Загрузил semchk98

Лайонс Цифровая обработка сигналов

Реклама
ВТОРОЕ
ИЗДАНИЕ
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
ВТОРОЕ
ИЗДАНИЕ
Understanding Digital
Signal Processing
Richard G. Lyons
PRENTICE
HALL
PTR
PRENTICE HALL
Professional Technical Reference
Upper Saddle River, New Jersey 07458
www.phptr.com
Цифровая
обработка сигналов
Ричард Лайонс
Перевод с английского
под редакцией А.А. Бритова
4
Москва
Издательство БИНОМ
2006
УДК 621.372
ББК 32.811.3
ЛІ 8
Ричард Лайонс
Цифровая обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ. — М.: ООО
«Бином-Пресс», 2006 г. — 656 с.: ил.
Книга представляет собой учебник по цифровой обработке сигналов, написанный по­
нятным языком, снабженный достаточный количеством иллюстраций и наглядных при­
меров. Она содержит краткое введение в необходимый математический аппарат (в том
числе и ^-преобразование, преобразования Лапласа и Гильберта, статистику), в принципы
машинного представления сигналов (двоичные форматы), рассматривает вопросы перио­
дической дискретизации. Отдельные главы посвящены дискретному и быстрому преобра­
зованиям Фурье. В разделе цифровой фильтрации подробно рассмотрены фильтры с ко­
нечной и бесконечной импульсной характеристикой, фильтры на основе частотной вы­
борки и интерполированные КИХ-фильтры. Описаны квадратурные сигналы и комплекс­
ное понижающее преобразование. Разобраны принципы преобразования частоты дискре­
тизации, необходимые для проектирования полифазных и каскадированных интеграторов-гребенчатых фильтров. Усреднению сигналов (во временной и частотной области) —
когерентному и некогерентному — посвящена отдельная глава. Значительную часть кни­
ги составляет коллекция советов и «маленьких хитростей» в области цифровой обработки
сигналов. Полезен начинающим специалистам и терминологический словарь, вынесен­
ный в приложение.
Книга отличается четкостью построения, тщательной выверенностью примеров и сба­
лансированностью сложности/доступности материала. Для чтения ее достаточно иметь
базовые знания из вузовского курса математического анализа.
Все права защищены. Никакая часть этой книги не может быть воспроизведена в любой форме
или любыми средствами, электронными или механическими, включая фотографирование, маг­
нитную запись или иные средства копирования или сохранения информации без письменного раз­
решения издательства.
Authorized translation from the English language edition, entitled Understanding Digital Signal Process­
ing, 2nd Edition, by Lyons, Richard G., published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall
PTR, Copyright © 2004.
ISBN 5-9518-0149-4 (pyc.)
ISBN 0-13-108989-7 (англ.)
© Pearson Education Inc., 2004
О Издание на русском языке.
Издательство Бином, 2006
Содержание
П редисловие......................................................................................................13
Глава 1. Дискретные последовательности и с и с т е м ы ................................21
1.1. Дискретные последовательности и связанные с ними
обозначения.......................................................................................... 22
1.2. Мгновенные значения, амплитуда и мощность сигнала.................28
1.3. Условные обозначения операций обработки сигналов.............. 29
1.4. Введение в дискретные линейные инвариантные
во времени системы............................................................................ 32
1.5. Дискретные линейные с и с т е м ы ......................................................32
1.6. Инвариантные во времени с и с т е м ы ............................................. 36
1.7. Свойство коммутативности линейных инвариантных
во времени систем ............................................................................ 38
1.8. Анализ линейных инвариантных во времени систем.................39
Глава 2. Периодическая д и с к р ети зац и я ................................................... 41
2.1. Наложение: неоднозначность представления сигнала
в частотной области......................................................................... 41
2.2. Дискретизация низкочастотных сигналов.....................................46
2.3. Дискретизация полосовых сигналов............................................. 49
2.4. Инверсия спектра при полосовой дискретизации.......................58
Глава 3. Дискретное преобразовании Ф у р ь е ......................................... 63
3.1. Смысл формулы Д П Ф ...................................................................... 64
3.2. Симметрия Д П Ф ...............................................................................75
3.3. Линейность Д П Ф ...............................................................................77
3.4. Модули Д П Ф ........................................................... .. ...................... 78
3.5. Частотная ось Д П Ф ......................................................................... 79
3.6. Теорема о с д в и г е ...............................................................................80
3.7. Обратное Д П Ф ..................................................................................82
3.8. Утечка Д П Ф ....................................................................................... 83
6
Цифровая обработка сигналов
3.9. О к н а ..................................................................................................... 90
3.10. Гребешковые искажения Д П Ф ..................................................... 97
3.11. Разрешающая способность ДПФ, дополнение нулями
и дискретизация в частотной области ...........................................98
3.12. Коэффициент улучшения Д П Ф ................................................103
3.13. ДП Ф прямоугольных функций...................................................106
3.14. Частотный отклик ДП Ф на комплексный входной сигнал . 125
3.15. Реакция ДПФ на действительный косинусоидальный
с и г н а л ............................................................................................. 129
3.16. Реакция отдельного бина ДПФ на действительный
косинусоидальный с и г н а л ........................................................ 130
3.17. Интерпретация Д П Ф .............. .................................................... 132
Глава 4. Быстрое преобразование Фурье.............................................. 139
4.1. Связь БП Ф с Д П Ф ......................................................................... 140
4.2. Советы по практическому использованию Б П Ф ....................141
4.3. Программы Б П Ф ............................................................................ 145
4.4. Разработка алгоритма БП Ф по основанию 2 ............................ 145
4.5. БИТ-реверсивная перестановка входных и выходных
данных Б П Ф .....................................................................................152
4.6. Структуры бабочек БП Ф по основанию 2 ..................................154
Глава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины. 163
5.1. Введение в К И Х -ф и л ь тр ы ........................................................... 164
5.2. Свертка в КИ Х -фильтрах.............................................................. 169
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних ч а с т о т ...................... 179
5.4. Проектирование полосовых К И Х -ф ильтров............................ 193
5.5. Проектирование КИХ-фильтров верхних частот.......................194
5.6. Проектирование КИХ-фильтров методом замен Ремеза . . . . 197
5.7. Полуполосные К И Х -ф ильтры ..................................................... 199
5.8. Фазо-частотная характеристика К И Х -ф и льтров....................200
5.9. Обобщенное описание дискретной свертки................. , . . . . 205
Глава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной
длины....................................................... ........................................219
6.1. Введение в фильтры с бесконечными импульсными
характеристикам и......................................................................... 220
6.2. Преобразование Л а п л а с а ..............................................................223
6.3. Z-преобразование...................................................................
235
Содержание
7
6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной
характеристики...............................................................................249
6.5. Метод проектирования БИХ-фильтров с помощью
билинейного преобразования..................................................... 263
6.6. Оптимизационный метод проектирования БИХ-фильтров. . 272
6.7. Подводные камни реализации БИХ-фильтров......................... 274
6.8. Улучшение БИХ-фильтров с помощью каскадных
структур.............................................................................................276
6.9. Краткое сравнение КИХ- и БИХ-фильтров...............................281
Глава 7. Специальные КИХ-фильтры нижних ч асто т..........................285
7.1. Фильтры на основе частотной выборки: утраченное
искусство.......................................................................................... 286
7.2. Интерполированные КИХ Ф Н Ч ................................................320
Глава 8. Квадратурные с и гн а л ы ................................................................335
8.1. Почему нас так занимают квадратурные си гн ал ы ?.................336
8.2. Запись комплексных ч и с е л ........................................................... 336
8.3. Представление действительных сигналов с помощью
комплексных фазоров...................................................................... 342
8.4. Несколько мыслей по поводу отрицательной частоты ........... 345
8.5. Квадратурные сигналы в частотной о б л ас ти ............................ 347
8.6. Полосовые квадратурные сигналы в частотной области . . . . 349
8.7. Комплексное понижающее преобразование............................... 351
8.8. Пример комплексного понижающего преобразования........... 354
8.9. Альтернативый метод понижающего преобразования........... 356
Глава 9. Дискретное преобразование Гильберта................................... 361
9.1. Определение преобразования Г и льб ер та..................................362
9.2. Почему нас так занимает преобразование Гильберта?........... 364
9.3. Импульсная характеристика преобразователя Гильберта . . . 369
9.4. Проектирование дискретного преобразователя Гильберта . . 371
9.5. Генерация аналитического сигнала во временной области . . 377
9.6. Сравнение методов генерации аналитических сигналов . . . . 379
Глава 10. Преобразование частоты д и скр ети зац и и .............................381
10.1. П рореж ивание.............................................................................. 382
10.2. И н терп оляц и я...............................................................................387
10.3. Объединение прореживания и и н терп оляц и и ...................... 389
10.4. Полифазные ф и л ь т р ы .................................................................391
10.5. Каскадные интеграторы-гребенчатые фильтры...................... 397
8
Цифровая обработка сигналов
Глава 11. Усреднение сигналов.................................................................411
11.1. Когерентное усреднение..............................................................412
11.2. Некогерентное у ср ед н ен и е........................................................ 418
11.3. Усреднение результатов быстрого преобразования Фурье . 421
11.4. Фильрующие свойства усреднения во временной области. . 429
11.5. Экспоненциальное усреднение...................................................430
Глава 12. Цифровые форматы данных и их роль в обработке
сигналов...................................................................................... 437
12.1. Двоичные форматы с фиксированной зап ято й ..................• . 438
12.2. Точность и динамический диапазон двоичных ч и сел ........... 444
12.3. Эффекты конечной длины слова двоичных чисел
с фиксированной за п я т о й ........................................................... 445
12.4. Двоичные форматы с плавающей зап ятой ...............................460
12.5. Двоичный формат с поблочно плавающей з а п я т о й .............. 465
Глава 13. Маленькие хитрости цифровой обработки сигналов. . . . 467
13.1. Перенос частоты без умножения................................................467
13.2. Быстрое приближенное вычисление длины в е к т о р а ........... 475
13.3. Взвеш ивание окном в частотной о б л а с т и ................................. 479
13.4. Быстрое умножение комплексных чисел..................................482
13.5. Эффективное вычисление БП Ф действительных
последовательностей....................................................................483
13.6. Вычисление обратного БП Ф с помощью прямого БП Ф . . . 494
13.7. Упрощенная структура КЙХ-фильтра....................................... 497
13.8. Уменьшение шума квантования А Ц П .....................................497
13.9. Методы испытаний аналого-цифровых преобразователей. . 503
13.10. Быстрая реализация КИХ-фильтров с помощью БП Ф . . . 507
13.11. Генерация нормально распределенных случайных
си гн алов.......................................................................................509
13.12. Фильтрация с нулевым сдвигом ф аз.......................................... 511
13.13. Повышение крутизны АЧХ КИХ-фильтров......................... 512
13.14. Интерполяция полосовых сигналов....................................... 514
13.15. Алгоритм локализации спектральных п и к о в ...................... 515
13.16. Вычисление поворачивающих множителей Б П Ф .............. 518
13.17. Обнаружение отдельного тона . . ...........................................520
13.18. Скользящее Д П Ф ...................................................................... 524
13.19. Увеличение масштаба БПФ по частоте..................................532
13.20. Практическая реализация анализатора спектра....................535
Содержание
9
13.21. Эффективная аппроксимация арктангенса............................... 538
13.22. Алгоритмы демодуляции частотно-модулированных
с и гн ал о в .......................................................................................... 540
13.23. Удаление постоянной составляющей............................................. 543
13.24. Усовершенствование интеграторов-гребенчатых
фильтров.......................................................................................... 546
13.25. Сглаживание импульсного ш ум а................................................ 551
13.26. Эффективное вычисление полиномов.....................................553
13.27. Проектирование КИХ-фильтров очень высокого
порядка.......................................................................................... 554
13.28. Интерполяция во временной области с помощью БПФ . . . 557
13.29. Перенос по частоте с помощью п рореж иван ия....................561
13.30. Автоматическая регулировка усиления (А Р У )........... ’. . . 561
13.31. Оценка огибающей...................................................................... 563
13.32. Квадратурный генератор........................................................... 565
13.33. Двухрежимное усреднение........................................................ 568
Приложение А. Арифметика комплексных ч и с е л ................................ 573
А.1. Графическое представление действительных
и комплексных ч и сел ....................................................................573
А.2. Арифметическое представление комплексных ч и с е л ........... 574
А.З. Арифметические операции над комплексными числами . . . 576
А.4. Некоторые практические особенности использования
комплексных чисел......................................................................... 580
Приложение В. Сумма геометрической прогрессии.............................583
Приложение С. Инверсия времени и Д П Ф .............................................585
Приложение D. Среднее, дисперсия и стандартное отклонение. . . 589
D.I. Статистические параметры........................................................... 589
D.2. Стандартное отклонение или СКЗ непрерывного
синусоидального с и г н а л а ........................................................... 592
D.3. Среднее и дисперсия случайных ф у н кц и й ...............................593
D.4. Нормальная функция плотности вероятности......................... 596
Приложение Е. Децибелы (дБ и д Б м )...................................................... 597
E.1. Использование логарифмов
для сравнения мощности сигналов............................................. 597
Е.2. Некоторые полезные числа, связанные с децибелам и........... 602
Е.З. Задание абсолютной мощности в децибелах............................ 603
10
Цифровая обработка сигналов
Приложение F. Терминология в области цифровой фильтрации . . 605
Приложение G. Вывод соотношений для фильтров на основе
частотной выборки........................................................615
G.I. Частотная характеристика гребенчатого ф и л ь т р а .................615
G.2. Частотная характеристика отдельного комплексного
Ф О Ч В ................................................................................................616
G.3. ФЧХ многосекционного комплексного Ф О Ч В .......................617
G.4. Частотная характеристика многосекционных
комплексных Ф О Ч В ....................................................................618
G.5. Передаточная функция действительного Ф ОЧВ . . ...............620
G.6. Частотная характеристика Ф ОЧВ Типа I V ............................ 622
Приложение Н. Таблицы расчета фильтров на основе частотной
выборки.......................................................................... 625
Предметный указатель............................................................................. 641
Я посвящаю эту книгу моим дочерям Джулии и Мередит, я хотел бы быть с
вами; моей матери Рут за то, что заставляла меня заканчивать домашние за­
дания; моему отцу Грэди, который не знал, за что взялся, когда построил тот
верстак в подвале; моему брату Рею за то, что сделал всех нас лучше; моему
брату Кену, который преуспел там, где я потерпел неудачу; моей сестре Нэнси,
которая постоянно мешала нам; и опытным людям из телеконференции сотр.dsp
сети Usenet, которые задают хорошие вопросы и дают наилучшие ответы. И, на­
конец, Сайджи Пардула (Batgirl), без вашей поддержки эта книга не могла бы
появиться на свет.
Об авторе
Ричард Лайонс (Richard Lyons) работает системным инженером-консультантом
и преподавателем в Besser Associates (организация, осуществляющая повышение
квалификации и переподготовку специалистов в области беспроводной связи) в Маунтейн Вью (Mountain View), Калифорния. Он получил степень бакалавра в области
электротехники (BSEE - Bachelor of Science in Electrical Engineering) в Университе­
те Акрона и прошел одногодичный курс дополнительных разделов математики для
инженеров в университете Джона Хопкинса (в лаборатории прикладной физики),
округ Колумбия. Лайонс был ведущим инженером-разработчиком множества сис­
тем обработки сигналов как для Агентства национальной безопасности (National Se­
curity Agency, NSA), так и для компании TRW Inc. (теперь это корпорация Нортроп
Грумман, Northrop Grumman Corp.). В его обязанности входили: проектирование
систем; разработка, тестирование и установка. Он специализировался в области
оценки качества алгоритмов обработки сигналов и тестирования систем.
Как преподаватель в Besser Associates и в Калифорнийском университете Santa
Cruz Extension, Ричард организовал семинары по цифровой обработке сигналов и
практические занятия в рамках многочисленных технических конференций, а так­
же в таких компаниях как Моторола (Motorola), Локхид Мартин (Lockheed Mar­
tin), Тексас Инструменте (Texas Instruments), Конексант (Conexant), Нортроп
Грумман (Northrop Grumman), Люсент (Lucent), Нокиа (Nokia), Квалкомм (Q u­
alcomm), Ханивелл (Honeywell), Нейшенел Семикондактор (National Semicon­
ductor), Дженерал Дайнемикс (General Dynamics) и Сименс (Seimens) (теперь
это Инфинион, Infinion).
Автор многочисленных статей по обработке сигналов, он является заместите­
лем редактора журнала IEEE Signal Processing, где он создал и редактирует ко­
лонку «Маленькие хитрости обработки сигналов» («DSP Tips & Tricks»). Лайонс
является членом почетного общества Эта Каппа Ню (Eta Карра Nu) и учится на­
носить прямые удары на бильярде.
К нему можно обратиться по адресу: г . ly o n s @ ie e e . огд.
Предисловие
Эта книга —развитие первого учебника «Цифровая обработка сигналов», издан­
ного в 1997 году, и ее задача, как и первого издания, состоит в том, чтобы помочь на­
чинающим понять относительно новую технологию цифровой обработки сигналов
(ЦОС). Во второе издание добавлены следующие материалы:
□
расширенное и более ясное изложение избранных вопросов спектрально­
го анализа и цифровой фильтрации, охваченных в первом издании, что де­
лает этот материал более ценным для тех, кто начинает изучать ЦОС;
□
расширенное освещение квадратурных (комплексных 1/0.) сигналов,
во многих случаях мы использовали трехмерные графики времени и
частоты, чтобы улучшить их описание и придать физический смысл
этим двухмерным сигналам;
□
с новым акцентом на квадратурные сигналы был добавлен материал,
описывающий преобразование Гильберта и его практическое примене­
ние для генерации квадратурных сигналов;
обсуждение фильтров на основе частотной выборки, интерполирован­
ных КИХ-фильтров и интеграторов-гребенчатых фильтров, которое
обеспечивает этим важным типам фильтров более широкое освещение,
чем они получили в прошлой книге по ЦОС;
значительно расширена популярная глава «Маленькие хитрости циф­
ровой обработки сигналов»;
пересмотрена терминология с целью сделать ее более совместимой с со­
временным языком цифровой обработки сигналов.
□
□
□
Стало традицией рассказывать в этой части предисловия к учебнику по
ЦОС читателям, почему им следует учить цифровую обработку сигналов. Мне
не нужно рассказывать вам о том, насколько важна ЦОС в современном мире
техники: вы уже это знаете.
Я лишь скажу, что будущее электроники —в ЦОС, и с этой книгой вы не оста­
нетесь позади.
14
Предисловие
Изучение цифровой обработки сигналов
Изучение основ и языка цифровой обработки сигналов не требует глубоких
аналитических навыков либо всесторонних знаний по математике. Все, в чем вы
нуждаетесь, — это немного опыта в элементарной алгебре, знание того, что такое
синусоидальный сигнал, эта книга и энтузиазм. Это может показаться невероятным,
особенно если вы просто полистали страницы этой книги и увидели рисунки и
уравнения, которые выглядят довольно сложными. Содержимое здесь, вы гово­
рите, выглядит подозрительно, как материал в технических журналах и учебни­
ках, который в прошлом успешно сопротивлялся вашим попыткам понять его.
Это не просто еще одна книга по цифровой обработке сигналов.
Цель этой книги —дать ненавязчивые пояснения, сопровождаемые иллюстра­
циями так, что вы не просто можете, а должны понять материал1. Помните Тот
первый раз, когда вы увидели двух людей, играющих в шахматы? Наверное, игра
выглядела загадочной и ставящей в тупик. Как вы знаете, ни один отдельный шах­
матный ход не является сложным. Имея немного терпения, различные шахматные
ходы можно выучить очень легко. Сложность игры состоит в том, чтобы решить,
какую последовательность ходов сделать и когда. Также дело обстоит и с понима­
нием цифровой обработки сигналов. Сначала мы изучаем основные правила и
процессы, а потом учимся практически использовать их комбинации.
Если изучение цифровой обработки сигналов так легко, тогда почему этот
предмет имеет репутацию сложного для понимания? Ответ частично лежит в
том, как материал обычно преподносится в литературе. Тяжело передавать тех­
ническую информацию с ее математическими тонкостями в письменной форме.
Одно дело писать уравнения, но другое —в целом объяснить их значение с прак­
тической точки зрения, и именно в этом цель этой книги.
Слишком часто письменное объяснение теории цифровой обработки сигналов
выступает в одной из двух форм: либо происходят математические чудеса, и чита­
телю просто дается короткое и легкое уравнение без дальнейшего объяснения,
либо на читателя обрушивается поток уравнений с комплексными переменны­
ми и такими фразами, как «очевидно, что» и «с разумным применением свойст­
ва однородности». В защиту этих работ следует сказать, что их авторы обычно
дают необходимую информацию, но читатель часто должен буквально брать в
руки кирку и лопату, напяливать шахтерский шлем и стараться выкопать зерна
знаний из горы математических выражений. (Эта книга представляет собой резу­
льтаты нескольких плодотворных горных экспедиций.) Сколько раз вы следили
за выводом уравнения, после которого автор утверждает, что он собирается про­
иллюстрировать уравнение примером, который оказывается просто другим урав­
нением? Несмотря на то, что математика необходима для описания цифровой
обработки сигналов, я постарался избежать подавления ею читателя, потому что
рецепт технического писания, который слишком насыщен уравнениями, тяжело
усваивается начинающими.
1 «Здесь мы имеем возможность более ясно изложить то, что уже было сказано» (Рене
Декарт, 1596-1650).
Путешествие
15
Цель этой книги выражена в замечании Е.Б Уайта из введения к его книге
«Элементы стиля» (Издательство «Макмиллан», Нью-Йорк, 1959 год).
«Уилл почувствовал, что читатель большую часть времени испыты­
вает серьезные затруднения, человек барахтается в болоте, и каждый,
кто пытается писать по-английски, обязан быстро осушить это болото
и вытащить человека на сухую землю или, по крайней мере, бросить
ему веревку».
Я старался избежать традиционных отношений «преподаватель-студент», сде­
лать чтение этой книги разговором с другом во время прогулки в парке. Я исполь­
зовал достаточно математики, чтобы развить базисное понимание теории и потом
проиллюстрировать теорию практическими примерами.
Путешествие
Изучение цифровой обработки сигналов —это не нечто такое, что вы осущест­
вляете, а путешествие, в которое вы отправляетесь. Когда вы достигаете понима­
ния какой-либо темы, появляются вопросы, которые побуждают вас исследовать
другие стороны цифровой обработки сигналов1. Вооруженные большими знания­
ми, вы, вероятно, начнете исследовать другие аспекты ЦОС, этот процесс может
оказаться очень похожим на следующую диаграмму. Эта книга —ваш туристиче­
ский путеводитель на первых шагах вашего путешествия.
Чтобы изучать материал этой книги, вам не нужен компьютер, но он непремен­
но вам поможет. Программы моделирования ЦОС позволяют начинающему изу­
чать теорию ЦОС посредством проверенного временем метода проб и ошибок2.
Особенно полезными будут программы построения графиков сигналов, быстрого
преобразования Фурье, анализа цифровых фильтров.
Когда вы будете изучать материал этой книги, не пугайтесь, если понимание
приходит медленно. Как учтиво заметил греческий математик Менехм Александ­
ру Великому, когда тот попросил быстро объяснить ему математику: «В матема­
тике нет царского пути». Менехм был уверен в своей правоте, когда говорил
Александру, что математику можно изучить только путем кропотливых занятий.
То же относится к изучению цифровой обработки сигналов. И еще, не беспокой­
тесь, если вам нужно будет прочитать материал дважды. Хотя понятия, обсуждае­
мые в этой книге, не такие сложные, как квантовая физика, не столь загадочные,
1 «Видите ли, я упорно продолжал это исследование по тому пути, по которому оно меня
вело. Это единственный путь, по которому, как я слышал, идет исследование. Я задал
вопрос, разработал метод получения ответа — и получил дополнительный вопрос.
Было возможно то или это? Вы не можете себе представить, что это значит для иссле­
дователя, какая интеллектуальная страсть овладевает им. Вы не можете представить
себе этот странный бесцветный восторг умственных желаний.» (Доктор Моро —врач и
вивисекционист, имеющий дурную репутацию, из «Острова доктора Моро» Г. Уэллса,
2 1896 год).
«Учиться следует, делая дело, поскольку, хотя вам кажется, что вы знаете, вы не знаете
наверняка до тех пор, пока вы это не попробуете» (Софокл, 496-406 до н. э.).
16
Предисловие
как слова песни «Луи Луи», не столь запутанные, как инструкции по сборке и
установке металлического гаража, они все-таки требуют определенных усилий
для усвоения. Они заслуживают вашего внимания и размышления.
Периодическая
дискретизация
Как можно проанализировать спектр
дискретизированного сигнала’
Как можно повысить
точность ДПФ’
Дискретное
преобразование Фурье
Как можно изменять частоту
дискретизации дискретных сигналов’
Как работает взвешивание
окном’
Как можно изменить
спектр сигнала’
Как можно улучшить
характеристики цифровых
фильтров’
Цифровые фильтры
Почему спектр дискретного
сигнала периодичен и что
вызывает утечку ДПФ’
Что является причиной пульсаций
АЧХ ЦФ в полосе пропускания’
Свертка
Как можно уменьшить шум в частотной
области и повысить чувствительность
при обнаружении сигналов’
Как можно усилить подавление шума
при усреднении’
Усреднение сигналов
Так что не торопитесь, читайте материал дважды, если это необходимо, потом
вы будете этому рады. Если вы проявите настойчивость, то для вас, цитируя Сью­
зан Б. Энтони, «Провал невозможен».
Что вас ожидает
Глава 1 начинается с введения условных обозначений, используемых в осталь­
ной части книги. В этой главе мы знакомим вас с понятием последовательностей
дискретных сигналов, показываем, как они относятся к непрерывным сигналам и
Что вас ожидает
17
показываем, как можно изображать эти последовательности во временной и час­
тотной областях. Кроме того, первая глава дает определение символов операций,
которые мы будем использовать при построении блок-схем для систем цифровой
обработки. Мы завершаем эту главу кратким введением в линейные системы и
увидим, почему линейность дает нам возможность использовать ряд мощных ма­
тематических средств анализа.
Глава 2 дает введение в периодическую дискретизацию — процесс, который в
цифровой обработке сигналов чаше всего неправильно понимают. Несмотря на то,
что процесс дискретизации аналогового сигнала понять легко, имеются математиче­
ские тонкости, которые требуют некоторого внимания. Начиная с простых примеров
дискретизации низкочастотных сигналов и продвигаясь постепенно к интересной
теме дискретизации полосовых сигналов, глава 2 дает объяснение и количественную
оценку неоднозначности (наложения), связанной с этим процессом.
Глава 3 посвящена одной из самых главных тем цифровой обработки сигналов —
дискретному преобразованию Фурье, которое используется в спектральном анализе.
Изложение начинается с подробных примеров, иллюстрирующих важные свойства
ДПФ и интерпретацию спектральных результатов ДПФ, переходит затем к теме
окон, которые используются для снижения утечки спектра ДПФ, и к обсуждению
коэффициента усиления ДПФ. Заканчивается глава подробным обсуждением раз­
личных форм преобразования прямоугольных функций, с которыми начинающий
специалист может встретиться в литературе. Последняя тема включена в главу, что­
бы объяснить и показать ДПФ действительных и комплексных синусоид.
Глава 4 охватывает новый алгоритм, который оказал сильное влияние на об­
ласть цифровой обработки сигналов, быстрое преобразование Фурье (БП Ф ).
Мы рассмотрим отношение популярного алгоритма БП Ф по основанию 2 к
ДПФ, дадим количественную оценку выигрыша в объеме вычислений при испо­
льзовании БПФ, покажем, почему БПФ работает именно так, как оно работает, и
рассмотрим различные структуры реализации БПФ. Глава 4 также содержит пе­
речень рекомендаций, которые помогут читателю использовать быстрое преобра­
зование Фурье на практике.
Глава 5 вводит вас в область цифровой фильтрации. Начиная с примеров про­
стого низкочастотного фильтра с импульсной характеристикой конечной длины
(КИХ), мы постепенно продвигаемся вперед, анализируя его амплитудно-частот­
ную и фазо-частотную характеристики. Затем мы узнаем, какое влияние на ха­
рактеристики КИХ-фильтров оказывают окна и как их можно использовать при
проектировании. Предлагаются методы преобразования КИХ-фильтров нижних
частот в высокочастотные и полосовые КИХ-фильтры. Мы знакомим вас с по­
пулярным методом замен Ремеза (Паркса-Маклеллана), используемым для про­
ектирования КИХ-фильтров, и даем пример его использования. В этой главе мы
знакомим читателя с процессом, который известен как свертка, и снимаем с него
покров таинственности. Приведя насколько простых примеров свертки, мы за­
вершаем главу 5 обсуждением мощной теоремы о свертке и объясняем, почему
она так полезна как качественный инструмент для понимания цифровой обра­
ботки сигналов.
Глава 6 посвящена второму классу цифровых фильтров, фильтрам с бесконеч­
ной импульсной характеристикой (БИХ-фильтрам). При обсуждении нескольких
18
Предисловие
методов проектирования БИХ-фильтров читателю предлагается мощный
инструмент анализа цифровой обработки сигналов, который называется г-преобразованием. Поскольку 2-преобразование тесно связано с непрерывным пре­
образованием Лапласа, в качестве подготовки к изучению 2 -преобразования мы
начинаем с самого начала, со свойств и использования преобразования Лапласа.
Мы увидим, как проектируются и реализуются БИХ-фильтры, и почему их ха­
рактеристики так отличаются от характеристик КИХ-фильтров. Чтобы показать,
при каких условиях стоит использовать те или другие фильтры, глава заканчива­
ется качественным сравнением ключевых свойств КИХ- и БИХ-фильтров.
Глава 7 представляет два специализированных типа цифровых фильтров, кото­
рые не получили достаточного освещения в традиционных учебниках по ЦОС.
Они называются фильтрами на основе частотной выборки и интерполированными
КИХ-филътрами и, обеспечивая улучшенную вычислительную эффективность
при реализации узкополосных ФНЧ, должны быть включены в наш арсенал ме­
тодов проектирования фильтров. Несмотря на то, что это КИХ-фильтры, их об­
суждение отложено до этой главы потому, что знакомство с 2 -преобразованием
(глава 6) делает особенности этих фильтров более легкими для понимания.
Глава 8 дает подробное описание квадратурных сигналов (их также называют
комплексными сигналами). Поскольку теория квадратурных сигналов приобрела
такое важное значение в последние годы как в анализе сигналов, так и в реализации
цифровых систем связи, она заслуживает отдельной главы. Используя трехмерные
иллюстрации, глава дает основательное физическое толкование математическим
обозначениям, преимуществам обработки и использованию квадратурных сигна­
лов. Особый акцент сделан на квадратурной дискретизации (которую называют
также комплексным понижающим преобразованием).
Глава 9 дает математически простое, но технически исчерпывающее описание
преобразования Гильберта —процесса, используемого для генерации квадратурного
(комплексного) сигнала из реального сигнала. В этой главе мы описываем особенно­
сти, поведение и метод проектирования практических преобразователей Гильберта.
Глава 10 предоставляет краткое введение в захватывающий и очень полезный про­
цесс преобразования частоты дискретизации (изменения частоты дискретизации с по­
мощью прореживания и интерполяции). Преобразование частоты дискретизации —
столь полезное для улучшения характеристик и уменьшения вычислительной слож­
ности многих схем обработки сигналов — по существу представляет собой упражне­
ние по проектированию фильтров нижних частот. В этой связи здесь описываются
полифазные и каскадированные интеграторы-гребенчатые фильтры.
Глава 11 освещает важную тему усреднения сигналов. Здесь вы узнаете, как
усреднение увеличивает точность измерения параметров сигнала благодаря сни­
жению уровня фонового шума. Это повышение точности называется улучшени­
ем, и в этой главе показано, как предсказать улучшение, связанное с усреднением
сигналов во временной и частотной областях. Кроме того, приводится объясне­
ние ключевых различий между когерентными и некогерентными методами
усреднения, подкрепленное примерами. В завершение главы рассматривается по­
пулярная схема, известная как экспоненциальное усреднение.
Благодарность
19
Глава 12 дает введение в различные форматы представления двоичных чисел, с
которыми читатель может столкнуться в современной обработке сигналов. Мы
определяем точность и динамический диапазон, присущие этим форматам, а также
указываем на некоторые подводные камни в их использовании. Наше исследова­
ние критически важной темы длины слова данных (в битах) естественно ведет к
обсуждению ограничений разрешающей способности аналого-цифровых преоб­
разователей (АЦП) и определения оптимальной длины слова АЦП для данного
применения. Рассматриваются ошибки переполнения, а также статистическое
введение в два наиболее популярных средства от переполнений — усечение и
округление. Мы заканчиваем главу освещением двоичных форматов с плавающей
запятой, которые позволяют преодолеть большинство ограничений, присущих
форматам с фиксированной запятой, особенно в части снижения отрицательных
последствий переполнений.
Глава 13 представляет вашему вниманию коллекцию «маленьких хитростей»,
которые используются, чтобы сделать алгоритмы цифровой обработки сигналов
более эффективными. Эти приемы собраны в главе в конце книги по двум причи­
нам. Во-первых, это разумно —иметь такую коллекцию трюков в одной главе, так
что вы всегда будете знать, где их найти в будущем. Во-вторых, многие из этих
схем требуют понимания материала из предыдущих глав, так что последняя гла­
ва —самое подходящее место для арсенала таких практических приемов. Во вре­
мя детального рассмотрения этих приемов повторяются и подтверждаются
многие важные идеи, освещенные в предыдущих главах.
Приложения содержат ряд необходимых начинающим тем, помогающих по­
нять сущность и математику цифровой обработки сигналов. Всестороннее описа­
ние арифметики комплексных чисел излагается в приложении А, в то время, как в
приложении В выводится часто используемое, но редко объясняемое выражение
для суммы геометрической прогрессии. Некоторые тонкие особенности и две
формы реверса направления времени в дискретных системах (одно из приме­
нений которого —фильтрация с нулевой фазой) объясняются в приложении С.
Статистические понятия среднего, дисперсии и стандартного отклонения пред­
ставлены в приложении D, а в приложении Е обсуждается происхождение и
применение логарифмической шкалы децибелов, используемой для увеличе­
ния разрешающей способности спектрального представления. Приложение F не­
сколько в другом ключе представляет словарь терминологии, используемой в об­
ласти цифровых фильтров.
Благодарность
Многие новые материалы в этом издании являются результатом того, что я уз­
нал от профи из USNET-группы comps.dsp (я мог бы назвать дюжину имен, но, сде­
лав это, я бы приобрел 12 друзей и 300 врагов). Так что я благодарю моих коллег по
ЦОС в comps.dsp за то, что они так многому меня научили в области теории ЦОС.
Благодаря их терпению в неприятном деле рецензирования ранних версий
рукописи я имел счастье получить помощь талантливых Эрика Якобсена (Eric
20
Предисловие
Jacobsen), доктора Питера Куцукоса (Peter Kootsookos), Мэтью Донадио (M at­
thew Donadio), доктора Айана Бакнера (Dr. Ian Buckner), доктора Майка Роузинга (Mike Rosing), Джерри Олапа (Jerry Olup), Клея С. Тернера (Clay S. Turner), Рэя
Эндрака (Ray Andraka), Джима Томаса (Jim Thomas), Роберта Бристоу-Джонсона
(Robert Bristow-Johnson), Джулиуса Кузьюма (Julius Kusuma) и доктора Рун Алнор (Rune Allnor). Спасибо вам, ребята, я ваш должник.
Я также благодарю Пэтти Донован (Patty Donovan) из Pine Tree Composition,
Inc., за превращение беспорядочной кучи бумаги, которая плюхнулась на ее стол,
в хорошо написанную книгу; ведущих специалистов издательства Лайзу Марков­
ски (Lisa Iarkowski ) и Анну Гарсия (Anne Garcia) из Prentice Hall за искусное
управление толпой в процессе публикации; и редактора Бернарда Гудвина' (Ber­
nard Goodwin ) за его великодушное поощрение и руководство.
Если у читателя хватило сил добраться до конца предисловия, напоследок
хочу сказать, что я отлично провел время, когда писал эту книгу, и я искренне на­
деюсь, что ее чтение принесет вам пользу. Если у вас есть любые замечания или
предложения относительно этого материала, или если вы обнаружите какие-либо
ошибки, пусть очень незначительные, пожалуйста, присылайте их мне по адресу
г . ly o n s @ ie e e . огд. Обещаю, что отвечу на ваше сообщение.
1 «Издатель живет тем, что чувствует. Авторы тоже, но авторы —слепые кроты, которые
роют свои норы; издатель же похож на вожака, который прокладывает путь, и ведет ав­
торов за собой по этому пути». (Ловат Диксон).
Глава 1
Дискретные
последовательности
и системы
Цифровая обработка сигналов никогда раньше не была так широко распро­
странена, и никогда раньше не существовало столько возможностей для ее реали­
зации. Не так давно быстрое преобразование Фурье (БП Ф ), которое мы будем
обсуждать в главе 4, представлялось загадочной математической процедурой, ис­
пользуемой только в крупных исследовательских центрах или университетах.
Сейчас, как это ни удивительно, БПФ легко доступно каждому из нас. Оно даже
реализуется в виде встроенных функций, предоставляемых недорогими пакетами
программ математических расчетов для домашних компьютеров. Доступность
более изощренных коммерческих программ обработки сигналов позволяет нам
сегодня быстрее и увереннее разрабатывать приложения обработки сигналов.
Мы можем выполнять спектральный анализ, проектировать цифровые фильтры,
разрабатывать системы распознавания речи, передачи данных, сжатия изображе­
ний с использованием программ, которые интерактивны как в части задания алго­
ритма функционирования, так и в части графического отображения результатов
работы. С середины 80-х годов та же технология, которая сделала возможным со­
здание доступных домашних компьютеров, позволила разработать мощные и недо­
рогие аппаратурные системы разработки, которые служат основой реализации
различных проектов, использующих цифровую обработку сигналов'. Тем не ме­
нее, несмотря на простоту применения современных средств разработки систем
цифровой обработки сигналов, нам все еще необходим прочный фундамент пони­
мания ее основ. Цель этой книги — построить такой фундамент.
В этой главе мы подготовим базу для тех тем, которые будут изучаться в осталь­
ной части книги, определив терминологию, используемую в цифровой обработке
1 Во время телевизионного интервью в начале 90-х один из ведущих ученых в области
компьютерных наук заметил, что, если бы автомобильная промышленность развива­
лась такими же темпами, как компьютерная, наши машины сейчас двигались бы со ско­
рость в полмиллиона миль в час (примерно 800 ООО км/ч — прим. перев.) и на одном
галлоне (примерно 4.5 л — прим. перев.) бензина проезжали бы полмиллиона миль.
Цена такой машины была бы такой низкой, что ее проще было бы выбросить на свалку,
чем заплатить за одни день парковки в Сан-Франциско.
22
Гпава 1. Дискретные последовательности и системы
сигналов, показав различные способы графического представления дискретных сиг­
налов, определив понятия, используемые при описании последовательностей значе­
ний данных, предложив условные обозначения, используемые для описания операций
обработки сигналов, и коротко введя понятие линейных дискретных систем.
1.1. Дискретные последовательности
и связанные с ними обозначения
В самом общем смысле термин обработка сигналов обозначает область науки,
которая занимается анализом физических процессов, изменяющихся во времени.
И как таковая, обработка сигналов делится на две ветви: аналоговую обработку
сигналов и цифровую обработку сигналов. Термин аналоговый используется для
описания сигналов, которые непрерывны во времени и могут принимать значения
из непрерывного диапазона. Примером аналогового сигнала является некоторое
напряжение, которое мы можем подать на вход осциллоскопа, в результате чего
на экране мы увидим непрерывную кривую как функцию времени. Аналоговый
сигнал можно также подать на обычный анализатор спектра, чтобы определить
его частотный состав. Термин аналоговый, вероятно, происходит из области анало­
говых компьютеров, использовавшихся до начала 80-х. Эти компьютеры решали
линейные дифференциальные уравнения с помощью электронных дифференциа­
торов и интеграторов, соединяемых с помощью телефонных патчкордов1. В такой
ситуации непрерывное напряжение или ток в реальной цепи представляли собой
аналог некоторой переменной в дифференциальном уравнении, такой как ско­
рость, давление воздуха, температура и т. п. (Хотя гибкость и производительность
современных цифровых компьютеров сделали аналоговые компьютеры устарев­
шими, хорошее описание короткой жизни аналоговых компьютеров вы можете
найти в работе [1].) Поскольку современная обработка непрерывных сигналов с
использованием резисторов, конденсаторов, операционных усилителей и т. п.
имеет мало общего с аналоговыми компьютерами, термин аналоговый сегодня
представляется неудачным. Более корректным было бы называть непрерывной
обработкой сигналов то, что мы сегодня обычно называем аналоговой обработ­
кой сигналов. Соответственно, в этой книге мы сведем к минимуму использова­
ние термина аналоговые сигналы и заменим его термином непрерывные сигналы
везде, где это оправдано.
Термин дискретный сигнал используется для обозначения сигнала, независимая
переменная (чаще всего время) которого квантована, так что мы знаем значения сиг­
нала только в дискретные моменты времени. Таким образом, дискретный сигнал
представляется не непрерывной линией, а набором значений. Кроме квантования
по времени, дискретные сигналы квантуются еще и по значению. Мы можем по­
яснить эти понятия на примере. Представим себе непрерывный синусоидальный
сигнал с амплитудой, равной 1, и частотой f 0, описываемый уравнением
х (0 =8 ш (2 я/ о0
(1-1)
Отрезки проводов небольшой длины со штекерами или разъемами на концах, предназ­
наченные для коммутации сигналов на панелях телефонных станций —{прим. перев.).
1.1. Дискретные последовательности и связанные с ними обозначения
23
Частота/0измеряется в герцах (Гц). (В физических системах мы обычно изме­
ряем частоту в единицах, производных от герца. Один герц —это частота, при ко­
торой совершается одно полное колебание или цикл в секунду. Один килогерц
(кГц) равен тысяче Гц, а мегагерц — одному миллиону Гц1.) Если £ в уравнении
(1-1) представляет собой время в секундах, то произведение/0 Ь имеет размер­
ность циклов (периодов), а полный аргумент 2ж/0 £ представляет собой угол, из­
меренный в радианах.
Дискретный
сигнал х(п)
х(7) в момент 7t
0.5 ■■
(Ь)
11 13 15
17
19
31
33 35
37 39
0 | 1и І І І І | ■ І I | I |< I и ■ І І І І І І І | | ■| I 1( И I I I
1 3
5 7
9
\
21 23 25 27 29
Дискретный
■!
И :■
индекс времени, п
-0 .5 ••
-1 -L
Дискретный
сигнал х(п)
■>! |<
t.
Дискретный
индекс времени, п
Рис. 1.1.
Синусоидальный сигнал во временной области: (а) представление не­
прерывного сигнала; (Ь) представление дискретного сигнала; (с) диск­
ретные отсчеты с соединительными линиями
Изобразив (1-1) в виде графика, мы получаем известную синусоидальную кри­
вую, показанную на рисунке 1.1 (а). Если наш непрерывный сигнал физически
1 Раньше частоту измеряли в циклах в секунду, вот почему шкалы настройки старых ра­
диоприемников проградуированы в килоциклах в секунду (kcps) или мегациклах в се­
кунду (Mcps). В 1960 годунаучное сообщество приняло в качестве единицы измерения
частоты Гц в честь немецкого физика Генриха Герца, который в 1887 году впервые про­
демонстрировал передачу и прием радиоволн.
24
Гпава 1. Дискретные последовательностии системы
представляет собой напряжение, мы можем взять его отсчеты по одному за каж­
дые секунд с помощью аналого-цифрового преобразователя и представить сину­
соидальный сигнал в виде последовательности дискретных значений. Изобразив
эти значения как точки, мы получим дискретный сигнал, показанный на рисун­
ке 1.1 (Ь). Мы говорим, что нечто, изображенное на рисунке 1.1 (Ь), представляет
собой «дискретную» версию непрерывного сигнала, показанного на рисунке 1.1 (а).
Независимая переменная £ в (1 -1 )и н а рисунке 1.1 (а) непрерывна. Независимая
индексная переменная п на рисунке 1.1 (Ь) дискретна и может принимать только
целые значения. То есть индекс п используется для идентификации отдельных эле­
ментов дискретной последовательности на рисунке 1.1 (Ь).
Не поддавайтесь соблазну соединить точки линиями на рисунке 1.1 (Ь). По ка­
кой-то причине люди (особенно инженеры, имеющие опыт работы с непрерывны­
ми сигналами) стремятся соединить точки прямыми линиями или ступенчатой
кривой, показанной на рисунке 1.1 (с). Не попадайте в эту с виду невинную ло­
вушку. Соединив точки линиями, вы можете дезориентировать новичка, заставив
его забыть, что последовательность д;(я) представляет собой всего лишь набор чи­
сел и больше ничего. Помните, что х(п) — дискретная последовательность отдель­
ных значений, и каждое значение изображается как отдельная точка. Дело не в
том, что мы не знаем, что лежит между этими точками, а дело в том, что между эти­
ми точками ничего нет.
Мы можем усилить это представление дискретной последовательности, изоб­
раженной на рисунке 1.1 (Ь), записав эти дискретные значения в следующем виде:
х(0) - О
(1-е значение последовательности, индекс п - О)
х( 1) - 0.31
(2-е значение последовательности, индекс п = 1)
х(2) = 0.59
(3-е значение последовательности, индекс п = 2 )
х(3) = 0.81
(4-е значение последовательности, индекс п = 3)
и так далее,
( 1- 2 )
где п представляет целочисленную последовательность временного индекса 0, 1,
2,3 и т. д., а
некоторый постоянный интервал времени. Эти значения отсчетов
можно представить кратко и все сразу с помощью дискретного выражения
х(п ) = БІП( 2 я /0 пі5)
(1-3)
(Здесь тоже аргумент 2 л / 0 представляет собой угол, измеряемый в радианах.)
Обратите внимание на то, что значения индекса п в (1-2) начинаются с 0, а не с 1.
В этом нет никакого особого смысла; первым значением с таким же успехом могла
быть и единица, но мы начинаем отсчет индекса п с нуля по привычке, потому
что, поступая так, мы получаем возможность описывать синусоидальный сигнал,
начиная с нулевого момента времени. Переменная х(п ) в (1-3) читается как «лгот
п». Уравнения (1-1) и (1-3) описывают то, что называется сигналами во временной
области, потому что независимые переменные, непрерывное время £в (1-1) и зна­
чения дискретного времени тг£х, используемые в (1 -3), являются мерами времени.
Усвоив понятие дискретного сигнала, мы можем сказать, что дискретная сис­
тема представляет собой набор аппаратурных компонентов или программных
1.1. Дискретные последовательности и связанные с ними обозначения
25
процедур, которые выполняют некоторые операции над дискретными сигналами.
Например, дискретная система может представлять собой процесс, который вы­
дает выходную последовательность у(0), у( 1), у(2 ) и т. д., когда на его вход посту­
пает дискретная входная последовательность х(0), х(1), х(2) и т. д., как показано
на рисунке 1.2 (а). Снова, чтобы сделать наши обозначения краткими и сохранить
контроль над индивидуальными элементами входной и выходной последователь­
ностей, мы используем сокращенные обозначения, показанные на рисунке 1.2 (Ь),
где п представляет собой целочисленную последовательность О, 1,2,3 и т. д. Та­
ким образом, х (п ) и у(п) являются обобщенными переменными, которые обо­
значают две разные последовательности чисел. Рисунок 1.2 (Ь) позволяет нам
описывать выход системы простыми выражениями, такими как
у(п) = 2х(п) - 1
( 1-4 )
Для иллюстрации уравнения (1-4) рассмотрим случай, когда х (п ) является
последовательностью из пяти элементов: х(0) = 1, х (1 ) = 3, х(2) =5, х (3) = 7 и
х(4 ) = 9. В этом случае у(п) также содержит пять элементов у(0) = 1, у( 1) = 5,
У(2) = 9, у(3) = 13 и у (4 ) = 17.
х(0),х(1), х(2), х ( 3 ) , . . .
(а)
(Ь)
Рис. 1.2.
х(п)
Дискретная
система
Дискретная
система
у(0),у(1),у(2),у(3),
У(п)
При подаче на вход дискретной системы сигнала система выдает выход­
ной сигнал: (а) входной и выходной сигналы представляют собой после­
довательности отдельных значений; (Ь) входной и выходной сигналы
обозначаются какх(л) и у(п)
Фундаментальное различие в представлении времени в непрерывных и диск­
ретных системах приводит к очень важному различию в том, как представляется
частота в непрерывных и в дискретных системах. Чтобы показать это, рассмотрим
непрерывный синусоидальный сигнал на рисунке 1.1 (а). Если бы он представлял
напряжение между двумя проводами, мы могли бы измерить его частоту, подав
его на вход осциллоскопа, анализатора спектра или частотомера. Однако если бы
нам дали последовательность значений, подобную приведенной в (1-2), и попро­
сили определить частоту сигнала, который представляется этими числами, мы
столкнулись бы с проблемой. Мы построили бы график этих дискретных значе­
ний, мы распознали бы на этом графике один период синуса, как на рисун­
ке 1.1 (Ь). Теперь мы можем сказать, что сигнал повторяется каждые 20 отсчетов,
но у нас нет никакого способа определить точное значение частоты только по ди­
скретным отсчетам. Возможно, вы уже догадались, куда я веду. Если бы мы знали
интервал времени между отсчетами — период дискретизации — мы могли бы
определить абсолютную частоту дискретного синусоидального сигнала.
26
Гпава 1. Дискретные последовательностии системы
Если период дискретизации составляет, скажем, 0.05 миллисекунды/отсчет,
период синусоидального сигнала равен
Период синусоидального сигнала =
= (20 отсчетов/период) • (0.05 миллисекунды/отсчет) =
= 1 миллисекунда
(1-5)
Так как частота синусоидального сигнала обратна его периоду, мы теперь зна­
ем, что абсолютная частота синусоидального сигнала составляет 1/(1 мс) или
1 кГц. С другой стороны, если бы мы установили, что период дискретизации в
действительности равен 2 миллисекундам, дискретные отсчеты на рисунке 1.1 (Ь)
представляли бы синусоидальный сигнал, период которого равен 40 миллисекун­
дам, а частота —25 Гц. Важно здесь то, что в дискретных системах абсолютное зна­
чение частоты в Гц зависит от частоты дискретизации / 5=УДХ. Нам придется
вспоминать об этой зависимости на протяжении всей оставшейся части книги.
В цифровой обработке сигналов часто бывает необходимо описать частотный
состав дискретных сигналов. Когда мы делаем это, такое частотное представление
имеет место в так называемой частотной области. В качестве примера возьмем
дискретную синусоидальную последовательность х 1 (п) с произвольной частотой
/ 0 Гц, как показано в левой части рисунка 1.3 (а). Мы можем также описать сигнал
х 1 (п) так, как показано в правой части рисунка 1.3 (а), показав, что он содержит
частоту 1 в единицах/0и никаких других частот. Хотя мы сейчас на этом не задер­
жимся, обратите внимание на то, что представления в частотной области на ри­
сунке 1.3 сами являются дискретными.
Чтобы проиллюстрировать наши представления во временной и частотной об­
ластях дальше, на рисунке 1.3 (Ь) показан другой дискретный синусоидальный
сигнал х2 (п), амплитуда которого равна 0.4, а частота —2 /0. Дискретные отсчеты
х2 (п) выражаются уравнением
х 2(п) =0.4 • бш (2я2/0п£х)
(1-6)
Когда два синусоидальных сигнала х 1(п) и х2 (п) складываются, давая новый
сигнал хзит (п), его уравнение во временной области имеет вид:
х5ит(п) = х ^ п ) + х2(п) = $т (2л2/0
)+ 0 .4 • 8ш(2л 2 /0 п )
(1-7)
а его представления во временной и частотной областях имеют вид, показанный
на рисунке 1.3 (с). Рисунок 1.3 (с) помогает нам понять смысл описания в частот­
ной области или спектра Х зит (т), показывая, что Х шт (п) содержит составляю­
щую с частотой/0 Гц и составляющую пониженной амплитуды с частотой 2 /0 Гц.
Обратите внимание на три особенности рисунка 1.3. Во-первых, для обозначе­
ния временнь/х последовательностей используются строчные буквы, например,
"х " в х 1(п), а заглавные буквы используются для обозначения переменных частот­
ной области, например, "Х"в Х 1 (т). Запись Х 1(т) читается как «спектральная
последовательность икс один от эм». Во-вторых, т. к. представление временной
последовательности х 1(п) в частотной области Х 1(т) в свою очередь является по­
следовательностью (набором чисел), мы используем индекс "т "для отслеживания
отдельных элементов в Х 1(т). Можно перечислять члены последовательностей в
частотной области точно так же, как мы это делали с членами временной последо­
вательности в (1 -2). Например, Х шт (т) записывается в виде списка значений как
1.1. Дискретные последовательности и связанные с ними обозначения
'вит (0 ) = 0
Х5ит (1)= 10
(2-е значение Х5ит (т), индекс т = 1)
Х зит (2 ) = 0 -4
(3-е значение Хзит (т), индекс т = 2)
27
(1-е значение Х5ит (т), индекс т = 0)
'вит (3) = 0
(4-е значениеХзит (т), индекс т = 3)
и так далее,
где индекс частоты т представляет собой целочисленную последовательность О,
1,2,3 и т. д. В-третьих, т. к. синусоидальные сигналы в х 1(п) + х2 (п) имеют рав­
ный нулю фазовый сдвиг относительно друг друга, нам нет необходимости бес­
покоиться об изображении фазовых соотношений в Х шт (т) на рисунке 1.3 (с).
В общем случае, однако, фазовые соотношения в частотной области имеют боль­
шое значение, и мы поговорим на эту тему в главах 3 и 5.
. х,(п) во временной области
1■■
Х-| {т) в частотной области
1
■
0.5 ■■ *
■
я
(а)
■-
%
25
0.5
30
о * 1 111 1 1 1 1 1 1 1 111 |» + н 1 ї ї н
5
10
• Время (п)
15
0
0
-0.5 ■■
Г0 2/0 34 4/0 Ы0
Частота
-1
Х 2(ш ) в ч а с то тн о й о б л а с ти
хг(п)
Хг(П)во
ВОвременной
Е
области
!
1-
0.5
«***»
25
30
(Ь) о ■I I I I | IЖI■I I I I I I I■+++-Н-+-+«4-Н-+-ЙЧ.^
41
5 ■. ■. ■ 20 ■
■
Время^
-0.5-
0.5 ■■
Жі
*
04
----- — .-V
о
!0 2 ^ ЗС0 Ц } Ы0
Частота
х,и„(п) во временной области
Х зит(т) в частотной области
1.5 ■■
1
1■■
0.5
(С )
0
-°-1-5■
■
■■
1
20
»ПН I I I I I I I I
5‘
10
,
25
0.5 +
30
>1 и I I I I I I I I
15
."■
■»»*■
►
Н-- 1-- *—•—■
'* Время (п) о
0
А0 2/0 3Г0 4f0 Ы0
Частота
-1.5
Рис. 1.3.
Графические представления во временной и частотной областях: (а) си­
нусоидальный сигнал частотой f0\ (Ь) синусоидальный сигнал понижен­
ной амплитуды с частотой 2f0■,(с) сумма первых двух сигналов
Ключевым моментом, о котором нужно помнить, является то, что мы теперь
знаем три эквивалентных способа описания дискретных сигналов. Математиче­
ски мы можем использовать уравнение во временной области, наподобие (1-6).
Кроме того, мы можем представлять сигнал во временной области графически,
как мы делали это в левой части рисунка 1.3, а также мы можем изобразить соот­
ветствующие сигналу дискретные эквиваленты в частотной области, как в правой
части рисунка 1.3.
28
Гпава 1. Дискретные последовательности и системы
Как оказывается, дискретные сигналы во временной области, которыми мы за­
нимаемся, квантованы не только по времени, их мгновенные значения тоже кван­
тованы. Так как мы представляем все численные значения двоичными числами,
разрешающая способность или гранулярность представления значений диск­
ретных чисел ограничена. Хотя квантование мгновенных значений может быть
важным моментом —мы рассматриваем его в главе 12 —мы пока не будем беспо­
коиться о нем.
1.2. Мгновенные значения, амплитуда
и мощность сигнала
Определим два важных термина, которые мы будем использовать на протяже­
нии всей книги: мгновенное значение и амплитуда. Не удивительно, что для диле­
танта эти термины обычно слабо различимы'. В инженерном деле они, однако,
обозначают два разных понятия, и мы должны выяснить эту разницу. Мгновенное
значение переменной —это мера того, на какую величину и в каком направлении пе­
ременная отклоняется от нуля. Таким образом, мгновенные значения сигнала могут
быть как положительными, так и отрицательными. Временные последовательности
на рисунке 1.3 демонстрировали мгновенные значения отсчетов для трех разных
сигналов. Обратите внимание на то, что одни мгновенные значения положительны,
а другие —отрицательны.
Модуль переменной — это мера того, насколько ее значение отличается от
нуля независимо от направления отклонения. Таким образом, модуль сигнала
всегда положителен. На рисунке 1.4 показано, что модуль х ^ п ) с рисунка 1.3 (а)
равен мгновенному значению, но знак его всегда положительный. Для обозначе­
ния модуля х 1(п) мы используем | х 1(п)|. Иногда в литературе по цифровой об­
работке сигналов вместо термина модуль употребляется термин абсолютное
значение. Амплитудой сигнала называется модуль наибольшего его отклонения
от нуля, следовательно, амплитуда всегда положительна.
^
|Х1 (п )|
1+
■■*■»* ■
*
0.5 •-
■■***■ ■
я
*
я
"
■
: *
Я
*
Я
я
"
*
Я
*
я
0 ■ I I I I | I I I I | М I I |" I I I | I I I I | I I I I | I
5
10
15
20
25
30
►
Время (п)
-0.5
Рис. 1.4.
Отсчеты модуля |хг (л) | сигнала, показанного на рисунке 1.3 (а)
Когда мы изучаем сигналы в частотной области, нас часто интересует уро­
вень мощности этих сигналов. Мощность сигнала пропорциональна квадрату
1 Конечно, под дилетантами мы понимаем «других людей». Для инженера нейрохирург
является дилетантом. Для нейрохирурга инженер является дилетантом.
29
1.3. Условные обозначения операций обработки сигналов
его амплитуды. Если мы предположим, что коэффициент пропорциональности
равен 1, мы можем выразить мощность последовательности во временной или
частотной области как
хрш (п )= х (п ) = \х(п)\( 1-8)
или
Хрш (т )= Х (т )2 = \Х (т ){
( 1- 8 ' )
Очень часто нам требуется знать разницу уровней мощности двух сигналов в ча­
стотной области. Из-за квадратичной зависимости мощности от амплитуды два
сигнала с небольшой разностью амплитуд будут иметь гораздо большую разность
мощностей. На рисунке 1.3, например, амплитуда сигнала х 1(п) в 2.5 раза больше
амплитуды сигнала х2 (п), а его мощность в 6.25 раз больше мощности х 2 (п). Это
показано на рисунке 1.5, где показаны и амплитуда, и мощность X
(т).
модуль Хвию(т)
і в частотной области
1
1 -- ■
1 ■■
0.5
0*- н— ь
0
2Г0
мощность Хът(т)
в частотной области
0.5 ■■
0.4
я
3/о 4Г0 5/-0
Частота
0*0
0.16
-я—я-
г0 2Г0 З/о 4Г0 5ґ0
Частота
Рис. 1.5. Модуль и мощность сигналаХзит (п) (рисунок 1.3 (с)) в частотной области
На графиках мощности из-за ее квадратичной природы часто приходится отобра­
жать в одной системе координат как очень большие, так и очень маленькие значения.
Чтобы облегчить построение и восприятие таких графиков, специалисты часто
используют значения, выраженные в децибелах, как описано в приложении Е.
1.3. Условные обозначения операций
обработки сигналов
Для графического изображения реализации операций цифровой обработки
сигналов мы будем использовать блок-схемы. Эти блок-схемы будут содержать
набор базовых условных обозначений основных операций, наиболее употреби­
тельные из которых показаны и определены математически на рисунке 1.6.
На рисунке 1.6 (а) показано поэлементное сложение двух дискретных после­
довательностей, в результате которого образуется новая последовательность.
Если значения индекса времени п нашей последовательности начинаются с 0, мы
говорим, что первое значение выходной последовательности равно сумме первого
элемента последовательности Ь и первого элемента последовательности с, или
а(0) = Ь(0) + с(0). Соответственно, второе значение выходной последовательно­
сти равно сумме второго элемента последовательности Ь и второго элемента по­
следовательности с, или а(1) = Ь(1) + с(1). Уравнение (1-7) дает нам пример
сложения двух последовательностей. Операция вычитания, показанная на рисун­
ке 1.6 (Ь) генерирует выходную последовательность, которая представляет собой
зо
Гпава 1. Дискретные последовательности и системы
поэлементную разность двух входных последовательностей. Иногда мы должны
вычислять элементы новой последовательности, которые являются суммой более
чем двух значений. Эта операция, показанная на рисунке 1.6 (с), называется сум­
мированием и встречается очень часто в цифровой обработке сигналов. Обратите
внимание на то, что верхнее и нижнее значения индекса суммирования к в выра­
жении на рисунке 1.6 (с) точно указывают нам, какие элементы последовательно­
сти Ь необходимо сложить, чтобы получить требуемое значение а(п). Так как мы
будем встречать операцию суммирования очень часто, давайте убедимся в том,
что мы правильно поняли ее обозначение. Если мы повторим уравнение операции
суммирования здесь, мы получим
и+З
о (« )= 1 * № )
(1-9)
к=п
Сумматор
(а)
а (л )
Ь(л)
а (л ) = Ь(п) + с(п)
Т
с{п)
Вычитатель.
Ь(п)
(Ь)
а(л)
t
a{n) = b(n) - c(n)
Р(п)
Суммирование'
/?+3
a(n)
(с)
a(n) =уГь(к) = b(n) + Ь(п+1) + Ь(л+2) + Ь(л+3)
к- п
Умножение
b ( n ) --------------^
(d )
а (п )
a(n) = b(n )c{n) = b (n )-c (n )
к
[И н о гд а д л я обо зна чен и я ум нож ения
мы используем зн а к “ ”]
с(л)
Единичная задержка'
Ь(п)
З ад ерж ка
а(л)
(е)
а(л) = Ь(л-1 )
Ь(л)
Рис. 1.6.
а(л)
Термины и условные обозначения, используемые в блок-схемах цифро­
вой обработки сигналов
31
1.4. Введение в дискретные линейные инвариантные во времени системы
Это значит, что:
при п —0, индекс к принимает значения от 0 до 3, так что
a(0) = b(0) + b(1) + b(2) + b{3)
при п = 1, индекс к принимает значения от 1 до 4, так что
a(1) = b(1) + b(2) + b{3) + b(4)
при л = 2, индекс к принимает значения от 2 до 5, так что
а{2) = Ь{2) + Ь(3) + Ь(4) + Ь(5)
при п = 3, индекс к принимает значения от 3 до 6, так что
а(3) = Ь(3) + Ь(4) + Ь(5) + Ь(6)
и так далее.
О 'Ю )
Мы начнем использовать операцию суммирования всерьез, когда мы будем об­
суждать цифровые фильтры в главе 5.
Умножение двух последовательностей показано символически на рисунке 1.6 (d).
Умножение генерирует выходную последовательность, которая является поэ­
лементным произведением двух входных последовательностей: а(0) = Ь(0)с(0),
а( 1) = Ь( 1)с( 1) и так далее. Последняя базовая операция, которую мы будем ис­
пользовать, на рисунке 1.6 (е) называется единичной задержкой. Поскольку в
данный момент у нас нет необходимости убеждаться в ее важности, мы просто
скажем, что символ единичной задержки обозначает операцию, в результате ко­
торой выходная последовательность а(п) равна задержанной входной последо­
вательности Ь(п). Например, а(5) = Ь(4), а(6) = Ь(5), а(7) = Ь(6) и т. д. Как мы
увидим в главе 6, благодаря математическим методам, используемым для анали­
за цифровых фильтров, единичная задержка часто обозначается как z~1.
Символы на рисунке 1.6 напоминают нам о двух аспектах цифровой обработки
сигналов. Первый заключается в том, что операции всегда выполняются над по­
следовательностями отдельных значений, а второй — в том, что элементарные
операции сами по себе очень просты. И что интересно, как бы сложно ни выгля­
дели алгоритмы цифровой обработки сигналов, подавляющее большинство их
можно реализовать, используя комбинации этих простых операций. Если мы
представим себе некоторый алгоритм цифровой обработки сигналов как рецепт,
то условные обозначения на рисунке 1.6 — это ингредиенты.
1.4. Введение в дискретные линейные
инвариантные во времени системы
Придерживаясь традиции, мы даем введение в линейные инвариантные во
времени (ЛИВ) системы в самом начале этой книги. Хотя понимание ЛИВ-систем несущественно для изучения следующих трех глав, при изучении цифровых
фильтров мы будем опираться на строгие определения линейности и инвариантно­
сти во времени. Мы должны распознавать и понимать понятия линейности и инва­
риантности во времени не только потому, что огромное большинство дискретных
систем, используемых на практике, являются ЛИВ-системами, но и потому, что
32
Гпава 1. Дискретные последовательности и системы
Л ИВ-системы очень удобны для анализа. Это хорошая новость для нас, потому что
мы можем использовать простые методы для предсказания характеристик любой
схемы цифровой обработки сигналов, если только она линейна и инвариантна во
времени. Так как линейность и инвариантность во времени — две очень важные
характеристики систем, имеющие особые свойства, мы обсудим их в следующих
разделах.
1.5. Дискретные линейные системы
Термин линейная определяет особый класс систем, выходной сигнал которых
представляет собой суперпозицию, или сумму, отдельных выходных сигналов,
полученных при подаче на вход системы составляющих входного сигнала по от­
дельности. Например, мы можем сказать, что при подаче на вход системы сигнала
х 1(п) мы получим на выходе у 1(п). Можно обозначить эту ситуацию символиче­
ски с помощью следующего выражения:
x-f (п) вызывает реакцию у -/ (п)
(1*11)
При подаче на вход другого си гн ала^ (п) мы получим на выходе сигналау 2(п)
в соответствии с
х2 (п) вызывает реакцию у2 (п)
(1-12)
Чтобы система была линейна, необходимо, чтобы при подаче на ее вход суммы
Х1 (п) + х 2 (и) выходной сигнал был суммой индивидуальных выходных сигналов,
так что
х ^ п ) + х2 (п) вызывает реакцию у 1(п) + у2 (п)
(1-13)
Кроме того, понятие линейности включает в себя такое свойство как пропорци­
ональность. Это значит, что если входные сигналы умножаются на коэффициен­
ты с1и с2 , то составляющие выходной последовательности также умножаются на
эти же коэффициенты, т. е.
с1х 1(п) + с2х2 (п) вызывает реакцию с1у 1(п)+ с2 у 2 (п)
(1-14)
В литературе свойство пропорциональности называют также свойством гомо­
генности или однородности. Запомнив все это, продемонстрируем понятие ли­
нейности на примере.
1.5.1. Пример линейной системы
Чтобы продемонстрировать линейность системы, предположим, что мы имеем
дискретную систему, показанную на рисунке 1.7 (а), выходной сигнал которой
определяется как
у(п) = -х (п ) / 2
(1-15)
то есть выходная последовательность равна входной, взятой с обратным знаком
и с уменьшенной в 2 раза амплитудой.. Если мы подадим на вход последователь­
ность х 1(и), представляющую собой синусоидальный сигнал с частотой 1 Гц, ди­
скретизированный с частотой 32 отсчета на период, мы получим выходную
последовательность у 1(п), показанную на рисунке 1.7 (Ь). График в правой части
1.5. Дискретные линейные системы
33
рисунка 1.7 (Ь) представляет частотный спектр выходной последовательности
у 1(п), который показывает, что выходной сигнал содержит единственный тон с ам­
плитудой -0.5 и частотой 1 Гц1. Далее, подавая входную последовательностьх2(п),
представляющую собой синусоидальный сигнал частотой 3 Гц, на выходе получаем
последовательность^ (и)> как показано в центре рисунка 1.7 (с). Спектр выходной
последовательности у2 (п), У2 (т ), подтверждающий присутствие единственной си­
нусоиды с частотой 3 Гц, показан в правой части рисунка 1.7 (с). Наконец —именно в
этот момент проявляется линейность —если мы подаем входную последователь­
ность х3 (п), которая представляет собой сумму двух синусоид с частотами 1 Гц и
3 Гц, мы получаем выходную последовательность^ (п), показанную в центре ри­
сунка 1.7 ((1). Обратите внимание на то, что у3 (п) представляет собой поэлемент­
ную сумму у 1(п) и у 2(п). Рисунок 1.7 ((1) показывает также, что спектр выходного
сигнала У3 (т) есть сумма У1(т) и У2 (т). Это и есть линейность.
(а )
Линейная
дискре тн а я
систем а
Входной сигнал
І
х ,(п )
Выходной сигнал у(п) = -х(п)/2
У1(л)
Л
(Ь)
-0.5
І
■
Ч
2
Т
4
6
8
10 12 14 Частота
(Гц)
*
-11
У2(п)
гж
0.5
■*
■
«вЖ
У2(т)
1
0.5
0 ЖЖ »№ Ж 4НН»» Ш Ш НЖ Н
,л
-11!
ж жж »■Время
05 I
%>.“*
її*
I Ж
0.5
І
I
0
*
-0.5 І *
1
(с)
»■'"'г.
0.5- •
Ж; ж
о ■ж+«нж
Л ж \н ",н т н н н н н« В■р е м я о | Г , р
Уі(т)
0.5- ■
1
.•
ж
'0
■.
■
1“
Время
I
0і іжжнжжмньТжі.Тіж »- 0Ш'М’в+И'М'И'М'М'М'Ж-М'М'ИМ'М^. ■
■ _
М *
Время
0
■> ‘
6
8 10 12 14 Частота
V/
V
(ГЦ)
05
I
05 ■
-1
Рис. 1.7. Соотношения вход-выход линейной системы: (а) блок-схема системы, где
у(п) = -х{п)/2\ (Ь) вход и выход системы при подаче синусоидального сиг­
нала частотой 1 Гц; (с) при подаче синусоиды частотой 3 Гц; (с1) при подаче
суммы двух синусоидальных сигналов с частотами 1 Гц и 3 Гц
Здесь мы допускаем использование отрицательно амплитуды, чтобы показать, что от­
счеты выходного сигнала имеют знак, противоположный знаку входных отсчетов, не
прибегая к понятию фазы —{прим. перев.)
34
Глава 1. Дискретные последовательности системы
1.5.2. Пример нелинейной системы
Легко показать, как нелинейная система дает выходной сигнал, не равный сум­
ме у 1(п) и у 2 (п), когда у нее на входе х 1(п) + х2 (п). Простой пример нелинейной
дискретной системы приведен на рисунке 1.8 (а), где выходной сигнал равен
квадрату входного в соответствии с
у(п)= [х(п)]2
(1-16)
Чтобы предсказать выходной сигнал в случае, когда на вход системы подаются
простые синусоидальные сигналы, мы используем хорошо известные тригоно­
метрические тождества и немного аналитических преобразований. Используя
форму уравнения (1-3), запишем синусоидальную последовательность с часто­
той / 0 = 1 Гц в виде
х ^ п ) = з т (2 я / 0 п1$) = 8 т(2 л • 1 • п£5)
(1-17)
Уравнение (1-17) описывает последовательность х 1 (п) в левой части рисун­
ка 1.8 (Ь). При подаче на вход последовательности х 1 (п) выходная последователь­
ность нелинейной системы у 1 (п) равна квадрату синуса частотой 1 Гц или
у ^ п ) = [ х ^ п )]2 = 8ш(2я • 1 • п ^ ) 8 т ( 2 л • 1 •гй8)
(1-18)
Мы можем упростить выражение для у 1 (п) в (1-18), используя следующее
тригонометрическое тождество:
Б т а • в т/? = [с о з (« - / ? ) ] / 2 - [с о 8 (а + /3 ) ] /2 .
(1-19)
Используя (1-19), мы можем у 1(п) выразить как
УАП) = [со8(2л • 1*гЛ5 - 2л •1*М8)]/2 - [соъ(2л*1тгй5 + 2л •7*и£9)]/2 =
= со$(0)/2 - со8(4л*1*п^)/2 = 1/2 - со8(2я*2»и£5) / 2 ,
(1-20)
что показано как положительная последовательность в центре рисунка 1.8 (Ь).
Так как, согласно (1-19), умножение двух синусоид приводит к появлению суммы
(а + /?) и разности (а - /3) частот, выходная последовательность у 1(п) будет пред­
ставлять собой косинусоидальный сигнал частотой 2 Гц и амплитудой 0.5, сложен­
ный с константой 1/2. Константа 1/2 в (1-20) интерпретируется как составляющая
с частотой 0 Гц, что отражено в спектре У1(т) на рисунке 1.8 (Ь). Мы могли бы про­
делать те же выкладки для последовательности х2 (п) и установить, что выходная
последовательность нелинейной системы у2 (п) в этом случае будет содержать со­
ставляющие с частотами 0 Гц и 6 Гц, как показано на рисунке 1.8 (с).
Нелинейность системы становится очевидной, когда мы подаем на ее вход после­
довательность х3(п), образованную в результате суммирования синусоидальных
сигналов с частотами 1 Гц и 3 Гц, как показано на рисунке 1.8 (с1). Мы можем пред­
сказать частотный состав выходной последовательности у 3 (п), используя алгебраи­
ческое тождество
(а+Ь)2 =а2 + 2аЬ + Ь2
(1-21)
где а и Ь представляют слагаемые входной последовательности. Из (1-19) следу­
ет, что член а 2 в (1-21) приводит к появлению синусоидальных составляющих с
частотами 0 Гц и 3 Гц, показанных на рисунке 1.8 (Ь). Аналогично, член Ь 2 дает
1.5. Дискретные линейные системы
35
еще одну составляющую с частотой 0 Гц и синусоиду с частотой 6 Гц, показанные
на рисунке 1.8 (с). Но член 2аЬ приводит к появлению в у3(п) синусоидальных со­
ставляющих с частотами 2 Гц и 4 Гц. Мы можем показать это аналитически, испо­
льзуя (1-19) и выражая член 2аЬ в (1-21) как
2аЬ = 2 • 8т(2л: • 1 •
= [2со5(2лг •
) • 5т(2тг
• 3 • Ш8) =
1 • Ш5- 2 л • 3 •
)]/2 - [2соз(2я • 1 • п15 +2л • 3 •
= соз(2я • 1 • п Ь Л - со б(2 л • 4 • пЬ5) .
(а)
х, (л)
Ф*
Ї
(Ь)
Нелинейная
дискретная
система
Входной сигнал х(п) ----■
►
ж*
— ►
Выходной сигнал у(п) = [x(nj] ‘
Уі(л)
1 ■■
*
Ж Время
Ж
Ж: ' '
Ж. :
V
*л
Y ,(m )
жГж
08., * *
0.6 . . * 1
0 -ні
* піні іііііі-н«
:і Я V *т н ін т
Ж
04 . .
(1-22)1
■
ж
0.2 . ,
ж
Ж;
К
жI•
ш я
Компонент нулевой частоты
4
ж
ж
0.5
0L2
8
-0 5
10
ж
12 14 Частота
(Гц)
0^ інніии»Мнит »имя Время
,х 2(п)
У ,(п)
К
ж' L
0.5 .Ж :
(С)
|
ж
0.8
ж ;ж
ж :;
0■ІІИИІІНННИІІІНІІІІИИІІ Время
os 4-
06 . .
"ж
Ж:
І
2.5
/V. Ж
л
Рис. 1.8.
м жж’ ;!
4
щ
8
10
12 14
Частота
(Гц)
АУ3(т)
Уз(п>
1і
2 ..
ж ж.
0.5
1.5
Ж
Ж
2
-0 5
; Ж :! :Ж !
Время
х 3(л)
(d)
6
о1.
:Ж
0t.
ЧІТі(f
IИ1III
IIIH*1ill11■!Ilia
II■III
III| *|I III
ЦІ ^
*П
гг«
*
Y2(m)
0.5 Ж
О'4 • ■
0.2
-1 І1.
4
1. .
жж
Время
1
4
6
0 0Ж^Ж+Ж-|-Ж'Ж'Ж'Ж.Ж.Ж'*Ж«^-
1. .
8
0.5 .Ж
ж ж
і
:і
0ж(тн'>*нм-жнш->иннн-»>
10
12 14 Частота
(Гц)
Время
Соотношения вход-выход нелинейной системы: (а) блок-схема системы,
где у(л) = [х(л)]2; (Ь) вход и выход системы при подаче синусоидального
сигнала частотой 1 Гц; (с) при подаче синусоидального сигнала частотой
3 Гц; (d) при подаче суммы синусоидальных сигналов с частотами 1 Гц и
3 Гц
Первый член в (1-22) выглядит как соъ(2лт$- 6лМ$) = со$(-4лп1) = со$(-2л2п15). Од­
нако, т. к. косинус является четной функцией, т е соз( -а ) = со5(а5, мы можем записать
этот член как со$,(2л2п15).
36
Гпава 1. Дискретные последовательности и системы
Уравнение (1-22) говорит нам, что в у3 (п) присутствуют две дополнительные
составляющие, обусловленные нелинейностью системы: косинусоидальный сиг­
нал частотой 2 Гц, амплитуда которого равна 1, и косинусоидальный сигнал час­
тотой 4 Гц, имеющий амплитуду 1 и включенный в состав сигнала со знаком
минус. Эти спектральные компоненты показаны в составе Y3 (m) в правой части
рисунка 1.8 (d).
Обратите внимание на то, что, когда на вход нелинейной системы подается
сумма двух синусоид, выходной сигнал содержит синусоиды (см. (1-22)), кото­
рых нет в случае, когда каждое из слагаемых подается на вход системы отдельно.
Эти дополнительные синусоиды появились в результате взаимодействия двух
входных синусоид при выполнении возведения в квадрат. Это и есть нелиней­
ность, условие (1-13) не выполняется. (Инженеры в области электротехники и
электроники хорошо знакомы с этим явлением как с интермодуляционными иска­
жениями.) Хотя нелинейные системы трудно анализировать, они иногда исполь­
зуются на практике. Например, в работах [2], [3] и [4] описывается их применение
при построении нелинейных цифровых фильтров. Напомним еще раз: (1-13) и
(1-14) утверждают, что выходной сигнал линейной системы при подаче на ее вход
суммы отдельных сигналов представляет собой суперпозицию (сумму) отдель­
ных выходных сигналов. Они также требуют, чтобы выходная последовательность
у 1(п) зависела только отх1(п) и от характеристик системы и не зависела от другой
составляющей входного сигнала х2 (п), т. е. чтобы отсутствовало взаимодействие
входных сигналов х 1 (п) и х2 (п) на выходе линейной системы.
1.6. Инвариантные во времени системы
Инвариантная во времени система —это система, для которой задержка (или
сдвиг) во времени входной последовательности вызывает эквивалентную вре­
менную задержку выходной последовательности. Помня о том, что п — просто ин­
дексная переменная, которую мы используем, чтобы отслеживать входные и
выходные отсчеты, скажем, что система выдает на выход последовательность у(п)
при подаче на вход последовательности х(п) или
х(п) вызывает реакцию у(п) .
(1-23)
Чтобы система была инвариантной во времени, для сдвинутой версии исход­
ного сигнала х(п), х'(п) должно выполняться следующее соотношение:
х'(п) = x(n+k) вызывает реакцию у '(п) =y(n+k) ,
(1-24)
где k — некоторое целое число, представляющее задержку в k периодов дискретиза­
ции. Чтобы система была инвариантной во времени, условие (1-24) должно выпол­
няться для любого целого k и для любой входной последовательности.
1.6.1. Пример инвариантной во времени системы
Рассмотрим простой пример инвариантности во времени, показанный на ри­
сунке 1.9. Предположим, что исходная входная последовательность представляет
собой синусоидальную последовательность единичной амплитуды и частотой 1 Гц,
выходная последовательность обозначена как у(п), как показано на рисунке 1.9 (Ь).
37
1.6. Инвариантные во времени системы
Рассмотрим другую входную последовательность х \ п ) вида
х'(п) = х(п + 4 ).
(1-25)
Уравнение (1 -25) показывает, что входная последовательность х '(п) совпадает с
последовательностью х(п), сдвинутой на четыре отсчета влево, то есть х'(0) = х(4),
х'(1) = х(5),х'(2) =х(6)итакдалее, как показано в левой части рисунка 1.9 (с). Ди­
скретная система инвариантна во времени, потому что выходная последователь­
ность у \п ) равна последовательности у(п), сдвинутой влево на четыре отсчета, или
у \ п ) =у(п +4). Мы можем видеть, что у'(0) = у(4),у'(1) =у(5),и'(?) =у(6) итак да­
лее, как показано на рисунке 1.9 (с). Для инвариантных во времени систем величи­
на сдвига по времени последовательности у равна величине сдвига по времени
последовательности х.
Некоторые авторы поддаются соблазну определять инвариантную во време­
ни систему как такую систему, параметры которой не меняются со временем.
Это определение страдает неполнотой и может причинить нам неприятности,
если мы не будем достаточно внимательны. Мы просто остановимся на формаль­
ном определении, гласящем, что инвариантная во времени система —это система,
для которой сдвиг во времени входной последовательности приводит к равному
сдвигу во времени выходной последовательности. Между прочим, в литературе
инвариантные во времени системы часто называют инвариантными относитель­
но сдвига системами1.
Инвариантная
во времени
дискретная
система
Входной сигналх (п ) --------- ►
(а)
Выходной сигнал у(п) = -х(п)/2
І х(п)
1■•
05 . . ■
ЛГ
(Ь)
18
21
24
27
І
30
03
0 " П t ♦♦ t H t И t n !■ - I f I I I ' H <»Н Н 4 *
Ах'(п)
.!
Рис. 1.9.
“ «12
15
18
»
:
21
24
27
оIf Ц+НЧ-ННЧ 111II11II11111■f(4.—
1
3
І М И І н І > »1 ■ 18
21
24
27
30
Время
ку(гі)
1т
0,5 t
0
+
15 ,
»*
° :і
-0.5
12
Ь-'‘і,...'1
II
15 * м
(с)
69
о f t 11» n I I I І И і
6
9
е-
. * 3 0
° ’5 0
3
6
9
ЗО
0 |||Ц||ІІІ^*Ті|ІІ|Н(ІІ|Іі‘»гЦ-*-
в Ремя
J
.
-0.5
*'■■,»***
и
12
15
18
21
24
27
*
Время
1
Соотношения вход-выход для инвариантной во времени системы:
(а) блок-схема системы, для которой у(п) = -х{п)/2\ (Ь) вход и выход сис­
темы при подаче синусоидального сигнала частотой 1 Гц; (с) вход и вы­
ход системы при подаче синусоидального сигнала частотой 1 Гц,
сдвинутого на четыре отсчета. Если х'(п) =х{п + 4), то у'{п) = у(п + 4)
Примером дискретного процесса, который не является инвариантным во времени, яв­
ляется процесс понижения частоты дискретизации или децимация (прореживание),
описанный в главе 10.
38
Гпава 1. Дискретные последовательности и системы
1.7. Свойство коммутативности линейных
инвариантных во времени систем
Хотя мы не будем обосновывать этот факт до раздела 6.8, сейчас вполне можно
понять, что ЛИВ-системы обладают полезным свойством коммутативности, со­
гласно которому их порядок следования может быть изменен без изменения резу­
льтирующего выходного сигнала. Эта ситуация показана на рисунке 1.10, где две
разные ЛИВ-СИС1 СМЫ соединены последовательно.
Рис. 1.10. Последовательное включение линейных инвариантных во времени
(ЛИВ) систем: (а) исходное соединение ЛИВ-систем; (Ь) изменение по­
рядка включения двух систем не изменяет результирующий выходной
сигнал у(п)
Изменение порядка включения каскадированных систем не изменяет окончате­
льный выходной сигнал. Хотя промежуточные последовательности / ( п) и g(n) в
общем случае не будут совпадать, обе пары ЛИВ-систем будут иметь идентичные
выходные последовательности у(п). Это свойство коммутативности приходит на
помощь разработчикам цифровых фильтров, как мы увидим в главах 5 и 6.
