МЛР 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Р. Е. АЛЕКСЕЕВА»
ДЗЕРЖИНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
Кафедра «Автоматизация, транспортные и информационные системы»
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ
Методические указания к лабораторной работе № 2
по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»
для студентов направления подготовки
15.03.04  «Автоматизация технологических процессов и производств»
всех профилей и форм обучения
Нижний Новгород 2018
Составитель Е.В. Тараненко
УДК 389.004
Погрешности измерений с многократными наблюдениями: метод. указания к лабораторной работе № 2 по дисциплине «Метрология,
стандартизация и сертификация» для студентов направления подготовки
15.03.04  «Автоматизация технологических процессов и производств»
всех профилей и форм обучения / НГТУ им. Р.Е. Алексеева; сост.
Е.В. Тараненко. – Нижний Новгород, 2018.– 14 с.
Приведены краткие теоретические сведения, задание, порядок проведения лабораторной работы и обработки результатов измерений с многократными наблюдениями.
Методические указания предназначены для студентов высших учебных заведений, изучающих дисциплину «Метрология, стандартизация
и сертификация», обучающихся по направлению подготовки
15.03.04  «Автоматизация технологических процессов и производств».
Редактор В.И. Бондарь
Подписано в печать 20.03.2018. Формат 60x84
1
16 .
Бумага газетная.
Печать офсетная. Усл. печ.л. 0,8. Уч.-изд.л. 0,6. Тираж 50 экз. Заказ
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева.
Типография НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 603950, Н. Новгород, ул. Минина, 24.
© Нижегородский государственный
технический университет
им. Р.Е. Алексеева, 2018
2
Цель работы: изучение методики обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями и исследование случайных погрешностей.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В зависимости от характера проявления погрешности подразделяются на систематические и случайные. Систематическая погрешность при
повторных измерениях одной и той же величины остается постоянной или
изменяется по известному закону. Случайная погрешность при повторных
измерениях одной и той же величины изменяется случайным образом.
Систематические погрешности часто могут быть исключены или существенно уменьшены, благодаря устранению источников погрешностей. Случайные погрешности возникают вследствие одновременного воздействия
многих известных и неизвестных, зависимых и независимых причин, непостоянных по величине и знаку. Для уменьшения влияния случайных
погрешностей рекомендуется производить многократные измерения в
одинаковых условиях большее число раз.
В зависимости от систематического или случайного характера погрешностей используют измерения с однократными или многократными
наблюдениями. Если систематические погрешности являются определяющими, то целесообразно для определения значения измеряемой величины использовать измерения с однократными наблюдениями. При многократных наблюдениях необходимо оценивать случайные погрешности.
Однократные наблюдения характерны для измерений технологических параметров. На их основе строятся автоматические системы регулирования и АСУТП. Применение однократных наблюдений обусловлено
большими скоростями протекания технологических процессов, сложностью и многообразием их взаимосвязей.
Многократные наблюдения применяются для контроля качества и
состава сырья, реагентов, готовой продукции, в лабораторной практике, а
также при математическом моделировании технологических процессов.
Они связаны с характеристиками, постоянными на некотором отрезке
времени, достаточном для выполнения нескольких измерений. Проведение измерений должно быть основано на применении методики выполнения измерений (МВИ). МВИ - совокупность методов, средств, процедур и
условий подготовки и проведения измерений, а также правил обработки
результатов измерений. Использование аттестованных (стандартных)
МВИ позволяет официально признавать правильность полученных результатов измерений.
3
Случайные погрешности измерений оцениваются статистическими
методами. Оценка измеряемой величины, получаемая по экспериментальным данным, считается наилучшей, если она состоятельная, несмещенная
и эффективная.
Оценка является состоятельной, если при увеличении числа измерений результат измерений приближается к истинному значению измеряемой величины.
При несмещенной оценке ее математическое ожидание равно действительному значению измеряемой величины. Для нормального закона
распределения случайных величин это среднее арифметическое.
Оценка называется эффективной, если ее среднее квадратическое отклонение (СКО) меньше СКО любой другой оценки этой измеряемой величины.
При рассмотрении методики обработки результатов измерений необходимо учитывать следующие факторы: обрабатывается ограниченная
группа из n наблюдений; результаты наблюдений хi могут содержать систематическую погрешность; в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности; распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.
Среднее арифметическое ряда наблюдений, т.е. наиболее вероятное
значение многократно измеренной случайной величины, вычисляют по
формуле
1 n
x   xi ,
(1)
n i 1
где xi  результат i-го наблюдения; n  число наблюдений.
Отклонение результата отдельного наблюдения от среднего арифметического является разность
Δi = xi  x .
(2)
Это отклонение называется абсолютной погрешностью. Причем алn
гебраическая сумма всех отклонений равна нулю
 i  0 .
i 1
В качестве показателя погрешности результата отдельных наблюдений, или единичных измерений, используется СКО погрешности
2
1 n

