Надежность в технике

УДК 621.192 ББК 30.14 Т77 Рецензент чл.-корр. РАН М. Н. Бабушкин Т77 Труханов В. М. Надежность в технике. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ООО Изда тельский дом «Спектр», 2017. - 656 с.: ил. ISBN 978-5-4442-0121-3 Рассмотрены теоретические и практические вопросы надежности сложных систем на различных этапах их жизненного цикла. Приведены методы обеспече ния и повышения надежности на стадиях проектирования, серийного производ ства и эксплуатации, математические модели построения кривых роста надежно сти пассивным методом и с учетом управляющих воздействий, а также пути по вышения надежности конструктивными и технологическими способами. Рассмотрены вопросы технической диагностики и методы продления сро ков эксплуатации дорогостоящих объектов. Для специалистов, работающих в области исследования, создания и экс плуатации изделий машиностроения, преподавателей и студентов вузов. УДК 621.192 ББК 30.14 Научное издание ТРУХАНОВ Владимир Михайлович НАДЕЖНОСТЬ В ТЕХНИКЕ Редакторы: Н.Е. Кузнецова, А.И. Евсейчев Корректоры А.Г. Изосимова, А.И. Евсейчев Инженеры по компьютерному макетированию А.И. Евсейчев, НИ. Смольянина ISBN 978-5-4442-0121-3 Сдано в набор 20.09.2016 г. Подписано в печать 20.11.2016 г. Формат 60 х 88 '/ie. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 41,0. Уч.-изд. л. 48,2. Тираж 300 экз. Заказ 112298. ООО «Издательский дом «Спектр» 119048, Москва, ул. Усачева, д. 35, стр. 1. Http:/Avw\v.idspektr.ru. E-mail: info@idspektr.ru Отпечатано в типографии Публичное акционерное общество «Т8 Издательские Технологии» 109316 Москва, Волгоградский проспект, дом 42, корпус 5 ISBN 978-5-4442-0121-3 © ООО Издательский дом «Спектр», 2017 © Труханов В. М., 2017 ©ВолгГТУ, 2017 I ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.................................................................................................. 13 Глава 1. Методологические и органезацеонно-технеческее основы исследований надежности современной техники............... 17 1. 1. Основные понятия, определения и термины.............................. 17 1.2. Методологические исследования надежное™......................... 25 1. 3. Математические методы исследования......................................... 26 1.4. Исследование надежности на этапе разработки конструктор ской документации................................................................................. 27 1. 5. Исследование надежности на этапе испытаний опытных об разцов ........................................................................................................ 29 1. 6 . Исследование надежности техники на этапе серийного про изводства .................................................................................................. 31 1. 7 . Исследование надежности техники на этапе эксплуатации . . . 33 1. 8 . Организационные методы обеспечения надежности техники . . .35 1.9. Структурные подразделения надежности и их задачи........... 41 Глава 2 . Математический аппарат. Элементы теории вероятно стей и математической статистики....................................................... 47 2 .1. Понятие события . Действия над .............................. 47 2.2. Частота события. Свойства частот. Статистическая вероят ность .......................................................................................................... 51 2.3 . Аксиомы теории вероятностей..................................................... 53 2 .4 . Зависимые и независимые события . Теорема умножения для независимых событий............................................................................... 56 2.5 . Формула полной вероятнооти..........................................................57 2.6 . Формула Бейеса............................................................................... 59 2.7 . Частная теорема о повторении опытов . Формула Бернулли 60 2.8. Случайные величины и законы их распределении................... 62 2.9. Дискретные законы распределения, часто используемые в теории надeжнoееи................................................................................. 66 2.9 .1. Закон Пуассона.................................................................... 66 2.9.2 . Биномиальное распределение........................................... 66 2.9.3 . Гипергеометрическое распределении.............................. 67 2.10 . Непрерывные законы распределении...........................................69 2 .10 .1. Экспоненциальное распределении.................................... 69 2.10.2 . Распределение Вейбуллл................................................. 70 2.10.3 . Нормальное распределении............................................. 71 2 .10 .4 . Логарифмически нормальное распределении................. 75 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 2.10.5 .Гамма-распределение.................................................... 77 2.10.6 . Распределение хи-квадрат (%2)........................................ 79 2 .10.7 . Распределение по закону равной вероятности.............. 80 2 .10.8 . Распределение Стьюденга (Госсета).............................. 82 2.10.9 . Беаа-pacпpeделение.......................................................... 83 2.10.10. Распределение смеси и совокупности случайных ве личин .............................................................................................. 84 2.11. Числовые характеристики случайных величин...................... 85 2.12. Некоторые предельные теоремы теории вероятностте........ 92 2.13. Элементы математической статистики и ее основные задачи 95 2.14. Точечные оценки параметров распределении........................ 66 2 .15 . Метод максимального правдоподобия.................................... 77 2.16 . Метод мсмeнтoс........................................................................ 98 2 .17 . Исследование точности оцениваемых параметров методом доверительных интервалов................................................................ 100 2 .18 . Методы проверки статистических гипоттл............................ 102 Глава 3. Исследование надежности на стадии проектирования технических систем................................................................................ 107 3.1. Задачи исследования надежности................................................ Ю7 3.2. Задание требований, выбор номенклатуры показателей на дежности, распределение норм надежности.................................... Ю8 3.3. Метод рационального распределения норм надежности НО 3. 4 . Метод равномерного распределении........................................ 113 3.5 . Метод пропорционального распределенни.............................. 113 3.6. Метод распределения требований по надежности с учетом относительной уязвимости эеeмeнтoс............................................ 114 3.7. Метод распределения требований по надежности с учетом важности подсистемы........................................................................ 116 3.8 . Виды отказао................................................................................ 118 3. 9 . Показатели надежности невосттанавливалмсго элемента . . . . 120 3.10 . Показатели надежности восстанавливаемого элемента........ 144 3.11. Расчет проектной надежности систем с последовательным соединением элементов.................................................................... 131 3.12 . Расчет проектной надежности систем без учета восстанов ления резервных элементоо.............................................................. 136 3.13. Расчет проектной надежности систем с учетом восстанов ления резервных эелмeнтoв.............................................................. 143 3.14 .Методы расчета надежности дорогостоящих небракуемых объектов типа подвижных установок на этапе проектирования . . . 145 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 3.15 . Модель расчета надежности, учитывающая случайные от казы ...................................................................................................... 148 3.16 .Модель расчета надежности, учитывающая неслучайные отказы.................................................................................................. 152 3.17 . Методика расчета и достижения требуемого уровня надеж ности .................................................................................................... 154 3 .18 . Расчет проектной надежности механических узлов и метал локонструкций .................................................................................. 157 3.19 .Расчетные зависимости вероятности безотказной работы механических узлов по заданным критершш.................................... 159 3. 20 . Применение методов подобия при проектировании............ 173 3.21. Исследование надежности изделий на этапе разработки конструкторской документации при выборе запасных частей и инструментов...................................................................................... 176 3.22 . Расчет количественного состава запасных частей................ 178 3.23 . Принципы конструирования, обеспечивающие создание на дежных систем.................................................................................... 182 3. 24 . Конструирование систем электроавтоматики........................ 184 3.25. Конструирование силовых узлов и компоновка изделия .... 186 3.26. Конструирование гидравлических систем и механических узлов.................................................................................................... 188 3. 27 . Методика расчета количественных показателей надежности изделий на этапе проектирования.................................................... 191 Глава 4. Исследование надежности изделий на этапе экспери ментальной отработки.......................................................................... 199 4 .1 . Цель и виды испытаний.............................................................. 199 4.2. Организация и последовательность создания сложных сис тем .......................................................................................................... 201 4.3 . Программа экспериментальной отработки.............................. 204 4 .4 . Контроль уровня оценки выполнения программы экспери ментальной отработки...................................................................... 206 4.5 . Исследовательские испытания опытных образцов.................... 208 4.6 . Планирование исследовательских и контрольных испытаний методом фиксированного объема.................................................... 213 4.7. Планирование испытаний при экспоненциальном законе распределения наработки для фиксированного объема................ 215 4.8. Планирование испытаний при нормальном и логарифмиче ски нормальном законах распределения наработки на отказ для фиксированного объема.................................................................... 221 6 ОГЛАВЛЕНИЕ 4.9. Планирование испытаний методом фиксированного объема, когда показателем оценки является вероятность безотказной ра боты или вероятность отказа, распределенная по биномиальному закону или закону Пуассона................................................................ 224 4 .10 .Планирование исследовательских и контрольных испыта ний методом последовательного анализз.......................................... 228 4 .11. Планирование испытаний методом последовательного ана лиза при двух заданных уровнях показателя надежности для би номиального закона распределении............................................ 230 4.12 . Планирование испытаний методом последовательного ана лиза для экспоненциального закона распределения...................... 233 4.13. Планирование испытаний методом последовательного ана лиза для закона распределения Пуассонн.......................................... 235 4.14 . Планирование испытаний методом последовательного ана лиза при двух заданных уровнях показателя надежности для нормального закона распределения наработки на отказ.................. 238 4.15. Планирование испытаний дорогостоящих небракуемых изделий методом последовательного анализа для различных законов распределения при двух заданных уровнях показателя надежности............................................................................................ 241 4 .16 . Планирование испытаний дорогостоящих небракуемых изделий методом последовательного анализа для биномиального закона распределения при одном заданном уровне показателя надежности............................................................................................ 243 4 .17 . Сравнительный анализ объемов испытаний, полученных методами Неймана-Пирсона и последовательного анализа для различных законов распределении.................................................. 253 4 .18 . Исследования надежности в утяжеленных режимах испыта ний .......................................................................................................... 256 4.19. Планирование объемов испытаний с учетом проводимых доработок и ресурсно-временного запаса.......................................... 262 Глава 5. Исследование надежности изделий при постановке их на производство и в процессе серийного изготовления.................... 269 5.1. Контрольные испытания изделий на этапе подготовки к серийному производствв.................................................................. 269 5.2. Влияние производственных факторов на качество выпускае мой продукции...................................................................................... 270 5. 3 . Номенклатура показателей качества продукции . Влияние показателей технологичности на надежность изделии.................. 271 ОГЛАВЛЕНИЕ 7 277 5.4. Методы оценки качества промышленной продукции 5.5. Контроль качества и надежности изделия на этапах проектирования, производства и эксплуатации.............................. 779 5.6. Контроль стабильности технологических процессов и оценка их надежности.................................................................................... 284 5.7 . Исследование и оценивание стабильности технологических процессов............................................................................................ 271 5.8 . Систематизация и анализ дефектов и неисправностей изделий в процессе серийного производства. Оценка качества продукции............................................................................................ 2766 5.7 . Контроль качества и планирование испытаний изделий серийного и массового производства.............................................. 306 Глава 6. Исследование надежности изделий на этапе эксплуата ции ............................................................................................................ 308 6.1 .Исследование проблемы ремонтопригодности изделий машиностроения................................................................................ 308 6 . 2 . Показатели ремонтопригодности изделий................................ 312 6.3 . Дополнительные показатели ремонтопригодности................ 317 6 .4 . Обеспечение требований ремонтопригодности изделий при проектировании и изготовлении...................................................... 322 6.5 . Обеспечение требований ремонтопригодности изделий в процессе эксплуатации . Система технического обслуживания и ремонта................................................................................................ 366 6.6. Влияние организационных и технологических факторов технического обслуживания и ремонта на значения показателей ремонте пригодное™.......................................................................... 228 6.7 . Материальное обеспечение работ при техническом обслужи вании и ремонте по обеспечению работоспособности и ремонто пригодности изделий.......................................................................... 322 6.8. Цель и организация сбора информации о надежности и ремонтопригодности изделий с ме^т эксплуатации...................... 337 6.7 . Анализ статистических данных и оценивание показателей ремонтопригодности изделий по результатам эксплуатации........ 350 Глава 7. Оценка надежности................................................................ 559 7 .1. Требования к методам контроля................................................ 579 7.2 . Оценка показателей надежности на основе параметрических методов................................................................................................ 300 7.3 . Свойства оценок.......................................................................... 661 8 ■ ОГЛАВЛЕНИЕ 7.4. Теоретическое определение оценок параметров наиболее применимых в теории надежности законов распределення.......... 362 7.5. Нахождение приближенных доверительных границ оценок параметров распределенни................................................................ 373 7.3 . Статистическое нахождение оценок параметров наиболее применимых в теории надежности законов распределения для различных планов испытаний.......................................................... 374 7.7 . Точечная оценка надежности и доверительные пределы функции надежности.......................................................................... 378 7.8 . Приближенная оценка надежности и приближенные довери тельные пределы функции надежности.......................................... 379 7.9. Приближенные оценки надежности и их доверительные интервалы для некоторых законов расгцр^^^с^ел^т^ти........................ 381 7.10. Точные доверительные пределы для функции надежности в случае экспоненциального распределения, распределения Вейбулла и гамма-pacпpeдeления.......................................................... 383 7.11. Оценивание показателей безотказности на основе пара метрических методов........................................................................ 390 7.16. Оценивание показателей безотказности на основе непара метрических методоа........................................................................ 398 7.13 .Оценивание показателей безотказности при испытаниях с измерением определяющих параметров.......................................... 403 7.14 . Оценивание надежности изделия по результатам испытаний элементов............................................................................................ 410 Глава 8. Установление законов распределения значений показа телей надежности по статистическим данным. Проверка соот ветствия законов и их параметров по критериям согласия.......... 414 8.1. Графическое представление вероятнос'гей.............................. 414 8.6. Методы построения статистической функции надежности, гистограммы и вероятностной бумаги............................................ 413 8.3. Проверка допущений о законах распределения с помощью критериев согласии............................................................................ 467 8.4 . Критерий W проверки допущений о виде распределения . . . . 468 8.5 . Критерий согласия хи-квадрат (% ).............................................. 433 8.3 . Критерий Колмогорова.............................................................. 439 8.7. Проверка однородности совокупности двух групп статисти ческих данных по критерию сравнения частот отказоЕ................ 444 8.8. Приближенный критерий значимости, основанный на нормальном распpeдeленни.................................................................447 ОГЛАВЛЕНИЕ 9 8.9. Проверка гипотезы о равенстве средних значений из двух нормально распределенных совокупностей оцениваемых вели чин ..........................................................................................................451 8 .10 . Сравнение вероятностей отказов по критерию согласия % (непараметрический случай)............................................................ 454 8.11. Критерий знаков.......................................................................... 457 8 .12 . Непараметрический критерий Уилкоксона.............................. 461 Глава 9. Математические модели изменения уровня надежности технических систем.................................................................................. 467 9 .1. Процесс изменения надежности изделия на этапах его жизненного цикла.............................................................................. 467 9.2. Виды моделей роста надежности. Непараметрическая модель, основанная на биномиальном распределении.................. 471 9.3 . Триномиальная модель.............................................................. 473 9 .4 . Параметрические модели роста надежности.............................. 476 9.5 . Многопараметрическая статистическая модель изменения уровня надежности............................................................................ 480 9.6 . Гиперболическая модель роста функции надежности и другие виды зависимостти................................................................ 483 9.7 . Вероятностные модели, основанные на логических предпо сылках ....................................................................................................487 9.8 . Математическая модель изменения уровня надежности изделий с учетом управляющих воздействий.................................. 489 9.9 . Методика оценивания управляющих воздействий.................... 502 9.10. Математическая модель изменения уровня надежности изделий с учетом управляющих воздействий, выраженных в виде вероятностей...................................................................................... 520 Глава 10 . Пути и методы повышения надежности сложных си стем при проектировании, серийном производстве и эксплуа тации ........................................................................................................ 532 10.1. Методы отработки конструкций изделий на технологич ность .................................................................................................... 532 10.2 . Количественные показатели технологичности конструкций 536 10.3 . Качественная оценка технологичное™.................................. 543 10.4. Влияние атмосферных и климатических условий на надежность изделий.......................................................................... 546 10.5 . Повышение надежности деталей машин упрочняющей поверхностной обработкой................................................................ 553 ОГЛАВЛЕНИЕ 10 10.6. Пути повышения надежности систем электроавтоматики при проектировании.......................................................................... 554 10.7 .Пути повышения надежности систем электроавтоматики при изготовлении.................................................................................. 568 10.8 .Пути повышения надежности систем электроавтоматики при эксплуатации................................................................................. 569 Глава 11. Техническая диагностика.................................................. 572 11.1. Основные задачи технической диагностики.............................572 11. 2 . Структура технической диагностики........................................ 573 11. 3 . Постановка задач технической диагностики............................ 574 11. 4 . Прикладные вопросы технической диагностики.................. 577 Глава 12. Методы продления сроков эксплуатации дорого стоящих объектов.................................................................................. 586 12 .1 Расчетно-аналитический метод................................................ 586 12.2. Экспериментальный метод...................................................... 587 12.3. Вероятностный метод расчета работоспособности изделия в течение продленного срока эксплуатации с учетом фактического технического состояния элементной базы...................................... 591 12. 4 . Основные понятия и соотношения............................................ 592 12.5 . Показатель «средний остаточный ресурс» и его свойства . . . 593 12.6. Оценка остаточного ресурса сложных технических устройств по данным эксплуатации................................................ 601 Приложение............................................................................................ 606 1. Значения нормальной функции распределения 1 г --г Ф*(х) = =^= I е 2 dt V271 J00 x = =t~MM) ° о х = Up = Uu=Uu........... 606 1 2 2 . Значения функции /(х) = -у=ехр(-х-/2).................................. 609 <2я: Г 7 —7 3. Функция Лапласса Ф(х) = — i е ~Л...................................... 610 V2nf> 1 Г 4. Значения квантилей Стьюдента ф, удовлетворяющие равенст'₽ ву 2 j Sm (t)dt = р, в зависимости от р и т........................................ 6И о ОГЛАВЛЕНИЕ 11 5. 95-процентные доверительные интервалы при биномиальном распределении.................................................................................... 613 6 . Квантили /--распределения _________ 1_________ Xl-aO-') £ гд_, 616 е 21 2 dt = 1 - а о 7 . Нижняя доверительная граница £ для вероятности безотказ ной работы при биномиальном плане испытаний и уровне дове рия q = 0,8..............................................................................................617 2<'-1>/2Г[(г-1)/2] 8. Квантили распределений статистик V4 и т/ при у = 0,9; 0,95; 0,99 для уровней 0,1 и 0,9.................................................................... 622 9. Значения K(q, у, N........................................................................ 625 10. Коэффициенты <„_,. ь используемые при проверке распреде ления на нормальность с помощью критерия W, для и = 3... 50 . .. 626 11. Процентили критерия W, используемого для проверки рас пределения на нормальность, для п = 3...50 .................................... 628 12. Постоянные у, г] и е, используемые для нахождения вероят ности получения вычисленного значения W при проверке рас пределения на нормальность............................................................ 629 13. Процентили для критерия WE0.................................................... 630 14. Процентили для критерия ЖЕ.................................................... 631 15. Критерий А. Н. Колмогорова. Значения теоретической функ ции А. Н. Колмогорова К(у)*.............................................................. 632 16. Критические значения максимального отклонения (<7_а) эмпи рической функции распределения от теоретической (случай ко нечных объемов выборки).............................................................. 633 17. Статистический критерий значимости P(h\, h-2) изменения ча стот (при значениях /и, < т т и т, < m2 вероятность P(^!,^2)>0,16).................................................................................. 636 18. Границы критической области для критериев знаков (число к* положительных и отрицательных разносттй)................................ 644 19. Критические значения F-распределения при а = 0,01; а = 0,005 и различных от 1 и ш.......................................................... 645 20. Значения функции у = 2arcsinVx ................................................647 ОГЛАВЛЕНИЕ 12 Номограммы.................................................................................................... 648 Рис. 1. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному значению v.......................................................................................... Рис . 2 . Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному значению v.......................................................................................... Рис . 3 . Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному значению v.......................................................................................... Рис . 4 . Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному значению v.......................................................................................... Рис. 5. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному значению v.......................................................................................... Рис. 6. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний п, уровню доверия q и вычисленному значению v.......................................................................................... Список литературы 648 649 650 651 652 653 654 ПРЕДИСЛОВИЕ Вопросам надежности в технике уделяют большое внимание, так как создаваемые изделия машиностроения, и особенно сложные, многофунк циональные, должны обладать высокой надежностью и безопасностью в эксплуатации. Обеспечение надежности изделий машиностроения при их создании, серийном производстве и эксплуатации - одна из важнейших проблем в машиностроении. Многие задачи обеспечения надежности сложных систем, такие как выбор оптимальной конструкции, планирование объемов испытаний на этапах экспериментальной отработки и серийного производства, модели рование процесса отработки, назначение рационального срока техниче ского обслуживания в процессе эксплуатации, определение оптимального числа запасных частей и инструмента и другие проблемы, тесно связаны с теорией вероятности и математической статистикой. Эта взаимосвязь обусловлена необходимостью правильно проанализировать полученные при исследованиях данные о надежности изделий на всех этапа их жиз ненного цикла и сделать объективные выводы на базе научных методов. Также важен научный подход к вопросам контроля и управления каче ством и надежностью изделий машиностроения в процессе их серийного производства, а также к методам достижения и обеспечения надежности изделий на всех этапах их жизненного цикла. Книга снабжена большим числом примеров, основанных на кон кретном практическом материале, взятом из отрасли машиностроения по созданию сложных технических типа большегрузных подвижных устано вок. Однако, несмотря на специальный подбор примеров, приведенными материалами могут воспользоваться и инженеры, работающие в других отраслях техники. Книга состоит из двенадцати глав и приложения. Каждая из глав по священа исследованию конкретного вопроса, связанного с методами обеспечения и повышения надежности сложной технической системы. Приложение представляет собой таблицы и номограммы, предназначен ные для практических расчетов надежности и определения объемов ис пытаний. Первая глава посвящена методологическим и организационно-тех ническим вопросам исследования надежности современной техники. Да ны основные понятия, определения и термины надежности. Описаны ме тодологические и математические методы исследования надежности сложных систем на этапах разработки конструкторской документации, испытаний опытных образцов, серийного производства и эксплуатации. Приведены организационные методы обеспечения надежности техники. 14 ПРЕДИСЛОВИЕ Во второй главе описан математический аппарат, используемый в теории надежности, основанный на элементах теории вероятностей и математической статистики. В третьей главе рассмотрены вопросы надежности техники на ста дии проектирования, и даны методы выбора номенклатуры показателей надежности, а также распределение норм надежности, определение видов отказов и показатели надежности для восстанавливаемых и невосстанавливаемых элементов. Изложена методика проектного расчета надежности различных видов соединения элементов в системе с учетом и без учета восстановления резервных элементов. Даны расчеты электроавтоматики и механических узлов по различным критериям, показано применение методов подобия при проектировании. Изложены теоретические и прак тические вопросы выбора номенклатуры и расчета количественного со става запасных частей, принципы конструирования, обеспечивающие создание надежных систем и методика расчета количественных показа телей надежности изделий на этапе проектирования. Материалы четвертой главы помогут в исследованиях надежности изделий на этапе их экспериментальной отработки, так как в главе опи саны цель, виды, организация и последовательность создания сложных систем, приведена программа экспериментальной отработки. В этой же главе даны виды испытаний опытных образцов и методы планирования исследовательских и контрольных испытаний на основе фиксированного объема и последовательного анализа для различных законов распределе ния наработки на отказ при одном и двух заданных уровнях показателя надежности. Описаны исследования надежности изделий в утяжеленных режимах испытаний, а также рассмотрены методы планирования объемов испытаний с учетом проводимых доработок на основе ресурсно-времен ного запаса. Пятая глава посвящена исследованию надежности изделий при по становке их на производство и в процессе серийного изготовления, а также влиянию производственных факторов на качество выпускаемой продукции. Дана номенклатура показателей качества продукции и влия ние показателей технологичности на надежность изделий и методы оцен ки качества промышленной продукции на этапах проектирования, произ водства и эксплуатации. Описаны методы контроля стабильности техно логических процессов и оценка их надежности. Приведены методы си стематизации дефектов и неисправностей в процессе серийного произ водства и методика оценки качества промышленной продукции. В шестой главе исследуются вопросы надежности изделий на этапе эксплуатации. Здесь рассмотрены проблемы ремонтопригодности изде лий машиностроения, даны количественные показатели ремонтопригод- ПРЕДИСЛОВИЕ 15 ности и методы их оценки. Описаны методы обеспечения требований ремонтопригодности изделий при проектировании, изготовлении и в процессе эксплуатации. Дана система технического обслуживания и ре монта, показано влияние организационных и технологических факторов на показатели ремонтопригодности, материального обеспечения работ при техническом обслуживании и ремонте. Представлен метод анализа статистических данных и оценка показателей ремонтопригодности. В седьмой главе изложены методы оценки надежности как с учетом параметрических данных, так и без их учета. Дано теоретическое и стати стическое определение точечных оценок параметров наиболее применя емых в теории надежности законов распределения. Показаны методы нахождения приближенных доверительных границ оценок параметров распределений для различных законов. Описаны также приближенные и точечные методы оценки надежности и приближенные доверительные пределы функции надежности для различных законов распределения. Изложена оценка показателей безотказности на основе параметрических и непараметрических методов. Рассмотрена оценка показателей безот казности при испытаниях с измерением определяющих параметров. Дана методика оценки надежности изделия по результатам испытаний элементов. Материалы восьмой главы помогут установить законы распределе ния значений показателей надежности по результатам статистических данных и проверить соответствие законов распределения и их парамет ров по критериям согласия. Определение вида закона распределения про водят построением статистической функции надежности, гистограммы и вероятностной бумаги, проверку допущений о законах распределения значений параметров изделий или технологических процессов - с помо щью различных критериев согласия, таких как критерии W, / (хиквадрат), Колмагорова, знаков, Вилкоксона и др. Девятая глава посвящена исследованию математических моделей изменения уровня надежности технических систем. Показан процесс из менения надежности изделия на этапах его жизненного цикла. Достаточ но подробно рассмотрены как непараметрические, так и параметрические модели. Описаны вероятностные модели, основанные на логических предпосылках. Особое место в этой главе занимают математические мо дели изменения уровня надежности изделий с учетом управляющих воз действий, выраженных в явном виде, для различных законов управления и выходной характеристики. Дана методика оценки управляющих воз действий, описана также математическая модель изменения уровня надежности изделий с учетом управляющих воздействий, выраженных в виде вероятностей. 16 * ПРЕДИСЛОВИЕ В десятой главе рассмотрены пути и методы повышения надежности сложных технических систем на современном уровне, даны методы по вышения надежности на каждом этапе жизненного цикла, показаны ме тоды отработки конструкций изделий на технологичность и даны количе ственные показатели технологичности изделий. Читатель найдет здесь описание качественной оценки технологичности и влияния атмосферных и климатических условий на надежность изделий. Указаны методы по вышения надежности деталей машин упрочняющей поверхностной обра боткой, а также пути повышения надежности системы электроавтоматики при проектировании, изготовлении и эксплуатации. В одиннадцатой главе рассмотрены вопросы технической диагно стики. В частности основные задачи технической диагностики, структура технической диагностики и прикладные вопросы технической диаг ностики. Двенадцатая глава посвящена методам продления сроков эксплуата ции дорогостоящих объектов. В частности рассмотрены расчетно-ана литический метод, экспериментальный и вероятностный метод расчета работоспособности изделия в течение продленного срока эксплуатации. Каждая глава книги сопровождается рядом примеров, взятых из практики создания, серийного производства и эксплуатации изделия ма шиностроения. Книга рассчитана на инженеров, преподавателей вузов и студентов, имеющих математическую подготовку в объеме обычного курса высших технических учебных заведений. О замеченных недостатках книги, а также о необходимости включе ния в нее тех или иных материалов просьба сообщать по адресу: Волгоград, Волгоградский государственный технический универси тет, кафедра «Автоматизация производственных процессов». Глава 1 МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЙ НАДЕЖНОСТИ СОВРЕМЕННОЙ ТЕХНИКИ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНЫ Под техникой, в широком смысле слова, понимают все многообра зие создаваемых комплексов и изделий, таких как машины и механизмы, системы и агрегаты, приборы и устройства, приспособления и детали, ап паратура и электрорадиоэлементы, предназначенные для осуществления процессов производства и удовлетворения потребностей общества [20]. Таким образом, техника является средством удовлетворения потребно стей общества. Под изделием обычно понимают предмет или набор предметов про изводства, подлежащих изготовлению на предприятии. Изделие может состоять из одной детали или совокупности деталей, соединенных в сбо рочные единицы. Машины, механизмы, агрегаты, приборы, устройства, аппаратуру, приспособления можно рассматривать как разновидность изделий. Комплекс представляет собой совокупность изделий, взаимодей ствующих совместно в процессе их применения по назначению. Напри мер, комплексом может быть совокупность изделий, предназначенных для добычи нефти, угля, газа или совокупность специальных машин, предназначенных для выполнения задач военного назначения. В технике системой называют множество совместно действующих элементов, образующих некоторую целостность, предназначенную для выполнения определенных функций изделия, в теории управления совокупность взаимодействующих устройств управления и управляемого объекта. Так, в состав изделий специального назначения, как правило, входят системы связи, управления и энергоснабжения. Примерами более широкого понимания термина являются системы: управления прокатным станом, теле- и радиовещания, обслуживания и ремонта аппаратуры бы тового назначения. Под элементом понимают часть системы, предназначенную для вы полнения определенных функций и рассматриваемую при проведении анализа как единое целое. 18 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Итак, в технике в качестве основных можно принять следующие по нятия: элемент, система, изделие и комплекс, для которых и будут фор мулироваться определения и термины надежности, при этом для одно значности формулировок введем понятие «объект», обобщающее в себе такие понятия, как элемент, система, изделие и комплекс. Под надежностью, в узком смысле слова, понимают способность объекта исправно работать в течение определенного отрезка времени в заданных условиях эксплуатации. В нормативно-технической документа ции надежность — это «свойство объекта сохранять во времени в установ ленных пределах все параметры, обеспечивающие выполнение требуе мых функций в заданных условиях эксплуатации». Недостаточная надежность объекта приводит к простою машин, прекращению снабжения населения и промышленных предприятий водой, газом, электроэнергией или транспортными средствами, иногда является причиной аварий, связанных с большими материальными затра тами, разрушением крупных сооружений и с человеческими жертвами. Надежность объекта — комплексное свойство, характеризуемое четырьмя показателями: безотказностью, долговечностью, ремонтопригодностью и сохраняемостью. Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работо способное состояние в течение некоторого времени или некоторой нара ботки. Это одно из основных свойств, составляющих надежность. Оно особенно важно для изделий, отказ в работе которых связан с опасностью для жизни человека. Вероятность безотказного срабатывания — вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникает. Аналогично определяемые показатели можно применять и для режимов хранения и транспортирования. Вероятность восстановления работоспособного состояния - веро ятность того, что время восстановления работоспособности объекта не превысит заданного. Вероятность отказа - вероятность того, что в пределах заданной наработки возникает хотя бы один отказ. Внезапный отказ — отказ, вызванный скачкообразным изменением значений одного или нескольких заданных параметров объекта. Восстанавливаемый объект - объект, для которого проведение вос становления работоспособного состояния предусмотрено в нормативно технической документации. Восстанавливаемый резерв - резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, работоспособность которых в случае их отказа подлежит восстановлению при эксплуатации. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНЫ 19 Временное резервирование - резервирование с применением резерв ного времени. Время восстановления работоспособного состояния — продолжи тельность восстановления работоспособного состояния объекта. Гамма-процентная наработка до отказа - наработка, в течение ко торой отказ объекта не возникает с вероятностью у, выраженной в про центах. Гамма-процентный ресурс - наработка, в течение которой объект не достигает предельного состояния с заданной вероятностью у, выражен ной в процентах. Гамма-процентный срок службы - календарная продолжительность эксплуатации объекта, в течение которой он не достигает предельного состояния с заданной вероятностью у, выраженной в процентах. 1'амма-процентный срок сохраняемости — срок сохраняемости, достигаемый объектом с заданной вероятностью у, выраженный в про центах. Готовность - свойство объекта выполнять заданные функции в произвольный момент времени. Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособное со стояние до наступления предельного состояния при установленной си стеме технического обслуживания и ремонта. Единичный показатель надежности - показатель надежности, ха рактеризующий одно из свойств, составляющих надежность объекта. Заданная наработка - значение наработки, фиксируемое в норма тивной документации на объект. Интенсивность отказов - условная плотность вероятности отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого мо мента времени при условии, что до этого времени отказ не возник. Исправное состояние (исправность) - состояние объекта, при кото ром он соответствует требованиям нормативно-технической и(или) кон структорской документации. Комплексный показатель надежности - показатель надежности, ха рактеризующий несколько свойств, составляющих надежность объекта. Конструкционный отказ — отказ, возникший в результате несовер шенства или нарушения установленных правил и(или) норм конструиро вания объекта. Коэффициент готовности — вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. 20 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Коэффициент оперативной готовности - вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момен та, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени. Коэффициент технического использования - отношение математи ческого ожидания интервалов времени пребывания объекта в работоспо собном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математи ческих ожиданий интервалов времени пребывания объекта в работоспо собном состоянии, простоев, обусловленных техническим обслуживани ем, ремонтов за тот же период эксплуатации. Кратность резерва - отношение числа резервных к числу основных элементов объекта. Критерий отказа - признак или совокупность признаков неработо способного состояния объекта, установленные в нормативно-техничес кой и(или) конструкторской документации. Нагруженный резерв - резерв, который содержит один или несколь ко резервных элементов, находящихся в режиме основного элемента. Назначенный ресурс - суммарная наработка объекта, при достиже нии которой применение по назначению должно быть прекращено. Назначенный срок службы - календарная продолжительность экс плуатации объекта, при достижении которой применение по назначению должно быть прекращено. Наработка - продолжительность или объем работы объекта. Нара ботка может измеряться в единицах времени или объема выполненной работы (длины, площади, массы и т.д.). Наработка до отказа - наработка объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа. Рассматривается как для неремонтируемых, так и для ремонтируемых объектов. Наработка между отказами - наработка объекта от окончания восстановления его работоспособного состояния после отказа до возник новения следующего отказа. Относится только к восстанавливаемым объектам. Невосстанавливаемый объект - объект, для которого в рассматри ваемой ситуации проведение восстановления работоспособного состоя ния не предусмотрено в нормативно-технической и(или) конструктор ской документации. Невосстанавливаемый резерв - резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, работоспособность которых в случае их отказов восстановлению не подлежит. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНЫ 21 Независимый отказ - отказ объекта, не обусловленный отказом дру гого объекта. Неисправное состояние - состояние объекта, при котором он не со ответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической и(или) конструкторской документации. Непогруженный резерв - резерв, который содержит один или не сколько резервных элементов, находящихся в ненагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента. Неработоспособное состояние — состояние объекта, при котором значение хотя бы одного параметра не соответствует требованиям норма тивно-технической и(или) конструкторской документации. Неустранимый отказ - отказ, причины возникновения которого не могут быть устранены для объектов данного вида. Ненормативное значение показателя надежности - значение пока зателя надежности, установленное в результате задания требований по надежности или нормирования надежности и внесенное в нормативно техническую документацию. Нормирование надежности - установление номенклатуры и коли чественных значений показателей надежности элементов структуры объекта. Облегченный резерв - резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем основной. Обобщенный показатель надежности - показатель, характеризую щий надежность объекта в целом на всех периодах эксплуатации при заданных способах и условиях его применения. Общее резервирование - резервирование, при котором резервируе мым элементом является объект в целом. Основной показатель надежности - показатель, характеризующий надежность объекта на отдельном периоде его эксплуатации. Отказ - событие, заключающееся в нарушении работоспособного сос тояния объекта. Оценка надежности — вычисление значений показателей надежно сти по результатам испытаний или эксплуатации. Параметрический отказ - отказ, характеризующийся отклонением значения хотя бы одного параметра объекта за пределы допуска. Параметр потока отказов - отношение среднего числа отказов, восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к зна чению этой наработки. Подтверждение надежности - установление соответствия достиг ну того уровня надежности заданным требованиям. 22 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Показатель надежности - количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.. Полный отказ - событие, в результате которого происходит полная утрата работоспособности объекта. Постепенный отказ - отказ, характеризующийся постепенным изме нением значений одного или нескольких заданных параметров объекта. Предельное состояние — состояние объекта, при котором его даль нейшее применение по назначению недопустимо или нецелесообразно, либо восстановление его исправного состояния невозможно или нецеле сообразно. Предельный износ — значение износа, соответствующее предельному состоянию. Приработка (период приработки) - возможный начальный период наработки объекта, в течение которого имеет место устойчивая тенден ция к уменьшению потока отказов (интенсивности отказов), обусловлен ная наличием и устранением скрытых дефектов. Программа обеспечения надежности — документ, устанавливающий комплекс взаимосвязанных организационно-технических требований и мероприятий, подлежащих проведению на определенных стадиях жиз ненного цикла объектов (создание, серийное производство, эксплуата ция) и направленных на выполнение заданных в документации на изде лие требований по надежности. Программа повышения надежности - документ, определяющий пе речень работ по повышению надежности изделий, находящихся в экс плуатации. Программа экспериментальной отработки - документ, определя ющий цели, задачи, порядок проведения и необходимый объем испыта ний, а также регламентирующий порядок подтверждения основных экс плуатационных характеристик изделия. Проектная оценка надежности - оценка надежности, проводимая при проектировании с учетом результатов теоретических расчетов по справочным данным, испытаний изделий-аналогов и прогнозирования надежности. Производственный отказ - отказ, возникающий в результате несо вершенства или нарушения установленного процесса изготовления или ремонта объекта, выполнявшегося на ремонтном предприятии. Работоспособное состояние - состояние объекта, при котором зна чения всех параметров, характеризующих способность выполнять задан ные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и(или) конструкторской документации. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНЫ 23 Раздельное резервирование - резервирование, при котором резерви руемыми являются отдельные элементы объекта или их группы. Расчетно-экспериментальные методы оценки надежности - мето ды, основанные на вычислении показателей надежности по справочным данным о надежности составных частей и комплектующих изделий, по данным о надежности изделий-аналогов и другой информации, имею щейся к моменту оценки надежности. Резервный элемент - элемент объекта, предназначенный для выполнения функций основного элемента объекта в случае отказа последнего. Резервирование - применение дополнительных средств или возмож ностей с целью сохранения работоспособности объекта при отказе одно го или нескольких его элементов. Ремонтопригодность - свойство объекта, заключающееся в приспо собленности к предупреждению, обнаружению причин возникновения отказов, повреждений, а также поддержанию и восстановлению работо способного состояния с помощью технического обслуживания и ремон тов. Ремонтопригодность - одно из свойств, определяющих надежность. Систематический отказ - многократно повторяющийся и однород ный по определенным признакам отказ, обусловленный дефектами кон струкции объекта, нарушением процесса его изготовления, низким каче ством используемого материала и т.д. Скрытый отказ - отказ, обнаружение которого невозможно без проведения специальных операций по контролю работоспособности объекта. Сохраняемость - свойство объекта сохранять значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после хранения и(или) транспортирования. Сохраняемость - также одно из свойств, определяющих надежность. Среднее время восстановления, работоспособного состояния математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния. Средний ресурс - математическое ожидание ресурса. Средний срок службы - математическое ожидание срока службы. Срок службы измеряется в единицах времени. Средний срок сохраняемости - математическое ожидание сохраняе мости. Средняя наработка на отказ (наработка на отказ) - отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. 24 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Срок сохраняемости - календарная продолжительность хранения и(или) транспортирования объекта, в течение, и после которых сохраня ются значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопри годности в установленных пределах. Старение - постепенное необратимое изменение свойств объекта, вызываемое химическими и(или) физическими процессами, самопроиз вольно протекающими в материалах. Структурное резервирование — резервирование с применением ре зервных элементов структуры объекта. Технический ресурс (ресурс) - наработка объекта от начала его экс плуатации или ее возобновление после ремонта до перехода в предельное состояние. Устранимый отказ - отказ, причины возникновения которого из вестны и могут быть полностью устранены, что исключает их возникно вение при дальнейшей эксплуатации объектов. Устраняемый отказ - отказ, после возникновения которого работо способность объекта подлежит восстановлению. Частота отказов - отношение числа отказов в данной серии опы тов к общему числу проведенных опытов этой серии. Эксплуатационный отказ - отказ, возникший в результате наруше ния установленных правил и(или) условий эксплуатации объекта. Явный отказ - отказ, появление которого сопровождается призна ками, непосредственно воспринимаемыми органами чувств наблюдателя или средствами контроля, без проведения дополнительных операций по контролю работоспособности объекта. Для количественной характеристики надежности объекта применя ют следующие ее показатели: - безотказность — вероятность безотказной работы; средние нара ботки до отказа, на отказ и между отказами; интенсивность отказов; па раметр потока отказов; - долговечность - технический ресурс; срок службы; гамма-про центные ресурс и срок службы; - ремонтопригодность и сохраняемость - время восстановления; среднее время восстановления; назначенный срок хранения; средний и гамма-процентный сроки сохраняемости; - комплексные - коэффициент готовности; коэффициент техниче ского использования; коэффициент оперативной готовности. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ 25 1.2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ Под методологией исследования надежности техники понимают совокупность используемых методов, методику и общую схему проведе ния исследований. При исследовании надежности техники проводят анализ проблем, осуществляют постановку задачи, принимают решения и осуществляют руководство их реализацией. Исследования проводят по этапам, причем на отдельных этапах используют интуицию и опыт, а на других приме няют научные методы, т.е. используют теорию. В качестве основных ме тодов исследования чаще всего применяют математическое моделирова ние и экспериментирование на физической модели. В обоих методах много общего, так как они связаны с обоснованиями требований по надежности и программ обеспечения надежности, выбором системы об служивания при эксплуатации изделий, контролем показателей надежно сти по результатам испытаний и эксплуатации. Методика исследования сводится к постановке задачи, описанию цели, описанию и выбору стратегий и общим принципам исследования. Постановка задачи является начальным этапом исследования, в ко тором формируют условия и результат решения задачи. В общем случае, условия задачи и обоснования ее решения должны описывать множество решений и правила обоснования этих решений, а результат должен со держать или одно предлагаемое решение, или несколько рекомендуемых решений. Перед началом описания цели решаемой задачи (обеспечение надежности объекта) должно быть определено пространство цели, т.е. множество всех возможных исходов реализации рассматриваемых реше ний!. Показатель надежности должен объективно отражать целесообраз ность принимаемых решений по достижению заданного уровня надежносш. Не всегда при постановке конкретной задачи удается удовлетворить всем требованиям, предъявляемым к описанию цели и показателю надежности. Однако исследователь принимает какое-то одно решение - напри мер, удовлетворить требование к показателю надежности, которое позво лит1 объективно оценить целесообразность того или иного варианта со здаваемого изделия. Вместе с тем, при обосновании выбранных решений задачи в условиях неопределенности, как правило, оценка показателя надежности не единственна и, следовательно, недостаточна. Поэтому для формализованного построения правила выбора решения, кроме показате ля надежности, необходимо указать критерий выбора. I 26 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Рис. 1.1. Схема исследования надежности изделия Применяют три способа выбора рационального решения - это спо собы пригодности, оптимизации и адапгивизации. Для реализации спосо ба пригодности достаточно качественных признаков изделия. При выбо ре решения способом оптимизации применяют различные принципы оп тимальности. Наиболее часто используют два принципа - Белмана и мак симума Понтрягина. Способ адаптивизации реже других применяют в практике исследования систем из-за недостаточной его теоретической проработки. Основой для формирования возможных способов действия, т.е. ре шений или стратегий, является информация о располагаемых средствах. Каждое решение сводится к указанию количества, места и времени рас ходования средств для достижения цели. Последовательность решений, принимаемых для достижения поставленной цели, и знание информации о результатах реализации предыдущих решений называют стратегией. Поэтому понятно, что любое отдельное решение является частным слу чаем стратегии. Таким образом общая схема исследования надежности изделия со стоит в постановке задачи, а также описаниях цели, стратегий и условий выбора стратегий. Схема исследования приведена на рис. 1.1. Основная задача исследования надежности создаваемого изделия сводится к выбору стратегий создания и применения изделия, позволяю щих добиться наилучшего результата. Обычно применяемый критерий обеспечивает минимум затрат или максимум надежности, что соответ ствует концепции оптимизации. 1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ В вопросах теории надежности математика занимает особое место. Математические методы представляют исследователю обширный набор аналитических результатов, вычислительных процедур и алгоритмов, которые значительно ускоряют и облегчают решение задач. В общем случае математические методы позволяют решать два класса задач - опи сательные и оптимизационные задачи. К описательным задачам можно отнести задачи построения различных моделей функционирования тех нических систем, расчеты проектной надежности, задачи статистического моделирования, построение кривых роста надежности и т.д. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА ЭТАПЕ РАЗРАБОТКИ 27 Наиболее распространенными оптимизационными задачами в тео рии надежности являются распределение нормируемых показателей надежности между составными частями изделия, выбор и расчет номен клатуры запасных частей, распределение ресурсов и т.д. Широкое применение в теории надежности нашли основные методы де терминированного анализа, а также современные разделы математики, такие как теория множеств и математическая логика, которые входят в математическую теорию надежности и являются средством описания самых общих процессов. Особое положение в современной теории надежности занимают за дачи оптимизации, связанные с выбором рациональных и наиболее эко номичных решений (например, выбор оптимального плана испытаний опытных образцов или построение процедуры диагностики технического состояния изделия). Существенную роль в исследовании надежности играют методы стохастического анализа, т.е. методы теории вероятностей и математиче ской статистики. Теория вероятностей служит основой для определения основных понятий теории надежности. Такие фундаментальные понятия теории вероятностей, как непрерывность и независимость, сходимость и предельные распределения, закон больших чисел и центральная предель ная теорема являются основой для построения различных моделей иссле дования надежности. Методы математической статистики нашли широкое применение в теории массового обслуживания при статистической оценке надежности по результатам массового обслуживания и по результатам испытаний и эксплуатации, а также при планировании эксперимента и проверке стати стических гипотез. 1.4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА ЭТАПЕ РАЗРАБОТКИ КОНСТРУКТОРСКОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ Исследования надежности являются составной частью проектирова ния и имеют поисковый прогностический характер. Основные задачи исследования надежности заключаются в установ лении и обосновании требований по надежности к изделию и его состав ным частям, в выборе принципиальных направлений и рациональных стратегий проектного обеспечения надежности, в проработке вопросов обеспечения надежности на последующих стадиях создания изделия. Исследование надежности начинают с момента разработки техниче ского задания (ТЗ) на изделие и его составные части. Как правило, требо вания к надежности сложной технической системы (изделия) задают в ТЗ 28 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ головному разработчику системы в количественной форме в виде опре деленной номенклатуры и количественных значений показателей надеж ности изделия с указанием порядка и условий их подтверждения. Требования к надежности составных частей изделия устанавливают также в ТЗ на составные части в виде номенклатуры и количественных значений показателей надежности. При нормировании показателей надежности по составным частям системы используют различные аналитические и статистические модели и методы в зависимости от конструктивных особенностей системы и спо собов ее эксплуатации и применения. Наибольшее распространение по лучили следующие методы нормирования: - равной надежности; - учета сложности элементов и числа их предельных состояний; - оптимального распределения требований по надежности с учетом ограничений по массе, стоимости и другим характеристикам элементов; - нормирования с учетом проверок и восстановления элементов системы в процессе эксплуатации; - нормирования с учетом и оптимизацией затрат на эксперимен тальную отработку элементов системы. В общем случае задача нормирования надежности элементов сво дится к оптимизации целевой функции, которая, в свою очередь, является функцией точечных значений оценок надежности элементов: G = G(P,), / = 1JV, (1.1) где Р, - оценка надежности i-ro элемента; N- число элементов, входящих в систему. В качестве целевой функции можно выбрать минимальные стои мость или массу и т.п.: G = C; С = С(РД / = ijV (1.2) G = М; М = М(Р) i = JV. (1.3) или В процессе решения отыскивают вектор Р - (Р}, Р2, ■■ ■ ■ Рф), мини мизирующий С или М. Часть нормирования проводят при условии выполнения не только требований по надежности системы, но и требований по безопасности. Тогда в качестве функции надежности используют функцию безопас ности. С целью обеспечения заданных показателей надежности в каждой отрасли промышленности разрабатывают ряд нормативных документов ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА ЭТАПЕ ИСПЫТАНИЙ 29 по вопросам обеспечения проектной надежности. Так, на стадиях эскиз ного и технического проектирования разрабатывают программу обеспе чения надежности, в которой предусматривают решение как техниче ских, так и организационных мероприятий, направленных на обеспечение надежности изделий. Важными моментами являются обоснование про граммы обеспечения надежности (ПОН) изделия в целом и его составных частей, а также выработка и согласование порядка подтверждения требо ваний надежности на всех стадиях создания изделия. После выбора ос новных схемно-конструкторских решений службой надежности предпри ятия совместно с подразделениями-разработчиками проводят анализ кон струкции изделия и осуществляют расчет проектной надежности изделия, а по результатам расчета осуществляют корректировку конструкторской документации с целью обеспечения заданных требований по надежности. Требования по надежности, задаваемые в ТЗ на систему и ее элеменii.i, должны быть подтверждены к концу разработки проекта, перед нача лом серийного производства и эксплуатации. Это является непременным условием дальнейшей успешной эксплуатации системы. Следует подчеркнуть, что оценивать надежность системы и ее составных частей необходимо на каждой стадии разработки системы. 11 олученные оценки являются прогностическими, так как система и ее составные части на каждой стадии, как правило, конструктивно отлича ются от будущего изделия и имеют различный уровень отработанности. Гем не менее, оценивание должны проводить на каждой стадии, так как оно сохраняет информацию о надежности по результатам испытаний со ставных частей и системы и позволяет использовать ее при завершении испытаний. Это существенно сокращает затраты на изготовление изде лий, время и средства на экспериментальную отработку изделия в целом. 1.5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА ЭТАПЕ ИСПЫТАНИЙ ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ Всякое испытание является объективной оценкой технического со стояния испытуемого образца. Проводимые испытания позволяют прове рить соответствие изготовленного образца требованиям технического задания. По своему назначению испытания на данном этапе можно раз делить на экспериментальные исследования, экспериментальную отра ботку и завершающие испытания. Экспериментальные исследования проводят с целью изучения свойств и поведения вновь разрабатываемых комплектующих изделий, материалов, покрытий, смазочных материалов в условиях эксплуатации, а также влияние новых технологий на безотказность, долговечность и 30 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ сохраняемость материалов и изделий. К числу исследовательских испыта ний относят также испытания на воздействие критической температуры, износостойкость, критические нагрузки, различные виды излучений и т.п. Целью экспериментальной отработки является сравнительный ана лиз работоспособности изделий различных вариантов конструкции и вы бор наилучшего из них. Экспериментальную отработку проводят на объ ектах испытаний в условиях, приближенных к реальным условиям экс плуатации изделий. Получаемую по результатам испытаний информацию используют для оценки технического состояния и показателей надежно сти. Экспериментальная отработка включает испытания: лабораторные, стендовые, ресурсные, на длительное хранение и специальные. Завершающие испытания (межведомственные, государственные) проводят на образцах, изготовленных по документации главного кон структора, которая подготовлена к передаче в серийное производство. Эти испытания дают наиболее полное представление о работоспособно сти и надежности работы составных частей и изделия в целом. Экспериментальные исследования и испытания являются наиболее трудоемкими и дорогостоящими и занимают большую часть программы создания и обеспечения надежности техники. По назначению, условиям эксплуатации и конструктивному испол нению изделия очень разнообразны. Их можно применять для работы под землей, в морях и океанах, на поверхности земли, в воздушном и косми ческом пространстве. При этом на конструкции изделий и их элементов действуют разнообразные нагрузки внешней среды: огромное давление или глубокий вакуум, высокая или низкая температура, агрессивные сре ды или биовредители, различные излучения естественного или искус ственного происхождения, вибрации, тепловые, электрические и механи ческие нагрузки и т.п. Все перечисленные виды воздействий необходимо воспроизвести в процессе экспериментальной отработки изделий, кото рые обычно проводят в определенных условиях ограничений в зависимо сти от возможностей воспроизведения различных воздействий и их соче таний. Сложную систему представляют в виде многоуровневой структуры и многоэтапного процесса отработки. На нижнем уровне структуры ис пытывают простейшие элементы, на последующих уровнях - составные части изделий и само изделие. Программа экспериментальной отработки сложной системы должна предусматривать научно обоснованные методы испытаний как в нор мальных, так и утяжеленных режимах. В нормативной документации для каждого вида техники устанавливают требования к программам испыта- ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ 31 ний, определяют последовательность испытаний - от простого к сложно му, число испытаний, число опытных образцов, режимы испытаний и т.д. В процессе экспериментальной отработки постоянно проводят поиск рациональных технических решений по обеспечению надежности, вносят изменения в конструкцию. По результатам экспериментальной отработки осуществляют предварительную оценку надежности изделия. К числу методов исследования надежности на этапе испытаний опытных образцов относится теория подобия, которая непосредственно связана с моделированием, методологией постановки опытов в натурных условиях и на моделях. Теория подобия также включает методику обра ботки полученных результатов и их распространение на другие объекты исследования [30]. Таким образом, основными задачами применения методов подобия для обеспечения надежности являются привлечение сведений об анало гах для оценки надежности вновь создаваемых сложных систем, плани рование экспериментальной отработки с учетом статистических данных об аналогах; применение методов моделирования для обеспечения надежности с учетом возможных отказов; контроль и оценка завершен ности испытаний по результатам сравнения испытаний с базовым про цессом отработки. 1.6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ НА ЭТАПЕ СЕРИЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА После завершения всех видов испытаний исследование надежности сложных систем продолжают на этапе подготовки к серийному произ водству и в процессе серийного производства. Исследовательские работы на данном этапе направлены на обеспечение полученных показателей надежности в процессе экспериментальной отработки опытных образцов. (' и ой целью проводят корректировку конструкторской и технологиче ской документации таким образом, чтобы не изменялись основные тех нические характеристики изделия, подтвержденные результатами испы таний опытных образцов. Одним из важных моментов обеспечения надежности комплектую щих элементов в процессе серийного производства является научно обоснованный подход к определению объемов входного контроля и раз работке методики его проведения. Важное место в обеспечении надежности техники при серийном производстве занимают статистические методы, исследования, исполь зуемые при оценке погрешностей изготовления, определяющих точность и стабильность производства изделия. Стабильность технологического 32 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ процесса прослеживают с помощью контрольных карт, которые могут быть составлены по двум признакам - качественному и количественно му. В карты по качественному признаку вносят число дефектных единиц выпускаемой продукции или число дефектов, приходящееся на опреде ленное число единиц продукции. В карты по количественному признаку вносят численные значения контролируемого параметра продукции. Для изделий серийного и массового производства вводят стати стический приемочный контроль, который представляет собой выбороч ный контроль, основанный на применении методов математической ста тистики для проверки соответствия качества выпускаемой продукции. При статистических методах исследования и контроля качества промышленной продукции широко используют планы однократных, дву кратных и многократных выборок, а также планы последовательного анализа. Для изделий мелкосерийного производства при оценке и кон троле их качества и надежности применяют комбинированные методы. Так же, как и при экспериментальной отработке, в серийном произ водстве сложных изделий имеются ограничения на объемы испытаний, в связи с чем ставят задачу проведения ускоренных испытаний. Важным моментом является определение продолжительности ускоренных испы таний и разработка методики пересчета результатов ускоренных испыта ний к нормальным условиям. Одним из основных параметров пересчета являются показатели надежности. Ускоренные испытания проводят методом доламывания или ступенчатых нагружений, а также исполь зуют тог или иной принцип расходования ресурса или известные методы решения проблемы переменного режима. Для пересчета результатов ускоренных испытаний к нормальным условиям могут быть использова ны принципы: физический в теории надежности Седякина, линейного накопления повреждений и др. На основании указанных принципов вы бирают тот или иной метод доламывания и ступенчатых нагружений, и соответственно, те или иные модели отказов. Результаты ускоренных испытаний используют для получения как точечных, так и интервальных оценок показателей надежности. При раз работке математической модели ускоренных испытаний ставят задачу выбрать режимы испытаний, определить число образцов и длительность проведения испытаний таким образом, чтобы подтвердить требуемые показатели надежности с заданной достоверностью. Значительное место в исследовании надежности изделий на стадии серийного производства занимают методы неразрушающего контроля, физическую основу которых составляют исследования физических ха рактеристик элементов конструкции изделия и обнаружение несовершен ства структуры материала. Эти методы базируются на результатах физи- ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ 33 чсских, физико-химических, электрофизических и других процессов, приводящих к выходу из строя изделий. Наибольшее распространение получили методы неразрушающего контроля качества продукции, основанные на использовании электромаг нитных излучений различной длины волн, на явлениях искажения маг нитного поля ферромагнитного образца при наличии в нем дефектов, на свойстве нагретого тела излучать энергию в определенном инфракрасном диапазоне электромагнитных колебаний. Широко используют акустические методы неразрушающего кон троля, основанные на использовании явлений, связанных с периодиче скими изменениями плотности среды и дифракции света при распростра нении в среде ультразвуковых колебаний. Для контроля качества изделий могут быть применены методы тео рии случайных процессов, информативных параметров и теории стати стической классификации. 1.7. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ НА ЭТАПЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ Проблема исследования надежности техники в процессе эксплуата ции связана с контролем и поддержанием технического состояния на уровне, достаточном для выполнения заданных функций. Целью иссле дования является обеспечение эффективности функционирования или применения эксплуатируемой системы по назначению в установленные сроки, поддержание некоторого гарантированного числа изделий в си стеме в состоянии готовности, обеспечение безопасности выполнения работ, продление сроков эксплуатации системы с обеспечением надежнос I и на заданном уровне. Таким образом, система эксплуатации представляет собой сложную организационно-техническую задачу, которая требует самостоятельного исследования. Одним из важнейших вопросов эксплуатации техники является оп тимальное техническое обслуживание изделия, которое проводят в соот ветствии с эксплуатационной документацией, содержащей теоретические и практические обоснования видов, периодичности и объемов техниче ских обслуживаний. Вместе с тем, ставится задача проведения исследо вательских работ по оценке фактического технического состояния издеи и я и назначения по этому состоянию соответствующего технического обслуживания или ремонта. Такую стратегию управления системой называют эксплуатацией системы по состоянию. 34 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Техническое обслуживание предусматривает проведение профилак тического обслуживания либо текущего ремонта изделия. Эксплуатационные свойства сложной системы определяются ее без отказностью, долговечностью, ремонтопригодностью, сохраняемостью и приспособленностью к техническому обслуживанию в условиях эксплуа тации. Задача оптимизации эксплуатации системы рассматривает широ кий круг вопросов, связанных с выбором основных технических и экс плуатационных характеристик, обоснованием уровня контролепригодно сти и ремонтопригодности, выбором рациональной периодичности про верок, технического обслуживания и ремонта с обоснованием числа за пасных частей, инструмента и принадлежностей (ЗИП) и использованием различных видов резервирования. Решение задач контроля технического состояния и надежности всей совокупности изделий, находящихся в эксплуатации, позволяет оцени вать эффективность принятого в эксплуатационной документации поряд ка технического обслуживания, восстановления и ремонта техники, свое временного выявления ненадежных элементов системы и принятия ре шения по повышению ее надежности. Контроль, диагностика и поиск неисправностей позволяют выявить и устранить отказы и неисправности на каждом конкретном изделии и практически реализовать стратегию эксплуатации техники по состоянию. В задачах эксплуатации и ремонта широко используют методы ста тистической оценки показателей надежности, методы проверки статисти ческих гипотез. В целях повышения эффективности обслуживания при меняют модели управляемых процессов восстановления и оптимизации эксплуатации элементов систем по ресурсу. Используют ряд моделей, учитывающих влияние обслуживания на надежность сложных систем. При построении этих моделей учитывают свойства и характеристи ки восстанавливаемости сложных систем, возможности обеспечения надежности при длительной эксплуатации путем предварительной заме ны элементов. Используют также модели эксплуатации с различными видами резервирования и применяют разнообразные модели оценки чис ла запасных элементов с учетом периодичности их пополнения. Организационно-методические вопросы ремонта включают опреде ление показателей ремонтопригодности систем, выбор методов их стати стического оценивания, обоснование и планирование ремонта систем. Важным вопросом в исследовании надежности систем при эксплуа тации является техническая диагностика, которая направлена на преду преждение и выявление неисправностей. Задача диагностирования за ключается в определении технического состояния системы. Для сложных технических систем все более возрастает необходимость решения задач технической диагностики на этапах проектирования, производства и экс плуатации. <>l'l Al 1ИЗЛЦИ0ННЫЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ 35 В условиях эксплуатации большое значение имеют внешние воздейстующие факторы. Всякая система предназначена для эксплуатации в определенных условиях окружающей среды. На систему воздействуют шкие внешние факторы, как температура, влажность, давление, осадки в виде дождя и снега, биологические вредители, режимы работы и др. II зависимости от условий эксплуатации изменяются количественные инщения показателей надежности. В связи с этим при конструировании Панических систем одним из важнейших моментов является прогнози рование условий их эксплуатации с целью максимально возможной за щиты системы от неблагоприятно воздействующих факторов. Точное шлпие условий эксплуатации позволяет учесть основные воздействую щие факторы при разработке программы испытаний системы или отдель ных се узлов и блоков. Однако моделирование условий эксплуатации в ионном объеме не всегда возможно. Поэтому при разработке программы шпытаний с помощью исследования необходимо выбрать такие воздей< I ния, которые оказывают наибольшее влияние на надежность, учитывая при этом наличие стендового оборудования. Таким образом, как разработчику, так и эксплуатационнику системы важно знать и характеристики условий эксплуатации, и вызываемые эти ми условиями последствия, сказывающиеся на надежности [14]. 1.8. ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ К организационным методам обеспечения надежности сложных гсхнических систем следует отнести обеспечения: собственно организа ционное, программное, техническое, информационное и нормативное. • in методы применяют на уровне предприятия, отрасли и межотрасле вом уровне. Организационное обеспечение предусматривает общий порядок со щипни и применения техники на всех стадиях жизненного цикла. При создании достаточно простой техники массового производства вопросы качества и надежности решают на этапе разработки. Серийные изделия изготовляет аттестованный инженерно-технический и рабочий персонал по отработанной конструкторской и технологической докуменHnmii. На предприятиях в организационном плане действует система управления качеством продукции. Эта система предусматривает жесткую регламентацию технологических процессов и контрольных операций, а глюке контроль стабильности характеристик качества продукции, уста новленных стандартами отрасли или межотраслевыми стандартами. II пой системе накапливают оперативную информацию обо всех видах разладки производства, об отказах, браке продукции и мероприятиях по их устранению, но такую систему управления качеством нельзя исполь- 36 Глава I. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Л зовать при изготовлении уникальных изделий единичного и мелкосерий ного производства, которые отличаются новизной и сложностью. При создании и производстве сложной техники более приемлемы нормативные документы, разработанные на межотраслевом и отраслевом уровнях, так как в создании и производстве подобной техники участвуют многие предприятия страны. В этих документах предусматривают: - порядок планирования, координации и контроля за выполнением проектно-конструкторской разработки и экспериментальной отработки, изготовлением и эксплуатацией технической системы и ее составных частей; - порядок проведения межведомственных и государственных ис пытаний; - метод взаимного обмена информацией о срывах сроков проведе ния работ, об отказах и других отклонениях от нормального хода процес са создания системы и ее составных частей; - порядок принятия решений в процессе ее создания и использо вания; - порядок обеспечения и контроля за качеством продукции при разработке, отработке, производстве и эксплуатации. Организационная структура обеспечения надежности и качества вы пускаемой продукции на уровне отрасли может быть представлена схема тически (рис. 1.2). Суть этой структуры заключается в практической реали зации мероприятий по достижению и обеспечению качества и надежности сложной технической системы на всех стадиях ее жизненного цикла. Работы по созданию сложной технической системы проводят по единому плану, который регламентирует порядок, затраты, сроки и явля ется обязательным для предприятий, участвующих в ее создании. План работ согласовывают на отраслевом и утверждают на межотраслевом уровнях. В плане определены исполнители, номенклатура, сроки и объем работ в натуральном и стоимостном выражениях по составным частям системы. В целях повышения оперативности управления установлен порядок взаимного обмена информацией между предприятиями и организациями промышленности об отказах и надежности изделий в процессе их созда ния, производства и эксплуатации. Организационным документом по обеспечению качества и надежно сти изделий являются программы обеспечения надежности (ПОН), кото рые разрабатывают на этапе проектирования (ПОНпр) и производства (ПОНп). При длительном серийном производстве и многолетней эксплу атации системы дополнительно может быть разработана программа под держания и повышения надежности (ППН). 38 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Программа обеспечения надежности является основой получения наилучших результатов в обеспечении надежности при создании слож ных технических систем. Целенаправленные программы на этапах разра ботки, производства и эксплуатации позволяют своевременно разрабо тать необходимые мероприятия по повышению и поддержанию надежно сти изделий на заданном уровне. Научно-техническую основу единого плана создания системы и ее изделий составляют программы обеспече ния надежности: ПОНпр, ПОНп, ППН, а также программа эксперимен тальной отработки (ПЭО). На некоторых предприятиях разрабатывают программы обеспечения качества или программы обеспечения качества и надежности. Эти программы по содержанию аналогичны ПОН. Главным требованием к содержанию программ является наиболее полное решение проблем надежности и безопасности техники. Об эффективности программы или отдельных мероприятий ПОН можно судить по техническим или экономическим показателям. Техниче ские показатели позволяют оценить, насколько уменьшится вероятность или интенсивность возникновения отказов после реализации мероприя тий ПОН; экономические показатели - насколько уменьшатся суммар ные затраты на обеспечение надежности изделий. В общем виде ПОН по структуре состоит из четырех разделов. В раздел 1 «Общие положения» включены основные сведения по назначению и структуре системы (изделий), эксплуатационно технические характеристики, номенклатура и количественные показатели надежности, условия эксплуатации системы (изделия), совокупность внешних воздействующих факторов, перечень научно-технических про блем надежности, которые должны быть решены при создании системы. В разделе 2 «Работы и мероприятия по обеспечению надежности» приведен перечень работ и мероприятий по обеспечению надежности по этапам жизненного цикла системы и исполнителей работ, даны ссылки на нормативно-технические и методические документы, приведены отчет ные документы. Этот раздел оформляют в виде таблицы. Раздел 3 «Методическое обеспечение» содержит полный перечень руководящих, нормативно-технических и методических документов, ко торыми необходимо руководствоваться при выполнении работ, преду смотренных в разделе 2. Раздел 4 «Порядок контроля выполнения и корректировки ПОН» содержит сроки рассмотрения хода выполнения ПОН и возможные сроки ее корректировки, порядок рассмотрения и согласования отчетных доку ментов и принятия решений. (ill ЛИ I ВЛЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ 39 I код техническими средствами обеспечения надежности понимают •нсмснтную базу, экспериментальные и производственные возможности, i помощью которых можно добиться высокой надежности техники. Уровень надежности техники зависит от качества материалов, полу фабрикатов, комплектующих элементов, а также изделий общепромыш ленного назначения, используемых в технических системах. Чем сложнее гогдаваемые системы, тем больше проблем с обеспечением надежности. < ущественное влияние на обеспечение надежности техники оказывает авн>магнзация производственных процессов, например введение автоматишрованных линий, станков с программным управлением и т.д. I ice технические средства обеспечения надежности могут быть услов но разделены на три класса: средства предупреждения отказов, средства io ни роля и средства защиты. К числу технических средств, предупреждающих отказы и отклоне нии производственного характера, можно отнести автоматизированное |схнологическое оборудование, средства контроля и управления технолоi ичсскимн процессами; технические средства входного контроля и диагно< i нкн качества материалов, полуфабрикатов и комплектующих изделий. К техническим средствам предупреждения отказов в эксплуатации Н1делия относятся автоматизированные средства контроля диагностики и поиска неисправностей, стенды, макеты, тренажеры для обеспечения по плуагнрующего персонала и технические средства для проведения pci ламентных работ. Техническим средством контроля и выявления отказов в процессе создания изделия является экспериментальная база, способная произвеiiu проверку работоспособности изделия во всех режимах функционироаиния. Техническими средствами контроля качества и надежности изделия к процессе производства является различное стендовое оборудование, позволяющее вести входной контроль, проверку режимов функциониро вания и контроль качества сборки. К техническим средствам контроля в жсплуатации относятся автоматизированные средства регистрации н обработки информации о результатах функционирования изделий об ткачах н неисправностях, автоматизированные средства поиска неис правностей. 11 рн разработке сложных систем большое внимание уделяют спосо бам технических средств защиты от последствий отказов как при созда нии, гак н в процессе производства н эксплуатации изделий. Так, напри мер при создании изделия применяют технические средства оперативно|о контроля н управления функционированием при возникновении ава рийных ситуаций. 40 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ В процессе производства для предотвращения отказов используют средства контроля и диагностики, а также блокировки для исключения нарушения технологического процесса. В процессе эксплуатации для исключения аварийных ситуаций предусматривают средства пожаробезопасности и пожаротушения, бло кировки, исключающие выполнение неправильных команд и т.п. Нормативное обеспечение занимает важное место в создании тех нических систем. В каждой отрасли промышленности сложился опреде ленный порядок ведения разработок и производства техники, определен ные требования к документации. Так как в создании сложных систем участвует большое число предприятий и организаций, то появляется необходимость взаимодействия между ними на всех стадиях жизненного цикла технических систем с использованием единых нормативно-техни ческих и методических документов по обеспечению надежности. Разработку нормативно-технических документов по надежности и качеству техники осуществляют на уровне предприятия, межотраслевом и отраслевом уровнях. С целью внедрения межотраслевой и отраслевой нормативно-технической документации на промышленных предприятиях на их основе разрабатывают собственные документы - стандарты пред приятия (СТП). Разрабатываемые на предприятии нормативно-технические доку менты (НТД) определяют обеспечение требуемого уровня надежности, оценку достигнутого уровня надежности, методическое и нормативное обеспечение работ по качеству и надежности техники. На межотраслевом уровне НТД по качеству и надежности включают следующие основные направления: - общие научно-методические основы управления качеством и надежностью; - термины и определения; - органы и службы качества и надежности; - нормирование требований к качеству и надежности; - оценку качества и надежности; - обеспечение качества и надежности при разработке и постановке новой продукции на производство, а также в процессе производства и эксплуатации. На отраслевом уровне НТД по качеству и надежности включают: - организационно-технические документы о взаимодействии пред приятий и организаций по вопросу обеспечения качества и надежности техники на различных стадиях жизненного цикла и о порядке обмена информацией и форме документов-носителей о надежности; ( ТРУКТУРНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И ИХ ЗАДАЧИ 41 методические документы, регламентирующие порядок, форму шипя и нормирование требований к количественным показателям надежности; требования к структуре и содержанию ПОН, ПЭО, ППН; меюды оценки и контроля количественных показателей надежности; фсбования к качеству материалов, полуфабрикатов и комплектующих • цементов. Информационное обеспечение представляет собой совокупность всех видов информации о качестве и надежности техники, а также мето ны и средства сбора, накопления, обработки, анализа и передачи этой информации. С усложнением техники необходимость в полноте инфор мации увеличивается. На всех этапах жизненного цикла информация должна позволять оценивать качество и надежность техники. В состав информационного обеспечения входят все виды информа ции. необходимые для исследования качества и надежности на всех эта пах жизненного цикла, методы получения каждого вида информации, а hi иже сбора, обработки и передачи информации. Информация о качестве и надежности может быть представлена в виде: номенклатуры показателей надежности, фактических значений по ивши елей надежности, исходной информации для оценки показателей надежности и информации о планируемых мероприятиях по обеспече нию надежности. Источниками и потребителями информации являются opi виизации, предприятия, отдельные подразделения, должностные лица и исполнители, использующие ее для решения задач обеспечения надеж ное I и. Носителями информации - отдельные карточки учета неисправноeicii н наработок, журналы испытаний, отчеты, рекламационные акты, сообщения, акты исследования, магнитные ленты и диски. В качестве н'хннческих средств сбора, обработки и передачи информации исполь|ую1 ЭВМ, счетно-аналитические машины, специализированные инфор мационные системы, дистанционные устройства приема и передачи ин формации. hi 1.9. СТРУКТУРНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И ИХ ЗАДАЧИ Обеспечение заданного уровня надежности изделий возможно при совместной целенаправленной и скоординированной работе всех пред приятий и организаций промышленности. Научно-методическое руководeiiio по исследованию и обеспечению качества и надежности изделий в 42 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ р министерстве возлагают на научно-исследовательские институты, из числа которых один является головной организацией по надежности в целом, а ряд других - головными организациями по надежности отдель ных видов изделий. На рисунке 1.3 приведена типовая структура служб надежности отрасли промышленности [20]. Рис. 1.3. Типовая структура служб надежности отрасли промышленности: сплошные линии - каналы управления; пунктирные - информационные потоки ( ГРУКТУРНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И ИХ ЗАДАЧИ 43 Многолетняя практика создания, производства и эксплуатации г ножных технических систем специального назначения (например, подвижных ракетных комплексов «Луна», «Точка», «Пионер», «Тополь» и ip ) подтвердила целесообразность и необходимость типовой структу ры служб надежности как на уровне отрасли, так и на уровне предприяiiiii Служба надежности представляет собой не только подразделение mill ни шрующее качество и надежность выпускаемой продукции, но и mimic гея координирующим органом управления по обеспечению каче< iiiiM и надежностью изделий, она непосредственно участвует в разраПпке мероприятий, направленных на повышение качества выпускаемой продукции. Тесная взаимосвязь службы надежности с другими структур ными подразделениями позволяет оперативно вмешиваться в процесс СО1ДППИ», производства и эксплуатации техники с целью повышения и пПслвечепия ее качества и надежности. Головной научно-исследовательский институт (НИИ) и Головные ипг hi гуты отраслей разрабатывают научно-методические документы по uCici печению надежности комплексов, НИИ - документы по обеспече нию надежности систем; головные предприятия-разработчики - методичс( кие документы по обеспечению надежности изделий, входящих в соi irni комплекса или системы. Типовые структуры служб надежности го'юпного института и головного предприятия-разработчика (рис. 1.4) одиииконы и представляют собой отдел надежности, который подчиняется нгрпому заместителю директора или директору института (предприятия). Рис. 1.4. Типовая структура служб надежности головного института: сплошные линии - каналы управления; пунктирные - информационные потоки 44 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Для руководства, методического обеспечения и координации работ по обеспечению надежности изделий во всех инс титутах и предприятиях действуют самостоятельные специализированные подразделения, обычно это отделы надежности. Задачами отдела надежности являются: - участие в работах проектных подразделений по выбору опти мальных вариантов изделий; - участие в анализе и согласовании ТЗ на разработку изделий в ча сти требований к количественным показателям надежности; - разработка требований к надежности изделий в технических предложениях, эскизных и технических проектах; - разработка и согласование руководящих и нормативно-техничес ких документов, методик, программ ПОН, ПЭО, ППН, справочных посо бий по вопросам обеспечения и контроля качества и надежности разраба тываемых изделий, контроль за их внедрением в практику работы пред приятия; - проведение совместно с подразделениями предприятия работ по анализу причин отказов и неисправностей разрабатываемых и эксплуати руемых изделий и обобщение информации, разработка мероприятий по их устранению; - составление отчетов о техническом состоянии и надежности из делий по результатам испытаний и эксплуатации, сравнение полученных оценок с требованиями ТЗ; разработка на основе проведенных оценок совместно с подразделениями предприятия мероприятий и предложений по повышению качества и надежности изделий; - анализ результатов выполнения программ ПОН, ПЭО, ППН, уча стие в днях качества предприятия; - анализ результатов серийного производства и эксплуатации из делий, разработка и согласование ППН; - обобщение информации о неисправностях и отказах в процессе производства и эксплуатации изделий, составление отчетов о техниче ском состоянии и надежности. На предприятиях-изготовителях опытной и серийной продукции службу надежности представляет отдел надежности, который по своей структурной принадлежности может быть в подчинении главного инже нера, заместителя директора предприятия по качеству или входить в со став отдела главного конструктора предприятия. Наилучшим вариантом принадлежности является непосредственная подчиненность отдела надежности главному инженеру, что дает больше возможностей отделу надежности реализовать намеченные мероприятия и программу обеспе чения надежности на стадии серийного производства. Типовая структура службы надежности на предприятии-изготовителе приведена на рис. 1.5. ( ТРУКТУРНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И ИХ ЗАДАЧИ 45 Рис. 1.5. Типовая структура службы надежности на предприятии-изготовителе: сплошные линии - каналы управления; пунктирные - информационные потоки Задачами подразделения надежности на предприятии-изготовителе ддляются: разработка и внедрение руководящей и нормативно-технической документации по вопросам обеспечения качества и надежности изготов ит мых изделий; сбор, анализ и обобщение статистических данных о качестве и нлдежности изготовляемых и находящихся в эксплуатации изделий; осунит тление обмена информацией о надежности изделий согласно устаноллеиному в отрасли порядку; оценка эффективности проведенных мероприятий по повыше нию качества и надежности изделий, разработка рекомендаций совместно i другими подразделениями предприятия по устранению неисправностей п отказов, выявленных в процессе изготовления и эксплуатации; проведение по методикам головного разработчика оценки техни ческого состояния и надежности изделий по результатам эксплуатации с представлением отчета головному разработчику изделия не реже одного раза в год; систематическое проведение по методикам предприятия-разраПичнка оценки, контроля и анализа стабильности основных параметров серийных изделий, специально оговоренных в технических условиях; 46 Глава 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ - участие в организации работ по оценке, контролю и анализу отработанности и стабильности технологических процессов; - участие в организации и проведении авторского надзора за изго товлением изделий, а также в комиссии по исследованию рекламаций, поступающих с мест эксплуатации; - участие совместно с другими подразделениями предприятия в разработке и выполнении программы обеспечения качества и надежности изделий; - составление и доведение до разработчиков изделий перечней де фектов; - участие в постоянно действующей комиссии по качеству (ПДКК) и подготовка предложений для ПДКК в части обеспечения качества и надежности изделий. Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 2.1. ПОНЯТИЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ 1(ель приведения обзора основных сведений из теории вероятностей и мт ематической статистики - дать математический аппарат, необходиmi.iII при исследовании моделей отказов и их применения к задачам оцен|'П надежности. В обзор включены только самые основные понятия тео рии вероятностей и математической статистики, имеющие непосредI I псиное отношение к теории надежности (более подробное изложение h'upiiii смотри в работах [5, 9, 26, 32, 43]). Исходным материалом для построения теории вероятности служат in I оюрые экспериментальные факты, на основе которых формулируют ...... не гс снующие абстрактные понятия. Под опытом понимают наблюдение какого-либо явления при выiiuiiiieiiiiii некоторого комплекса условий. Наблюдение того же явления при трутом комплексе условий будет уже другим опытом. Результаты ины in можно охарактеризовать качественно и количественно. Качественная характеристика опыта состоит в регистрации како||| ппбудь факта или события. При этом говорят, что событие появилось iniii не появилось в результате опыта. Таким образом, событие представiiii'i собой всякий факт результата опыта, и оно является случайным. Лрушмп словами, случайным событием называют такое событие, которпг может произойти или не произойти в результате опыта. Количественная характеристика опыта состоит в определении iiiiinciiiiii некоторых случайных величин, полученных в результате опыта. I иными случайными величинами могут быть результаты измерений некоinpoio параметра, время безотказной работы изделия, число попаданий при пыстрелах и т.п. 11опятие случайного события в концепции аксиоматической теории, предложенной Колмогоровым, строится на базе понятия элементарного ■ iiin.i Iня. Суть этой теории состоит в следующем. 48 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Пусть имеется некоторое множество W элементов и рассматривается система F подмножеств множества W, которая обладает тремя следую щими свойствами. 1. Система F в качестве элемента содержит все множество W. 2. Если Ли М - подмножества множества IV и входят в систему F в качестве ее элементов, то F содержит также множества L + М, LxM, L и М ; здесь L и М - множества тех элементов множества W, которые не входят в подмножества ЬнМ, г.е. дополняют L и М до множества W. Поскольку система F содержит в качестве элемента множество W, то в соответствии с п. 2 в F обязательно должно содержаться также IV , т.е. множество без элементов, или пустое множество. Отсюда следует, что второе требование влечет за собой принадлежность к F сумм и произве дений любого конечного числа множеств, принадлежащих F. Проиллюстрируем такое понятие на следующем примере. Пусть т длительность жизни некоторого изделия в заданных условиях эксплуата ции. За исходное множество IV примем все неотрицательные числа, г.е. все мыслимые сроки жизни изделия. Элементарное событие т = Z означа ет, что изделие отработало время t и отказало. Предположим теперь, что всякое множество типа т > t входит в си стему F. Случайное событие т > t означает, что изделие проработает без отказно в течении времени t. При t — 0 получаем все множество W. Таким образом, первое требование относительно системы F выполнено. Однако в системе F содержится больше элементов, чем было указано. Действи тельно, в силу второго требования, наряду с множествами т > а и т > Ь (а< Ь), система F содержит также множества т <а, х<Ьиа<1<Ь. В некоторых случаях требуется следить сразу за несколькими пара метрами (например, при плавке стали необходимо обеспечить заданное процентное содержание никеля, хрома, марганца, причем содержание каждого из элементов находится в определенных пределах). Поэтому двух выше указанных требований множества F оказывается недостаточ ным и вводят третье дополнительное требование. 3. Если подмножества L\, L2, L3, ... множества IV являются элемента ми системы F, то их сумма L, и произведение ]""[ L, также являются / / элементами F. Множество F, удовлетворяющее требованиям 1-3, называют полем событий или ст-алгеброй. В теории вероятностей принята специфическая терминология и обо значения. События обычно обозначают начальными большими латин- ПОНЯТИЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ i ними буквами алфавита, например А, В или С, случайные величины . ....... iiiiimii латинскими буквами из конца алфавита, например X, Yили 7.. 49 - < каждой случайной величиной можно связать различные события. > hi дна случайных события А и В не имеют в своем составе одних и тех и.1 нумеитов, то их называют несовместными событиями. События А и I I называют противоположными. События W и IV - соответственно .... нтвс/нымi и невозможным событиями. Объединением, или суммой, двух событий А и В является сложное i iHii.ii не, состоящее в появлении хотя бы одного из событий - А или В. i Юнедшение событий А и В обозначают через сумму: А + В или с ис .... . юнаиием знака U: /ИМ . На рисунке 2.1 показано объединение |н\ ■. событ ий для случая, когда событие А представляет собой попадание i тучпйной 'точки в область, обозначенную буквой А, а событие В - попа сшие случайной точки в область, обозначенную буквой В. Событие I i II в этом случае, представляет собой попадание точки в область, граiiiiiiH которой обведена сплошной линией. I In этом же рисунке показан случай, когда области событий А и В ..... . общую часть (пересечение), т.е. когда события А и В совместны. I In рисунке 2.2 показаны суммы двух несовместных событий, когда I 'I I пн I и А и В не пересекаются, т.е. когда события А и В несовместны. Рис. 2.1. Сумма двух совместных событий Рис. 2.2. Сумма двух несовместных событий 50 р Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Пересечением или произведением, двух событий А и В называют их совместное появление. Пересечение событий обозначают как произведе ние АВ или с помощью знака П: А П В . На рисунке 2.1 дано пересечение двух событий А и В- заштрихованная общая часть областей Ан В. Приведенные определения объединения и пересечения легко рас пространяются на любое число событий. Объединением или суммой нескольких несовместных событий назы вают появление хотя бы одного из этих событий Z4 = 4+Л+-+Л- . / Пересечением, или произведением, нескольких событий называют совместное появление всех этих событий П Л =ЛЙ2---Й,... • / Операции объединения и пересечения обладают рядом свойств, ана логичных свойствам сложения и умножения чисел: - коммутативностью: А + В = В + А; АВ=В1А: - ассоциативностью: (А + В) + С = А + (5 + 0 = А + В + С; (ЛВ)С=Л(ВС)=,ВС?; - дистрибутивностью: (А + В)С = АС + ВС. Все эти свойства непосредственно следуют из определений объеди нения и пересечения событий. Так, например, (2 + В'С представляет со бой совместное появление события С с событием А, или с событием В, или одновременно с А и В. Событие АС + ВС тоже состоит в появлении или С вместе с А, или С вместе с В, или С вместе с АВ. При изучении действий над событиями вводят понятие противоположных событий. Событием, противоположным событию А, называют непоявление события А и обозначают А . Примерами противоположных событий мо гут служить попадание и промах при выстреле, отказ изделия за задан ный период времени и его исправная работа за тот же период времени. Легко видеть, что событием А противоположным событию А , явля ется само событие: А = А . ЧАСТОТА СОБЫТИЯ. СВОЙСТВА ЧАСТОТ 51 Противоположные события несовместны. Объединение противопоЦ| иных событий представляет собой достоверное событие: А + А = IV , а их произведение - пустое множество: AA = W . Очевидно, что A + W = A; AW = W\ A + W = W\ AW = A. 2.2. ЧАСТОТА СОБЫТИЯ. СВОЙСТВА ЧАСТОТ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ < > частоте события можно судить по тому, как часто оно появляется при повторении одного и того же опыта. Если при повторении опыта од ни собы тие появляется чаще чем другое, то говорят, что первое событие in рои Iнее второго. Частотой события называют отношение числа опытов, в котором niHiiiiijiocb данное событие, к общему числу проведенных опытов. I цким образом, если при п опытах событие А появилось т раз, то I о час то га Р в данной серии опытов равна Р’(й) = -. п (2.1) Н некоторых случаях частоту события приходится определять при IIIIHHIIIIIтельном условии, что произошло некоторое другое событие. II ii*l*i.i определить частоту события А при условии, что произошло собы* ■■> В, необходимо учитывать не все проведенные опыты, а только те из ни ■. и которых произошло событие В. Гпким образом, если из п проведенных опытов событие В появилось и т опытах, причем в к опытах из т появилось и событие А, то частота | опы I ня А при условии, что произошло событие В, равна Р*(А/В)=-т (2.2) Час тоту события А, вычисленную при условии появления события В и I i pini т опытов, называют условной частотой события А относительно > iiiH.iiiiM В. ( обытие называют невозможным, если оно не может произойти в pr lyuuaie данного опыта, и обозначают W . ( обытие называют достоверным, если оно обязательно происходит и рп lyai.iare данного опыта, и обозначают W. ( обытия А\, й2, ..., А„ называют несовместными в данном опыте, есIII в результате опыта никакие два из этих событий не могут появиться 52 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ вместе (например, попадание и промах при одном выстреле, выпадение одного, четырех и шести очков при одном бросании игральной кости). Основные свойства частот событий: - частота любого события представляет собой неотрицательное число А < 1, причем частота невозможного события IV = 0, а частота достоверного события W = 1; - частота появления одного из несовместных событий, безразлич но какого именно, равна сумме их частот; - частота совместного появления двух событий А и В равна частоте одного из них, умноженного на условную частоту другого; для доказатель ства достаточно заметить, что если при п опытах событие А появилось т раз, а событие В появилось к раз, причем / раз вместе с событием А, а к-l- без А, то частота совместного появления А и В равна Ни, частота А равна mln, а условная частота В относительно А равна Нт. Частоту события часто называют статистической вероятностью. При неограниченном увеличении числа опытов частота события проявля ет тенденцию стабилизироваться около некоторого характерного для данного события значения. Устойчивость частот событий дает основание считать, что с каждым событием связано некоторое число - вероятность этого события, около которого стремится стабилизироваться его частота. Так, например, частота появления герба при бросании монеты, очевидно, должна стабилизироваться около 1/2. Следовательно, вероятность появ ления герба равна 1/2. Вероятность события А обозначают Р(А), но мож но обозначить просто через Р. Понятие вероятности события А является первичным в теории веро ятностей, и оно представляет собой результат абстракции, необходимой для построения любой теории. Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Вероятность события вычисляют как отношение числа благоприят ных случаев к общему числу случаев п (2.3) где т - число случаев, благоприятных событию А; п - общее число слу чаев в данном опыте. Так, например, при бросании шестигранной игральной кости имеет ся шесть равновозможных исходов появления любой цифры от 1 до 6. Иными словами, т = 1, п = 6. Тогда вероятность появления любой цифры при одном бросании игральной кости равна: Р(Л) = 1/6. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 53 Аналогично при одном бросании монеты имеется два равновозможисхода появление герба и появление цифры. Следовательно, верон ниц 11. каждого исхода одинакова и равна: Р(А) = 1/2. iii I г При мер 2.1. В урне 12 шаров одного диаметра - 4 белых и 8 чер ни . Шары тщательно перемешивают, затем из урны вынимают один нищ I laii ги вероятность появления белого шара. Решение. В этом опыте нет оснований предполагать, что вероят ен и. появления белого шара будет изменяться от опыта к опыту, поэто во in н.п сводится к схеме случаев и вероятность появления белого шара |Ц' в г равна Пример 2.2. В урне 12 шаров - 5 белых и 7 черных. Один шар вы ну in и положили в сторону. Он оказался черным. Найти вероятность тоIII. нт I i горой вынутый шар окажется черным. Решение. Пусть событие А состоит в том, что первый вынутый шар 'и piH.iil, а событие В - в том, что второй вынутый шар тоже черный. Учин. шал условие появления события А и то, что после этого события в урне ... ни loci. 11 шаров, т.е. 11 возможных случаев, из которых 6 благоприят| гауки событию В, приходим к выводу P(t^/A) = — ■ 11 Пример 2.3. В урне 6 шаров - 4 белых и 2 черных. Один шар из урi вынули он оказался белым, - после чего шар вновь положили в урну и in г шары тщательно перемешали. Найти вероятность того, что во вто рил рп i вновь будет вынут белый шар. Решение. Пусть событие А состоит в том, что первый вынутый шар iir lihili. и событие В - в том, что второй вынутый шар тоже белый. Так как Bin но всех вынутых шаров осталось тем же, т.е. равно шести, а число i i ivniicB, благоприятных событию В, осталось равным четырем, то, \ i 1О1111ПЯ вероятность события В равна iii Р(5/Я) = Р(В) = — 6 2.3. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 11 ерей дем к понятию вероятности, исходя из понятия частоты собыши и будем считать, что вероятности должны обладать всеми свойства- 54 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ми частот. Понятие вероятности случайного события основывается на следующих аксиомах. Аксиома 1. Каждому случайному событию А из поля F поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число Р(А), называемое его ве роятностью. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1 Р(ИД = 1. Аксиома 3. Если событие А и В несовместны, то вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей Р(Я + Р) = Р(Л) + Р(5). (2.4) Последнюю аксиому называют аксиомой сложения вероятностей. Приведенные три аксиомы позволяют получить ряд важных выво дов относительно вероятностей случайных событий. Вероятность невоз можного события равна нулю p(l-l'’)= 0. Для любого случайного события вероятность заключена в интервале 0 < Р(А )< 1. Противоположными событиями называют два несовместных собы тия, образующих полную группу. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Р(Л) + Р(Й)=1. (2.5) Известно, что случайное событие А влечет за собой событие В, если множество В содержит в себе все элементы, составляющие множество А. Если событие А влечет за собой событие В, то Р(А) < Р(В). Для совмест ных событий А и В справедлива теорема сложения вероятностей Р(Л + 5) = Р(Я) + Р(5) - Р(АВ). (2.6) Методом полной индукции можно получить общую формулу для вероятности любого числа совместных событий (2.7) Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сум ме вероятностей этих событий АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ( п \ П ptA> =ХРМ\< м 7 <=| \ '< •и/иной вероятностью Р(А/В) события А относительно события В н I nv'ine. когда Р(В) # 0, называют отношение вероятности пересечения I uOi.iinII А и 13 к вероятности события В Р(А/В) = Р(В) (2.9) При гаком определении условной вероятности теорему умножения ow ihri ктисимых событий можно записать следующим образом Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В). (2.10) I пким образом, вероятность совместного появления двух событий рипнп вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность lp\ I III о Вероятность совместного появления любого числа событий равна ttijimi I пости одного из них, умноженной на условную вероятность друго...... nioci пелы-ю первого , на условную вероятность третьего относитель на пересечения двух первых и т.д., на условную вероятность последнего ||||Н1ги njii.iio пересечения всех предыдущих / ‘(Л, А2.. .А„) = Р(А,) P(A2/A,) Р(А3/А1А2).. ,Р(А„/А ,А2...а!„). (2.11) Формулу (2.11) называют теоремой умножения для любого числа hitiih иных событий. Пример 2.4. В урне 15 шаров - 10 белых и 5 черных. Из урны выiiiiMiiioT 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Решение. Введем события: А - первый вынутый шар белый, В - втори|| вынутый шар тоже белый. Тогда 10 Р(А) = — ; 15 9 Р(5/Л) = — 14 11о формуле (2.10) определим 10 9 3 Р(ЛВ) = Р(А)Р(В/А) = — — = — 15 14 7 Пример 2.5. В урне 20 шаров - 5 белых, 12 черных и 3 красных. Hull in вероятность того, что среди вынутых из урны пяти шаров первым и , in i белый шар, вторым - черный, а остальные шары - красные. I Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 56 Решение. Введем события: - первый шар белый, Аг - второй шар черный, Ат, - As - третий - пятый шары красные. Т 01 да ?(Я|) = —; /’(Л/Л) = —; Р(А3/А.А2) = —; 1 20 19 18 По формуле (2.11) находим /’(,4|Й2 Й3И4 Л5) 5 12 А 2. ± 1 20 19 18 17 16 ~ 5168 2.4. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ Два события называют независимыми событиями, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Два события называют зависимыми событиями, если появление одного из них изме няет вероятность появления другого. Для независимых событий А и В можно записать: Р(А/В) = Р(А), Р(В/А) = Р(В). (2.12) События Л,, Ат, ...,А„ называют независимыми, если каждое из них не зависит от любого из остальных и от всех возможных их пересечений. Для зависимых событий А и В справедливы неравенства: P(AIB)* Р(А), Р(В/ Р(В~). (2.13) Очевидно, что два несовместных события А и В всегда зависимы, так как появление одного из них исключает появление другого, вслед ствие чего F(J/5) = Р(В/А) = 0. Если события Я|, Лг, ...,Л„ независимы, то вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий. Это определение носит название теоремы умножения для независимых событий и записывается математически так: Р(А ,А2.. .А„) = Р(А{)Р(Ат). ,.Р{А„) или (2.14) ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 57 Пример 2.6. В урне 10 шаров - 6 белых и 4 черных. Из урны выни мают один шар, отмечают его цвет и возвращают в урну. После этого шары тщательно перемешивают и из урны вынимают второй шар. Найти вероятность того, что оба раза появится черный шар. Решение. Поскольку шар возвращается в урну после вынимания, по этому события А и В независимы и вероятность их появления равна про изведению вероятностей: Р(АВ) = /’(й)/’(5) = — ■ — = 0,16. 10 10 Пример 2.7. В урне 16 шаров - 5 белых, 7 черных и 4 красных. Из урны 4 раза вынимают по одному шару, каждый раз возвращая шар обратно в урну. Найти вероятность того, что первый шар будет белым, второй черным, а третий и четвертый красными. Решение. В этом случае происходят следующие события: А\ - пер вым вынут белый шар, второй черный шар, А2 - вторым вынут черный шар, А? и Ад - третий и четвертый шары красные. Так как все события независимые, то можно записать 5 7 4 4 35 Р{А, л) = Р(А, -,)Р(Ад) V ' А,2 А,А 3 47 V 17)Р(А?)Р(А V 27 437 V 47 = --------------------[6 [6 ]6 --------4QQ6 2.5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения и теоремы умножения вероятностей - является формула полной вероятности. Предположим, что с этим опытом связана полная группа несовместных событий Н\, Н?,.., Н„, вероятности которых PfH) (i = 1, 2, ..., п) извест ны. Назовем эти события гипотезами. Нас интересует событие А, для ко торого известны условные вероятности Р(А1Нф. Поскольку события Н\, Н?, ..., Н,, образуют полную группу, то их объединение есть достоверное событие. Событие А может появляться только вместе с каким-нибудь событием Я*. Таким образом, событие А есть объединение событий Н\, Н?,..., Н„. Так как события Н\, Н?,..., Н„ по условию несовместны, то события АН\, АН?,..., АН„ также несовместны и можно применить теорему сложения I Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 58 Ф^ФФ V (2.16) /=i Применяя к событию AH, теорему умножения, получим Ф) = Y рнНрА/Н,). (2.17) /=| Формула (2.17) носит название (формулы полной вероятности и чи тается так: вероятность события А равна сумме произведений вероятно стей каждой гипотезы Н\, Hi,.., Нп на условные вероятности события А при этой гипотезе. Пример 2.8. По движущемуся танку производят три выстрела из ар тиллерийского орудия. Вероятность попадания при первом выстреле рав на 0,4; при втором - 0,5; при третьем - 0,6. Для вывода танка из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попадании танк выхо дит из строя с вероятностью 0,4; при двух попаданиях - с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов танк выйдет из строя. Решение. Рассмотрим четыре гипотезы: Но - в танк не попало ни од ного снаряда; Н\ - в танк попал один снаряд; Hi - в танк попали два сна ряда; Нз - в танк попали три снаряда. Используя теоремы сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез: Р(//о) =0,6 ■ 0,5 ■ 0,4 = 0,12; р(н) = Р(Н2) = 0,4 • 0,5 • 0,4 + 0,6 ■ 0,5 ■ 0,4 + 0,6 • 0,5 • 0,6 = 0,38; /'(//,) =0,4 ■ 0,5 ■ 0,6 = 0,12. Условные вероятности события А (выход из строя танка) при этих гипотезах равны: Р(А/Н0)=0; Р^А/Н^О,- Р(а/Н2)=0$; ф//73) = 10. Применяя формулу полной вероятности, получим Р(а) = Р. )р(А/Н0)+ Р(Н, )p(A/Ht)+ Р(Н )Р(А/Н2 )+ Р(н3 )р(а/Н2) = = 0,12 • 0 + 0,38 ■ 0,4 + 0,38 ■ 0,8 + 0,12 • 1,0 = 0,576. Пример 2.9. Пусть некоторые детали (например, диоды) поставляют три завода, причем вероятность того, что изделие изготовлено на первом ФОРМУЛА БЕЙЕСА 59 заводе, равна 1/4, на втором - 3/10 и на третьем - 2/5. Вероятности того, что диод будет работоспособен в течение некоторого заданного времени, для первого, второго и третьего заводов соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что наудачу взятый диод будет работо способен. Решение. Используя формулу полной вероятности, можно записать: Ф)) =1/4; Р(яф = 3/10; Д^) = 2/5; Рф/Я2)=0,8; Р(Л/Я3)=О,7; Рф/Яф 0,9; ф) = /ф )рф/н) + р(Я2 )^ф/я^) + р(я3 У^ф/я3) = = -• 0,9 + — - 0,8 + -• 0,7 = 0,745. 4 10 5 2.6. ФОРМУЛА БЕЙЕСА На практике часто необходимо найти полную группу несовместных событий Я,, Я2)..., Я„, вероятности Р(/1) которых известны. Пусть собы тие А может по-прежнему произойти только одновременно с одним из несовместных событий Я„ для которого известна условная вероятность Р(а/ Я,), / = I, п. Допустим, что произведен опыт, в результате которого появилось событие А. На основании этого опыта требуется сделать выво ды относительно событий Я|, Я2, •■•) Я,,, т.е. определить, как изменились их вероятности после произведенного опыта. Иначе говоря, нужно найти условные вероятности событий Яь Я2, •••, Я„ относительно события А. На основании теоремы умножения вероятностей для зависимых со бытий можно записать ран,) = р(а)р(н,/а) = р(я, )р(а/я ). Отсюда следует, что P{HJA)= р(н, (2.18) р(а) Подставляя сюда выражение вероятности события А из формулы полной вероятности (2.17), получим р(Л/л= Р(Н,)Р(А/Н,) )р(а/н,) /=1 (2.19) 60 р Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Формулу (2.19) называют формулой Бейеса. Вероятности Р(Щ интересующих нас событий Н\, Н2,..., Н„ до опы та обычно называют априорными, т.е. в данном случае вероятности собы тий до того, как был проведен опыт. Вероятности Р(НфА) тех же событий после опыта называют апостериорными. По формуле Бейеса на практике часто оценивают надежность изделий с использованием расчетных и экс периментальных данных. 2.7. ЧАСТНАЯ ТЕОРЕМА О ПОВТОРЕНИИ ОПЫТОВ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ В практике применения теории вероятностей часто приходится ре шать задачи, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты по вторяют многократно. Опыты называют независимыми, если вероятность интересующего нас события А в каждом опыте не зависит от результатов других опытов. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некото рое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, проводят группу выстрелов по одной и той же цели, но нас интересует не результат каждого отдельного выстрела, а общее число попаданий. Предположим, что проводят п независимых опытов, в каждом из ко торых вероятность события А равна Р. Требуется найти вероятность P,, „ появления события А ровно т раз. Для того чтобы при п опытах событие А появилось т раз, необходи мо и достаточно появление одной из последовательностей событий Bt. В2, ..., В„, в которых т из событий В\, В2, .., В„ совпадают с событи ем А, а (я - т) - с противоположным событием А. Очевидно, что число таких последовательностей равно числу сочетаний из п по т, т.е. т!(п-от)! В силу независимости опытов вероятность каждой такой последова тельности по теореме умножения для независимых событий равна рт _п-т • Ч ’ где q = 1 - Р. Наконец, в силу несовместности всех возможных последовательно стей искомую вероятность определяют по формуле ЧАСТНАЯ ТЕОРЕМА О ПОВТОРЕНИИ ОПЫТОВ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ 61 (2.20) где т = 0, 1,2,п. Формула (2.20) носит название формулы Бернулли. Пример 2.10. Известно, что вероятность Р безотказной работы из делия в каждом испытании равна 0,8. Проводят (н= 10) п испытаний. Найти вероятность того, что из 10 испытаний т испытаний будут успеш ными (при т = 2). Решение. Для нахождения вероятности воспользуемся формулой Бернулли 0,28 =0,00073. Во многих задачах на практике приходится определять вероятность того, что интересующее нас событие А появится при п опытах не менее к раз. Очевидно, что появление события А не менее к раз представляет собой объединение п-(к + 1) несовместных событий: появление собы тия А ровно к раз, к + 1 раз, ..., и в конечном счете, - ровно п раз. Следо вательно, искомая вероятность /?*.,, того, что при п опытах событие А по явится не меньше чем к раз, равна п Rk,n = Rk.n + Rk + \,n + ••• + Rn,n = т=к ’ (2.21) Часто приходится вычислять вероятность того, что интересующее нас событие появится хотя бы один раз, т.е. не меньше чем один раз. В этом случае формула запишется так R\,n = 1 ~Ro.„ = I (2.22) где <?, = 1 - Д, <72 = 1- />2, ..., <?„ = 1 - Р„. В частности, при постоянных условиях опыта, когда q} = = q„ = q, формула имеет вид Я|,„=1-<7". = ... (2.23) Вероятность того, что при п независимых опытах событие А не по явится ни разу, равна произведению вероятностей непоявления А в пер вом, втором, и ..., /7-м опытах, т.е. произведению q\qiq„. 62 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Пример 2.11. Устройство состоит из трех приборов, каждый из ко торых, независимо от других, может в течение времени / отказать. Веро ятности безотказной работы приборов соответственно равны: Pt(t) = 0,8; P2(t) = 0,9; Л(/) = 0,95. Найти вероятность того, что не откажет хотя бы один прибор. Решение. Для вычисления вероятности воспользуемся форму лой (2.22): <71(/)=1-/>1(г) = 0,2; 92(/)=1-Р2(/)=0,1; <?,(/)= 1 - Р3(/)= 0,05; /?,„ = !-<?, (t)q2 (t )<?3(/) = 1 - 0,2 ■ 0,1 • 0,05 = 0,999. 2.8. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Известно, что при изготовлении изделий из одних и тех же материа лов в одних и тех же условиях, как правило, имеются некоторые разбро сы параметров в их поле допуска. Такие разбросы соответственно влияют на длительность безотказной работы, время восстановления, технический ресурс и т.д. Как было показано ранее с каждой случайной величиной можно связать некоторое событие и попадание этой величины в различ ные множества. Вместе с гем для изучения случайных величин необхо димо знать вероятности некоторого множества таких событий, связанных с данным опытом. Отсюда приходим к следующему определению слу чайной величины. Случайной величиной называют такую величину, которая в результа те опыта принимает то или иное значение, неизвестно заранее какое, и с которой связано некоторое поле событий. Соответствие между множествами значений случайной величины X и вероятностями попадания величины X в эти множества называют зако ном распределения случайной величины. В дальнейшем будем рассматривать лишь распределение действи тельных случайных величин. Некоторые случайные величины имеют только конечное множество возможных значений (например, число появлений или частота события при п опытах). Другие имеют счетное множество возможных значений (например, число событий, происходящих в данном интервале времени). Третьи имеют несчетное множество возможных значений (например, время безотказной работы изделия). Отсюда можно выделить два класса случайных величин - класс дискретных величин и класс непрерывных величин. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 63 Дискретной случайной величиной называют случайную величину, которая принимает конечное и счетное множество возможных значений. Распределение дискретной случайной величины полностью определяется вероятностями всех ее возможных значений и представляет собой ряд распределений или закон распределения, который записывают в виде таблицы. Ряд распределений X X1 *2 Xi р Р\ Р1 Pi х/} Рп Таким образом, если X - случайная величина с возможными значе ниями хь х2,..., х„, то ее распределение определяется формулой Д=/>(А- = Х/), , = ]7й. (2.24) Сумма всех этих вероятностей равна 1 (2-25) /=1 В качестве примера дискретного распределения случайной величи ны можно рассматривать формулу Бернулли (2.20). Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, вероятность попадания которой в любую бесконечно малую область бесконечно мала. Отсюда следует, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в любую точку пространства равна нулю. Если множество возможных значений несчетно, то приписать каж дому возможному значению определенную вероятность нельзя. Ставится задача - найти такой способ, который мог бы быть применим во всех случаях. Одним из самых распространенных методов такого рода являет ся использование понятия функции распределения. Функцией распреде ления случайной величины X называют вероятность того, что X примет значение, меньше чем х: F(X)=P(X <х). (2.26) Здесь х может принимать любое действительное значение. Функция распределения является универсальной характеристикой и существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. 