1.8. Анализ линейных инвариантных
во времени систем
Как утверждалось выше, ЛИВ-системы можно анализировать с целью предска­
зания их свойств. В частности, если мы знаем импульсную характеристику некото­
рой ЛИВ-системы, мы можем вычислить все, что можно узнать об этой системе,
т. е. импульсная характеристика системы полностью характеризует ее. Под импу­
льсной характеристикой мы понимаем выходную последовательность системы во
временной области при подаче на вход системы единственного импульса, равного
единице, (единичного импульса), которому предшествуют и за которым следуют
нулевые отсчеты, как показано на рисунке 1.11 (Ь).
Библиография
39
Зная импульсную характеристику ЛИВ-системы, мы можем определить выход­
ную последовательность для любой входной последовательности, т. к. выходная
последовательность равна свертке входной последовательности и импульсной ха­
рактеристики. Более того, имея импульсную характеристику во временной области,
мы можем найти частотную характеристику системы, взяв преобразование Фурье
в форме дискретного преобразования Фурье от импульсной характеристики [5].
Линейная
инвариантная
во времени
дискретная
система
Входной сигнал х(п)
(а)
Выходной сигнал у(п)
4 Импульсная характеристика у(п)
4 Импульсный входной сигнал х(п)
1+ V
единичным отсчет
(Ь)
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
Время
■***“Время
Рис. 1.11. Импульсные характеристики ЛИВ-систем: (а) блок-схема системы; (Ь)
входная последовательностьх(п) и импульсная характеристика у(п)
Не расстраивайтесь, если вы не совсем четко представляете себе, что такое сверт­
ка, частотная характеристика или дискретное преобразование Фурье. Мы введем
эти понятия постепенно и аккуратно по мере надобности в последующих главах.
Здесь же следует уяснить себе, что ЛИВ-системы могут проектироваться и анали­
зироваться с использованием ряда понятных и мощных методов. Эти методы мы
будем добавлять к нашему инструментарию по мере продвижения в изучении
цифровой обработки сигналов.
Библиография
1. Karplus, W. J., and Soroka, W. W. Analog Methods, Second Edition, McGraw-Hill,
New York, 1959, p. 117.
2.
Mikami, N., Kobayashi, М., and Yokoyama, Y. «А New DSP-Oriented Algorithm
for Calculation of the Square Root Using a Nonlinear Digital Filter,» IEEE Trans,
on Signal Processing, Vol. 40, No. 7, July 1992.
3.
Heinen, P., and Neuvo, Y. «FIR-Median Hybrid Filters,» IEEE Trans, on Acoust.
Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-35, No. 6, June 1987.
40
4.
r nasa 1. flucKpeTHbie nocneflOBaTenbHOcmm CMCTeMbi
Oppenheim, A., Schafer, R., and Stockham, T. «Nonlinear Filtering of Multiplied
and Convolved Signals,» Proc. IEEE, Vol. 56, August 1968.
5. Pickerd, John. «Impulse-Response Testing Lets a Single Test Do the Work of Tho­
usands,» EDN, April 27,1995.
Глава 2
Периодическая
дискретизация
Периодическая дискретизация — процесс представления непрерывного сиг­
нала последовательностью дискретных значений —используется во всех облас­
тях цифровой обработки сигналов. На практике дискретизация выполняется
путем подачи непрерывного сигнала на вход аналого-цифрового преобразовате­
ля (АЦП), который выдает на выход последовательность цифровых значений.
Поскольку теория дискретизации играет важную роль в определении точности
и реализуемости любой схемы цифровой обработки сигналов, нам потребуется
уверенное знание эффектов периодической дискретизации, которые часто по­
нимаются не совсем правильно. Первое, что необходимо выяснить в отношении
дискретизации —как часто следует брать отсчеты непрерывного сигнала, чтобы
сохранить содержащуюся в нем информацию. Мы можем дискретизировать не­
прерывный сигнал с любой частотой, с какой пожелаем, и получать последова­
тельность дискретных значений, но возникает вопрос: насколько хорошо эти
значения представляют исходный сигнал? Давайте получим ответ на этот во­
прос и параллельно исследуем различные методы дискретизации, используе­
мые в цифровой обработке сигналов.
2.1. Наложение: неоднозначность
представления сигнала в частотной
области
Существует неоднозначность в частотной области, связанная с отсчетами ди­
скретных сигналов, которая отсутствует в мире непрерывных сигналов, и мы
можем понять влияние этой неопределенности, разобравшись в природе диск­
ретных данных. Для примера предположим, что вы имеете следующую последо­
вательность значений:
х(0 ) = О
х( 1) = 0.866
х(2) = 0.866
х(3) = О
42
Гпава 2. Периодическая дискретизация
х(4) = -0.866
х(5 ) = -0.866
х(6) = О,
и вам сказали, что эти значения представляют мгновенные значения синусоидаль­
ного сигнала во временной области, взятые через одинаковые интервалы време­
ни. А затем вас попросили начертить график этого синусоидального сигнала. Вы,
видимо, начали бы с изображения последовательности значений, показанной на
рисунке 2.1 (а), точками. Затем, вероятно, вы начертили бы синусоиду, показан­
ную на рисунке 2.1 (Ь) сплошной линией, которая проходит через точки, изобра­
жающие нашу последовательность.
Другой человек, однако, мог бы начертить синусоиду, показанную на рисун­
ке 2.1 (Ь) более светлой линией. Мы видим, что исходная последовательность с рав­
ной достоверностью могла бы представлять дискретизированные версии обеих
синусоид. Главное здесь то, что, если последовательность данных представляет
собой равноотстоящие по времени отсчеты синусоиды, мы не можем однозначно
определить частоту синусоиды только по этим отсчетам.
Знакомство с математическими истоками этой частотной неоднозначности
позволяет нам не только справиться с ней, но и извлечь из неё пользу. Выведем
выражение для этой неопределенности в частотной области, а затем посмотрим
несколько конкретных примеров. Рассмотрим непрерывный синусоидальный
сигнал, определенный как
х (г )= $ т (2 л /01).
(2-1)
0.8661
(а)
Время
-
0.866
•Рис. 2 .1 . Частотная неоднозначность: (а) дискретная последовательность значе­
ний; (Ь) две разные синусоиды, которые проходят через точки, соответ­
ствующие отсчетам дискретной последовательности
2.1. Наложение: неоднозначность представления сигнала в частотной области 43
Этот сигнал х (£) представляет собой искусственный синусоидальный сигнал,
частота которого р авн а/0 Гц. Теперь дискретизируем х(£) с частотой / 5отсчетов в
секунду, т. е. через равные интервалы времени длительностью £5 секунд, где
Ь3=1/ / 3. Если мы начинаем дискретизацию в момент С= 0, то получим отсчеты в
моменты времени 0£5, Н3, 2 ^ и так далее. Таким образом, согласно (2-1), первые п
последовательных отсчетов имеют значения
0-й отсчет
х(0) = s\г\(2яfo0ts)
1-й отсчет
х(1) = ъ\г\(2^0 И3)
2-й отсчет
х(2) = зт(2л/г02Г5)
п-й отсчет
х{п) = бп~\{2л^М3)
(2-2)
Выражение (2-2) определяет значение и-го отсчета последовательности х(п)
как значение исходного сигнала в момент времени пЬ3. Поскольку два значения
■синусоиды идентичны, если соответствующие значения аргумента разнесены на
интервал, кратный 2л радиан т. е.,
(ф) = бш(<р+2лт) , где т —любое целое чис­
ло, мы можем модифицировать (2-2) следующим образом:
х(п ) = §т (2л/0 п13 ) = $т (2л/0 п13 + 2лт) = $т (2л(/0 + т/(гй,3))пЬ3)
(2-3)
Если мы выберем т кратным п, т = кп, мы можем заменитьотношение т /п в
(2-3) целочисленной переменной так что
х(п) = з т (2 л (/0 + к /^ )и^ ) .
(2-4)
Поскольку/5= 1/(3, мы можем приравнять последовательности х(п) в (2-2) и (2-4):
х(п) = $\п(2л/0 Ш3) = $т (2л(/0 + к/5 )гА$).
(2-5)
Следовательно, множители / 0 и ( / 0+ к/3 ) в (2-5) дают одинаковый результат.
Смысл (2-5) имеет критическое значение. Это выражение показывает, что последо­
вательность цифровых отсчетов х(п), представляющая синусоиду частотой / 0 Гц,
точно так же представляет синусоиды с другими частотами, а именно / 0 + к/3.
Это одно из важнейших соотношений в области цифровой обработки сигналов.
Это нить, которой сшиты все схемы дискретизации. Словами смысл (2-5) мож­
но выразить так:
При дискретизации с частотой /^отсчетов в секунду мы не можем различить ди­
скретизированные значения синусоиды частотой ^ Гц и синусоиды частотой
+ М5) Гц, если к — любое положительное или отрицательное целое число.
Это действительно так. Никакая последовательность значений, хранимая в па­
мяти компьютера, например, не может однозначно представлять одну и только
одну синусоиду без дополнительной информации. Это положение в равной мере
применимо к выходным отсчетам АЦП и к отсчетам сигналов, сгенерированных
компьютерными программами. Дискретная природа любой последовательности
значений приводит к тому, что эта последовательность представляет бесконеч­
ное количество разных синусоид.
Формула (2-5) оказывает влияние на все схемы цифровой обработки сигналов.
В этом лежит причина того, что, хотя мы показали это только для синусоидаль­
ных сигналов, спектр любой дискретной последовательности значений содержит
44
Гпава 2. Периодическая дискретизация
периодически повторяющиеся копии исходного спектра непрерывного сигнала
(подробнее мы поговорим об этом в главе 3). Период повторения этих копий спек­
тра в частотной области всегда равен f s , и периодический спектр простирается от
постоянной составляющей до бесконечности в обоих направлениях частотной
оси. Это происходит потому, что k в (2-5) может быть любым положительным
или отрицательным целым числом. (В главах 5 и б мы узнаем, что (2-5) является
причиной периодичности частотных характеристик всех цифровых фильтров в
частотной области и играет важную роль при анализе и проектировании попу­
лярного типа цифровых фильтров, известных как фильтры с бесконечной им­
пульсной характеристикой.)
Чтобы продемонстрировать влияние (2-5), построим на рисунке 2.2 и рассмот­
рим процесс дискретизации синусоиды частотой 7 кГц с частотой дискретизации
6 кГц. Отсчеты берутся каждую 1/6000 секунды или один раз за каждые 167 мик­
росекунд, а их значения изображены на рисунке 2.2 (а) точками.
Заметьте, что значения отсчетов вообще не изменились бы, если бы вместо на­
шей синусоиды мы дискретизировали синусоиду частотой 1 кГц. В этом примере
параметры (2-5) равны:/0 = 7 кГц,/5 = 6 кГц tfk = -1, так что f 0+kfs = [7+( -1 • 6)] =
7 кГц. Проблема состоит в том, что никакой алгоритм обработки не может опреде­
лить, является ли данная последовательность дискретных отсчетов, значения ко­
торых показаны точками, результатом дискретизации синусоиды частотой 7 кГц
или синусоиды частотой 1 кГц. Если подать эти значения на некоторый цифровой
прибор, который измеряет энергию сигнала на частоте 1 кГц, то выход прибора
покажет энергию на частоте 1 кГц. Но мы-то знаем, что в нашем исходном сигнале
нет составляющих с частотой 1 кГц —наш входной сигнал представляет собой чи­
стый тон с частотой 7 кГц. Формула (2-5) заставляет синусоиду с именем 7 кГц
выступать под псевдонимом (alias) 1 кГц. Попросить кого-нибудь определить, си­
нусоида какой частоты дала отсчеты, показанные на рисунке 2.2 (а), — это то же
самое, что спросить: «Когда я сложил два числа, я получил сумму четыре. Какие
числа я складывал?» Ответ состоит в том, что существует бесконечное количест­
во пар чисел, сумма которых дает четыре. '
Рисунок 2.2 (Ь) показывает другой пример частотной неоднозначности, кото­
рую мы будем называть наложением (aliasing), когда синусоида частотой 4 кГц
может быть принята за синусоиду частотой -2 кГц. На рисунке 2.2 (Ь) параметры
(2-5) имеют значения: / 0 = 4 кГц,/х = 6 кГц и к = -7 , так ч т о /0+&/5= [4+ (-1 • 6)] =
- 2 кГц. Как и раньше, если мы рассмотрим внимательно последовательность чи­
сел, представляющих точки на рисунке 2.2 (Ь), то не сможем определить, какая си­
нусоида была дискретизирована — тон частотой 4 кГц или тон частотой -2 кГц.
(Хотя понятие отрицательной частоты может показаться несколько странным, оно
обеспечивает нам красивую и состоятельную методику предсказания эффектов ди­
скретизации. В главе 8 обсуждаются отрицательные частоты и их связь с действи­
тельными и комплексными сигналами.)
Если мы ограничим интересующий нас спектральный диапазон частотами в
пределах ± f s /2 Гц, предыдущие два примера приобретают особое значение. Час­
тота f s /2 в теории дискретизации является важной величиной и в литературе из­
вестна под разными названиями1: критическая частота Найквиста, половина
В русскоязычной литературе эта частота традиционно не имеет специального назва­
ния, но в последнее время под влиянием англоязычной литературы появилась тенден­
ция называть ее частотой Найквиста —{прим. перев ). •
2.1. Наложение: неоднозначность представления сигнала в частотной области 45
частоты Найквиста, частота заворота. Графическое изображение двух наших при­
меров наложения частот приведено на рисунке 2.2 (с). Нас интересуют компонен­
ты сигнала, которые вследствие наложения отображаются в диапазоне частот от
~/5/2 до +/5/2. Обратите внимание на то, что в интересующем нас диапазоне час­
тот (±3 кГц, т. к./5= 6 кГц), имеется энергия на частотах -2 кГц и +1 кГц, получен­
ная вследствие наложения частот 4 кГц и 7 кГц, соответственно. Заметим также,
что вертикальные позиции точек на рисунке 2.2 (с) не имеют значения, но их го­
ризонтальные позиции показывают, какие частоты накладываются друг на друга.
Время
-2 КГц
Время
Интересующий нас
диапазон частот
Частота
(КГц)
Рис. 2 .2 .
Эффекты частотной неоднозначности, вытекающие из (2-5): (а) дискре­
тизация синусоиды частотой 7 кГц с частотой дискретизации 6 кГц; (Ь)
дискретизация синусоиды частотой 4 кГц с частотой дискретизации 6
кГц; (с) спектральные соотношения, демонстрирующие наложение сину­
соид с частотами 7 кГц и 4 кГц
Общее изображение наложения имеет вид зубчатой структуры на рисунке 2.3
(а). Обратите внимание на то, что пики структуры расположены на частотах,
46
Гпава 2. Периодическая дискретизация
кратных / 5 Гц. Структура показывает, как сигнал, лежащий на пересечении го­
ризонтальной линии с одной из наклонных линий, накладывается на все пересе­
чения этой же горизонтальной линии со всеми другими наклонными линиями с
таким же наклоном. Например, структура на рисунке 2.3 (Ь) показывает, что ди­
скретизация синусоиды частотой 7 кГц с частотой дискретизации 6 кГц дает диск­
ретную последовательность чисел, спектр которых представляет тоны с частотами
1 кГц, 7 кГц, 13 кГц, 19 кГц и т. д. Остановимся на минуту и дадим этим весьма
важным понятиям немного устояться. Представление непрерывного сигнала ди­
скретной последовательностью содержит в себе неизбежную неоднозначность в
частотной области. Эту неоднозначность необходимо учитывать во всех практиче­
ских алгоритмах цифровой обработки сигналов.
Интересующий
(КГц)
Рис. 2 .3.
Зубчатая структура: (а) наложение на частотах, кратных частоте дискре­
тизации; (Ь) наложение синусоиды частотой 7 кГц на 1 кГц, 13 кГц и 19 кГц
А теперь рассмотрим эффекты дискретизации сигналов, которые представля­
ют больший интерес, чем простые синусоиды.
2.2. Дискретизация низкочастотных
сигналов
Рассмотрим дискретизацию непрерывного действительного сигнала, спектр
которого показан на рисунке 2.4 (а). Заметим, что спектр симметричен относите­
льно частоты 0 Гц и его значения равны 0 для частот выше +В Гц и ниже - В Гц, т. е.
это сигнал с ограниченным спектром. (С практической точки зрения термин сиг­
нал с ограниченным спектром просто означает, что энергия сигнала за пределами
диапазона ±В Гц ниже чувствительности нашей системы.) Задавшись частотой
дискретизации / 5 отсчетов в секунду, мы можем увидеть эффект размножения
спектра при дискретизации на рисунке 2.4 (Ь), на котором показаны исходный
спектр, а также бесконечное количество копий, повторяющихся с периодом/5Гц.
2. 2. Дискретизация низкочастотных сигналов
47
(Хотя в разделе 1.1 мы установили, что представление дискретных последовате­
льностей в частотной области само является дискретным1, копии спектра на ри­
сунке 2.4 (Ь) показаны непрерывными линиями, а не дискретными точками,
просто для того, чтобы рисунок не выглядел слишком загроможденным. Мы рас­
смотрим все особенности дискретного частотного спектра в главе 3.)
Рис. 2 .4 .
Размножение спектра: (а) спектр исходного непрерывного сигнала; (Ь)
размножение спектра дискретного сигнала при fs /2 > В; (с) наложение
частот при слишком низкой частоте дискретизации, потому что fs/ 2 < B
Вернемся немного назад, чтобы понять всё значение рисунка 2.4. На рисун­
ке 2.4 (а) показан спектр непрерывного сигнала, который может существовать то­
лько в одной из двух форм. Либо это непрерывный сигнал, который можно
дискретизировать с помощью АЦП, либо это просто абстрактное понятие, такое
как математическое выражение для сигнала. Он не может быть представлен в
цифровой машине в форме с ограниченным спектром. Как только сигнал пред­
ставляется последовательностью дискретных значений, его спектр принимает
размноженную форму, показанную на рисунке 2.4 (Ь).
Размноженные спектры —не просто плод воображения математиков; они ре­
ально существуют и оказывают глубокое влияние на последующую цифровую
обработку сигналов2. Размножение спектра может показаться безвредным, и
1 Это не совсем так, но оставим данное утверждение на совести автора —(прим. перев.).
2
К концу раздела 5.9 в качестве примера использования теоремы о свертке будет приве­
дено другое обоснование размножения спектра при периодической дискретизации
48
Гпава 2. Периодическая дискретизация
естественно было бы спросить: «Зачем уделять так много внимания размноже­
нию спектра? Нас ведь интересует только диапазон частот в пределах ± / 5 /2». Это
так, но если мы выполняем операцию переноса по частоте или изменяем частоту
дискретизации путем прореживания или интерполяции, размноженный спектр
сдвигается как раз в интересующий нас диапазон частот ± / 5/2 и может вызвать
проблемы [ 1]. Рассмотрим, как можно управлять расположением копий спектра.
В практических схемах АЦП / 5 всегда берется больше 2В, чтобы оставить раз­
делительный промежуток в районе частот заворота ± / 5/2. Это очень важное соот­
ношение: У5 > 2В — известно как критерий Найквиста . Чтобы показать, почему
частота/5 /2 называется частотой заворота, понизим частоту дискретизации до ве­
личины / 5 = 1.5В Гц. Спектральный результат такой дискретизации показан на ри­
сунке 2.4 (с). Копии спектра теперь перекрывают исходный спектр с центром на
частоте 0 Гц. Ограничив наше внимание окрестностью частот ± /5/2 Гц, мы видим
два очень интересных эффекта. Во-первых, нижняя и верхняя границы копий спек­
тра с центральными частотами +/5и - / 5теперь лежат в интересующей нас полосе
частот. Эта ситуация эквивалентна заворачиванию исходного спектра влево отно­
сительно частоты +/5/2 и вправо относительно частоты —/ $/2. Части копий спек­
тра теперь взаимодействуют с исходным спектром, в результате чего появляются
ошибки наложения. Дискретные отсчеты, связанные со спектром, показанным на
рисунке 2.4 (с), больше не представляют корректно исходный сигнал. Спектраль­
ная информация в полосах частот от - В до - В /2 и от В /2 до В Гц искажена. Мы
показываем уровень спектра в областях наложения более бледной линией, поско­
льку мы точно не знаем, каким он будет.
Второй эффект, иллюстрируемый рисунком 2.4 (с), состоит в том, что весь спектр
исходного непрерывного сигнала сосредоточен в полосе частот между - / $/2 и + / 5/2.
Это ключевое свойство показано на рисунке 2.4 (Ь) и будет иметь место всегда, неза­
висимо от дискретизируемого сигнала и частоты дискретизации. Этот эффект осо­
бенно важен, когда мы оцифровываем непрерывные сигналы. Он предупреждает нас
о том, что любая энергия, расположенная выше +В Гц и ниже - В Гц в спектре ис­
ходного непрерывного сигнала, показанного на рисунке 2.4 (а), всегда после диск­
ретизации окажется в интересующей нас полосе частот, независимо от частоты
дискретизации. По этой причине на практике необходимы непрерывные (аналого­
вые) фильтры нижних частот.
Проиллюстрируем сказанное, показывая на рисунке 2.5 (а) непрерывный сиг­
нал с шириной спектра В, сопровождаемый шумом. Дискретизация этой непре­
рывной смеси с частотой, которая превышает 2В, позволяет избежать наложения
копий спектра полезного сигнала, но вся энергия шума все равно попадает в диа­
пазон частот между - / 5/2 и + / 5/2 нашего дискретного спектра, показанного на
рисунке 2.5 (Ь).
Практически эта проблема решается применением аналогового антиэлайзингового фильтра нижних частот перед АЦП для уменьшения любой нежелательной
энергии сигнала на частотах выше +В и ниже - В Гц, как показано на рисунке 2.6.
Пример характеристики фильтра нижних частот показан более бледной линией,
наложенной на спектр исходного непрерывного сигнала на рисунке 2.6. Заметьте,
что спектр выходного сигнала фильтра нижних частот ограничен, и наложений в
спектре выходных данных АЦП удается таким образом избежать.
' В русскоязычной литературе в этом случае ссылаются на теорему Котельникова —
(прим. перев.).
49
2.3. Дискретизация полосовых сигналов
Шум
Рис. 2 .5.
Шум
Рис. 2 .6 .
Интересующий
нас сигнал
Шум
Размножение спектра: (а) спектр смеси сигнала с шумом; (Ь) спектр ди­
скретного сигнала, в котором шум искажает полезный сигнал
Шум
Низкочастотная фильтрация перед дискретизацией счастотой ^ Гц
Этим завершается обсуждение простой низкочастотной дискретизации. Те­
перь перейдем к более сложной схеме дискретизации, которая оказалась весьма
полезной на практике.
2.3. Дискретизация полосовых сигналов
Хотя дискретизация низкочастотных сигналов, иллюстрируемая рисунком 2.6,
удовлетворяет большинству требований, это не единственная схема дискретиза­
ции, используемая на практике. Для дискретизации непрерывных полосовых сиг­
налов, центральные частоты которых отличны от нуля, мы можем использовать
метод, известный как полосовая дискретизация. Когда ширина спектра и централь­
ная частота непрерывного входного сигнала позволяют, полосовая дискретизация
не только дает возможность снизить требуемое быстродействие АЦП по сравне­
нию с традиционной низкочастотной дискретизацией, но и уменьшает объем памя­
ти, необходимый для хранения сигнала на заданном интервале.
В качестве примера рассмотрим дискретизацию сигнала с ограниченным спек­
тром, показанного на рисунке 2.7 (а), с центральной частотой/с = 20 МГц и шири­
ной спектра В = 5 МГц. Мы используем термин полосовая дискретизация для
50
Гпава 2. Периодическая дискретизация
процесса дискретизации непрерывных сигналов, центральные частоты которых
отличны от 0 Гц. То, что мы называем полосовой дискретизацией, в литературе
упоминается под различными другими названиями, такими как дискретизация
ПЧ, гармоническая дискретизация [2], суб-найквистовская дискретизация и ди­
скретизация с пониженной частотой [3]. В случае полосовой дискретизации нас
больше волнует ширина спектра сигнала, чем его наивысшая частота. Заметим,
что часть сигнала, соответствующая отрицательным частотам, с центром на часто­
те - / с, представляет собой зеркальное отражение части, соответствующей положи­
тельным частотам, как и должно быть для действительных сигналов. Наивысшая
частота в спектре нашего полосового сигнала составляет 22.5 МГц. В соответст­
вии с критерием Найквиста (дискретизация с частотой, превышающей в 2 раза
наивысшую частоту в спектре сигнала) частота дискретизации должна состав­
лять не менее 45 МГц. Рассмотрим, что произойдет, если частота дискретизации
будет равна 17.5 МГц, как показано на рисунке 2.7 (Ь). Заметим, что исходные
спектральные компоненты остаются на частотах ± /с, а копии спектра расположены
в области низких частот, смыкаясь на нулевой частоте. Рисунок 2.7 (Ь) показывает,
что для того, чтобы избежать наложений спектра, не нужна дискретизация с часто­
той 45 МГц — вместо этого мы используем эффект размножения спектра (2-5)
для достижения своей цели.
П олосовой спе ктр
(непр ер ы вного
сигнала)
(а)
Частота
Рис. 2 .7 .
Дискретизация полосового сигнала: (а) спектр исходного непрерывного
сигнала; (Ь) размножение спектра дискретизированного сигнала при ча­
стоте дискретизации 17.5 МГц.
Полосовая дискретизация выполняет оцифровку и перенос по частоте как
один процесс, который часто называют дискретизирующим переносом.. В мире
цифровой обработки сигналов процессы дискретизации и переноса по частоте
тесно связаны друг с другом, а каждая операция дискретизации внутренне приво­
дит к размножению спектра. Любопытный читатель может спросить: «А можем
ли мы дискретизировать с еще более низкой частотой и не иметь наложений?»
Ответ: да, но чтобы установить, как это сделать, мы должны пробиться сквозь
вывод одного важного соотношения полосовой дискретизации. Вознагражде­
ние, однако, будет стоить затраченных усилий, потому что именно здесь полосо­
вая дискретизация действительно становится интересной.
2.3. Дискретизация полосовых сигналов__________________________________ 51
Предположим, что мы имеем непрерывный входной сигнал с шириной спектра
В. Его несущая частота равна / с Гц, т. е. центральная частота его спектра равна / с
Гц, а спектр дискретизированного сигнала показан на рисунке 2.8 (а). Мы можем
дискретизировать этот непрерывный сигнал с частотой, скажем, / 5 Гц, так что ко­
пии спектра для положительных и отрицательных частот, Р и (), стыкуются как
раз на частоте 0 Гц. Эта ситуация, показанная на рисунке 2.8 (а), напоминает ри­
сунок 2.7 (Ь). При произвольном количестве копий, например, т в диапазоне 2 /с
— В мы видим, что
или Л ’ =
= 21с ~ в
( 2- 6)
- в )/т -
2ГС-В
-►1«—
—,
Г -В/2 ■
(а)
|Ч.-] Г-, ..-1 :ч
І Ш
І І и
.ч
| р.
/ті М н
С
-2 Г
2Г.
Ч а сто та
2ГС-В
I
(Ь)
•
*
Ї
\
•
•
, І1±1[±1
її
• •Р !
Ч-.'
Р:
±:..и±
Ч а сто та
/К
(с)
1
-Л
Рис. 2 .8 .
г*
•
і-Л -Ш
і"
Л
-2Г.
1
г'
■
і ,.і ;р =
'і:
г*
1
*1
I*
'
*1
•
*1
г
I
•’ , = і 1. 1 І і Г. Г
2Г.
►
Ч а сто та
Пределы частоты при полосовой дискретизации: (а) частота дискрети­
зации = {21с - В)/6; (Ь) частота дискретизации меньше /д>; (с) минима­
льная частота дискретизации
< /д.
На рисунке 2.8 (а) т = 6 принято только для иллюстрации. Конечно, т может
быть любым положительным числом, если только / 5>не меньше 2В. Если частота
дискретизации/5-повышается, исходный спектр (жирная линия) не смещается, но
все его копии смещаются. Вблизи нулевой частоты полоса Р сдвигается вправо, а
полоса () —влево. Эти копии перекроются, и возникнут искажения наложения. Та­
ким образом, из (2-6) следует, что для произвольного т существует частота, кото­
рую частота дискретизации не должна превосходить, или
Л ' ^ (2Л - в ) / т или (2/с - в ) / т - Л
(2-7)
Если мы уменьшим частоту дискретизации ниже значения/5-, показанного на ри­
сунке 2.8 (а), промежутки между копиями будут уменьшаться в направлении стре­
лок на рисунке 2.8 (Ь). В этом случае исходный спектр тоже не будет смещаться при
изменении частоты дискретизации. При некоторой новой частоте дискретизации
15"< / 5’, копия Р 'упрется в исходный спектр в области положительных частот с цент­
ром на частоте/ >как показано на рисунке 2.8 (с). В этом случае мы знаем, что
( т + 1)/5~= 2 /с + В или / 8.. = (2/с + В )/(т + 1) .
(2-8)
52
Гпава 2. Периодическая дискретизация
При дальнейшем уменьшении/5„копия Р' будет сдвигаться вниз по частоте и
начнет накладываться на исходный спектр на частоте / с , что приведет к искаже­
ниям. Следовательно, согласно (2-8) для т+1 существует частота, которую часто­
та дискретизации всегда должна превышать, или
Л - г ( 2 / с + В ) /( т + 0 -
(2-9)
Теперь мы можем объединить (2-7) и (2-9) и сказать, что для предотвращения
наложений частота/ 5 должна выбираться в диапазоне от / 5- д о /5-, или
(2/с - В )/т > / 5 > (2{с + В )/(т + 1) ,
(2- 10)
где т —произвольное положительное целое число, которое выбирается так, чтобы
выполнялось соотношение/5 > 2В. (Для этого типа периодической дискретизации
действительных сигналов, известного как действительная дискретизация первого
порядка, по-прежнему должен удовлетворяться критерий Найквиста/5 > 2В.)
Чтобы лучше понять важное соотношение (2-10), вернемся к нашему примеру
полосового сигнала, для которого (2-10) позволяет построить таблицу 2.1. Эта таб­
лица говорит нам, что частота дискретизации может находиться в диапазоне от 22.5
до 35 МГц, в диапазоне от 15 до 17.5 МГц или в диапазоне от 11.25 до 11.66 МГц.
Никакое значение частоты дискретизации ниже 11.25 МГц неприемлемо, посколь­
ку оно не удовлетворяет ни соотношению (2-10), ни условию /5 > 2В. Спектры
для нашего полосового сигнала при нескольких частотах дискретизации из табли­
цы 2.1 показаны на рисунке 2.9. Заметим, что, когда/, равна 7.5 МГц (т = 5), мы име­
ем наложение, потому что ни нижняя граница в (2-10), ни условие / 5 > 2В не
соблюдаются. Значение т = 4 также неприемлемо, т. к. условие/5 > 2В не удовлет­
воряется. Последний столбец таблицы 2.1 содержит оптимальные значения час­
тоты дискретизации для каждого подходящего значения т. Оптимальная частота
дискретизации определяется здесь как частота, при которой копии спектра не со­
прикасаются друг с другом, за исключением окрестности нулевой частоты. На­
пример, в диапазоне допустимых частот для т = 1 гораздо легче выполнять
последующую цифровую фильтрацию или другую обработку отсчетов сигнала,
спектр которого показан на рисунке 2.9 (Ь), чем в случае спектра, показанного на
рисунке 2.9 (а).
Таблица 2 .1 . Результат применения (2-10) к примеру полосового сигнала
т
(2Гс- В ) / т
(2Гс+ В ) / ( т + 1 )
Оптимальная
частота
дискретизации
1
35.0 МГц
22.5 МГц
22.5 МГц
2
17.5 МГц
15.0 МГц
17.5 МГц
3
11.66 МГц
11.25 МГц
11.25 МГц
4
8.75 МГц
9.0 МГц
—
5
7.0 МГц
7.5 МГц
—
2.3. Дискретизация полосовых сигналов
53
Читатель может поинтересоваться: «Всегда ли оптимальная частота дискрети­
зации равна минимальному допустимому согласно (2-10) значению/5?» Ответ за­
висит от конкретного приложения — возможно, имеются некоторые системные
ограничения, которые следуёт учесть. Например, в цифровой телефонии для
упрощения дальнейшей обработки частоты дискретизации выбираются кратны­
ми 8 кГц [4]. Другим фактором, зависящим от приложения и влияющим на выбор
оптимальной/5, является форма характеристики аналогового антиэлайзингового
фильтра [5]. На практике часто компоненты высококачественных АЦП настраи­
ваются в процессе производства так, чтобы обеспечить максимальную линей­
ность на высоких частотах ( >5 МГц). Их использование на более низких частотах
не рекомендуется.
Для иллюстрации природы (2-10) было бы интересно построить график мини­
мальной частоты дискретизации, (2 /с+В)/(т+1), при разных значениях т, как
функцию переменной Я, определяемой как
7? = (наивысшая частота)/(ширина спектра) = ( /с + В /2 )/В . (2-11)
Исходи э|й спектр
(а)
I
-25.0
м
I
-20 .0
Ис> одный спектр
У 2 .
^ = 35.0 М Гц
1
т = 1
I
I
-15.0
I
■ I
-10 .0
-5 .0
■
>
Э
I
5.0
'
I
10.0
I
15.0
Ьт-^
20.0
25.0
У2
Г3 = 2 2 .5 М Гц
т= 1
(Ь)
' Г
-25.0
(с)
'1
-20.0
I
'
-15.0
Г " "т
-10.0
I
1
-5 .0
1
0
1
5.0
I
10.0
1
I
15.0
I
I
25.0
V2
I
-25.0
I
I
-20.0
-15.0
I
-10 .0
1 ■ 1
-5. 0
■11"""
3
50
10.0
т
■I '
'I '
15.0
20.0
№
I'
(е)
-20.0
-15 .0
-10 .0
-5 .0
0
5.0
11.25 МГц
'‘
У2
Г ■ 1 1 1 1 1 1
-25.0
-20.0
-15 .0
-10.0
/_ = 7.5 М Гц
1
25.0
М1 Ц
=2
М Гц
т=2
/~ = 15.0 М Гц
-25.0
77^ -
Г
20.0
1
-5 .0
10.0
^11Г1
1 1 1 1
0
Наложение
5.0
10.0
I »' Г
15.0
20.0
1 1 > 1
15.0
20.0
I
25.0
М Гц
г 1^3
гя
1 МГ
25.0
Наложение
т=5
(О
-25.0
-20 .0
-15 .0
-10 .0
-5 .0
0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
М Гц
Рис. 2 .9. Различные варианты размножения спектра из таблицы 2.1: (а) ^=35 МГц; (Ь)
/д=.22.5 МГц; (с)
17.5 МГц; (с!) ^=15 МГц; (е) 15=11.25 МГц; ф ^=7.5 МГц
54
Гпава 2. Периодическая дискретизация
Если мы пронормируем минимальную частоту дискретизации из (2-10), раз­
делив ее на ширину спектра В, мы получим график в нормированных координа­
тах, показанный жирной линией на рисунке 2.10. Этот рисунок показывает
минимальную нормированную частоту дискретизации как функцию наивыс­
шей нормированной частоты в спектре полосового сигнала. Заметим, что, неза­
висимо от значения Я, минимальная частота дискретизации никогда не должна
превосходить 4В и приближается к 2В при увеличении несущей частоты. Как
это ни удивительно, минимальная допустимая частота дискретизации в дейст­
вительности понижается при увеличении несущей частоты полосового сигнала.
Мы можем интерпретировать рисунок 2.10, рассмотрев снова наш пример поло­
сового сигнала на рисунке 2.7, где Л = 22.5/5 = 4.5. Это значение отмечено на
рисунке 2.10 серой линией, показывая, что тп = 3 и/ 5/В = 2.25. При В = 5 МГц по­
лучаем минимальное значение / 5 = 11.25 МГц, что согласуется с таблицей 2.1.
Крайняя левая линия на рисунке 2.10 соответствует случаю низкочастотной дискре­
тизации, когда частота дискретизации / 5 должна равняться удвоенной наивысшей
частоте в спектре. Таким образом, нормированная частота дискретизации / 5 /В
равна удвоенной наивысшей частоте, деленной на В, другими словами, равна 2К
. Минимальное значение ^В
Рис. 2 .1 0 . Минимальная частота полосовой дискретизации согласно (2-10)
Рисунок 2.10 хорошо известен по литературе, но его обычное представление
позволяет читателю прийти к ложному заключению о том, что допустимой часто­
той дискретизации будет любая частота выше минимума, показанного на данном
рисунке [6-12]. Существует разумный способ избежать недоразумений [13]. Если
мы построим график приемлемых диапазонов частоты полосовой дискретизации
согласно (2-10) как функцию Л, мы получим картину, приведенную на рисун­
ке 2.11. Как мы видели из (2-10), таблицы 2.1 и рисунка 2.9 допустимые частоты
полосовой дискретизации образуют ряд частотных диапазонов, разделенных неп­
риемлемыми диапазонами частот дискретизации, т. е. допустимая частота поло­
совой дискретизации должна быть выше минимума, показанного на рисунке 2.10,
но не может быть просто любой частотой, превышающей минимум. Серые облас­
ти на рисунке 2.11 показывают те нормированные частоты полосовой дискретиза­
ции, которые приводят к наложению спектров. Частоты дискретизации в белых
2.3. Дискретизация полосовых сигналов
55
областях рисунка 2.11 допустимы. Таким образом, для полосовой дискретизации
мы хотим выбрать частоту дискретизации в одной из белых расходящихся полос,
соответствующей некоторому значению тп из (2-10). Попробуем понять значение
рисунка 2.11с помощью рассмотренного раньше примера полосового сигнала, по­
казанного на рисунке 2.7.
Отношение наивысшей частоты компонента к ширине спектра
Рис. 2 .1 1 . Области допустимых значений частот полосовой дискретизации соглас­
но (2-10), нормализованных относительно ширины спектра сигнала ^5/В
На рисунке 2.12 значение Я (наивысшая частота/ширина спектра) для нашего
примера, равное 4.5, показано жирной серой вертикальной линией. Поскольку эта
линия пересекает всего три белые клинообразные области, можно сделать вывод,
что существуют всего три диапазона допустимых частот дискретизации, и это со­
гласуется с результатами, приведенными в таблице 2.1. Пересечение линии Я = 4.5
с границами белых клинообразных областей дает значения частот дискретизации,
приведенные в таблице 2.1. Таким образом, рисунок 2.11 дает значительно более
наглядное изображение границ допустимых значений частот полосовой дискрети­
зации, чем рисунок 2.10.
Хотя рисунки 2.11 и 2.12 показывают, что мы можем использовать частоту ди­
скретизации, лежащую на границе между серой и белой областями, этих значений
частоты дискретизации на практике следует избегать. Неидеальность аналоговых
полосовых фильтров, нестабильность генераторов тактовых сигналов частоты
дискретизации, несовершенство имеющихся АЦП делают невозможной точную
реализацию этого идеального случая. Для уверенности было бы разумно выбирать
56
Глава 2. Периодическая дискретизация
значение/5, несколько удаленное от границ области. Рассмотрим сценарий поло­
совой дискретизации, показанный на рисунке 2.13. При использовании типового
(неидеального) аналогового полосового фильтра, частотная характеристика ко­
торого показана серой линией, разумно было бы использовать в наших уравнени­
ях в качестве ширины полосы пропускания не В, а Вф. То есть мы создаем по обе
стороны полосы пропускания фильтра защитные полосы, так что становится воз­
можным некоторое наложение спектров, которое не искажает полезный сигнал,
как показано в нижней части рисунка 2.13.
Рис. 2 .1 2 . Допустимые частоты дискретизации для примера полосового сигнала (В
= 5 MHz) при R =4.5
Мы можем связать эту идею использования защитных полос с рисунком 2.11,
посмотрев более внимательно на один из белых клиньев. Как показано на рисунке
2.14, мы хотели бы выбрать частоту дискретизации как можно ближе к вершине
белой области —чем ниже мы смещаемся по клину, тем ниже частота дискретиза­
ции. Однако, чем ближе мы находимся к границе затененной области, тем уже дол­
жны быть защитные полосы, для чего требуется аналоговый полосовой фильтр с
более крутыми скатами частотной характеристики, а также более узкие допуски на
точность и стабильность частоты задающего генератора нашего АЦП. (Помните,
что работа на границе между белой и затененной областями приводит к тому, что
копии спектра соприкасаются друг с другом.) Поэтому для безопасности мы ра­
ботаем в некоторой промежуточной точке, на некотором расстоянии от границ за­
тененных зон, как показано на рисунке 2.14. Дальнейший анализ соотношения
ширины защитных полос и параметров синхросигналов АЦП приводится в [13].
В нашем обсуждении мы только констатируем, что хорошим является выбор та­
кой частоты дискретизации, которая лежит не слишком близко к границам между
белыми и затененными областями на рисунке 2.11.
2.3. Дискретизация полосовых сигналов
57
Рис. 2 .1 3 . Полосовая дискретизации при наличии наложений только в защитных
полосах
Ширина защитной полосы
Рис. 2 .1 4 . Типовый выбор рабочего значения ^ для компенсации неидеальности
аппаратуры
Имеется несколько способов обеспечить работу вдали от границ. Один состо­
ит в том, чтобы установить значение частоты дискретизации посреди белого
клина для заданного значения К. Мы делаем это, вычисляя среднее между мак­
симальным и минимальным значениями частоты дискретизации в (2-10) для
конкретного значения т, т. е. для центрирования рабочей точки частоты дискре­
тизации внутри клина мы используем выражение
/,
cn.tr
- [(.2/с - В )/т + (2 /с + В )/(т + 1)] /2 -
- ( / с -В /2 )/т + ( /с + В/2)/(т + 1).
(2-12)
58
Глава 2. Периодическая дискретизация
Другой способ не попасть на границу на рисунке 2.14 состоит в использовании
следующего выражения для определения промежуточной рабочей точки / 5:
i
15 = 4 /с/тпш ,
(2-13)
I
где тоМ — нечетное целое [14]. Использование (2-13) дает то преимущество, что
спектр интересующего нас дискретизированного сигнала будет центрирован отно­
сительно частоты, равной четверти частоты дискретизации (/5. /4). Эта ситуация
привлекательна, т. к. при этом существенно упрощается последующее комплексное
понижающее преобразование (перенос по частоте), используемое во многих при­
ложениях цифровой связи. Конечно, значение т0^ должно выбираться так, чтобы
выполнялось ограничение НайквистаД. > 2В. Результаты применения уравнений
(2-12) и (2-13) к нашему полосовому сигналу приведены на рисунке 2.15.
Рис. 2 .1 5 . Промежуточные рабочие значения
и /§сп^ согласно (2- 12) и (2- 13), по­
зволяющие избежать работы на границах серых зон, для примера поло­
сового сигнала с В = 5 МГц и Я = 4.5
2.4. Инверсия спектра при полосовой
дискретизации
Некоторые допустимые значения/5, удовлетворяющие (2-10), хотя и позволя­
ют избежать проблем с наложением, дают основной спектр (сосредоточенный в
районе 0 Гц), который инвертирован по отношению к исходному спектру, т. е.
форма спектра в области положительных частот будет совпадать с формой исход­
ного спектра в области отрицательных частот. Эта инверсия спектра происходит
2.4. Инверсия спектра при полосовой дискретизации
59
всегда, когда т в (2-10) является нечетным целым, как показано на рисунках 2.9 (Ь)
и 2.9 (е). Когда компоненты исходного спектра, соответствующие положительным
частотам, симметричны относительно^, инверсия спектра не порождает никаких
проблем, и может быть выбрано любое значение/5из (2-10), не приводящее к нало­
жениям. Однако, когда инверсии спектра следует избегать, например, при обработ­
ке однополосных сигналов, минимальная допустимая частота дискретизации, при
которой отсутствует инверсия спектра, определяется соотношением (2-10) при
одном ограничении: т должно быть наибольшим четным числом, при котором
выполняется неравенство/5 > 2В. При использовании нашего определения опти­
мальной частоты дискретизации выражение, которое дает оптимальные неинвер­
тирующие частоты дискретизации и не позволяет копиям спектра соприкасаться
нигде, кроме нулевой частоты, имеет вид
(2-14)
Л0 = (2/с - в)/т ,even ’
где теьеп = 2 ,4 ,6 ит. д. Для нашего примера полосового сигнала (2-14) при т = 2
дает оптимальную неинвертирующую частоту дискретизации/5 = 17.5 МГц, как
показано на рисунке 2.9 (с). В этом случае обратите внимание на то, что спектр,
перемещенный на нулевую частоту, имеет ту же ориентацию, что и исходный
спектр, расположенный на центральной частоте 20 МГц. Если же в вашем прило­
жении инверсия спектра не имеет значения, мы можем определить минимальную
частоту дискретизации, не выбирая разные значения т в (2-10) и не создавая таб­
лицу, как мы делали в случае таблицы 2.1. Рассматривая рисунок 2.16, вопрос
можно поставить так: «Сколько копий положительных и отрицательных частей
спектра шириной В можно уместить в полосе частот шириной 2 /с + В без наложе­
ний?» Количество таких копий составляет
(2-15)
Чтобы избежать перекрытия копий спектра, мы должны быть уверены в том,
что количество копий равно целому числу, не превышающему Л в (2-15). Таким
образом, мы можем определить целое количество копий как Щп1:, где
или
(2-16)
!<
2fc+B
В <
->! В <-
N
о
Частота
Рис. 2 .1 6 . Диапазон частот, занимаемый непрерывным полосовым сигналом
60
Гпава 2. Периодическая дискретизация
С
копий спектра в полосе частот 2/с + В, следовательно, период повторения
спектра, или минимальное значение частоты дискретизации / 5 .и, равно
fsmin- ^ f c + B )/R ,nt
(2-17)
В нашем примере полосового сигнала для вычисления первым делом необхо­
димо найти подходящее значение в (2-16) как
Кы < ( 2 2 5 ) / 5 < К ы +1,
так что Кы = 4. Затем из (2-17) находим частоту дискретизации / 5 = (40+5)/4 =
11.25 МГц, которая равна частоте дискретизации, показанной на рисунках 2.9 (е)
и 2.12. Таким образом, мы можем использовать (2-17) и избавиться от необходи­
мости использовать разные значения для т в ( 2 - 10 ) и создавать таблицу наподо­
бие таблицы 2.1. (Однако будьте внимательны. Формула (2-17) помещает нашу
частоту дискретизации на границу между белой и серой полосами рисунка 2 . 12 , и
мы должны прибегнуть к использованию защитных полос, которые мы обсужда­
ли выше.) Коротко говоря, в нашем примере полосового сигнала дискретизация с
частотой 11.25 МГц, полученной из (2-17), позволяет избежать наложений и ин­
вертирует спектр, а дискретизация с частотой 17.5 МГц, полученной из (2-14), по­
зволяет избежать наложений без инверсии спектра.
А теперь хорошие новости. Дополнив процедуру дискретизации несложной
цифровой обработкой, мы можем дискретизировать с частотой 11.25 МГц, получив
инвертированный спектр, а затем легко реинвертировать его, восстановив, таким
образом, его исходную ориентацию. Спектр любого цифрового сигнала можно
инвертировать, умножив отсчеты сигнала на последовательность чередующихся
плюс единиц и минус единиц (1, -1,1, - 1 ит. д.), которую в литературе обозначают
лаконичным выражением ( - 1 ) п. Эта схема позволяет выполнять полосовую диск­
ретизацию с меньшими частотами, удовлетворяющими (2-17), с последующей кор­
рекцией инверсии спектра, избегая, таким образом, необходимости использования
более высоких частот дискретизации, получаемых из (2-14). Хотя умножение от­
счетов на ( - 1 ) п подробно излагается в разделе 13.1, здесь достаточно помнить
простое правило, согласно которому умножение отсчетов действительного сигна­
ла на ( - 1)п эквивалентно умножению на косинус, частота которого р а в н а /?/2.
В частотной области это умножение зеркально отображает положительные часто­
ты в диапазоне от 0 до + / с/2 Гц относительно частоты / 5/4 Гц, а также отображает
отрицательные частоты от - / 5/2 до 0 Гц зеркально относительно частоты ~ /с /4 Гц,
как показано на рисунке 2.17. Последовательность ( - 1 ) п используется не только
для инверсии спектра полосовых последовательностей, ее можно также исполь­
зовать для инвертирования спектра дискретных низкочастотных сигналов.
Имейте ввиду, однако, что в случае дискретизации низкочастотного сигнала лю­
бой компонент постоянного тока (нулевой частоты) в исходном сигнале после
умножения на ( - 1)п будет перенесен как на частоту + /с/ 2 , так и на частоту —/ с/ 2 .
В литературе по ЦОС вы иногда можете увидеть последовательность ( - 1)п, пред­
ставленную эквивалентными выражениями со8(яи) и е)ЛП.
Мы завершаем данную тему, собрав в таблице 2.2 все, что нам нужно знать о
полосовой дискретизации.
2.4. Инверсия спектра при полосовой дискретизации
Полоса полезного
сигнала
-
61
Полоса полезного
сигнала
Рис. 2 .1 7 . Инверсия спектра посредством умножения н а (-7 )л: (а) исходный спектр
временной последовательности; (Ь) новый спектр произведения исход­
ной последовательности на последовательность (-1)
Таблица 2 .2 . Соотношения полосовой дискретизации
Требуемая величина
Допустимые границы
для полосовой
дискретизации: ( 2 - 10 )
Частота дискретизации в
середине полосы
допустимых частот: (2 - 1 2 )
Выражение для частоты
дискретизации
(2fc - B)/m > f s >
—(2fc + B )/(m + 1)
fs
cntr
= (f c - B /2 )/m +
+ (JC+ B /2 )/(m + 1)
Условия
m — любое
положительное целое
число, для которого
fs —2 В
m — любое
положительное целое
число, для которого
fSc„,rZ 2 B
Частота дискретизации,
при которой спектр
сигнала размещается на
одной четвертой частоты
дискретизации: (2-13)
Оптимальная частота
дискретизации, при
которой инверсия
отсутствует: (2-14)
Минимальное значение /д,
при котором отсутствуют
наложения: (2-17)
fs.
c / m odd
modd ~ любое целое
положительное нечетное
число, такое, что fs. > 2В
(инверсия спектра
возникает, когда modd=3,
7, 11 ит. д.)
me v e n - nio6oe
even
положительное целое
число, такое, что
> 2В
f s.,.
'mm - (2fc + B )/R ,int
<Я/П(+ '
62
Гпава 2. Периодическая дискретизация
Библиография
1.
Crochiere, R.E. and Rabiner, L.R. «Optimum FIR Digital Implementations for
Decimation, Interpolation, and Narrow-band Filtering», IEEE Trans, on Acoust.
Speech, and Signal Proc., Vol. ASSP-23, No. 5, October 1975.
2.
Steyskal, H. «Digital Beamforming Antennas», MicrowaveJournal, January 1987.
3.
Hill, G. «The Benefits of Undersampling», Electronic Design, July 11,1994.
4.
Yam, E., and Redman, M. «Development of a 60-channel FDM-TDM Transmul­
tiplexer», COMSAT Technical Review, Vol. 13, No. 1, Spring 1983.
5.
Floyd, P., and Taylor, J. «Dual-Channel Space Quadrature-Interferometer Sys­
tem», Microwave System Designer's Handbook, Fifth Edition, Microwave Systems
News, 1987.
6.
Lyons, R. G. «How Fast Must You Sample», Test and Measurement World, Novem­
ber 1988.
7.
Stremler, F. Introduction to Communication Systems, Chapter 3, Second Edition,
Addison Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, p. 125.
8.
Webb, R. C. «IF Signal Sampling Improves Receiver Detection Accuracy», Micro­
waves & RF, March 1989.
9.
Haykin, S. Communications Systems, Chapter 7, John Wiley and Sons, New York,
1983, p. 376.
10. Feldman, С. B., and Bennett, W. R. «Bandwidth and Transmission Performance»,
Bell System Tech. Journal, Vol. 28, 1989, p. 490.
11. Panter, P. F. Modulation Noise, and Spectral Analysis, McGraw-Hill, New York,
1965, p. 527.
12. Shanmugam, K. S. Digital and Analogue Communications Systems, John Wiley and
Sons, New York, 1979, p. 378.
13. Vaughan, R., Scott, N. and White, D. «The Theory of Bandpass Sampling», IEEE
Trans, on Signal Processing, Vol. 39, No. 9, September 1991, pp. 1973-1984.
14. Xenakis B., and Evans, A. «Vehicle Locator Uses Spread Spectrum Technology»,
RF Design, October 1992.
Г.пава 3
Дискретное
преобразование
Фурье
Дискретное преобразование Фурье (Д П Ф ) - одна из двух наиболее распро­
страненных и мощных процедур цифровой обработки сигналов. (Другая проце­
дура —цифровая фильтрация.) ДПФ позволяет анализировать, преобразовывать
и синтезировать сигналы такими способами, которые невозможны при непрерыв­
ной (аналоговой) обработке. Хотя сегодня ДПФ используется практически во
всех областях инженерной деятельности, мы увидим, что сфера его применения
продолжает расширяться по мере того, как расширяется понимание его полезно­
сти. По этой причине Основательное понимание ДПФ необходимо всем, кто рабо­
тает в области цифровой обработки сигналов.
ДПФ — это математическая процедура, используемая для определения гармо­
нического, или частотного, состава дискретных сигналов. Хотя для нас дискретный
сигнал представляет собой набор значений, полученных в результате периодиче­
ской дискретизации непрерывного сигнала во временной области, мы увидим,
что ДПФ полезно для анализа любых дискретных последовательностей, незави­
симо от того, что на самом деле эти последовательности представляют. Истоком
ДПФ, конечно же, является непрерывное преобразование Фурье Х (/), которое
определяется как
00
Х (/) = / х{£)е-)2л1г<к
^ 1^
гдел:(£) —некоторый непрерывный сигнал во временной области .1
В области обработки непрерывных сигналов (3-1) используется для преобра­
зования аналитического выражения для непрерывной временной функции х(Ь)
в непрерывную функцию Х (/) в частотной области. Последующее вычисление
значений выражения Х('/) дает нам возможность определить частотный состав
любого сигнала, используемого на практике, и открывает широкий спектр воз­
1 В английском языке фамилия Фурье пишется Fourier и произносится примерно как four
year (англ. «четыре года»). В институте мы называли (3.1) преобразованием four year, по­
тому что для решения одной домашней задачи нужно было примерно четыре года.
64
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
можностей для анализа и обработки сигналов в физике и технике. Несомненно,
преобразование Фурье — наиболее значительный и широко распространенный
математический механизм для анализа физических систем. (Это мнение лучше
сформулировано в знаменитой цитате лорда Кельвина: «Теорема Фурье —не то­
лько один из наиболее красивых результатов современного анализа, можно ска­
зать, что она предоставляет нам необходимый инструмент для рассмотрения почти
каждого трудного вопроса в современной физике». Кстати, история оригинальной
работы Фурье по гармоническому анализу, относящейся к проблеме теплопро­
водности, поистине захватывающая. Тем, кто интересуется этим вопросом, не­
плохо было бы начать с [ 1 ] и [2 ].)
С приходом в нашу жизнь цифровых компьютеров усилия пионеров цифро­
вой обработки привели к разработке ДПФ, которое определяется как дискретная
последовательность Х (т ) в частотной области,
Формула ДПФ
(экспоненциальная -»
форма):
Х(т) = 21 х(п)е~) 7111171/ .
(3-2)
п=0
В нашем обсуждении формулы (3-2) х (п ) представляет собой дискретную
последовательность значений, полученных дискретизацией во временной обла­
сти непрерывной переменной ,г(£). Символ "е" в (3-2), конечно же, обозначает
основание натуральных логарифмов, а^ = V ( - 1).
3.1. Смысл формулы ДПФ
Уравнение (3-2) имеет замысловатый и не слишком воодушевляющий вид, но
не стоит отчаиваться. К концу этой главы формула (3-2) станет для вас одним из
самых доступных и мощных инструментов в цифровой обработке сигналов. Начнем
с того, что запишем формулу (3-2) другим способом и внимательно рассмотрим ее.
Из тождества Эйлера е~^ = со$(ф)
следует, что (3-2) эквивалентно сле­
дующему выражению:
Формула ДПФ
4^1
(тригонометрическая Х(т) = 2^х(п)[соБ(2лпт/М) ~/5т(2лпт/М)\ .
форма):
п=0
(3-3)
Мы разделили комплексную экспоненту в (3-2) на действительную и мнимую
части,где
Х(т) — т-й компонент ДПФ, т. е. Х(0), Х( 1), Х(2), Х(3) и т. д.,
т — индекс ДПФ в частотной области,
т = О, 1,2,3, . . . ,N - 1 ,
х(п) —последовательность входных отстчетов х(0), х( 1), х(2), х(3) и т. д.,
п — временной индекс входных отсчетов п = 0, 1,2,3, . . . , Ы - 1,
;-•/(-/)
N — количество отсчетов входной последовательности и количество частот­
ных отсчетов результата ДПФ.
Хотя (3-3) выглядит более сложно, чем (3-2), его легче понять. (Если вы чувст­
вуете себя не слишком уверенно по отношению к 7 = V ( - 1), не стоит отчаиваться.
65
3.1. Смысл формулы ДПФ
Это просто удобная абстракция/которая помогает нам сравнивать фазовые соот­
ношения между различными синусоидальными компонентами сигнала. В главе 8
оператору обсуждается несколько подробнее.)1В стандартной записи ДПФ ин­
дексы входных значений ( п) и выходных отсчетов ДПФ (т ) всегда принимают
значения от 0 до Ы - 1. Это значит, что при наличии N входных отсчетов во вре­
менной области ДПФ определяет спектральный состав входного сигнала в Л^равномерно распределенных точках частотной оси. Значение N является важным
параметром, т. к. оно определяет необходимое количество входных отсчетов, раз­
решающую способность результата по частоте, а также время, необходимое для
вычисления /'/-точечного ДПФ.
Полезно рассмотреть структуру выражения (3-3), записав слагаемые суммы
по отдельности. Например, при N = 4 пп, и т принимают значения от 0 до 3, а
(3-3) превращается в
Х (т ) = 2
х ( п )[ соб(2лпгп/4)
-]$т(2лпт/4)] .
(3-4а)
п=0
Запишем все слагаемые первого отсчета ДПФ, которому соответствует т = О,
Х(0) = х(0)со$(2л *0* 0/4) -]х(0)$т(2л * 0 • 0/4)
+ х( 1)соъ(2л * 1 * 0/4) ~ ]х( 1)б1п(2л * 1 * 0/4)
+ х ( 2 ) с о б ( 2 л *2 * 0/4)
- ] х ( 2 ) б [ п ( 2 л *2
•0/4)
^
+ х(3)соэ(2л *3*0/4) - ]х(3)$'т(2тс *3 *0/4)
Для второго выходного отсчета ДПФ, соответствующего т = 1, (3-4а) прини­
мает вид
Х( 1) = х (0)соб(2л *0* 1/4) - ] х (0)бш(2л *0* 1/4)
+ л:( 1)со$(2л * 1 •1/4) -]х ( 1)ът(2л * 1 • 1/4)
+ х(2)соъ(2л * 2 * 1/4) - ] х (2)б1п (2л •2 •1/4)
(3-4с)
+ х (3)соб(2л *3 * 1/4) -]х(3)ът(2л *3 * 1/4)
Для третьего выходного отсчета, соответствующего т = 2, (3-4а) превращается в
Х(2) = х (0)соб(2л *0*2/4) -)х(0)Бт(2л * 0 *2/4)
+ х( 1)с,оъ(2л * 1 * 2/4) -]х ( 1)бш (2л *1 * 2/4)
+ х(2)со§(2л *2 *2/4) -]х(2)$т(2л *2 *2/4)
(3-4(1)
+ х (3)соб(2л *3*2/4) -]х(3)ып(2л *3 *2/4)
Наконец, для четвертого, и последнего, выходного отсчета, которому соответ­
ствует индекс т = 3, (3-4а) превращается в
Имейте ввиду, что для представления оператора V (-1 ) математики часто используют
букву I вместо].
66
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Х (2 ) = х (0) соб(2л • 0*3/4) -}х(0)$\п(2л • 0 •3/4)
+ х (1) соб(2л • 1 *3/4) - ]х(1)ь\1\(2я • 1*3/4)
(3-4е)
+ х (2) соб(2л • 2 • 3/4) -]х(2)$іп(2л •2 •3/4)
+ х(3)соъ(2л *3 •3/4) -]х(3)ът (2л •3 •3/4)
Символ умножения " •" в (3-4) используется просто для разделения сомножи­
телей в синусных и косинусных слагаемых. Структура выражений (3-4Ь) —(3-4е)
теперь понятна, и мы ясно видим, почему в (3-3) удобнее использовать символ
суммирования. Каждый выходной отсчет ДПФ Х(т) представляет собой сумму
почленных произведений входной последовательности отсчетов сигнала на по­
следовательность отсчетов комплексной синусоиды (гармоники) вида
соъ(ф) -уи п (ф). Точные значения частоты разных синусоид зависят как от часто­
ты дискретизации / 5, с которой был дискретизирован исходный сигнал, так и от
количества отсчетов N. Например, если мы дискретизуем непрерывный сигнал с
частотой 500 отсчетов в секунду, а затем выполняем 16-точечное ДПФ дискретазированных данных, основная частота синусоид будет равна / 5 /Ы = 500/16 или
31.25 Гц. Другие частоты, соответствующие Х(т), кратны основной частоте, т. е.
Х(0)
Х(1)
Х(2)
Х(3)
= 1-й частотный отсчет, частота анализа которого = 0 • 31.25 = 0 Гц,
= 2-й частотный отсчет с частотой анализа = 1 • 31.25 - 31.25Тц,
= 3-й частотный отсчет с частотой анализа = 2 • 31.25 = 62.5 Гц,
= 4-й частотный отсчет с частотой анализа = 3 • 31.25 = 93.75 Нг,
Х(15) = 16-й частотный отсчет с частотой анализа = 15 • 31.25 = 468.75 Гц.
N разных частот анализа ДПФ определяются выражением
(3-5)
Таким образом, в этом примере отсчет ДПФ Х(0) сообщает нам амплитуду
компонента входного сигнала, имеющего частоту 0 Гц (постоянной составляю­
щей), отсчет Х( 1) задает амплитуду компонента с частотой 31.25 Гц, Х(2) — амп­
литуду компонента с частотой 62.5 Гц и т. д. Более того, как мы увидим дальше на
примере, отсчеты ДПФ определяют также фазовые соотношения между частот­
ными составляющими входного сигнала.
Довольно часто нас интересует как амплитуда, так и мощность (амплитуда в
квадрате) каждого отсчета Х(т), и для их вычисления, как показано на рисунке
3.1, применимы стандартные соотношения в прямоугольном треугольнике.
Если мы представим произвольный отсчет ДПФ Х(т) как сумму действитель­
ной и мнимой частей:
Х(т) = Х геа1(т) +]Хшщ(т) = Х та§ с углом Хф( т ) ,
(3-6)
то амплитуда Х(т) вычисляется как
(3-7)
3 . 1. Смысл формулы ДПФ
67
Мнимая ось 0)
Эта точка представляет
комплексное число
Х{т) = Хгеа\(т) +р^ітад(т )О
■^геа|(т )
Действительная ось
Рис. 3 .1 . Тригонометрические соотношения для отдельного комплексного значе­
ния Х(т)
По определению, фазовый угол Х(т), Хф(т), вычисляется как
Хф(т) = іап 1[Хша§(т )/Х та§(т) ] .
(3-8)
Мощность отсчетов Х(т), которая называется спектром мощности, представ­
ляют собой амплитуду, возведенную в квадрат:
Хр5 (т) = Х таё(т )2 = Х геа1(т )2 + Х іта§(т )2 .
(3-9)
3 .1 .1 . Пример ДПФ №1
Смысл выражений (3-2) и (3-3) станет более ясным на примере, так что давай­
те подробно, по шагам, рассмотрим простую ситуацию. Допустим, мы хотим диск­
ретизировать непрерывный сигнал, содержащий компоненты с частотами 1 кГц и
2 кГц следующего вида:
х іп(і) = 8Іп(2я • 1000 • і) + 0.5 зіп(2я • 2000 • і + З л /4 ) ,
(3-Ю)
а затем выполнить 8 -точечное ДПФ этого сигнала.
Чтобы сделать входной сигнал несколько более интересным, мы сдвинули
компонент с частотой 2 кГц по фазе на 135° (З л /4 радиан) по отношению к компо­
ненту с частотой 1 кГц. При частоте дискретизации / 5 мы берем отсчеты входного
сигнала каждые 1 // 5 = секунд. Поскольку N = 8 , нам нужно взять 8 входных от­
счетов, над которыми необходимо выполнить ДПФ. Таким образом, 8 -элементная последовательность х(п) равна х ы(Г), отсчеты которого берутся в моменты
времени п£5:
х(п) = х 1п(п^) = з1п(2я • 1000 • и£5) + 0.5 в т (2л • 2000 •
+ Зл/4) .
(3-11)
Если мы выберем частоту дискретизации / 5 = 8000 отсчетов в секунду, то, со­
гласно (3-5), результат ДПФ будет показывать амплитуды составляющих, содер­
жащихся вх(я), с частотами анализа ти/5/Л^, или 0 кГц, 1 кГц, 2 кГц,..., 7 кГц. При
/ 5 = 8000 отсчетов/с наши восемь отсчетов х(п) равны:
х(0) = 0.3535,
х(1) = 0.3535,
х{2) = 0.6464,
х(3) = 1.0607,
х(4) = 0.3535,
х(5) = -1.0607,
х(6) = -1.3535,
х(7) = -0.3535.
(3-11')
68
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Эти значения отсчетов х(п) показаны точками на сплошной непрерывной кри­
вой, изображающей х 1п{Ь) на рисунке 3.2 (а). (Обратите внимание на то, что сумма
синусоидальных составляющих в (3-10), изображенных штриховыми линиями
на рисунке 3.2 (а), равна хги(£).)
Теперь мы готовы использовать (3-3) для вычисления ДПФ нашего входного
сигнала х(п). Мы начнем с ш = 1, потому что случай т = 0 дает особый результат,
который мы вкратце обсудим позже. Итак, для т = 1, или для отсчета ДПФ с час­
тотой 1 кГц (т/5 /]У= 1 »8000/8), (3-3) в этом примере преобразуется в
7
Х(1) = 2 ] [х ( п) соб(2лп/ 8) -]х(п)5т(2лп/8)].
(3-12)
п=0
Затем мы умножим х(п) на последовательные отсчеты косинуса и синуса первой
частоты анализа, которые на восьми отсчетах проходят полный период. В нашем
примере для т = 1 мы просуммируем произведения отсчетов последовательности
х(п) на отсчеты косинусоиды частоты 1 кГц и на отсчеты синусоиды частоты 1 кГц,
вычисленные для значений аргумента 2 лп /8. Эти гармоники анализа показаны на
рисунке 3.2 (Ь) штриховыми линиями. Обратите внимание на то, что на нашем
интервале анализа косинусоида и синусоида имеют т = 1 полный период.
Подставляя значения отсчетов х(п) в (3-12) и записывая косинусоидальные
члены в левом столбце, а синусоидальные —в правом, получаем:
Х(1) =
0.3535
+ 0.3535
+ 0.6464
+ 1.0607
+ 0.3535
- 1.0607
- 1.3535
- 0.3535
1.0
0.707
0.0
-0.707
- 1.0
-0.707
0.0
0.707
=
<- это слагаемое с п=0
-КО.3535 • 0.0)
< - это слагаемое с п=1
-1(0.3535 • 0.707)
-КО. 6464 1.0)
< - это слагаемое с п=2
-К 1.0607 0.707)
-К0.3535 0.0)
-К-1.0607 • -0.707)
- К - 1.3535 * - 1 0 )
-І (-0.3535 • - 0.707) <- это слагаемое с п=7
0.3535
+І0.0
-І0.250
+ 0.250
-І0.6464
+ 0.0
-І0.750
-0.750
- у'0 .0
- 0.3535
-у 0.750
+ 0.750
+ 0.0
- і 1.3535
-І0.250
- 0.250
= 0.0-}4.0
= 41. -90°.
Итак, мы теперь видим, что входной сигнал х(п) содержит компонент с часто­
той 1 кГц. Используя (3-7), (3-8) и (3-9) для Х( 1) получаем: Х таё( 1) =4,ХР8(1) = 16
и фазовый угол Х(1) по отношению к косинусоиде с частотой 1 кГц составляет
Хф(1) = - Ж .
'лыДПФ______________________________________________ 69
15
1
зт(2лЮ000
*,п(0
05
0
-0 5
-1
0.5з!п(2л:2000^+Зл:/4)
■1 5
1
2
3
15
1
т = 1
05
0
0 5
-1
■1 5
15
1
т=2
05
О
■0 5
-1
■1 5
15
1
т =3
05
0
05
-1
■1 5
р ДПФ №1: (а) входной сигнал; (Ь) входной сигнал и гармоники
: 1; (с) входной сигнал и гармоники для т = 2 ,( с1) входной сигнал и
1ики для т = 3
составляющей с т = 2 мы находим корреляцию х(п) с косинудой с частотой 2 кГц. Эти сигналы изображаются штриховыми
гке 3.2 (с). Заметьте, что косинусоидальный и синусоидальный
1 интервале анализа на рисунке 3.2 (с) имеют ровно т = 2 полставляя значения отсчетов х(п) в (3-3) для т = 2, получаем
70
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Х(2)
0.3535 • 1.0
-К 0 .3 5 3 5 • 0.0)
+ 0.3535 • 0.0
-К О .3535 -1 .0 )
+ 0.6464
-1 .0
-К О .6464 • 0.0)
+ 1.0607
0.0
- К 1 0607 • -1 .0)
+ 0.3535
1.0
- КО.3535 • 0.0)
- 1.0607
0.0
- К -1 .0 6 0 7 • 1.0)
- 1.3535 • -1 .0
-у (-1.3535 • 0.0)
- 0.3535
- К - 0.3535 • -1.0)
0.0
0.3535
+І0.0
+ 0.0
-І0 .3 5 3 5
-0 .6 4 6 4
-у 0.0
- 0 .0
+ у1.0607
+ 0.3535
-у'0.0
+ 0.0
+ у1.0607
+ 1.3535
-у'0.0
- 0 .0
-у 0.3535
1.414 + ІІ.4 1 4
2 / . 45°.
В этом случае входной сигнал х(п ) содержит составляющую с частотой 2 кГц,
относительная амплитуда которой равна 2 , а фазовый угол по отношению к коси­
нусоиде с частотой 2 кГц составляет 45°. Для т = 3 мы находим корреляцию х(п) с
косинусоидой и синусоидой с частотой 3 кГц. Эти составляющие на рисунке
3.2 (с!) показаны штриховыми линиями. На интервале наблюдения на рисунке
3.2 (с1) и косинусоида, и синусоида имеют т = 3 полных периода. Подставляя зна­
чения отсчетов х(п) в (3-3) для т = 3 получаем:
Х(3) =
0 .3 5 3 5 -1 .0
-К О .3535 • 0 . 0 )
+ 0.3535 • - 0.707
-К О .3535 • 0 .707)
+ 0.6464 • 0.0
-К О .6464 •
+ 1.0607 • 0.707
-у (1.0607 • 0 .707)
+ 0.3535 • -1 .0
-К О .3535 • 0. 0 )
- 1.0607 •0.707
- К - 1-0607 • - 0.707)
- 1.3535 • 0.0
1. 0 )
- К - 0.3535 • -0 .7 0 7 )
+І 0.0
- 0.3535 • -0 .7 0 7
=
0.3535
-К -1 -3 5 3 5
- 1. 0 )
•
- 0.250
-І0 .2 5 0
+ 0.0
+І0.6464
+ 0.750
-І0 .7 5 0
- 0.3535
-} 0.0
-0 .7 5 0
-І0 .7 5 0
+ 0.0
+ у1.3535
3.1. Смысл формулы ДПФ
71
+ 0.250
=
Рис. 3 .3 .
0.0-10.0
-№ .250
=
0£0°.
Пример ДПФ №1: (а) входной сигнал и синусоиды для т = 4\ (Ь) входной
сигнал и синусоиды для т = 5; (с) входной сигнал и синусоиды для т = 6\
(с!) входной сигнал и синусоиды для т = 7
ДПФ показывает, чтох(и) не содержит компонентов с частотой 3 кГц. Продол­
жим вычисление ДПФ для т = 4 с использованием синусоид, показанных на ри­
сунке 3.3 (а).
Итак, (3-3) приобретает вид:
72
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Х(4)=
0 .3 5 3 5 -1 .0
(0.3535 - 0.0)
+ 0.3535 - -1 .0
(0.3535 - 0.0)
+ 0.6464 - 1.0
(0.6464 • 0.0)
+ 1.0607- -1 .0
(1.0607 • 0.0)
+ 0.3535 - 1.0
(0.3535 • 0.0)
- 1.0607 - -1 .0
(-1.0607 • 0.0)
1.3535 • 0.0)
- 1.3535 - 1.0
-0 .3 5 3 5 • -1 .0
=
(-0.3535 • 0.0)
+ 0.3535
-І0.0
-}0.0
-І0.0
-І0.0
-І0.0
+ 1.0607
- І 0 .0
- 1.3535
-у0.0
-І0.0
0.3535
-0 .3 5 3 5
+ 0.6464
- 1.0607
+ 0.3535
=
0 ^0 °.
0 .0 -І0.0
Для частотного отсчета ш = 5 с использованием синусоид, приведенных на ри­
сунке 3.3 (Ь) ДПФ дает:
Х(5)=
0 .3 5 3 5 -1 .0
-І(0.35 35 - 0.0)
+ 0.3535 - -0.7 07
-}(0.3535 • -0.707)
+ 0.6464 - 0.0
-К О .6464 -1 .0 )
+ 1.0607 - 0.707
- К 1 0607 • -0.707)
+ 0.3535 • -1 .0
-К О .3535 - 0.0)
- 1.0607 - 0.707
- К - 1 0607 • 0.707)
- 1.3535 - 0.0
-К -1 .3 5 3 5 - -1.0)
-0 .3 5 3 5 - -0 .70 7
-К -0 .3 5 3 5 • 0.707)
=
0.3535
-І0 .0
- 0.250
+І0.250
+ 0.0
-10.6464
+ 0.750
+І0.750
- 0.3535
-у 0.0
-0 .7 5 0
+І0.750
+ 0.0
- у1.3535
+ 0.250
+І0.250
= О.О-уО.О =
0 ^ 0 °.
ого отсчета т = 6 с использованием синусоид
(3-3) дает
3.1. Смысл формулы ДПФ
73
0.3535 • 1.0
-К О .3535 • 0.0)
+ 0.3535 • 0.0
- КО.3535 • -1.0)
+ 0.6464 • -1 .0
-К О .6464 • 0.0)
+ 1.0607 • 0.0
- К 1 0607 • 1.0)
+ 0.3535 • 1.0
- КО.3535 • 0.0)
- 1.0607 • 0.0
- К - 1 0607 • -1.0)
- 1.3535 • -1 .0
-К -1 .3 5 3 5 • 0.0)
- 0.3535 • 0.0
-К -0 .3 5 3 5 • 1.0)
0.3535
-у 0.0
-0 .6 4 6 4
-у 0.0
+ 0.0
-у 1.0607
+ 0.3535
-у 0.0
+ 0.0
-у /. 0607
+ 1.3535
-у 0.0
+ 0.0
+уО.3535
-и
+у0.3535
-и
I
»—
—
*..
+ 0.0
•—
*
II
=
=
2 /. -45°
Для т = 7 и синусоид с рисунка 3.3 (с!) (3-3) дает:
0.3535 • 1.0
-КО .3535 • 0.0)
+ 0.3535 • 0.707
-К О .3535
-0.707)
+ 0.6464 • 0.0
-К О .6464
-1.0)
+ 1.0607 • -0.707
-К 1 0607
-0.707)
+ 0.3535 • -1 .0
-К 0 .3 5 3 5 • 0.0)
- 1.0607 • -0.707
- К - 1-0607 • 0.707)
- 1.3535 • 0.0
-К -1 .3 5 3 5 • 1.0)
-0 .3 5 3 5 • 0.707
-К -0 .3 5 3 5 • 0.707)
=
=
0.3535
+у0.0
+ 0.250
+10.250
+ 0.0
+Ю.6464
- 0.750
+у'0.750
- 0.3535
-10.0
+ 0.750
+10.750
+ 0.0
+11.3535
- 0.250
+10.250
0 .0 + 14 .0 =
4 £90°.
Если мы построим график модулей Х(т), как функции частоты, мы получим
амплитудный спектр входной последовательности х(п), приведенный на рисун­
ке 3.4 (а). Фазовые углы отсчетов Х (т ) изображены на рисунке 3.4 (Ь).
74
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
П ример!: Модуль Х(т)
4
Пример 1: Действительная часть Х(т)
..
1.5 ■■
3--
1 ■■
2 -•
1 ■■
0 .5 "
3
яг
,
4
(С )
О
3
(КГц)
Прил
Пример 1: Мнимая часть Х(т)
(
Пример 1: Ф а з а Х(т) в градусах, Х ,(т )
4
1 *
6
(Ь) 0¥--- 1— 1--- *—*--- ---- 1---- К т
-45
-90
Рис. 3.4.
т
(КГц)
4
і
(КГц)
2
(с!) О*
-2
-4
і
1
3
-м
4
5
т
(КГц)
Результат ДПФ из примера №1: (а) модульХ(т); (Ь)фазаХ(/т7); (с) дейст­
вительная частьХ(т); (с1) мнимая частьХ(т)
Сделаем последнее усилие, мы уже почти закончили с этим примером. Мы
оставили вычисление отсчета с т = 0 напоследок, т. к. он имеет особое значение.
Когда т = 0, мы находим корреляцию х(п) с соб(0) -у и п (0), так что (3-3) превра­
щается в
N-1
Х(Р) = I ] *(Я)[СО8(0)
п=0
(
5ІП(0)].
Поскольку СО8(0) = 1, а 8Іп(0) = 0,
N-1
Х (0 )= ^х(п ).
(3-13)
(3-13’)
п=0
Мы можем видеть, что (3-13’) представляет собой сумму отсчетов х(п). Эта
сумма, конечно же, пропорциональна среднему значению х(п). (Точнее, отсчет
Х (0) равен среднему значению х(п), умноженному на М) Это не случайно, т. к. от­
счет Х(0) в частотной области представляет собой не изменяющийся во времени
(постоянный) компонент х(п). Если быХ(0) был отличен от нуля, это подсказало
бы нам, что последовательность д:(п) имеет некоторое постоянное смещение, и ее
среднее значение не равно нулю. Для нашего конкретного примера (3-10) сумма
равна 0. Входная последовательность не имеет постоянной составляющей, так что
мы знаем, что Х(0) будет равным нулю. Но не поленимся, и для успокоения совес­
ти все-таки вычислим Х(0).
Вычисляя значение (3-3) или (3-13') при т = 0, мы видим, что
Х(0) =
0.3535
1.0
- І (0.3535 • 0.0)
+ 0.3535
1.0
-К 0 .3 5 3 5 • 0.0)
+ 0.6464
1.0
- І (0.6464 • 0.0)
+ 1.0607
1.0
- К 1.0607 • 0.0)
+ 0.3535
1.0
-К О .3535 • 0.0)
- 1.0607
1.0
- К~ 1-0607 • 0.0)
3.2. Симметрия ДПФ
75
- 1.3535 • 1.0
-у (-1.3535
-0 .3 5 3 5 • 1.0
-К -0 .3 5 3 5
Х(0) =
0.3535
-у 0.0
+ 0.3535
-у 0.0
+ 0.6464
-у 0.0
+ 1.0607
-\0 .0
+ 0.3535
-у'0.0
- 1.0607
-у 0.0
- 1.3535
-у 0.0
- 0.3535
-у 0.0
о.о-ю.о
0 /.0°.
Таким образом, х(п) не имеет постоянной составляющей, и, следовательно, его
среднее значение равно нулю. Заметим, что рисунок 3.4 показывает, что х1Я(0 из
(3-10) имеет компоненты с частотами 1 кГц (т = 1) и 2 кГц (ш =2). Более того, ам­
плитуда тона с частотой 1 кГц в два раза выше амплитуды тона с частотой 2 кГц.
Результат ДПФ, показанный на рисунке 3.4, показывает нам точный спектраль­
ный состав сигнала, определяемого уравнениями (3-10) и (3-11).
Наблюдательный читатель должен был бы задать здесь два вопроса. Во-пер­
вых, что означают ненулевые значения амплитуды при ш = 6 ига = 7на рисунке
3.4 (а)? А во-вторых, почему амплитуды оказались в четыре раза больше, чем мы
ожидали? Это хорошие вопросы, и мы вскоре на них ответим. Приведенный при­
мер 8 -точечного ДПФ, хотя и довольно простой, иллюстрирует две очень важные
особенности ДПФ, которые мы не должны забывать никогда. Во-первых, любое
отдельное значение Х(т) — не более чем сумма почленных произведений вход­
ной последовательности отсчетов на косинусоиду и синусоиду (или корреляция),
частота которых такова, что на интервале наблюдения из N отсчетов укладывает­
ся т. их полных периодов. Это справедливо независимо от того, какова частота ди­
скретизации / 5, и независимо от величины N в И- точечном ДПФ. Второй важной
особенностью ДПФ действительного сигнала является симметрия выходных от­
счетов ДПФ.
3.2. Симметрия ДПФ
Взглянув на рисунок 3.4 (а), можно увидеть явную симметрию результатов
ДПФ. Хотя стандартное ДПФ предназначено для обработки комплексных вход­
ных последовательностей, большинство реальных входных сигналов (таких как
оцифрованные отсчеты некоторого непрерывного сигнала) относятся к действи­
тельным сигналам: действительные входные сигналы имеют отличные от нуля
действительные части, а их мнимые части полагаются равными 0. Когда входная
последовательность х(п) действительна, как это будет во всех наших примерах,
комплексные отсчеты ДПФ для т от 1 до (N/2) - 1 тесно связаны с частотными
76
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурьё
отсчетами с т > (N/2). т-й отсчет ДПФ имеет тот же модуль, что и (А^-т)-й от­
счет ДПФ. Фазовый угол т-го отсчета ДПФ равен фазовому углу (М -т)-го от­
счета, взятому с противоположным знаком. Таким образом, т-й и (Л^-т)-й
отсчеты связаны следующими соотношениями:
Х(т) = | Х(т) | с углом Хф(т) градусов
(о -14)
= | Х(ЛГ-т) | с углом -Хф(М-т) градусов.
Мы можем утверждать, что, когда входная последовательность ДПФ действи­
тельна, Х(т) и Х(М -т) образуют комплексно-сопряженную пару, или
Х(т) = Х * ^ - т ) ,
(3-14'У
где верхний индекс * обозначает комплексную сопряженность.
Обратите внимание на то, что в нашем примере, рассмотренном выше на ри­
сунках 3.4 (Ь) и 3.4 (с1) отсчеты Х(5), Х(6) и Х( 7) комплексно сопряжены отсчетам
Х(3), Х(2) и Х (1) соответственно. Аналогично симметрии модуля ДПФ действи­
тельная часто Х(т) обладает тем, что называется четной симметрией, как показа­
но на рисунке 3.4 (с), а мнимая часть ДПФ обладает нечетной симметрией, как
показано на рисунке 3.4 (с1). Именно это соотношение имею'!' ввиду, когда в лите­
ратуре называют ДПФ сопряженно-симметричным. Это значит, что, если мы вы­
полняем ^-точечное ДПФ действительной последовательности, мы получим N
отдельных комплексных отсчетов, но только N/2+1 отсчетов будут независимы­
ми. Следовательно, чтобы получить ДПФ последовательности х (п ), нам необхо­
димо вычислить только первые N/2+1 отсчетов Х(т) при 0 < т < (N/2); отсчеты
от Х ^ / 2 + 1 ) до X (Л^-1) не дают дополнительной информации о спектре действи­
тельной последовательности х(п).
Хотя (3-2) и (3-3) эквивалентны, экспоненциальная форма ДПФ (3-2) имеет
огромное преимущество перед формой (3-3).Форма (3-2) не только позволяет сэ­
кономить чернила и бумагу, экспонентами в (3-2) гораздо легче манипулировать,
когда мы пытаемся анализировать соотношения, связанные с ДПФ. При исполь­
зовании (3-2) умножение членов сводится к сложению показателей степени и,
при всем нашем уважении к Эйлеру, нам не нужно запоминать все необходимые
тригонометрические тождества. Продемонстрируем это, доказав справедливость
выражения (3-14) и симметрию ДПФ действительных последовательностей.
