Вейвлеты БОЖОКИН ЛЫКОВ

Федеральное агентство по образованию
---------
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
С. В. БОЖОКИН
С. Н. ЛЫКОВ
ВЕЙВЛЕТЫ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
Издательство Политехнического университета
2007
Федеральное агентство по образованию
−−−−
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
С. В. БОЖОКИН
С. Н. ЛЫКОВ
ВЕЙВЛЕТЫ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
Издательство Политехнического университета
2007
УДК 519.6 (075.8)
ББК 22.193я73
Б 766
Р е ц е н з е н т ы:
Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник
лаборатории теоретической астрофизики ФТИ им. А.Ф.Иоффе А. Д. Каминкер;
Доктор медицинских наук, профессор кафедры биомедицинской
электроники и охраны среды СПбГЭТУ «ЛЭТИ» Н. Б. Суворов.
Божокин С. В., Лыков С. Н. Вейвлеты. Учебное пособие. СПб.:
Издательство Политехн. ун-та, 2007. 252 с.
Пособие представляет собой вводный курс в теорию вейвлетов, сфера
применения которой в настоящее время быстро расширяется и охватывает
различные области математики, физики, биологии, медицины. В пособии
изложение теории вейвлетов ведется совместно с рассмотрением
преобразования Фурье.
Учебный материал пособия распределен по трем главам. В первой главе
кратко обсуждаются геометрические представления о базисах функций, что
позволяет затем последовательно рассмотреть методы дискретного и
непрерывного преобразований Фурье. Во второй главе вводится интегральное
вейвлет-преобразование, в третьей главе рассматриваются понятия кратномасштабного анализа и дискретного (быстрого) вейвлет-преобразования.
Теоретические построения проиллюстрированы практическими примерами,
демонстрирующими возможности рассматриваемых методов в задачах
количественного анализа стационарных и нестационарных процессов. В
приложении даны описания упрощенных алгоритмов, предназначенные для
самостоятельных упражнений при первом знакомстве с вейвлетами. Пособие
может быть полезно студентам и аспирантам физических специальностей,
приступающим к изучению современных методов обработки сигналов.
Печатается по решению редакционно-издательского совета СанктПетербургского государственного политехнического университета.
© Божокин С.В., 2007
© Лыков С.Н., 2007
ISBN
5-7422-1581-9
ВВЕДЕНИЕ
Часто количественные данные, получаемые в ходе наблюдения за
физическим процессом, представляют собой временной ряд (сигнал) – последовательность чисел, относящихся к различным моментам времени. Например,
вместе с результатами измерений в физических экспериментах, к временным
рядам можно отнести электрические сигналы, сопутствующие деятельности
сердца и мозга (электрокардиограмма и электроэнцефалограмма), или электрические токи, распространяющиеся в нейронах. Сюда же относятся величины,
характеризующие развитие биологической популяции, динамику показателей
финансовой сферы, результаты наблюдений за сейсмическими процессами,
данные об изменении океанических течений или климата Земли. Во всех
случаях исследователи стремятся применить к полученному временному ряду
разнообразные методы количественной обработки, надеясь построить математическую модель изучаемого процесса и обнаружить новые закономерности.
Из распространенных методов обработки сигналов в первую очередь
следует упомянуть давно известный и ставший уже традиционным
статистический анализ в сочетании со спектральным анализом Фурье.
Статистическая обработка дает усредненные характеристики для ансамбля
различных реализаций сигнала или для последовательности временных
отрезков сигнала, если есть основания рассматривать такие отрезки как
реализации одного и того же физического процесса. Кроме того, можно
находить усредненные величины и для единственного временного отрезка,
например – среднее значение сигнала на определенном интервале времени.
Спектральный анализ основан на преобразовании Фурье, изобретенном в
начале XIX века. Фурье-преобразование в некотором смысле подобно
усреднению по времени – оно представляет собой интегрирование сигнала с
«весовыми» функциями времени, имеющими вид гармонических колебаний
различной частоты. С позиций фурье-анализа любой сигнал складывается из
гармонических колебаний с разными частотами, амплитудами и фазами, а
преобразование Фурье позволяет найти спектр сигнала, то есть – значения этих
амплитуд и фаз для каждой частоты. При наличии флуктуаций сигнала его
спектральные характеристики усредняют по статистическому ансамблю.
Если статистические или спектральные свойства процесса, определенные
на конечном интервале времени, не изменяются на интервалах времени,
смещенных относительно первого, то процесс называется стационарным. В
противоположном случае, то есть у нестационарного процесса, характеристики
меняются с течением времени соответственно различным этапам эволюции
такого процесса. На практике именно нестационарные процессы представляют
основной интерес. Однако в изучении нестационарности преобразование Фурье
оказывается мало полезным, так как по виду фурье-спектра ничего нельзя
сказать о поведении сигнала в конкретные моменты времени.
Начиная с середины XX века для исследования нестационарных сигналов
применяется так называемое оконное преобразование Фурье, впервые
введенное Д. Габором. В этом методе весь временной интервал наблюдения
сигнала разбивают на отрезки-окна и преобразование Фурье выполняют
отдельно в каждом окне. Выделение окон осуществляется «оконной» функцией,
которая вне окна обращается в ноль (резко или плавно). Имеется много
свободы в выборе формы окна и его временного размера. Однако, в любом
случае фиксация размера окна ведет к принципиальному недостатку оконного
фурье-преобразования – на низких частотах окно оказывается слишком
коротким, чтобы обеспечить хорошее разрешение по частоте, а на высоких
частотах это же окно представляется слишком длинным с точки зрения
выявления быстрых изменений частотного спектра.
В 80-е годы XX века на основе новаторских работ целого ряда
талантливых математиков, физиков и инженеров возник новый метод
обработки сигналов – вейвлет-преобразование (wavelet transform). В общих
чертах вейвлетное преобразование напоминает оконное преобразование Фурье
и отличается от него только заменой гармонических колебаний, ограниченных
оконной функцией, на так называемые вейвлеты. В переводе с английского
языка слово wavelet означает «маленькая волна» или «всплеск». Временной
размер вейвлета не фиксирован, он меняется обратно пропорционально
характерной частоте вейвлета, и это придает вейвлет-преобразованию качественно новые черты по сравнению с оконным преобразованием Фурье. Теория
вейвлетов находится в постоянном развитии; сегодня сфера ее применений уже
вышла далеко за рамки классических задач обработки сигналов.
В предлагаемом пособии мы стремимся дать читателю вводные сведения
о вейвлетном анализе в сопоставлении с фурье-преобразованием. Материал
пособия разбит на три главы. Первая глава начинается с обзора геометрических
представлений о пространстве функций и далее на этой основе рассматривается
ряд разновидностей преобразования Фурье. Вторая глава посвящена
интегральному вейвлет-преобразованию, а третья – его дискретной версии,
известной как быстрое вейвлет-преобразование. В пособии присутствуют
выкладки, позволяющие увидеть «что откуда следует», но опущены строгие
доказательства со свойственными им сложными вопросами сходимости.
Рассмотрены простые примеры, а также приведено небольшое приложение для
самостоятельных экспериментов.
Авторы надеются, что данное учебное пособие заполнит часть пробела
между строгими книгами по теории вейвлетов и руководствами к готовым
компьютерным программам вейвлетной обработки сигналов. Пособие
ориентировано на студентов и аспирантов, впервые изучающих спектральный
анализ и вейвлетное преобразование.
4
Глава 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1.1 Многомерный базис
Как показывает опыт, наиболее эффективный способ изучения сложных
объектов заключается в попытках их разложения на более простые,
«элементарные»
составляющие.
Представим
подобное
разложение
математическим равенством
Z =
N −1
∑
n =0
Z n en ,
(1.1.1)
где символом Z обозначен изучаемый объект, en – базисные элементы, Z n
– «весовые» множители, с которыми элементы базиса суммируются, образуя в
результате исходный объект Z . Таким образом, задача состоит в нахождении
коэффициентов разложения Z n для каждого интересующего нас объекта Z .
Цель обратной задачи – восстановление Z по заданным коэффициентам Z n ,
то есть вычисление суммы (1.1.1).
Конечно, указанный подход применим только в тех задачах, где для
рассматриваемых объектов можно естественным образом определить операции
сложения и умножения на числовые коэффициенты. О любом множестве
объектов с таким свойством говорят как о линейном (или векторном)
пространстве; его элементы называют векторами, необходимое количество N
базисных векторов представляет собой размерность данного пространства.
В роли изучаемых объектов мы будем рассматривать развивающиеся во
времени процессы. Количественная информация о процессах описывается
функциями z (t ) непрерывного времени t или числовыми массивами –
выборками z (tn ) = zn значений функции z (t ) в дискретные моменты времени
tn . В обоих случаях операции сложения и умножения на числа хорошо
определены, поэтому множество функций z (t ) и множество дискретных
последовательностей zn с математической точки зрения являются векторными
пространствами. Пространство функций бесконечномерно, а пространство
выборок z0 ,..., z N −1 с постоянным числом N значений zn имеет конечную
размерность, равную N.
Базис в любом векторном пространстве можно выбрать бесчисленным
множеством способов. Фурье-анализ функций основан на выборе элементов
базиса в форме гармонических сигналов cos ω t и sin ω t или их комплексной
5
комбинации exp(iω t ) = cos ωt + i sin ωt , иногда называемой «комплексной
синусоидой». Другими словами, в фурье-анализе исследуемый сигнал z (t )
представляется суммой гармонических колебаний бесконечной длительности,
обладающих строго определенными значениями круговой частоты ω (или
обычной частоты f = ω /( 2 π) ). При этом, в зависимости от типа сигналов,
применяют дискретное фурье-преобразование (представление выборки
z0 ,..., z N −1 конечной суммой гармоник), непрерывное фурье-преобразование
(разложение периодической функции z (t ) в ряд Фурье) и разложение
произвольной функции z (t ) в интеграл Фурье. Эти три метода дают детальную
информацию о спектре частот сигнала, но не выявляют изменений
спектральных свойств сигнала во времени. Для обнаружения временных
изменений частотного спектра используют оконное преобразование Фурье или
преобразование Габора, а также различные виды вейвлетного преобразования, в
которых сигнал представляется суммой колебаний, достаточно быстро
убывающих при t → ±∞ .
Чтобы пояснить структуру перечисленных разновидностей анализа
сигналов, целесообразно начать с изложения ряда общих свойств линейных
преобразований в векторных пространствах. Строгие рассуждения требуют
немало места и усилий (особенно в бесконечномерном случае), поэтому мы
ограничимся облегченными формулировками, которые несложно понять на
основе аналогии с общеизвестной картиной векторов в обычной геометрии.
Читатель, хорошо знающий геометрию и линейную алгебру, или
не интересующийся упрощенными выводами результатов, может без ущерба
пропустить этот параграф.
Введем в рассмотрение операцию скалярного произведения векторов в Nмерном линейном пространстве. Она сопоставляет каждой паре векторов Z и
Y определенное число Z Y , линейно зависящее от правого аргумента (здесь
этим аргументом является Y ). В дальнейшем, когда речь пойдет о функциях
z (t ) , y (t ) , под скалярным произведением мы будем подразумевать интеграл
произведения функций по заданному промежутку времени, но на данном этапе
можно не связывать себя конкретными определениями.
Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются
взаимно ортогональными. Систему базисных векторов естественно выбрать
так, чтобы все векторы в ней были ортогональными друг другу и
нормированными на единицу. Альтернативная возможность заключается в том,
чтобы иметь дело с неортогональным базисом или даже с избыточной системой
векторов. Рассмотрим отдельно каждый из этих вариантов.
6
1.1.1 Разложение векторов по ортонормированному базису
Пусть векторы en образуют ортонормированный базис. Это означает,
что выполняются равенства
n, n′ = 0, 1, …, N–1,
en ′ en = δn ′n ,
(1.1.2)
где N – размерность пространства, δn ′n – символ Кронекера:
⎧0, n ′ ≠ n ,
δn ′n = ⎨
⎩1, n ′ = n .
Любой вектор Z в данном линейном пространстве по определению допускает
представление в виде линейной комбинации базисных ортов en с некоторыми
коэффициентами Z n :
Z = ∑ Z n en .
n
Чтобы определить коэффициенты Z n , умножим скалярно обе стороны этого
равенства на орт с произвольным номером n′ , учтем свойство линейности
скалярного произведения по своему правому аргументу и воспользуемся
условием ортонормировки (1.1.2); в результате этих действий получим:
en ′ Z =
∑ Zn
n
en ′ en = ∑ Z n δn ′n = Z n ′
n
Отсюда видно, что искомая формула для коэффициентов разложения Z n
выглядит очень просто:
Z n = en Z .
(1.1.3)
Коэффициенты Z n = en Z называются компонентами вектора Z в базисе,
образованном ортами en .
Найдем компоненты самих базисных векторов. Сравнивая равенства
(1.1.2) и (1.1.3), легко заметить, что формула (1.1.2) определяет значения
компонент ортов en в базисе, состоящем из этих же ортов:
7
Вектор
e0
Компоненты
1,0,0, … 0
e1
…
0,1,0, … 0
…
0,0,0, … 1
e N −1
Если для разложения векторов выбрать новый базис, то численные
значения компонент векторов изменятся. Выведем формулу преобразования
компонент вектора при переходе от одного ортонормированного базиса к
другому ортонормированному базису.
Для обозначения новых базисных векторов условимся использовать знак
тильды «~». Пусть новые орты ~
ek , как и прежние базисные векторы ek ,
удовлетворяют условиям ортонормировки:
~
ek ′ ~
ek = δk ′k .
k , k ′ = 0, 1, …, N–1.
(1.1.4)
Все векторы данного пространства допускают разложение как по старому
базису, так и по новому базису. Разложение по новому базису для каждого
старого орта en запишется в виде:
en = ∑ U k n e~k ,
k
где, согласно формуле (1.1.3),
U k n = e~k en ,
так что
en = ∑ ~
ek e~k en .
(1.1.5)
k
Новые орты, в свою очередь, могут быть разложены по старым ортам:
e~k = ∑ en en ~
ek .
(1.1.6)
n
Отсюда следует, что матрица чисел U k n = e~k en
T = e e~ составляют пару взаимно обратных матриц:
nk
n
k
8
и матрица чисел
∑U kn Tnk ′ = δkk ′ .
n
Запишем разложение произвольного вектора Z по новому базису:
~
Z = ∑ Z k e~k .
(1.1.7)
k
~
По аналогии с (1.1.3), для компонент Z k вектора
справедлива формула
Z
в новом базисе
~
Z k = e~k Z .
~
Совокупность величин Z k = e~k Z мы можем назвать «образом» вектора в
новом представлении. Заменив в имеющемся здесь скалярном произведении
правый векторный сомножитель Z его разложением (1.1.1) по старому
базису, получим:
~
Zk = ∑ Zn ~
ek en ,
n
то есть
~
Zk = ∑ Uk n Zn ,
где
n
U k n = e~k en .
(1.1.8)
Таким образом, при переходе от одного базиса к другому компоненты вектора
испытывают
линейное
преобразование
(1.1.8)
с
коэффициентами,
составляющими матрицу U . Обратное преобразование дается обратной
матрицей U −1 = T :
~
Z n = ∑ Tn k Z k ,
где
k
Tn k = en e~k .
(1.1.9)
Введем теперь в рассмотрение явное правило вычисления скалярных
произведений векторов:
Y Z = ∑ Yn∗ Z n .
n
9
(1.1.10)
Здесь и далее звездочкой «*» обозначается операция комплексного сопряжения.
Из определения (1.1.10) видно, что перестановка сомножителей в таком
скалярном произведении дает комплексно сопряженный результат
Z Y = Y Z *.
В частности, справедливо соотношение en ~
ek = e~k en * , и поэтому, согласно
определению матриц преобразования, указанному в формулах (1.1.8)–(1.1.9),
выполняется равенство
Tn k = U k∗ n .
(1.1.11)
Комплексное сопряжение введено в определение (1.1.10) для того, чтобы
квадрат нормы (скалярное произведение вектора с самим собой) был бы для
любого вектора вещественной неотрицательной величиной:
Z
2
2
≡ Z Z = ∑ Zn .
(1.1.12)
n
В частном случае вещественных векторов знак комплексного сопряжения
можно всюду исключить. При этом равенство (1.1.11) принимает вид Tn k = U k n
и характеризует ортогональное преобразование вещественного базиса,
полностью аналогичное повороту (или отражению) координатных осей в
обычной, трехмерной или двумерной геометрии. Таким образом, в случае
ортогонального преобразования матрица T = U −1 обратного преобразования
равна транспонированной матрице прямого преобразования: U −1 = U T .
В общем случае компоненты векторов могут быть комплексными
числами, и вместо ортогонального поворота следует говорить об «унитарном
повороте», характеризующемся равенством (1.1.11). В этом случае матрица
обратного преобразования равна эрмитово сопряженной (то есть
транспонированной и комплексно сопряженной) матрице прямого
преобразования: U −1 = U + ≡ (U ∗ )T .
Численные значения скалярных произведений (1.1.10), как легко
проверить, не меняются при переходе от одного ортонормированного базиса к
другому ортонормированному базису:
~ ~
Y Z = ∑ Yn∗ Z n = ∑ Yk∗ Z k .
n
k
10
(1.1.13)
В частности, величина квадрата нормы любого вектора не зависит от выбора
базиса; действительно, полагая в (1.1.13) Y = Z , получим:
Z Z = ∑ Zn
n
2
~
= ∑ Zk
2
.
(1.1.14)
k
Равенство (1.1.14) аналогично известной в геометрии формуле Пифагора для
квадрата длины вектора.
Преобразование Фурье, как мы увидим в дальнейшем, в точности
соответствует представлению об унитарном повороте ортонормированного
базиса в векторном «пространстве сигналов».
1.1.2 Неортогональный базис
Пусть ψ α – базисные векторы, на которые теперь не накладываются
условия ортонормированности. В этом разделе мы подразумеваем, что число
значений нумерующего индекса α по-прежнему равно размерности векторного
пространства N. Разложение произвольного вектора Z по базису ψ α можно
записать в виде
Z = ∑ uα ′ ψ α ′ ,
α′ = 0,..., N − 1 .
(1.1.15)
α′
Умножение обеих сторон этого равенства на любой из базисных векторов ψ α
дает:
ψα Z =
∑ uα ′
α′
ψ α ψ α′ .
(1.1.16)
Появляющуюся в этом равенстве совокупность величин
α = 0,..., N − 1 ,
zα ≡ ψ α Z ,
(1.1.17)
по отношению к данному
естественно назвать образом вектора Z
преобразованию. В общем случае такой образ не совпадает с коэффициентами
uα в разложении (1.1.15). Действительно, равенство между ψ α Z и uα имеет
место только в случае ортонормированного базиса
ψ α , когда
ψ α ψ α′ = δ α α′ . В отсутствие ортонормировки базисных векторов ψ α набор
величин
11
g α α′ = ψ α ψ α′
(1.1.18)
отличается от символа Кронекера δα α′ . Эти величины (в геометрии они играют
роль метрического тензора) составляют матрицу g , которая в силу равенства
ψ α ψ α′ = ψ α′ ψ α * обладает свойством эрмитовости: g = g + .
Знание величин g α α′ позволяет, в принципе, решить
задачу
по заданному образу zα . Действительно,
восстановления вектора Z
соотношения (1.1.16) в такой задаче приобретают смысл системы
неоднородных линейных уравнений для неизвестных uα с коэффициентами
g α α′ :
∑ g α α ′ uα ′ = z α .
α, α′ = 0,1, ..., N − 1 .
(1.1.19)
α′
Если определитель матрицы g α α′ отличен от нуля, то существует обратная
матрица ( g −1 ) α α′ , и решения системы (1.1.19) имеют вид:
uα =
∑ ( g −1 ) α α′ zα′ .
(1.1.20)
α′
Подставив найденные uα в правую часть равенства
en Z = ∑ uα en ψ α ,
α
возникающего в результате умножения обеих сторон соотношения (1.1.15) на
элемент en ортонормированного базиса, и пользуясь обозначением
ψ n, α ≡ en ψ α ,
получим формулу восстановления компонент Z n = en Z вектора по его образу
zα :
Zn = ∑
α
∑ ( g −1 ) α α′ zα′ ψ n, α .
α′
12
(1.1.21)
Если предварительно вычислить «ковариантные» базисные функции χ n, α ,
χ n, α ≡ ∑ ( g −1 ) α′ α ψ n, α′ ,
α′
то восстановление любого вектора можно производить по более простой
формуле
Z n = ∑ χ n , α zα .
(1.1.22)
α
Величины χ n, α можно трактовать как компоненты χ n, α = en χ α
неких
векторов χ α , зависящих от выбора ψ α :
χ α = ∑ ( g −1 ) α′ α ψ α′ .
(1.1.23)
α′
С учетом определений (1.1.23) и (1.1.17) формула восстановления (1.1.22)
принимает вид
Z = ∑ χα ψα Z .
(1.1.24)
α
Существование матрицы g −1 следует считать включенным в определение
понятия «базис ψ α », поскольку обычно нас не интересуют разложения
векторов по системам векторов, не допускающим обратного преобразования.
Легко найти также условие полноты базиса ψ α , необходимое для того, чтобы
в результате восстановления возникал исходный, а не какой-то другой объект
Z . Видно, что равенство (1.1.24) будет иметь место для любого Z , если
следующее выражение обладает свойствами оператора тождественного
преобразования («единичного оператора» 1, действие которого эквивалентно
умножению векторов на единицу):
∑
α
χα
ψα = 1.
Это и есть искомое условие полноты системы базисных векторов ψ α . В
случае ортогонального базиса ψ α входящие сюда векторы χ α совпадают с
ортами ψ α .
13
1.1.3 Фрейм
Компоненты N-мерного вектора, определенные в N-мерном базисе,
содержат необходимую и достаточную информацию о векторе. Как мы увидим
в дальнейшем, вейвлетный образ сигнала часто включает избыточную
информацию о сигнале. Подобным же образом обстоит дело и в случае
оконного преобразования Фурье. В таких случаях преобразование оказывается
аналогичным разложению вектора по переполненной системе векторов.
В понятие базиса входит условие линейной независимости базисных
векторов. Векторы называются линейно независимыми, если их линейная
комбинация обращается в нуль только тогда, когда равны нулю все
коэффициенты этой линейной комбинации. В переполненной системе векторов
(в которой число векторов M превышает размерность пространства N) векторы
заведомо линейно зависимы, поэтому такую систему не принято называть
базисом, даже если она вполне пригодна для разложения и восстановления
любых векторов данного пространства. В связи с этим вводится понятие
«фрейм» (или «каркас»), более общее, чем «базис». Фрейм – это совокупность
векторов, в общем случае линейно зависимых, которую можно использовать
для разложения и восстановления любого вектора в рассматриваемом
пространстве [1–4].
Итак, пусть совокупность M векторов (где M ≥ N ):
α = 0, 1, …, M–1,
ψα ,
(1.1.25)
образует фрейм в N-мерном пространстве с ортонормированным базисом en .
Воспользуемся фреймом для построения образа wα произвольного вектора
Z :
wα ≡ ψ α Z ,
(1.1.26)
Если количество векторов ψ α больше размерности пространства, то они
линейно зависимы, и определитель матрицы g α α′ = ψ α ψ α′ обращается в
нуль. Тогда не существует обратной матрицы, и рассмотренная в предыдущем
разделе процедура восстановления произвольного вектора по его образу теряет
силу. Чтобы получить более общую формулу восстановления, введем в дело так
называемый фреймовый оператор L:
L = ∑ ψα ψα .
α
14
(1.1.27)
Результат действия фреймового оператора на произвольный вектор Z есть
с коэффициентами wα ,
линейная комбинация векторов фрейма ψ α
составляющими образ вектора Z по отношению к данному фрейму:
L Z = ∑ ψ α ψ α Z = ∑ ψ α wα .
α
(1.1.28)
α
Понятие фрейма базируется на предположении, что вектор L Z содержит
полную информацию о произвольном исходном векторе Z , так что найдется
оператор L−1 , позволяющий преобразовать L Z
обратно в Z . Применив
оператор L−1 к обеим сторонам равенства (1.1.28), получаем искомую формулу
восстановления:
Z = ∑ L−1 ψ α ψ α Z .
(1.1.29)
α
Ей можно придать более простой вид, если ввести в рассмотрение новую
совокупность векторов
~ = L−1 ψ ,
ψ
α
α
α = 0, 1, …, M–1,
(1.1.30)
называемую двойственным фреймом по отношению к исходному фрейму
ψ α ; при этом, как видно из (1.1.29),
~ ψ Z .
Z =∑ ψ
α
α
(1.1.31)
α
Таким образом, величины wα = ψ α Z , представляющие собой образ вектора
по отношению к исходному фрейму ψ α , являются коэффициентами
разложения этого вектора по двойственному фрейму.
Ниже мы увидим, что двойственным фреймом для двойственного фрейма
оказывается первоначальный фрейм. Поэтому наряду с равенством (1.1.31)
справедливо соотношение, в котором исходный и двойственный фреймы
меняются ролями:
~ Z .
Z = ∑ ψα ψ
α
α
15
(1.1.32)
Теперь опишем рассмотренную конструкцию в компонентной форме,
возникающей в результате разложения всех векторов по ортонормированному
базису en N-мерного пространства. Компоненты векторов фрейма
ψ nα = en ψ α , где n = 0, 1, …, N–1, α = 0, 1, …, M–1,
(1.1.33)
составляют прямоугольную матрицу с N строками и M столбцами.
Произведение этой матрицы с транспонированной и комплексно сопряженной
матрицей образует квадратную матрицу N × N оператора L по отношению к
ортонормированному базису en
Lnn ′ = ∑ en ψ α ψ α en ′ = ∑ ψ nαψ∗n ′α .
α
(1.1.34)
α
Правая сторона равенства (1.1.34) не меняется при перестановке индексов n, n′
и комплексном сопряжении, то есть матрица L обладает свойством
эрмитовости: L+ = L . Вычислив обратную матрицу L−1 , легко найти
компоненты векторов двойственного фрейма (1.1.30):
~ = ( L−1 ) ψ .
ψ
nα ∑
n n ′ n ′α
(1.1.35)
n′
Повторное построение двойственного фрейма заключается в применении к
векторам (1.1.30) оператора, обратного оператору
~
~ ψ
~ .
L=∑ ψ
α
α
α
При этом мы возвращаемся к исходному фрейму, так как с учетом эрмитовости
оператора L и его определения (1.1.27) имеем:
∑
α
−1
−1
−1 +
−1
~ ψ
~ = L−1 ψ
ψ
∑
α
α
α L ψα = L ∑ ψα ψα ( L ) = L .
α
α
Вводя наряду с wα -образом
wα = ψ α Z = ∑ ψ∗nα Z n
n
~ вектора Z по отношению к двойственному фрейму
образ w
α
16
(1.1.36)
~ Z = ψ
~ = ψ
w
∑ ~ ∗nα Z n ,
α
α
(1.1.37)
n
можно соотношения (1.1.31) и (1.1.32) представить в форме:
~ ψ Z
Zn = ∑ ψ
α
nα
,
~ Z
Z n = ∑ ψ nα ψ
α
.
α
α
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(1.1.38)
Понятие фрейма охватывает, в частности, случаи неортогонального
базиса и ортогонального базиса. Так, фрейм, лишенный избыточности, то есть
состоящий из M = N (где N – размерность пространства) линейно независимых
векторов ψ α , в общем случае представляет собой неортогональный базис.
Соответствующие ему «ковариантный базис» χ α и двойственный фрейм
~ , определенные формулами (1.1.23) и (1.1.30), совпадают друг с другом.
ψ
α
Действительно, сравнивая равенства (1.1.24) и (1.1.31), получим
N −1
∑(
α=0
~
χα − ψ
α
) wα
= 0,
где N величин wα = ψ α Z в силу произвольности N-мерного вектора Z
можно рассматривать как независимые переменные. Отсюда и следует, что
~ при всех α = 0,..., N − 1 , то есть:
χα = ψ
α
~ = ( g −1 )
ψ
∑
α
α ′ α ψ α′ ,
α, α′ = 0,1, ..., N − 1 .
α′
Этот факт, в свою очередь, позволяет убедиться, что в рассматриваемом случае
(когда отсутствует избыточность фрейма) для фрейма и двойственного ему
фрейма справедливо так называемое соотношение биортогональности:
~ =δ .
ψβ ψ
α
βα
Действительно,
~ = ψ
ψβ ψ
α
β
∑ ( g −1 ) α′ α
α′
ψ α′ = ∑ ( g −1 ) α′ α ψβ ψ α′ =
α′
17
(1.1.39)
= ∑ ( g −1 ) α′ α gβα′ = ( gg −1 )βα = δβα .
α′
В случае ортонормированного фрейма выполняются равенства
~
совпадает с
g α′α = ( g −1 ) α′α = δ α′α , и тогда двойственный фрейм ψ
α
исходным фреймом ψ α , причем соотношение биортогональности (1.1.39)
переходит в обычное условие ортонормировки базиса ψ α .
Выведем количественный критерий того, что произвольная система
M ≥ N векторов ψ α образует фрейм в N-мерном пространстве. Пользуясь
формулой (1.1.27), которая определяет эрмитов оператор L, заметим, что для
любого вектора Z справедливо следующее соотношение:
M −1
∑
α=0
ψα Z
2
= ∑ Z ψα ψα Z = Z L Z .
(1.1.40)
α
По отношению к N-мерному ортонормированному базису en оператор L
представляется эрмитовой матрицей Ln n ′ . Всякая эрмитова матрица размера
N × N , как известно, имеет N вещественных собственных значений (среди них
могут быть равные друг другу), причем определитель матрицы равен
произведению ее собственных значений. Пусть λ 0 ,..., λ N −1 – собственные
значения матрицы Ln n ′ , λ k – принадлежащие им собственные векторы
(напомним, что λ k ≠ 0 по определению собственных векторов):
L λk = λk λk .
Для того чтобы векторы ψ α
(1.1.41)
составляли фрейм, необходимо существование
обратной матрицы ( L−1 ) n n ′ , поэтому мы требуем, чтобы определитель матрицы
Ln n ′ был отличен от нуля. Это означает, что отличны от нуля все собственные
значения λ 0 ,..., λ N −1 .
Полагая в (1.1.40) Z = λ k , имеем
∑
α
ψα λk
2
18
2
= λk λk λk = λk λk .
Отсюда следует, что все собственные значения матрицы Ln n ′ положительны:
∑
α
λk =
2
ψα λk
λk
> 0.
2
Для двойственного фрейма аналогичную роль играют величины
1 / λ 0 ,...,1 / λ N −1 , являющиеся собственными значениями матрицы ( L−1 ) n n ′ .
Обозначив наименьшее и наибольшее из чисел λ 0 ,..., λ N −1 соответственно как
А и В, можем утверждать, что
0< A≤ B < ∞.
(1.1.42)
Как известно, из собственных векторов эрмитовой матрицы можно
построить ортонормированный базис (если не все собственные значения
различны, то таких базисов найдется сколько угодно). Пусть λ n , где
n = 0,..., N − 1 , – ортонормированный базис N-мерного пространства,
построенный из собственных векторов матрицы Ln n ′ . Воспользуемся этим
базисом для задания компонент ζ n произвольного вектора Z , так что:
N −1
∑ ζn
Z =
n =0
λn .
Тогда действие фреймового оператора L с учетом (1.1.41) запишется в форме
LZ =
N −1
∑
n =0
ζn L λn =
N −1
∑
n =0
ζn λn λn ,
и соотношение (1.1.40) примет вид
M −1
∑
α=0
ψα Z
2
=
N −1
∑
n =0
2
λn ζn .
В силу указанного выше определения постоянных А и В, для любого Z
численное значение суммы в правой стороне этого равенства не меньше, чем
19
N −1
A ∑ ζn
2
=A Z
2
,
2
=B Z
2
.
n =0
и не больше, чем
B
N −1
∑
n =0
ζn
Таким образом, можно дать следующее определение фрейма. Векторы ψ α
образуют фрейм, если существуют константы А и В такие, что справедливо
(1.1.42), и для любого Z в рассматриваемом пространстве выполняются
соотношения:
A Z
2
≤∑
α
ψα Z
2
≤B Z
2
.
(1.1.43)
Постоянные А и В называются границами фрейма. Если A = B , то фрейм
ψ α называют жестким фреймом; при этом он все еще может быть
избыточным. В случае жесткого фрейма имеем Ln n ′ = A δn n ′ , обратная матрица
дается простой формулой ( L−1 ) n n ′ = (1 / A) δ n n ′ , и, следовательно, двойственный
~ = (1 / A) ψ . Если A = B = 1 , то фрейм является
фрейм есть
ψ
α
α
~ = ψ .
ортонормированным базисом и совпадает со своим двойственным: ψ
α
α
В практическом анализе сигналов мы имеем дело с пространствами
числовых данных очень большой размерности, N >> 1 , а с теоретической точки
зрения – даже с бесконечномерными пространствами. Но чтобы понятие
фрейма не казалось слишком абстрактным, его можно пояснить с помощью
изображений векторов на обычной плоскости, то есть – для элементарного
случая с размерностью векторного пространства N=2.
Рис. 1.1, a – здесь (слева) показан ортонормированный базис e n , n = 1, 2 ,
по отношению к которому мы будем определять компоненты векторов и
20
матриц L фреймовых операторов в рассматриваемых далее примерах. Для
фрейма ψ α ≡ e α , совпадающего с данным ортогональным базисом, формула
(1.1.34) приводит к матрице фреймового оператора, имеющей диагональный
вид и совпадающей с матрицей оператора тождественного преобразования:
⎛1 0⎞
матрица L = ⎜⎜
⎟⎟ ,
0
1
⎝
⎠
так что A = 1 , B = 1 ,
где A и B – собственные значения матрицы L.
На рис. 1.1, b (рисунок справа) показаны два вектора, которые не могут
составить ни базис, ни фрейм. Действительно, для них
⎛ 2 0⎞
матрица L = ⎜⎜
⎟⎟ , так что A = 0 , B = 2 ,
⎝ 0 0⎠
и, следовательно, обратный оператор L−1 не существует.
___________________________________________________________________
Рис. 1.2, a. – здесь изображены векторы
ψ1 = e1 ,
1
3
ψ 2 = − e1 +
e2 ,
2
2
1
3
ψ3 = − e1 −
e2 .
2
2
Поскольку для них
⎛3/ 2 0 ⎞
матрица L = ⎜⎜
⎟⎟ ,
0
3
/
2
⎝
⎠
так что A = B =
3
,
2
то эти три вектора ψ α образуют жесткий фрейм. На рис. 1.2, b изображен
~ (1.1.30); он отличается от исходного фрейма (рис.
двойственный фрейм ψ
α
~ = L−1ψ = ( 2 / 3) ψ .
1.2, a) лишь постоянным множителем 2/3, так как ψ
α
21
α
α
Рис. 1.3, a – фрейм ψ α , возникающий в результате добавления к
ортонормированному базису суммы двух базисных ортов:
ψ1 = e1 ,
ψ 2 = e1 + e 2 ,
ψ3 = e 2 .
В данном примере фрейм не является жестким:
⎛2 1⎞
матрица L = ⎜⎜
⎟⎟ , ее собственные значения: A = 1 , B = 3 .
1
2
⎝
⎠
~ = L−1ψ , вычисляем L−1 :
Чтобы найти двойственный фрейм ψ
α
α
⎛ 2 / 3 − 1 / 3⎞
матрица L−1 = ⎜⎜
⎟⎟ .
1
/
3
2
/
3
−
⎝
⎠
Полученный двойственный фрейм,
~ = 2e − 1e ,
ψ
1
1
2
3
3
~ = 1e + 1e ,
ψ
2
1
2
3
3
~ = −1e + 2e ,
ψ
3
1
2
3
3
показан на рис. 1.3, b.
Изображенные на рисунках 1.2–1.3 фреймы обладают свойством
избыточности, так как они содержат по три вектора в двумерном пространстве.
Если в примере, показанном на рис. 1.3, a, удалить вектор ψ3 , то оставшиеся
два вектора составят уже не избыточный (и не жесткий) фрейм, пригодный на
роль неортогонального базиса. Это иллюстрирует следующий рисунок.
22
Рис. 1.4, a – фрейм без избыточности, описываемый формулами
ψ1 = e1 ,
ψ 2 = e1 + e 2 .
Для него:
⎛ 2 1⎞
матрица L = ⎜⎜
⎟⎟ ,
⎝ 1 1⎠
⎛ 1
матрица L−1 = ⎜⎜
⎝−1
A=
3− 5
,
2
B=
3+ 5
,
2
−1 ⎞
⎟ .
2 ⎠⎟
~ = L−1ψ :
Рис. 1.4, b – двойственный фрейм ψ
α
α
~ =e ,
ψ
2
2
~ =e −e .
ψ
1
1
2
Нетрудно заметить, что в этом примере, как и должно быть для фрейма без
избыточности, выполняется соотношение биортогональности (1.1.39):
~ =δ ,
ψα ⋅ ψ
α′
α α′
α, α′ = 1, 2 .
___________________________________________________________________
Все рассмотренные в данном разделе представления могут быть
определенным образом обобщены на случай бесконечномерного пространства
функций [1–4].
23
1.2 Дискретное преобразование Фурье
В практике эксперимента измеряемые сигналы регистрируются на
интервалах времени конечной протяженности Т. Обычно регистрирующая
аппаратура записывает сигнал только в дискретные равномерно
распределенные моменты времени tn :
n = 0, 1, ..., N − 1 ,
tn = n Δ t ,
(1.2.1)
где Δt – промежуток времени между соседними отсчетами, N – количество
отсчетов сигнала за время наблюдения Т. В результате, измеренный сигнал z(t)
представляет собой таблицу с конечным числом N выборочных значений zn
функции z(t):
z n = z ( tn ) .
Для определения спектра частот, характеризующего дискретный сигнал
zn , применяют дискретное преобразование Фурье. Выведем формулы
дискретного фурье-преобразования, пользуясь изложенным в предыдущем
разделе представлением об ортонормированных базисах N-мерного векторного
пространства.
С дискретными значениями сигналов zn = z (tn ) , yn = y (tn ) естественно
связать компоненты N-мерных векторов Z , Y :
Zn ≡
1
z (tn ) ,
N
Yn ≡
1
y ( tn ) .
N
(1.2.2)
При этом любым двум сигналам можно сопоставить скалярное произведение
Y Z =∑
n
Yn∗ Z n
1
=
N
N −1
∑
n =0
y ∗ ( tn ) z ( tn ) .
(1.2.3)
Число N мы ввели в определения (1.2.2)–(1.2.3) для снижения чувствительности
значений скалярного произведения Y Z к шагу временной выборки Δt =T/N
на интервале времени Т. Действительно, если более скоростная аппаратура
произведет запись сигнала с меньшим шагом Δt , то длина выборки N в (1.2.3)
увеличится, но благодаря множителю 1/N результат Y Z
изменится
незначительно. Можно даже рассматривать предел выражения (1.2.3) при
N → ∞ , в котором интервал времени Δt = T / N → dt становится бесконечно
малой величиной, а сумма (1.2.3) обращается в определенный интеграл:
24
1T
Y Z →
dt y ∗ (t ) z (t ) .
∫
T0
(1.2.4)
При конечном N величина (1.2.3) дает приближенную оценку для выражения в
правой стороне (1.2.4), соответствующую численному интегрированию хорошо
известным методом прямоугольников.
Компоненты векторов (1.2.2) относятся к ортонормированному базису
en , который естественно назвать базисом t-представления (временное
представление). В этом представлении индекс n нумерует дискретные моменты
времени tn . Преобразование Фурье – это переход к другому
ортонормированному базису, орты которого e~k задаются комплексными
«синусоидами»
1
(1.2.5)
en e~k ≡
exp ( −i ω k tn )
N
с определенными значениями круговой частоты ω :
ωk =
2π
k,
T
k = 0, 1, 2, ... N − 1 .
(1.2.6)
ω -представления
(частотное
Функции
(1.2.5)
называют
базисом
представление). Если частоту гармонического колебания определять формулой
f = ω / 2π, то последовательность частот (1.2.6) запишется в виде:
fk =
k
,
T
k = 0, 1, 2, ... N − 1 .
∗
Подставив комплексно сопряженное выражение en e~k = e~k en в формулу
преобразования компонент вектора при унитарном повороте ортонормированного базиса,
N −1
~
Z k = ∑ Z n e~k en ,
(1.2.7)
n =0
получаем формулу дискретного преобразования Фурье для сигнала zn :
1
~
Zk =
N
N −1
∑ zn exp ( i ω k tn )
n =0
25
.
(1.2.8)
Обратное
преобразование,
позволяющее
по
фурье-коэффициентам
~
Zk
восстановить исходный массив значений zn = z (tn ) = N Z n , имеет вид
zn =
N −1 ~
∑ Z k exp ( − i ω k tn )
.
(1.2.9)
k =0
Это равенство интерпретируется как разложение сигнала zn = z (tn ) на
гармоники с определенными частотами ωk .
С учетом равенств (1.2.1) и (1.2.6) полученные формулы дискретного
преобразования Фурье (прямого и обратного) записываются следующим
образом:
1 N −1
~
⎛ 2π n k ⎞
(1.2.10)
Zk =
zn exp ⎜ i
⎟,
∑
N n =0
⎝ N ⎠
zn =
N −1 ~
⎛
⎝
∑ Z k exp ⎜ − i
k =0
2π n k ⎞
⎟.
N ⎠
(1.2.11)
Для доказательства этих соотношений достаточно убедиться в том, что
базис ω -представления обладает свойством ортонормированности:
1
e~k ′ ~
ek =
N
N −1 i 2 π ( k ′− k ) n
e N
∑
n =1
= δ k ′k .
Требуемое равенство легко получить из формулы для суммы геометрической
прогрессии
N
N −1
n 1− q
∑ q = 1− q ,
n =0
i
2π
( k ′− k )
N
.
В этом случае сумма равна нулю при k ′ ≠ k
если положить в ней q = e
и равна N при k ′ = k , так что условие ортонормировки ~
ek ′ e~k = δ k ′k
действительно имеет место.
Мы будем считать, что каждый сигнал описывается вещественными
~
значениями zn . Фурье-компонента Z k любого сигнала несет информацию не
только об амплитуде, но и о фазе гармоники с частотой ω k , и поэтому в общем
~
случае Z k – комплексная величина:
26
~
Z k = Z k e iϕ k ≡ X k + iYk .
(1.2.12)
~
Выражения для вещественной X k и мнимой Yk частей фурье-компоненты Z k
вещественного сигнала zn имеют вид:
1
Xk =
N
1
Yk =
N
N −1
⎛ 2π n k ⎞
⎟,
⎝ N ⎠
∑ zn cos ⎜
n =0
N −1
⎛ 2π n k ⎞
⎟.
⎝ N ⎠
∑ zn sin ⎜
n =0
(1.2.13)
(1.2.14)
Заменив здесь k на N–k, легко заметить, что в силу периодичности и
определенной четности тригонометрических функций выполняются следующие
соотношения симметрии:
X N −k = X k ,
YN − k = −Yk .
(1.2.15)
Они приводят к тому, что число независимых величин среди 2N вещественных
фурье-коэффициентов Xk и Yk всегда равно числу отсчетов N вещественного
сигнала. Поэтому при изучении спектрального состава вещественных сигналов
методом дискретного преобразования Фурье достаточно рассматривать лишь
гармоники с номерами k, не превышающими N/2. Поясним это подробнее.
Если число отсчетов N четное (причем, мы всюду подразумеваем, что N
много больше единицы), то, как видно из выражения (1.2.14), коэффициент
YN / 2 = 0 , и N независимыми коэффициентами Фурье будут величины
X 0 , X 1, X 2 , ..., X N / 2 ;
Y1 , Y2 , ..., Y( N / 2 ) −1 .
Если число точек N нечетное, то N независимыми коэффициентами будут
следующие величины
X 0 , X 1, X 2 , ..., X Int ( N / 2 ) ;
Y1, Y2 , ..., YInt ( N / 2) ,
где символ Int означает целую часть числа. В обоих случаях максимальный
номер гармоники равен
k max = Int ( N / 2) ,
(1.2.16)
а максимальная частота
27
f max =
k max Int( N / 2)
=
.
T
N Δt
Для оценки удобно считать, что максимальная частота анализируемого
дискретного сигнала f max ≈ 1 /(2 Δt ) , где Δt – шаг дискретизации сигнала во
времени. Подобное ограничение диапазона частот сверху представляется
естественным, так как мы не располагаем данными о поведении измеряемого
сигнала на промежутках времени меньших, чем шаг временной дискретизации
Δt . Нижняя граница частотного диапазона определяется полной длительностью
T = NΔt временной выборки сигнала и равна разности соседних значений
частоты:
f min = 1 / T = f k +1 − f k .
Действительно, наблюдая сигнал лишь в течение времени Т, мы не можем
надежно измерить амплитуду колебаний сигнала с периодом, заметно
превышающим Т.
Из выражений (1.2.13)–(1.2.14) видно, что
Y0 = 0 ,
X0 =
1
N
N −1
∑
n =0
zn ≡ < z > ,
(1.2.17)
где < z > – среднее арифметическое величин z0, z1, … zN-1 . С учетом этих
равенств и соотношений симметрии фурье-коэффициентов формула
восстановления дискретного сигнала по его коэффициентам Фурье (1.2.9)
запишется следующим образом.
При нечетном количестве N значений сигнала:
zn = < z > + 2
=<z>+
k max
∑
k =1
k max
∑
k =1
⎛
⎛ 2π n k ⎞
⎛ 2π n k ⎞ ⎞
⎜ X k cos ⎜
⎟ + Yk sin ⎜
⎟⎟ =
⎝ N ⎠
⎝ N ⎠⎠
⎝
~
2 Z k cos (ωk tn − ϕ k ) ,
(1.2.18)
~
где 2 Z k = 2 X k2 + Yk2 – вещественная амплитуда, ϕk = arctg (Yk / X k ) – фаза kой гармоники, n = 0,..., N − 1 .
При четном количестве N значений сигнала:
28
k max −1
⎛
⎛ 2π n k ⎞
⎛ 2π n k ⎞ ⎞
⎜ X k cos ⎜
⎟ + Yk sin ⎜
⎟ ⎟ + X N cos(πn ) .
N
N
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
k =1
2
(1.2.19)
Величина k max дается формулой (1.2.16).
Наряду с амплитудами гармоник, которые определяются выражением
zn = < z > + 2
∑
~
Ak = 2 | Z k | = 2 X k2 + Yk2 ,
спектральный состав вещественного дискретного сигнала часто характеризуют
совокупностью величин Pk , называемой спектром мощности сигнала:
Pk ≡ X k2 + Yk2 ,
k = 0,..., k max ,
(1.2.20)
Это название не следует понимать буквально; оно обусловлено тем, что
величина энергии или мощности колебательного процесса, как известно из
курса классической физики, пропорциональна квадрату амплитуды колебания.
Напомним, что скалярные произведения V Z не меняются при переходе
от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису,
~ ~
∑ Vn∗ Z n = ∑ Vk∗ Z k ,
n
(1.2.21)
k
и, в частности, сохраняется величина квадрата нормы любого вектора
Z
2
= Z Z :
∑
n
Zn
2
~
= ∑ Zk
2
.
(1.2.22)
k
В случае преобразования Фурье соотношения (1.2.21) и (1.2.22) называются,
соответственно, равенствами Парсеваля и Планшереля. Применительно к
дискретному преобразованию Фурье вещественного сигнала zn равенство
Планшереля приобретает вид
1
N
N −1
∑
n =0
zn2 =
N −1
∑
k =0
( X k2 + Yk2 ) .
(1.2.23)
Вспоминая определение среднего квадрата < z 2 > и дисперсии < ( Δz ) 2 >
последовательности дискретных данных zn ,
29
N −1
1
<z >≡
N
2
∑
n =0
zn2 ,
< ( Δz) 2 > = < z 2 > − < z > 2 ,
нетрудно с помощью равенства Планшереля выразить эти характеристики через
спектр мощности:
2
<z >=
N −1
∑
k =0
2
< ( Δz ) > =
Pk ,
N −1
∑
k =1
Pk .
Число слагаемых здесь можно уменьшить, если суммировать лишь вклады
независимых гармоник. Например, при четном количестве точек N получим:
< ( Δz ) 2 > =
⎛ N +1 ⎞
Int ⎜
⎟ −1
⎝ 2 ⎠
∑
k =1
2 ( X k2 + Yk2 ) + X N2 / 2 .
(1.2.24)
Для нечетного количества точек N имеем
< ( Δz ) 2 > =
⎛ N +1 ⎞
Int ⎜
⎟ −1
⎝ 2 ⎠
∑
k =1
2 ( X k2 + Yk2 ) .
(1.2.25)
В исходных формулах разложения Фурье (1.2.8)–(1.2.9) также
целесообразно исключить вклады со значениями частоты, превышающими
верхнюю границу частотного диапазона. Для этого надо учесть соотношение
симметрии, вытекающее из (1.2.10) при замене k на N − k ,
~
~
Z N −k = Z −k ,
совместно с равенством
e
− iω N − k t n
=e
i
2π
kn
N
= e − iω− k t n .
(1.2.26)
(1.2.27)
Если теперь ввести в рассмотрение не только положительные, но и
отрицательные значения круговой частоты
ωk =
2π
k,
T
k = 0 , ± 1, ± 2 , ... ,
30
(1.2.28)
то формула дискретного фурье-разложения (1.2.9) с нечетным N примет
следующий вид:
k max
~
z (tn ) = ∑ Z k exp( −iωk tn ) .
(1.2.29)
k = − k max
При достаточно большом N количественное различие между случаями
нечетного и четного N становится незаметным; кроме того, всегда можно
перейти от одного случая к другому, пожертвовав в имеющейся выборке
z0 , z1 ,..., z N −1 последним или первым членом.
Главным свойством базисных функций преобразования Фурье является
их периодичность по временному аргументу. Действительно, поскольку все
частоты гармоник ωk кратны «основной» частоте 2π / T , любая из базисных
функций exp( ±iω k tn ) периодична с периодом T по аргументу tn .
Следовательно, любая сумма гармоник (1.2.29) имеет такую же периодичность.
Это означает, что дискретный сигнал zn = z (tn ) , представленный формулой
дискретного фурье-разложения (1.2.29), можно рассматривать как выборку
значений периодической функции z (t ) с периодом T = NΔt на бесконечном
временном интервале − ∞ < t < ∞ . В такой интерпретации индекс n у
последовательности zn принимает бесчисленное множество положительных и
отрицательных значений: n = 0,±1,±2,... .
Наряду с дискретным преобразованием Фурье в анализе сигналов
существенную роль играет автокорреляционная функция C zz ( m ) :
C zz ( m ) =
1
N
N −1
∑ zn zn + m .
(1.2.30)
n =0
Здесь предполагается, что значения сигнала zn = z (tn ) периодически
повторяются вне интервала n = 0, 1, … , N–1, то есть zn = zn + N ; поэтому
автокорреляционная функция (1.2.30) обладает свойством C zz ( m + N ) = C zz ( m )
и называется циклической, Автокорреляционная функция показывает,
насколько взаимосвязаны между собой значения сигнала в различные моменты
времени tn и tn + m . В отсутствие такой взаимосвязи значения корреляционной
функции стремятся к нулю. Разложение Фурье для корреляционной функции
имеет вид
C zz ( m ) =
N −1
⎛ 2πkm ⎞
⎟.