64 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Любая функция распределения обладает следующими свойствами: - функция распределения является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. F(x) >0; - при увеличении аргумента функция распределения возрастает, т.е. при л'2 > x F(x2)> F(xj); - в области минус бесконечность функция распределения равна нулю: F(-co)=0; - в области плюс бесконечность функция распределения равна единице: /-'(оо)= 1; - вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал а< х <Ь вычисляют по формуле Р(а<Х <b) = -(b--F(a); (2.27) - для любого числа с имеет место неравенство p(x = c)=F(c + 0)-F(c). (2.28) Таким образом, если функция F(X) в точке с непрерывна, то вероят ность того, что X примет значение с, равна нулю. Если же в точке с функция F(X) имеет скачок, то значение этого скачка равно вероятности того, что X примет значение с. Графическое изображение функции распределения дано на рис. 2.3. На участке (-2; 2) функция имеет дискретное распределение, и ее значение увеличивается от 0 до 0,50. На участке (2; 4) функция имеет непрерывное распределение, и ее значение увеличивается от 0,50 до 0,70. На участке (4; 5) функция распределения остается неизменной, по этому определяемая ею случайная величина на этом участке других воз можных значений не имеет. Рис. 2.3. Функция распределения СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 65 На участке (5; 6) функция изменяется непрерывно, причем вероят ность попадания на этот участок равна 0,05, и наконец, значения х > 6 случайная величина принимает с вероятностью 0,25. Таким образом, при -оо < х -1 функция F(x) = 0, при 6 < х < +со F(x) = 1 . Итак, функция распределения дискретной случайной величины воз растает скачками в точках: (-1; 0; 1; 2; 6), что соответствует вероятно стям: 0,12; 0,03; 0,05; 0,3; 0,25, и постоянна в любом интервале, не со держащем ни одного из значений х(, х2, .... х„. Следовательно, функция распределения дискретной случайной величины изображается ступенча той линией, а непрерывной случайной - в виде возрастающей плавной кривой в интервале определенных значений. Плотностью распределения, или плотностью вероятности случай ной величины X, называют предел отношения вероятности попадания ее значения в бесконечно малый интервал (х, х + Дх) к длине этого интервала Ах Дх) = Iim ) Р^Х<х + М = Г(г), А ■• Ду (2.29) где F'(x) = -d^(x) - производная функции распределения. dr Кривую плотности распределения обычно называют кривой распре деления (рис. 2.4). Плотность распределения случайной величины X су ществует только для непрерывных случайных величин. Основными свой ствами плотности распределения являются: 1. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1 со = 1. -СО (2.30) 66 Л Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 2. Вероятность попадания случайной величины X в интервал а, Ь через плотность распределения определяется равенством ь Р(а<Х <*)=jM)dk. (2.31) а 3. Функция распределения через плотность распределения запишет ся в виде равенства F(x)= J/(x)dx. (2.32) -СО I 4. Плотность распределения не может быть отрицательной величи ной, т.е. /(фо, /(-х) = /(х). (2.33) 2.9. ДИСКРЕТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ 2.9.1. Ззкон Пуассона Если случайная величина принимает только целые неотрицательные значения с вероятностями лТ (« = 0,1, 2,...), (2.34) ml то такая величина распределена по закону Пуассона (здесь Л. - параметр распределения; е - основание натурального логарифма). Функция распределения представляет собой лестницу с бесконеч ным множеством ступеней, начинающихся в неотрицательных целочис ленных абсциссах. Распределение Пуассона нашло широкое применение в теории стрельбы при определении вероятности поражения цели, а так же при расчете количественного состава запасных частей и определении вероятности восстановления сложных систем. 2.9.2. Биномиальное рсспределение Как уже отмечалось, число появлений события А при и независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью Р, представляет собой случайную величину, которая может принимать только целые положительные значения: О, 1, 2, ..., и. ДИСКРЕТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 67 Ранее было установлено, что вероятность появления события А ровно т раз при п испытаниях определяется формулой Бернулли (2.20). В дан ном случае рассматриваемую случайную величину называют биномиаль но распределенной, а совокупность соответствующих вероятностей — (биномиальным распределением с функцией распределения вида п (2.35) т=0 Биномиальный закон распределения нашел широкое применение в технике при оценке надежности по результатам испытаний или эксплуа тации систем, работающих в циклическом режиме. В качестве примера можно привести число попаданий в мишень при стрельбе из орудия, чис ло циклов срабатывания блокировки включения механизма управления крановым манипулятором или срабатывания реле в механизме аварийной сигнализации и т.д. 2.9.3. Гипергеометрическое распределение Наряду с биномиальным распределением, в теории надежности часто используют так называемое гипергеометрическое распределение, когда случайная величина принимает целочисленные значения т = 0, 1, 2, ..., min(A/, п) с вероятностями z—т т п-т L А/С А-А/ (2.36) И С N м'. . сп W . c«—Hi ; (N М т\(М-т)\’ N п!(М-и)(’ NM (n-m)l(N-M-n + Физический смысл величин N,M,nv. т: - N - совокупность всех предметов, из которых наудачу берут п предметов; - М - число предметов, обладающих определенным свойством (например, дефектные), в совокупности N, а остальные предметы этим свойством не обладают; - п — число предметов, взятых из всей совокупности N; - т - число предметов, обладающих определенным свойством (например, дефектные) в совокупности п, а остальные предметы этим свойством не обладают. 68 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Практическое применение этот закон нашел в определении брако ванное™ или годности партии деталей по некоторой выборке. Гипергеометрическое распределение хорошо согласуется с практи кой в том случае, когда М значительно меньше N,n п мало по сравнению с N. Очевидно, что в этом важном для теории надежности случае т мо жет принимать значения: 0, 1, 2, . . . , min(W, и). При массовом производ стве это распределение используют при определении вероятности того, что в выборке п деталей окажется т бракованных, по которым принима ют решение о принятии или непринятии всей партии деталей. Пример 2.12. На испытания поставлено п = 500 приборов. Известно, что интенсивность отказов прибора равна: X = 10 4 ч". Найти вероятность отказов т = 0, 1,2, 3 приборов за время t = 10 ч. Решение. Определим среднее число а отказов всех поставленных приборов за время t при известной интенсивности А. отказов каждого прибора а = иА,? = 50()-1() -10 = 0,5. Используя формулу Пуассона, вычислим вероятности отказов: иИ е-°'5 - е с/ —0,0067; 0! 1! О . 52 п 5 Л,_2 = ^— <? 0,5 = 0,0842; Пример 2.13. Некоторая партия радиоэлементов имеет 10% не исправных деталей. Определить вероятность появления т = 0, 1, 2, 3, 4, 5 неисправных деталей для партии, содержащей 20 радиоэлементов (и = 20). Решение. Для вычисления вероятностей воспользуемся формулой биномиального закона распределения где q = 0,1 - вероятность появления неисправной детали в партии; НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 69 р0 20 = -22-. 0,1° . о,920 =О,920 = 0,121; 0’20 0^1-20! р • р 2,20 20* =_-0.0Д|. 0,919 =0’270; 11-19! = -И8_.0,12 -0,918 =0,285; 2!-18! 20' ■, п р, =---- --0,13 -0,9'7 =0,190; • 3117! 20* Р2 0)Дд777'()’14-0’916 =0,089; 4!-16! 20* р. . =---- — .0,15.0,915 =0,032. • 51-15! Пример 2.14. На заводе изготовлена некоторая партия из 100 дета лей (N = 100). По результатам статистических данных за многолетний период известно, что средняя доля брака составляет: q = 5 %. Из партии деталей взята выборка в 20 деталей (и = 20). Найти вероятность того, что в этой выборке окажется т деталей бракованных (т = 2). Решение. Воспользуемся гипергеометрическим законом распределе ния при известных значениях величин: N - 100; М = Nq = 100 -0,05 = 5; п = 20; т = 2 = 0,207. 2.10. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 2.10.1. Экспоненциальное распределение Экспоненциальное распределение часто называют показательным распределением. Оно нашло широкое применение в теории надежности при описании наработки на отказ, а также наработки между отказами сложной технической системы. Используют показательное распределе ние в проектных расчетах надежности на стадии разработки сложных систем и часто называют его основным законом надежности. Особен ность этого закона - простота в практическом применении и отсутствие больших вычислительных процедур при расчете надежности. 70 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Рис. 2.5. Кривые функции (а) и плотности (б) экспоненциального распределения Функция экспоненциального распределения описывается уравнени ем вида при х<0; (2.37) при х > 0. Плотность распределения выражается соотношением при х < 0; при х > 0, (2.38) где е - основание натурального логарифма; Л, - параметр распределения (имеет вероятностный смысл). Это распределение называют однопараметрическим, так как харак тер изменения кривой зависит от одного параметра К Кривые функции и плотности распределения показаны на рис. 2.5. 2.10.2. Распределение Вейбулла Закон распределения Вейбулла находит все большее применение в практике расчетно-экспериментальной оценки надежности сложных си стем. Это распределение было установлено, а затем подтверждено Вейбуллом экспериментально при описании наблюдавшихся разбросов уста лостной прочности стали, пределов ее упругости, размеров частиц копоти и др. Распределение Вейбулла может быть использовано при описании сроков службы электромеханического оборудования, подшипников и наработки между отказами сложных систем в процессе эксплуатации. В отличие от показательного распределения, закон Вейбулла являет ся двухпараметрическим, а также универсальным, так как при опреде ленных значениях параметров он может превращаться в показательное, нормальное и другие распределения. Функция распределения описывается уравнением при х < 0; при х > 0. (2.39) Соответственно функция надежности равна Д(х) = 1 - F(x) = e"ua (2.40) Плотность распределения выражается соотношением / 1° при х < 0; при х > 0. (2.41) В этих формулах а - параметр формы кривой; X - параметр масшта бы кривой распределения; е - основание натурального логарифма. При значении параметра а = 1 распределение Вейбулла превраща ется в показательное, при а «3,3 - в нормальное. Кривые плотностей и функции распределения приведены на рис. 2.6. 2.10.3. Нормальное распределение Нормальный закон, часто называемый законом Гаусса, описывает многие явления в природе и является предельным законом, к которому стремятся существующие законы распределения. Все известные явления природы, происходящие в растительном мире, а также в неживой приро- 72 || Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ де, описываются нормальным законом распределения. Примерами тому являются урожайность полей определенного региона, рост и масса жи вотных некоторого вида или человека, отклонение размеров при изготов лении деталей, ошибка измерения некоторой контролируемой величины и распределение ресурса устройства определенного типа. Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные, факторы. В теории надежности нормальное распределение используют для описания постепенных отказов, когда время безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем - максимальную и далее - падающую. Случайная величина X нормально распределена, если плотность ее распределения имеет вид (-у-»)2 2а , (2.42) где а - параметр распределения, представляющий собой среднее значе ние случайной величины; о - среднее квадратическое отклонение слу чайной величины от среднего значения. Функция распределения описывается уравнением F(x) = —f е А. (2.43) Кривые функции и плотности нормального распределения приведе ны на рис. 2.7. Рис. 2.7. Кривые функции (а) и плотности (б) нормального распределения НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 73 Совокупность всех значений случайной величины, подчиненной нормальному закону, практически с вероятностью 99,73 % попадает в область, ограниченную интервалом -За слева и За справа от среднего значения а. В теории надежности часто используют функцию Лапласса, которая представляет собой нормированную нормальную функцию распределе ния с параметрами а = 0, а = 1 и записывается в виде 1 л -Ф(х) = -=[е - dx. 72л о (2.44) Эта функция табулирована для различных значений X, и обычно ее представляют в виде таблицы (см. табл. 3 прил.). Для этого распределе ния функция плотности имеет одну переменную А": 2 /oW = 1 — 2. (2.45) у2л Обозначим Л7[х] через а, т.е. М[х[ = а. Величина X является центри рованной {математическое ожидание а = 0) и нормированной (среднее квадратическое отклонение а = 1). Для использования таблицы следует применять подстановку Х = (/-«)/а, (2.46) где х - квантиль нормированного нормального распределения, обычно обозначаемая через U: x = U = (t-a)lc. (2.47) Так как функция Лапласса нечетная, то справедливо равенство Ф(-Ц) = -Ф(Ц). Математическое ожидание определяет на графике (рис. 2.8.) поло жение кривой, а среднее квадратическое отклонение - ее ширину. Кривая плотности распределения тем острее и выше, чем меньше о. Эта кривая начинается в области х = -со и распространяется до области х = +оо. Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399/а. Так как кривая плотности распределения симметрична относительно прямой У(а), где а - центр рассеяния, то имеет место равенство ^о^^) + ^оо--^)= 11 (2.48) /Д(-х) = 1 - W) (2.49) отсюда IX Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Рис. 2.8. Кривые плотности (я) и функции надежности (0) нормального распределения для различных значений среднего квадратического отклонения Очевидно, что л- О ЛМ f Л М dx+1 -со W Ж = 0,5 + Ф(х) • 0 Таким образом, вероятность отказа (функция распределения) и ве роятность безотказной работы (функция надежности), выраженные через функцию Лапласса, имеют вид: ад = 0,5 + ®(i-£l: V ст ) 4 (2.51) Р(х) = 0,5-фГ—\ В таблице 1 приложения приведены значения функции надежности в зависимости от квантилей U, а в табл. 2 прил. - значения плотностей распределения. Вероятность попадания случайной величины X, подчиненной нор мальному закону, в интервал (а, P) определяют по формуле ?(а<А<р) = —r=f dx. (2.52) НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 75 Использование функции Лапласса позволяет преобразовать фор мулу (2.52): (2.53) Значения функции Лапласса приведены в табл. 3 прил. Для случая симметричного интервала (а, р) относительно математи ческого ожидания а с использованием табличных значений функции Лапласса, находим: р(.т-а| < о)= 2Ф(1) « 0,683; ф - а| < 2°) = 2Ф(2) = 0,954; /j - а| < За)= 2Ф(3) « 0,997; Р^х - я| < 4а) = 2Ф(4) « 0,999994 . Таким образом, с вероятностью около 68 % значения нормально распределенной случайной величины отклоняются от ее математического ожидания не больше, чем на одно среднее квадратическое отклонение; с вероятностью 95 % - - не больше, чем на два средних квадратических отклонения; с вероятностью 99,7 % - не больше, чем на три средних квадратических отклонения. Помимо оценки вероятности безотказной работы за заданные время или наработку, часто приходится определять время или наработку, соот ветствующие заданной вероятности безотказной работы. Эти наработку и время определяют с помощью квантилей нормированного нормального распределения по формуле t = а + Ш. (2.54) Значения квантилей в зависимости от требуемой вероятности безот казной работы см. в табл. I прил. 2.10.4. Логарифмически нормальное распределение В логарифмически нормальном распределении логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Этот закон нашел успешное применение при описании наработки на отказ сложных техни ческих систем (например, тракторов, автомобилей, подвижных кранов, специальных машин большой грузоподъемности и других изделий). Ста тистически установлено, что наработка на отказ подшипников качения, электронного оборудования также подчиняется логарифмически нор мальному закону распределения. Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 76 Плотность распределения описывается зависимостью (2.55) где х и 5- параметры, оцениваемые но результатам испытаний. Так, например, при испытаниях W изделий до отказа эти параметры определяют по формулам Е|пхi=i (2.56) N £(1пх, -х)2. /=| (2.57) Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл. 1 прил.) в зависимости от зна чения квантили: 1пх-х (2.58) 5 Часто для плотности логарифмически нормального распределения применяют распределение в десятичных логарифмах: 0,4343 ./'(*) = ---- (IgA' Ig-Vp)2 (2.59) Sxy/2п где lgx0 =^lgx, /=1 (2.60) Z=1 Графическое изображение плотности распределения и функции надежности при разных значениях параметров дано на рис. 2.9. Рис. 2.9. Основные характеристики логарифмически нормального распределения при разных значениях параметров 5 и х: а - плотность распределения; б - - функция надежности 2.10.5. Гамма-распределение Среди непрерывных законов распределения в теории надежности широкое распространение получило двухпараметрическое гамма-распре деление, которое как и распределение Вейбулла, в пределе стремится к нормальному закону. Практическое применение гамма-распределения нашло при описании вероятности появления отказов в сложных техниче ских системах, а также при оценивании ресурсной наработки отдельных механических узлов, подшипников и других сборочных единиц. Так как при параметре а = 1 гамма-распределение преобразуется в показательное распределение, то оно может быть использовано и при описании вероят ности появления отказов во время нормальной работы технической си стемы, т.е. в интервале времени, определяемом как интервал (после при работки, до наступления старения). При значениях параметра а > 10 гам ма-распределение приближается к нормальному закону распределения, и следовательно, может быть использовано при описании вероятности по явления отказов стареющих узлов, механизмов и других элементов. Математически плотность гамма-распределения можно описать с помощью уравнения л а „а I Л -V <? /(х,Х,а) = ■ Г(а) 0 при х > 0; при х < 0, (2.61) Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 78 V где X > 0 - параметр масштаба кривой распределения; а > 0 - параметр оо формы кривой распределения; г(а) = jxa_1 e~xdx - гамма-функция. о При значениях а > п гамма-функцию вычисляют по формуле Г(и) = (я- 1) Г(п - 1) = (и - 1)!, (2.62) где п =1,2, Д ПI =--------- : i I л+— I 2J 2" (2.63) Для функций Г(/с + а), где к - целое число; а - дробное. При 2 < к < 6 рекомендуется применять формулу Г(Л + а) = (Л-1 + а)(Л-2 + а)...(1 + д)Г(1 + а). (2.66) При значениях к> 6 Г(Л + а) можно вычислять по формуле Г(Л+1) = Л!. (2.67) Табличные значения гамма-функции приведены в работе [17], табл. XVI. Интегральная функция гамма-распределения имеет вид: F(x, а, Х) = г - |л-г' 'e-X-T-fC. Г(а)о (2.68) Соответственно функция надежности - г Р(х,а, Х)=1—— | xa lt> T(a)Jo (2.69) Кривые плотности распределения при различных значениях а при ведены на рис. 2(10. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 79 Рис. 2.10. Кривые плотностей гамма-распределения при Х = 1; а = 1, 2, 6 2.10.6. Распределение хи-квадрат (%2) Если случайные величины А), А?, ..., Х„ независимы и имеют нор мальное распределение, причем математическое ожидание М и диспер сия D этих величин, соответственно равны Л/^-Х] = т и £>[.А,] = о2, то функция распределения случайной величины имеет вид X2 -от)2 (2.70) /=1 а и носит название распределения хи-квадрат (%'). Пусть случайная величина принимает значения, соответствующие х > 0. Тогда плотность вероятности “/--распределения к-2 х х 2 е 2 при х > 0; (2.71) 0 при х = 0, где К - параметр, называемый числом степеней свободы, у-функция. 80 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Интегральная функция распределения описывается уравнением к 2 л- (2.72) Отсюда функция надежности, соответственно, принимает вид (2.73) При числе £ —> 30 ^-распределение стремится к нормальному рас пределению, которое широко применяют при статистической проверке гипотез о принадлежности теоретического закона распределения закону распределения, оцениваемого по результатам испытаний, а также при определении доверительных границ. Плотность ^-распределения приведена на рис. 2.11. 2.10.7. Распределение по закону равной вероятности При распределении случайной величины по закону равной вероят ности плотность вероятности имеет постоянное значение в некотором интервале изменения случайной величины и равна нулю вне этого интер вала. Такое распределение называют равномерным распределением веро ятностей. Рис. 2.12. Плотность (а) и функция (о) распределения случайной величины для закона равной вероятности Плотность вероя гности и интегральная функция распределения слу чайной величины для закона равной вероятности показаны на рис. 2.12. Плотность распределения описывается уравнением при а< х <р; при х < а и х > р. (2.74) Так как площадь /фр - а) = 1, то плотность распределения при < х < Р; (2.75) при х < а и х > р. Интегральная функция распределения вероятностей принимает вид О при х<а; х-а На) = - при я < х < Р; Р-а (2.76) 1 при >р. Тогда функция надежности соответственно запишется 1 />%=- i _ хштj Р-а 0 1 при х < а; при а<х<Р; (2.77) при х > р. Вероятность попадания на участок (я, Ь) случайной величины X, распределенной по закону равномерной плотности (рис. 2.13), определя ют с использованием выражения Р(а<х<Х)==~ (2.78) Р-а Закон распределения равной вероятности можно применить для описания вероятности появления отказов в некотором заданном времен ном интервале, когда процесс приработки изделия закончен, а процесс старения элементной базы еще не наступил. 2.10.8. Распределение Стьюдента (Госсета) Распределение Стьюдента нашло широкое применение при нахож дении доверительных интервалов для вероятностных оценок. Так как это распределение в пределе стремится к нормальному при числе степеней свободы к > 30, то оно может быть использовано при описании вероя гности появления отказов, связанных со старением изделия. Распределение случайной величины X называют распределением Стьюдента, если функция плотности вероятности имеет вид: (2.79) где к — параметр, называемый числом степеней свободы. Эта функция симметрична относительно оси координат, т.е. Л-Х) =Лх). (2.80) Очевидно также, что с ростом |х| функция /(х) монотонно убывает. Кривая плотности распределения случайной величины приведена на рис. 2.14. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 83 Рис. 2.14. Кривая плотности распределения Стьюдента при А = 9 Интегральная функция распределения Стьюдента 7\ F(x) = ьз 2 |'/<хМ=~--------- ----------------------- dx. На практике обычно используют функцию Лапласса Ф(х) = 2J f(x) dx. (2.82) о Интегральная функция через функцию Лапласса выражается зави симостью F(x) = 0,5 + Ф(х). (2.83) Обозначим через Хр решение уравнения (2.81), тогда Ф(х) = р. (2.84) В таблице 4 приложения приведены значения хр для различных к и а, удовлетворяющих уравнению Р(л'р < х < Хр) = р. (2.85) 2.10.9. Бета-распределение Это распределение имеет большое значение для решения задач ма тематической статистики, а также для теории надежности в том случае, если случайная величина изменяется в пределах от 0 до 1. Формы кривых плотности бета-распределения (рис. 2.15) и нормального распределения схожи. 84 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Рис. 2.15. Кривая плотности бета-распределения Функция плотности вероятности описывается уравнением О хй+| (|_х)А^1 /X) = дат Ф при х < 0 и х > 1; при 0 < х s 1. (2.86) где Г(а) и Г(Ь) - гамма-функции. Интегральная функция [-распределения имеет вид: ФИ*) (2.87) Отсюда функция надежности ^Ф)ФХ ' d,. P(x) = ,- о фа)ф) (2.88) 2.10.10. Распределение смеси и совокупности случайных величин Часто на практике приходится решать задачи, в которых случайная величина является смесью двух и более случайных величин с различными распределениями. Примером смеси может служить распределение по дол говечности деталей на складе предприятия, если детали поступают на склад с разных заводов или, как это бывает на ремонтных заводах, с новы ми деталями смешивают годные детали, снятые с ремонтируемых машин. Пусть смешиваются случайные величины —t . Х2, Х„, функции распределения которых соответственно равны F|(x), ХХ), ..., F„(x), при чем вероятность появления величины Хк равна Рк, если ^рРк =1. Тогда функция распределения и плотность вероятности смеси случайных вели чин имеют вид ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 85 F(x) = £р^Х); .ГО^) = Х^ЛХПусть, в частности, на склад поступили некоторые детали с трех за водов. Известно, что долговечности этих деталей распределены по нор мальному закону с параметрами а, и о, (/ = 1, 2, 3). Вероятностная доля деталей, поступивших с каждого из заводов, соответственно равны P\, Р2, !\. Спрашивается, если взять наудачу из партии деталей одну, то какова будет плотность вероятности ее долговечности? Согласно формуле (2.89) )2 L (х-а2? /(x) = -?L А; 2»? +Ле V2л О Л “3? +Ле М . <С>з СТ 2 В практических задачах также часто случайная величина является совокупностью случайных величин, связанных между собой. В этом слу чае для описания совокупности п случайных величин Х\,Х2,.., Х„ используют и-мерные функции распределения, т.е. вероятности совмест ного выполнения неравенств Xt < x, X2 < х2, ...,Хп < х„ F(xx,x2, ...,x„) = P(X <x,X2<X2, ..,Х„<х„). (2.90) Случайные величины Х\,Х2, ...,Хп называют независимыми, если при любых значениях хь х2,..., х„ этих величин выполнены равенства п 4% <х„ Х2<х2,...:, X„<x„)=p[^(X^ <Хк). (2.91) <=1 Для функции распределения это равенство запишется так /1 F(x1,x2,...,x,,= ]_[Ft(^xJ. (2.92) к=\ Распределение совокупности независимых случайных величин нашло практическое применение в теории надежности при расчете или оценке количественных показателей надежности для системы, состоящей из последовательно соединенных независимых элементов. 2.11. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Функция распределения является наиболее полной характеристикой случайной величины, которая указывает, какие значения и с какими ве роятностями принимает эта величина. Однако, на практике часто бывает I 86 4 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ достаточным знать некоторые числовые характеристики, дающие опре деленное представление о распределении случайной величины. В каче стве таких характеристик наиболее распространены: среднее значение (или иначе, математическое ожидание), дисперсия, медиана, мода и мо менты различных порядков. Если дискретная случайная величина X принимает некоторые значе ния Xi, х2,... соответственно с вероятностями Р\, Р2,..., то сумму произве дений возможных значений случайной величины на их вероятности называют математическим ожиданием, или средним значением величи ны X, и обозначают символом (2.93) В качестве примера определим математическое ожидание для дис кретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона: Хе 4=1 'Л''' где к - случайная величина (например, число отказов), К = 0, '2,.... Если случайная величина является непрерывной и имеет некоторую плотность вероятностных), то математическое ожидание равно: со М[х] = jxf(x)dx. (2.94) -со Так, если случайная величина X распределена равномерно на отрез ке [а, р], то Рассмотрим основные свойства математического ожидания, которые часто используют в практических задачах. 1. Математическое ожиддние постоянной величины с равно этой же постоянной: М[с\ = с. (2-95) ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 87 2. Постоянный множитель выносят за знак математического ожи дания: М]сХ] = сМ[Х\. (2.96) 3. Математическое ожидание суммы независимых случайных вели чин равно сумме их математических ожиданий: М[Х + У] = М[Х] + M[Y\. (2.97) 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[XY\ = М]Х] М[У]. (2.98) Для оценки разброса значений случайной величины около ее сред него значения используют несколько числовых характеристик, важней шей из которых является дисперсия. Дисперсию определяют как матема тическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ма тематического ожидания: D[A] = М\Х-М\Х\]2. (2.99) После несложных преобразований с использованием перечисленных выше свойств равенство (2.99) принимает вид: D[A] = М\Х2] - [М[А]]2. (2.100) Дисперсию дискретной случайной величины определяют из равен ства Р,- (2.101) Если случайная величина распределена по закону Пуассона, то ее дисперсия равна: А, к е k -*2=Е + (А-1)! к\ t=i к=0 Полученный результат свидетельствует о том, что значения матема тического ожидания и дисперсии для закона Пуассона равны. Это свой ство нашло применение при проверке гипотезы о том, что наблюдаемая величина распределена по закону Пуассона. 88 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Дисперсия для непрерывной случайной величины с плотностью рас пределения /(х) определяется равенством (2.102) Приведем пример вычисления дисперсии для нормального закона распределения с параметрами а и о (Х~аУ 00 Г(х-а)2е 2а" <Zv=-y= fz2 00 .2 2 dz = о2. Анализ полученного равенства показывает, что для нормального распределения параметр а имеет простой вероятностный смысл - его квадрат равен дисперсии, которая характеризует меру рассеяния случай ной величины около ее среднего значения. Чем меньше дисперсия, тем большая доля значений случайной величины примыкает к ее математиче скому ожиданию, и наоборот, чем больше дисперсия, тем большая доля значений случайной величины удалена от математического ожидания. Это свойство дисперсии хорошо иллюстрируется графиком плотности нормального распределения (рис. 2.16). Дисперсия, как и математическое ожидание, обладает следующими свойствами: - дисперсия от постоянной величины равна О £>[с] = 0; Рис. 2.16. Кривые плотности нормального распределения для различных значений о (2.103) ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 89 - постоянный множитель в квадрате выносится за знак дисперсии D[cX]=c2d[x]; (2.104) - дисперсия суммы попарно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых (2.105) Модой непрерывной случайной величины, имеющей плотность рас пределения fix), называют абсциссу хм, при которой fix) принимает мак симальное значение. Нормальное распределение одномодально, для него мода и математическое ожидание совпадают. Распределение Вейбулла имеет моду при а > 1 и не имеет ее при а < 1. Медианой случайной величины, имеющей плотность распределения fix) называют абсциссу хме, при которой площадь под кривой fix) делится пополам. У нормального распределения медиана совпадает с математи ческим ожиданием и модой. Моментом К-го порядка величины X называют математическое ожидание К-И степени разности (X-а) и обозначают его vk(a) vk(a) = M[X-a]. (2.106) При а = 0 момент называют начальным, при а = М[Х] - централь ным. Следовательно, дисперсия является центральным моментом второго порядка. В дальнейшем начальные моменты будем обозначать - v*, а цен тральные - щ, где индекс «А» - порядок момента. Между центральными и начальными моментами при К > 1 имеет место равенство ' +(-1)*-’(А-1Н, (2.107) г=2 где С[ = Л![г!(Л '. Для первых четырех моментов, играющих важную роль в теории ве роятностей и математической статистике, это равенство принимает такую форму: ц=1; ц = 0; p = V:-"^; р = v -3v2vi + 2vj’; p = v4-4v3V, +6V2V?- 3vj. Обобщим рассмотренные выше различные виды распределений слу чайных величин и их числовые характеристики и сведем результаты обобщения в табл. 2.1 и 2.2. Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 90 пр Р„ 0, I, .... min(.W, «) Рт = Отрица W, тельное биномиаль ное Геометрическое npq X X пМ N Л/(А- Лф(/У-и) А2(А-|) ,-/р <7'7 Д' Ур я! р2 \"'е ' т\ l ^п-т A/c.V м г Рт = Crm~\prq'"'r о, 1, 2. .... т Примечание./? Р. ТЗ Гипергео метри ческое 0, 1, 2, т II Пуассона Дисперсия Математическое ожидание Р„(т) = С” p"'qn .W [Л] Вероятность Р появления возможного значения X в одном испытании Биномиаль 0, 1, 2, ное п Наименование распределения Возможные значения случайной величины 2.1. Дискретные распределения случайных величин I - </; г - значения случайной величины. 2.2. Непрерывные распределения случайных величин Область Наименова значений ние распреде случай ления ной вели чины Характеристики распределения Плотность распределения ./(.V) Матема тическое Дисперсия ожида Ж1 ние A7[zV| Мода х,, 1 2 3 4 5 6 Экспонен циальное (0, оо) Хе 'а Хч X 2 - ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 91 Продолжение табл. 2.2 1 3 2 Нормальное (-°°, оо) 4 5 а S2 6 а е Логарифми чески нор мальное (0, со) (1одх-л)2 е 2а’ а2 . . . (ла-^у^тл) (1+— е 2 е2"+а2 х X^-) II Вейбулла (0,®) г(4) аЛх а_| е ~Хх Х“ 1а-1 \ Ха Ха (при а > 1) <Н 2 Х« Гамма (0, оо) 1а , е''' а X а F а-1 Т~ (при а >-) х2 (0, оз) к 2к к-2 0 2(*-4)'' 0 г Стьюдента (-°О, со) A 1 l '4Г I Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 92 Окончание табл. 2.2 Область Наименова значений ние распреде случай ления ной вели чины Характеристики распределения Плотность распределения Л*) а (0,1) Бета Матема тическое Дисперсия ожида ОИ ние М[Х] Мода хм а а+Ь а- 1 а + Ь-2 (а + bf ь (а + Ь+ 1) Равномер ное (а, ₽) 1 а+р (р-сс)2 Р~а 2 12 — 2.12. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Предельные теоремы играют важную роль в практических прило жениях теории вероятностей. Они позволяют учесть совокупность воз действующих факторов на изучаемый объект. В частности, с такими яв лениями приходится встречаться в теории надежности при изучении процесса отказов стареющих элементов, когда на изменение внутренней структуры элемента влияет совокупность различных факторов. Предель ные теоремы позволяют выявить общие закономерности, которые обу словлены массовым характером явления и лишь в незначительной мере зависят от отдельных составляющих факторов. Теорема Пуассона. Если в п независимых испытаниях событие А имеет малую вероятность р, то при больших значениях п вероятность появления т раз события А к"' Рп(т)*—е~х (w = 0,l, 2,...), ml (2.108) где Х = пр. . В частности, теорема Пуассона может быть использована при опре делении числа бракованных деталей в партии из п штук, когда вероят ность изготовления бракованных деталей мала. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 93 Интегральная теорема Муавра-Лапласса. Если в последовательно сти независимых испытаний вероятность события А равна р, причем О < р < 1, то вероятность того, что число т появления события Ави по следовательных испытаниях удовлетворяет неравенству ф</„<л);=т=пр. (2.109) - при больших значениях п близка к величине 1 b — р(а <т<Ь)= .— fе 2 dz, где а и b - произвольные числа; z - переменные значения случайной величины. Интегральная теорема Муавра-Лапласса находит широкое примене ние как при теоретических исследованиях, так и в прикладных задачах. Так, например, эту теорему используют при определении числа запасных частей с заданной вероятностью. Для этого из таблиц нормированного нормального распределения (интеграл Лапласса, см. табл. 3 прил.) при за данной вероятности у находят квантиль Ц и приравнивают к аргументу: (2.1 П) В соответствии с этой формулой число запасных частей, необходи мых для поддержания работоспособности изделия при заданных значе ниях и, р и у, определяют по формуле b = np + Uyy/npq, (2.Н2) где q = 1 -р. Закон больших чисел в форме Бернулли. Пусть в последовательности независимых испытаний событие А имеет неизменную вероятность р; а число появлений события А в п последовательных испытаниях равно т. Тогда, каково бы не было положительное число е > 0, при п —+ оо >sj>0. (2.113) Закон больших чисел в форме Чебышева. Пусть последовательность содержит попарно независимые случайные величины Xh Х2, Хп, для которых математические ожидания М[Х„] = а„> т.е. конечны, а дисперсии 94 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ограничены одной и гой же постоянной с, т.е. (D[.V„] < с). При п —> оо и любой постоянной s для такой последовательности п [пы ПЕ откуда следует, что 1 п" 1 п —^ак для частного случая, когда все случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание (а„ = а) i пn 1 ~а <E (2.116) Центральная предельная теорема. Рассмотренные теоремы закона больших чисел устанавливают сближение сумм независимых случайных величин с некоторой последовательностью постоянных. Для практиче ских целей часто требуется определить, с какой вероятностью может наступать то или иное отклонение суммы от этих постоянных. Ответ на этот вопрос дает центральная предельная теорема. В условиях Линдеберга эта теорема формулируется так [9]. Пусть дана последовательность взаимно независимых случайных величин Л|, Х2,Хп. Предположим, что эти величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии Л[ф„ ]=«„; Фс-М; к=\ Если при т > О lim — у [ (х-ак )2dFk(x)=0. В„ к= |д._а,*|>8„т где Fk(x) _ функция распределения Хк, то при любом х ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 95 Условие (2.118) называют условием Линдеберга. Можно доказать, что если условие Линдеберга выполнено, то обязательно при любом т > О limP-jmax — ---- — >т| = 0 . n->oo IlSiSM (2120) Вп Иными словами, если условие Линдеберга выполнено, то все слага емые равномерно малы в том смысле, что вероятность превзойти значе ние т хотя бы одному из слагаемых (Хь — ак)/В„ стремится к нулю при воз растании числа слагаемых до бесконечности. 2.13. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ Математическая статистика является одним из важнейших разделов теории вероятностей. Известно, что для получения исходных данных при вероятностных расчетах приходится обращаться к опыту. Так, из определений основных понятий теории вероятностей, рас смотренных в предыдущих параграфах, непосредственно вытекают и способы экспериментального определения основных характеристик слу чайных величин - частоты события, выборочных среднего значения и дисперсии, которые при большом числе опытов приближаются, соответ ственно, к теоретической вероятности события, математическому ожида нию и дисперсии. Плотность распределения и функцию распределения случайной ве личины можно определить, соответственно, через относительную плот ность экспериментальных точек в соответствующих интервалах и стати стическую функцию распределения. Однако при любом измерении или экспериментальном определении какой-либо величины всегда возникает вопрос о точности определения этой величины. Надо всегда помнить, что статистические характеристики случай ных величин, полученные из опыта, практически никогда не совпадают с их вероятностными характеристиками, поэтому при определении какойлибо величины из опыта можно говорить лишь о ее приближенном зна чении. Обычно это означает, что можно указать пределы погрешности найденной величины, за которые не выйдет ошибка ее измерения. Например, определяя неизвестную вероятность события как частоту это го события при большом числе опытов, можно указать пределы погреш ности и гарантировать, что ошибка не выйдет за эти пределы. В даль 96 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ нейшем все подлежащие определению величины - вероятности событий, числовые характеристики и распределения случайных величин - будем называть статистическими характеристиками, а полученные но ре зультатам опытов их значения - оценками. Следовательно, в математической статистике возникают две задачи. Первая задача связана с нахождением оценок параметров распределения, а вторая - с исследованием точности этих оценок. Оценив по результатам опытов ту или иную статистическую харак теристику, необходимо найти, насколько согласуется с опытными дан ными предположение (гипотеза) о том, что неизвестная характеристика имеет го значение, которое получено в результате ее оценивания. Так возникает третья задача математической статистики - задача провер ки гипотез. Таким образом, основными задачами математической статистики являются: 1) разработка методов нахождения оценок; 2) исследование точности их приближения к оцениваемым характе ристикам, т.е. нахождение доверительных пределов; 3) разработка методов проверки гипотез. Рассмотрим каждую из вышеперечисленных задач. 2.14. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ На практике часто приходится иметь дело с такой ситуацией, когда требуется по результатам испытаний оценить значение одного или не скольких неизвестных параметров. С этой задачей сталкиваются как при нахождении функции распределения, когда известен ее аналитический вид, так и при оценивании числовых характеристик случайной величины. Рассмотрим наиболее распространенный подход к оцениванию па раметра распределения. Суть этого подхода состоит в следующем. Пусть F(x, 0) является функцией распределения случайной величины X, а 0 неизвестный параметр. Обозначим через х}, х2, значения случайной величины X, найденной по результатам ее независимых испытаний. Точечной оценкой параметра 0 называют функцию <р(х,, х2, .... х„), зави сящую только от результатов испытаний и известных величин, но не от неизвестного параметра. Понятно, что сама оценка является некоторой случайной величиной и поэтому может изменяться от одной серии испы таний к другой. В качестве оценки параметра 0 можно использовать большое число функций (р(Х|, х2, ..., х„) = <р. Однако, чтобы функция удо влетворяла необходимым условиям, оценки должны обладать свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ 97 Оценку ср = <(Х|, %2, •• •. „) параметра 0 называют несмещенной, если математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром, т.е. выполняется равенство Л/[(р] = 0. (2.121) Например, если нужно оценить математическое ожидание случай ной величины X, то в качестве оценки можно выбрать функцию _ X. + Х-, +...+Х, <р = х = —--------------- — п (2.122) В качестве оценки дисперсии случайной величины X можно исполь зовать функцию ^-ЦЁ^-х)2. «-I (2.123) Оценку <р = ф(х, %2, • • •> х„) параметра 0 называют состоятельной, если при увеличении числа наблюдений до бесконечности оценка при ближается к оцениваемому параметру по вероятности, т.е. если при лю бом е > 0 имеет место соотношение д(ф-0| > е)= 0 при п —> со. (2.124) Легко проверить, что приведенные оценки математического ожида ния и дисперсии являются состоятельными. Оценку параметра называют эффективной, если она обладает ми нимальной Дисперсией. М(ф - 0)2 = min. (2.125) 2.15. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ Одним из наиболее распространенных методов нахождения доста точных оценок является метод наибольшего правдоподобия, который был предложен английским статистиком Р. Фишером в 1912 г. Пусть случайная величина X имеет некоторую плотность распреде ления /(х, а), тогда L(x}, х2, ..., х„; а) = ]j /(хо а). /=1 (2.126) 98 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Если случайная величина дискретна и принимает значения z, z2, • • • • с вероятностями соответственно 32(и), • ••, ЛДи) и сумма н 1 то функция правдоподобия запишется в виде i=} н L(xi,x2, . .• х„; а) = PJp,(cc). (2.127) i=\ Суть метода максимального правдоподобия состоит в том, что в ка честве оценок параметра а принимают то значение а, при котором функ ция L достигает своего наибольшего значения. Поскольку L и InZ дости гают максимума при одном и том же значении а, то эти критические зна чения а определяют из уравнения правдоподобия Sin L да. (2.128) Если плотность распределения случайной величины зависит от двух неизвестных параметров а и р, то для нахождения этих параметров со ставляют два уравнения правдоподобия, которые и решают относительно неизвестных: Sin L _ (. Sin L (2.129) да ’ Зр Аналогично для многопараметрических распределений составляют столько уравнений правдоподобия, сколько неизвестных параметров, и решают уравнения относительно этих неизвестных параметров: 51п2_ да " ’ д 1п2 Зр “ ’ 31п2 35 (2.130) Каждое уравнение правдоподобия носит название оценки макси мального правдоподобия.. 2.16. МЕТОД МОМЕНТОВ Большое распространение получил точечный метод нахождения оценок неизвестных параметров распределения, предложенный К. Пир соном. Этот метод называют методом моментов, который широко ис пользуют в статистике, поскольку он не требует больших вычислитель ных процедур по сравнению с методом максимального правдоподобия. Идея этого метода состоит в том, что моменты теоретического рас пределения случайной величины, зависящие от неизвестных параметров, МЕТОД МОМЕНТОВ 99 приравнивают к статистическим моментам. Взяв число моментов, равное числу неизвестных параметров, и составив соответствующие уравнения, получим необходимое число уравнений, при решении которых опреде ляют неизвестные параметры. Статистический или выборочный начальный момент к-го порядка определяют по формуле (2.131) Теоретический начальный момент к-го порядка при известной плот ности распределения определяется зависимостью СО (2.132) -ОС Приравняв vk = чк,т.е. (2.133) находят значения неизвестных параметров. Аналогично определяют центральный выборочный момент к-го по рядка по формуле 43) п /=| и приравнивают его к центральному теоретическому моменту СО (2.135) -ао т.е. 1 п -£Д - х "77 //(х) (2.136) -СО где х = п 1 Ух,;./(х) - плотность случайной величины X.. /=| Пример 2.15. На испытания поставлено пять гидроцилиндров (и = 5). Испытания проводили в одинаковых условиях до отказа каждого гидроцилиндра. По результатам испытаний получены следующие значе 100 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ния наработок до отказа, ч: 40, 50, 60, 80, 90, 100. Предполагая нормаль ный закон распределения наработки до отказа, найти параметры распре деления. Решение. Так как для нормального закона распределения выбороч ные среднее значение и дисперсия совпадают с математическим ожида нием и дисперсией теоретической функции, то получим: 5 _ 50 + 60 + 80 + 90 + 100 х=—— =------------------------------ = 76 ч; 5 5 S1 = ——У (х, - х)2 = — [(50 - 7б)2 + (60 - 7б)2 + (80 - 7б)2 + + (90 - 7б)2 + (100 - 7б)2 ] = 453,25 ч2. 2.17. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДОМ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ Точечные оценки параметров распределения, полученные по ре зультатам испытаний, - случайные величины, которые являются приближенными значениями неизвестных параметров. Вероятность от клонения полученной оценки параметра распределения от его истинного значения была предложена Р. Фишером. Суть этой идеи состоит в том, что вместо поиска функции 0(%i, х2, ■ х„) по результатам испытаний, им предложено находить две функции 0] и 02 по результатам испытаний, для которых вероятность попадания неизвестного параметра на отрезок (0i, 02) равна заданному значению у. Функции 0, и 02 называют довери тельными границами, а интервал (0i,02) - доверительным интервалом для параметра 0. Например, если оценивают параметр а нормального распределения при известном значении параметра о, то вероятность оценки равна: ( где у = уп е 2 dt (z( <z2). Jn J (2.137) ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ 101 Для экспоненциального закона распределения р(х) = 1-е ' “ (х>0), (2.138) а в качестве доверительных границ можно выбрать функции х а1 = — z2 и X а2= — Z| (z, < Z2). (2.139) Для этих границ (2.140) -2 где у = Jx" lexdx. -а Величину 3 = 1 — у называют доверительным уровнем, указываю щим вероятность выхода параметра за доверительные границы, а у - ко эффициентом доверия. В практике часто приходится решать задачи нахождения довери тельных границ для неизвестной вероятности Р, полученной по результа там статистических данных, т.е. по частоте события. Решение этой задачи дали английские статистики Клоппер и Пирсон. Предложенное ими ре шение состоит в том, что вероятность выхода неизвестной вероятности Р за каждую из границ доверительного интервала не превосходит р, т.е. вероятность попадания в интервал не должна превышать значения 1 - 2р. Пусть некоторое событие А появляется с постоянной вероятностью Р в каждом испытании, при этом в п независимых испытаний это собы тие появилось ровно т раз. Тогда для нахождения верхней границы Р доверительного интервала необходимо решить уравнение т £С*Р‘(1-?Г*=р, (2.141) £=0 а для нахождения нижней доверительной границы Р - уравнение £c*P*(l-P)""*=₽, k=m где Р - нижняя доверительная граница. (2.142) 102 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ В таблице 5 приложения даны значения Р и Р при доверительной вероятности у = 1 - 2Q = 0,95 для некоторых значений и и т. Применение таблицы рассмотрим на числовом примере. Пусть по результатам п ис пытаний (/? = 25) зафиксировано т отказов (т = 5). По таблице 5 прило жения находим доверительные пределы для вероятности Р при р = 0,025; £ = 0,068; 7 = 0,407. 2.18. МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Для того чтобы принять или отвергнуть ту или иную статистиче скую гипотезу, используют результаты наблюдений. Пусть п наблюдений представлены последовательностью хь х2, хп. Тогда для проверки ста тистической гипотезы все пространство наблюдений разделяют на два подмножества 7?П| и R. Проверяемую гипотезу принимают по результа там наблюдений, если выборочная точка последовательности (хь х2, ..., х„) попадает в область и отвергают при попадании этой точки в под множество /?„, - область, которая носит название критической. Выбор этой области однозначно определяет и область Rn. В качестве примера рассмотрим гипотезу о приемке или браковке некоторой партии продукции. Партия продукции может быть разделена на годную и бракованную. Заказчик заинтересован в том, чтобы в прини маемой партии число бракованных изделий было очень мало. Обозначим через Ро долю бракованных изделий, при которой партию изделий при нимают, а через Р} долю бракованных изделий, при которой партию бра куют. Тогда критическая область, при которой партию бракуют, опреде ляется неравенством Х| +х2 +... + Х, + ...+Л-,, >Р0 (0<£о< 1), п (2.143) где х, - принимает значения 0 или 1; число 0 означает, что изделие после его проверки оказалось годным; число 1 - изделие забраковано после его проверки. Приняв или отвергнув интересующую нас гипотезу Н, можно со вершить ошибки двух типов - отклонить гипотезу Н, хотя она верна, или принять гипотезу Н, хотя она ложна. Ошибку первого типа называют ошибкой первого рода и обозначают ее через а. Ошибку первого рода называют также уровнем значимости критерия проверки гипотезы. Ошибку второго типа называют ошибкой второго рода и обозначают ее МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 103 через [3. Величину 1 - р, т.е. вероятность того, что гипотеза Н будет от вергнута, когда она ошибочна, называют мощностью критерия. Вероят ное™ ошибок первого и второго рода однозначно определяются выбором критической области /?„, . Аналитические выражения для ошибок перво го и второго рода имеют вид: а= х2,..., х„)еЛ„2/я}; P = p{(x,, Х2,..., xJeR,,,///), (2.144) (2.145) где е - принадлежность к области; Н - принимаемая гипотеза; Н гипотеза, противоположная принимаемой. Оказывается, что при заданном объеме выборки невозможно одно временно сделать аир сколь угодно малыми, поэтому, выбрав тем или иным способом а, находят такую критическую область Д„, , для которой Р принимает минимальное значение. При проверке статистических гипотез различают простые и слож ные гипотезы. Под простой гипотезой Н понимают такую гипотезу, для которой однозначно существует противоположная ей гипотеза Н . Например, гипотеза Н состоит в том, что параметр X экспоненциального распреде ления принимает значение Хо, а противоположная ей гипотеза - в том, что параметр принимает значение Х|. Под сложной гипотезой Н понимают такую гипотезу, для которой существует множество противоположных ей гипотез. Например, гипотеза Н состоит в том, что изучаемая нами случайная величина имеет экспо ненциальное распределение с каким-нибудь параметром X > Хо. Рассмотрим часто применяемый критерий согласия у? для проверки статистических гипотез. Суть этого критерия состоит в следующем. Пусть нужно проверить гипотезу И, состоящую в том, что результаты наблюдений образуют выборку из п значений X - случайной величины, которая имеет некоторое заданное теоретическое распределение. Ставит ся задача - определить, насколько близко выборочное распределение случайной величины к ее теоретическому распределению. Для решения этой задачи все пространство значений наблюдаемой величины разобьем на непересекающиеся области S\, St, ..., Sr. Обозна чим через Pi вероятности попадания (при заданном распределении) в об ласти S,, а через т, - число попавших в эти области наблюдений. 104 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ По данным наблюдений и с учетом теоретического распределения случайной величины определим (2.146) Z? ZT "Л пр> Величину г - 1 называют числом степеней свободы. Доказано, 2 что при п —> оо плотность распределения величины у выражается соот ношением г-3 ф(х) = х „Ч2<2- • (2.147) 2 "'Г’’ На практике при применении критерия согласия у2 пространство выборок разбивают не менее чем на пять непересекающихся областей (г > 5), а число реализаций, попавших в область, должно быть не менее десяти. Для у -распределения вычислены таблицы вероятностей: Р = р{х2 < х^ ), которые приведены в та&п. 6 прил. При использовании таблицы следует иметь в виду следующее. Если в качестве теоретическо го распределения задано однопараметрическое распределение, то берут число степеней свободы, равное г - 1. Если задано многопараметрическое распределение, то число степеней свободы принимают равным к = r-S1, где 5-число неизвестных параметров а,, а2, ..., сц, определяемых по результатам испытаний. По значению у2, вычисленному по формуле (2.147), и известному числу степеней свободы к = г-S- 1, используя табл. 6 прил., находят Р. Если значение Р близко к единице, т.е. уц9, /9 99, ..., Х6,999> то вероят2 2 ность того, что у >уо мала, и следовательно, гипотезу Н нужно отбро сить. Пример 2.16. В процессе испытаний 16 генераторов были зафикси рованы следующие значения наработок между отказами, ч: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 8, 16, 12, 12, 15, 15, 16, 16, 18, 18, 19,20,21,21,21,21,22,22,22,22, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24,24, 24, 2, 3, 4,4, 4, 4, 5, 5, 5, 6. Испытания генераторов проводились в течение t = 566 ч, при этом весь период разбит на пять интервалов, причем первые Ю реализаций зафиксированы на первом интервале (6, /6 = 166 ч, вторые 16 реализаций МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 105 зафиксированы на втором интервале (/1; t2) = 100 ч и т.д. В качестве тео ретического распределения наработки между отказами принят экспонен циальный закон с параметром потока отказов (параметром распределения па каждом участке, равном А,). Ставится задача - провести проверку со ответствия статистических данных наработок между отказами теоретиче скому распределению с помощью критерия /2 . Решение. Для вычисления квантили /“-распределения воспользуем ся формулой (2.146) 5 В нашем примере все статистические данные разобьем на пять интервалов и тогда в каждый интервал попадет по 10 реализаций, т.е. /Н| = пъ = ...=?■ = 10. Общее число реализаций в процессе испытаний равно: п = 50. Веро ятность отказа на каждом участке (интервале) соответствует параметру потока отказа на данном участке, который определяют по формуле У,,' Pi Вычислим А,, для каждого интервала: „/ . _____________ 10 _ _____________ 1 (2 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 8 + 8 + 10) 2 10 (12 + 12+15 + 15 + 16 + 16 + 18 + 18 + 19 + 20) 10 (4-21+4-22 + 2-23) 10 10 5 (2 + 3 + 4-4 + 3-5 + 6) ’ 106 V Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Далее найдем значение 2 = (10-50-0,17)2 (10-50-0,0б)2 (10-50-0,(045)) Х° ~ 50-0,17 + 50-0(06 + 50-0,045 + (10-50 - 0,042)2 + (10-50-0,24)2 = 50-01042 50-0,24 ~ ' Принимая в качестве теоретического закона экспоненциальное рас пределение, найдем число степеней свободы: к = г - 7 = 5-1 = 4. Затем для числа степеней свободы к = 4 и квантили % = 73,3 по табл. 6 прил. определим, что вероятность Р > 0,999. Следовательно, гипотезу об экспоненциальном распределении следует отбросить, так как Хо,999 — 18,5 < =73,3. Глава 3 ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 3.1. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ В основу исследования надежности при проектировании техниче ских систем ставят следующие задачи [45]: - обоснование требований по надежности к системе и ее состав ным частям; выбор путей их достижения с учетом ограничений, связан ных с научно-техническими достижениями и ресурсами, выделяемыми на создание системы; - синтез требуемой надежности системы в рамках принятых кон цепций построения системы с учетом упомянутых выше ограничений; - анализ надежности системы и ее элементов с помощью расчет ных оценок показателей надежности для различных вариантов техниче ских решений; на ранних стадиях проектирования задачи синтеза и ана лиза решают с целью выбора наилучших технических решений по обес печению надежности системы; - распределение выделенных ресурсов на обеспечение надежности систем при их создании, эксплуатации и применении по назначению, а также обоснование программ обеспечения надежности, программ испы таний, выбора эффективных средств контроля качества продукции, под держания надежности системы в процессе эксплуатации и др. Все перечисленные задачи успешно решают при использовании раз личных количественных методов исследования надежности, которыми располагает теория надежности. Необходимо помнить, что теория надежности - наука экспериментальная, которая базируется на результа тах испытаний или эксплуатации ранее созданной техники, поэтому ко личественный анализ надежности не исключает возможности ошибок, однако и количественной оценкой надежности нельзя пренебрегать при обосновании проектных решений. 108 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 3.2. ЗАДАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ, ВЫБОР НОМЕНКЛАТУРЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМ НАДЕЖНОСТИ Конкретные формы задания требований и выбор номенклатуры по казателей надежности устанавливаются стандартами по видам техники. В практике создания современных технических систем задание требова ний по надежности осуществляют на основе экспертного анализа, при этом обоснованность принимаемых решений зависит от квалификации, научной и инженерной интуиции экспертов. Очень часто требования по надежности на создаваемую систему за дают на основе достигнутого уровня надежности на системах-аналогах или модернизированных системах. В этом случае в дополнение к экс пертным оценкам используют статистические данные о достигнутых ха рактеристиках надежности элементов систем. Если требуется задать оптимальный уровень надежности, то необ ходимый максимум целевой функции определяют по формуле [22]: о;(я)=и',(/?)-с,(я), (3.1) где R - показатель надежности системы, зависящий от выбранного z-го варианта системы (/ = ^,R) - выходной экономический эффект от применения /-го варианта системы при уровне надежности R; CtR) затраты на обеспечение уровня надежности, равного R, для /-го варианта системы. Для каждого /-го варианта системы оптимальное решение находят из условия диф) _ дСф) cR dR 1 ’ _ Изложенная схема выбора оптимального уровня надежности приме нима, если известны структура, внешний вид и характеристики системы, а также характеристики надежности ее элементов. В качестве выходной характеристики системы может быть, например, производительность, точность, быстродействие, грузоподъемность и т.д. При задании опти мального уровня надежности необходимо провести сравнительный ана лиз изменения выходной характеристики в зависимости от уровня надежности. Номенклатуру показателей надежности выбирают в зависимости от класса изделий, режимов эксплуатации, характера отказов и их по следствий. ЗАДАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ, ВЫБОР НОМЕНКЛАТУРЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 109 Все изделия подразделяют на следующие классы. - неремонтируемые и ^восстанавливаемые изделия общего назначения: составные части изделий, невосстанавливаемые на месте эксплуатации и не подлежащие ремонту (например, подшипники, шлан ги, штуцеры, крепежные детали, радиодетали и др.), а также невосста навливаемые изделия самостоятельного функционального назначения (например, электрические лампы, контрольные приборы и др.); - восстанавливаемые изделия, подвергающиеся плановым техни ческим обслуживаниям, текущему и среднему ремонту, а также изделия, подвергающиеся капитальному ремонту; - изделия, предназначенные для выполнения кратковременных ра зовых или периодических заданий; к этой же группе относят изделия, выполнение задания которыми обеспечивается готовностью изделия в момент начала пользования. Режимы эксплуатации систем могут быть следующими: - непрерывный, когда изделие работает непрерывно в течение определенного времени; - циклический, когда изделие работает с заданной периодично стью в течение определенного времени; - оперативный, когда неопределенный период простоя сменяется периодом работы заданной продолжительности. В зависимости от последствий отказа изделие может быть отнесено к одной из трех групп надежности. К первой группе надежности относят изделия, отказ которых влечет за собой угрозу безопасности людей или значительный материальный ущерб государству; ко второй группе - из делия, для которых материальный ущерб от невыполнения задания или простоя незначителен, либо не превышает стоимости самого изделия; к третьей группе - изделия, для которых в случае отказа материальный ущерб определяется утратой самого изделия или затратами на его вос становление. Группу надежности изделия устанавливают на стадии технического задания. Для конкретного изделия следует выбирать ^минимально необ ходимое число показателей, достаточно полно определяющих его надеж ность. При этом показатели надежности должны обеспечивать возмож ность их количественной оценки на этапе разработки, а также подтвер ждение по результатам испытаний и эксплуатации. При выборе номенклатуры показателей надежности должны руко водствоваться государственными стандартами и отраслевыми норматив но-техническими документами. Объектом нормирования могут быть сами нормативные значения показателя надежности, контрольные уровни показателя надежности, по Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ нормативные значения доверительной вероятности, с которой должен быть подтвержден контрольный уровень показателя надежности. Распределение требований по надежности между элементами систе мы основано на допущении, что отказ любого элемента приводит к отка зу системы, т.е. система состоит из последовательно соединенных эле ментов и что интенсивность отказов постоянна [24]. При таком допуще нии должно выполняться неравенство дС^Л^Р^Х (3.3) где Pi - надежность элемента; t - заданное время его функционирования; />тр - требуемая вероятность безотказной работы системы за заданное время. Пусть А, - интенсивность отказов /-го элемента, а А - интенсивность отказов системы. Тогда неравенство (3.3) примет вид: + г*2' +...+ еХ"'>ех', (3.4) А| + А2 +...+ Хп < X. (3.5) и соответственно, В практике распределение нормируемых показателей надежности проводят различными методами. Рассмотрим наиболее часто применяе мые из них. 3.3. МЕТОД РАЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМ НАДЕЖНОСТИ Пусть Р\, Р2, .... Р„ - надежности элементов. Предположим, что от каз любого элемента приводит к отказу системы. Тогда на основании теоремы умножения вероятностей надежность системы определяется равенством р=^рр2..ли. (з.б) Пусть />т₽ - требуемая надежность системы, причем это значение должно удовлетворять условию рт’>Л (3.7) Задача состоит в том, чтобы повысить хотя бы одно из значений Р, в формуле (3.6.) на столько, чтобы P = PV Для повышения надежности необходимо произвести дополнительные затраты, связанные с введением в систему более надежных элементов. МЕТОД РАЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМ НАДЕЖНОСТИ 111 Методика повышения надежности Р до требуемого значения Р^ сводится к следующему. Надежности Р\, Pi, .... Р„ располагаются в не убывающей последовательности (3.8) Л<Л<...<Л, Каждую из надежностей Р}, Р2, ..,Рк увеличивают до одного и того же значения Р^, а надежности, начиная с i и до Р„, не изменяют. Номер к выбирают из максимального значения J, для которого у ртр = о> 7+1 (3-9) IB,7=1+1 7 к 7=1 где P,,,i = 1 принимается по определению. Значение Ротр определяют из соотношения I / к pw(з.ю) л+l Пл V=*+l ; будет Очевидно, что надежность системы после нахождения удовлетворять заданному требованию, поскольку новая надежность равна (рРУрм...р„ = р^. (3-H Пример 3.1. Пусть система состоит из последовательно соединен ных трех элементов, надежность каждого из которых соответственно равна: /’| = 0,7; Р2 = 0,8; Рз = 0,9. Известно, что отказ любого элемента приводит к отказу системы. Требуемое значение надежности системы рт= 0,65. Провести рациональное распределение норм надежности между элементами системы с целью удовлетворения заданному требованию. Решение. По формуле (3.6) определим надежность системы: Р = рх р, р3 = 0,7 • 0,8 ■ 0,9 = 0,504. 112 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Предположим, что мы не стали находить значение к по формуле (3.9), а произвольно приняли, что к= 1. Тогда, подставляя исходные дан ные в формулу (3.10), получим /’о”’ = Г----065----- J 1 = 0,903. 0 ( 0,8 • 0,9 • 1,0 J После чего имеем Р = 0,903 • 0,8 0,9 = 0,65. Полученное значение надежности соответствует требуемому. Одна ко, на основании полученного значения р)гр можно заключить, что сред ства, необходимые для повышения надежности, распределены не рацио нально. Другими словами, затрачено больше средств для достижения заданного показателя, чем требовалось. Определим теперь к по форму ле (3.9). С этой целью вычислим три величины: I т р'Р И = к г г2 = p'V Ру 1,0 \ ' / Гу = 1.0 1---- 0,65 065---- J' = 0,903; 10,8-0,9-1,0 J ( 0,65 Y 2 = 0,85; 1.0,9 -1,0 J Д —' = 0'866' к Z Так как р <г}, /Д < ^2, 7j >r3, то принимаем к = 2. В этом случае наибольшее значение индекса j со свойством Р < г равно двум. Далее, учитывая выражение (3.10), находим ртр = _ р^Ко,85. г0 “ 10,9-1,0 J Это означает, что средства необходимо распределить следующим образом. Надежность элемента № 1 нужно увеличить с 0,7 до 0,85, а надежность элемента № 2 с 0,8 до 0,85, надежность элемента № 3 нужно оставить на прежнем уровне. В результате надежность всей системы будет равна Р = 0,85 • 0,85 • 0,9 = 0,65. МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 113 3.4. МЕТОД РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Предположим, что система состоит из п последовательно соединен ных элементов, имеющих одинаковую надежность. Пусть Ртр - требуемая вероятность безотказной работы системы, а Д - вероятность безотказной работы /-го элемента системы. Тогда можно записать /?тр=Пр>’ /=| <312> откуда (3.13) Таким образом могут быть распределены следующие показатели надежности: вероятность безотказной работы, средняя наработка до отка за, средняя наработка на отказ, коэффициент готовности. В этом случае средняя наработка до отказа или на отказ элемента будет равна: Г, =пТтр, / = 1, 2, .... и. (3.14) тр где Т - заданная средняя наработка системы. Недостатком этого метода является то, что уровень надежности эле ментов системы устанавливается без учета их важности, последствия их отказов и трудности достижения надежности. 3.5. МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Этот метод используют в том случае, когда система представляется в виде последовательно соединенных подсистем, причем каждая подси стема содержит к, элементов. В этом случае надежность /-Й подсистемы определяется соотношением (3.15) где п (3.16) здесь kt - число «приведенных» элементов; п - число подсистем, входя щих в систему. Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 114 Если известны интенсивности отказов элементов, то метод пропор ционального распределения можно записать так «Г'» Е 2 --------2. (3.17) Ехл 1=1 3.6. МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ ПО НАДЕЖНОСТИ С УЧЕТОМ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ УЯЗВИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ Этот метод также основан на допущении того, что элементы системы соединены последовательно, имеют постоянную интенсивность отказов, причем отказ любого элемента приводит к отказу системы, и кроме того, заданная наработка элементов равна заданной наработке системы [20]. Суть метода состоит в том, чтобы выбранные Х)р удовлетворяли неравенству Е^Х-, (3.18) /=1 где X, ХГР - требуемые интенсивности отказов соответственно /-го элемента и системы. Выбор требуемого к1-' элементов проводят в два этапа. На первом этапе определяют интенсивность отказов X, на основе результатов опыта. Затем задают весовые множители (л, для каждого элемента системы в соответствии с интенсивностями отказов, полученными на первом этапе: XW, =—----- ’ / = 12...... п, (3.19) Е^ /=1 где п - число элементов, входящих в систему. Таким образом, весовой множитель со, показывает относительную уязвимость /-го элемента. При этом МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ ПО НАДЕЖНОСТИ 115 п Ё®,=1- (3.20) /=1 Далее вычисляют требуемые интенсивности отказов элементов с помощью соотношения Ар = о)Д'Г1’, / = 1, 2, .... п. (3.21) Тогда формулу (3.18) можно рассматривать как равенство (3.22) = Хтр. /=| При мер 3.2. Система состоит из четырех последовательно соеди ненных элементов, для которых по результатам испытаний получены оценки интенсивностей отказов: А| = 0,005; X, = 0,003; А,3 = 0,001; Х.| = 0,001. Требуемая вероятность безотказной работы за t = 20 ч состав ляет ?(/) = 0,95. Определить требуемые значения вероятности безотказ ной работы элементов. Решение. По формуле (3.19) вычислим коэффициенты уязвимости элементов: 0,005 Ь1 *■2 ОД = “----- ----------------А. | + Х2 + Х.3+Х4 Ц 0,01 3 —01 = 0,1. Принимая экспоненциальный закон распределения, найдем требуе мую интенсивность отказов системы: д(г) = ехр(- Хтр/) = ОД5; ?|р_ !»/>(/)_ t (-0,0513) ,5? 10? ч, 20 Далее по формуле (3.21) определим требуемые интенсивности отка зов элементов: Х^=сД^ = 0,5 • 0,00257 = 0,001285; 116 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ X ?= <в2Х.тр = 0,3 ■ 0,00257 = 0,000771; Х3Р= со3Хтр = 0,1 • 0,00257 = 0,000257 ; ^р= ю4лтр = 0,1 • 0,00257 = 0,000257. Соответственно требуемые значения вероятности безотказной рабо ты элементов равны: /3 (/ = 20) = ехр(- 0,001285-20)= 0,9744 ; Р2 (t = 20) = ехр(- 0,000771 • 20) = 0,9846 ; Р3 (/ = 20) = P4(t = 20) = ехр(- 0,000257 • 20) = 0,9948 . 3.7. МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ ПО НАДЕЖНОСТИ С УЧЕТОМ ВАЖНОСТИ ПОДСИСТЕМЫ Этот метод так же, как и выше рассмотренные методы, основан на допущении о последовательном взаимно независимом соединении под систем, имеющих экспоненциальное распределение времени работы. Показатель важности подсистемы определяют через вероятность отка за системы, если эта подсистема выйдет из строя. Показатель важности, равный единице, означает, что для безотказной работы системы эта под система должна работать безотказно, а показатель важности, равный ну лю, - что отказ подсистемы не влияет на работу системы. Каждая подсистема представляет собой совокупность элементов, имеющих соответствующие соединения. При распределении требований по надежности предполагают, что каждый элемент вносит одинаковый вклад в безотказную работу систе мы. Тогда требуемая надежность для каждой z-й подсистемы определится из соотношения [20] z = 1, 2, ..., п, (3.23) где Nt - число элементов в z-й подсистеме; /э‘гр(/) - требуемая вероятность безотказной работы системы за время I; N - общее число элементов в си стеме; со, - показатель важности (уязвимости) для z-й подсистемы (вероятность отказа системы при выходе из строя z-й подсистемы); /, - требуемая продолжительность работы z-й подсистемы за время рабо ты системы (0 < t, /). МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ ПО НАДЕЖНОСТИ 117 Требуемую вероятность безотказной работы z-й подсистемы за за данное время /, определяют по выражению Лтр(г,)=1 (3-24) Формула (3.24) дает хорошее приближение к экспериментальному значению, если для каждой подсистемы значение коэффициента важно сти со, близко к единице. Пример 3.3. Для системы, состоящей из пяти подсистем, требуется обеспечить вероятность безотказной работы Pw(t) = 0,90 в течение вре мени t = 20 ч. Исходные данные для подсистемы сведены в таблицу. Исходные данные Номер подсистемы Число Nj элементов в подсистеме Коэффициент важности со. Продолжительность /, работы подсистемы, ч 1 10 1,00 20 2 20 0,95 20 3 50 0,90 15 4 100 0,99 10 5 80 1,00 10 5 Решение. Общее число эле ментов в системе: N = По форму ле (3.23) вычислим интенсивности отказов: 1п0,90] _ . . ю-4 260 • 10■20 2°^„0.90] _ - . и'*; 260-0 ,95-20 1, = 5“[~ "0-’0±= 1.5 !<)-> ч-'; 3 260- 0,90-15 260 . Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 118 5 80[-Ш0,90] = 260-1,0-10 |0_, ч_, Далее по формуле (3.24) определим требуемые вероятности безот казной работы подсистем: 0,95 0,9 РЛ(, = ,0).,_НМ^ = 0,9598 ; 4 v ’ 0,99 5 v ' 1.0 0,968! . Проверка:: 5 дтр (/) = J“[ дтр (/) = 0,996 • 0,9915 • 0,9777 ■ 0,9598 • 0,9681 = 0,90 . 1=1 3.8. ВИДЫ ОТКАЗОВ По причине возникновения отказы делят на конструкционные, про изводственные и эксплуатационные. Конструкционные отказы, связаны с ошибками конструирования, производственные отказы - с ошибками при изготовлении или несовершенством технологии, эксплуатационные отказы - с нарушением правил эксплуатации. По месту проявления отказы выявляют при испытаниях опытных образцов, серийных изделий и в процессе эксплуатации. По характеру проявления отказы подразделяют на случайные и не случайные. Вероятность случайных отказов незначительна, а вероятность неслучайных отказов сколь угодно близка к единице. Неслучайные отка зы связаны с ошибками, допущенными в конструкторской, технологиче ВИДЫ ОТКАЗОВ 119 ской или эксплуатационной документации. Эти отказы, как правило, про являются на всех изделиях, изготовленных по дефектной документации. Нормальная эксплуатация системы возможна лишь после устранения причин неслучайных отказов изделий и доработки документации. По характеру изменения параметра, определяющего надежность из делия до момента отказа, различают внезапные и постепенные отказы. По характеру устранения отказы подразделяют на устойчивые, са моустраняющиеся, сбои и перемежающиеся, по наличию внешних про явлений - на явные и скрытые. Одной из важнейших характеристик изделий в процессе их работы является кривая изменения интенсивности отказов корытообразной формы с тремя явно выраженными участками (рис. 3.1). В первом временном интервале /0 - t\ проявляются ранние отказы из-за конструкторских или производственных дефектов. Этот период называют периодом приработки (или периодом выжигания). С целью уменьшения отказов на участке приработки вводят тщательный контроль Рис. 3.1. Типичные формы кривых, являющихся основными характеристиками надежности элементов систем: /J(t) - вероятность безотказной работы; /(/) - плотность распределения отказов; Л(7) - интенсивность отказов 120 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ качества материалов и комплектующих элементов, а также специальные приработочные испытания. Обычно в расчетах надежности изделий этот участок кривой не учитывают. Второй участок кривой изменения надежности в интервале / - А ха рактеризуется практически постоянной или незначительно изменяющей ся интенсивностью отказов. На этом отрезке времени в основном прояв ляются отказы случайного характера, вызванные неблагоприятным соче танием допусков или увеличением непредусмотренных нагрузок. Этот период работы элементов и систем называется нормальным и характери зуется постоянством интенсивности отказов. В расчетах надежности обычно используется этот участок кривой. Последний, третий участок (/ > А) называют периодом старения или износа. На этом участке происходят необратимые физико-химические изменения, когда интенсивность отказов монотонно возрастает и надеж ность соответственно снижается. 3.9. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА Невосстанавливаемым называют элемент, если он работает до первого отказа, после чего элемент заменяется на такой же, гак как его восстановле ние в условиях эксплуатации невозможно. В качестве примеров невосстанавливаемых элементов можно назвать радиоэлементы, микросхемы, уплот нительные кольца, манжеты, снаряды, пиропатроны, ракеты и т.д. Для невосстанавливаемых элементов, работающих до первого отка за, на этапе проектирования обычно используют показатели безотказно сти, и прежде всего, - вероятность безотказной работы. Ниже приведены показатели надежности в двух формах - вероят ностной и статистической. Вероятностную форму показателей надежности используют на ста дии разработки технической документации (эскизный проект, техниче ский проект), статистическую форму - для оценки показателей надежно сти по результатам испытаний и эксплуатации. При увеличении числа испытаний статистические показатели надежности близки по вероятно сти к соответствующим вероятностным показателям. Пусть время работы невосстанавливаемого элемента представляет собой случайную величину т. Причем в момент t = 0 элемент начинает работать, а в момент t = т происходит отказ, следовательно т - время жизни элемента. Таким образом, время жизни элемента носит случайный характер, поэтому в качестве основного показателя надежности можно назвать вероятность безотказной работы в интервале 0 - t0. В вероятност ной форме этот показатель запишется так IЮКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА 121 F(Z) = Р(т > to), (3.25) где Л/о) - вероятность того, что элемент, начав работать в момент време ни t = 0, не откажет в течение заданного времени работы /о о т - случайная наработка элемента до первого отказа. Кривая изменения вероятности безотказной работы элемента во времени, на рис. 3.1, показывает, что функция надежности монотонно убывает во времени: при t = 0 P(t = 0) = 1; при t —> со p(t = со) = °. При статистической оценке вероятность безотказной работы опре деляется равенством где 7V(/q) - число элементов, оставшихся работоспособными к моменту времени to, W(o) - общее число элементов, поставленных на испытания; n(t0) - число отказавших элементов к моменту времени to. Статистическая функция надежности приведена на рис. 3.2. Показателем, противоположнььм функции надежности, является функция распределения, которая выражается зависимостью Д(/о) = Д(</о). (3.27) Тогда вероятность отказа элемента в интервале времени 0 - to запи шется в виде: бо) = 1-^°). (3.28) Рис. 3.2. Статистическая функция надежности 122 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ В статистической форме вероятность отказа определяется равен ством (>(?0)=1-Д/0) = ^. (3.29) Следующим показателем надежности элемента является плотность распределения отказов, которая в вероятностной форме запишется так -М ^(0 dt dQ(t) dt dP(t) dt ’ (3.30) где /(1) - плотность вероятности того, что время работы элемента до отка за окажется меньше /, или плотность вероятности отказа (см. рис. 3.1) к моменту времени /. При статистической оценке плотность вероятности определится со отношением n(t + Ar)- n(t) _ 7V(z + A/)- N(t) а(о)д/ ” jv(o)a/ (3.31) где /(z) - отношение числа отказов в интервале времени к произведению работоспособных элементов в начальный момент времени t = 0 на дли тельность интервала времени Д/; n\t, t + &t) - число элементов, отказав ших в интервале времени [z, t + Д/]. Важным показателем надежности невосстанавливаемого элемента является интенсивность отказов, которая определяет надежность элемен та в некоторый момент времени t, для которого в вероятностной форме интенсивность отказов л= 1 [1 - F(z)] dt .... /(')_( 1 }dP(t) P(t) P(t)j dt (3.32) Из уравнения (3.32) легко выразить функцию надежности через ин тенсивность отказов (3.33) Отсюда вероятность безотказной работы в интервале времени [Zb /2] будет равна ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА 123 ^2 ^1, ^)=ехР j л(/)о7 . (3.34) _ 6 При статистической оценке интенсивность отказов находят из соот ношения ,,д \ ц() + А/)-я()) _ У(г + Af)-V(z) т A(z)A t + A?) (3.35) где XG) - отношение числа отказов в интервале времени [) t + А/] к про изведению числа исправных элементов w(r) в момент времени t на дли тельность интервала времени А?; кривая изменения интенсивности отка зов приведена рис. 3.1. Показателем надежности невосстанавливаемого элемента является средняя наработка до отказа, которая в вероятностной форме определя ется как математическое ожидание времени работы элемента до отказа оо оо о : р((>. о (3.36) Среднее время безотказной работы или средняя наработка до отка за могут быть получены по результатам испытаний. Для этого нужно испытать все элементы до отказа. Пусть время жизни каждого из этих элементов соответственно равно та; ..., xN . Тогда в статистической форме средняя наработка до отказа будет равна А ° Т| 2 + - + Тдд +т N = 1 УТ(. 1 (3.37) где N - число элементов, поставленных на испытания; т - случайная наработка до отказа z-го элемента. Так как практически невозможно осуществить испытания всех эле ментов до отказа, то в первом приближении при большом числе N сред нюю наработку до отказа можно определить зависимостью (3.38) где N - число элементов, поставленных на испытания; т - число отка завших элементов. Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 124 Формула (3.38) справедлива при числе т отказавших элементов близком к N. Другим показателем надежности невосстанавливаемого элемента является дисперсия времени жизни, которая в вероятностной форме име ет вид со О[т] = М[х - 7Ь]2 = а2 = |/2(/>Й - 7 = 2 о Величину а Т)2. (3.39) о называют средним квадратическим отклоне нием времени работы элемента до отказа от своего среднего значения наработки То. Статистическую дисперсию определяют по выражению (3 40) N где т = — N tT N- число элементов, поставленных на испытания. Таким образом, в качестве основных показателей надежности для невосстанавливаемого элемента являются следующие шесть показателей: 1) P(t0) - вероятность безотказной работы за заданное время 0 2) Q(to) - вероятность отказа элемента за заданное время /0; 3) У() ~ плотность распределения отказов; 4) Х(Д - интенсивность отказов элемента в момент времени /; 5) То - средняя наработка элемента до отказа; 6) £>(/) - дисперсия времени безотказной работы элемента. 3.10. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА Все показатели надежности, приведенные для ^восстанавливаемых элементов, могут быть использованы и для восстанавливаемых элементов при исследовании надежности элемента до первого отказа. К показателям надежности, присущим только восстанавливаемым элементам, относятся средняя наработка между отказами, параметр потока отказов, средняя наработка на отказ, среднее время восстановления, коэффициент готов ности, коэффициент технического использования, вероятность восста новления. Средняя наработка между отказами в вероятностной форме опре деляется равенством ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА 125 (3.41) |де Т - математическое ожидание предельного значения наработки меж ду отказами; Тк - средняя наработка элемента от момента окончания (/-1)-го восстановления до К-го отказа; К - число восстановлений; Т, - время работы элементов от (/ - 1)-го до у-го восстановления; оо Тк = со k ] = f tfi (4* =J Pk[t)dt, о (3.42) о здесь Л (О - плотность распределения наработки между отказами; Рк (/) - функция надежности наработки между отказами. Статистическая оценка средней наработки между отказами равна Т -- 1 * *(о)£ к' (3.43) где TV(O) - общее число элементов, начавших работать после (А - 1 )-го вос становления; т'к - реализация времени работы после (&-1)-го восстановления до К-го отказа /-го элемента. Параметр потока отказов при вероятностной оценке для стациопарных ординарных потоков отказов определяется выражением Х = 1 Т (3.44) где Л - математическое ожидание числа отказов восстанавливаемого эле мента в единицу времени для установившегося процесса эксплуатации. При статистической оценке Х=4 (3.45) Т где X - среднее число отказов восстанавливаемого элемента в единицу времени. Среднюю наработку на отказ в вероятностной форме находят из соотношения to w[w(r0)] (3.46) 126 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ где ?о _ суммарная наработка элемента за заданное время Г; Л/[т(/0)] математическое ожидание числа отказов за это время. Статистическую оценку средней наработки на отказ определяют по формуле (3.47) где t0 - суммарная наработка элемента за время наблюдений; т(10~) - чис ло отказов за это время. Среднее время восстановления элемента при вероятностной оценке равно со 00 т;0= pB/B(/)d/ = JPB (/)<!/, о о (3.48) где /„(/) - плотность распределения времени восстановления; /%(/) - веро ятность восстановления за заданное время. Статистическую оценку среднего времени восстановления опреде ляют по формуле 1 Ф) (3‘49) где /V(0) - общее число элементов, подвергшихся восстановлению; среднее время восстановления /-го элемента. Интенсивность восстановления элемента в момент времени I, от считываемого с момента начала восстановления при вероятностной оценке, равна л,(/ + А/)-л(/) (3.50) ^(/)Д/ где А„ - отношение числа восстановлений в интервале времени [/, / + А/] к произведению числа элементов, еще не восстановленных к моменту t, на длительность интервала времени А/; >?в (/) - число элемен тов, восстановление которых длилось меньше времени /; NK (/) - число элементов, восстановление которых длилось больше этого времени /. Коэффициент готовности характеризует готовность элемента к применению по назначению в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов обслуживания, когда применение элемента по назначению исключено. Этот показатель является комплексным, так как IЮКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА 127 он количественно характеризует одновременно два показателя - безот казность и ремонтопригодность. Коэффициент готовности определяют по формуле к _ ^о) Г Л'оМ’ (3.51) где Г(/о) - средняя наработка на отказ; - среднее время восстановления одного отказа. Статистическая оценка коэффициента готовности - к г f('o) ^о)+т; (3.52) Коэффициент технического использования характеризует долю времени нахождения элемента в работоспособном состоянии относи тельно рассматриваемой продолжительности эксплуатации. Коэффици ент технического использования учитывает затраты времени на плановые н неплановые ремонты и определяется по формуле Кт.и 1 ~ Крем Арегг> (3-53) где т Т 'эксп ’ (3.54) здесь t„, - время восстановления /-го отказа элемента; т - число отказов /-го элемента; Т-п:сп - время эксплуатации элемента; К _ трсгл К рсгл гр ’ Т эксп (3.55) здесь Грегл _ суммарное время, затраченное на проведение всех видов об служивания за время эксплуатации изделия, предусмотренных эксплуа тационной документацией. Коэффициент оперативной готовности характеризует надежность системы, необходимость применения которой возникает в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, когда применение си стемы по назначению не предусмотрено, и, начиная с этого момента, из делие будет работать безотказно в течение заданного времени t0. Численное значение коэффициента оперативной готовности опреде ляется выражением 128 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ = М'о)= т('о) (3.56) К одному из основных показателей надежности восстанавливаемого элемента относится вероятность восстановления, которая представляет собой значение функции распределения времени восстановления за за данное время tB. Вероятность восстановления PB(t) определяют по форму ле Пуассона, так как процесс восстановления представляет собой пуассо новский поток с соответствующим параметром /.в (3-57) где т - число восстановлений; А.в - интенсивность восстановления. Таким образом, восстанавливаемый элемент характеризуют следу ющие основные показатели надежности: 1) средняя наработка на отказ; 2) средняя наработка между отказами; 3) параметр потока отказов; 4) среднее время восстановления; 5) интенсивность восстановления; 6) коэффициент готовности; 7) коэффициент технического использования; 8) вероятность восстановления; 9) все шесть показателей надежности для невосстанавливаемого элемента при условии восстановления элемента до первого отказа. Пример 3.4. На испытания поставлено 10 ^восстанавливаемых элементов (N = 10). Испытания проводились в течение 100 ч (/ = 100). В процессе проведения испытаний отказало восемь элементов (от = 8), при этом отказы зафиксированы в следующие моменты времени, ч: Ti = 20, т2 = 30, т3 = 50, т4 = 30; т5 = 40, 16 = 60, т2 = 70, т8 = 60. Оставшиеся два элемента не отказали. Определить среднюю наработку до отказа. Решение. Вычислим наработку до отказа для невосстанавливаемого элемента по формуле (3.38) 20+ 30+ 50 +30 +40+ 60 +70+ 60+ (10-8)-100 ------------------------------------------------- *--------------= 56 ч. 10 1ЮКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА 129 Пример 3.5. Найти интенсивность отказов Х(0) и построить график изменения кривой интенсивности отказов (рис. 3.3) по данным, представ ленным в таблице. На испытания поставлено 100 элементов (А = 100), испытания проводились в течение 100 ч (/ = 100). Исходные данные результатов испытаний Интервалы времени До = 0 - 0-1 Число отказов в интервале Ап, Число N(tj) неотказавших элементов к моменту времени t. ДО Ди, Мо) 0...10 10 90 50...60 3 68 10...20 9 81 60...70 2 66 20...30 6 75 70...80 5 61 30...40 2 73 80...90 9 52 40...50 2 71 90...100 10 42 Для построения кривой интенсивности отказов воспользуемся фор мулой (3.35): 132 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ тов. Высокий уровень их надежности достигается в результате использо вания надежных элементов, правильного назначения периодичности тех нического обслуживания, обеспечения быстрого восстановления или за мены отказавших элементов в процессе эксплуатации. Последовательно присоединяют и некоторые резервные элементы. Отказ резервного элемента также приводит к отказу всей системы. На практике это происходит, например, в электронной аппаратуре при коротком замыкании, в гидравлической и пневматической системах при разрыве трубопроводов и выходе из строя клапанов и т.п. Последовательные системы могут состоять из ^восстанавливаемых и восстанавливаемых элементов. Для системы, состоящей из и последовательно соединенных невосстанавливаемых элементов, случайная наработка до отказа системы рав на минимальному значению из случайных наработок ее элементов. Если элементы являются независимыми и известны вероятности безотказной работы каждого элемента за заданное время t0, то вероятность безотказ ной работы системы за заданное время /0 будет равна Н°)=ГП('о)- (3.58) /=1 Структурная схема надежности системы, состоящей из последова тельно соединенных элементов, приведена на рис. 3.5. При значениях надежности системы, близких к единице, для ее рас чета можно использовать приближенные формулы: п п 1=1 /=1 (3.59) />"(г0)=1-л[1 -/’(/<»)]; (3.60) №Л = \-_~Рп О. (3.61) Рис. 3.5. Структурная схема надежности системы с последовательным соединением элементов РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 133 При известной вероятности безотказной работы точное значение наработки до отказа системы можно определить по формуле T = ]p(t)dt. (3-62) о Если известно, что наработка до отказа элементов распределена по жспоненциальному закону, то Д()=ехр(-Х,/. (3.63) Тогда вероятность безотказной работы системы = ехр(-Л/0), (3-64) где к, и А - интенсивности отказов элементов и системы, соответственно. В этом случае наработка до отказа системы Т=— А (3.65) Для kfa «1 приближенное значение вероятности безотказной работы Д(го )*1-Мо ■ (3.66) Отсюда вероятность отказа системы соответственно равна: 2>7,.)-l-eX^p(-Ar(:)«A./0. (3.67) Все характеристики надежности систем можно получить, если из вестны интенсивности отказов X/ всех элементов. Часто в реальных кон струкциях систем используют однотипные элементы и тогда: P(zo)=exp < г А ; (3.68) <=1 (3.69) где т, и к - соответственно число и интенсивность отказов элементов /-го типа; г - число типов элементов. 134 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Как правило, не все элементы работают непрерывно от момента начала и до окончания работы системы. Поэтому, принимая допущение о независимости отказов элементов, надежность системы можно вычис лить по формуле P(t° ) = Л (К. >2 (*2 ) ••• Р„ (f„) = ПР ,), (3-70) /=1 где Д-Д*,) - вероятность безотказной работы /-го элемента за время t, < t0 . Используя экспоненциальный закон надежности, можно записать: Д(б)=ехр(- V,). (3-71) Тогда надежность системы определится равенством (3.72) Формулами (3.68) и (3.69) можно пользоваться в том случае, когда однотипные элементы работают одновременно. Расчет надежности восстанавливаемых систем с последователь ным соединением элементов основан на допущении о том, что все рас пределения наработки до отказа и времени восстановления отдельных элементов являются экспоненциальными, т.е. процесс функционирования системы является стационарным, без последействия и ординарным. Стационарность процесса означает постоянство параметра А пото ка отказов в течение заданного промежутка времени t0, т.е. X = const. Отсутствие последействия означает независимость появления от казов элементов системы, т.е. отказы элементов системы взаимно незави симы и не влияют друг на друга. Ординарность процесса означает практическую невозможность по явления двух или более отказов в одно и то же время (точнее, за малый промежуток времени, когда AZ —> 0 ). Принятое допущение справедливо, если средняя наработка до отказа элементов системы значительно боль ше времени их восстановления. На практике это условие обычно выпол няется. В таблице 3.1 приведены формулы для расчета показателей надеж ности восстанавливаемых систем с последовательным соединением элементов. РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 135 3.1. Расчетные формулы показателей надежности восстанавливаемых систем с последовательным соединением элементов Приближенное значение Точное значение 1 Указатель надежности ( ' рсдняя наработка между отказами системы = / л ь. 1=1 1 (ероятность безотказной работы системы р(го)=ехр(-Л/о) 1-А/о Вероятность отказа системы e(/o)=l-exp(-Azo) А/о (’реднее время вос становления системы Коэффициент готовности системы Коэффициент технического использова ния системы Коэффициент оперативной готовности системы г к = 1 у1, - 1 '' /=1 И/ v1 2) /=1 Т = \ т*т- н А '-У— i+yh Z= Ч/ У/ / - в/ +т 1 регл 1 эксп к0.г = кгр^(0))=-Еу)°0) / + /в ( « 11 й)о.г лг \ А 1=1 (1-А/0) п ==1 7 I 136 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 3.12. РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ БЕЗ УЧЕТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ РЕЗЕРВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Одним из способов повышения надежности систем является резер вирование элементов, которое широко используют на стадии проектиро вания. Система с параллельным соединением элементов построена таким образом, что отказ ее происходит лишь в случае отказа всех элементов, т.е. система исправна, если исправен хотя бы один ее элемент. При раз работке технических систем в зависимости от выполняемой задачи применяют нагруженное (горячее) и ненагруженное (холодное) резерви рование. Горячее резервирование применяют тогда, когда не допускается пре рывание функционирования системы во время переключения отказавше го элемента на резервный в целях выполнения задачи в установленное время. Чаще всего, горячему резервированию подвергаются отдельные элементы или отдельные каналы. Холодное резервирование применяют тогда, когда требуется увели чение ресурса работы элемента и допускается время на переключение отказавшего элемента на резервный. Существуют технические системы с частичным параллельным резервированием. Такие системы работоспособны в случае отказа не скольких элементов. Если система представляет собой ряд нагруженных параллельно со единенных п элементов (рис. 3.6), то вероятность отказа системы e?„W)=7i (0^2 где п - число параллельно соединенных элементов. Рис. 3.6. Структурная схема надежности системы с параллельным соединением элементов (3-73) РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 137 При условии одинаковой ненадежности элементов выражение (3.73) принимает вид ^((“О")'). (3.74) Тогда вероятность безотказной работы системы Р;() = 1-6и(() = ••• <7„('(0 (З.75) При условии, что все п элементов системы одинаково безотказны в работе P,W=l-<7"(4 (3.76) Формула (3.74) проста и удобна в практическом применении. Если, например, известна вероятность отказа элемента q(t) и требуется опре делить такое число резервных элементов, при котором ненадежность (),()) не будет превосходить заданного значения g(r),T.e. <?''(/)< Q(/). (3.77) Тогда из неравенства (3.77) получим In—Ц (3.78) Если же, наоборот, задавшись числом резервных элементов, опреде ли гь, какой должна быть надежность каждого из них, то получим (3.79) Для случая экспоненциального закона, если надежности элементов близки к единице, то (3.80) и, следовательно, <7*0 = п ~е ’**' (3.81) Q,, я (3.82) тогда Для равнонадежных элементов (3.83) Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 138 Среднее время безотказной работы резервной группы из п элемен тов при экспоненциальном законе распределения определяют по формуле Ги=у—-у—+ k^k+^s+K у — ------(3.84) ■■■+(-1)" X* + 1 + Xt, +... + Хи Для случая равнонадежных элементов 7; =Д+1 + 1+...+1 я Х< 23 п (3.85) Если обозначить среднее время безотказной работы одного элемента через 7] = — , то X 1 —1 --2 3 (3.86) Для случая закона распределения Вейбулла при условии, что систе ма состоит из равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы резервной группы из п элементов (включая основной) вычисляют по формуле (3.87) t=l По результатам испытаний среднее время безотказной работы ре зервной группы из п элементов равно [Г-(*-!?’] к=\ А" (3.88) где хк - случайное время работы К-ro элемента; 0 < Tj < т2 < ... < т„ случайное время работы элементов; N - число одинаковых элементов, поставленных на испытания и доведенных до отказа последнего из них. В случае ненагруженного (холодного) резерва среднее время ре зервной группы равно ■Mi РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 139 (3.89) где 1 1 р' - среднее время жизни ^-^зго элемента. В частности, если все элементы равнонадежны, то 71(п) Щ • 2-р = ™-р (3.90) При экспоненциальном законе распределения времени жизни эле ментов ненадежность системы определяют по формуле а»-^2 (3.91) п! Эта формула справедлива при условии, когда произведения Xkt малы. Если все элементы резервной группы имеют одинаковую надеж ность, то приближенно ненадежность системы й,0)=А-2 (3.92) При X «1 формула упрощается: ,, М а(')~ nl |« (3.93) Тогда надежность систем при холодном резервировании можно определить по формуле М (3.94) и! i« Анализ различных способов резервирования показывает, что ненагруженный резерв в любом случае выгоднее нагруженного при условии, что время переключения не влияет на работоспособность системы. Про ведем количественное сравнение этих двух типов резервирования. Пусть для случая нагруженного резерва (3.95) 140 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ а для ненагруженного резерва (3.96) Отсюда (3.97) т.е. при переходе к ненагруженному резерву ненадежность уменьшается в п\ раз, и следовательно, надежность увеличивается в п\ раз. Аналогичный вывод можно сделать и при сравнении среднего вре мени жизни резервов. Так, для нагруженного резерва 7$ = Ц‘ср нср (3.98) а для ненагруженного 72?* = nt_p. Отсюда 1 ■+ — и (3.99) Чем больше кратность резервирования, тем больше среднее время жизни системы; например, при п = 4 Для случая частичного параллельного резервирования вероятность безотказной работы системы определяют по формуле (З.ЮО) к=т где С„ = ——----- г-; п - общее число элементов в системе; <(/) - вероятк\(п-к]1 ность отказа каждого элемента одинакова; т - число исправных элементов, при которых обеспечивается работоспособность системы; если т = 1, то система будет полностью параллельной, в остальных случаях - частично параллельной. РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 141 При экспоненциальном законе распределения времени жизни эле мента надежность системы определяют по формуле /’„(/)=»1-С,7 '(Х/)"“",+|. (3.101) Среднее время жизни резервной группы 1 тк (3.102) В практике проектирования радиотехнических систем и электрон ной аппаратуры часто используют другие виды резервирования, напри мер применяют схемы, работающие по принципу «два из трех», либо мостиковые схемы. Вероятность безотказной работы для схемы «два из грех», вычисляют по формуле <?(')]2 ДН (3.103) где д(?) - вероятность отказа каждого элемента за время t, т.е. значения </(/) для всех элементов резервирования одинаковы. Надежность мостиковой схемы определяется равенством = [1 - д()]5 + 5[1 - д«д(0 + 8[1 - д(013д2 (() + 2[1 -д)2 д3(1). (3.104) Различают также поканалъное (общее) и поэлементное (раздельное) резервирования. Структурные схемы надежности (ССН) для такого вида резервирования приведены на рис. 3.7 и 3.8. — ^21 ------- р12--------------------------- Р\п ^22--------------------------- ?2п Рис. 3.7. ССН системы с общим резервированием Рис. 3.8. ССН системы с раздельным резервированием Вероятность безотказной работы системы с общим резервирова нием вычисляют по формуле *06 = [I - (I - Мг - Ал) (1 -p2i Рп - Ргп )•••(’ - Ai Аг - Ал)] - (3.105) При Ру = Ру /?° = i-(i-ppv.p,J. (3.106) где Р, - вероятность безотказной работы элемента. Если Ру = Р, то (3.107) Вероятность безотказной работы системы с раздельным резерви рованием определяют из выражения ррта.=[1- 0 - Р <) 0 - а. )-0 * Ры )] [1 - 0 - р2 ) 0 - Р22 )-(i - рк2 )] >[1-(|-Рл)(1-/’2„)-('-А„)]. -к (3.108) При значениях /т = Ру Л^а1=^[1-(1-^°1)Л][1-(|--^^)у.41-(1-/::))у] • (З.Ю9) Если Л = Р, то Лраз = [1-(1 -РУ]"- (ЗЛО) Анализ последних двух структурных схем надежности показывает, что системы с раздельным резервированием более надежны, чем системы с общим резервированием при одном и том же числе элементов. Рассмотренные выше расчетные формулы надежности справедливы для невосстанавливаемых систем. РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 143 3.13. РАСЧЕТ ПРОЕКТНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РЕЗЕРВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ При выводе уравнения коэффициента готовности для восстанавли ваемых систем с общим резервированием использовалось предположение о гом, что все резервные элементы работают в начале выполнения зада ния, и если происходит отказ, то немедленно проводят обслуживание. Приняв экспоненциальный закон восстановления отказов и устано вившийся процесс, коэффициент готовности определяют по формуле (З.И1) Где п - число резервных элементов (включая основной); А, - интенсив ность отказов элемента; Т - время, за которое определяется коэффициент I отовности; ц - интенсивность восстановления элемента. Когда же допускается некоторое предельное время обслуживания t, ю коэффициент готовности Из этого уравнения следует, что система будет работоспособна, если один из элементов может быть восстановлен до нормального режима ра боты в течение времени t. Общее уравнение для определения коэффициента технического ис пользования имеет вид (3.113) 1ДС t = ?рем + Д.о + ;в; г = Гр + Трем + Д.о + Д; tpm, tT.o и /„ - суммарное время, ни раненное на ремонт, Техническое обслуживание и восстановление за 144 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ тот же период времени Г, соответственно; - суммарная наработка изде лия в рассматриваемый промежуток времени Т. Среднее время безотказной работы резервной группы из п элементов (включая основной) в стационарном режиме выражается уравнением Т т 1п — ~ *в п п (3.114) «И где Тв и Т\ - среднее время восстановления элемента и его жизни, соот ветственно; ц = 1/7в - интенсивность восстановления элемента. Формула (3.114) справедлива для нагруженного резерва при усло вии, что законы распределения времени жизни и восстановления элемен тов произвольны. Вероятность безотказной работы резервной группы в течение вре мени / определяют по формуле i — /иц P(t)=e '« = exp (3.115) (1+рД''-1 Более подробно с вопросами резервирования можно ознакомиться в работе [9]. Пример 3.9. Определить вероятность безотказной работы системы электроавтоматики, состоящей из пяти параллельно соединенных подси стем, если известны вероятности безотказной работы этих подсистем: Р\ = 0,99; Рэ = 0,995; Рз = 0,994; Д = 0,996; Р$ = 0,997. Система электро автоматики является дублированной, т.е. имеет общее резервирование, причем ^восстанавливаемой. Решение. Для определения вероятности безотказной работы вос пользуемся формулой (3.75) Д((ь-(ь-д)(1-д)(1-д)(ь-р4)0_р5)= = 1 - 0,01 • 0,005 • 0,006 ■ 0,004 • 0,003 « 1. Пример 3.10. Система энергоснабжения объекта имеет трехкратное резервирование (« = 3), включая основную систему. Известно, что сред нее время восстановления одной системы составляет Тв = 5 ч, среднее время безотказной работы одной системы - 7) = 200 ч. Определить сред нее время безотказной работы всей резервной группы 7)„ коэффициент готовности Кт за время t = 1000 ч и вероятность безотказной работы за время / = 1000 ч. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ 145 Решение. По формуле (3.114) вычислим среднее время безотказной работы системы _5 Г 3 I -1 1+™У-| 5 ) = 114 865 ч. Коэффициент готовности определим по формуле (3.111) К, =ехр -(if nk"t = ехр х"ч+ц'’-' / 1 У -3- ----- 1000 <200 J 3fl+l+lY_Lf+W2 L < 2 зЛзоо; ы J = 0,99. Вероятность безотказной работы найдем по формуле (3.115) P(t) = exp - tn\. (1 + ОМ 1 = ехр = 0,914. 3.14. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ДОРОГОСТОЯЩИХ НЕБРАКУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ ТИПА ПОДВИЖНЫХ УСТАНОВОК НА ЭТАПЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ Методы расчета надежности основаны на системном подходе, кото рый! учитывает совокупность случайных, неслучайных (систематических) отказов как элементов электронной аппаратуры, так и механических, I идравлических, пневматических узлов и металлоконструкций, входящих и сложную техническую систему. В расчете используют справочные и статистические данные интенсивностей отказов и различные законы рас пределения отказов как отдельных элементов, так и узлов, входящих в систему. На рисунке 3.9. схематически изображены компоненты методов тео ретического и экспериментального исследований надежности дорогостонщих объектов на этапе проектирования [42]. При расчете проектной надежности сложной технической системы шна подвижной установки составляется структурная схема надежности ио функциональному назначен^ ее составных частей с последователь ным их соединением как показано на рис. 3.9. Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 146 Расчет ы вероятностей P}(t), P2(f) и Р3(1) па интервалах времени (лет) плотность распределения вероятности прочности; плотность распределения вероятности нагрузки; Орт, - среднее значение прочности и ее среднее квадратическое отклонение; С2, тг - среднее значение нагрузки и ее среднее квадратическое от клонение f2(x) - (0-5) (5-15) (15-20) 0-Г, t-h h- h Рис. 3.9. Компоненты методов теоретического и экспериментального исследования надежности дорогостоящих объектов на этапе проектирования МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ 147 Каждая составная часть представляет собой систему, состоящую из -п■ шллоконструкций, механических, гидравлических, пневматических \ Пюи и элементов электроавтоматики. Компоновка подвижной установки специального назначения в виде i ||щф11ческого изображения показана на рис. 3.10. В отличие от существующего метода расчета надежности, который учитывал только случайные отказы, в данном разделе рассматривается ■■ пененная обобщенная модель расчета в виде произведения трех со| пнвлиющих вероятностей. 11ервая составляющая учитывает только случайные отказы с посто янной интенсивностью на всем периоде жизни изделия. Вторая составннощая учитывает неслучайные отказы с соответствующими значениями 1инс|1сивностей отказов на трех различных этапах жизненного цикла, а Вид слева / К) 2 3 4 9 5 6 8 7 Вид справа Рис. 3.10. Подвижная установка специального назначения: транспортный контейнер с грузом; 2 - автономный источник питания; 3 - домкрат с опорной плитой; 4 - гидроаппаратура; 5 машина холодильная; 6 - система энергоснабжения; 7 - вытеснитель; 8 - механизм подъемный; 9 - опора передняя (задняя); 10 - шасси 7917; 11- аппаратура связи и управления; 12 - система управления; 13 - блок управления гидравликой; 14 - блок и привод ориентирования; 15 - станция насосная / 148 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ именно: этап приработки первые 3-5 лет эксплуатации, этап гарантий ного ресурса с учетом периода приработки 15 лет, этап старения и износа (5 - 10) лет после гарантийного ресурса. При расчете этих вероятностей используют интенсивности отказов, взятые из справочников, а также ста тистические данные элементов-аналогов. Третья составляющая модель расчета надежности механических узлов и металлоконструкций основана на определении квантилей нормального закона распределения по коэф фициентам запаса прочности, износостойкости, теплостойкости и другим критериям. Методика расчета и достижения требуемого уровня надежно сти представляет собой замкнутый цикл. В случае если расчетная выход ная характеристика не удовлетворяет требованиям, то разрабатывают мероприятия по повышению уровня надежности в части подбора более надежных элементов и использования различных видов резервирования. 3.15. МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ СЛУЧАЙНЫЕ ОТКАЗЫ Проектный расчет надежности технической системы проводится по материалам эскизного проектирования и уточняется по материалам тех нического проекта. Необходимо помнить, что надежность любой технической системы определяется двумя составляющими, а именно, стационарной и нестаци онарной случайной функцией надежности. Под стационарной случайной функцией надежности в данном слу чае понимается функция, зависящая от одного параметра, который не меняется в течение всего жизненного цикла изделия. Например, интен сивность отказов А = const при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы и функции надежности, изображенные на рис. 3.11. Нестационарной случайной функцией надежности в данном случае называется функция, зависящая от одного параметра А/, который прини мает различные значения на отдельных этапах эксплуатации изделия. В нашем случае рассматривают три этапа, а именно: этап приработки, гарантийного ресурса, старения и износа с соответствующими периодами их жизни. Методика расчета функции надежности сводится к следующему. Составляется структурная схема надежности для каждой составной части (системы) изделия в виде совокупности последовательно соединенных элементов. Затем из справочной литературы выбирают интенсивности отказов А, элементов для нормальных условий работы изделия (темпера- МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ 149 Рис. 3.11. Графическое изображение стационарной случайной функции: а - интенсивность отказов; б — функция надежности гура окружающей среды 20±5 °C, давление 760 мм. рт. ст., влажность (>5 %). В зависимости от условий окружающей среды и действующей нагрузки, взятые из справочной литературы интенсивности отказов, пе ресчитывают с помощью расчетных формул или графиков, приведенных а них справочниках. В случае отсутствия справочных данных на вновь применяемые элементы используют статистические данные элементовiiiiiijioroB, полученные по результатам испытаний или эксплуатации издеиий-аналогов. Последовательным, в смысле надежности, называют такое соедине ние элементов в системе, при котором отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу системы. Большинство механических, электромеханических, гидромеханиче ских, оптико-механических, радиоэлектроаппаратуры и других средств представляют собой системы с последовательным соединением элемен та. Высокий уровень надежности таких систем достигается за счет ис пользования надежных элементов, правильного назначения периодичноi iit технического обслуживания, обеспечения быстрого восстановления инн замены отказавших элементов в процессе эксплуатации. К последовательному соединению элементов относятся также некото рые резервные элементы, когда отказ резервного элемента приводит к от кату системы. На практике это происходит, например, в электронной аппарпгуре при коротком замыкании, в гидравлической и пневматической сипемах при разрыве трубопроводов и выходе из строя клапанов и т.п. Последовательные системы могут состоять из невосстанавливаемых и восстанавливаемых элементов. Для системы, состоящей из п последовательно соединенных невосI тшавливаемых элементов, случайная наработка до отказа системы рав на минимальному значению случайных наработок до отказа ее элемен 150 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ тов. Если элементы являются независимыми и известны вероятности без отказной работы каждого элемента за заданное время /о, то вероятность безотказной работы системы за заданное время /о будет равна G'o)=Па('о)> (3.116) I=I где pi(lo) - вероятность безотказной работы Z-го элемента. Структурную схему надежности для системы, состоящей из после довательно соединенных элементов, изображают в виде прямоугольни ков, квадратиков или кружочков, соединенных в цепочку (рис. 3.12). При значениях надежности системы близких к единице, можно ис пользовать приближенные формулы: /’nGo)=i-«[i-/’Go)]; Уи = 1 J1- /Go)]. п При известной вероятности безотказной работы точное значение наработки до отказа системы можно определить по формуле Г= (3.120) о Если известно, что наработка до отказа элементов распределена по экспоненциальному закону, го P,G)=exp(--X7). (3.121) Тогда вероятность безотказной работы системы п ( п А V /=1 7 /5(zo)=riexP\_^'/o'=exP /=| = ехР(~Л/о)> где А., и Л - интенсивности отказов элементов и системы. 1 2 — 3 —-------- 1 п Рис. 3.12. Структурная схема надежности системы с последовательным соединением элементов (3.122) МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ 151 Наработка до отказа системы в этом случае равна (3.123) Для А /о «1 приближенное значение вероятности безотказной ра боты элемента определяется по соотношению аЫ«1-А7о. (3.124) Отсюда вероятность отказа системы соответственно равна б(/о)=1-е^хр(-Л/о)®Л/о. (3.125) Все характеристики надежности систем можно получить, если изнеегны интенсивности отказов А., всех элементов. Часто в реальных конv Г’укциях систем используются однотипные элементы и тогда г Г \ v /=| 7 Р(/0) = ехр ; 1 (3.126) (3.127) /=1 I де от, и А., - число и интенсивность отказов элементов /-го типа; г - число нпюв элементов. Как правило, не все элементы работают непрерывно от момента начала работы системы и до окончания. Поэтому, принимая допущение о независимости отказов элементов, надежность системы можно вычис лить по формуле р0))р1^|11)/’2^г) • - А1 П а и) > (3.128) /=1 где р,(/,) - вероятность безотказной работы /-го элемента за время Г, < /0; /о время работы системы. Используя экспоненциальный закон надежности для /-го элемента, можно записать А('<)=ехр(-А,<). (3.129) 152 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Тогда надежность системы определится равенством < » ") п (3.130) к 7 Формулами (3.126) и (3.127) можно пользоваться в том случае, когда однотипные элементы работают одинаковое время. Расчет надежности восстанавливаемых систем с последовательным соединением элементов основывается на допущении о том, что все рас пределения наработки до отказа и времени восстановления отдельных элементов являются экспоненциальными, т.е. процесс функционирования системы является стационарным, без последействия и ординарным. Стационарность означает постоянство параметра к потока отказов в течение заданного промежутка времени tQ, т.е. А, = const. Отсутствие последействия означает независимость появления от казов, т.е. отказы элементов системы взаимно независимы и не влияют друг на друга. Ординарность означает практическую невозможность появления двух или более отказов в одно и то же время, точнее за малый промежу ток времени Д/ —> 0. Принятое допущение справедливо, если средняя наработка до отказа элементов системы значительно больше времени их восстановления. На практике это условие обычно выполняется. В таблице 3.1 приводятся расчетные формулы показателей надеж ности восстанавливаемых систем с последовательным соединением эле ментов. 3.16. МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ НЕСЛУЧАЙНЫЕ ОТКАЗЫ Под неслучайными отказами понимаются отказы, причина которых известна и они устраняемы. Многолетняя практика эксплуатации слож ных технических систем типа подвижных установок показывает, что весь период эксплуатации можно разбить на три этапа с соответствующими значениями интенсивностей отказов как показано на рис. 3.13. Первый этап составляет до пяти лет эксплуатации, когда элементы и узлы прирабатываются, и в этот период выявляется большое число отка зов, связанных с конструктивными недоработками и технологическими отступлениями, по которым проводятся конструктивные изменения и совершенствование технологического процесса. Количественные значе ния интенсивностей отказов элементов и узлов на этом этапе выбирают по статистическим данным элементов-аналогов, полученных в течение Рис. 3.13. График изменения интенсивности отказов по годам эксплуатации первых пяти лет эксплуатации подобных изделий. Затем вычисляют сум п марную интенсивность отказов ]ГХ- = X] и, принимая экспоненциаль ны ный закон их распределения, определяют вероятность безотказной рабо ты по формуле п -2м Px{t) = e '=' = е'Ч (3.131) На втором этапе эксплуатации в течение 10 лет после приработки частота отказов становится все более устойчивой, и процесс потока отка зов приближается к стационарному. В этом случае интенсивности отка зов элементов и узлов выбирают как из справочной литературы, так и используют статистические данные элементов-аналогов. Принимая экс поненциальный закон распределения отказов, вероятность безотказной работы вычисляют по формуле А() = е'=‘ = >' 2' , (3.132) где X, - интенсивность случайных отказов; X' - интенсивность неслу чайных отказов. Последний этап эксплуатации - это период старения и износа эле ментной базы и материалов. На этом периоде эксплуатации происходит значительное увеличение потока отказов. При расчете вероятности без отказной работы используют тот же закон, что и на предыдущих этапах, а интенсивности отказов выбирают по статистическим данным элементованалогов, полученным в течение 5-10 лет после истечения гарантийного 154 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ресурса, при этом суммарная интенсивность отказов равна х., = £(х,+х"). )=1 Для третьего этапа эксплуатации вероятность безотказной работы равна = е-хэ', P3(z) = e w (3.133) где X" - интенсивность неслучайных отказов после истечения гарантий ного срока эксплуатации. 3.17. МЕТОДИКА РАСЧЕТА И ДОСТИЖЕНИЯ ТРЕБУЕМОГО УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ На этапе создания сложных технических систем проектный расчет надежности целесообразно выполнять на трех участках жизни системы (этап приработки, этап гарантийного ресурса и этап старения и износа). Такой подход к расчету позволит более объективно оценить уровень надежности системы на всех этапах ее жизни. Расчетные формулы для оценки вероятности безотказной работы на каждом этапе жизненного цикла имеют вид: - этап приработки ( п \ «I-1 Д(/)=Ф exp (3.134) 1 ) +v ; - этап гарантийного ресурса я г „ -1 ехр /( )12 +V22 \ V ( «lV|j к - этап старения и износа Х)/ ; Р2(')=Ф ( <=1 ( » р3(/)=ф exp к \ 1=1 (3.135) 7 ' ) , (3.136) ) где п\- пересчитанный коэффициент запаса прочности после истечения гарантийного срока; V , v2 - пересчитанные коэффициенты вариации прочности и нагрузки после истечения гарантийного срока, соответ ственно; X/ - интенсивность случайных отказов на каждом этапе жизнен- МЕТОДИКА РАСЧЕТА И ДОСТИЖЕНИЯ 155 пого цикла; , А." - интенсивности неслучайных отказов на этапах га рантийного и после гарантийного сроков эксплуатации. Методика расчета и достижения требуемого уровня надежности представляет собой замкнутый цикл, изображенный на рис. 3.14. Суть этой методики состоит в следующем. Исходную справочную и статистическую информацию используют при расчете функции надежно сти в виде экспоненциального закона для известных значений интенсив ностей отказов, а также функции надежности в виде нормального закона распределения для расчетных значений запасов прочности, износостой кости, теплостойкости, коррозионной стойкости и другим запасам. При известных статистических данных по отказам и объему наработки изделий, работающих в циклическом режиме, для расчета надежности применяют биномиальное распределение. В этом случае вероятность безотказной работы /-го элемента за один цикл определяется по формуле /и, /■=!- «/ ’ (3.137) где Р, - вероятность безотказной работы z-го элемента; т, - число отказов /-го элемента; и, - число циклов испытаний (эксплуатации) /-го элемента. Среднее квадратическое отклонение вероятности безотказной рабо ты /-го элемента равно о, = [ЛО-Л). (3.138) V «/ В случае если полученная выходная характеристика в виде функции надежности не удовлетворяет заданному уровню, то разрабатываются мероприятия по повышению надежности в виде изменения исходной ин формации, путем применения более надежных элементов, а также введе ния различных видов резервирования. Рис. 3.14. Методика расчета и достижения требуемого уровня надежности 158 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Рис. 3.18. Плотность распределения нагрузки и прочности Вероятность безотказной работы механического узла определяется зависимостью [16] (3.139) где Ф(^) - нормированная нормальная функция распределения, которую выбирают по табл. 1 прил. Практически функция надежности в проектных расчетах определя ется по запасу прочности для самых критических сечений изделия или металлоконструкции. Если запас прочности п > 1,4 , то надежность в этом сечении близка к единице. Вероятность безотказной работы механических узлов и металлокон струкций при известных значениях нагрузки с математическим ожидани ем т и коэффициентом вариации v находят по квантили нормального распределения [28]: (3.140) пъ где п =—- - запас прочности; пр и пь - математические ожидания ~ коэффицит2 енты вариации несущей способности (прочности) и действующей нагруз ки, соответственно; сц и и2 - средние квадратические отклонения прочно сти и нагрузки, соответственно. прочности и нагрузки, соответственно; V] = — и v2 /Н| 1'Л( ЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ 159 При мер 3.11. Определить вероятность безотказной работы узла меI аллоконструкции, если известно, что математическое ожидание предела прочности в его критическом сечении при среднем квадратическом от клонении <У| = 40 МПа равно т\ = 640 МПа. Математическое ожидание действующей нагрузки при среднем квадратическом отклонении сь = 40 МПа равно тг = 540 МПа. Решение. Вычислим запас прочности п= ^- = ^2 = 1,18. m2 540 Далее найдем коэффициенты вариации: 1 _ о, w, 40 = 0,062; 640 v2 =-^2- = — = 0,074. 2 тг 540 По формуле (3.140) определим квантиль 1,18-1 п-1 )2 + vl , -, , = 1,73. J0 18 0 062)2 +(0 074)2 По таблице 1 приложения находим искомую вероятность безотказ ной работы узла Р = 0,958. 3.19. РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ МЕХАНИЧЕСКИХ УЗЛОВ ПО ЗАДАННЫМ КРИТЕРИЯМ Работоспособность механических узлов и металлоконструкций ха ри к геризуется рядом критериев, в качестве которых могут быть проч ность, износостойкость, усталость, точность и т.д. Расчет надежности основывается на сравнении заданных критериев расчетных параметров с их предельными значениями, которые выбирают по нормативным или < правочным данным. Работоспособность детали или узла считается обеспеченной по за панному критерию, если расчетный параметру меньше его предельного шачения упр, т.е. у<упр. Таким образом, для обеспечения работоспо собности задаются коэффициентом безопасности (3.141) 160 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Расчетные параметры рассматриваются как детерминированные ве личины, хотя в действительности они имеют рассеяние. Поэтому расчет проводят по наиболее неблагоприятным значениям параметров, при этом истинное значение коэффициента безопасности остается неизвестным. С переходом на вероятностные методы расчета параметры у и уПр рассматривают как случайные величины и тогда вероятность безотказной работы определяют по квантили нормального распределения от заданно го критерия (3.142) где упр и у - средние значения величин упр и у; а ( и о,. - средние квадратические отклонения этих величин. Соотношение (3.142) можно выразить через коэффициенты безопас ности и вариации, тогда (3.143) где п — Упр Тир =-r-x-, v =-^У "р Уу||р ' У В общем случае параметр у может быть выражен функциональной зависимостью у = cfo, х2’ хЛ (3.144) v где х, Х2, ..., х„ - случайные факторы. Среднее значение у и среднее квадратическое отклонение ст,, пара метра у как известной функции случайных аргументов находят из соот ношений: > (3.145) где ——— частная производная функции ср по фактору в которую под5х, ' ставляют средние значения факторов X], х2, ..., х„; с^, п2, ..., ст„ средние квадратические отклонения факторов. В таблице 3.2 приведены расчетные формулы для определения веро ятности безотказной работы механических узлов и деталей по различным критериям. РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ 161 3.2. Расчетные зависимости для вычисления квантилей нормального распределения по заданным критериям Критерий Износ трущихся поверхностей деталей Расчетные формулы для квантилей Обозначение величин, входящих в формулы п - коэффициент запаса по износу; Уд - коэффициент Д вариации размера п = —; детали; А/ Vj - коэффициент ctj вариации интенсив v/ = —; j ности изнашивания; о;, - среднее квадра _ СТЛ . тическое отклоне Дл ’ ние начального А = Л„ач - /пред - при уменьшении размера; размера; Оу - среднее квадра А = /^пред ~ Л„ач ~ при увеличении тическое отклоне размера ние интенсивности П п~} -- р / 2 2 9 изнашивания; /?пред - предельно допустимое значе ние размера при износе; /||ач - начальное значение размера; J- среднее значе ние интенсивности изнашивания; v - скорость отно сительного переме щения трущихся поверхностей; t - время работы трущихся поверх ностей Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 162 Продолжение табл. 3.2 Критерий Расчетные формулы для квантилей Обозначение величин, входящих в формулы 1 2 3 Теплостойкость детали или узла п-1 и 1р V п- /"р ■ II ’ + z0 о v=— t Прочность сцепления (соединение с натягом) ип -| '' /.Д,.2 4- V2 \ п Hip + Р п Г пр " Т п - коэффициент запаса теплостойко сти; /пр - предельно допустимая температура конструкции; t - средняя темпера тура конструкции; /о - температура окружающей среды; v - коэффициент вариации темпера туры; I о - среднее квадра тическое отклоне ние избыточной температуры п - коэффициент запаса прочности; ТПр - среднее значе ние предельного момента; Т - среднее значе ние момента; vnp - коэффициент вариации предель ного момента; v - коэффициент вариации среднего момента 1Л( 'ЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ 163 Продолжение табл. 3.2 I 2 3 Прочность детали п - коэффициент запаса прочности в зависимости от средних значений предела текучести ст, и напряжения Г5экв> v, - коэффициент вариации предела текучести; vp - коэффициент вариации давления < онротивление упал ости тарного шва п -1 7-vl+v п - коэффициент запаса прочности шва в зависимости от средних напря жений; v 1 - коэффициент вариации предела выносливости свар ного шва; Va - коэффициент вариации нагрузки; ст ! - среднее значе ние предела вынос ливости; ста - среднее значе ние действующих напряжений Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 164 Продолжение табл. 3.2 Критерий Расчетные формулы для квантилей Обозначение величин, входящих в формулы 1 2 3 Надежность болтового соединения Нераскрытые стыка и I-[ Up I = I 2 2 2 у Щ ^зат + ' /■ Fн - F гзат • - зат =о Л . озато 4 Н\ - коэффициент запаса нераскрытая стыка по средним нагрузкам; ДЗат - сила затяжки болтового соедине ния; F- центральная отрывающая сила; Рс - коэффициент, учитывающий воз можное ослабление затяжки; (1 - %) - множитель, характеризующий долю внешней нагрузки на стык; v3aT и Vp - коэффи циенты вариации случайных сил Д.Мт иГ; Озат - среднее значе ние напряжения затяжки; dv - расчетный диа метр резьбы ГА( ЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ 165 Продолжение табл. 3.2 2 11есдвигаемость сшка п: 11|)ОЧНОСТЬ болта 3 п2 - коэффициент запаса несдвигаемости по средним нагрузкам; f- среднее значение коэффициента тре ния; vnp - коэффициент вариации по несдвигаемости «з - коэффициент запаса прочности; о, и va, ~ сРеДнее значение и коэффи циент вариации предела текучести материала болта; dp - расчетный диа метр резьбы болта; к - коэффициент, учитывающий кру чение болта (если кручение болта при затяжке исключено, то к = 1,0; в осталь ных случаях к = 1,3); Прае И vpac - расчет ное значение и ко эффициент вариа ции напряжения текучести; X - множитель внешней нагрузки Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 166 Продолжение табл. 3.2 Критерий Расчетные формулы для квантилей Обозначение величин, входящих в формулы 1 2 3 Выносливость болта _ ,, ^4 Ид"’ Г 2 2 2 ■\/«4v-l + va СТ-1 «4 = —; ао =—iy[0,5XF+ +-^(Fmt+0,5XF] л4 - коэффициент запаса выносливо сти болта; о— - среднее значе ние предела вынос ливости болта; о - среднее значе ние напряжений, действующих в ма териале болта; 1 и Vo - коэффици енты вариации пре дела выносливости и действующих напряжений; Ф - коэффициент чувствительности материала к асим метрии цикла; ка - среднее значе ние коэффициента концентрации напряжений в зави симости от предела ов прочности мате риала РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ 167 Продолжение табл. 3.2 3 I !