Подставляя N-171 вместо т в (3-2), мы получаем выражение для (Л^-га)-го компо­
нента ДПФ:
N-1
N-1
Х(А1-т) = 2 х ( п ) е ^ 2лп^ - т^ ы = 2 х(п)е~12лпм/ м е-; 2я/г(-т)/]У=
п=°
дг-/
п=0
(3-15)
= 2 х ( п ) е ^ 2лп е)'2лпт/ м
п=0
Так как е~12лп = со$(2жп) - ] ^т(2жп) = 1 для всех целых значений, то выраже­
ние (3-15) приобретает вид
С учетом ваших обозначений, число, комплексно сопряженное числу х = а +/6, опреде­
ляется как д:* = а - ]Ь\ т. е. мы просто меняем знак мнимой части х. В эквивалентной
форме, если х= е&, то х*= е~->Ф.
77
3.3. Линейность ДПФ
N-1
Х(Ы - от) = 2 х(п)е!2*пт/ м .
(3-15')
п=0
Мы видим, чтоХ(Л^-от) в (3-15') —это просто Х(т) в (3-2) с инвертированным
знаком показателя степени —а это не что иное, как определение комплексной со­
пряженности. Это иллюстрируется графиком фазовых углов ДПФ на рисун­
ке 3.4 (Ь) для нашего примера ДПФ №1. Попробуйте вывести (3-15'), используя
косинусы и синусы в (3-3), и вы увидите, почему экспоненциальная форма ДПФ
так удобна для аналитических выкладок.
Существует еще одно свойство симметрии ДПФ, которое заслуживает упоми­
нания здесь. На практике нам иногда приходится вычислять ДПФ действитель­
ных последовательностей, для которых индекс п принимает как положительные,
так и отрицательные значения. Если такая действительная последовательность
четна, то последовательность Х(т) всегда действительна и четна; т. е., если дейст­
вительная последовательность такова, что х(п) = х( -п), то величина Х геа{т ) в об­
щем случае отлична от нуля, а Х 1таё(т) равна 0. И наоборот, если действительная
последовательность нечетна, т. е. х(п) = - х ( - п ) , то Хгеа/(от) всегда равна 0, а
Х 1та„ (от) в общем случае отлична от 0. Это свойство ДПФ, связанное с симмет­
рией входных последовательностей, присуще не только ДПФ, но и непрерывному
преобразованию Фурье — мы рассмотрим конкретные его примеры позже в раз­
деле 3.13 и главе 5.
3.3. Линейность ДПФ
ДПФ обладает очень важным свойством, известным как линейность. Это свой­
ство заключается в том, что ДПФ суммы двух сигналов равно сумме преобразова­
ний отдельных сигналов; т. е., если входная последовательность лг^(п) имеет ДПФ
Ху(от), а другая входная последовательность х2(п) имеет ДПФ Х 2(т), то ДПФ
суммы этих последовательностей хзит(п) = х ^ п ) + х2(п) равно
Хшт(т) - Х+т ) + Х 2( т ) .
(3-16)
Это достаточно легко доказать. Если мы подставимх5ит(п) в (3-2), чтобы получить* 5мш(от),то
N-1
х шт(т) = 2 1х 1(п) + х2^пУ\е ~)2лпт^ =
п=0
N-1
N-1
= 2 Х ^ п У Ч2лпт/М + 2 Х2 (и) б?-;2я/ш/ЛГ =Х1(т) + Х 2(т) .
п=0
п=0
Без этого свойства линейности ДПФ было бы бесполезным как аналитиче­
ский инструмент, потому что мы могли бы преобразовывать только те сигналы,
которые содержат единственную синусоиду. Сигналы реального мира, которые
мы хотим анализировать, значительно сложнее, чем отдельные синусоиды.
78
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
3.4. Модули ДПФ
Результаты примера ДПФ № 1 [Х( 1) | = 4 и |Х(2)|= 2 могут озадачить читателя,
потому что входной сигнал х(п) вида (3-11) содержит гармоники с амплитудами,
равными 1.0 и 0.5 соответственно. Имеется важная особенность, о которой всегда
следует помнить, рассматривая ДПФ, определяемое соотношением (3-2). Когда
действительный входной сигнал содержит синусоидальный компонент с ампли­
тудой Л0 и целым количеством периодов на N отсчетах, амплитуда выходного от­
счета ДПФ, соответствующего конкретной синусоиде, равна Мг где
Мт~ А ^ / 2 .
(3-17)
Если на вход ДПФ поступает комплексная синусоида амплитуды А 0 (т. е.
А 0е)2п№) с целым количеством периодов на Л^отсчетах, модуль соответствующего
отсчета ДПФ равен Мс, где
МС= А 0М.
(3-17')
Как утверждалось в связи с (3-13'), если входной сигнал имеет постоянную со­
ставляющую £>0, то модуль отсчета ДПФ Х(0) равен 0 ()Ы.
В случае действительного входного сигнала частотой 1000 Гциз(3-11)Л 0 = 7 и
N = 8, так что Мгеа[ = 1 • 8/2 = 4, что совпадает с результатом, полученным в при­
мере. Соотношение (3-17) может быть не столь важным, когда мы выполняем
ДПФ программно или аппаратно, используя числа с плавающей точкой, но если
мы реализуем ДПФ в целочисленной арифметике, мы должны отдавать себе от­
чет в том, что результат может принимать значения, которые в N /2 раз превыша­
ют пиковое значение входного сигнала. Это значит, что для действительного
сигнала аппаратные регистры должны быть достаточно длинными, чтобы в них
помещались большие числа, которые в N /2 раз больше максимальной амплитуды
входного сигнала. Несколько позже в этой главе мы обсудим вопрос об амплитуде
отсчетов ДПФ подробнее. Выражения (3-17) и (3-17') являются причиной того,
что мы часто видим в литературе определение ДПФ в форме:
N-1
Х \ т ) = (У /Л 02 *(п) е-^я/ш/дг.
(3-18)
п=0
Масштабирующий коэффициент 1/М в (3-18) делает модули Х \ т ) равными
половине пикового значения синусоиды во временной области ценой дополните­
льной операции деления на N. Программные и аппаратурные реализации ДПФ
обычно используют (3-2), а не (3-18). Конечно, как всегда, имеются исключения.
Существуют коммерческие пакеты программ, в которых используется следую­
щая формула прямого и обратного ДПФ:
N-1
Х \ т ) - (1 / у[ Щ ^ х(п) е-;'2я«т/лг
п=0
N-1
х(п) = ( 1 / Щ % X "(т) еі2лпт/ м .
(3-18')
79
3.5. Частотная ось ДПФ
(В разделе 3.7, мы обсудим смысл и значение обратного ДПФ.) Масштабирую­
щие множители в (3-18') кажутся несколько странными, но они позволяют вы­
полнять вычисления так, что при последовательном выполнении прямого и
обратного ДПФ масштаб сигнала не изменяется. На практике при анализе спект­
ра сигнала нас больше интересуют относительные значения отсчетов ДПФ, а не
их абсолютные значения, поэтому обычно масштабные множители для нас не
имеют значения.
3.5. Частотная ось ДПФ
Частотная ось ш результатов ДПФ на рисунке 3.4 заслуживает того, чтобы мы
обратили на нее внимание еще раз. Предположим, что мы не видели наш пример
№ 1 , нам дали восемь отсчетов входного сигнала из (3-11') и попросили выпол­
нить 8 -точечное ДПФ. Мы выполнили сложные расчеты согласно (3-2) и получи­
ли значения Х(т), показанные на рисунке 3.4. Затем мы спрашиваем: «Какова
частота в Герцах компонента Х (т ) с наибольшим модулем?» Ответ 1 будет оши­
бочным. Ответ зависит от частоты дискретизации/5. Не зная ее заранее, мы не мо­
жем ничего сказать о том, с каким временным интервалом брались отсчеты,
следовательно, мы не знаем масштаб частотной оси. Правильный ответ состоит в
том, чтобы взять/хи подставить ее в (3-5) при т=1. Таким образом, если/ 5 = 8000
отсчетов в секунду, то частота, соответствующая отсчету ДПФ наибольшей вели­
чины, равна
1апа1У51з(т) = т1 з /М =1апа1узгз(1) = (1*8000),/8 = 1000 Гц
Если бы нам сказали, что частота дискретизации / 5 равна 75 отсчетам в секун­
ду, мы бы знали, благодаря (3-5), что частота, соответствующая наибольшему от­
счету, равна
/« « * * < * )-<**75)/«Гч
Ну ладно, пока хватит об этом, просто помните, что расстояние по частоте меж­
ду отсчетами ДПФ (разрешение) равно/ 5/№
Итак, подведем итог тому, что мы узнали:
□ каждый выходной отсчет ДПФ есть сумма почленных произведений
входной последовательности на последовательности, представляющие
синусоидальный и косинусоидальный сигналы;
□
для действительных сигналов Л^-точечное ДПФ дает только N/2+1 не­
зависимых отсчетов;
□
ДПФ представляет собой линейную операцию;
□
модули результатов ДПФ прямо пропорциональны №,
□
разрешающая способность ДПФ по частоте составляет/х/Ы.
Важно также понимать, что согласно (3-5) отсчет Х(Ы /2+1), для которого т =
N/2+1, соответствует половине частоты дискретизации, т. е. частоте заворота (ча­
стоте Найквиста) / 5 /2.
80
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
3.6. Теорема о сдвиге
ДПФ обладает важным свойством, которое выражают теоремой о сдвиге. Тео­
рема утверждает, что сдвиг периодической последовательности х(п) во времени
проявляется в результатах ДПФ как добавка к их фазовым углам. (Здесь мы не
будем доказывать эту теорему, т. к. доказательство имеется практически в любом
учебнике по ЦОС.) Если мы берем отсчеты х(п), начиная с некоторого п, равного
целому &, а не с п = О, ДПФ этой сдвинутой последовательности будет Х3^ е(^т )
х *Ы{1ес1(™) ~ е’2лкт/Мх(т) .
(3-19)
Выражение (3-19) показывает, что, если начало взятия отсчетов х(п) смещает­
ся вправо на к отсчетов, то спектр Х $щ 1е^ (т) состоит из комплексных отсчетов
Х(т), умноженных на фазовый множитель , что приводит просто к сдвигу фазы
на^я&га/Л^радиан, или наЗбОкт/Ыградусов. Если же начало взятия отсчетов х(п)
сдвигается на к отсчетов влево, спектр Х 8щ 1ед (т) получается умножением Х(т)
на
Проиллюстрируем (3-19) примером.
3 .6 .1 . Пример ДПФ №2
Предположим, что мы начали брать отсчеты сигнала из примера №1 на к = 3
отсчета позже. На рисунке 3.5 показан исходный входной сигнал:
х т(0 = зт(2л 10000 + 0.5ът(2л:2000г + Зл/4).
Легко увидеть, что график на рисунке 3.5 является продолжением графика на
рисунке 3.2 (а). Новая последовательность х(п) содержит отсчеты, показанные на
рисунке 3.5 жирными черными точками.
В примере 1 ДП Ф вычислялось
по этим восьми отсчетам
I
I_________________________________________________________________ I
В примере 2 ДПФ вычисляется
по этим восьми отсчетам
Рис. 3 .5.
Сравнение моментов взятия отсчетов в примерах ДПФ №1 и №2
Значения этих отсчетов следующие:
81
3.6. Теорема о сдвиге
х(0) = 1.0607,
х(1) = 0.3535,
х(2) = -1.0607,
х(3) = -1.3535,
х(4) = -0.3535,
х(5) = 0.3535,
х(6 ) = 0.3535,
х(7) = 0.6464.
(3-20)
Выполнив ДПФ последовательности (3-20), получаем следующие значения
(^0
ш
Действитель­
ная часть
^/7/АесДт )
Модуль
Фаза
^в/7/ЯесДт )
Мнимая
часть
7/ЯесКт )
0
0
0
0
0
1
4
+45
2.8284
2.8284
2
2
-4 5
1.4142
-1.4142
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
5
0
0
0
0
6
2
+45
1.4142
1.4142
7
4
-4 5
2.8284
-2.8284
(3-21)
Значения из (3-21) показаны точками на рисунке 3.6. Обратите внимание на
то, что рисунок 3.6 (а) идентичен рисунку 3.4 (а). Соотношение (3-19) говорит
нам, что модули Х 5^Ше(1(т) равны модулям Х(т). Не следует ожидать изменения
модуля ДПФ исходного периодического сигнала х іп(І) просто потому, что мы ди­
скретизуем его на другом интервале времени. Фазы же ДПФ меняются в зависи­
мости от момента, с которого мы начинаем брать отсчеты х іп(ґ).
/ , П рим ер
П рим ер 2: Д ействительная часть
2: М одуль
ж
4'
ж
3(а)
Ж
21■
0)
I
[
і
, т
3' ■
2 -(с)
1 ■■
0*
45+
в градусах
ж
3
4
5
т
(КГц)
(СІ) О*
-2
-Л
Рис. 3 .6 .
3
4
5
-+-►
7
т
(КГц)
4
2
ж--------ж -
2
Прик
П рим ер 2: М ним ая часть Х ^ ^ т )
ж
-ж —
к
4— *— *— *-
0
(К Гц )
П ри м ер 2: Ф аза
*
■
і ’
-ж- -Ж-----ж---- Ь3 4
5
6
/77
ж (КГц)
Результат ДПФ примера №2: (а) модульХ5Шес/ ( т ); (Ь) фаза ХзШес/(ту, (с)
действительная частьХзШ еб(т)', (с1) мнимая частьХзШес/(т)
82
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Посмотрев на компонент X ( т ) с т = 1, например, мы можем проверить
правильность значений фаз, показанных на рисунке 3.6 (Ь). Используя (3-19) и
вспомнив, что в примере №1 Х( 1) имел модуль 4 и фазу -90° (или - я / 2 радиан), а
к = 3 и N = 8, получаем
Х 5ы /ы ( 1) = е)2лкт/ мХ( 1) = е # л3*1/ 8 • 4е -)л/ 2 = 4еХ6л/ 8~4л'>= 4 е ^ / 4. (3-22)
Таким образом, Х5^ 1е(^ 1 ) имеет модуль, равный 4, и фазовый угол, равный
я /4 , или +45°, что и требовалось для обоснования использования (3-19).
3.7. Обратное ДПФ
Хотя главной темой этой главы является ДПФ, сейчас уместно ввести обрат­
ное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ). Обычно мы считаем, что ДПФ
преобразует данные временной области в представление в частотной области. Но
мы можем обратить этот процесс и получить исходный сигнал во временной обла­
сти, выполнив ОДПФ отсчетов Х(т) в частотной области. Стандартные выраже­
ния для ОДПФ имеют вид:
N-1
х(п) = ( 7 /Л 0 2 Х(т) е)2ппт/ ^
(3-23)
т =0
N-1
или
х(п) = ( 7 / ^ ) 2 Х (т ) [соз(2лтп/Ы) + ]в\п(2лтп/Ы)] .
(3-23')
т =0
Вспомним наше утверждение из раздела 3.1 о том, что дискретный сигнал во
временной области можно рассматривать как сумму синусоид с разными анали­
тическими частотами и что результат ДПФ, Х(т), представляет собой набор N
комплексных отсчетов, которые отражают амплитуды и фазы этих синусоид.
Формулы (3-23) и (3-23’) представляют собой математические выражения этого
утверждения. Читателю очень важно понять это. Если мы выполняем ОДПФ,
подставляя результаты ДПФ из примера №1 в (3-23), мы возвращаемся из час­
тотной области обратно во временш/ю и получаем исходные действительные от­
счеты х(п) из (3-11'), имеющие значения
х(0) = 0.3535 + ^.О
х(1) = 0.3535 + ^ .0
х(2) = 0.6464 + К).0
х(3) = 1.0607 + ^.О
х(4) = 0.3535 + ^ .0
х(5) = -1.0607 + ^.О
х(6 ) = -1.3535 + Д О
х(7) = -0.3535 + Д).0
Обратите внимание на то, что выражение (3-23) отличается от ДПФ (3-2) то­
лько масштабирующим множителем 1/N n знаком показателя степени. Кроме мо­
дуля результатов, все характеристики, которые мы до сих пор рассматривали для
ДПФ, также присущи и ОДПФ.
3.8. Утечка ДПФ
83
3.8. Утечка ДПФ
А теперь держитесь за стул покрепче. Именно сейчас ДПФ становится дейст­
вительно интересным. Два предыдущих примера дали корректные результаты
потому, что входные последовательности х(п ) представляли собой специально
подобранные синусоиды. Оказывается, ДПФ дискретизированных сигналов ре­
ального мира дает в частотной области результаты, которые могут сбивать с тол­
ку. Особенность ДПФ, известная как утечка, приводит к тому, что результаты
ДПФ представляют собой только аппроксимацию истинного спектра исходного
непрерывного сигнала. Хотя существуют способы минимизации утечки, мы не
можем устранить ее полностью. Таким образом, нам необходимо точно понять,
как она влияет на результат Д П Ф 1.
Начнем с начала. ДПФ применяется к конечным множествам N отсчетов, по­
лученным дискретизацией сигнала с частотой / 5, с целью получить N-точечное
преобразование, дискретные отсчеты которого ассоциируются с отдельными ана­
литическими частотами f anaiyns(m)>гДе
fanalysis(m}
mf s / ^
(3-24)
при m= 0,1, 2,..., N -l.
Выражение (3-24), которое мы использовали в примере №1, может выглядеть
совершенно безобидно, хотя на самом деле оно таит в себе проблему. ДПФ дает
правильный результат только тогда, когда входная последовательность данных
содержит энергию точно на аналитической частоте (3-24), на частоте, кратной
фундаментальной частоте / s /N. Если входной сигнал содержит компонент с некото­
рой промежуточной частотой, лежащей между аналитическими частотами mfs /N,
скажем 1.5f s /N, то этот входной сигнал проявится в некоторой степени на всех N
частотах анализа! (Мы обычно говорим, что энергия входного сигнала проявляет­
ся на всех выходных бинах ДПФ, и мы скоро увидим, почему фраза «выходные
бины» подходит для этого случая.) Попробуем понять значение этой проблемы
на следующем примере.
Предположим, что мы вычисляем 64-точечное ДПФ последовательности, по­
казанной точками на рисунке 3.7 (а). Последовательность представляет собой си­
нусоидальный сигнал, имеющий ровно 3 периода, содержащихся ъ N = 64
отсчетах. На рисунке 3.7 (Ь) показана первая половина ДПФ входной последова­
тельности, которая показывает, что последовательность имеет нулевое среднее
значение (Х (0) = 0) и не содержит никаких компонентов ни на каких частотах,
кроме частоты, соответствующей пг = 3. Пока ничего удивительного. На рисун­
ке 3.7 (а) показана для примера аналитическая синусоида с m = 4, наложенная на
входную последовательность, которая напоминает нам, что аналитические сину­
соиды всегда имеют целое количество периодов на всем интервале в 64 отсчета.
Сумма произведений отсчетов входной последовательности на отсчеты синусои­
ды m = 4 равна 0. (Другими словами, мы можем сказать, что корреляция входной
последовательности с аналитической синусоидой m = 4 равна 0.) Сумма произ­
ведений этой конкретной входной последовательности, содержащей три периоЯвление утечки имеет место не только для ДПФ, но и для обычного интегрального
преобразования Фурье —(прим. перев.).
84
Глава 3. Дискретное преобразование Фурье
да сигнала, на отсчеты любой аналитической синусоиды, кроме синусоиды с тп =
3, равна 0. В качестве продолжения нашего примера утечки на рисунке 3.8 (а) точка­
ми показана входная последовательность, имеющая 3.4 периода на N = 64 отсче­
тах. Речь идет о входной последовательности, которая не имеет целого
количества периодов на интервале в 64 отсчета, входная энергия «протекает» во
все другие выходные бины ДПФ, как показано на рисунке 3.8 (Ь).
т = 4 частота анализа
Входная частота = 3 периода
1| . ■■
' ш'
0.8 .- м
Я
0.6
Я
0.4 |
02+
я
ш
*
:
0
(а)
■ ;
я.
.
- 0.2 +
-0.4
-
0.6
0.8
я
Время
■■
м
-1 ..
■А
Модуль ДПФ
35
м
30
25
20 -■
15
(Ь)
10 ..
5 -0
Рис. 3 .7 .
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
т
(Частота)
64-точечное ДПФ: (а) входная последовательность из трех периодов и
аналитическая синусоида с т = 4; (Ь) модуль ДПФ
Бин т = 4, например, не равен нулю, потому что сумма произведений отсчетов
входной последовательности на отсчеты анализирующей синусоиды с т = 4 уже
не равна 0. В этом и состоит утечка спектра — она приводит к тому, что спектр
входного сигнала, частота которого не равна точно центральной частоте одного из
бинов, «растекается» по всем остальным бинам. Более того, утечка —неизбежный
эффект при выполнении ДПФ реальных последовательностей конечной длины.
Теперь, как сказал бы английский философ Дуглас Адамс: «Не паникуйте».
Чтобы узнать, как предсказывать и минимизировать неприятное влияние утечки,
взглянем на ее причину. Чтобы понять влияние утечки, нам необходимо опреде­
лить амплитудно-частотную характеристику ДПФ при подаче на его вход произ­
вольной реальной синусоиды. Подробно этот вопрос обсуждается в разделах 3.14
и 3.15, а сейчас достаточно сказать, что для действительного косинусоидального
входного сигнала, имеющего &периодов на N отсчетах, амплитудно-частотная
85
3.8. Утечка ДПФ
характеристика бина ./V-точечного ДПФ в зависимости от индекса бина m аппрок­
симируется фукцией sine
X (m ) = (N/2 ) • {^n[n(k-m )]/[n(k-m )]}
Входная часто та = 3.4 периода
1 ■■ :
■
т = 4 часто та ан ал и за
1«
я
i
а'
0 6 ■■*;
к
!
0.2 408
\ *
04V
(а)
,
—И.
0*1
-0 2
(3-25)
Время
- -
-0 4 . .
ш
■
-0 6 ■■
-0 8
я I*
V
-1
30
Vя
Модуль ДПФ
я
25
20 -■
15
(Ь)
10 ■■
5 * *
*
I
0
Рис, 3 .8 .
**
2
4
6
8
10
12
14
16
18 2 0
22 24 26
28
30
т
(Частота)
64-точечное ДПФ: (а) входная последовательность из 3.4 периодов и
аналитическая синусоида с т = 4\ (Ь) модуль ДПФ
Мы используем функцию (3-25), график которой приведен на рисунке 3.9 (а),
чтобы определить уровень утечки, возникающей при ДПФ. Мы можем рассмат­
ривать кривую на рисунке 3.9 (а), состоящую из главного лепестка и периодиче­
ски повторяющихся пиков и впадин, которые называют боковыми лепестками,
как непрерывный положительный спектр действительной косинусоидальной по­
следовательности, состоящей из N отсчетов и содержащей к полных периодов. Ре­
зультатом ДПФ являются дискретные отсчеты, которые лежат на кривой,
изображенной на рисунке 3.9; т. е. результат ДПФ будет представлять собой диск­
ретизированную версию этого непрерывного спектра. (На рисунке 3.9 (Ь) мы
приводим амплитудно-частотную характеристику ДПФ при подаче действитель­
ного входного сигнала как функцию частоты в Гц.) Когда входная последователь­
ность ДПФ имеет ровно ^ полных периодов (т. е. центральная частота ее спектра
точно совпадает с бином т = к), утечка не возникает, как на рисунке 3.9, потому
что, когда значение аргумента в знаменателе (3-25) отлично от 0 и кратно я, синус
этого аргумента равен нулю.
86
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Дискретная последовательность
отсчетов ДПФ,
определяемая выражением
_ Ц ятЫк-т)]
“ 2
я(к-т)
Непрерывный
положительный спектр
дискретной косинусоиды
(а)
Частота
т- к
(т)
/с-3
к- 1
к+<\
к+3
/с+5
(к-3)уы
(к-^)уЫ
(к+Щ1Ы
(/с+3)^/Л/
(/с+5)ул/
(Ь)
Рис. 3 .9.
Положительная частотная характеристика ДПФ, обусловленная Л/-то­
чечной входной последовательностью, содержащей к периодов дейст­
вительной косинусоиды: (а) амплитудно-частотная характеристика как
функция индекса бина т\ (Ь) амплитудно-частотная характеристика как
функция частоты в Гц
Мы можем показать на примере, что происходит, когда частота входного сиг­
нала не совпадает с центром бина. Предположим, что действительная синусоида с
частотой 8 кГц, амплитуда которой равна единице, дискретизирована с частотой
/ 5 = 32000 отсчетов/с. Если мы вычислим 32-точечное ДПФ этой последователь­
ности, то разрешение по частоте, или интервал между бинами, составит / 5 /Ы =
32000/32 Гц = 1.0 кГц. Мы можем предсказать АЧХ ДПФ, поместив центр спект­
ра входной синусоиды на частоту 8 кГц, как показано на рисунке 3.10 (а). Точки
изображают модули отсчетов ДПФ.
Здесь следует запомнить важный факт: результат ДПФ представляет собой ди­
скретизированную версию непрерывного спектра, показанного на рисунке 3.10 (а).
Эти дискретные отсчеты в частотной области, расположенные на частотах т/5/Л/, и
есть точки на рисунке 3.10 (а). Поскольку частота входного сигнала точно совпа­
дает с частотой бина ДПФ, результат ДПФ содержит только одно ненулевое зна­
чение. Другими словами, когда выборка из N отсчетов содержит целое количество
периодов входного сигнала, отсчеты ДПФ ложатся точно на максимум непрерыв-
87
3.8. Утечка ДПФ
ного спектра и точно на точки, в которых этот спектр равен нулю. Из (3-25) мы
знаем, что пиковое значение амплитуды выходного отсчета равно 32/2 = 1 6 .
(Если входная действительная синусоида имела амплитуду, равную 2, пиковое
значение кривой спектра будет равно 2 • 32/2, или 32.) На рисунке 3.10 (Ь) пока­
зана утечка ДПФ, возникающая при частоте входного сигнала 8.5 кГц, и здесь мы
видим, что в результате дискретизации в частотной области модули всех бинов
ДПФ отличны от 0. Входной сигнал с частотой 8.75 кГц даст результат ДПФ с
утечкой, показанный на рисунке 3.10 (с). Если мы сидим за компьютером и изуча­
ем утечку, строя графики модуля ДПФ, мы, конечно, получим точки, изображен­
ные на рисунке 3.10, но не увидим непрерывные спектральные кривые.
16
Входная частота =8.0 КГц .’
3
4
5
6
7
Входная частота =8.5 КГц
(Ь)
3
4
5
ш
ш,ч /
6
7
11
8
9
10
*
в
10.17
гш
8
/
12
. -м
9
10
■
14.05
11
13 Частота
(КГц)
х
^
12
13 Частота
(КГц)
12
13 Частота
(КГц)
Входная частота =8.75 КГц
5.15
(с)
—■—
3
щ
<4- -“+ -ч ----■— V"
4
5
678
-►
-1
91011
Рис. 3 .1 0 . Частотные отклики ДПФ: (а) частота входного сигнала ДПФ = 8.0 кГц; (Ь)
частота входного сигнала ДПФ = 8.5 кГц; (с) частота входного сигнала
ДПФ = 8.75 kHz
Здесь внимательный читатель должен был бы подумать: «Если непрерывный
спектр, который мы дискретизуем, симметричен, то почему результат ДПФ на
рисунке 3.8 (Ь) такой асимметричный?» На рисунке 3.8 (Ь) модули бинов справа
от третьего бина уменьшаются быстрее, чем модули бинов слева от третьего бина.
«И, кроме того, вычисление значения непрерывного спектра X (f) для аргумента,
равного 0.4, дает относительное значение амплитуды 0.75. Умножая на этот коэф­
фициент пиковое значение спектра 32, мы должны были бы иметь модуль третье­
го бина, равный примерно 32 • 0.75 = 24. но на рисунке 3.8 (Ь) этот модуль
несколько больше 25. Что здесь происходит?» Мы можем ответить на этот во­
прос, вспомнив, что на самом деле представляет собой рисунок 3.8 (Ь). Изучая ре­
зультат ДПФ, мы обычно интересуемся бинами от m = 0 до m = (N / 2 - 1 ).
Следовательно, при наших 3.4 периодах на интервал выборки на рисунке 3.8 (Ь),
88
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
показаны только первые 32 бина. Результат ДПФ периодичен в частотной облас­
ти, как показано на рисунке 3.11. (Мы поговорим об этой периодичности в разде­
ле 3.17.) Изучая результат ДПФ для все более и более высоких частот, мы как бы
ходим по кругу, и спектр повторяется бесконечно.
■
*
т - 33
Рис. 3 .1 1 . Циклическое представление копий спектра при вычислении ДПФ сигна­
ла, имеющего 3.4 периода на интервале наблюдения
Более обычный путь изображения результата ДПФ состоит в том, что спектр
на рисунке 3.11 разворачивают и получают спектр, показанный на рисунке 3.12.
На рисунке 3.12 показаны некоторые из копий спектра для сигнала, имеющего 3.4
периода на интервале наблюдения. Что же касается проблемы асимметрии ДПФ,
заметим, что в случае нашего сигнала утечка возникает во 2-м, в 3-м, в 1-м, в 0-м
бинах и продолжается в -1-м, -2-м и т. д. бинах. Вспомним, что 63-й бин —это то
же, что и -1-й, 62-й бин —это тоже, что и -2-й, и т, д. Эта эквивалентность бинов
позволяет нам рассматривать бины ДПФ так, как если бы они продолжались в об­
ласть отрицательных частот, как показано на рисунке 3.13 (а). Результат состоит
в том, что утечка заворачивается вокруг бина т = 0, а также вокруг бина т =К. Это
не удивительно, потому что частота т = 0 — это и есть частотат = N. Заворот утеч­
ки относительно частоты т = 0 и несет ответственность за асимметрию ДПФ от­
носительно бина т = 3 на рисунке 3.8 (Ь).
Вспомним обсуждение симметрии ДПФ действительной последовательности
х(п), когда отсчеты ДПФ от т = 0 до т = (N /2 -1 ) симметричны бинам с т >
(N/2), где N — размер ДПФ. т-й отсчет ДПФ будет иметь тот же модуль, что и
( N - 171)-й отсчет, т. е. | Х(т) \ = | Х ^ - т ) | . Это значит, что заворот утечки возни­
кает также и вокруг бина т = N/2. Это можно показать, взяв входной сигнал, имею­
щий 28.6 (32 - 3.4) периодов на интервале накопления, спектр которого показан на
рисунке 3.13 (Ь). Отметим сходство рисунков 3.13 (а) и 3.13 (Ь). Таким образом,
ДПФ демонстрирует заворот утечки относительно бинов т = Опт = N/2. Мини­
мальная асимметрия, вызванная утечкой, будет в районе N /4 -го бина, как показа­
но на рисунке 3.14 (а), на котором приведен полный спектр входного сигнала,
содержащего 16.4 периода на интервале наблюдения. Рисунок 3.14 (Ь) содержит
первые 32 бина спектра этого сигнала в увеличенном масштабе.
3.8. Утечка ДПФ
89
Входной сигнал также
проявляется на частоте
64 - 3.4 = 60.6 и 64 + 3.4 = 67.4
периода на интервал
Входной сигнал также
проявляется на частоте
О - 3.4 = -3.4 периода
на интервал
Входной сигнал имеет
частоту 3.4 периода
на интервал
В этом направлении
спектры повторяю тся
В этом направлении
спектры повторяю тся
Г ■м I I II I М І I І і І І І I I I I II ■■т і I М Г | І І І І І І І І І І І І І I 1-М І ' і ►
-12 -10 -8
-6 -4
-2
0
2
4
8
10
12
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74 76
П1
(Ч астота)
Рис. 3 .1 2 . Размножение спектра для сигнала, имеющего 3.4 периода на интервале
наблюдения
*
Модуль ДПФ
(при входном сигнале
3.4 периода/интервал)
т=0
(а)
I
*
у
ж
■ ,>
ж
—іI і■ іI гГ"Н"|т -Г-Н .1 * \ І Н І» М М М ! ■г- і ■ і
50 52 54
56 58 60 62
(-14) (-12) (-10) (-8) (-6) (-4) (-2)
0
2
468 10
12
14
т
(Ч а с то та )
»
Модуль ДПФ
(при входном сигнале
26.8 периода/интервал)
т = N12
= 32
а
■
0
М М I М I М М М * ■?> I м
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42 44
46
Ш
(Ч а с то та )
Рис. 3 .1 3 . Модуль ДПФ: (а) для сигнала, имеющего 3.4 периода на интервале на­
блюдения; (Ь) для сигнала, имеющего 28.6 периодов на интервале на­
блюдения
Читать об утечке спектра можно целый день. Однако наилучший способ оце­
нить ее влияние — сесть за компьютер и использовать программу ДПФ в форме
быстрого преобразования Фурье (БП Ф ) для обработки ваших собственных тес­
товых сигналов, подобных показанным на рисунках 3.7 и 3.8. При этом вы сможе­
те экспериментировать с разными комбинациями частот входных сигналов и
разными размерами ДПФ.
90
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Модуль ДПФ
(при входном сигнале
16.4 периода/интервал)
25.:
20 ■■
15 ■■
(а)
10 ..
*
а
5
И1'
Т-м-
12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
т
(Частота)
i I
Модуль ДПФ
(при входном сигнале
16.4 периода/интервал)
20
15 ■■
(Ь)
10 ..
5 ■■
0
Ц"Н-НЦ Н Ч И И Н■НН1 Н
>' 1Ч + ^
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
т
(Частота)
т = Л//4 = 16
Рис. 3 .1 4 . Модуль ДПФ для сигнала, имеющего 16.4 периода на интервале на­
блюдения: (а) полный спектр; (Ь) спектр в увеличенном масштабе, де­
монстрирующий асимметрию, вызванную утечкой, относительно
частоты т = Л//4
Вы сможете показать, что утечка ДПФ не безобидна, т. к. бины, содержащие
сигналы низкого уровня, могут оказаться искаженными боковыми лепестками
соседних бинов, содержащих сигналы большой амплитуды.
Хотя утечку невозможно устранить полностью, для уменьшения ее вредного
влияния можно использовать часто применяемый метод взвешивания окном.
Рассмотрим несколько примеров окон.
3.9. Окна
Взвешивание окном уменьшает утечку ДПФ за счет уменьшения уровня боко­
вых лепестков функции (3-25), показанных на рисунке 3.9. Это достигается тем,
что отсчеты в начале и конце последовательности постепенно приводятся к одно­
му общему значению. Рисунок 3.15 демонстрирует, как работает описанный меха­
низм. Если мы рассмотрим сигнал бесконечной длительности во временной
области, показанный на рисунке 3.15 (а), ДПФ можно выполнить только над ин­
тервалом конечной длительности, подобным показанному на рисунке 3.15 (с).
91
3.9. Окна
Мы можем рассматривать входной сигнал ДПФ на рисунке 3.15 (с) как произве­
дение входного сигнала, существующего на всей оси времени (рисунок 3.15 (а)) и
прямоугольного окна, отсчеты которого равны 1 на всем интервале анализа, пока­
занного на рисунке 3.15 (Ь). Каждый раз, когда мы вычисляем ДПФ от последова­
тельности конечной длительности, мы по умолчанию умножаем эту
последовательность на окно, все отсчеты которого равны единице, и, по существу,
умножаем все отсчеты последовательности за пределами окна на 0. Оказывается,
форма функции sin(x)/x в (3-25), показанной на рисунке 3.9, объясняется этим
прямоугольным окном, потому что непрерывное преобразование Фурье этого
прямоугольного окна (рисунок 3.15 (Ь)) и есть эта самая функция sine.
Как мы скоро увидим, именно резкие переходы прямоугольного окна от 0 к 1
являются причиной появления боковых лепестков функции sin(x)/x. Чтобы ми­
нимизировать утечку спектра, обусловленную этими боковыми лепестками, нам
необходимо уменьшить их амплитуду, используя отличные от прямоугольного
окна. Представим себе, что мы умножаем входную последовательность ДПФ, по­
казанную на рисунке 3.15 (с), на треугольное окно (рисунок 3.15(d)), чтобы полу­
чить взвешенный сигнал, показанный на рисунке 3.15(e). Заметьте, что значения
отсчетов сигнала, как показывает рисунок 3.15 (е), оказываются одинаковыми в
начале и в конце интервала наблюдения. Уменьшенный разрыв снижает уровень
относительно высокочастотных составляющих в отсчетах ДПФ; т. е. уровни бо­
ковых лепестков ДПФ при использовании треугольного окна уменьшаются. Су­
ществуют и другие окна, которые снижают уровень утечки больше, чем
треугольное окно, такие как окно Хэннинга, показанное на рисунке 3.15 (f)- Про­
изведение этого окна на входную последовательность дает сигнал, показанный на
рисунке 3.15 (g). Другое часто используемое окно —это окно Хэмминга, показан­
ное на рисунке 3.15 (h). Оно очень похоже на окно Хэннинга, но имеет подставку.
Прежде, чем мы узнаем точно, насколько хорошо эти окна минимизируют
утечку спектра, давайте определим их математически. Предполагая, что N отсче­
тов сигнала индексируются переменной п, причем 0 < п < N - 1, мы обозначим N
отсчетов окна как w(n)\ таким образом, перед выполнением ДПФ входная после­
довательность х(п) умножается на соответствующие отсчеты окна w(n). Следова­
тельно, ДПФ взвешенной окном последовательности х(п), X w(m), приобретает
форму
N -1
X w(m) = 2 w(ri) *х(п)е -рлпт/N
(3-26)
Чтобы использовать окна, нам необходимы их математические описания, как
функции п. Отсчеты окон определяются следующими выражениями:
Прямоугольное окно
w{n) = 1, п = 1, 2 ,..., N-1
(3-27)
Треугольное окно (очень
w(n) = n/(N/2) при N = 1 ,2 ,..., N/2,
похоже на окна Бартлетта [3] и w(n) = 2 -n /(N /2 )
Парзена [4,5]),
при п = N/2+1, N/2+2,
N-1
(3-28)
Окно Хэннинга (его еще
называют приподнятым
косинусом, а также окном
Ханна, или фон Ханна)
(3-29)
w[n) = 0 .5 - 0.5cos(27in/N-1)
при п = 1,2, ..., N-1
92
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Окно Хэмминга
w{n) = 0.54 - 0.46cos(2nn/N-1)
при п = 1, 2 , N- 1
(3-30)
Интервал
накопления
(а)
Время
^
Время
Интервал
накопления
I.U
(Ь)
Прямоугольное
окно
--------------------►
Время
Время
Интервал
накопления
(с)
Время
null И
Интервал
накопления
Интервал
накопления
Рис. 3.15. Минимизация разрывов на концах интервала наблюдения: (а) бесконеч­
ная синусоида; (Ь) прямоугольное окно для конечного интервала наблю­
дения; (с) произведение прямоугольного окна и бесконечной
синусоиды; (d) треугольное окно; (е) произведение треугольного окна и
бесконечной синусоиды; (f) окно Хэннинга; (д) произведение окна Хэн­
нинга и бесконечной синусоиды; (h) окно Хэмминга
Если мы теперь построим графики w(n) по выражениям (3-27)—(3-30), мы по­
лучим соответствующие окна, похожие на те, что изображены на рисунках 3.15 (Ь),
3.15(d), 3.15(f) и 3.15(h)1.
В литературе уравнения для функций окон зависят от диапазона изменения индекса п.
Мы приняли, что п изменяется в диапазоне 0< п< Ы -1. Некоторые авторы определяют
п в диапазоне -N /2 <п< N/2, и в этом случае, например, выражение для окна Хэммин­
га будет иметь вид т(п) = 0.5 + 0.5со$(2жп/К-1).
93
3.9. Окна
Спектр прямоугольного окна используется как эталон для оценки спектров
других окон; т. е. мы обычно оцениваем спектр некоторого окна, сравнивая его со
спектром прямоугольного окна, амплитудный спектр которого выглядит так, как
показано на рисунке 3.9 (Ь). Мы повторяем этот спектр, |\У(т)\, на рисунке 3.16 (а).
Кроме того, рисунок 3.16 (а) содержит амплитудные спектры окон Хэмминга,
Хэннинга и треугольного окна. (Ось частот на рисунке 3.16 построена так, что
кривые изображают характеристику одного бина А^-точечного ДПФ при исполь­
зовании разных окон.) Можно видеть, что последние три окна обладают пони­
женным уровнем боковых лепестков по сравнению с прямоугольным окном.
Поскольку окна Хэмминга, Хэннинга, а также треугольное окно снижают уровень
сигнала, который подвергается ДПФ, пиковое значение их главного лепестка ока­
зывается меньше, чем у прямоугольного окна. (Из-за близких к 0 значений т(п)
на концах анализируемого интервала эти потери сигнала называют коэффициен­
том обработки или коэффициентом потерь окна.) Как бы то ни было, мы в первую
очередь интересуемся боковыми лепестками окна, которые на рисунке 3.16 (а)
увидеть трудно из-за линейного его масштаба. Мы преодолеем эту трудность, по­
строив амплитудные спектры в логарифмическом масштабе в дБ и нормализовав
каждый график так, чтобы пиковое значение главного лепестка было равно 0 дБ.
(В приложении Е обсуждается происхождение логарифмического масштаба и
польза от измерения частотных характеристик в логарифмическом масштабе с
использованием децибелов.) Обозначив логарифмический спектр как |1У^(т)|,
мы вычисляем его по формуле
| ^ в( т ) | =20 • 1оё 10[ | ^ в( т ) | / № ав(0)\]
(3-31)
(Отсчет | (?)| в знаменателе (3-31) есть значение №(171), соответствующее
пику главного лепестка, для которого т = 0.) Кривые |1У^в ( т ) | для разных окон
показаны на рисунке 3.16 (Ь). Теперь мы действительно видим, как соотносятся
боковые лепестки спектров разных окон.
Глядя на спектр прямоугольного окна, мы видим, что его главный лепесток са­
мый узкий из всех, и его ширина равна/ 5/Ы. Но, к сожалению, его первый боковой
лепесток имеет уровень всего -13 дБ по отношению к пику главного лепестка, что
не так хорошо. (Имейте ввиду, что на рисунке 3.16 мы показываем только часть
спектра, соответствующую положительным частотам.) Боковые лепестки треуго­
льного окна ниже, но за это мы заплатили тем, что ширина главного лепестка уве­
личилась в два раза по сравнению с шириной главного лепестка прямоугольного
окна. Широкие главные лепестки различных непрямоугольных окон ухудшают
разрешающую способность взвешенного ДПФ почти в два раза. Однако, как мы
увидим, выгоды от снижения утечки обычно перевешивают потерю разрешаю­
щей способности.
Обратите внимание на еще меньший уровень первого бокового лепестка и бы­
строе уменьшение боковых лепестков окна Хэннинга. Окно Хэмминга имеет еще
более низкий первый боковой лепесток, но скорость спада боковых лепестков у
него меньше, чем у окна Хэннинга. Это значит, что утечка на расстоянии трех или
четырех бинов от центрального бина будет ниже для окна Хэмминга, чем для окна
Хэннинга, а утечка на расстоянии полудюжины, или около того, бинов от центра­
льного бина будет ниже для окна Хэннинга, чем для окна Хэмминга.
94
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Д Модули спектров окон в линейном масштабе | И/(/т?)|
Ч
>■
:
Прямоугольное (пунктирная)
Ж "
0.8
Хэмминга (штрих-пунктирная)
^ Треугольное (штриховая)
/ Хэннинга (сплошная)
___ ►
О
/3/Л/
2/ 8/Л/
4^1N Частота
Модули спектров окон в логарифмическом масштабе |1Л^ь(/7?)|
Хэннинга (сплошная)
Прямоугольное (пунктирная)
Треугольное (штриховая)
. . \ Хэмминга (штрих-пунктирная)
2 /;/Л/
4Ш
Частота
Рис. 3 .1 6 . Амплитудные спектры окон: (а) | )Л/(т) | в линейном масштабе; (Ь) {№^[01)1 в
нормированном логарифмическом масштабе
Когда мы применим окно Хэннинга к сигналу, имеющему 3.4 периода на анали­
зируемом интервале, показанному на рисунке 3.8 (а), мы получим на входе Д П Ф
сигнал, показанный на рисунке 3.17 (а) под огибающей окна Хэннинга. Результат
Д П Ф взвешенного окном сигнала показан на рисунке 3.17 (Ь) вместе с результатом
95
3.9. Окна
ДПФ невзвешенного сигнала, т. е. сигнала, взвешенного прямоугольным окном.
Как мы и ожидали, спектр в случае использования окна Хэннинга оказывается
шире и имеет более низкий максимум, но утечка по боковым лепесткам сущест­
венно ниже, чем в случае прямоугольного окна.
Входной сигнад взвешенный окном
1 ■■
Окно
0.8
■■
0.6
■■
Л
Х э н н и н га
0.4 ■■
0.2
■■
0 аП'1'
(а)
- 0.2 . .
-0.4 ..
-
0.6
*!
п
Я \
(Время)
■■■
■■
х ( п ) = [ 0 . 5 - 0 . 5 с о 8 ( 2 т 1 Л /6 4 ) ] • [ 8 т ( 2 л 3 . 4 л / 6 4 ) ]
- 0.8 . .
-1 ■■
синусоида с частотой
3.4 периода на интервал
Модули ДПФ
(Ь)
^А
.
.
.
*
Результат с прямоугольным окном
а
Результат с окном Хэннинга
^
^
"
Ш
А -А —
Ш
Щ
Я
Ц „
5 6 7 8 9 1011 12131415 161718
Г
Г
г'
Г'
^
272829 3031
т
(Частота)
Рис. 3 .1 7 . Окно Хэнниннга: (а) 64 отсчета произведения окна Хэннинга на синусои­
дальный сигнал, имеющий 3.4 периода на интервале анализа; (Ь) резу­
льтат ДПФ с окном Хэннийга в сравнении с ДПФ с прямоугольным окном
Мы можем продемонстрировать, как использование окна помогает обнару­
жить слабый сигнал в присутствии близкого по частоте мощного сигнала. Приба­
вим к сигналу, изображенному на рисунке 3.8 (а), 64 отсчета синусоидального
сигнала, имеющего на анализируемом интервале 7 периодов, с амплитудой 0.1.
Применяя окно Хэннинга к сумме сигналов, получим входной сигнал, показанный
96
Глава 3. Дискретное преобразование Фурье
на рисунке 3.18 (а). Если бы мы не применяли взвешивание, результат ДПФ был
бы таким, какой показан на рисунке 3.18 (Ь) квадратиками, и в этом случае утечка
спектра сделала бы компонент сигнала с пг = 7 едва различимым. Но результат
ДПФ взвешенных данных, показанный треугольниками на рисунке 3.18 (Ь), позво­
ляет нам проще обнаружить присутствие компонента ш = 7. На практике специали­
сты, которые используют ДПФ для обнаружения реальных сигналов, выяснили,
что общая разрешающая способность и чувствительность к сигналам зависят боль­
ше от размера и формы используемого окна, чем просто от размера ДПФ.
Входной сигнад
і і взвешенный окном
синусоиды с частотой 3 4 и 7
периодов на интервал
1 ■■
..
х(л) = [0.5 - 0 5соэ(2 пл/64)] • [віп(2яЗ 4 л /6 4) +0 1зіп(2>г7л/64)1
0.8
*■«*
0.6 ..
0.4 ■■
0.2 ..
0
(а)
-
0.2
ж *
\ і ■■
■■
-0.4 ..
-
0.6
-
0.8
-
1.2
.
1ЖЇЇЖ,.1.
*!
■
Я \\ І X
хИ
X
-■Ш
X : XX
V X
П
(Время)
■■
-1 ..
■■
М одули Д ПФ
2 5 --
20
- -
*
Результат с прямоугольны м окном
ж
Результат с окном Хэннинга
15 - (Ь)
10 -Компонент сигнала
с индексом т - 1
5
о4=4—і—і—і—ь 4 н —
0 1 2
3 4
5 6 7 8
і—*—і—і—І—і—і—Ї—І—
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
5—*28 29 30 31
т
(Ч астота)
Рис. 3 .1 8 . Повышение чувствительности обнаружения сигнала при использовании
окна: (а) 64 отсчета произведения окна Хэннинга и суммы синусоидаль­
ных сигналов, имеющих 3.4 и 7 периодов на интервале анализа; (Ь) резу­
льтат ДПФ с пониженной благодаря окну Хэннинга утечкой в сравнении с
результатом ДПФ с прямоугольным окном
3.10. Гоебешковые искажения ДПФ
97
Когда мы станем более опытными в использовании окон, мы увидим, что раз­
ные окна имеют свои индивидуальные преимущества и недостатки. Кроме того,
независимо от используемого окна, мы понижаем уровень утечки спектра по
сравнению с утечкой прямоугольного окна. Имеется множество разных окон,
описанных в литературе по ЦОС. Их так много, что для обозначения этих окон
использованы имена всех, кто имел отношение к ЦОС. Не совсем ясно, сильно ли
отличаются многие из этих окон. Единственное, что мы твердо знаем, это то, что
выбор окна — всегда компромисс между шириной главного лепестка, уровнем
первого бокового лепестка и скоростью убывания боковых лепестков с ростом ча­
стоты. Использование того или иного конкретного окна зависит от приложения
[5], а приложений имеется великое множество.
Окна используются для улучшения точности спектрального анализа с помо­
щью ДПФ [6], при проектировании цифровых фильтров [7,8], для моделирова­
ния диаграмм направленности антенн и даже для улучшения качества некоторых
преобразователей механических сил в напряжение [9]. Таким образом, для чита­
телей, жаждущих дальнейшего изучения данной области, информация об окнах
имеется в избытке. (Праматерью всех технических публикаций об окнах является
работа Харриса [ 10]. А полезная работа Нутталла внесла коррективы и дополнения
к некоторым разделам статьи Харриса[11].) Наилучший способ изучить влияние
окон — сесть за компьютер, запустить программу, реализующую ДПФ (БПФ ), и
начать анализировать взвешенные окнами сигналы. (Кстати, имеются еще две
обычно используемые функции окна, которые можно использовать для уменьше­
ния утечки ДПФ, хотя их обсуждение мы отложили до раздела 5.3. Это окна Чебы­
шева и Кайзера, которые имеют параметры, позволяющие находить компромисс
между расширением главного лепестка и снижением боковых лепестков.)
3.10. Гребешковые искажения ДПФ
Гребешковые искажения —это флуктуации общего амплитудного спектра при
JV-точечном ДПФ. Мы подробно разберем их в разделе 3.16, а сейчас отметим толь­
ко, что, когда окна не используются, все бины ДПФ дают составляющие, имеющие
форму вида sin(x)/x На рисунке 3.19 (а) показан общий спектр, полученный в ре­
зультате наложения составляющих вида sin(.r)/r от нескольких бинов'.(Поскольку
боковые лепестки функции sine в данном случае не играют роли, на рисунке 3.19 (а)
они не показаны.) На рисунке 3.19 (Ь) общая реакция ДПФ в частотной области
показана толстой линией, огибающей главные лепестки бинов. Эта пульсирующая
кривая, причину которой также называют эффектом частокола, отображает поте­
ри, возникающие для частот, лежащих между центрами бинов.
По рисунку 3.19 (Ь) мы можем определить, что модуль ДПФ изменяется от 1 в
центре бина до 0.637 на равном удалении от двух соседних бинов. С точки зрения
энергетического спектра эти пульсации приведут к гребешковым искажениям
почти в -4 дБ на равном удалении от соседних бинов. На рисунке 3.19 показан
1 Возможно, картина на рисунке 3.19 (а) послужила причиной того, что отдельные от­
счеты ДПФ называют бинами. Вся энергия сигнала под кривой sin(.r)/.r попадает в
«хранилище» данного отсчета ДПФ. («Bin» по-английски значит «ларь», «бункер» —
прим перев )
98
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
случай, когда окна не используются (т. е. мы имеем дело с прямоугольным ок­
ном). Поскольку непрямоугольные окна расширяют главный лепесток, их исполь­
зование приводит к менее серьезным гребешковым искажениям [10,12]. Их более
широкие главные лепестки перекрываются в большей степени и заполняют про­
валы, имеющиеся на рисунке 3.19 (Ь). Например, гребешковые искажения для
окна Ханнинга составляют примерно 0.82, или -1.45 дБ посредине между центра­
ми соседних бинов. На практике, однако, гребешковые искажения не являются
серьезной проблемой. Реальные сигналы обычно имеют спектр, занимающий не­
сколько бинов, гак что пульсации спектра могут оказаться практически незамет­
ными. Рассмотрим схему, которую называют дополнением нулями и которая
используется как для уменьшения гребешковых искажений, так и для улучшения
разрешающей способности по частоте.
(т+Щ
(т + З )^
(т+5)ґ3
N
N
N
П
А
А
П
А
А
А
10
\ 1
0.637
(Ь)
Частота
тґ3
N
(т+2 Уз
~
(т+4 )^
лГ~
Рис. 3 .1 9 . Амплитудно-частотная характеристика бинов ДПФ: (а) отдельные кри­
вые вида б і п ( х ) / х для каждого бина ДПФ; (Ь) общая амплитудно-частот­
ная характеристика
3.11. Разрешающая способность ДПФ,
дополнение нулями и дискретизация
в частотной области
Один популярный метод, используемый для улучшения оценки спектра с помо­
щью ДПФ известен как дополнение нулями. Суть его заключается в добавлении
нулевых отсчетов к исходной анализируемой последовательности для увеличения
общего количества отсчетов входных данных. Исследование метода дополнения
99
3.11. Разрешающая способность ДПФ
нулями иллюстрирует важное свойство ДПФ —дискретизацию по частоте, о кото­
рой мы упоминали при обсуждении утечки спектра. Когда мы дискретизируем не­
прерывный сигнал во временной области, имеющий непрерывный спектр, и затем
берем ДПФ от полученных отсчетов, ДПФ дает в частотной области дискретизи­
рованную аппроксимацию непрерывного спектра. Чем больше точек в ДПФ, тем
точнее ДПФ аппроксимирует непрерывное преобразование Фурье.
Чтобы проиллюстрировать эту мысль, предположим, что мы хотим аппрокси­
мировать непрерывное преобразование Фурье непрерывной функции /(£), пока­
занной на рисунке 3.20 (а). Колебание/(?) простирается до бесконечности в обоих
направлениях по времени, но отлично от нуля только на интервале в Т секунд.
Если ненулевая часть функции представляет собой синусоиду, имеющую три пе­
риода на интервале в Т секунд, ее непрерывный амплитудный спектр выглядит
так, как показано на рисунке 3.20 (Ь). (Поскольку непрерывное преобразование
Фурье вычисляется на бесконечном интервале времени, шаг изменения частоты
бесконечно мал, так что спектр является непрерывным.) Этот спектр мы будем
аппроксимировать с помощью ДПФ.
.................................. —— г —->-<■
частота
Рис. 3 .2 0 . Непрерывное преобразование Фурье: (а) непрерывная функция време­
ни f(t), состоящая из усеченной синусоиды частотой 3/Т] (Ь) модуль не­
прерывного преобразования Фурье функции f(t)
Предположим, что мы хотим использовать 16-точечное ДПФ для аппроксима­
ции непрерывного преобразования функции f(t), показанной на рисунке 3.20 (а).
16 отсчетов /(£), охватывающих три периода синусоиды в f(t), показаны в левой
части рисунка 3.21 (а). Подавая эти отсчеты на вход 16-точечного ДПФ, получаем
дискретные отсчеты в частотной области. Часть отсчетов, соответствующая поло­
жительным частотам, показана точками в правой части рисунка 3.21 (а). Мы мо­
жем видеть, что выходные отсчеты ДПФ являются отсчетами непрерывного
преобразования Фурье, показанного на рисунке 3.20 (Ь). Если мы добавим в ко­
нец исходной входной последовательности 16 нулей (дополним ее нулями) и вы­
числим 32-точечное ДПФ, мы получим результат, приведенный в правой части
100
Глава 3. Дискретное преобразование Фурье
рисунка 3.21 (Ь), из которого видно, что мы уменьшили интервал дискретизации
в частотной области в 2 раза. Теперь ДПФ чаще дискретизует непрерывное пре­
образование Фурье. Добавив еще 32 нуля и беря 64-точечное ДПФ, мы получаем
результат, показанный в правой части рисунка 3.21 (с). Результат 64-точечного
ДПФ теперь начинает проявлять истинную форму непрерывного спектра сигна­
ла. Добавив еще 64 нуля и вычислив 128-точечное ДПФ, мы получаем результат,
показанный в правой части рисунка 3.21 ((1). Способность ДПФ дискретизиро­
вать спектр в частотной области теперь очевидна, но заметьте, что индексы бина,
соответствующего центру главного лепестка для всех случаев, показанных на ри­
сунке 3.21, разные.
Модуль ДПФ
і Входной сигнал
1+ ■
«
ж
8■■
«
6*■
0.5
4 - ■
(а)
' '
о»І і
і
і
і
ї
ї
I ■ і
О
2
3
4
5
6
7
1
8
ї
ї І
і І і
9 10 11 12 13 14 15
Ппаї
Время
2 ■■
0 М -
-м -
0
2
Модуль ДПФ
і I Входной сигнал
*
0 .5 - ■
(Ь)
ОМП »І I ММ і і ц М 1*.тцжтштт*т*жт-шАт.-^
0
3
I
Г
(С )
6
9
12
15
18
21
24
27'
30
Время
* ж
, Мч
о м — «— м ----I— м — к
О
Входной сигнал
8-•
I"-
Ї
2----- 3
4
I
5
|и—м—
4-­
6
10
7
11
12
Модуль ДПФ
6*■
0 *М *Д 4 Ж Н
0
5
10
:
І ММ
15 20
25 30
35 40 45
50 55
60
ВР®МЯ
»'* ■ \/
■! *
о*+++*+++*++++-н-+, +++*-и-+*—Частота
И
О
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
м м^
; м м
сигнал
А Входной
Вх
м
м*
IИМ
Модуль ДПФ
8■
Ум
м
0.5
м
м
(сі) о*-*
121 Время
м
м
м
-0.5 - *
мм
-1 -їм
м
о ■ ж ш -« н ж + іч і п н и п н і пч н н + » н н ь Т » 0
4
8
12
16
20
24
28
32 36
40
44
48
Рис. 3 .2 1 . Дискретизация в частотной области при вычислении ДПФ: (а) 16 вход­
ных отсчетов и N = 16\ (Ь) 16 входных отсчетов, 16 добавленных нулей и N
= 32; (с) 16 входных отсчетов, 48 добавленных нулей и N = 64\ (с1) 16 вход­
ных отсчетов, 112 добавленных нулей и N = 128
101
3.11. Разрешающая способность ДПФ
Значит ли это, что мы должны переопределять частотную ось ДПФ при исполь­
зовании дополнения нулями? На самом деле, нет. Если мы дополняем нулями Ь
ненулевых отсчетов и получаем всего N отсчетов во временной области для ^-то­
чечного ДПФ, средние частоты бинов ДПФ дополненной последовательности
связаны с исходной частотой дискретизации давно знакомым нам выражением
(3-5), или
центральная частота т-го бина = т/5/ЛГ.
(3-32)
Таким образом, в примере, иллюстрируемом рисунком 3.21 (а), мы использу­
ем (3-32), чтобы показать, что, хотя индекс бина ДПФ дополненной нулями по­
следовательности, соответствующего максимуму главного лепестка, изменяется
с ростом М частота этого бина остается неизменной. Следующая таблица показы-'
вает, чтр при этом происходит:
Максимум главного
лепестка
соответствует т =
/. =
N=
3.21 (а)
3
16
16
3 ^ /1 6
3.21 (Ь)
6
16
32
6fs/32 = Зfs/^6
3.21 (с)
12
16
64
12^ /6 4 = 3 ^ /1 6
3.21 (с!)
24
16
128
24/д/128 = З/д/16
№ рисунка
Частота ма ксимума
главного л епестка
по отноше* 1ИЮ к fs =
Выиграем ли мы что-нибудь, еще дополнив последовательность нулями и вы­
числив ДПФ еще большего размера? Выиграем, но мало, потому что 128-точечное
ДПФ дискретизует непрерывный спектр достаточно подробно на рисунке 3.21 (с1).
Брать отсчеты чаще с помощью ДПФ большего размера бесполезно, т. к. это не
улучшит наше понимание частотной структуры спектра. Суть здесь в том, что
добавление нулей к входной последовательности улучшает разрешение 1 по час­
тоте, но существует практический предел того, что мы можем достичь с его по­
мощью. В нашем примере 128-точечное ДПФ выявляет подробную структуру
спектра. Здесь мы столкнулись с законом убывающей отдачи. Выполнение 256или 512-точечногоо ДПФ в нашем случае дало бы мало новой информации2. Для
этой конкретной последовательности нет смысла существенно уменьшать интер1 В отечественной литературе под разрешающей способностью по частоте понимают
минимальную разность частот гармоник, при которой в спектре эти гармоники раз­
личаются как отдельные составляющие. В этом смысле разрешающая способность по
частоте определяется только длительностью дискретизированной выборки сигнала.
Дополнение нулями позволяет лишь уменьшить интервал дискретизации по частоте и
подробнее рассмотреть спектр сигнала. —(прим. перев.)
Обратите внимание на то, что размер ДПФ (Ы) в наших примерах равен целой степени
2 (64,128, 256,512). Это объясняется тем, что для выполнения ДПФ мы на самом деле
используем специальных алгоритм, известный как быстрое преобразование Фурье
(БПФ). Как мы увидим в главе 4, типовая реализация БПФ требует, чтобы Добыло це­
лой степенью двойки.
102
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
вал дискретизации непрерывного спектра по частоте. Конечно, и 128-точечное
ДПФ в данном случае не является незыблемым пределом. В зависимости от ко­
личества отсчетов в некоторой произвольной входной последовательности и ча­
стоты дискретизации на практике могло бы потребоваться дополнение каким
угодно количеством нулей для получения требуемого разрешения по частоте.
Относительно дополнения нулями следует сделать два последних замечания.
Первое, выражения для модуля ДПФ (3-17) и (3-17') неприменимы в случае до­
полнения нулями. Если мы дополняем нулями Ь ненулевых отсчетов синусоиды,
частота которой совпадает с частотой бина, в результате чего получаем общее ко­
личество N входных отсчетов и выполняем АГ-точечное ДПФ, то для вычисления
величины отсчетов ДПФ мы должны в (3-17) и (3-17') заменить ЛГна I. И второе,
если мы хотим выполнить дополнение нулями и взвешивание окном, мы не дол­
жны накладывать окно на всю последовательность, включая и добавленные нули.
Окно должно накладываться только на исходные ненулевые отсчеты, иначе нулевые
отсчеты приведут к тому, что часть окна будет фактически обнулена и искажена, что
приведет к ошибочным результатам. (В разделе 4.5 даются дополнительные прак­
тические указания по выполнению ДПФ с использованием алгоритма БПФ при
анализе сигналов реального мира.)
Чтобы немного отвлечься, сейчас подходящий момент для определения диск­
ретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ), которое читатель может встре­
тить в литературе. ДВПФ представляет собой непрерывное преобразование Фурье
дискретной 1 -точечной последовательности, и некоторые авторы используют
ДВПФ для описания многих понятий цифровой обработки сигналов, о кото­
рых мы говорили в этой главе. Мы не можем выполнить ДВПФ на компьютере,
потому что оно обладает бесконечным разрешением по частоте, но мы можем
аппроксимировать его с помощью ^-точечного ДПФ 1-точечной последователь­
ности при Ы> Ь. Фактически речь идет о том, что мы делали на рисунке 3.21, когда
дополняли нулями исходную последовательность из 16-отсчетов. (Когда N = Ь,
аппроксимация ДВПФ совпадает с ДПФ.)
Чтобы увидеть связь между ДВПФ и ДПФ, вспомним, что модуль ДВПФ (т. е.
модуль непрерывного преобразования Фурье) последовательности из 16 ненуле­
вых отсчетов, показанной на рисунке 3.21 (а), представляет собой функцию вида
зт(л:)/:г, обозначенную серыми линиями на рисунке 3.21. Наши ДПФ аппрокси­
мируют (дискретизируют) эту функцию. При увеличении количества нулей, ко­
торыми дополняются исходные 16 ненулевых отсчетов, просто выполняется
интерполяция дискретизированной посредством ДПФ версии ДВПФ с уменьша­
ющимся шагом дискретизации по частоте.
Запомните, пожалуйста, что дополнение нулями не улучшает нашу способность
различать два близко расположенных по частоте сигнала. (Например, главные ле­
пестки спектров, изображенных на рисунке 3.21, не меняются по ширине, выражен­
ной в Герцах, при увеличении количества добавляемых нулей.) Чтобы улучшить
спектральное разрешение двух сигналов, необходимо анализировать больше нену­
левых отсчетов. Правило, по которому мы должны жить, заключается в следую­
щем: чтобы реализовать разрешающую способность по частоте на уровне Рге5 Гц, мы
должны накопить отсчеты сигнала на интервале времени 1/Рге5 секунд.
Применения дополнения нулями во временной области мы обсудим в разделе
13.15, дополнения нулями в частотной области в разделе 13.28 и вернемся к
ДВПФ в разделе 3.17.
3.12. Коэффициент улучшения ДПФ
103
3.12. Коэффициент улучшения ДПФ
С ДПФ связаны два коэффициента улучшения. Те, кто использует ДПФ для
обнаружения сигнала в шуме, часто говорят о коэффициенте улучшения ДПФ
потому, что ДПФ может выделить сигнал на фоне шума. Это возможно благодаря
усилению сигнала, связанному с вычислением внутренней корреляции, которое
имеет место при вычислении ЛГ-точечного ДПФ. Кроме этого естественного улуч­
шения отношения сигнал/шум можно получить дополнительное интегральное
улучшение при усреднении результатов ДПФ. Рассмотрим сначала внутренний
коэффициент улучшения.
3 .1 2 .1 . Коэффициент улучшения отдельного ДПФ
Понятие коэффициента улучшения ДПФ очевидно, если мы рассматриваем
отдельный бин ДПФ как узкополосный фильтр. Поскольку частотная характери­
стика бина ДПФ имеет вид функции 8т ( х ) /г , значение этого бина определяется
главным образом энергией сигнала, попадающей в его главный лепесток. Бин
ДПФ можно рассматривать как полосовой фильтр, центр полосы пропускания
которого находится на частоте т/5 /N. Из (3-17) мы знаем, что максимально воз­
можное значение отсчетов ДПФ возрастает при увеличении длины преобразова­
ния N. Кроме того, при увеличении N главный лепесток бина становится уже.
Таким образом, бин ДПФ можно рассматривать как полосовой фильтр, коэффици­
ент передачи которого можно увеличить, а ширину полосы пропускания умень­
шить, увеличивая значение N. Уменьшение ширины полосы пропускания полезно
при обнаружении энергии сигнала, потому что в дололнение к уменьшению энер­
гии шума, попадающей в пределы его полосы пропускания, улучшается и разре­
шающая способность по частоте. Мы можем продемонстрировать это, рассмотрев
ДПФ тона (синусоиды постоянной частоты), смешанного со случайным шумом.
На рисунке 3.22 (а) в логарифмическом масштабе показаны первые 32 отсчета
64-точечного ДПФ, при этом частота тона совпадает с центром бина т = 20. Уров­
ни мощности (квадрат модуля ДП Ф ) на рисунке 3.22 (а) нормированы так, что
мощность наибольшего бина принята за 0 дБ. Поскольку мощность исходного
тона меньше мощности шума, при N = 64 обнаружить его не так просто. (Шум во
временной области, использованный для генерации сигнала, представленного на
рисунке 3.22 (а), имеет нулевое среднее, т. е. не содержит постоянной составляю­
щей, или смещения уровня.) Если же мы увеличим количество отсчетов в четыре
раза и размер ДПФ до N = 256, мы увидим, как мощность тона поднимается над
уровнем шума на бине т = 80 на рисунке 3.22 (Ь). Повышение размера ДПФ до
N = 1024 дает дополнительное улучшение, так что спектр тона еще больше подни­
мается над уровнем шума, как показано на рисунке 3.22 (с).
Чтобы численно оценить улучшение ДПФ, мы можем определить отношение
сигнал/шум как отношение уровня мощности сигнала к уровню мощности шума в
частотной области. (Конечно же, на практике нам хотелось бы, чтобы это отноше­
ние было как можно больше.) Есть ряд причин, по которым трудно предсказать, ка­
ким будет отношение сигнал/шум для любого конкретного ДПФ. Это объясняется
104
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
тем, что мы не можем точно предсказать энергию данных N отсчетов случайного
шума. Кроме того, если частота сигнала не совпадает с центральной частотой
бина, возникающая при этом утечка приводит к повышению уровня шума и сни­
жает отношение сигнал/шум. В дополнение к этому, любое используемое окно
оказывает влияние на уровень утечки и, следовательно, на отношение сигнал/
шум. Единственное, что мы можем сказать наверняка, это то, что отношение сиг­
нал/шум растет с ростом ЛГ, потому что стандартное отклонение (СКЗ) шума для
бина ДПФ пропорционально л/АГ, а величина бина, в котором находится сигнал,
пропорциональна N. В более общем виде для действительного входного сигнала,
если N > N', отношение сигнал/шум при ^/-точечном ДПФ БИКК возрастает по
сравнению с отношением сигнал/шум ЛГ-точечного ДПФ 8 МШ\Г в соответствии с
соотношением:
SNRN = SNRN■+ 2 0 1о§ 10(х /Щ О
(3-33)
Н ом е р б и н а Д П Ф
Рис. 3 .2 2 .Улучшение отношения сигнал/шум при одном ДПФ: (а) Л/=64; (Ь) N=256',
(с) N= 1024
3.12. Коэффициент улучшения ДПФ
105
/
Рис. 3 .2 3 . Коэффициент улучшения ДПФ в зависимости от размера ДПФ N для раз­
ных значений отношения сигнал/шум на входе: (а) линейный масштаб по
оси Л/; (Ь) логарифмический масштаб по оси N
Если мы повышаем размер ДПФ с N ' ло N = 2N', согласно (3-33) отношение
сигнал/шум возрастает на 3 дБ. Мы поэтому говорим, что коэффициент улуч­
шения ДП Ф увеличивается на 3 дБ при каждом удвоении N. Имейте ввиду, что
в присутствии случайного шума удвоение размера ДП Ф может увеличить от­
ношение сипгал/шум меньше, чем на 3 дБ. С другой стороны, мы можем полу­
чить улучшение немного больше, чем 3 дБ. Это зависит от природы случайного
шума. Если мы выполняем много ДПФ, мы можем получить средний коэффи­
циент улучшения для разных отношений сигнал/шум на входе, как показано
на рисунке 3.23 (а). Поскольку нас интересует наклон кривых на рисунке 3.23 (а),
мы начертили их в логарифмическом масштабе для N на рисунке 3.23 (Ь), при
этом кривые линии превратились в прямые. Глядя на графики рисунка 3.23 (Ь),
мы можем ясно видеть увеличение отношения сигнал/шум на 3 дБ при удвоении
N если N превышает 20 —30, а сигнал не слишком сильно спрятан в шуме. Абсо­
лютные значения, изображаемые графиками на рисунках 3.23 (а) и 3.23 (Ь) не яв­
ляются незыблемыми. Они были получены путем моделирования шума и тона,
106
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
частота которого совпадала с центром бина. Если бы частота тона была располо­
жена между центрами бинов, эти кривые опустились бы ниже, но их форма оста­
лась бы такой же', т. е. (3-33) выполняется независимо от частоты тона.
3 .1 2 .2 . Улучшение интегрирования при усреднении
нескольких ДПФ
Теоретически мы могли бы получать неограниченно большие коэффициенты
улучшения, увеличивая размер ДПФ. Проблема состоит в том, что количество опе­
раций умножения при выполнении БПФ растет пропорционально ЛГ2, и вычисле­
ние ДПФ длинных последовательностей становиться трудоемким. Поскольку
операция сложения выполняется проще и быстрее, чем умножение, мы можем
усреднять результаты нескольких ДПФ для повышения коэффициента улучше­
ния и чувствительности при обнаружении сигналов. Усреднение результатов
ДПФ рассматривается в разделе 11.3.
3.13. ДПФ прямоугольных функций
Мы завершаем эту главу, предлагая вашему вниманию математические детали
двух важных аспектов ДПФ. В первую очередь мы получим выражения для ДПФ
прямоугольной функции (прямоугольного окна), а затем мы используем эти ре­
зультаты для иллюстрации частотной характеристики ДПФ. Частотная характе­
ристика ДПФ интересует нас потому, что она дает альтернативную точку зрения
для понимания утечки, которая возникает при использовании ДПФ как инстру­
мента анализа сигналов.
Вычисление ДПФ прямоугольной функции является наиболее распростра­
ненной и важной операцией в области цифровой обработки сигналов. Мы встре­
чаемся с ним в теории дискретизации, теории окон, в обсуждении свертки, в
спектральном анализе и в проектировании цифровых фильтров. Несмотря на такое
широкое распространение ДПФ прямоугольных функций, литература, посвящен­
ная этому предмету, может оказаться слишком сложной для начинающих в области
цифровой обработки сигналов по нескольким причинам. На первых порах стан­
дартные математические обозначения воспринимаются трудно, а выкладки иногда
подаются со слишком скудными пояснениями. Проблема для новичков усугубля­
ется тем, что для ДПФ существуют разные выражения. В литературе мы можем
найти все перечисленные ниже формы ДПФ прямоугольной функции:
В Р Т прямоу/ функции = Ы П ( Х ) М П ( Х / М ) ] ,
или 8т ( . г ) / г , или 5т (Ш /2)/ъ\п(х/2) .
(3-34)
В этом разделе мы покажем, как получены все формы в (3-34), увидим, как
они связаны друг с другом и создадим таблицу, которая призвана сыграть роль
Графики сместятся вниз, свидетельствуя о понижении отношения сигнал/шум, пото­
му что утечка приведет к повышению средней мощности шума, а гребешковые искаже­
ния понизят мощность бина.
107
3.13. ДПФ прямоугольных функций
Розеттского камня и позволяет переходить от одной формы выражения для ДПФ
к другой. Вдохните поглубже, и начнем с определения прямоугольной функции.
3 .1 3 .1 . ДПФ обобщенной прямоугольной функции
Обобщенную прямоугольную функцию х(п) можно определить как N отсчетов,
среди которых имеется К отсчетов, равных единице, как показано на рисунке 3.24.
Полная ^-точечная последовательность х(п) и есть прямоугольная функция, ко­
торую мы хотим преобразовать. Мы называем эту форму обобщенной формой
прямоугольной функции, потому что пакет К единичных отсчетов начинается в
произвольный момент времени - п 0. Вычислим ДПФ последовательности х(п),
показанной на рисунке 3.24 и получим требуемый результат Х(т). Используя ин­
декс т для нумерации отсчетов в частотной области, мы можем записать выраже­
ние для ^-точечного ДПФ в виде
N/2
Х(т) = 21 х(п)е -Г^пт/ы
(3-35)
и=-(ЛГ/2) + 7
Поскольку отсчеты х(п) отличны от нуля только в диапазоне - п 0 < п < - п 0 +
( К - 1), мы можем изменить пределы суммирования в (3-35) и выразить Х(т) как
- п0 Ц К - 1 )
Х(т) = ^1х(п)е -)2лпт/М '
п=-п0
(3-36)
потому что только К отсчетов вносят вклад в значение Х(т). Этот последний шаг
важен, т. к. он позволяет нам избавиться от х(п) и сделать (3-36) более простым
для последующих манипуляций. Чтобы немного облегчить восприятие последу­
ющих выражений, введем обозначение д = 2 ят/Л^.
х(п)
■<------- К К
- N12 +1
А О
п = -по
— >►
А
п = - п 0 + ( К - 1)
^
п
Д//2
Рис. 3 .2 4 . Прямоугольная функция шириной К отсчетов на интервале в N отсчетов,
где К < N
Итак, теперь на сцену выходит алгебра. Опускаем множитель 1 под знаком
суммы и получаем
-п0ЦК-1)
Х(У) = 2 е-Яп =
П=-П0
= е~М~по> + е~М(-по+1'>+ е~М(~по+2Л>+ ... + е~Я\~г,о+(К~1^ =
См. примечание в конце раздела 8.3 —(прим ред перев.).
108
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
= е~М~по) е-1°Я + е~М(~по>е~11Я + е-М ~по \ е - ^ + ... + е-Ж -«0) е~}Я(К~1) =
= е М по>[е~]°я + е~)1(1 + е~№ + ... + е~я(к ~1">].
(3-37)
Ряд в квадратных скобках в (3-37) можно просуммировать, так что
К-1
Х(д) = ек(п0) 2 е-лч
(3-38)
р=0
Выражение (3-38), конечно же, выглядит ничуть не проще, чем (3-36), но на са­
мом деле оно проще. Выражение (3-38) есть не что иное, как сумма геометриче­
ской прогрессии и, согласно сказанному в приложении В, ее можно выразить в
замкнутой форме вида
к- 1
2 е-л>я = (1 - е~Щ /( 1 - е-п)
( 3- 39)
р=0
Теперь мы можем упростить (3-39), что вполне уместно здесь. Если мы умно­
жим и разделим числитель и знаменатель в правой части (3-39) на экспоненту,
показатель степени которой разделен на два, мы разделим экспоненты на две час­
ти каждую и получим
к- 1
2
е~№4 = [е~МК/2(еМК/2 - е~МК/2)]/[е~М/2(еМ/2 - е~м/2)]
р=0
= е М К - - 1 ) / 2 ( е м К / 2 _ е -1ЧК / 2 у ( е М / 2 _ е -]ц / 2 )
(3 -4 0 )
Задержимся здесь на мгновение, чтобы вспомнить, куда мы движемся. Мы ста­
раемся придать выражению (3-40) пригодную для использования форму, потому
что оно является частью выражения (3-38), которое мы используем для вычисле­
ния Х (т ) в (3-36) в нашем неустанном поиске понятного выражения для ДПФ
прямоугольной функции.
Выражение (3-40) выглядит еще сложнее, чем (3-39), но мы можем упростить
выражения в скобках. Согласно тождествам Эйлера Б т( 0 ) = ( е]ф- е~}ф)/2] (3-40)
превращается в
К-1
2 е ~]М = е~м(К~ 1}/212]$1п((]К/2)]/12р\п(у/2)] =
р=0
= е-м(к -1)/2[$[п(дк/2)]/[$т (д/2)]
(3 .4 1 )
Подставляя (3-41) вместо суммы в (3-38), получаем выражение для Х(д)
Х(<7) = е^("о) е-м(к -1)/2[8т(цК/2)]/[$т(д/2)] =
= еМ ”о(К-1)/2] [$ \п ^К /2 )]/[$ \п ^ /2 ) ] .
Возвращая переменной q значение 2лт/ N. приходим к .
Х ( т ) = е^2лт/Щп0(К-1)/2] ^\п{2лтК/2)\/[ът(2лт/2)\,
или
(3-42)
3 . 13. ДПФ прямоугольных функций
яуфа^ирихле-
Х(т) = е ^ 2лт^ 1 по(к ~1)/2\ [sm(jimK/N)]/[sin(.4m/N)]
109
(3-43)
Вот и готово. Формула (3-43) представляет собой общее выражение для ДПФ
прямоугольной функции, показанной на рисунке 3.24. Отсчеты Х(т ) описывают­
ся комплексными выражениям, в которых отношение синусов дает амплитуду
Х(т ), а показатель степени экспоненты —фазовый угол Х(т)'. График множите­
ля, содержащего отношение синусов в (3-43), представляет собой периодическую
кривую на рисунке 3.25 (а), и, как и во всех представлениях JV-точечного ДПФ,
период Х(т) равен N. Эта кривая известна как ядро Дирихле (или совокупность
наложенных функций sine) и подробно описана в литературе [10,13,14]. (Она на­
звана в честь немецкого математика девятнадцатого века Петера Дирихле, который
изучал сходимость тригонометрических рядов, используемых для представления
произвольных функций.)
Мы можем увеличить изображение этой кривой вблизи точки т = 0 и рассмот­
реть ее более подробно на рисунке 3.25 (Ь). Точки на этом рисунке напоминают
нам, что ДПФ прямоугольной функции дает дискретные отсчеты, лежащие на
кривой. Таким образом, когда мы выполняем ДПФ, дискретный его результат яв­
ляется дискретизйрованной версией непрерывной кривой функции sine, пока­
занной на рисунке 3.25 (а). Как мы покажем позже, в (3-43) нас в первую очередь
интересует абсолютное значение, или модуль, ядра Дирихле. Этот модуль, \Х(т) |,
показан на рисунке 3.25 (с). Мы впервые увидели график функции sine на рисун­
ке 3.9 в разделе 3.8, где мы познакомились с утечкой ДПФ, и мы будем часто
гзетречать эту кривую при изучении цифровой обработки сигналов.
На данный момент нам известно всего несколько фактов, касающихся ядра
Дирихле, которые необходимо помнить. Первое: ДПФ прямоугольной функции
имеет главный лепесток, центр которого находится в точке т = 0. Пиковое значе­
ние главного лепестка равно К. В этом пиковом значении заложен некоторый
смысл, не правда ли? Отсчет ДПФ Х (0 ) равен сумме исходных отсчетов, а сумма
К единиц равна К. Мы можем показать это более строго, вычислив (3-43) при т =
0. Когда мы подставляем т = 0 в (3-43), возникает трудность, т. к. мы получаем
выражение sin(<9)/sin(0), которое представляет собой неопределенное отношение
0/0. Придется призвать на помощь высшую математику. Используя правило Лопиталя, мы можем взять производную числителя и знаменателя (3-43), и после
этого подставить т = 0 для определения пикового значения ядра Дирихле. Это
выполняется следующим образом
\Х(т) \ т^,0= (d/dm )X(m ) = {d[sin(nmK/N)]/dm}/{d[sin(mn/N)]/dm} =
=[cos(7zmK/N)/cos(7rm/N)] •[d(nm K/N )/dm \/[d(nm /N )/dm \ =
[cos(0)/cos(0)] •(n m K /N )/(n m /N ) = 1 • К = К ,
(3-44)
1 На рисунке 3 24, изображающем х(гі), Добыло четным. Если бы Добыло нечетным числом,
пределы суммирования в (3-35) были бы такими: -(./V-1)/2 < п< (Ы-1)/2. Использова­
ние таких пределов суммирования привело бы нас точно к такому же выражению для
Х(т), как и (3-43).
110
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
что и требовалось показать. (Мы могли бы быть сообразительнее и вычислить
(3-35) при т = 0, чтобы получить этот результат. Попробуйте сделать это, помня,
что е^° = 1.) Если бы значения ненулевых отсчетов были равны не единице, а неко­
торому А 0, то, конечно же, пиковое значение ядра Дирихле было бы равно АдК
вместо К. Следующий важный момент, касающийся ядра Дирихле, который сле­
дует отметить — это ширина главного лепестка. Первый ноль выражения (3-43)
возникает на частоте, на которой аргумент числителя равен ж, т. е. когда жтК/М =
ж. Таким образом, значение т для первого нулевого отсчета равно
тУ
первого нучя = л:АУжК = N/ К
(3-45)
как показано на рисунке 3.25 (Ь). Таким образом, ширина главного лепестка рав­
на 2Ы/К, как показано на рисунке 3.25 (с), и обратно пропорциональна К \
1 .00.8 0.6-
Х{т)
0.4-
(Ь) 0.2 0 ■
-0.2 ■
і и | III«■■*
0
А* ■
т = -Л//К
\Х(т)\
1.0
0.8
0.6
(с)
Главный
лепесток
а *'
т
т = Л//К
■
■ ■
К
0.4
0.2
0
т
і _і
1
)
)
)
)
Рис. 3 .2 5 . Ядро Дирихле: (а) периодическая непрерывная кривая, на которой лежат
отсчеты Х{т)ш
, (Ь) значения отсчетовХ(т) вблизи т = 0\ (с) модули |Х (т)|
в окрестности т = 0
Посмотрите, главный лепесток на рисунке 3.25 (а) окружен рядом волн, кото­
рые называются боковыми лепестками, как на рисунке 3.25 (с). Амплитуды этих
Это фундаментальное свойство преобразования Фурье. Чем уже функция в одной об­
ласти, тем шире ее преобразование в другой области
111
3.13. ДПФ прямоугольных функций
боковых лепестков уменьшаются по мере удаления от главного лепестка. Но как
бы далеко боковые лепестки ни удалялись от главного, их амплитуда никогда не
становится в точности равной 0 — и они представляют собой источник изрядной
головной боли для специалистов по ЦОС. Боковые лепестки вызывают маскиро­
вание сигналов небольшой амплитуды мощными сигналами по соседству при
спектральном анализе и создают определенные трудности при проектировании
цифровых фильтров. Как мы увидим в главе 5, нежелательные пульсации АЧХ в
полосе пропускания и небольшое ослабление в полосе задерживания простых
цифровых фильтров обусловлены боковыми лепестками ДПФ прямоугольной
функции. (Для минимизации вредного влияния боковых лепестков, которые хо­
рошо видны на рисунке 3.25, пришлось прибегнуть к проектированию и анализу
окон, а также к разработке рекомендаций по их применению.)