N
⎝
⎠
∑ ( X k2 + Yk2 ) cos ⎜
k =0
31
(1.2.31)
При m=0 величина автокорреляционной функции совпадает со средним
квадратом последовательности данных zn :
C zz (0) = < z 2 > .
Аналогичным образом вводится корреляционная функция Cor(m) для
отклонений сигнала zn от его среднего значения < z >:
Cor ( m ) =
1
N
N −1
∑
n =0
( zn − < z > ) ( zn + m − < z > ) .
(1.2.32)
Связь между указанными корреляционными функциями дается равенством
C zz ( m ) = Cor ( m ) + < z > 2 .
(1.2.33)
Отметим, что в литературных источниках и пакетах программ численного
анализа можно встретить различные определения нормировочных множителей
у коэффициентов Фурье, а также знаков в экспонентах. Часто в формуле
(1.2.11) разложения сигнала zn по фурье-гармоникам вводится множитель 1/N,
а показатель экспоненты берется с противоположным знаком. Это, в свою
очередь, приводит к тому, что множитель 1/N исчезает из выражения для
фурье-компонент (1.2.10), причем в показателе экспоненты также меняется
знак. Встречается и другой вариант, в котором множитель 1/N1/2 входит
симметричным образом как в прямое, так и в обратное преобразование Фурье.
Кроме того, в пакетах математических программ дискретное преобразование
Фурье, прямое и обратное, выполняется с помощью специальных алгоритмов,
позволяющих уменьшить число необходимых операций умножения и сложения
и тем самым сократить время вычислений [3, 5, 6]. Такие алгоритмы получили
название быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Приведем несколько конкретных примеров дискретного фурьеразложения. Мы начнем с очень простых примеров, в которых сигналы z(t)
представляются суммой небольшого числа гармонических колебаний:
K
z (t ) = 2 ∑ ( X k cos ( 2πf1k t ) + Yk sin ( 2 πf1k t ) ) ,
(1.2.34)
k =1
где X k , Yk – фурье-коэффициенты, K – номер наивысшей учтенной гармоники.
Если принять, что сигналы наблюдаются в интервале времени 0–1 сек, то
соответствующая периоду Т = 1 сек основная частота f1 = 1 / T составит 1 Гц.
32
Разбив период Т на N = 1000 промежутков длительностью Δt = 0,001 сек , мы
будем рассматривать графики дискретных массивов zn = z ( n Δt ) . Выбранное
нами N достаточно велико, поэтому получаемые таким образом графики будут
выглядеть как сплошные линии.
Пример 1. Пусть X k = −2( πk ) − 2 при нечетных k = 1,3,5 ,..., а остальные
коэффициенты X k и Yk в формуле (1.2.34) равны нулю. Можно показать, что
именно такие значения коэффициентов возникают в результате преобразования
Фурье сигнала «треугольной» формы. Сейчас мы не будем это доказывать, но с
интересом проследим за изменением формы сигнала по мере увеличения числа
K учитываемых гармонических составляющих. На рис. 1.5 представлен
результат учета только основной гармоники.
Рис. 1.5. На верхнем рисунке изображен график гармонического
колебания A1 cos( ω1t + π) с амплитудой A1 = 2 | X 1 | . Напомним, что амплитуды
33
Ak вещественного сигнала связаны с фурье-коэффициентами X k , Yk формулой
Ak = 2 X k2 + Yk2 .
В
нашем
примере
фазовый
сдвиг
π
соответствует
отрицательному знаку фурье-коэффициентов X k . Для иллюстрации
периодичности сигнала его график приведен на интервале времени, в три раза
превышающем величину основного периода Т. На среднем рисунке показан
амплитудно-частотный спектр; для единственного гармонического колебания
отлична от нуля только одна спектральная составляющая. При Δt = 0,001 сек
верхняя граница полного диапазона частот составляет 500 Гц, но мы
изобразили лишь его часть, до 40 Гц. На нижнем рисунке показан график
корреляционной функции Cor(τ), где время τ = mΔt, а m – номер отсчета.
Следующие рисунки иллюстрируют улучшение формы восстанавливаемого треугольного сигнала, а также изменения его амплитудного спектра
при учете большего числа фурье-гармоник.
Рис. 1.6. На верхнем рисунке приведен график суммы двух
гармонических колебаний с коэффициентами X 1 = −2π − 2 и X 3 = −2(3π) − 2 ,
входящими в (1.2.34). Все остальные фурье-коэффициенты в выражении
(1.2.34) выбраны равными нулю. На нижнем рисунке изображен амплитудночастотный спектр этого сигнала. Мы видим здесь присутствие двух
спектральных компонент с частотами f1 = 1 Гц и f 3 = 3 f1 = 3 Гц . Отношение их
амплитуд A3 / A1 равно X 3 / X 1 = 1 / 9 . Отношение соответствующих компонент
34
спектра мощности в данном случае оказывается довольно малой величиной,
P3 / P1 = ( X 3 / X 1 ) 2 = 1 / 81 , так что на графике такого спектра мощности было бы
трудно заметить присутствие компоненты с частотой f3. В подобных случаях,
когда амплитуды спектральных составляющих сигнала сильно различаются,
картина амплитудного спектра более информативна, чем изображение спектра
мощности. График корреляционной функции на рис. 1.6 не показан, поскольку
он приблизительно такой же, как график Cor(τ), приведенный на рис. 1.5.
___________________________________________________________________
Рис. 1.7. На верхнем рисунке изображен график сигнала z(t),
представляющего собой сумму пяти гармонических колебаний с отличными от
нуля амплитудами X k = −2( πk ) − 2 , где k = 1,3,5,7,9 . Остальные фурьекоэффициенты в выражении (1.2.34) взяты равными нулю. На нижнем рисунке
показан соответствующий амплитудно-частотный спектр. Как видно, пять
гармоник уже отчетливо воспроизводят форму треугольного сигнала.
35
Пример 2. Наш следующий пример иллюстрирует так называемое
спектральное растекание. Оно представляет собой нежелательный эффект,
появляющийся при изучении частотного спектра сигналов, которые содержат
колебания с частотами, не кратными основной частоте преобразования Фурье
f1=1/T.
Рис. 1.8. Верхний рисунок изображает два сигнала вида z (t ) = cos(2π f t ) с
частотами 10 и 10,5 Гц. На среднем и нижнем рисунках представлен результат
дискретного фурье-преобразования этих сигналов в интервале времени 0–1 сек
(Т=1 сек). Длина выборки N = 1000 , разрешение по частоте 1 / T = 1 Гц, шаг
дискретизации по времени Δt = T / N = 0,001 сек. Видно, что сигнал с частотой
10 Гц совершает на интервале Т целое число (десять) полных циклов
гармонического колебания, и в этом случае результат дискретного
36
преобразования Фурье позволяет определить частоту сигнала с предельной
точностью, равной частотному разрешению 1 / T . Однако при нецелом числе
циклов, попадающих в интервал Т, наблюдается значительное растекание
спектрального пика вдоль оси частоты – фурье-преобразование обнаруживает
много боковых частот, которых, казалось бы, не должно быть в спектре
входного сигнала с частотой 10,5 Гц.
Это явление, на первый взгляд удивительное, объясняется просто. Дело в
том, что входной сигнал длительностью Т «воспринимается» дискретным
преобразованием Фурье как функция, имеющая период Т. Сигнал, который на
отрезке времени 0–1 сек выглядит гармоническим колебанием с частотой
10,5 Гц, но интерпретируется как периодическая функция с периодом T = 1 сек,
не является гармоническим колебанием на всей оси времени и поэтому имеет
сложный спектр. Указанное отличие сигнала от гармонического колебания
легко наблюдать, построив периодически продолженный график сигнала, или,
что то же самое, восстановив сигнал в широком интервале времени с помощью
обратного преобразования Фурье. Результат такого восстановления для сигнала
«10,5 Гц» показан на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Верхний рисунок изображает сигнал «10,5 Гц», восстановленный
по формуле (1.2.19) в интервале времени 0–2,2 сек c фурье-коэффициентами,
найденными для интервала 0–1 сек. Этот сигнал отличается от гармонического
колебания присутствием разрывов на стыках отрезков времени длительностью
T = 1 сек. На левом рисунке в нижнем ряду показан график нового сигнала
длительностью T = 1 сек, который получен как фрагмент предыдущей
разрывной функции, взятый из интервала 0,6–1,6 сек. Новый сигнал имеет
37
особенность внутри интервала, а не на краях. Амплитудно-частотный спектр
этого сигнала показан на правом рисунке в нижнем ряду. Как видно, он в
точности совпадает со спектром сигнала «10,5 Гц», приведенным на рис. 1.8.
Таким образом, мы убеждаемся, что спектральное растекание вызвано
особенностями сигнала, возникающими при периодическом продолжении
сигнала за пределы интервала Т, в котором выполняется дискретное
преобразование Фурье.
Для уменьшения спектрального растекания граничные особенности
частично или полностью устраняют путем умножения значений сигнала zn на
весовые коэффициенты g n , убывающие при n → 0 и n → N − 1. Нужные
коэффициенты можно получить как дискретную выборку значений некоторой
функции g (t ) , называемой сглаживающим окном. Преобразование Фурье
выполняется над сигналом вида g n zn , соответствующим выборке значений
произведения g (t ) z (t ) , которое непрерывно убывает на границах интервала Т.
Известно много функций g (t ) , подходящих на роль сглаживающего окна;
некоторые из них перечислены в табл. 1.1.
Табл. 1.1
Название
Функция g (t )
Выборка g n , n = 0,..., N − 1
Гауссовское
окно
⎛ ⎛ T − 2t ⎞ 2 ⎞
⎟ ⎟,
g (t ) = exp⎜ − ⎜⎜
⎜ ⎝ T σ ⎟⎠ ⎟
⎠
⎝
⎛ ⎛ N − 1 − 2 n ⎞2 ⎞
⎟ ⎟
g n = exp⎜ − ⎜⎜
⎜ ⎝ (N − 1) σ ⎟⎠ ⎟
⎠
⎝
0 < σ ≤1
0 < σ ≤1
Окно
Хемминга
⎛ 2πt ⎞
g (t ) = 0,54 − 0,46 cos ⎜
⎟
⎝ T ⎠
⎛ 2 πn ⎞
g n = 0,54 − 0,46 cos ⎜
⎟
⎝ N −1⎠
Окно Ханна
1⎛
⎛ 2 πt ⎞ ⎞
g (t ) = ⎜1 − cos ⎜
⎟⎟
2⎝
⎝ T ⎠⎠
1⎛
⎛ 2 πn ⎞ ⎞
g n = ⎜1 − cos ⎜
⎟⎟
2⎝
⎝ N −1⎠⎠
Роль сглаживающих окон иллюстрируется рисунком 1. 10, где для примера
показано влияние окна Ханна на амплитудно-частотный спектр рассмотренных
выше сигналов «10 Гц» и «10,5 Гц».
38
Рис. 1.10. В верхнем ряду слева показан график окна Ханна, справа –
сигналы частотой 10 Гц (пунктир) и 10,5 Гц (сплошная кривая), сглаженные с
помощью этого окна. В среднем ряду представлены амплитудные спектры
сглаженных сигналов, в нижнем ряду – их спектры мощности. Для того чтобы
эти результаты было легче сравнивать с рис. 1.8, приведенные здесь амплитуды
умножены на отношение нормы z к gz , а спектры мощности аналогичным
образом перенормированы умножением на квадрат указанного отношения.
Видно, что сглаживающее окно позволило сузить спектральный пик с частотой,
не кратной основной частоте преобразования Фурье, однако пик с кратной
частотой стал несколько более широким. В целом, сглаживание приводит к
более уверенному определению частотного состава сигналов.
39
Пример 3. Рассмотрим еще одно явление, способное сильно исказить
частотный спектр изучаемого сигнала. Речь идет о так называемом наложении
спектров, возникающем при выборе слишком низкой частоты дискретизации
1 / Δt .
В предыдущих примерах верхняя граница анализируемого диапазона
частот, f max = 1 /( 2 Δt ) = 500 Гц, намного превышала наибольшую частоту
сигнала. В подобных случаях выгодно понизить f max , увеличив шаг
дискретизации Δt , поскольку при этом уменьшается длина массива zn ,
образующегося в результате дискретизации сигнала z (t ) , и соответственно
сокращаются затраты времени на вычисления. Оказывается, если значение
f max станет меньше частоты какой-либо из составляющих входного сигнала
z (t ) , то в спектре дискретного сигнала zn появятся новые гармоники, которые
будут препятствовать получению достоверной информации о спектре исходной
функции z (t ) .
Пусть, например, функция z (t ) представляет собой сумму синусоиды
частотой 4 Гц единичной амплитуды с синусоидой частотой 32 Гц и
амплитудой 0,75 единиц.
Рис. 1.11. На верхнем рисунке изображен график сигнала, описываемого
функцией z (t ) = sin( 2π ⋅ 4t ) + 0,75 sin( 2π ⋅ 32t ) . График получен по N = 1000
точкам zn в интервале времени 0–1 сек. На нижнем рисунке приведен
40
амплитудно-частотный спектр, найденный по этим же точкам дискретным
преобразованием Фурье. Шаг дискретизации был равен Δt = 0,001 сек, поэтому
верхняя граница проанализированного диапазона частот составила f max = 500
Гц. Это значение максимальной частоты, как и в предыдущих примерах, с
большим запасом превышает частоты гармоник сигнала (4 Гц и 32 Гц).
Посмотрим, что изменится, если понизить частоту дискретизации сигнала
в десять с лишним раз, сохранив условие f max > 32 Гц.
Рис. 1.12. На верхнем и нижнем рисунках представлены, соответственно,
дискретный сигнал zn и его амплитудно-частотный спектр, полученные для той
же функции z (t ) = sin( 2π ⋅ 4t ) + 0,75 sin( 2π ⋅ 32t ) по N = 80 точкам tn в интервале
времени 0–1 сек. В этом случае f max = 40 Гц. Несмотря на то, что дискретный
сигнал zn имеет ступенчатую форму, чем сильно отличается от исходной
функции z (t ) , спектры, найденные дискретным преобразованием Фурье по
1000 точкам и по 80 точкам, совпадают. Так и должно быть, поскольку
граничная частота дискретного преобразования Фурье в обоих случаях
превышает наибольшую частоту гармоники, содержащейся в сигнале (32 Гц).
Следующий рисунок показывает, что при дальнейшем уменьшении
частоты дискретизации (или, что то же самое, числа точек N) картина спектра
качественно меняется.
41
Рис. 1.13. Верхний рисунок – N = 60 значений zn функции
z (t ) = sin( 2 π ⋅ 4t ) + 0,75 sin( 2π ⋅ 32t ) в интервале времени 0–1 сек. Здесь частота
f max = 30 Гц меньше наибольшей частоты гармоники сигнала (32 Гц). Нижний
рисунок демонстрирует появление гармоники с частотой 28 Гц,
отсутствовавшей в спектрах на рис. 1.11–1.12. Рассмотрим аналогичный пример
с более сложным сигналом.
___________________________________________________________________
42
Рис. 1.14, a – сигнал z(t) со сложным спектром частот, показанным на
рис. b. Наибольшая частота в спектре этого сигнала составляет 90 Гц.
c – результат zn дискретизации сигнала с N = 120 в интервале времени
длительностью T = 1 сек. d – частотный спектр для zn, найденный дискретным
преобразованием Фурье. В данном случае граничная частота дискретного
фурье-преобразования f max = 60 Гц меньше наибольшей частоты исходного
непрерывного сигнала (90 Гц), и поэтому в спектре дискретного сигнала
возникло множество «лишних» гармоник. Наблюдается зеркальное отражение
относительно f max и наложение высокочастотной части спектра исходного
сигнала на его низкочастотную часть. В этом примере мы видим, что в случае
сложного сигнала эффект наложения способен существенно исказить исходный
спектр.
Для борьбы со спектральным наложением следует увеличивать частоту
дискретизации входного сигнала. Если же это невозможно, то необходимо
пропустить входной сигнал (до процедуры дискретизации) через фильтр низких
частот, устраняющий высокочастотные гармоники сигнала с частотой
f > f max , где f max = 1 /( 2 Δt ) , Δt = T / N – шаг дискретизации сигнала во
времени.
Первоначальные сведения о фильтрации сигналов, а также простые
примеры фильтров низких частот приводятся в разделе 1.4.
43
Пример 4. В завершение рассмотрим фурье-спектр хаотического
(случайного) сигнала. На практике сигналы этого типа возникают, например, в
результате присутствия неконтролируемых шумов измерительной аппаратуры;
они представляют собой с трудом устранимую помеху.
Рис. 1.15. На верхнем рисунке приведен график хаотического сигнала
z(tn) = Random(tn) – 1/2, где величина Random(tn) в каждый момент времени tn
принимает случайное значение, находящееся в интервале от 0 до 1. На среднем
рисунке изображен соответствующий спектр мощности, нормированный на
единицу. Видно, что фурье-компоненты случайного сигнала распределены по
всей полосе частот, анализируемой методом дискретного преобразования
Фурье. На нижнем рисунке приведен график корреляционной функции Cor(τ),
где τ = mΔt – время между отсчетами сигнала, m – разность номеров отсчетов.
Значения корреляционной функции случайного сигнала при τ > 0 близки к
нулю.
44
1.3 Преобразование Фурье непрерывных периодических сигналов
Обратимся к рассмотрению фурье-преобразования сигналов, представляющих собой функции непрерывного аргумента t на интервале времени [0,T].
В экспериментальной практике, как правило, мы не располагаем информацией
о поведении сигналов вне изучаемого интервала времени и поэтому, при
необходимости, можем доопределить их вне интервала [0,T] произвольным
образом. Когда речь идет о преобразовании Фурье на конечном промежутке
времени [0,T], естественно считать, что каждый изучаемый сигнал z(t) является
периодической функцией с периодом Т на всей временной оси: z(t)=z(t+T). При
этом, конечно, результаты будут справедливы и для тех процессов, которые на
самом деле обладают указанным свойством периодичности.
Формулы непрерывного преобразования Фурье несложно получить из
приведенных в разделе 1.2 формул дискретного преобразования Фурье. Для
этого следует лишь перейти к предельному случаю с исчезающее малым шагом
временной дискретизации и неограниченным числом значений сигнала: N → ∞
при T = const . Тогда мы увидим, что скалярное произведение < y | z > любых
двух функций y(t) и z(t) на интервале [0,T] определяется выражением
1T
< y|z> =
dt y ∗ (t ) z (t ) ,
∫
T0
а фурье-компоненты
произведения (1.3.1)
yk (t ) = exp( −i ωk t ) :
(1.3.1)
~
Z k сигнала z(t) представляют собой скалярные
изучаемой функции z(t) и базисных функций
1T
~
Z k = ∫ dt exp(i ωk t ) z (t ) ,
T0
(1.3.2)
Так как в рассматриваемом пределе шаг временной дискретизации стремится к
нулю, Δt → 0 , то значение максимальной частоты преобразования Фурье
неограниченно увеличивается, и фурье-частоты ωk образуют бесконечную
последовательность:
2π
k = 0, ± 1, ± 2, ... .
ωk =
k,
(1.3.3)
T
Соответственно, обратное преобразование имеет вид бесконечного ряда Фурье:
z (t ) =
∞
~
∑ Zk
k = −∞
exp( −iωk t ) .
45
(1.3.4)
Таким образом, сигнал z(t), заданный на интервале времени конечной
длительности Т, можно разложить в ряд Фурье (1.3.4), в котором
коэффициенты разложения и значения частоты определяются формулами
(1.3.2)–(1.3.3). Представляемая таким рядом функция z(t) автоматически
является периодической функцией с периодом T, поскольку свойством
периодичности обладает каждый член ряда (1.3.4).
Наблюдаемые сигналы описываются вещественными функциями z(t).
Фурье-компоненты вещественной функции z(t), как нетрудно видеть из (1.3.2),
удовлетворяют соотношению симметрии
~
~
Z k∗ = Z − k .
Вещественная и мнимая части фурье-коэффициента
вещественного сигнала вычисляются по формулам:
(1.3.5)
~
~
~
Z k = X k + iYk
1T
~
X k = ∫ dt z (t ) cos ( ωk t ) ,
T0
(1.3.6)
T
~ 1
Yk = ∫ dt z (t ) sin ( ωk t ) .
T0
(1.3.7)
В описании сигналов важную роль играют усредненное по времени
значение сигнала < z >, усредненный квадрат < z2 > и дисперсия <(Δz)2>, где
Δz = z (t ) − < z > – отклонение от среднего:
1T
< z > = ∫ dt z (t ) ,
T0
(1.3.8)
1T
< z > = ∫ dt z 2 (t ) ,
T0
(1.3.9)
2
< ( Δz) 2 > = < z 2 > − < z > 2 .
(1.3.10)
Величину среднего квадрата (1.3.9) нередко называют средней мощностью, а
входящий в нее интеграл (без множителя 1 / Т) – энергией процесса z(t).
Отметим, что для фурье-коэффициентов с номером k = 0, согласно (1.3.2),
справедливы равенства:
46
~
Y0 = 0 ,
~
X0 = < z >.
(1.3.11)
С учетом вещественности функции z(t) ряд Фурье (1.3.4) можно представить в
виде
∞
~
~
z (t ) = < z > + 2 ∑ (X k cos ( ω k t ) + Yk sin ( ω k t ) ) .
(1.3.12)
k =1
При этом равенство Парсеваля–Планшереля
∞
2
<z > =
∑
k = −∞
~
Zk
2
,
(1.3.13)
допускает запись в форме
∞
~
~
< z 2 > = < z > 2 + 2 ∑ ( X k2 + Yk2 ) .
(1.3.14)
k =1
Отсюда следует выражение для дисперсии
∞
~
~
< ( Δz) > = < z > − < z > = 2 ∑ ( X k2 + Yk2 ) ,
2
2
2
(1.3.15)
k =1
связывающее дисперсию сигнала с его фурье-коэффициентами.
Введем в рассмотрение автокорреляционную функцию Czz(τ), определив
ее равенством:
1T
(1.3.16)
C zz ( τ) = ∫ dt z (t ) z (t + τ) .
T0
Автокорреляционная функция характеризует взаимосвязь между значениями
функции z(t) в различные моменты времени. При вычислении
автокорреляционной функции Сzz(τ), следует помнить о периодичности сигнала
z(t)=z(t+T) вне интервала интегрирования. Кроме того, пределы
интегрирования 0 и Т во всех интегралах по времени можно изменить на − T / 2
и T / 2 , так как интегрирование ведется по полному периоду Т
подынтегрального выражения. Выполнив замену переменной t на t+τ, несложно
убедиться, что корреляционная функция обладает свойством четности: Сzz(τ) =
Сzz(–τ). Из определения (1.3.16) следует также, что для любого процесса
Сzz(0)=< z2 >.
47
Раскладывая в формуле (1.3.16) подынтегральные функции z(t) и z(t+τ) в
ряд Фурье (1.3.4), пользуясь ортогональностью базисных функций с
различными значениями частоты и учитывая соотношение (1.3.5), найдем, что
для корреляционной функции справедливо разложение
C zz ( τ) =
∞
∑
k = −∞
~ 2
Z k exp( −i ωk τ) .
(1.3.17)
Таким образом, фурье-компонента автокорреляционной функции равна
квадрату модуля фурье-компоненты сигнала z(t):
~
~
C zz ( ωk ) = Z k
Совокупность величин
2
~
~
= X k2 + Yk2 .
~
~
Pk ≡ X k2 + Yk2
(1.3.18)
(1.3.19)
принято называть спектром мощности сигнала. С учетом равенств (1.3.11) и
свойства четности функции Сzz(τ) выражение (1.3.17) записывается в виде
∞
(
)
~
~
C zz ( τ) = < z > + 2 ∑ X k2 + Yk2 cos ( ω k τ) .
2
k =1
(1.3.20)
Часто автокорреляционную функцию определяют для разности z(t)–<z>; в этом
случае автокорреляционная функция, обозначаемая как Сor(τ), есть
1T
Cor ( τ) = ∫ dt ( z (t ) − < z > ) ( z (t + τ) − < z > ) =
T0
∞
(
)
~
~
= 2 ∑ X k2 + Yk2 cos ( ω k τ) .
k =1
(1.3.21)
Корреляционные функции Сor(τ) и Czz(τ) связаны соотношением
C zz ( τ) = Cor ( τ) + < z > 2 .
(1.3.22)
Легко видеть, что значение корреляционной функции Сor(τ) при τ=0 совпадает
с дисперсией сигнала: Cor(0) = <(Δz)2>.
В случае периодической функции z(t) автокорреляционная функция Сzz(τ)
также периодична с периодом T. В частности, для обычной синусоиды
48
z(t) = sin(ωkt) с частотой ωk, определенной соотношением (1.3.3),
автокорреляционная функция имеет вид Сzz(τ) = cos(ωkτ) / 2.
Если z(t) – случайный (хаотический) сигнал, то с ростом аргумента τ
значение Сzz(τ) стремится к нулю. Такое поведение Сzz(τ) свидетельствует о
потере статистической взаимосвязи между значениями случайного процесса в
различные моменты времени. Образно говоря, с увеличением интервала
времени τ предыдущие значения функции z(t) «забываются». Если случайный
сигнал не содержит иных детерминированных компонент, кроме ненулевого
среднего, то при τ → ∞ корреляционная функция стремится к квадрату
среднего значения сигнала: Сzz(∞) ≈ < z >2.
Часто для того чтобы определить, как быстро теряется взаимосвязь между
значениями случайного процесса при увеличении разделяющего их интервала
времени
τ,
вводят
понятие
времени
корреляции.
Стремление
автокорреляционной функции к нулю обычно бывает не монотонным, а носит
характер затухающих осцилляций с некоторой огибающей. Время корреляции
τc случайного процесса z(t) определяют как время, в течение которого
огибающая автокорреляционной функции спадает в e раз, где e – основание
натурального логарифма. Иногда для оценки времени корреляции
рассматривают значение аргумента τ, при котором корреляционная функция
обращается в ноль. Естественно, чем меньше время корреляции, тем быстрее
происходит забывание предыдущих значений z(t), и тем более хаотичным
является случайный процесс.
Приведем три простых примера разложения периодических функций в
ряд Фурье.
Пример 1. Рассмотрим сигнал z(t) треугольной формы, который на
интервале времени 0–1 сек задается выражением
⎧ − 1 / 2 + 2t , 0 < t < 1 / 2 ,
z (t ) = ⎨
⎩ 3 / 2 − 2 t , 1 / 2 < t < 1.
(1.3.23)
Вне этого интервала значения z(t) периодически повторяются с периодом
T = 1 сек. Несложное вычисление фурье-компонент по формуле (1.3.2)
показывает, что
⎧ − 2( π k ) − 2 , k = 1,3,5,...
~
(1.3.24)
Zk = ⎨
=
0
,
k
0
,
2
,
4
,...
⎩
В силу соотношения симметрии
рассмотрением неотрицательных k.
49
(1.3.5)
достаточно
ограничиться
В терминах действительной
~
~
~
Z k = X k + iYk имеем:
и
мнимой
частей
фурье-компонент
~
X k = −2( πk ) − 2 при нечетных k = 1,3,5 ,...,
~
~
а остальные X k и все Yk равны нулю. Иллюстрацией к этому примеру может
служить рис. 1.7, приведенный в разделе 1.2, на котором изображен график
сигнала и амплитудно-частотный спектр с учетом первых пяти ненулевых
фурье-гармоник. Поскольку коэффициенты (1.3.24) быстро убывают с ростом
номера k (или, что то же самое, с ростом частоты гармоники), учет остальных
гармоник в данном примере мало сказывается на графическом представлении
результатов.
Пример 2. Пусть сигнал z(t) имеет прямоугольную форму и на интервале
времени 0–1 сек задается выражением
⎧1, 0 < t < 1 / 2 ,
z (t ) = ⎨
⎩0, 1 / 2 < t < 1.
(1.3.25)
Вне этого интервала значения z(t) периодически повторяются с периодом
T = 1 сек. Тогда, вычислив фурье-компоненты (1.3.2), получим:
1
~
Z0 = ,
2
⎧ i ( π k ) −1 , k = 1,3,5,...
~
Zk = ⎨
k = 2,4,6,...
⎩ 0,
(1.3.26)
В соответствии с формулами (1.3.6)– (1.3.7) этот результат можно записать в
виде:
~
~
остальные X k = 0 ,
< z > = X 0 = 1/ 2 ,
~
~
Yk = ( π k ) −1 при k = 1,3,5 ,..., остальные Yk = 0 .
На рис. 1.16 представлен график сигнала (1.3.25) и его амплитудно-частотный
спектр без учета постоянной составляющей X0. Амплитуды Ak фурье-гармоник
определены обычным образом:
~
~
Ak = 2( X k2 + Yk2 )1 / 2 .
50
Рис. 1.16, a – сигнал z(t) с периодом Т = 1 сек, представляющий собой
кусочно-постоянную функцию времени. b – амплитудно-частотный спектр
указанного сигнала; виден «хвост», медленно убывающий как 1/k. Такое
поведение спектра обусловлено тем, что в данном примере функция z(t)
не обладает свойством непрерывности.
Ряд Фурье разрывной функции z(t) сходится гораздо хуже, чем в случае
непрерывных сигналов. Это проявляется в том, что для приближенного
восстановления z(t) с помощью обратного преобразования Фурье, то есть для
аппроксимации сигнала суммой нескольких первых гармоник, мы вынуждены
брать очень много слагаемых, чтобы получить удовлетворительную точность.
При любом конечном числе слагаемых аппроксимированный сигнал вблизи
точек разрыва совершает высокочастотные колебания с переменной
амплитудой, причем самый высокий всплеск не убывает по величине, хотя и
становится более узким с увеличением числа просуммированных гармоник.
Такие колебания называют осцилляциями Гиббса. В пределе в точках разрыва
остается бесконечно узкий пик конечной высоты, так что в этих точках
значение ряда Фурье не совпадает со значением исходной функции z(t).
Эффект Гиббса на примере прямоугольного сигнала проиллюстрирован
рисунком 1.17.
51
Рис. 1.17. Графики функций zappr (t ) , образующихся в результате
частичного суммирования ряда Фурье (1.3.12) для прямоугольного сигнала z(t),
показанного на рис. 1.16, a. При частичном суммировании учитываются лишь
52
гармоники с номерами k = 1, ..., K , а также постоянная составляющая сигнала
< z >. У прямоугольного сигнала отличны от нуля только нечетные гармоники,
так что рисунок, соответствующий значению K = 3 , изображает сумму двух
ненулевых гармоник, K = 9 – сумму пяти не равных нулю гармоник, и так
далее. Для K=39, 99, 211 и 1001 показано изображение растянутых во времени
фрагментов аппроксимированного сигнала в области осцилляций Гиббса.
Видно, что с ростом K в точках разрыва прямоугольного сигнала z(t) образуется
узкий пик, высота которого конечна, а площадь стремится к нулю.
Здесь следует отметить, что на практике любая линия передачи сигнала
не является идеальной: она «заваливает» высокие частоты, а также привносит
зависящий от частоты фазовый сдвиг, поскольку передает сигнал с некоторым
запаздыванием во времени. В результате, реальные сигналы, поступающие на
вход измерительной аппаратуры, могут иметь фронты лишь с конечной
крутизной и оказываются непрерывными. Так, если влияние электрического
тракта на сигнал эквивалентно действию интегрирующей RC-цепи, то вместо
прямоугольных импульсов мы получим непрерывный сигнал z(t) с
экспоненциальными фронтами; этот случай рассматривается в примере 3.
Пример 3. Пусть сигнал z(t) с периодом Т задается выражением:
−1
⎛
⎛ T ⎞ ⎞ ⎧1 + exp( −T /(2 τ)) − exp( −t / τ), 0 < t < T / 2 ,
z (t ) = ⎜1 + exp ⎜ − ⎟ ⎟ ⎨
T /2 < t < T,
⎝ 2τ ⎠ ⎠ ⎩ exp( −(t − T / 2) / τ),
⎝
(1.3.27)
где Т=1 сек, τ = 0,03T = 0,03 сек – параметр длительности фронтов. Тогда, как
показывает вычисление по формуле (1.3.2),
1
~
Z0 = ,
2
~
Zk =
1 ⎧ i ( π k ) −1 , k = 1,3,5,...,
⎨
1 − iωk τ ⎩ 0 ,
k = 2,4,6,...,
(1.3.28)
где ωk = 2π k / T . Амплитуда Ak не равных нулю гармоник описывается
выражением:
2
~
Ak = 2 Z k =
πk
1
1 + ( ωk τ)
2
.
Графическая иллюстрация этих результатов приведена на рис. 1.18–1.19.
53
(1.3.29)
Рис. 1.18. Сигнал z(t) (1.3.27) и его спектр частот (1.3.29).
Рассмотрим картину восстановления сигнала (1.3.27), сопутствующую
суммированию конечного числа членов его ряда Фурье.
54
Рис. 1.19. Графики функций, возникающих при частичном суммировании
ряда Фурье для непрерывного сигнала z(t) (1.3.27), показанного на рис. 1.18. В
процессе частичного суммирования учитываются лишь гармоники с номерами
k = 1, …, K, а также постоянная составляющая сигнала < z >. Как и в случае
прямоугольного сигнала (1.3.25), здесь отличны от нуля только нечетные
гармоники. Видно, что при достаточно большом, но конечном числе учтенных
гармоник мы получаем сигнал, очень близкий по форме к исходному сигналу,
обладающему бесконечным количеством фурье-гармоник. Из этого можно
заключить, что в данном примере ряд Фурье непрерывной функции z(t)
сходится к значениям функции во всех точках оси времени t. Следует отметить
однако, что в общем случае вопрос о сходимости ряда Фурье к функции z(t),
определяющей совокупность коэффициентов Фурье, не является элементарным
и не сводится лишь к непрерывности функции z(t).
Отметим также, что в рассмотренном примере фурье-коэффициенты
(1.3.28) отличаются от фурье-коэффициентов прямоугольного сигнала (1.3.26)
присутствием множителя (1 − iωk τ) −1 . Этот множитель обеспечивает дополнительное (по сравнению со случаем прямоугольного сигнала) убывание фурьекоэффициентов с ростом частоты. Он представляет собой простейший пример
передаточной функции фильтра низких частот, роль которого здесь выполняет
интегрирующее RC-звено. Более подробно передаточные функции фильтров
обсуждаются в разделе 1.4.
55
1.4 Интегральное преобразование Фурье непериодических сигналов
В предыдущем разделе мы видели, что периодический сигнал z(t)=z(t+T)
обладает дискретным спектром частот ωk= 2πk / T и допускает разложение в ряд
Фурье,
∞
~
z (t ) = ∑ Z k exp(−iωk t ) ,
(1.4.1)
k =−∞
~
где комплексная фурье-амплитуда Z k определяется выражением
1T
~
Z k = ∫ dt exp (i ωk t ) z (t ) ,
T0
k = 0, ± 1, ± 2, ... .
(1.4.2)
~
~
Для вещественной функции z(t) справедливо соотношение Z k∗ = Z − k .
В выражении для фурье-амплитуды (1.4.2) пределы интегрирования
можно записать в более симметричном виде, сдвинув их значения на –T / 2;
величина интеграла при этом не изменится, так как подынтегральное
выражение периодично, а область интегрирования равна целому периоду:
T /2
1
~
Zk =
d t exp (iωk t ) z (t ) .
T −T∫/ 2
(1.4.3)
Распространим теперь формализм преобразования Фурье на функции,
которые задаются на всей оси времени ( − ∞ < t < ∞ ) и в общем случае не
обладают никакой периодичностью. С этой целью заметим, что такие функции
можно формально рассматривать как периодические функции с бесконечно
большим периодом: T → ∞ . В пределе с T → ∞ промежуток Δω между
соседними значениями частоты ωk становится бесконечно малым
(Δω = 2π / T → dω), то есть дискретная переменная ωk превращается в
непрерывно изменяющуюся переменную ω. Следовательно, в результате
указанного предельного перехода суммирование по k = 0, ±1, ±2,... любых
величин, зависящих от ωk, приобретает смысл интегрирования по частоте ω:
1 ∞
∑ ... =
T k =−∞
∞
Δω
∑ 2π ... →
k =−∞
∞
dω
∫ 2π ... .
−∞
Подстановка выражения (1.4.3) в формулу (1.4.1) для ряда Фурье дает:
56
(1.4.4)
1 ∞
z (t ) =
∑ exp( −iωk t )
T k = −∞
T /2
∫ d t exp(iωk t ) z (t )
,
(1.4.5)
−T / 2
Выполнив в (1.4.5) предельный переход (1.4.4) с T → ∞ , получим в результате
равенство, которое представляет собой разложение функции z(t) в интеграл
Фурье:
+∞
dω ˆ
(1.4.6)
z (t ) = ∫
Z ( ω) exp ( −iωt ) ,
2
π
−∞
где зависящая от частоты величина
Zˆ ( ω) =
∞
∫ dt exp (iω t ) z (t )
(1.4.7)
−∞
есть образ функции z(t) по отношению к интегральному преобразованию Фурье
(1.4.7). Здесь и далее для обозначения фурье-компоненты Zˆ ( ω) , определенной
выражением (1.4.7), используется шляпка над символом функции.
Компонента Фурье Zˆ ( ω) при ω = 0 равна интегралу от функции z(t) на
бесконечном интервале времени:
Zˆ (0) =
∞
∫ dt z(t ) .
(1.4.8)
−∞
Условие сходимости интегралов (1.4.7)–(1.4.8) с бесконечными пределами
имеет вид:
∞
∫ dt
z (t ) < ∞ .
(1.4.9)
−∞
Об удовлетворяющих этому условию сигналах z(t) часто говорят как о
функциях, принадлежащих функциональному пространству L1(R). На практике
неравенство (1.4.9) выполняется, если сигнал z(t) не имеет неинтегрируемых
особенностей и достаточно быстро убывает при t → ±∞ . Если значения
интегралов понимать как результат предельного перехода в некоторых
вспомогательных
выражениях,
то
можно
распространить
аппарат
преобразования Фурье и на другие классы функций. В частности, важную роль
играет функциональное пространство L2(R) – совокупность всех сигналов с
конечной энергией:
57
∞
∫ dt
z (t )
2
< ∞ .
(1.4.10)
−∞
В пространстве L2(R) для любых двух функций y(t) и z(t) определено скалярное
произведение на бесконечном интервале переменной t; это скалярное
произведение мы будем обозначать как < y, z >:
< y, z > ≡
∞
∫ dt y
∗
(t ) z (t ) .
(1.4.11)
−∞
Сфера применения преобразования Фурье становится еще шире при
использовании так называемых обобщенных функций. Строгое изложение
подобных вопросов выходит за рамки нашего пособия; полную теорию
преобразования Фурье и обобщенных функций можно найти в руководствах по
математической физике и функциональному анализу.
Иногда комплексную фурье-амплитуду (1.4.7) полезно записывать в виде
суммы вещественной X (ω) и мнимой части Y (ω) :
Zˆ (ω) = X (ω) + iY (ω) .
(1.4.12)
В случае вещественной функции z(t) из (1.4.7) следуют соотношения:
Zˆ * ( ω) = Zˆ ( −ω) ,
(1.4.13)
X ( ω) = X ( − ω) ,
(1.4.14)
Y ( ω) = −Y ( − ω) .
(1.4.15)
Если функция z(t) четная, то Y (ω) = 0 , тогда как в случае нечетной функции
X (ω) = 0 . Свойства (1.4.13)–(1.4.15) позволяют представить фурье-разложение
вещественной функции z(t) в виде интеграла только по положительным
частотам:
∞
dω
( X (ω) cos ωt + Y (ω) sin ωt ) .
(1.4.16)
z (t ) = 2 ∫
π
2
0
В результате предельного перехода к T → ∞ ряд в правой стороне
(1.3.13) превращается в интеграл, так что равенство Парсеваля–Планшереля
принимает вид:
58
∞
∫ dt
z (t )
2
∞
dω ˆ
2
.
Z
(
ω
)
∫ 2π
−∞
=
−∞
(1.4.17)
Подводя некоторый итог, следует сказать, что произвольный сигнал z(t),
не имеющий свойства периодичности с конечным значением периода, обладает
непрерывным спектром частот ω. При этом спектральный состав сигнала
характеризуется частотной зависимостью амплитуды Фурье
Zˆ (ω) ,
определяемой по формуле (1.4.7).
Для любых двух сигналов z1(t) и z2(t) можно вычислить корреляционную
функцию Сik(t),
Cik (t ) =
∞
∫ d τ zi ( t + τ ) z k ( τ ) ,
(1.4.18)
−∞
где индексы i и k нумеруют функции в подынтегральном выражении. Если эти
индексы совпадают, то речь идет об автокорреляционной функции сигнала; при
t = 0 ее значение равно проинтегрированному по времени квадрату сигнала z(t):
Cii (0) =
∞
∫dτ z
2
( τ) .
(1.4.19)
−∞
Разложение корреляционной функции в интеграл Фурье имеет вид:
Cik (t ) =
∞
dω ˆ
∫ 2π Cik (ω) exp(− iω t ) .
−∞
(1.4.20)
Раскладывая в интеграл Фурье функции zi(t) и zk(t), легко показать, что фурьекомпонента Cˆ ik ( ω)
корреляционной функции определяется фурьекомпонентами сигналов, причем одна из них комплексно сопряжена:
Cˆ ik ( ω) = Zˆ i ( ω) Zˆ k∗ ( ω) .
(1.4.21)
Для вещественного сигнала справедливо равенство Zˆ i ( − ω) = Zˆ i* ( ω) , что
приводит к четности фурье-амплитуды и к четности самой автокорреляционной
функции: Cˆ ii ( ω) = Cˆ ii ( −ω) , Cii (t ) = Cii ( −t ) .
59
Одним из многочисленных применений преобразования Фурье является
анализ фильтрации сигналов. Под фильтрацией подразумевают такую
обработку сигнала, при которой происходит изменение соотношений между его
фурье-амплитудами без образования новых спектральных составляющих.
Каждый фильтр характеризуется определенной передаточной функцией Kˆ (ω) .
Фурье-компонента профильтрованного сигнала Zˆ K ( ω) по определению
представляет собой произведение фурье-компоненты входного сигнала Zˆ (ω) и
передаточной функции фильтра Kˆ (ω) :
Zˆ K ( ω) = Kˆ ( ω) Zˆ ( ω) .
(1.4.22)
В t-представлении фильтр описывается функцией времени k(t),
k (t ) =
+∞
dω ˆ
K ( ω) exp( −iω t ) ,
2
π
−∞
∫
(1.4.23)
для которой передаточная характеристика фильтра Kˆ (ω) является фурьеобразом:
Kˆ ( ω) =
∞
∫ dt k (t ) exp(iω t ) .
(1.4.24)
−∞
Ниже мы убедимся, что функцию фильтра k (t ) можно интерпретировать как
сигнал, возникающий на выходе фильтра при подаче на его вход импульса в
форме так называемой дельта-функции Дирака.
Выполнив для (1.4.22) обратное преобразование Фурье, нетрудно
заметить, что в t-представлении профильтрованный сигнал z K (t ) связан с
входным сигналом z (t ) и функцией фильтра k (t ) интегральным соотношением:
∞
z K (t ) = ∫ dt ′ k (t − t ′) z (t ′) =
−∞
∞
∫ dt ′ k (t ′) z (t − t ′) .
(1.4.25)
−∞
Каждый из таких интегралов называется сверткой функций k (t ) и z (t ) .
Преобразование Фурье находит широкое применение в разнообразных
математических задачах во многом благодаря тому, что оно переводит
интегральные соотношения между функцими вида (1.4.25) в алгебраические
равенства для фурье-компонент (1.4.22). Такую же важную роль играет и тот
факт, что операция дифференцирования любой функции z(t) тоже сводится к
60
алгебраическому действию – умножению фурье-образа этой функции на − iω . В
следующей таблице приведена полезная для вычислений информация о
соответствии между функцией-оригиналом z (t ) и ее фурье-образом Zˆ (ω) .
Табл. 1.2
Оригинал
Компонента Фурье
z (t )
Ẑ (ω)
Zˆ (ω − ω0 )
z (t ) exp( −iω0t )
exp(iω t0 ) Zˆ (ω)
1
⎛ ωb ⎞ ˆ⎛ ω⎞
exp⎜ − i
⎟ Z⎜ ⎟
a
a ⎠ ⎝a⎠
⎝
− iωZˆ (ω)
z ( t − t0 )
z (at + b )
dz (t )
dt
Еще ряд свойств преобразования Фурье выяснится после того, как мы разберем
несколько примеров.
Пример 1. Дельта-функция Дирака.
Дельта-функция Дирака δ( x ) представляет собой предел функции,
локализованной в окрестности точки x = 0 и обладающей единичной
«площадью под кривой»:
∞
∫ dx δ( x )
=1 .
−∞
Функция δ( x ) относится к категории обобщенных функций, свойства которых
задаются посредством некоторых интегральных соотношений. Основное
свойство дельта-функции выражается интегральным равенством:
b
⎧ z ( x0 ) , если x0 ∈ [a, b] ,
z
(
x
)
=
δ
x
−
x
(
)
dx
⎨
0
∫
если x0 ∉ [a , b] ,
⎩ 0,
a
где z ( x ) – произвольная функция; в частности:
61
∞
∫ dx δ( x ) z( x )
= z (0) .
(1.4.26)
−∞
Существует бесчисленное множество разнообразных функций, в пределе
обращающихся в дельта-функцию. Часто встречающийся пример представления дельта-функции – «лоренциан» со стремящейся к нулю шириной γ :
γ
1
lim γ →0 2
= δ( x ) .
π
x + γ2
(1.4.27)
Другим важным примером служит «гауссиан»:
lim γ → 0
⎛ x2 ⎞
1
exp ⎜ − 2 ⎟ = δ( x ) .
⎜ γ ⎟
πγ
⎝
⎠
(1.4.28)
Положив в (1.4.26) z ( x ) = exp(iω x ) , легко видеть, что фурье-компонента
дельта-функции δ(x ) не зависит от частоты ω и равна единице:
∞
∫ dx δ(x ) exp(i ω x)
= 1.
(1.4.29)
−∞
Следовательно, с помощью обратного преобразования Фурье дельта-функцию
можно представить интегралом
δ(t ) =
∞
dω
exp(− i ω t ) .
π
2
−∞
∫
(1.4.30)
Это пример интеграла, который не является сходящимся, но допускает
определение в смысле предела некоторого вспомогательного выражения.
Например, если в качестве такого выражения выбрать следующую сумму
сходящихся интегралов (при γ > 0 )
∞
dω
dω
(
)
exp
−
i
ω
t
+
γω
+
∫ 2π
∫ 2π exp(− i ω t − γω) =
−∞
0
0
=
γ
1
1
+
=
,
2π ( γ − it ) 2π ( γ + it ) π (t 2 + γ 2 )
62
то при γ → 0 , согласно (1.4.27), мы получим равенство (1.4.30).
Отметим, что дельта-функцию нередко применяют как модельное
описание сигнала z(t), который максимально локализован во времени:
z (t ) = δ(t ) . В этом случае фурье-компонента сигнала Zˆ ( ω) = 1 при всех
значениях частоты ω , то есть в ω -представлении такой сигнал оказывается
максимально делокализованным. Для описания фильтрации этого сигнала
каким-либо фильтром следует величину Zˆ ( ω) = 1 подставить в правую часть
равенства (1.4.22). Тогда мы найдем, что фурье-компонента профильтрованного
дельта-импульса совпадает с передаточной характеристикой фильтра Kˆ ( ω) .
Следовательно, в t-представлении профильтрованный дельта-импульс
описывается функцией фильтра k(t), то есть функция k(t) представляет собой
отклик фильтра на входной сигнал вида z (t ) = δ(t ) .
Пример 2. Ступенчатый сигнал.
Обозначим посредством θ(x ) ступенчатую функцию, определенную
равенствами
⎧1 при x ≥ 0,
θ( x ) = ⎨
(1.4.31)
⎩0 при x < 0.
Эту функцию можно рассматривать как первообразную для дельта-функции
Дирака, так что dθ / dx = δ( x ) . Тогда фурье-образ функции θ(x ) должен быть
равен деленному на − iω фурье-образу дельта-функции. Такой же вывод
следует из результата преобразования Фурье для убывающей ступенчатой
функции θ(x ) exp(− γ x ) при γ → +0 :
∞
∞
−∞
0
∫ dx θ(x ) exp(− γ x ) exp(i ω x) = ∫ dx exp(iωx − γx ) =
1
γ − iω
→
γ →0
1
.
− iω
В соответствии с табл. 1.2 фурье-компонента смещенной во времени
ступенчатой функции θ(t − t1 ) будет равна exp(iω t1 ) /( −iω) .
Пусть теперь сигнал z(t) представляет собой единичный импульс с
конечной длительностью T = t2 − t1 ; этот П-образный импульс описывается
разностью ступенчатых функций:
⎧ 1 при t1 ≤ t < t2 ,
z (t ) = θ(t − t1 ) − θ(t − t2 ) = ⎨
.
0
при
<
,
≥
.
t
t
t
t
⎩
1
2
63
(1.4.32)
Фурье-образ для z(t) легко найти непосредственно по формуле (1.4.7), но можно
получить его и как разность фурье-компонент ступенчатых функций,
присутствующих в (1.4.32):
Ẑ ( ω) =
exp(iωt1 )
exp(iωt2 )
exp(iω T ) − 1
−
= exp(iω t1 )
.
− iω
− iω
iω
Если обозначить через t0 = t1+T / 2 момент времени, являющийся центром
интервала T, то найденная фурье-компонента запишется в виде:
Ẑ ( ω) = exp(iω t0 )
2 sin(ω T / 2)
.
ω
(1.4.33)
Модуль фурье-компоненты (1.4.33) представляет собой четную функцию
частоты с абсолютным максимумом на нулевой частоте: Zˆ (0) = T . Ближайшие
к этому максимуму нули функции Zˆ ( ω) расположены в точках ω = ±2π / T .
Расстояние между этими точками, равное 4π / T , мы можем условно принять в
качестве ширины Δω основного максимума фурье-компоненты. График
безразмерной величины Zˆ ( ω) / T, соответствующей выражению (1.4.33) при
t0 = 0 , представлен на рис. 1.20.
Рис. 1.20. График безразмерной компоненты Фурье Zˆ ( ω) / T ступенчатой
функции (1.4.32), центрированной в точке t0 = 0, в зависимости от безразмерной
круговой частоты x = ωT.
Отметим, что с увеличением длительности импульса Т его спектр частот
становится более «узким» – ширина Δω основного максимума фурье64
компоненты убывает обратно пропорционально Т. Вместе с тем надо
подчеркнуть, что фурье-образ Zˆ ( ω) импульса z(t), локализованного на
конечном отрезке Т оси времени, не локализован полностью в каком-либо
конечном интервале частот.
Если в выражении (1.4.33) положить t0 = 1/4, T = 1/2, ωk = 2 πk , то из него
~
можно придти к формуле (1.3.26) для коэффициентов Z k ряда Фурье
периодического сигнала, образованного прямоугольными импульсами
длительностью 1/2 сек. Это пример общего правила, согласно которому
результат Zˆ ( ω) интегрального преобразования Фурье для одиночного
~
импульса, расположенного в интервале времени Т, и коэффициенты Z k ряда
Фурье для бесконечной последовательности таких импульсов, повторяющихся
~
с периодом Т, связаны соотношением Z k = Zˆ (ωk ) / T . Происхождение этого
правила легко понять, сравнивая формулы (1.4.3) и (1.4.7).
