл.-корр. РАН М. Н. Бабушкин
Т77
Труханов В. М.
Надежность в технике. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ООО Изда­
тельский дом «Спектр», 2017. - 656 с.: ил.
ISBN 978-5-4442-0121-3
Рассмотрены теоретические и практические вопросы надежности сложных
систем на различных этапах их жизненного цикла. Приведены методы обеспече­
ния и повышения надежности на стадиях проектирования, серийного производ­
ства и эксплуатации, математические модели построения кривых роста надежно­
сти пассивным методом и с учетом управляющих воздействий, а также пути по­
вышения надежности конструктивными и технологическими способами.
Рассмотрены вопросы технической диагностики и методы продления сро­
ков эксплуатации дорогостоящих объектов.
Для специалистов, работающих в области исследования, создания и экс­
плуатации изделий машиностроения, преподавателей и студентов вузов.
УДК 621.192
ББК 30.14
Научное издание
ТРУХАНОВ Владимир Михайлович
НАДЕЖНОСТЬ В ТЕХНИКЕ
Редакторы: Н.Е. Кузнецова, А.И. Евсейчев
Корректоры А.Г. Изосимова, А.И. Евсейчев
Инженеры по компьютерному макетированию А.И. Евсейчев, НИ. Смольянина
ISBN 978-5-4442-0121-3
Сдано в набор 20.09.2016 г.
Подписано в печать 20.11.2016 г. Формат 60 х 88 '/ie.
Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 41,0. Уч.-изд. л. 48,2.
Тираж 300 экз. Заказ 112298.
ООО «Издательский дом «Спектр»
119048, Москва, ул. Усачева, д. 35, стр. 1.
Http:/Avw\v.idspektr.ru. E-mail: info@idspektr.ru
Отпечатано в типографии Публичное акционерное общество
«Т8 Издательские Технологии»
109316 Москва, Волгоградский проспект, дом 42, корпус 5
ISBN 978-5-4442-0121-3
© ООО Издательский дом «Спектр», 2017
© Труханов В. М., 2017
©ВолгГТУ, 2017
I
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................................................................. 13
Глава 1. Методологические и органезацеонно-технеческее
основы исследований надежности современной техники............... 17
1. 1. Основные понятия, определения и термины.............................. 17
1.2. Методологические исследования надежное™......................... 25
1. 3. Математические методы исследования......................................... 26
1.4. Исследование надежности на этапе разработки конструктор­
ской документации................................................................................. 27
1. 5. Исследование надежности на этапе испытаний опытных об­
разцов ........................................................................................................ 29
1. 6 . Исследование надежности техники на этапе серийного про­
изводства .................................................................................................. 31
1. 7 . Исследование надежности техники на этапе эксплуатации . . . 33
1. 8 . Организационные методы обеспечения надежности техники . . .35
1.9. Структурные подразделения надежности и их задачи........... 41
Глава 2 . Математический аппарат. Элементы теории вероятно­
стей и математической статистики....................................................... 47
2 .1. Понятие события . Действия над
.............................. 47
2.2. Частота события. Свойства частот. Статистическая вероят­
ность .......................................................................................................... 51
2.3 . Аксиомы теории вероятностей..................................................... 53
2 .4 . Зависимые и независимые события . Теорема умножения для
независимых событий............................................................................... 56
2.5 . Формула полной вероятнооти..........................................................57
2.6 . Формула Бейеса............................................................................... 59
2.7 . Частная теорема о повторении опытов . Формула Бернулли 60
2.8. Случайные величины и законы их распределении................... 62
2.9. Дискретные законы распределения, часто используемые в
теории надeжнoееи................................................................................. 66
2.9 .1. Закон Пуассона.................................................................... 66
2.9.2 . Биномиальное распределение........................................... 66
2.9.3 . Гипергеометрическое распределении.............................. 67
2.10 . Непрерывные законы распределении...........................................69
2 .10 .1. Экспоненциальное распределении.................................... 69
2.10.2 . Распределение Вейбуллл................................................. 70
2.10.3 . Нормальное распределении............................................. 71
2 .10 .4 . Логарифмически нормальное распределении................. 75
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
2.10.5 .Гамма-распределение.................................................... 77
2.10.6 . Распределение хи-квадрат (%2)........................................ 79
2 .10.7 . Распределение по закону равной вероятности.............. 80
2 .10.8 . Распределение Стьюденга (Госсета).............................. 82
2.10.9 . Беаа-pacпpeделение.......................................................... 83
2.10.10. Распределение смеси и совокупности случайных ве­
личин .............................................................................................. 84
2.11. Числовые характеристики случайных величин...................... 85
2.12. Некоторые предельные теоремы теории вероятностте........ 92
2.13. Элементы математической статистики и ее основные задачи 95
2.14. Точечные оценки параметров распределении........................ 66
2 .15 . Метод максимального правдоподобия.................................... 77
2.16 . Метод мсмeнтoс........................................................................ 98
2 .17 . Исследование точности оцениваемых параметров методом
доверительных интервалов................................................................ 100
2 .18 . Методы проверки статистических гипоттл............................ 102
Глава 3. Исследование надежности на стадии проектирования
технических систем................................................................................ 107
3.1. Задачи исследования надежности................................................ Ю7
3.2. Задание требований, выбор номенклатуры показателей на­
дежности, распределение норм надежности.................................... Ю8
3.3. Метод рационального распределения норм надежности
НО
3. 4 . Метод равномерного распределении........................................ 113
3.5 . Метод пропорционального распределенни.............................. 113
3.6. Метод распределения требований по надежности с учетом
относительной уязвимости эеeмeнтoс............................................ 114
3.7. Метод распределения требований по надежности с учетом
важности подсистемы........................................................................ 116
3.8 . Виды отказао................................................................................ 118
3. 9 . Показатели надежности невосттанавливалмсго элемента . . . . 120
3.10 . Показатели надежности восстанавливаемого элемента........ 144
3.11. Расчет проектной надежности систем с последовательным
соединением элементов.................................................................... 131
3.12 . Расчет проектной надежности систем без учета восстанов­
ления резервных элементоо.............................................................. 136
3.13. Расчет проектной надежности систем с учетом восстанов­
ления резервных эелмeнтoв.............................................................. 143
3.14 .Методы расчета надежности дорогостоящих небракуемых
объектов типа подвижных установок на этапе проектирования . . . 145
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
3.15 . Модель расчета надежности, учитывающая случайные от­
казы ...................................................................................................... 148
3.16 .Модель расчета надежности, учитывающая неслучайные
отказы.................................................................................................. 152
3.17 . Методика расчета и достижения требуемого уровня надеж­
ности .................................................................................................... 154
3 .18 . Расчет проектной надежности механических узлов и метал­
локонструкций .................................................................................. 157
3.19 .Расчетные зависимости вероятности безотказной работы
механических узлов по заданным критершш.................................... 159
3. 20 . Применение методов подобия при проектировании............ 173
3.21. Исследование надежности изделий на этапе разработки
конструкторской документации при выборе запасных частей и
инструментов...................................................................................... 176
3.22 . Расчет количественного состава запасных частей................ 178
3.23 . Принципы конструирования, обеспечивающие создание на­
дежных систем.................................................................................... 182
3. 24 . Конструирование систем электроавтоматики........................ 184
3.25. Конструирование силовых узлов и компоновка изделия .... 186
3.26. Конструирование гидравлических систем и механических
узлов.................................................................................................... 188
3. 27 . Методика расчета количественных показателей надежности
изделий на этапе проектирования.................................................... 191
Глава 4. Исследование надежности изделий на этапе экспери­
ментальной отработки.......................................................................... 199
4 .1 . Цель и виды испытаний.............................................................. 199
4.2. Организация и последовательность создания сложных сис­
тем .......................................................................................................... 201
4.3 . Программа экспериментальной отработки.............................. 204
4 .4 . Контроль уровня оценки выполнения программы экспери­
ментальной отработки...................................................................... 206
4.5 . Исследовательские испытания опытных образцов.................... 208
4.6 . Планирование исследовательских и контрольных испытаний
методом фиксированного объема.................................................... 213
4.7. Планирование испытаний при экспоненциальном законе
распределения наработки для фиксированного объема................ 215
4.8. Планирование испытаний при нормальном и логарифмиче­
ски нормальном законах распределения наработки на отказ для
фиксированного объема.................................................................... 221
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.9. Планирование испытаний методом фиксированного объема,
когда показателем оценки является вероятность безотказной ра­
боты или вероятность отказа, распределенная по биномиальному
закону или закону Пуассона................................................................ 224
4 .10 .Планирование исследовательских и контрольных испыта­
ний методом последовательного анализз.......................................... 228
4 .11. Планирование испытаний методом последовательного ана­
лиза при двух заданных уровнях показателя надежности для би­
номиального закона распределении............................................
230
4.12 . Планирование испытаний методом последовательного ана­
лиза для экспоненциального закона распределения...................... 233
4.13. Планирование испытаний методом последовательного ана­
лиза для закона распределения Пуассонн.......................................... 235
4.14 . Планирование испытаний методом последовательного ана­
лиза при двух заданных уровнях показателя надежности для
нормального закона распределения наработки на отказ.................. 238
4.15. Планирование испытаний дорогостоящих небракуемых
изделий методом последовательного анализа для различных
законов распределения при двух заданных уровнях показателя
надежности............................................................................................ 241
4 .16 . Планирование испытаний дорогостоящих небракуемых
изделий методом последовательного анализа для биномиального
закона распределения при одном заданном уровне показателя
надежности............................................................................................ 243
4 .17 . Сравнительный анализ объемов испытаний, полученных
методами Неймана-Пирсона и последовательного анализа для
различных законов распределении.................................................. 253
4 .18 . Исследования надежности в утяжеленных режимах испыта­
ний .......................................................................................................... 256
4.19. Планирование объемов испытаний с учетом проводимых
доработок и ресурсно-временного запаса.......................................... 262
Глава 5. Исследование надежности изделий при постановке их
на производство и в процессе серийного изготовления.................... 269
5.1. Контрольные испытания изделий на этапе подготовки к
серийному производствв.................................................................. 269
5.2. Влияние производственных факторов на качество выпускае­
мой продукции...................................................................................... 270
5. 3 . Номенклатура показателей качества продукции . Влияние
показателей технологичности на надежность изделии.................. 271
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
277
5.4. Методы оценки качества промышленной продукции
5.5. Контроль качества и надежности изделия на этапах
проектирования, производства и эксплуатации.............................. 779
5.6. Контроль стабильности технологических процессов и оценка
их надежности.................................................................................... 284
5.7 . Исследование и оценивание стабильности технологических
процессов............................................................................................ 271
5.8 . Систематизация и анализ дефектов и неисправностей
изделий в процессе серийного производства. Оценка качества
продукции............................................................................................ 2766
5.7 . Контроль качества и планирование испытаний изделий
серийного и массового производства.............................................. 306
Глава 6. Исследование надежности изделий на этапе эксплуата­
ции ............................................................................................................ 308
6.1 .Исследование проблемы ремонтопригодности изделий
машиностроения................................................................................ 308
6 . 2 . Показатели ремонтопригодности изделий................................ 312
6.3 . Дополнительные показатели ремонтопригодности................ 317
6 .4 . Обеспечение требований ремонтопригодности изделий при
проектировании и изготовлении...................................................... 322
6.5 . Обеспечение требований ремонтопригодности изделий в
процессе эксплуатации . Система технического обслуживания и
ремонта................................................................................................ 366
6.6. Влияние организационных и технологических факторов
технического обслуживания и ремонта на значения показателей
ремонте пригодное™.......................................................................... 228
6.7 . Материальное обеспечение работ при техническом обслужи­
вании и ремонте по обеспечению работоспособности и ремонто­
пригодности изделий.......................................................................... 322
6.8. Цель и организация сбора информации о надежности и
ремонтопригодности изделий с ме^т эксплуатации...................... 337
6.7 . Анализ статистических данных и оценивание показателей
ремонтопригодности изделий по результатам эксплуатации........ 350
Глава 7. Оценка надежности................................................................ 559
7 .1. Требования к методам контроля................................................ 579
7.2 . Оценка показателей надежности на основе параметрических
методов................................................................................................ 300
7.3 . Свойства оценок.......................................................................... 661
8
■
ОГЛАВЛЕНИЕ
7.4. Теоретическое определение оценок параметров наиболее
применимых в теории надежности законов распределення.......... 362
7.5. Нахождение приближенных доверительных границ оценок
параметров распределенни................................................................ 373
7.3 . Статистическое нахождение оценок параметров наиболее
применимых в теории надежности законов распределения для
различных планов испытаний.......................................................... 374
7.7 . Точечная оценка надежности и доверительные пределы
функции надежности.......................................................................... 378
7.8 . Приближенная оценка надежности и приближенные довери­
тельные пределы функции надежности.......................................... 379
7.9. Приближенные оценки надежности и их доверительные
интервалы для некоторых законов расгцр^^^с^ел^т^ти........................ 381
7.10. Точные доверительные пределы для функции надежности в
случае экспоненциального распределения, распределения Вейбулла и гамма-pacпpeдeления.......................................................... 383
7.11. Оценивание показателей безотказности на основе пара­
метрических методов........................................................................ 390
7.16. Оценивание показателей безотказности на основе непара­
метрических методоа........................................................................ 398
7.13 .Оценивание показателей безотказности при испытаниях с
измерением определяющих параметров.......................................... 403
7.14 . Оценивание надежности изделия по результатам испытаний
элементов............................................................................................ 410
Глава 8. Установление законов распределения значений показа­
телей надежности по статистическим данным. Проверка соот­
ветствия законов и их параметров по критериям согласия.......... 414
8.1. Графическое представление вероятнос'гей.............................. 414
8.6. Методы построения статистической функции надежности,
гистограммы и вероятностной бумаги............................................ 413
8.3. Проверка допущений о законах распределения с помощью
критериев согласии............................................................................ 467
8.4 . Критерий W проверки допущений о виде распределения . . . . 468
8.5 . Критерий согласия хи-квадрат (% ).............................................. 433
8.3 . Критерий Колмогорова.............................................................. 439
8.7. Проверка однородности совокупности двух групп статисти­
ческих данных по критерию сравнения частот отказоЕ................ 444
8.8. Приближенный критерий значимости, основанный на
нормальном распpeдeленни.................................................................447
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
8.9. Проверка гипотезы о равенстве средних значений из двух
нормально распределенных совокупностей оцениваемых вели­
чин ..........................................................................................................451
8 .10 . Сравнение вероятностей отказов по критерию согласия %
(непараметрический случай)............................................................ 454
8.11. Критерий знаков.......................................................................... 457
8 .12 . Непараметрический критерий Уилкоксона.............................. 461
Глава 9. Математические модели изменения уровня надежности
технических систем.................................................................................. 467
9 .1. Процесс изменения надежности изделия на этапах его
жизненного цикла.............................................................................. 467
9.2. Виды моделей роста надежности. Непараметрическая
модель, основанная на биномиальном распределении.................. 471
9.3 . Триномиальная модель.............................................................. 473
9 .4 . Параметрические модели роста надежности.............................. 476
9.5 . Многопараметрическая статистическая модель изменения
уровня надежности............................................................................ 480
9.6 . Гиперболическая модель роста функции надежности и
другие виды зависимостти................................................................ 483
9.7 . Вероятностные модели, основанные на логических предпо­
сылках ....................................................................................................487
9.8 . Математическая модель изменения уровня надежности
изделий с учетом управляющих воздействий.................................. 489
9.9 . Методика оценивания управляющих воздействий.................... 502
9.10. Математическая модель изменения уровня надежности
изделий с учетом управляющих воздействий, выраженных в виде
вероятностей...................................................................................... 520
Глава 10 . Пути и методы повышения надежности сложных си­
стем при проектировании, серийном производстве и эксплуа­
тации ........................................................................................................ 532
10.1. Методы отработки конструкций изделий на технологич­
ность .................................................................................................... 532
10.2 . Количественные показатели технологичности конструкций 536
10.3 . Качественная оценка технологичное™.................................. 543
10.4. Влияние атмосферных и климатических условий на
надежность изделий.......................................................................... 546
10.5 . Повышение надежности деталей машин упрочняющей
поверхностной обработкой................................................................ 553
ОГЛАВЛЕНИЕ
10
10.6. Пути повышения надежности систем электроавтоматики
при проектировании.......................................................................... 554
10.7 .Пути повышения надежности систем электроавтоматики
при изготовлении.................................................................................. 568
10.8 .Пути повышения надежности систем электроавтоматики
при эксплуатации................................................................................. 569
Глава 11. Техническая диагностика.................................................. 572
11.1. Основные задачи технической диагностики.............................572
11. 2 . Структура технической диагностики........................................ 573
11. 3 . Постановка задач технической диагностики............................ 574
11. 4 . Прикладные вопросы технической диагностики.................. 577
Глава 12. Методы продления сроков эксплуатации дорого­
стоящих объектов.................................................................................. 586
12 .1 Расчетно-аналитический метод................................................ 586
12.2. Экспериментальный метод...................................................... 587
12.3. Вероятностный метод расчета работоспособности изделия в
течение продленного срока эксплуатации с учетом фактического
технического состояния элементной базы...................................... 591
12. 4 . Основные понятия и соотношения............................................ 592
12.5 . Показатель «средний остаточный ресурс» и его свойства . . . 593
12.6. Оценка остаточного ресурса сложных технических
устройств по данным эксплуатации................................................ 601
Приложение............................................................................................ 606
1. Значения нормальной функции распределения
1 г --г
Ф*(х) = =^= I е 2 dt
V271 J00
x = =t~MM) ° о х = Up = Uu=Uu........... 606
1
2
2 . Значения функции /(х) = -у=ехр(-х-/2).................................. 609
<2я:
Г
7
—7
3. Функция Лапласса Ф(х) = — i е ~Л...................................... 610
V2nf>
1
Г
4. Значения квантилей Стьюдента ф, удовлетворяющие равенст'₽
ву 2 j Sm (t)dt = р, в зависимости от р и т........................................ 6И
о
ОГЛАВЛЕНИЕ
11
5. 95-процентные доверительные интервалы при биномиальном
распределении.................................................................................... 613
6 . Квантили /--распределения
_________ 1_________
Xl-aO-') £ гд_,
616
е 21 2 dt = 1 - а
о
7 . Нижняя доверительная граница £ для вероятности безотказ­
ной работы при биномиальном плане испытаний и уровне дове­
рия q = 0,8..............................................................................................617
2<'-1>/2Г[(г-1)/2]
8. Квантили распределений статистик V4 и т/ при у = 0,9; 0,95;
0,99 для уровней 0,1 и 0,9.................................................................... 622
9. Значения K(q, у, N........................................................................ 625
10. Коэффициенты <„_,. ь используемые при проверке распреде­
ления на нормальность с помощью критерия W, для и = 3... 50 . .. 626
11. Процентили критерия W, используемого для проверки рас­
пределения на нормальность, для п = 3...50 .................................... 628
12. Постоянные у, г] и е, используемые для нахождения вероят­
ности получения вычисленного значения W при проверке рас­
пределения на нормальность............................................................ 629
13. Процентили для критерия WE0.................................................... 630
14. Процентили для критерия ЖЕ.................................................... 631
15. Критерий А. Н. Колмогорова. Значения теоретической функ­
ции А. Н. Колмогорова К(у)*.............................................................. 632
16. Критические значения максимального отклонения (<7_а) эмпи­
рической функции распределения от теоретической (случай ко­
нечных объемов выборки)..............................................................
633
17. Статистический критерий значимости P(h\, h-2) изменения ча­
стот (при значениях /и, < т т и т, < m2 вероятность
P(^!,^2)>0,16).................................................................................. 636
18. Границы критической области для критериев знаков (число к*
положительных и отрицательных разносттй)................................ 644
19. Критические значения F-распределения при а = 0,01;
а = 0,005 и различных от 1 и ш.......................................................... 645
20. Значения функции у = 2arcsinVx ................................................647
ОГЛАВЛЕНИЕ
12
Номограммы.................................................................................................... 648
Рис. 1. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной
работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г,
объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному
значению v..........................................................................................
Рис . 2 . Нижняя доверительная граница вероятности безотказной
работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г,
объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному
значению v..........................................................................................
Рис . 3 . Нижняя доверительная граница вероятности безотказной
работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г,
объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному
значению v..........................................................................................
Рис . 4 . Нижняя доверительная граница вероятности безотказной
работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г,
объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному
значению v..........................................................................................
Рис. 5. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной
работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г,
объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному
значению v..........................................................................................
Рис. 6. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной
работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г,
объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному
значению v..........................................................................................
Список литературы
648
649
650
651
652
653
654
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопросам надежности в технике уделяют большое внимание, так как
создаваемые изделия машиностроения, и особенно сложные, многофунк­
циональные, должны обладать высокой надежностью и безопасностью в
эксплуатации. Обеспечение надежности изделий машиностроения при их
создании, серийном производстве и эксплуатации - одна из важнейших
проблем в машиностроении.
Многие задачи обеспечения надежности сложных систем, такие как
выбор оптимальной конструкции, планирование объемов испытаний на
этапах экспериментальной отработки и серийного производства, модели­
рование процесса отработки, назначение рационального срока техниче­
ского обслуживания в процессе эксплуатации, определение оптимального
числа запасных частей и инструмента и другие проблемы, тесно связаны
с теорией вероятности и математической статистикой. Эта взаимосвязь
обусловлена необходимостью правильно проанализировать полученные
при исследованиях данные о надежности изделий на всех этапа их жиз­
ненного цикла и сделать объективные выводы на базе научных методов.
Также важен научный подход к вопросам контроля и управления каче­
ством и надежностью изделий машиностроения в процессе их серийного
производства, а также к методам достижения и обеспечения надежности
изделий на всех этапах их жизненного цикла.
Книга снабжена большим числом примеров, основанных на кон­
кретном практическом материале, взятом из отрасли машиностроения по
созданию сложных технических типа большегрузных подвижных устано­
вок. Однако, несмотря на специальный подбор примеров, приведенными
материалами могут воспользоваться и инженеры, работающие в других
отраслях техники.
Книга состоит из двенадцати глав и приложения. Каждая из глав по­
священа исследованию конкретного вопроса, связанного с методами
обеспечения и повышения надежности сложной технической системы.
Приложение представляет собой таблицы и номограммы, предназначен­
ные для практических расчетов надежности и определения объемов ис­
пытаний.
Первая глава посвящена методологическим и организационно-тех ­
ническим вопросам исследования надежности современной техники. Да­
ны основные понятия, определения и термины надежности. Описаны ме­
тодологические и математические методы исследования надежности
сложных систем на этапах разработки конструкторской документации,
испытаний опытных образцов, серийного производства и эксплуатации.
Приведены организационные методы обеспечения надежности техники.
14
ПРЕДИСЛОВИЕ
Во второй главе описан математический аппарат, используемый в
теории надежности, основанный на элементах теории вероятностей и
математической статистики.
В третьей главе рассмотрены вопросы надежности техники на ста­
дии проектирования, и даны методы выбора номенклатуры показателей
надежности, а также распределение норм надежности, определение видов
отказов и показатели надежности для восстанавливаемых и невосстанавливаемых элементов. Изложена методика проектного расчета надежности
различных видов соединения элементов в системе с учетом и без учета
восстановления резервных элементов. Даны расчеты электроавтоматики
и механических узлов по различным критериям, показано применение
методов подобия при проектировании. Изложены теоретические и прак­
тические вопросы выбора номенклатуры и расчета количественного со­
става запасных частей, принципы конструирования, обеспечивающие
создание надежных систем и методика расчета количественных показа­
телей надежности изделий на этапе проектирования.
Материалы четвертой главы помогут в исследованиях надежности
изделий на этапе их экспериментальной отработки, так как в главе опи­
саны цель, виды, организация и последовательность создания сложных
систем, приведена программа экспериментальной отработки. В этой же
главе даны виды испытаний опытных образцов и методы планирования
исследовательских и контрольных испытаний на основе фиксированного
объема и последовательного анализа для различных законов распределе­
ния наработки на отказ при одном и двух заданных уровнях показателя
надежности. Описаны исследования надежности изделий в утяжеленных
режимах испытаний, а также рассмотрены методы планирования объемов
испытаний с учетом проводимых доработок на основе ресурсно-времен­
ного запаса.
Пятая глава посвящена исследованию надежности изделий при по­
становке их на производство и в процессе серийного изготовления, а
также влиянию производственных факторов на качество выпускаемой
продукции. Дана номенклатура показателей качества продукции и влия­
ние показателей технологичности на надежность изделий и методы оцен­
ки качества промышленной продукции на этапах проектирования, произ­
водства и эксплуатации. Описаны методы контроля стабильности техно­
логических процессов и оценка их надежности. Приведены методы си­
стематизации дефектов и неисправностей в процессе серийного произ­
водства и методика оценки качества промышленной продукции.
В шестой главе исследуются вопросы надежности изделий на этапе
эксплуатации. Здесь рассмотрены проблемы ремонтопригодности изде­
лий машиностроения, даны количественные показатели ремонтопригод-
ПРЕДИСЛОВИЕ
15
ности и методы их оценки. Описаны методы обеспечения требований
ремонтопригодности изделий при проектировании, изготовлении и в
процессе эксплуатации. Дана система технического обслуживания и ре­
монта, показано влияние организационных и технологических факторов
на показатели ремонтопригодности, материального обеспечения работ
при техническом обслуживании и ремонте. Представлен метод анализа
статистических данных и оценка показателей ремонтопригодности.
В седьмой главе изложены методы оценки надежности как с учетом
параметрических данных, так и без их учета. Дано теоретическое и стати­
стическое определение точечных оценок параметров наиболее применя­
емых в теории надежности законов распределения. Показаны методы
нахождения приближенных доверительных границ оценок параметров
распределений для различных законов. Описаны также приближенные и
точечные методы оценки надежности и приближенные доверительные
пределы функции надежности для различных законов распределения.
Изложена оценка показателей безотказности на основе параметрических
и непараметрических методов. Рассмотрена оценка показателей безот­
казности при испытаниях с измерением определяющих параметров.
Дана методика оценки надежности изделия по результатам испытаний
элементов.
Материалы восьмой главы помогут установить законы распределе­
ния значений показателей надежности по результатам статистических
данных и проверить соответствие законов распределения и их парамет­
ров по критериям согласия. Определение вида закона распределения про­
водят построением статистической функции надежности, гистограммы и
вероятностной бумаги, проверку допущений о законах распределения
значений параметров изделий или технологических процессов - с помо­
щью различных критериев согласия, таких как критерии W, / (хиквадрат), Колмагорова, знаков, Вилкоксона и др.
Девятая глава посвящена исследованию математических моделей
изменения уровня надежности технических систем. Показан процесс из­
менения надежности изделия на этапах его жизненного цикла. Достаточ­
но подробно рассмотрены как непараметрические, так и параметрические
модели. Описаны вероятностные модели, основанные на логических
предпосылках. Особое место в этой главе занимают математические мо­
дели изменения уровня надежности изделий с учетом управляющих воз­
действий, выраженных в явном виде, для различных законов управления
и выходной характеристики. Дана методика оценки управляющих воз­
действий, описана также математическая модель изменения уровня
надежности изделий с учетом управляющих воздействий, выраженных в
виде вероятностей.
16
*
ПРЕДИСЛОВИЕ
В десятой главе рассмотрены пути и методы повышения надежности
сложных технических систем на современном уровне, даны методы по­
вышения надежности на каждом этапе жизненного цикла, показаны ме­
тоды отработки конструкций изделий на технологичность и даны количе­
ственные показатели технологичности изделий. Читатель найдет здесь
описание качественной оценки технологичности и влияния атмосферных
и климатических условий на надежность изделий. Указаны методы по­
вышения надежности деталей машин упрочняющей поверхностной обра­
боткой, а также пути повышения надежности системы электроавтоматики
при проектировании, изготовлении и эксплуатации.
В одиннадцатой главе рассмотрены вопросы технической диагно­
стики. В частности основные задачи технической диагностики, структура
технической диагностики и прикладные вопросы технической диаг­
ностики.
Двенадцатая глава посвящена методам продления сроков эксплуата­
ции дорогостоящих объектов. В частности рассмотрены расчетно-ана­
литический метод, экспериментальный и вероятностный метод расчета
работоспособности изделия в течение продленного срока эксплуатации.
Каждая глава книги сопровождается рядом примеров, взятых из
практики создания, серийного производства и эксплуатации изделия ма­
шиностроения. Книга рассчитана на инженеров, преподавателей вузов и
студентов, имеющих математическую подготовку в объеме обычного
курса высших технических учебных заведений.
О замеченных недостатках книги, а также о необходимости включе­
ния в нее тех или иных материалов просьба сообщать по адресу:
Волгоград, Волгоградский государственный технический универси­
тет, кафедра «Автоматизация производственных процессов».
Глава 1
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО­
ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
НАДЕЖНОСТИ СОВРЕМЕННОЙ ТЕХНИКИ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
Под техникой, в широком смысле слова, понимают все многообра­
зие создаваемых комплексов и изделий, таких как машины и механизмы,
системы и агрегаты, приборы и устройства, приспособления и детали, ап­
паратура и электрорадиоэлементы, предназначенные для осуществления
процессов производства и удовлетворения потребностей общества [20].
Таким образом, техника является средством удовлетворения потребно­
стей общества.
Под изделием обычно понимают предмет или набор предметов про­
изводства, подлежащих изготовлению на предприятии. Изделие может
состоять из одной детали или совокупности деталей, соединенных в сбо­
рочные единицы.
Машины, механизмы, агрегаты, приборы, устройства, аппаратуру,
приспособления можно рассматривать как разновидность изделий.
Комплекс представляет собой совокупность изделий, взаимодей­
ствующих совместно в процессе их применения по назначению. Напри­
мер, комплексом может быть совокупность изделий, предназначенных
для добычи нефти, угля, газа или совокупность специальных машин,
предназначенных для выполнения задач военного назначения.
В технике системой называют множество совместно действующих
элементов, образующих некоторую целостность, предназначенную для
выполнения определенных функций изделия, в теории управления совокупность взаимодействующих устройств управления и управляемого
объекта. Так, в состав изделий специального назначения, как правило,
входят системы связи, управления и энергоснабжения. Примерами более
широкого понимания термина являются системы: управления прокатным
станом, теле- и радиовещания, обслуживания и ремонта аппаратуры бы­
тового назначения.
Под элементом понимают часть системы, предназначенную для вы­
полнения определенных функций и рассматриваемую при проведении
анализа как единое целое.
18 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Итак, в технике в качестве основных можно принять следующие по­
нятия: элемент, система, изделие и комплекс, для которых и будут фор­
мулироваться определения и термины надежности, при этом для одно­
значности формулировок введем понятие «объект», обобщающее в себе
такие понятия, как элемент, система, изделие и комплекс.
Под надежностью, в узком смысле слова, понимают способность
объекта исправно работать в течение определенного отрезка времени в
заданных условиях эксплуатации. В нормативно-технической документа­
ции надежность — это «свойство объекта сохранять во времени в установ­
ленных пределах все параметры, обеспечивающие выполнение требуе­
мых функций в заданных условиях эксплуатации».
Недостаточная надежность объекта приводит к простою машин,
прекращению снабжения населения и промышленных предприятий
водой, газом, электроэнергией или транспортными средствами, иногда
является причиной аварий, связанных с большими материальными затра­
тами, разрушением крупных сооружений и с человеческими жертвами.
Надежность объекта — комплексное свойство, характеризуемое четырьмя
показателями: безотказностью, долговечностью, ремонтопригодностью и
сохраняемостью.
Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работо­
способное состояние в течение некоторого времени или некоторой нара­
ботки. Это одно из основных свойств, составляющих надежность. Оно
особенно важно для изделий, отказ в работе которых связан с опасностью
для жизни человека.
Вероятность безотказного срабатывания — вероятность того, что в
пределах заданной наработки отказ объекта не возникает. Аналогично
определяемые показатели можно применять и для режимов хранения и
транспортирования.
Вероятность восстановления работоспособного состояния - веро­
ятность того, что время восстановления работоспособности объекта не
превысит заданного.
Вероятность отказа - вероятность того, что в пределах заданной
наработки возникает хотя бы один отказ.
Внезапный отказ — отказ, вызванный скачкообразным изменением
значений одного или нескольких заданных параметров объекта.
Восстанавливаемый объект - объект, для которого проведение вос­
становления работоспособного состояния предусмотрено в нормативно­
технической документации.
Восстанавливаемый резерв - резерв, который содержит один или
несколько резервных элементов, работоспособность которых в случае их
отказа подлежит восстановлению при эксплуатации.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
19
Временное резервирование - резервирование с применением резерв­
ного времени.
Время восстановления работоспособного состояния — продолжи­
тельность восстановления работоспособного состояния объекта.
Гамма-процентная наработка до отказа - наработка, в течение ко­
торой отказ объекта не возникает с вероятностью у, выраженной в про­
центах.
Гамма-процентный ресурс - наработка, в течение которой объект не
достигает предельного состояния с заданной вероятностью у, выражен­
ной в процентах.
Гамма-процентный срок службы - календарная продолжительность
эксплуатации объекта, в течение которой он не достигает предельного
состояния с заданной вероятностью у, выраженной в процентах.
1'амма-процентный срок сохраняемости — срок сохраняемости,
достигаемый объектом с заданной вероятностью у, выраженный в про­
центах.
Готовность - свойство объекта выполнять заданные функции в
произвольный момент времени.
Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособное со­
стояние до наступления предельного состояния при установленной си­
стеме технического обслуживания и ремонта.
Единичный показатель надежности - показатель надежности, ха­
рактеризующий одно из свойств, составляющих надежность объекта.
Заданная наработка - значение наработки, фиксируемое в норма­
тивной документации на объект.
Интенсивность отказов - условная плотность вероятности отказа
невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого мо­
мента времени при условии, что до этого времени отказ не возник.
Исправное состояние (исправность) - состояние объекта, при кото­
ром он соответствует требованиям нормативно-технической и(или) кон­
структорской документации.
Комплексный показатель надежности - показатель надежности, ха­
рактеризующий несколько свойств, составляющих надежность объекта.
Конструкционный отказ — отказ, возникший в результате несовер­
шенства или нарушения установленных правил и(или) норм конструиро­
вания объекта.
Коэффициент готовности — вероятность того, что объект окажется
в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме
планируемых периодов, в течение которых применение объекта по
назначению не предусматривается.
20 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Коэффициент оперативной готовности - вероятность того, что
объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент
времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение
объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момен­
та, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.
Коэффициент технического использования - отношение математи­
ческого ожидания интервалов времени пребывания объекта в работоспо­
собном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математи­
ческих ожиданий интервалов времени пребывания объекта в работоспо­
собном состоянии, простоев, обусловленных техническим обслуживани­
ем, ремонтов за тот же период эксплуатации.
Кратность резерва - отношение числа резервных к числу основных
элементов объекта.
Критерий отказа - признак или совокупность признаков неработо­
способного состояния объекта, установленные в нормативно-техничес­
кой и(или) конструкторской документации.
Нагруженный резерв - резерв, который содержит один или несколь­
ко резервных элементов, находящихся в режиме основного элемента.
Назначенный ресурс - суммарная наработка объекта, при достиже­
нии которой применение по назначению должно быть прекращено.
Назначенный срок службы - календарная продолжительность экс­
плуатации объекта, при достижении которой применение по назначению
должно быть прекращено.
Наработка - продолжительность или объем работы объекта. Нара­
ботка может измеряться в единицах времени или объема выполненной
работы (длины, площади, массы и т.д.).
Наработка до отказа - наработка объекта от начала эксплуатации
до возникновения первого отказа. Рассматривается как для неремонтируемых, так и для ремонтируемых объектов.
Наработка между отказами - наработка объекта от окончания
восстановления его работоспособного состояния после отказа до возник­
новения следующего отказа. Относится только к восстанавливаемым
объектам.
Невосстанавливаемый объект - объект, для которого в рассматри­
ваемой ситуации проведение восстановления работоспособного состоя­
ния не предусмотрено в нормативно-технической и(или) конструктор­
ской документации.
Невосстанавливаемый резерв - резерв, который содержит один или
несколько резервных элементов, работоспособность которых в случае их
отказов восстановлению не подлежит.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
21
Независимый отказ - отказ объекта, не обусловленный отказом дру­
гого объекта.
Неисправное состояние - состояние объекта, при котором он не со­
ответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической
и(или) конструкторской документации.
Непогруженный резерв - резерв, который содержит один или не­
сколько резервных элементов, находящихся в ненагруженном режиме до
начала выполнения ими функций основного элемента.
Неработоспособное состояние — состояние объекта, при котором
значение хотя бы одного параметра не соответствует требованиям норма­
тивно-технической и(или) конструкторской документации.
Неустранимый отказ - отказ, причины возникновения которого не
могут быть устранены для объектов данного вида.
Ненормативное значение показателя надежности - значение пока­
зателя надежности, установленное в результате задания требований по
надежности или нормирования надежности и внесенное в нормативно­
техническую документацию.
Нормирование надежности - установление номенклатуры и коли­
чественных значений показателей надежности элементов структуры
объекта.
Облегченный резерв - резерв, который содержит один или несколько
резервных элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем
основной.
Обобщенный показатель надежности - показатель, характеризую­
щий надежность объекта в целом на всех периодах эксплуатации при
заданных способах и условиях его применения.
Общее резервирование - резервирование, при котором резервируе­
мым элементом является объект в целом.
Основной показатель надежности - показатель, характеризующий
надежность объекта на отдельном периоде его эксплуатации.
Отказ - событие, заключающееся в нарушении работоспособного
сос тояния объекта.
Оценка надежности — вычисление значений показателей надежно­
сти по результатам испытаний или эксплуатации.
Параметрический отказ - отказ, характеризующийся отклонением
значения хотя бы одного параметра объекта за пределы допуска.
Параметр потока отказов - отношение среднего числа отказов,
восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к зна­
чению этой наработки.
Подтверждение надежности - установление соответствия достиг­
ну того уровня надежности заданным требованиям.
22 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Показатель надежности - количественная характеристика одного
или нескольких свойств, составляющих надежность объекта..
Полный отказ - событие, в результате которого происходит полная
утрата работоспособности объекта.
Постепенный отказ - отказ, характеризующийся постепенным изме­
нением значений одного или нескольких заданных параметров объекта.
Предельное состояние — состояние объекта, при котором его даль­
нейшее применение по назначению недопустимо или нецелесообразно,
либо восстановление его исправного состояния невозможно или нецеле­
сообразно.
Предельный износ — значение износа, соответствующее предельному
состоянию.
Приработка (период приработки) - возможный начальный период
наработки объекта, в течение которого имеет место устойчивая тенден­
ция к уменьшению потока отказов (интенсивности отказов), обусловлен­
ная наличием и устранением скрытых дефектов.
Программа обеспечения надежности — документ, устанавливающий
комплекс взаимосвязанных организационно-технических требований и
мероприятий, подлежащих проведению на определенных стадиях жиз­
ненного цикла объектов (создание, серийное производство, эксплуата­
ция) и направленных на выполнение заданных в документации на изде­
лие требований по надежности.
Программа повышения надежности - документ, определяющий пе­
речень работ по повышению надежности изделий, находящихся в экс­
плуатации.
Программа экспериментальной отработки - документ, определя­
ющий цели, задачи, порядок проведения и необходимый объем испыта­
ний, а также регламентирующий порядок подтверждения основных экс­
плуатационных характеристик изделия.
Проектная оценка надежности - оценка надежности, проводимая
при проектировании с учетом результатов теоретических расчетов по
справочным данным, испытаний изделий-аналогов и прогнозирования
надежности.
Производственный отказ - отказ, возникающий в результате несо­
вершенства или нарушения установленного процесса изготовления или
ремонта объекта, выполнявшегося на ремонтном предприятии.
Работоспособное состояние - состояние объекта, при котором зна­
чения всех параметров, характеризующих способность выполнять задан­
ные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической
и(или) конструкторской документации.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
23
Раздельное резервирование - резервирование, при котором резерви­
руемыми являются отдельные элементы объекта или их группы.
Расчетно-экспериментальные методы оценки надежности - мето­
ды, основанные на вычислении показателей надежности по справочным
данным о надежности составных частей и комплектующих изделий, по
данным о надежности изделий-аналогов и другой информации, имею­
щейся к моменту оценки надежности.
Резервный элемент - элемент объекта, предназначенный для
выполнения функций основного элемента объекта в случае отказа
последнего.
Резервирование - применение дополнительных средств или возмож­
ностей с целью сохранения работоспособности объекта при отказе одно­
го или нескольких его элементов.
Ремонтопригодность - свойство объекта, заключающееся в приспо­
собленности к предупреждению, обнаружению причин возникновения
отказов, повреждений, а также поддержанию и восстановлению работо­
способного состояния с помощью технического обслуживания и ремон­
тов. Ремонтопригодность - одно из свойств, определяющих надежность.
Систематический отказ - многократно повторяющийся и однород­
ный по определенным признакам отказ, обусловленный дефектами кон­
струкции объекта, нарушением процесса его изготовления, низким каче­
ством используемого материала и т.д.
Скрытый отказ - отказ, обнаружение которого невозможно
без проведения специальных операций по контролю работоспособности
объекта.
Сохраняемость - свойство объекта сохранять значения показателей
безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после
хранения и(или) транспортирования. Сохраняемость - также одно из
свойств, определяющих надежность.
Среднее время восстановления, работоспособного состояния математическое ожидание времени восстановления работоспособного
состояния.
Средний ресурс - математическое ожидание ресурса.
Средний срок службы - математическое ожидание срока службы.
Срок службы измеряется в единицах времени.
Средний срок сохраняемости - математическое ожидание сохраняе­
мости.
Средняя наработка на отказ (наработка на отказ) - отношение
наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию
числа его отказов в течение этой наработки.
24 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Срок сохраняемости - календарная продолжительность хранения
и(или) транспортирования объекта, в течение, и после которых сохраня­
ются значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопри­
годности в установленных пределах.
Старение - постепенное необратимое изменение свойств объекта,
вызываемое химическими и(или) физическими процессами, самопроиз­
вольно протекающими в материалах.
Структурное резервирование — резервирование с применением ре­
зервных элементов структуры объекта.
Технический ресурс (ресурс) - наработка объекта от начала его экс­
плуатации или ее возобновление после ремонта до перехода в предельное
состояние.
Устранимый отказ - отказ, причины возникновения которого из­
вестны и могут быть полностью устранены, что исключает их возникно­
вение при дальнейшей эксплуатации объектов.
Устраняемый отказ - отказ, после возникновения которого работо­
способность объекта подлежит восстановлению.
Частота отказов - отношение числа отказов в данной серии опы­
тов к общему числу проведенных опытов этой серии.
Эксплуатационный отказ - отказ, возникший в результате наруше­
ния установленных правил и(или) условий эксплуатации объекта.
Явный отказ - отказ, появление которого сопровождается призна­
ками, непосредственно воспринимаемыми органами чувств наблюдателя
или средствами контроля, без проведения дополнительных операций по
контролю работоспособности объекта.
Для количественной характеристики надежности объекта применя­
ют следующие ее показатели:
- безотказность — вероятность безотказной работы; средние нара­
ботки до отказа, на отказ и между отказами; интенсивность отказов; па­
раметр потока отказов;
- долговечность - технический ресурс; срок службы; гамма-про­
центные ресурс и срок службы;
- ремонтопригодность и сохраняемость - время восстановления;
среднее время восстановления; назначенный срок хранения; средний и
гамма-процентный сроки сохраняемости;
- комплексные - коэффициент готовности; коэффициент техниче­
ского использования; коэффициент оперативной готовности.
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ
25
1.2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
НАДЕЖНОСТИ
Под методологией исследования надежности техники понимают
совокупность используемых методов, методику и общую схему проведе­
ния исследований.
При исследовании надежности техники проводят анализ проблем,
осуществляют постановку задачи, принимают решения и осуществляют
руководство их реализацией. Исследования проводят по этапам, причем
на отдельных этапах используют интуицию и опыт, а на других приме­
няют научные методы, т.е. используют теорию. В качестве основных ме­
тодов исследования чаще всего применяют математическое моделирова­
ние и экспериментирование на физической модели. В обоих методах
много общего, так как они связаны с обоснованиями требований по
надежности и программ обеспечения надежности, выбором системы об­
служивания при эксплуатации изделий, контролем показателей надежно­
сти по результатам испытаний и эксплуатации.
Методика исследования сводится к постановке задачи, описанию
цели, описанию и выбору стратегий и общим принципам исследования.
Постановка задачи является начальным этапом исследования, в ко­
тором формируют условия и результат решения задачи. В общем случае,
условия задачи и обоснования ее решения должны описывать множество
решений и правила обоснования этих решений, а результат должен со­
держать или одно предлагаемое решение, или несколько рекомендуемых
решений.
Перед началом описания цели решаемой задачи (обеспечение
надежности объекта) должно быть определено пространство цели, т.е.
множество всех возможных исходов реализации рассматриваемых реше­
ний!. Показатель надежности должен объективно отражать целесообраз­
ность принимаемых решений по достижению заданного уровня надежносш. Не всегда при постановке конкретной задачи удается удовлетворить
всем требованиям, предъявляемым к описанию цели и показателю
надежности.
Однако исследователь принимает какое-то одно решение - напри­
мер, удовлетворить требование к показателю надежности, которое позво­
лит1 объективно оценить целесообразность того или иного варианта со­
здаваемого изделия. Вместе с тем, при обосновании выбранных решений
задачи в условиях неопределенности, как правило, оценка показателя
надежности не единственна и, следовательно, недостаточна. Поэтому для
формализованного построения правила выбора решения, кроме показате­
ля надежности, необходимо указать критерий выбора.
I
26 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Рис. 1.1. Схема исследования надежности изделия
Применяют три способа выбора рационального решения - это спо­
собы пригодности, оптимизации и адапгивизации. Для реализации спосо­
ба пригодности достаточно качественных признаков изделия. При выбо­
ре решения способом оптимизации применяют различные принципы оп­
тимальности. Наиболее часто используют два принципа - Белмана и мак­
симума Понтрягина. Способ адаптивизации реже других применяют в
практике исследования систем из-за недостаточной его теоретической
проработки.
Основой для формирования возможных способов действия, т.е. ре­
шений или стратегий, является информация о располагаемых средствах.
Каждое решение сводится к указанию количества, места и времени рас­
ходования средств для достижения цели. Последовательность решений,
принимаемых для достижения поставленной цели, и знание информации
о результатах реализации предыдущих решений называют стратегией.
Поэтому понятно, что любое отдельное решение является частным слу­
чаем стратегии.
Таким образом общая схема исследования надежности изделия со­
стоит в постановке задачи, а также описаниях цели, стратегий и условий
выбора стратегий. Схема исследования приведена на рис. 1.1.
Основная задача исследования надежности создаваемого изделия
сводится к выбору стратегий создания и применения изделия, позволяю­
щих добиться наилучшего результата. Обычно применяемый критерий
обеспечивает минимум затрат или максимум надежности, что соответ­
ствует концепции оптимизации.
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В вопросах теории надежности математика занимает особое место.
Математические методы представляют исследователю обширный набор
аналитических результатов, вычислительных процедур и алгоритмов,
которые значительно ускоряют и облегчают решение задач. В общем
случае математические методы позволяют решать два класса задач - опи­
сательные и оптимизационные задачи. К описательным задачам можно
отнести задачи построения различных моделей функционирования тех­
нических систем, расчеты проектной надежности, задачи статистического
моделирования, построение кривых роста надежности и т.д.
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА ЭТАПЕ РАЗРАБОТКИ
27
Наиболее распространенными оптимизационными задачами в тео­
рии надежности являются распределение нормируемых показателей
надежности между составными частями изделия, выбор и расчет номен­
клатуры запасных частей, распределение ресурсов и т.д.
Широкое применение в теории надежности нашли основные методы
де терминированного анализа, а также современные разделы математики,
такие как теория множеств и математическая логика, которые входят в
математическую теорию надежности и являются средством описания
самых общих процессов.
Особое положение в современной теории надежности занимают за­
дачи оптимизации, связанные с выбором рациональных и наиболее эко­
номичных решений (например, выбор оптимального плана испытаний
опытных образцов или построение процедуры диагностики технического
состояния изделия).
Существенную роль в исследовании надежности играют методы
стохастического анализа, т.е. методы теории вероятностей и математиче­
ской статистики. Теория вероятностей служит основой для определения
основных понятий теории надежности. Такие фундаментальные понятия
теории вероятностей, как непрерывность и независимость, сходимость и
предельные распределения, закон больших чисел и центральная предель­
ная теорема являются основой для построения различных моделей иссле­
дования надежности.
Методы математической статистики нашли широкое применение в
теории массового обслуживания при статистической оценке надежности
по результатам массового обслуживания и по результатам испытаний и
эксплуатации, а также при планировании эксперимента и проверке стати­
стических гипотез.
1.4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА ЭТАПЕ
РАЗРАБОТКИ КОНСТРУКТОРСКОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ
Исследования надежности являются составной частью проектирова­
ния и имеют поисковый прогностический характер.
Основные задачи исследования надежности заключаются в установ­
лении и обосновании требований по надежности к изделию и его состав­
ным частям, в выборе принципиальных направлений и рациональных
стратегий проектного обеспечения надежности, в проработке вопросов
обеспечения надежности на последующих стадиях создания изделия.
Исследование надежности начинают с момента разработки техниче­
ского задания (ТЗ) на изделие и его составные части. Как правило, требо­
вания к надежности сложной технической системы (изделия) задают в ТЗ
28 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
головному разработчику системы в количественной форме в виде опре­
деленной номенклатуры и количественных значений показателей надеж­
ности изделия с указанием порядка и условий их подтверждения.
Требования к надежности составных частей изделия устанавливают
также в ТЗ на составные части в виде номенклатуры и количественных
значений показателей надежности.
При нормировании показателей надежности по составным частям
системы используют различные аналитические и статистические модели
и методы в зависимости от конструктивных особенностей системы и спо­
собов ее эксплуатации и применения. Наибольшее распространение по­
лучили следующие методы нормирования:
- равной надежности;
- учета сложности элементов и числа их предельных состояний;
- оптимального распределения требований по надежности с учетом
ограничений по массе, стоимости и другим характеристикам элементов;
- нормирования с учетом проверок и восстановления элементов
системы в процессе эксплуатации;
- нормирования с учетом и оптимизацией затрат на эксперимен­
тальную отработку элементов системы.
В общем случае задача нормирования надежности элементов сво­
дится к оптимизации целевой функции, которая, в свою очередь, является
функцией точечных значений оценок надежности элементов:
G = G(P,), / = 1JV,
(1.1)
где Р, - оценка надежности i-ro элемента; N- число элементов, входящих
в систему.
В качестве целевой функции можно выбрать минимальные стои­
мость или массу и т.п.:
G = C; С = С(РД / = ijV
(1.2)
G = М; М = М(Р) i = JV.
(1.3)
или
В процессе решения отыскивают вектор Р - (Р}, Р2, ■■ ■ ■ Рф), мини­
мизирующий С или М.
Часть нормирования проводят при условии выполнения не только
требований по надежности системы, но и требований по безопасности.
Тогда в качестве функции надежности используют функцию безопас­
ности.
С целью обеспечения заданных показателей надежности в каждой
отрасли промышленности разрабатывают ряд нормативных документов
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА ЭТАПЕ ИСПЫТАНИЙ
29
по вопросам обеспечения проектной надежности. Так, на стадиях эскиз­
ного и технического проектирования разрабатывают программу обеспе­
чения надежности, в которой предусматривают решение как техниче­
ских, так и организационных мероприятий, направленных на обеспечение
надежности изделий. Важными моментами являются обоснование про­
граммы обеспечения надежности (ПОН) изделия в целом и его составных
частей, а также выработка и согласование порядка подтверждения требо­
ваний надежности на всех стадиях создания изделия. После выбора ос­
новных схемно-конструкторских решений службой надежности предпри­
ятия совместно с подразделениями-разработчиками проводят анализ кон­
струкции изделия и осуществляют расчет проектной надежности изделия,
а по результатам расчета осуществляют корректировку конструкторской
документации с целью обеспечения заданных требований по надежности.
Требования по надежности, задаваемые в ТЗ на систему и ее элеменii.i, должны быть подтверждены к концу разработки проекта, перед нача­
лом серийного производства и эксплуатации. Это является непременным
условием дальнейшей успешной эксплуатации системы.
Следует подчеркнуть, что оценивать надежность системы и ее
составных частей необходимо на каждой стадии разработки системы.
11 олученные оценки являются прогностическими, так как система и ее
составные части на каждой стадии, как правило, конструктивно отлича­
ются от будущего изделия и имеют различный уровень отработанности.
Гем не менее, оценивание должны проводить на каждой стадии, так как
оно сохраняет информацию о надежности по результатам испытаний со­
ставных частей и системы и позволяет использовать ее при завершении
испытаний. Это существенно сокращает затраты на изготовление изде­
лий, время и средства на экспериментальную отработку изделия в целом.
1.5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА ЭТАПЕ
ИСПЫТАНИЙ ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ
Всякое испытание является объективной оценкой технического со­
стояния испытуемого образца. Проводимые испытания позволяют прове­
рить соответствие изготовленного образца требованиям технического
задания. По своему назначению испытания на данном этапе можно раз­
делить на экспериментальные исследования, экспериментальную отра­
ботку и завершающие испытания.
Экспериментальные исследования проводят с целью изучения
свойств и поведения вновь разрабатываемых комплектующих изделий,
материалов, покрытий, смазочных материалов в условиях эксплуатации,
а также влияние новых технологий на безотказность, долговечность и
30 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
сохраняемость материалов и изделий. К числу исследовательских испыта­
ний относят также испытания на воздействие критической температуры,
износостойкость, критические нагрузки, различные виды излучений и т.п.
Целью экспериментальной отработки является сравнительный ана­
лиз работоспособности изделий различных вариантов конструкции и вы­
бор наилучшего из них. Экспериментальную отработку проводят на объ­
ектах испытаний в условиях, приближенных к реальным условиям экс­
плуатации изделий. Получаемую по результатам испытаний информацию
используют для оценки технического состояния и показателей надежно­
сти. Экспериментальная отработка включает испытания: лабораторные,
стендовые, ресурсные, на длительное хранение и специальные.
Завершающие испытания (межведомственные, государственные)
проводят на образцах, изготовленных по документации главного кон­
структора, которая подготовлена к передаче в серийное производство.
Эти испытания дают наиболее полное представление о работоспособно­
сти и надежности работы составных частей и изделия в целом.
Экспериментальные исследования и испытания являются наиболее
трудоемкими и дорогостоящими и занимают большую часть программы
создания и обеспечения надежности техники.
По назначению, условиям эксплуатации и конструктивному испол­
нению изделия очень разнообразны. Их можно применять для работы под
землей, в морях и океанах, на поверхности земли, в воздушном и косми­
ческом пространстве. При этом на конструкции изделий и их элементов
действуют разнообразные нагрузки внешней среды: огромное давление
или глубокий вакуум, высокая или низкая температура, агрессивные сре­
ды или биовредители, различные излучения естественного или искус­
ственного происхождения, вибрации, тепловые, электрические и механи­
ческие нагрузки и т.п. Все перечисленные виды воздействий необходимо
воспроизвести в процессе экспериментальной отработки изделий, кото­
рые обычно проводят в определенных условиях ограничений в зависимо­
сти от возможностей воспроизведения различных воздействий и их соче­
таний.
Сложную систему представляют в виде многоуровневой структуры
и многоэтапного процесса отработки. На нижнем уровне структуры ис­
пытывают простейшие элементы, на последующих уровнях - составные
части изделий и само изделие.
Программа экспериментальной отработки сложной системы должна
предусматривать научно обоснованные методы испытаний как в нор­
мальных, так и утяжеленных режимах. В нормативной документации для
каждого вида техники устанавливают требования к программам испыта-
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ
31
ний, определяют последовательность испытаний - от простого к сложно­
му, число испытаний, число опытных образцов, режимы испытаний и т.д.
В процессе экспериментальной отработки постоянно проводят поиск
рациональных технических решений по обеспечению надежности, вносят
изменения в конструкцию. По результатам экспериментальной отработки
осуществляют предварительную оценку надежности изделия.
К числу методов исследования надежности на этапе испытаний
опытных образцов относится теория подобия, которая непосредственно
связана с моделированием, методологией постановки опытов в натурных
условиях и на моделях. Теория подобия также включает методику обра­
ботки полученных результатов и их распространение на другие объекты
исследования [30].
Таким образом, основными задачами применения методов подобия
для обеспечения надежности являются привлечение сведений об анало­
гах для оценки надежности вновь создаваемых сложных систем, плани­
рование экспериментальной отработки с учетом статистических данных
об аналогах; применение методов моделирования для обеспечения
надежности с учетом возможных отказов; контроль и оценка завершен­
ности испытаний по результатам сравнения испытаний с базовым про­
цессом отработки.
1.6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ
НА ЭТАПЕ СЕРИЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА
После завершения всех видов испытаний исследование надежности
сложных систем продолжают на этапе подготовки к серийному произ­
водству и в процессе серийного производства. Исследовательские работы
на данном этапе направлены на обеспечение полученных показателей
надежности в процессе экспериментальной отработки опытных образцов.
(' и ой целью проводят корректировку конструкторской и технологиче­
ской документации таким образом, чтобы не изменялись основные тех­
нические характеристики изделия, подтвержденные результатами испы­
таний опытных образцов.
Одним из важных моментов обеспечения надежности комплектую­
щих элементов в процессе серийного производства является научно
обоснованный подход к определению объемов входного контроля и раз­
работке методики его проведения.
Важное место в обеспечении надежности техники при серийном
производстве занимают статистические методы, исследования, исполь­
зуемые при оценке погрешностей изготовления, определяющих точность
и стабильность производства изделия. Стабильность технологического
32 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
процесса прослеживают с помощью контрольных карт, которые могут
быть составлены по двум признакам - качественному и количественно­
му. В карты по качественному признаку вносят число дефектных единиц
выпускаемой продукции или число дефектов, приходящееся на опреде­
ленное число единиц продукции. В карты по количественному признаку
вносят численные значения контролируемого параметра продукции.
Для изделий серийного и массового производства вводят стати­
стический приемочный контроль, который представляет собой выбороч­
ный контроль, основанный на применении методов математической ста­
тистики для проверки соответствия качества выпускаемой продукции.
При статистических методах исследования и контроля качества
промышленной продукции широко используют планы однократных, дву­
кратных и многократных выборок, а также планы последовательного
анализа. Для изделий мелкосерийного производства при оценке и кон­
троле их качества и надежности применяют комбинированные методы.
Так же, как и при экспериментальной отработке, в серийном произ­
водстве сложных изделий имеются ограничения на объемы испытаний, в
связи с чем ставят задачу проведения ускоренных испытаний. Важным
моментом является определение продолжительности ускоренных испы­
таний и разработка методики пересчета результатов ускоренных испыта­
ний к нормальным условиям. Одним из основных параметров пересчета
являются показатели надежности. Ускоренные испытания проводят
методом доламывания или ступенчатых нагружений, а также исполь­
зуют тог или иной принцип расходования ресурса или известные методы
решения проблемы переменного режима. Для пересчета результатов
ускоренных испытаний к нормальным условиям могут быть использова­
ны принципы: физический в теории надежности Седякина, линейного
накопления повреждений и др. На основании указанных принципов вы­
бирают тот или иной метод доламывания и ступенчатых нагружений, и
соответственно, те или иные модели отказов.
Результаты ускоренных испытаний используют для получения как
точечных, так и интервальных оценок показателей надежности. При раз­
работке математической модели ускоренных испытаний ставят задачу
выбрать режимы испытаний, определить число образцов и длительность
проведения испытаний таким образом, чтобы подтвердить требуемые
показатели надежности с заданной достоверностью.
Значительное место в исследовании надежности изделий на стадии
серийного производства занимают методы неразрушающего контроля,
физическую основу которых составляют исследования физических ха­
рактеристик элементов конструкции изделия и обнаружение несовершен­
ства структуры материала. Эти методы базируются на результатах физи-
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ
33
чсских, физико-химических, электрофизических и других процессов,
приводящих к выходу из строя изделий.
Наибольшее распространение получили методы неразрушающего
контроля качества продукции, основанные на использовании электромаг­
нитных излучений различной длины волн, на явлениях искажения маг­
нитного поля ферромагнитного образца при наличии в нем дефектов, на
свойстве нагретого тела излучать энергию в определенном инфракрасном
диапазоне электромагнитных колебаний.
Широко используют акустические методы неразрушающего кон­
троля, основанные на использовании явлений, связанных с периодиче­
скими изменениями плотности среды и дифракции света при распростра­
нении в среде ультразвуковых колебаний.
Для контроля качества изделий могут быть применены методы тео­
рии случайных процессов, информативных параметров и теории стати­
стической классификации.
1.7. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ
НА ЭТАПЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Проблема исследования надежности техники в процессе эксплуата­
ции связана с контролем и поддержанием технического состояния на
уровне, достаточном для выполнения заданных функций. Целью иссле­
дования является обеспечение эффективности функционирования или
применения эксплуатируемой системы по назначению в установленные
сроки, поддержание некоторого гарантированного числа изделий в си­
стеме в состоянии готовности, обеспечение безопасности выполнения
работ, продление сроков эксплуатации системы с обеспечением надежнос I и на заданном уровне.
Таким образом, система эксплуатации представляет собой сложную
организационно-техническую задачу, которая требует самостоятельного
исследования.
Одним из важнейших вопросов эксплуатации техники является оп­
тимальное техническое обслуживание изделия, которое проводят в соот­
ветствии с эксплуатационной документацией, содержащей теоретические
и практические обоснования видов, периодичности и объемов техниче­
ских обслуживаний. Вместе с тем, ставится задача проведения исследо­
вательских работ по оценке фактического технического состояния издеи и я и назначения по этому состоянию соответствующего технического
обслуживания или ремонта. Такую стратегию управления системой
называют эксплуатацией системы по состоянию.
34 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Техническое обслуживание предусматривает проведение профилак­
тического обслуживания либо текущего ремонта изделия.
Эксплуатационные свойства сложной системы определяются ее без­
отказностью, долговечностью, ремонтопригодностью, сохраняемостью и
приспособленностью к техническому обслуживанию в условиях эксплуа­
тации. Задача оптимизации эксплуатации системы рассматривает широ­
кий круг вопросов, связанных с выбором основных технических и экс­
плуатационных характеристик, обоснованием уровня контролепригодно­
сти и ремонтопригодности, выбором рациональной периодичности про­
верок, технического обслуживания и ремонта с обоснованием числа за­
пасных частей, инструмента и принадлежностей (ЗИП) и использованием
различных видов резервирования.
Решение задач контроля технического состояния и надежности всей
совокупности изделий, находящихся в эксплуатации, позволяет оцени­
вать эффективность принятого в эксплуатационной документации поряд­
ка технического обслуживания, восстановления и ремонта техники, свое­
временного выявления ненадежных элементов системы и принятия ре­
шения по повышению ее надежности.
Контроль, диагностика и поиск неисправностей позволяют выявить
и устранить отказы и неисправности на каждом конкретном изделии и
практически реализовать стратегию эксплуатации техники по состоянию.
В задачах эксплуатации и ремонта широко используют методы ста­
тистической оценки показателей надежности, методы проверки статисти­
ческих гипотез. В целях повышения эффективности обслуживания при­
меняют модели управляемых процессов восстановления и оптимизации
эксплуатации элементов систем по ресурсу. Используют ряд моделей,
учитывающих влияние обслуживания на надежность сложных систем.
При построении этих моделей учитывают свойства и характеристи­
ки восстанавливаемости сложных систем, возможности обеспечения
надежности при длительной эксплуатации путем предварительной заме­
ны элементов. Используют также модели эксплуатации с различными
видами резервирования и применяют разнообразные модели оценки чис­
ла запасных элементов с учетом периодичности их пополнения.
Организационно-методические вопросы ремонта включают опреде­
ление показателей ремонтопригодности систем, выбор методов их стати­
стического оценивания, обоснование и планирование ремонта систем.
Важным вопросом в исследовании надежности систем при эксплуа­
тации является техническая диагностика, которая направлена на преду­
преждение и выявление неисправностей. Задача диагностирования за­
ключается в определении технического состояния системы. Для сложных
технических систем все более возрастает необходимость решения задач
технической диагностики на этапах проектирования, производства и экс­
плуатации.
<>l'l Al 1ИЗЛЦИ0ННЫЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ 35
В условиях эксплуатации большое значение имеют внешние воздейстующие факторы. Всякая система предназначена для эксплуатации в
определенных условиях окружающей среды. На систему воздействуют
шкие внешние факторы, как температура, влажность, давление, осадки в
виде дождя и снега, биологические вредители, режимы работы и др.
II зависимости от условий эксплуатации изменяются количественные
инщения показателей надежности. В связи с этим при конструировании
Панических систем одним из важнейших моментов является прогнози­
рование условий их эксплуатации с целью максимально возможной за­
щиты системы от неблагоприятно воздействующих факторов. Точное
шлпие условий эксплуатации позволяет учесть основные воздействую­
щие факторы при разработке программы испытаний системы или отдель­
ных се узлов и блоков. Однако моделирование условий эксплуатации в
ионном объеме не всегда возможно. Поэтому при разработке программы
шпытаний с помощью исследования необходимо выбрать такие воздей< I ния, которые оказывают наибольшее влияние на надежность, учитывая
при этом наличие стендового оборудования.
Таким образом, как разработчику, так и эксплуатационнику системы
важно знать и характеристики условий эксплуатации, и вызываемые эти­
ми условиями последствия, сказывающиеся на надежности [14].
1.8. ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ
К организационным методам обеспечения надежности сложных
гсхнических систем следует отнести обеспечения: собственно организа­
ционное, программное, техническое, информационное и нормативное.
• in методы применяют на уровне предприятия, отрасли и межотрасле­
вом уровне.
Организационное обеспечение предусматривает общий порядок со­
щипни и применения техники на всех стадиях жизненного цикла.
При создании достаточно простой техники массового производства
вопросы качества и надежности решают на этапе разработки. Серийные
изделия изготовляет аттестованный инженерно-технический и рабочий
персонал по отработанной конструкторской и технологической докуменHnmii. На предприятиях в организационном плане действует система
управления качеством продукции. Эта система предусматривает жесткую
регламентацию технологических процессов и контрольных операций, а
глюке контроль стабильности характеристик качества продукции, уста­
новленных стандартами отрасли или межотраслевыми стандартами.
II пой системе накапливают оперативную информацию обо всех видах
разладки производства, об отказах, браке продукции и мероприятиях по
их устранению, но такую систему управления качеством нельзя исполь-
36 Глава I. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Л
зовать при изготовлении уникальных изделий единичного и мелкосерий­
ного производства, которые отличаются новизной и сложностью.
При создании и производстве сложной техники более приемлемы
нормативные документы, разработанные на межотраслевом и отраслевом
уровнях, так как в создании и производстве подобной техники участвуют
многие предприятия страны. В этих документах предусматривают:
- порядок планирования, координации и контроля за выполнением
проектно-конструкторской разработки и экспериментальной отработки,
изготовлением и эксплуатацией технической системы и ее составных
частей;
- порядок проведения межведомственных и государственных ис­
пытаний;
- метод взаимного обмена информацией о срывах сроков проведе­
ния работ, об отказах и других отклонениях от нормального хода процес­
са создания системы и ее составных частей;
- порядок принятия решений в процессе ее создания и использо­
вания;
- порядок обеспечения и контроля за качеством продукции при
разработке, отработке, производстве и эксплуатации.
Организационная структура обеспечения надежности и качества вы­
пускаемой продукции на уровне отрасли может быть представлена схема­
тически (рис. 1.2). Суть этой структуры заключается в практической реали­
зации мероприятий по достижению и обеспечению качества и надежности
сложной технической системы на всех стадиях ее жизненного цикла.
Работы по созданию сложной технической системы проводят по
единому плану, который регламентирует порядок, затраты, сроки и явля­
ется обязательным для предприятий, участвующих в ее создании. План
работ согласовывают на отраслевом и утверждают на межотраслевом
уровнях. В плане определены исполнители, номенклатура, сроки и объем
работ в натуральном и стоимостном выражениях по составным частям
системы.
В целях повышения оперативности управления установлен порядок
взаимного обмена информацией между предприятиями и организациями
промышленности об отказах и надежности изделий в процессе их созда­
ния, производства и эксплуатации.