Продемонстрируем использование (3-45) на простом конкретном примере.
Предположим, что мы вычисляем 64-точечное ДПФ прямоугольной функции,
содержащей 64 отсчета, показанной на рисунке 3.26 (а). В этом примере N = 64 и
К = 11. В результате вычисления ДПФ этой последовательности мы получаем по­
следовательность Х(т), действительная и мнимая части которой Х геа[(т) и Х та^(т)
изображены на рисунках 3.26 (Ь) и 3.26 (с) соответственно. Рисунок 3.26 (Ь) дает
хорошую иллюстрацию того, что действительная часть ДПФ действительной
последовательности обладает четной симметрией, а рисунок 3.26 (с) подтвержда­
ет, что мнимая часть ДПФ действительной последовательности обладает нечет­
ной симметрией.
■<-к
х(п)
(а)
■3
-28
12Т
10-■
8..
6-.
-24
-20 -16
-12
-8
-4
0
4
12
real (т)
16
20
24
28
32
К - 11
4 -.
(Ь)
2..
■
.
-2 1
-20
-16
1111111111
-4
- 1 2 .*
0
ш
, °
4
*■ *
12
16
20
'■ о *
т
2T*imag(m)
1.5 ..
1..
0.5 ..
■*
ж
-20 m
я
-8
4
12
16«
24
28
|.н+| л 1 1Ц1 1 1 Н 1 1 Н | | ‘ 1 | И 1<<1 й-н-н-нч-Нн<-н-и-н44и«■*»**■
(с)
-0.5 ■■
1
-1.5 • •
-2 -.
-28
-24 «
* -16
*.*
■
*
-4
.
.*
0
8
■ *
.
■*
*
‘
20
-■
т
*■
Рис. 3 .2 6 . ДПФ прямоугольной функции: (а) исходная функция х(л); (Ь) действите­
льная часть ДПФ х(п), Х,„я/(т ); (с) мнимая часть ДПФ х(п), X
(т)
'есЛ1
1тад
Хотя Х геа1(т) и Х 1тпаё(т) могут сообщить нам все, что можно узнать о ДПФ по­
следовательности^«), об истинной природе спектра Х(т) легче судить, рассмат­
ривая его абсолютное значение (модуль). Модуль спектра, рассчитанный
112
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
согласно (3-7), приведен на рисунке 3.27 (а), на котором хорошо видны главный и
боковые лепестки. Как мы и ожидали, пиковое значение главного лепестка равно
11, потому что мы имеем К = 11 единичных отсчетов х(п). Ширина главного лепе­
стка, согласно (3-45), равна 64/11, или 5.82. Следовательно, первая положитель­
ная частота, на которой модуль уменьшается до 0, лежит немного ниже отсчета
дискретного спектра |Х (т)|, показанного квадратиками на рисунке 3.27 (а) с ин­
дексом ш = 6. Фазовые углы спектра, определенные выражениями (3-6) и (3-8),
показаны на рисунке 3.27 (Ь).
Рис. 3 .2 7 . ДПФ обобщенной прямоугольной функции: (а) модуль |Х (т) |; (Ь) фаза в
радианах
Чтобы глубже понять природу ДПФ прямоугольных функций, обсудим еще
несколько примеров менее общих прямоугольных функций, которые в цифровой
обработке сигналов встречаются чаще, чем х(п ) с рисунка 3.24.
3 .1 3 .2 . ДПФ симметричной прямоугольной функции
Выражение (3-43) сложновато, т. к. исходная функция х(п) задана в самом об­
щем виде. На практике частные случаи прямоугольных функций приводят к бо­
лее простым версиям (3-43). Рассмотрим симметричную прямоугольную
функцию х(п), показанную на рисунке 3.28. Как показано на этом рисунке, нам
необходимо вычислить ДПФ прямоугольной функции, центр которой совпадает
с индексом п = 0. Такую задачу приходится решать на практике довольно часто. В
этом случае последовательность из К единичных отсчетов начинается с индекса п
= - п 0 = - ( К - 1 ) /2 . Соответственно, подстановка ( К - 1 )/2 вместо по в (3-43) дает
Х(т ) = е./(2я т /^ [(^ -0 /2 -(К -0 /2 ] . [ът^лтК/Щ/ът^лт/Щ] =
= еЛ^лт/Л^ХО) • [$т (лтК/М )/5т(лт/К)].
(3-46)
Поскольку е $ = 1, (3-46) превращается в
адрТдГ„Ч
ГеЯФ°РМа
х (т )-* п (лт К /Ы )М п (лт /Ю -
(3-47)
3.13. ДПФ прямоугольных функций
113
< --------- к
О
-N/2+1
х(п)
А
л = (К-1)/2 .
N12
Рис. 3 .2 8 . Прямоугольная функция х(п), содержащая К отсчетов с центром в точке
п=0
Формула (3-47) показывает, что ДПФ симметричной прямоугольной функ­
ции является действительной функцией, т. е. комплексная экспонента в (3-47) от­
сутствует, так что в этом частном случае ДПФ не имеет мнимой части или
фазового множителя. Как мы установили в разделе 3.2, если х(п ) —действитель­
ная и четная функция, т. е. х(п ) = х( -п), то Х геа1 (т) отлична от 0, а Х 1таё(т) всегда
равна 0. Мы покажем это, вычислив 64-точечное ДПФ последовательности, пока­
занной на рисунке 3.29 (а). х(п) в этом случае содержит 11 единичных отсчетов,
центр которых приходится на индексе п = 0. ДПФ этой последовательности дает
последовательность Х(т), действительная и мнимая части которой показаны на
рисунках 3.29 (Ь) и 3.29 (с) соответственно. Как и предсказывало выражение
(3-47), Х геа1 (т) отлична от 0, а Х 1т (т) равна 0. Графики модуля и фазы Х{т)
приведены на рисунках 3.29(с1) и 3.2§(е).
Обратите внимание на то, что модули, показанные на рисунках 3.27 (а) и
3.29(с1), идентичны. Это подтверждает очень важную теорему о сдвиге, т. е. мо­
дуль \Х(т) | зависит только от количества ненулевых отсчетов в х(п), К, и не зави­
сит от их позиции по отношению к п = 0. Сдвиг К единичных отсчетов при
центрировании их относительно индекса п = 0 влияет только на фазу отсчетов
Х(т) и не влияет на их модуль.
Говоря о фазовых углах, здесь интересно будет отметить, что, хотя Х [та^тп) на
рисунке 3.29 (с) равна 0, фазовый угол Х (т ) отличен от нуля. В этом случае фазо­
вые углы отсчетов Х(т) на рисунке 3.29 (е) принимают значения +л, 0 или - л ра­
диан. При необходимости мы легко можем восстановить Х геа1(т) по \Х(т)\ и
фазовому углу Хф(т), поставив в соответствие углам +л и - л радиан множитель
-1. Отсчеты Х геа[(т) равны отсчетам \Х(т) |, взятым со знаком, который меняется
на противоположный при переходе из одного бокового лепестка в другой'. Чтобы
яснее представить себе, что ДПФ прямоугольной последовательности является
дискретизированной версией ядра Дирихле, увеличим количество ненулевых от­
счетов последовательности х(п). На рисунке 3.30 (а) показана 64-точечная после­
довательность х(п), содержащая пакет из 31 единичного отсчета с центром в точке
п = 0. Модуль Х (т ) приведен на рисунке 3.30 (Ь). Расширяя прямоугольную фун­
кцию х(п) , т. е. увеличивая К, мы сделали ядро Дирихле Х(т) уже. Это следует из
(3-45), не так ли? Частота первого нуля ядра обратно пропорциональна К, следо­
вательно, по мере увеличения К мы сжимаем |Х (т) \ в направлении к т = 0. В этом
примере N = 64 и К = 31. Из (3-45) следует, что положительная частота первого
нуля Х{т) равна 64/31, т. е. расположена немного правее отсчета ст=2 на рисун­
ке 3.30 (Ь). Заметьте также, что пиковое значение |Х(ш)| = К = 31, как и должно
быть согласно (3-44).
Конкретная картина распределения значений +л и - л на рисунке 3.29 (е) определяется
программой, которую использовали для получения этого рисунка Другие программы
могут показать другую картину, но пока ненулевые значения фазовых углов равны +л
и -л, результат будет правильным.
114
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
1 Т *(п )
Т
0.5 і
(а)
Л Г
■28 -24
12
*
-20
-16
-12
-8
-4
Хгеаі(т )
10 ..
0
4
*
ш
8 ..
6 ..
(Ь)
............................... ..
І І І І І І І II I
0
8
12
16
20
24
28
32 "
11
■
■
4 ..
«т*
2
-2 т
-4
■*** "® *
-28 -24
"
-16
-12
* . , * -4
-20
-16
-12
-8
■
0
4
12
16
**"
26 28 &
^0.4®. ■хітад(т )
0.3
0.2-■
(С)
0.1
■■
О*ш
-28 -24
-4
0
4
и Т
10 ..
8
12
16
20
24
28
т
11
8 ..
6
№)
4 ..
2_ ..
«*'»
I"" ■
_■■■_ ■■***_
....
о 4 н 4 * г > И | ¥« 1-І |Т ? И І І * * І I | І * І I И І І
-28 -24 -20 -16 -12
-8
-4
4 т
3
~
II
_■■■■ 0
І І ) Т І І І 11 Т 4 < І |*Т і І І I » * 4 1 1* » ? | ►
048
12
1620
Х0(т)
2 ■■
І\
(е)
О
-1
-2
-3
..
-28 -24
I
-20.
\
-16
-12
1
4
8 . 12
16 20
24
28
I I | И^* «■ »■ ■ И Ч » »*! | І І | І І 0 0 0 0 0 1 I | І I | | » « » » *Ч
-8
-4
т
-4 ..
Рис. 3 .2 9 . ДПФ прямоугольной функции, центр которой приходится на п = 0: (а) ис­
ходная последовательность х(п)\ (Ь) Хгеа/(т ); (с) X.
(т)\ (с1) модуль
ітад
Х(т); (е) фазовый угол Х(т) в радианах
тоЛ1
1 т х(п)
(а)
0.5
о
I
1111 1111111111111111 1 11 111111
-28
зо |Х(т)|
-24
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
і
і
і
і
20
24
28
32
31
25 ..
(Ь)
20
..
15 ..
10 ..
5 ..
0і
| | , . - | , , , | , . . | , , 1,Т.Т|Т,Т|Т . I | I .Т,Т,Т|Т,Т| 1.1,.
-28 -24 -20 -16 -12
-8
-4
0
4
8
12
16
|
20
|
24
.
28
т
Рис. 3 .3 0 . ДПФ симметричной прямоугольной функции, содержащей 31 единич­
ный отсчет: (а) исходная последовательностьх(п); (Ь) модульХ(т)
24
3.13. ДПФ прямоугольных функций
115
,
3.13.3. ДПФ прямоугольной функции все отсчеты которой
равны 1
Как и раньше, мы вычисляем ДПФ частного случая последовательности х(п),
в результате чего приходим к еще одной упрощенной форме выражения (3-43). В
литературе мы часто встречаем прямоугольную функцию, для которой К = ЛГ; т. е.
N отсчетов х(п) отличны от нуля, как показано на рисунке 3.31. В этом случае па­
кет из N единичных отсчетов начинается'при п = - п 0 = - ( N - 0 / 2 . Мы получим
выражение для ДПФ функции, показанной на рисунке 3.31, подставив К = ]Уип0
= ( N - 0 / 2 в (3-43), что дает
Х (т ) = еК2хт/Щ{Ь!-1)/2-ф-1)/2\ .
• [Бт(лтМ/М)/8т(лт/М)] =
= е }(2 лт/М )(0) • [$т(лгп)/$\х\(лт/Щ] , или
Форма ядра Дирихле
для функции, все
отсчеты которой
равны 1 (Тип 1):
= ф п(я т ) / 81п(я т / дг)]
< --------------------------------------
1
H
I M
M
4
-n0 = -(N - 1)/2
M
M
X
M
I I H
(3.48)
K = N ---------------------------------- — > -
I I I I I I M
X
M
X
I I M
I I K
M
M
M
I M
о
x{n)
I
I
n
{N- 1)/2
Рис. 3 .3 1 . Прямоугольная функция, содержащая N единичных отсчетов
Формула (3-48) соответствует одной из форм выражения (3-34), которую мы
упоминали в начале раздела 3.131. Рисунок 3.32 показывает смысл выражения
(3-48). Модуль ДПФ последовательности х(п), состоящей из единичных отсче­
тов и показанной на рисунке 3.32 (а), показан на рисунках 3.32 (Ь) и 3.32 (с). Об­
ратите внимание на то, что если бы переменная т была непрерывной, (3-48)
описывало бы графики, нарисованные серыми линиями на рисунках 3.32 (Ь) и
3.32 (с). Если же т может принимать только целые значения, то (3-48) описывает
точки на этих рисунках.
Ядро Дирихле Х(т) на рисунке 3.32 (Ь) теперь имеет наименьшую возможную
ширину. Первый ноль на положительной оси частот возникает на отсчете т =
64/64 = 1 на рисунке 3.32 (Ь), а пиковое значение \Х(т) \ = N= 64. Когда все отсче­
ты х(п) равны 1, \Х(т) \=0 для всех значений т * 0. Функция sine в (3-48) имеет
важнейшее значение, как мы увидим в конце этой главы, она определяет общую
частотную характеристику ДПФ при подаче на его вход синусоидальной после­
довательности, кроме того, она представляет собой АЧХ одного бина.
Кстати, название «Ядро Дирихле типа 1» для (3-48) не является общепринятым. Мы
использовали слова «типа 1» просто для того, чтобы отличать (3-48) от других матема­
тических выражений, с которыми мы вскоре встретимся.
116
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Форма (3-48) позволяет нам продвинуться на один шаг вперед и определить вы­
ражение для содержащей только единичные отсчеты ДПФ последовательности,
которая наиболее часто встречается в литературе. Чтобы сделать это, нам необхо­
димо использовать принцип аппроксимации, применяемый в тригонометрии, о
котором, возможно, вы уже слышали раньше. Согласно этому принципу при ма­
лых а значение 8т ( а ) примерно равно а, т. е. 8т ( а ) ~ а. Это соотношение прихо­
дит на помощь, когда мы рассматриваем круговой сектор радиуса 1 , показанный
на рисунке 3.33 (а). Этот сектор определяется длиной дуги а, измеренной в радиа­
нах, и ее хордой Ь. Если мы начертим внутри сектора прямоугольный треуголь­
ник, то мы можем сказать, что а = 8т ( а ) . При уменьшении а длинные стороны
нашего треугольника становятся почти параллельными, длина хорды Ь приближа­
ется к длине дуги а, а длина отрезка а приближается к длине Ь. Итак, как показано
на рисунке 3.33 (Ь), при малом а « Ь ~ а ?= 8т(сс). Мы используем приближенное
равенство 8т ( а ) ~ а, рассматривая знаменатель выражения (3-48). Когда значение
ят/А^мало, Бт(лт/Ы) примерно равен лт/Ы. Следовательно, при больших N мы
можем утверждать, что
Форма ядра Дирихле
Х(т) * $\п(лт)/(лт/Ы) = N • Бт (лт )/(лт )'
(3-49)
\
\
/
\ / / \ / \
/
для функции, все
отсчеты которой
равны 1 (Тип 2):
х(п)
1
(а )
0 ,5 - .:
0.
Н И
I I I I I Ц »Н I I Н і I I I I I I I I I I
-28
70 Т
60
50
40 ..
-24
-20
-16
-12
-8
-4
і І І І >І
0
І II І
4
\Х(т)\
І І І I I І І І І І І Й - Н Н 14 -І И
12
16
» »
20 24 28 32п
64
Іі
ЗО..
(Ь) 20
..
10 ..
рГФІ І
0
-28
-24
-20
-16
-12
-8
8
-4
70
60
50 ..
40 . .
(С)
»І
8
12
16
20
24
28
т
64
ЗО..
20
..
10 . .
0
Ч,,!'
■
-5
-З
-2
-1
1
І
4
т
Рис. 3 .3 2 . Функция, все отсчеты которой равны 1: (а) прямоугольная функция с N =
64 единичными отсчетами; (Ь) модуль ДПФ функции, состоящей только
из единичных отсчетов; (с) укрупненный вид модуля ДПФ функции, со­
стоящей только из единичных отсчетов
3 . 13. ДПФ прямоугольных функций
117
(а)
Рис. 3 .3 3 . Соотношение угла а, длины отрезка а = зт(а) и хорды Ь: (а) при большом
угле а\ (Ь) при малом угле а
Было показано, что если в (3-48) N превышает, скажем, 10, (3-49) достаточно
точно описывает значения отсчетов Д П Ф 1. (3-49) часто нормализуют, разделив
на И, так что мы можем выразить нормализованное ДПФ прямоугольной функ­
ции, содержащей только единичные отсчеты, в виде
Форма ядра Дирихле
для функЦии, все отсчеты
которой равны 1 (Тип 3):
Х(т) = Бт(л:т)/лт
(3-50)
Соотношение (3-50), принимая вторую форму (3-34), которая часто встреча­
ется в литературе, также дает модуль ДПФ, показанный на рисунках 3.32 (Ь) и (с).
3 .1 3 .4 . Частотная и временная оси, связанные
с прямоугольными функциями
Определим физические размерности, связанные со значениями индексов п и
т. До сих пор в наших рассуждениях индекс п был просто целым числом, позволя­
ющим нам различать отдельные отсчеты последовательности^«). Если индекс п
представляет моменты времени, мы можем задать интервал времени, разделяю­
щий соседние отсчеты х(п), чтобы определить масштаб оси времени для х(п ) и
масштаб частотной оси для Х(т). Рассмотрим прямоугольную функцию во вре­
менной области, показанную на рисунке 3.34 (а). Эта функция содержит N отсче­
тов, полученных с интервалом секунд, при этом полный интервал накопления
составляет М 5 секунд. Отсчет х(п ) для некоторого значения п берется в момент
времени
секунд. Например, значение отсчета с индексом п = 9, х(9) = 0, появ­
ляется в момент времени 9ts секунд.
Мы можем принять этот результат со спокойной душой, потому что, если положить
К=ЛГ, мы увидим, что пиковое значение Х(т) в (3-49) при т = 0 получается равным И,
что согласуется с выражением (3-44).
118
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
л//с
(а)
х (п )
т/■\*
/ \Щ
Ж
Значение Х(ш)
/
\
т
.
*
х(9)
время = 9Ґ секунд
> <
ш
/
!
5
1/(М5) - у N
-> <
"»-И"'ч4~*"+/ I Ч | I И
/3/Л/ Гц
(Ь)
(ш5 /Л/)
^ гц
(2л/д = (о5 радиан/с)
[со = 2л радиан]
-^ /2 Гц
( - СОд 12 ~ *
[-71]
[ш //V]
4 12 Гц
(со5 /2 —
|
т =7
[я]
частота = 7 /д/Л/ Гц
(частота = 7ы3 /Л/ радиан/с)
[нормированный угол = 7ю /Л/ радиан]
Рис. 3 .3 4 . Размерности временной и частотной осей ДПФ: (а) временная ось использу­
ет индекс времени л; (Ь) различные представления частотной оси ДПФ
Частотная ось Х(т) может быть представлена несколькими разными способа­
ми. Три популярных способа маркировки частотной оси ДПФ показаны на ри­
сунке 3.34 (Ь) и перечислены в таблице 3.1. Рассмотрим каждое представление в
отдельности.
Таблица 3 .1 . Характеристики различных представлений
частотной оси ДПФ
Представление Частотная Разрешающая
частотной оси переменная способность
Х(ш)
ДПФ
Частота в Гц
Частота в
радианах
Период
повторения
Х (т )
т ^ /Л /
ум
и
171(05 /Ы ИЛИ
(о8 /Л/ или
(о5 или 2л13
2лтґ3 /Л/
2л Г8 /Л/
Диапазон
изменения
частоты
/2 до
*3 &
от -о)5 /2 до
ш3/2 или от
от
—ТГ/д ДО л1 д
Нормированный
угол в радианах
2лтт}/Л/
2л/И
2л
от - л до л
3.13.4.1. Частотная ось ДПФ в Герцах (Гц)
Если мы хотим связать Х(лг) с периодом дискретизации по времени или с
частотой / 5 = 1/ts, то частота будет принимать значения т/Ш 8 = т / 5 /Л^. Таким
3.13. ДПФ прямоугольных функций
119
образом, каждый отсчетХ(т) соответствует частоте т/3 /МГц. В этом случае раз­
решение по частоте составляет / 3 /ЛГ. Период повторения ДПФ равен / 5 Гц, как
показано на рисунке 3.34 (Ь). Если мы в (3-47) подставим частоту т/3/Ы вместо
т/Ы, мы получим выражение для ДПФ симметричной прямоугольной функции
при К < М, в котором частоты выражены через частоту дискретизации / 3в Гц. Это
выражение имеет вид
Х (т /$) = [в т (лтК/3/Щ /ъ т (пт /5/ Щ .
(3-51)
Для прямоугольной функции при К = N нормированная по амплитуде аппрок­
симация функции 8т ( х ) / г в (3-50) может быть выражена через частоту дискрети­
зации / 3 в Гц как
Х (т /5) = [$т(лт/3)/5т(лт/ 3) ] .
(3-52)
3.13.4.2 Частотная ось ДПФ в радианах в секунду
Мы можем измерять частоту отсчетов спектра Х(т ) в радианах/с, выразив час­
тоту дискретизации во временной области в радианах/с как со3=2л/3. В этом случае
каждому отсчету Х(т) соответствует круговая частота со3//V = 2лт/3/ N радиан/с.
При этом разрешение по частоте составляет со3 /ЛГ = 2 л /3/ЛГрадиан/с, а период
повторения ДПФ равен со3 = 2 л f3 радиан/с, как показано на рисунке 3.34 (Ь) в
скобках. Поскольку со3 = 2 л /3, л / 5 = со3/2. Если мы подставим в (3-51 )со3/2 вместо
л / 3, мы получим выражение для ДПФ симметричной прямоугольной функции
при К < Л^как функцию частоты дискретизации со3 в радианах/с:
Х(тсо8) = 8т (лтКсо3 /2Щ/^т{лтсо3 /21\Г) .
(3-53)
Для прямоугольной функции при К = N нормированная по амплитуде аппрок­
симация 8т (д :)/г в (3-50) может быть выражена как функция частоты дискрети­
зации со3 в радиан/с как
Х(тсо5) = 2^т(то)3 /2)/тсо3.
(3-54)
3.13.4.3 Частотная ось ДПФ при использовании
нормированной угловой переменной
Многие авторы упрощают запись выражений, используя нормированную пе­
ременную для круговой частоты со3 = 2 л /3. Под нормированием мы понимаем то,
что частота дискретизации / 5 полагается равной 1 , вследствие чего нормирован­
ная круговая частота со3 принимает значение 2л. Следовательно, частотная ось
Х(ш) теперь размечена значениями нормированного угла со, и каждому отсчету Х(т)
соответствует угол гто/Ы радиан. При использовании этого соглашения разрешение
по частоте равно со/М радиан, а период повторения ДПФ составляет со = 2л радиан,
как показывает выражение в квадратных скобках на рисунке 3.34 (Ь).
К сожалению, использование этих трех представлений частотной оси ДПФ
иногда ставит новичков в тупик. При изучении литературы читатель может пере­
водить одно представление в другое с помощью рисунка 3.34 и таблицы 3.1.
120
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
3 .1 3 .5 . Альтернативная форма ДПФ прямоугольной
функции, состоящей из одних единиц.
Использование нормированной формы частотной оси, показанной в послед­
ней строке таблицы 3.1, приводит к другой часто используемой форме ДПФ пря­
моугольной функции, все отсчеты которой равны 1, показанной на рисунке 3.31.
Если мы примем дискретную переменную в частотной области в форме о)т =
2ят/К, то яти = Мсот /2. Подставляя Мсот/2 вместо пт в (3-48), мы получаем
Форма ядра Дирихле
для прямоугольной
функции, все отсчеты
которой равны 1
(Тип 4):
Х(та>3) = 8ш(Муот /2)/$\.п((от /2 )
(3-55)
Выражение (3-55), соответствующее третьей форме выражения (3-34), иногда
встречается в литературе и также имеет модуль, изображенный на рисунках 3.32 (Ь)
и 3.32 (с).
Мы рассмотрели такч много разных форм ДПФ различных прямоугольных
функций, что здесь уместно свести их все в одну общую таблицу 3.2.
3 .1 3 .6 . Обратное ДПФ обобщенной прямоугольной
функции
Теперь подумаем о вычислении обратного ДПФ прямоугольной функции в
частотной области. Имея прямоугольную функцию Х(т), найдем соответствую­
щую функцию во временной области х(п). Мы можем определить обобщенную
форму прямоугольной функции в частотной области так, как мы это делали на ри­
сунке 3.24, получив результат, показанный на рисунке 3.35.
>< ....... к
1. . . . . . . . . . . . .
К
-Л//2+1
А
Х(т)
т
О
т = -т0+ (К-1)
т = - т0
N12
Рис. 3 .3 5 . Обобщенная прямоугольная функция в частотной области длительность
в К отсчетов на интервале в N отсчетов при К< N
Обратное ДПФ прямоугольной функции Х(т), показанной на рисунке 3.35
имеет вид
N/2
х(п ) = ( 1/Щ 2 Х (т ) е)2лтп/м .
(3-56)
т = ~ (^Ы /2 )+ 1
Те же алгебраические преобразования, которые мы использовали в (3-43),
можно применить к (3-56), что приводит нас к
х (п ) = е -№лп/Ы)[т0-(,к-1)/2]
• [$т (2лпК/ Щ / $т(лп/
( 3 -5 7 )
3.13. ДПФ прямоугольных функций
121
для обратного ДПФ прямоугольной функции, показанной на рисунке 3.35. Все,
что мы говорили о (3-43), в равной степени применимо и к (3-57), за исключением
масштабирующего множителя 1/М и изменения знака показателя экспоненты.
Воспользуемся уравнением (3-57), чтобы вычислить 64-точечное обратное ДПФ
прямоугольной функции, содержащей 64 отсчета, которая показана на рисунке
3.36 (а). Обратное ДПФ последовательности, показанной на рисунке 3.36 (а),
дает нам последовательность х(п), действительная и мнимая части которой, хгея/
( п ) и х 1таё(п), показаны на рисунках 3.36 (Ь) и 3.36 (с) соответственно. Положив в
этом примере N = 64 и К = 11, мы получили возможность легко сравнить функ­
ции, полученные в результате обратного ДПФ и показанные на рисунке 3.36, с
функциями, полученными в результате прямого ДПФ и показанными на рисунке
3.26. Замечаете подобие действительных частей, Х геа[ (т) и х геа[(п), на рисунках
3.26 (Ь) и 3.36 (Ь)? Обратите также внимание на противоположность знаков мни­
мых частей на рисунках 3.26 (с) и 3.36 (с).
я я ця я
1 т Х(т)
0.5
;(
(а)
0 ■
| | и | | ч | | ія.яя.яя
-28
-24
-20 -16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
24
28
32 т
0.2 т
0.172
х геа! (п )
*:I
-8
чЯ і ^
-0.05 1
0.03
111
-20 -16
-12
-4
-16
.
-4
ч 111 и ;++++*:”
0
4
"*■
12
16
■*¥***
20
хітад(л)
0.02
0.01 ■■ -28
-24 *
0
8
-
0.01
-
0.02
» , .■
■■■
-20
■
жі
«
-8
4
!I
п
20
0 і **ж-И-н4*-н+ИИ4н-н 1 1 1 1 1 і*і Iи і - 1 1 1 1 <»і <»и'і н і | "н і і < н
(С)
-■
12
16 ■
Ж
24
28
■'ж
1я*
-0.03
Рис. 3 .3 6 . Обратное ДПФ обобщенной прямоугольной функции: (а) исходная функ­
ция Х(/77); (Ь) действительная частьхгеа/(п); (с) мнимая частьхітад (л)
Модуль и аргумент х(п) показаны на рисунках 3.37 (а) и 3.37 (Ь). Обратите вни­
мание на разность пиковых значений главных лепестков на рисунках 3.27 (а) и
3.37 (а). Пиковое значение на рисунке 3.37 (а) равно К/М= 11/64 и л и О. 172. Обра­
тите также внимание на то, что знаки фазовых углов на рисунках 3.27 (Ь) и
3.37 (Ь) противоположны. Графики на рисунках 3.26, 3.27, 3.36 и 3.37 дают хоро­
ший пример фундаментальной дуальности прямого и обратного ДПФ.
Таблица 3 .2 . Д П Ф различных прямоугольных функций
Описание
ДПФ обобщенной прямоугольной функции при /«Л / как функция
целого индекса т
ДПФ симметричной прямоугольной функции при КСЛ/ как функция
целого индекса т
ДПФ прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1, как
функция целого индекса т (ядро Дирихле типа 1)
ДПФ прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1, как
функция целого индекса т (ядро Дирихле типа 2)
Нормированное по амплитуде ДПФ прямоугольной функции, все
отсчеты которой равны 1 , как функция целого индекса т (ядро
Дирихле типа 3)
ДПФ симметричной прямоугольной функции при /«Л/,
выраженное через частоту дискретизации в Гц
Нормированное по амплитуде ДПФ прямоугольной функции, все
отсчеты которой равны 1 , выраженное через частоту
дискретизации ^ в Гц
ДПФ симметричной прямоугольной функции при КСЛ/, выраженное
через круговую частоту дискретизации а>5 в радианах/с
Нормированное по амплитуде ДПФ прямоугольной функции, все
отсчеты которой равны 1 , выраженное через круговую частоту
дискретизации а>5 в радианах/с
ДПФ прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1,
выраженное через нормированную дискретную частотную
переменную сот (ядро Дирихле типа 4)
Выражение
Х (т ) = [5т(лтК/М )/Бт(лт//V)] *
. е ) ( 2 л т / к ) ( п 0 -( <К - 1 ' ) / 2 )
(3-46)
Х(т) = 8\п(лтК/М )/^т(лт/М )
(3-47)
Х(т ) = $т (лт)/$т (лт /М )
(3-48)
Х(т ) ~ N • $\п{лт )/(лт )
(3-49)
Х(т ) ~ $\п(лт )/(лт )
(3-50)
Х(т/ ) = $\п(лт К/ /Щ /$ т (л т / /К )
5
5*
(3-51)
^(™ /5) ~ ?> Щ лт /)/(лт / )
(3-52)
5
Х(та)ь) = Бт(тш3 К /2й)/ът (т а)5/2Ы)
(3-53)
' Х(та)5) ~ 2Бт(тсо5 /2)/(т (о5)
(3-54)
Х(ы) = Бт(Ма)т /2)/ъ\п(о)т /2 )
(3. 55)
3.13. ДПФ прямоугольных функций
02
123
- |Х(Л)|
0.172
О 15 ••
0.1
■■
(а)
005 Т
I
.
-28
-24
-20
****
-16 -12
'
- 8 - 4
0
4
8
12
16
20
24
28
п
3Т *?№
2 -1 ■■ -28
0■■•^1 I
(Ь)
-1
■■
-2
■■
.3
1
•*
-4
? ■-Ъо" 1-16
I I I
||п 1 ф I
I
I
И
I ft
И
I 11
I
161
О
20
28
| \ l I I I >РII I I 1\н 1-н у1-н 1»■»М
I
I
**■
■
Рис. 3 .3 7 . Обратное ДПФ обобщенной прямоугольной функции: (а) модуль |х(п)|;
(Ь) фазах(п) в радианах
3 .1 3 .7 . Обратное ДПФ симметричной прямоугольной
функции
Обратное ДПФ обобщенной прямоугольной функции, приведенной на рисун­
ке 3.36, не часто встречается в цифровой обработке сигналов. Но при обсуждении
вопросов, связанных с цифровыми фильтрами, мы будем иметь дело с обратным
ДПФ симметричных прямоугольных функций. С обратным ДПФ такой функции
мы сталкиваемся при изучении проектирования цифровых КИХ-фильтров ниж­
них частот методом окон. Расчет фильтра этим методом начинается с определе­
ния симметричной функции Н(т ) в частотной области, такой же, как на рисунке
3.38. Затем для вычисления коэффициентов КИХ Ф Н Ч вычисляется обратное
ДПФ этой последовательности. (Коэффициенты КИХ-фильтра во временной об­
ласти обычно обозначаются как h(ri) вместо х(п), так что в оставшейся части кни­
ги, посвященной обратному ДПФ, мы будем использовать обозначение h(n).)
В случае функции Н(т) в частотной области, имеющей вид, приведенный на
рисунке 3.38, пакет из К отсчетов, равных единице, начинается при т = -т 0 =
- (К -1 ) /2 . Подставляя (К -1 ) /2 вместо т0 в (3-57) получаем
h(n) = е№лп/ м)[(К-1)/2-(К-1)/2] *(1/N) •[sin( 7inK /N )/sin(jm /N )]
= e j(2nn/N)(0) •(•//JV) • [sm (jznK /N)/sin(jzn/N)].
к
1
l
- N12 + 1
Ä
т = - т 0 = -(К -1 )/2
(3-58)
H(m)
0
т
т =(К-1)/2
N12
Рис. 3 .3 8 . Прямоугольная функция в частотной области шириной К отсчетов, опре­
деленная на N отсчетах
124
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
1Т
(а)
Н (т )
°1
[m |1 II I и ........................................ _
-28
-24
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
24
28
32т
0 2 T h real (° )
0.172
0.15-•
0.1
(Ь>
■■
0 ,0 5 ..
0
11 і , і 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . й
* '
-0 .0 5 І
0.4
-16
-12
■ « , * -4
0
i
4
12
26 28 3<T n
16
T ^imag(n )
0.3
(c )
0 .2- ■
0 . 1- ■
0
-28
-24
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
24
28
20
24
28
0 2 T |Л(л)І
0.172
0.15..
0 . 1- ■
(d )
0 .0 5 ..
0 4^*|н*Т«н]їТ1| >H |?l I I I? Ц I II 11 II І ІГ<| II*** I I
I
-28
-24
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
4т М л)
3 -.
2-! . . -28
(e)
0 ЧЧ
-24
-20
-16
-12
-8
16
\
I
\
n
я.шяяяш
-4
/ і І І І І і\ ■»■. l+if¥h}\e0 ■■J ІІ ►
++Ч4++
4
ї■
-Зї ■■
12
яяяяяя
0 ■
' + + *«J м п +
+ -Н* + ч■ і I
* + + 4 + *Щ« *» • .w* і . •Ж
Н -Й
-2
8
8
12
16
20
24
28
I
-41
Рис. 3.3 9 . Обратное ДПФ прямоугольной функции, центр которой находится в точ­
ке т = 0: (а) исходная функция Н(т)\ (b) hreaj (л); (с) hjmag (л); (d) модуль
h(n): (е) фаза h(n) в радианах
И, т. к.
= 1, (3-58) превращается в
h(n) = ( 1/N) *[sm(nnK/N)/sin(7in/N)].
(3-59)
Выражение (3-59) говорит нам, что обратное ДПФ симметричной прямоуго­
льной функции, показанной на рисунке 3.38, тоже является действительной фун­
кцией, и это мы можем показать на примере. Мы выполним 64-точечное обратное
ДПФ последовательности, показанной на рисунке 3.39 (а). Здесь функция Н(т)
представляет собой 11 отсчетов, равных единице и центрированных относитель­
но индекса т = 0. В этом случае обратное ДПФ дает последовательность h(n), дей­
ствительная и мнимая части которой приведены на рисунках 3.39 (Ь) и 3.39 (с)
3.14. Частотный отклик ДПФ на комплексный входной сигнал
125
соответственно. Как и предсказывает (3-47), hreai (п) отлична от нуля, а himaJ n )
равна нулю. Модуль и фаза последовательности h(n) показаны на рисунках 3.39’(d)
и 3.39 (е). (Здесь мы тоже сделали функции на рисунке 3.39 более удобными для
сравнения с прямым ДПФ на рисунке 3.29.) На самом деле нам нужна действите­
льная часть h(n). Значения hreai(n ) используются как коэффициенты фильтра при
проектировании КИХ-фильтров нижних частот, которые мы будем рассматри­
вать в разделе 5.3.
3.14. Частотный отклик ДПФ
на комплексный входной сигнал
В этом разделе мы определим частотный отклик iV-точечного ДПФ, когда вход­
ная последовательность представляет собой дискретную комплексную синусоиду,
обозначенную как х с( п ) . Под частотным откликом мы имеем ввиду выходные от­
счеты ДПФ при преобразовании комплексной синусоидальной последователь­
ности. Мы начнем с графика входной последовательности х с( п ) , приведенного на
рисунке 3.40. Эта последовательность имеет форму
x c(n) = e]2™k/ N,
(3-60)
где k — количество полных циклов на интервале в N отсчетов. На рисунке 3.40 по­
казана хс(п) для случая k = 2. Если мы обозначим выходную последовательность
Д П Ф как Х с( гп) и подставим наш сигнал х с( п ) в формулу Д П Ф (3-2), то получим
N-1
N-1
Х с(т) = 2 Xc( n ) e -i2n nm /N = 2 eJ2jTrlk/ N е -)2nnm/N
n=0
n=0
N-1
= 2 ßj2nn(k-m)/N
n^O
(3-61)
Если мы положим N = К, n = pw q = -2 n (k -m )/N , выражение (3-61) превраща­
ется в
К-1
Х с(т) = Ц е -Jpg .
(3-62)
р=0
Почему мы сделали подстановки в (3-61) с целью получить (3-62)? Потому,
что мы уже работали с выражением (3-62), когда оно имело номер (3-39). Резуль­
тат в замкнутой форме был представлен выражением (3-41), которое мы повторя­
ем здесь в виде
К-1
Х с(т) = 2
е -jpg = е jg(K 1)/2 •sin(qK /2)/sin(q/2).
(3-63)
р=0
Возвращая переменные из (3-61), мы получаем окончательный результат:
Ш(Т1
„
ДПФ комплексной
синусоиды:
Хг(т) = еЛ*(*-от)-я(*-т)/М] .
'
•ы п\лф -т )\/ьт \ж (к-m )/N \
(3-64)
'
126
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
^ Действительная часть хс(п)
Щ
(а)
О
*
■
ш
я
И # I I I--- ►
+-Н-*-НН I I ) 1Я П И И » 11
■
щ
-1
■
■
■щ*
... Время (л)
ЛИ
^ Мнимая часть хс(п)
1
Время (л)
Рис. 3 .4 0 . Комплексная последовательность хс(п) = е!2Рпк/М во временной облас­
ти, имеющая два полных периода (к = 2) на интервале в N отсчетов:
(а) действительная часть*с(л); (Ь) мнимая часть хс(п)
Как и ядро Дирихле в (3-43), Х с(лг) в (3-64) представляет собой комплексное
выражение, в котором отношение синусов есть амплитуда Хс(т), а экспоненциаль­
ный сомножитель дает фазовый угол Х с(т). В данный момент в (3-64) нас интере­
сует только отношение синусов. Его модуль показан на рисунке 3.41. Заметьте, что,
т. к. хс(п) является комплексным, в Х с(т) отсутствуют компоненты с отрицатель­
ными частотами. Сосредоточимся на серой кривой на рисунке 3.41. Эта кривая
представляет собой непрерывное преобразование Фурье комплексной последова­
тельности .г; (п) и может рассматриваться как непрерывный спектр последователь­
ности .гД/г)1. Под непрерывным спектром мы понимаем спектр, который определен
для всех значений частоты, а не только для частот анализа М-точечного ДПФ,
кратных / 5 /Ы. Форма этого спектра с главным и боковыми лепестками является
прямым и неизбежным следствием анализа последовательности ограниченной
длительности, подобной последовательности хс(п) на рисунке 3.40.
Мы можем получить этот непрерывный спектр аналитически, взяв непрерывное
преобразование Фурье нашей дискретной последовательности хс(п), которое неко­
торые авторы называют дискретно-временным преобразованием Фурье (ДВПФ),
но мы не можем практически вычислить непрерывный спектр на компьютере.
Поэтому ДВПФ определено только для бесконечно длинных последовательно­
стей, а его частотная переменная непрерывна при бесконечно малом разрешении
по частоте. Но мы можем, однако, использовать ДПФ для вычисления аппрокси­
мации непрерывного спектра последовательностих с(п). Результатом ДПФ, пред­
ставленным точками на рисунке 3.41, является дискретизированная версия
непрерывного спектра. Мы могли бы брать отсчеты непрерывного спектра более
Точно так же, как мы вычислили пиковое значение ядра Дирихле в (3-44) с помощью
правила Лоииталя, мы можем показать, что пиковое значение Хс(т) вида (3-64) равно
3 . 14. Частотный отклик ДПФ на комплексный входной сигнал
127
часто, т. е. получать более точную аппроксимацию, дополнив исходную последо­
вательность хс(п) нулями и вычисляя ДПФ большей длины. Мы проделывали
это на рисунке 3.21.
Рисунок 3.41 показывает, почему, когда частота входной последовательности
точно совпадает с центром бина т = к, выходные отсчеты ДПФ равны нулю для
всех бинов за исключением бина т = к. Если бы частота нашей входной последо­
вательности была такой, что на том же интервале умещалось бы к+0.25 периодов,
ДПФ дискретизировало бы непрерывный спектр так, как показано на рисунке
3.42, где все выходные отсчеты ДПФ отличны от 0. Это иллюстрация утечки спек­
тра, описанной в разделе 3.8.
Эта кривая представляет
непрерывное преобразование
і |Хс ( т ) |Д П Ф
характеристика
Фурье от х(п) = в 12ппк/ы
ж'--- Ж— ж— ж— ж-
- К - ...............
1 к -4 1 к-2
1
к- 5 К 4 к- 3 ^ к-1
к к+1 к+2 к+3 к+Л /сіб
Рис. 3 .4 1 . Модуль реакции ДПФ на комплексную синусоиду, имеющую /(полных пе­
риодов на интервале в N отсчетов, вида хс{п) =
|Хс ( т ) | ДПФ
характеристика
N
■у
-
к
|
ж
%/ ж
І
'У
I
г
/с-5 к' 4 к-3 к' 2 /с-1
II
-V «У •ч,-'"' ■ чч
I
|
»
г IV
к \ к+: к+2 /с+3 к+А к+5
т
/с+0.25
Рис. 3 .42. Модуль Л/-точечного ДПФ комплексной синусоиды, имеющей к+0.25 пе­
риодов на N отсчетах последовательности хс(п), демонстрирующий
утечку спектра
Аналогично тому, как для ДПФ прямоугольных функций мы построили не­
сколько выражений, собранных в таблице 3.2, можно выразить амплитуду отсче­
тов ДПФ комплексной синусоиды разными способами и получить таблицу 3.3.
Здесь вдумчивый читатель может заметить, что реакция ДПФ на комплекс­
ную синусоиду, имеющую к периодов на интервале накопления, на рисунке 3.41
выглядит подозрительно похожей на реакцию ДПФ на прямоугольную функ­
цию, все отсчеты которой равны единице, приведенную на рисунке 3.32 (с). При­
чина, по которой формы этих двух кривых на рисунках так похожи, состоит в том,
что эти кривые одинаковы. Если бы наша входная последовательность была комп­
лексной синусоидой, имеющей к = 0 периодов, т. е. представляла бы собой последо­
вательность одинаковых отсчетов, то отношение синусов в (3-64) было бы равно
Таблица 3 .3 . Различные формы реакции ДПФ на комплексную синусоиду, имеющую к периодов
на интервале накопления
Выражение
Описание
Амплитудная характеристика ДПФ комплексной
последовательности в терминах целого частотного
индекса т [из (3-64)]
Х с(т) = Бт[л(1г-т)]/$т[л(1г-т)/М\
Альтернативная форма амплитудной характеристики
ДПФ комплексной последовательности в терминах
целого частотного индекса т [на основе (3-49)]
Нормированная амплитудная характеристика ДПФ
комплексной последовательности в терминах целого
частотного индекса т
_ . ,
ч1/г ✓»_
л с\ т) ~ 8Ш[ щ к - т ) \ / [ л ( / г - т ) \
Амплитудная характеристика ДПФ комплексной
последовательности в терминах частоты дискретизации
^вГц
Нормированная амплитудная характеристика ДПФґ \ ~
комплексной последовательности в терминах частоты
дискретизации ^ в Гц
Нормированная амплитудная характеристика ДПФ
комплексной последовательности в терминах круговой
частоты дискретизации со5
. г /и
Ч1 /г
Ч1
[л(к-т)]/[л(к-т)]
Х с(™>«
ґ \ ~ \ т ш \ (Ъ
(І
л с(ш /5) — ІУ 8іп[я( -тп)/3\ / [ л (
• \ (Ъ
\ f \ z \ (Ъ
~
'»/'1
0 . г ,
ч
/щ /г/*.
ч і
Х с(та)5) ~ 2$,т[(к-т) й>5 / 2 ] / [ ( я - т ) о>5]
(3-65)
(3_66)
(3-67)
( 3 - 68)
(3-69)
(3-70)
3.15. Реакция ДПФ на действительный косинусоидальный сигнал
129
sin[n(0-m )]/sin[n(0-m )/N ] = sin(nm )/[-sin(nm /N )] =
= s\n(jtm )/[s\n(nm /N )]
что идентично форме ядра Дирихле для последовательности, состоящей из одних
единиц, в (3-48). Форма отклика ДПФ Х с(ш) представляет собой функцию sine
ядра Дирихле.
3.15. Реакция ДПФ на действительный
косинусоидальный сигнал
Теперь, когда мы знаем, как выглядит ДПФ комплексной синусоидальной после­
довательности, легко определить ДПФ действительной косинусоидальной после­
довательности. Допустим, мы хотим получить ДПФ действительной дискретной
косинусоиды, подобной показанной на рисунке 3.40 (а) и выражаемой в виде
x r(n)
= cos(2nnk/N ),
(3-71)
где k — целое количество полных периодов, умещающихся в N отсчетах. Вспом­
нив тождество Эйлера cos(^) = (е $ + е~ $ )/2 , мы можем представить требуемое
ДПФ Х Т(т ) как
N-1
N-1
Х г(т ) =
х 1(п)е~ ^лпт/ ^ = ^ cos(2nnk/N )e~j2jinm/N =
n=0
n=0
N-1
=
(ej2nnk/N + e-j2nnk/NуJ2 • Q-j2nnm/N =
N-1
N-1
= (1/2) 2 ej2jin(k- m)/N + (1/2) 2 e -}2nn(k+m)/N'
n=0
n=0
(3-72)
К счастью, мы только что закончили вывод замкнутой формулы для суммы
вида (3-72), так что мы можем записать Х г(т) в замкнутом виде
Действительной
Х Т(т) = eJ[^(k-m)-n(k-m)/N] .
•(1/2)sin[jt(k-m )]/sm [n(k-m )/N ] +
+ еЛл(к+т)_л(к+т)/М] .
косинусоиды
.(У/2) sin^(£+m)] /sin [n(k+ m )/N \.
д Пф
(3-73)
Модули двух отношений синусов показаны в виде функций sine на рисун­
ке 3.43. Здесь, как и раньше, ДПФ дает дискретизированную версию непрерывно­
го спектра входной косинусоиды, и т. к. k = т, только-один бин ДПФ отличен от
нуля. Поскольку входная последовательность ДПФ действительна, Х Т(т) содер­
жит компоненты как на положительных, так и на отрицательных частотах. Первое
слагаемое в (3-73) описывает часть спектра, соответствующую положительной
частоте на рисунке 3.43, а второе слагаемое описывает компоненты Х Т(т), соот­
ветствующие отрицательным частотам.
130
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Если изменить частоту анализируемого косинусоидального сигнала так, что
она не будет соответствовать центру £-го бина и станет соответствовать, напри­
мер, к+0.25, то мы снова увидим утечку спектра, как показано на рисунке 3.44.
(Мы использовали это представление о ДПФ действительной последовательно­
сти, чтобы показать утечку спектра, в разделе 3.8.) ,
Приведенные в таблице 3.4 различные математические выражения для реак­
ции ДП Ф в области положительных частот на входную действительную коси­
нусоидальную последовательность представляют собой просто выражения из
таблицы 3.3 с дополнительным множителем 1/2.
характеристика
N
Л
2
'і!
2
^
V/
Iи кривая, шинипил
лии Iы
Эта
включая V«
ее часть
/ \ в области отрицательных частот,
\
представляет непрерывное
\
преобразование Фурье от
\^
= сов(2ппк/Ы)
Рис. 3 .4 3 . Модуль Л/-точечного ДПФ действительной косинусоидальной последо­
вательности хг (п) = соБ(2лпк/М), к полных периодов которой укладыва­
ются на интервале в N отсчетов
3.16. Реакция отдельного бина ДПФ
на действительный косинусоидальный
сигнал
Теперь, когда мы разобрались с реакцией М-точечного ДПФ на действитель­
ную косинусоиду, мы завершаем эту главу, рассматривая реакцию отдельного
бина ДПФ. Мы можем рассматривать отдельный бин ДПФ как своего рода поло­
совой фильтр и это полезное представление используется, например, для описа­
ния гребешковых потерь (раздел 3.10), при проектировании банков фильтров в
частотной области, а также при реализации метода частотного мультиплексиро­
вания в телефонии, известного как трансмультиплексирование [15]. Чтобы опре­
делить частотную характеристику отдельного бина, рассмотрим случай, когда на
вход ДПФ подается действительная косинусоидальная последовательность
х т(п), и будем фиксировать модуль единственного бина т = к. Пусть частота вход­
ной косинусоидальной последовательности изменяется от частоты, при которой
на интервале накопления укладывается к<т периодов косинусоиды, до частоты,
при которой на интервале накопления укладывается к>т периодов косинусоиды.
Если мы при этом измеряем значение бина т = к, мы увидим, что его модуль дол­
жен изменяться в соответствии с непрерывным спектром входной косинусоиды,
показанным на рисунке 3.45 серой линией.
Табл ица 3 .4 . Разные формы реакции ДПФ в области положительных частот на входную действительную
косинусоиду, имеющую период, который на интервале накопления укладывается к раз
Описание
Выражение
Реакция ДПФ на действительный входной сигнал в терминах
целого частотного индекса т [из (3-73)]
Х Т(т) = ^\п[л(к-т)]/{2ъ\п[л(к-т)/Щ }
(3-74)
Х Т(т) ~ Л ^ т [л (& -т )]/[2 я (£ -т )]
(3-75)
Х Т(т) ~ бш[л(к-т )]/[2л(к-т )]
(3-76)
Х г(т /$) ~ Ж п [я (& -т )/ 5]/[ 2 я (& -т )/5]
(3-77)
Нормированная реакция ДПФ на действительный входной
сигнал в терминах частоты дискретизации ^ в Гц
Х Т(т /5) ~ 8т [л(к-т )/$]/[2л(к-пг)/5\
(3-78)
Нормированная реакция ДПФ на действительный входной
сигнал в терминах круговой частоты дискретизации а>3
Х Т(та)5) ~ Бт[л(к-т)а)3/2]/[(к-т)со3]
(3-79)
Альтернативная форма реакции ДПФ на действительный
входной сигнал в терминах целого частотного индекса т [из
(3-49)]
Нормированная реакция ДПФ на действительный входной
сигнал в терминах целого частотного индекса т
Реакция ДПФ на действительный входной сигнал в терминах
частоты дискретизации ^ в Гц
132
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
\Xr(m)\ ДПФ
характеристика
N
N
2
■V-
-/с-4
П ҐП
k-З
■ , і . к+2.
; і ; і -к+4
; ■■AV
к
-/с-1 Г -к +1
-к- 0.25
-/(+3
W
я
*
■
■
чч
і !, I 1 і J, і ' ^
к- 4 , „ к - 2, „ /с , > к+2 , „ к +4
/с+1
/с-3
/с-1
к+3
/с+0.25
171
Рис. 3 .4 4 . Модуль /V-точечного ДПФ, демонстрирующий утечку спектра действитель­
ной косинусоиды хДл), которая на Л/ отсчетах имеет к+0.25 периода
На рисунке 3.45 (а) показано значение бина m = k , когда частота входного сиг­
нала х т(п) равна k = m -2.5 периодов на интервал накопления. Повышая частоту
х т(п) до k = т -1 .5 периодов на интервал накопления, мы получаем значение бина
пг= к, показанное на рисунке 3.45 (Ь). Продолжая повышать частоту х т(п), при к =
m мы получаем значение бина m = к, показанное на рисунке 3.45 (с). Изменяя час­
тоту входного сигнала, мы можем заметить, что модуль бина m = k должен изме­
няться по тому же закону, что и непрерывный спектр косинусоидальной
последовательности, показанной на рисунке 3.45(d) черной линией. Это значит,
что частотная характеристики отдельного бина при подаче на вход ДПФ действи­
тельной синусоиды описывается функцией sine, которая определяется выраже­
ниями (3-74) — (3-79).
3.17. Интерпретация ДПФ
Теперь, когда мы кое-что узнали о ДПФ, самое время убедиться в том, что мы
правильно понимаем, что в действительности представляет собой ДПФ, и поста­
раться избежать обычных заблуждений относительно его поведения. В литерату­
ре по ЦОС мы найдем разделы, посвященные непрерывному преобразованию
Фурье,рядам Фурье, дискретно-временному преобразованию Фурье, дискретному
преобразованию Фурье и периодическим, спектрам. Чтобы не запутаться во всех
этих понятиях, требуется приложить определенные усилия, особенно когда вы
читаете или слышите что-то вроде «ДПФ предполагает, что его входная последо­
вательность периодична во времени». (Вы удивляетесь, почему это так, посколь­
ку ничего не стоит вычислить ДПФ апериодической последовательности.) Такое
замечание в лучшем случае сбивает с толку, т. е. ДПФ не требует подобных пред­
положений. Далее я постараюсь изложить свое понимание природы периодично­
сти последовательностей во времени и по частоте.
Рассмотрим непрерывный сигнал бесконечной длительности, содержащий
единственный импульс конечной длительности, показанный на рисунке 3.46 (а).
Модуль непрерывного преобразования Фурье (Н П Ф ) такого сигнала представ­
ляет собой непрерывную функцию частоты Х ^ш ). Если этот импульс можно опи­
сать аналитически (математической формулой), то функцию Х ^ ш ) можно также
найти аналитически, взяв интеграл Фурье. (Весьма вероятно, что вы делали это в
3.17. Интерпретация ДПФ
133
качестве домашней или контрольной работы.) Непрерывная частота со измеряется в
радианах в секунду. Если мы возьмем НПФ бесконечного по длительности сигнала,
представляющего собой периодическую последовательность импульсов, показан­
ную на рисунке 3.46 (Ь), мы получим линейчатый спектр, известный как ряд Ф у­
рье 1 Х 2((о). Линии этого спектра имеют бесконечно малую ширину, а Х 2((о)
хорошо определен в промежутках между этими линиями, т. к. Х 2((о) является не­
прерывной функцией частоты.
Модуль
т - го бина
А
(а)
0
т-4
| т-2
т -3
Модуль
1т-го бина
/\
/ \
:
>
/ Ь
(Ь)
/
/ \
/Л /
0
— г- 1 — 1— 1--------------- ■- —
л | т + 2 | т+4
к
т+1
т+3
|
т-1
V
т -4
\
/*
\/ \
V
|
т -2
т -3
г?
|
| т+2 | т+4
т+1
т+3
т-1
Модуль
1 т-го бина
(С)
' V
т -4
т-3
АЧХ
V
=
V
т -2
V
|
о
\
\А
/
А/
-
V
V
\
/
Эта кривая представляет
непрерывную АЧХ
'
т-го бина ДПФ
действительного сигнала
\
/
1
1
к
А
/
\
/
■
^
|
т-1
(<1)
т-4
‘
т+2 | т+4
т+1
т+3
т
N12
1 отдельного
■ бина
0
к
,*
*
/
0
/~ \
I
| т -2 \
т-3
т-1
(
т
к
|
■
1
1
т+2 | т+4
т+1
т+3
^
Входная
частота к
Рис. 3 .4 5 . Определение модуля т -го бина Л/-точечного ДПФ: (а) действительная по­
следовательность хг(п) имеет к = т-2.5 периодов на анализируемом ин­
тервале; (Ь) действительная последовательность х (л) на анализируемом
интервале имеет к = т-1.5 периодов; (с) действительная последователь­
ность хг(л) на анализируемом интервале имеет/с = т периодов; (с!) частот­
ная характеристика отдельного бина ДПФ т = к
Точнее, спектр представляет собой коэффициенты ряда Фурье —(прим. перев.).
134
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
Непрерывный и апериодический
х,(0
Непрерывный
и апериодический
НПФ
(а)
Время
Частота
Непрерывный и периодический
хМ)
X»
НПФ
(Ь)
г. . Г- -.
Линейчатый спектр
(ряд Фурье)
I I
Время
Частота
Апериодическая дискретная
последовательность бесконечной длины
Непрерывный
и периодический
■■■■■■■■
х(л)
ДВПФ
(с)
Частота
Время
(О
х1(°)
ДПФ.
Дискретный
и периодический
Дискретный и периодический Обратное
■ ■■■■■■■
■■■■■■■■
НПФ—
хЛп)
Хі(ш) ".
*•
НПФ-^
(сі)
Время
*>
-Г
Рис. 3 .4 6 . Сигналы и последовательности во временной области и модули их пре­
образований в частотной области
Рисунок 3.46 (Ь) показывает пример непрерывной периодической функции,
спектр которой содержит ряд дискретных компонентов. Вы можете считать ряд Фу­
рье Х2(о>) дискретизированной версией непрерывного спектра на рисунке 3.46 (а).
Это соотношение между временным и частотным представлением сигнала х 2(Ь) и
Х 2(ш) показывает, что периодической функции в одной области соответствует
дискретная по своейлрироде функция в другой области.
Далее, рассмотрим бесконечную по длительности дискретную последователь­
ность х (и), содержащую несколько ненулевых отсчетов, показанную на рисунке
3.46 (с). Мы можем вычислить НПФ х(п), которое описывает спектр в виде непре­
рывной функции Х3(си). Этот непрерывный спектр называется дискретно-времен­
ным преобразованием Фурье (ДВПФ), которое определено как [см. стр. 48 в 16]
ЦЦ
Х((о) = 2 х(п)еЧа)П .
(3-80)
Я=-оо
Чтобы проиллюстрировать ДВПФ, предположим, что у нас есть последовате­
льность видах 0(я) = (0.75)п при п > 0. Ее ДВПФ имеет вид
П =
-
00
П= - 00
(3-81)
Выражение (3-81) представляет собой геометрическую прогрессию (см. при­
ложение В) сумма которой равна
3 . 17. Интерпретация ДПФ
135
Х 0(о)) = 1/(1-0.75е- > ) = <?>/(<?>-0.75) .
(3-82)
Спектр Х 0(о>) непрерывен и периодичен с периодом 2л, его модуль показан на
рисунке 3.47. Это пример дискретной функции времени, имеющей периодиче­
ский спектр. Для особо любознательного читателя мы можем проверить перио­
дичность ДВПФ, используя целое число &в следующем выражении:
00
00
Х(ю + 2я к ) х ( п ) е ~ К<“ * 2лк)п - 2 х(п)е-’юпе~>ыкп „=-00
„=-00
оо
= ^ х (п )е ^ шп = Х(си)
(3-83)
„=-00
потому что е~)2лкп = 1 для целых значений к.
Х 3(си) на рисунке 3.46 (с) также имеет период 2л, если представить его как
функцию круговой частоты а>5 = 2 л /5, где частота / 5 представляет собой величину,
обратную периоду отсчетов х(п). Непрерывная периодическая функция Х3(оо)
представляет собой то, что мы хотели бы иметь на практике, но мы не можем этого
добиться. Мы используем компьютеры, и как это ни грустно, не можем выпол­
нять анализ непрерывных сигналов из-за дискретной природы самих компьюте­
ров. Любые операции обработки данных выполняются над дискретными
числами, хранящимися в памяти компьютера, и вследствие этого все сигналы во
временной области и все частотные спектры представляют собой дискретные по­
следовательности, полученные в результате дискретизации. Следовательно,
НПФ и обратное НПФ последовательностей, с которыми мы работаем, будут пе­
риодическими.
Рис. 3 .4 7 . Модуль ДВПФ |Х0(<у)|
Преобразования, показанные на рисунках 3.46 (а) — (с) представляют собой
результат математических выкладок на бумаге. В компьютере, использующем ди­
скретные последовательности конечной длины, мы можем только аппроксимиро­
вать НПФ (ДВПФ ) последовательности х(п) бесконечной длины, показанное на
рисунке 3.46 (с). Эта аппроксимация называется дискретным преобразованием
Фурье (ДПФ), и это единственный инструмент Фурье, который нам доступен.
Вычисляя ДП Ф последовательности х ^ п ) , которая является конечной частью
х(п), мы получаем дискретные периодические отсчеты Ху(ш), показанные на ри­
сунке 3.46 (с!). Обратите внимание на то, что ХДш) есть дискретизированная
136
Гпава 3. Дискретное преобразование Фурье
версия непрерывного периодического спектра Х3(а>). Однако спектр Х^(т) в точ­
ности равен НПФ периодической последовательности х2(п) на рисунке 3.46 (d).
Так что, когда кто-нибудь говорит: «ДПФ предполагает, что входная последова­
тельность периодична во времени», —он имеет ввиду, что ДПФ равно непрерыв­
ному преобразованию Фурье (которое называется ДВПФ) периодической
дискретной последовательности. Итог всего сказанного заключается в следующем:
если функция периодична, ее прямое/обратное ДВПФ будет дискретным; если
функция дискретна, ее прямОе/обратное ДВПФ будет периодическим.
Библиография
1.
Bracewell, R. «The Fourier Transform», Scientific American,]une 1989.
2.
Struik, D. A Concise History o f Mathematics, Dover Publications Inc., New York,
1967, p. 142 (неоднократно издавались русские переводы, например: Стройк
Д. Я. Краткий очерк истории математики. М. Наука, 1990, 256 с.).
3. Williams, С. S. Designing Digital Filters. Section 8.6, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey, 1986, p. 122.
4.
Press, W., et al. Numerical Recipes—The Art o f Scientific Computing. Cambridge
University Press, 1989, p. 426.
5.
Geckinli, N. C., and Yavuz, D. «Some Novel Windows and a Concise Tutorial
Comparison of Window Families,» IEEE Trans, onAcoust. Speech, and Signal Proc.,
Vol. ASSP-26, No. 6 , December 1978. (Кстати, на странице 505 этой статьи фра­
за «такой, что W (f) > OVf» означает, что функция W (f) никогда не бывает от­
рицательной. Символ V значит «для всех».)
6.
O'Donnell, J. «Looking Through the Right Window Improves Spectral Analysis,»
EDN, November 1984.
7.
Kaiser, J. F. «Digital Filters,» in System Analysis by Digital Computer. Ed. by F. F.
Kuo and J. F. Kaiser, John Wiley and Sons, New York, 1966, pp. 218-277.
8.
Rabiner, L. R., and Gold, B. The Theory and Application o f Digital Signal Processing.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975, p. 88 (есть русский перевод:
Рабинер Л., Голд Б. «Теория и применение цифровой обработки сигналов»,
М.: Мир, 1978, доступен по адресу http://geogin.narod.ru/arhiv/dsp/dsp3.htm .
Кстати на этом сайте по адресу http://geogin.narod.ru/readall.htm есть непло­
хая подборка книг по ЦОС в электронном виде.).
9.
Schoenwald, J. «The Surface Acoustic Wave Filter: Window Functions», RFDe­
sign, March 1986.
10. Harris, F. «On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fou­
rier Transform,» Proceedings o f the IEEE, Vol. 66, No. 1, January 1978.
Библиография
137
11. Nuttall, A. H. «Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior», IEEE Trans.
onAcoust. Speech, and Signal Proc., Vol. ASSP-29, No. 1, February 1981.
12. Yanagimoto, Y. «Receiver Design for a Combined RF Network and Spectrum Ana­
lyzer», Hewlett-PackardJournal, October, 1993.
13. Gullemin, E. A. The Mathematics o f Circuit Analysis. John Wiley and Sons, New
York, 1949, p. 511.
14. Lanczos, C. Discourse on Fourier Series, Chapter 1, Hafner Publishing Co., New
York, 1966, p. 7-47.
15. Freeny, S. «TDM /FDM Translation As an Application of Digital Signal Proces­
sing,» IEEE Communications Magazine, January 1980.
16. Oppenheim, A., et.al., Discrete-Time Signal Processing, 2nd ed. Prentice-Hall,
Upper Saddle River, New Jersey, 1999, pp. 48-51.
Для заметок
Гпава 4
Быстрое
преобразование
Фурье
Хотя ДПФ представляет собой наиболее простую математическую процедуру
определения частотного состава временных последовательностей, оно ужасно не­
эффективно. При увеличении количества точек ДПФ до сотен и тысяч количество
выполняемых операций превышает все разумные пределы. В 1965 году была опуб­
ликована статья Кули и Тьюки, описывающая очень эффективный алгоритм реа­
лизации ДПФ [1]. Этот алгоритм сегодня известен как быстрое преобразование
Фурье (БП Ф )'. До появления БПФ ДПФ длиной в несколько тысяч точек требо­
вало так много времени, что его применение ограничивалось крупными исследова­
тельскими и университетскими вычислительными центрами. Благодаря Кули и
Тьюки, а также полупроводниковой промышленности сегодня 1024-точечное ДПФ
может быть вычислено за несколько секунд на домашнем компьютере.
О
БПФ написаны тома, и, как никакое другое изобретение, разработка этого ал­
горитма изменила цифровую обработку сигналов, сделав доступной всю мощь ана­
лиза Фурье. В этой главе мы покажем, почему наиболее популярные алгоритмы
БПФ (которые называют БПФ по основанию 2) имеют преимущества над классиче­
ским алгоритмом ДПФ, дадим ряд рекомендаций, позволяющих получить больше
практической пользы от БПФ, и приведем ссылки на листинги исходных текстов
программ на разных языках программирования. Для читателей, желающих уз­
нать некоторые детали, мы завершаем эту главу выводом алгоритма БПФ по
основанию 2 и демонстрацией нескольких способов реализации БПФ.
В действительности БПФ имеет интересную историю. Исследуя рассеяние рентгенов­
ских лучей, два физика в 1940-х годах воспользовались преимуществами симметрии
синусов и косинусов, применив математический метод, основанный на опубликован­
ном в начале 1900-х приеме. Прошло более 20 лет, прежде чем алгоритм БПФ был от­
крыт заново Полную историю вы найдете в [2]
140
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
4.1. Связь БПФ с ДПФ
Существует ряд различных алгоритмов БПФ. В этом разделе мы увидим, по­
чему алгоритм БПФ по основанию 2 так популярен, и узнаем, как он связан с
классическим ДПФ. Алгоритм БП Ф по основанию 2 — это очень эффективный
алгоритм вычисления ДПФ, когда длина ДПФ равна целой степени двух. (То
есть количество точек преобразования равно N = 2 к, где k - некоторое положите­
льное число.) Посмотрим, почему практикующие специалисты по ЦОС предпо­
читают БПФ по основанию 2.
Вспомните пример 1 главы 3, в котором мы отметили некоторое количество избы­
точных операций при выполнении 8-точечного ДПФ. (Например, мы вычисляли
произведение 1.0607 »0.707 четыре раза.) БПФ по основанию 2 устраняет эту избы­
точность и существенно снижает количество необходимых арифметических опера­
ций. Чтобы оценить эффективность БПФ, рассмотрим количество комплексных
умножений, необходимых для выполнения давно знакомого нам N-точечного ДПФ
X(m) - t m e - ^ nm/N.
(4-1)
п=0
В случае 8-точечного ДПФ из (4-1) следует, что нам необходимо выполнить N 2,
или 64, комплексных умножений. (Потому что для каждого из восьми отсчетов
Х (т ) мы должны просуммировать восемь комплексных произведений при изме­
нении п от 0 до 7.) Как мы убедимся в последних разделах этой главы, количество
комплексных умножений для N-точечного БП Ф равно примерно
(N /2) • log 2N.
(4-2)
, (Мы говорим «примерно», потому что некоторые умножения выполняются на +1
или -1 и сводятся к простой перемене знака.) Величина (N/2 ) log 2 N указывает на
значительное снижение количества комплексных умножений по сравнению с N 2
операций, необходимых для реализации (4-1), особенно при больших N. Насколь­
ко значительно это снижение, показывает рисунок 4.1, на котором сравнивается
количество комплексных умножений, необходимых для реализации ДПФ и БПФ
по основанию 2 при разных значениях N. При N = 512, например, ДПФ требует в
200 раз больше комплексных умножений, чем БПФ. При N = 8192 ДПФ требует
1000 комплексных умножений на каждое комплексное умножение в алгоритме
БПФ! А вот мой любимый пример эффективности БПФ по основанию 2. Если мы
выполняем БПФ длиной в два миллиона точек (N = 2 097 152) на нашем персона­
льном компьютере, оно занимает 10 секунд. С другой стороны, вычисление ДПФ
такой последовательности на настольном компьютере займет более трех недель!
Публикация и распространение алгоритма БПФ по основанию 2 были, наверное, са­
мым важным событием в цифровой обработке сигналов.
Здесь уместно подчеркнуть, что БПФ не является аппроксимацией ДПФ. Это
в точности ДПФ. Более того, все характеристики ДПФ, описанные в предыду­
щей главе: симметрия, линейность, утечки, гребешковые искажения и прочие, —
присущи также и БПФ.
4.2. Советы по практическому использованию БПФ
141
Количество комплексных умножений
Рис. 4 .1 .
Количество комплексных умножений, как функция /V, при реализации
ДПФ и БПФ по основанию 2
4.2. Советы по практическому
использованию БПФ
Учитывая ценность БПФ для практики, мы приводим здесь ряд практических
указаний по накоплению данных и использованию БП Ф по основанию 2 для ана­
лиза сигналов реального мира.
4 .2 .1 . Дискретизируйте достаточно часто и достаточно
долго
Как мы знаем из главы 2, при преобразовании непрерывных сигналов в цифро­
вую форму с помощью АЦП частота дискретизации должна быть не менее чем в
два раза больше ширины спектра непрерывного сигнала, чтобы предотвратить на­
ложения в частотной области. На практике в зависимости от приложения исполь­
зуют частоту дискретизации, которая в два с половиной —четыре раза превышает
ширину спектра сигнала. Если мы знаем, что ширина спектра преобразуемого
сигнала не очень велика по сравнению с максимальной частотой преобразования
нашего АЦП, от наложений легко избавиться. Если мы не знаем, какова ширина
спектра непрерывного сигнала, как нам определить, имеются ли наложения или
нет? В этом случае нам следует с недоверием относиться к результатам БПФ,
если имеются спектральные компоненты значительного уровня на частотах вбли­
зи половины частоты дискретизации. В идеале нам хотелось бы работать с сигна­
лами, спектр которых убывает с ростом частоты. Будьте очень осторожны, когда в
спектре обнаруживаются компоненты, частоты которых зависят от частоты диск­
ретизации. Если у нас есть подозрение, что возникает наложение или что непре­
рывный сигнал содержит широкополосный шум, необходимо перед АЦЦ
включить аналоговый ФНЧ. Частота среза ФНЧ должна быть несколько выше мак­
симальной интересующей нас частоты и ниже половины частоты дискретизации.
142
Глава 4. Быстрое преобразование Фурье
Хотя мы знаем, что БП Ф по основанию 2 требует N = 2 к входных отсчетов,
сколько же именно отсчетов должны мы накопить для анализа? Ответ состоит в
том, что интервал времени, на котором выполняется накопление, должен соответ­
ствовать требуемой разрешающей способности БПФ при заданной частоте диск­
ретизации / 5. Длительность интервала накопления данных является величиной,
обратной требуемой разрешающей способности, и чем больше мы берем отсчетов с
фиксированной частотой дискретизации / 5, тем выше разрешение по частоте; т. е.
общий интервал накопления равен Ы //5секунд, а разрешающая способность А^-то­
чечного БПФ равна/х/Л^Гц. Следовательно, если нам необходима разрешающая
способность 5 Гц, то / 5 /ЛГ = 5 Гц и
ЛГ = / А/(:требуемое разрешение) = / 5/ 5 = 0.2/5.
(4-3)
В этом случае, если / 5 равна, скажем, 10 кГц, то N должно быть не меньше
2000, и нам придется взять N = 2 0 4 8 , потому что это ближайшее число, равное
целой степени 2 .
4 .2 .2 . Предварительная обработка данных
Если при использовании БП Ф по основанию 2 мы не можем повлиять на коли­
чество получаемых отсчетов, и длина последовательности не равна целой степени
двойки, можно применить один из двух подходов. Мы можем отбросить часть от­
счетов данных так, чтобы длина оставшейся последовательности была равна целой
степени двойки. Использование этого варианта не рекомендуется, т. к. игнориро­
вание части отсчетов данных приведет к ухудшению разрешения по частоте. (Чем
больше ЛГ, тем лучше разрешение, не правда ли?) Лучше дополнить последовате­
льность нулями так, чтобы получить необходимое общее количество отсчетов.
Например, если у нас есть 1000 отсчетов, которые необходимо преобразовать,
вместо того, чтобы анализировать 512 из этих отсчетов, нам следует добавить в
конец последовательности 24 нулевых отсчета и использовать 1024-точечное
БПФ. (Метод дополнения нулями более подробно обсуждается в разделе 3.11.)
БП Ф подвержено тем же эффектам утечки спектра, которые мы обсуждали в
разделе 3.8 для ДПФ. Для уменьшения утечки мы можем умножить исходную
последовательность на окно. Будьте, однако, готовы к тому, что использование
окон уменьшает разрешение по частоте. Кстати, при дополнении последователь­
ности нулями мы должны умножать последовательность на окно до добавления
нулей. Применение окна к дополненной нулями последовательности приведет к
искажению окна и ухудшит утечку спектра.
Хотя взвешивание окном и уменьшает утечку спектра, оно не устраняет проб­
лему полностью. Даже при использовании окна мощные спектральные составля­
ющие могут замаскировать слабые компоненты спектра. Это особенно заметно,
когда исходные данные содержат постоянную составляющую. При вычислении
БП Ф в этом случае постоянная составляющая высокого уровня на частоте 0 Гц за­
крывает соседние компоненты спектра. Мы можем устранить эту проблему, вычислив
среднее значение исходных данных и вычтя его из исходной последовательности.
(Усреднение и вычитание должны выполняться до взвешивания окном.) Этот
143
4.2. Советы по практическому использованию БПФ
подход позволяет сделать постоянную составляющую равной нулю и удаляет со­
ставляющую с частотой 0 Гц из результата БПФ.
4 .2 .3 . Улучшение результатов БПФ
Если мы используем БП Ф для обнаружения энергии сигнала в присутствии
шума, и у нас есть достаточно данных, мы можем улучшить чувствительность
нашего обнаружителя, применяя усреднение результатов нескольких БПФ.
Этот метод, рассматриваемый в разделе 11.3, может быть использован для обна­
ружения сигналов, мощность которых ниже среднего уровня шума. Другими
словами, имея достаточно данных во временной области, мы можем обнаружи­
вать компоненты сигнала при отрицательном отношении сигнал/шум.
Если данные во временной области имеют действительные значения, мы можем
воспользоваться преимуществами метода 2Л^-точечного действительного БПФ,
описанного в разделе 13.5, для ускорения обработки; т. е. 2Лг-точечная действитель­
ная последовательность может быть преобразована с помощью одного Л^-точечно­
го комплексного БПФ по основанию 2. Таким образом, мы можем получить
частотное разрешение ^-точечного БПФ по цене стандартного А^-точечного БПФ.
Другая возможность ускорения БПФ состоит в применении взвешивания окном
в частотной области, описанного в разделе 13.3. Если нам нужно БПФ невзвешен­
ных данных и одновременно мы хотим иметь БП Ф тех же данных, взвешенных
окном, нам нет необходимости выполнять два разных БПФ. Мы можем вычис­
лить БП Ф невзвешенных данных, а затем выполнить взвешивание в частотной
области, чтобы уменьшить утечку на всех или на некоторых бинах БПФ.
4 .2 .4 . Интерпретация результатов БПФ
Первый шаг при интерпретации результатов БПФ состоит в вычислении абсо­
лютных частот центров бинов. Как и в случае ДПФ, расстояние по частоте между
бинами БПФ равно частоте дискретизации / 5 , деленной на количество точек
БПФ, или f s/N . Обозначим результат БПФ как Х(т), где т = 0 ,1 ,2 ,3 ,...,
1, при
этом абсолютная частота центра т-го бина равна т /5 /ЛГ. Если отсчеты входной
последовательности БПФ действительны, только отсчеты Х (т ) с индексами от
т = 0 до т = N /2 независимы. Следовательно, в этом случае нам необходимо
определить только частоты бинов для т в диапазоне 0 < т < N/2. Если же входные
отсчеты комплексные, все N отсчетов БПФ независимы, и нам потребуется вы­
числить частоты бинов для т во всем диапазоне 0 < т < И - 1.
Если необходимо, мы можем определить истинные амплитуды сигналов по их
спектрам. Для этого мы должны помнить, что выходные отсчеты БПФ по основа­
нию 2 - комплексные величины вида
Х ( т ) = Х геа1(т) + ]Х 1тан(т).
(4-4)
А все модули отсчетов БПФ
Х таё ( т ) =
I Х (т ) I
=
^ Х геа 1 ( т ) 2 + ^ т а ё ( т ) 2
(4-5)
144
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
в результате преобразования, когда входные отсчеты действительны, оказываются
умноженными на N/2, как сообщалось в разделе 3.4. Если же входные отсчеты ком­
плексные, масштабирующий коэффициент равен N. Следовательно, чтобы опре­
делить правильные амплитуды синусоидальных составляющих, нам необходимо
разделить модули отсчетов БПФ на соответствующий коэффициент: N /2 для дей­
ствительных последовательностей и N для комплексных последовательностей.
Если исходные данные были взвешены окном, некоторые входные отсчеты
оказываются ослабленными. Это уменьшает уровень выходных отсчетов БПФ.
Чтобы вычислить правильные амплитуды синусоидальных составляющих в этом
случае, мы должны разделить модули отсчетов БП Ф еще и на некоторый коэф­
фициент потерь, соответствующий используемому окну. Коэффициенты потерь
для наиболее популярных окон приведены в [3].
В случае, когда мы хотим определить спектр мощности Хр5(тп), нам необходи­
мо вычислить квадрат модуля БПФ, используя соотношение
Хр5(т) = | Х(т) | 2 = Х геа1(т )2 + Х іта§(т )2.
(4-6)
Это позволит нам вычислить спектр мощности в логарифмическом масштабе
Хсів(т ) = 10 • 1оёю( I х (т) 12 ) дБ
(4-7)
Нормированный спектр мощности в логарифмическом масштабе можно вы­
числить с помощью выражения
Нормированный Х ів (лг) = 10 • log10( | Х(т ) | 2 / ( | Х(т) | тах )2 )
(4_8)
Нормированный Х ^ т ) = 20 • 1оя10( | Х(т) | / ( | Х(т) \ тах))
( 4. 9 )
или
В (4-8) и (4-9) член \Х(т)\тах представляет собой максимальный модуль от­
счета. На практике график Х^в (т) очень информативен благодаря улучшенному
разрешению составляющих низкого уровня при использовании логарифмиче­
ского масштаба, как показано в приложении Е. Если используется (4-8) или (4-9),
описанная выше компенсация масштаба БПФ и потерь, связанных с окном, не
нужна. Нормирование путем деления на (\Х(т) \ тах) или |Х (т)| тах устраняет
влияние всех масштабных коэффициентов.
х ф (т ) = їа п - \ х
іт а§ ( т ) / х
г е а і(т )) >
(4-10)
мы должны особое внимание обратить на те отсчеты, для которых Х геа^т ) равны
нулю. В этом случае вычисление фазы по (4-10) невозможно из-за деления на
ноль. На практике необходимо, чтобы программа расчета обнаруживала отсчеты,
для которыхХ геа^т ) = 0, и устанавливалаХ ,(т ) = 90°еслиХготя^(ш) > О,X , ( т ) =
0° если Х {таё(т) = 0, и Х ,(т ) = -90° если Х 1таХт ) < 0. Рассматривая фазовые
углы отсчетов БПФ, имейте ввйду, что шумовые компоненты высокого уровня
могут вызвать значительные флуктуации вычисленных Х ,(т ). Это значит, что
отсчеты Х А т ) имеют смысл только тогда, когда соответствующий \Х(т)\ намно­
го превышает средний уровень шума.
4.3. Программы БПФ
145
4.3. Программы БПФ
Для тех читателей, которые хотят получить программы БПФ без необходимо­
сти платить за дорогостоящие пакеты обработки сигналов, имеется ряд бесплат­
ных программ, реализующих БП Ф по основанию 2. В [4-7] приведен листинг
программы на Фортране, реализующей стандартный алгоритм БПФ. В [8 ] пред­
ставлена эффективная программа, написанная на Фортране, для действительных
последовательностей. В [9] предлагается стандартная программа БПФ, написан­
ная на HP BASIC™, а в [10] представлена процедура БПФ, написанная на Apple­
soft BASIC™. Читатели, интересующиеся языком Ada, могут найти процедуры,
связанные с БПФ, в работе [11].
4.4. Разработка алгоритма БПФ
по основанию 2
Этот и следующие разделы содержат подробное описание внутренних структур
данных и операций БПФ по основанию 2 для тех читателей, которые интересуются
разработкой программ БПФ или проектированием аппаратурных процессоров БПФ.
Чтобы увидеть, как БПФ вырастает из ДПФ, напомним формулу точечного Д ПФ:
N-1
X(m ) = 'Z x (n )e -J 2n"’n/N.
(4-11)
п=0
Простой и понятный способ получения алгоритма БПФ состоит в том, что ис­
ходная последовательность данных х(п ) делится на две части. Выделив отсчеты
x(ri) с четными и нечетными индексами в две отдельные последовательности, мы
можем разбить (4-11) на две части вида
(.N/2)-1
(N/2)-1
Х(т ) = ^х(2 п )е~ > 2п(-2^ т/" + '2l x{2n + 1 ) e ~ ^ 2n*1)m/N.
n=0
n=0
(4-12)
Вынося за знак второй суммы экспоненту с постоянным показателем степени,
получаем
(N/2)-1
.
( N /2 ) - 1
Х (т ) - 2 x (2 n )e ~ W 2")m/N + e~>2nm/N 2 x(2n + f
П=0
П=0
(4-13)
Для упрощения этих длинных и сложных выражений мы используем стандар­
тные обозначения. Пусть WN = e~^2n^Nобозначает комплексный поворачивающий
множитель, который постоянен для заданного N. Тогда (4-13) приобретает вид
(.N/2)-1
(N/2)-1
Х(т) - J x(2n)(W N)2nTn+ (W N)m2 x ( 2 n + 1)(.WN)2nm.
n=0
n=0
(4-14)
Поскольку ( WN)2 = e~j2jl2/ ^ = e~j2n/(N/ 2\ мы можем в формулу (4-14) подста­
вить WN/2 вместо (W N)2
146
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
(N/2) - 1
(N/2)4
Х(т ) = 2 х(2п)(\Ум/2У т+
п=0
2 х(2п + 1)
(
.