Пример 3. Комплексный сигнал с определенной частотой.
Приведем пример функции, максимально делокализованной во времени и
характеризующейся только одним значением частоты (ω = ω1 > 0):
z (t ) = exp( −iω1 t ) .
(1.4.34)
Заменив в соотношении (1.4.30) ω на t (а также t на ω ) и пользуясь полученной
формулой для вычисления интегрального преобразования Фурье Zˆ ( ω) функции
(1.4.34), найдем, что
Zˆ ( ω) = 2π δ(ω − ω1 ) .
(1.4.35)
Таким образом, в случае комплексной «синусоиды» (1.4.34) с частотой ω1,
рассматриваемой на бесконечном интервале времени –∞ < t < ∞, компонента
Фурье представляет собой δ-функцию, локализованную в точке ω = ω1.
Пример 4. Вещественное гармоническое колебание
Аналогичное вычисление для вещественной функции
z (t ) = cos( ω1t )
(1.4.36)
дает:
Zˆ ( ω) = π δ(ω − ω1 ) + π δ( ω + ω1 ) .
65
(1.4.37)
Здесь фурье-компонента представляет собой сумму двух дельта-функций,
локализованных в симметричных точках ω = ± ω1. В этом примере, как и в
предыдущем, фурье-спектр сигнала локализован на оси частот, а сам сигнал
имеет неограниченную длительность во времени.
Если функция обращается в ноль всюду вне некоторого интервала
изменения своего аргумента, то этот интервал называют носителем функции; о
такой функции говорят, что она обладает компактным (конечным) носителем.
Оказывается, сигнал z(t) и его фурье-образ Zˆ ( ω) не могут иметь компактные
носители одновременно. Так, у сигнала с конечной длительностью спектр
частот не локализован в конечной области частот, а располагается на всей оси
− ∞ < ω < ∞ . Причину этого обстоятельства нетрудно пояснить следующим
образом.
Любой сигнал zT(t) с конечной временной длительностью Т можно
представить в виде произведения двух функций – исходного сигнала z (t ) ,
который в общем случае имеет неограниченную длительность, и функции
временного «окна» g (t ) , отличной от нуля только на интервале времени Т:
zT (t ) = g (t ) z (t ) .
(1.4.38)
Легко убедиться, что фурье-компонента Ẑ T (ω) такого сигнала равна свертке
фурье-компонент исходного сигнала и функции окна:
ZˆT (ω) =
∞
∞
dω′ ˆ
dω′
ˆ
∫ 2π G (ω′) Z (ω − ω′) = ∫ 2π Gˆ (ω − ω′) Zˆ (ω′) .
−∞
−∞
(1.4.39)
На практике временное ограничение сигнала обусловлено конечностью
времени наблюдения. В этом случае g (t ) является прямоугольным окном на
отрезке времени, в течение которого велось измерение сигнала, и который
удобно представлять симметричным интервалом [–T / 2, T / 2]. В нем значения
g (t ) равны единице, а вне этого отрезка времени значения g (t ) равны нулю. В
соответствии с формулой (1.4.33), полученной для П-образной функции
времени, фурье-образ прямоугольного окна g (t ) имеет следующий вид:
T /2
2 sin ( ωT / 2)
.
(1.4.40)
ω
−T / 2
Эта величина с ростом частоты осциллирует, а ее огибающая убывает как 1 / ω .
Из выражений (1.4.39) видно, что такое поведение фурье-образа
Gˆ ( ω) =
∫ dt exp(i ω t ) =
66
прямоугольного окна приводит к растеканию спектра частот наблюдаемого
сигнала вдоль всей оси ω . Например, если неограниченный во времени сигнал
z (t ) обладает дельта-образным спектром, так что его фурье-образ Zˆ (ω)
локализован вблизи некоторого значения частоты ω = ω1 , то фурье-образ
ZˆT (ω) сигнала, ограниченного временным окном, должен практически
совпадать с Gˆ (ω − ω 1) . Другими словами, в спектре сигнала zT (t ) ,
ограниченного временным окном, помимо основного вклада на частотах ω n
неограниченного во времени сигнала, появляется множество дополнительных
гармоник, убывающих с ростом ω как ( ω − ω n ) −1 . Приведем конкретный
пример.
Пример 5. Гармоническое колебание с конечной длительностью.
Пусть сигнал z(t) имеет вид
z (t ) = g (t ) cos ( ω1 t ) ,
где
⎛ T⎞ ⎛ T⎞
⎛T
⎞ ⎧1 при − T / 2 ≤ t < T / 2,
g (t ) = θ⎜ t + ⎟ − θ⎜ t − ⎟ = θ⎜ − t ⎟ = ⎨
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎝2
⎠ ⎩0 при t < −T / 2, t ≥ T / 2.
Выполнив для z(t) интегральное преобразование Фурье (1.4.7), получим
sin ((ω + ω1 )T / 2 )
sin ((ω − ω1 )T / 2 )
Zˆ (ω) =
+
.
ω − ω1
ω + ω1
(1.4.41)
В этом примере вещественный периодический сигнал с частотой ω1 ограничен
во времени симметричным относительно t = 0 прямоугольным окном размера
T. Как видно из формулы (1.4.41), фурье-компонента Ẑ (ω) имеет
осциллирующий характер с двумя основными максимумами вблизи значений
частоты ω = ± ω1. При увеличении времени наблюдения до бесконечности
(T → ∞) правая часть равенства (1.4.41) переходит в выражение для фурьеамплитуды (1.4.37) гармонического колебания с бесконечной длительностью,
что согласуется с одним из известных представлений δ-функции:
1
sin( qx )
lim q → ∞
= δ( x ) .
x
π
Пример 6. Применение преобразования Фурье к анализу фильтров.
67
(1.4.42)
Поскольку переменные t и ω входят в формулы преобразования Фурье
симметричным образом, соответствующие выводы о поведении фурье-образа
можно распространить и на функцию-оригинал. Например, пусть некоторый
фурье-образ Kˆ LF ( ω) имеет вид ступеньки:
⎧ 1 при ω < ωLF ,
Kˆ LF ( ω) = ⎨
⎩ 0 при ω > ωLF .
(1.4.43)
Это выражение мы будем интерпретировать как передаточную характеристику
идеального фильтра низких частот (Low Frequency). Идеальный фильтр
низких частот полностью подавляет высокочастотные гармоники сигнала с
частотами ω > ωLF, но не меняет амплитуду низкочастотных колебаний.
Величина ωLF называется частотой среза фильтра низких частот.
Так как функция (1.4.43) имеет конечный носитель на оси ω , в tпредставлении функция такого фильтра не имеет конечного носителя; она
обладает осциллирующим характером с огибающей 1/t:
k LF (t ) =
ω LF
∫
− ω LF
dω
1 sin (ω LF t )
exp(− i ω t ) =
.
π
t
2π
(1.4.44)
Результатом фильтрации сигнала с произвольной фурье-амплитудой Zˆ ( ω) в
этом случае будет сигнал z LF (t ) с ограниченной шириной спектра частот,
характеризующийся отсутствием спектральных составляющих с частотами,
превышающими граничную частоту фильтра ωLF ; фурье-амплитуда сигнала
z LF (t ) имеет вид
⎧ Zˆ ( ω) при ω < ωLF ,
Zˆ LF ( ω) = Kˆ LF ( ω) Zˆ ( ω) = ⎨
при ω > ωLF .
⎩0
(1.4.45)
В t-представлении сигнал z LF (t ) с ограниченной шириной спектра описывается
сверткой типа (1.4.25); он не имеет конечного носителя.
Для сигналов с ограниченным спектром частот справедлива теорема
Котельникова (теорема отсчетов), которую можно сформулировать
следующим образом. Если сигнал z LF (t ) имеет ограниченный спектр, так что
носитель его фурье-компоненты ограничен конечным интервалом частот
− ωLF < ω < ωLF , то такой сигнал полностью определяется своими
68
дискретными отсчетами z LF (tn ) , измеренными в моменты времени tn=nΔt с
шагом Δt , не превышающим значение
Δt =
π
1
=
.
ωLF 2 f LF
(1.4.46)
При этом формула Котельникова, позволяющая выразить функцию
непрерывного времени z LF (t ) через совокупность ее дискретных отсчетов
z LF (tn ) , имеет вид:
z LF (t ) =
∞
∑
z LF (n Δt )
n = −∞
sin ((t − n Δt ) π / Δt )
.
( t − n Δt ) π / Δt
(1.4.47)
В справедливости формулы (1.4.47) можно убедиться следующим
образом. Обозначим посредством Sˆ ( ω) результат периодического продолжения
фурье-образа Ẑ LF (ω) сигнала с ограниченным спектром на всю ось частот с
периодом 2ωLF :
Sˆ ( ω) =
∞
∑ Zˆ LF (ω − 2ωLF k ) ,
k = 0,±1,±2,... .
(1.4.48)
k = −∞
Тогда, по аналогии с (1.4.45), имеем равенство
Ẑ LF (ω) = Sˆ (ω) Kˆ LF ( ω) ,
(1.4.49)
где Kˆ LF ( ω) – передаточная характеристика идеального фильтра низких частот
(1.4.43). В t-представлении равенству (1.4.49) соответствует свертка некоторого
сигнала s(t), обладающего периодическим спектром частот, и функции фильтра
kLF(t):
z LF (t ) =
∞
∫ dt ′ s(t ′) k LF (t − t ′) .
(1.4.50)
−∞
Теперь покажем, что сигнал s(t), фурье-образ которого дается выражением
(1.4.48), имеет вид суммы умноженных на Δt z LF (tn ) дельта-импульсов в
точках tn = nΔt :
s (t ) = Δt z LF (t )
∞
∑
δ(t − nΔt ) = Δt
n = −∞
∞
∑ z LF (nΔt ) δ(t − nΔt ) ,
n = −∞
69
(1.4.51)
где временной шаг Δt связан с граничной частотой ωLF формулой (1.4.46).
Действительно, присутствующая в (1.4.51) сумма дельта-импульсов является
периодической функцией времени с периодом Δt и поэтому она может быть
представлена рядом Фурье:
∞
∞
⎛ 2π k ⎞
t⎟.
ck exp⎜ − i
Δt ⎠
⎝
k = −∞
∑ δ(t − nΔt ) = ∑
n = −∞
(1.4.52)
Все коэффициенты ck этого ряда равны величине 1 / Δt ,
ck =
1 Δt / 2
1
⎛ 2π k ⎞
,
dt ∑ δ(t − nΔt ) exp⎜ i
t⎟ =
∫
t
Δ
t
Δ
Δ t − Δt / 2 n
⎠
⎝
так как в указанной здесь области интегрирования вклад дает только точка
t = 0 , соответствующая дельта-функции δ(t − nΔt ) с n=0. Пользуясь равенством
(1.4.52) при вычислении фурье-образа импульсного сигнала (1.4.51), а также
учитывая соотношение ωLF = π / Δt , приходим к результату (1.4.48):
Sˆ ( ω) =
=
∞
∞ 1
⎛
⎛ 2π k ⎞ ⎞
⎜
dt
t
z
(
t
)
Δ
∫ ⎜ LF ∑ Δt exp⎜⎝ − i Δt t ⎟⎠ ⎟⎟ exp(iωt ) =
k = −∞
⎠
−∞ ⎝
∞
∞
2π k ⎞ ⎞
⎛ ⎛
Zˆ LF ( ω − 2ωLF k ) .
(
)
exp
dt
z
t
i
ω
−
t
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∑
∑ ∫ LF
Δt ⎠ ⎠ k = −∞
⎝ ⎝
k = −∞ − ∞
∞
Наконец, подставив под знак интеграла (1.4.50) выражения для
импульсного сигнала (1.4.51) и функции идеального фильтра низких частот
(1.4.44), получаем искомую формулу Котельникова (1.4.47):
∞
∞
⎛
⎞
⎜
′
z LF (t ) = ∫ dt ⎜ Δt ∑ z LF ( nΔt ) δ(t ′ − nΔt ) ⎟⎟
⎝ n = −∞
⎠
−∞
⎛ 1 sin (ωLF (t − t ′) ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ =
(t − t ′)
⎝π
⎠
sin ((t − n Δt ) π / Δt )
.
(1.4.53)
( t − n Δt ) π / Δt
n = −∞
Дискретизация сигнала во времени, а затем и обратное преобразование,
то есть интерполяция функции непрерывного времени по ее дискретным
отсчетам, на практике играют очень важную роль. Дискретизация предшествует
=
∞
∑
z LF (n Δt )
70
любому процессу цифровой обработки сигналов; она выполняется аналогоцифровым преобразователем (АЦП), измеряющим выборочные значения
входного сигнала zLF(t) с заданным шагом Δt . Для модельного описания
импульсного сигнала, возникающего в АЦП при временной дискретизации
измеряемого сигнала, часто применяют функцию s(t) вида (1.4.51). Такая
функция представляет собой результат перемножения аналогового (то есть
непрерывного во времени) входного сигнала с последовательностью коротких
импульсов, для которой моделью служит сумма дельта-функций. Наряду с
временной дискретизацией в АЦП происходит и дискретизация сигнала по его
уровню, причем каждое измеренное значение сигнала обычно представляется в
двоичной системе исчисления кодом с конечным числом разрядов. Полученный
массив данных затем поступает в устройство цифровой обработки сигналов
(например, в компьютер) и преобразуется там по алгоритму, соответствующему
какой-либо конкретной задаче. Так, цифровой фильтр, подобный аналоговому
фильтру с неизменными во времени параметрами, осуществляет линейное
преобразование входных цифровых данных znвх :
znвых
=
∞
∑ hk znвх− k ,
(1.4.54)
k = −∞
где hk – заданные коэффициенты. Это выражение аналогично свертке функций
непрерывного времени (1.4.25); коэффициенты hk играют здесь ту же роль, что
и функция аналогового фильтра k (t ) . Из (1.4.54) видно, что для входного
сигнала в форме единичного импульса ( znвх− k = δ nk ) выходной сигнал совпадает
с коэффициентами фильтра: z nвых = hn . Поэтому совокупность коэффициентов
цифрового фильтра hk, как и функцию k (t ) в случае аналогового фильтра,
называют импульсным откликом фильтра. Если в формуле (1.4.54) количество
не равных нулю коэффициентов hk конечно (а также, если функция k (t ) в
(1.4.25) имеет компактный носитель), то говорят о фильтре с конечным
импульсным откликом; в противоположном случае речь идет о фильтре с
бесконечным импульсным откликом.
Очень часто итоговый результат znвых обработки цифровых данных
требуется представить снова в форме функции непрерывного времени. Эту
задачу выполняет цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Отвлекаясь от
деталей, касающихся преобразования двоичного кода в сигнал переменного
уровня, можно сказать, что ЦАП преобразует импульсный выходной сигнал
типа (1.4.51) в непрерывный выходной сигнал z(t), для которого должно
выполняться равенство z (tn ) = znвых . Формула Котельникова (1.4.53)
показывает, что в случае сигналов z(t) с ограниченной полосой частот
( − ωLF < ω < ωLF ) точное восстановление сигнала по его дискретным отсчетам
71
эквивалентно процессу фильтрации импульсного сигнала (1.4.51) идеальным
фильтром низких частот с частотой среза ωLF . Отсюда следует важный для
практики вывод: в качестве выходного каскада ЦАП необходимо устанавливать
достаточно совершенный фильтр низких частот. Кроме того, теорема отсчетов
указывает критерий выбора шага Δt временной дискретизации – величина Δt
не должна быть слишком большой, ее граничное значение связано с шириной
полосы частот сигнала соотношением (1.4.46).
Рассмотрим численный пример восстановления непрерывного сигнала по
дискретным отсчетам с помощью формулы Котельникова.
Рис. 1.21, а. – дискретный сигнал zn = z (tn ) , представляющий собой
N = 80 значений функции z (t ) = sin(2π ⋅ 4t ) + 0,75 sin(2π ⋅ 32t ) в интервале
времени 0–1 сек; вне указанного интервала значения zn полагались равными
нулю. В этом случае Δt = 1 / 80 сек, f LF = 1 /( 2 Δt ) = 40 Гц. На рис. 1.21, b
изображен сигнал z(t), полученный по формуле Котельникова (1.4.47) с
указанными выше значениями zn в роли отсчетов z LF ( nΔt ) . Следует отметить,
что в данном примере речь идет об отсчетах сигнала z(t) с конечным носителем
в t-представлении: этим носителем является интервал времени 0–1 сек. Спектр
частот такого сигнала не может быть ограниченным, и поэтому формула
(1.4.47), выведенная для сигналов с ограниченной полосой частот, в данном
случае не обеспечивает точного восстановления. Действительно, на рис. 1.21, b
72
видны затухающие осцилляции восстановленного сигнала вне носителя
исходного сигнала, тогда как при точном восстановлении сигнал вне интервала
0–1 сек должен быть равен нулю. Тем не менее, внутри интервала времени 0–1
сек, где сосредоточена основная доля энергии восстановленного сигнала,
качество восстановления исходного сигнала z (t ) = sin(2π ⋅ 4t ) + 0,75 sin(2π ⋅ 32t )
оказывается высоким.
При создании фильтра, предназначенного для обработки сигналов в
реальном времени, следует учитывать, что функция фильтра k(t) должна
удовлетворять условию причинности
при t < 0 .
k (t ) = 0
(1.4.55)
Как видно из соотношения (1.4.25), условием причинности (1.4.55)
гарантируется отсутствие сигнала на выходе фильтра во все моменты времени,
предшествующие поступлению сигнала на вход. С помощью теории функций
комплексного переменного можно показать, что при выполнении условия
(1.4.55) коэффициент передачи фильтра Kˆ ( ζ ) ,
Kˆ ( ζ ) =
∞
∫ dt k (t ) exp(iζ t ) ,
−∞
как функция комплексной частоты ζ = ω + iν может иметь особые точки только
в нижней полуплоскости своего аргумента (ν < 0).
В случае идеального фильтра низких частот функция k(t) дается
выражением (1.4.44), которое не удовлетворяет требованию причинности
(1.4.55). Следовательно, ни идеальный фильтр низких частот, ни основанная на
таком фильтре процедура восстановления аналоговых сигналов по формуле
Котельникова не могут быть точно реализованы в практических устройствах,
работающих в режиме реального времени. Нарушение причинности при
восстановлении сигнала по формуле Котельникова легко иллюстрировать, в
частности, рисунком 1.21, b – здесь видны опережающие колебания выходного
сигнала (при t < 0 ), появляющиеся в роли предвестника сигнала на входе.
Перейдем теперь к примерам фильтров низких частот, которые удовлетворяют
условию причинности и реализуются на практике в виде относительно
несложных электрических цепей.
Наиболее известные примеры это фильтры Баттерворта и Чебышева [7].
Фильтром Баттерворта порядка n для низких частот (ФНЧ) называют такой
фильтр, у которого модуль коэффициента передачи убывает с ростом частоты
согласно формуле
73
Kˆ ( ω) =
1
1 + (ωτ)
2n
.
(1.4.56)
Фильтр низких частот Чебышева порядка n характеризуется формулой:
Kˆ ( ω) =
1 + (εTn (0)) 2
1 + ( εTn (ωτ)) 2
,
(1.4.57)
где 0 < ε ≤ 1 – параметр, регулирующий немонотонность амплитудно-частотной
характеристики, Tn ( x ) = cos(n arccos x ) – полиномы Чебышева [8]. Числитель в
(1.4.57) обеспечивает нормировку коэффициента передачи на единицу при
нулевой частоте. В приведенных здесь формулах величина 1 / τ имеет смысл
частоты среза фильтров ωLF .
На основе одиночного RC-звена, влияние которого на прямоугольный
сигнал мы рассматривали на рис. 1.18, реализуется простейший ФНЧ – фильтр
Баттерворта 1-го порядка. Его коэффициент передачи описывается выражением
Kˆ ( ω) =
1
,
1 − iωτ
(1.4.58)
где τ = RC . При этом функция импульсного отклика (результат обратного
преобразования Фурье для Kˆ ( ω) ) имеет вид:
⎧τ −1 exp( −t / τ) при t ≥ 0 ,
k (t ) = ⎨
0
при t < 0 .
⎩
(1.4.59)
В следующих двух примерах функцию импульсного отклика можно
записать в виде:
⎧c τ −1 exp( − at / τ) sin(bt / τ) при t ≥ 0 ,
(1.4.60)
k (t ) = ⎨
<
0
при
t
0
.
⎩
При выборе значений c = 2 , a = b = 1 / 2 выражение (1.4.60) дает функцию
отклика для ФНЧ Баттерворта 2-го порядка с передаточной характеристикой
Kˆ ( ω) =
1
2
− ( ωτ) −
74
2 iωτ + 1
.
(1.4.61)
При c = 0,911 , a = 0,322 , b = 0,777 функция (1.4.60) аппроксимирует ФНЧ
Чебышева 2-го порядка (с параметром ε = 1 ); передаточная характеристика
такого фильтра есть
Kˆ (ω) =
0,708
− (ωτ) 2 − 0,645 iωτ + 0,708
Амплитудно-частотные и импульсные
фильтров изображены на рис. 1.22.
.
характеристики
(1.4.62)
рассмотренных
Рис. 1.22, a. – зависимость модуля передаточной функции фильтра низких
частот от безразмерной частоты ωτ = ω / ωLF , где ωLF = 1 / τ – частота среза.
Приведены графики для фильтров второго порядка Чебышева с ε = 1 , второго
порядка Баттерворта, первого порядка Баттерворта, а также для идеального
ФНЧ. b – графики функции импульсного отклика указанных ФНЧ при
значении постоянной времени фильтра τ = 1 сек. Это примеры фильтров с
бесконечным импульсным откликом. Заметим, что для всех перечисленных
фильтров, кроме идеального ФНЧ, функция импульсного отклика k(t)
удовлетворяет условию причинности (1.4.55).
Интересно сравнить результаты восстановления сигнала по алгоритму
Котельникова (рис. 1.21) и по аналогичным алгоритмам, использующим
фильтры (1.4.59) – (1.4.60). Мы будем считать, что входным сигналом для
наших фильтров является изображенная на рис. 1.21, a ступенчатая функция,
представляющая собой сумму ступенек вида ( θ(t − tn ) − θ(t − tn − Δt )) zn . В этом
случае сигнал на выходе фильтра описывается выражением
z(t ) =
∞
∫ dt ′ k (t − t ′)
−∞
∞
∑
zn ( θ(t ′ − tn ) − θ(t ′ − tn − Δt ) ) ,
n = −∞
75
(1.4.63)
где zn = z ( nΔt ) , tn = n Δt , n = 0,±1,±2, ... , k (t ) – одна из функций (1.4.59)–
(1.4.60). Это выражение приводится к виду, подобному формуле Котельникова
(1.4.47):
z (t ) =
∞
∑
zn ( p(t − tn ) − p(t − tn − Δt ) ) ,
(1.4.64)
n = −∞
где p(t) – удовлетворяющая условию причинности первообразная для функции
импульсного отклика k(t). На рис. 1.23–1.24 приведены примеры
восстановления аналоговых сигналов z(t) по дискретным отсчетам zn с
помощью соотношения (1.4.64)
Рис. 1.23, a. Результат сглаживания ступенчатого сигнала, показанного на
рис. 1.21, a,
интегрирующим
RC-звеном
с
постоянной
времени
−1
−3
τ = ( 2 πf LF ) = 3,98 ⋅ 10 сек. Частота среза звена f LF = 40 Гц. Исходный
непрерывный сигнал имел вид z (t ) = sin(2π f t ) + 0,75 sin(2π 8 f t ) в интервале
времени 0–1 сек, частота f = 4 Гц; вне указанного интервала времени значения
z(t) полагались равными нулю. Шаг временной дискретизации составлял
Δt = 1 / 80 сек,
этому
значению
соответствует
граничная
частота
1 /(2 Δt ) = 40 Гц. Мы видим, что низкочастотную компоненту сигнала (с
76
частотой
f = 4 Гц)
фильтр
первого
порядка
восстанавливает
с
удовлетворительным качеством, но компонента сигнала с частотой 32 Гц
заметно искажена. На рис. 1.23, b показан результат сглаживания того же
самого ступенчатого сигнала фильтром низких частот Чебышева второго
порядка с передаточной характеристикой (1.4.62); частота среза фильтра, как и
в предыдущем случае, составляет f LF = 40 Гц. Качество восстановления
высокочастотной синусоиды повысилось, но все-таки его нельзя признать
вполне удовлетворительным, если проводить сравнение с рис. 1.21, b. Причина
низкого качества заключается в том, что частота наивысшей гармоники сигнала
(32 Гц) слишком близка к частоте среза фильтра (40 Гц).
Картина заметно улучшается, если ограничиться лишь такими сигналами,
у которых основная доля энергии распределена по низким частотам, f << f LF .
Это иллюстрируется следующим рисунком.
Рис. 1.24, a – график ступенчатого сигнала zn, отличающегося от
использованного ранее тем, что частоты синусоид, составляющих исходный
аналоговый сигнал, здесь понижены в два раза – они равны 2 Гц и 16 Гц. b –
результат восстановления аналогового сигнала z(t) из указанного ступенчатого
сигнала zn с помощью фильтра низких частот Чебышева (1.4.62) с частотой
среза fLF = 40 Гц. Как видно, здесь форма выходного сигнала z(t) вполне
77
напоминает график суммы синусоид с частотами 2 Гц и 16 Гц в интервале
времени 0–1 сек.
Отметим, что выходные сигналы реальных фильтров, изображенные на
рис. 1.23–1.24, имеют причинный характер: они не содержат «предвестников»
входного сигнала в области t < 0 .
В практике анализа и обработки сигналов находят применение не только
фильтры низких частот, но и другие типы алгоритмов фильтрации. Так,
идеальный фильтр высоких частот (ФВЧ) устраняет постоянную
составляющую сигнала и все его низкочастотные компоненты, выделяя
гармоники с частотами | ω | > ωHF , где ωHF – частота среза фильтра высоких
частот (High Frequency). Выражения для передаточных характеристик реальных
ФВЧ Kˆ ( ω) можно получить из уже известных передаточных функций ФНЧ
заменой аргумента iω / ωLF на ωHF / iω .
Например, функция (1.4.58), описывающая ФНЧ Баттерворта 1-го
порядка, при такой замене перейдет в передаточную функцию ФВЧ
Баттерворта 1-го порядка, имеющую вид
− iωτ
Kˆ ( ω) =
.
1 − iωτ
(1.4.65)
Здесь τ = 1 / ωHF ; если ФВЧ реализуется на основе дифференцирующего RCзвена, то τ = RC . Передаточная характеристика реального ФВЧ при | ω | < ωHF
не обращается скачком в нуль, а плавно убывает с понижением частоты. Так,
из выражения (1.4.65) видно, что передаточная функция ФВЧ Баттерворта 1-го
порядка убывает при ω << ωHF пропорционально первой степени частоты ω.
Частотная зависимость модуля передаточной характеристики ФВЧ Баттерворта
произвольного порядка n с частотой среза ωHF = 1 / τ определяется формулой
Kˆ ( ω) =
1
1 + ( ωτ)
− 2n
=
| ωτ |n
1 + ( ωτ)
2n
.
(1.4.66)
Наряду с ФВЧ и ФНЧ существуют полосовые фильтры, выделяющие
частоты в определенном интервале, заградительные фильтры, подавляющие
сигналы в заданной полосе частот, многополосные системы, которые
расщепляют сигнал на несколько составляющих в смежных частотных
интервалах и направляют эти составляющие по различным каналам обработки.
78
1.5 Частотно-временная локализация и
оконное преобразование Фурье
Преобразование Фурье составляет естественную основу спектрального
анализа функций и поэтому оно играет ключевую роль для всех задач
обработки сигналов z(t), встречающихся в самых разных областях практической
деятельности. Вместе с тем, описанию сигналов посредством одних лишь
компонент Фурье Zˆ ( ω) сопутствует недостаток – теряется наглядная картина
эволюции сигнала во времени. Это не очень важно в случае периодических
сигналов, состоящих из небольшого числа гармоник. Однако на практике
приходится изучать, главным образом, сложные процессы z(t), для которых
характерно наличие нескольких этапов временной эволюции с различным
спектральным составом; такие сигналы мы будем называть нестационарными.
Как правило, глядя на график нестационарного сигнала z(t), мы плохо
представляем себе детали его спектра частот, а по виду фурье-образа Zˆ ( ω) ,
найденного на бесконечном интервале времени, мы ничего не можем сказать о
динамике самого сигнала z(t), пока не выполним обратного преобразования
Фурье. Возникает желание дополнить эти два описания картиной эволюции
спектрального состава нестационарного сигнала на плоскости с координатами
ω и t.
При этом, однако, следует понимать, что точное значение частоты строго
определено только для бесконечного во времени гармонического колебания.
Если же сигнал z(t) рассматривается на конечном промежутке времени Т, то
картина частотного спектра зависит от величины временного интервала Т и от
способа определения функции z(t) вне этого интервала. Разобранные в
предыдущих разделах примеры показывают, что с уменьшением временной
длительности сигнала увеличивается его частотная протяженность – растет
интервал частот, в котором находятся не равные нулю фурье-амплитуды. В
пределе с T → 0 ширина спектра частот стремится к бесконечности (вспомним
пример с сигналом в виде дельта-функции), поэтому не существует
возможности говорить об определенном значении частоты ω в отдельной
временной точке t безотносительно к форме сигнала на конечных интервалах
времени. Подобная взаимосвязь между длительностью сигнала (или фрагмента
сигнала на конечном промежутке времени) и шириной спектра частот получила
название принципа неопределенности для частоты и времени.
Для количественной формулировки принципа неопределенности надо
ввести в рассмотрение конкретные оценки характерной временной
длительности и протяженности спектра частот. Определения таких величин
могут меняться в зависимости от задачи и вида функции z(t). Для сигналов с
конечной энергией, то есть для функций z(t), принадлежащих пространству L2,
временная Δ t и частотная Δ ω протяженности часто оцениваются следующим
79
образом. Определим как «взвешенное среднее» центр временной локализации
tc и центр частотной локализации ωc произвольной функции z(t):
∞
∫ dt t z (t )
tc =
−∞
∞
∫ dt
∞
2
ωc =
,
z (t )
2
2
dω ˆ
ω
Z
(
ω
)
∫ 2π
−∞
∞
dω ˆ
Z ( ω)
2
π
−∞
∫
−∞
2
.
(1.5.1)
В силу равенства Парсеваля–Планшереля знаменатели в этих выражениях
представляют собой одну и ту же величину,
∞
∫ dt
2
z (t ) =
−∞
∞
2
dω ˆ
Z ( ω) ,
− ∞ 2π
∫
(1.5.2)
которая называется энергией или квадратом нормы функции z(t). Параметры Δ t
и Δ ω , характеризующие по порядку величины временную длительность и
протяженность частотного спектра функции z(t), определяются по формулам
среднеквадратичных отклонений (дисперсии) с теми же весами, что и средние
значения tc , ωc :
∞
( Δt )2 =
2
∫ dt (t − tc ) z(t )
−∞
,
∞
∫ dt
∞
2
z (t )
2
(Δ ω )2 =
2
dω
2 ˆ
Z
ω
−
ω
ω
(
)
(
)
c
∫ 2π
−∞
∞
dω ˆ
Z ( ω)
π
2
−∞
∫
−∞
2
.
(1.5.3)
Покажем, что определенные так Δ t и Δ ω удовлетворяют неравенству
Δt Δω ≥ 1 / 2 ,
(1.5.4)
которым и выражается принцип неопределенности для частоты и времени.
Для упрощения вывода ограничимся случаем с tc = 0 , ωc = 0 и будем
считать что квадрат нормы (1.5.2) исследуемой функции z(t) равен единице.
Полагая, что на бесконечности функция z(t) вместе со своей производной
обращается в нуль, с помощью двукратного интегрирования по частям получим
2
ω Zˆ ( ω) =
∞
⎛ d 2 iωt ⎞ ∞
iωt
∫ dt z (t ) ⎜⎜ − 2 e ⎟⎟ = ∫ dt e
−∞
⎠ −∞
⎝ dt
80
⎛ d 2z ⎞
⎟.
⎜−
⎜ dt 2 ⎟
⎠
⎝
Следовательно,
∞
2
dω 2 ˆ
(Δω ) = ∫
ω Z ( ω) =
2
−∞ π
2
∞
∞
dω ˆ ∗
Z ( ω) ∫ dt eiωt
= ∫
− ∞ 2π
−∞
∞
dω ˆ ∗
Z ( ω) ω2 Zˆ ( ω) =
− ∞ 2π
∫
∞
2
⎛ d 2z ⎞
⎜−
⎟ = − ∫ dt z ∗ (t ) d z .
⎜ dt 2 ⎟
dt 2
−∞
⎠
⎝
(1.5.5)
Теперь рассмотрим очевидное неравенство с произвольной вещественной
переменной x:
∞
dz (t )
∫ dt x t z (t ) + dt
−∞
2
≥ 0.
(1.5.6)
Раскрывая в (1.5.6) подынтегральное выражение,
dz * ⎞ ⎛
dz ⎞
d | z |2 dz * dz
⎛
2 2
2
+
,
⎜ xtz * +
⎟ ⎜ xtz + ⎟ = x t | z | + x t
dt ⎠ ⎝
dt ⎠
dt
dt dt
⎝
и выполняя интегрирование по частям с учетом (1.5.5),
∞
∞
d | z |2
2
∫ dt t dt = − ∫ dt | z | = −1 ,
−∞
−∞
∞
∞
2
dz ∗ dz
2
∗d z
∫ dt dt dt = − ∫ dt z 2 = ( Δ ω ) ,
dt
−∞
−∞
найдем, что неравенство (1.5.6) принимает вид
(Δ t )2 x 2 − x + (Δ ω )2 ≥ 0 .
(1.5.7)
Осталось заметить, что квадратичный по вещественной переменной x трехчлен
(1.5.7) принимает положительные значения при любых x только тогда, когда
его дискриминант отрицателен:
( −1) 2 − 4( Δ t ) 2 ( Δ ω ) 2 ≤ 0 .
Отсюда и следует неравенство (1.5.4), Δ t Δ ω ≥ 1 / 2 , часто называемое
соотношением неопределенности. Оно служит количественным выражением
принципа неопределенности для частоты и времени.
81
В литературе неравенство (1.5.4) нередко ассоциируется с соотношением
неопределенности Гейзенберга ΔxΔp ≥ h / 2 для координаты x и импульса p
частицы в квантовой механике. Надо подчеркнуть, что между обоими
неравенствами действительно имеется математическая аналогия, но по
физическому смыслу они существенно различны. Неравенство Гейзенберга
характеризует квантовые флуктуации величин x и p, неизбежно сопутствующие
процессу измерения координаты или импульса частицы. Неравенство же (1.5.4),
Δ t Δ ω ≥ 1 / 2 , не имеет отношения к каким-либо флуктуациям частоты и тем
более к «флуктуациям времени».
Соотношение Δ t Δ ω ≥ 1 / 2 показывает, что чем меньше одна из величин
Δ t и Δ ω , тем больше другая. Если размеры δω и δt, подобные Δ t и Δ ω ,
вводятся каким-либо способом, отличным от (1.5.3), то число в правой стороне
неравенства (1.5.4) не обязательно совпадает с 1/2, но оно всегда оказывается
величиной «порядка единицы» (скажем, это может быть 4π). Таким образом,
говоря о частотно-временной локализации спектральных компонент сигнала
или об изменении спектра частот со временем, мы должны помнить, что в
любом случае каждой спектральной компоненте на плоскости с координатами
t , ω соответствует не точка, а область с конечной площадью δt δω, по порядку
величины не меньшей единицы.
Самый простой способ исследовать изменение частотного спектра
сигнала с течением времени заключается в том, чтобы вместо единственного
интеграла Фурье по бесконечному временному интервалу –∞ < t < ∞
рассматривать семейство преобразований Фурье на конечных интервалах
времени [t0 – T/2, t0 + T/2] – окнах постоянной длины T с центром в различных
точках t0. Меняя значение t0, то есть передвигая окно вдоль временной оси, мы
можем проследить за изменением фурье-амплитуд сигнала на различных этапах
эволюции длительностью T. Такая процедура получила название
кратковременного или оконного преобразования Фурье (windowed Fourier
transform).
Обозначив результат оконного фурье-преобразования сигнала z(t) как
Zˆ w ( ω, t0 ) , дадим ему следующее определение:
Zˆ w ( ω, t0 ) =
t0 + T / 2
∫ dt z (t ) exp(iω(t − t0 )) .
(1.5.8)
t0 −T / 2
Для удобства дальнейших обобщений мы ввели в это определение фазовый
множитель exp(–iωt0), не оказывающий влияния на модуль величины (1.5.8).
82
Формула оконной фурье-амплитуды (1.5.8) может быть записана в виде
выражения, похожего на свертку сигнала z(t) с некоторой функцией w∗ ( ω , t ) ,
Zˆ w ( ω, t0 ) =
∞
∗
∫ dt z (t ) w
−∞
( ω , t − t0 ) ,
(1.5.9)
где звездочка означает комплексное сопряжение, функция w( ω , t ) описывает
комплексное гармоническое колебание exp(–iωt), ограниченное окном g(t):
w( ω , t ) = g (t ) exp(−iωt ) ,
(1.5.10)
⎧1 , − T / 2 ≤ t ≤ T / 2,
g (t ) = ⎨
⎩0 , | t | > T / 2 .
(1.5.11)
Надо отметить, что в общепринятое определение оконного преобразования
Фурье не входит фазовый множитель exp(–iωt0), то есть подынтегральное
выражение в (1.5.9) обычно выбирается в виде z(t)g(t–t0)exp(iωt).
Обсудим выбор размера окна T, а также роль его формы, которая задается
оконной функцией g(t).
Принцип неопределенности гласит, что при заданной временной ширине
окна T частотное расплывание спектральных линий сигнала составляет
δω ~ 1 / T . Отсюда следует, что широким окном обеспечивается хорошее
частотное разрешение спектральных составляющих сигнала и достаточно малое
значение нижней границы ωmin ~ 1 / T анализируемого диапазона частот. Но
вследствие интегрирования сигнала по интервалу времени T временное
разрешение составляет δt ~ T , так что широкое окно не позволит точно
обнаружить момент времени резкой перестройки спектрального состава
нестационарного сигнала. И наоборот, окно с малым размером T позволяет
изучать быстрые изменения амплитуды высокочастотных гармоник, однако не
дает адекватной информации о наличии в сигнале низкочастотных
составляющих.
Для иллюстрации проявлений принципа неопределенности на рис. 1.25–
1.26 изображены результаты преобразования Фурье (1.5.8) сигнала
z(t)=cos(2π f1t) с частотой f1=5 Гц, ограниченного прямоугольным окном [–T/2,
T/2] с центром в точке t0=0 при различных значениях ширины T. Сначала
приводятся графики самого сигнала cos(2π f1t), умноженного на функцию g(t)
прямоугольного окна.
83
Рис. 1.25. Графики «синусоидального» сигнала z(t)=cos(2π f1t) с частотой
f1=5 Гц, отличного от нуля только на интервале –T/2 < t < T/2, при различных
значениях Т: a – 0,5 сек, b – 1 сек, c – 4 сек.
___________________________________________________________________
a
84
b
c
Рис. 1.26. Графики зависимости от частоты f=ω / 2π для фурье-образа
сигнала z(t)=cos(2π f1t) с частотой f1=5 Гц, ограниченного прямоугольным
окном –T/2 < t < T/2 при различных значениях Т: a – для Т=0,5 сек, b – для
Т=1 сек, c – для Т=4 сек. В рассматриваемом примере выражение для фурьеобраза (1.5.8) совпадает с формулой (1.4.41). Приведенные здесь графики
фурье-компонент построены с помощью указанной формулы. Все три фурьеспектра демонстрируют присутствие составляющих с частотами f, отличными
от частоты сигнала f1=5 Гц. Ширина δf главного пика, определяемая как
85
расстояние между соседними точками пересечения графика с осью абсцисс по
обе стороны главного максимума, составляет 2 / T. Таким образом, в этом
примере соотношение между неопределенностью круговой частоты δω=2π δf и
времени δt = Т представляется равенством δt δω = 4π.
Прямоугольное окно g(t) обладает существенным недостатком – функция
g(t) разрывна, вследствие чего ее фурье-образ сильно осциллирует, причем он
убывает с ростом частоты медленно. Это приводит к появлению на графиках
оконного преобразования Фурье множества побочных максимумов (рис. 1.26),
которые могут маскировать частотную локализацию спектральных компонент в
случае сложного сигнала. Не слишком хорошая частотная локализация
прямоугольных окон проявляется также в том, что интеграл в числителе
выражения для среднеквадратичной ширины Δω спектра прямоугольного окна
расходится, и произведение величин Δt, Δω, определенных для g(t) по
формулам, аналогичным (1.5.3), принимает вид ΔtΔω=∞.
Для улучшения разрешающей способности оконного преобразования
Фурье можно воспользоваться в (1.5.9)–(1.5.10) функциями g(t),
отличающимися от прямоугольного окна (1.5.11) большей гладкостью.
Некоторые из таких функций были перечислены в табл. 1.1 (см. раздел 1.2);
необходимо лишь переписать их в виде, симметричном относительно точки t=0
и полагать g(t)=0 вне интервала –T/2<t<T/2. Для примера, на рис. 1.27 приведен
результат фурье-преобразования синусоидального сигнала, ограниченного
окном Ханна протяженностью Т = 1 сек.
Рис. 1.27 Зависимость от частоты f=ω / 2π для фурье-образа сигнала
z(t)=g(t)cos(2π f1t) с частотой f1=5 Гц, ограниченного окном Ханна
86
g(t) = Const ( cos(2π t / T) + 1) с длительностью Т = 1 сек; здесь Const –
произвольный нормировочный множитель. Сравнение с рис. 1.26, b показывает,
что окно Ханна позволяет почти полностью подавить боковые «лепестки»
фурье-спектра – пики на частотах, отличных от частоты синусоиды f1,
ослабляются. Хотя такое улучшение формы фурье-спектра сопровождается
уширением основного пика, при анализе сложных сигналов гладкие окна
имеют преимущества.
Подставив в правую часть определения оконного преобразования Фурье
(1.5.9) разложение сигнала z(t) в интеграл Фурье, нетрудно выразить оконный
фурье-образ сигнала через обычные фурье-образы Zˆ ( ω) , Gˆ ( ω) сигнала z(t) и
окна g(t):
∞
dω′
ˆ
(1.5.12)
Z w ( ω, t0 ) = ∫
exp( −iω′t0 ) Zˆ (ω′) Gˆ ( ω − ω′) .
2
π
−∞
При t0=0 выражение (1.5.12) переходит в (1.4.39). Из него видно, что поведение
фурье-компоненты Gˆ ( ω) оконной функции g(t) играет существенную роль –
характер размытия спектральных пиков в оконном преобразовании Фурье
связан с тем, насколько быстро функция Gˆ ( ω) убывает с ростом своего
аргумента.
Таким
образом,
разрешающая
способность
оконного
преобразования Фурье определяется свойствами частотно-временной
локализации оконной функции g(t).
На практике используют вещественные симметричные окна g(t)=g(–t),
обладающие компактным носителем в t-представлении. В ω-представлении
такие окна не имеют компактного носителя и обычно характеризуются
степенным законом убывания огибающей фурье-амплитуды с ростом частоты.
С помощью формул (1.5.1)–(1.5.3) с функцией g(t) вместо z(t) можно ввести в
дело оценки временной Δt и частотной Δω протяженности различных окон. В
силу соотношения неопределенности (1.5.4) произведение ΔtΔω не может быть
меньше, чем 1/2. Чем ближе значение ΔtΔω к 1/2, тем лучше частотновременная локализация окна.
Значительный интерес представляет применение гауссовой функции
2 −1 / 4
g ( t ) = ( 2 πT )
⎛ t2 ⎞
exp⎜ − 2 ⎟ .
⎜ 4T ⎟
⎝
⎠
(1.5.13)
Множитель перед экспонентой в (1.5.13) обеспечивает для функции g(t), а
следовательно и для функции w(t) (1.5.10), единичную величину нормы в
пространстве L2:
87
∞
∫ dt
∞
2
∫ dt
g (t ) = 1 ,
2
w(t ) = 1 .
(1.5.14)
−∞
−∞
Фурье-образ гауссовской функции (1.5.13) также имеет гауссову форму:
Gˆ (ω) = (8πT 2 )1 / 4 exp( −ω2T 2 ) .
(1.5.15)
Условие нормировки (1.5.14) не является обязательным, в общем случае
функция g(t) может быть записана с произвольным нормировочным
множителем. Вычисление среднеквадратичных размеров показывает, что для
гауссовой функции (1.5.13)
1
Δt = T ,
Δω =
.
2T
Таким образом, функция (1.5.13) характеризуется наименьшим значением
произведения временного и частотного размеров, которое еще допускается
соотношением неопределенности: ΔtΔω=1/2. Отметим однако, что гауссова
функция не является окном в строгом смысле этого слова, так как она нигде
не обращается в нуль. Функция (1.5.13) способна выполнять роль временного
окна с эффективной шириной Δt=Т лишь в силу экспоненциального убывания
при | t | >> T . Аналогичным образом, фурье-амплитуда (1.5.15) играет роль
частотного окна с эффективной шириной Δ ω = 1 / 2T за счет экспоненциального
убывания при | ω | >> Δ ω . Оконное преобразование Фурье (1.5.9)–(1.5.10) с
функцией g(t) гауссовской формы (1.5.13) называют преобразованием Габора.
Для интерпретации и графического представления результатов оконного
преобразования Фурье является важным факт существования формулы,
аналогичной равенству Парсеваля–Планшереля в обычном фурье-анализе.
Выведем такую формулу, интегрируя по частоте ω и по времени t0 квадрат
модуля оконного фурье-образа (1.5.9); мы будем считать, что в подобных
вычислениях допустимо менять порядок интегрирования:
∞
2
dω ∞
∫ 2π ∫ dt0 Zˆ w (ω, t0 ) =
−∞
−∞
=
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
∫ dt
∫ dt0
∫ du
=
∞
dω i ω ( t − u )
g ( t − t0 ) g ∗ ( u − t 0 ) z ( t ) z ∗ ( u ) =
∫ 2π e
−∞
∞
∫ dt0
−∞
g ( t − t0 )
88
2
∞
∫ dt
−∞
2
z (t ) .
(1.5.16)
Здесь было учтено, что интеграл по частоте равен функции Дирака δ(t–u).
Учитывая теперь вещественность и симметрию функции окна g(u)=g(–u), и
вводя переменную интегрирования u=t0–t, запишем
∞
2
∫ dt0 g (t − t0 ) =
−∞
∞
∫ du ( g (u ))
2
≡ C2,
(1.5.17)
−∞
где C 2 – квадрат нормы оконной функции g(t). Таким образом, из равенства
(1.5.16) следует искомый аналог формулы Парсеваля:
∞
2
dω ∞
2
ˆ
dt Z w ( ω, t0 ) = ∫ dt z(t ) .
2 ∫ 2π ∫ 0
C −∞
−∞
−∞
1
∞
(1.5.18)
Отметим, что в плане применения этого результата наиболее естественным
условием нормировки оконной функции g(t) является требование С2 = 1.
Формула (1.5.18) показывает, что энергия сигнала пропорциональна
проинтегрированному по площади ω,t-плоскости квадрату модуля оконного
фурье-образа | Zˆ w ( ω, t0 ) |2 . Отсюда следует, что величина | Zˆ w ( ω, t0 ) |2 имеет
смысл двумерной «плотности энергии» сигнала z(t) на частотно-временной
плоскости.
Подобными же вычислениями проверяется справедливость формулы
обратного оконного преобразования Фурье,
∞
dω ∞
z (t ) = 2 ∫
dt0 Zˆ w ( ω, t0 ) w( ω, t − t0 ) =
∫
C − ∞ 2π − ∞
1
=
dω ∞
dt Zˆ ( ω, t0 ) g (t − t0 ) exp( −iω(t − t0 )) .
2 ∫ 2π ∫ 0 w
C −∞
−∞
1
∞
(1.5.19)
Это преобразование позволяет восстановить функцию z(t) по ее оконному
фурье-образу (1.5.9). Действительно, правая часть равенства (1.5.19) после
подстановки в нее выражения для оконной фурье-амплитуды,
Zˆ w ( ω, t0 ) =
∞
∫ du z(u) g (u − t0 ) e
−∞
принимает вид
89
i ω ( u − t0 )
,
1
C2
∞
∞
−∞
−∞
∞
dω i ω( u − t )
e
z ( u ) g ( u − t0 ) g ( t − t0 ) =
2
π
−∞
∫ dt0 ∫ du ∫
= z (t )
1
C
2
∞
∫ dt0 ( g (t − t0 ))
2
= z (t ) ,
−∞
что и требовалось показать.
Результат оконного преобразования Фурье целесообразно представлять
совокупностью графиков функции | Zˆ w ( ω, t0 ) |2 , зависящей от двух переменных
ω, t0 . В самом деле, как мы уже убедились, эта функция имеет смысл
плотности энергии сигнала на частотно-временной плоскости ω, t0. Достаточно
выразительным графическим представлением для нее будет изображение
поверхности Z(X,Y) = | Zˆ w ( ω, t0 ) |2 в трехмерном пространстве с координатами
X, Y, Z, где высота поверхности Z зависит от изменяющихся аргументов
X = ω / 2π и Y = t0. Кроме того, такую поверхность часто изображают в виде
двумерной топографической карты, на которой значения высоты Z в областях
между изолиниями указываются цветной раскраской или различными
градациями черно-белой палитры. Изображение квадрата модуля оконного
фурье-образа | Zˆ w ( ω, t0 ) |2 , как функции двух переменных – частоты ω (или
f = ω / 2π ) и времени t0, – называется спектрограммой сигнала z(t).
Спектрограмма характеризует частотный состав сигнала в окрестности
различных моментов времени t0 и поэтому служит ценным инструментом
анализа нестационарных сигналов.
Перейдем к рассмотрению примеров оконного преобразования Фурье,
причем сначала мы вычислим оконные амплитуды Фурье для простейших
стационарных сигналов.
Пример 1. Комплексный сигнал с определенной частотой
Пусть функция z(t) полностью делокализована во времени и характеризуется
только одним значением частоты (ω = ω1 > 0):
z (t ) = exp( −iω1 t ) .
В этом случае для оконной фурье-амплитуды
90
(1.5.20)
Zˆ w ( ω, t0 ) =
∞
∫ dt z (t ) g (t − t0 ) exp(iω (t − t0 ))
(1.5.21)
−∞
мы получим очень простое выражение
Zˆ w (ω, t0 ) = Gˆ (ω − ω1 ) exp( −iω1t0 ) ,
(1.5.22)
где Gˆ ( ω) – фурье-компонента оконной функции g(t). Видно, что спектрограмма
| Zˆ w ( ω, t0 ) |2 для сигнала с определенной частотой ω=ω1 не зависит от времени t0
– она определяется квадратом модуля фурье-компоненты оконной функции с
центром в точке ω = ω1:
| Zˆ w ( ω, t0 ) |2 = | Gˆ ( ω − ω1 ) |2 .
