Шпора №4 - Tipovik.by

1
1.
Пассивные элементы электрической цепи:
Резистивное сопротивление – элемент, рассеивающий энергию в
виде тепла. Приближенно его на практике заменяет
сопротивление.
I
U
R
[R]=1 Ом
Проводимость – величина, обратная сопротивлению.
G=1/R – на постоянном токе (на переменном токе – g)
[G]=1 См («сименс»)
Последовательное соединение:
Rэкв   Ri
Параллельное соединение:
Rэкв 
1
 Gi
Индуктивность – идеализированный элемент, накапливающий
энергию магнитного поля. Приближенно заменяется катушкой
индуктивности.
di
UL  L 
dt
[L]=1Гн («генри»)
На постоянном токе, если R=0, то получим короткое замыкание.
Последовательное соединение:
Lэкв   Li
Параллельное соединение:
2
Lэкв 
1
1
L
i
Емкость – идеализированный элемент цепи, накапливающий
энергию электрического поля. Приближенно заменяется
конденсатором.
dU c
I C
dt
[C]=1Ф
Последовательное соединение:
C экв 
Параллельное соединение:
1
1
C
i
Cэкв  Ci
3
2.
Активные элементы электрической цепи.
Источники напряжения и тока.
Возникновение в цепи тока и появление напряжения
связаны с введением в цепь электрической энергии. Устройства,
вводящие в цепь энергию, называют генераторами.
Идеальный источник напряжения. Обозначается Е, е (t).
Измеряется
в
вольтах.
Главное
свойство:
внутреннее
сопротивление = 0, соответствующее режиму короткого
замыкания
Напряжение на нём не зависит от тока, проходящего через
источник. Внутри идеального источника напряжения пассивные
сопротивление, индуктивность и емкость отсутствуют и,
следовательно, прохождение тока не вызывает падения
напряжения. Вольм-амперная характеристика его на рис.1
Реальный источник напряжения.
В нем присутствует
сопротивление, короторое называют внутренним сопротивлением
генератора (r0). По этой причине его характеристики отличаются
от идеального (рис.2). Вольм-амеперная характеристика
хорошего источника напряжения изображена на рис.4, плохого
источника на рис.3.
4
Источник тока. Представляет собой активный элемент, ток
которого не зависит от напряжения на его зажимах. Внутренне
сопротивление идеального источника тока равно беконечности.
Реальный источник тока.
Его сопротивление не равно
бесконечности.
Вольт-амперная
характеристика
хорошего
реального источника тока:
При последовательном включенииисточников напряжения
Еэ=∑Ei, Rэ=∑Ri. Параллельно можно включать источники только
с одинаковым напряжением, а это не имеет смысла. При
параллельном включении источников тока Iэ=∑Ii, Rэ=∑Ri;
Последовательное возможно только с одинаковой силой тока.
5
3. Эквивалентное преобразование пассивного соединение
“звезда” в “треугольник”
Известно:
R1 
R31  R23
R23  R12
R12  R31
R

R

3
2
R12  R23  R31
R12  R23  R31 ;
R12  R23  R31 ;
Разделим R3 на R1 и R3 на R2 :
R
R
3
R

1
R
23
12
R
R
3
2
R

R
31
12
Выражая R23 и R31 через R12 и подставив в R1 получим:
R12  R3
R2
R1 
R R
R R
R12  3 12  3 12
R2
R1
R12  R3
R R
 R1  3 1  R3
R2
R2
R12 
;
R12  R3
R2
R1 
R
R
1 3  3
R2 R1
;
Домножим получившееся выражение на R2:
R12  R3  R1  R2  R3  R1  R3  R2
Разделим на R3:
R R
R
12

1
R
2
R R
R R
1
2
3
R R
R
31
 R  R 
1
3
3
R
2
1
R
23
 R  R 
2
3
2
R
1
3
6
Сопротивление стороны треугольника равна
сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения
их деленного на сопротивления третьего луча
7
Вопрос №4
Метод эквивалентного преобразования пассивного
соединения «треугольник» в соединение «звезда».
Суть метода заключается в том, что методом преобразования
уменьшают число ветвей и узлов в электрической цепи, а,
значит, количество уравнений описывающих данную цепь.
Преобразования должны быть эквивалентными – это означает,
что токи и их направления в частях схемы, не затронутых
преобразованиями, остаются неизменными.
Для “звезды”
:
Для “треугольника”:
U31 = I31R31
U12 = I1R1 - I2R2
U12 = I12R12
U23 = I23R23
I12R12 +I23R23 +I31R31 =0
По первому закону Кирхгофа:
-I12 +I23-I2 =0 => I23 = I2+ I12
-I1-I31+I12 =0
=> I31 = I12- I1
По второму закону Кирхгофа:
I12R12 + I23R23 + I31R31 = 0
На основании первого закона выполним замену:
I12R12 + I2R23 + I12R23 + I12R31 - I1R31=0
Находим I12 :
I 12 
I 1  R31
I 2  R23