(4^15)
п=0
Итак, мы имеем две суммы N /2 слагаемых, результаты которых можно объеди­
нить в ^-точечное ДПФ. В (4-15) мы сократили количество операций над данны­
ми по сравнению с (4-11), потому что множители \¥ в обеих суммах уравнения
(4-15) идентичны. Дополнительный выигрыш от разбиения Л^-точечного ДПФ на
две части мы получаем благодаря тому, что вторая половина отсчетов ДПФ вы­
числяется очень просто. Рассмотрим отсчет Х(т+Ы/2). Если мы подставим
т+К/2 вместо т в (4-15), то
(N/2)4
Х{т+И/2) = ^ х ( 2 п ) ( Щ /2)п{т^ /2'>+
п=0
(N/2)4
+ ( Щ )( т+ы/2)'2 х ( 2 п + 1)(У/ы/2)п‘-т*ы/2К
п-0
(4-16)
Кажется, мы усложнили нашу задачу? Ничего, потерпите немного. Мы можем
упростить поворачивающие множители под знаками сумм, потому что
(Щ /2 )п^ ы/2) - ( ^ » “ (И'лг/г)”" 72 - ( Щ /2)пт(е-’2лпт/™) -№
/ 2Г ( 0 - ( ^ 2Г
( 4 ' 17)
для любого целого п. Внимательно проанализировав поворачивающий множитель
перед второй суммой в (4-16), мы можем упростить его как
( №’Дг)<” +ЛГ/2>
- ( Щ ) т( е ~ ^ /2Ы) - ( Щ ) т( - 1 ) - - ( Щ ) т
(4-18)
Далее, используя (4-17) и (4-18), мы представляем X(m +N/2) из (4-16) как
( Щ2) - 1
(N/2)4
Х(т+Ы/2) = 2 х (2 п )(Щ /2)пт- (И'л, ) " 2 *(2п + Ш Щ /2Г п=0
(4-19)
п=0
Теперь повторим (4-15) и (4-19), чтобы увидеть, насколько они схожи:
(N/2)4
(N/2)4
Х(т ) - 2 *<2я)( Щ ,2)"т + ( Щ )” 2 х(2п + 1)( Ч/т У т.
п=0
(4-20)
п=0
( К / 2 ) -I
Х ( т + ^ 2 ) - 2 х(2 п )(Щ /2 )пт- ( И ^ ) " 2 х (2п + 1 Х Щ /2 )птп=0
п=0
(4-20')
147
4.4. Разработка алгоритма БПФ по основанию 2
Ну вот, мы и получили то, что хотели. Для вычисления Х(т+И/2) нам не нуж­
но выполнять никаких умножений на синусы и косинусы. Мы просто изменяем
знак поворачивающего множителя (\У^)т и используем две суммы, полученные
для Х(т), для вычисления Х(т+К/2). Конечно, в (4-20) т принимает значения от
0 до (N /2) -1, а это значит, что для ^-точечного ДПФ мы выполняем два N /2-то­
чечных ДПФ, получая первые N /2 отсчетов, а затем используем уже полученные
результаты для вычисления последних N /2 отсчетов. При N = 8 (4-20) и (4-20')
реализуются так, как показано на рисунке 4.2.
Рис. 4 .2 .
Реализация БПФ для 8-точечного ДПФ с использованием двух 4-точеч­
ных ДПФ
Если мы запишем (4-20) и (4-20') в более простой форме
Х(т) - А ( т ) + (Шм)тВ(т),
(4-21)
148
Глава 4. Быстрое преобразование Фурье
X(m + N/2) = A(m) - ( WN)mB(rn),
(4-21’)
мы можем пойти дальше и разбить два 4-точечных ДПФ на четыре 2-точечных
ДПФ. Посмотрим, как можно разделить верхнее 4-точечное ДПФ на рисунке 4.2,
четыре выхода которого равны А(т) в (4-21) и (4-21'). Мы можем разделить чет­
ные и нечетные входные отсчеты верхнего 4-точечного ДПФ:
( N /2 ) - 1
А(т) = 2 x(2n)(W N/2)nm=
п=0
(.N / 4 ) - 1
(.N /4) -1
- 2 x(4nX W N/2)2"m+ 2 *(4n + 2)(W N/2f n*r>m .
n=0
n=0
Поскольку (W N/ 2)
чечных ДПФ как
(.N / 4 ) - 1
(4-22)
( WN/ 4 )nm, мы можем выразить A{m) через два N /4 -то(N / 4 ) - 1
A ( m ) - ^ x i 4 n ) ( W N/4)™+(Wm T ^ x ( 4 n + 2)(W N/4f m.
n=0
n=0
(4-23)
Обратите внимание на сходство выражений (4-23) и (4-20). Эта возможность
деления JV/2-точечного ДПФ на два Л74-точечных ДПФ и сообщает алгоритму
БП Ф способность существенно уменьшать количество необходимых умножений
при реализации ДПФ. (Мы это вскоре продемонстрируем на примере.) Выпол­
няя те же шаги, которые мы выполняли для получения А(т), можно показать, что
В(т) в (4-21) имеет вид
(.N / 4 ) - 1
(N / 4 ) - 1
В(т) = 2 x(4n+1)(W N/4)"m+(WN/2)m2 x(4n+3)(W N/4)nm.
П=0
(4-24)
П=0
При N = 8 (4-23) и (4-24) реализуются так, как показано на рисунке 4.3. Здесь
отчетливо видна структура сигнального графа, содержащая хорошо известные
бабочки, и мы видим дальнейшую перетасовку входных данных. Поворачиваю­
щий множитель (W N/,2 )m в (4-23) и (4-24) в нашем примере с N = 8 изменяется от
(W 4)° до (W4)3, потому что индекс т для А (т ) и В(т) изменяется от 0 до 3. Для
любого JV-точечного ДПФ мы можем разбить каждое из Лу2-точечных ДПФ на
два iV/4-точечных ДПФ с целью дальнейшего уменьшения количества умноже­
ний на синусы и косинусы. В конце концов мы дойдем до ряда 2-точечных ДПФ,
после чего дальнейшее сокращение количества операций уже невозможно. Имен­
но по этой причине количество точек БПФ может быть равно только целой степе­
ни двойки, а этот алгоритм БП Ф называется БП Ф по основанию 2.
Двигаясь в том же направлении, сделаем еще один шаг вперед и закончим с
рассматриваемым N = 5-точечным ДПФ. Двухточечные ДПФ на рисунке 4.3 не­
льзя разделить на более мелкие части —мы дошли до конца в процессе уменьше­
ния длины последовательности и пришли к бабочке одного 2-точечного ДПФ,
показанной на рисунке 4.4. Из определения WNследует, что ( WN)°= e~^2n0^N= 1, и
4.4. Разработка алгоритма БПФ по основанию 2
149
( и ^ ) ЛГ/2= е^ 2л^ / 2^= е~)п = 1 Следовательно, блоки 2-точечного ДПФ на рисун­
ке 4.3 можно заменить бабочкой, показанной на рисунке 4.4, получив, таким обра­
зом, полную реализацию 8 -точечного БПФ, показанную на рисунке 4.5.
Х(0)
2-точечное
ДПФ
-► Х (1 )
Х(2)
2-точечное
ДПФ
►
Х(3)
х(1)
2-точечное
ДПФ
х(5)
х(3)
2-точечное
ДПФ
х(7)
Рис. 4 .3 .
Быстрая реализация 8 -точечного ДПФ в виде двух 4-точечных ДПФ и че­
тырех 2-точечных ДПФ
Итак, мы прошли через изрядное количество алгебраических манипуляций.
Чтобы проверить правильность нашего вывода алгоритма БПФ, мы можем взять
8 -точечную последовательности из примера 1 в главе 3 и обработать ее в соответст­
вии с алгоритмом 8 -точечного БПФ, представленным на рисунке 4.5. Последовате­
льность данных, представляющая сигнал х(п) = §т(2л1000гй$) + 0.5^т{2л2000Ш$ +
+ З л/4 ), имеет вид:
х(0) = 0.3535,
х(2) = 0.6464,
х(4) = 0.3535,
х(6 ) = -1.3535,
х(1) = 0.3535,
х(3) = 1.0607,
. х(5) = -1.0607,
(4-25)
х(7) = -0.3535.
150
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
Г
х(к)
и/,N
х{к+Ы12)
Рис. 4 .4 .
Бабочка для одного 2-точечноі и
х(0)
Х(0)
х(4)
Х(1)
х(2)
Х(2)
х(6)
х(1)
х(5)
Рис. 4 .5 .
Полная реализация алгоритма БПФ с прореживанием во времени для
8 -точечного ДПФ
Начнем перемалывать эти данные, наложив входные значения из (4-25) на ри­
сунок 4.5, в результате чего получим значения, показанные в левой части рисун­
ка 4.6. Выходные значения второго каскада БПФ равны
151
4.4. Разработка алгоритма БПФ по основанию 2
А(0)
А{1)
А(2)
А (3)
В(0)
В(1)
В(2)
В(3)
= 0.707 + (\Г4 )°(-0.707) = 0.707 + (1 +]0)(-0.707) = 0 + ]0,
= 0.0 + (ЦГ4 ) 1(1.999) = 0.0 + (0 -]1)(1.999) = 0 -]1.999,
= 0.707 + (\¥4 ) 2(-0.707) = 0.707 + ( - 1 +]0)(-0.707) = 1.414 + ]0,
= 0.0 + (\¥4 ) \ 1.999) = 0.0 + (0 +]1)( 1.999) = 0 + р . 999,
= 0.707 + (У/4 )°(0.707) = -0.707 + (1 +]0)(0.707) = 0 + ]0,
= 1.414 + (\№4 ) 1(1.414) = 1.414 + (0 -]1)(1.414) = 1.414 -]1.414,
= -0.707 + (\\^4 ) 2(0.707) = -0.707 + ( - 1 +]0)(0.707) = -1.414 + ]0,
= 1.414 + (Х\74 ) 3(1.414) = 1.414 + (0 + ]1)(1Л14) = 1.414 + р .4 1 4 .
1-й каскад
Рис. 4 .6 .
2-й каскад
3-й каскад
8 -точечное БПФ последовательности прим’ера 1 из раздела 3.1
152
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
Вычисляя результат третьего каскада БПФ, получаем окончательный ответ
Х (0) = А(0) + (W 8 ) ° В(0) = 0 +j0 + (1 +j0 )( 0 +j0) = 0 + jO + 0 + j0 = 0Z. О
Х (1 ) = Л(7) + ( W8 ) 1B(1) = 0 - j 1.999 + (0.707 ->0.707)( 7.474 - j1.414) =
=0
+ 0 - ; 'Ю Т = 0 ->4 = 4 Z -90°
X (2 ) = Л(2) + (W o )2B(2) = 7.474 +/0 + (0 - / 7 ) ( - 7.474 +j0) =
= 14/4 +>0 + 0 + j1.4242 = 1.414 +j1.414 = 2 Z 45°,
X (3 )= A (3 ) + ( W8 ) 3B (3 ) = 0 + j f . ^ + (-0.707 -j0.707)(1.414 + >7.474) =
= 0 + >7.W + 0
= 0 Z 0°,
X(4) = Л(0) + (W 8 )4B(0) = 0 +j0 + ( - 1 +>0)(0 +j0) =
= 0 +>0 + 0 +>0 = 0 Z 0°,
X(5) = Л(7) + ( W8 )5B (1 ) = 0 ->7._99$ + (-0.707 + j0.707)(1.414 -j1.414) =
= 0 - j 1.999 + 0 +
= 0 Z 0°,
X(6) = Л(2) + ( W8 )6B(2 ) = 14 74 +>0 + (0 +>7)(-7.474 + jO) =
= 7.474 +70 + 0 - j 1.414 = 1474 ->1474 = 2 Z -45°
X(7) = Л(3) + ( ^ ) 7 B(^) = 0 + j 1.999 + (0.707 + j0.707)(1.414 + >14 74) =
= 0 + >7.W + 0 + j 1.999 = 0 +>4 = 4 Z 90°.
Итак, к счастью, БПФ дает правильный результат, и это позволяет нам снова
напомнить читателю, что БП Ф не является аппроксимацией ДПФ, а представля­
ет собой ДПФ с уменьшенным количеством арифметический операций. В приве­
денном выше примере вы могли видеть, что вычисление 8 -точечного БПФ
требует меньших затрат, чем 8 -точечное ДПФ из первого примера в разделе 3.1.
Некоторые авторы предпочитают объяснять это уменьшение количества арифме­
тических операций избыточностью поворачивающих множителей . Они показы­
вают это с помощью звездной диаграммы, приведенной на рисунке 4.7, которая
демонстрирует эквивалентность некоторых поворачивающих множителей в 8 -точечном ДПФ.
4.5. БИТ-реверсивная перестановка
входных и выходных данных БПФ
Рассмотрим некоторые особые свойства БПФ, которые имеют большое значение
для разработчиков программ и аппаратурных процессоров БПФ. Заметим, что рису­
нок 4.5 назван «Полная реализация БПФ с прореживанием по времени для 8 -точечного ДПФ». Слова с прореживанием по времени относятся к способу разбиения
входной последовательности отсчетов на четные и нечетные, который мы использо­
вали при выводе соотношений (4-20), (4-23) и (4-24). Такое прореживание приводит
к перемешиванию входных отсчетов на рисунке 4.5. Принцип перемешивания мож­
но понять с помощью таблицы 4.1. Это перемешивание называют бит-реверсивным,
потому что порядок следования отсчетов в перемешанной последовательности
можно получить путем изменения порядка следования битов в двоичном представ­
лении индексов отсчетов в неперемешанной последовательности на обратный.
4.5. БИТ-реверсивная перестановка входных и выходных данных БПФ________ 153
Это звучит несколько запутанно, но на самом деле все просто —таблица 4.1 иллю­
стрирует реверс битов для рассматриваемого примера 8 -точечного БПФ. Обрати­
те внимание на то, что индексы в левом столбце таблицы 4.1 расположены в
нормальном порядке, а в правом столбце индексы приведены в перемешанном по­
рядке, который совпадает с окончательным порядком следования прореженных
входных отсчетов на рисунке 4.5. Мы перевернули биты двоичного представле­
ния нормальных индексов, поменяв их порядок следования на обратный. Стар­
ший бит стал младшим, а младший стал старшим, следующий за старшим бит стал
следующим за младшим, и т. д .1
3
=
w
4
Ws
6
w5
J
ч
_
2
_
_
СО
5
00
Рис. 4 .7 .
Ч ^ -v
Г
^8
0
8
/
\
^
Г
0
4
1
%
1
= И/4
Избыточность поворачивающих множителей для 8-точечного БПФ
Т аб л и ц а 4 . 1 . Бит-реверсивная перестановка входных отсчетов
8-точечного БПФ
Нормальный
порядок
индексов л
Двоичное
представление
индекса л
Перестановка
битов
индекса л
Бит-реверсивный
порядок
индекса п
0
ООО
000
0
1
001
100
4
2
010
010
2
3
0 11
110
6
4
100
001
1
5
101
101
5
6
110
0 11
3
7
111
111
7
Многие же будут первые последними, и последние первыми. [Марк 10:31]
154
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
4.6. Структуры бабочек БПФ
по основанию 2
Исследуем подробнее сигнальный граф бабочки БПФ с прореживанием по
времени. Чтобы упростить сигнальный граф, заменим на рисунке 4.5 поворачива­
ющие множители их эквивалентными значениями, обозначенными как (^дг)те,
где N = 8. Мы можем показывать только показатели степени т множителей
(\Ум)т, чтобы получить структуру БПФ, показанную на рисунке 4.8. Например,
на рисунке 4.5 равен
и на рисунке 4.8 показан как 2, (
на рисун­
ке 4.5 равен ( №8)4 и на рисунке 4.8 показан как 4 и т. д. Значения 1 и -1 в первом
каскаде рисунка 4.5 на рисунке 4.8 заменены на 0 и 4 соответственно. За исключе­
нием обозначения поворачивающих множителей, рисунок 4.8 идентичен рисун­
ку 4.5. Мы можем перетасовать на рисунке 4.5 сигнальные узлы и получить
8 -точечное БПФ с прореживанием по времени, показанное на рисунке 4.9. Заме­
тьте, что входные данные на рисунке 4.9 расположены в нормальном порядке, а
биты индексов выходных отсчетов переставлены в обратном порядке. В этом слу­
чае необходимо выполнять операцию реверсии порядка битов над выходными от­
счетами БПФ, чтобы представить частотные отсчеты в нормальном порядке.
На рисунке 4.10 показана структура сигнального графа БПФ, которая не тре­
бует перестановки вообще, но элегантное переплетение линий обычной бабочки
превратилось в запутанную, хоть и эффективную, конфигурацию.
Не так давно большая часть времени при аппаратурной реализации БПФ тра­
тилась на выполнение умножений, а процесс бит-реверсивной перестановки, не­
обходимый для доступа к данным в памяти, не составлял значительной части в
общем объеме вычислений. Теперь, когда аппаратурные умножители-аккумуля­
торы в интегральном исполнении могут умножать два числа за один такт синхро­
сигнала, мультиплексирование и адресация данных БПФ приобретают больше
значение. Это стимулировало разработку ряда эффективных алгоритмов бит-ре­
версивной перестановки [12-15].
Существует другой способ получения алгоритма БПФ, который приводит к
похожим структурам бабочек, но с другими поворачивающими множителями.
Эта разновидность алгоритмов БП Ф известна как БП Ф с прореживанием по ча­
стоте. Если алгоритм БП Ф с прореживанием по времени основан на разделении
входных данных на четные и нечетные отсчеты, алгоритм БП Ф с прореживани­
ем по частоте основан на раздельном вычислении четных и нечетных отсчетов в
частотной области. Вывод алгоритма с прореживанием по частоте достаточно
прост и включен во многие статьи и учебники, поэтому здесь мы не будем зани­
маться этим [4, 5, 15,16]. Но мы приводим структуры бабочек с прореживанием
по частоте на рисунках 4.11 - 4.13 (аналогичные структурам, показанным на ри­
сунках 4.8 - 4.10).
Для каждой структуры БПФ с прореживанием по времени существует эквива­
лентная структура с прореживанием по частоте. Важно отметить, что количество ум­
ножений при реализации алгоритма БЙФ с прореживанием по частоте совпадает с
количеством умножений при реализации БП Ф с прореживанием по времени.
4.6. Структуры бабочек БПФ по основанию 2
155
Существует гак много разных структур бабочек БПФ, описанных в литературе,
что легко можно спутать бабочки с прореживанием по частоте и с прореживанием
по времени. В зависимости от того, как подается материал, начинающий читатель
может легко прийти к выводу, что БПФ с прореживанием по времени всегда тре­
бует бит-реверсивной перестановки входных отсчетов, а БП Ф с прореживанием
по частоте всегда выдает результат в бит-реверсивном порядке. Как показывают
приведенные структуры, это не так. Прореживание по времени или частоте опре­
деляется тем, какая последовательность — входная или выходная, подвергается
разделению при выводе той или иной структуры бабочек БП Ф из формулы ДПФ.
Рис. 4 .8 .
8 -точечное БПФ с прореживанием по времени, входные отсчеты которо­
го подвергнуты бит-реверсивной перестановке
Х(0)
Х(4)
Х(2)
Х(6)
Х(1)
Х(5)
Х(3)
Х(7)
Рис. 4 .9 .
8 -точечное БПФ с прореживанием по времени с бит-реверсивным по­
рядком выходных отсчетов
156
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
Рис. 4 .1 0 . 8 -точечное БПФ с прореживанием по времени, входная и выходная по­
следовательность которого расположены в нормальном порядке
Рис. 4 .1 1 . 8-точечтное БПФ с прореживанием по частоте и бит-реверсивным по­
рядком входных отсчетов
Рассмотрим еще раз отдельную бабочку. Структуры БП Ф на рисунках 4.8, 4.9,
4.11 и 4.12 являются прямым результатом вывода алгоритмов с прореживанием
по времени и по частоте. Хотя сначала это не очевидно, но показатели степени по­
ворачивающих множителей, приведенные на этих рисунках, распределены по
определенной системе. Обратите внимание на то, что они всегда принимают обоб­
щенные формы, показанные на рисунке 4.14 (а)1. Для реализации бабочки с про­
реживанием по времени, показанной на рисунке 4.14 (а), нам потребуется
Помните, что для простоты в структурах бабочек, показанных на рисунках 4.8 —4.13,
приведены только показатели степени поворачивающих множителей, к и к+Ы/2, а не
полные комплексные поворачивающие множители.
4.6. Структуры бабочек БПФ по основанию 2
157
выполнить два комплексных умножения и два комплексных сложения. Конечно
же, есть лучший способ реализации. Рассмотрим бабочку с прореживанием по
времени на рисунке 4.14 (а). Если обозначить верхний вход как х, а нижний —как
у, верхний выход бабочки будет равен
х ' = х + (У1к )ку,
(4-26)
а нижний выход бабочки будет равен
у ' - х + (Шы)к+"'2 у.
(4-27)
Рис. 4 .1 2 . 8 -точечное БПФ с прореживанием по частоте и бит-реверсивным поряд­
ком выходной последовательности
Рис. 4 .1 3 . 8-точечное БПФ с прореживанием по частоте и нормальным порядком
входных и выходных отсчетов
158
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
Прореживание по времени
х'
Прореживание по частоте
X"
О
х"
(Ь)
У
О
О
Рис. 4 .1 4 . Структуры бабочек с прореживанием по времени и частоте: (а) исходная
форма; (Ь) упрощенная форма; (с) оптимизированная форма
(а)
(Ь)
Рис. 4 .1 5 . Другой способ изображения бабочки: (а) с прореживанием по времени;
(Ь) с прореживанием по частоте
К счастью, операции в (4-26) и (4-27) можно упростить, потому что два пово­
рачивающих множителя связаны соотношением
№ ) *+*/2 _ №
)*(Ц^ / 2 - ^ ) к( е ~ ^ /2к) =
= - ( 1У д/.
(4-28)
Следовательно, мы можем заменить поворачивающие множители (\\/,^ к+^ 2
на рисунке 4.14 (а) множителями - (
что дает нам упрощенную форму бабо­
чек, показанную на рисунке 4.14 (Ь). Поняв, что поворачивающие множители на
4.6. Структуры бабочек БПФ по основанию 2 ______________________________159
рисунке 4.14 (Ь) отличаются только знаками, мы приходим к оптимизированной
форме бабочек, показанной на рисунке 4.14 (с). Заметьте, что такие оптимизиро­
ванные бабочки требую два комплексных сложения, но всего одно комплексное
умножение, что уменьшает общее количество операций1.
В литературе вы будете часто встречать оптимизированные структуры бабо­
чек, приведенные на рисунке 4.14 (с), вместо структур, показанных на рисунке
4.14 (а). Эти оптимизированные бабочки позволяют нам легко распознавать алго­
ритмы с прореживанием по времени и по частоте. Если мы видим оптимизиро­
ванные бабочки, подобные приведенным на рисунке 4.14 (с), мы знаем, что это
алгоритм с прореживанием по времени, если поворачивающий множитель стоит
перед - 1 , в противном случае, если поворачивающий множитель стоит после - 1 ,
это алгоритм с прореживанием по частоте.
Иногда мы будем встречать в литературе структуры БПФ, в которых исполь­
зуются обозначения, показанные на рисунке 4.15 [5, 17]. Эти бескрылые бабочки
эквивалентны показанным на рисунке 4.14 (с). В этих сигнальных графах исполь­
зуется соглашение о том, что выход узла, обозначенного кружочком, помеченный
плюсом, представляет собой сумму отсчетов, входящих в узел слева, а выход, по­
меченным минусом, представляет собой разность этих отсчетов. Таким образом,
выходные отсчеты бабочек с прореживанием по времени, доказанных на рисун­
ках 4.14 (с) и 4.15 (а) вычисляются как
+
(4-29)
Выходы бабочек с прореживанием по частоте, показанных на рисунках 4.14 (с)
и 4.15 (Ь) равны
х - - х + у н у - - ( 9 Г к ) к ( х - у ) = (\Ук ) кх -(Ч Г 11) ку .
(4-30)
Так какая же структура лучше? Это зависит от приложения, аппаратурной ре­
ализации и соображений удобства. Если для выполнения БПФ мы используем
программу на компьютере общего назначения, выбор у нас обычно невелик. Боль­
шинство специалистов просто используют существующие подпрограммы БПФ,
включенные в коммерческие пакеты программ. Их код может быть оптимизиро­
ван по скорости выполнения, но вы этого никогда не узнаете. Чтобы разобраться в
том, как они реализуют БПФ, может потребоваться изучение этого кода. Если для
нас важна скорость работы, первым делом нужно проверить, вычисляются ли
синусы и косинусы каждый раз, когда требуется поворачивающий множитель.
Обычно вычисление тригонометрических функций занимает множество ма­
шинных тактов. Скорость вычисления БПФ можно повысить, вычислив пово­
рачивающие множители заранее и сохранив их таблицу в памяти. В этом случае
вычисление поворачивающего множителя заменяется выборкой из таблицы.
Если мы пишем собственную процедуру выполнения БПФ, мы можем реализо­
вать алгоритм в целочисленной арифметике, которая на большинстве машин ра­
ботает быстрее, но при этом мы должны принять меры против возможных
переполнений на выходах бабочек и внимательно отнестись к масштабированию
Мы говорим, что количество комплексных умножений при реализации БПФ равно
(N/2)\og2N (см. (4-2)) именно потому, что А^-точечное БПФ содержит (N/2)\og2Nба­
бочек.
160
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
результатов'. При использовании целочисленной арифметики следует быть вни­
мательным: некоторые ШЭС процессоры в действительности выполняют целочис­
ленные операции медленнее, т. к. они оптимизированы для выполнения операций
над числами с плавающей запятой.
Если мы используем для вычислений векторный процессор, программы для
этих процессоров всегда оптимизированы, т. к. их главная цель — высокая ско­
рость вычислений. Изготовители векторных процессоров обычно рекламируют
свои изделия, указывая скорость выполнения на них 1024-точечного БПФ.
Посмотрим теперь, какие возможности есть у нас при выборе структуры БПФ
для реализации в виде специализированной аппаратуры.
Обсуждавшиеся ранее структуры бабочек БП Ф обычно попадают в одну из
двух категорий: алгоритмы БПФ с замещением и алгоритмы БПФ с удвоенной
памятью. Алгоритм с замещением показан на рисунке 4.5. Выход бабочки запоми­
нается в той же ячейке памяти, в которой хранились входные отсчеты. Память для
хранения промежуточных результатов не нужна. В этом случае для А^-точечного
БПФ требуется только Ж ячеек памяти (коэффициент 2 учитывает то, что операция
бабочки выполняется над комплексными числами, имеющими действительную и
мнимую части). Камнем преткновения при реализации алгоритмов с замещением
является довольно сложная адресация памяти. Структура БПФ с двойной памя­
тью изображена на рисунке 4.10. В этом случае необходима промежуточная па­
мять, т. к. в структуре уже нет стандартной бабочки, и требуется дополнительно
4Ы ячеек памяти. Но доступ к данным и адресация памяти в этих структурах на­
много проще, чем в случае алгоритма с замещением. Высокоскоростные интегра­
льные схемы с плавающей запятой, реализующие конвейерные структуры БПФ,
более полно используют преимущества конвейерной архитектуры при использо­
вании алгоритмов с двойной памятью [18].
Существует еще один класс структур БПФ, известный как алгоритмы с посто­
янной геометрией, которые делают адресацию памяти не только простой, но и
одинаковой для всех каскадов БПФ. Эти структуры особенно интересны тем, кто
проектирует специализированные аппаратурные процессоры БПФ [4,19]. С точ­
ки зрения аппаратуры в общем случае алгоритмы с прореживанием по времени
являются оптимальными для действительных входных последовательностей, а
алгоритмы с прореживанием по частоте больше подходят для обработки комп­
лексных входных последовательностей [8 ]. Когда входная последовательность
БПФ симметрична во времени, для устранения ненужных операций используют­
ся специальные структуры БПФ. Эти специальные структуры, основанные на
симметрии данных, описаны в литературе [20 ].
В случае двумерного БПФ, например, при обработке изображений, алгоритмы
с прореживанием по частоте считаются оптимальными [21]. Ваше приложение
может оказаться таким, что бит-реверсивная перестановка входной и выходной
последовательности не важна. Некоторые приложения позволяют манипулиро­
вать выходной последовательностью БПФ в бит-реверсивном порядке без вос­
становления нормального порядка отсчетов. Затем обратное преобразование,
1 Переполнением называется то, что происходит, когда результат арифметической опера­
ции содержит слишком много бит или разрядов и не может быть представлен в предназ­
наченных для его хранения регистрах Переполнение данных БПФ рассматривается в
разделе 12 3.
Библиография
161
которое использует входную последовательность в бит-реверсивном порядке,
даст результат во временной области в нормальном порядке. В этой ситуации
бит-реверсивная перестановка не нужна вообще. Примером подобного использо­
вания БПФ является перемножение двух преобразований Фурье в частотной об­
ласти для получения свертки или корреляции во временной области1. Как можно
видеть, выбор оптимального алгоритма и аппаратурной архитектуры БПФ пред­
ставляет собой достаточно сложную проблему, но, к счастью, литература может
дать нам указания по ее решению [4, 22, 23].
Библиография
1.
Cooley, J. and Tukey, J. «An Algorithm for the Machine Calculation of Complex
Fourier Series», Math. Comput., Vol. 19, No. 90, Apr. 1965, pp. 297-301.
2.
Cooley, J., Lewis, P., and Welch, P. «Historical Notes on the Fast Fourier Trans­
form», IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, Vol. AU-15, No. 2, June 1967.
3.
Harris, F. J. «On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fo­
urier Transform», Proceedings o f the IEEE, Vol. 66, No. 1, p. 54, January 1978.
4.
Oppenheim, A. V., and Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing, Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, New Jersey, 1989, p. 608 (имеется русский перевод
одного из предыдущих изданий: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. «Цифровая об­
работка сигналов», пер. с англ. / под ред. С. Я. Шаца, М.: Связь, 1979, доступен
по адресу dsp-book.narod.ru/OpShDSP.djvu).
5.
Rabiner, L. R. and Gold, В. Theory and Application o f Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975, p. 367 (есть русский перевод: Paбинер Л., Голд Б. «Теория и применение цифровой обработки сигналов», М.:
Мир, 1978, доступен по адресу http://geogin.narod.ru/arhiv/dsp/dsp3.htm).
6. Stearns, S. Digital Signal Analysis, Hayden Book Co., Rochelle Park, New Jersey,
1975, p. 265.
7. Programs fo r Digital Signal Processing, Chapter 1, IEEE Press, New York, 1979.
8.
Sorenson, H. V., Jones, D. L., Heideman, М. Т., and Burrus, C. S. «Real-Valued
Fast Fourier Transform Algorithms» IEEE Trans, on Acoust. Speech, and Signal
Proc, Vol. ASSP-35, No. 6, June 1987.
9.
Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications, 2nd Edition, Revised,
McGraw-Hill, New York, 1986, p. 405.
10. Cobb, F. «Use Fast Fourier Transform Programs to Simplify, Enhance Filter Ana­
lysis», EDN, 8 March 1984.
11. Carlin, F. «Ada and Generic FFT Generate Routines Tailored to Your Needs»,
EDN, 23 April 1992.
Пример использования БПФ для выполнения свертки приведен в разделе 13.10.
162
Гпава 4. Быстрое преобразование Фурье
12. Evans, D. «An Improved Digit-Reversal Permutation Algorithm for the Fast Fou­
rier and Hartley Transforms», IEEE Trans, on Acoust. Speech, and Signal Proc, Vol.
ASSP-35, No. 8 , August 1987.
13. Burrus, C. S. «Unscrambling for Fast DFT Algorithms», IEEE Trans, on Acoust.
Speech, and Signal Proc, Vol. 36, No. 7, July 1988.
14. Rodriguez, J. J. «An Improved FFT Digit-Reversal Algorithm», IEEE Trans, on
Acoust. Speech, and Signal Proc, Vol. ASSP-37, No. 8, August 1989.
15. Land, A. «Bit Reverser Scrambles Data for FFT», EDN, March 2,1995.
16. JG-AE Subcommittee on Measurement Concepts, «What Is the Fast Fourier Trans­
form?», IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, Vol. AU-15, No. 2, June 1967.
17. Cohen, R., and Perlman, R. «500 kHz Single-Board FFT System Incorporates
DSP-Optimized Chips», EDN, 31 October 1984.
18. Eldon, J., and Winter, G. E. «Floating-point Chips Carve Out FFT Systems», Elec­
tronic Design, 4 August 1983.
19. Lamb, K. «CMOS Building Blocks Shrink and Speed Up FFT Systems», Electronic
Design, 6 August 1987.
20. Markel, J. D. «FFT Pruning», IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, Vol.
AU-19, No. 4, December 1971.
21. Wu, H. R., and Paoloni, F. J. «The Structure of Vector Radix Fast Fourier Trans­
forms», IEEE Trans, on Acoust. Speech, and Signal Proc., Vol. ASSP-37, No. 8 ,
August 1989.
22. Ali, Z. M. «High Speed FFT Processor», IEEE Trans, on Communications, Vol.
COM-26, No. 5, May 1978.
23. Bergland, G. «Fast Fourier Transform Hardware Implementations—An Overvi­
ew» IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, Vol. AU-17, June 1969.
Гпава 5
Фильтры
с импульсной
характеристикой
конечной длины
Фильтрация цифровых данных, если и не фундаментальная, то, по крайней
мере, старейшая область цифровой обработки сигналов. Истоки цифровой филь­
трации уходят в прошлое на 50 лет. Растущая популярность цифровых компью­
теров в начале 50-х годов стимулировала усилия исследователей в области
сглаживания дискретных данных и анализа дискретных систем управления. Од­
нако по-настоящему анализ и проектирование цифровых эквивалентов аналого­
вых фильтров вошли в нашу жизнь в начале-середине 60-х годов, примерно в то
время, когда Биттлз приехали в Америку. Именно в это время специалисты по
цифровой обработке сигналов осознали, что компьютеры способны перейти от
простого анализа оцифрованных сигналов к изменению их характеристик по­
средством фильтрации. Сегодня цифровая фильтрация распространена так ши­
роко, что объем посвященной ей литературы превосходит объем литературы по
любой другой области цифровой обработки сигналов. В этой главе вы познакоми­
тесь с основными атрибутами цифровых фильтров, узнаете, как численно оценить
их эффективность и изучите принципы проектирования цифровых фильтров с им­
пульсной характеристикой конечной длины.
Итак, начнем с иллюстрации понятия фильтрации во временной области на
рисунке 5.1.
Вообще, фильтрация представляет собой обработку сигнала во временной об­
ласти, в результате которой изменяется спектральный состав исходного сигнала.
Изменения обычно заключаются в ослаблении или подавлении некоторых неже­
лательных спектральных компонентов входного сигнала. Фильтры пропускают
определенные компоненты сигнала, ослабляя в то же время другие компоненты.
На рисунке 5.1 показаны как аналоговая, так и цифровая версии процесса филь­
трации. Если аналоговый фильтр обрабатывает непрерывные сигналы, то цифро­
вой фильтр обрабатывает последовательности дискретных отсчетов. Цифровой
фильтр на рисунке 5.1 (Ь), конечно же, может представлять собой компьютерную
164
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
программу, программируемый аппаратурный процессор или специализирован­
ную интегральную схему. Традиционно линейные цифровые фильтры делятся на
два больших класса: фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
(КИХ-фиЛьтры) и фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
(БИХ-фильтры). Поскольку КИХ-фильтры проще поддаются анализу, мы изу­
чим в этой главе именно их, а БИХ-фильтрам посвятим главу 6 .
++
+
(Ь)
*
♦+
+
Время
Входная последовательность
Рис. 5 .1 .
+ +
++ +
Цифровой
фильтр
+
+
++
Время
Выходная последовательность
....... ^
Фильтры: (а) аналоговый фильтр, на входе которого мы видим зашум­
ленный тоновый сигнал, а на выходе — тон, очищенный от шума; (Ь) циф­
ровой эквивалент аналогового фильтра
5.1. Введение в КИХ-фильтры
Прежде всего, для вычисления текущего отсчета выходного сигнала КИХ-филь­
тры используют только текущий и предыдущие отсчеты входного сигнала и со­
всем не используют выходные отсчеты. (По этой причине КИХ-фильтры иногда
называют также нерекурсивными фильтрами’.) Это приводит к тому, что, если
входная последовательность содержит конечное количество ненулевых отсчетов, то
выходная последовательность такого фильтра также будет содержать последовате­
льность ненулевых отсчетов конечной длительности, благодаря чему КИХ-фильтры
и получили свое имя. Итак, если входная последовательность, начиная с некоторого
момента, превращается в последовательность нулевых отсчетов, то через некото­
рое время выходная последовательность также будет содержать только нулевые
отсчеты. Хотя эта особенность фильтра не представляется необычной, она очень
важна, и мы выясним, почему, когда узнаем больше о цифровых фильтрах.
Для вычисления выходных отсчетов КИХ-фильтры используют сложение при­
мерно так же, как мы используем сложение в процессе усреднения. И действительно,
усреднение представляет собой КИХ-фильтр, что мы можем продемонстрировать
1 Для полноты картины следует заметить, что КИХ-фильтры могут быть реализованы
и с использованием рекурсивной схемы, что продемонстрировано в главе 10 —(прим.
перев.).
5.1. Введение в КИХ-фильтры
165
на примере. Допустим, мы считаем количество машин, проходящих по мосту за
минуту, и нам необходимо узнать среднее количество машин в минуту за интер­
вал в пять минут; т. е. каждую минуту мы вычисляем количество машин в минуту
за последние пять минут. Если результаты подсчета машин за первые десять ми­
нут приведены в среднем столбце таблицы 5.1, то среднее количество машин в ми­
нуту за предыдущие пять одноминутных интервалов приведено в правом столбце
таблицы. Чтобы получить первое среднее значение, мы сложили данные для пер­
вых пяти одноминутных интервалов и разделили сумму на пять, ( 10 + 22 + 24 +
42 + 37)/5 = 27. Затем мы вычислили среднее значение количества машин в мину­
ту для одноминутных интервалов со второго по шестой и получили второе сред­
нее значение за пять минут, равное 40.4. Продолжая в том же духе, мы усреднили
количество машин в минуту для интервалов с третьего по седьмой и получили
третье среднее 53.8 и так далее. На рисунке 5.2 мы изобразили график количества
машин за одноминутные интервалы серой линией, график среднего количества
машин в минуту за пятиминутный интервал выделили черной линией. (На рисун­
ке 5.2 показаны входные значения количества м^шин в минуту за пределами деся­
тиминутного интервала, данные для которого приведены в таблице 5.1, чтобы
продемонстрировать некоторые важные идеи, которые следует коротко обсудить.)
Таблица 5 .1 . Численные значения для примера усреднения
Индекс
минуты
Количество машин
за последнюю минуту
Среднее за последние пять минут
количество машин в минуту
1
10
—
2
22
—
3
24
—
4
42
—
5
37
27
6
77
40.4
7
89
53.8
8
22
53.4
9
63
57.6
10
9
52
Из этого примера можно сделать много полезных выводов. На рисунке 5.2 за­
метно, что резкие изменения входной последовательности в процессе усреднения
сглаживаются. Выходная последовательность оказывается намного более глад­
кой, чем входная. Зная, что быстрые изменения последовательности обусловлены
высокочастотными компонентами, мы можем сказать, что наше устройство
усреднения ведет себя как фильтр нижних частот, сглаживая быстрые изменения
166
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
входной последовательности. Является ли наше устройство усреднения КИХфильтром? Конечно, да —для вычисления текущего выходного значения не испо­
льзуются предыдущие выходные отсчеты; только входные отсчеты используются
для вычисления выходных значений. Кроме того, мы видим, что, если мост закры­
вается в конце 19-й минуты, то серая линия быстро опускается до 0 машин в мину­
ту в конце 20-й минуты, а выходные отсчеты устройства усреднения на рисунке 5.2
постепенно уменьшаются до нуля к концу 24-й минуты.
Количество машин
90
80
70
60
50
40
30
20
10
о —і—і—і—1- і —і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—□—а—а—
1 2 3 4 5 6 7
Рис. 5 .2.
■— ►
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Минуты
Усреднение количества машин в минуту. Серая линия показывает коли­
чество машин за каждую минуту, а черная линия показывает количество
машин в минуту, усредненное за последние пять минут
Рисунок 5.2 показывает, что первый выходной отсчет появляется в конце 5-й
минуты, потому что именно в этот момент мы получаем первые пять отсчетов, ко­
торые позволяют нам вычислить правильное среднее. 5-й выходной отсчет можно
обозначить как у аие(5), где
Уаие(5) = М 1) + х (2) + х О ) + Х{4) + х (5 )] /5 .
(5-1)
В общем случае, если к-й входной отсчет есть х(к), то п-й выходной отсчет вы­
числяется как
п
Уаие(п) = [х ( п - 4 ) + х ( п - 3 ) + х ( п - 2 ) + х ( п - 1 ) + х (п )\/5 = ^ 1 х (к )/5 .
к=п-4
(5-2)
Теперь посмотрите на выражение (5-2) внимательно. Оно утверждает, что п-й
выходной отсчет представляет собой сумму п-то и четырех предыдущих входных
отсчетов.
Мы можем проявить фильтрующую сущность нашего устройства усреднения,
начертив его блок-схему, показанную на рисунке 5.3. Она показывает, как устрой­
ство усреднения вычисляет выходные отсчеты.
Эта блок-схема, которую называют структурой фильтра, представляет собой
изображение того, как мы могли бы вычислять выходные отсчеты усредняющего
фильтра, используя сдвиг входной последовательности по порядку слева направо
вдоль верхней части фильтра при вычислении каждого нового выходного отсчета.
5.1. Введение в КИХ-фильтры
167
Эта структура, которая реализует уравнения (5-1) и (5-2), показывает использу­
емые значения отсчетов в момент, когда мы получили первые пять входных от­
счетов. Элементы задержки на рисунке 5.3, которые называют единичными
задержками, образуют регистр сдвига, в котором входные отсчеты запоминаются
на время вычисления выходного отсчета.
Рис. 5 .3 .
Блок-схема усредняющего фильтра в момент, когда на вход поступает
пятый отсчет, 37
При усреднении мы складываем пять отсчетов и делим сумму на пять. В реали­
зации КИХ-фильтра мы можем с таким же успехом умножить каждый входной
отсчет на коэффициент 1/5, а затем вычислить сумму, как показано на рисун­
ке 5.4 (а). Конечно же, фильтры на рисунках 5.3 и 5.4 (а) эквивалентны, потому
что уравнение (5-2), описывающее структуру, показанную на рисунке 5.3, эквива­
лентно уравнению
п
Уаъе(п) = х ( п - 4 ) /5 + х (п -3 )/5 + х(п -2 )/5 + х (п -1 )/5 + х(п)/5 = 2 х ( к ) /5 ,
к=п-4
(5-3)
которое описывает структуру на рисунке 5.4 (а)1.
Давайте убедимся в том, что мы правильно понимаем то, что происходит на ри­
сунке 5.4 (а). Каждый из пяти входных отсчетов умножается на 1/5, и пять произ­
ведений суммируются, давая значение 5-го выходного отсчета. Сдвиг отсчетов
слева направо иллюстрируется на рисунках 5.4(Ь) и 5.4(с). Чтобы вычислить 6-й
выходной отсчет фильтра, входная последовательность сдвигается вправо, при
этом 1 -й отсчет, имеющий значение 10 , выпадает из регистра сдвига и теряется
безвозвратно, а 6-й отсчет со значением 77 поступает на вход слева. Аналогично,
при вычислении 7-го выходного отсчета входная последовательность сдвигается
вправо, в результате чего 2-й отсчет, равный 22, теряется, а 7-й входной отсчет,
имеющий значение 89, поступает на вход слева. Таким образом, когда на вход
приходит новый отсчет, фильтр отбрасывает самый старый отсчет, умножает от­
счеты на 1/5 и суммирует произведения, давая в результате один новый выходной
отсчет. Структура фильтра, использующая этот процесс сдвига типа пожарной
цепочки часто называют трансверсальным фильтром из-за поперечного переме­
щения входных отсчетов2. Поскольку для вычисления выходного значения мы
«ответвляем» отдельные входные отсчеты, структуру на рисунке 5.4 на жаргоне
цифровой обработки называют КИХ-фильтром с 5 ответвлениями.
При переносе множителя 1/5 в (5-2) под знак суммы в (5-3) мы используем дистрибутивный закон умножения и сложения скаляров a(b+c+d)= ab+ac+ad.
Английское слово transversal (трансверсалъный) переводится буквально как попереч­
ный, секущий — (прим. перев.).
168
Рис. 5 .4 .
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Альтернативная структура усредняющего фильтра: (а) входные отсчеты,
используемые для вычисления значения 5-го выходного отсчета;
(Ь) входные значения, используемые для вычисления 6 -го выходного от­
счета; (с) входные отсчеты, используемые для вычисления 7-го выходно­
го отсчета
Один важный и, вероятно, наиболее интересный аспект в понимании сущно­
сти КИХ-фильтров связан с предсказанием их поведения при подаче на вход си­
нусоидальных последовательностей разных частот, т. е. с оценкой их частотной
характеристики. На частотную характеристику КИХ-фильтров влияют два фак­
тора: количество ответвлений и значения коэффициентов, используемые при ум­
ножении. Мы исследует эти два фактора на нашем примере усредняющего
фильтра, а затем увидим, как можно использовать их при проектировании
КИХ-фильтров. Это приводит нас к необходимости ввести новое понятие: сверт­
ка. (На самом деле мы уже представили читателю уравнение свертки, не говоря об
этом. Это было уравнение (5-3), и сейчас мы изучим его подробнее.)
5.2. Свертка в КИХ-фильтрах
169
5.2. Свертка в КИХ-фильтрах
Сейчас мы всерьез возьмемся за математику, описывающую КИХ-фильтры.
Мы можем графически представить вычисления по формуле (5-3), показанные
на рисунке 5.4, так, как на рисунке 5.5. Кроме того, будем придерживаться обще­
принятых в теории цифровых фильтров обозначений для индексов входных от­
счетов и коэффициентов фильтра, когда первый индекс последовательности
принимается равным 0 ; т. е. мы будем обозначать первый входной отсчет какх( 0 ).
Следующий входной отсчет обозначается х( 1), следующий —х(2 ) и т. д. Анало­
гично, значения пяти рассматриваемых коэффициентов будут индексироваться
от нуля до четырех, т. е. от hiß) до h(4). (Эта схема индексирования позволяет сде­
лать описывающие наш пример уравнения совместимыми с общепринятыми в
литературе по цифровым фильтрам.)
В (5-3) в качестве коэффициентов фильтра, на которые умножаются отсчеты
входной последовательности, мы использовали множитель 1/5. В левой части ри­
сунка 5.5 показана схема соответствия этих коэффициентов (черные квадратики)
отсчетам входного сигнала фильтра, представленным пустыми квадратиками.
Обратите внимание на то, что на рисунках 5.5(a) — 5.5(e) мы сдвигаем входные
отсчеты вправо и на каждом шаге вычисляем значение выходного отсчета с помо­
щью (5-3). Выходные отсчеты в правой части рисунка 5.5 совпадают с первыми
пятью отсчетами, показанными черными квадратиками на рисунке 5.2.
Входные отсчеты на рисунке 5.5 —это те же значения, которые на рисунке 5.2
представлены белыми квадратиками. Заметьте, что порядок следования входных
отсчетов во времени на рисунке 5.5 изменен на обратный по отношению к поряд­
ку отсчетов на рисунке 5.2! То есть входная последовательность на рисунке 5.5 пе­
ревернута во времени. Эта инверсия порядка следования отсчетов во времени
обусловлена структурой фильтра, показанной на рисунке 5.4.
Повторяя первую часть (5-3) и опуская подстрочный индекс выходного сигна­
ла, можно записать выходной отсчет исходного КИХ-фильтра у(п) в виде
у(п) = [х(п-4) + х (п -3 ) + х (п -2 ) + х (п -1 ) + х ( п ) ] /5 .
(5-4)
Поскольку мы будем исследовать фильтры, коэффициенты которых принима­
ют разные значения, нам необходимо представить их некоторой переменной, на­
пример, h(k). Таким образом, мы можем переписать уравнение для выходного
отсчета усредняющего фильтра (5-4) в более общем виде
у(п) = h (4 )x(n -4 ) + h (3 )x(n -3 ) + h (2 )x(n -2 ) + h (1 )x(n -1 ) + h(0)x(n) =
4
= 2 h (k )x (n -k ),
k-o
/ 5.5ч
где все коэффициенты h(0) —h(4) равны 1/5. Выражение (5-5) представляет со­
бой компактный способ описания структуры фильтра, показанной на рисунке 5.4
и процесса вычисления, иллюстрируемого рисунком 5.5.
170
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
О
D
(а)
□
—
Первый входной отсчет, х(0)
/
D D П
j ^
^
| ^ Р
_
С умм а первы х пяти
произведений
*
Вычислить у(4)
——*— *—*—■
/
1 1--
С тационарны е
*
*
*
*
коэф ф ициенты
--------- 1---------------------—
4•
п
Выходной С И Г Н Э Д у(п)
*
□
□
С умм а вторы х пяти
произведении
g
■
=£>
м фж ж ж
. *
л ' I ------- —
о
°
4 5
п
Выходной сигнад у(п)
ж
°
□ о □
*
(с)
□
Вычислить у(6)
о
ж ж жж ж
0
2
п
□
'4
4
5
6
п
Выходной сигнад у(п)
□
*
□ о
*
ж
^
□
Вычислить у(7)
Ж
ш
ш
*
*
ж
4
5
п
6 7
Выходной сигнад у{п)
Пятый входной отсчет, х(4)
Q
°°
*
0
Рис. 5 .5 .
*
п
° □К,□ О_ О
*
2
*
*М мII
/
_ _
□ Вычислить у(8)
О
■
w
4
4 5 6
7
8
п
Выходной сигнад у(п)
Свертка в усредняющем фильтре: (а) первые пять входных отсчетов, вы­
ровненные относительно неподвижных коэффициентов фильтра, индекс
п = 4; (Ь) сдвиг входных отсчетов вправо, индекс п = 5; (с) индекс п = 6 ; (d)
индекс п = 7; (е) индекс п = 8
Сделаем еще одни шаг вперед и запишем я-й отсчет КИХ-фильтра с М ответв­
лениями:
М-1
у(п ) = 2 А ( % ( й 4 ) ,
k=o
( 5 -6 )
v ’
Итак, мы получили то, что хотели. Выражение (5-6) и есть печально извест­
ное уравнение свертки в приложении к цифровым КИХ-фильтрам. Начинаю­
щие в области цифровой обработки сигналов часто испытываю трудности в
усвоении понятия свертки. Эти трудности совсем не обязательны. Уравнение
171
5.2. Свертка в КИХ-фильтрах
(5-6) представляет собой просто некоторое количество умножений с последую­
щим суммированием произведений. В действительности процесс достаточно
прост. Мы просто инвертируем порядок следования отсчетов входной последова­
тельности и сдвигаем инвертированную последовательность относительно коэф­
фициентов фильтра, как показано на рисунке 5.5. Для каждого нового входного
отсчета мы суммируем произведения и получаем выходной отсчет.
Задержимся на минуту и введем новое понятие, которое важно хорошо усво­
ить — импульсную характеристику. Импульсная характеристика фильтра — это
именно то, что значит ее название, это выходная последовательность фильтра во
временной области при подаче на вход фильтра единственного отсчета, равного
единице (единичного импульса), которому предшествуют и за которым следуют
нулевые отсчеты. Рисунок 5.6 иллюстрирует это понятие точно таким же образом,
как рисунок 5.5 иллюстрирует получение выходной последовательности фильтра.
Левая часть рисунка 5.6 показывает соответствие коэффициентов фильтра, чер­
ных квадратиков, отсчетам входного импульса, отмеченным белыми (пустыми)
квадратиками. На рисунках 5.6 (а) —5.6 (е) мы сдвигаем входные отсчеты вправо
и на каждом шаге вычисляем выходной отсчет фильтра с помощью выражения
(5-4). Выходные отсчеты в правой части рисунка 5.6 представляют собой импуль­
сную характеристику фильтра. Обратите внимание на важную особенность: им­
пульсная характеристика КИХ-фильтра идентична послёдовательности пяти
коэффициентов. По этой причине термины коэффициенты КИХ-фильтра и им­
пульсная характеристика являются синонимами. Следовательно, когда кто-то
говорит об импульсной характеристике некоторого КИХ-фильтра, он также гово­
рит и о его коэффициентах.
Возвращаясь к усредняющему фильтру, вспомним, что все коэффициенты,
или отсчеты импульсной характеристики, h(0) — h(4) равны 1/5. Оказывается,
качество нашего фильтра можно улучшить, если использовать неравные значе­
ния коэффициентов. Под качеством фильтра мы понимаем то, насколько хорошо
фильтр пропускает требуемые сигналы и насколько хорошо он подавляет неже­
лательные сигналы. Мы оцениваем качество фильтра по форме его частотной ха­
рактеристики, которую мы получаем посредством использования свойства
свертки линейных систем. Для описания этого понятия повторим (5-6), исполь­
зуя сокращенную запись
у(п) = h(k) * х(п) ,
(5-7)
где символ * обозначает свертку. (Формула 5-7 читается так: «у от п равно свертке
к от Ии х от п».) Свойство свертки в приложении к КИХ-фильтрам формулирует­
ся следующим образом: ДПФ свертки импульсной характеристики фильтра и
входной последовательности равно произведению спектра входной последовате­
льности и ДПФ импульсной характеристики. Идея, которую мы стараемся доне­
сти до вас, состоит в том, что, если две последовательности во временной области
к(к) и х(п) имеют ДПФ Щ т) и Х(т) соответственно, то ДПФ последовательно­
с т и ^ « ) = 1г(к) * х(п) будет равно Н(т) • Х(т). Формулируя более компактно, мы
представляем это утверждение в форме выражения
у(п) = h(k) * х(п) <
ДПФ
ОДПФ
* Щ т) • Х(т )
(5-8)
172
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Импульсный
входной сигнал
1□
(а)
я
ж
я
Вычислить у(4)
О
я
Сумма первых пяти
произведений
Стационарные
коэффициенты
4
п
Импульсная характеристика, у(п)
Сумма вторых пяти
произведений
1□
(Ь)
>
Вычислить у(5)
---D—□—D-Dж
■ ж
я
1□
О
Вычислить у(6)
() —
О—Q-Q—□ -—О—
“
Вычислить у(7)
D —О—О—Q-
1
( Є)
—О — О —
*
я
ж
4 5 6
п
Импульсная характеристика, у(п)
^
(d)- О —!□ —□ —□
4 5
п
Импульсная характеристика, у{п)
*
Ж
4 5 6 7
л
Импульсная характеристика, у(п)
п
Вычислить у(8)
□ ------------D - 0 - D — О -
*
*
*
«О
4 5 6
7
8
п
Импульсная характеристика, у{п)
Рис. 5 .6 .
Свертка коэффициентов фильтра и входного импульса для получения
импульсной характеристики фильтра: (а) единичный отсчет импульса
выровнен с первым коэффициентом фильтра, индекс /7 = 4; (Ь) импульс
сдвинут вправо и индекс п = 5; (с) индекс п = 6; (d) индекс п = 7; (е) индекс
п=8
Здесь ОД ПФ обозначает обратное Д ПФ, и (5-8) показывает, что две последовате­
льности, образованные в результате выполнения операций h(k)*x(n) и Щтп) •X(jri),
связаны парой преобразований Фурье. Таким образом, вычисляя ДПФ от сверт­
ки h(k)*x(n), мы получаем произведение Н(т) •Х(т), т. е. спектр выходного сиг­
нала нашего фильтра Y(m). Аналогично, мы можем получить свертку h(k)*x(n),
вычисляя обратное ДПФ произведения Н(т) •Х(т). Из (5-8) можно сделать важ­
ное заключение о том, что свертка во временной области эквивалентна умноже­
нию в частотной области. Чтобы помочь вам понять этот принцип, на рисунке 5.7
наглядно представлено соотношение между сверткой во временной области и
произведением в частотной области. Операция свертки для линейных систем об­
суждается подробнее в разделе 5.9. Мы настоятельно рекомендуем начинающему
читателю просмотреть этот материал, чтобы получить общее представление о
том, как и когда операция сверки может быть использована для анализа цифро­
вых фильтров.
Выражение (5-8) и соотношения на рисунке 5.7 подсказывают нам, что необходи­
мо сделать, чтобы получить частотную характеристику некоторого КИХ-фильтра.
Произведение Х (т )9Н(т) — это ДПФ выходного сигнала фильтра. Поскольку
5.2. Свертка в КИХ-фильтрах
173
Х (т ) является ДПФ входной последовательности, отсюда следует, что частотная
характеристика фильтра есть Щт), ДПФ импульсной характеристики фильтра
h(k)\ Возвращаясь опять к нашей задаче, мы можем определить частотную харак­
теристику усредняющего фильтра, вычислив ДПФ последовательности коэффи­
циентов фильтра (импульсной характеристики) в (5-4). Если мы возьмем пять
коэффициентов h(k), равных 1/5, и дополним их 59 нулями, мы получим последо­
вательность, изображенную на рисунке 5.8 (а). Выполнив 64-точеное ДПФ этой
последовательности и пронормировав модули ДПФ, мы получаем амплитуд­
но-частотную характеристику .фильтра \Н(т)\, показанную на рисунке 5.8 (Ь), и
фазо-частотную характеристику, показанную на рисунке 5.8 (с)2. Мы видим, что
Н(т) —наша старая знакомая, функция sin (x )/r из раздела 3.13.
Рис. 5 .7 .
Соотношения свертки в приложении к цифровым КИХ-фильтрам
Теперь установим связь отсчетов дискретной частотной характеристики, по­
казанной на рисунках 5.8 (Ь) и 5.8 (с), с физической размерностью частоты диск­
ретизации f s. Из раздела 3.5 и нашего опыта манипуляций с ДПФ мы знаем, что
отсчет т = N/2 =32 в этом случае соответствует частоте заворота, равной половине
частоты дискретизации, f s /2. Учитывая это, мы можем преобразовать частотную
Здесь мы говорим «импульсная характеристика» вместо «коэффиценты», потому что
эта концепция применима также и к БИХ-фильтрам. Частотная характеристика БИХфильтра также равна ДПФ импульсной характеристики.
2 Использовать здесь именно 64-точечное ДПФ совсем не обязательно. Мы могли допол­
нить импульсную характеристику нулям до 16 или 32 отсчетов. Мы выбрали 64 отсчета,
чтобы обеспечить разрешение по частоте, которое позволяет нам получить достаточно
гладкую форму характеристики на рисунке 5.8 (Ь). Вспомните: чем больше отсчетов ис­
пользуется для БПФ, тем выше разрешение по частоте —не так ли?
174
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
ось рисунка 5.8 в частотную ось рисунка 5.9. Заметим, что на рисунке 5.9 (а) АЧХ
фильтра, конечно же, периодична в частотной области, и период повторения ра­
вен частоте дискретизации/5. Поскольку нас в первую очередь интересует частот­
ная характеристика фильтра в диапазоне частот от 0 до половины частоты
дискретизации, рисунок 5.9 (с) показывает этот диапазон в увеличенном масшта­
бе, чем подтверждает, что операция усреднения ведет себя как фильтр нижних ча­
стот. Это довольно плохой Ф Н Ч по сравнению с идеальным, характеристика
которого показана на рисунке 5.9 (с) штриховой линией, но наш усредняющий
фильтр будет ослаблять высокочастотные составляющие входного сигнала по
сравнению с низкочастотными составляющими.
0.2
0.1
(а)
0
■■
0 1
11
13
15
17
59
61
63
к
4 \Н(т)\
1
0.8 ■■
0.6
(Ь)
-•
0.4 ■■
0.2
0
■■
**
*
1
■■
7м* ■■
|| |П | И | Н | « 1 | М
И » ♦ !*
I I 1 1 1111?111111111 111
3 6
9 12 15 18 21 24 27 ЗО 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 т
«0("О
180
135
90
45
(С)
0
-45
1 1 | н 1 1 ff*-1-!*» ч
б
9 12 15
п м і н 111 {»■; н т -|н | Hf+5%i і і ц іі|і ц ії |
24 27 30
39 42 45
V
*
54 57 60 63
т
-90
-135
-180
Рис. 5 .8 .
Усредняющий КИХ-фильтр: (а) последовательность коэффициентов фи­
льтра h(k), дополненная нулями; (Ь) нормированная дискретная АЧХ
| Н(т) |; (с) ФЧХ в градусах
Это можно продемонстрировать на примере. Предположим, что мы подаем на
вход усредняющего фильтра низкочастотную синусоиду, показанную белыми квад­
ратиками на рисунке 5.10 (а), при этом частота синусоиды равна f s/32, а амплитуда
равна 1. Выходной сигнал в этом случае представляет собой синусоиду частотой
f s /32, амплитуда которой уменьшена до 0.96, при этом выходная синусоида оказы­
вается задержанной по фазе на 22.5°. Далее, если мы подадим на вход фильтра сину­
соиду с более высокой частотой, равной 3fs /32, как показано на рисунке 5.10 (Ь),
выходной сигнал фильтра будет синусоидой частотой 3fs /32, амплитуда которой
5.2. Свертка в КИХ-фильтрах
175
уменьшена еще больше, до 0.69. Кроме того, выходной сигнал на рисунке 5.10 (Ь)
имеет еще больший фазовый сдвиг, равный 67.5°. Хотя значения амплитуд и фаз
выходных сигналов на рисунке 5.10 были измерены при реализации КИХ-фильтра
с 5 ответвлениями, обрабатывающего входные синусоидальные сигналы, мы могли
бы получить их прямо по рисункам 5.8 (а) и 5.8 (Ь). Здесь мы хотим подчеркнуть,
что для того, чтобы узнать, какова частотная характеристика фильтра, нам нет не­
обходимости реализовать его и подавать на его вход синусоиды разных частот. Что­
бы получить частотную характеристику КИХ-фильтра, нам достаточно вычислить
ДПФ последовательности его коэффициентов (его импульсной характеристики),
как мы делали для получения характеристик, приведенных на рисунке 5.8.
Рис. 5 .9 .
Частотная характеристика усредняющего КИХ-фильтра в виде непре­
рывных кривых: (а) нормированная АЧХ \Н(т)\ш
, (Ь) фЧХ в градусах;
(с) АЧХ в диапазоне частот от 0 Гц до половины частоты дискретизации,
fs /2 r u
‘
На рисунке 5.11 показан другой способ оценки качества фильтра. Здесь свет­
ло-серой линией показана АЧХ фильтра, \Н(т) |, а темно-серой линией показан
|Х (т)|, амплитудный спектр входного сигнала (обозначенного белыми квадрати­
ками на рисунке 5.2). Черная линия изображает амплитудный спектр выходного
сигнала, который на рисунке 5.2 показан черными квадратиками. Таким образом,
на рисунке 5.11 спектр выходного сигнала получается как произведение графи­
ка характеристики фильтра, показанной светло-серой линией, на темно-серый
176
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
график спектра входного сигнала, или \Х(т) • Н(т) |. Мы снова можем убедиться в
том, что усредняющий фильтр действительно ослабляет высокочастотные со­
ставляющие входного сигнала.
Рис. 5 .1 0 . Входные и выходные последовательности усредняющего КИХ-фильтра:
(а) при подаче на вход синусоиды частотой 13/32\ (Ь) при подаче на вход
синусоиды частотой 3ів/32
Остановимся на минуту, чтобы приведенные сведения улеглись в памяти. Мы
рассмотрели пример с усредняющим фильтром и в результате установили, что:
□
КИХ-фильтры выполняют операцию свертки, суммируя произведения
отсчетов сдвинутой входной последовательности на коэффициенты
фильтра;
□
выходная последовательность КИХ-фильтра равна свертке входной
последовательности с импульсной характеристикой (последователь­
ностью коэффициентов) фильтра;
□
частотная характеристика КИХ-фильтра представляет собой ДПФ им­
пульсной характеристики фильтра;
□
спектр выходного сигнала КИХ-фильтра представляет собой произве­
дение спектра входного сигнала и частотной характеристики фильтра;
□
свертка во временной области и произведение в частотной области свя­
заны парой преобразований Фурье.
А теперь начинается самое интересное. Изменим значения пяти коэффициен­
тов фильтра, чтобы модифицировать частотную характеристику нашего Ф НЧ с
пятью ответвлениями. На рисунке 5.12 (а) показаны исходные пять коэффициен­
тов и еще два произвольных набора из пяти коэффициентов каждый. На рисун­
ке 5.12 (Ь) сравниваются амплитудно-частотные характеристики для этих трех
5.2. Свертка в КИХ-фильтрах
177
наборов. Частотные характеристики вычисляются как ДПФ трех наборов коэф­
фициентов, затем строятся графики модуля ДПФ, как мы делали это для получе­
ния графиков на рисунке 5.9 (с). На рисунке 5.12 мы можем заметить три важные
особенности. Во-первых, как мы и ожидали,-разные наборы коэффициентов дают
разные частотные характеристики. Во-вторых, резкие изменения значений сосед­
них коэффициентов, такие как переход от 0.2 к 0 в первом наборе коэффициентов,
вызывают появление пульсаций, или боковых лепестков, частотной характери­
стики. В-третьих, если мы уменьшим эти скачки значений коэффициентов, как в
третьем наборе на рисунке 5.12 (а), мы уменьшим эти пульсации. Однако умень­
шение уровня боковых лепестков приводит к увеличению ширины главного лепе­
стка нашего ФНЧ. (Как мы увидим, это тот же самый эффект, с которым мы
сталкивались при обсуждении окон, используемых с ДПФ, в разделе 3.9.)
Рис. 5 .1 1 . Модуль спектра входной последовательности усредняющего КИХ-фильтра, АЧХ фильтра и модуль спектра выходной последовательности
Чтобы напомнить, как используются коэффициенты фильтра, на рисунке 5.13
показана структура КИХ-фильтра с пятью ответвлениями, использующая третий
набор коэффициентов с рисунка 5.12. Реализация трансверсального КИХ-филь­
тра с постоянными коэффициентами ничуть не сложнее, чем структуры, показан­
ной на рисунке 5.13. Это так просто. Мы можем иметь фильтр с количеством
ответвлений, превышающим 5, но сдвиг входных отсчетов, умножение на постоян­
ные коэффициенты и суммирование остаются неизменными. (Под постоянными
коэффициентами мы понимаем не коэффициенты, имеющие одинаковые значе­
ния, а коэффициенты, значения которых не меняются, или инвариантны, во време­
ни. Существует класс цифровых фильтров, так называемые адаптивные фильтры,
коэффициенты которых периодически изменяются, чтобы подстроиться под изме­
няющиеся параметры входного сигнала. Мы не собираемся обсуждать адаптивные
фильтры в этом вводном курсе, но их описание имеется в литературе [1-5].)
178
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
0.2
0.2
(а)
0.1
0.1
-
0.1
■
-■ —■—И-
0
2
4
0
2
4
0
2
4
Рис. 5 .1 2 . Три набора коэффициентов фильтра с пятью ответвлениями: (а) наборы
коэффициентов: 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2; 0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1 и 0.04, 0.12,
0.2, 0.12, 0.04;, (Ь) частотные характеристики трех КИХ ФНЧ, использую­
щих эти наборы коэффициентов
Рис. 5 .1 3 . Реализация КИХ ФНЧ с пятью ответвлениями с набором коэффициентов
0.04, 0.12,0.2, 0.12 и 0.04
До сих пор наше описание построения КИХ-фильтров представлялось с точки
зрения аппаратурной реализации. Согласно рисунку 5.13, для вычисления одного
выходного отсчета фильтра необходимо выполнить пять умножений и пять сло­
жений до прихода следующего входного отсчета. В программной реализации
КИХ-фильтра с пятью ответвлениями все входные отсчеты должны быть предва­
рительно записаны в память. Работа процедуры, реализующей программный
фильтр, состоит в том, чтобы выбирать различные сегменты из пяти отсчетов из
массива входных данных х(п), выполнять вычисления, показанные на рисун­
ке 5.13, и запоминать результирующую выходную последовательность у(п) в мас­
сив, расположенный в памяти .
Просматривая литературу, посвященную КИХ-фильтрам, читатель часто будет встре­
чать символ г~ ^ вместо блока задержки на рисунке 5.13. Эквивалентность этих обозна­
чений объясняется в следующей главе при Изучении БИХ-фильтров.
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних частот
179
Теперь, когда мы в основном понимаем, что представляют из себя КИХ-фильтры, посмотрим, чего можно добиться использованием свыше пяти ответвлений
фильтра, научившись проектировать КИХ-фильтры.
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних
частот
А теперь, вместо того, чтобы использовать заданный заранее набор коэффици­
ентов КИХ-фильтра и анализировать его частотные характеристики, попробуем
выполнить обратную процедуру и спроектировать свой собственный КИХ-фильтр
нижних частот. Процедура проектирования начинается с задания требуемой час­
тотной характеристики с последующим вычислением коэффициентов фильтра,
которые дают эту характеристику. Существует два наиболее распространенных
метода проектирования КИХ-фильтров: метод окон и так называемый оптимиза­
ционный метод. Рассмотрим их в упомянутом порядке.
5.3 .1 . Метод проектирования с помощью окон
Проектирование КИХ-фильтров методом окон (который также называют ме­
тодом разложения в ряд Фурье) начинается с принятия решения о том, какой
должна быть частотная характеристика проектируемого фильтра нижних частот.
Мы можем начать с рассмотрения непрерывного фильтра нижних частот с последу­
ющим моделированием этого фильтра цифровым фильтром. В качестве исходной
возьмем идеальную непрерывную частотную характеристику Я (Д т. е. характери­
стику, которая равна единице на низких частотах и равна 0 (имеет бесконечное
подавление) на частотах, превышающих некоторую частоту среза, как показано
на рисунке 5.14 (а). Представление этой характеристики # ( /) дискретной частот­
ной характеристикой достаточно очевидно, поскольку идея дискретной частотной
характеристики по существу та же, что и непрерывной частотной характеристи­
ки — при одном важном отличии. Как говорилось в разделах 2.2 и 3.13, дискрет­
ные представления в частотной области всегда периодичны с периодом, равным
частоте дискретизации / 5. Дискретным представлением нашего идеального не­
прерывного фильтра нижних частот Н (/) является периодическая характеристи­
ка Н(т), изображенная на рисунке 5.14(Ь) отсчетами в частотной области.
Есть два способа определения коэффициентов фильтра нижних частот. Пер­
вый способ —аналитический:
1.
Записать выражение для дискретной частотной характеристики Н(т).
2.
Подставить это выражение в формулу обратного ДПФ, чтобы полу­
чить коэффициенты к(к).
3.
Вывести выражение для /г(£), как функции индекса времени &.
180
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Частотная
характеристика
фильтра
(а)
--------- 1
і
-Л.
<
■------ 1------ 1—
t , Н (0
і частота
у / среза
«------ >
fsl 2
V2
— --------1---------- ►
Частота
(f)
I Н (т )
—I----
(Ь) - — I—
т =-N
т = - N12
т =О
т = N12
Hs)
(-У2)
(0 )
(fs/2)
т = N Частота
(т)
(fs)
Интервал от - f /2 до Л /2
Интервал от 0 до Л
Рис. 5 .1 4 . Частотные характеристики фильтра нижних частот: (а) непрерывная час­
тотная характеристика H{f)\ (b) периодическая дискретная частотная ха­
рактеристика Н(т)
Второй способ состоит в том, чтобы задать отсчеты Щ т ) в частотной области,
а затем с помощью программы, реализующей обратное ДПФ, получить коэффи­
циенты КИХ-фильтра. В любом случае нам необходимо задать периодическую
Щ т ) на одном периоде f s Гц. С точки зрения последующих преобразований при
аналитическом вычислении коэффициентов нам удобнее определить Н(т) на ри­
сунке 5.14 (Ь) в диапазоне частот от - f s /2 до / 5 / 2, а при численном вычислении
ОДПФ удобнее задавать Щт) для частот от 0 до f s. Попробуем использовать оба
метода для вычисления коэффициентов фильтра.
При аналитическом вычислении мы можем определить произвольную дискрет­
ную частотную характеристику Н(т), используя N отсчетов на интервале частот от
- f s /2 до f s/2 и задав К единичных отсчетов, соответствующих полосе пропускания
проектируемого фильтра, как показано на рисунке 5.15. Чтобы определить h(k)
аналитически, необходимо взять ОДПФ функции Щт) в следующей форме
Щт)
к
-N12+1
^
m =( К - 1 )/2
m = - (К -1)/2
т
N12
Рис. 5 .1 5 . Частотная характеристика произвольного дискретного КИХ ФНЧ, опре­
деленная в N точках частотной оси в диапазоне частот ^ Гц
N/2
h(k) - { 1 / N ) 'Z H ( m ) e i2nmk/N,
m =-(N/2)+1
(5-9)
где &- временной индекс. Результат преобразования (5-9), полученный в разде­
ле 3.13 как (3-59), мы повторяем здесь в виде
h(k) = (1 /N)[sm(nkK/N)]/[Nsm(7tk/N) ] .
(5-10)
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних частот
181
Если мы вычислим (5-10) как функцию к, мы получим последовательность, по­
казанную на рисунке 5.16, которая имеет форму классической функции 8т ( х ) /х
Просмотрев материал раздела 3.13, легко заметить, что переход от (5-9) к (5-10)
требует достаточно большого количества аналитических выкладок. На деле такой
большой объем аналитических преобразований, создающих много возможностей
для внесения ошибок, приводит к тому, что разработчики цифровых фильтров
стараются избегать аналитических преобразований выражения (5-9). Они пред­
почитают использовать для вычисления к(к) программы, выполняющие ОДПФ
(в форме обратного БПФ ), так же будем поступать и мы.
Ш
*
И ||
■■■
«***
* *ш*I Ж 0
* * *
/7(/с)
, К
"
* * *м *
*
а . а
*
***ж
* * *' «* *
щ ** * а* * к
ь
Рис. 5 .1 6 . Коэффициенты Ь(к), полученные в результате вычислений по (5-10)
Продемонстрируем проектирование КИХ-фильтра с помощью программного
ОДПФ на примере. Допустим, мы хотим спроектировать КИХ-фильтр, моделиру­
ющий непрерывную частотную характеристику, показанную на рисунке 5.17 (а).
Дискретный вариант частотной характеристики фильтра Н(тп) показан на рисун­
ке 5.17 (Ь), где мы использовали Ы = 32 точки на частотной оси. На рисун­
ке 5.17 (с) приведены отсчеты частотной характеристики в диапазоне от 0 до / 5.
Этот рисунок эквивалентен рисунку 5.27*(Ь), изображающему отсчеты характе­
ристики в диапазоне ~ /3/2 до + /5 /2, но содержит только отсчеты, соответствую­
щие положительным частотам. Итак, мы почти у цели. Использовав 32-точечное
О БП Ф для вычисления 32-точечного обратного Д ПФ последовательности Н(т),
показанной на рисунке 5.17 (с), мы получаем 32 отсчета /г(&), показанных точками
на рисунке 5.18 (а) для диапазона индексов от ^ = -1 5 до к = 16 \ Нам нужно сделать
еще один шаг. Поскольку мы хотим сделать последовательность коэффициентов фи­
льтра симметричной относительно отсчета с наибольшим значением, мы опустим
коэффициент с индексом к= 16 и сдвинем индекс ^ влево, в результате чего получим
требуемую форму к(к) вида 8т(х )/х , как показано на рисунке 5.18 (Ь). Этот сдвиг
индекса ^ не изменяет амплитудно-частотную характеристику КИХ-фильтра.
(Вспомните, что согласно теореме о сдвиге ДП Ф в разделе 3.6 сдвиг во вре­
менной области проявляется в частотной области как линейный фазовый сдвиг
без изменения модуля спектра.) Последовательность на рисунке 5.18 (Ь) и есть
последовательность коэффициентов, которые мы используем в операции сверт­
ки для реализации КИХ ФНЧ.
Здесь важно показать, что, чем больше отсчетов к(к) мы используем в качестве
коэффициентов фильтра, тем ближе наша частотная характеристика к идеальной.
Используем девять центральных отсчетов к(к) и посмотрим, как будет выглядеть при
этом частотная характеристика. АЧХ и в этом случае вычисляется как ДПФ этих де­
вяти отсчетов, как показано в правой части рисунка 5.19 (а). Частотная характери­
стика идеального фильтра для сравнения показана здесь же серой линией. (Чтобы
подробнее показать ее форму, мы начертили \Н(т) \ на рисунке 5.19 (а) сплошной
Если вы хотите использовать этот метод проектирования КИХ-фильтров, но у вас есть
только программа прямого БПФ, в разделе 13.6 вы найдете способ использования ал­
горитма прямого БПФ для вычисления обратного БПФ.
182
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
линией, но мы должны помнить, что на самом деле \Н(т)\ есть последовательность
дискретных отсчетов.) Заметьте, что при использовании девяти отсчетов мы
определенно получаем фильтр нижних частот, но он явно далек от идеала. Исполь­
зование большего количества коэффициентов позволяет улучшить ситуацию: на
рисунке 5.19 (Ь) показаны 19 коэффициентов и соответствующая АЧХ, которая
выглядит более похожей на требуемую прямоугольную характеристику. Обратите
внимание на то, что в полосе пропускания хорошо видны флуктуации, или пульса­
ции, частотной характеристики фильтра Н(т). Использование всех 31 отсчетов
последовательности /г(&) дает частотную характеристику, показанную на ри­
сунке 5.19 (с). Частотная характеристика нашего фильтра стала еще лучше
(приблизилась к идеалу), но подозрительные пульсации в полосе пропускания
по-прежнему присутствуют.
Частотная
характеристика
фильтра
(а)
AH(f)
Частота среза
—1--------------1—
- V
•
- f s/8
-fs l4
2
1 п
(Ь)
»
I
і
-15
-12
-8
-4 і
К /4 )
( - У 8)
Н(т) к и
(с)
0
T"" " ""
f s /8
о
ж ж
т
.. І ...... ..
т --------------1— ■■
fs /4
У 2 "
Н(т)
і
і
і
4
8
16
( У 8)
( У 4)
°
(^s /2)
ї
н
4
(fs/8)
8
(fs l4)
12
16
(fsl2)
20
24
(3fs/4)
т
28
і
31
m
(f,)
Рис. 5 .1 7 . Идеальный фильтр нижних частот: (а) непрерывная частотная характе­
ристика H(f); (b) дискретная характеристика Н(т) в диапазоне частот от
- f s /2 до fs 12 Гц; (с) дискретная характеристика Н(т) в диапазоне частот
от 0 до fs Гц
0.219
(а)
«**
Обратное ДПФ Н(т)
,*** -8
-12
* к
шшш ^(к) = сдвинутое обратное ДПФ
м последовательности Н(т)
Рис. 5 .1 8 . Обратное ДПФ дискретной характеристики, показанной на рисунке 5.17(с):
(а) нормальная индексация отсчетов обратного ДПФ; (Ь) симметричная
последовательность коэффициентов, используемая для реализации
КИХ-фильтра с 31 ответвлением
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних частот
183
Нам важно понять, откуда берутся эти пульсации в полосе пропускания КИХфильтра нижних частот на рисунке 5.19. Вспомним сказанное выше о свертке ко­
эффициентов, или импульсной характеристики, усредняющего фильтра с пятью
ответвлениями с последовательностью входных данных для получения выход­
ного сигнала. Мы установили, что свертка во временной области соответствует
умножению в частотной области, что мы представили символически в (5-8) и
повторяем здесь в виде
ДПФ
к(к) *х(п) <
* Н(т) • Х(т)
(5-11)
ОДПФ
Эта связь между сверткой во временной области и умножением в частотной
области, изображенная на рисунке 5.7, показывает, что, если две последователь­
ности во временной области Н(к) и х(п) имеют ДПФ Н(т) и Х(т ) соответственно,
то ДПФ свертки /г(&) * х(п) будет равно Н(т) • Х(т ). Не существует никаких
ограничений относительно того, что в действительности представляют последо­
вательности к(к) и х(п) в (5-11). В разделе 5.9 мы выясним, что свертка в одной
области эквивалентна умножению в другой области. Это позволяет нам утверж­
дать, что умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной об­
ласти или
ДПФ
к{к) • х(п) (
* Щт) *Х(т)
ОДПФ
(5-12 )
\Н(т)\ для ф ильтра с 9 ответвлениями
\Н(т)\ для ф ильтра с 31 ответвлением
Рис. 5 .1 9 . Коэффициенты и частотные характеристики трех фильтров нижних частот:
(а) КИХ-фильтра с 9 ответвлениями; (Ь) КИХ-фильтра с 19 ответвлениями;
(с) частотная характеристика полного фильтра с 31 ответвлением
184
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Теперь мы готовы понять, откуда берутся пульсации АЧХ, заметные на рисун­
ке 5.19.
Переписывая (5-12) и заменяя h ( k ) n x ( n ) последовательностями /г°°(&) и w(k)
соответственно, получаем
ДПФ
hcc(k) • w(k) <__ Г * Я °°(т) * W(m)
(5-13)
ОДПФ
Будем считать, что h°°(k) представляет бесконечно длинную последователь­
ность коэффициентов идеального КИХ-фильтра нижних частот вида sin(.r)/.r, а
w(k) представляет окно, которое мы используем для усечения последовательности
sin(x)/x, как показано на рисунке 5.20. Таким образом, w(k) представляет собой по­
следовательность конечной длины единичных отсчетов, и ее ДПФ есть W(m). Дли­
на w(k) равна количеству коэффициентов, или ответвлений, которые мы намерены
использовать при реализации нашего КИХ ФНЧ. При принятом определении
hx (k) произведение h°°(k)*w(k) представляет собой усеченную последователь­
ность коэффициентов h(k) на рисунках 5.19 (а) и 5.19 (Ь). Следовательно, согласно
(5-13), реальная частотная характеристика КИХ-фильтра Щт) есть свертка
Щт) = Я°°(ш) * W(m)
Ж
■
------ ...............................................
■ ■
Л-------------------щ *
■
-
■,
‘
(5-14)
* Ж hx (k)
■
■
......................................................
■
■
-
,
*■ м...............
' .Д
- . , " .....
Ж
- -
■-
w (k)
п
ш * Н
/7(/с)
*
■
X
М
___________■__________ ■____________
к
Рис. 5 .2 0 . Бесконечная последовательность /7°°(/с), взвешенная окном \м(к) для по­
лучения коэффициентов фильтра А?(/с)
Мы изображаем эту свертку на рисунке 5.21, где для того, чтобы не загромож­
дать картинку, мы показываем Н°°(т) (ДПФ коэффициентов И™(к)) как серый
прямоугольник. Помните, что это в действительности последовательность отсче­
тов с одинаковыми значениями.
Посмотрев на рисунок 5.21 (а) очень внимательно, можно увидеть, почему
все три |Я(ш)| на рисунке 5.19 имеют пульсации в полосе пропускания. Мы мо­
жем рассматривать конкретный отсчет свертки Щт) = Н°°(т)*]У(т) как сумму
произведений Н°°(т) на \\Г(т) для соответствующего сдвига \У(т) по частоте.
Я °°(т) и несдвинутая последовательность \¥(т) показаны на рисунке 5.21 (а.).
185
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних частот
Если предполагается, что все отсчеты Я°°(ш) равны единице, то значение конкрет­
ного отсчета Щт) является просто суммой отсчетов W(m), которые накладывают­
ся на прямоугольник Н™(т). Следовательно, при сдвиге W(m) на 0 Гц сумма
отсчетов W(m), которые накладываются на прямоугольник Я°°(т) на рисунке 5.21
(а), дает значение Щ т) на частоте 0 Гц. По мере сдвига W(m) вправо, что дает нам
дополнительные значения Щ т) для положительных частот, мы можем видеть, что
сумма положительных и отрицательных отсчетов W(m) под прямоугольником ко­
леблется. Рисунок 5.21 (Ь) показывает, как в процессе сдвига при вычислении свер­
тки появляются пульсации в полосе пропускания Щ т) —сумма положительных и
отрицательных отсчетов W(m), попадающих под прямоугольник Н°°(т), изменяет­
ся при каждом сдвиге функции W(m). Сдвиг W(m) по частоте, показанный на ри­
сунке 5.21 (с), когда вершина главного лепестка W(m) выходит за пределы
прямоугольника Н™(т), соответствует частоте, на которой полоса пропускания на­
чинает переходить в полосу задерживания. Рисунок 5.21 (d) показывает, что при
продолжении сдвига W(m) мы получим пульсации Щ т) за пределами положите­
льной частоты среза1. Кратко итог можно выразить так: пульсации Щт) вызваны
боковыми лепестками W(m).
hf°(m) = ДПФ haj(k)
', Х — "
_1
Щ т ) = ДПФ
прямоугольного w(n)
(а)
*
О
Частота
(Ь)
Частота
(с)
Частота
•
(d)
■
! ■
0 щ*т 1
и**
------ —и».--- .і—. ---------«--- ■----■.--Г-Н
Ä
**
■*'
Частота
Рис. 5 .2 1 . Свертка W(m) * Н°°(т): (a) W(m) и Н“ ( т ) в отсутствие сдвига; (Ь) сдвиг
Щт), порождающий пульсации в полосе пропускания Н(т) на положи­
тельных частотах; (с) сдвиг W(m), приводящий к началу переходной по­
лосы вблизи положительной частоты среза Н(т)\ (d) сдвиг W(m),
вызывающих пульсации за пределами частоты среза Н(т)
1 Если бы мы начали сдвигать W(m) на рисунке 5.21 (Ь) влево, чтобы получить ту часть
Н(пг), которая соответствует отрицательным частотам, мы получили бы зеркальное
отображение части Щт), соответствующей положительным частотам.