сроятность безотказной работы болтового соединения по врем критериям Ф(Ци) - вероят ность безотказной работы по критерию нераскрытая стыка; Ф(1/р2) - вероят ность безотказной работы по критерию несдвигаемости; Ф(Цз) - вероят ность безотказной работы по критерию прочности; Ф(Ц,4) - вероят ность безотказной работы по критерию выносливости; (7р, - квантили функции нормаль ного распределения, выбираемые по табл. I прил. Надежность элементов привода Нсразрушение вала п - коэффициент запаса прочности; о_1 - среднее значе ние предела вынос ливости материала вала; - среднее значе ние действующей на вал нагрузки; V. 1 и v„ - коэффици енты вариации пре дела выносливости материала вала и действующей на вал нагрузки Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 168 Продолжение табл. 3.2 Критерий Расчетные формулы для квантилей Обозначение величин, входящих в формулы 1 2 3 Неразрушение подшипника качения и - . р п - коэффициент 2 2 2 V'Vc +vp С ” /71/5 запаса по средним нагрузкам; vc и Vp - коэффици енты вариации ди намической грузо подъемности и ди намической эквива лентной нагрузки; С = 1,46С-для роликоподшипни ков; С = 1,52С -для шарикоподшипни ков; С - среднее значе ние динамической грузоподъемности (выбирают по спра вочнику-каталогу); Р - среднее значе ние динамической эквивалентной нагрузки; L - заданный ре сурс; 5 = 3- для шарико подшипников; 5 = 3,3 - для роли коподшипников; Vc = 0,25 - для роли коподшипников; Vc = 0,27 - для ша рикоподшипников РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ 169 Продолжение табл. 3.4 2 Неразрушенне предохранитель 3 п-Н A4+v2 п - коэффициент запаса по средним ной муфты с значениям момен разрушающими тов для безотказной ся элементами передачи; | зависит от Тр и Та - средние безотказной передачи муфтой т = С<эВр - используют при рас значения разруша ющего и действую чете Тр и Та щего моментов; внешнего Vp и va - коэффици расчетного енты вариации раз момента, рушающего и дей с одной сторо ствующего момен ны, и безотказ тов; ности срабаты т - напряжение сре вания (разруше за в разрушающем ния) предохра ся элементе; нительного С = 0,95 - для устройства при штифтов с выточ недопустимых кой; нагрузках - С = 0,75 - для с другой сторо штифтов без выточ ны] ки; овр - предел проч ности материала Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 170 Окончание табл. 3.2 Критерий Расчетные формулы для квантилей Обозначение величин, входящих в формулы 1 2 3 Разрушение предохрани тельного элемента ГJ — и р2 „ Л*ПИК Вероятность безотказной работы предо хранительной муфты д И 2 2 пик - коэффициент запаса по средним значениям для раз рушения; Vp = (0,06 ... 0,08); Улик - пиковая нагрузка; Тр - действующая нагрузка — 11 «пик _ Тпик гр ур = ф(%, Ну Пример 3.12. Две стальные детали стянуты болтом М12 с силой от 0 до F. Среднее значение силы F = 104Н, коэффициент вариации силы v.- = 0,2. Определить вероятность безотказной работы болтового соеди нения по основным критериям - нераскрытою стыка, статической проч ности и усталости материала болта. Контроль затяжки болта осуществ ляют динамометрическим ключом. Исходные данные для расчета: % = 0,2; о, = 380 МПа; о ] = 40 МПа; va, = 0,05; Озат = 200 МПа; рс = 1,2; к„ = 3,0; Т = 0,1; УзаТ = 0,08; vF = 0,2; dp = 10,2 мм; v | = 0,15. Решение. Вычислим параметры болтового соединения: - среднее значение силы затяжки /• ,а| = стзат тс зат зат = 2,0 108 • 3,14 • И2'10 ) = 1,63 • 104 И; д д - коэффициент запаса по нераскрытою стыка: п = 1 -- р F(l-x) = 163 т 104 1,2-104(1-0,2) _|7- ’ I ’АСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ^1 = 171 _ "i-1 = _ L7 — 1 = 252. Vn|2,4+vF 71-72 0,082 +0.22 - среднее значение расчетного напряжения 4 у(^ат+^) / ч= fTpac=— 4 -------------------~1,3 • 1,^3 • 104 + 0,2 -104) = 284 МПа; 3,14 -(1,02-10_2 Г - коэффициент запаса прочности по средним значениям напряже ний - квантиль при условии, что Vpac = Узат ^>3 = 1,33-1 .------------------------- =3.2; V1.332 0.052 + О.О82 - среднее значение действующего напряжения 0,5XF^-(F3aT + 0,5XF) = Kdp 4 =------ (---------)Г 0,5-0,2-104+^(1,63-104+0,5-0,2-104) = 8,07 МПа; 3,14 -(юг-ю-2)2 L 3 - - коэффициент запаса прочности по средним напряжениям л - 0-1 - 40 - 5~ 8.07 квантиль 5-1 = 5,29. По таблице 1 приложения находим вероятность безотказной работы болтового соединения по следующим критериям: - по нераскрытою стыка Р =ф((//,1)= Ф(2,52) =0,994; 172 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ - по статической прочности Рз=ФКз)=Ф(3>2) = 0,9994; - по усталости материала Д4=Ф(ЛР4)=Ф(5,29)=г1О. Таким образом, вероятность безотказной работы болтового соеди нения р = /> />/>4 = 0,994 • 0,9994 • 1.0 = 0,993. Пример 3.13. Определить вероятность безотказной работы ролико подшипника 2207, нагруженного случайной радиальной силой при сле дующих исходных данных: среднее значение эквивалентной нагрузки Р - 400 Н; частота вращения внутреннего кольца подшипника п = = 400 мин-1; заданный ресурс L = 3000 ч; коэффициент вариации ради альной СИЛЫ Vp = 0,1. Решение. По справочнику-каталогу [25] определим 90 %-ную дина мическую грузоподъемность подшипника: С = 25 600 Н. Вычислим заданный ресурс в миллионах оборотов L = 60и/_1 О’6 = 60 ■ 400 • 3000 • 10’6 = 72. Далее вычислим среднее значение динамической грузоподъемности С = 1,46С = 1,46 • 25 600 = 37 400 Н. Коэффициент запаса по средним значениям нагрузок (см. табл. 3.2) равен С 37400 п = —= 2,59. PL?S 400-72 Коэффициент вариации эквивалентной динамической нагрузки при нимаем равным коэффициенту вариации внешней нагрузки vp = Vp = 0J. Тогда квантиль нормального распределения будет равна U - г П ₽ ' . = 2,46. _ _____________ д!2,592 -0,252 +0,1 2 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПОДОБИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ 173 По таблице I приложения находим вероятность безотказной работы Д =Ф(2,46)« 0,993. 3.20. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПОДОБИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ В практике создания сложных технических систем используют ме тоды теории подобия, которые позволяют оценивать подобие физиче ских процессов, происходящих в модели и исследуемом объекте, и на ной основе проводить отработку изделия в условиях, приближенных к эксплуатационным. Существует тенденция к проектированию систем с максимальным использованием типовых проектных решений для кон кретных изделий. Основными направлениями применения методов подобия для обес печения надежности создаваемых систем являются: - выбор аналогов; - выявление слабых мест в аналогах; - обоснование параметров объектов испытаний; - планирование экспериментальной отработки с использованием данных об аналогах; - разработка методов математического и физического моделиро ваний; - анализ результатов модельных и экспериментальных исследова ний и испытаний; - оценивание и контроль уровня надежности с использованием априорных данных предыдущих разработок. Привлечение априорной информации об аналогах позволяет расши рить совокупность данных о создаваемой сложной технической системе (изделии). Благодаря обоснованному заимствованию ранее отработанных технических решений, переносу результатов испытаний и эксплуатации па создаваемое изделие, можно сократить объемы теоретических и экс периментальных работ при обеспечении заданных уровней технических характеристик и показателей надежности [21]. На базе имеющейся априорной информации проводят построение моделей и критериев, используемых для обеспечения и контроля надеж ности. Анализ подобия при выборе аналогов начинают с деталей, узлов, сборочных единиц и других элементов системы (изделия) и проводят его с помощью детерминированных и стохастических критериев подобия, полученных для создаваемого изделия (ль я2, ..., л„л) и аналога Сл _а а 1 Vll ■ я2>....... 1ля/- 174 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Детерминированные критерии отражают физическое подобие изде лий по функциональному описанию процесса, конструктивным парамет рам, применяемым материалам, технологии изготовления и процессам возникновения отказов. Детерминированные критерии носят закономер ный характер и описываются соответствующим законом. Стохастические критерии подобия отражают работоспособность изделия при воздействии случайных факторов, разбросе параметров, из менении свойств материала, приводящих к отказам, и т.п. Стохастиче ские критерии носят вероятностный характер. Во многих задачах обеспечения надежности целесообразно рассмат ривать приближенное подобие. Достижение полного подобия создаваемой системы и известных прототипов может вызвать затруднение или не иметь смысла. Различия конструкций не дают возможности полностью использовать полученные ранее результаты по отработанным и находя щимся в эксплуатации изделиям. Задачу приближенного подобия решают для систем с одинаковым физическим принципом функционирования, но отличающимися конструктивными решениями, а следовательно, - мате матическим описанием. Рассмотрим две системы - разрабатываемую с технической характе ристикой у и базовую с характеристикой у1’. Эти системы принадлежат по целевому назначению и физическому принципу работы к одному классу, но отличаются конструктивным исполнением. Основная техническая характеристика вновь создаваемой системы определяется параметрами х2, х„, которые могут быть изменены при проектировании и экспериментальной отработке с целью обеспече ния заданных требований к характеристике у. Для обеих рассматривае мых систем существуют математические модели, описывающие зависи мость от параметров х, , i = 1, л: У = /{х{, х1, х„). (3.146) Систему можно описать уравнением в неявном виде или при нали чии нескольких выходных характеристик - системой уравнений. Для системы, принятой за базовую, зависимость характеристики уЕ от параметров хБ, х%, хБ имеет вид: у==(хБ,х2Б,.„ хБ). (3.147) В качестве выходной характеристики у могут быть использованы точность, мощность, разрешающая способность, надежность и т.п. Зави симость выходной характеристики у от параметров хБ, хБ, ..., хБ полу чают в критериальном выражении. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПОДОБИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ 175 Критериальное выражение, описывающее явление или процесс для сравниваемых изделий, имеет вид [21]: л1 = ф(л2> лз,л7, -..л^ J, (3.148) где Я/ - физический критерий подобия, определенный как детерминиро ванная величина, j = 1, ; пп - число критериев л. Результирующая мера отклонения совокупности критериев подобия выразится уравнением АЛ] = ^Дл^ Ал3 ..., Аля_ -1), (3.149) где Дл 7 = л у - л/ Относительная мера неподобия определится выражением Ал ,■ 5л, =——(3.150) Ъ Тогда приближенное подобие изделий по физическим критериям будет иметь место при выполнении условия г' foy^^y^ 5лу), (3-151) где 8л; и 5л/ - соответственно нижняя и верхняя границы допуска для изменения значений/’-го критерия подобия; е - знак принадлежности. Важным моментом в задачах надежности является проведение про гнозов по данным об аналогах с учетом заданных требований для уста новленного уровня отработанности. Результаты прогнозов можно пред ставить в виде совокупности базовых критериев л®, л2, л^, описы вающих вариант планируемого процесса экспериментальной отработки. Заключительным этапом применения методов подобия является исполь зование результатов экспериментальной отработки и натурных испыта ний в виде критериев л, л2, ..., л(( . С помощью этих критериев прово дят проверку адекватности моделей планирования, оценки и анализа ре зультатов испытаний, и соответственно, оценку и контроль фактически достигнутого уровня технических характеристик и показателей надежно сти создаваемых изделий. Проводят также анализ уровня отработанности с помощью крите риев подобия базового и реального изделий, сравнивая значения л®, л2, ..., л,^ и оценки критериев подобия лн л2, ..., л„ . Результаты 176 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ эксплуатации используют для уточнения критериев подобия и моделей исследования. Пусть работоспособность системы определяется выходной характе ристикой в виде двухсторонних границ Утт - У - Утах » (3.152) где ут||1 и у,„ах - минимальное и максимальное значения величины у, при которой система работоспособна, соответственно. Тогда, в стохастическом смысле, выражение (3.152) записывают как вероятность пребывания технической характеристики в заданном допус ке в виде ЛУшт^У^У|пах)=Т> (3-153) где у — заданная вероятность. В этом случае условие стохастического подобия примет вид [21] /’(у.п.п -У 5 Утах) = idem. (3.154) Для того, чтобы значение основной характеристики было не хуже базовой, необходимо выполнить условие /’(y.nm ^У^Утах)=Нттт ^У^Утах)- (3-155) Для исследования подобия систем необходимо преобразовать пара метры в уравнениях (3.146) и (3.147). Более подробно о применении методов подобия приведено в работе [30]. 3.21. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ НА ЭТАПЕ РАЗРАБОТКИ КОНСТРУКТОРСКОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ ПРИ ВЫБОРЕ ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ И ИНСТРУМЕНТОВ Исследование конструкторской документации по использованию запасных частей в процессе эксплуатации сводят к решению двух задач: 1) оптимальному выбору номенклатуры запасных частей; 2) расчету количественного состава запасных частей. Выбор номенклатуры запасных частей можно проводить методом инженерного анализа или расчетным путем. Метод инженерного анализа применяют в том случае, когда имеет ся достаточно сведений об отказах элементов и узлов, полученных в про цессе испытаний или эксплуатации на изделиях-аналогах. В этом случае полученные сведения позволяют конструктору без расчетов принять ре шение о включении элемента или узла в номенклатуру ЗИП. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 177 Расчетный метод используют в том случае, когда определение но менклатуры методом инженерного анализа затруднительно. Следует отметить, что при разработке вновь создаваемых изделий в соответствующей отрасли, как правило, базируются на совершенствова нии старых конструкций, и соответственно, используют стандартизован ные элементы, узлы и инструмент. Поэтому метод инженерного анализа выбора номенклатуры ЗИП является наиболее распространенным. Суть инженерного метода заключается в выборе номенклатуры ЗИП в результате оценки классификационных признаков составных ча стей (табл. 3.3). Анализ начинают с составных частей высшего уровня, т.е. крупных блоков, узлов и доходит до отдельных элементов. По результатам анали за составных частей в соответствии с табл. 3'5 для каждой из них состав ляется кодовое число из четырех разрядов. Если кодовое число состоит из одних единиц, то запасную часть включают в номенклатуру ЗИП. 3.3. Инженерный метод выбора номенклатуры ЗИП Номе)5" разряда 1 Классификационный признак Разряд Возможность контроля Характеристика разряда Контролируемая. Неконтролируемая Оценка разряда 1 0 2 Отказы возможны. Оценка возможности отказа составной части за Отказы практически невоз время эксплуатации можны 1 0 3 Влияние отказов состав ной части на работоспо собность изделия Отказ составной части при водит к отказу изделия. Отказ составной части ухудшает выполнение ос новных функций 1 4 Целесообразность устра Отказ целесообразно устра нить немедленно. нения отказа составной Отказ целесообразно устра части нить при техническом об служивании 0 1 0 V 178 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Расчетный метод выбора номенклатуры ЗИП сводится к следующему. 1. Определяют математическое ожидание а числа замен (отказов) составных частей изделия за время эксплуатации по формуле а = пКкТ, где п - число составных частей определенного типа на одном изделии; N - число изделий, на которые рассчитывают ЗИП; X - интенсивность отказов (замен) составной части этого типа; Т - время эксплуатации, на которое рассчитывают ЗИП. 2. Вычисляют затраты, связанные с заменой составных частей А (3.157) где С05 ~ стоимость оборудования (приспособлений), на котором устра няют отказы, заменяя составные части; Св - стоимость одного элемента (запасной части). 3. Находят математическое ожидание времени восстановления од ного изделия в часах за время эксплуатации путем замены составных ча стей —в N (3.158) где tB - время восстановления изделия в результате замены составной части. Полученные расчетные значения величин С и Тв определяют необ ходимость включения или невключения запасной части в номенклатуру ЗИП. Если затраты и время восстановления не превышают заданных, то запасную часть включают в номенклатуру ЗИП, в противном случае - не включают. 3.22. РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ Запасные части предназначены для обеспечения работоспособности изделия и поэтому определение их числа необходимо проводить на науч ной основе. Малое число запасных частей отрицательно влияет на вы полнение изделием поставленных задач, слишком большое число запас ных частей приводит к излишним затратам. Наиболее простой способ определения потребности в запасных ча стях - найти отношение установленного срока службы элемента к нара ботке на отказ РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ 179 (3.159) где Тсп - установленный срок службы элемента; То - наработка на отказ. Уравнение (3.159) позволяет определить требуемое среднее число запасных частей. Однако само среднее значение не всегда правильно, поскольку существует определенная вероятность того, что в течение ка кого-то конкретного периода времени может потребоваться больше, чем среднее число запасных частей. Поэтому для более точного метода рас чета запасных частей вводят доверительный интервал. В этом случае расчет запасных частей проводят по формуле (3.160) где X - интенсивность отказов; Т- время, на которое рассчитывают ЗИП; Uy - квантиль функции нормального распределения для заданной вероят ности у (у = 0,9...0,99); квантиль выбирают из табл. 1. прил. По назначению комплекты запасных частей подразделяют на оди ночный ЗИПо, или возимый, которым комплектуют каждое изделие; груп повой ЗИПг, предназначенный для восстановления группы изделий и находящийся на стационарной базе или складе; ремонтный ЗИПр, ис пользуемый для восстановления совокупности ремонтируемых изделий. Обычно ремонтныуЗИПр располагают на ремонтной базе. Схема исполь зования перечисленных ЗИПов сводится к следующему. При использова нии элемента из одиночного ЗИПа его пополняют таким же элементом из группового ЗИПа, а групповой ЗИП пополняют из ремонтного. Ремонт ный ЗИП пополняет по заявке эксплуатирующей организации заводпоставщик ЗИП. Математическое ожидание числа замен запасных частей для оди ночного, группового и ремонтного ЗИПов: - если кТ < 0,2 т = пЮСГ; (3.161) - если АГ > 0,2 т = nA^l-e"7). (3.162) Выражение (3.161) для соответствующих ЗИПов запишется в виде: «о = ^0АГ>; (3.163) тг = nNrXTr; (3.164) Wp =иУрАГр, (3.165) 9 180 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ где п - число элементов данного типа на одном изделии; No, N и А'р число изделий, на которые рассчитывают одиночный, групповой и ре монтный ЗИПы, соответственно, обычно No = 1; То, Тг и Тр - время на которое рассчитывают одиночный, групповой и ремонтный ЗИПы, соот ветственно. При расчете математического ожидания числа ЗИП в соответствии с формулами (3.161) - (3.165) необходимо сделать следующие преобразо вания: т — ии^А.р/р+ХТр/Тр+Ххр/хр), (3.166) где /р, гТр и Ар ~ время работы, транспортирования и хранения элемента за период Т, соответственно, А + Ар + Ар = Г; Хр, и ХХр - интенсивности отказов элемента при работе, транспортировании и хранении, соответ ственно. При расчете принимают Хтр = 1,5Хр, А.Хр — 10 з^р, В случае если запасные части влияют на готовность изделия в про цессе эксплуатации, то число запасных частей для группового и ремонт ного ЗИПов устанавливают равными сумме норм запаса текущего до вольствия /ит.д и нормы неснижаемого запаса /и„з: ^Г “ (3.167) Г + Л7пзрг (3.168) Значение /и-д определяют по математическому ожиданию расхода т запасных частей за время, на которое рассчитан их запас, а норма не снижаемого запаса miu - по математическому ожиданию расхода т за время А.з удовлетворения срочного заказа на пополнение ЗИП. В этом случае математическое ожидание неснижаемого запаса для группового и ремонтного ЗИПов определяют по формулам: /И1ГЗТ = = : (3.169) (3.170) где А.31Г и А.3.р - время в течение которого удовлетворяется срочная заявка на пополнение ремонтного или группового ЗИПов, соответственно. С учетом достоверности поставленной задачи математическое ожи дание числа запасных частей для текущего довольствия равно тгд= m + (3.171) где Uy - квантиль нормального распределения; т - математическое ожи дание числа запасных частей соответствующих ЗИПов. РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ 181 Пример 3.14. Определить число запасных блоков температурного режима для группового и ремонтного ЗИПов при следующих исходных данных: = 50; Ар = 100; п = 10; Хр = 2-10"6 ч~‘; /р = 40 ч в неделю; ^иПр = 2 ^зип, = 3 г; /с. з = 2 мес-; у = 0,9; Uy= 1,282. Решение. Вычислим значения XT: X ТЗИпр = 2 • 10 б • 2 • 8760 ч = 0,035 < 0,2; X Тзипг = 2 • 10_б • 3 • 8760 ч = 0,052 < 0,2. Следовательно, для вычисления математического ожидания вос пользуемся формулами (3.164) и (3.165): тг = nNrXTr; Тг = /р +/хр = 40-52-3 + 128-52-3 = 6240 + 19 968; tp = 6240 ч; /хр=19 968 ч; тг = 10 - 50 • (2-10~б -6240 + 2-10 9-19 96н)« 6,3. С учетом заданной доверительной вероятности по формуле (3.171) ' п?Тдг = mr + у[пг ~ 6,3 + 1,2821/6,3 «10. Аналогично вычислим математическое ожидание для ремонтного ЗИПр: тр - «АрХТр = 10 • 10ОХТр = 1000ХТр = 1000(Хр/р + ХХр/Хр); Тр =40-52 -2 + 128 -52 -2 = 4160 + 13 312; /р = 4160 ч; /хр = 13 312 ч; тт =1000(2-10"6 -4160 + 2-10-9 -13 312)»8,3С учетом заданной доверительной вероятности получим "А.д.р =mP + Uyy[i = 8,3 + 1282V8>3 «12. По формулам (3.169) и (3.170) определим неснижаемый запас: т„ зг = иАД/. j = 10 • 50 • 2 • 10"6 • 2 - 720 = 1,44; от„3р = nNplt^s = 10 - 100 • 2 - 10_б • 2 • 720 = 2,88. 182 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Тогда суммарное число запасных частей определим по формулам (3.167) и (3.168): /и' = »?т д г + /инзг = 10 + 1,44 «12; S = тт.д.р + "’нзр =12 + 2,88 «15. 3.23. ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ СОЗДАНИЕ НАДЕЖНЫХ СИСТЕМ При разработке конструкторской документации в целях обеспечения надежности создаваемой сложной технической системы целесообразно выделить следующие основные принципы конструирования. 1. Выбор оптимальных конструктивных решений узлов, механиз мов, сборочных единиц, пультов и других элементов конструкций, обес печивающих нормальные режимы работы изделия. Такой выбор основы вается на использовании облегченного режима работы, увеличении допу стимых отклонений параметров, при которых сохраняется работоспособ ность узла или механизма, и т.д. Могут быть введены в конструкцию элементы защиты, предохраняющие изделие от перегрузок и разрушений. В качестве защитных элементов используют плавкие предохранители в системах электроавтоматики, обгонные муфты, централизованные сма зочные системы с терморегулирующими устройствами, обеспечивающи ми работоспособность машин при низких температурах. Систему необходимо проектировать таким образом, чтобы ее рабо тоспособность обеспечивалась при достаточно больших отклонениях выходных параметров отдельных элементов и узлов. Например, приме нение упругих муфт вместо жестких позволяет обеспечивать работоспо собность соединяемых валов при большем отклонении от соосности. 2. Использование высоконадежных элементов в создаваемой кон струкции. В качестве таковых целесообразно применение унифициро ванных и стандартизованных деталей и узлов, обладающих повышенной надежностью и меньшей стоимостью. 3. Применение материалов с хорошими, стабильными характери стиками, что позволяет уменьшить размеры, и соответственно, массу как отдельных деталей, так и изделия в целом. Большое значение для повы шения прочности имеет использование материалов с пониженной чув ствительностью к концентрации напряжений. Для деталей, работающих на трение, применяют материалы с высокой износостойкостью (материа лы высокой твердости). Для антифрикционных материалов очень важны прирабатываемость, смачиваемость смазочным материалом и возмож- ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ 183 пость самосмазывания. Следовательно, стабильные характеристики при меняемых материалов являются важным условием обеспечения надежно сти изделия. В целях получения стабильных характеристик материала применяют различные технологические методы. Так, например, для повышения из носостойкости, коррозионной стойкости и жаропрочности широкое при менение нашли различные способы упрочнения поверхностного слоя деталей. Для повышения усталостной прочности и износостойкости ис пользуют: пластическое деформирование в виде дробеструйной обработ ки, обкатку шариками и роликами, гидрополирование, алмазное выгла живание, калибрование шариком, химико-термическую обработку в виде цементации и азотирования, поверхностную закалку, электроискровое и электродуговое упрочнения. Для защиты от коррозии используют химико-термическую обработ ку (например, азотирование, силицирование, сульфидирование), защит ное гальваническое покрытие (цинковое, никелевое и кадмиевое), лако красочные и пластмассовые покрытия, а также диффузионную металли зацию. 4. Применение металлоконструкций оптимальной жесткости. 5. Защита элементов и узлов изделия от воздействия вибрации, ударных нагрузок, запыленности, влажности, низких и высоких темпе ратур, биологических вредителей и т. д. 6. Обеспечение максимальной взаимозаменяемости деталей, узлов и механизмов позволяет максимально сократить регулировочные работы, предусмотреть в конструкции фиксирующие элементы, обеспечивающие правильную установку деталей и узлов при сборке. 7. Оптимальная компоновка деталей и сборочных единиц на изделии обеспечивает доступ и удобство осмотра узлов и механизмов, нуждаю щихся в периодических проверках и регулировании, улучшает ремонто пригодность и упрощает обслуживание изделия. 8. Упрощение эксплуатационной документации. В инструкцию по эксплуатации в целях недопущения ошибочных действий обслуживаю щего персонала необходимо вводить предупреждающие знаки «внима ния», по возможности упрощать техническое обслуживание, увеличивать периодичность их проведения. 9. Резервирование элементов, осуществляемое введением дополни тельных элементов, обеспечивающих работоспособность системы при отказе одного или нескольких элементов. Второй путь резервирования облегчение режимов работы, снижение действующих нагрузок и напря жений. 184 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 3.24. КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ Система электроавтоматики представляет собой сложное техниче ское устройство, состоящее из совокупности соединенных определенным образом элементов радиоэлектронной аппаратуры, кабелей и электроме ханизмов. При конструировании системы электроавтоматики конструк торские подразделения специализируются по следующим направлениям: разработке функциональных и принципиальных схем, пультовой аппара туре, кабельной сети и применению комплектующих элементов. В функцию специалистов, занимающихся комплектующими элементами, входит контроль, связанный с разрешением применения элементов и ис пользования их в нештатных условиях и режимах. Необходимость такого разрешения объясняется тем, что часто из-за ограничения массы и габа ритных размеров конструкция должна допускать кратковременные пере грузки элементов, которые бы не приводили к отказу системы. Надежность системы электроавтоматики в функциональной схеме обеспечивают, подбирая нагрузку элементов, не превышающую коэффи циента нагрузки: K < 0,5...0,6. Одновременно проводят расчеты тепло вых режимов в замкнутом объеме пультовой аппаратуры. В случае пре вышения номинальной температуры предусматривают принудительную вентиляцию или теплоотделение с помощью специальных устройств и конструкций. Для предотвращения окисления контактной группы элементов в си стеме электроавтоматики при конструировании пультовой аппаратуры (пульты, разводные коробки, блоки) предусматривают использование уплотнительных материалов (резиновых прокладок), которые бы не со держали сернистые соединения, так как выделение от сернистых соеди нений вызывает сильное окисление поверхности контактной группы, что приводит к отказу. Для предотвращения подобного типа отказов необхо димо использовать покрытие контактов серебром, золотом или платиной. Такой метод существенно предотвращает отказ контактной группы от окисления, но он значительно увеличивает стоимость изделия, поэтому его применяют лишь в тех случаях, когда отказ приводит к аварийной ситуации или невыполнению поставленной задачи. Важную роль при конструировании системы электроавтоматики иг рает защита элементов от прямого попадания на них воды во время мой ки изделия или дождя, а также наличие конденсата внутри замкнутого объема. Для защиты элементов от прямого попадания воды на них при мойке изделия герметизируют с помощью кожухов, козырьков, чехлов, а также используют резиновые и другие материалы для уплотнения кры шек пультов, блоков и коробок. В целях герметизации разъемных соеди- КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ 185 пений используют специальные герметизированные разъемы. Удаление влаги с внутренних поверхностей пультов, блоков от воздействия кон денсата осуществляют с помощью влагопоглощающих материалов, например селикогеля, который чаще всего изготовляют в виде порошка и размещают внутри замкнутой поверхности в мешочках. Для обеспечения надежности кабельных соединений предусматрива ют применение штепсельных разъемов отличающихся как числом штырь ков, так и формой исполнения, а также, по возможности, выбирают такие длины кабелей, которые бы стыковались только с нужным разъемом. Важное место при разработке функциональной схемы электроавтома тики занимает способ повышения надежности резервированием как от дельных элементов, так и каналов. Различные способы резервирования по разному влияют на количественные показатели надежности (см. п. 3.12 и 3.13). При разработке системы электроавтоматики ее надежность целесооб разно оценивать по критериям, основанным на оценке физических свойств элементов схемы. Различают четыре группы основных критериев [2]. Группа 1 - критерии, по которым оценивают правильность форму лировки технического задания и устанавливают необходимость дополни тельной его проработки и корректирования. С помощью этой группы критериев анализируют структурную, функциональную и принципиаль ную схемы системы электроавтоматики, а также дают характеристику надежности функционирования схемы и получения ее параметров, задан ных в техническом задании на разработку. Группа 2*Д<ритерии, по которым оценивают качество и надежность элементов, применяемых в системе электроавтоматики. По этой группе критериев определяют режимы работы элементов и влияние выбранных режимов на надежность системы электроавтоматики. Группа 3 - критерии, по которым оценивают эффективность и до статочность принятых мер при разработке конструкции самой системы электроавтоматики, ее блоков, пультов и других элементов для обеспече ния надежной работы изделия в реальных условиях эксплуатации. Группа 4 - критерии, для оценивания эксплуатационных характери стик системы электроавтоматики и влияние этих характеристик на ее надежность. Перечисленные критерии основаны на тщательном изучении исход ных данных, выдаваемых для разработки системы электроавтоматики, анализе схем, режимов их работы, конструкции, т.е. на изучении физиче ских процессов, которыми сопровождается работа системы электроавто матики. Оценка критериев тесно связана с проектированием, отработкой, серийным производством и эксплуатацией изделий. Анализ критериев, 186 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ выполняемый в процессе разработки системы, помогает разработчику найти правильные решения при ее конструировании. Необходимо отме тить, что рассмотренные критерии не дают исчерпывающих сведений о разрабатываемой системе электроавтоматики, однако могут служить в качестве определенного направления разработок таких схем. Оценку выполнения критериев можно производить методом расчет ного анализа схем и конструкций и изучением результатов испытаний. По своей сути критерии надежности предназначены для оценки безотказ ности, долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости изделия на этапе разработки и выдаются в виде указаний по устранению недостатков и совершенствованию методов проектирования. Наряду с использованием характеристических критериев, часто вы является необходимость применения вероятностных методов оценки надежности изделий на этапе разработки. Обе группы критериев не ис ключают друг друга, а лишь дополняют наши сведения о надежности изделия. Вероятностные критерии позволяют дать количественную оцен ку надежности изделия как на этапе разработки, так и по результатам испытаний и эксплуатации. 3.25. КОНСТРУИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ УЗЛОВ И КОМПОНОВКА ИЗДЕЛИЯ В целях обеспечения надежности изделий машиностроения при про ектировании, по аналогии с разработкой системы электроавтоматики, можно использовать ряд групп критериев, основанных на физических свойствах изделия [36]. Группа 1 - критерии, предназначенные для оценки правильности технического задания и выдачи предложений по дополнительной его проработке с уточнением конкретных параметров. По этим критериям выполняют анализ проектируемого изделия, оценивают возможность транспортирования изделия на дальние расстояния, его массу, безаварий ность, надежность функционирования при выполнении поставленной задачи, срок службы, периодичность технического обслуживания и др. Все перечисленные характеристики являются основой для определения облика изделия и рационального размещения на нем силовых узлов, ме ханизмов и систем. Группа 2 - критерии для оценки надежности и качества изделия, обеспечиваемых материалом, из которого конструируют силовые узлы металлоконструкций. При выборе материала исходят из назначения изде лия по условиям эксплуатации. Для изделий, работающих в стационар ных условиях, чаще всего используют обычные углеродистые стали, для КОНСТРУИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ УЗЛОВ И КОМПОНОВКА ИЗДЕЛИЙ 187 изделий, работающих в условиях переменных нагрузок, - высоколегиро ванные стали; для изделий, работающих в условиях низких температур, спокойные стали. В зависимости от режимов работы изделия, температу ры и влажности окружающей среды подбирают соответствующий материал, обеспечивающий надежную работу изделия в условиях эксплу атации. Группа 3 - критерии, обеспечивающие надежность силовых кон струкций, для оценки рациональности размещения узлов, механизмов и систем на изделии. Для подвижного транспортного средства с большой грузоподъемностью (например, до 15 т) необходимо предусматривать равномерное распределение нагрузки по осям. Узлы и механизмы, рабо тающие от привода силового двигателя, необходимо размещать вблизи выходного вала двигателя. Такое размещение обеспечивает существенное сокращение промежуточных устройств. Важное место при оценивании с помощью этой группы критериев занимает удобство обслуживания отдельных узлов, механизмов и систем. В процессе конструирования изделия компоновка узлов, механизмов и систем должна быть таковой, чтобы на доступ к ним при обслуживании или замене расходовалось минимальное время. Такая компоновка обес печивает повышение коэффициента готовности изделия к выполнению поставленной задачи. Вместе с тем, при компоновке изделия необходимо предусмотреть возможность защиты отдельных узлов, механизмов и си стем от прямого попадания на них грязи, пыли и воды. Наиболее опти мальным явдяется вариант бункерного исполнения, когда в отдельном герметизированном бункере размещается узел, механизм или система, предназначенные для выполнения соответствующих функций. При трассировке кабельных линий необходимо предусмотреть ее защиту от внешних воздействий в виде ударов, пробоев и порывов. Чаще всего для этого трассу закрывают металлическим кожухом или размеща ют кабельную линию в углублении, не доступном для внешних воздей ствий. Кроме того, на подвижных транспортных средствах отдельные кабели не должны подвергаться трению между собой или с рядом распо ложенными устройствами. В этом случае должно быть предусмотрено крепление кабелей в один жгут или закрепление отдельных кабелей ско бами к неподвижным поверхностям. Особое внимание при конструировании уделяют компоновке трубо проводов гидросистемы. Трубопроводы должны размещаться по изделию таким образом, чтобы они не подвергались трению о близкорасположен ные устройства, а радиус их изгиба должен быть таким, чтобы многоцик лические нагрузки не приводили к разрушению. Трубопроводы с высо ким давлением необходимо, по возможности, размещать в местах, ис- 180 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ где п - число элементов данного типа на одном изделии; No, N и Np число изделий, на которые рассчитывают одиночный, групповой и ре монтный ЗИПы, соответственно, обычно No = 1; То, Тг и Тр - время на которое рассчитывают одиночный, групповой и ремонтный ЗИПы, соот ветственно. При расчете математического ожидания числа ЗИП в соответствии с формулами (3.161) - (3.165) необходимо сделать следующие преобразо вания: /и — «JV (х р?р + Х,р/Т|, + XxpZxp ), (3.166) где tp, /Тр и /хр - время работы, транспортирования и хранения элемента за период Т, соответственно, /р + /тр + /Хр = Г; Хр, Х,р и Лхр - интенсивности отказов элемента при работе, транспортировании и хранении, соответ ственно. При расчете принимают Хтр = 1,5Хр, ХХр = 10^Хр. В случае если запасные части влияют на готовность изделия в про цессе эксплуатации, то число запасных частей для группового и ремонт ного ЗИПов устанавливают равными сумме норм запаса текущего до вольствия Отт.д и нормы неснижаемого запаса ятпз: “ =°Т иг"*" ^Гр ^Т.д.р ""^П.З.рР (3.167) (3.168) Значение /итд определяют по математическому ожиданию расхода m запасных частей за время, на которое рассчитан их запас, а норма не снижаемого запаса т113 - по математическому ожиданию расхода m за время /сз удовлетворения срочного заказа на пополнение ЗИП. В этом случае математическое ожидание неснижаемого запаса для группового и ремонтного ЗИПов определяют по формулам: от||ЗГ = пХЯг/сзГ; (_ЗЛ6^9>) от.,.з.Р ^«Арс.з.р, (3.170) где /сзг и /сзр - время в течение которого удовлетворяется срочная заявка на пополнение ремонтного или группового ЗИПов, соответственно. С учетом достоверности поставленной задачи математическое ожи дание числа запасных частей для текущего довольствия равно тУЯ = т + Uyjm, (ИД) где Uy - квантиль нормального распределения; т - математическое ожи дание числа запасных частей соответствующих ЗИПов. РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВ А ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ 181 Пример 3.14. Определить число запасных блоков температурного режима для группового и ремонтного ЗИПов при следующих исходных данных: Nr = 50; Ap = 100; п = 10; Хр = 2- 10^ ч '; /р = 40 ч в неделю; 7"зиПр = 2 г; 7зип, = 3 г; /с з = 2 мес.; у = 0,9; Uy = 1,282. Решение. Вычислим значения кТ: Х7ЗиПр =2-10_б-2-8760 ч=0,035<0,2; X ?зипг = 2 • 10'6 ■ 3 • 8760 ч = 0,052 < 0,2. Следовательно, для вычисления математического ожидания вос пользуемся формулами (3.164) и (3.165): my = nNrXTr •, Тг =/р + /хр =40-52-3 + 12852-3 = 6240 + 19 968; /р= 6240 ч; /х>=19 968 ч; т;. = 10 - 50 ■ (2 ■ 10 6 -6240 + 2-10"9 -19 968)«6,3. С учетом заданной доверительной вероятности по формуле (3.171) /иТдг = тг +иуУ[тг = 6,3 + l,282--^,3 «10. Аналогично вычислим математическое ожидание для ремонтного ЗИПр: тр = nNpkTp = 10-100ХТр = 1000ХГр = ЮОО^+Х^; Тр =40-52-2 + 128-52-2 = 4160 + 13 312; /р = 4160 ч; /хр=13 312 ч; = 1000(2^ 10 6 -4160 + 2-10 9 -13 312)®8,3. С учетом заданной доверительной вероятности получим /Итдр = тр + UyJmp = 8,3 + 1,282-/8,3 ® 12. По формулам (3.169) и (3.170) определим неснижаемый запас: т„ з r = nNrktC3 = 10 • 50 ■ 2 ■ 10_6 • 2 • 720 = 1-44; «т.кз.р = «/ррЧс =10-100 -2-10-6 - 2-720 = 2,88. 182 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Тогда суммарное число запасных частей определим по формулам (3.167) и (3.168): от' = дгтдг + лт„з.г = 10 + 1,44 »12; Тр = ттлр + т„,р = 12 + 2,88 »15. 3.23. ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ СОЗДАНИЕ НАДЕЖНЫХ СИСТЕМ При разработке конструкторской документации в целях обеспечения надежности создаваемой сложной технической системы целесообразно выделить следующие основные принципы конструирования. 1. Выбор оптимальных конструктивных решений узлов, механиз мов, сборочных единиц, пультов и других элементов конструкций, обес печивающих нормальные режимы работы изделия. Такой выбор основы вается на использовании облегченного режима работы, увеличении допу стимых отклонений параметров, при которых сохраняется работоспособ ность узла или механизма, и т.д. Могут быть введены в конструкцию элементы защиты, предохраняющие изделие от перегрузок и разрушений. В качестве защитных элементов используют плавкие предохранители в системах электроавтоматики, обгонные муфты, централизованные сма зочные системы с терморегулирующими устройствами, обеспечивающи ми работоспособность машин при низких температурах. Систему необходимо проектировать таким образом, чтобы ее рабо тоспособность обеспечивалась при достаточно больших отклонениях выходных параметров отдельных элементов и узлов. Например, приме нение упругих муфт вместо жестких позволяет обеспечивать работоспо собность соединяемых валов при большем отклонении от соосности. 2. Использование высоконадежных элементов в создаваемой кон струкции. В качестве таковых целесообразно применение унифициро ванных и стандартизованных деталей и узлов, обладающих повышенной надежностью и меньшей стоимостью. 3. Применение материалов с хорошими, стабильными характери стиками, что позволяет уменьшить размеры, и соответственно, массу как отдельных деталей, так и изделия в целом. Большое значение для повы шения прочности имеет использование материалов с пониженной чув ствительностью к концентрации напряжений. Для деталей, работающих на трение, применяют материалы с высокой износостойкостью (материа лы высокой твердости). Для антифрикционных материалов очень важны прирабатываемость, смачиваемость смазочным материалом и возмож ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ 183 ность самосмазывания. Следовательно, стабильные характеристики при меняемых материалов являются важным условием обеспечения надежно сти изделия. В целях получения стабильных характеристик материала применяют различные технологические методы. Так, например, для повышения из носостойкости, коррозионной стойкости и жаропрочности широкое при менение нашли различные способы упрочнения поверхностного слоя деталей. Для повышения усталостной прочности и износостойкости ис пользуют: пластическое деформирование в виде дробеструйной обработ ки, обкатку шариками и роликами, гидрополирование, алмазное выгла живание, калибрование шариком, химико-термическую обработку в виде цементации и азотирования, поверхностную закалку, электроискровое и электродуговое упрочнения. Для защиты от коррозии используют химико-термическую обработ ку (например, азотирование, силицирование, сульфидирование), защит ное гальваническое покрытие (цинковое, никелевое и кадмиевое), лако красочные и пластмассовые покрытия, а также диффузионную металли зацию. 4. Применение металлоконструкций оптимальной жесткости. 5. Защита элементов и узлов изделия от воздействия вибрации, ударных нагрузок, запыленности, влажности, низких и высоких темпе ратур, биологических вредителей и т.д. 6. Обеспечение максимальной взаимозаменяемости деталей, узлов и механизмов позволяет максимально сократить регулировочные работы, предусмотреть в конструкции фиксирующие элементы, обеспечивающие правильную установку деталей и узлов при сборке. 7. Оптимальная компоновка деталей и сборочных единиц на изделии обеспечивает доступ и удобство осмотра узлов и механизмов, нуждаю щихся в периодических проверках и регулировании, улучшает ремонто пригодность и упрощает обслуживание изделия. 8. Упрощение эксплуатационной документации. В инструкцию по эксплуатации в целях недопущения ошибочных действий обслуживаю щего персонала необходимо вводить предупреждающие знаки «внима ния», по возможности упрощать техническое обслуживание, увеличивать периодичность их проведения. 9. Резервирование элементов, осуществляемое введением дополни тельных элементов, обеспечивающих работоспособность системы при отказе одного или нескольких элементов. Второй путь резервирования облегчение режимов работы, снижение действующих нагрузок и напря жений. 184 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 3.24. КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ Система электроавтоматики представляет собой сложное техниче ское устройство, состоящее из совокупности соединенных определенным образом элементов радиоэлектронной аппаратуры, кабелей и электроме ханизмов. При конструировании системы электроавтоматики конструк торские подразделения специализируются по следующим направлениям: разработке функциональных и принципиальных схем, пультовой аппара туре, кабельной сети и применению комплектующих элементов. В функцию специалистов, занимающихся комплектующими элементами, входит контроль, связанный с разрешением применения элементов и ис пользования их в нештатных условиях и режимах. Необходимость такого разрешения объясняется тем, что часто из-за ограничения массы и габа ритных размеров конструкция должна допускать кратковременные пере грузки элементов, которые бы не приводили к отказу системы. Надежность системы электроавтоматики в функциональной схеме обеспечивают, подбирая нагрузку элементов, не превышающую коэффи циента нагрузки: Кп < 0,5...0,6. Одновременно проводят расчеты тепло вых режимов в замкнутом объеме пультовой аппаратуры. В случае пре вышения номинальной температуры предусматривают принудительную вентиляцию или теплоотделение с помощью специальных устройств и конструкций. Для предотвращения окисления контактной группы элементов в си стеме электроавтоматики при конструировании пультовой аппаратуры (пульты, разводные коробки, блоки) предусматривают использование уплотнительных материалов (резиновых прокладок), которые бы не со держали сернистые соединения, так как выделение от сернистых соеди нений вызывает сильное окисление поверхности контактной группы, что приводит к отказу. Для предотвращения подобного типа отказов необхо димо использовать покрытие контактов серебром, золотом или платиной. Такой метод существенно предотвращает отказ контактной группы от окисления, но он значительно увеличивает стоимость изделия, поэтому его применяют лишь в тех случаях, когда отказ приводит к аварийной ситуации или невыполнению поставленной задачи. Важную роль при конструировании системы электроавтоматики иг рает защита элементов от прямого попадания на них воды во время мой ки изделия или дождя, а также наличие конденсата внутри замкнутого объема. Для защиты элементов от прямого попадания воды на них при мойке изделия герметизируют с помощью кожухов, козырьков, чехлов, а также используют резиновые и другие материалы для уплотнения кры шек пультов, блоков и коробок. В целях герметизации разъемных соеди КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ 185 нений используют специальные герметизированные разъемы. Удаление влаги с внутренних поверхностей пультов, блоков от воздействия кон денсата осуществляют с помощью влагопоглощающих материалов, например селикогеля, который чаще всего изготовляют в виде порошка и размещают внутри замкнутой поверхности в мешочках. Для обеспечения надежности кабельных соединений предусматрива ют применение штепсельных разъемов отличающихся как числом штырь ков, так и формой исполнения, а также, по возможности, выбирают такие длины кабелей, которые бы стыковались только с нужным разъемом. Важное место при разработке функциональной схемы электроавтома тики занимает способ повышения надежности резервированием как от дельных элементов, так и каналов. Различные способы резервирования по разному влияют на количественные показатели надежности (см. п. 3.12 и 3.13). При разработке системы электроавтоматики ее надежность целесооб разно оценивать по критериям, основанным на оценке физических свойств элементов схемы. Различают четыре группы основных критериев [2]. Группа 1 - критерии, по которым оценивают правильность форму лировки технического задания и устанавливают необходимость дополни тельной его проработки и корректирования. С помощью этой группы критериев анализируют структурную, функциональную и принципиаль ную схемы системы электроавтоматики, а также дают характеристику надежности функционирования схемы и получения ее параметров, задан ных в техническом задании на разработку. Группа 2 - критерии, по которым оценивают качество и надежность элементов, применяемых в системе электроавтоматики. По этой группе критериев определяют режимы работы элементов и влияние выбранных режимов на надежность системы электроавтоматики. Группа 3 - критерии, по которым оценивают эффективность и до статочность принятых мер при разработке конструкции самой системы электроавтоматики, ее блоков, пультов и других элементов для обеспече ния надежной работы изделия в реальных условиях эксплуатации. Группа 4 - критерии, для оценивания эксплуатационных характери стик системы электроавтоматики и влияние этих характеристик на ее надежность. Перечисленные критерии основаны на тщательном изучении исход ных данных, выдаваемых для разработки системы электроавтоматики, анализе схем, режимов их работы, конструкции, т.е. на изучении физиче ских процессов, которыми сопровождается работа системы электроавто матики. Оценка критериев тесно связана с проектированием, отработкой, серийным производством и эксплуатацией изделий. Анализ критериев, 186 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ выполняемый в процессе разработки системы, помогает разработчику найти правильные решения при ее конструировании. Необходимо отме тить, что рассмотренные критерии не дают исчерпывающих сведений о разрабатываемой системе электроавтоматики, однако могут служить в качестве определенного направления разработок таких схем. Оценку выполнения критериев можно производить методом расчет ного анализа схем и конструкций и изучением результатов испытаний. По своей сути критерии надежности предназначены для оценки безотказ ности, долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости изделия на этапе разработки и выдаются в виде указаний по устранению недостатков и совершенствованию методов проектирования. Наряду с использованием характеристических критериев, часто вы является необходимость применения вероятностных методов оценки надежности изделий на этапе разработки. Обе группы критериев не ис ключают друг друга, а лишь дополняют наши сведения о надежности изделия. Вероятностные критерии позволяют дать количественную оцен ку надежности изделия как на этапе разработки, так и по результатам испытаний и эксплуатации. 3.25. КОНСТРУИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ УЗЛОВ И КОМПОНОВКА ИЗДЕЛИЯ В целях обеспечения надежности изделий машиностроения при про ектировании, по аналогии с разработкой системы электроавтоматики, можно использовать ряд групп критериев, основанных на физических свойствах изделия [36]. Группа 1 - критерии, предназначенные для оценки правильности технического задания и выдачи предложений по дополнительной его проработке с уточнением конкретных параметров. По этим критериям выполняют анализ проектируемого изделия, оценивают возможность транспортирования изделия на дальние расстояния, его массу, безаварий ность, надежность функционирования при выполнении поставленной задачи, срок службы, периодичность технического обслуживания и др. Все перечисленные характеристики являются основой для определения облика изделия и рационального размещения на нем силовых узлов, ме ханизмов и систем. Группа 2 - критерии для оценки надежности и качества изделия, обеспечиваемых материалом, из которого конструируют силовые узлы металлоконструкций. При выборе материала исходят из назначения изде лия по условиям эксплуатации. Для изделий, работающих в стационар ных условиях, чаще всего используют обычные углеродистые стали, для КОНСТРУИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ УЗЛОВ И КОМПОНОВКА ИЗДЕЛИЙ 187 изделий, работающих в условиях переменных нагрузок, - высоколегиро ванные стали; для изделий, работающих в условиях низких температур, спокойные стали. В зависимости от режимов работы изделия, температу ры и влажности окружающей среды подбирают соответствующий материал, обеспечивающий надежную работу изделия в условиях эксплу атации. Группа 3 - критерии, обеспечивающие надежность силовых кон струкций, для оценки рациональности размещения узлов, механизмов и систем на изделии. Для подвижного транспортного средства с большой грузоподъемностью (например, до 15 т) необходимо предусматривать равномерное распределение нагрузки по осям. Узлы и механизмы, рабо тающие от привода силового двигателя, необходимо размещать вблизи выходного вала двигателя. Такое размещение обеспечивает существенное сокращение промежуточных устройств. Важное место при оценивании с помощью этой группы критериев занимает удобство обслуживания отдельных узлов, механизмов и систем. В процессе конструирования изделия компоновка узлов, механизмов и систем должна быть таковой, чтобы на доступ к ним при обслуживании или замене расходовалось минимальное время. Такая компоновка обес печивает повышение коэффициента готовности изделия к выполнению поставленной задачи. Вместе с тем, при компоновке изделия необходимо предусмотреть возможность защиты отдельных узлов, механизмов и си стем от прямого попадания на них грязи, пыли и воды. Наиболее опти мальным является вариант бункерного исполнения, когда в отдельном герметизированном бункере размещается узел, механизм или система, предназначенные для выполнения соответствующих функций. При трассировке кабельных линий необходимо предусмотреть ее защиту от внешних воздействий в виде ударов, пробоев и порывов. Чаще всего для этого трассу закрывают металлическим кожухом или размеща ют кабельную линию в углублении, не доступном для внешних воздей ствий. Кроме того, на подвижных транспортных средствах отдельные кабели не должны подвергаться трению между собой или с рядом распо ложенными устройствами. В этом случае должно быть предусмотрено крепление кабелей в один жгут или закрепление отдельных кабелей ско бами к неподвижным поверхностям. Особое внимание при конструировании уделяют компоновке трубо проводов гидросистемы. Трубопроводы должны размещаться по изделию таким образом, чтобы они не подвергались трению о близкорасположен ные устройства, а радиус их изгиба должен быть таким, чтобы многоцик лические нагрузки не приводили к разрушению. Трубопроводы с высо ким давлением необходимо, по возможности, размещать в местах, ис- 190 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ние деталей и сборка их в узлы, а также испытание опытных образцов. Успех разработанной конструкции во многом зависит от изготовления и сборки узлов. Для обеспечения правильности изготовления и собираемо сти узлов разработчик конструкции должен непосредственно участвовать в этих процессах. Такое активное участие позволяет своевременно вы явить допущенные ошибки и принимать правильное решение по их устранению. Испытания и отработка конструкции - завершающие этапы в разработке изделия, на основании которых принимают решение о внед рении. На этих этапах работают специалисты по планированию испыта ний, составлению программы обеспечения и оценке надежности по ре зультатам испытаний с учетом проводимых доработок. Для конструктора, стремящегося обеспечить высокую надежность изделия, полезны два подхода к проектированию - упрощение и стан дартизация. Чем проще конструкция, тем выше надежность, поэтому необходимо уменьшать число деталей или число типов используемых деталей. Конструктор должен также проявлять интерес к факторам инже нерной психологии. Следует заботиться о том, чтобы невозможно было произвести неправильную сборку. Очень важной характеристикой высоконадежной конструкции является возможность проконтролировать ее основные параметры, для чего следует ввести их в технологический паспорт для обязательного контроля при изготовлении и испытаниях. Необходимо также преду смотреть в документации оптимальные сроки проведения технических обслуживании, связанных с периодичностью смазывания и регулирова ния механизмов. В конструкциях гидравлических систем и механических узлов для обеспечения их надежности предпочтительнее применять ручное резер вирование механизмов, обеспечивающее выполнение работ в заданное время, или параллельное резервирование трубопровода с клапаном, включающим дублирующий трубопровод в случае отказа одного из них. Таким образом, существует несколько методов, с помощью которых можно повысить конструктивную надежность. В каждом случае эти ме тоды необходимо всесторонне оценить, а также выяснить ограничения, влияющие на конструкцию. Конструктивные методы повышения надеж ности предусматривают создание запасов прочности конструкции, облег чение режимов работы элементов, упрощение конструкции, использова ние стандартизованных деталей и узлов, учет факторов инженерной пси хологии, обеспечение ремонтопригодности, обоснование использования материалов и способов резервирования. МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 191 3.27. МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ НА ЭТАПЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ Проектный расчет надежности изделия проводят по материалам эскизного либо технического проекта. Целью расчета является теорети ческое определение количественных показателей надежности, заданных в техническом задании. Такими показателями могут быть вероятность без отказной работы P(t), средняя наработка на отказ То, среднее время вос становления Тя, коэффициент готовности и другие показатели. В качестве исходных данных при расчете надежности используют справочные материалы в виде интенсивностей отказов отдельных эле ментов либо статистические данные в виде наработок на отказ и среднего времени восстановления узлов и механизмов, полученные при испытани ях или в процессе эксплуатации аналогичных изделий. Расчет надежности проводят в следующей последовательности. На основе анализа работы изделия составляют структурную схему на дежности в виде последовательно соединенных прямоугольников, каж дый из которых представляет собой функционально законченный эле мент изделия, выполняющий определенную операцию. В свою очередь, каждый узел, механизм или другая сборочная единица представляет со бой совокупность элементов, имеющих различные виды соединений последовательное, параллельное, смешанное и др. Особенно это касается электронной аппаратуры, где насчитывается несколько тысяч элементов. Проектный расчет надежности основывается на использовании ^.-характеристик и принятом допущении об их постоянстве в течение га рантийного срока эксплуатации. Такое допущение позволяет применять при расчете экспоненциальный закон распределения, при котором веро ятность безотказной работы определяют по формуле р()=е« = ехр|-:т;х|, ( /=| ) (3.172) где е = 2,71828; X, - интенсивность отказов /-го элемента; t - время рабо ты изделия; п - число элементов, последовательно соединенных в струк турной схеме надежности. Принимая во внимание, что для каждого предприятия характерны свои особенности в технологии изготовления, культуре производства, квалификации кадров и методах контроля, поэтому в расчетах надежно сти рекомендуется использовать /.-характеристики элементов-аналогов только данного предприятия. Это обосновывается тем, что каждое пред- 192 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ приятие имеет значительную преемственность в использовании имею щейся оснастки, стендового оборудования, специальной оснастки для изготовления и испытаний аналогичных деталей и сборочных единиц. Проектный расчет надежности создаваемого изделия целесообразно проводить в двух вариантах. Первый вариант проводят по результатам статистических данных интенсивностей отказов или наработок на отказ, полученных в процессе всех видов испытаний образцов-аналогов. Второй вариант расчета выполняют по результатам статистических данных ин тенсивностей отказов или наработок на отказ, полученных в процессе эксплуатации образцов-аналогов. Такой подход позволяет объективно контролировать и сравнивать показатели надежности, полученные рас четным путем и в процессе отработки изделия, а также при его эксплуа тации. Следует помнить, что проектный расчет надежности изделий необ ходимо рассматривать как дополнительный материал для проведения сравнительного анализа конструктором-разработчиком и выработки им совместно с подразделением надежности рекомендаций по повышению уровня надежности. Более подробно рассмотрим методику проектного расчета надежно сти для следующих количественных показателей надежности: вероятно сти безотказной работы ?(/); среднего квадратического отклонения вр^, среднего значения наработки на отказ То; среднего времени восстановле ния Тв и коэффициента готовности Кг. При отсутствии статистических данных для образцов-аналогов рас чет проектной надежности осуществляют по справочным данным ин тенсивностей отказов, т.е. по ^-характеристикам. Расчетная формула для вероятности безотказной работы сборочной единицы ТЕ''’ /pCp 'A/Xf?/Xp ' /гр^/тр (3.173) где Х,-р, Х/хр и А.,-Тр - интенсивности отказов /-го элемента при работе, при хранении и при транспортировании, соответственно; ?/р, f,Xp и /,гр - время работы, хранения и транспортирования /'-го элемента в течение времени / (t,p < t), соответственно. В справочной литературе приведены интенсивности отказов как для нормальных, так и для утяжеленных режимов работы. При расчете ис пользуют формулу пересчета для интенсивности отказов при работе: (3.174) МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 193 i де X, - интенсивность отказов в нормальных условиях эксплуатации ( юмпература окружающей среды 20...25 °C, влажность 60 %, нормальная ншрузка к, = 1,0); А, - коэффициент, учитывающий нагрузку элемента, rm температурный режим, влажность окружающей среды и выбираемый ио расчетным справочным данным или графикам. При отсутствии данных о надежности элементов в фактических условиях хранения и транспортирования принимают следующие соотно шения пересчета интенсивностей отказов: Xxp = HJ-3Xp; Ххртр=1,5Ххр; X ртр = 15Хр . (3.175) Формулу (3.173) используют для определения вероятности безоттной работы функционально законченной сборочной единицы изделия. Гогда вероятность безотказной работы изделия в целом, состоящего из последовательно соединенных функционально законченных узлов, сбо рочных единиц, определяют по формуле Л) = ПШ .176) <3 7=1 I де P^t) - вероятность безотказной работы за время / у-го узла структур ной схемы надежности; W - число узлов структурной схемы надежности, участвующих в выполнении работы. При наличии статистических данных по результатам испытаний или жсплуатации аналогичных элементов вероятность безотказной работы находят из выражения />() = 1-_^, Ч (3.177) i де т, и п, ~ числа отказов и циклов испытаний t-го элемента за время t, соответственно. При числе отказов, равном нулю, т.е. при т, = 0 имеем (3.178) Если в процессе испытаний или эксплуатации в качестве статисти ческой оценки получена средняя наработка на отказ, то вероятность без отказной работы элемента за время t равна I (3.179) 194 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ где 7] - средняя наработка на отказ /-го элемента, полученная по резуль татам испытаний или эксплуатации. При расчете вероятности безотказной работы по ^-характеристикам среднее квадратическое отклонение вероятности безотказной работы равно: - /-й детали (3.180) - у-й сборочной единицы (3.181) - для изделия в целом (3.182) При расчете вероятности безотказной работы по статистическим данным и при наличии отказов, т.е. при т, * 0, среднее квадратическое отклонение вероятности безотказной работы элемента В случае отсутствия отказов, т.е. при т = 0, среднее квадратическое отклонение 1___ \5п, + 7 (3.184) СТ':(,) " 2(«, + 2) у п, + 3 Расчетная формула средней наработки на отказ при известной ин тенсивности отказов X, имеет вид: - для /-Й детали Г=—- (3.185) - для j-й сборочной единицы Т = —!— J п /=| (3.186) МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 195 - для изделия в целом Т 1о = (3.187) где X, - интенсивность отказов j-й сборочной единицы. При наличии статистических данных среднюю наработку на отказ >лемента определяют по формулам: - для z-й детали (3.188) где 6 - время работы ь^о элемента; т, - число отказов z-ro элемента за время его работы - дляу-й сборочной единицы 1 (3.189) " 1 Е? Z=l J /=| '' - для изделия в целом (3.190) Т = На этапе технического проекта среднее время восстановления То можно рассчитать по технологическим картам замены отдельных деталей и сборочных единиц изделия. При наличии статистических данных среднее время восстановления /-И сборочной единицы определяют по формуле п Т1 — - =l BJ л К, =------- ’ (3.191) /=| п - суммарное время восстановления /-х элементов за период где /=| л испытаний или эксплуатации; 'Tjml - суммарное число отказов z'-x элеz=i ментов за период испытаний или эксплуатации. 196 Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ Тогда среднее время восстановления изделия в целом соответствен но равно (3.192) где т, - число отказову-го элемента изделия. Коэффициент готовности изделия при отсутствии статистических данных вычисляют по формуле Т Кг = 0 (3.193) т1 О ~ тт ■ В а при наличии этих данных - по формуле Г г Г» (3.194) Пример 3.15. Оценить надежность изделия на этапе технического проектирования. В техническом задании на изделие заданы следующие количественные показатели надежности: /'(/) = 0,9; о>(,) - 0,03; t = 40 ч; К = 0,99. По результатам анализа конструкторской документации установле но, что структурная схема надежности изделия представляет собой по следовательное соединение функционально законченных четырех устройств (N = 4) (рис. 3.19). Расчет надежности проводят по статистическим данным испытаний изделий-аналогов, сведенным в таблицу «Статистические данные». Принимая допущение об экспоненциальном законе распределения наработки на отказ, определим вероятность безотказной работы для каж дого устройства ССН: - силовой привод 1 2 3 4 Рис. 3.19. Структурная схема надежности изделия МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 197 Статистические данные 11омер ус тройства ио ССН Наименование и обозначение по чертежу Время работы (/,Ч Наработка на отказ Среднее время восстановления отказа tUJ, ч 1 Устройство силового привода СБ 01 40 1000 5 2 Устройство управления СБ 02 40 800 10 3 Устройство сигнализации СБ 03 10 1200 5 4 Устройство связи СБ 04 20 2000 2 - устройство управления !■> - устройство сигнализации, (работает всего 10 ч, поэтому время «ранения составляет 30 ч) 6 Д ) *рЗ + гхрЗ ]Q-3 т3 т3 10 1200 30 ■ 10~3 = 0,9992. 1200 Вероятность безотказной работы устройства связи. Для этого устройства время хранения составляет 20 ч. Поэтому получим £р± + ^р±1о-з Л 74 20-10~3 = 0,990. 2000 Тогда вероятность безотказной работы изделия в целом P(t)=P} (г, )Р, (/2 )Р3 (г3 )Р4(/4) = 0,96 • 0,95 • 0,9992 ■ 0,99 « 0,9. Для нахождения среднего квадратического отклонения по соотноше ниям (3.180) и (3.181), предварительно определим интенсивность отказов: Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ 198 X , = — = —— = 0,001 ч X , = — 1 Т] 1000 2 Т2 — = 0,00125 ч 800 —— = 0,0005 ч ', 2000 откуда среднее квадратическое отклонение Р(/) изделия в целом равно = 10 '71 + 1.56 + 0,64 + 0,25 = 1,86 10 Для определения коэффициента готовности найдем среднее значе ние наработки на отказ и среднее время восстановления отказа: - Ту+Тт+Тз + Тл 1000 + 800 + 1200 + 2000 >АГЛ Т = —----- ----- ------ - =-------------------------------- = 1250 ч; 0 4 4 _ zbi “ + zb2 + 4 /вз + /В4 _ 5 + 10 + 5 + 2 _ 4 ’ ' Далее по формуле (3.171) определим коэффициент готовности f 1250 К = . 1‘о0 . = —= 0,995 . г Т0+Та 1250 + 5,5 Полученные расчетные значения показателей надежности удовле творяют требованиям технического задания. Глава 4 ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ НА ЭТАПЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ 4.1. ЦЕЛЬ И ВИДЫ ИСПЫТАНИЙ Целью экспериментальной отработки сложных технических систем является проверка правильности принятых конструктивных решений и подтверждение работоспособности как отдельных узлов, механизмов и сборочных единиц, так и изделия в целом. По результатам испытаний заказчик принимает решение о завершенности опытно-конструкторских работ, приемке и постановке на серийное производство созданной систе мы (изделия). Всесторонняя экспериментальная отработка является осно вой достижения и подтверждения требуемого уровня качества и надеж ности изделий. По своему целевому назначению испытания изделия могут быть направлены на подтверждение: качественных параметров (например, проверка точности, устойчивости, мощности и быстродействия); кон структивных параметров (например, проверка на прочность и герме тичность); эксплуатационных параметров (например, проверка на грузо подъемность, скорость движения и расход топлива) и других параметров. В отличие от простых (недорогостоящих) изделий крупносерийного и массового производства, для которых могут быть предусмотрены спе циальные испытания на надежность, для сложных и дорогостоящих изде лий, как правило, такие испытания не проводят. В этом случае для опре деления и подтверждения заданного уровня надежности используют всю информацию, полученную в процессе экспериментальной отработки опытных образцов как отдельных узлов, механизмов и сборочных еди ниц, так и изделия в целом. Такой подход к определению показателей надежности называют расчетно-экспериментальным подходом. Особое место среди испытаний выделяют испытания на долговеч ность, ремонтопригодность и сохраняемость. Целью этих испытаний яв ляется установление гарантийного и технического ресурса, подтвержде ние ремонтопригодности в условиях эксплуатации и установление срока хранения изделия. 200 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С целью подтверждения работоспособности и надежности изделий в условиях, отличных от нормальных, часто предусматривают утяжелен ные, или форсированные, испытания. В общем случае испытания по своему целевому назначению можно разделить на два вида: исследовательские и контрольные. К исследовательским испытаниям относятся все отработочные ис пытания, проводимые в соответствии с конструкторской документацией в процессе экспериментальной отработки опытных образцов. В свою очередь, исследовательские испытания подразделяют на автономные и комплексные. Автономные испытания предусматривают проверку на функциони рование отдельных узлов, механизмов, сборочных единиц и изделий в целом, входящих в состав комплекса, а также отработку конструкторской документации на эти объекты. Программой автономных испытаний предусматривается также выявление и устранение неисправностей, опре деление допустимых границ запасов работоспособности и получение оценок соответствия полученных характеристик требованиям техниче ского задания. Комплексные испытания предусматривают экспериментальную от работку взаимного функционирования нескольких опытных образцов, входящих в состав комплекса (различного или одного назначения) на соответствие требованиям ТЗ. Основными целями комплексных испытаний являются: - совместная отработка опытных изделий и проверка их взаимного функционирования в условиях, близких к реальным; - проверка и корректирование конструкторской документации; - проверка работоспособности изделий при имитации аварийных ситуаций; - получение оценки соответствия основных характеристик опыт ных изделий требованиям ТЗ. Комплексным испытаниям подвергают изделия, прошедшие авто номные испытания, контрольным испытаниям - опытные и серийные изделия. Контрольные испытания опытных изделий подразделяют на два ви да - предварительные и приемочные. Предварительным или приемосдаточным испытаниям подвергают каждое опытное изделие. Объем приемосдаточных испытаний определен конструкторской документацией. Приемочные испытания, в свою очередь, подразделяют на межве домственные и государственные. На приемочных испытаниях опытных изделий проверяют соответствие характеристик и параметров этих изде лий требованиям тактико-технического задания (ТТЗ) в условиях, мак- ОРГАНИЗАЦИЯ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОЗДАНИЯ 201 симально приближенных к условиям применения по назначению. По ре зультатам приемочных испытаний принимают решение о возможности их серийного производства. Контрольные испытания серийных изделий предусматривают про верку соответствия характеристик и параметров требованиям техниче ских условий (ТУ). К этим испытаниям относятся: приемосдаточные, периодические, ресурсные, типовые и испытания установочной партии. Испытания установочной партии изделий проводят с целью под тверждения отработанности серийной технологии и оценки готовности предприятия-изготовителя к серийному производству. 4.2. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОЗДАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В условиях развития научно-технического прогресса происходит более быстрое моральное старение созданного изделия по сравнению с его физическим износом. Это положение приводит к необходимости раз работки таких изделий, которые бы позволяли предусмотреть 2-3 модер низации. Создание принципиально новой конструкции изделия связано с большими изменениями технологического процесса производства, а так же заменой оборудования и значительными затратами материальных средств и времени. Поэтому при разработке сложных изделий необходи мо, по возможности, предусмотреть сохранение конструкций основных силовых узлов, механизмов и других сборочных единиц без существен ных изменений. Такой подход позволяет обеспечить в короткие сроки при сравнительно малых затратах создание новых изделий. Организация создания сложных изделий предусматривает выполне ние следующих этапов: разработка технического предложения, эскизное проектирование', техническое проектирование:, изготовление опытных образцов!; экспериментальная отработка. Сложившаяся практика создания сложных изделий свидетельствует о том, что в их разработке участвует достаточно большое число органи заций. Иногда таких организаций насчитывают несколько десятков. Совместные исследования заказывающих управлений и проектных организаций помогают определить основные задачи и способы их реше ния. Анализ условий применения разрабатываемого изделия позволяет выработать его основные технические характеристики. В зависимости от стоимости и назначения создаваемого изделия принимают совместное решение о числе опытных образцов, которое поз волит провести всестороннюю проверку их работоспособности и надеж ности. Так, например, в практике проектирования судов изготовляют, как 202 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ правило, одно опытное судно, а при создании самолетов - не менее 5... 10 опытных образцов и т.д. При создании нового изделия головная проектная организация сов местно со смежными организациями разрабатывает технические предло жения и представляет их заказчику, после чего утверждают ТЗ заказчи ком и согласовывают его с головной организацией. Далее проводят эс кизное и техническое проектирование. Эскизный и технический проекты, в свою очередь, представляют на рассмотрение заказчику, по замечаниям которого проводят соответствующие конструкторские проработки. Всякую сложную техническую систему можно представить в виде грех иерархических уровней. К первому уровню относятся основные системы, агрегаты и сборочные единицы силовых узлов и металлокон струкций; ко второму - механические, гидравлические, пневматические узлы, а также электронные приборы и пульты управления; к третьему комплектующие изделия в виде радиоэлектронных элементов, резино технических изделий и гидравлических, механических и пневматических элементов. Объекты, относящиеся к первому иерархическому уровню, как пра вило, проектируют и отрабатывают специализированные предприятия. Вначале их отработку проводят на стендовом оборудовании, а затем в составе изделия на головном предприятии. На этапе эскизного проектирования головная проектная организация разрабатывает для смежных предприятий ТЗ на объекты, относящиеся ко второму иерархическому уровню. В соответствии с ТЗ на разрабатываемое изделие головная организа ция совместно со смежными предприятиями проводит анализ и выбор конструктивных схем, а также выполняют необходимые проектные рас четы. Принятые конструктивные решения подтверждают методами мате матического и физического моделирования отдельных узлов, механизмов и изделия в целом. Одновременно проводят изготовление макетов от дельных агрегатов и систем в натуральных габаритах и с соответствую щей массой. На этом заканчивают проектирование, т.е. выполнение кон структорских проработок и расчетно-исследовательских работ. После защиты эскизного проекта у генерального заказчика приступают к этапу технического проектирования. По завершении этого этапа начинают из готовление и испытание опытных образцов. Программу экспериментальной отработки строят на последователь ных испытаниях объектов все более высоких иерархических уровней. Так после успешной отработки систем и сборочных единиц переходят к ис пытаниям изделий, а затем - комплекса. ■ ОРГАНИЗАЦИЯ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОЗДАНИЯ 203 Изготовление опытных образцов проводят по документации главно го конструктора. Испытания осуществляют на стендовом оборудовании, в условиях предприятия, изготовившего опытные образцы. На основании информации, полученной в ходе испытаний, конструкцию изделия совершенствуют, что находит отражение в технической документации. После завершения стендовых испытаний сборочных единиц и систем проводят их монтаж на изделии. Укомплектованное изделие по штатной документации подвергают предварительным (заводским) испытаниям на функционирование. В ходе этих испытаний выявляют замечания, на основании которых выполняют корректирование конструкторской и эксплуатационной документации. Следующим этапом контрольных испытаний являются межведом ственные испытания изделий. В процессе этих испытаний осуществляют всестороннюю проверку систем и сборочных единиц в совместном их взаимодействии при выполнении определенных функций. Аналогично, как и на этапе заводских испытаний, выявляют замечания, на основании которых проводят корректирование конструкторской и эксплуатацион ной документации. Завершающим этапом контрольных (приемочных) испытаний явля ются государственные испытания, по окончании которых вместе с дан ными, полученными в ходе заводских и межведомственных испытаний, принимают решение о пригодности создаваемого изделия или комплекса для использования по назначению. Недостатки, вскрытые на предыдущих >тапах испытаний, устраняют, корректируя конструкторскую и эксплуа тационную документацию, после чего документацию готовят к серийно му производству изделия. Серийное производство сложных изделий организуют на предприя тиях, имеющих достаточные мощности. Для отладки технологического процесса на предприятии-изготовителе назначают выпуск установочной партии изделий, по которой проводят тщательный контроль серийной документации и качество выпускаемых изделий. После этого оконча тельно отрабатывают технологию производства и методы контроля серийной продукции. Рассмотренные этапы создания сложных технических систем, с точ ки зрения затрат средств и времени, не одинаковы. Так, если все расходы, связанные с выполнение программы по созданию изделия принять за 100 %, то на разработку документации приходится 15...20 % этих расхо дов, на изготовление и опытную отработку - 80...85 %. Соответственно, длительность изготовления и опытная отработка изделия существенно превышают продолжительность проектирования. Так, например, при со здании подвижных установок ракетного комплекса СС-20 на разработку 204 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ документации потребовалось около полутора лет, а на изготовление и отработку - примерно пять лет. Практика показывает, что с увеличением сложности создаваемой технической системы соответственно растет доля расходов средств и времени на опытную отработку. Это, в свою очередь, заставляет разра ботчика более подробно анализировать процесс опытной отработки и искать возможности снижения расходов, благодаря обеспечению направ ленных доработок и оптимизации объемов испытаний. 4.3. ПРОГРАММА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ Обобщающим программным документом, организующим испыта ния и определяющим полноту и достаточность отработки изделия, явля ется программа экспериментальной отработки, которую разрабатывают на этапе технического проектирования и которая является неотъемлемой частью конструкторской документации. ПЭО согласовывают и утвер ждают как нормативно-технический документ. Предприятия-разработчики составных частей изделия разрабатыва ют ПЭО на эти составные части и направляют их на согласование в го ловную организацию, выдавшую ТЗ. ПЭО должна содержать: - перечень и состав изделий, подвергаемых автономным, ком плексным, межведомственным и государственным испытаниям; - цели и задачи испытаний, а также порядок и последовательность их выполнения; - порядок и объем отработки комплектов конструкторской доку ментации на опытных образцах; - виды автономных и комплексных испытаний, число изделий и объем их испытаний; - порядок и объем отработки взаимного функционирования агре гатов и систем при имитации различных воздействующих факторов; - порядок отработки средств и методов обеспечения безопасности работы и эксплуатации изделия; - перечень программ и методик проведения, а также оценки ре зультатов испытаний и другой технической документации на испытания; - перечень средств испытаний и измерений (стендов, оборудова ния и систем измерений); - отчетность по проведенным испытаниям. По каждому виду испытаний, предусмотренному ПЭО, предприя тия-разработчики создают более подробные свои ПЭО. Иерархическая ПРОГРАММА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ 205 структура сложного изделия определяет соответствующую структуру построения ПЭО. Экспериментальную отработку изделий планируют на основе сле дующих принципов: - до начала изготовления серийного изделия значительный объем экспериментальной отработки составных частей проводят на стендовом оборудовании; - экспериментальную отработку изделий в реальных условиях экс плуатации с использованием допустимых предельных режимов и различ ных воздействующих факторов; - экспериментальную отработку изделия выполняют в составе комплекса с учетом последовательности и увязки взаимодействия при функционировании с замерами точности определяемых параметров; - проводят исследование выявленных отказов и анализ их влияния на работу изделия, предварительно оценивают надежность. В качестве исходных данных для определения объемов эксперимен тальной отработки используют: - данные ТЗ, включающие требования к техническим характери стикам и количественным показателям надежности; - материалы эскизного и технического проектов; - структурные и функциональные схемы, а также схему компонов ки и взаимного расположения систем в изделии; - циклограмму функционирования изделия, включая хранение, транспортирование, подготовку к применению и применение самого из делия; - перечень внешних воздействующих факторов и допустимые нагрузки; - данные о заимствовании на вновь создаваемом изделии отрабо танных технических решений узлов, систем и агрегатов изделия-аналога. При выборе аналога создаваемого изделия проводят всесторонний анализ изделий этого класса, сравнительный анализ технических харак теристик, принципов работы, основанных на физических свойствах изде лия, применяемых материалов, конструктивных решений и количествен ных показателей надежности. ПЭО является обязательным к выполнению организационно методическим документом, определяющим объект и цель испытаний, виды и перечень проводимых проверок, их последовательность, условия проведения испытаний и форму отчетности. 206 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 4.4. КОНТРОЛЬ УРОВНЯ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ Ограниченное число опытных образцов, выделяемых на испытания, и сжатые сроки экспериментальной отработки сложных технических си стем не позволяют получить в достаточном объеме статистические дан ные для достоверной оценки показателей надежности. В связи с этим для контроля выполнения программы экспериментальной отработки исполь зуют методы, основанные на совхместном применении детерминирован ных и статистических показателей качества процесса отработки, а также качественных и количественных критериев оценки завершенности от дельных этапов отработки. Показатели уровня отработанности определяют, сравнивая факти чески достигнутые в процессе отработки значения технических характе ристик и показателей надежности с их требуемыми значениями. Уровень отработанности служит для оценки завершенности ПЭО. В работе [23] рассмотрены три метода оценки уровня отработанно сти: дифференциальный, комплексный и смешанный. Суть дифференциального метода оценки уровня отработанности изделия заключается в определении отдельных относительных показа телей И, при 0 < У< 1. Смысл относительного показателя состоит в сравнении полученного количественного значения контролируемого параметра с его заданным значением в ТЗ. Относительный показатель определяют из соотношения •> (4.1) где у,(/) - значение контролируемого параметра, полученное при отра ботке; у'^ (/) - требуемое по ТЗ значение контролируемого параметра; t - время работы изделия, в течение которого или после которого прово дился замер контролируемого параметра, 0 < t < Т. Следует отметить, что относительный показатель используют толь ко для отдельных параметров и лишь для приближенной оценки уровня отработанности изделия в целом. Комплексный метод оценки уровня отработанности изделия осно ван на расчете обобщенного показателя по формуле И= 1 (4.2) КОНТРОЛЬ УРОВНЯ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ т где а, - весовые коэффициенты; ^а, = 1, а, > 0; т - число контре /=| руемых параметров. В связи с тем, что практически весовые коэффициенты оценить сгаточно трудно, обобщенный показатель отработанности изделия | считывают по формуле hi ' 1/ = Г1 (• Смешанный метод оценки уровня отработанности изделия осно па совместном использовании комплексного и дифференциального ме дов. Суть этого метода [23] состоит в том, что комплексный показал' рассчитывают для определенной группы менее значимых парамегро: для более значимых параметров определяют относительные показан 11а основе полученной совокупности комплексного и единичных показ! лей оценивают уровень отработанности дифференциальным метод В этом случае ПЭО оценивается с помощью комплексного показателя |2 I V" (• J (=1 где U\ - U3 - показатели полноты экспериментальной отработки техш ских характеристик на внешние воздействующие факторы и ресурс, параметров, соответственно. Показатели полноты экспериментальной отработки определяют соотношений: где W| - число технических характеристик изделия, подтверждение к< рых запланировано в процессе выполнения ПЭО; А - общее число те; чсских характеристик, подтверждение которых предусмотрено техн) ским заданием: где М\ - число внешних факторов и режимов работы, воздействие к рых предусмотрено ПЭО; М- общее число внешних факторов и режь работы, оговоренных в техническом задании; 208 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ (4.7) где 7’2 - суммарная наработка при ресурсных испытаниях, предусмотрен ных в ПЭО; Т? - требуемая ресурсная наработка в ТЗ. С учетом полноты экспериментальной отработки обобщенный пока затель отработанности изделия К определяется по формуле [23] К = U + V, (4.8) где И - находят по формуле (4.2) или (4.3); U- по формуле (4.4). Поскольку показатели U и V изменяются в интервале от нуля до единицы, то ПЭО будет выполнена полностью при условии К = 1. Оценку завершенности экспериментальной отработки выполняют с использованием как качественных, так и количественных критериев. К качественным критериям завершенности экспериментальной от работки следует отнести критерии: - выполнение полного объема ПЭО; - наличие соответствующей отчетной документации о проведенных испытаниях, оформленной и утвержденной в установленном порядке; - перечень мероприятий по устранению выявленных замечаний и неисправностей, утвержденный в установленном порядке; - присвоение конструкторской документации соответствующей ли теры для серийного производства. К количественным критериям завершенности экспериментальной отработки следует отнести критерии: - меру соответствия полученных по результатам испытаний тех нических характеристик и показателей надежности их требуемым значе ниям в ТЗ; - количественную оценку завершенности экспериментальной от работки с использованием относительных показателей Г,- > К/Т]> и обоб щенного показателя К > Кт,. Требуемые значения Ктр, Иф и К1р назначают с учетом опыта отра ботки изделия-аналога. 4.5. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ При контроле и оценке надежности важное место занимают иссле довательские испытания опытных образцов, так как эти испытания яв ляются наиболее обширными и всесторонними по сравнению с другими видами испытаний. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ 209 Исследовательские испытания — неотъемлемая часть процесса созда ния изделия, включающая в себя лабораторные, отработочные и конструк торско-доводочные испытания, которые необходимы для проверки физи ческих процессов и принципов функционирования, правильности приня тых конструкторских решений, подтверждения соответствия параметров и технических характеристик опытных образцов заданным требованиям. Исследовательские испытания определяются, в первую очередь, целе вым назначением изделия, его сложностью и степенью преемственности конструкторских решений, а также наличием экспериментальной базы. Простые и недорогие изделия выгоднее отрабатывать, изготовив опытную партию изделий. В этом случае отработку составных частей изделия проводят одновременно с отработкой всего изделия. Сложные дорогостоящие изделия, состоящие из крупных составных частей, выполняющих определенные функции, отрабатывают последова тельно. Сначала отработку отдельных составных частей на соответствие их требованиям ТЗ выполняют автономно, а затем - в составе изделия. С усложнением объекта испытаний и в соответствии с иерархической структурой изделия усложняются испытательные средства и средства имитации реальных условий функционирования. Исследовательские испытания считают полными, если эксперимен тально проверена циклограмма функционирования изделия и серия ис пытаний на функционирование прошла успешно. Исследовательские испытания проводят с целью проверки и отра ботки узлов и механизмов на соответствие расчетным и конструктивным параметрам. Этими испытаниями должны быть подтверждены также га рантийные сроки службы, технический ресурс и допустимые режимы эксплуатации комплектующих элементов и материалов. Испытания вы полняют на стендовом оборудовании, а также в составе изделия. Виды стендовых испытаний узлов и механизмов, предназначенные для под тверждения их работоспособности, приведены в табл. 4.1. Ускоренные и ресурсные испытания рекомендуется проводить на опытных образцах, прошедших следующие испытания: на функциониро вание, специальные и климатические. Испытания на функционирование предназначены для проверки ра ботоспособности сборочных единиц в нормальных условиях окружаю щей среды и соответствия выходных параметров требованиям чертежа, паспортным данным или техническим условиям. Специальные испытания проводят с целью проверки работоспособ ности опытного образца после воздействия на него критических возму щений в виде вибрации, пыли, влаги и т.п. В процессе климатических испытаний проверяют работоспособ ность узлов, механизмов и других сборочных единиц в условиях воздей ствия атмосферного давления, температуры, влажности, атмосферных осадков, тумана, солнечного излучения, ветра, песка и т.п. Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 210 4.1. Виды стендовых испытаний узлов, механизмов и других сборочных единиц для подтверждения их работоспособности Вид стендовых испытаний Число опытных образцов На функционирование Специальные: на вибропрочность, пылевлагозащищенность, сопро тивление изоляции и т.п. 30...40 % заданного гарантийного ресурса 3...5 Климатические в камерах тепла и холода Ускоренные с увеличенной нагрузкой, но не менее 1,25 номинальной Ресурсные Продолжительность испытаний Трехкратная проверка на функционирование после испытаний Трехкратная проверка на функционирование после достижения критической температуры -50 °C или +50 °C 1 До полного износа или разрушения 1...3 На гарантийный ресурс 1 Двойной гарантийный ресурс Ускоренные испытания предназначены для проверки работоспособ ности узлов, механизмов и других сборочных единиц при воздействии на них факторов, ускоряющих процесс возникновения отказов. Ресурсные испытания осуществляют для проверки работоспособно сти сборочных единиц в условиях окружающей среды, а также проверки соответствия выходных параметров заданным требованиям чертежа, пас портным данным или техническим условиям. При проведении стендовых испытаний, в случае появления отказа конструктивного характера, испытания необходимо остановить, провести доработку, а затем продолжить испытания по намеченной программе. После завершения стендовых испытаний, а в некоторых случаях, одновременно с их проведением, выполняют исследовательские испыта- ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ 211 пня опытных образцов изделия. К ним относятся предварительные (или заводские), межведомственные и государственные испытания. Предварительные или заводские испытания изделия проводят для проверки его технических и эксплуатационных характеристик на соот ветствие требованиям ТЗ в объеме, определяемом программой предвари тельных испытаний. Испытания проводят в условиях цеха и заводского полигона. Программой предварительных испытаний предусматривается оцен ка прочности металлоконструкций и механизмов, проверка работоспо собности сборочных единиц и аппаратуры, а также проверка удобства и безопасности работы. Межведомственные испытания являются более обширными, их проводят для всесторонней проверки технических и эксплуатационных характеристик изделия на соответствие ТЗ в условиях, максимально при ближенных к действительным условиям эксплуатации. Государственные испытания являются завершающими, на основа нии которых принимают решение о необходимости серийного производ ства. Эти испытания, как и межведомственные, проводят на государ ственном полигоне в реальных условиях эксплуатации и предусматрива ют всестороннюю проверку эксплуатационно-технических характеристик изделия. По завершении государственных испытаний составляется отчет с результатами оценки эксплуатационно-технических характеристик. I hi основании отчета по государственным испытаниям составляют «План мероприятий по устранению замечаний» с реализацией их конкретными исполнителями в установленные сроки до начала запуска изделия в се рийное производство. Число опытных образцов и продолжительность испытаний изделий приведено в табл. 4.2. Все перечисленные в таблице виды испытаний до пускается проводить на одних и тех же опытных образцах. В процессе проведения заводских, межведомственных и государ ственных испытаний выявляют отказы конструкционного характера. Ес ли отказ влияет на выполнение работы, то проводят доработку отказав шей сборочной единицы. После доработки подвергают испытаниям до работанную сборочную единицу в объеме, равном объему испытаний перед доработкой [38]. Испытания допускается проводить в составе стен да, или, в случае его отсутствия, - в составе изделия, после чего испыта ния продолжают по намеченной программе в составе комплекса [39,40]. При появлении отказа конструкционного характера, не влияющего на выполнение основной работы, также проводят доработку отказавшей сборочной единицы. Объем испытаний, проведенных после доработки, составляет 30 % объема испытаний, выполненных перед доработкой. 212 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 4.2. Виды испытаний, число испытываемых опытных образцов и продолжительность испытаний изделий Вид испытаний Заводские в условиях завода-изготовителя Число опытных образцов Продолжительность испытаний Каждый опытный образец 20...30 % заданного гарантийного ресурса Межведомственные 6...12 40...60 % заданного гарантийного ресурса Г осударственные 6...10 10...30 % заданного гарантийного ресурса 1 Допускается использовать опыт ный образец, представленный на заводские, межведомственные и государственные испытания и совместить с этими испытаниями Ускоренные с увели ченной нагрузкой Климатические в ка мерах тепла и холода или в реальных усло виях холодной и жар кой зон Ресурсные Трехкратная проверка на функци онирование после достижения критической температуры -40 °C или +50 °C 1...2 Двойной гарантийный ресурс функционирования. Допускается использовать образцы, прошед шие государственные испытания Испытания допускается проводить в составе стенда или, в случае его от сутствия, - в составе изделия, после чего испытания продолжают по про грамме. При появлении дефекта конструкционного характера, связанного с улучшением эксплуатационно-технических характеристик изделия (неудобством, комфортностью и т.п.), проводят доработку отказавшего узла или механизма. После доработки испытания продолжают по наме ченной программе. Эффективность доработки подтверждают повторени- ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 213 см объема испытаний для отказов, влияющих на выполнение основной работы. В случае появления отказа на доработанном узле или механизме их заменяют на конструктивно новые, и процедура испытаний повторя ется [41]. 4.6. ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И КОНТРОЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ МЕТОДОМ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА Основной задачей при разработке методов планирования испытаний и контроля уровня надежности является получение полной и достоверной информации о надежности выпускаемой партии изделий объемом N по результатам испытаний некоторой выборки объемом и. Получаемые вы борочные характеристики должны быть состоятельными оценками про веряемой партии. Отличительной особенностью испытаний сложных технических систем является ограниченность испытаний по времени и объему, так как на испытания не может быть поставлено большое число образцов и испытания не могут продолжаться слишком долго. Поэтому исходными предпосылками при разработке методов испытаний будут являться статистические оценки, получаемые по малым выборкам. Под партией понимают некоторую совокупность N изделий одного 'типа, изготовленную по единой технологии и без существенных схемно конструктивных изменений; под выборкой - некоторую совокупность конечного числа наблюдений над случайной величиной. Объем п выбор ки включает как число образцов изделий, так и число наблюдений или испытаний. При таком подходе объем п выборки при испытаниях можно найти по формуле п = кт, (4.9) где к - число периодов длительностью t при испытаниях каждого образ ца; т - число испытываемых образцов. По результатам испытаний выборки объемом п получают статисти ческие оценки параметров распределения - математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и др. Однако при оценке надежности изделий требуется определять не только статистические параметры рас пределения, но и оценивать точность этих параметров с заданной досто верностью. С этой целью вводят понятия доверительного интервала и доверительной вероятности. Если в качестве оцениваемого параметра примем некоторую величину 0, то отклонение статистической оценки 9 от фактического значения параметра 0 не превзойдет некоторой величи ны в с заданной вероятностью у. 214 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Математически это можно записать так: у = />(|б-е|<£). (4.10) При такой записи у есть вероятность того, что фактическое значение параметра заключено в пределах 0-£<0<0 + £. (4.11) Вероятность у называют доверительной, а интервал 0 ± е - довери тельным интервалом. Из этих соотношений следует', что доверительный интервал характеризует точность оценки, а доверительная вероятность ее надежность. При выборочных оценках, кроме доверительных интервалов и дове рительной вероятности, вводят понятие критической области с целью определения, каким должен быть доверительный интервал, чтобы с за данной вероятностью у можно было утверждать - фактическое значение параметра 0 не выйдет за пределы доверительного интервала. Сформули рованная задача, по существу, сводится к проверке статистических гипо тез о принятии или отклонении проверяемой гипотезы по результатам выборочных испытаний. Процедура проверки статистических гипотез сводится к следующе му: все возможные выборочные значения делят на два непересекающиеся подмножества. Проверяемую гипотезу Но отклоняют, если выборочное значение параметра попадает, например, в первое подмножество, и при нимают, если оно попадет во второе подмножество. Подмножество (пер вое по отношению к проверяе!мой гипотезе Но) называют критической областью. От выбора критической области зависит решение о принятии или отклонении проверяемой гипотезы. Принципы выбора критической области были сформулированы Нейманом и Пирсоном. Критерий Неймана-Пирсона называют критери ем отношения правдоподобия. Этот критерий предполагает, что вид рас пределения вероятностей известен, но неизвестно лишь значение пара метра 0. На основе выборки X|, х2, ..., х„ из п независимых наблюдений необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестный параметр 0 _ 0о, но не 0 = 01, как предполагается в противоположной гипотезе. Проверяемую гипотезу Но обычно называют нулевой, а противопо ложную ей гипотезу Н\ - конкурирующей. Гипотезы Но и Я, называют также простыми, когда соответствующие им подмножества содержат только по одной точке 0о и 0|. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 215 Нейманом и Пирсоном показано, что, принимая или отклоняя гипо тезу Но, можно совершить ошибки двух родов: отклонить гипотезу Но, когда она верна, т.е. 0 = 0о, или принять гипотезу Но, когда, на самом деле, верна противоположная ей гипотеза Н\, т.е. 0 = 0(. Вероятность отклонить по выборочным испытаниям гипотезу Но, когда она верна, называют ошибкой первого рода (или риском поставщи ки) и обозначают ее через а. Вероятность принять по выборочным испы таниям гипотезу Но, когда на самом деле верна гипотеза Н\, называют ошибкой второго рода (или риском заказчика) и обозначают ее через 0. Нейман и Пирсон показали, что при заданном значении а из всего множества возможных областей нужно выбрать такую критическую об ласть, для которой вероятность 0 будет минимальной. При таком подходе а называют уровнем критической области, а I 0 - мощностью критической области. Из сказанного следует, что при фиксированном объеме п выборки можно брать произвольной только одну из величин - а или 0. Критерий отношения правдоподобия математически записывают в виде выражения ПЛх'Д) -Т----------- — «а > (4.12) ПаМо) /=1 где f(x, 0) - плотность распределения случайной величины X при любом значении параметра 0; Ua - квантиль функции нормального распределе ния, определяемая соотношением Ф((4) = а, здесь Ф((7а) - функция, обратная функции нормального распределения; выбирают из табл. 1 прил. Для определения фиксированного объема испытаний с целью под тверждения заданного показателя надежности рассмотрим выбор крити ческой области для различных законов распределения. 4.7. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДЛЯ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА Если в качестве оцениваемого параметра распределения является средняя наработка То до отказа или же средняя наработка Тср на отказ, то процедура для определения объема выборки не меняется. 216 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ При оценивании средней наработки до отказа на испытания ставят п изделий, каждое из которых испытывают до первого отказа. При оценке средней наработки на отказ на испытания ставится одно или несколько изделий, которые испытывают в течение некоторого вре мени s„ = т\ + т2 +... + т,+... + т,„ где 7} - время наработки между (/ + 1)-м и /-м отказами; п - число от казов. Обозначим через Т\ минимально допустимое значение наработки на отказ, при которой партия изделий должна приниматься заказчиком с риском, не превышающим Р, а через 7'0 - значение наработки на отказ, при которой партия изделий должна приниматься с вероятностью I - а. Принимая во внимание, что случайная величина 2SJT подчиняется распределению %2, найдем вероятность принятия решения о соответствии параметров (То, Тер) требуемым значениям из соотношения (4.13) где С = хГ_„(2и). Если левая часть этого равенства меньше заданной величины а, то проверяемую гипотезу Т = 70, отклоняют. Условие для отклонения проверяемой партии изделий запишется в виде (4.14) 'о откуда, разделив обе части неравенства на 2п, получим условие для при нятия партии изделий по результатам испытания выборки: t > ZoXi—gC2^), 2и (4 J5) где / - фактически полученное значение наработки до отказа по результа там испытаний; 70 - требуемое значение наработки до отказа; квантили Х_\.а(2п) берутся из табл. 6 прил.; п - число степеней свободы в распре делении х2, которое означает либо число изделий, поставленных на ис пытания и работающих до первого отказа, либо допустимое число отка зов за суммарное время испытаний, S„ = tn. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 217 Если по техническому заданию требуется подтверждение средней наработки на отказ, то формула (4.15) запишется в виде (4.16) 2и Для обеспечения второго условия, связанного с риском заказчика р, вероятность отклонить проверяемую гипотезу Т = То, когда она не верна, запишется в виде = Р, (4.17) ■ Де С = Хр(2п). В этом случае условие для принятия решения о соответствии надеж ности изделий заданным требованиям по результатам испытаний опреде ляется неравенством 2и Из соотношений (4.15) и (4.18) можно определить объем п выборки, которую необходимо испытать для оценивания соответствия параметров партии изделий требованиям ТЗ при заданных рисках поставщика а, за казчика Р и значении отношения То/ Т\. Так как левые части неравенств равны, то можно записать 04. ДХрЫ 2п 2п откуда Т° _ Х^2”) М»' Далее по найденному в таблице %2 числу степеней свободы и и по фактически полученному значению наработки до отказа по формуле (4.15) или (4.18) определяют необходимое суммарное время испытаний S„ = nt. (4.20) В частном случае при проведении безотказных испытаний суммар ное время испытаний для подтверждения соответствующей наработки То или Т\ определяется по формулам: 218 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ (4.21) = ^|1п(р)|, (4.22) Sg — Hgt; (4.23) St = (4.24) откуда mt, где t — заданное время работы изделия на выполнение задания с вероят ностью отказа = t/T0 или q\ = t!T\, п0 и и - соответствующие q0 и q\ числа изделий, поставленных на испытания, каждое из которых должно работать без отказов в течение времени /. Формула (4.23) определяет суммарный объем испытаний для под тверждения наработки То, а формула (4.24) - для подтверждения нара ботки Т\. Следует отметить, что на испытания может быть поставлено одно изделие, которое должно проработать без отказов в течение времени So или 5| с целью подтверждения соответствующих наработок То или Tt. Пусть требования по надежности к изделию заданы в виде вероят ности безотказной работы /’тр за заданное время /о и допустимого значе ния р риска заказчика. Предполагается также, что при испытаниях изделий изменяется их наработка до отказа, причем функция распределения наработки описыва ется экспоненциальным законом, т.е. вероятность безотказной работы изделия за заданное время /о имеет вид: P{t0) = ехр(- А/о) или Д(/О)=ехр^-^, (4.25) где X - интенсивность отказов; Т = 1/Х - средняя наработка до отказа. Если требования по надежности заданы в виде нормативного значе ния Др, то, зная время работы t, из равенства (4.25) можно найти соответ ствующее нормативное значение вероятности безотказной работы. Тре буемый уровень к вероятности РР„ безотказной работы пересчитывают в требуемый уровень показателя Хр по формуле Хтр = —In-!-. тр / •О (4.26) V р 'тр 7 Принятые предположения при контроле вероятности безотказной работы позволяют измерять объем испытаний в виде суммарной нараI ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 219 ботки изделий, выделенных на испытания, зависящей от принятого плана испытаний'. при плане \NMtn ]; при плане \NMtr], где N - число образцов; t„ - заданное время испытаний; tr - время испы таний до отказа г; М- план испытаний с восстановлением. Если в процессе испытаний осуществляют восстановление отказав ших изделий, то можно ограничиться рассмотрением только планов ис пытаний типа М. Планирование испытаний производят исходя из условий приемки, которые в рассматриваемом случае определяются как (4.27) Z0 'гр где А]_р - верхняя доверительная граница показателя А. для уровня 1 - р = у; или (4.28) здесь .Srp - требуемый минимально необходимый уровень для завися щий от величин Ру, и р, а также от допустимого числа отказов т при ис пытаниях; значения 5тр в зависимости от плана испытаний приведены в табл. 4.3. 4.3. Минимально необходимый уровень суммарной наработки План испытаний и суммарная наработка [М<] Sv > Nt„ [NMt,] > Nt.- Sx Требуемое значение суммарной наработки Srp Примечание при наличии отказов т>0 е *оХр(2'» + 2) 21п(1/РТр) с ‘’тр При г > 1 _ гоХ₽(2г) 21п(1//Ртр) при безотказных испытания т = 0 о . Го1п(11р) "ТР “ 1п(1/ Ртр) Хр<2ш + 2) При г = 1 о 'olnQ/p) "тр 1па1Ртр) определяют по табл. 6 прил. 220 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Пример 4.1. Определить число изделий, которое необходимо поста вить на испытания, или получить число отказов в процессе испытаний, чтобы подтвердить оценки параметров, соответствующие требованиям ТЗ. Исходные данные для планирования испытаний: а = 0,2; 0 = 0,1; То = 200 ч; То/Тх = 1,9. Решение. По значению То / Т\ = 1,9 из табл. 6 прил. для х2-распределения и заданным значениям а = 0,2 и 0 = 0,1 находим 8 = 16,31; Хо, = 30,8 ; 2п = 22. Следовательно, объем выборки равен: п = 11. Если в результате испытаний изделий до появления одиннадцатого отказа полу ченное опытное значение наработки на отказ / удовлетворяет условию 22 200-1631 _M8ri 22 * то надежность проверяемой партии изделий соответствует требованиям ТЗ. Отсюда суммарное время испытаний должно быть равно: S„ = = 148-11 = 1628 ч. Пример 4.2. Определить число насосных агрегатов по гидроразрыву пласта и суммарный объем испытаний, принимая во внимание, что отка зы в процессе испытаний за время / не допускаются. Исходные данные для планирования испытаний: t = 3 ч; То = 600 ч; а = 0,1. Решение. По формуле (4.21) вычисляем объем выборки (число агре гатов) -о|1п(1-а)|бОО|1 1 „ =-»n--- .С—i|ln(0,9) = 21. Следовательно, объем выборки « = 21. Отсюда суммарное время ис пытаний без отказов должно быть S„ = = 21 • 3 = 63 ч. Полученное суммарное время работы без отказов может быть отра ботано одним или несколькими агрегатами. Пример 4.3. Определить в процессе испытаний число отказов на сосных агрегатов по гидроразрыву пласта и суммарный объем испы ганий для получения оценок параметров, соответствующих требованиям ТЗ. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 221 Исходные данные для планирования испытаний: а = 0 = 0,1; То — 800 ч; Тх — 600 ч. Решение. По значению отношения То / Т\ = 1,33 из табл. 6 прил. для ^-распределения по заданным значениям а = 0 = 0,1 находим квантили: Хо|=172,42; /о 9 =128,16; 2и = 150. Следовательно, объем выборки (число отказов) п = 75. По формуле (4.18) определяем опытное значение наработки на отказ ,= ^<^).600-'72-42 = 6S9.6S ц. 2и 150 Отсюда суммарное время испытаний для подтверждения минималь ной наработки на отказ Т\ = 600 ч при числе отказов и = 75 должно быть равно 5 = nt = 75-689,68 = 51 725 ч. 4.8. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ ПРИ НОРМАЛЬНОМ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ НА ОТКАЗ ДЛЯ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА Оценками для среднего значения наработки на отказ и среднего квадратического отклонения будут соответственно величины: Г=1уХ (4.29) (4.30) где 7)- - наработка до /-го отказа; п - число отказов, выявленных в про цессе испытаний. В этом случае двусторонним доверительным интервалом для сред него значения наработки на отказ с доверительной вероятностью 1 - а будет неравенство 7"’ - Ц-«/2 где U = {т-т)/<а. Т < Т* + (4.31) 222 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ При одностороннем доверительном интервале односторонние до верительные пределы запишутся в виде неравенств: - для оценки сверху -««Г + ц.,*; Ун - для оценки снизу (4.32) (4.33) у] П Вероятности получения этих неравенств соответственно равны: /ггГ + (, = a; (4.34) 'In J Р^Т<Т'-и1 = (4.35) На основании приведенных соотношений по результатам испытаний определяют условия для принятия или отклонения проверяемой гипотезы Т= То при альтернативной гипотезе Т=Т\. Уравнение (4.35) определяет критическую область для выборочной средней f при справедливости гипотезы Т= То Ua>—±Jn. О (4.36) Неравенство (4.36) означает, что если при испытаниях изделий до наступления п отказов полученная выборочная средняя наработка удо влетворяет неравенству Г^Т0-и}_а-^=, У« (4.37) то надежность изделия соответствует требованиям ТЗ. Условием принятия гипотезы Т = Т\ при альтернативной гипотезе Т= То является выполнение неравенства Для нахождения объема и выборки, которую необходимо испытать с оценкой соответствия требованиям ТЗ, приравняем правые части нера венств (4.37) и (4.38) и в результате получим ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 223 где U]_a и t7i_p - квантили функции нормального распределения; ст - известное значение среднего квадратичного отклонения. В этом случае суммарное время испытаний определяют по формуле S„ = nT*, (4.40) где п - число поставленных на испытания изделий или зафиксированных отказов в процессе испытаний. Уравнение (4.39) справедливо, если известна величина ст. При неиз вестной ст ее определяют, используя результаты испытаний по формуле (4.30), а неравенства (4.37) - (4.39) будут справедливы, если в них заме нить квантили С'|.аи (7|_р нормального распределения на /a,n-i распре деления Стыодента, которые находят по табл. 4 прил. В случае логарифмически нормального распределения наработки на отказ неравенства (4.37) - (4.39) имеют вид: 7" = —------ >ln7a_Ula^-; и >п (4.41) Г= (4.42) ------ >1П71+Ц°; п у]п (4.43) Суммарное время испытаний определяют также по формуле (4.40). Если величина ст неизвестна, то ее определяют по результатам испы таний из соотношения <4-44> а для определения объема п выборки вместо величин U\ ~ a и U\ _р в фор мулу (4.43) подставляют квантили распределения Стьюдента /а, „ i из табл. 4 прил. 224 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ При планировании испытаний методом фиксированного объема для других законов распределения наработки на отказ (например, закон Вейбулла, гамма-распределение, двойное показательное распределение и т.п.) в первом приближении можно использовать метод, основанный на ис пользовании отношения суммарного времени испытаний к наработке на , п отказ 2SJTq где Sn = t, - наработка между (/ - 1 )-м и Z-м отказами. /=| Плотность распределения этого отношения имеет ^-распределение: Г 2S \т0, 1 2"(«-0 Л-1 е г° (4.45) где е - основание натурального логарифма. В этом случае объем испытаний, необходимый для принятия реше ния о выборе гипотезы Но или Н\, определяют из соотношения (4.19) как для экспоненциального закона распределения: Т° = Х[р(2и) Т ’ Х?-<» (4.46) Далее объем выборки и суммарное время испытаний вычисляются соответственно по формулам (4.15), (4.18) и (4.20) - (4.22). 4.9. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ МЕТОДОМ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА, КОГДА ПОКАЗАТЕЛЕМ ОЦЕНКИ ЯВЛЯЕТСЯ ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ИЛИ ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКАЗА, РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПО БИНОМИАЛЬНОМУ ЗАКОНУ ИЛИ ЗАКОНУ ПУАССОНА Если вероятность появления отказов в выборке объемом п постоян на и равна q, то вероятность получения соответствующего уровня надеж ности по результатам п испытаний определяют по биномиальному зако ну, который справедлив при соблюдении условия л> 0,1V, где п >20; N — возможный объем испытаний (генеральная совокупность наблюдений или партия изделий). Тогда вероятность соответствия уровня надежности определяют из соотношений: т=с Р(г£С)=^ад(1-9оГ '" = 1-а; m=0 (4.47) ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ Р(х<с)= =£«-(11-91Г'”=₽, т=0 225 (4.48) где с и т - допустимое число отказов и число отказов в выборе объемом п, соответственно; С" = п\/\т\(и - от)1]; q0 и qt - приемлемая и допустимая вероятности отказов изделия, соответственно. Если вероятность появления отказов постоянна и мала, т.е. произве дения nq = 0,1...2,0, то вероятность соответствия уровня надежности по результатам и испытаний определяют, используя закон Пуассона: р(х< с) (4.49) (4.50) Задаваясь величинами q0, q\, а и р из соотношений (4.47) - (4.50) для различных значений допустимого числа с отказов определяют объем /; испытаний. Под с можно понимать число отказов в п циклах испытаний или число дефектных изделий в выборке из и изделий. При оценке надежности изделий по одному заданному уровню q} по уравнению (4.48) были проведены вычисления объемов испытаний, кото рые сведены в табл. 4.4, заимствованную из работы [10]. Порядок пользования табл. 4.4 рассмотрим на следующем примере. Пример 4.4. Определить необходимый объем п испытаний при до пустимом числе с отказов, риске р заказчика и допустимой вероятности q\ отказа за один цикл; с = 2; Р = 0,1; qx = 0,04. Решение. По таблице 4.4 при заданных величинах р, q\ и с находим /7=131. В качестве расчетных зависимостей при определении объема испы таний для одного заданного уровня надежности и числе отказов, равном нулю (с = 0), используют следующие соотношения: - для подтверждения допустимого уровня q i отказа и= 1пр (4.51) Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 226 4.4. Объем п испытаний при допустимом числе с отказов и заданному значению Р = 0,1 Ч\ Р = 0,2 Р = о,з с= 0 С= 1 с=2 с = 3 с = 0 С = 1 с=2 с =3 с=0 С= 1 с=2 с 0,01 229 387 530 666 159 299 427 551 120 243 361 457 0,02 114 193 264 332 79 149 213 725 60 122 180 237 0,03 76 128 176 221 53 99 142 183 40 81 120 158 0,04 56 96 131 165 39 74 106 138 26 60 90 118 0,05 45 76 105 132 31 59 84 109 23 28 42 94 0,06 37 63 87 104 26 49 70 91 19 40 60 78 0,07 32 54 74 94 22 42 60 78 17 34 51 67 0,08 28 47 65 82 19 36 52 68 14 30 44 59 0,09 24 42 57 72 17 32 46 60 13 26 39 52 0,10 22 37 52 65 15 29 42 54 11 24 35 47 0,15 14 24 34 43 10 19 27 56 8 16 23 31 0,20 10 18 25 32 7 14 20 26 6 12 17 23 =3 - для подтверждения приемлемого уровня q0 отказа п= (4.52) При планировании испытаний с учетом допустимого q\ и приемле мого qo уровней вероятности отказа за некоторое время t объем выборки и допустимое число дефектных изделий (допустимое число т отказов за и циклов работы изделия) определяют из соотношения, аналогичного соотношению для экспоненциального закона, „ = Хр(2от + 2) = X|-q(2m + 2) 2<7| 2% (4 53) ’ ' * ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 227 Откуда допустимое число т дефектных изделий (число отказов) в выборке при заданных q| и до определяют из равенства <7° =- Xp2w + 2) + 2) (4 54) > где f = 2/я + 2 - число степеней свободы; т - число дефектных изделий (число отказов). Определение объема п выборки и числа т отказов проиллюстрируем на примере. Пример 4.5. В техническом задании на изделие требования по надежности заданы в виде вероятностей безотказной работы за один цикл длительностью /: Ро(О = 0,98; Р\(Р) = 0,94. Известны также риски постав щика а и заказчика 0: а = р = 0,1. Определить объем испытаний, необходимый для подтверждения за данных уровней надежности. Решение. По заданным значениям а=р = 0,1 и отношению < 1 _^(0 0,06 -> - =------ 44 =----- = 3 по табл. 6 прил. находим такие значения как 1 - Р° (/) 0,02 * Ход (2 т ■ - 2) и Х(° . 1 (2 т + 2), чтобы удовлетворялось условие q\/q° = 3. Это условие удовлетворяется для значений: Х<°д (2от + 2) =6,3; Х/2™ + 2)=18,55; при числе степеней свободы/= 2т + 2=12; здесь т = 5 - допустимое число отказов в выборке объемом п, которое определим по формуле (4.53) п= Xo-i(2ot + 2) 18,55 2^ 2-0,06 = 155 циклов. Таким образом, при проведении испытаний в объеме п = 155 циклов допускается не более т <5 отказов. При этом подтверждаются требова ния по надежности: Ро(0 = 0,98 и Р|(/) = 0,94. 228 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 4.10. ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И КОНТРОЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА Основное отличие метода последовательного анализа, разработан ного американским статистиком А. Вальдом [4], от метода фиксирован ного объема состоит в том, что число испытаний, необходимое для выне сения решения о принятии или отклонении гипотезы Но, не определяется заранее, а является случайной величиной, зависящей от исхода самих испытаний. Выбор критической области при последовательном анализе прово дят на основе анализа отношения правдоподобия, причем анализ этого отношения выполняют после каждого испытания в отличие от метода фиксированного объема. Пусть при п последовательных испытаниях получены значения т}, т2, ■ . . . т„ случайной величины М (число отказов), плотность распре деления которой /(w, 0) зависит от одного параметра 0. Пусть проверяе мая гипотеза Н состоит в том, что 0 = 0о, а противоположная гипотеза Н\ в том, что 0 = 0]. Решение о правильности выбора гипотезы Но или Я] может быть принято по значению отношения правдоподобия 21 = гт р Лт> » 9i) U/Wo)’ (4.55) Это отношение является случайной величиной, зависящей от числа проведенных испытаний. По значению отношения Р/Ро, полученному после i-го испытания, можно сделать выбор между гипотезами Но и Н\. Если отношение P-JPq мало, то принимают гипотезу Яо; если отношение Р\!Р0 большое, то при нимают гипотезу Н\, а гипотезу Но отклоняют. На основании изложенно го установлены следующие правила принятия или отклонения соответ ствующей гипотезы. Если после /-го испытания выполняется неравенство P/Po>A, (4.56) то принимают гипотезу Я | , т.е. 0 = 0]. Если после /-го испытания выполняется неравенство Рх/Р0<В, то принимают гипотезу Но, т.е. 0 = 0о. (4.57) ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 229 Условием продолжения испытаний, т.е. условием, когда нельзя отдать предпочтение ни одной из гипотез, является выполнение нера венства В < Р\1Ро<А. (4.58) В работе [4] приведены зависимости между величинами А и В и ошибками первого и второго рода (а и 0), которые выражаются соотно шениями: Л = ^-£; В = -$— (4-59) а 1-а Для простоты вычисления отношений правдоподобия в формулах (4.55) - (4.59) удобнее воспользоваться логарифмом отношений и тогда условия принятия гипотез можно записать следующим образом: - гипотезы Н\ >1пЯ; (4.60) £ InS. (4-61) - гипотезы Но 1„К| iaj Условие продолжения испытаний: In В < 1п( < In А. (4.62) В работе [4] даны также соотношения для определения среднего объема испытаний при подтверждении соответствующей гипотезы. Средний объем испытаний при условии справедливости гипотезы Но выражается соотношением Мфо] " " 1,/Ы (4.63) Ж,0о). где J|„ АчМ L /(»,. м - математическое ожидание логарифма отношения правдоподобия. Соответственно, при справедливости гипотезы Н\ средний объем испытаний равен 230 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ffai, 61) М 1П—7-------- г . 6о). (4.64) Рассмотрим планирование испытаний методом последовательного анализа для различных законов распределения случайной величины. 4.11. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ПРИ ДВУХ ЗАДАННЫХ УРОВНЯХ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В случае биномиального закона распределения объем испытаний или число отказов определяют из решения уравнения правдоподобия при заданных значениях рисков поставщика а и заказчика 0, а также отноше ния 7'1/до /и А \п-т = In Я\ U-71)п-т (4.65) 4 J I Л) где т - число отказов; и - число испытаний. На основании соотношений (4.60) - (4.62) испытания продолжают до тех пор, пока выполняется неравенство V'-'» In С In . . Ло"0-%)'и/ IH (4.66) Испытания прекращают, как только будет выполнено одно из сле дующих неравенств: In Ч\ /м А 7о V* - 1,1 >ln (4.67) <ln (4.68) зГО-аГ* In Если после п испытаний выполняется неравенство (4.67), то прини мают гипотезу /7|, т.е. вероятность отказа соответствует величине q. Если выполняется неравенство (4.68), то принимают гипотезу Но, т.е. вероятность отказа соответствует величине q0. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 231 Так как в процессе испытаний фиксируют число т отказов, то усло вия принятия и отклонения гипотез Яо и Я, можно представить в виде неравенств: - принятия гипотезы Яо -win In (4.69) "'пр < ------- in! -In - отклонение гипотезы Но и принятие гипотезы Я 1П (4.70) "‘бр — где /ибр - браковочное число отказов. По формулам (4.69) и (4.70) для заданной в ТЗ вероятности безот казной работы Ро = 1 - 7о и минимально допустимому значению этой ве роятности Р\ = 1 - q}, а также для заданных значений а и 0 находят урав нения соответствия и несоответствия изделия требованиям ТЗ. Средний объем испытаний, необходимый для подтверждения веро ятности отказа q = до, определяют по формуле a In «о = <701п —&1 + (1 - а)1п Ш ч а ) U-aJ f—V(1-'7o)ln| (4.71) Средний объем испытаний, необходимый для подтверждения допу стимой вероятности отказа q = q\ вычисляют, используя соотношение (4.72) <7i In + (l-î)ln <<7о 232 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Пример 4.6. В техническом задании на изделие задана вероятность безотказной работы P0(t) = 0,9; допустимое значение этой величины равно Дф/) = 0,8. Заданные требования по надежности должны подтверждаться с уровнями риска поставщика а и заказчика [3 равными: а = р = 0,1. Определить уравнения линий приемки и браковки, построить их графики, найти средний объем испытаний. Решение. Для нахождения линий приемки и браковки воспользуемся соответственно соотношениями (4.69) и (4.70): - условие принятия гипотезы Нп. 1-0,2> 1-0,1 J 1-0,2^ 1 -0,1 J = 0,15и-2,82; - условие принятия гипотезы Н\ = 0,157 + 2,76. Задаваясь значениями п, определим величины /иПр и тйр (рис. 4.1). Рис. 4.1. Линии приемки тпр и браковки тпр, соответствующие заданным значениям величин: Ро(О = О,9; 7>I(Z) = 0.8; а= 0 = 0,1 ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 233 (4.76) Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 234 где 5 = nt - общая продолжительность испытаний до наступления т-го отказа; среднее ожидаемое число отказов т и среднее ожидаемое время испытаний S в зависимости от величин 70 / Д, а и Р определяют по фор мулам. Для подтверждения того, что Т = То, используют следующие формулы: (1 -а11п|(гУ+|"1 Wo =--------- Ь In|d-Z Iд J Д ' (4.77) 5 Д (4.78) • 1п| СД.-Д 7 ■— = /"о 'о откуда S - Д т0 In (г А ( Т И 111 < Д) - Д 7 (4.79) Для подтверждения Т=Т\ проводят следующие расчеты: Р1пШ + от, = е -A+1 (4.80) » Д S — = т, Д 5 (4.81) откуда 5 = Т\ т} L-U 7 Д ———UM- J И\) 1Д)-Д J V (4.82) d д Пример 4.7. В техническом задании на изделие заданы: наработка на отказ 7'о; риски поставщика а и заказчика Р: а = р = 0,1; отношение То / То = 1,2. Требуется построить линии приемки и браковки изделия по результатам испытаний (рис. 4.2). Решение. Для построения линии приемки воспользуемся уравнени ем (4.75), а линии браковки - уравнением (4.76): ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 235 Рис. 4.2. Линии приемки т„р и браковки тибр, соответствующие заданным значениям: = Р = 0,1 То/То= = 0,9/я„р -11,46; щбр1п1,2 + 1п -у = 0,9тбр + 10,98. Задаваясь значениями S / То, определим /ип[, и т5р для уровней соот ветствия и несоответствия изделия этим требованиям. 4.13. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА В этом случае логарифм отношения правдоподобия запишется в виде Ра Vo) 11 |_'=’ % е f mi -] = |„ п 11 L'=i о'о е (4.83) После логарифмирования правой части этого равенства получим ■Й1 п In = /=1 где qt = Xq; qo = lot; > Qo- ~л(<71 ~<7о)> (4.84) Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 236 Тогда условием прекращения испытаний является выполнение нера венств: ln[— G=i « ) АР (4.85) ( " ~и(<7| ~<7о)-1п v=i (4.86) > пр Если после п испытаний выполняется неравенство (4.85), то гипоте зу Но отклоняют, т.е. интенсивность отказов больше допустимого значе ния Хо. Если после п испытаний выполняется неравенство (4.86), то гипо тезу Но принимают, т.е. интенсивность отказов меньше или равно допу стимому значению Хо. Преобразуем уравнения (4.85) и (4.86), предварительно обозначив (" =и к /=| J 6р ) Е"'U=i J пр 1п| + «(?!