Лабораторная работа №Кол1

Лабораторная работа №Кол1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С
ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы:
− ознакомиться с основными характеристиками свободных колебаний;
− ознакомиться с методами измерения коротких промежутков
времени на примере определения ускорения свободного падения;
− экспериментально определить ускорение свободного падения;
− исследовать зависимость периода колебания математического маятника от его длины.
Приборы и принадлежности:
- математический маятник,
- секундомер,
- измерительная рейка,
- прямоугольный треугольник.
Теоретическая часть
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной
степенью повторяемости с течением времени.
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса
различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему выделяют свободные (или собственные) колебания,
вынужденные колебания и автоколебания.
Свободные (собственные) колебания – это колебания, которые
совершаются без внешних воздействий за счет первоначально накопленной энергии.
Среди возможных видов свободных колебаний, простейшими являются периодические колебания. Периодическими называют такие
колебания, при которых все характеристики движения повторяются
81
через определенные промежутки времени. Периодические колебания
характеризуются периодом, частотой и амплитудой колебаний.
Особое место среди периодических колебаний занимают гармонические колебания. Во-первых, колебания в природе и технике часто
имеют характер, очень близкий к гармоническому, во-вторых, периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса (рис. 21):
x = A sin (0t + 0 ) или x = A cos (0t + 0 ) .
Рассмотрим основные характеристики колебательного процесса.
Рис. 21 График гармонического колебания, зависимости смещения от
времени.
Смещение ( x ) – расстояние от материальной точки до положения
равновесия в любой момент времени [ x] = [1 м] .
Амплитуда ( A) – наибольшее (максимальное) смещение материальной точки от положения равновесия [ A] = [1 м] .
Период колебаний (T ) – время, в течение которого совершается
t
одно полное колебание T = , [T ] = [1 c] .
N
82
Частота колебаний ( ) – число полных колебаний в единицу
N
времени  = , [ ] = [1c-1 = 1 Гц] . Связь между частотой и периодом:
t
1
= .
T
Круговая частота ( ) – число колебаний, совершаемых за 2 секунд, [ ] = [1 рад с]. Связь между круговой частотой и частотой коле2
баний, а также с периодом колебаний  =
= 2 .
T
Фаза колебаний (0t + 0 ) – это угловой путь, пройденный телом,
характеризует смещение в любой момент времени.
Начальная фаза колебаний (0 ) – это некоторый угол от положения равновесия, с которого начинаются колебания.
Найдем скорость колеблющегося тела, для этого нужно взять
производную от x = A sin (0t + 0 ) по времени.
 = x ' = A0 cos (0t + 0 ) = max cos (0t + 0 ) ,
где max = A0 – амплитудное (максимальное) значение скорости.
Ускорение колеблющегося тела есть вторая производная от
x = A sin (0t + 0 ) или первая производная от скорости по времени.
a = x =   = − A02 sin (0t + 0 ) = −amax sin (0t + 0 ) ,
где amax = A02 – амплитудное (максимальное) значение ускорения.
Анализируя выражения для смещения, скорости и ускорения колеблющегося тела, можно прийти к выводу, что:
1) в крайних положениях при x = A и x = − A скорость  = 0 , а ускорение a = amax ;
2) в положении равновесия при x = 0 скорость v = max , а ускорение
a = 0.
Потенциальная энергия колебательного движения зависит от
возвращающей силы и определяется по формуле, зная, что k = m02 :
83
2
2
2 2
2
kx 2 kA sin (0t + 0 ) m0 A sin (0t + 0 )
Wпот =
=
=
.
2
2
2
Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки зависит от скорости движения и определяется по формуле:
2 2
2
m 2 m0 A cos (0t + 0 )
Wк =
=
.
2
2
Полная механическая энергия материальной точки равна сумме
потенциальной и кинетической энергий:
W = Wп + Wк .
Подставляем в это выражение полученные значения для энергий
2 2
2
m02 A2 sin 2 (t + 0 ) m0 A cos (0t + 0 ) m02 A2
W=
+
=
,
2
2
2
т.к. sin 2 (t + 0 ) + cos2 (0t + 0 ) = 1 – основное тригонометрическое
тождество.
m02 A2
– полная энергия колеблющегося тела.
W=
2
Вывод рабочей формулы
Если отклонить маятник (рис. 22) от положения равновесия, то
равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити P1 будет
стремиться возвратить маятник в положение равновесия.
Эта сила F называется вращающей силой, и величина ее определяется по формуле
F = − P sin  = −mg sin  .
Знак минус обусловлен тем, что направление силы и угла отклонения всегда противоположны.
При малых углах (   8 ) радианная мера угла и его синус практически совпадают, т.е. sin    , поэтому можно записать:
x
F = −mg ,
l
84
где x – дуговое смещение центра масс маятника от положения равновесия. Таким образом, возвращающая сила оказывается пропорциональной смещению и противоположной по знаку (т.е. является квазиупругой силой). Следовательно, колебания маятника гармонические.
Рис. 22 Движение математического маятника с указанием действующих сил.
Возвращающая сила вызывает ускоренное движение маятника.