186
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Рис. 5 .2 2 . Пульсации в полосе пропускания и переходные полосы: (а) для ФНЧ с 31
ответвлением: (Ь) для ФНЧ с 63 ответвлениями
Рисунок 5.22 помогает ответить на следующий вопрос. Сколько коэффициен­
тов вида sin(x)/x следует использовать (или какой должна быть длительность
w(k)) для получения красивой крутой переходной полосы и устранения пульса­
ций в полосе пропускания Н(т)? Ответ состоит в том, что мы не можем получить
и то, и другое одновременно. Не имеет значения, сколько коэффициентов sin(.r)/.r
(ответвлений фильтра) мы используем, пульсации в полосе пропускания будут
присутствовать всегда. Пока w (k) содержит конечное количество единичных
отсчетов (т. е. прямоугольное окно имеет конечную длительность), W(m) будет
содержать боковые лепестки, а они будут вызывать пульсации в полосе пропус­
кания в результирующей частотной характеристике Н(т). Чтобы показать, что
увеличение количества коэффициентов sin (x )/r не уменьшает размах пульсаций,
мы повторяем график частотной характеристики Ф Н Ч с 31 ответвлением на ри­
сунке 5.22 (а). На рисунке 5.22 (Ь) показана частотная характеристика фильтра в
63 коэффициентами, и пульсации в ней остались. Используя дополнительные ко­
эффициенты фильтра h(k), мы можем сделать переходную полосу более узкой, но
мы не можем устранить пульсации в полосе пропускания. Эти пульсации, извест­
ные как явление Гиббса, проявляются всегда, когда некоторая функция (в данном
случае w(k)), содержащая разрыв, представляется рядом Фурье [6 -8 ]. Никакой
конечный набор синусоид не может изменяться достаточно быстро, чтобы обра­
зовать разрыв. Иначе можно сказать, что явление Гиббса состоит в том, что неза­
висимо от длительности окна w(k), его ДПФ W(m) всегда будет иметь боковые
лепестки. Как показано на рисунке 5.22 (Ь), мы можем использовать больше ко­
эффициентов, увеличив ширину прямоугольного окна w(k), чтобы сделать пере­
ходную полосу уже, но более широкое окно w(k) не только не избавляет нас от
пульсаций, но даже не уменьшает их размах, если w(k),содержит разрывы.
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних частот
187
5 .3 .2 . Окна в проектировании КИХ-фильтров
Но есть и хорошая новость: мы можем минимизировать пульсации в полосе
пропускания с помощью окон, точно так же, как мы минимизировали утечку
спектра в разделе 3.9. Вот как это делается. На рисунке 5.20 видно, что в результа­
те усечения бесконечной последовательности /г°°(&) путем умножения ее на пря­
моугольное окно т(Ь) получаются коэффициенты /г(к), которым соответствует
частотная характеристика с пульсациями в полосе пропускания. Рисунок 5.21 по­
казывает, что пульсации в полосе пропускания вызваны боковыми лепестками
\У(т), которые, в свою очередь, являются следствием разрывов от нуля до едини­
цы и от единицы до нуля на концах т(к). Если мы будем считать, что т(к) на ри­
сунке 5.20 — прямоугольное окно, то именно разрывы на концах этого окна
являются источником пульсаций в полосе пропускания. Метод проектирования
КИХ-фильтров с помощью окон представляет собой метод уменьшения разры­
вов окна т(к) путем использования окон, отличных от прямоугольного.
Рассмотрим рисунок 5.23, чтобы понять, как можно использовать непрямоуго­
льные окна для проектирования цифровых фильтров с низким уровнем пульса­
ций. Представим себе, что мы заменили прямоугольное окно м(к) на рисунке 5.20
окном Блэкмана, дискретные отсчеты которого определяются формулой 1
т{к) = 0.42 - 0.5со8(2лк/Ы) + 0.08соБ(4лк/Ы) при к=0, 1,2,..., N - 1
(5-15)
Эта ситуация показана для N = 31 на рисунке 5.23 (а), где хю(к) (5-15) выглядит
очень похоже на окно Хэмминга на рисунке 3.17 (а). Окно Блэкмана дает нам 31
коэффициент, значения которых постепенно уменьшаются к концам окна в нижней
части рисунка 5.23 (а). Обратите внимание на два момента, касающихся результиру­
ющей последовательности Щт) на рисунке 5.23 (Ь). Во-первых, хорошая новость.
Пульсации в полосе пропускания существенно уменьшились по сравнению с хо­
рошо заметными пульсациями на рисунке 5.22 (а) —так что окно Блэкмана свою
функцию выполнило. Во-вторых, за уменьшение пульсаций в полосе пропуска­
ния мы заплатили расширением переходной полосы Щт). Мы можем повысить
крутизну характеристики в переходной полосе, увеличив количество ответвлений
КИХ-фильтра. Рисунок 5.23 (с) демонстрирует улучшенную частотную характе­
ристику при использовании 63 коэффициентов. Следовательно, использование не­
прямоугольных окон уменьшает уровень пульсаций в полосе пропускания за счет
более плавного перехода от полосы пропускания к полосе подавления.
1 Как мы упоминали в разделе 3.9, точные выражения для оконных функций зависят от
диапазона изменения индекса к. Если мы примем диапазон изменения индекса, напри­
мер, равным -N /2 < к< N/2, то выражение для окна Блэкмана изменится и будет вы­
глядеть как т(к) = 0.42 + 05со$(2як/Щ + 0.08со$(4жк/К).
188
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
а ш /7°°(/()
Окно Блэкмана
-|
(а)
❖
№
Переходная полоса
(Ь)
Переходная полоса
\Н(т)\
(С)
(
----------------------- и
Л /8
-> |
|< -
\
^V
8
.
Частота
Рис. 5.2 3 . Коэффициенты и частотная характеристика КИХ-фильтра с 31 ответвле­
нием при использовании окна Блэкмана: (а) вычисление взвешенных ко­
эффициентов фильтра Л(/с); (Ь) частотная характеристика с пониженным
уровнем пульсаций; (с) частотная характеристика фильтра с 63 ответв­
лениями и пониженным уровнем пульсаций
Графическое сравнение частотных характеристик для прямоугольного окна и
окна Блэкмана выполняется на рисунке 5.24. (Кривые на рисунке 5.24 были полу­
чены для окон, содержащих 32 отсчета, к которым были добавлены 480 нулей с
последующим вычислением 512-точечного ДПФ.) Амплитуды боковых лепест­
ков спектра окна Блэкмана | \¥(т) | слишком малы, чтобы их можно было увидеть
в линейном масштабе. Мы можем рассмотреть эти боковые лепестки в деталях,
построив оба графика частотных характеристик в логарифмическом масштабе и
189
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних частот
пронормировав графики относительно максимальных значений главных лепест­
ков спектров, так что эти значения в логарифмическом масштабе равны 0 дБ. Для
заданного окна мы можем получить логарифмический спектр WdB(m) с помощью
выражения
WdB(m) = 2° • log10( | W(m) \ / | W (ö)|).
(5-16)
(Значение |W(ß) | в (5-16) представляет собой модуль вершины главного лепест­
ка W(m), когда m = 0.) Рисунок 5.24 (Ь) демонстрирует существенно уменьшенный
уровень боковых лепестков окна Блэкмана, а также то, что ширина главного лепе­
стка почти в три раза больше, чем ширина главного лепестка прямоугольного окна.
о
-10
Блэкман (штриховая)
. .
\ /
-,\
/ Прямоугольное (пунктирная)
-20
-30
.....................................
;\
■: \
\
(Ь)
\
-40
\
■„■
■\1 tн ........ :........
и
1:
!
■
-50
-60
\\ I
jLL
-70
f/8
\: /
V,
f/4
\: /
sil__ і
f 12 Частота
Рис. 5 .2 4 . Сравнение спектров прямоугольного окна и окна Блэкмана: (а) | И/(т)| в
линейном масштабе; (Ь) графики в нормированном логарифмическом
масштабе ]/\/С
]В(т)
Мы, конечно же, могли бы использовать для расчета нашего КИХ Ф НЧ любое
другое окно из рассмотренных в разделе 3.9. Поэтому данный метод проектирова­
ния фильтров называется методом окон. Мы выбираем окно и умножаем на него
функцию /г°°(&) вида 8т ( х ) / х , показанную на рисунке 5.23 (а), в результате чего
получаем окончательный набор коэффициентов фильтра /г(&). Это так просто.
190
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Прежде чем закончить описание метода окон, рассмотрим две новые оконные
функции.
Хотя окно Блэкмана и другие окна, описанные в разделе 3.9, полезны для
проектирования КИХ-фильтров, при их использовании доступно мало возмож­
ностей для регулирования частотных характеристик, т. е. мы можем только вы­
бирать тип окна и довольствоваться той частотной характеристикой, которая
при этом получается. Наверное, было бы очень неплохо иметь возможность гиб­
кого выбора вариантов компромисса между шириной главного лепестка и уров­
нем боковых лепестков. К счастью, существуют два популярных окна, которые
предоставляют такую возможность. Они называются окном Чебышева и окном
Кайзера и определяются следующими внушительными выражениями:
Окно Чебышева -*
(его также называют
окном Дольфа-
т(к) — ІУ-точечное ОДПФ последовательности
,
с о з ^ с о з - ^ * с о 5(ят/ЛГ)]}/
Чебышева)
/с о 8Ь[А^»со8Ь_^ (а )],
где
(5-17)
а =со8Ь[(1/І\Г)со$\і~1(10у)]
и
772 = О, 1,2,..., М - 1
Окно Кайзера -»
(его называют
также окном
Кайзера-Бесселя)
*(4) - 10ф V I М ( * - Р ) /Р ] 2) > / Ш ,
(5-18)
7
ПРИ к = 0, 1,2,..., N - 1 и р = (А!-1 )/2
Два типовых окна Чебышева и Кайзера и их амплитудные спектры показаны
на рисунке 5.25. Для сравнения там же приведены прямоугольное окно и окно
Блэкмана. (Графики на рисунке 5.25 (Ь) были получены для окон, рассчитанных в
32 точках с добавлением 480 нулей и последующим 512-точечным ДПФ.)
Первоначально выражение (5-17) было выведено в теории антенных решеток
с использованием полиномов Чебышева [9-11]. Выражение (5-18) происходит из
выполненной Кайзером аппроксимации вытянутых сфероидальных функций с
помощью функций Бесселя нулевого порядки [12-13]. Пусть вас не смущает
сложность выражений (5-17) и (5-18) —в данный момент нас не интересуют мате­
матические подробности их вывода. Нам только нужно убедиться в том, что
управляющие параметры у и уЗ в (5-17) и (5-18) дают возможность регулировать
ширину главного лепестка окна и уровень его боковых лепестков.
5.3. Проектирование КИХ-фильтра нижних частот
191
Рис. 5 .2 5 . Типовые оконные функции, используемые для проектирования ЦФ: (а)
отсчеты окон во временной области; (Ь) модули спектров окон в дБ
Посмотрим, как выглядит эта зависимость в случае окна Чебышева, задав че­
тыре разных значения / и построив их спектры на рисунке 5.26. Разработчики ЦФ
для расчета значений отсчетов окна Чебышева обычно используют специальные
программы. Коммерческие пакеты программ ЦОС позволяют пользователю за­
дать три параметра: вид оконной функции (в данном случае Чебышева), требуе­
мое количество коэффициентов (количество ответвлений КИХ-фильтра) и
значение у. Задание разных значений у дает нам возможность установить требуе­
мый уровень боковых лепестков и посмотреть, как это влияет на ширину главного
лепестка, в то время как при использовании окна Блэкмана и других окон, рас­
смотренных в разделе 3.9, мы лишены такой возможности. Уровень боковых ле­
пестков окна Чебышева в децибелах составляет
АиепаеЬ = ~2°У
(5-19)
Следовательно, если мы хотим, например, чтобы уровень боковых лепестков не
превышал -60 дБ по отношению к главному лепестку, мы в соответствии с (5-19)
задаем у =3.0 и запускаем программу, генерирующую отсчеты окна Чебышева1.
Кстати, некоторые пакеты программ ЦОС требуют задания Аиепс^еЬ вместо у. В этом
случае (5-19) нам не нужно вообще.
192
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Рис. 5 .2 6 . Окно Чебышева при разных значениях у: (а) отсчеты окна во временной
области; (Ь) модуль спектра в дБ
То же относится и к окну Кайзера, показанному на рисунке 5.27. Коммерче­
ские пакеты программ позволяют нам задавать значение/3 в (5-18) и выдают соот­
ветствующие отсчеты окна. Графики на рисунке 5.27 (Ь), полученные для окна
Кайзера, содержащего 32 отсчета, показывают, что мы можем устанавливать тре­
буемый уровень боковых лепестков и проследить его влияние на ширину главно­
го лепестка.
Какое окно лучше использовать —Чебышева или Кайзера? Это зависит от ре­
шаемой задачи. Возвращаясь к рисунку 5.25 (Ь), заметим, что в отличие от боко­
вых лепестков окна Чебышева, имеющих постоянный уровень, боковые лепестки
окна Кайзера уменьшаются с ростом частоты. Однако вблизи главного лепестка
боковые лепестки окна Кайзера выше боковых лепестков окна Чебышева. Наша
главная задача —уменьшить уровень боковых лепестков, насколько это возможно
без слишком сильного расширения главного лепестка. Разработчики Ц Ф обычно
экспериментируют с разными значениями у и для окон Чебышева и Кайзера,
стараясь получить оптимальную форму М^5 ( т ) для конкретного приложения.
(С этой точки зрения низкий уровень боковых лепестков окна Блэкмана во многих
5.4. Проектирование полосовых КИХ-фильтров
193
приложениях перевешивает ширину его главного лепестка.) Отдельные разновид­
ности окон имеют свои собственные преимущества и недостатки с точки зрения
проектирования КИХ-фильтров. Независимо от того, какое непрямоугольное окно
используется, оно всегда уменьшает пульсации АЧХ КИХ-фильтра в полосе про­
пускания по сравнению с прямоугольным окном. Заинтересованный читатель мо­
жет найти очень подробное описание окон в работе [14].
Рис. 5 .2 7 . Окна Кайзера для разных значений р: (а) отсчеты окна во временной об­
ласти; (Ь) логарифмический амплитудный спектр в дБ
5.4. Проектирование полосовых
КИХ-фильтров
В качестве первого шага проектирования полосовых КИХ-фильтров можно
использовать проектирование Ф Н Ч методом окон. Допустим, нам необходимо
рассчитать КИХ-фильтр с 31 ответвлением и с АЧХ, показанной на рисун­
ке 5.22 (а), центр которой вместо 0 Гц приходится на/ 5/4 Гц. Если мы обозначим
194
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
коэффициенты КИХ Ф Н Ч как hi0(k), наша задача сводится к вычислению коэф­
фициентов полосового фильтра пЬр(к). Как показано на рисунке 5.28, мы можем
сдвинуть частотную характеристику Я ^ (т ), умножив коэффициенты hip(k) на
синусоиду частотой f s/ 4 Гц. Эта синусоида представлена на рисунке 5.28 (а) по­
следовательностью sshiß(k), отсчеты которой получены путем дискретизации
синусоиды с частотой четыре отсчета на период. В результате получаем коэффи­
циенты hbp(k) полосового фильтра
hbP(k) = hiP(k) • sshift(k) ,
( 5 . 20 )
частотная характеристика которого \Hbp(m)\ показана на рисунке 5.28 (Ь) сплош­
ной черной линией. Уровень АЧХ \Hbp(m)\ вдвое ниже уровня исходной АЧХ
\Н1р(т) |, потому что, когда sshij t(k) соответствует частоте f s / 4 половина значений
коэффициентов hbp(k) оказываются равными нулю. Данный эффект имеет важ­
ное практическое следствие. Это значит, что, когда мы реализуем полосовой
КИХ-фильтр с iV-ответвлениями, центральная частота АЧХ которого равна f s /4 Гц,
нам необходимо выполнить только N /2 умножений на каждый выходной отсчет.
(Нет необходимости умножать входной о'гсчет x(n-k) на 0 перед суммированием
произведений в (5-6) и на рисунке 5.13, не правда ли? Мы просто не выполняем
такие умножения вообще.) Конечно, когда центральная частота полосового КИХфильтра отлична от f s /4, мы вынуждены выполнять все N умножений на каждый
выходной отсчет КИХ-фильтра.
Обратите здесь внимание на то, что коэффициенты Ф Н Ч h[p(k) на рисун­
ке 5.28 (а) не были взвешены каким-нибудь окном. На практике следовало бы в
(5-20) использовать взвешенные коэффициенты h[p(k), чтобы уменьшить пульса­
ции в полосе пропускания. Если бы мы хотели получить центральную частоту
АЧХ полосового фильтра, равную другой частоте вместо f s /4, нам просто нужно
было бы модифицировать sshiß (k ) так, чтобы она представляла дискретные отсче­
ты синусоиды, частота которой равна требуемой центральной частоте. Эту новую
последовательность sshij t(k) следует использовать затем в (5-20) для получения
новых коэффициентов hbp(k).
5.5. Проектирование КИХ-фильтров
верхних частот
Двигаясь дальше, мы можем использовать метод проектирования полосовых
КИХ-фильтров для проектирования КИХ-фильтров верхних частот (ФВЧ). Что­
бы получить коэффициенты ФВЧ, нам необходимо только изменить сдвигающую
последовательность sshij t(k) так, чтобы она представляла собой дискретизованную
синусоиду частотой f s /2. Этот процесс показан на рисунке 5-29. Коэффициенты
результирующего КИХ ФВЧ hhp(k) равны
hhp(k) = hlp(k) • sshlft(k) = h[p(k) • (1 ,-1 , 1,-1, 1 ,- 1 um. d .),
(5-21)
5.5. Проектирование КИХ-фильтров верхних частот
195
а АЧХ фильтра \Н^р(т)\ показана на рисунке 5.29 (Ь) черной линией. Поскольку
$5^ ( к ) на рисунке 5.29 (а) содержит единицы чередующегося знака, мы видим,
что к^р(к) получается из 1г[р(к) простым изменением знака каждого второго коэф­
фициента на противоположный.
Л , (к)
(к)
(а)
О
Исходная характеристика
ФНЧ |Н|р(т)|
льр (к)
\ Н Ьр (™ )1
(Ь)
V2
У2
Частота
Рис. 5 .2 8 . Полосовой фильтр, центральная частота АЧХ которого равна ^ /4: (а) ге­
нерация коэффициентов ЬЬр(к) для 31 ответвления: (Ь) АЧХ | Н (т) |
Ьр
В отличие от \НЬр(т)\ на рисунке 5.28 (Ь), характеристика \Нкр{т)\ на рисунке
5.29 (Ь) имеет тот же уровень, что и исходная \Н1р(т)\.
Здесь тоже обратите внимание на то, что коэффициенты Ф Н Ч Ь ^ к ) на ри­
сунке 5.29 (а) не были модифицированы посредством окна. На практике, мы бы
использовали взвешенные коэффициенты Иір(к) для уменьшения неравномер­
ности АЧХ в полосе пропускания перед использованием (5-21).
196
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
(а)
/»*(*)
Рис. 5 .2 9 . Фильтр верхних частот, АЧХ которого центрирована относительно частоты
^/2: (а) генерация 31 коэффициента фильтра ЬЬр{к)\ (Ь) АЧХ \НЬр(т)\
<■ Полоса ->■
пропускания
К ------------------- Полоса ------------------задерживания
Рис. 5 .3 0 . Задание требуемой АЧХ КИХ ФНЧ при проектировании методом замен
Ремеза
5.6. Проектирование КИХ-фильтров методом замен Ремеза
197
5.6. Проектирование КИХ-фильтров
методом замен Ремеза
Познакомимся с еще одним методом проектирования КИХ-фильтров, который
широко используется на практике. Метод замен Ремеза (который также называют
методом Паркса-Маклеллана или оптимальным методом) —это популярный ме­
тод, используемый для проектирования высококачественных КИХ-фильтров.
Чтобы использовать этот метод, мы должны изобразить требуемую АЧХ Н^тп),
подобную той, которая показана на рисунке 5.30.
Мы должны задать требуемую границу полосы пропускания (частоту среза)
fpassи частоту, на которой начинается полоса задерживания, f stop. Кроме того, мы
должны задать значения переменных бр и <3S, которые задают требуемые неравно­
мерность АЧХ в полосе пропускания и подавление в полосе задерживания. Не­
равномерности АЧХ в полосах пропускания и задерживания в децибелах связаны
с бр и (35 выражениями [15]
Пульсации в полосе пропускания = 20* log10( 1 + б р),
( 5 -2 2 )
Пульсации в полосе задерживания = -2 0 • log10(^s)-
(5-22')
(Некоторые ранние журнальные статьи, описывающие метод Ремеза, для
определения пульсаций в полосе пропускания в децибелах использовали другое
допустимое выражение -20*\og^(dp). Но сегодня наиболее часто используется
(5-22).) Затем мы вводим эти параметры в компьютерную программу, которая
выдает N коэффициентов фильтра h(k), при этом N задает минимальное количе­
ство ответвлений, необходимое для получения заданной АЧХ.
С другой стороны, некоторые программы, реализующие метод Ремеза, предпо­
лагают, что мы стремимся сделать бр и как можно меньше и требуют задания то­
лько требуемой АЧХ H^ni), пример которой показан на рисунке 5.31 черными
точками. Программа сама определяет незаданные значения (серые точки на гра­
фике) HJ^m) так, чтобы минимизировать отклонение АЧХ фильтра от требуемой
характеристики при минимальных значениях б и 6S. Разработчик фильтра имеет
возможность определить некоторые значения Н^тп) в переходной полосе, и про­
грамма сама рассчитывает незаданные значения Н ^ т ) в переходной полосе. В
этой версии алгоритма Ремеза наибольшее значение приобретает способ, кото­
рым мы определяем переходную полосу. Мы хотим минимизировать ее ширину и
в то же время минимизировать пульсации АЧХ в полосах пропускания и задер­
живания. Таким образом, точный способ проектирования КИХ-фильтра с помо­
щью метода замен Ремеза зависит от используемой программы проектирования
фильтров. Поскольку математика, используемая методом замен Ремеза, доста­
точно сложна, мы не будем касаться ее здесь [16-20]. Просто запомните, что метод
замен Ремеза дает фильтры, похожие на фильтры Чебышева, АЧХ которых настоль­
ко приближена к требуемой характеристике HJjri), насколько это возможно при
заданном количестве ответвлений.
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
198
.4
HJm )
О
О
pass
-*_И-М-М-М-М-М-*-М-М-Мfstop
^/2 Частота
,
_
Переходная
Г*- Полоса > ч “ полоса - > * пропускания
Полоса
задерживания
Рис. 5 .3 1 . Другой метод задания требуемой АЧХ для КИХ ФНЧ при использовании
метода замены Ремеза
АЧХ фильтра
Ремеза (сплошная)
-10
Чебышева (штрих-пунктирная)
-20
Кайзера (штриховая)
-30
-40
-50
-60
—»— ►
-70
0
0.05Л.
0.15L,
0.25f„
0.35fs Частота
Рис. 5 .3 2 . Сравнение частотных характеристик КИХ-фильтров с 31 ответвлением:
Ремеза, с окном Чебышева и с окном Кайзера
Преимущества метода Ремеза хорошо видны на рисунке 5.32 при сравнении
характеристик фильтров, полученных разными методами. На этом рисунке пока­
заны характеристики КИХ-фильтров с 31 ответвлением, имеющих одинаковую
полосу пропускания, полученных методом Ремеза, а также методом окон с испо­
льзованием окон Чебышева и Кайзера. Обратите внимание на то, что все фильтры
имеют примерно одинаковые боковые лепестки вблизи главного лепестка, но
фильтр Ремеза имеет самую крутую переходную полосу.
5.7. Полуполосные КИХ-фильтры
199
5.7. Полуполосные КИХ-фильтры
Существует особый вид КИХ-фильтров, который оказался полезным в схемах
прореживания [21-25]. Называется такой фильтр полуполосным КИХ-филыпром,
его частотная характеристика симметрична относительно частоты / 5/4, как пока­
зано на рисунке 5.33 (а). При этом сумма/'
и р а в н а / 5/2. Фильтр с такой ча­
стотной характеристикой обладает одним прекрасным свойством: каждый второй
отсчет его импульсной характеристики, кроме центрального, равен нулю. Это по­
зволяет сократить количество умножений при реализации такого фильтра при­
мерно в два раза. В качестве примера на рисунке 5.33 (Ь) показаны коэффициенты
полу полосного фильтра с 31 ответвлением, для которого А / была задана равной
примерно / 5 /3 2 и использовался метод замен Ремеза. (Для сохранения симмет­
рии параметры др и <35 были заданы равными друг другу.)
Рис. 5 .3 3 . Полуполосный КИХ-фильтр: (а) АЧХ (центр переходной полосы находит­
ся на частоте /4): (Ь) коэффициенты фильтра с 31 ответвлением; (с)
структура полуполосного фильтра с семью ответвлениями
Обратите внимание на то, что каждый второй коэффициент /г(£) равен нулю, так
что мы выполняем только 17 умножений на выходной отсчет вместо ожидаемых 31
умножения. Для полуполосного фильтра с 5 ответвлениями нам потребуется
200
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
выполнить только (S + 1)/2 + 1 умножений на выходной отсчет'. Однако, будьте
внимательны, количество коэффициентов не может быть произвольным. Чтобы
построить полуполосный КИХ-фильтр с линейной ФЧХ, сумма S + 1 должна де­
литься на 4 без остатка. На рисунке 5.33 (с) показана структура простого полуполосного КИХ-фильтра с семью ответвлениями, в этой структуре умножители для
h( 1) и h(5) отсутствуют.
5.8. Фазо-частотная характеристика
КИХ-фильтров
Хотя мы привели несколько примеров сдвига фазы выходного сигнала для
усредняющего КИХ-фильтра на рисунке 5.10, фазо-частотная характеристика
(Ф ЧХ ) КИХ-фильтра заслуживает дополнительного рассмотрения. Одной из за­
мечательных особенностей КИХ-фильтров является линейность их ФЧХ. Про­
демонстрируем ее на примере. Имея 25 коэффициентов КИХ-фильтра h(k),
показанных на рисунке 5.34 (а), мы можем выполнить ДПФ и найти частотную
характеристику фильтра Н(т). Нормированные действительная и мнимая части,
а также модуль Н(т) показаны на рисунках 5.34 (Ь) и 5.34 (с) соответственно2.
Поскольку каждый отсчет Щт) является комплексным числом, отсчеты можно
представить действительной и мнимой частями или, что эквивалентно, модулем
\Н(т)\ и аргументом НАт), показанным на рисунке 5.35 (а).
Аргумент комплексного числа вычисляется как арктангенс отношения мни­
мой части к действительной части, или ф = tan ~1(imag/real). Отсчеты ФЧХ Я^(т)
определяются по отсчетам, приведенным на рисунке 5.34 (Ь).
ФЧХ на рисунке 5.35 (а) выглядит линейной на отдельных участках частотной
оси, но что делать с многочисленными скачками, или разрывами, характеристи­
ки? Если мы построим в комплексной плоскости векторы одинаковой длины,
углы которых относительно действительной оси совпадают с аргументами Нф(т),
начиная с т = 0, то мы получим диаграмму, показанную на рисунке 5.35 (Ь). По­
скольку действительная часть Н(0) отлична от нуля, а мнимая часть Н(0) равна О,
Нф(0)=0, и соответствующий радиус-вектор лежит на действительной оси, как
показано в правой части рисунка 5.35 (Ь). Углы всех последующих фазоров изме­
няются с шагом -33.75°, так что фазоры образуют последовательность, разворачи­
вающуюся в направлении движения часовой стрелки. Причину первого разрыва на
рисунке 5.35 (а) мы обнаруживаем при построении вектора с углом Я^( 6). Исходя
из действительной и мнимой частей Н(6), мы должны построить соответствую­
щий фазор под углом -202.5° к действительной оси.
В разделе 13.7 приводится метод дальнейшего снижения количества умножений для
КИХ-фильтров с линейной ФЧХ на основе линии задержки с ответвлениями, включая
и полуполосные фильтры.
2
Для получения Н(т) достаточно взять любой размер ДПФ, превышающий длину им­
пульсной характеристики h(k), равную 25. Мы дополнили последовательность h(k) ну­
лями, чтобы взять 128-точечное ДПФ и получить значения отсчетов Н(т), показанные
на рисунке 5.34.
'
5.8. Фазо-частотная характеристика КИХ-фильтров
201
1
0.5
(a)
і > і і і і I АН—ь * »■м » »
***
0
10
-0.5
12
14
16
18
20
22
24
1.0
0.75
* Действительная часть Н(т)
0.5
□ Мнимая часть Н(т)
0.25
(b)
о
22 24 26 28 30
-0.25
т
т = 17
-0.5
-0.75
-
1.0
А |Н(т)|
.....................
о І і і і і і і і і і і і і і і і
О
2
4
______
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
™
Полоса ______
пропускания
Рис. 5 .3 4 . Частотная характеристика КИХ-фильтра Н(т): (а) коэффициенты филь­
тра h(k)] (b) действительная и мнимая части Н(т)\ (с) модуль Н(т)
Но на рисунке 5.35 (а) Я ^( 6) = 157.5°. Проблема заключается в программе, вы­
числяющей значения арктангенса, показанные на рисунке 5.35 (а). Программа до­
бавляет 360° ко всем отрицательным углам, лежащим в пределах -180° > ф >
-360°, т. е. к углам, лежащим в верхней полуплоскости. Это делает ф положитель­
ным углом в диапазоне 0° < ф < 180°, и этот результат изображен на графике.
(Этот явный разрыв между Я^(5) и H J 6 ) называется заворотом фазы.) Следова­
тельно, истинное значение Нф(6) = -202.5° преобразуется в +157.5°, как показано
в скобках на рисунке 5.35 (Ь).
Если мы продолжим нашу диаграмму для последующих отсчетов Нф(т), мы
увидим, что углы наклона векторов будут продолжать уменьшаться с шагом
-33.75°. Если мы компенсируем добавку, вносимую программой, и построим на
графике углы, которые меньше -1 8 0°,развернув таким образом фазу, мы получим
истинные значения Нф(т), показанные на рисунке 5.35 (с)1. Заметим, что Нф(т)
Если при построении графика ФЧХ фильтра мы встречаем угол ф, который выглядит
как подозрительный разрыв, следует добавить к нему 360°, если ф меньше нуля или
-360°, когда ф положителен, чтобы проверить, удается ли таким образом компенсиро­
вать особенности программы.
202
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
действительно линейна в полосе пропускания Н(т). На отсчете Нф(17) наша час­
тотная характеристика Н(т) претерпевает инверсию знака действительной час­
ти, в то время как мнимая часть остается отрицательной — это приводит к
появлению истинного разрыва в ФЧХ, который является неотъемлемой характе­
ристикой отсчета Н(т) при т = 17. (Каждый раз, когда действительная часть
Н(т) меняет знак, возникают дополнительные разрывы ФЧХ, как показано на
рисунке 5.35 (с).) Читатель может задуматься над тем, почему мы так озабочены
линейностью ФЧХ Н(т). Ответ на этот вопрос очень важен и требует введения
понятия групповой задержки.
Рис. 5.3 5 . ФЧХ КИХ-фильтра Нф{т) в градусах: (а) вычисленная ФЧХ Нф(т)ш
, (Ь) пер­
вые десять фаз Нф(т) в полярных координатах в градусах; (с) реальная
Нф(т)
Групповая задержка определяется как производная ФЧХ по частоте, взятая с
обратным знаком, или С = ~Аф/А/. Следовательно, для КИХ-фильтров группо­
вая задержка представляет собой наклон ФЧХ Нж(т). Когда групповая задержка
постоянна, как в полосе пропускания всех КИХ-фильтров, имеющих симметрич­
ные коэффициенты, все частотные компоненты входного сигнала фильтра задер­
203
5.8. Фазо-частотная характеристика КИХ-фильтров
живаются на его выходе на одно и то же время С. Это значит, что выходной сигнал
фильтра не подвергается фазовым искажениям, а это критически важно для комму­
никационных сигналов. Для сигналов с амплитудной модуляцией (АМ) постоянная
групповая задержка позволяет сохранить форму огибающей, несущей информацию
о модулирующем сигнале. Нелинейная ФЧХ приводит к искажению звукового
сигнала, восстановленного из амплитудно-модулированного несущего сигнала,
используемого в радиовещании, приводит к смазыванию границ телевизионных
изображений, размывает крутые фронты радиолокационных импульсов и повы­
шает вероятность ошибок в цифровых системах связи. (Групповую задержку
иногда называют задержкой огибающей, потому что первоначально групповая
задержка исследовалась с точки зрения ее влияния на огибающую, или модули­
рующий сигнал, в системах с амплитудной модуляцией.) Конечно, групповая
задержка за пределами полосы пропускания нас мало волнует, поскольку всю
энергию сигналов, выходящую за пределы полосы пропускания, мы стараемся
подавить посредством фильтрации.
Было показано, что групповая задержка в полосе пропускания цифрового
КИХ-фильтра с Б ответвлениями определяется выражением
С =(Б -1 )^ /2 ,
(5-23)
где £5 — период дискретизации ( 1/ / $)'. Эта групповая задержка измеряется в се­
кундах. Если убрать из (5-23) множитель то групповая задержка будет измеря­
ться в отсчетах. Задержка С, измеренная в отсчетах, всегда принимает целые
значения для фильтров с нечетным количеством ответвлений и нецелые значе­
ния для фильтров четной длины.
Хотя для получения частотных характеристик на рисунках 5.34 и 5.35 мы ис­
пользовали 128-точечное ДПФ, мы с таким же успехом могли бы использовать
N = 32 или N = 64 точки. Эти ДПФ с меньшим количеством точек дают фазовые
характеристики, показанные на рисунках 5.36 (а) и 5.36 (Ь). Обратите внимание на
отличие ФЧХ при N = 32 на рисунке 5.36 (а) от ФЧХ сЫ= 128на рисунке 5.36 (с).
На рисунке 5.36 (с) приращение фазы намного меньше. Приращение фазы в
полосе пропускания Аф определяется выражением
Аф = ( - С • 360°)/К
(5-24)
где N —количество точек ДПФ. Таким образом, для нашего фильтра сБ = 25 ответ­
влениями на рисунке 5.34 (а), С = 12 и Аф на рисунке 5.36 (а) равно -12»360°/32 =
-135° а на рисунке 5.36 (с) Аф равно -33.75°. Если мы посмотрим внимательно на
значения отсчетов, показанные на рисунке 5.36 (а), то увидим, что они встречают­
ся среди отсчетов на рисунках 5.36 (Ь) и 5.36 (с).
Закончим это обсуждение ФЧХ КИХ-фильтров напоминанием сути фазо-частотной характеристики. Фаза, или фазовая задержка, на выходе КИХ-фильтра
представляет собой фазу первого выходного отсчета относительно фазы первого
входного отсчета фильтра. В полосе пропускания фазовый сдвиг является линей­
ной функцией частоты. Это справедливо только для фильтров с симметричными
коэффициентами. Хорошая иллюстрация фазовой задержки КИХ-фильтра при­
ведена на рисунке 5.10.
1 Это выражение получено в разделе 3.4 работы [16] и на странице 597 работы [19]
204
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Для КИХ-фильтров выходной сдвиг фазы, измеренный в градусах, для сигна­
ла с частотой, лежащей в полосе пропускания / = тп/5/АТ, выражается как
Фазовая задержка = Я ^ (т / 5/Л^) - т • Аф = (-пг • С • 360о) /Ы .
(5-25)
200 ^ - н Ат) в градусах
(Ь)
2оо+ ни(т ) в градусах
150
(с)
Рис. 5 .3 6 . ФЧХ КИХ-фияьтра Нф(т) в градусах: (а) вычисленная с помощью 32-то­
чечного ДПФ; (Ь) с использованием 64-точечного ДПФ; (с) с использова­
нием 128-точечного ДПФ
Мы можем проиллюстрировать (5-25) и показать соотношение между фазовы­
ми характеристиками на рисунке 5.36, рассмотрев фазовую задержку, связанную
с частотой / 5 /32, в таблице 5.2. Групповая задержка описывается подробнее в
приложении Р, где продемонстрировано искажение огибающей, вызванное нели­
нейностью ФЧХ фильтра.
205
5.9. Обобщенное описание дискретной свертки
Таблица 5.2. Значения, использованные в (5-25) для частоты 15 / 3 2
Размер ДПФ, N
Индекс т
НфШ5/Н)
32
1
-1 35 е
64
2
-135°
128
4
-1 3 5 “
5.9. Обобщенное описание дискретной
свертки
Хотя первоначально свертка использовалась как инструмент анализа непре­
рывных систем, мы теперь знаем, что свертка проявляется во всех аспектах цифро­
вой обработки сигналов. Свертка влияет на полученные нами результаты всегда,
когда мы анализируем или фильтруем какое-либо конечное множество отсчетов
данных, полученных от линейной инвариантной системы. Свертка не только сво­
дит ДПФ к простой аппроксимации непрерывного преобразования Фурье; она
представляет собой причину, по которой дискретные спектры периодичны в час­
тотной области. Интересно отметить, что, хотя мы используем свертку для реали­
зации цифровых КИХ-фильтров, именно ее влияние несет ответственность за
появление пульсаций частотной характеристики, препятствующих построению
идеального цифрового фильтра. Ее влияние столь обширно, что отказ от свертки
перевернул бы всю цифровую обработку с ног на голову.
Понятие свертки всегда было сложным для понимания начинающими. Это не
удивительно по нескольким причинам. Влияние свертки на дискретную обработ­
ку сигналов не так очевидно для людей, не имеющих опыта работы с дискретны­
ми сигналами, а математика свертки на первых порах кажется головоломной.
Более того, многие авторы с их поспешностью, иногда оправданной, представля­
ют уравнение свертки и сразу переходят к его использованию в качестве инстру­
мента анализа, не объяснив его происхождения и смысла. Например, автор этой
книги однажды обнаружил в профессиональном журнале статью, объявленную
как введение в БПФ, в которой свертка определялась просто как нечто подобное
рисунку 5.37 без каких либо дальнейших объяснений!
К сожалению, немногие новички могут самостоятельно извлечь какое-либо
понимание смысла свертки из рисунка 5.37. Здесь мы разрешим эту проблему, дав
определение свертки и разобрав несколько простых примеров. Мы завершим эту
главу обсуждением мощной теоремы о свертке и демонстрацией того, почему она
так полезна для качественного анализа дискретных систем.
Л /-1
У] ~ /* Р к
к= О
или
206
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
^0
Ос
О,
^2
Ол/-1
О Л /-2
••
°0
°Л /-1
••■
■
■
°о
=
ро
°1
о 2
Р2
°3
О
N-2 Ол/-3
••
о
*Л/-1
о
•
•
■
РЛ/-1
Теорема: если
ДПФ -> А п ,
4 <-ДЯФ -*В„ и
¥ ^ Д П Ф + СП,
то
Сг г К ' Лп 'В п
Рис. 5 .3 7 . Один очень эффективный, но обескураживающий способ определения
свертки
5.9 .1 . Дискретная свертка во временной области
Дискретная свертка представляет собой процесс, на вход которого поступают
две последовательности и результатом которого является новая последователь­
ность. На вход свертки могут поступать две последовательности во временной об­
ласти, при этом результат будет тоже последовательностью во временной области
или две последовательности в частотной области, преобразуемые в последовате­
льность в частотной области. (Хотя для того, чтобы свертка имела какой-то прак­
тический смысл, обе последовательности должны принадлежать одной области,
их длины не обязательно должны быть равными.) Допустим, мы имеем две после­
довательности /г(&) длины Р и х(к) длины () во временной области. Выходная по­
следовательность свертки у(п) двух входных последовательностей определяется
формулой
Р+<2-2
,у(п) = ^ И ( к ) х ( п - к ) ,
(5-26)
к=0
Рассмотрим (5-26) на примере, используя последовательности й(&) и х(к), по­
казанные на рисунке 5.38. В этом примере мы можем записать слагаемые для каж­
дого у(п) в (5-26) как
у(0)
у(1)
у(2)
у(3)
у(4)
=И(0)х(0-0) + И(1)х(0-1) + к(2)х(0-2)+к(3)х(0-3) +к(4)х(0-4) +к(5)х(0-5),
=И(0)х(1-0) +к(1)х(1-1)+к(2)х(1-2) +И(3)х(1-3) +к(4)х(1-4) +И(5)х{1-5),
= И(0)х{2 ~0) + /г( 1)х(2-1) + к(2)х(2-2) + к(3)х(2-3) +И(4)х(2-4) +ВД*<2-5),
= КО)х(З-О) + /г( 1)х(3-1) + К 2)х(3-2) + к(3)х(3-3) + Н4)х(3-4) + К5)х(3-5),
=И(0)х(4-0) +И(1)х(4-1) + 1г(2)х(4-2) +Ь(3)х(4-3) +1г(4)х(4-4) + /г(5)*(4-5),
у(5) = 11(0)х(5-0) + /г( 1)х(5-1) + И(2)х(5-2) + к(3)х(5-3) + Н(4)х(5-4) + /г(5Ж5-5).
(5-27)
5.9. Обобщенное описание дискретной свертки
Аод
А од
2 -1 ■■
* мш■
I
I
ш
3--
21 ■■
0--
207
I
I
I
I
I
I
I
I ►
-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
к
я
и
0I I I I I I I I I I I►
-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 к
(а)
(Ь)
Рис. 5.38. Входные последовательности для примера свертки: (а) первая последо­
вательность Л(/с) длины Р = 4; (Ь) вторая последовательностьх(/с) длины О
=3
При Р = 4 и £) = 3 мы должны вычислить только 4 + 3 - 1 = 6 отдельных слагае­
мых у(п). Поскольку к{4) и /г(5) равны нулю, мы можем отбросить некоторые сла­
гаемые в (5-27) и вычислить оставшиеся, представив у(п) в виде:
у(0)
y(1)
y(2)
y(3)
y(4)
= h(0)x(0)
= h(0)x(1)
- h(0)x(2)
= h(0)x(3)
= h(0)x(4)
+ h (1 )x(-1) + h (2)x(-2 ) + h(3)x(-3),
+ h(1)x(0) + h(2)x( -1 ) + h(3)x(-2),
+ h( 1)x( 1). + h(2)x(0) + h(3)x(-1),
+ h(1)x(2) + h(2)x(1) + h(3)x(0),
+ h(1)x(3) + h(2)x(2) + h(3)x(1),
и
у(5) = h(0)x(5) + h( 1)х(4) + h(2)x(3) + h(3)x(2).
(5-28)
Рассматривая индексы переменных h(k) и x(k) в (5-28), мы видим два важных
момента. Во-первых, свертка представляет собой просто сумму поэлементных
произведений, так что это не очень сложный процесс. Во-вторых, заметьте, что
для заданного y(ri), индекс h(k) возрастает при уменьшении индекса x(k). Это
дает основание некоторым авторам ввести новую последовательность д:(-&) и ис­
пользовать ее для графического изображения процесса свертки. Последователь­
ность х( -к ) представляет собой просто нашу исходную последовательность x(k),
зеркально отображенную относительно индекса 0, как показано на рисунке 5.39.
Такое определениеx ( - k ) дает нам возможность изобразить процесс перемножения
и суммирования в (5-28) так, как показано на рисунке 5.40; т. е. мы теперь можем
для вычисления у(п) расположить отсчеты х( - k ) напротив соответствующих от­
счетов h(k) при текущем значении индекса п. Как показано на рисунке 5.40 (а),
выравнивание отсчетов h(k) и jc(n-k) при п = 0 дает г/(0) = 1. Это совпадает с резу­
льтатом вычисления в первой строке (5-28), которую мы повторили в правой час­
ти рисунка 5.40 (а). Вычисление у( 1), при п = 1, изображено на рисунке 5.40 (Ь),
где последовательность x ( n - k ) сдвинута на один элемент вправо, в результате
чего получаем у(1) = 3. Мы продолжает этот сдвиг последовательности x ( n - k ) и
увеличение индекса п до тех пор, пока не получим последний ненулевой отсчет
свертки г/(5), показанный на рисунке 5.40 (f). Итак, выполнение свертки h(k) и
x(k) состоит из следующих шагов:
Шаг 1: построение графиков последовательностей h(k) и x(k).
Шаг 2: зеркальное отображение последовательности x(k) относительно
значения k = 0 для получения x (-k ).
208
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Шаг 3: суммирование произведений 1г(к) и х (0 -к ) для всех к для получе­
ния у(0).
Шаг 4: сдвигх ( - к ) на один отсчет вправо.
Шаг 5: суммирование произведений 1г(к) и х (1 -к ) для всех к для получе­
ния у(1).
Шаг 6: сдвиг последовательности и суммирование произведений до тех
пор, пока последовательность И(к) перекрывается сдвинутой по­
следовательностью х(п-к), после чего все дальнейшие отсчеты
у (п ) остаются равными нулю, и вычисления заканчиваются.
Полная свертка последовательностей И(к) их(к) представляет собой последова­
тельность у(п), показанную в правой части рисунка 5.40 (0- Мы прошли последова­
тельностью ^-^) вдоль последовательности /г(&) и просуммировали произведения
перекрывающихся отсчетов. Кстати, обратите внимание на то, что последователь­
ность у(п) на рисунке 5.40 (0 содержит шесть ненулевых отсчетов, тогда как /г(&)
имела четыре таких отсчета, а последовательность х(к) — три. В общем случае,
если /г(&) имеет длину Р, а х(к) имеет длину 0 ,, у(п) будет иметь длину I , где
Ь=(Р+(1-1)
(5-29)
^ х(- к)
^х( к)
3-2 -1 --
3+
*
2 -1 --
І І I 1 І І І І І I►
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 к
Ь-4 * + І І І І І I ►
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 к
(а)
(Ь)
Рис. 5.3 9 . Входная последовательность для примера вычисления свертки: (а) вто­
рая последовательность х(к) длины 3; (Ь) зеркальное отображение вто­
рой последовательности относительно индекса к = О
Здесь начинающий читатель вполне может задать вопрос: «Хорошо, ну и что
из этого? Какое отношение этот странный процесс вычисления свертки имеет к
цифровой обработке сигналов?» Ответ на этот вопрос опирается на понимание
значения теоремы о свертке.
5.9 .2 . Теорема о свертке
Теорема о свертке представляет собой краеугольный камень цифровой обра­
ботки сигналов. Она проявляет себя всегда, когда мы фильтруем дискретные дан­
ные или выполняем Д ПФ. Чтобы увидеть, почему это так, упростим запись (5-26)
и будем использовать сокращенную форму
у(п) =1г(к) *х(к) ,
где символ * обозначает операцию свертки.
(5-30)
209
5.9. Обобщенное описание дискретной свертки
I
од
уф) = /7(0)Х(0) + И(1 )х(-1) + /?(2)х(-2) + /?(3)х(-3)
М М М М
I— (-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
(а)
=о
4 5 6
■х(0-к) я
Ч
0
Н---- 1-- 1--- 1-1-
I I—> 1 1 1 —I—1 1 1 1 » -4 -3 -2 -1 0
1 _ Л(/с)
1
-5 -4 -3 -2 -1
4
3 4 5 6 к
2
0 1 2 3
5
6
7 8
п
у(1) = ^(0)х(1) + /1(1 МО) + /7(2 )х(-1 ) + /?(3)х(-2)
м* * м
О, 11 I I I—I I 1-1—1 1 1 1 » »
(Ь)
=1+0 +0+0=1
свертка
сп=О
4 5 6
*
х( 1-*)
свертка
сп=1
о
0 , ,
=2+1+0+0=3
4 -.
2 -„м
ОН— I— |— |—|—|—|—|— |— ►
-4 -3 -2 -1 0
1
2
мя
I
'я
свертка
сп = 2
О
-5 -4 -3 -2 -1 0
(С )
3
2 ..
0
х(2-к)
0 1
3 4 5 6 ^
4 5 6
1 2 3
6
7
8
п
6 --
я
0 1
3 4 5 6 *
2
т* *
О-I—I—I—I—1 1 1 1 —1 1 1 1 » -4 -3 -2 -1 0 1
3 у х(3-к)
2 3 4
5 6
свертка
сп=3
к
о
я
ОII I— 1 1 1 1 4
-4 -3 -2 -1 0 1
(е)
5
0-1—I— I— I— I— I— I—I—I— ►
1
/7(к )
I
4
А у(2) = Л(0)х(2) + Л( 1)х( 1) + Л(2)х(0) + Л(3)х(-1)
*
=3+2 + 1+0 =6
2 --
'Т
-5
3
4. .
М
-4 -3 -2 -1 0
(С1)
2
56
5
6
7
8
П
у( 3) = Л(0)х(3) + /1(1 )х(2) + /7(2 )х( 1 ) + /?(3)х(0)
= 0 +3 +2+1=6
6 ■■
М
М
4. .
■
2 --
0
*
1
2
3
4
5
6
7
п
8
у(4) = /?(0)х(4) + /?(1 )х(3) + /?(2)х(2) + /?(3)х(1)
-5 -4 -3 -2 -1 0
I I
1 2 3
4 5 6
к
свертка
сп=4
О
х(4-к)
ц
оН-
М
0
1
2
2 --
4 5 6
^
■
??
о4—1—1—I I I I—I—I ♦
-4 -3 -2 -1 0
1
2
2
3
4
5
6
7
8
П
у(5) = /?(0)х(5) + /?(1)х(4) + /?(2)х(3) + /?(3)х(2)
О I I I <—1 1 1 1 —I I ! ! ►
^ т х(Ь-К)
=0+0+3+2=5
А
0 1
3 4 5 6
1 2 3
Ж
4
*. я М М
-5 -4 -3 -2 -1 0
■
6 ”
он—|—|— |— I— I— |— |— (-
—
I-
1 у Ь(к)
4
с
ОД
-4 -3 -2 -1
3
ОН— I— I— I—I— I— I— I— I----►
1111»2 3 4
2
3 4 5 6 к
свертка
сп =5
о
_
6 --
=0+0+0+3=3
4. .
2 --
ОН— I— I— I— I—I—I—I— I--- ►
0 1
2
3
4
5
6
7
8
п
Рис. 5 .4 0 . Графическое изображение процесса вычисления свертки последова­
тельностей /?(/() и х(к), приведенных на рисунке 5.38
210
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Теорему о свертке можно сформулировать следующим образом: если две по­
следовательности во временной области /г(&) и х(к) имеют ДПФ Н(т) и Х (т ) со­
ответственно, то ДПФ свертки Ь(к) *х(к) представляет собой произведение Н(т)
• Х(т). Аналогично, обратное ДПФ произведения Н(т) *Х (т) дает свертку 1г(к)
* х(к). Мы можем представить это соотношение как
ДПФ
Н(т) • Х(т)
к(к) * х(п)
(5-31)
ОДПФ
Соотношение (5-31) говорит о том, что две последовательности к(к)*х(к) и
Н(т) •Х(т) образуют пару преобразований Фурье. Таким образом, ДПФ свертки
к(к)*х(к) всегда дает произведение Н(т) • Х(т). Мы можем также вычислить
свертку 1г(к)*х(к), выполнив обратное ДПФ последовательности Н(т)»Х(т).
Мы должны усвоить важный вывод из (5-31), который состоит в том, что выполне­
ние свертки во временной области эквивалентно умножению в частотной области.
(Мы не будем здесь доказывать теорему о свертке, потому что ее доказательство
имеется в ряде доступных книг [26-29].) Чтобы помочь нам в этом, на рисун­
ке 5.41 в наглядной форме показано соотношение между сверткой во временной
области и умножением в частотной области.
Последовательность х(к)
Последовательность /7{к)
С
Свертка во временной
области = Л(/с) * х(к)
Временная
область
( дпф)
Пара
преобразований
Фурье
Н(т)
Х(т)
Частотная
область
Умножение в частотной
области = Н(т) • Х(т)
Рис. 5 .4 1 . Соотношения теоремы о свертке
Мы можем легко продемонстрировать теорему о свертке, вычислив 8-точечные
ДПФ последовательностей к(к) и х(к) для получения Н(т) и Х(т) соответственно
и записав полученные значения в таблицу 5.3. (Конечно, мы должны дополнить по­
следовательности к(к) и х(к) нулями так, чтобы обе они имели длину 8.) Вычисле­
ние и занесение в таблицу обратного ДПФ произведения Н(т) •Х(т) позволяет
5.9. Обобщенное описание дискретной свертки
211
нам проверить (5-31) по данным, приведенным в двух последних колонках табли­
цы 5.3, где аббревиатура ОДПФ обозначает обратное ДПФ. Значения, приведенные
в таблице 5.3, показаны на рисунке 5.42. (Для простоты на рисунке приведены то­
лько модули Н(т), Х(т) и Н(т) • Х(т).) Нам необходимо освоить свертку во вре­
менной области, потому что, как мы уже знаем, она используется в КИХ- фильтрах.
Как подробно описано в разделе 5.2, мы выполняем дискретную фильтрацию с
помощью КИХ-фильтра, вычисляя свертку входной последовательности х(п) с
импульсной характеристикой фильтра к(к), а в случае КИХ-фильтра отсчеты его
импульсной характеристики оказываются равными коэффициентам фильтра1.
Результат этой свертки представляет собой отфильтрованную последователь­
ность во временной области, спектр которой модифицирован умножением на час­
тотную характеристику фильтра Н(т). В разделе 13.10 описывается остроумная
схема эффективной реализации КИХ-фильтра с использованием БПФ для вы­
полнения свертки.
Рис. 5 .4 2 . Соотношения между h(k), x(k), Н(т) и Х(т), показанными на рисун­
ке 5,38, в процессе вычисления свертки
1 Как мы увидим в главе 6, коэффициенты фильтра с бесконечной импульсной характе­
ристикой (БИХ) не равны отсчетам импульсной характеристики.
Таблица 5 .3 . Значения переменных при вычислении свертки /?(/с) и х{к), показанных на рисунке 5.38
Индекс
/с и л и т
х(к)
ДПФ
11(к) = Н{т)
ДПФ
х(к)=Х(т)
Н(т)'Х(т)
ОДПФ
Н(т)-Х{т)
Л(/с)
Ь{к)*х(к)
0
1
1
4.0 + УО.О
6.0+70.0
24.0 + у‘0.0
1.0 + у 0.0
1
1
1
2
1.00-у2.41
2.41-74.41
-8 .2 4 - 7Ю.24
З.О+уО.О
3
2
1
3
0
-2 .0 -7 2 .0
0
6.0+70.0
6
3
1
0
1.00-70.41
-0.41+71.58
0.24+71.75
6.0 +у 0.0
6
4
0
0
0
0
5.0+70.0
5
5
0
0
1.00+70.41
0.24-71.75
3.0+70.0
3
6
0
0
0
0
0 .0 + 70.0
О
7
0
0
1.00+72.41
-8.24+710.24
0 .0 + /0 .0
О
2.0+70.0
-0.41-71.58
- 2 .0 0 + 72.00
2.41 +У4.41
5.9. Обобщенное описание дискретной свертки
213
Вследствие дуальности теоремы о свертке мы можем в наших рассуждениях о
свертке и произведении как паре преобразований Фурье поменять местами вре­
менную и частотную области. Это значит, что подобно (5-31) мы можем написать
ДПФ
Ь(к) • х(к) <_
Щт) *Х(т)
ОДПФ
(5-32)
Следовательно, теорему о свертке можно сформулировать в более общем виде
так: Свертка в одной области эквивалентна произведению в другой области. На ри­
сунке 5.43 показано соотношение между умножением во временной области и
сверткой в частотной области. Соотношение (5-32) представляет собой фунда­
ментальное соотношение, используемое в процессе взвешивания данных с помо­
щью окон для уменьшения утечки спектра, описанного в разделе 3.9.
Рис. 5 .4 3 . Соотношения теоремы о свертке для умножения во временной области
5 .9 .3 . Применение теоремы о свертке
Теорема о свертке полезна как инструмент качественного предсказания резуль­
татов различных операций в дискретных линейных инвариантных во времени сис­
темах. Например, многие авторы используют теорему о свертке, чтобы показать,
почему периодическая дискретизация непрерывных сигналов дает дискретные
сигналы с периодическими по частоте спектрами. Рассмотрим действительный не­
прерывный сигнал, показанный на рисунке 5.44 (а), односторонний спектр которо­
го имеет ширину В.
214
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
(а)
-В
►
(Ь)
Время
(ремя
Г
_| пфЪ
*
0
'б
Ч астота
і
і
і
А
-2 /(ї
"1 /^
0
1 /^
к
2 /^
Ч астота
ААд
(С)
О \ ‘♦с
►С1дп>
эемя
вР
емя
I
Рис. 5.44. Использование теоремы о свертке для предсказания размножения спек­
тра при периодической дискретизации
Поскольку это действительный сигнал, его спектр, конечно же, симметричен
относительно 0 Гц. (На рисунке 5.44 широкие стрелки, показывающие вправо,
обозначают операции преобразования Фурье.) Дискретизация этого сигнала эк­
вивалентна умножению его на периодическую последовательность импульсов,
показанную на рисунке 5.44 (Ь), отсчеты которой равны единице. Если частота ди­
скретизации равна / 5 отсчетов в секунду, то период дискретизации £5 = 1//5 секунд.
Результатом этого перемножения является последовательность дискретных
импульсов, показанная на рисунке 5-44 (с). Для предсказания того, какие эффек­
ты в частотной области будут вызваны этим перемножением во временной облас­
ти, мы можем использовать теорему о свертке. Согласно этой теореме, как мы
теперь знаем, спектр произведения во временной области должен быть сверткой
спектров сомножителей. Хорошо, мы знаем, каков спектр непрерывного сигнала.
А что можно сказать о спектре последовательности импульсов? Было показано,
что спектр периодической последовательности импульсов, период которой равен
секунд, представляет собой периодическую последовательность импульсов в
частотной области, расстояние между которыми равно / 5 Гц, как показано на ри­
сунке 5-44 (Ь) [30].
Теперь нам остается только вычислить свертку двух спектров. В нашем случае
это выполняется просто, поскольку оба спектра симметричны относительно час­
тоты 0 Гц, и зеркальное отображение одного из них относительно 0 Гц будет из­
лишним. Таким образом, мы просто смещаем один спектр относительно другого и
5.9. Обобщенное описание дискретной свертки
215
рисуем график их произведения. Свертка спектра исходного сигнала и импульсов
в частотной области приводит к тому, что спектр сигнала повторяется через каж­
дые / 5 Гц, как показано на рисунке 5.44 (с). Это напоминает нам о том, что ДПФ
всегда периодично с периодом / 5 Гц.
А вот еще один пример того, как теорема о свертке может прийти на помощь,
когда мы пытаемся разобраться в операциях цифровой обработки сигналов. Ав­
тор однажды использовал эту теорему, чтобы разобраться в том, почему первый
ноль спектра треугольного окна приходится на частоту, которая в два раза пре­
вышает частоту первого нуля прямоугольного окна. Вопрос формулировался
следующим образом: «Если прямоугольное окно длительностью Т имеет первый
ноль спектра на частоте 1/ТТц, почему треугольное окно такой же длительности Т
имеет первый ноль спектра на частоте 2 /Т Гц?» Мы можем ответить на этот во­
прос, рассмотрев свертку во временной области.
Посмотрите на две прямоугольные функции времени, показанные на рисунках
5.45 (а) и 5.45 (Ь). Если длительность каждой из них равна Т секунд, их спектры
имеют первые нули на частоте 1/Т Гц, как показано на графиках, приведенных на
рисунках 5.45 (а) и 5.45 (Ь). Мы знаем, что модуль спектра представляет собой аб­
солютную величину классической функции бш ^)/.*1.
Если мы выполним свертку этих двух прямоугольных функций длительностью
Т, мы получим треугольную функцию, показанную на рисунке 5.45 (с). Здесь тоже
зеркальное отображение одной из прямоугольных функций относительно нулево­
го времени не обязательно. Нам нужно просто сдвигать одну функцию относитель­
но другой и вычислять площадь их перекрытия. Наибольшая площадь перекрытия
будет при нулевом сдвиге. Следовательно, свертка будет иметь максимум при ну­
левом сдвиге по времени, поскольку при этом имеется стопроцентное перекрытие.
Если мы будем сдвигать одну из прямоугольных функций в любом направлении,
свертка будет линейно уменьшаться до нуля. При сдвиге Т/2 секунд, прямоуголь­
ники перекрываются на 50 %. Свертка станет равной нулю при сдвиге на Г секунд,
когда перекрытие прямоугольников прекратится.
Заметьте, что длительность треугольника, полученного в результате свертки,
равна 2Т, и это ключ к ответу на наш вопрос. Поскольку свертка во временной об­
ласти эквивалентна умножению в частотной области, модуль преобразования
Фурье нашей треугольной функции длительностью 2 Т равен произведению фун­
кции |8т(л:)/х|, показанной на рисунке 5.45 (а), на функцию |81п(х)/х|, показан­
ную на рисунке 5.45 (Ь), или ( 8т(л:)/.г )2 , как показано на рисунке 5.45 (с). Если
треугольная функция длительностью 2 Т имеет первый ноль на частоте 1/Т Гц, то
та же функция длительностью Т должна иметь частоту первого нуля, равную
2 /Т Гц, как показано на рисунке 5.45 (с1), и это как раз то, что требовалось пока­
зать. Сравнение рисунков 5.45 (с) и 5.45 (с!) демонстрирует фундаментальное
свойство преобразования Фурье, которое состоит в том, что сжатие функции во
времени приводит к растягиванию ее спектра в частотной области.
Мы познакомились с функцией $т(д:)/л: во время обсуждения функций окон в разде­
ле 3.9 и более подробно описали ее в разделе 3.13.
216
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
(а)
(Ь)
►
- 772
о
772
С =П Ф >
Время
Зремя
►
Зремя
I
(
■
41 ~ і/ /
noS
£
(с)
♦і Время Н п > >
іремя
Рис. 5.45. Использование свертки для того, чтобы показать, что преобразование
Фурье треугольной функции имеет первый ноль спектра на частоте, рав­
ной удвоенной частоте первого нуля преобразования Фурье прямоуго­
льной функции
Библиография
1.
Shynk, J. J. «Adaptive IIR Filtering», IEEEASSPMagazine, April 1989.
2.
Laundrie, A. «Adaptive Filters Enable Systems to Track Variations», Microwaves
& RF, September 1989.
3.
Bullock, S. R «High Frequency Adaptive Filter», Microwave Journal, September
1990.
Библиография
217
4.
Haykin, S. S. Adaptive Filter Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
1986.
5.
Goodwin, G. C, and Sin, K. S. Adaptive Filtering Prediction and Control, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1984.
6.
Gibbs, J. W. Nature, Vol. 59,1899, p. 606.
7.
Stockham, T. G. «High-Speed Convolution and Correlation with Applications to
Digital Filtering», Chapter 7 in Digital Processing o f Signals. Ed. by B. Gold et a l ,
McGraw-Hill, New York, 1969, pp. 203-232.
8 . Wait, J. V «Digital Filters», in Active Filters: Lumped, Distributed, Integrated, Digi­
tal, and Parametric. Ed. by L. P. Huelsman. McGraw-Hill, New York, 1970, pp.
200-277.
9.
Dolph, C. L. «А Current Distribution for Broadside Arrays Which Optimizes the
Relationship Between Beam W idth and Side-Lobe Level», Proceedings o f the IRE,
Vol. 35, June 1946.
10. Barbiere, D. «А Method for Calculating the Current Distribution of Chebyshev
Arrays», Proceedings o f the IRE, Vol. 40, January 1952.
11. Cook, С. E., and Bernfeld, M. Radar Signals, Academic Press, New York, 1967, pp.
178-180.
12. Kaiser, J. F. «Digital Filters», in System Analysis by Digital Computer. Ed. by F. F.
Kuo and J. F. Kaiser, John Wiley and Sons, New York, 1966, pp. 218-277.
13. Williams, C. S. Designing Digital Filters, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jer­
sey, 1986, p. 117.
14. Harris, F. J. «On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fo­
urier Transform», Proceedings o f the IEEE, Vol. 66, No. 1, January 1978.
15. McClellan, J. H., Parks, T. W, and Rabiner, L. R. «А Computer Program for Desig­
ning Optimum FIR Linear Phase Digital Filters», IEEE Trans, on Audio and Elect­
roacoustics, Vol. AU-21, No. 6 , December 1973, p. 515.
16. Rabiner, L. R. and Gold, B. Theory and Application o f Digital Signal Processing,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975, p. 136.
17. Parks, T. W., and McClellan, J. H. «Chebyshev Approximation for Nonrecursive
Digital Filters with Linear Phase», IEEE Trans, on Circuit Theory, Vol. CT-19,
March 1972.
18. McClellan, J. H., and Parks, T. W. «А Unified Approach to the Design of Optimum
FIR Linear Phase Digital Filters», IEEE Trans, on Circuit Theory, Vol. CT-20, No­
vember 1973.
19. Rabiner, L. R., McClellan, J. H., and Parks, T. W. «FIR Digital Filter Design Tech­
niques Using Weighted Chebyshev Approximation», Proc. IEEE, Vol. 63, No. 4,
April 1975.
20. Oppenheim, A. V, and Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing, Prenti­
ce-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989, p. 478 (имеется русский перевод
218
Гпава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
одного из предыдущих изданий: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. «Цифровая об­
работка сигналов», пер. с англ. / под ред. С. Я. Шаца, М.: Связь, 1979, доступен
по адресу dsp-book.narod.ru/OpShDSP.djvu).
21. Funderburk, D. М., and Park, S. «Implementation of a C-QUAM AM-Stereo Re­
ceiver Using a General Purpose DSP Device», RFDesign, June 1993.
22. Harris Semiconductor Inc. «А Digital, 16-Bit, 52 Msps Halfband Filter», Micro­
wave Journal, September 1993.
23. Ballanger, M. G. «Computation Rate and Storage Estimation in Multirate Digital
Filtering with Half-Band Filters», IEEE Trans, on Acoust. Speech, and Signal Proc,
Vol. ASSP-25, No. 4, August 1977.
24. Crochiere, R. E., and Rabiner, L. R. «Decimation and Interpolation of Digital Sig­
nals — A Tutorial Review», Proceedings o f the IEEE, Vol. 69, No. 3, March 1981,
p. 318.
25. Ballanger, M. G., Daguet, J. L., and Lepagnol, G. P. «Interpolation, Extrapolation,
and Reduction of Computational Speed in Digital Filters», IEEE Trans, on Acoust.
Speech, and Signal Proc, Vol. ASSP-22, No. 4, August 1974.
26. Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., and Young, I. T. Signals and Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1983, p. 212.
27. Stearns, S. Digital Signal Analysis, Hayden Book Co., Rochelle Park, New Jersey,
1975, p. 93.
28. Oppenheim, A. V., and Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing, Prenti­
ce-Hall, Engle-wood Cliffs, New Jersey, 1989, p. 58 (имеется русский перевод од­
ного из предыдущих изданий: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. «Цифробая
обработка сигналов», пер. с англ. / под ред. С. Я. Шаца, М.: Связь, 1979, досту­
пен по адресу dsp-book.narod.ru/OpShDSP.djvu).
29. Rabiner, L. R., and Gold, В. Theory and Application o f Digital Signal Processing,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975, p. 59 (есть русский перевод:
Рабинер Л., Голд Б. «Теория и применение цифровой обработки сигналов», М.:
Мир, 1978, доступен по адресу http://geogin.narod.ru/arhiv/dsp/dsp3.htm).
30. Oppenheim, А. V., Willsky, A. S., and Young, I. T. Signals and Systems, Prenti­
ce-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1983, p. 201.
Гпава 6
Фильтры
с импульсной
характеристикой
бесконечной
длины
Ф ильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИ Х -фильтры) ко­
ренным образом отличаются от КИХ-фильтров из-за наличия обратной связи.
Если выходные отсчеты КИХ-фильтров зависят только от предыдущих и текущего
входных отсчетов, то каждый выходной отсчет БИХ-фильтра зависит от предыду­
щих и текущего входных отсчетов, а также от предыдущих выходных отсчетов.
Способность БИХ-фильтров запоминать и использовать предыдущие выходные
отсчеты является и проклятием и благословением в одно и то же время. Как и для
всех систем с обратной связью, возмущения входного сигнала в некоторых случа­
ях могут сделать БИХ-фильтр неустойчивым и превратить его в генератор. Эта
способность выдавать на выход последовательности ненулевых отсчетов беско­
нечной длины, даже когда все входные отсчеты равны нулю, и послужила причи­
ной, по которой в названии этих фильтров присутствуют слова «с бесконечной
импульсной характеристикой». Здесь мы можем отметить, что по сравнению с
КИХ-фильтрами БИХ-фильтры имеют более сложную структуру (блок-схему),
их труднее проектировать и анализировать, их фазо-частотная характеристика
принципиально нелинейна. Почему же тогда ими пользуются? Потому, что они
очень эффективны. БИХ-фильтры требуют намного меньше умножений на один
выходной отсчет, чтобы реализовать требуемую частотную характеристику. С
точки зрения аппаратуры это значит, что БИХ-фильтры могут быть очень быст­
рыми, они позволяют нам строить фильтры реального времени, которые работа­
ют на значительно более высоких частотах дискретизации, чем КИХ-фильтры1.
Мы коротко сравним преимущества и недостатки БИХ и КИХ-фильтров в конце этой
главы.
220________ Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Чтобы продемонстрировать эффект от использования БИХ-фильтров, на ри­
сунке 6.1 приводится сравнение амплитудно-частотных характеристик БИХфильтра четвертого порядка и КИХ-фильтра с 19 ответвлениями с рисунка 5.19 (Ь)
из пятой главы. Если КИХ-фильтр с 19 ответвлениями требует 19 умножений
на один выходной отсчет фильтра, то БИХ-фильтр четвертого порядка требует
только 9 умножений на каждый выходной отсчет. БИХ-фильтр не только имеет
меньшую неравномерность АЧХ в полосе пропускания и более крутую переход­
ную полосу, он обеспечивает эти достоинства при вдвое меньшем количестве ум­
ножений по сравнению с КИХ-фильтром.
\Н(т)\ для КИХ-фильтра с 19 ответвлениями
Рис. 6 .1 .
Сравнение АЧХ КИХ-фильтра с 19 ответвлениями и БИХ-фильтра 4-го
порядка
Вспомним раздел 5.3, где для получения очень крутой переходной полосы нам
пришлось проектировать КИХ-фильтр с очень длинной импульсной характеристи­
кой. Чем длиннее импульсная характеристика, тем ближе АЧХ фильтра к идеаль­
ной. С точки зрения аппаратуры максимальное количество ответвлений КИХфильтра (длина его импульсной характеристики) зависит от того, как быстро наша
аппаратура выполняет требуемые для вычисления выходного отсчета умножения
и сложения и способна ли она выполнить все эти операции до прихода на вход филь­
тра следующего отсчета входного сигнала. БИХ-фильтры могут иметь импульсную
характеристику, длина которой намного превышает количество ответвлений ли­
нии задержки! Таким образом, БИХ-фильтры способны обеспечить гораздо луч­
шую фильтрацию при том же количестве умножений на выходной отсчет, чем
КИХ-фильтры. Имея это ввиду, вдохнем поглубже, разомнем наши математиче­
ские мускулы и постараемся узнать кое-что о БИХ-фильтрах.
6.1. Введение в фильтры с бесконечными
импульсными характеристиками
Свое название БИХ-фильтры получили благодаря тому, что они используют
некоторые предыдущие выходные отсчеты для вычисления текущего выходного
отсчета. В результате, при подаче на вход фильтра конечной последовательности
ненулевых отсчетов реакция БИХ-фильтра может оказаться бесконечной последо­
вательностью ненулевых выходных отсчетов. Таким образом, если входной сигнал
БИХ-фильтра в какой-то момент времени превращается в последовательность
6.1. Введение в фильтры с бесконечными имп пьсными характеристиками
221
нулевых отсчетов, выходной сигнал, в прині ше, может оставаться ненулевым
бесконечно долго. Эта необычная особенност БИХ-фильтров объясняется спо­
собом их реализации, а именно, наличием обр, тных связей. Понимание структу­
ры БИХ-фильтров не вызовет затруднения, ес и мы начнем с того, что вспомним
строительные блоки КИХ-фильтров. На рис> іке 6.2 (а) показана уже знакомая
нам структура цифрового КИХ-фильтра с четі рьмя ответвлениями, которая реа­
лизует следующее уравнение КИХ-фильтра в >временной области
у(п) = к(0)х(п) + к(1)х(п-1) + к(2)х(п-2) + г(3)х(п-3) + 1г(4)х(п-4) .
(6-1)
(а)
Рис. 6 .2 .
Структуры КИХ-фильтра: (а) традиционное представление структуры
КИХ-фильтра; (Ь) измененная, но эквивалентная структура КИХ-фильтра
Это уравнение известно как разностное уравнение, хотя в главе 5 мы его так не
называли. Чтобы понять, как прошлые выходные отсчеты используются в струк­
туре БИХ-фильтра, начнем с того, что переупорядочим структуру КИХ-фильтра,
показанную на рисунке 6.2 (а) и получим структуру на рисунке 6.2 (Ь). Заметьте,
что структуры на рисунке 6.2 идентичны с точки зрения вычислений и обе явля­
ются реализациями уравнения ( 6 - 1 ).
Теперь мы можем показать, как прошлые выходные отсчеты фильтра комбини­
руются с прошлыми входными отсчетами в структуре БИХ-фильтра, показанной
222
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
на рисунке 6.3. Поскольку БИХ-фильтры имеют два набора коэффициентов, мы
будем использовать стандартные обозначения Ь(к) для коэффициентов прямой
связи и а(к) для коэффициентов обратной связи. Итак, разностное уравнение,
описывающее БИХ-фильтр, изображенный на рисунке 6.3, имеет вид:
у(п)=Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п - 1 ) + Ь(2)х(п - 2) + Ь(3)х(п - 3) +
+ а(1)у(п - 1 ) + а(2)у(п - 2 ) + а(3)у(п - 3)
Вычисления в цепи
прямой связи
Рис. 6 .3 .
(6-2 )
Вычисления в цепи
обратной связи
Структура БИХ-фильтра, показывающая вычисления в цепях прямой и
обратной связи
Посмотрите внимательно на рисунок 6.3 и уравнение (6-2). Нам важно убеди­
ться в том, что рисунок 6.3 действительно является правильной реализацией
уравнения ( 6- 2 ), и наоборот, разностное уравнение ( 6-2 ) исчерпывающим обра­
зом описывает структуру, показанную на рисунке 6.3. Помните, что последова­
тельность у(п) на рисунке 6.3 —это не то же самое, что последовательность у(п),
показанная на рисунке 6.2. Последовательность d(n) на рисунке 6.3 равна после­
довательности у(п) на рисунке 6.2 .
Сейчас вы, вероятно, задаетесь вопросом «Как же рассчитать коэффициенты
БИХ-фильтра a(k) и b(k), если мы хотим спроектировать БИХ-фильтр?» Застег­
ните привязные ремни, потому что именно здесь начинается серьезное изучение
БИХ-фильтров. Вспомните метод проектирования КИХ-фильтров нижних частот
с помощью окон, рассмотренный в предыдущей главе, где мы определяли требуе­
мую АЧХ КИХ-фильтра, вычисляли ее обратное преобразование Фурье, а затем
сдвигали результат преобразования во времени, чтобы получить нужную нам им­
пульсную характеристику фильтра. К счастью, благодаря природе КИХ-фильтров,
коэффициенты фильтра h(k) оказались в точности равными отсчетам импульсной
характеристики. Используя такую же процедуру для БИХ-фильтров, мы могли
6.2. Преобразование Лапласа
223
бы задать требуемую АЧХ, взять обратное преобразование Фурье этой характе­
ристики и получить импульсную характеристику. Увы, не существует простого
метода вычисления коэффициентов БИХ-фильтра а(к) и Ь(к) по импульсной ха­
рактеристике! К несчастью, методы проектирования КИХ-фильтров, которые мы
изучали до сих пор, оказываются непригодными для проектирования БИХ-фильтров. К счастью для нас, мы можем преодолеть этот недостаток, используя один
из нескольких методов проектирования БИХ-фильтров.
Стандартные методы проектирования БИХ-фильтров делятся на три базовых
класса: метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, метод
билинейного преобразования и оптимизационные методы. Эти методы использу­
ют математический метод преобразования дискретных последовательностей, изве­
стный как ^-преобразование, истоки которого восходят к преобразованию Лапласа,
используемому для анализа непрерывных систем. Имея все это ввиду, начнем об­
суждение анализа и проектирования БИХ-фильтров с краткого напоминания
основ преобразования Лапласа.
6.2. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа представляет собой математический метод решения
линейных дифференциальных уравнений, который оказался очень полезным в
технике и физике. Этот метод преобразования, в том виде, в каком его используют
сегодня, берет начало в работах блестящего английского физика Оливера Хэвисайда'. Применение преобразования Лапласа можно представить в виде следую­
щей последовательности шагов:
Шаг 1. Записывается дифференциальное уравнение во временной области, опи­
сывающее соотношение вход/выход физической системы (*нам необходи­
мо найти выходную функцию, которая соответствует этому уравнению и
заданной входной функции).
Шаг 2. Дифференциальное уравнение подвергается преобразованию Лапласа, ко­
торое превращает его в алгебраическое уравнение.
Шаг 3. Для определения преобразования Лапласа от выходной функции исполь­
зуются стандартные алгебраические методы.
Шаг 4. Полученное преобразование Лапласа от выходной функции подвергается
обратному преобразованию Лапласа, в результате чего получается урав­
нение выходной функции во временной области.
1 Хэвисайд (1850-1925), который интересовался электрическими явлениями, разрабо­
тал эффективный аналитический метод решения дифференциальных уравнений. Ему
пришлось вынести множество нападок со стороны современников, которые считали,
что предложенный подход недостаточно обоснован с математической точки зрения.
Однако открытие тесной связи методов Хэвисайда со строго математическим изложе­
нием операционного исчисления французского математика маркиза Пьера Симона де
Лапласа (1749-1827) подтвердило обоснованность методов Хэвисайда.
224
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Это процедура на первый взгляд кажется несколько обременительной, поскольку
заставляет нас идти в обход вместо того, чтобы решать дифференциальное урав­
нение прямо. Оправданием использованию преобразования Лапласа служит то,
что, хотя решение дифференциальных уравнений классическими методами пред­
ставляет собой очень мощный метод анализа любых систем, кроме самых про­
стых, оно может быть очень трудоемким и порождать ошибки. Уменьшение
сложности выкладок при использовании алгебраических методов оправдывает
дополнительные усилия, затраченные на прямое и обратное преобразование Лап­
ласа. Это в особенности справедливо сегодня, когда существуют Таблицы прямых
и обратных преобразований Лапласа для всех обычно встречающихся на практи­
ке функций. Хорошо изученные свойства преобразования Лапласа также позво­
ляют раскладывать сложные функции на комбинации более простых функций и
затем использовать таблицы. (Таблицы преобразований Лапласа позволяют нам
быстро переходить от функций времени к их преобразованиям Лапласа и обрат­
но — аналогично тому, как мы пользуемся англо-русским и русско-английским
словарем при изучении английского языка1’2.) Рассмотрим коротко наиболее
важные свойства преобразования Лапласа, которые будут полезны при нашем
переходе к дискретному ^-преобразованию, используемому для анализа и про­
ектирования цифровых БИХ-фильтров. Преобразование Лапласа непрерывной
функции времени/(£)> которая определена только для положительного времени
(I > 0), математически выражается как
Л>) =
-*<к.
(6_з)
Функцию Д$) называют «преобразованием Лапласа от /(£)»> а переменная 5
представляет собой комплексное число вида
5= о
.
( 6-4 )
Более общее выражение для преобразования Лапласа, которое называют двух­
сторонним преобразованием, в качестве нижнего предела интегрирования испо­
льзует отрицательную бесконечность (-<»). Но в системах, которые мы будем
рассматривать, анализ при отрицательном времени (£ < 0) не нужен, и использу­
ется одностороннее преобразование (6-3). Такие системы, которые часто называ­
ют каузальными, могут иметь начальные условия при £ = 0, которые необходимо
учитывать (скорость тела, заряд конденсатора, температура тела и т. д.), но нам
нет необходимости знать, что система делала до момента времени £ = 0.
В уравнении (6-4) о —действительное число, а ш —частота в радианах в секун­
ду. Поскольку е не имеет размерности, сомножитель 5 должен иметь размер­
ность 1/время, или размерность частоты. Поэтому переменную Лапласа 5 часто
называют комплексной частотой.
' Хотя таблица часто используемых функций можно найти почти в каждом учебнике по
системному анализу, очень подробные таблицы приведены в работах [1-3].
Отечественному читателю можно посоветовать многократно издававшийся в СССР и
России «Справочник по математике (для научных работников и инженеров)», Г. Корн,
Т. Корн, который доступен и в Интернете в различных электронных форматах —(прим.
ред перев.)
225
6.2. Преобразование Лапласа
Выразив формулу (6-3) словами, можно сказать, что она требует умножать
точку за точкой функцию/(£) на комплексную функцию е ~ 5*при различных зна­
чениях 5. (Скоро мы увидим, что использование функции е~5{ здесь не случайно;
используется потому, что она представляет собой общую форму решения линей­
ных дифференциальных уравнений.) После поточечного умножения мы находим
площадь под графиком функции/(£)е~5Гпутем суммирования всех произведений.
Это площадь, которая является комплексным числом, дает значение преобразова­
ния Лапласа для текущего значения 5 = о +]й>, использованного при первоначаль­
ном умножении. Если мы проделаем эту процедуру для всех значений 5, мы будем
иметь полное описание Д$) для всех 5.
Мне нравится рассматривать преобразование Лапласа как непрерывную фун­
кцию, комплексное значение которой при некотором 5 представляет собой корре­
ляцию функции/(£) и затухающей комплексной синусоиды
частота которой
равна со, а коэффициент затухания равен о. Как выглядят комплексные синусои­
ды? Они представляют собой вращающиеся фазоры', описываемые выражением
=е
+]ШУ = е-°Те ^ шТ = е~^ш/ е ° 1.
(6-5)
Из того, что мы знаем о комплексных числах, следует, что е~1ш( представляет
собой фазор единичной длины, вращающийся в направлении по часовой стрелке
вокруг начала координат комплексной плоскости с частотой со радиан в секунду.
Знаменатель (6-5) представляет собой действительное число, равное единице
при t = 0. С ростом £знаменатель е 01 увеличивается (при положительном о), и мо­
дуль комплексного фазора е~а уменьшается одновременно с его вращением на
комплексной плоскости. Конец этого фазора описывает спираль по направлению
к началу координат комплексной плоскости. Один из способов наглядного пред­
ставления комплексной синусоиды состоит в рассмотрении ее действительной и
мнимой частей по отдельности. Мы делаем это, выражая комплексную синусоиду
е ^ в (6-5) в алгебраической форме как
е~^ = е~)шг/ е ог = со§(соЬ)/еа1: - ]ът(ш?)/еа1:.
(6-5’)
На рисунке 6.4 показаны действительные части нескольких комплексных синусо­
ид с разными частотами и разными коэффициентами затухания. На рисунке 6.4 (а)
выбраны произвольные частота со' и коэффициент затухания о' комплексной си­
нусоиды. Следовательно, действительная часть функции Д$) при 5 = о 4- ]со' рав­
на корреляции /(£) и колебания, изображенного на рисунке 6.4 (а). Для разных
значений 5 мы будем находить корреляцию/(£) с разными комплексными синусо­
идами, как показано на рисунке 6.4. (Как мы увидим, эта корреляция очень похо­
жа на корреляцию /(£) и различных синусоидальных и косинусоидальных
колебаний при вычислении дискретного преобразования Фурье.) Здесь опять
действительная часть Р(б) при заданном значении 5 представляет собой корреля­
цию /(£) и косинусоиды с частотой со и коэффициентом затухания о, а мнимая
часть Д я) представляет собой корреляцию/(£) и синусоиды с частотой со и коэф­
фициентом затухания о.