Организационным документом по обеспечению качества и надежно­
сти изделий являются программы обеспечения надежности (ПОН), кото­
рые разрабатывают на этапе проектирования (ПОНпр) и производства
(ПОНп). При длительном серийном производстве и многолетней эксплу­
атации системы дополнительно может быть разработана программа под­
держания и повышения надежности (ППН).
38 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Программа обеспечения надежности является основой получения
наилучших результатов в обеспечении надежности при создании слож­
ных технических систем. Целенаправленные программы на этапах разра­
ботки, производства и эксплуатации позволяют своевременно разрабо­
тать необходимые мероприятия по повышению и поддержанию надежно­
сти изделий на заданном уровне. Научно-техническую основу единого
плана создания системы и ее изделий составляют программы обеспече­
ния надежности: ПОНпр, ПОНп, ППН, а также программа эксперимен­
тальной отработки (ПЭО). На некоторых предприятиях разрабатывают
программы обеспечения качества или программы обеспечения качества и
надежности. Эти программы по содержанию аналогичны ПОН. Главным
требованием к содержанию программ является наиболее полное решение
проблем надежности и безопасности техники.
Об эффективности программы или отдельных мероприятий ПОН
можно судить по техническим или экономическим показателям. Техниче­
ские показатели позволяют оценить, насколько уменьшится вероятность
или интенсивность возникновения отказов после реализации мероприя­
тий ПОН; экономические показатели - насколько уменьшатся суммар­
ные затраты на обеспечение надежности изделий.
В общем виде ПОН по структуре состоит из четырех разделов.
В раздел 1 «Общие положения» включены основные сведения по
назначению и структуре системы (изделий), эксплуатационно­
технические характеристики, номенклатура и количественные показатели
надежности, условия эксплуатации системы (изделия), совокупность
внешних воздействующих факторов, перечень научно-технических про­
блем надежности, которые должны быть решены при создании системы.
В разделе 2 «Работы и мероприятия по обеспечению надежности»
приведен перечень работ и мероприятий по обеспечению надежности по
этапам жизненного цикла системы и исполнителей работ, даны ссылки на
нормативно-технические и методические документы, приведены отчет­
ные документы. Этот раздел оформляют в виде таблицы.
Раздел 3 «Методическое обеспечение» содержит полный перечень
руководящих, нормативно-технических и методических документов, ко­
торыми необходимо руководствоваться при выполнении работ, преду­
смотренных в разделе 2.
Раздел 4 «Порядок контроля выполнения и корректировки ПОН»
содержит сроки рассмотрения хода выполнения ПОН и возможные сроки
ее корректировки, порядок рассмотрения и согласования отчетных доку­
ментов и принятия решений.
(ill ЛИ I ВЛЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ 39
I код техническими средствами обеспечения надежности понимают
•нсмснтную базу, экспериментальные и производственные возможности,
i помощью которых можно добиться высокой надежности техники.
Уровень надежности техники зависит от качества материалов, полу­
фабрикатов, комплектующих элементов, а также изделий общепромыш­
ленного назначения, используемых в технических системах. Чем сложнее
гогдаваемые системы, тем больше проблем с обеспечением надежности.
< ущественное влияние на обеспечение надежности техники оказывает авн>магнзация производственных процессов, например введение автоматишрованных линий, станков с программным управлением и т.д.
I ice технические средства обеспечения надежности могут быть услов­
но разделены на три класса: средства предупреждения отказов, средства
io ни роля и средства защиты.
К числу технических средств, предупреждающих отказы и отклоне­
нии производственного характера, можно отнести автоматизированное
|схнологическое оборудование, средства контроля и управления технолоi ичсскимн процессами; технические средства входного контроля и диагно< i нкн качества материалов, полуфабрикатов и комплектующих изделий.
К техническим средствам предупреждения отказов в эксплуатации
Н1делия относятся автоматизированные средства контроля диагностики и
поиска неисправностей, стенды, макеты, тренажеры для обеспечения
по плуагнрующего персонала и технические средства для проведения
pci ламентных работ.
Техническим средством контроля и выявления отказов в процессе
создания изделия является экспериментальная база, способная произвеiiu проверку работоспособности изделия во всех режимах функционироаиния.
Техническими средствами контроля качества и надежности изделия
к процессе производства является различное стендовое оборудование,
позволяющее вести входной контроль, проверку режимов функциониро­
вания и контроль качества сборки. К техническим средствам контроля в
жсплуатации относятся автоматизированные средства регистрации н
обработки информации о результатах функционирования изделий об
ткачах н неисправностях, автоматизированные средства поиска неис­
правностей.
11 рн разработке сложных систем большое внимание уделяют спосо­
бам технических средств защиты от последствий отказов как при созда­
нии, гак н в процессе производства н эксплуатации изделий. Так, напри­
мер при создании изделия применяют технические средства оперативно|о контроля н управления функционированием при возникновении ава­
рийных ситуаций.
40 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
В процессе производства для предотвращения отказов используют
средства контроля и диагностики, а также блокировки для исключения
нарушения технологического процесса.
В процессе эксплуатации для исключения аварийных ситуаций
предусматривают средства пожаробезопасности и пожаротушения, бло­
кировки, исключающие выполнение неправильных команд и т.п.
Нормативное обеспечение занимает важное место в создании тех­
нических систем. В каждой отрасли промышленности сложился опреде­
ленный порядок ведения разработок и производства техники, определен­
ные требования к документации. Так как в создании сложных систем
участвует большое число предприятий и организаций, то появляется
необходимость взаимодействия между ними на всех стадиях жизненного
цикла технических систем с использованием единых нормативно-техни­
ческих и методических документов по обеспечению надежности.
Разработку нормативно-технических документов по надежности и
качеству техники осуществляют на уровне предприятия, межотраслевом
и отраслевом уровнях. С целью внедрения межотраслевой и отраслевой
нормативно-технической документации на промышленных предприятиях
на их основе разрабатывают собственные документы - стандарты пред­
приятия (СТП).
Разрабатываемые на предприятии нормативно-технические доку­
менты (НТД) определяют обеспечение требуемого уровня надежности,
оценку достигнутого уровня надежности, методическое и нормативное
обеспечение работ по качеству и надежности техники.
На межотраслевом уровне НТД по качеству и надежности включают
следующие основные направления:
- общие научно-методические основы управления качеством и
надежностью;
- термины и определения;
- органы и службы качества и надежности;
- нормирование требований к качеству и надежности;
- оценку качества и надежности;
- обеспечение качества и надежности при разработке и постановке
новой продукции на производство, а также в процессе производства и
эксплуатации.
На отраслевом уровне НТД по качеству и надежности включают:
- организационно-технические документы о взаимодействии пред­
приятий и организаций по вопросу обеспечения качества и надежности
техники на различных стадиях жизненного цикла и о порядке обмена
информацией и форме документов-носителей о надежности;
( ТРУКТУРНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И ИХ ЗАДАЧИ
41
методические документы, регламентирующие порядок, форму
шипя и нормирование требований к количественным показателям
надежности; требования к структуре и содержанию ПОН, ПЭО, ППН;
меюды оценки и контроля количественных показателей надежности;
фсбования к качеству материалов, полуфабрикатов и комплектующих
• цементов.
Информационное обеспечение представляет собой совокупность
всех видов информации о качестве и надежности техники, а также мето­
ны и средства сбора, накопления, обработки, анализа и передачи этой
информации. С усложнением техники необходимость в полноте инфор­
мации увеличивается. На всех этапах жизненного цикла информация
должна позволять оценивать качество и надежность техники.
В состав информационного обеспечения входят все виды информа­
ции. необходимые для исследования качества и надежности на всех эта­
пах жизненного цикла, методы получения каждого вида информации, а
hi иже сбора, обработки и передачи информации.
Информация о качестве и надежности может быть представлена в
виде: номенклатуры показателей надежности, фактических значений по­
ивши елей надежности, исходной информации для оценки показателей
надежности и информации о планируемых мероприятиях по обеспече­
нию надежности. Источниками и потребителями информации являются
opi виизации, предприятия, отдельные подразделения, должностные лица
и исполнители, использующие ее для решения задач обеспечения надеж­
ное I и.
Носителями информации - отдельные карточки учета неисправноeicii н наработок, журналы испытаний, отчеты, рекламационные акты,
сообщения, акты исследования, магнитные ленты и диски. В качестве
н'хннческих средств сбора, обработки и передачи информации исполь|ую1 ЭВМ, счетно-аналитические машины, специализированные инфор­
мационные системы, дистанционные устройства приема и передачи ин­
формации.
hi
1.9. СТРУКТУРНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
И ИХ ЗАДАЧИ
Обеспечение заданного уровня надежности изделий возможно при
совместной целенаправленной и скоординированной работе всех пред­
приятий и организаций промышленности. Научно-методическое руководeiiio по исследованию и обеспечению качества и надежности изделий в
42 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
р
министерстве возлагают на научно-исследовательские институты, из
числа которых один является головной организацией по надежности в
целом, а ряд других - головными организациями по надежности отдель­
ных видов изделий. На рисунке 1.3 приведена типовая структура служб
надежности отрасли промышленности [20].
Рис. 1.3. Типовая структура служб надежности
отрасли промышленности:
сплошные линии - каналы управления;
пунктирные - информационные потоки
( ГРУКТУРНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И ИХ ЗАДАЧИ
43
Многолетняя практика создания, производства и эксплуатации
г ножных технических систем специального назначения (например,
подвижных ракетных комплексов «Луна», «Точка», «Пионер», «Тополь»
и ip ) подтвердила целесообразность и необходимость типовой структу­
ры служб надежности как на уровне отрасли, так и на уровне предприяiiiii Служба надежности представляет собой не только подразделение
mill ни шрующее качество и надежность выпускаемой продукции, но и
mimic гея координирующим органом управления по обеспечению каче< iiiiM и надежностью изделий, она непосредственно участвует в разраПпке мероприятий, направленных на повышение качества выпускаемой
продукции. Тесная взаимосвязь службы надежности с другими структур­
ными подразделениями позволяет оперативно вмешиваться в процесс
СО1ДППИ», производства и эксплуатации техники с целью повышения и
пПслвечепия ее качества и надежности.
Головной научно-исследовательский институт (НИИ) и Головные
ипг hi гуты отраслей разрабатывают научно-методические документы по
uCici печению надежности комплексов, НИИ - документы по обеспече­
нию надежности систем; головные предприятия-разработчики - методичс( кие документы по обеспечению надежности изделий, входящих в соi irni комплекса или системы. Типовые структуры служб надежности го'юпного института и головного предприятия-разработчика (рис. 1.4) одиииконы и представляют собой отдел надежности, который подчиняется
нгрпому заместителю директора или директору института (предприятия).
Рис. 1.4. Типовая структура служб надежности головного института:
сплошные линии - каналы управления;
пунктирные - информационные потоки
44 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Для руководства, методического обеспечения и координации работ
по обеспечению надежности изделий во всех инс титутах и предприятиях
действуют самостоятельные специализированные подразделения, обычно
это отделы надежности.
Задачами отдела надежности являются:
- участие в работах проектных подразделений по выбору опти­
мальных вариантов изделий;
- участие в анализе и согласовании ТЗ на разработку изделий в ча­
сти требований к количественным показателям надежности;
- разработка требований к надежности изделий в технических
предложениях, эскизных и технических проектах;
- разработка и согласование руководящих и нормативно-техничес­
ких документов, методик, программ ПОН, ПЭО, ППН, справочных посо­
бий по вопросам обеспечения и контроля качества и надежности разраба­
тываемых изделий, контроль за их внедрением в практику работы пред­
приятия;
- проведение совместно с подразделениями предприятия работ по
анализу причин отказов и неисправностей разрабатываемых и эксплуати­
руемых изделий и обобщение информации, разработка мероприятий по
их устранению;
- составление отчетов о техническом состоянии и надежности из­
делий по результатам испытаний и эксплуатации, сравнение полученных
оценок с требованиями ТЗ; разработка на основе проведенных оценок
совместно с подразделениями предприятия мероприятий и предложений
по повышению качества и надежности изделий;
- анализ результатов выполнения программ ПОН, ПЭО, ППН, уча­
стие в днях качества предприятия;
- анализ результатов серийного производства и эксплуатации из­
делий, разработка и согласование ППН;
- обобщение информации о неисправностях и отказах в процессе
производства и эксплуатации изделий, составление отчетов о техниче­
ском состоянии и надежности.
На предприятиях-изготовителях опытной и серийной продукции
службу надежности представляет отдел надежности, который по своей
структурной принадлежности может быть в подчинении главного инже­
нера, заместителя директора предприятия по качеству или входить в со­
став отдела главного конструктора предприятия. Наилучшим вариантом
принадлежности является непосредственная подчиненность отдела
надежности главному инженеру, что дает больше возможностей отделу
надежности реализовать намеченные мероприятия и программу обеспе­
чения надежности на стадии серийного производства. Типовая структура
службы надежности на предприятии-изготовителе приведена на рис. 1.5.
( ТРУКТУРНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И ИХ ЗАДАЧИ
45
Рис. 1.5. Типовая структура службы надежности
на предприятии-изготовителе:
сплошные линии - каналы управления;
пунктирные - информационные потоки
Задачами подразделения надежности на предприятии-изготовителе
ддляются:
разработка и внедрение руководящей и нормативно-технической
документации по вопросам обеспечения качества и надежности изготов­
ит мых изделий;
сбор, анализ и обобщение статистических данных о качестве и
нлдежности изготовляемых и находящихся в эксплуатации изделий; осунит тление обмена информацией о надежности изделий согласно устаноллеиному в отрасли порядку;
оценка эффективности проведенных мероприятий по повыше­
нию качества и надежности изделий, разработка рекомендаций совместно
i другими подразделениями предприятия по устранению неисправностей
п отказов, выявленных в процессе изготовления и эксплуатации;
проведение по методикам головного разработчика оценки техни­
ческого состояния и надежности изделий по результатам эксплуатации с
представлением отчета головному разработчику изделия не реже одного
раза в год;
систематическое проведение по методикам предприятия-разраПичнка оценки, контроля и анализа стабильности основных параметров
серийных изделий, специально оговоренных в технических условиях;
46 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
- участие в организации работ по оценке, контролю и анализу
отработанности и стабильности технологических процессов;
- участие в организации и проведении авторского надзора за изго­
товлением изделий, а также в комиссии по исследованию рекламаций,
поступающих с мест эксплуатации;
- участие совместно с другими подразделениями предприятия в
разработке и выполнении программы обеспечения качества и надежности
изделий;
- составление и доведение до разработчиков изделий перечней де­
фектов;
- участие в постоянно действующей комиссии по качеству (ПДКК)
и подготовка предложений для ПДКК в части обеспечения качества и
надежности изделий.
Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
2.1. ПОНЯТИЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ
1(ель приведения обзора основных сведений из теории вероятностей
и мт ематической статистики - дать математический аппарат, необходиmi.iII при исследовании моделей отказов и их применения к задачам оцен|'П надежности. В обзор включены только самые основные понятия тео­
рии вероятностей и математической статистики, имеющие непосредI I псиное отношение к теории надежности (более подробное изложение
h'upiiii смотри в работах [5, 9, 26, 32, 43]).
Исходным материалом для построения теории вероятности служат
in I оюрые экспериментальные факты, на основе которых формулируют
...... не гс снующие абстрактные понятия.
Под опытом понимают наблюдение какого-либо явления при выiiuiiiieiiiiii некоторого комплекса условий. Наблюдение того же явления
при трутом комплексе условий будет уже другим опытом. Результаты
ины in можно охарактеризовать качественно и количественно.
Качественная характеристика опыта состоит в регистрации како||| ппбудь факта или события. При этом говорят, что событие появилось
iniii не появилось в результате опыта. Таким образом, событие представiiii'i собой всякий факт результата опыта, и оно является случайным.
Лрушмп словами, случайным событием называют такое событие, которпг может произойти или не произойти в результате опыта.
Количественная характеристика опыта состоит в определении
iiiiinciiiiii некоторых случайных величин, полученных в результате опыта.
I иными случайными величинами могут быть результаты измерений некоinpoio параметра, время безотказной работы изделия, число попаданий
при пыстрелах и т.п.
11опятие случайного события в концепции аксиоматической теории,
предложенной Колмогоровым, строится на базе понятия элементарного
■ iiin.i Iня. Суть этой теории состоит в следующем.
48
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Пусть имеется некоторое множество W элементов и рассматривается
система F подмножеств множества W, которая обладает тремя следую­
щими свойствами.
1. Система F в качестве элемента содержит все множество W.
2. Если Ли М - подмножества множества IV и входят в систему F в
качестве ее элементов, то F содержит также множества L + М, LxM, L и
М ; здесь L и М - множества тех элементов множества W, которые не
входят в подмножества ЬнМ, г.е. дополняют L и М до множества W.
Поскольку система F содержит в качестве элемента множество W, то
в соответствии с п. 2 в F обязательно должно содержаться также IV , т.е.
множество без элементов, или пустое множество. Отсюда следует, что
второе требование влечет за собой принадлежность к F сумм и произве­
дений любого конечного числа множеств, принадлежащих F.
Проиллюстрируем такое понятие на следующем примере. Пусть т длительность жизни некоторого изделия в заданных условиях эксплуата­
ции. За исходное множество IV примем все неотрицательные числа, г.е.
все мыслимые сроки жизни изделия. Элементарное событие т = Z означа­
ет, что изделие отработало время t и отказало.
Предположим теперь, что всякое множество типа т > t входит в си­
стему F. Случайное событие т > t означает, что изделие проработает без­
отказно в течении времени t. При t — 0 получаем все множество W. Таким
образом, первое требование относительно системы F выполнено. Однако
в системе F содержится больше элементов, чем было указано. Действи­
тельно, в силу второго требования, наряду с множествами т > а и т > Ь
(а< Ь), система F содержит также множества т <а, х<Ьиа<1<Ь.
В некоторых случаях требуется следить сразу за несколькими пара­
метрами (например, при плавке стали необходимо обеспечить заданное
процентное содержание никеля, хрома, марганца, причем содержание
каждого из элементов находится в определенных пределах). Поэтому
двух выше указанных требований множества F оказывается недостаточ­
ным и вводят третье дополнительное требование.
3. Если подмножества L\, L2, L3, ... множества IV являются элемента­
ми системы F, то их сумма
L, и произведение ]""[ L, также являются
/
/
элементами F.
Множество F, удовлетворяющее требованиям 1-3, называют полем
событий или ст-алгеброй.
В теории вероятностей принята специфическая терминология и обо­
значения. События обычно обозначают начальными большими латин-
ПОНЯТИЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ
i ними буквами алфавита, например А, В или С, случайные величины
. ....... iiiiimii латинскими буквами из конца алфавита, например X, Yили 7..
49
-
< каждой случайной величиной можно связать различные события.
> hi дна случайных события А и В не имеют в своем составе одних и тех
и.1 нумеитов, то их называют несовместными событиями. События А и
I
I называют противоположными. События W и IV - соответственно
.... нтвс/нымi и невозможным событиями.
Объединением, или суммой, двух событий А и В является сложное
i iHii.ii не, состоящее в появлении хотя бы одного из событий - А или В.
i Юнедшение событий А и В обозначают через сумму: А + В или с ис­
.... . юнаиием знака U: /ИМ . На рисунке 2.1 показано объединение
|н\ ■. событ ий для случая, когда событие А представляет собой попадание
i тучпйной 'точки в область, обозначенную буквой А, а событие В - попа­
сшие случайной точки в область, обозначенную буквой В. Событие
I i II в этом случае, представляет собой попадание точки в область, граiiiiiiH которой обведена сплошной линией.
I In этом же рисунке показан случай, когда области событий А и В
..... . общую часть (пересечение), т.е. когда события А и В совместны.
I In рисунке 2.2 показаны суммы двух несовместных событий, когда
I 'I I пн I и А и В не пересекаются, т.е. когда события А и В несовместны.
Рис. 2.1. Сумма двух совместных событий
Рис. 2.2. Сумма двух несовместных событий
50
р
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Пересечением или произведением, двух событий А и В называют их
совместное появление. Пересечение событий обозначают как произведе­
ние АВ или с помощью знака П: А П В . На рисунке 2.1 дано пересечение
двух событий А и В- заштрихованная общая часть областей Ан В.
Приведенные определения объединения и пересечения легко рас­
пространяются на любое число событий.
Объединением или суммой нескольких несовместных событий назы­
вают появление хотя бы одного из этих событий
Z4 = 4+Л+-+Л- .
/
Пересечением, или произведением, нескольких событий называют
совместное появление всех этих событий
П Л =ЛЙ2---Й,... •
/
Операции объединения и пересечения обладают рядом свойств, ана­
логичных свойствам сложения и умножения чисел:
- коммутативностью:
А + В = В + А; АВ=В1А:
- ассоциативностью:
(А + В) + С = А + (5 + 0 = А + В + С;
(ЛВ)С=Л(ВС)=,ВС?;
- дистрибутивностью:
(А + В)С = АС + ВС.
Все эти свойства непосредственно следуют из определений объеди­
нения и пересечения событий. Так, например, (2 + В'С представляет со­
бой совместное появление события С с событием А, или с событием В,
или одновременно с А и В. Событие АС + ВС тоже состоит в появлении
или С вместе с А, или С вместе с В, или С вместе с АВ. При изучении
действий над событиями вводят понятие противоположных событий.
Событием, противоположным событию А, называют непоявление
события А и обозначают А . Примерами противоположных событий мо­
гут служить попадание и промах при выстреле, отказ изделия за задан­
ный период времени и его исправная работа за тот же период времени.
Легко видеть, что событием А противоположным событию А , явля­
ется само событие: А = А .
ЧАСТОТА СОБЫТИЯ. СВОЙСТВА ЧАСТОТ
51
Противоположные события несовместны. Объединение противопоЦ| иных событий представляет собой достоверное событие: А + А = IV , а
их произведение - пустое множество: AA = W . Очевидно, что
A + W = A; AW = W\ A + W = W\ AW = A.
2.2. ЧАСТОТА СОБЫТИЯ. СВОЙСТВА ЧАСТОТ.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
< > частоте события можно судить по тому, как часто оно появляется
при повторении одного и того же опыта. Если при повторении опыта од­
ни собы тие появляется чаще чем другое, то говорят, что первое событие
in рои Iнее второго.
Частотой события называют отношение числа опытов, в котором
niHiiiiijiocb данное событие, к общему числу проведенных опытов.
I цким образом, если при п опытах событие А появилось т раз, то
I о час то га Р в данной серии опытов равна
Р’(й) = -.
п
(2.1)
Н некоторых случаях частоту события приходится определять при
IIIIHHIIIIIтельном условии, что произошло некоторое другое событие.
II ii*l*i.i определить частоту события А при условии, что произошло собы* ■■> В, необходимо учитывать не все проведенные опыты, а только те из
ни ■. и которых произошло событие В.
Гпким образом, если из п проведенных опытов событие В появилось
и т опытах, причем в к опытах из т появилось и событие А, то частота
| опы I ня А при условии, что произошло событие В, равна
Р*(А/В)=-т
(2.2)
Час тоту события А, вычисленную при условии появления события В
и I i pini т опытов, называют условной частотой события А относительно
> iiiH.iiiiM В.
( обытие называют невозможным, если оно не может произойти в
pr lyuuaie данного опыта, и обозначают W .
( обытие называют достоверным, если оно обязательно происходит
и рп lyai.iare данного опыта, и обозначают W.
( обытия А\, й2, ..., А„ называют несовместными в данном опыте, есIII в результате опыта никакие два из этих событий не могут появиться
52
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
вместе (например, попадание и промах при одном выстреле, выпадение
одного, четырех и шести очков при одном бросании игральной кости).
Основные свойства частот событий:
- частота любого события представляет собой неотрицательное
число А < 1, причем частота невозможного события IV = 0, а частота
достоверного события W = 1;
- частота появления одного из несовместных событий, безразлич­
но какого именно, равна сумме их частот;
- частота совместного появления двух событий А и В равна частоте
одного из них, умноженного на условную частоту другого; для доказатель­
ства достаточно заметить, что если при п опытах событие А появилось
т раз, а событие В появилось к раз, причем / раз вместе с событием А,
а к-l- без А, то частота совместного появления А и В равна Ни, частота А
равна mln, а условная частота В относительно А равна Нт.
Частоту события часто называют статистической вероятностью.
При неограниченном увеличении числа опытов частота события проявля­
ет тенденцию стабилизироваться около некоторого характерного для
данного события значения. Устойчивость частот событий дает основание
считать, что с каждым событием связано некоторое число - вероятность
этого события, около которого стремится стабилизироваться его частота.
Так, например, частота появления герба при бросании монеты, очевидно,
должна стабилизироваться около 1/2. Следовательно, вероятность появ­
ления герба равна 1/2. Вероятность события А обозначают Р(А), но мож­
но обозначить просто через Р.
Понятие вероятности события А является первичным в теории веро­
ятностей, и оно представляет собой результат абстракции, необходимой
для построения любой теории. Если опыт сводится к схеме случаев, то
вероятность события А в данном опыте можно оценить по относительной
доле благоприятных случаев.
Вероятность события вычисляют как отношение числа благоприят­
ных случаев к общему числу случаев
п
(2.3)
где т - число случаев, благоприятных событию А; п - общее число слу­
чаев в данном опыте.
Так, например, при бросании шестигранной игральной кости имеет­
ся шесть равновозможных исходов появления любой цифры от 1 до 6.
Иными словами, т = 1, п = 6. Тогда вероятность появления любой цифры
при одном бросании игральной кости равна: Р(Л) = 1/6.
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
53
Аналогично при одном бросании монеты имеется два равновозможисхода появление герба и появление цифры. Следовательно, верон ниц 11. каждого исхода одинакова и равна: Р(А) = 1/2.
iii I г
При мер 2.1. В урне 12 шаров одного диаметра - 4 белых и 8 чер­
ни . Шары тщательно перемешивают, затем из урны вынимают один
нищ I laii ги вероятность появления белого шара.
Решение. В этом опыте нет оснований предполагать, что вероят­
ен и. появления белого шара будет изменяться от опыта к опыту, поэто­
во in н.п сводится к схеме случаев и вероятность появления белого шара
|Ц' в г равна
Пример 2.2. В урне 12 шаров - 5 белых и 7 черных. Один шар вы­
ну in и положили в сторону. Он оказался черным. Найти вероятность тоIII. нт I i горой вынутый шар окажется черным.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что первый вынутый шар
'и piH.iil, а событие В - в том, что второй вынутый шар тоже черный. Учин. шал условие появления события А и то, что после этого события в урне
... ни loci. 11 шаров, т.е. 11 возможных случаев, из которых 6 благоприят| гауки событию В, приходим к выводу
P(t^/A) = — ■
11
Пример 2.3. В урне 6 шаров - 4 белых и 2 черных. Один шар из урi вынули он оказался белым, - после чего шар вновь положили в урну
и in г шары тщательно перемешали. Найти вероятность того, что во вто­
рил рп i вновь будет вынут белый шар.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что первый вынутый шар
iir lihili. и событие В - в том, что второй вынутый шар тоже белый. Так как
Bin но всех вынутых шаров осталось тем же, т.е. равно шести, а число
i i ivniicB, благоприятных событию В, осталось равным четырем, то,
\ i 1О1111ПЯ вероятность события В равна
iii
Р(5/Я) = Р(В) = —
6
2.3. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
11 ерей дем к понятию вероятности, исходя из понятия частоты собыши и будем считать, что вероятности должны обладать всеми свойства-
54
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ми частот. Понятие вероятности случайного события основывается на
следующих аксиомах.
Аксиома 1. Каждому случайному событию А из поля F поставлено в
соответствие некоторое неотрицательное число Р(А), называемое его ве­
роятностью.
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1
Р(ИД = 1.
Аксиома 3. Если событие А и В несовместны, то вероятность суммы
двух несовместных событий равна сумме их вероятностей
Р(Я + Р) = Р(Л) + Р(5).
(2.4)
Последнюю аксиому называют аксиомой сложения вероятностей.
Приведенные три аксиомы позволяют получить ряд важных выво­
дов относительно вероятностей случайных событий. Вероятность невоз­
можного события равна нулю p(l-l'’)= 0. Для любого случайного события
вероятность заключена в интервале 0 < Р(А )< 1.
Противоположными событиями называют два несовместных собы­
тия, образующих полную группу.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
Р(Л) + Р(Й)=1.
(2.5)
Известно, что случайное событие А влечет за собой событие В, если
множество В содержит в себе все элементы, составляющие множество А.
Если событие А влечет за собой событие В, то Р(А) < Р(В). Для совмест­
ных событий А и В справедлива теорема сложения вероятностей
Р(Л + 5) = Р(Я) + Р(5) - Р(АВ).
(2.6)
Методом полной индукции можно получить общую формулу для
вероятности любого числа совместных событий
(2.7)
Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сум­
ме вероятностей этих событий
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
( п
\
П
ptA> =ХРМ\< м
7
<=|
\ '< •и/иной вероятностью Р(А/В) события А относительно события В
н I nv'ine. когда Р(В) # 0, называют отношение вероятности пересечения
I uOi.iinII А и 13 к вероятности события В
Р(А/В) =
Р(В)
(2.9)
При гаком определении условной вероятности теорему умножения
ow ihri ктисимых событий можно записать следующим образом
Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В).
(2.10)
I пким образом, вероятность совместного появления двух событий
рипнп вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность
lp\ I III о
Вероятность совместного появления любого числа событий равна
ttijimi I пости одного из них, умноженной на условную вероятность друго...... nioci пелы-ю первого , на условную вероятность третьего относитель­
на пересечения двух первых и т.д., на условную вероятность последнего
||||Н1ги njii.iio пересечения всех предыдущих
/ ‘(Л, А2.. .А„) = Р(А,) P(A2/A,) Р(А3/А1А2).. ,Р(А„/А ,А2...а!„).
(2.11)
Формулу (2.11) называют теоремой умножения для любого числа
hitiih иных событий.
Пример 2.4. В урне 15 шаров - 10 белых и 5 черных. Из урны выiiiiMiiioT 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение. Введем события: А - первый вынутый шар белый, В - втори|| вынутый шар тоже белый. Тогда
10
Р(А) = — ;
15
9
Р(5/Л) = —
14
11о формуле (2.10) определим
10 9
3
Р(ЛВ) = Р(А)Р(В/А) = — — = —
15 14 7
Пример 2.5. В урне 20 шаров - 5 белых, 12 черных и 3 красных.
Hull in вероятность того, что среди вынутых из урны пяти шаров первым
и , in i белый шар, вторым - черный, а остальные шары - красные.
I
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
56
Решение. Введем события:
- первый шар белый, Аг - второй шар
черный, Ат, - As - третий - пятый шары красные.
Т 01 да
?(Я|) = —; /’(Л/Л) = —; Р(А3/А.А2) = —;
1
20
19
18
По формуле (2.11) находим
/’(,4|Й2 Й3И4 Л5)
5 12 А 2. ±
1
20 19 18 17 16 ~ 5168
2.4. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
Два события называют независимыми событиями, если появление
одного из них не изменяет вероятности появления другого. Два события
называют зависимыми событиями, если появление одного из них изме­
няет вероятность появления другого.
Для независимых событий А и В можно записать:
Р(А/В) = Р(А), Р(В/А) = Р(В).
(2.12)
События Л,, Ат, ...,А„ называют независимыми, если каждое из них
не зависит от любого из остальных и от всех возможных их пересечений.
Для зависимых событий А и В справедливы неравенства:
P(AIB)* Р(А), Р(В/
Р(В~).
(2.13)
Очевидно, что два несовместных события А и В всегда зависимы,
так как появление одного из них исключает появление другого, вслед­
ствие чего
F(J/5) = Р(В/А) = 0.
Если события Я|, Лг, ...,Л„ независимы, то вероятность произведения
нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий.
Это определение носит название теоремы умножения для независимых
событий и записывается математически так:
Р(А ,А2.. .А„) = Р(А{)Р(Ат). ,.Р{А„)
или
(2.14)
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
57
Пример 2.6. В урне 10 шаров - 6 белых и 4 черных. Из урны выни­
мают один шар, отмечают его цвет и возвращают в урну. После этого
шары тщательно перемешивают и из урны вынимают второй шар. Найти
вероятность того, что оба раза появится черный шар.
Решение. Поскольку шар возвращается в урну после вынимания, по­
этому события А и В независимы и вероятность их появления равна про­
изведению вероятностей:
Р(АВ) = /’(й)/’(5) = — ■ — = 0,16.
10 10
Пример 2.7. В урне 16 шаров - 5 белых, 7 черных и 4 красных.
Из урны 4 раза вынимают по одному шару, каждый раз возвращая шар
обратно в урну. Найти вероятность того, что первый шар будет белым,
второй черным, а третий и четвертый красными.
Решение. В этом случае происходят следующие события: А\ - пер­
вым вынут белый шар, второй черный шар, А2 - вторым вынут черный
шар, А? и Ад - третий и четвертый шары красные. Так как все события
независимые, то можно записать
5 7 4 4
35
Р{А,
л) = Р(А,
-,)Р(Ад)
V ' А,2 А,А
3 47
V 17)Р(А?)Р(А
V 27 437
V 47 = --------------------[6 [6 ]6 --------4QQ6
2.5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения и теоремы
умножения вероятностей - является формула полной вероятности.
Предположим, что с этим опытом связана полная группа несовместных
событий Н\, Н?,.., Н„, вероятности которых PfH) (i = 1, 2, ..., п) извест­
ны. Назовем эти события гипотезами. Нас интересует событие А, для ко­
торого известны условные вероятности Р(А1Нф.
Поскольку события Н\, Н?, ..., Н,, образуют полную группу, то их
объединение есть достоверное событие. Событие А может появляться
только вместе с каким-нибудь событием Я*. Таким образом, событие А
есть объединение событий Н\, Н?,..., Н„. Так как события Н\, Н?,..., Н„ по
условию несовместны, то события АН\, АН?,..., АН„ также несовместны и
можно применить теорему сложения
I
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
58
Ф^ФФ
V
(2.16)
/=i
Применяя к событию AH, теорему умножения, получим
Ф) = Y рнНрА/Н,).
(2.17)
/=|
Формула (2.17) носит название (формулы полной вероятности и чи­
тается так: вероятность события А равна сумме произведений вероятно­
стей каждой гипотезы Н\, Hi,.., Нп на условные вероятности события А
при этой гипотезе.
Пример 2.8. По движущемуся танку производят три выстрела из ар­
тиллерийского орудия. Вероятность попадания при первом выстреле рав­
на 0,4; при втором - 0,5; при третьем - 0,6. Для вывода танка из строя
заведомо достаточно трех попаданий. При одном попадании танк выхо­
дит из строя с вероятностью 0,4; при двух попаданиях - с вероятностью
0,8. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов танк выйдет
из строя.
Решение. Рассмотрим четыре гипотезы: Но - в танк не попало ни од­
ного снаряда; Н\ - в танк попал один снаряд; Hi - в танк попали два сна­
ряда; Нз - в танк попали три снаряда.
Используя теоремы сложения и умножения, найдем вероятности
этих гипотез:
Р(//о) =0,6 ■ 0,5 ■ 0,4 = 0,12;
р(н) = Р(Н2) = 0,4 • 0,5 • 0,4 + 0,6 ■ 0,5 ■ 0,4 + 0,6 • 0,5 • 0,6 = 0,38;
/'(//,) =0,4 ■ 0,5 ■ 0,6 = 0,12.
Условные вероятности события А (выход из строя танка) при этих
гипотезах равны:
Р(А/Н0)=0;
Р^А/Н^О,-
Р(а/Н2)=0$; ф//73) = 10.
Применяя формулу полной вероятности, получим
Р(а) = Р. )р(А/Н0)+ Р(Н, )p(A/Ht)+ Р(Н )Р(А/Н2 )+ Р(н3 )р(а/Н2) =
= 0,12 • 0 + 0,38 ■ 0,4 + 0,38 ■ 0,8 + 0,12 • 1,0 = 0,576.
Пример 2.9. Пусть некоторые детали (например, диоды) поставляют
три завода, причем вероятность того, что изделие изготовлено на первом
ФОРМУЛА БЕЙЕСА
59
заводе, равна 1/4, на втором - 3/10 и на третьем - 2/5. Вероятности того,
что диод будет работоспособен в течение некоторого заданного времени,
для первого, второго и третьего заводов соответственно равны 0,9; 0,8;
0,7. Найти вероятность того, что наудачу взятый диод будет работо­
способен.
Решение. Используя формулу полной вероятности, можно записать:
Ф)) =1/4;
Р(яф = 3/10;
Д^) = 2/5;
Рф/Я2)=0,8;
Р(Л/Я3)=О,7;
Рф/Яф 0,9;
ф) = /ф )рф/н) + р(Я2 )^ф/я^) + р(я3 У^ф/я3) =
= -• 0,9 + — - 0,8 + -• 0,7 = 0,745.
4
10
5
2.6. ФОРМУЛА БЕЙЕСА
На практике часто необходимо найти полную группу несовместных
событий Я,, Я2)..., Я„, вероятности Р(/1) которых известны. Пусть собы­
тие А может по-прежнему произойти только одновременно с одним из
несовместных событий Я„ для которого известна условная вероятность
Р(а/ Я,), / = I, п. Допустим, что произведен опыт, в результате которого
появилось событие А. На основании этого опыта требуется сделать выво­
ды относительно событий Я|, Я2, •■•) Я,,, т.е. определить, как изменились
их вероятности после произведенного опыта. Иначе говоря, нужно найти
условные вероятности событий Яь Я2, •••, Я„ относительно события А.
На основании теоремы умножения вероятностей для зависимых со­
бытий можно записать
ран,) = р(а)р(н,/а) = р(я, )р(а/я ).
Отсюда следует, что
P{HJA)= р(н,
(2.18)
р(а)
Подставляя сюда выражение вероятности события А из формулы
полной вероятности (2.17), получим
р(Л/л=
Р(Н,)Р(А/Н,)
)р(а/н,)
/=1
(2.19)
60
р
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Формулу (2.19) называют формулой Бейеса.
Вероятности Р(Щ интересующих нас событий Н\, Н2,..., Н„ до опы­
та обычно называют априорными, т.е. в данном случае вероятности собы­
тий до того, как был проведен опыт. Вероятности Р(НфА) тех же событий
после опыта называют апостериорными. По формуле Бейеса на практике
часто оценивают надежность изделий с использованием расчетных и экс­
периментальных данных.
2.7. ЧАСТНАЯ ТЕОРЕМА О ПОВТОРЕНИИ ОПЫТОВ.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
В практике применения теории вероятностей часто приходится ре­
шать задачи, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты по­
вторяют многократно.
Опыты называют независимыми, если вероятность интересующего
нас события А в каждом опыте не зависит от результатов других опытов.
В результате каждого опыта может появиться или не появиться некото­
рое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного
опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов.
Например, проводят группу выстрелов по одной и той же цели, но нас
интересует не результат каждого отдельного выстрела, а общее число
попаданий.
Предположим, что проводят п независимых опытов, в каждом из ко­
торых вероятность события А равна Р. Требуется найти вероятность P,, „
появления события А ровно т раз.
Для того чтобы при п опытах событие А появилось т раз, необходи­
мо и достаточно появление одной из последовательностей событий
Bt. В2, ..., В„, в которых т из событий В\, В2, .., В„ совпадают с событи­
ем А, а (я - т) - с противоположным событием А. Очевидно, что число
таких последовательностей равно числу сочетаний из п по т, т.е.
т!(п-от)!
В силу независимости опытов вероятность каждой такой последова­
тельности по теореме умножения для независимых событий равна
рт _п-т
• Ч
’
где q = 1 - Р.
Наконец, в силу несовместности всех возможных последовательно­
стей искомую вероятность определяют по формуле
ЧАСТНАЯ ТЕОРЕМА О ПОВТОРЕНИИ ОПЫТОВ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
61
(2.20)
где т = 0, 1,2,п.
Формула (2.20) носит название формулы Бернулли.
Пример 2.10. Известно, что вероятность Р безотказной работы из­
делия в каждом испытании равна 0,8. Проводят (н= 10) п испытаний.
Найти вероятность того, что из 10 испытаний т испытаний будут успеш­
ными (при т = 2).
Решение. Для нахождения вероятности воспользуемся формулой
Бернулли
0,28 =0,00073.
Во многих задачах на практике приходится определять вероятность
того, что интересующее нас событие А появится при п опытах не менее
к раз. Очевидно, что появление события А не менее к раз представляет
собой объединение п-(к + 1) несовместных событий: появление собы­
тия А ровно к раз, к + 1 раз, ..., и в конечном счете, - ровно п раз. Следо­
вательно, искомая вероятность /?*.,, того, что при п опытах событие А по­
явится не меньше чем к раз, равна
п
Rk,n = Rk.n + Rk + \,n + ••• + Rn,n =
т=к
’
(2.21)
Часто приходится вычислять вероятность того, что интересующее
нас событие появится хотя бы один раз, т.е. не меньше чем один раз.
В этом случае формула запишется так
R\,n = 1 ~Ro.„ = I
(2.22)
где <?, = 1 - Д, <72 = 1- />2, ..., <?„ = 1 - Р„.
В частности, при постоянных условиях опыта, когда q} =
= q„ = q, формула имеет вид
Я|,„=1-<7".
= ... (2.23)
Вероятность того, что при п независимых опытах событие А не по­
явится ни разу, равна произведению вероятностей непоявления А в пер­
вом, втором, и ..., /7-м опытах, т.е. произведению q\qiq„.
62
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Пример 2.11. Устройство состоит из трех приборов, каждый из ко­
торых, независимо от других, может в течение времени / отказать. Веро­
ятности безотказной работы приборов соответственно равны: Pt(t) = 0,8;
P2(t) = 0,9; Л(/) = 0,95. Найти вероятность того, что не откажет хотя бы
один прибор.
Решение. Для вычисления вероятности воспользуемся форму­
лой (2.22):
<71(/)=1-/>1(г) = 0,2; 92(/)=1-Р2(/)=0,1; <?,(/)= 1 - Р3(/)= 0,05;
/?,„ = !-<?, (t)q2 (t )<?3(/) = 1 - 0,2 ■ 0,1 • 0,05 = 0,999.
2.8. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И
ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Известно, что при изготовлении изделий из одних и тех же материа­
лов в одних и тех же условиях, как правило, имеются некоторые разбро­
сы параметров в их поле допуска. Такие разбросы соответственно влияют
на длительность безотказной работы, время восстановления, технический
ресурс и т.д. Как было показано ранее с каждой случайной величиной
можно связать некоторое событие и попадание этой величины в различ­
ные множества. Вместе с гем для изучения случайных величин необхо­
димо знать вероятности некоторого множества таких событий, связанных
с данным опытом. Отсюда приходим к следующему определению слу­
чайной величины.
Случайной величиной называют такую величину, которая в результа­
те опыта принимает то или иное значение, неизвестно заранее какое, и с
которой связано некоторое поле событий.
Соответствие между множествами значений случайной величины X
и вероятностями попадания величины X в эти множества называют зако­
ном распределения случайной величины.
В дальнейшем будем рассматривать лишь распределение действи­
тельных случайных величин.
Некоторые случайные величины имеют только конечное множество
возможных значений (например, число появлений или частота события
при п опытах). Другие имеют счетное множество возможных значений
(например, число событий, происходящих в данном интервале времени).
Третьи имеют несчетное множество возможных значений (например,
время безотказной работы изделия). Отсюда можно выделить два класса
случайных величин - класс дискретных величин и класс непрерывных
величин.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
63
Дискретной случайной величиной называют случайную величину,
которая принимает конечное и счетное множество возможных значений.
Распределение дискретной случайной величины полностью определяется
вероятностями всех ее возможных значений и представляет собой
ряд распределений или закон распределения, который записывают в виде
таблицы.
Ряд распределений
X
X1
*2
Xi
р
Р\
Р1
Pi
х/}
Рп
Таким образом, если X - случайная величина с возможными значе­
ниями хь х2,..., х„, то ее распределение определяется формулой
Д=/>(А- = Х/), , = ]7й.
(2.24)
Сумма всех этих вероятностей равна 1
(2-25)
/=1
В качестве примера дискретного распределения случайной величи­
ны можно рассматривать формулу Бернулли (2.20).
Непрерывной случайной величиной называют такую случайную
величину, вероятность попадания которой в любую бесконечно малую
область бесконечно мала. Отсюда следует, что вероятность попадания
непрерывной случайной величины в любую точку пространства равна
нулю.
Если множество возможных значений несчетно, то приписать каж­
дому возможному значению определенную вероятность нельзя. Ставится
задача - найти такой способ, который мог бы быть применим во всех
случаях. Одним из самых распространенных методов такого рода являет­
ся использование понятия функции распределения. Функцией распреде­
ления случайной величины X называют вероятность того, что X примет
значение, меньше чем х:
F(X)=P(X <х).
(2.26)
Здесь х может принимать любое действительное значение. Функция
распределения является универсальной характеристикой и существует
как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
64
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Любая функция распределения обладает следующими свойствами:
- функция распределения является неубывающей функцией своего
аргумента, т.е. F(x) >0;
- при увеличении аргумента функция распределения возрастает,
т.е. при л'2 > x F(x2)> F(xj);
- в области минус бесконечность функция распределения равна
нулю: F(-co)=0;
- в области плюс бесконечность функция распределения равна
единице: /-'(оо)= 1;
- вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал
а< х <Ь вычисляют по формуле
Р(а<Х <b) = -(b--F(a);
(2.27)
- для любого числа с имеет место неравенство
p(x = c)=F(c + 0)-F(c).
(2.28)
Таким образом, если функция F(X) в точке с непрерывна, то вероят­
ность того, что X примет значение с, равна нулю. Если же в точке с
функция F(X) имеет скачок, то значение этого скачка равно вероятности
того, что X примет значение с.
Графическое изображение функции распределения дано на рис. 2.3.
На участке (-2; 2) функция имеет дискретное распределение, и ее
значение увеличивается от 0 до 0,50.
На участке (2; 4) функция имеет непрерывное распределение, и ее
значение увеличивается от 0,50 до 0,70.
На участке (4; 5) функция распределения остается неизменной, по­
этому определяемая ею случайная величина на этом участке других воз­
можных значений не имеет.
Рис. 2.3. Функция распределения
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
65
На участке (5; 6) функция изменяется непрерывно, причем вероят­
ность попадания на этот участок равна 0,05, и наконец, значения х > 6
случайная величина принимает с вероятностью 0,25. Таким образом, при
-оо < х -1 функция F(x) = 0, при 6 < х < +со F(x) = 1 .
Итак, функция распределения дискретной случайной величины воз­
растает скачками в точках: (-1; 0; 1; 2; 6), что соответствует вероятно­
стям: 0,12; 0,03; 0,05; 0,3; 0,25, и постоянна в любом интервале, не со­
держащем ни одного из значений х(, х2, .... х„. Следовательно, функция
распределения дискретной случайной величины изображается ступенча­
той линией, а непрерывной случайной - в виде возрастающей плавной
кривой в интервале определенных значений.
Плотностью распределения, или плотностью вероятности случай­
ной величины X, называют предел отношения вероятности попадания
ее значения в бесконечно малый интервал (х, х + Дх) к длине этого
интервала Ах
Дх) = Iim
)
Р^Х<х + М = Г(г),
А ■•
Ду
(2.29)
где F'(x) = -d^(x) - производная функции распределения.
dr
Кривую плотности распределения обычно называют кривой распре­
деления (рис. 2.4). Плотность распределения случайной величины X су­
ществует только для непрерывных случайных величин. Основными свой­
ствами плотности распределения являются:
1. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения
равен 1
со
= 1.
-СО
(2.30)
66
Л
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
2. Вероятность попадания случайной величины X в интервал а, Ь
через плотность распределения определяется равенством
ь
Р(а<Х <*)=jM)dk.
(2.31)
а
3. Функция распределения через плотность распределения запишет­
ся в виде равенства
F(x)= J/(x)dx.
(2.32)
-СО
I
4. Плотность распределения не может быть отрицательной величи­
ной, т.е.
/(фо, /(-х) = /(х).
(2.33)
2.9. ДИСКРЕТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ,
ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
2.9.1. Ззкон Пуассона
Если случайная величина принимает только целые неотрицательные
значения с вероятностями
лТ
(« = 0,1, 2,...),
(2.34)
ml
то такая величина распределена по закону Пуассона (здесь Л. - параметр
распределения; е - основание натурального логарифма).
Функция распределения представляет собой лестницу с бесконеч­
ным множеством ступеней, начинающихся в неотрицательных целочис­
ленных абсциссах. Распределение Пуассона нашло широкое применение
в теории стрельбы при определении вероятности поражения цели, а так­
же при расчете количественного состава запасных частей и определении
вероятности восстановления сложных систем.
2.9.2. Биномиальное рсспределение
Как уже отмечалось, число появлений события А при и независимых
испытаниях, в каждом из которых событие А может произойти с одной и
той же вероятностью Р, представляет собой случайную величину, которая
может принимать только целые положительные значения: О, 1, 2, ..., и.
ДИСКРЕТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
67
Ранее было установлено, что вероятность появления события А ровно
т раз при п испытаниях определяется формулой Бернулли (2.20). В дан­
ном случае рассматриваемую случайную величину называют биномиаль­
но распределенной, а совокупность соответствующих вероятностей —
(биномиальным распределением с функцией распределения вида
п
(2.35)
т=0
Биномиальный закон распределения нашел широкое применение в
технике при оценке надежности по результатам испытаний или эксплуа­
тации систем, работающих в циклическом режиме. В качестве примера
можно привести число попаданий в мишень при стрельбе из орудия, чис­
ло циклов срабатывания блокировки включения механизма управления
крановым манипулятором или срабатывания реле в механизме аварийной
сигнализации и т.д.
2.9.3. Гипергеометрическое распределение
Наряду с биномиальным распределением, в теории надежности
часто используют так называемое гипергеометрическое распределение,
когда случайная величина принимает целочисленные значения т = 0, 1,
2, ..., min(A/, п) с вероятностями
z—т т п-т
L А/С А-А/
(2.36)
И
С
N
м'.
. сп
W
. c«—Hi ;
(N М
т\(М-т)\’ N п!(М-и)(’ NM (n-m)l(N-M-n +
Физический смысл величин N,M,nv. т:
- N - совокупность всех предметов, из которых наудачу берут
п предметов;
- М - число предметов, обладающих определенным свойством
(например, дефектные), в совокупности N, а остальные предметы этим
свойством не обладают;
- п — число предметов, взятых из всей совокупности N;
- т - число предметов, обладающих определенным свойством
(например, дефектные) в совокупности п, а остальные предметы этим
свойством не обладают.
68
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Практическое применение этот закон нашел в определении брако­
ванное™ или годности партии деталей по некоторой выборке.
Гипергеометрическое распределение хорошо согласуется с практи­
кой в том случае, когда М значительно меньше N,n п мало по сравнению
с N. Очевидно, что в этом важном для теории надежности случае т мо­
жет принимать значения: 0, 1, 2, . . . , min(W, и). При массовом производ­
стве это распределение используют при определении вероятности того,
что в выборке п деталей окажется т бракованных, по которым принима­
ют решение о принятии или непринятии всей партии деталей.
Пример 2.12. На испытания поставлено п = 500 приборов. Известно,
что интенсивность отказов прибора равна: X = 10 4 ч". Найти вероятность
отказов т = 0, 1,2, 3 приборов за время t = 10 ч.
Решение. Определим среднее число а отказов всех поставленных
приборов за время t при известной интенсивности А. отказов каждого
прибора
а = иА,? = 50()-1()
-10 = 0,5.
Используя формулу Пуассона, вычислим вероятности отказов:
иИ
е-°'5 - е с/ —0,0067;
0!
1!
О . 52 п 5
Л,_2 = ^— <? 0,5 = 0,0842;
Пример 2.13. Некоторая партия радиоэлементов имеет 10% не­
исправных деталей. Определить вероятность появления т = 0, 1, 2, 3,
4, 5 неисправных деталей для партии, содержащей 20 радиоэлементов
(и = 20).
Решение. Для вычисления вероятностей воспользуемся формулой
биномиального закона распределения
где q = 0,1 - вероятность появления неисправной детали в партии;
НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
69
р0 20 = -22-. 0,1° . о,920 =О,920 = 0,121;
0’20 0^1-20!
р
•
р
2,20
20*
=_-0.0Д|. 0,919 =0’270;
11-19!
= -И8_.0,12 -0,918 =0,285;
2!-18!
20'
■,
п
р, =---- --0,13 -0,9'7 =0,190;
•
3117!
20*
Р2 0)Дд777'()’14-0’916 =0,089;
4!-16!
20*
р. . =---- — .0,15.0,915 =0,032.
•
51-15!
Пример 2.14. На заводе изготовлена некоторая партия из 100 дета­
лей (N = 100). По результатам статистических данных за многолетний
период известно, что средняя доля брака составляет: q = 5 %. Из партии
деталей взята выборка в 20 деталей (и = 20). Найти вероятность того, что
в этой выборке окажется т деталей бракованных (т = 2).
Решение. Воспользуемся гипергеометрическим законом распределе­
ния при известных значениях величин: N - 100; М = Nq = 100 -0,05 = 5;
п = 20; т = 2
= 0,207.
2.10. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.10.1. Экспоненциальное распределение
Экспоненциальное распределение часто называют показательным
распределением. Оно нашло широкое применение в теории надежности
при описании наработки на отказ, а также наработки между отказами
сложной технической системы. Используют показательное распределе­
ние в проектных расчетах надежности на стадии разработки сложных
систем и часто называют его основным законом надежности. Особен­
ность этого закона - простота в практическом применении и отсутствие
больших вычислительных процедур при расчете надежности.
70
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Рис. 2.5. Кривые функции (а) и плотности (б)
экспоненциального распределения
Функция экспоненциального распределения описывается уравнени­
ем вида
при х<0;
(2.37)
при х > 0.
Плотность распределения выражается соотношением
при х < 0;
при
х > 0,
(2.38)
где е - основание натурального логарифма; Л, - параметр распределения
(имеет вероятностный смысл).
Это распределение называют однопараметрическим, так как харак­
тер изменения кривой зависит от одного параметра К Кривые функции и
плотности распределения показаны на рис. 2.5.
2.10.2. Распределение Вейбулла
Закон распределения Вейбулла находит все большее применение в
практике расчетно-экспериментальной оценки надежности сложных си­
стем. Это распределение было установлено, а затем подтверждено Вейбуллом экспериментально при описании наблюдавшихся разбросов уста­
лостной прочности стали, пределов ее упругости, размеров частиц копоти
и др. Распределение Вейбулла может быть использовано при описании
сроков службы электромеханического оборудования, подшипников и
наработки между отказами сложных систем в процессе эксплуатации.
В отличие от показательного распределения, закон Вейбулла являет­
ся двухпараметрическим, а также универсальным, так как при опреде­
ленных значениях параметров он может превращаться в показательное,
нормальное и другие распределения.
Функция распределения описывается уравнением
при
х < 0;
при
х > 0.
(2.39)
Соответственно функция надежности равна
Д(х) = 1 - F(x) = e"ua
(2.40)
Плотность распределения выражается соотношением
/ 1°
при
х < 0;
при
х > 0.
(2.41)
В этих формулах а - параметр формы кривой; X - параметр масшта­
бы кривой распределения; е - основание натурального логарифма.
При значении параметра а = 1 распределение Вейбулла превраща­
ется в показательное, при а «3,3 - в нормальное. Кривые плотностей и
функции распределения приведены на рис. 2.6.
2.10.3. Нормальное распределение
Нормальный закон, часто называемый законом Гаусса, описывает
многие явления в природе и является предельным законом, к которому
стремятся существующие законы распределения. Все известные явления
природы, происходящие в растительном мире, а также в неживой приро-
72
||
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
де, описываются нормальным законом распределения. Примерами тому
являются урожайность полей определенного региона, рост и масса жи­
вотных некоторого вида или человека, отклонение размеров при изготов­
лении деталей, ошибка измерения некоторой контролируемой величины
и распределение ресурса устройства определенного типа. Распределение
всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной
величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные, факторы.
В теории надежности нормальное распределение используют для
описания постепенных отказов, когда время безотказной работы в начале
имеет низкую плотность, затем - максимальную и далее - падающую.
Случайная величина X нормально распределена, если плотность ее
распределения имеет вид
(-у-»)2
2а ,
(2.42)
где а - параметр распределения, представляющий собой среднее значе­
ние случайной величины; о - среднее квадратическое отклонение слу­
чайной величины от среднего значения.
Функция распределения описывается уравнением
F(x) = —f е
А.
(2.43)
Кривые функции и плотности нормального распределения приведе­
ны на рис. 2.7.
Рис. 2.7. Кривые функции (а) и плотности (б)
нормального распределения
НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
73
Совокупность всех значений случайной величины, подчиненной
нормальному закону, практически с вероятностью 99,73 % попадает в
область, ограниченную интервалом -За слева и За справа от среднего
значения а.
В теории надежности часто используют функцию Лапласса, которая
представляет собой нормированную нормальную функцию распределе­
ния с параметрами а = 0, а = 1 и записывается в виде
1 л -Ф(х) = -=[е - dx.
72л о
(2.44)
Эта функция табулирована для различных значений X, и обычно ее
представляют в виде таблицы (см. табл. 3 прил.). Для этого распределе­
ния функция плотности имеет одну переменную А":
2
/oW =
1
—
2.
(2.45)
у2л
Обозначим Л7[х] через а, т.е. М[х[ = а. Величина X является центри­
рованной {математическое ожидание а = 0) и нормированной (среднее
квадратическое отклонение а = 1). Для использования таблицы следует
применять подстановку
Х = (/-«)/а,
(2.46)
где х - квантиль нормированного нормального распределения, обычно
обозначаемая через U:
x = U = (t-a)lc.
(2.47)
Так как функция Лапласса нечетная, то справедливо равенство
Ф(-Ц) = -Ф(Ц).
Математическое ожидание определяет на графике (рис. 2.8.) поло­
жение кривой, а среднее квадратическое отклонение - ее ширину. Кривая
плотности распределения тем острее и выше, чем меньше о. Эта кривая
начинается в области х = -со и распространяется до области х = +оо.
Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399/а.
Так как кривая плотности распределения симметрична относительно
прямой У(а), где а - центр рассеяния, то имеет место равенство
^о^^) + ^оо--^)= 11
(2.48)
/Д(-х) = 1 - W)
(2.49)
отсюда
IX
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Рис. 2.8. Кривые плотности (я) и функции надежности (0)
нормального распределения для различных значений
среднего квадратического отклонения
Очевидно, что
л-
О
ЛМ
f Л М dx+1
-со
W Ж = 0,5 + Ф(х) •
0
Таким образом, вероятность отказа (функция распределения) и ве­
роятность безотказной работы (функция надежности), выраженные через
функцию Лапласса, имеют вид:
ад = 0,5 + ®(i-£l:
V ст )
4
(2.51)
Р(х) = 0,5-фГ—\
В таблице 1 приложения приведены значения функции надежности
в зависимости от квантилей U, а в табл. 2 прил. - значения плотностей
распределения.
Вероятность попадания случайной величины X, подчиненной нор­
мальному закону, в интервал (а, P) определяют по формуле
?(а<А<р) = —r=f
dx.
(2.52)
НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
75
Использование функции Лапласса позволяет преобразовать фор­
мулу (2.52):
(2.53)
Значения функции Лапласса приведены в табл. 3 прил.
Для случая симметричного интервала (а, р) относительно математи­
ческого ожидания а с использованием табличных значений функции
Лапласса, находим:
р(.т-а| < о)= 2Ф(1) « 0,683;
ф - а| < 2°) = 2Ф(2) = 0,954;
/j - а| < За)= 2Ф(3) « 0,997;
Р^х - я| < 4а) = 2Ф(4) « 0,999994 .
Таким образом, с вероятностью около 68 % значения нормально
распределенной случайной величины отклоняются от ее математического
ожидания не больше, чем на одно среднее квадратическое отклонение;
с вероятностью 95 % - - не больше, чем на два средних квадратических
отклонения; с вероятностью 99,7 % - не больше, чем на три средних
квадратических отклонения.
Помимо оценки вероятности безотказной работы за заданные время
или наработку, часто приходится определять время или наработку, соот­
ветствующие заданной вероятности безотказной работы. Эти наработку и
время определяют с помощью квантилей нормированного нормального
распределения по формуле
t = а + Ш.
(2.54)
Значения квантилей в зависимости от требуемой вероятности безот­
казной работы см. в табл. I прил.
2.10.4. Логарифмически нормальное распределение
В логарифмически нормальном распределении логарифм случайной
величины распределяется по нормальному закону. Этот закон нашел
успешное применение при описании наработки на отказ сложных техни­
ческих систем (например, тракторов, автомобилей, подвижных кранов,
специальных машин большой грузоподъемности и других изделий). Ста­
тистически установлено, что наработка на отказ подшипников качения,
электронного оборудования также подчиняется логарифмически нор­
мальному закону распределения.
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
76
Плотность распределения описывается зависимостью
(2.55)
где х и 5- параметры, оцениваемые но результатам испытаний.
Так, например, при испытаниях W изделий до отказа эти параметры
определяют по формулам
Е|пхi=i
(2.56)
N
£(1пх, -х)2.
/=|
(2.57)
Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам
для нормального распределения (см. табл. 1 прил.) в зависимости от зна­
чения квантили:
1пх-х
(2.58)
5
Часто для плотности логарифмически нормального распределения
применяют распределение в десятичных логарифмах:
0,4343
./'(*) = ----
(IgA' Ig-Vp)2
(2.59)
Sxy/2п
где lgx0 =^lgx,
/=1
(2.60)
Z=1
Графическое изображение плотности распределения и функции
надежности при разных значениях параметров дано на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Основные характеристики логарифмически нормального
распределения при разных значениях параметров 5 и х:
а - плотность распределения; б - - функция надежности
2.10.5. Гамма-распределение
Среди непрерывных законов распределения в теории надежности
широкое распространение получило двухпараметрическое гамма-распре­
деление, которое как и распределение Вейбулла, в пределе стремится к
нормальному закону. Практическое применение гамма-распределения
нашло при описании вероятности появления отказов в сложных техниче­
ских системах, а также при оценивании ресурсной наработки отдельных
механических узлов, подшипников и других сборочных единиц. Так как
при параметре а = 1 гамма-распределение преобразуется в показательное
распределение, то оно может быть использовано и при описании вероят­
ности появления отказов во время нормальной работы технической си­
стемы, т.е. в интервале времени, определяемом как интервал (после при­
работки, до наступления старения). При значениях параметра а > 10 гам­
ма-распределение приближается к нормальному закону распределения, и
следовательно, может быть использовано при описании вероятности по­
явления отказов стареющих узлов, механизмов и других элементов.
Математически плотность гамма-распределения можно описать с
помощью уравнения
л а „а I
Л -V
<?
/(х,Х,а) = ■
Г(а)
0
при х > 0;
при
х < 0,
(2.61)
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
78
V
где X > 0 - параметр масштаба кривой распределения; а > 0 - параметр
оо
формы кривой распределения; г(а) = jxa_1 e~xdx - гамма-функция.
о
При значениях а > п гамма-функцию вычисляют по формуле
Г(и) = (я- 1) Г(п - 1) = (и - 1)!,
(2.62)
где п =1,2,
Д
ПI =--------- :
i I л+—
I
2J
2"
(2.63)
Для функций Г(/с + а), где к - целое число; а - дробное. При 2 < к < 6
рекомендуется применять формулу
Г(Л + а) = (Л-1 + а)(Л-2 + а)...(1 + д)Г(1 + а).
(2.66)
При значениях к> 6 Г(Л + а) можно вычислять по формуле
Г(Л+1) = Л!.
(2.67)
Табличные значения гамма-функции приведены в работе [17],
табл. XVI.
Интегральная функция гамма-распределения имеет вид:
F(x, а, Х) =
г
- |л-г' 'e-X-T-fC.
Г(а)о
(2.68)
Соответственно функция надежности
- г
Р(х,а, Х)=1—— | xa lt>
T(a)Jo
(2.69)
Кривые плотности распределения при различных значениях а при­
ведены на рис. 2(10.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
79
Рис. 2.10. Кривые плотностей гамма-распределения
при Х = 1; а = 1, 2, 6
2.10.6. Распределение хи-квадрат (%2)
Если случайные величины А), А?, ..., Х„ независимы и имеют нор­
мальное распределение, причем математическое ожидание М и диспер­
сия D этих величин, соответственно равны Л/^-Х] = т и £>[.А,] = о2, то
функция распределения случайной величины имеет вид
X2
-от)2
(2.70)
/=1
а
и носит название распределения хи-квадрат (%').
Пусть случайная величина принимает значения, соответствующие
х > 0. Тогда плотность вероятности “/--распределения
к-2
х
х 2 е 2
при х > 0;
(2.71)
0
при х = 0,
где К - параметр, называемый числом степеней свободы,
у-функция.
80
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Интегральная функция распределения описывается уравнением
к
2
л-
(2.72)
Отсюда функция надежности, соответственно, принимает вид
(2.73)
При числе £ —> 30 ^-распределение стремится к нормальному рас­
пределению, которое широко применяют при статистической проверке
гипотез о принадлежности теоретического закона распределения закону
распределения, оцениваемого по результатам испытаний, а также при
определении доверительных границ.
Плотность ^-распределения приведена на рис. 2.11.
2.10.7. Распределение по закону равной вероятности
При распределении случайной величины по закону равной вероят­
ности плотность вероятности имеет постоянное значение в некотором
интервале изменения случайной величины и равна нулю вне этого интер­
вала. Такое распределение называют равномерным распределением веро­
ятностей.
Рис. 2.12. Плотность (а) и функция (о) распределения случайной величины
для закона равной вероятности
Плотность вероя гности и интегральная функция распределения слу­
чайной величины для закона равной вероятности показаны на рис. 2.12.
Плотность распределения описывается уравнением
при
а< х <р;
при
х < а и х > р.
(2.74)
Так как площадь /фр - а) = 1, то плотность распределения
при < х < Р;
(2.75)
при х < а и х > р.
Интегральная функция распределения вероятностей принимает вид
О при х<а;
х-а
На) = -
при я < х < Р;
Р-а
(2.76)
1 при >р.
Тогда функция надежности соответственно запишется
1
/>%=- i _ хштj
Р-а
0
1
при х < а;
при а<х<Р;
(2.77)
при х > р.
Вероятность попадания на участок (я, Ь) случайной величины X,
распределенной по закону равномерной плотности (рис. 2.13), определя­
ют с использованием выражения
Р(а<х<Х)==~
(2.78)
Р-а
Закон распределения равной вероятности можно применить для
описания вероятности появления отказов в некотором заданном времен­
ном интервале, когда процесс приработки изделия закончен, а процесс
старения элементной базы еще не наступил.
2.10.8. Распределение Стьюдента (Госсета)
Распределение Стьюдента нашло широкое применение при нахож­
дении доверительных интервалов для вероятностных оценок. Так как это
распределение в пределе стремится к нормальному при числе степеней
свободы к > 30, то оно может быть использовано при описании вероя гности появления отказов, связанных со старением изделия.
Распределение случайной величины X называют распределением
Стьюдента, если функция плотности вероятности имеет вид:
(2.79)
где к — параметр, называемый числом степеней свободы.
Эта функция симметрична относительно оси координат, т.е.
Л-Х) =Лх).
(2.80)
Очевидно также, что с ростом |х| функция /(х) монотонно убывает.
Кривая плотности распределения случайной величины приведена на
рис. 2.14.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
83
Рис. 2.14. Кривая плотности распределения Стьюдента при А = 9
Интегральная функция распределения Стьюдента
7\
F(x) =
ьз
2
|'/<хМ=~--------- -----------------------
dx.
На практике обычно используют функцию Лапласса
Ф(х) = 2J f(x) dx.
(2.82)
о
Интегральная функция через функцию Лапласса выражается зави­
симостью
F(x) = 0,5 + Ф(х).
(2.83)
Обозначим через Хр решение уравнения (2.81), тогда
Ф(х) = р.
(2.84)
В таблице 4 приложения приведены значения хр для различных к и
а, удовлетворяющих уравнению
Р(л'р < х < Хр) = р.