-%) (4.87) «бр = — w».ip 4Л м и-а/ + '’(<71 ~<7о) (4.88) In Для определения среднего объема испытаний в первом приближе нии можно принять вместо закона распределения Пуассона биномиаль ное распределение с параметром q = X/. Тогда среднее число периодов работы изделия для подтверждения интенсивности отказов Х<> определяют по формуле (4.89) ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 237 Каждый период работы изделия соответствует длительности t, а суммарное время испытаний будет равно: So = not. (4.90) Аналогично среднее число периодов работы изделия для подтвер ждения интенсивности отказов Х| находится из соотношения (4.91) «I = (9 Х(/ In] + (1 -Х|/)1п| ' ’ а суммарное время испытаний соответственно составляет (4.92) 5, = и/. Пример 4.8. Построить линии приемки /Ипр и браковки /Ибр, прини мая во внимание, что вероятность отказа подчиняется закону Пуассона при следующих исходных данных: длительность работы устройства за один цикл / = 100 ч; а = Р = 0,1; X] = 12-10 ■’ ч 1 ; Хо = ЮНО"3 ч’1. Определить среднюю продолжительность испытаний для подтвер ждения интенсивности отказов Хо. Решение. Для построения линий браковки и приемки (рис. 4.3) вос пользуемся формулами (4.87) и (4.88), где q} = X]/, q0 = Kt: Inf1 0,1l + n(12-10~3-102 w6p 10• IO-3 ■ 102) (1210-3 IO2 "flO-lO-3 •102/ = 12,05 + 1,09/?; ln = In ^12-10~з -1Q2 iIO-Ю’З 12,57 + 1,09/?. -Ю2 ? Среднее число периодов работы определим по формуле (4.89) 0,1 In (X) .. 238 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Рис. 4.3. Линии приемки mI[p и браковки /и6р, соответствующие заданным значениям величин: a = p = 0,l;X, = Г2-10‘3ч’|;Хо= 10-10_з ч'; t = 100 ч Суммарное время испытаний So = not = 10,11-100 = 1011 ч. 4.14. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ПРИ ДВУХ ЗАДАННЫХ УРОВНЯХ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ НА ОТКАЗ Для подтверждения заданной наработки на отказ То в интервале (Т| < Т< То) средний объем испытаний по методу последовательного ана лиза с двухсторонней доверительной границей определяется выражением вида (1 - a)ln f——- 1 + a In р—£) <1-а; я0 = < а J (4.93) Соответственно для подтверждения наработки на отказ — средний объем испытаний находится по формуле » м (4.94) ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ где м taf 4ЛРСТ°)| 239 - математическое ожидание случайной величи- ны из последовательности наблюдений, М принимает значение 7о или 7). Обозначим 1п (4-95) или X' M[z]= J In (4.96) — СЮ где Ц-^-Го)2 . 2<^ ехр (4.97) Принимая С5| = а<) = о, находим отношение правдоподобия ехр = In----- In 7 /(/„Ури) -А(/,-ь)2 /Сто (4.98) ехр -2М'-?')2 2а0 Прологарифмируем выражение (4.98) 1 п 2о ,=1 » п 2а ,=1 1 7’12-ь2+2^6(Сь-1) • 2ст2 /=1 (4.99) Примем следующее допущение - каждый период испытаний по времени одинаков, т.е. /, = t. В этом случае выражение (4.99) можно запи сать так 1п ./(^ои) = ^Цд2 - 7 + 2<(° - 7])]. 2о2И 0 V0 (4.100) Далее, подставляя выражение (4.99) в формулу (4.96) и интегрируя, найдем 240 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ (4.101) Тогда для подтверждения средней наработки на отказ То подставим выражение (4.101) в (4.93) и получим 2сг «о = (4.102) -(Го -71)2 где по - число периодов работы длительностью То каждый или число от казов за время S испытаний, которое равно 5 = иоТо. (4.103) На основании выражения (4.100) для логарифма отношения правдо подобия запишем условия принятия и отклонения гипотезы /70 состоящей в том, что Т = То'. - отклонение гипотезы Но ;^[?' - Д2 + МТЬ - Д )]> 1п| М; - принятие гипотезы Но [Д2 - Д2 + 2лг(Т0 - 7] )]< J Д 2а2а • (4.104) (4.105) V ~o-J Так как в процессе испытаний фиксируют число m отказов, то усло вия принятия и отклонения гипотезы Но можно представить в виде нера венств: In — nt —- бр nt Т = w, пр 0 T'otT’o-Ti) ' (4.106) (4.107) Пример 4.9. Построить линию приемки и линию браковки для нор мального закона распределения наработки на отказ при следующих ис ходных данных: То = 100 ч; о = 10 ч; а = Р = 0,1. Решение. Для построения линий приемки дапр и браковки т5р (рис. 4.4) воспользуемся формулами (4.106) и (4.107) при некоторых значениях Тй/Т\. 4.15. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ ДОРОГОСТОЯЩИХ НЕБРАКУЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ ДВУХ ЗАДАННЫХ УРОВНЯХ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ Из практики отработки дорогостоящих изделий известно, что в про цессе исследовательских и контрольных испытаний изделия не бракуют, а дорабатывают и продолжают испытывать до получения требуемых по казателей. При таких условиях риск поставщика (изготовителя) прини мают равным нулю а = 0, так как изделие после устранения отказов в обязательном порядке поставляют заказчику. Исходя из принятого условия, математические выражения для линий приемки и среднего объема испытаний при соответствующих законах распределения преобразуются к следующему виду. Биномиальный закон распределения. Условие принятия гипотезы Но In р - п Inf-—— j (4.108) 242 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Средний объем испытаний для подтверждения показателя qt! 1п р «о = % Inf— + ° <7о) (4.109) , 1' '' ‘/о J Экспоненциальное распределение. Условие принятия гипотезы Но |п| Среднее ожидаемое число отказов т0 и среднее ожидаемое время испытаний Уо Для подтверждения наработки на отказ То определяют из соотношений: т0 So - --- In 1,1о T0-T t I Закон распределения Пуассона. Условие принятия гипотезы //о ,„||p.'n Р + ж, Г ( где <?, = V, <7о = VСреднее число периодов работы изделия для подтверждения интен сивности отказов /.о определяют по формуле «о =------- _______ 1п_р Хо/ In |V + (1-А.0/)|п Тогда суммарное время испытаний соответственно равно So ~ ноЛ где t - длительность каждого периода испытаний. (4.114) ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 243 Нормальный закон распределения. Условие принятия гипотезы /70 ЛаА '".,Р J v т0(т0-Т}) (4. ' Среднее число периодов испытаний для подтверждения заданной наработки на отказ То 2а2 In р «о =~7-------- тг (4.117) Суммарное время испытаний So = п$То. (4.118) 4.16. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ ДОРОГОСТОЯЩИХ НЕБРАКУЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ ОДНОМ ЗАДАННОМ УРОВНЕ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ При разработке и изготовлении дорогостоящих небракуемых изде лий можно задаваться только линией приемки, полагая, что в процессе опытно-конструкторской отработки и серийного изготовления изделие достигает заданного уровня надежности и будет принято в эксплуатацию. В процессе испытаний можно наблюдать, как надежность меняется от изделия к изделию (от партии к партии, от цикла к циклу) и как на нее влияют различные доработки - повышают или понижают ее. Контроль уровня надежности дорогостоящих ремонтируемых изде лий методом последовательного анализа с односторонней границей одно го заданного уровня надежности, основанной на идее предложенной Д. Ллойдом и М. Липовым [16]. Метод последовательного анализа с односторонней границей можно применять для контроля различных показателей надежности: вероятно сти безотказной работы, интенсивности отказов, наработки на отказ, на работки между отказами и др. При этом контролируемые изделия могут быть как ремонтируемыми, так и неремонтируемыми, наработка изделий может быть дискретной (например, число циклов работы) или непрерыв ной (например, время работы в часах, пробег в километрах и т.п.), а ее распределение биномиальным, нормальным, экспоненциальным и т.д. Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 244 Существуют различные методики контроля вероятности R безотказ ной работы выполнения одного рабочего цикла сложным ремонтируе мым изделием. Выбор показателя надежности в виде вероятности безот казной работы связан с тем, что в техническом задании на изделие в ка честве показателя надежности чаще других показателей задают вероят ность безотказной работы в течение одного цикла работы. Рассмотрим методику последовательного анализа с односторонней границей для биномиального выборочного плана. Исследование биноми ального выборочного плана связано с тем, что для большинства изделий, работающих в циклическом режиме, приемлем биномиальный закон рас пределения случайной величины (например, появление отказов). Пред полагается, что величина R может изменяться под влиянием каких-то причин, в частности, - под влиянием изменений, вносимых в конструк цию изделия. Содержание методики состоит в следующем. В координатах NQm (N - число циклов работы изделия, т - число отказов), строят прямую линию приемки (рис. 4.5). Параметры -h и -h/S определяют положение линии приемки. Поскольку наша задача состоит в том, чтобы достигнуть требуемого уровня надежности, поэтому составляют план испытаний без критической границы, т.е. с одной лишь линией приемки, как показано на рис. 4.5. В соответствии с работой [ 16] при Р < S функция L(P) = 1, а при Р> S функция L(P) связана с Р следующим соотношением S L(P) h -1 I Л(Р) Л -1 (4.119) т, отказы Рис. 4.5. График последовательного анализа с односторонней границей ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 245 где Р - вероятность отказа; h - координата пересечения линии приемки и оси отказов; £(Р) - оперативная характеристика. Итак, вероятность принятия решения (только приемки) равна еди нице при Р <> S. Однако при Р > S существует определенная вероятность непринятия решения вообще. Вероятность принятия решения, в этом случае, определяется оперативной характеристикой ИР). Так как в про цессе испытаний риск поставщика полагается равным нулю, то опера тивная характеристика будет равна риску заказчика, т.е. (4.120) £(Р) = р. Для подтверждения заданной надежности R = 1 - Р с доверительной вероятностью у = 1 - Р из выражения (4.119) можно получить соотноше ние для определения двух параметров Suh S -1-• /’ = ВE-h j— (4.121) р’*-1 Чтобы однозначно определить параметры S и h, необходимо найти еще одну зависимость между ними. Существуют различные способы по лучения этой зависимости. Используемый нами способ предложен в ра боте [16]. Его суть заключается в следующем. Необходимо установить, что при заданном значении Р заказчик должен пойти на определенный риск др, состоящий в том, что изделие рассматривается как удовлетво ряющее требованиям надежности после проведения серии последова тельных успешных испытаний, т.е. h Др = (1-Рр, (4.122) где —h/S - число отказов к первому моменту принятия решения о приемке. Таким образом, для определения границы приемки составляют си стему из двух уравнений s Др = (1-р)_7, где Р - вероятность отказа при выполнении одного рабочего цикла; р риск заказчика, т.е. вероятность того, что будет принято изделие, надеж ность которого не удовлетворяет заданным требованиям; ДР - начальный 246 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ риск заказчика, т.е. вероятность ошибиться в том, что изделие удовлетво ряет заданным требованиям надежности после проведения серии после довательных успешных циклов от начала испытаний. Задаваясь значениями Р, fl, и Д0 в системе уравнений (4.123), опре деляется положение линии приемки в плоскости NOm (см. рис. 4.5). На подготовленной таким образом координатной сетке отмечаем резуль таты испытаний: успешном цикле, откладываем горизонтальный отрезок единичной длины; отказе в цикле - вертикальный отрезок также единич ной длины. Полученную ломаную линию, отражающую результаты ис пытаний, называют траекторией процесса испытаний. Если траектория пересекает линию приемки, построенную при заданных значениях Р, Р, и ДР, то это означает, что заданная вероятность безотказной работы одного цикла подтверждается с доверительной вероятностью у = 1 - р. Ясно, что чем выше надежность изделия, тем меньше отказов наблюдается в про цессе испытаний и более полого проходит траектория процесса. При опытно-конструкторской отработке, да и в процессе серийного изготовления, на изделиях проводят доработку или замену отказавших узлов на новые для повышения надежности. Траектория процесса испы таний одного изделия, на котором проводились доработки, или несколь ких последовательно испытывавшихся изделий, конструктивно отлича ющихся друг от друга, приведена на рис. 4.6. Анализ рисунка показывает, что произошло изменение (увеличение) надежности в точках (А - С). Однако не всегда очевидно, что есть доста точные основания считать такое изменение статистически значимым, и каковы гарантии того, что достигнуто действительное увеличение надежности. Для проверки значимости изменения надежности использу ют специальные статистические критерии значимости. т отказы Рис. 4.6. Траектория процесса испытании с доработками 9 ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 247 В принципе, с целью контроля надежности изделий в процессе отработки можно заготовить на прозрачном материале (целлулоиде, кальке и т.п.) координатную сетку с линиями приемки для нескольких промежуточных значений R = 1 -р (например, R = 0,8; 0,9; 0,95;...). Этот шаблон (планшет) накладывают на график последовательного анализа таким образом, чтобы начало координат планшета совпадало с точкой последнего существенного (значимого) изменения траектории процесса испытаний (например, точка С на рис. 4.6), а оси координат планшета параллельны основным координатным осям. Точка пересечения траекто рии с линией приемки показывает, что достигнут уровень надежности, отвечающий этой линии приемки (рис. 4.7). Таким образом, если наложить планшет на график последовательно го анализа так, чтобы начало координат планшета совмещалось с точкой 0, то будет видно, что траектория пересекает линию приемки 7?з. Точка А является точкой значимого изменения надежности (здесь была проведена эффективная доработка). Если перенести начало координат планшета в точку А, то видно, что траектория пересекает линию приемки Т?4, т.е. достигнут более высокий уровень надежности. Графическое представление метода последовательного анализа с односторонней границей в виде семейства линий приемки может быть использовано при заданных низких показателях надежности. Составив подобные графики, можно непосредственно в ходе испытаний вести кон троль уровня надежности. Линии планшета 1 т , т ‘ у Ry "Ry X ст £ / 7 / 's XR У X £ 0 м г. /г у Рис. 4.7. Траектория процесса испытаний для последовательного анализа с семейством линий приемки: прямые линии - линии планшета; т - число отказов; N - число опытов 248 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ По мере заполнения графика траекторией текущего контроля в зави симости от того, на каком уровне в заданный момент отрабатываемое изделие находится, можно остановить испытания и провести соответ ствующие доработки с целью повышения надежности этого изделия. Та кой наглядный контроль в процессе испытаний и является как раз тем существенным отличием от классического метода, в соответствии с кото' рым о показателях надежности судят только лишь после проведения пол ного назначенного объема испытаний. Для опытных изделий, которые, как правило, подвергают большому числу испытаний и многим кон структорским доработкам, а также для изделий с высокими показателями надежности графическое представление семейства линий приемки явля ется не совсем удобным вследствие их громоздкости. При контроле высоких показателей надежности графическим спосо бом необходимо создавать множество графиков, что влечет за собой до полнительные трудности в их использовании. В связи с этим вместо по строения линий приемки наносят на график координаты граничных то чек, принадлежащих этим линиям. Такое решение более удобно, так как оно исключает построение большого числа графиков и постоянное их заполнение в процессе испытаний, а также практически неограниченно увеличивает объем испытаний (число опытов) и число отказов, сохраняя при этом высокую точность результатов [38]. Рассмотрим вывод уравнения линии приемки, для чего решим систе му уравнений (4.123). Логарифмируя второе уравнение этой системы, получим 1пДр = —^ln(l-P), (4.124) откуда 5 = InQ-P) h In Ар (4.125) Из первого уравнения системы имеем: (4.126) или х (4.127) 249 ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ Логарифмируя уравнение (4.127), получим (4.128) - —Л1В = 1п h откуда 5 In 1+р "-1 р (4.129) lnp h Из уравнения (4.125) найдем с _ _ /^1п(1-Р) 1пДр (4.130) Из уравнения (4.129) h=— -lnp s In (4.131) P Решив систему уравнений (4.123) относительно неизвестных h и 5, получим уравнение линии приемки [38] в виде: т = SN+h, (4.132) где т - число отказов (ось ординат); N - число циклов испытаний (ось абсцисс). Из уравнения (4.132) к, m-h ' ~ S т h_ т 1пДР " 5 " -Ain(-/)) + 10(1 -р)“ 1пДр „ 1пАр _ _ог1пДР ln(1-P) Alп(1-P) Подставим в выражение (4.133) значение h из формулы (4.131) 250 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Г 1пДр т In 5 ' 1J3 "-1 + 1пр Р \ / lnpln^-P) N= (4.134) Далее, подставляя значение -S/h из выражения (4.125), окончательно получим функциональную зависимость числа испытаний от числа отка зов при заданных значениях величин р, Ар и Р: ( In(l-P) > R ■nA₽ _ I 1пДр т In 1 + *• + lnp P (4.135) lnpinQ-P) Так как в ТЗ на изделие чаще задают показатель надежности в виде вероятности безотказной работы, то в формуле (4.135) вместо Р подста вим значение R = 1 - Р и получим выражение вида [38]: f ln R ' , Rll'A₽ _ 1пДр m In 1 + ----------- + lnp 1-Я 1 J lnpln R (4.136) Уравнение (4.136) является аналитической формой выражения по следовательного биномиального выборочного плана. Задаваясь значени ем числа отказов т, вероятностью R безотказной работы одного цикла, риском заказчика р и начальным риском заказчика Др, определяют объем N испытаний. Для некоторых значений т, R, р и Ар = 0,25р вычислены объемы испытаний N (в циклах) для последовательного анализа с одно сторонней границей и представлены в табл. 4.5, заимствованной из рабо ты [38]. Пример пользования таблицей. Требуется определить объем N ис пытаний (число циклов), который необходим для подтверждения вероят ности R = 0,9 безотказной работы в течение одного цикла при довери тельной вероятности у = 1 - р = 0,9, если в процессе испытаний зафикси ровано пять отказов. По таблице 4.5 находим N = 112. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 251 4.5. Расчетные значения объемов 7V испытаний для некоторых заданных величин R, т, у при др = 0,25р Вероят ность R безот казной работы за один цикл Чис ло отка зов т Объем N испытаний, циклы, при доверительной вероятности У (У = 1 - р) 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 1 5 6 6 7 8 9 12 5 15 15 16 17 19 21 25 10 26 27 29 30 33 36 41 20 49 51 53 57 61 66 74 50 118 123 128 135 145 155 173 100 223 242 252 267 285 303 337 1 32 34 38 43 50 58 75 5 80 85 91 99 112 124 160 10 140 148 157 170 189 206 243 20 261 274 290 311 343 371 428 50 622 652 688 734 804 866 986 100 1225 1283 1352 1440 1574 1690 1915 1 411 446 490 552 655 756 984 5 1019 1083 1162 1268 1438 1596 1934 10 1778 1879 2002 2164 2416 2646 3122 20 3298 3472 3681 3954 4373 4747 5498 50 7256 8249 8720 9326 10 245 И 050 12 625 100 15 453 16 2^11 17 117 18 280 20 030 21 555 24 600 0,500 0,900 0,992 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 252 Продолжение табл. 4.5 Вероят ятность R без отказ ной работы за один цикл Объем W испытаний, циклы, при доверительной вероятности У (У = 1 - ₽) Чис ло от ка зов 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0.95 0,99 1 32 951 35 770 39 345 44 290 52 558 60 643 78 943 5 81 614 86 787 93 160 101 675 115 301 128 012 155 103 10 142 442 150 558 160 429 173 407 193 729 212 223 250 437 т 0,999 20 264 098 278 101 294 967 316 869 350 686 380 644 440 984 50 629 068 660 728 698 580 747 256 821 156 885 909 1 012 628 100 1273 350 1298440 1 371 208 1464567 1605438 1728018 1 965 367 С помощью этой же таблицы можно контролировать уровень надежности в процессе проведения испытаний. Так, например, в процессе испытаний было проведено N = 655 циклов испытаний и при этом зафик сирован один отказ. Спрашивается, какую вероятность R подтвердили этими испытаниями, и с какой доверительной вероятностью у. По табли це 4.5 находим, что R - 0,992 и у = 0,95. Используя выражение (4.136), с помощью ЭВМ можно составить таблицы планирования испытаний и контроля уровня надежности мето дом последовательного анализа с односторонней границей для биноми ального закона распределения. Полученные таблицы удобны при плани ровании испытаний и контроле уровня надежности, когда в ТЗ задан один уровень показателя надежности. Применение метода последовательного анализа с односторонней границей при биномиальном законе распределения объясняется тем, что изделие между доработками не подвергается конструктивным, техноло гическим и другим изменениям, т.е. вероятность появления отказа в каж дом промежутке между доработками считается величиной постоянной. Исходя из этого предположения, можно биномиальный выборочный план СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ 253 сохранить и при введении доработок. Достижение заданного уровня надежности в результате проведения последней доработки осуществляет ся с некоторой постоянной вероятностью Р (вероятностью появления отказа в одном цикле). В общей же схеме испытаний надежность R изде лия растет от одной доработки к другой, т.е. принимает последовательно значения R\, R2, .... R„ до требуемого уровня RtP, после чего испытания прекращают, а изделие принимают к эксплуатации. 4.17. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДАМИ НЕЙМАНА-ПИРСОНА И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Сравнение методов фиксированного объема и последовательного анализа показывает, что метод последовательного анализа, в среднем, дает выигрыш в объеме испытаний. Аналитические зависимости для определения среднего выигрыша в объеме испытаний для различных за конов распределения приведены в табл. 4.6. Пример 4.10. Определить средние объемы испытаний, полученные методами фиксированного объема и последовательного анализа при экс поненциальном законе распределения наработки на отказ и заданных значениях: Tq/T = 1,5; а = р = 0,1. Найти средний выигрыш в объеме ис пытаний. Решение. По таблице 6 приложения для заданных значений а = р = = 0,1 и TqJT\ = 1,5 находим средний объем испытаний методом НейманаПирсона по числу степеней свободы /= 2п = 80, откуда п = 40. Средний объем по испытаний методом последовательного анализа определим по формуле для экспоненциального закона распределения (табл. 4.6): 0.9 In «о = = 19.4. П « =----40 « 2т . Далее находим средний“ выигрыш по отношению А. = — «о 19>4 4.6. Средние объемы испытаний и выигрыши в объемах испытаний для некоторых законов распределения Средний объем испытаний, полученный методом Неймана-Пирсона п Экспоненциальный последовательного анализа nQ Средний выигрыш в объеме испытаний А = п/по То _ Хр(2и) T'l Х1а(2») «0 = Т т Г, Т} «0 +₽ЬИ Нормальный 1 (Г-т,)2 (Ц-а+Ц-рГ +“|пМ Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Закон распределения fo-Ti)2 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ число отказов или число дефектных изделий; t - длительность одного цикла. 255 Примечание: т- 256 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Пример 4.11. Вычислить средний объем испытаний методами Ней мана-Пирсона и последовательного анализа, принимая нормальный за кон распределения, при следующих исходных данных: а = [3 = 0,1; То = = 100 ч; Т\ = 90 ч; а = 10 ч. Найти средний выигрыш в объеме испытаний. Решение. Средний объем испытаний по методу Неймана-Пирсона определим по формуле 102 (1,282 + 1,282)2 _ ”” (т-д)2 (100-90)2 здесь квантили (7|_а и (7|_p взяты из табл. 1 прил. Средний объем испытаний по методу последовательного анализа равен 2<д2 . 2 |°г (|-0.|)ш1-2Л (100-90)2 (1 -0.1 = 3,68. Средний выигрыш составляет: J.i.S.I.,. л() 3,68 Приведенные примеры показывают, что метод последовательного анализа при планировании испытаний имеет преимущество в затратах по сравнению с методом фиксированного объема, так как объем испытаний в первом случае уменьшается в среднем в 1,7 - 2,0 раза. 4.18. ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ В УТЯЖЕЛЕННЫХ РЕЖИМАХ ИСПЫТАНИЙ С целью сокращения затрат на испытания вводят утяжеленные ре жимы. В этом параграфе описаны утяжеленные испытания, проводимые по биномиальному плану, но с учетом того, что утяжеленные испытания по схеме «прочность-нагрузка» подчинены нормальному закону распре деления [34]. Различают нормальный и утяжеленный биномиальные планы испы таний. Под нормальным биномиальным планом понимают такой план, при котором каждое испытание проводят в номинальном режиме е0 в задан ном интервале времени [0,1q]. ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ 257 Утяжеленным биномиальным планом называют такой план, при ко тором каждое испытание проводят в утяжеленном режиме £ с коэффици ентом h повышения нагрузки в заданном интервале времени [О, Zo]При планировании объема утяжеленных испытаний воспользуемся формулой пересчета на номинальный режим [34] £ 1 W-m Р= h (4.137) » где Р - нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы в одном испытании в интервале [О, /о] в номинальном режиме £ о; N и т числа отказов и испытаний в утяжеленном режиме в , соответственно; у - доверительная вероятность; h - коэффициент нагрузки. Задаваясь значениями величин Р , т,у и h, можно определить необ ходимый объем испытаний N. Для случая безотказных испытаний, проводимых по утяжеленному биномиальному плану, формула (4.137) принимает вид: Р = (1-у)Ж. (4.138) Испытания в утяжеленном режиме можно проводить в интервале [О, /J, не совпадающим с интервалом [О, /о]- Рассмотрим два случая ис пытаний (рис. 4.8). Для определения нижней доверительной границы вероятности без отказной работы в одном испытании в интервале [О, /о] при номинальном режиме £о формулы (4.137) и (4.138) преобразуют к виду: i_ л* (4.1.39. р = (( (4.14о) где к — tjto. 11 Интервал испытаний . Интервал работы Интервал работы Интервал испытаний Zo J t о о 1 '1 б) а) Рис. 4.8. Варианты испытаний: а - в большем интервале времени; б - в меньшем интервале времени 258 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ В ряде случаев для металлоконструкций и механических узлов ис пытания опытных образцов проводят при повышенной нагрузке по срав нению с эксплуатационной, т.е. в утяжеленных режимах. Предполагается, что нагрузкой при испытаниях можно управлять и измерять ее величину. Несущая способность конструкции представляет собой качественную характеристику, которая выражается информацией - отказал опытный образец при заданной нагрузке или не отказал. Работоспособность металлоконструкции или механического узла считается обеспеченной, если выполнено неравенство Х|>Х2, (4.141) где Х| и Х2 - случайные значения прочности (несущей способности) и нагрузки при испытаниях в нормальном режиме, соответственно. Для утяжеленного режима условие работоспособности запишется в виде неравенства *;>.< (4.142) где х[ и х2 - случайные значения прочности (несущей способности) и нагрузки при испытаниях в утяжеленном режиме, соответственно. Введем обозначения: - нормальный режим испытаний'. Pi и ц - средние значения прочности (несущей способности) и нагрузки, соответственно; V| и V2 - коэффициенты вариации прочности (несущей способности) и нагрузки, соответственно; п = pi/p.2 _ условный запас прочности; - утяжеленный режим испытаний'. p.j и ц - средние значения прочности (несущей способности) и нагрузки, соответственно; у, и v2 - коэффициенты вариации прочности (несущей способно сти) и нагрузки, соответственно; п' = ц, /ц - условный запас прочности. В общем случае, утяжеленный режим испытаний характеризуется коэффициентом утяжеления [23] т] = — = В. К. п' ц ц (4.143) Однако на практике утяжеление чаще всего происходит только в ре зультате увеличения нагрузки с х2 до х2, поэтому коэффициент утяжеле ния определяется равенством i ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ М2 М=~ М2 259 (4.144) В случае, если вероятность безотказной работы металлоконструкции или механического узла имеет нормальное распределение, математиче ские выражения для подсчета вероятностей изменяются в зависимости от режима испытаний [23]: - нормальный режим \ р=ф И— 1 (4.145) +vL - утяжеленный режим и'-Г] р' = ф ч 7("'v'l)2 +(nv2)2 (4.146) , в формулах Ф(») - функция надежности нормального распределения (см. табл. 1 прил.). Математические выражения объемов испытаний в случае биноми ального плана для модели «нагрузка-прочность» при нормальном законе распределения и заданных значениях коэффициента утяжеления т|, веро ятности безотказной работы ДТр, запаса прочности иТр и риска заказчика [3 в зависимости от числа отказов т принимают вид [23]: - при числе отказов т ± О ( У+М)2 J (4.147) где Р2 % = ВМ2 ’ - при безотказных испытаниях - m = О 1пр W= In Ф »тр-П Jfav''? +(nv'2)2 } (4.148) Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 260 Требуемое значение коэффициента утяжеления ц при заданном объ еме N испытаний в зависимости от числа отказов т определяют из соот ношения П =-----I 1 где «тр / ■> «тр (4.149) ^тр 2 ■>'>'> 1 + ZTpVvl + V2 ~ гтру1 v2 . здесь при т Ф 0 ; /и = 0. Пример 4.12. Пусть проводят испытания гидромеханического домкрата в интервале времени, в 2 раза превышающем длительность ин тервала времени функционирования системы: 11 = 2/о, т.е. к = 2. Испыта ния проводили с коэффициентом нагрузки h = 2 при числе N = 10 циклов; в процессе испытаний зафиксировано два отказа (т = 2). Требуется найти значение у - нижней границы Р для вероятности Р безотказной работы домкрата в интервале [0, Zo] при номинальном режиме ео и заданном у = 0,90. Решение. Для нахождения нижней границы вероятности безотказной работы используем формулу (4.139) _1_ Р= 1(1 - y)w-w hk 4 =0,88. Пример 4.13. Пусть проводят испытания силового узла металлокон струкции, который представляет собой кронштейн сложной конфигура ции. Испытания выполняют в утяжеленном режиме (коэффициент утяже ления т] = 1,5). Целью испытаний является подтверждение заданных тре бований по надежности: Pip = 0,995; р = 0,1. Дополнительно известно, что прочность конструкции и нагрузка на нее имеют нормальное распределе ние, а коэффициенты вариации равны v| = v2 = V| = V2 = 0,1. ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ 261 Требуется назначить объемы испытаний при допустимом числе от казов т = 1 и безотказных испытаниях - т - 0. Решение. При т = 0 для определения объема испытаний воспользу емся формулой (4.148) lnp In Ф «тр ~П 'ОЧМ2 По значению ДТр из табл. 1 прил. находим квантили: гтр=ф-1(ртр)=Ф"1(0,995) = 2,5; = Ф(-0.4) =0,345; _ |п °’1 _ ~2»302 _ ‘ ~ In 0,345 ~ -1,064 При числе отказов т = 1 для определения объема испытаний вос пользуемся формулой (4.147) где /2(w, т, 1 - табулированная функция, опре деляемая по табл. 7 прил. f2(N, ш1-р)= 0,345. Из таблицы 7 приложения для нижней доверительной границы Р = = 0,345 и уровне доверительной вероятности (1 - Р) = 0,9 объем испыта ний равен N = 3. 262 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Пример 4.14. Найти требуемое значение коэффициента утяжеле ния г] при заданном объеме испытаний N = 10, числе отказов т = 2, дове рительном уровне - - Р = 0,9, заданном уровне надежности Prp = 0,99 и коэффициентах вариации vj = v2 = v, = V2 = 0,2. Решение. Коэффициент запаса определим по формуле (4Л 49): П= - “тр ^тр [1 - ^тр2(У1 )2]. 1 + :TpJ(vl)" +(v2 >2 --Tp2(v02(v'2)2 ' О = Ф 1 0.8-0.I8 =0.254; ч / =ф 1 2тр=Ф |(дтр)=Ф '(0,99)= 2,3; "тр 1 + 2,3 Jo,22 + 0,22 - 2.32 ■ 0.22 ■ 0,22 »------- 1-------------------------------- = 2,02, 1-2,32 0,2-’ 2,02('11-2,32-0,04) = 1.89. ч = —к 1-2,3-0,26 Ответ: г] = 1,89. 4.19. ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ С УЧЕТОМ ПРОВОДИМЫХ ДОРАБОТОК И РЕСУРСНО-ВРЕМЕННОГО ЗАПАСА Планирование объемов испытаний, в данном случае, основывается на построении гарантированной кривой доработок с учетом специфики отработки сложного восстанавливаемого изделия [38], которая состоит в том, что основой математической модели отработки являются типы до работок, причем их число существенно меньше числа отказов. Метод планирования испытаний при проведении доработок заклю чается в следующем: - испытания доработанного узла проводятся на стенде или в соста ве изделия в объеме, равном объему испытаний, которые узел прошел до ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ 263 доработки, при этом общее число испытаний узла становится равным: «+«' = 2«', так как в узле дорабатывалась только отдельная деталь, а сам узел принципиально конструктивно не изменялся; - если в процессе проведения п' испытаний после доработки отка зы не происходят, то доработку считают эффективной. Гак как объем испытаний после доработки принимаем равным объ ему испытаний до доработки (щ - п? = п), а число отказов после дора ботки равным нулю (/и2 = 0), то при таких допущениях оценку г эффек тивности доработки с доверительной вероятностью у определяют по формуле (4.150) где q-> - верхняя доверительная граница интервала значений вероятно стей отказа после доработки; q\ - вероятность отказа до доработки. Нижнюю доверительную границу интервала значений вероятностей безотказной работы /?,(т) при числе отказов т? - 0 определяют из соот ношения £((т)=1-?2=01-у2ннк (4.151) которое удовлетворяет неравенству Р (1-у2ъл < я(т) > У (4.152) где и' - случайная величина, равная числу испытаний до проведения до работки по данному виду отказа; h - коэффициент запаса; у - довери тельная вероятность; т - длительность одного цикла испытаний; / = л'т время проведения доработки. Под коэффициентом запаса h понимают запас прочности, устойчи вости, времени жизни и т.д. Доработку считают эффективной, если г < 1. Если после проведения дополнительных п' испытаний, следующих за проведением доработки, отказ по данному виду доработки возникает повторно, то принимают решение о том, чтобы отказавший узел или изделие заменить на кон структивно новое. Для конструктивно нового узла изложенную ранее процедуру повторяют. Многолетняя практика отработки сложных вос станавливаемых изделий показала, что повторный отказ по данному виду доработки является чрезвычайно редким событием. Следовательно, фор мула (4.151) позволяет построить гарантированную кривую роста надеж ности (кривую отработки) с учетом предложенной методологии планиро вания испытания. 264 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ При проведении испытаний используют также обобщенный план ис пытаний, для которого почти все известные планы являются частными случаями. Этот план называют планом п' испытаний, согласно которому принимают следующие допущения: 1) число проводимых испытаний является случайным (или, в част ном случае, неслучайным); случайным объем испытаний оказывается тогда, когда возникает отказ, и соответственно, необходима доработка; в этом случае объем испытаний обозначают через п П неслучайным объем испытаний оказывается в такой ситуации, при которой его заранее назна чают и планируют; объем таких испытаний обозначается через и; 2) каждое испытание проводят при нагрузке, равной или превыша ющей рабочую, с фиксацией величины р, нагрузки, при которой проведе но l-е испытание. Если обозначить через П наработку до отказа рассматриваемого из делия к моменту времени t отработки и учесть, что Я(()==<х >г)=1-Ш (4.153) где Г)(т) - функция величины П то схему испытаний можно представить графически, как показано на рис. 4.9 (т - время жизни изделия). Коэффициент запаса определяют как отношение минимальной нара ботки, превышающее время испытаний т, к этому времени й = —, т (4.154) где г| - меньшее из значений наработки, превышающее т. Рис. 4.9. План п испытаний: -Г - нагрузка при проведении испытаний, выраженная через запас прочности, запас устойчивости, время жизни изделия и т.д.;--------- нагрузка: (например, продолжительность испытания), при которой проводят испытания: ------- * - испытания проводимые до отказа ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ 265 Если по результатам дополнительных испытаний после доработки необходимо откорректировать коэффициент запаса h в сторону увеличе ния или уменьшения, то значение h определяют расчетным путем. Если доработка не связана с изменением значения h, то значение h, находят по формуле (4.154), подставляя в нее частные значения тр, А=Х т (4.155) тде т], - меньшее из значений т| при числе 2п,' испытаний, превышаю щем /; У - число элементов или доработок, i = 1, N . Таким образом, можно построить кривую отработки не только в за висимости от номера i доработки, но и от времени t = th согласованного с номером доработки (рис. 4.10). В таком случае выражение для нижней границы вероятности безот казной работы запишется в виде ArMl--)^, (4.156) где h\t) = n'(j)h(t) - ресурсно-временной запас. Под ресурсно-временным запасом понимают обобщенный показа тель, который, с одной стороны, характеризует меру конструкционного запаса h(i) надежности изделия к моменту времени t проведения z-й дора ботки, а с другой стороны, - количественную меру временного запаса /?'(/), выражающегося наработкой до отказа к моменту t времени отработ ки. Задаваясь требованием по надежности и учитывая опыт отработки образца-аналога, найдем необходимый объем испытаний на этапе их планирования. ЖУ 1 Ж/)=(1-уА 1,0 0 1 2 3 «1 «2 «3 h h Рис. 4.10. Динамика изменения кривой отработки 26б Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ При рассмотрении изделия в целом коэффициент ресурсно временного запаса определяют, используя выражение А*гР = 1п(1-у) 2Ь1Дт’’ (4.157) где Дтр - требуемое значение вероятности безотказной работы изделия; у - заданная доверительная вероятность безотказной работы изделия. Задаваясь значением коэффициента запаса h, найдем объем п' испы таний, необходимый для подтверждения заданной вероятности безотказ ной работы , 1п(1 -у) п =--- ----- — (4.158) 2Л ln/^P откуда где h — конструкционный запас надежности. Задача планирования объемов испытаний для элементов, входящих в состав изделия, усложняется. Планирование испытаний, в этом случае, сводится к определению оптимального запаса прочности узла при ми нимизации суммарной массы изделия и ограничении времени испытаний. Метод нахождения оптимального запаса прочности основан на следую щих допущениях: 1) изделие состоит из N элементов, отдельно отрабатываемых в про цессе испытаний; массу /-го элемента обозначаем через щ, период его отработки - через т(; считаем, что масса элемента определяется через за пас прочности hj по формуле со, = с,Д, где с- - коэффициент пропорцио нальности, полученный по статистическим данным или расчетным пу тем; h, = т),/т, - коэффициент запаса, определяемый по опытным данным или расчетным путем; т), - время жизни /-го отрабатываемого элемента; суммарная масса изделия, в этом случае равна N N ° = S"’' /=| (4.160) /=1 2) каждый цикл испытаний проводят до возникновения отказа толь ко одного из элементов в объеме п' раз испытаний, или (другой вариант) число циклов испытаний совпадает с числом отрабатываемых элементов. Второе допущение основывается на стратегии принятия решения, которое состоит в том, что по отказам каждого типа проводят не более одной доработки. В таком случае суммарное время испытаний будет равно ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ 267 N (4.161) Z=1 где число циклов испытаний до возникновения отказа z-ro элемента; т- - длительность испытаний z-ro элемента за один цикл. Рассмотрим стратегию отработки, при которой на заключительном этапе каждый из элементов должен пройти серию из п', циклов безотказ ных испытаний. Если запас h, известен, то необходимое число циклов таких испытаний определяют по формуле а _ Нт(1 - у) (4.162) А In Ртр ’ где а - объем испытаний, выраженный в циклах, при числе отказов, рав ном нулю; у - доверительная вероятность безотказной работы, заданная для изделия в целом; Р^ - требуемое значение вероятности безотказной работы на изделие в целом. Поставим теперь следующую задачу - найти оптимальные запасы, минимизирующие суммарную массу изделия при ограничении времени N отработки, т.е. нужно решить задачу по отысканию при ограz=i ничении N N Л Z=1 Z=1 о где Т—заданное значение суммарного срока испытаний. Для решения поставленной задачи составим функцию Лагранжа (4.163) /=1 ( N где а, = ат,; h = ,____ </=1 \2 1=1 т Далее составим уравнения Лагранжа, обеспечивающие необходимые и достаточные условия решения функции (4.160) при использовании пер вой и второй производных этой функции по параметру /г,. В результате решения функции с подстановкой заданных величин у, Ртр и т,- определя ем оптимальный запас прочности, используя выражение 268 Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 1п(1 -у) (4.164) In Агр где /= 12, .... N. Выражение, полученное для расчета необходимого оптимального запаса прочности, свидетельствует о том, что с увеличением периода ис пытаний Т уменьшается запас, с уменьшением Т запас прочности наобо рот, увеличивается, а это соответствует физическому представлению о величине запаса. Пример 4.15. Изделие, состоящее из четырех сборочных узлов, под вергают испытаниям. Вероятность Д'ф безотказной работы изделия за один цикл испытаний должна соответствовать 0,9 при доверительной вероятности у = 0,9. Длительности испытаний т, и соответствующие им коэффициенты пропорциональности с, для каждого из узлов получены опытным и расчетным путем и соответственно равны: Т| = 10 ч; т2 = 20 ч; тз = т4 = 35 ч; Ci = 200; с2 = 300; Сз = 250; с4 = 250. Суммарное время Т испытаний изделия с учетом последовательности испытаний каждого из узлов не должно превышать 100 ч, суммарная масса G - 2000 кг. Определить оптимальный ресурсно-временной запас прочности каждого узла. Решение. Подставляя в формулу (4.164) исходные данные, найдем запас для каждого узла: /Др 2 I 20 ^300 =67,127, I----- =17,33; J = /Др = 67,127, — = 25,11. 3 4 ’ 250 Полученные значения | р = «Д позволяют найти соответствующий объем испытаний | задаваясь значением коэффициента запаса Л,, и наоборот. Полученные при этом значения п, и /г, должны удовлетворять ограничениям, наложенным на массу G и период испытаний Т. Глава 5 ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ПРИ ПОСТАНОВКЕ ИХ НА ПРОИЗВОДСТВО И В ПРОЦЕССЕ СЕРИЙНОГО ИЗГОТОВЛЕНИЯ 5.1. КОНТРОЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ИЗДЕЛИЙ НА ЭТАПЕ ПОДГОТОВКИ К СЕРИЙНОМУ ПРОИЗВОДСТВУ Контрольные испытания установочной партии изделий предназна чены для обеспечения их надежности на этапе серийного производства.. По завершении всех видов исследовательских испытаний приступа ют к этапу подготовки изделий в серийное производство. С этой целью, в зависимости от сложности и стоимости изготовляемого изделия, назна чают установочную партию определенного объема. В процессе изготов ления установочной партии ведут отладку технологического процесса, изготовление и проверку необходимой оснастки, приспособлений и стен дового оборудования. Для обеспечения достигнутых показателей надеж ности на этапе отработки и в процессе серийного изготовления преду сматривают определенный объем приработочных испытаний, который записывают в техническую документацию. Цель этих испытаний - выяв ление скрытых производственных дефектов, а также притирка трущихся поверхностей, термотренировка элементов электроавтоматики, прира ботка узлов и механизмов и т.п. Приработочные испытания отдельных сборочных единиц или систем проводят на стендовом оборудовании. Объем этих испытаний определен в чертежах, технических условиях или технологических паспортах. После приработочных испытаний сборочных единиц проводят их монтаж на изделии, после чего изделие подвергают приемочным испы таниям. К таким испытаниям установочной партии допускают изделия, прошедшие приемку отдела технического контроля. Каждое изделие должно быть укомплектовано запасными частями и инструментом, а также технической документацией в соответствии с формуляром к дан ному изделию и удовлетворять по техническим требованиям параметрам технических условий. В процессе проведения приемочных испытаний установочной пар тии изделий ведут журнал учета наработки узлов, механизмов и систем, 270 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ в котором фиксируют также замечания, неисправности и способы их устранения. Если изделие предназначено не только для выполнения ра бот в стационарных условиях на определенном объекте, но и для пере возки некоторого груза с одного объекта на другой (например, лесовалочные машины, машины по перевозке, перегрузке и монтажу блоков бурового оборудования, большегрузные краны и т.п.), то приемочные испытания предусматривают три этапа - стационарные испытания изде лия в цехе; транспортные испытания на полигоне или в полевых услови ях; стационарные испытания в цехе после транспортных испытаний. Общий объем приемочных испытаний каждого изделия установоч ной партии составляет 30...40 % гарантийного ресурса. Такой объем ис пытаний позволяет завершить отладку технологического процесса для серийного производства и произвести корректировку технологической документации. По результатам приемочных испытаний проводят оценку качества и надежности выпускаемых изделий с рекомендациями по кор ректировке технологической документации. 5.2. ВЛИЯНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ НА КАЧЕСТВО ВЫПУСКАЕМОЙ ПРОДУКЦИИ При изготовлении изделий машиностроения на их качество и надежность оказывают влияние многие факторы. Среди них важное ме сто занимают следующие: используемые материалы, технологические процессы, качество выполняемой работы, условия хранения заготовок и комплектующих элементов, межцеховое транспортирование, обеспече ние рабочих мест необходимой документацией, оснасткой и инструмен том. Перечень факторов довольно большой, и, следовательно, необходи мы направленные методы на создание качественной продукции. Для обеспечения хорошего качества и надежности изделий исполь зуют два метода. Первый заключается в тщательной разработке техноло гии, второй - в тщательном контроле изготовленной продукции. Хорошо отработанная технология не позволяет допускать брак при изготовлении деталей, а также в процессе сборки узлов и механизмов. Контроль каче ства продукции осуществляют на различных стадиях производственного цикла, т.е. проводят как пооперационный контроль, гак и контроль гото вой продукции. Наиболее приемлемым контролем качества является по операционный контроль, так как этот метод является, с одной стороны, наиболее экономичным, а с другой стороны, - и более надежным. Лучше всего проверять качество изготовления изделия во время самого процесса изготовления, чем вносить исправления после того, как изделие изготов лено [43]. НОМЕНКЛАТУРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ 271 Задача контроля качества изделия состоит в обеспечении его работы хорошего качества, независимо от того, чем оно было обусловлено хорошей технологией или эффективным контролем. Важные факторы, влияющие на надежность изделия, - применяемые материалы и их хранение. Если конструктор небрежно отнесся к выбору металлов и они разнородны и несовместимы по своим свойствам и их поместили в контакте друг с другом, то в результате металлы подверга ются коррозия. При хорошо поставленном контроле качества такое явле ние своевременно обнаруживают и устраняют его. Например, кислотная пайка дает хорошее соединение, но после длительного использования паянного соединения узел пайки становится очагом коррозии и поэтому, несомненно, отрицательно влияет на надежность. Другой пример - ис пользование резинового уплотнения с содержанием серы вблизи контак тов, что приводит к покрытию их оксидной пленкой, и, следовательно, к их отказу при включении контактов. Неправильное хранение материалов также вызывает их порчу и со ответственно снижает надежность изделия. Так, например, длительное хранение заготовок на открытом воздухе приводит к появлению корро зии, в результате чего возникают скрытые микротрещины, раковины и ржавчина, а эти дефекты приводят к отказу готовой продукции. Неправильное транспортирование деталей и узлов при межцеховой обработке приводит к их повреждению, что отрицательно сказывается на надежности изделия в целом. Так, например, при транспортировании ка белей «навалом» на транспортном средстве возможен излом жил или их надрыв, который на начальном этапе проверки может быть не обнаружен, а во время эксплуатации приведет к отказу. Немаловажное значение для качества изготовления имеют условия, создаваемые на рабочем месте. Некачественная техническая документа ция (например, чертежи) или плохое освещение на рабочем месте явля ются причиной изготовления бракованных деталей. Отсутствие оснастки или непроверенный по эталону мерительный инструмент также влияют на качество выпускаемой продукции. 5.3. НОМЕНКЛАТУРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ. ВЛИЯНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧНОСТИ НА НАДЕЖНОСТЬ ИЗДЕЛИЯ В общем виде качество выпускаемой продукции можно оценивать десятью показателями [19]. К ним относятся показатели назначения, ко торые определяют основные функции продукции, обуславливающие об ласть ее применения. В свою очередь, показатели назначения подразде 272 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ляют на классификационные, функциональной и технической эффектив ности, конструктивные, состава и структуры. К классификационным по казателям можно, например, отнести мощность двигателя, предел проч ности металла, грузоподъемность транспортного средства, коэффициент усиления радиопередатчика и т.д. В качестве показателей функциональной и технической эффектив ности могут быть использованы производительность технического устройства, точность показания прибора, кучность стрельбы. Конструк тивные показатели определяют удобство монтажа, взаимозаменяемость, габаритно-массовые характеристики и т.д., показатели состава и структу ры - процентное содержание, например, вредных включений в составе высококачественной марки стали или твердых, жидких и газообразных компонентов в топливе. К показателям надежности относят показатели безотказности, долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости и комплексные показатели. Эргономические показатели определяют систему взаимодействия «человек-изделие». Эти показатели характеризуют работоспособность человека при воздействии на него на рабочем месте температуры, влаж ности, освещенности, магнитного и электрического полей, запыленности, излучения, токсичности, шума, вибрации, перегрузок и т.д. Эстетические показатели определяют информационную вырази тельность, рациональность формы, целостность композиции, стабиль ность товарного вида, например, тщательность покрытий и отделки, чет кость исполнения фирменных знаков и сопроводительной документации. С помощью показателей технологичности оценивают оптималь ность затрат материалов, денежных средств, трудовых и временных ре сурсов при изготовлении изделий. Суммарная (общая) трудоемкость Т изделия характеризуется вре менем, затрачиваемым на изготовление одного изделия. Суммарная тру доемкость (в нормо- или машино-часах) равна: А Г = I//,, (5.1) где t, — трудоемкость /-го вида работ (по участкам и цехам) в технологи ческом процессе изготовления изделия; к - число отдельных видов работ (по участкам и цехам). Составными частями суммарной трудоемкости изделия являются трудоемкости: удельная, сравнительная и относительная. НОМЕНКЛАТУРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ 273 Удельную трудоемкость tyn (в нормо- или машино-часах) рассчиты вают на единицу определяющего параметра В изделий данной группы, например, на 1 кг массы, на 1 м3 объема, на 1 м габаритного размера и т.д. (5-2) Сравнительную трудоемкость определяют из отношения ^ср _ Т_ гр (5.3) 7б где Тб - базовая трудоемкость по заданному показателю технологичности изделия. Относительная трудоемкость определяет долю трудозатрат по определенному виду работ в суммарной (общей) трудоемкости (5-4) где t, — трудоемкость z-го вида работ. Суммарную {общую) материалоемкость изделия находят по общей массе отдельных составных частей изделия к М = ^т,, (5.5) <=1 где /и, - материалоемкость /-й составной части изделия; к - общее число составных частей изделия. Удельную материалоемкость изделий рассчитывают на единицу определяющего параметра В изделий группы ул ГП, В (5.6) Сравнительная материалоемкость (5.7) где Мъ — базовая материалоемкость для некоторого базового изделия. Относительная материалоемкость т. т<" = 77 м (5.8) 274 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Показателем технологичности конструкции является коэффициент использования материала для отдельных видов (типов, сортов, марок) материалов М (5-9) *им ЛГо где МГ - масса материала, затраченного на изготовление изделия; Мо масса заготовок. Суммарную (общую) себестоимость S обычно определяют по от раслевым методикам и инструкциям. В самом общем виде она включает в себя издержки на материал, заработную плату и косвенные расходы. Структурная себестоимость S/ определяет затраты по отдельным видам работ, выполняемым на отдельных линиях и участках или в цехах, вхо дящих в технологический процесс изготовления данного изделия. Удельная себестоимость продукции 5УД=|’ (5-Ю) где S - общая (суммарная) себестоимость единицы продукции; В - опре деляющий параметр продукции. Сравнительная себестоимость продукции с 5СР—’ (5.11) где S6 - себестоимость базового образца продукции. Относительная себестоимость продукции (5-12) определяет долю себестоимости, например, по отдельным линиям, участ кам и цехам в общей (суммарной) себестоимости. По показателям стандартизации и унификации оценивают насы щенность изделия стандартными, унифицированными и оригинальными составными частями. Для применения типовых методов расчета показа телей качества данной группы составные части изделий принято подраз делять на стандартные, унифицированные и оригинальные. К стандарт ным составным частям изделия относят такие, которые выпускают по государственным, республиканским или отраслевым стандартам; к уни фицированным - те, которые используются, по крайней мере, в двух раз личных изделиях, выпускаемых одним предприятием; к оригинальным - НОМЕНКЛАТУРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ 275 составные части, разработанные только для данного изделия. К показате лям стандартизации и унификации относятся коэффициенты: применяе мости, повторяемости, взаимной унификации для групп изделий. Коэффициент применяемости составных частей изделия - "о и (5.13) где п - общее число типоразмеров составных частей; по - число типораз меров оригинальных частей изделия. Коэффициент повторяемости составных частей изделия Кп = ——100%, н (5.14) где N - общее число составных частей изделия. Коэффициент взаимной унификации для групп изделий (111 Ее — У"! А 7 т 100%, (5.15) /=1 где и, - число типоразмеров составных частей в изделии; z - общее число неповторяемых типоразмеров составных частей, из которых состоит группа изделий; итах - максимальное число типоразмеров составных час тей одного изделия; т - общее число рассматриваемых изделий в группе. Коэффициент унификации для групп изделий т ЕлР,ж --------- Е°л (5.16) /=1 где Кпрt - коэффициент применяемости для /-го изделия; D, - годовая программа выпуска /-го изделия; С, - оптовая цена z-го изделия. При определении показателей унификации исключают из расчета крепежные детали (болты, винты, шурупы и т.д.), пробки, заглушки и т.п. Показатели транспортабельности характеризуют приспособлен ность продукции к транспортированию железнодорожным, воздушным, водным или автомобильным транспортом. Показатели транспортабель 276 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ности в зависимости от вида транспортного средства определяются соот ветствующими затратами на перевозку и относятся к единице продукции или к какой-либо определенной группе единиц продукции. К показателям транспортабельности относят среднюю стоимость типовых операций при упаковывании продукции данного вида в определенную тару, среднюю стоимость перевозки единицы продукции на единицу пути (например, на I км) конкретным видом транспорта, среднюю продолжительность погрузки или разгрузки одной партии определенной численности про дукции данного вида. Патентно-правовые показатели определяют патентную защиту и патентную чистоту продукции; они характеризуют конкурентоспособ ность продукции на мировом рынке. Экологические показатели определяют уровень вредных воздей ствий на окружающую среду при производстве, эксплуатации и потреб лении продукции. К экологическим показателям относят количество вредных компонентов (газа, жидкости, различных излучений и т.д.), вы брасываемых в окружающую среду в процессе производства, эксплуата ции и использования. Нормы на экологические показатели определяются стандартами и правилами международных организаций, занимающихся вопросами экологии окружающей среды. Продукция, которая не отвечает принятым нормам по охране окру жающей среды, подлежит снятию с производства. Показатели безопасности определяют способность продукции обу славливать безопасность человека при ее эксплуатации и потреблении. К показателям безопасности относят: вероятность безопасной рабо ты человека в течение определенного времени (например, времени сраба тывания блокировочных и защитных устройств), электропрочность высо ковольтных линий передач и т.д. Нормы и показатели безопасности определяются государственными стандартами по безопасности труда, нормами и правилами по технике безопасности, пожарной и радиацион ной безопасности, производственной санитарии и т.д. Экономические показатели представляют собой группу показателей, определяющих затраты на разработку, производство и эксплуатацию не которого изделия или группы изделий. К ним относятся материальные и временные затраты. Экономический эффект определяется стоимостью затрат на производство и эксплуатацию изделия (или группы изделий) за определенный срок. Рассмотренные показатели качества продукции могут быть опреде лены различными методами - измерительными, регистрационными, ор ганолептическими, расчетными, экспертными, социологическими и ста тистическими. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА 277 Измерительный метод основан на непосредственном измерении показателя качества с помощью измерительных приборов (например, датчиков давления, скорости, расхода топлива и т.п.). Регистрационный метод заключается в использовании информации о подсчете конкретных событий, чисел, предметов, затрат каких-либо ресурсов (денежных, трудовых, временных и материальных) и т.д. В ка честве примера можно привести подсчет числа дефектных изделий в пар тии или успешных испытаний в серии опытов. В органолептическом методе используют информацию о качестве продукции, получаемую органами чувств человека (зрением, слухом, обонянием, осязанием, вкусом). Расчетный метод определения показателей качества является са мым распространенным, и с его помощью рассчитывают показатели ка чества групп функционального назначения, надежности и др. Экспертный метод используют при определении эстетических и эр гономических показателей патентной чистоты и др. Для проведения этих работ создают специальные экспертные группы из специалистов различ ных специальностей - конструкторов, технологов, дизайнеров и т.д. Социологический метод определения показателей качества приме няют при определении качества продукции потенциальными ее потреби телями в результате формирования соответствующих мнений. Эти мне ния формируют на основе устных вопросов или заполнением анкет, на специальных конференциях и выставках. Статистическим методом определяют показатели качества, кото рые имеют вероятностную природу (например, показатели надежности). 5.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПРОМЫШЛЕННОЙ ПРОДУКЦИИ Для оценки качества промышленной продукции наибольшее рас пространение получил дифференциальный метод, при котором сравни вают одноименные показатели оцениваемого и базового образцов и определяют, какие показатели достигли значения базовых показателей, а какие существенно отличаются от базовых. Уровни показателей качества продукции определяют по формулам [19]: </,= (5-17) (5.18) 278 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ где i = 12, . . . . и; п - число показателей качества продукции; Р, и /7. /-е показатели качества оцениваемой продукции и базового образца, со ответственно. При наличии ограничений в значениях единичных показателей ка чества формула (5.17) видоизменяется: (5.19) где .... - предельное значение/'-го показателя качества. Для оценки качества и технического уровня применяются также комплексный и смешанный методы, которые нашли менее широкое рас пространение. Подробно эти методы описаны в работе [19]. Комплекс ный метод применяют, в том случае, когда можно установить функцио нальную взаимосвязь комплексного показателя качества и единичных показателей. Смешанный метод оценки качества продукции основан на совместном применении дифференциального и комплексного методов. При использовании смешанного метода часть единичных показателей объединяют в группы, для каждой из которых определяют соответству ющий комплексный показатель. На основе полученной совокупности комплексных и единичных показателей оценивают технический уровень и качество продукции. Оценивание качества изготовленной продукции проводят с определением уровня качества. Уровнем качества изготовления продукции называют степень соот ветствия фактических значений показателей качества продукции до нача ла ее эксплуатации требованиям нормативно-технической документации. Уровень Р качества продукции можно определить по формуле /’ = 1-—п (5.20) где т - число дефектных изделий в партии объемом п изделий, при т = 0 Р= 1. При оценке уровня качества выпускаемой продукции часто исполь зуют экспертные методы, под которыми понимают формальные и не формальные процессы принятия решений на основе обобщенного опыта специалистов в области качества. Экспертные методы обычно применяют в тех случаях, когда затруднительно использовать более строгие объек тивные методы. Разработано достаточно большое число экспертных ме тодов, но наиболее часто применяют три метода - индивидуальный, кол лективный и комбинированный. Использование индивидуального метода КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ 279 позволяет получить объективное мнение эксперта по вопросу качества продукции. Коллективный метод используют при оценке качества продукции группой специалистов-экспертов. Комбинированный метод сочетает в себе индивидуальный и коллективный методы. 5.5. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ НА ЭТАПАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ, ПРОИЗВОДСТВА И ЭКСПЛУАТАЦИИ Под техническим контролем понимают проверку соответствия ко личественных и качественных характеристик объекта установленным в технических требованиях. Технический контроль осуществляют на всех стадиях жизненного цикла изделия - при разработке, производстве и экс плуатации [44]. На стадии разработки изделия технический контроль сводят к про верке правильности учета выполнения всех требований стандартов (госу дарственных, отраслевых и предприятий) и других нормативно-техничес ких документов (технических заданий, технических условий, нормалей и методик). На стадии производства изделий технический контроль сводят к контролю качества и состояния технологических процессов. В процессе изготовления изделия контролируют качество сырья, материалов и ком плектующих элементов, а также правильность внутризаводского транс портирования, хранения и упаковки. На стадии эксплуатации контроль качества и надежности изделий проводят, осуществляя проверку на соответствие показателей качества и надежности требованиям ТУ при функционировании, транспортирова нии, хранении, а также после технического обслуживания и ремонта. На стадии разработки документации контроль количественных по казателей надежности выполняют расчетным методом, предоставляя проектный расчет надежности изделий. На стадии эксплуатации контроль количественных показателей надежности осуществляют, систематически предоставляя отчет о техни ческом состоянии и надежности изделий. В процессе серийного производства используют достаточно боль шое число видов контроля. В зависимости от объема контролируемой партии изделий различают выборочный и сплошной контроль. Выбороч ный контроль часто называют статистическим контролем. При сплош ном контроле проверке подвергают все изделия, входящие в контролиру емую партию, а при выборочном контроле - некоторую часть (выборку) изделий из этой партии. 280 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ В зависимости от стадий производственного процесса различают входной, текущий и выходной контроль. Входному контролю обычно подвергают материалы, полуфабрикаты и покупные изделия, текущему контролю - технологические операции и переходы, указанные в техноло гических картах и маршрутах по конкретным видам производства (например, литейные операции, формообразование заготовок давлением, обработке деталей резанием, сборочные операции и т.д.). Текущий кон троль позволяет своевременно выявлять брак и дефекты. Выходному контролю, как правило, подвергают готовую продукцию - детали, узлы и сборочные единицы, а также изделия в целом. Для важных видов продукции, а также для проверки качества функ ционирования службы технического контроля промышленных предприя тий применяют инспекционный контроль, который осуществляют для проверки качества уже проконтролированной продукции. Изделия специ ального назначения подвергают двойному контролю - с одной стороны, службой технического контроля предприятия, и с другой стороны, пред ставительством заказчика. Инспекционный контроль проводят с целью повышения качества и достоверности всех видов контроля, которые предшествовали инспекционному. Частным случаем инспекционного контроля является летучий контроль, проводимый внезапно, в случайные моменты времени. Его результаты часто приносят полезную и объектив ную информацию об объектах контроля. В зависимости от воздействия на технологический процесс разли чают пассивный и активный контроль. Пассивные виды контроля только констатируют факты годности или негодности изделия и непосредствен но не воздействуют на процесс изготовления. С помощью активных ви дов контроля своевременно предупреждают о появлении брака, и тем самым, активно влияют на процесс изготовления. Для контроля качества продукции используют различные техниче ские средства. Существует достаточно большое разнообразие техниче ских средств контроля. Так, например, при визуальном и органолептиче ском контроле основными средствами контроля являются органы чувств человека, которые усиливаются техническими средствами и устройства ми (оптическими, механическими, химическими и т.д.). При регистраци онном контроле в качестве технических средств используют различные счетчики. Наиболее совершенным видом контроля является измеритель ный контроль, который осуществляют с помощью специальных средств контроля - дефектоскопов, микроскопов, электронных приборов и т.д. Распространенными средствами инструментального контроля по альтернативным и качественным признакам являются различные пре дельные калибры (гладкие, резьбовые, щупы и т.д.). КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ 281 Рассмотренные виды контроля качества продукции осуществляют на двух уровнях', первый уровень - контроль представителями отдела тех нического контроля (ОТК) и представителем заказчика (ПЗ) непосред ственно на заводе-изготовителе; второй уровень - контроль, осуществля емый Государственной приемкой, с целью оценки соответствия контро лируемой продукции стандартом и техническим условиям, утвержден ным образцам-эталонам, проектно-конструкторской документации, усло виям поставки и договоров. Приемку готовой продукции проводят по результатам контроля и испытаний, регламентированных в стандартах, ТУ, конструкторской документации (КД) и технологической документа ции (ТД), на которых выявляют качество этой продукции и возможность ее использования по назначению. Работу Государственной приемки по контролю качества продукции и технических процессов сводят к проверке: технической документации, изготовления продукции, технологических процессов, правильности про ведения предприятием входного контроля, а также приемке продукции, и контролю за обеспечением надежности принимаемых изделий и реклама ционной работы, за состоянием средств измерений и правильностью их применения, за соблюдением метрологических правил. Рассмотрим более подробно перечисленные виды контроля Государственной приемкой. Контроль технической документации состоит в проверке техниче ской документации на ее соответствие требованиям государственных стандартов и условиям поставки продукции. При контроле документации проверяют соответствие согласованных изменений технической доку ментации (изменения связаны с устранением конструктивных и произ водственных дефектов, улучшением конструкции и технических характе ристик изделий, а также другие изменения, влияющие на качество и на дежность продукции), своевременность и полноту внедрения согласован ных изменений технической документации на принимаемую продукцию, наличие учтенной технической документации и ее состояние в цехах. Контроль изготовления продукции сводится к постоянному контро лю за изготовлением продукции и летучему контролю производства. По стоянный контроль за изготовлением продукции осуществляют непо средственно в цехах на рабочих местах по соответствующему «Перечню» обязательного контроля и приемки. Такой контроль является активным и предназначен для наблюдения за ходом производства. Летучий контроль используют для проверки всех сторон деятельно сти предприятия по изготовлению контролируемой продукции, в том числе, соблюдение технологических процессов. Контроль технологических процессов охватывает отработку техно логической документации и соблюдение утвержденных технологических 1 282 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ процессов на рабочих местах и участках. В ходе контроля отработанно сти технологической документации проверяют: - соответствие требований, заложенных в технологическом про цессе, требованиям конструкторской документации; - утверждение технологического процесса руководством предпри ятия; - наличие актов внедрения на каждый оснащенный, отлаженный и откорректированный технологический процесс; - степень технологической оснащенности производства специаль ным оборудованием, оснасткой, мерительным инструментом; - своевременность устранения недостатков технологической до кументации, выявленных при проверках; - соответствие применяемости оборудования и контрольно-изме рительной аппаратуры требованиям технологического процесса; - состояние оснастки, оборудования, инструмента, материалов и соответствие их требованиям технологической документации; - наличие штампа о ежегодной сверке технологической докумен тации на соответствие действующей конструкторской информативной документации; - состояние цехов и рабочих мест; - внедрение новых технологических процессов в установленные сроки; - реализацию замечаний и решений по предыдущим проверкам технологических процессов. Контроль правильности проведения предприятием входного кон троля ориентирован на проверку качества покупных изделий, сырья и полуфабрикатов, идущих на изготовление и укомплектование продукции. При этом особое внимание обращают на следующие факторы: - организацию контроля качества, проверку комплектности про дукции, поступающей на предприятие, учета и хранения покупных изде лий и материалов на складах; - наличие паспортов, сертификатов, ярлыков, этикеток и правиль ность их заполнения; - соблюдение предусмотренных технической документацией усло вий хранения изделий, материалов, поступающих на комплектование от поставщиков по кооперации; - отсутствие на складах забракованных изделий или изделий и ма териалов с истекшими гарантийными сроками; - своевременность выдачи в производство изделий и материалов с ограниченным сроком хранения и отбор проб материалов для направле ния в центральную заводскую лабораторию; КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ 283 - своевременное корректирование технической документации на по купные изделия и материалы по извещениям предприятий-поставщиков; - проверку соответствия контрольно-измерительной аппаратуры, оборудования и мерительного инструмента, применяемых при входном контроле; - своевременное оформление рекламаций на дефектные и неком плектные покупные изделия и материалы. Приемка готовой продукции является самым ответственным этапом контроля качества продукции, по результатам которого определяют год ность продукции и возможность ее использования по назначению. Приемка готовой продукции предусматривает техническую провер ку составных частей (деталей и сборочных единиц) и окончательную приемку полностью укомплектованной продукции, принятой отделом технического контроля и подготовленной к предъявлению Государствен ной приемке (представительству заказчика для специзделий). Техническую проверку проводят по письменному извещению (на бланках установленной предприятием формы), подписанному начальником цеха и бюро технического контроля. При приемке продукции до начала приемосдаточных испытаний представитель Государственной приемки проверяет: - наличие и правильность оформления сопроводительной доку ментации; правильность заполнения формуляров и паспортов на изделие и ее составные части, в том числе наличие в них гарантийных обяза тельств; - наличие актов, протоколов и других документов, подтверждаю щих техническую проверку составных частей изделия, а также положи тельные результаты всех видов испытаний; - расход ресурса работы изделия и его составных частей. Окончательно принятой считается продукция, прошедшая с поло жительными результатами приемосдаточные испытания в полном объе ме, предусмотренным технической документацией, полностью укомплек тованная, упакованная и опломбированная пломбами Государственной приемки. На принятую продукцию ставят клеймо сотрудника Государст венной приемки в месте, предусмотренном технической документацией. Контроль за обеспечением надежности принимаемой продукции включает следующие мероприятия: - проверку наличия, полноты и правильности изложения в техни ческой документации требований по надежности изделия и его составных частей, а также методы оценки соответствия изделия установленным тре бованиям; 284 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ - контроль за выполнением нормативно-технической документа ции по надежности, в том числе программ обеспечения надежности, про грамм «Качество», программ и методик испытаний, планов мероприятий по устранению выявленных причин ненадежности; - проверку обоснованности назначения гарантийных ресурсов, сроков службы, технических ресурсов, сроков хранения; - контроль условий и режимов применения комплектующих изде лий в принимаемой продукции в процессе изменения технической доку ментации, проведения испытаний изделий и его составных частей, ре зультатов оценивания соответствия изделий требованиям по надежности на основе данных испытаний и эксплуатации, эффективности системы сбора, анализа, распределения и реализации информации о надежности изделий и его составных частей; - анализ стабильности параметров изделий и технологических процессов; - рассмотрение отчетной документации по надежности принимае мых изделий, предусмотренной ПОН и программой «Качество». Контроль за работой по стандартизации организуют с целью кон троля за внедрением и соблюдением стандартов и другой нормативно технической документации на всю выпускаемую продукцию предприя тием, а также контроль за разрабатываемыми предприятием стандартами и НТД, контроль за применением унифицированных и стандартизован ных изделий, материалов, сырья и полуфабрикатов, используемых при изготовлении продукции. 5.6. КОНТРОЛЬ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ОЦЕНКА ИХ НАДЕЖНОСТИ Технологическая отработка ряда изделий и сложных сборочных единиц заканчивается достаточно быстро. Одна-две принципиальные технологические доработки приводят к желаемому результату, т.е. изде лие можно считать практически освоенным и готовым к серийному вы пуску. Это характерно для изделий, скомпонованных из типовых, хорошо освоенных конструктивно-технологических узлов и других сборочных единиц, для которых имеется отработанная нормативно-техническая до кументация, подкрепленная достаточно обширными научными и экспе риментальными исследованиями, выполненными высококвалифициро ванными инженерно-техническими и научными работниками на хорошо оснащенной экспериментальной базе. КОНТРОЛЬ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 285 Процесс технологической отработки изделий затягивается, если в них, наравне с хорошо освоенными типовыми конструктивно-технологи ческими сборочными единицами, используют оригинальные сборочные единицы. Это связано с тем, что по оригинальным сборочным единицам нормативно-техническая документация отработана не в полной мере, поэтому необходимо осваивать новые технологические процессы. Иногда при разработке сложных изделий не вполне оправдано игнорируют ис пользование типовых конструктивно-технологических сборочных единиц и где нужно и не нужно применяют оригинальные решения, что приводит к серьезному затягиванию этапа серийного освоения выпуска изделий. Применительно к этим ситуациям используют соответствующие модели оценки надежности и отработанности изделий на стадии серийного осво ения и выпуска. Первая модель основана на теории марковских процессов типа «ги бели и размножения». Вторая модель базируется на известной теореме теории вероятностей — теореме гипотез. Эта модель состоит в рассмот рении двух случаев исхода испытаний - доработка технологического процесса и конструкции изделия изменила его надежность и доработка не изменила надежности. Наконец, третья модель основывается на теории логистических кривых (или кривых роста надежности). Эти три модели охватывают практически все встречающиеся случаи количественной оценки надежности и отработанности сложных изделий и их сборочных единиц. За количественную меру отработанности технологического про цесса можно принять достигнутый уровень показателя надежности изделия. В первой модели освоения технологического процесса предусмот рены два этапа испытаний. Пусть на первом этапе проводят испытания изделий, выпущенных по одному технологическому процессу, и в тече ние времени Ц испытаний получают т\ отказ конструктивно-технологи ческого характера. Интенсивность устранения причин возникновения отказов определяют по формуле (5.21) <=| где гщ - общее число отказов, зарегистрированных на первом этапе ис пытаний в течение времени; (=1 здесь /, - время устранения конкретной причины отказа. 286 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ На втором этапе испытаний после устранения причин отказов кон структивно-технологического характера, зарегистрированных на первом этапе, возможно появление m2 отказов, на устранение которых затрачива ется время т2 h’ZA1=1 В этом случае интенсивность вторичного устранения причин воз никновения отказов т2 (5.22) £', 7=1 На первом этапе испытаний интенсивность появления отказов вы ражается зависимостью Дот, (5.23) А.| — 7 :\ Д/1(и^1 -от1) где Дот, - число отказов, возникших в течение времени Д?,; и, - общее число испытаний на первом этапе. На втором этапе испытаний интенсивность отказов Дот, 2 А/2(п,-/о2)' (5.24) где Доь - число отказов, возникших в течение времени А/2; п2 - общее число испытаний на втором этапе. В соответствии с теорией марковских процессов при увеличении времени отработки t —> оо после второго этапа испытаний, оценку вероят ности ненастунления отказов определяют по соотношению вида 1Л Х2 4= (5.25) I I I 1 + А | — +;------ г — ц, ц2 А-2 ; При достижении значения оценки q, заданного в технических усло виях, т.е. при q = q-y , можно считать, что технологический процесс от работан, а изделие освоено для его серийного выпуска. КОНТРОЛЬ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 287 Методика оценки надежности по второй модели основывается на многоступенчатой процедуре освоения технологического процесса. Пусть на первом этапе освоения технологического процесса по результа там «| испытаний изделий фиксируют т■ отказ, после чего осуществляют доработку технологического процесса, направленную на устранение при чин отказов. Затем на втором этапе освоения технологического процесса проводят т испытаний изделий и фиксируют m2 отказа и вновь осу ществляют доработку технологического процесса. Такой итеративный процесс ступенчатой отработки технологического процесса продолжает ся до тех пор, пока не будут устранены причины возникновения отказов. Таким образом осуществляют процесс доводки технологического про цесса по всем типам отказов. После каждого этапа отработки технологи ческого процесса по результатам испытаний изделий оценивают показа тель надежности изделия по схеме «успех-отказ»: (5.26) (5.27) где т и п - числа соответственно отказов и испытаний изделий на каж дом этапе отработки технологического процесса; %у(2т) - квантиль •/■-раацределения, определяемая по табл. 6 прил. по значению т и уров ню а (а = у) доверительной вероятности; Ру - нижний доверительный предел оценки (5.26), определяемый с уровнем у доверительной вероят ности. После первого этапа отработки технологического процесса оценка показателя надежности и ее нижний доверительный предел вычисляют по формулам (5.26) и (5.27), в которые вместо тип подставляют соот ветственно значения mt и щ. После второго этапа отработки технологического процесса ставят вопрос о возможности добавления информации т\ и п к информации m2 и П2, а после ■третьего этапа отработки - к информации m2 и ■■ информа ции о предыдущих испытаниях и т.д. Постоянное наращивание информа ции позволяет оценивать показатель надежности изделия со все более высокой точностью. На основании формулы полной вероятности для полной группы со бытий в соответствии с гипотезами Но и Н можно записать 288 КОНТРОЛЬ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ф)= р(Яо)/>(л/Яо)+ Р(Я НЯЯ), 289 (5.28) где ру - нижний доверительный предел оценки Р, уровня у, вычислен где А - событие, состоящее в безотказной работе изделия после прове денной доработки технологического процесса; Но - гипотеза о том, что доработка технологического процесса не изменила надежности изделия; //, - альтернативная гипотеза о том, что доработка технологического процесса изменила надежность изделия. ный по формуле (5.27). Оценка Ро вероятности Ро, имеющей смысл весового коэффициен та, может быть определена по точной или приближенным формулам. Точная формула основана на гипергеометрическом распределении т Оценки PÂ/Hq) и р(а/Н}) вероятностей Р(д/Но) и р(а/Ht) V'' Zj определяют по формуле (5.26). Очевидно, что при оценивании Р(А/ Яо) "1 "2 (5.34) после второго этапа отработки технологического процесса т = пц + т2 и п = п\ + и2> а для р(ДНх} т = т2, п = п2. Оценку Д(й) вероятности Р2(а) на основании формулы (5.28) после второго этапа отработки тех нологического процесса вычисляют по соотношению АИ=Д1-^а.)+(1.д)[1_а), < «I + «2 ) I «I ) - + т2. Пуассоновское приближение справедливо при условии (5.29) где Ро - оценка вероятности Ро осуществления нулевой гипотезы. Очевидно, что Р(Н\) = 1 - Р(/Но). Рассуждая аналогичным образом, для трехступенчатого этапа отработки технологического процесса получим при этом у ( "+2 Г + «2 J ( И ( + п2) + «I (5.35) (5.30) Нормальное (гауссовское) приближение биномиального закона дает выражение (5.31) (5.36) а для ^-ступенчатого этапа отработки технологического процесса пк-\ +пк J В общем случае, если при технологической отработке изделий про исходит N типов отказов, то расчетные формулы для показателя надеж ности имеют вид: (5.32) (5.33) w, тj т,+т-> , где с/, = —-; q2 = —— q = —!—р- кванти льфункц нонормнльного И] п2 +п2 распределения (см. табл. 1 прил.). Формула (5.36) справедлива для qx > q2, при q\ < q2 индексы 1 и 2 в формуле меняют местами. Приведенные формулы для оценок надежности и отработанности технологических процессов справедливы при числе этапов отработки порядка десяти. Для большего числа этапов отработки технологического 290 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ процесса используют теорию кривых роста надежности. Наиболее распро страненной математической моделью кривой роста надежности (кривой от работанности технологического процесса) является модель, основанная на накоплении числа отказов в зависимости от числа испытаний [19]: (5-37) где т - накопленное число отказов; - конечное число накопленных отказов; а - коэффициент, учитывающий темп нарастания числа отказов (темп доводки техпроцесса); п - накопленное число испытаний; пк конечное число испытаний. Для построения кривой роста надежности дифференцируют соот ношение (5.37) и определяют текущее значение показателя надежности по формуле (5.38) где Р - текущее значение показателя надежности; т' - частота отказов, т' = т/п. При п = 0 начальное значение показателя надежности как количе ственной меры отработанности технологического процесса рассчитыва ют, используя равенство (5.39) При п = пк конечное значение показателя надежности изделия (5.40) Из соотношений (5.39) и (5.40) может быть получено необходимое число испытаний при заданных значениях величин а, Ро и Рк (5.41) где Pq и Рк - начальное и конечное значения показателя надежности из делия, соответственно. ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ 5.7. 291 ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ходе выполнения технологических процессов как при освоении выпуска продукции, так и при установившемся производстве возможны различные отклонения от требований нормативно-технической докумен тации в готовой продукции. Причины таких отклонений достаточно мно гочисленны. Существуют две группы факторов, которые приводят к этим отклонениям. К первой группе факторов можно отнести: - отсутствие на рабочих местах чертежей и необходимых инструк ций на выполнение технологических операций; - незакрепленность конкретных видов работ (операций) за опреде ленными исполнителями; - несоблюдение последовательности выполнения работ, заданных в технологических маршрутных картах; - несвоевременное предъявление на контроль первой детали (опе рации); - использование технологической оснастки, режущего и меритель ного инструмента, испытательного оборудования и т.д., не указанных в маршрутных картах; - применение материалов, полуфабрикатов и комплектующих из делий, не предусмотренных технологическими процессами; - несоблюдение установленных нормативно-технической докумен тацией приемов, методов и режимов обработки изделий и их испытаний; - использование неаттестованных средств контроля и средств тех нологического оснащения с просроченными сроками годности; - неудовлетворительное состояние средств технологического оснащения, ремонтной базы, испытательного оборудования и т.д. Эти факторы носят случайный характер и их устраняют в процессе организационно-технических мероприятий. Ко второй группе факторов, которые также носят случайный харак тер, относят различные отклонения, вызванные разбросом: - характеристик (физических, геометрических, массы и т.д.) мате риалов, полуфабрикатов и комплектующих изделий; - характеристик параметров и средств технологического оснаще ния, измерительных приборов, режущего и мерительного инструмента, стендового и испытательного оборудования и т.д.; - допусков (случайные неблагоприятные их сочетания) в размер ных технологических цепочках. г ■ 292 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Вторая группа факторов описывается определенными статистиче скими законами, которые могут быть учтены при исследовании стабиль ности технологических процессов. Общий подход к оценке стабильности технологических процессов ос новывается на оценке точности изготовляемого изделия. При этом точ ность изготовления изделия оценивают как по «мгновенному», так и по интегральному рассеянию параметров за некоторый промежуток времени. Точность технологического процесса ухудшается прямо пропорцио нально времени его протекания. Это означает, что если в некоторый мо мент времени to точность технологического процесса характеризовалась величиной §о, то в следующий момент времени отстающий от момента времени to на величину Л/, точность будет характеризоваться величиной 51, связанной с 5о линейной зависимостью [19]: 5 — Sq + ллг , (5.42) где к - коэффициент пропорциональности. Коэффициент корреляции между случайными величинами 8о и 51 определяют по формуле (5.43) где og| и Ск - средние квадратические отклонения случайных величин 5] и к. С целью выпуска качественной продукции осуществляют управле ние технологическими процессами. В таких случаях корреляционная связь между случайными величинами 5о и 5] неизбежно будет ослабевать по мере увеличения отрезка времени Л/. Коэффициент корреляции при некоторых значениях измеряемых параметров технологических процес сов в промежутке времени А/ может быть отрицательным. Для исследования стабильности технологического процесса по точ ности изготовляемого изделия воспользуемся графиками (рис. 5.1). На участке [?о, Л], который, в общем случае, представляет некоторую криволинейную траекторию, можно воспользоваться расстоянием между двумя кривыми, которые заданы функциями (рис. 5.1, а): (5.44) ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ со" со <J S1=(P1(O 3=<p(Q 8o=%(° 293 S co < у 04 ___ Рис. 5.1. Графики для определения расстояния: а - между двумя кривыми - 8, и 8, 80 и 5; б - между прямой и кривой - 8, и 8, 8о и 8; в - между двумя кривыми первого порядка -8! и 8о; 8о = Фо(О и 8] = ф|(0 соответственно заданная и фактическая точности технологического процесса Максимальное расстояние между этими кривыми линиями на участ ке [/о, Л] обозначим через I (рис. 8.1, 8), которое равно абсолютному зна чению разности |ч>о(?)-р|(/)|. Построим по обе стороны от кривой 8 = ф(/) полосу шириной 2А8 (рис. 5.1, а). Тогда расстоянием от кривой 8[ = ф1Ц) до 8о - фо(О будет являться половина наименьшей ширины 8о = фо(Ц, заключающей кривую 8[ = ф(1). В частном случае, когда 8о = фо(О представляет собой прямую линию, параллельную оси О/, это соответствует ширине полосы, равной максимальному отклонению / кривой 8! = ф1(£) от прямой 8о = фо(О (рис. 5.1,8). 294 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Более точное расстояние / между кривыми 5о = фо(Й и §| = фД/), для которых существуют непрерывные производные до п-го порядка вклю чительно, находят с помощью максимумов разности между производны ми из выражений [19]: <о(О_ 9iW; Ф^-фКО; ло'И-*₽;’(/) на отрезке [/0 ф/ф/]], т.е. /0 ^ахро^-ф,^) ; ](/) ; /1 =тах ф^-ф (5.46) на этом отрезке [/° ф t < t\ ]. Максимальное значение абсолютной величины разности п^<^х|фо(')-ф|(/)| - на отрезке времени [?о, Л] называют расстоянием нуле вого порядка, максимальное значение абсолютной величины разности тах^^-ф^ - в некоторый момент времени /, - расстоянием перво го порядка. Геометрический смысл этого определения - расстояние меж ду касательными в точке t, кривых фо(6) и ф|(б) (см. рис. 5.1, в). В этой связи, расстояние первого порядка можно рассматривать как меру, харак теризующую в некоторой точке /, максимальное расстояние между кри выми 5о = фо(О и 8| = ф|(/) на отрезке ф t < t} ]. В практике изготовления сложных изделий машиностроения в целях статистического регулирования производственного процесса вводят кон трольные карты, которые наглядно отражают ход производственного процесса и выявляют нарушение технологии. Различают контрольные карты по измеряемым (количественным) и неизмеряемым (качествен ным) признакам качества в зависимости от того, поддается ли признак количественному измерению или же допускает только качественную оценку. Для сложных изделий машиностроения в основном используют контрольные карты индивидуальных значений параметров. Это вызвано тем, что детали, узлы или механизмы этих изделий изготовляют малыми партиями, а контролю подвергают наиболее ответственные параметры, ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ 295 влияющие на работоспособность изделий. Для карты индивидуальных значений характерно то, что измерение параметра проводят для каждого узла, механизма или детали, которые изготовляют на станке или другом оборудовании. Полученное значение параметра заносят в карту в виде точки, крестика или звездочки. Карту индивидуальных значений приме няют, главным образом, для наблюдения за технологическим процессом. Эта карта имеет тот недостаток, что по ней нельзя сразу сделать вывод о причине нарушения технологического процесса по одному-двум выбро сам за контрольные границы. Контрольные границы карты- индивидуальных значений определяют, исходя из нормального распределения измеряемого параметра. С одной стороны, ширину контрольного интервала измеряемого параметра задают с ошибкой а не более 0,27 % выражением а-38<х<а + 38, (5.47) где а - номинальное значение параметра по документации; 5 - среднее квадратическое отклонение случайной величины X', х - фактическое зна чение замеренного параметра. С другой стороны, поле допуска контролируемого размера опреде ляется неравенством Ти =а + 5, <х<а + §2 = ТЪ, (5.48) где 5| и о2- допустимые отклонения параметра а, не превышающие пре дельных отклонений Т„ и Тв. Поле допуска составляет Тв-Т„ = 52 -8,. (5.49) Пределы допуска Ти = а + 5, и Тв = а + §2 задают в чертеже. На кон трольную карту индивидуальных значений измеряемого параметра (рис. 5.2) наносят номинальное значение измеряемого параметра а и пре дельные отклонения Тп и Тв, заданные чертежом. Если результат х изме рения для контролируемого параметра вышел за пределы допуска, то деталь бракуют. Деталь считают годной, если значение х лежит в преде лах допуска, т.е. выполняется условие (5.48). Чем уже поле допуска, тем выше качество детали. Однако при сужении поля допуска возрастают требования к технологической оснастке производственного процесса. Поэтому задаваемый допуск, с одной стороны, должен обеспечивать ра ботоспособность детали, узла или механизма, а с другой - соответство вать существующим производственным возможностям. к 296 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Рис. 5.2. Контрольная карта индивидуальных значений измеряемого параметра: я - число проверенных деталей или сборочных единиц Следовательно, контроль стабильности технологических процессов с помощью карт индивидуальных значений измеряемых параметров поз воляет обеспечить высокое качество деталей, узлов и механизмов изде лия. Так, например, карты индивидуальных значений измеряемых пара метров вводят для самых ответственных деталей, входящих в исполни тельные узлы и механизмы, такие как, например, подъемный механизм, домкрат, силовой редуктор, блокировки, муфты, гидроцилиндры, гид роклапаны и т.д. В практике изготовления изделий серийного и массового производ ства для обеспечения стабильности технологических процессов широкое распространение получил метод выборочного контроля. Этот метод ос нован на проверке качества определенного числа готовых деталей, узлов или механизмов из некоторой партии (например, месячной, квартальной, полугодовой и годовой), выпущенных деталей, узлов или механизмов. 5.8. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ ИЗДЕЛИЙ В ПРОЦЕССЕ СЕРИЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ На этапе серийного изготовления сложных изделий машинострое ния систематически собирают сведения обо всех дефектах и неисправно стях, выявленных в процессе изготовления и приемосдаточных испыта ний для всех паспортных деталей и сборочных единиц. По всем цехамизготовителям деталей и сборочных единиц выписывают сведения из паспортов о дефектах и принятых мерах по их устранению. Статистиче ские данные оформляют в виде перечня дефектов и неисправностей по форме табл. 5.1 и направляют его для анализа в службу надежности [46]. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 297 5.1. Статистические данные дефектов и неисправностей, выявленных при изготовлении изделия и его испытаниях Наименование и обозначение Причина детали или Дата Принятые дефекта или сборочной выявления меры по неисправности, Исполнитель единицы, неисправности устранению обнаруженных заводской или дефекта и ФИО дефекта, при номер. их внешнее неисправности изготовлении Наработка при проявление или испытаниях испытаниях (ч, км, ц ) 19.02.1996. Подтекание масла через манжету Гидроцилиндр Сб 21-01, №3815, 10 ц на стенде ( 1 ----- - --------- Забоина на внутренней поверхности гидроцилин дра. Наруше ние техноло гии покрытия поверхности ___ .—— —L ------------------ Николаев В. А. Повторное нанесение покрытия на внутреннюю поверхность гидроцилин дра. (Нико лаева В. А. лишить пре мии за фев раль) 1— . 1 ___ 1 ц - циклы. Зам. нач. цеха (ФИО) ____________________ Подпись Дата Нач. СТК цеха (ФИО) ____________________ Представитель заказчика (ФИО) _____________________ К анализу дефектов и разработке мероприятий по их устранению привлекают все отделы и службы предприятия. Перечень статистических данных систематически составляет каждый цех-изготовитель не реже одного раза в квартал. 298 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Систематизация дефектов и неисправностей, выявленных при изго товлении и приемосдаточных испытаниях, позволяет устранить их непо средственной заменой или восстановлением отказавших элементов и не монтировать их неисправными на изделие, что способствует обеспече нию надежности изделий в эксплуатации. Анализ динамики неисправно стей и дефектов включает их систематизацию по типам изделий, сбороч ных единиц и деталей; характеру неисправностей с классификацией на производственные, конструкционные и комплектующие элементы. Выполняют также сравнительный анализ динамики дефектов по цехамизготовителям (%), характера неисправностей и причин их возникнове ния. В анализе приводят: - систематизацию повторяющихся дефектов и характер этих де фектов; - сведения о рекламированных узлах, выявленных на входном контроле и в процессе эксплуатации, с классификацией их отказов на производственные, конструкционные, эксплуатационные и отказы ком плектующих элементов. Проведенный анализ динамики дефектов в процессе производства и эксплуатации служба надежности представляет постоянно действующей на предприятии комиссии по качеству, которая ежеквартально рассмат ривает итоги работы цехов и отделов по качеству выпускаемой продук ции. Особое внимание комиссия уделяет рассмотрению неисправностей, обнаруженных на местах эксплуатации. Для их устранения, как правило, принимают срочные меры. В частности, для более точного определения причины отказа назначают комиссию из компетентных специалистов и направляют ее на место эксплуатации, где произошел отказ для выясне ния его причины. По результатам представленного анализа динамики дефектов со ставляют протокол, в котором перечисляют все выявленные недостатки, причины их возникновения и указывают конкретных виновников этих причин. В протоколе записывают мероприятия по устранению выявлен ных дефектов, конкретных исполнителей и сроки исполнения. Протокол постоянно действующей комиссии по качеству утверждает руководитель предприятия. В дальнейшем на основании этого документа осуществля ют намеченные мероприятия по поддержанию на требуемом уровне ка чества и надежности выпускаемой продукции. Такие протоколы являют ся ежеквартальными отчетными документами предприятия о качестве выпускаемой продукции перед потребителем. Вместе с текущей информацией о качестве и надежности изделий и принимаемых мерах по их поддержанию на нужном уровне служба на дежности составляет итоговый отчет по приемосдаточным испытани ям изделий. Сведения о результатах этих испытаний для каждого изделия СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 299 заносят в нулевую сборку (Сб. 00), в которой указывают все виды испыта ний и их объемы, необходимые для проверки работоспособности изделия на соответствие требованиям ТУ. В процессе приемосдаточных испыта ний в объеме 2...3 % назначенного гарантийного ресурса систематиче ский учет неисправностей и отказов выполняют непосредственно в нуле вой сборке по форме табл. 5.1. В нулевой сборке по каждой неисправно сти описывают также принятое техническое решение, намечают опреде ленные мероприятия или способы устранения неисправности. Все выяв ленные в процессе приемосдаточных испытаний дефекты устраняют непосредственно в цехе. Изделие поступает на отгрузку в эксплуатацию только после устра нения всех неисправностей и дополнительной его проверки на работо способность. Таким образом, приемосдаточные испытания позволяют отсеять дефекты и неисправности изделий производственного характера, и тем самым, обеспечить качество и надежность выпускаемой продукции на требуемом уровне. На основании этих же приемосдаточных испыта ний составляют отчет о надежности по годовой партии выпускаемых изделий. В отчете приводят полную статистическую информацию по объему испытаний и неисправностям, выявленным на всех изготовлен ных за этот период изделиях. Дают количественные показатели надежно сти, описывают принятые мероприятия по устранению выявленных де фектов и неисправностей, а также представлены рекомендации по даль нейшему повышению качества и надежности изделий. Следующим этапом проверки качества и надежности изделий в про цессе серийного производства являются периодические испытания, кото рые проводят на одном изделии от годовой партии в объеме 10 % гаран тийного ресурса. Программа периодических испытаний включает все виды работ, предусмотренные эксплуатационной документацией. В про цессе испытаний проверяют соответствие изделия требованиям ТУ изго товленной годовой партии. При проведении периодических испытаний всю статистическую информацию записывают в журнал испытаний. По лученные сведения по результатам испытаний объединяют с данными приемосдаточных испытаний и используют в итоговом годовом отчете о надежности изделий. Заключительным этапом подтверждения качества и надежности из делий в процессе изготовления являются ресурсные испытания. По скольку сложные технические системы, в большинстве случаев, являются дорогостоящими изделиями машиностроения, то ресурсным испытаниям подвергают, как правило, не сами изделия, а наиболее ответственные уз лы, механизмы, системы, блоки и пульты. Объем испытаний сборочных единиц соответствует гарантийному ресурсу. Результаты испытаний от мечают в журнале испытаний. Полученные сведения по ресурсным испы 300 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ таниям объединяют со сведениями о приемосдаточных и периодических испытаниях и используют в итоговом отчете о надежности изделий. Таким образом, систематизация дефектов и неисправностей в про цессе изготовления, приемосдаточных и гарантийных испытаний и раз работка комплекса мероприятий и рекомендаций на основе полученной информации позволяют обеспечить качество и надежность изделий ма шиностроения на заданном уровне. Анализ неисправностей, выявленных в процессе приемосдаточных, периодических и гарантийных испытаний сложных технических систем свидетельствует о том, что статистические данные периодических и га рантийных испытаний практически не влияют на количественные значе ния показателей надежности, полученные по результатам приемосдаточ ных испытаний годовой партии. В качестве сравнения приведем практи ческие примеры оценки надежности изделия. Пример 5.1. Пусть годовая партия состоит из 50 изделий (п = 50). Гарантийный ресурс на функционирование назначен в объеме иг= 1200 циклов. В процессе приемосдаточных испытаний зафиксирова но 25 отказов (/И) = 25), а в процессе периодических испытаний - два от каза (m2 = 2). Оценить надежность изделия по результатам двух групп данных. Решение. В соответствие с нормативно-технической документацией объем приемосдаточных испытаний каждого изделия составляет 3 % га рантийного ресурса, т.е. А, = 0,03лнг = 0,03 -50-1200 = 1800 циклов. Периодические испытания проводят на одном изделии от годовой партии в объеме 10 % гарантийного ресурса, т.е. N = 0,1Иг = 0,1 • 1200 = 120 циклов. Вычислим вероятности отказов по полученным данным: = 0,014; <7.=WL 1800 — = 0,016. 120 С помощью критерия значимости сравнения двух вероятностей определим вероятность расхождения с уровнем значимости а = 0,1: СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 301 д2 -дх 1 И ________ 0,016-0,014________ 7°,014(1 - 0,014) (0,0005 + 0,008) = (m, +т2) _ 25 + 2 = _27_ = 0 0]4 (î+^г) 1800 + 120 1920 При а = 0,1; Ua = 1,282; U < Ua; 0,185 < 1,282. На основании критерия значимости гипотезу о равенстве вероятно стей принимают, т.е. результаты испытаний можно объединить, и следо вательно, периодические испытания практически не влияют на результа ты приемосдаточных испытаний. Вместе с тем, практика проведения периодических испытаний пока зывает, что в процессе их осуществления неисправности конструктивно го характера не выявляются. Таким образом, назначение в документации периодических испытаний на сложные изделия нецелесообразно. С од ной стороны, эти испытания не позволяют выявить конструктивные де фекты, а с другой стороны, не уточняют технологический процесс и не изменяют количественные показатели надежности, полученные по ре зультатам приемосдаточных испытаний. Кроме того, периодические ис пытания увеличивают дополнительные затраты и сокращают гарантий ный срок изделия в эксплуатации. Анализ результатов гарантийных испытаний сложных изделий пока зал, что эти испытания, так же как и периодические, не выявляют кон структивные дефекты, связанные с эксплуатационными характеристика ми изделия. Если в процессе гарантийных испытаний и выявляют неко торые конструктивные дефекты, то они связаны, как правило, с неудоб ством работы обслуживающего персонала, улучшением эксплуатацион ных характеристик и другими причинами, которые не влияют на выпол нение работ с изделием. Количественные показатели надежности, полу ченные по результатам гарантийных испытаний, практически не влияют на количественные показатели надежности, полученные по результатам приемосдаточных испытаний за рассматриваемый период. Рассмотрим пример оценки надежности. Пример 5.2. Пусть годовая партия состоит из 50 изделий («1 = 50). Гарантийный ресурс изделия равен пг = 1200 циклов. В соответствие с нормативно-технической документацией гарантийные испытания прово дят один раз в три года на одном изделии. Оценить надежность изделия по результатам двух групп данных, а именно: по приемосдаточным и га 302 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ рантийным испытаниям. Известно, что в процессе приемосдаточных ис пытаний было зафиксировано 30 отказов (пг, = 30), а в процессе гаран тийных - шесть (д?2 = 6). Решение:. Примем, что объем А) периодических испытаний состав ляет 3 % гарантийного ресурса, т.е. А, = 0,03 - 3и,пг = 0,03 • 3 • 350 -1200 = 5400 циклов, где число 3 соответствует трем годам выпуска изделий. Объем гарантийных испытаний пг = N = 1200 циклов. Найдем вероятность отказов по полученным данным: т, 30 = 0,0055; 5400 б <?2 = N2 1200 о,ОО55. N По критерию значимости определим вероятность расхождения с ошибкой ос = 0,1: У _______ <72 ~ <71______ __________ 0,0055-0,005________ = 0 22 Ьо54(,-°Н^+гУ = <W| + '”2) = —— = 0<0054 (А| + А2) 5400 + 1200 При а = 0,1 Ua= 1,282 (табл. I прил.). Таким образом, U = 0,22 < Ua = 1,282, и следовательно гипотезу о равенстве вероятностей принимают, т.е. результаты испытаний можно объединить. Вместе с тем, информация по результатам приемосдаточных испытаний более достоверная, так как ее объем значительно превышает объем гарантийных испытаний. Следовательно, гарантийные испытания практически не влияют на результаты приемосдаточных испытаний. Исходя из анализа, необходимо отметить, что назначение гарантий ных испытаний сложных изделий машиностроения в процессе серийного производства является нецелесообразным, так как эти испытания не из меняют количественные показатели надежности, а также не выявляют конструктивные дефекты изделия. Вместе с тем, после проведения ре сурсных испытаний изделие нельзя использовать по назначению, что приносит существенные экономические затраты, связанные со стоимо стью изделия и проведением испытаний. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 303 Анализ результатов периодических и гарантийных испытаний доро гостоящих изделий позволяет сделать заключение - эти испытания прак тически не влияют на обеспечение надежности в процессе серийного производства. Техническая нецелесообразность этих испытаний состоит в том, что они не позволяют выявить конструктивные дефекты, а также контролировать стабильность производства, т.е. качественное изготовле ние изделий, так как количественная оценка показателей надежности практически не может измениться от добавления объема этих испытаний к объему приемосдаточных испытаний. Рассмотрим экономическую сторону нецелесообразности проведе ния периодических и гарантийных испытаний сложных технических си стем. Обозначим затраты гарантийных испытаний через С и определим затраты на проведение приемосдаточных и периодических испытаний. Они составят для приемосдаточных испытаний 0,03 С; для периодичес ких - 0,1 С. Пусть стоимость изготовления одного изделия равна М, тогда затраты на изготовление и испытание годовой партии можно определить по формуле L = n(M +О,ОЗС)+ (Л/ + 0,1С), (5.50) где п - число изделий в годовой партии. Сравнительная оценка затрат на проведение периодических и прие мосдаточных испытаний может быть определена по относительной стои мости из выражения ь М + 0,1С (5.51) 1 " п(м + о,озс)’ Обозначим через ДТ = М+ 0,1 С - затраты на проведение периоди ческих испытаний одного изделия; а через L\ = и(Л/ + 0,03С) - затраты на изготовление и приемосдаточные испытания годовой партии изделий. Из практики известно, что затраты на изготовление изделия значи тельно превышают затраты на приемосдаточные испытания, т.е. М >> 0,03С, следовательно значением 0,03С в формуле (5.51) можно пренебречь. В этом случае § _ АЛ, _ М + 0,1С _ _1_ ! 0,1С 1 А, п пМ пМ Так как п (5.52) 0,1С » ----- , то можно принять, что пМ 5 .Д 1 п Lx (5.53) Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 304 Отсюда дополнительные затраты на проведение периодических ис пытаний от основных затрат составят Д,=—• (5.54) п Определим теперь затраты, связанные с проведением гарантийных испытаний. Так как эти испытания проводят с периодичностью один раз в три года, то материальные затраты с учетом изготовления, приемосда точных и периодических испытаний можно определить по формуле L = 3n(M + О,03С)+3(Д7 +0,1С). (5.55) Сравнительную оценку затрат на проведение гарантийных и прие мо-сдаточных испытаний с учетом стоимости изготовления определяют по относительной стоимости из выражения М+С _ ДЛ2 " Зп(л/ + О,ООС)_ ЗА, ' g _ 2 Допустим, что (5.56) 0,03 С, тогда я 1 . ’ Зи С (5.57) ЗпМ Так как С« ЗпМ, то вторым слагаемым в формуле (5.57) можно пренебречь, поэтому 52 ~ Зп ДА? (5.58) 3L} отсюда ДД-, = ^-. п Суммарные дополнительные расходы на проведение периодических и гарантийных испытаний за три года в первом приближении составят ДА = ЗДД, + ДД- = п п =Ж п (5.59) Подставляя в формулу (5.59) вместо L| его значение, получим ^*7 +п °-03С> = 4М + 0.I2C. М. (5.60) Таким образом, в первом приближении дополнительные затраты по трехгодовой партии с учетом периодических и гарантийных испытаний соответствуют стоимости изготовления четырех изделий. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ДЕФЕКТОВ И НЕИСПРАВНОСТЕЙ 305 Точное значение дополнительных затрат можно определить, исполь зуя формулу (5.55) \L = 3 ((Л + 0,1С)+ (М + С}= Ш + 1,ЗЗС (5.61) Пример 5.3. Заводом-изготовителем выпускаются сложные дорого стоящие изделия. Стоимость одного изделия в условных единицах со ставляет: М- 5,0 усл. ед., годовая партия изделий п = 80 шт., затраты на проведение гарантийных испытаний: С= 0,001 усл. ед. Определить долю затрат на периодические и гарантийные испытания годовой и трехгодо вой партий. Решение. По годовой партии общие затраты составят L = п(м + 0,03Cj+Л/ + 0,1С = 80- 5 + 80- 0,03 • 0,001+ 5,0 + 0,1 • 0,00 Ь 405 усл. ед. Затраты на проведение периодических испытаний ДА, = М + 0,1 С = 5 + 0,1 ■ 0,001 » 5 усл. ед. или в процентном отношении от общих затрат _ AZ,, -100% 5-100 о, - -------------------------- » 1,2 /о. L 405 По трехгодовой партии общие затраты составят L = Зп(М + 0,03С)+ 3 (М + 0,1С) + (М + С) = = 3 • 80 • (5 + 0,03 • 0,001) + 3 • (5 + 0,1 ■ 0,001) + (5 + 0,001)» 1220 усл. ед. Затраты на проведение периодических и гарантийных испытаний соответственно равны: АЛ, = 3(Л7 + 0,1С) = 3(5 + 0,1 -0,001)» 15 усл. ед.; АА2 = М + С = 5 + 0,001» 5 усл. ед. Общие дополнительные затраты за три года Д£ » АЛ, + Д^2 —15 + 5 = 20 усл. ед. или в процентном отношении „ AJ00 % ^—100%» 16%. 1220 Таким образом, дополнительные затраты на проведение периодиче ских и гарантийных испытаний составляют 20 усл. ед. или 1,6 % общих затрат'. 306 Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ На определение таких показателей, как ремонтопригодность, долго вечность и сохраняемость изделия, периодические и гарантийные испы тания практически не влияют. С целью определения этих показателей вместо проведения периодических и гарантийных испытаний достаточно выделить два изделия от серийной партии и проводить на них испытания до полного их износа, а по результатам испытаний оценить перечислен ные показатели надежности. Затраты на проведение этих испытаний значительно меньше по сравнению с затратами на проведение периодических и гарантийных ис пытаний. Так, например, если выпуск серийных изделий продолжается в течение трех лет, го затраты, связанные с определением ремонтопригод ности, долговечности и сохраняемости, сокращаются примерно в 2 раза по сравнению с затратами на проведение периодических и гарантийных испытаний за этот период. В случае появления повторяющихся отказов в процессе эксплуатации отдельных сборочных единиц или систем необхо димо назначить их периодические и гарантийные испытания в цеховых условиях от соответствующей серийной партии изготовленных изделий. 5.9. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ ИЗДЕЛИЙ СЕРИЙНОГО И МАССОВОГО ПРОИЗВОДСТВА В отличие от изделий единичного и малосерийного производства, которые не подвергаются испытаниям на надежность, изделия массового производства имеют свои особенности при контроле качества и планиро вании испытаний. Испытания на надежность изделий серийного и массо вого производств проводят в составе периодических и типовых испыта ний или выделяют в самостоятельные испытания, а также наблюдения при подконтрольной эксплуатации. Контрольные испытания на надежность проводят по методикам, со держащимся в стандартах и ТУ, или по специальным методикам, согла сованным, утвержденным и аттестованным в установленном порядке. Периодичность контрольных испытаний на надежность устанавли вают в зависимости от контролируемых показателей и числа выпускае мых изделий. Состав испытаний на надежность приведен в табл. 5.2. Контрольные испытания на ремонтопригодность проводят в целях проверки соответствия показателей ремонтопригодности изделий значе ниям, установленным в нормативно-технической документации. Если специально организовать контрольные испытания на ремонтопригод ность невозможно или экономически нецелесообразно, то контроль ре монтопригодности проводят в процессе эксплуатации при проведении технических обслуживаний и ремонтов. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА И ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ 307 5.2. Состав испытаний на надежность Контро лируемое свойство надежно сти Виды проводимых испытаний предва ритель ные приемоч ные квалифи кацион ные приемосдаточ ные периоди ческие типовые Безот Опреде Контрольные казность литель ные Сравни тельные Ремонтопригод ность Опреде Контрольные лите льные Не прово Сравни дят тельные Долго веч ность Самостоятельно проводимые Самостоятельно проводимые Сохра ня емость Определительные Не проводят Комби Опреде Контрольные нация литель несколь- ные сколь ких свойств Определительные Не про Контро льные водят Контроль ные или сравните льные Контрольные испытания на ремонтопригодность, как правило, совмещают с испытаниями по оценке других показателей надежности изделий. Для подтверждения количественных показателей надежности, уста новленных в ТУ, планирование испытаний осуществляют методом фик сированного объема или методом последовательного анализа, которые подробно описаны в гл. 4. Глава 6 ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ НА ЭТАПЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ 6.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ МАШИНОСТРОЕНИЯ В процессе эксплуатации изделия машиностроения подвержены воз действию двух противоположных по характеру влияния процессов - из нашиванию и восстановлению. Эти процессы определяют техническое состояние и работоспособность изделий в каждый период времени их использования. В результате изнашивания сопряжений и трущихся поверхностей рабочих органов, старения материалов, разрегулировок, скрытых произ водственных дефектов и различных эксплуатационных повреждений происходит постепенное или скачкообразное ухудшение технического состояния изделия. Вместе с тем, проводимые в процессе эксплуатации различные виды технического обслуживания и ремонта снижают интен сивность ухудшения технического состояния изделия, предупреждают возникновение отказов и восстанавливают их работоспособность. Харак тер и режимы этих двух процессов определяют длительность неработо способного состояния изделия, затраты труда и средств на проведение технических обслуживании и ремонтов. Таким образом, ремонтопригодность как одно из свойств изделий, необходимо закладывать при разработке конструкций, обеспечивать при их изготовлении и поддерживать на заданном уровне в процессе эксплуа тации, поэтому рациональное решение вопросов ремонтопригодности возможно лишь при условии их рассмотрения как на этапе проектирова ния, так и на этапах производства и эксплуатации изделий. Здесь имеют ся в виду состояние научно-технического прогресса в рассматриваемой отрасли; состояние организации работ и груда при эксплуатации изделий; материально-техническое обеспечение их эксплуатации и ремонта; тех ническая оснащенность работ и подготовка специалистов, привлекаемых для их выполнения. Проблема ремонтопригодности изделий является составной частью общей проблемы качества изделий. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ 309 К наиболее важным проблемам обеспечения ремонтопригодности изделий относятся обоснование системы подготовки специалистов обес печения ремонтопригодности, а также разработки: - системы классификации изделий как объектов эксплуатации, обслуживания и ремонта; - методов и руководящих материалов по рациональной организа ции обслуживания и ремонта с учетом особенностей конструкций изде лий, их назначения и условий эксплуатации; - методов установления состава, мощности и технического осна щения подразделений технического обслуживания и ремонта; - прогрессивных технологических методов восстановления поте рявших работоспособность конструктивных элементов; - рациональных методов определения технического состояния из делий и их элементов. Перечисленные направления позволяют сделать вывод о комплекс ном характере и сложности проблемы, которая может быть решена толь ко в результате системного к ней подхода. В практике проектирования и эксплуатации машин накоплен значи тельный опыт создания конструкций, обладающих высоким уровнем тех нологичности при техническом обслуживании и ремонте. Характерными признаками таких конструкций являются блочный характер исполнения, доступность для обслуживания и контроля технического состояния, дол говечность конструкционных элементов, приспособленность конструк ции в целом и отдельных ее элементов к восстановлению работоспособ ности. Задача состоит в том, чтобы примеры таких удачных конструк тивных решений стали достоянием широкого круга специалистов в обла сти проектирования и эксплуатации. Создание руководящих материалов - один из основных путей решения этого вопроса. Установление системы требований к изделиям в отношении ремон топригодности их конструкций, обеспечение этих требований при проек тировании и эксплуатации предполагает проведение качественной и ко личественной оценки достигнутого уровня ремонтопригодности и срав нение полученных решений с заданными требованиями и аналогичными конструкциями [46]. Качественный анализ конструктивных решений осуществляют на всех этапах создания конструкции изделия — начиная от анализа конст рукторской документации технического проекта до анализа конструкции опытных образцов. Основным назначением качественного анализа кон струкции изделия является оценка схемно-конструктивных решений по разделению конструкции на составные части, доступности к местам кон- 310 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ троля и обслуживания, удовлетворению требований к взаимозаменяемости, унификации, конструктивно-технологической преемственности и т.п. Количественная оценка ремонтопригодности изделий предполагает определение значений основных и вспомогательных показателей, харак теризующих затраты времени, труда и денежных средств на техническое обслуживание и ремонт. Полученные при этом данные являются исход ным материалом для последующего установления нормативов затрат времени, труда и средств на техническое обслуживание и ремонт изделий в процессе эксплуатации. На этапе разработки конструкции изделия значения показателей ре монтопригодности определяют приближенно с использованием аналити ческих методов. Проводимые испытания для уточнения или контроля значений показателей ремонтопригодности, как правило, осуществляют на опытных образцах. Наиболее полная и объективная оценка конструкции изделия может быть получена в результате обобщения и статистического анализа дан ных эксплуатации или специальных испытаний натурных образцов. Недостатками этого метода являются большие затраты времени и денеж ных средств, а при неквалифицированной постановке экспериментов и малая достоверность полученных результатов. Применение математического аппарата, методов математической статистики и теории планирования статистических экспериментов позво ляет значительно повысить эффективность экспериментальных исследо ваний при заданных затратах времени и средств или снизить эти затраты при заданной точности и эффективности экспериментов. Целью стати стических исследований конструкций изделий, как объектов проектиро вания, эксплуатации и ремонта, может быть оценка значений показателей ремонтопригодности конструкции или установление влияния на нее раз личных факторов. В последнем случае выявляют факторы, существенно влияющие на рассматриваемое свойство, и устанавливают вид модели, связывающей характеристики ремонтопригодности и характеристики этих факторов, а также находят область изменения учитываемых факто ров, в которой показатели ремонтопригодности принимают экстремаль ное значение. Длительность неработоспособного состояния изделий в связи с про ведением технического обслуживания и ремонтов, а также затраты труда и средств на их осуществление в значительной мере определяются при нятой системой технического обслуживания и ремонта. Составляющи ми этой системы являются периодичность, виды и содержание техниче ских обслуживаний и ремонтов, принятые организационные формы и методы осуществления соответствующих работ, техническая оснащен ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ 311 ность и мощность организаций, привлекаемых к проведению работ, си стема обеспечения работ материалами и запасными частями. Задачи установления периодичности и содержания различных видов обслуживания и ремонта относятся к классу экстремальных задач, когда для рассматриваемой совокупности факторов и принятого понятия опти мальности системы обслуживания может быть установлено единственно возможное сочетание видов, периодичности профилактических работ и их содержания. Определяющими, в этом случае, факторами являются конструктивные особенности изделия (его сложность, состав конструк тивных элементов и значения их показателей долговечности) и условия его эксплуатации (режимы использования, интенсивность воздействия рабочих нагрузок, режимы внешних воздействий). В практике эксплуатации изделий применяют многие методы вос становления их работоспособности. Не менее разнообразны и организа ционные формы проведения профилактических и восстановительных работ. Так, например, работоспособность конструктивных элементов из делий можно восстановить, используя самые разнообразные техноло гии - сварку и наплавку, напыление, гальваническое наращивание и т.п. Поэтому всегда возникает вопрос о выборе такого восстановительного технологического процесса, который бы наиболее полно соответствовал конкретным условиям. Основными определяющими факторами при ре шении этого вопроса являются объем ремонтных работ, конструктивно технологические особенности объектов восстановления, затраты на вос становление и сроки службы отремонтированных конструктивных эле ментов. Для каждого комплекса установленных условий осуществления восстановительных работ могут быть указаны наиболее приемлемые тех нологические процессы восстановления. В соответствии с заданными требованиями на восстановительные работы могут быть определены и оптимальные организационные формы их выполнения. Непосредственное отношение к проблеме ремонтопригодности имеют вопросы материального обеспечения технического обслуживания и ремонта машин, и в первую очередь, - обеспечение запасными частями. Восстановление технического состояния машин заменой потерявших работоспособность конструктивных элементов на элементы из состава комплектов ЗИП обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами восстановления. Правильное планирование и рациональное содержание работ по техническому обслуживанию и ремонту возможно при наличии объективной и полной информации о техническом состоя нии изделий и их конструктивных элементов. 312 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Существует много методов и средств определения технического со стояния изделий и их составных частей, в основу которых положены раз личные признаки изменения технического состояния и физические прин ципы их определения. Одной из важнейших задач, решаемых при созда нии конструкции изделия, является принятие таких конструктивных ре шений, которые позволяют определять техническое состояние наиболее экономичными методами и техническими средствами. Широко применя ют методы технической диагностики, с помощью которых можно оце нить техническое состояние изделия без его детальной разборки, т.е. по изменению какой-либо интегральной характеристики, являющейся функ цией работоспособности. В качестве таких характеристик часто исполь зуют расход энергии или потребляемую мощность, характер шумового поля, создаваемого работающими механизмами и т.д. 6.2. ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ В целях объективного управления свойством ремонтопригодности изделий вводят количественные показатели ремонтопригодности, кото рые, как и показатели надежности, являются случайными величинами и поэтому для их определения используют математический аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслужи вания. В зависимости от решаемых задач показатели ремонтопригодности подразделяют на показатели: основные и дополнительные, собственно ремонтопригодности, технологичности при обслуживании, технологич ности при ремонте, оперативные и экономические, единичные и ком плексные. Основные показатели ремонтопригодности - среднее время восста новления изделия, вероятность и интенсивность его восстановления. Эти показатели являются нормируемыми, и их задают в ТЗ на проектиро вание изделий. Дополнительные показатели ремонтопригодности ненормируемые, их не задают в ТЗ на проектирование, так как эти показатели характери зуют менее существенные свойства изделий. Показатели собственно ремонтопригодности характеризуют ком плексную приспособленность изделия к профилактическим и восстано вительным работам. К числу этих показателей относят: оперативные, экономические, единичные и комплексные показатели. Оперативными (единичными) показателями являются среднее время восстановления, вероятность восстановления в заданное время и интенсивность восста новления. Экономические показатели - средние и удельные затраты тру ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 313 да и денежных средств на техническое обслуживание и ремонт. К ком плексным показателям относят коэффициенты готовности и техническо го использования. Под средним временем восстановления Тв понимают математиче ское ожидание времени восстановления работоспособности. Если извест на плотность распределения времени восстановления, то среднее время восстановления Та определяется по формуле 00 7 = мвв]=р/в(Мп о (6.1) где Лфв] - математическое ожидание времени восстановления работо способности;/^/) - плотность распределения времени восстановления. Оценку среднего времени восстановления по статистическим дан ным, полученным в результате испытаний или эксплуатации, находят по формуле где /в, - время устранения /-го отказа; m - число отказов, зафиксирован ных в процессе испытаний или эксплуатации. Среднее время восстановления входит в состав комплексных пока зателей, поэтому этот показатель нашел широкое распространение. Его недостаток - зависимость значения показателя от вида закона рас пределения времени восстановления. Так как среднее время восстановле ния изделия носит случайный характер, то для оценивания точности это го показателя вводят характеристики рассеяния - дисперсию 0[/п] или среднее квадратическое отклонение <т['в]=-/я['в] • Не менее важен для восстанавливаемых изделий такой показатель ремонтопригодности, как вероятность восстановления изделия в задан ное время ) /), определяемая из соотношения PB(t) = Вер{/в < /}, (6.3) где t — заданное время восстановления. Этот показатель характеризует вероятность того, что возникший от каз будет обнаружен и устранен за время, не превышающее заданное время t. 314 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Вероятность восстановления изделия в заданное время вычисляют по формуле (6.4) статистическое значение вероятности восстановления - по формуле >„(,)=|_.АьЦ, О + Д<) (6.5) где na(t + А?) - число изделий, не восстановленных за интервал времени /.,.