Поэтому можно записать:
x
(1)
F = ma или ma = −mg .
l
Ускорение a найдем из уравнения гармонического колебательного движения x = A0 sin (t +  ) взяв вторую производную от x по
времени t :
d 2x
a = 2 = − 2 A0 sin (t +  ) = − 2 x .
dt
Подставив значение ускорения a = − 2 x в формулу (1), получаем:
x
−m 2 x = −mg ,
(2)
l
где  – круговая, или циклическая частота. Она связана с периодом
колебаний T соотношением:
85
2
.
T
После подстановки значения  в выражение (2) и соответствующих преобразований находим значение периода колебаний T , равное
=
T = 2
l
.
g
(3)
Полученная формула (3) называется формулой Гюйгенса. Возводим выражение (3) в квадрат
l
T 2 = 4 2
g
и находим значение ускорения свободного падения
4 2l
(4)
g= 2 .
T
Таким образом, для экспериментального определения значения g
необходимо знать период колебания математического маятника и его
длину. Измерение длины маятника представляет сложную задачу, т.к.
длина маятника – это расстояние от точки подвеса до центра масс
колеблющегося тела. Чтобы не искать положения центра масс, поступаем следующим образом: определяем периоды колебаний T1 при
длине маятника l1 и T2 при длине маятника l2 и для каждого случая
записываем формулу (3):
T12 = 4 2
l
l1
и T22 = 4 2 2 .
g
g
После вычитания имеем
T12 − T22 = 4 2
откуда
g=
4 2 ( l1 − l2 )
T12 − T22
l1 − l2
,
g
4 2 l
,
=
(T1 + T2 )(T1 − T2 )
(5)
где l = l1 − l2 – изменение длины маятника.
Для того, чтобы колебания маятника происходили в одной плоскости, используется бифилярный подвес – двойная нить (рис. 23).
86
Колебания в сельском хозяйстве. В ряде отраслей техники находят широкое применение сортировочные машины и устройства, основанные на использовании колебательных движений. Таковы молотилки, веялки и другие сельскохозяйственные машины, применяемые
для сортировки зерна. Сита веялок и молотилок, на которые попадает
зерно, подлежащее сортировке, совершают вынужденные боковые или
продольные колебания, обеспечивающие возвратно-поступательное
движение зерна по рабочей поверхности сита и вследствие этого сортировку зерна. Эти колебания, как правило, вызываются действием
кривошипно-шатунных механизмов.
Аналогичное использование колебательных процессов распространено в угольной промышленности на обогатительных фабриках,
где применяются специальные машины-грохоты, основное назначение
которых заключается в обезвоживании каменных углей, в подготовительном грохочении, т.е. в разделении угля на классы перед обогащением, в сортировке для получения товарных сортов и др. Подобный
механизм можно использовать даже в сказках, например: «Золушка»,
когда мачеха заставила ее перебирать горох и пшено.
Описание установки
Математический маятник представляет собой точечное тело массой m , подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити длиною l
(рис. 23).
Внешний вид установки, представленной в лаборатории физического практикума, можно увидеть на рис. 24.
87
Рис. 23 Схематической изображение математического маятника.
Рис. 24 Установка для проведения эксперимента.
88
Порядок выполнения работы
1. Установите маятник в нижнее положение и измерьте длину маятника l1 (рис. 22). Полученное значение l1 занесите в таблицу 7.
№
опыта
l,
м
t,
с
n
T,
с
g,
g ср ,
g ,
Таблица 7.
g ср ,
,
м/с 2
м/с 2
м/с 2
м/с 2
%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. Отклоните маятник на небольшой угол ( 5 -10 ) и отпустите его.
Включите секундомер, когда маятник будет находиться в одном из
крайних положений. Отсчитав n1 колебаний (не менее 20), остановите
секундомер и определите время t1 полных n1 колебаний маятника. Полученные значения занесите в таблицу.
3. Повторите измерение 2 раза при данной длине.
4. Установите маятник в другое положение (измените длину), измерьте длину l2 маятника. Изменяйте дли маятника каждый раз на 50
см. Повторите измерение 2 раза.
5. Выполните п.2 для пяти длин, каждый раз уменьшая предыдущую длину на 50 см.
4. Разделив время t1 на число колебаний n1 , найдите период колебания маятника T1 .
5. Рассчитайте ускорение свободного падения по формуле (4).
89
6. Вычислите среднее значение g ср по формуле
gср
g

=
i
.
n
7. Определите абсолютные и относительную ошибки по формулам:
gi = gср − gi , gср =
 ( g )
i
n
2
,=
g ср
g ср
 100% .
8. Окончательный результат запишите в виде
g = g ср  g ср .
9. Сформулируйте вывод по результатам проделанной работы.
Контрольные вопросы
1. Какие колебания называются гармоническими?
2. Запишите уравнение гармонического колебательного движения. И
укажите все характеристики, входящие в него.
3. Что называется периодом колебаний? И в чем он измеряется?
4. Чем определяется период колебаний математического маятника?
5. От чего зависит величина ускорения свободного падения?
6. Какие причины приводят к появлению погрешностей при определении величины ускорения свободного падения?
7. Запишите формулы для расчета скорости и ускорения гармонических колебаний.
8. Что называется колебанием?
9. Запишите формулу для определения полной механической энергии
гармонического колебания.
10. Укажите виды колебаний по характеру воздействия.
90