Теперь, если мы поставим в соответствие каждому значению переменной 5
точку на комплексной плоскости, которую по праву называют 5-плоскостью, мы
Радиус-векторы в комплексной плоскости —(прим перев )
226
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
сможем построить графики действительной и мнимой части F(s) как поверхности
над или под этой 5-плоскостью. Мы не можем построить на бумаге график полной
комплексной функции F(s), поскольку для этого потребовалось бы четыре изме­
рения. Это объясняется тем, что, поскольку переменная s комплексная, для ее
изображение необходимы два измерения, а для изображения самой комплексной
функции F(s) требуется еще два измерения. Но мы можем построить график мо­
дуля |F(s) | в функции s, поскольку этот график требует только трех измерений.
Давайте так и будем делать всякий раз, когда нам потребуется наглядно изобра­
зить результат преобразования Лапласа.
Рис. 6 .4 .
Действительная (косинусная) часть различных функций е
участвующих в вычислении корреляции с )
где я = а+ую,
Допустим, имеется линейная система, показанная на рисунке 6.5. Предполо­
жим также, что мы можем связать вход х(() и выход г/(£) линейной инвариантной
во времени системы, показанной на рисунке 6.5, посредством следующего одно­
родного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
227
6.2. Преобразование Лапласа
х(П
Рис. 6 .5 .
Система, описываемая уравнением (6 - 6 ). Входной и выходной сигналы
системы x(t) и y(t) являются непрерывными функциями времени
a2[d2y(t)]/dt2 + a-j[dy(t)]/dt + a,Qy(t) = Ъj[dx(t)]/dt + b0x (t) .
( 6- 6)
Мы используем преобразование Лапласа для достижения поставленной цели —
понять, как будет вести себя система при подаче на ее вход различных сигналов,
т. е. каким будет выходной сигнал y(t) для любого заданного сигнала x(t).
Давайте немного притормозим и посмотрим, о чем нам говорят рисунок 6.5 и
уравнение ( 6- 6). Во-первых, поскольку система инвариантна во времени, коэф­
фициенты уравнения ( 6-6 ) an и Ьп постоянны. Они могут быть положительными
или отрицательными, равными нулю, действительными или комплексными, но
они не меняются со временем. Если это электрическая система, то коэффициенты
могут быть связаны с емкостью, индуктивностью и сопротивлением. Если систе­
ма механическая, состоящая из масс и пружин, коэффициенты могут быть связа­
ны с массой, коэффициентом демпфирования и коэффициентом упругости. Если
же система термическая, состоящая из масс и теплоизоляторов, коэффициенты
могут быть связаны с теплоемкостью и теплопроводностью. Чтобы не ограничи­
вать общность наших рассуждений, мы не будем здесь уточнять, какие физиче­
ские величины представляют наши коэффициенты.
Уравнение ( 6-6 ) показывает также, что, если не обращать внимания на коэф­
фициенты, то сумма выходного сигнала y(t) и его производных равна сумме вход­
ного сигнала x(t) й его производных. Наша задача состоит в том, чтобы точно
определить, какие функции удовлетворяют соотношению ( 6-6). (Упрямцы могут
использовать здесь классические методы решения дифференциальных уравне­
ний, но для нас преобразование Лапласа сделает задачу намного проще.) Благода­
ря Лапласу, мы будем использовать комплексную экспоненту е?1. Она обладает
одним замечательным свойством: ее можно дифференцировать неограниченное
количество раз, и при этом ее форма остается неизменной:
d(e st)/d t = se st, d2(e st)/dt2 = s2e st, d3(e st)/dt3 = s3e st, ...,
dn( e st)/dtn = sne st,
Благодаря этому свойству в результате преобразования Лапласа уравнение
( 6-6) преобразуется в
a2 s2y ( e st) + a-fSy(est) + a0y ( e st) = b-/sx(est) + b0x ( e st) ,
или
(a2 s2 + a-jS + a0) y ( e st) = (b1s + b0 ) x ( e st) .
( 6-8 )
Хотя это уравнение проще, чем ( 6-6 ), мы можем еще больше упростить уравне­
ние в последней строке ( 6-8 ), рассматривая отношение у(е st) и х(е st) как лапласовскую передаточную функцию системы, показанной на рисунке 6.5. Если мы
назовем это отношение полиномов передаточной функцией H(s), то
228
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
H(s) = y ( e st) /x ( e st) = (b-js + b0 )/(a 2 s2 +
+ a0) .
(6-9)
Мы можем использовать стандартные обозначения и представить передаточ­
ную функцию в виде
H(s) = Y(s)/X(s) = (b1s + b0)/(a 2s2 + a 1s + a0) ,
(6-10)
где выходная функция F(s) определяется выражением
Y(s) = X (s)(b1s + b0)/(a 2 s2 + a 1s + a0)= X (s )H (s).
(6-11)
Уравнение ( 6- 1 1 ) приводит нас к необходимости перерисовать исходную блоксхему системы в форме, которая подчеркивает определение передаточной функ­
ции H(s), как показано на рисунке 6 .6.
Осторожный читатель может спросить нас: «Насколько правомерно использо­
вание анализа с помощью преобразования Лапласа, который основан на пред­
ставлении реального входного сигнала системы x (t) в виде некоторой функции от
е st, или х(е st)?>> Ответ на этот вопрос состоит в следующем. Метод анализа с по­
мощью преобразования Лапласа, основанный на комплексных экспонентах, обо­
снован, поскольку все входные функции x(t), встречающиеся на практике, могут
быть представлены комплексными экспонентами. Например,
□
константа с = ceot;
□
синусоида sin(ot) = (е1шг - e~imt)/2j или cos(cut) = (eiwt + e~iwt)/2\
□
монотонная экспонента е
□
экспоненциально затухающая синусоида e~atcos(cot).
X(s)
Рис. 6 .6.
1
Y(s)
Линейная система, описываемая уравнениями (6-10) и (6-11). На вход
системы поступает преобразование Лапласа входного сигнала, X(s), на
выходе получаем преобразование Лапласа выходного сигнала Y(s), пе­
редаточная функция системы H(s)
Из сказанного следует, что, если мы знаем передаточную функцию системы
H(s), то мы можем взять преобразование Лапласа от входного сигнала x(t) и опре­
делить X(s), умножить X(s) на H(s) и получить Y(s), а затем взять обратное преоб­
разование Лапласа от Y(s), получив в результате выражение для выходного
сигнала y(t). В практических ситуациях, однако, мы обычно не выполняем все эти
шаги, потому что наибольший интерес для нас представляет сама передаточная
функция H(s). Если мы можем выразить H(s) аналитически или построить гра­
фик поверхности \H(s) | как функции переменной s, то это позволяет нам опреде­
лить два наиважнейших свойства анализируемой системы и ответить на вопрос:
устойчива ли система и, если да, то какова ее частотная характеристика?
«Но постойте,» —говорите вы. —«Уравнения (6-10) и (6-11) показывают, что
для получения H(s) нужно знать F(s)!» На самом деле это не так. Нам необходи­
мо знать только дифференциальное уравнение, подобное ( 6 - 6 ). Затем мы берем
6.2. Преобразование Лапласа
229
преобразование Лапласа этого дифференциального уравнения и комбинируем
его члены так, чтобы получить H(s) в форме (6-10). Имеющие практический опыт
разработчики Систем могут просто посмотреть на блок-схему (механическую,
электрическую и любую другую) системы и сразу написать выражение для H(s).
Используем же теперь понятие передаточной функции H(s), чтобы определить
устойчивость и частотную характеристику простой непрерывной системы.
6 .2 .1 . Полюсы и нули на s-плоскости и условие
устойчивости
Одной из важнейших характеристик системы является ее устойчивость. Мы
можем считать систему устойчивой, если при ограниченном сигнале на входе она
всегда выдает ограниченных выходной сигнал. Кажется, что легко достичь вы­
полнения этого условия, потому что большинство окружающих нас в повседнев­
ной жизни систем являются устойчивыми. Тем не менее, мы все имеем опыт
наблюдения неустойчивости системы, содержащей обратные связи. Вспомните
вой, который раздается, когда микрофон громкоговорящей системы подносится
слишком близко к громкоговорителю. Сенсационный пример нестабильной сис­
темы наблюдался в западном Вашингтоне, когда первый мост Такома Нэрроуз
(Tacoma Narrows Bridge) начал колебаться в полдень 7 ноября 1940 г. Эти колеба­
ния были вызваны ветром со скоростью 42 мили в час, их амплитуда нарастала до
тех пор, пока мост не разрушился. Для БИХ-фильтров с их внутренней обратной
связью неустойчивость может привести к тому, что состояние выхода фильтра пере­
станет отражать состояние его входа; т. е. выходные отсчеты при этом не являются
фильтрованными версиями входных отсчетов; они представляю собой какие-то
непонятные колебания или псевдослучайные значения. Таких ситуаций следует
по возможности избегать, не так ли? Посмотрим, как этого добиться.
Мы можем разобрать понятие устойчивости непрерывной системы, изучив не­
сколько разных примеров передаточных функций H(s), описывающих линейные
инвариантные во времени системы. Предположим, что у нас есть система, переда­
точная функция которой имеет форму ( 6- 10 ), при этом коэффициенты ее дейст­
вительны, а коэффициенты Ь1 и а2 равны нулю. Обозначим эту передаточную
функцию как H^s):
H ^ s ) =b0 / ( a 1s + a0) = (b0 / а ^ / i s + a0/ я , ) .
( 6- 1 2 )
Заметьте, что при s = - а0 /а^ знаменатель в (6-12) обращается в ноль, а мо­
дуль ЯДя) устремляется в бесконечность. Эту точку s = - а 0 /а 1называют полю­
сом, и на рисунке 6.7 (а) он отмечен значком "х". Обратите внимание на то, что
полюс расположен в левой полуплоскости, соответствующей отрицательной части
действительной оси. Если бы система, описываемая функцией Нр находилась в
состоянии покоя и в момент времени t=0 мы подали на ее вход импульс x(t), ее не­
прерывный выходной сигнал y(t) представлял бы собой затухающую экспоненту,
показанную на рисунке 6.7 (Ь). Мы можем видеть, что H^(s) устойчива, потому
что выходной сигнал y(t) с течением времени стремится к 0. Кстати, расстояние
полюса от оси о = 0 , а0 / а -j для нашей передаточной функции H ^s), определяет
скорость затухания импульсной характеристики y(t). Чтобы показать, почему эту
точку называют полюсом, на рисунке 6.8 (Ь) изображена трехмерная поверхность
230
Глава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
|Я ^я) |. Посмотрите на этот рисунок внимательно и обратите внимание на то, что
мы изменили ориентацию осей я-плоскости. При такой ориентации осей мы можем
увидеть, как по этой трехмерной поверхности можно получить АЧХ системы. Если
мы рассмотрим поверхность |Я^я) | при о = 0, то получим характеристику, показан­
ную на рисунке 6.8 (Ь) толстой линией. Эта толстая линия, представляющая со­
бой сечение поверхности |Яу(5)| вертикальной плоскостью <7 = 0, и есть АЧХ
нашей системы |Яу(а>) | —таким образом, мы достигли одной из наших целей. В более
привычном виде АЧХ |Яу(со) | приведена на рисунке 6.8 (с). Рисунки 6.8 (Ь) и 6.8 (с)
выявляют одно важное обстоятельство: преобразование Лапласа представляет
собой обобщение преобразования Фурье, потому что при о = 0 значение 5 = ](о.
Поверхность |ЯД 5)| при о = 0 превращается в функцию частоты |ЯДа>)|, показан­
ную на рисунке 6.8 (с).
Другая известная передаточная функция приводит к колебательной импуль­
сной характеристике. Рассмотри другой частный случай передаточной функции
( 6- 10 ), когда Ъ0 =0, а корни полинома знаменателя принимают комплексные зна­
чения. Мы обозначим этот частный случай передаточной функции как Н2(з):
Я2($) = Ь1Б/(а2э2 +
+ а0) = [(Ь1/ а ^ ] / ^ 2 +
+ а0/ а 2].
(6-13)
7со
s-плоскость
(а)
Рис. 6.7.
(Ь)
Представления функции Н,(э): (а) полюс, расположенный в точке э = ст+/со =
- а 0/ а 1+ у0 на э-плоскости; (Ь) импульсная характеристика системы у(?)
(Кстати, когда переменная 8 входит как в числитель, так и в знаменатель пере­
даточной функции, порядок функции определяется наибольшей степенью 5 в зна­
менателе. Следовательно, наша Я 2 (х) имеет второй порядок.) Чтобы несколько
упростить последующие уравнения, разложим знаменатель передаточной функ­
ции на множители и перепишем (6-13) в виде:
H2(s) = As/[(s +p)(s +/?*)]
(6-14)
где Л = b 1/ а 2, р = р геа[ +jp imag И р * = p rea[ - jp imag (комплексно-сопряженный р).
Заметим, что если s принимает значение - р или - р *, один из сомножителей в зна­
менателе (6-14) обращается в ноль, а модуль H2(s) становится бесконечным. Два
комплексных полюса, показанные на рисунке 6.9 (а), лежат в стороне от отрица­
тельной части действительной оси. Если бы система Н2 находилась в состоянии
покоя и в момент времени t=0 мы подали на ее вход импульс x(t), то выходной
сигнал системы y(t) представлял бы собой затухающую синусоиду, показанную
на рисунке 6.9 (Ь). Мы видим, что H2(s) устойчива, потому что ее осциллирующий
выходной сигнал с течением времени затухает подобно задетой гитарной струне.
Здесь тоже расстояние полюсов от оси о = 0 ( - р геа[) определяет скорость затуха­
ния синусоидальной импульсной характеристики y(t). Аналогично, расстояние
231
6.2. Преобразование Лапласа
полюсов от оси](о = 0 ( ±р2ОТа^) определяет частоту колебания синусоидальной им­
пульсной характеристики у(і). Обратите внимание на одну новую деталь на ри­
сунке 6.9 (а). Когда 5 = 0, числитель (6-14) равен нулю, в результате чего Я 2 (5)= 0.
Любое значение 5, при котором Я 2 (5)= 0, часто представляет определенный инте­
рес и обычно отмечается на 5-плоскости небольшим кружочком, называемым
«нулем», показанным на рисунке 6.9 (а). Здесь нас не очень интересует то, как вы­
разить/? ир* через коэффициенты знаменателя (6-13). Но настойчивый читатель
может выразить значения р и р* через а0, а-і и а2 с помощью известной формулы
корней квадратного уравнения: заданный полином второго порядка / ( б) =аз2 + Ьб
+ с можно представить в виде произведения сомножителей
./со
А
(а)
'Эс/а1
*
(Ь)
Рис. 6 .8 .
Подробное представление Н^б)'. (а) полюс в точке а = - а 0/ а 1 наз-плоскости; (Ь) поверхность |Н,(5)|; (с) кривая сечения поверхности |Н г(з)| вер­
тикальной плоскостью о = 0. Это обычное изображение АЧХ системы
\Н1(со)\
232
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
5 = -РгВ
Я| +ІРіт а д
геаі
ум
\
Ноль в точке в = О
(а)
Рис. 6 .9 .
Представления Н2 {з)\ (а) полюсы в точках э = ргеа/±ур/тад5-плоскости; (Ь)
импульсная характеристика системы у(?)
км
(а)
(с)
Рис. 6 .1 0 . Подробное изображение Н2 (б): (а) расположение полюсов и нулей на
э-плоскости; (Ь) поверхность |Н2 (э) | ; (с) график АЧХ |Н2 («>) \
233
6.2. Преобразование Лапласа
/ ( 5) = ав2 + Ьб + с =
(6-15)
=
[5
+ Ь/2а + У/(Ь2 - 4ас)/4а2][з + Ь/2а - ' І (Ь2 - 4ас)/4а2] .
На рисунке 6.10 (Ь) показана поверхность |Я2(5)| над 5-плоскостью. Толстая
линия на этом рисунке показана на рисунке 6.10 (с) в более привычном виде, она
представляет собой АЧХ системы, описываемой уравнением (6-13). Хотя трех­
мерные поверхности на рисунках 6.8 (Ь) и 6.10 (Ь) весьма информативны, они в то
же время громоздки и не всегда необходимы. Мы можем оценить устойчивость
системы, просто рассмотрев расположение полюсов на двухмерной 5-плоскости.
На рисунке 6.11 показаны карты расположения полюсов для нескольких раз­
личных передаточных функций и соответствующие им импульсные характери­
стики. Мы видим, что рисунки 6.11 (а) и 6.11 (Ь), которые мы уже обсуждали,
демонстрируют нам характеристики устойчивых систем. Будучи выведены из со­
стояния покоя входным сигналом, они реагируют на него, а затем постепенно воз­
вращается в состояние покоя. Единственный полюс 5 = 0 на рисунке 6.11 (с)
соответствует передаточной функции 1/5. В электрических системах передаточ­
ная функция 1/б может описывать конденсатор, заряженный импульсом тока при
отсутствии цепи разряда. Для механической системы 6.11 (с) может описывать
некоторую пружину, которая сжата импульсом силы и по какой-то причине оста­
ется в этом состоянии. Обратите внимание на то, что, когда Я(5) имеет сопряжен­
ные полюсы, лежащие точно на оси]ш (о = 0), как на рисунке 6.11 (сі), система
превращается в генератор, если она выведена из состояния покоя. Эта ситуация,
которую называют условной устойчивостью, описывает передаточные функции
электронных генераторов. Неустойчивые системы показаны на рисунках 6.11 (е)
и 6.11 (Г)- Здесь полюсы лежат справа от о с и К о г д а импульсный входной сиг­
нал выводит такую систему из состояния покоя, ее выходной сигнал неограни­
ченно возрастает1. Вы видите, что <т, действительная часть полюса, здесь играет
ключевую роль. Когда о < 0, система ведет себя хорошо и устойчива; когда о = О,
система условно устойчива; и когда о > 0, система неустойчива. Итак, мы можем
сказать, что, когда полюсы расположены в правой полуплоскости комплексной
плоскости, система неустойчива. Для линейных непрерывных систем это проде­
монстрировано на рисунке 6.12. Помните, что реальные системы часто имеют бо­
лее двух полюсов, и устойчивость системы определяется полюсом с наименьшей
устойчивостью. Чтобы система была устойчивой, все ее полюсы должны лежать в
левой полуплоскости 5-ПЛОСКОСТИ.
Итак, подытожим коротко то, что мы узнали: Я(5) определяется путем записи
дифференциального уравнения линейной системы с последующим взятием пре­
образования Лапласа от этого уравнения, в результате чего получаем выражения,
содержащие преобразования Лапласа Х(5), Г(5), 5 и коэффициенты системы. За­
' Исследование импульсной характеристики в лаборатории может быть важной частью
процесса проектирования. Трудность здесь состоит в генерации действительно им­
пульсного сигнала. Если мы исследуем электрическую систему, в качестве входного
импульса х(ґ) можно использовать очень короткий импульс напряжения или тока,
хотя его не всегда просто получить. Если же система механическая, в качестве входного
импульса х(ґ) можно использовать удар молотком. Для цифровых систем импульсный
входной сигнал генерируется легко, он представляет собой один единичный отсчет, ко­
торому предшествуют и за которым следуют нулевые отсчеты.
234
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
тем мы группируем члены преобразования Лапласа так, чтобы получить отноше­
ние Н(б) в виде (6-10). (Действительно удивительно здесь то, что для анализа
линейной системы нам не нужно знать, что на самом деле представляет собой
входной сигнал х(Ь)\) Мы можем получить выражение для непрерывной частот­
ной характеристики системы, просто п о д с т а в и в в м е с т о 5 в уравнение для Н(з).
Чтобы оценить устойчивость системы, необходимо разложить полином знамена­
теля //($) на множители, содержащие его корни. Затем следует найти расположе­
ние полюсов системы на 5-плоскости. Любой полюс, расположенный справа от
оси/у, служит признаком неустойчивости системы.
.
Lу(0
i7w
о
t
, У(П
і/со
X
а
X
, у(0
а
t
, У(0
,;<о
>
>
а
,/со
і t yg)_______
----- X---►
ст
Рис. 6 .1 1 . Различные варианты расположения полюсов H{s) и соответствующие импу­
льсные характеристики: (а) единственный полюс в точке a < 0; (b) сопряжен­
ные полюсы при о < 0; (с) единственный полюс о = 0; (d) сопряженные полюсы
с о = 0; (е) единственный полюс при о > 0; (f) сопряженные полюсы при о > 0
235
6.3. Z-преобразование
Область
I
Область
устойчивости I неустойчивости
О'
Условная
устойчивость
Рис. 6 .1 2 . э-плоскость, области устойчивости и неустойчивости расположения по­
люсов линейной непрерывной системы
Теперь вернемся к нашей главной цели —г-преобразованию. Процесс анализа
БИХ-фильтров требует, чтобы мы заменили преобразование Лапласа г-преоб­
разованием, а 5-плоскость —г-плоскостью. Давайте познакомимся с г-преобразова­
нием, узнаем, что представляет собой новая для нас г-плоскость, обсудим устойчи­
вость БИХ-фильтров и выполним проектирование и анализ нескольких простых
БИХ-фильтров.
6.3. Z -преобразование
г-преобразование —близкий родственник преобразования Лапласа1. В то время
как преобразование Лапласа используется для упрощения анализа непрерывных
дифференциальных уравнений, г-преобразование облегчает анализ дискретных
разностных уравнений. Давайте дадим определение г-преобразования и исследуем
его важные свойства, чтобы понять, как оно используется при анализе цифровых
БИХ-фильтров.
г-преобразование дискретной последовательности h(n), обозначенное как Я(г),
определяется следующим образом:
00
Я(г) = J h(n)z-n ,
(6-16)
п = - 00
где переменная г —комплексная. Если (6-3) давало нам преобразование Лапласа
непрерывного сигнала, то г-преобразование выполняется над дискретной после­
довательностью h(n), преобразуя ее в непрерывную функцию Я(г) непрерывной
1 В начале 1960-х Джеймс Кайзер (James Kaiser), в честь которого названо окно Кайзера,
разработал теорию цифровых фильтров, используя математическое описание, извест­
ное как г-преобразование [4, 5]. До этого времени использование г-преобразования
ограничивалось областью дискретных систем управления [6-9].
236
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
комплексной переменной 2 . Подобно тому, как функция е~~5?является общей фор­
мой решения линейных дифференциальных уравнений,
представляет собой
общую форму решения линейных разностных уравнений. Более того, как преоб­
разование Лапласа Д я) представляет непрерывную поверхность над 5-плоско­
стью, так и 2 -преобразование Н(г) представляет непрерывную поверхность над
2 -плоскостью. Чтобы подогреть ваш интерес, скажем, что, если Н(г) представляет
собой передаточную функцию БИХ-фильтра, то расчет поверхности Н(г) даст
нам АЧХ фильтра, а расположение полюсов и нулей Н(г) позволит оценить
устойчивость фильтра.
Мы можем вычислить частотную характеристику БИХ-фильтра, выразив 2 в
полярных координатах как 2 = ге№, где г — модуль, а со — аргумент комплексной
переменной. В этой форме 2 -преобразование приобретает вид
00
00
Н(г) =Н(ге1(°) = ^ к (п )(ге ^ ш)~п =^1г(п)г~пе~1п0) >
п = ~ 00
(6-17)
72= - 0 0
Рис. 6 .1 3 . Единичная окружность в комплексной 2 - П Л О С К О С Т И
Уравнение (6-17) можно рассматривать как преобразование Фурье произведе­
ния исходной последовательности к(п) на экспоненциальную последовательность
г~п. Если г = 1, (6-17) превращается в преобразование Фурье. Следовательно, на
2 -плоскости контур поверхности Н(г) при \г\ = 1 есть преобразование Фурье по­
следовательности А(и). Если Ь(п) представляет собой импульсную характеристи­
ку фильтра, вычисление Н(г) при \г\ = 1 дает частотную характеристику фильтра.
Где же на комплексной 2-плоскости располагается контур [г| = 1? Это окружность
с радиусом, равным единице, цецтр которой совпадает с началом координат 2 = 0.
Эта окружность, которая так важна, что ей дали собственное имя единичная окруж­
ность, показана на рисунке 6.13. Вспомним, что частотная осьуа» на 5-плоскости
преобразования Лапласа прямолинейна и проходит от
до +оо радиан/сек. Час­
тотная же ось оо на комплексной 2-плоскости охватывает только диапазон от - я до
+л радиан. Это соотношение между о с ь ю н а 5-плоскости преобразования Лапла­
са и единичной окружностью на 2-плоскости позволяет нам увидеть, что частотная
ось 2-плоскости эквивалентна наматыванию оси
в 5-плоскостц на единичную
окружность в 2 -плоскости, как показано на рисунке 6.14.
237
6 .3 .І-преобразование
в-плоскость
г-плоскость
Область
неустойчивости
ш*
=со$
^геаі
=2
Рис. 6 .1 4 . Отображение в-плоскости преобразования Лапласа на г-плоскость. Все
частоты даны в радианах/сек
Далее, частота ш на г-плоскости не является расстоянием по прямой, а пред­
ставляет собой угол. Если со на рисунке 6.13 представляет собой обобщенный нор­
мированный угол в радианах, изменяющийся в пределах от - я до +я, мы можем
связать его с частотой дискретизации/5, определив новую частотную переменную
со5 = 2 л /3 в радианах в секунду. На рисунке 6.14 показана периодичность пред­
ставления дискретной частоты с периодом (о3 = 2 л /8 радиан/сек или / 8 Гц. При
продвижении по оси частот
в 5-плоскости в любом направлении мы можем
уйти в бесконечность, при движении же по оси частот со в г-плоскости мы будем
наматывать круги но единичной окружности. Рисунок 6.14 показывает, что мож­
но рассматривать только диапазон частот о от - л / $ до + я/5 радиан/с, и это еще
одна иллюстрация универсальной периодичности частотной области дискретных
сигналов. (Диапазон от - л / 5 до +л/5 радиан/сек соответствует, конечно же, диа­
пазону частот от ~/х/2 до +/5/ 2 Гц.) Имея выражение для единичной окружности
2 = е^ш, позже мы покажем, что для получения частотной характеристики фильтра
нужно подставить в передаточную функцию Н(г) фильтра е!ш вместо 2 .
6 .3 .1 . Полюсы и нули на г-плоскости и условие
устойчивости
Одной из важных особенностей 2-плоскости является то, что область устойчи­
вости фильтров совпадает с внутренней частью единичного круга на 2-плоскости.
Имея передаточную функцию цифрового фильтра Н(г), мы можем изучить распо­
ложение ее полюсов и нулей и сделать вывод об устойчивости фильтра. Если все
полюсы находятся внутри единичного круга, фильтр устойчив. Но если хотя бы
один какой-нибудь полюс оказывается за пределами единичного круга, фильтр не­
устойчив. На рисунке 6.15 показаны примеры размещения полюсов в 2-плоскости и
соответствующие им дискретные импульсные характеристики. Было бы хорошо,
если бы вы сравнили карты 2-плоскости и дискретные импульсные характеристики
на рисунке 6.15 с картами 5-плоскости и непрерывными характеристиками на ри­
сунке 6.11. Выходной сигнал у(п) на рисунках 6,15 (с!) и (е) показывает нам пример
неограниченного нарастания выходного сигнала неустойчивого фильтра всякий
раз, когда входной сигнал х (п ) становится отличным от нуля. Чтобы избежать
238________ Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
такой ситуации, любой БИХ-фильтр должен проектироваться так, чтобы все по­
люсы его передаточной функции Н(г) лежали внутри единичного круга. Как и
цепь, прочность которой определяется самым слабым звеном, БИХ-фильтр лишь
настолько устойчив, насколько устойчив самый неустойчивый из его полюсов.
У(п)
(а)
п
А у (л )
МГ0
= 2п/а>0
Т
ш
*
(Ь)
V
ш*■
<ЖМ "
% !**
**■*
ь-
п
ж
АI У(п)
Ж
Ж
)*
■
(с)
п
Ж
Ж .....
1
й
А у (п )
(с))
п
^У(")
ж
ж *
ж
ж
жжж
* 4
^
м" —
"—Ж—-----ж-------ж------ж------- ж-------ж------ ж------►
(е)
—т 0
X
гва1
*
* жж
_
Рис. 6 .1 5 . Различные карты расположения полюсов Н(г) и соответствующие им им­
пульсные характеристики: (а) единственный полюс внутри единичного
круга; (Ь) сопряженные полюсы внутри единичного круга; (с) сопряжен­
ные полюсы на единичной окружности; (с1) единственный полюс за пре­
делами единичного круга; (е) сопряженные полюсы за пределами
единичного круга
Частота осцилляции 0)о импульсных характеристик на рисунках 6.15 (с) и (е),
конечно же, пропорциональна углу полюса относительно действительной оси 2геа/,
или а>0 радиан/сек соответствуют / 0 = со0 / 2 л Гц. Поскольку точка пересечения
оси - г геа1 с единичной окружностью г = - 1 соответствует л радиан (или л / 5ради­
ан/сек =/ 3/ 2 Гц), угол (о0 = л / 4 на рисунке 6.15 показывает, ч т о /0 = /5/8, и наша
импульсная характеристика у(п) имеет восемь отсчетов на период частоты/0.
239
6.3. Z-преобразование
6.3 .2. Использование z -преобразования для анализа
БИХ-фильтров
Прежде, чем мы сможем добавить z-преобразование к набору инструментов
цифровой обработки сигналов, следует рассмотреть еще один вопрос. Нам необ­
ходимо определить, что представляет собой операция задержки на рисунке 6.3 по
отношению к z-преобразованию. Для этого предположим, что у нас есть последо­
вательность х(п), z-преобразование которой есть X(z), и последовательность у(п)
= х (п -1), z-преобразование которой есть 7(z), как показано на рисунке 6.16. z-npeобразование у(п) по определению имеет вид
00
00
Y(z) = 2 > ( n ) z - = ^ x(n -1 )z~ n .
П = — сс
(6-18)
Y l~ — oo
Теперь, если мы положим k = п -1 , то Y(z) принимает форму
00
00
F(z) = ^ x(k)z~(k+1) = ^ x ( k ) z ~ k z~1,
&=-00
£=-00
(6-19)
которую мы можем переписать как
00
Y(z) = z~1 ^ x ( k ) z ~ k = z~1[X(z)],
£=-00
( 6 - 20 )
y(n)_=x(n -1)
Х ( П )
З а д е р ж ка
Х( z)
Y(Z)
Рис. 6 .1 6 . Выходная последовательность y(n) представляет собой задержанную
на один период дискретизации входную последовательность х(п)
Следовательно, одна единица задержки во временной области приводит к ум­
ножению z-преобразования на z~1.
Рассматривая единичную задержку по времени как эквивалент оператора z~1,
мы приходим к соотношениям, показанным на рисунке 6.17, о которых можно ска­
зать, что X(z)z 0 = X(z) — это z-преобразование x(n), X(z)z~1— z-преобразование по­
следовательности х(п), задержанной на один отсчет, X(z)z~2 — z-преобразование
последовательности х(п), задержанной на два отсчета, a X(z)z~^ — z-преобразование последовательности х(п), задержанной на k отсчетов. Таким образом, переда­
точная функция вида z~k эквивалентна задержке на kts секунд, где ts — период
времени между последовательными отсчетами, или единица, деленная на частоту
дискретизации, ts = 1/ f s. Поскольку задержка на один отсчет эквивалентна мно­
жителю z~1, символ единичной задержки, использованный на рисунках 6.2 и 6.3,
обычно помечают оператором z~1.
Задержимся на минуту и посмотрим, где мы находимся в данный момент.
Наше знакомство с преобразованием Лапласа и его 5-плоскостью, понятие устой­
чивости, основанное на расположении полюсов H(s), введение z-преобразования
с его полюсами в z-плоскости, и концепция оператора z~1, обозначающего еди­
ничную задержку по времени, привели нас к поставленной цели: мы можем те­
перь изучить разностное уравнение или структуру БИХ-фильтра и сразу
240
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
записать передаточную функцию фильтра Н(г). Вычислив соответствующим об­
разом передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г), мы можем получить частот­
ную характеристику фильтра и проверить его устойчивость. Помня об этой
амбициозной цели, займемся выводом уравнений в 2 -области, необходимых для
анализа БИХ- фильтров.
Используя соотношения, приведенные на рисунке 6.17, начертим схему, при­
веденную на рисунке 6.3, как обобщенный БИХ-фильтр М -го порядка, используя
оператор
как показано на рисунке 6.18. (В аппаратуре операции задержки г~1
реализуются как регистры сдвига, хранящие последовательные входные и выход­
ные отсчеты. При программной реализации БИХ-фильтра операция 2 “1 просто
указывает на последовательные ячейки памяти, в которых хранятся входная и
выходная последовательности.) Структуру БИХ-фильтра на рисунке 6.18 часто
называют Прямой формой I.
Разностное уравнение во временной области, описывающее обобщенный БИХфильтр М-то порядка, имеющий N секций прямой связи и М секций обратной свя­
зи, показанный на рисунке 6.18, имеет вид
Выражение
для БИХ-фильтра М-то
порядка во временной
области
у(п) = Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п-1) +
+ Ь (2)х(п-2) + ... + Ь(№)х(п-М) +
(6-21)
+ а (1 )у(п -1 ) + а (2 )у (п -2 ) + ... +
+ а(М )у(п -М ) .
|Х(Л-2)
х(п)
Временная
область
З адерж ка
Х(г)
Задерж ка
г '1
г - область
27-1
З адерж ка
Х(2)2 -к
г-3
Х(2)2 -2
Х(2)2'1
х(п-к)
гХ(П-З)
Задерж ка
z7-1
£
Рис. 6 .1 7 . Соответствие операции задержки по времени и операции г к в г-области
В 2 -области выходной сигнал такого БИХ-фильтра можно записать как
7 (2 )
= Ь(0)Х(г) + Ь (1)Х (г)г-1 + Ь(2)Х(г)г~2 + ... + Ь(Щ Х ^ г ^ +
( 6 - 22 )
+ А (/)7(2)2-у + й (2 )Г(2 )2 “2 + ... + й (М )У(2)2-М ,
где У(г) иХ ( 2 ) представляют собой 2 -преобразования последовательностей у(п) и
х(п) соответственно. Рассмотрите уравнения (6-21) и (6-22) внимательно и обра­
тите внимание на то, что единичные задержки по времени преобразуются в отри­
цательные степени 2 в 2 -области. Более компактная форма выражения для У(г)
выглядит так
Выражение для
БИХ-фильтра М-то
порядка в г-области
N
Г(2 ) =
М
ь(к)г~к + 7 (2 )2 а(к)г~к .
к=0
к=1
(6-23)
241
6.3. Е-преобразование
Рис. 6 .1 8 . Обобщенная структура (Прямая форма I)-БИХ-фильтра М -го порядка,
имеющего N секций прямой связи и М секций обратной связи, оператор
-1 символизирует задержку по времени на один отсчет
Итак, мы достигли места, где можно описать передаточную функцию обоб­
щенного БИХ-фильтра. Приведя подобные члены в (6-23), получаем:
М
N
Г(2) [ у~ 2 а(Ь)г~к\ = х ( 2 ) ^ Ь{к)г~к .
к=1
к=0
(6-24)
И, наконец, мы получаем передаточную функцию фильтра в 2 -области Я(г)
У(г)/Х(г), где Я(г) имеет вид
Передаточная функция
БИХ-фильтра
М-го порядка
в г-области
Я(г) = У(г)/Х(г) =
N
=
М
Ь(к)2~к ] / [ 1
к=0
- 2
(6-25)
а ( к ) 2 ~ к ].
к=1
(Как и в случае передаточных функций Лапласа, порядок нашей передаточной
функции в г-области определяется наибольшим показателем степени при г в зна­
менателе, в рассматриваемом случае —это М.) Уравнение (6-25) говорит нам все,
что необходимо знать о БИХ-фильтре. Мы можем вычислить корни знаменателя,
чтобы определить расположение полюсов фильтра на 2-плоскости, которое необ­
ходимо для проверки устойчивости.
Подобно тому, как передаточная функция Лапласа Я ( 5) в (6-9) описывала
комплекснозначную поверхность над или под 5-плоскостью, так и Я(г) описывает
комплекснозначную поверхность над или под г-плоскостыо. Пересечение поверхно­
сти Я(г) с боковой поверхностью цилиндра, построенного на единичной окружнос­
ти г = е№ дает нам комплексную частотную характеристику фильтра. Это значит,
242
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
что подстановка е^швместо г в передаточной функции (6-25) даст нам выражение
для частотной характеристики БИХ-фильтра Нп к (со) вида
Частотная
характеристика
БИХ-фильтра
М-го порядка в
экспоненциальной
,
форме
Нцр(ш) = Н (г) |
л,
_ у
" ' '
к=0
(6.26)
м
,,
' *-
у
"
к~1
-щ
'
-I'
Изменим форму (6-26) и получим более полезные выражения для модуля и
аргумента Нп к (со) (АЧХ и ФЧХ фильтра). Поскольку Нп к(оо) является отноше­
нием комплексных величин, мы можем представить Н11К(оо) в алгебраической
форме:
N
М
Нцк(ш) = 2 Ь(к)[со§(ксо) - ]$т(к(о)]/{1
к-0
или
Частотная
характеристика
БИХ-фильтра
М-го порядка
в алгебраической
форме
а(к)[соБ(ксо) -у ш 1(&ю)]},(6-27)
к=1
^
н 1т (ш) = [ 2 Кк)соБ(ка))
£=0
м
_
^
О Д э т ^ )]/
к=0
_м
(6-28)
а(к)соБ(ксо) + ] £ , а(£)5т(£со)]
к=1
1г=1
Обычно проще и полезнее рассматривать комплексную частотную характери­
стику в виде модуля и аргумента. Давайте получим соответствующие выражения,
представив числитель и знаменатель (6-28) в виде двух комплексных функций
круговой частоты со. Обозначив числитель (6-28) как N 4171( 00), запишем
N 11171(00) = Ш тгеа^оо) + ]Ш т1таё(о)) ,
(6-29)
где
N
т т Геа№ ) = ^ Ь ( к ) •соБ(коо) ,
к=0
N
Ш т ІТпаХ(о) = - ^ 6(&)в8Іп(&а>) ,
к=0
(6-30)
Аналогично знаменатель (6-28) можно представить в виде
Оеп((о) = Оепгеа1(а)) +]Е>епіта^а>),
где
м
ВеИ-гео^Ы) = 1 - ^а(&)*С08(&й>) ,
к=1
(6-31)
243
6 .3 .1-преобразование
(6-32)
Такое представление АГит(со) и Оеп(со) позволяет нам записать Н11к(оо) в более
простой форме
Н цК(со) = Шт(со)/Оеп(со) =
IМитгеа1(а>) +;Митшаё((о)] /[Оепгеа{о)) +]Оепхт(Щ(ш)\ =
(6-33)
= [ | Кит(а)) | АфШт(а))] /[ | Оеп(со) \ £фВеп(а))]
(6-33')
Используя (6-33) и правила деления комплексных чисел (А-2) и (А -19’), при­
веденные в приложении А, мы получаем АЧХ БИХ-фильтра в виде
\Нця(со)\ = \Шт(со) \/\Оеп(со) | =
(6-34)
{^[К ит геа!((о)]2 + [ т т 1ТП(Щ(а>)\ 2}/{ V [Оепгеа1(со)}2 + [Оеп1тщ(ш)]2)
Далее, фазо-частотная характеристика фильтра фц%(и>) равна разности аргу­
ментов числителя и знаменателя, или
Ф ц я ^ Ф ш т ^ ) ~ Фоеп(ш) =
= ^ п - 1[ т т 1таё(а ))/т т геа1(ш)] - Ъ п - 1[Веп1та8((о)/Вепгеа1((о) ] .
(6-35)
Напомним, что мы проделали все эти алгебраические упражнения с целью вы­
вода выражений для расчета АЧХ \Нп к (со)\ и ФЧХ фцц(со) БИХ-фильтров через
коэффициенты фильтра в (6-30) и (6-32). Скоро мы воспользуемся этими выра­
жениями для анализа реального БИХ-фильтра.
Следует отметить, что мы можем использовать (6-34) и (6-35) для вычисления
АЧХ и ФЧХ БИХ-фильтров как функции частоты со. Так что же такое со? Это
нормированная круговая частота, представленная углом на комплексной плоско­
сти, как на рисунке 6.13, принимающая значения в диапазоне - л < со < +л. В еди­
ницах круговой частоты дискретизации со3 (см. рисунок 6.14) со перекрывает
диапазон - со8 /2 < со < + со$/2. В единицах нашей старой знакомой / 5 выражения
(6-34) и (6-35) справедливы для диапазона от - / 5 /2 до + /5 /2 Гц. Так, например,
если цифровые данные поступают на вход фильтра с частотой / 5 = 1000 отсчетов в
секунду, мы можем использовать (6-34), чтобы построить график АЧХ фильтра в
диапазоне частот от -500 Гц до +500 Гц.
Хотя выражения, описывающие комплексную частотную характеристику
Н ц^со), амплитудно-частотную характеристику \Н11К(со)\ и фазо-частотную ха­
рактеристику фп к (со), на первый взгляд выглядят сложновато, мы продемонстри­
руем их простоту и полезность на примере анализа простого БИХ Ф НЧ второго
порядка, показанного на рисунке 6.19, частота среза которого равна со5 /10. Рас­
смотрев структуру фильтра, мы можем записать его разностное уравнение в виде
у(п) = 0.0605х(п) + 0.121х(п-1) + 0.0605х(п-2) +
+ 1.194у(п-1) - 0 .4 3 6 у(п -2 ),
(6-36)
244________ Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Рис. 6 .1 9 . Пример БИХФНЧ второго порядка
или в 2 -области:
7 (2 )
= 0.0605Х(г) + 0.121Х(г)г-1 + 0.0605Х{г)г~-2 +
(6-37)
+ 1.194У(г)2-1 - 0Л36У(1)2- 2 ,
Используя (6-25), записываем передаточную функцию фильтра Я(г):
Я ( 2 ) = У(2 )/Х ( 2 ) = [0.0605г° + 0.121г~1 + 0.0605г~2] /
/[1 - 1.194г~1 + 0.436г~2] .
(6-38)
Подставив 2 = еіш, мы видим, что частотная характеристика нашего БИХ-фильтра описывается выражением
Нш (ш) = [0.0605е -)°ш + 0.121е
+ 0.0605е ~)2ш]/
(6-39)
/[1 - 1.194е~і1ш + 0Л36е~і2ш].
Мы почти у цели. Вспомнив тождества Эйлера, а также то, что соб(0) =
з т (0 ) = 0, мы можем записать Нп к (со) в алгебраической форме:
Нця(ы) =
=
{0 .0 6 0 5
/{1
-
+
0 .1 2 1 с о ^ (1 ш )
+
1
и
(6-40),
0 М 0 5 с о ь (2 (о )-]\0 .1 2 1 ь т {1 < о )+ 0 .0 6 0 5 $ т (2 о ))}}/
1 .1 9 4 соб(1(о ) + 0 .4 3 6 с о $ ( 2 ш ) + ] [ 1 .1 9 4 ъ т ( 1 с о )
-
0 .4 3 6 ъ т (2 ш )\).
Выражение (6-40) и есть то, к чему мы стремились, и если мы вычислим его мо­
дуль для-частот в диапазоне - я < (о < я, мы получим АЧХ \Нп к (со)\, показанную
черной линией на рисунке 6.20 (а). Для сравнения на этом же рисунке показана
АЧХ КИХ-фильтра с 5 ответвлениями. Хотя оба фильтра требуют одинакового ко­
личества операций (пять умножений на один выходной отсчет), АЧХ БИХ-фильтра
выглядит лучше. Обратите внимание на более -крутую переходную полосу и более
низкий уровень боковых лепестков характеристики БИХ-фильтра по сравнению с
характеристикой КИХ-фильтра'.
Чтобы это сравнение БИХ и КИХ-фильтров имело смысл, коэффициенты обоих филь­
тров выбирались так, чтобы каждый из них аппроксимировал идеальную частотную
характеристику, показанную на рисунке 5.17 (а).
245
6.3. Z-пpeoбpaзoвaниe
|Нмк(со)| для БИХ-фильтра
|Нр,к ((1))| для КИХ-фильтра
/
с 5 ответвлениями
(а)
(О= - п
(-У2)
со —- тс/2
О
(-У*)
0||К(ш) для БИХ-фильтра
о) =л/4
со =п12
(У 8)
(^/4)
(У2 )
Градусы
•■180
(Ь)
со
-180
/
0р1Р>((о) Для КИХ-фильтра
с 5 ответвлениями
Рис. 6 .2 0 . Частотные характеристики БИХ-фильтра (черная линия), показанного на
рисунке 6.19, и КИХ-фильтра с 5 ответвлениями (серая линия): (а) Ампли­
тудно-частотные характеристики; (Ь) фазо-частотные характеристики
А теперь небольшое предупреждение. Знаки коэффициентов знаменателя (6-40)
легко изменить на обратные, поэтому будьте внимательны, когда будете выпол­
нять эти вычисления самостоятельно. Некоторые авторы обходят эту трудность,
показывая коэффициенты а(к) на рисунке 6.18 со знаком минус, так что члены
знаменателя (6-25) всегда суммируются. Кроме того, многие коммерческие про­
граммы проектирования БИХ-фильтров выдают значения коэффициентов а(&),
знаки которых при подстановке в структуру на рисунке 6.18 необходимо изменить
на противоположные. (Если, используя программы расчета и анализа БИХ-филь­
тров, вы получили странный и неожиданный результат, попробуйте поменять зна­
ки коэффициентов а(к) и посмотреть, решает ли эта операция вашу проблему.)
Черная кривая на рисунке 6.20 (Ь) —это фазо-частотная характеристика наше­
го БИХ-фильтра ф1[К(ш). Обратите внимание на ее нелинейность по сравнению с
ФЧХ КИХ-фильтра. (Помните, что нас интересует фазо-частотная характери­
стика только в полосе пропускания. Так что разрывы фазы КИХ-фильтра не име­
ют значения.) Нелинейность ФЧХ БИХ-фильтров является неотъемлемым их
свойством и, помня о негативных последствиях этой нелинейности, описанных
при обсуждении групповой задержки в разделе 5.8, следует внимательно рассмат­
ривать возможные ее проявления, когда мы решаем использовать БИХ-фильтры
вместо КИХ-фильтров в каждом конкретном случае. Каждый разработчик дол­
жен задать себе следующий вопрос: «Какая величина искажения фазы допустима
при выигрыше в количестве операций и скорости обработки данных от примене­
ния БИХ-фильтров?» И найти ответ на него.
Чтобы проверить устойчивость БИХ-фильтра, мы должны вычислить корни
полинома знаменателя второго порядка в (6-38). Эти корни являются полюсами
246
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
H(z), и если их модули меньше единицы, фильтр будет устойчивым. Чтобы вычис­
лить эти два полюса zp1 и zp2, сначала умножим H(z) на z2/z2, чтобы получить поли­
номы по положительным степеням 2. После этого знаменатель H(z) приобретает вид
Знаменатель H(z): z2 - 1.194z + 0.436.
(6-41)
Находя корни (6-41) с использованием квадратного уравнения из (6-15), мы
получаем сомножители
Знаменатель H(z): (z + zni)(z + z„о) =
p
p
= (2 - 0.597 +j0.282)(z - 0.597 -jO.282)
(6-42)
Итак, когда 2 = -zp1 = 0.597 - jO.282 или z = -z p2 = 0.597 +jO.282, знаменатель
передаточной функции фильтра H(z) обращается в ноль, a H(z) становится беско­
нечной. На рисунке 6.21 (а) мы показываем расположение полюсов 0.597 + jO.282
и 0.597 -jO.282 вместе с поверхностью \H(z)\. Поскольку эти полюсы расположе­
ны внутри единичного круга (их модули меньше единицы), БИХ-фильтр из на­
шего примера устойчив. На рисунке 6.21 (Ь) толстой черной линией показана
линия пересечения поверхности |Я(2 ) | с боковой поверхностью цилиндра, основа­
нием которого служит единичная окружность. Поскольку на единичной окружно­
сти 2 = еУ°, уравнение этой кривой имеет вид \H(z)\u=i = \Н(ш)\, т- е- эта кривая
представляет собой АЧХ фильтра на 2-плоскости. Кривая \Н(а))\ соответствует
\НцК(а)) \ на рисунке 6.20 (а).
6 .3 .3 . Другие структуры БИХ-фильтров
Прямая форма I БИХ-фильтра на рисунке 6.18 может^быть преобразована в
ряд других структур. Нам будет легче развить эту мысль, предположив, что коли­
чество прямых и обратных связей одинаково, а именно М = N = 2, как на рисунке
6.22 (а), и рассматривая части фильтра, содержащие прямые и обратные связи,
как два отдельных фильтра. Поскольку обе половины фильтра линейны, мы мо­
жем поменять их местами, как показано на рисунке 6.22 (Ь), при этом выходной
сигнал у(п) не изменится.
Цель такой перестановки состоит в том, что мы получаем две одинаковые це­
почки задержек на рисунке 6.22 (Ь). Поскольку на рисунке 6.22 (Ь) одна и та же
последовательность g(п) сдвигается по обеим цепям задержки, мы можем убрать
одну из них и получить упрощенную Прямую форму II, показанную на рисунке
6.22 (с), которая требует только половину элементов задержки по сравнению с
Прямой формой I.
Другой популярной структурой БИХ-фильтров является Транспонированная
прямая форма И. Мы получаем эту структуру, исходя из Прямой формы II, преоб­
разовав ее узлы в сумматоры, а сумматоры в узлы, изменив направление стрелок и
поменяв местами х(п) и у(п). (Операцию транспонирования можно также приме­
нять к структурам КИХ-фильтров.) Выполнение этих операций дает Транспони­
рованную прямую форму II, показанную на рисунке 6.22(d)'.
1 В других работах, а также в отечественной литературе Прямую форму II и ее транспониро­
ванный вариант называют также Каноническими структурами I и II. —(прим. перев.).
6 .3 .1-преобразование
247
Фильтры на рисунке 6.22 обладают абсолютно одинаковыми характеристика­
ми до тех пор, пока рассматривается их реализация в арифметике с неограничен­
ной точностью представления чисел. Однако при использовании квантованных
коэффициентов, округления или усечения, используемых для устранения оши­
бок двоичного переполнения, разные структуры фильтров дают разные шумовые
характеристики и разную устойчивость. В действительности Транспонированная
прямая форма II была разработана, потому что ведет себя лучше, чем Прямая фор­
ма II, при реализации в целочисленной арифметике. Разработчики БИХ-фильтров
пришли к общему мнению, что Прямая форма I наименее чувствительна к кван­
тованию коэффициентов и наиболее устойчива. Мы вернемся к арифметике ко­
нечной точности в разделе 6.7.
Рис. 6 .2 1 . Характеристики БИХ-фильтра в г-области: (а) расположение полюсов;
(Ь) АЧХ
248
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Ь(2)
Ь(2)
з(2)
а(2)
(а)
(Ь )
х(п)
Транспонированная
прямая форма I!
у^
-И^—К+>
Ь(0)
I
►(+><—<ЯН-
—
ь(1) Г^Г! а(1)
-и^ъ-К +Н —
ь(2)
(с)
а(2)
(СІ)
Рис. 6 .2 2 . Измененные структуры БИХ-фильтров 2-го порядка: (а) Прямая форма I;
(Ь) Модифицированная прямая форма I; (с) Прямая форма II; (сі) Транс­
понированная прямая форма II
Кстати, из-за наличия обратных связей БИХ-фильтры часто называют рекур­
сивными фильтрами. Соответственно, КИХ-фильтры называют нерекурсивными.
Общее заблуждение здесь состоит в том, что все рекурсивные фильтры приравни­
ваются к БИХ-фильтрам. А это не так, поскольку КИХ-фильтры могут быть реа­
лизованы и в рекурсивных структурах (см. раздел 7.1). Следовательно, термины
рекурсивный и нерекурсивный следует применять по отношению к структуре филь­
тра, а термины БИХ или КИХ следует использовать для описания длительности
импульсной характеристики фильтра [ 10 , 1 1 ].
Теперь, когда мы представляем себе, какими характеристиками обладают и в ка­
ких структурах реализуются БИХ-фильтры, познакомимся коротко с тремя метода­
ми их проектирования. Эти методы проектирования БИХ-фильтров известны под
впечатляющими названиями: метод инвариантного преобразования импульсной ха­
рактеристики, метод билинейного преобразования и оптимизационный метод. Пер­
вые два метода используют аналитические (выведенные с помощью пера и бумаги)
процедуры аппроксимации аналоговых фильтров1. Поскольку методы расчета ана­
логовых фильтров очень хорошо разработаны, разработчики могут воспользоваться
В оставшейся части этой главы мы будем использовать термин аналоговый фильтр,
благодаря его популярности, для обозначения фильтров, реализуемых аппаратно с по­
мощью резисторов, конденсаторов и (возможно) операционных усилителей.
6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики
249
преимуществами многочисленных методов проектирования аналоговых фильтров
для проектирования, скажем, фильтров Баттерворта с их очень гладкой АЧХ
или фильтров Чебышева с их пульсирующей в полосе пропускания АЧХ и более
крутой переходной полосой. Оптимизационные методы (безусловно, самые по­
пулярные методы проектирования БИХ-фильтров) используют инструмента­
рий линейной алгебры, предоставляемый коммерческими пакетами программ
проектирования фильтров.
Методы инвариантного преобразования импульсной характеристики и били­
нейного преобразования требуют определенной базовой подготовки, так что на­
чинающий в области ЦОС читатель при первом чтении этой книги может их
пропустить. Однако эти методы могут быть очень полезными в будущем, когда
ваши знания, опыт и сложность решаемых задач в области ЦОС вырастут.
6.4. Метод инвариантного
преобразования импульсной
характеристики
Метод проектирования БИХ-фильтров с помощью инвариантного преобра­
зования импульсной характеристики основан на предположении, что мы можем
спроектировать дискретный фильтр, импульсная характеристика которого яв­
ляется дискретизированной версией импульсной характеристики некоторого
аналогового фильтра. Если этот аналоговый фильтр (который часто называют
фильтром-прототипом) имеет требуемую частотную характеристику, то наш
проектируемый БИХ-фильтр должен обеспечивать аппроксимацию этой требуе­
мой характеристики. Эквивалентность импульсных характеристик при таком ме­
тоде проектирования изображена на рисунке 6.23, где для обозначения импульса
мы использовали обычное обозначение 6, а Ьс(і) — импульсная характеристика
аналогового фильтра. На рисунке 6.23 (а) мы используем нижний индекс "с"', что­
бы подчеркнуть непрерывный характер аналогового фильтра. Рисунок 6.23 (Ь) ил­
люстрирует определение импульсной характеристики дискретного фильтра как
выходной последовательности фильтра при подаче на его вход одного отсчета
единичной величины, которому предшествуют и за которым следуют нулевые от­
счеты. Нашей задачей является проектирование цифрового фильтра, импульсная
характеристика которого является дискретизированной версией непрерывной
импульсной характеристики аналогового фильтра. Соответствие непрерывной и
дискретной импульсных характеристик предполагает, что мы можем отобразить
каждый полюс передаточной функции аналогового фильтра И с( б) в 5-плоскости
на полюс передаточной функции дискретного фильтра Н(г) в 2 -плоскости. Разра­
ботчики обнаружили, что метод инвариантного преобразования импульсной ха­
рактеристики действительно дает полезные БИХ-фильтры, если только частота
дискретизации намного превосходит ширину спектра фильтруемых сигналов.
Другими словами, БИХ-фильтры, рассчитанные этим методом, подвержены
влиянию наложений спектра, поскольку частотные характеристики реальных
От английского continuous, что значит непрерывный —(прим, перев )
250
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
аналоговых фильтров не являются строго ограниченными в частотной области.
Наложение может проявиться в АЧХ фильтра, как показано на рисунке 6.24.
—— *-----V —- у .....................»•
(а)
Непрерывное
время
Аналоговый
фильтр
*(0 =5(0
Hc(s)
Импульсная
характеристика = Лс(?)
к
щ *
(Ь)
Цифровой
БИХ-фильтр
х(п) = 5(п)
H[z)
щ
Дискретное
время
Импульсная
Рис. 6.23. Инвариантность импульсной характеристики: (а) непрерывная импуль­
сная характеристика аналогового фильтра; (Ь) дискретная импульсная
характеристика цифрового фильтра
(-2fs)
(-2fs)
i-fs)
(-fs)
(fs)
(fs)
Ws)
(2fs)
Рис. 6.2 4 . Наложения в частотной области при инвариантном преобразовании им­
пульсной характеристики: (а) АЧХ аналогового фильтра-прототипа; (Ь)
копии АЧХ, где Нар (со) — дискретное преобразование Фурье последова­
тельности А?(л7) = />с (лГ5 ); (с) возможная результирующая АЧХ с наличием
наложения
6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики______ 251
Из того, что мы узнали в главе 2 о размножении спектра при дискретизации, сле­
дует, что, если функция на рисунке 6.24 (а) представляет собой спектр непрерывной
импульсной характеристики Ас( 0>т0 спектр дискретной импульсной характеристи­
ки /гс(и£5) представляет собой размноженный спектр на рисунке 6.24 (Ь).
На рисунке 6.24 (с) мы показываем возможный результат наложения, здесь се­
рая линия изображает требуемую частотную характеристику Я 11К(со). При исполь­
зовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики
реальная АЧХ может оказаться такой, какая показана на рисунке 6.24 (с) черной
линией. По этой причине мы стараемся сделать частоту дискретизации / 5 как
можно больше, чтобы минимизировать перекрытие первичной частотной харак­
теристики и ее спектральных изображений, разнесенных на расстояние, кратное
± / 5 Гц. Чтобы понять, как наложение может влиять на БИХ-фильтры, проектиру­
емые этим методом, рассмотрим последовательность необходимых шагов проце­
дуры проектирования, а затем рассмотрим пример проектирования фильтра.
Существует два разных метода проектирования БИХ-фильтров с использова­
нием инвариантного преобразования импульсной характеристики. Первый метод,
который мы назовем Метод 1, требует использования как обратного преобразова­
ния Лапласа, так и 2-преобразования [12, 13]. Второй метод, Метод 2, использует
прямую подстановку, чтобы избежать использования обратного преобразования
Лапласа и 2 -преобразования за счет разложения на простейшие дроби [14-17]. Оба
метода кажутся сложными при словесном описании, но на практике они не так
сложны. Сравним эти методы, перечислив шаги, необходимые при реализации
каждого из них. Метод 1 состоит в следующем:
Метод 1, шаг 1: Спроектировать (или найти готовый) аналоговый фильтр-про­
тотип с требуемой частотной характеристикой1. Результатом вы­
полнения этого шага будет передаточная функция Яс($) в виде
отношения полиномов, такая как
Яс(5) = [6(ЛУУ + 6 ( Л Г - 0 ^ - г +••• + Ь(1)б Щ О )]/
/[а(М )$м + а (М -1 )зм ~1 + ... + а(1)з + а(0)] =
N
М
= [ 2 ^ (^ )^ ]/[
к=0
(6-43)
к=0
которая является общей формой (6-10) при Л^< М и постоянных
коэффициентах а(к) и Ь(Ь).
Метод 1, шаг 2: По передаточной функции Я с($) определить непрерывную им­
пульсную характеристику /гс(£)- Надеюсь, что это можно сделать
с помощью таблиц преобразования Лапласа, не выполняя обрат­
ное преобразование.
При проектировании ФНЧ, например, на этом шаге необходимо определить тип филь­
тра (Чебышева, Баттерворта, эллиптический и т. п.), его порядок (количество полю­
сов) и частоту среза.
252
Глава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Метод 1, шаг 3: Определить частоту дискретизации / 5 и вычислить период диск­
ретизации ^ = 1/ / 5. Частота дискретизации выбирается в зави­
симости от абсолютной частоты аналогового фильтра-прототипа
в Гц. Из-за проблем наложения, свойственных этому методу, / 5
должна быть как можно выше, как мы покажем позже.
Метод 1, шаг 4: Найти 2-преобразование непрерывной /гс(£) и получить переда­
точную функцию БИХ-фильтра Н(г) в форме отношения поли­
номов от 2 .
Метод 1, шаг 5: Подставить значение (не переменную!) вместо непрерывной пе­
ременной £ в передаточную функцию Я(г), полученную на шаге 4.
Выполняя этот шаг, мы обеспечиваем равенство отсчетов диск­
ретной импульсной характеристики БИХ-фильтра А(ю) значени­
ям непрерывной импульсной характеристики в моменты времени
t :=nts, как на рисунке 6.23, так что Н(п) = /гс(и£9), для 0 < п < оо.
Метод 1, шаг 6: Я(г), полученная на шаге 5, будет иметь общую форму
Я(г) = [Ь(Щг~Н +
+... + Ь(1)г~1 Щ О )]/
/[а(М )г~м + а(М-1)г~(М-1) + ... + а(1)г~1 + а(0)] =
N
М
“ [ ^ Н к ) г ~ к] / [ 1 -^ а (к )2 ~ к]
к=0
к=1
(6-44)
Поскольку при дискретизации непрерывной импульсной харак­
теристики частотная характеристика цифрового фильтра оказы­
вается умноженной на коэффициент 1Д., многие разработчики
фильтров считают необходимым включить множитель в (6-44).
Итак, мы можем переписать (6-44) как
N
М
Н(г) - У(г)/Х( 2 ) - [г52 > (* ) г ~ * ] /[ 7 -2 > (* ) г - 4]
к=0
к=1
(6-45)
Подстановка значения £5 в (6-45) делает масштаб характеристи­
ки БИХ-фильтра независимым от частоты дискретизации, и ко­
эффициент передачи цифрового фильтра будет таким же, как и у
аналогового фильтра-прототипа'.
Метод 1, шаг 7: Поскольку (6-44) представлено в форме (6-25), мы можем по ана­
логии записать разностное уравнение в общей форме ( 6-2 1 ) как
у(п) = Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п-1) +Ь(2)х(п-2) + ... +Ь(М)х(п-Ы) +
+ а (1 )у(п -1 ) + а(2)у(тг-2) + ... +а(М )у(п-М )
(6-46)
Некоторые авторы предпочитают вводить множитель ts в дискретную импульсную
характеристику h(n) на шаге 4, т е сделать h(n) = ts hc (nts ) [14, 18] Окончательный
результат в этом случае получится такой же.
253
6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики
Включение множителя в (6-45), чтобы сделать коэффициент
передачи цифрового фильтра равным коэффициенту передачи
прототипа, дает следующую форму разностного уравнения
у(п) = ґ5[Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п-1) +Ь(2)х(п-2) + ... +Ь(М)х(п-1\Г)] +
+ а (1 )у (п -1 ) + а(2)у(п-2) + ... + а(М )у(п-М )
(6-47)
Обратите внимание на изменение знака коэффициентов а(к)
при переходе от (6-44) и (6-45) к (6-46) и (6-47). Эти изменения
являются источником проблем для начинающих, так что будьте
внимательны. Помните также, что (6-46) и (6-47) применимы
только к структуре фильтра на рисунке 6.18. Коэффициенты
а(к) и Ь(к), или £х6(&), однако, можно использовать в улучшен­
ной структуре на рисунке 6.22
Прежде, чем перейти к практическому примеру, рассмотрим второй метод
проектирования с использованием инвариантного преобразования импульсной
характеристики. Метод 2, который также называют стандартным 2 -преобразованием, использует другой подход. Он разбивает математически аналоговый
фильтр-прототип на несколько фильтров с одним полюсом, а затем аппроксими­
рует каждый из этих фильтров однополюсным цифровым фильтром. Набор из М
однополюсных фильтров затем аналитически объединяется в БИХ-фильтр М-го
порядка, имеющий М полюсов. Этот процесс показан на рисунке 6.25. При расче­
те фильтра этим методом необходимо выполнить следующие шаги:
Аналоговый фильтр-прототип
с М полюсами
М однополюсных
дискретных фильтров
Разложение на простейшие дроби
Выполнить
подстановку
=о
М однополюсных
дискретных фильтров
п
Сложить аналитически
М-полюсный дискретный
БИХ-фильтр
Рис. 6 .2 5 . Математические операции Метода 2
254
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Метод 2, шаг 1: Получить передаточную функцию Яс(5) аналогового фильтра-про­
тотипа в форме (6-43). (То же, что Метод 1, шаг 1.)
Метод 2, шаг 2: Выбрать подходящую частоту дискретизации / 5 и вычислить пе­
риод дискретизации
=У//5. (То же, что Метод 1, шаг 3.)
Метод 2, шаг 3: Выразить передаточную функцию Яс(5) в виде суммы однополюс­
ных передаточных функций. Это требует использования разложе­
ния отношения полиномов в (6-43) на простейшие дроби вида
Я с(5) = [6 (Л 0 ^ + 6(ЛМ )<^-* +... + Ь(1)б Щ О )]/
/[я(М ) 5м + а(М -1)зм ~1 + ... + а(1) 5 + а(0)] =
М
=5 Х / ( 5+^ ) =
к=1
= А 1/(в+ р1) + Л 2 /(5+р2 ) + ... + Лм /(5+рм ) ,
(6-48)
где коэффициенты А ^ представляют собой константы, а &-й по­
люс находится в точке - р^ на 5-плоскости. Мы обозначим к-ю од­
нополюсную передаточную функцию как Я^(5), или
Нк( з ) - А к/($+рк ) .
(6-49)
Метод 2, шаг 4: В (6-48) подставить 1 - е~Р& 1 вместо 5 + рк. Это отображение
каждого полюса Я^(х), расположенного в точке 5 = -р к на
5-плоскости, в точку 2 = е~р& на 2 -плоскости представляет со­
бой аппроксимацию импульсной характеристики каждого од­
нополюсного аналогового фильтра однополюсным цифровым
фильтром. (Читатель может найти вывод этой подстановки 1 е~ Р ^ 2 ~1, показанной на рисунке 6.25, в работах [14 - 16].) Итак,
каждый однополюсный аналоговый фильтр Я^(5) аппроксими­
руется однополюсным цифровым фильтром, передаточная фун­
кция которого имеет вид
Я*(2 ) = А к/ ( 1 - е-Рк^ 2 ~1) .
(6-50)
Результирующая общая передаточная функция дискретного филь­
тра Я( 2 ) является суммой передаточных функция однополюс­
ных дискретных фильтров, или
Ш
м
м
- 2 Х ( г> - 2 Ак/ ( 1 - е-Р Л г - 1 ) .
к=1
кЧ
(6-51)
Помните, что эта функция Я(г) не является функцией времени.
Множитель в (6-51) представляет собой константу, равную пе­
риоду дискретизации.
Метод 2, шаг 5: Вычислить сумму М однополюсных передаточных функций в
виде отношения двух полиномов от 2 . Поскольку Н(г) в (6-51)
6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики______ 255
будет суммой простейших дробей, нам будет необходимо приве­
сти их к общему знаменателю, чтобы получить результат в виде
Я ( 2 ) = У{2)/Х{2) =
N
М
к=о
(6-52)
к=1
Метод 2, шаг 6 : Так же, как в Методе 1 на шаге 6, мы можем по аналогии записать
разностное уравнение в обобщенной форме
у(п) = Ь(0)х(п) + Ь (1)х(п-1 ) + Ь (2)х(п-2) + ... + Ь(Ы)х(п-Мг) +
+ а (1 )у(п -1 ) + а (2 )у(п -2 ) + ... + а (М )у (п -М ).
(6-53)
Здесь тоже обратите внимание на изменение знака коэффициен­
тов а(к) при переходе от (6-52) к (6-53). Как было описано в шагах
6 и 7 Метода 1, если мы хотим сделать коэффициент передачи
цифрового фильтра равным коэффициенту передачи аналогово­
го прототипа путем умножения коэффициентов Ь(к) на период
дискретизации то разностное уравнение БИХ-фильтра будет
выглядеть так:
у(п ) =
• [Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п-1) + Ь(2)х(п-2) + ... + Ь(М)х(п-Ы)] +
+ а (1 )у(п -1 ) + а (2 )у(п -2 ) + ... + а(М )у(п-М ) ,
(6-54)
а окончательная передаточная функция будет иметь вид
Я ( 2 ) = Г(2 ) / В Д =
N
М
(6-54')
к=0
к=1
Наконец, мы можем реализовать фильтр в виде улучшенной структуры на рисун­
ке 6.22, используя коэффициенты а(к) и Ь(к) из (6-53) или а(к) и • Ь(к) из (6-54).
Для более наглядного сравнения двух описанных методов разберем примеры
проектирования БИХ-фильтров с их использованием.
6 .4 .1 . Пример проектирования Методом 1
Предположим, что нам необходимо рассчитать БИХ-фильтр, который аппрок­
симирует аналоговый прототип Чебышева, для которого неравномерность АЧХ в
полосе пропускания составляет 1 дБ. Частота дискретизации / 5 равна 100 Гц (£5 =
0.01), а частота среза фильтра по уровню 1 дБ равна 20 Гц. Наш аналоговый
фильтр-прототип будет иметь АЧХ, подобную показанной на рисунке 6.26.
Допустим, что в результате расчета аналогового фильтра-прототипа в соответствии
с перечисленными требованиями мы получили передаточную функцию Яс(5) вида
Я с(5) = 17410.145Д*2 + 1 3 7 .9 4 5 3 + 17410.145).
(6-55)
256
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Именно эту передаточную функцию мы собираемся аппроксимировать диск­
ретным БИХ-фильтром. Чтобы найти импульсную характеристику аналогового
фильтра, следует представить # г($) в такой форме, которая позволила бы нам
воспользоваться таблицами преобразования Лапласа для нахождения /гс(£)-
(У2)
Рис. 6 .2 6 . АЧХ аналогового фильтра-прототипа для примера
Порывшись в справочниках по операционному исчислению, мы находим сле­
дующую пару преобразований Лапласа:
Х(б), преобразование Лапласа ;*:(£):
х(():
А со/ К б + а )2 + а)2]
Ае~а1: • 8ш(со£) .
(6-56)
Итак, мы хотим модифицировать (6-55) так, чтобы привести его к форме, по­
казанной в левой части (6-56). Заметим, что выражение для преобразования Лап­
ласа (6-56) можно переписать как
Ла>/[(5 + а )2 + со2] = Аа>/( 52 +
+ а 2 + ш2)
(6-57)
Если мы теперь приравняем (6-55) и правую часть (6-57), то мы сможем ре­
шить систему уравнений относительно А, а и со:
Я с.(5) = 17410.145/ ( б2 + 137.945365 + 17410.145) =
о
= Аа)/($2 + 2 а 5 + а 2 + со2).
(6-58)
Решая (6-58) относительно А, а и со, мы сначала находим
а = 137.94536/2 = 68.972680;
(6-59)
а 2 + со2 = 17410.145,
(6-60)
со = V (17410.145- а 2) = 112.485173;
(6' 61)
А = 17410.145/со = 154.77724 .
(6'62)
так что
и
Отлично, теперь мы можем выразить # с($) в требуемой форме левой части (6-57):
н ((5) = ( 154.77724)( 112.485173)/[ ( б + 68.972680)2 Ц112.485173)2]. (6-63)
6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики
257
Используя пару преобразований Лапласа в (6-56), находим импульсную ха­
рактеристику аналогового фильтра-прототипа в виде
hc(t) = A e-a t*sm((ot) = 154.77724e-68972680t»sin(112.485173t) .
(6-64)
Итак, мы готовы выполнить Шаг 4 Метода 1, чтобы найти передаточную функ­
цию дискретного БИХ-фильтра H(z) с помощью 2-преобразования hc(t). И опять
порывшись в учебниках по ЦОС или в хорошем справочнике по математике, мы
находим следующую пару 2 -преобразований, в которой выражение во временной
области имеет ту же форму, что и импульсная характеристика hc(t) в (6-64):
x (t):
X(z), 2 -преобразование x (t)
Ce~at • sin(a)t)
Ce~at • sin(oot) z~1/{1 -2[e~at • cos(cot)] z~1 + e~2atz~2}
(6-65)
Помните, что a и со — просто общие обозначения и не имеют никакого отноше­
ния к значениям а и со в (6-59) и (6-61). Подставляя константы из (6-64) в правую
часть (6-65), мы получаем передаточную функцию БИХ-фильтра
Я ( 2 ) = [154.77724е~68 972680t •sm(112.485173t)z~1]/
/ { 1 - 2[е~68972680t • cos( 112.485173t)] Z~1+е~2 ' 68 9726801 z~2)
( 6-66 )
Выполняя Шаг 5 Метода 1, мы подставляем ts = 0.01 вместо непрерывной пере­
менной t в ( 6-66 ), что дает окончательное выражение для передаточной функции
H(z):
Я ( 2 ) = [154.77724е~68972680-001 . sin(112.485173 *0.01) z~1]/
/{ 1 - 2 [ е - 68 972680 *■
0 01 • cos( 112.485173 • 0.01)] z~'1+е~2 "68 972680 %001 z~2} =
= [154.77724е~° 68972680 •sm(1.12485173)z~1]/
/{ 1 - 2[е~°68972680 «соs(1.12485173)]z-1+e-2 ' 0 68972680z - 2) =
= Y (z)/X (z) = 70.059517z~1/(1 -0 .4 3 2 78805z~1+ 0.25171605z~2) .
(6-67)
Отлично, сделаем еще усилие, мы почти закончили. Вот завершающие шаги
Метода 1. Избавившись от знаменателей в (6-67), получаем
7 (2 ) • ( / - 0.43278805Z-1 + 0.25171605z~2) = X (z) • ( 70.059517z~ 1)
7 (2 ) = 70.059517X(z) z~1 + 0.43278805 Y(z) z~1 - 0.25171605 Y(z) z~2
( 6 -68 )
Рассмотрев ( 6-68 ), мы можем записать разностное уравнение БИХ-фильтра.
Выполняя Ш аги6и 7 Метода 1, мы умножаем коэффициент при х (п -1) на период
дискретизации ts = 0.01 для соответствующего масштабирования:
у(п) = 0.01 • 70.059517 *x(n - 1) + 0.43278805 • у(п - 1) - 0.25171605 *у(п - 2)
= 0.70059517*х(п - 1) + 0.43278805'у(п - 1) - 0.25171605*у{п - 2 ),
(6-69)
258
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Наконец, мы получили то, что нужно. Для аппроксимации исходного аналого­
вого Ф Н Ч Чебышева мы используем коэффициенты из (6-69) при реализации
улучшенной структуры БИХ-фильтра на рисункее 6.22.
Посмотрим, получим ли мы такой же результат, используя Метод 2.
6 .4 .2 . Пример использования Метода 2
проектирования с помощью инвариантного
преобразования импульсной характеристики
Пусть передаточная функция прототипа задана в виде
Я с(5) = 17410.145/(52 + 137.945368 + 17410.145) ,
(6-70)
а период дискретизации £5 = 0.01. Теперь мы готовы выполнить Шаг 3 Метода 2.
Чтобы представить Яс(я) в виде суммы однополюсных функций, нам потребуется
разложить знаменатель (6-70) на множители и использовать методы разложения
на простейшие дроби. Для удобства начнем с того, что заменим константы в
(6-70) переменными, так чтобы
Я с(5) = с /( 52 + Ьб + с ) ,
(6-71)
где 6 = 137.94536, с = 17410.145. Далее, используя (6-15) при а = У, мы можем фак­
торизовать квадратичный знаменатель (6-71) как
Я с( 5) = с/{( 5- + Ь/2 +у/[(Ь2 - 4с)/4]) • (5 + Ь/2 - \/[(Ь2 -4с)/4])}
(6-72)
Если мы подставим значения Ь и с в (6-72), мы обнаружим, что под корнем по­
лучилось отрицательное значения. Это значит, что сомножители знаменателя в
(6-72) комплексные. Поскольку нам придется выполнять много аналитических
преобразований, заменим радикалы в (6-72) мнимой величиной/К, где^' =у/ ( - 1 ) и
= \(Ь2-4с)/4\, так что
а д
= с/ [ ( 5 + Ь/2 +;Т?)(5 + Ь/2 - ; # ) ] ,
(6-73)
Методы разложения на простейшие дроби позволяют нам разбить (6-73) на
две отдельные дроби в виде
Я с( 5) = с/[(5 + Ь/2 +;7 ?)(5 + Ь/2 -]К )\ =
= К-,/(5 + Ь/2 + рI) + К2/( з + Ь/2 -]К ) ,
где, как можно убедиться, константа К-) =]с/2Л, а константа К2 комплексно сопря­
жена
или К2 = - )с/211. (Чтобы узнать больше о разложении на простейшие
дроби, заинтересованный читатель может просмотреть учебники по институтско­
му курсу математики или справочники по математике для инженеров.) Следова­
тельно, Яс(5) может быть выражена в форме (6-48), или
Я с(5) = и с /2 К )/(* + Ь/2 +]К) + ( - )с/2 К )/( з + Ь/2 -]К )
(6-75)
259
6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики
Из (6-75) мы можем видеть, что наш фильтр-прототип второго порядка имеет
два полюса, один из которых расположен в точке р 1 = -Ь /2 -/К , а другой —в точке
р2 = -Ь /2 +у7?. Теперь мы готовы отобразить эти два полюса из 5-плоскости в 2-плос­
кость, как того требует Шаг 4 Метода 2. Выполняя подстановку 1-е~Р&2~1 вместо
5 +р^ в (6-75), мы получаем следующее выражение для однополюсных цифровых
фильтров:
Я ( 2 ) = и с /2 К ) /( 1 - е - ( ь/ 2
+ (-] с/2 К )/(1 - е ~ ^ /2 Ч т 2~1) .
(6-76)
Цель шага 5 состоит в том, чтобы преобразовать (6-76) в форму (6-52), чтобы
мы могли определить коэффициенты прямых и обратных связей БИХ-фильтра.
Складывая дроби в (6-76), получаем
Я( 2 ) = (О С/2К)[1- е~(Ь/2 Ч т 2- 1) - 0 с/2К )[1- е~(Ь/2 т М в г-Ц у
/ { [ 1 - е-(Ь/2 +да* 2 -*][У- е~(Ь/2 4 ^ 5 2 - 1 ]}.
(6-77)
Приводя подобные члены в числителе и перемножая сомножители в знамена­
теле, приходим к
Я ( 2 ) = О'с/2К)[1- е-(Ь/2 -)КУз2- 1 - 1+ е-(Ь/2 +]К»52-1]/
д у_ е-(Ь/2
2- 1_ е-(Ь/2
2- 1 + е-Ы52-2]
(6-78)
Раскладывая экспоненты на множители и приводя подобные члены с одинако­
выми степенями 2, получаем:
Я ( 2 ) = (]с/2К)[е-<Ь/2
/{ 1 - [е~(ь/ 2
- е-<*/2
] 2-1/
+ е~(Ь/22 ~1 + е~Ыв2 ~2} .
(6-79)
Продолжая упрощать выражение Н(г), вынося действительные составляющие
экспонент, получим
Я ( 2 ) = и с /2 К )е -ьУ \ е -№ 5 - е № в ) 2 - V
/[ 1 —е~ЪЧ/2(е№в +
2~1 + е ~ ^ 2 ~ 2] .(6-80)
Теперь в Я ( 2 ) одинаковые степени 2 приведены, и (6-80) выглядит похожим на
требуемую форму (6-52). Зная, что окончательные коэффициенты БИХ-фильтра
должны быть действительными числами, мы задаем себе вопрос: «Что нам делать
с членами, содержащими^', в (6-80)?» И опять на помощь приходит Эйлер1. Испо­
льзуя тождества Эйлера для синусоид, мы можем убрать комплексные экспонен­
ты, при этом (6-80) превращается в
Я(г) = и с /2 К )е -ьУ 2[-2р\п(Ш 3)] 2~1/{ 1 - е - ьУ 2[2со$(т8) ] г - 1 + е~ь^2~2} =
= (с/К)е~Ь1в/2[^и\(Ш5)] 2 _ 1/{1 -е~ Ь1в/2[2соБ(Ш5)] г~ 1 + е~ь^ 2 ~2} .
(6-81)
Если теперь мы подставим значения с = 17410.145, Ь = 137.94536, Я. = 112.48517 и
= 0.01 в (6-81), то мы получим следующую передаточную функцию БИХ-фильтра:
Согласно тождествам Эйлера $\п(ф)=(е& - е ^)/2] и со$(ф)=(еМ>+ е &)/2
260
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
H (z) = (154.77724)(0.50171312)(0.902203655) z~ 1/
/[1 - (0.50171312)(0.86262058) z~1 + 0.25171605z~2] =
= 70.059517z~ 1/[ 1-0.43278805z~1+0.25171605z~2] .
(6-82)
Поскольку H(z) = Y(z)/X(z), избавляясь от знаменателей по обе стороны знака
равенства, мы можем переписать (6-82) в виде
Y(z)*(1 - 0.43278805г~1 + 0.25171605z~2) = X(z) (70.059517z~1)
или
Y(z) = 70.059517 *X(z) z~1 + 0.43278805 • Y(z) z~1 - 0.25171605 • Y(z) z~2 (6-83)
А теперь по аналогии берем обратное 2 -преобразование от (6-83) и получаем
разностное уравнение БИХ-фильтра
у(п) = 70.059517 *х(п -1 ) + 0.43278805 *у(п -1 ) - 0.25171605 *у(п - 2) (6-84)
Остается завершающий шаг. Чтобы коэффициент передачи БИХ-фильтра был
равен коэффициенту передачи прототипа, мы умножаем коэффициент при х(п -1 )
на период дискретизации ts, как предлагалось на Шаге 6 Метода 2. В этом случае
имеется только один коэффициент при х(п), в результате чего имеем
у(п) = 0.01 • 70.059517 *х(п -1 ) + 0.43278805*у(п -1 ) - 0.25171605 *у(п - 2) =
= 0.70059517* х (п -1 ) + 0.43278805 * у (п -1 ) - 0.25171605 *у(п - 2)
(6-85)
Это совпадает в результатом, полученным Методом 1 в (6-69). (Не правда ли,
приятно решить задачу двумя разными способами и получить один и тот же ре­
зультат?)
На рисунке 6.27 в графической форме показаны результаты проектирования
фильтра. Расположение полюсов прототипа в 5-плоскости и полюсов БИХ-фильтра в 2 -плоскости показано на рисунке 6.27 (а). Поскольку полюсы прототипа на­
ходятся в левой полуплоскости, а полюсы БИХ-фильтра находятся внутри
единичного круга, оба фильтра устойчивы. Мы находим полюсы прототипа из
(6-75). При 5 = - b /2 - j R знаменатель первого слагаемого в (6-75) становится рав­
ным нулю, a Hc(s) становится бесконечно большой. Это значение 5 = -b /2 - jR
представляет собой полюс в нижней полуплоскости на рисунке 6.27 (а). Когда 5 =
- b /2 +jR, знаменатель второго слагаемого обращается в 0, a s = - b /2 +jR дает по­
зицию второго полюса на 5-плоскости.
Позиции полюсов БИХ-фильтра на 2 -плоскости находятся из (6-76). Если мы
умножим числители и знаменатели в (6-76) на 2, то получим
Я ( 2 ).«2/2 = z (jc /2 R )/[ z (1 -e -(b/ 2 +J W sz -1)] + z(-jc /2 R )/[z (1 -e -(b/ 2 -jR)tsZ-1)] =
= (jc/2 R ) z/[z - e~(b/2 +1КЩ + ( -jc/2 R ) z/[z - e~(b/ 2
.
( 6-86)
Если в ( 6-86 ) 2 = e(~b/ 2
знаменатель первого слагаемого обращается в
ноль, a H(z) становится бесконечно большой. Значение 2, равное
2 = е(~ь/ 2
= e(~bts/ 2) e~jRts = e(-bts/2) /_ -R ts радиан
(6-87)
6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики
s-плоскость
z-плоскость
lmag(z)
і lmag(s)
Область
устойчивости
X
(а)
261
Область
неустойчивости
Область
неустойчивости
-* jR
1
~Ы2
X
Real(s)
Real(z)
- -JR
(Ь)
Рис. 6.2 7 . Характеристики фильтров, использованных в примере расчета с помощью
инвариантного преобразования импульсной характеристики: (а) располо­
жение полюсов аналогового фильтра-прототипа на s-плоскости и полюсов
дискретного БИХ-фильтра наг-плоскости; (Ь) АЧХ дискретного БИХ-фильтра
определяет положение полюса, лежащего в нижней полуплоскости 2-плоскости на ри­
сунке 6.27 (а). В частности, этот полюс расположен на расстоянии e(~bts/2) = 0.5017 от
начала координат, а угол его радиус-вектора с действительной осью составляет 0 =
-R ts радиан, или -64.45°. Поскольку полюсы комплексно-сопряженные, полюс в
верхней полуплоскости 2-плоскости расположен на том же расстоянии от начала ко­
ординат, а угол его радиус-вектора равен 0 = Rts радиан, или +64.45°. На рисунке
6.27 (Ь) показана АЧХ БИХ-фильтра как функция частоты в Гц.