(2.85)
2.10.9. Бета-распределение
Это распределение имеет большое значение для решения задач ма­
тематической статистики, а также для теории надежности в том случае,
если случайная величина изменяется в пределах от 0 до 1. Формы кривых
плотности бета-распределения (рис. 2.15) и нормального распределения
схожи.
84
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Рис. 2.15. Кривая плотности бета-распределения
Функция плотности вероятности описывается уравнением
О
хй+| (|_х)А^1
/X) = дат Ф
при х < 0 и х > 1;
при
0 < х s 1.
(2.86)
где Г(а) и Г(Ь) - гамма-функции.
Интегральная функция [-распределения имеет вид:
ФИ*)
(2.87)
Отсюда функция надежности
^Ф)ФХ ' d,.
P(x) = ,-
о
фа)ф)
(2.88)
2.10.10. Распределение смеси и совокупности случайных величин
Часто на практике приходится решать задачи, в которых случайная
величина является смесью двух и более случайных величин с различными
распределениями. Примером смеси может служить распределение по дол­
говечности деталей на складе предприятия, если детали поступают на
склад с разных заводов или, как это бывает на ремонтных заводах, с новы­
ми деталями смешивают годные детали, снятые с ремонтируемых машин.
Пусть смешиваются случайные величины —t . Х2,
Х„, функции
распределения которых соответственно равны F|(x), ХХ), ..., F„(x), при­
чем вероятность появления величины Хк равна Рк, если ^рРк =1. Тогда
функция распределения и плотность вероятности смеси случайных вели­
чин имеют вид
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
85
F(x) = £р^Х);
.ГО^) = Х^ЛХПусть, в частности, на склад поступили некоторые детали с трех за­
водов. Известно, что долговечности этих деталей распределены по нор­
мальному закону с параметрами а, и о, (/ = 1, 2, 3). Вероятностная доля
деталей, поступивших с каждого из заводов, соответственно равны P\, Р2,
!\. Спрашивается, если взять наудачу из партии деталей одну, то какова
будет плотность вероятности ее долговечности? Согласно формуле (2.89)
)2
L
(х-а2?
/(x) = -?L А; 2»? +Ле
V2л
О
Л “3?
+Ле М
.
<С>з
СТ 2
В практических задачах также часто случайная величина является
совокупностью случайных величин, связанных между собой. В этом слу­
чае для описания совокупности п случайных величин Х\,Х2,.., Х„
используют и-мерные функции распределения, т.е. вероятности совмест­
ного выполнения неравенств Xt < x, X2 < х2, ...,Хп < х„
F(xx,x2, ...,x„) = P(X <x,X2<X2, ..,Х„<х„).
(2.90)
Случайные величины Х\,Х2, ...,Хп называют независимыми, если при
любых значениях хь х2,..., х„ этих величин выполнены равенства
п
4% <х„ Х2<х2,...:, X„<x„)=p[^(X^ <Хк).
(2.91)
<=1
Для функции распределения это равенство запишется так
/1
F(x1,x2,...,x,,= ]_[Ft(^xJ.
(2.92)
к=\
Распределение совокупности независимых случайных величин
нашло практическое применение в теории надежности при расчете или
оценке количественных показателей надежности для системы, состоящей
из последовательно соединенных независимых элементов.
2.11. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Функция распределения является наиболее полной характеристикой
случайной величины, которая указывает, какие значения и с какими ве­
роятностями принимает эта величина. Однако, на практике часто бывает
I
86
4
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
достаточным знать некоторые числовые характеристики, дающие опре­
деленное представление о распределении случайной величины. В каче­
стве таких характеристик наиболее распространены: среднее значение
(или иначе, математическое ожидание), дисперсия, медиана, мода и мо­
менты различных порядков.
Если дискретная случайная величина X принимает некоторые значе­
ния Xi, х2,... соответственно с вероятностями Р\, Р2,..., то сумму произве­
дений возможных значений случайной величины на их вероятности
называют математическим ожиданием, или средним значением величи­
ны X, и обозначают символом
(2.93)
В качестве примера определим математическое ожидание для дис­
кретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона:
Хе
4=1
'Л'''
где к - случайная величина (например, число отказов), К = 0, '2,....
Если случайная величина является непрерывной и имеет некоторую
плотность вероятностных), то математическое ожидание равно:
со
М[х] = jxf(x)dx.
(2.94)
-со
Так, если случайная величина X распределена равномерно на отрез­
ке [а, р], то
Рассмотрим основные свойства математического ожидания, которые
часто используют в практических задачах.
1. Математическое ожиддние постоянной величины с равно этой же
постоянной:
М[с\ = с.
(2-95)
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
87
2. Постоянный множитель выносят за знак математического ожи­
дания:
М]сХ] = сМ[Х\.
(2.96)
3. Математическое ожидание суммы независимых случайных вели­
чин равно сумме их математических ожиданий:
М[Х + У] = М[Х] + M[Y\.
(2.97)
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
M[XY\ = М]Х] М[У].
(2.98)
Для оценки разброса значений случайной величины около ее сред­
него значения используют несколько числовых характеристик, важней­
шей из которых является дисперсия. Дисперсию определяют как матема­
тическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ма­
тематического ожидания:
D[A] = М\Х-М\Х\]2.
(2.99)
После несложных преобразований с использованием перечисленных
выше свойств равенство (2.99) принимает вид:
D[A] = М\Х2] - [М[А]]2.
(2.100)
Дисперсию дискретной случайной величины определяют из равен­
ства
Р,-
(2.101)
Если случайная величина распределена по закону Пуассона, то ее
дисперсия равна:
А, к е k
-*2=Е
+
(А-1)!
к\
t=i
к=0
Полученный результат свидетельствует о том, что значения матема­
тического ожидания и дисперсии для закона Пуассона равны. Это свой­
ство нашло применение при проверке гипотезы о том, что наблюдаемая
величина распределена по закону Пуассона.
88
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Дисперсия для непрерывной случайной величины с плотностью рас­
пределения /(х) определяется равенством
(2.102)
Приведем пример вычисления дисперсии для нормального закона
распределения с параметрами а и о
(Х~аУ
00
Г(х-а)2е 2а" <Zv=-y= fz2
00
.2
2 dz = о2.
Анализ полученного равенства показывает, что для нормального
распределения параметр а имеет простой вероятностный смысл - его
квадрат равен дисперсии, которая характеризует меру рассеяния случай­
ной величины около ее среднего значения. Чем меньше дисперсия, тем
большая доля значений случайной величины примыкает к ее математиче­
скому ожиданию, и наоборот, чем больше дисперсия, тем большая доля
значений случайной величины удалена от математического ожидания.
Это свойство дисперсии хорошо иллюстрируется графиком плотности
нормального распределения (рис. 2.16).
Дисперсия, как и математическое ожидание, обладает следующими
свойствами:
- дисперсия от постоянной величины равна О
£>[с] = 0;
Рис. 2.16. Кривые плотности нормального распределения
для различных значений о
(2.103)
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
89
- постоянный множитель в квадрате выносится за знак дисперсии
D[cX]=c2d[x];
(2.104)
- дисперсия суммы попарно независимых случайных величин равна
сумме дисперсий слагаемых
(2.105)
Модой непрерывной случайной величины, имеющей плотность рас­
пределения fix), называют абсциссу хм, при которой fix) принимает мак­
симальное значение. Нормальное распределение одномодально, для него
мода и математическое ожидание совпадают. Распределение Вейбулла
имеет моду при а > 1 и не имеет ее при а < 1.
Медианой случайной величины, имеющей плотность распределения
fix) называют абсциссу хме, при которой площадь под кривой fix) делится
пополам. У нормального распределения медиана совпадает с математи­
ческим ожиданием и модой.
Моментом К-го порядка величины X называют математическое
ожидание К-И степени разности (X-а) и обозначают его vk(a)
vk(a) = M[X-a].
(2.106)
При а = 0 момент называют начальным, при а = М[Х] - централь­
ным. Следовательно, дисперсия является центральным моментом второго
порядка. В дальнейшем начальные моменты будем обозначать - v*, а цен­
тральные - щ, где индекс «А» - порядок момента. Между центральными и
начальными моментами при К > 1 имеет место равенство
' +(-1)*-’(А-1Н,
(2.107)
г=2
где С[ = Л![г!(Л
'.
Для первых четырех моментов, играющих важную роль в теории ве­
роятностей и математической статистике, это равенство принимает такую
форму: ц=1; ц = 0; p = V:-"^; р = v -3v2vi + 2vj’; p = v4-4v3V, +6V2V?- 3vj.
Обобщим рассмотренные выше различные виды распределений слу­
чайных величин и их числовые характеристики и сведем результаты
обобщения в табл. 2.1 и 2.2.
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
90
пр
Р„
0, I, ....
min(.W,
«)
Рт =
Отрица­
W,
тельное
биномиаль­
ное
Геометрическое
npq
X
X
пМ
N
Л/(А- Лф(/У-и)
А2(А-|)
,-/р
<7'7 Д'
Ур
я! р2
\"'е '
т\
l
^п-т
A/c.V м
г
Рт = Crm~\prq'"'r
о, 1, 2.
.... т
Примечание./?
Р.
ТЗ
Гипергео­
метри­
ческое
0, 1, 2,
т
II
Пуассона
Дисперсия
Математическое
ожидание
Р„(т) = С” p"'qn
.W [Л]
Вероятность Р
появления
возможного
значения X в одном
испытании
Биномиаль­ 0, 1, 2,
ное
п
Наименование
распределения
Возможные
значения случайной
величины
2.1. Дискретные распределения случайных величин
I - </; г - значения случайной величины.
2.2. Непрерывные распределения случайных величин
Область
Наименова­ значений
ние распреде­ случай­
ления
ной вели­
чины
Характеристики распределения
Плотность
распределения
./(.V)
Матема­
тическое Дисперсия
ожида­
Ж1
ние A7[zV|
Мода х,,
1
2
3
4
5
6
Экспонен­
циальное
(0, оо)
Хе 'а
Хч
X 2
-
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
91
Продолжение табл. 2.2
1
3
2
Нормальное (-°°, оо)
4
5
а
S2
6
а
е
Логарифми­
чески нор­
мальное
(0, со)
(1одх-л)2
е
2а’
а2
.
. .
(ла-^у^тл)
(1+—
е
2
е2"+а2 х
X^-)
II
Вейбулла
(0,®)
г(4)
аЛх а_| е ~Хх
Х“
1а-1
\ Ха
Ха
(при а > 1)
<Н
2
Х«
Гамма
(0, оо)
1а
,
е'''
а
X
а
F
а-1
Т~
(при а >-)
х2
(0, оз)
к
2к
к-2
0
2(*-4)''
0
г
Стьюдента
(-°О, со)
A 1 l
'4Г
I
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
92
Окончание табл. 2.2
Область
Наименова­ значений
ние распреде­ случай­
ления
ной вели­
чины
Характеристики распределения
Плотность
распределения
Л*)
а
(0,1)
Бета
Матема­
тическое Дисперсия
ожида­
ОИ
ние М[Х]
Мода хм
а
а+Ь
а- 1
а + Ь-2
(а + bf
ь
(а + Ь+ 1)
Равномер­
ное
(а, ₽)
1
а+р
(р-сс)2
Р~а
2
12
—
2.12. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предельные теоремы играют важную роль в практических прило­
жениях теории вероятностей. Они позволяют учесть совокупность воз­
действующих факторов на изучаемый объект. В частности, с такими яв­
лениями приходится встречаться в теории надежности при изучении
процесса отказов стареющих элементов, когда на изменение внутренней
структуры элемента влияет совокупность различных факторов. Предель­
ные теоремы позволяют выявить общие закономерности, которые обу­
словлены массовым характером явления и лишь в незначительной мере
зависят от отдельных составляющих факторов.
Теорема Пуассона. Если в п независимых испытаниях событие А
имеет малую вероятность р, то при больших значениях п вероятность
появления т раз события А
к"'
Рп(т)*—е~х (w = 0,l, 2,...),
ml
(2.108)
где Х = пр.
.
В частности, теорема Пуассона может быть использована при опре­
делении числа бракованных деталей в партии из п штук, когда вероят­
ность изготовления бракованных деталей мала.
НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
93
Интегральная теорема Муавра-Лапласса. Если в последовательно­
сти независимых испытаний вероятность события А равна р, причем
О < р < 1, то вероятность того, что число т появления события Ави по­
следовательных испытаниях удовлетворяет неравенству
ф</„<л);=т=пр.
(2.109)
- при больших значениях п близка к величине
1 b —
р(а <т<Ь)= .— fе 2 dz,
где а и b - произвольные числа; z - переменные значения случайной
величины.
Интегральная теорема Муавра-Лапласса находит широкое примене­
ние как при теоретических исследованиях, так и в прикладных задачах.
Так, например, эту теорему используют при определении числа запасных
частей с заданной вероятностью. Для этого из таблиц нормированного
нормального распределения (интеграл Лапласса, см. табл. 3 прил.) при за­
данной вероятности у находят квантиль Ц и приравнивают к аргументу:
(2.1 П)
В соответствии с этой формулой число запасных частей, необходи­
мых для поддержания работоспособности изделия при заданных значе­
ниях и, р и у, определяют по формуле
b = np + Uyy/npq,
(2.Н2)
где q = 1 -р.
Закон больших чисел в форме Бернулли. Пусть в последовательности
независимых испытаний событие А имеет неизменную вероятность р;
а число появлений события А в п последовательных испытаниях равно т.
Тогда, каково бы не было положительное число е > 0, при п —+ оо
>sj>0.
(2.113)
Закон больших чисел в форме Чебышева. Пусть последовательность
содержит попарно независимые случайные величины Xh Х2,
Хп, для
которых математические ожидания М[Х„] = а„> т.е. конечны, а дисперсии
94
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ограничены одной и гой же постоянной с, т.е. (D[.V„] < с). При п —> оо и
любой постоянной s для такой последовательности
п
[пы
ПЕ
откуда следует, что
1 п"
1 п
—^ак
для частного случая, когда все случайные величины имеют одно и то же
математическое ожидание (а„ = а)
i пn
1
~а <E
(2.116)
Центральная предельная теорема. Рассмотренные теоремы закона
больших чисел устанавливают сближение сумм независимых случайных
величин с некоторой последовательностью постоянных. Для практиче­
ских целей часто требуется определить, с какой вероятностью может
наступать то или иное отклонение суммы от этих постоянных. Ответ на
этот вопрос дает центральная предельная теорема. В условиях Линдеберга эта теорема формулируется так [9].
Пусть дана последовательность взаимно независимых случайных
величин Л|, Х2,Хп. Предположим, что эти величины имеют конечные
математические ожидания и дисперсии
Л[ф„ ]=«„;
Фс-М;
к=\
Если при т > О
lim — у
[ (х-ак )2dFk(x)=0.
В„ к= |д._а,*|>8„т
где Fk(x) _ функция распределения Хк, то при любом х
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
95
Условие (2.118) называют условием Линдеберга. Можно доказать,
что если условие Линдеберга выполнено, то обязательно при любом т > О
limP-jmax — ---- — >т| = 0 .
n->oo
IlSiSM
(2120)
Вп
Иными словами, если условие Линдеберга выполнено, то все слага­
емые равномерно малы в том смысле, что вероятность превзойти значе­
ние т хотя бы одному из слагаемых (Хь — ак)/В„ стремится к нулю при воз­
растании числа слагаемых до бесконечности.
2.13. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
Математическая статистика является одним из важнейших разделов
теории вероятностей. Известно, что для получения исходных данных при
вероятностных расчетах приходится обращаться к опыту.
Так, из определений основных понятий теории вероятностей, рас­
смотренных в предыдущих параграфах, непосредственно вытекают и
способы экспериментального определения основных характеристик слу­
чайных величин - частоты события, выборочных среднего значения и
дисперсии, которые при большом числе опытов приближаются, соответ­
ственно, к теоретической вероятности события, математическому ожида­
нию и дисперсии.
Плотность распределения и функцию распределения случайной ве­
личины можно определить, соответственно, через относительную плот­
ность экспериментальных точек в соответствующих интервалах и стати­
стическую функцию распределения. Однако при любом измерении или
экспериментальном определении какой-либо величины всегда возникает
вопрос о точности определения этой величины.
Надо всегда помнить, что статистические характеристики случай­
ных величин, полученные из опыта, практически никогда не совпадают с
их вероятностными характеристиками, поэтому при определении какойлибо величины из опыта можно говорить лишь о ее приближенном зна­
чении. Обычно это означает, что можно указать пределы погрешности
найденной величины, за которые не выйдет ошибка ее измерения.
Например, определяя неизвестную вероятность события как частоту это­
го события при большом числе опытов, можно указать пределы погреш­
ности и гарантировать, что ошибка не выйдет за эти пределы. В даль­
96
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
нейшем все подлежащие определению величины - вероятности событий,
числовые характеристики и распределения случайных величин - будем
называть статистическими характеристиками, а полученные но ре­
зультатам опытов их значения - оценками.
Следовательно, в математической статистике возникают две задачи.
Первая задача связана с нахождением оценок параметров распределения,
а вторая - с исследованием точности этих оценок.
Оценив по результатам опытов ту или иную статистическую харак­
теристику, необходимо найти, насколько согласуется с опытными дан­
ными предположение (гипотеза) о том, что неизвестная характеристика
имеет го значение, которое получено в результате ее оценивания.
Так возникает третья задача математической статистики - задача провер­
ки гипотез.
Таким образом, основными задачами математической статистики
являются:
1) разработка методов нахождения оценок;
2) исследование точности их приближения к оцениваемым характе­
ристикам, т.е. нахождение доверительных пределов;
3) разработка методов проверки гипотез.
Рассмотрим каждую из вышеперечисленных задач.
2.14. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
На практике часто приходится иметь дело с такой ситуацией, когда
требуется по результатам испытаний оценить значение одного или не­
скольких неизвестных параметров. С этой задачей сталкиваются как при
нахождении функции распределения, когда известен ее аналитический
вид, так и при оценивании числовых характеристик случайной величины.
Рассмотрим наиболее распространенный подход к оцениванию па­
раметра распределения. Суть этого подхода состоит в следующем. Пусть
F(x, 0) является функцией распределения случайной величины X, а 0 неизвестный параметр. Обозначим через х}, х2,
значения случайной
величины X, найденной по результатам ее независимых испытаний.
Точечной оценкой параметра 0 называют функцию <р(х,, х2, .... х„), зави­
сящую только от результатов испытаний и известных величин, но не от
неизвестного параметра. Понятно, что сама оценка является некоторой
случайной величиной и поэтому может изменяться от одной серии испы­
таний к другой. В качестве оценки параметра 0 можно использовать
большое число функций (р(Х|, х2, ..., х„) = <р. Однако, чтобы функция удо­
влетворяла необходимым условиям, оценки должны обладать свойствами
несмещенности, состоятельности и эффективности.
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
97
Оценку ср = <(Х|, %2, •• •. „) параметра 0 называют несмещенной, если
математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром,
т.е. выполняется равенство
Л/[(р] = 0.
(2.121)
Например, если нужно оценить математическое ожидание случай­
ной величины X, то в качестве оценки можно выбрать функцию
_ X. + Х-, +...+Х,
<р = х = —--------------- —
п
(2.122)
В качестве оценки дисперсии случайной величины X можно исполь­
зовать функцию
^-ЦЁ^-х)2.
«-I
(2.123)
Оценку <р = ф(х, %2, • • •> х„) параметра 0 называют состоятельной,
если при увеличении числа наблюдений до бесконечности оценка при­
ближается к оцениваемому параметру по вероятности, т.е. если при лю­
бом е > 0 имеет место соотношение
д(ф-0| > е)= 0 при п —> со.
(2.124)
Легко проверить, что приведенные оценки математического ожида­
ния и дисперсии являются состоятельными.
Оценку параметра называют эффективной, если она обладает ми­
нимальной Дисперсией.
М(ф - 0)2 = min.
(2.125)
2.15. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Одним из наиболее распространенных методов нахождения доста­
точных оценок является метод наибольшего правдоподобия, который
был предложен английским статистиком Р. Фишером в 1912 г.
Пусть случайная величина X имеет некоторую плотность распреде­
ления /(х, а), тогда
L(x}, х2, ..., х„; а) = ]j /(хо а).
/=1
(2.126)
98
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Если случайная величина дискретна и принимает значения z, z2, • • • •
с вероятностями соответственно
32(и), • ••, ЛДи) и сумма
н
1 то функция правдоподобия запишется в виде
i=}
н
L(xi,x2, . .• х„; а) = PJp,(cc).
(2.127)
i=\
Суть метода максимального правдоподобия состоит в том, что в ка­
честве оценок параметра а принимают то значение а, при котором функ­
ция L достигает своего наибольшего значения. Поскольку L и InZ дости­
гают максимума при одном и том же значении а, то эти критические зна­
чения а определяют из уравнения правдоподобия
Sin L
да.
(2.128)
Если плотность распределения случайной величины зависит от двух
неизвестных параметров а и р, то для нахождения этих параметров со­
ставляют два уравнения правдоподобия, которые и решают относительно
неизвестных:
Sin L _ (. Sin L
(2.129)
да
’
Зр
Аналогично для многопараметрических распределений составляют
столько уравнений правдоподобия, сколько неизвестных параметров, и
решают уравнения относительно этих неизвестных параметров:
51п2_
да " ’
д 1п2
Зр “ ’
31п2
35
(2.130)
Каждое уравнение правдоподобия носит название оценки макси­
мального правдоподобия..
2.16. МЕТОД МОМЕНТОВ
Большое распространение получил точечный метод нахождения
оценок неизвестных параметров распределения, предложенный К. Пир­
соном. Этот метод называют методом моментов, который широко ис­
пользуют в статистике, поскольку он не требует больших вычислитель­
ных процедур по сравнению с методом максимального правдоподобия.
Идея этого метода состоит в том, что моменты теоретического рас­
пределения случайной величины, зависящие от неизвестных параметров,
МЕТОД МОМЕНТОВ
99
приравнивают к статистическим моментам. Взяв число моментов, равное
числу неизвестных параметров, и составив соответствующие уравнения,
получим необходимое число уравнений, при решении которых опреде­
ляют неизвестные параметры.
Статистический или выборочный начальный момент к-го порядка
определяют по формуле
(2.131)
Теоретический начальный момент к-го порядка при известной плот­
ности распределения определяется зависимостью
СО
(2.132)
-ОС
Приравняв vk = чк,т.е.
(2.133)
находят значения неизвестных параметров.
Аналогично определяют центральный выборочный момент к-го по­
рядка по формуле
43)
п /=|
и приравнивают его к центральному теоретическому моменту
СО
(2.135)
-ао
т.е.
1
п
-£Д - х
"77
//(х)
(2.136)
-СО
где х = п 1 Ух,;./(х) - плотность случайной величины X..
/=|
Пример 2.15. На испытания поставлено пять гидроцилиндров
(и = 5). Испытания проводили в одинаковых условиях до отказа каждого
гидроцилиндра. По результатам испытаний получены следующие значе­
100
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ния наработок до отказа, ч: 40, 50, 60, 80, 90, 100. Предполагая нормаль­
ный закон распределения наработки до отказа, найти параметры распре­
деления.
Решение. Так как для нормального закона распределения выбороч­
ные среднее значение и дисперсия совпадают с математическим ожида­
нием и дисперсией теоретической функции, то получим:
5
_
50 + 60 + 80 + 90 + 100
х=—— =------------------------------ = 76 ч;
5
5
S1 = ——У (х,
- х)2 = — [(50 - 7б)2 + (60 - 7б)2 + (80 - 7б)2 +
+ (90 - 7б)2 + (100 - 7б)2 ] = 453,25 ч2.
2.17. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ
ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
МЕТОДОМ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ
Точечные оценки параметров распределения, полученные по ре­
зультатам испытаний, - случайные величины, которые являются
приближенными значениями неизвестных параметров. Вероятность от­
клонения полученной оценки параметра распределения от его истинного
значения была предложена Р. Фишером. Суть этой идеи состоит в том,
что вместо поиска функции 0(%i, х2, ■ х„) по результатам испытаний,
им предложено находить две функции 0] и 02 по результатам испытаний,
для которых вероятность попадания неизвестного параметра на отрезок
(0i, 02) равна заданному значению у. Функции 0, и 02 называют довери­
тельными границами, а интервал (0i,02) - доверительным интервалом
для параметра 0. Например, если оценивают параметр а нормального
распределения при известном значении параметра о, то вероятность
оценки равна:
(
где у =
уп
е 2 dt (z( <z2).
Jn J
(2.137)
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
101
Для экспоненциального закона распределения
р(х) = 1-е ' “ (х>0),
(2.138)
а в качестве доверительных границ можно выбрать функции
х
а1 = —
z2
и
X
а2= —
Z|
(z, < Z2).
(2.139)
Для этих границ
(2.140)
-2
где у = Jx" lexdx.
-а
Величину 3 = 1 — у называют доверительным уровнем, указываю­
щим вероятность выхода параметра за доверительные границы, а у - ко­
эффициентом доверия.
В практике часто приходится решать задачи нахождения довери­
тельных границ для неизвестной вероятности Р, полученной по результа­
там статистических данных, т.е. по частоте события. Решение этой задачи
дали английские статистики Клоппер и Пирсон. Предложенное ими ре­
шение состоит в том, что вероятность выхода неизвестной вероятности Р
за каждую из границ доверительного интервала не превосходит р, т.е.
вероятность попадания в интервал не должна превышать значения 1 - 2р.
Пусть некоторое событие А появляется с постоянной вероятностью
Р в каждом испытании, при этом в п независимых испытаний это собы­
тие появилось ровно т раз. Тогда для нахождения верхней границы Р
доверительного интервала необходимо решить уравнение
т
£С*Р‘(1-?Г*=р,
(2.141)
£=0
а для нахождения нижней доверительной границы Р - уравнение
£c*P*(l-P)""*=₽,
k=m
где Р - нижняя доверительная граница.
(2.142)
102
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
В таблице 5 приложения даны значения Р и Р при доверительной
вероятности у = 1 - 2Q = 0,95 для некоторых значений и и т. Применение
таблицы рассмотрим на числовом примере. Пусть по результатам п ис­
пытаний (/? = 25) зафиксировано т отказов (т = 5). По таблице 5 прило­
жения находим доверительные пределы для вероятности Р при р = 0,025;
£ = 0,068; 7 = 0,407.
2.18. МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Для того чтобы принять или отвергнуть ту или иную статистиче­
скую гипотезу, используют результаты наблюдений. Пусть п наблюдений
представлены последовательностью хь х2,
хп. Тогда для проверки ста­
тистической гипотезы все пространство наблюдений разделяют на два
подмножества 7?П| и R. Проверяемую гипотезу принимают по результа­
там наблюдений, если выборочная точка последовательности (хь х2, ..., х„)
попадает в область
и отвергают при попадании этой точки в под­
множество /?„, - область, которая носит название критической. Выбор
этой области однозначно определяет и область Rn.
В качестве примера рассмотрим гипотезу о приемке или браковке
некоторой партии продукции. Партия продукции может быть разделена
на годную и бракованную. Заказчик заинтересован в том, чтобы в прини­
маемой партии число бракованных изделий было очень мало. Обозначим
через Ро долю бракованных изделий, при которой партию изделий при­
нимают, а через Р} долю бракованных изделий, при которой партию бра­
куют. Тогда критическая область, при которой партию бракуют, опреде­
ляется неравенством
Х| +х2 +... + Х, + ...+Л-,,
>Р0 (0<£о< 1),
п
(2.143)
где х, - принимает значения 0 или 1; число 0 означает, что изделие после
его проверки оказалось годным; число 1 - изделие забраковано после его
проверки.
Приняв или отвергнув интересующую нас гипотезу Н, можно со­
вершить ошибки двух типов - отклонить гипотезу Н, хотя она верна, или
принять гипотезу Н, хотя она ложна. Ошибку первого типа называют
ошибкой первого рода и обозначают ее через а. Ошибку первого рода
называют также уровнем значимости критерия проверки гипотезы.
Ошибку второго типа называют ошибкой второго рода и обозначают ее
МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
103
через [3. Величину 1 - р, т.е. вероятность того, что гипотеза Н будет от­
вергнута, когда она ошибочна, называют мощностью критерия. Вероят­
ное™ ошибок первого и второго рода однозначно определяются выбором
критической области /?„, . Аналитические выражения для ошибок перво­
го и второго рода имеют вид:
а=
х2,..., х„)еЛ„2/я};
P = p{(x,, Х2,..., xJeR,,,///),
(2.144)
(2.145)
где е - принадлежность к области; Н - принимаемая гипотеза; Н гипотеза, противоположная принимаемой.
Оказывается, что при заданном объеме выборки невозможно одно­
временно сделать аир сколь угодно малыми, поэтому, выбрав тем или
иным способом а, находят такую критическую область Д„, , для которой
Р принимает минимальное значение.
При проверке статистических гипотез различают простые и слож­
ные гипотезы.
Под простой гипотезой Н понимают такую гипотезу, для которой
однозначно существует противоположная ей гипотеза Н . Например,
гипотеза Н состоит в том, что параметр X экспоненциального распреде­
ления принимает значение Хо, а противоположная ей гипотеза - в том,
что параметр принимает значение Х|.
Под сложной гипотезой Н понимают такую гипотезу, для которой
существует множество противоположных ей гипотез. Например, гипотеза
Н состоит в том, что изучаемая нами случайная величина имеет экспо­
ненциальное распределение с каким-нибудь параметром X > Хо.
Рассмотрим часто применяемый критерий согласия у? для проверки
статистических гипотез. Суть этого критерия состоит в следующем.
Пусть нужно проверить гипотезу И, состоящую в том, что результаты
наблюдений образуют выборку из п значений X - случайной величины,
которая имеет некоторое заданное теоретическое распределение. Ставит­
ся задача - определить, насколько близко выборочное распределение
случайной величины к ее теоретическому распределению.
Для решения этой задачи все пространство значений наблюдаемой
величины разобьем на непересекающиеся области S\, St, ..., Sr. Обозна­
чим через Pi вероятности попадания (при заданном распределении) в об­
ласти S,, а через т, - число попавших в эти области наблюдений.
104
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
По данным наблюдений и с учетом теоретического распределения
случайной величины определим
(2.146)
Z?
ZT "Л
пр>
Величину г - 1 называют числом степеней свободы. Доказано,
2
что при п —> оо плотность распределения величины у выражается соот­
ношением
г-3
ф(х) =
х
„Ч2<2-
•
(2.147)
2 "'Г’’
На практике при применении критерия согласия у2 пространство
выборок разбивают не менее чем на пять непересекающихся областей
(г > 5), а число реализаций, попавших в область, должно быть не менее
десяти. Для у -распределения вычислены таблицы вероятностей:
Р = р{х2 < х^ ), которые приведены в та&п. 6 прил. При использовании
таблицы следует иметь в виду следующее. Если в качестве теоретическо­
го распределения задано однопараметрическое распределение, то берут
число степеней свободы, равное г - 1. Если задано многопараметрическое
распределение, то число степеней свободы принимают равным к = r-S1, где 5-число неизвестных параметров а,, а2, ..., сц, определяемых по
результатам испытаний.
По значению у2, вычисленному по формуле (2.147), и известному
числу степеней свободы к = г-S- 1, используя табл. 6 прил., находят Р.
Если значение Р близко к единице, т.е. уц9, /9 99, ..., Х6,999> то вероят2
2
ность того, что у >уо мала, и следовательно, гипотезу Н нужно отбро­
сить.
Пример 2.16. В процессе испытаний 16 генераторов были зафикси­
рованы следующие значения наработок между отказами, ч: 2, 4, 4, 5, 5, 5,
6, 8, 8, 16, 12, 12, 15, 15, 16, 16, 18, 18,
19,20,21,21,21,21,22,22,22,22,
23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24,24, 24, 2, 3, 4,4, 4, 4, 5, 5, 5, 6.
Испытания генераторов проводились в течение t = 566 ч, при этом
весь период разбит на пять интервалов, причем первые Ю реализаций
зафиксированы на первом интервале (6, /6 = 166 ч, вторые 16 реализаций
МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
105
зафиксированы на втором интервале (/1; t2) = 100 ч и т.д. В качестве тео­
ретического распределения наработки между отказами принят экспонен­
циальный закон с параметром потока отказов (параметром распределения
па каждом участке, равном А,). Ставится задача - провести проверку со­
ответствия статистических данных наработок между отказами теоретиче­
скому распределению с помощью критерия /2 .
Решение. Для вычисления квантили /“-распределения воспользуем­
ся формулой (2.146)
5
В нашем примере все статистические данные разобьем на пять
интервалов и тогда в каждый интервал попадет по 10 реализаций, т.е.
/Н| = пъ = ...=?■ = 10.
Общее число реализаций в процессе испытаний равно: п = 50. Веро­
ятность отказа на каждом участке (интервале) соответствует параметру
потока отказа на данном участке, который определяют по формуле
У,,'
Pi
Вычислим А,, для каждого интервала:
„/ . _____________ 10
_ _____________
1 (2 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 8 + 8 + 10)
2
10
(12 + 12+15 + 15 + 16 + 16 + 18 + 18 + 19 + 20)
10
(4-21+4-22 + 2-23)
10
10
5
(2 + 3 + 4-4 + 3-5 + 6)
’
106
V
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Далее найдем значение
2 = (10-50-0,17)2 (10-50-0,0б)2 (10-50-0,(045))
Х° ~
50-0,17
+
50-0(06
+
50-0,045
+ (10-50 - 0,042)2 + (10-50-0,24)2 =
50-01042
50-0,24
~
'
Принимая в качестве теоретического закона экспоненциальное рас­
пределение, найдем число степеней свободы: к = г - 7 = 5-1 = 4.
Затем для числа степеней свободы к = 4 и квантили % = 73,3
по табл. 6 прил. определим, что вероятность Р > 0,999. Следовательно,
гипотезу об экспоненциальном распределении следует отбросить, так как
Хо,999 — 18,5 <
=73,3.
Глава 3
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА СТАДИИ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
3.1. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ
В основу исследования надежности при проектировании техниче­
ских систем ставят следующие задачи [45]:
- обоснование требований по надежности к системе и ее состав­
ным частям; выбор путей их достижения с учетом ограничений, связан­
ных с научно-техническими достижениями и ресурсами, выделяемыми на
создание системы;
- синтез требуемой надежности системы в рамках принятых кон­
цепций построения системы с учетом упомянутых выше ограничений;
- анализ надежности системы и ее элементов с помощью расчет­
ных оценок показателей надежности для различных вариантов техниче­
ских решений; на ранних стадиях проектирования задачи синтеза и ана­
лиза решают с целью выбора наилучших технических решений по обес­
печению надежности системы;
- распределение выделенных ресурсов на обеспечение надежности
систем при их создании, эксплуатации и применении по назначению, а
также обоснование программ обеспечения надежности, программ испы­
таний, выбора эффективных средств контроля качества продукции, под­
держания надежности системы в процессе эксплуатации и др.
Все перечисленные задачи успешно решают при использовании раз­
личных количественных методов исследования надежности, которыми
располагает теория надежности. Необходимо помнить, что теория
надежности - наука экспериментальная, которая базируется на результа­
тах испытаний или эксплуатации ранее созданной техники, поэтому ко­
личественный анализ надежности не исключает возможности ошибок,
однако и количественной оценкой надежности нельзя пренебрегать при
обосновании проектных решений.
108
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
3.2. ЗАДАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ, ВЫБОР НОМЕНКЛАТУРЫ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
НОРМ НАДЕЖНОСТИ
Конкретные формы задания требований и выбор номенклатуры по­
казателей надежности устанавливаются стандартами по видам техники.
В практике создания современных технических систем задание требова­
ний по надежности осуществляют на основе экспертного анализа, при
этом обоснованность принимаемых решений зависит от квалификации,
научной и инженерной интуиции экспертов.
Очень часто требования по надежности на создаваемую систему за­
дают на основе достигнутого уровня надежности на системах-аналогах
или модернизированных системах. В этом случае в дополнение к экс­
пертным оценкам используют статистические данные о достигнутых ха­
рактеристиках надежности элементов систем.
Если требуется задать оптимальный уровень надежности, то необ­
ходимый максимум целевой функции определяют по формуле [22]:
о;(я)=и',(/?)-с,(я),
(3.1)
где R - показатель надежности системы, зависящий от выбранного
z-го варианта системы (/ =
^,R) - выходной экономический эффект
от применения /-го варианта системы при уровне надежности R; CtR) затраты на обеспечение уровня надежности, равного R, для /-го варианта
системы.
Для каждого /-го варианта системы оптимальное решение находят
из условия
диф) _ дСф)
cR
dR
1 ’ _
Изложенная схема выбора оптимального уровня надежности приме­
нима, если известны структура, внешний вид и характеристики системы,
а также характеристики надежности ее элементов. В качестве выходной
характеристики системы может быть, например, производительность,
точность, быстродействие, грузоподъемность и т.д. При задании опти­
мального уровня надежности необходимо провести сравнительный ана­
лиз изменения выходной характеристики в зависимости от уровня
надежности.
Номенклатуру показателей надежности выбирают в зависимости
от класса изделий, режимов эксплуатации, характера отказов и их по­
следствий.
ЗАДАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ, ВЫБОР НОМЕНКЛАТУРЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 109
Все изделия подразделяют на следующие классы.
- неремонтируемые и ^восстанавливаемые изделия общего
назначения: составные части изделий, невосстанавливаемые на месте
эксплуатации и не подлежащие ремонту (например, подшипники, шлан­
ги, штуцеры, крепежные детали, радиодетали и др.), а также невосста­
навливаемые изделия самостоятельного функционального назначения
(например, электрические лампы, контрольные приборы и др.);
- восстанавливаемые изделия, подвергающиеся плановым техни­
ческим обслуживаниям, текущему и среднему ремонту, а также изделия,
подвергающиеся капитальному ремонту;
- изделия, предназначенные для выполнения кратковременных ра­
зовых или периодических заданий; к этой же группе относят изделия,
выполнение задания которыми обеспечивается готовностью изделия в
момент начала пользования.
Режимы эксплуатации систем могут быть следующими:
- непрерывный, когда изделие работает непрерывно в течение
определенного времени;
- циклический, когда изделие работает с заданной периодично­
стью в течение определенного времени;
- оперативный, когда неопределенный период простоя сменяется
периодом работы заданной продолжительности.
В зависимости от последствий отказа изделие может быть отнесено
к одной из трех групп надежности. К первой группе надежности относят
изделия, отказ которых влечет за собой угрозу безопасности людей или
значительный материальный ущерб государству; ко второй группе - из­
делия, для которых материальный ущерб от невыполнения задания или
простоя незначителен, либо не превышает стоимости самого изделия;
к третьей группе - изделия, для которых в случае отказа материальный
ущерб определяется утратой самого изделия или затратами на его вос­
становление.
Группу надежности изделия устанавливают на стадии технического
задания. Для конкретного изделия следует выбирать ^минимально необ­
ходимое число показателей, достаточно полно определяющих его надеж­
ность. При этом показатели надежности должны обеспечивать возмож­
ность их количественной оценки на этапе разработки, а также подтвер­
ждение по результатам испытаний и эксплуатации.
При выборе номенклатуры показателей надежности должны руко­
водствоваться государственными стандартами и отраслевыми норматив­
но-техническими документами.
Объектом нормирования могут быть сами нормативные значения
показателя надежности, контрольные уровни показателя надежности,
по
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
нормативные значения доверительной вероятности, с которой должен
быть подтвержден контрольный уровень показателя надежности.
Распределение требований по надежности между элементами систе­
мы основано на допущении, что отказ любого элемента приводит к отка­
зу системы, т.е. система состоит из последовательно соединенных эле­
ментов и что интенсивность отказов постоянна [24]. При таком допуще­
нии должно выполняться неравенство
дС^Л^Р^Х
(3.3)
где Pi - надежность элемента; t - заданное время его функционирования;
/>тр - требуемая вероятность безотказной работы системы за заданное
время.
Пусть А, - интенсивность отказов /-го элемента, а А - интенсивность
отказов системы. Тогда неравенство (3.3) примет вид:
+ г*2' +...+ еХ"'>ех',
(3.4)
А| + А2 +...+ Хп < X.
(3.5)
и соответственно,
В практике распределение нормируемых показателей надежности
проводят различными методами. Рассмотрим наиболее часто применяе­
мые из них.
3.3. МЕТОД РАЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НОРМ НАДЕЖНОСТИ
Пусть Р\, Р2, .... Р„ - надежности элементов. Предположим, что от­
каз любого элемента приводит к отказу системы. Тогда на основании
теоремы умножения вероятностей надежность системы определяется
равенством
р=^рр2..ли.
(з.б)
Пусть />т₽ - требуемая надежность системы, причем это значение
должно удовлетворять условию
рт’>Л
(3.7)
Задача состоит в том, чтобы повысить хотя бы одно из значений Р, в
формуле (3.6.) на столько, чтобы P = PV Для повышения надежности
необходимо произвести дополнительные затраты, связанные с введением
в систему более надежных элементов.
МЕТОД РАЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМ НАДЕЖНОСТИ
111
Методика повышения надежности Р до требуемого значения Р^
сводится к следующему. Надежности Р\, Pi, .... Р„ располагаются в не­
убывающей последовательности
(3.8)
Л<Л<...<Л,
Каждую из надежностей Р}, Р2, ..,Рк увеличивают до одного и того
же значения Р^, а надежности, начиная с
i и до Р„, не изменяют.
Номер к выбирают из максимального значения J, для которого
у
ртр
= о>
7+1
(3-9)
IB,7=1+1 7
к 7=1
где P,,,i = 1 принимается по определению.
Значение Ротр определяют из соотношения
I
/
к
pw(з.ю)
л+l
Пл
V=*+l
;
будет
Очевидно, что надежность системы после нахождения
удовлетворять заданному требованию, поскольку новая надежность равна
(рРУрм...р„ = р^.
(3-H
Пример 3.1. Пусть система состоит из последовательно соединен­
ных трех элементов, надежность каждого из которых соответственно
равна: /’| = 0,7; Р2 = 0,8; Рз = 0,9. Известно, что отказ любого элемента
приводит к отказу системы. Требуемое значение надежности системы
рт= 0,65.
Провести рациональное распределение норм надежности между
элементами системы с целью удовлетворения заданному требованию.
Решение. По формуле (3.6) определим надежность системы:
Р = рх р, р3 = 0,7 • 0,8 ■ 0,9 = 0,504.
112
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Предположим, что мы не стали находить значение к по формуле
(3.9), а произвольно приняли, что к= 1. Тогда, подставляя исходные дан­
ные в формулу (3.10), получим
/’о”’ = Г----065----- J 1 = 0,903.
0
( 0,8 • 0,9 • 1,0 J
После чего имеем
Р = 0,903 • 0,8 0,9 = 0,65.
Полученное значение надежности соответствует требуемому. Одна­
ко, на основании полученного значения р)гр можно заключить, что сред­
ства, необходимые для повышения надежности, распределены не рацио­
нально. Другими словами, затрачено больше средств для достижения
заданного показателя, чем требовалось. Определим теперь к по форму­
ле (3.9). С этой целью вычислим три величины:
I
т
р'Р
И =
к
г
г2 =
p'V
Ру 1,0
\ '
/
Гу =
1.0
1---- 0,65
065---- J' = 0,903;
10,8-0,9-1,0 J
( 0,65 Y 2 = 0,85;
1.0,9 -1,0 J
Д —' = 0'866'
к
Z
Так как р <г}, /Д < ^2, 7j >r3, то принимаем к = 2. В этом случае
наибольшее значение индекса j со свойством Р < г равно двум. Далее,
учитывая выражение (3.10), находим
ртр =
_ р^Ко,85.
г0 “
10,9-1,0 J
Это означает, что средства необходимо распределить следующим
образом. Надежность элемента № 1 нужно увеличить с 0,7 до 0,85, а
надежность элемента № 2 с 0,8 до 0,85, надежность элемента № 3 нужно
оставить на прежнем уровне. В результате надежность всей системы
будет равна
Р = 0,85 • 0,85 • 0,9 = 0,65.
МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
113
3.4. МЕТОД РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Предположим, что система состоит из п последовательно соединен­
ных элементов, имеющих одинаковую надежность. Пусть Ртр - требуемая
вероятность безотказной работы системы, а Д - вероятность безотказной
работы /-го элемента системы. Тогда можно записать
/?тр=Пр>’
/=|
<312>
откуда
(3.13)
Таким образом могут быть распределены следующие показатели
надежности: вероятность безотказной работы, средняя наработка до отка­
за, средняя наработка на отказ, коэффициент готовности. В этом случае
средняя наработка до отказа или на отказ элемента будет равна:
Г, =пТтр, / = 1, 2, .... и.
(3.14)
тр
где Т - заданная средняя наработка системы.
Недостатком этого метода является то, что уровень надежности эле­
ментов системы устанавливается без учета их важности, последствия их
отказов и трудности достижения надежности.
3.5. МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Этот метод используют в том случае, когда система представляется
в виде последовательно соединенных подсистем, причем каждая подси­
стема содержит к, элементов. В этом случае надежность /-Й подсистемы
определяется соотношением
(3.15)
где
п
(3.16)
здесь kt - число «приведенных» элементов; п - число подсистем, входя­
щих в систему.
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
114
Если известны интенсивности отказов элементов, то метод пропор­
ционального распределения можно записать так
«Г'»
Е
2
--------2.
(3.17)
Ехл
1=1
3.6. МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ
ПО НАДЕЖНОСТИ С УЧЕТОМ
ОТНОСИТЕЛЬНОЙ УЯЗВИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
Этот метод также основан на допущении того, что элементы системы
соединены последовательно, имеют постоянную интенсивность отказов,
причем отказ любого элемента приводит к отказу системы, и кроме того,
заданная наработка элементов равна заданной наработке системы [20].
Суть метода состоит в том, чтобы выбранные Х)р удовлетворяли
неравенству
Е^Х-,
(3.18)
/=1
где
X,
ХГР
- требуемые интенсивности отказов соответственно
/-го элемента и системы.
Выбор требуемого к1-' элементов проводят в два этапа. На первом
этапе определяют интенсивность отказов X, на основе результатов опыта.
Затем задают весовые множители (л, для каждого элемента системы в
соответствии с интенсивностями отказов, полученными на первом этапе:
XW, =—----- ’
/ = 12...... п,
(3.19)
Е^
/=1
где п - число элементов, входящих в систему.
Таким образом, весовой множитель со, показывает относительную
уязвимость /-го элемента. При этом
МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ ПО НАДЕЖНОСТИ
115
п
Ё®,=1-
(3.20)
/=1
Далее вычисляют требуемые интенсивности отказов элементов с
помощью соотношения
Ар = о)Д'Г1’, / = 1, 2, .... п.
(3.21)
Тогда формулу (3.18) можно рассматривать как равенство
(3.22)
= Хтр.
/=|
При мер 3.2. Система состоит из четырех последовательно соеди­
ненных элементов, для которых по результатам испытаний получены
оценки интенсивностей отказов: А| = 0,005; X, = 0,003; А,3 = 0,001;
Х.| = 0,001. Требуемая вероятность безотказной работы за t = 20 ч состав­
ляет ?(/) = 0,95. Определить требуемые значения вероятности безотказ­
ной работы элементов.
Решение. По формуле (3.19) вычислим коэффициенты уязвимости
элементов:
0,005
Ь1
*■2
ОД = “----- ----------------А. | + Х2 + Х.3+Х4
Ц
0,01
3
—01 = 0,1.
Принимая экспоненциальный закон распределения, найдем требуе­
мую интенсивность отказов системы:
д(г) = ехр(- Хтр/) = ОД5;
?|р_
!»/>(/)_
t
(-0,0513)
,5? 10? ч,
20
Далее по формуле (3.21) определим требуемые интенсивности отка­
зов элементов:
Х^=сД^ = 0,5 • 0,00257 = 0,001285;
116
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
X ?= <в2Х.тр = 0,3 ■ 0,00257 = 0,000771;
Х3Р= со3Хтр = 0,1 • 0,00257 = 0,000257 ;
^р= ю4лтр = 0,1 • 0,00257 = 0,000257.
Соответственно требуемые значения вероятности безотказной рабо­
ты элементов равны:
/3 (/ = 20) = ехр(- 0,001285-20)= 0,9744 ;
Р2 (t = 20) = ехр(- 0,000771 • 20) = 0,9846 ;
Р3 (/ = 20) = P4(t = 20) = ехр(- 0,000257 • 20) = 0,9948 .
3.7. МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ
ПО НАДЕЖНОСТИ С УЧЕТОМ ВАЖНОСТИ ПОДСИСТЕМЫ
Этот метод так же, как и выше рассмотренные методы, основан на
допущении о последовательном взаимно независимом соединении под­
систем, имеющих экспоненциальное распределение времени работы.
Показатель важности подсистемы определяют через вероятность отка­
за системы, если эта подсистема выйдет из строя. Показатель важности,
равный единице, означает, что для безотказной работы системы эта под­
система должна работать безотказно, а показатель важности, равный ну­
лю, - что отказ подсистемы не влияет на работу системы.
Каждая подсистема представляет собой совокупность элементов,
имеющих соответствующие соединения.
При распределении требований по надежности предполагают, что
каждый элемент вносит одинаковый вклад в безотказную работу систе­
мы. Тогда требуемая надежность для каждой z-й подсистемы определится
из соотношения [20]
z = 1, 2, ..., п,
(3.23)
где Nt - число элементов в z-й подсистеме; /э‘гр(/) - требуемая вероятность
безотказной работы системы за время I; N - общее число элементов в си­
стеме; со, - показатель важности (уязвимости) для z-й подсистемы
(вероятность отказа системы при выходе из строя z-й подсистемы);
/, - требуемая продолжительность работы z-й подсистемы за время рабо­
ты системы (0 < t, /).
МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ ПО НАДЕЖНОСТИ
117
Требуемую вероятность безотказной работы z-й подсистемы за за­
данное время /, определяют по выражению
Лтр(г,)=1
(3-24)
Формула (3.24) дает хорошее приближение к экспериментальному
значению, если для каждой подсистемы значение коэффициента важно­
сти со, близко к единице.
Пример 3.3. Для системы, состоящей из пяти подсистем, требуется
обеспечить вероятность безотказной работы Pw(t) = 0,90 в течение вре­
мени t = 20 ч. Исходные данные для подсистемы сведены в таблицу.
Исходные данные
Номер
подсистемы
Число Nj
элементов
в подсистеме
Коэффициент
важности со.
Продолжительность /,
работы
подсистемы, ч
1
10
1,00
20
2
20
0,95
20
3
50
0,90
15
4
100
0,99
10
5
80
1,00
10
5
Решение. Общее число эле ментов в системе: N =
По форму ле (3.23) вычислим интенсивности отказов:
1п0,90] _ . . ю-4
260 • 10■20
2°^„0.90] _
-
.
и'*;
260-0 ,95-20
1, = 5“[~ "0-’0±= 1.5 !<)->
ч-';
3 260- 0,90-15
260 .
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
118
5
80[-Ш0,90] =
260-1,0-10
|0_, ч_,
Далее по формуле (3.24) определим требуемые вероятности безот­
казной работы подсистем:
0,95
0,9
РЛ(, = ,0).,_НМ^ = 0,9598 ;
4 v
’
0,99
5 v
'
1.0
0,968! .
Проверка::
5
дтр (/) = J“[ дтр (/) = 0,996 • 0,9915 • 0,9777 ■ 0,9598 • 0,9681 = 0,90 .
1=1
3.8. ВИДЫ ОТКАЗОВ
По причине возникновения отказы делят на конструкционные, про­
изводственные и эксплуатационные. Конструкционные отказы, связаны с
ошибками конструирования, производственные отказы - с ошибками
при изготовлении или несовершенством технологии, эксплуатационные
отказы - с нарушением правил эксплуатации.
По месту проявления отказы выявляют при испытаниях опытных
образцов, серийных изделий и в процессе эксплуатации.
По характеру проявления отказы подразделяют на случайные и не­
случайные. Вероятность случайных отказов незначительна, а вероятность
неслучайных отказов сколь угодно близка к единице. Неслучайные отка­
зы связаны с ошибками, допущенными в конструкторской, технологиче­
ВИДЫ ОТКАЗОВ
119
ской или эксплуатационной документации. Эти отказы, как правило, про­
являются на всех изделиях, изготовленных по дефектной документации.
Нормальная эксплуатация системы возможна лишь после устранения
причин неслучайных отказов изделий и доработки документации.
По характеру изменения параметра, определяющего надежность из­
делия до момента отказа, различают внезапные и постепенные отказы.
По характеру устранения отказы подразделяют на устойчивые, са­
моустраняющиеся, сбои и перемежающиеся, по наличию внешних про­
явлений - на явные и скрытые.
Одной из важнейших характеристик изделий в процессе их работы
является кривая изменения интенсивности отказов корытообразной
формы с тремя явно выраженными участками (рис. 3.1).
В первом временном интервале /0 - t\ проявляются ранние отказы
из-за конструкторских или производственных дефектов. Этот период
называют периодом приработки (или периодом выжигания). С целью
уменьшения отказов на участке приработки вводят тщательный контроль
Рис. 3.1. Типичные формы кривых, являющихся основными
характеристиками надежности элементов систем:
/J(t) - вероятность безотказной работы; /(/) - плотность распределения отказов;
Л(7) - интенсивность отказов
120
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
качества материалов и комплектующих элементов, а также специальные
приработочные испытания. Обычно в расчетах надежности изделий этот
участок кривой не учитывают.
Второй участок кривой изменения надежности в интервале / - А ха­
рактеризуется практически постоянной или незначительно изменяющей­
ся интенсивностью отказов. На этом отрезке времени в основном прояв­
ляются отказы случайного характера, вызванные неблагоприятным соче­
танием допусков или увеличением непредусмотренных нагрузок. Этот
период работы элементов и систем называется нормальным и характери­
зуется постоянством интенсивности отказов. В расчетах надежности
обычно используется этот участок кривой.
Последний, третий участок (/ > А) называют периодом старения или
износа. На этом участке происходят необратимые физико-химические
изменения, когда интенсивность отказов монотонно возрастает и надеж­
ность соответственно снижается.
3.9. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА
Невосстанавливаемым называют элемент, если он работает до первого
отказа, после чего элемент заменяется на такой же, гак как его восстановле­
ние в условиях эксплуатации невозможно. В качестве примеров невосстанавливаемых элементов можно назвать радиоэлементы, микросхемы, уплот­
нительные кольца, манжеты, снаряды, пиропатроны, ракеты и т.д.
Для невосстанавливаемых элементов, работающих до первого отка­
за, на этапе проектирования обычно используют показатели безотказно­
сти, и прежде всего, - вероятность безотказной работы.
Ниже приведены показатели надежности в двух формах - вероят­
ностной и статистической.
Вероятностную форму показателей надежности используют на ста­
дии разработки технической документации (эскизный проект, техниче­
ский проект), статистическую форму - для оценки показателей надежно­
сти по результатам испытаний и эксплуатации. При увеличении числа
испытаний статистические показатели надежности близки по вероятно­
сти к соответствующим вероятностным показателям.
Пусть время работы невосстанавливаемого элемента представляет
собой случайную величину т. Причем в момент t = 0 элемент начинает
работать, а в момент t = т происходит отказ, следовательно т - время
жизни элемента. Таким образом, время жизни элемента носит случайный
характер, поэтому в качестве основного показателя надежности можно
назвать вероятность безотказной работы в интервале 0 - t0. В вероятност­
ной форме этот показатель запишется так
IЮКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА 121
F(Z) = Р(т > to),
(3.25)
где Л/о) - вероятность того, что элемент, начав работать в момент време­
ни t = 0, не откажет в течение заданного времени работы /о о т - случайная
наработка элемента до первого отказа.
Кривая изменения вероятности безотказной работы элемента во
времени, на рис. 3.1, показывает, что функция надежности монотонно
убывает во времени: при t = 0 P(t = 0) = 1; при t —> со p(t = со) = °.
При статистической оценке вероятность безотказной работы опре­
деляется равенством
где 7V(/q) - число элементов, оставшихся работоспособными к моменту
времени to, W(o) - общее число элементов, поставленных на испытания;
n(t0) - число отказавших элементов к моменту времени to.
Статистическая функция надежности приведена на рис. 3.2.
Показателем, противоположнььм функции надежности, является
функция распределения, которая выражается зависимостью
Д(/о) = Д(</о).
(3.27)
Тогда вероятность отказа элемента в интервале времени 0 - to запи­
шется в виде:
бо) = 1-^°).
(3.28)
Рис. 3.2. Статистическая функция надежности
122
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
В статистической форме вероятность отказа определяется равен­
ством
(>(?0)=1-Д/0) = ^.
(3.29)
Следующим показателем надежности элемента является плотность
распределения отказов, которая в вероятностной форме запишется так
-М
^(0
dt
dQ(t)
dt
dP(t)
dt ’
(3.30)
где /(1) - плотность вероятности того, что время работы элемента до отка­
за окажется меньше /, или плотность вероятности отказа (см. рис. 3.1)
к моменту времени /.
При статистической оценке плотность вероятности определится со­
отношением
n(t + Ar)- n(t) _ 7V(z + A/)- N(t)
а(о)д/
”
jv(o)a/
(3.31)
где /(z) - отношение числа отказов в интервале времени к произведению
работоспособных элементов в начальный момент времени t = 0 на дли­
тельность интервала времени Д/; n\t, t + &t) - число элементов, отказав­
ших в интервале времени [z, t + Д/].
Важным показателем надежности невосстанавливаемого элемента
является интенсивность отказов, которая определяет надежность элемен­
та в некоторый момент времени t, для которого в вероятностной форме
интенсивность отказов
л=
1
[1 - F(z)] dt
.... /(')_(
1 }dP(t)
P(t)
P(t)j dt
(3.32)
Из уравнения (3.32) легко выразить функцию надежности через ин­
тенсивность отказов
(3.33)
Отсюда вероятность безотказной работы в интервале времени [Zb /2]
будет равна
ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА 123
^2
^1, ^)=ехР
j л(/)о7 .
(3.34)
_
6
При статистической оценке интенсивность отказов находят из соот­
ношения
,,д \
ц() + А/)-я()) _ У(г + Af)-V(z)
т
A(z)A
t + A?)
(3.35)
где XG) - отношение числа отказов в интервале времени [) t + А/] к про­
изведению числа исправных элементов w(r) в момент времени t на дли­
тельность интервала времени А?; кривая изменения интенсивности отка­
зов приведена рис. 3.1.
Показателем надежности невосстанавливаемого элемента является
средняя наработка до отказа, которая в вероятностной форме определя­
ется как математическое ожидание времени работы элемента до отказа
оо
оо
о
: р((>.
о
(3.36)
Среднее время безотказной работы или средняя наработка до отка­
за могут быть получены по результатам испытаний. Для этого нужно
испытать все элементы до отказа. Пусть время жизни каждого из этих
элементов соответственно равно та;
..., xN . Тогда в статистической
форме средняя наработка до отказа будет равна
А
°
Т|
2 + - + Тдд
+т
N
= 1 УТ(.
1
(3.37)
где N - число элементов, поставленных на испытания; т - случайная
наработка до отказа z-го элемента.
Так как практически невозможно осуществить испытания всех эле­
ментов до отказа, то в первом приближении при большом числе N сред­
нюю наработку до отказа можно определить зависимостью
(3.38)
где N - число элементов, поставленных на испытания; т - число отка­
завших элементов.
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
124
Формула (3.38) справедлива при числе т отказавших элементов
близком к N.
Другим показателем надежности невосстанавливаемого элемента
является дисперсия времени жизни, которая в вероятностной форме име­
ет вид
со
О[т] = М[х - 7Ь]2 = а2 = |/2(/>Й - 7 = 2
о
Величину а
Т)2.
(3.39)
о
называют средним квадратическим отклоне­
нием времени работы элемента до отказа от своего среднего значения
наработки То.
Статистическую дисперсию определяют по выражению
(3 40)
N
где т = —
N tT
N- число элементов, поставленных на испытания.
Таким образом, в качестве основных показателей надежности для
невосстанавливаемого элемента являются следующие шесть показателей:
1) P(t0) - вероятность безотказной работы за заданное время 0
2) Q(to) - вероятность отказа элемента за заданное время /0;
3) У() ~ плотность распределения отказов;
4) Х(Д - интенсивность отказов элемента в момент времени /;
5) То - средняя наработка элемента до отказа;
6) £>(/) - дисперсия времени безотказной работы элемента.
3.10. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА
Все показатели надежности, приведенные для ^восстанавливаемых
элементов, могут быть использованы и для восстанавливаемых элементов
при исследовании надежности элемента до первого отказа. К показателям
надежности, присущим только восстанавливаемым элементам, относятся
средняя наработка между отказами, параметр потока отказов, средняя
наработка на отказ, среднее время восстановления, коэффициент готов­
ности, коэффициент технического использования, вероятность восста­
новления.
Средняя наработка между отказами в вероятностной форме опре­
деляется равенством
ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА
125
(3.41)
|де Т - математическое ожидание предельного значения наработки меж­
ду отказами; Тк - средняя наработка элемента от момента окончания
(/-1)-го восстановления до К-го отказа; К - число восстановлений;
Т, - время работы элементов от (/ - 1)-го до у-го восстановления;
оо
Тк =
со
k ] = f tfi (4* =J Pk[t)dt,
о
(3.42)
о
здесь Л (О - плотность распределения наработки между отказами;
Рк (/) - функция надежности наработки между отказами.
Статистическая оценка средней наработки между отказами равна
Т -- 1
* *(о)£ к'
(3.43)
где TV(O) - общее число элементов, начавших работать после (А - 1 )-го вос­
становления; т'к - реализация времени работы после (&-1)-го восстановления до К-го отказа /-го элемента.
Параметр потока отказов при вероятностной оценке для стациопарных ординарных потоков отказов определяется выражением
Х = 1­
Т
(3.44)
где Л - математическое ожидание числа отказов восстанавливаемого эле­
мента в единицу времени для установившегося процесса эксплуатации.
При статистической оценке
Х=4
(3.45)
Т
где X - среднее число отказов восстанавливаемого элемента в единицу
времени.
Среднюю наработку на отказ в вероятностной форме находят из
соотношения
to
w[w(r0)]
(3.46)
126
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
где ?о _ суммарная наработка элемента за заданное время Г; Л/[т(/0)] математическое ожидание числа отказов за это время.
Статистическую оценку средней наработки на отказ определяют
по формуле
(3.47)
где t0 - суммарная наработка элемента за время наблюдений; т(10~) - чис­
ло отказов за это время.
Среднее время восстановления элемента при вероятностной оценке
равно
со
00
т;0= pB/B(/)d/ = JPB (/)<!/,
о
о
(3.48)
где /„(/) - плотность распределения времени восстановления; /%(/) - веро­
ятность восстановления за заданное время.
Статистическую оценку среднего времени восстановления опреде­
ляют по формуле
1
Ф)
(3‘49)
где /V(0) - общее число элементов, подвергшихся восстановлению;
среднее время восстановления /-го элемента.
Интенсивность восстановления элемента в момент времени I, от­
считываемого с момента начала восстановления при вероятностной
оценке, равна
л,(/ + А/)-л(/)
(3.50)
^(/)Д/
где А„ - отношение числа восстановлений в интервале времени
[/, / + А/] к произведению числа элементов, еще не восстановленных к
моменту t, на длительность интервала времени А/; >?в (/) - число элемен­
тов, восстановление которых длилось меньше времени /; NK (/) - число
элементов, восстановление которых длилось больше этого времени /.
Коэффициент готовности характеризует готовность элемента к
применению по назначению в произвольный момент времени, кроме
планируемых периодов обслуживания, когда применение элемента по
назначению исключено. Этот показатель является комплексным, так как
IЮКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА
127
он количественно характеризует одновременно два показателя - безот­
казность и ремонтопригодность.
Коэффициент готовности определяют по формуле
к _ ^о)
Г Л'оМ’
(3.51)
где Г(/о) - средняя наработка на отказ; - среднее время восстановления
одного отказа.
Статистическая оценка коэффициента готовности
-
к
г
f('o)
^о)+т;
(3.52)
Коэффициент технического использования характеризует долю
времени нахождения элемента в работоспособном состоянии относи­
тельно рассматриваемой продолжительности эксплуатации. Коэффици­
ент технического использования учитывает затраты времени на плановые
н неплановые ремонты и определяется по формуле
Кт.и
1 ~ Крем
Арегг>
(3-53)
где
т
Т
'эксп ’
(3.54)
здесь t„, - время восстановления /-го отказа элемента; т - число отказов
/-го элемента; Т-п:сп - время эксплуатации элемента;
К
_ трсгл
К рсгл
гр
’
Т эксп
(3.55)
здесь Грегл _ суммарное время, затраченное на проведение всех видов об­
служивания за время эксплуатации изделия, предусмотренных эксплуа­
тационной документацией.
Коэффициент оперативной готовности характеризует надежность
системы, необходимость применения которой возникает в произвольный
момент времени, кроме планируемых периодов, когда применение си­
стемы по назначению не предусмотрено, и, начиная с этого момента, из­
делие будет работать безотказно в течение заданного времени t0.
Численное значение коэффициента оперативной готовности опреде­
ляется выражением
128
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
= М'о)=
т('о)
(3.56)
К одному из основных показателей надежности восстанавливаемого
элемента относится вероятность восстановления, которая представляет
собой значение функции распределения времени восстановления за за­
данное время tB. Вероятность восстановления PB(t) определяют по форму­
ле Пуассона, так как процесс восстановления представляет собой пуассо­
новский поток с соответствующим параметром /.в
(3-57)
где т - число восстановлений; А.в - интенсивность восстановления.
Таким образом, восстанавливаемый элемент характеризуют следу­
ющие основные показатели надежности:
1) средняя наработка на отказ;
2) средняя наработка между отказами;
3) параметр потока отказов;
4) среднее время восстановления;
5) интенсивность восстановления;
6) коэффициент готовности;
7) коэффициент технического использования;
8) вероятность восстановления;
9) все шесть показателей надежности для невосстанавливаемого
элемента при условии восстановления элемента до первого отказа.
Пример 3.4. На испытания поставлено 10 ^восстанавливаемых
элементов (N = 10). Испытания проводились в течение 100 ч (/ = 100).
В процессе проведения испытаний отказало восемь элементов (от = 8),
при этом отказы зафиксированы в следующие моменты времени, ч:
Ti = 20, т2 = 30, т3 = 50, т4 = 30; т5 = 40, 16 = 60, т2 = 70, т8 = 60. Оставшиеся
два элемента не отказали.
Определить среднюю наработку до отказа.
Решение. Вычислим наработку до отказа для невосстанавливаемого
элемента по формуле (3.38)
20+ 30+ 50 +30 +40+ 60 +70+ 60+ (10-8)-100
------------------------------------------------- *--------------= 56 ч.
10
1ЮКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА
129
Пример 3.5. Найти интенсивность отказов Х(0) и построить график
изменения кривой интенсивности отказов (рис. 3.3) по данным, представ­
ленным в таблице. На испытания поставлено 100 элементов (А = 100),
испытания проводились в течение 100 ч (/ = 100).
Исходные данные результатов испытаний
Интервалы
времени
До = 0 - 0-1
Число
отказов в
интервале
Ап,
Число N(tj)
неотказавших
элементов
к моменту
времени t.
ДО
Ди,
Мо)
0...10
10
90
50...60
3
68
10...20
9
81
60...70
2
66
20...30
6
75
70...80
5
61
30...40
2
73
80...90
9
52
40...50
2
71
90...100
10
42
Для построения кривой интенсивности отказов воспользуемся фор­
мулой (3.35):
132
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
тов. Высокий уровень их надежности достигается в результате использо­
вания надежных элементов, правильного назначения периодичности тех­
нического обслуживания, обеспечения быстрого восстановления или за­
мены отказавших элементов в процессе эксплуатации.
Последовательно присоединяют и некоторые резервные элементы.
Отказ резервного элемента также приводит к отказу всей системы.
На практике это происходит, например, в электронной аппаратуре при
коротком замыкании, в гидравлической и пневматической системах при
разрыве трубопроводов и выходе из строя клапанов и т.п.
Последовательные системы могут состоять из ^восстанавливаемых
и восстанавливаемых элементов.