R12  R23  R31 R12  R23  R31
I 12  R12 
I 1  R31  R12
I R R
 2 23 12
R12  R23  R31 R12  R23  R31
8
I12  R12  U12  I1  R1  I 2  R2
Анализируя последнее и предпоследнее выражения,
легко заметить, что R1 и R2 соответственно равны:
R1=R31R12/(R12+R23+R31)
R2=R23R12/(R12+R23+R31)
Аналогично находится и R3 :
R3=R31R23/(R12+R23+R31)
9
5. Законы Кирхгофа. Расчет ЭЦ по закона Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов в узле
равна нулю:
I
i
0
Где i - число ветвей, сходящихся в данном узле.
Т.е., суммирование распространяется на токи в ветвях, которые
сходятся в рассматриваемом узле.
Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа,
определяется формулой:
Nуp = Nу – 1, где Nу – число узлов в рассматриваемой цепи.
Знаки токов в уравнении берутся с учетом выбранного
положительного направления. Знаки у токов одинаковы, если
токи одинаково ориентированы относительно данного узла.
Тогда уравнение по первому закону Кирхгофа запишется так:
I1 – I2 + I3 – I4 = 0.
Этот закон выражает, что в узле электрический заряд не
накапливается и не расходуется.
Второй закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма Э.Д.С. в любом
замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме падений
напряжения на элементах этого контура:
U   E
 I  R   E , где i – номер элемента(сопротивления или
источника напряжения) в рассматриваемом контуре.
i
i
i
i
i
Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
определяется формулой:
Nуp = Nb – Nу + 1 – Nэ.д.с., где Nb – число ветвей электрической
цепи, Nу - число узлов, Nэ.д.с. - число идеальных источников
э.д.с.
10
Для того, чтобы правильно записать второй закон Кирхгофа для
заданного контура, следует выполнять следующие правила:
1.
произвольно выбрать направление обхода контура,
например, по часовой стрелке (рис.18).
2.
э.д.с. и падения напряжения, которые совпадают по
направлению с выбранным направлением обхода, записываются
в выражении со знаком «+»; если э.д.с. и падения напряжения не
совпадают с направлением обхода контура, то перед ними
ставится знак «-».
Например, для контура рисунке, второй закон Кирхгофа
запишется следующим образом:
U1 – U2 + U3 = E1 – E3 – E4
Уравнение (20) можно переписать в виде:
 (Ui – Ei) = 0, где (U – E) – напряжение на ветви.
Следовательно, второй закон Кирхгофа можно сформулировать
следующим образом:
Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом
контуре равна нулю.
Задача №1.
Для схемы рис.2 составить уравнения по законам Кирхгофа и
определить неизвестные точки.
Дано: I1 = 20мA; I2 = 10мA
R1 = 5kОм, R3 = 4kОм, R4 = 6kОм, R5 = 2kОм, R6 = 4kОм.
11
Решение:
Число узловых уравнений – 3, число контурных уравнений – 1.
В данной цепи известны токи ветвей I1 и I2. Неизвестные токи I3,
I4, I5, I6.
 J1  I 3  I 5  0