(1.5.23)
Так, для симметричного относительно точки t = 0 прямоугольного окна
длительностью Т фурье-компонента описывается правой частью равенства
(1.4.33) с t0 = 0
2 sin(ω T / 2)
,
Gˆ ( ω) =
ω
(1.5.24)
поэтому
| Gˆ ( ω − ω1 ) |2 =
4 sin 2 (( ω − ω1 ) T / 2)
( ω − ω1 )
2
.
(1.5.25)
Для окна Ханна, нормированного условием g(0) = 1,
⎧ (cos( 2πt / T ) + 1) / 2 , − T / 2 ≤ t ≤ T / 2,
g (t ) = ⎨
0,
|t |> T /2 ,
⎩
(1.5.26)
результат имеет вид:
Gˆ ( ω) =
| Gˆ ( ω − ω1 ) |2 =
(
sin(ω T / 2)
ω 1 − ( ωT / 2 π) 2
),
(1.5.27)
sin 2 (( ω − ω1 ) T / 2)
( ω − ω1 )
91
2
( 1 − ((ω − ω1)T / 2π) )
2 2
.
(1.5.28)
Для гауссовой огибающей (1.5.13) с фурье-амплитудой (1.5.15) получим:
| Gˆ ( ω − ω1 ) |2 = (8πT 2 )1 / 2 exp( −2T 2 ( ω − ω 1 ) 2 ) .
(1.5.29)
Это есть квадрат модуля преобразования Габора комплексного сигнала (1.5.20).
Далее мы будем рассматривать только вещественные сигналы.
Пример 2. Вещественное гармоническое колебание
Так же просто оконное преобразование Фурье (1.5.21) выполняется для
обычного гармонического колебания
z (t ) = cos(ω1t ) =
1
1
exp(iω1t ) + exp( −iω1t ) .
2
2
(1.5.30)
Результат имеет вид
1
1 ˆ
Zˆ w (ω, t0 ) = Gˆ (ω − ω1 ) exp( −iω1t0 ) +
G ( ω + ω1 ) exp(iω1t0 ) ,
2
2
(1.5.31)
где Gˆ ( ω) – фурье-компонента оконной функции g(t). Поскольку функция окна
g(t) вещественна и удовлетворяет условию симметрии g(t) = g(–t), ее фурьеамплитуда тоже вещественна: Gˆ ∗ (ω) = Gˆ (ω) . Поэтому, умножив выражение
(1.5.31) на комплексно сопряженную величину, мы получим квадрат модуля
оконной амплитуды Фурье для вещественного гармонического колебания
(1.5.24) в виде
(
)
1
| Zˆ w ( ω, t0 ) |2 = Gˆ 2 ( ω − ω1) + Gˆ 2 ( ω + ω1) + 2 cos(2ω1t0 )Gˆ ( ω − ω1)Gˆ ( ω + ω1) .
4
(1.5.32)
В области положительных частот ω основной вклад в (1.5.32) дает первый член,
имеющий максимум при ω = ω1 > 0. Если размер окна Т велик по сравнению с
периодом сигнала 2π / ω1, то остальные члены в (1.5.32) пренебрежимо малы:
1
| Zˆ w ( ω, t0 ) |2 ≈ Gˆ 2 ( ω − ω1) ,
4
92
(1.5.33)
и тогда спектрограмма гармонического колебания (1.5.30) для различных окон
приблизительно описывается формулами (1.5.25), (1.5.28)–(1.5.29). Примеры
спектрограмм гармонического колебания приведены на рис. 1.28–1.30.
Рис. 1.28. Спектрограммы | Zˆ w ( f , t0 ) |2 гармонического колебания
z(t)=cos(2π f1t) с частотой f1=5 Гц, представленные в форме поверхностей с
высотой Z(X,Y) = | Zˆ w ( X , Y ) |2 в трехмерном пространстве X, Y, Z. По оси
абсцисс X отложена частота f = ω / 2π в Гц, а по оси ординат Y – время t0 в
секундах. a – результат оконного преобразования Фурье с прямоугольным
окном длительностью Т = 0,5 сек, b – с окном Ханна длительностью Т = 0,5 сек.
Каждая из этих поверхностей похожа на холм приблизительно постоянной
высоты, протянувшийся вдоль оси времени. Профиль холма в разрезе по оси
частот определяется графиком функции | Gˆ ( f − f1 ) |2 , то есть квадратом модуля
фурье-амплитуды оконной функции g(t).
Приведенный рисунок позволяет заметить, что при одном и том же
значении параметра Т, которым задается временной масштаб оконной функции,
окно Ханна дает более широкий максимум спектрограммы на частоте сигнала
f = f1, чем прямоугольное окно. Однако прямоугольному окну сопутствует
важный недостаток – спектрограммы, получаемые с помощью прямоугольного
окна, в отличие от спектрограмм с окном Ханна, содержат побочные
максимумы. На рис. 1.28, a из-за малых размеров рисунка побочные
максимумы почти незаметны, но на рис. 1.29 один из побочных максимумов
виден достаточно отчетливо. Понятно, что в случае сигнала со сложным
частотным спектром побочные максимумы могут заметно исказить картину
спектрального состава сигнала.
93
Рис. 1.29. Поверхность квадрата модуля | Zˆ w ( f , t0 ) |2 оконного
преобразования Фурье для гармонического колебания с частотой f1 = 10 Гц, в
случае преобразования Фурье с прямоугольным окном длительностью Т = 0,2
сек. По оси абсцисс X отложена частота f = ω / 2π в Гц, а по оси ординат Y –
время t0 в секундах. На частоте сигнала f = f1 наблюдается основной максимум.
Кроме того, виден побочный невысокий «холм», расположенный при большем
значении частоты параллельно основному максимуму. Ширина δf основного
максимума на нулевой высоте равна 2 / T = 10 Гц.
Рис. 1.30. Поверхность, изображающая квадрат модуля | Zˆ w ( f , t0 ) |2
преобразования Габора с временным размером гауссовой огибающей
94
Т = Δt = 0,2 сек, для гармонического колебания с частотой f1 = 10 Гц. Виден
узкий максимум преобразования Габора на частоте сигнала f = f1.
Среднеквадратичная ширина этого максимума равна Δ f =1/(4πΔt) ≈ 0,4 Гц.
Пример 3. Нестационарный сигнал в форме функции Дирака
Простейшим примером нестационарного сигнала служит дельта-импульс,
локализованный в произвольной временной точке t = t1:
z (t ) = δ(t − t1 )
(1.5.34)
Для этого сигнала оконная фурье-амплитуда (1.5.21) имеет вид
Zˆ w (ω, t0 ) = g (t1 − t0 ) exp(iω (t1 − t0 )) ,
(1.5.35)
так что квадрат ее модуля совпадает с квадратом оконной функции,
центрированной в точке t1:
| Zˆ w ( ω, t0 ) |2 =
( g (t0 − t1 ) ) 2
.
(1.5.36)
В известном смысле этот результат противоположен нашему первому
примеру, где речь шла о сигнале с определенной частотой. Здесь, в отличие от
(1.5.23), квадрат модуля оконной фурье-амплитуды не зависит от частоты, а по
отношению к временной переменной t0 он представляет собой симметричную
функцию с максимумом в точке t1, убывающую вне интервала протяженностью
T. Спектрограмма (1.5.36) изображена на рис. 1.31 для двух типов окон.
Рис. 1.31. Поверхность | Zˆ w ( f , t0 ) |2 для сигнала z(t)=δ(t–t1) с t1=2 cек.
95
a – результат оконного преобразования Фурье с прямоугольным окном
длительностью Т = 0,5 сек, b – с окном Ханна длительностью Т = 0,5 сек. Обе
поверхности напоминают холм постоянной высоты, протянувшийся вдоль оси
частот. Профиль холма в разрезе по оси времени соответствует графику
квадрата оконной функции (1.5.36).
Пример 4. Сигналы с двумя основными частотами
В этом примере мы сравним спектрограмму стационарного сигнала,
содержащего колебания с частотами f1=30 Гц и f2=10 Гц, со спектрограммой
нестационарного сигнала, в котором колебание с частотой f1 скачком
превращается в колебание с частотой f2. Представленные ниже результаты
преобразований Фурье и Габора получены численным методом.
Пусть стационарный сигнал с частотами f1=30 Гц и f2=10 Гц имеет вид
z (t ) = sin( 2πf1t ) − sin( 2πf 2t ) .
(1.5.37)
Графическая иллюстрация свойств этого сигнала приведена на рис. 1.32–1.34
Рис. 1.32. График стационарного сигнала (1.5.37), содержащего две
постоянные частоты: f1 = 30 Гц и f2 = 10 Гц.
96
Рис. 1.33. Спектр мощности стационарного сигнала (1.5.37), содержащего
две постоянные частоты: f1 = 30 Гц и f2 = 10 Гц.
Рис. 1.34. Поверхность | Zˆ w ( f , t0 ) |2 для стационарного сигнала (1.5.37),
содержащего две постоянные частоты: f1 = 30 Гц и f2 = 10 Гц. Эта
спектрограмма получена оконным преобразованием Фурье с окном Ханна
размером Т=0,2 сек. Видны два максимума на частотах f1 = 30 Гц и f2 = 10 Гц с
высотой Z, практически не зависящей от времени Y = t0.
Теперь аналогичным образом рассмотрим нестационарное колебание с
частотой, скачком меняющейся от f1 = 30 Гц до f2 = 10 Гц в момент времени
t = 0,5 сек:
⎧sin( 2πf1t ), 0 ≤ t ≤ 0,5
z (t ) = ⎨
⎩sin( 2πf 2t ), 0,5 < t ≤ 1
,⎫
⎬
.⎭
(1.5.38)
Графическая иллюстрация свойств этого сигнала приведена на рис. 1.35–1.38.
97
Рис. 1.35. График нестационарного сигнала (1.5.38), представляющего
собой последовательность из двух синусоид с разными значениями частоты. На
отрезке времени 0 ≤ t ≤ 0,5 сек частота сигнала составляет f1 = 30 Гц, тогда как
при 0,5 < t ≤ 1 сек частота равна f2 = 10 Гц.
Рис. 1.36. Спектр мощности для изображенного выше нестационарного
колебания (1.5.38) с частотой, скачком меняющейся от f1 = 30 Гц до f2 = 10 Гц в
момент времени t = 0,5 сек. Здесь видны два спектральных пика, центры
которых находятся в точках с частотами f1 = 30 Гц и f2 = 10 Гц. Этот рисунок во
многом напоминает спектр мощности стационарного сигнала с постоянными
частотами, показанный на рис. 1.33; он не содержит информации о моменте
времени, в который происходит перестройка спектрального состава сигнала.
Таким образом, по виду спектра мощности, полученного обычным
преобразованием Фурье, мы не можем отличить стационарный сигнал,
состоящий из нескольких постоянных гармоник, от нестационарного сигнала, у
которого частотные составляющие меняются с течением времени.
98
Рис. 1.37. Поверхность | Zˆ w ( f , t0 ) |2 для нестационарного сигнала (1.5.38),
представляющего собой синусоиду с частотой, скачком меняющейся от
f1 = 30 Гц до f2 = 10 Гц в момент времени t = 0,5 сек. Эта спектрограмма
получена оконным преобразованием Фурье с окном Ханна размером Т=0,2 сек.
Здесь хорошо видно, что в окрестности значения t0 = 0,5 сек спектральная
компонента с частотой f1 = 30 Гц трансформируется в компоненту с частотой
f2 = 10 Гц.
Рис. 1.38. Поверхность, изображающая квадрат модуля | Zˆ w ( f , t0 ) |2
преобразования Габора с временным размером гауссовой огибающей
Т = 0,2 сек, выполненного для прежнего сигнала (1.5.38). По оси абсцисс X
99
отложена частота f = ω / 2π в Гц, а по оси ординат Y – время t0 в секундах.
Частота сигнала скачком меняется от f1 = 30 Гц до f2 = 10 Гц в момент времени
t0 = 0,5 сек. При указанном значении Т преобразование Габора обладает
хорошим частотным разрешением (более высоким, чем преобразование Фурье с
окном Ханна, представленное на рис. 1.37), однако оно не позволяет точно
определить момент времени t0, в который происходит перестройка частоты
сигнала. Эта ситуация полностью соответствует принципу неопределенности
для частоты и времени.
При выполнении оконного преобразования Фурье численными методами
расчеты производятся на сетке дискретных значений частоты ω и времени t0:
t0 n = n Δt ,
ωm = m Δω ,
(1.5.39)
где m и n – принимают целочисленные значения 0, ± 1, ± 2, ... . Чтобы не
ухудшить частотно-временную локализацию, допускаемую выбранным окном,
частотный шаг Δω и временной шаг Δt сетки (1.5.39) надо выбирать
достаточно малыми. Соотношение неопределенности для частоты и времени
такому выбору никак не препятствует, так как здесь речь идет именно о
произвольно задаваемых шагах дискретизации, а не о неопределенностях,
характеризующих частотно-временные свойства окна или сигнала.
Следуя [1], отметим, что с математической точки зрения шаги Δω , Δt
частотно-временной сетки (1.5.39) желательно подчинить условию
Δω Δt < 2π.
(1.5.40)
Дело в том, что при соблюдении условия (1.5.40), то есть при достаточно
высокой плотности частотно-временной сетки (1.5.39) семейство функций вида
w( ω , t − t0 ) = g (t − t0 ) exp( −iω(t − t0 )) с дискретными значениями частоты ω и
времени t0 (1.5.39) может образовывать фрейм в бесконечномерном
пространстве функций L2. В таком случае оконное преобразование Фурье
приобретает смысл разложения сигнала z(t) по функциям фрейма, чем
гарантируется возможность обратного преобразования (см. обсуждение
фреймов в разделе 1.1). При нарушении условия (1.5.40) оконный фрейм Фурье
не существует, и в этом случае обратное оконное преобразование Фурье не
может быть выполнено численно устойчивым образом [1].
В следующей главе рассматривается другой подход к частотновременному анализу сигналов – вейвлетное преобразование; оно оказывается
свободным от требования (1.5.40), и в ряде случаев при анализе
нестационарных сигналов предоставляет определенные преимущества по
сравнению с оконным преобразованием Фурье.
100
Глава 2. НЕПРЕРЫВНЫЙ ВЕЙВЛЕТНЫЙ АНАЛИЗ.
2.1 Понятие вейвлета
Целью этой главы является рассмотрение основ вейвлетного
преобразования сигналов. Вейвлетное преобразование, как и оконное
преобразование Фурье, служит важным инструментом исследования
нестационарных сигналов z(t) – процессов с меняющимся во времени
спектральным составом.
Напомним, что оконное преобразование Фурье (см. раздел 1.5)
представляет собой результат интегрирования сигнала z с осциллирующей
функцией w:
∞
∫ dt z (t ) w
−∞
∗
( ω , t − t0 ) ≡ < w( ω, t − t0 ), z (t ) > .
(2.1.1)
Функция w характеризуется тремя параметрами – своей протяженностью Т во
времени (шириной временного окна), частотой осцилляций ω внутри окна и
положением t0 центра окна на оси времени. Частота ω и время t0 выступают в
роли изменяющихся аргументов оконного фурье-образа < w, z > , а ширина окна
остается фиксированной. С ростом частоты ω окно с фиксированной шириной
Т вмещает все больше осцилляций функции w, так что отношение δω / ω (где
δω~1/Т) убывает. Поэтому у оконного преобразования Фурье относительная
способность к частотной локализации спектральных составляющих сигнала на
высоких частотах улучшается, тогда как временное разрешение δt~T остается
постоянным. Эти свойства частотно-временной локализации не всегда
оптимальны для практических целей. Нередко именно высокочастотные
составляющие сигнала претерпевают быстрые изменения во времени, так что
хотелось бы выявлять изменения частотного спектра с тем большей временной
точностью, чем выше частота.
Требуемая взаимосвязь между временным разрешением и масштабом
анализируемой частоты как раз и достигается в случае вейвлетного
преобразования. Формально вейвлет-преобразование сигнала по-прежнему
можно представить интегралом вида (2.1.1),
∞
∫ dt z (t ) ψ
−∞
∗
τ, t 0 ( t )
= < ψ τ, t 0 , z > ,
(2.1.2)
однако в качестве осциллирующей оконной функции w(ω,t–t0) теперь берется
функция иного типа – так называемый вейвлет ψ τ, t0 (t ) .
101
В отличие от оконной функции вейвлетная функция ψ τ,t0 (t ) зависит лишь от
двух параметров, τ и t0. Параметр τ с размерностью времени аналогичен
периоду 2π / ω осцилляций оконной функции, а параметр t0 имеет смысл центра
локализации вейвлета на временной оси, в полной аналогии с центром
временного окна. Основное отличие вейвлета от оконной функции заключается
в том, что временной размер δt вейвлета не постоянен: он меняется
пропорционально значению аргумента τ. Другими словами, вейвлет подобен
осциллирующей оконной функции с переменной шириной окна, которая автоматически уменьшается при увеличении характерной частоты осцилляций 1/τ.
Указанное свойство вейвлетов обусловлено тем, что все функции ψ τ,t0 (t )
строятся на основе одной функции ψ(t ) путем сдвига ее во времени и
масштабного сжатия (или растяжения) :
ψ τ, t 0 ( t ) =
1
⎛ t − t0 ⎞
ψ⎜
⎟.
|τ| ⎝ τ ⎠
(2.1.3)
Функция ψ(t ) , порождающая смещенные во времени и масштабированные
вейвлеты (2.1.3), называется материнским вейвлетом. Множитель 1 / | τ | в
определении (2.1.3) не играет большой роли; он лишь обеспечивает
постоянство нормировки: если квадрат нормы материнского вейвлета ψ(t )
выбрать равным единице, то и все вейвлеты ψ τ,t0 (t ) будут иметь единичный
квадрат нормы. Существенно то, что аргументом вейвлетов (2.1.3) является
отношение временной разности t–t0 к параметру τ – именно поэтому вейвлеты
испытывают масштабное сжатие с ростом частоты 1/τ. Изменение формы
оконных функций и вейвлетов с ростом частоты 1/τ проиллюстрировано на
рис. 2.1.
Рис. 2.1, a – схематические графики функций w, используемых в оконном
преобразовании Фурье; b – графики вейвлетов (2.1.3).
102
Можно сказать, что вейвлет это самонастраивающееся подвижное окно,
способное выявлять как низкочастотные, так и высокочастотные особенности
сигнала на разных временных масштабах. По этой причине вейвлетпреобразование образно называют «математическим микроскопом», c помощью
которого можно изучать структуру неоднородных во времени процессов.
На практике в каждой конкретной задаче существует возможность
выбрать предпочтительную единицу измерения времени τ 0 ; в качестве такой
величины τ 0 может выступать, например, характерный временной масштаб
анализируемого сигнала. После того как выбор единицы времени τ 0 сделан,
целесообразно перейти к безразмерным переменным:
x=
t
,
τ0
b=
t0
,
τ0
a=
τ
.
τ0
(2.1.4)
При использовании безразмерных переменных (2.1.4) определение вейвлетов
(2.1.3) следует заменить соотношением
ψa, b ( x) =
1
⎛ x −b⎞
ψ⎜
⎟.
|a | ⎝ a ⎠
(2.1.5)
Параметр b здесь называется переменной сдвига, а параметр a – масштабной
переменной (для ее обозначения иногда применяют букву s). Материнский
вейвлет ψ(x ) – это вейвлет (2.1.5) при a = 1 , b = 0 .
Известно много разнообразных функций ψ(x ) , способных выполнять
роль материнского вейвлета. Каждая из таких функций, обладает характерными
признаками [9] – удовлетворяет совокупности перечисленных ниже условий.
Признаки вейвлета
1. Частотно-временная локализация. Материнский вейвлет ψ(x ) должен
быть достаточно хорошо локализован вблизи значения x = 0 , так что ψ( x ) → 0
при x → ±∞ , причем аналогичным свойством локализации должен обладать и
ˆ (ω) → 0 для ω → ±∞ .
фурье-образ материнского вейвлета: ψ
2. Нулевое среднее:
∞
∫ dx ψ( x ) = 0 .
−∞
103
(2.1.6)
Условие (2.1.6) означает, что в роли вейвлета может выступать только
знакопеременная функция. Из него следует, что фурье-компонента вейвлета,
ˆ ( ω) =
ψ
∞
∫ d t ψ(t ) exp(iωt ) ,
(2.1.7)
−∞
при нулевом значении частоты ( ω = 0 ) должна обращаться в нуль: ψˆ (0) = 0 .
Иногда в практических приложениях оказывается желательным, чтобы нулю
равнялся не только интеграл от функции ψ , но и несколько ее первых моментов:
∞
∫ dx x
n
n = 0, 1, ... , K − 1 .
ψ( x ) = 0 ,
(2.1.8)
−∞
Число K нулевых моментов называют порядком вейвлета. В случае вейвлетов
высокого порядка результат вейвлетного преобразования < ψ a ,b , z >
не чувствителен
к
регулярным
(полиномиальным)
составляющим
исследуемого процесса z(x), что позволяет сосредоточить внимание на анализе
мелкомасштабных особенностей.
3. Ограниченность:
< ψ, ψ > =
∞
∫ dx
2
ψ( x ) < ∞ .
(2.1.9)
−∞
Этим неравенством выражено требование конечности нормы материнского
вейвлета; оно выполняется для вейвлетов ψ , принадлежащих пространству L2
функций с конечной энергией. На практике данное требование сводится к
условию ограниченности модуля вейвлетной функции | ψ( x ) | и его достаточно
быстрому убыванию при x → ±∞ .
4. Условие допустимости обратного вейвлет-преобразования:
∞
| ψˆ ( ω) |2
Cψ ≡ ∫ d ω
< ∞.
ω
|
|
−∞
(2.1.10)
В дальнейшем мы увидим, что условие конечности интеграла (2.1.10) позволяет
восстанавливать сигнал z по его вейвлет-образу < ψ a ,b , z > , то есть – выполнять
обратное вейвлет-преобразование.
104
2.2 Материнские вейвлеты
Приведем примеры вейвлетов ψ(x ) , сконструированных на основе
хорошо известных элементарных функций, и постараемся отметить их
характерные черты.
Вейвлет Хаара
Эта функция, названная в честь построившего ее математика Хаара
(A. Haar, 1911 г.), определена следующим образом
⎧ 1, 0 ≤ x < 1 / 2 , ⎫
⎪
⎪
ψ( x ) = ⎨− 1, 1 / 2 ≤ x < 1 , ⎬
⎪ 0, x < 0, x ≥ 1 .⎪
⎩
⎭
(2.2.1)
График вейвлета Хаара изображен на рис. 2.2.
Рис. 2.2. График вейвлета Хаара ψ(x ) , заданного формулой (2.2.1).
Видно, что эта функция ψ(x ) полностью локализована в области 0 < x <1, то
есть, говоря другими словами, вейвлет Хаара имеет компактный носитель
протяженностью в одну единицу. Легко заметить также, что вейвлет Хаара
обладает нулевым средним и удовлетворяет условию ограниченности: квадрат
нормы функции ψ(x ) , представляющий собой площадь под кривой | ψ( x ) |2 ,
равен единице.
105
Поскольку вейвлет Хаара ψ является кусочно-постоянной функцией с
конечным носителем, встречающиеся в вейвлетном анализе интегралы типа
< ψ, z > с вейвлетом Хаара вычисляются достаточно легко. Пожалуй, в этом и
заключается основное достоинство вейвлета Хаара. Главный же его недостаток
состоит в отсутствии непрерывности, что приводит к плохой локализации
фурье-компоненты ψ̂ вейвлета Хаара на оси частот.
При рассмотрении фурье-компонет материнских вейвлетов удобно
пользоваться безразмерной частотой Ω , соответствующей безразмерному
времени x. Безразмерная частота связана с обычной частотой ω соотношением
Ω = ωτ0 , где τ0 – характерный масштаб времени, применяемый для
определения безразмерной временной переменной x = t / τ0 .
ˆ (Ω) вейвлета Хаара имеет следующий вид:
Фурье-компонента ψ
ˆ ( Ω) = −
ψ
4i 2 ⎛ Ω ⎞
⎛ iΩ ⎞
sin ⎜ ⎟ exp⎜ ⎟ .
Ω
⎝4⎠
⎝ 2 ⎠
(2.2.2)
Модуль этой величины с ростом частоты Ω осциллирует и убывает медленно –
как 1 / Ω . Следовательно, в роли «частотного окна» вейвлет Хаара не слишком
хорош. Отметим также, что несимметричность вейвлета Хаара ψ(x )
относительно точки x = 0 приводит к асимметрии его фурье-образа (2.2.2).
Вейвлет FHAT
Вейвлет FHAT также имеет вид кусочно-постоянной функции:
x < 1/ 3 ⎫
⎧ 1,
⎪
⎪
ψ( x ) = ⎨− 1 / 2, 1 / 3 ≤ x ≤ 1⎬ .
⎪ 0,
⎪
x >1
⎩
⎭
(2.2.3)
График этого вейвлета, представленный на рис. 2.3, напоминает разрез
«французской шляпы» (french hat), чем и объясняется экзотический термин
FHAT. В отличие от вейвлета Хаара вейвлет FHAT обладает симметрией по
отношению к точке x = 0.
Фурье-компонента вейвлета FHAT имеет вид
ψˆ (Ω) =
1⎛
⎞
⎛Ω⎞
⎜ 3 sin⎜ ⎟ − sin Ω ⎟ .
Ω⎝
⎝3⎠
⎠
106
(2.2.4)
Резкие прямоугольные границы вейвлета FHAT, как и в случае вейвлета Хаара,
приводят к медленно убывающим хвостам фурье-гармоник ψ̂(Ω) , спадающим
по закону 1/Ω.
Рис. 2.3. График вейвлета FHAT ψ( x ) , определенного формулой (2.2.3).
Перейдем к примерам
непрерывными функциями ψ( x ) .
материнских
вейвлетов,
описываемых
Вейвлет WAVE
Вейвлет WAVE определен следующим выражением
ψ( x ) = −
⎛ x2 ⎞
x exp ⎜ − ⎟ .
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
2
π1 / 4
(2.2.5)
График этой функции приведен на рис. 2.4.
Фурье-компонента вейвлета WAVE имеет вид
1/ 4
ψˆ (Ω) = −2iΩπ
107
⎛ Ω2 ⎞
⎟.
exp⎜ −
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
(2.2.6)
Рис. 2.4. График вейвлета WAVE ψ( x ) , заданного формулой (2.2.5)
Гауссова функция, присутствующая в выражении (2.2.5), является
основой для конструирования многих материнских вейвлетов. Дело в том, что
производные от функции Гаусса удовлетворяют условию нулевого среднего
(2.1.6) и, следовательно, с помощью операции дифференцирования можно
получить большое семейство функций, обладающих несколькими нулевыми
моментами. Получающиеся при этом материнские вейвлеты
ψn ( x) =
( −1) n +1
⎛ x2 ⎞
exp⎜ − ⎟ ,
⎜ 2 ⎟
dx n
⎝
⎠
dn
1/ 2
1 ⎞⎤
⎡ ⎛
n
Γ
+
⎜
⎟
⎢ ⎝
2 ⎠⎥⎦
⎣
(2.2.7)
где Г(z) – гамма-функция [8], часто называют гауссовскими вейвлетами. Иногда
для этого класса вейвлетов употребляется обозначение VMWF (Vanishing
Momenta Wavelet Family – семейство вейвлетов с исчезающими моментами).
Фурье-компоненты таких функций могут быть легко получены из выражения
(2.2.6) n-кратным интегрированием по частям; результат имеет вид
ψˆ n (Ω) = −
⎛ Ω2 ⎞
⎜−
⎟.
exp
1/ 2
⎜ 2 ⎟
1 ⎞⎤
⎡ ⎛
⎝
⎠
n
Γ
+
⎜
⎟⎥
⎢ ⎝
2 ⎠⎦
⎣
(iΩ) n 2π
(2.2.8)
При n = 1 из формул (2.2.7)–(2.2.8) следуют уже известные нам выражения для
вейвлета WAVE (2.2.5) и его фурье-образа (2.2.6).
108
Вейвлет MHAT
Полагая в формуле (2.2.7) n = 2, мы получим функцию ψ( x ) , которая
носит название вейвлета MHAT (mexican hat – «мексиканская шляпа»):
⎛ x2 ⎞
ψ( x) =
(1 − x ) exp⎜⎜ − ⎟⎟ .
3 π
⎝ 2 ⎠
2
2
(2.2.9)
График вейвлета MHAT, напоминающий изображение мексиканского сомбреро
в разрезе, приведен на рис. 2.5.
Рис. 2.5 График вейвлета MHAT ψ( x ) , заданного формулой (2.2.9).
Видно, что этот вейвлет является четной функцией. Следовательно, функция
x ψ(x ) нечетна, и в результате интегрирования по всем значениям x она дает
нуль. Вейвлет MHAT является вейвлетом второго порядка, то есть он не только
обладает нулевым средним, но и его первый момент, как мы только что
отметили, обращается в нуль.
Фурье-компонента вейвлета MHAT имеет вид
⎛ Ω2 ⎞
8 π 2
⎟.
ψˆ (Ω) =
Ω exp⎜⎜ −
⎟
3
⎝ 2 ⎠
109
(2.2.10).
Функция (2.2.10) вещественна и четна, в отличие от мнимой и нечетной
функции (2.2.6).
Гауссовы вейвлеты порядка 3 и 4
Формула (2.2.7) при n=3 задает функцию ψ 3 ( x ) , имеющую вид
ψ 3 ( x ) = 8 /(15 π ) ( − x 3 + 3x ) exp ( − x 2 / 2)
(2.2.11)
Эта функция в соответствии с определением (2.1.8) представляет собой вейвлет
третьего порядка: нулевой, первый и второй моменты функции ψ 3 ( x ) равны
нулю, тогда как следующий момент оказывается уже отличным от нуля.
График вейвлета (2.2.11) показан на рис. 2.6.
Рис. 2.6. График вейвлета (2.2.11).
При n=4 формула (2.2.7) определяет функцию
(
)
⎛ x2 ⎞
16
4
2
ψ4 ( x) =
− x + 6 x − 3 exp⎜ − ⎟ ,
⎜ 2 ⎟
105 π
⎝
⎠
(2.2.12)
у которой обращаются в нуль подряд четыре момента – с нулевого по третий.
График этого вейвлета приведен на рис. 2.7.
110
Рис. 2.7. График вейвлета (2.2.12).
Сравнивая рис. 2.4–2.7, нетрудно заметить, что с увеличением порядка
гауссовских вейвлетов ψ( x ) их осциллирующий характер проявляется все
более отчетливо.
Вейвлет DOG
Термин DOG означает разность двух гауссианов (difference of Gaussians),
присутствующую в выражении
ψ( x) =
π
(
2⎞
2 ⎞⎞
⎛
⎛
⎛
20
⎜ exp⎜ − x ⎟ − 1 exp⎜ − x ⎟ ⎟ .
⎜ 8 ⎟⎟
⎜ 2 ⎟ 2
45 − 32 ⎜⎝
⎠⎠
⎠
⎝
⎝
)
(2.2.13)
Фурье-компонента материнского вейвлета (2.2.13) имеет вид
ˆ (Ω) =
ψ
(
80π
45 − 32
)
2⎞
⎛
⎛
⎜ exp⎜ − Ω ⎟ − exp − 2Ω 2
⎜ 2 ⎟
⎜
⎠
⎝
⎝
(
График вейвлета DOG приведен на рис. 2.8.
111
)⎞⎟⎟ .
⎠
(2.2.14)
Рис. 2.8. График вейвлета DOG (2.2.13).
Вейвлет Морле
Нередко в качестве материнского вейвлета применяют комплексную
«синусоиду» exp( −iΩ 0 x ) с гауссовой огибающей exp( − x 2 / 2) :
2⎞
⎛
x
ψ ( x) ≈ exp⎜⎜ − iΩ 0 x − ⎟⎟ .
2 ⎠
⎝
(2.2.15)
Параметр Ω0 определяет частоту осцилляций этой функции, похожей на
функции, используемые в преобразовании Габора. Мы написали в (2.2.15) знак
приближенного равенства, так как выражение в правой стороне равенства
(2.2.15), строго говоря, не является вейвлетом – оно не удовлетворяет условию
нулевого среднего (2.1.6). Нулевым средним обладает только мнимая часть
выражения (2.2.15), представляющая собой нечетную функцию переменной x:
(
)
(2.2.16)
)
(2.2.17)
Im exp( −iΩ 0 x − x 2 / 2) = − sin( Ω 0 x ) exp( − x 2 / 2) .
Вещественная же часть,
(
Re exp( −iΩ 0 x − x 2 / 2) = cos(Ω 0 x ) exp( − x 2 / 2) ,
112
дает отличный от нуля вклад в интеграл (2.1.6):
∞
∫ dx exp( −iΩ 0 x − x
−∞
2
/ 2) = 2 π exp( −Ω 02 / 2) .
(2.2.18)
Однако, если параметр Ω0 заметно превышает единицу, величина (2.2.18)
экспоненциально мала, и тогда можно сказать, что выражение (2.2.15)
представляет собой «почти» вейвлет. Этот вейвлет впервые был введен в
работах Морле (J. Morlet)
Если из осциллирующей части выражения (2.2.15) exp( −iΩ 0 x ) вычесть
постоянную величину exp( −Ω 02 / 2) , то получим вейвлет ψ( x ) , обладающий
нулевым средним. С учетом нормировочного множителя такой вейвлет
определяется формулой
⎛ Ω2 ⎞ ⎞
⎛ x 2 ⎞⎛
exp⎜⎜ − ⎟⎟⎜ exp(− iΩ 0 x ) − exp⎜⎜ − 0 ⎟⎟ ⎟
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠⎝
⎝ 2 ⎠⎠
ψ ( x) =
.
2
⎛
⎞
⎛ 3Ω 0 ⎞
⎟ + exp − Ω 02 ⎟
π ⎜1 − 2 exp⎜⎜ −
⎜
⎟
4 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
(
)
(2.2.19)
Его фурье-компонента имеет вид
⎛ (Ω − Ω 0 ) 2 ⎞
⎟(1 − exp(− Ω 0 Ω ))
2 π exp⎜⎜ −
⎟
2
⎝
⎠
ˆ (Ω ) =
ψ
.
2
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜1 − 2 exp⎜ − 3Ω 0 ⎟ + exp − Ω 02 ⎟
⎜
⎜
⎟
4 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
(
)
(2.2.20)
Обычно на практике для параметра Ω0 выбирают значение Ω0=2π. В этом
случае различие между «почти» вейвлетом (2.2.15) и истинным вейвлетом
(2.2.19) оказывается не существенным.
Поскольку вейвлет Морле задается комплексной функцией, для его
графического
представления
можно
воспользоваться
формулами
действительной и мнимой частей в отдельности. Графики действительной и
мнимой частейт вейвлета Морле при Ω0=2π показаны на рис. 2.9–2.10.
113
Рис. 2.9. График вещественной части вейвлета Морле.
Рис. 2.10. График мнимой части вейвлета Морле.
Приведенные выше графики (рис. 2.2–2.10) иллюстрируют форму
различных материнских вейвлетов ψ( x ) и характер их локализации на оси
безразмерного времени x. Аналогичным образом показанные на рис. 2.11
ˆ (Ω) от частоты Ω должны дать нам
зависимости модуля фурье-компонент ψ
114
некоторое представление о степени частотной локализации рассмотренных
вейвлетов.
Рис. 2.11. Графики, изображающие зависимость модуля фурьекомпоненты материнского вейвлета от безразмерной частоты Ω для различных
вейвлетов: a – для вейвлета Хаара, b – FHAT, с – WAVE, d – MHAT, e – DOG,
f – для вейвлета Морле при Ω0=2π.
Все перечисленные вейвлеты, кроме вейвлета Морле, вещественны. У
вещественных вейвлетов ψ( x ) модуль фурье-компоненты является четной
функцией аргумента Ω, так что в этом случае достаточно рассматривать
115
область Ω > 0. В случае вейвлета Морле с параметром Ω0>>1 модуль фурьекомпоненты при Ω < 0 пренебрежимо мал, поэтому график также приведен
лишь для области положительных частот.
Для количественного описания свойств частотно-временной локализации
вейвлетов можно воспользоваться понятиями частотного ΔΩ и временного ΔX
радиусов, которые определяются в полной аналогии со среднеквадратичными
размерами (1.5.1)–(1.5.3) сигналов, обладающих конечной энергией. Согласно
неравенству Гейзенберга (1.5.4) произведение частотного и временного
размеров любого вейвлета удовлетворяет соотношению ΔΩΔX ≥ 1/2.
В случае гауссовых вейвлетов (2.2.7) с различными n = 1,2,3, ...
справедливы оценки
ΔX =
4n − 1
,
2( 2n − 1)
ΔΩ = n +
1
2
(2.2.21)
Для n = 1 (вейвлет WAVE) произведение среднеквадратичных радиусов ΔΩΔX
составляет 3/2, причем с ростом n оно увеличивается. Для вейвлета DOG
вычисление величины ΔΩΔX приводит к значению 1.653.
В сравнении с этими результатами наилучшей частотно-временной
локализацией обладает вейвлет Морле: для него произведение ΔΩΔX
практически достигает наименьшего допустимого значения, то есть 1/2.
116
2.3 Интегральное вейвлет-преобразование
Интегральное вейвлетное преобразование W(τ,t0) произвольного сигнала
z(t) определяется следующим образом:
W (τ, t0 ) =
1
|τ |
∞
⎛ t − t0 ⎞
dt z (t ) ψ∗ ⎜
⎟.
τ
⎝
⎠
−∞
∫
(2.3.1)
В этом выражении ψ(x ) – материнский вейвлет, который в общем случае
может быть комплексным; значок *, как обычно, означает комплексное
сопряжение.
Вейвлет-образ W(τ,t0) сигнала z(t) представляет собой функцию двух
аргументов. Временной аргумент τ определяет масштаб сжатия или растяжения
вейвлета и задает порядок величины его характерной частоты 1 / τ. Аргумент t0
определяет положение центра локализации вейвлета на оси времени. Из
выражения (2.3.1) видно, что основной вклад в интеграл W(τ,t0) дают те
составляющие сигнала z(t), которые в наибольшей мере «похожи» на вейвлет
ψ τ, t0 (t ) . Поэтому можно сказать, что в вейвлетном анализе, продвигаясь по оси
времени t0 и меняя при каждом t0 масштабный параметр τ, мы рассматриваем
фрагменты нашего сигнала «под микроскопом» с различной степенью
увеличения.
Покажем, что квадрат модуля вейвлет-образа характеризует локальную
(мгновенную, относящуюся к моменту времени t0) плотность энергии сигнала
на оси частоты 1 / τ. С этой целью мы прежде всего убедимся в том, что в
вейвлетном анализе существует аналог равенства Парсеваля–Планшереля,
хорошо известного в связи с преобразованием Фурье.
Обозначим посредством I (t , t ′) вспомогательное интегральное выражение
следующего вида:
I (t , t ′) =
∞
dτ
∞
dt0 ψ∗τ,t0 (t )
2
−∞ τ −∞
∫
∫
ψ τ, t0 (t ′) =
∞
∞
∗ ⎛ t − t0 ⎞ ⎛ t ′ − t0 ⎞
ψ
dt
∫ 3 ∫ 0 ⎜⎝ τ ⎟⎠ ψ⎜⎝ τ ⎟⎠ .
−∞ | τ | −∞
(2.3.2)
dτ
Присутствующие здесь вейвлеты запишем в виде разложений в интеграл
Фурье:
⎛ t ′− t0 ⎞
⎟
τ ⎠
,
∞
− iΩ⎜
dΩ
⎛ t ′ − t0 ⎞
ˆ ( Ω) e ⎝
ψ
ψ⎜
⎟= ∫
⎝ τ ⎠ − ∞ 2π
117
⎛ t − t0 ⎞
⎟
τ ⎠
∞
iΩ ′⎜
dΩ ′ ∗
∗ ⎛ t − t0 ⎞
ψ ⎜
ψˆ (Ω′) e ⎝
⎟= ∫
⎝ τ ⎠ − ∞ 2π
Меняя в (2.3.2) порядок интегрирований, выполним в первую очередь
интегрирование по времени t0,
∞
∫ dt0
t
i ( Ω − Ω ′) 0
τ
e
= 2π | τ | δ(Ω − Ω′) ,
−∞
а затем – интегрирование по частоте Ω′ (для простоты мы без доказательства
считаем такие перестановки допустимыми). В результате, выражение для I (t , t ′)
примет вид:
∞
∞
dτ
dΩ
⎛ Ω
2
′) ⎞⎟ .
ˆ (Ω) | ∫
I (t , t ′) = ∫
−
|ψ
exp
i
(
t
t
(2.3.3)
⎜
2
τ
2
π
⎝
⎠
τ
−∞
−∞
Заменив в (2.3.3) переменную интегрирования τ на 1 / τ, получим:
∞
2π
⎛ Ω
′) ⎞⎟ =
δ(t − t ′) ,
exp
i
(
t
t
−
⎜
2
Ω
|
|
τ
⎝
⎠
−∞ τ
∫
так что, окончательно,
где
dτ
I (t , t ′) = Cψ δ(t ′ − t ) ,
(2.3.4)
∞
| ψˆ (Ω) |2
.
C ψ ≡ ∫ dΩ
|
Ω
|
−∞
(2.3.5)
Рассмотрим теперь выражение, возникающее в результате двукратного
интегрирования квадрата модуля вейвлет-образа W(τ,t0) произвольного сигнала
z(t):
∞
∞
dτ ∞
dτ ∞
2
∗
(2.3.6)
∫ 2 ∫ dt0 | W ( τ, t0 ) | = ∫ 2 ∫ dt0 W ( τ, t0 ) W ( τ, t0 ) .
τ
τ
−∞
−∞
−∞
−∞
Подставив W(τ,t0) в виде интеграла (2.3.1), а также W*(τ,t0) в виде комплексно
сопряженной величины,
1 ∞
⎛ t ′ − t0 ⎞
W ∗ ( τ, t0 ) =
dt ′ z ∗ (t ′) ψ⎜
⎟,
∫
τ
| τ | −∞
⎝
⎠
118
получим равенство
∞
∫
dτ
2
−∞ τ
=
=
∞
2
∫ dt0 | W ( τ, t0 ) |
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫ dt ∫ dt ′ z (t ) z
∗
∫ dt ∫ dt ′ z (t ) z
∗
−∞
(t ′)
=
∞
∫
dτ
∞
∫ dt0 ψ
⎞ ⎛ t ′ − t0 ⎞
⎟=
⎜
⎟ ψ⎜
⎝ τ ⎠ ⎝ τ ⎠
∗ ⎛ t − t0
3
−∞ | τ | −∞
(t ′) I (t , t ′) .
(2.3.7)
−∞
Наконец, пользуясь в правой стороне этого равенства формулой (2.3.4), мы
приходим к искомому аналогу соотношения Парсеваля–Планшереля:
1
Cψ
∞
∫
dτ
−∞ τ
2
∞
2
∫ dt0 | W ( τ, t0 ) |
−∞
=
∞
2
∫ dt | z(t ) |
.
(2.3.8)
−∞
Подобным же образом нетрудно придти к формуле обратного
вейвлетного преобразования, позволяющей восстановить сигнал z(t) по его
вейвлет-образу W(τ,t0). Действительно, пользуясь выражением для W(τ,t0) в виде
интеграла (2.3.1), получаем:
1
Cψ
∞
∞
1
1
⎛ t ′ − t0 ⎞
∫ 2 ∫ dt0 W ( τ, t0 ) | τ | ψ⎜⎝ τ ⎟⎠ = C
ψ
−∞ τ −∞
dτ
∞
∫ dt z (t ) I (t, t ′) = z(t ′) .
−∞
Таким образом, справедлива формула восстановления:
z (t ) =
1
Cψ
∞
∫
dτ
−∞ τ
2
∞
∫ dt0 W ( τ, t0 )
−∞
1
⎛ t − t0 ⎞
ψ⎜
⎟.
|τ| ⎝ τ ⎠
(2.3.9)
Отметим, что соотношения (2.3.8)–(2.3.9) имеют смысл только при
условии конечности константы Cψ , определяемой интегралом (2.3.5).
Требование конечности такой константы называется «условием допустимости»;
в разделе 2.1 оно было указано в качестве одного из существенных признаков,
характеризующих материнский вейвлет ψ(x ) .
Вместо масштабного времени τ удобно ввести обратную ему переменную
ν с размерностью частоты:
1
ν= .
(2.3.10)
τ
119
Тогда соотношение Парсеваля (2.3.8) запишется в виде
1
Cψ
∞
∞
2
∫ dν ∫ dt0 | W ( ν, t0 ) |
−∞
=
−∞
∞
2
∫ dt | z(t ) |
,
(2.3.11)
−∞
где W(ν,t0) – вейвлет-образ (2.3.1) сигнала z(t), в котором переменная τ
выражена через частоту (2.3.10): τ = 1 / ν . Интеграл в правой стороне
соотношения (2.3.11) представляет собой энергию сигнала. Отсюда видно, что
соотношение (2.3.11) можно записать в форме
∞
2
∫ dt | z(t ) | =
−∞
∞
∫
−∞
+∞
dν ∫ dt0 ε(ν, t0 ) ,
(2.3.12)
−∞
где величина
ε(ν, t0 ) =
1
| W (ν, t0 ) | 2
Cψ
(2.3.13)
интерпретируется как плотность энергии сигнала на плоскости с координатами
ν, t0. При каждом значении времени t0 величина ε(ν,t0) характеризует мгновенное распределение энергии сигнала по частотам ν вейвлетного преобразования.
Как мы уже знаем, квадрат модуля оконного преобразования Фурье
принято называть спектрограммой. Аналогичным образом для квадрата модуля
вейвлетного преобразования | W ( ν, t0 ) |2 принят термин скейлограмма, происходящий от английского слова scale – масштаб. Дело в том, что переменная ν
не является частотой в таком же строгом смысле, как частота ω преобразования
Фурье; переменная ν равна обратному значению масштабного времени τ.
Наряду с локальным (мгновенным) распределением энергии ε(ν,t0) можно
ввести в рассмотрение функцию E(ν), описывающую глобальное распределение
энергии по вейвлетным частотам ν:
E (ν ) =
∞
∫ dt0ε(ν, t0 ) .
(2.3.14)
−∞
В дальнейшем мы увидим, что в конкретных примерах целесообразно
рассматривать частотную зависимость вейвлет-образа W(ν,t0), умноженного на
ν . В этих случаях мы будем вместо функции (2.3.13) вводить в дело квадрат
модуля величины V(ν,t0), определяемой по формуле
V (ν, t0 ) = ν W (ν, t0 ) .
120
(2.3.15)
2.4 Примеры непрерывного вейвлет-преобразования
Перейдем к рассмотрению примеров вейвлетного преобразования. Мы
начнем с простейших случаев, в которых сигналы представляются небольшим
числом гармонических составляющих. В таких случаях результат вейвлетного
преобразования легко получить в аналитической форме – в виде явного
выражения, содержащего фурье-образ материнского вейвлета. Действительно,
подставив в формулу вейвлет-преобразования (2.3.1) разложение сигнала z(t) в
интеграл Фурье, нетрудно выразить непрерывное вейвлет-преобразование
W(τ,t0) через интеграл по частоте:
W (τ, t0 ) = sgn τ
|τ |
∞
dω ∗
ψˆ ( τω) Zˆ ( ω) exp( −iωt0 ) ,
− ∞ 2π
∫
(2.4.1)
где sgn τ – множитель ± 1 , соответствующий знаку переменной τ , Zˆ ( ω) –
ˆ ( Ω)
ˆ ∗ ( τω) – комплексно сопряженный фурье-образ ψ
фурье-образ сигнала z(t), ψ
материнского вейвлета при Ω = ωτ . Если сигнал имеет вид суммы конечного
числа гармонических составляющих, то его фурье-образ равен сумме
нескольких дельта-функций. Эти дельта-функции устраняют интегрирование
по частоте в (2.4.1), и результат принимает вид суммы конечного числа
однотипных слагаемых.
Отметим, что выражение (2.4.1) можно интерпретировать как сигнал
z K (t0 ) , возникающий в результате прохождения исходного сигнала z (t0 ) через
фильтр с коэффициентом передачи Kˆ ( ω) специального вида:
Kˆ ( ω) = sgn τ
ˆ ∗ ( τω) .
|τ| ψ
(2.4.2)
ˆ (ωτ)
Этот фильтр относится к категории полосовых фильтров, поскольку ψ
обращается в нуль как на нулевой частоте ( ω = 0 ), так и на высоких частотах
( ω → ∞ ). Полоса пропускания фильтра локализована вблизи тех значений
частоты, при которых модуль коэффициента передачи (2.4.2) максимален. При
изменении параметра ν = 1 / τ , присутствующего в аргументе функции
ˆ (ω / ν) , положение максимума коэффициента передачи (2.4.2) на оси
ψˆ (ωτ) = ψ
частот ω будет меняться. Следовательно, наш полосовой фильтр является
перестраиваемым.
С точки зрения фильтрации сигналов наличие множителя
|τ | в
передаточной характеристике фильтра (2.4.2) представляется нежелательным.
Этот множитель привносит дополнительную зависимость характеристики
фильтра от параметра τ , так что при перестройке положения полосы
121
пропускания фильтра будет меняться максимальное значение модуля
коэффициента передачи (2.4.2). Чтобы стабилизировать максимальную
величину коэффициента передачи, следует поделить выражение (2.4.2) на | τ |
или, что то же самое, – перейти к вычислению модифицированного вейвлетпреобразования
W ( τ, t0 )
1/ τ ≡ ν ,
(2.4.3)
≡ V (ν, t0 ) ,
|τ|
где вейвлет-преобразование W (τ,t0 ) определяется формулой (2.3.1).
Пример 1. Комплексный сигнал с определенной частотой
Пусть функция z(t) характеризуется только одним значением частоты (ω=ω1>0):
z (t ) = exp( −iω1 t ) .
(2.4.4)
В этом случае
Zˆ ( ω) = 2 π δ( ω − ω1 ) ,
и тогда из (2.4.1), (2.4.3) непосредственно следует равенство
V (ν,t0 ) = (sgn ν) ψˆ ∗ ( ω1 / ν) exp( −iω1t0 ) .
(2.4.5)
Квадрат модуля величины (2.4.5) оказывается не зависящим от времени t0, он
ˆ (Ω) при
равен квадрату модуля фурье-компоненты материнского вейвлета ψ
Ω = ω1 / ν :
| V (ν, t0 ) |2 = | ψˆ ( ω1 / ν) |2 .
(2.4.6)
ˆ (Ω) различных материнских
Явные формулы фурье-компонент ψ
вейвлетов были приведены в разделе 2.2; теперь мы можем ими
воспользоваться для вычисления (2.4.6).
Так, в случае вейвлета WAVE выражение (2.4.6) принимает вид
ω12
⎛ ω12 ⎞
| ψˆ ( ω1 / ν) | = 4 π 2 exp⎜ − 2 ⎟ .
⎜ ν ⎟
ν
⎝
⎠
2
(2.4.7)
Здесь и далее мы ограничимся рассмотрением только области положительных
ν = ω1 .
значений параметра ν . Величина (2.4.7) имеет максимум при
122
Следовательно, при использовании вейвлета WAVE параметр ν можно
интерпретировать как круговую частоту вейвлетного преобразования.