Для системы, состоящей из и последовательно соединенных невосстанавливаемых элементов, случайная наработка до отказа системы рав­
на минимальному значению из случайных наработок ее элементов. Если
элементы являются независимыми и известны вероятности безотказной
работы каждого элемента за заданное время t0, то вероятность безотказ­
ной работы системы за заданное время /0 будет равна
Н°)=ГП('о)-
(3.58)
/=1
Структурная схема надежности системы, состоящей из последова­
тельно соединенных элементов, приведена на рис. 3.5.
При значениях надежности системы, близких к единице, для ее рас­
чета можно использовать приближенные формулы:
п
п
1=1
/=1
(3.59)
/>"(г0)=1-л[1 -/’(/<»)];
(3.60)
№Л = \-_~Рп О.
(3.61)
Рис. 3.5. Структурная схема надежности системы
с последовательным соединением элементов
РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
133
При известной вероятности безотказной работы точное значение
наработки до отказа системы можно определить по формуле
T = ]p(t)dt.
(3-62)
о
Если известно, что наработка до отказа элементов распределена по
жспоненциальному закону, то
Д()=ехр(-Х,/.
(3.63)
Тогда вероятность безотказной работы системы
= ехр(-Л/0),
(3-64)
где к, и А - интенсивности отказов элементов и системы, соответственно.
В этом случае наработка до отказа системы
Т=—
А
(3.65)
Для kfa «1 приближенное значение вероятности безотказной
работы
Д(го )*1-Мо ■
(3.66)
Отсюда вероятность отказа системы соответственно равна:
2>7,.)-l-eX^p(-Ar(:)«A./0.
(3.67)
Все характеристики надежности систем можно получить, если из­
вестны интенсивности отказов X/ всех элементов. Часто в реальных кон­
струкциях систем используют однотипные элементы и тогда:
P(zo)=exp
<
г
А
;
(3.68)
<=1
(3.69)
где т, и к - соответственно число и интенсивность отказов элементов
/-го типа; г - число типов элементов.
134
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Как правило, не все элементы работают непрерывно от момента
начала и до окончания работы системы. Поэтому, принимая допущение о
независимости отказов элементов, надежность системы можно вычис­
лить по формуле
P(t° )
=
Л (К.
>2 (*2 ) •••
Р„ (f„)
=
ПР
,),
(3-70)
/=1
где Д-Д*,) - вероятность безотказной работы /-го элемента за время t, < t0 .
Используя экспоненциальный закон надежности, можно записать:
Д(б)=ехр(- V,).
(3-71)
Тогда надежность системы определится равенством
(3.72)
Формулами (3.68) и (3.69) можно пользоваться в том случае, когда
однотипные элементы работают одновременно.
Расчет надежности восстанавливаемых систем с последователь­
ным соединением элементов основан на допущении о том, что все рас­
пределения наработки до отказа и времени восстановления отдельных
элементов являются экспоненциальными, т.е. процесс функционирования
системы является стационарным, без последействия и ординарным.
Стационарность процесса означает постоянство параметра А пото­
ка отказов в течение заданного промежутка времени t0, т.е. X = const.
Отсутствие последействия означает независимость появления от­
казов элементов системы, т.е. отказы элементов системы взаимно незави­
симы и не влияют друг на друга.
Ординарность процесса означает практическую невозможность по­
явления двух или более отказов в одно и то же время (точнее, за малый
промежуток времени, когда AZ —> 0 ). Принятое допущение справедливо,
если средняя наработка до отказа элементов системы значительно боль­
ше времени их восстановления. На практике это условие обычно выпол­
няется.
В таблице 3.1 приведены формулы для расчета показателей надеж­
ности восстанавливаемых систем с последовательным соединением
элементов.
РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
135
3.1. Расчетные формулы показателей надежности
восстанавливаемых систем
с последовательным соединением элементов
Приближенное
значение
Точное
значение
1 Указатель
надежности
( ' рсдняя
наработка
между
отказами
системы
=
/
л ь.
1=1
1 (ероятность
безотказной
работы
системы
р(го)=ехр(-Л/о)
1-А/о
Вероятность
отказа
системы
e(/o)=l-exp(-Azo)
А/о
(’реднее
время вос­
становления
системы
Коэффициент
готовности
системы
Коэффициент
технического
использова­
ния системы
Коэффициент
оперативной
готовности
системы
г
к
= 1 у1, -
1
'' /=1
И/
v1
2)
/=1
Т
=
\
т*т-
н А
'-У—
i+yh
Z= Ч/
У/
/ - в/ +т
1 регл
1 эксп
к0.г = кгр^(0))=-Еу)°0)
/ + /в
(
«
11
й)о.г
лг
\
А
1=1
(1-А/0)
п
==1
7
I
136
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
3.12. РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
БЕЗ УЧЕТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ РЕЗЕРВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Одним из способов повышения надежности систем является резер­
вирование элементов, которое широко используют на стадии проектиро­
вания. Система с параллельным соединением элементов построена таким
образом, что отказ ее происходит лишь в случае отказа всех элементов,
т.е. система исправна, если исправен хотя бы один ее элемент. При раз­
работке технических систем в зависимости от выполняемой задачи
применяют нагруженное (горячее) и ненагруженное (холодное) резерви­
рование.
Горячее резервирование применяют тогда, когда не допускается пре­
рывание функционирования системы во время переключения отказавше­
го элемента на резервный в целях выполнения задачи в установленное
время. Чаще всего, горячему резервированию подвергаются отдельные
элементы или отдельные каналы.
Холодное резервирование применяют тогда, когда требуется увели­
чение ресурса работы элемента и допускается время на переключение
отказавшего элемента на резервный.
Существуют технические системы с частичным параллельным
резервированием. Такие системы работоспособны в случае отказа не­
скольких элементов.
Если система представляет собой ряд нагруженных параллельно со­
единенных п элементов (рис. 3.6), то вероятность отказа системы
e?„W)=7i (0^2
где п - число параллельно соединенных элементов.
Рис. 3.6. Структурная схема надежности системы
с параллельным соединением элементов
(3-73)
РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
137
При условии одинаковой ненадежности элементов выражение (3.73)
принимает вид
^((“О")').
(3.74)
Тогда вероятность безотказной работы системы
Р;() = 1-6и(() =
••• <7„('(0
(З.75)
При условии, что все п элементов системы одинаково безотказны в
работе
P,W=l-<7"(4
(3.76)
Формула (3.74) проста и удобна в практическом применении. Если,
например, известна вероятность отказа элемента q(t) и требуется опре­
делить такое число резервных элементов, при котором ненадежность
(),()) не будет превосходить заданного значения g(r),T.e.
<?''(/)< Q(/).
(3.77)
Тогда из неравенства (3.77) получим
In—Ц
(3.78)
Если же, наоборот, задавшись числом резервных элементов, опреде­
ли гь, какой должна быть надежность каждого из них, то получим
(3.79)
Для случая экспоненциального закона, если надежности элементов
близки к единице, то
(3.80)
и, следовательно,
<7*0 = п ~е ’**'
(3.81)
Q,, я
(3.82)
тогда
Для равнонадежных элементов
(3.83)
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
138
Среднее время безотказной работы резервной группы из п элемен­
тов при экспоненциальном законе распределения определяют по формуле
Ги=у—-у—+ k^k+^s+K
у — ------(3.84)
■■■+(-1)"
X* +
1
+ Xt, +... + Хи
Для случая равнонадежных элементов
7; =Д+1 + 1+...+1
я
Х<
23
п
(3.85)
Если обозначить среднее время безотказной работы одного элемента
через 7] = — , то
X
1 —1
--2 3
(3.86)
Для случая закона распределения Вейбулла при условии, что систе­
ма состоит из равнонадежных элементов, среднее время безотказной
работы резервной группы из п элементов (включая основной) вычисляют
по формуле
(3.87)
t=l
По результатам испытаний среднее время безотказной работы ре­
зервной группы из п элементов равно
[Г-(*-!?’]
к=\
А"
(3.88)
где хк - случайное время работы К-ro элемента; 0 < Tj < т2 < ... < т„ случайное время работы элементов; N - число одинаковых элементов,
поставленных на испытания и доведенных до отказа последнего из них.
В случае ненагруженного (холодного) резерва среднее время ре­
зервной группы равно
■Mi
РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
139
(3.89)
где 1 1 р' - среднее время жизни ^-^зго элемента.
В частности, если все элементы равнонадежны, то
71(п)
Щ •
2-р = ™-р
(3.90)
При экспоненциальном законе распределения времени жизни эле­
ментов ненадежность системы определяют по формуле
а»-^2
(3.91)
п!
Эта формула справедлива при условии, когда произведения Xkt
малы. Если все элементы резервной группы имеют одинаковую надеж­
ность, то приближенно ненадежность системы
й,0)=А-2
(3.92)
При X «1 формула упрощается:
,, М
а(')~
nl
|«
(3.93)
Тогда надежность систем при холодном резервировании можно
определить по формуле
М
(3.94)
и!
i«
Анализ различных способов резервирования показывает, что ненагруженный резерв в любом случае выгоднее нагруженного при условии,
что время переключения не влияет на работоспособность системы. Про­
ведем количественное сравнение этих двух типов резервирования.
Пусть для случая нагруженного резерва
(3.95)
140
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
а для ненагруженного резерва
(3.96)
Отсюда
(3.97)
т.е. при переходе к ненагруженному резерву ненадежность уменьшается
в п\ раз, и следовательно, надежность увеличивается в п\ раз.
Аналогичный вывод можно сделать и при сравнении среднего вре­
мени жизни резервов.
Так, для нагруженного резерва
7$
= Ц‘ср нср
(3.98)
а для ненагруженного 72?* = nt_p. Отсюда
1
■+ —
и
(3.99)
Чем больше кратность резервирования, тем больше среднее время
жизни системы; например, при п = 4
Для случая частичного параллельного резервирования вероятность
безотказной работы системы определяют по формуле
(З.ЮО)
к=т
где С„ = ——----- г-; п - общее число элементов в системе; <(/) - вероятк\(п-к]1
ность отказа каждого элемента одинакова; т - число исправных элементов,
при которых обеспечивается работоспособность системы; если т = 1, то
система будет полностью параллельной, в остальных случаях - частично
параллельной.
РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
141
При экспоненциальном законе распределения времени жизни эле­
мента надежность системы определяют по формуле
/’„(/)=»1-С,7 '(Х/)"“",+|.
(3.101)
Среднее время жизни резервной группы
1
тк
(3.102)
В практике проектирования радиотехнических систем и электрон­
ной аппаратуры часто используют другие виды резервирования, напри­
мер применяют схемы, работающие по принципу «два из трех», либо
мостиковые схемы. Вероятность безотказной работы для схемы «два из
грех», вычисляют по формуле
<?(')]2 ДН
(3.103)
где д(?) - вероятность отказа каждого элемента за время t, т.е. значения
</(/) для всех элементов резервирования одинаковы.
Надежность мостиковой схемы определяется равенством
= [1 - д()]5 + 5[1 - д«д(0 + 8[1 - д(013д2 (() + 2[1 -д)2 д3(1).
(3.104)
Различают также поканалъное (общее) и поэлементное (раздельное)
резервирования. Структурные схемы надежности (ССН) для такого вида
резервирования приведены на рис. 3.7 и 3.8.
—
^21
-------
р12--------------------------- Р\п
^22--------------------------- ?2п
Рис. 3.7. ССН системы с общим резервированием
Рис. 3.8. ССН системы с раздельным резервированием
Вероятность безотказной работы системы с общим резервирова­
нием вычисляют по формуле
*06 = [I - (I - Мг - Ал) (1 -p2i Рп - Ргп )•••(’ - Ai Аг - Ал)] -
(3.105)
При Ру = Ру
/?° = i-(i-ppv.p,J.
(3.106)
где Р, - вероятность безотказной работы элемента.
Если Ру = Р, то
(3.107)
Вероятность безотказной работы системы с раздельным резерви­
рованием определяют из выражения
ррта.=[1- 0 - Р <) 0 - а. )-0 * Ры )] [1 - 0 - р2 ) 0 - Р22 )-(i - рк2 )]
>[1-(|-Рл)(1-/’2„)-('-А„)].
-к
(3.108)
При значениях /т = Ру
Л^а1=^[1-(1-^°1)Л][1-(|--^^)у.41-(1-/::))у] •
(З.Ю9)
Если Л = Р, то
Лраз = [1-(1 -РУ]"-
(ЗЛО)
Анализ последних двух структурных схем надежности показывает,
что системы с раздельным резервированием более надежны, чем системы
с общим резервированием при одном и том же числе элементов.
Рассмотренные выше расчетные формулы надежности справедливы
для невосстанавливаемых систем.
РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
143
3.13. РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
С УЧЕТОМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РЕЗЕРВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
При выводе уравнения коэффициента готовности для восстанавли­
ваемых систем с общим резервированием использовалось предположение
о гом, что все резервные элементы работают в начале выполнения зада­
ния, и если происходит отказ, то немедленно проводят обслуживание.
Приняв экспоненциальный закон восстановления отказов и устано­
вившийся процесс, коэффициент готовности определяют по формуле
(З.И1)
Где п - число резервных элементов (включая основной); А, - интенсив­
ность отказов элемента; Т - время, за которое определяется коэффициент
I отовности; ц - интенсивность восстановления элемента.
Когда же допускается некоторое предельное время обслуживания t,
ю коэффициент готовности
Из этого уравнения следует, что система будет работоспособна, если
один из элементов может быть восстановлен до нормального режима ра­
боты в течение времени t.
Общее уравнение для определения коэффициента технического ис­
пользования имеет вид
(3.113)
1ДС t = ?рем + Д.о + ;в; г = Гр + Трем + Д.о + Д; tpm, tT.o и /„ - суммарное время,
ни раненное на ремонт, Техническое обслуживание и восстановление за
144
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
тот же период времени Г, соответственно; - суммарная наработка изде­
лия в рассматриваемый промежуток времени Т.
Среднее время безотказной работы резервной группы из п элементов
(включая основной) в стационарном режиме выражается уравнением
Т
т
1п —
~ *в
п
п
(3.114)
«И
где Тв и Т\ - среднее время восстановления элемента и его жизни, соот­
ветственно; ц = 1/7в - интенсивность восстановления элемента.
Формула (3.114) справедлива для нагруженного резерва при усло­
вии, что законы распределения времени жизни и восстановления элемен­
тов произвольны.
Вероятность безотказной работы резервной группы в течение вре­
мени / определяют по формуле
i
— /иц
P(t)=e '« = exp
(3.115)
(1+рД''-1
Более подробно с вопросами резервирования можно ознакомиться в
работе [9].
Пример 3.9. Определить вероятность безотказной работы системы
электроавтоматики, состоящей из пяти параллельно соединенных подси­
стем, если известны вероятности безотказной работы этих подсистем:
Р\ = 0,99; Рэ = 0,995; Рз = 0,994; Д = 0,996; Р$ = 0,997. Система электро­
автоматики является дублированной, т.е. имеет общее резервирование,
причем ^восстанавливаемой.
Решение. Для определения вероятности безотказной работы вос­
пользуемся формулой (3.75)
Д((ь-(ь-д)(1-д)(1-д)(ь-р4)0_р5)=
= 1 - 0,01 • 0,005 • 0,006 ■ 0,004 • 0,003 « 1.
Пример 3.10. Система энергоснабжения объекта имеет трехкратное
резервирование (« = 3), включая основную систему. Известно, что сред­
нее время восстановления одной системы составляет Тв = 5 ч, среднее
время безотказной работы одной системы - 7) = 200 ч. Определить сред­
нее время безотказной работы всей резервной группы 7)„ коэффициент
готовности Кт за время t = 1000 ч и вероятность безотказной работы за
время / = 1000 ч.
МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ
145
Решение. По формуле (3.114) вычислим среднее время безотказной
работы системы
_5 Г
3 I
-1
1+™У-|
5 )
= 114 865 ч.
Коэффициент готовности определим по формуле (3.111)
К, =ехр
-(if
nk"t
= ехр
х"ч+ц'’-'
/ 1 У
-3- ----- 1000
<200 J
3fl+l+lY_Lf+W2
L < 2 зЛзоо; ы J
= 0,99.
Вероятность безотказной работы найдем по формуле (3.115)
P(t) = exp
- tn\.
(1 + ОМ
1
= ехр
= 0,914.
3.14. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ
ДОРОГОСТОЯЩИХ НЕБРАКУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
ТИПА ПОДВИЖНЫХ УСТАНОВОК
НА ЭТАПЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Методы расчета надежности основаны на системном подходе, кото­
рый! учитывает совокупность случайных, неслучайных (систематических)
отказов как элементов электронной аппаратуры, так и механических,
I идравлических, пневматических узлов и металлоконструкций, входящих
и сложную техническую систему. В расчете используют справочные и
статистические данные интенсивностей отказов и различные законы рас­
пределения отказов как отдельных элементов, так и узлов, входящих в
систему.
На рисунке 3.9. схематически изображены компоненты методов тео­
ретического и экспериментального исследований надежности дорогостонщих объектов на этапе проектирования [42].
При расчете проектной надежности сложной технической системы
шна подвижной установки составляется структурная схема надежности
ио функциональному назначен^ ее составных частей с последователь­
ным их соединением как показано на рис. 3.9.
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
146
Расчет ы вероятностей P}(t), P2(f)
и Р3(1) па интервалах времени (лет)
плотность распределения вероятности прочности;
плотность распределения вероятности нагрузки;
Орт, - среднее значение прочности и ее среднее
квадратическое отклонение;
С2, тг - среднее значение нагрузки и ее среднее
квадратическое от клонение
f2(x) -
(0-5)
(5-15)
(15-20)
0-Г,
t-h
h- h
Рис. 3.9. Компоненты методов теоретического и
экспериментального исследования надежности
дорогостоящих объектов на этапе проектирования
МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ
147
Каждая составная часть представляет собой систему, состоящую из
-п■ шллоконструкций, механических, гидравлических, пневматических
\ Пюи и элементов электроавтоматики.
Компоновка подвижной установки специального назначения в виде
i ||щф11ческого изображения показана на рис. 3.10.
В отличие от существующего метода расчета надежности, который
учитывал только случайные отказы, в данном разделе рассматривается
■■ пененная обобщенная модель расчета в виде произведения трех со| пнвлиющих вероятностей.
11ервая составляющая учитывает только случайные отказы с посто­
янной интенсивностью на всем периоде жизни изделия. Вторая составннощая учитывает неслучайные отказы с соответствующими значениями
1инс|1сивностей отказов на трех различных этапах жизненного цикла, а
Вид слева
/
К)
2
3
4
9
5
6
8
7
Вид справа
Рис. 3.10. Подвижная установка специального назначения:
транспортный контейнер с грузом; 2 - автономный источник питания;
3 - домкрат с опорной плитой; 4 - гидроаппаратура;
5 машина холодильная; 6 - система энергоснабжения; 7 - вытеснитель;
8 - механизм подъемный; 9 - опора передняя (задняя); 10 - шасси 7917;
11- аппаратура связи и управления; 12 - система управления;
13 - блок управления гидравликой; 14 - блок и привод ориентирования;
15 - станция насосная
/
148
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
именно: этап приработки первые 3-5 лет эксплуатации, этап гарантий­
ного ресурса с учетом периода приработки 15 лет, этап старения и износа
(5 - 10) лет после гарантийного ресурса. При расчете этих вероятностей
используют интенсивности отказов, взятые из справочников, а также ста­
тистические данные элементов-аналогов. Третья составляющая модель
расчета надежности механических узлов и металлоконструкций основана
на определении квантилей нормального закона распределения по коэф­
фициентам запаса прочности, износостойкости, теплостойкости и другим
критериям. Методика расчета и достижения требуемого уровня надежно­
сти представляет собой замкнутый цикл. В случае если расчетная выход­
ная характеристика не удовлетворяет требованиям, то разрабатывают
мероприятия по повышению уровня надежности в части подбора более
надежных элементов и использования различных видов резервирования.
3.15. МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ,
УЧИТЫВАЮЩАЯ СЛУЧАЙНЫЕ ОТКАЗЫ
Проектный расчет надежности технической системы проводится по
материалам эскизного проектирования и уточняется по материалам тех­
нического проекта.
Необходимо помнить, что надежность любой технической системы
определяется двумя составляющими, а именно, стационарной и нестаци­
онарной случайной функцией надежности.
Под стационарной случайной функцией надежности в данном слу­
чае понимается функция, зависящая от одного параметра, который не
меняется в течение всего жизненного цикла изделия. Например, интен­
сивность отказов А = const при экспоненциальном законе распределения
времени безотказной работы и функции надежности, изображенные на
рис. 3.11.
Нестационарной случайной функцией надежности в данном случае
называется функция, зависящая от одного параметра А/, который прини­
мает различные значения на отдельных этапах эксплуатации изделия.
В нашем случае рассматривают три этапа, а именно: этап приработки,
гарантийного ресурса, старения и износа с соответствующими периодами
их жизни.
Методика расчета функции надежности сводится к следующему.
Составляется структурная схема надежности для каждой составной части
(системы) изделия в виде совокупности последовательно соединенных
элементов. Затем из справочной литературы выбирают интенсивности
отказов А, элементов для нормальных условий работы изделия (темпера-
МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ
149
Рис. 3.11. Графическое изображение стационарной случайной функции:
а - интенсивность отказов; б — функция надежности
гура окружающей среды 20±5 °C, давление 760 мм. рт. ст., влажность
(>5 %). В зависимости от условий окружающей среды и действующей
нагрузки, взятые из справочной литературы интенсивности отказов, пе­
ресчитывают с помощью расчетных формул или графиков, приведенных
а них справочниках. В случае отсутствия справочных данных на вновь
применяемые элементы используют статистические данные элементовiiiiiijioroB, полученные по результатам испытаний или эксплуатации издеиий-аналогов.
Последовательным, в смысле надежности, называют такое соедине­
ние элементов в системе, при котором отказ хотя бы одного элемента
приводит к отказу системы.
Большинство механических, электромеханических, гидромеханиче­
ских, оптико-механических, радиоэлектроаппаратуры и других средств
представляют собой системы с последовательным соединением элемен­
та. Высокий уровень надежности таких систем достигается за счет ис­
пользования надежных элементов, правильного назначения периодичноi iit технического обслуживания, обеспечения быстрого восстановления
инн замены отказавших элементов в процессе эксплуатации.
К последовательному соединению элементов относятся также некото­
рые резервные элементы, когда отказ резервного элемента приводит к от­
кату системы. На практике это происходит, например, в электронной аппарпгуре при коротком замыкании, в гидравлической и пневматической сипемах при разрыве трубопроводов и выходе из строя клапанов и т.п.
Последовательные системы могут состоять из невосстанавливаемых
и восстанавливаемых элементов.
Для системы, состоящей из п последовательно соединенных невосI тшавливаемых элементов, случайная наработка до отказа системы рав­
на минимальному значению случайных наработок до отказа ее элемен­
150
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
тов. Если элементы являются независимыми и известны вероятности без­
отказной работы каждого элемента за заданное время /о, то вероятность
безотказной работы системы за заданное время /о будет равна
G'o)=Па('о)>
(3.116)
I=I
где pi(lo) - вероятность безотказной работы Z-го элемента.
Структурную схему надежности для системы, состоящей из после­
довательно соединенных элементов, изображают в виде прямоугольни­
ков, квадратиков или кружочков, соединенных в цепочку (рис. 3.12).
При значениях надежности системы близких к единице, можно ис­
пользовать приближенные формулы:
/’nGo)=i-«[i-/’Go)];
Уи = 1 J1- /Go)].
п
При известной вероятности безотказной работы точное значение
наработки до отказа системы можно определить по формуле
Г=
(3.120)
о
Если известно, что наработка до отказа элементов распределена по
экспоненциальному закону, го
P,G)=exp(--X7).
(3.121)
Тогда вероятность безотказной работы системы
п
(
п
А
V
/=1
7
/5(zo)=riexP\_^'/o'=exP
/=|
= ехР(~Л/о)>
где А., и Л - интенсивности отказов элементов и системы.
1
2 —
3 —-------- 1
п
Рис. 3.12. Структурная схема надежности системы
с последовательным соединением элементов
(3.122)
МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ
151
Наработка до отказа системы в этом случае равна
(3.123)
Для А /о «1 приближенное значение вероятности безотказной ра­
боты элемента определяется по соотношению
аЫ«1-А7о.
(3.124)
Отсюда вероятность отказа системы соответственно равна
б(/о)=1-е^хр(-Л/о)®Л/о.
(3.125)
Все характеристики надежности систем можно получить, если изнеегны интенсивности отказов А., всех элементов. Часто в реальных конv Г’укциях систем используются однотипные элементы и тогда
г
Г
\
v
/=|
7
Р(/0) = ехр
;
1
(3.126)
(3.127)
/=1
I де от, и А., - число и интенсивность отказов элементов /-го типа; г - число
нпюв элементов.
Как правило, не все элементы работают непрерывно от момента
начала работы системы и до окончания. Поэтому, принимая допущение о
независимости отказов элементов, надежность системы можно вычис­
лить по формуле
р0))р1^|11)/’2^г) • - А1
П а и) >
(3.128)
/=1
где р,(/,) - вероятность безотказной работы /-го элемента за время Г, < /0;
/о время работы системы.
Используя экспоненциальный закон надежности для /-го элемента,
можно записать
А('<)=ехр(-А,<).
(3.129)
152
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Тогда надежность системы определится равенством
<
»
")
п
(3.130)
к
7
Формулами (3.126) и (3.127) можно пользоваться в том случае, когда
однотипные элементы работают одинаковое время.
Расчет надежности восстанавливаемых систем с последовательным
соединением элементов основывается на допущении о том, что все рас­
пределения наработки до отказа и времени восстановления отдельных
элементов являются экспоненциальными, т.е. процесс функционирования
системы является стационарным, без последействия и ординарным.
Стационарность означает постоянство параметра к потока отказов
в течение заданного промежутка времени tQ, т.е. А, = const.
Отсутствие последействия означает независимость появления от­
казов, т.е. отказы элементов системы взаимно независимы и не влияют
друг на друга.
Ординарность означает практическую невозможность появления
двух или более отказов в одно и то же время, точнее за малый промежу­
ток времени Д/ —> 0. Принятое допущение справедливо, если средняя
наработка до отказа элементов системы значительно больше времени их
восстановления. На практике это условие обычно выполняется.
В таблице 3.1 приводятся расчетные формулы показателей надеж­
ности восстанавливаемых систем с последовательным соединением эле­
ментов.
3.16. МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ,
УЧИТЫВАЮЩАЯ НЕСЛУЧАЙНЫЕ ОТКАЗЫ
Под неслучайными отказами понимаются отказы, причина которых
известна и они устраняемы. Многолетняя практика эксплуатации слож­
ных технических систем типа подвижных установок показывает, что весь
период эксплуатации можно разбить на три этапа с соответствующими
значениями интенсивностей отказов как показано на рис. 3.13.
Первый этап составляет до пяти лет эксплуатации, когда элементы и
узлы прирабатываются, и в этот период выявляется большое число отка­
зов, связанных с конструктивными недоработками и технологическими
отступлениями, по которым проводятся конструктивные изменения и
совершенствование технологического процесса. Количественные значе­
ния интенсивностей отказов элементов и узлов на этом этапе выбирают
по статистическим данным элементов-аналогов, полученных в течение
Рис. 3.13. График изменения интенсивности отказов
по годам эксплуатации
первых пяти лет эксплуатации подобных изделий. Затем вычисляют сум­
п
марную интенсивность отказов ]ГХ- = X] и, принимая экспоненциаль­
ны
ный закон их распределения, определяют вероятность безотказной рабо­
ты по формуле
п
-2м
Px{t) = e '=' = е'Ч
(3.131)
На втором этапе эксплуатации в течение 10 лет после приработки
частота отказов становится все более устойчивой, и процесс потока отка­
зов приближается к стационарному. В этом случае интенсивности отка­
зов элементов и узлов выбирают как из справочной литературы, так и
используют статистические данные элементов-аналогов. Принимая экс­
поненциальный закон распределения отказов, вероятность безотказной
работы вычисляют по формуле
А() = е'=‘
=
>' 2' ,
(3.132)
где X, - интенсивность случайных отказов; X' - интенсивность неслу­
чайных отказов.
Последний этап эксплуатации - это период старения и износа эле­
ментной базы и материалов. На этом периоде эксплуатации происходит
значительное увеличение потока отказов. При расчете вероятности без­
отказной работы используют тот же закон, что и на предыдущих этапах, а
интенсивности отказов выбирают по статистическим данным элементованалогов, полученным в течение 5-10 лет после истечения гарантийного
154
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
ресурса,
при
этом
суммарная
интенсивность
отказов
равна
х., = £(х,+х").
)=1
Для третьего этапа эксплуатации вероятность безотказной работы
равна
= е-хэ',
P3(z) = e w
(3.133)
где X" - интенсивность неслучайных отказов после истечения гарантий­
ного срока эксплуатации.
3.17. МЕТОДИКА РАСЧЕТА И ДОСТИЖЕНИЯ
ТРЕБУЕМОГО УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ
На этапе создания сложных технических систем проектный расчет
надежности целесообразно выполнять на трех участках жизни системы
(этап приработки, этап гарантийного ресурса и этап старения и износа).
Такой подход к расчету позволит более объективно оценить уровень
надежности системы на всех этапах ее жизни.
Расчетные формулы для оценки вероятности безотказной работы на
каждом этапе жизненного цикла имеют вид:
- этап приработки
( п
\
«I-1
Д(/)=Ф
exp
(3.134)
1
)
+v ;
- этап гарантийного ресурса
я
г
„ -1
ехр
/(
)12 +V22
\
V
(
«lV|j
к
- этап старения и износа
Х)/ ;
Р2(')=Ф
(
<=1
( »
р3(/)=ф
exp
к
\
1=1
(3.135)
7
'
)
,
(3.136)
)
где п\- пересчитанный коэффициент запаса прочности после истечения
гарантийного срока; V , v2 - пересчитанные коэффициенты вариации
прочности и нагрузки после истечения гарантийного срока, соответ­
ственно; X/ - интенсивность случайных отказов на каждом этапе жизнен-
МЕТОДИКА РАСЧЕТА И ДОСТИЖЕНИЯ
155
пого цикла;
, А." - интенсивности неслучайных отказов на этапах га­
рантийного и после гарантийного сроков эксплуатации.
Методика расчета и достижения требуемого уровня надежности
представляет собой замкнутый цикл, изображенный на рис. 3.14.
Суть этой методики состоит в следующем. Исходную справочную и
статистическую информацию используют при расчете функции надежно­
сти в виде экспоненциального закона для известных значений интенсив­
ностей отказов, а также функции надежности в виде нормального закона
распределения для расчетных значений запасов прочности, износостой­
кости, теплостойкости, коррозионной стойкости и другим запасам.
При известных статистических данных по отказам и объему наработки
изделий, работающих в циклическом режиме, для расчета надежности
применяют биномиальное распределение. В этом случае вероятность
безотказной работы /-го элемента за один цикл определяется по формуле
/и,
/■=!- «/ ’
(3.137)
где Р, - вероятность безотказной работы z-го элемента; т, - число отказов
/-го элемента; и, - число циклов испытаний (эксплуатации) /-го элемента.
Среднее квадратическое отклонение вероятности безотказной рабо­
ты /-го элемента равно
о, = [ЛО-Л).
(3.138)
V
«/
В случае если полученная выходная характеристика в виде функции
надежности не удовлетворяет заданному уровню, то разрабатываются
мероприятия по повышению надежности в виде изменения исходной ин­
формации, путем применения более надежных элементов, а также введе­
ния различных видов резервирования.
Рис. 3.14. Методика расчета и достижения
требуемого уровня надежности
158
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Рис. 3.18. Плотность распределения нагрузки и прочности
Вероятность безотказной работы механического узла определяется
зависимостью [16]
(3.139)
где Ф(^) - нормированная нормальная функция распределения, которую
выбирают по табл. 1 прил.
Практически функция надежности в проектных расчетах определя­
ется по запасу прочности для самых критических сечений изделия или
металлоконструкции. Если запас прочности п > 1,4 , то надежность в этом
сечении близка к единице.
Вероятность безотказной работы механических узлов и металлокон­
струкций при известных значениях нагрузки с математическим ожидани­
ем т и коэффициентом вариации v находят по квантили нормального
распределения [28]:
(3.140)
пъ
где п =—- - запас прочности; пр и пь - математические ожидания
~ коэффицит2
енты вариации несущей способности (прочности) и действующей нагруз­
ки, соответственно; сц и и2 - средние квадратические отклонения прочно­
сти и нагрузки, соответственно.
прочности и нагрузки, соответственно; V] = — и v2 /Н|
1'Л( ЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
159
При мер 3.11. Определить вероятность безотказной работы узла меI аллоконструкции, если известно, что математическое ожидание предела
прочности в его критическом сечении при среднем квадратическом от­
клонении <У| = 40 МПа равно т\ = 640 МПа. Математическое ожидание
действующей нагрузки при среднем квадратическом отклонении сь =
40 МПа равно тг = 540 МПа.
Решение. Вычислим запас прочности
п=
^- = ^2 = 1,18.
m2 540
Далее найдем коэффициенты вариации:
1
_ о,
w,
40
= 0,062;
640
v2 =-^2- = — = 0,074.
2 тг 540
По формуле (3.140) определим квантиль
1,18-1
п-1
)2 + vl
, -,
,
= 1,73.
J0 18 0 062)2 +(0 074)2
По таблице 1 приложения находим искомую вероятность безотказ­
ной работы узла
Р = 0,958.
3.19. РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ МЕХАНИЧЕСКИХ УЗЛОВ
ПО ЗАДАННЫМ КРИТЕРИЯМ
Работоспособность механических узлов и металлоконструкций ха­
ри к геризуется рядом критериев, в качестве которых могут быть проч­
ность, износостойкость, усталость, точность и т.д. Расчет надежности
основывается на сравнении заданных критериев расчетных параметров с
их предельными значениями, которые выбирают по нормативным или
< правочным данным.
Работоспособность детали или узла считается обеспеченной по за­
панному критерию, если расчетный параметру меньше его предельного
шачения упр, т.е. у<упр. Таким образом, для обеспечения работоспо­
собности задаются коэффициентом безопасности
(3.141)
160
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Расчетные параметры рассматриваются как детерминированные ве­
личины, хотя в действительности они имеют рассеяние. Поэтому расчет
проводят по наиболее неблагоприятным значениям параметров, при этом
истинное значение коэффициента безопасности остается неизвестным.
С переходом на вероятностные методы расчета параметры у и уПр
рассматривают как случайные величины и тогда вероятность безотказной
работы определяют по квантили нормального распределения от заданно­
го критерия
(3.142)
где упр и у - средние значения величин упр и у; а (
и о,. - средние
квадратические отклонения этих величин.
Соотношение (3.142) можно выразить через коэффициенты безопас­
ности и вариации, тогда
(3.143)
где п —
Упр
Тир
=-r-x-,
v =-^У
"р Уу||р
'
У
В общем случае параметр у может быть выражен функциональной
зависимостью
у = cfo, х2’
хЛ
(3.144)
v
где х, Х2, ..., х„ - случайные факторы.
Среднее значение у и среднее квадратическое отклонение ст,, пара­
метра у как известной функции случайных аргументов находят из соот­
ношений:
>
(3.145)
где ——— частная производная функции ср по фактору
в которую под5х,
'
ставляют средние значения факторов X], х2, ..., х„; с^, п2, ..., ст„ средние квадратические отклонения факторов.
В таблице 3.2 приведены расчетные формулы для определения веро­
ятности безотказной работы механических узлов и деталей по различным
критериям.
РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
161
3.2. Расчетные зависимости для вычисления квантилей
нормального распределения по заданным критериям
Критерий
Износ трущихся
поверхностей
деталей
Расчетные формулы
для квантилей
Обозначение величин,
входящих в формулы
п - коэффициент
запаса по износу;
Уд - коэффициент
Д
вариации размера
п = —;
детали;
А/
Vj - коэффициент
ctj
вариации интенсив­
v/ = —;
j
ности изнашивания;
о;, - среднее квадра­
_ СТЛ .
тическое отклоне­
Дл ’
ние начального
А = Л„ач - /пред - при уменьшении
размера;
размера;
Оу - среднее квадра­
А = /^пред ~ Л„ач ~ при увеличении тическое отклоне­
размера
ние интенсивности
П
п~}
--
р
/ 2
2
9
изнашивания;
/?пред - предельно
допустимое значе­
ние размера при
износе;
/||ач - начальное
значение размера;
J- среднее значе­
ние интенсивности
изнашивания;
v - скорость отно­
сительного переме­
щения трущихся
поверхностей;
t - время работы
трущихся поверх­
ностей
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
162
Продолжение табл. 3.2
Критерий
Расчетные формулы
для квантилей
Обозначение величин,
входящих в формулы
1
2
3
Теплостойкость
детали или узла
п-1
и 1р
V
п- /"р ■
II
’ + z0
о
v=—
t
Прочность
сцепления
(соединение
с натягом)
ип -|
''
/.Д,.2 4- V2
\ п Hip + Р
п
Г
пр
" Т
п - коэффициент
запаса теплостойко­
сти;
/пр - предельно допустимая температура конструкции;
t - средняя темпера­
тура конструкции;
/о - температура
окружающей среды;
v - коэффициент
вариации темпера­
туры;
I
о - среднее квадра­
тическое отклоне­
ние избыточной
температуры
п - коэффициент
запаса прочности;
ТПр - среднее значе­
ние предельного
момента;
Т - среднее значе­
ние момента;
vnp - коэффициент
вариации предель­
ного момента;
v - коэффициент
вариации среднего
момента
1Л( 'ЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
163
Продолжение табл. 3.2
I
2
3
Прочность
детали
п - коэффициент
запаса прочности в
зависимости от
средних значений
предела текучести
ст, и напряжения
Г5экв>
v, - коэффициент
вариации предела
текучести;
vp - коэффициент
вариации давления
< онротивление
упал ости
тарного шва
п -1
7-vl+v
п - коэффициент
запаса прочности
шва в зависимости
от средних напря­
жений;
v 1 - коэффициент
вариации предела
выносливости свар­
ного шва;
Va - коэффициент
вариации нагрузки;
ст ! - среднее значе­
ние предела вынос­
ливости;
ста - среднее значе­
ние действующих
напряжений
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
164
Продолжение табл. 3.2
Критерий
Расчетные формулы
для квантилей
Обозначение величин,
входящих в формулы
1
2
3
Надежность болтового соединения
Нераскрытые
стыка
и I-[
Up I = I 2 2
2
у Щ ^зат + ' /■
Fн -
F
гзат
•
- зат
=о
Л
.
озато
4
Н\ - коэффициент
запаса нераскрытая
стыка по средним
нагрузкам;
ДЗат - сила затяжки
болтового соедине­
ния;
F- центральная
отрывающая сила;
Рс - коэффициент,
учитывающий воз­
можное ослабление
затяжки;
(1 - %) - множитель,
характеризующий
долю внешней
нагрузки на стык;
v3aT и Vp - коэффи­
циенты вариации
случайных сил Д.Мт
иГ;
Озат - среднее значе­
ние напряжения
затяжки;
dv - расчетный диа­
метр резьбы
ГА( ЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
165
Продолжение табл. 3.2
2
11есдвигаемость
сшка
п:
11|)ОЧНОСТЬ
болта
3
п2 - коэффициент
запаса несдвигаемости по средним
нагрузкам;
f- среднее значение
коэффициента тре­
ния;
vnp - коэффициент
вариации по несдвигаемости
«з - коэффициент
запаса прочности;
о, и va, ~ сРеДнее
значение и коэффи­
циент вариации
предела текучести
материала болта;
dp - расчетный диа­
метр резьбы болта;
к - коэффициент,
учитывающий кру­
чение болта (если
кручение болта при
затяжке исключено,
то к = 1,0; в осталь­
ных случаях к = 1,3);
Прае И vpac - расчет­
ное значение и ко­
эффициент вариа­
ции напряжения
текучести;
X - множитель
внешней нагрузки
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
166
Продолжение табл. 3.2
Критерий
Расчетные формулы
для квантилей
Обозначение величин,
входящих в формулы
1
2
3
Выносливость
болта
_
,,
^4
Ид"’
Г 2 2
2
■\/«4v-l + va
СТ-1
«4 = —;
ао =—iy[0,5XF+
+-^(Fmt+0,5XF]
л4 - коэффициент
запаса выносливо­
сти болта;
о— - среднее значе­
ние предела вынос­
ливости болта;
о - среднее значе­
ние напряжений,
действующих в ма­
териале болта;
1 и Vo - коэффици­
енты вариации пре­
дела выносливости
и действующих
напряжений;
Ф - коэффициент
чувствительности
материала к асим­
метрии цикла;
ка - среднее значе­
ние коэффициента
концентрации
напряжений в зави­
симости от предела
ов прочности мате­
риала
РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
167
Продолжение табл. 3.2
3
I !сроятность
безотказной
работы
болтового
соединения по
врем критериям
Ф(Ци) - вероят­
ность безотказной
работы по критерию
нераскрытая стыка;
Ф(1/р2) - вероят­
ность безотказной
работы по критерию
несдвигаемости;
Ф(Цз) - вероят­
ность безотказной
работы по критерию
прочности;
Ф(Ц,4) - вероят­
ность безотказной
работы по критерию
выносливости;
(7р, - квантили
функции нормаль­
ного распределения,
выбираемые по
табл. I прил.
Надежность элементов привода
Нсразрушение
вала
п - коэффициент
запаса прочности;
о_1 - среднее значе­
ние предела вынос­
ливости материала
вала;
- среднее значе­
ние действующей
на вал нагрузки;
V. 1 и v„ - коэффици­
енты вариации пре­
дела выносливости
материала вала и
действующей на вал
нагрузки
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
168
Продолжение табл. 3.2
Критерий
Расчетные формулы
для квантилей
Обозначение величин,
входящих в формулы
1
2
3
Неразрушение
подшипника
качения
и - .
р
п - коэффициент
2 2
2
V'Vc +vp
С
”
/71/5
запаса по средним
нагрузкам;
vc и Vp - коэффици­
енты вариации ди­
намической грузо­
подъемности и ди­
намической эквива­
лентной нагрузки;
С = 1,46С-для
роликоподшипни­
ков;
С = 1,52С -для
шарикоподшипни­
ков;
С - среднее значе­
ние динамической
грузоподъемности
(выбирают по спра­
вочнику-каталогу);
Р - среднее значе­
ние динамической
эквивалентной
нагрузки;
L - заданный ре­
сурс;
5 = 3- для шарико­
подшипников;
5 = 3,3 - для роли­
коподшипников;
Vc = 0,25 - для роли­
коподшипников;
Vc = 0,27 - для ша­
рикоподшипников
РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
169
Продолжение табл. 3.4
2
Неразрушенне
предохранитель­
3
п-Н
A4+v2
п - коэффициент
запаса по средним
ной муфты с
значениям момен­
разрушающими­
тов для безотказной
ся элементами
передачи;
| зависит от
Тр и Та - средние
безотказной
передачи
муфтой
т = С<эВр - используют при рас­
значения разруша­
ющего и действую­
чете Тр и Та
щего моментов;
внешнего
Vp и va - коэффици­
расчетного
енты вариации раз­
момента,
рушающего и дей­
с одной сторо­
ствующего момен­
ны, и безотказ­
тов;
ности срабаты­
т - напряжение сре­
вания (разруше­
за в разрушающем­
ния) предохра­
ся элементе;
нительного
С = 0,95 - для
устройства при
штифтов с выточ­
недопустимых
кой;
нагрузках -
С = 0,75 - для
с другой сторо­
штифтов без выточ­
ны]
ки;
овр - предел проч­
ности материала
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
170
Окончание табл. 3.2
Критерий
Расчетные формулы
для квантилей
Обозначение величин,
входящих в формулы
1
2
3
Разрушение
предохрани­
тельного
элемента
ГJ
—
и р2
„
Л*ПИК
Вероятность
безотказной
работы предо­
хранительной
муфты
д
И
2 2 пик
- коэффициент
запаса по средним
значениям для раз­
рушения;
Vp = (0,06 ... 0,08);
Улик - пиковая
нагрузка;
Тр - действующая
нагрузка
— 11
«пик
_ Тпик
гр
ур
= ф(%, Ну
Пример 3.12. Две стальные детали стянуты болтом М12 с силой от 0
до F. Среднее значение силы F = 104Н, коэффициент вариации силы
v.- = 0,2. Определить вероятность безотказной работы болтового соеди­
нения по основным критериям - нераскрытою стыка, статической проч­
ности и усталости материала болта. Контроль затяжки болта осуществ­
ляют динамометрическим ключом.
Исходные данные для расчета: % = 0,2; о, = 380 МПа; о ] = 40 МПа;
va, = 0,05; Озат = 200 МПа; рс = 1,2; к„ = 3,0; Т = 0,1; УзаТ = 0,08; vF = 0,2;
dp = 10,2 мм; v | = 0,15.
Решение. Вычислим параметры болтового соединения:
- среднее значение силы затяжки
/• ,а| = стзат тс
зат
зат
= 2,0 108 • 3,14 •
И2'10 )
= 1,63 • 104 И;
д
д
- коэффициент запаса по нераскрытою стыка:
п =
1
--
р F(l-x)
=
163 т 104
1,2-104(1-0,2)
_|7-
’
I ’АСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
^1 =
171
_ "i-1
= _
L7 — 1
= 252.
Vn|2,4+vF
71-72 0,082 +0.22
- среднее значение расчетного напряжения
4 у(^ат+^)
/
ч=
fTpac=—
4
-------------------~1,3 • 1,^3 • 104 + 0,2 -104) = 284 МПа;
3,14 -(1,02-10_2 Г
- коэффициент запаса прочности по средним значениям напряже­
ний
- квантиль при условии, что Vpac = Узат
^>3 =
1,33-1
.------------------------- =3.2;
V1.332 0.052 + О.О82
- среднее значение действующего напряжения
0,5XF^-(F3aT + 0,5XF) =
Kdp
4
=------ (---------)Г 0,5-0,2-104+^(1,63-104+0,5-0,2-104) = 8,07 МПа;
3,14 -(юг-ю-2)2 L
3
-
- коэффициент запаса прочности по средним напряжениям
л - 0-1 - 40 - 5~
8.07
квантиль
5-1
= 5,29.
По таблице 1 приложения находим вероятность безотказной работы
болтового соединения по следующим критериям:
- по нераскрытою стыка
Р =ф((//,1)= Ф(2,52) =0,994;
172
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
- по статической прочности
Рз=ФКз)=Ф(3>2) = 0,9994;
- по усталости материала
Д4=Ф(ЛР4)=Ф(5,29)=г1О.
Таким образом, вероятность безотказной работы болтового соеди­
нения
р = /> />/>4 = 0,994 • 0,9994 • 1.0 = 0,993.
Пример 3.13. Определить вероятность безотказной работы ролико­
подшипника 2207, нагруженного случайной радиальной силой при сле­
дующих исходных данных: среднее значение эквивалентной нагрузки
Р - 400 Н; частота вращения внутреннего кольца подшипника п =
= 400 мин-1; заданный ресурс L = 3000 ч; коэффициент вариации ради­
альной СИЛЫ Vp = 0,1.
Решение. По справочнику-каталогу [25] определим 90 %-ную дина­
мическую грузоподъемность подшипника: С = 25 600 Н.
Вычислим заданный ресурс в миллионах оборотов
L = 60и/_1 О’6 = 60 ■ 400 • 3000 • 10’6 = 72.
Далее вычислим среднее значение динамической грузоподъемности
С = 1,46С = 1,46 • 25 600 = 37 400 Н.
Коэффициент запаса по средним значениям нагрузок (см. табл. 3.2)
равен
С
37400
п = —= 2,59.
PL?S
400-72
Коэффициент вариации эквивалентной динамической нагрузки при­
нимаем равным коэффициенту вариации внешней нагрузки
vp = Vp = 0J.
Тогда квантиль нормального распределения будет равна
U - г П ₽
'
. = 2,46.
_ _____________
д!2,592 -0,252 +0,1 2
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПОДОБИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ
173
По таблице I приложения находим вероятность безотказной работы
Д =Ф(2,46)« 0,993.
3.20. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПОДОБИЯ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ
В практике создания сложных технических систем используют ме­
тоды теории подобия, которые позволяют оценивать подобие физиче­
ских процессов, происходящих в модели и исследуемом объекте, и на
ной основе проводить отработку изделия в условиях, приближенных к
эксплуатационным. Существует тенденция к проектированию систем с
максимальным использованием типовых проектных решений для кон­
кретных изделий.
Основными направлениями применения методов подобия для обес­
печения надежности создаваемых систем являются:
- выбор аналогов;
- выявление слабых мест в аналогах;
- обоснование параметров объектов испытаний;
- планирование экспериментальной отработки с использованием
данных об аналогах;
- разработка методов математического и физического моделиро­
ваний;
- анализ результатов модельных и экспериментальных исследова­
ний и испытаний;
- оценивание и контроль уровня надежности с использованием
априорных данных предыдущих разработок.
Привлечение априорной информации об аналогах позволяет расши­
рить совокупность данных о создаваемой сложной технической системе
(изделии). Благодаря обоснованному заимствованию ранее отработанных
технических решений, переносу результатов испытаний и эксплуатации
па создаваемое изделие, можно сократить объемы теоретических и экс­
периментальных работ при обеспечении заданных уровней технических
характеристик и показателей надежности [21].
На базе имеющейся априорной информации проводят построение
моделей и критериев, используемых для обеспечения и контроля надеж­
ности. Анализ подобия при выборе аналогов начинают с деталей, узлов,
сборочных единиц и других элементов системы (изделия) и проводят его
с помощью детерминированных и стохастических критериев подобия,
полученных для создаваемого изделия (ль я2, ..., л„л) и аналога
Сл _а
а 1
Vll ■ я2>....... 1ля/-
174
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Детерминированные критерии отражают физическое подобие изде­
лий по функциональному описанию процесса, конструктивным парамет­
рам, применяемым материалам, технологии изготовления и процессам
возникновения отказов. Детерминированные критерии носят закономер­
ный характер и описываются соответствующим законом.
Стохастические критерии подобия отражают работоспособность
изделия при воздействии случайных факторов, разбросе параметров, из­
менении свойств материала, приводящих к отказам, и т.п. Стохастиче­
ские критерии носят вероятностный характер.
Во многих задачах обеспечения надежности целесообразно рассмат­
ривать приближенное подобие. Достижение полного подобия создаваемой
системы и известных прототипов может вызвать затруднение или не
иметь смысла. Различия конструкций не дают возможности полностью
использовать полученные ранее результаты по отработанным и находя­
щимся в эксплуатации изделиям. Задачу приближенного подобия решают
для систем с одинаковым физическим принципом функционирования, но
отличающимися конструктивными решениями, а следовательно, - мате­
матическим описанием.
Рассмотрим две системы - разрабатываемую с технической характе­
ристикой у и базовую с характеристикой у1’. Эти системы принадлежат по
целевому назначению и физическому принципу работы к одному классу,
но отличаются конструктивным исполнением.
Основная техническая характеристика вновь создаваемой системы
определяется параметрами
х2,
х„, которые могут быть изменены
при проектировании и экспериментальной отработке с целью обеспече­
ния заданных требований к характеристике у. Для обеих рассматривае­
мых систем существуют математические модели, описывающие зависи­
мость от параметров х, , i = 1, л:
У = /{х{, х1,
х„).
(3.146)
Систему можно описать уравнением в неявном виде или при нали­
чии нескольких выходных характеристик - системой уравнений.
Для системы, принятой за базовую, зависимость характеристики уЕ
от параметров хБ, х%,
хБ имеет вид:
у==(хБ,х2Б,.„ хБ).
(3.147)
В качестве выходной характеристики у могут быть использованы
точность, мощность, разрешающая способность, надежность и т.п. Зави­
симость выходной характеристики у от параметров хБ, хБ, ..., хБ полу­
чают в критериальном выражении.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПОДОБИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ
175
Критериальное выражение, описывающее явление или процесс для
сравниваемых изделий, имеет вид [21]:
л1 = ф(л2> лз,л7, -..л^ J,
(3.148)
где Я/ - физический критерий подобия, определенный как детерминиро­
ванная величина, j = 1,
; пп - число критериев л.
Результирующая мера отклонения совокупности критериев подобия
выразится уравнением
АЛ] = ^Дл^ Ал3 ..., Аля_ -1),
(3.149)
где Дл 7 = л у - л/ Относительная мера неподобия определится выражением
Ал ,■
5л, =——(3.150)
Ъ
Тогда приближенное подобие изделий по физическим критериям
будет иметь место при выполнении условия
г'
foy^^y^ 5лу),
(3-151)
где 8л; и 5л/ - соответственно нижняя и верхняя границы допуска для
изменения значений/’-го критерия подобия; е - знак принадлежности.
Важным моментом в задачах надежности является проведение про­
гнозов по данным об аналогах с учетом заданных требований для уста­
новленного уровня отработанности. Результаты прогнозов можно пред­
ставить в виде совокупности базовых критериев л®, л2,
л^, описы­
вающих вариант планируемого процесса экспериментальной отработки.
Заключительным этапом применения методов подобия является исполь­
зование результатов экспериментальной отработки и натурных испыта­
ний в виде критериев л, л2, ..., л(( . С помощью этих критериев прово­
дят проверку адекватности моделей планирования, оценки и анализа ре­
зультатов испытаний, и соответственно, оценку и контроль фактически
достигнутого уровня технических характеристик и показателей надежно­
сти создаваемых изделий.
Проводят также анализ уровня отработанности с помощью крите­
риев подобия базового и реального изделий, сравнивая значения
л®, л2, ..., л,^ и оценки критериев подобия лн л2, ..., л„ . Результаты
176
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
эксплуатации используют для уточнения критериев подобия и моделей
исследования.
Пусть работоспособность системы определяется выходной характе­
ристикой в виде двухсторонних границ
Утт - У - Утах »
(3.152)
где ут||1 и у,„ах - минимальное и максимальное значения величины у, при
которой система работоспособна, соответственно.
Тогда, в стохастическом смысле, выражение (3.152) записывают как
вероятность пребывания технической характеристики в заданном допус­
ке в виде
ЛУшт^У^У|пах)=Т>
(3-153)
где у — заданная вероятность.
В этом случае условие стохастического подобия примет вид [21]
/’(у.п.п -У 5 Утах) = idem.
(3.154)
Для того, чтобы значение основной характеристики было не хуже
базовой, необходимо выполнить условие
/’(y.nm ^У^Утах)=Нттт ^У^Утах)-
(3-155)
Для исследования подобия систем необходимо преобразовать пара­
метры в уравнениях (3.146) и (3.147). Более подробно о применении
методов подобия приведено в работе [30].
3.21. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
НА ЭТАПЕ РАЗРАБОТКИ КОНСТРУКТОРСКОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ
ПРИ ВЫБОРЕ ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ И ИНСТРУМЕНТОВ
Исследование конструкторской документации по использованию
запасных частей в процессе эксплуатации сводят к решению двух задач:
1) оптимальному выбору номенклатуры запасных частей;
2) расчету количественного состава запасных частей.
Выбор номенклатуры запасных частей можно проводить методом
инженерного анализа или расчетным путем.
Метод инженерного анализа применяют в том случае, когда имеет­
ся достаточно сведений об отказах элементов и узлов, полученных в про­
цессе испытаний или эксплуатации на изделиях-аналогах. В этом случае
полученные сведения позволяют конструктору без расчетов принять ре­
шение о включении элемента или узла в номенклатуру ЗИП.
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
177
Расчетный метод используют в том случае, когда определение но­
менклатуры методом инженерного анализа затруднительно.
Следует отметить, что при разработке вновь создаваемых изделий в
соответствующей отрасли, как правило, базируются на совершенствова­
нии старых конструкций, и соответственно, используют стандартизован ­
ные элементы, узлы и инструмент. Поэтому метод инженерного анализа
выбора номенклатуры ЗИП является наиболее распространенным.
Суть инженерного метода заключается в выборе номенклатуры
ЗИП в результате оценки классификационных признаков составных ча­
стей (табл. 3.3).
Анализ начинают с составных частей высшего уровня, т.е. крупных
блоков, узлов и доходит до отдельных элементов. По результатам анали­
за составных частей в соответствии с табл. 3'5 для каждой из них состав­
ляется кодовое число из четырех разрядов. Если кодовое число состоит
из одних единиц, то запасную часть включают в номенклатуру ЗИП.
3.3. Инженерный метод выбора номенклатуры ЗИП
Номе)5"
разряда
1
Классификационный признак
Разряд
Возможность контроля
Характеристика разряда
Контролируемая.
Неконтролируемая
Оценка
разряда
1
0
2
Отказы возможны.
Оценка возможности
отказа составной части за Отказы практически невоз­
время эксплуатации
можны
1
0
3
Влияние отказов состав­
ной части на работоспо­
собность изделия
Отказ составной части при­
водит к отказу изделия.
Отказ составной части
ухудшает выполнение ос­
новных функций
1
4
Целесообразность устра­ Отказ целесообразно устра­
нить немедленно.
нения отказа составной
Отказ целесообразно устра­
части
нить при техническом об­
служивании
0
1
0
V
178
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Расчетный метод выбора номенклатуры ЗИП сводится к следующему.
1. Определяют математическое ожидание а числа замен (отказов)
составных частей изделия за время эксплуатации по формуле
а = пКкТ,
где п - число составных частей определенного типа на одном изделии;
N - число изделий, на которые рассчитывают ЗИП; X - интенсивность
отказов (замен) составной части этого типа; Т - время эксплуатации, на
которое рассчитывают ЗИП.
2. Вычисляют затраты, связанные с заменой составных частей
А
(3.157)
где С05 ~ стоимость оборудования (приспособлений), на котором устра­
няют отказы, заменяя составные части; Св - стоимость одного элемента
(запасной части).
3. Находят математическое ожидание времени восстановления од­
ного изделия в часах за время эксплуатации путем замены составных ча­
стей
—в
N
(3.158)
где tB - время восстановления изделия в результате замены составной
части.
Полученные расчетные значения величин С и Тв определяют необ­
ходимость включения или невключения запасной части в номенклатуру
ЗИП. Если затраты и время восстановления не превышают заданных, то
запасную часть включают в номенклатуру ЗИП, в противном случае - не
включают.
3.22. РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА
ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ
Запасные части предназначены для обеспечения работоспособности
изделия и поэтому определение их числа необходимо проводить на науч­
ной основе. Малое число запасных частей отрицательно влияет на вы­
полнение изделием поставленных задач, слишком большое число запас­
ных частей приводит к излишним затратам.
Наиболее простой способ определения потребности в запасных ча­
стях - найти отношение установленного срока службы элемента к нара­
ботке на отказ
РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ
179
(3.159)
где Тсп - установленный срок службы элемента; То - наработка на отказ.
Уравнение (3.159) позволяет определить требуемое среднее число
запасных частей. Однако само среднее значение не всегда правильно,
поскольку существует определенная вероятность того, что в течение ка­
кого-то конкретного периода времени может потребоваться больше, чем
среднее число запасных частей. Поэтому для более точного метода рас­
чета запасных частей вводят доверительный интервал. В этом случае
расчет запасных частей проводят по формуле
(3.160)
где X - интенсивность отказов; Т- время, на которое рассчитывают ЗИП;
Uy - квантиль функции нормального распределения для заданной вероят­
ности у (у = 0,9...0,99); квантиль выбирают из табл. 1. прил.
По назначению комплекты запасных частей подразделяют на оди­
ночный ЗИПо, или возимый, которым комплектуют каждое изделие; груп­
повой ЗИПг, предназначенный для восстановления группы изделий и
находящийся на стационарной базе или складе; ремонтный ЗИПр, ис­
пользуемый для восстановления совокупности ремонтируемых изделий.
Обычно ремонтныуЗИПр располагают на ремонтной базе. Схема исполь­
зования перечисленных ЗИПов сводится к следующему. При использова­
нии элемента из одиночного ЗИПа его пополняют таким же элементом из
группового ЗИПа, а групповой ЗИП пополняют из ремонтного. Ремонт­
ный ЗИП пополняет по заявке эксплуатирующей организации заводпоставщик ЗИП.
Математическое ожидание числа замен запасных частей для оди­
ночного, группового и ремонтного ЗИПов:
- если кТ < 0,2
т = пЮСГ;
(3.161)
- если АГ > 0,2
т = nA^l-e"7).
(3.162)
Выражение (3.161) для соответствующих ЗИПов запишется в виде:
«о = ^0АГ>;
(3.163)
тг = nNrXTr;
(3.164)
Wp =иУрАГр,
(3.165)
9
180
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
где п - число элементов данного типа на одном изделии; No, N и А'р число изделий, на которые рассчитывают одиночный, групповой и ре­
монтный ЗИПы, соответственно, обычно No = 1; То, Тг и Тр - время на
которое рассчитывают одиночный, групповой и ремонтный ЗИПы, соот­
ветственно.
При расчете математического ожидания числа ЗИП в соответствии с
формулами (3.161) - (3.165) необходимо сделать следующие преобразо­
вания:
т — ии^А.р/р+ХТр/Тр+Ххр/хр),
(3.166)
где /р, гТр и Ар ~ время работы, транспортирования и хранения элемента за
период Т, соответственно, А + Ар + Ар = Г; Хр,
и ХХр - интенсивности
отказов элемента при работе, транспортировании и хранении, соответ­
ственно.
При расчете принимают Хтр = 1,5Хр, А.Хр — 10 з^р,
В случае если запасные части влияют на готовность изделия в про­
цессе эксплуатации, то число запасных частей для группового и ремонт­
ного ЗИПов устанавливают равными сумме норм запаса текущего до­
вольствия /ит.д и нормы неснижаемого запаса /и„з:
^Г “
(3.167)
Г
+ Л7пзрг
(3.168)
Значение /и-д определяют по математическому ожиданию расхода
т запасных частей за время, на которое рассчитан их запас, а норма не­
снижаемого запаса miu - по математическому ожиданию расхода т за
время А.з удовлетворения срочного заказа на пополнение ЗИП. В этом
случае математическое ожидание неснижаемого запаса для группового и
ремонтного ЗИПов определяют по формулам:
/И1ГЗТ =
=
:
(3.169)
(3.170)
где А.31Г и А.3.р - время в течение которого удовлетворяется срочная заявка
на пополнение ремонтного или группового ЗИПов, соответственно.
С учетом достоверности поставленной задачи математическое ожи­
дание числа запасных частей для текущего довольствия равно
тгд= m +
(3.171)
где Uy - квантиль нормального распределения; т - математическое ожи­
дание числа запасных частей соответствующих ЗИПов.
РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ
181
Пример 3.14. Определить число запасных блоков температурного
режима для группового и ремонтного ЗИПов при следующих исходных
данных:
= 50; Ар = 100; п = 10; Хр = 2-10"6 ч~‘; /р = 40 ч в неделю;
^иПр = 2 ^зип, = 3 г; /с. з = 2 мес-; у = 0,9; Uy= 1,282.
Решение. Вычислим значения XT:
X ТЗИпр = 2 • 10 б • 2 • 8760 ч = 0,035 < 0,2;
X Тзипг = 2 • 10_б • 3 • 8760 ч = 0,052 < 0,2.
Следовательно, для вычисления математического ожидания вос­
пользуемся формулами (3.164) и (3.165):
тг = nNrXTr;
Тг = /р +/хр = 40-52-3 + 128-52-3 = 6240 + 19 968;
tp = 6240 ч;
/хр=19 968 ч;
тг = 10 - 50 • (2-10~б -6240 + 2-10 9-19 96н)« 6,3.
С учетом заданной доверительной вероятности по формуле (3.171)
' п?Тдг = mr +
у[пг ~ 6,3 + 1,2821/6,3 «10.
Аналогично вычислим математическое ожидание для ремонтного
ЗИПр:
тр - «АрХТр = 10 • 10ОХТр = 1000ХТр = 1000(Хр/р + ХХр/Хр);
Тр =40-52 -2 + 128 -52 -2 = 4160 + 13 312;
/р = 4160 ч; /хр = 13 312 ч;
тт =1000(2-10"6 -4160 + 2-10-9 -13 312)»8,3С учетом заданной доверительной вероятности получим
"А.д.р =mP + Uyy[i = 8,3 + 1282V8>3 «12.
По формулам (3.169) и (3.170) определим неснижаемый запас:
т„ зг = иАД/. j = 10 • 50 • 2 • 10"6 • 2 - 720 = 1,44;
от„3р = nNplt^s = 10 - 100 • 2 - 10_б • 2 • 720 = 2,88.
182
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Тогда суммарное число запасных частей определим по формулам
(3.167) и (3.168):
/и' = »?т д г + /инзг = 10 + 1,44 «12;
S = тт.д.р + "’нзр =12 + 2,88 «15.
3.23. ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ,
ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ СОЗДАНИЕ НАДЕЖНЫХ СИСТЕМ
При разработке конструкторской документации в целях обеспечения
надежности создаваемой сложной технической системы целесообразно
выделить следующие основные принципы конструирования.
1. Выбор оптимальных конструктивных решений узлов, механиз­
мов, сборочных единиц, пультов и других элементов конструкций, обес­
печивающих нормальные режимы работы изделия. Такой выбор основы­
вается на использовании облегченного режима работы, увеличении допу­
стимых отклонений параметров, при которых сохраняется работоспособ­
ность узла или механизма, и т.д. Могут быть введены в конструкцию
элементы защиты, предохраняющие изделие от перегрузок и разрушений.
В качестве защитных элементов используют плавкие предохранители в
системах электроавтоматики, обгонные муфты, централизованные сма­
зочные системы с терморегулирующими устройствами, обеспечивающи­
ми работоспособность машин при низких температурах.
Систему необходимо проектировать таким образом, чтобы ее рабо­
тоспособность обеспечивалась при достаточно больших отклонениях
выходных параметров отдельных элементов и узлов. Например, приме­
нение упругих муфт вместо жестких позволяет обеспечивать работоспо­
собность соединяемых валов при большем отклонении от соосности.
2. Использование высоконадежных элементов в создаваемой кон­
струкции. В качестве таковых целесообразно применение унифициро­
ванных и стандартизованных деталей и узлов, обладающих повышенной
надежностью и меньшей стоимостью.
3. Применение материалов с хорошими, стабильными характери­
стиками, что позволяет уменьшить размеры, и соответственно, массу как
отдельных деталей, так и изделия в целом. Большое значение для повы­
шения прочности имеет использование материалов с пониженной чув­
ствительностью к концентрации напряжений. Для деталей, работающих
на трение, применяют материалы с высокой износостойкостью (материа­
лы высокой твердости). Для антифрикционных материалов очень важны
прирабатываемость, смачиваемость смазочным материалом и возмож-
ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ
183
пость самосмазывания. Следовательно, стабильные характеристики при­
меняемых материалов являются важным условием обеспечения надежно­
сти изделия.
В целях получения стабильных характеристик материала применяют
различные технологические методы. Так, например, для повышения из­
носостойкости, коррозионной стойкости и жаропрочности широкое при­
менение нашли различные способы упрочнения поверхностного слоя
деталей. Для повышения усталостной прочности и износостойкости ис­
пользуют: пластическое деформирование в виде дробеструйной обработ­
ки, обкатку шариками и роликами, гидрополирование, алмазное выгла­
живание, калибрование шариком, химико-термическую обработку в виде
цементации и азотирования, поверхностную закалку, электроискровое и
электродуговое упрочнения.
Для защиты от коррозии используют химико-термическую обработ­
ку (например, азотирование, силицирование, сульфидирование), защит­
ное гальваническое покрытие (цинковое, никелевое и кадмиевое), лако­
красочные и пластмассовые покрытия, а также диффузионную металли­
зацию.
4. Применение металлоконструкций оптимальной жесткости.
5. Защита элементов и узлов изделия от воздействия вибрации,
ударных нагрузок, запыленности, влажности, низких и высоких темпе­
ратур, биологических вредителей и т. д.
6. Обеспечение максимальной взаимозаменяемости деталей, узлов и
механизмов позволяет максимально сократить регулировочные работы,
предусмотреть в конструкции фиксирующие элементы, обеспечивающие
правильную установку деталей и узлов при сборке.
7. Оптимальная компоновка деталей и сборочных единиц на изделии
обеспечивает доступ и удобство осмотра узлов и механизмов, нуждаю­
щихся в периодических проверках и регулировании, улучшает ремонто­
пригодность и упрощает обслуживание изделия.