(/ + Д/); /\''„(/+Д/) - число изделий, подлежащих восстановлению за этот же интервал времени. Таким образом, при определении вероятности восстановления Г„(/) требуется знание закона распределения времени восстановления. В прак тике чаще всего в качестве закона распределения времени восстановле ния используют экспоненциальное распределение или распределение Пуассона. Наиболее распространенный показатель ремонтопригодности интенсивность восстановления ц(7) - характеризует вероятность восста новления работоспособности изделия в единицу времени при условии, что до этого момента времени восстановление не произошло. При из вестном законе распределения времени восстановления значение ц(/) определяют по формуле ^) = где Fa(t) - функция распределения времени восстановления. По статистическим данным интенсивность восстановления ЦМ_ "?„(* +Др (6.6) (6.7) где А/ - рассматриваемый промежуток времени; /пп(/ + Д/) - число вос становлений в интервале времени ( . . . ( ( + А/); и„(/ + Д/) - число невосста новленных изделий на момент времени t. Для оценки оперативной ремонтопригодности вводят комплексные показатели, среди которых наибольшее распространение получили коэф фициент готовности и коэффициент технического использования. Коэффициент готовности Кг представляет собой вероятность того, что изделие будет работоспособно в любой период времени, кроме пери одов выполнения планового технического обслуживания. ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 315 В стационарном (установившемся) режиме эксплуатации независи мо от вида закона распределения времени работы между отказами и вре мени восстановления коэффициент готовности определяют по формуле (6-8) где Т - наработка между отказами. Другой важной характеристикой ремонтопригодности является ко эффициент технического использования КТП, который представляет со бой отношение наработки изделия (в единицах времени) за некоторый период эксплуатации к сумме этой наработки и времени всех простоев, обусловленных устранением отказов, техническим обслуживанием и плановым ремонтом за тот же период. Коэффициент технического использования определяют по формуле (6-9) где tp - суммарная наработка изделия в рассматриваемый промежуток времени; /рем, /то и - суммарное время, затраченное на плановый ре монт, техническое обслуживание и восстановление за тот же период вре мени, соответственно. К числу экономических показателей ремонтопригодности, являю щихся комплексными, относятся следующие показатели: средние затраты денежных средств на техническое обслуживание и ремонты - Ст.0,р; сред ние затраты труда на техническое обслуживание и ремонты - ГТд.о, Р; суммарные затраты денежных средств на техническое обслуживание и ремонты - С\; суммарные затраты труда на техническое обслуживание и ремонты - Д ,.; удельные затраты средств на техническое обслуживание и ремонты - Cs; удельные затраты труда на техническое обслуживание и ремонты - Д т. Средние затраты денежных средств и труда на техническое об служивание и ремонты определяют по зависимостям, аналогичным зави симостям для среднего времени восстановления. Определение суммарных затрат на техническое обслуживание и ре монт рассмотрим на примере определения затрат труда. В этом случае рему (6.10) 316 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ где Ато и Ар — числа видов технического обслуживания и ремонтов, уста новленных для рассматриваемого вида изделий, соответственно; /7Т0, и nv/ - числа обслуживании и ремонтов рассматриваемого вида за время /э эксплуатации, соответственно; Тт.т.о/ и Га.рем7 - средние трудоемкости обслуживания и ремонта рассматриваемого вида, соответственно. Значения и и Тт определяют расчетом и по статистическим данным. Удельные суммарные затраты труда - _ Т f ‘'У ' T.t /К 1 1\ 5 где S - срок эксплуатации изделия (в годах или единицах наработки) за рассматриваемый период эксплуатации /э. Показатели технологичности изделий при обслуживании определя ют затраты времени, труда и денежных средств на их техническое об служивание в процессе эксплуатации. Наиболее распространенными показателями технологичности изде лия при обслуживании являются показатели: - оперативные - среднее время проведения /-го вида технического обслуживания и вероятность проведения технического обслуживания /-го вида в заданное время; - экономические - средняя, суммарная и удельная трудоемкости технического обслуживания и средняя, суммарная и удельная стоимости технического обслуживания. Среднее время проведения /-го вида технического обслуживания определяют по формуле, аналогичной формуле для оценки среднего вре мени восстановления изделия, ЛТ.о, = p-ro/Ao/W' , (6-12) о где /то,- случайное время технического обслуживания /-го вида; ,А.о<(0 _ плотность вероятности времени технического обслуживания. Вероятность проведения технического обслуживания /-го вида в за данное время находят, используя зависимость 00 ô, = Ja..,(,R (6.13) О Средние трудоемкость 7т.о/ и стоимость Сто, технического обслу живания /-го вида определяют по аналогичным формулам, статистиче ские их значения - по формулам (на примере трудоемкости) ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ Гт,т.о,= — 317 (6-14) ит.о, 7=| Суммарная трудоемкость технического обслуживания всех видов за период эксплуатации равна 10 ^т.т.о = £Пт.оЛ,т.о/ • (6|5) |=| Удельную трудоемкость технического обслуживания находят из со отношения ГГт,.о=у^(6-16) По аналогичным зависимостям определяются значения СЕто и (■Ет.о * Показатели технологичности изделий при ремонте - показатели, относящиеся как к изделию в целом, так и к его составным частям. Показателями технологичности при ремонте'. - оперативные - среднее время ремонта /-го вида TpeMi', вероят ность проведения ремонта /-го вида в заданное время Ррем,(/); - экономические - средняя трудоемкость ремонта /-го вида ТРеЫ д средняя стоимость ремонта /-го вида СреМ/; суммарная трудоемкость 7s т, рем и суммарная стоимость ремонта Cr^peiM удельная трудоемкость 7’s т рем и удельная стоимость СЕт , реМ ремонта. Для определения количественных значений этих показателей используют зависимости, аналогичные принятым для показателей техни ческого обслуживания. 6.3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ Дополнительные показатели ремонтопригодности позволяют более широко охарактеризовать как экономическую, так и техническую ремон топригодность. В зависимости от назначения изделий дополнительные показатели можно подразделить на три группы: - первая группа - показатели, характеризующие совершенство кон струкции; - вторая группа - показатели, характеризующие приспособленность конструкции изделий к техническому обслуживанию и ремонту; Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 318 - третья группа - показателе характеризующие приспособленность конструкции к применению прогрессивных методов технического об служивания и ремонта. К показателям первой группы относятся: - коэффициент применяемости конструктивных элементов _Nt+Na + Nt+Na к "Р Nc + + + Nn+ No N«6 (6.17) где Nc - число наименований типоразмеров стандартизированных дета лей в изделии; N„ - число наименований типоразмеров нормализованных деталей; N3-число наименований типоразмеров заимствованных деталей; Nn - число наименований типоразмеров покупных сборочных единиц и деталей; No - число наименований типоразмеров оригинальных деталейо входящих в изделие; Мо5 - общее число наименований конструктивных элементов изделия; - коэффициент унификации - коэффициент показывающие какая часть из использованных в изделии деталей является унифицированной ^у=-г2-’ (6-18) ;’об где Ny - число наименований типоразмеров унифицированных деталей; - коэффициент конструктивной преемственности К Кк.пр -=■ (6.19) ОО где Мр - число наименований ранее освоенных сборочных единиц и де талей; - коэффициент взаимозаменяемости вз м ''об (6.20) где NK, - число взаимозаменяемых деталей и сборочных единиц в из делии; - коэффициент кратности технического обслуживания Ккр.Т.оО^-^’ (6.21) ”об где Лкр.т.о - число элементов изделияо периодичность обслуживания кото рых является кратным периодичности технического обслуживания изде лия в целом; ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ 319 - коэффициент кратности сроков службы конструктивных эле ментов (6.22) где ?VKp.c - число элементов изделия, срок службы которых является крат ным периодичности технического обслуживания и ремонтов изделия в целом. Требование кратности или равной периодичности обслуживания и сроков службы элементов изделия - одно из важнейших требований ре монтопригодности. К показателям второй группы относятся: - требования по обеспечению и оцениванию контролепригодности изделий, определяемые коэффициентом общей контролепригодности; - требования по обеспечению и оцениванию доступности и легкосъемности составных частей изделия, определяемые коэффициентами доступности и легкосъемности. Коэффициент общей контролепригодности определяют по формуле (6.23) где NK - число элементов изделия, приспособленных к контролю их тех нического состояния в процессе эксплуатации изделия различными спо собами; Кко5 - общее число элементов, которые в процессе эксплуатации необходимо контролировать. Коэффициент контролепригодности может быть выражен также со отношением где NK с - число составных частей, снимаемых с изделия для контроля их параметров; Nk5c - число составных частей, контролируемых без съемки с изделия. Коэффициент доступности рассчитывают по формуле доп Тдоп +“г т1 осн (6.25) где ГдОп и Г0С1[ - трудоемкости дополнительных и основной работ, чел./ч, соответственно; 320 > Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ К основным работам относят контрольные, регулировочные, сма зочные, заправочные операции, демонтаж и монтаж сборочных единиц и составных частей, подлежащих замене. К дополнительным работам относят снятие и установку крышек люков, панелей, блоков, капотов, теплозвукоизоляции, демонтаж и мон таж рядом установленного и не подлежащего съему оборудования и т.д. Коэффициент легкосъемности определяют по формуле ДГМ ^=1--^’ * дм (6.26) где Л7Дм - отклонение трудоемкости демонтажно-монтажных работ по рассматриваемой составной части изделия в сравнении с эталонным зна чением, чел./ч; Тт - трудоемкость демонтажно-монтажных работ по рас сматриваемой составной части изделия, чел./ч. За эталонное принимают значение показателя легкосъемности, за данное в техническом задании на изделие или аналогичного образца, принятого за эталон. Наиболее распространенными показателями третьей группы явля ются: - коэффициент восстановления ресурса при ремонте (6.27) ур.н где Тр, р и Гр. „ - ресурсы изделия и его составных частей, подвергнутых ремонту и новых, соответственно; - коэффициент применяемости /-го вида ремонта (ремонты регу лированием, заменой и т.д.) Ап, А'р., (6.28) ' ’ р. об где Ар., - число конструктивных составных частей, ремонт которых предполагается осуществить /-м методом (при текущем, среднем или ка питальном ремонтах); Ар. о6 - общее число составных частей, восстанов ление которых предполагается осуществлять в процессе эксплуатации, а также при среднем и капитальном ремонтах. Практика ремонтно-восстановительных работ изделий машиностро ения показывает, что коэффициент Кв р во многих случаях составляет 0,3...0,4 первоначального ресурса. В то же время, проведение ремонтно восстановительных работ на специализированных ремонтных заводах ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ 321 позволяет увеличить вторичный ресурс до 0,8... 1,0 первоначального, а при проведении модернизации Кв. р может быть даже больше единицы. Особое место среди дополнительных показателей ремонтопригодно сти занимают технико-экономические показатели, характеризующие за траты труда и денежных средств на техническое обслуживание и ремонт. К ним относят: - коэффициент затрат денежных средств или труда на техниче ское обслуживание и ремонт (6.29) и где Cv - суммарные затраты денежных средств или труда на техническое обслуживание и ремонт за рассматриваемый период эксплуатации; Сн начальная стоимость изделия (или трудоемкость его изготовления); - коэффициент затрат на ЗИП (6.30) где С3ип - стоимость ЗИП, расходуемых за рассматриваемый период экс плуатации. К третьей группе показателей можно отнести также: - коэффициенты технической оснащенности работ при техниче ском обслуживании Кт. т.о и ремонте Л?ор: С ^О, т.о . (6-31) (6.32) где Со; т.о и С0,р - стоимости технологического оборудования, используе мого при техническом обслуживании и ремонте, отнесенные к одному изделию, соответственно; - коэффициенты технической вооруженности специалистов, при влекаемых к техническому обслуживанию (Кв>т.о) и ремонтам (КВ1 р): ^,Т.О=тЛ (6.33) (6.34) 322 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ где Ncn то и Ncn,p - числа специалистов, привлекаемых к техническому обслуживанию и ремонту, соответственно; - коэффициенты, определяющие среднюю квалификацию специали стов, привлекаемых к проведению технического обслуживания (Акв т0) и ремонта (Ккв. р): ^Т.О , ^Т.О Z ^кв / А' кв,т.0 - ,=1 N 1 У СП, Т.0 (6.35) 5, ир j Ккв j л">-р (6.36) /V СП, р где ито, и /7р; - числа специалистов, привлекаемых к работам для прове дения технического обслуживания и ремонта z'-го (/-го) вида, соответ ственно; Кк№, и Ккв1 - разряд работ при выполнении обслуживания /-го вида и ремонта /-го вида, соответственно. 6.4. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ И ИЗГОТОВЛЕНИИ При разработке и изготовлении изделий машиностроения необхо димо решить три задачи обеспечения ремонтопригодности: 1) установить требования к ремонтопригодности; 2) обеспечить выполнение требований к характеристикам ремонто пригодности; 3) оценить достигнутый уровень характеристик ремонтопригод ности. Проектирование изделий машиностроения начинают с разработки технического задания, в котором, наравне с техническими характеристи ками, устанавливают требования к количественным показателям надеж ности и ремонтопригодности. Включение в ТЗ на проектирование требо ваний к ремонтопригодности объясняется необходимостью: - снизить объем и трудоемкость технического обслуживания и ремонта; - упростить контроль параметров, характеризующих техническое состояние и работоспособность изделий, и упростить процессы обнару жения и устранения отказов. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 323 Основными путями решения проблемы ремонтопригодности на эта пе проектирования являются: - анализ тенденций развития конструкций изделий и совершен ствование системы их технического обслуживания и ремонта; - применение рациональных методов выбора состава показателей ремонтопригодности; - анализ ремонтопригодности изделий, находящихся в эксплуа тации; - качественная и количественная оценки характеристик ремонто пригодности. В общие требования к ремонтопригодности входят: - условия эксплуатации и ремонта; - состав и количественные характеристики показателей ремонто пригодности; - требования к эксплуатационной и ремонтной документации; - методы оценивания качественных характеристик и количествен ных показателей ремонтопригодности. В раздел требований к условиям эксплуатации и ремонта изделий включают: - принятую систему технического обслуживания и ремонта; - условия выполнения работ по техническому обслуживанию и ремонту; - квалификацию и численность эксплуатационного и ремонтного персонала. В техническом задании на конкретное изделие могут содержаться также показатели и характеристики совершенства его конструктивного исполнения, направленные на улучшение ремонтопригодности, наиболее важными из которых являются: - общие требования к конструкции и компоновке изделия, направ ленные на сокращение времени, труда и средств при техническом обслу живании и ремонте; - требования и показатели, характеризующие преимущественно приспособленность конструкции к техническому обслуживанию и ре монту - доступность, легкосъемность, контролепригодность и др.; - требования к ремонтной технологичности деталей и сборочных единиц; - требования и показатели, характеризующие техническую осна щенность работ средствами контроля технического состояния при техни ческом обслуживании и ремонте. 324 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Кроме общих требований к ремонтопригодности изделий, следует указать частные требования к технологичности в обслуживании и ремонте. Требования к стандартизации и унификации. При создании новых изделий должны быть широко использованы выпускаемые промышлен ностью стандартизированные и унифицированные составные части, вы сокое качество которых подтверждено опытом эксплуатации. Конструкция изделия должна обеспечивать минимальное использо вание при техническом обслуживании и ремонте специального инстру мента и приспособлений. Общее число используемых в изделии крепеж ных деталей и их типоразмеров должно быть минимальным. Конструкция изделия должна предусматривать использование огра ниченного числа типов смазочных материалов, высокое качество кото рых подтверждено опытом эксплуатации. Требования к преемственности технологических процессов техни ческого обслуживания и ремонта конструктивно-однотипных машин. При создании новых изделий необходимо учитывать принятые в отрасли системы технического обслуживания и ремонта и типизацию технологи ческих процессов. Требования к контролепригодности изделий. Сборочные единицы изделий, для контроля технического состояния которых требуется боль шой объем разборочных работ, должны быть приспособлены к диагно стированию способами и средствами косвенного контроля. Особенно легкодоступными для контроля технического состояния должны быть сборочные единицы и детали, ресурс которых меньше межремонтного ресурса изделия. Требования к принципам рационального расчленения и расположе ния сборочных единиц изделия. Конструкция изделия должна обеспечи вать удобство и легкость независимого расчленения ее на сборочные единицы. В местах соединений сборочных единиц должны быть установ лены быстроразъемные соединения для электроцепей, маслопроводов, топливопроводов и т.п. Расположение сборочных единиц изделия должно обеспечивать возможность независимого выполнения операций техниче ского обслуживания. Соединения в сборочных единицах, подлежащих разборке и сборке, необходимо выполнять таким образом, чтобы исключить возможность их неправильного монтажа при ремонте (рекомендуется использовать мар кировку, окрашивание в различные цвета однотипных деталей, предна значенных для выполнения различных функций, нанесение рисок и др.). На детали с ответственными сопряжениями, обработанные при изготов лении совместно или приработанные в процессе использования, необхо димо наносить монтажные метки для их правильной сборки. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 325 Требования к доступности деталей и сборочных единиц. При кон струировании изделий должна учитываться необходимость проведения работ по техническому обслуживанию и ремонту в установленные сроки и с заданной трудоемкостью. Части изделий, подлежащие техническому обслуживанию и ремонту (резьбовые соединения, прочие крепежные де тали, точки смазывания, места регулировки, контроля и т.д.) должны быть легкодоступными. В требованиях к доступности исключена необхо димость работы персонала по техническому обслуживанию и ремонту в неудобных позах. Не допускается конструировать резьбовые соединения, расположен ные в труднодоступных местах, в результате чего при отворачивании гаек проворачивались бы болты. Нарезку резьбовых соединений необхо димо защищать от механических повреждений и коррозии. Требования к легкосъемности деталей и сборочных единиц при тех ническом обслуживании и ремонте должны устанавливаться с учетом требований безотказности, долговечности и сохраняемости. У деталей и сборочных единиц, имеющих большую массу, должны быть предусмот рены элементы их захвата подъемно-транспортными средствами - рымболты, ушки, приливы и т.д. Системы крепления деталей, конструкции разъемов и другие эле менты соединений должны обеспечивать легкосъемность деталей и сбо рочных единиц, особенно требующих периодической замены. Размеще ние стопорящих деталей не должно вызывать затруднений при разборке и сборке узлов. Стопорные кольца должны иметь демонтажные ушки. Не допускается конструировать такие сопряжения, в которых при демонтаже подшипников качения силы прессования (превышающие до пустимые для подшипников) передавались бы через шарики или ролики. Требования к взаимозаменяемости однотипных деталей и сбороч ных единиц, выполняющих одинаковые функции и несущие близкие по величине нагрузки, - взаимозаменяемость по геометрическим размерам, характеристикам посадок, рабочим параметрам и т.д. Требования к приспособленности составных частей изделия для вы полнения регулировочно-доводочных работ. Конструкция изделия должна быть приспособлена к выполнению доводочно-регулировочных работ в процессе технического обслуживания и ремонта. Для этого в конструк ции предусматривают необходимое число регулируемых элементов в составных частях изделия, необходимые пределы изменения значений па раметров и возможность регулирования параметров отдельных звеньев. Требования к конструкции изнашивающихся деталей изделия, ре монт которых экономически целесообразен, - приспособленность к вос становлению до первоначальных или ремонтных размеров с применени 326 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ем прогрессивных восстановительных технологических процессов. Для восстановления режущей способности рабочих органов должен быть предусмотрен доступ к ним заточных устройств или обеспечена легкосъемность режущих элементов. Базовые конструктивные элементы (рамы, корпусы, балки, крон штейны и т.п.) не должны иметь изнашивающихся участков, срок службы которых меньше полного срока службы изделия. При невозможности выполнения этого условия целесообразно использовать сменные части (втулки, накладки, шайбы, прокладки и т.п.) с их указанием в техниче ской документации. Односторонне изнашивающиеся детали целесооб разно конструировать с учетом возможности перестановки их для работы другой стороной. Ресурс изнашивающихся деталей, как правило, должен быть равен заданному межремонтному периоду сборочной единицы изделия, пре вышать этот период или быть кратным ему. Ресурс быстроизнашивающихся легкосъемных деталей (ремней, пальцев и ножей режущих аппара тов, фильтров и т.п.) может быть меньше межремонтного периода сбо рочной единицы. Требования по приспособленности изделия к транспортированию и хранению. В технической документации по эксплуатации изделий долж ны быть приведены правила их транспортирования и установки на хра нение, указаны агрегаты и сборочные единицы, которые нельзя транс портировать и хранить в любом положении, а также указано в каких ме стах изделия допускается устанавливать подставки, подкладки и домкра ты. В конструкциях составных частей изделия, подвергающихся корро зионным воздействиям, не должно быть мест скопления влаги, пыли, ра бочих отходов и т.д. В необходимых случаях в местах возможного скоп ления влаги должны быть предусмотрены сливные открытые отверстия. 6.5. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ В ПРОЦЕССЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ. СИСТЕМА ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И РЕМОНТА Система технического обслуживания и ремонта состоит из комплек са положений и нормативов, определяющих стратегию проведения работ по поддержанию и восстановлению работоспособности и ресурса нахо дящихся в эксплуатации изделий, а также определяет затраты времени, труда и денежных средств на поддержание изделия в работоспособном состоянии. Организация выполнения работ, состав специалистов, техни ческое оснащение и материальное обеспечение работ по техническому обслуживанию и ремонту оказывают влияние на значения показателей ремонтопригодности. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 327 При разработке системы технического обслуживания и ремонта ре шают комплекс проблем, связанных с обеспечением требуемого уровня надежности изделий при определенных затратах на выполнение работ, предусмотренных в системе [46]. Разработка системы технического обслуживания осуществляется по одному из следующих двух направлений: 1) плановые работы связаны с предупреждением отказов и неис правностей; 2) ремонтные работы направлены на восстановление работоспособ ности и ресурса изделий. Периодичность, продолжительность, трудоемкость и затраты де нежных средств на техническое обслуживание и ремонты могут нахо диться в различных соотношениях в зависимости от конструктивных особенностей изделия, условий его эксплуатации. При разработке системы технического обслуживания и ремонта плановые работы назначают: - по достижении определенной наработки, измеренной в соответ ствующих единицах; - по достижении установленных календарных сроков эксплуа тации; - по обоим названным признакам. По срокам проведения технического обслуживания различают две основные стратегии: планово-предупредительную, при которой профи лактические работы проводят по достижении определенной наработки или срока службы, и смешанную, при которой работы выполняют через определенную наработку или с учетом появления отказов, возникших в период между техническими обслуживаниями. При планово-предупредительной стратегии моменты времени по ступления изделия на техническое обслуживание заранее определены. Это позволяет четко планировать работу, обеспечивать равномерную загрузку обслуживающего персонала, заранее готовить комплекты запас ных частей. Основным недостатком такой системы является отсутствие учета фактического состояния изделия к моменту проведения профилак тических работ. При смешанной стратегии возникающие простои изделий в связи с отказами используют для проведения работ по техническому обслужива нию. При такой стратегии моменты времени поступления изделий на техническое обслуживание точно не определены, что создает трудности в планировании и подготовке производства. 328 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ По характеру работ, выполняемых при технических обслуживаниях, различают следующие стратегии технического обслуживания: с прину дительной заменой сборочных единиц; с заменой сборочных единиц по их техническому состоянию; с заменой износившихся деталей и сбороч ных единиц. Все виды технических обслуживании включают в себя опе рации контроля, регулировки, подналадки и замены сборочных единиц. При выборе оптимальной стратегии технических обслуживании можно воспользоваться одним из следующих методов решения задачи [27]: а) по характеру используемой информации - с использованием априорной (доопытной) и апостериорной (послеопытной) информации; б) по видам возможных состояний технического устройства - рас сматривают либо два состояния: исправное и неисправное, либо множе ство состояний: системы с накоплением нарушений; в) по признаку утраты техническим устройством работоспособно сти - по суммарному предельному состоянию (потеря работоспособности при выходе из строя определенного числа элементов) и доминирующему признаку (доминирующему элементу или параметру); г) по виду математической модели, используемой для решения за дачи - модели дифференциального программирования и основанные на использовании марковских процессов и динамического программиро вания. К неоптимальным методам решения задачи по выбору стратегии технических обслуживании относится опытно-статистический метод, когда решение о выборе метода технического обслуживания принимают но данным испытаний или эксплуатации изделий рассматриваемого вида. 6.6. ВЛИЯНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И РЕМОНТА НА ЗНАЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ Среди эксплуатационных факторов, влияющих на значения характе ристик ремонтопригодности изделий, важное место занимает организа ция технического обслуживания, и ремонта. В практике применяю т раз личные организационные формы обслуживания изделий. Наиболее рас пространен метод обслуживания на основе специализации и разделения труда. Такой метод широко применяют в авиации, железнодорожном и автомобильном транспорте. В то же время, техническое обслуживание тракторов и других сельскохозяйственных машин чаще всего осуществ ляют, привлекая обслуживающий персонал. Такая организация работ сопровождается большим простоем и снижением производительности ВЛИЯНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ 329 труда, приводит к низкому качеству работ. Переход на современные ор ганизационные формы, когда обслуживание проводят специализирован ные бригады (группы), снабженные необходимой оснасткой, позволяет значительно снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт. Важным этапом внедрения оптимальной организации технического обслуживания является создание необходимой технической базы, кото рая предопределяет внедрение прогрессивных форм организации труда, увеличение уровня механизации работ, сокращение затрат труда и средств и повышение производительности машин. Например, техниче ской базой обслуживания и текущего ремонта сельскохозяйственных машин являются стационарные пункты технического обслуживания, пе редвижные агрегаты для заправки машин и проведения периодических технических обслуживании, автопередвижные ремонтные мастерские для выполнения работ по устранению отказов и стационарные ремонтные мастерские. Рациональное решение вопросов организации ремонтных работ позволяет значительно улучшить показатели ремонтопригодности. В практике обслуживания и ремонта широкое применение находят технологические процессы, которые используют при изготовлении изде лий. Однако полное заимствование этих процессов часто бывает затруд нено или даже совсем невозможно, так как ремонтируемые сборочные единицы или детали утратили свои первоначальные параметры. Следова тельно, основными задачами технологических процессов обслуживания и ремонта являются установление истинного технического состояния со ставных частей изделия и устранение выявленных неисправностей теми или иными способами. Технологические процессы обслуживания и ремонта изделий можно представить в виде следующих этапов: 1) установление истинного технического состояния изделия и его составных частей; 2) подготовка изделия к выполнению основных операций обслужи вания и ремонта; 3) выполнение демонтажных и разборочных операций; 4) осуществление операций по устранению неисправностей или восстановление ресурса; 5) контроль качества выполнения операций технического обслужи вания и ремонта. Перечисленные этапы обслуживания и ремонта могут меняться ме стами, повторяться или вовсе отсутствовать. Каждый из этапов техноло гического процесса обслуживания и ремонта изделия отличается назна чением и характером решаемой задачи, составом применяемого оборудо вания и оснастки, видом выполняемых работ. 330 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Часто в практике используют две стратегии технического обслужи вания и ремонта сложных изделий: 1) замену и ремонт сборочных единиц изделия осуществляют стро го по отработке назначенного ресурса; 2) замену и ремонт сборочных единиц проводят по их фактическо му техническому состоянию. В соответствии с первой стратегией замену и ремонт сборочных единиц выполняют для вполне определенного числа элементов, при этом для конкретного вида технического обслуживания число выполняемых операций по обслуживанию и ремонту всегда одинаково. В случае второй стратегии число операций технического обслужи вания и ремонта изделия определяют в соответствии с данными предва рительного контроля его фактического состояния и по результатам кон троля выполняют фактически необходимые профилактические замену и ремонт сборочной единицы. Проведем сравнительный анализ технического обслуживания и ре монта, осуществляемых первым и вторым методами. Пусть сложное из делие состоит из достаточно большого числа сборочных единиц и под вергается техническому обслуживанию и ремонту по первому методу, а затем и по второму. При первом методе обслуживания и ремонта суммарная случайная продолжительность выполнения работ II (6.37) где п - число сборочных единиц изделия, подвергающихся профилакти ке; t, = (7В + А о + М “ неперекрываемое суммарное время выполнения ра бот на z-й сборочной единице; ta, t10 и tp - время, затрачиваемое на вос становление, техническое обслуживание и ремонт /-й сборочной единицы по первой стратегии, соответственно. При достаточно больших п, как известно, сумма независимых слу чайных величин распределена в соответствии с центральной предельной теоремой асимптотически нормально. При втором методе замену и ремонт сборочных единиц выполняют по результатам предварительного контроля с вероятностью Р,. В этом случае суммарная продолжительность работы W п (6.38) где N - случайное число операций ремонта и обслуживания. ВЛИЯНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ 331 В этом выражении число слагаемых N есть величина случайная, и для определения вероятностей появления N событий можно воспользо ваться распределением Пуассона. Можно показать, что при втором мето де обслуживания и ремонта сборочных единиц обеспечиваются более высокие показатели ремонтопригодности сложного изделия. Математическое ожидание случайных величин t„ и tN M\tn\ = ni (6.39) и F, (6.40) где t - среднее суммарное время обслуживания и ремонта одной сбо рочной единицы изделия. Так как A7[2V] < и, то, следовательно, и Л7[/л,]<Л/[/„]. (6.41) В заключение отметим, что если изделие конструктивно не приспо соблено к прогрессивным методам технического обслуживания и ремон та, и в частности, - к определению фактического технического состояния его сборочных единиц, то в этом случае такой метод обслуживания ста новится практически невозможным или затраты времени и труда на об служивание и ремонт возрастают. Важнейшим факторам, оказывающим существенное влияние на за траты времени, труда и средств, а также на работоспособность изделий, является качество и полнота эксплуатационно-ремонтной документации. Основную ее часть составляет документация, в которой регламентируют ся работы, выполняемые при различных видах технического обслужива ния и ремонта. Состав и содержание эксплуатационно-ремонтной документации определяются конструкцией, назначением и условиями использования изделий, а также массовостью их использования. Требования к содержа нию документации регламентируются соответствующим ГОСТом, кото рый по мере накопления опыта корректируют и уточняют. В эксплуата ционно-ремонтной документации должны содержаться следующие раци ональные решения: по видам, периодичности и содержанию осуществля емых профилактических мероприятий; по организации и технологии проведения работ технического обслуживания и ремонта и их техниче ской оснащенности; по материальному обеспечению; по уровню подго товки и квалификации персонала, привлекаемого к обслуживанию и ре монту. Наличие технической документации позволяет повысить эффек тивность использования специалистов невысокой подготовленности и квалификации при эксплуатации и ремонте изделий. 332 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 6.7. МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТ ПРИ ТЕХНИЧЕСКОМ ОБСЛУЖИВАНИИ И РЕМОНТЕ ПО ОБЕСПЕЧЕНИЮ РАБОТОСПОСОБНОСТИ И РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Значительную часть затрат на эксплуатацию изделий составляют за траты на запасные части и материалы, используемые при их техническом обслуживании и ремонте. Рациональное решение вопроса обеспечения запасными частями и материалами должно предусматривать создание такой системы материального обеспечения эксплуатируемых изделий, при которой затраты были бы минимальными. Номенклатура запасов (запасных частей и материалов) и их количе ство являются функцией большого числа факторов, характеризующих кон структивные особенности изделий, условия их эксплуатации, технического обслуживания и ремонта, а также стратегию обеспечения запасами. Построение системы материального обеспечения работ, осуществ ляемых с целью поддержания и восстановления работоспособности и ресурса изделий в процессе их эксплуатации, предусматривает решение следующих основных вопросов: определение номенклатуры и количества запасных элементов и материалов; эшелонирование запасов; установле ние порядка и времени пополнения запасов; мест хранения, порядка об служивания и учета хранимых запасов. Потребность в запасных частях (или материалах) возникает в про цессе проведения плановых технических обслуживаний и ремонтов в результате появления отказов у эксплуатируемых изделий. Используемые при выполнении этих работ запасные части и материалы и образуют по ток требований, которые должны быть удовлетворены. Спрос на запасные части и материалы может носить детерминиро ванный или случайный характер. В последнем случае (он является более общим) наиболее часто спрос рассматривают как стационарный процесс, описываемый распределением Пуассона: а"' Р(т, а) = — е ", ml (6.42) где Р(т, а) — вероятность того, что число требуемых запчастей (или ко личество материала) будет равно /и; а - среднее число расходуемых за пасных частей за рассматриваемые промежутки времени эксплуатации изделий. Система материального обеспечения изделий запасными частями и материалами, как правило, является эшелонированной и пирамидальной, т.е. хранение запасов осуществляют на нескольких уровнях и каждый МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТ ПРИ ТО И РЕМОНТЕ 333 вышестоящий орган (место) хранения обеспечивает запасами несколько нижестоящих потребителей запасов. Кроме того, часто поставки запасов осуществляют комплектами, в которые, вместе с запасными частями, входят необходимые для обслуживания изделия инструменты и принад лежности. Такие комплекты получили название ЗИПов. Важнейшими вопросами обеспечения изделий запасными частями и материалами являются порядок, объем и периодичность пополнения за пасов, т.е. стратегия управления запасами. В практике чаще всего ис пользуются две стратегии управления запасами: 1) периодическая, когда пополнение запасов проводят через опре деленные, заранее установленные промежутки времени Т. При этом запас может быть восстановлен до максимального уровня - стратегия (7, S) или пополняться до постоянного объема Q - стратегия (Т, 0; 2) с критическим уровнем, когда пополнение запасов осуществляют при достижении их критического уровня S. В этом случае рассматривают также две стратегии - стратегию (S, 5 ) и стратегию (S, Q). Стратегия (Т, Q) соответствует нормативному снабжению и приме няется в условиях стабильного спроса. В этом случае процесс обеспече ния запасами является неуправляемым. Более выгодна стратегия (71, S ), реагирующая на изменения спроса. Стратегии (S, S) и (5, Q) сложны и требуют, в частности, непрерывного учета расхода запасов. При опреде лении числа запасных частей в качестве критерия оптимизации исполь зуют вероятность достаточности запасных частей каждого наименования или комплекта ЗИП, а также допустимое время нахождения изделия в неработоспособном состоянии, т.е. удовлетворение заданным комплекс ным показателям надежности КГ или К, При установлении требований к составу комплекта ЗИП учитывают следующие виды затрат и потерь: - затраты на изготовление, транспортирование и хранение запасов; - ущерб, обусловленный замораживанием оборотных средств в связи с длительным сроком неиспользования запасов; - ущерб, возникающий в связи с недостаточностью или отсутстви ем в комплектах ЗИП некоторых видов элементов; - ущерб, обусловленный списанием неиспользованных запасных частей в связи со снятием с эксплуатации изделий по причине морально го или физического старения. Таким образом, конкретные условия эксплуатации, обслуживания и ремонта изделий обуславливают: - стратегию обеспечения эксплуатируемых изделий запасными ча стями; 334 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ - номенклатуру элементов ЗИПа; - число элементов ЗИПа. При установлении стратегии обеспечения запасными частями, в частности, должны быть решены следующие вопросы: - необходимость создания комплектов ЗИП и их номенклатура; - определение совокупности изделий, для которых устанавливают номенклатуру и число запасных частей, порядок пополнения запасов; - выбор критерия, характеризующего достаточность ЗИП. Основным методом выбора номенклатуры запасных частей является анализ данных об интенсивностях отказов или сроках службы элементов изделий в предполагаемых условиях их эксплуатации. Такие данные со держатся в соответствующих справочниках или могут быть получены по результатам испытаний и эксплуатации. Подробный анализ выбора номен клатуры ЗИПа и метод расчета его количественного состава дан в гл. 4. В общем случае, в основу определения числа запасных элементов из какой-либо номенклатуры положено соотношение /?3 а3 = Bep[w < «.,} = J'.nO (6-43) 1=0 где *з = Вер{/п<л3} - вероятность того, что необходимое число т (т = 0, 12, ..., и3) элементов данного вида будет меньше числа запасных частей; Pi,n(Q - вероятность того, что за рассматриваемый период t3 эксплуатации из п элементов какой-либо номенклатуры потребуется заменить ровно i элементов; п3 - число запасных элементов данной номенклатуры. Из практики работы изделий в условиях эксплуатации установлено, что поток требований по замене элементов становится близким к про стейшему, т.е. распределение вероятностей описывается законом распределения Пуассона, а распределение времени между заменами эле ментов - показательным распределением. В этом случае формула (6.42) принимает вид: и; ^p) = -v^'"'P, (6.44) где /?7Ср - среднее число замен элементов данной номенклатуры за дли тельность t наработки изделий; / = 12,...; п1 = X 1 ,, тср = — здесь /ср - среднее время между заменами элементов. (6.45) МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТ ПРИ ТО И РЕМОНТЕ 335 В рассматриваемом случае формула (6.43) примет вид аз = ^(^е-^=£К1 -А, i=0 i=0 6 /- ’ (6.46) где Х = Хи - суммарная интенсивность замен элементов. Для удобства проведения расчетов часто пользуются другой фор мулой I - (6.47) 1=0 1- где 1 - а3 - вероятность того, что заменяемое число элементов будет больше числа запасных частей. Следовательно, если известны значения Х3 и t, то, задавшись значени ем ос, или 1 - а„ можно установить необходимое число запасных частей. Для определения числа запасных частей с заданной вероятностью а3 по формулам (6.45) и (6.46) используют графики функции и,=/(/иср, ач) (рис. 6.1). Суммарный необходимый поток требований по замене элементов при работе, техническом обслуживании и ремонте состоит из потоков замен обусловленных: - отказами изделий при работе; интенсивность потока Х|; - осуществлением различных видов технического обслуживания; интенсивность потока Х2; - осуществлением некоторых видов плановых ремонтов изделий; интенсивность потока Х3; - различными причинами при замене элементов из состава нахо дящихся на хранении запасных частей; интенсивность потока Х4. Следовательно, 4 Х3 = Х| + Х2 + Хз + Х4 = 22 (6.48) 2=1 Для установившегося периода эксплуатации изделий величины Х3 и Х; являются величинами, не изменяющимися во времени. В практике обеспечения надежности изделий при эксплуатации ис пользуют три вида комплектов ЗИПов: одиночный (ЗИПо), групповой (ЗИПг) и ремонтный (ЗИПр). При расчете необходимого количественно го состава перечисленных ЗИПов используют формулу (6.46), в которой для каждого вида ЗИПа меняются значения величин Х3 и (. При этом для ЗИПо, ЗИПг и ЗИПр интенсивности замен соответственно равны: 336 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Рис. 6.1. График функции и3 =/(/иср, «Д для определения числа запасных частей Х30 - Xnt0 ; Хзг - А г Хи /; Хр - Ар Хи / р, (6.49) где X - интенсивность отказов (замен) элемента выбранной номенклату ры в ЗИПе; п - число элементов номенклатуры ЗИПа на одном изделии; /0, 6 и /р - время работы, на которое рассчитывают ЗИПо, ЗИПг и ЗИПр, соответственно; N и Ар - числа изделий, на которые рассчитывают груп повой и ремонтный ЗИПы, соответственно. I МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТ ПРИ ТО И РЕМОНТЕ 337 В этом случае формула (6.46) для ЗИПг и ЗИПр преобразуется к виду: (6.50) (6.51) Наряду с правильным выбором номенклатуры и количественного состава ЗИПа важное место занимает обеспечение находящихся в экс плуатации изделий материалами. Отсутствие или недостаток необходи мых материалов, как и запасных частей, используемых при техническом обслуживании и ремонте изделий, является причиной дополнительного простоя изделий в неработоспособном состоянии, что ухудшает качество работы или увеличивает расходы на эксплуатацию. Излишние же запасы материалов вызывают увеличение затрат на хранение. Управление запасами предполагает установление величины началь ных запасов и периодичности их пополнения. Методика решения этих вопросов зависит от характера спроса, а также принятыми системой ма териального обеспечения и стратегией управления запасами. Например, в качестве стратегии управления запасами можно применять стратегию (Г, S), которая характеризуется периодическим пополнением запасов (период 7)) и их восстановлением до максимального уровня. При постро ении модели управления запасами обычно рассматривают задачи со ста ционарным детерминированным или вероятностным спросом. Рассмат риваемым условиям обеспечения изделий материалами больше соответ ствует вероятностный характер спроса. Решение задач управления запасами достаточно подробно описано в работах [29, 49]. Например, рассмотрим из работы [29], однономенкла турную задачу с дефицитом и мгновенной поставкой tp и стратегией управления запасами (Гп, S). В условие задачи входят параметры: ц постоянство интенсивности спроса материала в единицу времени; S постоянство издержек хранения материала в единицу времени; g - фик сированные издержки; t2 - задержка в поставках материала; (Q -S) допустимый дефицит; d - издержки дефицита (ущерб, обусловленный отсутствием какого-либо материала); Ч - период исчерпания запасов; 7], период пополнения запасов; Q - объем заказа; <> - переменный запас; S оптимальный предельный запас. Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 338 Затраты на запасы (в единицах времени) составят [29] ’ ' Л ,Q-S ' Gi = — g+S-ti+d*—t2 Т * пП \ / (6.52) или, подставляя значения /| и /2, равные '1 в • h - 'п В В получим G1(s,7’11)=^- + 2п 2И7], 2 (6.53) Взяв частные производные по управляемым переменным S и Т„, получим оптимальные значения величин: 2В£ Г* 2п (6.54) (6.55) (6.56) Объем заказа Q составляет (6.57) В тех случаях, когда дефицит не допускается, расчет запасов выпол няют по формулам Вильсона [29], широко применяемым в теории управ ления запасами: (6.58) Зависимости (6.54) - (6.57) являются приближенными, но в ряде случаев обеспечивают получение достаточно приемлемых решений. ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ 339 Пример 6.1. Пусть объектом заказа и хранения является каменный уголь, при этом известны параметры: g = 10 000 р.; .S' = 100 р./(кг/день); d= 1000 р./(кг/день); ц = 20 кг/день. Определить: S*- оптимальный предельный запас; Т* - оптималь ный период пополнения запаса; Q - оптимальный объем заказа; Gj( S ,ТП)~ затраты на запасы, отнесенные к одному дню хранения. Решение. Для определения указанных величин воспользуемся фор мулами (6.54) - (6.57): S =О= 1 2pg |<8 f 2-20-10 000 looll + < 1000J = 3,31 дней; 2-20-10 000 100 1000 В заданных условиях задачи дефицит составляет: Q - S* = 66,33 - 60,31 = 6,02 кг, т.е. дефицита не должно быть. 6.8. ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ И РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С МЕСТ ЭКСПЛУАТАЦИИ Главная цель сбора информации состоит в том, чтобы дать объек тивную оценку надежности, и как ее свойства, - ремонтопригодности изделий. Процесс эксплуатации является самым длительным и ответствен ным периодом в жизни изделий. Этот этап характеризуется реальными нагрузками, действующими на изделие, в условиях окружающей среды: с перепадом температур и давлений, атмосферными осадками. Получае мые сведения о надежности изделий с мест эксплуатации являются 340 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ объективными и отражают действительное их качество. Сбор информа ции с мест эксплуатации должен быть хорошо организован в период га рантийного срока. Это связано с тем, что потребитель заинтересован от казавший механизм, узел или какую-либо другую сборочную единицу отправить поставщику на восстановление, которое в период гарантийно го срока проводят за счет поставщика, если отказ не связан с нарушением инструкции по эксплуатации. При появлении отказа эксплуатирующая организация предъявляет предприятию-изготовителю рекламацию, а для изделий специального назначения - и штрафные санкции за несвоевре менное восстановление. В рекламационном акте достаточно подробно описывают необходимые сведения о надежности изделия. Рекламацион ные акты на некачественную продукцию имеют установленную форму (форма 1), в которой указанные пункты являются обязательными для за полнения перечисленных сведений об отказавшем изделии. Далее рекла мированные механизмы, узлы или другие сборочные единицы направля ют на предприятие-изготовитель, где их подвергают тщательному иссле дованию специально организованной комиссией с привлечением специа листов-разработчиков для выяснения причины отказа. Для изделий общего назначения часто на отказавшую сборочную единицу составляют технический акт, в котором также содержатся необ ходимые сведения о качестве и надежности изделия. Технический акт также имеет форму установленного образца. Результаты исследований каждой рекламации оформляют актом ис следования, в котором указывают причину отказа и мероприятия по его устранению и недопущению в дальнейшей эксплуатации. Акт исследова ния также имеет форму установленного образца (форма 2). Для изделий специального назначения, кроме рекламационных и технических актов с мест эксплуатации, могут высылаться сведения в виде перечня неисправностей за определенный период или телеграммы на отдельные неисправности, приведшие изделие в неработоспособное состояние. Перечень неисправностей, как правило, составляет эксплуати рующая организация в течение первых 3-5 лет эксплуатации новой по ступившей техники специального назначения. В дальнейшем все сведе ния о неисправностях в период гарантийного срока службы изделия оформляют в виде рекламационных актов, а после истечения гарантийно го срока службы - техническими актами. Все сведения, полученные по результатам эксплуатации, направля ют в информационно-вычислительный центр для автоматизации учета, хранения, обработки и передачи данных, а также для оформления свод ного отчета о надежности и техническом состоянии изделий. ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ 341 Бланки актов Форма 1 ГОСТ В 20019-82 Форма Р1-82 гриф секретности Эю. N*__________ Исх. №_______ от “____ ”_____________ 20 г. Куда....................................................................................................................................... — Кому_____________________________________________________________________ _-__ Отправитель_______________________________________________________________ __ условное наименование, адрес М.П. и.,о., фамилия Подпись должность Представляю на утверждение Утверждаю ДОЛЖНОСТЬ ДОЛЖНОСТЬ и.,0., фамилия подпись U и.,о., фамилия ПОДПИСЬ “ м 20 г. м 20 Г. РЕКЛАМАЦИОННЫЙ АКТ № 20 Составлен г. комиссией в составе представителей от следующих войсковых частей и предприятий (организаций) промышленности__________________ наименование и адрес на юдолие ycMAite й1йиыема|1йе комплекс индекс Рекламацию предъявляют предпрюяяию условное наименование Представитель поставщика и., о., фамилия, дата и номер доверенности Данные о приемке изделия сведения, предусмотренные п. 47 стандарта 342 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИИ 2 001 Наименование 002 Индекс 003 004 Предприятие-разработчик 005 Предприятие- поставщик 006 Дата изготовления 007 Содержание 4 3 Год Месяц День Год Месяц День гарантийная Фактическая тации (нара ботка) ность эксплуа Заводской номер Месяцы 008 Часы 009 Циклы [включения] 010 Пробега, км 011 Наименование 012 Индекс 013 Заводской номер 014 Предприятие - разработчик 015 Предприятие - поставщик 016 Дата изготовления 017 Год Месяц Фактическая ботка) Продолжитель ность эксплуа тации (нара Основные данные о неисправной составной части изделия № коде 1 Дата обнаружения неисправности изделия I Продолжитель а неисправном Основные данные изделии Наименование характеристики Месяцы 018 Часы 019 Циклы (включения] 020 Пробег, км 021 Вид работ (режим Функционирования, этап применения], при котором выявлена неисправность 022 Внешнее проявление неисправности с указанием документации, по которой обнаружена неисправность 023 □писание неисправности и результаты проверки изделия (составной части) с использованием платной контрольной измерительной аппаратуры 024 День гарантийная ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ 343 1 2 Телеграмма о вызове предста 025 вителя поставщика Ответная телеграмма 026 поставщика Дата прибытия и дата допуска представителя поставщика к работе на изделии 027 Номера пломб, которыми опломбировано не исправное изделие (составная часть) 028 Сведения о соблюдении (нарушении) правил эксплуатации и правильности ведения формуля ра (паспорта) 3 4 Дата отправки год Номер телеграммы месяц день Дата допуска к изд. год месяц день год месяц день 344 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 1 Изделия (составные части) и материалы, которые должны быть высланы предприятием в адрес войсковой части для удовлетворения рекламации. Сведения об отправке неисправного изделия (составной части) Неиспользо ванное изде лие (составная часть) Наименование Индекс Заводской номер Должно быть отправлено в адрес Качество тары, предназначенной для отправки неисправного изделия (составной части) Адрес, куда должно быть выслано исправ ное изделие (составляющая часть и другие материалы) для удовлетворения рекламации (заполняется заместителем командира части). Номера пломб на таре Наименование докум. Вид транспорта Дата отправки 2 045 4 3 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 год месяц день Заключение комиссии Неисправность не устранена из-за причина нс устранена Акт разослать в следующие адреса условные наименования предприятий , войсковых частей Председатель комиссии подпись ______________ от и., о., фамилия Члены комиссии подпись и., о., фамилия от d/ч, предприятия условное наименование в/ч предприятия от ...... от от _______________ ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ 345 Форма 2 ГОСТ В 21019-82 Форма РЗ-82 гриф секретности Экз. №________ Исх. №______________ от '' ”_________ 20 г. Кому_______________________ ________ ___________ ____________________________ _ Куда_______________________________________ ___________________ Отправитель М. П. условное наименование, адрес фамилия," и.',"о" подпись должность СОГЛАСОВАНО Представительство заказчика УТВЕРЖДАЮ №________________ должность И подпись фамилия, и., о. НдЩНйсЬ н 20 20 Г. АКТ ИССЛЕДОВАНИЯ "_____________ .______________ 20 условные наименования предприятий и составная часть .. г. 20 г■ комиссией в составе представителей ст следующих" пред приятий __________ __________________________ _— Исследовано изделие Г. № По рекламационному акту №______________ от"___ " Составлен "_ фамилия, и., о. ---- - наименование, индекс наименование, индекс 346 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИИ 002 Индекс 003 Заводской номер 004 Предприятие-разработчик 005 Предприятие-изготовитель 006 Дата изготовления 007 4 Месяцы 008 Часы Циклы (включения) 010 Пробег, км 011 гарантийная 012 013 Заводской номер 014 Предприятие-разработчик 015 Предприятие-изготовитель 016 Дата изготовления 017 Месяц День i | День 009 Год 1 Месяц фактическая Индекс ПрйДи.ТЖи ельность эксплуатации (нара ботка) Основные данные по неисправной составной части изделия Содержание 3 Год Наименование гарантийная фактическая Месяцы 018 Часы 019 Циклы (включения) Пробег, км Рекламация предъявленная войсковой частью Дата поступления № кода 2 1 Наименование Продолжитель ность эксплуа тации (нара ботка) Основные данные по неисправному изделию Наименование характеристики 020 021 071 неисправного изделия (составной части) 072 документации (формуляры, паспорта) 073 рекламационного акта, отчета об исследовании от изготовителя 074 Год Месяц День Год рекламационного акта Качество тары (упаковки) и результаты внешнего осмотра изделия (составной части) 075 Фактическая неисправность и причина ее возникновения из отчетного документа (отчета по программе испытаний, акта экспертизы и т.п.) с указанием его наименования, номера и даты утверждения 076 Месяц День отчета об иссле довании ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ 347 Наименование характеристики № кода 2 1 077 Влияние неисправности на функциони рование изделия и выполнение изделием задачи 078 Сведения об отказав шем комплектую щем изделии Характер неисправности (производ ственный, конструкционный, эксплуатаци онный) с указанием организации, ответ ственной за устранение выявленной причи ны неисправности (при эксплуатационном характере неисправности указать, какие требования эксплуатационной документа ции нарушены) Индекс, тип или наименование 079 Прсдпр иятис-изготовитсл ь 080 081 082 083 Министерство Характер неисправности Дата, исходящий номер докумен та изготовителя об исслсдвании Повторяемость неисправности 085 Мероприятия по устранению и предуп реждению причины неисправности (изменение чертежей, схем, технологии, эксплуатационной документации и т.п.) Рекомендации эксплуатирующим организациям. Заключение о необходимости проведе ния доработок изделия. 086 Фактическая дата устранения причины неисправности па предприятии-изготовите ле 087 Наименование 088 089 4 Год Месяц День Год Месяц День Исходящий номер 090 Предприятие-изготовитель 091 Дата изготовления 092 Продолжитель ность эксплуата ции (наработка) Для удовлетворения реклама ции отгружено изделие (составная часть) 3 084 Заключение о распространении установ ленной причины неисправности на ранее выпущенную продукцию Индекс Заводской номер Содержание Месяцы 093 094 Часы 095 Циклы (включения) 096 Пробег, км 097 Год День Месяц фактическая гарантийная Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИИ 348 Наименование характеристики Для удовлетворения рекламации отгружено 1 № кода 2 3 Перечень комплектующих изделий и материалов, выслан ных предприятием для пополне ния ЗИПа 098 Для отправки 099 Транспортные реквизиты 100 Отправлен в адрес 101 Содержание 4 Год Месяц День Заключение комиссии Виновником возникновения неисправности изделия является предприятие (войсковая часть) условное наименование Рекламация решение по рекламации - принято или отклонено При ремонте израсходовано наименование, индексы, число составных частей Расходы, связанные с ремонтом, перепроверкой и транспортированием, в сумме руб. перечислены руб. и прочие убытки в сумме по извещению номер и дата условное наименование предприятия, организации Акт разослать в следующие адреса условные наименования предприятий и войсковых частей Главный контролер подпись Председатель комиссии подпись Члены комиссии подпись Главный бухгалтер фамилия, и., о. ____________________ ОТ "фамилия, и., о. фамилия, и., о. условное наименование предприятия от условное наименование предприятия ЦЕЛЬ И ОРГАНИЗАЦИЯ СБОРА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ 349 Конечным итогом системы сбора, обработки и передачи информа ции является составление отчета о техническом состоянии и надежно сти изделий, находящихся в эксплуатации к моменту его составления. Для изделий специального назначения этот отчет рекомендуется выпол нять не реже 1-2 раз в год. Ответственность за его составление возлагают на подразделение надежности. В отчете приводят: - подробные сведения о наработке и неисправностях каждого из делия и мерах, принимаемых по обеспечению надежности; - систематизацию неисправностей по отдельным узлам, механиз мам, системам и другим элементам, их относительную долю, приходя щуюся на одно изделие; - динамику изменения числа отказов по годам эксплуатации. В отчете дают также сведения об изменении количественных пока зателей надежности и эффективности проведенных доработок. Кроме того, проводят достаточно подробное распределение отказов и неисправ ностей по смежным организациям и предприятиям-поставщикам ком плектующих систем. Одной из важнейших целей сбора информации в условиях эксплуа тации является анализ статистических данных о ремонтопригодности изделий. В частности, сведения с мест эксплуатации необходимы для установления: - количественных значений показателей ремонтопригодности в условиях эксплуатации, технического обслуживания и ремонта изделий; - нормативов затрат времени, труда и денежных средств на раз личные виды обслуживания и ремонта изделий, а также корректирования этих нормативов; - содержания системы планово-предупредительного обслуживания и ремонта (или только для корректирования этой системы); - значимости влияния отдельных факторов или их определенной совокупности на характеристики ремонтопригодности; - эффективности улучшенной конструкции или технологии изго товления, а также системы обслуживания и ремонта изделий; - номенклатуры и числа каждого наименования материалов и за пасных частей для определенных совокупностей и условий эксплуатации изделий (возможно только корректирование номенклатуры по получен ным сведениям); - сравнительной оценки конструкций двух или более типов изде лий, предназначенных для выполнения одних и тех же функций. Важным направлением использования эксплуатационной информа ции является совершенствование системы технического обслуживания и 350 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ремонта изделий. В первую очередь это относится к совершенствованию организации и технологии технического обслуживания и ремонта, а так же технической оснащенности предприятий и организаций, осуществля ющих эти работы. Источниками получения информации о характеристиках ремонто пригодности изделий являются организации-разработчики и заводыизготовители, осуществляющие разработку, изготовление и испытания изделий; предприятия, эксплуатирующие изделия; предприятия, осу ществляющие техническое обслуживание и ремонт изделий. Характер и содержание информации о ремонтопригодности изделий, получаемый из указанных источников, могут существенно различаться, однако сведения из различных источников дополняют друг друга. Например, информация, получаемая в процессе испытаний опытных и серийных образцов, явля ется хорошим источником для качественного анализа ремонтопригодно сти конструкции изделия. Из этой информации могут быть получены необходимые сведения о затратах времени, труда и денежных средств на устранение отказов и некоторые виды технического обслуживания. Значительную ценность представляет информация, получаемая от ремонтных организаций и предприятий. Эти сведения позволяют оцени вать совершенство конструкции изделий в отношении их пригодности к восстановлению работоспособности с применением прогрессивных тех нологий и организационных форм ремонта. Система сбора информации о характеристиках ремонтопригодности изделий является составной и неотъемлемой частью системы информа ции о надежности. Методы организации сбора информации о характери стиках ремонтопригодности изделий такие же, как и при оценке надеж ности. 6.9. АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ И ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЛУАТАЦИИ Под статистическим анализом понимают решение следующих вопросов: - количественной оценки числовых характеристик ремонтопри годности; - установления законов распределения времени восстановления; - проверки соответствия однородности характеристик ремонто пригодности. Показатели ремонтопригодности являются случайными величинами, которые подчиняются соответствующим законам распределения. При ма лом числе результатов наблюдений установить закон распределения ре АНАЛ ИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ И ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 351 монтопригодности практически становится невозможным, поэтому в ка честве числовых характеристик часто используют параметры законов распределения. Наиболее распространенными из них являются: - среднее статистическое значение времени восстановления, ре сурса, срока службы; - дисперсия и среднее квадратичное отклонение времени восста новления, ресурса и срока службы. В качестве оценки математического ожидания М[Х], характеризую щего положение центра группирования результатов наблюдений, исполь зуем среднее статистическое значение (6.59) где X - среднее статистическое значение времени восстановления, срока службы, ресурса или любого другого показателя ремонтопригодности. Статистическую дисперсию, характеризующую рассеяние результа тов наблюдений относительно среднего значения, определяют по формуле s2M=-!-X(.v/-7)2, (6.60) - среднее квадратическое отклонение - по формуле <661) где п - число наблюдений; х, - результат отдельного наблюдения. В тех случаях, когда результаты наблюдений разбиты на к интерва лов, формулы (6.59) и (6.60) принимают вид: (6.62) J= "У (6.63) где х. - среднее значение результатов наблюдений в j-м интервале; mj - число наблюдений ву-м интервале. Оценки, определяемые по формулам (6.59) и (6.60), являются оцен ками максимального правдоподобия, т.е. они несмещенные, состоятель 352 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ные и эффективные. Так как результат каждого наблюдения - случайная величина, то и получаемые при этом оценки X и 5’[а] также случай ные величины. Принимая во внимание, что среднее статистическое зна чение X подчиняется нормальному закону распределения, то точность оценок X и №[г] может быть определена по формулам: Наряду с точечными оценками, для величин М\Х\ и £)[А] можно определить и интервальные оценки, т.е. оценки, которые с доверительной вероятностью у в некотором интервале содержат истинное значение 0 числовой характеристики или параметра распределения л(0<0<0)=у, (6.66) где 0 и 0 - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы интервала значений оцениваемой характеристики; 0 - истинное значение характеристики. Уравнение (6.66) является основной зависимостью для определения интервальных оценок. Для этого необходимо знать закон распределения случайных значений показателя ремонтопригодности X. Если показатель ремонтопригодности подчиняется нормальному за кону распределения, то интервальную оценку этого показателя опреде ляют из неравенства Х-/л. r40Aq)0A + (6.67) где X и 5 [А’] - точечные оценки характеристик Хср и ст[.А]; /а’;/ - кван тиль распределения Стьюдента, соответствующая доверительной вероят ности у = 1 - а и числу степеней свободы/= и - 1. В случае показательного распределения характеристики ремонто пригодности X интервальную оценку находят из неравенства п 2Е*, _ п 2Ех> — < Хср < , >) х» 2 2 (6.68) АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ И ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 353 где п - число наблюдений над характеристикой Х\ х, - результат /-го наблюдения; %2a(f) и о(/) - квантили ^-распределения, соответт 1 у ствующее вероятностям — и 1 - — и числу степеней свободы/= 2п. Пример 6.2. По результатам эксплуатации партии автомобилей в течение некоторого времени было выявлено 37 отказов. После анализа выявленных отказов установили, что среднее время восстановления од ного отказа составляет /%0 =5 ч и среднее квадратическое отклонение 1,5 ч. Определить интервальную оценку времени восстановления для tB , если у = ОДО и нормальном законе распределения времени вос становления. Решение. Для определения интервальной оценки необходимо знать величину /„ . По таблице 4 приложения для распределения Стьюдента 2-' при а = 0,05 и/= п - 1 = 37 - 1 = 36 находим /о.о5; зб = 1,6883. Далее по формуле (6.67) при нормальном распределении времени восстановления получим нижнюю и верхнюю границы для среднего вре мени восстановления одного отказа: Подставляя значения величин в это неравенство, получим: 5-1,6883 V37 ср в ИЛИ 4,587 </срв< 5,416. Ответ. Среднее время восстановления одного отказа находится в интервале 4,587...5,416 ч. Пример 6.3. При тех же результатах наблюдений, что и в приме ре 6.2, определить интервальную оценку для среднего времени восста новления, принимая экспоненциальный закон распределения времени восстановления. Решение. Для определения интервальной оценки воспользуемся формулой (6.68) 354 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ 2nB 2 Подставим численные значения в написанное выше соотношение для а = 0,1 и/= 2п = 74 из табл. 6 прил.: 4,(/)=Хо,О5 (74) =95,081; 2 у./), 55,189. 2 Тогда 2-37-5 2-37-5 --------- </сп« <---------- или 3,89 <(гпп < 6,70. 95,081 срв 55,189 срв Ответ: Среднее время восстановления одного отказа изменяется в интервале 3,89...6,70 ч. При определении оценок ремонтопригодности часто статистическая информация поступает из различных мест или одного источника отдель ными группами за определенный период. Задача состоит в установлении возможности объединения результатов наблюдений для вычисления оце нок или законов распределения. Если результаты наблюдений представляют собой достаточно большую совокупность, то в этом случае есть возможность установить для каждой группы закон распределения случайной величины X в виде плотности fix', 0) ее распределения или функции F(x; 0) распределения. В этом случае однородность информации двух групп наблюдений может быть установлена с помощью критерия у2. При этом если между вычисленным и критическим значениями критерия соблюдается неравен ство 2<х;(Л х (6-69) то различие в законах распределения двух групп наблюдений за показа телем X ремонтопригодности является несущественным и информация может быть объединена. Значение величины % вычисляют по формуле АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ И ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 355 где «| и «2 - числа наблюдений в первой и второй группах, соответствен но; к — число интервалов, на которые разбиты наблюдения каждой груп пы; т’ и т," - числа наблюдений из первой и второй групп, попавших в i-й интервал, соответственно. Если неравенство (6.69) справедливо, то результаты наблюдений можно объединить и рассматривать их как одну группу наблюдений объ емом л = щ + л2- По этим данным строят графики плотности и функции распределения, а также вычисляют среднее статистическое значение X и статистическую дисперсию ,S’2[Jf] соответственно по формулам (6.59) и (6.60). Пример 6.4. Две группы машин проходят под наблюдением техни ческое обслуживание на двух разных ремонтно-технических базах. В первой группе 60 машин (wt = 60), во второй - 70 машин (ц2 = 70). Ре зультаты наблюдений для вычисления значения %2 приведены в табл. 6.1. Провести проверку гипотезы при а = 0,05 и числе степеней свободы f=k-\ =5-1 =4. Следовательно, значение %2= 60-70 0,000168 = 0,706. При ос = 0,05 и к = 4 в соответствии с табл. 6 прил. /д 05 (4) = 9,49. Так как %2 = 0,706, то гипотеза об однородности информации о ха рактеристике ремонтопригодности /то в двух группах наблюдений под тверждается и эту информацию можно объединить. В случае если поступающая информация представляет собой доста точно малую совокупность, т.е. некоторую группу точечных оценок А', и то оценку среднего значения проводят по формуле (6.71) где к - число групп наблюдений; п, - число наблюдений в z-й группе. Дисперсия оценки среднего значения Е (6-72) 356 6.1. Данные для вычисления величины mJ mJ + т' 1 т, + т‘ "i п2 "2 J | т; "41 + т’ «| ^2 ) 15...18 10 10 20 0,0500 0,167 0,143 0,000576 0,0000286000 Св. 18 до 22 12 15 27 0,0370 0,200 0,214 0,000196 0,0000072520 Св. 22 до 25 20 22 42 0,0240 0,333 0,314 0,000361 0,0000086640 Св. 25 до 28 12 13 25 0,0400 0,200 0,185 0,000196 0,0000078400 Св. 28 до 30 6 10 16 0,0625 0,100 0,143 0,001849 0,0001155625 60 70 130 - 1,000 1,000 - 0,0001680000 Сумма Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ Интервалы времени технического обслуживания А о. ч АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ И ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 357 Проверку однородности оценок X, осуществляют с использованием //-статистики, вычисляемой по формуле £ (6.73) /=| которая подчиняется /--распределению с числом степеней свободы f = к - 1. Следовательно, если Н < %2\к - I ) , то рассматриваемые к оце нок можно объединить. В случае объединения оценок двух групп наблюдений формулы (6.71) - (6.73) принимают вид: = П| А | £>? A2 + А 2 Sf [а | ] + «2^[^|] . 1,2 п2 ”| (6.74) (6.75) (6.76) Пример 6.4. Две группы машин проходят техническое обслужива ние на одной и той же ремонтной базе. В результате наблюдений получе но, что средние значения и средние квадратические отклонения по каж дой группе машин соответственно составляют: 7] =150ч; 5>|[7)] = 8 ч; и, =20; 7/ = 145 ч; S2[7,^] = 9 ч; и = 22. Найти объединенную оценку и ее точность при уровне значимости а = 0,05. Решение. Определим объединенную оценку для среднего времени технического обслуживания: ^.2 = 7) + «27'25f[7’1] «1^2 7) + «2^1 И) 20-150 814-22-145-64 ------------------------------- = 147,6 ч. 20-81 + 22-64 Затем найдем значение //-статистики: I Глава 7 ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 7.1. ТРЕБОВАНИЯ К МЕТОДАМ КОНТРОЛЯ Контроль надежности изделия проводят по результатам испытаний на этапе отработки опытных образцов, в процессе серийного производ ства и при эксплуатации. Основной задачей контроля надежности изде лий является экспериментальная проверка соответствия или несоответ ствия полученных значений показателей надежности установленным нормам. Требования к методам контроля надежности выдвигают с пози ций управления надежностью и регулирования отношений между изгото вителем и потребителем выпускаемой продукции. Одна из форм управления надежностью - применение к изготовите лю определенных санкций в виде штрафов. Если по результатам кон троля надежности установлен факт невыполнения норм на показатели надежности, то потребитель предъявляет изготовителю претензию. Регу лирование отношений между изготовителем и потребителем продукции должно основываться на правиле: если по результатам контроля изделие признано несоответствующим нормам надежности, то такое изделие не должно поставляться потребителю, а при обнаружении этого несоответ ствия потребителем изделие должно быть возвращено изготовителю как нестандартное. Эффективность методов контроля и корректность принимаемых ре шений в значительной мере зависят от четкого определения, что является объектом контроля надежности. Таким объектом следует считать всю совокупность изделий, на которую распространяются решения, принима емые по результатам испытаний. Точность и достоверность результатов испытаний непосредственно влияют на оценку надежности и зависят от однозначности формулировки критерия отказа и объема статистических данных, полученных в процессе испытаний. Неоднозначность критерия отказа влияет на субъективность фактора отказа, и соответственно, - на точность оценки надежности. Методы контроля надежности также связаны с понятиями «довери тельные интервалы», «риск потребителя» и «риск изготовителя». Поскольку решения, принимаемые по результатам контроля надежности, затрагивают интересы разных сторон - изготовителя и потребителя, - Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 360 то правила принятия решений должны иметь простую и ясную форму и не допускать многозначности решений и неопределенности толкований. Основное правило принятия решений базируется на задании в качестве исходных данных двух уровней - браковочного и приемочного и двух рисков - поставщика (изготовителя) и потребителя (заказчика). Этот ме тод контроля надежности называют двухуровневым методом. Достаточно широкое распространение получил также подход, основанный на задании ограничений на один риск - риск потребителя (одноуровневый метод). 7.2. ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ Надежность является некоторой функцией параметров распределе ния (см. гл. 1). Если функция надежности представляет собой непрерыв ное распределение, то ее определяют интегрированием плотности веро ятности по выборочному пространству. В случае дискретного распреде ления функцию надежности получают суммированием плотности веро ятности по выборочному пространству. Таким образом, если функция распределения зависит от параметров 0Ь 02,..., го вероятность события P(^x)=F(x; 0!,02,...), а вероятность успешного события в интервале от Х| до х2 Р(х} < < х2) = F2(х2; 0,, 02,...) - F, (X,; 0,, 02, ...) = Р(0,, 02). (7.1) Эго выражение называют функцией надежности, или просто надежностью. Предположим, что Xj и х2 - нижний и верхний допустимые пределы некоторой рабочей характеристики с. которая обладает нормальным рас пределением со средним значением р = 0| и стандартным отклонением с = 02- Тогда вероятность успеха, состоящая в том, что X] < х2 при известных Х| и х2, равна л'2 | /’(х, < ^ < х2) = f —7= exp •'i (x-p)2 2ст2 dx. (7.2) В случае показательного распределения надежность определяют как вероятность безотказной работы изделия в течение времени т, большем заданного времени t. При 0 = 1/Х имеем СВОЙСТВА ОЦЕНОК 361 При биномиальном распределении, если 6 означает вероятность без отказной работы одного элемента, а надежность изделия определяют как вероятность безотказной работы по меньшей мере г элементов, то при известных гии получим „ п-к Р(г<^<и) = ^С*0'(1-е) , (7.4) ,де С" =к\(п-к)\ Приведенные примеры подтверждают, что надежность можно выра зить в виде некоторой функции одного или нескольких параметров рас пределения. В общем случае функция надежности не выражается в явном аналитическом виде через плотность вероятности и, кроме того, истин ные значения параметров 0Ь 02, ... бывают неизвестны. Поэтому при оценке надежности в начале необходимо рассмотреть задачу оценивания параметров модели распределения, которые входят в модель явно. Если оценки 0,, 02, ... параметров 0Ь 02, ... получены, то можно их использовать для получения оценки надежности. При применении пара метрических методов оценивания полагают, что вид закона распределе ния наработки до отказа известен до испытаний, а выборка, по которой оценивают показатели безотказности, является статистически однород ной. Под оценками показателей надежности понимают значения пока зателей, которые определены по результатам испытаний, при этом разли чают точечные оценки и их доверительные границы. Нахождение точеч ных оценок и их доверительных границ довольно подробно изложено в учебниках по математической статистике. В этой главе рассмотрены ме тоды получения оценок для конкретных законов распределений, широко используемых в теории надежности. 7.3. СВОЙСТВА ОЦЕНОК Оценки параметров распределения определяют по результатам ис пытаний. Является оценка «хорошей» или «плохой» - зависит от того, каков объем п проведенных испытаний (объем выборки). Хорошей назы вают такую оценку, которая близка к истинному значению параметра оцениваемой теоретической функции. Известно, что выборочные значе 362 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ния являются случайными величинами, а следовательно, и оценка явля ется случайной величиной. Напомним, рассмотренные в гл. 2, некоторые оптимальные свойства оценок, а именно: несмегценностъ, состоятель ность и минимум дисперсии. Оценку называют несмещенной, если математическое ожидание оценки параметра равно значению самого параметра (7.5) Л/[9] = 0- В этом случае оценка 0 является несмещенной. Так, например, среднее выборочное значение х есть несмещенная оценка математического ожидания: п п~~! п Оценку называют состоятельной, если предел вероятности отклоЛ Л нения 0-0 (здесь 0 и 0 - оценка параметра и его истинное значение, соответственно) больше некоторой заданной сколь угодно малой величи ны е, стремится к нулю: lim Вер (1е - б| > е)= 0. (7.6) Примером состоятельности является неравенство Чебышева: 2 ф_ц|>£))<Ц- (7.7) ле Эта величина стремится к нулю, если п —> оо. Третье важное свойство оценки - при любом объеме п выборки минимальная дисперсия. 7.4. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ НАИБОЛЕЕ ПРИМЕНИМЫХ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Методы определения оценок параметров распределения. Рассмот рим наиболее употребительные в теории надежности методы нахождения оценок параметров распределения. К ним относятся два метода - метод максимального правдоподобия и метод приравнивания моментов:. Оба метода дают асимптотически нормальные оценки, т.е. при стремлении объема п выборки к бесконечности распределение оценки стремится к ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 363 нормальному закону. Метод максимального правдоподобия дает более хорошие оценки по сравнению с оценками, полученными методом при равнивания моментов. Суть метода максимального правдоподобия при одном неизвестном параметре для непрерывного закона распределения состоит в следующем. Предположим, что имеется случайная выборка Х1,х2, ...,х„ из совокупности наблюдений с плотностью вероятности Дх, 0), где 0 - параметр распределения. Для нахождения этого параметра вводят функцию L правдоподобия выборки, представляющую собой про изведение плотностей вероятности, т.е. Д>|, х2,..., х„; 0) = Дхц 2; 0)... 0)/(х 0). (7.8) Метод максимального правдоподобия состоит в нахождении такого значения неизвестного параметра 0, при котором функция правдоподобия L принимает наибольшее значение. Обычно это значение функции полу чают при решении уравнения правдоподобия относительно неизвестного параметра 0 — = 0. (7-9) 50 Полученное таким образом значение параметра 0 обозначают 0, оно является функцией хь х2,хХ. С целью облегчения вычислений функции L находят логарифм этой функции, а так как log„/. является возрастающей функцией L, то уравне ние (7.9) можно записать следующим образом dlogo£ = 0 (7.10) 50 ~ Метод максимального правдоподобия применим и к дискретным распределениям. В этом случае уравнение правдоподобия следует запи сать так д(х!,х2,..., х„; 0) = р(х1 0)р(х2; 0)... Р(х„; 0). Д.Н) Метод максимального правдоподобия используется также при опре делении дисперсии оценки 0. Точное значение дисперсии вычисляют по формуле =М - (7.12) приближенное значение - по формуле [ д' log. L т1 дО1 7 (7.13) 364 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ Оценку параметра экспоненциального закона распределения находят при следующих допущениях: проводят испытания п изделий до отказа каждого из них, время наработок до отказа равно Ц, ,• t„ и имеет пока зательное распределение с плотностью вероятности 5 Д/; г) = . êxP(-f) при />0; О (7.14) при / < О, где параметра Т — среднее значение наработки до отказа, для которой функция правдоподобия II 1 V' L = Т~ ехр - jTZ./' ' '=1 (7.15) . откуда (7.16) И п т д In L аг 1 т2^’ (7.17) -------- =------ + — > /, • nL Предположим, что d=, 0, и решим уравнение (7.17) относительдТ но Т. В результате получим оценку среднего значения Т 1 д. л (7.18) Далее дифференцируем выражение (7.17) и находим дисперсию оценки d2\nL п 2 у (7.19) 8Т Т Т /=, п (" <м > /=1 д2\ n L п грТ. откуда 'I на М У/, = пТ , получим Заменив в формуле (7.19) 2и7' _ 'рЗ п р' (7.20) ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 365 Если в качестве параметра принять интенсивность отказов А = МТ, го оценка этого параметра: (7.22) и дисперсия оценки (7.23) Оценка параметра биномиального закона распределения. Пусть случайная величина Е, имеет биномиальное распределение: р(^ = о)= (7.24) Hi-l)-/;--. 1-(. (7.25) где р - оцениваемый параметр. Тогда функцию правдоподобия можно записать следующим образом W п д рх (1 - р) ' х Дх,, х2, ..., х„; д) = (1-д)" 1 ,Дх' (7.26) /=| Так как х,- принимает значения 0 или 1, то а(х, х2,..., х„; д)= ]Гх, I I /=| ) (7.27) /=1 7 откуда после дифференцирования получим п п п~У'.х1 1=1 _.о. Yxi 51п^ Yi др 1- д р (7.28) Решив уравнение (7.28) относительно р и обозначив решение через р, будем иметь п Р = ^п (7.29) Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 366 Дисперсия оценки равна: п д~ In L ддр А -2V"1 \-2 (=| ( " «-Ёх> \ 0~72Ёл'' + р и /=| /=1 '=1 7 - А -Е а -=|7 и Ёх< »-Ёл< , /г| 7 П-72 Р2О-Р)2 Р2(1-Р)2 о[/>] =------- -----------(i-rfEwH-S \ /=| п р-п + (\-2р^х, (7.30) /=| /=| Оценка параметра закона распределения Пуассона. Пусть случай ная величина Е = к, где к = О, 12, ..., т.е. принимает только целочислен ные значения. Найти оценку максимального правдоподобия параметра к распределения Пуассона. Вероятность того, что случайная величина 2, = к, определяют по формуле (7.31) к\ Функция L максимального правдоподобия и логарифм этой функции имеют вид: п п У ki -X Л,_| -Хи Л = ГГ1^ = .^.£... 1 1 Л. I " Е*. ! /=| II In L = — п -— /=| [ё*/ д /=| / 1n X- Л. (7.32) ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 367 Частная производная от логарифма функции L по параметру X п 3 In L 8Х (7.33) п & Ev tv /=| откуда 1Л х = -^— (7.34) л где п - число испытаний; к, - число событий в /-м испытании, /= 1, 2,. п. .., Продифференцируем функцию д In А/сА. З2 In L дХ2 /=1 и получим дисперсию оценки параметра X и (7.35) /=1 Метод максимального правдоподобия легко распространить и на случай нескольких неизвестных параметров распределения. Для нахожде ния оценок неизвестных параметров решают систему дифференциальных уравнений относительно этих параметров: д In L Q ае, ’' ’ д In L ае2 - ' ' ’ ’ ’ д In L аек (7.36) где к - число неизвестных параметров. Оценка параметров нормального закона распределения. Плот ность нормального закона распределения зависит от двух параметров р и ст 368 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ /(х, ц. О2) = (2лсг) 22 ехр - (-у-и)2 (7.37) 2ст2 где —со <х < оо; —оо < ц < оо; ст2 > 0. Функция правдоподобия запишется гак: а(х|. 1 х2, ..., х„; ц, G2)=(27t<r) " ехр л (7.38) _СТ , | и log0 L = const - -log, о2 - ^^(х, - ц)2. 2 2о- ,=| (7.39) Далее запишем условия частных производных по неизвестным па раметрам ц и ст2. Для определения оценки параметра ц найдем частную производную от функции правдоподобия по этому параметру 5ц ГЁ( -, -ц) = 0. =- а ст2 77 (7.40) Так как ст > 0, то решение уравнения (7.40) дает оценку параметра ц в виде Д = £ = 1£Х/. (7.4,) Для нахождения оценки параметры сТ запишем частную производ ную логарифма функции правдоподобия 5log„ L ___ п 5ст2 2<з2 (7.42) Решая совместно уравнения (7.40) и (7.42), получим оценку пара метра ст (7.43) « -1 Оценивание параметров закона распределения Вейбулла. Плотность распределения Вейбулла зависит от двух параметров - аи X: /(/; а, где / >0, а>0ик>0. Л) = а?./а| ехр (- !/“), (7.44) ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 369 Применяя метод максимального правдоподобия, получим функцию правдоподобия и L=П 1 ехр(- Xа, а ), (7.45) логарифм, которой равен п н In L = win а + win Х + (а - f/^TlnZ, Дифференцируя 1пЛ, получим уравнение правдоподобия для двух параметров: (7.47) /=1 и 0. (7.48) В результате совместного решения уравнений (7.47) и (7.48) найдем оценки а и А параметров: п (7.49) (7.50) При вычислении оценок вначале можно задаться одним из параметров, например d, и вычислить А по уравнению (7.49), затем пересчитать а по уравнению (7.50), подставив в это уравнение полученное значение А. При вычислении оценок можно использовать метод итераций. Прибли женное значение дисперсий, корреляционного момента, коэффициента корреляции двух и большего числа оценок можно найти непосредственно из уравнений правдоподобия (7.51) 370 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ откуда 2 а’ 44 » . ) О[а]= -У + х£/“1п2/, (7.52) и + а2ХХ2/“ Ip2 г д2 In L I n X2 ax2 (7.53) И 2 (7.54) a2 in l y-i а --------- = -2х“н,. (7.55) дадл Корреляционный момент вычисляют из соотношения ,.ц м f a2 in a" ' a2 in п J I gg2 ? I sx2 f f a2 inx I даек j и Jr + X^C“ln2/,'l la~ ) /■=1 Й>“4 (7.56) 2 - коэффициент корреляции - из соотношения + xf/“ln2?, и k + In21, ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 371 п И \2 1 <=i (7.57) Оценка параметров гамма-распределения. Гамма-распределение яв ляется двухпараметрическим законом, плотность вероятности которого выражается соотношением вида Xa/a 1 ехр(-А.) /'(/. а, X) = ■ Г(а) О при t > 0; при t < 0, (7.58) где а > 0 и X > 0. Логарифм функции правдоподобия запишется так п In L = an In X - я1пГ(о.) + (а -1)\ ln п - ХУ/,. 7=1 (7.59) <=! Откуда Д In L an ------- =------- / „ =0 (7.60) и <ln L . 5^ ------- = п In X - и\/((а) + / ln tj = 0, zr (7.61) где у(а) » lnâ--^J + (7.62) Совместное решение уравнений (7.60) и (7.61) дает оценки парамет ров [16]: » /.V a = ~2?/; n7^ (7.63) Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 372 (7.64) где <Э2Х1пЛ п а(2а-1) SX2 (7.66) откуда (7.67) И д2пк дк ~ L J п 2А2 ’ (7.68) (7.69) п ^2 In А _ Х(2а-1) •» • (7.70) п Для нахождения корреляционного момента используют формулу д2 Л/(а,х)= lnZÎ 2 д- -п~ 1 и4 2аХ4(2а-1)3 (7.71) НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ 373 Коэффициент корреляции определяют из соотношения (7.72) 7.5. НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Какими бы хорошими свойствами оценки параметров не обладали, все-таки бывает недостаточным характеризовать качество и надежность изделий только с помощью оценок. В связи с этим вводят понятие дове рительного интервала для оценивания параметра. Двухсторонним дове рительным интервалом для параметра 0 с уровнем доверия у называют случайный интервал, для которого выполняется соотношение /?()<0<ё)=у, (7.73) где 0 и 0 - нижняя и верхняя доверительные границы параметра, соот ветственно; у - доверительная вероятность или уровень доверия. Принимая допущение, что оценка параметра подчиняется нормаль ному закону распределения, приближенно можно записать С 6-0 Р ~иу+у < — <(/, У -т ст А vj = У. (7.74) где 0 и а - оценки параметров (средние значение и квадратическое от клонение). Тогда верхнюю границу интервала значений параметра 0 определя ют по формуле 0 = 0 + £1+у-^=; — -Jn — \ (7.75) Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 374 - нижнюю границу - по формуле 0 = 0-^ 2 О' 7^7 (7.76) где п - число испытаний; Uf+у - квантиль функции нормального распре2 деления. 7.6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАХОЖДЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ НАИБОЛЕЕ ПРИМЕНИМЫХ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ПЛАНОВ ИСПЫТАНИЙ Формулы для вычисления точечных оценок параметров распределе ний по результатам испытаний в зависимости от плана испытаний, а также точных доверительных границ этих оценок для экспоненциального закона распределения [23] приведены в табл. 7.1 и 7.2, точечные оценки параметров для закона распределения Вейбулла - в табл. 7.3, для нор мального закона - в табл. 7.4. В случае логарифмически нормального распределения наработки до отказа точечные и интервальные оценки показателей надежности вычис ляют по формулам для нормального распределения, заменяя значения наработок их натуральными логарифмами. Для планов [ТШг] и [АС7] значения оценок находят методом итера ций по уравнениям [23]: Е + /7-Ц [о + ьк (7.78) где к - шаг итерации, к = 0, 1,... . Коэффициенты, входящие в уравнения (7.77) и (7.78), вычисляют по формулам, приведенным в табл. 7.5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАХОЖДЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 375 7.1. Формулы для вычисления точечной оценки параметра X (экспоненциальный закон) План испы таний Оценка параметра X N-\ У Состоятель ная, несме щенная, асимптотиче ски эффек тивная к, 1 ’ N>i X'. i=\ [NUN] 1,1.1 h r-1 tr Ел +(W-r) 7=1 Г >1 [NUr] » Свойства оценки Ml r [NUT] N 7=1 r >0 ’ N - число изделий, поставленных на испытания; U - планы, в соот ветствии с которыми отказавшие изделия не заменяют и не восстанавливают. Смещенная Третья буква в обо значении плана ука зывает на причину окончания испыта ний: 7V- отказ всех Состоятель изделий; г - отказ ная, несме г изделий (г < /V); щенная, асимптотиче Т- отказ произошел по истечении време ски эффек ни (наработки) Т тивная Смещенная r=l Примечание Состоятель ная, несме щенная, асимптотиче ски эффек тивная 376 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 7.2. Формулы для вычисления точной интервальной оценки параметра А (экспоненциальный закон) Формулы для вычисления доверительных границ при уровне у доверия План испыта ний [AbWJ: при А> 1; при N= 1 [№]: при г> 1; при г= 1 Нижняя граница Верхняя граница ^ГГ-у2А , ^-Ху,2А . 2(А-1)’ 2(А-1)’ 1 . 2 1 ^-Хг.2=~-!-1п(1-г) 2'i ^•АГ-уД,- ^Ху,2г . 2--0’ 2((-0’ ЬЛ 1 2 [NUT]: при г> 1; при г=0 ч № j 2 Ы ^ХГ-у.2г . 4 11 Ij-yl 4Гу,2(г + 1) . ’ 2r А/, 2г 0 =1 2NT NT J и (i-yJ 7.3. Формулы для вычисления оценок а и А параметров а и А (распределение Вейбулла)|23| 1 [AOA] Ь=а II План испыта ний 2 ' N 3 ' /=1 N к 2 К a Aw — + Zln/' |Ё'“ А л/ w ^Е1п/ / =° СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАХОЖДЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 377 Продолжение табл. 7.3 3 2 1 [AAr|, [At/7] - + !>, ГГ/“+(А-г)/“ - /=1 г -г ^1пГ+(А-г) 1п/„, =0 _/=1 Примечание. _ и tr для плана [ALA]; t„ = Т для [АНТ]. 7.4. Формулы для вычисления оценок цис параметров ци т (нормальное распределение) |23| План испитаНИЙ СУ А |АШ] N IP-A)2 /=1 [AL/r], [NUT\ » ( =0 7=1 \ Ф Примечание. Для планов [ALA] и [At/7] т = т2 = ... = т „ = tm /(•) - плотность нормального распределения; Ф(») - функция Лапласа. 378 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 7.5. Формулы для вычисления коэффициентов уравнений правдоподобия |23| при планах испытаний (7Vf/r| или |/V£/T| Коэффициент Формулы для вычисления коэффициента А £/,+0,64А-))/т )=1 В г + 0,64((/ — г) С £;+0(A{N-rym Z =1 D 0,8((V-r) Е 0,8(А ,, W = 0) А*(Ао=0) (v-ГК А*, j Хк -0,8-(),642 ~k‘ zjk 1т ~ РЦ-1 &к 1 _1,2 ^~к ' ^jk е 2 *« 00 je уУ 2 б/у -к 7.7. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ Как уже отмечалось ранее, надежность является функцией парамет ров 9|, 02, ... распределения. Методы получения оценок д],02, ... этих параметров были приведены в п. 7.4, 7.5 и 7.6. Теперь необходимо найти ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 379 способ объединения этих двух видов информации с тем, чтобы получить точечные оценки надежности и ее доверительные пределы. В общем слу чае для нахождения точечной оценки надежности при известном законе распределения случайной величины достаточно в теоретическую функ цию надежности подставить численные значения оценок параметров рас пределения. Такое нахождение точечной оценки надежности справедливо как для однопараметрической, так и многопараметрической функции. Нахождение доверительных пределов функции надежности зависит от числа параметров, описывающих эту функцию. Если функция надеж ности зависит от одного параметра, то для получения доверительных ин тервалов достаточно найти нижний и верхний доверительные пределы параметра распределения и подставить эти значения параметра в функ цию надежности. Это возможно в том случае, когда надежность моно тонно зависит от параметра. Если функция надежности монотонно возрастает при любом значе нии своего параметра, то для нахождения верхней доверительной грани цы в функцию надежности подставляют верхний доверительный предел параметра распределения. Если функция надежности является монотонно убывающей от своего параметра, то для нахождения верхней довери тельной границы в функцию надежности подставляют нижний довери тельный предел параметра распределения. Если функция надежности зависит от двух и большего числа неиз вестных параметров, то точечную оценку надежности определяют, под становкой оценок неизвестных параметров в формулу оценки. Однако в общем случае, когда имеется более одного неизвестного параметра, нель зя подставлять доверительные пределы параметров в выражение надеж ности с целью получения доверительного предела последней. 7.8. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ Особенность приближенного метода оценки надежности и его большое значение объясняется тем, что применение этого метода не ограничено однопараметрическими распределениями, а может быть рас пространено и на многопараметрические распределения. В соответствии с этим методом в начале находят среднее значение и дисперсию оценки надежности, а затем ее приближенные доверительные интервалы, с до пущением, что при большом объеме испытаний (выборки) произведение оценки надежности на объем испытаний Рп подчиняется нормальному закону распределения. 380 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ Среднее значение функции надежности с одним неизвестным пара метром определяют по формуле м[р(л^)]==Р,о)+)^|-р|. (7.79) где Р(/,0) и ?(/,0) - оценка и функция надежности, зависящие от пара метра 0, соответственно, причем lim М fo I = 0 (0 - оценка параметра 0); И->оо L J j/(l/^) - функция объема п выборки, при п —> со функция /(/п) стремится к нулю также быстро, как 1 /п. Дисперсию функции надежности с одним неизвестным параметром вычисляют из соотношения -1 с \ г , /„г>\2 д2р' 1 D +f % ' аё2? \п/2 7 (7.80) В этом случае нижнюю доверительную границу функции надежно сти с уровнем доверия у находят по формуле f(/,0)=#(z,0)-cJ))[ p(/,0)] , (7.81) где Uy - квантиль функции нормального распределения, соответствую щая уровню доверия у. Соответственно верхнюю доверительную границу определяют из соотношения д(,00]=#(/,0)+иу Jd[p(/,0)] . (7.82) Для случая двухпараметрического распределения среднее значение и дисперсию функции надежности вычисляют по формулам: М [р(/,0„02)] = Р(/,01,02)^//Л ; (7.83) (л)’ d[2)j = ' i50| д2р'\ ~ 30,1 + ' дР " к j д2Р~ O , JJ 50 < ~ * 1 „ f дР'' Г дРУ гл +2 1^02 > [ЛЦ0|,02 -0|,02]+/ л I + 1 м X ■ (7.84) ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ 381 Нижняя и верхняя доверительные границы функции надежности при заданном уровне у доверия соответственно равны: £(z,el,e2)=p’(z,01,02)-t/YVZ)[#(A01A) ; (7.85) (7.86) 7.9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ И ИХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Экспоненциальное распределение. Приближенные значения математического ожидания и дисперсии вычисляют соответственно по форму лам: (7.87) где t - время безотказной работы; 0 - среднее значение наработки до отказа; (7.88) где п - число изделий, поставленных на испытания. Среднее квадратичное отклонение равно: •ё)]= ~ 1 с /о (7.89) а оценка надежности (7.90) Тогда приближенные доверительные границы при двухстороннем ограничении для функции надежности после соответствующих преобра зований выражаются соотношениями: (7.91) (7.92) 382 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ где у - доверительная вероятность; t - - время работы; 0 - оценка среднего значения наработки до отказа. Если необходимо получить только нижний доверительный предел (одностороннее ограничение) для функции надежности с той же довери тельной вероятностью у, то предположив, что Д) = 1, найдем (7.93) Нормальное распределение. Приближенное значение оценки надеж ности из нормальной совокупности: Д)=0,5-Ф (7.94) 5 где t - требуемое время работы, может определять надежность как вероятность того, что действующая нагрузка превысит заданный допу стимый уровень и т.п.; Ф(г) - нормированная нормальная функция рас пределения; w 2 ф(*)=4= [в2dt(7.9Ф) До п х = —------- среднее выборочное значение параметра; S - среднее квадра ту тическое отклонение, полученное по статистическим данным, 5= Приближенное значение дисперсии определяют из выражения [ 16] 2 2 <Р~ П (7.96) |+7 где 2 Ф=Ф ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ 383 Для нормального распределения приближенная нижняя доверитель ная граница при одностороннем ограничении и доверительной вероятно сти у равна Ф2 1+1 п 2\ о 2 (7.97) где р « х, ст ~ S. Если требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, то оценку надежности находят из выра жения [16] д(/)=ф (7.98) -Ф S S где /2 > И. Дисперсию в этом случае, определяют по формуле, приведенной в работе [16]: (7.99) D где -’М 21 S J 2 Тогда нижняя доверительная граница для функции надежности с уровнем доверия у будет равна: (7.100) р/)^)-^/^ . Распределение Вейбулла. Приближенные значения математического ожидания и дисперсии выражаются соотношениями [16]: М [д((, а, d[p(i, а, а)]» ехр(- А/а); (7.101) А)] = [/2а exp(-2Az“)] | А |П щ[<а] + о[а] + + 2А1п/[тм(а, А)-аА]}. Оценки математического ожидания d[p(J, а, А)] м\д(/, (7.102) а, А)] и дисперсии можно получить, заменив в выражениях (7.101) и (7.102) Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 384 параметры а и X их оценками [формулы (7.49) и (7.50)], а также восполь зовавшись значениями дисперсий и корреляционного момента [формулы (7.52), (7.54) и (7.56)]. В качестве оценки надежности можно использовать выражение p(t, а, Х)= exp(- Х-а), (7.103) тогда нижняя доверительная граница для функции надежности с уровнем доверия у равна: P_(l, а, Х)=Л(/, а, X)-uj , а, Хх) . (7.104) Гамма-распределение. Оценку вероятности того, что наработка до отказа будет больше заданного времени t, определяют из выражения гХ”г“ L - —Г(а) тхч—dr. Р(л а, Х) = f^ J (7.105) Приближенное значение этого интеграла можно представить в сле дующем виде [ 16] (7.106) Чтобы получить дисперсию функции надежности (7.105), в работе [16] дается приближенное значение этой функции через нормальную функцию распределения (: . X/- а ■ г -А Л(/, а, Х)=1 -Ф X/ - а пг Дисперсия функции надежности принимает вид [16] D [р(г, а, а (2U 1) 1 + ч где р = (х/- а)/ -Уа. Приближенная нижняя доверительная граница для функции надежности с уровнем доверия у определяется выражением ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ 385 Р(/, а, Х=Р(/, а, Х)-(7у (7.109) Пример 7.1. Предположим, что проводят испытания 10 блоков (и = 10) питания телевизора до отказа каждого из них. По результатам испытаний установлено, что отказы блоков были зафиксированы в сле дующие промежутки времени, ч: t\ = 400; ti - 450, /3 = 420; /4 = 440; /5 — 410; t, ~ 405; /7 — 425; = 410; tg ~ 415; /|о = 430. Найти оценку средней наработки до отказа и приближенную ниж нюю доверительную границу для вероятности безотказной работы за время t = 50 ч при доверительной вероятности у = 0,9. Принимаем допу щение, что наработка до отказа подчиняется экспоненциальному закону распределения. Решение. Оценку среднего значения наработки до отказа вычислим по формуле (7.18) 400 + 450 + 420 + 440 + 410 + 405 + 425 + 410 + 415 + 430 10 = 420,5 ч. Приближенную нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы получим, подставив в формулу (7.93) численные зна чения величин: t, Т, п, Uy = 1,282: 50 = /«°,5 = 0,841. Ответ, Т = 420,5 ч; P(t) = 0,841. Пример 7.2. Пусть на испытания поставлено 20 гидравлических приборов (и = 20), причем испытания проводились до отказа каждого прибора. Установлено, что распределение времени безотказной работы соответствует нормальному закону. В результате испытаний получены значения средней наработки до отказа: х = 500 ч, а среднее квадратиче ское отклонение 5 = 50 ч. Найти вероятность безотказной работы за вре мя z = 400 ч и ее нижний доверительный предел с уровнем доверия у = 0,90, Ц= 1,282. Решение. Оценку вероятности безотказной работы определим по формуле (7.94) 386 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ Р(,) = 05.ф^ = о,5-ф|М) = 0,5-Ф(-2) = = 0,5 - [1 - Ф(2)] = Ф (2) - 0,5 = 0,4772. По таблице 1 приложения Ф(2) = 0,9772. Для нахождения нижнего доверительного предела функции надеж ности вычислим оценку дисперсии по формуле (7.96) 2 йФ1 п где ф = ср t-х' 2 = Ф~ 1+-J-4 7 20 20 = °,00045, ~ ф(_2) = ф(2); по табл. 2 прил. ф(—2) = 0,054. Нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной ра боты находим по выражению (7.97): = 0,4772 -1,282^/00^0045 » 0,45. 7.10. ТОЧНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ В СЛУЧАЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА И ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точные доверительные пределы для функции надежности в случае экспоненциального распределения можно найти, предположив, что слу чайная величина, выраженная отношением 2лб/9, имеет распределение Величина . .. . i-у является отклонением, ее называют квантилью ^-распределения с 2н степенями свободы и вероятностью 1 - у. Для это го случая 2/70 Р 0 2 < Х2п,\-у = 7 или Р 4*- <е Х2л;1-у = У- (7.110) ТОЧНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 387 Отсюда, нижний доверительный предел параметра 6 0 = 2л0/Х2«;1-у , а точный нижний доверительный предел для функции надежности 2 / А P(t,Q) = exp - ‘Х~п^ . \ 2/70 , (7.112) где / - время работы изделия, для которого определяют функцию надеж ности; xL 1 у _ квантиль ^-распределения (выбирают ие табл. 6 прил.); * \ ■ / п - число изделий, поставленных на испытания; 0 = , /, п - оценка сред= / него значения наработки до отказа; /, - наработка до отказа /-го изделия. Точные доверительные пределы для функции надежности в случае распределения Вейбулла при известном параметре т можно определить, полагая, что отношение 2« х/х имеет ртсгфеделение %2 с 2« степенями свободы. Используя это предположение, запишем (2пТ 2 А <ХН = У (7.113) или р = У- 2л / - х2,нИз формулы (7.114) следует, что X—представляет собой верх2,7 ний доверительный предел X. Тогда для функции надежности за время работы t точный нижний доверительный предел P(t, а,Х) = ехр - V 2п > где X =--------- оценаа параметра К, пллученная по резлльттаам я испы- Ё' “ /=1 ганий, каждое ие которых проводят в течение времени Ы а - известный параметр формы кривой распределения Вейбулла. 388 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ Точные доверительные пределы для функции надежности в случае гамма-распределения при известном параметре а можно определить при условии, что случайная величина 2nfiX имеет ^-распределение с 2па сте. / пенями свободы, где Р = / / / п- оценка максимального правдоподобия /=1 / параметра р = а/Х. С учетом этого условия запишем д^рХхх^.^Ц (7.116) или (7.117) р х< У Таким образом, постоянная, стоящая в правой части неравенства (7.117), заключенного в скобки, равна верхнему доверительному пределу X, который соответствует доверительному уровню у. Тогда нижний доверительный предел для функции надежности ( РЦ, а, Х) = 1-£-< 2 Х2иа; Т-у 2”Р ' Г* > — ехр СХ2лкх; 1-у £=а 2«Р При большом числе степеней свободы величина ^2х^, имеет при близительно нормальное распределение со средним У2т -1 и дисперси ей D = 1. Если Ц означает нормальное отклонение математического ожидания, превышаемое с вероятностью у, то квантиль функции нор мального распределения ^.^^т.у-У2т-\ (7.119) xl„,;l-y«|Û^yV2W-l), (7.120) ИЛИ где т = 2п - число степеней свободы. Пример 7.3. Найти точную нижнюю доверительную границу для функции надежности из примера 7.1. ТОЧНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 389 Решение. По таблице 6 приложения для числа степеней свободы 1п = 20 и вероятности уклонения 1 -у = 0,1 квантиль %20. о 9 ~ 28,4Подставляя численные значения величин в формулу (7.112), полу чим Г, £(/) = ехр Т 2 ' . 7,2л, 1-у -г2пТ = 0,8336. Ответ: P(t) = 0,8336. Пример 7.4. На испытания поставлено 10 приборов (и = 10). Прибо ры испытывают до отказа каждого из них. По результатам испытаний получены следующие значения наработок 7), до отказа, ч: 100, 105, 110, 95, 90, 98, 96, 94, 102, 103. Предположим, что наработка до отказа рас пределена по закону Вейбулла с параметром а = 2,0. Найти точную нижнюю доверительную границу с уровнем доверия у = 0,9 для функции надежности за время t = 10 ч. Решение. Для нахождения точной нижней доверительной границы функции надежности воспользуемся формулой (7.115), предварительно определив оценку параметра X ________________________ 10________________________ = 1,0110'4. 1 ОО2 +1052 + 1152 + 952 + 902 + 982 + 962 + 942 +1022 +1 ОЗ2 По таблице 6 приложения для числа степеней свободы 2л = 20 и ве роятности уклонения 1 - у - 0,1 квантиль /|0; 0 9 = 28,4 . Далее, подставив численные значения величин в формулу (7.115), получим P(t, а, X) = ехр Ответ: £(/) = 0,986. Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 390 7.11. ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ Под оценками показателей безотказности понимают показатели, которые определены по результатам испытаний. Как уже отмечалось, в качестве показателей могут быть использованы их точечные оценки и доверительные границы, которые с заданной вероятностью покрывают истинные значения показателей. Применяя параметрические методы, полагают, что вид закона распределения наработки до отказа известен до испытаний. Проверку гипотезы о виде закона распределения осуществ ляют с помощью критериев согласия. Расчетные формулы для определе ния оценок показателей безотказности и их доверительных интервалов при различных планах испытаний приведены в табл. 7.6 - 7.9 [23]. 7.6. Формулы для расчета точечных оценок показателей надежности некоторых законов распределения Оценка показателя надежности Закон, функция распределения для этого закона Экспоненци альный, F(/) = 1 - Л' Вейбулла, Д(/) = 1-е-х'“ Нормальный, «НЛ Логарифмически нормальный, «ч'"Л Г аммаВероятности Средней процентной наработки до безотказной наработки до отказа Тср работы Р(Г) отказа Т —1 ЛЛ Р С (Л ехр^+т] в-1' Интенсивно сти отказов X(z) i г Х'° л /(0 ехр(ц -L\o) Т л 4м л ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ 391 7.7. Формулы для расчета интервальной оценки показателей безотказности при экспоненциальном распределении Нижняя доверительная граница уровня а Верхняя доверительная граница уровня а 1/Х 1/Х Гамма-процентная наработка Ту 1п(1/у)/Х ln(l/y)/& Вероятность безотказной работы P(t) exp(-Xz) exp(-Az) Интенсивность отказов А. К X Показатель надежности Средняя наработка Тсг до отказа 7.8. Формулы для расчета интервальных оценок показателей безотказности при распределении Вейбулла |23| Показатель надежности Средняя наработка Гср до отка за Гамма процентная наработка Т, до отка за Вероят ность P(t) безотказ ной работы Доверительная граница уровня q нижняя ^ехрН) Дополнительные сведения верхняя 7;pexp и > Значения V4 см. в табл. 8 прил. “ > Значения Кг ехр |ПШ_Г''У/Й у и Ц q, a In — I ^t) exp Xi L 1 1 - g, a In -J- см. в табл. 8 прил. Значения L(q, х) определяют с использованием рис. 1.6 прил. Примечание. Интервальные оценки для средней наработки до отказа при известном значении параметра а являются точными, при неизвестном а приближенными. Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 392 7.9. Формулы для расчета интервальных оценок показателей безотказности при нормальном распределении Показатель надежности Средняя наработка Тср до отказа Доверительная граница уровня q НИЖНЯЯ верхняя М"'Л-•)-?= Н+'90’^1)’Т= л/г Гамма процентная наработка Гу до отказа Вероятность Д(/) безот казной работы Дополнительные сведения Значения t4(r- 1) приведены в табл. 4 прил., значения оценок ц и ст в табл. 7.4 Значения А(у, q, г) приведены в табл. 9 прил. ф(л) ф(л) ( £2) 1+А_ 2 7 ',Л К 2 7 Примечания: 1. Для плана [jVCAV] r = N. 2. Для планов [At/r] и [AL7] оценки являются приближенными. Пример 7.5. Найти оценку среднего значения наработки до отказа, а также точечную оценку и нижнюю доверительную границу для функции надежности за время работы I = 0,5 ч при уровне доверия q = 0,9, полагая, что распределение наработки до отказа подчиняется закону Вейбулла. Оценивание показателей провести по результатам испытаний 20 изделий (N = 20), из которых отказало 10 изделий (г = 10), проводимых по плану [Awr]. Наработки до отказа t, испытанных изделий соответственно рав ны, ч: 0,750; 1,650; 1,285; 1,315; 0,825; 0,975; 1,560; 1,460; 1,255; 1,645. Решение. Формулы для вычисления точечных оценок параметров сх и А, в зависимости от плана испытаний приведены в табл. 7.3. 393 ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ Нахождение оценок а и Л. начинают с решения уравнения относи тельно а методом итераций в следующей последовательности. 1. Находят вспомогательный коэффициент И: /1 — — In 0,750 + In 1,650 + In 1,285 + In 1,315 , ' r ' ' ~~ ' 10 + In 0,825 + In 0,975 + In 1,560 + In 1,460 + In 1:255 + In 1645 = Q 3Q64 10 2. Вычисляют начальное приближение оценки d : г+1 11 3. Вычисляют следующее приближенное значение di+j (к-0, 1, 2,..) + ( ( * ** ( 1пт/ а*.| = -!=1___________________________________-А ^+(V-r)r“* z=l где ту = 1,65 - максимальная наработка для (W - г) = 10 неотказавших из делий из N = 20 поставленных на испытания. 4. Процесс вычисления приближенных значений прекращают, когда |(а£+| - аА/ац] < е, где е - требуемая точность решения уравнения, е<0,1. Приближенное значение d^+, удовлетворяющее этому условию, принимают в качестве искомой оценки а. Оценку А находят подстановкой оценки d в формулы для оцен ки X (см. табл. 7.3). Вычислим величину &t+1 = а,: 10,52 + 10-0,5008--,675 а, = ---------------------------------- 0,3004 24,837 + 10-4,675 = 5,952. 394 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ Проверим условие 5,952 -3,08 р. = 0,978 >£ = 0,1. 3,08 Теперь вычислим величину а2: 32,745+ 10 19,68 0,5008 0,3064 = 5.8. 77,32+10 19.68 Проверим условие «2 ~ &] 5,8-5,952 d1 5,952 = 0,026 <0,11 Таким образом, в качестве оценки для параметра а принимаем зна чение а2 = 5,8 . Подставив численное значение параметра 6> в формулу для параметра X, получим оценку параметра X . 5. Окончателььааооеннк! 1араметта а= г а: 10 / откуда X I 1 а 1,-736 =v = 0,576. 6. Найдем оценку средней наработки до отказа 7[г = аГ^1 + Т™'. = 1,736 ■ Г(1,73б) = 1,736 • 0,92 выбирают из табл. 7.7 [3]. 7. Вычислим точечную оценку функции надежности ?(/) P(f): = exp (- X/“2 f = exp (0.576 • 0,55’8f = 0,989. ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ 395 8. Для нахождения нижней доверительной границы вероятности безотказной работы вычислим величину = 5,8 In (3,472) « 7,2. К = d2 1п[^ = 5,8 Далее по трафику (рис. 3 прил.) находим: £(/) = 0,986. Пример 7.6. Найти оценку среднего значения наработки до отказа, а также вычислить ее нижнюю доверительную границу для уровня q = 0,9. Определить точечную оценку и нижнюю доверительную границу для функции надежности за время работы I = 0,8 ч при уровне доверия q = 0,9, полагая, что распределение наработки до отказа подчиняется за кону Вейбулла. Оценивание показателей провести по результатам испы таний П0 изделий (N = 10), из которых отказало четыре изделия (г = 4), проводимых по плану [АДг]. Наработки до отказа /, испытанных изделий соответственно равны, ч: 0,75; 1,2; 2,0; 1,5. Решение. I. Найдем вспомогательный коэффициент А 4 А- Е 1п//~| In 0,75 + In 1,2 + In 2,0 + In 1,5 г 4 0,2877 + 0.1823 + 0,6931 + 0,4055 4 = 0,392. 2. Вычислим нааальноепррбблжение о ценки а . __________ г+1__________ _______________ 5______________ “° ' (й + 1п/,)(0,23г + 3,71) ~ (0,392 + 0,2877)(0,23-4 + 3,71) 3. BыIчисллм сследющее приббиженис dj 4 £/“"In/, + (а - In т / -I 0.751'6 ■ 0,2877 + п21-6 ■ 0,1823 + 2,рП'6 ■ 0,6931 + 1,5''б ■ 0,4055 + 0,751 '6 + 1.21'6 + 2,01'6 + 1,5*-6 +(Ю -4)- 2,01'6 + Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 396 -1 ________ + (Ц^-4)'2,0К6 -0,6931___________ + 0,751’6 + 1,2l6 + 2,oi.6 +1,51.6 +(ю_4).2,01’б «4,15. 4. Проверим усллвве 4,194-1,6 = 16 >£ = 0,1. 16 Так как условие ai ~ «о do 4 не выполнено, то вычислим значение а. . У'/,11' ЬтО + (N- г)т“| In d; = >=1_______________________ ^+(ЛГ-г)г? /=1 0,754,15 ■ 0,2877 + 1:24-15,0,i823 + 2,04-15 ■ 0,6931 + 0,754’15 + 1,24’15 + 2,04,15 + 1,54’15 + (10-4)-2,04'15 +'” + 1,54-5 ■ 0,4055 + (Р-4)- 2,0445 ■ 0,6931 -0,392 " ' + 0,754'15 + 1,24'15 + 2,04'15 + 1,54'15 +(10-4)-2,04’15 5. Проверим условие d; -d| 3,57-4,15 = 0,139 >£ = 0,1. 4,15 Так как условие не выполнено, то вычислим значение d3 £/“2ln/, + (W-r)r“21пт, «з = /=| /=1 0.753-57 • 0,2877 +1,23’57 - 0,1823 + 2,03,57 ■ 0,6931 + 0,753'57 + 1,23’57 + 2,03’57 + 1,53’57 + (10 - 4) • 2,03-57 +'" I = 3,57. ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ 397 + 1,5'V7 ■ 0,405 5 + (10-4)- 2,03,57 • 0,6931 "' + 0,753'57 + 1,23'57 + 2,03’57 + 1,53’57 + (10 - 4) • 2,03’57 6. Проверим условие з<64=з,57 = 0,02 < е = 0,1. 3,57 а. Таким образом, е качестве оценке доя параметра сл принимаем зна чение йз = 3,64 . Пвдстаеее численное значение оценке параметра d3 и формулу (см. табо. 7.3), получим оценку параметра X /=1 г I 3.64 » 2,382; 7. Найдее оценну ссреднеи аpоббвеyддoоеyаa И Тс = аГ\ I ] 1 1 + — = 2.382Г (1,275) = 2,382 0,902 = 2,148 ч. «3 8. Вычиесом тточчнню оосрну ффснцци нидeжннвле P(J = 0,8) = exp (- Х</3) = ехр (- 0,42 ■ 0,83,64) = = рхр(-0,42 • 0,44) = чх|э(-0,185) » 0,831. 9. Вычиеяим нижнюю доверительную гррницу арещней наррботки до отказа 398 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ Г =fcpexp(--M к а3 ) = 1!82 ч, где Из,? = 0,6 (взято из табл. 8 прил.). 10. Для нахождения нижней доверительной границы вероятности безотказной работы найдем величину 11,382^ И = а31п(а/?) = 3,64 In I 0,8 J = 3,64 In 2,9775 = 3,96. Далее из рис. 1 прил. Д(Г) « 0,82 . 7.12. ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ НА ОСНОВЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ Непараметрические методы позволяют оценить показатели безот казности при отсутствии информации о законе распределения. Общим для непараметрических методов является вычисление оценок функции распределения наработки до отказа по общему вариационному ряду, в котором наработки до отказа и до цензурирования расположены в поряд ке возрастания. Показатели надежности вычисляют как некоторые функ ции от оценки функции распределения [23]. Точечные оценки показателей безотказности вычисляют по форму лам, приведенным в табл. 7.10. Последовательность вычисления оценок Р(/) и F( ( , ) [1,31] такова. 1. Наработки до отказа и наработки до цензурирования выстраивают в общий вариационный ряд в порядке возрастания их значений. Под наработкой до цензурирования понимают наработку, при достижении которой изделие снимают с испытания, хотя изделие и не отказало. 2. Если в вариационном ряду некоторые значения наработки до цен зурирования равны значениям наработки до отказа, то сначала указывают наработки до отказа, затем наработки до цензурирования. 3. Для каждой наработки б( i = 1г) до отказа вычисляют оценки ве роятности безотказной работы /'(/,) и функции распределения F(i,) для планов [АОА], [TVt/r] и [М/7]: = #(О = 1-W (7.121) (7.122) Формулы для вычисления интервальных оценок показателей безот казности приведены в табл. 7.11. ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ 399 7.10. Формулы для вычисления непараметрическим методом точечных оценок показателей безотказности |23] Точечная оценка Показатель надежности Средняя наработка до отказа ТХр Примечание zN = тахГ,.,т„); ДР(О = #(/,)-Г(',-|) /=1 zo = 0 Г амма-процентная наработка до отказа Г Вероятность безот казной работы P(f) 4С + (1-//,)-_!; F(/(_i)<b-y <F(^Z,); i = 1, г, /0 = 0 d . i) ' #(', )-#Ui) l<tr; i = 1, г, t0 = 0 7.11. Формулы для вычисления непараметрическим методом интервальных оценок показателей безотказности 123] Показатель надежности Доверительная граница уровня у НИЖНЯЯ верхняя ^ + а-</Х; Xc+G-XX-i; i = 1, г; Г0 = 0; Г(/,м)<у<Р(О i = 1, г; t0 = 0; f;Zm)<y<f(O с, £(/,) + (1 - <AW,-i); ^>р(Л) tO-^)/^,-,); Средняя наработ ка до отказа Тс„ Г аммапроцентная наработка до отказа T Вероятность безотказной работы Р(7) в С-l с t<tr 400 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ Значения d} и d", входящие в формулы табл. 7.11, вычисляют с ис пользованием следующих выражений: (7.123) (7.124) F.(t,)-F_(t, |) Интервальные оценки вероятности безотказной работы и функции распределения при наработках /, (/ = 1, г) вычисляют по формулам и таблицам, приведенным в работе [33]: Ы) = у)- (7.125) Ты) = .мог у). Приближенное значение нижней доверительной границы вероятно сти безотказной работы - по формуле (7.126) - интервальные оценки функции распределения - с использованием уравнений Ио = (7.127) |г(О=|-/>(ОЗначения f\(N, i, у) и/2(А, i, у) приведены в работе [33]. Пример 7.7. Определить среднюю наработку до отказа и ее довери тельные границы, а также вероятность безотказной работы и ее нижнюю доверительную границу за время 202 ч с использованием результатов испытаний восьми изделий по плану испытаний [ЛОг]. Наработки испы танных изделий до отказа равны: 180, 190, 195, 200, 205, 206, 210 и 220 ч. Решение'. 1. Наработки до отказа выстраиваем 180 > 190 > 195 >200 >205 >206 >210 >220. Вычислим оценку ?(/,), i = 1; 8: в вариационный ряд: ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ #(/5) = 1-| = 0,375; ?(/,) = 1-1 = 0,825; О О • 6 Р(/6) = 1-- = 0,25; Р(/,) = - - — = 0,75; 8 Л Л(/3) = 1 3 401 О P(f7) = l-~ = 0,125; = 0,625; О О • 8 Р(,8) = 1-- = 0. 2. Находим оценку средней наработки до отказа (см. табл. 7.10) \'г = = 18о(1-о]+19о(|4] + 195(|-|)+2Оо(4- + + 205f---1 + 206(---''| + 210(-~-'- +220(Н = 200,75 ч. <8 8j 1.8 8J (8 8) Так как /4 = 200 ч < t - 202 ч < /5 = 205 ч, то 2 = 0,4; •(/,) • 5) = 0,375. = 202 - 200 —=— = 0,5; Р(/ - 205-200 5 Следовательно, оценка вероятности безотказной работы за время 202 ч равна Р(/ = 202) = 0,4 ■ 0,375 + (1 - 0,4) • 0,5 = 0,45. 3. Нижняя доверительная граница средней наработки до отказа при у = 0,9 (Ц, = 1,282) составляет ... + (200-200,75)2 • (205-2 00.75)2 + (210-200,75)2 +(220-200,75)2 = = 200,77 5--b2j| 158,9375 = 195,3 ч. 8 у Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 402 Верхняя доверительная граница средней наработки до отказа 1 1 ср - tr? г~-------------- 200,75+-2Г^л/1158,9375 = 206,2 ч. 8 +1 Нижнюю доверительную границу за время t = 202 ч при у = 0,9 вычислим по формуле (7.126): P(tt = 200) = (1-0,9)^ = 0,28; Далее, по табл. 7.11 P[t = 202) = <У2 )+ (1 - d2 }P(t,^) = 0,4 • 0,175 + (1 - 0,4)- 0,28 = 0,238. Оценка показателей безотказности на основе непараметрических методов может быть использована и в случае утяжеленных испытаний. Нижняя доверительная граница для вероятности безотказной работы при отсутствии отказов в процессе испытаний [34] (7.128) где у - доверительная вероятность; - число изделий, поставленных на испытания в течение заданного времени; % - коэффициент утяжеления, который может выражаться увеличенной нагрузкой, увеличенным време нем испытаний, повышенной температурой и т.п.; г) - запас системы по ресурсу, выражающийся в виде отношения tjt^ , при этом /, £ f . При наличии отказов в процессе испытаний нижняя доверительная граница для вероятности безотказной работы [34] (7.129) где т - число отказавших изделий. ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ 403 7.13. ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ ПРИ ИСПЫТАНИЯХ С ИЗМЕРЕНИЕМ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПАРАМЕТРОВ Разработаны методы расчета точечных и интервальных оценок пока зателей безотказности изделия по результатам испытаний для случая, когда работоспособность изделия оценивают по определяющим пара метрам. Надежность изделия, которую оценивают по результатам измерений определяющих параметров, не дожидаясь появления отказов изделия, называют параметрической надежностью. Такие модели отказов позво ляют прогнозировать уровень надежности изделия. Параметрические модели надежности широко используют как для электромеханических изделий, так и для изделий радиоэлектроники. В общем случае, состояние изделия в любой момент t может быть опре делено набором параметров *i(7), x-O,..., х„,(/), а условие его работоспо собности за заданный промежуток времени [0, /о] - системой неравенств: • 4», (ф0; - •> 4», ()]>0; Ф1[Ч(0) *12(0)> •• Фг[з21(М *2 фДхн(г), 4-2 0), - (7.130) •> 4™ ()]> 0, где ф, - известные функции, выраженные либо аналитически, либо алго ритмически; т',;(/) - определяющие параметры изделия, учитывающие как свойства изделия, так и условия его нагружения и эксплуатации; / = 1,г; J = о»Параметры xjt) обычно являются случайными процессами. Частны ми случаями условий (7.130) работоспособности являются модели отка зов типа непревышений и нагрузки, и прочности. Если отдельное условие в системе уравнений (7.130) обозначить через событие Л,(/о), т.е. 4(?о) = Ф|[[^п1(4 *12°). •••> 4«>(°М> (7.131) го совместное наступление событий Л,(/о) есть событие л0оО=П1оОо)/=1 Тогда вероятность безотказной работы изделия за промежуток вре мени [0, Го] может быть задана уравнением 404 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ />(г0)=Вер{я(/0)}. (7.132) В случае независимости событий A,(t0) формула (7.132) принимает вид 4(о)=П/(оо). (7.133) /=1 где А('о)= Вер{л,(/0)}- Задача статистической оценки надежности изделия в рассматривае мой постановке состоит в расчете точечной оценки Р = P(Zo) показателя р>(?о) и его доверительных границ уровня у: Р=£(/о) - нижней довери тельной границы; Р = Р(/о) - верхней доверительной границы - по ста тистическим данным, полученным в результате испытаний ограниченно го числа N образцов. Если оценку надежности изделия проводят по од ному определяющемуся параметру, го такую модель отказов называют одномерной. Пусть по результатам испытаний W образцов получены N выборочных значений параметра X: X|, Xz, xN. Предположив, что определяющий параметр изделия распределяется по нормальному зако ну, и используя данные испытаний, вычисляют выборочные оценки па раметров ц, ст и h: 2 < (7.134) где а и b - допустимые области D изменения определяющих параметров АГ; (ас)' (-со, b] (7.135) . (а'. Точечную оценку вероятности безотказной работы вычисляют по формуле р = ф(и), (7.136) где Ф(л) - нормированная нормальная функция распределения, опреде ляемая по табл. 1 прил. ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ 405 Приближенные значения нижней Р и верхней Р доверительных границ вероятности Р безотказной работы с уровнем доверия у опреде ляют в виде (7.137) где h и h - нижняя и верхняя доверительные границы уровня у для па раметра h, соответственно. Приближенные значения нижней и верхней доверительных границ параметра h для уровня у вычисляют по формулам: (7.139) где Uy - квантиль функции нормального распределения, определяемая по табл. 1 прил. Для случая многомерной параметрической модели, когда каждый определяющий параметр х, имеет нормальный закон распределения с параметрами ст, и все параметры независимы, то вероятность безотказ ной работы можно записать в виде />=ПФМ (7.140) где hi - нормированный допуск на z-й определяющий параметр. Пусть по результатам испытаний N, изделий получены выборочные значения параметра х„ i = 1, т, и если на каждом изделии можно одно временно замерять значения всех т определяющих параметров, то, оче видно, все N = N. По этим данным определяют вначале выборочные оценки параметров n ст, и /г, по формулам: (7.142) 5, (7.143) Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 406 Точечную оценку вероятности безотказной работы определяют под становкой h, в формулу (7.I40) р=П4,)- (7.144) /=1 Формула для определения приближенных значений нижней и верх ней доверительных границ показателя Р при N > 5 аналогичны формулам (7.137). В качестве оценки И принимают значение h = Ф '(^), где Ф |(/?) - (7.145) функция, обратная функции Лапласа, значения которой приведены в табл. I прил. Таким образом, имеем Р = ф(Л) и р = <•, (7.146) где й и й - доверительные границы, определяемые по приближенным формулам, аналогичным (7.138) и (7.139) 5 (7.147) Формулы (7.147) справедливы при условии, что Р > 0,9, и тем точ нее, чем больше значение Д = ф(й, ). Если каждый из определяющих параметров имеет логарифмически нормальное распределение, то приведенные ранее формулы могут быть использованы при условии - параметр X и его допуски а и Ь заменяют на их логарифм: 1пьГ, Ina и 1пй. Аналогичные изменения проводят и при рассмотрении многомерной модели отказов для каждого определяющего параметра А, i = 1, т . Если определяющий параметр имеет распределение Вейбулла, то схема расчета оценок показателя безотказности совпадает со схемой рас чета, изложенной в п. 7.11. к ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ 407 Пример 7.8. Для подвижной установки найти вероятность безотказ ной работы, ее нижнюю и верхнюю доверительные границы при у = 0,9. Работоспособное состояние установки определяется следующими пара метрами: временем А'| скоростного подъема, временем Аг горизонтирования и временем А3 выпуска домкратов на заданную величину. В ТЗ зада ны следующие границы допусков на А), с: Ь\ = 15; Ь2 = 30; bj = 120. По результатам N испытаний 20 подвижных установок (N = 20) полу чены следующие оценки параметров: х, = 13,5 с; S) = 0,5 с; х2 = 28,5 с; S2 = 1 с; х = 118 с; S3 = 2 с. Предполагается, что распределение каждо го параметра можно аппроксимировать нормальным законом. Решение. Вероятность безотказной работы в этом случае определя ют по формуле Р = Пф(Л1, /=1 где л = УА=15-|33=ЗО. S, 0,5 ; Ь--х2 30- 28,5 1в Л= =—у— = 1'5; 1 оз -— - ^=10И8 2 Д3 По таблице 1 приложения находим вероятности безотказной работы: д = Ф(Д )= ф(з)= 0,9986; Д, =Ф (й2)= Ф(1,5) = 0,9332; Р2 =Ф (^^(1) = 0,841. Следовательно, з Р = П Д = 0,998(5 -0,9332 • 0,841 = 0,784, /=1 откуда А = Ф~'(0,784) = 0,775. Для нахождения нижней и верхней доверительных границ вероятно сти безотказной работы определим величины: Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ 408 ^19 = 0,44; h = h + Uy Теперь вычислим нижнюю и верхнюю доверительные границы для вероятности безотказной работы: р = Ф(Л) = Ф(О,44) = 0,6Р; Ответ: Р = 0,784; £ = 0,67; ~ = ф(л)= ф(1,1) = 0,864. 7 = 0.86-4. В случае, когда работоспособность элемента определяется условием «прочность-нагрузка», то оценка вероятности безотказной работы в предположении, что параметры: прочность (ЛЛ|) и нагрузка (AS) независи мы и распределены нормально, находят по формуле Р = ф(/т). где h = (р - р2)/ + о2 (7.148) . Пусть по результатам испытаний опытных образцов получено <¥| выборочных значений случайной величины Л) (хн, Х|2, ..., хЬу , ) и (V2 выборочных значений случайной величины Х2 (х2|, х22, ..., х2у , ), по которым определяют выборочные значения оценок параметров ц, и о„ / = 12: (7.149) (7.150) ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ 409 По найденным оценкам х,, х2 , Si и S2 определяют величину (7.151) после чего по табл. 1 прил. - точечную оценку P\hj вероятности безот казной работы и ее нижнюю и верхнюю доверительные границы, соот ветственно P(h) и /’(а); аргументы h и h этих функций для заданного уровня у вычисляют по формулам: (7.152) где N = min (W,, N2). Для многомерной модели, когда изделие представляет собой сово купность элементов, в предположении, что прочность и нагрузка каждого элемента имеют нормальное распределение соответственно с параметра ми ц, „ О| , и Ц2.