На рисунке 6.28 показаны две разные реализации БИХ-фильтра. Рисунок 6.28 (а)
предлагает реализацию нашего БИХ-фильтра второго порядка, основанную на
обобщенной структуре БИХ-фильтра, показанной на рисунке 6.22, а на рисунке
6.28 (Ь) показана реализация БИХ-фильтра второго порядка на основе альтерна­
тивной структуры, показанной на рисунке 6.22 (Ь). Зная, что коэффициент Ь(0) в
левой части рисунка 6.28 (Ь) равен нулю, мы приходим к упрощенной структуре,
приведенной в правой части рисунка 6.28 (Ь). Посмотрев внимательно на рисунок
6.28 (а) и правую часть рисунка 6.28 (Ь), мы можем увидеть, что они эквивалентны.
Хотя в литературе рассматриваются оба метода проектирования с использова­
нием инвариантного преобразования импульсной характеристики, мы можем
спросить: «Какой из них предпочтительней?» Определенного ответа на этот во­
прос не существует, потому что он зависит от Hc(s) фильтра-прототипа. Хотя рас­
смотренный выше пример использования Метода 2 Требует большего количества
аналитических выкладок, чем Метод 1, если бы полюсы прототипа в 5-области ле­
жали только на действительной оси, Метод 2 был бы намного проще, поскольку
не пришлось бы манипулировать комплексными числами. Вообще, Метод 2 более
популярен по двум причинам: (1) обратное преобразование Лапласа и обратное
z-преобразование, хотя и весьма просты в нашем примере использования Мето­
да 1, могут оказаться довольно сложными для фильтров высокого порядка, и (2) в
отличие от Метода 1, Метод 2 может быть реализован программно.
262
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
(а)
У(п)
(Ь)
Рис. 6 .2 8 . Реализации фильтра, полученного методом инвариантного преобразо­
вания импульсной характеристики
Изучая АЧХ фильтра, приведенную на рисунке 6.27 (Ь), мы можем заметить,
что крутизна переходной полосы этого БИХ-фильтра второго порядка не слишком
велика. Это простой фильтр второго порядка, но наклон его АЧХ в полосе подав­
ления такой незначительный, что этот фильтр вряд ли может принести какую-то
пользу на практике1. Мы можем также заметить, что уровень пульсаций в полосе
пропускания больше требуемого значения в 1 дБ на рисунке 6.26. Мы можем об­
наружить, что такие плохие характеристики фильтра объясняются не столько его
низким порядком, сколько используемой частотой дискретизации. Характери­
стики фильтра второго порядка повторно показаны на рисунке 6.29 серой линией.
Если мы повысим частоту дискретизации до 200 Гц, мы получим частотную ха­
рактеристику, показанную на рисунке 6.29 штриховой линией. Повышение час­
тоты дискретизации до 400 Гц дает существенно улучшенную частотную
характеристику, показанную черной сплошной линией на том же рисунке. Изме­
нения частоты дискретизации не влияют на порядок фильтра или структуру его
реализации. Помните, что если мы изменяем частоту дискретизации, в наших
уравнениях меняется только значение периода дискретизации £5, в результате
чего мы получаем другие наборы коэффициентов для каждой частоты дискрети­
зации. Итак, мы можем заметить, что чем меньше выбранный нами ts (больш е/5),
тем лучше результирующий фильтр независимо от применяемого метода расчета,
использующего инвариантное преобразование импульсной характеристики, потому
Небольшой совет- всякий раз, когда вы встречаете какое-либо частотное представление
(будь то АЧХ фильтра или спектр какого-либо сигнала), значение которого на частоте
+/5/2 отлично от 0, будьте осторожны и внимательны —вы имеет дело с наложением.
6.5. Метод проектирования БИХ-фильтров.
263
что перекрытие копий частотной характеристики, показанных на рисунке 6.24 (Ь),
уменьшается благодаря увеличению частоты дискретизации / 5. Вывод из всего
сказанного следует такой: методы проектирования БИХ-фильтров на основе
инвариантного преобразования импульсной характеристики больше всего под­
ходят для проектирования узкополосных фильтров, т. е. фильтров нижних час­
тот1, частоты среза которых намного меньше частоты дискретизации.
400 Гц
^=100Гц
Рис. 6 .2 9 . АЧХ БИХ-фильтра в линейном масштабе при трех значениях частоты ди­
скретизации. Заметьте, что абсолютная частота среза фильтра 20 Гц
сдвигается относительно разных частот дискретизации ^
Второй аналитический метод аппроксимации аналоговых фильтров, метод би­
линейного преобразования, снимает проблемы наложения, присущие методам
инвариантного преобразования импульсной характеристики, за счет деформации
частотной оси. Точнее, при использовании билинейного преобразования соотно­
шение между частотной осью аналогового прототипа и частотной осью аппрокси­
мирующего БИХ-фильтра является нелинейным. Давайте посмотрим, почему.
6.5. Метод проектирования
БИХ-фильтров с помощью
билинейного преобразования
Существует популярный аналитический метод проектирования БИХ-филь­
тров, известный как метод билинейного преобразования. Как и метод инвариант­
ного преобразования импульсной характеристики, этот метод проектирования
аппроксимирует аналоговый фильтр-прототип, задаваемый передаточной функ­
цией Я с($), дискретным фильтром с передаточной функцией #(г). Но метод би­
линейного преобразования применяется очень широко потому, что:
А также полосовых ЦФ —(прим. перев.).
264
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
□
он позволяет для получения Я(г) просто подставлять некоторую функ­
цию от 2 вместо 5 в Нс( 5), благодаря чему устраняется необходимость в
преобразовании Лапласа и в г-преобразовании, а также необходимость
разложения передаточных функций на простейшие дроби;
□
он отображает всю 5-плоскость на 2-плоскость, полностью устраняя нало­
жения в частотной области, которые создают проблемы при использова­
нии метода инвариантного преобразования импульсной характеристики;
□
он вносит нелинейные искажения частотной оси Н(г) относительно ча­
стотной оси аналогового фильтра, что делает переходную полосу циф­
ровых Ф НЧ более крутой.
Не беспокойтесь, если что-то сейчас не понятно, мы объясним все перечислен­
ные моменты и покажем, что они значат для нас с точки зрения проектирования
БИХ-фильтров.
Если передаточная функция аналогового прототипа есть # с(5), то мы можем
получить передаточную функцию дискретного БИХ-фильтра Н(г), подставив
вместо 5 в Нс(5) следующее выражение
5 - (2 /У К * -
+ г - ') ] ,
(6-88)
где ^ —период дискретизации дискретного фильтра ( 1 //$ ). Так же, как и при ис­
пользовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристи­
ки, при использовании метода билинейного преобразования нас интересует, в
какую область 2 -плоскости отобразятся полюсы прототипа в результате преобра­
зования. Именно это отображение ПОЛЮСОВ ИЗ 5-ПЛОСКОСТИ в 2-ПЛ0СК0СТЬ и делает
билинейное преобразование таким привлекательным1.
Давайте исследуем основные характеристики отображения 5-плоскости на
2 -плоскость в результате билинейного преобразования. Сначала покажем, что
любой полюс в левой полуплоскости 5-плоскости будет отображаться во внутрен­
нюю часть единичного круга на 2-плоскости. Это легко показать, решая (6-88) от­
носительно г. Умножив (6-88) на (£5/2 )( 1+
и собрав члены, содержащие 2 , мы
можем получить
г = [1 + ( ^ /2 ) з ] /[ 1 - ( ^ / 2 ) 8 ] .
(6-89)
Если мы запишем 5 как
5=а+>а,
(6-90)
где нижний индекс круговой частоты соа значит аналоговая, (6-89) превращается в
2 = [ 1 + о ^ /2 +уоа /2 ]/[ 1 - 0 ^ / 2 -]ы а ^ /2] =
= Ю +о18/2 ) + р)а ^ / 2 ] / [ ( 1 - о ^ / 2 )
.
(6-91)
Билинейное преобразование представляет собой метод, используемый в теории функ­
ций комплексной переменной для отображения функции на комплексной плоскости
одной переменной на комплексную плоскость другой переменной. Он отображает
окружности и прямые линии на прямые линии и окружности соответственно.
6.5. Метод проектирования БИХ-фильтров..
265
Из (6-91) следует, что 2 является комплексной величиной, равной отношению
двух комплексных выражений. Следовательно, если мы выразим 2 в форме моду­
ля и аргумента 2 = \г\/.62, то модуль 2 будет иметь вид
V « / + о у 2 ? + (0>а у 2 Ш ( 1
+ (“> Л /2 ) 2] ■
(6-92)
Итак, если действительная часть о отрицательна (о <0), числитель отношения
в правой части (6-92) будет меньше знаменателя, и [г| будет меньше 1. С другой
стороны, если о положительна (о > 0), числитель будет больше знаменателя, и \г\
будет больше 1. Это значит, что при использовании билинейного преобразования
(6-88), любой полюс, расположенный в левой части 5-плоскости (о < 0) будет ото­
бражаться на внутреннюю часть единичного круга 2 -плоскости. Эта особенность
обеспечивает преобразование любого устойчивого полюса прототипа в 5-плоскости в
устойчивый полюс дискретного БИХ-фильтра в 2-плоскости. Аналогично, любой
полюс аналогового фильтра, расположенный в правой полуплоскости 5-плоскости
(о > 0), при использовании билинейного преобразования будет отображаться на точ­
ку 2-плоскости, лежащую вне единичного круга. Это подтверждает еще раз, что для
устранения неустойчивости при проектировании БИХ-фильтров мы должны не до­
пускать появления в 2-плоскости полюсов, лежащих за пределами единичного круга.
А теперь покажем, что ось частоты 5-плоскости ](оа отображается на единичную
окружность 2-плоскости. Мы можем сделать это, положив в (6-91) о = 0 и получив
(6-93)
Здесь снова мы видим, что переменная 2 представляет собой отношение комп­
лексных чисел, следовательно, ее модуль равен
(6-94)
Модуль 2 в (6-94) всегда равен 1. Таким образом, как мы утверждали, при испо­
льзовании билинейного преобразования, ось
в 5-плоскости отображается на
единичную окружность в 2 -плоскости. Но это отображение частот нелинейно. Важ­
но знать, почему эта нелинейность, или деформация, возникает и к чему она приво­
дит. Мы узнаем это, выведя соотношение между частотой 5-плоскости и частотой
2-плоскости, которую мы обозначим как
Если мы представим 2 на единичной окружности в полярных координатах как
2 = г е ~ ^ , как мы делали это для рисунка 6.13, где г = 1,а(о^ — угол, мы можем под­
ставить 2 = е)Ш
(1в (6-88) и получить
5 = (2/15) [(1 - е - м )/(1 + е-*»*)] .
(6-95)
Если мы представим 5 в алгебраической форме и вынесем за скобки экспонен­
ту половинного угла, мы получим
5 = О +]ша = ( 2 /г 5) [ е ~ ^ / 2 ( е ^ с 1 / 2 - е - ) “><1/2 )]/[е ~ )“>с1/2(е]шс1/2 + 6 ^ / 2 )]
(6-96)
266
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Используя тождества Эйлера 8 т (0 ) = ( е $ - е~$)/2) и соБ(ф) = (е№ + е~$)/2,
мы можем преобразовать правую часть (6-96) в
5 = о + > а = (2Д5 ){«-></ /2[2щп(ш(1/2)]}/{е~ ш /2{2со$(о)(1/2)]} =
= (2/£5 ) ( 2 е ^ ш(1/ 2 / 2 е ^ ш(1/2) • [)?,т(о)(1/2 )/с о $ (о )(1/ 2 ) } =
= О'2/Ъ Пап{(!)<!/2) .
(6-97)
Если мы теперь приравняем действительные и мнимые части (6-97), мы уви­
дим, что о = 0 и
ша = (2Д5 П ап(й^/2) .
(6-98)
Из (6-98) мы получаем полезное соотношение, выражающее частоту 2 -области
со^ через частоту 5-области соа
(о^ = 21ап_^(а>а £5 /2 ) .
(6-99)
Важное соотношение (6-99), которое несет ответственность за деформацию
частот при билинейном преобразовании, показано графически на рисунке 6.30.
Рис. 6 .3 0 . Нелинейное соотношение между частотой г-области
ласти а>а
и частотой э-об-
Заметим, что, поскольку при больших ша значение
/2 ) приближается к
я /2 , ш({ должна приближаться к вдвое большему значению, или л. Это значит, что,
какой бы большой ни была частота соа, частота 2-плоскости со^ никогда не превысит л.
Помните, как мы рассматривали рисунок 6.14 и утверждали, что достаточно рас­
сматривать только диапазон частот от - л / 5 до +л/8 радиан/сек на 2-плоскости?
Наше новое отображение, связанное с билинейным преобразованием, отображает
всю 5-плоскость на 2-плоскость, а не только полосу, показанную на рисунке 6.14.
Теперь, если продвижение по оси]и>а на 5-плоскости в любом направлении приво­
дит нас в бесконечность, то перемещение по половине единичной окружности в
направлении против движения часовой стрелки соответствует нашему перемеще­
нию от соа = 0 до соа = +оо радиан/сек. Итак, билинейное преобразование отобра­
жает всю ось частот ]о)а в 5-плоскости на единичную окружность в 2-плоскости.
Мы иллюстрируем эти свойства отображения билинейного преобразования на
рисунке 6.31.
267
6.5. Метод проектирования БИХ-фильтров.
Чтобы показать практические последствия деформации частот, свяжем часто­
ты 5-плоскости и 2-плоскости с более практичной мерой частоты дискретизации
Л- Мы делаем это, вспомнив, что
/ = ( о /2 л .
(6-100)
Используя (6-100) в (6-99) получаем
2 л { (1 = 21ап - \ 2 л / а £Л
. /2 ).
(6-101)
Подставляя 1 //5вместо ts, мы решаем (6-101) относительно/^и получаем
Л/ = ( 2 / 2 л ) ^ п - 1[(2л/а / / , )/2] = [ ^ п - \ л / а / / , )]/л .
(6-102)
г-плоскость
Область
неустойчивости
(*!< *= 71
соответствует
0>э = +ас
(ОсУ=О
<и^=-7Г
соответствует
Рис. 6 .3 1 . Отображениеэ-плоскости наг-плоскость при билинейном преобразова­
нии
Соотношение (6-102), связывающее частоты / а и /^, показано графически на
рисунке 6.32 (а) в долях частоты дискретизации / 5.
Искажение частоты / а при преобразовании в показано на рисунке 6.32 (Ь),
где полосовая АЧХ аналогового фильтра |На( /а ) | подвергается сжатию по частоте
при преобразовании в |Я ^ ^ ) |. Обратите внимание на то, что низкочастотная
часть |#Х /^)| БИХ-фильтра примерно линейна, а высокочастотная часть сильно
сжата. Это и есть проявление деформации оси частот. Этот рисунок показывает,
почему при билинейном преобразовании наложения возникнуть не могут. Незави­
симо от формы и ширины АЧХ |На( /а ) | аналогового прототипа никакая ее часть не
может выйти за пределы половины частоты дискретизации/5 /2 в \НС
0 ^ ) |, и это де­
лает билинейное преобразование таким популярным.
Проектирование БИХ-фильтров с помощью билинейного преобразования вы­
полняется в следующей последовательности:
Шаг 1. Получить передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа Яс($)
в форме (6-43).
Шаг 2. Определить частоту дискретизации цифрового фильтра / 5 и вычислить
период дискретизации
= 1 //8.
Ш аг 3. Подставить в передаточную функцию Яс($) вместо б выражение
268
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
(2 Л ,)[(Г -* -')/< # + * -')]
(6-ЮЗ)
и получить передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г).
Шаг 4. Умножить числитель и знаменатель Н(г) на ( 1 + г 1) в соответствующей
степени и выполнить преобразования, чтобы получить передаточную функ­
цию в виде
ЛГ
М
Щ г) - [ 2 О Д г - * ] / [ # - £ « (* )* -* ] •
к=0
(6-104)
к=1
Шаг 5. Как и в случае метода инвариантного преобразования импульсной харак­
теристики, мы можем прямо по передаточной функции записать разно­
стное уравнение БИХ-фильтра
Рис. 6 .3 2 . Нелинейность соотношения частот fd и ґа: (а) кривая искажения частот,
промасштабированная относительно частоты дискретизации БИХ-фи­
льтра
(Ь) преобразование частотной характеристики аналогового
прототипа На(/д) в частотную характеристику дискретного БИХ-фильтра
НМ
6.5. Метод проектирования БИХ-фильтров..
269
у(п) = Ь(0)х(п) + Ь( 1)х(п - 1) + Ь(2)х(п - 2) + ... + Ь(Щх(п - Ы) +
+ а(1)у(п - 1) + а(2)у(п - 2) +... + а(М )у(п - М)
(6-105)
Хотя уравнение (6-105) справедливо только для структуры фильтра на
рисунке 6.18, для завершения проектирования мы можем использовать
коэффициенты а(к) и Ь(к) в улучшенной структуре БИХ-фильтра, пока­
занной на рисунке 6.22.
Чтобы показать, насколько прост метод билинейного преобразования, приме­
ним его для проектирования фильтра, заданного в примерах использования мето­
да инвариантного преобразования импульсной характеристики.
6 .5 .1 . Пример проектирования с помощью билинейного
преобразования
И снова наша цель —спроектировать БИХ-фильтр, который аппроксимирует
аналоговый прототип Чебышева второго порядка, показанный на рисунке 6.26,
неравномерность АЧХ которого в полосе пропускания равна 1 дБ. Частота диск­
ретизации / 5 равна 100 Гц (£5 = 0.01), а частота среза по уровню 1 дБ равна 20 Гц.
Как и раньше, имеем передаточную функцию прототипа вида
Н с(б) = 17410.145/( б2 + 137.945368 + 17410.145) .
(6-106)
и £5 = 0.01, что позволяет нам перейти к Шагу 3. Для удобства заменим числовые
константы в (6-106) переменными:
Яс(5) = с/(52 +65 + с) ,
(6-107)
где Ь=137.94536, с=17410.145. Подставив (6-103) в (6-107), получаем
Н ( г ) - с/{[(2/(5)(Г - * -')/(* + г -')] 2 Щ 2 / Щ 1 - г ~ ')/<*+ г"') + с }.
(6-108)
Чтобы упростить немного наши выкладки, обозначим буквой а отношение
2/£5, в результате чего получаем:
Щ г) = с/{а2[(1 - г~1)/(1+ г~1)]2 + аЬ [(1-г~1)/(1+ г~ 1)] + с}.
(6-109)
Выполняя Шаг 4, умножаем числитель и знаменатель (6-109) на (1 + г~1) 2 и
получаем
Н(г) =с(У + г~1) 2 / [ а 2( 1 - г~1) 2 +аЬ(1+ г~1) ( 1 - г~1) + с(1 + г~1) 2] .
(6-110)
Перемножая сомножители в знаменателе и объединяя члены с одинаковыми
степенями 2 , приходим к
Н(г) - с(1 + 2г-1 + 2 -2 )/
(6_Ш )
/[(а 2 + аЬ + с) + (2с - 2а2)г~1 + (а2 + с - аЬ)г~2] .
Мы почти у цели. Чтобы представить (6-111) в форме (6-104), где свободный
член знаменателя равен 1, разделим числитель и знаменатель (6-111) на (а2 + аЬ +
с), что даст нам выражение
270
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Щ г) = [c/(a2 + ab + с)](1 + 2z~1 + z~2) /
(6-112)
/{1 + [(2с -2 а 2)/(а 2 + ab + с)] z~1 + [(а2 + с - ab)/(a2 + ab + с)] z~2} .
Теперь (6-112) выглядит похоже на требуемую форму (6-104). Если мы под­
ставим значения переменных а = 2 /ts = 200, b = 137.94536 и с = 17410.145 в
(6-112), мы получим передаточную функцию БИХ-фильтра:
H(z) = 0.20482712(1 + 2z~1 + z~2)/(1 - 0.53153089z~1 + 0.35083938z-2) =
= (0.20482712 + 0.40965424z~1 + 0.2048271 2 z 2) /
(6-113)
/( 1 - 0.53153089z~1 + 0.35083938z~2)
Рассмотрев (6-113), мы можем записать разностное уравнение БИХ-фильтра:
у(п) = 0.20482712»х(п) + 0.40965424 *х(п - 1) + 0.20482712 •х(п - 2 ) +
+ 0.53153089 *у(п - 1) - 0.35083938*у(п - 2 ) .
(6-114)
АЧХ спроектированного методом билинейного преобразования фильтра по­
казана черной линией на рисунке 6.33 (а), где для сравнения мы показали серой
линией результат использования метода инвариантного преобразования импуль­
сной характеристики. Обратите внимание на то, что АЧХ фильтра, полученного с
помощью билинейного преобразования, стремится к нулю по мере приближения
частоты к частоте заворота f s /2 = 50 Гц. Так и должно быть — в этом и состоит
главная задача метода билинейного преобразования. Рисунок 6.33 (Ь) демонстри­
рует нелинейную Ф ЧХ БИХ-фильтра.
Нам так и хочется сказать, что билинейное преобразование не только проще
реализуется, чем инвариантное преобразование импульсной характеристики, но
оно еще и дает фильтры нижних частот со значительно более крутой переходной
полосой. Да, деформация частотной оси сжимает, делает более крутой, переход­
ную полосу фильтра, как мы видели на рисунке 6.32, но дополнительной причи­
ной улучшения АЧХ является увеличение сложности реализации БИХ-фильтра.
Мы видим это, изучая структуру фильтра, показанную на рисунке 6.34. Заметьте,
что наш новый фильтр требует пять умножений на выходной отсчет, тогда как
фильтр, полученный методом инвариантного преобразования импульсной харак­
теристики, на рисунке 6.28 (а) требует всего трех умножений на выходной отсчет.
Дополнительные умножения необходимы для дополнительных цепей прямой связи.
Дополнительные коэффициенты b(k) в H(z) соответствуют нулям на z-плоскости,
созданным билинейным преобразованием, которые отсутствуют при инвариантном
преобразовании импульсной характеристики.
Поскольку аналоговый прототип, использованный в примерах, имел частоту
среза, равную / 5 /5, на рисунке 6.33 мы не заметили влияния искажения частот.
(Действительно, Кайзер показал, что, когда/5достаточно велика, методы инвари­
антного преобразования импульсной характеристики и билинейного преобразо­
вания дают почти идентичные передаточные функции H(z) [19].) Если бы частота
среза нашего фильтра была побольше, искажение частот было бы заметнее, и час­
тота среза результирующей АЧХ |Hd( fd ) | была бы ниже требуемой. Чтобы обойти
эту трудность, профессионалы прибегают к предыскажению частоты среза прото­
типа перед вычислением его передаточной функции Hc(s) на Шаге 1.
271
6.5. Метод проектирования БИХ-фильтров.
Проектирование методом
инвариантного преобразования
импульсной характеристики
(а)
50 Гц
(Г,12)
20 Гц
20 Гц
50
гц
Частота
№/2)
Рис. 6 .3 3 . Сравнение билинейного преобразования и инвариантного преобразо­
вания импульсной характеристики при проектировании БИХ-фильтров:
(а) АЧХ; (Ь) ФЧХ БИХ-фильтра, полученного методом билинейного пре­
образования
Рис. 6 .3 4 . Реализация фильтра, полученного в примере методом билинейного
преобразования
Таким способом они компенсируют искажение оси частот до того, как оно воз­
никнет. Чтобы определить предыскаженную частоту среза прототипа, которая
преобразуется в требуемую частоту среза БИХ-фильтра, мы можем использовать
(6-98). Мы подставим требуемую частоту среза БИХ-фильтра
в (6-98) и вы­
числим частоту среза аналогового прототипа о)а, используемую для расчета его
передаточной функции # с($).
Хотя мы объяснили, что билинейное преобразование позволяет избавиться от
проблем наложения частотных характеристик при проектировании БИХ-филь­
тров, важно не забывать, что мы по-прежнему должны избегать наложения во
272
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
входном сигнале фильтра. Независимо от того, какой фильтр используется или
какой метод расчета применялся, входные данные всегда должны получаться с ис­
пользованием такой схемы дискретизации, которая исключает наложения, описан­
ные в главе 2. Если входной сигнал содержит искажения, обусловленные наличием
наложений спектров, никакой фильтр исправить эти искажения не сможет.
Наше изложение методов проектирования с помощью инвариантного преоб­
разования импульсной характеристики и с помощью билинейного преобразова­
ния по необходимости затронуло только самые существенные моменты этих двух
методов. Строго математическое изложение этих методов неуместно во вводном
курсе сродни данному, но заинтересованный читатель может найти более детальное
описание в работах [13-16]. Работы [13] и [15], между прочим, содержат прекрасный
материал по различным типам аналоговых прототипов. Хотя наши примеры
проектирования БИХ-фильтров аппроксимировали фильтры-прототипы ниж­
них частот, важно понимать, что эти методы также применимы для проектиро­
вания полосовых фильтров и фильтров верхних частот. Для проектирования
БИХ-фильтров верхних частот, например, достаточно просто взять передаточ­
ную функцию аналогового фильтра верхних частот. Затем описанный метод
проектирования цифровых БИХ-фильтров даст нам аппроксимацию этого
фильтра верхних частот'.
Как мы видели, оба рассмотренных метода проектирования БИХ-фильтров
являются мощными и достаточно сложными в применении. Их математика слож­
на, а вычисления по формулам довольно громоздки даже для достаточно простых
фильтров. В связи с этим мы хотим представить вам третий класс методов проек­
тирования БИХ-фильтров, основанный на программах численной оптимизации.
В этом случае разработчик задает требуемую частотную характеристику фильтра, а
алгоритм генерирует последовательные приближения коэффициентов до тех пор,
пока они не сойдутся (будем надеяться) к некоторому оптимальному решению.
6.6. Оптимизационный метод
проектирования БИХ-фильтров
Последний класс методов проектирования БИХ-фильтров, с которым мы вас
познакомим, в самом широком смысле называют классом оптимизационных ме­
тодов. Эти методы разработаны для ситуаций, когда требуемая АЧХ БИХ-фильтра отличается от стандартных характеристик фильтров нижних, верхних частот,
полосовых и режекторных. Когда требуемая частотная характеристика имеет
произвольную форму, замкнутые выражения для передаточной функции не суще­
ствуют, и у нас нет уравнений, позволяющих вычислить коэффициенты фильтра.
Для решения такой обобщенной проблемы проектирования были разработаны
алгоритмы решения систем линейных или нелинейных уравнений с помощью
компьютера. Эти программы требуют, чтобы разработчик описал некоторым
образом требуемую частотную характеристику БИХ-фильтра. Затем эти алгорит1 Это справедливо для метода билинейного преобразования, но при использовании ме­
тода инвариантного преобразования импульсной характеристики наложения не по­
зволят получить БИХ-фильтр верхних частот —(прим. перев).
6.6. Оптимизационный метод проектирования БИХ-фильтров
273
мы, предполагая, что передаточная функция Н(г) представляет собой отношение
полиномов, вычисляют частотную характеристику фильтра. Основываясь на неко­
тором критерии ошибки, алгоритм итерационно модифицирует коэффициенты
фильтра таким образом, что ошибка между требуемой и текущей характеристика­
ми сводится к минимуму. Процесс заканчивается, когда дальнейшее уменьшение
ошибки невозможно или когда выполнено заданное количество итераций, и коэф­
фициенты фильтра выдаются разработчику. Хотя эти алгоритмы оптимизации мате­
матически слишком сложны, чтобы рассматривать их здесь, описание наиболее
популярных методов оптимизации легко доступно в литературе [14, 16, 20-25].
Читатель может спросить: «Если мы не собираемся рассматривать алгоритмы
оптимизации, то зачем вообще говорить здесь об оптимизационных методах?»
Ответ на этот вопрос следующий: Если мы тратим много времени на проектиро­
вание БИХ-фильтров, то рано или поздно мы придем к тому, что будем в боль­
шинстве случаев использовать оптимизационные методы в форме компьютерных
программ. Огромное количество коммерческих пакетов программ цифровой обра­
ботки сигналов включают одну или более программ проектирования БИХ-фильтров, которые основаны на методах оптимизации. Когда доступен компьютерный
метод проектирования, разработчики фильтров склонны использовать его для рас­
чета, в том числе и простых ФНЧ, ФВЧ и полосовых фильтров, даже если сущест­
вуют аналитические методы. При всем должном уважении к Лапласу, Хэвисайду и
Кайзеру, зачем продираться сквозь все эти уравнения, 2 -преобразования и прочие
сложности, когда требуемую частотную характеристику можно ввести в программу
и получить приемлемый результат в течение нескольких секунд?
Рис. 6 .3 5 . Пример задания параметров при проектировании БИХ ФНЧ оптимиза­
ционными методами
Как оказывается, использование коммерческих программ оптимизационного
проектирования БИХ-фильтров совсем несложно. Большинство оптимизацион­
ных программ требуют задания всего нескольких параметров по амплитуде и час­
тоте, требуемого порядка БИХ-фильтра (количества ответвлений обратной связи),
после чего они рассчитывают коэффициенты цепей прямой и обратной связи. При
задании, например, БИХ Ф Н Ч программа проектирования может запросить у
нас значения бр, ду /у и / ^ , показанные на рисунке 6.35. Некоторые программы
оптимизационного проектирования требуют, чтобы пользователь задал порядок
БИХ-фильтра. Эти программы рассчитывают коэффициенты фильтра, которые
наилучшим образом аппроксимируют заданную характеристику. Некоторые
274
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
программы, с другой стороны, не требую задания порядка фильтра. Они вычисля­
ют минимальный порядок фильтра, который может обеспечить соответствие час­
тотной характеристики фильтра заданной характеристике.
6.7. Подводные камни реализации
БИХ-фильтров
Инженерам хорошо известна истина: «Одно дело — спроектировать систему
на бумаге, и совсем другое дело — построить ее в железе и заставить работать»
(Вспомните, что произошло с мостом Такома Нэрроуз!) Изготовление работаю­
щей системы на основе теоретического проекта на практике может оказаться ве­
сьма сложным. Давайте разберемся, почему это во многих случаях справедливо
по отношению к БИХ-фильтрам.
Структуры БИХ-фильтров, показанные на рисунках 6.18 и 6.22, называются реа­
лизациями в прямой форме, потому что они непосредственно реализуют разностное
уравнение БИХ-фильтра М-го порядка, приведенное в (6-21). Как оказывается, при
реализации в прямой форме фильтров высокого порядка могут возникнуть пробле­
мы с устойчивостью, а также искажения частотной характеристики. Эти проблемы
вызваны тем, что мы вынуждены представлять коэффициенты фильтра и промежу­
точные результаты вычислений двоичными числами, состоящими из конечного ко­
личества битов. Различают три основных категории ошибок конечной длины слова,
которые затрудняют реализацию БИХ-фильтров: ошибки квантования коэффици­
ентов, ошибки переполнения и ошибки округления.
Квантование коэффициентов (представление коэффициентов с ограниченной
точностью) приводит к смещению нулей и полюсов на 2 -плоскости, в результате
чего частотная характеристика может не удовлетворять заданным при проекти­
ровании требованиям. Искажения частотной характеристики оказываются более
значительными для БИХ-фильтров высокого порядка.
Переполнение, второй эффект конечной разрядности, который доставляет непри­
ятности при реализации БИХ-фильтров, —это то, что происходит, когда результат
арифметической операции оказывается слишком большим и не может быть пред­
ставлен в аппаратурных регистрах ограниченной разрядности, предназначенных для
его хранения. Поскольку при реализации БИХ-фильтров мы выполняем много опе­
раций сложения, переполнение всегда возможно. Без специальных мер предосто­
рожности, учитывающих возможность переполнений, в выходных отсчетах могут
возникнуть ошибки значительной величины, часто в форме колебаний переполнения.
Наиболее распространенный способ борьбы с ошибками переполнения — это
округление данных, когда значение отсчета данных представляется 6-битовым
двоичным числом, которое ближе всего к неокругленному значению. Обычно
рассматривают ошибки округления как случайный процесс, но в БИХ-фильтрах
возникают такие условия, при которых ошибки округления могут вызвать бес­
конечные колебания выходного сигнала, даже если входной сигнал равен нулю.
Такие ситуации, вызванные шумом округления, который тесно коррелирован с
сигналом (это явление часто называют предельными циклами или эффектами
мертвой зоны) подробно проанализированы в литературе [26, 27].
6.7. Подводные камни реализации БИХ- фильтров
275
Мы можем продемонстрировать предельные циклы, рассматривая на рисун­
ке 6.36 (а) БИХ-фильтр второго порядка, который описывается разностным
уравнением вида
у(п ) = х(п) + 1.3у(п-1) - 0.76у(п-2) .
(6-115)
Допустим, этот фильтр округляет сумму до ближайшего целого числа. Если в
какой-то момент времени возникнет ситуация, когдау ( - 2 ) = 0 ,у (-1 ) = 8 и х (0 ), а
также все последующие входные отсчеты х(п) равны нулю, выходной сигнал филь­
тра превращается в колебание бесконечной длительности, как показано на рисун­
ке 6.36 (Ь). Если бы этот фильтр использовался для воспроизведения звука, при
уменьшении входного сигнала до нуля слушатель обнаружил бы, что вместо ти­
шины он слышит какой-то тон. Штриховая линия на рисунке 6.36 (Ь) показывает
реакцию фильтра в данной ситуации, если округление не выполняется. При нали­
чии округления этот БИХ-фильтр полностью оправдывает свое название.
-О 76
4 У(п)
Рис. 6 .3 6 . Колебания предельного цикла, вызванные округлением результатов
операций: (а) БИХ-фильтр второго порядка; (Ь) один из возможных от­
кликов БИХ-фильтра во временной области
Существует несколько способов уменьшения вредного влияния ошибок кванто­
вания коэффициентов и предельных циклов. Мы можем увеличить длину регистров,
содержащих результаты промежуточных операций. Поскольку предельные цик­
лы влияют на младшие биты результатов арифметических операций, увеличение
длины слова приведет к уменьшению их влияния, если они возникнут. Чтобы не
подавать на вход фильтра последовательность, все отсчеты которой равны нулю,
некоторые разработчики добавляют к входной последовательности возмущающую
276
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
псевдослучайную последовательность низкого уровня, которая препятствует воз­
никновению колебаний предельного цикла и позволяет выходному сигналу фи­
льтра уменьшиться до нуля, если входной сигнал стал нулевым. Возмущающая
последовательность, однако, ухудшает отношение сигнал/шум на выходе фильтра
[11]. Наконец, чтобы избежать проблем с предельными циклами, мы можем просто
использовать КИХ-фильтр. Поскольку КИХ-фильтры по определению имеют им­
пульсную характеристику конечной длительности и не содержат цепей обратной
связи, они не могут поддерживать никакие колебания выходного сигнала.
Мы можем устранить ошибки переполнения, если увеличим длину слова реги­
стров настолько, что они никогда не будут переполняться. Входной сигнал фильтра
можно промасштабировать (понизить его амплитуду, умножив на коэффициент,
значение которого меньше единицы), чтобы устранить возможность переполне­
ния, но при этом ухудшается отношение сигнал/шум. Колебания переполнения
можно устранить, используя арифметику с насыщением, когда при возникновении
условий переполнения значение сигнала ограничивается на некотором фиксиро­
ванном уровне [28,29]. Читателю будет полезно запомнить, что, когда данные пред­
ставлены в двоичном дополнительном коде, переполнения промежуточных
результатов в последовательных сложениях не оказывают влияния на окончатель­
ный результат, если мы можем гарантировать, что этот результат не выходит за
пределы диапазона, который может принять регистр результата. Конечно, вычис­
ления с плавающей точкой или с поблочно плавающей точкой могут существенно
уменьшить ошибки, связанные с колебаниями переполнения и предельными цик­
лами [30]. (Форматы чисел с плавающей точкой мы рассматриваем в разделе 12.4.)
Ошибки квантования коэффициентов и переполнения, обусловленные конечной
длиной слова, оказываются разными в разных структурах реализации БИХ-фильтров. Практика показала, что Прямая форма II (см. рисунок 6.22) наиболее склон­
на к возникновению ошибок.
Наиболее популярный метод минимизации ошибок, связанных с конечной
длиной слова, состоит в проектировании БИХ-фильтров, состоящих из ряда по­
следовательно или параллельно соединенных фильтров более низкого порядка. В
следующем разделе мы узнаем, почему.
6.8. Улучшение БИХ-фильтров с помощью
каскадных структур
Разработчики БИХ-фильтров минимизируют проблемы устойчивости и
шумов квантования, разрабатывая высококачественные фильтры в виде ком­
бинаций фильтров более низкого качества. Перед тем, как рассмотреть эту
идею, освежим в памяти важные моменты, касающиеся поведения комбинаций
нескольких фильтров.
277
6.8. Улучшение БИХ-фильтров с помощью каскадных структур
6 .8 .1 . Свойства каскадных и параллельных структур
фильтров
В этом разделе приведен обзор совместного поведения линейных фильтров
(будь то БИХ- или КИХ-фильтры), соединенных последовательно (каскадно)
или параллельно. Как показано на рисунке 6.37 (а), результирующая передаточ­
ная функция двух фильтров, соединенных последовательно, является произведе­
нием передаточных функций этих фильтров, или
Н (Л г) = Я у(2)Я2(2)
(6-116)
при общей частотной характеристике
Нсаз(со)= Н 1(<о)Н2(<о).
(6-117)
Рис. 6 .3 7 . Комбинации двух фильтров: (а) каскадная; (Ь) параллельная
Важно также знать, что импульсная характеристика каскадного соединения
фильтров равна свертке импульсных характеристик отдельных фильтров.
Как показано на рисунке 6.37 (Ь), общая передаточная функция двух филь­
тров, соединенных параллельно, представляет собой сумму передаточных функ­
ций отдельных фильтров, или
н раг(2 ) = н і ( 2> + Н 2Іг )
>
(6-118)
а общая частотная характеристика определяется как
Яраг(<о)=Я,(о>)+Я2(<о).
(6-119)
Результирующая импульсная характеристика параллельно соединенных
фильтров равна сумме индивидуальных импульсных характеристик фильтров.
Давайте разработаем правило приближенной оценки неравномерности АЧХ в
полосе пропускания двух каскадно-соединенных фильтров, показанных на ри­
сунке 6.37 (а). Величина неравномерности АЧХ каскадного соединения филь­
тров есть функция неравномерности отдельных фильтров. Изобразив пульсации
АЧХ какого-либо фильтра в линейном масштабе, как это сделано на рисунке 6.38,
мы можем приступить к оценке неравномерности АЧХ каскадного соединения
фильтров.
278
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Согласно (6-117), верхняя граница АЧХ каскадного соединения, 1 + 11са8, яв­
ляется произведением двух пиковых значения характеристик Н ^ш ) и Н2(со), или
У+і?СЙ5= (/+і?у)(/+/?2) = ^+-^/+ ^ 2+ -^/^2 •
(6-120)
Рис. 6.3 8 . Определение неравномерности Я АЧХ в полосе пропускания
Для малых значений И-/ и И2 слагаемое Я ^ 2 пренебрежимо мало, и мы можем
сформулировать наше оценочное правило следующим образом:
( б '121)
Таким образом, в проектах, в которых используется последовательное соеди­
нение фильтров, необходимо задавать неравномерность АЧХ каждого фильтра не
больше половины требуемого значения Кса$для комбинированного фильтра, или
Л* - Я* ~
•
(6-122)
6 .8 .2 . Каскадное соединение БИХ-фильтров
Опытные разработчики фильтров обычно разбивают БИХ-фйльтры высокого
порядка на ряд последовательно соединенных БИХ-фильтров второго порядка,
потому что эти фильтры низкого порядка проще проектировать, они менее чувст­
вительны к ошибкам квантования коэффициентов, более устойчивы, а их реали­
зация позволяет проще масштабировать данные для устранения переполнений.
Оптимизация разбиения фильтра высокого порядка на множество секций второ­
го порядка представляет собой довольно сложную задачу. Пусть, например, мы
имеем фильтр шестого порядка Прямой формы I, показанный на рисунке 6.39 (а),
который мы хотим разделить на три секции второго порядка. Разбивая передаточ­
ную функцию фильтра шестого порядка Н(г) на множители, мы можем получить
до трех наборов коэффициентов прямой связи в числителе факторизованной
Я(г): Ь '(к), Ь "(к) и Ь '"(к). Аналогично, мы можем иметь до трех наборов коэффи­
циентов обратной связи в факторизованном знаменателе: а '(к), а "(к) и а '"(к). По­
скольку имеется три секции второго порядка, мы имеем 3!, или шесть, способов
объединения наборов коэффициентов. На рисунке 6.39 (Ь) первая секция исполь­
зует коэффициенты а '(к) и Ь '(к), вторая секция использует коэффициенты а "(к)
и Ь "(к). Мы могли бы также перетасовать коэффициенты так, чтобы в первой сек­
ции использовались коэффициенты а'(к) и Ь"(к), а во второй — коэффициенты
а"(к) и Ь"(к). Итак, имеется шесть математически равноправных способов объе­
279
6.8. Улучшение БИХ-фильтров с помощью каскадных структур
динения наборов коэффициентов. Добавьте к этому то, что для каждой комбина­
ции наборов коэффициентов имеется 3!, или шесть, разных последовательностей
включения этих секций второго порядка.
Ь(6)
а(6)
С екция 2
С е кц и я 3
(Ь)
Рис. 6 .3 9 . Разбиение БИХ-фильтра на секции: (а) исходный БИХ-фильтр шестого
порядка: (Ь) три секции второго порядка
Это значит, что, если мы хотим разбить фильтр порядка 2М на М секций второ­
го порядка, то мы должны проанализировать (М!)2 способов такого разбиения.
Таким образом, при переходе от рисунка 6.39 (а) к рисунку 6.39 (Ь) мы можем по­
лучить (3 /) 2 = 36 разных фильтров. Еще больше усложняет проблему разбиения
фильтра то, что ошибки, вызванные квантованием коэффициентов, будут в об­
щем случае для всех этих фильтров разные. Хотя полное описание данного пред­
мета выходит за рамки этого вводного курса, любознательный читатель может
найти материал по оптимизации секций каскадных фильтров в работах [ 19, 27] и
в части 3 работы [31].
Один простой (и, вероятно, не оптимальный) выбора порядка следования сек­
ций фильтра предложен в [ 14]. Первым делом разложим передаточную функцию
БИХ-фильтра высокого порядка Н(г) на множители вида
Я(2) = (2 + 2^)(2 + 2у)(2 + 22)(2 + 23)(2 + 2^)(2 + 25).../
(6-123)
/О + Ро)(г + Рі)(2 + /?2)0 + Рз)(2 + Р4)(2 + Р5>-
280
Глава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
гдег^ —нули, а р ^ — полюсы. (К счастью, у вас, наверное, есть пакет программ об­
работки сигналов, позволяющий выполнить такую факторизацию.) Затем сфор­
мируем секции второго порядка, выполнив следующие шаги:
1.
Найдем полюс или пару полюсов, лежащих ближе всех к единичной
окружности.
2.
Найдем ноль или пару нулей, лежащих ближе всего к полюсу или паре
полюсов, найденных на первом шаге.
3.
Объединим эти нули и полюсы в одной секции второго порядка. Это
значит, что первая секция фильтра может выглядеть как:
Я(2) = (г + г4)(г + г5)/(г + р 0)(г + р ^ .
(6-124)
4.
Будем повторять шаги 1 —3 до тех пор, пока все нули и полюсы не ока­
жутся объединенными в секции второго порядка.
5.
Окончательный порядок следования секций основан на том, как дале­
ко от единичной окружности находятся полюсы. Расположите секции
в порядке возрастания или убывания расстояния полюсов от единич­
ной окружности.
6.
Реализуйте фильтр как последовательно соединенные секции второго
порядка, включенные в порядке, заданном на шаге 5.
На сленге цифровой обработки сигналов БИХ-фильтр второго порядка называ­
ется «биквадратным», и тому есть две причины. Во-первых, передаточная функция
фильтра состоит из двух полиномов второй степени. Во-вторых, слово биквад­
ратный звучит стильно.
Между прочим, мы начали обсуждение разбиения фильтра на секции второго
порядка с Прямой формы I высокого порядка, показанной на рисунке 6.39 (а). Мы
выбрали эту форму реализации фильтра, поскольку она представляет собой струк­
туру, наименее чувствительную к ошибкам округления и переполнения. Как видно
на рисунке 6.39 (а), у нас имеются избыточные элементы задержки. Их можно объ­
единить, как показано на рисунке 6.40, уменьшив таким образом требуемый объем
памяти, как мы сделали в Прямой форме II, показанной на рисунке 6.22.
Рис. 6 .4 0 . Каскадные фильтры в Прямой форме I с уменьшенным объемом памяти
6.9. Краткое сравнение КИХ- и БИХ-фильтров
281
В литературе доступно множество материалов, посвященных эффектам ко­
нечной разрядности в БИХ-фильтрах. (В работах [14,16] и [19] обсуждаются по­
дробности влияния шумов квантования, а также приводится обширный список
литературы по этой теме.) Указания по масштабированию БИХ-фильтров для
устранения переполнений можно найти в [32,33].
6.9. Краткое сравнение КИХи БИХ-фильтров
Вполне естественно, что часто возникает вопрос о том, какой фильтр, БИХ или
КИХ наилучшим образом подходит для того или иного применения. На этот во­
прос в общем случае ответить нелегко, но мы можем указать несколько факторов,
которые следует иметь ввиду. Во-первых, мы можем предположить, что различ­
ная трудоемкость расчета этих типов фильтров не имеет значения. Как правило,
имеются более важные аспекты, которые необходимо рассмотреть, принимая ре­
шение в пользу БИХ- или КИХ-фильтра. Одно из соображений, которое может
оказаться существенным, состоит в том, что БИХ-фильтры могут аппроксимиро­
вать заданные аналоговые фильтры. КИХ-фильтры такой возможности не предо­
ставляют.
С точки зрения аппаратуры, при таких существенных фундаментальных раз­
личиях между БИХ- и КИХ-фильтрами, наш выбор должен базироваться на тех
характеристиках фильтров, которые имеют для нас наибольшее значение. Напри­
мер, если нам необходим фильтр со строго линейной ФЧХ, то единственным вы­
бором может быть только КИХ-фильтр. ЕслИ, с другой стороны, нам требуется
фильтр, обрабатывающий очень быстрый поток данных, а небольшая нелиней­
ность фазы допустима, мы можем склониться к реализации БИХ-фильтра с его
меньшим количеством умножений на выходной отсчет.
Одно предупреждение: то, что КИХ-фильтр требует, скажем, в три раза боль­
ше умножений на выходной отсчет, чем БИХ-фильтр, не значит, что БИХ-фильтры будет выполняться быстрее на программируемом ЦПОС. Типовые ЦП ОС
имеют возможность организации циклов без накладных расходов и параллельного
выполнения инструкций умножения-накопления (МАС), которые и составляют
КИХ-фильтр. Код для БИХ-фильтров содержит больше операций по обслужива­
нию указателей на данные и коэффициенты, чем код КИХ-фильтров. Так что,
если вы хотите сделать выбор между БИХ-фильтром, требующим К умножений
на выходной отсчет, и КИХ-фильтром, требующим 2К (или ЗК) умножений на
выходной отсчет, напишите программы реализации обоих и измерьте скорость их
выполнения.
В таблице 6.1 приводятся данные для БИХ- и КИХ-фильтров, позволяющие
сравнивать эти два типа фильтров с точки зрения характеристик и реализации.
282
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Табл ица 6 . 1 . Сравнение характеристик БИХ- и нерекурсивных
КИХ-фильтров
КИХ-фильтры
(нерекурсивные)
БИХ-фильтры
Характеристика
Количество умножений
Наименьшее
Наибольшее
Чувствительность к
квантованию
коэффициентов
Может быть высокой'
(для высококачественных
аудио систем требуются
коэффициенты длиной
24 бита)
Очень низкая (для
большинства применений
достаточно иметь
16-битовые
коэффициенты)
Вероятность
переполнений
Может быть высокой2
Очень низкая
Устойчивость
Должна обеспечиваться
при проектировании
Гарантирована
Линейность ФЧХ
Невозможна
Гарантирована3
Может аппроксимировать Да
аналоговые фильтры
Нет
Пам ять коэф ф ициентов
Наибольш ая
Наименьшая
Аппаратурное управление Средней сложности
фильтром
Очень простое
Широкая
Распространенность
программ проектирования
Очень широкая
Сложность
проектирования или
сложность программ
проектирования
Умеренная
Низкая
Сложность анализа шумов Более высокая
квантования
Более низкая
Поддержка адаптивной
фильтрации
Да
Да
Чувствительность можно уменьшить в каскадных или параллельных реализациях.
См. предыдущую сноску
Гарантируется, если коэффициенты КИХ-фильтра симметричны
Библиография
283
Библиография
1. Churchill, R. V. Modem Operational Mathematics in Engineering, McGraw-Hill,
New York, 1944, pp. 307-334.
2. Aseltine, J. A. Transform Method in Linear System Analysis, McGraw-Hill, New
York, 1958, pp. 287-292.
3. Nixon, F. E. Handbook o f Laplace Transformation, Tables and Examples, Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, New Jersey, 1960.
4.
Kaiser, J. F. «Digital Filters» in System Analysis by Digital Computer. Ed. by F. F.
Kuo and J. F. Kaiser, John Wiley and Sons, New York, 1966, pp. 218-277.
5. Kaiser, J. F. «Design Methods for Sampled Data Filters», Chapter 7, in S1963 Proc.
IstAllerton Conference, pp. 221-236.
6.
Ragazzini, J. R. and Franklin, G. F. Sampled-Data Control Systems, McGraw-Hill,
New York, 1958, pp. 52-83.
7.
Milne-Thomson, L. M. The Calculus o f Finite Differences, Macmillan, London,
1951, pp. 232-251.
8.
Truxal, J. G. 1955. Automatic Feedback Control System Synthesis, McGraw-Hill,
New York, 1955, p. 283.
9.
Blackman, R. B. Linear Data-Smoothing and Prediction in Theory and Practice, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1965, pp. 81-84.
10. Gold, B. and Jordan, K. L., Jr. «А Note on Digital Filter Synthesis», Proceedings o f
the IEEE, Vol. 56, October 1968, p. 1717.
11. Rabiner, L. R., et al. «Terminology in Digital Signal Processing», IEEE Trans, on
Audio and Electroacoustics, Vol. AU-20, No. 5, December 1972, p. 327.
12. Stearns, S. D. Digital Signal Analysis, Hayden Book Co. Inc., Rochelle Park, New
Jersey, 1975, p. 114.
13. Stanley, W. D., et al., Digital Signal Processing, Reston Publishing Co. Inc., Reston,
Virginia, 1984, p. 191.
14. Oppenheim, A. V, and Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing, Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, New Jersey, 1989, p. 406 (имеется русский перевод
одного из предыдущих изданий: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. «Цифровая об­
работка сигналов», пер. с англ. / под ред. С. Я. Шаца, М.: Связь, 1979, доступен
по адресу dsp-book.narod.ru/OpShDSP.djvu).
15. Williams, С. S. Designing Digital Filters, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jer­
sey, 1986, pp. 166-186.
16. Rabiner, L. R., and Gold, B. Theory and Application o f Digital Signal Processing,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975, p. 216 (есть русский перевод:
Рабинер Л., Голд Б. «Теория и применение цифровой обработки сигналов», М.:
Мир, 1978, доступен по адресу http://geogin.narod.ru/arhiv/dsp/dsp3.htm).
17. Johnson, М. «Implement Stable IIR Filters Using Minimal Hardware», EDN, 14
April 1983.
284
Гпава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
18. Oppenheim, A. V, Willsky, A. S., and Young, I. T. Signals and Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1983, p. 659.
19. Kaiser, J. F. «Some Practical Considerations in the Realization of Linear Digital
Filters», Proc. Third Annual Allerton Conference on Circuit and System Theory,
1965, pp. 621-633.
20. Deczky, A. G. «Synthesis of Digital Recursive Filters Using the Minimum P Error
Criterion», IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, Vol. AU-20, No. 2, October
1972, p. 257.
21. Steiglitz, K. «Computer-Aided Design of Recursive Digital Filters», IEEE Trans,
on Audio and Electroacoustics, Vol. 18, No. 2,1970, p. 123.
22. Richards, M. A. «Application of Deczky's Program for Recursive Filter Design to
the Design of Recursive Decimators», IEEE Trans, on Acoustics, Speech, and Signal
Processing, Vol. ASSP-30, October 1982, p. 811.
23. Parks, T. W., and Burrus, C. S. Digital Filter Design, John Wiley and Sons, New
York, 1987, p. 244.
24. Rabiner, L., Graham, Y, and Helms, H. «Linear Programming Design of HR Digi­
tal Filters with Arbitrary Magnitude Functions», IEEE Trans, on Acoustics, Speech,
and Signal Processing., Vol. ASSP-22, No. 2, April 1974, p. 117.
»
25. Friedlander, B., and Porat, B. «The Modified Yule-Walker Method of ARMA
Spectral Estimation», IEEE Trans, on Aerospace Electronic Systems, Vol. AES-20,
No. 2, March 1984, pp. 158-173.
26. Jackson, L. B. «On the Interaction of Roundoff Noise and Dynamicjlange and Dy­
namic Range in Digital Filters», Bell System TechnicalJournal Vol. 49, February
1970, pp. 159-184.
27. Jackson, L. B. «Roundoff Noise Analysis for Fixed-Point Digital Filters Realized in
Cascade or Parallel Form», IEEE Trans. Audio Electroacoustics, Vol. AU-18, June
1970, pp. 107-122.
28. Sandberg, I. W. «A Theorem Concerning Limit Cycles in Digital Filters», Proc.
Seventh Annual Allerton Conference on Circuit and System Theory, Monticello, Illi­
nois, October 1969.
29. Ebert, P. M., et al. «Overflow Oscillations in Digital Filters», Bell Sys. Tech. Jour­
nal, Vol. 48, November 1969, pp. 2999-3020.
30. Oppenheim, A. V. «Realization of Digital Filters Using Block Floating Point Arith­
metic», IEEE Trans. Audio Electroacoustics, Vol. AU-18, June 1970, pp. 130-136.
31. Rabiner, L. R., and Rader, C. M., Eds., Digital Signal Processing, IEEE Press, New
York, 1972, p. 361.
32. Grover, D. «Subject: Re: How to arrange the (gain, -pole, zero) o f the cascaded biqu­
ad filter». Usenet group comp.dsp post, Dec. 28, 2000.
33. Grover, D. and Deller, J. Digital Signal Processing and the Microcontroller, Prentice
Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1998.
Глава 7
Специальные
КИХ-фильтры
нижних частот
В этой главе мы предлагаем вашему вниманию две реализации эффективных
КИХ-фильтров нижних частот с линейной ФЧХ. Мы обсуждаем эти специаль­
ные фильтры здесь, потому что их поведение легче понять, используя 2 -иреобразование, которое мы рассмотрели в предыдущей главе.
Первый тип фильтра, который мы представляем вам, называется фильтром на
основе частотной выборки. Эти фильтры принадлежат к классу КИХ-фильтров с
линейной ФЧХ, построенных на основе рекурсивной структуры (использующей
обратную связь). Материал раздела 7.1 новичкам может показаться сложным, но
он заслуживает изучения по двум причинам. Во-первых, эти фильтры могут быть
очень эффективными (с минимальным объемом вычислений) при реализации уз­
кополосных ФНЧ; и, во-вторых, понимание принципа их работы и проектирова­
ния будет способствовать более глубокому усвоению теории ЦОС, изложенной в
предыдущих разделах.
В разделе 7.2 обсуждаются интерполированные КИХ ФНЧ. В этих фильтрах, реа­
лизованных по нерекурсивной схеме (без обратных связей), для уменьшения объема
вычислений используется последовательное соединение нескольких КИХ-фильтров. Их реализация представляет собой новый подход, при котором умножители
в традиционной структуре на основе линии задержки с ответвлениями разделены
несколькими элементами задержки.
Эти типы фильтров похожи друг на друга тем, что они представляют собой филь­
трующие машины, из которых удалено все лишнее. Они буквально по капле выжи­
мают эффективность из гарантированно устойчивых фильтров с линейной ФЧХ.
Во многих применениях эти фильтры могут обеспечить очень существенное умень­
шение вычислительной сложности по сравнению с обычными КИХ-фильтрами,
рассчитанными методом Паркса-Маклеллана, которые мы рассматривали в главе 5.
286
Гпава 7. Специальные КИХ-фильтры нижних частот
7.1. Фильтры на основе частотной
выборки: утраченное искусство
В этом разделе обсуждается класс цифровых фильтров, которые называются
фильтрами на основе частотной выборки (Ф О ЧВ) и которые используются для
реализации КИХ-фильтров с линейной ФЧХ. Хотя фильтры на основе частотной
выборки были разработаны более 35 лет тому назад, распространение мощного
метода проектирования нерекурсивных КИХ-фильтров Паркса-Маклеллана от­
теснило их в тень. В 1970-е годы фильтры на основе частотной выборки настолько
утратили популярность, что в современных курсах лекций и учебниках по ЦОС
они либо упоминаются вскользь, либо не упоминаются вообще. Однако мы пока­
жем, что фильтры на основе частотной выборки остаются более эффективными с
вычислительной точки зрения, чем фильтры Паркса-Маклеллана, в определен­
ных приложениях, где требуемая ширина полосы пропускания составляет мень­
ше примерно одной пятой частоты дискретизации. Для специалиста-практика в
области ЦОС этот материал может послужить введением в структуру, характери­
стики и проектирование фильтров на основе частотной выборки, а также дать по­
дробное сравнение предлагаемой реализации высококачественных фильтров на
основе частотной выборки с их нерекурсивными КИХ эквивалентами. Кроме того,
мы дополним информацию о ФОЧВ практическими соображениями относитель­
но линейности ФЧХ, устойчивости фильтров, нормирования коэффициента пере­
дачи и вычислительной сложности, рассмотрев примеры их проектирования.
В основе ФОЧВ лежит тот факт, что традиционный нерекурсивный КИХфильтр с N ответвлениями, показанный на рисунке 7.1 (а), может быть реализо­
ван в виде гребенчатого фильтра, соединенного последовательно с банком из N
комплексных резонаторов, как показано на рисунке 7.1 (Ь). Мы называем фильтр
на рисунке 7.1 (Ь) обобщенным фильтром на основе частотной выборки (ФОЧВ),
и его эквивалентность нерекурсивному КИХ-фильтру была доказана в [1-3].
Хотя коэффициенты нерекурсивных КИХ-фильтров с N ответвлениями /*(&),
О < к < Ы - 1, обычно имеют действительные значения, в общем случае они могут
быть комплексными. Это начальное предположение, которое принимается при
сравнении двух фильтров на рисунке 7.1. Коэффициенты усиления Н(к), которые
представляют собой отсчеты ДПФ последовательности коэффициентов 1г(к), в
общем случае принимают комплексные значения вида \Н(к)\ е ^ к\
В основе проектирования ФОЧВ лежит определение требуемой АЧХ КИХфильтра в виде отсчетов Н(к) в частотной области, модули которых показаны на
рисунке 7.2 точками. Далее эти комплексные Н(к) используются как множители,
на которые умножаются выходные сигналы резонаторов ФОЧВ (см. блок-схе­
му). Если вы не встречались с этой структурой раньше, не пугайтесь ее внешней
сложности. Мы скоро разберемся со всеми ее частями и с тем, как эти части взаи­
модействуют.
Позже мы выведем математическое выражение для определения интерполи­
рованной (истинной) АЧХ ФОЧВ \Н(е№)\, которая показана сплошной линией
на рисунке 7.2. На этом рисунке по оси абсцисс отложена круговая частота а> в
диапазоне от 0 до 2л радиан, нормированная относительно л радиан, что соответ­
ствует диапазону частот 0 до / 5, где / 5 —частота дискретизации в Гц.
7.1. Фильтры на основе частотной выборки: утраченное искусство
287
(а)
Резонаторы
Н(Л/-1)/Л/
(Ь)
Рис. 7 .1 .
КИХ-фильтры: (а) нерекурсивный с N ответвлениями; (Ь) эквивалентный
фильтр на основе частотной выборки из N секций
Частота
Рис. 7 .2 .
Определение требуемой частотной характеристики с помощью частот­
ной выборки
Чтобы избежать путаницы, мы напоминаем читателю, что существует попу­
лярный метод проектирования нерекурсивных КИХ-фильтров, известный как
метод проектирования по дискретизированной частотной характеристике, описан­
ный в литературе по ЦОС. Проектирование этим методом начинается (подобно
проектированию ФОЧВ) с определения отсчетов требуемой АЧХ #(&), затем вы­
полняется ОДПФ этих отсчетов с целью получить отсчеты импульсной характери­
стики /?(&), используемые в качестве коэффициентов в структуре нерекурсивных
КИХ-фильтров на рисунке 7.1 (а). В описываемом методе проектирования ФОЧВ
288
Гпава 7. Специальные КИХ-фильтры нижних частот
отсчеты требуемой АЧХ Н(к) являются коэффициентами структуры ФОЧВ, при­
веденной на рисунке 7.1 (Ь), которую обычно называют реализацией КИХ-фильтра на основе частотной выборки.
Хотя ФОЧВ сложнее, чем нерекурсивные КИХ-фильтры, они заслуживают
изучения, т. к. во многих ситуациях, когда необходима узкополосная фильтрация,
они могут обеспечить реализацию КИХ-фильтров с линейной ФЧХ, требующую
значительно меньше операций, чем нерекурсивные КИХ-фильтры с N ответвле­
ниями. Уменьшение количества операций происходит благодаря тому, что, в то
время как в реализации нерекурсивных КИХ-фильтров используются все коэффи­
циенты /г(к), большинство отсчетов Н(к), соответствующие полосе задерживания,
принимают нулевое значение и не требуют реализации умножителя. Чтобы понять
принцип работы и преимущества ФОЧВ, мы начнем с рассмотрения поведения
гребенчатого фильтра, а затем рассмотрим характеристики отдельного цифрово­
го резонатора.
7 .1 .1 . Гребенчатый фильтр и комплексный цифровой
резонатор
Одна секция комплексного ФОЧВ представляет собой гребенчатый фильтр,
последовательно с которым включен комплексный цифровой резрнатор, как по­
казано на рисунке 7.3.
Умножитель на коэффициент 1/Ы, следующий за резонатором на рисунке 7.1 (Ь),
для простоты опущен. (Влияние этого коэффициента мы рассмотрим позже.)
Чтобы понять работу отдельной секции ФОЧВ, мы рассмотрим сначала характе­
ристики нерекурсивного гребенчатого фильтра, разностное уравнение которого
имеет вид
у(п) = х(п) - х(п-Ы ) ,
(7-1)
т. е. выход этого фильтра равен разности входной последовательности и ее же, но за­
держанной на N отсчетов. Передаточная функция гребенчатого фильтра имеет вид
Нсоть(?) ~ У(г)/Х(г) - 1 - г~ "
Г реб ен ча ты й
ф и л ьтр
-1
Рис. 7 .3 .
(7-2)
Ко м пл ексны й
р е зо н а то р
е'“г
Одна секция комплексного ФОЧВ
Частотная характеристика гребенчатого фильтра,, вывод которой вы можете
найти в разделе 1 приложения Є, описывается выражением
Нсоть(е^ ) = е-і(шМ~ ^/2 2 зіп((оМ/2)
(7-3)
289
7.1. Фильтры на основе частотной выборки: утраченное искусство
при этом АЧХ выглядит как \НсотЬ(е ^ )\ = 2\зт(о)Ы/2)\, имея максимальное значе­
ние 2. Полезно будет рассмотреть импульсную характеристику гребенчатого фи­
льтра и его АЧХ, приведенные на рисунке 7.4 для N = 8. Вид АЧХ ясно
показывает, почему этот фильтр называется гребенчатым.
Соотношение (7-2) объясняет ключевую особенность гребенчатого фильтра:
его передаточная функция имеет N нулей, распределенных равномерно по еди­
ничной окружности в 2 -плоскости, как показано на рисунке 7.4 (с). Каждый из
этих нулей, расположенный в точке г(к) = е
где к = 0,1,2,..., М - 1, соответст­
вует нулю АЧХ на рисунке 7.4 (Ь), где нормированная частота меняется от - л до
+л радиан. Эти значения г(к) представляют собой N корней уравнения, которое
мы получаем, приравняв (7-2) единице: г(к )^ = (е!2лк/М)М = / МЬ1 можем пока­
зать АЧХ (в линейном масштабе) над 2 -плоскостью в виде трехмерного графика,
приведенного на рисунке 7.5, где мы видим пересечение поверхности |ЯС0Ш^(г)| с
цилиндром, в основании которого лежит единичная окружность. Разрезав ци­
линдр по образующей, проходящей через точку 2 = -1, и выпрямив его поверх­
ность, мы получим график, приведенный на рисунке 7.4 (Ь).
Наша цель —построить ФОЧВ, соединив последовательно гребенчатый фильтр
и цифровой резонатор, полюс передаточной функции которого совпадает с одним
из нулей гребенчатого фильтра, в результате чего получается полосовой фильтр с
линейной ФЧХ. Имея это ввиду, рассмотрим характеристики цифрового резона­
тора, показанного на рисунке 7.3.
Во временной области комплексный резонатор описывается разностным урав­
нением
(7-4)
у(п) = ь(п) + еішгу (п -1 ) ,
где аргумент шг - л < шх< л , определяет резонансную частоту резонатора. Мы по­
кажем это, рассмотрев передаточную функцию резонатора
(7-5)
НгеІ 2 ) = У(2)/У(2) = 1/(1 - <?>г 2-1)
и его комплексную импульсную характеристику для шТ= л / 4 на рисунке 7.6.
Импульсная
характеристика
г-плоскость
АЧХ
о
о.5;
О
Г
тС
кгс оЛ
о
-0.5 і
-1
-1
•
о
5'
10
Время
(а)
Рис. 7 .4 .
15
Частота
-1
0
1
Действительная часть
(Ь)
(с)
0
0.5
Характеристики гребенчатого фильтра при N = 8
290
Глава 1. Специальные КИХ-фильтры нижних частот
соответствует нулевой частоте
Рис. 7 .5 .
АЧХ гребенчатого фильтра при N=8 над г-плоскостью
Импульсная характеристика резонатора с сот= ж/4 предста--------------------- плексную синусоиду, действительная часть которой (косинусоида) изображена на
рисунке 7.7 (а), и длительность ее не ограничена. (Мнимая часть импульсной ха­
рактеристики, как мы и ожидали, является синусоидальной последовательно­
стью.) АЧХ в этом случае является очень узкой, с центром на частоте сог Передаточ­
ная функция резонатора Нге$(г) имеет единственный ноль в точке г = 0, но нас
больше интересует его полюс в точке на единичной окружности, аргумент кото­
рого равен а>Т, как показано на рисунке 7-7(с). Мы можем представлять себе резо­
натор как БИХ-фильтр, который условно устойчив, потому что его полюс не
находится ни внутри, ни снаружи единичного круга.
Импульсная характеристика
15
Время 30
Действительная часть
Рис. 7 .6 .
Импульсная характеристика одного цифрового комплексного резонато­
ра с шг = п/4
291
7.1. Фильтры на основе частотной выборки: утраченное искусство
Импульсная характеристика
(действительная)
АЧХ
г-плоскость
и
0.5
ч
х
0
3X
-0.5
-1
-1
0
10
20
Время
(а)
Рис. 7 .7 .
30
-30
-1
-0.5
О *0.5
Частота Ч
-1
0
1
Действительная часть
(Ь)
(с)
Характеристики цифрового комплексного резонатора при сог = л/4
Теперь проанализируем одну секцию ФОЧВ, показанную на рисунке 7.3. Ее
передаточная функция представляет собой произведение трех сомножителей:
Я(2) = НсотЬ(2)Нге5(2)Н(к) = (1 - 2-*)Щ к)/(1 - Є^г 2-1) .
(7-6)
Если мы примем резонансную частоту сотравной 2лІг/Л/, где к = 0, 1,2,..., N -1,
то полюс передаточной функции наложится на ее ноль, и мы будем иметь переда­
точную функцию вида
Н $$(2) = (1 - 2~М) Н ( к ) / ( 1 - е]2лк/М2-1) ,
(7-7)
где нижний индекс "55" обозначает ФОЧВ с одной секцией. Разобраться в этом
односекционном ФОЧВ мы можем, рассмотрев его показанные на рисунке 7.8
временные и частотные характеристики при N = 32, ^ = 2 и Н(2) = 1.
Рисунок 7.8 содержит много информации. Мы видим, что комплексная импуль­
сная характеристика ФОЧВ представляет собой усеченную комплексную синусо­
иду, действительная часть которой показана на рисунке 7.8 (а). Положительный
импульс, полученный от гребенчатого фильтра, запускает колебания резонатора
в нулевой момент времени. Затем в нужный момент, а именно через N = 32 отсче­
та, что составляет к = 2 периода синусоиды, отрицательный импульс на выходе
гребенчатого фильтра гасит колебания резонатора. АЧХ, которая является преоб­
разованием Фурье ограниченной синусоидальной импульсной характеристики,
имеет форму функции 8Іп(л:)/л:. На карте нулей и полюсов (рисунок 7.8 (с)) вид­
но, что полюс резонатора попадает точно на ноль гребенчатого фильтра к =2, ле­
жащий на единичной окружности, устраняя ноль частотной характеристики на
частоте 2 лк /К = л /8 . (Вспомним, что нормированная угловая частота 2 л к /К ради­
ан соответствует частоте к/5//V, где / 5 —частота дискретизации в Гц. Следователь­
но, фильтр на рисунке 7.8 имеет резонансную частоту / 5/1 6 Гц.)
Мы можем определить интерполированную частотную характеристику ФОЧВ,
вычислив Н35( 2 ) на единичной окружности. Подстановка
вместо г в Н55(г) в
(7-7), как подробно описано в разделе 2 приложения Є, дает частотную характе­
ристику вида
Н 8з(е]а)) = Н 55(2) \2=е]ш =
= е-мм-1)/2 е-]пк/м # (£ ) ът(<аК/2)/*\ф>/2 - лк /Щ .
(7-8)
292
Гпава 7. Специальные КИХ-фильтры нижних частот
Импульсная характеристика
(действительная)
1%
і•
0.5; 1
0-
О
-5
г-плоскость
АЧХ
"1
о
03
т
-10
к03 Оп
5
X
-15
-20
-0.5 Г
о
о
о
о
о
о
о
о
-25
-1
О
10
20
Время
(а)
Рис. 7 .8 .
30
-30
-1
іЛ
іЛі.... __ .
-0.5
О у'
Частота
к/8°о
о
о
о
° 0ооо°0
0.5
1
2 я Ш = я/8
-1
0
1
Действительная часть
(Ь)
(с)
Характеристики односекционного комплексногоФОЧВ при Ы= 32,к = 2\л
Н(2) = 1
Вычисление \Н55(е)ш)\ в диапазоне частот - л < ( о < п дает кривую, показанную
на рисунке 7.8 (Ь). Наш односекционный ФОЧВ имеет линейную ФЧХ, т. к. член
е-]пк/ы в (7-8) дает постоянный сдвиг фаз, определяемый констангами и к, фа­
зовый угол Н (к) фиксирован, а фаза члена
представляет собой линей­
ную функцию частоты ш. Как показано в разделе 2 приложения в , максимум АЧХ
односекционного комплексного ФОЧВ равен N при \Н(к)\=1. Это продемонстри­
ровано на рисунке 7.9.
Рис. 7 .9 .
АЧХ односекционного комплексного ФОЧВ при N=32 и к=2 надг-плоскостью
7 .1 .2 . Многосекционные комплексные ФОЧВ
Чтобы построить практически полезный ФОЧВ, мы используем несколько
секций резонаторов, как показано на рисунке 7.1 (Ь), для реализации полосового
КИХ-фильтра. Построим, например, трехсекционный комплексный полосовой
ФОЧВ, задав N = 32 и взяв ненулевые значения отсчетов Н(2), Н(3) и Н(4). Тре­
буемая частотная характеристика показана на рисунке 7.10 (а), структура полосо­
вого фильтра приведена на рисунке 7.10 (Ь).
7. 1. Фильтры на основе частотной выборки: утраченное искусство
293
Отсчеты \Н(к)\ полосового ФОЧВ
Частота
Рис. 7 .1 0 . Трехсекционный комплексный ФОЧВ с Л/ = 32: (а) требуемая АЧХ; (Ь) реа­
лизация
Анализируя этот случай, вспомним, что передаточная функция параллельно со­
единенных фильтров равна сумме отдельных передаточных функций. Итак, пере­
даточная функция Л^-секционного комплексного ФОЧВ с учетом (7-7) имеет вид
N-1
Н ,х( 2) - ( 1 - г - " ) 2 н ( к ) / ( 1 ,
( 7 -9)
к=0
где нижний индекс "сріх" обозначает комплексный многосекционный ФОЧВ.
Задержимся на минуту, чтобы осмыслить выражение (7-9). Первый сомножи­
тель в правой части представляет гребенчатый фильтр, второй —сумму дробных
членов. Суммирование отношений (каждое из которых представляет резонатор)
означает, что эти резонаторы включены параллельно. Вспомним раздел 6.8.1, где
говорилось, что передаточная функция параллельно соединенных фильтров рав­
на сумме передаточных функций фильтров. Очень важно разобраться в выраже­
нии (7-9), потому что ниже мы встретим много подобных выражений.
Итак, гребенчатый фильтр возбуждает банк резонаторов. Для комплексного
ФОЧВ с Ы = 32 мы могли бы иметь до 32 резонаторов, но на практике для узко­
полосных фильтров их требуется всего несколько. На рисунке 7.10 мы исполь­
294
Гпава 7. Специальные КИХ-фильтры нижних частот
зовали только три резонатора. В этом и состоит красота ФОЧВ: большинство
значений множителей H (k) в (7-9) равны нулю, и соответствующие резонаторы
не реализуются, что позволяет сделать ФОЧВ эффективным с вычислительной
точки зрения.
Выполняя те же шаги, что и в разделе 2 приложения G, мы можем записать час­
тотную характеристику многосекционного ФОЧВ, такого как на рисунке 7.10, в виде
N-1
Нср1х(еП = e~iUJ(N~1}/2 '^ lH(k)e~jJlk/ Nsïn((oN/2)/sin(ü)/2 - лк / N ) .
k=0
(7-10)
Разработчик многосекционного комплексного ФОЧВ может получить любую
требуемую ФЧХ, задав фазовые углы ф(к) всех ненулевых комплексных коэффи­
циентов передачи H (k) = \H(k)\ e w ) . Однако чтобы построить комплексный
ФОЧВ с линейной ФЧХ, разработчик должен: (а) Задать ф(к) как линейную
функцию частоты и (Ь) определить последовательность фаз ф(к) так, чтобы ее
наклон был равен - ( N - 1 ) /2 . Второе условие требует, чтобы ФОЧВ имел поло­
жительную задержку по времени, равную (N - 1 ) /2 отсчетам, как и нерекурсив­
ный КИХ-фильтр с N ответвлениями, показанный на рисунке 7.1 (а). Этим
условиям удовлетворяют следующие выражения для ф(к) при четном N.
ф(к) = k (2 jz /N )[ -(N -1)/2] = - k jz(N -1 )/N , к = 0 ,1 ,2 ,..., ( N / 2 ) - 1 .
(7-11)
ф (Щ 2 )-0 .
(7-11)
ф ( к ) - ( N - k ) ( 2 n / N ) ( N - 1 ) / 2 = j i ( N - k ) ( N - 1 ) / N , k = N / 2 + 1,... , N - 1 .
(7-11")
При нечетном Означения фаз H(k) для обеспечения линейности ФЧХ должны быть
ф(к) = k(2 n /N )[-(N -1 )/2 ] = - к л( N - 1 ) /N , к = 0 ,1 ,2 ,..., ( N - 1 ) /2 .
(7-12)
ф(к) = (N -k )(2 n /N )(N -1 )/2 = n ( N - k ) ( N - 1 ) /N , k = (N + 1 )/2 ,..., N - 1 . (7-12')
Два примера последовательностей ф(к) с линейной ФЧХ для N = 19 n N = 20
показаны на рисунке 7.11. Значение ф(0) = 0 устанавливает нулевую фазу на час­
тоте 0 Гц, a 0(iV/2) = 0 на частоте f s /2 на рисунке 7.11 (Ь) обеспечивает симмет­
рию импульсной характеристики.
Присвоение соответствующих фаз ненулевым коэффициентам Н(к) — это, одна­
ко, только половина дела. Есть хорошая новость. Изучение частотной характеристи­
ки (7-10) показывает нам простой способ получения линейной ФЧХ на практике.
Подстановка \H(k)\
со значениями ф(к), определяемыми приведенным выше
выражением (7-11), вместо Н(к) в (7-10) дает выражение для частотной характери­
стики комплексного многосекционного ФОЧВ при четном Давида
Hcplx, lp(eJUJ) = e - M N~1)/2 sin(0)N / 2 ) х
(N/2)-1
x [ | H (N /2) | e~JJl/ 2/sin(a>/2 - ж/2) + ^ | H(k) \ ( - 1)k/sin((o/2 - rtk/N) k=0
N-1
- ^ Z \H ( k ) \( - 1 ) k/sm ((o /2 - л к /N )] ,
(7-13)
k=(N/2)+1
где нижний индекс "Ip" говорит о линейности ФЧХ.
7. 1. Фильтры на основе частотной выборки: утраченное искусство
Положительная
частота
Частота
(а)
Отрицательная
частота
(к)
Положительная
частота
295
Отрицательная
частота
Частота
(к)
(Ь)
Рис. 7 .1 1 . Линейность фазы Н(к) для односекционного ФОЧВ: (а) для N = 79;
(Ь) N = 20
Выражение (7-13) не такое сложное, каким кажется. Оно просто говорит о том,
что общая частотная характеристика ФОЧВ равна сумме 5т(лг)Д-подобных частот­
ных характеристик отдельных резонаторов. Первое слагаемое в квадратных скобках
представляет собой резонатор, центральная частота которого равна к = N /2 (/8 /2).
Первая сумма в квадратных скобках представляет резонаторы с положительны­
ми резонансными частотами, а вторая сумма —резонаторы с отрицательными ре­
зонансными частотами.
Множители ( - 7)^ в числителях (7-13) заслуживают нашего внимания, посколь­
ку они 1федставляют собой последовательность чередующихся положительных и
отрицательных элементов. Таким образом, частотная характеристика одной сек­
ции будет сдвинута по фазе на 180° относительно характеристик соседних резона­
торов. То есть выходные сигналы соседних односекционных ФОЧВ будут иметь
фиксированную разность фаз в л радиан в полосе пропускания, общей для обоих
фильтров, как показано на рисунке 7.12. (Появление множителей (-7 )^ в (7-13)
обосновано в разделе 3 приложения в .)
Эти множители (-7 )^ оказывают глубокое влияние, которое недостаточно
подчеркивается в литературе по ФОЧВ. Вместо того, чтобы задавать ненулевые
комплексные множители Н(к) с линейно нарастающей фазой <р(к), мы можем по­
строить многосекционный ФОЧВ, используя только модули \Н(к)\ и присваивая
этим действительным коэффициентам чередующиеся знаки. Кроме того, если все
ненулевые коэффициенты |#(&)| равны единице, нам не нужно выполнять умно­
жение, показанное на рисунке 7.10, как на рисунке 7.13 (а).
Единичные коэффициенты \Н(к)\ и чередующиеся знаки слагаемых позволяют
заменить комплексные умножения на рисунке 7.10 (Ь) сложениями и вычитания­
ми на рисунке 7.13 (а). Мы прибавляем выходные сигналы резонаторов с четны7
ми &и вычитаем выходные сигналы резонаторов с нечетными к. Рисунок 7.13 (Ь)
подтверждает, что мы получили линейную ФЧХ с разрывами в точках, в которых
АЧХ равна нулю, для многосекционного комплексного ФОЧВ.
296
Глава 7. Специальные КИХ-фильтры нижних частот
Передаточная функция упрощенного комплексного ФОЧВ с линейной ФЧХ
имеет вид
N-1
(1-Н)
Нср/х(2) = (.1-г~") ' £ ( - 1 ) к/(1 - еР*Ь/м2- 1 ) .
к=0
(В (7-14) мы не использовали индекс "1р", потому что здесь и далее все наши
комплексные ФОЧВ будут иметь линейную ФЧХ.)
.....
К
..
,—...... -
Разность фаз
.0
;
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Частота
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рис. 7 .1 2 . Сравнение АЧХ, ФЧХ и разности фаз секций ФОЧВ к=3 \лк = 4 при N = 32
Частота
(а)
(Ь)
Рис. 7 .1 3 . Упрощенный трехсекционный комплексный полосовой ФОЧВ с линей­
ной ФЧХ при N = 32: (а) реализация; (Ь) частотная характеристика
7. 1. Фильтры на основе частотной выборки: утраченное искусство
297
7 .1 .3 . Обеспечение устойчивости ФОЧВ
До сих пор мы обсуждали комплексные ФОЧВ с взаимным уничтожением ну­
лей и полюсов на единичной окружности. Однако на практике точное взаимное
уничтожение требует вычислений с неограниченной разрядностью. Ошибки
квантования коэффициентов ФОЧВ могут привести к тому, что полюсы фильтра
сместятся за пределы единичного круга. В результате фильтр получится неустой­
чивым, его импульсная характеристика будет иметь неограниченную длитель­
ность, чего следует избегать. (Это прекрасный пример фразы, подтвержденной
временем: «Теоретически, разницы между теорией и практикой нет. На практике
теория иногда не работает».) Даже если полюс сместился очень незначительно за
пределы единичного круга, шум округления со временем будет нарастать, иска­
жая выходные отсчеты фильтра. Мы предотвращаем это явление, слегка смещая
нули гребенчатого фильтра и полюсы резонаторов внутрь единичного круга, как
показано на рисунке 7.14 (а). Здесь нули и полюс расположены на окружности ра­
диуса г, при этом коэффициент затухания г лишь немного меньше 1.
Мы называем г коэффициентом затухания, потому что импульсная характери­
стика однокаскадного ФОЧВ превращается в затухающую синусоиду. Например,
действительная часть импульсной характеристики однокаскадного комплексного
ФОЧВ при N = 32, k = 2, Н(2) = 2 и г = 0.95 показана на рисунке 7.14 (Ь). Сравните
эту импульсную характеристику с изображенной на рисунке 7.8 (а). Структура
односекционного ФОЧВ с нулями и полюсами, лежащими внутри единичного
круга, показана на рисунке 7.14 (с).
Коэффициент гребенчатого фильтра равен —r N, потому что его новая переда­
точная функция имеет вид
НсотЬ, г< Г « - V(z)/X(z) - 1 - r * z -H
(7-15)
при этом N нулей гребенки лежат в точках zT<Д k) = reJ2jlfi/N, где k = 0,1,2,..., N - 1.
Эти значения zT<1(k) представляют собой N корней уравнения, полученного
приравниванием (7-15) к нулю, при этом zr<1(k)N = (rei2jlk/ N)N = r N. Передаточ­
ная функция резонатора, показанного на рисунке 7.14 (Ь), полюс которого имеет
модуль г и аргумент 2nk/N, имеет вид
Hres, т<1 (z) =
r e fr V N z -l) ,
(7-16)
что приводит нас к передаточной функции односекционного комплексного ФОЧВ
с гарантированной устойчивостью вида
Hgs,s.s(z^
Hcomb, г<l(^y^res, т<1
= ( 1 - r Nz~N)H (k)/(1 - rei2*k/ Nz~ 1),
(7-17>
реализация которой показана на рисунке 7.14 (с). Нижний индекс "gs,ss" обозна­
чает односекционный ФОЧВ с гарантированной устойчивостью. Передаточная
функция М-секционного комплексного ФОЧВ имеет вид
Hgw p fc« - С - r N z - N) ^ H ( k ) /( 1 - r e i W N 2-1) _
k=0
(7-18)
298
Гпава 7. Специальные КИХ-фильтры нижних частот
где нижний индекс
обозначает многосекционный комплексный ФОЧВ с
гарантированной устойчивостью. Частотная характеристика многосекционного
комплексного ФОЧВ с гарантированной устойчивостью (выведенная в разделе 3
приложения в ) определяется выражение