Для вейвлета MHAT результат (2.4.6) сводится к выражению
⎛ ω2 ⎞
ω14
8
π 4 exp⎜ − 12 ⎟ ,
| ψˆ ( ω1 / ν) | =
⎜ ν ⎟
3
ν
⎝
⎠
2
(2.4.8)
имеющему максимум при ν = ω1 / 2 . Это значение ν меньше круговой
частоты ω1 , но больше обычной частоты «в герцах» ω1 /( 2 π) .
В случае вейвлета Морле (2.2.19) при выборе постоянной Ω0=2π
допустимо пользоваться приближенными выражениями, заметно более
простыми, чем (2.2.19) и (2.2.20):
⎛
x2 ⎞
ψ( x ) = π −1 / 4 exp⎜ − iΩ0 x − ⎟ ,
⎜
2 ⎟⎠
⎝
⎛ (Ω − Ω 0 ) 2 ⎞
⎟.
ˆ (Ω) = 2 π exp⎜ −
ψ
⎜
⎟
2
⎝
⎠
(2.4.9)
(2.4.10)
Тогда результат (2.4.6) с учетом равенства Ω0=2π принимает вид:
2
⎛ ⎛ω
⎞ ⎞⎟
1
⎜
− 2π ⎟ .
| ψˆ ( ω1 / ν) | = 2 π exp − ⎜
⎜ ⎝ ν
⎠ ⎟⎠
⎝
2
(2.4.11)
Эта величина имеет максимум при ν = ω1 /( 2 π) ≡ f1 . Поэтому в случае
вейвлетного преобразования Морле параметр ν можно интерпретировать как
обычную частоту f.
Далее мы будем рассматривать только вещественные сигналы.
Пример 2. Вещественное гармоническое колебание
Пусть сигнал z(t) представляет собой обычное гармоническое колебание с
круговой частотой ω1 > 0:
z (t ) = cos(ω1t ) =
1
1
exp( −iω1t ) + exp(iω1t ) .
2
2
Тогда
Zˆ ( ω) = π δ( ω − ω1 ) + π δ( ω + ω1 ) ,
123
(2.4.12)
так что из (2.4.1), (2.4.3) следует равенство
V (ν,t0 ) =
sgn ν
2
⎛ ∗ ⎛ ω1 ⎞
⎞
⎛ − ω1 ⎞
⎜ ψˆ ⎜ ⎟ exp( −iω1t0 ) + ψˆ ∗ ⎜
⎟ exp(iω1t0 ) ⎟ . (2.4.13)
⎝ ν ⎠
⎝ ⎝ ν ⎠
⎠
Квадрат модуля этой величины содержит как не зависящие от t0 члены, так и
осциллирующие с течением времени t0:
2
2
1 ⎛⎜ ⎛ ω1 ⎞
⎛ − ω1 ⎞ ⎞⎟
ψˆ ⎜ ⎟ + ψˆ ⎜
+
| V (ν, t0 ) | =
⎟
ν ⎠ ⎟
4⎜ ⎝ ν ⎠
⎝
⎝
⎠
1 ⎛ ⎛ − ω1 ⎞ ⎛ ω1 ⎞
⎞
⎛ − ω1 ⎞ ∗ ⎛ ω1 ⎞
+ ⎜ ψˆ ∗ ⎜
⎟ψˆ ⎜ ⎟ exp(i 2ω1t0 ) + ψˆ ⎜
⎟ψˆ ⎜ ⎟ exp( −i 2ω1t0 ) ⎟ .
4⎝ ⎝ ν ⎠ ⎝ ν ⎠
⎝ ν ⎠ ⎝ ν ⎠
⎠
2
(2.4.14)
Фурье-компоненты вещественных вейвлетов (например, WAVE или MHAT)
удовлетворяют соотношению симметрии, справедливому для фурье-образов
любых вещественных функций:
ˆ ∗ (Ω) .
ψˆ ( −Ω) = ψ
(2.4.15)
ˆ (Ω) в форме произведения модуля и фазового
Поэтому, представив ψ
множителя,
ˆ (Ω) = | ψˆ (Ω) | exp (iα(Ω) ) ,
ψ
(2.4.16)
мы сможем привести выражение (2.4.14) к более простому виду:
⎛ω ⎞
ˆ⎜ 1⎟
| V (ν, t0 ) | = ψ
⎝ ν ⎠
2
2
cos 2 ( ω1t0 + α( ω1 / ν)) .
(2.4.17)
В частности, для вейвлета WAVE присутствующая здесь фаза есть α = − π / 2 , а
для вейвлета MHAT α = 0 .
Таким образом, результат (2.4.17) вейвлетного преобразования
вещественного колебания с частотой ω1 при использовании вещественных
вейвлетов совпадает с квадратом модуля фурье-образа вейвлета, помноженным
на амплитудный множитель, осциллирующий во времени t0 с частотой 2ω1 .
Отличие (2.4.17) от (2.4.6) сводится только к указанным осцилляциям.
Рассмотрим результат (2.4.14) применительно к комплексному вейвлету
Морле. Нетрудно заметить, что в интересующей нас области положительных
124
значений переменной ω1 / ν основной вклад дает первое слагаемое.
Действительно, отношение фурье-компонент вейвлета Морле (2.4.10) с
противоположными знаками аргумента ω1 / ν составляет:
ψˆ ( − ω1 / ν)
ω ⎞
⎛
= exp⎜ − 2Ω 0 1 ⎟ .
ψˆ ( ω1 / ν)
ν ⎠
⎝
(2.4.18)
Эта величина в области ω1 / ν ~ 1 экспоненциально мала, так как для параметра
Ω0 мы выбираем значение Ω0 = 2π – достаточно большое по сравнению с
единицей. Следовательно, в (2.4.14) можно пренебречь фурье-компонентами с
отрицательным знаком аргумента; при этом результат приобретает вид,
качественно подобный равенству (2.4.11):
1 ⎛ ω1 ⎞
ψˆ ⎜ ⎟
| V (ν, t0 ) | ≈
4 ⎝ ν ⎠
2
2
2
⎛ ⎛ω
π
⎞ ⎞⎟
1
⎜
− 2π ⎟ .
exp − ⎜
=
⎜ ⎝ ν
2
⎠ ⎟⎠
⎝
(2.4.19)
Такая функция аргумента ν , как уже было отмечено, имеет максимум при
ν = f1 = ω1 /( 2π) .
Графики
квадрата
модуля
вейвлет-преобразования
гармонического колебания для вейвлетов Морле, MHAT и WAVE приведены
на рис. 2.12.
Рис. 2.12. Графики зависимости | V ( ν, t0 ) |2 от безразмерной частоты ν / f1
для вейвлет-преобразования гармонического колебания z(t) = cos(2πf1t),
выполненного с применением вейвлетов Морле, MHAT и WAVE. Здесь
f1 = ω1 /( 2 π) – частота гармонического колебания. В случае вейвлета WAVE
125
значение времени t0 выбрано из условия ω1t0 = π / 2, в остальных случаях
выбрано t0 = 0. Каждый из графиков нормирован на максимальное значение
соответствующего квадрата модуля | V ( ν, t0 ) |2 . Все три кривые имеют вид
асимметричного пика, причем они существенно различаются по ширине.
Самый узкий пик дает преобразование Морле. Это означает, что среди
указанных
вейвлетов
вейвлет
Морле
характеризуется
наилучшим
спектральным разрешением.
На следующих рисунках приведены изображения поверхности квадрата
модуля вейвлет-преобразования сигнала z(t) = cos(2πf1t).
a
b
126
c
Рис. 2.13. Поверхности Z= | V ( ν, t0 ) |2 для гармонического сигнала
z(t)=cos(2πf1t) частоты f1 = 5 Гц,. По оси абсцисс X откладывается частота ν в Гц,
а по оси ординат Y – время t0 в секундах. Указанные поверхности построены с
помощью различных вейвлетов: a – WAVE, b – MHAT, c – Морле.
Пример 3. Сумма двух гармонических колебаний
Пусть сигнал имеет вид
z (t ) = cos(ω1t ) + cos(ω2t ) .
(2.4.20)
В этом случае получаем следующее выражение для квадрата модуля
вейвлетного преобразования | V ( ν, t0 ) |2 :
V (ν, t 0 ) =
2
+
+
+
[
[
1 2
ψˆ (ω1τ ) + ψˆ 2 (− ω1τ ) + 2ψˆ (ω1τ )ψˆ (− ω1τ )cos( 2ω1t 0 )
4
1 2
ψˆ (ω2 τ ) + ψˆ 2 (− ω2 τ ) + 2ψˆ (ω2 τ )ψˆ (− ω2 τ )cos( 2ω2t 0 )
4
]
]
1
[ψˆ (ω1τ)ψˆ (ω2 τ) + ψˆ (− ω1τ)ψˆ (− ω2 τ)]cos((ω2 − ω1 )t0 )
2
1
[ψˆ (ω1τ)ψˆ (− ω2 τ) + ψˆ (− ω1τ)ψˆ (ω2 τ)]cos((ω1 + ω2 )t0 ) .
2
(2.4.21)
На рис. 2.14 функция | V ( ν, t0 ) |2 изображена для различных соотношений
между частотами колебаний сигнала f1 и f2.
127
a
b
Рис. 2.14. Поверхность Z= | V ( ν, t0 ) |2 вейвлет-преобразования Морле для
суммы двух гармонических колебаний (2.4.20). По оси X откладывается
безразмерная частота X = ν / f, где f = (f1+f2) / 2 – средняя частота обоих
колебаний. По оси Y откладывается безразмерное время Y = f t0. Поведение
величины Z= | V ( ν, t0 ) |2 как функции переменных X и Y определяется
единственным параметром – отношением разности частот колебаний δf = f2–f1 к
средней частоте f. Поверхности, показанные на данном рисунке, построены для
двух значений этого параметра: a – для δf / f = 0,6, b – для δf / f = 0,35. Видно,
что форма каждой из поверхностей напоминает пару холмов, вытянутых вдоль
128
оси времени Y. Расположение максимумов на оси X соответствует частотам
сигнала (2.4.20). С уменьшением параметра δf / f холмы начинают
перекрываться, причем зависимость их высоты от времени Y становится все
более заметной. При слишком малых значениях δf / f такая картина уже не
позволяет определить отдельные частоты сигнала.
Пример 4. Дельтаобразные сигналы
Простейшим примером сигнала, локализованного
временной точки t = t1, служит дельта-функция Дирака:
вблизи
z (t ) = δ(t − t1 ) .
одной
(2.4.22)
Для этого сигнала вейвлетное преобразование принимает простой вид:
∞
V (ν, t0 ) = ν ∫ dt z (t ) ψ∗ (ν(t − t0 ) ) = νψ ∗ (ν(t1 − t0 ) ) ,
(2.4.23)
−∞
так что
| V ( ν, t0 ) |2 = ν 2 | ψ (ν(t1 − t0 ) ) |2 .
(2.4.24)
Рис. 2.15. Поверхность | V ( ν, t0 ) |2 / ν 2 вейвлет-преобразования Морле для
дельтаобразного сигнала (2.4.22), локализованного во временной точке
t1 = 0,5 cек. По оси X отложена частота ν в Гц, по оси Y – время t0 в секундах.
Резкое изменение сигнала z(t) в момент времени t1 здесь проявляется в форме
пика на оси времени Y, который присутствует в широкой области частот X. С
129
повышением частоты пик становится более узким. Это непосредственно
связано с тем, что временное разрешение вейвлет-преобразования улучшается с
ростом вейвлетной частоты ν.
Рассмотрим теперь сигнал, испытывающий резкие всплески в моменты
времени t1 и t2 (где t2 > t1). Модельным описанием такого сигнала z(t) служит
сумма двух дельта функций
z (t ) = δ(t − t1 ) + δ(t − t 2 ) .
(2.4.25)
Вейвлет-преобразование этого сигнала имеет вид
V (ν,t0 ) = νψ ∗ (ν(t1 − t0 ) ) + νψ ∗ (ν(t2 − t0 ) ) .
(2.4.26)
Функция | V ( ν, t0 ) |2 / ν 2 , полученная с помощью вейвлета Морле для
сигнала (2.4.25) при различных соотношениях между значениями времени t1 и
t2, изображена на рис. 2.16. Поведение этой функции определяется параметром
δt / tc, где δt = t2–t1 есть расстояние на оси времени между точками резкого
изменения сигнала, а величина tc = (t1+t2)/2 представляет собой среднее
значение времени между указанными точками t1 и t2.
a
b
130
Рис. 2.16. Поверхность | V ( ν, t0 ) |2 / ν 2 вейвлет-преобразования Морле для
сигнала (2.4.25). По оси X откладывается безразмерная частота X = ν tc, по оси
Y – безразмерное время Y = t0 / tc, где tc = (t1+t2)/2. Форма поверхности
определяется параметром δt / tc, где δt = t2–t1. Поверхности, показанные на
данном рисунке, построены для двух значений этого параметра: a – для
δt / tc=0,2, b – для δt / tc=0,1. В области высоких частот каждая из поверхностей
имеет форму двух холмов, вытянутых вдоль оси частоты X, причем на рис. b,
соответствующем меньшему значению параметра δt / tc, оба холма
перекрываются друг с другом. Следующий рисунок показывает, что при
больших значениях частоты X можно снова увидеть два изолированных пика в
разрезе по оси времени Y, так как с ростом частоты временное разрешение
вейвлет-преобразования улучшается.
Рис. 2.17. Продолжение поверхности, изображенной на рис. 2.16, b в
область более высоких частот X: a – для значений X от 10 до 30, b – для
значений X от 20 до 40.
131
Рассматривая вейвлетное преобразование на достаточно высоких
частотах ν, можно всегда добиться различимости локальных во времени
особенностей изучаемого сигнала, тогда как в случае оконного преобразования
Фурье для этой цели пришлось бы уменьшать временной размер окна.
Пример 5. Сигнал с частотой, меняющейся скачком
Рассмотрим нестационарное колебание с частотой, изменяющейся от f1 = 30 Гц
до f2 = 10 Гц в момент времени t = 0,5 сек:
⎧sin( 2πf1t ), 0 ≤ t ≤ 0,5
z (t ) = ⎨
⎩sin( 2πf 2t ), 0,5 < t ≤ 1
,⎫
⎬
.⎭
(2.4.27)
Этот пример нам уже встречался при обсуждении оконного преобразования
Фурье. Основные характеристики сигнала (2.4.27) были приведены на
рис. 1.35–1.38. Ниже изображен результат вейвлет-преобразования такого
сигнала с применением вейвлета Морле. В этом и следующих примерах
интегральное вейвлет-преобразование было выполнено численным методом.
Рис. 2.18. Поверхность Z= | V ( ν, t0 ) |2 вейвлет-преобразования Морле для
гармонического колебания (2.4.27) с резко меняющейся частотой. По оси X
отложена частота ν в Гц, по оси ординат Y – время t0 в секундах. Видно, что
вейвлет-преобразование позволяет уверенно обнаруживать момент времени, в
который происходит частотная перестройка нестационарного сигнала. Обратим
внимание также на то, что пик, отвечающий более высокой частоте (f1 =30 Гц),
имеет большую ширину, чем низкочастотный пик (f2 =10 Гц). Этот факт
132
соответствует принципу неопределенности для частоты и времени: с ростом
частоты улучшение временного разрешения вейвлетного преобразования
сопровождается ухудшением частотного разрешения. Кроме того, на данном
рисунке заметны краевые эффекты – «завалы» пиков на концах временного
интервала Y; они обусловлены тем, что в численном расчете сигнал считался
равным нулю вне рассматриваемого промежутка времени.
Пример 6. Сигнал с линейно меняющейся частотой
Для сигналов вида
z (t ) = sin ϕ(t ) ,
(2.4.28)
где фаза ϕ(t ) в общем случае представляет собой нелинейную функцию
времени, можно определить мгновенную круговую частоту ω(t ) как
производную фазы по времени:
ω(t ) =
dϕ(t )
.
dt
(2.4.29)
Аналогично вводится и мгновенная частота «в герцах» f(t). Если считать
частоту f(t) положительной величиной, то в ее определение следует включить
символ модуля:
f (t ) =
1 dϕ
.
2π dt
(2.4.30).
В качестве самого простого примера рассмотрим сигнал (2.4.28), у
которого фаза ϕ(t ) зависит от времени квадратично:
( f − f min )t ⎞
⎛
ϕ(t ) = 2π ⎜ f max − max
⎟t .
2T
⎝
⎠
(2.4.31)
Мгновенная частота (2.4.30) такого сигнала уменьшается со временем по
линейному закону
f (t ) = f max −
( f max −
T
f min ) t
,
(2.4.32)
где fmax и fmin – максимальное и минимальное значения мгновенной частоты на
интервале времени длительностью T.
133
На рис. 2.19–2.20 приведено изображение сигнала во временном и в
частотном представлении – график сигнала и фурье-спектр мощности. Эти
рисунки следует рассматривать в сопоставлении с результатом вейвлетного
преобразования, показанным на рис. 2.21.
Рис. 2.19. График сигнала (2.4.28) с линейно убывающей частотой f(t)
(2.4.32), где fmax=25 Гц, fmin=15 Гц.
Рис. 2.20. Спектр мощности для сигнала, представленного на рис. 2.19.
Этот спектр найден с помощью преобразования Фурье. Видно, что частотный
спектр рассматриваемого сигнала распределен по диапазону 13–27 Гц, однако
картина спектра частот сама по себе не дает нам информации о характере
изменения мгновенной частоты со временем.
134
Рис. 2.21. Поверхность Z= | V ( ν, t0 ) |2 вейвлет-преобразования Морле для
сигнала (2.4.28) с линейно убывающей частотой. По оси X отложена частота ν в
Гц, по оси ординат Y – время t0 в секундах. Найденная поверхность имеет вид
холма, протянувшегося под некоторым углом к оси времени Y. Такое
положение холма непосредственно указывает на то, что рассматриваемый
сигнал характеризуется мгновенной частотой, убывающей с течением времени.
Пример 7. Сумма колебаний с линейно возрастающими частотами
Пусть сигнал z(t) задается в виде суммы двух слагаемых,
z (t ) = cos ϕ1 (t ) + cos ϕ 2 (t ) ,
(2.4.33)
где фазы ϕ1 (t ) и ϕ 2 (t ) представляют собой квадратичные функции времени:
(f
)t ⎞
−f
⎛
ϕ1 (t ) = 2π ⎜ f1 min + 1 max 1min ⎟ t ,
2T
⎝
⎠
(f
− f 2 min ) t ⎞
⎛
ϕ 2 (t ) = 2π ⎜ f 2 min + 2 max
⎟t ,
2T
⎝
⎠
(2.4.34)
(2.4.35)
Взяв производные этих фаз по аргументу t, легко видеть, что соответствующие
мгновенные частоты меняются со временем t линейно:
t
f1 (t ) = f1 min + ( f1 max − f1 min ) ,
T
135
(2.4.36)
f 2 (t ) = f 2 min + ( f 2 max − f 2 min )
t
,
T
(2.4.37)
Рассмотрим численный пример с f1min = 10 Гц, f1max = 90 Гц, f2min = 50 Гц,
f2max = 130 Гц. При этих значениях параметров мгновенные частоты f1(t) и f2(t)
линейно возрастают во времени с одинаковой скоростью, так что их разность
f2(t) – f1(t) остается постоянной и равняется 40 Гц. Результат вейвлетпреобразования Морле для сигнала (2.4.33) с указанной здесь временной
зависимостью фаз приведен на рис. 2.22.
a
b
Рис. 2.22. Вейвлет-преобразование Морле для сигнала (2.4.33)–(2.4.37) с
двумя линейно возрастающими частотами; a – поверхность Z= | V ( ν, t0 ) |2
136
квадрата модуля вейвлетного преобразования, b – контурная карта этой
поверхности, изображенная в оттенках серого цвета.
Здесь видны два параллельных холма, расположенных под одним и тем
же углом относительно оси времени. В низкочастотной области холмы не
перекрываются. Но с течением времени обе мгновенные частоты
увеличиваются, и ширина каждого из холмов растет. В результате, на конце
временного интервала T = 1 сек оба холма почти полностью объединяются в
один холм.
Даже при наличии уширения и перекрытия «холмов», представляющих на
скейлограмме | V ( ν, t0 ) |2 временную зависимость мгновенных частот сигнала,
можно определить эти частоты с удовлетворительной точностью, если следить
лишь за положением максимумов (хребтов) поверхности | V ( ν, t0 ) |2 .
Изображение таких хребтов называется скелетоном. В качестве примера на
рис. 2.23 приведен скелетон поверхности, показанной на рис. 2.22.
Рис. 2.23 Скелетон поверхности Z(X,Y) = | V ( ν, t0 ) |2 (см. рис 2.22) для
сигнала (2.4.33) с двумя линейно возрастающими частотами. Ось Y – время t0 в
секундах, ось X – вейвлетная частота ν в Гц. Вертикальные отрезки на
изображении скелетона возникают вследствие интерференции (биений) обеих
частотных составляющих сигнала в той области, где частотное разрешение
вейвлет-преобразования ухудшается.
Пример 8. Сигнал с нелинейной зависимостью частоты от времени
Рассмотрим сигнал z(t)=sin ϕ(t) , где фаза ϕ(t) имеет вид
137
t2 ⎛
t⎞
ϕ(t ) = 8π f 0 ⎜1 − ⎟ .
T ⎝ T⎠
(2.4.38)
В этом случае мгновенная частота f(t), определяемая соотношением (2.4.30),
зависит от времени t следующим образом:
f (t ) = 4 f 0
t ⎛
3t ⎞
⎜ 2−
⎟
T⎝
T ⎠
(2.4.39)
Рис. 2.24. График зависимости мгновенной частоты f(t) от времени,
соответствующий формуле (2.4.39) при значениях параметров: f0=10 Гц,
Т=1 сек.
На следующих рисунках приведены изображения сигнала z(t) во
временном и частотном представлениях и результаты численного вейвлетпреобразования Морле.
Рис. 2.25. График нестационарного сигнала z(t) = sin ϕ(t) с фазой (2.4.38)
при T = 1 cек, f0 = 10 Гц.
138
Рис. 2.26. Фурье-спектр мощности для сигнала z(t), представленного на
рис. 2.25.
___________________________________________________________________
a
b
Рис. 2.27. Вейвлет-преобразование Морле для сигнала, представленного
на рис. 2.25; a – поверхность Z= | V ( ν, t0 ) |2 квадрата модуля вейвлетного
139
преобразования, b – скелетон (хребет) указанной поверхности. Эти
изображения удовлетворительно соответствуют расчетной зависимости
частоты сигнала от времени (см. рис. 2.24).
Пример 9. Квадратичная зависимость частоты от времени
Рассмотрим аналогичный пример, отличающийся только тем, что производная
фазы сигнала не меняет своего знака. Пусть сигнал z(t) описывается
выражением
⎛ ⎛
⎛ t2
t
1 ⎞⎞ ⎞
⎜
⎜
+ ⎟⎟ t ⎟ .
z (t ) = cos 2π f min + 4 ( f max − f min ) ⎜ 2 −
⎜ 3T
⎜ ⎜
2T 4 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎟
⎝
⎝ ⎝
⎠
(2.4.40)
В этом случае мгновенная частота f(t) сигнала имеет параболическую
зависимость от времени:
f (t ) = f min +
4 ( f max − f min )(t − T / 2 )2
T2
.
(2.4.41)
Частота (2.4.41) имеет наименьшее значение, равное fmin, в середине временного
интервала Т, а на концах интервала достигает наибольшего значения fmax.
На рис. 2.28 приведены результаты численного расчета скейлограммы
вейвлет-преобразования Морле для сигнала (2.4.40) при значениях параметров
Т=1 сек, fmin=70 Гц, fmax=150 Гц. Легко заметить, что максимум скейлограммы
хорошо воспроизводит параболическую зависимость мгновенной частоты от
времени (2.4.41).
a
140
b
с
Рис. 2.28, a – поверхность Z= | V ( ν, t0 ) |2 квадрата модуля вейвлетного
преобразования Морле для сигнала (2.4.40) с квадратичной зависимостью
частоты от времени, b – контурная карта этой поверхности, c – скелетон.
Пример 10. Сигнал с сингулярным поведением мгновенных частот
Пусть сигнал z(t) представляет собой сумму двух колебаний, фазы которых
обладают сингулярной зависимостью от времени:
141
z (t ) = sin ϕ1 (t ) + sin ϕ 2 (t ) ,
(2.4.42)
2πf1T12
ϕ1 (t ) =
,
T1 − t
(2.4.43)
2πf1T22
ϕ 2 (t ) =
+ 2 πf 2 t .
T2 − t
(2.4.44)
где
Мы будем считать, что параметры в этих выражениях принимают следующие
значения: f1=20 Гц , f2=80 Гц, Т1=Т / 2, Т2=6,51 Т / 10, Т=1 сек. Результаты
численного расчета скейлограммы вейвлет-преобразования Морле для сигнала
(2.4.42)–(2.4.44) приведены на рис. 2.29.
a
b
142
c
Рис. 2.29, a – поверхность Z= | V ( ν, t0 ) |2 квадрата модуля вейвлетного
преобразования Морле для сигнала (2.4.42)–(2.4.44), b – контурная карта этой
поверхности, c – скелетон. Ось Y – время t0 в секундах, ось X – вейвлетная
частота ν в Гц. Видно, что вейвлетное преобразование позволяет проследить
за поведением компонент нестационарного сигнала даже при наличии быстрых
изменений их мгновенных частот в широком диапазоне значений ν.
Приведенные в данном разделе модельные примеры интегрального
вейвлет-преобразования создают основу для рассмотрения более серьезных
задач. Мы убедились, что визуальное представление результатов вейвлетанализа функции удобно осуществлять теми же методами, что и в случае
оконного преобразования Фурье. Как правило, полезно представлять себе
рельеф поверхности Z(X,Y) = | V ( ν, t0 ) |2 , которая соответствует функции
V ( ν, t0 ) , определенной по формулам (2.3.1) и (2.4.3). Элементы рельефа,
имеющие вид «холмов», вытянутых вдоль оси частот X = ν, указывают на
присутствие локальных во времени всплесков анализируемого сигнала. Холмы,
ориентированные вдоль оси времени Y = t0, обусловлены теми компонентами
сигнала, которые выделяются своей амплитудой и относительно четко
определенной частотой.
В следующих двух разделах мы продолжим рассмотрение примеров
непрерывного вейвлет-анализа, сосредоточив внимание на вполне конкретных
задачах исследовательской практики.
143
2.5 Вейвлеты и сердечный ритм
Среди многих областей исследования нестационарных сигналов, где
применение вейвлетов оказалось очень успешным, особое место занимает
исследование кардиограммы сердца человека.
Известно, что сердце, сложнейший орган человека, обеспечивающий
движение крови, состоит из двух полых мышечных органов – левого сердца и
правого сердца, каждое из которых в свою очередь состоит из предсердия и
желудочка. Выполнение сердцем функции по перекачиванию крови зависит от
ритма движения электрических импульсов, которые заставляют ритмично
сокращаться сердце [15].
В сердце существует специализированные клетки, которые вырабатывают
электрические импульсы и проводят их к мышечным клеткам, заставляя их
сокращаться. Эти клетки объединяются в особую группу – в проводящую
систему сердца. От ее работы зависит слаженная и синхронная работа сердца
как насоса по перекачиванию крови в организме.
Функциональным элементом сердца является мышечное волокно –
цепочка из клеток миокарда, соединенных друг с другом и заключенных в
общую саркоплазматическую мембрану. В зависимости от морфологических и
функциональных особенностей в сердце различают два типа волокон –
мышечные волокна рабочего миокарда предсердий и желудочков,
составляющие основную массу сердца и обеспечивающие его нагнетательную
функцию, мышечные волокна водителя ритма (пейсмейкера) и мышечные
волокна проводящей системы сердца, отвечающие за генерацию возбуждения и
проведение его к клеткам рабочего миокарда. Здесь следует отметить:
синоатриальный (синусный) узел, атриовентрикулярный узел, пучок Гиса,
волокна Пуркинье .
В нормально работающем сердце каждое сокращение возникает в
специальном центре, который называется синоатриальным узлом и расположен
в верхнем отделе правого предсердия. Синоатриальный узел
является
водителем ритма (leading pacemaker), он генерирует импульсы. Возникая в этом
узле, электрический импульс распространяется по предсердиям, заставляя их
синхронно сокращаться и перекачивать кровь, поступающую в них, в
желудочки.
После этого, электрический импульс, пройдя по предсердиям и вызвав
сокращение их, достигает атриовентрикулярного узла. Функция этого центра
заключается в том, что в нем происходит замедление продвижения импульса,
чтобы дать время полностью сократиться предсердиям и перекачать кровь из
предсердий в желудочки.
144
Рис. 2.30. Проводящая система сердца. ВПВ — верхняя полая вена; НПВ —
нижняя полая вена; штриховка — фиброзная ткань между миокардом
предсердий и желудочков; СА — синоатриальный узел; АВ —
атриовентрикулярный узел. Основные проводящие пути: 1 — передний
межузловой тракт; 1а — межпредсердный пучок Бахмана; 2 — средний
межузловой тракт Венкебаха; 3 — задний межузловой тракт Тореля; 4 —
общий ствол предсердно-желудочкового пучка (пучка Гиса); 5 — правая ножка
пучка Гиса; 6 — левая ножка пучка Гиса; 6а — передневерхняя ветвь левой
ножки пучка Гиса; 6б — задненижняя ветвь левой ножки пучка Гиса; 7 —
субэндокардиальные волокна Пуркинье. Дополнительные (аномальные)
проводящие пути: 8 — пучок Джеймса; 9 — пучки Кента
Пройдя атриовентрикулярный узел, электрический импульс через пучок
Гиса и волокон Пуркинье достигает рабочего миокарда желудочков, вызывая
их сокращение, и вследствие этого происходит изгнание крови из сердца в
органы и ткани организма. Система Гиса-Пуркинье (His-Purkinje system (HPS))
играет важную роль в передаче потенциала действия от предсердия
желудочкам. С задержкой импульс быстро передается от атриовентрикулярного
узла через правую и левую ножки пучка Гиса и периферическую сеть
Пуркинье, вызывая скоординированную активацию вентрикулярного миокарда
от верхушки к основанию.
Необходимо отметить, что помимо основного водителя ритма (синусный
узел), в сердце имеются клетки способные принимать на себя его функцию,
если по каким-либо причинам нарушается работа синусного узла. Их называют
145
водителями
ритма
второго
порядка.
Эти
клетки
имеются
в
атриовентрикулярном узле, пучке Гиса, волокнах Пуркинье. В нормально
работающем сердце электрическая активность этих центов подавляется более
высокой активностью синусного узла. Однако, вследствие разнообразных
причин и факторов, будь то воспалительные заболевания, нарушения обмена
веществ, ишемическая болезнь сердца, врожденная патология и так далее,
возникает нарушение нормального формирования и проведения возбуждения,
что приводит к появлению нарушений ритма сердца.
Электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой запись суммарного
электрического потенциала, появившегося при возбуждении множества
миокардных клеток, а такой метод исследования работы сердца называется
электрокардиографией.
Типовая ЭКГ человека состоит из пяти положительных и отрицательных
колебаний – зубцов, соответствующих циклу сердечной деятельности. Их
обозначают буквами P,Q,R,S,T, причем три зубца P,R,T направлены вверх
(положительные зубцы), а два Q,S, – вниз (отрицательные зубцы).
Рис. 2.31. P–QRS–T комплекс кардиограммы сердца.
Зубец P отражает период возбуждения предсердий, продолжительность
его равна 0,07–0,1 cек. Поскольку синоатриальный узел (СА-узел) расположен в
правом предсердии, первая часть зубца P отражает активацию этой камеры
сердца. Средняя часть зубца P соответствует окончанию активации правого
146
предсердия и началу активации левого предсердия. Конечная часть зубца P
представляет собой завершение активации левого предсердия. Активация
атривертрикулярного (АВ-узла) начинается в середине зубца P и медленно
продолжается в течение конечной части зубца P. Волна, соответствующая
электрическому восстановлению предсердий, обычно слишком мала и не
заметна на ЭКГ, но может проявляться в виде деформаций сегмента PR.
Существует физиологическое обоснование разделения времени регистрации
зубца Р на три отдельных временных интервала, примерно равных по
длительности. В первом интервале доминируют процессы возбуждения правого
предсердия. Длительность этого интервала в среднем составляет 30–35
миллисекунд. После него, во втором интервале, развиваются процессы
возбуждения межпредсердной перегородки. Третий интервал соответствует
процессам возбуждения в левом предсердии. Длительность каждого из этих
интервалов также составляет в среднем 30–35 миллисекунд.
Сегмент P-Q соответствует проведению возбуждения через предсердножелудочковый узел к желудочкам. Он продолжается 0,12–0,20 cек. Зубец Q
отражает деполяризацию межжелудочковой перегородки.
Зубец R – самый высокий в ЭКГ, он представляет собой деполяризацию
верхушки сердца, задней и боковой стенок желудочков. Он представляет собой
период распространения возбуждения по основаниям желудочков.
Продолжительность зубца R составляет примерно 0,04 сек. Комплекс QRS
совпадает с реполяризацией предсердий. Этот комплекс соответствует
одновременной активации правого и левого желудочков. Интервал QRS
соответствует времени от начала до конца желудочковой активации.
Продолжительность всего желудочкового комплекса QRS находится в пределах
0,07–0,1 сек. Точно так же, как и для зубца Р, физиологически обосновано
разделение длительности комплекса QRS на три временных периода. Начало
шкалы
времени
физиологически
соответствует
моменту
перехода
электрического
возбуждения
с
атриовентрикулярного
узла
на
межжелудочковую перегородку. Первый период охватывает процессы
возбуждения межжелудочковой перегородки и части миокарда правого
желудочка. Его длительность, в среднем, близка к 40 миллисекундам. Второй
период соответствует процессам возбуждения основной массы правого
желудочка, верхушки, передних и боковых отделов левого желудочка. Его
длительность составляет, в среднем, 40–45 миллисекунд, Наконец, третий
временной интервал охватывает процессы возбуждения задне-диафрагмальных
отделов левого желудочка. Его длительность, в среднем, составляет 40–45
миллисекунд. Конец комплекса QRS и соответствует полному охвату
электрическим возбуждением задне-диафрагмальных и базальных отделов
левого желудочка.
147
Зубец S отражает охват возбуждением основания желудочков. Сегмент
ST − это интервал между окончанием желудочковой активации и началом
восстановления желудочков.
Зубец T – процесс быстрой реполяризации желудочков. Период от начала
желудочковой активации до окончания восстановления желудочков называется
интервалом QT. Поскольку восстановление желудочковых клеток вызывает
ионный поток, противоположный таковому при деполяризации, можно было
ожидать, что зубец T должен быть инвертирован по отношению к комплексу
QRS.
Однако
эпикардиальные
клетки
реполяризуются
раньше
эндокардиальных, вызывая тем самым распространение волны реполяризации в
направлении, противоположном деполяризации (от эпикарда к эндокарду). Это
приводит к отклонению зубца T в том же направлении, что и комплекс QRS. В
некоторых случаях после зубца T отмечается еще одна направленная вверх
волна, называемая U – зубцом, источник которой не вполне ясен.
Комплекс QRST обусловлен появлением и распространением
возбуждения в миокарде желудочков, поэтому его называют желудочковым
комплексом. Общая продолжительность QRST приблизительно равна 0,36 cек.
Соединение комплекса QRS и сегмента ST называется точкой J.
Изменение разности потенциалов, возникающих на поверхности тела при
возбуждении сердца, записываются с помощью различных систем отведений.
Каждое отведение состоит из пары электродов, один из которых подсоединен к
положительному полюсу входа усилителя электрокардиографа, другой – к
отрицательному. Так регистрируется разность потенциалов, существующая
между двумя определенными точками электрического поля сердца, в которых
установлены электроды. В связи с тем, что многочисленные способы
расстановки электродов могут привести к сложностям взаимопонимания врачей
в трактовке ЭКГ, в международную клиническую практику была введена
наиболее часто используемая система 12 отведений, состоящая из трех
стандартных отведений, трех усиленных однополюсных от конечностей и
шести грудных отведений.
При контроле сердечной деятельности человека с помощью анализа
кардиограммы большое значение имеет информация о величинах RRинтервалов, а также анализ формы желудочковых комплексов (QRSкомплексов). Подробное рассмотрение всех деталей P–QRS–T комплексов
сердечного ритма является сложной задачей, которой посвящена специальная
литература по кардиологии. Существующие признаки отклонения формы ЭКГ
от нормы указывают на снижение функционального резерва сердечной
деятельности. Большую роль играет расшифровка ЭКГ в задаче анализа
сердечных аритмий, непосредственно угрожающих жизни пациента (различные
виды предсердных и желудочковых экстрасистол, фибрилляции желудочков,
желудочковая тахикардия).
148
Рис. 2.32. Регистрация сигнала электрокардиограммы в 12 стандартных
отведениях: I,II,III – 3 стандартных канала, aVR, aVL, aVF – усиленные
отведения от конечностей, (от англ. augmented – усиленный; right – правый, left
– левый, foot – нога), V1,V2,V3,V4,V5,V6 – шесть грудных отведений. Данная
кардиограмма получена с помощью кардиографа «Поли–Спектр–12» (сайт
компании «Нейрософт», http://www.neurosoft.ru).
Величина, направление и форма зубцов ЭКГ зависят от отведения, в
котором зарегистрирована ЭКГ, и варьируются у здоровых лиц в зависимости
от особенностей их конституции, определяющих позицию сердца в грудной
клетке (нормальная, вертикальная, горизонтальная). Изменения ЭКГ при
патологии сердца выявляются путем анализа направления, формы и величины
зубцов, их соотношения в разных отведениях, измерения интервалов,
характеризующих ритм сердечных циклов, длительность электрической
систолы, атриовентрикулярную и внутрижелудочковую проводимость.
Разные степени атриовентрикулярной блокады распознаются по
изменениям интервала Р-Q – по его удлинению свыше 0,2 сек, неодинаковой
длительности в разных циклах или полному исчезновению закономерности
между появлением зубцов Р и комплексов QRS. Блокада ножек пучка Гиса
отражается уширением QRS свыше 0,1 сек, изменением величины и формы
149
зубцов R и S и их соотношения в разных отведениях. Мерцательная аритмия
распознается по наличию большой разницы между интервалами R-R,
исчезновению зубца Р, искажению изолинии мелкими беспорядочными
волнами мерцания предсердий (обозначаются как зубцы F). Экстрасистолия и
другие нарушения ритма также четко отображаются на ЭКГ.
При формировании гипертрофии миокарда желудочков отмечается
увеличение вольтажа основных зубцов желудочкового комплекса, причем
нарастание амплитуды зубца R происходит при гипертрофии левого желудочка
в левых грудных отведениях – V5, V6, а при гипертрофии правого желудочка в
правых грудных отведениях – V1V2. Изменения зубца S имеют
противоположную направленность.
Различной природы дистрофия миокарда, в том числе обусловленная его
ишемией, проявляется на ЭКГ признаками нарушений реполяризации миокарда
желудочков – изменением высоты или инверсией зубцов Т (в норме
положительные становятся отрицательными и наоборот), отклонением от
изолинии сегмента ST. Метод ЭКГ особенно важен в диагностике инфаркта
миокарда, о локализации которого судят по сигналам, снимаемым с различных
отведений и отображающим характерные для инфаркта изменения ЭКГ.
Рассмотрим короткую запись кардиограммы, состоящей из семи ударов.
Рис. 2.33. На рисунке представлена кардиограмма, показывающая семь
комплексов P–QRS–T сердечного ритма; по оси ординат откладывается
величина напряжения во втором отведении в условных единицах, а по оси
абсцисс откладывается время в секундах.
150
Рис. 2.34. Зависимость безразмерного фурье-спектра мощности,
нормированного на 100%, от частоты в Гц. Этот спектр получен при анализе
всей кардиограммы (рис. 2.33), продолжительность которой составляет
примерно 6,4 сек.
В данном спектре мощности самая большая плотность соответствует
гармонике с частотой f ≈ 1 Гц. Это основной ритм сердца, отвечающий частоте
сердечных сокращений, примерно равной одному удару в секунду.
Низкочастотная составляющая сигнала (f < 1 Гц) указывает на то, что форма P–
QRS–T комплекса меняется со временем. Кроме того, центр, соответствующий
максимуму P–QRS–T комплекса (точка R), также испытывает некоторую
вариабельность. Гармоники с частотами f > 1 Гц образуют высокочастотную
составляющую сигнала. Высокочастотные составляющие сигнала возникают во
время формирования R пика, Q и S зубцов; их также можно встретить на
протяжении всего PQRST-комплекса. Считается, что в высокочастотную часть
сигнала вносит вклад электрическая активность мышц.
Интересно выяснить, какая часть фурье-спектра кардиосигнала,
состоящего из семи ударов, ответственна за определенный участок P–QRS–Tкомплекса. Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом частотной
фильтрации.
Суть применяемой нами фильтрации состоит в том, при выполнении
обратного фурье-преобразования сигнала мы будем последовательно
отбрасывать фурье-гармоники, частоты которых удовлетворяют соотношению
f < fHF. Так действует идеальный фильтр высоких частот (HF– high frequency),
полностью устраняющий низкочастотные гармоники сигнала. Постепенно
увеличивая частоту среза фильтра fHF, мы будем следить за модификацией
восстановленного сигнала по сравнению с исходным.
На рис. 2.35–2.39 приведены графики восстановленного сигнала,
полученные при значениях граничной частота фильтра высоких частот,
соответственно, 0,622 Гц, 1,56 Гц, 3,11 Гц, 5,29 Гц и 7,77 Гц.
151
Рис. 2.35. Сигнал, восстановленный по фурье-гармоникам с частотами,
удовлетворяющими неравенству f >0,622 Гц Видно, что форма сигнала
практически не отличается от оригинала (рис. 2.33).
Рис. 2.36. Сигнал, восстановленный по фурье-гармоникам с частотами,
удовлетворяющими неравенству f >1,56 Гц. По сравнению с исходным
сигналом (рис. 2.33) здесь заметно уменьшение амплитуды T-зубца.
152
Рис. 2.37. Сигнал, восстановленный по фурье-гармоникам с частотами,
удовлетворяющими неравенству f > 3,11 Гц. По сравнению с исходным
сигналом (рис. 2.33) здесь форма и амплитуда T-зубца заметно искажены.
Рис. 2.38. Сигнал, восстановленный по фурье-гармоникам с частотами,
удовлетворяющими неравенству f > 5,29 Гц. Здесь, по сравнению с исходным
сигналом (рис. 2.33), полностью изменяются как форма зубца P, так и форма
зубца T.
153
Рис. 2.39. Сигнал, восстановленный по фурье-гармоникам с частотами
f > 7,77 Гц. По сравнению с исходным сигналом (рис. 2.33) здесь значительно
видоизменилась низкочастотная структура сигнала.
Теперь применим к исходному кардиосигналу, показанному на рис. 2.33,
оконное преобразование Фурье. Этот метод получил название спектральновременного картирования (СВК или STM – Spectral-temporal mapping). С
помощью этого метода можно проводить спектральный анализ различных
участков кардиоцикла (зубцы Р и Т, комплекс QRS) с выделением временных,
амплитудных и частотных характеристик любого выбранного в нем интервала.
Рис. 2.40. Спектрограмма мощности сигнала (ось Z), полученная оконным
преобразованием Фурье. По оси Y откладывается время в миллисекундах
154
(интервал времени измерения кардиограммы составляет 6400 мс); по оси X
откладывается частота в Гц. Ширина окна во времени составляет 256 мс.
Перемещая окно вдоль оси времени, можно следить за изменением
низкочастотных и высокочастотных составляющих сигнала. На рисунке
отчетливо видны семь ударов сердца, причем их можно наблюдать как на
низкочастотной составляющей спектра так и на высокочастотной
составляющей. Если положение центра окна (шириной 0,256 сек) соответствует
R-пику сердечного ритма, то в фурье-спектр сигнала большой вклад вносит
высокочастотная компонента с частотой f ≈ 25 Гц, так как продолжительность
R-зубца составляет примерно 0,4 сек. Если положение центра окна
соответствует T-зубцу, то в этом случае в спектре будут доминировать
низкочастотные составляющие с частотой f ≈ 3 Гц.
Изучая оконное преобразование Фурье, мы отмечали недостатки этого
метода, связанные с тем, что окно фиксированного размера не может быть
адаптировано к локальным свойствам сигнала. В результате, на низкочастотном
участке спектра теряется разрешение по частоте, а на высокочастотном – по
времени.
Перейдем к сравнению результатов оконного преобразования Фурье и
вейвлетного преобразования. В качестве сигнала возьмем короткую запись
кардиограммы, представленную на рис. 2.33.
Рис. 2.41. Трехмерное изображение спектра мощности интегрального
вейвлет-преобразования Z ( X , Y ) =| V ( ν, t0 ) |2 . Ось X – частота ν в Гц, ось Y –
время t0 в сек. Форма поверхности | V ( ν, t0 ) |2 на больших частотах (ν > 8 Гц)
155
отчетливо демонстрирует семь ударов сердца, отделенных друг от друга не
равными интервалами времени (вариабельность RR-интервалов). В моменты
ударов максимальна высокочастотная составляющая сигнала (ν > 8 Гц). В
промежутках между R-пиками мы видим плавную картину спектра мощности
интегрального вейвлет-преобразования. В низкочастотной области (ν < 5 Гц)
присутствует лишь плавный рельеф.
Для того, чтобы изучить процесс формирования спектрального состава
рассмотренного сигнала, построим для него простейшую математическую
модель. С этой целью представим суммарный сигнал в виде суммы некоторых
импульсов zs(t), центрированных в точках ts:
z (t ) =
n
∑ As zs (t − ts ) .
(2.5.1)
s =0
В этом выражении As – амплитуда слагаемого zs(t), n+1 – количество
слагаемых. В качестве импульса zs(t) возьмем гауссову функцию
⎛ t2 ⎞
1
z s (t ) =
exp⎜ − 2 ⎟ ,
⎜ 4τ ⎟
2 πτ s
s ⎠
⎝
(2.5.2)
где τs – параметр временной ширины. Мы рассмотрим различные типы
зависимости параметров As, ts и τs от номера s, соответствующие как
амплитудной, так и частотной модуляции.
Для предварительного анализа наших модельных сигналов воспользуемся
дискретным преобразованием Фурье. В этом случае сигнал (2.5.1) следует
считать периодической функцией, заданной на конечном интервале времени
наблюдения T.
Вначале рассмотрим простейший пример – равномерное чередование
гауссовских пиков. Мы будем полагать, что максимум гауссовского импульса с
номером s = 0 совпадает с моментом времени t0 = 0, а максимум последнего
импульса (с номером s = n) совпадает с конечным моментом времени
наблюдения, t = T. Центры импульсов находятся в точках ts = sTs, где Ts –
расстояние между пиками, причем период наблюдения T = nTs. Пусть
амплитуды импульсов одинаковы: As = 1. Кроме того, пусть ширина импульсов
также постоянна: τs = const. В случае достаточно узкого гауссовского пика
(когда ширина пика τs много меньше расстояния между пиками, τs << Ts) легко
~
получить аналитическое выражение для фурье-компоненты Z k сигнала z(t)
(2.5.1), отвечающей частоте fk = k / T, где k=0,1,2 … . При этом фурье-спектр
мощности Pk, равный квадрату модуля фурье-компоненты, имеет вид
156
~
Pk = Z k
2
⎛ 8π 2 k 2 τ 2s ⎞ sin 2 (π k )
1
= exp⎜ − 2 2 ⎟
.
⎜
⎟
k
π
T
⎛
⎞
2
n Ts ⎠ sin
⎝
⎜
⎟
⎝ n ⎠
(2.5.3)
Если отношение целых чисел k / n не является целым числом, то величина
Pk (2.5.3) обращается в нуль. Если же частоты fk = k / T таковы, что k / n=l есть
целое число (l = 0,1,2…), то с учетом равенства T = nTs, мы получаем отличные
от нуля значения спектра мощности
⎛ 8π 2l 2 τ 2s ⎞ 2
1
⎟n .
Pl = exp⎜ −
2
⎜
⎟
T
Ts
⎝
⎠
(2.5.4)
Приведем графики сигнала и соответствующего ему спектра мощности.
Рис. 2.42. Простейшая модель сигнала в виде последовательности
одинаковых гауссовских пиков (2.5.1), каждый из которых имеет постоянную
ширину τs = 0,02 cек. Весовые амплитуды As всех пиков также одинаковы:
As = 1. Центры этих пиков расположены в равноудаленных точках ts = sTs, где
Ts = 1 cек – время между максимумами соседних гауссовских пиков, s = 0,1,…,
n – номер пика. В нашем случае n = 10, что соответствует интервалу времени
наблюдения T = 10 cек. Сигнал считается периодической функцией
z(t) = z(t+T).
157
Рис. 2.43. Зависимость
фурье-спектра
мощности
Pk сигнала,
изображенного на рис. 2.42, от частоты f в Гц. Здесь и далее при вычислении
спектра мощности мы вычитаем из сигнала его среднее значение. В этом случае
значение Pk на нулевой частоте f = 0 обращается в ноль. Спектр мощности
всюду нормирован на 100%.
Рис. 2.44. Модель сигнала с амплитудной модуляцией. Сигнал имеет вид
суммы равноотстоящих гауссовских пиков в точках ts = sTs c постоянной
шириной τs = 0,02 cек, но с разной амплитудой. Амплитуды гауссовских пиков
изменяются во времени по закону As = 1 + ε sin(2 π f m t s ) , где ε = 0,5 – глубина
модуляции, fm = 0,2 Гц – частота модуляции.
Рис. 2.45. Спектр мощности сигнала с амплитудной модуляцией,
показанного на рис. 2.44. При глубине модуляции ε = 0,5 и частоте модуляции
158
fm = 0,2 Гц в спектре мощности сигнала наряду с целочисленными частотами
появляются невысокие побочные спектральные линии.
Рис. 2.46. Модель сигнала с неглубокой частотной модуляцией. Сигнал
описывается суммой гауссовских пиков с одинаковой амплитудой Аs = 1 и
шириной τs = 0,02 сек, но центры ts этих пиков теперь не являются
равноудаленными. Значения ts распределены на оси времени по закону
ts = sTs + ε sin(2π f m sTs ) , где Ts=1 cек, s = 0,1,…,10, ε = 0,05 – глубина
модуляции, fm = 0,2 Гц – частота модуляции.
Рис. 2.47. Спектр мощности сигнала, показанного на рис. 2.46. При малой
глубине частотной модуляции ε=0,05 и частоте модуляции fm = 0,2 Гц спектр
мощности испытывает уширение в области частот 3–8 Гц по сравнению
сигналом, у которого незначительную модуляцию претерпевают амплитуды
(см. рис. 2.45).
159
Рис. 2.48. Модель сигнала с глубокой частотной модуляцией, Сигнал
описывается суммой гауссовских пиков с одинаковой амплитудой Аs = 1 и
шириной τs = 0,02 сек, но центры ts этих пиков теперь не являются
равноудаленными. Значения ts распределены на оси времени по закону
ts = sTs + ε sin(2π f m sTs ) , где
Ts = 1 cек, s = 0,1,…,10, ε = 0,2 – глубина
модуляции, fm =0,2 Гц – частота модуляции.