J 2  I3  I 4  0


J1  I 4  I 6  0

 I 3 R3  I 4 R4  I 6 R6  I 5 R5  0
Решая систему, получаем: I3 = 13,75 мA; I4 = -3,75мA; I5 =
6,25мA; I6 = 16,25мA.
12
6.
Метод контурных токов.
Позволяет уменьшить количество уравнений
описывающих состояние электрической цепи.
N kt = NB-(NУ-1)- NI
Для каждого источника тока нужно выбрать свой
контур. Направление контура выбирается по направлению
источника тока. В одном контуре может быть только один
источник тока если источник тока включён в контур, то
контурный тока равен источнику тока. Через один источник тока
нельзя проводить два и более контуров.
1)Нужно определить количество контурных токов, которые нужно
изобразить.NKT= Nв – (Nу - 1)
2) Количество уравнений которых будем считать .NKT= Nв – (Nу
- 1) - Ni
I1 R1 + I4R4 + I6R6 = E1 + E6
I2R2 - I4R4 + I5R5 = -E2
I3R3 - I6R6 - I5R5 = E3 - E6
Из узла 2:
I4 = I1 – I2; I5 = I2 – I3; I6 = I1 - I3;
13
I1 R1 + I1 R4 - I2 R4 - I3 R6 + I1 R6 = E1 + E6
I2 R2 + I2 R5 - I3R5 - I1R4 + I2 R4 = -E2
-I2 R5 + I3 R5 + I3R3 + I3R6 - I1 R6 = E3 - E6
I1 (R1 + R4 + R6 ) - I2R4 - I3 R6 = E1 + E6
- I1 R4 + I2(R2 + R4 +R5 ) - I3 R5
= -E2
- I1R6 - I2 R5 + I3(R5 + R3 + R6 ) = E3 - E6
В полученной системе уравнений обозначим токи I1, I2, I3 как
I1k,I2k, I3k
(I k- контурный ток)
R1 + R4 + R6 = R11 – сопротивление контура
R2 + R4 + R5 = R22
R3 + R5 + R6 = R33
R12 = -R4 – общее сопротивление для контуров 1 и 2
R13 = -R6 – общее сопротивление для контуров 1 и 3
R21 = - R4,
R23 = - R54,
R31 = - R6,
R32 = - R5
E1 + E6 = обобщённый источник контура 1
-E2 = E22
E3 - E6 = E33
Получим систему уравнений
I1k R11 + I2 k R12 + I3k R13 + ... I n k R1n = E11
I1k R21 + I2 k R22 + I3k R23 + ... I n k R2n = E22
.
.
I1k Rn1 + I2 k Rn2 + I3k Rn3 + ... I n k Rn n = Enn
Определили I1k,I2k, I3k : I1k = I1; I2k = I2; I3k = I3;
Определили токи в ветвях: I4 = I1k - I2k ; I5 = I2k – I3k; I6 = I1k
– I3k
14
Пример расчета привести для данной схемы
15
7. Метод узловых потенциалов. Пример расчета
электрических цепей на основе МУП.
Метод узловых потенциалов заключается в том, что на основании
первого закона Кирхгофа определяются напряжения в узлах
электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти
искомые напряжения называются узловыми напряжениями,
причем положительное направление их указывается стрелкой от
рассматриваемого узла к базисному. Зная узловые напряжения в
электрической цепи и сопротивление данной ветви, можно найти
токи в ветвях.
Количество уравнений равно Nун = У – 1 – E
У – количествой узлов
E - количество источников напряжений включенных
между узлами без сопротивлений
Для заданной электрической цепи с тремя узлами могут быть
записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а именно:
для узла 1 : I1 – I2 – I3 = 0
(1)
для узла 2 : I3 – I4 – I5 = 0
Выражаем токи через напряжения, источники напряжения и
сопротивления цепи:
I1 = ( E1 – U13 ) / R1; I2 = U13 / R2; I3 = U12 / R3;
I4 = ( E2 + U23 ) / R4; I5 = U23 / R5; U12 = U13 – U23;
Подставляем (2) в (1) и получаем систему:
(2)
16
E1/R1 - U13/R1 - U13/R2 - U13/R3 + U23/R3 = 0
(3)
U13/R3 - U23/R3 - E2/R4 - U23/R4 - U23/R5 = 0
Преобразовываем (3) и получаем систему:
U13(1/R1+1/R2+1/R3) - U23/R3 = E1/R1;
(4)
-U13/R3+U23(1/R3+1/R4+1/R5) = -E2/R4;
Далее:
G11=1/R1+1/R2+1/R3; - собственная проводимость узла 1
G12 = 1/R3 ; - взаимная проводимость узлов 1 и 2
J11=E1/R1; (5) - обобщенный источник тока узла 1
G21=1/R3; G22 = 1/R3+1/R4+1/R5, J22= - E2/R4;
Подставляем (5) в (4) и получаем систему:
U13*G11 - U23*G12 = J11;
(6)
-U13*G21 + U23*G22 = J22;
Решая систему (6), можем легко найти U13 и U23. Принимая
потенциал базисного узла за нуль; зная значения напряжений
U13 и U23, и используя (2) можем найти токи в цепи.
В общем случае, если электрическая схема содержит q узлов, то
получается система из q-1 уравнений:
U10*G11 – U20*G12 - … - U(q-1)0*G1(q-1) = J11;
-U10*G21 + U20*G22 - … - U(q-1)0*G2(q-1) = J22;
.
.
.
.
-U10*G(q-1)1 – U20*G(q-1)2 - … + U(q-1)0*G(q-1)(q-1) = J(q-1)(q1);
В качестве примера расчета можно
использовать схему, которая была использована в
доказательстве метода.
17
8. Потенциальная или топографическая
диаграмма(Д)
Потенциальная диаграмма – это графическое
оборажение второго закона Кирхгофа (Сумма падений
напряжений по замкнутому контуру равна 0).
На оси Х окладывается сопротивление определенного
участка цепи, а на оси Y падение напряжения на нем.
Пример построения векторной диаграммы для
следующей схемы:
Будем считать, что все токи в схеме больше 0. Потоенциал узала
1 примем равным 0.
U12 = I1 * R1
U23 = - E1
U34 = E3
U45 = - I3 * R3
U56 = - E5
U61 = I5 * R5
18
9. Метод эквивалентного генератора напряжения.
Алгоритм решения задач на основе настоящего метода.
Пример.
С помощью теоремы об эквивалентном источнике
сложная эл. схема с произвольным числом источников энергии
приводится к схеме с одним источником и одним
сопротивлением.
Теорема Гельмгольца. Ток в любой ветви mn
линейной эл. цепи не изменится, если эл. цепь, к которой
подключена данная ветвь, заменится эквивалентным источником
напряжения, который должен быть
равным напряжению на выводах
разомкнутой ветви mn, а внутреннее
сопротивление источника должно
равняться входному сопротивлению пассивной эл. цепи со
стороны m и n при разомкнутой ветви mn.
Имеем ту же цепь, в которой источники напряжения
заменены перемычками, а ветви с источниками тока разорваны.
19
Разбиваем на 2 схемы по методу наложения
В первой схеме (там где А) ток будет равен 0, во втрой схеме ток
будет равен
I=Umnxx/(Rг+R); (*)
Алгоритм решения МЭН:
1)
В схеме определить Rген (источники удаляются и
определяется сопротивление)
2)
Определяется напряжение холостого хода
3)
По формуле (*) определяется ток
Пример:
найти ток I6.
1)Rг - ?
2)U12xx-?
U12xx=I4-E5+I5R5;
I4=I3+I1; I5=I1;
3) I6= U12xx(Rг+R6);
Rг=R4+R5;
20
10. Метод эквивалентного генератора тока. Алгоритм
решения задач на основе настоящего метода. Пример.
Теорема Нортона : ток в любой ветви mn линейной
электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к
которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным
источником тока. Ток источника должен быть равен току,
проходящему между m и n замкнутыми накоротко, а внутренняя
проводимость источника тока должна равняться входной,
пассивной в электрической цепи со стороны выводов m и n при
разомкнутой ветви mn. Алгоритм решения:
Uхх
m
Rг
m
R
Rг
R
I
n
n
U
U
хх
I
кз
R
I
г
ххкз
R R
г
1.
Находим Rг.
2.
Находим Iкзmn, для чего исследуемую ветвь
заменяем перемычкой (короткое замыкание).
3.
Окончательно получим:
I R
I
кз
г
R R
г
Пример решения задачи методом эквивалентного генератора
тока: Задача: найти ток I2.
21
R1
R3
m
I1
I2
R2
E3
n
1.
m
R3
Rг = R3
n
2.
R1 m R3
E
I
I1
n
кзmn
Iкз E3
R I
I
3.
Находим искомый ток:
2
г кзmn
R R
г
2
I 
1
3
R
3
22
11. Синусоидальный ток в последовательной r, L, C –
цепи. Закон Ома и Кирхгофа:
i(t )  I MAX  sin( w  t )
U(t) = Ur(t) + UL(t) + Uc(t) – второй закон Кирхгофа
Um*sin(ωt+ φ)=Im*r*sin(ωt)+w*L*Im*cos(ωt)(1/(wC))*Im*cos(ωt)=Im*(r*sin(ωt)+X*cos(ωt))
X=XL-Xc
Im*X*cos(ωt)
- реактивное напряжение U12
r*sin(ωt)+X*cos(ωt)=корень_квадратный(r2+x2)*sin(ωt+ φ)
φ=arctg(x/r)
т.е. Um*sin(ωt+ φ)=Im*корень_квадратный(r2+x2)*sin(ωt+ φ)
Отсюда: Um=Im*корень_квадратный(r2+x2)
Пусть корень_квадратный(r2+x2) – полное сопротивление
Um=Im*Z или U=I*Z – закон Ома
Особенности метода:
1)
U(t)=Um*sin(ωt+ ψ), тогда ток – i(t)=Im*sin(ωt+ ψ- φ)
2)
r=Z*cos(φ), x=Z*sin(φ)
если умножим на i(t) получим треугольник напряжений.
23
U – входное, Ua – активное, Up – реактивное.
3) Три режима:
3.1) x>0, xL>xc – цепь имеет активно-индуктивное характер. Ток
отстает от U на угол от 0 до π/2.
3.2) x<0, xL<xc – цепь имеет характер активно-емкостной. Ток
опережает U на угол от 0 до π/2.
3.3) x=0, xL=xc – фаза = 0, ток и напряжение совпадают по фазе –
режим резонанса. Ток масимален.
24
12.Мощность в цепи синусоидального тока. Активная,
реактивная и полная мощности.
Um  sin ( t )
u ( t)
Im  sin ( t  )
i ( t)
p
Um  Im  sin ( t)  sin ( t  )
ui
U  I  ( cos ( )  cos ( 2t  ) )
UIcos(  )
p ( t)
t
Активная мощ ность
T
P
1 
  p dt
T 0
T
U I 
  cos ( )  cos ( 2t  ) dt
T 0
P [Вт]
Реактивная мощ ность
Q
U  I  sin ( )
Q [ВАР]
Полная мощ ность
S
2
2
P Q
S [ВА]