м о2.Тогда оценку вероятности безотказной работы по результатам испытаний определяют в виде (7.153) где VCvi,-x2,)/7s,2/+S22,. (7.154) При определении доверительных границ по найденной оценке веро ятности безотказной работы из табл. 1 прил. находят оценку Н = ф'(р) (7.155) и определяют минимальные значения объемов испытаний: No = min [N N ) и v0 = min(v,, v .), где v, = N, - 1; v2 = ЛД- 1. 1</; j^m' 410 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ В этом случае для уровня у имеем [23] 1 -L +----Н2 2v 0 Ио 1 Н = Н+и +----- Н2 Ио 2v0 Н = Н-U U (7.156) Доверительные границы уровня у для вероятности безотказной ра боты определяют по табл. 1 прил.: Р = ф((я.); Р = ф(77). (7.157) 7.14. ОЦЕНИВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ В качестве объекта рассмотрим изделие, состоящее из последова тельно соединенных элементов. Предположим, что каждый элемент изделия подвергают испытаниям отдельно (автономно) по биномиально му плану и что вероятность р, безотказной работы каждого из этих эле ментов неизвестна. Задача состоит в том, чтобы по результатам незави симых автономных испытаний элементов оценить надежность изделия в целом и найти ее нижнюю доверительную границу. Пусть по результатам испытаний каждого элемента получены статистические данные в виде объема N, испытаний, числа т, отказов и соответственно частоты отказов 9, = «т/А, . Точечная оценка вероятности безотказной работы изделия с после довательным соединением элементов (рис. 7.1) по результатам автоном ных испытаний элементов будет равна п (7.158) /=| у '’/у Нижняя доверительная граница Р для вероятности безотказной ра боты в интервале времени [0, /] изделия с последовательным соединени ем п элементов при уровне доверия у по результатам их испытаний вы числяют по формуле 1 Р = (1 -^) (1 - , Рис. 7.1. Изделие с последовательным соединением элементов 411 ОЦЕНИВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ где <7 = 1_Р; N = min(W) - это минимальный объем испытаний из п элементов. Из формулы (7.159) следует, что если т, = 0, то p = 0-y)w- (7.160) Пример 7.9. Испытания на функционирование проходят пять элек тромагнитных клапанов и четыре блока управления. По результатам ис пытаний получены статистические данные (табл. 7.12). Найти точечную оценку вероятности безотказной работы за один цикл и ее нижнюю доверительную границу с уровнем доверия у = 0,90. Решение. По формуле (7.158) вычислим точечную оценку вероятно сти безотказной работы . 9 ( .„А ( л с AZ л 1 э А /=1 Затем по формуле (7.159) найдем нижнюю доверительную границу I 1 £ = (1-<<Х1-у)Мь'') = (1 - 0,55)(1 - 09))('о’’55>10 =0,32. Ответ: Р = 0,55; р — 0,32. 7.12. Статистические данные, полученные при испытаниях Клапан Параметр Объем Ni испытаний, циклы Число т, отказов ( 2 3 4 5 100 80 60 40 20 5 4 4 3 2 Блоки управления Параметр 1 2 3 4 Объем N, испытаний, циклы 80 70 50 10 Число от, отказов 4 3 2 1 412 Глава 7. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ Если в качестве объекта рассматривают изделие, состоящее из v па раллельно соединенных элементов, для каждого из которых вероят ность безотказной работы считается неизвестной, и, следовательно, элементы независимы. Предполагается, что каждый элемент проходит М автономных испытаний (отдельно от системы) по биномиальному пла ну с регистрацией числа т, возникающих отказов. Точечная оценка вероятности безотказной работы изделия с парал лельным соединением элементов (рис. 7.2) по результатам автономных испытаний элементов будет равна: р.161) 1=1 'z Нижнюю доверительную границу Р для вероятности безотказной работы в интервале времени [О, /] изделий с параллельным соединением элементов при уровне доверия у по результатам их испытаний определя ют по формуле [23] £ = l-(l-£v)V, (7.162) где р = (1-</)(1-у)Л(' - ?= N = min(v)- Ж N) Если элементы, входящие в изделие, равнонадежны, то формулы (7.161) и (7.162) имеют вид P = i-(i-p)v; £ = l-(l-p)v. (7.163) где (7.164) или Р = Р\ = Pi = - = Pi = Pv ■ 7 .и . Рис. 7.2. Изделие с параллельным соединением элементов ОЦЕНИВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ 413 7.13. Статистические данные, полученные в автономных испытаниях Номер элемента Параметр 1 2 3 4 5 Объем А, испытаний, циклы 50 40 30 20 10 Число т,, отказов 3 2 3 2 1 Пример 7.10. Автономным испытаниям подвергают пять элементов. Известно, что эти элементы в системе соединены параллельно. По ре зультатам испытаний получены статистические данные (табл. 7.13). Определить точечную оценку вероятности безотказной работы си стемы за один цикл работы и найти ее нижнюю доверительную границу с уровнем доверия у = 0,90. Решение.. Точечную оценку вероятности безотказной работы вычис лим по формуле (7.161) 5 X = 0,999997. Нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной ра боты найдем по формуле (7.162) где 1 ___ 1___ р = (1 - <)(1 - у))7О = (1 - 0,000003) (1 - о,9) °-999997 100 = 0,977. £ = 1-1-09^775У =0,99996. Ответ: Р = 0,999997 ; Р = 0,99996 . Глава 8 УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ЗАКОНОВ И ИХ ПАРАМЕТРОВ ПО КРИТЕРИЯМ СОГЛАСИЯ Разработаны методы установления законов распределения значений показателей надежности по статистическим данным, а также проверка этих значений на их соответствие критериям согласия. Полученные ста тистические модели законов распределения значений показателей надеж ности позволяют прогнозировать оценки надежности во времени. Рассмотрим два подхода - графическое представление вероятностей и статистические проверки параметров с помощью критериев согласия. Графическое представление вероятностей является субъективным мето дом, поскольку определение того, не противоречат ли полученные данные принятой статистической модели, основывается на визуальном наблюде нии, а не на статистическом расчете. Этот метод очень прост и позволяет не только определять вид распределения, но и получать параметры данного закона. Статистические испытания - более объективный подход, позво ляющий вероятностными методами оценить адекватность выбранной мо дели статистическим данным, поэтому такие испытания часто используют в дополнение к графическому представлению вероятностей для объектив ного принятия решения о виде модели распределения. Критерии согласия могут быть использованы для проверки правиль ности выбранной модели распределения и однородности совокупности двух и более групп статистических данный при определении количе ственных показателей надежности. 8.1. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Графический метод позволяет наглядно представить имеющиеся экспериментальные данные, а также определить адекватность принятой вероятностной модели и оценить процент наблюдений и параметры рас пределения. Эту информацию можно получить даже в том случае, когда имеются сведения лишь о Л из и наблюдений, т.е. в случае цензурирован ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 415 ных выборок. Такие выборки часто используют при испытаниях изделий на долговечность, которые прекращают при появлении К отказов. Рассматриваемый метод очень прост и суть его состоит в следую щем. Полученные экспериментальные данные наносят на специальную графическую бумагу, предназначенную для определенного закона рас пределения. Если статистическая модель выбрана правильно, то точки образуют прямую линию. Если модель не подходит, то график не будет линейным и можно наблюдать степень и характер отклонений от прямой. Если окажется, что модель достаточно хорошо соответствует экспери ментальным данным, то с помощью графика можно оценить процентное содержание наблюдаемой случайной величины и значения параметров распределения среди статистических данных. 1. Графическое представление вероятностей на основе определен ной совокупности данных включает следующие этапы. 2. Выбирают так называемую вероятностную бумагу, предназна ченную для предполагаемого распределения. Упорядочивают все наблюдения от наименьшего до наибольшего по значению, т.е. представляют совокупность наблюдений, которые удовле творяют условию: Х| < *2 <... < х„ . 3. Наносят значения х, на вероятностную бумагу против соответ ствующих значений абсциссы 1— и в зависи мости от того, рассчитывают ли величины в процентах или долях наблю дений. Так, первое наименьшее наблюдение наносят против [100 %/и , второе наименьшее наблюдение - против — 100 % и и т.д. Для цензурированных данных и означает общее число элементов, независимо от того, все ли их значения известны. Ось вероятностной бу маги, на которую наносят значения х,, называют шкалой наблюдений, а ось для | i---- ] 100 %/п - шкалой интегральной функции распределения, которую легко узнать по тому, что ее значения начинаются от малых по ложительных чисел (например, от 0,01 или 0,0001 %) и идут до некоторо го значения, близкого к 100 % или к 1,0 (например, 99,99 или 0,9999 %). 4. Если окажется, что данным соответствует прямая линия, то про водим эту линию «на глаз». 416 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Если выбранная модель верна, то точки должны группироваться вблизи прямой, хотя и будут некоторые отклонения вследствие случай ных колебаний выборки. Если же линия на графике существенно отлича ется от прямой, то выбранная модель не подходит для описания рассмат риваемых данных. Систематические отклонения свидетельствуют о том, что модель неудовлетворительна. Вопрос о том, какую линию считать прямой, субъективен, и два человека, рассматривающие один и тог же график, могут прийти к различным заключениям. Однако, чем больше число выборок и чем больше отклонение от принятой модели, тем легче отделить истинное отклонение от случайного. 8.2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ, ГИСТОГРАММЫ И ВЕРОЯТНОСТНОЙ БУМАГИ Рассмотрим наиболее полную характеристику надежности изделия, а именно функцию распределения для времени безотказной работы. О виде теоретической функции распределения можно судить по стати стической функции распределения, которую определяют из соотношения (8.1) где tk < I < tk+\ - интервал значений времени, в котором определяют ста тистическую функцию; Л - число отказов; п - объем испытаний (рис. 8.1). Оценкой плотности вероятностей /(/= = ■=■> ■ может служить так называемая гистограмма f*\t) (рис. 8.2). В отличие от статистической функции E*(z) гистограмму строят следующим образом. Всю область значений времени t разбивают на интервалы, и в каждом интервале опре деляют (8.2) где dk - число отказов в А-м интервале времени (/t-i ~tk), А = 1, 2, 3, ...; т - число интервалов за весь период испытаний; п - объем испытаний. По виду гистограммы можно судить о законе распределения. Для более точного установления закона распределения необходимо, что бы число интервалов было не менее пяти, т.е. к > 5 , а число реализаций, попадающих в каждый интервал, должно быть не менее десяти, т.е. 4^10. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 417 Рис. 8.1. Статистическая функция распределения времени Вид функции распределения может быть установлен и графически методом нанесения полученных экспериментальных данных на вероят ностную бумагу. Графический способ проверки закона распределения на вероятност ной бумаге был разработан в 1914 г. американским инженером А. Хазе ном. На вероятностной бумаге в прямоугольной системе координат по оси ординат наносят шкалу, которая соответствует функции закона рас пределения (нормальное, логарифмически нормальное, экспоненциаль ное, распределение Вейбулла и г.д.), а по оси абсцисс - линейную или логарифмическую шкалу. Основная идея графического метода состоит в том, что подбирают та кую непрерывную замену координат t' = h(t) и Р' = <(/), при которой график функции распределения на плоскости (/', р'), где р' = ср [/■' (), а, р)], становится прямой линией Р' = ф(а, р))' + %(а, р). Если такую замену переменных удалось отыскать, то на плоскости ()', Р') любая функция распределения этого семейства будет представлена в виде прямой Р' = ф(а, р)г + Х((а р) ИЛИ ф[г(), а, р)] = ф(а, р)/' + х(а, р), (8.3) где А(г, а, р) - функция распределения, содержащая два неизвестных параметра. Вероятностная бумага может быть использована не только для определения вида распределения, но и для нахождения параметров зако на распределения. Предположим, что по результатам испытаний получены N значений некоторой случайной величины (например, времени безотказной работы Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ 418 системы или интервалов времени между отказами). По этим значениям можно построить статистическую функцию распределения F* (z), кото рая при больших значениях N расположится вблизи от теоретической функции распределения F(t, а, Р). После замены переменных прямая на графике (/', Р„), где t' = h(f), a P'N = ср [/>(/)] , будет проходить в непо средственной близости от прямой вида (8.3). Оценив с помощью линейки тангенс угла наклона к и свободный член b и, приравняв их теоретиче ским значениям, получим уравнения = А=у(а, р); р), (8.4) из которых находим оценки неизвестных значений параметров аир. Для примера рассмотрим преобразование функции нормального рас пределения F(t, ц, ст)=ф^~^> 1 г ~г где Ф(0 = .—■ \ е 2 dz . л/2я1 Преобразованием ф(Д) является функция Ф \Р\ обратная функции Р = Ф(/) (8.5) Таким образом, функция (8.5) соответствует функции (8.3), если /' = /?(z) = z, ф(р,ст) = — и х(ц,а)=-- . О’ СУ В случае логарифмически нормального закона распределения F(t, ц,о) = Ф поэтому Р' = ср(/>)= Ф-1^); A(Z) = lnz; ф(ц,ст) = —; /(ц,о)=- —. о о Если задано семейство показательных распределений со сдвигом'. е при />ц; при /<р; (8.6) МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ In 1__ ____ .Д-Р_ _l-F(/)_ ~ 6 где t > ц , то в качестве Р' = ф(д) выбирают функцию ф (д) = 1.т^ 419 (8.7) . Анализ (8.7) и (8.3) показывает, что t' = h(t) = t, \р(р, б) = —, 0 %(ц,0) = - — . Следовательно, уравнение прямой имеет вид 0 фН, в, 0 ))= Наконец, если задано семейство распределения Вейбулла F(t, а, А:=11«^''Х'“, то lglg I = alg/ + lgX + lglge, (8.8) где Г' = ф(/’)= Iglgl Следовательно, уравнение прямой имеет вид ф^, a, А] = ag + lgX + lglge. (8.9) Вероятностная бумага для закона Вейбулла приведена на рис. 8.3. Таким образом, тангенс угла наклона равен а, логарифм X - отрезку О А, отсекаемому прямой на оси ординат. Рис. 8.3. Вид бумаги распределения Вейбулла 420 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Теперь проиллюстрируем графическое представление вероятностей на примерах. Вероятностная бумага для нормального закона распределения. Не который химический продукт расфасован в пакеты массой I кг. Так как стоимость продукта высока, то поэтому важно, чтобы масса каждого па кета была близка к 1 кг. Упорядоченные значения масс 25 случайно вы бранных пакетов (и = 25) приведены в табл. 8.1. Так как колебания массы незначительны, то можно сделать предпо ложение о нормальном законе распределении этой величины. Чтобы оце нить адекватность предполагаемой модели, на нормальной вероятност ной бумаге строят график (рис. 8.4). Упорядоченные значения масс наносят против соответствующих значений суммарного процента наблюдений, рассчитанных по формуле ^/-•^100 %/л , т.е. первое (/= 1), наименьшее значение массы 0,9473 кг наносят на шкалу наблюдений против значения абсциссы 2,0 % по шкале интегральной функции распределения, второе по порядку значение мас сы 0,9655 кг - против 6,0 % и т.д. Наибольшее значение массы 1,0396 кг соответствует 98,0 %. Точки, нанесенные на вероятностную бумагу, группируются вблизи проведенной прямой, и, следовательно, можно счи тать, что нормальное распределение дает точный результат в качестве статистической модели. 8.1. Упорядоченные значения масс пакетов с химическим продуктом 1 g- кг i g. кг i g, кг i g- кг i g, КГ 1 0.9473 6 0,9775 11 0,9964 16 1,0077 21 1,0182 2 0,9655 7 0,9783 12 0,9974 17 10084 22 10225 3 0,9703 8 0,9861 13 1,0002 18 1,0102 23 1,0248 4 0,9757 9 0,9887 14 1,0016 19 1,0132 24 1,0306 5 0,9770 10 0,9958 15 10058 20 10173 25 1,0396 Обозначения: i - номер пакета; g - масса пакета. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 421 Рис. 8.4. Данные о массе пакетов с химическим продуктом, нанесенные на нормальную вероятностную бумагу С помощью графика можно определить процентное содержание наблюдаемых значений. Например, 50 %-ное содержание (или медиану), оценивают следующим образом: - находят на шкале интегральной функции распределения точку, соответствующую 50 %-ному наблюдению; - отмечают точку пересечения построенной прямой и ординаты, соответствующей 50 %-ному наблюдению; - считывают соответствующее значение на шкале наблюдений (например, по рис. 8.4 находим, что оценка для медианы массы пакета составляет 0,998 кг). Аналогичным образом можно оценить любое другое процентное со держание, и даже то, которое находится за пределами значений, нанесен ных на график. Например, продолжив прямую в нижнюю часть рис. 8.4, находим, что только 0,5 % пакетов будет иметь массу меньше 0,939 кг. Можно было бы получить сведения даже о более крайних значениях, на пример о 0,01 %. Однако, экстраполяция справедлива лишь в том случае, если выбранная модель точна и за пределами области имеющихся дан ных. К сожалению, чаще подбирают несколько моделей, соответствую 422 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ щих экспериментальным данным в средней части распределения, но для которых имеются значительные отклонения экспериментальных данных в области крайних значений распределения. Таким образом, нельзя быть уверенным в гом, что выбранная мо дель подходит для крайних значений, даже если на вероятностной бумаге провести довольно прямую линию. Следовательно, к выводам, основан ным на экстраполяции графиков, построенных на вероятностной бумаге, необходимо подходить очень критически. Графики можно использовать также в обратном порядке и находить оценку вероятности того, что будет превышено некоторое определенное значение параметра. Например, согласно рис. 8.4, вероятность того, что масса пакета с химическим продуктом превысит 1,03 кг, равна 0,08 (ме тодику оценки параметров на основе графиков для различных распреде лений см. далее). В случае нормального распределения медиана служит оценкой па раметра, характеризующего центр распределения или математического ожидания ц, поскольку для симметричных распределений математиче ское ожидание и медиана совпадают. Так, в задаче о массах пакетов с химическим продуктом оценка математического ожидания р = 0,998 . Оценку ст находим, используя тот факт, что для любого нормального рас пределения среднее квадратическое отклонение случайной величины равно примерно 2/5 разности масс пакетов, соответствующих 90 и 10 %-ному наблюдению. В задаче о массе пакетов по рис. 8.4 находим, что эти точки соответствуют значениям массы 0,968 и 1,028 кг и, следо вательно, су = j (1,028-0,968) = 0,024 кг. Вероятностная бумага для логарифмически нормального распреде ления. отличается от бумаги для нормального распределения тем, что шкала наблюдений является не арифметической, а логарифмической (рис. 8.5). График логарифмически нормального распределения можно построить также на нормальной вероятностной бумаге, беря логарифмы наблюдений и нанося их против значений абсцисс, найденных по форму(/-“"'l122 °%/л. Методика оценки параметров аналогична методике, ле С 2/ используемой в случае нормального распределения, с тем отличием, что используют логарифмы наблюдаемых значений. Так, оценку параметра ц логарифмически нормального распределения находят как логарифм 50 %, а оценку параметра о - как 2/5 разности между логарифмами 90 и 10 %. Эта методика иллюстрируется на примере, взятом из работы [50]. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 423 Новый контрольный прибор был испытан на 96 дизельных теплово зах (и = 96). Когда прибор выходит из строя, записывают пройденное расстояние, а прибор возвращают на завод для анализа неисправности. Через каждые 135 тыс. км каждый не вышедший из строя прибор снима ют с тепловоза. Предполагалось, что если можно гарантировать безотказ ную работу прибора на 80 тыс. км, то его будут охотно покупать. Прове денный анализ отказов показал, что время безотказной работы имеет логарифмически нормальное распределение. В таблице 8.2. приведены упорядоченные расстояния безотказной работы для 37 приборов (/ = 37). Эти данные являются цензурированными, поскольку для 59 приборов известно лишь то, что до их отказа тепловозом пройден путь, превыша ющий 135 тыс. км. График логарифмически нормального закона распре деления приведен на рис. 8.5. Наименьшее (первое) значение ординаты (наблюдаемое расстояние) нанесено против значения абсциссы (/-0,5)100 %/и = (1-0,5)100 %/96, 8.2. Расстояние s (тыс. км), пройденное тепловозами до выхода из строя /-го контрольного прибора (остальные 59 приборов безотказно работали на протяжении 135 тыс. км) 5 1 5 5 1 22,5 и 69,5 21 93,5 31 1^0,0 2 37,5 12 76,5 22 102,5 32 122,5 3 46,0 13 77,0 23 107,0 33 123,0 4 48,5 14 78,5 24 108,5 34 127,5 5 51,5 15 80,0 25 112,5 35 131,0 6 53,0 16 81,5 26 113,5 36 132,0 7 54,5 17 82,0 27 116,0 37 134,0 8 57,5 18 83,0 28 117,0 9 66,5 19 84,0 29 118,5 10 68,0 20 91,5 30 119,0 424 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Рис. 8.5. Нанесенные на логарифмически нормальную бумагу расстояния, пройденные тепловозом до отказа контрольного прибора (на графике нанесены не все данные) второе по порядку наблюдение - против абсциссы (2-0,5)100 %/96, а наибольшее значение - против абсциссы (37-0,5)1°° %/96 . Анализ рис. 8.5 показывает, что логарифмически нормальное рас пределение приемлемо, поскольку точки лежат вблизи построенной пря мой. Вероятность выхода из строя прибора раньше, чем тепловоз пройдет 80 тыс. км, находится по шкале интегральной функции распределения как величина, соответствующая точке пересечения ординаты (80 тыс. км) на шкале наблюдений с построенной прямой. Эта величина составляет око ло )5 %, или 0,15. Таким образом, вероятность безотказной работы при бора на первых 80 тыс. км пути равна 0,85. По 50 %-ному содержанию наблюдения находим оценку ц = In 165 000 = 12,01, а взяв логарифмы 90 и 10 %, получим а = — [) п 400 000 - |п 66 000] = 0,72 . Этот расчет показывает, что с экономической точки зрения прибор не способен удовлетворить требуемый гарантийный срок, и следователь но, требуется конструктивная доработка прибора. Вероятностную бумагу для закона распределения Вейбулла строят путем преобразования функции распределения к виду прямолинейной зависимости от параметров распределения. Как было показано, функция распределения Вейбулла определяется зависимостью МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ /•■(х) = 1 -ехр[-Лх“], 0<х<оо, а > 0, Х>0, 425 (8.10) где Л. и а - параметры масштаба и формы кривой, соответственно. Для построения вероятностной бумаги преобразуем формулу (8.10) к виду (8.И) Прологарифмируем выражение (8.11) дважды, в результате получим lnln 1 = a In х + In X. 1-F(x). (8.12) Таким образом, для любой случайной величины, распределенной по закону Вейбулла, функция In ln[l/(l - F(x))] на графике является прямой линией. Чтобы избежать необходимости вычисления значений lnln[l/(l-F(x))] и lnx, оси координат вероятностной бумаги проградуи рованы таким образом, что по оси ординат, соответствующей значениям / ]х lnin[l/(l-F(x))], можно наносить значения J100%/«, а по оси абсцисс, соответствующей lnx, - результаты наблюдений. Для нахождения параметров распределения а и л на вероятностной бумаге уравнение (8.12) можно записать так: И7 = a + bz, где И7 =ln In 1 1-Л(х). (8.13) а = InX, b = a, z = lnx. На вероятностной бумаге оценка параметра а будет равна значению Ь, г.е. а = b, где а - отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат; b - угло вой коэффициент, который определяется отношением вида И7, - И) (8.14) 22 -Z] где If'i и И7, два значения In In[1/(1 - Л(х))]; z2 иг,- соответствующие им значения lnx на оси абсцисс и соответственно построенной прямой. Эти значения считывают, соогвегственно, с двух вспомогательных шкал, расположенных справа и сверху листа вероятностной бумаги (рис. 8.6). 426 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Число циклов безотказной работы Рис. 8.6. Данные о числе циклов безотказной работы карбидных стержней, нанесенные на вероятностную бумагу для распределения Вейбулла Отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, находят как значение на правой шкале, соответствующее точке 1пх = 0 на верхней шкале оси абсцисс. Проиллюстрируем построение и нахождение оценок параметров закона Вейбулла на примере, заимствованном из работы [50]. При испытаниях на долговечность 16 карбидных стержней получено некоторые числа циклов безотказной работы (табл. 8.3). Предполагается, что время безотказной работы носит случайный характер и может иметь распределение Вейбулла. Полученные результаты испытаний нанесены на вероятностную бумагу для распределения Вейбулла (рис. 8.6). Распо ложение точек вблизи прямой показывает, что выбранная модель дает хорошее совпадение. Для оценки углового коэффициента (параметра а) построенной пря мой были выбраны два значения lnln[l/(l - F(x))]: W2 = 2,0 и И' , = -8,0. Соответствующие значения 1пх равны: z2 = 7,98 и z = 2,88. Таким обра зом, по формуле (8.14) имеем 1,98. 7,98-2,88 Отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, равен: а = -13,5 = In X. Отсюда Х = е"13’5 = 1,4-10 6. 427 ПРОВЕРКА ДОПУЩЕНИЙ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 8.3. Число циклов безотказной работы 16 карбидных стержней N / N 9 904 13 1256 698 10 1008 14 1417 7 811 И ИЗО 15 1500 8 900 12 1230 16 1621 N i 1 210 5 619 2 271 6 3 396 4 402 Обозначения: i - номер карбидного стержня; А - число циклов. 8.3. ПРОВЕРКА ДОПУЩЕНИЙ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ Статистическая проверка допущения о законе распределения значе ний искомой величины позволяет объективно оценить, обеспечивает ли принятая модель достаточно точное описание статистических данных. Обычно проверка содержит следующие основные этапы: - определяют некоторое число, называемое критерием согласия, основываясь на полученных статистических данных; - определяют вероятность получения статистических данных, адекватных вычисленному критерию при условии, что закон распределе ния выбран правильно; это выполняют с помощью таблицы процентилей распределения критерия; - если вероятность получить вычисленное значение критерия, адекватное статистическим данным, мала, то принятая статистическая модель распределения не дает правильного описания данных; слова «ма лая вероятность» зависят от мнения потребителя и последствий, вызы ваемых отклонением модели. Вероятность события малая при значениях Р: 0,10; 0,05 и менее. Если же вероятность получения адекватного вычис ленного критерия довольно большая, то нет оснований считать, что при нятая модель не подходит. Однако, следует четко представлять, что хотя эта методика позволя ет отвергнуть модель как неправильную, все же она не позволяет дока зать, что модель верна. Исход статистических испытаний в значительной мере зависит от числа имеющихся данных: чем больше данных, тем больше шансов отвергнуть неправильную модель. Если данных очень мало, то часто невозможно установить неадекватность даже такой моде ли, которая существенно отличается от принятой. 428 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Разработано множество критериев для оценки справедливости при нятых допущений о распределениях. Некоторые критерии справедливы лишь для определенных моделей, другие применимы для широкого круга распределений. Многие методы требуют точного знания каждого пара метра статистической модели, поскольку в большинстве технических задач параметры неизвестны, но их необходимо оценить. Рассмотрим некоторые наиболее применимые методы, не требующие точного знания каждого параметра модели. 8.4. КРИТЕРИЙ И7 ПРОВЕРКИ ДОПУЩЕНИЙ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Применение критерия наиболее эффективно при проверке допуще ний о нормальном (или логарифмически нормальном') и экспоненциаль ном распределениях, даже если число наблюдений невелико [50]. Если объем п случайной выборки меньше или равен 50 (п < 50) со значениями наблюдаемой величины хн х2, ..., х„, то проверку допуще ния о законе распределения сводят к следующему [50]. 1. Полученные в результате испытаний или эксплуатации изделий значения наблюдаемой величины располагают в виде неубывающей упо рядоченной последовательности: х, <х2 <...<х„. 2. Вычисляют п где х=— У х, - среднее статистическое значение наблюдаемой величины. 3. Если п - четное число, то принимаем - К = п/2', если п - нечетное число, то принимаем - К = (и -1)/2 . Затем вычисляем коэффициент b Ь ап(хп К *1)+ ап-1(хп-1 х2)+.-.+ а„-* + 1Сх»-л + | = (8.16) где значения а„ ,. | для i - 1..., К выбирают из табл. 10 прил. КРИТЕРИЙ IP ПРОВЕРКИ ДОПУЩЕНИЙ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 429 4. Вычисляют критерий 5. Сравнивают вычисленное значение W с процентилями этого рас пределения, приведенными в табл. 11 прил. Эта таблица дает минималь ные значения W, которые мы получили бы для вероятностей: 1, 2, 5, 10 и 50 % при различных значениях п, если бы данные действительно имели нормальное распределение. Таким образом, малые значения Щ указывают на отсутствие нормального распределения. Например, если значение W, вычисленное по формуле (8.17), меньше 5 %-ного табличного значения, то вероятность того, что выборка взята из совокупности, распределенной по нормальному закону, не превышает 0,05. В этом случае можно сделать вывод о том, что допущение о нормальном распределении неприемлемо. 6. Приближенную вероятность получения вычисленного значения W при допущении о нормальном распределении случайной величины мож но найти по формуле 2 = 7+п1п(т^)’ (8-18) где значения у, г| и е для выборки объемом п приведены в табл. 12 прил. Затем с помощью габл. 1 прил. определяют вероятность получения значения нормированной нормальной случайной величины, меньшего или равного z. Найденная величина и есть приближенная вероятность того, что такая выборка могла быть взята из нормально распределенной совокупности. Применение критерия W проиллюстрируем на следующем примере. Пример 8.1. По результатам испытаний 12 приборов (п = 12) были получены следующие значения выходного параметра: 470, 380, 520, 500, 480, 360, 350, 510,450,420, 540 и 560. Требуется оценить допущение о нормальности распределения вы ходного параметра прибора на основе данной выборки с помощью крите рия Щ. Решение'. 1. Расположим полученные значения выходного параметра в поряд ке возрастания: xt = 350; х2 = 360; х3 = 380; х4 = 420; х$ = 450; Xf, = 470; л'7 = 480; х8 = 500; х9 = 510; хю = 520; хп = 540; х)2 = 560. 430 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ 2. С п омощью формулы ( 8.15)в выислим У г * <>-1 п = 2 612 400--00-. = 54 171. 12 3. Так как п = 12, тм к = — = 6. Из таблицы 10 приложения нахрдсо коэффициенты а„,, 1; = 0,5475; atl - 0,3325; а}0 = 0,2347; а9 = 0,1586; а8 = 0,0922; а- = 0,0303. По формуле (8.16) вычисляем Ь = 0,5475(560 - 350) + 0,3325(540 - 360) + 0,2347(520 - 380) + + 0,1586(510 - 420) + 0,0922(500 - 450) + 0,0303(480 - 470) = 226,87. 4. Используя формулу (8.17), находим И-.4=М87)г,о,398 S2 54 767 5. Вычисленное значение W не превышает табличное (табл. 11 прил.) 50 %-ное значение И = 0,943, полученное для п = 12. 6. Из таблицы 12 приложения находим при п = 12: у = -^3,731, г| = 1,571, е = 0,3270. Подставляя эти значения в формулу (8.18), получим у + т| 1п -3,731 + 1,571 In Г 0,938992701 1 1-0,9398 J Из таблицы 1 приложения P(z = 0,042) =01,516. Таким образом, приближенная вероятность получить число, не пре вышающее полученное расчетом значение W, при выборке из нормально распределенной совокупности оказалась равной 0,516. Поскольку эта вероятность высока, то нет основания отвергать допущение о том, что выходные параметры прибора будут достаточно хорошо описаны нор мальным распределением. Ответ: Гипотеза о нормальном законе справедлива с вероятно стью 0,516. Критерий IV можно также использовать для оценки допущения о справедливости логарифмически нормального распределения. В данном случае критерий применен к десятичным или натуральным логарифмам КРИТЕРИЙ I I • ПРОВЕРКИ ДОПУЩЕНИЙ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 431 наблюдаемых значений. Это объясняется тем, что если логарифмы значе ний имеют нормальное распределение, то и первоначальные значения распределены по логарифмически нормальному закону. Критерий WE0 для проверки допущения об экспоненциальном рас пределении - начало отсчета известно. Экспоненциальное распределе ние можно обобщить на случай двухпараметрической модели, когда один параметр X является параметром масштаба распределения, а второй ц определяет начало распределения, т.е. точку, выше которой лежат все наблюдения. Плотность распределения имеет вид /'(.д X, ц) = Хе'х(л_ц), (8.19) где ц<х<<о; -оо<ц<<о; Х>0. В дальнейшем будем считать, что параметр ц равен нулю. Если пара метр ц не равен нулю, но известен, го вычитаем ц из каждого наблюдения. Полученное распределение будет иметь начало в нулевой точке. Критерий для случая, когда параметр ц не известен, рассматривается ниже. Методику оценки соответствия случайной выборки, содержащей 7...35 наблюдений, экспоненциальному распределению с нулевым цен тром называют проверкой с помощью критерия WEq. Эта методика со стоит в следующем [50]. 1. Вычисляют критерий по формуле .и \-------- 2 < /=1 7 где х, - наблюдаемые значения; п - число наблюдений; х- среднее зна чение наблюдаемой величины. 2. Определяют, не находится ли вычисленное значение WE0 вне 95 и 90 %-ного интервалов, приведенных в табл. 13 прил., при различных зна чениях п. Это двусторонний критерий, т.е. слишком малые и слишком большие значения указывают на отсутствие экспоненциальности. Таким образом, если вычисленное значение WEq лежит вне 95 %-ного интервала, то вероятность того, что рассматриваемая выборка взята из совокупности, распределенной по экспоненциальному закону с принятым началом отсче та, составляет менее 0,05. Значение \УЕо, лежащие вне 90 %-ного интерва ла, рассматривают аналогично, но в этом случае вероятность не превы шает 0,1. 432 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Пример 8.2. По результатам 10 полигонных испытаний (и = 10) си стемы слежения радиолокационной станции, используемой для сопро вождения объектов, были получены следующие ошибки, град.: 0,09; 0,10; 0,13; 0,15; 0,16; 0,19; 0,20; 0,21; 0,23 и 0,27. Требуется определить, спра ведливо ли принятое на основе этих данных допущение о том, что эта случайная величина распределена по экспоненциальному закону. Решение. Так как наименьшая возможная ошибка равна нулю, пола гаем ц = 0 и применяем критерий WE0. В соответствии с имеющимися данными находим, что =0,3291; w =10. = 1,73; /=| /=1 По формуле (8.20) вычисляем 0 3291-1 732/10 ' = 0,010. 1,-732 По таблице 13 приложения находим: для п = 10 критерий WE0 = = 0,010, что значительно меньше нижней границы 95 %-ного интервала, равной 0,025. Таким образом, вероятность того, что ошибка определения месторасположения объекта распределена по экспоне/щиальному закону с математическим ожиданием ц = 0, меньше 0,05. Ответ: Гипотеза об экспоненциальном законе отвергается с веро ятностью 0,95. Критерий WE для проверки допущения об экспоненциальном распре делении - начало отсчета неизвестно. Этот критерий используют, когда объем выборки содержит 7...35 наблюдений, а параметры ц и л неиз вестны. Суть проверки допущения по этому критерию сводится к следу ющему [50]. 1. Вычисляют критерий по формуле пWE = (У-*,)2 ГЕ" г (=1 X2 ' / .. Хк-х)2 I! и- (8.21) =1 у п где X] - наименьшее из значений х, величины; п - общее число наблюдае мых значений (объем выборки); х- среднее значение наблюдаемой ве личины. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ХИ-КВАДРАТ (%2) 433 2. Вычисленное значение WE сравнивают с 95 и 90 %-ным интерва лами (табл. 14 прил.). Если полученное значение критерия WE выходит за пределы 95 и 90 %-ного интервалов, то это указывает на несоответствие распределения данной выборки экспоненциальному закону. Используя данные предыдущего примера, вычислим по формуле (8.21) значение критерия WE и сравним его с доверительными интерва лами Г£. (W°-0-09)2 .0,231; 2/10 по табл. 14 прил. для выборки объемом и = 10 верхняя доверительная граница 90 %-ного интервала равна 0,231, т.е. вероятность того, что эти данные распределены по экспоненциальному закону, составляет лишь 0,1. Таким образом, экспоненциальное распределение с двумя парамет рами в качестве статистической модели неприемлемо. Ответ: Гипотеза об экспоненциальном законе распределения от вергается с вероятностью 0,90. 8.5. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ХИ-КВАДРАТ (х2) Основным преимуществом этого критерия является то, что он может быть использован для проверки допущения о любом распределении, даже в случае, если не известны значения параметров распределения. Главный недостаток критерия - его нечувствительность к обнаружению адекват ной модели, когда число наблюдений невелико. Для применения этого критерия полученные данные группируют по интервалам частот и сравнивают с ожидаемым числом наблюдений для принятого распределения. На основе этого сравнения вычисляют крите рий, который приближенно следует х2-распределению только в том слу чае, если модель выбрана правильно. Если модель выбрана неправильно, то значение критерия превысит значение случайной величины, распреде ленной по закону х2- Для оценки правильности принятой модели исполь зуют численные значения процентилей х2-распределения, приведенные в ■табл. 6 прил. Проверку с помощью критерия X проводят следующим образом. Этап 1. Находят оценки неизвестных параметров принятого распре деления, при этом могут быть использованы различные методы нахожде ния оценок параметров. 434 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Этап 2. Разделяют полученные данные на к интервалов и определя ют вероятность попадания случайной величины принятого распределе ния в каждый интервал. Известны два метода разделения статистических данных на интервалы. Первый метод состоит в том, что полученные ста тистические данные делят таким образом, чтобы в каждый интервал по падало не менее пяти наблюдений. Если в каком-либо интервале число наблюдений окажется меньше пяти, то его объединяют с соседним ин тервалом таким образом, чтобы ожидаемое число наблюдений в объеди ненном интервале было не менее пяти. Вероятность попадания случайно го наблюдения в z'-й интервал определяют из соотношения p(x, <x<x,), /=1,2, ..^ к, (8.22) где х, - нижняя граница /-го интервала; х, - верхняя граница /-го интер вала; к - число интервалов. Для нахождения этой вероятности используют принятое распреде ление с использованием оценок параметров. Когда число наблюдений п велико (например, более 200), то число интервалов приближенно можно найти по формуле к = 4 [о,75 (и -1)2] 5. (8.23) Границы интервала Хг, . . . , х* определяют с помощью теоретиче ского распределения с использованием следующих значений оценок па раметров: /’(х<х);=-у> р(г<-х>)=7> р(х<хтл)=-“; (8-24) к к к нижняя граница первого интервала и верхняя граница последнего интер вала являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями, которые может принимать случайная величина. Границы интервалов установлены таким образом, что для каждого интервала вероятность по падания случайной величины в него оценивается как \/к. Этап 3. Умножают каждую вероятность попадания наблюдений в интервал на объем п выборки. Получают математическое ожидание £, числа наблюдений в каждом интервале для принятой теоретической модели. Применяя первый метод, находят £,, умножая вероятности (8.22) на объем п выборки. Для второго метода £, = £ / = 1, 2, ..., к. к (8.25) КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ХИ-КВАДРАТ (%2) 435 Этап 4. Подсчитывают число наблюдений в каждом интервале и обозначают как М,, где z = 12,..., к. Этап 5. Вычисляют критерий z!_^(4zAZ. /=| (8.26) Ll При использовании второго метода деления интервалов выражение (8.26) упрощается Этап 6. Сравнивают вычисленное значение % с табличным значе нием (табл. 6. прил.) для заданного уровня у и числа степеней свободы к-г - 1, где г - число параметров принятого теоретического распределе ния. Если вычисленное значение у2 превышает его табличное значение для у = 0,95, то вероятность того, что полученные данные имеют приня тое распределение, не превышает 0,05, и модель отвергают как не удо влетворяющую требованиям. Пример 8.3. По результатам эксплуатации 20 приборов (л = 20) по лучены статистические данные о наработке до отказа каждого из них, которые приведены в табл. 8.4. На основе этих данных определяем веро ятность безотказной работы прибора за 10 ч, предполагая, что время без отказной работы распределено по экспоненциальному закону с ц = 0; проверить справедливость этого закона с помощью критерия у2. 8.4. Время t, работы до отказа для каждого из 20 приборов, ч Номер интервала 1 t, Номер интервала 6 Номер интервала tl Номер интервала 6 1 20 95 268 4 40 106 459 5 2 40 3 125 4 827 6 60 151 840 15 93 200 1089 436 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Решение. Предположив об экспоненциальном законе распределения времени работы прибора до отказа, найдем оценку параметра интенсив ности отказа £ — = -22_ = о,0045 ч D, 4444 Так как п = 20, то число интервалов выбираем равным и/5, поэтому к = 20/5 = 4. Функция экспоненциального распределения F(t, А) = 1 — е~> . Границы интервалов находим, полагая: Р(х < имеет вид х) = 1 - е-°'00«'1 = - = 0,25; к Р(х < х2) = 1 - е-0-004512 = 3 = 0,50; Р(х < хз) = 1 - е'0'0045*’ = - = 0,75; к Р(х < х4) = 1 - е-0'0045^ = 1 = 1,00 к и решая эти уравнения относительно хь *2, хз и х4, находим интервалы: 0,25 55 5 Xi =---------= 55,5; 0,0045 0,75 = 165,5: _ 0,0045 0,50 х, =--------- = 110,0; * 0,0045 1°0 х4 =--------- = 222,0. 4 0,0045 Так как экспоненциально распределенная случайная величина при ц = 0 изменяется от 0 до со, нижняя граница первого интервала равна ну лю, а верхняя граница последнего интервала равна оо. Вероятность попа дания случайной величины в любой из интервалов равна 0,25. Исходя из данных табл. 8.4, примем X! = 61; х2 = 152; х3 = 300 и составим таблицу (табл. 8.5). Математическое ожидание числа наблюдений в интервале для при нятой математической модели находят по формуле (8.25), оно составляет Е, = п/к = 20/4 = 5 для i = 1,2, 3,4. Фактическое число ЛИ, наблюдений в z-м интервале находят непо средственно по исходным наблюдениям, приведенным в табл. 8.4. Срав нение величин М, и Е, дано в табл. 8.5. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ХИ-КВАДРАТ (%2) 437 8.5. Сравнение фактических и ожидаемых данных, сгруппированных в интервалы, при допущении об экспоненциальном распределении наработки прибора до отказа Интервал Фактическое число Л/, Ожидаемое число £, наблюдений наблюдений для выбранной модели 0...60,9 9 5 61...151,9 5 5 152...229,9 2 5 300...1200,0 4 5 Используя формулу (8.26), вычислим значение %2 2 =Л Х £)2 = (9-5)2 + (5-5)2 + (2-5)2 + (4-5)2 = 52 Е, 5 5 5 5 ’ ’ Так как для экспоненциального распределения находили оценку одного параметра, то г = 1, поэтому число степеней свободы равно Аг-1=4-1-1=2. По таблице 6 приложения для двух степеней сво боды находим: e[Z2(2) > 6,б] =0,05 или Е['/2(2)> 4,б] =0,10. Следовательно, вероятность получить значение у1 = 5,2 для приня той теоретической модели заключена между 0,05 и 0,10. Таким образом, следует отвергнуть гипотезу об экспоненциальном законе распределения наработки прибора до отказа. Ответ: Гипотеза об экспоненциальном законе распределения отвергается с вероятностью 0,9. Пример 8.4. В мастерскую по ремонту телевизоров поступают заяв ки. Требуется разработать новую систему регулирования запасных ча стей, обеспечивающую минимальные затраты. Основными исходными данными является регистрация числа израсходованных деталей различ ной номенклатуры в неделю. Предполагается, что расход деталей подчи няется закону распределения Пуассона. Исходные данные расхода дета лей по неделям в течение одного года приведены в табл. 8.6. Произвести проверку соответствия расхода деталей закону Пуассона с помощью критерия у2. Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ 438 8.6. Фактическийеженедельныйрасходдеталейв течениегода и джеассмый рссода пре выборе пусссдедвстдод асспасаслсиея Число /?, деталей, расходуемых за одну неделю Фактическое число недель Л/, Ожидаемое число Е, недель при выборке пуассоновского распределения £ = == 52Р„( 0 20 18,382 1 20 19,115 2 6 9,942 3 3 3,447 4 2 0,894 5 1 0,187 Всего 52 52 Решение. 1. Оценку параметра пуассоновского распределения находят как от ношение числа используемых деталей к числу недель 5 у л, А/, г=Я— 0-20 + 1-20 + 2-6 + 3-3 + 4-2 + 5-1 , пл « 104. 20 + 20 + 6 + 3 + 2 + 1 <=0 2. Ожидаемые вероятности для каждого интервала находят по фор муле р Л П! Отсюда: Р„п = Хт;е-= е 0! Р„, = 03535; Х"|е"х ———= 104 0,3535 = 0,3676; 1! ■ КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА 439 1942 • 0,3535: "2 2! УеД^ОД3 ■ 0,3535 =0 6" 3! 0,3535=0,0172. 24 рп< 4! РП5 5! ~ 1045 -0,3535 = 0,0036. 120 5 3. Умножая полученные вероятности на / М, = 52 , получим матеi=0 матическое ожидание Е, (см. третий столбец табл. 8.6). В последних трех интервалах математическое ожидание меньше пяти, поэтому как факти ческие, так и ожидаемые значения для этих интервалов объединяются. 4. По формуле (8.26) вычислим значение 2 _Е (Ч~Д)2 х =Е Е, _ (20-18,382)2 (20-19,1 15)2 + ~ 18,382 + 19,115 У9412)2 ■ T.r:2L ,2.23. 9,942 5. Так 4,52 ккк закон Пуаасооа имеет одди параметр расппеделення, оценка которого X получена по данным табл. 8.6, то число степеней свободы равно 4 - 1 - 1 = 2, где 4 - число интервалов. По таблице 6 приложения, применяя интерполяцию, находим, что вероятность e[Z2(2)> 2,41] =03 Таким образом, наблюдаемые данные не противоречат допущению о пуассоновском распределении недельного расхода деталей. Ответ: Расход деталей удовлетворяет закону распределения Пуассона с вероятностью 0,7. 8.6. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА Для получения достоверных результатов о виде закона распределе ния времени безотказной работы требуется, как правило, достаточно большой объем испытаний однотипных изделий. На практике часто бы- 440 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ вает так, что испытаниям подвергают отдельные небольшие группы из делий, которые разделены большими интервалами времени, поэтому трудно ожидать, что вероятности безотказной работы различных групп изделий будут совпадать. Сделать достоверный вывод о принадлежности распределений веро ятностей безотказной работы одной группы изделий нельзя, так как объ ем испытаний невелик. Критерий, предложенный А. Н. Колмогоровым, позволяет с достаточно большой достоверностью проверить принадлежат ли статистические данные распределений вероятностей безотказной ра боты изделия к предполагаемому типу семейств законов распределения. По этому критерию А. Н. Колмогоровым принято допущение о том, что существует некоторая статистика 5(х,), функция распределения которой Fs,i(t) не зависит от конкретных значений параметров (здесь х,-исход испытаний /-Й группы изделий). Второе допущение состоит в том, что верна исходная гипотеза Но, если функция распределения времени безот казной работы изделий входит в заданное семейство. Если гипотеза Но верна, то функции распределения /\s-.M,)]...... F. Л^)] (8.28) являются взаимно независимыми и равномерно распределенными в интер вале (0; 1) (здесь к - число групп испытываемых изделий). Задача проверки гипотезы Но сводится к стандартной задаче проверки гипотезы о том, что к случайных точек равномерно распределены в интервале (0; 1). Суть метода А. Н. Колмогорова заключается в том, чтобы найти из всей совокупности исходов испытаний максимальное отклонение между эмпирической (статистической) и теоретической функциями распределе ний. При этом эмпирическую функцию распределения находят из соот ношения (8.29) а где с-длина интервала от /-го до (/'+ 1)-го отказа, со, < со < ®, со, = t-jT; / = 1, 2, ..., <7; 0 < со < 1; /, - наработка изделия до /'-го отказа; Т-суммарная наработка изделия; d - число отказов в течение суммарной наработки Т. Предполагаемую теоретическую функцию распределения FT(co) так же определяют в интервале со, < со < со,. ]. По построенным функциям распределения (рис. 8.7) находят макси мальное отклонение Dd = max |r(co)- FT(co)I. (8.30) OCrnCI ■ ’ 1 Аэ(Ю)=-4, КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА 441 Рис. 8.7. Эмпирическая и теоретическая функции распределения Колмогоровым А. Н. исследовано асимптотическое поведение этого отклонения, в результате чего установлено, что О lim P\pjd < у)= • ^->0О при КЫ- £(-l)VMV при у<0; >>0. <8JI> Л=-со Значения функции К(у) даны в табл. I5 прил. Для практического применения критерия А. Н. Колмогорова по формуле (8.30) были вычис лены некоторые квантили случайных величин D„. В таблице I6 приложе ния приведены значения D,K, при а = 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01 и и = = 1 (I) 100. Числа D„a удовлетворяют условию /’(О„>£,га)=а. (8-32) Если необходимо проверить по какому закону распределяется время безотказной работы - по экспоненциальному или какому-либо другому, то вычисляют значения эмпирической функции последовательно в ин тервалах от i до (/ + 1 )-го и в этих же интервалах последовательно вычис ляют значения теоретической функции. Затем на протяжении всех испы таний находят точку со/ = tJT, в которой отклонение Dj, определяемое по формуле (8.30), принимает максимальное значение (рис. 8.7). При объеме испытаний N> I00 проводят нормирование отклонения D, умножая его на Jd . Гипотезу о предполагаемом показательном законе вероятности безотказной работы отвергают с уровнем значимости а, если Da4d < К{_а (здесь К[кр]= р, кр- квантиль уровня р для распределе и 442 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ния А. Н. Колмогорова). Если d < 100, то проводят сравнение со значе ниями из табл. 16 прил. Гипотезу о характере показательного закона рас пределения отвергают с уровнем значимости 1 - а, если Dd > Dtl а; в противном случае эту гипотезу принимают. Критерий А. Н. Колмогорова может быть также использован в прак тике отработки технических систем, когда необходимо оценить эффек тивность доработок, сравнивая две эмпирические функции распределе ния по результатам испытаний. В этом случае строят две эмпирические функции распределения - одну по данным, полученным до проведения доработок; построение второй эмпирической функции начинают, как и первой, от / = 0 и заканчивают периодом Т. После построения эмпириче ских функций F31(co) и .С,2(со) в соответствующей точке этих функций находят максимальное отклонение /и, D„ = max IK, (ой - F,,(o>)| = max — " 0<co<l 1 314 7 32 V 71 o<<D<i d d.. rrtj d2 (8.33) где w, и m\ - числа отказов на /-м интервале для эмпирических функций соответственно F3| и С,2, построенных до и после проведения доработки; d\ и di - суммарные числа отказов до и после проведения доработки, со ответственно. После вычисления D„ по формуле (8.33) сравнивают это значение с табличным (см. табл. 16 прил.) и принимают или отклоняют гипотезу об эффективности проведенной доработки. Гипотезу о принадлежности двух групп данных отвергают с уровнем значимости 1 - а, если D(/ > Dd а, т.е. объединять результаты испытаний, полученные до и по сле доработки нельзя. В противном случае, т.е. при Dd < Dd а , эту гипо тезу принимают. Следовательно, проведенная доработка не дала положи тельных или отрицательных результатов, т.е. результаты испытаний можно объединить. Пример 8.5. В процессе эксплуатации некоторой группы радио станций выявлены отказы, которые сгруппированы по периодам их наработки. На основании этих статистических данных построить эмпи рическую функцию распределения и установить принадлежность ее к экспоненциальному закону распределения с известным параметром А, = = 8-10 4 чЛ Статистические данные сведены в табл. 8.7. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА 443 8.7. Статистические данные, сгруппированные по отказам и наработкам в процессе эксплуатации Наработки на отказ, ч Число т, отказов на заданном периоде наработок 1000...1200 1201...1400 1401...1600 5 6 1601...1800 1801...2000 7 10 12 Решение. По формуле (8.29) вычисляем значения эмпирической функции распределения для интервалов указанных наработок (суммарное число отказов на всем периоде испытаний равно Е/и, = 40): ^((.) = — = 0,125; Ш = — = 0Л5; Ш = — = 0,25; кэ('з) = — = 0,175; ^) = — = 0,3. Полагая об экспоненциальном законе распределения наработки до отказа, вычислим теоретическую функцию распределения на каждом ин тервале: -0-ЦМ? 10<У° = 0,8; Fr(r2) = 1 - е^- « 1 - (1 - ^) = Х = = 0,96; FT (1) = Гт (ц) - Гт (?) = 0,96 - 0,8 = 0,16. Аналогично вычисляем вероятности отказов на 2 - 5 участках. Так как А/ = A? = А? = At2 = А/4 = Д(; = 200 ч, А = const = 8-10 4 ч"\ то Гт (А/,) = F, (А/2) = F (A) = FT (Д/4) = FT (А?) = 0,16. Составим таблицу (табл. 8.8) значений эмпирической и теоретиче ской функций распределения на каждом интервале наработок до отказа, а также приведем абсолютные отклонения этих функций. 444 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ 8.8. Численные значения эмпирической и теоретической функций распределения и их абсолютные отклонения на интервалах Номер интервала 1 2 3 4 5 Интервалы наработок до отказа, ч 1000... 1200 1201... 1400 1401... 1600 1601... 1800 1801... 2000 0,125 0,275 0,450 0,700 1,00 0,160 0,320 0,480 0,640 0,800 0,035 0,045 0,030 0,060 0,200 /=1 1=1 Анализ данных табл. 8.8. показывает, что максимальное отклонение составляет: D„ = 0,2. По таблице 16 приложения для п = 40 и а = 0,01; D„<a = 0,252. Сле довательно, D,, = 0,2 < 0,252, поэтому гипотеза об экспоненциальном за коне распределения наработки до отказа не противоречит статистиче ским данным с вероятностью 1 - а = 0,99. Ответ: Статистические данные удовлетворяют экспоненциально му закону распределения с вероятностью 0,99. 8.7. ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ДВУХ ГРУПП СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ПО КРИТЕРИЮ СРАВНЕНИЯ ЧАСТОТ ОТКАЗОВ В практике отработки опытных образцов сложных систем оценка эффективности проведенной доработки может быть определена метода ми качественного и количественного анализов. Качественный метод анализа используют в том случае, когда дора ботка связана с улучшением технических характеристик изделия, обеспе чивающих удобство работы оператора, комфортность и эстетичность помещения, в котором он находится, и другие технические характеристи ки изделия. При количественном методе анализа эффективности проведенных доработок используют специальные статистические критерии значимо сти, суть которых состоит в сравнении количественных показателей ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ДВУХ ГРУПП 445 надежности изделия, полученных до и после проведения доработки. Раз работаны различные статистические критерии значимости. Рассмотрим некоторые из них применительно к оценке эффективности доработок сложных изделий многоразового использования. Статистический критерий значимости изменения частот отказов по двум группам данных может быть основан на биномиальном законе распределения этих частот. Пусть данные испытаний восстанавливае мой системы сведены в таблицу или представлены графически (рис. 8.8). Анализ графика показывает, что в точке А происходит значимое из менение частоты отказов после проведенной доработки. Задача состоит в том, чтобы оценить значимость расхождения двух групп данных, разделенных точкой А. Пусть в первой совокупности име ется т| отказ при Н| испытаниях, а во второй - т2 отказа при п2 испыта ниях. Обозначим частоту отказов в первой группе через = т\/п\, а во второй группе - через h2 = т2/п2. Тогда вероятность расхождения двух групп данных для биномиального закона распределения частот "I V" рг pm\+ni2-r А*1. ------------------------- > (8.34) Л| +W2 где С,1 - число сочетаний из щ испытаний по г отказам; т2'™+"'" ' - чис ло сочетаний из из испытаний по + т2-г) отказам; С™'™2 - число сочетаний из nt + п2 испытаний по т} + т2 отказам. Если Р(Л|, h2) <0,05...0,1 (вместо интервала 0,05...0,1 может быть любой другой заданный уровень значимости), то это свидетельствует о том, что частоты отказов двух групп данных имеют существенное рас хождение, т.е. объединять эти совокупности не следует. Очевидно, в процессе испытаний может быть несколько точек А, каждая из которых Рис. 8.8. Статистический критерий значимости: т - число откзов; п - число испытаний 446 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ делит данные после доработки на две группы, представляющие совокуп ности со значительно различающимися частотами отказов. Если измене ние не обнаружено, данные необходимо рассматривать как однородные, т.е. их можно объединить в одну совокупность. Проверку изменения частоты отказов следует проводить ограничен ное число раз, так как при частой проверке на уровень значимости оказы вает влияние повторная выборка* Вероятность P(hi, h) может быть вы числена непосредственно с помощью таблиц биномиальных коэффици ентов. Такие таблицы [18] составлены для малых значений т и л; при больших значениях т и п вычисление вероятности по формуле (8.34) становится громоздким. Если (8.34) содержит более трех членов, то приближение, обеспечи ваемое нормальным распределением, будет достаточно точным [49]. В таблице 17 приложения приведены значения вероятностей P(h\, hi), вычисленные по формуле (8.34). Недостатком этого критерия является то, что он может быть приме нен при малом объеме испытаний и, соответственно, незначительном числе отказов. Несмотря на этот недостаток, статистический критерий значимости изменения частот отказов для двух групп данных широко применяют при оценке эффективности доработок изделий с низким уровнем надежности. Особенностью сложных изделий многоразового функционирования является то, что эти изделия, в основном, работают в циклическом режиме, а заданные высокие показатели надежности под тверждаются, как правило, большим числом испытаний (от нескольких сотен до нескольких тысяч циклов), при которых возможно и большое число отказов. Рассмотренный критерий значимости для оценки эффективности доработок высоконадежных изделий ограничен в практическом исполь зовании из-за громоздких вычислений. Поэтому чаще применяют при ближенный критерий значимости, основанный на нормальном распреде лении. Пример 8.6. Пусть по результатам испытаний грузоподъемности крана в первой совокупности испытаний было зафиксировано 12 отказов (/и = 12) при 300 циклах нагружений (л, = 300), после чего провели доработку механизма управления и повторили испытания в объеме Выборка - единицы продукции (наблюдаемые значения), отобранные по контроли руемой партии или потока продукции для контроля и принятия решения о соответствии установленным требованиям (ГОСТ 15895-72). ПРИБЛИЖЕННЫЙ КРИТЕРИЙ ЗНАЧИМОСТИ 447 220 циклов нагружения («2 = 220), при этом зафиксировано два отказа (m2 = 2). Оценить эффективность доработки и найти вероятность безотказной работы крана за один цикл нагружения. Решение. Для определения эффективности доработки воспользуемся формулой (8.34) и табл. 17 прил. зоо V г-12 г^12 + 2-г /^с300с220 Ф -i ---------------- = 0,026 ■ С 300+220 Полученный результат показывает, что проведенная доработка эф фективна с уровнем значимости P(/ih /ъ) < 0,05. Следовательно объеди нять совокупности двух групп данных не рекомендуется, а оценивать надежность следует по данным второй совокупности: р = l--^ = 1- — «0,99. п2 220 Ответ: P(h\,h2) = 0,026; Р = 0,99. 8.8. ПРИБЛИЖЕННЫЙ КРИТЕРИЙ ЗНАЧИМОСТИ, ОСНОВАННЫЙ НА НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ Если в формуле (8.34) сумма биномиальных коэффициентов содер жит более трех членов, то приближение, даваемое на основе нормально го закона распределения, будет достаточно точным. Суть метода оценки эффективности доработок состоит в следую щем. Предположим, что вероятность отказа изделия до доработки равна 7i, а после доработки - q2. До доработки было проведено п испытание и при этом зафиксировано />) | отказ, а после доработки соответственно про ведено «2 испытаний и зарегистрировано тэ отказа. Следовательно, в первой совокупности частота отказов Л| = т\/п1 = q\, а во второй Ьэ = тэ/пэ = с/2- Задача состоит в том, чтобы проверить равенство двух вероятностей ср uq2. Примем, что частота появления отказов распределе на нормально, поэтому разность частот также распределена нормально [49] со средним значением, равным нулю: М\Ь\ - ЬЭ] = 0, и дисперсией (8.35) + П2) где L 448 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ /Л| + /Wj (8.36) "| + п2 Таким образом, нормированная величина h, ~ h2 (8.37) и будет распределена нормально с параметрами 0 и 1, т.е. M[h\ = О, О>[Л1 - Ит] = I. Если принять поправку на непрерывность, то при уровне значимости у критическая область для проверки гипотезы q, = q2 при од носторонней альтернативе q,> q2 принимает вид (8.38) где и_у - квантиль нормального распределения (см. табл. 1 прил.). В случае двусторонней альтернативы, когда qt * q2, вместо квантиля используют квантиль и 7 . Нормированную квантиль можно пред1 2 ставить в виде уравнения 2arcsin (8.39) U2 =------------------ В этом случае U2 распределена нормально с параметрами М\И\ - Ит\ = 0 и D[h, - Аэ] = 1. В критической области распределение описывается неравенством I 2arcsin /h,---- ----- 2 arcsin А,------2и7 ---------- ViV1----------~->Ut1-у (8.40) Для лучшего приближения величин U и U2 найдем их среднее значение и используем это значение при нахождении вероятности рас хождения двух групп данных. Последовательность вычисления U\ и U2 удобнее представить в виде таблицы (табл. 8.9). ПРИБЛИЖЕННЫЙ КРИТЕРИЙ ЗНАЧИМОСТИ 449 8.9. Форма таблицы для определения вероятности расхождения двух групп данных И1 Пф п-2 т2 щ + П2 1 /7,=^ «1 ту + m2 А,' = Л —— 1 ' 2«, «1 1 , /Нэ /Ь = — «2 /и, + тh, =-!----- И| +«2 Л h< п2 1 «1 + 1 - — 2д2 л'-/22 «2 у\ = 2 arcsin-Ул" у2 = 2 arcsin-УЛТ Л' ~У2 y'l ~ У2 1 1 — +— «1 «2 фИ л2)=2Ф(-(7) При вычислении arcsin уЛ можно использовать значения sinx, при веденные в таблицах работы [ 18], а для некоторых значений х-в табл. 20 прил. Вероятность расхождения двух групп данных Ф1, ь2)=2ф-и), (8.41) где U - квантиль нормального распределения; выбирают по табл. 1 прил. Если окажется, что вероятность /’(>^1, /?2) _ 0,05...0,1 или меньше (равна) другому заданному уровню значимости, то расхождение следует считать существенным. В этом случае объединять совокупности п\ и п2 нельзя. Если вероятность расхождения двух групп данных P(h\, h2) > > 0,05...0,1 или больше любого другого заданного уровня значимости, то можно считать, что выборки щ и п2 принадлежат одной совокупности, т.е. их можно объединять в общую совокупность. Пример 8.7. На первом этапе испытаний до доработки изделия был зафиксирован т, отказ (mt = 10) при щ цикле испытаний (я, = 100), после чего была проведена доработка изделия. На втором этапе испытаний того же изделия было зафиксировано т2 отказа (т2 = 2) при п2 циклах испыта ний (и2=100). Определить эффективность доработки при заданном 450 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ уровне значимости P(h}, h2) <0,1. Оценить надежность изделия по ре зультатам испытаний. Решение. Для нахождения вероятности расхождения двух групп данных приближенным методом воспользуемся табл. 8.9: ц= __________________________ ') Г_10____ 1 W _2_ U00 2-lOoJ L100 2-100 \1 10 + 2 Y |_ 10 + 2 А 1 + 1 ^100 + 100 А 100 + 100 А100 + W 2arcsin = 2,38; 1 2 • ------2arssnn 2arcsin 2 arcsin 100 +100 С = у(Ц+^2)=2,54; P(hx, hj) = 2Ф(-U) = 21 -Ф(2,54)] = 21 -0,994] = 0,012. Полученное значение вероятности расхождения двух групп данных P(h\, ha) ~ 0,012 свидетельствует о том, что при заданном уровне значи мости Р(Л|, Л2) < 0,1 выборки объединять в одну совокупность нельзя, т.е. проведенная доработка оказалась эффективной. Оценку надежности в этом случае необходимо проводить по формуле Д = 1-^2- = 1- — = 0,98. «2 100 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ 451 Точная оценка эффективности доработки, полученная из табл. 17 прил., также свидетельствует об эффективности этой доработки, так как P'(hx, h2) = 0,017 <0,1. Ответ: P(hx, h2) = 0,012; Р = 0,98. 8.9. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ИЗ ДВУХ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ ОЦЕНИВАЕМЫХ ВЕЛИЧИН На практике эта гипотеза может быть использована при оценке эф фективности доработок изделий. Наиболее приемлемым является случай, когда выборки получены по данным независимых испытаний, т.е. резуль таты испытаний до проведения доработки не зависят от результатов ис пытаний, проведенных после доработки. Суть этого критерия состоит в следующем. Предполагаем, что измерения являются выборками из двух нормально распределенных совокупностей оцениваемых величин со средними их значениями ц, и ц2 и дисперсиями ст) и ст). Для проверки гипотезы Но - Ц| = ц?- определяют средние выборочные значения х, и х2 параметров и средние выборочные их отклонения 5) и S2 по результа там двух этапов испытаний. Критерием оценки является выборочная функция (критерий Стыо дента) t= (■X -x?) ■ ■ ■ -' .... II--- ‘—=— l sx2(nx-i)+s2(n2-il V «I + «2 (8.42) («1+«2 -2) V где «1 — (8.43) п? 1 '=1 Х> = —— ; «2 «7 -Чхь-^)2. «2-1 М (8.44) Величина /, используемая при проверке гипотезы Но, имеет распре деление Стыодента с т степенями свободы (т = П\ + П2 - 2). Для задан- 452 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ной вероятности а ошибки при т степеней свободы можно по табл. 4 прил. найти значение ta В случае, если рассчитанное по формуле (8.42) значение |/| > ta т , то гипотезу Но о равенстве средних значений отвер гают; в противном случае, т.е. при |/| >/а , ,и , гипотезу Но принимают. Формулу (8.42) можно видоизменить ( *1 ___ ~*2 I »1»2 S У + п2 где (8.45) (8.46) В качестве критерия при оценивании эффективности доработок тех нических систем могут быть использованы средние значения наработок на отказ, выраженные в циклах (ц), ч, км и т.п. Пример 8.8. Пусть испытаниям подвергалось изделие, в работе ко торого были обнаружены отказы. Весь период испытаний разбит на два этапа. По окончании первого этапа испытаний была проведена доработка, а затем испытания продолжили. Ставится задача - сравнить значения наработок на отказ этапов испытаний и оценить эффективность доработ ки с уровнем значимости а = 0,05. Исходные данные испытаний прове дены в табл. 8.10. Решение. Найдем средние значения наработок и их средние квадра тические отклонения по формулам (8.43) и (8.44): _ 12 + 16 + 25 + 35 + 60 + 80+110 + 120 + 140+160 , х, =----------------------------- —---------------------------- = 75,5 ц; 10 10 26877,25 .... ----------- = 54,65 ц; 9 28738 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ 453 8.10. Результаты испытаний Второй этап испытаний Первый этап испытаний Наработка Номер m2t отказа Наработка 21 Номер mi, отказа аь до отказа. 1 10 4290,25 1 12 4900,00 2 15 3660,25 2 15 4489,00 3 25 2550,25 3 28 2916,00 4 35 1640,25 4 45 1369,00 5 60 240,25 5 70 144,00 6 80 25,00 6 90 64,00 7 110 1190,25 7 НО 784,00 8 120 1980,25 8 140 3364,00 9 140 4160,25 9 150 4624,00 10 160 7140,25 10 160 6084,00 Итого Z755 Z26 877,25 Итого Е820 Z28 738,00 (и -*ь)2 Ц Х до отказа, (*2 ~Х2)2 ц Затем подставим полученные значения в формулу (8.42) и найдем значения критерия Стьюдента: JOE = O.26I3; 55,58 V 10+10 2986,36-9 + 3193,38-9 = 55,58 ц. 10 + 10-2 По таблице 4 приложения для а = 0,05 и т = 18 величина Zo.os; 18 = = 2,10. Так как |/| =0,26 <2,1, то гипотеза Яо о принадлежности стати стических данных двух этапов испытаний одной совокупности справед лива. В этом случае среднее значение наработки на отказ находят из со вокупности результатов обоих этапов испытаний Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ 454 ю ю -=2=—755 + 820 10 + 10 + И2 = 78,75 ц. Ответ: 1) доработка не эффективна, так как |/| = 0,26 < /о.о5: is = 2,10; 2) среднее значение наработки на отказ равно х = 78,75 ц. 8.10. сравнение вероятностей отказов по критерию СОГЛАСИЯ х (НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) Допустим, что в процессе испытаний произошли отказы, вероятно сти которых в двух группах данных соответственно равны q\ и Ста вится задача - сравнить эти вероятности и определить принадлежность их к одной совокупности. Если в результате п независимых испытаний отказы появились /И] раз, а в результате и2 независимых испытаний - т2 раз, то статистика (8.47) m. +т~, ~• «I + «2 Такая статистика при больших значениях и, имеет распределение /2 с числом г — 1 степеней свободы. Это означает, что гае q, = <71 = q2 = /’HxL ('•-!)] =!-«, (8.48) где х2 а(г -1) находят из условия; Х?-а (''-]) 1 ■м где Г j о £ 'Д е 2t 2 dt = 1-а, (8.49) - гамма-функция (выбирают по таблицам); для целочислен- ных значений п; Статистика - функция результатов наблюдений, используемая для оценивания пара метров распределения и(или) для проверки статистических гипотез (ГОСТ 15895-77). СРАВНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОТКАЗОВ ПО КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ %2 455 Г(л)= (? — 1)1. (8.50) При вычислении значений функции Г(и + а), где и - целое число 2<и<6,аа - дробное рекомендуется применять формулу [ 19] Г(л + а) = (и -1 + а)(и - 2 + а)...(1 + а)г (1 + а); (8.51) - при и > 6 - формулу г(и + 1)=и1. (8.52) В таблице 6 приложения даны значения %|2_с(и = г-1), когда с = = 0,001; 0,01; 0,05; 0,1; 0,9; и = г- 1 = 1...30. Таким образом, исходная гипотеза Но, состоящая в том, что вероят ности отказов равны заданным значениям принимают при статистике 7’(w»i> wJ = zL (‘~1) и отвергают в противном случае. Вероятность ошибки первого рода при ближенно равна а. Критерий у? позволяет сравнить вероятности отказов не только двух групп данных, но и совокупности групп. В этом случае статистика равна тг)=^~—, (8.53) Zt "Я т, + +...+ т.. где <?, = qx=q2 =•••= <7,- = <; </ = —1------------------ • П + п2 +...+ пг Ошибка принятия гипотезы Яо о равенстве q, и q также равна а. Критерий согласия -р может быть использован при доработках изде лий по оценке вероятностей как двух групп данных, так и совокупности нескольких групп. Т(ц, т2, Пример 8.9. Пусть на первом этапе до доработки изделие испыты вали в объеме 100 циклов функционирования (щ = 100) и при этом было зафиксировано четыре отказа (да, = 4). После проведения доработки из делие испытывали на функционирование в объеме 400 циклов (и2 = 400), в течении которых зафиксировано два отказа (т2 = 2). Определить эффективность доработки с уровнем значимости а = 0,1 и вероятность безотказной работы изделия. Решение. Воспользуемся формулой (8.47), предварительно опреде лив вероятность q отказа: т, + т7 4+2 д =--------- ~— = 0,012. 100 + 400 500 «I +«2 456 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Подставим исходные данные в формулу (8.47) и получим статистику Т(т V т \.Лт\~п\А2 + (w2-»2?)2 = (4-Ю0-0,012)2 "q n 2q 1^0-0,012 ! + (2_-400.0,012)г 400-0,012 Число степеней свободы г = 2 - 1 = 1. Для уровня значимости а = 0,1 по табл. 6 прил. находим у 1(г = 1) = 2,71 . Полученное значение Т(т;, m2) = 8,166 > 2,71 свидетельствует о том, что гипотеза Яо о равенстве вероятностей qt- q2 отвергается, т.е. прове денная доработка является эффективной. Для оценивания надежности изделия необходимо использовать статистические данные, полученные после доработки, т.е. Т= —— = 0,995. 400 п2 Ответ: Доработка является эффективной с вероятностью 0,9. Оценка вероятности безотказной работы равна: Р = 0,995 . Пример 8Л0. Изделие подвергалось испытаниям в три этапа. На первом этапе испытаний было проведено 100 циклов испытаний («1 = 100) и зафиксировано два отказа (т{ =2); на втором этапе 200 опытов (л = 200) при трех отказах (от? = 3) и на третьем - 200 циклов («з = 200) при одном отказе (отз = 1). Оценить принадлежность получен ных результатов испытаний к одной совокупности с уровнем значимости а = 0,1. Найти надежность изделия. Решение. Определим вероятность отказа по формуле q = от, т2 ■ т2 = ~__2 + 3 + 1 = 0_ 0 н, + /7? + 100 + 200 + 200 Подставим исходные данные в формулу (8.53) и найдем статистику -эд)2 _ (21100-0.012)2 n,q ~ 100-0,012 (1-200 0.0I2)2 =|М 200-0,012 (3 - 200-0,012)2 200-0,012 + КРИТЕРИЙ ЗНАКОВ 457 По таблице 6 приложения находим значение % для а - 0,1 и г = 3-1=2; х2!(2) =4,61. Так как статистика т2, т^) = 1,84 < Xoj (2) = 4,61, то следует объединить результаты трех этапов испытаний в одну совокупность. Для получения оценки надежности изделия необходимо использовать резуль таты всех этапов испытаний: O+ /и2+т3_1 я, + W + 2+3+1 100 + 200 + 200 Ответ: 1) результаты испытаний следует объединить в одну совокупность; 2) надежность изделия равна Р - 0,988 . 8.11. КРИТЕРИЙ ЗНАКОВ Одним из простейших непараметрических методов проверки гипо тезы Но о соответствии двух статистических групп данных является кри терий знаков. Этот критерий применяют, в основном, при сравнении по парно связанных случайных величин (например, сравнивают наработки между отказами поэтапно до и после доработки). При использовании критерия знаков предполагают, что функции распределения одинаковы и непрерывны, т.е. F\(x) = F2(y). Для оценки критерия используют разность между парами случайных величин А и Y: Z\ = Х] -yt, z2 = х2 -у2, z„ = x„-yn. Если принять, что совокупности Xi первой группы и совокупности у,второй группы одинаковы, т.е. верна гипотеза Но, то вероятность появле ния положительной разности равна вероятности появления отрицатель ной разности, и обе вероятности равны 1/2: P(z, =Х,~У1 >°) = Z’(-( = И-У: <0) = (8-54) Нулевое значение непрерывной функции распределения может быть принято лишь с вероятностью, равной нулю, если верна гипотеза Но, т.е. ЗД = p2(y), (8.55) P(z. =0) = 0. Если окажется, что какая-то разность будет равна нулю, то в даль нейших расчетах ее следует опустить, а объем выборки сократить. Таким образом, проверка гипотезы Но по критерию знаков сводится к схеме 458 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ Бернулли, когда число положительных или отрицательных разностей будет незначительно отклоняться от величины и/2. Следовательно, боль шое число как положительных, так и отрицательных разностей свиде тельствует о несправедливости гипотезы Но. Для проверки этого предпо ложения служит некоторый критерий к - число положительных разно стей z,. Согласно формуле Бернулли вероятность того, что число поло жительных разностей в наших наблюдениях окажется равным к , находят по формуле р(г)=С*’^. (8.56) Таким образом, формула (8.56) является критерием значимости. При односторонней границе гипотезу Но отвергают всегда в том случае, когда число положительных разностей к превышает некоторое критическое значение ки, т.е. если к >ка. Такой метод проверки называкхг критерием знаков, так как при этом методе учитывают лишь знак разностей. Уровень значимости при таком выборе ка не превышает а. Значение ка определяют по формуле р(Г;>Аа)<а, (8.57) где а - вероятность ошибки (уровень значимости). Подставив (8.56) в (8.57), получим уравнение для определения ка где С„ = —у----■ т---- число сочетанииV> из п элементов по i элементов; /!(«-/)! [с>-'+С><2+...+ С;]^1 Sa. (8.59) Для определения значения ка имеются специальные таблицы крите риев знаков (табл. 18 прил.). При отсутствии таблиц можно преобразо вать критерий с использованием ^-распределения. Гипотезу Но отверга ют для всех к при выполнении неравенств (8.60) где m| = 2(и-к + 1); т2 = 1к’ ■ КРИТЕРИЙ ЗНАКОВ 459 Величина F^ т( „,2 является критическим значением /■-распреде ления при одностороннем ограничении. Некоторые значения Fx, и, ,„2 при а = 0,01 и 0,005 и степенях свободы т, и m2 приведены в табл. 19 прил. Для односторонней границы гипотезу Но отвергают также всегда, если число положительных разностей меньше некоторого числа к'а, т.е. к + <к^'а. В этом случае критическое значение к'а определяют из соотно шения п К, «!I [/ 11 '|и < (8.61) —7----- г! _ 1 <а. /!(« - /)1<2; Соответствующее преобразование с использованием /■'-распределе ния дает опровержение гипотезы Но для всех к+, удовлетворяющих нера венству п-к* й к+ a, , ль ’ (8.62) где = 2^+ + 1) и т2 = - степени свободы. Если для числа отрицательных разностей мы примем ту же границу ка, что и для положительных разностей, то двусторонний критерий знаков можно сформулировать так. Гипотезу F(x) = F2(y) отвергают каждый раз, как только число положительных разностей окажется большим ка или меньшим п - ка. Вероятность ошибки [9] при этом не превышает 2а, по скольку выполняется неравенство п п = г[с;II *1 О” < 2а I (",ка+2 +...+ т '■'п (8.63) В таблице 18 приложения приведены границы критической области в случае 1; 2 и 5 %-ных уровней значимости для двустороннего критерия знаков и и = 5... 100. Те же таблицы применимы и для одностороннего критерия знаков, но соответственно с 0,5; 1 и 2,5 %-ным уровнями зна чимости. При «>100 может быть использовано приближенное равенство, ос нованное на нормальном распределении [9] Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ 460 п У-1'- 2кд-н п По таблицам нормального распределения можно для каждого п найти ка. Пример 8.11. Пусть изделие подвергнуто двум видам испытаний межведомственным и государственным. Каждый вид испытаний разделен на десять этапов, при этом на каждом этапе подсчитывают наработку на отказ. После завершения межведомственных испытаний проводят дора ботку изделия. Предполагаем, что наработка на отказ описывается непре рывной функцией распределения. Определить с помощью критериев знаков справедливость гипотезы Но о равенстве функций распределения F|(x) = F^v) с уровнем значимо сти а = 0,01. Оценить надежность изделия (найти среднюю наработку на отказ). Данные испытаний сведены в табл. 8.11. Решение. Так как в двух случаях из десяти наработки на отказ сов пали, то эти два исхода в объем испытаний не включают. Поэтому по табл. 18 прил. для п = 8 и а = 1 % находим, что число разностей со зна ком «+» равно 1, а со знаком «-» - 7. Это свидетельствует о справедливо сти гипотезы Яо. В нашем случае число разностей со знаком «+» равно 2, а знаком «-» - 6. Эти числа довольно близки табличным значениям и 8.11. Результаты испытаний Номер этапа испы таний Наработка на отказ(ч) при испытаниях Наработка на отказ(ч) при испытаниях Номер этапа межве межве государ государ испы дом домственных, Zi = X,-yi ственных, z, = x-y таний ственных, ственУ< ных, X, У\ X, 1 250 260 - 6 420 450 - 2 250 250 0 7 450 450 0 3 300 320 - 8 500 550 - 4 350 330 + 9 600 650 - 5 420 400 + 10 700 800 - НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УИЛКОКСОНА 461 даже улучшают их, поэтому с уровнем ошибки, равным 1 %, можно го ворить о справедливости гипотезы Но. Дополнительно проверим гипотезу Но с использованием /^-распре деления. Для этого по формуле (8.62) вычислим критическое значение F и сравним его с табличным: п-к+ _ 8-2 ,, Г 2+1 " ' т} = 2(к+ + 1)= 6 ; т2 = 2(н-&+) =12. Для а = 1 % из табл. 19 прил. Л’0%1.б12 = 4,82 . Отсюда п — к+ — к - “ _< М0,01;6.12 ~ +1 4,82. Следовательно, гипотеза Но о равенстве функций распределения Fi(x) = F2(y) справедлива. Таким образом, результаты межведомственных и государственных испытаний можно объединить в одну совокупность и найти среднюю наработку на отказ по формуле + 7- _ /Ъ1 М 70 --------------------W1 + /?2 250 + 250 + 300 + 350 + 420 + 420 + 450 + 500 + 600 + 700 + -----------------------------------------------------------------------20 260 + 250 + 320 + 330 + 400 + 450 + 450 + 550 + 650 + 800 +-------------------------------------------------------------------------- = 432 ч. 20 Ответ: 1) гипотеза Но о равенстве функций Fi(x) = F2(y) справедлива, т.е. результаты испытаний можно объединить; 2) средняя наработка на отказ То = 432 ч. 8.12. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УИЛКОКСОНА Критерий Уилкоксона аналогично критерию знаков используют для проверки зависимых выборок, когда измерения случайной величины по парно взаимосвязаны. Учеными Манном и Уинти критерий Уилкоксона был применен для сравнения двух независимых выборок, в связи с чем этот критерий известен также под названием и-критерия Манна-Уинти. Критерий прост в использовании и достаточно эффективен для проверки 462 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ гипотезы Но о равенстве двух непрерывных функций распределения Г,(х) = Г2(у). Суть критерия состоит в следующем. Пусть имеются две последова тельности взаимно независимых результатов наблюдений -хь х2, ....х,„ и Ль .1'2, • Уп, которым соответствуют непрерывные функции распределе ния F\(x) и F2(y). Проверим гипотезу Но о том, что оба распределения совпадают для всех х, т.е. F\(x) = F2(y). Перемешаем обе последовательности наблюдений и расположим их в порядке возрастания значений. В результате получим последователь ность неубывающих чисел т и и. Если гипотеза Но: F\(x) = F2(y) верна, то числа обеих последовательностей должны хорошо перемешаться. Для оценивания степени перемешивания подсчитывают число инверсий чле нов первой последовательности относительно второй. Если в упорядо ченной общей последовательности некоторому х предшествует к значе ний у, то это значение х имеет к инверсий. Общее число инверсий равно сумме чисел измерений всех х и выражается зависимостью Т _п "= (8-65) /=1 7=1 где [ I, если х, > у j; [О, если х, < уj. 7 .. j (8.66) Ввиду предположения о непрерывности функций распределения Fi(x) и Fi(y) одинаковые результаты измерения можно получить лишь с вероятностью Р = 0. Однако на практике из-за неточности измерения возможны совпадения. Если два измерения в пределах одной выборки совпадают, то это не влияет на число инверсий. Если же результат изме рений из первой выборки идентичен результату измерения из второй вы борки, то при подсчете инверсий эти результаты не учитывают. Математическое ожидание числа инверсий находят по формуле Л/[«]=~ (8.67) Выражение (8.67) свидетельствует о том, что гипотеза Ну. А(х) = = F>(y) опровергается для х при слишком большом или слишком малом числе инверсий. Число инверсий и = 0 для случая, когда выполняется неравенство X; > у,, так как в этом случае каждое значение х( образует со всеми значе ниями yj точно п инверсий. Таким образом, если число инверсий и при НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УИЛКОКСОНА 463 нимает значение 0 или тп, то функции распределения F\(x) и F2(y) суще ственно различаются. Дисперсия инверсий £>[и] = •—(от + л-1). (8.68) При увеличении числа наблюдений имеет место предельное нера венство [9]: Формула (8.69) дает хорошее приближение к функции Лагранжа при значениях (т + и) > 20 и min(w, л) > 3. Для случая одностороннего ограничения гипотеза Но о равенстве функций распределения Ft(x) и F2(y) опровергается, если число инверсий превосходит некоторую границу и>иа. (8.70) Критическое значение иа получают из условия Р(и > ма)< а. (8.71) При одностороннем ограничении гипотезу Но о равенстве функций распределения Fix) и F2(y) отвергают, если выполнено неравенство >Г (8.72) где za для различных а при одностороннем ограничении имеет следую щие значения: а................................................................................... :а................................................................................. 0,001 3,090 0,010 2,326 0,050 1,645 При двустороннем ограничении гипотезу Но отвергают, если число инверсий слишком мало или слишком велико, т.е. если выполняется условие 464 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ где z'a для различных а при двустороннем ограничении имеет следую щие значения: а za 0,001 3,291 0,0027 3,000 0,010 2,5-76 0,0455 2,000 0,05 1,900 Критерий Уилкоксона эффективен при проведении двух серий испытаний для сравнения наработок на отказ. Между числом инверсий и ранговыми числами, полученными в результате упорядочивания значений чисел от 1 до т + п справедливы соотношения (8.74) и (8.75) [9]. Если обозначить через R\ сумму ранговых чисел первой выборки с измерения ми X], Xi, ..., Хт, то У?] есть дискретная случайная величина, которая может принимать значения целых чисел, определяемых по формуле у _ т(т + |) Га/ (8.74) *“ при всех значениях х, < у. и по формуле т+п / , +1 г = тп + —------Zm\m (8.75) —п+\ г при всех х, > у} . В этом случае при больших значениях т и п число ин версий можно определить по формуле ... D /и(>и + 1) к = At------------ > 2 (8.76) где R] - сумма всех порядковых номеров величин х„ расположенных в неубывающей последовательности обеих совокупностей. Пример 8.12. Изделие подвергнуто стендовым испытаниям в два этапа. На первом этапе испытания проводились до доработки изделия, на втором этапе - после доработки изделия. Сравнить результаты испыта ний двух этапов с уровнем значимости а = 0,05. Найти среднее значение наработки на отказ. Исходные данные сведены в табл. 8.12. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УИЛКОКСОНА 465 8.12. Результаты испытаний Второй этап испытаний Первый этап испытаний Номер i испытания Наработка х, на отказ, ч Номер j испытания Наработка у< на отказ, ч 1 1 2 150 160 2 165 185 140 180 120 3 4 195 210 И 3 4 5 5 220 ■ 6 7 8 130 100 90 6 7 8 230 80 115 9 190 10 11 200 250 240 125 75 12 170 9 10 11 12 1 и 260 300 13 14 320 350 15 Решение. Составим упорядоченный ряд наработок на отказ: Номер испытания Наработка на отказ, ч х>'У, Номер испытания Наработка на отказ, ч х>У, Номер испытания Наработка на отказ, ч х., У/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 75 80 У 10 У 100 X 13 115 У 125 У 16 140 X 14 120 X 15 130 X 11 90 X 12 17 18 150 X 19 160 X 165 У 170 X 180 X 185 У 190 X 195 У 200 X 20 21 22 23 24 25 26 27 210 У 220 У 230 240 320 У 350 У 260 У 300 У 250 X У У 466 Глава 8. УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ В нашем примере хз и Х4 образуют с yy и у2 по две инверсии; хь с уь У2 и У5 - три инверсии; х8 — *1 1, с уь У2, ys, У2 - по четыре инверсии; Х|3 и С У1, У2, У5, У? И У12 - по пять инверсий; Х|6 С у,, У2, У5, У7, У12 И У15 - шесть инверсий; х)8 суьу2,уз,.77,У12,У15 иу|7- семь инверсий; Х23 с у,, У2, у5, у?, У12,У15, У17-У22 - одиннадцать инверсий. Таким образом, общее число инверсий составляет и = 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7+11 = 57. Число инверсий определим по формуле (8.76): ,.я _ = 2 2 /?, = 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 10+11 + 13+ 14 + 16 + 18 + 23 = 135. При одностороннем ограничении вычислим значение критерия по формуле (8.72): ■ -..... ■ -2 ■ я 1(57. ^^12 + 15-1) 12 v ' Так как при а = 0,05, za = 1,645 [см. (8.72)], и следовательно, |z| > |za|, т.е. |1,67| > |1,645|, то гипотезу Но отвергают. Определим средние значения наработок на отказ на первом и втором этапах: т & 150 + 160+140 + 180 + 120 + 130+100 + 90 + х = ^— т + 190 + 200 + 250 + 170 12 +... ... -+--------------------------------= 156,7 ч; 165 + 185+195 + 210 + 220 + 230 + 80 + 115 + 240 + --------------------------------------------------------------------->... 15 + 125 + 75260 + 300 + 320 + 350 „л„ , -------------------------------------------- = 204,6 ч. Таким образом, в качестве оценки надежности принимаем среднее значение наработки на отказ после проведения доработки, так как дора ботка оказалась эффективной, т.е. у = 204,6 ч. Ответ: 1) доработка эффективна; 2) среднее значение наработки на отказ равно 204,6 ч. Глава 9 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 9.1. ПРОЦЕСС ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ НА ЭТАПАХ ЕГО ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА Заданные требования к количественным показателям надежности изделия должны быть неизменными в течение определенного срока его эксплуатации. Однако практика создания изделия и его реальная эксплу атация свидетельствуют о том, что заданные количественные показатели надежности изменяются в течение жизненного цикла. Существенная не стабильность надежности изделия проявляется на этапах отработки и в конце жизненного цикла, т.е. после выработки технического ресурса. Задача разработчика изделия состоит в том, чтобы объективно оценить изменения надежности на каждом этапе отработки и принять необходи мые меры для повышения ее уровня до заданного значения. Методом объективной оценки уровня надежности на соответствую щем этапе служит математическая модель роста или снижения надеж ности, причем каждый этап имеет свою модель. Рассмотрим процесс изменения надежности изделия на этапах его создания и эксплуатации, а также меры, принимаемые по повышению уровня надежности. Так, на этапе лабораторно-стендовых испытаний происходит существенное изменение уровня надежности отрабатывае мых элементов изделия по сравнению с проектным значением в сторону его уменьшения. Эго вызвано тем, что проектируемое новое изделие комплектуют элементами, изготовленными по отлаженной технологии серийного производства изделия-аналога. Отработку узлов и систем про водят до тех пор, пока основные характеристики не достигнут требуемо го значения в соответствии с техническим заданием. Таким образом, в начальный период лабораторно-стендовых испытаний надежность эле ментов заметно падает, а затем повышается и стабилизируется на некото ром уровне в результате проведения доработок. Подобную картину изменения надежности наблюдают и на после дующих этапах испытания изделия в целом. Это вызвано тем, что прове дение значительного числа доработок приводит к изменению надежно 468 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ сти. К концу завершения всех видов испытаний, определенных програм мой экспериментальной отработки опытных образцов, установленные значения надежности должны соответствовать заданным требованиям. Следует отметить, что на каждом этапе испытаний происходит большее или меньшее изменение надежности в зависимости от того, каким испыта ниям подвергают изделие. Например, изменение надежности будет незна чительным при номинальных значениях нагрузок по сравнению с измене нием надежности изделия при испытаниях с повышенными нагрузками, когда число отказов и соответственно число доработок увеличивается. Изменение надежности наблюдают также при изготовлении устано вочной партии изделий в начале серийного производства, когда идет от ладка технологии. При последующем серийном производстве достигну тый уровень надежности обеспечивают комплексом организационно технических мероприятий, проводимых предприятиями-разработчиками и предприятиями-изготовителями основных элементов и систем. Изменение надежности в процессе эксплуатации происходит как на начальном этапе, когда идет приработка элементов изделия в реальных условиях, так и по истечении технического ресурса, когда начинается процесс старения материалов и элементной базы. До истечения техниче ского ресурса надежность изделия обеспечивают профилактическими и регламентными обслуживаниями. На этапе проектирования изменение надежности изделия происхо дит в результате введения элементов и систем новой конструкции, со вершенствования принципиальных схем, использования различных спо собов резервирования, подбора комплектующих элементов с повышен ной надежностью и других мероприятий. Все эти изменения проводят до окончания технического проектирования, поэтому изменение надежности не выражается в явном виде. Существенные изменения надежности изделия происходят в про цессе опытной отработки, а также на начальных стадиях серийного про изводства и эксплуатации, когда проводят большое число доработок, на правленных на улучшение эксплуатационно-технических характеристик. Таким образом, в процессе создания сложной технической системы основные элементы изделия подвергают конструктивным изменениям, что влечет за собой непосредственное изменение показателей надежно сти и лишь на отдельных интервалах времени надежность практически не изменяется. Аналогичные изменения надежности происходят и на начальных стадиях производства и эксплуатации, а также по истечении техническою ресурса. Примерный вид функции надежности изделия на этапах его жизненного цикла приведен на рис. 9.1. Рис. 9.1. Изменение функции надежности изделия на этапах его жизненного цикла Анализ графика показывает, что в интервале времени 0 -1\ в про цессе проектирования надежность изделия изменяется по некоторой кри вой от начального значения Цо(/) до требуемой величины Лр(0). Такое изменение надежности обусловлено использованием новых схемных и конструктивных решений. Полученное начальное значение надежности Ро(О соответствует уровню одного из первых вариантов эскизного проек тирования, затем в результате введения резервирования и более надеж ных элементов показатель надежности повышают до требуемого значе ния. Длительность интервала 0 — t, составляет 1-2 года для сложных из делий специального машиностроения типа подвижных пусковых устано вок стратегического назначения. В интервале времени / - Ц изменение надежности происходит бла годаря проводимым доработкам на этапе испытаний опытных образцов. Процесс испытаний выявляет большое число отказов и неисправностей, которые объективно не могли быть учтены при проектировании. Для это го этапа характерно то, что кривая роста надежности имеет явную тен денцию к возрастанию. Период испытаний t\ - t2 опытных образцов со ставляет 3—4 года. Отрезок времени /2 - h небольшой и составляет период 0,5 - 1 год. В этом интервале времени снижение надежности происходит в началь ный момент перехода на серийную технологию изготовления изделий, причем увеличение числа отказов и неисправностей обнаруживают непо средственно в процессе изготовления, и большую их часть устраняют до 470 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ отправки изделий в эксплуатацию. Однако скрытые производственные дефекты остаются и обнаруживаются лишь на начальном этапе эксплуа тации. В течение шести месяцев или года, как правило, серийную техно логию отлаживают, и уровень надежности достигает заданной величины. За счет скрытых производственных дефектов, а также конструктив ных недоработок на начальном этапе эксплуатации наблюдают некоторое незначительное снижение уровня надежности. Период устранения отка зов и неисправностей в интервале — /4 составляет 2-3 года, в течение которых, с одной стороны, уточняют серийную технологию изготовления изделий, а с другой стороны, устраняют конструктивные отказы и неис правности в процессе доработок. Однако следует отметить, что скрытые производственные дефекты практически сохраняются в течение всего периода серийного изготовле ния и что их выявляют на начальном этапе эксплуатации в большом ко личестве, а затем их число сокращается от года к году. Для интервала времени Д - /5 характерно относительное постоянство показателя надежности /'(/). Такая стабильность участка объясняется тем, что скрытые производственные дефекты и конструктивные недостатки устранены к моменту времени /4, а износ, старение элементной базы и материалов еще не начался. Кроме того, поддержание надежности на за данном уровне в этот период обеспечивают профилактическим и регла ментным обслуживаниями. Продолжительность этого периода составляет 10 -12 лет. Отрезок времени t$ — tf, характеризуется заметным снижением пока зателя надежности P(t). Момент времени /5, как правило, соответствует израсходованному техническому ресурсу изделия. С этого времени начи нается интенсивное старение элементной базы и материалов, а также ускоренный износ трущихся поверхностей. Для замедления старения из делия разработчик в технической документации предусматривает неко торые мероприятия, проводимые после истечения гарантийного ресурса. В частности, рекомендуется чаще проводить профилактические осмотры и регламентное обслуживание. Длительность периода интенсивного старе ния составляет 5-7 лет, после чего изделие подлежит списанию, так как дальнейшая эксплуатация становится экономически нецелесообразной. Таким образом, жизненный цикл изделия с начала проектирования составляет в среднем 15-20 лет. Этот период можно разбить на шесть участков, для каждого из которых функция надежности описывается сво им законом. Следовательно, для описания функции надежности за весь жизненный цикл изделия необходимо установить такие математические модели, которые бы отражали изменение его надежности на каждом ха рактерном участке этого цикла. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ РОСТА НАДЕЖНОСТИ 471 9.2. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ РОСТА НАДЕЖНОСТИ. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ОСНОВАННАЯ НА БИНОМИАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ Модели роста надежности строят для описания различных показа телей надежности. Наиболее употребительны в практическом использо вании модели для исследования вероятности безотказной работы и сред ней наработки на отказ [23]. Для построения модели роста надежности параметры определяют по результатам испытаний аналогичных изделий. Математическая модель роста надежности позволяет прогнозировать изменение уровня надежности в процессе испытаний, оценивать значение показателя в любой момент времени, планировать затраты на проведение доработок и решать другие задачи. По виду и способу построения математические модели подразделяют на непараметрические, параметрические, вероятностные, без учета управ ляющих воздействий и с учетом управляющих воздействий. Рассмотрим только методы построения моделей роста надежности, которые часто ис пользуют в практике отработки опытных образцов сложных систем. Первый метод построения основывается на последовательности статистических оценок показателя надежности, полученного после каждой серии проведенных доработок изделия. Такие модели называют непараметрическими. Второй метод основывается на построении кривой роста надежно сти, которая содержит один или несколько параметров. Параметры оце нивают по результатам отработочных испытаний изделий-аналогов и используют для прогнозирования роста уровня надежности отрабатывае мого изделия. Модели, полученные таким методом построения, называ ются параметрическими. На практике не всегда удается оптимально вы брать параметрическую модель для построения кривой роста надежности отрабатываемого изделия, поэтому в этом случае применяют непарамет рические модели роста надежности. Вероятностными называют такие модели изменения уровня надеж ности, в основу построения которых положены статистические оценки или параметры распределения, имеющие вероятностный характер. Математические модели изменения уровня надежности, в основу построения которых положены статистические оценки или параметры, полученные по результатам испытаний или эксплуатации изделийаналогов, называют пассивными моделями, или иначе, моделями без уче та управляющих воздействий. Математические модели с учетом управляющих воздействий - это такие модели, которые позволяют активно вмешиваться в процесс отра- I т Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ богки изделия путем изменения конкретных параметров, имеющих кон структивный, производственный или эксплуатационный характер. Рассмотрим построение непараметрической модели. Наиболее рас пространенной является биномиальная модель,. Суть этой модели состоит в том, что некоторый определенный период испытаний разбивают на два этапа отработки, для которых характерны разные условия испытаний, так как отрабатываемое изделие изменяется в результате проведенной дора ботки. Предполагается, что испытания проводят по биномиальной схеме, причем на первом этапе в объеме п\ испытаний зафиксировано тх отказ, а после проведения доработки на втором этапе в п испытаниях зафиксиро вано /мт отказа. Ставят задачу - оценить вероятность Р безотказной рабо ты изделия по результатам двух этапов испытаний с учетом различия условий их проведения. Для оценки этой вероятности рассмотрим четыре гипотезы. Гипотеза Но. Для этой гипотезы условия испытаний остаются неиз менными при переходе от одного этапа к другому, т.е. проведенные до работки не изменяют надежности изделия. Эту гипотезу представим в виде MW)- Оценку вероятности безотказной работы, в случае справедливости этой гипотезы, находят по формуле Д 2 = 1 - W| + ?2 И| + «2 . (9.1) Гипотеза Нх состоит в том, что после доработки надежность изде лия может только увеличиваться, т.е. эту гипотезу можно записать в сле дующем виде аИд^д). Гипотеза Н2. На втором этапе, т.е. после доработки, надежность из делия снижается. Гипотеза Н2 запишется так МЛ >Д). Гипотеза Нз. Отсутствует определенность в изменении условий ис пытаний после проведенной доработки, т.е. "-Р *Р2). Если условиям эксплуатации изделия будет соответствовать второй этап испытаний, т.е. гипотезу Но отклоняют, то оценку вероятности без отказной работы находят из выражения ТРИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ «2 Оценку вероятности безотказной работы изделия по информации о двух проведенных этапах отработки находят по формуле Р = Ар _ 2+(1-А)'р2 , (9.3) где И - весовой коэффициент, равный вероятности выбора гипотезы Но ГН "=Е Г = П1\ Г"* I' '""I "1 '-п здесь т = т\ + ту; п - п\ + пу, С.. =----------- — • " т\\п- ту. Если весовой коэффициент h < 0,01 ...0,05, то статистические дан ные двух этапов не могут быть объединены. При весовом коэффициенте h > 0,1 в качестве исходной информации для оценки вероятности безот казной работы изделия принимают статистические данные обоих этапов, г.е. результаты испытаний объединяют. При справедливости гипотезы Яц (Р2 > Л) значение вероятности hi расхождения двух групп данных определяют по формуле (9.4). В случае справедливости гипотезы Я2: (A > Рг) значение весового коэффициента Л2 = 1 - Л| . Наконец, для гипотезы Ну. (Р} ф Р2) значение весового коэффициента равно h = 2 min [A, (1 - Я)] . 9.3. ТРИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ К числу непараметрических моделей относится так называемая триномиальная модель. Для оценивания уровня отработанности изделия весь период испытаний делят на к шагов, каждый из которых содержит определенный объем испытаний и заканчивается проведением доработки. Эта статистическая модель основана на том, что каждое испытание мо жет иметь успех, случайный отказ, причина которого не установлена, и отказ, причина которого известна и устранима. В каждой серии испыта ний фиксируют число случайных отказов, вероятность появления кото рых в течение всей отработки остается неизменной и равной q0. Вероят ность устранимого отказа в процессе отработки имеет тенденцию к сни жению, т.е. соответствующие вероятности образуют невозрастающую 474 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ последовательность q\ > q2 > ... > qt- Тогда оценку максимального прав доподобия для qQ и ^.определяют по формулам: (9-5) где <7о _ оценка вероятности появления случайного отказа; /и, - число случайных отказов, зафиксированных на i-м этапе отработки; п - объем испытаний за весь период отработки; к - число этапов отработки (дора боток); Ч т' > W - т,) (9-6) где д, - оценка вероятности устранимого отказа на z-м этапе отработки; /и- - число устранимых отказов на z-м этапе отработки; п, - объем испы таний на z-м этапе отработки. Если все оценки не возрастают, то их принимают в качестве оконча тельных; если же для некоторого z'-ro этапа выполняется неравенство <7, < <7+|, то наблюдения на этапах z и z + 1 объединяют и вычисляют со ответствующую оценку. Эту процедуру продолжают до тех пор, пока оценки д, не образуют невозрастающую последовательность. На основе полученных оценок определяют оценку вероятности успешной работы отрабатываемого изделия на z-м этапе по формуле (9.7) Выражение (9.7) представляет собой статистическую модель изме нения надежности. Рассмотрим пример использования триномиальной модели. Пример 9.1. В процессе отработки изделия было проведено шесть доработок. Найти оценку P, вероятности безотказной работы после по следней проведенной доработки. Исходные статистические данные при ведены в табл. 9.1. Решение. По формуле (9.5) находим оценку вероятности появления случайного отказа ТРИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ 475 9.1. Исходные статистические данные Номер ;-й доработки Число п испытаний на z-м этапе Число т, случайных отказов Число т\ устранимых отказов 1 2 3 4 5 6 10 15 20 15 20 40 0 1 1 0 1 1 4 2 2 2 1 Всего 120 4 12 1 Проверим, образуют ли оценки qx, q2, < вероятности отказов убывающую последовательность. Для этого вычислим отношения м,7Д< “'”<)’ i = 12, 6. Номер z-й доработки.......... /и,'/(л,--и,) ......................... 1 2 3 4 5 6 0,4 0,1429 0,1052 01333 0,0526 0,0256 Из полученных оценок необходимо объединить результаты третьего и четвертого этапов отработки, таи как /ИдД4-яг4)> ^/(^j-^) и 2+2 4 найти отношение ——— = — = 0,1176. Используя полученную ранее оценку q._, = 0,0333 и формулу (9.6), вычислим оценки <,: = (1 -0,0333)0,4 = 0,3867; <72 =(1-0,33 3 3 00,1429 = 0,138; <73 = q4 = (1 - 0,0333)0,1176 = 0,1137 ; <?5 = (1 - 0,0333)0,0526 = 0,0508; <7б = (1 - 0,0333)0,025 = 0,0242. Оценку вероятности безотказной работы изделия после проведения шестой доработки определим по формуле (9.7) Д = 1 - <70 - <76 = 1 - 0,0333 - 0,0242 = 0,9425. 476 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ 9.4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РОСТА НАДЕЖНОСТИ Построение модели изменения надежности изделия по результатам испытаний выполняют при достаточно большом объеме испытаний или большом числе доработок. В рассматриваемом случае в математической модели предусмотрено проведение доработок только после установления причин отказов и при условии, что эти доработки не снижают уровня надежности. В процессе построения модели результаты испытаний пред ставляют в виде отдельных серий с определенным числом доработок в каждой из них. Для описания приращения надежности изделия от одной серии испытаний к другой в первом приближении может быть использо вана линейная зависимость = 4-(>ф^Г (9.8) где <7, - коэффициент, характеризующий эффективность z-й доработки; P,v - требуемое значение вероятности безотказной работы; Л i - вероят ность успешного испытания после (( - 1)-й доработки. Так как в процессе испытаний доработку проводят в случае явного выяснения причины отказа, то надежность изделия изменяется только после выполнения доработки. В этом случае надежность определяют по формуле к РР + (9.9) /=1 где Ро - начальная надежность (вероятность безотказной работы) изде лия, полученная до проведения первой доработки; к - число проводимых доработок. Аналогичное выражение может быть записано для среднего значе ния наработки на отказ к (9.10) Т=Т + 1=1 где То - среднее значение наработки на отказ, полученное до проведения первой доработки; ДТ, - приращение среднего значения наработки на отказ от (Z - 1)-й до z-й доработки А 7) = T-T, ь Если предположить, что изменение надежности между двумя сосед ними доработками в первом приближении имеет линейную зависимость, то можно записать А7) •(9.11) ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РОСТА НАДЕЖНОСТИ 477 где а, - коэффициент, характеризующий эффективность Z-й доработки; 7Тр - требуемое значение средней наработки на отказ. Таким образом, изменение функции надежности в процессе отра ботки имеет скачкообразный характер (рис. 9.2). Функция Р, имеет скачки только в тех точках i, после которых были проведены доработки, причем эти скачки зависят от достигнутой надеж ности Pi 1, а также коэффициента а„ характеризующего успешность устранения причины отказа, т.е. можно записать />= 7+/-//). (9.12) Тогда искомая функция надежности, описывающая весь процесс от работки, имеет вид / = /*0 + Е^^,(лР(9-13Т /=1 Таким образом, вероятность безотказной работы зависит от двух па раметров - Ро и а,. Если эти параметры определены по результатам испы таний, то можно рассчитать значения функции надежности в точках про ведения доработок. Следует отметить, что изменение функции надежности в процессе отработки не всегда имеет тенденцию к росту. На отдельных участках она может иметь некоторое падение из-за неэффективной доработки. В целом же проводимые доработки направлены на повышение уровня надежности. Аналогичную формулу можно записать для функции надежности, выраженной в виде среднего значения наработки на отказ (9.14Т Т. = ть + /=1 Рис. 9.2. Изменение функции надежности (вероятности безотказной работы) I' при отработке изделия 478 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ На основании приятых выше допущений для отработки изделий по лучена трехпараметрическая модель [6] (9.15) где Дтр - требуемое значение вероятности безотказной работы, или за данная надежность; Рй - начальное значение надежности; а, - коэффици ент, учитывающий эффективность 7-й доработки; z - номер доработки. Для нахождения параметров распределения Ра, Р1р и а, используют метод максимального правдоподобия для чего необходимо составить функцию правдоподобия к ^=П (9-16) /=0 где И/ - число испытаний между z-й и (z + 1)-й доработками; т, — число отказов в zz, испытаниях, после которых проводилась доработка. Подставляя в формулу (9.16) вместо Р, его значение из формулы (9.15), получим искомую функцию правдоподобия, зависящую от грех параметров модели - Р,р, Ро и а,: к i=0 (9.17) Уравнение (9.17) включает в себя известные опытные данные т, и z?„ а также неизвестные параметры Ро, Р,р и а,. Оценками максимального правдоподобия являются оценки Ро, Д_ и а,, при которых функция (9.17) обращается в максимум. Для решения этой задачи используют стандартные программы минимума нелинейной функции. Для нахожде ния параметров перейдем к логарифмической отрицательной функции правдоподобия, минимум которой совпадает с максимумом функции (9.17) , которую сократим на постоянный множитель: ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РОСТА НАДЕЖНОСТИ + w, In 1-/р + (/>Tp-°0) 479 (9.18) I тр) Поскольку функция (9.18) является нелинейной, то необходимо убе диться в том, что она имеет один минимум. Функция (9.18) задана на вы пуклом множестве, поскольку по логике область изменения параметров находится в пределах: 0 < а < 1; 0 < Ро < 1; 0 < P,p < 1. Так как функция дифференцируема, то необходимым и достаточным условием выпукло сти является положительная полуопределенность матрицы вторых произ водных, т.е. в нашем случае матрицы H = V2[~n(n,Xr)] , где П = (9.19) - вектор опытных - вектор параметров модели; значений т, и п,. Функция (9.18) является дважды дифференцируемой, в чем можно непосредственно убедиться, взяв производные по параметрам. Для поло жительной полуопределенности матрицы А следует показать, что ее квадратичная форма неотрицательна. По определению квадратичная форма с учетом введенных обозначений может быть представлена зави симостью [7] 5 = ПТДП, (9.20) где П1 - транспонированная матрица параметров П. Развернутый вид выражения (9.20) a2inz. да2 d2\nL дРода д2 \п L дР^оа д2 in L 321пА дадРо д2 In L дР2о д2 In L дддР-р После преобразований получим a2 in l д2 in L дР2тр (9.21) 480 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ В = _^»2^ПАа2_^о2_^/,2_2^£,/,_ да2 8Р2о дР2тр ф дадР0 0 - 2 —■-П-Л аРр - 2 д -1П L ДЛ • дадРтр т дРодрр 0 тр (9.22) Проведенные расчеты показывают, что частные производные, вхо дящие в выражение (9.22), являются отрицательными в области заданных параметров 0 < (а, Ро, ) < 1, что подтверждает положительность квад р ратичной формы, а, следовательно, и выпуклость функции (9.18). Таким образом, функция (9.18) имеет единственный минимум в точке V[-In(n, X)] =0. (9.23) являющейся решением системы уравнений правдоподобия: dl-Z-Q . д In L _ . да ’ дР0 ’ 31пЛ-ф оДр ' (9-24) Для случая, когда доработки проводят только лишь после появления отказов и если причина их явно установлена, имеем уравнение правдопо добия вида f а 1П 1 ртр у k in -Х(п,-1)1п /=1 ( X '■ Д р - (Л₽- 'О l-'тр Р < 'тр ) (9.25) Эта функция правдоподобия отражает процесс отработки изделий, при этом в качестве исходных данных могут быть использованы значе ния параметров, полученные по результатам испытаний аналогичных изделий. 9.5. МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ Так как в процессе проведения испытаний причины обнаруженных отказов не всегда достоверны, то проводимые доработки также не всегда одинаково влияют на изменение надежности изделия. Вместе с тем, при нимая допущение о том, что в среднем наблюдается определенная тен МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 481 денция к росту уровня надежности от одной доработки к другой, процесс изменения надежности в результате проведения доработок носит случай ный характер. Для восстанавливаемых изделий весь процесс испытаний можно представить в виде некоторого числа циклов. Под циклом, испытаний понимают функционирование изделия в те чение некоторого времени в условиях, соответствующих эксплуатацион ным при выполнении определенной работы. Доработку проводят по всем отказам, причина которых выявлена и по ним требуется изменение кон струкции. В этом случае изменение функции надежности происходит в зависимости от номера цикла испытания Р, (Z=l, 2,..., п). Следовательно, если имеются данные о результатах испытаний, то можно найти стати стические оценки Д, хотя ничего неизвестно о параметрах, определяю щих поведение этой функции. Для описания изменения функции надежности В, может быть ис пользован метод, основанный на представлении Р, в виде функции слу чайных аргументов, значения которых могут быть определены по ре зультатам испытаний данного изделия или изделия-аналога. Такой под ход позволяет установить аналитическую форму зависимости, которая является функцией надежности. Таким образом, статистический метод заключается в том, что по опытным данным строят кривую роста надежности произвольной фор мы, используя экспериментальные точки графика, а затем методами ма тематической статистики находят оценки параметров, входящих в эту функцию. В общем виде функцию можно записать следующим образом Д• = Р(а1, а2, ..., as, z), (9.26) где а, - неизвестные параметры. Выбрав несколько различных форм функции P,, можно оценить ка кая из них наилучшим образом описывает экспериментальную кривую. Так как испытания изделия проводят в циклическом режиме, то можно, как наиболее простую, принять биномиальную модель распределения вероятности доработок. Для нахождения параметров распределения воспользуемся методом максимального правдоподобия . С этой целью построим функцию правдо подобия вида ni'mt! (и, -w,)! (9.27) где /и, - число отказов, зафиксированное в л, циклах испытаний; Р, вероятность успеха в z-й доработке; к - число проводимых доработок. 482 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ Подставляя в (9.27) модель изменения надежности, получим уравне ние (9.26), описывающее правдоподобие в зависимости от искомых па раметров к [| - «(о,) а2,,„, ах )}"' X т,) = П /=| (9.28) Выражение (9.28) представляет собой функцию правдоподобия, в которой функция надежности связана с номером доработки. Оценками максимального правдоподобия параметров as являются оценки, при ко торых функция правдоподобия принимает максимальное значение А(й|, а^..., as-, л,, т,)= max. (9.29) При расчете удобнее использовать не саму функцию, а ее логарифм, так как максимум и минимум функции L совпадают соответственно с lrtZ, и -1пЛ. Для нахождения оценок параметров распределения решают си стему уравнений правдоподобия вида ^ГГ = 0. 3as (9.30) Метод максимального правдоподобия позволяет получить несме щенные, состоятельные и эффективные оценки [5]. При нахождении оценок параметров распределения может быть использован также метод наименьших квадратов, который при больших объемах испытаний прак тически совпадает с методом максимального правдоподобия. В этом слу чае функция правдоподобия выражается зависимостью вида = S[P, а,...., as, z)]2, (9.31) <=1 где Д — оценка надежности, полученная по результатам испытаний в /-Й серии. Метод наименьших квадратов хорошо согласуется со статистически ми данными, когда в z-й серии и, > 20 циклов испытаний, т.е. биномиаль ный закон распределения приближается к нормальному. В этом случае (9.32) ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ 483 Оценки параметров распределения, обращающие функцию правдо подобия в минимум, находят из выражения вида .0, даs. (9.33) Таким образом, статистический подход к определению модели роста надежности состоит в интуитивном выборе функциональной зависимости P,(at, а2, as, i) и, соответственно, нахождении тем или иным способом параметров распределения as- В качестве функциональной зависимости часто используют алгебраические выражения, включающие несколько неизвестных параметров. 9.6. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ И ДРУГИЕ ВИДЫ ЗАВИСИМОСТЕЙ Основанием гиперболической модели может служить предположение того, что вся программа испытаний представляет собой К этапов, на каж дом из которых проводят определенное число испытаний и в каждом фиксируют отказ или успешную работу [16]. По результатам испытаний строят кривую роста надежности - гиперболу, описываемую зависимо стью ' z (9-34) где Р, - истинная надежность изделия на z-м этапе испытаний; РГр - тре буемое значение надежности; а - параметр, характеризующий скорость роста надежности; z - номер этапа испытаний, / = 1,2, 3,..., к. Модель зависит от двух параметров /’тр и сс. Для нахождения оценок параметров воспользуемся методом максимального правдоподобия. Тогда для z-ro этапа о тработки будем иметь = (9.35) где п, - число испытаний на z-м этапе; zw, - число отказов на z-м этапе. Полагая, что результаты всех этапов статистически независимы, по лучим К к L =П Д =ПР"'~т' 1 - Д(9-36) /=1 /=1 или после логарифмирования 484 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ (9.37) Уравнения правдоподобия можно записать в виде: (и, - m,) ♦1-^ =0; /и, p а SlnZ, _ 5Лр /=i глт> / I '-и (9.38) 'Р к Sin L да -У—L- £ p гтр +Е— (9.39) '=| 1 - . I В результате решения уравнений (9.38) и (9.39) получим оценки па раметров: к а= /=1 (=1 к / 1 f /=1 (9.40) к /=1 (9.41) + 0,5772. В качестве аппроксимирующих зависимостей можно использовать также модели вида P=P„-px-P0) (9.42) Так как Рх = 1, то (9.43) где Pj - надежность на /-м этапе испытаний; Рл - предельно допустимое значение надежности; Ро - начальное значение надежности; е - основа ние натурального логарифма; а, - параметр, характеризующий изменение скорости роста надежности. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ 485 Применяют также модели роста надежности вида [16]: РоРх г----- . Д =------ 7--------Ро + (Рх - Р0)е~а' (9.44) Р=Р---- — (9.45) b+c где a, bn с - неизвестные параметры. Наиболее распространенной является модель, описываемая показа тельным законом (9.46) где А = В/5; С = In--------1-аР Функция (9.46) зависит от грех параметров - р, Р и а, которые могут быть найдены методом максимального правдоподобия или методом наименьших квадратов. Более общая модель роста надежности [16] P^P^-aA), (9.47) гдеД7) - положительная, монотонно убывающая функция /. Для нахождения оценок Рт и а методом наименьших квадратов вычисляют суммы: с. = ЕЖ с2 = /=1 /=1 Для удобства вычислений Ci и С2 [16] можно использовать прибли женные формулы для нескольких видов /(/), приведенные в табл. 9.2. Оценки параметров распределения находят, решая уравнения: -2 и - т, -Рх + «/(/) ; ", -rwf-w, — = -2У дР * 00 /=1 L Рх +а/(0 =0; ^ = 2V п, ~т. -Рх +сс/(О /(0 =о. (9.48) (9.49) (9.50) 486 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ 9.2 . Приближенные формулы для вычислений G и С ДО С, ГН 2(*4f-,.46 г' tnlht + - 1 + 0,577 I С2 1п(А + + 0,577 4-ННГ 2 ' л2 4-НГ нчг г3 '•24(4f д6 1 V5 --- ------- -Ц + -1 945 5( 2) тт“ Примечание. — 6 л л = ',645; — = 1,082; ---- = 1017. 90 945 Решения уравнений (9.49) и (9.50) дают оценки величин Л, и а: * -ДО /u=—Si (9-51) -с2 л -*i( кС2 - С,,2I Л /(О (9.52) где и, и т, числа испытаний и отказов на z-м этапе испытаний, соответственно. Изменение надежности изделия при его поэтапном испытании мож но оценить статистически. Оценка надежности после z-й серии испытаний является зависимо стью вида Р, = аЛ/+'1-а)/>.|. (9-53) 487 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ где а - коэффициент, характеризующий значимость каждой оценки; р' оценка надежности по результатам только /-й серии испытаний; оценка надежности по результатам всех испытаний, проведенных до /-й серии. Примем допущение - надежность испытываемых образцов в каждой серии испытаний одинакова. Особенности этой модели таковы, что при а = 1,0 не учитывают результаты всех испытаний до /-й серии, а при а = 0 - результаты испытаний последней серии. Оценку р' определяют по результатам испытаний (9.54) Ч Значением параметра а можно задаваться исходя только из практи ческих соображений, что снижает эффективность использования этой модели. 9.7. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НА ЛОГИЧЕСКИХ ПРЕДПОСЫЛКАХ Рассмотрим построение логико-вероятностной модели, основанное на предложениях: изделие состоит из определенного числа к блоков, при этом вероятность отказа каждого блока q, = 1 - Р,; отказы блоков являют ся независимыми; отказ любого из блоков приводит к отказу изделия в целом может быть устранен с некоторой вероятностью г,. С учетом при нятых допущений вероятность отказа '-го блока после п испытаний опре деляют из соотношения & = 0~ = (9.55) а вероятность безотказной работы изделия после п испытаний - из соот ношения = (9.56) '=1 '=1 Принимая допущение о постоянстве величин q, и г,, т.е. qt = q, г1 = г, имеем Р,=[1-<711-7)]](9.57) Так как произведение qr « 1, то можно записать: Подставим полученное выражение в формулу (9.57) (l-t/-)" = е f/m 488 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ (9.58) Значение qe q'n « 1, поэтому (9.59) где (1 - kq) - вероятность успеха до первой доработки, или начальная надежность. Введем обозначения: qr = R, (1 - kq) = Рои подставим их в формулу . (9.59) В результате получим двухпараметрическую экспоненциальную модель роста надежности Pn=\-Poe~R". (9.60) Полученная модель основана на предположениях и должна быть подтверждена статистическими данными. При построении моделей роста надежности сложных технических систем была использована теория стохастических моделей обучаемости. Изменение надежности изделия при отработке можно представить в виде случайного процесса. Рассмот рим частные свойства случайного процесса, которые могут быть исполь зованы при построении кривой роста надежности. Так, например, могут быть приняты следующие допущения: 1) выявление причин отказов и их устранение доработкой проводят только после появления отказов; 2) надежность изделия может изменяться только после доработок, причем каждая доработка либо не изменяет надежность, либо увеличива ет ее. Практика отработки сложных технических систем показывает, что доработку изделий многоразового использования проводят только после появления отказа, когда его причина явно установлена. В этом случае логической основой процесса отработки является следующее предполо жение. Пусть Р, - вероятность успеха в i-м испытании; Л| - вероятность проведения доработки после успеха при условии, что до этого момента была намечена доработка по предыдущим отказам; л? - вероятность про ведения доработки после отказа. После каждого испытания могут быть два несовместных события — успех или отказ. Так как принято допуще ние, что доработку проводят только в случае появления отказа, то веро ятность отсутствия доработки после успеха равна единице, т.е. 1 - Я| = 1, а после отказа - 1 - л2- Отсюда приращение надежности в результате до работок равно: после успеха - нулю, т.е. А Р р , = 0, а после отказа - АР,,-. Схема рассматриваемого процесса приведена в табл. 9.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 489 9.3. Схема процесса изменения надежности Исход /-го испытания Успех (событие Аи) Отказ (событие ^2/) Вероятность исхода п Г, 1-Д Последствие Вероятность последствия Вероятность успеха в (;'+1)-м испытании Доработку проводят - - Доработку не проводят Pi Л Доработку проводят я2(1-Л) Pi + Pi Доработку п-^а-л) не проводят Pi Соотношение для определения приращения надежности запишется в виде ^,=^(1-^.,), (9.61) где я2, - коэффициенты, характеризующие уменьшение вероятности от каза (1 - Pi |) в результате 2-й доработки после (/-^ 1)-го испытания. Следовательно, выражение (9.61) характеризует эффективность до работки, и соответственно, модель роста надежности. Принимая допуще ние о постоянстве параметра (о^ = «г), запишем выражение (9.61) в виде AP2,=fl20-^J. (9-62) На основании результатов решения получено математическое ожи дание успеха в (z+1)-M испытании ЛЛ [^+,] = Д22^2 + (l-72>[-]+*2«2M2[]> (9.63) где Л/[Р,] - математическое ожидание процесса Р, в /-м сечении. 9.8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ Россмотрснныс в предыдущих параграфах модели изменения уровня надежности основаны на описании процесса доработок посредством уче та статистических данных. В таком описании лишь косвенно учитывают 490 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ факторы, с помощью которых осуществляют улучшение параметров. Да же наилучшая аппроксимация кривых роста надежности описывает явле ние в среднем и не позволяет дать конкретные рекомендации в каждом отдельном случае. Поэтому необходимо разработать такую модель роста надежности, которая бы позволяла активно вмешиваться в процесс дора боток. Только при таком подходе теория построения модели роста надежности станет действующим инструментом не только для описания процесса доработок, но и его непосредственного улучшения. Математическая модель роста надежности с учетом управляю щих воздействий основывается на следующих допущениях и предпосыл ках [37, 42,45]: - испытания нового изделия проводят комплексно с учетом раз личных режимов испытаний (нагрузок, температур, вибраций и т.д.); - в случае появления отказа и установления его причины проводят доработку; - доработка изделия носит комплексный характер, т.е. дорабаты вают не только отказавший элемент, но и другие элементы, непосред ственно связанные между собой функциональной зависимостью при вы полнении изделием поставленной задачи; можно проводить доработку и одного элемента одновременно по нескольким выходным параметрам. Следует иметь в виду, что изменение конструктивных или техноло гических параметров дорабатываемых элементов связаны корреляцион ной зависимостью с отказавшим элементом и непосредственно влияют на выходную характеристику этого элемента, и тем самым, косвенно влияют на выходную характеристику изделия. Корреляционную зависимость дорабатываемых параметров отка завшего элемента и параметры элементов, связанных с ним функцио нально, находят классическими методами математической статисти ки и определяют коэффициенты корреляции by, которые затем вводят в уравнения отработки Г,(() = 1 i 1 1 (() + Ь12и2 (() +•••+ Мш (()> (9.64) где yt(t) - выходная характеристика элемента или изделия в момент про ведения /-й доработки. Обозначим Ьу = bjjk, где byk - коэффициент корреляции между j-м и К-м элементами (параметрами) в момент проведения z-й доработки. Коэффициенты корреляции находят из соотношений вида: М ..к Ь„к=-^\ (9.65) МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 491 -иу) fe-wj л-1 ; (9.66) (9.67) где и . и Uk - средние значения параметров управлений у-го и к-го эле ментов; i = 12,..., ; ; j и к = 1, 2,т. Параметры управления могут быть представлены в виде функций самих управлений, производных от функций управлений, вторых произ водных от функций управлений и т.д. Таким образом, имея результаты проектирования и отработки изделия-аналога, можно построить функци ональные зависимости и корреляционные связи, отражающие изменения конструктивных, технологических и других параметров, а также их влия ние на выходные характеристики элементов или изделия в целом. При проектировании и отработке нового изделия, когда статистические дан ные отсутствуют, функциональные зависимости и корреляционные связи определяют расчетами. Принятые допущения и предпосылки позволяют при разработке математической модели применять аппарат на основе матричных исчислений. В этом случае при составлении уравнений дора боток в качестве коэффициентов влияния на изменение параметров управлений и-, используют и коэффициенты корреляции by, полученные по статистическим данным или расчетным путем. Необходимость мат ричного подхода отпала бы, если бы каждое управление ut влияло только на одну характеристику у,. В этом случае матрица в управлении была бы диагональной, и матричный подход не дал бы ничего нового по сравне нию со скалярными моделями, записываемыми для каждой характери стики отдельно. Однако, при осуществлении управления м„ направленного на у,, в силу специфики отрабатываемой системы, оказывает косвенное влияние и на другие характеристики, т.е. осуществляется косвенное управление ими. Степень косвенного влияния определяется коэффициентами Ьу, по этому матрица не является диагональной и необходим матричный под ход, который определяет зависимость выходных характеристик от вход ных. Все элементы матрицы, расположенные на диагонали, непосред ственно влияют на управление выходной характеристикой системы, а внедиагональные элементы матрицы отражают косвенное влияние управления на другие параметры и соответственно выходную характери стику системы в целом. 