Рис. 2.49. Спектр мощности сигнала с частотной модуляцией,
показанного на рис. 2.48. При глубине модуляции ε=0,2 и частоте модуляции
fm = 0,2 Гц спектр мощности испытывает значительное уширение. В случае
заметного различия расстояний между пиками сигнала спектр мощности
приобретает вид широкой полосы в диапазоне частот 0 < f < 12 Гц. Такой вид
спектра сигнала, сформированного с помощью простейшей математической
модели (2.5.1)–(2.5.2), в некоторой степени напоминает спектр сердечного
ритма, приведенный на рис. 2.34.
Рассмотрим результаты вейвлетного преобразования модельного сигнала,
представленного на рис. 2.48.
160
Рис. 2.50. Спектр мощности интегрального вейвлет-преобразования
Z ( X , Y ) =| V ( ν, t0 ) |2 для сигнала, изображенного на рис. 2.48. Ось X – частота ν
в Гц, ось Y – время t0 в сек. На низких частотах (0 < ν < 3 Гц) наблюдается
плавный рельеф поверхности | V ( ν, t0 ) |2 . Наличие некоторого максимума на
частоте 1–2 Гц соответствует среднему расстоянию Ts = 1 cек между пиками
сигнала. На частотах ν > 3 Гц отчетливо вырисовывается структура из
одиннадцати пиков с переменным расстоянием между максимумами, что
полностью соответствует временному положению импульсов, показанных на
рис. 2.48.
Рис. 2.51. Та же поверхность | V ( ν, t0 ) |2 , которая была показана на
рис. 2.50, здесь изображена в более широком диапазоне частот.
161
2.6 Логистическое отображение
Наряду с анализом выборочных значений непрерывных сигналов zn=z(tn)
встречаются задачи, в которых сигнал zn изначально имеет дискретную
природу. Например, мы можем пытаться обнаружить закономерность в
последовательности чисел, отражающих ежегодные колебания прибыли
предприятия, банковского счета, экономических или демографических
показателей региона. К аналогичному классу «сигналов» zn относятся
периодические данные о численности той или иной биологической популяции.
Моделирование подобных динамических процессов основывается на выборе
подходящего рекуррентного соотношения
zn +1 = f ( r, zn ) ,
(2.6.1)
где f(r, z) – нелинейная функция аргумента z, зависящая от одного или
нескольких управляющих параметров r.
Простейшим примером служит так называемое логистическое
отображение [10]:
zn +1 = r zn (1 − zn ) ,
n = 0, 1, 2, ... ,
(2.6.2)
предложенное в 1845 году П.Ф. Ферхюльстом для описания динамики
биологической популяции в замкнутой среде. Смысл формулы (2.6.2) можно
пояснить следующим образом. Представим себе, например, водоем,
населенный рыбами определенного вида. Пусть zn – численность особей
данного вида в n-ом году, отнесенная к возможной максимальной численности
(так что 0 ≤ zn ≤ 1). Разумно предположить, что численность особей zn +1 в
следующем году должна быть пропорциональна текущей численности zn, а
также пропорциональна разности 1–zn, характеризующей количество пищевых
ресурсов, необходимых для выживания рыб в данной среде. Коэффициент
пропорциональности r (где 0 < r ≤ 4 ) определяется плодовитостью или
качеством условий жизни. Эти предположения приводят к рекуррентному
соотношению (2.6.2) с нелинейной (квадратичной) функцией f(r, z) = r z (1–z),
зависящей от одного управляющего параметра r.
На первый взгляд может показаться, что при любом значении
управляющего параметра r величина zn с ростом n должна стремиться к одной
из неподвижных точек x отображения f, определяемых уравнением
x = f ( r, x ) .
162
(2.6.3)
В действительности это верно только при относительно малых значениях
параметра r, а с увеличением r последовательность zn ведет себя гораздо более
сложным образом.
В рассматриваемом примере последовательность сходится к
единственной неподвижной точке x=0 при r < 1 ; это соответствует
исчезновению популяции вследствие малого значения r (низкая плодовитость).
Если r превышает пороговое значение r0=1, картина меняется. В области
1 < r < 3 точка x=0 оказывается неустойчивой, и последовательность zn сходится
к другой, устойчивой неподвижной точке x = 1 − 1 / r (рис. 2.52)
Рис. 2.52. Первые сто итераций величины zn, выполненные по формуле
(2.6.2) при r = 1,2. Начальное значение было выбрано равным z0 = 0,001. При
указанном r последовательность zn сходится к устойчивой неподвижной точке
x ≈ 0,167 вне зависимости от выбора z0.
Условие устойчивости любой неподвижной
неравенства:
df ( r, z )
dz
< 1.
точки x имеет
вид
(2.6.4)
z=x
Нетрудно заметить, что для функции f(r, z) = r z (1–z) при r > r1=3 неравенство
(2.6.4) нарушается, и тогда последовательность zn не будет сходиться к
определенному пределу. Поведение zn при значении r, немного превышающем
такое r1, показано на рис. 2.53.
163
Рис. 2.53. Первые пятьдесят итераций величины zn, выполненные по
формуле (2.6.2) при r = 3,01. Начальное значение было выбрано равным
z0 = 0,167. Для больших n величина zn поочередно принимает значения, близкие
к 0,633 и 0,699.
Мы видим, что zn испытывает колебания, поочередно принимая значения,
близкие к некоторым x1 и x2. Такую пару точек x1, x2 можно назвать
аттрактором периода 2 для рассматриваемого отображения f(z), поскольку
каждое второе значение из последовательности zn испытывает «притяжение»
(attraction) к x1 или x2. Превращение одного предельного значения x в два
различающихся предельных значения x1 и x2 называют бифуркацией.
Бифуркация возникает потому, что при r > r1=3 точки x1, x2 становятся
неподвижными точками отображения f(f(z)), представляющего собой
двукратное отображение f(z).
С дальнейшим ростом r, как только r превысит некоторое значение r2,
каждая из точек x1, x2 вновь испытывает бифуркацию, и так далее. Подробное
исследование показывает, что последовательность значений управляющего
параметра r1, r2 ,..., rk ,... , отвечающая бифуркациям с появлением аттракторов
периода 2 k , стремится к значению r∞ = 3,5699456... . Вблизи этого значения
величины rk подчиняются степенному закону вида
rk − r∞ ∝ δ − k ,
где
k >> 1 ,
δ = 4,6699201609...
164
Указанная постоянная δ называется константой Фейгенбаума. Бифуркации
неподвижных точек x изображены на рис. 2.54.
Рис. 2.54. Множество предельных точек x логистического отображения
zn +1 = r zn (1 − zn ) . При увеличении параметра r от r0 = 1 до r∞ = 3,5699456...
предельные точки испытывают последовательность бифуркаций.
При r > r∞ поведение сигнала zn становится хаотическим, случайным –
возникает режим детерминированного хаоса. Однако, область хаотического
режима ( r∞ < r ≤ 4 ) не является сплошной, она рассечена узкими окнами, в
которых сигнал zn вновь приобретает регулярное поведение. Период
колебаний значений zn в этих окнах может отличаться от 2 k . Например, при r
немного превышающем величину rc = 1+ 8 ≈ 3,8 последовательность zn в
пределе становится периодической с периодом 3, причем с дальнейшим
увеличением r снова возникает каскад бифуркаций. Если же r выбрать
несколько меньшим указанного rc , то zn будет меняться хаотическим образом,
демонстрируя так называемую перемежаемость: длительные интервалы почти
периодического поведения будут чередоваться с короткими, случайно
распределенными во времени всплесками нерегулярности. По мере удаления в
область r < rc такие всплески возникают все чаще и, в конце концов, сигнал zn
становится полностью хаотическим. Более подробное описание перечисленных
особенностей можно найти в книге [10].
165
С практической точки зрения важно то, что сложность поведения,
обнаруженная при изучении сравнительно простого логистического отображения, не является исключительным свойством последнего, а характерна для
большинства систем, подчиняющихся нелинейным динамическим уравнениям.
Численное исследование хаотической динамики целесообразно проводить
несколькими методами параллельно, включая фурье-преобразование и анализ
автокорреляционной функции сигнала. Ниже мы ограничимся иллюстрацией
проявления хаоса в спектрах дискретного преобразования Фурье и вейвлетного
преобразования
Морле
для
сигналов,
генерируемых
посредством
логистического отображения (2.6.2). Расчеты выполнены для сигналов zn ,
содержащих 1024 точки на интервале времени T, условно принятом за 1,024
секунды. Временной шаг при этом равнялся Δt = 0,001 сек, а диапазон частот
f n , просматриваемых с шагом 0,9766 Гц, составлял 0–500 Гц.
Начнем с регулярного сигнала. На рис. 2.55 показаны первые сто
итераций zn при значении управляющего параметра, меньшем граничной
величины r∞ .
Рис. 2.55. Первые сто итераций сигнала zn, выполненные по формуле
(2.6.2) при r = 3,56 < r∞ = 3,5699456... . Видны восемь повторяющихся значений
сигнала – аттрактор периода 23 . Поскольку период сигнала равен восьми
временным шагам Δt = 0,001 сек, ему соответствует частота основной
гармоники 125 Гц. Наш сигнал не имеет вида гармонического колебания,
поэтому в фурье-спектре кроме основной частоты должны наблюдаться и более
высокочастотные гармоники. Этот вывод подтверждается картиной спектра
частот, приведенной на рис. 2.56.
166
Рис. 2.56. Фурье-амплитуда (в условных единицах) сигнала zn,
показанного на рис. 2.55. Форма сигнала далека от синусоидальной, поэтому в
фурье-спектре кроме основной частоты 125 Гц наблюдаются вторая и третья
гармоники, причем амплитуда второй гармоники намного превышает
амплитуду остальных фурье-компонент.
Рис. 2.57. Контурная карта модуля преобразования Морле | V ( ν, t0 ) | для
сигнала, показанного на рис. 2.55. Вдоль вертикальной оси откладывается
частота вейвлетного преобразования ν, вдоль горизонтальной оси – время t0
Видно, что сигнал содержит, главным образом, высокочастотные
составляющие и является стационарным, однородным во времени.
167
Ниже приведены аналогичные данные для последовательности zn при
значении управляющего параметра r, превышающем порог r∞ возникновения
хаотического режима.
Рис. 2.58. Первые сто итераций сигнала zn, выполненные по формуле
(2.6.2) при r = 3,59 > r∞ = 3,5699456... . На этом изображении сигнал выглядит
достаточно сложным; по его виду трудно определить, является сигнал
хаотическим или регулярным (с большим числом повторяющихся значений).
Следующие два рисунка показывают, что имеет место хаотический режим.
Рис. 2.59. Фурье-амплитуда сигнала zn, изображенного на рис. 2.58.
Сравнение с рис. 2.56 показывает, что спектр частот сигнала стал «сплошным».
Кроме того, здесь появился низкочастотный «хвост», свидетельствующий о
присутствии в сигнале нерегулярностей с большим временным масштабом.
168
Рис. 2.60. Модуль преобразования Морле | V ( ν, t0 ) | для сигнала,
показанного на рис. 2.58. Вдоль вертикальной оси откладывается частота
вейвлетного преобразования ν, вдоль горизонтальной оси – время t0 .
Существенная неоднородность вейвлетного образа во времени свидетельствует
о хаотическом поведении исследуемого сигнала.
Картина хаоса становится еще более отчетливой при значении
управляющего параметра r = 3,99999 , близком к его максимальной величине
rmax = 4 . (Рис. 2.61–2.63).
Рис. 2.61. Первые двести итераций сигнала zn (2.6.2) при r = 3,99999 .
169
Рис. 2.62. Фурье-спектр сигнала zn, изображенного на рис. 2.61.
Рис. 2.63. Квадрат модуля преобразования Морле | V ( ν, t0 ) |2 для сигнала,
показанного на рис. 2.61.
Интересно также рассмотреть характеристики сигналов, генерируемых на
границе перехода к перемежаемости. Начнем с картины регулярного поведения
в окне хаоса при r > rc = 1 + 8 ≈ 3,82843 . На рис. 2.64–2.66 показаны,
соответственно, сигнал zn , его спектр Фурье и результат вейвлетного
преобразования Морле.
170
Рис. 2.64. Первые сорок итераций сигнала zn (2.6.2) при r = 1+ 8 +
+0,005 ≈ 3,83343. При этом значении параметра r, немного превышающем
критическую величину rc = 1+ 8 ≈ 3,82843, имеется аттрактор периода 3, то
есть сигнал zn в пределе больших n периодически принимает три различных
значения. Период сигнала равен трем временным шагам Δt = 0,001 сек, так что
частота основной гармоники составляет приблизительно 333,3 Гц.
Рис. 2.65. Фурье-спектр сигнала zn, изображенного на рис. 2.64.
Наблюдаемая здесь ширина линии на частоте 333,3 Гц обусловлена
не сложным спектральным составом сигнала, а эффектом «растекания». Такое
уширение спектральной линии характерно для дискретного преобразования
Фурье на интервале времени, не кратном периоду сигнала. Высшие гармоники
периодического сигнала с основной частотой 333,3 Гц находятся за пределами
диапазона частот 0–500 Гц.
171
Рис. 2.66. Квадрат модуля преобразования Морле | V ( ν, t0 ) |2 для сигнала,
показанного на рис. 2.64. Видно, что сигнал является стационарным
(однородным во времени), причем в его частотном спектре в диапазоне частот
0–500 Гц доминирует единственная (основная) гармоника. Частота этой
гармоники соответствует линии 333,3 Гц на рис. 2.65.
Ниже приведены аналогичные результаты для сигнала zn при значении
управляющего параметра r, меньшем критического значения rc .
Рис. 2.67. Первые двести итераций сигнала zn (2.6.2) при r = 1+ 8 –
0,0001 ≈ 3,82833. При этом значении управляющего параметра r, чуть-чуть
меньшем критической величины rc = 1+ 8 ≈ 3,82843, реализуется режим
172
перемежаемости: области почти регулярного поведения сигнала случайным
образом чередуются с областями хаоса.
Рис. 2.68. Фурье-спектр сигнала zn, изображенного на рис. 2.67.
Приведенная здесь картина спектра представляет собой нечто промежуточное
между спектром регулярного сигнала на рис. 2.65 и спектром полностью
хаотического сигнала на рис. 2.62. Низкочастотный «хвост» указывает на
присутствие в сигнале нерегулярностей с большим временным масштабом.
Рис. 2.69. Контурная карта квадрата модуля преобразования Морле
| V ( ν, t0 ) |2 , изображенная в палитре серого цвета, для сигнала, который был
173
показан на рис. 2.67. Вдоль вертикальной оси откладывается частота
вейвлетного преобразования ν, вдоль горизонтальной оси – время t0. Эту
картину следует сравнить с рис. 2.66 и рис. 2.63. На приведенном здесь
изображении отчетливо видны характерные признаки режима перемежаемости
в эволюции нестационарного сигнала zn. Действительно, здесь наблюдаются
достаточно протяженные временные интервалы с почти регулярным
поведением сигнала, отделенные друг от друга областями явно хаотической
динамики. Распределение сбоев регулярности во времени также носит
случайный характер.
Следует подчеркнуть, что обсуждаемая «случайность» является
воспроизводимой, детерминированной: все удивительные особенности
поведения сигнала zn предопределены простой формулой (2.6.2).
Рассмотренные в данной главе примеры иллюстрируют высокую
эффективность вейвлет-преобразования в задачах анализа нестационарных
сигналов.
174
Глава 3. ДИСКРЕТНОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
3.1 Дискретизация параметров вейвлет-преобразования
В главе 2 вейвлетное преобразование W ( τ, t0 ) произвольной функции
z (t ) было определено как результат вычисления интегралов вида
W ( τ, t0 ) =
1 ∞
⎛ t − t0 ⎞
dt z (t ) ψ ∗ ⎜
⎟
∫
| τ | −∞
⎝ τ ⎠
(3.1.1)
с параметрами τ и t0 , принимающими непрерывные значения. В этом случае
W ( τ, t0 )
называется
непрерывным
вейвлет-преобразованием.
Если
масштабному времени τ и времени сдвига t0 придавать только дискретные
значения τ j и tk с целочисленными индексами j и k, то выражение (3.1.1)
можно будет назвать дискретным вейвлет-преобразованием. Как выяснится
ниже, в данное определение дискретного вейвлет-преобразования
целесообразно включить еще множитель 1 / τ0 , где τ0 – константа, которой
задается единица измерения времени. Таким образом, дискретное вейвлетпреобразование W j ,k определяется формулой
W j , k = W ( τ j , tk ) / τ 0 .
(3.1.2)
Выбирая различные материнские вейвлеты ψ( x ) , а также меняя способ
дискретизации переменных τ и t0, можно получить много разных дискретных
вейвлет-преобразований для одного и того же сигнала z (t ) .
Заметим, что при выборе густой равномерной сетки значений τ j и tk
дискретное вейвлет-преобразование W j ,k содержит информацию о сигнале z (t )
в избыточной форме. Так, если количество значений каждой из переменных τ j
и tk по порядку величины сравнимо с числом N выборочных значений сигнала
z (tn ) , то число элементов матрицы W j ,k имеет порядок N × N .
При достаточно большом N дискретные представления сигнала и его
вейвлет-образа в практическом отношении не отличаются от непрерывных
представлений. Однако, как будет видно далее, выбор переменного шага
масштабного времени τ j придает дискретному вейвлет-преобразованию
качественно новые черты.
175
Оказывается, при использовании неравномерной сетки значений τ j и t k
можно освободиться от избыточности вейвлет-преобразования и при этом
построить алгоритмы быстрого вейвлет-преобразования, не требующие явного
вычисления интегралов (3.1.1). Именно такие преобразования являются
предметом рассмотрения в данной главе.
Чтобы исключить из числового массива W j ,k избыточные данные, вместо
равномерного шага на оси масштабного времени τ мы будем применять
экспоненциальный закон дискретизации
τ j = 2 j τ0 ,
(3.1.3)
а шаг дискретизации времени сдвига tk выберем равным текущему значению
масштабного времени τ j :
tk = k ⋅ 2 j τ 0 .
(3.1.4)
Здесь τ 0 – характерный временной масштаб анализируемого сигнала, k и j –
целые числа.
Из выражений (3.1.3)–(3.1.4) видно, что отрицательным показателям
j = −1,−2,−3,... отвечает уменьшающееся по сравнению с величиной τ 0
значение масштабного времени τ j и уменьшающийся шаг 2 j τ 0 временных
сдвигов tk . При этом вейвлеты ψ((t − t k ) / τ j ) становятся «узкими» и
продвигаются вдоль оси времени малыми шагами, что позволяет выявить
детали сигнала (если они присутствуют) на временных масштабах, меньших
чем τ 0 .
При положительных j = 0, 1, 2, ... значения τ j = 2 j τ 0 экспоненциально
увеличиваются по сравнению с исходным масштабом τ 0 , вейвлеты становятся
все шире, и как раз поэтому их целесообразно перемещать вдоль оси времени
все более крупными шагами. Число j называют уровнем детализации; следует
отметить, что в литературе уровень детализации иногда определяется с
противоположным знаком.
Единицу времени τ 0 можно ввести произвольным образом. Так, если в
качестве τ 0 взять полную длительность Т наблюдения сигнала, то интерес
будут представлять только отрицательные уровни детализации j = −1,−2,−3,... ,
отвечающие последовательности временных масштабов T / 2 , T / 4 , T / 8 ... .
176
Если же в качестве τ 0 выбрать временной шаг Δt , с которым производилось
измерение отсчетов дискретного сигнала zn=z(tn), то актуальными будут уровни
с неотрицательными j = 0, 1, 2, ... , поскольку в этом случае у нас нет никакой
информации о деталях сигнала zn на промежутках времени, меньших интервала
Δt между соседними отсчетами.
При любом определении величины τ 0 ее можно принять в качестве
единицы измерения для переменных t , t k , τ j и ввести безразмерное время х:
x = t / τ0 .
Тогда вейвлеты ψ((t − t k ) / τ j ) с дискретными значениями параметров (3.1.3)–
(3.1.4) запишутся в виде:
⎛ t − tk
ψ⎜
⎜ τj
⎝
(
)
⎞
⎟ = ψ 2− j x − k ,
⎟
⎠
k = 0,±1,±2, ...
(3.1.5)
Для вейвлетов (3.1.5), умноженных на нормировочный множитель 2 − j / 2 ,
вводится обозначение ψ j ,k ( x ) :
(
)
ψ j ,k ( x ) = 2 − j / 2 ψ 2 − j x − k .
(3.1.6)
Ниже мы ограничимся рассмотрением только вещественных вейвлетов (и
сигналов), и поэтому будем опускать знак комплексного сопряжения в
определении вейвлетного преобразования (3.1.1). С учетом введенных выше
обозначений дискретное вейвлет-преобразование (3.1.2) сигнала z (x )
запишется в виде
W j,k =
∞
∫ dx z ( x ) ψ j,k ( x )
−∞
≡ < z, ψ j,k > .
(3.1.7)
Таким образом, в дальнейшем под дискретным вейвлет-преобразованием мы
< z, ψ j ,k >
будем
подразумевать
скалярное
произведение
(3.1.7)
анализируемого сигнала z (x ) и вейвлетных функций ψ j ,k ( x ) , определенных
формулой (3.1.6).
177
3.2 Ортогональность вейвлетов
Из равенства (3.1.6) следует очевидный вывод, что для построения
семейства вейвлетов ψ j ,k ( x ) достаточно задать один (материнский) вейвлет
ψ(x ) , отвечающий значениям индексов j = 0 , k = 0 . Однако функцию ψ(x )
можно выбрать многими способами, опираясь при этом на различные критерии.
Какие же вейвлеты наиболее предпочтительны?
С точки зрения простоты вычисления вейвлетного преобразования
существенными преимуществами обладают ортонормированные семейства
функций ψ j ,k ( x ) . Кроме того, численный расчет интегралов упрощается в тех
случаях, когда подынтегральные выражения имеют конечный носитель, то есть
обращаются в нуль вне конечного интервала значений своего аргумента.
Нетрудно заметить, что оба эти свойства заведомо будут иметь место, если
нормированный материнский вейвлет ψ(x ) выбран так, что его носитель
конечен, а вейвлеты нулевого уровня ψ( x − k ) с целочисленным сдвигом
ортогональны материнскому вейвлету:
∞
∫ dx ψ( x ) ψ( x − k ) = δ0,k .
k = 0,±1,±2, ...
(3.2.1)
−∞
Действительно, записывая скалярное произведение функций ψ j ,k ( x ) , ψ j , l ( x ) ,
и вводя переменную интегрирования
определения (3.1.6) и условия (3.2.1):
∞
∫ dx ψ j, k ( x ) ψ j, l ( x ) = 2
−∞
=
−j
∞
y = 2 − j x − k , получим с учетом
∫ dx ψ(2
−j
x − k ) ψ( 2 − j x − l ) =
−∞
∞
∫ dy ψ( y ) ψ( y − l + k ) = δ0, l − k
−∞
= δk , l .
(3.2.2)
Равенство (3.2.2) показывает, что
< ψ j , k , ψ j , l > = δk , l ,
178
(3.2.3)
то есть на каждом уровне детализации j вейвлеты ψ j ,k ( x ) вследствие условия
(3.2.1) образуют ортонормированную систему функций.
К требованию ортонормировки (3.2.1) нередко добавляют еще условия
обращения в нуль нескольких первых моментов материнского вейвлета ψ :
∞
∫ dx x
n
ψ( x ) = 0 ,
(3.2.4)
−∞
где целое число n последовательно принимает значения от нуля до некоторого
максимального, nmax. Совокупность условий (3.2.4) с n = 0,…, nmax эквивалентна
требованию ортогональности материнского вейвлета к любым полиномам со
степенью, не превышающей nmax.
Чем больше моментов равно нулю, тем меньше вейвлетный образ сигнала
будет чувствителен к присутствию в сигнале плавных (полиномиальных)
составляющих, что удобно для выявления у сигнала только резких
особенностей.
Кроме всего прочего, выбирая материнский вейвлет, можно стремиться к
высокой симметрии его формы, к достаточной непрерывности и гладкости.
Условие конечности носителя вейвлетной функции ψ( x ) не является
необходимым для обеспечения ортогональности вейвлетов (3.2.1) или для
существования нулевых моментов (3.2.4); такое условие можно рассматривать в
качестве независимого требования. Если материнский вейвлет ψ(x ) ему
удовлетворяет, то все дочерние вейвлеты (3.1.5)–(3.1.6), очевидно, также
обладают конечным носителем.
При исследовании совместности различных критериев выбора
материнского вейвлета была обнаружена нетривиальная связь вейвлетпреобразования с так называемым кратномасштабным анализом (КМА или
MRA – Multiresolution Analysis), разработанным для приближенного
вычисления функций. Объединение концепций вейвлета и КМА оказалось
очень плодотворным для построения алгоритмов быстрого вейвлетпреобразования, поэтому теперь нам следует ознакомиться с основными
понятиями кратномасштабного анализа более подробно. В изложении этой
темы мы будем придерживаться методики, примененной авторами
замечательной статьи [11].
179
3.3 Кратномасштабный анализ
Начнем с простого примера, в котором сигнал z(x) представляет собой
сумму низкочастотного и высокочастотного колебаний (рис. 3.1). Допустим,
что мы хотим получить приближенное описание сигнала – аппроксимацию,
свободную от высокочастотной составляющей. Этой цели можно достичь
разными способами. Один из самых простых способов сводится к замене
функции z(x) ее усредненными значениями на конечных интервалах Δx
аргумента x, превышающих период тех высокочастотных осцилляций, от
которых мы хотим избавиться.
Рис. 3.1, a – график сигнала z(x), содержащего высокочастотные
осцилляции. b – жирной линией изображен график функции Pˆ j z ( x ) ,
возникающей в результате частичного усреднения сигнала z(x) на интервалах
Δx = 2 − 4 . Символом P̂j обозначен оператор усреднения. «Уровнем
детализации» j здесь можно считать показатель степени в выражении для
интервала усреднения Δx = 2 j ; в данном примере j = −4 .
Теперь постараемся дать процедуре частичного усреднения более четкое
определение.
Прежде всего заметим, что для вычисления среднего значения функции
z(x) на единичном интервале [0,1] достаточно функцию z(x) на этом интервале
проинтегрировать. Очевидно, такой же результат можно получить, интегрируя
z(x) по всем значениям − ∞ < x < ∞ с П-образной весовой функцией ϕ(x ) :
1
∞
0
−∞
∫ dx z( x ) = ∫ dx z( x ) ϕ( x ) ,
где
180
⎧ 1 при 0 ≤ x < 1 ,
ϕ( x ) = ϕ H ( x ) ≡ ⎨
⎩0 при x < 0, x ≥ 1.
(3.3.1)
Функция (3.3.1) показана на рис. 3.2, a. Как выяснится далее, такая функция
тесно связана с вейвлетами Хаара (Haar); именно поэтому в ее обозначении
ϕH(x) присутствует буква H. Подчеркнем, что сама ϕH(x) вейвлетом не является;
эта функция не удовлетворяет требованию нулевого среднего, так как обладает
единичной площадью:
∞
∫ dx ϕ(x ) = 1 .
(3.3.2)
−∞
Для усреднения сигнала по единичным интервалам, смещенным друг
относительно друга с единичным шагом, воспользуемся аналогичными ϕфункциями, сдвинутыми в целочисленные точки k:
ϕ0, k ( x ) ≡ ϕ( x − k ) ,
k = 0,±1,±2, ... .
(3.3.3)
Тогда среднее значение S0, k сигнала z(x) на k-ом единичном интервале
запишется в виде:
S0, k =
∞
∫ dx z( x ) ϕ0,k ( x ) .
(3.3.4)
−∞
Функции (3.3.3) имеют графики единичной высоты и единичной
протяженности, которые не перекрываются друг с другом; следовательно, эти
функции с очевидностью образуют ортонормированную систему:
∞
∫ dx ϕ( x ) ϕ( x − k ) = δ0, k .
(3.3.5)
−∞
Для усреднения сигнала z(x) на интервалах, меньших или больших
единичного, естественно ввести масштабированные ϕ -функции по аналогии с
(3.1.6):
ϕ j ,k ( x ) = 2 − j / 2 ϕ (2 − j x − k ) ,
181
(3.3.6)
где целое число j = 0,±1,±2, ... задает желаемый уровень детализации
усредненного сигнала. Исходная функция ϕ(x ) соответствует равенству (3.3.6)
с j = 0 , k = 0 и называется масштабирующей функцией. Она порождает
масштабированные функции ϕ j, k подобно тому, как материнский вейвлет ψ
порождает базисные вейвлеты ψ j, k . Приведенное выше доказательство
ортонормированности вейвлетов (3.2.2) легко переписывается применительно к
функциям ϕ j, k , так что на каждом уровне детализации j функции ϕ j, k
благодаря свойству (3.3.5) удовлетворяют условиям ортонормировки:
< ϕ j,k , ϕ j, l > ≡
∞
∫ dx ϕ j ,k ( x ) ϕ j, l ( x )
−∞
= δk, l .
(3.3.7)
На рис. 3.2 изображены графики масштабирующей ϕ-функции Хаара и
порожденных ею функций ϕ j, k .
Рис. 3.2, a – график масштабирующей функции Хаара ϕ( x ) = ϕ H ( x ) ; он
имеет вид ступеньки единичной высоты и единичной протяженности.
b – графики нескольких функций ϕ j ,k ( x ) при j = −4 , представляющих собой
масштабированные и сдвинутые в точки xk = 2 j k версии исходной функции
ϕ( x ) согласно (3.3.6). Масштабирование сжимает исходную ступеньку в
2 − j раз по горизонтали и вытягивает в 2 − j / 2 раз по вертикали, так что площадь
квадрата масштабированной функции остается равной единице.
Результат усреднения сигнала на произвольном уровне детализации j
дается по аналогии с (3.3.4) совокупностью чисел S j , k , представляющих собой
скалярные произведения функций ϕ j , k и сигнала z ( x ) :
182
S j ,k = < ϕ j ,k , z > =
∞
∫ dx z ( x ) ϕ j ,k ( x ) ,
k = 0,±1,±2, ...
(3.3.8)
−∞
Величины S j , k принято называть коэффициентами аппроксимации. В нашем
примере функции ϕ j , k ( x ) имеют ступенчатую форму, обладают конечным
носителем Δx = 2 j , и не перекрываются друг с другом (при различных k и
фиксированном j, см. рис. 3.2, b). Это позволяет без особого труда заметить, что
усредненный сигнал, как функция непрерывного аргумента x, представляется
суммой функций ϕ j , k ( x ) , взятых с коэффициентами аппроксимации (3.3.8):
Pˆ j z ( x ) =
∞
∑
S j,k ϕ j,k ( x ) .
(3.3.9)
k = −∞
Символом P̂j обозначен оператор, соответствующий рассмотренной процедуре
частичного усреднения сигнала z(x) на уровне детализации j.
Оператор P̂j принято называть оператором проецирования функции z(x) в
«пространство аппроксимации» j-го уровня. Для пояснения этих терминов
заметим, что ортонормированная система ступенчатых функций ϕ j , k образует
полный базис в пространстве всех кусочно-постоянных функций,
представимых линейными комбинациями вида (3.3.9). Любая кусочнопостоянная функция с протяженностью ступенек Δx = 2 j , которые
располагаются в точках xk = 2 j k , принадлежит этому «пространству
аппроксимации». Ему принадлежит и любая кусочно-постоянная функция с
большей протяженностью ступенек – 2 j +1 , 2 j + 2 , 2 j + 3 , ... . Можно сказать, что
пространства аппроксимации с уровнями, большими заданного j,
последовательно вложены одно в другое, и все они вложены в пространство с
номером j. Однако этим пространствам не принадлежат ступенчатые функции с
меньшей протяженностью ступенек; такие функции содержатся в
пространствах с меньшим номером уровня j. Исходный сигнал z (x ) , вообще
говоря, не является ступенчатым и может иметь детали сколь угодно малой
протяженности. Поэтому он не принадлежит ни одному из пространств
аппроксимации с конечным номером j, но допускает проецирование на любое
из таких пространств. Последнее означает, что всякий сигнал z(x) допускает
представление в виде суммы ступенчатого приближения Pˆ j z ( x ) и уточняющей
поправки, включающей детали меньшего масштаба.
183
Заметим теперь, что каждое более точное приближение Pˆ j −1z ( x ) можно
записать по аналогичной схеме – как сумму более грубого приближения Pˆ j z ( x )
и относящихся к уровню j уточняющих деталей. Рис. 3.3 помогает понять, что в
данном примере уточняющие детали будут иметь вид линейной комбинации
знакопеременных ступенек, известных как вейвлеты Хаара.
Рис. 3.3, a – тонкой линией представлена аппроксимация сигнала на
уровне j = −4 ( Δx = 1/ 16) . Жирная линия изображает более грубую
аппроксимацию, соответствующую большему уровню: j = −3 ( Δx = 1/ 8) .
b – здесь жирной линией изображено еще более грубое приближение, j = −2
( Δx = 1/ 4) . Видно, что более точная аппроксимация (c уровнем детализации j–
1) отличается от более грубой аппроксимации (c уровнем детализации j)
знакопеременными деталями, напоминающими вейвлеты Хаара.
Таким образом, мы приходим к вполне правдоподобному утверждению, что
при каждом j должно выполняться равенство:
Pˆ j −1z ( x ) = Pˆ j z ( x ) +
∞
∑ W j,k ψ j,k ( x )
,
(3.3.10)
k = −∞
где W j , k – коэффициенты разложения уточняющей поправки по соответствующим вейвлетам ψ j ,k ( x ) . Величины W j , k в таком равенстве называют
коэффициентами детализации.
Оказывается, к равенству (3.3.10) можно придти с помощью различных
масштабирующих функций ϕ(x). При этом разным функциям ϕ(x) отвечают
различные вейвлеты. Если ϕ( x ) = ϕ H ( x ) , то в качестве вейвлетов ψ j ,k ( x ) в
(3.3.10) выступают функции, порождаемые по формуле (3.1.6) материнским
вейвлетом Хаара ψ( x ) :
184
⎧ 1, 0 ≤ x < 1 / 2 ,
⎪
ψ( x ) = ψ H ( x ) ≡ ⎨ − 1, 1 / 2 ≤ x < 1,
⎪ 0, x < 0, x ≥ 1.
⎩
Свойства вейвлетов Хаара ψ j ,k ( x ) иллюстрируются рисунком 3.4.
Рис. 3.4, a – график материнского вейвлета Хаара ψ( x ) = ψ H ( x ) ,
представляющего собой знакопеременную ступенчатую функцию единичной
протяженности. Эта функция имеет нулевое среднее и нормирована на
единицу. b – графики нескольких вейвлетов ψ j , k ( x ) , представляющих собой
масштабированные и сдвинутые в точки xk = 2 j k версии материнского
вейвлета ψ(x ) для j = −4 . При масштабировании исходный график сжимается
в 2 − j раз по горизонтали и вытягивается в 2 − j / 2 раз по вертикали, так что
площадь квадрата масштабированной функции остается равной единице.
Приведенные рисунки позволяют заметить, что в рассматриваемом
примере материнский вейвлет и масштабирующая функция ортогональны,
∞
∫ dx ϕ( x ) ψ( x ) = 0 ,
(3.3.11)
−∞
в результате чего взаимно ортогональными будут и дочерние функции:
∞
∫ dx ϕ j,k ( x ) ψ j, l ( x )
−∞
185
= 0.
(3.3.12)
Видно также, что вейвлеты нулевого уровня ψ( x − k ) удовлетворяют условию
ортонормировки (3.2.1), и поэтому, в соответствии с выводом (3.2.2), вейвлеты
ψ j ,k ( x ) составляют ортонормированную систему. Другими словами, при
каждом j вейвлеты ψ j ,k ( x ) образуют ортонормированный базис в
подпространстве, дополняющем пространство аппроксимации уровня j до
более детального пространства аппроксимации с номером j − 1 . Следовательно,
коэффициенты W j , k разложения сигнала z (x ) по вейвлетам ψ j ,k ( x ) для
равенства (3.3.10) можно находить стандартным образом – как скалярные
произведения элементов базиса с разлагаемой функцией z (x ) :
W j,k = < ψ j,k , z > =
∞
∫ dx z ( x ) ψ j,k ( x ) .
(3.3.13)
−∞
Сравнивая результат (3.3.13) с определением (3.1.7), мы заключаем теперь, что
совокупность коэффициентов детализации W j , k со всевозможными j и k,
появляющаяся в равенствах вида (3.3.10), представляет собой не что иное, как
дискретное вейвлет-преобразование сигнала z(x).
Чтобы отчетливее определить понятие КМА и выявить его связь с
разложением функций по вейвлетам, вернемся к равенству (3.3.10). В правой
его части член Pˆ j z ( x ) разложим аналогичным образом на сумму более грубого
приближения Pˆ j+1z ( x ) и уточняющих поправок более грубого уровня j + 1 :
Pˆ j−1z ( x ) = Pˆ j +1z ( x ) +
∞
∑ W j,k ψ j,k ( x)
k = −∞
∞
+
∑ W j +1,k ψ j +1,k ( x ) .
k = −∞
Такое преобразование правой части можно выполнить еще несколько раз. В
результате, обозначив уровень j − 1 начальной (мелкомасштабной) детализации
как J 0 , а уровень конечной (грубой, крупномасштабной) детализации – как J ,
мы получим равенство
PˆJo z ( x ) = PˆJ z ( x ) +
J
∑
∞
∑ W j,k ψ j,k ( x) ,
(3.3.14)
j = Jo +1 k = −∞
где
PˆJ z ( x ) =
∞
∑
S J ,k ϕ J ,k ( x) .
k = −∞
186
(3.3.15)
В практических вычислениях имеют дело с дискретными отсчетами сигнала на
ограниченном отрезке времени. В этом случае начальный (мелкомасштабный)
уровень детализации J 0 определяется шагом Δx соседних отсчетов сигнала
z ( x ) , а конечный уровень J , самый крупномасштабный, связан с полной
длиной массива значений z (x ) , подлежащих усреднению; к этому вопросу мы
вернемся ниже при обсуждении алгоритмов быстрого вейвлет-преобразования.
Если же сигнал z(x) рассматривается как функция непрерывного аргумента, то
наиболее детальному уровню соответствует номер J 0 → −∞ ; при этом в
качестве наиболее детального «приближения» выступает сам сигнал,
Pˆ− ∞ z ( x ) = z ( x ) , так что формула (3.3.14) в пределе с J 0 → −∞ ведет к
соотношению
z ( x ) = PˆJ z ( x ) +
J
∑
∞
∑ W j,k ψ j,k ( x) .
(3.3.16)
j = −∞ k = −∞
Кратномасштабным анализом (КМА) называют цепочку аппроксимаций (с
различными номерами J)
z ( x ) ≈ PˆJ z ( x ) =
∞
∑
S J ,k ϕ J ,k ( x ) ,
(3.3.17)
k = −∞
получающихся из (3.3.16) отбрасыванием всех слагаемых, содержащих
коэффициенты детализации W j , k .
С увеличением целого числа J аппроксимации (3.3.17) становятся все
более грубыми и отражают только самые крупномасштабные черты
анализируемого сигнала z ( x ) . Следовательно, в пределе с J → ∞ основная
информация о сигнале (3.3.16) содержится в слагаемых с коэффициентами
детализации W j , k , а член PˆJ z ( x ) может воспроизвести только постоянную
составляющую сигнала. Однако, эта составляющая равна нулю, если
рассматриваются лишь сигналы с конечной энергией – функции z(x), квадрат
которых имеет конечную площадь на бесконечном интервале − ∞ < x < ∞ . В
этом случае при J → ∞ в соотношении (3.3.16) можно отбросить член PˆJ z ( x ) ,
и оно примет вид:
z (x ) =
∞
∑
∞
∑ W j ,k ψ j ,k ( x ) .
(3.3.18)
j = −∞ k = −∞
Это равенство представляет собой разложение сигнала z(x) по вейвлетам ψ j ,k ,
связанным с КМА, порожденным некоторой масштабирующей функцией ϕ( x ) .
187
3.4 Вейвлеты Добеши
Очень важно, что реализация КМА не исчерпывается одними лишь
ступеньками Хаара. Для одного и того же сигнала можно построить много
разнообразных КМА, основанных на различных масштабирующих функциях
ϕ(x ) . Формализм (3.3.2)–(3.3.18) носит достаточно общий характер и позволяет
иметь дело с ортонормированными базисами ϕ j,k , ψ j,k , более удовлетворительными, чем разрывные ступеньки Хаара.
В основу конструирования новой масштабирующей функции
ϕ( x ) ≡ ϕ0,0 ( x ) можно положить утверждение, что такая функция должна
принадлежать не только пространству аппроксимации нулевого уровня (j = 0),
но и пространству аппроксимации более детального уровня (j = –1) с
базисными функциями ϕ −1, k ( x ) = 21 / 2 ϕ( 2 x − k ) . В этом случае искомая функция
ϕ(x ) допускает разложение по базисным функциям уровня j = –1 с некоторыми
коэффициентами hk , так что можно исходить из следующего функционального
уравнения, определяющего зависимость ϕ от x:
∞
ϕ( x ) = 21 / 2
∑ hk ϕ(2 x − k )
.
(3.4.1)
k = −∞
Различные масштабирующие функции задаются разными наборами
коэффициентов hk .
Ограничимся поиском масштабирующей функции ϕ(x ) с конечным
носителем, то есть потребуем, чтобы ϕ(x ) обращалась в нуль вне конечного
интервала изменения своего аргумента. В этом случае и все функции ϕ( 2 x − k )
будут иметь конечный носитель. Поскольку при k = 0, ± 1, ± 2, ... эти функции
размещаются на бесконечном интервале − ∞ < x < ∞ , то для обеспечения
конечного носителя в левой стороне равенства (3.4.1) правая его сторона
должна содержать лишь конечное число коэффициентов, отличающихся от
нуля. Пусть будут не равны нулю М коэффициентов h0 ,..., hM −1 . Тогда
функциональное уравнение (3.4.1) примет вид:
ϕ( x ) = 2
M −1
∑ hk ϕ(2 x − k )
.
(3.4.2)
k =0
Длину δx носителя функции ϕ( x ) легко выразить через число
коэффициентов М. Для этого заметим, что носители каждой из функций
ϕ( 2 x − k ) равны δx / 2 , причем они смещены друг относительно друга вдоль оси
188
x с шагом 1/2. Объединение М таких отрезков имеет длину ( δx / 2) + ( M − 1) / 2 ,
которая, согласно равенству (3.4.2), является длиной δx носителя функции
ϕ( x ) . Из возникающего таким образом уравнения для δx видно, что
δx = M − 1 .
(3.4.3)
На рис. 3.5 этот вывод поясняется в применении к случаю с числом
коэффициентов M = 4 .
Рис. 3.5. Определение длины δx носителя масштабирующей функции
ϕ(x) при M = 4 ; результат: δx = 3 . Происхождение «странных» графиков ϕфункций, изображенных на этом рисунке, рассматривается в разделе 3.6.
Подчиним функции ϕ0, k ( x ) = ϕ( x − k ) условию ортонормировки (3.3.5).
Учитывая в этом условии разложение (3.4.2), можно придти после несложных
выкладок к следующим уравнениям для коэффициентов разложения hk :
M −1
∑ h l h2k + l
l =0
= δ0,k ,
k = 0, ± 1, ± 2, ... .
(3.4.4)
Условие (3.3.2) единичной площади для функции ϕ(x ) ,
∞
∫ dx ϕ(x ) = 1 ,
−∞
вместе с разложением (3.4.2) ведет к еще одному уравнению для hk :
189
(3.4.5)
M −1
∑ hk =
2.
(3.4.6)
k =0
Итак, если задать число М ненулевых коэффициентов hk, выбрать значения hk с
помощью соотношений (3.4.4), (3.4.6), и решить функциональное уравнение
(3.4.2), то мы получим некоторую функцию ϕ(x), пригодную для построения
кратномасштабного анализа.
Посмотрим, как данная конструкция работает в простейших примерах. В
случае с M = 1 функциональное уравнение (3.4.2) принимает вид
ϕ( x ) = 2 h0 ϕ( 2 x ) .
При h0 = 2 оно имеет решение ϕ(x), удовлетворяющее условию (3.3.2)
единичной площади; это решение – дельта-функция δ(x ) . Очевидно, такое
решение не представляет интереса в качестве масштабирующей функции –
длина носителя дельта-функции равна нулю. В простейшем представляющем
интерес случае должны быть отличны от нуля два коэффициента, h0 и h1 (так
что M = 2 , и длина носителя будет равна единице). При этом соотношения
(3.4.4) и (3.4.6) образуют систему двух уравнений для h0 и h1 :
h02 + h12 = 1 ,
h0 + h1 = 2 .
Не составляет труда найти решение такой системы уравнений:
h0 = 1 / 2 ,
h1 = 1 / 2 .
Подстановка этих чисел в (3.4.2) дает функциональное уравнение
ϕ( x ) = ϕ( 2 x ) + ϕ( 2 x − 1) ,
решением которого оказывается уже известная нам масштабирующая функция
Хаара:
⎧ 1 при 0 ≤ x < 1 ,
ϕ( x ) = ϕ H ( x ) ≡ ⎨
⎩0 при x < 0, x ≥ 1.
Прежде чем перейти к следующим значениям М, опишем метод
построения материнских вейвлетов ψ(x ) , связанных с масштабирующей
190
функцией ϕ(x ) . Предположим, что базисные вейвлеты нулевого уровня
ψ 0, k ( x ) ≡ ψ( x − k ) , как и ϕ -функции нулевого уровня ϕ0, k ( x ) = ϕ( x − k ) ,
принадлежат пространству аппроксимации более детального уровня с базисом
ϕ −1, k ( x ) . В частности, этому пространству должен принадлежать сам
материнский вейвлет ψ 0,0 ( x ) ≡ ψ( x ) . Следовательно, он допускает разложение
по базисным функциям ϕ −1, k ( x ) = 21 / 2 ϕ( 2 x − k ) с некоторыми коэффициентами
g k , то есть он может быть получен в форме линейной комбинации функций
ϕ(2 x − k ) :
1/ 2
ψ(x ) = 2
∞
∑
g k ϕ( 2 x − k ) .
(3.4.7)
k = −∞
Различные материнские вейвлеты ψ задаются разными наборами
коэффициентов gk.
Чтобы выбрать вейвлеты определенного типа, следует подчинить
коэффициенты gk ряду условий. Рассмотрим условия, которые приводят к так
называемым вейвлетам Добеши. Одним из требований при построении
вейвлетов Добеши является условие ортонормировки (3.2.1) базисных вейвлетфункций ψ 0, k . Оно ведет к уравнениям, аналогичным (3.4.4):
∞
∑
l = −∞
g l g 2k + l = δ0,k , k = 0, ± 1, ± 2, ... .
(3.4.8)
Другим важным требованием является условие (3.3.11) взаимной
ортогональности масштабирующей функции ϕ(x ) и материнского вейвлета
ψ(x ) . Это требование приводит к уравнениям, содержащим одновременно
коэффициенты g k и hk :
M −1
∑ hl
l =0
g 2k + l = 0 ,
k = 0, ± 1, ± 2, ...
(3.4.9)
Чтобы понять, каким может быть решение этих уравнений, выпишем в
развернутом виде то из уравнений (3.4.9), которое соответствует значению
k = 0:
h0 g0 + h1g1 + ... + hM − 2 g M − 2 + hM −1g M −1 = 0 .
191
(3.4.10)
Видно, что существует возможность ограничиться конечным числом
ненулевых коэффициентов g k , равным числу М ненулевых коэффициентов hk .
Пусть отличными от нуля будут g0 ,..., g M −1 . В этом случае под знаком суммы в
(3.4.7) содержатся те же самые ϕ -функции, которые входят в (3.4.2),
ψ(x ) = 2
M −1
∑
k =0
g k ϕ( 2 x − k ) .
(3.4.11)
Как следствие, материнский вейвлет ψ(x ) будет иметь тот же конечный
носитель δx, что и масштабирующая функция ϕ(x), то есть δx = M − 1 . Кроме
того, уравнение (3.4.10) наводит на мысль рассматривать только четные М,
поскольку в этом случае можно добиться попарного взаимоуничтожения
слагаемых в левой части уравнения. Действительно, при четном М для
выполнения равенства (3.4.10) достаточно положить
g 0 = hM −1 ,
g1 = −hM − 2 , ... ,
g M − 2 = h1 ,
g M −1 = −h0 ,
то есть
g n = ( −1) n hM −1− n ,
n = 0, 1, ... , M − 1 .
(3.4.12)
При этом первое слагаемое в (3.4.10) сокращается с последним слагаемым,
второе – с предпоследним, и так далее, так что уравнение (3.4.10) с
очевидностью удовлетворяется. Легко проверить, что коэффициенты gn вида
(3.4.12) удовлетворяют всем уравнениям (3.4.9). В силу (3.4.4) они
удовлетворяют также уравнениям (3.4.8). Таким образом, в рассмотренной
конструкции материнский вейвлет ψ задается тем же набором чисел hk , каким
определяется масштабирующая функция ϕ .
В простейшем случае (при M = 2 ) в выражении (3.4.12) мы должны
воспользоваться уже известными нам числовыми значениями h0 = 1 / 2 ,
h1 = 1 / 2 . Тогда g0 = 1 / 2 , g1 = −1 / 2 , и равенство (3.4.11) принимает вид:
ψ( x ) = ϕ H ( 2 x ) − ϕ H ( 2 x − 1) ,
где
⎧ 1, 0 ≤ x < 1 / 2
⎪
ϕ H ( 2 x ) − ϕ H ( 2 x − 1) = ⎨ − 1, 1 / 2 ≤ x < 1
⎪ 0, x < 0, x ≥ 1
⎩
Тем самым получен известный вейвлет Хаара ψ H ( x ) .
192
⎫
⎪
⎬ = ψ H ( x) .
⎪
⎭
(3.4.13)
Следующим четным значением М является M = 4 . Легко проверить, что
уравнениям (3.4.4) и (3.4.6) удовлетворяют, в частности, величины
h0 =
1+ 3
,
4 2
h1 =
3+ 3
,
4 2
h2 =
3− 3
,
4 2
h3 =
1− 3
.
4 2
(3.4.14)
Соответствующие им коэффициенты g k даются формулой (3.4.12):
g 0 = h3 ,
g1 = −h2 ,
g 2 = h1 ,
g 3 = − h0 .
(3.4.15)
Эти величины задают вейвлет Добеши, обозначаемый как «D4».
Числом М в обозначении вейвлета «DM» принято указывать количество
ненулевых коэффициентов hk (поскольку М должно быть четным, то часто
вместо М указывают целочисленный индекс M / 2). Значение M / 2 равно
количеству нулевых моментов вейвлета Добеши DM:
∞
∫ dx x
n
ψ(x ) = 0 ,
n = 0, ... , ( M / 2) − 1 .
(3.4.16)
−∞
Условия (3.4.16) включаются в определение вейвлетов Добеши. Покажем, что в
общем случае такие условия сводятся к некоторым уравнениям для
коэффициентов hk и g k . Для начала заметим, что при n = 0 условие (3.4.16)
представляет собой обычное требование нулевого среднего для материнского
вейвлета:
∞
∫ dx ψ(x )
= 0.