8. Упрощение эксплуатационной документации. В инструкцию по
эксплуатации в целях недопущения ошибочных действий обслуживаю­
щего персонала необходимо вводить предупреждающие знаки «внима­
ния», по возможности упрощать техническое обслуживание, увеличивать
периодичность их проведения.
9. Резервирование элементов, осуществляемое введением дополни­
тельных элементов, обеспечивающих работоспособность системы при
отказе одного или нескольких элементов. Второй путь резервирования облегчение режимов работы, снижение действующих нагрузок и напря­
жений.
184
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
3.24. КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ
Система электроавтоматики представляет собой сложное техниче­
ское устройство, состоящее из совокупности соединенных определенным
образом элементов радиоэлектронной аппаратуры, кабелей и электроме­
ханизмов. При конструировании системы электроавтоматики конструк­
торские подразделения специализируются по следующим направлениям:
разработке функциональных и принципиальных схем, пультовой аппара­
туре, кабельной сети и применению комплектующих элементов.
В функцию специалистов, занимающихся комплектующими элементами,
входит контроль, связанный с разрешением применения элементов и ис­
пользования их в нештатных условиях и режимах. Необходимость такого
разрешения объясняется тем, что часто из-за ограничения массы и габа­
ритных размеров конструкция должна допускать кратковременные пере­
грузки элементов, которые бы не приводили к отказу системы.
Надежность системы электроавтоматики в функциональной схеме
обеспечивают, подбирая нагрузку элементов, не превышающую коэффи­
циента нагрузки: K < 0,5...0,6. Одновременно проводят расчеты тепло­
вых режимов в замкнутом объеме пультовой аппаратуры. В случае пре­
вышения номинальной температуры предусматривают принудительную
вентиляцию или теплоотделение с помощью специальных устройств и
конструкций.
Для предотвращения окисления контактной группы элементов в си­
стеме электроавтоматики при конструировании пультовой аппаратуры
(пульты, разводные коробки, блоки) предусматривают использование
уплотнительных материалов (резиновых прокладок), которые бы не со­
держали сернистые соединения, так как выделение от сернистых соеди­
нений вызывает сильное окисление поверхности контактной группы, что
приводит к отказу. Для предотвращения подобного типа отказов необхо­
димо использовать покрытие контактов серебром, золотом или платиной.
Такой метод существенно предотвращает отказ контактной группы от
окисления, но он значительно увеличивает стоимость изделия, поэтому
его применяют лишь в тех случаях, когда отказ приводит к аварийной
ситуации или невыполнению поставленной задачи.
Важную роль при конструировании системы электроавтоматики иг­
рает защита элементов от прямого попадания на них воды во время мой­
ки изделия или дождя, а также наличие конденсата внутри замкнутого
объема. Для защиты элементов от прямого попадания воды на них при
мойке изделия герметизируют с помощью кожухов, козырьков, чехлов, а
также используют резиновые и другие материалы для уплотнения кры­
шек пультов, блоков и коробок. В целях герметизации разъемных соеди-
КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ
185
пений используют специальные герметизированные разъемы. Удаление
влаги с внутренних поверхностей пультов, блоков от воздействия кон­
денсата осуществляют с помощью влагопоглощающих материалов,
например селикогеля, который чаще всего изготовляют в виде порошка и
размещают внутри замкнутой поверхности в мешочках.
Для обеспечения надежности кабельных соединений предусматрива­
ют применение штепсельных разъемов отличающихся как числом штырь­
ков, так и формой исполнения, а также, по возможности, выбирают такие
длины кабелей, которые бы стыковались только с нужным разъемом.
Важное место при разработке функциональной схемы электроавтома­
тики занимает способ повышения надежности резервированием как от­
дельных элементов, так и каналов. Различные способы резервирования по
разному влияют на количественные показатели надежности (см. п. 3.12 и
3.13).
При разработке системы электроавтоматики ее надежность целесооб­
разно оценивать по критериям, основанным на оценке физических свойств
элементов схемы. Различают четыре группы основных критериев [2].
Группа 1 - критерии, по которым оценивают правильность форму­
лировки технического задания и устанавливают необходимость дополни­
тельной его проработки и корректирования. С помощью этой группы
критериев анализируют структурную, функциональную и принципиаль­
ную схемы системы электроавтоматики, а также дают характеристику
надежности функционирования схемы и получения ее параметров, задан­
ных в техническом задании на разработку.
Группа 2*Д<ритерии, по которым оценивают качество и надежность
элементов, применяемых в системе электроавтоматики. По этой группе
критериев определяют режимы работы элементов и влияние выбранных
режимов на надежность системы электроавтоматики.
Группа 3 - критерии, по которым оценивают эффективность и до­
статочность принятых мер при разработке конструкции самой системы
электроавтоматики, ее блоков, пультов и других элементов для обеспече­
ния надежной работы изделия в реальных условиях эксплуатации.
Группа 4 - критерии, для оценивания эксплуатационных характери­
стик системы электроавтоматики и влияние этих характеристик на ее
надежность.
Перечисленные критерии основаны на тщательном изучении исход­
ных данных, выдаваемых для разработки системы электроавтоматики,
анализе схем, режимов их работы, конструкции, т.е. на изучении физиче­
ских процессов, которыми сопровождается работа системы электроавто­
матики. Оценка критериев тесно связана с проектированием, отработкой,
серийным производством и эксплуатацией изделий. Анализ критериев,
186
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
выполняемый в процессе разработки системы, помогает разработчику
найти правильные решения при ее конструировании. Необходимо отме­
тить, что рассмотренные критерии не дают исчерпывающих сведений о
разрабатываемой системе электроавтоматики, однако могут служить в
качестве определенного направления разработок таких схем.
Оценку выполнения критериев можно производить методом расчет­
ного анализа схем и конструкций и изучением результатов испытаний.
По своей сути критерии надежности предназначены для оценки безотказ­
ности, долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости изделия на
этапе разработки и выдаются в виде указаний по устранению недостатков
и совершенствованию методов проектирования.
Наряду с использованием характеристических критериев, часто вы­
является необходимость применения вероятностных методов оценки
надежности изделий на этапе разработки. Обе группы критериев не ис­
ключают друг друга, а лишь дополняют наши сведения о надежности
изделия. Вероятностные критерии позволяют дать количественную оцен­
ку надежности изделия как на этапе разработки, так и по результатам
испытаний и эксплуатации.
3.25. КОНСТРУИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ УЗЛОВ И
КОМПОНОВКА ИЗДЕЛИЯ
В целях обеспечения надежности изделий машиностроения при про­
ектировании, по аналогии с разработкой системы электроавтоматики,
можно использовать ряд групп критериев, основанных на физических
свойствах изделия [36].
Группа 1 - критерии, предназначенные для оценки правильности
технического задания и выдачи предложений по дополнительной его
проработке с уточнением конкретных параметров. По этим критериям
выполняют анализ проектируемого изделия, оценивают возможность
транспортирования изделия на дальние расстояния, его массу, безаварий­
ность, надежность функционирования при выполнении поставленной
задачи, срок службы, периодичность технического обслуживания и др.
Все перечисленные характеристики являются основой для определения
облика изделия и рационального размещения на нем силовых узлов, ме­
ханизмов и систем.
Группа 2 - критерии для оценки надежности и качества изделия,
обеспечиваемых материалом, из которого конструируют силовые узлы
металлоконструкций. При выборе материала исходят из назначения изде­
лия по условиям эксплуатации. Для изделий, работающих в стационар­
ных условиях, чаще всего используют обычные углеродистые стали, для
КОНСТРУИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ УЗЛОВ И КОМПОНОВКА ИЗДЕЛИЙ
187
изделий, работающих в условиях переменных нагрузок, - высоколегиро­
ванные стали; для изделий, работающих в условиях низких температур, спокойные стали. В зависимости от режимов работы изделия, температу­
ры и влажности окружающей среды подбирают соответствующий
материал, обеспечивающий надежную работу изделия в условиях эксплу­
атации.
Группа 3 - критерии, обеспечивающие надежность силовых кон­
струкций, для оценки рациональности размещения узлов, механизмов и
систем на изделии. Для подвижного транспортного средства с большой
грузоподъемностью (например, до 15 т) необходимо предусматривать
равномерное распределение нагрузки по осям. Узлы и механизмы, рабо­
тающие от привода силового двигателя, необходимо размещать вблизи
выходного вала двигателя. Такое размещение обеспечивает существенное
сокращение промежуточных устройств.
Важное место при оценивании с помощью этой группы критериев
занимает удобство обслуживания отдельных узлов, механизмов и систем.
В процессе конструирования изделия компоновка узлов, механизмов и
систем должна быть таковой, чтобы на доступ к ним при обслуживании
или замене расходовалось минимальное время. Такая компоновка обес­
печивает повышение коэффициента готовности изделия к выполнению
поставленной задачи. Вместе с тем, при компоновке изделия необходимо
предусмотреть возможность защиты отдельных узлов, механизмов и си­
стем от прямого попадания на них грязи, пыли и воды. Наиболее опти­
мальным явдяется вариант бункерного исполнения, когда в отдельном
герметизированном бункере размещается узел, механизм или система,
предназначенные для выполнения соответствующих функций.
При трассировке кабельных линий необходимо предусмотреть ее
защиту от внешних воздействий в виде ударов, пробоев и порывов. Чаще
всего для этого трассу закрывают металлическим кожухом или размеща­
ют кабельную линию в углублении, не доступном для внешних воздей­
ствий. Кроме того, на подвижных транспортных средствах отдельные
кабели не должны подвергаться трению между собой или с рядом распо­
ложенными устройствами. В этом случае должно быть предусмотрено
крепление кабелей в один жгут или закрепление отдельных кабелей ско­
бами к неподвижным поверхностям.
Особое внимание при конструировании уделяют компоновке трубо­
проводов гидросистемы. Трубопроводы должны размещаться по изделию
таким образом, чтобы они не подвергались трению о близкорасположен­
ные устройства, а радиус их изгиба должен быть таким, чтобы многоцик­
лические нагрузки не приводили к разрушению. Трубопроводы с высо­
ким давлением необходимо, по возможности, размещать в местах, ис-
180
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
где п - число элементов данного типа на одном изделии; No, N и Np число изделий, на которые рассчитывают одиночный, групповой и ре­
монтный ЗИПы, соответственно, обычно No = 1; То, Тг и Тр - время на
которое рассчитывают одиночный, групповой и ремонтный ЗИПы, соот­
ветственно.
При расчете математического ожидания числа ЗИП в соответствии с
формулами (3.161) - (3.165) необходимо сделать следующие преобразо­
вания:
/и — «JV (х р?р + Х,р/Т|, + XxpZxp ),
(3.166)
где tp, /Тр и /хр - время работы, транспортирования и хранения элемента за
период Т, соответственно, /р + /тр + /Хр = Г; Хр, Х,р и Лхр - интенсивности
отказов элемента при работе, транспортировании и хранении, соответ­
ственно.
При расчете принимают Хтр = 1,5Хр, ХХр = 10^Хр.
В случае если запасные части влияют на готовность изделия в про­
цессе эксплуатации, то число запасных частей для группового и ремонт­
ного ЗИПов устанавливают равными сумме норм запаса текущего до­
вольствия Отт.д и нормы неснижаемого запаса ятпз:
“ =°Т иг"*"
^Гр
^Т.д.р ""^П.З.рР
(3.167)
(3.168)
Значение /итд определяют по математическому ожиданию расхода
m запасных частей за время, на которое рассчитан их запас, а норма не­
снижаемого запаса т113 - по математическому ожиданию расхода m за
время /сз удовлетворения срочного заказа на пополнение ЗИП. В этом
случае математическое ожидание неснижаемого запаса для группового и
ремонтного ЗИПов определяют по формулам:
от||ЗГ = пХЯг/сзГ;
(_ЗЛ6^9>)
от.,.з.Р ^«Арс.з.р,
(3.170)
где /сзг и /сзр - время в течение которого удовлетворяется срочная заявка
на пополнение ремонтного или группового ЗИПов, соответственно.
С учетом достоверности поставленной задачи математическое ожи­
дание числа запасных частей для текущего довольствия равно
тУЯ = т + Uyjm,
(ИД)
где Uy - квантиль нормального распределения; т - математическое ожи­
дание числа запасных частей соответствующих ЗИПов.
РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВ А ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ
181
Пример 3.14. Определить число запасных блоков температурного
режима для группового и ремонтного ЗИПов при следующих исходных
данных: Nr = 50; Ap = 100; п = 10; Хр = 2- 10^ ч '; /р = 40 ч в неделю;
7"зиПр = 2 г; 7зип, = 3 г; /с з = 2 мес.; у = 0,9; Uy = 1,282.
Решение. Вычислим значения кТ:
Х7ЗиПр =2-10_б-2-8760 ч=0,035<0,2;
X ?зипг = 2 • 10'6 ■ 3 • 8760 ч = 0,052 < 0,2.
Следовательно, для вычисления математического ожидания вос­
пользуемся формулами (3.164) и (3.165):
my = nNrXTr •,
Тг =/р + /хр =40-52-3 + 12852-3 = 6240 + 19 968;
/р= 6240 ч;
/х>=19 968 ч;
т;. = 10 - 50 ■ (2 ■ 10 6 -6240 + 2-10"9 -19 968)«6,3.
С учетом заданной доверительной вероятности по формуле (3.171)
/иТдг = тг +иуУ[тг = 6,3 + l,282--^,3 «10.
Аналогично вычислим математическое ожидание для ремонтного
ЗИПр:
тр = nNpkTp = 10-100ХТр = 1000ХГр = ЮОО^+Х^;
Тр =40-52-2 + 128-52-2 = 4160 + 13 312;
/р = 4160 ч; /хр=13 312 ч;
= 1000(2^ 10 6 -4160 + 2-10 9 -13 312)®8,3.
С учетом заданной доверительной вероятности получим
/Итдр = тр + UyJmp = 8,3 + 1,282-/8,3 ® 12.
По формулам (3.169) и (3.170) определим неснижаемый запас:
т„ з r = nNrktC3 = 10 • 50 ■ 2 ■ 10_6 • 2 • 720 = 1-44;
«т.кз.р = «/ррЧс =10-100 -2-10-6 - 2-720 = 2,88.
182
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Тогда суммарное число запасных частей определим по формулам
(3.167) и (3.168):
от' = дгтдг + лт„з.г = 10 + 1,44 »12;
Тр = ттлр
+ т„,р = 12 + 2,88 »15.
3.23. ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ,
ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ СОЗДАНИЕ НАДЕЖНЫХ СИСТЕМ
При разработке конструкторской документации в целях обеспечения
надежности создаваемой сложной технической системы целесообразно
выделить следующие основные принципы конструирования.
1. Выбор оптимальных конструктивных решений узлов, механиз­
мов, сборочных единиц, пультов и других элементов конструкций, обес­
печивающих нормальные режимы работы изделия. Такой выбор основы­
вается на использовании облегченного режима работы, увеличении допу­
стимых отклонений параметров, при которых сохраняется работоспособ­
ность узла или механизма, и т.д. Могут быть введены в конструкцию
элементы защиты, предохраняющие изделие от перегрузок и разрушений.
В качестве защитных элементов используют плавкие предохранители в
системах электроавтоматики, обгонные муфты, централизованные сма­
зочные системы с терморегулирующими устройствами, обеспечивающи­
ми работоспособность машин при низких температурах.
Систему необходимо проектировать таким образом, чтобы ее рабо­
тоспособность обеспечивалась при достаточно больших отклонениях
выходных параметров отдельных элементов и узлов. Например, приме­
нение упругих муфт вместо жестких позволяет обеспечивать работоспо­
собность соединяемых валов при большем отклонении от соосности.
2. Использование высоконадежных элементов в создаваемой кон­
струкции. В качестве таковых целесообразно применение унифициро­
ванных и стандартизованных деталей и узлов, обладающих повышенной
надежностью и меньшей стоимостью.
3. Применение материалов с хорошими, стабильными характери­
стиками, что позволяет уменьшить размеры, и соответственно, массу как
отдельных деталей, так и изделия в целом. Большое значение для повы­
шения прочности имеет использование материалов с пониженной чув­
ствительностью к концентрации напряжений. Для деталей, работающих
на трение, применяют материалы с высокой износостойкостью (материа­
лы высокой твердости). Для антифрикционных материалов очень важны
прирабатываемость, смачиваемость смазочным материалом и возмож­
ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ
183
ность самосмазывания. Следовательно, стабильные характеристики при­
меняемых материалов являются важным условием обеспечения надежно­
сти изделия.
В целях получения стабильных характеристик материала применяют
различные технологические методы. Так, например, для повышения из­
носостойкости, коррозионной стойкости и жаропрочности широкое при­
менение нашли различные способы упрочнения поверхностного слоя
деталей. Для повышения усталостной прочности и износостойкости ис­
пользуют: пластическое деформирование в виде дробеструйной обработ­
ки, обкатку шариками и роликами, гидрополирование, алмазное выгла­
живание, калибрование шариком, химико-термическую обработку в виде
цементации и азотирования, поверхностную закалку, электроискровое и
электродуговое упрочнения.
Для защиты от коррозии используют химико-термическую обработ­
ку (например, азотирование, силицирование, сульфидирование), защит­
ное гальваническое покрытие (цинковое, никелевое и кадмиевое), лако­
красочные и пластмассовые покрытия, а также диффузионную металли­
зацию.
4. Применение металлоконструкций оптимальной жесткости.
5. Защита элементов и узлов изделия от воздействия вибрации,
ударных нагрузок, запыленности, влажности, низких и высоких темпе­
ратур, биологических вредителей и т.д.
6. Обеспечение максимальной взаимозаменяемости деталей, узлов и
механизмов позволяет максимально сократить регулировочные работы,
предусмотреть в конструкции фиксирующие элементы, обеспечивающие
правильную установку деталей и узлов при сборке.
7. Оптимальная компоновка деталей и сборочных единиц на изделии
обеспечивает доступ и удобство осмотра узлов и механизмов, нуждаю­
щихся в периодических проверках и регулировании, улучшает ремонто­
пригодность и упрощает обслуживание изделия.
8. Упрощение эксплуатационной документации. В инструкцию по
эксплуатации в целях недопущения ошибочных действий обслуживаю­
щего персонала необходимо вводить предупреждающие знаки «внима­
ния», по возможности упрощать техническое обслуживание, увеличивать
периодичность их проведения.
9. Резервирование элементов, осуществляемое введением дополни­
тельных элементов, обеспечивающих работоспособность системы при
отказе одного или нескольких элементов. Второй путь резервирования облегчение режимов работы, снижение действующих нагрузок и напря­
жений.
184
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
3.24. КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ
Система электроавтоматики представляет собой сложное техниче­
ское устройство, состоящее из совокупности соединенных определенным
образом элементов радиоэлектронной аппаратуры, кабелей и электроме­
ханизмов. При конструировании системы электроавтоматики конструк­
торские подразделения специализируются по следующим направлениям:
разработке функциональных и принципиальных схем, пультовой аппара­
туре, кабельной сети и применению комплектующих элементов.
В функцию специалистов, занимающихся комплектующими элементами,
входит контроль, связанный с разрешением применения элементов и ис­
пользования их в нештатных условиях и режимах. Необходимость такого
разрешения объясняется тем, что часто из-за ограничения массы и габа­
ритных размеров конструкция должна допускать кратковременные пере­
грузки элементов, которые бы не приводили к отказу системы.
Надежность системы электроавтоматики в функциональной схеме
обеспечивают, подбирая нагрузку элементов, не превышающую коэффи­
циента нагрузки: Кп < 0,5...0,6. Одновременно проводят расчеты тепло­
вых режимов в замкнутом объеме пультовой аппаратуры. В случае пре­
вышения номинальной температуры предусматривают принудительную
вентиляцию или теплоотделение с помощью специальных устройств и
конструкций.
Для предотвращения окисления контактной группы элементов в си­
стеме электроавтоматики при конструировании пультовой аппаратуры
(пульты, разводные коробки, блоки) предусматривают использование
уплотнительных материалов (резиновых прокладок), которые бы не со­
держали сернистые соединения, так как выделение от сернистых соеди­
нений вызывает сильное окисление поверхности контактной группы, что
приводит к отказу. Для предотвращения подобного типа отказов необхо­
димо использовать покрытие контактов серебром, золотом или платиной.
Такой метод существенно предотвращает отказ контактной группы от
окисления, но он значительно увеличивает стоимость изделия, поэтому
его применяют лишь в тех случаях, когда отказ приводит к аварийной
ситуации или невыполнению поставленной задачи.
Важную роль при конструировании системы электроавтоматики иг­
рает защита элементов от прямого попадания на них воды во время мой­
ки изделия или дождя, а также наличие конденсата внутри замкнутого
объема. Для защиты элементов от прямого попадания воды на них при
мойке изделия герметизируют с помощью кожухов, козырьков, чехлов, а
также используют резиновые и другие материалы для уплотнения кры­
шек пультов, блоков и коробок. В целях герметизации разъемных соеди­
КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ
185
нений используют специальные герметизированные разъемы. Удаление
влаги с внутренних поверхностей пультов, блоков от воздействия кон­
денсата осуществляют с помощью влагопоглощающих материалов,
например селикогеля, который чаще всего изготовляют в виде порошка и
размещают внутри замкнутой поверхности в мешочках.
Для обеспечения надежности кабельных соединений предусматрива­
ют применение штепсельных разъемов отличающихся как числом штырь­
ков, так и формой исполнения, а также, по возможности, выбирают такие
длины кабелей, которые бы стыковались только с нужным разъемом.
Важное место при разработке функциональной схемы электроавтома­
тики занимает способ повышения надежности резервированием как от­
дельных элементов, так и каналов. Различные способы резервирования по
разному влияют на количественные показатели надежности (см. п. 3.12 и
3.13).
При разработке системы электроавтоматики ее надежность целесооб­
разно оценивать по критериям, основанным на оценке физических свойств
элементов схемы. Различают четыре группы основных критериев [2].
Группа 1 - критерии, по которым оценивают правильность форму­
лировки технического задания и устанавливают необходимость дополни­
тельной его проработки и корректирования. С помощью этой группы
критериев анализируют структурную, функциональную и принципиаль­
ную схемы системы электроавтоматики, а также дают характеристику
надежности функционирования схемы и получения ее параметров, задан­
ных в техническом задании на разработку.
Группа 2 - критерии, по которым оценивают качество и надежность
элементов, применяемых в системе электроавтоматики. По этой группе
критериев определяют режимы работы элементов и влияние выбранных
режимов на надежность системы электроавтоматики.
Группа 3 - критерии, по которым оценивают эффективность и до­
статочность принятых мер при разработке конструкции самой системы
электроавтоматики, ее блоков, пультов и других элементов для обеспече­
ния надежной работы изделия в реальных условиях эксплуатации.
Группа 4 - критерии, для оценивания эксплуатационных характери­
стик системы электроавтоматики и влияние этих характеристик на ее
надежность.
Перечисленные критерии основаны на тщательном изучении исход­
ных данных, выдаваемых для разработки системы электроавтоматики,
анализе схем, режимов их работы, конструкции, т.е. на изучении физиче­
ских процессов, которыми сопровождается работа системы электроавто­
матики. Оценка критериев тесно связана с проектированием, отработкой,
серийным производством и эксплуатацией изделий. Анализ критериев,
186
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
выполняемый в процессе разработки системы, помогает разработчику
найти правильные решения при ее конструировании. Необходимо отме­
тить, что рассмотренные критерии не дают исчерпывающих сведений о
разрабатываемой системе электроавтоматики, однако могут служить в
качестве определенного направления разработок таких схем.
Оценку выполнения критериев можно производить методом расчет­
ного анализа схем и конструкций и изучением результатов испытаний.
По своей сути критерии надежности предназначены для оценки безотказ­
ности, долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости изделия на
этапе разработки и выдаются в виде указаний по устранению недостатков
и совершенствованию методов проектирования.
Наряду с использованием характеристических критериев, часто вы­
является необходимость применения вероятностных методов оценки
надежности изделий на этапе разработки. Обе группы критериев не ис­
ключают друг друга, а лишь дополняют наши сведения о надежности
изделия. Вероятностные критерии позволяют дать количественную оцен­
ку надежности изделия как на этапе разработки, так и по результатам
испытаний и эксплуатации.
3.25. КОНСТРУИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ УЗЛОВ И
КОМПОНОВКА ИЗДЕЛИЯ
В целях обеспечения надежности изделий машиностроения при про­
ектировании, по аналогии с разработкой системы электроавтоматики,
можно использовать ряд групп критериев, основанных на физических
свойствах изделия [36].
Группа 1 - критерии, предназначенные для оценки правильности
технического задания и выдачи предложений по дополнительной его
проработке с уточнением конкретных параметров. По этим критериям
выполняют анализ проектируемого изделия, оценивают возможность
транспортирования изделия на дальние расстояния, его массу, безаварий­
ность, надежность функционирования при выполнении поставленной
задачи, срок службы, периодичность технического обслуживания и др.
Все перечисленные характеристики являются основой для определения
облика изделия и рационального размещения на нем силовых узлов, ме­
ханизмов и систем.
Группа 2 - критерии для оценки надежности и качества изделия,
обеспечиваемых материалом, из которого конструируют силовые узлы
металлоконструкций. При выборе материала исходят из назначения изде­
лия по условиям эксплуатации. Для изделий, работающих в стационар­
ных условиях, чаще всего используют обычные углеродистые стали, для
КОНСТРУИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ УЗЛОВ И КОМПОНОВКА ИЗДЕЛИЙ
187
изделий, работающих в условиях переменных нагрузок, - высоколегиро­
ванные стали; для изделий, работающих в условиях низких температур, спокойные стали. В зависимости от режимов работы изделия, температу­
ры и влажности окружающей среды подбирают соответствующий
материал, обеспечивающий надежную работу изделия в условиях эксплу­
атации.
Группа 3 - критерии, обеспечивающие надежность силовых кон­
струкций, для оценки рациональности размещения узлов, механизмов и
систем на изделии. Для подвижного транспортного средства с большой
грузоподъемностью (например, до 15 т) необходимо предусматривать
равномерное распределение нагрузки по осям. Узлы и механизмы, рабо­
тающие от привода силового двигателя, необходимо размещать вблизи
выходного вала двигателя. Такое размещение обеспечивает существенное
сокращение промежуточных устройств.
Важное место при оценивании с помощью этой группы критериев
занимает удобство обслуживания отдельных узлов, механизмов и систем.
В процессе конструирования изделия компоновка узлов, механизмов и
систем должна быть таковой, чтобы на доступ к ним при обслуживании
или замене расходовалось минимальное время. Такая компоновка обес­
печивает повышение коэффициента готовности изделия к выполнению
поставленной задачи. Вместе с тем, при компоновке изделия необходимо
предусмотреть возможность защиты отдельных узлов, механизмов и си­
стем от прямого попадания на них грязи, пыли и воды. Наиболее опти­
мальным является вариант бункерного исполнения, когда в отдельном
герметизированном бункере размещается узел, механизм или система,
предназначенные для выполнения соответствующих функций.
При трассировке кабельных линий необходимо предусмотреть ее
защиту от внешних воздействий в виде ударов, пробоев и порывов. Чаще
всего для этого трассу закрывают металлическим кожухом или размеща­
ют кабельную линию в углублении, не доступном для внешних воздей­
ствий. Кроме того, на подвижных транспортных средствах отдельные
кабели не должны подвергаться трению между собой или с рядом распо­
ложенными устройствами. В этом случае должно быть предусмотрено
крепление кабелей в один жгут или закрепление отдельных кабелей ско­
бами к неподвижным поверхностям.
Особое внимание при конструировании уделяют компоновке трубо­
проводов гидросистемы. Трубопроводы должны размещаться по изделию
таким образом, чтобы они не подвергались трению о близкорасположен ­
ные устройства, а радиус их изгиба должен быть таким, чтобы многоцик­
лические нагрузки не приводили к разрушению. Трубопроводы с высо­
ким давлением необходимо, по возможности, размещать в местах, ис-
190
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
ние деталей и сборка их в узлы, а также испытание опытных образцов.
Успех разработанной конструкции во многом зависит от изготовления и
сборки узлов. Для обеспечения правильности изготовления и собираемо­
сти узлов разработчик конструкции должен непосредственно участвовать
в этих процессах. Такое активное участие позволяет своевременно вы­
явить допущенные ошибки и принимать правильное решение по их
устранению. Испытания и отработка конструкции - завершающие этапы
в разработке изделия, на основании которых принимают решение о внед­
рении. На этих этапах работают специалисты по планированию испыта­
ний, составлению программы обеспечения и оценке надежности по ре­
зультатам испытаний с учетом проводимых доработок.
Для конструктора, стремящегося обеспечить высокую надежность
изделия, полезны два подхода к проектированию - упрощение и стан­
дартизация. Чем проще конструкция, тем выше надежность, поэтому
необходимо уменьшать число деталей или число типов используемых
деталей. Конструктор должен также проявлять интерес к факторам инже­
нерной психологии. Следует заботиться о том, чтобы невозможно было
произвести неправильную сборку.
Очень важной характеристикой высоконадежной конструкции
является возможность проконтролировать ее основные параметры, для
чего следует ввести их в технологический паспорт для обязательного
контроля при изготовлении и испытаниях. Необходимо также преду­
смотреть в документации оптимальные сроки проведения технических
обслуживании, связанных с периодичностью смазывания и регулирова­
ния механизмов.
В конструкциях гидравлических систем и механических узлов для
обеспечения их надежности предпочтительнее применять ручное резер­
вирование механизмов, обеспечивающее выполнение работ в заданное
время, или параллельное резервирование трубопровода с клапаном,
включающим дублирующий трубопровод в случае отказа одного из них.
Таким образом, существует несколько методов, с помощью которых
можно повысить конструктивную надежность. В каждом случае эти ме­
тоды необходимо всесторонне оценить, а также выяснить ограничения,
влияющие на конструкцию. Конструктивные методы повышения надеж­
ности предусматривают создание запасов прочности конструкции, облег­
чение режимов работы элементов, упрощение конструкции, использова­
ние стандартизованных деталей и узлов, учет факторов инженерной пси­
хологии, обеспечение ремонтопригодности, обоснование использования
материалов и способов резервирования.
МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
191
3.27. МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
НА ЭТАПЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Проектный расчет надежности изделия проводят по материалам
эскизного либо технического проекта. Целью расчета является теорети­
ческое определение количественных показателей надежности, заданных в
техническом задании. Такими показателями могут быть вероятность без­
отказной работы P(t), средняя наработка на отказ То, среднее время вос­
становления Тя, коэффициент готовности и другие показатели.
В качестве исходных данных при расчете надежности используют
справочные материалы в виде интенсивностей отказов отдельных эле­
ментов либо статистические данные в виде наработок на отказ и среднего
времени восстановления узлов и механизмов, полученные при испытани­
ях или в процессе эксплуатации аналогичных изделий.
Расчет надежности проводят в следующей последовательности.
На основе анализа работы изделия составляют структурную схему на­
дежности в виде последовательно соединенных прямоугольников, каж­
дый из которых представляет собой функционально законченный эле­
мент изделия, выполняющий определенную операцию. В свою очередь,
каждый узел, механизм или другая сборочная единица представляет со­
бой совокупность элементов, имеющих различные виды соединений последовательное, параллельное, смешанное и др. Особенно это касается
электронной аппаратуры, где насчитывается несколько тысяч элементов.
Проектный расчет надежности основывается на использовании
^.-характеристик и принятом допущении об их постоянстве в течение га­
рантийного срока эксплуатации. Такое допущение позволяет применять
при расчете экспоненциальный закон распределения, при котором веро­
ятность безотказной работы определяют по формуле
р()=е«
= ехр|-:т;х|,
( /=| )
(3.172)
где е = 2,71828; X, - интенсивность отказов /-го элемента; t - время рабо­
ты изделия; п - число элементов, последовательно соединенных в струк­
турной схеме надежности.
Принимая во внимание, что для каждого предприятия характерны
свои особенности в технологии изготовления, культуре производства,
квалификации кадров и методах контроля, поэтому в расчетах надежно­
сти рекомендуется использовать /.-характеристики элементов-аналогов
только данного предприятия. Это обосновывается тем, что каждое пред-
192
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
приятие имеет значительную преемственность в использовании имею­
щейся оснастки, стендового оборудования, специальной оснастки для
изготовления и испытаний аналогичных деталей и сборочных единиц.
Проектный расчет надежности создаваемого изделия целесообразно
проводить в двух вариантах. Первый вариант проводят по результатам
статистических данных интенсивностей отказов или наработок на отказ,
полученных в процессе всех видов испытаний образцов-аналогов. Второй
вариант расчета выполняют по результатам статистических данных ин­
тенсивностей отказов или наработок на отказ, полученных в процессе
эксплуатации образцов-аналогов. Такой подход позволяет объективно
контролировать и сравнивать показатели надежности, полученные рас­
четным путем и в процессе отработки изделия, а также при его эксплуа­
тации.
Следует помнить, что проектный расчет надежности изделий необ­
ходимо рассматривать как дополнительный материал для проведения
сравнительного анализа конструктором-разработчиком и выработки им
совместно с подразделением надежности рекомендаций по повышению
уровня надежности.
Более подробно рассмотрим методику проектного расчета надежно­
сти для следующих количественных показателей надежности: вероятно­
сти безотказной работы ?(/); среднего квадратического отклонения вр^,
среднего значения наработки на отказ То; среднего времени восстановле­
ния Тв и коэффициента готовности Кг.
При отсутствии статистических данных для образцов-аналогов рас­
чет проектной надежности осуществляют по справочным данным ин­
тенсивностей отказов, т.е. по ^-характеристикам. Расчетная формула для
вероятности безотказной работы сборочной единицы
ТЕ''’ /pCp 'A/Xf?/Xp ' /гр^/тр
(3.173)
где Х,-р, Х/хр и А.,-Тр - интенсивности отказов /-го элемента при работе, при
хранении и при транспортировании, соответственно; ?/р, f,Xp и /,гр - время
работы, хранения и транспортирования /'-го элемента в течение времени /
(t,p < t), соответственно.
В справочной литературе приведены интенсивности отказов как для
нормальных, так и для утяжеленных режимов работы. При расчете ис­
пользуют формулу пересчета для интенсивности отказов при работе:
(3.174)
МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
193
i де X, - интенсивность отказов в нормальных условиях эксплуатации
( юмпература окружающей среды 20...25 °C, влажность 60 %, нормальная
ншрузка к, = 1,0); А, - коэффициент, учитывающий нагрузку элемента,
rm температурный режим, влажность окружающей среды и выбираемый
ио расчетным справочным данным или графикам.
При отсутствии данных о надежности элементов в фактических
условиях хранения и транспортирования принимают следующие соотно­
шения пересчета интенсивностей отказов:
Xxp = HJ-3Xp;
Ххртр=1,5Ххр;
X ртр = 15Хр .
(3.175)
Формулу (3.173) используют для определения вероятности безоттной работы функционально законченной сборочной единицы изделия.
Гогда вероятность безотказной работы изделия в целом, состоящего из
последовательно соединенных функционально законченных узлов, сбо­
рочных единиц, определяют по формуле
Л) = ПШ
.176)
<3
7=1
I де P^t) - вероятность безотказной работы за время / у-го узла структур­
ной схемы надежности; W - число узлов структурной схемы надежности,
участвующих в выполнении работы.
При наличии статистических данных по результатам испытаний или
жсплуатации аналогичных элементов вероятность безотказной работы
находят из выражения
/>() = 1-_^,
Ч
(3.177)
i де т, и п, ~ числа отказов и циклов испытаний t-го элемента за время t,
соответственно.
При числе отказов, равном нулю, т.е. при т, = 0 имеем
(3.178)
Если в процессе испытаний или эксплуатации в качестве статисти­
ческой оценки получена средняя наработка на отказ, то вероятность без­
отказной работы элемента за время t равна
I
(3.179)
194
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
где 7] - средняя наработка на отказ /-го элемента, полученная по резуль­
татам испытаний или эксплуатации.
При расчете вероятности безотказной работы по ^-характеристикам
среднее квадратическое отклонение вероятности безотказной работы
равно:
- /-й детали
(3.180)
- у-й сборочной единицы
(3.181)
- для изделия в целом
(3.182)
При расчете вероятности безотказной работы по статистическим
данным и при наличии отказов, т.е. при т, * 0, среднее квадратическое
отклонение вероятности безотказной работы элемента
В случае отсутствия отказов, т.е. при т = 0, среднее квадратическое
отклонение
1___ \5п, + 7
(3.184)
СТ':(,) " 2(«, + 2) у п, + 3
Расчетная формула средней наработки на отказ при известной ин­
тенсивности отказов X, имеет вид:
- для /-Й детали
Г=—-
(3.185)
- для j-й сборочной единицы
Т = —!—
J
п
/=|
(3.186)
МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
195
- для изделия в целом
Т
1о =
(3.187)
где X, - интенсивность отказов j-й сборочной единицы.
При наличии статистических данных среднюю наработку на отказ
>лемента определяют по формулам:
- для z-й детали
(3.188)
где 6 - время работы ь^о элемента; т, - число отказов z-ro элемента за
время его работы
- дляу-й сборочной единицы
1
(3.189)
"
1
Е?
Z=l J
/=| ''
- для изделия в целом
(3.190)
Т =
На этапе технического проекта среднее время восстановления То
можно рассчитать по технологическим картам замены отдельных деталей
и сборочных единиц изделия.
При наличии статистических данных среднее время восстановления
/-И сборочной единицы определяют по формуле
п
Т1
— - =l
BJ
л
К, =------- ’
(3.191)
/=|
п
- суммарное время восстановления /-х элементов за период
где
/=|
л
испытаний или эксплуатации; 'Tjml - суммарное число отказов z'-x элеz=i
ментов за период испытаний или эксплуатации.
196
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Тогда среднее время восстановления изделия в целом соответствен­
но равно
(3.192)
где т, - число отказову-го элемента изделия.
Коэффициент готовности изделия при отсутствии статистических
данных вычисляют по формуле
Т
Кг =
0
(3.193)
т1 О ~ тт
■
В
а при наличии этих данных - по формуле
Г г
Г»
(3.194)
Пример 3.15. Оценить надежность изделия на этапе технического
проектирования. В техническом задании на изделие заданы следующие
количественные показатели надежности: /'(/) = 0,9; о>(,) - 0,03; t = 40 ч;
К = 0,99.
По результатам анализа конструкторской документации установле­
но, что структурная схема надежности изделия представляет собой по­
следовательное соединение функционально законченных четырех
устройств (N = 4) (рис. 3.19).
Расчет надежности проводят по статистическим данным испытаний
изделий-аналогов, сведенным в таблицу «Статистические данные».
Принимая допущение об экспоненциальном законе распределения
наработки на отказ, определим вероятность безотказной работы для каж­
дого устройства ССН:
- силовой привод
1
2
3
4
Рис. 3.19. Структурная схема надежности изделия
МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
197
Статистические данные
11омер
ус тройства
ио ССН
Наименование и
обозначение по чертежу
Время
работы
(/,Ч
Наработка
на отказ
Среднее время
восстановления
отказа tUJ, ч
1
Устройство силового
привода СБ 01
40
1000
5
2
Устройство управления
СБ 02
40
800
10
3
Устройство
сигнализации СБ 03
10
1200
5
4
Устройство
связи СБ 04
20
2000
2
- устройство управления
!■>
- устройство сигнализации, (работает всего 10 ч, поэтому время
«ранения составляет 30 ч)
6
Д
)
*рЗ + гхрЗ ]Q-3
т3
т3
10
1200
30 ■ 10~3
= 0,9992.
1200
Вероятность безотказной работы устройства связи. Для этого
устройства время хранения составляет 20 ч. Поэтому получим
£р± + ^р±1о-з
Л
74
20-10~3
= 0,990.
2000
Тогда вероятность безотказной работы изделия в целом
P(t)=P} (г, )Р, (/2 )Р3 (г3 )Р4(/4) = 0,96 • 0,95 • 0,9992 ■ 0,99 « 0,9.
Для нахождения среднего квадратического отклонения по соотноше­
ниям (3.180) и (3.181), предварительно определим интенсивность отказов:
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
198
X , = — = —— = 0,001 ч X , = —
1 Т]
1000
2 Т2
— = 0,00125 ч
800
—— = 0,0005 ч ',
2000
откуда среднее квадратическое отклонение Р(/) изделия в целом равно
= 10 '71 + 1.56 + 0,64 + 0,25 = 1,86 10
Для определения коэффициента готовности найдем среднее значе­
ние наработки на отказ и среднее время восстановления отказа:
- Ту+Тт+Тз + Тл 1000 + 800 + 1200 + 2000 >АГЛ
Т = —----- ----- ------ - =-------------------------------- = 1250 ч;
0
4
4
_ zbi
“
+
zb2
+
4
/вз
+
/В4 _ 5 + 10 + 5 + 2 _
4
’
'
Далее по формуле (3.171) определим коэффициент готовности
f
1250
К = . 1‘о0 . = —= 0,995 .
г Т0+Та 1250 + 5,5
Полученные расчетные значения показателей надежности удовле­
творяют требованиям технического задания.
Глава 4
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
НА ЭТАПЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ
4.1. ЦЕЛЬ И ВИДЫ ИСПЫТАНИЙ
Целью экспериментальной отработки сложных технических систем
является проверка правильности принятых конструктивных решений и
подтверждение работоспособности как отдельных узлов, механизмов и
сборочных единиц, так и изделия в целом. По результатам испытаний
заказчик принимает решение о завершенности опытно-конструкторских
работ, приемке и постановке на серийное производство созданной систе­
мы (изделия). Всесторонняя экспериментальная отработка является осно­
вой достижения и подтверждения требуемого уровня качества и надеж­
ности изделий.
По своему целевому назначению испытания изделия могут быть
направлены на подтверждение: качественных параметров (например,
проверка точности, устойчивости, мощности и быстродействия); кон­
структивных параметров (например, проверка на прочность и герме­
тичность); эксплуатационных параметров (например, проверка на грузо­
подъемность, скорость движения и расход топлива) и других параметров.
В отличие от простых (недорогостоящих) изделий крупносерийного
и массового производства, для которых могут быть предусмотрены спе­
циальные испытания на надежность, для сложных и дорогостоящих изде­
лий, как правило, такие испытания не проводят. В этом случае для опре­
деления и подтверждения заданного уровня надежности используют всю
информацию, полученную в процессе экспериментальной отработки
опытных образцов как отдельных узлов, механизмов и сборочных еди­
ниц, так и изделия в целом. Такой подход к определению показателей
надежности называют расчетно-экспериментальным подходом.
Особое место среди испытаний выделяют испытания на долговеч­
ность, ремонтопригодность и сохраняемость. Целью этих испытаний яв­
ляется установление гарантийного и технического ресурса, подтвержде­
ние ремонтопригодности в условиях эксплуатации и установление срока
хранения изделия.
200
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
С целью подтверждения работоспособности и надежности изделий в
условиях, отличных от нормальных, часто предусматривают утяжелен­
ные, или форсированные, испытания.
В общем случае испытания по своему целевому назначению можно
разделить на два вида: исследовательские и контрольные.
К исследовательским испытаниям относятся все отработочные ис­
пытания, проводимые в соответствии с конструкторской документацией
в процессе экспериментальной отработки опытных образцов. В свою
очередь, исследовательские испытания подразделяют на автономные и
комплексные.
Автономные испытания предусматривают проверку на функциони­
рование отдельных узлов, механизмов, сборочных единиц и изделий в
целом, входящих в состав комплекса, а также отработку конструкторской
документации на эти объекты. Программой автономных испытаний
предусматривается также выявление и устранение неисправностей, опре­
деление допустимых границ запасов работоспособности и получение
оценок соответствия полученных характеристик требованиям техниче­
ского задания.
Комплексные испытания предусматривают экспериментальную от­
работку взаимного функционирования нескольких опытных образцов,
входящих в состав комплекса (различного или одного назначения) на
соответствие требованиям ТЗ.
Основными целями комплексных испытаний являются:
- совместная отработка опытных изделий и проверка их взаимного
функционирования в условиях, близких к реальным;
- проверка и корректирование конструкторской документации;
- проверка работоспособности изделий при имитации аварийных
ситуаций;
- получение оценки соответствия основных характеристик опыт­
ных изделий требованиям ТЗ.
Комплексным испытаниям подвергают изделия, прошедшие авто­
номные испытания, контрольным испытаниям - опытные и серийные
изделия.
Контрольные испытания опытных изделий подразделяют на два ви­
да - предварительные и приемочные.
Предварительным или приемосдаточным испытаниям подвергают
каждое опытное изделие. Объем приемосдаточных испытаний определен
конструкторской документацией.
Приемочные испытания, в свою очередь, подразделяют на межве­
домственные и государственные. На приемочных испытаниях опытных
изделий проверяют соответствие характеристик и параметров этих изде­
лий требованиям тактико-технического задания (ТТЗ) в условиях, мак-
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОЗДАНИЯ
201
симально приближенных к условиям применения по назначению. По ре­
зультатам приемочных испытаний принимают решение о возможности
их серийного производства.
Контрольные испытания серийных изделий предусматривают про­
верку соответствия характеристик и параметров требованиям техниче­
ских условий (ТУ). К этим испытаниям относятся: приемосдаточные,
периодические, ресурсные, типовые и испытания установочной партии.
Испытания установочной партии изделий проводят с целью под­
тверждения отработанности серийной технологии и оценки готовности
предприятия-изготовителя к серийному производству.
4.2. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОЗДАНИЯ
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
В условиях развития научно-технического прогресса происходит
более быстрое моральное старение созданного изделия по сравнению с
его физическим износом. Это положение приводит к необходимости раз­
работки таких изделий, которые бы позволяли предусмотреть 2-3 модер­
низации. Создание принципиально новой конструкции изделия связано с
большими изменениями технологического процесса производства, а так­
же заменой оборудования и значительными затратами материальных
средств и времени. Поэтому при разработке сложных изделий необходи­
мо, по возможности, предусмотреть сохранение конструкций основных
силовых узлов, механизмов и других сборочных единиц без существен­
ных изменений. Такой подход позволяет обеспечить в короткие сроки
при сравнительно малых затратах создание новых изделий.
Организация создания сложных изделий предусматривает выполне­
ние следующих этапов: разработка технического предложения, эскизное
проектирование', техническое проектирование:, изготовление опытных
образцов!; экспериментальная отработка.
Сложившаяся практика создания сложных изделий свидетельствует
о том, что в их разработке участвует достаточно большое число органи­
заций. Иногда таких организаций насчитывают несколько десятков.
Совместные исследования заказывающих управлений и проектных
организаций помогают определить основные задачи и способы их реше­
ния. Анализ условий применения разрабатываемого изделия позволяет
выработать его основные технические характеристики.
В зависимости от стоимости и назначения создаваемого изделия
принимают совместное решение о числе опытных образцов, которое поз­
волит провести всестороннюю проверку их работоспособности и надеж­
ности. Так, например, в практике проектирования судов изготовляют, как
202
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
правило, одно опытное судно, а при создании самолетов - не менее 5...
10 опытных образцов и т.д.
При создании нового изделия головная проектная организация сов­
местно со смежными организациями разрабатывает технические предло­
жения и представляет их заказчику, после чего утверждают ТЗ заказчи­
ком и согласовывают его с головной организацией. Далее проводят эс­
кизное и техническое проектирование. Эскизный и технический проекты,
в свою очередь, представляют на рассмотрение заказчику, по замечаниям
которого проводят соответствующие конструкторские проработки.
Всякую сложную техническую систему можно представить в виде
грех иерархических уровней. К первому уровню относятся основные
системы, агрегаты и сборочные единицы силовых узлов и металлокон­
струкций; ко второму - механические, гидравлические, пневматические
узлы, а также электронные приборы и пульты управления; к третьему комплектующие изделия в виде радиоэлектронных элементов, резино­
технических изделий и гидравлических, механических и пневматических
элементов.
Объекты, относящиеся к первому иерархическому уровню, как пра­
вило, проектируют и отрабатывают специализированные предприятия.
Вначале их отработку проводят на стендовом оборудовании, а затем в составе изделия на головном предприятии.
На этапе эскизного проектирования головная проектная организация
разрабатывает для смежных предприятий ТЗ на объекты, относящиеся ко
второму иерархическому уровню.
В соответствии с ТЗ на разрабатываемое изделие головная организа­
ция совместно со смежными предприятиями проводит анализ и выбор
конструктивных схем, а также выполняют необходимые проектные рас­
четы. Принятые конструктивные решения подтверждают методами мате­
матического и физического моделирования отдельных узлов, механизмов
и изделия в целом. Одновременно проводят изготовление макетов от­
дельных агрегатов и систем в натуральных габаритах и с соответствую­
щей массой. На этом заканчивают проектирование, т.е. выполнение кон­
структорских проработок и расчетно-исследовательских работ. После
защиты эскизного проекта у генерального заказчика приступают к этапу
технического проектирования. По завершении этого этапа начинают из­
готовление и испытание опытных образцов.
Программу экспериментальной отработки строят на последователь­
ных испытаниях объектов все более высоких иерархических уровней. Так
после успешной отработки систем и сборочных единиц переходят к ис­
пытаниям изделий, а затем - комплекса.
■
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОЗДАНИЯ
203
Изготовление опытных образцов проводят по документации главно­
го конструктора. Испытания осуществляют на стендовом оборудовании,
в условиях предприятия, изготовившего опытные образцы. На основании
информации, полученной в ходе испытаний, конструкцию изделия
совершенствуют, что находит отражение в технической документации.
После завершения стендовых испытаний сборочных единиц и систем
проводят их монтаж на изделии.
Укомплектованное изделие по штатной документации подвергают
предварительным (заводским) испытаниям на функционирование. В ходе
этих испытаний выявляют замечания, на основании которых выполняют
корректирование конструкторской и эксплуатационной документации.
Следующим этапом контрольных испытаний являются межведом­
ственные испытания изделий. В процессе этих испытаний осуществляют
всестороннюю проверку систем и сборочных единиц в совместном их
взаимодействии при выполнении определенных функций. Аналогично,
как и на этапе заводских испытаний, выявляют замечания, на основании
которых проводят корректирование конструкторской и эксплуатацион­
ной документации.
Завершающим этапом контрольных (приемочных) испытаний явля­
ются государственные испытания, по окончании которых вместе с дан­
ными, полученными в ходе заводских и межведомственных испытаний,
принимают решение о пригодности создаваемого изделия или комплекса
для использования по назначению. Недостатки, вскрытые на предыдущих
>тапах испытаний, устраняют, корректируя конструкторскую и эксплуа­
тационную документацию, после чего документацию готовят к серийно­
му производству изделия.
Серийное производство сложных изделий организуют на предприя­
тиях, имеющих достаточные мощности. Для отладки технологического
процесса на предприятии-изготовителе назначают выпуск установочной
партии изделий, по которой проводят тщательный контроль серийной
документации и качество выпускаемых изделий. После этого оконча­
тельно отрабатывают технологию производства и методы контроля
серийной продукции.
Рассмотренные этапы создания сложных технических систем, с точ­
ки зрения затрат средств и времени, не одинаковы. Так, если все расходы,
связанные с выполнение программы по созданию изделия принять за
100 %, то на разработку документации приходится 15...20 % этих расхо­
дов, на изготовление и опытную отработку - 80...85 %. Соответственно,
длительность изготовления и опытная отработка изделия существенно
превышают продолжительность проектирования. Так, например, при со­
здании подвижных установок ракетного комплекса СС-20 на разработку
204
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
документации потребовалось около полутора лет, а на изготовление и
отработку - примерно пять лет.
Практика показывает, что с увеличением сложности создаваемой
технической системы соответственно растет доля расходов средств и
времени на опытную отработку. Это, в свою очередь, заставляет разра­
ботчика более подробно анализировать процесс опытной отработки и
искать возможности снижения расходов, благодаря обеспечению направ­
ленных доработок и оптимизации объемов испытаний.
4.3. ПРОГРАММА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ
Обобщающим программным документом, организующим испыта­
ния и определяющим полноту и достаточность отработки изделия, явля­
ется программа экспериментальной отработки, которую разрабатывают
на этапе технического проектирования и которая является неотъемлемой
частью конструкторской документации. ПЭО согласовывают и утвер­
ждают как нормативно-технический документ.
Предприятия-разработчики составных частей изделия разрабатыва­
ют ПЭО на эти составные части и направляют их на согласование в го­
ловную организацию, выдавшую ТЗ.
ПЭО должна содержать:
- перечень и состав изделий, подвергаемых автономным, ком­
плексным, межведомственным и государственным испытаниям;
- цели и задачи испытаний, а также порядок и последовательность
их выполнения;
- порядок и объем отработки комплектов конструкторской доку­
ментации на опытных образцах;
- виды автономных и комплексных испытаний, число изделий и
объем их испытаний;
- порядок и объем отработки взаимного функционирования агре­
гатов и систем при имитации различных воздействующих факторов;
- порядок отработки средств и методов обеспечения безопасности
работы и эксплуатации изделия;
- перечень программ и методик проведения, а также оценки ре­
зультатов испытаний и другой технической документации на испытания;
- перечень средств испытаний и измерений (стендов, оборудова­
ния и систем измерений);
- отчетность по проведенным испытаниям.
По каждому виду испытаний, предусмотренному ПЭО, предприя­
тия-разработчики создают более подробные свои ПЭО. Иерархическая
ПРОГРАММА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ
205
структура сложного изделия определяет соответствующую структуру
построения ПЭО.
Экспериментальную отработку изделий планируют на основе сле­
дующих принципов:
- до начала изготовления серийного изделия значительный объем
экспериментальной отработки составных частей проводят на стендовом
оборудовании;
- экспериментальную отработку изделий в реальных условиях экс­
плуатации с использованием допустимых предельных режимов и различ­
ных воздействующих факторов;
- экспериментальную отработку изделия выполняют в составе
комплекса с учетом последовательности и увязки взаимодействия при
функционировании с замерами точности определяемых параметров;
- проводят исследование выявленных отказов и анализ их влияния
на работу изделия, предварительно оценивают надежность.
В качестве исходных данных для определения объемов эксперимен­
тальной отработки используют:
- данные ТЗ, включающие требования к техническим характери­
стикам и количественным показателям надежности;
- материалы эскизного и технического проектов;
- структурные и функциональные схемы, а также схему компонов­
ки и взаимного расположения систем в изделии;
- циклограмму функционирования изделия, включая хранение,
транспортирование, подготовку к применению и применение самого из­
делия;
- перечень внешних воздействующих факторов и допустимые
нагрузки;
- данные о заимствовании на вновь создаваемом изделии отрабо­
танных технических решений узлов, систем и агрегатов изделия-аналога.
При выборе аналога создаваемого изделия проводят всесторонний
анализ изделий этого класса, сравнительный анализ технических харак­
теристик, принципов работы, основанных на физических свойствах изде­
лия, применяемых материалов, конструктивных решений и количествен­
ных показателей надежности.
ПЭО является обязательным к выполнению организационно­
методическим документом, определяющим объект и цель испытаний,
виды и перечень проводимых проверок, их последовательность, условия
проведения испытаний и форму отчетности.
206
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
4.4. КОНТРОЛЬ УРОВНЯ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ
ПРОГРАММЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ
Ограниченное число опытных образцов, выделяемых на испытания,
и сжатые сроки экспериментальной отработки сложных технических си­
стем не позволяют получить в достаточном объеме статистические дан­
ные для достоверной оценки показателей надежности. В связи с этим для
контроля выполнения программы экспериментальной отработки исполь­
зуют методы, основанные на совхместном применении детерминирован­
ных и статистических показателей качества процесса отработки, а также
качественных и количественных критериев оценки завершенности от­
дельных этапов отработки.
Показатели уровня отработанности определяют, сравнивая факти­
чески достигнутые в процессе отработки значения технических характе­
ристик и показателей надежности с их требуемыми значениями. Уровень
отработанности служит для оценки завершенности ПЭО.
В работе [23] рассмотрены три метода оценки уровня отработанно­
сти: дифференциальный, комплексный и смешанный.
Суть дифференциального метода оценки уровня отработанности
изделия заключается в определении отдельных относительных показа­
телей И, при 0 < У< 1.
Смысл относительного показателя состоит в сравнении полученного
количественного значения контролируемого параметра с его заданным
значением в ТЗ. Относительный показатель определяют из соотношения
•>
(4.1)
где у,(/) - значение контролируемого параметра, полученное при отра­
ботке; у'^ (/) - требуемое по ТЗ значение контролируемого параметра;
t - время работы изделия, в течение которого или после которого прово­
дился замер контролируемого параметра, 0 < t < Т.
Следует отметить, что относительный показатель используют толь­
ко для отдельных параметров и лишь для приближенной оценки уровня
отработанности изделия в целом.
Комплексный метод оценки уровня отработанности изделия осно­
ван на расчете обобщенного показателя по формуле
И=
1
(4.2)
КОНТРОЛЬ УРОВНЯ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ
т
где а, - весовые коэффициенты; ^а, = 1, а, > 0; т - число контре
/=|
руемых параметров.
В связи с тем, что практически весовые коэффициенты оценить
сгаточно трудно, обобщенный показатель отработанности изделия |
считывают по формуле
hi
' 1/ = Г1
(•
Смешанный метод оценки уровня отработанности изделия осно
па совместном использовании комплексного и дифференциального ме
дов. Суть этого метода [23] состоит в том, что комплексный показал'
рассчитывают для определенной группы менее значимых парамегро:
для более значимых параметров определяют относительные показан
11а основе полученной совокупности комплексного и единичных показ!
лей оценивают уровень отработанности дифференциальным метод
В этом случае ПЭО оценивается с помощью комплексного показателя |2
I V"
(•
J (=1
где U\ - U3 - показатели полноты экспериментальной отработки техш
ских характеристик на внешние воздействующие факторы и ресурс,
параметров, соответственно.
Показатели полноты экспериментальной отработки определяют
соотношений:
где W| - число технических характеристик изделия, подтверждение к<
рых запланировано в процессе выполнения ПЭО; А - общее число те;
чсских характеристик, подтверждение которых предусмотрено техн)
ским заданием:
где М\ - число внешних факторов и режимов работы, воздействие к
рых предусмотрено ПЭО; М- общее число внешних факторов и режь
работы, оговоренных в техническом задании;
208
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
(4.7)
где 7’2 - суммарная наработка при ресурсных испытаниях, предусмотрен­
ных в ПЭО; Т? - требуемая ресурсная наработка в ТЗ.
С учетом полноты экспериментальной отработки обобщенный пока­
затель отработанности изделия К определяется по формуле [23]
К = U + V,
(4.8)
где И - находят по формуле (4.2) или (4.3); U- по формуле (4.4).
Поскольку показатели U и V изменяются в интервале от нуля до
единицы, то ПЭО будет выполнена полностью при условии К = 1.
Оценку завершенности экспериментальной отработки выполняют с
использованием как качественных, так и количественных критериев.
К качественным критериям завершенности экспериментальной от­
работки следует отнести критерии:
- выполнение полного объема ПЭО;
- наличие соответствующей отчетной документации о проведенных
испытаниях, оформленной и утвержденной в установленном порядке;
- перечень мероприятий по устранению выявленных замечаний и
неисправностей, утвержденный в установленном порядке;
- присвоение конструкторской документации соответствующей ли­
теры для серийного производства.
К количественным критериям завершенности экспериментальной
отработки следует отнести критерии:
- меру соответствия полученных по результатам испытаний тех­
нических характеристик и показателей надежности их требуемым значе­
ниям в ТЗ;
- количественную оценку завершенности экспериментальной от­
работки с использованием относительных показателей Г,- > К/Т]> и обоб­
щенного показателя К > Кт,.
Требуемые значения Ктр, Иф и К1р назначают с учетом опыта отра­
ботки изделия-аналога.
4.5. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИСПЫТАНИЯ
ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ
При контроле и оценке надежности важное место занимают иссле­
довательские испытания опытных образцов, так как эти испытания яв­
ляются наиболее обширными и всесторонними по сравнению с другими
видами испытаний.
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ
209
Исследовательские испытания — неотъемлемая часть процесса созда­
ния изделия, включающая в себя лабораторные, отработочные и конструк­
торско-доводочные испытания, которые необходимы для проверки физи­
ческих процессов и принципов функционирования, правильности приня­
тых конструкторских решений, подтверждения соответствия параметров и
технических характеристик опытных образцов заданным требованиям.
Исследовательские испытания определяются, в первую очередь, целе­
вым назначением изделия, его сложностью и степенью преемственности
конструкторских решений, а также наличием экспериментальной базы.
Простые и недорогие изделия выгоднее отрабатывать, изготовив
опытную партию изделий. В этом случае отработку составных частей
изделия проводят одновременно с отработкой всего изделия.
Сложные дорогостоящие изделия, состоящие из крупных составных
частей, выполняющих определенные функции, отрабатывают последова­
тельно. Сначала отработку отдельных составных частей на соответствие
их требованиям ТЗ выполняют автономно, а затем - в составе изделия.
С усложнением объекта испытаний и в соответствии с иерархической
структурой изделия усложняются испытательные средства и средства
имитации реальных условий функционирования.
Исследовательские испытания считают полными, если эксперимен­
тально проверена циклограмма функционирования изделия и серия ис­
пытаний на функционирование прошла успешно.
Исследовательские испытания проводят с целью проверки и отра­
ботки узлов и механизмов на соответствие расчетным и конструктивным
параметрам. Этими испытаниями должны быть подтверждены также га­
рантийные сроки службы, технический ресурс и допустимые режимы
эксплуатации комплектующих элементов и материалов. Испытания вы­
полняют на стендовом оборудовании, а также в составе изделия. Виды
стендовых испытаний узлов и механизмов, предназначенные для под­
тверждения их работоспособности, приведены в табл. 4.1.
Ускоренные и ресурсные испытания рекомендуется проводить на
опытных образцах, прошедших следующие испытания: на функциониро­
вание, специальные и климатические.
Испытания на функционирование предназначены для проверки ра­
ботоспособности сборочных единиц в нормальных условиях окружаю­
щей среды и соответствия выходных параметров требованиям чертежа,
паспортным данным или техническим условиям.
Специальные испытания проводят с целью проверки работоспособ­
ности опытного образца после воздействия на него критических возму­
щений в виде вибрации, пыли, влаги и т.п.
В процессе климатических испытаний проверяют работоспособ­
ность узлов, механизмов и других сборочных единиц в условиях воздей­
ствия атмосферного давления, температуры, влажности, атмосферных
осадков, тумана, солнечного излучения, ветра, песка и т.п.
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
210
4.1. Виды стендовых испытаний узлов, механизмов
и других сборочных единиц для подтверждения
их работоспособности
Вид
стендовых
испытаний
Число
опытных
образцов
На функционирование
Специальные: на вибропрочность,
пылевлагозащищенность, сопро­
тивление изоляции и т.п.
30...40 % заданного
гарантийного ресурса
3...5
Климатические в камерах тепла и
холода
Ускоренные с увеличенной
нагрузкой, но не менее
1,25 номинальной
Ресурсные
Продолжительность
испытаний
Трехкратная проверка на
функционирование после
испытаний
Трехкратная проверка на
функционирование после
достижения критической
температуры -50 °C или
+50 °C
1
До полного износа или
разрушения
1...3
На гарантийный ресурс
1
Двойной гарантийный
ресурс
Ускоренные испытания предназначены для проверки работоспособ­
ности узлов, механизмов и других сборочных единиц при воздействии на
них факторов, ускоряющих процесс возникновения отказов.
Ресурсные испытания осуществляют для проверки работоспособно­
сти сборочных единиц в условиях окружающей среды, а также проверки
соответствия выходных параметров заданным требованиям чертежа, пас­
портным данным или техническим условиям.
При проведении стендовых испытаний, в случае появления отказа
конструктивного характера, испытания необходимо остановить, провести
доработку, а затем продолжить испытания по намеченной программе.
После завершения стендовых испытаний, а в некоторых случаях,
одновременно с их проведением, выполняют исследовательские испыта-
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ
211
пня опытных образцов изделия. К ним относятся предварительные (или
заводские), межведомственные и государственные испытания.
Предварительные или заводские испытания изделия проводят для
проверки его технических и эксплуатационных характеристик на соот­
ветствие требованиям ТЗ в объеме, определяемом программой предвари­
тельных испытаний. Испытания проводят в условиях цеха и заводского
полигона.
Программой предварительных испытаний предусматривается оцен­
ка прочности металлоконструкций и механизмов, проверка работоспо­
собности сборочных единиц и аппаратуры, а также проверка удобства и
безопасности работы.
Межведомственные испытания являются более обширными, их
проводят для всесторонней проверки технических и эксплуатационных
характеристик изделия на соответствие ТЗ в условиях, максимально при­
ближенных к действительным условиям эксплуатации.
Государственные испытания являются завершающими, на основа­
нии которых принимают решение о необходимости серийного производ­
ства. Эти испытания, как и межведомственные, проводят на государ­
ственном полигоне в реальных условиях эксплуатации и предусматрива­
ют всестороннюю проверку эксплуатационно-технических характеристик
изделия. По завершении государственных испытаний составляется отчет
с результатами оценки эксплуатационно-технических характеристик.
I hi основании отчета по государственным испытаниям составляют «План
мероприятий по устранению замечаний» с реализацией их конкретными
исполнителями в установленные сроки до начала запуска изделия в се­
рийное производство.
Число опытных образцов и продолжительность испытаний изделий
приведено в табл. 4.2. Все перечисленные в таблице виды испытаний до­
пускается проводить на одних и тех же опытных образцах.
В процессе проведения заводских, межведомственных и государ­
ственных испытаний выявляют отказы конструкционного характера. Ес­
ли отказ влияет на выполнение работы, то проводят доработку отказав­
шей сборочной единицы. После доработки подвергают испытаниям до­
работанную сборочную единицу в объеме, равном объему испытаний
перед доработкой [38]. Испытания допускается проводить в составе стен­
да, или, в случае его отсутствия, - в составе изделия, после чего испыта­
ния продолжают по намеченной программе в составе комплекса [39,40].
При появлении отказа конструкционного характера, не влияющего
на выполнение основной работы, также проводят доработку отказавшей
сборочной единицы. Объем испытаний, проведенных после доработки,
составляет 30 % объема испытаний, выполненных перед доработкой.
212
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
4.2. Виды испытаний, число испытываемых опытных образцов
и продолжительность испытаний изделий
Вид
испытаний
Заводские в условиях
завода-изготовителя
Число
опытных
образцов
Продолжительность
испытаний
Каждый
опытный
образец
20...30 % заданного гарантийного
ресурса
Межведомственные
6...12
40...60 % заданного гарантийного
ресурса
Г осударственные
6...10
10...30 % заданного гарантийного
ресурса
1
Допускается использовать опыт­
ный образец, представленный на
заводские, межведомственные и
государственные испытания и
совместить с этими испытаниями
Ускоренные с увели­
ченной нагрузкой
Климатические в ка­
мерах тепла и холода
или в реальных усло­
виях холодной и жар­
кой зон
Ресурсные
Трехкратная проверка на функци­
онирование после достижения
критической температуры
-40 °C или +50 °C
1...2
Двойной гарантийный ресурс
функционирования. Допускается
использовать образцы, прошед­
шие государственные испытания
Испытания допускается проводить в составе стенда или, в случае его от­
сутствия, - в составе изделия, после чего испытания продолжают по про­
грамме.
При появлении дефекта конструкционного характера, связанного
с улучшением эксплуатационно-технических характеристик изделия
(неудобством, комфортностью и т.п.), проводят доработку отказавшего
узла или механизма. После доработки испытания продолжают по наме­
ченной программе. Эффективность доработки подтверждают повторени-
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
213
см объема испытаний для отказов, влияющих на выполнение основной
работы. В случае появления отказа на доработанном узле или механизме
их заменяют на конструктивно новые, и процедура испытаний повторя­
ется [41].
4.6. ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И
КОНТРОЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ МЕТОДОМ
ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА
Основной задачей при разработке методов планирования испытаний
и контроля уровня надежности является получение полной и достоверной
информации о надежности выпускаемой партии изделий объемом N по
результатам испытаний некоторой выборки объемом и. Получаемые вы­
борочные характеристики должны быть состоятельными оценками про­
веряемой партии. Отличительной особенностью испытаний сложных
технических систем является ограниченность испытаний по времени и
объему, так как на испытания не может быть поставлено большое число
образцов и испытания не могут продолжаться слишком долго. Поэтому
исходными предпосылками при разработке методов испытаний будут
являться статистические оценки, получаемые по малым выборкам.
