ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по курсу « Аналитическая геометрия и линейная алгебра » 1 курс, 2004 г. 1. Сложение матриц, умножение матрицы на число, свойства операций. 2. Произведение матриц, свойства. 3. Перестановки, инверсии, транспозиции. 4. Теорема о транспозиции. Четность перестановки. 5. Понятие подстановки. Четность подстановки. 6. Определитель n- го порядка: определение и свойства. 7. Разложение определителя по строке ( столбцу ). 8. Теорема Лапласа о разложении определителя по m строкам ( без док – ва ). Пример. 9. Теорема об определителе произведения матриц. 10. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. 11. Свойства обратных матриц. 12. Ранг матрицы, определение и свойства. 13. Теорема о базисном миноре, следствия. 14. Системы линейных уравнений ( ЛС ). Теорема Крамера. 15. Разрешимость ЛС. Теорема Кронеккера – Капелли. 16. Метод Гаусса решения ЛС. 17. Однородные системы линейных уравнений ( ЛОС ), свойства решений ЛОС. 18. Фундаментальная система решений ЛОС ( ФСР ). Теорема о существовании ФСР. Структура общего решения ЛОС. 19. Неоднородные линейные системы ( ЛНС ). Структура общего решения ЛНС. 20. Аксиоматика линейного пространства ( ЛП ), примеры, свойства ЛП. 21. Подпространства, свойства. Сумма и пересечение подпространств. Линейная оболочка множества векторов. 22. Линейная зависимость векторов в ЛП, свойства. Основная теорема о линейной зависимости. 23. Базис и координаты в ЛП, свойства, примеры. Размерность ЛП 24. Замена базиса. Формулы перехода. 25. Изоморфизм ЛП. Теорема об изоморфизме. 26. Прямая сумма и прямое дополнение. Теорема о прямом дополнении. Теорема о размерности суммы подпространств. 27. Скалярное произведение векторов: определение и свойства. Евклидово пространство. Примеры. 28. Ортогональность векторов. Теорема о связи ортогональности и линейной зависимости. 29. Теорема о существовании ортогонального базиса ( ОНБ ). 30. Матрица Грама, свойства. 31. Линейные операторы ( ЛО ) в ЛП: определение, свойства, примеры. Ядро и образ ЛО. 32. ЛО в конечномерных ЛП. Матрица ЛО, ранг ЛО, замена базиса. 33. Теорема о размерности ядра и образа ЛО. 34. Действия над ЛО. Обратный оператор. Теорема об обратном операторе. 35. Теорема о ранге произведения ЛО. 36. Собственные числа ( СЧ ) и собственные вектора ( СВ ) ЛО, характеристическое уравнение, свойства СЧ и СВ ЛО. 37. Самосопряженные операторы, критерий самосопряженности. 38. Свойства СЧ и СВ самосопряженного оператора. 39. Ортогональные операторы, свойства, ортогональная матрица. 40. Линейная, билинейная и квадратичная формы ( КФ ), их вид в конечномерных ЛП. Классификация КФ. 41. Теорема о приведении КФ к каноническому виду ортогональным преобразованием. 42. Методы Лагранжа и Якоби приведения КФ к каноническому виду. 43. Ранг и индекс КФ. Закон инерции КФ. Теорема о классификации КФ. 44. Критерий Сильвестра знакоопределенности КФ. 45. Приведение двух КФ к каноническому виду. 46. Цилиндрические поверхности. 47. Эллипсоид. 48. Конические поверхности. 49. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. 50. Эллиптический и гиперболический параболоиды. 51. Прямолинейные образующие поверхностей 2- го порядка. 52. Классификация поверхностей 2-го порядка ПРОГРАММА – МИНИМУМ 1. Действия над матрицами: сумма матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц. 2. Определитель: определение и свойства. Разложение определителя по строке ( столбцу ). 3. Обратная матрица: определение и вычисление. 4. Ранг матрицы: определение и свойства. 5. Системы линейных уравнений. Теоремы Крамера и Кронеккера – Капелли. 6. Метод Гаусса решения ЛС. 7. Свойства решений ЛОС. Фундаментальная система решений ЛОС. 8. Структура общего решения однородных и неоднородных ЛС. 9. Определение линейного пространства, примеры. 10. Линейная зависимость векторов в ЛП. 11. Подпространства, базис, размерность, координаты. 12. Скалярное произведение, евклидово пространство. 13. Ортогональность, связь ортогональности и линейной зависимости. 14. Линейные операторы, свойства, примеры. 15. Собственные числа и собственные вектора ЛО, свойства. 16. Самосопряженный оператор, свойства СЧ и СВ самосопряженного оператора. 17. Линейная, билинейная и квадратичная формы, их вид в конечномерном ЛП. 18. Классификация КФ. Приведение КФ к каноническому виду ортогональным преобразованием, методами Лагранжа и Якоби. 19. Критерий Сильвестра.