(3.4.17)
−∞
Подставляя здесь под знак интеграла разложение (3.4.11) и учитывая, что
площадь функции ϕ( 2 x − k ) в силу (3.4.5) конечна (равна 1/ 2 ), получаем
уравнение:
M −1
∑
k =0
gk = 0 .
При n = 1 условие (3.4.16) можно записать в виде:
∞
1 ∂ ∞
0 = ∫ dx x ψ(x ) = lim ω→ 0
∫ dx ψ( x ) exp(iωx ) ,
i
∂
ω
−∞
−∞
то есть
193
(3.4.18)
∂ψˆ ( ω)
= 0.
∂ω ω→ 0
(3.4.19)
Подставив разложение (3.4.11) под знак интеграла в определении фурье-образа
материнского вейвлета
ˆ (ω) =
ψ
∞
∫ dx ψ( x ) exp(iωx )
,
−∞
найдем, что
⎛ ω ⎞ 1 M −1
⎛ ω ⎞
ˆ
ˆ
ψ(ω) = ϕ⎜ ⎟
g k exp⎜ i k ⎟ .
∑
⎝ 2 ⎠ 2 k =0
⎝ 2 ⎠
(3.4.20)
Дифференцируя это выражение по частоте ω , и переходя к пределу с ω → 0 ,
получаем:
1 ∂ψˆ
1 ∂ϕˆ 1 M −1
1 M −1
ˆ
=
g
+
ϕ
(
0
)
∑ k
∑ k gk .
i ∂ω ω→ 0 2i ∂ω 0 2 k = 0
8 k =0
Здесь множитель ϕ̂(0) отличен от нуля:
ϕˆ (0) =
∞
∫ dx ϕ( x ) = 1 .
−∞
Следовательно, с учетом уже найденного уравнения (3.4.18) условие (3.4.19)
приводит к новому уравнению:
M −1
∑ k gk = 0 .
(3.4.21)
k =0
Подобным же образом можно видеть, что условия (3.4.16) для остальных n
сводятся к уравнениям
M −1
∑
k =0
k n gk = 0 ,
или, в силу (3.4.12),
194
M −1
∑
k =0
( −1) k k n hk = 0 .
(3.4.22)
Количество уравнений в системе (3.4.22) может быть тем больше, чем больше
величин hk надлежит определить на основе всех перечисленных выше
требований.
Отметим, что общие методы определения величин hk и gk достаточно
сложны; для изучения таких методов следует обратиться к книгам [1–3].
Вейвлет Добеши DМ при М = 2 совпадает с обычным вейвлетом Хаара
(3.4.13). Однако при M > 2 масштабирующие функции Добеши ϕ(x),
представляющие собой решения функционального уравнения (3.4.2),
оказываются намного более сложными, чем ступенька Хаара ϕ H (x ) , – такие
решения уже не могут быть получены в аналитическом виде. Поэтому и
вейвлеты DМ, определяемые через масштабирующую функцию формулой
(3.4.11), при M > 2 не имеют аналитического представления. Тем не менее, как
масштабирующие функции ϕ(x) так и вейвлеты Добеши ψ(x) с любой
требуемой точностью можно найти численно. Алгоритм вычисления ϕ(x) тесно
связан с алгоритмом быстрого вейвлет-преобразования. Такие алгоритмы мы
рассмотрим в следующих разделах, а здесь просто ограничимся изображением
графиков функций Добеши ϕ(x) и ψ(x) для М = 4.
Рис. 3.6, a – график масштабирующей ϕ-функции Добеши D4,
b – график вейвлета Добеши D4. Эти функции определяются четырьмя (М = 4)
величинами (3.4.14). Каждая из функций Добеши имеет компактный носитель
длиной M–1; здесь M–1 = 3. На рис. 3.5 были изображены масштабированные и
смещенные вдоль оси x копии ϕ-функции Добеши D4 с длиной носителя в
полторы единицы.
195
3.5 Быстрое вейвлет-преобразование
В этом разделе мы убедимся, что формализм кратномасштабного анализа
позволяет построить алгоритм быстрого вычисления коэффициентов
аппроксимации S j , k и коэффициентов детализации W j , k , который не требует
знания явного вида масштабирующих и вейвлетных функций (ϕ и ψ), а также
не требует явного вычисления интегралов (3.3.8) и (3.3.13).
Заметим, что ϕ -функция произвольного уровня j с помощью
соотношения (3.4.2) может быть разложена по ϕ -функциям более детального
уровня j – 1:
ϕ j , k ( x ) ≡ 2 − j / 2 ϕ( 2 − j x − k ) =
=2
− ( j −1) / 2
M −1
∑
l =0
hl ϕ( 2( 2 − j x − k ) − l ) ,
то есть
ϕ j,k ( x ) =
M −1
∑ h l ϕ j −1 , 2k + l ( x )
.
(3.5.1)
l =0
Применив эту формулу к ϕ -функции под знаком интеграла в выражении (3.3.8)
для коэффициентов аппроксимации
∞
∫ dx z ( x ) ϕ j,k ( x ) ,
S j,k =
k = 0,±1,±2, ... ,
−∞
получим:
S j,k =
M −1
∑ hl
l =0
S j −1 , 2k + l ,
(3.5.2)
Таким образом, коэффициенты аппроксимации S j , k произвольного уровня j
могут быть найдены в форме линейных комбинаций коэффициентов
аппроксимации предыдущего уровня, j –1. Аналогичный вывод справедлив и
для коэффициентов детализации (3.3.13)
W j,k =
∞
∫ dx z ( x ) ψ j,k ( x ) ,
−∞
196
представляющих собой результат дискретного вейвлет-преобразования сигнала
z(x). Действительно, применяя здесь для ψ -функции разложение (3.4.11),
получим по аналогии с (3.5.1):
ψ j,k ( x ) =
M −1
∑
l =0
gl ϕ j −1 , 2k + l ( x ) .
(3.5.3)
В результате, величины W j , k на любом уровне j принимают вид линейных
комбинаций коэффициентов аппроксимации предыдущего, более детального
уровня j − 1 :
W j,k =
Таким образом,
M −1
∑
l =0
g l S j −1 , 2k + l .
k = 0,±1,±2, ...
(3.5.4)
если задать значения коэффициентов аппроксимации
нулевого уровня ( S0, k ), то с помощью формул (3.5.2) и (3.5.4), не прибегая к
вычислению интегралов < ϕ1, k , z > и < ψ1, k , z > , можно найти коэффициенты
аппроксимации S1, k и коэффициенты детализации W1, k первого, более грубого
уровня. Затем, подставив
значения S1, k опять в формулы (3.5.2) и (3.5.4),
можно найти S 2, k , W2, k ; и так далее – вплоть до некоторого максимального
уровня
j = J. Этот алгоритм вычислений называется
преобразованием или
быстрым вейвлет-
декомпозицией (разложением) сигнала. Обратное
преобразование, позволяющее по совокупности величин S j , k и W j , k с
номерами уровней j = 1, 2, ..., J восстановить начальную последовательность
S0, k , называется реконструкцией (восстановлением) сигнала.
Для точного задания начальных коэффициентов S0, k следует вычислить
интегралы вида
S 0, k =
∞
∫ dx z ( x ) ϕ( x − k ) ,
k = 0,±1,±2, ... .
(3.5.5)
−∞
Однако на практике это вычисление не является необходимым. Дело в том, что
сигнал z(x) обычно измеряется с ограниченной точностью, и поэтому в
большинстве случаев достаточно исходить из приближенных значений S0, k .
197
Будем считать, что сигнал задается последовательностью отсчетов zk = z(xk) с
дискретными значениями аргумента xk = kΔx Выберем шаг Δx в качестве
единицы измерения переменной x, так что xk = k, причем весь интервал
значений переменной x будет величиной, много большей единицы. Если
измерение сигнала проведено с достаточно высокой частотой дискретизации, то
значения zk с близкими номерами k мало отличаются друг от друга. Значения
ϕ(x–k), напротив, быстро меняются с ростом k, причем каждая из функций
ϕ(x–k) обращается в нуль вне своего носителя δx , равного по порядку
величины всего нескольким единицам. Это позволяет оценивать величины
(3.5.5) по формуле
S 0, k ≈ z k
∞
∫ dx ϕ( x − k ) .
−∞
Поскольку оставшийся здесь интеграл в силу условия (3.4.5) равен единице,
формула для коэффициентов аппроксимации начального (наиболее детального)
уровня принимает вид:
S 0, k ≈ z k .
В практической реализации быстрого вейвлет-преобразования существенным
оказывается также тот факт, что исходная числовая последовательность zk
содержит конечное число элементов N. Как будет видно далее, удобно
выбирать это число равным двум в той или иной целой степени L. Таким
образом, мы будем далее считать, что исходными данными для быстрого
вейвлет-преобразования служат величины
S 0, k = z k ,
где k = 0, 1, ..., N − 1 ;
N = 2L .
(3.5.6)
При вычислении коэффициентов аппроксимации S1, k первого уровня по
формуле (3.5.2), мы сталкиваемся с вопросом о значениях сигнала
S0,2 k + l = z2 k + l , номер которых выходит за пределы диапазона 0, ... , N − 1.
Естественное решение этого вопроса заключается в периодическом
доопределении сигнала: zk + N = zk . Будем рассматривать сигналы, а также
базисные ψ- и ϕ -функции, как векторы в линейном пространстве с конечной
размерностью N. Тогда начальные значения S0, k приобретают смысл
компонент N-мерного вектора сигнала | Z > по отношению к N-мерному
ортонормированному базису нулевого уровня | ϕ0, k > ,
198
Z ≡
N −1
∑
k =0
S0, k ϕ 0, k ,
(3.5.7)
а коэффициенты первого уровня S1, k и W1, k можно трактовать как компоненты
того же самого вектора | Z >
ортонормированному базису:
Z
по отношению к другому N-мерному
( N / 2 ) −1
∑
=
S1, k ϕ1, k
k =0
+
( N / 2 ) −1
∑ W1,k
ψ1, k .
k =0
(3.5.8)
Здесь каждая из последовательностей S1, k и W1, k содержит в два раза меньше
элементов, чем исходная последовательность S0, k . На следующем шаге
аналогичный переход к новому базису совершается в N / 2 -мерной « ϕ -части»
вектора (3.5.8),
( N / 2 ) −1
∑
k =0
S1, k ϕ1, k
=
( N / 4 ) −1
∑
S 2, k ϕ 2 , k
k =0
+
( N / 4 ) −1
∑ W2,k
k =0
ψ 2, k .
(3.5.9)
И так далее:
( N / 2 j −1 ) −1
∑
k =0
S j −1, k ϕ j −1, k
=
( N / 2 j ) −1
∑
k =0
S j ,k ϕ j, k
+
( N / 2 j ) −1
∑ W j,k
k =0
ψ j, k .
(3.5.10)
Умножив скалярно обе стороны равенства (3.5.10) на орт | ϕ j, n > или | ψ j, n > ,
получим:
S j,n =
W j,n =
( N / 2 j −1 ) −1
∑
S j −1, k
k =0
( N / 2 j −1 ) −1
∑
k =0
ϕ j , n ϕ j −1, k
S j −1, k ψ j , n ϕ j −1, k
⎫
, ⎪
⎪
⎬
⎪
.⎪
⎭
(3.5.11)
Согласно общей теории линейных преобразований (см. раздел 1.1.1) скалярные
произведения < ϕ j , n | ϕ j −1, k > , < ψ j , n | ϕ j −1, k > должны составить матрицу
ортогонального преобразования. Мы знаем также, что значениями этих
скалярных произведений служат нуль и числа hl , gl , поскольку базисные орты
соседних уровней j связаны соотношениями (3.5.1) и (3.5.3):
199
ϕ j,n =
ψ j,n =
M −1
⎫
hl ϕ j −1 , 2n + l , ⎪
⎪
⎬
g l ϕ j −1 , 2n + l .⎪
⎪⎭
∑
l =0
M −1
∑
l =0
(3.5.12)
В отличие от соотношений (3.5.1) и (3.5.3), относящихся к бесконечномерному
пространству функций, суммы в разложениях (3.5.12) должны содержать М
ортов из фиксированного списка базисных векторов | ϕ j −1 , 0 > , ... ,
| ϕ j −1 , N j −1 −1 > , где N j −1 = N / 2 j −1 – размерность пространства аппроксимации
уровня j − 1 . Это означает, что в суммах (3.5.12) должна использоваться
циклическая нумерация ортов – вслед за ортом | ϕ j −1 , N j −1 −1 > с максимальным
номером идет первоначальный орт | ϕ j −1 , N j −1 > ≡ | ϕ j −1 , 0 > , и так далее. Тогда
каждая строка матрицы преобразования (3.5.11) будет содержать, наряду с
нулевыми элементами, все М коэффициентов hl (для вычисления S j , n ) или М
коэффициентов gl (для вычисления W j , n ).
Если
предполагается
выполнять
обратное
преобразование
(реконструкцию), то процесс прямого преобразования (декомпозицию)
не следует продолжать после того шага, на котором длина строки указанной
матрицы уменьшается до значения М; этим условием определяется
максимальный уровень декомпозиции j = J. Действительно, до тех пор, пока
размер матрицы скалярных произведений ортов не станет меньше M × M,
каждый шаг с переходом от одной системы ортов к другой системе ортов
является обратимым.
Чтобы получить формулу обратного преобразования, достаточно
скалярно умножить обе стороны равенства (3.5.10) на орт | ϕ j −1, n > :
S j −1, n =
( N / 2 j ) −1
∑
k =0
S j , k ϕ j −1, n ϕ j , k
+
( N / 2 j ) −1
∑ W j,k
k =0
ϕ j −1,n ψ j ,k .
(3.5.13)
Согласно общей теории ортогональных преобразований (см. раздел 1.1.1)
матрица скалярных произведений в (3.5.13) равна транспонированной матрице
преобразования (3.5.11).
Для ясности приведем явное описание указанных матриц на двух
последних шагах декомпозиции в случае с M = 4 . Следует иметь ввиду, что
при перестановке строк ортогональность строк (как и ортогональность
столбцов) в матрицах ортогональных преобразований не нарушается, поэтому
200
на практике встречаются различные варианты расстановки строк в таких
матрицах, отличающиеся друг от друга циклической перестановкой. С учетом
этого замечания формулы (3.5.11) на предпоследнем шаге декомпозиции при
М = 4 можно записать следующим образом:
⎛ S J −1,0 ⎞ ⎛ h0
⎜
⎟ ⎜
⎜ S J −1,1 ⎟ ⎜ 0
⎜S
⎟ ⎜ 0
⎜ J −1,2 ⎟ ⎜
⎜ S J −1,3 ⎟ ⎜ h2
⎜W
⎟ = ⎜g
J
,
1
0
−
⎜
⎟ ⎜ 2
⎜ WJ −1,1 ⎟ ⎜ g 0
⎜W
⎟ ⎜
⎜ J −1,2 ⎟ ⎜ 0
⎜
⎟ ⎜
⎝ WJ −1,3 ⎠ ⎝ 0
h1
0
h2
h0
h3
h1
0
h2
0
h3
0
0
0
0
0
h0
h1
h2
h3
g3
0
0
0
0
0
0
0
0
h0
g0
g1
0
g2
g0
g3
g1
0
g2
0
g3
0
0
0
0
0
g0
g1
g2
0 ⎞ ⎛ S J − 2,0 ⎞
⎟
⎟ ⎜
0 ⎟ ⎜ S J − 2,1 ⎟
h3 ⎟ ⎜ S J − 2,2 ⎟
⎟
⎟ ⎜
h1 ⎟ ⎜ S J − 2,3 ⎟
g1 ⎟ ⎜ S J − 2,4 ⎟
⎟
⎟ ⎜
0 ⎟ ⎜ S J − 2 ,5 ⎟
⎟
⎜
0 ⎟ ⎜ S J − 2,6 ⎟
⎟
g 3 ⎟⎠ ⎝⎜ S J − 2,7 ⎟⎠
Последний шаг прямого вейвлет-преобразования имеет вид:
⎛ S J ,0 ⎞ ⎛ h0
⎜
⎟ ⎜
⎜ S J ,1 ⎟ ⎜ h2
⎜W ⎟ = ⎜ g
⎜ J ,0 ⎟ ⎜⎜ 2
⎜W ⎟
⎝ J ,1 ⎠ ⎝ g 0
h1
h2
h3
g3
g1
h0
g0
g2
h3 ⎞
⎟
h1 ⎟
g1 ⎟
⎟
g 3 ⎟⎠
⎛ S J −1,0 ⎞
⎜
⎟
⎜ S J −1,1 ⎟
⎜S
⎟.
⎜ J −1,2 ⎟
⎜S
⎟
⎝ J −1,3 ⎠
Результат декомпозиции обычно представляют вектором W с числом
компонент N, равным числу компонент в исходном сигнале Z . В качестве
первых двух компонент ( w0 и w1 ) результирующего вектора W принято
выбирать коэффициенты аппроксимации S J ,0 и S J ,1 , найденные на последнем,
самом грубом уровне J процесса декомпозиции. Следующие две компоненты
– коэффициенты детализации WJ ,0 и WJ ,1 этого же уровня. Затем идут четыре
коэффициента детализации WJ −1,0 , ... , WJ −1,3 предпоследнего уровня J – 1.
Вслед за ними – восемь коэффициентов детализации уровня J – 2, и так далее;
завершают эту последовательность N / 2 коэффициентов детализации первого
уровня W1,0 , W1,2 , ... , W1,N / 2 −1 . Такая компоновка результата декомпозиции
применена, в частности, во встроенной функции вейвлет-преобразования D4 в
популярном пакете математических программ Mathcad.
В рассматриваемом примере первый шаг обратного преобразования
(реконструкции сигнала) в матричной форме запишется следующим образом:
201
⎛ S J −1,0 ⎞ ⎛ h0
⎜
⎟ ⎜
⎜ S J −1,1 ⎟ ⎜ h1
⎜S
⎟ = ⎜h
J −1,2
⎜
⎟ ⎜⎜ 2
⎜S
⎟
⎝ J −1,3 ⎠ ⎝ h3
h2
g2
h3
h0
h1
g3
g0
g1
g0 ⎞
⎟
g1 ⎟
g2 ⎟
⎟
g 3 ⎟⎠
⎛ S J ,0 ⎞
⎜
⎟
⎜ S J ,1 ⎟
⎜W ⎟ .
⎜ J ,0 ⎟
⎜
⎟
⎝ WJ ,1 ⎠
Здесь преобразованию подвергаются только первые четыре компоненты
вектора результата W . На втором шаге реконструкции используются
следующие четыре компоненты из W вместе с четырьмя коэффициентами
аппроксимации, восстановленными на первом шаге:
⎛ S J − 2,0 ⎞ ⎛ h0
⎟ ⎜
⎜
S
⎜ J − 2,1 ⎟ ⎜ h1
⎟ ⎜h
⎜S
J − 2, 2
⎟ ⎜ 2
⎜
⎜ S J − 2,3 ⎟ ⎜ h3
⎟=⎜ 0
⎜S
⎜ J − 2, 4 ⎟ ⎜
⎜ S J − 2 ,5 ⎟ ⎜ 0
⎟ ⎜
⎜S
⎜ J − 2, 6 ⎟ ⎜ 0
⎟ ⎜
⎜
⎝ S J − 2, 7 ⎠ ⎝ 0
0
0
0
0
g2
g3
0
0
0
g0
g1
0
0
0
0
h0
h2
h3
0
0
0
h0
h1
h2
g2
g3
0
g0
g1
g2
h3
0
h1
h2
0
h0
0
g0
0
0
g3
0
0
h3
h1
g1
0
0
⎞ ⎛ S J −1,0 ⎞
⎟
⎟⎜
S
⎟ ⎜ J −1,1 ⎟
0 ⎟ ⎜ S J −1,2 ⎟
⎟
⎟⎜
0 ⎟ ⎜ S J −1,3 ⎟
g 0 ⎟ ⎜WJ −1,0 ⎟
⎟
⎟⎜
g1 ⎟ ⎜ WJ −1,1 ⎟
⎟
⎜
g 2 ⎟ ⎜WJ −1,2 ⎟
⎟
g 3 ⎟⎠ ⎝⎜ WJ −1,3 ⎠⎟
0
0
Таким образом, на очередном шаге восстановления вейвлет-коэффициенты
W j , k из W комбинируются с коэффициентами аппроксимации S j ,k , вычисленными на предыдущем шаге.
Процесс восстановления завершается
получением всех N величин S0,0 , ... , S0, N −1 нулевого уровня, представляющих
собой значения восстановленного сигнала z0 , ..., z N −1 . Более детальное
описание алгоритма разложения и восстановления дискретных сигналов на
основе быстрого вейвлет-преобразования Добеши приведено в приложении 1.
Часто в качестве общего случая рассматривают вейвлет-преобразование
дискретной аппроксимации S0, k сигналов z(x) бесконечной длины ( S0, k = zk ,
где k = 0, ± 1, ± 2,... ). Изменив обозначения индексов суммирования и
не указывая явно значение М длины последовательностей hk, gk, можно
записать формулы быстрого вейвлет-преобразования (3.5.2) и (3.5.4) для
сигналов в пространстве бесконечной размерности следующим образом:
S j,k =
∞
∑ h n − 2k S j −1 , n
n = −∞
202
,
k = 0,±1,±2, ... .
(3.5.14)
W j,k =
∞
∑
g n − 2 k S j −1 , n ,
k = 0,±1,±2, ... .
(3.5.15)
n = −∞
Ввиду некоторого сходства этих выражений с алгоритмом цифрового фильтра
(1.4.54) последовательности коэффициентов hk и gk часто также называют
«фильтрами». Чтобы получить формулу обратного дискретного вейвлетпреобразования в пространстве бесконечной размерности заметим, что
основное соотношение кратномасштабного анализа
Pˆ j −1z ( x ) = Pˆ j z ( x ) +
∞
∑ W j ,l ψ j ,l ( x )
l = −∞
можно представить в виде:
∞
∑
S
l = −∞
j −1, l
ϕ j −1, l ( x ) =
∞
∑
S
l = −∞
ϕ j, l ( x) +
j, l
∞
∑ W j ,l ψ j ,l ( x )
.
(3.5.16)
l = −∞
Умножив обе стороны этого равенства на функцию ϕ j −1, k ( x ) и интегрируя по x
от − ∞ до ∞ , получим:
∞
∑
S
l = −∞
j −1, l
< ϕ j −1, k , ϕ j −1, l > =
+
∞
∑
S
l = −∞
∞
j, l
< ϕ j −1, k , ϕ j , l > +
∑ W j,l < ϕ j −1,k ψ j,l >
.
l = −∞
Учитывая теперь свойство ортогональности функций ϕ j −1, k ( x ) одного и того
же уровня, и пользуясь равенствами типа (3.5.1), (3.5.3), связывающими
базисные функции соседних уровней, придем к соотношению
S j −1, k =
∞
∑
hk − 2l S
l = −∞
j, l
+
∞
∑
l = −∞
g k − 2l W j , l ,
k = 0, ± 1, ± 2, ... .
(3.5.17)
Это и есть формула обратного дискретного вейвлет-преобразования. Она
показывает, как по известным коэффициентам S j , k и W j , k произвольного
уровня j восстанавливать последовательность коэффициентов аппроксимации
S j −1, k более детального уровня при любой длине этой последовательности.
203
3.6 Построение графиков функций Добеши
Для того чтобы определить алгоритм количественного построения
масштабирующей функции ϕ(x), рассмотрим в роли сигнала z(x) саму функцию
ϕ(x). В этом случае коэффициенты аппроксимации (3.3.8) и коэффициенты
детализации (3.3.13) принимают вид
S j,k =
W j,k =
∞
∫ dx ϕ( x ) ϕ j,k ( x ) ,
(3.6.1)
−∞
∞
∫ dx ϕ( x ) ψ j,k ( x ) .
(3.6.2)
−∞
Заметим, что для уровней j = 0,−1,−2,... вейвлет-коэффициенты (3.6.2) равны
нулю. Действительно, поскольку функция ϕ(x) принадлежит нулевому уровню,
она ортогональна как к вейвлетам нулевого уровня так и ко всем более
«мелким» вейвлетам – принадлежащим отрицательным уровням. Таким
образом, в данном случае
j = 0,−1,−2,... ,
W j , k = 0 при
(3.6.3)
и, следовательно, формула восстановления (3.5.17) сводится к соотношению
S j −1, k =
∞
∑
hk − 2l S
l = −∞
,
j, l
j = 0,−1,−2,... .
(3.6.4)
В силу ортонормированности ϕ -функций нулевого уровня начальные
значения коэффициентов аппроксимации (3.6.1) равны δ0,k :
S 0, k =
∞
∞
∫ dx ϕ( x ) ϕ0,k ( x ) = ∫ dx ϕ0,0 ( x ) ϕ0,k ( x ) = δ0, k .
−∞
(3.6.5)
−∞
Подставив (3.6.5) в правую часть формулы восстановления (3.6.4), получим
S −1, k =
∞
∑
hk − 2l S 0, l =
l = −∞
204
∞
∑
hk − 2l δ 0, l = hk .
l = −∞
(3.6.6)
Отсюда видно, что процесс восстановления масштабирующей функции ϕ(x)
можно начинать с задания М коэффициентов S −1, k = hk .
Выясним роль восстанавливаемых таким образом коэффициентов (3.6.1)
при j → −∞ . Заметим, что длина носителя функции ϕ j , k ( x ) ≡ 2 − j / 2 ϕ(2 − j x − k )
равна ( M − 1) ⋅ 2 j – эта величина стремится к нулю в пределе с j → −∞ .
Учитывая еще, что интеграл от ϕ j , k ( x ) по x равен 2 j / 2 , мы можем сказать, что
в пределе с
j → −∞ функция ϕ j , k ( x ) имеет характер дельта-функции,
умноженной на 2 j / 2 :
ϕ j , k ( x ) ≈ 2 j / 2 δ( x − 2 j k ) при − j >> 1 .
(3.6.7)
Следовательно, в рассматриваемом пределе равенство (3.6.1) принимает вид
S j , k ≈ 2 j / 2 ϕ( 2 j k ) ,
− j >> 1 .
Таким образом, по коэффициентам S j , k можно найти приближенные значения
искомой функции ϕ(x ) в точках xk = 2 j k :
ϕ( 2 j k ) ≈ 2 − j / 2 S j , k ≡ F− j ( 2 j k ) .
(3.6.8)
Здесь приближенные значения ϕ( x ) на уровне детализации j мы обозначили как
F− j ( x ) ; при − j → ∞ функция F− j ( x ) стремится к ϕ(x ) . Вместо
отрицательного номера уровня детализации j теперь удобно ввести
положительный номер u ≡ − j (номер приближения). Пользуясь такими
обозначениями и учитывая результат первого приближения (3.6.6), можно
переписать формулу восстановления (3.6.4) следующим образом:
Fu ( k / 2u ) = 2
∞
∑
hk − 2l Fu −1 (l / 2u −1 ) , u = 2, 3, 4,... , (3.6.9)
l = −∞
где
F1 ( l / 2 ) = 2 h l .
Функция Fu ( x ) ≈ ϕ( x ) с ростом номера приближения u все более точно
воспроизводит искомую функцию ϕ( x ) . Одновременно, с ростом этого номера
уменьшается разность Δx = xk +1 − xk = 2 − u
205
соседних значений аргумента
xk = k / 2u и тем самым возрастает плотность точек на оси x, для которых
становятся известными значения ϕ( x ) .
После того, как будет найдено достаточно много значений
масштабирующей функции ϕ(k / 2u ) , можно приступить к вычислению
материнского вейвлета ψ(x). Такое вычисление легко выполнить
непосредственно по формуле (3.4.11), пользуясь найденными значениями ϕ(x).
Более подробное описание алгоритма, позволяющего находить функции
Добеши ϕ и ψ с различным числом h-коэффициентов М, приведено в
приложении 2.
Полученные с помощью указанного алгоритма графики функций ϕ(x) и
ψ(x) для M = 4 были изображены в разделе 3.4 на рис. 3.6. Ниже представлены
аналогичные графики для M = 6, 8, 10, 12 .
Рис. 3.7. Графики масштабирующей функции ϕ(x ) и вейвлета ψ(x ) типа
D6 (функции Добеши с числом h-коэффициентов M = 6 ).
Рис 3.8. Графики масштабирующей функции ϕ(x ) и вейвлета ψ(x ) типа
D8 (функции Добеши с числом коэффициентов M = 8 ).
206
Рис. 3.9. Графики масштабирующей функции ϕ( x ) и вейвлета ψ( x ) типа
D10 (функции Добеши с числом коэффициентов M = 10 ).
Рис. 3.10. Графики масштабирующей функции ϕ(x ) и вейвлета ψ(x ) типа
D12 (функции Добеши с числом коэффициентов M = 12 ).
С ростом числа h-коэффициентов М, определяющих функции Добеши,
увеличивается длина носителя этих функций и, что важно, улучшаются их
свойства регулярности. Так, при минимальном числе коэффициентов (М = 2)
функции Добеши представляют собой разрывные ступеньки Хаара. При М = 4
вейвлет Добеши ψ(x) уже непрерывен, но еще не является дифференцируемой
функцией. Следующий вейвлет, D6, непрерывен и обладает первой
производной, хотя его график содержит пока еще довольно резкие «пики».
Вейвлет D8 имеет более высокую степень гладкости, чем вейвлет D6; и так
далее.
Интересно отметить, что нарушение гладкости вейвлета D4 носит
своеобразный, «фрактальный» характер (о понятии фрактала см., например, в
207
[16]). Эта особенность функции Добеши проиллюстрирована на рис. 3.11, где с
возрастающим увеличением изображены фрагменты графика вейвлета D4
вблизи точки x = 0,5.
Рис. 3.11, a – график вейвлета Добеши D4; прямоугольником выделена
область, в которой вычисление производится со все возрастающей степенью
детализации («увеличение» изображения). b – при увеличении изображения
вблизи точки x = 0,5 становится заметным присутствие некоторой особенности.
c – дальнейшее увеличение показывает, что в точке x = 0,5 производная может
быть определена только слева, так как правее этой точки наблюдается целый
каскад аналогичных особенностей. d – еще большее увеличение выявляет
присутствие подобных особенностей на все меньших масштабах.
Приведенные рисунки позволяют также заметить, что графики вейвлетов
Добеши характеризуются существенной асимметрией. Тщательный анализ
показывает [1], что несмотря на значительную свободу в выборе
коэффициентов hk, определяющих вид масштабирующей функции и связанного
с ней материнского вейвлета, ортонормированные вейвлеты с компактным
носителем не могут обладать произвольно высокой регулярностью и при этом
иметь симметричную форму.
208
3.7 Койфлеты
Напомним, что процесс быстрого вейвлет-преобразования сигнала z(x)
начинается с задания коэффициентов аппроксимации S0, k начального
(мелкомасштабного) уровня, причем на практике вместо точного вычисления
этих коэффициентов по формуле (3.5.5) прибегают к приближенному
соотношению S0, k ≈ zk . Погрешность, связанная с этим приближением, может
быть заметно снижена, если в быстром вейвлет-преобразовании
воспользоваться койфлетами – разновидностью вейвлетов Добеши ψ(x ) , у
которых равные нулю моменты имеет не только материнская функция ψ(x ) , но
и масштабирующая функция ϕ(x ) :
∞
∫ dx x
n
ψ(x ) = 0 ,
n = 0, ... , 2 K − 1 .
(3.7.1)
∫ dx x
n
ϕ(x ) = 0 ,
n = 1, ... , 2 K − 1 .
(3.7.2)
−∞
∞
−∞
∞
∫ dx ϕ(x )
= 1.
(3.7.3)
−∞
Число нулевых моментов материнского койфлета обычно выбирается четным и
поэтому оно здесь записано в виде 2 K (где K = 1, 2, ... ). Термин «койфлет»
введен И. Добеши [1] в связи с именем математика Р. Койфмана, обратившего
внимание на существенную роль нулевых моментов масштабирующей
функции.
Роль нулевых моментов масштабирующей функции можно пояснить
следующим образом. Пусть сигнал z (x ) вблизи каждой точки xk = k допускает
разложение в ряд по степеням x − k :
z ( 2 K −1) (k )
z ( x ) = z ( k ) + z ′(k )( x − k ) + ... +
( x − k ) 2 K −1 + ... .
(2 K − 1)!
(3.7.4)
Умножим (3.7.4) на функцию ϕ( x − k ) и проинтегрируем по x, чтобы в
соответствии с формулой (3.5.5) получить коэффициенты S0, k :
∞
S 0, k
∞
= z (k ) ∫ dx ϕ( x − k ) + z ′( k ) ∫ dx ( x − k ) ϕ( x − k ) + ... .
−∞
−∞
209
(3.7.5)
В силу (3.7.3) первое слагаемое в получившемся выражении равно величине
z ( k ) ≡ zk . Следующие слагаемые, содержащие производные сигнала до
(2 K −1) -го порядка включительно, вследствие требований (3.7.2) обращаются в
нуль. В результате, благодаря нулевым моментам (3.7.2), поправки к равенству
S0,k = zk определяются только старшими членами степенного ряда (3.7.4); в
случае достаточно гладких сигналов z (x ) старшие члены малы и ими можно
полностью пренебречь.
Койфлеты, как и вейвлеты Добеши DM, задаются своими
коэффициентами hk; метод их определения изложен в книге Добеши [1]. Для
вычисления койфлетов можно воспользоваться алгоритмом реконструкции
функций Добеши (см. раздел 3.6 и приложение 2). Найденные этим способом
графики койфлетов и их масштабирующих функций показаны на рис. 3.12–3.16.
Рис. 3.12. Графики масштабирующей функции ϕ( x ) и койфлета ψ( x ) при
K = 1 . Число нулевых моментов (3.7.1) койфлета равно 2K. Длина носителя
койфлета ψ( x ) и функции ϕ( x ) составляет 6K–1.
Рис. 3.13. Графики масштабирующей функции ϕ(x ) и койфлета ψ(x ) при
K = 2.
210
Рис. 3.14. Графики функции ϕ( x ) и койфлета ψ( x ) при K = 3 .
Рис. 3.15. Графики функции ϕ( x ) и койфлета ψ( x ) при K = 4 .
Рис. 3.16. Графики масштабирующей функции ϕ( x ) и койфлета ψ( x ) при
K = 5. Следует отметить, что койфлеты обладают более высокой симметрией,
чем обычные вейвлеты Добеши, показанные на рис. 3.6–3.10.
211
3.8 Сплайн-вейвлеты
По сравнению с обычными вейвлетами Добеши койфлеты обладают
намного более симметричной формой, но все же их симметрия не идеальна (см.
раздел 3.7). Для построения совершенно симметричных вейвлетов можно
отказаться от требования ортогональности базисных функций, принадлежащих
одному и тому же уровню детализации. В данном разделе мы рассмотрим
примеры именно таких вейвлетов ψ(x ) , для которых смещенные копии
ψ( x − k ) , k = 0,±1,±2,... , не обладают свойством взаимной ортогональности.
Начнем с некоторого обобщения уже известных нам уравнений кратномасштабного анализа (КМА).
Пусть ϕ(x ) – масштабирующая функция нулевого уровня, порождающая
КМА. Будем исходить из утверждения [2], что каждая из вдвое более «высокочастотных» функций ϕ( 2 x − l ) допускает представление в виде линейной
суперпозиции ϕ-функций нулевого уровня ϕ( x − k ) и уточняющих деталей,
пропорциональных вейвлетам нулевого уровня ψ( x − k ) . Коэффициенты такого
разложения можно обозначить как al − 2k , bl − 2k , и тогда оно запишется в виде:
ϕ( 2 x − l ) =
∞
∑ ( a l − 2k ϕ( x − k )
k = −∞
+ b l − 2 k ψ( x − k )
),
l = 0,±1,±2,... . (3.8.1)
Применим эту формулу в выражении (3.3.9) для аппроксимации сигнала z (x )
на произвольном уровне j:
Pˆ j z ( x ) =
=
∞
∑
l = −∞
∞
∑ S j, l 2− j / 2
l = −∞
=
∞
S j, l ϕ j, l ( x) =
∞
∑
l = −∞
S j , l 2 − j / 2 ϕ(2( 2 − j −1 x ) − l ) =
∑ ( a l − 2k ϕ(2 − j −1 x − k )
∞
k = −∞
∞
∑ ∑ S j, l 21 / 2 ( a l − 2k ϕ j +1,k ( x )
k = −∞ l = −∞
Сравнивая правую
соотношением КМА
Pˆ j z ( x ) =
сторону
∞
∑
)
+ b l − 2k ψ( 2 − j −1 x − k ) =
+ b l − 2k ψ j +1,k ( x )
получившегося
S j +1, k ϕ j +1, k ( x ) +
k = −∞
212
∞
)
.
равенства
с
∑ W j +1, k ψ j +1, k ( x )
k = −∞
основным
,
(3.8.2)
получаем формулы быстрого вейвлет-преобразования (декомпозиции сигнала)
в терминах введенных выше коэффициентов an и bn :
S j +1, k =
∞
1/ 2
∑2
l = −∞
W j +1, k =
al − 2 k S j , l ,
∞
∑ 21 / 2 bl − 2k
l = −∞
S j , l . (3.8.3)
Этот вывод основан на предположении о линейной независимости функций
ϕ j , k ( x ) , ψ j , k ( x ) , которая в случае ортонормированного базиса является
прямым следствием ортогональности базисных функций. В отсутствие
ортогональности базисных функций их линейная независимость не является
очевидной и требует доказательства; такое доказательство, а так же ряд других
подробностей математического характера можно найти в книгах [1,2].
Чтобы
получить
теперь
формулы
быстрого
восстановления
(реконструкции) коэффициентов аппроксимации S j −1, l уровня j − 1 по
коэффициентам аппроксимации S j , l и детализации W j , l более грубого уровня
j , воспользуемся разложениями (3.4.1) и (3.4.7) для масштабирующей
функции ϕ(x) и материнского вейвлета ψ(x):
∞
ϕ(x ) = 21 / 2
∑ h l ϕ(2 x − l ) ,
(3.8.4)
l = −∞
∞
1/ 2
ψ(x ) = 2
∑
g l ϕ( 2 x − l ) .
(3.8.5)
l = −∞
Применение таких разложений в правой части основного соотношения КМА
дает после несложных выкладок:
Pˆ j −1z ( x ) =
=
∞
∞
∑
S j, k ϕ j, k ( x ) +
k = −∞
∞
∑ ∑ ( S j, k h l
+ W
k = −∞ l = −∞
=
∞
∞
∑ ∑ ( h l − 2k S j, k
l = −∞ k = −∞
∞
∑ W j, k ψ j, k ( x)
=
k = −∞
j, k
)
g l ϕ j −1, 2k + l ( x ) =
)
+ g l − 2k W j , k ϕ j −1, l ( x ) .
213
Сравнив полученное выражение с разложением аппроксимации сигнала на
уровне j − 1 по базисным функциям этого же уровня,
Pˆ j −1z ( x ) =
∞
∑
S j −1, l ϕ j −1, l ( x ) ,
l = −∞
приходим к искомой формуле восстановления величин S j −1, l :
S j −1, l =
∞
∑ ( h l − 2k S j, k
k = −∞
)
+ g l − 2k W j , k .
(3.8.6)
Таким образом, в общем случае быстрое вейвлет-разложение и быстрое
восстановление определяются различными наборами коэффициентов: в
формулах разложения (3.8.3) используются последовательности an и bn из
соотношения (3.8.1), умноженные на 21 / 2 , а в формуле восстановления (3.8.6)
применяется пара последовательностей hn , g n из (3.8.4)–(3.8.5).
Кроме того, следует иметь в виду, что неортогональный вейвлетный
базис ψ j, k является фреймом, не совпадающим с двойственным ему фреймом
~
ψ
(понятие двойственного фрейма пояснялось в разделе 1.1). Поэтому
j, k
вейвлет-коэффициенты W j , k , возникающие в формулах (3.8.2)– (3.8.3) или в
разложении сигнала с конечной энергией по базису ψ j, k ,
z( x) =
∞
∞
∑ ∑ W j,k ψ j,k ( x ) ,
(3.8.7)
j = −∞ k = −∞
представляют собой результат дискретного вейвлет-преобразования сигнала
~ ( x) :
z (x ) относительно двойственных вейвлетов ψ
j,k
~ ,z >.
W j ,k = < ψ
j, k
(3.8.8)
~
В свою очередь, коэффициенты W j ,k разложения сигнала по двойственным
~ ( x) ,
вейвлетам ψ
j ,k
z( x) =
∞
∞
~
∑ ∑ W j,k ψ~ j,k ( x ) ,
j = −∞ k = −∞
214
(3.8.9)
можно трактовать как результат вейвлет-преобразования сигнала z (x ) с
~ ( x) :
вейвлетами ψ j ,k ( x ) , двойственными по отношению к ψ
j ,k
~
W j ,k = < ψ j , k , z > .
Базисные вейвлеты
биортогональности
ψ j,k ( x )
~ ( x)
ψ
j ,k
и
(3.8.10)
удовлетворяют
~
< ψ j, k , ψ
j ′, k ′ > = δ j j ′ δk k ′
условию
(3.8.11)
и «принципу двойственности», согласно которому при замене базиса ψ j ,k ( x )
~ ( x ) пары последовательностей ( 21 / 2 a , 21 / 2 b ) и ( h , g ) меняются
на ψ
j ,k
n
n
n
n
ролями [2].
Перейдем к конкретным примерам, рассматривая в качестве
масштабирующей функции ϕ(x ) В-сплайны различного порядка. В-сплайн
N m ( x ) порядка m представляет собой кусочно-полиномиальную функцию,
определенную рекуррентной формулой
1
N m ( x ) = ∫ dy N m −1 ( x − y ) ,
m = 2,3,4,... ,
(3.8.12)
0
где
⎧1 , 0 ≤ x < 1 ,
N1 ( x ) = ϕ H ( x ) ≡ ⎨
⎩0 , x < 0, x ≥ 1.
(3.8.13)
Исходя из этого определения, нетрудно выписать явные выражения для
нескольких первых сплайнов N m (x ) :
0 ≤ x <1,
⎧x ,
⎪
N 2 ( x ) = ⎨2 − x , 1 ≤ x < 2 ,
⎪ 0 , x < 0, x ≥ 2 .
⎩
(3.8.14)
⎧ x2 / 2 ,
0 ≤ x <1,
⎪ 2
⎪ − x + 3x − 3 / 2 , 1 ≤ x < 2 ,
N3 ( x) = ⎨ 2
⎪ x / 2 − 3x + 9 / 2 , 2 ≤ x < 3 ,
⎪⎩ 0 , x < 0, x ≥ 3 .
(3.8.15)
215
⎧ x3 / 6 ,
⎪ 3
2
⎪⎪ − x / 2 + 2 x − 2 x + 2 / 3 ,
N 4 ( x ) = ⎨ x 3 / 2 − 4 x 2 + 10 x − 22 / 3 ,
⎪− x 3 / 6 + 2 x 2 − 8 x + 32 / 3 ,
⎪
⎪⎩ 0 , x < 0, x ≥ 4 .
0 ≤ x <1,
1≤ x < 2 ,
2 ≤ x < 3,
3≤ x < 4,
(3.8.16)
С учетом определения В-сплайна 1-го порядка (3.8.13) значения функций
N m (x ) можно вычислить также с помощью тождества
N m ( x) =
x
m−x
N m −1 ( x ) +
N m −1 ( x − 1) .
m −1
m −1
(3.8.17)
В частности, для целочисленных точек k = 1,..., n справедливы равенства:
N n +1 ( k ) =
k
n − k +1
N n (k ) +
N n ( k − 1) ,
n
n
N 2 ( k ) = δk ,1 .
(3.8.18)
Можно показать, что сплайны N m (x ) удовлетворяют тождеству
N m ( x) =
m
∑
pl N m (2 x − l ) ,
l =0
(3.8.19)
где коэффициенты pl зависят от порядка сплайна m и определяются формулой:
m!
⎛m⎞
pl = 2 − m +1 ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 − m +1
,
l ! ( m − l )!
⎝l⎠
l = 0, ..., m .
(3.8.20)
Тождество (3.8.19) своим видом напоминает уравнение (3.8.4) для
масштабирующей функции ϕ(x ) , что и позволяет использовать сплайн N m (x ) в
качестве масштабирующей функции, порождающей кратномасштабный анализ.
Следуя [2], введем в рассмотрение сплайн-вейвлет ψ m (x ) порядка m
посредством соотношения, аналогичного разложению (3.8.5) материнского
вейвлета ψ(x ) по ϕ-функциям:
ψm ( x) =
3m − 2
∑ ql N m (2 x − l ) .
l =0
216
(3.8.21)
Здесь коэффициенты ql (зависящие от m) вычисляются с применением
соотношений (3.8.18) по формуле:
ql =
( −1) l
m
∑
2 m −1 k = 0
⎛m⎞
⎜⎜ ⎟⎟ N 2 m (l + 1 − k ) ,
⎝k⎠
l = 0, 1, ..., 3m − 2 .
(3.8.22)
Результаты расчета коэффициентов pl и ql по формулам (3.8.20) и (3.8.22) для
линейных сплайнов (то есть при m = 2 ), квадратичных ( m = 3 ) и кубических
( m = 4 ) приведены в следующей таблице:
Табл. 3.1
l
pl
0 1/2
1 1
2 1/2
3
4
5
6
7
8
9
10
m=2
ql
1/12
-1/2
5/6
-1/2
1/12
pl
1/4
3/4
3/4
1/4
m=3
ql
1/480
-29/480
147/480
-303/480
303/480
-147/480
29/480
-1/480
pl
1/8
1/2
3/4
1/2
1/8
m=4
ql
1/8!
-124/8!
1677/8!
-7904/8!
18482/8!
-24264/8!
18482/8!
-7904/8!
1677/8!
-124/8!
1/8!
Видно, что каждая из последовательностей pl и ql обладает определенной
симметрией, облегчающей вычисление этих величин.
Длина носителя для сплайна N m (x ) конечна и равна m, поэтому число
отличных от нуля коэффициентов pl в (3.8.19) есть m + 1 . Поскольку сплайнвейвлет (3.8.21) является линейной комбинацией 3m − 1 сплайнов N m ( 2 x − l ) ,
его носитель также имеет конечную длину; она равна 2m − 1.
В силу определений (3.8.12)–(3.8.13) и (3.8.21)–(3.8.22) сплайн-вейвлет
ψ m (x ) при m = 1 совпадает с вейвлетом Хаара. При m ≥ 2 вычисление
масштабирующих сплайн-функций N m (x ) и материнских сплайн-вейвлетов
ψ m (x ) можно выполнить не только по приведенным выше явным формулам,
но и с помощью рассмотренного в приложении 2 алгоритма вычисления
функций Добеши; соответствующая модификация этого алгоритма описывается
в приложении 3. Графики масштабирующих В-сплайнов и связанных с ними
материнских сплайн-вейвлетов порядка 2, 3 и 4 приведены на рис 3.17–3.19.
217
Рис. 3.17. Графики масштабирующей сплайн-функции ϕ( x ) = N m ( x ) и
сплайн-вейвлета ψ( x ) = ψ m ( x ) порядка m = 2 .
Рис. 3.18. Сплайн-функция ϕ и сплайн-вейвлет ψ порядка m = 3 .
Рис. 3.19. Сплайн-функция ϕ и сплайн-вейвлет ψ порядка m = 4 .
218
Приведенные рисунки позволяют заметить, что в отличие от
ортогональных вейвлетов с компактным носителем сплайн-вейвлеты
ψ( x ) = ψ m ( x ) , также обладающие компактным носителем, но не имеющие
свойства ортогональности, характеризуются идеальной симметрией. Точнее
говоря, при четном m сплайн-вейвлет является четной функцией аргумента
x − b , где b – центр носителя; при нечетном m сплайн-вейвлет представляет
собой нечетную функцию аргумента x − b .
Следует также отметить, что графики сплайн-вейвлетов ψ m (x ) при m ≥ 3
имеют близкое сходство с графиками функций
⎛ − ( x − b) 2 ⎞ ⎧sin ( ω ( x − b) ) для нечетного m ,
C
⎟⋅⎨
exp ⎜
G( x) =
(3.8.23)
⎜
⎟ ⎩ cos ( ω ( x − b) ) для четного m ,
4
a
2 πa
⎝
⎠
при подходящем выборе параметров C, a, b, ω . Так, для m = 3 неплохое
совпадение указанных графиков наблюдается при C = 0,68 , a = 0,23 , b = 2,5 ,
ω = 5,1 , для m = 4 – при C = −0,48 , a = 0,29 , b = 3,5 , ω = 5,1 . Функции (3.8.23)
качественно совпадают с мнимой и вещественной частью вейвлета Морле.
Для того чтобы применять быстрое вейвлет-преобразование с
неортогональными вейвлетами в практических задачах анализа и обработки
сигналов, необходимо знать численные значения коэффициентов 21 / 2 a n и
21 / 2 bn , входящих в соотношения (3.8.1). К сожалению, в случае сплайнвейвлетов последовательности этих коэффициентов бесконечны, так что
приходится иметь дело лишь с их усеченными версиями, ограничиваясь
приближенным вейвлет-разложением. Естественно, в этом случае
восстановление сигнала также не будет точным. Метод расчета коэффициентов
an, bn и усеченные последовательности их значений для наиболее часто
применяемых линейных и кубических сплайнов ( m = 2 и m = 4 ) приведены в
книге Чуи [2].
Мы можем воспользоваться значениями an, bn из [2] для реализации
дискретного вейвлет-преобразования со сплайн-вейвлетами на основе
алгоритма, рассмотренного в приложении 1 в связи с вейвлетами Добеши.
Изменения, которые с данной целью следует ввести в этот алгоритм, указаны в
приложении 4.
Если поменять ролями пары последовательностей pn, qn и an, bn, то
~,
можно аналогичным образом работать со сплайн-вейвлетами ψ
двойственными к исходным сплайн-вейвлетам ψ. Подобную замену допускает
и упомянутый в приложении 3 алгоритм вычисления сплайн-функций ϕ, ψ , –
~, ψ
~ , двойственные по
при этом результатом вычислений будут функции ϕ
219
~, ψ
~ , найденных этим способом,
отношению к ϕ, ψ . Графики функций ϕ
изображены на рис. 3.20–3.21.
~( x ) и вейвлет ψ
~ ( x ) порядка m = 2 ,
Рис. 3.20. Масштабирующая функция ϕ
двойственные по отношению к исходным сплайн-функциям, изображенным на
рис. 3.17.
~( x ) и вейвлет ψ
~ ( x ) порядка m = 4 ,
Рис. 3.21. Масштабирующая функция ϕ
двойственные по отношению к исходным сплайн-функциям, изображенным на
рис. 3.19.
Так как в используемом нами алгоритме вычисления вейвлетных
функций нумерация коэффициентов h l и g l ведется с нуля, то все графики
оказываются центрированными вблизи значений аргумента x ~ M / 2 , где М –
количество коэффициентов. Из формул (3.8.4)–(3.8.5) можно видеть, что для
смещения центра материнских вейвлетов и масштабирующих функций к
меньшим значениям их аргумента следовало бы пользоваться не только
положительными, но и отрицательными номерами: l = 0,±1,±2,... .