 Q

P
arctg 
U I
T
cos ( )  T
U  I  cos ( )
25
*) p – мгновенная мощность
P – мощность за период
[ВА] – вольт-амперы
cos(φ) – коэффициент мощности (инженеры стремятся, чтобы
он стремился к 1)
U
I
P  UI cos   Z
 I 2 r - мощность потребителей
r  Z cos 
U
I
Q  UI sin   Z
 I2X
- реактивная мощность
X  Z sin 
QC   I 2 X C - для конденсатора
QL  I 2 X L - для катушки
Поэтому реактивная мощность может быть как положительной,
так и отрицательной.
26
Билет №13: Условие передачи в нагрузку максимальной
активной мощности.
Z 0  r0  j  X 0 ; Z n  rn  j  X n
Pнагрузки 
Pнагрузки
E 2  rn
r0  rn 2   X 0  X n 2
E 2  rn
 I  rn 
Z2
2
Первое условие:
X0  Xn  0
X0  Xn
Тогда получим :
E 2  rn
Pn 
r0  rn 2
dPn E 2  r0  rn   2  r0  rn   rn  E 2

dr
r0  rn 2
2
r0  rn   r0  rn  2  rn   0
r0  rn !  0
и r0  rn  0
Получили второе условие:
r0  rn
27
Анализируя полученные данные можно сделать вывод:
*
Z0  Zn
Максимальная мощность, которая выделится на нагрузке:
E2
PMAX 
2
4  rn
28
14. Электрическиеие цепи с взаимной индуктивностью.
Понятие согласного и встречного включения индуктивносвязанных катушек индуктивности.
Под явлением взаимоиндукции понимается наведение ЭДС в
электрической цепи при изменении потокосцепления взаимной
индукции, обусловленного током в другой электрической цепи.
Цепи, в которых наводится ЭДС взаимной индукции называются
индуктивно-связанными цепями.
M[Гн]
–
взаимная
индуктивность
–
это
отношение
потокосцепления в одной электрической цепи к току в другой
электрической цепи. М - скалярная величина.
(ω1*ФМ2)/ i2=M12
на 1)
(ω2*ФМ1)/ i1=M21
М12=М21 (катушка 1 влияет на 2, как и 2
Условимся положительным направления токов I1 и I2 в двух
индуктивно-связанных катушках считать согласными , если
положительные направления, создаваемых ими магнитных
потоков самоиндукции и взаимоиндукции совпадают. При
согласном направлении токов I1 и I2
в двух индуктивносвязанных катушках выводы этих катушек, относительно которых
токи I1 и I2 направлены одинаково, называются одноименными
или однополярными.
29
Согласное включение.
e2м= - M* (di1/dt)
U2= -e2м= M* (di1/dt)
e1м= - M* (di2/dt)
U1= -e1м= M* (di2/dt)
Встречное включение.
e2м= M* (di1/dt)
U2= - M* (di1/dt)
e1м=M* (di2/dt)
U1= - M* (di2/dt)
Можно сделать вывод: одноименные выводы двух
индуктивно-связанных катушек обладают той способностью, что
подведение к одной из них возрастающего тока вызывает
повышение потенциала на одноименном зажиме второй катушки.
30
15.Последовательное (согласное) включение двух
индуктивно-связанных катушек. Расчет. Векторная
диаграмма.
2M
 M
1M
 M
e
e
U
U U
k1
k2
k1
d i1
U
dt
d i2
  e2 M  M
U 1   e1M  M
dt
 i1 r1  L1
2
d i1
dt
M
d i2
U
dt
k2
d i1
dt
d i2
dt
 i2 r2  L2
d i2
dt
M
d i1
dt
U
U  i r1  ( L1  M )
d i1
dt
 i r 2  ( L2  M )
d i2
dt
 i ( r1  r 2 )  ( L1  L2  2 M )
При
переходе
к
синусоидальному
символическим методом:
току
di
dt
воспользуемся
M  X M - реактивное сопротивление взаимной индукции