Под партией понимают некоторую совокупность N изделий одного
'типа, изготовленную по единой технологии и без существенных схемно­
конструктивных изменений; под выборкой - некоторую совокупность
конечного числа наблюдений над случайной величиной. Объем п выбор­
ки включает как число образцов изделий, так и число наблюдений или
испытаний. При таком подходе объем п выборки при испытаниях можно
найти по формуле
п = кт,
(4.9)
где к - число периодов длительностью t при испытаниях каждого образ­
ца; т - число испытываемых образцов.
По результатам испытаний выборки объемом п получают статисти­
ческие оценки параметров распределения - математическое ожидание,
среднее квадратическое отклонение и др. Однако при оценке надежности
изделий требуется определять не только статистические параметры рас­
пределения, но и оценивать точность этих параметров с заданной досто­
верностью. С этой целью вводят понятия доверительного интервала и
доверительной вероятности. Если в качестве оцениваемого параметра
примем некоторую величину 0, то отклонение статистической оценки 9
от фактического значения параметра 0 не превзойдет некоторой величи­
ны в с заданной вероятностью у.
214
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Математически это можно записать так:
у = />(|б-е|<£).
(4.10)
При такой записи у есть вероятность того, что фактическое значение
параметра заключено в пределах
0-£<0<0 + £.
(4.11)
Вероятность у называют доверительной, а интервал 0 ± е - довери­
тельным интервалом. Из этих соотношений следует', что доверительный
интервал характеризует точность оценки, а доверительная вероятность ее надежность.
При выборочных оценках, кроме доверительных интервалов и дове­
рительной вероятности, вводят понятие критической области с целью
определения, каким должен быть доверительный интервал, чтобы с за­
данной вероятностью у можно было утверждать - фактическое значение
параметра 0 не выйдет за пределы доверительного интервала. Сформули­
рованная задача, по существу, сводится к проверке статистических гипо­
тез о принятии или отклонении проверяемой гипотезы по результатам
выборочных испытаний.
Процедура проверки статистических гипотез сводится к следующе­
му: все возможные выборочные значения делят на два непересекающиеся
подмножества. Проверяемую гипотезу Но отклоняют, если выборочное
значение параметра попадает, например, в первое подмножество, и при­
нимают, если оно попадет во второе подмножество. Подмножество (пер­
вое по отношению к проверяе!мой гипотезе Но) называют критической
областью. От выбора критической области зависит решение о принятии
или отклонении проверяемой гипотезы.
Принципы выбора критической области были сформулированы
Нейманом и Пирсоном. Критерий Неймана-Пирсона называют критери­
ем отношения правдоподобия. Этот критерий предполагает, что вид рас­
пределения вероятностей известен, но неизвестно лишь значение пара­
метра 0. На основе выборки X|, х2, ..., х„ из п независимых наблюдений
необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестный параметр 0 _ 0о,
но не 0 = 01, как предполагается в противоположной гипотезе.
Проверяемую гипотезу Но обычно называют нулевой, а противопо­
ложную ей гипотезу Н\ - конкурирующей. Гипотезы Но и Я, называют
также простыми, когда соответствующие им подмножества содержат
только по одной точке 0о и 0|.
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
215
Нейманом и Пирсоном показано, что, принимая или отклоняя гипо­
тезу Но, можно совершить ошибки двух родов: отклонить гипотезу Но,
когда она верна, т.е. 0 = 0о, или принять гипотезу Но, когда, на самом
деле, верна противоположная ей гипотеза Н\, т.е. 0 = 0(.
Вероятность отклонить по выборочным испытаниям гипотезу Но,
когда она верна, называют ошибкой первого рода (или риском поставщи­
ки) и обозначают ее через а. Вероятность принять по выборочным испы­
таниям гипотезу Но, когда на самом деле верна гипотеза Н\, называют
ошибкой второго рода (или риском заказчика) и обозначают ее через 0.
Нейман и Пирсон показали, что при заданном значении а из всего
множества возможных областей нужно выбрать такую критическую об­
ласть, для которой вероятность 0 будет минимальной.
При таком подходе а называют уровнем критической области, а
I
0 - мощностью критической области.
Из сказанного следует, что при фиксированном объеме п выборки
можно брать произвольной только одну из величин - а или 0.
Критерий отношения правдоподобия математически записывают в
виде выражения
ПЛх'Д)
-Т----------- — «а >
(4.12)
ПаМо)
/=1
где f(x, 0) - плотность распределения случайной величины X при любом
значении параметра 0; Ua - квантиль функции нормального распределе­
ния, определяемая соотношением
Ф((4) = а,
здесь Ф((7а) - функция, обратная функции нормального распределения;
выбирают из табл. 1 прил.
Для определения фиксированного объема испытаний с целью под­
тверждения заданного показателя надежности рассмотрим выбор крити­
ческой области для различных законов распределения.
4.7. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ ПРИ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НАРАБОТКИ ДЛЯ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА
Если в качестве оцениваемого параметра распределения является
средняя наработка То до отказа или же средняя наработка Тср на отказ, то
процедура для определения объема выборки не меняется.
216
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
При оценивании средней наработки до отказа на испытания ставят
п изделий, каждое из которых испытывают до первого отказа.
При оценке средней наработки на отказ на испытания ставится одно
или несколько изделий, которые испытывают в течение некоторого вре­
мени
s„ = т\ + т2 +... + т,+... + т,„
где 7} - время наработки между (/ + 1)-м и /-м отказами; п - число от­
казов.
Обозначим через Т\ минимально допустимое значение наработки на
отказ, при которой партия изделий должна приниматься заказчиком с
риском, не превышающим Р, а через 7'0 - значение наработки на отказ,
при которой партия изделий должна приниматься с вероятностью I - а.
Принимая во внимание, что случайная величина 2SJT подчиняется
распределению %2, найдем вероятность принятия решения о соответствии
параметров (То, Тер) требуемым значениям из соотношения
(4.13)
где С = хГ_„(2и).
Если левая часть этого равенства меньше заданной величины а,
то проверяемую гипотезу Т = 70, отклоняют.
Условие для отклонения проверяемой партии изделий запишется
в виде
(4.14)
'о
откуда, разделив обе части неравенства на 2п, получим условие для при­
нятия партии изделий по результатам испытания выборки:
t > ZoXi—gC2^),
2и
(4 J5)
где / - фактически полученное значение наработки до отказа по результа­
там испытаний; 70 - требуемое значение наработки до отказа; квантили
Х_\.а(2п) берутся из табл. 6 прил.; п - число степеней свободы в распре­
делении х2, которое означает либо число изделий, поставленных на ис­
пытания и работающих до первого отказа, либо допустимое число отка­
зов за суммарное время испытаний, S„ = tn.
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
217
Если по техническому заданию требуется подтверждение средней
наработки на отказ, то формула (4.15) запишется в виде
(4.16)
2и
Для обеспечения второго условия, связанного с риском заказчика р,
вероятность отклонить проверяемую гипотезу Т = То, когда она не верна,
запишется в виде
= Р,
(4.17)
■ Де С = Хр(2п).
В этом случае условие для принятия решения о соответствии надеж­
ности изделий заданным требованиям по результатам испытаний опреде­
ляется неравенством
2и
Из соотношений (4.15) и (4.18) можно определить объем п выборки,
которую необходимо испытать для оценивания соответствия параметров
партии изделий требованиям ТЗ при заданных рисках поставщика а, за­
казчика Р и значении отношения То/ Т\.
Так как левые части неравенств равны, то можно записать
04. ДХрЫ
2п
2п
откуда
Т° _ Х^2”)
М»'
Далее по найденному в таблице %2 числу степеней свободы и и по
фактически полученному значению наработки до отказа по формуле
(4.15) или (4.18) определяют необходимое суммарное время испытаний
S„ = nt.
(4.20)
В частном случае при проведении безотказных испытаний суммар­
ное время испытаний для подтверждения соответствующей наработки То
или Т\ определяется по формулам:
218
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
(4.21)
= ^|1п(р)|,
(4.22)
Sg — Hgt;
(4.23)
St =
(4.24)
откуда
mt,
где t — заданное время работы изделия на выполнение задания с вероят­
ностью отказа
= t/T0 или q\ = t!T\, п0 и и - соответствующие q0 и q\
числа изделий, поставленных на испытания, каждое из которых должно
работать без отказов в течение времени /.
Формула (4.23) определяет суммарный объем испытаний для под­
тверждения наработки То, а формула (4.24) - для подтверждения нара­
ботки Т\.
Следует отметить, что на испытания может быть поставлено одно
изделие, которое должно проработать без отказов в течение времени So
или 5| с целью подтверждения соответствующих наработок То или Tt.
Пусть требования по надежности к изделию заданы в виде вероят­
ности безотказной работы /’тр за заданное время /о и допустимого значе­
ния р риска заказчика.
Предполагается также, что при испытаниях изделий изменяется их
наработка до отказа, причем функция распределения наработки описыва­
ется экспоненциальным законом, т.е. вероятность безотказной работы
изделия за заданное время /о имеет вид:
P{t0) = ехр(- А/о)
или
Д(/О)=ехр^-^,
(4.25)
где X - интенсивность отказов; Т = 1/Х - средняя наработка до отказа.
Если требования по надежности заданы в виде нормативного значе­
ния Др, то, зная время работы t, из равенства (4.25) можно найти соответ­
ствующее нормативное значение вероятности безотказной работы. Тре­
буемый уровень к вероятности РР„ безотказной работы пересчитывают в
требуемый уровень показателя Хр по формуле
Хтр = —In-!-.
тр
/
•О
(4.26)
V
р
'тр
7
Принятые предположения при контроле вероятности безотказной
работы позволяют измерять объем испытаний в виде суммарной нараI
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
219
ботки изделий, выделенных на испытания, зависящей от принятого плана
испытаний'.
при плане
\NMtn ];
при плане
\NMtr],
где N - число образцов; t„ - заданное время испытаний; tr - время испы­
таний до отказа г; М- план испытаний с восстановлением.
Если в процессе испытаний осуществляют восстановление отказав­
ших изделий, то можно ограничиться рассмотрением только планов ис­
пытаний типа М.
Планирование испытаний производят исходя из условий приемки,
которые в рассматриваемом случае определяются как
(4.27)
Z0
'гр
где А]_р - верхняя доверительная граница показателя А. для уровня
1 - р = у; или
(4.28)
здесь .Srp - требуемый минимально необходимый уровень для
завися­
щий от величин Ру, и р, а также от допустимого числа отказов т при ис­
пытаниях; значения 5тр в зависимости от плана испытаний приведены в
табл. 4.3.
4.3. Минимально необходимый уровень суммарной наработки
План
испытаний и
суммарная
наработка
[М<]
Sv > Nt„
[NMt,]
> Nt.-
Sx
Требуемое значение
суммарной наработки Srp
Примечание
при наличии отказов
т>0
е
*оХр(2'» + 2)
21п(1/РТр)
с
‘’тр
При г > 1
_ гоХ₽(2г)
21п(1//Ртр)
при безотказных
испытания т = 0
о . Го1п(11р)
"ТР “ 1п(1/ Ртр)
Хр<2ш + 2)
При г = 1
о
'olnQ/p)
"тр
1па1Ртр)
определяют по
табл. 6 прил.
220
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Пример 4.1. Определить число изделий, которое необходимо поста­
вить на испытания, или получить число отказов в процессе испытаний,
чтобы подтвердить оценки параметров, соответствующие требованиям ТЗ.
Исходные данные для планирования испытаний: а = 0,2; 0 = 0,1;
То = 200 ч; То/Тх = 1,9.
Решение. По значению То / Т\ = 1,9 из табл. 6 прил. для х2-распределения и заданным значениям а = 0,2 и 0 = 0,1 находим
8 = 16,31;
Хо, = 30,8 ; 2п = 22. Следовательно, объем выборки равен: п = 11. Если в
результате испытаний изделий до появления одиннадцатого отказа полу­
ченное опытное значение наработки на отказ / удовлетворяет условию
22
200-1631 _M8ri
22
*
то надежность проверяемой партии изделий соответствует требованиям ТЗ.
Отсюда суммарное время испытаний должно быть равно:
S„ =
= 148-11 = 1628 ч.
Пример 4.2. Определить число насосных агрегатов по гидроразрыву
пласта и суммарный объем испытаний, принимая во внимание, что отка­
зы в процессе испытаний за время / не допускаются.
Исходные данные для планирования испытаний: t = 3 ч; То = 600 ч;
а = 0,1.
Решение. По формуле (4.21) вычисляем объем выборки (число агре­
гатов)
-о|1п(1-а)|бОО|1
1
„ =-»n--- .С—i|ln(0,9) = 21.
Следовательно, объем выборки « = 21. Отсюда суммарное время ис­
пытаний без отказов должно быть
S„ =
= 21 • 3 = 63 ч.
Полученное суммарное время работы без отказов может быть отра­
ботано одним или несколькими агрегатами.
Пример 4.3. Определить в процессе испытаний число отказов на­
сосных агрегатов по гидроразрыву пласта и суммарный объем испы ганий
для получения оценок параметров, соответствующих требованиям ТЗ.
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
221
Исходные данные для планирования испытаний: а = 0 = 0,1; То —
800 ч; Тх — 600 ч.
Решение. По значению отношения То / Т\ = 1,33 из табл. 6 прил. для
^-распределения по заданным значениям а = 0 = 0,1 находим квантили:
Хо|=172,42; /о 9 =128,16; 2и = 150. Следовательно, объем выборки
(число отказов) п = 75. По формуле (4.18) определяем опытное значение
наработки на отказ
,= ^<^).600-'72-42 = 6S9.6S ц.
2и
150
Отсюда суммарное время испытаний для подтверждения минималь­
ной наработки на отказ Т\ = 600 ч при числе отказов и = 75 должно быть
равно
5 = nt = 75-689,68 = 51 725 ч.
4.8. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ ПРИ НОРМАЛЬНОМ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНАХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ НА ОТКАЗ
ДЛЯ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА
Оценками для среднего значения наработки на отказ и среднего
квадратического отклонения будут соответственно величины:
Г=1уХ
(4.29)
(4.30)
где 7)- - наработка до /-го отказа; п - число отказов, выявленных в про­
цессе испытаний.
В этом случае двусторонним доверительным интервалом для сред­
него значения наработки на отказ с доверительной вероятностью 1 - а
будет неравенство
7"’ - Ц-«/2
где U = {т-т)/<а.
Т < Т* +
(4.31)
222
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
При одностороннем доверительном интервале односторонние до­
верительные пределы запишутся в виде неравенств:
- для оценки сверху
-««Г + ц.,*;
Ун
- для оценки снизу
(4.32)
(4.33)
у] П
Вероятности получения этих неравенств соответственно равны:
/ггГ +
(,
= a;
(4.34)
'In J
Р^Т<Т'-и1
=
(4.35)
На основании приведенных соотношений по результатам испытаний
определяют условия для принятия или отклонения проверяемой гипотезы
Т= То при альтернативной гипотезе Т=Т\.
Уравнение (4.35) определяет критическую область для выборочной
средней f при справедливости гипотезы Т= То
Ua>—±Jn.
О
(4.36)
Неравенство (4.36) означает, что если при испытаниях изделий до
наступления п отказов полученная выборочная средняя наработка удо­
влетворяет неравенству
Г^Т0-и}_а-^=,
У«
(4.37)
то надежность изделия соответствует требованиям ТЗ.
Условием принятия гипотезы Т = Т\ при альтернативной гипотезе
Т= То является выполнение неравенства
Для нахождения объема и выборки, которую необходимо испытать с
оценкой соответствия требованиям ТЗ, приравняем правые части нера­
венств (4.37) и (4.38) и в результате получим
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
223
где U]_a и t7i_p - квантили функции нормального распределения;
ст - известное значение среднего квадратичного отклонения.
В этом случае суммарное время испытаний определяют по формуле
S„ = nT*,
(4.40)
где п - число поставленных на испытания изделий или зафиксированных
отказов в процессе испытаний.
Уравнение (4.39) справедливо, если известна величина ст. При неиз­
вестной ст ее определяют, используя результаты испытаний по формуле
(4.30), а неравенства (4.37) - (4.39) будут справедливы, если в них заме­
нить квантили С'|.аи (7|_р нормального распределения на /a,n-i распре­
деления Стыодента, которые находят по табл. 4 прил.
В случае логарифмически нормального распределения наработки на
отказ неравенства (4.37) - (4.39) имеют вид:
7" = —------ >ln7a_Ula^-;
и
>п
(4.41)
Г=
(4.42)
------ >1П71+Ц°;
п
у]п
(4.43)
Суммарное время испытаний определяют также по формуле (4.40).
Если величина ст неизвестна, то ее определяют по результатам испы­
таний из соотношения
<4-44>
а для определения объема п выборки вместо величин U\ ~ a и U\ _р в фор­
мулу (4.43) подставляют квантили распределения Стьюдента /а, „ i из
табл. 4 прил.
224
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
При планировании испытаний методом фиксированного объема для
других законов распределения наработки на отказ (например, закон Вейбулла, гамма-распределение, двойное показательное распределение и т.п.)
в первом приближении можно использовать метод, основанный на ис­
пользовании отношения суммарного времени испытаний к наработке на
,
п
отказ 2SJTq где Sn =
t, - наработка между (/ - 1 )-м и Z-м отказами.
/=|
Плотность распределения этого отношения имеет ^-распределение:
Г 2S
\т0,
1
2"(«-0
Л-1
е г°
(4.45)
где е - основание натурального логарифма.
В этом случае объем испытаний, необходимый для принятия реше­
ния о выборе гипотезы Но или Н\, определяют из соотношения (4.19) как
для экспоненциального закона распределения:
Т° = Х[р(2и)
Т ’ Х?-<»
(4.46)
Далее объем выборки и суммарное время испытаний вычисляются
соответственно по формулам (4.15), (4.18) и (4.20) - (4.22).
4.9. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
МЕТОДОМ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА,
КОГДА ПОКАЗАТЕЛЕМ ОЦЕНКИ ЯВЛЯЕТСЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ИЛИ ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКАЗА,
РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПО БИНОМИАЛЬНОМУ ЗАКОНУ
ИЛИ ЗАКОНУ ПУАССОНА
Если вероятность появления отказов в выборке объемом п постоян­
на и равна q, то вероятность получения соответствующего уровня надеж­
ности по результатам п испытаний определяют по биномиальному зако­
ну, который справедлив при соблюдении условия л> 0,1V, где п >20;
N — возможный объем испытаний (генеральная совокупность наблюдений
или партия изделий). Тогда вероятность соответствия уровня надежности
определяют из соотношений:
т=с
Р(г£С)=^ад(1-9оГ '" = 1-а;
m=0
(4.47)
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
Р(х<с)=
=£«-(11-91Г'”=₽,
т=0
225
(4.48)
где с и т - допустимое число отказов и число отказов в выборе объемом п,
соответственно; С" = п\/\т\(и - от)1]; q0 и qt - приемлемая и допустимая
вероятности отказов изделия, соответственно.
Если вероятность появления отказов постоянна и мала, т.е. произве­
дения nq = 0,1...2,0, то вероятность соответствия уровня надежности по
результатам и испытаний определяют, используя закон Пуассона:
р(х< с)
(4.49)
(4.50)
Задаваясь величинами q0, q\, а и р из соотношений (4.47) - (4.50)
для различных значений допустимого числа с отказов определяют объем
/; испытаний. Под с можно понимать число отказов в п циклах испытаний
или число дефектных изделий в выборке из и изделий.
При оценке надежности изделий по одному заданному уровню q} по
уравнению (4.48) были проведены вычисления объемов испытаний, кото­
рые сведены в табл. 4.4, заимствованную из работы [10].
Порядок пользования табл. 4.4 рассмотрим на следующем примере.
Пример 4.4. Определить необходимый объем п испытаний при до­
пустимом числе с отказов, риске р заказчика и допустимой вероятности
q\ отказа за один цикл; с = 2; Р = 0,1; qx = 0,04.
Решение. По таблице 4.4 при заданных величинах р, q\ и с находим
/7=131.
В качестве расчетных зависимостей при определении объема испы­
таний для одного заданного уровня надежности и числе отказов, равном
нулю (с = 0), используют следующие соотношения:
- для подтверждения допустимого уровня q i отказа
и=
1пр
(4.51)
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
226
4.4. Объем п испытаний при допустимом числе с отказов
и заданному значению
Р = 0,1
Ч\
Р = 0,2
Р = о,з
с= 0 С= 1 с=2 с = 3 с = 0 С = 1 с=2 с =3 с=0 С= 1 с=2
с
0,01
229 387 530 666
159
299
427
551
120
243
361
457
0,02
114
193
264 332
79
149
213
725
60
122
180
237
0,03
76
128
176 221
53
99
142
183
40
81
120
158
0,04
56
96
131
165
39
74
106
138
26
60
90
118
0,05
45
76
105
132
31
59
84
109
23
28
42
94
0,06
37
63
87
104
26
49
70
91
19
40
60
78
0,07
32
54
74
94
22
42
60
78
17
34
51
67
0,08
28
47
65
82
19
36
52
68
14
30
44
59
0,09
24
42
57
72
17
32
46
60
13
26
39
52
0,10
22
37
52
65
15
29
42
54
11
24
35
47
0,15
14
24
34
43
10
19
27
56
8
16
23
31
0,20
10
18
25
32
7
14
20
26
6
12
17
23
=3
- для подтверждения приемлемого уровня q0 отказа
п=
(4.52)
При планировании испытаний с учетом допустимого q\ и приемле­
мого qo уровней вероятности отказа за некоторое время t объем выборки
и допустимое число дефектных изделий (допустимое число т отказов за
и циклов работы изделия) определяют из соотношения, аналогичного
соотношению для экспоненциального закона,
„ = Хр(2от + 2) = X|-q(2m + 2)
2<7|
2%
(4 53)
’
'
*
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
227
Откуда допустимое число т дефектных изделий (число отказов) в
выборке при заданных q| и до определяют из равенства
<7°
=- Xp2w + 2)
+ 2)
(4 54)
>
где f = 2/я + 2 - число степеней свободы; т - число дефектных изделий
(число отказов).
Определение объема п выборки и числа т отказов проиллюстрируем
на примере.
Пример 4.5. В техническом задании на изделие требования по
надежности заданы в виде вероятностей безотказной работы за один цикл
длительностью /: Ро(О = 0,98; Р\(Р) = 0,94. Известны также риски постав­
щика а и заказчика 0: а = р = 0,1.
Определить объем испытаний, необходимый для подтверждения за­
данных уровней надежности.
Решение. По заданным значениям а=р = 0,1 и отношению
<
1 _^(0 0,06 ->
- =------ 44 =----- = 3 по табл. 6 прил. находим такие значения как
1 - Р° (/) 0,02
*
Ход (2 т ■ - 2) и Х(° . 1 (2 т + 2), чтобы удовлетворялось условие q\/q° = 3.
Это условие удовлетворяется для значений:
Х<°д (2от + 2) =6,3;
Х/2™ + 2)=18,55;
при числе степеней свободы/= 2т + 2=12; здесь т = 5 - допустимое
число отказов в выборке объемом п, которое определим по формуле (4.53)
п=
Xo-i(2ot + 2)
18,55
2^
2-0,06
= 155 циклов.
Таким образом, при проведении испытаний в объеме п = 155 циклов
допускается не более т <5 отказов. При этом подтверждаются требова­
ния по надежности: Ро(0 = 0,98 и Р|(/) = 0,94.
228
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
4.10. ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ
И КОНТРОЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
Основное отличие метода последовательного анализа, разработан­
ного американским статистиком А. Вальдом [4], от метода фиксирован­
ного объема состоит в том, что число испытаний, необходимое для выне­
сения решения о принятии или отклонении гипотезы Но, не определяется
заранее, а является случайной величиной, зависящей от исхода самих
испытаний.
Выбор критической области при последовательном анализе прово­
дят на основе анализа отношения правдоподобия, причем анализ этого
отношения выполняют после каждого испытания в отличие от метода
фиксированного объема.
Пусть при п последовательных испытаниях получены значения
т}, т2, ■ . . . т„ случайной величины М (число отказов), плотность распре­
деления которой /(w, 0) зависит от одного параметра 0. Пусть проверяе­
мая гипотеза Н состоит в том, что 0 = 0о, а противоположная гипотеза Н\
в том, что 0 = 0].
Решение о правильности выбора гипотезы Но или Я] может быть
принято по значению отношения правдоподобия
21 = гт
р
Лт> »
9i)
U/Wo)’
(4.55)
Это отношение является случайной величиной, зависящей от числа
проведенных испытаний.
По значению отношения Р/Ро, полученному после i-го испытания,
можно сделать выбор между гипотезами Но и Н\. Если отношение P-JPq
мало, то принимают гипотезу Яо; если отношение Р\!Р0 большое, то при­
нимают гипотезу Н\, а гипотезу Но отклоняют. На основании изложенно­
го установлены следующие правила принятия или отклонения соответ­
ствующей гипотезы.
Если после /-го испытания выполняется неравенство
P/Po>A,
(4.56)
то принимают гипотезу Я | , т.е. 0 = 0].
Если после /-го испытания выполняется неравенство
Рх/Р0<В,
то принимают гипотезу Но, т.е. 0 = 0о.
(4.57)
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
229
Условием продолжения испытаний, т.е. условием, когда нельзя
отдать предпочтение ни одной из гипотез, является выполнение нера­
венства
В < Р\1Ро<А.
(4.58)
В работе [4] приведены зависимости между величинами А и В и
ошибками первого и второго рода (а и 0), которые выражаются соотно­
шениями:
Л = ^-£; В = -$—
(4-59)
а
1-а
Для простоты вычисления отношений правдоподобия в формулах
(4.55) - (4.59) удобнее воспользоваться логарифмом отношений и тогда
условия принятия гипотез можно записать следующим образом:
- гипотезы Н\
>1пЯ;
(4.60)
£ InS.
(4-61)
- гипотезы Но
1„К|
iaj
Условие продолжения испытаний:
In В < 1п(
< In А.
(4.62)
В работе [4] даны также соотношения для определения среднего
объема испытаний при подтверждении соответствующей гипотезы.
Средний объем испытаний при условии справедливости гипотезы Но
выражается соотношением
Мфо] " "
1,/Ы
(4.63)
Ж,0о).
где
J|„ АчМ
L /(»,. м
- математическое ожидание логарифма отношения
правдоподобия.
Соответственно, при справедливости гипотезы Н\ средний объем
испытаний равен
230
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
ffai, 61)
М 1П—7-------- г
.
6о).
(4.64)
Рассмотрим планирование испытаний методом последовательного
анализа для различных законов распределения случайной величины.
4.11. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
ПРИ ДВУХ ЗАДАННЫХ УРОВНЯХ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ
ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В случае биномиального закона распределения объем испытаний
или число отказов определяют из решения уравнения правдоподобия при
заданных значениях рисков поставщика а и заказчика 0, а также отноше­
ния 7'1/до
/и А
\п-т
= In Я\ U-71)п-т
(4.65)
4­ J
I Л)
где т - число отказов; и - число испытаний.
На основании соотношений (4.60) - (4.62) испытания продолжают
до тех пор, пока выполняется неравенство
V'-'»
In
С In
.
.
Ло"0-%)'и/ IH
(4.66)
Испытания прекращают, как только будет выполнено одно из сле­
дующих неравенств:
In Ч\
/м А
7о
V* - 1,1
>ln
(4.67)
<ln
(4.68)
зГО-аГ*
In
Если после п испытаний выполняется неравенство (4.67), то прини­
мают гипотезу /7|, т.е. вероятность отказа соответствует величине q.
Если выполняется неравенство (4.68), то принимают гипотезу Но, т.е.
вероятность отказа соответствует величине q0.
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
231
Так как в процессе испытаний фиксируют число т отказов, то усло­
вия принятия и отклонения гипотез Яо и Я, можно представить в виде
неравенств:
- принятия гипотезы Яо
-win
In
(4.69)
"'пр < -------
in!
-In
- отклонение гипотезы Но и принятие гипотезы Я
1П
(4.70)
"‘бр —
где /ибр - браковочное число отказов.
По формулам (4.69) и (4.70) для заданной в ТЗ вероятности безот­
казной работы Ро = 1 - 7о и минимально допустимому значению этой ве­
роятности Р\ = 1 - q}, а также для заданных значений а и 0 находят урав­
нения соответствия и несоответствия изделия требованиям ТЗ.
Средний объем испытаний, необходимый для подтверждения веро­
ятности отказа q = до, определяют по формуле
a In
«о =
<701п
—&1 + (1 - а)1п Ш
ч а )
U-aJ
f—V(1-'7o)ln|
(4.71)
Средний объем испытаний, необходимый для подтверждения допу­
стимой вероятности отказа q = q\ вычисляют, используя соотношение
(4.72)
<7i In
+ (l-^i)ln
<<7о
232
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Пример 4.6. В техническом задании на изделие задана вероятность
безотказной работы P0(t) = 0,9; допустимое значение этой величины равно
Дф/) = 0,8. Заданные требования по надежности должны подтверждаться с
уровнями риска поставщика а и заказчика [3 равными: а = р = 0,1.
Определить уравнения линий приемки и браковки, построить их
графики, найти средний объем испытаний.
Решение. Для нахождения линий приемки и браковки воспользуемся
соответственно соотношениями (4.69) и (4.70):
- условие принятия гипотезы Нп.
1-0,2>
1-0,1 J
1-0,2^
1 -0,1 J
= 0,15и-2,82;
- условие принятия гипотезы Н\
= 0,157 + 2,76.
Задаваясь значениями п, определим величины /иПр и тйр (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Линии приемки тпр и браковки тпр, соответствующие
заданным значениям величин:
Ро(О = О,9; 7>I(Z) = 0.8; а= 0 = 0,1
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
233
(4.76)
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
234
где 5 = nt - общая продолжительность испытаний до наступления т-го
отказа; среднее ожидаемое число отказов т и среднее ожидаемое время
испытаний S в зависимости от величин 70 / Д, а и Р определяют по фор­
мулам. Для подтверждения того, что Т = То, используют следующие
формулы:
(1 -а11п|(гУ+|"1
Wo =--------- Ь
In|d-Z
Iд J Д
'
(4.77)
5
Д
(4.78)
• 1п|
СД.-Д 7
■— = /"о
'о
откуда
S - Д т0
In
(г А ( Т
И
111
< Д) - Д 7
(4.79)
Для подтверждения Т=Т\ проводят следующие расчеты:
Р1пШ +
от, =
е -A+1
(4.80)
»
Д
S
— = т,
Д
5
(4.81)
откуда
5 = Т\ т}
L-U
7
Д
———UM-
J И\) 1Д)-Д
J V
(4.82)
d д
Пример 4.7. В техническом задании на изделие заданы: наработка
на отказ 7'о; риски поставщика а и заказчика Р: а = р = 0,1; отношение
То / То = 1,2. Требуется построить линии приемки и браковки изделия по
результатам испытаний (рис. 4.2).
Решение. Для построения линии приемки воспользуемся уравнени­
ем (4.75), а линии браковки - уравнением (4.76):
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
235
Рис. 4.2. Линии приемки т„р и браковки тибр, соответствующие
заданным значениям:
= Р = 0,1
То/То=
= 0,9/я„р -11,46;
щбр1п1,2 + 1п -у
= 0,9тбр + 10,98.
Задаваясь значениями S / То, определим /ип[, и т5р для уровней соот­
ветствия и несоответствия изделия этим требованиям.
4.13. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА
В этом случае логарифм отношения правдоподобия запишется в виде
Ра
Vo)
11
|_'=’ % е
f
mi -]
= |„ п
11
L'=i о'о е
(4.83)
После логарифмирования правой части этого равенства получим
■Й1
п
In
=
/=1
где qt = Xq; qo = lot;
> Qo-
~л(<71 ~<7о)>
(4.84)
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
236
Тогда условием прекращения испытаний является выполнение нера­
венств:
ln[—
G=i
« )
АР
(4.85)
( "
~и(<7| ~<7о)-1п
v=i
(4.86)
> пр
Если после п испытаний выполняется неравенство (4.85), то гипоте­
зу Но отклоняют, т.е. интенсивность отказов больше допустимого значе­
ния Хо. Если после п испытаний выполняется неравенство (4.86), то гипо­
тезу Но принимают, т.е. интенсивность отказов меньше или равно допу­
стимому значению Хо.
Преобразуем уравнения (4.85) и (4.86), предварительно обозначив
("
=и
к /=|
J 6р
)
Е"'U=i J
пр
1п|
+ «(?!-%)
(4.87)
«бр = —
w».ip
4Л
м
и-а/
+ '’(<71 ~<7о)
(4.88)
In
Для определения среднего объема испытаний в первом приближе­
нии можно принять вместо закона распределения Пуассона биномиаль­
ное распределение с параметром q = X/. Тогда среднее число периодов
работы изделия для подтверждения интенсивности отказов Х<> определяют
по формуле
(4.89)
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
237
Каждый период работы изделия соответствует длительности t, а
суммарное время испытаний будет равно:
So = not.
(4.90)
Аналогично среднее число периодов работы изделия для подтвер­
ждения интенсивности отказов Х| находится из соотношения
(4.91)
«I =
(9
Х(/ In]
+ (1 -Х|/)1п|
' ’
а суммарное время испытаний соответственно составляет
(4.92)
5, = и/.
Пример 4.8. Построить линии приемки /Ипр и браковки /Ибр, прини­
мая во внимание, что вероятность отказа подчиняется закону Пуассона
при следующих исходных данных: длительность работы устройства за
один цикл / = 100 ч; а = Р = 0,1; X] = 12-10 ■’ ч 1 ; Хо = ЮНО"3 ч’1.
Определить среднюю продолжительность испытаний для подтвер­
ждения интенсивности отказов Хо.
Решение. Для построения линий браковки и приемки (рис. 4.3) вос­
пользуемся формулами (4.87) и (4.88), где q} = X]/, q0 = Kt:
Inf1 0,1l + n(12-10~3-102
w6p
10• IO-3 ■ 102)
(1210-3 IO2
"flO-lO-3 •102/
= 12,05 + 1,09/?;
ln
=
In
^12-10~з -1Q2
iIO-Ю’З
12,57 + 1,09/?.
-Ю2 ?
Среднее число периодов работы определим по формуле (4.89)
0,1 In
(X)
..
238
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Рис. 4.3. Линии приемки mI[p и браковки /и6р,
соответствующие заданным значениям величин:
a = p = 0,l;X, = Г2-10‘3ч’|;Хо= 10-10_з ч'; t = 100 ч
Суммарное время испытаний
So = not = 10,11-100 = 1011 ч.
4.14. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
ПРИ ДВУХ ЗАДАННЫХ УРОВНЯХ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ
ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НАРАБОТКИ НА ОТКАЗ
Для подтверждения заданной наработки на отказ То в интервале
(Т| < Т< То) средний объем испытаний по методу последовательного ана­
лиза с двухсторонней доверительной границей определяется выражением
вида
(1 - a)ln f——- 1 + a In р—£)
<1-а;
я0 =
< а J
(4.93)
Соответственно для подтверждения наработки на отказ — средний
объем испытаний находится по формуле
»
м
(4.94)
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
где
м
taf
4ЛРСТ°)|
239
- математическое ожидание случайной величи-
ны из последовательности наблюдений, М принимает значение 7о или 7).
Обозначим
1п
(4-95)
или
X'
M[z]= J In
(4.96)
— СЮ
где
Ц-^-Го)2 .
2<^
ехр
(4.97)
Принимая С5| = а<) = о, находим отношение правдоподобия
ехр
= In-----
In 7
/(/„Ури)
-А(/,-ь)2
/Сто
(4.98)
ехр -2М'-?')2
2а0
Прологарифмируем выражение (4.98)
1
п
2о ,=1
»
п
2а ,=1
1 7’12-ь2+2^6(Сь-1) •
2ст2
/=1
(4.99)
Примем следующее допущение - каждый период испытаний по
времени одинаков, т.е. /, = t. В этом случае выражение (4.99) можно запи­
сать так
1п ./(^ои) = ^Цд2 - 7 + 2<(° - 7])].
2о2И
0
V0
(4.100)
Далее, подставляя выражение (4.99) в формулу (4.96) и интегрируя,
найдем
240
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
(4.101)
Тогда для подтверждения средней наработки на отказ То подставим
выражение (4.101) в (4.93) и получим
2сг
«о =
(4.102)
-(Го -71)2
где по - число периодов работы длительностью То каждый или число от­
казов за время S испытаний, которое равно
5 = иоТо.
(4.103)
На основании выражения (4.100) для логарифма отношения правдо­
подобия запишем условия принятия и отклонения гипотезы /70 состоящей
в том, что Т = То'.
- отклонение гипотезы Но
;^[?' - Д2 + МТЬ - Д )]> 1п| М;
- принятие гипотезы Но
[Д2 - Д2 + 2лг(Т0 - 7] )]< J Д
2а2а
•
(4.104)
(4.105)
V ~o-J
Так как в процессе испытаний фиксируют число m отказов, то усло­
вия принятия и отклонения гипотезы Но можно представить в виде нера­
венств:
In —
nt
—-
бр
nt
Т = w,
пр
0
T'otT’o-Ti) '
(4.106)
(4.107)
Пример 4.9. Построить линию приемки и линию браковки для нор­
мального закона распределения наработки на отказ при следующих ис­
ходных данных: То = 100 ч; о = 10 ч; а = Р = 0,1.
Решение. Для построения линий приемки дапр и браковки т5р (рис. 4.4)
воспользуемся формулами (4.106) и (4.107) при некоторых значениях Тй/Т\.
4.15. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
ДОРОГОСТОЯЩИХ НЕБРАКУЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРИ ДВУХ ЗАДАННЫХ УРОВНЯХ
ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ
Из практики отработки дорогостоящих изделий известно, что в про­
цессе исследовательских и контрольных испытаний изделия не бракуют,
а дорабатывают и продолжают испытывать до получения требуемых по­
казателей. При таких условиях риск поставщика (изготовителя) прини­
мают равным нулю а = 0, так как изделие после устранения отказов в
обязательном порядке поставляют заказчику.
Исходя из принятого условия, математические выражения для линий
приемки и среднего объема испытаний при соответствующих законах
распределения преобразуются к следующему виду.
Биномиальный закон распределения. Условие принятия гипотезы Но
In р - п Inf-—— j
(4.108)
242
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Средний объем испытаний для подтверждения показателя qt!
1п р
«о =
% Inf— + ° <7о)
(4.109)
,
1'
''
‘/о J
Экспоненциальное распределение. Условие принятия гипотезы Но
|п|
Среднее ожидаемое число отказов т0 и среднее ожидаемое время
испытаний Уо Для подтверждения наработки на отказ То определяют из
соотношений:
т0
So -
--- In
1,1о T0-T
t I
Закон распределения Пуассона. Условие принятия гипотезы //о
,„||p.'n Р +
ж, Г
(
где <?, = V, <7о = VСреднее число периодов работы изделия для подтверждения интен­
сивности отказов /.о определяют по формуле
«о =-------
_______ 1п_р
Хо/ In |V + (1-А.0/)|п
Тогда суммарное время испытаний соответственно равно
So ~ ноЛ
где t - длительность каждого периода испытаний.
(4.114)
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
243
Нормальный закон распределения. Условие принятия гипотезы /70
ЛаА
'".,Р
J
v
т0(т0-Т})
(4.
'
Среднее число периодов испытаний для подтверждения заданной
наработки на отказ То
2а2 In р
«о =~7-------- тг
(4.117)
Суммарное время испытаний
So = п$То.
(4.118)
4.16. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
ДОРОГОСТОЯЩИХ НЕБРАКУЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРИ ОДНОМ ЗАДАННОМ УРОВНЕ
ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ
При разработке и изготовлении дорогостоящих небракуемых изде­
лий можно задаваться только линией приемки, полагая, что в процессе
опытно-конструкторской отработки и серийного изготовления изделие
достигает заданного уровня надежности и будет принято в эксплуатацию.
В процессе испытаний можно наблюдать, как надежность меняется
от изделия к изделию (от партии к партии, от цикла к циклу) и как на нее
влияют различные доработки - повышают или понижают ее.
Контроль уровня надежности дорогостоящих ремонтируемых изде­
лий методом последовательного анализа с односторонней границей одно­
го заданного уровня надежности, основанной на идее предложенной
Д. Ллойдом и М. Липовым [16].
Метод последовательного анализа с односторонней границей можно
применять для контроля различных показателей надежности: вероятно­
сти безотказной работы, интенсивности отказов, наработки на отказ, на­
работки между отказами и др. При этом контролируемые изделия могут
быть как ремонтируемыми, так и неремонтируемыми, наработка изделий
может быть дискретной (например, число циклов работы) или непрерыв­
ной (например, время работы в часах, пробег в километрах и т.п.), а ее
распределение биномиальным, нормальным, экспоненциальным и т.д.
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
244
Существуют различные методики контроля вероятности R безотказ­
ной работы выполнения одного рабочего цикла сложным ремонтируе­
мым изделием. Выбор показателя надежности в виде вероятности безот­
казной работы связан с тем, что в техническом задании на изделие в ка­
честве показателя надежности чаще других показателей задают вероят­
ность безотказной работы в течение одного цикла работы.
Рассмотрим методику последовательного анализа с односторонней
границей для биномиального выборочного плана. Исследование биноми­
ального выборочного плана связано с тем, что для большинства изделий,
работающих в циклическом режиме, приемлем биномиальный закон рас­
пределения случайной величины (например, появление отказов). Пред­
полагается, что величина R может изменяться под влиянием каких-то
причин, в частности, - под влиянием изменений, вносимых в конструк­
цию изделия.
Содержание методики состоит в следующем. В координатах NQm
(N - число циклов работы изделия, т - число отказов), строят прямую линию приемки (рис. 4.5).
Параметры -h и -h/S определяют положение линии приемки.
Поскольку наша задача состоит в том, чтобы достигнуть требуемого
уровня надежности, поэтому составляют план испытаний без критической
границы, т.е. с одной лишь линией приемки, как показано на рис. 4.5.
В соответствии с работой [ 16] при Р < S функция L(P) = 1, а при
Р> S функция L(P) связана с Р следующим соотношением
S
L(P) h -1
I
Л(Р) Л -1
(4.119)
т, отказы
Рис. 4.5. График последовательного анализа с односторонней границей
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
245
где Р - вероятность отказа; h - координата пересечения линии приемки и
оси отказов; £(Р) - оперативная характеристика.
Итак, вероятность принятия решения (только приемки) равна еди­
нице при Р <> S. Однако при Р > S существует определенная вероятность
непринятия решения вообще. Вероятность принятия решения, в этом
случае, определяется оперативной характеристикой ИР). Так как в про­
цессе испытаний риск поставщика полагается равным нулю, то опера­
тивная характеристика будет равна риску заказчика, т.е.
(4.120)
£(Р) = р.
Для подтверждения заданной надежности R = 1 - Р с доверительной
вероятностью у = 1 - Р из выражения (4.119) можно получить соотноше­
ние для определения двух параметров Suh
S
-1-•
/’ = ВE-h j—
(4.121)
р’*-1
Чтобы однозначно определить параметры S и h, необходимо найти
еще одну зависимость между ними. Существуют различные способы по­
лучения этой зависимости. Используемый нами способ предложен в ра­
боте [16]. Его суть заключается в следующем. Необходимо установить,
что при заданном значении Р заказчик должен пойти на определенный
риск др, состоящий в том, что изделие рассматривается как удовлетво­
ряющее требованиям надежности после проведения серии последова­
тельных успешных испытаний, т.е.
h
Др = (1-Рр,
(4.122)
где —h/S - число отказов к первому моменту принятия решения о приемке.
Таким образом, для определения границы приемки составляют си­
стему из двух уравнений
s
Др = (1-р)_7,
где Р - вероятность отказа при выполнении одного рабочего цикла; р риск заказчика, т.е. вероятность того, что будет принято изделие, надеж­
ность которого не удовлетворяет заданным требованиям; ДР - начальный
246
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
риск заказчика, т.е. вероятность ошибиться в том, что изделие удовлетво­
ряет заданным требованиям надежности после проведения серии после­
довательных успешных циклов от начала испытаний.
Задаваясь значениями Р, fl, и Д0 в системе уравнений (4.123), опре­
деляется положение линии приемки в плоскости NOm (см. рис. 4.5).
На подготовленной таким образом координатной сетке отмечаем резуль­
таты испытаний: успешном цикле, откладываем горизонтальный отрезок
единичной длины; отказе в цикле - вертикальный отрезок также единич­
ной длины. Полученную ломаную линию, отражающую результаты ис­
пытаний, называют траекторией процесса испытаний. Если траектория
пересекает линию приемки, построенную при заданных значениях Р, Р, и
ДР, то это означает, что заданная вероятность безотказной работы одного
цикла подтверждается с доверительной вероятностью у = 1 - р. Ясно, что
чем выше надежность изделия, тем меньше отказов наблюдается в про­
цессе испытаний и более полого проходит траектория процесса.
При опытно-конструкторской отработке, да и в процессе серийного
изготовления, на изделиях проводят доработку или замену отказавших
узлов на новые для повышения надежности. Траектория процесса испы­
таний одного изделия, на котором проводились доработки, или несколь­
ких последовательно испытывавшихся изделий, конструктивно отлича­
ющихся друг от друга, приведена на рис. 4.6.
Анализ рисунка показывает, что произошло изменение (увеличение)
надежности в точках (А - С). Однако не всегда очевидно, что есть доста­
точные основания считать такое изменение статистически значимым, и
каковы гарантии того, что достигнуто действительное увеличение
надежности. Для проверки значимости изменения надежности использу­
ют специальные статистические критерии значимости.
т отказы
Рис. 4.6. Траектория процесса испытании с доработками
9
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
247
В принципе, с целью контроля надежности изделий в процессе
отработки можно заготовить на прозрачном материале (целлулоиде,
кальке и т.п.) координатную сетку с линиями приемки для нескольких
промежуточных значений R = 1 -р (например, R = 0,8; 0,9; 0,95;...). Этот
шаблон (планшет) накладывают на график последовательного анализа
таким образом, чтобы начало координат планшета совпадало с точкой
последнего существенного (значимого) изменения траектории процесса
испытаний (например, точка С на рис. 4.6), а оси координат планшета
параллельны основным координатным осям. Точка пересечения траекто­
рии с линией приемки показывает, что достигнут уровень надежности,
отвечающий этой линии приемки (рис. 4.7).
Таким образом, если наложить планшет на график последовательно­
го анализа так, чтобы начало координат планшета совмещалось с точкой 0,
то будет видно, что траектория пересекает линию приемки 7?з. Точка А
является точкой значимого изменения надежности (здесь была проведена
эффективная доработка).
Если перенести начало координат планшета в точку А, то видно, что
траектория пересекает линию приемки Т?4, т.е. достигнут более высокий
уровень надежности.
Графическое представление метода последовательного анализа с
односторонней границей в виде семейства линий приемки может быть
использовано при заданных низких показателях надежности. Составив
подобные графики, можно непосредственно в ходе испытаний вести кон­
троль уровня надежности.
Линии планшета
1
т
,
т ‘
у
Ry "Ry
X
ст
£
/
7
/
's XR
У
X
£
0
м
г.
/г у
Рис. 4.7. Траектория процесса испытаний для последовательного анализа
с семейством линий приемки:
прямые линии - линии планшета; т - число отказов; N - число опытов
248
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
По мере заполнения графика траекторией текущего контроля в зави­
симости от того, на каком уровне в заданный момент отрабатываемое
изделие находится, можно остановить испытания и провести соответ­
ствующие доработки с целью повышения надежности этого изделия. Та­
кой наглядный контроль в процессе испытаний и является как раз тем
существенным отличием от классического метода, в соответствии с кото'
рым о показателях надежности судят только лишь после проведения пол­
ного назначенного объема испытаний. Для опытных изделий, которые,
как правило, подвергают большому числу испытаний и многим кон­
структорским доработкам, а также для изделий с высокими показателями
надежности графическое представление семейства линий приемки явля­
ется не совсем удобным вследствие их громоздкости.
При контроле высоких показателей надежности графическим спосо­
бом необходимо создавать множество графиков, что влечет за собой до­
полнительные трудности в их использовании. В связи с этим вместо по­
строения линий приемки наносят на график координаты граничных то­
чек, принадлежащих этим линиям. Такое решение более удобно, так как
оно исключает построение большого числа графиков и постоянное их
заполнение в процессе испытаний, а также практически неограниченно
увеличивает объем испытаний (число опытов) и число отказов, сохраняя
при этом высокую точность результатов [38].
Рассмотрим вывод уравнения линии приемки, для чего решим систе­
му уравнений (4.123). Логарифмируя второе уравнение этой системы,
получим
1пДр = —^ln(l-P),
(4.124)
откуда
5 = InQ-P)
h
In Ар
(4.125)
Из первого уравнения системы имеем:
(4.126)
или
х
(4.127)
249
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
Логарифмируя уравнение (4.127), получим
(4.128)
- —Л1В = 1п
h
откуда
5
In
1+р "-1
р
(4.129)
lnp
h
Из уравнения (4.125) найдем
с
_ _ /^1п(1-Р)
1пДр
(4.130)
Из уравнения (4.129)
h=—
-lnp
s
In
(4.131)
P
Решив систему уравнений (4.123) относительно неизвестных h и 5,
получим уравнение линии приемки [38] в виде:
т = SN+h,
(4.132)
где т - число отказов (ось ординат); N - число циклов испытаний (ось
абсцисс).
Из уравнения (4.132)
к, m-h
' ~ S
т
h_
т
1пДР
" 5 " -Ain(-/)) + 10(1 -р)“
1пДр
„
1пАр _ _ог1пДР
ln(1-P) Alп(1-P)
Подставим в выражение (4.133) значение h из формулы (4.131)
250
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Г
1пДр т In
5
'
1J3 "-1
+ 1пр
Р
\
/
lnpln^-P)
N=
(4.134)
Далее, подставляя значение -S/h из выражения (4.125), окончательно
получим функциональную зависимость числа испытаний от числа отка­
зов при заданных значениях величин р, Ар и Р:
(
In(l-P)
>
R ■nA₽ _ I
1пДр т In 1 + *•
+ lnp
P
(4.135)
lnpinQ-P)
Так как в ТЗ на изделие чаще задают показатель надежности в виде
вероятности безотказной работы, то в формуле (4.135) вместо Р подста­
вим значение R = 1 - Р и получим выражение вида [38]:
f
ln R
'
, Rll'A₽ _
1пДр m In 1 + ----------- + lnp
1-Я
1
J
lnpln R
(4.136)
Уравнение (4.136) является аналитической формой выражения по­
следовательного биномиального выборочного плана. Задаваясь значени­
ем числа отказов т, вероятностью R безотказной работы одного цикла,
риском заказчика р и начальным риском заказчика Др, определяют объем
N испытаний. Для некоторых значений т, R, р и Ар = 0,25р вычислены
объемы испытаний N (в циклах) для последовательного анализа с одно­
сторонней границей и представлены в табл. 4.5, заимствованной из рабо­
ты [38].
Пример пользования таблицей. Требуется определить объем N ис­
пытаний (число циклов), который необходим для подтверждения вероят­
ности R = 0,9 безотказной работы в течение одного цикла при довери­
тельной вероятности у = 1 - р = 0,9, если в процессе испытаний зафикси­
ровано пять отказов. По таблице 4.5 находим N = 112.
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
251
4.5. Расчетные значения объемов 7V испытаний
для некоторых заданных величин R, т, у при др = 0,25р
Вероят­
ность R
безот­
казной
работы
за один
цикл
Чис­
ло
отка­
зов т
Объем N испытаний, циклы, при доверительной вероятности
У (У = 1 - р)
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0,99
1
5
6
6
7
8
9
12
5
15
15
16
17
19
21
25
10
26
27
29
30
33
36
41
20
49
51
53
57
61
66
74
50
118
123
128
135
145
155
173
100
223
242
252
267
285
303
337
1
32
34
38
43
50
58
75
5
80
85
91
99
112
124
160
10
140
148
157
170
189
206
243
20
261
274
290
311
343
371
428
50
622
652
688
734
804
866
986
100
1225
1283
1352
1440
1574
1690
1915
1
411
446
490
552
655
756
984
5
1019
1083
1162
1268
1438
1596
1934
10
1778
1879
2002
2164
2416
2646
3122
20
3298
3472
3681
3954
4373
4747
5498
50
7256
8249
8720
9326
10 245
И 050
12 625
100
15 453
16 2^11
17 117 18 280 20 030 21 555
24 600
0,500
0,900
0,992
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
252
Продолжение табл. 4.5
Вероят
ятность
R без­
отказ­
ной
работы
за
один
цикл
Объем W испытаний, циклы, при доверительной вероятности
У (У = 1 - ₽)
Чис
ло
от­
ка­
зов
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0.95
0,99
1
32 951
35 770
39 345
44 290
52 558
60 643
78 943
5
81 614
86 787
93 160 101 675 115 301 128 012 155 103
10
142 442 150 558 160 429 173 407 193 729 212 223 250 437
т
0,999
20 264 098 278 101 294 967 316 869 350 686 380 644 440 984
50 629 068 660 728 698 580 747 256 821 156 885 909 1 012 628
100 1273 350 1298440 1 371 208 1464567 1605438 1728018 1 965 367
С помощью этой же таблицы можно контролировать уровень
надежности в процессе проведения испытаний. Так, например, в процессе
испытаний было проведено N = 655 циклов испытаний и при этом зафик­
сирован один отказ. Спрашивается, какую вероятность R подтвердили
этими испытаниями, и с какой доверительной вероятностью у. По табли­
це 4.5 находим, что R - 0,992 и у = 0,95.
Используя выражение (4.136), с помощью ЭВМ можно составить
таблицы планирования испытаний и контроля уровня надежности мето­
дом последовательного анализа с односторонней границей для биноми­
ального закона распределения. Полученные таблицы удобны при плани­
ровании испытаний и контроле уровня надежности, когда в ТЗ задан
один уровень показателя надежности.
Применение метода последовательного анализа с односторонней
границей при биномиальном законе распределения объясняется тем, что
изделие между доработками не подвергается конструктивным, техноло­
гическим и другим изменениям, т.е. вероятность появления отказа в каж­
дом промежутке между доработками считается величиной постоянной.
Исходя из этого предположения, можно биномиальный выборочный план
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ
253
сохранить и при введении доработок. Достижение заданного уровня
надежности в результате проведения последней доработки осуществляет­
ся с некоторой постоянной вероятностью Р (вероятностью появления
отказа в одном цикле). В общей же схеме испытаний надежность R изде­
лия растет от одной доработки к другой, т.е. принимает последовательно
значения R\, R2, .... R„ до требуемого уровня RtP, после чего испытания
прекращают, а изделие принимают к эксплуатации.
4.17. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ,
ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДАМИ НЕЙМАНА-ПИРСОНА
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Сравнение методов фиксированного объема и последовательного
анализа показывает, что метод последовательного анализа, в среднем,
дает выигрыш в объеме испытаний. Аналитические зависимости для
определения среднего выигрыша в объеме испытаний для различных за­
конов распределения приведены в табл. 4.6.
Пример 4.10. Определить средние объемы испытаний, полученные
методами фиксированного объема и последовательного анализа при экс­
поненциальном законе распределения наработки на отказ и заданных
значениях: Tq/T = 1,5; а = р = 0,1. Найти средний выигрыш в объеме ис­
пытаний.
Решение. По таблице 6 приложения для заданных значений а = р =
= 0,1 и TqJT\ = 1,5 находим средний объем испытаний методом НейманаПирсона по числу степеней свободы /= 2п = 80, откуда п = 40.
Средний объем по испытаний методом последовательного анализа
определим по формуле для экспоненциального закона распределения
(табл. 4.6):
0.9 In
«о =
= 19.4.
П
« =----40 « 2т .
Далее
находим средний“ выигрыш по отношению А. = —
«о 19>4
4.6. Средние объемы испытаний и выигрыши в объемах испытаний
для некоторых законов распределения
Средний объем испытаний, полученный методом
Неймана-Пирсона п
Экспоненциальный
последовательного анализа nQ
Средний выигрыш в объеме
испытаний
А = п/по
То _ Хр(2и)
T'l
Х1а(2»)
«0 =
Т
т
Г,
Т}
«0
+₽ЬИ
Нормальный
1
(Г-т,)2
(Ц-а+Ц-рГ
+“|пМ
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Закон распределения
fo-Ti)2
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ
число отказов или число дефектных изделий; t - длительность одного цикла.
255
Примечание: т-
256
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Пример 4.11. Вычислить средний объем испытаний методами Ней­
мана-Пирсона и последовательного анализа, принимая нормальный за­
кон распределения, при следующих исходных данных: а = [3 = 0,1; То =
= 100 ч; Т\ = 90 ч; а = 10 ч. Найти средний выигрыш в объеме испытаний.
Решение. Средний объем испытаний по методу Неймана-Пирсона
определим по формуле
102 (1,282 + 1,282)2 _
””
(т-д)2
(100-90)2
здесь квантили (7|_а и (7|_p взяты из табл. 1 прил.
Средний объем испытаний по методу последовательного анализа
равен
2<д2
.
2 |°г (|-0.|)ш1-2Л
(100-90)2
(1 -0.1
= 3,68.
Средний выигрыш составляет:
J.i.S.I.,.
л() 3,68
Приведенные примеры показывают, что метод последовательного
анализа при планировании испытаний имеет преимущество в затратах по
сравнению с методом фиксированного объема, так как объем испытаний
в первом случае уменьшается в среднем в 1,7 - 2,0 раза.
4.18. ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ
В УТЯЖЕЛЕННЫХ РЕЖИМАХ ИСПЫТАНИЙ
С целью сокращения затрат на испытания вводят утяжеленные ре­
жимы. В этом параграфе описаны утяжеленные испытания, проводимые
по биномиальному плану, но с учетом того, что утяжеленные испытания
по схеме «прочность-нагрузка» подчинены нормальному закону распре­
деления [34].
Различают нормальный и утяжеленный биномиальные планы испы­
таний.
Под нормальным биномиальным планом понимают такой план, при
котором каждое испытание проводят в номинальном режиме е0 в задан­
ном интервале времени [0,1q].
ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ
257
Утяжеленным биномиальным планом называют такой план, при ко­
тором каждое испытание проводят в утяжеленном режиме £ с коэффици­
ентом h повышения нагрузки в заданном интервале времени [О, Zo]При планировании объема утяжеленных испытаний воспользуемся
формулой пересчета на номинальный режим [34]
£
1
W-m
Р=
h
(4.137)
»
где Р - нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы
в одном испытании в интервале [О, /о] в номинальном режиме £ о; N и т числа отказов и испытаний в утяжеленном режиме в , соответственно;
у - доверительная вероятность; h - коэффициент нагрузки.
Задаваясь значениями величин Р , т,у и h, можно определить необ­
ходимый объем испытаний N.
Для случая безотказных испытаний, проводимых по утяжеленному
биномиальному плану, формула (4.137) принимает вид:
Р = (1-у)Ж.
(4.138)
Испытания в утяжеленном режиме можно проводить в интервале
[О, /J, не совпадающим с интервалом [О, /о]- Рассмотрим два случая ис­
пытаний (рис. 4.8).
Для определения нижней доверительной границы вероятности без­
отказной работы в одном испытании в интервале [О, /о] при номинальном
режиме £о формулы (4.137) и (4.138) преобразуют к виду:
i_
л*
(4.1.39.
р = ((­
(4.14о)
где к — tjto.
11
Интервал испытаний
.
Интервал
работы
Интервал работы
Интервал
испытаний
Zo
J t
о
о 1
'1
б)
а)
Рис. 4.8. Варианты испытаний:
а - в большем интервале времени; б - в меньшем интервале времени
258
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
В ряде случаев для металлоконструкций и механических узлов ис­
пытания опытных образцов проводят при повышенной нагрузке по срав­
нению с эксплуатационной, т.е. в утяжеленных режимах. Предполагается,
что нагрузкой при испытаниях можно управлять и измерять ее величину.
Несущая способность конструкции представляет собой качественную
характеристику, которая выражается информацией - отказал опытный
образец при заданной нагрузке или не отказал.
Работоспособность металлоконструкции или механического узла
считается обеспеченной, если выполнено неравенство
Х|>Х2,
(4.141)
где Х| и Х2 - случайные значения прочности (несущей способности) и
нагрузки при испытаниях в нормальном режиме, соответственно.
Для утяжеленного режима условие работоспособности запишется в
виде неравенства
*;>.<
(4.142)
где х[ и х2 - случайные значения прочности (несущей способности) и
нагрузки при испытаниях в утяжеленном режиме, соответственно.
Введем обозначения:
- нормальный режим испытаний'.
Pi и ц - средние значения прочности (несущей способности) и
нагрузки, соответственно;
V| и V2 - коэффициенты вариации прочности (несущей способности)
и нагрузки, соответственно;
п = pi/p.2 _ условный запас прочности;
- утяжеленный режим испытаний'.
p.j и ц - средние значения прочности (несущей способности) и
нагрузки, соответственно;
у, и v2 - коэффициенты вариации прочности (несущей способно­
сти) и нагрузки, соответственно;
п' = ц, /ц - условный запас прочности.
В общем случае, утяжеленный режим испытаний характеризуется
коэффициентом утяжеления [23]
т] = — = В. К.
п' ц ц
(4.143)
Однако на практике утяжеление чаще всего происходит только в ре­
зультате увеличения нагрузки с х2 до х2, поэтому коэффициент утяжеле­
ния определяется равенством
i
ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ
М2
М=~
М2
259
(4.144)
В случае, если вероятность безотказной работы металлоконструкции
или механического узла имеет нормальное распределение, математиче­
ские выражения для подсчета вероятностей изменяются в зависимости от
режима испытаний [23]:
- нормальный режим
\
р=ф
И— 1
(4.145)
+vL
- утяжеленный режим
и'-Г]
р' = ф
ч
7("'v'l)2 +(nv2)2
(4.146)
,
в формулах Ф(») - функция надежности нормального распределения
(см. табл. 1 прил.).
Математические выражения объемов испытаний в случае биноми­
ального плана для модели «нагрузка-прочность» при нормальном законе
распределения и заданных значениях коэффициента утяжеления т|, веро­
ятности безотказной работы ДТр, запаса прочности иТр и риска заказчика [3
в зависимости от числа отказов т принимают вид [23]:
- при числе отказов т ± О
(
У+М)2 J
(4.147)
где
Р2
%
= ВМ2 ’
- при безотказных испытаниях - m = О
1пр
W=
In Ф
»тр-П
Jfav''? +(nv'2)2 }
(4.148)
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
260
Требуемое значение коэффициента утяжеления ц при заданном объ­
еме N испытаний в зависимости от числа отказов т определяют из соот­
ношения
П =-----I
1
где «тр
/ ■>
«тр
(4.149)
^тр
2
■>'>'>
1 + ZTpVvl + V2 ~ гтру1 v2 .
здесь
при т Ф 0 ;
/и = 0.
Пример 4.12. Пусть проводят испытания гидромеханического
домкрата в интервале времени, в 2 раза превышающем длительность ин­
тервала времени функционирования системы: 11 = 2/о, т.е. к = 2. Испыта­
ния проводили с коэффициентом нагрузки h = 2 при числе N = 10 циклов;
в процессе испытаний зафиксировано два отказа (т = 2). Требуется найти
значение у - нижней границы Р для вероятности Р безотказной работы
домкрата в интервале [0, Zo] при номинальном режиме ео и заданном
у = 0,90.
Решение. Для нахождения нижней границы вероятности безотказной
работы используем формулу (4.139)
_1_
Р=
1(1 - y)w-w
hk
4 =0,88.
Пример 4.13. Пусть проводят испытания силового узла металлокон­
струкции, который представляет собой кронштейн сложной конфигура­
ции. Испытания выполняют в утяжеленном режиме (коэффициент утяже­
ления т] = 1,5). Целью испытаний является подтверждение заданных тре­
бований по надежности: Pip = 0,995; р = 0,1. Дополнительно известно, что
прочность конструкции и нагрузка на нее имеют нормальное распределе­
ние, а коэффициенты вариации равны
v| = v2 = V| = V2 = 0,1.
ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ
261
Требуется назначить объемы испытаний при допустимом числе от­
казов т = 1 и безотказных испытаниях - т - 0.
Решение. При т = 0 для определения объема испытаний воспользу­
емся формулой (4.148)
lnp
In Ф
«тр ~П
'ОЧМ2
По значению ДТр из табл. 1 прил. находим квантили:
гтр=ф-1(ртр)=Ф"1(0,995) = 2,5;
= Ф(-0.4) =0,345;
_ |п °’1 _ ~2»302 _
‘ ~ In 0,345 ~ -1,064
При числе отказов т = 1 для определения объема испытаний вос­
пользуемся формулой (4.147)
где /2(w, т, 1
- табулированная функция, опре­
деляемая по табл. 7 прил.
f2(N, ш1-р)= 0,345.
Из таблицы 7 приложения для нижней доверительной границы Р =
= 0,345 и уровне доверительной вероятности (1 - Р) = 0,9 объем испыта­
ний равен N = 3.
262
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Пример 4.14. Найти требуемое значение коэффициента утяжеле­
ния г] при заданном объеме испытаний N = 10, числе отказов т = 2, дове­
рительном уровне - - Р = 0,9, заданном уровне надежности Prp = 0,99 и
коэффициентах вариации vj = v2 = v, = V2 = 0,2.
Решение. Коэффициент запаса определим по формуле (4Л 49):
П=
-
“тр
^тр
[1 - ^тр2(У1 )2].
1 + :TpJ(vl)" +(v2
>2 --Tp2(v02(v'2)2
'
О
= Ф 1 0.8-0.I8 =0.254;
ч
/
=ф 1
2тр=Ф |(дтр)=Ф '(0,99)= 2,3;
"тр
1 + 2,3 Jo,22 + 0,22 - 2.32 ■ 0.22 ■ 0,22
»------- 1-------------------------------- = 2,02,
1-2,32 0,2-’
2,02('11-2,32-0,04)
= 1.89.
ч = —к
1-2,3-0,26
Ответ: г] = 1,89.
4.19. ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ
С УЧЕТОМ ПРОВОДИМЫХ ДОРАБОТОК
И РЕСУРСНО-ВРЕМЕННОГО ЗАПАСА
Планирование объемов испытаний, в данном случае, основывается
на построении гарантированной кривой доработок с учетом специфики
отработки сложного восстанавливаемого изделия [38], которая состоит в
том, что основой математической модели отработки являются типы до­
работок, причем их число существенно меньше числа отказов.
Метод планирования испытаний при проведении доработок заклю­
чается в следующем:
- испытания доработанного узла проводятся на стенде или в соста­
ве изделия в объеме, равном объему испытаний, которые узел прошел до
ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ
263
доработки, при этом общее число испытаний узла становится равным:
«+«' = 2«', так как в узле дорабатывалась только отдельная деталь, а сам
узел принципиально конструктивно не изменялся;
- если в процессе проведения п' испытаний после доработки отка­
зы не происходят, то доработку считают эффективной.
Гак как объем испытаний после доработки принимаем равным объ­
ему испытаний до доработки (щ - п? = п), а число отказов после дора­
ботки равным нулю (/и2 = 0), то при таких допущениях оценку г эффек­
тивности доработки с доверительной вероятностью у определяют по
формуле
(4.150)
где q-> - верхняя доверительная граница интервала значений вероятно­
стей отказа после доработки; q\ - вероятность отказа до доработки.
Нижнюю доверительную границу интервала значений вероятностей
безотказной работы /?,(т) при числе отказов т? - 0 определяют из соот­
ношения
£((т)=1-?2=01-у2ннк
(4.151)
которое удовлетворяет неравенству
Р (1-у2ъл < я(т) > У
(4.152)
где и' - случайная величина, равная числу испытаний до проведения до­
работки по данному виду отказа; h - коэффициент запаса; у - довери­
тельная вероятность; т - длительность одного цикла испытаний; / = л'т время проведения доработки.
Под коэффициентом запаса h понимают запас прочности, устойчи­
вости, времени жизни и т.д.
Доработку считают эффективной, если г < 1. Если после проведения
дополнительных п' испытаний, следующих за проведением доработки,
отказ по данному виду доработки возникает повторно, то принимают
решение о том, чтобы отказавший узел или изделие заменить на кон­
структивно новое. Для конструктивно нового узла изложенную ранее
процедуру повторяют. Многолетняя практика отработки сложных вос­
станавливаемых изделий показала, что повторный отказ по данному виду
доработки является чрезвычайно редким событием. Следовательно, фор­
мула (4.151) позволяет построить гарантированную кривую роста надеж­
ности (кривую отработки) с учетом предложенной методологии планиро­
вания испытания.
264
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
При проведении испытаний используют также обобщенный план ис­
пытаний, для которого почти все известные планы являются частными
случаями. Этот план называют планом п' испытаний, согласно которому
принимают следующие допущения:
1) число проводимых испытаний является случайным (или, в част­
ном случае, неслучайным); случайным объем испытаний оказывается
тогда, когда возникает отказ, и соответственно, необходима доработка;
в этом случае объем испытаний обозначают через п П неслучайным объем
испытаний оказывается в такой ситуации, при которой его заранее назна­
чают и планируют; объем таких испытаний обозначается через и;
2) каждое испытание проводят при нагрузке, равной или превыша­
ющей рабочую, с фиксацией величины р, нагрузки, при которой проведе­
но l-е испытание.
Если обозначить через П наработку до отказа рассматриваемого из­
делия к моменту времени t отработки и учесть, что
Я(()==<х >г)=1-Ш
(4.153)
где Г)(т) - функция величины П то схему испытаний можно представить
графически, как показано на рис. 4.9 (т - время жизни изделия).
Коэффициент запаса определяют как отношение минимальной нара­
ботки, превышающее время испытаний т, к этому времени
й = —,
т
(4.154)
где г| - меньшее из значений наработки, превышающее т.
Рис. 4.9. План п испытаний:
-Г - нагрузка при проведении испытаний, выраженная через запас прочности,
запас устойчивости, время жизни изделия и т.д.;--------- нагрузка: (например,
продолжительность испытания), при которой проводят испытания:
------- * - испытания проводимые до отказа
ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ
265
Если по результатам дополнительных испытаний после доработки
необходимо откорректировать коэффициент запаса h в сторону увеличе­
ния или уменьшения, то значение h определяют расчетным путем.
Если доработка не связана с изменением значения h, то значение h,
находят по формуле (4.154), подставляя в нее частные значения тр,
А=Х
т
(4.155)
тде т], - меньшее из значений т| при числе 2п,' испытаний, превышаю­
щем /; У - число элементов или доработок, i = 1, N .
Таким образом, можно построить кривую отработки не только в за­
висимости от номера i доработки, но и от времени t = th согласованного с
номером доработки (рис. 4.10).
В таком случае выражение для нижней границы вероятности безот­
казной работы запишется в виде
ArMl--)^,
(4.156)
где h\t) = n'(j)h(t) - ресурсно-временной запас.
Под ресурсно-временным запасом понимают обобщенный показа­
тель, который, с одной стороны, характеризует меру конструкционного
запаса h(i) надежности изделия к моменту времени t проведения z-й дора­
ботки, а с другой стороны, - количественную меру временного запаса
/?'(/), выражающегося наработкой до отказа к моменту t времени отработ­
ки. Задаваясь требованием по надежности и учитывая опыт отработки
образца-аналога, найдем необходимый объем испытаний на этапе их
планирования.
ЖУ
1
Ж/)=(1-уА
1,0
0
1
2
3
«1
«2
«3
h
h
Рис. 4.10. Динамика изменения кривой отработки
26б
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
При рассмотрении изделия в целом коэффициент ресурсно­
временного запаса определяют, используя выражение
А*гР = 1п(1-у)
2Ь1Дт’’
(4.157)
где Дтр - требуемое значение вероятности безотказной работы изделия;
у - заданная доверительная вероятность безотказной работы изделия.
Задаваясь значением коэффициента запаса h, найдем объем п' испы­
таний, необходимый для подтверждения заданной вероятности безотказ­
ной работы
, 1п(1 -у)
п =--- ----- —
(4.158)
2Л ln/^P
откуда
где h — конструкционный запас надежности.
Задача планирования объемов испытаний для элементов, входящих
в состав изделия, усложняется. Планирование испытаний, в этом случае,
сводится к определению оптимального запаса прочности узла при ми­
нимизации суммарной массы изделия и ограничении времени испытаний.
Метод нахождения оптимального запаса прочности основан на следую­
щих допущениях:
1) изделие состоит из N элементов, отдельно отрабатываемых в про­
цессе испытаний; массу /-го элемента обозначаем через щ, период его
отработки - через т(; считаем, что масса элемента определяется через за­
пас прочности hj по формуле со, = с,Д, где с- - коэффициент пропорцио­
нальности, полученный по статистическим данным или расчетным пу­
тем; h, = т),/т, - коэффициент запаса, определяемый по опытным данным
или расчетным путем; т), - время жизни /-го отрабатываемого элемента;
суммарная масса изделия, в этом случае равна
N
N
° = S"’'
/=|
(4.160)
/=1
2) каждый цикл испытаний проводят до возникновения отказа толь­
ко одного из элементов в объеме п' раз испытаний, или (другой вариант)
число циклов испытаний совпадает с числом отрабатываемых элементов.
Второе допущение основывается на стратегии принятия решения,
которое состоит в том, что по отказам каждого типа проводят не более
одной доработки. В таком случае суммарное время испытаний будет равно
ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ
267
N
(4.161)
Z=1
где
число циклов испытаний до возникновения отказа z-ro элемента;
т- - длительность испытаний z-ro элемента за один цикл.
Рассмотрим стратегию отработки, при которой на заключительном
этапе каждый из элементов должен пройти серию из п', циклов безотказ­
ных испытаний. Если запас h, известен, то необходимое число циклов
таких испытаний определяют по формуле
а _ Нт(1 - у)
(4.162)
А
In Ртр ’
где а - объем испытаний, выраженный в циклах, при числе отказов, рав­
ном нулю; у - доверительная вероятность безотказной работы, заданная
для изделия в целом; Р^ - требуемое значение вероятности безотказной
работы на изделие в целом.
Поставим теперь следующую задачу - найти оптимальные запасы,
минимизирующие суммарную массу изделия при ограничении времени
N
отработки, т.е. нужно решить задачу по отысканию
при ограz=i
ничении
N
N
Л
Z=1
Z=1 о
где Т—заданное значение суммарного срока испытаний.
Для решения поставленной задачи составим функцию Лагранжа
(4.163)
/=1
( N
где а, = ат,; h =
,____
</=1
\2
1=1
т
Далее составим уравнения Лагранжа, обеспечивающие необходимые
и достаточные условия решения функции (4.160) при использовании пер­
вой и второй производных этой функции по параметру /г,. В результате
решения функции с подстановкой заданных величин у, Ртр и т,- определя­
ем оптимальный запас прочности, используя выражение
268
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
1п(1 -у)
(4.164)
In Агр
где /= 12, .... N.
Выражение, полученное для расчета необходимого оптимального
запаса прочности, свидетельствует о том, что с увеличением периода ис­
пытаний Т уменьшается запас, с уменьшением Т запас прочности наобо­
рот, увеличивается, а это соответствует физическому представлению о
величине запаса.
Пример 4.15. Изделие, состоящее из четырех сборочных узлов, под­
вергают испытаниям. Вероятность Д'ф безотказной работы изделия за
один цикл испытаний должна соответствовать 0,9 при доверительной
вероятности у = 0,9. Длительности испытаний т, и соответствующие им
коэффициенты пропорциональности с, для каждого из узлов получены
опытным и расчетным путем и соответственно равны: Т| = 10 ч; т2 = 20 ч;
тз = т4 = 35 ч; Ci = 200; с2 = 300; Сз = 250; с4 = 250. Суммарное время Т
испытаний изделия с учетом последовательности испытаний каждого из
узлов не должно превышать 100 ч, суммарная масса G - 2000 кг.
Определить оптимальный ресурсно-временной запас прочности
каждого узла.
Решение. Подставляя в формулу (4.164) исходные данные, найдем
запас для каждого узла:
/Др
2
I
20
^300
=67,127, I----- =17,33;
J = /Др = 67,127, — = 25,11.
3
4
’
250
Полученные значения | р = «Д позволяют найти соответствующий
объем испытаний | задаваясь значением коэффициента запаса Л,, и
наоборот. Полученные при этом значения п, и /г, должны удовлетворять
ограничениям, наложенным на массу G и период испытаний Т.
Глава 5
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
ПРИ ПОСТАНОВКЕ ИХ НА ПРОИЗВОДСТВО
И В ПРОЦЕССЕ СЕРИЙНОГО ИЗГОТОВЛЕНИЯ
5.1. КОНТРОЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ИЗДЕЛИЙ
НА ЭТАПЕ ПОДГОТОВКИ К СЕРИЙНОМУ ПРОИЗВОДСТВУ
Контрольные испытания установочной партии изделий предназна­
чены для обеспечения их надежности на этапе серийного производства..
По завершении всех видов исследовательских испытаний приступа­
ют к этапу подготовки изделий в серийное производство. С этой целью, в
зависимости от сложности и стоимости изготовляемого изделия, назна­
чают установочную партию определенного объема. В процессе изготов­
ления установочной партии ведут отладку технологического процесса,
изготовление и проверку необходимой оснастки, приспособлений и стен­
дового оборудования. Для обеспечения достигнутых показателей надеж­
ности на этапе отработки и в процессе серийного изготовления преду­
сматривают определенный объем приработочных испытаний, который
записывают в техническую документацию. Цель этих испытаний - выяв­
ление скрытых производственных дефектов, а также притирка трущихся
поверхностей, термотренировка элементов электроавтоматики, прира­
ботка узлов и механизмов и т.п. Приработочные испытания отдельных
сборочных единиц или систем проводят на стендовом оборудовании.
Объем этих испытаний определен в чертежах, технических условиях или
технологических паспортах.
После приработочных испытаний сборочных единиц проводят их
монтаж на изделии, после чего изделие подвергают приемочным испы­
таниям. К таким испытаниям установочной партии допускают изделия,
прошедшие приемку отдела технического контроля. Каждое изделие
должно быть укомплектовано запасными частями и инструментом, а
также технической документацией в соответствии с формуляром к дан­
ному изделию и удовлетворять по техническим требованиям параметрам
технических условий.
В процессе проведения приемочных испытаний установочной пар­
тии изделий ведут журнал учета наработки узлов, механизмов и систем,
270
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
в котором фиксируют также замечания, неисправности и способы их
устранения. Если изделие предназначено не только для выполнения ра­
бот в стационарных условиях на определенном объекте, но и для пере­
возки некоторого груза с одного объекта на другой (например, лесовалочные машины, машины по перевозке, перегрузке и монтажу блоков
бурового оборудования, большегрузные краны и т.п.), то приемочные
испытания предусматривают три этапа - стационарные испытания изде­
лия в цехе; транспортные испытания на полигоне или в полевых услови­
ях; стационарные испытания в цехе после транспортных испытаний.
Общий объем приемочных испытаний каждого изделия установоч­
ной партии составляет 30...40 % гарантийного ресурса. Такой объем ис­
пытаний позволяет завершить отладку технологического процесса для
серийного производства и произвести корректировку технологической
документации. По результатам приемочных испытаний проводят оценку
качества и надежности выпускаемых изделий с рекомендациями по кор­
ректировке технологической документации.
5.2. ВЛИЯНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ
НА КАЧЕСТВО ВЫПУСКАЕМОЙ ПРОДУКЦИИ
При изготовлении изделий машиностроения на их качество и
надежность оказывают влияние многие факторы. Среди них важное ме­
сто занимают следующие: используемые материалы, технологические
процессы, качество выполняемой работы, условия хранения заготовок и
комплектующих элементов, межцеховое транспортирование, обеспече­
ние рабочих мест необходимой документацией, оснасткой и инструмен­
том. Перечень факторов довольно большой, и, следовательно, необходи­
мы направленные методы на создание качественной продукции.
Для обеспечения хорошего качества и надежности изделий исполь­
зуют два метода. Первый заключается в тщательной разработке техноло­
гии, второй - в тщательном контроле изготовленной продукции. Хорошо
отработанная технология не позволяет допускать брак при изготовлении
деталей, а также в процессе сборки узлов и механизмов. Контроль каче­
ства продукции осуществляют на различных стадиях производственного
цикла, т.е. проводят как пооперационный контроль, гак и контроль гото­
вой продукции. Наиболее приемлемым контролем качества является по­
операционный контроль, так как этот метод является, с одной стороны,
наиболее экономичным, а с другой стороны, - и более надежным. Лучше
всего проверять качество изготовления изделия во время самого процесса
изготовления, чем вносить исправления после того, как изделие изготов­
лено [43].
НОМЕНКЛАТУРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ
271
Задача контроля качества изделия состоит в обеспечении его работы
хорошего качества, независимо от того, чем оно было обусловлено хорошей технологией или эффективным контролем.
Важные факторы, влияющие на надежность изделия, - применяемые
материалы и их хранение. Если конструктор небрежно отнесся к выбору
металлов и они разнородны и несовместимы по своим свойствам и их
поместили в контакте друг с другом, то в результате металлы подверга­
ются коррозия. При хорошо поставленном контроле качества такое явле­
ние своевременно обнаруживают и устраняют его. Например, кислотная
пайка дает хорошее соединение, но после длительного использования
паянного соединения узел пайки становится очагом коррозии и поэтому,
несомненно, отрицательно влияет на надежность. Другой пример - ис­
пользование резинового уплотнения с содержанием серы вблизи контак­
тов, что приводит к покрытию их оксидной пленкой, и, следовательно,
к их отказу при включении контактов.
Неправильное хранение материалов также вызывает их порчу и со­
ответственно снижает надежность изделия. Так, например, длительное
хранение заготовок на открытом воздухе приводит к появлению корро­
зии, в результате чего возникают скрытые микротрещины, раковины и
ржавчина, а эти дефекты приводят к отказу готовой продукции.
Неправильное транспортирование деталей и узлов при межцеховой
обработке приводит к их повреждению, что отрицательно сказывается на
надежности изделия в целом. Так, например, при транспортировании ка­
белей «навалом» на транспортном средстве возможен излом жил или их
надрыв, который на начальном этапе проверки может быть не обнаружен,
а во время эксплуатации приведет к отказу.
Немаловажное значение для качества изготовления имеют условия,
создаваемые на рабочем месте. Некачественная техническая документа­
ция (например, чертежи) или плохое освещение на рабочем месте явля­
ются причиной изготовления бракованных деталей. Отсутствие оснастки
или непроверенный по эталону мерительный инструмент также влияют
на качество выпускаемой продукции.
5.3. НОМЕНКЛАТУРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ.
ВЛИЯНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧНОСТИ
НА НАДЕЖНОСТЬ ИЗДЕЛИЯ
В общем виде качество выпускаемой продукции можно оценивать
десятью показателями [19]. К ним относятся показатели назначения, ко­
торые определяют основные функции продукции, обуславливающие об­
ласть ее применения. В свою очередь, показатели назначения подразде­
272
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
ляют на классификационные, функциональной и технической эффектив­
ности, конструктивные, состава и структуры. К классификационным по­
казателям можно, например, отнести мощность двигателя, предел проч­
ности металла, грузоподъемность транспортного средства, коэффициент
усиления радиопередатчика и т.д.
В качестве показателей функциональной и технической эффектив­
ности могут быть использованы производительность технического
устройства, точность показания прибора, кучность стрельбы. Конструк­
тивные показатели определяют удобство монтажа, взаимозаменяемость,
габаритно-массовые характеристики и т.д., показатели состава и структу­
ры - процентное содержание, например, вредных включений в составе
высококачественной марки стали или твердых, жидких и газообразных
компонентов в топливе.
К показателям надежности относят показатели безотказности,
долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости и комплексные
показатели.
Эргономические показатели определяют систему взаимодействия
«человек-изделие». Эти показатели характеризуют работоспособность
человека при воздействии на него на рабочем месте температуры, влаж­
ности, освещенности, магнитного и электрического полей, запыленности,
излучения, токсичности, шума, вибрации, перегрузок и т.д.
Эстетические показатели определяют информационную вырази­
тельность, рациональность формы, целостность композиции, стабиль­
ность товарного вида, например, тщательность покрытий и отделки, чет­
кость исполнения фирменных знаков и сопроводительной документации.
С помощью показателей технологичности оценивают оптималь­
ность затрат материалов, денежных средств, трудовых и временных ре­
сурсов при изготовлении изделий.
Суммарная (общая) трудоемкость Т изделия характеризуется вре­
менем, затрачиваемым на изготовление одного изделия. Суммарная тру­
доемкость (в нормо- или машино-часах) равна:
А
Г = I//,,
(5.1)
где t, — трудоемкость /-го вида работ (по участкам и цехам) в технологи­
ческом процессе изготовления изделия; к - число отдельных видов работ
(по участкам и цехам).
Составными частями суммарной трудоемкости изделия являются
трудоемкости: удельная, сравнительная и относительная.
НОМЕНКЛАТУРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ
273
Удельную трудоемкость tyn (в нормо- или машино-часах) рассчиты­
вают на единицу определяющего параметра В изделий данной группы,
например, на 1 кг массы, на 1 м3 объема, на 1 м габаритного размера и т.д.
(5-2)
Сравнительную трудоемкость определяют из отношения
^ср
_ Т_
гр
(5.3)
7б
где Тб - базовая трудоемкость по заданному показателю технологичности
изделия.
Относительная трудоемкость определяет долю трудозатрат по
определенному виду работ в суммарной (общей) трудоемкости
(5-4)
где t, — трудоемкость z-го вида работ.
Суммарную {общую) материалоемкость изделия находят по общей
массе отдельных составных частей изделия
к
М = ^т,,
(5.5)
<=1
где /и, - материалоемкость /-й составной части изделия; к - общее число
составных частей изделия.
Удельную материалоемкость изделий рассчитывают на единицу
определяющего параметра В изделий группы
ул
ГП,
В
(5.6)
Сравнительная материалоемкость
(5.7)
где Мъ — базовая материалоемкость для некоторого базового изделия.
Относительная материалоемкость
т.
т<" = 77
м
(5.8)
274
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Показателем технологичности конструкции является коэффициент
использования материала для отдельных видов (типов, сортов, марок)
материалов
М
(5-9)
*им
ЛГо
где МГ - масса материала, затраченного на изготовление изделия; Мо масса заготовок.
Суммарную (общую) себестоимость S обычно определяют по от­
раслевым методикам и инструкциям. В самом общем виде она включает в
себя издержки на материал, заработную плату и косвенные расходы.
Структурная себестоимость S/ определяет затраты по отдельным видам
работ, выполняемым на отдельных линиях и участках или в цехах, вхо­
дящих в технологический процесс изготовления данного изделия.
Удельная себестоимость продукции
5УД=|’
(5-Ю)
где S - общая (суммарная) себестоимость единицы продукции; В - опре­
деляющий параметр продукции.
Сравнительная себестоимость продукции
с
5СР—’
(5.11)
где S6 - себестоимость базового образца продукции.
Относительная себестоимость продукции
(5-12)
определяет долю себестоимости, например, по отдельным линиям, участ­
кам и цехам в общей (суммарной) себестоимости.
По показателям стандартизации и унификации оценивают насы­
щенность изделия стандартными, унифицированными и оригинальными
составными частями. Для применения типовых методов расчета показа­
телей качества данной группы составные части изделий принято подраз­
делять на стандартные, унифицированные и оригинальные. К стандарт­
ным составным частям изделия относят такие, которые выпускают по
государственным, республиканским или отраслевым стандартам; к уни­
фицированным - те, которые используются, по крайней мере, в двух раз­
личных изделиях, выпускаемых одним предприятием; к оригинальным -
НОМЕНКЛАТУРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ
275
составные части, разработанные только для данного изделия. К показате­
лям стандартизации и унификации относятся коэффициенты: применяе­
мости, повторяемости, взаимной унификации для групп изделий.
Коэффициент применяемости составных частей изделия
- "о
и
(5.13)
где п - общее число типоразмеров составных частей; по - число типораз­
меров оригинальных частей изделия.
Коэффициент повторяемости составных частей изделия
Кп = ——100%,
н
(5.14)
где N - общее число составных частей изделия.
Коэффициент взаимной унификации для групп изделий
(111
Ее —
У"!
А
7
т
100%,
(5.15)
/=1
где и, - число типоразмеров составных частей в изделии; z - общее число
неповторяемых типоразмеров составных частей, из которых состоит
группа изделий; итах - максимальное число типоразмеров составных час­
тей одного изделия; т - общее число рассматриваемых изделий в группе.
Коэффициент унификации для групп изделий
т
ЕлР,ж
--------- Е°л
(5.16)
/=1
где Кпрt - коэффициент применяемости для /-го изделия; D, - годовая
программа выпуска /-го изделия; С, - оптовая цена z-го изделия.
При определении показателей унификации исключают из расчета
крепежные детали (болты, винты, шурупы и т.д.), пробки, заглушки и т.п.
Показатели транспортабельности характеризуют приспособлен­
ность продукции к транспортированию железнодорожным, воздушным,
водным или автомобильным транспортом. Показатели транспортабель­
276
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
ности в зависимости от вида транспортного средства определяются соот­
ветствующими затратами на перевозку и относятся к единице продукции
или к какой-либо определенной группе единиц продукции. К показателям
транспортабельности относят среднюю стоимость типовых операций при
упаковывании продукции данного вида в определенную тару, среднюю
стоимость перевозки единицы продукции на единицу пути (например,
на I км) конкретным видом транспорта, среднюю продолжительность
погрузки или разгрузки одной партии определенной численности про­
дукции данного вида.
Патентно-правовые показатели определяют патентную защиту и
патентную чистоту продукции; они характеризуют конкурентоспособ­
ность продукции на мировом рынке.
Экологические показатели определяют уровень вредных воздей­
ствий на окружающую среду при производстве, эксплуатации и потреб­
лении продукции. К экологическим показателям относят количество
вредных компонентов (газа, жидкости, различных излучений и т.д.), вы­
брасываемых в окружающую среду в процессе производства, эксплуата­
ции и использования. Нормы на экологические показатели определяются
стандартами и правилами международных организаций, занимающихся
вопросами экологии окружающей среды.
Продукция, которая не отвечает принятым нормам по охране окру­
жающей среды, подлежит снятию с производства.
Показатели безопасности определяют способность продукции обу­
славливать безопасность человека при ее эксплуатации и потреблении.
К показателям безопасности относят: вероятность безопасной рабо­
ты человека в течение определенного времени (например, времени сраба­
тывания блокировочных и защитных устройств), электропрочность высо­
ковольтных линий передач и т.д. Нормы и показатели безопасности
определяются государственными стандартами по безопасности труда,
нормами и правилами по технике безопасности, пожарной и радиацион­
ной безопасности, производственной санитарии и т.д.
Экономические показатели представляют собой группу показателей,
определяющих затраты на разработку, производство и эксплуатацию не­
которого изделия или группы изделий. К ним относятся материальные и
временные затраты. Экономический эффект определяется стоимостью
затрат на производство и эксплуатацию изделия (или группы изделий)
за определенный срок.
Рассмотренные показатели качества продукции могут быть опреде­
лены различными методами - измерительными, регистрационными, ор­
ганолептическими, расчетными, экспертными, социологическими и ста­
тистическими.
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
277
Измерительный метод основан на непосредственном измерении
показателя качества с помощью измерительных приборов (например,
датчиков давления, скорости, расхода топлива и т.п.).
Регистрационный метод заключается в использовании информации
о подсчете конкретных событий, чисел, предметов, затрат каких-либо
ресурсов (денежных, трудовых, временных и материальных) и т.д. В ка­
честве примера можно привести подсчет числа дефектных изделий в пар­
тии или успешных испытаний в серии опытов.
В органолептическом методе используют информацию о качестве
продукции, получаемую органами чувств человека (зрением, слухом,
обонянием, осязанием, вкусом).
Расчетный метод определения показателей качества является са­
мым распространенным, и с его помощью рассчитывают показатели ка­
чества групп функционального назначения, надежности и др.
Экспертный метод используют при определении эстетических и эр­
гономических показателей патентной чистоты и др. Для проведения этих
работ создают специальные экспертные группы из специалистов различ­
ных специальностей - конструкторов, технологов, дизайнеров и т.д.
Социологический метод определения показателей качества приме­
няют при определении качества продукции потенциальными ее потреби­
телями в результате формирования соответствующих мнений. Эти мне­
ния формируют на основе устных вопросов или заполнением анкет, на
специальных конференциях и выставках.
Статистическим методом определяют показатели качества, кото­
рые имеют вероятностную природу (например, показатели надежности).
5.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
ПРОМЫШЛЕННОЙ ПРОДУКЦИИ
Для оценки качества промышленной продукции наибольшее рас­
пространение получил дифференциальный метод, при котором сравни­
вают одноименные показатели оцениваемого и базового образцов и
определяют, какие показатели достигли значения базовых показателей, а
какие существенно отличаются от базовых.
Уровни показателей качества продукции определяют по формулам [19]:
</,=
(5-17)
(5.18)
278
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
где i = 12, . . . . и; п - число показателей качества продукции; Р, и /7.
/-е показатели качества оцениваемой продукции и базового образца, со­
ответственно.
При наличии ограничений в значениях единичных показателей ка­
чества формула (5.17) видоизменяется:
(5.19)
где .... - предельное значение/'-го показателя качества.
Для оценки качества и технического уровня применяются также
комплексный и смешанный методы, которые нашли менее широкое рас­
пространение. Подробно эти методы описаны в работе [19]. Комплекс­
ный метод применяют, в том случае, когда можно установить функцио­
нальную взаимосвязь комплексного показателя качества и единичных
показателей. Смешанный метод оценки качества продукции основан на
совместном применении дифференциального и комплексного методов.
При использовании смешанного метода часть единичных показателей
объединяют в группы, для каждой из которых определяют соответству­
ющий комплексный показатель. На основе полученной совокупности
комплексных и единичных показателей оценивают технический уровень
и качество продукции. Оценивание качества изготовленной продукции
проводят с определением уровня качества.
Уровнем качества изготовления продукции называют степень соот­
ветствия фактических значений показателей качества продукции до нача­
ла ее эксплуатации требованиям нормативно-технической документации.
Уровень Р качества продукции можно определить по формуле
/’ = 1-—п
(5.20)
где т - число дефектных изделий в партии объемом п изделий, при т = 0
Р= 1.
При оценке уровня качества выпускаемой продукции часто исполь­
зуют экспертные методы, под которыми понимают формальные и не­
формальные процессы принятия решений на основе обобщенного опыта
специалистов в области качества. Экспертные методы обычно применяют
в тех случаях, когда затруднительно использовать более строгие объек­
тивные методы. Разработано достаточно большое число экспертных ме­
тодов, но наиболее часто применяют три метода - индивидуальный, кол­
лективный и комбинированный. Использование индивидуального метода
КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ
279
позволяет получить объективное мнение эксперта по вопросу качества
продукции.
Коллективный метод используют при оценке качества продукции
группой специалистов-экспертов. Комбинированный метод сочетает в
себе индивидуальный и коллективный методы.
5.5. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ
НА ЭТАПАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ, ПРОИЗВОДСТВА
И ЭКСПЛУАТАЦИИ
Под техническим контролем понимают проверку соответствия ко­
личественных и качественных характеристик объекта установленным в
технических требованиях. Технический контроль осуществляют на всех
стадиях жизненного цикла изделия - при разработке, производстве и экс­
плуатации [44].
На стадии разработки изделия технический контроль сводят к про­
верке правильности учета выполнения всех требований стандартов (госу­
дарственных, отраслевых и предприятий) и других нормативно-техничес­
ких документов (технических заданий, технических условий, нормалей и
методик).
На стадии производства изделий технический контроль сводят к
контролю качества и состояния технологических процессов. В процессе
изготовления изделия контролируют качество сырья, материалов и ком­
плектующих элементов, а также правильность внутризаводского транс­
портирования, хранения и упаковки.
На стадии эксплуатации контроль качества и надежности изделий
проводят, осуществляя проверку на соответствие показателей качества и
надежности требованиям ТУ при функционировании, транспортирова ­
нии, хранении, а также после технического обслуживания и ремонта.
На стадии разработки документации контроль количественных по­
казателей надежности выполняют расчетным методом, предоставляя
проектный расчет надежности изделий.
На стадии эксплуатации контроль количественных показателей
надежности осуществляют, систематически предоставляя отчет о техни­
ческом состоянии и надежности изделий.
В процессе серийного производства используют достаточно боль­
шое число видов контроля. В зависимости от объема контролируемой
партии изделий различают выборочный и сплошной контроль. Выбороч­
ный контроль часто называют статистическим контролем. При сплош­
ном контроле проверке подвергают все изделия, входящие в контролиру­
емую партию, а при выборочном контроле - некоторую часть (выборку)
изделий из этой партии.
280
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
В зависимости от стадий производственного процесса различают
входной, текущий и выходной контроль. Входному контролю обычно
подвергают материалы, полуфабрикаты и покупные изделия, текущему
контролю - технологические операции и переходы, указанные в техноло­
гических картах и маршрутах по конкретным видам производства
(например, литейные операции, формообразование заготовок давлением,
обработке деталей резанием, сборочные операции и т.д.). Текущий кон­
троль позволяет своевременно выявлять брак и дефекты. Выходному
контролю, как правило, подвергают готовую продукцию - детали, узлы и
сборочные единицы, а также изделия в целом.
Для важных видов продукции, а также для проверки качества функ­
ционирования службы технического контроля промышленных предприя­
тий применяют инспекционный контроль, который осуществляют для
проверки качества уже проконтролированной продукции. Изделия специ­
ального назначения подвергают двойному контролю - с одной стороны,
службой технического контроля предприятия, и с другой стороны, пред­
ставительством заказчика. Инспекционный контроль проводят с целью
повышения качества и достоверности всех видов контроля, которые
предшествовали инспекционному. Частным случаем инспекционного
контроля является летучий контроль, проводимый внезапно, в случайные
моменты времени. Его результаты часто приносят полезную и объектив­
ную информацию об объектах контроля.
В зависимости от воздействия на технологический процесс разли­
чают пассивный и активный контроль. Пассивные виды контроля только
констатируют факты годности или негодности изделия и непосредствен­
но не воздействуют на процесс изготовления. С помощью активных ви­
дов контроля своевременно предупреждают о появлении брака, и тем
самым, активно влияют на процесс изготовления.
Для контроля качества продукции используют различные техниче­
ские средства. Существует достаточно большое разнообразие техниче­
ских средств контроля. Так, например, при визуальном и органолептиче­
ском контроле основными средствами контроля являются органы чувств
человека, которые усиливаются техническими средствами и устройства­
ми (оптическими, механическими, химическими и т.д.). При регистраци­
онном контроле в качестве технических средств используют различные
счетчики. Наиболее совершенным видом контроля является измеритель­
ный контроль, который осуществляют с помощью специальных средств
контроля - дефектоскопов, микроскопов, электронных приборов и т.д.
Распространенными средствами инструментального контроля по
альтернативным и качественным признакам являются различные пре­
дельные калибры (гладкие, резьбовые, щупы и т.д.).
КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ
281
Рассмотренные виды контроля качества продукции осуществляют
на двух уровнях', первый уровень - контроль представителями отдела тех­
нического контроля (ОТК) и представителем заказчика (ПЗ) непосред­
ственно на заводе-изготовителе; второй уровень - контроль, осуществля­
емый Государственной приемкой, с целью оценки соответствия контро­
лируемой продукции стандартом и техническим условиям, утвержден­
ным образцам-эталонам, проектно-конструкторской документации, усло­
виям поставки и договоров. Приемку готовой продукции проводят по
результатам контроля и испытаний, регламентированных в стандартах,
ТУ, конструкторской документации (КД) и технологической документа­
ции (ТД), на которых выявляют качество этой продукции и возможность
ее использования по назначению.
Работу Государственной приемки по контролю качества продукции
и технических процессов сводят к проверке: технической документации,
изготовления продукции, технологических процессов, правильности про­
ведения предприятием входного контроля, а также приемке продукции, и
контролю за обеспечением надежности принимаемых изделий и реклама­
ционной работы, за состоянием средств измерений и правильностью их
применения, за соблюдением метрологических правил. Рассмотрим более
подробно перечисленные виды контроля Государственной приемкой.
Контроль технической документации состоит в проверке техниче­
ской документации на ее соответствие требованиям государственных
стандартов и условиям поставки продукции. При контроле документации
проверяют соответствие согласованных изменений технической доку­
ментации (изменения связаны с устранением конструктивных и произ­
водственных дефектов, улучшением конструкции и технических характе­
ристик изделий, а также другие изменения, влияющие на качество и на­
дежность продукции), своевременность и полноту внедрения согласован­
ных изменений технической документации на принимаемую продукцию,
наличие учтенной технической документации и ее состояние в цехах.
Контроль изготовления продукции сводится к постоянному контро­
лю за изготовлением продукции и летучему контролю производства. По­
стоянный контроль за изготовлением продукции осуществляют непо­
средственно в цехах на рабочих местах по соответствующему «Перечню»
обязательного контроля и приемки. Такой контроль является активным и
предназначен для наблюдения за ходом производства.
Летучий контроль используют для проверки всех сторон деятельно­
сти предприятия по изготовлению контролируемой продукции, в том
числе, соблюдение технологических процессов.
Контроль технологических процессов охватывает отработку техно­
логической документации и соблюдение утвержденных технологических
1
282
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
процессов на рабочих местах и участках. В ходе контроля отработанно­
сти технологической документации проверяют:
- соответствие требований, заложенных в технологическом про­
цессе, требованиям конструкторской документации;
- утверждение технологического процесса руководством предпри­
ятия;
- наличие актов внедрения на каждый оснащенный, отлаженный и
откорректированный технологический процесс;
- степень технологической оснащенности производства специаль­
ным оборудованием, оснасткой, мерительным инструментом;
- своевременность устранения недостатков технологической до­
кументации, выявленных при проверках;
- соответствие применяемости оборудования и контрольно-изме­
рительной аппаратуры требованиям технологического процесса;
- состояние оснастки, оборудования, инструмента, материалов и
соответствие их требованиям технологической документации;
- наличие штампа о ежегодной сверке технологической докумен­
тации на соответствие действующей конструкторской информативной
документации;
- состояние цехов и рабочих мест;
- внедрение новых технологических процессов в установленные
сроки;
- реализацию замечаний и решений по предыдущим проверкам
технологических процессов.
Контроль правильности проведения предприятием входного кон­
троля ориентирован на проверку качества покупных изделий, сырья и
полуфабрикатов, идущих на изготовление и укомплектование продукции.
При этом особое внимание обращают на следующие факторы:
- организацию контроля качества, проверку комплектности про­
дукции, поступающей на предприятие, учета и хранения покупных изде­
лий и материалов на складах;
- наличие паспортов, сертификатов, ярлыков, этикеток и правиль­
ность их заполнения;
- соблюдение предусмотренных технической документацией усло­
вий хранения изделий, материалов, поступающих на комплектование от
поставщиков по кооперации;
- отсутствие на складах забракованных изделий или изделий и ма­
териалов с истекшими гарантийными сроками;
- своевременность выдачи в производство изделий и материалов с
ограниченным сроком хранения и отбор проб материалов для направле­
ния в центральную заводскую лабораторию;
КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ
283
- своевременное корректирование технической документации на по­
купные изделия и материалы по извещениям предприятий-поставщиков;
- проверку соответствия контрольно-измерительной аппаратуры,
оборудования и мерительного инструмента, применяемых при входном
контроле;
- своевременное оформление рекламаций на дефектные и неком­
плектные покупные изделия и материалы.
Приемка готовой продукции является самым ответственным этапом
контроля качества продукции, по результатам которого определяют год­
ность продукции и возможность ее использования по назначению.
Приемка готовой продукции предусматривает техническую провер­
ку составных частей (деталей и сборочных единиц) и окончательную
приемку полностью укомплектованной продукции, принятой отделом
технического контроля и подготовленной к предъявлению Государствен­
ной приемке (представительству заказчика для специзделий).
Техническую проверку проводят по письменному извещению
(на бланках установленной предприятием формы), подписанному
начальником цеха и бюро технического контроля.
При приемке продукции до начала приемосдаточных испытаний
представитель Государственной приемки проверяет:
- наличие и правильность оформления сопроводительной доку­
ментации; правильность заполнения формуляров и паспортов на изделие
и ее составные части, в том числе наличие в них гарантийных обяза­
тельств;
- наличие актов, протоколов и других документов, подтверждаю­
щих техническую проверку составных частей изделия, а также положи­
тельные результаты всех видов испытаний;
- расход ресурса работы изделия и его составных частей.
Окончательно принятой считается продукция, прошедшая с поло­
жительными результатами приемосдаточные испытания в полном объе­
ме, предусмотренным технической документацией, полностью укомплек­
тованная, упакованная и опломбированная пломбами Государственной
приемки. На принятую продукцию ставят клеймо сотрудника Государст­
венной приемки в месте, предусмотренном технической документацией.
Контроль за обеспечением надежности принимаемой продукции
включает следующие мероприятия:
- проверку наличия, полноты и правильности изложения в техни­
ческой документации требований по надежности изделия и его составных
частей, а также методы оценки соответствия изделия установленным тре­
бованиям;
284
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
- контроль за выполнением нормативно-технической документа­
ции по надежности, в том числе программ обеспечения надежности, про­
грамм «Качество», программ и методик испытаний, планов мероприятий
по устранению выявленных причин ненадежности;
- проверку обоснованности назначения гарантийных ресурсов,
сроков службы, технических ресурсов, сроков хранения;
- контроль условий и режимов применения комплектующих изде­
лий в принимаемой продукции в процессе изменения технической доку­
ментации, проведения испытаний изделий и его составных частей, ре­
зультатов оценивания соответствия изделий требованиям по надежности
на основе данных испытаний и эксплуатации, эффективности системы
сбора, анализа, распределения и реализации информации о надежности
изделий и его составных частей;
- анализ стабильности параметров изделий и технологических
процессов;
- рассмотрение отчетной документации по надежности принимае­
мых изделий, предусмотренной ПОН и программой «Качество».
Контроль за работой по стандартизации организуют с целью кон­
троля за внедрением и соблюдением стандартов и другой нормативно­
технической документации на всю выпускаемую продукцию предприя­
тием, а также контроль за разрабатываемыми предприятием стандартами
и НТД, контроль за применением унифицированных и стандартизован ­
ных изделий, материалов, сырья и полуфабрикатов, используемых при
изготовлении продукции.
5.6. КОНТРОЛЬ СТАБИЛЬНОСТИ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
И ОЦЕНКА ИХ НАДЕЖНОСТИ
Технологическая отработка ряда изделий и сложных сборочных
единиц заканчивается достаточно быстро. Одна-две принципиальные
технологические доработки приводят к желаемому результату, т.е. изде­
лие можно считать практически освоенным и готовым к серийному вы­
пуску. Это характерно для изделий, скомпонованных из типовых, хорошо
освоенных конструктивно-технологических узлов и других сборочных
единиц, для которых имеется отработанная нормативно-техническая до­
кументация, подкрепленная достаточно обширными научными и экспе­
риментальными исследованиями, выполненными высококвалифициро­
ванными инженерно-техническими и научными работниками на хорошо
оснащенной экспериментальной базе.
КОНТРОЛЬ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
285
Процесс технологической отработки изделий затягивается, если в
них, наравне с хорошо освоенными типовыми конструктивно-технологи ­
ческими сборочными единицами, используют оригинальные сборочные
единицы. Это связано с тем, что по оригинальным сборочным единицам
нормативно-техническая документация отработана не в полной мере,
поэтому необходимо осваивать новые технологические процессы. Иногда
при разработке сложных изделий не вполне оправдано игнорируют ис­
пользование типовых конструктивно-технологических сборочных единиц
и где нужно и не нужно применяют оригинальные решения, что приводит
к серьезному затягиванию этапа серийного освоения выпуска изделий.
Применительно к этим ситуациям используют соответствующие модели
оценки надежности и отработанности изделий на стадии серийного осво­
ения и выпуска.
Первая модель основана на теории марковских процессов типа «ги­
бели и размножения». Вторая модель базируется на известной теореме
теории вероятностей — теореме гипотез. Эта модель состоит в рассмот­
рении двух случаев исхода испытаний - доработка технологического
процесса и конструкции изделия изменила его надежность и доработка не
изменила надежности. Наконец, третья модель основывается на теории
логистических кривых (или кривых роста надежности). Эти три модели
охватывают практически все встречающиеся случаи количественной
оценки надежности и отработанности сложных изделий и их сборочных
единиц. За количественную меру отработанности технологического про­
цесса можно принять достигнутый уровень показателя надежности
изделия.
В первой модели освоения технологического процесса предусмот­
рены два этапа испытаний. Пусть на первом этапе проводят испытания
изделий, выпущенных по одному технологическому процессу, и в тече­
ние времени Ц испытаний получают т\ отказ конструктивно-технологи­
ческого характера. Интенсивность устранения причин возникновения
отказов определяют по формуле
(5.21)
<=|
где гщ - общее число отказов, зарегистрированных на первом этапе ис­
пытаний в течение времени;
(=1
здесь /, - время устранения конкретной причины отказа.
286
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
На втором этапе испытаний после устранения причин отказов кон­
структивно-технологического характера, зарегистрированных на первом
этапе, возможно появление m2 отказов, на устранение которых затрачива­
ется время
т2
h’ZA1=1
В этом случае интенсивность вторичного устранения причин воз­
никновения отказов
т2
(5.22)
£',
7=1
На первом этапе испытаний интенсивность появления отказов вы­
ражается зависимостью
Дот,
(5.23)
А.| —
7 :\
Д/1(и^1 -от1)
где Дот, - число отказов, возникших в течение времени Д?,; и, - общее
число испытаний на первом этапе.
На втором этапе испытаний интенсивность отказов
Дот,
2
А/2(п,-/о2)'
(5.24)
где Доь - число отказов, возникших в течение времени А/2; п2 - общее
число испытаний на втором этапе.
В соответствии с теорией марковских процессов при увеличении
времени отработки t —> оо после второго этапа испытаний, оценку вероят­
ности ненастунления отказов определяют по соотношению вида
1Л
Х2
4=
(5.25)
I
I
I
1 + А | — +;------ г —
ц, ц2 А-2 ;
При достижении значения оценки q, заданного в технических усло­
виях, т.е. при q = q-y , можно считать, что технологический процесс от­
работан, а изделие освоено для его серийного выпуска.
КОНТРОЛЬ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
287
Методика оценки надежности по второй модели основывается на
многоступенчатой процедуре освоения технологического процесса.
Пусть на первом этапе освоения технологического процесса по результа­
там «| испытаний изделий фиксируют т■ отказ, после чего осуществляют
доработку технологического процесса, направленную на устранение при­
чин отказов. Затем на втором этапе освоения технологического процесса
проводят т испытаний изделий и фиксируют m2 отказа и вновь осу­
ществляют доработку технологического процесса. Такой итеративный
процесс ступенчатой отработки технологического процесса продолжает­
ся до тех пор, пока не будут устранены причины возникновения отказов.
Таким образом осуществляют процесс доводки технологического про­
цесса по всем типам отказов. После каждого этапа отработки технологи­
ческого процесса по результатам испытаний изделий оценивают показа­
тель надежности изделия по схеме «успех-отказ»:
(5.26)
(5.27)
где т и п - числа соответственно отказов и испытаний изделий на каж­
дом этапе отработки технологического процесса; %у(2т) - квантиль
•/■-раацределения, определяемая по табл. 6 прил. по значению т и уров­
ню а (а = у) доверительной вероятности; Ру - нижний доверительный
предел оценки (5.26), определяемый с уровнем у доверительной вероят­
ности.
После первого этапа отработки технологического процесса оценка
показателя надежности и ее нижний доверительный предел вычисляют
по формулам (5.26) и (5.27), в которые вместо тип подставляют соот­
ветственно значения mt и щ.
После второго этапа отработки технологического процесса ставят
вопрос о возможности добавления информации т\ и п к информации m2
и П2, а после ■третьего этапа отработки - к информации m2 и ■■ информа­
ции о предыдущих испытаниях и т.д. Постоянное наращивание информа­
ции позволяет оценивать показатель надежности изделия со все более
высокой точностью.
На основании формулы полной вероятности для полной группы со­
бытий в соответствии с гипотезами Но и Н можно записать
288
КОНТРОЛЬ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
ф)= р(Яо)/>(л/Яо)+ Р(Я НЯЯ),
289
(5.28)
где ру - нижний доверительный предел оценки Р, уровня у, вычислен­
где А - событие, состоящее в безотказной работе изделия после прове­
денной доработки технологического процесса; Но - гипотеза о том, что
доработка технологического процесса не изменила надежности изделия;
//, - альтернативная гипотеза о том, что доработка технологического
процесса изменила надежность изделия.
ный по формуле (5.27).
Оценка Ро вероятности Ро, имеющей смысл весового коэффициен­
та, может быть определена по точной или приближенным формулам.
Точная формула основана на гипергеометрическом распределении
т
Оценки P^A/Hq) и р(а/Н}) вероятностей Р(д/Но) и р(а/Ht)
V''
Zj
определяют по формуле (5.26). Очевидно, что при оценивании Р(А/ Яо)
"1
"2
(5.34)
после второго этапа отработки технологического процесса т = пц + т2 и
п = п\ + и2> а для р(ДНх} т = т2, п = п2. Оценку Д(й) вероятности
Р2(а) на основании формулы (5.28) после второго этапа отработки тех­
нологического процесса вычисляют по соотношению
АИ=Д1-^а.)+(1.д)[1_а),
<
«I + «2 )
I
«I )
-
+ т2.
Пуассоновское приближение справедливо при условии
(5.29)
где Ро - оценка вероятности Ро осуществления нулевой гипотезы.
Очевидно, что Р(Н\) = 1 - Р(/Но). Рассуждая аналогичным образом,
для трехступенчатого этапа отработки технологического процесса получим
при этом
у ( "+2 Г
+ «2 J ( И ( + п2)
+
«I
(5.35)
(5.30)
Нормальное (гауссовское) приближение биномиального закона дает
выражение
(5.31)
(5.36)
а для ^-ступенчатого этапа отработки технологического процесса
пк-\ +пк J
В общем случае, если при технологической отработке изделий про­
исходит N типов отказов, то расчетные формулы для показателя надеж­
ности имеют вид:
(5.32)
(5.33)
w,
тj
т,+т->
,
где с/, = —-; q2 = —— q = —!—р- кванти льфункц нонормнльного
И]
п2
+п2
распределения (см. табл. 1 прил.).
Формула (5.36) справедлива для qx > q2, при q\ < q2 индексы 1 и 2 в
формуле меняют местами.
Приведенные формулы для оценок надежности и отработанности
технологических процессов справедливы при числе этапов отработки
порядка десяти. Для большего числа этапов отработки технологического
290
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
процесса используют теорию кривых роста надежности. Наиболее распро­
страненной математической моделью кривой роста надежности (кривой от­
работанности технологического процесса) является модель, основанная на
накоплении числа отказов в зависимости от числа испытаний [19]:
(5-37)
где т - накопленное число отказов;
- конечное число накопленных
отказов; а - коэффициент, учитывающий темп нарастания числа отказов
(темп доводки техпроцесса); п - накопленное число испытаний; пк конечное число испытаний.
Для построения кривой роста надежности дифференцируют соот­
ношение (5.37) и определяют текущее значение показателя надежности
по формуле
(5.38)
где Р - текущее значение показателя надежности; т' - частота отказов,
т' = т/п.
При п = 0 начальное значение показателя надежности как количе­
ственной меры отработанности технологического процесса рассчитыва­
ют, используя равенство
(5.39)
При п = пк конечное значение показателя надежности изделия
(5.40)
Из соотношений (5.39) и (5.40) может быть получено необходимое
число испытаний при заданных значениях величин а, Ро и Рк
(5.41)
где Pq и Рк - начальное и конечное значения показателя надежности из­
делия, соответственно.
ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ
5.7.
291
ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В ходе выполнения технологических процессов как при освоении
выпуска продукции, так и при установившемся производстве возможны
различные отклонения от требований нормативно-технической докумен­
тации в готовой продукции. Причины таких отклонений достаточно мно­
гочисленны. Существуют две группы факторов, которые приводят к этим
отклонениям.
К первой группе факторов можно отнести:
- отсутствие на рабочих местах чертежей и необходимых инструк­
ций на выполнение технологических операций;
- незакрепленность конкретных видов работ (операций) за опреде­
ленными исполнителями;
- несоблюдение последовательности выполнения работ, заданных
в технологических маршрутных картах;
- несвоевременное предъявление на контроль первой детали (опе­
рации);
- использование технологической оснастки, режущего и меритель­
ного инструмента, испытательного оборудования и т.д., не указанных в
маршрутных картах;
- применение материалов, полуфабрикатов и комплектующих из­
делий, не предусмотренных технологическими процессами;
- несоблюдение установленных нормативно-технической докумен­
тацией приемов, методов и режимов обработки изделий и их испытаний;
- использование неаттестованных средств контроля и средств тех­
нологического оснащения с просроченными сроками годности;
- неудовлетворительное состояние средств технологического
оснащения, ремонтной базы, испытательного оборудования и т.д.
Эти факторы носят случайный характер и их устраняют в процессе
организационно-технических мероприятий.
Ко второй группе факторов, которые также носят случайный харак­
тер, относят различные отклонения, вызванные разбросом:
- характеристик (физических, геометрических, массы и т.д.) мате­
риалов, полуфабрикатов и комплектующих изделий;
- характеристик параметров и средств технологического оснаще­
ния, измерительных приборов, режущего и мерительного инструмента,
стендового и испытательного оборудования и т.д.;
- допусков (случайные неблагоприятные их сочетания) в размер­
ных технологических цепочках.
г
■
292
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Вторая группа факторов описывается определенными статистиче­
скими законами, которые могут быть учтены при исследовании стабиль­
ности технологических процессов.
Общий подход к оценке стабильности технологических процессов ос­
новывается на оценке точности изготовляемого изделия. При этом точ­
ность изготовления изделия оценивают как по «мгновенному», так и по
интегральному рассеянию параметров за некоторый промежуток времени.
Точность технологического процесса ухудшается прямо пропорцио­
нально времени его протекания. Это означает, что если в некоторый мо­
мент времени to точность технологического процесса характеризовалась
величиной §о, то в следующий момент времени
отстающий от момента
времени to на величину Л/, точность будет характеризоваться величиной
51, связанной с 5о линейной зависимостью [19]:
5 — Sq + ллг ,
(5.42)
где к - коэффициент пропорциональности.
Коэффициент корреляции между случайными величинами 8о и 51
определяют по формуле
(5.43)
где og| и Ск - средние квадратические отклонения случайных величин
5] и к.
С целью выпуска качественной продукции осуществляют управле­
ние технологическими процессами. В таких случаях корреляционная
связь между случайными величинами 5о и 5] неизбежно будет ослабевать
по мере увеличения отрезка времени Л/. Коэффициент корреляции при
некоторых значениях измеряемых параметров технологических процес­
сов в промежутке времени А/ может быть отрицательным.
Для исследования стабильности технологического процесса по точ­
ности изготовляемого изделия воспользуемся графиками (рис. 5.1).
На участке [?о, Л], который, в общем случае, представляет некоторую
криволинейную траекторию, можно воспользоваться расстоянием между
двумя кривыми, которые заданы функциями (рис. 5.1, а):
(5.44)
ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ
со"
со
<J
S1=(P1(O
3=<p(Q
8o=%(°
293
S co
<
у 04
___
Рис. 5.1. Графики для определения расстояния:
а - между двумя кривыми - 8, и 8, 80 и 5;
б - между прямой и кривой - 8, и 8, 8о и 8;
в - между двумя кривыми первого порядка -8! и 8о;
8о = Фо(О и 8] = ф|(0 соответственно заданная и фактическая точности
технологического процесса
Максимальное расстояние между этими кривыми линиями на участ­
ке [/о, Л] обозначим через I (рис. 8.1, 8), которое равно абсолютному зна­
чению разности |ч>о(?)-р|(/)|.
Построим по обе стороны от кривой 8 = ф(/) полосу шириной 2А8
(рис. 5.1, а). Тогда расстоянием от кривой 8[ = ф1Ц) до 8о - фо(О будет
являться половина наименьшей ширины 8о = фо(Ц, заключающей кривую
8[ = ф(1). В частном случае, когда 8о = фо(О представляет собой прямую
линию, параллельную оси О/, это соответствует ширине полосы, равной
максимальному отклонению / кривой 8! = ф1(£) от прямой 8о = фо(О
(рис. 5.1,8).
294
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Более точное расстояние / между кривыми 5о = фо(Й и §| = фД/), для
которых существуют непрерывные производные до п-го порядка вклю­
чительно, находят с помощью максимумов разности между производны­
ми из выражений [19]:
<о(О_ 9iW;
Ф^-фКО;
ло'И-*₽;’(/)
на отрезке [/0 ф/ф/]], т.е.
/0 ^ахро^-ф,^) ;
](/) ;
/1 =тах ф^-ф
(5.46)
на этом отрезке [/° ф t < t\ ].
Максимальное значение абсолютной величины разности п^<^х|фо(')-ф|(/)| - на отрезке времени [?о, Л] называют расстоянием нуле­
вого порядка, максимальное значение абсолютной величины разности тах^^-ф^ - в некоторый момент времени /, - расстоянием перво­
го порядка. Геометрический смысл этого определения - расстояние меж­
ду касательными в точке t, кривых фо(6) и ф|(б) (см. рис. 5.1, в). В этой
связи, расстояние первого порядка можно рассматривать как меру, харак­
теризующую в некоторой точке /, максимальное расстояние между кри­
выми 5о = фо(О и 8| = ф|(/) на отрезке
ф t < t} ].
В практике изготовления сложных изделий машиностроения в целях
статистического регулирования производственного процесса вводят кон­
трольные карты, которые наглядно отражают ход производственного
процесса и выявляют нарушение технологии. Различают контрольные
карты по измеряемым (количественным) и неизмеряемым (качествен­
ным) признакам качества в зависимости от того, поддается ли признак
количественному измерению или же допускает только качественную
оценку.
Для сложных изделий машиностроения в основном используют
контрольные карты индивидуальных значений параметров. Это вызвано
тем, что детали, узлы или механизмы этих изделий изготовляют малыми
партиями, а контролю подвергают наиболее ответственные параметры,
ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ
295
влияющие на работоспособность изделий. Для карты индивидуальных
значений характерно то, что измерение параметра проводят для каждого
узла, механизма или детали, которые изготовляют на станке или другом
оборудовании. Полученное значение параметра заносят в карту в виде
точки, крестика или звездочки. Карту индивидуальных значений приме­
няют, главным образом, для наблюдения за технологическим процессом.
Эта карта имеет тот недостаток, что по ней нельзя сразу сделать вывод о
причине нарушения технологического процесса по одному-двум выбро­
сам за контрольные границы.
Контрольные границы карты- индивидуальных значений определяют,
исходя из нормального распределения измеряемого параметра. С одной
стороны, ширину контрольного интервала измеряемого параметра задают
с ошибкой а не более 0,27 % выражением
а-38<х<а + 38,
(5.47)
где а - номинальное значение параметра по документации; 5 - среднее
квадратическое отклонение случайной величины X', х - фактическое зна­
чение замеренного параметра.
С другой стороны, поле допуска контролируемого размера опреде­
ляется неравенством
Ти =а + 5, <х<а + §2 = ТЪ,
(5.48)
где 5| и о2- допустимые отклонения параметра а, не превышающие пре­
дельных отклонений Т„ и Тв.
Поле допуска составляет
Тв-Т„ = 52 -8,.
(5.49)
Пределы допуска Ти = а + 5, и Тв = а + §2 задают в чертеже. На кон­
трольную карту индивидуальных значений измеряемого параметра
(рис. 5.2) наносят номинальное значение измеряемого параметра а и пре­
дельные отклонения Тп и Тв, заданные чертежом. Если результат х изме­
рения для контролируемого параметра вышел за пределы допуска, то
деталь бракуют. Деталь считают годной, если значение х лежит в преде­
лах допуска, т.е. выполняется условие (5.48). Чем уже поле допуска, тем
выше качество детали. Однако при сужении поля допуска возрастают
требования к технологической оснастке производственного процесса.
Поэтому задаваемый допуск, с одной стороны, должен обеспечивать ра­
ботоспособность детали, узла или механизма, а с другой - соответство­
вать существующим производственным возможностям.
к
296
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Рис. 5.2. Контрольная карта индивидуальных значений
измеряемого параметра:
я - число проверенных деталей или сборочных единиц
Следовательно, контроль стабильности технологических процессов
с помощью карт индивидуальных значений измеряемых параметров поз­
воляет обеспечить высокое качество деталей, узлов и механизмов изде­
лия. Так, например, карты индивидуальных значений измеряемых пара­
метров вводят для самых ответственных деталей, входящих в исполни­
тельные узлы и механизмы, такие как, например, подъемный механизм,
домкрат, силовой редуктор, блокировки, муфты, гидроцилиндры, гид­
роклапаны и т.д.
В практике изготовления изделий серийного и массового производ­
ства для обеспечения стабильности технологических процессов широкое
распространение получил метод выборочного контроля. Этот метод ос­
нован на проверке качества определенного числа готовых деталей, узлов
или механизмов из некоторой партии (например, месячной, квартальной,
полугодовой и годовой), выпущенных деталей, узлов или механизмов.
5.8. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ
И НЕИСПРАВНОСТЕЙ ИЗДЕЛИЙ В ПРОЦЕССЕ
СЕРИЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА.
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ
На этапе серийного изготовления сложных изделий машинострое­
ния систематически собирают сведения обо всех дефектах и неисправно­
стях, выявленных в процессе изготовления и приемосдаточных испыта­
ний для всех паспортных деталей и сборочных единиц. По всем цехамизготовителям деталей и сборочных единиц выписывают сведения из
паспортов о дефектах и принятых мерах по их устранению. Статистиче­
ские данные оформляют в виде перечня дефектов и неисправностей по
форме табл. 5.1 и направляют его для анализа в службу надежности [46].
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 297
5.1. Статистические данные дефектов и неисправностей,
выявленных при изготовлении изделия и его испытаниях
Наименование
и обозначение
Причина
детали или
Дата
Принятые
дефекта или
сборочной
выявления
меры по
неисправности,
Исполнитель
единицы,
неисправности
устранению
обнаруженных
заводской
или дефекта и
ФИО
дефекта,
при
номер.
их внешнее
неисправности
изготовлении
Наработка при
проявление
или испытаниях
испытаниях
(ч, км, ц )
19.02.1996.
Подтекание
масла через
манжету
Гидроцилиндр
Сб 21-01,
№3815,
10 ц на стенде
(
1
----- -
---------
Забоина на
внутренней
поверхности
гидроцилин­
дра. Наруше­
ние техноло­
гии покрытия
поверхности
___ .——
—L
------------------
Николаев
В. А.
Повторное
нанесение
покрытия на
внутреннюю
поверхность
гидроцилин­
дра. (Нико­
лаева В. А.
лишить пре­
мии за фев­
раль)
1— .
1
___
1
ц - циклы.
Зам. нач. цеха (ФИО)
____________________
Подпись Дата
Нач. СТК цеха (ФИО)
____________________
Представитель заказчика (ФИО)
_____________________
К анализу дефектов и разработке мероприятий по их устранению
привлекают все отделы и службы предприятия. Перечень статистических
данных систематически составляет каждый цех-изготовитель не реже
одного раза в квартал.
298
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Систематизация дефектов и неисправностей, выявленных при изго­
товлении и приемосдаточных испытаниях, позволяет устранить их непо­
средственной заменой или восстановлением отказавших элементов и не
монтировать их неисправными на изделие, что способствует обеспече­
нию надежности изделий в эксплуатации. Анализ динамики неисправно­
стей и дефектов включает их систематизацию по типам изделий, сбороч­
ных единиц и деталей; характеру неисправностей с классификацией на
производственные, конструкционные и комплектующие элементы.
Выполняют также сравнительный анализ динамики дефектов по цехамизготовителям (%), характера неисправностей и причин их возникнове­
ния. В анализе приводят:
- систематизацию повторяющихся дефектов и характер этих де­
фектов;
- сведения о рекламированных узлах, выявленных на входном
контроле и в процессе эксплуатации, с классификацией их отказов на
производственные, конструкционные, эксплуатационные и отказы ком­
плектующих элементов.
Проведенный анализ динамики дефектов в процессе производства и
эксплуатации служба надежности представляет постоянно действующей
на предприятии комиссии по качеству, которая ежеквартально рассмат­
ривает итоги работы цехов и отделов по качеству выпускаемой продук­
ции. Особое внимание комиссия уделяет рассмотрению неисправностей,
обнаруженных на местах эксплуатации. Для их устранения, как правило,
принимают срочные меры. В частности, для более точного определения
причины отказа назначают комиссию из компетентных специалистов и
направляют ее на место эксплуатации, где произошел отказ для выясне­
ния его причины.
По результатам представленного анализа динамики дефектов со­
ставляют протокол, в котором перечисляют все выявленные недостатки,
причины их возникновения и указывают конкретных виновников этих
причин. В протоколе записывают мероприятия по устранению выявлен­
ных дефектов, конкретных исполнителей и сроки исполнения. Протокол
постоянно действующей комиссии по качеству утверждает руководитель
предприятия. В дальнейшем на основании этого документа осуществля­
ют намеченные мероприятия по поддержанию на требуемом уровне ка­
чества и надежности выпускаемой продукции. Такие протоколы являют­
ся ежеквартальными отчетными документами предприятия о качестве
выпускаемой продукции перед потребителем.
Вместе с текущей информацией о качестве и надежности изделий и
принимаемых мерах по их поддержанию на нужном уровне служба на­
дежности составляет итоговый отчет по приемосдаточным испытани­
ям изделий. Сведения о результатах этих испытаний для каждого изделия
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 299
заносят в нулевую сборку (Сб. 00), в которой указывают все виды испыта­
ний и их объемы, необходимые для проверки работоспособности изделия
на соответствие требованиям ТУ. В процессе приемосдаточных испыта­
ний в объеме 2...3 % назначенного гарантийного ресурса систематиче­
ский учет неисправностей и отказов выполняют непосредственно в нуле­
вой сборке по форме табл. 5.1. В нулевой сборке по каждой неисправно­
сти описывают также принятое техническое решение, намечают опреде­
ленные мероприятия или способы устранения неисправности. Все выяв­
ленные в процессе приемосдаточных испытаний дефекты устраняют
непосредственно в цехе.
Изделие поступает на отгрузку в эксплуатацию только после устра­
нения всех неисправностей и дополнительной его проверки на работо­
способность. Таким образом, приемосдаточные испытания позволяют
отсеять дефекты и неисправности изделий производственного характера,
и тем самым, обеспечить качество и надежность выпускаемой продукции
на требуемом уровне. На основании этих же приемосдаточных испыта­
ний составляют отчет о надежности по годовой партии выпускаемых
изделий. В отчете приводят полную статистическую информацию по
объему испытаний и неисправностям, выявленным на всех изготовлен­
ных за этот период изделиях. Дают количественные показатели надежно­
сти, описывают принятые мероприятия по устранению выявленных де­
фектов и неисправностей, а также представлены рекомендации по даль­
нейшему повышению качества и надежности изделий.
Следующим этапом проверки качества и надежности изделий в про­
цессе серийного производства являются периодические испытания, кото­
рые проводят на одном изделии от годовой партии в объеме 10 % гаран­
тийного ресурса. Программа периодических испытаний включает все
виды работ, предусмотренные эксплуатационной документацией. В про­
цессе испытаний проверяют соответствие изделия требованиям ТУ изго­
товленной годовой партии. При проведении периодических испытаний
всю статистическую информацию записывают в журнал испытаний. По­
лученные сведения по результатам испытаний объединяют с данными
приемосдаточных испытаний и используют в итоговом годовом отчете о
надежности изделий.
Заключительным этапом подтверждения качества и надежности из­
делий в процессе изготовления являются ресурсные испытания. По­
скольку сложные технические системы, в большинстве случаев, являются
дорогостоящими изделиями машиностроения, то ресурсным испытаниям
подвергают, как правило, не сами изделия, а наиболее ответственные уз­
лы, механизмы, системы, блоки и пульты. Объем испытаний сборочных
единиц соответствует гарантийному ресурсу. Результаты испытаний от­
мечают в журнале испытаний. Полученные сведения по ресурсным испы­
300
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
таниям объединяют со сведениями о приемосдаточных и периодических
испытаниях и используют в итоговом отчете о надежности изделий.
Таким образом, систематизация дефектов и неисправностей в про­
цессе изготовления, приемосдаточных и гарантийных испытаний и раз­
работка комплекса мероприятий и рекомендаций на основе полученной
информации позволяют обеспечить качество и надежность изделий ма­
шиностроения на заданном уровне.
Анализ неисправностей, выявленных в процессе приемосдаточных,
периодических и гарантийных испытаний сложных технических систем
свидетельствует о том, что статистические данные периодических и га­
рантийных испытаний практически не влияют на количественные значе­
ния показателей надежности, полученные по результатам приемосдаточ­
ных испытаний годовой партии. В качестве сравнения приведем практи­
ческие примеры оценки надежности изделия.
Пример 5.1. Пусть годовая партия состоит из 50 изделий (п = 50).
Гарантийный ресурс на функционирование назначен в объеме
иг= 1200 циклов. В процессе приемосдаточных испытаний зафиксирова­
но 25 отказов (/И) = 25), а в процессе периодических испытаний - два от­
каза (m2 = 2). Оценить надежность изделия по результатам двух групп
данных.
Решение. В соответствие с нормативно-технической документацией
объем приемосдаточных испытаний каждого изделия составляет 3 % га­
рантийного ресурса, т.е.
А, = 0,03лнг = 0,03 -50-1200 = 1800 циклов.
Периодические испытания проводят на одном изделии от годовой
партии в объеме 10 % гарантийного ресурса, т.е.
N = 0,1Иг = 0,1 • 1200 = 120 циклов.
Вычислим вероятности отказов по полученным данным:
= 0,014;
<7.=WL
1800
— = 0,016.
120
С помощью критерия значимости сравнения двух вероятностей
определим вероятность расхождения с уровнем значимости а = 0,1:
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 301
д2 -дх
1
И
________ 0,016-0,014________
7°,014(1 - 0,014) (0,0005 + 0,008)
= (m, +т2) _ 25 + 2 = _27_ = 0 0]4
(^i+^г) 1800 + 120 1920
При а = 0,1; Ua = 1,282; U < Ua; 0,185 < 1,282.
На основании критерия значимости гипотезу о равенстве вероятно­
стей принимают, т.е. результаты испытаний можно объединить, и следо­
вательно, периодические испытания практически не влияют на результа­
ты приемосдаточных испытаний.
Вместе с тем, практика проведения периодических испытаний пока­
зывает, что в процессе их осуществления неисправности конструктивно­
го характера не выявляются. Таким образом, назначение в документации
периодических испытаний на сложные изделия нецелесообразно. С од­
ной стороны, эти испытания не позволяют выявить конструктивные де­
фекты, а с другой стороны, не уточняют технологический процесс и не
изменяют количественные показатели надежности, полученные по ре­
зультатам приемосдаточных испытаний. Кроме того, периодические ис­
пытания увеличивают дополнительные затраты и сокращают гарантий­
ный срок изделия в эксплуатации.
Анализ результатов гарантийных испытаний сложных изделий пока­
зал, что эти испытания, так же как и периодические, не выявляют кон­
структивные дефекты, связанные с эксплуатационными характеристика­
ми изделия. Если в процессе гарантийных испытаний и выявляют неко­
торые конструктивные дефекты, то они связаны, как правило, с неудоб­
ством работы обслуживающего персонала, улучшением эксплуатацион­
ных характеристик и другими причинами, которые не влияют на выпол­
нение работ с изделием. Количественные показатели надежности, полу­
ченные по результатам гарантийных испытаний, практически не влияют
на количественные показатели надежности, полученные по результатам
приемосдаточных испытаний за рассматриваемый период.
Рассмотрим пример оценки надежности.
Пример 5.2. Пусть годовая партия состоит из 50 изделий («1 = 50).
Гарантийный ресурс изделия равен пг = 1200 циклов. В соответствие с
нормативно-технической документацией гарантийные испытания прово­
дят один раз в три года на одном изделии. Оценить надежность изделия
по результатам двух групп данных, а именно: по приемосдаточным и га­
302
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
рантийным испытаниям. Известно, что в процессе приемосдаточных ис­
пытаний было зафиксировано 30 отказов (пг, = 30), а в процессе гаран­
тийных - шесть (д?2 = 6).
Решение:. Примем, что объем А) периодических испытаний состав­
ляет 3 % гарантийного ресурса, т.е.
А, = 0,03 - 3и,пг = 0,03 • 3 • 350 -1200 = 5400 циклов,
где число 3 соответствует трем годам выпуска изделий.
Объем гарантийных испытаний пг = N = 1200 циклов.
Найдем вероятность отказов по полученным данным:
т,
30
= 0,0055;
5400
б
<?2 = N2 1200 о,ОО55.
N
По критерию значимости определим вероятность расхождения с
ошибкой ос = 0,1:
У _______ <72 ~ <71______ __________ 0,0055-0,005________ = 0 22
Ьо54(,-°Н^+гУ
= <W| +
'”2) = —— = 0<0054
(А| + А2)
5400 + 1200
При а = 0,1 Ua= 1,282 (табл. I прил.).
Таким образом, U = 0,22 < Ua = 1,282, и следовательно гипотезу о
равенстве вероятностей принимают, т.е. результаты испытаний можно
объединить. Вместе с тем, информация по результатам приемосдаточных
испытаний более достоверная, так как ее объем значительно превышает
объем гарантийных испытаний. Следовательно, гарантийные испытания
практически не влияют на результаты приемосдаточных испытаний.
Исходя из анализа, необходимо отметить, что назначение гарантий­
ных испытаний сложных изделий машиностроения в процессе серийного
производства является нецелесообразным, так как эти испытания не из­
меняют количественные показатели надежности, а также не выявляют
конструктивные дефекты изделия. Вместе с тем, после проведения ре­
сурсных испытаний изделие нельзя использовать по назначению, что
приносит существенные экономические затраты, связанные со стоимо­
стью изделия и проведением испытаний.
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 303
Анализ результатов периодических и гарантийных испытаний доро­
гостоящих изделий позволяет сделать заключение - эти испытания прак­
тически не влияют на обеспечение надежности в процессе серийного
производства. Техническая нецелесообразность этих испытаний состоит
в том, что они не позволяют выявить конструктивные дефекты, а также
контролировать стабильность производства, т.е. качественное изготовле­
ние изделий, так как количественная оценка показателей надежности
практически не может измениться от добавления объема этих испытаний
к объему приемосдаточных испытаний.
Рассмотрим экономическую сторону нецелесообразности проведе­
ния периодических и гарантийных испытаний сложных технических си­
стем. Обозначим затраты гарантийных испытаний через С и определим
затраты на проведение приемосдаточных и периодических испытаний.
Они составят для приемосдаточных испытаний 0,03 С; для периодичес­
ких - 0,1 С. Пусть стоимость изготовления одного изделия равна М, тогда
затраты на изготовление и испытание годовой партии можно определить
по формуле
L = n(M +О,ОЗС)+ (Л/ + 0,1С),
(5.50)
где п - число изделий в годовой партии.
Сравнительная оценка затрат на проведение периодических и прие­
мосдаточных испытаний может быть определена по относительной стои­
мости из выражения
ь
М + 0,1С
(5.51)
1 " п(м + о,озс)’
Обозначим через ДТ = М+ 0,1 С - затраты на проведение периоди­
ческих испытаний одного изделия; а через L\ = и(Л/ + 0,03С) - затраты на
изготовление и приемосдаточные испытания годовой партии изделий.
Из практики известно, что затраты на изготовление изделия значи­
тельно превышают затраты на приемосдаточные испытания, т.е.
М >> 0,03С, следовательно значением 0,03С в формуле (5.51) можно
пренебречь. В этом случае
§ _ АЛ, _ М + 0,1С _ _1_ ! 0,1С
1
А,
п пМ
пМ
Так как
п
(5.52)
0,1С
» ----- , то можно принять, что
пМ
5 .Д
1
п
Lx
(5.53)
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
304
Отсюда дополнительные затраты на проведение периодических ис­
пытаний от основных затрат составят
Д,=—•
(5.54)
п
Определим теперь затраты, связанные с проведением гарантийных
испытаний. Так как эти испытания проводят с периодичностью один раз
в три года, то материальные затраты с учетом изготовления, приемосда­
точных и периодических испытаний можно определить по формуле
L = 3n(M + О,03С)+3(Д7 +0,1С).
(5.55)
Сравнительную оценку затрат на проведение гарантийных и прие­
мо-сдаточных испытаний с учетом стоимости изготовления определяют
по относительной стоимости из выражения
М+С
_ ДЛ2
" Зп(л/ + О,ООС)_ ЗА, '
g _
2
Допустим, что
(5.56)
0,03 С, тогда
я
1 .
’
Зи
С
(5.57)
ЗпМ
Так как С« ЗпМ, то вторым слагаемым в формуле (5.57) можно
пренебречь, поэтому
52 ~
Зп
ДА?
(5.58)
3L}
отсюда
ДД-, = ^-.
п
Суммарные дополнительные расходы на проведение периодических
и гарантийных испытаний за три года в первом приближении составят
ДА = ЗДД, + ДД- =
п
п
=Ж
п
(5.59)
Подставляя в формулу (5.59) вместо L| его значение, получим
^*7 +п °-03С> = 4М + 0.I2C.
М.
(5.60)
Таким образом, в первом приближении дополнительные затраты по
трехгодовой партии с учетом периодических и гарантийных испытаний
соответствуют стоимости изготовления четырех изделий.
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 305
Точное значение дополнительных затрат можно определить, исполь­
зуя формулу (5.55)
\L = 3 ((Л + 0,1С)+ (М + С}= Ш + 1,ЗЗС
(5.61)
Пример 5.3. Заводом-изготовителем выпускаются сложные дорого­
стоящие изделия. Стоимость одного изделия в условных единицах со­
ставляет: М- 5,0 усл. ед., годовая партия изделий п = 80 шт., затраты на
проведение гарантийных испытаний: С= 0,001 усл. ед. Определить долю
затрат на периодические и гарантийные испытания годовой и трехгодо­
вой партий.
Решение. По годовой партии общие затраты составят
L = п(м + 0,03Cj+Л/ + 0,1С = 80- 5 + 80- 0,03 • 0,001+ 5,0 + 0,1 • 0,00 Ь 405 усл. ед.
Затраты на проведение периодических испытаний
ДА, = М + 0,1 С = 5 + 0,1 ■ 0,001 » 5 усл. ед.
или в процентном отношении от общих затрат
_
AZ,, -100% 5-100
о, - -------------------------- » 1,2 /о.
L
405
По трехгодовой партии общие затраты составят
L = Зп(М + 0,03С)+ 3 (М + 0,1С) + (М + С) =
= 3 • 80 • (5 + 0,03 • 0,001) + 3 • (5 + 0,1 ■ 0,001) + (5 + 0,001)» 1220 усл. ед.
Затраты на проведение периодических и гарантийных испытаний
соответственно равны:
АЛ, = 3(Л7 + 0,1С) = 3(5 + 0,1 -0,001)» 15 усл. ед.;
АА2 = М + С = 5 + 0,001» 5 усл. ед.
Общие дополнительные затраты за три года
Д£ » АЛ, + Д^2 —15 + 5 = 20 усл. ед.
или в процентном отношении
„
AJ00 %
^—100%» 16%.
1220
Таким образом, дополнительные затраты на проведение периодиче­
ских и гарантийных испытаний составляют 20 усл. ед. или 1,6 % общих
затрат'.
306
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
На определение таких показателей, как ремонтопригодность, долго­
вечность и сохраняемость изделия, периодические и гарантийные испы­
тания практически не влияют. С целью определения этих показателей
вместо проведения периодических и гарантийных испытаний достаточно
выделить два изделия от серийной партии и проводить на них испытания
до полного их износа, а по результатам испытаний оценить перечислен­
ные показатели надежности.
Затраты на проведение этих испытаний значительно меньше по
сравнению с затратами на проведение периодических и гарантийных ис­
пытаний. Так, например, если выпуск серийных изделий продолжается в
течение трех лет, го затраты, связанные с определением ремонтопригод­
ности, долговечности и сохраняемости, сокращаются примерно в 2 раза
по сравнению с затратами на проведение периодических и гарантийных
испытаний за этот период. В случае появления повторяющихся отказов в
процессе эксплуатации отдельных сборочных единиц или систем необхо­
димо назначить их периодические и гарантийные испытания в цеховых
условиях от соответствующей серийной партии изготовленных изделий.
5.9. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
ИЗДЕЛИЙ СЕРИЙНОГО И МАССОВОГО ПРОИЗВОДСТВА
В отличие от изделий единичного и малосерийного производства,
которые не подвергаются испытаниям на надежность, изделия массового
производства имеют свои особенности при контроле качества и планиро­
вании испытаний. Испытания на надежность изделий серийного и массо­
вого производств проводят в составе периодических и типовых испыта­
ний или выделяют в самостоятельные испытания, а также наблюдения
при подконтрольной эксплуатации.
Контрольные испытания на надежность проводят по методикам, со­
держащимся в стандартах и ТУ, или по специальным методикам, согла­
сованным, утвержденным и аттестованным в установленном порядке.
Периодичность контрольных испытаний на надежность устанавли­
вают в зависимости от контролируемых показателей и числа выпускае­
мых изделий. Состав испытаний на надежность приведен в табл. 5.2.
Контрольные испытания на ремонтопригодность проводят в целях
проверки соответствия показателей ремонтопригодности изделий значе­
ниям, установленным в нормативно-технической документации. Если
специально организовать контрольные испытания на ремонтопригод­
ность невозможно или экономически нецелесообразно, то контроль ре­
монтопригодности проводят в процессе эксплуатации при проведении
технических обслуживаний и ремонтов.
КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ
307
5.2. Состав испытаний на надежность
Контро­
лируемое
свойство
надежно­
сти
Виды проводимых испытаний
предва­
ритель­
ные
приемоч­
ные
квалифи­
кацион­
ные
приемосдаточ­
ные
периоди­
ческие
типовые
Безот­
Опреде­ Контрольные
казность литель­
ные
Сравни­
тельные
Ремонтопригод­
ность
Опреде­ Контрольные
лите­
льные
Не прово­ Сравни­
дят
тельные
Долго­
веч­
ность
Самостоятельно
проводимые
Самостоятельно
проводимые
Сохра­
ня­
емость
Определительные
Не проводят
Комби­ Опреде­ Контрольные
нация
литель­
несколь- ные
сколь­
ких
свойств
Определительные
Не про­ Контро­
льные
водят
Контроль­
ные или
сравните­
льные
Контрольные испытания на ремонтопригодность, как правило,
совмещают с испытаниями по оценке других показателей надежности
изделий.
Для подтверждения количественных показателей надежности, уста­
новленных в ТУ, планирование испытаний осуществляют методом фик­
сированного объема или методом последовательного анализа, которые
подробно описаны в гл. 4.
Глава 6
ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
НА ЭТАПЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ
6.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
ИЗДЕЛИЙ МАШИНОСТРОЕНИЯ
В процессе эксплуатации изделия машиностроения подвержены воз­
действию двух противоположных по характеру влияния процессов - из­
нашиванию и восстановлению. Эти процессы определяют техническое
состояние и работоспособность изделий в каждый период времени их
использования.
В результате изнашивания сопряжений и трущихся поверхностей
рабочих органов, старения материалов, разрегулировок, скрытых произ­
водственных дефектов и различных эксплуатационных повреждений
происходит постепенное или скачкообразное ухудшение технического
состояния изделия. Вместе с тем, проводимые в процессе эксплуатации
различные виды технического обслуживания и ремонта снижают интен­
сивность ухудшения технического состояния изделия, предупреждают
возникновение отказов и восстанавливают их работоспособность. Харак­
тер и режимы этих двух процессов определяют длительность неработо­
способного состояния изделия, затраты труда и средств на проведение
технических обслуживании и ремонтов.
Таким образом, ремонтопригодность как одно из свойств изделий,
необходимо закладывать при разработке конструкций, обеспечивать при
их изготовлении и поддерживать на заданном уровне в процессе эксплуа­
тации, поэтому рациональное решение вопросов ремонтопригодности
возможно лишь при условии их рассмотрения как на этапе проектирова­
ния, так и на этапах производства и эксплуатации изделий. Здесь имеют­
ся в виду состояние научно-технического прогресса в рассматриваемой
отрасли; состояние организации работ и груда при эксплуатации изделий;
материально-техническое обеспечение их эксплуатации и ремонта; тех­
ническая оснащенность работ и подготовка специалистов, привлекаемых
для их выполнения. Проблема ремонтопригодности изделий является
составной частью общей проблемы качества изделий.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
309
К наиболее важным проблемам обеспечения ремонтопригодности
изделий относятся обоснование системы подготовки специалистов обес­
печения ремонтопригодности, а также разработки:
- системы классификации изделий как объектов эксплуатации,
обслуживания и ремонта;
- методов и руководящих материалов по рациональной организа­
ции обслуживания и ремонта с учетом особенностей конструкций изде­
лий, их назначения и условий эксплуатации;
- методов установления состава, мощности и технического осна­
щения подразделений технического обслуживания и ремонта;
- прогрессивных технологических методов восстановления поте­
рявших работоспособность конструктивных элементов;
- рациональных методов определения технического состояния из­
делий и их элементов.
Перечисленные направления позволяют сделать вывод о комплекс­
ном характере и сложности проблемы, которая может быть решена толь­
ко в результате системного к ней подхода.
В практике проектирования и эксплуатации машин накоплен значи­
тельный опыт создания конструкций, обладающих высоким уровнем тех­
нологичности при техническом обслуживании и ремонте. Характерными
признаками таких конструкций являются блочный характер исполнения,
доступность для обслуживания и контроля технического состояния, дол­
говечность конструкционных элементов, приспособленность конструк­
ции в целом и отдельных ее элементов к восстановлению работоспособ­
ности. Задача состоит в том, чтобы примеры таких удачных конструк­
тивных решений стали достоянием широкого круга специалистов в обла­
сти проектирования и эксплуатации. Создание руководящих материалов
- один из основных путей решения этого вопроса.
Установление системы требований к изделиям в отношении ремон­
топригодности их конструкций, обеспечение этих требований при проек­
тировании и эксплуатации предполагает проведение качественной и ко­
личественной оценки достигнутого уровня ремонтопригодности и срав­
нение полученных решений с заданными требованиями и аналогичными
конструкциями [46].
Качественный анализ конструктивных решений осуществляют на
всех этапах создания конструкции изделия — начиная от анализа конст­
рукторской документации технического проекта до анализа конструкции
опытных образцов. Основным назначением качественного анализа кон­
струкции изделия является оценка схемно-конструктивных решений по
разделению конструкции на составные части, доступности к местам кон-
310
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
троля и обслуживания, удовлетворению требований к взаимозаменяемости,
унификации, конструктивно-технологической преемственности и т.п.
Количественная оценка ремонтопригодности изделий предполагает
определение значений основных и вспомогательных показателей, харак­
теризующих затраты времени, труда и денежных средств на техническое
обслуживание и ремонт. Полученные при этом данные являются исход­
ным материалом для последующего установления нормативов затрат
времени, труда и средств на техническое обслуживание и ремонт изделий
в процессе эксплуатации.
На этапе разработки конструкции изделия значения показателей ре­
монтопригодности определяют приближенно с использованием аналити­
ческих методов. Проводимые испытания для уточнения или контроля
значений показателей ремонтопригодности, как правило, осуществляют
на опытных образцах.
Наиболее полная и объективная оценка конструкции изделия может
быть получена в результате обобщения и статистического анализа дан­
ных эксплуатации или специальных испытаний натурных образцов.
Недостатками этого метода являются большие затраты времени и денеж­
ных средств, а при неквалифицированной постановке экспериментов и малая достоверность полученных результатов.
Применение математического аппарата, методов математической
статистики и теории планирования статистических экспериментов позво­
ляет значительно повысить эффективность экспериментальных исследо­
ваний при заданных затратах времени и средств или снизить эти затраты
при заданной точности и эффективности экспериментов. Целью стати­
стических исследований конструкций изделий, как объектов проектиро­
вания, эксплуатации и ремонта, может быть оценка значений показателей
ремонтопригодности конструкции или установление влияния на нее раз­
личных факторов. В последнем случае выявляют факторы, существенно
влияющие на рассматриваемое свойство, и устанавливают вид модели,
связывающей характеристики ремонтопригодности и характеристики
этих факторов, а также находят область изменения учитываемых факто­
ров, в которой показатели ремонтопригодности принимают экстремаль­
ное значение.
Длительность неработоспособного состояния изделий в связи с про­
ведением технического обслуживания и ремонтов, а также затраты труда
и средств на их осуществление в значительной мере определяются при­
нятой системой технического обслуживания и ремонта. Составляющи­
ми этой системы являются периодичность, виды и содержание техниче­
ских обслуживаний и ремонтов, принятые организационные формы и
методы осуществления соответствующих работ, техническая оснащен­
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
311
ность и мощность организаций, привлекаемых к проведению работ, си­
стема обеспечения работ материалами и запасными частями.
Задачи установления периодичности и содержания различных видов
обслуживания и ремонта относятся к классу экстремальных задач, когда
для рассматриваемой совокупности факторов и принятого понятия опти­
мальности системы обслуживания может быть установлено единственно
возможное сочетание видов, периодичности профилактических работ и
их содержания. Определяющими, в этом случае, факторами являются
конструктивные особенности изделия (его сложность, состав конструк­
тивных элементов и значения их показателей долговечности) и условия
его эксплуатации (режимы использования, интенсивность воздействия
рабочих нагрузок, режимы внешних воздействий).
В практике эксплуатации изделий применяют многие методы вос­
становления их работоспособности. Не менее разнообразны и организа­
ционные формы проведения профилактических и восстановительных
работ. Так, например, работоспособность конструктивных элементов из­
делий можно восстановить, используя самые разнообразные техноло­
гии - сварку и наплавку, напыление, гальваническое наращивание и т.п.
Поэтому всегда возникает вопрос о выборе такого восстановительного
технологического процесса, который бы наиболее полно соответствовал
конкретным условиям. Основными определяющими факторами при ре­
шении этого вопроса являются объем ремонтных работ, конструктивно­
технологические особенности объектов восстановления, затраты на вос­
становление и сроки службы отремонтированных конструктивных эле­
ментов. Для каждого комплекса установленных условий осуществления
восстановительных работ могут быть указаны наиболее приемлемые тех­
нологические процессы восстановления. В соответствии с заданными
требованиями на восстановительные работы могут быть определены и
оптимальные организационные формы их выполнения.
Непосредственное отношение к проблеме ремонтопригодности
имеют вопросы материального обеспечения технического обслуживания
и ремонта машин, и в первую очередь, - обеспечение запасными частями.
Восстановление технического состояния машин заменой потерявших
работоспособность конструктивных элементов на элементы из состава
комплектов ЗИП обладает рядом преимуществ по сравнению с другими
методами восстановления. Правильное планирование и рациональное
содержание работ по техническому обслуживанию и ремонту возможно
при наличии объективной и полной информации о техническом состоя­
нии изделий и их конструктивных элементов.
312
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Существует много методов и средств определения технического со­
стояния изделий и их составных частей, в основу которых положены раз­
личные признаки изменения технического состояния и физические прин­
ципы их определения. Одной из важнейших задач, решаемых при созда­
нии конструкции изделия, является принятие таких конструктивных ре­
шений, которые позволяют определять техническое состояние наиболее
экономичными методами и техническими средствами. Широко применя­
ют методы технической диагностики, с помощью которых можно оце­
нить техническое состояние изделия без его детальной разборки, т.е. по
изменению какой-либо интегральной характеристики, являющейся функ­
цией работоспособности. В качестве таких характеристик часто исполь­
зуют расход энергии или потребляемую мощность, характер шумового
поля, создаваемого работающими механизмами и т.д.
6.2. ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
В целях объективного управления свойством ремонтопригодности
изделий вводят количественные показатели ремонтопригодности, кото­
рые, как и показатели надежности, являются случайными величинами и
поэтому для их определения используют математический аппарат теории
вероятностей, математической статистики и теории массового обслужи­
вания.
В зависимости от решаемых задач показатели ремонтопригодности
подразделяют на показатели: основные и дополнительные, собственно
ремонтопригодности, технологичности при обслуживании, технологич­
ности при ремонте, оперативные и экономические, единичные и ком­
плексные.
Основные показатели ремонтопригодности - среднее время восста­
новления изделия, вероятность и интенсивность его восстановления.
Эти показатели являются нормируемыми, и их задают в ТЗ на проектиро­
вание изделий.
Дополнительные показатели ремонтопригодности ненормируемые,
их не задают в ТЗ на проектирование, так как эти показатели характери­
зуют менее существенные свойства изделий.
Показатели собственно ремонтопригодности характеризуют ком­
плексную приспособленность изделия к профилактическим и восстано­
вительным работам. К числу этих показателей относят: оперативные,
экономические, единичные и комплексные показатели. Оперативными
(единичными) показателями являются среднее время восстановления,
вероятность восстановления в заданное время и интенсивность восста­
новления. Экономические показатели - средние и удельные затраты тру­
ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
313
да и денежных средств на техническое обслуживание и ремонт. К ком­
плексным показателям относят коэффициенты готовности и техническо­
го использования.
Под средним временем восстановления Тв понимают математиче­
ское ожидание времени восстановления работоспособности. Если извест­
на плотность распределения времени восстановления, то среднее время
восстановления Та определяется по формуле
00
7 = мвв]=р/в(Мп
о
(6.1)
где Лфв] - математическое ожидание времени восстановления работо­
способности;/^/) - плотность распределения времени восстановления.
Оценку среднего времени восстановления по статистическим дан­
ным, полученным в результате испытаний или эксплуатации, находят по
формуле
где /в, - время устранения /-го отказа; m - число отказов, зафиксирован­
ных в процессе испытаний или эксплуатации.
Среднее время восстановления входит в состав комплексных пока­
зателей, поэтому этот показатель нашел широкое распространение.
Его недостаток - зависимость значения показателя от вида закона рас­
пределения времени восстановления. Так как среднее время восстановле­
ния изделия носит случайный характер, то для оценивания точности это­
го показателя вводят характеристики рассеяния - дисперсию 0[/п] или
среднее квадратическое отклонение
<т['в]=-/я['в] •
Не менее важен для восстанавливаемых изделий такой показатель
ремонтопригодности, как вероятность восстановления изделия в задан­
ное время ) /), определяемая из соотношения
PB(t) = Вер{/в < /},
(6.3)
где t — заданное время восстановления.
Этот показатель характеризует вероятность того, что возникший от­
каз будет обнаружен и устранен за время, не превышающее заданное
время t.
314
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Вероятность восстановления изделия в заданное время вычисляют
по формуле
(6.4)
статистическое значение вероятности восстановления - по формуле
>„(,)=|_.АьЦ,
О + Д<)
(6.5)
где na(t + А?) - число изделий, не восстановленных за интервал времени
/.,.(/ + Д/); /\''„(/+Д/) - число изделий, подлежащих восстановлению за этот
же интервал времени.
Таким образом, при определении вероятности восстановления Г„(/)
требуется знание закона распределения времени восстановления. В прак­
тике чаще всего в качестве закона распределения времени восстановле­
ния используют экспоненциальное распределение или распределение
Пуассона.
Наиболее распространенный показатель ремонтопригодности интенсивность восстановления ц(7) - характеризует вероятность восста­
новления работоспособности изделия в единицу времени при условии,
что до этого момента времени восстановление не произошло. При из­
вестном законе распределения времени восстановления значение ц(/)
определяют по формуле
^) =
где Fa(t) - функция распределения времени восстановления.
По статистическим данным интенсивность восстановления
ЦМ_ "?„(* +Др
(6.6)
(6.7)
где А/ - рассматриваемый промежуток времени; /пп(/ + Д/) - число вос­
становлений в интервале времени ( . . . ( ( + А/); и„(/ + Д/) - число невосста­
новленных изделий на момент времени t.
Для оценки оперативной ремонтопригодности вводят комплексные
показатели, среди которых наибольшее распространение получили коэф­
фициент готовности и коэффициент технического использования.
Коэффициент готовности Кг представляет собой вероятность того,
что изделие будет работоспособно в любой период времени, кроме пери­
одов выполнения планового технического обслуживания.
ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
315
В стационарном (установившемся) режиме эксплуатации независи­
мо от вида закона распределения времени работы между отказами и вре­
мени восстановления коэффициент готовности определяют по формуле
(6-8)
где Т - наработка между отказами.
Другой важной характеристикой ремонтопригодности является ко­
эффициент технического использования КТП, который представляет со­
бой отношение наработки изделия (в единицах времени) за некоторый
период эксплуатации к сумме этой наработки и времени всех простоев,
обусловленных устранением отказов, техническим обслуживанием и
плановым ремонтом за тот же период.
Коэффициент технического использования определяют по формуле
(6-9)
где tp - суммарная наработка изделия в рассматриваемый промежуток
времени; /рем, /то и
- суммарное время, затраченное на плановый ре­
монт, техническое обслуживание и восстановление за тот же период вре­
мени, соответственно.
К числу экономических показателей ремонтопригодности, являю­
щихся комплексными, относятся следующие показатели: средние затраты
денежных средств на техническое обслуживание и ремонты - Ст.0,р; сред­
ние затраты труда на техническое обслуживание и ремонты - ГТд.о, Р;
суммарные затраты денежных средств на техническое обслуживание и
ремонты - С\; суммарные затраты труда на техническое обслуживание и
ремонты - Д ,.; удельные затраты средств на техническое обслуживание
и ремонты - Cs; удельные затраты труда на техническое обслуживание
и ремонты - Д т.
Средние затраты денежных средств и труда на техническое об­
служивание и ремонты определяют по зависимостям, аналогичным зави­
симостям для среднего времени восстановления.
Определение суммарных затрат на техническое обслуживание и ре­
монт рассмотрим на примере определения затрат труда. В этом случае
рему
(6.10)
316
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
где Ато и Ар — числа видов технического обслуживания и ремонтов, уста­
новленных для рассматриваемого вида изделий, соответственно; /7Т0, и
nv/ - числа обслуживании и ремонтов рассматриваемого вида за время /э
эксплуатации, соответственно; Тт.т.о/ и Га.рем7 - средние трудоемкости
обслуживания и ремонта рассматриваемого вида, соответственно.
Значения и и Тт определяют расчетом и по статистическим данным.
Удельные суммарные затраты труда
- _ Т
f
‘'У
' T.t
/К 1 1\
5
где S - срок эксплуатации изделия (в годах или единицах наработки) за
рассматриваемый период эксплуатации /э.
Показатели технологичности изделий при обслуживании определя­
ют затраты времени, труда и денежных средств на их техническое об­
служивание в процессе эксплуатации.
Наиболее распространенными показателями технологичности изде­
лия при обслуживании являются показатели:
- оперативные - среднее время проведения /-го вида технического
обслуживания и вероятность проведения технического обслуживания /-го
вида в заданное время;
- экономические - средняя, суммарная и удельная трудоемкости
технического обслуживания и средняя, суммарная и удельная стоимости
технического обслуживания.
Среднее время проведения /-го вида технического обслуживания
определяют по формуле, аналогичной формуле для оценки среднего вре­
мени восстановления изделия,
ЛТ.о, =
p-ro/Ao/W' ,
(6-12)
о
где /то,- случайное время технического обслуживания /-го вида;
,А.о<(0 _ плотность вероятности времени технического обслуживания.
Вероятность проведения технического обслуживания /-го вида в за­
данное время находят, используя зависимость
00
^o, = Ja..,(,R
(6.13)
О
Средние трудоемкость 7т.о/ и стоимость Сто, технического обслу­
живания /-го вида определяют по аналогичным формулам, статистиче­
ские их значения - по формулам (на примере трудоемкости)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
Гт,т.о,= —
317
(6-14)
ит.о, 7=|
Суммарная трудоемкость технического обслуживания всех видов за
период эксплуатации равна
10
^т.т.о = £Пт.оЛ,т.о/ •
(6|5)
|=|
Удельную трудоемкость технического обслуживания находят из со­
отношения
ГГт,.о=у^(6-16)
По аналогичным зависимостям определяются значения СЕто
и
(■Ет.о *
Показатели технологичности изделий при ремонте - показатели,
относящиеся как к изделию в целом, так и к его составным частям.
Показателями технологичности при ремонте'.
- оперативные - среднее время ремонта /-го вида TpeMi', вероят­
ность проведения ремонта /-го вида в заданное время Ррем,(/);
- экономические - средняя трудоемкость ремонта /-го вида ТРеЫ д
средняя стоимость ремонта /-го вида СреМ/; суммарная трудоемкость
7s т, рем и суммарная стоимость ремонта Cr^peiM удельная трудоемкость
7’s т рем и удельная стоимость СЕт , реМ ремонта.
Для определения количественных значений этих показателей
используют зависимости, аналогичные принятым для показателей техни­
ческого обслуживания.
6.3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
Дополнительные показатели ремонтопригодности позволяют более
широко охарактеризовать как экономическую, так и техническую ремон­
топригодность. В зависимости от назначения изделий дополнительные
показатели можно подразделить на три группы:
- первая группа - показатели, характеризующие совершенство кон­
струкции;
- вторая группа - показатели, характеризующие приспособленность
конструкции изделий к техническому обслуживанию и ремонту;
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
318
- третья группа - показателе характеризующие приспособленность
конструкции к применению прогрессивных методов технического об­
служивания и ремонта.
К показателям первой группы относятся:
- коэффициент применяемости конструктивных элементов
_Nt+Na + Nt+Na
к
"Р
Nc +
+
+ Nn+ No
N«6
(6.17)
где Nc - число наименований типоразмеров стандартизированных дета­
лей в изделии; N„ - число наименований типоразмеров нормализованных
деталей; N3-число наименований типоразмеров заимствованных деталей;
Nn - число наименований типоразмеров покупных сборочных единиц и
деталей; No - число наименований типоразмеров оригинальных деталейо
входящих в изделие; Мо5 - общее число наименований конструктивных
элементов изделия;
- коэффициент унификации - коэффициент показывающие какая
часть из использованных в изделии деталей является унифицированной
^у=-г2-’
(6-18)
;’об
где Ny - число наименований типоразмеров унифицированных деталей;
- коэффициент конструктивной преемственности
К
Кк.пр
-=■
(6.19)
ОО
где Мр - число наименований ранее освоенных сборочных единиц и де­
талей;
- коэффициент взаимозаменяемости
вз
м
''об
(6.20)
где NK, - число взаимозаменяемых деталей и сборочных единиц в из­
делии;
- коэффициент кратности технического обслуживания
Ккр.Т.оО^-^’
(6.21)
”об
где Лкр.т.о - число элементов изделияо периодичность обслуживания кото­
рых является кратным периодичности технического обслуживания изде­
лия в целом;
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
319
- коэффициент кратности сроков службы конструктивных эле­
ментов
(6.22)
где ?VKp.c - число элементов изделия, срок службы которых является крат­
ным периодичности технического обслуживания и ремонтов изделия в
целом.
Требование кратности или равной периодичности обслуживания и
сроков службы элементов изделия - одно из важнейших требований ре­
монтопригодности.
К показателям второй группы относятся:
- требования по обеспечению и оцениванию контролепригодности
изделий, определяемые коэффициентом общей контролепригодности;
- требования по обеспечению и оцениванию доступности и легкосъемности составных частей изделия, определяемые коэффициентами
доступности и легкосъемности.
Коэффициент общей контролепригодности определяют по формуле
(6.23)
где NK - число элементов изделия, приспособленных к контролю их тех­
нического состояния в процессе эксплуатации изделия различными спо­
собами; Кко5 - общее число элементов, которые в процессе эксплуатации
необходимо контролировать.
Коэффициент контролепригодности может быть выражен также со­
отношением
где NK с - число составных частей, снимаемых с изделия для контроля их
параметров; Nk5c - число составных частей, контролируемых без съемки
с изделия.
Коэффициент доступности рассчитывают по формуле
доп
Тдоп +“г т1 осн
(6.25)
где ГдОп и Г0С1[ - трудоемкости дополнительных и основной работ, чел./ч,
соответственно;
320
>
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
К основным работам относят контрольные, регулировочные, сма­
зочные, заправочные операции, демонтаж и монтаж сборочных единиц и
составных частей, подлежащих замене.
К дополнительным работам относят снятие и установку крышек
люков, панелей, блоков, капотов, теплозвукоизоляции, демонтаж и мон­
таж рядом установленного и не подлежащего съему оборудования и т.д.
Коэффициент легкосъемности определяют по формуле
ДГМ
^=1--^’
* дм
(6.26)
где Л7Дм - отклонение трудоемкости демонтажно-монтажных работ по
рассматриваемой составной части изделия в сравнении с эталонным зна­
чением, чел./ч; Тт - трудоемкость демонтажно-монтажных работ по рас­
сматриваемой составной части изделия, чел./ч.
За эталонное принимают значение показателя легкосъемности, за­
данное в техническом задании на изделие или аналогичного образца,
принятого за эталон.
Наиболее распространенными показателями третьей группы явля­
ются:
- коэффициент восстановления ресурса при ремонте
(6.27)
ур.н
где Тр, р и Гр. „ - ресурсы изделия и его составных частей, подвергнутых
ремонту и новых, соответственно;
- коэффициент применяемости /-го вида ремонта (ремонты регу­
лированием, заменой и т.д.)
Ап,
А'р.,
(6.28)
' ’ р. об
где Ар., - число конструктивных составных частей, ремонт которых
предполагается осуществить /-м методом (при текущем, среднем или ка­
питальном ремонтах); Ар. о6 - общее число составных частей, восстанов­
ление которых предполагается осуществлять в процессе эксплуатации, а
также при среднем и капитальном ремонтах.
Практика ремонтно-восстановительных работ изделий машиностро­
ения показывает, что коэффициент Кв р во многих случаях составляет
0,3...0,4 первоначального ресурса. В то же время, проведение ремонтно­
восстановительных работ на специализированных ремонтных заводах
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
321
позволяет увеличить вторичный ресурс до 0,8... 1,0 первоначального, а
при проведении модернизации Кв. р может быть даже больше единицы.
Особое место среди дополнительных показателей ремонтопригодно­
сти занимают технико-экономические показатели, характеризующие за­
траты труда и денежных средств на техническое обслуживание и ремонт.
К ним относят:
- коэффициент затрат денежных средств или труда на техниче­
ское обслуживание и ремонт
(6.29)
и
где Cv - суммарные затраты денежных средств или труда на техническое
обслуживание и ремонт за рассматриваемый период эксплуатации; Сн начальная стоимость изделия (или трудоемкость его изготовления);
- коэффициент затрат на ЗИП
(6.30)
где С3ип - стоимость ЗИП, расходуемых за рассматриваемый период экс­
плуатации.
К третьей группе показателей можно отнести также:
- коэффициенты технической оснащенности работ при техниче­
ском обслуживании Кт. т.о и ремонте Л?ор:
С
^О, т.о .
(6-31)
(6.32)
где Со; т.о и С0,р - стоимости технологического оборудования, используе­
мого при техническом обслуживании и ремонте, отнесенные к одному
изделию, соответственно;
- коэффициенты технической вооруженности специалистов, при­
влекаемых к техническому обслуживанию (Кв>т.о) и ремонтам (КВ1 р):
^,Т.О=тЛ
(6.33)
(6.34)
322
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
где Ncn то и Ncn,p - числа специалистов, привлекаемых к техническому
обслуживанию и ремонту, соответственно;
- коэффициенты, определяющие среднюю квалификацию специали­
стов, привлекаемых к проведению технического обслуживания (Акв т0) и
ремонта (Ккв. р):
^Т.О
, ^Т.О Z ^кв /
А'
кв,т.0
- ,=1
N
1 У СП, Т.0
(6.35)
5,
ир j Ккв j
л">-р
(6.36)
/V
СП, р
где ито, и /7р; - числа специалистов, привлекаемых к работам для прове­
дения технического обслуживания и ремонта z'-го (/-го) вида, соответ­
ственно; Кк№, и Ккв1 - разряд работ при выполнении обслуживания /-го
вида и ремонта /-го вида, соответственно.
6.4. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
ИЗДЕЛИЙ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ И ИЗГОТОВЛЕНИИ
При разработке и изготовлении изделий машиностроения необхо­
димо решить три задачи обеспечения ремонтопригодности:
1) установить требования к ремонтопригодности;
2) обеспечить выполнение требований к характеристикам ремонто­
пригодности;
3) оценить достигнутый уровень характеристик ремонтопригод­
ности.
Проектирование изделий машиностроения начинают с разработки
технического задания, в котором, наравне с техническими характеристи­
ками, устанавливают требования к количественным показателям надеж­
ности и ремонтопригодности. Включение в ТЗ на проектирование требо­
ваний к ремонтопригодности объясняется необходимостью:
- снизить объем и трудоемкость технического обслуживания и
ремонта;
- упростить контроль параметров, характеризующих техническое
состояние и работоспособность изделий, и упростить процессы обнару­
жения и устранения отказов.
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 323
Основными путями решения проблемы ремонтопригодности на эта­
пе проектирования являются:
- анализ тенденций развития конструкций изделий и совершен­
ствование системы их технического обслуживания и ремонта;
- применение рациональных методов выбора состава показателей
ремонтопригодности;
- анализ ремонтопригодности изделий, находящихся в эксплуа­
тации;
- качественная и количественная оценки характеристик ремонто­
пригодности.
В общие требования к ремонтопригодности входят:
- условия эксплуатации и ремонта;
- состав и количественные характеристики показателей ремонто­
пригодности;
- требования к эксплуатационной и ремонтной документации;
- методы оценивания качественных характеристик и количествен­
ных показателей ремонтопригодности.
В раздел требований к условиям эксплуатации и ремонта изделий
включают:
- принятую систему технического обслуживания и ремонта;
- условия выполнения работ по техническому обслуживанию и
ремонту;
- квалификацию и численность эксплуатационного и ремонтного
персонала.
В техническом задании на конкретное изделие могут содержаться
также показатели и характеристики совершенства его конструктивного
исполнения, направленные на улучшение ремонтопригодности, наиболее
важными из которых являются:
- общие требования к конструкции и компоновке изделия, направ­
ленные на сокращение времени, труда и средств при техническом обслу­
живании и ремонте;
- требования и показатели, характеризующие преимущественно
приспособленность конструкции к техническому обслуживанию и ре­
монту - доступность, легкосъемность, контролепригодность и др.;
- требования к ремонтной технологичности деталей и сборочных
единиц;
- требования и показатели, характеризующие техническую осна­
щенность работ средствами контроля технического состояния при техни­
ческом обслуживании и ремонте.
324
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Кроме общих требований к ремонтопригодности изделий, следует
указать частные требования к технологичности в обслуживании и
ремонте.
Требования к стандартизации и унификации. При создании новых
изделий должны быть широко использованы выпускаемые промышлен­
ностью стандартизированные и унифицированные составные части, вы­
сокое качество которых подтверждено опытом эксплуатации.
Конструкция изделия должна обеспечивать минимальное использо­
вание при техническом обслуживании и ремонте специального инстру­
мента и приспособлений. Общее число используемых в изделии крепеж­
ных деталей и их типоразмеров должно быть минимальным.
Конструкция изделия должна предусматривать использование огра­
ниченного числа типов смазочных материалов, высокое качество кото­
рых подтверждено опытом эксплуатации.
Требования к преемственности технологических процессов техни­
ческого обслуживания и ремонта конструктивно-однотипных машин.
При создании новых изделий необходимо учитывать принятые в отрасли
системы технического обслуживания и ремонта и типизацию технологи­
ческих процессов.
Требования к контролепригодности изделий. Сборочные единицы
изделий, для контроля технического состояния которых требуется боль­
шой объем разборочных работ, должны быть приспособлены к диагно­
стированию способами и средствами косвенного контроля. Особенно
легкодоступными для контроля технического состояния должны быть
сборочные единицы и детали, ресурс которых меньше межремонтного
ресурса изделия.
Требования к принципам рационального расчленения и расположе­
ния сборочных единиц изделия. Конструкция изделия должна обеспечи­
вать удобство и легкость независимого расчленения ее на сборочные
единицы. В местах соединений сборочных единиц должны быть установ­
лены быстроразъемные соединения для электроцепей, маслопроводов,
топливопроводов и т.п. Расположение сборочных единиц изделия должно
обеспечивать возможность независимого выполнения операций техниче­
ского обслуживания.
Соединения в сборочных единицах, подлежащих разборке и сборке,
необходимо выполнять таким образом, чтобы исключить возможность их
неправильного монтажа при ремонте (рекомендуется использовать мар­
кировку, окрашивание в различные цвета однотипных деталей, предна­
значенных для выполнения различных функций, нанесение рисок и др.).
На детали с ответственными сопряжениями, обработанные при изготов­
лении совместно или приработанные в процессе использования, необхо­
димо наносить монтажные метки для их правильной сборки.
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 325
Требования к доступности деталей и сборочных единиц. При кон­
струировании изделий должна учитываться необходимость проведения
работ по техническому обслуживанию и ремонту в установленные сроки
и с заданной трудоемкостью. Части изделий, подлежащие техническому
обслуживанию и ремонту (резьбовые соединения, прочие крепежные де­
тали, точки смазывания, места регулировки, контроля и т.д.) должны
быть легкодоступными. В требованиях к доступности исключена необхо­
димость работы персонала по техническому обслуживанию и ремонту в
неудобных позах.
Не допускается конструировать резьбовые соединения, расположен­
ные в труднодоступных местах, в результате чего при отворачивании
гаек проворачивались бы болты. Нарезку резьбовых соединений необхо­
димо защищать от механических повреждений и коррозии.
Требования к легкосъемности деталей и сборочных единиц при тех­
ническом обслуживании и ремонте должны устанавливаться с учетом
требований безотказности, долговечности и сохраняемости. У деталей и
сборочных единиц, имеющих большую массу, должны быть предусмот­
рены элементы их захвата подъемно-транспортными средствами - рымболты, ушки, приливы и т.д.
Системы крепления деталей, конструкции разъемов и другие эле­
менты соединений должны обеспечивать легкосъемность деталей и сбо­
рочных единиц, особенно требующих периодической замены. Размеще­
ние стопорящих деталей не должно вызывать затруднений при разборке и
сборке узлов. Стопорные кольца должны иметь демонтажные ушки.
Не допускается конструировать такие сопряжения, в которых при
демонтаже подшипников качения силы прессования (превышающие до­
пустимые для подшипников) передавались бы через шарики или ролики.
Требования к взаимозаменяемости однотипных деталей и сбороч­
ных единиц, выполняющих одинаковые функции и несущие близкие по
величине нагрузки, - взаимозаменяемость по геометрическим размерам,
характеристикам посадок, рабочим параметрам и т.д.
Требования к приспособленности составных частей изделия для вы­
полнения регулировочно-доводочных работ. Конструкция изделия должна
быть приспособлена к выполнению доводочно-регулировочных работ в
процессе технического обслуживания и ремонта. Для этого в конструк­
ции предусматривают необходимое число регулируемых элементов в
составных частях изделия, необходимые пределы изменения значений па­
раметров и возможность регулирования параметров отдельных звеньев.
Требования к конструкции изнашивающихся деталей изделия, ре­
монт которых экономически целесообразен, - приспособленность к вос­
становлению до первоначальных или ремонтных размеров с применени­
326
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
ем прогрессивных восстановительных технологических процессов. Для
восстановления режущей способности рабочих органов должен быть
предусмотрен доступ к ним заточных устройств или обеспечена легкосъемность режущих элементов.
Базовые конструктивные элементы (рамы, корпусы, балки, крон­
штейны и т.п.) не должны иметь изнашивающихся участков, срок службы
которых меньше полного срока службы изделия. При невозможности
выполнения этого условия целесообразно использовать сменные части
(втулки, накладки, шайбы, прокладки и т.п.) с их указанием в техниче­
ской документации. Односторонне изнашивающиеся детали целесооб­
разно конструировать с учетом возможности перестановки их для работы
другой стороной.
Ресурс изнашивающихся деталей, как правило, должен быть равен
заданному межремонтному периоду сборочной единицы изделия, пре­
вышать этот период или быть кратным ему. Ресурс быстроизнашивающихся легкосъемных деталей (ремней, пальцев и ножей режущих аппара­
тов, фильтров и т.п.) может быть меньше межремонтного периода сбо­
рочной единицы.
Требования по приспособленности изделия к транспортированию и
хранению. В технической документации по эксплуатации изделий долж­
ны быть приведены правила их транспортирования и установки на хра­
нение, указаны агрегаты и сборочные единицы, которые нельзя транс­
портировать и хранить в любом положении, а также указано в каких ме­
стах изделия допускается устанавливать подставки, подкладки и домкра­
ты. В конструкциях составных частей изделия, подвергающихся корро­
зионным воздействиям, не должно быть мест скопления влаги, пыли, ра­
бочих отходов и т.д. В необходимых случаях в местах возможного скоп­
ления влаги должны быть предусмотрены сливные открытые отверстия.
6.5. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
ИЗДЕЛИЙ В ПРОЦЕССЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ.
СИСТЕМА ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И РЕМОНТА
Система технического обслуживания и ремонта состоит из комплек­
са положений и нормативов, определяющих стратегию проведения работ
по поддержанию и восстановлению работоспособности и ресурса нахо­
дящихся в эксплуатации изделий, а также определяет затраты времени,
труда и денежных средств на поддержание изделия в работоспособном
состоянии. Организация выполнения работ, состав специалистов, техни­
ческое оснащение и материальное обеспечение работ по техническому
обслуживанию и ремонту оказывают влияние на значения показателей
ремонтопригодности.
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 327
При разработке системы технического обслуживания и ремонта ре­
шают комплекс проблем, связанных с обеспечением требуемого уровня
надежности изделий при определенных затратах на выполнение работ,
предусмотренных в системе [46].
Разработка системы технического обслуживания осуществляется по
одному из следующих двух направлений:
1) плановые работы связаны с предупреждением отказов и неис­
правностей;
2) ремонтные работы направлены на восстановление работоспособ­
ности и ресурса изделий.
Периодичность, продолжительность, трудоемкость и затраты де­
нежных средств на техническое обслуживание и ремонты могут нахо­
диться в различных соотношениях в зависимости от конструктивных
особенностей изделия, условий его эксплуатации.
При разработке системы технического обслуживания и ремонта
плановые работы назначают:
- по достижении определенной наработки, измеренной в соответ­
ствующих единицах;
- по достижении установленных календарных сроков эксплуа­
тации;
- по обоим названным признакам.
По срокам проведения технического обслуживания различают две
основные стратегии: планово-предупредительную, при которой профи­
лактические работы проводят по достижении определенной наработки
или срока службы, и смешанную, при которой работы выполняют через
определенную наработку или с учетом появления отказов, возникших в
период между техническими обслуживаниями.
При планово-предупредительной стратегии моменты времени по­
ступления изделия на техническое обслуживание заранее определены.
Это позволяет четко планировать работу, обеспечивать равномерную
загрузку обслуживающего персонала, заранее готовить комплекты запас­
ных частей. Основным недостатком такой системы является отсутствие
учета фактического состояния изделия к моменту проведения профилак­
тических работ.
При смешанной стратегии возникающие простои изделий в связи с
отказами используют для проведения работ по техническому обслужива­
нию. При такой стратегии моменты времени поступления изделий на
техническое обслуживание точно не определены, что создает трудности в
планировании и подготовке производства.
328
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
По характеру работ, выполняемых при технических обслуживаниях,
различают следующие стратегии технического обслуживания: с прину­
дительной заменой сборочных единиц; с заменой сборочных единиц по
их техническому состоянию; с заменой износившихся деталей и сбороч­
ных единиц. Все виды технических обслуживании включают в себя опе­
рации контроля, регулировки, подналадки и замены сборочных единиц.
При выборе оптимальной стратегии технических обслуживании
можно воспользоваться одним из следующих методов решения задачи
[27]:
а) по характеру используемой информации - с использованием
априорной (доопытной) и апостериорной (послеопытной) информации;
б) по видам возможных состояний технического устройства - рас­
сматривают либо два состояния: исправное и неисправное, либо множе­
ство состояний: системы с накоплением нарушений;
в) по признаку утраты техническим устройством работоспособно ­
сти - по суммарному предельному состоянию (потеря работоспособности
при выходе из строя определенного числа элементов) и доминирующему
признаку (доминирующему элементу или параметру);
г) по виду математической модели, используемой для решения за­
дачи - модели дифференциального программирования и основанные на
использовании марковских процессов и динамического программиро­
вания.
К неоптимальным методам решения задачи по выбору стратегии
технических обслуживании относится опытно-статистический метод,
когда решение о выборе метода технического обслуживания принимают
но данным испытаний или эксплуатации изделий рассматриваемого вида.
6.6. ВЛИЯНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ФАКТОРОВ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И РЕМОНТА
НА ЗНАЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ
Среди эксплуатационных факторов, влияющих на значения характе­
ристик ремонтопригодности изделий, важное место занимает организа­
ция технического обслуживания, и ремонта. В практике применяю т раз­
личные организационные формы обслуживания изделий. Наиболее рас­
пространен метод обслуживания на основе специализации и разделения
труда. Такой метод широко применяют в авиации, железнодорожном и
автомобильном транспорте. В то же время, техническое обслуживание
тракторов и других сельскохозяйственных машин чаще всего осуществ­
ляют, привлекая обслуживающий персонал. Такая организация работ
сопровождается большим простоем и снижением производительности
ВЛИЯНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ
329
труда, приводит к низкому качеству работ. Переход на современные ор­
ганизационные формы, когда обслуживание проводят специализирован­
ные бригады (группы), снабженные необходимой оснасткой, позволяет
значительно снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт.
Важным этапом внедрения оптимальной организации технического
обслуживания является создание необходимой технической базы, кото­
рая предопределяет внедрение прогрессивных форм организации труда,
увеличение уровня механизации работ, сокращение затрат труда и
средств и повышение производительности машин. Например, техниче­
ской базой обслуживания и текущего ремонта сельскохозяйственных
машин являются стационарные пункты технического обслуживания, пе­
редвижные агрегаты для заправки машин и проведения периодических
технических обслуживании, автопередвижные ремонтные мастерские для
выполнения работ по устранению отказов и стационарные ремонтные
мастерские. Рациональное решение вопросов организации ремонтных
работ позволяет значительно улучшить показатели ремонтопригодности.
В практике обслуживания и ремонта широкое применение находят
технологические процессы, которые используют при изготовлении изде­
лий. Однако полное заимствование этих процессов часто бывает затруд­
нено или даже совсем невозможно, так как ремонтируемые сборочные
единицы или детали утратили свои первоначальные параметры. Следова­
тельно, основными задачами технологических процессов обслуживания и
ремонта являются установление истинного технического состояния со­
ставных частей изделия и устранение выявленных неисправностей теми
или иными способами.
Технологические процессы обслуживания и ремонта изделий можно
представить в виде следующих этапов:
1) установление истинного технического состояния изделия и его
составных частей;
2) подготовка изделия к выполнению основных операций обслужи­
вания и ремонта;
3) выполнение демонтажных и разборочных операций;
4) осуществление операций по устранению неисправностей или
восстановление ресурса;
5) контроль качества выполнения операций технического обслужи­
вания и ремонта.
Перечисленные этапы обслуживания и ремонта могут меняться ме­
стами, повторяться или вовсе отсутствовать. Каждый из этапов техноло­
гического процесса обслуживания и ремонта изделия отличается назна­
чением и характером решаемой задачи, составом применяемого оборудо­
вания и оснастки, видом выполняемых работ.
330
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Часто в практике используют две стратегии технического обслужи­
вания и ремонта сложных изделий:
1) замену и ремонт сборочных единиц изделия осуществляют стро­
го по отработке назначенного ресурса;
2) замену и ремонт сборочных единиц проводят по их фактическо­
му техническому состоянию.
В соответствии с первой стратегией замену и ремонт сборочных
единиц выполняют для вполне определенного числа элементов, при этом
для конкретного вида технического обслуживания число выполняемых
операций по обслуживанию и ремонту всегда одинаково.
В случае второй стратегии число операций технического обслужи­
вания и ремонта изделия определяют в соответствии с данными предва­
рительного контроля его фактического состояния и по результатам кон­
троля выполняют фактически необходимые профилактические замену и
ремонт сборочной единицы.
Проведем сравнительный анализ технического обслуживания и ре­
монта, осуществляемых первым и вторым методами. Пусть сложное из­
делие состоит из достаточно большого числа сборочных единиц и под­
вергается техническому обслуживанию и ремонту по первому методу, а
затем и по второму.
При первом методе обслуживания и ремонта суммарная случайная
продолжительность выполнения работ
II
(6.37)
где п - число сборочных единиц изделия, подвергающихся профилакти­
ке; t, = (7В + А о + М “ неперекрываемое суммарное время выполнения ра­
бот на z-й сборочной единице; ta, t10 и tp - время, затрачиваемое на вос­
становление, техническое обслуживание и ремонт /-й сборочной единицы
по первой стратегии, соответственно.
При достаточно больших п, как известно, сумма независимых слу­
чайных величин распределена в соответствии с центральной предельной
теоремой асимптотически нормально.
При втором методе замену и ремонт сборочных единиц выполняют
по результатам предварительного контроля с вероятностью Р,. В этом
случае суммарная продолжительность работы
W
п
(6.38)
где N - случайное число операций ремонта и обслуживания.
ВЛИЯНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ
331
В этом выражении число слагаемых N есть величина случайная, и
для определения вероятностей появления N событий можно воспользо­
ваться распределением Пуассона. Можно показать, что при втором мето­
де обслуживания и ремонта сборочных единиц обеспечиваются более
высокие показатели ремонтопригодности сложного изделия.
Математическое ожидание случайных величин t„ и tN
M\tn\ = ni
(6.39)
и
F,
(6.40)
где t - среднее суммарное время обслуживания и ремонта одной сбо­
рочной единицы изделия.
Так как A7[2V] < и, то, следовательно, и
Л7[/л,]<Л/[/„].
(6.41)
В заключение отметим, что если изделие конструктивно не приспо­
соблено к прогрессивным методам технического обслуживания и ремон­
та, и в частности, - к определению фактического технического состояния
его сборочных единиц, то в этом случае такой метод обслуживания ста­
новится практически невозможным или затраты времени и труда на об­
служивание и ремонт возрастают.
Важнейшим факторам, оказывающим существенное влияние на за­
траты времени, труда и средств, а также на работоспособность изделий,
является качество и полнота эксплуатационно-ремонтной документации.
Основную ее часть составляет документация, в которой регламентируют­
ся работы, выполняемые при различных видах технического обслужива­
ния и ремонта.
Состав и содержание эксплуатационно-ремонтной документации
определяются конструкцией, назначением и условиями использования
изделий, а также массовостью их использования. Требования к содержа­
нию документации регламентируются соответствующим ГОСТом, кото­
рый по мере накопления опыта корректируют и уточняют. В эксплуата­
ционно-ремонтной документации должны содержаться следующие раци­
ональные решения: по видам, периодичности и содержанию осуществля­
емых профилактических мероприятий; по организации и технологии
проведения работ технического обслуживания и ремонта и их техниче­
ской оснащенности; по материальному обеспечению; по уровню подго­
товки и квалификации персонала, привлекаемого к обслуживанию и ре­
монту. Наличие технической документации позволяет повысить эффек­
тивность использования специалистов невысокой подготовленности и
квалификации при эксплуатации и ремонте изделий.
332
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
6.7. МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТ
ПРИ ТЕХНИЧЕСКОМ ОБСЛУЖИВАНИИ И РЕМОНТЕ
ПО ОБЕСПЕЧЕНИЮ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Значительную часть затрат на эксплуатацию изделий составляют за­
траты на запасные части и материалы, используемые при их техническом
обслуживании и ремонте. Рациональное решение вопроса обеспечения
запасными частями и материалами должно предусматривать создание
такой системы материального обеспечения эксплуатируемых изделий,
при которой затраты были бы минимальными.
Номенклатура запасов (запасных частей и материалов) и их количе­
ство являются функцией большого числа факторов, характеризующих кон­
структивные особенности изделий, условия их эксплуатации, технического
обслуживания и ремонта, а также стратегию обеспечения запасами.
Построение системы материального обеспечения работ, осуществ­
ляемых с целью поддержания и восстановления работоспособности и
ресурса изделий в процессе их эксплуатации, предусматривает решение
следующих основных вопросов: определение номенклатуры и количества
запасных элементов и материалов; эшелонирование запасов; установле­
ние порядка и времени пополнения запасов; мест хранения, порядка об­
служивания и учета хранимых запасов.
Потребность в запасных частях (или материалах) возникает в про­
цессе проведения плановых технических обслуживаний и ремонтов в
результате появления отказов у эксплуатируемых изделий. Используемые
при выполнении этих работ запасные части и материалы и образуют по­
ток требований, которые должны быть удовлетворены.
Спрос на запасные части и материалы может носить детерминиро­
ванный или случайный характер. В последнем случае (он является более
общим) наиболее часто спрос рассматривают как стационарный процесс,
описываемый распределением Пуассона:
а"'
Р(т, а) = — е ",
ml
(6.42)
где Р(т, а) — вероятность того, что число требуемых запчастей (или ко­
личество материала) будет равно /и; а - среднее число расходуемых за­
пасных частей за рассматриваемые промежутки времени эксплуатации
изделий.
Система материального обеспечения изделий запасными частями и
материалами, как правило, является эшелонированной и пирамидальной,
т.е. хранение запасов осуществляют на нескольких уровнях и каждый
МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТ ПРИ ТО И РЕМОНТЕ
333
вышестоящий орган (место) хранения обеспечивает запасами несколько
нижестоящих потребителей запасов. Кроме того, часто поставки запасов
осуществляют комплектами, в которые, вместе с запасными частями,
входят необходимые для обслуживания изделия инструменты и принад­
лежности. Такие комплекты получили название ЗИПов.
Важнейшими вопросами обеспечения изделий запасными частями и
материалами являются порядок, объем и периодичность пополнения за­
пасов, т.е. стратегия управления запасами. В практике чаще всего ис­
пользуются две стратегии управления запасами:
1) периодическая, когда пополнение запасов проводят через опре­
деленные, заранее установленные промежутки времени Т. При этом запас
может быть восстановлен до максимального уровня - стратегия (7, S)
или пополняться до постоянного объема Q - стратегия (Т, 0;
2) с критическим уровнем, когда пополнение запасов осуществляют
при достижении их критического уровня S. В этом случае рассматривают
также две стратегии - стратегию (S, 5 ) и стратегию (S, Q).
Стратегия (Т, Q) соответствует нормативному снабжению и приме­
няется в условиях стабильного спроса. В этом случае процесс обеспече­
ния запасами является неуправляемым. Более выгодна стратегия (71, S ),
реагирующая на изменения спроса. Стратегии (S, S) и (5, Q) сложны и
требуют, в частности, непрерывного учета расхода запасов. При опреде­
лении числа запасных частей в качестве критерия оптимизации исполь­
зуют вероятность достаточности запасных частей каждого наименования
или комплекта ЗИП, а также допустимое время нахождения изделия в
неработоспособном состоянии, т.е. удовлетворение заданным комплекс­
ным показателям надежности КГ или К,
При установлении требований к составу комплекта ЗИП учитывают
следующие виды затрат и потерь:
- затраты на изготовление, транспортирование и хранение запасов;
- ущерб, обусловленный замораживанием оборотных средств в
связи с длительным сроком неиспользования запасов;
- ущерб, возникающий в связи с недостаточностью или отсутстви­
ем в комплектах ЗИП некоторых видов элементов;
- ущерб, обусловленный списанием неиспользованных запасных
частей в связи со снятием с эксплуатации изделий по причине морально­
го или физического старения.
Таким образом, конкретные условия эксплуатации, обслуживания и
ремонта изделий обуславливают:
- стратегию обеспечения эксплуатируемых изделий запасными ча­
стями;
334
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
- номенклатуру элементов ЗИПа;
- число элементов ЗИПа.
При установлении стратегии обеспечения запасными частями, в
частности, должны быть решены следующие вопросы:
- необходимость создания комплектов ЗИП и их номенклатура;
- определение совокупности изделий, для которых устанавливают
номенклатуру и число запасных частей, порядок пополнения запасов;
- выбор критерия, характеризующего достаточность ЗИП.
Основным методом выбора номенклатуры запасных частей является
анализ данных об интенсивностях отказов или сроках службы элементов
изделий в предполагаемых условиях их эксплуатации. Такие данные со­
держатся в соответствующих справочниках или могут быть получены по
результатам испытаний и эксплуатации. Подробный анализ выбора номен­
клатуры ЗИПа и метод расчета его количественного состава дан в гл. 4.
В общем случае, в основу определения числа запасных элементов из
какой-либо номенклатуры положено соотношение
/?3
а3 = Bep[w < «.,} = J'.nO
(6-43)
1=0
где *з = Вер{/п<л3} - вероятность того, что необходимое число т
(т = 0, 12, ..., и3) элементов данного вида будет меньше числа запасных
частей; Pi,n(Q - вероятность того, что за рассматриваемый период t3
эксплуатации из п элементов какой-либо номенклатуры потребуется
заменить ровно i элементов; п3 - число запасных элементов данной
номенклатуры.
Из практики работы изделий в условиях эксплуатации установлено,
что поток требований по замене элементов становится близким к про­
стейшему, т.е. распределение вероятностей
описывается законом
распределения Пуассона, а распределение времени между заменами эле­
ментов - показательным распределением. В этом случае формула (6.42)
принимает вид:
и;
^p) = -v^'"'P,
(6.44)
где /?7Ср - среднее число замен элементов данной номенклатуры за дли­
тельность t наработки изделий; / = 12,...;
п1 = X
1 ,,
тср = —
здесь /ср - среднее время между заменами элементов.
(6.45)
МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТ ПРИ ТО И РЕМОНТЕ
335
В рассматриваемом случае формула (6.43) примет вид
аз = ^(^е-^=£К1 -А,
i=0
i=0
6
/-
’
(6.46)
где Х = Хи - суммарная интенсивность замен элементов.
Для удобства проведения расчетов часто пользуются другой фор­
мулой
I
-
(6.47)
1=0
1-
где 1 - а3 - вероятность того, что заменяемое число элементов будет
больше числа запасных частей.
Следовательно, если известны значения Х3 и t, то, задавшись значени­
ем ос, или 1 - а„ можно установить необходимое число запасных частей.
Для определения числа запасных частей с заданной вероятностью а3
по формулам (6.45) и (6.46) используют графики функции и,=/(/иср, ач)
(рис. 6.1).
Суммарный необходимый поток требований по замене элементов
при работе, техническом обслуживании и ремонте состоит из потоков
замен обусловленных:
- отказами изделий при работе; интенсивность потока Х|;
- осуществлением различных видов технического обслуживания;
интенсивность потока Х2;
- осуществлением некоторых видов плановых ремонтов изделий;
интенсивность потока Х3;
- различными причинами при замене элементов из состава нахо­
дящихся на хранении запасных частей; интенсивность потока Х4.
Следовательно,
4
Х3 = Х| + Х2 + Хз + Х4 = 22
(6.48)
2=1
Для установившегося периода эксплуатации изделий величины Х3 и
Х; являются величинами, не изменяющимися во времени.
В практике обеспечения надежности изделий при эксплуатации ис­
пользуют три вида комплектов ЗИПов: одиночный (ЗИПо), групповой
(ЗИПг) и ремонтный (ЗИПр). При расчете необходимого количественно­
го состава перечисленных ЗИПов используют формулу (6.46), в которой
для каждого вида ЗИПа меняются значения величин Х3 и (. При этом для
ЗИПо, ЗИПг и ЗИПр интенсивности замен соответственно равны:
336
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Рис. 6.1. График функции и3 =/(/иср, «Д для определения
числа запасных частей
Х30 - Xnt0 ;
Хзг - А г Хи /;
Хр -
Ар Хи /
р,
(6.49)
где X - интенсивность отказов (замен) элемента выбранной номенклату­
ры в ЗИПе; п - число элементов номенклатуры ЗИПа на одном изделии;
/0, 6 и /р - время работы, на которое рассчитывают ЗИПо, ЗИПг и ЗИПр,
соответственно; N и Ар - числа изделий, на которые рассчитывают груп­
повой и ремонтный ЗИПы, соответственно.
I
МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТ ПРИ ТО И РЕМОНТЕ
337
В этом случае формула (6.46) для ЗИПг и ЗИПр преобразуется к виду:
(6.50)
(6.51)
Наряду с правильным выбором номенклатуры и количественного
состава ЗИПа важное место занимает обеспечение находящихся в экс­
плуатации изделий материалами. Отсутствие или недостаток необходи­
мых материалов, как и запасных частей, используемых при техническом
обслуживании и ремонте изделий, является причиной дополнительного
простоя изделий в неработоспособном состоянии, что ухудшает качество
работы или увеличивает расходы на эксплуатацию. Излишние же запасы
материалов вызывают увеличение затрат на хранение.
Управление запасами предполагает установление величины началь­
ных запасов и периодичности их пополнения. Методика решения этих
вопросов зависит от характера спроса, а также принятыми системой ма­
териального обеспечения и стратегией управления запасами. Например,
в качестве стратегии управления запасами можно применять стратегию
(Г, S), которая характеризуется периодическим пополнением запасов
(период 7)) и их восстановлением до максимального уровня. При постро­
ении модели управления запасами обычно рассматривают задачи со ста­
ционарным детерминированным или вероятностным спросом. Рассмат­
риваемым условиям обеспечения изделий материалами больше соответ­
ствует вероятностный характер спроса.
Решение задач управления запасами достаточно подробно описано в
работах [29, 49]. Например, рассмотрим из работы [29], однономенкла­
турную задачу с дефицитом и мгновенной поставкой tp и стратегией
управления запасами (Гп, S). В условие задачи входят параметры: ц постоянство интенсивности спроса материала в единицу времени; S постоянство издержек хранения материала в единицу времени; g - фик­
сированные издержки; t2 - задержка в поставках материала; (Q -S) допустимый дефицит; d - издержки дефицита (ущерб, обусловленный
отсутствием какого-либо материала); Ч - период исчерпания запасов; 7], период пополнения запасов; Q - объем заказа; <> - переменный запас; S оптимальный предельный запас.
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
338
Затраты на запасы (в единицах времени) составят [29]
’ '
Л
,Q-S '
Gi = — g+S-ti+d*—t2
Т
* пП \
/
(6.52)
или, подставляя значения /| и /2, равные
'1
в
• h
- 'п
В
В
получим
G1(s,7’11)=^- +
2п
2И7],
2
(6.53)
Взяв частные производные по управляемым переменным S и Т„,
получим оптимальные значения величин:
2В£
Г*
2п
(6.54)
(6.55)
(6.56)
Объем заказа Q составляет
(6.57)
В тех случаях, когда дефицит не допускается, расчет запасов выпол­
няют по формулам Вильсона [29], широко применяемым в теории управ­
ления запасами:
(6.58)
Зависимости (6.54) - (6.57) являются приближенными, но в ряде
случаев обеспечивают получение достаточно приемлемых решений.
ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ 339
Пример 6.1. Пусть объектом заказа и хранения является каменный
уголь, при этом известны параметры: g = 10 000 р.; .S' = 100 р./(кг/день);
d= 1000 р./(кг/день); ц = 20 кг/день.
Определить: S*- оптимальный предельный запас; Т* - оптималь­
ный период пополнения запаса; Q - оптимальный объем заказа;
Gj( S ,ТП)~ затраты на запасы, отнесенные к одному дню хранения.
Решение. Для определения указанных величин воспользуемся фор­
мулами (6.54) - (6.57):
S =О=
1
2pg
|<8 f
2-20-10 000
looll +
< 1000J
= 3,31 дней;
2-20-10 000
100
1000
В заданных условиях задачи дефицит составляет: Q - S* = 66,33 - 60,31 = 6,02 кг, т.е. дефицита не должно быть.
6.8. ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ
О НАДЕЖНОСТИ И РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
С МЕСТ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Главная цель сбора информации состоит в том, чтобы дать объек­
тивную оценку надежности, и как ее свойства, - ремонтопригодности
изделий.
Процесс эксплуатации является самым длительным и ответствен­
ным периодом в жизни изделий. Этот этап характеризуется реальными
нагрузками, действующими на изделие, в условиях окружающей среды:
с перепадом температур и давлений, атмосферными осадками. Получае­
мые сведения о надежности изделий с мест эксплуатации являются
340
Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
объективными и отражают действительное их качество. Сбор информа­
ции с мест эксплу