492 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ Частным случаем косвенного управления является доработка эле мента без изменения параметра управления других элементов. В этом случае изменение параметра управления при доработке оказывает непо средственное влияние на выходную характеристику дорабатываемого элемента, и соответственно, выходную характеристику системы (изде лия). Этот случай аналогичен использованию диагональной матрицы, когда изменение параметра управления влияет только на выходные ха рактеристики дорабатываемого элемента и изделия. Таким образом, ма тематическая модель процесса отработки сложной технической системы основывается на матричном подходе к нахождению выходных характе ристик создаваемого изделия посредством изменения конструктивных, технологических и других параметров управления, выраженных в явном виде. При разработке математической модели для вновь создаваемого из делия задача состоит в том, чтобы выходная характеристика этого изде лия не была хуже выходной характеристики изделия-аналога после его отработки при условии изменения конструктивных, технологических и других параметров нового изделия, предназначенного для выполнения более сложных задач. Учитывая специфику отработки сложных технических систем, рас смотрим задачу определения управляющих воздействий в явном анали тическом виде. Для решения этой задачи сделаны следующие предпо сылки. При разработке математической модели считается неизвестной модель системы, а необходимые управляющие воздействия находят, за даваясь динамикой развития системы и законом управления ею [8]. При нимая во внимание специфику рассматриваемой задачи, в математиче скую модель вводят новый класс желаемых законов управления, а также допущение об экспоненциальности (плавности) желаемой динамики раз вития системы, что позволяет избежать построения нелинейных уравне ний. При таком подходе к решению задачи можно получить систему ли нейных уравнений, обеспечивающих нахождение управляющих воздей ствий в явном виде. Модель отработки представим в виде системы, име ющей вход, выход и характеризуемое состояние (рис. 9.3). В качестве входа в эту систему принимают вектор управляющих воз действий, который можно представить в виде: конструктивных изменений отрабатываемых систем или элементов, заложенных в конструкторской документации; изменения технологических параметров в части ужесточе ния допусков на изготовляемые и контролируемые детали, узлы и другие сборочные единицы; уточнения эксплуатационной документации. Из практики отработки сложных технических систем известно, что наибольшее влияние на выходную характеристику оказывают управ- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 493 Рис. 9.3. Модель отработки системы ляющие воздействия, связанные с конструктивными изменениями отра батываемых систем или элементов, меньшее влияние - изменения техно логических параметров и еще меньшее - уточнение эксплуатационной документации. Под конструктивным воздействием на параметры понимают изме нение геометрических размеров, массовых характеристик, запаса прочно сти, запаса по ресурсу, изменение материала, введение резервирования элементов и т.п. Изменения технологических параметров связаны с уве личением или уменьшением допусков при изготовлении или регулирова нии, введением дополнительных технологических операций и так далее, а уточнение эксплуатационной документации - с внесением в инструкцию эксплуатации дополнительных указаний при ручных операциях. Напри мер, вводят таблички с надписями: «Опасно», «Внимание», «Выпустить воздух» и т.д. Если в процессе отработки изделия выполняют большое число дора боток и соответственно накоплен достаточно обширный статистический материал, то в этом случае целесообразно строить модель роста надежно сти для каждого вида управляющих воздействий - конструкционных, технологических, изменений эксплуатационной документации. Влияние каждого управляющего воздействия на выходную характеристику систе мы целесообразно оценить по предыстории с помощью функций регрес сии, которые позволяют учесть как количественные, так и качественные факторы. Под выходными характеристиками узлов, механизмов и изде 494 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ лия в целом понимают изменение основных параметров, заложенных в технических условиях на них. Такими характеристиками могут быть ве роятность безотказной работы, наработка на отказ, сила выходного тока или напряжение, производительность, время подъема ракеты в верти кальное положение с подвижной установки для ее пуска и т.д. Наиболее важной выходной характеристикой, предъявляемой к сложной технической системе, является ее работоспособность, которая чаще всего представлена в виде наработки на отказ или вероя гности без отказной работы. Эти характеристики являются обобщенными, так как они определяют, в конечном итоге, выполнение поставленной перед из делием задачи. Рассмотрим случай, когда выходная характеристика выражается из менением наработки на отказ, являющийся соотношением вида Z(/)=7]tp(z)-ГД/), (9.68) где 7’,тр(/) - требуемое значение наработки на отказ /-го элемента; T,(t) текущее значение наработки на отказ /-го элемента к моменту времени /. Основная задача процесса доработок состоит в том, чтобы обеспе чить рост величин а значит, приблизить к нулю значение функции (9.68). Практика отработки изделий показывает, что во многих случаях желательно иметь плавное изменение выходной характеристики. Такому изменению должно соответствовать изменение во времени решения дифференциального уравнения (9.69) Примем (9.70) где е /л - матричная экспонента; у° — вектор начального состояния вы ходной характеристики изделия (системы); Для простоты предположим, что D - диагональная матрица, т.е. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 495 о 0 0 о ... 0 о ... о X, 0 о X 2 ... о о о X D= о о X т где X, - некоторые постоянные независимые друг от друга изменения отклонений. При таком выборе матрицы D из уравнения (9.70) следует: y(/)=eZ''Z°. (9.71) Пусть /о - заданный срок отработки. Тогда уравнение (9.71) будет плавно приближаться к нулю, если коэффициенты X, = 3//о- Изменение выходной характеристики в процессе отработки показано на рис. 9.4. Такое допущение позволяет предположить, что £> = -/( ^0 где / - единичная матрица; Рис. 9.4. Желаемая динамика изменения выходной характеристики (9.72) 496 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ Следует отметить, что в этом случае можно было обойтись решени ем скалярных уравнений, так как матрица диагональная, но она здесь дана для дальнейшего обобщения, поскольку использовалась матричная экспонента для недиагональной матрицы. Многолетняя практика отработки сложных технических систем по казывает, что механизмы, пульты и другие сборочные единицы необхо димо подвергать испытаниям в объеме, равном объему испытаний изде лия в целом. На основании этого можно предположить, что время отра ботки для всех исполнительных механизмов одинаково, т.е. = /0- В этом случае выходная характеристика изделия упрощается и принимает вид у(-)=е V- (9.73) Анализ (9.70) и (9.71) показывает, что эти формулы определяют за данные условия изменения выходной характеристики изделия, создавае мые правильным выбором управляющих воздействий, т.е. выбором век тора управления. На практике успех в реализации заданной программы отработки обеспечивают в результате определенных приращений вектора управления в некотором интервале, т.е. благодаря обеспечению вполне конкретных значений скоростей изменения управления. Таким образом, желаемый закон управления, к которому следует стремиться, должен со держать производную от вектора управления. Одновременно с этим, про изводные являются факторами, влияющими на выходную характеристи ку. Такой выбор желаемого закона управления позволяет упростить об работку статистических данных по методу наименьших квадратов и од новременно учесть суммарные воздействия всех управлений, действую щих прямо или косвенно на суммарное изменение выходной характери стики изделия в целом. Всякую доработку осуществляют лишь после определенного накоп ления факторов, вызывающих необходимость ее проведения. В количе ственной форме это выражается следующим образом. Если выходная характеристика изделия представляет собой центральный момент, выра женный в функции времени у(0 = ^О) - ДО, по которому проводят до работку, то управляющее воздействие и(/) должно быть пропорционально интегралу на отрезке [0, /о]. Эти соображения предполагают выбор сле дующей формы желаемого закона управления (9.74) о МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 497 где В - постоянная в желаемом законе управления, которую находят из опытных данных; т - переменная интегрирования. Равносильная форма записи В^ = Ж (9.75) at где г/(/ = 0) = 0. Такая форма записи желаемого закона управления содержит управ ление в неявной форме. В этом случае описывается ситуация, когда управление осуществляют по накопленному суммарному изменению вы ходной характеристики в форме линейной комбинации управлений. Пе реходя от скалярного случая к векторному, когда управление является векторной функцией времени, имеем wi(') «20 _«m(0. и аналогично, выходная характеристика представляет собой вектор Постоянная величина В в уравнении (9.75) является не числом, а матрицей, постоянной и определенной для некоторого одного момента времени, г.е. Ьц в= ^12 • ■ Ъ\т • ^2т Ь2\ Ьп\ ^п2 ■ где коэффициенты by (элементы матрицы) находят, используя опытные данные. Тогда уравнение (9.75) в развернутом виде можно записать так 498 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ л(')=*п г2^)=221 (9.76) Таким образом, желаемый закон управления, отображаемый уравне нием (9.75), является уравнением неявного вида. Если в это уравнение подставить заданное значение вектора Хо = yT, то полученное в ре зультате уравнение /Р = В^(9.77) dt может не иметь решения при каждом значении /, так как в этом случае ничем не гарантируется выполнение условия BB'yJ-vJ. (9.78) являющегося необходимым и достаточным для разрешимости уравнения. В уравнении (9.78) В^ - матрица, псевдообратная матрице В. Для решения уравнения (9.77) воспользуемся методом наименьших квадратов [7], согласно которому вектор управления должен удовлетво рять условию (9.78) наилучшим образом, т.е. сумма квадратов координат вектора ■■ - у’ -В dt должна достигнуть наименьшего значения. В соответствии с этим реше ние имеет вид (° п+..тр (9.79) С учетом соотношений (9.70) и (9.75) и при введении в них обозна чения у° = У получим ^^В^у. (9.80) dt Откуда I u(t)=u° + B+ê~D^dr, (9.81) о где и° - начальный вектор управления. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 499 Учитывая, что (9.82) О получим и(/) = и° + В+ —[/ -е D >. 7 D Преобразуем соотношения (9.82) и (9.83): £>'= — /; 3 (9.83) (9.84) Г —1 (/-е-"')=(1-е-°')/ = 1-е '° /. < 7 После подстановки (9.85) в выражение (9.83) имеем < 3/ ' 1-е ВУ^. Ч (9.85) (9.86) 7 В общем виде при задании времени Т отработки вектор управляю щих воздействий И u{t)=u° +Т 1-е У В+у^. (9.87) 7 Развернутый вид этого вектора И|(') “2 (О 40) .40). + Т 1-е (9.88) ч Из формулы (9.86) следует, что при t = 0 вектор управления u(t) = щ, а при t = to u(t)«u° + -^B+yTp. (9.89) Таким образом, функция управления м,() экспоненциально возрас тает или убывает относительно значения и® в зависимости от того, явля ется ли произведение /-й строки матрицы В на столбец положительным или отрицательным (рис. 9.5). 500 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ Рис. 9.5. Динамика изменения управляющих воздействий: Т- заданный период отработки Следовательно, управляющие воздействия определены в явном виде для заданного срока отработки и требуемого значения выходной характе ристики. Полученные решения удовлетворяют следующим двум условиям: они обеспечивают заданную динамику изменения выходной характеристи ки и являются наиболее близкими (при использовании метода наименьших квадратов) к значениям параметров желаемого закона управления. Так как при получении решения ограничения на управляющие воз действия не учитывались, то может оказаться, что некоторые из расчетных значений параметров управления физически не реализуемы. Поэтому рас четные значения необходимо сравнить с допустимыми значениями и в случае, если хотя бы одно из требований не выполняется, провести коррек тирование желаемой динамики изменения выходной характеристики у(1) или параметров желаемого закона управления, после чего расчет повторя ют до получения приемлемых значений параметров управления. Полученное решение задачи позволяет определить оптимальные управляющие воздействия при заданной динамике изменения выходной характеристики у = <р(а, к, I) изделия, желаемом законе управления и = = ср(В, у, I) и наложении ограничений на управление и < идоп и срок отра ботки Т < Тяоп. Рассмотренная модель позволяет определить управляющие воздей ствия в явном аналитическом виде при переходе от общей системы нели нейных дифференциальных уравнений к системе линейных дифференци альных уравнений, когда управление осуществляется по накопленному суммарному изменению выходной характеристики, а не по изменению по А-й производной от выходной характеристики. Следовательно, получен ные параметры управления являются непрерывными функциями времени МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 501 и обеспечивают заданную динамику развития выходной характеристики y(t). На практике доработки проводят в дискретные моменты времени, поэто му они могут быть получены как соответствующие точки на непрерыв ной кривой. В разработанной математической модели (9.88) учтена сто хастическая природа исходных данных, полученных в результате стати стического оценивания, при котором каждое следующее значение пара метра управления получают на основании только новой поправки к уже полученному значению параметра, т.е. благодаря приращению значения параметра состояния на Ай,у. В этой модели роль конструктора сводится к следующему. На этапе проектирования значения параметров, полученных при прочностных, тепловых, электрических и других расчетах, а также при расчетах надежности, сводят в таблицу расчетных значений параметров в виде матрицы и вектора выходной характеристики (например, надежно сти). Закон управления выбирают, исходя из практических соображений, а желаемую динамику выходной характеристики определяют, используя расчеты надежности этой характеристики в виде наработки на отказ, ин тенсивности отказов, вероятности безотказной работы и других парамет ров, представленной как изменение функции во времени за заданный срок отработки. Полученные на основе расчетных данных параметры управления в случае их нереализуемости корректируют, проводя допол нительные расчеты при изменении соответствующих расчетных парамет ров или изменяя динамику выходной характеристики, а также корректи руя срок отработки. На этапе отработки, когда изделие проходит испытание или экс плуатируется и, соответственно, появляются отказы, роль конструктора сводится к следующему. Составляют таблицу исходных данных в виде параметров состояния, значения которых получены как расчетами до проведения доработок, так и по опытным данным - отказам и наработкам на отказ исполнительных механизмов и изделия в целом на некоторый момент времени. В соответ ствии с этапами проектирования выбирают закон управления, а желае мую динамику изменения выходной характеристики задают с учетом полученных результатов испытаний. До проведения доработки корректируют параметры отказавшего элемента, а также элементов, связанных с отказавшими функциональной зависимостью и корреляционной связью. После чего с учетом выбранно го закона управления и желаемой динамики развития выходной характе ристики, а также с учетом проведенных изменений параметров (элемен тов матрицы) состояния определяют в явном виде управляющие воздей ствия. В случае если полученные значения параметров управления пре 502 Глава 9 . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ М О/ЕлЧ И ИЗМЕНЕНЫ Я УРОВНЯ вышают допустимые, корректируют техническую документацию и про должают испытания. Если после проведения испытаний доработанного узла или системы в объеме, равном тому же, который они прошли до до работки, отказ по данному виду доработки не возникает, то доработку считают эффективной. В случае, если отказ по данному типу доработки повторяется, то отказавший элемент заменяют на конструктивно новый и процедуру испытаний повторяют. 9.9. МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ Излагаемая методика позволяет учесть активные управляющие воз действия при отработке систем и тем самым решает в активной поста новке задачу управления процессом совершенствования изделия при направленном улучшении его характеристик. Основой методики являются теоретические разработки (см. п. 9.8), в также результаты исследований [36, 46]. В качестве желаемой динамики изменения выходной характеристики (функции надежности) принят за кон распределения Вейбулла, который является универсальным, так как при различных значениях параметров распределения он превращается в другие виды распределений (например, в экспоненциальное или нор мальное распределение). Выходная характеристика для принятого закона имеет вид у(/) =>(/)= е'м" (9.90) Тогда заданные условия изменения выходной характеристики в про цессе отработки можно записать как решение дифференциального урав нения dt (9.91) где у = ata ie~l'a Эти условия должны быть обеспечены в результате выбора управ ляющих воздействий, т.е. выбора вектора управления Практика по казывает, что успех в реализации программы отработки, заданной в виде уравнения (9.91), обеспечивают благодаря определенным приращениям Дм(/) вектора управления, т.е. желаемый закон управления пропорционален интегралу от изменения выходной характеристики. Следует отметить, что выбор желаемого закона управления позволяет определить необхо димые параметры управления с использованием накопленного изменения МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 503 выходной характеристики и одновременно учитывать суммарное воздей ствие всех параметров управлений, действующих прямым и косвенным образом на суммарное изменение выходной характеристики в целом. Зависимость отклонений выходной характеристики у(0 от парамет ров управления определим в регрессионной форме линейным соотноше нием В[«()-«о] = (9.92) о или в развернутом виде Т1 0)=b\ I (u ()УГ 0) = ^>21 (и()~ )+ Ц0 U)+■•■+ b\m («т ()- ; )+ b22 (W (()- u2)+-+ ь2т [ит (/)- и®); W1° )+йп2(гЦМ - «2 )+-+^+ (z - - -- ) > 7' где v,()) = Jy(-)d/. о Решением уравнения (9.92) является выражение вида [^(()-и°] = B+y(t~) (9-94) или развития выходной характеристики, выраженной в форме распределения Вейбулла, находят, используя выражение (9.96) или в развернутом виде 504 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ «(О " о1 щ w2(/) ,0 ^2 Л°()). = ^11 *?12 ••• 621 ^22 —Ьгт И 0 4 + >1 (О 72() (9.97) ) Jbn\ Ьп2 •‘•ЬП1Н _ УП (0 Из формулы (9.96) следует, что при t = 0 вектор управления равен начальному значению параметра: u(t = 0) = и0. При t —> со н(/) определя ют, используя выражение -> оз) = и0+-Д+у(/). Л (9.98) Следовательно, функция управления W/(Z,) плавно возрастает или убывает относительно значения и°. в зависимости от того, является ли произведение /-й строки матрицы В на столбец y(t) положительным или отрицательным. При выводе формулы (9.96) предполагалось, что матри ца В, а, следовательно, и матрица В , известны точно. В действительно сти матрица В, имеющая смысл таблицы коэффициентов регрессии (9.93), неизвестна и подлежит оцениванию. Методика оценки псевдообратной матрицы В сводится к следую щему. На основании выбранного закона управления [в нашем случае со отношение (9.92)] методом наименьших квадратов определяют коэффи циенты регрессии Первый шаг:. Берем первое уравнение из соотношений (9.93) У1I (м| (()~ м|)+ *12 ("з (°~ “2 )+•••+ (и,„(()“ )• Второй шаг. Берем экспериментальные или расчетные данные для У1(() = у, и сводим в таблицу, записав уравнения (9.93) для каждый строки (табл. 9.4). Третий шаг. На основании исходных данных табл. 9.4. запишем МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 505 9.4. Табличная форма записи исходных данных первого уравнения Ti .О "l "Ю Й «2 ~ «2 З'и 0 WI1 - Щ «12 - U2 М21 Ты 0 Щ 0 Уу 0 “1т 0 0 Т11 ... ипт 0 = ^11 (к1 I - г/1°) + bn (м12 - -2))4-..Д- у21 — b\\{u2\ _И| u2m “ Юн и22 - -2 0 “W2 0 ит — U'm') 0) + -|2(w22 _ -û2)4^...+ b\m(u2m —U°,) Ущ = ит -ul) + b}2,l;l - — Ut) +...+ b\m(unm —Unt) Четвертый шаг. Методом наименьших квадратов находим вектор bl bl2 bl,,,_ T11 Г °1+ y21 .T»1. Первый шаг:. Рассмотрим второе уравнение из соотношения (9.93). Второй шаг:. Полученные экспериментальные или расчетные дан ные для у2(0 =У2 сведем в таблицу, записав уравнение (9.93) для каждой строки (табл. 9.5). Третий шаг:. На основании исходных данных табл. 9.5 запишем 506 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ 9.5. Табличная форма записи исходных данных второго уравнения Уг 0 «1 -«I У12 -щ «12 0 “«2 ... . «1/н 0 - и. «22 0 ” «2 ... и2т - Ит У22 У„2 0 «2 “ и2 0 «21 0 *»[ -Щ ... U,„ -т Уу у12 0 «« (и11 + *22(н12 “ -4?)+...+ *2т(и,,„ -4°) = *21 у22 = *21(м21 ~ 4 ) + *22 (и22 0 _ _4)+-+ *2/»(и2/п — 4) 0 Уп2 =b2i(i'n\ 0 «О «/и «я2“«2 + b22AUn2 - -u2) + ...+ Ь2„,(ипт - i°„) Четвертый шаг. Методом наименьших квадратов определим вектор *^21 *22 У|2 У22 Уп2. Аналогично находим векторы by, />4, *3 У1з *’32 Угз = = Ь,,;. *31" _*3ш . УпЗ_ *41 У14 *42 *4 ,, = [и - и °]+ У 24 У,4 МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 507 ОXT 1 ™ -------------- --------------- I У|т [ ob = [w - и ] У2т .У™. Далее находим оценку матрицы В На основании полученной оценки матрицы В с помощью алгоритма Тревиля по стандартной программе определяем оценку псевдообратной матрицы В* В частном случае, когда выходную характеристику определяют для т отрабатываемого изделия в целом, транспонированную матрицу [у] за писывают в виде вектора у\ При этом оценку псевдообратной матрицы также представляют в виде вектора В+ . Если отработку всех исполнительных узлов, механизмов, пультов и других элементов изделия проводят в составе изделия, то оценивание псевдообратной матрицы несколько упрощается и сводится к следующе му. Выберем п моментов времени /„ представив соотношение (9.95) для этих моментов в виде: 508 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ Далее по алгоритму Гревиля по стандартной программе ЭВМ опре делим оценку псевдообратной матрицы д' =М к в)-"? ]тВ этом случае для получения оценки матрицы В используют опыт ные данные w(0 и и°, полученные по предыстории. В соответствии с желаемым законом управления, пропорциональным интегралу от изме нения выходной характеристики, значения y(t) приближенно рассчиты вают по формуле Л'21 + Уз I Д/, +...+ У»-1 +У/1 2 2 о где j = 1, т; / = 1, и; Д/, = /, - ?_. Каждую строку гД/,) получают из соответствующего столбца, т.е. транспонированием матрицы исходных данных. Для нахождения оценки псевдообратной матрицы аналогично определяют транспонированную матрицу [w/(z,)-Wy] , при этом строку получают из соответствующего столбца, в котором каждый элемент может быть определен как разность между следующим и первым элементами данного столбца. Полученную оценку псевдообратной матрицы в дальнейшем используют как постоянную матрицу для определения параметров управлений, подставив ее в (9.97). Рассмотрим теперь случай, когда отработку изделия проводят ускоренно, т.е. выходная характеристика у(/) изменяется пропорциональd~u()\ .. \ но ускорению изменения параметров управления ----- =-• = пи I иодредедг ляется в регрессионной форме линейным соотношением вида у(/)=Вп(/) (9.99) или в развернутой форме уЛ)=|М/)+й,22'2(')+---+ (9.100) Решение задачи для желаемого закона управления, выраженного формулой (9.99), имеет вид МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 509 (9.101) При экспоненциальном распределении выходной характеристики w(z)=B+e"D'>-Tp(z). (9.102) Интегрирование (9.102) дает уравнение т U(r) = w® + В'(9.103) о где и® - начальное значение скорости изменения параметра управления; je'VP))d/ = l(l-e-D'H')После интегрирования (9.103) (9.104) Для нахождения вектора управления интегрируем (9.104) т u(l) = U° + W (9.105) О где и0 - начальное значение параметра управления. Интегрирование (9.105) приводит к уравнению «(/)= и0 + И|°/ + ZT ±L-1(| \ > I D D\ D / (9.106) При заданном сроке отработки Т выражение (9.106) преобразуется следующим образом (9.107) Рассмотренная математическая модель отработки может быть ис пользована также при наложении ограничений как на выходную характе ристику, так и на параметры управления. При наложении ограничений на выходную характеристику для же лаемого закона управления, пропорционального скорости изменения па раметров, управляющие воздействия определяют из системы уравнений 510 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ с £' u(t) = u° + Т 1-е ■ Т Отр(/); 7 Z (9.108) u’(t)=u'°+T 1-е у С+у^), у ч где Т - заданный период отработки (испытаний); В - псевдообратная матрица параметров управления; утр(/) - требуемое значение выходной характеристики; и'0 — начальное значение параметра управления по ограничениям; С' - псевдообратная матрица параметров ограничений. Для нахождения управляющих воздействий при наложении ограни чений непосредственно на управления используют соотношение вида ( -\ u(t) = ii° +(с+В+')Т 1-е 1 C+y^(t\ \ (9.109) 7 Пример 9.2. В процессе испытаний изделия были зафиксированы отказы конструктивного и технологического характера отдельных узлов и исполнительных механизмов, которые снижали надежность изделия. Результаты проведенных доработок в виде изменения соответствующих параметров сведены в табл. 9.6. 9.6. Исходные данные «ь »2, град. МПа 1,50 1,30 1,20 1,08 1,00 0,91 0,85 0,80 0,75 0,70 20 25 30 37 45 50 55 70 90 18 «3, шт. 10,0 8,0 6,5 5,0 4,0 3,0 2,2 1,5 1,0 0,7 «4, см 15,0 16,0 16,8 17,5 18,1 18,6 19,0 19,3 19,5 19,6 «5. МПа 0,3 0,6 0,8 1,0 1,0 1,2 1,3 1,3 1,4 1,5 у.-ЮЛ УгЮЛ ^з-10-4, У4-10"4, у5-10Л, МОЛ ч 1,00 1,20 1,50 1,80 2,00 2,50 3,00 3,80 4,50 6,00 ч ч ч 6,00 3,00 2,00 8,00 5,00 6,20 9,50 5,80 9,70 10,70 6,50 12,90 11,80 7,20 15,90 12,80 7,80 18,70 13,60 8,40 20,70 14,10 8,90 21,80 14,50 10,30 22,80 15,00 10,50 23,60 ч 1,50 2,50 3,30 4,00 4,60 5,10 5,50 5,80 6,10 6,30 ч 0,14 0,36 0,58 0,86 1,08 1,22 1,44 1,48 1,51 1,55 МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 51 Требуется определить оптимальные параметры управления в виде изменения геометрических параметров конструкции, технологических процессов и т.п., подтверждающие требуемую наработку на отказ у'р = = ХО = 50 000 ч ® 5 лет. Решение. 1. Зададимся желаемой динамикой развития выходной характери стики в форме экспоненциальной зависимости у(/) = еуууе = е ТуУ. 2. Выберем желаемый закон управления, пропорциональный инте гралу от изменения выходной характеристики 3. Результаты статистических данных, полученных при отработке изделия-аналога, сведены в табл. 9.6. 4. В соответствии с выбранным желаемым законом управления пре образуем таблицу исходных данных к исходным матрицам при этом: и где у = 1, те = 1,2, 3, 4, 5; i = 1, и = 1,2, 3, ..., 10. В результате преобразования получим: -0,20 -0,30 -0,42 -0,50 -0,59 -0,65 -0,70 -0,75 -0,80 2 -2,0 1,0 0,30 7 -3,5 1,8 0,50 12 -0,5 -6,0 -7,0 -7,8 -8,5 -9,0 -9,3 2,5 0,68 3,1 0,73 3,6 0,85 4,0 0,95 4,3 103 19 27 32 37 52 72 4,5 110 4,6 1,15 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ 512 0,24 0,53 1,00 1,41 1,74 2,33 2,46 2,60 2,79 0,89 0,86 2,03 3,80 1,51 3,40 6,31 8,74 10,51 5,28 6,36 13,36 13,86 14,38 14,91 8,11 8,42 8,77 9,14 2,60 5,86 8,97 11,46 15,71 16,48 17,28 18,12 0,43 1,06 2,11 3,04 3,74 4,88 5,09 5,30 5,52 5. Транспонируем исходные матрицы: -0,2 - 0,3 - 0,42 -0,50 -0,59 -0,65 -0,70 -0,75 -0,80 2,0 7,0 12,00 19,00 27,00 32,00 37,00 52,00 72,00 wT = -2,0 - 3,5 - 5,00 -6,00 -7,00 -7,80 -8,50 -9,00 -9,30 2,50 4,00 3,10 3,60 4,60 1,0 1,8 4,30 4,50 0,3 0,5 0,68 0,73 0,95 0,85 1,02 1,10 1,15 У '0,24 0,53 1,51 3,40 1,00 6,31 0,86 0,89 2,03 2,50 3,80 5,86 0,43 1,06 2,11 1,41 8,74 1,74 2,33 10,51 5,28 8,97 3,04 6,36 11,46 3,74 13,36 8,11 15,71 8,42 16,48 14,38 8,77 17,28 4,88 5,09 5,30 2,46 13,86 2,60 2,79' 14,91 9,14 18,11 5,52 _ 6. Для матрицы у1 по алгоритму Гревиля на ЭВМ можно найти псевдообратную матрицу [ут] . Для действительных матриц, у которых число уравнений больше или равно числу неизвестных, псевдообратную матрицу можно найти с помощью стандартных функций MS Excel по формуле где А - исходная матрица; МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 14,45 2,98 -28,26 -7,31 55,42 -6,85 6,69 15,81 8,48 -62,60) -3,35 -0,22 9,63 2,51 - 21,88 3,15 -6,54 -5,39 -5,73 43,78 0,93 -4,43 -5,03 -4,22 33,63 -5,29 5,59 2,58 4,26 -30,68 -2,20 5,28 -1,97 2,66 -18,62 -024 1,54 0,76 1,25 -9,36 6,03 -6,11 0,67 -3,43 23,75 513 7. Используя метод наименьших квадратов, найдем оценки матри цы В" = цт[т] -122 -0,22 112 0,39 -2,05 196,65 -179,75 29,31 -94,65 660,78 -7,56 -3,50 4,09 102 14 7 2,91 2,12 -2,17 -0,35 -1,61 110 0,96 -0,20 0,21 -3,31 8. Для заданной желаемой динамики развития выходной характери стики и выбранного желаемого закона управления управляющие воздей ствия определим по выражению Т Д' Wy(z)=Wy+7’ 1-е т У 7 которое преобразуем, приняв период отработки Т = 3 года и Т= Т/3; - 2 + ( 1е' )д+утр + Д2 - Ь22 ... ^2 от У? Ь,,2 - fyim _ у7_ 514 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ Подставив исходные данные и° , В+, и t = 0, I, 2, 3, получим соответствующие значения параметров управлений (табл. 9.7) «(О " 1,5 ‘ и2(/) 90,0 «з(0 = 10,0 w4(z) 15,0 лМ 0,3 -1,22 196,65 -0,22 -177С)_75 -756 2,91 1,10 1,12 29,31 0,39 -94,65 102 -0,35 0,21 4,09 -3,50 2,12 -^1217 0,96 -0,20 -2,05 660,78 1,47 -1,61 -3,31 Анализ полученных значений параметров управления показывает следующее: параметры W|(/), 10(6, z/3(Z), ^(Z) и us(t) отражают положи тельную динамику изменения выходной характеристики и соответствуют физическому смыслу дорабатываемого узла. 9.7. Расчетные значения параметров управлений Период отработки, год Параметр управления Wi(z) - угол, при котором одновременно срабатывают блокировки 0 1 2 3 1,50 1,28 1,20 U7 г^И) - измененная прочность материала металлоконструкций, МПа 90,00 156,89 181,49 190,54 - число сварных швов определен ной длины на металлоконструкциях 10,00 9,51 9,33 9,26 W4(Z) - изменение домкрата, см 15,00 15,10 15,13 15,15 u5(t) - изменение давления в бустере муфты силового привода, МПа 0,30 0,17 0,12 0,10 диаметра штока 515 МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 9.8. Табличная форма расчета параметров управления «1 «2 Ив г/, | Ml2 Wlm М21 ^22 W„1 W„2 ^2ni Унт t У1 Til = Л 1MI1 + У21 = Л iW21 + yn\ ~ ^1 Л2М12 + h t\ b\mu\m ^12«22 + • • • + bimu2llt h + ^12un2 ■*■*** + b\mUnm Рассмотрим теперь методику определения параметров управления для частного случая, когда исходная характеристика изделия представле на не матрицей, а вектором. В этом случае параметры конструкции, а также соответствующие им значения выходной характеристики, полу ченные по результатам испытаний или эксплуатации, сводят в таблицу исходных данных (табл. 9.8), в которой выходная характеристика опре деляется вектором. В дальнейшем процедура определения управляющих воздействий аналогична рассмотренной выше. Пример 9.3. По результатам испытаний исполнительных механиз мов в составе изделия были зафиксированы отказы узлов и механизмов, которые снижали надежность изделия в целом. Требуется определить оптимальные значения параметров управления, подтверждающие интен сивность отказов элементов изделия в течение года (1/год): - для первого узла у^ = 0,05; - для второго узла у2Р = 0,08; - для третьего и четвертого узлов = 0,1. Решение. 1. Задаемся желаемой динамикой развития выходной характеристи ки в форме закона распределения Вейбулла с параметрами: 1 = 1/3; а = 3/4; 4) = ЩХ'“/Р. 2. Выберем желаемый закон управления, пропорциональный скоро сти изменения параметров управления 516 ГЗгва) 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЬЛ И ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ 9.9. Расчетные и статистические значения параметров управления и выходной характеристики y(f), 1/год t, год 4,5 0,1453 0 0,40 4,8 0,1386 1 1,60 0,30 5,0 0,1316 2 3,00 1,85 0,22 5,3 0,0736 3 3,24 2,15 0,15 5,7 0,0590 4 3,60 2,40 0,10 6,0 0,0450 5 U\ «2 Из 2,40 1,25 0,47 2,60 1,45 2,82 3. Статистические и расчетные данные, полученные по результатам испытаний и эксплуатации, сведены в табл. 9.9. 4. В соответствии с выбранным желаемым законом управления преобразуем таблицу исходных данных к транспонированным матрицам вида у0)=/. "т = при этом 2 7,7 2 где i = 1, п, j = 1, т. В результате преобразования получим: «21 “«II «31 _ «11 «41 -«11 «51 «И «61 -W11 «22 _ «12 «32 _ «12 «42 — «12 «52 — «12 «62 - «12 «23 “«13 «зз - «13 «43 - м13 и53 ~ «13 «63 - «13 .«24 _ «14 «34 ~ «14 «44 -Ми «54 “ 1|4 «64 -«14. 0,84 1,20 ' ' 0,20 0,42 0,60 0,20 0,35 0,60 0,90 115 -0,07 -017 -0,25 -0,32 -037 0,30 0,50 0,80 1,20 150 ? МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ >1(0' 517 0,14195 ^(0 0,27705 Уз(0 = 0,37965 0,44595 у4(0 л(0. 0,49795 [/] = [о,1495 0,27705 0,37965 0,44595 0,49795]. 5. С помощью алгоритма Гревиля по стандартной программе ЭВМ найдем псевдообратную матрицу [ут]+. Для действительных матриц, у которых число уравнений больше или равно числу неизвестных, псев дообратную матрицу можно найти с помощью стандартных математиче ских функций MS Excel по формуле где А - исходная матрица; 0,206363 0,402767 0,551924 0.648309 0,723905 6. Используя метод наименьших квадратов (МНК), найдем оценку псевдообратной матрицы 5+=«тИ+. В результате проведенного на ЭВМ расчета оценка псевдообратной матрицы выглядит как вектор '1,954855' 1,929364 В = 0,696200 2,568660 7. Для заданной желаемой динамики развития выходной характери стики и выбранного желаемого закона управления управляющие воздей ствия определяют с использованием выражения вида 518 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ 9 .10. Расчетные значения параметров управления Период отработки, год Параметры управления 1 0 2 3 Расчетные значения параметров «■(/) 2,40 2,462 2,480 2,488 H2(Z) 1,25 1,260 1,263 1264 «з(0 0,47 0,426 0,413 0,408 W4(0 4,50 4,662 4,709 4,731 Подставляя исходные значения уу ’ , b*, у ’ и t, получим соответ ствующие расчетные параметры управлений (табл. 9.10), отражающие динамику изменения выходной характеристики изделия при отработке. Рассмотрим на примере практическое использование разработанной методики при определении управляющих воздействий на этапе проекти рования для одного параметра (скалярный случай). Пример 9.4. На этапе проектирования подъемного механизма тре буется определить оптимальную толщину стенки гидроцилиндра, обес печивающую заданную наработку на отказ -утр = 61 320 ч ® 7 лет, ис пользуя расчетные данные на прочность и устойчивость. Решение. 1. Примем в соответствии с расчетами на прочность и устойчивость начальное значение толщины стенки гидроцилиндра и° = 5 мм и зададим ся сроком отработки Г = 3 года. 2. Так как статистические данные по отработке подъемного меха низма-аналога отсутствуют, то зададимся желаемой динамикой измене ния выходной характеристики в форме экспоненциальной зависимости вида ( f А , y(t)=C \-ег \ где С = 7 - принятая величина. 7 МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 519 3. Зададимся желаемым законом управления, пропорциональным скорости изменения параметров управления: Bu(t) = y(t), где принятое новое значение В = 3,5. 4. В результате решения задачи необходимые значения управлений для скалярного случая определяют, используя выражение вида С в г 4" — / При Т = 3 года получим ■ го 1 Ч ' YI 1 ( 1 u(t)=U° + ^ /-3 '' В f = 5 + — t-3 1-е 3,5 7 к --Y 3 Л При / = О w(/) = w° = 5 мм, при t« Т = 3 года w(/) = 7,3 мм. Ответ: u(7) = 7,3 мм. Таким образом, для подтверждения требуемой наработки на отказ у‘р = 61 320 ч при сроке отработки Т = 3 года оптимальная толщина стен ки гидроцилиндра должна быть равна «(/) = 7,3 мм. Методика нахождения управляющих воздействий на этапе создания сложных систем сводится к следующему: 1) составляют матрицу и = [и,7] исходных данных - конструктив ных, технологических и эксплуатационных параметров wy, наработок на отказ или интенсивностей отказов, или вероятностей безотказной работы за заданное время t для соответствующего /-го этапа жизни изделия; 2) по исходной матрице и = [и,7] в соответствии с выбранным зако ном управления и заданной желаемой динамикой развития выходной ха рактеристики определяют транспонированные матрицы параметров управлений и выходной характеристики [uT], [у1]; 3) по алгоритму Гревиля с использованием стандартной программы определяют псевдообратную матрицу [уг]+; 4) рассчитывают оценку псевдообратной матрицы В+ = [uT][yT]+, ко торую в последующем применяют как постоянную; 5) заключительный этап - определение управляющего воздействия по формуле, полученной в соответствии с выбранным желаемым законом управления и заданной динамикой развития выходной характеристики. 520 Глава 9 . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ 9.10. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ, ВЫРАЖЕННЫХ В ВИДЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В предыдущем параграфе рассмотрены общие теоретические пред посылки для построения модели доработок с учетом управляющих воз действий. Модель кривой роста надежности позволяет на основании расчета выбрать необходимые управляющие воздействия в зависимости от заданной программы отработки. При этом предполагается, что задава емая программа изменения выходной характеристики может быть какимлибо образом выбрана. Однако сам по себе вопрос о таком выборе пред ставляет задачу специального исследования. Решение этой задачи состо ит в том, чтобы изучить, каким образом изменяются выходные характе ристики изделия (например, вероятность безотказной работы изделия, среднее время его жизни и т.д.). Если по результатам отработки построе ны кривые роста надежности изделий, аналогичные вновь разрабатыва емому изделию, то одну из них можно принять за желаемую программу отработки этого нового изделия. Отметим, что главное при построении модели кривой роста надеж ности - допущение о возможности построения кривой роста отдельно для каждого вида отказов. Сложные технические системы состоят из большо го числа элементов, что может привести, соответственно, к большому числу отказов. Поэтому воспользуемся моделью изменения роста надеж ности, основывающейся на рассмотрении типов доработок, число кото рых значительно меньше числа отказов. В основу построения кривой ро ста надежности положена математическая модель, описываемая вероят ностными характеристиками. В нашем случае доработки того или иного типа проводят с некоторой вероятностью. Пусть отработке подвергают сложное восстанавливаемое изделие, в состав которого входят различные элементы. В процессе испытаний до работку проводят только в том случае, когда причина отказа установлена. По отказам, причина которых не установлена, доработку не проводят и их учитывают как случайные отказы. В общем виде модель роста надежности является функцией объема испытаний, вида доработок и режимов испытаний и выражается зависи мостью я0=/(л,/,М), (9.110) где /?(/) - вероятность безотказной работы изделия за заданное время Г; п - объем испытаний изделия, выраженный в циклах функционирования; I - число используемых типов доработок; к - число используемых режи мов испытаний; t - длительность одного цикла испытаний. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 521 Под испытанием изделия понимают экспериментальное определе ние количественных и(или) качественных характеристик его свойств как результата воздействия на него при его функционировании и моделиро вании (ГОСТ 16504-81). При испытаниях изделие функционирует с за данными параметрами в заданном интервале времени [0, /]. При выводе уравнения отработки примем допущение - отказы, вызванные различ ными причинами и требующие различных методов доработок, являются несовместными событиями. Введем следующие обозначения: H, - событие, состоящее в появлении отказа на z-м этапе испытаний / = 1, и; Р(Н,) — вероятность отказа на z-м цикле испытаний; Dj/Hj - событие, состоящее в проведении доработки у'-м методом при возникновении отказа на z-м цикле испытаний; PtD/Щ — условная вероятность использования у-го метода доработ ки на z-м цикле испытаний при условии, что на этом цикле произошел отказ; A/Dj, Hi - событие, состоящее в успешном проведении доработки /-м методом при возникновении отказа на z-м цикле испытаний; А — событие, состоящее в безотказной работе изделия в течение за данного интервала времени [0, /]; P(A/Dj, H) - условная вероятность безотказной работы изделия в 'течение заданного интервала времени [0, Z] после проведения доработки /-м методом в связи с появление отказа на z-м цикле испытаний. Так как в процессе испытаний изделие по случайным отказам дора боткам не подвергается, то на основании формулы полной вероятности можно записать +Ф,)£р(я7/я,Ил/о., я,), >=1 (9-111) где Ri(t) — вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0, Z] после проведения доработки на z-м цикле испы таний; Pi(t) - вероятность отсутствия в течение заданного интервала вре мени [0, Z] после z-ro цикла испытаний тех отказов изделия, по которым доработка не проводится. Пусть число режимов испытаний, при которых происходит отработ ка изделий, равно некоторому фиксированному числу к. Тогда вероят ность безотказной работы за заданный интервал времени [0, Z] после про ведения испытаний хотя бы в одном из режимов при проведении дорабо ток одним из методов у = 1, / определяют по формуле 522 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ /?,(/)= ^ Л, и=| (//mJ/’Xm), (9.112) где /?,(//ц) - вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0, /] на i-м цикле испытаний при реализации ц-го режима; Д,(ц) - вероятность использования ц-го режима в i-м цикле испытаний. Подставляя в формулу (9.112) вместо величины /?,(7/ц) ее значение, определенное по формуле (9.1 11), получим + yÂ/D,, Н„ р) (9.113) 7=1 Под режимами испытаний изделия понимают проведение испыта ний: в номинальных условиях (при температуре окружающей среды 20±5 °C, влажности воздуха 65 % и номинальной нагрузке, характеризу емой коэффициентом Ки = 1,0), при низких или высоких температурах, на вибрацию, на пылевлагозащищенность, в условиях повышенных нагру зок (Ан > 1) и т.д. Предложенная математическая модель позволяет построить кривую роста надежности в результате выбора соответствующих методов дора ботки с заданной вероятностью и режима испытаний. Используемые в математической модели вероятности или законы их распределения могут быть определены по результатам отработки изделий-аналогов. В качестве статистической оценки вероятности безотказной ра боты изделия за заданный интервал времени [0, /] после проведения до работки одним из методов j = 1, / на /-м цикле испытаний является сле дующее выражение + P(Hi)Xp(d,/H,)p(a/Di, 7=1 Н,\ (9.114) МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 523 где /}(()= 1--^ т,- числоотказов, покоторымдоработке непроводились с нераого но z'-e -сныоак-е; -, - объем -сныоак-й (число цоплоа фукпц-ок-еоаакоя) ка момект неоаедекия доработки; здесь mt - число оопатоа, но котором неоалдились доработки у'-м мето дом; m'j — число уснешкых доработок, нроаедеккох у-м методом та не- еиод с нееалго но z-e иснытакие аплючителько; /' - число асех нроаедеккых доработок за нериод с нееаогл ио Z-e иснытакие аплючителько. Подстааиа статистичеспие даккые в (9.114), кайдем оцекпу аерояткости безотпазкой работы изделия за задаккый иктераал аремеки [О, Z] (одик ципл фукбционировакия) носле нроаедекия дораблтби одким из методов у = 1, / ка Z-м ципле иснытакий (9.115) Оцекпу аерояткости безотпазкой работы изделия за задаккый икгервал аремеки [О, /] носле нроведеноя иснытакий хотя бы в одном из режимов можко онределить но формуле (9.116) ц, - число режимов иснытакий, нроаеденных за нериод с к первого но Ze иснытакие аплючителько; к — число асех иснользоааккых режимов иснытакий. Из неабтопо лтработби изделий изаестко, что иснытакия обязательк ко проводят нри асех казкачеккых режимах и, следователь^, Дц = 1. и-1 Тапим образом, статистичеспая модель роста кадежкости нобатыааст что ноаышекие нопазателя кадежкости (а кашем случае аерояткости безотпатнлй работы) возмож^ тальпо благодаря неоаедекою доработок нри этом разкые доеаблтби кеодикапоао влияют яа уаеличеяие уроакя надежности. При лоеабоопе техничесбих систем уроаекь кадежкости где />(ц) = 524 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ VPOBH5I повышается а большей степени а результате конструктивных доработок, а меньшей степени - в результате улучшения технологии изготовления и в еще более меньшей степени - в результате изменения эксплуатацион ной документации. Необходимо помнить, что доработку конструктор назначает в каж дом конкретном случае. Ее можно назначить как по одному появившему ся отказу, когда причина явно установлена, так и по повторяющимся от казам, когда причина явно не установлена. В последнем случае доработка может быть назначена из условия выполнения неравенства — >5, Аи (9.117) где А/и - число повторяющихся отказов при проведении испытаний в объеме Aw. В первом приближении частота отказов 8 = 0,01 ...0,05, при дости жении которой в обязательном порядке проводят доработку при приня том допущении, что каждая доработка не снижает уровня надежности. Доработки изделия прекращают, как только достигнутый уровень показа теля надежности удовлетворяет заданному требованию. Имея статистические данные по отработке изделий, можно постро ить кривые роста надежности, с помощью которых прогнозируют отра ботку вновь разрабатываемых изделий-аналогов. Если кривая роста надежности, построенная по отработке изделия, является непрерывной функцией распределения, го ее можно использовать при нахождении па раметров управляющих воздействий. По предложенной математической модели (9.116) составляют систему дифференциальных уравнений [8]. Для этого необходимо дополнительно ввести следующие обозначения: = R\ - условная вероятность использования у'-го метода до работки на z-м цикле испытаний при условии, что на z'-м цикле произошел отказ; Р(ц) = R2- вероятность использования ц-го режима на z-м цикле ис пытаний; P(A/Dj, Н,) - R3- условная вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0, /] после проведения доработки у-м методом на z-м цикле испытаний. Вероятность безотказной работы изделия в течение заданного ин тервала времени [0, после устранения конкретной у-й причины отказа на z-м цикле испытаний в ц-м режиме определяют, используя уравнение Р (0 = Р, (/)1 - н,X а ] + Р (я,) Rx r2 r, . (9.118) МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 525 где Pjf) - вероятность безотказной работы изделия после /-го цикла ис пытаний тех отказов, по которым доработки не проводились. Параметры модели R\, R2, R3 зависят от режимов и методов дорабо ток, имеющих для каждой конкретной системы вполне определенной смысл. Составим уравнение вида [8] А(==М')+ЕРУМ)Яппр(0] > (9-119) 7=1 где Д ,, , (/) - оценки параметров, полученные по предыстории на данный момент времени; [3, - постоянные коэффициенты, полученные экспери ментально; Хуррт) - соответствующие режимы и методы доработок, выраженные в виде вероятностных оценок. Используя соотношение (9.118) и определив требования к надежно сти /?(/) подбирают такие значения параметров /?,(), при которых выпол няется требование /?(/) > /?Тр(/). Условием выполнения допущения о виде зависимости (9.119) явля ется равенство нулю определителя Грама, т.е. (9.120) Ф1=[х,7]Ху]т| = 0. Точность выдерживания кривой ,(, определим с помощью укло нения [[Д)-М1/)]2 (9-121) Где 0 < t < Т(Т^ заданный срок отработки). Суммарную точность выполнения требований по всем испытаниям охарактеризуем суммой квадратов отклонений Л = Ха,[А)-/?,тр(/-]2, (9.122) где а, - постоянные коэффициенты значимости или уровень ошибки. Считаем, что суммарная точность достаточна, если выполняется условие [8] ' £офх А:'] г = 0, (9-123) /=1 где h = const - допустимое значение к, которое является заданной харакпсристикой точности; коэффициенты а, и И определяют при испытаниях образцов-аналогов, т.е. по предыстории. 526 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ Таким образом, сформулировав требования к оценкам надежности 7?,tp(/) и охарактеризовав точность выполнения этих требований (9.123), находят управляющие воздействия и,/7) и соответствующие им режимы испытаний. Для этого составляют дифференциальное уравнение [8] ЭФ, 5Ф, _______ 3R,_________ RR . (9.124) aiXj = — i ' ₽ I ЭФ, оФ2 ЭФ] 5Ф2 ) ₽/ [ dR} SR2 SR2 о/?, z где j = 1, w; ц = 1, к , а затем решают систему уравнений ф|=|Ы[ы]г| = °; ф2 = %,(')] 2 -а = 0; (9.125) /=1 т А ()=Я(ПР ()+Е ₽( к ()- х?пр (4 У=1 Для интегрирования системы дифференциальных уравнений необ ходимо иметь следующие исходные данные: интервал времени [0, 7J; значения постоянных h, а, и а/, функциональные зависимости Д,,р(/), 7?,пр(0 и х,пр(0; начальный вектор состояния x°(z) при t = t0. После на хождения параметров x,(z) вычисляют необходимые управляющие воз действия (9.126) где aj Mi(') = — 'дФ, дФ, дФ, дФ2 ' 8R2 ('^2 8Rt ? Р/ у a/?| Р P) = Р 'Р Р РРФ] 5 (9.127) ЭФЕ _v 1 SR, Xj ™2 ) дФ2 ( a/?, dR2 ЭФ, 5Ф, j SR SR J (9.128) МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 527 Таким образом, решениями пассивной задачи по построению мате матической модели роста надежности являются уравнения (9.112) (9.114), а управляющие воздействия с использованием этой математиче ской модели в общем виде выражаются как система дифференциальных уравнений (9.124) - (9.128). Теперь перейдем к построению аналитической модели, позволяю щей учесть управления в явном виде и сохранить предпосылки общей теории. С целью обеспечения эффективности доработок по статистиче ской модели (9.114) в результате направленных воздействий используем информативную модель для коллинеарных систем. В этом случае управ ляющие воздействия направлены на реализацию события, состоящего в проведении доработки у-м методом. В нашей модели управляющие воз действия непосредственно связаны с вероятностью, т.е. каждому значе нию конкретного параметра соответствуют определенная вероятность а управление осуществляется косвенно через вероятностные ха рактеристики. Влияние каждого управляющего параметра х,, на результи рующий эффект осуществляется по предыстории с помощью функции регрессии. Примем в качестве соответствующих координат следующие величины А()= ая?0 = (9-129) где /?,,( ) ) - текущее значение вероятности безотказной работы на /-м цик ле испытаний отрабатываемого изделия у-м методом доработок; RjjP(f) требуемая вероятность безотказной работы на z-м цикле испытаний отра батываемого изделияу-м методом доработок. В нашем случае вероятность безотказной работы 7??(/) является пе ременной величиной, которая, как правило, увеличивается в процессе (отработки в результате принятия конструктивных и других решений. Ос новная задача отработки состоит в том, чтобы обеспечить рост значений /?„(/), а значит уменьшить до нуля АЯ;,(/). Из практики отработки известно, что желательно иметь плавное, экспоненциальное изменение величины в соответствии с тем, как изменяется во времени решение дифференциального уравнения dt = -Dy(t)=-DR{t\ (9.130) при / = 0 примем /?(0) = R0, где D - диагональная матрица; 7?0 - вектор начальных значений параметров методов доработок; 528 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ R° R° Тогда Д/?(г) = R^t) = еа^. (9.131) Примем срок отработки изделия То = 3 года. В этом случае 2L l°R°. (9.132) Следовательно, соотношения (9.131) и (9.132) определяют условия отработки изделия, создаваемые правильным выбором управляющих воздействий, а отработку изделия обеспечивают определенным прираще нием Aw вектора управления в принятом интервале времени, т.е. благода ря вполне конкретным значениям скоростей изменения вектора du(t)/dt. Одновременно с этим производные du(t)ldt являются вероятностными значениями параметров, влияющих на отклонение А/?(/), что в регресси онной форме можно выразить линейным соотношением вида (9.133) Д/Я)=В^, at где В = [Л,,] - матрица коэффициен тов, связанных с параметрами управ ления; bj - элементы матрицы, выраженные в виде вероятностей соответ ствующих параметров. Выражение (9.133) можно записать в виде линии регрессии А7(() = Rj w, (/) + Ь^ь (z)+...+ (t). (9.134) Управляющие воздействия определяют по формуле (9.135) где w° - начальное значение изменяемого параметра, выраженного в виде вероятности; В+ - матрица, псевдообратная к матрице 5; Д,р(/) - требуе мое значение вероятности безотказной работы. В случае если вероятность безотказной работы за заданный интер вал времени [0, /] для отрабатываемого изделия подчиняется экспоненци- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 529 альному закону распределения, то наработку на отказ определяют по формуле T‘J (9.136) In Тогда управляющие воздействия можно непосредственно связать с наработкой на отказ в явном виде. Таким образом, по разработанной ма тематической (вероятностной) модели (9.111) или статистической модели (9.115) определяют наработку на отказ и находят параметры управления в явном; виде. Рассмотренная вероятностная модель отработки может быть исполь зована также и при наложении ограничений как на выходную характери стику, так и на управления. В этом случае управляющие воздействия определяют из соотношений (9.108) и (9.109). Перейдем теперь к рассмотрению задачи. Выберем управляющие воздействия на момент времени t испытаний отрабатываемого изделия при соответствующем режиме и различных методах доработок. В этом случае получим систему уравнений / М') = =, - *1I +^2 +•-+ R4PI i 7=1 / ^2(/)= = Р21Р2 + Р22Р2 +"г+ Р21Р1 1 (9.137) 7=1 / Pk(l)='^PkkiPj - Rk\P. + Rk2P2 +■••+ PklPl ’ 7=1 которая в матричной форме запишется следующим образом (9.138) У - Аи, где у - вектор вероятностной успешной работы отрабатываемого изделия и момент / испытаний при реализации ц-го режима; А - матрица размера Ах/, составленная из вероятностей успешной работы отрабатываемого изделия на момент / испытаний при использовании j-го метода доработок; ’ У= Pk<f> ] *х/ • 530 Глава 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ В формуле (9.137) P> Р= Р является вектором вероятностей использования у-го метода доработок на момент t испытаний отрабатываемого изделия. Таким образом, вектор вероятностей успешной работы в ц-м режиме По аналогии с предыдущим выводом предполагаем, что отработка изделия проходит успешно, благодаря обеспечению вполне конкретных значений скоростей du(t)/dt изменения параметров управления. Тогда зависимость отклонений выходной характеристики от параметров опре делится в регрессионной форме линейным соотношением ДЯ = У,тр (0 - Z (О = «тр (0 = А • = А ~~ ' (9.140) где А = [/?ш] - матрица. В развернутом виде (9.140) можно записать так лп о „ ^(0 , п _ dPtf “ “ц1 ' ~ ' •2 •• • • ” (9.141) Решение этого уравнения dt ~А '' (9.142) Принимая экспоненциальный закон изменения выходной характери стики, получим уравнение rp dt (9.143) Откуда i P(t)=P° + H+jyOT7?Tpdh, (9.144) о где Р° - вероятность начального значения параметра управления для р-го режима. У читывая, что МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ 531 С = Т 1-е 7 R.‘Ф ’ (9.145) 7 < окончательные значения управляющих воздействий в виде вероятностей методов доработок определяют по формуле Р(/)==Р° + Л+7Т1-в'7 R,■тр > (9.146) где А - матрица, псевдообратная матрице А, элементы которой выраже ны в виде вероятностей успешной работы изделия при использовании у-го метода доработок; Т - период отработки изделия, выраженный в виде вероятности; Р-^ — требуемое значение вероятности безотказной работы отрабатываемого изделия. Для нахождения методов доработок по полученной вероятности P(t) в явном виде определяют наработку на отказ, а по наработке - параметры доработок, т.е. значения физических величин. Рассмотренная математическая модель отработки изделия в соответ ствующем режиме одним из методов доработок может быть использована также при наложении ограничений как на выходную характеристику, так и на управления. В случае наложения ограничений на выходную характери стику управляющие воздействия определяют с помощью уравнений ч P'(t) = Р'° + С+Т 1 7 / 4 - е т (9.147) > где Р'° - вероятность начального значения управления по ограничениям; С - матрица, псевдообратная матрице С ограничений, элементы которой выражены в виде вероятностей. По найденным значениям вероятностей управлений P(t) и вероятно стей ограничений P'(t) косвенно через наработку на отказ определяют истинные значения параметров. Для нахождения управляющих воздей ствий при наложении ограничений непосредственно на управления ис пользуют соотношение вида p(t)=P° + С+Лгр . (9.148) Изложенный подход нахождения управляющих воздействий может быть применен для различных желаемых законов управления и желаемой динамики изменения выходной характеристики отрабатываемого изделия. ГЛАВА 10 ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ, СЕРИЙНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ И ЭКСПЛУАТАЦИИ 10.1. МЕТОДЫ ОТРАБОТКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗДЕЛИЙ НА ТЕХНОЛОГИЧНОСТЬ Технологичность конструкций - это совокупность конструктивных и технологических решений, обеспечивающих применение прогрессив ной технологии и организацию производства с наименьшими затратами материалов, труда и времени, которые при заданных масштабах произ водства обеспечивают минимальную себестоимость и высокое качество изделия при условии выполнения им всех его функций. При создании технологичных изделий предусматривают: - взаимозаменяемость деталей и сборочных единиц; - широкое использование стандартных деталей; - преемственность и повторяемость деталей, сборочных единиц и приборов; - рациональное расчленение изделия на ряд самостоятельных кон структивно-технологических сборочных единиц, узлов и приборов; - применение ограниченного числа марок материалов и типораз меров профилей и других заготовок, диаметров, посадок, резьб, модулей, крепежа, электрорадиоэлементов и т.п.; - конструктивное исполнение деталей и сборочных единиц, раци ональное для всех видов обработки; - доведение конструкций изделий и входящих в них сборочных единиц до соответствия требованиям условий эксплуатации. К создаваемому изделию предъявляют следующие требования: - как к объекту эксплуатации - соответствие параметров задан ным техническим условиям на изготовление и приемку изделия, и воз можность его обслуживания минимальным числом персонала при гаран тиях безопасности его работы, удобства обслуживания и ремонта, надеж ности, долговечности и экономичности в эксплуатации; - как к объекту производства - простота, минимум затрат труда, средств и времени на подготовку производства и освоение, возможно меньшая материалоемкость и экономически целесообразное применение при его производстве передовых технологий. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗДЕЛИЙ 533 Конструкция изделия предопределяет структуру и технологию его производства, трудоемкость и материалоемкость, т.е. экономичность из делия при его производстве и эксплуатации зависят, прежде всего, от конструкции изделия. Вот почему конструктор совместно с технологом, в первую очередь, должен выбрать прогрессивный тип изделия. Принятию окончательного решения о конструкции изделия должен предшествовать всесторонний анализ лучших образцов отечественных и зарубежных из делий аналогичного назначения. Необходимо стремиться к компактности и наименьшей массе конструкции. При компоновке изделия нужно учи тывать удобство его сборки и разборки, а также смены деталей и узлов при ремонте. Следует, по возможности, сокращать число промежуточных звеньев, максимально упрощать само изделие и его сборочные единицы и детали, гак как простота конструкции ведет к уменьшению объема проектиро вочных работ, большей частью, к снижению массы изделия, а также к сокращению расхода крепежных деталей и уменьшению потребности в производственной площади и числе единиц оборудования. Для повышения технологичности конструкций большое значение имеет устранение лишних запасов прочности ее элементов и неоправдан но жестких требований к параметрам изделий, не снижающим его надежность при эксплуатации. Современный уровень развития техники позволяет конструкторам получать точные данные для расчетов и экспе риментальной проверки действительных напряжений и нагрузок, оказы вающих воздействие на элементы конструкции. С целью экономии мате риалов и снижения трудоемкости изделия необходимо выбирать наибо лее совершенные рациональные методы получения заготовок деталей с минимальным припуском на обработку. Трудоемкость изделия во многом зависит и от того, насколько полно и эффективно удастся конструктору реализовать принципы стандартиза ции и унификации сборочных единиц и деталей конструкции. При уни фицировании предусматривают широкое использование в создаваемой конструкции уже освоенных деталей, сборочных единиц и приборов, а также стандартизированных конструктивных элементов деталей - фасок, радиусов, диаметров отверстий и валов, посадок, шпоночных пазов, резьб, модулей, уклонов и г.д. Практика работы некоторых предприятий свидетельствует о том, что унифицированная деталь, вводимая в кон струкцию взамен оригинальной, сокращает срок проектирования в 1,5 раза, а стандартизированная деталь - более чем в 5 раз [12]. При проектировании нужно максимально упрощать форму и уменьшать размеры обрабатываемых поверхностей, расширять допуски на изготовление деталей, выбирать оптимальную поверхность и сокра 534 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ щать общее число деталей в конструкции. Разработчику необходимо мак симально отрабатывать принципиальную и функциональную схемы изде лия с целью упрощения его сборки, монтажа, регулирования, настройки и испытаний, предусматривать рациональную компоновку отдельных сбо рочных единиц и изделия в целом. Устанавливая соответствующие допус ки и посадки, определяя рациональные класс точности и параметры шеро ховатости обрабатываемой поверхности, конструктор должен экономиче ски целесообразно назначить высокую или повышенную точность обра ботки резанием, вводя дополнительные отделочные операции или трудо емкие пригоночные или доводочные работы при сборке. Очень важным фактором технологичности конструкции является разделение изделия на отдельные части или сборочные единицы, что поз воляет расширить сборочные работы и сократить производственный цикл сборки, облегчает организацию поточного производства, обеспечивает резкое сокращение трудовых затрат при сборке. Технологичность кон струкции следует рассматривать как комплексное решение задачи по со зданию изделия - это, прежде всего, совершенство и простота самой кон струкции, а также высокотехнологичный производственный процесс из готовления, начиная от способов получения заготовок деталей и кончая сборкой и испытанием готового изделия. Работу по обеспечению технологичности конструкторы и технологи проводят на стадии эскизного или технического проекта, а по ее совер шенствованию - на стадии рабочего проектирования и при подготовке серийного производства изделия. На стадии эскизного проектирования осуществляют: - выбор оптимального варианта принципиальной схемы и рацио нальной компоновки изделия, его узлов и других сборочных единиц; - выбор оптимальной конструкции разъемов узлов, обеспечиваю щих взаимозаменяемость при наименьшей трудоемкости; - обеспечение преемственности в разрабатываемой конструкции наиболее совершенных узлов и других сборочных единиц, используемых в изделиях и находящихся в производстве и эксплуатации; - максимальную унификацию и высокую степень применения стандартизованных сборочных единиц и приборов. При эскизном проектировании, а также в процессе отработки эскиз ного проекта на технологичность выявляют все новые оригинальные кон структивные решения, требующие применения новых технологических методов и процессов. Одновременно выявляют проблемные вопросы, необходимость проведения экспериментальных и научно-исследова тельских работ. На этой стадии определяют также завод-изготовитель серийного производства проектируемого изделия. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗДЕЛИЙ 535 На стадии технического проектирования, кроме уточнения и кон кретизации конструкции, обеспечивают: - простоту конструктивных решений сборочных единиц; - выбор сборочных баз, установление точности изготовления сбо рочных конструкций и способов компенсации для получения заданных точности и выходных параметров при минимальных доводочных и при гоночных работах. Одновременно проводят обоснованное назначение сборочных раз меров, от которых зависит функциональная точность изделия и высокая взаимозаменяемость узлов, и отражают в чертежах все допуски и техни ческие условия, необходимые для выполнения требований полной взаи мозаменяемости. Большое внимание на стадии технического проектирования уделяют упрощению конструкций стыковых соединений для обеспечения легкосьемности узлов и других сборочных единиц, подлежащих частому сня тию или замене в процессе технического обслуживания и ремонта, а так же для удобства и простоты выполнения операций по герметизации, мон тажным, сборочным и контрольно-испытательным работам при произ водстве, эксплуатации и ремонте изделия. На стадии рабочего проектирования решают вопросы, связанные с упрощением конструктивных решений деталей и технически рациональ ной их преемственностью при производстве или эксплуатации; выбором рациональной точности обработки деталей, шероховатости их поверхно сти, рациональной с точки зрения выбора технологических баз проста новкой размеров. На этой стадии следует также обратить особое внима ние на сокращение номенклатуры специальных деталей в результате применения стандартизованных и унифицированных деталей, унифика цию элементов деталей, применение рациональных марок материалов, гипоразмеров проката и других заготовок, что приводит к снижению рас хода материала и затрат на обработку, а также на выбор способов формо образования деталей и сборки изделий прогрессивными методами. На стадии разработки рабочих чертежей опытного образца реко мендуется предусматривать: - дополнительное изготовление и испытание на надежность наиболее подверженных износу, поломкам и деформациям сборочных единиц и деталей; - разработку чертежей и изготовление стендов для этих испытаний и широкое применение методов моделирования. На стадии изготовления опытного образца и опытной партии веду щие конструкторы и технологи изучают процесс изготовления деталей, сборки и испытания изделия, выявляют, насколько полно и рационально решены требования технологичности конструкции, а также стремятся к тому, чтобы изготовление и сборка опытного образца проводились в соот- 538 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Для определения количественной оценки трудоемкости нового из делия составляют маршрутный технологический процесс по всем видам обработки, сборки и испытаний с нормированием каждой операции. Если конструкция имеет небольшое число деталей, а производство ее массовое или крупносерийное, то маршрутный технологический процесс состав ляют на каждые деталь и сборочную единицу, что дает более точную оценку трудоемкости изготовления. Для многодетальных конструкций трудоемкость изготовления опре деляют укрупненно, по деталям или сборочным единицам-представите лям. Для этого все детали и узлы разбивают на группы по технологиче ской однотипности. Из групп выбирают детали или сборочные единицыпредставители и на них составляются маршрутные технологические про цессы по всем видам обработки. В этом случае трудоемкость изготовле ния изделия рассчитывают по формуле Лп ~Т\П\ + 72п2 +•••+ + Гс6 + Лнсп , (Ю-2) где 7], Т2, Тк_х и Тк - трудоемкости изготовления деталей или сбороч ных единиц-представителей групп, нормо-час; «ц. - число деталей и сбо рочных единиц в каждой группе; Дс6 - трудоемкость общей сборки, нормо-час; Дсп - трудоемкость испытаний, нормо-час. Вновь разработанная конструкция технологична, если трудоем кость ее изготовления ниже трудоемкости изготовления, заданной в тех ническом задании. Коэффициент использования материалов Кы, задаваемый в техниче ском задании, должен быть выше коэффициента использования материа лов аналогичного образца. В разработанной конструкции нового изделия коэффициент Км должен быть выше или равен задаваемому. Значение Км определяют как отношение массы деталей изделия (без покупных деталей) к общей массе материалов, расходуемых на изготовление этих деталей Лм Яг1 K 1 +qr2 K2 +’•• + Я rn К•• ЯИ К1 + <7112 К2 + (Ш.З) + <?!!« Кп где <7,. н - масса детали, кг; </„ ( „ - норма расхода материала на деталь, кг; Л, „ - число деталей одного наименования; п — число наименований деталей в изделии (без покупных). Коэффициент использования материалов, определяющий расход ма териалов на изделие, характеризует совершенство конструкции и техно логии изготовления заготовок. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧНОСТИ 539 Коэффициент прогрессивности формообразования характеризу ет прогрессивность процесса получения заготовок деталей, обеспечива ющую снижение объема механической обработки в результате уменьше ния припусков на обработку или получения окончательно готовых по верхностей заготовок. Этот коэффициент определяют из выражения Кф=^+- , (10.4) стп где £>шт - число деталей, получаемых горячей или холодной штамповкой; Олит — число деталей, получаемых прогрессивными способами литья (в кокиль, под давлением, по выплавляемым моделям, в оболочковые формы и др.); D„M - число деталей, получаемых из пластических масс; Dm - общее число деталей в изделии (без покупных). Показатели стандартизации, нормализации, унификации и преем ственности предусматривают рациональное сокращение числа типораз меров составных частей. Степень стандартизации и унификации изделия характеризуется конкретными показателями (коэффициентами применя емости и повторяемости, стоимостными коэффициентами), учитываю щими число типоразмеров составных частей, а также стоимость изготов ления изделия и его составных частей. При разработке новых изделий и при проведении модернизации необходимо стремиться не только к сокращению оригинальных состав ных частей, но и к уменьшению числа стандартизованных и унифициро ванных составных частей, так как при прочих равных условиях выше качество того изделия, которое будет иметь наименьшее общее число составных частей. Расчет показателей стандартизации и унификации следует вести на одинаковом уровне, т.е. рассчитывать показатели или только для деталей, или для сборочных единиц, блоков и других элементов изделия, одинако вых для однотипных изделий. Наиболее полных и точных результатов позволяет добиться совместное применение различных показателей стан дартизации и унификации, определяемых на различных уровнях деления изделия на составные части. Для единообразия в расчетах показателей стандартизации и унифи кации при группировании составных частей изделия принято относить к: - стандартизованным элементам - составные части изделия, вы пускаемые по государственным, республиканским или отраслевым стан дартам; - унифицированным - составные части изделия, выпускаемые по стандартам данного предприятия, если предприятие является головным в отрасли и если эти элементы используют хотя бы в двух различных изде лиях, выпускаемых данным или смежным предприятием; 540 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ - заимствованным - составные части изделия, ранее спроектиро ванные как оригинальные для конкретного изделия и примененные в двух и более изделиях (составные части можно заимствовать и у изделий, снятых с производства, при условии, что техническая документация на их изготовление сохранилась). При расчете коэффициентов применяемости, повторяемости и стои мостных коэффициентов на уровне деталей из общего числа деталей из делия исключают крепежные детали, детали, изготовляемые без чертежа разрезкой стандартных фасонных профилей под прямым углом, и детали упаковочной тары и укладки. Коэффициент применяемости характеризует степень насыщенно сти изделия стандартизованными и унифицированными составными частями. Коэффициент применяемости по типоразмерам составных частей изделия Кпр (%) вычисляют по формуле ^пр = Ч~£-о-100%, (10.5) ^об где Еоб = Ест + 2у +£0 - общее число типоразмеров составных частей изделия; Ест, Zy и So - числа типоразмеров стандартизованных, уни фицированных и оригинальных составных частей, соответственно. Коэффициент применяемости по составным частям изделия Кпр,,, (%) вычисляют по формуле Кпр ч оо %, = (10.6) ^об.ч где So6 ч — Естч + Sy 4 + Zo ч - общее число составных частей изделия; Хстч, Е и Z04 - число стандартизованных, унифицированных и ори гинальных составных частей, соответственно. Наряду с коэффициентами применяемости по типоразмерам (А^,) и составным частям (А^пр. ч), учитывающими суммарно типоразмеры и числа стандартизованных и унифицированных составных частей, входящих в изделие, можно определять эти коэффициенты и для каждого вида со ставных частей, например, только для стандартизованных или только для унифицированных составных частей. Коэффициенты применяемости по типоразмерам стандартизо ванных составных частей вычисляют по формуле ^пр.ет=|^Ю0%, ^об (Ю.7) КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧНОСТИ 541 где Хст и Ео6 - число типоразмеров стандартизованных составных частей и общее типоразмеров составных частей изделия, соответственно. Соответственно коэффициент применяемости по типоразмерам унифицированных составных частей вычисляют по формуле /Спр-у=||;100%’ (10.8) где Ху и Еоб - число типоразмеров составных частей изделия унифициро ванных и общее, соответственно. Коэффициент применяемости по стандартизованным составным частям вычисляют по формуле КП,р.сТ.ч 1--1100%, (10.9) где Хстч и Хоб.ч - число составных частей изделия стандартизованных и общее, соответственно. Коэффициент, применяемости по унифицированным составным, ча стям вычисляют’ по формуле Кпр.у.ч =1*11(О%, (10.10) ^об.ч где Еу ч и Хо6.ч - число составных частей изделия унифицированных и об щее, соответственно. Коэффициент повторяемости К„ характеризует степень унифика ции составных частей изделия и может быть выражен безразмерным чис лом или в процентах. Коэффициент КП вычисляют по формуле (10.11) ^об где Хо5 ч - общее число составных частей изделия; Хоб - общее число ти поразмеров составных частей изделия; КП > 1. Коэффициент Кп, выраженный в процентах, вычисляют по формуле Г=|1----- б----- 1100%. 1 So6.4_1y (10.12) Коэффициент сборности (блочности) К характеризует простоту монтажа и сборки изделия и представляет собой долю конструктивных элементов блоков, в общем числе элементов, входящих непосредственно в состав изделия; Ксб вычисляют по формуле 542 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ К сб =.3^ = 1 (10.13) &6.о где (?сб - число специфицируемых составных частей изделия; £?Сб.о - об щее число составных частей изделия; (9сб - число неспецифицируемых составных частей изделия. Числа <2сб и бсб.о находят на основании данных о составе изделия, содержащихся в его спецификации: £>сб - по разделам спецификаций: «Комплексы», «Сборочные единицы», «Стандартизированные изделия», «Прочие изделия» и «Комплекты»; 2сб - по данным разделов: «Детали», «Стандартные изделия», «Прочие изделия» и «Материалы». Общие дан ные для всего изделия находят по формуле £?сб.о - &б + 0С6 • (10.14) Аналогично определяют коэффициент сборности (блочности) по массе или стоимости: ^ = >-£^4 (10.15) =?сб.о = 1-“-, (10.16) '“'сб.О где О“6 и Ссб - суммарные масса и стоимость неспецифицируемых со ставных частей изделия, соответственно; <2с6.о, Сс0о - общие масса и сто имость изделия, соответственно. Стоимостной коэффициент применяемости (%) определяют по формуле ГС - Г К,. —-е- 100 %, (10.17) где ЕСоб - стоимость изделия в целом; £0 - стоимость составных частей изделия, входящих в оригинальные типоразмеры. Наряду с коэффициентом Кс, учитывающим суммарную стоимость стандартизованных и унифицированных составных частей, можно опре делять стоимостные коэффициенты, учитывающие раздельно стоимости только стандартизованных или только унифицированных составных частей. Стоимостной коэффициент по стандартизованным составным частям вычисляют по формуле КАЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ТЕХНОЛОГИЧНОСТИ 543 (10.18) где ЕСст - стоимость стандартизованных составных частей, входящих в изделие. Стоимостной коэффициент для унифицированных составных частей изделия определяют из выражения ЕС ^=.у=77Л, (10.19) лсоб где ЕСУ - стоимость унифицированных составных частей, входящих в изделие. 10.3. КАЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ТЕХНОЛОГИЧНОСТИ При оценивании технологичности изделия, кроме определения ко личественных показателей, проводят качественный анализ для выявле ния наиболее рациональных форм заготовок, размеров, материалов, сбо рочных единиц и их распределения в изделии, обеспечивающий приме нение современных методов изготовления, организации производства, упрочнения поверхности деталей, ремонта, сборки и регулирования. При качественном оценивании технологичности следует иметь в виду, что технологичность конструкций должна характеризовать все изделие в целом. Улучшение технологичности отдельно взятых деталей или сборочных единиц без взаимной связи с требованиями технологич ности всего изделия может вызвать ухудшение технологичности всей конструкции. Оценивая технологичность составной части изделия, необходимо предусмотреть: - сборку конструкции из заранее подготовленных деталей, узлов и механизмов; - сборочные базы, обеспечивающие требуемое положение деталей, узлов и механизмов; - простоту и удобство сборки; - доступность к местам монтажа и применение высокопроизводи тельных методов сборки; - минимальную обработку резанием и пригонку «по месту»; - функциональную взаимозаменяемость сборочных единиц и вхо дящих в них деталей; - легкость и удобство разборки при ремонте. 544 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Оценивая качественные показатели формы и размеров деталей, обеспечивают получение заготовки прогрессивными способами с наименьшими припусками на обработку резанием. Усложнение формы заготовки с целью удешевления ее обработки допускается только в том случае, если экономический эффект, получаемый от этой обработки, пре вышает усложнение формы заготовки. С целью обеспечения возможности обработки резанием производи тельными методами к деталям предъявляют следующие основные требо вания: - достаточная жесткость деталей и наличие хороших установоч ных баз и мест крепления для осуществления обработки; - доступность ко всем элементам детали при обработке и изме рении; - возможность обработки с применением нормализованного ин струмента и оснастки; - равномерный и по возможности безударный съем заготовки с об рабатываемых поверхностей; - упрощение форм фасонных поверхностей, обрабатываемых реза нием, сокращение числа обрабатываемых поверхностей; - максимальное снижение ручных и доделочных работ. Детали, обрабатываемые на токарных станках, должны иметь: - форму поверхности соосных тел вращения; - соотношение длины и наружного диаметра должно быть таким, чтобы обеспечить консольную обработку без отжима детали инструмен том или обработку с поддержкой продольным суппортом; - диаметры отверстий должны уменьшаться со стороны ввода ин струмента и т.д. Для деталей, обрабатываемых на протяжных станках, следует пре дусматривать равномерную толщину стенок, которые должны быть до статочно прочными и ограниченную длину протягиваемых поверхностей. К деталям, обрабатываемым на многорезцовых станках, предъявля ют следующие требования: - равенство или кратность длин обрабатываемых поверхностей; - убывающие в одну сторону диаметры наружных поверхностей; - возможность обработки проходным резцом переходных поверх ностей между цилиндрическими поверхностями и др. При обработке деталей на агрегатных станках необходимо: - обеспечить минимальное расстояние между соседними отверсти ями и убывающие (со стороны ввода инструмента) диаметры соосных отверстий; - торцевые поверхности на входе и выходе инструмента должны быть перпендикулярны к оси шпинделя и т.д. КАЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ТЕХНОЛОГИЧНОСТИ 545 Для изделия деталь одного и того же назначения можно сделать бо лее простой или более сложной. Чем сложнее форма детали, тем вероят нее появление в ней деформации под влиянием температурных воздей ствий. Это, в равной мере, справедливо для керамических, пластмассовых и металлических деталей. В деталях сложной формы следует по возмож ности соблюдать постоянную толщину стенок в любом сечении. Неравные толщины стенок детали и различные утолщения часто приводят к возникновению больших внутренних напряжений, ведущих к короблению и трещинам. У симметричных деталей легче избегать внут ренних напряжений, поэтому и деформация их меньше. Рекомендуется избегать резких переходов одной поверхности конструкции в другую, желательно использовать плавные переходы линий. При анализе техно логичности конструкций необходимо учитывать возможные конструк тивные и технологические концентраторы напряжений, которые могут резко снижать прочность и долговечность изделий. Концентратором напряжения может быть, например, шпоночная ка навка на валике. Практика показывает, что шпоночная канавка снижает предел выносливости термически обработанной хромоникелевой стали до 65 %, а среднеуглеродистой нормализованной стали - до 75 % [12]. Напряжения, вызванные шпоночными канавками, можно уменьшить накатыванием вала роликами либо дробеструйной обработкой. Практикой установлено, что в твердом материале появившаяся тре щина развивается быстрее, чем в мягкой стали. Следует учитывать также и характер нагружения детали, величину и длительность периодов нагружения при простом и сложном режимах работы. Усталостные тре щины могут появляться вследствие посадок без зазора втулки на вал или в корпус без принятия каких-либо мер для уменьшения возникающих напряжений. Так, при насадке втулки с натягом на гладкий вал предел выносливости его материала снижается на 45...50 %. При этом надо учи тывать, что при таких посадках возможно схватывание контактируемых поверхностей и нарушение их сплошности с образованием в металле мельчайших трещин, что также снижает предел выносливости. При контактировании деталей из алюминиевых или магниевых спла вов схватывание поверхностей сопровождается появлением тонкого чер ного порошка оксида, поэтому при посадках без зазора деталей из этих сплавов следует тщательно смазывать соприкасающиеся поверхности. При оценивании долговечности сборочных единиц, имеющих свар ные соединения, необходимо учитывать, что предел выносливости при поперечной двухсторонней сварке снижается почти в 2 раза по сравне нию с такой же односторонней сваркой [12]. Причина, по-видимому, заключается в изменении степени технологической концентрации напря жений. 546 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Причиной поломки деталей в изделиях часто являются вибрации, поэтому целесообразно предварительно на моделях, копирующих реаль ную деталь и условия ее работы, изучать характер возникающих при ра боте с вибрациями. Наиболее резко выражаются пиковые напряжения при комбинирова нии колебаний, возникающих по разным причинам. Оптико-поляри зационные исследования распределения их концентрации на участках де тали показали, что одним из эффективных средств уменьшения концентра ции напряжения является создание местных концентраторов напряжения (надрезов). Часто концентраторами напряжений, снижающими предел вы носливости детали, являются места соединения деталей сваркой. Наиболее характерные виды разрушения материалов и некоторых деталей приведены в табл. 10.1 [35]. При анализе технологичности следу ет устранять причины, указанные в этой таблице и тем самым повышать надежность конструкций. 10.4. ВЛИЯНИЕ АТМОСФЕРНЫХ И КЛИМАТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ ИЗДЕЛИЙ Современные изделия эксплуатируются в различных атмосферных и климатических условиях. Поэтому при проектировании и производстве необходимо учитывать влияние на надежность изделий влаги, теплоты, холода, света, пыли, песка, пониженного и высокого давлений, радиации и других факторов. Влага, постоянно содержащаяся в атмосфере, ускоряет коррозию металлов, способствует гидролизу, и вследствие этого, вызывает различ ные физико-механические повреждения изделий. Периодические измене ния влажности воздуха вызывают изменения свойств материала. В ко нечном итоге, после серии периодических увлажнений и высыханий можно ожидать необратимые изменения в свойствах материалов. Мате риал, сорбирующий влагу, имеет ухудшения механических и химических свойств и большую скорость старения. С целью защиты изделий от вред ного воздействия влаги необходимо все детали, входящие в состав изде лия, и само изделие подвергать покрытию, которое практически не реа гирует на воздействие влажного воздуха. Всякое изменение температуры сопровождается изменением гео метрических размеров детали, что следует учитывать при проектирова нии и производстве изделий. Отклонения в размерах твердых тел часто сопровождаются структурными изменениями, которые зависят от техно логического процесса, принятого при изготовлении детали или сбороч ной единицы. 10.1. Виды разрушений материала и характер разрушений деталей Наименования деталей машин, подвергающихся этому разрушению Характер повреждения деталей машин Причины разрушений деталей машин Поверхности шатания банда Изменение геометрической формы жей, рельсов, напряженные детали (удлинение, изгиб, вмятины болты, сосуды, подшипники и т.д.) скольжения Длительное действие пере менных, контактных, растя гивающих или сжимающих напряжений, повышение температуры металла Вязкий излом Связи и анкерные болты, не сущие элементы мостовых ферм и других пространствен ных конструкций, напряжен ные болты Разрушение, сопровождающееся значительной макропластической деформацией. Поверхность излома не имеет кристаллического блеска (матовая), на площадке разрушения имеются скосы, строчечные неровно сти, волокнистость Значительные перегрузки вследствие резкого наруше ния нормальных условий эксплуатации Хрупкий излом Сварные соединения, фасон ные детали, болты, а также валики и пальцы, имеющие высокую твердость, чугунные отливки Разрушение при незначительной макропластической деформации (от носительное сужение гладких образ цов менее 5 %). Поверхность излома перпендикулярна направлению мак симальных растягивающих напряже ний и имеет кристаллическое строе ние часто с зубцами, лучеобразно расходящимися из зоны начала раз рушения Наличие значительных ударных нагрузок, дефекты термической обработки, низкое качество материала, повышенное содержание фосфора, водорода, наличие концентраторов напряжений (трещин), хладноломкость стали 547 Остаточная деформация ВЛИЯНИЕ АТМОСФЕРНЫХ И КЛИМАТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ Виды разрушения материала Усталостный излом Наименования деталей машин, подвергающихся этому разрушению Характер повреждения деталей машин Причины разрушений деталей машин Валы, оси, шатуны, болты, сварные соединения, подвер гающиеся длительному дей ствию многократно повторя ющихся нагрузок Образование трещины или разруше ние. Поверхность излома имеет зоны постепенного развития трещины, ускоренного развития излома и зону долома Пониженная прочность ма териала, длительное дей ствие знакопеременной нагрузки, циклических тем пературных напряжений, наличие концентраторов напряжений (надрезы, неме таллические включения, микротрещины) Истирание Подшипники скольжения, Постепенное изменение геометриче Длительное трение сопря металлических нар валы, оси, направляющие, ских размеров детали женных поверхностей крейцкопфы, кулисы, цепные передачи, поршневые кольца и втулки и другие детали Зубчатые передачи, подшип Возникновение на контактных по Пониженная контактная ники качения, рельсы и бан верхностях мелких осповидных вы прочность материала, высо дажи подвижного состава щербин, резкое ухудшение качества кие контактные напряжения поверхности, нарушающее нормаль ную работу деталей Абразивный износ Плужные лемехи, лапы куль тиваторов, детали гусениц тракторов, детали формовоч ных машин, пескометы, от крытые зубчатые передачи, детали машин, подвергающие ся истиранию минеральными частицами Заедание Шестерни зубчатых передач, Адгезия и вырывание частиц металла Пониженная вязкость масла и выдавливание масляной из контактирующих поверхностей подшипники скольжения пленки при высоких скоро стях и больших давлениях Ползучесть Лопатки, диски паровых и Медленная и непрерывная пластиче Нагрев выше температуры рекристаллизации, напряже газовых турбин, трубы паро ская деформация ния в материале превышают проводов, пароперегревателей предел его упругости при котлов данной температуре Газовая эрозия Направляющие и рабочие ло патки газотурбинных устано вок, трубы экономайзеров, кипятильные трубы паровых котлов, лопатки дымососов I Усталостное выкрашивание Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Виды разрушения материала 548 Продолжение табл. 10.1 Недостаточное сопротивле ние материала коррозион ному действию среды и пла стическому деформирова нию поверхностных слоев 549 Постепенное истирание поверхности твердыми частицами газового пото ка. На изнашиваемых поверхностях образуются риски, направленные вдоль газового потока, волны, направленные перпендикулярно движению потока, или беспорядочно расположенные бугорки и впадины Специфическое взаимодей ствие трущихся поверхно стей трения с абразивными частицами ВЛИЯНИЕ АТМОСФЕРНЫХ И КЛИМАТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ Постепенное изменение геометриче ских размеров. На поверхностях тре ния наблюдаются характерные рис ки, направление которых соответ ствует направлению движения абра зивных частиц Окончание табл. 10.1 Наименования деталей машин, подвергающихся этому разрушению Характер повреждения деталей машин Причины разрушений деталей машин Низкая коррозионная стой кость металла, высокие ско рости потока, низкий предел текучести Жидкостная эрозия Запорные и регулирующие элементы аппаратуры трубо проводов, рабочие органы питающих насосов, судовые гребные винты, рабочие каме ры гидротурбин Характер износа поверхности опре деляется условиями воздействия потока жидкости. Разрушение имеет вид пятен, полос, рубцов, зубчатых раковин, пустот, вымоин, кратеров Кавитация Гребные винты, детали гидро турбин, детали машин, под вергающиеся водяному охла ждению, трубопроводы Появление на поверхности металла Специфическое воздействие мелких, но глубоких питингов, кото жидкости при высоких ско рые местами сливаются и образуют ростях движения детали сквозное отверстие Атмосферная кор Кабины и кузова, детали ма розия шин, подвергающиеся дей ствию атмосферных осадков и влажного воздуха Образование рыхлых пленок оксидов железа с последующим шелушением и возникновением очагов точечной коррозии Неудовлетворительное нанесение защитных покры тий, плохой уход за маши ной Коррозия в элек Котельные установки, эконо тролитах майзеры, сосуды химической водоочистки, подводные части морских судов, сосуды с жид кими удобрениями Точечная коррозия, рассеянная по всей поверхности деталей, местная коррозия вблизи соединений листов и рамных конструкций Развитие электрохимических процессов в результате не однородности материала при наличии свободного доступа кислорода Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Виды разрушения материала I Детали котельных топок газо Образование на поверхности детали Высокая температура нагре вых турбин, клапаны двигате плотного хрупкого слоя оксидов ва и низкая окалиностойкость материала лей внутреннего сгорания, металлов электрические нагревательные элементы Коррозионная усталость Оси и штоки насосов, гребные Поверхность коррозионно-усталост валы, рули, металлические ного излома покрыта слоем продук канаты, рессоры и другие де тов коррозии тали, испытывающие знакопе ременные нагрузки в коррози онных средах, детали автомо билей и самолетов, подвер женные действию выхлопных газов Высокая температура нагре ва и низкая окалиностойкость материала. Совмест ное действие переменных напряжений и коррозионно активной среды Коррозионное растрескивание Напряженные детали котлов, Появление сетки трещин по грани находящиеся под действием цам зерен с резким снижением проч концентрированных щелочных ности материала растворов, сосуды из нержа веющей стали, детали, изго товленные из латуни, дуралюмина, магниевых сплавов Избирательное коррозион ное разрушение границ зе рен или одного из компо нентов сплава под влиянием коррозионной среды и меха нических напряжений Коррозия или Болтовые и заклепочные со трение (фреттинг- единения, посадочные поверх ности подшипников качения, коррозия) шестерен, муфт, детали, нахо дящиеся в подвижном контакте разрушение Возникновение на контактных по Непрерывное верхностях, особенно на границе защитной оксидной пленки в контакта, коррозионных поврежде точках подвижного контакта ний в виде отдельных пятен или по лос небольшой глубины ВЛИЯНИЕ АТМОСФЕРНЫХ И КЛИМАТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ Газовая коррозия 552 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ В материале могут продолжаться физико-химические процессы или оставаться внутренние напряжения. Нагрев и охлаждение материала в определенных температурных интервалах могут значительно снизить внутренние напряжения. Стабилизация материалов, и соответственно повышение их надежности в работе, происходит наиболее эффективно при одновременном действии температурных циклов и механических напряжений. Действие теплоты или холода прежде всего приводит к изменениям размеров деталей. Деформация происходит в том случае, когда материал детали неоднороден, температура отдельных мест детали неодинакова или к детали приложена механическая нагрузка. С целью повышения надежности для сопряженных деталей следует выбирать однородные ма териалы, когда все размеры деталей получают пропорциональные при ращения от повышения температуры, и форма детали не искажается. Необходимо также, чтобы по всей поверхности детали температура была одинаковая. При сопряжении разнородных материалов, например пластмасс и металлов, компенсировать температурную деформацию можно подбором материалов и размещением деталей сборочной единицы или механизма. Влияние света на материалы заключается, главным образом, в хи мическом разложении некоторых органических материалов - пластмасс, красителей и тканей. Свойства подавляющего большинства синтетических материалов под воздействием света, особенно вместе с дождем и ветром, ухудшают ся, причем происходит поверхностное окисление материалов с образова нием полярных групп. При одновременном действии облучения и влаж ности существенно ускоряются физико-химические изменения некото рых материалов. Ультрафиолетовые лучи являются очень сильным катализатором реакции окисления. Такое окисление наблюдается у многих материалов например, у полиэтилена и полистирола. Наибольшее действие солнеч ные лучи оказывают на нитроцеллюлозные пластмассы. Полиметилме такрилат быстро стареет под действием инфракрасного излучения. С целью повышения надежности в пластмассу вводят стабилизирую щие составляющие, которые позволяют значительно удлинить срок служ бы этих изделий. Так, например, стойкость полиэтилена к действию света можно значительно повысить введением в него газовой сажи (около 0,1 %). Непосредственное действие солнечного света на натуральную рези ну ведет к образованию корки на ее поверхности. Растрескивание резины происходит, главным образом, под действием озона, разрушающее дей ствие которого особенно сильно сказывается на натуральном и нитраль- ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ДЕТАЛЕЙ МАШИН 553 ных каучуках. Более устойчивыми к озону являются бутиловые, неопре новые и полисульфидные резины. Свет влияет на скорость атмосферной коррозии, например цинка, у которого выявлено сильное замедление коррозии при действии солнечно го света. Цинк на внешних поверхностях деталей значительно устойчивее в отношении коррозии, чем на внутренних, неосвещенных, особенно при повышенной влажности воздуха. Гигроскопичная пыль приносит из влажного воздуха на поверхность металла частицы воды. Пыль многих материалов, например угля, погло щает из атмосферы газы и также переносит их на поверхность металла. Таким образом, как органическая, так и неорганическая пыль в равной мере способствует коррозии и износу металла. В точных механизмах и измерительных приборах пыль увеличивает трение, что приводит к сни жению их точности. На лакокрасочных покрытиях увлажненная пыль вызывает медленную химическую реакцию, в результате которой лаковая пленка тускнеет. Частицы песка влияют на срок службы механизмов, главным образом, в результате абразивного эффекта. С целью повышения надежности механизмов необходимо защищать их от пыли с помощью чехлов, кожухов, щитов и т.п. 10.5. ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ДЕТАЛЕЙ МАШИН УПРОЧНЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ ОБРАБОТКОЙ Детали машин, как правило, имеют конструктивные концентраторы напряжений. Концентрация растягивающих напряжений приводит к сильному понижению сопротивления деталей усталостному напряжению. В этих случаях целесообразно использовать наклеп, так как остаточные сжимающие напряжения значительно снижают, а в большинстве случаев полностью ликвидируют, отрицательное влияние концентраторов напря жений. Проявление поверхностного наклепа особенно полезно в тех слу чаях, когда работоспособность детали определяется ее сопротивлением усталостным разрушениям, т.е. сопротивлением образованию и развитию трещин под влиянием циклически меняющихся напряжений [12]. Химико-термическая и термическая упрочняющие поверхностные обработки позволяют резко изменить качество поверхности детали и обеспечить требуемые эксплуатационные свойства (износостойкость, усталостную прочность, жаростойкость и др.), поэтому их применение не только эффективно, но и в ряде случаев единственно возможное средство для повышения надежности работы деталей. Расширение области терми ческой обработки стало возможным после того, как была усовершенство вана технология процессов поверхностной закалки, цементации, азотиро 554 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ вания, цианирования, а так же в результате разработки новых процессов диффузионного насыщения поверхности сплавов (алитирование, диффу зионное хромирование, борирование, сульфоцианирование и др.). Износостойкость и коррозионная стойкость могут быть существенно повышены при нанесении на рабочие поверхности деталей металличе ских и неметаллических покрытий с высокими эксплуатационными свой ствами. К повышению надежности изделий приводит также использование некоторых новых технологических процессов. Например, большое значе ние получает применение вибраций при многих технологических опера циях. Однако мало известно о влиянии процессов вибрации на качество поверхностного слоя обрабатываемых деталей. Возникла необходимость разработки новых технологических про цессов, обеспечивающих теплостойкость поверхности деталей, рабо тающих при повышенных температурах. В этих целях применяют биме таллы, полученные плазменным напылением, когда соединение двух материалов происходит в результате молекулярной диффузии при темпе ратуре в несколько тысяч градусов. Особенное внимание уделяется наплавке металлических поверхно стей высокотеплостойкими материалами, например, вольфрамом, нане сению керамических материалов и др. Некоторые из этих технологиче ских процессов одновременно повышают предел выносливости и обеспе чивают повышение физико-химических и механических свойств поверх ностного слоя деталей. Классификация и основные данные о технологических возможностях современных методов упрочняющей поверхностной обработки деталей машин приведены в табл. 10.2. Более подробные сведения о технологиче ских методах повышения надежности деталей машин см. в работе [12]. 10.6. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ В состав сложной технической системы, наряду с механическими, гидравлическими и пневматическими системами, обязательно входит система электроавтоматики. Мероприятия по повышению надежности этой системы проводят на этапах проектирования, изготовления и экс плуатации. Стоимость эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры зна чительно превышает стоимость ее разработки и изготовления, поэтому гораздо выгоднее основные средства направлять на создание надежных систем, чем обеспечивать работоспособность готового изделия с недоста точной надежностью. Классификация мероприятий по повышению на дежности систем электроавтоматики приведена на рис. 10.2 [11, 44, 45]. 10.2. Технологические возможности методов упрочняющей поверхностной обработки деталей Упрочнение поверхностно! о слоя Обработанная поверхность детали Метод упрочнения Точность Параметр шероховато сти по ГОСТ 2789-73 На, мкм 40... 0,63 Чугун, сталь, сплавы цветных металлов 5...0.32 Сохраняется от Уменьшается предыдущей па 1 2 класса обработки Твердость (кчаючные Толщина напряжения упрочненнов у прочнен- |о II1И нане ном слое, сенного МПа слоя, мм Увеличение твердости Напряжения поверхно сжатия 4.8 сти, 20.. .40 20. .40 0,4... 1.0 0.2...0.6 4...8 15...60 0.3...0.7 1.0...20,0 1.25...0.04 20... 50 0.32...0.04 6...8 1.0...35.0 0.3... 5.0 555 Обработка Пластическое дробью деформирование, или наклеп: повышение Дробеструйная физико-механи обработка ческих свойств, изменение I (ентробежная абсолютного обработка значения и знака Накатывание остаточных роликами напряжений, улучшение Вибрационное микронакатывание геометрии Накатывание шариками Материал ИН отовки ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 1 1роцессы. ()б\ славлкваюшие упрочнение: и щенение пара метров упроч ненного слоя Процессы, обуславливаю щие упрочнение: изменение параметров упрочненного слоя Пластическое деформирование, или наклеп: повышение физико механических свойств, изменение абсолютного значения и знака остаточных напряжений, улучшение микрогеомстрии Химико термическая (термодиффузи онная) обработка: изменение абсолютного значения и знака остаточных напряжений в поверхностном слое Остаточные Толщина напряжения упрочненно в упрочнен го или ном слое, нанесенного МПа слоя, мм Точность Параметр шероховато сти по ГОСТ 2789-73 Ra. мкм Твердость Поверхностное раскатывание 1 - 3-й класс 0.32...0.04 20...50 6...8 0.3...5.0 Чеканка 7 - 9-й класс 40...5 20...50 6...8 0,5...35.0 4-5-й класс 20...2.5 20...30 3...7 0,05...0.5 10.. .0,63 20...40 3...6 0.1 5...0,32 20...40 3...6 0,1...0,7 Галтовка 0,63...0.08 10...15 Г..2 0.05...0.1 Г идрогалтовка 0,63...0,08 20...40 2...4 0,1...0.3 Метод упрочнения Материал заготовки Резание Виброударная обработка Гидровиброударная обработка Чугун, сталь, сплавы цветных металлов Сохраняется от предшествую щей обработки Вибрационная галтовка 0.16...0.02 10...15 1 ...1.5 0,05...0.2 Ультразвуковая упрочняющая обработка Уменьша ется на 2-4 класса 50...90 8...10 0.1...0.9 3...7 0,01...0,20 Напряже ние сжатия 4...10 0,5...2.0 Гидро полирование Чугун, сталь, сплавы цветных металлов Сохраняется от предше ствующей обработки 20... 30 0,63...0.04 Алмазное сглаживание Цементация Мало углеродистая сталь Коробление (поводка), мм 0,05...0.10 Азотирование Чугун, сталь 0.05...0,10 Цианирование Увеличение твердо сти. % 30...60 60... 70 HRC Увеличива ется на 1-2 класса 650... 1200 HV 0,05.„О,60 4...10 60... 75 HRC Сталь ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ Пластическое деформирование, или наклеп: повышение физико механических свойств, изменение абсолютного значения и знака остаточных напряжений, улучшение микрогеометрии Обработанная поверхность Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Упрочнение поверхностного слоя детали 556 Продолжение табл. 10.2 0,01...2,5 0,05...0,15 Алитирование Чугун, стать - - 0.05...0,5 557 Процессы, обуславливаю щие упрочнение: изменение параметров упрочненного слоя Химико термическая (термодиф фузионная) обработка: изменение абсолютного значения и знака остаточных напряжений в поверхностном слое Наплавка материалов с высокими эксплуатаци онными свойствами Материал заготовки Точность Параметр ше роховатости по ГОСТ 2789-73 Ra. мкм Хромирование 0.05...0.15 Силицирова ние Твердость Остаточные напряжения в упрочнен ном слое, МПа Толщина упрочненно го или нанесенного слоя, мм Микро твердость 1600... 2000 0,02...0,30 Не изменя ется 0.05... 1.00 Не изменяется Сульфидиро вание Закалка с нагревом газо вым пламенем Закалка с на гревом токами высокой ча стоты (т.в.ч.) Ручная газовая наплавка Ручная электродуговая наплавка Электродуговая биметал лизация Механизиро ванная наплавка под слоем флюса Электрошлаковая наплавка 0.05...0.1 Чугун, сталь Коробление, мм 0.03...0.1 Снижается на один класс Напряжения сжатия 3...8 0.5... 10.0 3...8 0.2... 10.0 Растягива ющие напряжения 1...5 0.5...20.0 и более 1...5 2.0... 20.0 и более 40... 70 HRC Сталь 0.03... 0.07 Чугун, сталь, сплавы цветных металлов Значительная деформация Сталь и сплавы цветных металлов 7 - 9-й класс Чугун, сталь, сплавы цветных металлов Значительная деформация Не изменяется Грубая поверхность 200... 400 НВ и более 1...5 - Снижается на 1-2 класса 250... 450 НВ 500... 650 НВ 1...5 1,5... 40.0 2.0...40.0 и более ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ Поверхностная термическая обработка: изменение физико механических свойств и структуры поверхностного слоя, изменение абсолютного значения и знака остаточных напряжений Метод упрочнения Обработанная поверхность Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Упрочнение поверхностного слоя детали 558 Продолжение табл. 10.2 Наплавка материалов с высокими эксплуатаци онными свойствами Обработанная поверхность Материал заготовки Незначите льная дефор мация Вибродуговая наплавка Газовая металлизация Точность Параметр ше роховатости по ГОСТ 2789-73 Ra. мкм Металлы и неметал лические материалы Деформации нет Плазменная металлизация Чу|ун, сталь, сплавы цветных металлов 1...5 0.3...3,0 500... 2000 НВ и более На наруж ных цилин дрических поверхно стях возни кают напряже ния сжа тия, на внут ренних по верхностях напряжения растяжения Напряжения растяжения 2...6 0.3... 15.0 0.3...30.0 500... 1200 НВ Твердое никелирование 2.5...0.32 550... 650 НВ - 0,05... 2,0 Осталивание 20...2,5 120... 600 НВ - 0,2...5,0 10...0.63 2200 IIV - 0.1...0.3 10... 0.63 40... 120 НВ - 0,05... 2.0 Микро твердость 800... 950 - 0.01...0,012 Микро твердость 400...450 - Борирование Сталь Наращивание тонких слоев сплавов Чугун, сталь, сплавы цветные металлов Эматалирование Сталь, чугун, цветные металлы^ алюминие вые спла вы Деформации нет, сохраня ется точность предшеству ющей обра ботки 0.01...1.0 - Глубокое ок сидирование Алюминий и его спла вы Незначи тельная де формация Никелирова ние, хромиро вание, покры тие кобальтом и никелькобальтом Чугун, сталь, сплавы цветных металлов Деформации нет 0,01...0,3 2,5... 0,08 800... 950 ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ Нанесение покрытия химическим способом 500... 650 НВ 2,5...0,32 Хромирование Напылением покрытия с высокими эксплуатаци онными свойствами Незначитель ная деформа ция Деформации нет, сохраня ется точность предшеству ющей обра ботки Толщина упрочненно го или нанесенного слоя, мм 120... 420 НВ и более Электро металлизация Напыление покрытия с высокими эксплуатаци онными свойствами Твердость Остаточные напряжения в упрочнен ном слое. МПа Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Упрочнение поверхностного слоя детали Процессы!. обуславливаю щие упрочнение: Метод изменение пара упрочнения метров упроч ненного слоя 560 Продолжение табл. 10.2 - Л 562 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 563 Рис. 10.2. Классификационная схема мероприятий по повышению надежности системы электроавтоматики Методы повышения надежности системы электроавтоматики на ста дии проектирования определяются схемными и конструктивными реше ниями. Схемные методы повышения надежности реализуют по четырем направлениям, приведенным на рисунке. Эти методы относят к числу важ ных и перспективных, чему способствуют следующие обстоятельства. Во-первых, когда конструктор приступает к проектированию какойлибо системы, то он вынужден использовать те детали, которые может изготовлять промышленность. Кроме того, из-за ряда ограничений (на массу, объем, стоимость и т.д.) конструктор вынужден применять далеко не лучшие, с точки зрения надежности, элементы. Поэтому поис ки способов получения надежных схем из недостаточно надежных эле ментов - одна из наиболее важных проблем надежности. Во-вторых, схемные методы, в отличие от других методов повыше ния надежности, не требуют проведения больших организационно технических мероприятий и перестройки производства, для осуществле 564 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ния которых нужно довольно много времени. Поэтому схемные методы дают возможность в кратчайший срок повысить надежность многих систем. Создание простых схем - одна из сложнейших задач проектирова ния системы электроавтоматики. Простота решения задачи характеризует эрудицию, талант и опыт конструктора и ученого. Уменьшение сложно сти систем при одновременном увеличении их надежности сопутствует уменьшению массы и объема системы. Создание схем с ограниченными последствиями отказов имеет большое значение для систем ответственного назначения. Отказы таких систем подразделяют на две группы: 1) отказы с опасными последствиями, к числу которых относятся схемы, вызывающие чрезвычайные происшествия: разрушения зданий, вынужденные посадки самолетов, аварии, катастрофы и т.д.; 2) отказы без опасных последствий. Схемы систем электроавтоматики, выполняющие ответственные функции, желательно составлять таким образом, чтобы исключить воз можность появления отказов с опасными последствиями. Резервирование является одним из эффективных и перспективных схемных методов повышения надежности элементов и систем. Резерви рование широко распространено в живой природе. Несмотря на малую надежность отдельных клеток животных и растений, живые организмы успешно существуют в довольно трудных условиях. Повреждения целых групп клеток далеко не всегда вызывают прекращение жизнедеятельно сти организма. Следует отметить, что в последнее время инженеры все чаще пытаются проводить аналогии между живыми организмами и ма шинами с целью нахождения оптимальных схемных решений. Эти по пытки отражают стремление использовать комбинации, которые оказа лись устойчивыми в результате естественного отбора в течение миллио нов лет. Примерами может служить использование каната, созданного по аналогии со строением деревьев и лиан, в противовес цепи, не имеющей аналогов в природе. Канат, состоящий из многих параллельных волокон, продолжает выполнять свои функции при повреждении многих из них. В цепи, собранной из последовательно соединенных звеньев, достаточно разрушить одно звено, чтобы вся цепь рассыпалась. Этот пример показы вает, что изучение и обобщение композиций, оказавшихся устойчивыми при естественном отборе, может быть очень полезным для создания надежных устройств. Поэтому попытки инженерного осмысления биоло гических связей помогут в будущем оказать благотворное влияние на прогресс науки и техники. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 565 Благодаря резервированию можно создавать очень надежные систе мы и элементы. В связи со все более широким внедрением малогабарит ных элементов радиоэлектронной автоматики и сверхминиатюрных дета лей электроники появляется реальная возможность широкого примене ния резервирования систем в малогабаритной аппаратуре. Схемы с большими допусками изменений параметров элементов и внешних воздействий обеспечивают исправность системы даже в случае применения малостабильных элементов, а также в разнообразных усло виях эксплуатации. Такие схемы особенно важны в устройствах для пе реработки информации, в которых случайные колебания напряжения пи тания и обратимые изменения параметров элементов при колебаниях температуры и влажности могут привести к трудно обнаруживаемым скрытым отказам, состоящим в потере импульсов или возникновении ложных импульсов. Конструктивные методы повышения надежности системы элек троавтоматики состоят в создании надежных элементов, обеспечении благоприятных режимов их работы, правильном подборе параметров элементов, принятии мер по облегчению ремонта, унификации элементов и систем и микроминиатюризации электронной аппаратуры. Надежность элемента определяется, в первую очередь, принципом его устройства. Обычно более надежны те элементы, которые не имеют перемещающихся деталей, нитей накала и тонких обмоток. Надежность элемента зависит также от его конструкции, способа изготовления и условий применения. Элементы необходимо применять только в режи мах, оговоренных для них техническими условиями. Следует отметить, что снижение электрических, тепловых и вибрационных нагрузок на эле менты интенсивность выхода их из строя значительно уменьшается (ино гда в десятки раз). Поэтому конструктор должен стремиться максимально облегчить режимы работы элементов. При проектировании электронных схем необходимо выполнять сле дующие рекомендации [11]: - применять детали с большими запасами по электрическим пара метрам - мощность рассеяния на сопротивлениях и напряжение на кон денсаторах не должны превышать 50 % номинальных значений; для су щественного повышения надежности желательно применять эти и другие элементы в еще более облегченных режимах - 5... 10 % номинала; - выбирать минимально допустимые питающие напряжения, что облегчает режимы работы элементов схемы, особенно для полупровод никовых приборов; - максимально облегчать тепловой режим элементов; 566 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ - при конструировании транспортируемой электронной аппарату ры особое внимание обращать на ее защиту от ударов и вибраций; пра вильная амортизация аппаратуры часто является основным фактором, определяющим ее надежность. При проектировании аппаратуры необходимо учитывать изменение параметров материалов и деталей со временем, т.е. их старение. Учет этого явления обязателен не только для систем, работающих непрерывно, но и для систем работающих кратковременно. Разброс параметров эле ментов в конце срока службы или хранения обычно в несколько раз пре восходит разброс параметров в начале эксплуатации. Если проектировать аппаратуру с учетом возможных предельных значений параметров эле ментов в конце их срока службы или хранения, то аппаратура получается сложной и громоздкой. Поэтому при разработке схемы часто предпола гают, что все элементы имеют максимальные значения параметров, соот ветствующие началу эксплуатации, а любой элемент имеет максимальное значение параметра, соответствующее концу срока службы. Большое внимание должно быть уделено контрольно-измерительной аппаратуре, которая является составной частью проектируемой системы. Встроенная в систему, контрольная аппаратура осуществляет автомати ческий контроль исправности системы и, по возможности, сигнализирует о месте возникновения отказа. Во время конструирования закладывают основы правильной органи зации технической эксплуатации систем. В первую очередь это относится к мерам по обеспечению ремонта. Процесс восстановления большинства систем после их отказа состоит из двух этапов - отыскания отказавшего элемента и устранения причин его отказа. Анализ статистических данных показывает, что время простоя при ремонте в основном тратится на поис ки места возникновения отказа. Второй этап простоя при ремонте, т.е. время устранения отказа, можно уменьшить, если построить систему из блочно-узловых элемен тов. В этом случае всю систему разбивают на отдельные функционально законченные блоки, которые в электронных системах соединяют между собой кабелями. При таком построении систем весь ремонт состоит в замене вышедших из строя блоков, что значительно ускоряет процесс восстановления. Блочно-узловое конструирование тесно связано с уни фикацией элементов и систем, которую проводят на основе отбора наиболее надежных вариантов. Это приводит не только к повышению надежности элементов и систем, но и к снижению их стоимости и упро щению изготовления. В ряде случаев удается создать очень сложные си стемы из элементов двух-трех типов. Унификация элементов позволяет существенно облегчить ремонт системы. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 567 Микроминиатюризация электронной аппаратуры состоит в значи тельном уменьшении массы и габаритных размеров аппаратуры, что при водит к одновременному снижению потребляемой мощности и увеличе нию возможностей для автоматизации производства. Микроминиатюри зация связана с применением совершенно новых принципов конструиро вания и производства аппаратуры. Различают три основных направления разработки этих принципов: 1) создание микромодулей; 2) создание микросхем; 3) молекулярная электроника. Микромодули представляют собой наборную конструкцию из микро элементов - стандартных тонких (доли миллиметра) пластин из керамики площадью в несколько квадратных миллиметров. На каждую пластину наносят один из элементов схемы - конденсатор, сопротивление, катушку индуктивности, диод и т.д. Собранный микромодуль регулируют и затем заливают специальной мастикой. Каждый микромодуль является отдель ным блоком системы (усилителем, генератором импульсов и т.д.). Микросхемы создают, применяя специальную технологию печатного монтажа в сочетании с вакуумным напылением тонких металлических пленок. При этом одни и те же пленки могут быть использованы в раз личных целях, например, в качестве сопротивлений и обкладок конденса торов. Существуют различные способы напыления тонких пленок метал лов. Применяют «молекулярную металлургию», состоящую в одновре менном испарении в соответствующих пропорциях нескольких металлов и напылении на поверхность получающихся «сплавов» заранее установ ленного состава. Другой метод - нанесение тонких пленок в вакууме. Для этого частицы испаряющегося металла наносят на подложку с по мощью магнитного поля. В молекулярной электронике используют свойства твердого тела. Для кристаллической структуры тел характерно расположение атомов в виде правильной решетки, сохраняемой внутренними электростатиче скими силами. Кристаллическая решетка может быть перестроена для осуществления генерирования выходного сигнала, его усиления, накоп ления, задержки и т.д. При этом различные части одной пластины могут выполнять различные функции. Отдельные элементы сливаются с соеди нительными цепями и образуют единое целое из твердого материала. Применение молекулярной электроники позволяет снизить размеры и массу радиоэлектронного оборудования в 1000 раз с одновременным значительным повышением его надежности [11]. 568 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ 10.7. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ Чаще всего отказы систем происходят из-за наличия в них элемен тов со скрытыми дефектами, т.е. элементов неоднородных по своему ка честву. Поэтому основной задачей производства является проведение мероприятий, направленных на улучшение однородности выпускаемой продукции. Все эти мероприятия можно подразделить на четыре группы, которые приведены на рис. 10.2. Совершенствование технологии производства - одна из сторон об щего прогресса науки и техники. В большинстве отраслей промышленно сти технический прогресс является достаточно медленным и постепен ным. Все мероприятия в этой области основываются не только на по следних достижениях науки, но и в значительной мере на накопленном опыте производства продукции. Совершенствование технологии в целях получения однородной (т.е. надежной) продукции может быть успешным только в том случае, если оно охватывает все стадии производственного процесса - от полу чения сырья до сборки и регулирования систем. При изготовлении и под боре исходных материалов и полуфабрикатов большое внимание необхо димо уделять стабильности и однородности их свойств как основы обес печения надежности изготовленных из этих материалов элементов. При изготовлении систем очень опасен период сборки механических деталей и регулирования схем, так как могут появиться предпосылки возникновения будущих отказов. Все эти скрытые потенциальные отказы очень трудно, а иногда и невозможно, обнаружить, поэтому большое зна чение имеет комплекс мероприятий по повышению внимательности и аккуратности в работе сборщиков и настройщиков систем. В этом случае очень велика роль как условий труда (освещение, окраска стен, тишина, состояние рабочего места и т.д.), так и психофизиологического состояния работников. Большое значение имеет автоматизация технологических операций. Например, обычную пайку заменяют пайкой погружением в ванну с рас плавленным оловом или ручную намотку трансформаторов - автомати зированной с равномерным натяжением провода при намотке, из-за чего резко снижается число обрывов. Автоматизация производства обеспечи вает высокую однородность продукции, а, следовательно, - и высокую надежность изделий. Существует два основных направления полной ав томатизации производства аппаратуры. При первом из них используют существующие технологические методы, когда обычные элементы мон тируются в блоки автоматическими способами. При втором направлении используют новые элементы схем и новые технологические приемы. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 569 Тренировка элементов и систем является одним из способов повы шения однородности продукции выбраковкой «слабых» элементов. Кроме нормальной тренировки элементов и систем в условиях, близких к эксплу атационным, можно применять жесткую тренировку с повышенной нагрузкой. В этом случае сокращается время тренировки, однако такое сокращение усложняет выбор режима и сроков тренировки. Эти параметры процесса должны быть такими, чтобы полностью удалить слабые элемен ты, и вместе с тем, не ухудшить качество нормальных элементов. Статистическое регулирование качества продукции также значи тельно повышает однородность продукции. Идея статистического регу лирования качества состоит в следующем. Причины, вызывающие откло нения качества продукции, подразделяют на случайные и неслучайные. Случайные причины существуют всегда в любом производстве, но их доля незначительна и мало зависит от воздействия человека. Неслу чайные причины составляют также незначительную долю, и они могут быть устранены человеком. Поэтому в производстве допускаются лишь случайные причины. Таким образом, статистическое регулирование качества, с одной стороны, состоит в статистическом исследовании для выявления неслу чайных причин и мероприятий по устранению этих причин, а с другой стороны, - в статистическом исследовании случайных причин путем наблюдения за постоянством узаконенного (установленного в документа ции) рассеяния качества на контрольных диаграммах, фиксирующих среднее значение контролируемого параметра и его среднее квадратиче ское отклонение. Расположение точек на контрольной диаграмме (карте) относительно контрольных границ (рис. 10.3) дает возможность оценить устойчивость производственного процесса во времени и своевременно принять соответствующие меры. 10.8. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОАВТОМАТИКИ ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ В процессе эксплуатации необходимо обеспечивать надежность су ществующих устройств, а также собирать и обобщать данные, для разра ботки новых технических устройств. Для выполнения этих задач прово дят большое число мероприятий, которые можно разбить на четыре группы (см. рис. 10.2). Научные методы эксплуатации включают в себя научно обоснован ные приемы подготовки к работе, проведения профилактики, ремонта и других мероприятий по обеспечению надежности технических устройств в процессе их эксплуатации. Техническая сторона этих вопросов должна четко отражаться в эксплуатационной документации. 570 Глава 10. ПУТИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ Число контролируемых изделий п б) Рис. 10.3. Контрольная диаграмма (карта): а - точечная контрольная диаграмма для средних значений параметра: б - точечная контрольная диаграмма для средних квадратических отклонений значений При эксплуатации аппаратуры большую роль играет накопленный опыт, изучению которого уделяют большое внимание. Однако немед ленное применение опыта эксплуатации к рассматриваемому устройству является недостаточным, так как перенести этот опыт на другое, подоб ное устройство будет не совсем объективно. Поэтому желательно полу чить статистические данные для отдельных элементов, которые необхо димы при создании будущих надежных устройств. Таким образом, сбор и обобщение данных об отказах деталей является на современном этапе ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 571 одной из важнейших составных частей опыта эксплуатации и на эту сто рону работы должно быть обращено соответствующее внимание. Опыт эксплуатации должен быть использован при проектировании и производстве аппаратуры. Важно, чтобы организационные формы вза имной связи обеспечивали быстроту и объективность информации. Эффективность эксплуатационных мероприятий во многом зависит от квалификации работников, однако это влияние неравномерно. Так, при выполнении достаточно простых операций влияние высокой квали фикации сказывается мало, но при выполнении сложных операций, свя занных с принятием субъективных решений, квалификация работника играет большую роль. Следует отметить, что при выполнении отдельных операций целесообразно использовать труд техника, а в других случаях труд инженера. В целом, высокую надежность можно обеспечить лишь путем про ведения целого комплекса мероприятий, соответствующих типу и усло виям применения аппаратуры. Глава 11 ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА Термин «диагностика» происходит от греческого слова «диагнозис», что означает распознавание, определение. В процессе диагностики устанавливается диагноз, т.е. определяется состояние технической системы (техническая диагностика). Техническая диагностика изучает методы и оценки диагностической информации, диагностические методы и алгоритмы принятия решений. Целью техни ческой диагностики является повышение надежности и увеличение ре сурса технической системы. Как известно, наиболее важным показателем надежности является отсутствие отказов во время функционирования (работы) технической системы. Отказ авиационного двигателя в полетных условиях, судовых механизмов во время плавания корабля, энергетических установок в ра боте под нагрузкой может привести к тяжелым последствиям. Техническая диагностика благодаря раннему обнаружению дефектов и неисправностей позволяет устранить подобные отказы в процессе техни ческого обслуживания, что повышает надежность и эффективность экс плуатации технических систем ответственного назначения по состоянию. В практике ресурс таких систем определяется по наиболее «слабым» экземплярам изделий. При эксплуатации по состоянию каждый экзем пляр эксплуатируется до предельного состояния в соответствии с реко мендациями технической диагностики. Эксплуатация по техническому состоянию может принести выгоду, эквивалентную стоимости 30 % об щего парка машин. 11.1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ Техническая диагностика решает обширный круг задач, многие из которых являются смежными с задачами других научных дисциплин. Основной задачей технической диагностики является распознавание со стояния технической системы в условиях ограниченной информации. Техническую диагностику иногда называют безразборной диагно стикой, т.е. диагностикой, осуществляемой без разборки изделия. Анализ состояния проводится в условиях эксплуатации, при которых получение информации крайне затруднено. Часто не представляется возможным по СТРУКТУРА ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ 573 имеющейся информации сделать однозначное заключение и приходится использовать статистические методы. Теоретическим фундаментом для решения основной задачи техни ческой диагностики следует считать общую теорию распознавания обра зов. Эта теория, составляющая важный раздел технической кибернетики, занимается распознаванием образов любой природы (геометрических, звуковых и т.п.), машинным распознаванием речи, печатного и рукопис ного текстов и т.д. Техническая диагностика изучает алгоритмы распо знавания применительно к задачам диагностики, которые обычно могут рассматриваться как задачи классификации. Алгоритм распознавания в технической диагностике частично осно вывается на диагностических моделях, устанавливающих связь между состояниями технической системы и их отображениями в пространстве диагностических сигналов. Важной частью проблемы распознавания яв ляются правила принятия решений (решающие правила). Решение задач технической диагностики всегда связано с прогнози рованием надежности на ближайший период эксплуатации (до следую щего технического обслуживания). Здесь решения должны основываться на моделях отказов, изучаемых в теории надежности. Вторым важным направлением технической диагностики является теория контролеспособности. Контролеспособностью называется свой ство изделия обеспечивать достоверную оценку его технического состоя ния и раннее обнаружение неисправностей и отказов. Контролеспособность создается конструкцией изделия и принятой системой технической диагностики. Крупной задачей теории контролеспособности является изучение средств и методов получения диагностической информации. В сложных технических системах используется автоматизированный контроль со стояния, которым предусматривается обработка диагностической инфор мации и формирования управляющих сигналов. Методы проектирования автоматизированных систем контроля составляют одно из направлений теории контролеспособности. Наконец, очень важные задачи теории кон тролеспособности связаны с разработкой алгоритмов поиска неисправно стей, разработкой диагностических тестов, минимизацией процесса уста новления диагноза. 11.2. СТРУКТУРА ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ Техническая диагностика характеризуется двумя взаимопроникаю щими и взаимосвязанными направлениями: теорией распознавания и теорией контролеспособности (рис. 11.1). Теория распознавания содер- 574 Глава 11. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА Рис. 11.1. Структура технической диагностики жит разделы, связанные с построением алгоритмов распознавания, ре шающих правил и диагностических моделей. Теория контролеспособности включает разработку средств и методов получения диагностической информации, автоматизированный контроль и поиск неисправностей. Техническую диагностику следует рассматривать как раздел общей тео рии надежности [48]. 