U  I r1  j L1 I  jM I  I r 2  j L2 I  jM I
U  I (r1  r 2  j ( L1  L2  2M ))
Z  r1  r 2  j ( L1  L2  2M )
;
Наличие взаимной индукции при согласном включении
увеличивает индуктивность цепи. Цепь можно заменить катушкой
с такими же параметрами (с полным сопротивлением равным Z)
31
Векторная диаграмма:
32
16. Последовательное (встречное) включение двух
индуктивно-связанных катушек. Расчет. Векторная
диаграмма.
e
M
e
M
2M
1M
d i1
dt
d i2
U
k1
U  i r1  ( L1  M )
U 1   e1M   M
dt
U k1  i1 r1  L1
d i1
U 2   e2 M   M
d i1
dt
M
d i2
U
dt
dt
d i2
dt
k2
 i2 r2  L2
d i2
dt
M
d i1
dt
U k 2  U
d i1
dt
 i r 2  ( L2  M )
d i2
dt
 i ( r1  r 2)  ( L1  L2  2 M )
При
переходе
к
синусоидальному
символическим методом:
току
di
dt
воспользуемся
M  X M - реактивное сопротивление взаимной индукции







U  I r1  j L1 I  jM I  I r 2  j L2 I  jM I


U  I (r1  r2  j ( L1  L2  2M ))
Z  r1  r 2  j ( L1  L2  2 M )
;
Наличие взаимной индукции при встречном включении
уменьшает индуктивность цепи. Цепь можно заменить катушкой с
такими же параметрами (с полным сопротивлением равным Z)
33
Векторная диаграмма:
J* ω*M*I
J*M*I* ω
Uk2
U
.
J* ω*L2*I
.
.
I*r2
.
I*r1 Uk1
.
J* ω*L1*I
.
I
Зная X СОГЛ и X ВСТЕЧН можно найти M:
X
 X ВСТРЕЧН
M  СОГЛ
4 
34
17. Параллельное соединение индуктивно связанных
катушек
Рассмотрим параллельное соединение индуктивно связанных
катушек :
Данную цепь можно описать системой уравнений:
i  i1  i2
di1
di
M 2
dt
dt
di
di
U  r2  i2  L2  2  M 1
dt
dt
U  r1  i1  L1 
*) “+” – согласное включение
“-” – встречное включение
При переходе к цепи синусоидального тока составим
уравнения для каждой из ветвей цепи , используя символический
метод :

r1 I1  jL1 I1  jMI 1  U 
.

r2 I 2  jL2 I 2  jMI 1  U 

I1  I 2  I


.
Знак (+) перед jM соответствует согласному включению
Введем обозначения
Z1  r1  jL1 , Z 2  r2  jL2 , Z M  jM
Определим токи в ветвях :
U Z 2  Z M 
I1 
Z 1 Z 2  Z M2
35
U Z1  Z M 
I2 
2
Z1 Z 2  Z M
U Z1  Z 2  2Z M 
I  I1  I2 
Z1Z 2  Z M2
.
.
Из последнего соотношения определим входное сопротивление
параллельно соединенных индуктивно связанных катушек :
Z ВХ
Z1 Z 2  Z M2
U
 
I Z1  Z 2  2Z M
36
18.Трансформатор без магнитопровода. Математическое
описание. Векторная диаграмма.
Трансформатор представляет собой устройство, передающее
энергию из одной цепи в другую посредством электромагнитной
индукции.
При подключении нагрузки:
Данный трансформатор будет описываться системой уравнений
di1
di
 M 2 U
dt
dt
di
di
i2  r2  L2  2  M 1  Z n  i2  0
dt
dt
i1  r1  L1 
Если у нас цепь синусоидального тока, тогда для описания схемы
можно воспользоваться символическим методом:
,
,
,
,
I1  r1  j  X L1  I1  j  X M  I 2  U
,
,
,
,
,
I 2  r2  j  X L 2  I 2  j  X M  I1  Z n  I 2  0
37
Векторная диаграмма:
38
19.Трансформатор без магнитопровода.
сопротивление трансформатора.
Входное
Трансформатор представляет собой устройство, передающее
энергию из одной цепи в другую посредством электромагнитной
индукции.
При подключении нагрузки:
Данный трансформатор будет описываться системой уравнений
di1
di
 M 2 U
dt
dt
di
di
i2  r2  L2  2  M 1  Z n  i2  0
dt
dt
i1  r1  L1 
Если у нас цепь синусоидального тока, тогда для описания схемы
можно воспользоваться символическим методом:
,
,
,
,
I1  r1  j  X L1  I1  j  X M  I 2  U
,
,
,
,
,
I 2  r2  j  X L 2  I 2  j  X M  I1  Z n  I 2  0
Входное сопротивление трансформатора:
,
Z Вх 
U
,
I
Найдем сопротивление трансформатора:
,
,
 j  Zn
I2 
 I1
r2  Z n  j  X L 2
,
Z n2
U  r1  I 1  j  X L1  I 1 
I
r2  Z n  j  X L 2
,
,
,
39
Z ВХ
Z n2
 r1  j  X L1 
r2  Z n  j  X L 2
Третье слагаемое – сопротивление, вносимое из
вторичной цепи в первичную.
При помощи трансформатора входное сопротивление
можно согласовать с напряжением нагрузки.
40
20. (?????)Резонанс напряжений. Условия резонанса.
Добротность контура. Основные частотные
характеристики.
Резонанс напряжений – явление, при котором цепь
содержащая активные и реактивные сопротивления, будет только
активное сопротивление (XL - XC = 0). При этом ток в цепи
совпадает по фазе с напряжением. Условие возникновение
резонанса напряжений – равенство нулю реактивного
сопротивления.
Обычно наблюдается в цепях, содержащих катушку и
конденсатор, включенные последовательно.
Z  r  j  X L  X C 
,
1 

Z  r  j    L 

 C 

,
0  L 
1
0
0  C
Таким образом:
1
0 
L  C – резонансная частота
При резонансе напряжений ток
максимален, так как сопротивление
минимально, а
U L  UC
и таким образом U  U r
Часто для оценки цепи в режиме резонанса
применяют такие характеристики как
характеристическое сопротивление и
добротность контура.
41
  0  L 
1

0  C
L
C
- характеристическое сопротивление
контура. В простейшем случае это сопротивление на одном из
реактивных элементов.
Q
U РЕАКТИВНОЕ
U ВХОДНОЕ
Добротностью контура называется отношение модуля
реактивной составляющей напряжения в цепи к модулю входного
напряжения в момент резонанса.
U L0 U C 0 I   0  L  0  L 




U
U
I r
r
r
Зависимость от частоты параметров цепи называют частотными
характеристиками
Q
21. Резонанс напряжений. Основные частотные
характеристики. Векторные диаграммы.
Частотными характеристиками
называются зависимости от частоты
параметров, характеризующих
свойства цепи. Зависимости тока и
напряжения в цепи от частоты
принято называть резонансными
кривыми.
резонансная частота - f 0 [ Гц ],  0 [ рад / с];
абсолютная настройка по частоте -       0 ,  f  f  f 0 ;
относительная настройка -
 
   0   
f  f 0  f
f


1 


 1;
0
0
0
f0
f0
f0
42

обобщенная настройка (кси) –
 x X L  XC

R
R
(при этом все настройки положительны, при ff0, отрицательны
при f  f0, при очень малых настройках (    0 ),
 1,   2Q ).
1
1
 0 

x

X

X


L


L
(


)


L
(

) 

L
C
0
C
C
0 




2
 2  ;
  0 L 


0


X
   2Q ; arctg    2Q .
R
Z  R  jX  R(1  j)  R(1  j 2Q ).
Z  R 1   2  R 1  (2Q ) 2 ;

I
Z
 1   2  1  (2Q ) 2
R

U
(1  j) 2 R


U
;
R(1  j 2Q )
I U U
1
1
 : 

.
2
2
I0 Z R
1 
1  (2Q )
U
U
I

R 1  2 R 1  (2Q ) 2
  arctg (2  Q   )
Теперь можно построить характеристики I, Z,  в зависимости от
 и .
43
При этом можно видеть, что зависимости от относительной
настройки  различаются по величине добротности
Q, а зависимости от обобщенной настройки одинаковы для всех
контуров.
Полосу частот вблизи
резонанса, на границах
которой ток снижается до
величины 1 от I принято
2
max
называть полосой
пропускания резонансного тока.
Чем больше добротность, тем острее кривая и уже полоса
пропускания
44
Векторные диаграммы при f  f 0 и f  f 0







U  U R U L U C  I R  j I XL  j I XC



U p  U L U C
f  f0
X L XC
f  f0
X L  XC
Если источник не идеален и имеет своё внутреннее
сопротивление, то это сопротивление фактически добавляется к
активному сопротивлению цепи и влияет на добротность и
полосу пропускания контура. Чем больше внутреннее
сопротивление источника, тем меньше добротность и шире
полоса пропускания. Поэтому, с точки зрения сокращения полосы
пропускания контура, выгоден источник с малым внутренним
сопротивлением.
Если колебательный контур идеален и в нём нет активного
сопротивления, то общее сопротивление контура приравнивается
к 0, а ток в цепи и добротность возрастают до бесконечности.
Однако в реальной цепи такого быть не может.
45
22.Условие резонанса токов
Резонанс токов наблюдается в цепях с параллельным
включением L и C. Условием резонанса токов является равенство
0 реактивной проводимости цепи.
XC
XL
bL  2
 bC  2
r1  X L2
r2  X C2
1
0  L
0  C

2
r12  ( 0  L) 2 r22  ( 1
  C)
0
 2  r12
0 

 2  r22
LC
Это уравнения для более общего случая. Резонанс в таком
контуре не всегда возможен. В идеализированном случае, когда
активными свойствами катушки и конденсатора пренебрегают.
Резонансная частота контура определяется формулой:

1
1


Y  g  j 
 C  , 0 C  1  0, 0 
0  L
LC .
  L

1
0 
1
LC
В момент резонанса ток достигает своего минимального значения
и совпадает по фазе с напряжением.
46
Добротность – отношение модуля тока в реактивном
элементе к модулю тока в неразветвлённой части схемы.
Q
I L0
I

I C0
I
I

U g
U Y

1
  2

1   jQ 



1


0
1
Q

 2   1  2  1
U r
r
 ,
0  L U 
 2

  arctg  Q 

 1 

 2

Y  g  1  jQ 

 1  ,


I0

2
.
47
В отличие от последовательного колебательного контура с точки
зрения сокращения полосы пропускания и колебательного
контура выгоден источник тока с большим Ri.(внутренним
сопротивлением источника), так как чем меньше Ri ,
присоединяемое к параллельному контуру, тем ниже добротность
и шире полоса пропускания.
 2  r1 2
0 

 2  r2 2
LC
1
Анализируя полученную нами формулу для резонансной частоты
резонанса тока, можно выделить 3 основных случая:
1.
2
2
2
2


r


r
Есть резонанс если
одного знака
2
1 и
2.
Безразличный резонанс
3.
знака
Диаграмма:
  r1  r2
2
2


r
Нет резонанса если
1 и
 2  r2 2 различного
48
23. Переходный процесс в RL-цепи при подключении
к источнику постоянного напряжения. Анализ произвести
классическим методом.
iL(t), UL(t);
1. Независимые начальные условия i L 0 _   0  i L 0
E
i

X L    L  0 ;  = 0;
2. Установившееся значение УСТ
r ;
3. Определение характеристического уравнения и его корня:
j  = p;
Z(p)=0; Z(p) = r + pL =0; p = -r/L
iL t   iL _ УСТ  iL _ СВ (t )
Решение ищем в виде:
iL _ СВ  A  e pt
4. Находим решение в общем виде
t=0
iL(0)=iLyст+A;
5. iL(t)= (E/r)(1-e-rt/L)
0=E/r+A;
A=-E/r;
49
Найдём напряжение на катушке :
1.
нну: i L 0    0  iL 0
2.
ULуст=0
3. j  = p;
Z(p)=0; Z(p) = r + pL =0; p = -r/L
UL(t)= ULуст+ Aept ;
3.
Рисуем схему замещения:
t=0; UL(0)=A; UL(0)=E;
Окончательный ответ
U L t   E  e
r
 t
L
Постоянная времени:
*)
 
1
p - постоянная времени - длительность
переходного процесса: 3τ= 95%;
98.3%=4 τ; 99.5%=5 τ
50
24. Переходный процесс в R-L-цепи при отключении
цепи от источника постоянного напряжения. Анализ
произвести классическим методом.
E
1. i L (0)  i L  r1
2. i L _ уст  0
3. Z ( p)  r1  r 2  p * L  0
p
(r1  r 2)
L

4. iL (t )  iL _ уст  A * e
Для момента t=0
( r1 r 2 )
t
L
i L (0)  i L _ уст (0)  A
E
A
r1
E 
i L (t )  * e
r1
( r1 r 2 )
t
L
51
25. Переходный процесс в rC-цепи при
подключении к источнику постоянного
напряжения. Анализ произвести классическим
методом.
E  const
1. U c 0  U c
2. U C _ УСТ  E ; iC _ УСТ  0
;
3. Z  j     r  j    C ;
1
p  j 
p
1
;
r C
; Z  p  0 ;
  r C ;
U C t   U C _ УСТ  A  e

t
rC
; iC t   iC _УСТ  A  e
4.
U C (0)  E  A
; A  UC  E ;
U C t   E  E  U C   e
iC 0 
E  UC
r

t
rC
; iC  A ;
E  U C  rC
iC t  
e
r
t
;

t
rC
52
53
26. Переходные процессы в rC-цепи при отключении
от источника постоянного напряжения. Расчет произвести
классическим методом.
Найдем функцию тока в конденсаторе i(t)
Искомое решение запишем в виде
i  i уст  i св
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1. Определим независимые начальные условия
(рассчитаем схему до коммутации): Uc(0_)=E;
2. Расчет установившегося режима:
После коммутации и полной разрядки конденсатора тока в цепи
нет: iуст=0;
3. Рассчитаем свободный режим. Для записи характеристического
уравнения нарисуем схему после коммутации и найдем
комплексное входное
сопротивление(разрывается
любая ветвь схемы и
считается сопротивление
относительно точек разрыва:
1
Z  j   r1  r2 
;
jC
Z  p   r1  r2 
1
pC ;
Приравнивая к нулю, получим
54
1
1

(r1  r 2)C
RЭ  C ;
Поскольку p вещественно, то решение iсв запишется в виде:
p
iсв (t )  Ae pt
4. Для определения постоянной интегрирования А рассчитаем
зависимые начальные условия (ток сразу после коммутации). Для
этого заменим конденсатор
источником напряжения (поскольку
сразу после коммутации
напряжение на нем постоянно) и
рассчитаем ток ic(0+) в начальный
момент времени:
ic(0+)=Uc(0)/r=-E/(r1+r2) (см.1)
Отсюда;
A   E /( r1  r 2)
1

t
 E
( r 1 r 2 )C
Окончательно получим: ic (t )  ( r1  r 2) e
  rC
где
— постоянная времени.
Графически это будет вы глядеть примерно так:
55
27. Переходный процесс в rLC-цепи при подключении к
источнику постоянного напряжения. Апериодический
процесс. Классический метод.
Независимые начальные условия (1)
и установившиеся значения (2):
1.iL (0  )  0
U C (0  )  U C
2.i уст  0
d 2i
di 1
3.L 2  r  i  0
dt
dt C
Рассмотрим уравнение 3:
Lp 2  rp 
1
0
C
2
p1, 2
r
1
 r 

   

2L
2
L
LC
 
    2   o2
где
r
2L
1
o 
LC

56
Зависимость i(t) в общем виде:
- надо найти A1 и A2:
i(t )  i уст  A1e p1t  A2 e p2t
ri (0)  L
di (0)
 U C ( 0)  E
dt
i(0)  A1  A2  0
ri (0)  0

di уст
 di(0)
di (0) E  U C


p
A

p
A

1
1
2
2
 dt
dt
dt
L
0
0

Подставим выраженные значения в систему:
A1   A2
0  A1  A2

 E UC
 L  p1 A1  p2 A2
A1 
i (t ) 
так как это p1  p2  0
апериодический процесс
Итоговая формула:
i (t ) 
E UC
2 L  2   o2

e t sh t  2   o2
E UC
E UC

L p1  p2  2 L  2   o2

E UC
2L   
2
2
o
e
p1t
 e p2t

57
График имеет вид:
28.Переходный процесс в rLC-цепи при подключении к
источнику постоянного напряжения. Колебательный
процесс. Классический метод.
R
E
L
C
1. Определение независимых начальных условий il(0),uc(0).
il(0)=0; uc(0)=uc.
2. Расчет установившегося режима.
Iуст=0.
3. Расчет свободной составляющей.
Схема замещения:
1
Сопротивление Z=r+jwL+ jwC ;
Характеристическое уравнение:
58
r+pL+
1
pC
=0,
Lp2+rp+ 1 =0.
c
r
  r 2 1 


2
2
В общем случае корни: p1,2=- 2 L    2 L   Lc  =-   (  w0 ) ;


r
 
,w =
2L 0
1
Lc .
Свободная составляющая ищется в виде :
uc св  e t  A1 sin ct  A2 cosct 
(1)
uc св  Ae t sin ct   c 
(2)
или
где
A
A12  A22 ,
A
 c  arctg 2
A1
59
60
29.Расчёт переходных процессов на основе интеграла
Дюамеля.
Если на пассивную цепь в момент времени t=0 включается
воздействие fr(t) , являющееся непрерывной функцией времени
рис.1, то реакция цепи f(t) определяется интегралом Дюамеля по
формуле:
1
f (t )  f r (0)h(t )   f r' ( )h(t   )d
0
где fr(0) – начальное значение воздействия;
df1 (t )
f ( ) 
dt
'
r
t 
– обозначение производной взаимодействия, h(t-) - переходная
характеристика, в которой t заменено на t-.
Если функция воздействия fr(t) имеет различные выражения на
разных интервалах времени то интервал интегрирования
разбивается на отдельные участки, а реакция цепи, записывают
для отдельных интервалов времени. Для рис.2 имеем:
-интервал времени от 0 до t1 (не включая скачок F1)
t
f (t )  f r (0)h(t )   f1' ( )h(t   )d
0
-интервал времени от t1 до t2 (не включая скачок F2)
t1
t2
0
t1
61
f (t )  f r (0)h(t )   f 1' ( )h(t   )d  F1 h(t  t1 )   f 2' ( )h(t   )d
где слагаемое – F1h(t-t1) обусловлено положительным скачком
воздействия в момент t1.
-интервал времени от t2 до 
t1
t2
f (t )  f r (0)h(t )   f ( )h(t   )d  F1 h(t  t1 )   f 2' ( )h(t   )d 
'
1
0
t1
t
 F2 h(t  t 2 )   f 3' ( )h(t   )d
t2
где слагаемое – F2h(t-t2) обусловлено отрицательным скачком
воздействия в момент t2
воздействия в момент t2.
62
30. Переходные характеристики. Привести пример
определения одной из переходных хар-к.
Переходной характеристикой
 I , U , R, 1 


R


называется
уравнение, составленное для участка цепи или для всей в
це лом, которое описывает переходный процесс, если цепь
подсоединяется к источнику с постоянным входным сигналом
равным 1 (1А или 1В).
K I – переходная характеристика для тока
KU – переходная характеристика для напряжения
z t  – переходное сопротивление
y t  – переходная проводимость
Переходная проводимость – реакция электрической цепи,
численно равной току при воздействии на эту цепь единичной
ступенчатой функции напряжения.
i (t )
y (t ) 
1u (t )
ut   const  1В
it  
y
r
r

u Lt
 e
r
, т.к
u  1 , то
r
1 1  t
Ki   e L ,
r r
(1)
I  yu  yt   hi t  ,
Переходная функция напряжения - это реакция
электрической цепи, численно равная напряжению при
воздействии на эту цепь единичной ступенчатой функции
напряжения.
U (t )
KU 
1u (t )
(2)
Переходная функция тока - реакция цепи, численно
63
равной току при воздействии на эту цепь единичной функции
тока.
i (t )
KI 
1 i (t )
Переходное сопротивление – реакция электрической цепи в
виде напряжения при воздействии единичной ступенчатой
функции тока.
u (t )
1 i (t )
Каким бы не было заданное входное воздействие или ток
источников, его принимают равным 1В или 1А.
z (t ) 
 
1)
Определяют ННУ iL  0 и uc 0  и т.д. т.е. для
полученной
цепи рассчитываем п/пр. любым методом.
Полученные уравнения для U и I дадут соответствующие
переходные характеристики.
Пример.
Найти переходную характеристику по току для цепи
для ветви с сопротивлением r2 при воздействии на входе ИТ it 
r1  r2  1 кОм , L  1 мГн .
Решение
1)
2)
J 1 A
ННУ iL 0   iL 0 _   0
3)
i2  i2 пр  i2 св
4)
i2 пр  0
5)
i2 св  Ae pt
64
1
p ,

p
6)
7)
8)
10 3
10  3

где
L
rэ ,
rэ  rвх  r2  1 кОм ,
 10 6 C 1 .
ЗНУ i2 0  наедем из после коммутационной схемы:
10 6 t
, A.
Полное решение i2  1e
Переходное характеристика безразмерна:
K i t   i2
J 1 A
 1e
106 t
.