220
3.9 Вейвлеты и фильтрация сигналов
К числу важных применений быстрой вейвлет-декомпозиции и
реконструкции относится фильтрация сигнала – очистка сигнала от «шума»,
помех или иных составляющих, которые в контексте конкретной задачи
оказываются лишними. Примером подобной обработки служит процесс
«сжатия» информации о сигнале, заключающийся в том, что перед
реконструкцией сигнала приравниваются нулю те его вейвлет-коэффициенты,
которые по абсолютной величине не превышают заранее заданного порогового
значения. Такие пороги могут быть различными на разных уровнях
детализации j, причем выбор их оптимальных значений зависит от
особенностей конкретного сигнала z(x) и представляет собой самостоятельную
задачу. В данном разделе мы проиллюстрируем один из более простых методов
вейвлетной фильтрации, который позволяет выделять из сигнала только
низкочастотные компоненты (образующие так называемый тренд сигнала).
Предположим, что в роли интересующего нас низкочастотного тренда
сигнала z(x) можно взять его грубую аппроксимацию – проекцию этого сигнала
PˆJ z ( x ) в некоторое «пространство аппроксимации» с достаточно большим
номером J > 1. Пусть номер начального уровня детализации принят за нуль:
J0 = 0. Тогда в рамках метода быстрого вейвлет-преобразования символу Pˆ0 z ( x )
соответствует исходная совокупность дискретных значений сигнала,
принимаемых согласно равенству (3.5.6) в качестве коэффициентов
аппроксимации начального уровня: S0, k = zk . Заметим теперь, что формула
кратномасштабного анализа (3.3.14), которая связывает аппроксимации
различных уровней с вейвлет-разложением сигнала, прямо ведет к следующему
выражению для искомой аппроксимации PˆJ z ( x ) :
PˆJ z ( x ) = Pˆ0 z ( x ) −
J
∞
∑ ∑ W j,k ψ j,k ( x ) ,
(3.9.1)
j =1 k = −∞
где ψ j, k – вейвлеты в выбранной схеме КМА, W j , k – соответствующие
вейвлет-коэффициенты сигнала z(x). Равенство (3.9.1) показывает, что для
получения искомой аппроксимации сигнала на уровне J достаточно исключить
из начальной аппроксимации все вейвлет-компоненты сигнала на уровнях
детализации j = 1, ... , J .
Таким образом, если выполнить быстрое вейвлет-разложение начальной
аппроксимации сигнала до произвольного уровня Jmax > J (получив тем самым
221
коэффициенты аппроксимации S j , k и детализации W j , k на уровнях
j = 1, ... , J max ) и затем произвести точную реконструкцию (обратное
преобразование), то мы просто вернемся к исходным данным о сигнале,
S0, n = zn . Однако, если перед реконструкцией приравнять нулю коэффициенты
W j , k уровней j = 1, ... , J , то в результате процесса реконструкции мы получим
новый набор данных S0( ,Jn) ≡ Rn , представляющий собой дискретную версию
профильтрованного сигнала PˆJ z ( x ) ≡ R( x ) .
Для иллюстрации этого метода фильтрации попробуем выделить
низкочастотную компоненту из двухчастотного сигнала z(x), который уже был
изображен на рис. 3.1, a в разделе 3.3 в связи с обсуждением понятия кратномасштабного анализа:
z ( x ) = sin( 2 πx ) + 0,4 ⋅ sin(32 πx ) .
(3.9.2)
Сначала мы воспользуемся функциями Хаара – самыми простыми и удобными
для пояснения сути кратномасштабного анализа на учебном уровне, а затем
применим функции Добеши, позволяющие получать гораздо более
качественные результаты.
На рис. 3.22–3.23 приведены графики реконструированного сигнала
(3.9.2) после его вейвлет-преобразования с помощью алгоритма, указанного в
приложении 1; этот алгоритм включает возможность фильтрации сигналов
путем приравнивания нулю вейвлет-коэффициентов перед выполнением
реконструкции сигнала. Следует отметить, что используемое нами количество
дискретных значений сигнала (N = 1024) достаточно велико для того, чтобы
при построении графиков не делать различия между дискретным (zn , Rn) и
непрерывным представлением функций z(x), R(x).
222
Рис. 3.22, a – график исходного сигнала z(x), представляющего собой
сумму двух гармонических колебаний (3.9.2). Выборка из 1024 дискретных
значений этого сигнала подвергалась быстрому вейвлет-преобразованию Хаара
c девятью уровнями детализации (Jmax = 9). Перед восстановлением вейвлеткоэффициенты уровней j = 1,…, J приравнивались нулю, поэтому результатом
«восстановления» является новый, профильтрованный сигнал R(x). Рис. b –
сигнал R(x) при выборе J = 2. В этом случае имеется лишь малозаметное
количественное различие между z(x) и R(x); тем самым, кстати сказать,
иллюстрируется возможность вейвлетного метода «сжатия» сигнала без
привнесения в сигнал заметных искажений. Рис. c – сигнал R(x) при J = 3,
223
d – сигнал R(x) при J = 4, e – сигнал R(x) при J = 5 (здесь и далее сигнал R(x)
изображен жирной линией, а тонкой линией для сравнения представлен график
исходного сигнала z(x)); видно, что уже появились искажения высокочастотной
синусоиды, но она пока еще не отфильтрована. Рис. f – сигнал R(x) при J = 6;
в этом случае, как и на рис. 3.1, b в разделе 3.3, наблюдается усреднение
высокочастотной компоненты – имеет место фильтрация, в результате которой
образуется ступенчатая аппроксимация низкочастотной составляющей (тренда)
нашего двухчастотного сигнала. Рис. g – сигнал R(x) при J = 7, h – сигнал R(x)
при J = 8; видно, что с ростом номера J (то есть с ростом количества нулевых
вейвлет-коэффициентов) ступенчатая аппроксимация тренда становится все
более грубой.
Приведенная на рис. 3.22, b–h последовательность ступенчатых
аппроксимаций R(x) сигнала (3.9.2) иллюстрирует представление о кратномасштабном анализе, порожденном масштабирующей ϕ-функцией Хаара. Ниже
дается аналогичная иллюстрация аппроксимирующих свойств ϕ-функции
Добеши D4, выгодно отличающейся от функции Хаара наличием
непрерывности.
224
Рис. 3.23, a – функция R(x), реконструированная после быстрого вейвлетразложения D4 сигнала z(x) (3.9.2), показанного на рис. 3.22, a. Перед
реконструкцией вейвлет-коэффициенты уровней j = 1, … , J, где J = 3,
приравнивались нулю. В случае с J ≤ 3 имеется лишь малозаметное различие
между исходным сигналом z(x) и его «сжатой» версией R(x), причем следует
обратить внимание на то, что функции Добеши обеспечивают более высокое
качество сигнала R(x), чем функции Хаара на том же уровне J = 3 (см.
рис. 3.22, c). На следующих рисунках приведены графики сигналов R(x),
полученные с другими значениями J: b – при J = 4, c – при J = 5, d – при J = 6,
e – при J = 7, f – при J = 8. Тонкие линии на фоне жирных изображают график
исходного сигнала z(x). Видно, что при J ≥ 6 в результате такой реконструкции
возникает некоторая аппроксимация низкочастотной компоненты исходного
сигнала z(x); ее качество оказывается наилучшим при J = 6. На основе
подобных же вычислений легко убедиться, что с более гладкими и
симметричными масштабирующими функциями качество аппроксимаций
можно существенно повысить.
Покажем теперь, что метод вейвлетной фильтрации пригоден и в случае
более сложных сигналов. Для примера рассмотрим результаты вейвлетфильтрации прежнего двухчастотного сигнала z(x), но на этот раз с примесью
«шумовой» компоненты:
z ( x ) = sin( 2 πx ) + 0,4 ⋅ sin(32 πx ) + 0,6 ⋅ rand ( x ) .
(3.9.3)
Здесь функция rand ( x ) принимает случайные значения в интервале [–1,1].
Функции Хаара, очевидно, бесполезны для очистки сигнала от шума, так как
даже в отсутствие шума они не обеспечивали удовлетворительной формы
профильтрованного сигнала; поэтому мы начнем сразу с применения функций
Добеши. На рис. 3.24, b–d представлены результаты фильтрации сигнала (3.9.3)
на основе вейвлетов Добеши D4, e–h – аналогичные данные, полученные с
вейвлетами D8, i–k – с койфлетами порядка 2K = 10.
225
226
Рис. 3.24, a – график исходного зашумленного сигнала z(x) (3.9.3); b–d
– графики сигнала R(x), реконструированного после быстрого вейвлетразложения D4 до уровня Jmax = 9. Перед реконструкцией вейвлеткоэффициенты уровней j = 1, … , J приравнивались нулю. На различных
рисунках помещены графики R(x) при разных значениях номера J: b – при
J = 4, c – при J = 5, d – при J = 6. На следующих рисунках (e–h) изображены
графики сигнала R(x), реконструированного после быстрого вейвлетразложения D8 до уровня Jmax = 8. Перед реконструкцией приравнивались нулю
вейвлет-коэффициенты уровней j = 1, … , J с разными значениями номера J:
e – при J = 3, f – при J = 4, g – при J = 5, h – при J = 6. Наконец, на рисунках
i–k показаны графики сигнала R(x), реконструированного после койфлетдекомпозиции c K = 5 до уровня Jmax = 6. Перед реконструкцией
приравнивались нулю коэффициенты детализации на уровнях j = 1, … , J с
разными значениями номера J: i – при J = 4, k – при J = 5.
Видно, что выбирая подходящие вейвлеты и задаваясь определенным
уровнем J, до которого приравниваются нулю вейвлет-коэффициеты W j , k ,
можно добиться вполне удовлетворительной фильтрации. Так, на рис. 3.24, f–g
мы видим сигнал R(x), полученный с применением вейвлетов Добеши D8,
который вполне напоминает своим видом двухчастотный сигнал (3.9.2),
освобожденный от примеси высокочастотных шумовых составляющих.
Рис. 3.24, i–k позволяет заметить, что качество такой очистки сигнала z(x) от
высокочастотного шума можно еще улучшить, если вместо вейвлетов D8
воспользоваться койфлетами достаточно высокого порядка. Графики на
рис. 3.24, d, h иллюстрируют возможность выделения почти неискаженного
низкочастотного тренда из сигнала (3.9.3), содержащего шумовую компоненту
значительной амплитуды. Естественно, этот метод фильтрации не позволяет
полностью избавиться от искажений сигнала R(x), так как низкочастотные
составляющие, из которых формируется результирующий сигнал R(x),
присутствуют не только в полезной части входного сигнала z(x), но и в шуме.
227
Заключение
Подводя итог, мы приходим к безусловному выводу, что вейвлеты
являются мощным инструментом в самых разных задачах анализа и
преобразования временных рядов. Необходимо также отметить, что в
современной практике задействовано намного больше разновидностей
вейвлетов и вейвлетного преобразования, чем приведено в нашем сравнительно
элементарном рассмотрении, а сфера их применения не ограничивается только
контекстом «обработки временных сигналов».
Так, очевидно, что математический аппарат фурье-анализа и вейвлетпреобразования применим к функциям z(x) безотносительно к физической
интерпретации аргумента x. В частности, если переменная x имеет смысл
пространственной координаты, то эти же методы анализа позволяют выявлять
спектральные и локальные особенности исследуемой функции z(x) на
различных масштабах длин волн. Кроме того, фурье-преобразование и вейвлетпреобразование обобщаются на функции двух (или более) переменных. Массив
цифровых данных о яркости и цвете каждой точки (пикселя) какого-либо
изображения – один из примеров «сигнала» z(x,y), заданного на двумерном
пространстве с координатами x и y. Вейвлеты предоставляют замечательные
возможности по обработке такого сигнала z(x,y) с целью его сжатия (упаковки),
очистки от помех, реконструкции или многомасштабного анализа, и поэтому
двумерное вейвлет-преобразование широко используется в компьютерных
программах обработки изображений [14].
Аналогичным образом в роли «изображения» z, зависящего от нескольких
координат, можно рассматривать пространственное распределение той или
иной физической величины – начиная от микроскопической картины
электронной плотности атомов на поверхности полупроводниковой
наноструктуры, наблюдаемой с помощью туннельного микроскопа, и до
крупномасштабной структуры плотности материи во Вселенной, получаемой из
астрофизических наблюдений. Вейвлет-преобразование представляется
эффективным средством исследования любых сложных структур. Обладая
большими потенциальными возможностями и постоянно совершенствуясь,
вейвлет-анализ сегодня находит применение в самых разных областях
практической и научной деятельности – в метеорологии, экономике, медицине,
биологии, физике, радиосвязи, компьютерной графике, криминалистике, и
множестве других.
228
Приложение 1. Алгоритм вейвлет-преобразования на основе
функций Добеши
К настоящему времени создано много компьютерных программ,
позволяющих решать разнообразные задачи вейвлетного анализа. Обзор
наиболее известных математических пакетов с «инструментами» вейвлетной
обработки сигналов можно найти, например, в книге Малла [3] и в учебниках
[12, 13]. В профессиональных программах для повышения скорости
вычислений вейвлет-преобразование выполняется с помощью достаточно
сложных алгоритмов, включающих технику БФП (быстрое преобразование
Фурье). Как правило, механизм таких вычислений не виден пользователям
программного обеспечения и поэтому не доступен для его изучения и
модификации.
В приложениях 1–4 данного пособия приведены несложные алгоритмы
дискретного вейвлет-преобразования, которыми читатель может воспользоваться в своих первых экспериментах. Для простоты эти алгоритмы не
включают никаких мер по оптимизации вычислений и проверке результатов.
Описание алгоритмов приведено на «языке» популярной программы Mathcad,
почти не отличающемся от традиционных правил записи формул, принятых в
математической литературе.
Последовательность вычислений задается «документом», состоящим из
строк со стандартным описанием необходимых математических операций.
Главное правило состоит в том, что величины, входящие в то или иное
выражение, должны быть определены в нем самом или в предыдущих
выражениях. Символ : = означает, что переменной, стоящей левее этого
символа, присваивается значение выражения, напечатанного правее. Символ =
означает, что числовое значение переменной слева от этого символа будет
выведено на экран – оно автоматически напечатается в документе справа от
этого символа при исполнении команды «вычислить рабочий лист». В процессе
подготовки такого документа можно копировать, вставлять или удалять любую
его область – примерно так, как при работе с обычным редактором текстов.
Поэтому вместо программирования некоторых «циклов» известной длины
достаточно в документе поместить друг за другом требуемое количество копий
соответствующего участка алгоритма. Необходимость такого повторения мы
отмечаем в комментариях. При этом подразумевается, что для реализации
подобного цикла на другом языке программирования надо будет явно указать
требуемые переходы средствами выбранного языка; вычисление сумм также
потребует организации отдельных циклов. В любом месте нашего документа
могут располагаться текстовые области с комментариями. Для удобства мы
будем выделять начало и конец комментария с помощью двойных косых
скобок //.
229
Перед тем как приступить к вейвлет-преобразованию, надо запастись
числовым массивом какого-либо сигнала zn = z(xn). Поэтому мы начнем с
документа, в котором описывается формирование числового массива,
соответствующего формуле сигнала (3.9.2).
// Начало документа «Двухчастотный сигнал z(x)» //
// Для примера, создадим массив Z, содержащий N = 1024 значений функции
z ( x ) = sin( 2πx ) + 0,4 ⋅ sin(32 πx ) на интервале x ∈ [0,1] //
N := 1024
// задали значение числа точек N //
n := 0..N–1
// вычислим величины, зависящие от n = 0, 1, … , N–1 //
n
xn :=
// это элементы массива значений аргумента x //
N
Z n := sin(2 ⋅ π ⋅ xn ) + 0.4 ⋅ sin(32 ⋅ π ⋅ xn )
// элементы массива Z //
// Запишем массив Z в текстовый файл с именем C:\Work\signal.txt //
WRITEPRN(“C:\Work\signal.txt”) := Z
// Конец документа //
Для проведения вейвлет-преобразования DM, основанного на вейвлетах
Добеши (см. разделы 3.4–3.5), следует создать текстовые файлы с числовыми
значениями «коэффициентов фильтра» hk. В каждый такой файл надо
поместить один столбец значений hk, где k = 0, 1, ... , M–1. Число M –
количество коэффициентов hk заданного типа; это число должно быть четным,
причем мы будем подразумевать, что M ≥ 4 . Имя файла c коэффициентами hk
может быть любым; так, для файла с h-коэффициентами преобразования D4
подойдет имя C:\Work\D4_h.txt.
Для М от 4 до 12 значения коэффициентов hk , заимствованные из книги
Добеши [1], приведены в табл. П1.1:
Табл. П1.1
k
0
1
2
3
M=4
0.4829629131445341
0.8365163037378077
0.2241438680420134
-0.1294095225512603
k
0
1
2
3
M=6
0.3326705529500825
0.8068915093110924
0.4598775021184914
-0.1350110200102546
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
230
M=10
0.1601023979741929
0.6038292697971895
0.7243085284377726
0.1384281459013203
-0.2422948870663823
-0.0322448695846381
0.0775714938400459
-0.0062414902127983
-0.0125807519990820
0.0033357252854738
4 -0.0854412738820267
5 0.0352262918857095
k
0
1
2
3
4
5
6
7
M=8
0.2303778133088964
0.7148465705529154
0.6308807679398587
-0.0279837694168599
-0.1870348117190931
0.0308413818355607
0.0328830116668852
-0.0105974017850690
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
M=12
0.1115407433501095
0.4946238903984533
0.7511339080210959
0.3152503517091982
-0.2262646939654400
-0.1297668675672625
0.0975016055873225
0.0275228655303053
-0.0315820393174862
0.0005538422011614
0.0047772575109455
-0.0010773010853085
Ниже приводится описание алгоритма вейвлет-декомпозиции и
реконструкции сигнала с «очисткой от шума» на основе вейвлетов Добеши с
M ≥ 4.
// Начало документа «Обработка сигнала с помощью вейвлетов Добеши» //
// 1. Чтение сигнала из текстового файла. //
Z := READPRN(“C:\Work\signal.txt”)
// Подразумевается, что число элементов в массиве Z равно двум в некоторой
целой степени L, то есть N = 2 L . Если предстоит работать с другим сигналом,
то после чтения из файла массива Z необходимо выполнить следующие
действия по формированию длины N сигнала. //
N := length(Z)
⎛ ln( N ) ⎞
L := floor⎜⎜
⎟⎟
⎝ ln(2) ⎠
N := 2 L
// число элементов в прочитанном массиве Z //
// целая часть логарифма N по основанию 2 //
// новое значение N; оно не превышает исходного
значения. В нашем конкретном примере N = 1024. //
// 2. Чтение коэффициентов фильтра h из текстового файла, подготовка к
декомпозиции сигнала. //
h := READPRN(“C:\Work\D4_h.txt”)
// для примера взяли случай D4 //
M := length(h)
// количество h-коэффициентов, четное число ≥ 4 .//
231
// Вычислим номер Jmax максимально допустимого уровня декомпозиции//
⎛ ln( M − 1) ⎞
J max := L − floor⎜⎜
// floor() означает взятие целой части //
⎟⎟
⎝ ln(2) ⎠
// Выводим на экран значение Jmax //
Jmax =
// Внимание! Если Jmax < 1, то работать не удастся – мала длина сигнала. //
m := 0..M – 1
// цикл вычисления g-коэффициентов //
g m := ( −1) m ⋅ hM −1− m
// Определяем значения вспомогательных величин. //
j := 0
K := N
k := 0..K–1
// начальный уровень детализации //
//K – текущее количество коэффициентов аппроксимации Sk//
// цикл формирования начальной последовательности Sk //
Sk := Z k
k := 0..M – 3
// проводим «периодическое» удлинение массива Sk. //
S K + k := S k
// 3. Начало шага декомпозиции. Этот шаг вычислений должен выполняться
Jmax раз. В данном тексте этот шаг приводится один раз, но в реальном
документе должно присутствовать Jmax его копий. //
j := j + 1
// обновили текущее значение уровня детализации //
// Выведем на экран значения j и Jmax //
j=
Jmax =
// Если j > Jmax, то следует перейти к выполнению пункта 4 (см. ниже) //
K
2
k := 0..K – 1
K :=
// обновили текущее значение K //
// цикл вейвлет-декомпозиции //
WK + k :=
Sk :=
M −1
∑
m =0
M −1
∑
m =0
g m ⋅ S 2⋅k + m
hm ⋅ S2⋅k + m
// коэффициенты детализации //
// коэффициенты аппроксимации //
232
// Сохраним значения коэффициентов детализации в массиве w. //
k := K ..2 ⋅ K − 2
// цикл по k от K до 2K–2 с шагом единица //
wk +1 := Wk
wK := W2⋅ K −1
k := 0..M – 3
// «периодическое» доопределение значений Sk //
S K + k := S k
// Конец шага декомпозиции. //
// 4. Формирование вектора результата W с компонентами wk. //
k := 0..K – 1
wk := Sk
// первые M / 2 элементов wk равны Sk на уровне Jmax //
// В случае D4 полученный вектор результата w совпадает с результатом
встроенной в Mathcad функции вейвлет-преобразования Добеши wave(Z). //
// Запишем массив w в текстовый файл с именем C:\Work\result_w.txt //
WRITEPRN(“C:\Work\ result_w.txt”) := w
// 5. Подготовка к вейвлетной фильтрации сигнала. Реконструкцию с
фильтрацией можно оформить в виде отдельного документа. В таком случае
начальные действия должны включать чтение из текстовых файлов значений hкоэффициентов и результирующего массива w, что позволяет избежать
повторения процесса декомпозиции сигнала перед различными попытками
фильтрации. Однако в данном тексте мы для простоты предполагаем, что
фильтрация и реконструкция следуют непосредственно за декомпозицией, так
что будут использованы те значения необходимых величин, которые
образовались на предыдущих шагах. //
// Для фильтрации сигнала надо задать номер уровня J, определяющего
количество вейвлет-коэффициентов wk, которые обратятся в нуль (это вейвлеткоэффициенты уровней j = 1, …, J). Задаваемое целое число J не должно
превышать Jmax. В нашем примере выберем J=6 при Jmax=9.//
// Для контроля выведем на экран значение Jmax //
Jmax =
J := 6
// задали номер J «уровня фильтрации» //
233
k :=
N
.. N − 1
2J
wk := 0
// цикл приравнивания нулю элементов wk //
// Если фильтрация не нужна, то строку wk = 0 следует удалить или перевести
ее в пассивное состояние командой «disable evaluation», доступной в программе
Mathcad; тогда в результате дальнейших действий произойдет точная
реконструкция исходного сигнала Z. //
// Определяем значения вспомогательных величин. //
P :=
K :=
M −2
2
N
2 J max
wN := 0
k := 0..K–1
// цикл инициализации результирующего массива R //
Rk := wk
j := J max
K
K :=
2
// значение уровня j приравняли максимальному //
// 6. Начало шага реконструкции. Этот шаг вычислений должен выполняться
Jmax раз. В данном тексте этот шаг приводится один раз, но в реальном
документе должно присутствовать Jmax его копий. //
j := j – 1
// обновили номер уровня детализации. //
// Выводим текущее значение j на экран: //
j=
// Если j < 0, то следует перейти к пункту 7 (см. ниже) //
K := 2 ⋅ K
// текущее количество «входных» элементов Sk //
k := 0..P–1
// Формируем «входной» вектор S, на который будет
действовать матрица обратного преобразования. //
S k := RK − P + k
S K + P + k := w2⋅ K − P +1+ k
234
k := 0..K–1
S P + k := Rk
S K + M − 3+ k := wK + k
S2⋅ K + M − 3 := wK
k := 0..K–1
R2⋅k :=
// Цикл реконструкции коэффициентов аппроксимации//
P
∑ (hM − 2 − 2⋅m ⋅ Sk + m
m =0
P
R2⋅k +1 :=
+ g M − 2 − 2⋅m ⋅ S K + P + k + m )
∑ (hM −1− 2⋅m ⋅ Sk + m
m =0
+ g M −1− 2⋅m ⋅ S K + P + k + m )
// Конец шага реконструкции. //
// 7. Реконструкция закончена; ее результатом является массив значений Rn ,
где n = 0, 1, ..., N − 1 . Целесообразно сохранить массив R в текстовом файле и
построить график значений Rn в зависимости от аргумента xn = n / N
исходного сигнала. Здесь мы не приводим явного описания этих действий. //
// Конец документа. //
С помощью данного алгоритма можно выполнять также вейвлетпреобразование D2, то есть преобразование Хаара. Для этого достаточно
воспользоваться следующими значениями h-коэффициентов (в режиме с
числом коэффициентов фильтра M = 4):
h0 =
1
,
2
h1 =
1
,
2
h2 = 0 ,
h3 = 0 .
Соответствующий текстовый файл h-коэффициентов должен иметь вид,
указанный в табл. П1.2:
Табл. П1.2
0.707106781186547
0.707106781186547
0
0
235
Кроме того, рассмотренный алгоритм без каких-либо изменений
пригоден для проведения вейвлет-преобразования с применением койфлетов
(см. раздел 3.7). Койфлеты порядка 2K, как и обычные вейвлеты Добеши,
задаются своими коэффициентами hk. Число этих коэффициентов при заданном
K есть M = 6 K . Для койфлетов с K от 1 до 5 значения коэффициентов hk,
полученные по данным из книги Добеши [1], приведены в табл. П1.3.
Табл. П1.3
K=1
-0.0727326195129
0.337897662458
0.852572020212
0.384864846864
-0.0727329651127
-0.0156557281355
K=2
0.0163873364636
-0.041464936782
-0.0673725547223
0.386110066823
0.81272363545
0.417005184424
-0.0764885990787
-0.0594344186468
0.0236801719465
0.00561143481942
-0.0018232088707
-0.0007205494454
K=3
-0.00379351286449
0.00778259642733
0.0234526961418
-0.0657719112819
-0.0611233900027
0.40517690241
0.793777222626
0.428483476378
-0.0717998216476
-0.0823019271069
0.0345550275731
0.0158805448636
-0.00900797613666
-0.00257451768875
0.00111751877089
0.000466216960113
-7.0983303138e-005
-3.4599772836e-005
K=4
0.000892313668582
-0.0016294920126
-0.00734616632764
0.0160689439648
0.0266823001561
-0.0812666996809
-0.0560773133168
0.41530840703
0.78223893092
0.434386056491
-0.0666274742634
-0.096220442034
0.0393344271233
0.0250822618449
-0.0152117315279
-0.00565828668661
0.00375143615728
0.0012665619293
-0.000589020756244
-0.000259974552488
6.2339034461e-005
3.12298758653e-005
-3.2596802369e-006
-1.7849850031e-006
236
K=5
-0.00021208083982
0.000358589687932
0.00217823635833
-0.0041593587818
-0.0101311175209
0.0234081567882
0.0281680289738
-0.0919200105689
-0.0520431631814
0.421566206733
0.77428960373
0.437991626216
-0.0620359639691
-0.105574208714
0.0412892087543
0.0326835742704
-0.0197617789445
-0.0091642311634
0.00676418544873
0.0024333732129
-0.00166286370218
-0.00063813134311
0.000302259581843
0.000140541149716
-4.134043228e-005
-2.131502681e-005
3.7346551755e-006
2.0637618516e-006
-1.674428858e-007
-9.517657275e-008
Приложение 2. Алгоритм вычисления функций Добеши
// Начало документа «Построение функций Добеши» //
// 1. Чтение коэффициентов фильтра h из текстового файла, подготовка к
вычислению масштабирующей функции ϕ(x). //
h := READPRN(“C:\Work\D4_h.txt”)
// для примера взяли случай D4 //
M := length(h)
// количество h-коэффициентов, четное число ≥ 4 //
k := 0..M − 1
H k :=
1
22
⋅ hk
Gk := ( −1) k H M −1− k
Fk := H k
// значения F искомой ϕ-функции в 1-ом приближении //
// Определяем значения вспомогательных величин. //
M −2
P :=
2
K := P
k := 0..P
// Доопределим массив F нулевыми элементами //
F2⋅ K + 2 + k := 0
u := 1
// начальное значение номера приближения. //
// Задали значение конечного номера приближения. При этом
u max := 9
шаг по аргументу xk , равный Δx = 2 − u max , составит около 2 ⋅ 10− 3 , и в случае
D4 мы получим примерно 1500 значений функции ϕ( xk ) ≅ Fk на ее носителе
длиной M – 1 = 3. //
// 2. Начало шага вычисления следующего приближения. Этот шаг вычислений
должен выполняться u max− 1 раз. В данном тексте этот шаг приводится один
раз, но в реальном документе должно присутствовать u max− 1 его копий. //
u := u + 1
// Обновили текущее значение уровня приближения //
// Выведем на экран значения u и u max : //
u=
u max =
// Если u > u max , то следует перейти к выполнению пункта 3 (см. ниже). //
K := 2 ⋅ K + P + 1
237
k := 0..K
// цикл формирования буферного массива B //
BP + k := Fk
k := 0..K
// Цикл вычисления массива F на текущем уровне u //
F2⋅k :=
P
∑
H M − 2 − 2m ⋅ Bk + m
m =0
P
F2⋅k +1 :=
∑
m =0
H M −1− 2m ⋅ Bk + m
k := 0..P
F2⋅ K + 2 + k := 0
// Конец шага. //
// 3. Вычисление материнского вейвлета ψ(x). //
a := 2u max −1
// вспомогательная константа. //
k max := 2 ⋅ K + 2 + P
// kmax+1 есть количество значений xk аргумента //
// Построим М сдвинутых и масштабированных ϕ-функций Tm, k //
m := 0 .. M − 1
// здесь будет цикл в цикле //
k := 0 .. k max
Tm, k := 0
m := 0 .. M − 1
// Заполнили нулями 2-мерный массив T //
// здесь будет цикл в цикле //
k := 0 .. K + 1
Tm, k + m⋅a := F2⋅k
// значения ϕ-функции //
238
// Найдем массив значений Uk = ψ(xk) материнского вейвлета ψ(x) и
соответствующий массив значений аргумента xk //
k := 0 .. k max
U k :=
M −1
∑ Gm ⋅ Tm,k
m =0
xk := k ⋅ 2 − u max
// Массивы xk, Uk = ψ(xk) и Fk = ϕ(xk), где k = 0, 1, …, kmax, составляют
результат вычислений. Сохраним их в текстовых файлах. //
WRITEPRN(“C:\Work\argument_x.txt”) := x
WRITEPRN(“C:\Work\wavelet.txt”) := U
WRITEPRN(“C:\Work\scal_function.txt”) := F
// Эти массивы пригодны для построения графиков масштабирующей функции
ϕ(x) и вейвлета ψ(x). При этом следует учитывать, что для x < 0 и x > M – 1
значения ϕ(x) и ψ(x) заведомо равны нулю. В программе Mathcad для
построения графиков удобно воспользоваться командой «вставить X-Yграфик». //
// Конец документа. //
Коэффициенты hk, необходимые для построения функций Добеши DM c
M ≥ 4 , были приведены в табл. П1.1.
С помощью этого же алгоритма можно построить койфлеты – надо лишь
воспользоваться коэффициентами hk из табл. П1.3. Койфлет ψ(x) порядка 2K
задается M = 6K коэффициентами hk и имеет компактный носитель длиной
6K–1.
Если мы возьмем коэффициенты hk из табл. П1.2, то получим с помощью
данного алгоритма ступенчатые функции Хаара ϕH(x) и ψH(x).
239
Приложение 3. Алгоритм вычисления сплайн-вейвлетов
Приведенный в приложении 2 алгоритм построения функций Добеши
ϕ(x) и ψ(x) нетрудно приспособить для вычисления сплайнов ϕ( x ) = N m ( x ) и
сплайн-вейвлетов ψ( x ) = ψ m ( x ) (см. раздел 3.8). Все изменения можно свести к
загрузке величин 2 −1 / 2 pk и 2 −1 / 2 qk , соответствующих таблице 3.1 в разделе
3.8, в качестве коэффициентов фильтра hk и g k . Поскольку у коэффициентов
hk и g k индекс k будет принимать одни и те же значения 0,1,..., M − 1 , причем
требуется, чтобы число M было четным, нам придется дополнить последовательности 2 −1 / 2 pk и 2 −1 / 2 qk нулями. Таким образом, для вычислений при
m = 2 следует подготовить два текстовых файла, например, “C:\Work\m2_h.txt”
и “C:\Work\m2_g.txt”, со значениями hk = 2 −1 / 2 pk и g k = 2 −1 / 2 qk из следующей
таблицы:
Табл. П3.1
k
hk
m = 2 (M = 6)
k
0 0.353553390593274
1 0.707106781186547
2 0.353553390593274
3
0
4
0
5
0
0
1
2
3
4
5
gk
0.058925565098879
-0.353553390593274
0.58925565098879
-0.353553390593274
0.058925565098879
0
Аналогично, для m = 3 и m = 4 файлы со значениями h- и g-фильтров должны
содержать данные из таблиц П3.2 и П3.3.
Табл. П3.2
k
0
1
2
3
4
5
6
7
hk
m = 3 (M = 8)
k
0.176776695296637
0.530330085889911
0.530330085889911
0.176776695296637
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
240
gk
0.00147313912747197
-0.0427210346966872
0.21655145173838
-0.446361155624008
0.446361155624008
-0.21655145173838
0.0427210346966872
-0.00147313912747197
Табл. П3.3
k
hk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
m = 4 (M = 12)
k
0.0883883476483184
0.353553390593274
0.530330085889911
0.353553390593274
0.0883883476483184
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
gk
1.75373705651425e-005
-0.00217463395007768
0.0294101704377441
-0.138615376946887
0.324125682784965
-0.425526759392619
0.324125682784965
-0.138615376946887
0.0294101704377441
-0.00217463395007768
1.75373705651425e-005
0
Измененная часть алгоритма построения вейвлетов выглядит следующим
образом.
// Начало документа «Построение В-сплайна и сплайн-вейвлета» //
// 1. Чтение коэффициентов фильтра h и g из текстовых файлов, подготовка
к вычислению масштабирующей функции ϕ(x). //
h := READPRN(“C:\Work\m2_h.txt”)
g := READPRN(“C:\Work\m2_g.txt”)
//для примера взяли случай m=2.//
// количество h- или g-коэффициентов, четное число ≥ 4 . //
M := length(h)
k := 0..M − 1
H k :=
Gk
1
22
⋅ hk
1
:= 2 2 g
Fk := H k
k
// значения F искомой ϕ-функции в первом приближении //
// Определяем значения вспомогательных величин. //
Далее без изменений следует остальная часть документа «Построение функций
Добеши», приведенного в приложении 2.
241
Приложение 4. Алгоритм вейвлет-преобразования
с применением сплайн-вейвлетов
Для простоты мы ограничимся модификацией алгоритма из
приложения 1. В этом варианте, как и ранее, необходимо обеспечить равенство
длин M для фильтров заданного типа, причем число M должно быть четным.
Подходящие для нашей цели фильтры, соответствующие наиболее часто
применяемым линейным и кубическим сплайнам ( m = 2 и m = 4 ), указаны в
табл. П4.1; они получены по данным из книги Чуи [2].
Табл. П4.1
m = 2 (M = 42)
21 / 2 a n
2 −1 / 2 pn
2 −1 / 2 qn
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.3535533905933
0.7071067811865
0.3535533905933
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0589255650989
-0.3535533905933
0.5892556509888
-0.3535533905933
0.0589255650989
0
0
0
0
0
0
0
0
1.16825212539e-006
-3.19174565999e-006
-4.36000627066e-006
1.19117751719e-005
1.62717870994e-005
-4.44553493706e-005
-6.07271350558e-005
0.0001659096209
0.0002266367574
-0.0006191831370
-0.0008458198944
0.0023108229273
0.0031566428217
-0.0086241085706
-0.0117807513937
0.0321856113582
0.0439663627519
-0.1201183368606
-0.1640846996111
0.4482877360843
0.9659258262887
0.4482877360843
-0.1640846996111
-0.1201183368606
0.0439663627519
0.0321856113582
-0.0117807513937
-0.0086241085706
0.0031566428217
0.0023108229273
-0.0008458198944
-0.0006191831370
242
21 / 2 bn
0
2.3365052407e-006
3.1917462257e-006
-8.7200125413e-006
-1.1911775172e-005
3.2543574199e-005
4.4455347956e-005
-0.0001214542715
-0.0001659096209
0.0004532735161
0.0006191831370
-0.0016916397902
-0.0023108229259
0.0063132856448
0.0086241085706
-0.0235615027861
-0.0321856113568
0.0879327255024
0.1201183368606
-0.3281693992237
-0.4482877360843
1.22474487139097
-0.4482877360843
-0.3281693992237
0.1201183368606
0.0879327255024
-0.0321856113568
-0.0235615027861
0.0086241085706
0.0063132856448
-0.0023108229259
-0.0016916397902
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
−1 / 2
pn
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0883883476483
0.3535533905933
0.5303300858899
0.3535533905933
0.0883883476483
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0002266367574
0.0001659096209
-6.07271350558e-005
-4.44553493706e-005
1.62717870994e-005
1.19117751719e-005
-4.36000627066e-006
-3.19174565999e-006
1.16825212539e-006
0
2
−1 / 2
qn
m = 4 (M = 44)
21 / 2 a n
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.7537370565e-005
-0.0021746339501
0.0294101704377
-0.1386153769469
0.32412568278496
-0.4255267593926
0.32412568278496
-0.1386153769469
0.0294101704377
-0.0021746339501
1.7537370565e-005
0
0
0
0
0
0
0.00116860237376
-0.0022609995061
-0.0021831620910
0.00422395132456
0.00407856289139
-0.0078910842838
-0.0076196834231
0.01474183597774
0.01423653087177
-0.0275393616270
-0.0266093992048
0.0514400200320
0.0498172307369
-0.0960302040734
-0.0939332490569
0.17883783569972
0.18255173709605
-0.3294051652894
-0.3991078551636
0.56664825755828
1.26312302480715
0.56664825755828
-0.3991078551636
-0.3294051652894
0.18255173709605
0.17883783569972
-0.0939332490569
-0.0960302040734
0.0498172307369
0.0514400200320
-0.0266093992048
-0.0275393616270
0.01423653087177
0.01474183597774
-0.0076196834231
243
0.0006191831370
0.0004532735161
-0.0001659096209
-0.0001214542715
4.4455347956e-005
3.2543574199e-005
-1.1911775172e-005
-8.7200125413e-006
3.1917462257e-006
2.3365052407e-006
21 / 2 bn
0
0
0
-0.0036933623202
-0.0035662053343
0.00689986529731
0.00666229932924
-0.0128901961917
-0.0124462670606
0.02408127021130
0.02325100695458
-0.0449886950096
-0.0434300754682
0.08405150391892
0.08107821022137
-0.1570603530695
-0.1510037892634
0.29371920041763
0.27830913596073
-0.5511834862423
-0.4889938832078
1.04948462979203
0.66244958908041
-2.0865229398822
0.66244958908041
1.04948462979203
-0.4889938832078
-0.5511834862423
0.27830913596073
0.29371920041763
-0.1510037892634
-0.1570603530695
0.08107821022137
0.08405150391892
-0.0434300754682
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.0078910842838
0.00407856289139
0.00422395132456
-0.0021831620910
-0.0022609995061
0.00116860237376
0
0
0
-0.0449886950096
0.02325100695458
0.02408127021130
-0.0124462670606
-0.0128901961917
0.00666229932924
0.00689986529731
-0.0035662053343
-0.0036933623202
Каждый из столбцов этой таблицы, соответствующий фиксированному
значению m, следует поместить в отдельный текстовый файл. Имена файлов
должны напоминать нам об их содержании, поэтому для m = 2 мы включим в
такие имена символы типа m2_p, m2_q, m2_a, m2_b. Для m = 4 символ m2
надо заменить на m4.
В обработке сигнала с помощью сплайн-вейвлетов заданного порядка m
на этапе декомпозиции в качестве h- и g-фильтров используются величины
21 / 2 an и 21 / 2 bn для выбранного m, а на этапе реконструкции роль h- и g-
фильтров выполняют величины 2 −1 / 2 pn и 2 −1 / 2 qn для того же значения m. В
приведенном ниже алгоритме такая смена данных обеспечивается
соответствующим переопределением массивов h и g. При этом формулы
декомпозиции и реконструкции имеют тот же вид, что и в документе
приложения 1.
// Начало документа «Сплайн-вейвлетная обработка сигнала» //
// 1. Чтение сигнала из текстового файла. //
Z := READPRN(“C:\Work\signal.txt”)
// Число N элементов в массиве Z должно быть равно двум в некоторой целой
степени L, то есть N = 2 L . При работе с другим сигналом важно после чтения
из файла массива Z выполнить следующие действия по формированию длины N
сигнала. //
N := length(Z)
⎛ ln( N ) ⎞
L := floor⎜⎜
⎟⎟
ln(2)
⎝
⎠
L
N := 2
// число элементов в прочитанном массиве Z //
// целая часть логарифма N по основанию 2 //
// новое значение N; оно не превышает исходного
значения. В нашем примере пусть N = 1024. //
244
// 2. Чтение фильтров из текстовых файлов, подготовка к декомпозиции
сигнала. //
h := READPRN(“C:\Work\m4_a.txt”)
g := READPRN(“C:\Work\m4_b.txt”)
A := READPRN(“C:\Work\m4_p.txt”)
B := READPRN(“C:\Work\m4_q.txt”)
//для примера взяли случай m=4.//
// Для работы с двойственными сплайн-вейвлетами достаточно поменять
местами определяемые здесь пары фильтров, то есть в массивы h, g надо будет
загрузить данные из файлов типа “p”, “q”, а в массивы A, B – данные из файлов
типа “a”, “b”. //
M := length(h)
// количество h-коэффициентов, четное число ≥ 4 //
// Вычислим номер Jmax максимально допустимого уровня декомпозиции//
⎛ ln( M − 1) ⎞
J max := L − floor⎜⎜
⎟⎟
// floor() означает взятие целой части //
ln(
2
)
⎝
⎠
// Выводим на экран значение Jmax // Jmax =
// Внимание! Если Jmax < 1, то работать не удастся – мала длина сигнала. //
// Определяем значения вспомогательных величин. //
j := 0
// начальный уровень детализации //
K := N
// K – текущее количество коэффициентов аппроксимации Sk //
k := 0..K–1 // Цикл формирования начальной последовательности Sk //
S k := Z k
k := 0..M–3
// «периодическое» удлинение массива Sk //
S K + k := S k
// 3. Начало шага декомпозиции. Этот шаг вычислений должен выполняться
Jmax раз. В данном тексте этот шаг приводится один раз, но в реальном
документе должно присутствовать Jmax его копий. //
245
j := j + 1
// Обновили текущее значение уровня детализации //
// Выведем на экран значения j и Jmax //
j=
Jmax =
// Если j > Jmax, то следует перейти к выполнению пункта 4 (см. ниже). //
K :=
K
2
// Обновили текущее значение K //
k := 0..K–1
// Цикл вейвлет-декомпозиции //
WK + k :=
Sk :=
M −1
∑
m =0
M −1
∑
m =0
g m ⋅ S 2⋅k + m
hm ⋅ S2⋅k + m
// коэффициенты детализации //
// коэффициенты аппроксимации //
// Сохраним значения коэффициентов детализации в массиве w. //
k := K ..2 ⋅ K − 2
// цикл по k от K до 2K–2 с шагом единица //
wk +1 := Wk
wK := W2⋅ K −1
k := 0..M–3
// «периодическое» доопределение значений Sk //
S K + k := Sk
// Конец шага декомпозиции. //
// 4. Формирование вектора результата W с компонентами wk. //
k := 0..K–1
wk := S k
// Первые M / 2 элементов wk равны Sk на уровне Jmax //
// Запишем массив w в текстовый файл с именем C:\Work\result_m4.txt //
WRITEPRN(“C:\Work\ result_m4.txt”) := w
246
// 5. Подготовка к вейвлетной фильтрации сигнала. Здесь фильтрация и
реконструкция следуют непосредственно за декомпозицией, так что будут
использованы значения величин, образовавшиеся на предыдущих шагах. //
//Для фильтрации сигнала надо задать номер уровня J, определяющего
количество вейвлет-коэффициентов wk, которые приравняются нулю (это
вейвлет-коэффициенты уровней j = 1, …, J). Задаваемое целое число J
не должно превышать Jmax. В нашем примере выберем J=5 при Jmax=5. //
// Для контроля выведем на экран значение Jmax //
J := 5
k :=
// Задали номер J «уровня фильтрации» //
N
2
Jmax =
.. N − 1
J
wk := 0
// Если фильтрация не нужна, то строку wk := 0 следует удалить (или перевести
ее в пассивное состояние); тогда в результате дальнейших действий
реализуется приближенная реконструкция исходного сигнала Z.//
// Для реконструкции берем другие фильтры //
k := 0..M–1
hk := Ak
g k := Bk
// В остальной части документа для нас нет ничего нового. //
// Определяем значения вспомогательных величин. //
P :=
K :=
M −2
2
N
2 J max
wN := 0
247
k := 0..K–1
// цикл инициализации результирующего массива R //
Rk := wk
j := J max
K :=
// Значение уровня j приравняли максимальному //
K
2
// 6. Начало шага реконструкции. Этот шаг вычислений должен выполняться
Jmax раз. В данном тексте этот шаг приводится один раз, но в реальном
документе должно присутствовать Jmax его копий. //
j := j – 1
// Обновили номер уровня детализации //
// Выводим текущее значение j на экран: //
j=
// Если j < 0, то следует перейти к пункту 7 (см. ниже). //
K := 2 ⋅ K
// текущее количество «входных» элементов Sk //
k := 0..P–1
// Формируем «входной» вектор S, на который будет
действовать матрица обратного преобразования. //
S k := RK − P + k
S K + P + k := w2⋅ K − P +1+ k
k := 0..K–1
S P + k := Rk
S K + M − 3+ k := wK + k
S2⋅ K + M − 3 := wK
k := 0..K–1
R2⋅k :=
// Цикл реконструкции коэффициентов аппроксимации//
P
∑ (hM − 2 − 2⋅m ⋅ Sk + m
m =0
+ g M − 2 − 2⋅m ⋅ S K + P + k + m )
248
R2⋅k +1 :=
P
∑ (hM −1− 2⋅m ⋅ Sk + m
m =0
+ g M −1− 2⋅m ⋅ S K + P + k + m )
// Конец шага реконструкции. //
// 7. Реконструкция закончена; ее результатом является массив значений Rn ,
где n = 0, 1, ..., N − 1 . Целесообразно сохранить массив R в текстовом файле и
построить график значений Rn в зависимости от аргумента xn = n / N
исходного сигнала. Здесь мы не приводим явного описания этих действий;
отметим лишь, что в программе Mathcad для построения графика удобно
воспользоваться командой «вставить X-Y-график». //
// Конец документа. //
Этот же самый алгоритм пригоден для обработки сигнала с помощью
вейвлетов, двойственных по отношению к исходным сплайн-вейвлетам. Надо
лишь следующим образом изменить строки чтения фильтров в пункте 2:
h := READPRN(“C:\Work\m4_p.txt”)
g := READPRN(“C:\Work\m4_q.txt”)
A := READPRN(“C:\Work\m4_a.txt”)
B := READPRN(“C:\Work\m4_b.txt”)
Чтобы вычислить сами двойственные сплайн-функции, можно
воспользоваться алгоритмом из приложения 3, произведя в нем аналогичную
замену h- и g-фильтров. То есть для документа «Построение двойственного
сплайна и двойственного сплайн-вейвлета» измененные строки чтения
фильтров в пункте 1 документа из приложения 3 должны выглядеть так:
h := READPRN(“C:\Work\m2_a.txt”)
g := READPRN(“C:\Work\m2_b.txt”)
//для примера взяли случай m=2.//
Здесь в массивы h и g загружаются величины 21 / 2 an и 21 / 2 bn из табл. П4.1.
Если же аналогичным образом в массивы h и g загрузить величины 2 −1 / 2 pn и
2 −1 / 2 qn из табл. П4.1, то мы снова получим исходные сплайн-функции, но они
будут смещены в область больших значений своего аргумента по сравнению с
тем, что дает алгоритм приложения 3.
249
Список литературы
1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2001.
2. Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001.
3. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005.
4. Блаттер K. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004.
5. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления
сверток. М.: Радио и связь, 1985.
6. Залманзон Л.А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применения
в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.
7. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа,
2000.
8. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.
9. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры
применения. Успехи физических наук. 1996, т.166, № 11, с. 1145–1170.
10. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.
11. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их
использование. Успехи физических наук. 2001, т.171, №5, с. 465.
12. Смоленцев Н. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. М.:
ДМК Пресс, 2005.
13. Яковлев А. Н. Основы вейвлет-преобразования сигналов. Серия
«Конспекты лекций по радиотехническим дисциплинам», вып. 10, М.:
Сайнс-Пресс, 2003.
14. Столниц Э., ДеРоуз T., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике.
Теория и приложения. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2002
15. Божокин С. В. Математическое описание сердечного ритма. СПб.: Изд.
Политехнического университета, 2005.
16. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
250
Оглавление
Введение ………………………………………………………………………
Глава 1. Преобразование Фурье …………………………………………...
1.1 Многомерный базис ………………………………………………
1.1.1 Разложение векторов по ортонормированному базису…
1.1.2 Неортогональный базис …………………………………..
1.1.3 Фрейм ……………………………………………………...
1.2 Дискретное преобразование Фурье ……………………………...
1.3 Преобразование Фурье непрерывных периодических сигналов.
1.4 Интегральное преобразование Фурье
непериодических сигналов ……………………………………….
1.5 Частотно-временная локализация
и оконное преобразование Фурье ………………………………..
3
5
5
7
11
14
24
45
Глава 2. Непрерывный вейвлетный анализ ……………………………..
2.1 Понятие вейвлета …………………………………………………
2.2 Материнские вейвлеты …………………………………………...
2.3 Интегральное вейвлет-преобразование ………………………….
2.4 Примеры непрерывного вейвлет-преобразования ……………...
2.5 Вейвлеты и сердечный ритм ……………………………………..
2.6 Логистическое отображение ……………………………………..
101
101
105
117
121
144
162
Глава 3. Дискретное вейвлет-преобразование …………………………...
3.1 Дискретизация параметров вейвлет-преобразования …………..
3.2 Ортогональность вейвлетов ……………………………………...
3.3 Кратномасштабный анализ ………………………………………
3.4 Вейвлеты Добеши ………………………………………………...
3.5 Быстрое вейвлет-преобразование ………………………………..
3.6 Построение графиков функций Добеши ………………………...
3.7 Койфлеты ………………………………………………………….
3.8 Сплайн-вейвлеты ………………………………………………….
3.9 Вейвлеты и фильтрация сигналов ……………………………….
Заключение …………………………………………………………………...
175
175
178
180
188
196
204
209
212
221
228
Приложение 1 ………………………………………………………………...
Приложение 2 ………………………………………………………………...
Приложение 3 ………………………………………………………………...
Приложение 4 ………………………………………………………………...
229
237
240
242
Список литературы …………………………………………………………..
250
56
79
Божокин Сергей Валентинович
Лыков Сергей Николаевич
ВЕЙВЛЕТЫ
Учебное пособие
Лицензия ЛР N 020593 от 07.08.97
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, т.2; 95 3005 – учебная литература
Подписано в печать 09.07.2007 г. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 15,75. Уч.-изд. Л. 15,75. Тираж 50. Заказ 289.
Отпечатано с готового оригинал макета, предоставленного
авторами, в типографии Издательства СПбГПУ.
195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.