11.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ Пусть требуется определить состояние шлицевого соединения валов редуктора в эксплуатационных условиях. При большом износе шлицев появляются перекосы и усталостные разрушения. Непосредственный осмотр шлицев невозможен, так как требует разборки редуктора, т.е. прекращения эксплуатации. Неисправность шлицевого соединения мо жет повлиять на спектр колебаний корпуса редуктора, акустические ко лебания, содержание железа в масле и другие параметры. Задача технической диагностики состоит в определении степени из носа шлицев (глубины разрушения поверхностного слоя) по данным изме рения ряда косвенных параметров. Как указывалось, одной из важных осо бенностей технической диагностики является распознавание в условиях ограниченной информации, когда требуется руководствоваться определен ными приемами и правилами для принятия обоснованного решения. Состояние системы описывается совокупностью (множеством) определяющих ее параметров (признаков). Разумеется, что множество определяющих параметров (признаков) может быть различным, в первую очередь, в связи с самой задачей распознавания. Например, для распозна вания состояния шлицевого соединения двигателя достаточна некоторая группа параметров, но она должна быть дополнена, если проводится диа гностика и других деталей. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ 575 Распознавание состояния системы - отнесение состояния системы к одному из возможных классов (диагнозов). Число диагнозов (классов, типичных состояний, эталонов) зависит от особенностей задачи и целей исследования. Часто требуется провести выбор одного из двух диагнозов, напри мер, «исправное состояние» и «неисправное состояние». В других случа ях необходимо более подробно охарактеризовать неисправное состояние; например, повышенный износ шлицев, возрастание вибраций лопаток и т.п. В большинстве задач технической диагностики диагнозы (классы) устанавливаются заранее, и в этих условиях задачу распознавания часто называют задачей классификации. Так как техническая диагностика связана с обработкой большого объема информации, то принятие решений (распознание) часто осу ществляется с помощью электронных вычислительных машин. Совокупность последовательных действий в процессе распознава ния называется алгоритмом распознавания. Существенной частью про цесса распознавания является выбор параметров, описывающих состоя ние системы. Они должны быть достаточно информативны, чтобы при выбранном числе диагнозов процесс разделения (распознавания) мог быть осуществлен. Математическая постановка задачи. В задачах диагностики состо яние системы часто описывается с помощью комплекса признаков K=(k},k2, kj, .... kv), (11.1) где kj - признак, имеющий mt разрядов. Пусть, например, признак к, представляет собой трехразрядный при знак (от, = 3), характеризующий величину температуры газа за турбиной: пониженная, нормальная, повышенная. Каждый разряд (интервал) при знаков к, обозначается к,х, например, повышенная температура за турби ной А,3. Фактически наблюдаемое состояние соответствует определенной реализации признака, что отмечается верхним признаком (звездочка). Например, при повышенной температуре реализация признака к, = к^. В общем случае каждый экземпляр системы соответствует некото рой реализации комплекса признаков к=(<,г2, ...х, ....<). (11.2) Во многих алгоритмах распознавания удобно характеризовать си стему параметрами образующими v-мерный вектор или точку в v-мер ном пространстве 576 Глава 11. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА X = (хн х2, . .. , Xj, xv). (И.3) В большинстве случаев параметры х; имеют непрерывное распреде ление. Например, выражающий температуру за турбиной. Предположим, что соответствие между параметрами х; (°C) и трехразрядным признаком kj таково: < 450 А;1 450 - 550 кр > 500 kfl В данном случае с помощью признака к; получается дискретное опи сание, тогда как параметр X; дает непрерывное описание. Отметим, что при непрерывном описании обычно требуется значительно больший объ ем предварительной информации, но описание получается более точным. Если, однако, известны статистические законы распределения парамет ров, то необходимый объем предварительной информации сокращается. Из предыдущего ясно, что принципиальных отличий при описании системы с помощью признаков или параметров нет, и в дальнейшем бу дут использованы оба вида описания. Как указывалось, в задачах технической диагностики возможные со стояния системы - диагнозы Д, - считаются известными. Существуют два основных подхода к задаче распознания: вероят ностный и детерминистский. Постановка задачи при вероятностных методах такова. Имеется си стема, которая находится в одном из п случайных состояний Д,. Известна совокупность признаков (параметров), каждый из которых с определен ной вероятностью характеризует состояние системы. Требуется постро ить решающее правило, с помощью которого предварительная (диагностируемая) совокупность признаков была бы отнесена к одному из возможных состояний (диагнозов). Желательно также оценить досто верность приятного решения и степень риска ошибочного решения. При детерминистских методах распознавания удобно формировать задачу на геометрическом языке. Если система характеризуется v-мер ным вектором X, то любое состояние системы представляет собой точку в v-мерном пространстве параметров (признаков). Предполагается, что ди агноз Д, соответствует некоторой области рассматриваемого простран ства признаков. Требуется найти решающее правило, в соответствии с которым предъявляемый вектор X (диагностируемый объект) будет от несен к определенной области диагноза. Таким образом, задача сводится к разделению пространства признаков на области диагнозов. При детерминистском подходе области диагноза обычно считаются «непересекающимися», т.е. вероятность одного диагноза (в область кото ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ 577 рого попадает точка) равна единице, вероятность других равна нулю. Подобным образом предполагается, что и каждый признак либо встреча ется при данном диагнозе, либо отсутствует. Вероятностный и детерминистский подходы не имеют принципи альных различий. Более общими являются вероятностные методы, но они часто требуют и значительного объема предварительной информации. Детерминистские подходы более кратко описывают существенные сто роны процесса распознавания, меньше зависят от избыточной, малоцен ной информации, больше соответствует логике мышления человека. 11.4. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ В механических системах (двигатели, насосы и т.п.) основное назна чение технической диагностики - повышение надежности и ресурса из делий с помощью раннего обнаружения дефектов и оптимизации процес сов технического обслуживания. Техническая диагностика сложных си стем представляет собой систему, которая должна иметь информацион ное, техническое и математическое обеспечение [43]. Информационное обеспечение включает способы получения диагно стической информации, ее хранения и систематизацию. Информационное обеспечение содержит необходимый массив восполняемых технических сведений (обеспечивающие последовательности и др.). Техническое обеспечение представляет собой совокупность устройств получения и обработки информации (диагностические прибо ры, датчики, сигнализаторы и т.п.). Важную часть технического обеспе чения современных систем диагностики составляют ЭВМ, устройства типа «аналог-код» и др. Математическое обеспечение содержит алгоритмы и программы распознавания. Техническая диагностика как система включает также и коллектив специалистов, ответственных за принятие решений. В настоящее время системный подход к задачам технической диа гностики находится в состоянии развития. Контролеспособностью называется свойство изделия, заключающе еся в его приспособленности к раннему обнаружению и предупреждению отказов и неисправностей. Под ранним обнаружением понимается выяв ление дефекта или неисправности еще не проявляются отрицательные последствия для надежности или работоспособности изделия. Контролеспособность в первую очередь зависит от качества и объе ма диагностической информации, которая может быть получена при экс 578 Глава 11. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА плуатации изделия и его техническом обслуживании, а также при специ альных диагностических испытаниях (диагностических тестах). Важное значение контролеспособность имеет для радиоэлектронных систем, для которых теория автоматического контроля и поиска неисправ ностей составляет самостоятельный раздел технической диагностики. Основные виды диагностической информации. Большая часть ин формации о поведении системы имеет диагностическую ценность, так как она отражает состояние системы. Состав и состояние средств, взаи модействующих с изделием (воздух, вода, масло, топливо, продукты сго рания и др.), рабочие параметры процесса (частота вращения, температу ра, давление и т.п.), вибрация, акустическое и тепловое излучения и т.д. содержат диагностическую информацию. Во многих случаях весьма по лезным оказывается непосредственное визуальное наблюдение состояния элементов машин с помощью оптических трубок (бороскопов), позволя ющее обнаружить наличие трещин, перегрева, коробление и т.п. К основным видам диагностической информации относятся: - спектр вибрации элементов конструкции; - спектр акустических колебаний; - значение параметров, характеризующих функционирование системы; - состояние соприкасающихся сред; - визуальные наблюдения; - данные дефектоскопии. Диагностическое значение имеют не только величины параметров в данный момент времени, но и их изменение во времени (кинетика ин формативных параметров). Изменение вибраций. В процессе работы элементы машины получают перемещения, изменяющиеся во времени (вибрационные перемещения). Причинами возникновения вибрационных перемещений могут быть цик лические процессы при работе машины (вращение роторов, периодические нагрузки и т.п.), собственные колебания элементов конструкции и др. В общем случае каждая точка конструкции имеет пространственное смещение, которое представляет собой геометрическую сумму трех компонентов смещений U(t), и(Д, w(Z). В каждый момент времени вибросмещения могут' быть представлены в виде наложения элементар ных гармонических колебаний с различной частотой и амплитудой. Обычно в задачах технической диагностики измерения частота измеряет ся в пределах от 10 000 до 30 000 Гц, а чаще до 10 000 Гц, виброускоре ния до 1 000 м/с2. Достаточно общая структурная схема измерений показана на рис. I 1.2. Она применяется, в частности, для измерений вибраций. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ 579 Рис. 11.2. Структурная схема измерений: Д - датчик; П - преобразователь; У - усилитель; Р - регистратор Датчик Д преобразует неэлектрические величины (механические пе ремещения, давления и т.п.) в электрический сигнал. Преобразователь П осуществляет первичные преобразования сигнала (фильтрацию и т.п.). Усилитель У и регистратор Р усиливают и регистрируют сигнал на маг нитную или бумажную ленты. Цепь измерения может заканчиваться ре гистратором, но в современных системах сигнал поступает дальше для обработки и анализа в ЭВМ. В качестве датчиков вибраций используются индукционные и пье зометрические. Последние являются более эффективными, так как имеют небольшие размеры и массу, обладают высокой вибропрочностью и тер мостойкостью (до 500 °C). Вибродатчики закрепляют на детали с помо щью фланца или ввертывают в резьбовое отверстие. Конструктивная схема пьезометрического датчика показана на рис. 11.3. Корпус датчика 1 содержит два пьезоэлемента 6, разделенных токо съемной пластинной 3. Пьезоэлемент обладает гем свойством, что под влиянием механического напряжения в нем вырабатывается разность потенциалов. Рис. 11.3. Схема пьезометрического датчика 580 Глава 11. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА Давление на поверхности пьезоэлемента создается инерционной массой 2, которая поддерживается упругим элементом 7. Датчик закреп ляется с помощью резьбового хвостовика 5, сигнал поступает к провод нику 4. Для устранения диагностических погрешностей первая собствен ная частота датчика должна превышать измеряемую частоту в 4 - 6 раз. Измерение акустических колебаний. Вибрация элементов машин, происходящая в результате рабочего процесса, собственных колебаний, соударений и т.п., вызывает колебания окружающей среды (воздуха), т.е. служит источником акустических колебаний. В некоторых машинах, например, в авиационных двигателях, мощным источником акустических колебаний (шума) является струя выходящих газов из реактивного сопла, акустическое излучение лопаток компрессора и др. Акустические колебания характеризуются широким непрерывным спектром с отдельными дискретными составляющими. Акустические колебания представляют собой стохастический процесс, амплитуды и частоты которого носят случайный характер. Состав спектра, его амплитудно-частотная характеристика (в веро ятностном или детерминистском аспекте) имеет большое диагностиче ское значение для состояния машин. Известно, что опытные механики часто могут «на слух» определить характер неисправности двигателя, турбины и т.п. Естественно, что измерение акустических колебаний, их спектраль ный анализ повышает ценность акустической диагностики. Для измере ния используются микрофоны, основанные на электрических или пьезо электрических эффектах с диапазоном частот измерения от 5 до 100 кГц (частота «слышимого» звука 20 кГц). Основной трудностью при использовании виброакустических мето дов является выделение полезного сигнала на фоне помех. Для обнару жения сигналов, несущих диагностическую информацию, используются фильтры. В последнее время установлено, что при появлении трещины обра зуется интенсивное акустическое излучение с частотой порядка от 50 до 500 кГц. Это явление может быть использовано для обнаружения трещин. Измерение постоянных и переменных деформаций и усилий. Диагно стическую ценность имеют измерения постоянных и переменных дефор маций в элементах конструкций в рабочих условиях. Для измерений ис пользуются тензорезисторы в виде петлевого участка тонкой проволоки с диаметром 0,025...0,050 мм (проволочные тензометры). При растяжении уменьшается поперечное сечение проволоки и возрастает омическое со ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ 581 противление, что и регистрируется с помощью потенциометрической схемы. Сопротивление тензорезисторов обычно составляет -100 Ом. Тензорезисторы наклеивают на деталь и закрепляют с помощью бумажной ленты, фольги или эпоксидной смолы. При измерении постоянных деформаций тензорезисторы использу ют до 400 °C, так как при более высокой температуре весьма трудно ком пенсировать температурные погрешности. При измерении переменных напряжений тензорезисторы могут ра ботать при температуре до 900 °C. Точность измерения деформаций со ставляет 1...5 %, величина наибольшей деформации зависит от механи ческих свойств проволоки (при постоянной деформации она составляет несколько процентов, при переменной деформации -0,1 %). Измерение параметров процесса. Эти измерения относятся к давле нию, температуре, частоте вращения и другим параметрам. Давление в различных полостях машин замеряется с помощью манометров с манометрическими трубками, сельфонами и т.д. Для реги страции быстроизменяющихся процессов применяются датчики давле ния, используются пьезометрические, индуктивные и тензорезисторные элементы. Температура в области от -200 до 700 °C измеряется термометрами сопротивления. Их действие основано на зависимости омического сопро тивления от температуры. Для измерения температуры до 1600 °C ис пользуются термоэлектрические пирометры, датчиками которых являют ся термопары. Регистрация показания температур осуществляется с по мощью устройств типа милливольтметров с записью на самописец или в цифровом виде. Для диагностических целей используются также оптиче ские и другие пирометры, регистрирующие излучения нагретых элемен тов конструкции, в том числе быстровращающихся. Частота вращения замеряется индукционными и фотоэлектриче скими тахометрами. Наибольшее распространение получили индукцион ные тахометры, обладающие высокой точностью измерений и надежно стью при длительной эксплуатации. В качестве датчика в индукционном тахометре используется вращающийся ротор миниатюрного генератора переменного тока, запись сигнала производится специальными вольтмет рами или электронными частотомерами. Регистрация состояния соприкасающихся сред. Весьма важную ди агностическую информацию несет масло, которое используется для сма зывания и охлаждения трущихся поверхностей (подшипников, шестерен и т.д.). Диагностический контроль осуществляется по наличию стружки и содержанию железа в масле. Используются специальные приборы - сиг нализаторы стружки, которые выдают сигнал при наличии в масле ме 582 Глава 11. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА таллических частиц. Металлические частицы в выхлопных газах могут быть замечены с помощью датчиков, воспринимающих ионизацию сре ды. Диагностическое значение имеет анализ химического состава вы хлопных газов и других продуктов выхлопа. Визуальные наблюдения осуществляются с помощью оптических трубок (бароскопов). Для возможности визуального наблюдения кон струкция должна иметь соответствующие полости (лючки и т.п.), позво ляющие проводить осмотр. Применяются оптические трубки с внутрен ними зеркалами, позволяющие передать изображение по криволинейно му каналу. Используются оптические трубки, дающие увеличение в дватри и более крат, с диаметром поля зрения 3...20 мм. В последние годы для этой цели используются световоды, выполненные на основе воло конной оптики. Принципиальная схема бороскопа показана на рис. 11.4. С помощью визуального наблюдения обнаруживают повреждения и разрушение поверхности, коробление, трещины, перегрев, износ и т.п. Данные дефектоскопии. В последние годы методы дефектоскопии (обнаружение дефектов) получили широкое применение в процессе про изводства и ремонта. Использование методов дефектоскопии в эксплуа тационных условиях чрезвычайно затруднено, так как в большинстве случаев требует частичной или полной разборки изделия. Однако неко торые методы дефектоскопии могут быть использованы в эксплуатаци онных условиях. I - рабочие лопасти, подлежащие осмотру; 2 - трубка бороскопа; 3 - окуляр; 4 - глаз наблюдателя; 5 - стекловолоконный кабель; 6 - источник света; 7 - корпус компрессора 1 Рис. 11.5. Схема токовихревого датчика: 1 - рукоятка; 2 - феррит; 3 - катушка; 4 - лопатка; 5 - дефект; 6 - генератор высокой частоты; 7 - усилитель; 8 - детектор; 9 - измерительный прибор; 10- след дефекта; 11 - осциллограф Для обнаружения трещин используется токовихревой метод, осно ванный на возбуждении и измерении вторичных электромагнитных по лей вихревых токов. С помощью специального датчика обнаруживаются поверхностные трещины и другие дефекты (рис. 11.5). Широко применяется ультразвуковой метод, при котором специ альным излучателем вводятся ультразвуковые колебания, после отраже ния улавливаемые приемным устройством. Трещины, раковины рассеи вают колебания и уменьшают интенсивность отраженного сигнала. Находят применение методы рентгенографии с помощью изотоп ного источника излучения. Такой источник вводится во внутренние по лости, и на фотопленке, расположенной за просвечиваемой деталью, по лучается рентгеновское изображение. По снимку можно обнаружить на личие трещин, обрывов, сколов и т.п. Они в меньшей степени поглощают излучение и потому проявляются на пленке в виде затемненных зон. В некоторых случаях могут быть использованы методы цветной или люминесцентной дефектоскопии. При цветной дефектоскопии детали покрывают краской, проникающей в трещины и поры. Далее слой основ ной краски смывается, и деталь покрывается другой адсорбирующей краской, на которой в виде штрихов и пятен выступает хорошо заметная основная краска, оставшаяся в трещинах. При люминесцентном методе основная краска обладает свойствами флюоресценции при облучении ультрафиолетовыми лучами ртутно-кварцевых ламп. После удаления основной краски (вещества) некоторые частицы остаются в трещинах и при ультрафиолетовом свете дают четкое свечение на темном фоне по 584 Глава 11. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА верхности детали. Указанные методы позволяют выявить трещины глу биной порядка 0,01...0,10 мм. Ниже приводятся примеры технической диагностики в различных областях машиностроения. Широкое практическое внедрение методов технической диагностики свидетельствует о возможностях существенно го повышения надежности и ресурса машин. В процессе эксплуатации авиационных двигателей пассажирских самолетов контролируется 20...40 параметров, причем показания прибо ров имеют три уровня информации: индукция в кабине летчика; реги страция на борту самолета; наземные проверки. В кабину летчика выводятся показания важнейших параметров (например, уровня вибрации двигателей), сведения о которых необходи мы для правильного пилотирования самолета. Во всех случаях, когда значения параметров достигают предельно допустимых, используется дополнительная сигнализация (световая или звуковая). Значительное ко личество информации регистрируется на борту самолета с помощью спе циальных записывающих устройств с последующим хранением на маг нитных лентах. Ряд диагностических признаков выявляется при наземной проверке (визуальные осмотры, проверка фильтров и т.п.). На американском двигателе CF-6 контролируется приблизительно 40 параметров, среди которых: - температура газа за турбиной; - температура за компрессором; - частоты вращения компрессора и вентилятора; - давление за вентилятором и компрессором; - вибрация в зоне вентилятора, компрессора и на корпусах под шипников. Регистрируются количество и температура масла, показания дефек тов стружки в откачивающейся магистрали, перепад давления масла. Контролируются параметры топливной системы, системы запуска, отбо ра воздух и других систем. Большинство параметров записываются 1-2 раза за полет (давление, уровень вибрации, частота вращения) и далее направляется в диагности ческий центр для анализа. В результате анализа и сопоставления с предыдущими показаниями принимается решение о продолжении нор мальной эксплуатации, либо о дополнительном осмотре, замене детали, узла и снятия двигателя с эксплуатации. В диагностическом центре ре шение принимается группой специалистов, анализирующих поступаю щую информацию. Для выработки решений могут использоваться ЭВМ, что способствует принятию более обоснованных решений. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ 585 Применение счетчиков ресурса. Эквивалентные испытания авиаци онных двигателей показали, что наибольшие повреждения, особенно де талей горячей части, происходят при работе на наиболее тяжелом (взлет ном) режиме. При эксплуатации процент использования тяжелых режи мов в двигателях гражданской авиации различен, он зависит от продол жительности полета и других условий. В некоторых американских ком паниях на двигателях устанавливается счетчик ресурса, учитывающий суммарную длительность наработки на тяжелых режимах и число полет ных циклов. Техническая диагностика судовых механизмов. В Канаде на 100 ти пах механизмов и электромашин кораблей систематически используется анализатор вибраций. Обнаруживаются повреждения, вызванные неурав новешенностью, расцентровкой и изгибом валов, неисправности шестерен и подшипников. Состояние определяется с помощью ЭВМ, которая сопо ставляет уровень вибраций с прежними значениями и нормами. На основании статистических сведений получены данные, показываю щие зависимость среднего срока службы механизма от вибрации, позволя ющие своевременно производить профилактические работы и замены. Указывается, что диагностическая система дает 2 млн. долл, эконо мии; число неисправностей, обнаруживаемых в процессе непосредствен ной эксплуатации, снизилось на 45 %. Подробный анализ технического состояния судовых механизмов и применение диагностических методов содержится в разных книгах. В числе судовых механизмов рассматрива ются паровые и газовые турбины, дизели, насосы, компрессоры, которые подвергаются акустической диагностике. Техническая, диагностика поршневых двигателей. Поршневые дви гатели (автомобильные, тракторные, стационарные и транспортные дизе ли) имеют широкое применение. Эксплуатация автомобильных и трак торных двигателей носит массовый характер. Определение технического состояния двигателя без разборки позволяет повысить его надежность и улучшить техническое обслуживание. Следует учесть, что трудоемкость ремонта двигателей массового производства превосходит трудоемкость изготовления в 5 - 10 раз. Проведение профилактических работ и ремон та по фактическому техническому состоянию дает значительный эконо мический эффект. Диагностика осуществляется с помощью передвижных станций, оснащенных виброакустической аппаратурой, применяют диа гностический прибор, основанный на использовании логических методов диагноза. Этот прибор, построенный по схеме диодной матрицы, позво ляет различить 33 неисправности по 53 признакам. В качестве признаков используются, например, «белый дым», «низкая компрессия», «повы шенный расход масла», «стук в момент пуска», и т.п. Диагностика порш невых двигателей проводится с помощью построения топологических моделей. Глава 12 МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ ДОРОГОСТОЯЩИХ ОБЪЕКТОВ Завершающим этапом жизненного цикла дорогостоящих объектов является продление сроков эксплуатации с допустимым уровнем надеж ности. В качестве составляющих методов следует назвать расчетно-ана литический, экспериментальный и вероятностный, изображенных на рис. 12.1 [47]. Продление сроков эксплуатации дорогостоящих сложных техниче ских систем является одной из важнейших задач различных отраслей промышленности. Решение этой задачи состоит в том, чтобы на продлен ном сроке эксплуатации сохранить на допустимом уровне установленные в нормативной документации на объект технические и эксплуатационные характеристики, в том числе и количественные показатели надежности. При решении этой задачи используют выше перечисленные методы. 12.1. РАСЧЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД Расчетно-аналитический метод основывается на теоретических по ложениях и расчетах ресурса и долговечности по критериям: прочности, износостойкости, коррозионной стойкости и другим критериям по фак тическому техническому состоянию изделия на момент продления сро ков эксплуатации [47]. По расчетному значению коэффициентов запаса и коэффициентов вариации вычисляют квантиль, а по ней определяют вероятность безот казной работы по табл. 1 прил. Рис. 12.1. Методы продления сроков эксплуатации ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД 587 где ир - квантиль функции нормального распределения выбирают из табл. 1 прил.; (12.2) здесь и - коэффициент запаса прочности, износостойкости, коррозионной стойкости и т.п.; г, - коэффициент вариации прочности, износостойко сти, коррозионной стойкости и т.п.; V2 — коэффициент вариации действу ющей нагрузки, влажности, температуры и т.п.; и СТ1 . = —; ъ = — ; т} т-} т}, о, — математическое ожидание запаса прочности, износостойкости, коррозионной стойкости и т.п. и ее среднее квадратическое отклонение; л?2, — математическое ожидание нагрузки, влажности, температуры и ее среднее квадратическое отклонение. Аналитическое выражение квантилей для определения вероятности безотказной работы представлены в табл. 3.2. Расчетные зависимости на этапе продления проводились по фактическому техническому состоянию элементов, узлов. Этот метод используется как в проектном расчете надежности, так и при продлении сроков эксплуатации сложных механических, гидромеха нических, гидравлических систем и устройств, например, редуктора с гидромотором привода домкрата, изображенного на рис. 12.2, в котором предусматривают перечисленные выше методы расчета запасов. При ко эффициенте запаса равном 1, 4 и более работоспособность обеспечивает ся с вероятностью не менее 0,999. В случае неподтверждения достаточных запасов элементы и узлы подвергают обязательной замене в предлагаемые сроки по нормативно технической документации. С целью обеспечения заданных выходных технических характеристик в условиях продления сроков эксплуатации расчетным путем определяют необходимость замены материалов и ком плектующих элементов на более долговечные. 12.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД Экспериментальный метод основан на анализе фактического техни ческого состояния материалов, элементов, узлов и изделия в целом после истечения установленного гарантийного срока эксплуатации. - - - 20 ручной привод с тормозом; 22 стакан; 24 сателлит; 25 - ось; 28 заглушка ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД 589 Суть метода состоит в том, что после истечения гарантийного или установленного срока эксплуатации сложной технической системы, раз работчик данной системы определяет необходимость выбрать не менее двух систем с мест эксплуатации, где они эксплуатировались в более тя желых условиях. На выделенных системах необходимо произвести де монтаж основных составных частей (сборочных единиц, узлов, пультов и другого оборудования) и произвести проверку их на функционирование в составе стендов с замерами выходных технических параметров и сделать отметку о фактических значениях параметров в техническом паспорте или формуляре. После чего сборочную единицу, узел или пульт подвер гают разборке и дефектации каждого элемента с замерами геометриче ских параметров, а также технических и эксплуатационных параметров (например, выходного тока или напряжения электронного элемента, мощности двигателя, времени развертывания и т.д.). По результатам фактического технического состояния элементов и узлов разрабатываются мероприятия, направленные на увеличение ре сурса как отдельных элементов, узлов, сборочных единиц, так и системы в целом. Мероприятия, направленные на увеличение ресурса, могут быть конструкционного, технологического и эксплуатационного характера. Конструкционные мероприятия чаще всего связаны с заменой менее стойких материалов к внешним воздействиям на более стойкие для раз ных климатических зон: - для систем, работающих в условиях низких температур, исполь зуют материалы более выносливые к низким температурам (например, металлоконструкции следует изготавливать из спокойных сталей, использовать в узлах и механизмах низкотемпературные рабочие жидко сти и т.п.); - для изделий, работающих в условиях высоких температур и тро пического климата, выбирают материалы стойкие к термитам, а в сопря жениях трущихся поверхностей увеличивают зазор, в узлах и механизмах используют высокотемпературные рабочие жидкости и т.п. Мероприятия технологического характера направлены на улучше ние технологического процесса в части увеличения стойкости поверх ностного слоя материала к уменьшению интенсивности изнашивания, увеличению времени на коррозионные воздействия и кавитацию и т.п. Мероприятия эксплуатационного характера направлены на уточне ние эксплуатационной доку1ментации в части сокращения числа отказов, вызванных нарушением инструкции эксплуатации. Например, при вы полнении наиболее ответственных операций функционирования системы необходимо в инструкции по эксплуатации предусмотреть особые знаки 590 Глав а 12 . МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ внимания и поместить их непосредственно нв рабочем месте опервторв, выполняющего эту работу, а виде таблички. По результатам исследований асе объекты, находящиеся а эксплу атации, дорабатывают по бюллетеням, а эксплуатационная документа ция корректируется с учетом продления сроков эксплуатации в части изменения и уточнения технических обслуживании. Последователь ность проведения работ по продлению сроков эксплуатации представ лена на рис. 12.3. По результатам экспериментально выполненных работ дополни тельно рекомендуется сделать вероятностный расчет по оценке работо способности изделия в течение продленного срока эксплуатации. Рис. 12.3. Последовательность проведения работ по продлению сроков эксплуатации ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАБОТОСПОСОБНОСТИ 591 12.3. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАБОТОСПОСОБНОСТИ ИЗДЕЛИЯ В ТЕЧЕНИЕ ПРОДЛЕННОГО СРОКА ЭКСПЛУАТАЦИИ С УЧЕТОМ ФАКТИЧЕСКОГО ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ Вероятностный метод основан на вероятностных расчетах показате лей надежности, установленных в технических условиях. Для металло конструкций, механических узлов, трущихся поверхностей и прочего расчеты надежности проводят по запасам прочности и их отклонениям. При продлении сроков эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры рас сматривают различные виды резервирования, а также устанавливают в эксплуатационной документации требующиеся сроки переосвидетель ствования или обязательной замены соответствующих элементов и узлов. При вероятностных расчетах рекомендуется использовать методо логию расчета с учетом управляющих воздействий, рассмотренную в и. 9.8-9.10. Функция надежности на продленном сроке эксплуатации с учетом фактического технического состояния элементной базы определяется по выражению [47] G(z, X а, р)= P(t, k)R(t, а, р)= exp(-X)exp(-a/₽), 02.3) где Р(), X) - однопараметрическая функция надежности, учитывающая случайные отказы в зависимости от фактического технического состоя ния элементной базы; /?(), a, Р) - двухпараметрическая функция надежно сти, учитывающаяся неслучайные отказы в зависимости от фактического технического состояния элементной базы. В модели расчета функции надежности с учетом управляющих воздействий матрица параметров В' составляется по фактическому техническому состоянию элементной базы на момент продления срока эксплуатации А|'| б[2 • •• в' = Лэ1 *22 * ■■ Ь'2т Ь'п2 ’•• и _ °пт , (12.4) а параметр формы при расчете функции надежности А(), a, Р) принимает значение р = 2...4. При расчете надежности металлоконструкций и механических узлов на периоде продленного срока эксплуатации пересчитываются запасы 592 Глава 12. МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ прочности, износостойкости, усталости и прочего в зависимости от фак тического технического состояния конструктивных параметров элемен тов, узлов, механизмов и прочего по формуле Р0=Ф (12-5) где п = — коэффициент запаса прочности элемента, узла, механизма т2 и прочего по фактическому состоянию на момент продления срока экс плуатации; т{, - среднее значение прочности и ее среднее квадрати ческое отклонение на момент продления срока эксплуатации, соответ ственно; т2,°2 ~ среднее значение нагрузки и ее среднее квадратическое отклонение на момент продления срока эксплуатации, соответственно; v[ = —— - коэффициент вариации прочности; v. = -^2- - коэффициент /и( " т'2 вариации нагрузки; w .. = — П ' - квантиль функции нормаль ного распределения, соответствующая вероятности ВЦ), выбирают из табл. 1 прил. 12.4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ Под техническим ресурсом объекта понимают его наработку от начала или возобновления эксплуатации до наступления предельного состояния. Понятие предельного состояния, соответствующего исчерпа нию ресурса, допускает различное толкование. В простейшем случае (для невосстанавливаемых объектов) предельное состояние соответствует отказу или чрезмерному снижению эффективности функционирования. Для восстанавливаемых структурированных объектов (систем) предель ное состояние связывается с общим износом (старением) и характеризу ется резким увеличением интенсивности отказов, вследствие чего эффек тивность систем падает ниже установленного уровня. В условиях эксплуатации для восстанавливаемых объектов наряду с понятием общего ресурса часто также используют понятие ресурса до ближайшего отказа или до момента, когда понижение параметров надеж ности (вследствие накопления неисправностей) потребует проведения соответствующих восстановительных работ. ПОКАЗАТЕЛЬ «СРЕДНИЙ ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС» 593 Ресурс R объекта из заданной статистической совокупности является случайной величиной с некоторым законом распределения F(x). Для его оценки используется показатель 7?с, называемый средним ресурсом, кото рый равен математическому ожиданию величины ресурса для объектов всей статистической совокупности, т.е. R = M[R] = |х/()с)^х, (12.6) о где/(.х) = F'(x) - плотность распределения случайной величины R. При наличии данных о ресурсе п объектов статистическая оценка среднего ресурса определяется по формуле I п «м где R, - ресурс /-го объекта. Введем функцию надежности объекта Р(х) = P{R > х} = 1 - F(x). Ве личина Р(х) равна вероятности того, что вероятность случайной величи ны R превысит значение х. Тогда интеграл (12.6) можно преобразовать к другому виду, взяв его по частям оо (12.7) /?С=Л7[А] = о Обозначим А(х) = f{x)!PXx). Тогда справедливо представление При рассмотрении ^восстанавливаемых объектов функцию л(/) называют интенсивностью отказов. Эта функция выражает опасность отказа в зависимости от времени наработки. 12.5. ПОКАЗАТЕЛЬ «СРЕДНИЙ ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС» И ЕГО СВОЙСТВА Под остаточным ресурсом сверх времени т будем понимать нара ботку объекта, начиная с момента времени т до его перехода в предель ное состояние при установленном режиме эксплуатации. Обозначим зна чение остаточного ресурса через /?0(т), тогда [45] 594 Глава 12. МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ /?0(т) = 7-т при R>t. (12.9) Очевидно, что Яо(т) является случайной величиной. Величина Foc(t) = Rc- т называется остаточным средним ресурсом. Эта величина иногда используется при планировании предупредитель ных замен объектов сложных технических систем. В этой связи заметим, что 7?с является усредненной характеристикой всей статистической сово купности, и поэтому функция /?о.с(т) мало пригодна для оценки индиви дуального остаточного ресурса. Показатель средний остаточный ресурс определяется по формуле /?со(т) = Л/[Т?0«] , (12.10) где правая часть есть математическое ожидание от случайной величины W При т = 0 значение /^(0) = А’„^(О) = Лс. Однако из этого не следует, что Дс.о(т) = Rc - т при любом т. Ниже будет показано, что при т > 0 вы полняется неравенство /?со(т) > Лос(т)- Таким образом, /?с.0(г) более точно характеризует индивидуальный остаточный ресурс технических объек тов, учитывая время их безотказной работы. Рассмотрим распределение F\(x) разности R - т при условии R > т. Условная вероятность события А при реализации события В вычис ляется по формуле Р{А/В} _ Р{АВ}/Р{В}, (12.11) где Р{АВ} - вероятность произведения зависимых событий А и В. Из соотношения (12.6) следует FT(x) = P{R - т < x/R >х} = _ Р{х < R< х + х} _ F( + x)-F(t) F{7? > т} Равенство (12.7) можно переписать в виде (12.13) Согласно определению (12.9) /?0(т) = /?-т. Следовательно, матема тическое ожидание величины /^(т) с учетом (12.13) определяется выра жением 00 р/ г + 1 'О' Л|/0о(()Г J =Г-т_Л = —-З ЛХ))Л(12.14) J F(t) Р(т) • ПОКАЗАТЕЛЬ «СРЕДНИЙ ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС» 595 В соответствии с (12.10) средний остаточный ресурс определяется как А/[7?0(т)], поэтому 1 р 7?^0(г) = М[7?0(т)] = -1-Д/х.л-А. (12.15) г(т) * Утверждение 1. Для любых распределений, имеющих положитель ную плотность [Дх) > 0] при х > 0, выполняется следующее соотношение [45, 47] (12.16) PC.O(T)>?O.C(W = К- ■ Доказательство. Для распределений с положительной плотностью при х > 0 выполняется F(d) > 0 (или Р(х) < 1). Неравенство со со ------> P(x)dx > [p(x)d Jo является верным, так как Р(т) < 1 . Выполним следующие преобразования неравенства: 1 X т 00 -р-—) J p(dxdd— + J ’(0)— dx > jp(x)d; о о ОО — fp(xWv+[Дх)■х < > j P(x)dx. P(T)J Jp(x) (12.17) о Для распределений, имеющих положительную плотность, функция pi V) F(x) является монотонно убывающей, поэтому — < 1 при х > т. Усилим /’(т) —— Д(х) неравенство (12.17), подставив 1 вместо подынтегральной функции -р--) Получаем: или 00 сю ------Г Р(х)с1х > >P(x)d-z. P(T)J - 596 Глава 12. МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ Отсюда с учетом формул (12.10) и (12.16) следует искомое соотно шение Д. 0(т) > /?0 с(т). Таким образом, даже для объектов, имеющих возрастающую интен сивность отказов, «средний остаточный ресурс» всегда превышает «оста точный средний». Напомним, что мы рассматриваем объекты как ^восстанавливае мые. В этом случае распределение F{t) наработки до отказа (предельной наработки) совпадает с распределением ресурса объекта F(x). Вероят ность безотказной работы (функция надежности) равна P(t) = 1 - F(t). Заметим также, что величину Дх) можно рассматривать как вероятность превышения ресурсом объекта R значениях. Условная функция надежно сти Рх (х) = P{R > х + x/R > т} рассматривается тогда, когда объект безот казно проработал до момента х включительно. Утверждение 2. Пусть функция распределения F(x) непрерывна. Тогда равенство [45] Д(х)=>(х), х>0 (12.18) выполняется при всех х > 0 и х > 0 тогда и только тогда, когда предель ная наработка имеет экспоненциальное распределение. Доказательство. Для /?(х) = 1 -е-1', х>0 равенство (12.18) всег- Р(г + х) да выполняется. Действительно, согласно (12.13) Д(х) = —■------ и, Р(т) следовательно, при экспоненциальном распределении наработки -Х(т+.г) Д(х) = —— Обратно, равенство (12.18) можно переписать в эквивалентной форме РДх + х) - Р(Д)Р(х). (12.19) При условии непрерывности Р(х) функциональное уравнение (12.19) имеет единственное, с точностью до постоянного множителя, решение Р(х) = Сеи. Учитывая условие ДО) = 1, нужно положить С = 1. Утверждение доказано. Равенство (12.18) означает, что время безотказной работы объекта никак не влияет на распределение остаточной наработки (остаточного ресурса). В связи с этим говорят, что система с экспоненциальным рас пределением наработки до отказа, или с постоянной интенсивностью от казов, «не стареет». ПОКАЗАТЕЛЬ «СРЕДНИЙ ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС» 597 В задачах оценки остаточного ресурса экспоненциальное распреде ление не используется, так как вследствие процесса изнашивания для реальных систем рано или поздно наблюдается нарастание интенсивно сти отказов. Учет «старения» путем увеличения по времени параметра плотности распределения X является некорректным. Это объясняется тем, что полученная после этой операции функция не будет обладать свой ствами плотности распределения вероятности случайной величины. Поэтому в задачах прогнозирования остаточного ресурса обычно используются такие распределения, как усеченное (слева) нормальное, Вейбулла-Гнеденко или гамма-распределение. Плотность распределения вероятности времени отказа Вейбулла определяется зависимостью /(т) = аХт“_|е Хх , где а - параметр формы кривой распределения; X - параметр масштаба. В зависимости от значения параметра формы а плотность распреде ления времени отказа будет иметь разные свойства. Так, если параметр формы будет иметь значение а = 1, •го плотность распределения будет экспоненциальной. При увеличении значения а > 1 в плотности распре деления Вейбулла проявляются признаки «старения». Это свойство рас пределения Вейбулла можно учитывать для систем, параметры которых не контролируются в процессе эксплуатации, а характеристики изменчи вы по времени. Величина коэффициента определяется по результатам наблюдения. Подбирая нужным образом параметры X и а, можно полу чить лучшее соответствие опытным данным по сравнению с экспоненци альным законом, который зависит только от одного параметра X. Так, у элемента, у которого часто встречаются скрытые дефекты и который в течение долгого времени не «стареет», опасность отказа резко повышена вначале, а потом быстро падает. Функция надежности такого элемента должна хорошо приближаться законом Вейбулла при а < 1. Наоборот, если у элемента почти не бывает скрытых дефектов, но зато он быстро «стареет», то опасность отказа монотонно растет, и функция надежности должна хорошо приближаться законом Вейбулла с параметром а > 1. Перейд1м теперь к анализу поведения показателя R0Q как функции от времени т. Утверждение 3. Для объектов с монотонным возрастанием интен сивности отказов показатель «средний остаточный ресурс» как функция т монотонно убывает. Доказательство. Пусть объект безотказно проработал до момента т включительно. Тогда вероятность его безотказной дальнейшей работы на Глав а 12 . МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ 598 промежутке (т, х + х) определяется условной функцией надежности Д(х). Величина ДДх) может также рассматриваться как вероятность превыше ния остаточным ресурсом R0(x) = R-x значениях. Теперь приступим к доказательству монотонного убывания функции оо . оо Кс.о W = j Рт (*№ = -7--Т f P^Mdc. (12.20) Вначале произведем оценку функции Р(х)/Р(х). Используя формулу (12.8), эту функцию можно представить в виде --------------- 1 к* 1 __________ 1 ехр * о (12.21) 1 1 Р(х)_ Р(т) т ехр 0 . Из условия монотонного возрастания интенсианости отказов полу чаем |мЦ^и > А(т) (х - т). т Откуда с учетом (12.21) следует ехр[_Х(т)(х-т)]. (12.22) Для доказательства убывания функции До.с(т) найдем ее производ ную. Дифференцируя выражение (12.20) по переменной х, получим -р2(т) - Д'(т))" P(x)dx ———• откуда с учетом (12.16) имеем (12.23) т ' '1 ’ Заменив подынтегршшное выражение в (12.23) на его оценку сверху (12.22), получаем неравенство оо Р'0.с Ы а J ехр т (х - т)] d - L 599 ПОКАЗАТЕЛЬ «СРЕДНИЙ ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС» Интеграл в правой части неравенства равен 1 /Х(т), следовательно Я;с«)<0. (12.24) Неравенство (12.24) превращается в строгое равенство только при т = 0. Это означает, что АОс(т) как функция переменной т монотонно убывает. На рисунке 12.4 приведены графики функций /?со(т/Яс) и ДоДт/Яс) для статистической совокупности объектов, ресурс которых распределен по усеченному слева нормальному закону с математическим ожиданием ц = /?с и средним квадратичным отклонением ст = 0,2ДС. Масштабирование времени т с помощью множителя 1//?с позволяет представить различие между изучаемыми функциями в более наглядной форме. На рисунке 12.5 приведен график среднего квадратичного откло нения остаточного ресурса от его среднего значения. Проведенный расчет показывает, что для объектов с достаточно продолжительной наработкой средний остаточный ресурс может значи тельно превышать остаточный средний. Иначе говоря, ресурс таких объектов с высокой вероятностью пре вышает средний ресурс для статистической совокупности в целом. При рассмотрении вопроса о продлении эксплуатации индивидуаль ного объекта необходимо использовать интервальную оценку его оста точного ресурса, что позволяет контролировать уровень риска принятия неверного решения. Рис. 12.4. Графики функций /?со(т ?с); /?ос(т 7?с) 600 Глава 12. МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ Так как остаточный ресурс R0(t) распределен в соответствии с функцией плотности вероятностей /Х(х), то вероятностное содержание у в интервале его значений [а(т); р(т)] составит у= р{а(т) <R ; ₽М у = Р{а(т) < Я(т) < ₽(т)} = f f (x)dx . «W Для однозначного определения интервала с заданной доверительной вероятностью у необходимо ввести дополнительные условия. Пусть a(t) Yi = ю Y2 = о (12.25) Р(Т) Потребуем выполнения следующего равенства: у = у2 = у/2. Тогда соответствующий интервал представляется в виде [а(т); р(т)]. Для опре деления величин а(т) и р(т) необходимо при каждом заданном т решать систему уравнений (12.25). На рисунке 12.6 приведены графики функций а(т) и р(т) совместно с графиком функции /?со(т). В качестве исходного взято усеченное слева (относительно нуля) нормальное распределение с теми же параметрами, которые ранее использовались при вычислении функций /?со(т) и с/^Дт), ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА 601 X X ч ч X X Ч \ X \ ч X ч “ч, х /■Яс ч X, ч X \/ ч X, X Яс.< /Яс X✓ / ч “ *4 _ X RyiR^ X Ч —— — 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 т/Яс Рис. 12.6. Зависимость Ясо/Rc, Ry / Rc, — RyY / Rc от наработки при у = 0,95 изображенных на рис. 12.4—12.5. Заметим, что центр интервала [а(т); 0(т)] с ростом т сдвигается вверх относительно значения Яс.о(т). При решении практических задач обычно используется только ниж няя граница доверительной области, поэтому логично использовать од носторонние интервальные оценки, у которых Р(?) = оо. В этом случае нижняя граница интервала [а(т); со] определяется в результате решения СО уравнения у = Г fx (x)dx при заданных значениях наработки объекта т и а(т) доверительной вероятности у, т.е. д(т) является 100(1 - у)-процентной квантилью для условного распределения FT(x). 12.6. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ ПО ДАННЫМ ЭКСПЛУАТАЦИИ Для определения среднего остаточного ресурса необходимо вычисОО лить интеграл | Р(х)ск. Аналитический подход здесь неприемлем, так 602 Глава 12. МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ как для обычно используемых при прогнозироалнии рлспредегений дан ный интеграл не имеет представления в классе элементарных функций. Использование численных методов хотя и возможно, но встречает определенные трудности в связи с тем, что интеграл является несоб ственным. Наиболее простой способ вычисления рассматриваемого инте грала - это использование статистического моделирования. При проведении машинного (или реального) статистического экспе римента точечной оценкой для показателя «средний остаточный ресурс» [лсо(т)] служит следующее соотношение: ад= Ёад у т (12.26) где п - количество однотипных объектов, испытываемых с момента вре мени т = 0; т - число безотказно проработавших сверх времени т объек тов; £,(т) - остаточная наработка /-го объекта из числа проработавших сверх времени т. Предполагается, что эксперимент продолжается до отказа всех ис пытываемых объектов. Оценка среднего квадратичного отклонения остаточного ресурса от его среднего значения вычисляется по формуле П1 /=1 (12.27) Оценки среднего остаточного ресурса (12.26) и среднего квадратич ного отклонения остаточного ресурса (12.27) являются несмещенными. Для вычисления характеристик остаточного ресурса разработана компьютерная программа на основе статистического моделирования процесса отказов. Программа позволяет вычислять средний остаточный ресурс, среднее квадратичного отклонение и нижнюю границу довери тельной области с заданным уровнем доверия для распределений, наибо лее часто используемых при прогнозировании остаточного ресурса объ екта (усеченного нормального, Вейбулла-Гнеденко и у-распределения). В таблице 12.1 приведены результаты расчета характеристик остаточного ресурса для объектов, ресурс которых имеет усеченное нормальное рас пределение. 603 ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА 12.1. Исходные данные к примеру расчета Лс° т «с <4 я. ^0.9$ Ни,? «со т Я? Яс «с ^°1,9 ■^0.95 r Яс а = 0,10 о = 0,05 0,0 1,000 0,050 0,936 0,918 0,0 1,000 0,100 0,872 0,835 0,2 0,800 0,050 0,736 0,718 0,2 0,800 0,100 0,672 0,635 0,4 0,600 0,050 0,536 0,518 0,4 0,600 0,100 0,472 0,435 0,6 0,400 0,050 0,336 0,318 0,6 0,400 0,100 0,272 0,235 0,7 0,300 0,050 0,236 0,218 0,7 0,300 0,099 0,172 0,137 0,8 0,200 0,050 0,136 0,118 0,8 0,206 0,094 0,082 0,053 0,9 0,103 0,047 0,041 0,027 0,9 0,129 0,079 0,030 0,016 1,0 0,040 0,030 0,006 0,003 1,0 0,080 0,060 0,013 0,006 1,1 0,019 0,017 0,002 0,001 1,1 0,053 0,045 0,007 0,003 1,2 0,011 0,007 0,002 0,001 1,2 0,037 0,034 0,004 0,002 1.3 - - 1,3 0,029 0,028 0,003 0,002 - - а = 0,20 ст = 0,15 0,0 1,000 0,150 0,808 0,754 0,0 1,000 0,200 0,644 0,571 0,2 0,800 0,150 0,608 0,554 0,2 0,800 0,200 0,444 0,372 0,4 0,600 0,150 0,408 0,354 0,4 0,601 0,196 0,253 0,182 0,6 0,308 0,141 0,128 0,081 0,6 0,411 0,176 0,113 0,060 0,7 0,227 0,128 0,071 0,042 0,7 0,328 0,159 0,075 0,032 0,8 0,164 0,110 0,038 0,017 0,8 0,258 0,140 0,045 0,019 0,9 0,120 0,091 0,019 0,009 0,9 0,202 0,121 0,025 0,012 1,0 0,090 0,074 0,012 0,006 1,0 0,160 0,104 0,020 0,009 1,1 0,070 0,061 0,009 0,004 1,1 0,128 0,089 0,016 0,007 1,2 0,056 0,051 0,007 0,003 1,2 0,105 0,077 0,011 0,005 1,3 0,047 0,043 0,005 0,003 1,3 0,088 0,067 0,009 0,004 604 Глава 12. МЕТОДЫ ПРОДЛЕНИЯ СРОКОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ В заключение приведем пример расчета по приведенной методике. Рассмотрим некоторую техническую систему, состоящую из однотипных объектов, например производственный участок предприятия промыш ленности либо совокупность однотипных комплексов вооружения для систем военного назначения. Для общности рассуждения назовем их «устройствами». Отказ устройств связан с определенными потерями. В целях их ми нимизации необходимо спланировать предупредительную замену устройств, выработавших ресурс [45]. На текущий момент времени все устройства находятся в рабочем состоянии. Для каждого /-го устройства известна его фактическая нара ботка т,. Значения т, занесены в первую строку табл. 12.2. Заметим, что в наработку не включается время, затрачиваемое на техническое обслужи вание и мелкий ремонт устройств (предполагается, что имевшие место ремонты не изменили их ресурса). Время простоя устройств также не включается в их наработку. Известно, что ресурс устройств распределен по усеченному нормальному закону со средним значением Rc - 62 000 ч и средним квадратичным отклонением = 6200 ч, т.е. ст = <д/;/Л’с = 0,1. Тогда, используя табл. 12.1, для каждого /-го устройства можно найти средний остаточньш ресурс R'° = Яс0(гД среднее квадратичное откло нение среднего остаточного ресурса от его среднего значения ст/ = °яСо(т') и нижнюю границу ,, 1 = Л , (ц) доверительного интервала при заданной доверительной вероятности у (примем у = 0,9). Эти данные занесены в соответствующие строки табл. 12.2. Приведем порядок вычислений для первого устройства. Наработка данного устройства составляет = 55,8 тыс. ч. Тогда его наработка в относительных единицах равна Т/? =55,8/62 ® 0,9. Используя таблицу 12.1, находим Rg / Rc « 0,129. т Тогда Rg = 8 тыс. ч. Аналогично определяется среднее квадратическое отклонение = 4,88 тыс. ч и нижняя доверительная граница = 1,86 тыс. ч. Допустим, что устройства эксплуатируются круглосуточно. Тогда А’,1' = 77,5 суток. Следовательно, с доверительной вероятностью у = 0,9 следует ожидать, что данное устройство проработает не менее 78 суток в предстоящем периоде эксплуатации. Проведя аналогичные расчеты для остальных устройств, получим, что с заданной доверительной вероятно стью у = 0,9 следует ожидать выхода из строя не ранее: третьего устрой- ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА 605 12.2 Исходные данные к примеру расчета ч (тыс. ч) (тыс. ч) Лс.о 1 2 3 4 5 6 7 8 55,80 43,40 62,10 37,20 49,60 24,80 31,10 60,14 8,00 18,60 4,96 24,80 12,77 37,20 31,31 4,40 4,88 6,14 3,72 6,20 5,83 6,20 6,01 4,34 1,86 10,66 0,81 16,86 5,08 29,26 23,56 1,49 (тыс. ч) (тыс. ч) ства - 34 суток, 8-го устройства - 62 суток, 5-го устройства - 218 суток предстоящего периода эксплуатации. Остаточный ресурс остальных устройств с заданной доверительной вероятностью составляет от 1,2 года до 3,34 лет. Таким образом, по известной фактической наработке можно оценить индивидуальный остаточный ресурс сложных технических устройств, спланировать их предупредительную замену с целью миними зации потерь, обусловленных возможными отказами. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Значения нормальной функции распределения 1 г —-'2 Ф*(х) = -7= [е 2 dt х = (J — Мх)/<г, х = ир = Uy =иа ■*2я X -0.00 -0,01 -0.02 -0.03 ■0.04 0,05 0.06 0.07 0.08 -0.00 -0,10 -0,11 -0,12 -0,13 -0.14 -0.15 -0,16 -0,17 -0,18 -0.19 0 20 -0,21 0.22 -0.23 0.24 0.25 -0,26 0.27 0.28 -0.29 0.30 -0,31 0.32 0.33 0,34 0.35 01.36 0.37 0.38 0.39 -0.40 -04^1 -6.42 Ф* 0.5000 4960 4920 4880 4840 4801 4761 4721 4681 4641 0,4602 4562 4522 4483 4443 4404 4364 4325 4286 4247 0.4207 4168 4129 4090 4052 4013 3974 3936 3897 3859 0,3821 3783 3745 3707 3669 3632 3594 3557 3520 3483 0,3446 3409 3372 Д 40 40 40 40 39 40 40 40 40 39 40 40 39 40 39 40 39 39 39 40 39 39 39 38 39 39 38 39 38 38 38 38 38 38 37 38 37 37 37 37 37 37 36 X -0,43 -0.44 -0,45 -0.46 -0.47 -0.48 0,49 -0.50 -0,51 --0.52 -0.53 -0,55 -0,55 0.56 -0.57 0.58 -0,59 -0,60 -0,61 -0,62 -0,63 - 0266 -0,65 -0.66 -0,67 -0.68 -0.69 -0,70 -0,71 -0.72 -0,73 -0,77 -0,75 -0.76 077 -0,78 0,79 -0.80 -0,81 -0,82 0,83 -0,88 -0.85 ф* Д 3336 3300 3264 3228 3192 3156 3121 0,3085 3050 3015 2981 2946 2912 2877 2843 2810 2776 0,2743 2709 2676 2643 2611 2578 2546 2514 2483 2451 0.2420 2389 2358 2327 2297 2266 2236 2206 2177 2148 0,2119 2090 2061 2033 2005 1977 36 36 36 36 36 36 36 35 35 34 35 34 35 34 33 34 33 34 33 33 32 33 32 32 31 32 31 31 31 31 30 31 30 30 29 29 29 29 29 28 28 28 28 X -0,86 -0,88 0.88 -0,89 -0,90 -0,91 0.92 0.93 -0.94 -9.95 0.96 -0,97 -0,98 0.99 -1 .00 -10)1 -1 .02 -1 .03 -1 .04 -1 .05 -1 .06 -1 .07 -1 .08 -1.09 -1.10 1 11 -М2 -М3 -1 14 -1.15 -1.16 -1.17 -1 18 -1.19 -1.20 -1.21 -1.22 -1,23 -1 .24 -1 .25 1 .26 -1,27 -1.28 -1.29 Ф* 1949 1922 1894 1867 0.1841 1814 1788 1762 1736 1711 1685 1660 1635 1611 0.1587 1563 1539 1515 1492 1469 1446 1423 1401 1379 0,1357 1335 1314 1292 1271 1251 1230 1210 1190 1170 0,1151 1131 1112 1093 1075 1056 1038 1020 1003 0985 Д 27 28 27 26 27 26 26 26 25 26 25 25 24 24 24 24 24 23 23 23 23 22 22 22 22 21 22 21 20 21 20 20 20 19 20 19 19 18 19 18 18 17 18 17 607 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. X -1 ,30 -131 -1 ,32 -1 ,33 -1 ,34 -1 ,35 -1,36 -1 ,37 -1,38 -1,39 -1..41 -1,41 -1,42 -1,43 -1,44 -1,45 -1 ,46 -1 ,47 -1 ,48 -1.49 -1,50 -1.51 -1,52 -1,53 -1,55 -1,55 -1 ,56 -1 ,57 -1,58 -1 ,59 -1 ,60 -1.61 -1.62 -1,63 -1,66 -1,65 -1 ,66 -1 ,67 -1.68 -1,69 -1,70 -1,71 -1,72 -1,73 -1,74 -1,75 -1.76 -1,77 -1,78 -1,79 ф* 0,0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823 0,0808 0793 0778 0764 0749 0735 0721 0708 0694 0681 0,0668 0655 0643 0630 0618 0606 0594 0582 0571 0559 0.0548 0537 0526 0516 0505 0495 0485 0475 0465 0455 0,0466 0436 0427 0418 0409 0401 0392 0384 0375 0367 А 17 17 16 17 16 16 16 15 15 15 15 15 14 15 14 14 13 14 13 13 13 12 13 12 12 12 12 11 12 11 11 11 10 11 10 10 10 10 10 9 10 9 9 9 8 9 8 9 8 8 X -1,80 -1.81 -1,82 -1,83 -1,84 -1.85 -1.86 -1.87 -1,88 -1,89 -1,90 -1,91 -1.92 -1.93 -1.94 -1,95 -1.96 -1,97 -1.98 -1.99 2,00 -2,10 2,20 2,30 -2,40 -2,50 2,60 2,70 280 2,90 3,00 -3,10 -3,20 -3,30 -3,40 -3,50 -3,60 3,70 ■3.30 ■3,90 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Ф* 0,0359 0351 0344 0336 0329 0322 0314 0307 0301 0294 0,0288 0281 0274 0268 0262 0256 0250 0244 0239 0233 0,0228 0179 0139 0107 0082 0062 0047 0035 0026 0019 0.0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0001 0001 0000 0,5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 А 8 7 8 7 7 8 7 6 7 6 7 7 6 6 6 6 6 5 6 5 49 40 32 25 20 15 12 9 7 5 4 3 2 2 1 0 1 0 1 0 40 40 40 40 39 40 40 40 40 39 X 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0.40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,55 0.55 026 0,57 0.58 0,59 0,60 0,61 0,62 ф* А 0,5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 0,5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 0,6179 6217 6255 6293 6331 40 40 39 40 39 40 39 39 39 40 39 39 39 38 39 39 38 39 38 38 38 38 38 38 37 38 37 37 37 37 37 37 36 36 36 36 36 36 35 36 35 35 34 35 34 35 34 33 34 33 34 33 33 6368 6406 6443 6480 6517 0,6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 7224 0,7257 7291 7324 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 608 Окончание табл. X 0.63 0.66 0.65 0.66 0.67 0.68 0,69 0,70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0,76 0,77 0.78 0.79 0.80 0,81 0.82 0.83 0.84 0.85 0,86 0.87 0.88 0,89 0.90 0,91 0.92 0.93 0.94 0,95 0,96 0.97 0.98 0,99 1.00 ф* Д 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 0,7580 32 33 32 32 31 32 31 31 31 31 30 31 30 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 0,7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8133 0.8159 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 0,8413 8437 1.01 8461 1.02 8485 8508 8531 8554 8577 8599 1.03 1.04 1.05 1.06 1,07 1.08 1,09 1.10 1.11 1.12 1.13 1,14 8621 8186 0,8643 8665 8686 8708 8729 30 29 29 29 29 29 28 28 28 28 27 28 27 26 27 26 26 25 26 25 25 24 24 24 24 24 23 23 23 23 22 22 22 26 22 21 22 21 20 X 1.15 1,16 1,17 1.18 1.19 1,20 1,21 1,22 1,23 1.24 1.25 1,26 1.27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1.34 1,35 1,36 1.37 1.38 1,39 1,40 1,41 1.42 1,43 1.44 1,45 1.46 1.47 1.48 1,49 1.50 1,51 1,52 1,53 1,54 1.55 1,56 1.57 1.58 1,59 1,60 1.61 1,62 1,63 1,64 1,65 1.66 Ф* 8749 8770 8790 8810 8830 0,8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 0,9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 0,9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 0,9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 0,9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 Д 21 20 20 20 19 20 19 19 18 19 18 18 17 18 17 17 17 16 17 16 16 16 15 15 15 15 15 14 15 14 14 13 14 13 13 17 17 16 17 16 16 16 15 15 15 15 15 14 15 14 14 13 X 1.67 1,68 1,69 1,70 1.71 1,72 1,73 1,74 1,75 1.76 1,77 1.78 1.79 1.80 1,81 1,82 1,83 1,84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1 94 1.95 1.96 1 97 1.98 1.99 2.00 2,10 2,20 2,30 2.40 2,50 2.60 2,70 2,80 2,90 3.00 3.10 3.20 3,30 3,40 3,50 3,60 3.70 3.80 3.90 ф* Д 9525 9535 9545 0.9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 0,9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 0,9713 9719 9726 9732 9718 9744 9750 9756 9761 9767 0,9772 9821 9861 9893 9919 9938 9954 9965 9974 9981 0,9986 9990 9993 9995 9997 9998 9998 9999 9999 1,0000 14 13 13 13 12 13 12 12 12 12 И 12 11 11 И 10 11 10 10 10 10 10 6 6 6 6 5 6 5 49 40 32 25 20 15 12 9 7 5 4 3 2 2 1 0 1 0 1 0 Прим сча ние . По расчетному значению квантили х находят функцию распре деления. Так при х = -0,40 Ф*= 0,3446 + 0,0037 = 0,3483. 1 609 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Значения функции /(х)= _l_-exp(-.ir у'2л 0.0 0.1 0.2 0,3 0.4 0.5 0,6 0,7 0.8 0,9 0 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 1 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3512 3101 2874 2637 2 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 3 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 4 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 5 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 ЗОН 2780 2541 6 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 7 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 8 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 9 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 1.0 1.1 1,2 1,3 1.4 1,5 1.6 1.7 1.8 1,9 0.2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 2,0 2.1 2.2 2,3 2,4 2,5 2.6 2,7 2.8 2,9 0.0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0478 0388 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0459 0371 0297 0235 0184 0143 ОНО 0084 0063 0047 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 3.0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3.7 3,8 3,9 0.0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0040 0030 0022 0016 ООН 0008 0005 0004 0003 0002 0039 0029 0021 0015 ООП 0008 0005 0004 0003 0002 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 X Примечание. По расчетному значению х определяют плотность распределе ния fix). Например, при х = 3,63 /= (3,63) = 0,0005. ПРИЛОЖЕНИЕ 610 3. Функция Лапласа Ф(х) = $ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2.0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 4,0 4,5 5,0 0 0,00000 03 080 07 930 И 790 15 540 19 150 22 570 25 800 28 810 31 590 0,34130 36 430 38 490 40 320 41 920 43 320 44 520 45 540 46410 47 130 0,47725 48 214 48 610 48 928 49 180 49 379 49 534 49 653 49 744 0,49813 0,49865 1 00 400 04 380 08 320 12 170 15 910 19 500 22 910 26 НО 29 100 31 860 34 370 36 650 38 690 40 190 42 070 43 450 44 630 45 610 46 490 47 190 47 778 48 257 48 645 48 956 49 202 49 396 49 547 49 654 49 752 49 819 49 903 2 00 800 04 780 08 710 12 550 16 280 19 850 23 240 26 420 29 390 32 120 34 610 36 860 38 830 40 060 42 220 43 570 44 740 45 730 46 560 47 260 47 831 48 300 48 679 48 983 49 224 49 413 49 560 49 674 49760 49 825 49 931 3 01 200 05 170 09 100 12 930 16 640 20 190 23 570 26 730 29 670 32 380 34 850 37 080 39 070 40 820 42 360 43 700 44 840 45 820 46 640 47 320 47 882 48 341 48 713 49 010 49 245 49 430 49 573 49 683 49 767 49 831 49 952 4 01 600 05 570 09 480 13 310 17 000 20 540 23 890 27 030 291750 32 640 35 080 37 290 39 250 40 990 42 510 43 820 44 950 45 910 46 710 47 380 47 932 48 382 48 746 49 036 49 266 49 446 49 585 49 693 49 774 49 836 49 966 5 01 990 05 980 09 870 13 680 17 360 20 880 24 220 27 340 30 230 32 890 35 310 37 490 39 440 41 150 42 650 43 940 45 050 45 990 46 780 47 440 47 981 48 422 48 778 49 061 49 286 49 461 49 597 49 702 49 781 49 841 49 977 I ' -ул/2л:— 'fe 6 02 390 06 360 10 260 14 060 17 720 21 230 24 540 27 640 30510 33 150 35 510 37 700 39 620 41310 42 790 44 060 45 150 46 080 46 860 47 500 48 030 48 461 48 809 49 086 49 305 49 477 49 609 49 711 49 788 49 846 49 984 2 Г 2 d/ 7 0279 0675 1034 1443 1808 2157 2486 2794 3078 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 4616 4693 4756 48 077 48 500 48 840 49 111 49 324 49 492 49 621 49 720 49 795 49 851 49 989 Примечание. По расчетному значению квантили распределения. Так при х = 0,45 Ф(х) = 0,17360. х 8 03 190 07 140 11 030 14 800 18 440 21 900 25 170 28 230 31 060 33 650 35 990 38 100 39 970 41 620 43 060 44 290 45 350 46 250 46 990 47 610 48 124 48 537 48 870 49 135 49 343 49 506 49 632 49 728 49 801 49 856 49 993 9 0,03590 07 530 11 410 15 170 18 790 22 240 25 490 28 520 31 330 33 890 0,36210 38 300 40 150 41 770 43 190 44 410 45 450 46 330 47 060 47 670 0,48169 48 574 48 899 49 158 49 361 49 520 10 010 49 736 49 807 49 861 0,49995 0,499968 0,499997 0,4999999 находят функцию I ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Значения квантилей Стыодента равенству , 611 /р, удовлетворяющие в зависимости от р и т о Гр при значениях Р (Р = 1 - а) т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 00 1П 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,158 0,142 0,137 0,134 0,132 0,131 0,130 0,130 0,129 0,129 0,129 0.128 0,128 0,128 0,128 0,128 0,128 0.127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,126 0,126 0,126 0,126 0,325 0,289 0,277 0,271 0.267 0,265 0,263 0,262 0,261 0,260 0.260 0,259 0.259 0,258 0.258 0,258 0,257 0.257 0,257 0,257 0,257 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0.256 0,256 0,256 0,256 0,255 0,254 0,254 0,253 0,510 0.445 0.424 0.414 0.408 0,404 0,402 0,399 0.398 0,397 0.396 0.395 0,394 0.393 0,393 0,392 0.392 0,392 0.391 0.391 0,391 0,390 0,390 0,390 0,390 0,390 0,389 0.389 0.389 0.389 0,388 0,387 0,386 0.385 0,727 0,617 0.584 0,569 0,559 0,553 0.549 0,546 0.543 0,542 0,540 0,539 0,583 0.537 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,532 0,532 0,532 0,531 0,531 0,531 0,531 0,530 0,530 0,530 0,529 0,527 0.526 0,524 1.000 0,816 0.765 0.741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0.692 0,691 0,690 0.689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0.685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683 0.681 0,679 0,677 0,674 1376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0.879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,851 0,848 0,845 0,842 1,963 1,336 1,250 1190 1156 1134 1119 1108 1100 1093 1088 1083 1079 1076 1074 1,071 1069 1067 1 066 1 064 1 063 1061 1 060 1059 1058 1058 1057 1056 1055 1055 1050 1 046 1 041 1 036 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Гр при значениях р (Р = 1 - ос) 612 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 4 /р при значениях 0 (Р = 1 - а) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 СО 0.8 0,9 0,95 0.98 0.99 0,999 3,080 1.886 1.638 1,533 1,476 1.440 1,415 1,397 1.383 1.372 1,363 1,356 1.350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1, 314 1, 313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1, 729 1, 725 1, 721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,705 1,703 1,701 1699 1,697 1,684 1,671 1,658 1, 645 12,71 4.30 3,18 2,77 2.57 2,45 2,36 2.31 2.26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2.10 2.09 2,09 2.08 2.07 2,07 2,06 2.06 2,06 2,05 2.05 2,04 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 31,80 6.96 4,54 3,75 3,36 3.14 3.00 2.90 2,82 2.76 2,72 2,68 2,65 2.62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2.48 2.48 2,47 2,47 2,46 2.46 2,42 2.39 2,36 2,33 63,70 9,92 5,84 4.60 4,03 3.71 3,50 3,36 3,25 3.17 3,11 3,06 3.01 2.98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,84 2,83 2,82 2.81 2,80 2,79 2,78 2.77 2.76 2,76 2.75 2.70 2,66 2,62 2,58 63.66 31,60 12.94 8.61 6.86 5.96 5.40 5.04 4,78 4.59 4,49 4,32 4.22 4.14 4,07 4.02 3.96 3,92 3,88 3,85 3.82 3,79 3.77 3,74 3.72 3.71 3,69 3.67 3.66 3,65 3,55 3.46 3.37 3,29 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,999 tp при значениях р (Р = 1 - а) ПРИЛОЖЕНИЕ Ы3 5. 95-процентные доверительные интервалы при биномиальном распределении т ли п-т 0 - - I1 2 •а д С АО 77 ОО о У 110 п 1If1 1I2 э 13 114Л 115г 116А I7 1Io9 119О ■эл 20 1,000 0,025 1,000 0,158 1,000 0,292 1,000 0,398 1,000 0,478 1,000 0,541 1,000 0,590 1,000 0,631 1,000 0.664 1,000 0,692 1,000 0.715 0,000 0,735 1,000 0,753 1,000 0,768 1,000 0,782 1,000 0,794 1,000 0,805 1,000 0,815 1,000 0,824 1,000 0,832 1 0,975 0,000 0,987 0,013 0,992 0,094 0,994 0,194 0,995 0,284 0,996 0,359 0,996 0,421 0,997 0,473 0,997 0,517 0,997 0,555 0,998 0,587 0,998 0,615 0,998 0,640 0,998 0,661 0,998 0,681 0,998 0,698 0,999 0,713 0,999 0,727 0,999 0,740 0,999 0,751 0,999 0,762 2 0,842 0,000 0,906 0,008 0,932 0,068 0,947 0,147 0,957 0,223 0,963 0,290 0,968 0,349 0,972 0,400 0,975 0,444 0,977 0,482 0,979 0,516 0,981 0,546 0,982 0,572 0,983 0,595 0,984 0,617 0,985 0,636 0,986 0,653 0,987 0.669 0,988 0,683 0,988 0,696 0,989 0,708 3 0,708 0,000 0,806 0,006 0,853 0,053 0,882 0,118 0,901 0,184 0,915 0,245 0,925 0,299 0,933 0,348 0,940 0,390 0,945 0,428 0,950 0,462 0,953 0,492 0,957 0,519 0,960 0,544 0,962 0,566 0,964 0,586 0,966 0,604 0,968 0,621 0,970 0.637 0,971 0,651 0,972 0,664 4 0,602 0,000 0,713 0,005 0,777 0,043 0,816 0,099 0,843 0,157 0,863 0,212 0,873 0,262 0,891 0,303 0,901 0,349 0,909 0,386 0,916 0,419 0,922 0,449 0,927 0,476 0,932 0,501 0,933 0,524 0,939 0,544 0,943 0,563 0,946 0,581 0,948 0,597 0,950 0,612 0,953 0,626 5 6 7 8 9 10 0,522 0,000 0,641 0,004 0,710 0.037 0,755 0,085 0,788 0,137 0,813 0,187 0,833 0,234 0,849 0,277 0,861 0,316 0,872 0,351 0,882 0,384 0,890 0,413 0,897 0,440 0,903 0,465 0,909 0,488 0,913 0,509 0,918 0,529 0,922 0,547 0,925 0.564 0,929 0,579 0.932 0,593 0,459 0,000 0,579 0,004 0,651 0,032 0,701 0,075 0,738 0,122 0,766 0,167 0,789 0,211 0,808 0,251 0,823 0,289 0,837 0,323 0,848 0,354 0,858 0,383 0,867 0,410 0,874 0,435 0,881 0,457 0,887 0,478 0,893 0,498 0,898 0,516 0,902 0,533 0,906 0,549 0,910 0,564 0,410 0,000 0,527 0,003 0,600 0,028 0,652 0,067 0,692 0,109 0,723 0,151 0,749 0,192 0,770 0,230 0,787 0,266 0,802 0,299 0,816 0,329 0,827 0,357 0,837 0,384 0,846 0,408 0,854 0,430 0,861 0,451 0,868 0,471 0,874 0,488 0,879 0,506 0,884 0,522 0,889 0,537 0,369 0.000 0,483 0,003 0,556 0,025 0,610 0,060 0,651 0,099 0,684 0.139 0,711 0,177 0,734 0,213 0,753 0,247 0,770 0,278 0,785 0,308 0,797 0,335 0,809 0,361 0,819 0,384 0,828 0,407 0,836 0,427 0,844 0,447 0,851 0,465 0,857 0,482 0,862 0,408 0,868 0,513 0,336 0,000 0,445 0,003 0,518 0,023 0,572 0,055 0,614 0,091 0,649 0,128 0,677 0,163 0,701 0,198 0,722 0,230 0,740 0,260 0,756 0,289 0,769 0,315 0,782 0,340 0,793 0,364 0,803 0,385 0,812 0,406 0,820 0,425 0,828, 0,443 0,835 0,460 0,841 0,476 0,847 0,492 0,308 0,000 0,413 0,002 0,484 0,021 0,538 0,050 0,581 0,084 0,616 0,118 0,646 0,152 0,671 0,184 0,692 0,215 0,711 0,244 0,728 0,272 0,743 0,298 0,756 0,322 0,768 0,345 0,779 0,366 0,789 0,386 0,798 0,405 0,806 0,423 0,814 0,440 0,821 0,456 0,827 0,472 И 0,285 0,000 0,385 0,002 0,454 0,019 0,508 0,047 0,551 0,078 0,587 0,110 0,617 0,142 0,643 0,173 0,665 0,203 0,685 0,231 0,702 0,257 0,718 0,282 0,732 0,306 0,744 0,349 0,756 0,349 0,766 0,369 0,776 0,388 0,785 0,406 0,793 0,422 0,301 0,439 0,308 0,454 12 13 0,265 0,000 0,360 0,002 0,428 0,018 0,481 0,043 0,524 0,073 0,560 0,103 0,590 0,133 0,616 0,163 0,639 0,191 0,660 0,218 0,678 0,244 0,694 0,268 0,709 0,291 0,722 0,313 0,734 0,334 0,745 0,353 0,755 0,372 0,765 0,389 0,773 0,406 0,782 0,422 0,789 0,437 0,247 0,000 0,339 0,002 0,405 0,017 0,456 0,040 0,499 0,068 0,535 0,097 0,565 0,126 0,592 0,154 0,616 0,181 0,636 0,207 0,655 0,232 0,672 0,256 0,687 0,278 0,701 0,299 0,713 0,320 0,725 0,339 0,736 0,357 0,755 0,374 0,755 0,391 0,763 0,408 0,771 0,421 614 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 5 т л 0 1 1 Z Л 41 J О / О 9 IЛ 10 11 12 1и7 1144 I с 15 110 А 11/"7 1V 18 119 Л 20 п т 21 22 23 24 25 26 27 0,232 0,218 0,206 0,195 0,185 0,176 0,168 0,161 0,154 0,148 0,142 0,137 0,132 0,127 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,319 0,319 0,287 0,273 0,250 0,249 0,238 0,228 0,219 0,211 0,203 0,196 0,190 0,184 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,383 0,364 0,347 0,331 0,317 0,304 0,292 0,280 0,270 0,260 0,251 0,243 0,235 0,228 0,016 0,015 0,014 0,013 0,012 0,012 0.011 0,010 0,010 0,010 0.009 0,009 0,009 0,008 0,434 0,414 0,396 0,379 0,363 0,349 0,336 0.324 0,312 0,301 0,292 0,282 0.274 0,265 0,038 0,036 0,034 0,032 0,030 0,029 0,028 0,027 0,025 0,024 0,024 0,023 0,022 0,021 0,476 0,453 0,437 0,419 0,403 0,388 0.374 0,360 0,349 0,338 0,327 0,317 0,307 0,298 0,064 0,061 0,057 0,054 0,052 0,050 0,047 0,045 0,044 0,042 0,040 0.039 0,038 0,036 0,512 0,491 0,471 0,453 0,436 0,421 0,407 0,393 0,381 0,369 0,358 0,347 0,337 0,328 0,091 0,087 0,082 0,078 0.075 0,071 0,068 0,066 0,063 0,061 0,058 0,056 0,055 0,053 0.543 0,522 0,502 0,484 0.467 0,451 0,436 0,423 0,410 0,397 0,386 0,375 0,364 0,355 0,119 0,113 0,107 ,102 0,098 0,094 0,090 0,086 0,083 0,080 0,077 0,075 0,072 0,070 0,570 0,549 0,529 0,512 0,494 0,478 0,463 0,449 0,435 0,423 0,411 0,400 0,389 0,379 0,146 0,139 0,132 0,126 0,121 0,116 0,111 0,107 0,103 0,099 0,096 0,093 0,090 0,087 0,593 0,573 0,553 0,535 0,518 0,502 0,487 0,472 0,459 0,446 0,434 0.423 0,412 0,401 0,172 0,164 0,156 0,149 0,143 0,138 0,132 0,126 0,123 0,119 0,115 0,111 0,107 0,104 0,615 0,594 0,575 0,557 0,540 0,524 0,508 0,494 0,481 0,467 0,455 0,444 0,433 0,422 0,197 0,188 0,180 0,172 0,165 0,159 0,153 0,147 0,142 0,138 0,133 0,129 0,125 0,121 0,634 0,614 0,595 0,577 0,560 0,544 0,528 0,514 0,500 0,487 0,475 0,463 0,452 0,441 0,221 0,211 0,202 0,194 0,186 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,151 0,146 0,142 0,138 0,651 0,631 0,612 0,594 0,578 0,531 0,546 0,532 0,519 0,505 0,493 0,481 0,470 0,459 0,244 0,234 0,224 0,215 0,207 0,199 0,192 0,186 0,180 0,174 0,169 0,164 0,159 0,154 0,666 0,647 0,628 0,611 0,594 0,578 0,563 0,549 0,535 0,522 0,510 0,498 0,487 0,476 0,266 0,255 0,245 0,235 0,227 0,218 0,211 0,204 0,197 0,1^1 0,186 0,180 0,175 0,170 0,680 0,661 0,643 0,626 0,609 0,594 0,579 0,564 0,551 0,538 0,525 0,513 0,503 0,491 0,287 0,275 0,264 0,255 0,245 0,237 0,229 0,222 0,215 0,208 0,202 0,196 0,191 0,186 0,694 0,675 0,657 0,640 0,624 0,608 0,593 0,579 0,566 0,552 0,540 0,528 0.517 0,506 0,306 0,295 0,283 0,273 0,264 0,255 0,247 0,239 0,232 0,225 0,218 0,212 0.206 0,201 0,705 0,687 0,669 0,653 0,637 0,621 0,607 0,592 0,579 0,566 0,554 0,542 0,531 0,520 0,325 0,313 0,302 0,291 0,281 0,272 0,263 0,255 0,248 0,240 0,234 0,227 0,221 0,216 0,717 0,698 0,681 0,665 0,649 0,634 0,619 0,605 0,592 0,579 0,567 0,555 0,544 0,533 0,343 0,331 0,319 0,308 0,298 0,288 0,280 0,271 0,263 0,255 0,249 0,242 0,236 0,230 0,727 0,709 0,692 0,676 0,660 0,645 0,631 0,617 0,604 0,591 0,579 0,567 0,556 0,545 0,360 0,347 0,335 0,324 0,314 0,304 0,295 0,286 0,278 0,270 0,263 0,256 0,250 0,244 0,736 0,719 0,702 0,686 0,671 0,656 0,642 0,628 0,615 0,602 0,590 0,579 0,568 0,557 0,376 0,363 0,351 0,340 0,329 0,319 0,310 0,301 0,293 0,285 0,277 0,270 0,264 0,257 0,745 0,728 0,712 0,696 0,681 0,666 0,652 0.639 0,626 0,613 0,601 0,590 0,578 0,568 0,392 0,379 0,366 0,355 0,344 0,334 0,324 0,315 0,307 0,298 0,291 0,284 0,277 0,270 0,753 0,737 0,720 0,705 0,690 0,676 0.662 0,649 0,636 0,623 0,612 0,600 0,589 0,578 0,407 0,393 0,381 0,369 0,358 0,348 0,338 0,329 0,320 0,312 0,304 0,296 0,289 0,283 14 15 16 17 18 19 20 ПРИЛОЖЕНИЕ 615 Окончание табл. 5 п т 0 2 3 10 II 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28 29 30 35 40 45 50 60 80 100 200 500 0,123 0,119 0,116 0,100 0.088 0,079 0,071 0,060 0,045 0,036 0,018 0,007 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,172 0,167 0,145 0,129 0,000 0,115 0,000 0,178 0,104 0,088 0,067 0,054 0,027 0,011 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,221 0,215 0,208 0,182 0,162 0,145 0.132 0,112 0,085 0,069 0,035 0,014 0,008 0,008 0,008 0,007 0.006 0.005 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 0,257 0,250 0,243 0.214 0,191 0,172 0,157 0,133 0,102 0,083 0,043 0,017 0,020 0,020 0,019 0,017 0,015 0,013 0,012 0.010 0,008 0,006 0,003 0,001 0,290 0,282 0,275 0,242 0,217 0,196 0.179 0,152 0,118 0,096 0,049 0,020 0,035 0,034 0,033 0,029 0,025 0,023 0,021 0,017 0,013 0,011 0,005 0.002 0,319 0,311 0,303 0.268 0,241 0.218 0,200 0,170 0,132 0,108 0,056 0,023 0,051 0,050 0,048 0,042 0,037- 0,033 0,030 0,025 0,019 0,016 0,008 0,003 0,345 0,336 0,263 0,239 0,219 0,187 0,145 0,119 0,062 0,026 0,066 0,328 0,064 0,292 0,068 0,056 0,049 0.044 0.040 0.034 0,026 0,021 0,011 0,004 0,369 0,360 0,351 0,314 0,283 0,258 0,237 0,203 0,158 0,130 0,068 0,028 0,084 0,082 0,080 0.070 0,062 0,056 0,051 0,043 0,033 0,027 0,014 0,005 0,391 0,382 0,373 0,334 0,302 0,276 0,254 0,218 0,171 0,141 0,074 0,031 0,007 0,101 0,098 0,096 0,084 0,075 0,067 0,061 0.052 0,040 0,033 0,017 0,412 0,402 0,393 0,353 0,321 0,293 0,270 0,233 0,184 0,151 0,080 0,033 0,118 0,114 0,111 0,098 0,088 0,079 0,072 0,061 0,047 0,038 0,020 0,008 0,431 0,421 0 412 0,372 0,338 0,310 0,286 0,248 0,196 0,162 0,086 0,036 0,134 0,130 0,127 0,112 0,100 0,091 0,083 0,071 0,055 0,045 0,023 0,009 0,449 0,439 0,429 0,388 0,354 0,325 0,300 0,260 0,207 0,171 0,091 0,038 0,150 0,146 0,142 0,113 0.102 0,094 0,080 0,062 0,051 0,026 0,011 0,465 0,455 0,446 0,126 0,404 0,369 0,339 0,314 0,273 0,217 0,180 0,097 0,040 0,166 0,161 0,157 0,140 0,125 0.114 0,104 0,089 0,069 0,057 0,030 0,012 0,481 0,471 0,461 0,419 0,384 0,353 0,327 0,285 0,227 0,189 0,102 0,043 0,181 0,176 0,172 0,153 0,138 0,125 0,115 0,098 0,077 0,063 0,033 0,014 0,496 0,485 0.476 0,433 0,398 0,367 0,340 0,297 0,237 0,198 0,107 0,045 0,196 0,191 0,186 0.150 0.136 0,125 0,107 0,084 0,069 0,036 0.509 0.499 0,490 0.166 0,446 0,410 0,379 0,352 0,308 0,247 0,206 0,112 0,015 0,047 0,210 0,205 0,200 0,179 0,162 0.147 0,135 0,116 0,091 0,075 0,039 0.016 0,522 0,512 0,520 0,459 0,422 0,391 0,364 0,319 0,256 0,214 0,117 0,050 0,224 0,219 0,214 0,191 0,173 0.158 0,146 0,126 0,099 0,081 0,043 0,018 0,535 0,524 0,515 0,471 0,434 0,402 0,375 0,330 0,266 0,222 0,122 0,052 0,238 0,232 0,227 0.203 0,185 0,169 0,156 0,134 0,046 0,536 0,527 0,483 0,445 0,413 0.386 0,340 0,106 0,274 0,087 0,547 0,230 0,127 0,019 0,054 0,251 0,245 0,240 0,215 0,196 0,179 0,165 0,143 0,113 0,093 0,050 0,021 0,557 0,547 0.538 0,494 0,456 0,424 0,396 0,350 0,283 0,238 0,132 0,056 0,264 0,258 0,252 0,227 0,207 0,189 0,175 0,152 0,120 0,099 0,053 0,022 0,568 0,558 0,467 0,434 0.406 0,359 0,292 0,245 0,137 0,270 0,548 0.264 0,504 0,276 0,238 0,217 0,1991 0,184 0,161) 0,126 0,105 0,057 0,059 0,024 Примечание, п- объем испытаний (циклы), например при т = 10, п - т = 5. Р = 0.882, Р = 0,384. ПРИЛОЖЕНИЕ 616 6. Квантили ^-распределения 1 2('-|)/2г[(г-1)/2] Хц(2^) при значениях а 0,99 0,98 0,50 0,30 0,004 0,016 0,064 0,148 0,455 1,074 0,95 0,90 0,80 0,70 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 3,84 5.41 6,64 10,83 3,22 4,60 5,99 7,82 9,21 13,82 3,66 4,64 6,25 7,82 9,84 11,34 16,27 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 11,67 13.28 18,46 3,00 4,35 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15.09 20,5 0,000 0,001 2 0.020 0,040 0,103 0,211 0,446 0,713 3 0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 4 0,297 0,429 0,711 1,064 5 0,554 0,752 1,610 2,34 6 0,872 1,134 7 1,239 1,564 2,17 1,145 0,20 1.642 2,71 1 1,386 2,41 1,424 2,37 1,649 2,20 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59 15.03 16,81 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18.48 24,3 1,635 2,20 22,5 8 1,646 2,03 2,73 3,49 4,59 5.53 7,34 9.52 11,03 13,36 15,51 18,17 20.1 26,1 9 2,09 2,53 3,32 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21,7 27,9 10 2,56 3,06 3,94 4,86 6,18 7.27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 21,2 23,2 29,6 11 3,05 3,61 4,58 5,58 6,99 8,15 10,34 12,90 14,63 17,28 19,68 22,6 24.7 31,3 12 3,57 4.18 5,23 6,30 7,81 9,03 1 1,34 14.01 15,81 18,55 21,0 24.1 26,2 32,9 13 4,11 4,76 5,89 7,04 8,63 9,93 12,34 15,12 16,98 19,81 22,4 25,5 27,7 34,6 14 4,66 5,37 6,57 7,79 9,47 10,82 13,34 16.22 18,15 21,1 23,7 26,9 29,1 36,1 15 5,23 5,98 7,26 8,55 10,31 11,72 14,34 17,32 19,31 22,3 25,0 28,3 30,6 37,7 16 5,81 6,61 7,96 9,31 11,15 12,62 15,34 18,42 20,5 23,5 26,3 29,6 32,0 39,3 17 6,41 7,26 8,67 10,08 12,00 13,53 16,34 19,51 21,6 24,8 27,6 31.0 33,4 40,8 18 7,02 7,91 9,39 10,86 12,86 14,44 17,34 20,6 22,8 26,0 28,9 32,3 34,8 42,3 19 7,63 8,57 10,11 11,65 13,72 15,35 18,34 21,7 23,9 27,2 30,1 33,7 36,2 43,8 20 8,26 9,24 10,85 12,44 14,58 16,27 19,34 22,8 25,0 28,4 31,4 35,0 37,6 45,3 21 8,90 9,92 11,59 13,24 15,44 17,18 20,3 23,9 26,2 29,6 32,7 36,3 38.9 46,8 22 9,54 10,60 12,34 14,04 16,31 18,10 21,3 24,9 27,3 30.8 33,9 37,7 40.3 48,3 23 10,20 11,29 13,09 14,85 17,19 19,02 22,3 26,0 28,4 32,0 35,2 39,0 41,6 49,7 23 10,86 11,99 13,85 15,66 18,06 19,94 23,3 27,1 29,6 33,2 36,4 40,3 43,0 51,2 25 11,52 12,70 14,61 16,47 18,94 20,9 24,3 28,2 30,7 34,4 37,7 41,7 44.3 52,6 26 12,20 13,41 15,38 17,29 19,82 21,8 25,3 29,2 31,8 35,6 38,9 42,9 45,6 54,1 27 12,88 14,12 16,15 18,11 20,7 22,7 26,3 30,3 32,9 36,7 40,1 44,1 47.0 55,5 28 13,56 14,85 16,93 18,94 21,6 23,6 27,3 31,4 34,0 37,9 41,3 45,4 48,3 56,9 29 14,26 15,57 17,71 19,77 22,5 24,6 28,3 32.5 35,1 39,1 41.6 46,7 49,6 58,3 30 14,95 16,31 18,49 20,6 23,4 25,5 29,3 33,5 36,2 40,3 43,8 48,0 50,9 59,7 Примечание: ную формулу Для большого числа (т) Я у [(/а + yjlm -1 Р , т где степеней свободы можно использовать приближен- Ua - квантиль нормального распределения. 617 ПРИЛОЖЕНИЕ 7. Нижняя доверительная граница Р для вероятности безотказной работы при биномиальном плане испытаний и уровне доверия q = 0,8 р-Ю4 при объеме выборки Д' Г 3 4 5 6 7 8 9 10 8363 8513 1,00 5848 6687 7248 7647 7946 8178 0,99 98 97 5745 6575 7524 8232 8382 7923 8105 8253 7799 7979 7856 7734 8127 8002 6669 7284 7166 7049 7820 7696 7574 7454 7535 8049 5643 7129 7012 6896 6782 7218 7102 6987 7438 7321 7614 7496 7759 7640 7204 7379 7522 6873 6761 7090 6976 7263 7405 7290 6863 6752 7035 6532 6922 6811 6700 7403 96 5542 5442 95 5343 5463 6353 6244 6137 0,94 93 92 5245 5147 6030 5925 6557 6447 6934 6821 5051 5820 6337 91 90 4966 5717 4861 5614 6229 6122 6708 6597 6486 0,89 88 87 86 85 4738 5512 4675 4583 4492 4401 5412 0,84 7677 7557 7148 7880 6377 6269 5213 6015 6910 5805 5702 6055 6650 6540 6430 6322 5115 5599 5949 6215 6423 6591 6729 4311 4222 4134 5017 4921 5497 5845 5741 6108 6315 5396 6003 4825 5296 5638 5898 6482 6374 6267 4047 3960 4730 4636 5197 5098 5536 5434 5794 5690 6208 6102 5997 5892 6620 6512 6404 6297 6191 0,79 78 77 76 75 3874 4542 4450 5000 5788 4806 4711 4616 5486 5384 5685 5582 5284 5480 3538 4357 4266 4175 5333 5233 5134 5036 4938 5588 4903 5184 0,74 3455 3373 3292 3212 3132 4085 3996 3908 3820 3732 4521 4840 4744 5085 83 82 81 80 73 72 71 70 3789 3704 3621 5312 4427 4334 4242 4150 6161 4648 4552 4457 4986 4888 4791 4694 6641 6161 6055 7176 7063 6951 6840 6085 5379 5950 5846 5743 5640 5538 5278 5178 5079 4980 4882 5436 5335 5235 5135 5036 5567 5980 5876 5772 5669 5465 5364 5263 5163 ПРИЛОЖЕНИЕ 618 Продолжение табл. 7 Р ■ Ю4 при объеме выборки N 19 20 9145 9188 9227 9008 9051 9089 8875 8918 8956 8698 8745 8788 8827 8572 8619 8661 8700 8394 8447 8494 8537 8576 8213 8272 8325 8372 8415 8453 8092 8151 8204 8251 8294 8333 7906 7973 8032 8085 8132 8175 8214 7713 7789 7853 7914 7967 8015 8057 8096 7510 7597 7672 7739 7797 7851 7898 7941 7980 7294 7395 7482 7557 7624 7683 7735 7783 7826 7855 7181 7281 7367 7443 7509 7568 7621 7669 7712 7751 7068 7168 7254 7330 7396 7455 7508 7555 7598 7637 6957 7056 7142 7217 7284 7343 7395 7443 7486 7525 6846 6945 7031 7106 7172 7231 7284 7331 7374 7414 6736 6835 6921 6996 7062 7120 7173 7221 7264 7303 7010 7063 7111 7254 7193 И 12 13 14 15 16 17 100 0,99 98 97 96 95 8639 8745 8836 8914 8983 9043 9097 8506 8611 8701 8779 8847 8907 8960 8376 8481 8570 8647 8715 8775 8828 8249 8353 8442 8519 8586 8645 8124 8227 8318 8392 8459 8519 8001 8104 8192 8268 833Ь 0,94 93 92 7880 7982 8070 8146 7760 7862 7949 8025 7642 7743 7830 91 7525 7626 90 7409 0.89 88 87 86 85 0,84 83 82 81 18 6627 6726 6811 6886 6952 6519 6617 6702 6777 6843 6901 6954 7001 7044 7084 6411 6509 6594 6669 6734 6793 6845 6893 6936 6975 80 6305 6402 6487 6561 6627 6685 6737 6785 6828 6867 0,79 78 6199 6296 6380 6454 6519 6578 6630 6677 6720 6760 6093 6190 6274 6348 6413 6471 6523 6571 6614 6653 77 5989 6085 6169 6242 6307 6365 6417 6464 6507 6546 76 75 0,74 73 72 5884 5980 6064 6137 6202 6260 6312 6359 6402 6441 5781 5876 5960 6032 6097 6155 6207 6254 6296 6335 5678 5773 5856 5928 5993 6050 6102 6149 6192 6231 5576 5670 5753 5825 5889 5947 5998 6045 6087 6126 5474 5568 5650 5722 5786 5843 5895 5941 5984 6023 5683 5740 5792 5838 5880 5919 5581 5638 5689 5735 5778 5816 71 5373 5466 5548 5620 70 5272 5365 5446 5518 ПРИЛОЖЕНИЕ 619 Продолжение табл. Р ■ 104 при объеме выборки N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1,00 9262 9295 9324 9351 9377 9400 9421 9441 9460 9478 0,99 9124 9157 9186 9213 9238 9261 9283 9303 9321 9339 98 8991 9023 9053 9080 9105 9128 9149 9169 9188 9206 97 96 95 8862 8894 8923 8950 8975 8999 9020 9040 9059 9077 8735 8611 8767 8797 8824 8849 8872 8894 8914 8933 8951 8643 8673 8700 8725 8749 8771 8791 8810 8828 0,94 8489 8521 8551 8578 8604 8627 8649 8670 8689 8707 93 92 91 8368 8401 8431 8458 8484 8507 8529 8550 8569 8588 8249 8282 8312 8340 8365 8389 8411 8432 8470 8132 8165 8195 8222 8248 8272 8294 8315 8451 8335 90 8016 8048 8079 8106 8132 8156 8179 8200 8219 8238 0,89 7901 7933 7964 7992 8018 8042 8064 8585 8105 8124 88 7786 7819 7850 7878 7904 7928 7951 7972 7992 8011 87 7673 7706 7737 7765 7791 7815 7838 7859 7879 7898 86 7561 7594 7625 7653 7679 7703 7726 7748 7768 7787 85 7450 7483 7513 7541 7568 7592 7615 7637 7657 7676 0,84 7339 7372 7403 7431 7457 7482 7505 7526 7547 7566 83 82 7229 7262 7293 7321 7347 7372 7395 7417 7437 7456 7120 7153 7183 7212 7238 7263 7286 7308 7328 7347 81 7011 7044 7075 7103 7130 7155 7178 7199 7220 7239 80 6903 6936 6967 6995 7022 7047 7070 7091 7112 7131 0,79 6796 6829 6859 6888 6914 6939 6962 6984 7005 7024 78 6689 6722 6753 6781 6808 6832 6856 6877 6898 6917 77 6582 6616 6646 6675 6701 6726 6749 6771 6792 6811 76 6477 6510 6540 6569 6595 6620 6643 6665 6686 6705 75 6371 6404 6435 6463 6490 6515 6538 6560 6580 6600 0,74 6266 6300 6330 6359 6385 6410 6433 6455 6475 6495 73 72 6162 6195 6226 6254 6281 6305 6329 6350 6371 6390 6058 6091 6122 6150 6177 6201 6224 6246 6267 6286 71 5955 5988 6018 6046 6073 6098 6121 6242 6163 6182 70 5852 5885 5915 5943 5970 5994 6017 6039 6060 6079 8373 7 ПРИЛОЖЕНИЕ 620 Продолжение табл. 7 Р ■ 104 при объеме выборки N 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1.00 9494 9509 9524 9537 9551 9562 9574 9585 9596 9606 0,99 9355 9370 9385 9359 9411 9424 9435 9446 9457 9466 98 9222 9237 9252 9266 9279 9291 9303 9314 9324 9334 97 9093 9109 9123 9137 9150 9163 9175 9186 9196 9206 9072 9082 96 8968 8983 8998 9012 9025 9038 9050 9061 95 8845 8861 8875 8890 8903 8916 8928 8939 8950 8960 0.94 8724 8740 8755 8769 8783 8795 8808 8819 8830 8841 93 8605 8621 8636 8650 8664 8677 8689 8701 8712 8723 92 8487 8503 8519 8533 8547 8560 8572 8584 8595 8606 91 8371 8377 8402 8417 8431 8444 8457 8469 8480 8491 90 8255 8272 8287 8302 8316 8330 8342 8354 8366 8377 0.89 8141 8158 8174 8188 8203 8216 8229 8241. 8252 8264 88 8028 8045 8061 8076 8090 8103 8116 8128 8140 8151 87 7916 7933 7949 7964 7978 7991 8004 8017 8028 8040 86 7804 7821 7837 7852 7867 7880 7893 7906 7918 7929 85 7694 7711 7727 7742 7756 7770 7783 7795 7807 7819 0.84 7584 7601 7617 7632 7646 7660 7673 7686 7698 7709 83 7474 7491 7507 7523 7537 7551 7564 7577 7589 7600 82 7365 7382 7399 7414 7429 6443 6456 7468 7481 7492 81 7257 7274 7290 7306 7321 7335 7348 7361 7373 7384 80 7149 7167 7183 7198 7213 7227 7240 7253 7265 7277 0.79 7042 7059 7076 7091 7106 7120 7133 7146 7158 7170 6985 6999 7013 7027 7040 7052 7064 78 6935 6953 6969 77 6829 6846 6863 6878 6893 6907 6921 6934 6946 76 6723 6741 6757 6773 6788 6802 6815 6828 6840 75 6618 6635 6652 6667 6682 6696 6710 6723 6735 6747 0,74 6513 6530 6547 6563 6577 6592 6605 6618 6630 6642 73 6409 6426 6442 6458 6473 6487 6501 6514 6526 6538 72 6304 6322 6338 6354 6369 6383 6397 6409 6422 6434 71 6201 6218 6234 6250 6265 6279 6293 6303 6318 6330 70 6097 6115 6131 6147 6162 6176 6189 6202 6215 6227 ПРИЛОЖЕНИЕ 621 Окончание табл. 7 Р-104 при объеме выборки N 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1,00 9615 9624 9633 8641 9649 9656 9663 9670 9677 9683 0,99 9476 9485 9493 9502 9510 9517 9524 9531 9538 9544 98 9344 9353 9361 9370 9378 9385 9393 9400 9406 9463 97 9216 9225 9234 9243 9251 9258 9266 9273 9280 9287 96 9092 9101 9110 9119 9127 9135 9143 9150 9157 9164 95 8970 8980 8989 8998 9006 9014 9022 9029 9036 9043 0,94 8851 8860 8870 8878 8887 8895 8903 8910 8918 8925 93 8733 8743 8752 8761 8770 8778 8786 8793 8801 8808 92 8616 8626 8636 8645 8654 8662 8670 8678 8685 8692 91 8601 8511 8521 8530 8539 8547 8555 8563 8571 8578 90 8387 8397 8407 8416 8425 8434 8442 8450 8457 8465 0,89 8274 8484 8294 8321 8329 8337 8345 8352 8162 8172 8181 8303 8191 8312 88 8200 8209 8218 8226 8233 8241 87 8050 8061 8071 8080 8089 8098 8107 8115 8123 8130 86 7940 7950 7960 7970 7979 7988 7996 8005 8012 8020 85 7830 7840 7850 7860 7869 7878 7887 7895 7903 7911 0,84 7720 7731 7741 7751 7760 7769 7778 7786 7794 7802 83 7612 7622 7632 7642 7651 7660 7669 7678 7686 7694 82 7503 7514 7524 7534 7543 7552 7561 7570 7578 7586 81 7396 7406 7416 7426 7486 7445 7454 7642 7470 7478 80 7288 7299 7309 7319 7329 7338 7347 7355 7364 7371 0,79 7181 7192 7203 7213 7222 7231 7240 7249 7257 7265 73 7075 7086 7096 7106 7116 7125 7134 7143 7151 7159 77 6969 6980 6990 7000 7010 7019 7028 7037 7045 7053 75 6864 6874 6885 6895 6905 6914 6923 6932 6940 6948 75 6758 6769 6780 6790 6800 6809 6818 6827 6835 6843 0,74 6654 6665 6156 6685 6695 6704 6713 6722 6730 6738 73 6549 6560 6054 6581 6590 6600 6609 6618 6626 6634 72 6445 6456 5951 6477 6486 6496 6505 6514 6522 6530 71 6341 6352 5849 6373 6383 6392 6401 6410 6418 6427 70 6238 6249 5747 6270 6279 6289 6298 6307 6315 6323 ПРИЛОЖЕНИЕ 622 8. Квантили распределений статистик Vq и ПРИ у = 0,9; 0,95; 0,99 для уровней 0,1 и 0,9 Статистика I'J Статистика Р’ X Г 0,1 3 3 3 4 3 5 4 5 3 О 4 5 6 3 4 7 5 6 7 3 4 8 5 6 7 8 3 4 5 9 6 7 8 9 3 4 5 10 Y = 0,95 Y = 0,9 6 7 8 9 10 1,49 -2,32 С',96 33.04 ^1,24 -0.73 -3,72 -1,59 -0,91 0.64 -4,45 -1.94 ^1,10 - 0.73 - 0,56 -5,01 -2,18 -1,25 -0.83 -0,61 0.50 5,64 -2,47 -1.40 0.94 -0.70 -0.55 бог -6.05 -2,70 -1,56 -1.03 0.77 -0.62 -0,50 0,44 0,9 1.46 1.06 1.07 0.86 0,88 0.89 0.75 0.76 0.77 0.77 0,68 0,66 0.66 0,67 0.68 0.67 0.64 0.62 0,63 0.63 0.63 0.66 0.61 0.58 0.57 0.57 0.58 0.58 0.66 0.60 0.56 0.54 0.54 0.53 0.54 0.54 0.1 1,43 1,49 1,46 1.51 1,51 1,49 1,53 1,55 1,54 1,53 1,53 1,58 1,57 1,56 1,55 1, 52 1, 60 1, 60 1,59 1,58 1, 58 1,51 1,61 1,63 1,62 1,62 1,61 1,60 1.46 1,62 1,64 1,64 1,64 1,63 1,63 1, 62 у = 0,99 0.9 0,1 0.9 0.1 0.9 8.99 9.03 6.47 8.78 6.49 5.48 8,24 6.33 5.42 4.86 7,80 6,16 5.36 4,86 4.46 7,51 5.96 5.28 4.83 4.49 4,21 7.14 5.77 5,13 4,74 4.48 4.26 4.04 6,75 5.56 5.00 4.67 4.41 4.22 4.03 3,86 2,04 2.11 2,04 2,16 2,10 2.06 2,20 2.15 2.12 2,10 2,22 2.19 2.16 2,14 2,14 2,24 2.22 2.20 2.18 2.17 2,17 2,26 2.25 2,23 2,22 2,21 2.20 2,19 2.26 2.27 2,24 2.23 2,22 2,21 2,21 2,21 11.85 12.17 8,40 12.07 8,56 7.06 11,53 8.47 7.08 6,27 11,20 8,39 7,12 6,33 5,76 11,02 8,19 7,70 6.35 5.83 5.44 3.32 3.44 3.31 3.47 3.37 3.32 3.55 3,45 3.38 3.39 3,61 3.49 3.44 3.41 3.43 3,65 3,53 3.47 3,45 3.47 3,47 3,66 3.56 3,52 3,52 3.61 3,50 3,50 3,68 3.60 3.54 3.51 3,50 3.50 3.51 3.53 18.15 19,38 12.79 19.73 13,31 10.75 19.28 13.49 10.96 9,49 19,27 13,53 11.20 9,75 8,75 19.24 13.42 11.12 9,82 8.92 8.27 19.00 13.28 10.98 9,82 9.06 8.44 7.90 18.61 13,12 11,05 9.81 8,99 8.49 7.97 7,57 10,71 8.02 6.90 6.27 5.86 5,53 5,72 10,24 7,81 6,87 6,24 5,79 5,52 5,23 4,98 ПРИЛОЖЕНИЕ 623 Продолжение табл. 8 N К У - 0,9 0,1 3 4 5 6 11 7 8 9 10 11 3 4 5 6 12 7 8 9 10 И 12 3 4 5 6 13 7 8 9 10 11 12 13 3 4 5 6 14 Статистика VJ Статистика 7 8 9 10 11 12 13 14 -6,42 2,95 -1.75 -1,16 6,Х5 -0,66 0.54 0.46 01.42 6.92 -3.17 -1.88 -1,27 0.92 -4,71 -0.58 0.48 0,43 -0.39 -7.41 -3.37 -1.99 -1.35 - 0.98 ■0.77 -0,61 -01.52 -0.45 -0.4^1 -0.38 -7.65 -3.53 -2.17 -1.45 -1.06 -0.81 -0,66 0,54 0.48 042 0>.38 0,36 0.9 0.65 0.58 0.54 0.52 0.50 0,50 0.50 0.50 0,50 0,64 0.58 0.53 0,50 0.48 0,48 0,47 0.47 0.47 0.47 0.65 0,59 0,54 0.51 0.47 0.46 0.45 0.45 0.45 0.45 0,45 0.65 0.59 0.54 0.50 0.47 0,45 0,44 0.43 0,43 0.43 0.43 0,43 0.1 1,42 1.61 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1.64 1,64 1.37 1.60 1,66 1,67 1,67 1,66 1,66 1,65 1,64 1,64 1,34 1,60 1,67 1.68 1,68 1,68 1,68 1,68 1.68 1.67 1,67 1.25 1.59 1.67 1.69 1.69 1,69 1,69 1,68 1,68 1.68 1,68 1,68 0.1 0,9 у = 0,99 0.9 0,1 2,25 2,27 2,26 2,24 2,23 2,22 2,22 2,22 2,22 2,26 2,28 2,28 2,27 2,26 2,25 2,24 2,23 2,24 2,24 2,27 2,31 2,30 2,29 2,28 2,27 2,27 2.27 2.27 2.27 2.27 2.26 2.31 2.31 2.31 2,30 2. 29 2.28 2.28 2.27 2.28 2.29 2,28 9.87 7,71 6.72 6.16 5.79 5.46 5.23 5.03 4.85 9.41 7.42 6.54 5.97 5.63 5.36 5.16 4.99 4.84 4.68 9.23 7.38 6.57 6,03 5,65 5,40 5.17 5,01 4,87 4,73 4,61 8,84 7,18 6.38 5.91 5.58 5,35 5.14 4,98 4.86 4,73 4.61 4.48 3,67 3,58 3,55 3.52 3,51 3,51 3,51 3,53 3,55 3,72 3,62 3,58 3,55 3,54 3,54 3,53 3.54 3.55 3,57 3,74 3.66 3,60 3.57 3,57 3,57 3,56 3.57 3.58 3,60 3,61 3.75 3,68 3.62 3.59 3.58 3.58 3.58 3,58 3.60 3,61 3,62 3,63 у = 0.95 0,9 6,41 5,46 4.90 4.58 4.36 4.15 4.01 3.87 3.76 6.00 5.17 4.72 4.41 4.21 4.06 3.94 3.87 3.72 3,62 5,88 5,10 4.71 4,43 4,23 4.06 3,94 3.83 3,74 3,65 3,57 5.56 4,93 4.58 4,33 4,15 4,03 3.90 3,78 3,71 3,64 3,55 3,46 18,19 13.02 10,99 9.79 9,03 8,43 8,02 7,67 7,36 17,59 12,72 10.68 9.61 8.85 8,34 7,98 7,66 7,37 7,09 17,58 12,81 10,86 9,71 8,97 8,46 8,02 7.72 7,46 7,21 6,99 17,23 12,48 10,64 9.59 8.88 8.40 8.00 7.71 7.46 7.25 7.03 9.81 СО р) i iР сл '-J HJ о «ь сл 5: 40 ОО i i 40 о 04 -о.: Сл Р 624 ' Vi сл -О 40 со '■J 1 £ Л Л сл -J 4о 1 ОО 40 о р нS о н ж 1.59 40 о -< II о К) ОС CJ 40 сл со СО со со СО 40 40 40 40 Сл О IO 4- То СО О'. 04 *-о ОО но чО 04 сл сл ОО ьо со ОО р р оо N 00 N) оо оо но 'о со — 1 — р р N) ьо ьо оо ос ЭС сс ■но р Р J- Сл C.J СО -о о о Р оо 4о р р со '-Л СЛ сл сл сл Р Р оо р р -о -о ~~Д оо ОС Ьо р Cj о Со ОО чо о 04 ОС Оо р 4о сл о ю сл 4о 04 о —i Р5 Н -< S о о Р РЖ Ps р р О р р О -О Р -о со 04 -1. р II сл сл сл сл 04 оо оо -о оэ о сл о ОО 40 о 3.61 но Со 40. ЬО "СОо ОО чО 40. 04 3,61 СТ' сч ’-J с 40О 3,61 р р о ьэ го О СО Р Сл 6 ‘О I сэ 4- ПРИЛОЖЕНИЕ 1 О 1,69 1,69 1.69 1.69 1.68 1,69 89 ‘ сл С4 Р 1,67 Р) сл сл о ■ 1 40 1,70 ьо р -J 6‘ 0 О р р р р р р р О О 1,69 р р 0 ,4 ! р Р № "" -< -< II сэ 1 _ сл р р 40 9. Значения K(q, у, Л) 7 = 0 ,75 V 0,875 3 4 5 6 7 8 9 10 0,95 3,152 2,680 2,463 2,336 2,250 2,192 2,141 2,103 2,073 2,048 2,026 2,007 1,991 1,977 1,964 1,951 1,942 1,933 1,923 1,916 1,907 1,901 1,895 1,869 1,849 1,834 1,821 1,811 0,99 4,396 3,726 3,42: 3,243 3,126 3,042 2,977 2,927 2,885 2,851 2,822 2,796 2,776 2,756 2,739 2,723 2,711 2,697 2,686 2,675 2,665 2,656 2,647 2,613 2,588 2,568 2,552 2,538 0,875 2,602 1,972 1,698 1,540 1,435 1,360 1302 1,257 1,219 1,188 1,162 1,139 1,119 1,101 1,085 1,071 1,058 1,046 1,035 1,025 1,016 1,007 0,999 0,966 0,942 0,923 0,908 0,894 7 = 0,99 0,99 10 552 7,042 5,741 5,062 4,641 4,353 4,143 3,981 3,852 3,747 3,659 3,585 3,520 3,463 3,415 3,370 3,331 3,295 3,262 3,233 3,206 3,181 3,158 3,064 2,994 2,941 2,897 2,863 0,875 0,90 0,95 0,99 - - - - - - - - 2,849 2,490 2,252 2,085 1,954 1,854 1,771 1,702 1645 1,596 1,553 1,514 1,481 1,450 1,424 1,397 1,376 1,355 1,336 1,319 1,249 1,195 1,154 1,122 1,096 4,408 3,856 3,496 3,242 3,048 2,897 2,773 2,677 2,592 2,521 2,458 2,405 2,357 2,315 2,275 2,241 2,208 2,179 2,154 2,129 2,029 1,957 1,902 1,857 1,821 5,409 4,730 4,287 3,971 3,739 3,557 3,410 3,290 3,189 3,102 3,028 2,962 2,906 2,855 2,807 2,768 2,729 2,693 2,663 2,632 2,516 2,431 2,365 2,313 2,296 7,334 6,411 5,811 5,389 5,075 4,828 4,633 4,472 4,336 4,224 4,124 4,038 3,961 3,893 3,832 3,776 3,727 3,680 3,638 3,601 3,446 3,334 3,250 3,181 3,124 625 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50 0,90 2,501 2,134 1,961 1,860 1,791 1,740 1,702 1,671 1,646 1,624 1,606 1,591 1,577 1,566 1,554 1,544 1,536 1,528 1,520 1,514 1,508 1,502 1,496 1,475 1,458 1,445 1,435 1,426 7 = 0,95 вероятн осто q 0,875 0,90 0,95 3,804 6,158 7,655 2,619 4,163 5,145 2,149 3,407 4,202 1,895 3,006 3,707 1,732 2,755 3,399 1,617 2,582 3,188 1,532 2,454 3,031 1,465 2,355 2,911 1,411 2,275 2,815 1,366 2,210 2,736 1,329 2,155 2,670 1,296 2,108 2,614 1,268 2,068 2,566 1,242 2,032 2,523 1,220 2,001 2,486 1,200 1,974 2,453 1,183 1,949 2,423 1,926 3,396 1,167 1,152 1,905 2,371 1,887 2,350 1,138 1,126 1,869 2,329 1,114 1,853 2,309 1,103 1,838 2,292 1,059 1,778 2,220 1,732 2,166 1,025 0,999 1,697 2,126 0,978 1,669 2,092 0,961 1,646 2,065 ПРИЛОЖЕНИЕ 11 1,464 1,256 1,152 1,087 1,043 1,010 0,984 0,964 0,947 0,933 0,919 0,909 0,899 0,891 0,883 0,876 0,870 0,865 0,859 0,854 0,849 0,845 0,842 0,825 0,812 0,803 0,795 0,788 у = 0,90 Доверг телоная 0,90 0,95 0,99 4,258 5,310 7,340 3,187 3,957 5,437 2,742 3,400 4,666 2,494 3,091 4,242 2,333 2,894 3,972 2,219 2,755 3,783 2,133 2,649 3,641 2,065 2,568 3,532 2,012 2,503 3,444 1,966 2,448 3,371 1,928 2,403 3,310 1,895 2,363 3,257 1,866 2,329 3,212 1,842 2,299 3,172 1,820 2,272 3,136 1,800 2,249 3,106 1,781 2,228 3,078 1,765 2,208 3,052 1,750 2,190 3,028 1,736 2,174 3,007 1,724 2,159 2,987 1,712 2,145 2,969 1,702 2,132 2,952 1,657 2,080 2,884 1,623 2,041 2,833 1,598 2,010 2,793 1,577 1,986 2,762 1,560 1,965 2,735 10. Коэффициенты a„_,+], используемые при проверке распределения на нормальность с помощью критерия W, для п =3 ... 50 3 4 5 6 7 8 9 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6052 0,5888 0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,0561 0,0947 1 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,4808 0,3232 0,2561 0,2059 0,1641 0,1271 0,0932 0,0612 0,0303 12 13 14 15 16 17 18 0,5601 0,3315 0,2260 0,1429 0,0695 0,5475 0,3325 0,2347 0,1586 0,0922 0,0303 0,5359 0,3325 0,2412 0,1707 0,1099 0,0539 0,5251 0,3318 0,2460 0,1802 0,1240 0,0727 0,0240 0,5150 0,3306 0,2495 0,1878 0,1353 0,0880 0,0433 0,5056 0,3290 0,2521 0,1939 0,1447 0,1005 0,0593 0,0196 0,4968 0,3273 0,2540 0,1988 0,1524 0,1109 0,0725 0,0359 0,4886 0,3253 0,2553 0,2027 0,1587 0,1197 0,0837 0,0496 0,0163 11 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0,4734 0,3211 0,2565 0,2085 0,1686 0,1334 0,1013 0,0711 0,0422 0,0140 0,4643 0,3185 0,2578 0,2119 0,1736 0,1399 0,1092 0,0804 0,0530 0,0263 0,4590 0,3156 0,2571 0,2131 0,1764 0,1443 0,1150 0,0878 0,0618 0,0368 0,0122 0,4542 0,3126 0,2563 0,2139 0,1787 0,1480 0,1201 0,0941 0,0696 0,0459 0,0228 0,4493 0,3098 0,2554 0,2145 0,1807 0,1512 0,1245 0,0997 0,0764 0,0539 0,0321 0,0107 0,4450 0,3069 0,2543 0,2148 0,1822 0,1539 0,1283 0,1046 0,0823 0,0610 0,0403 0,0200 0,4407 0,3043 0,2533 0,2151 0,1836 0,1563 0,1316 0,1089 0,0876 0,0672 0,0476 0,0284 0,0094 0,4366 0,3018 0,2522 0,2152 0,1848 0,1584 0,1346 0,1128 0,0923 0,0728 0,0540 0,0358 0,0178 0,4328 0,2992 0,2510 0,2151 0,1857 0,1601 0,1372 0,1162 0,0965 0,0778 0,0598 0,0424 0,0253 0,0084 0,4291 0,2968 0,2499 0,2150 0,1864 0,1616 0,1395 0,1192 0,1002 0,0822 0,0650 0,0483 0,0320 0,0159 0,4254 0,2944 0,2487 0,2148 0,1870 0.1630 0,1415 0,1219 0,1036 0,0862 0,0697 0,0537 0,0381 0,0227 0,0076 0,4220 0,2921 0,2475 0,2145 0,1874 0,1641 0,1433 0,1243 0,1066 0,0899 0,0739 0,0585 0,0435 0,0289 0,0144 0,4188 0,2898 0,2463 0,2141 0,1878 0,1651 0,1449 0,1265 0,1093 0,0931 0,0777 0,0629 0,0485 0,0344 0,0206 0,0068 0,4156 0,2876 0,2451 0,2137 0,1880 0,1660 0,1463 0,1284 0,1118 0,0961 0,0812 0,0669 0,0530 0,0395 0,0262 0,0131 0,4127 0,2854 0,2439 0,2132 0,1882 0,1667 0,1475 0,1301 0,1140 0,0988 0,0844 0,0706 0,0572 0,0441 0,0314 0,0187 0,0062 11 12 13 14 15 16 17 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,5739 0,3291 0,2141 0,1224 0,0399 Продолжение табл. 10 11 37 38 39 0,4096 0,2834 0,2427 0,2127 0,1883 0,1673 0,1487 0,1317 0,1160 0,1013 0,0873 0,0739 0,0610 0,0484 0,0361 0,0239 0,0119 0,4068 0,2813 0,2415 0,2121 0,1883 0,1678 0,1496 0,1331 0,1179 0,1036 0,0900 0,0770 0,0645 0,0523 0,0404 0,0287 0,0172 0,0057 0,4040 0,2794 0,2403 0,2116 0,1883 0,1683 0,1505 0,1344 0,1196 0,1056 0,0924 0,0798 0,0677 0,0559 0,0444 0,0331 0,0220 0,0110 0,4015 0,2774 0,2391 0,2110 0,1881 0,1686 0,1513 0,1356 0,1211 0,1075 0,0947 0,0824 0,0706 0,0592 0,0481 0,0372 0,0264 0,0158 0,0053 0,3989 0,2755 0,2380 0,2104 0,1880 0,1689 0,1520 0,1366 0,1225 0,1092 0,0967 0,0848 0,0733 0,0622 0,0515 0,0409 0,0305 0,0203 40 0,3964 0,2737 0,2368 0,2098 0,1878 0,1691 0,1526 0,1376 0,1237 0,1108 0,0986 0,0870 0,0759 0,0651 0,0546 0,0444 0,0343 0,0244 0,01(^1 0,0146 0,0049 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 0,3940 0,2719 0,2357 0,2091 0,1876 0,1693 0,1531 0,1384 0,1249 0,1123 0,1004 0,0891 0,0782 0,0677 0,0575 0,0476 0,0379 0,0283 0,0188 0,0094 0,3917 0,2701 0,2345 0,2085 0,1874 0,1694 0,1535 0,1392 0,1259 0,1136 0,1020 0,0909 0,0804 0,0701 0,0602 0,0506 0,0411 0,0318 0,0227 0,0136 0,0045 0,3894 0,2684 0,2334 0,2078 0,1871 0,1695 0,1539 0,1398 0,1269 0,1149 0,1035 0,0927 0,0824 0,0724 0,0628 0,0534 0,0442 0,0352 0,0263 0,0175 0,0087 0,3872 0,2667 0,2323 0,2072 0,1868 0,1695 0,1542 0,1405 0,1278 0,1160 0,1049 0,0943 0,0842 0,0745 0,0651 0,0560 0,0471 0,0383 0,0296 0,0211 0,0126 0,0042 0,3850 0,2651 0,2313 0,2065 0,1865 0,1695 0,1545 0,1410 0,1286 0,1170 0,1062 0,0959 0,0860 0,0765 0,0673 0,0584 0,0497 0,0412 0,0328 0,0245 0,0163 0,0081 0,3830 0,2635 0,2302 0,2058 0,1862 0,1695 0,1548 0,1415 0,1293 0,1180 0,1073 0,0972 0,0876 0,0783 0,0694 0,0607 0,0522 0,0439 0,0357 0,0277 0,0197 0,0118 0,0039 0,3808 0,2620 0,2291 0,2052 0,1859 0,1695 0,1550 0,1420 0,1300 0,1189 0,1085 0,0986 0,0892 0,0801 0,0713 0,0628 0,0546 0,0465 0,0385 0,0307 0,0229 0,0153 0,0076 0,3789 0,2604 0,2281 0,2045 0,1855 0,1693 0,1551 0,1423 0,1306 0,1197 0,1095 0,0998 0,0906 0,0817 0,0731 0,0648 0,0568 0,0489 0,0411 0,0335 0,0259 0.0185 0,0111 0,0037 0,3770 0,2589 0,2271 0,2038 0,1851 0,1692 0,1553 0,1427 0,1312 0,1205 0,1105 0,1010 0,0919 0,0832 0,0748 0,0667 0,0588 0,0511 0,0436 0,0361 0,0288 0,0215 0,0143 0,0071 0,3751 0,2574 0,2260 0,2032 0,1847 0,1691 0,1554 0,1430 0,1317 0,1212 0,1113 0,1020 0,0932 0,0846 0,0764 0,0685 0,0608 0,0532 0,0459 0,0386 0,0314 0,0244 0,0174 0,0104 0,0035 627 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 36 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 628 ПРИЛОЖЕНИЕ 11. Процентили критерия W, используемого для проверки распределения на нормальность, для п = 3 ... 50 п 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1 0,753 0,687 0,686 0,713 0,730 0,749 0,764 0,781 0,792 0,805 0,814 0,825 0.835 0,844 0,851 0,858 0,863 0,868 0,873 0,878 0,881 0,884 0,888 0,891 0,894 0,896 0,898 0,900 0,902 0,904 0,906 0,908 0,910 0,912 0,914 0.916 0,917 0,919 0,920 0,922 0,923 0,924 0,926 0,927 0,928 0,929 0,929 0,930 Процентили критерия W при значении а 2 5 10 0,756 0,767 0,789 0,707 0,792 0,748 0,715 0,762 0,806 0,743 0,826 0,788 0,760 0,803 0,838 0,778 0,818 0,851 0,791 0,829 0,859 0,806 0,842 0,869 0,817 0,850 0,876 0,828 0,859 0,883 0,837 0,866 0,889 0,846 0,874 0,895 0,855 0,881 0,901 0,863 0,887 0,906 0,869 0,892 0,910 0,874 0.897 0,914 0,879 0.917 0.901 0,884 0,905 0,920 0,888 0,908 0,923 0,892 0,911 0,926 0,895 0,914 0,928 0,898 0,916 0,930 0,901 0,918 0,931 0,904 0,920 0,933 0,906 0,923 0,935 0,908 0,924 0,936 0,910 0.926 0.937 0,912 0,927 0,939 0,914 0,929 0,940 0,915 0,930 0,941 0,917 0,931 0,942 0,919 0,933 0,943 0,920 0,944 0.934 0,922 0,935 0,945 0,924 0,936 0,946 0,925 0,938 0,947 0,927 0,939 0,948 0,928 0,940 0,949 0,929 0.941 0,950 0,930 0,942 0,951 0,932 0,951 0,943 0,933 0,944 0,952 0,934 0,945 0,953 0,935 0,945 0,953 0,936 0,954 0,946 0,937 0,947 0,954 0,937 0,947 0,955 0,938 0,947 0,955 50 0,959 0.935 0,927 0,927 0,928 0,932 0,935 0,938 0,940 0,943 0,945 0,947 0,950 0,952 0,954 0.956 0,957 0.959 0,960 0,961 0,962 0.963 0,964 0,965 0,965 0,966 0,966 0,967 0.967 0,968 0,968 0.969 0,969 0,970 0,970 0,971 0.971 0,972 0,972 0.972 0,973 0,973 0,973 0,974 0,974 0,974 0,974 0.974 629 ПРИЛОЖЕНИЕ 12. Постоянные у, т| и £, используемые для нахождения вероятности получения вычисленного значения W при проверке распределения на нормальность п У Л 8 п У Л 8 3 0,625 01386 017500 27 -5 ,905 11 905 0 11980 4 1107 01714 016297 28 -5 ,988 11915 0 11943 5 1,530 0,935 015521 29 -6,074 11 934 011907 6 2,010 1,138 014963 30 -6 160 1, 949 0 11872 7 2,356 11245 014533 31 -6 248 11 965 011840 8 2,696 1,333 014186 32 -6,324 11 976 011811 9 2,968 11400 013900 33 6 402 11 988 011781 10 3262 11471 03660 34 -6,480 21000 011755 11 3485 11515 013451 35 -6,559 2 012 011727 12 3,731 11571 03270 36 -6,640 21024 011702 13 3,936 1,613 03111 37 -6,721 21037 011677 14 41J55 1, 655 02969 38 -6.803 21049 011656 15 4373 1, 695 012842 39 -6,887 21062 011633 16 4,567 1, 724 012727 40 -6,961 21075 011612 17 4,713 1,739 012622 41 -7,035 21088 011591 18 4,885 11 770 012528 42 -7 111 21101 011572 19 5,018 11 786 012440 43 -7,188 2 1114 011552 20 51153 1, 802 012359 44 -7,266 21128 011534 21 5,291 1,818 012264 45 -7,345 21141 011516 22 54113 1,835 02207 46 -7414 2 155 0 11499 23 5,508 11 848 0 1 2157 47 -7484 2 169 0 11482 24 5,605 11 862 0 1 2106 48 -7,555 2 1183 011466 25 5,704 1, 876 02063 49 -7,615 2198 011451 26 5,803 1, 890 02020 50 -7,677 2 1212 011436 630 ПРИЛОЖЕНИЕ 13. Процентили для критерия 95%-й интервал И'ЕО 90%-й интервал /1 Нижняя граница Верхняя граница Нижняя граница Верхняя граница 1 0.025 0,260 0.033 0.225 8 0.025 0.230 0.032 0.200 9 0.025 0.205 0,031 0.177 10 0.025 0.184 0.030 0.159 11 0.025 0,166 0.030 0.145 12 0.025 0,153 0.029 0.134 13 0.025 0.140 0,028 0.124 14 0,024 0,128 0,027 0.115 15 0.024 0.119 0.026 0.106 16 0.023 0.113 0,025 0.098 17 0.023 0,107 0.024 0.093 18 0.022 0.101 0.024 0.087 19 0.022 0,096 0.023 0.083 20 0.021 0.090 0.023 0.077 21 0.020 0,085 0,022 0.074 22 0.020 0.080 0.022 0.069 23 0.019 0,075 0.021 0.065 24 0.019 0,069 0.021 0.062 25 0.018 0,065 0,020 0.058 26 0.018 0,062 0.020 0.056 27 0.017 0.058 0.020 0.054 28 0.017 0.056 0,019 0.052 29 0.016 0.054 0.019 0.050 30 0.016 0,053 0.019 0.048 31 0.016 0,051 0.018 0.047 32 0.015 0,050 0.018 0.045 33 0.015 0,048 0.018 0.044 34 0.014 0,046 0.017 0.043 35 0.014 0,045 0,017 0.041 631 ПРИЛОЖЕНИЕ 14. Процентили для критерия И/: п 95%-й интервал Нижняя граница Верхняя граница 90%-й интервал Нижняя граница Верхняя граница 7 0.062 0.404 0,071 0,358 8 0.054 0,342 0.062 0,301 9 0.050 0,301 0.058 0,261 10 0.049 0,261 0.056 0,231 11 0.046 0.234 0.052 0.208 12 0.044 0.215 0.050 0,19! 13 0.040 0,195 0.046 0.173 14 0.038 0,178 0.043 0,159 15 0.036 0.163 0.040 0.145 16 0. 034 0.150 0,038 0,134 17 0.030 0.135 0,034 0,120 18 0.028 0.123 0.031 0,109 19 0.026 0.114 0.029 0,102 20 0,025 0,106 0,028 0.095 21 0.024 0.101 0.027 0,091 22 0.023 0,094 0.026 0.084 23 0.022 0,087 0.025 0,078 24 0.021 0.082 0.024 0,074 25 0.021 0,078 0.023 0,070 26 0.020 0.073 0.022 0,066 27 0.020 0.070 0.022 0,063 28 0.019 0.067 0.021 0,061 29 0.019 0.064 0,021 0,058 30 0.018 0,060 0,020 0,054 31 0,017 0,057 0,019 0,052 32 0.017 0,055 0,019 0,050 33 0.017 0.053 0.018 0,048 34 0.017 0.051 0,018 0.047 0.016 0,049 0.018 0.045 35 632 ПРИЛОЖЕНИЕ 15. Критерий А. Н. Колмогорова. Значения теоретической функции А. Н. Колмогорова К(у)* У - - 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0.43 0,44 0.45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0.53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0.60 ад* У К(у)* У 0,61 0.1492 1,00 0,62 0,1632 1,01 0,63 0,1777 1.02 0.64 0,1927 1.03 0,65 0,2080 1,04 0,66 0,2236 1,05 0,0'1 0,67 0,2396 1,06 0,0'4 0,68 0,2558 1,07 0,0'9 0,69 0,2722 1,08 0,0’21 0,70 0,2888 1,09 0,0’46 0,71 0,3055 1,10 0,0’91 0,72 0,3223 1,11 0,0'171 0.73 0,3391 1,12 0,0'303 0,74 0,3560 1,13 0,0'511 0,75 0,3728 1,14 0,0’826 0,76 0,3896 1.15 0,0'128 0,77 0,4064 1,16 0,0’193 0,78 0,4230 1,17 0,0'281 0,79 0,4395 1.18 0.0’397 0.80 0,4558 1,19 0,0’548 0.81 0,4720 1,20 0,0’738 0.82 0,4880 1.21 0,0'973 0,83 0,5038 1,22 0,0126 0,84 0,5194 1,23 0,0160 0.85 0,5347 1,24 0,0200 0,86 0,5497 1,25 0,0247 0,87 0,5645 1,26 0,0300 0,88 0,5791 1,27 0.0360 0,89 0,5933 1,28 0,0428 0,90 0,6073 129 0,0503 0,91 0,6209 1,30 0,0585 0.92 0,6343 1,31 0,0675 0,93 0.6473 1.32 0,0772 0,94 0,6601 1.33 0,0876 0,95 0,6725 1.34 0,0986 0.96 0,6846 1,35 0.1104 0.97 0,6964 1,36 0,1228 0,98 0,7079 1,37 0,1357 0,99 0,7191 1.38 1,39 - Оу* У W)* У ад* 0,7300 0,7406 0,7508 0.7608 0,7704 0,7798 0,7889 0,7976 0,8061 0,8143 0,8223 0,8299 0.8373 0.8445 0,8514 0,8580 0.8644 0,8706 0,8765 0.8822 0,8877 0,8930 0,8981 0,9030 0,9076 0,9121 0.9164 0,9205 0,9245 0,9283 0,9319 0,9354 0,9387 0,9418 0,9449 0,9477 0,9505 0,9531 0,9556 0,9580 1.40 1,41 1,42 1,43 1.44 1,45 1,46 1.47 1,48 1,49 1.50 1,51 1,52 1,53 1,54 1.55 1,56 1,57 1,58 1.59 1.60 1.61 1,62 1,63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1,70 1.71 172 1.73 1.74 1,75 176 1.77 1.78 1.79 0.9603 0,9625 0.9645 0,9665 0,9684 0,9701 0,9718 0,9734 0,9750 0.9764 0,9778 0.9791 0,9803 0.9815 0,9826 0,9836 0,9846 0,9855 0,9864 0,9873 0,9880 0,9888 0.9895 0,9’015 0.9’078 0,9’136 0.9’192 0,9’244 0,9’293 0.9’339 0,9’383 0,9'423 0.9'461 0,9'497 0.9’531 0,9’562 0.9’592 0,9’620 0,9’646 0,9’670 1,80 1,81 182 1,83 1.84 1.85 186 0,9’693 0,9'715 0,9’735 0,9'753 0,9’770 0,9’787 0,9’802 0,9’814 0,9’830 0,9’842 0,9’854 0,9’864 0,9’874 0,9’884 0.9’892 0,9’004 0,9'079 0,9'149 0,9’213 0,9’273 0,9’329 0,9’380 0,9'428 0.9'474 0,9’516 0,9’552 0,9’588 0,9’620 0.9’650 0,9’680 0,9’705 0.9’723 0,9’750 0,9’770 0,9’790 0,9’806 0,9’822 0,9’838 0,9’852 0,9’864 1.87 188 189 1.90 1,91 192 193 1,94 1.95 196 197 1,98 1,99 2,00 2,01 2.02 2.03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2.10 2.11 2,12 2,13 2.14 2.15 2,16 2.17 2.18 2,19 ад* У 2,20 0.9’874 2.21 0.9’886 2,22 0,9’896 2,23 0,9’04 2,24 0.9’12 2,25 0,9’20 2,26 0,9’26 2,27 0.9’34 2,28 0.9’40 2,29 0,9'44 2,30 0,9’49 2,31 0,9’54 2,32 0,9’58 2.33 0,9’62 2.34 0,9’65 2,35 0,9’68 2.36 0,9’70 2.37 0,9’73 2,38 0,9’76 2,39 0,9’78 2,40 0,9’80 2,41 0.9’82 2,42 0,9’84 2,43 0,9’86 2,44 0.9’87 2,45 0,9’88 2,46 0,9’89 0,9' 2,47 2.48 0,9’10 2.49 0,9'20 2,50 0,9’25 2,55 0,9'56 2,60 0,9'74 2,65 0,9'84 2,70 0.9600 2,75 0,9640 2,80 0.9б70 2.85 0.9682 2,90 0,9' 2,95 0,9’40 3,00 0,9'70 П>им1счаиис. Число в степени показывает, сколько раз должна быть повторена цифра и т.д. в числе, степень которой указывается, например: О,О’1 = 0,000001; 0.9'383 = 0,99383 633 ПРИЛОЖЕНИЕ 16. Критические значения максимального отклонения (dna) эмпирической функции распределения от теоретической (случай конечных объемов выборки) V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 a = 0,20 a = 0,10 a = 0,05 a = 0,02 a = 0,01 0,900 0,684 0,565 0,493 0,447 0,410 0,381 0,358 0,339 0,323 0,308 0,296 0,285 0,275 0,266 0,258 0,250 0,244 0,237 0,232 0,226 0,221 0,216 0,212 0,208 0,204 0,200 0,197 0,193 0,190 0,187 0,184 0,182 0,179 0.177 0,174 0,950 0,776 0,636 0,565 0,509 0,468 0,436 0,410 0,387 0,369 0,352 0,338 0,325 0,314 0,304 0,295 0,286 0,279 0,271 0,265 0,259 0,253 0,247 0,242 0,238 0,233 0,229 0,225 0,221 0,218 0,214 0,211 0,208 0,205 0,202 0,199 0,975 0,842 0,708 0,624 0,563 0,519 0,483 0,454 0,430 0,409 0,391 0,375 0,361 0,349 0,338 0,327 0,318 0,309 0,301 0,294 0,287 0,281 0,275 0,269 0,264 0,259 0,254 0,250 0,246 0,242 0,238 0,234 0,231 0,227 0,224 0,221 0,990 0,900 0,785 0,689 0,627 0,577 0,538 0,507 0,480 0,457 0,437 0,419 0,404 0,390 0,377 0,366 0,355 0,346 0,337 0,329 0,321 0,314 0,307 0,301 0,295 0,290 0,284 0,279 0,275 0,270 0,266 0,262 0,258 0,254 0,251 0,247 0,995 0,929 0,829 0,734 0,669 0,617 0,576 0,542 0,513 0,489 0,468 0,449 0,432 0,418 0,404 0,392 0,381 0,371 0,361 0,352 0,344 0,337 0,330 0,323 0,317 0,311 0,305 0,300 0,295 0,290 0,285 0,281 0,277 0,273 0,269 0,265 634 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 16 V а = 0,20 а = 0,10 а = 0,05 а = 0,02 а = 0,01 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 0,172 0,170 0,168 0,165 0,163 0,162 0,160 0,158 0,156 0,155 0,153 0,151 0,150 0,148 0,147 0,146 0,144 0,143 0,142 0,140 0,139 0,138 0,137 0,136 0,135 0,133 0,132 0,132 0,131 0,130 0,129 0,128 0,127 0,126 0,125 0,124 0,123 0,122 0,196 0,194 0,191 0,189 0,187 0,185 0,183 0,181 0,179 0,177 0,175 0,173 0,171 0,170 0,168 0,166 0,165 0,163 0,162 0,160 0,159 0,158 0,156 0,155 0,154 0,153 0,151 0,150 0.149 0,148 0,147 0,146 0,145 0,144 0,143 0,142 0,141 0,140 0,218 0,215 0,213 0,210 0,208 0,205 0,203 0,201 0,198 0,196 0,194 0.192 0,190 0,188 0,187 0,185 0,183 0,181 0,180 0.178 0,177 0,175 0,174 0,172 0,171 0.170 0,168 0,167 0,166 0,164 0,163 0,162 0,161 0.160 0,159 0,158 0,156 0,155 0,244 0,241 0,238 0,235 0,232 0,229 0,227 0,224 0,222 0,219 0,217 0,215 0,213 0,211 0,209 0,207 0,205 0,203 0,201 0,199 0,198 0,196 0,194 0,193 0,191 0,190 0,188 0,187 0,185 0,184 0,183 0,181 0,180 0,179 0,177 0,176 0,175 0,174 0,262 0,258 0,255 0,252 0,249 0,246 0,243 0,241 0,238 0,235 0,233 0,23 1 0,228 0,226 0,224 0,222 0,220 0,218 0,216 0,214 0,212 0,210 0,208 0,207 0,205 0.203 0.202 0,200 0,199 0,197 0,196 0,194 0,193 0,192 0,190 0,189 0,188 0,186 635 ПРИЛОЖЕНИЕ Окончание табл. 16 V а = 0,20 а = 0,10 а = 0,05 а = 0,02 а = 0,01 75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185 76 0,121 0,138 0,153 0,172 0,184 77 0,120 0,137 0,152 0,170 0,183 78 0,119 0,136 0,151 0,169 0,182 79 0,119 0,136 0,151 0,168 0,181 80 0,118 0.135 0,150 0,167 0,179 81 0,117 0,134 0,149 0,166 0,178 82 0,116 0,133 0,148 0,165 0,177 83 0,116 0,132 0,147 0,164 0,176 84 0,115 0,131 0,146 0,163 0,175 85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174 86 0,114 0,130 0,144 0,161 0,172 87 0,113 0,129 0,144 0,161 0,172 88 0,112 0,128 0,143 0,160 0,171 89 0,112 0,128 0,142 0,159 0,170 90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169 91 0,111 0,126 0,140 0,157 0,168 92 0,110 0,126 0,140 0,156 0,168 93 0,109 0,125 0,139 0,155 0,167 94 0,109 0,124 0,138 0,155 0,166 95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165 96 0,108 0,123 0,137 0,153 0,164 97 0,107 0,122 0,136 0,152 0,163 98 0,107 0,122 0,135 0,151 0,162 99 0,106 0,121 0,135 0,151 0,162 100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161 636 ПРИЛОЖЕНИЕ 17. Статистический критерий значимости P(ht, Л2) изменения частот (при значениях т, < и /и, < m2 вероятность P(ht, I12) >0,16) «! = 5О; «2= 50 = 1ОО; «2= 50 P(h.ih) "'1 Р(й,. Л,) при тг = 1 при тг = 1 О.1О2 5 8 9 10 0.135 0.096 0.068 «= 100 «2= 70 "1 = 1ОО; «2= 60 P(h}. Лг) при тг P(h}. Иг) при пъ 1 0,129 0,087 0,058 0,038 7 8 9 10 «1, 2 6 7 8 9 10 0,147 0,104 1 2 0,138 0,089 0,057 0,035 0,022 0,141 0,096 0,065 «|=100; и2 = 90 «,= 100;«2=80 Р(Й|. Иг) при тг Р(^?1. Иг) при тг «7, 1 6 7 8 9 10 0.103 0.063 0.038 0.022 0.013 1 2 0.099 0,064 0.040 5 6 7 8 9 10 2 3 0.132 0.078 0.045 0.025 0.014 0.008 0.113 0.070 0.143 0.095 0.061 0.043 0,026 «1 = 100: «2= 100 «г. 5 6 7 8 9 10 /'(Л,. Л,) при тг 1 2 3 4 5 0.106 0.059 0.032 0.017 0.009 0.005 0.140 0.085 0.050 0.029 0.017 0.166 0.107 0,067 0.041 0,125 0.082 0.141 637 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 17 и, = «1 = 200; «2 = 100 200; П2 = 80 Р(Л, Л2) при т2 8 9 10 0,128 10 P(li,. h2) при т2 от. и, = 200;«> = 120 7 8 9 10 0,132 0,090 0,061 0,041 6 7 8 9 10 0,151 0,109 «I = 200; «2= 160 6 7 8 9 10 0,176 1 2 3 0,141 0,092 0,059 0,038 0,024 0,145 0,100 0,068 0,143 п\ = 200; п2 = 180 Р(й|, P(ht, 12 при m2 "’1 0,139 0,100 0,071 Р(/г,, Л2) при m2 2 1 2 я, = 200; и = 140 Р(Л|, «2) при Т2 W| 1 при m2 «?| 2 1 0,106 0,065 0,039 0,024 0,014 0,154 0,103 0,067 0,043 1 2 0,134 0,080 0,047 0,027 0,015 0,009 0,116 0,073 0,045 0,028 3 5 6 7 8 9 10 0,139 0,096 4 3 0,147 0,098 0,064 0,122 «I = 300; пг = 220 P(h}. h2) при т2 W1 10 11 12 1 2 3 4 0,020 0,013 0,008 0,059 0,039 0,026 0,127 0,089 0,062 0,120 638 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 17 = 300; /?2 = 250 Р(Ь}, /?2) при т2 т, 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 0,097 0,059 0,035 0,021 0,012 0,007 0,004 0,141 0,093 0,060 0,038 0,024 0,015 0,125 0,085 0,057 0,037 0,156 0,110 0,077 0,135 /7, = 300; и = 270 /'(Л • Л2) при т2 /771 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 0,135 0,080 0,047 0,027 0,016 0,009 0,005 0,003 0,117 0,074 0,046 0,028 0,017 0,010 0,148 0,100 0,065 0,042 0,027 0,123 0,085 0,057 0,145 0,103 а?, = 300; «1 5 6 7 8 9 10 11 12 п, = 300 Р(/7), Л) при т2 1 2 3 4 5 0,108 0,061 0,034 0,019 0,010 0,006 0,003 0,002 0,143 0,088 0,053 0,032 0,018 0,011 0,006 0,1 1 1 0,071 0,044 0,027 0,016 0,131 0,087 0,057 0,036 0,148 0,102 0,069 6 639 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 17 /27| «1 = 400; «2 = 100 P(h}. h2) при т2 = 1 т.\ 8 10 12 14 15 12 14 15 0,136 15 12 14 15 W| и, = 400; П2 ~ 140 Р(Л,, А2) при т2 2 1 0,109 0,067 0,052 0,140 и = 400; «2 = 200 P(h\. й2) при т2 1 2 3 0,141 0,073 0,037 0,103 0,127 0,018 0,057 0,098 0,013 0,042 500; «,= 1 «1 = »'i 10 12 14 15 8 10 12 14 15 Л*,. Л2) при т2 = 1 т\ 14 16 Ш] 8 10 12 14 16 0,105 0,068 1 0,142 0,074 0,037 0,019 0,009 «1 «1 = 400; и, = 120 P(h}, h2) при т2 = 1 0,158 0,104 0,084 = 400; п 2 = 180 «1 P(hx. h2) при т2 2 1 3 0,098 0,139 0,053 0,028 0,082 0,139 0,020 0,063 = я, 400; п2 = 250 P(h} h2) при т2 2 1 3 4 0,082 0,037 0,099 0,016 0,049 0,109 0,007 0,023 0,058 0,115 0,004 0,016 0,041 0,086 «1 = 500; «2 = 200 P(h\, h2) при т2 = 1 10 12 14 16 «I = 500; « = 250 P(h}. h2) при т2 2 3 0,103 0,057 0,031 0,076 2 1 0,131 0,076 0,043 0,024 0,119 0,074 4 0,148 640 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 17 H = 500; н2 = 300 Р(й|, Л,) при т2 8 10 12 14 16 1 0,092 0,042 0,019 0,008 0,004 2 3 4 5 0,112 0,057 0,028 0,013 0,124 0,068 0,036 0,133 0,076 0.138 и, = 500; пг = 350 /'(Л,, h2) при т2 6 8 10 12 14 16 1 2 3 4 5 6 0,143 0,061 0,025 0,010 0,004 0,001 0,148 0,070 0,032 0,014 0,006 0,146 0,075 0,036 0,017 0,142 0,076 0,039 0,136 0,076 0,130 и, = 500; н, = 400 /’(Л|. h2) при т2 «»| 6 8 10 12 14 16 1 2 3 4 5 6 0,107 0,041 0,015 0,005 0,002 0,001 0,105 0,045 0,018 0,007 0,003 0,098 0,045 0,020 0,008 0,090 0,044 0,020 0,156 0,083 0,042 0,138 0,075 W, /И, 5 6 8 10 12 14 16 = 500; № = 450 /’(Л|, h2) при т2 1 2 3 4 5 6 7 0,135 0,081 0,028 0,009 0,003 0,001 0,000 0,075 0,029 0,010 0,004 0,001 0,149 0,066 0,027 0,011 0,004 0,125 0,058 0,025 0,010 0,104 0,050 0,023 0,088 0,043 0,1 17 8 641 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 17 П} = 500; пг = 500 Р(/г,, h2) при т2 '*1 5 6 8 10 12 14 16 /и. 1 2 3 4 0.109 0.062 0,019 0,006 0.002 0.000 0.000 0,144 0.054 0.019 0.006 0.002 0.001 0.112 0.045 0.017 0.006 0.002 0.088 0.037 0.015 0,006 0.149 0.070 0.031 0.013 «1 = п\ = 600: п2 = 150 Р/. Л2) при пъ 16 18 20 0.115 0,080 0.055 0.151 10 12 14 16 18 20 «9 8 10 12 14 16 18 20 1 2 0.119 0.068 0.038 0,021 0,011 0,006 0.106 0.064 0.038 0.022 0.117 0.056 0.025 0,140 0,073 8 600; П2 = 200 P(h{, 112) при Т2 0,125 0,078 0.048 0,030 0,018 12 14 16 18 20 0,132 0,088 0,058 п, = 600; П2 — 300 Р(Л|. h2) при т2 и, = 600: П2 = 250 Р(/?1, Л,) при т2 И| 7 "6 2 I 6 5 "6 1 0,142 8 0,074 10 12 0.038 14 0,019 0,009 16 0.004 18 0.002 0.120 20 щ = 600; п2 = 350 P(h}, /2 при т2 3 2 4 0.104 0,058 0,031 0,017 0,009 0,149 0,093 0,057 1 2 4 6 0.099 0.046 0,021 0.009 0.004 0.002 0,001 0,121 0,063 0,032 0,016 0,007 0,003 0,146 0.086 0,049 0,027 0,158 0,100 642 ПРИЛОЖЕНИЕ Продолжение табл. 17 П = 600; л, = 400 Р(/г,, h2) при т2 «'I 6 8 10 т = 800; П2 = 350 P(/j,, Д2) при т2 «О 10 12 14 16 18 20 22 24 26 0,158 0,070 0,030 т = 800; п2 = 400 F(A, . h2 ) при Т2 1 0,106 0,059 0,032 0,017 0,009 0,005 0,002 0,001 0,001 2 4 0,151 0,092 0,054 0,031 0,018 0,010 0,006 0,003 0,152 0,100 0,065 0,041 0,025 6 0,144 0,100 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 1 0,142 0,074 0,038 0,019 0,009 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 4 2 0,104 0,058 0,032 0,017 0,009 0,005 0,002 0,001 6 8 0,149 0,094 0,058 0,034 0,123 0,020 0,081 0,011 0,052 0,147 и, = 800; и2 = 450 Р(Л- h2) при т2 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 1 2 4 6 8 0,108 0,052 0,025 0,011 0,005 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,134 0,072 0,037 0,019 0,009 0,004 0,002 0,001 0,000 0,099 0,058 0,033 0,018 0,010 0,005 0,117 0,073 0,045 0,027 0,129 0,085 643 ПРИЛОЖЕНИЕ Окончание табл. 17 И] = 500; «2 = 500 P(h}, h.) при т2 1 1 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 2 4 0,144 0,054 0,019 0,089 0,006 0,038 0,002 0,015 0,001 0,006 0,000 0,002 0,000 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 900; п. = 150 «1 = 0,062 0,019 0,006 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 8 10 0,118 0,057 0,025 0,011 0,004 0,002 0,001 0,000 0,141 0,074 0,037 0,017 0,008 0,003 0,001 0,091 0,048 0,024 0,011 0,005 "б P(hvh. ) при «2 = 1 "0 22 24 26 28 0,137 0,107 0,083 0,064 16 18 20 22 24 26 28 и| = 900; п. = 250 /77] 14 16 18 20 22 24 26 28 12 6 P(ht, h.) при т. 2 4 1 0,129 0,087 0,155 0,058 0,038 0,111 0,079 0,025 0,055 0,016 0,038 0,011 0,141 0,007 0,026 12 14 16 18 20 22 24 26 28 14 16 18 0,105 0,059 0,119 0,031 0,069 0,031 0,016 0,038 0,079 0,142 «1 = 900; п. = 200 P(h., h2) при т2 1 2 0,156 0,113 0,082 0,059 0,121 0,042 0,091 0,030 0,021 0,068 п} = 900; п. = 300 Р(Л,, Л2) при т2 1 2 4 0,125 0,079 0,049 0,133 0,089 0,030 0,059 0,018 0,038 0,011 0,132 0,007 0,025 0,004 0,016 0,095 0,002 0,010 0,067 644 ПРИЛОЖЕНИЕ 19. Критические значения F-распределения при а = 0,01; а = 0,005 и различных int и т2 Wi W2 2 4 6 8 10 12 20 24 30 40 60 120 оо FC,01 2 99,000 99,249 99,332 99,374 99,399 99,416 99,449 99,458 99,466 99,474 99,483 99,491 99,501 4 18,000 15,977 15,207 14,799 14,546 14,374 14,020 13,929 13,838 13,745 13,652 13,558 13,463 7,229 7,143 7,057 6,969 6,880 6 10,925 9,148 8,466 8,102 7,874 7,718 7,396 7,313 8,649 7,006 6,371 6,029 5,814 5,667 5,359 5,279 5,198 5,116 5,032 4,946 4,859 7,559 5,994 5,386 5,057 4,849 4,706 4,405 4,327 4,247 4,165 4,082 3,997 3,909 12 6,927 5,412 4,821 4,499 4,296 4,155 3,858 3,781 3,701 3,619 3,536 3,449 3,361 14 6,515 5,035 4,156 4,140 3,949 3,800 3,505 3,427 3,348 3,266 3,181 3,094 3,004 16 6,226 4,773 4,202 3,890 3,691 3,553 3,259 3,181 3,101 3,018 2,933 2,845 2,753 18 6,013 4,579 4,015 3,705 3,508 3,371 3,077 2,999 2,919 2,835 2,749 2,660 2,566 20 5,649 4,431 3,871 3,564 3,368 3,231 2,938 2,859 2,779 2,695 2,608 2,517 2,421 22 5,719 4,313 3,758 3,453 3,258 3,121 2,827 2,749 2,668 2,583 2,495 2,403 2,306 24 5,614 4,218 3,667 3,363 3,168 3,032 2,738 2,659 2,770 2,492 2,404 2,310 2,211 3,094 2,958 2,664 2,585 2,503 2,417 2,327 2,233 2,132 5,526 4,140 3,591 3,288 28 5,453 4,074 3,528 3,226 3,032 2,896 2,602 2,522 2,440 2,354 2,263 2,167 2,064 30 5,390 4,018 3,474 3,173 2,979 2,843 2,549 2,469 2,386 2,299 2,208 2,111 2,006 40 5,179 3,828 3,291 2,993 2,801 2,665 2,369 2,288 2,203 2,114 2,019 1,917 1,805 60 4,977 3,649 3,119 2,823 2,632 2,496 2,198 2,115 2,029 1,936 1,836 1,726 1,601 120 4,787 3,480 2,956 2,663 2,472 2,336 2,035 1,950 1860 1,763 1,656 1,533 1,381 со 4,605 3,319 2,802 2,511 2,321 2,185 1,878 1,791 1,696 1,592 1,473 1,325 1,000 645 26 ПРИЛОЖЕНИЕ 8 10 Продолжение табл. 19 646 ПРИЛОЖЕНИЕ 647 ПРИЛОЖЕНИЕ 20. Значения функции у = arcsin Jx X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,000 0,200 0,284 0,348 0,403 0,451 0,495 0,536 0,574 0,609 0,10 0,644 0,676 0,707 0,738 0,767 0,795 0,823 0,850 0,876 0,902 0,20 0,927 0,952 0,976 1,000 1,024 1,047 1,070 1,093 1,115 1,137 0,30 1,159 1,181 1,203 1,224 1,245 1,266 1,287 1,308 1,328 1,349 0,40 1,369 1,390 1,410 1.430 1,45] 1,471 1,491 1,511 1,531 1,551 0,50 1,571 1,591 1,611 1,631 1,651 1,671 1,691 1,711 1,731 1,752 0,60 1,772 1,793 1,813 1,834 1,855 1,875 1,897 1,918 1,939 1,961 0,70 1,982 2,004 2,026 2,049 2,071 2,094 2,118 2,141 2,165 2,190 0,80 2,214 2,240 2,265 2,292 2,319 2,346 2,375 2,404 2,434 2,465 0,90 2,498 2,532 2,568 2,606 2,647 2,691 2,739 2,793 2,858 2,941 Я о о и "С > 2 ег- Рис. I. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний я, уровню доверия q и вычисленному значению v НОМОГРАММЫ Рис. 2. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний я, уровню доверия q и вычисленному значению v а. sO 650 /> НОМОГРАММЫ по заданным числу отказов г, объему испытаний я, уровню доверия д и вычисленному значению v /' НОМОГРАММЫ Рис. 4. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний я, уровню доверия д и вычисленному значению v сь 'Л г р НОМОГРАММЫ Рис. 5. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний я, уровню доверия q и вычисленному значению v НОМОГРАММЫ Рис. 6. Нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы для закона Вейбулла по заданным числу отказов г, объему испытаний и, уровню доверия q и вычисленному значению v о- 'Л СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беляев Ю. К. Непараметрические методы в задачах обработки результатов испытаний и эксплуатации. М.: Знание, 1984. 65 с. 2. Бердичевский Б. Е. Оценка надежности аппаратуры автомати ки. М.: Машиностроение, 1966. 276 с. 3. Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической стати стики. М.: Наука, 1965. 464 с. 4. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. 370 с. 5. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с. 6. Волков Л. И., Шишкевич А. М. Летательные аппараты. М.: Машиностроение, 1975. 296 с. 7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с. 8. Гартунг Ю. А. Исследование развития динамических систем, обусловленного некоторыми дифференциальными программами. М.: АН СССР, 1984. 59 с. 9. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с. 10. Груничев А. С., Кузнецов В. А., Шипов Е. В. Испытания ра диоэлектронной аппаратуры на надежность. М.: Советское радио, 1969. 288 с. 11. Дружинин Г. В. Надежность систем автоматики. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Энергия, 1967. 528 с. 12. Елизаветин М. А. Повышение надежности машин. М.: Маши ностроение, 1973. 430 с. 13. Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование си стем: Пер. с англ. / Под ред. И. А. Ушакова. М.: Мир, 1980. 604 с. 14. Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчету надежно сти аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М.: Советское радио, 1975.430 с. 15. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 576 с. 16. Ллойд Д., Липов М. Надежность. М.: Советское радио, 1964. 687 с. 17. Милн-Томсон Л. М., Комри Л. Дж. Четырехзначные матема тические таблицы. М.: Физматгиз, 1961.245 с. 18. Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. М.: Наука, 1971. 395 с. 19. Надежность и эффективность в технике. В 10 т. Т. 7. Качество и надежность в производстве / Под ред. И. В. Апполонова. М.: Машино строение, 1989. 280 с. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 655 20. Надежность и эффективность в технике. В 10 т. Т. 1. Методо логия. Организация. Терминология / Под ред. А. И. Рембезы. М.: Маши ностроение, 1986. 224 с. 21. Надежность и эффективность в технике. В 10 т. Т. 4. Методы подобия в надежности / Под общ. ред. В. А. Мельникова, Н. А. Северце ва. М.: Машиностроение, 1987. 280 с. 22. Надежность и эффективность в технике. В 10 т. Т. 5. Проект ный анализ надежности / Под ред. В. И. Патрушева, А. И. Рембезы. М.: Машиностроение, 1988. 316 с. 23. Надежность и эффективность в технике. В 10 т. Т. 6. Экспери ментальная отработка и испытания / Под ред. Р. С. Судакова, О. И. Тескина. М.: Машиностроение, 1989. 376 с. 24. Надежность технических систем: Справочник / Под ред. И. А. Ушакова. М.: Радио и связь, 1983. 606 с. 25. Подшипники качения: Справочник-каталог / Под ред. В. Н. Нарышкина, Р. В. Коросгашевского. М.: Машиностроение, 1984. 26. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая стати стика. М.: Наука, I'979. 496 с. 27. Ремонтопригодность машин / Под ред. П. Н. Волкова. М.: Машиностроение, 1975. 368 с. 28. Решетов Д. Н., Иванов А. С., Фадеев В. 3. Надежность ма шин. М.: Высшая школа, 1988. 238 с. 2,9. Рыжиков IO. И. Управление запасами. М.: Наука, 1969. 344 с. 30. Северцев Н. А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке. М.: Высшая школа, 1989. 432 с. 31. Скрипник В. М., Назин А. Е. Оценка надежности технических систем по цензурированным выборкам. Минск: Наука и техника, 1981. 143 с. 32. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероят ностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 524 с. 33. Статистические задачи отработки систем и таблицы для чис ловых расчетов показателей надежности / Под ред. Р. С. Судакова. М.: Высшая школа, 1975. 604 с. 34. Судаков Р. С. Испытания систем: выбор объемов и продолжи тельности. М.: Машиностроение, 1988. 445 с. 35. Ткачев В. Н., Финштейн Б. М., Власенко В. Ф. и др. Методы повышения долговечности машин. М.: Машиностроение, 1971.272 с. 36. Труханов В. М. Методы обеспечения надежности изделий ма шиностроения. М.: Машиностроение, 1995. 304 с.

Надежность в технике

Related documents

Products

Support

Надежность в технике

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib