Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Контрольная работа
По дисциплине: Высшая математика (часть 2)
Выполнил: Медведев Евгений
Сергеевич
Группа: ЗБТ-92
Проверил(а): Храмова Татьяна
Викторовна
Новосибирск, 2019 г
Задание 1. Кратные интегралы
Однородная пластина имеет форму четырехугольника (см. рисунок). Указаны
координаты вершин. С помощью двойного интеграла вычислить координаты
центра масс пластины.
Рисунок 1 – Пластина
Решение. Координаты центра масс вычисляются по формуле
𝑥𝑐 =
∬𝐷 𝑥𝜇(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
∬𝐷 𝜇(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
, 𝑦𝑐 =
∬𝐷 𝑦𝜇(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
∬𝐷 𝜇(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Так как пластина однородная, то плотность 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, и
𝑥𝑐 =
∬𝐷 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
∬𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦
, 𝑦𝑐 =
∬𝐷 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
∬𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦
Составим уравнение прямой, ограничивающей область сверху. Для этого
достаточно знать две точки (𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 ) через которые она проходит:
𝑥−𝑥1
=
𝑦−𝑦1
𝑥2 −𝑥1 𝑦2 −𝑦1
.
Координаты в данном примере: (0,2) и (5,3). Следовательно, уравнение
прямой:
𝑥−0 𝑦−2 𝑥
𝑦−2
𝑥
5−0 3−2 5
1
5
=
, =
,y= +2
Вычислим площадь пластины:
𝑥
𝑥
∬𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
25
10
5
+2
∫0 𝑑𝑥 ∫05 𝑑𝑦
=
+2
5
∫0 (𝑦|05 ) 𝑑𝑥
𝑥2
5 𝑥
5
= ∫0 ( + 2) 𝑑𝑥 = ( + 2𝑥) =
5
10
0
+ 10 = 12,5
Вычислим интегралы, которые фигурируют в числителях:
𝑥
𝑥
1) ∬𝐷 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑥3
(15 +
2𝑥 2
2
5
5
+2
∫0 𝑑𝑥 ∫05 𝑥𝑑𝑦
1
=
+2
5
∫0 (𝑥𝑦|05 ) 𝑑𝑥
5 𝑥2
= ∫0 ( + 2𝑥) 𝑑𝑥 =
5
1
) = 8 3 + 25 = 33 3
0
Вычислим первую координату: 𝑥𝑐 =
1
3
1
12
2
33
2
= 2 (Рисунок 2)
3
𝑥
𝑥
2)∬𝐷 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 =
5 𝑥
(
∫
2 0 5
5
33
5 𝑦 2 +2
∫0 ( 2 |05 ) 𝑑𝑥
5
+2
∫0 𝑑𝑥 ∫05 𝑦𝑑𝑦
=
𝑥
( +2)
5
3
2
+ 2) 𝑑 ( + 2) = 2.5 ×
8
𝑥
5
2
1
18
18
3
1
5
5
( +2)
|50 = 2.5 × (
1
3
2
5 𝑥
= ∫0 ( + 2) 𝑑𝑥 =
2
5
3
2
3
−
0
5
( +2)
3
3
15×38
) = 2.5 ×
570
15
( 3 − 3) = 2.5 × (9 − 2 3) = 2 2 × 6 3 = 2 6 × 6 6 = 6×6 = 36 = 15 18
Вычислим вторую координату:
15
1
15
9
285×18
285
57
12
𝑦𝑐 = 15 ÷ 12 = 15 ÷ 12 =
=
= = 1 (Рисунок 2)
18
2
18×225
225
45
45
Рисунок 2 – Пластина с указанным центром масс
12
Ответ: (2 ; 1 )
3
45
2
Задание 2. Дифференциальные уравнения
𝑦
𝑦
Найти общее решение дифференциального уравнения: 𝑦 ′ = + sin
𝑥
𝑦
Пусть = 𝑡
𝑥
y = tx
𝑦′ = 𝑡′𝑥 + 𝑡
𝑡 ′ 𝑥 + 𝑡 = 𝑡 + sin 𝑡
𝑡 ′ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑑𝑡𝑥
= 𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑡
1
1
∫ 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑡
𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑡
1
∫ 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝑐
𝑥
1
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 = ∫
𝑑𝑡
𝑡
𝑡
2 sin cos
2
2
=∫
𝑡
𝑡
2 2
𝑡
𝑡
sin 𝑐𝑜𝑠 2
2
2
cos 𝑑( )
=∫
𝑡
2
𝑡
tan
2
𝑑(tan )
𝑡
= ln | tan |
2
𝑥
𝑡
ln|𝑥| = ln | tan | + 𝑐
2
𝑡
ln
|
tan
|+𝑐
2
𝑒 ln 𝑥 =𝑒
𝑡
𝑥 = tan + 𝑐
2
𝑦
𝑥 = tan ÷ 2 + 𝑐
𝑥
𝑦
𝑥 − tan = 𝑐 – решение в виде общего интеграла
2𝑥
Задание 3. Степенные ряды
Найти область сходимости степенного ряда
∞
(𝑥 − 1)𝑛
∑
(𝑛 + 1)!
𝑛=1
(𝑥 − 1)𝑛
𝑢𝑛 =
(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 1)𝑛+1
𝑢𝑛+1 =
(𝑛 + 1 + 1)!
∞
∑ |𝑢𝑛 |
𝑛=1
lim |
𝑛→∞
𝑢𝑛 + 1
|
𝑢𝑛
(𝑥 − 1)𝑛+1 (𝑛 + 1)!
(𝑥 − 1)𝑛 (𝑥 − 1)(𝑛 + 1)!
lim |
|=
| = lim |
𝑛→∞ (𝑛 + 2)! (𝑥 − 1)𝑛
𝑛→∞
(𝑛 + 2)! (𝑥 − 1)𝑛
= lim |
(𝑥−1)×𝑛!×(𝑛+1)
𝑛→∞
𝑛!(𝑛+2)
| = |𝑥 − 1| lim
𝑛+1
𝑛→∞ 𝑛+2
= |𝑥 − 1| × 1 = |𝑥 − 1|
|x-1|<1
-1<x-1<1
0<x<2
∞
∞
(0 − 1)𝑛
(−1)𝑛
=∑
∑
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 1)!
𝑛=1
∞
∑|
𝑛=1
∞
∑
𝑛=1
(−1)𝑛
𝑛=1
∞
1
− расходится
|=∑
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 1)!
𝑛=1
1
𝑛𝑝
p>1 сходится
p≤1 расходится
Признак Лейбница
1
1){(𝑛+1)!} Чем больше n, тем меньше число, т.е. ряд будет убывающим
1
2)𝑙𝑖𝑚 (𝑛+1)! = 0
∞
(−1)𝑛
− сходится условно
∑
(𝑛 + 1)!
𝑛=1
∞
∞
𝑛=1
𝑛=1
(2 − 1)𝑛
1𝑛
=∑
расходится
∑
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 1)!
Ответ: [0;2)
Задание 4. Приближенные вычисления с помощью разложения функции
в ряд
Вычислить с точностью до 0,001 значение определённого интеграла,
разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд.
0,5
0,5
∞
(−1)𝑛 𝑥 3𝑛
𝑥𝑑𝑥
3)
∫ 𝑥 ln(1 + 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
= −𝑥 ∑
1 + 𝑥3
𝑛
0
0,5
0,5
0
𝑛=1
10
𝑥
𝑑𝑥 … =
10
0
0 меньше 0,001
𝑥 6 0,5
= − | | |0 = −0,0005 ≈−0,001
𝑥5
∫
𝑑𝑥 + ∫
5
∞
30
2𝑛 3𝑛
−𝑥 𝑥
∑
𝑛
𝑛=1
Ответ:
∞
−𝑥 5𝑛 −𝑥 5
=∑
=
𝑛
5
𝑛=1
0,5
∫0 𝑥 ln(1 +
𝑥 3 ) 𝑑𝑥 ≈ −0,001
Задание 5. Линии и области в комплексной плоскости
По заданный условиям, построить область в комплексной
плоскости.
|𝑅𝑒𝑧| ≤ 1
𝜋
3𝜋
{ ≤ 𝑎𝑟𝑔𝑧 ≤
4
2
−1 ≤ 𝐼𝑚𝑧 ≤ 2
По определению, z=x+iy, Rez=x, Imz=y. Следовательно, условия
принимают вид
|𝑥| ≤ 1
𝜋
3𝜋
{ ≤𝜑≤
4
2
−1 ≤ 𝑦 ≤ 2
−1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝜋
3𝜋
{ ≤𝜑≤
4
2
−1 ≤ 𝑦 ≤ 2
Рассмотрим каждое условие, поочерёдно добавляя к уже
имеющимися:
−1 ≤ 𝑥 ≤ 1 – вертикальная полоса (Рисунок 3,);
−1 ≤ 𝑦 ≤ 2 – горизонтальная полоса (Рисунок 4).
𝜋
3𝜋
Последнее условие: ≤ 𝜑 ≤ – на аргумент комплексного числа.
4
2
Оно означает, что число лежит на луче в указанном секторе
(Рисунок 5):
Рисунок 3 – Точки, удовлетворяющие 1-му условию
Рисунок 4 – Точки, удовлетворяющие 2-му условию
Рисунок 5 – Точки, удовлетворяющие 3-му условию
Ответ: совмещая все условия, получим область, изображенную на
рисунке 6.
Рисунок 6 – Точки, удовлетворяющие всем условиям