(

)
 i .
n 1 i1
4
(3)
Величина  характеризует ”в среднем” меру приближения отдельных, единичных наблюдений к результату измерения, т.е. их рассеяние
относительно среднего арифметического.
Поскольку число наблюдений в группе, на основании которых вычислено среднее арифметическое x , ограничено, то, повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение
среднего арифметического. Повторив многократно серии наблюдений и
вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, принимаемое
за результат измерения, мы убедимся в рассеянии средних арифметических значений, т.е. результат измерений тоже является величиной случайной. При увеличении числа измерений среднее арифметическое значение
в пределе стремится к действительному (истинному) значению измеряемой величины. Характеристикой этого рассеяния является среднее квадратическое отклонение σc среднего арифметического (результата измерений)
σ
С

σ
n

n
1
i 2 .

n n  1 i 1
(4)
Интервал , в который случайные погрешности отдельных наблюдений xi попадают с заданной доверительной вероятностью Р, называется
доверительным интервалом с нижней Δн и верхней Δв доверительными
границами. Численно он выражается через квантильные оценки в долях от
СКО отдельных наблюдений:
 = t,
(5)
где t  нормированный коэффициент, зависящий от заданной доверительной вероятности Р и формы закона распределения.
То же самое можно сказать о доверительном интервале результата
измерений x , который определяется в долях от СКО среднего арифметического
с = tс.
(6)
Вероятность попадания случайной погрешности в доверительный
интервал определяется по функции Лапласа L(t) и выражается в виде
P = P(н    в) = P(; ) = L(tв)  L(t н),
(7)
где tв = /; tн =  /; L(t) =  L(t).
Эта функция определяется интегралом вероятности Лапласа
Lt  
t
 t2
1
 exp   2
2 0


dt .


(8)
5
Интеграл вероятности Лапласа не может быть решен аналитически.
Численные решения интеграла вероятности Лапласа приведены в табл. 1.
Таблица 1
Таблица функции Лапласа
t
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
L(t)
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
t
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
L(t)
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
t
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
L(t)
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,49865
0,49977
0,49997
0,49999
0,499999
Очень часто используется симметричный доверительный интервал
Р =Р() = 2L(t).
(9)
На рис. 1 представлен график плотности вероятности нормального
распределения случайных погрешностей. Вероятность того, что случайная
погрешность измерений не выйдет за пределы симметричного доверительного интервала  = ± (стандартный интервал или стандарт), составляет 0,68 (68 %). Такая оценка не дает уверенности в высоком качестве измерений, поскольку 32 % от всего числа наблюдений может выйти за пределы указанного интервала, что совершенно неприемлемо при малом числе измерений.
f ()
P(± ε) = 0,68
ε
-ε
-3 -2 -
0

2 3

Рис.1. К понятию доверительных интервалов
6
Вероятность того, что случайная величина окажется за границами
доверительного интервала , называется уровнем значимости  = 1P.
Так, например, для стандартного доверительного интервала =± уровень
значимости  равен 0,32 (32%).
Заданы могут быть любые границы доверительного интервала. Например (см. табл.1), при доверительной вероятности Р = 0,95 доверительный интервал  = 2, при Р = 0,9973   = ±3, при Р = 0,9999   = ±4
и т.п.
В целях единообразия в оценивании случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений (например, в сфере безопасности и здоровья людей) применяют более высокую доверительную вероятность.
При обработке экспериментально полученных результатов измерений необходимо убедиться в отсутствии грубых погрешностей и промахов. Для проверки гипотезы отсутствия грубых погрешностей вычисляют
критериальное отношение
i
tг  max ,
( 10 )
σ
где |Δi|max = |xi  x |max  максимальное по абсолютной величине отклонение
результата отдельного наблюдения от среднего арифметического.
Если полученное значение tг больше табличного коэффициента
(табл. 2), то результат наблюдений с погрешностью |Δi|max считается анормальным и его необходимо исключить. При этом значения x и  необходимо пересчитать с учетом исключенного результата.
Доверительному интервалу  3 соответствует Р = 0,9973. Это означает, что практически с вероятностью, очень близкой к единице, все погрешности находятся в этом интервале. Поэтому, при нормальном распределении погрешностей, принято считать случайную погрешность с границами 3 предельной, максимально возможной погрешностью. Погрешности, выходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи (правило ”трех сигм”).
Гипотеза о виде закона распределения результата измерений выдвигается с учетом априорной информации либо на основании рассмотрения
гистограммы. При числе наблюдений более 50 наиболее часто применяют
критерий Пирсона 2. На практике применяют и другие критерии (Романовского, Мизеса, составной, Шапиро-Вилка и т.д.). При числе наблюдений менее 15 принадлежность их к нормальному распределению не выполняется.
7
Таблица 2
Значения q-процентных точек распределения tг 
Число
наблюдений, n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
20
25
30
0,1
1,41
1,73
1,99
2,21
2,39
2,55
2,68
2,79
2,88
2,97
3,04
3,11
3,17
3,23
3,27
3,32
3,40
3,55
3,67
Уровень значимости, , %
0,5
1
5
1,41
1,41
1,41
1,73
1,73
1,71
1,98
1,97
1,92
2,18
2,16
2,07
2,34
2,31
2,18
2,48
2,43
2,27
2,59
2,53
2,35
2,68
2,62
2,41
2,76
2,69
2,47
2,83
2,75
2,52
2,89
2,81
2,56
2,95
2,86
2,60
3,00
2,91
2,64
3,04
2,95
2,67
3,08
2,98
2,70
3,12
3,02
2,73
3,19
3,08
2,78
3,32
3,20
2,88
3,42
3,29
2,96
xi  x max

10
1,41
1,09
1,87
2,00
2,09
2,17
2,24
2,29
2,34
2,39
2,43
2,46
2,49
2,52
2,55
2,58
2,62
2,72
2,79
Большое число наблюдений на практике не всегда возможно и целесообразно. При нормальном законе распределения плотности вероятности
результатов наблюдений и небольшом числе наблюдений применяют распределение Стьюдента с тем же средним арифметическим значением x .
Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяется, по сравнению с
нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности.
В формулах (5) и (6) для оценки доверительных границ случайной
погрешности это отражается введением коэффициента Стьюдента tc вместо t. Коэффициент tc распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится из табл. 3.
При большом количестве измерений (практически уже при n ≥ 20) распределение Стьюдента приближается к нормальному.
Доверительный интервал результата измерений (рассеяние среднего
арифметического) в n раз меньше доверительного интервала (рассеяния) отдельных наблюдений. Теоретически при п → ∞ случайную погреш8
ность результата измерения можно было бы свести к нулю. Однако это
невозможно, и стремиться беспредельно уменьшать случайную погрешность результата измерения не имеет смысла, так как рано или поздно
определяющим становится не рассеяние среднего арифметического, а остатки неисключенной систематической погрешности.
Таблица 3
Коэффициенты распределения Стъюдента tс
Число
измерений,
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
20
25
30

Доверительная вероятность, P
0,60
1,38
1,06
0,98
0,94
0,92
0,90
0,90
0,89
0,88
0,88
0,87
0,87
0,87
0,87
0,87
0,86
0,86
0,86
0,86
0,85
0,84
0,70
1,96
1,39
1,25
1,19
1,16
1,13
1,12
1,11
1,10
1,09
1,09
1,08
1,08
1,08
1,07
1,07
1,07
1,07
1,06
1,06
1,04
0,90
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,89
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,71
1,70
1,65
0,95
12,7
4,30
3,18
2,77
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,09
2,06
2,04
1,96
0,98
31,8
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,54
2,49
2,47
2,33
0,99
63,7
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,35
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,87
2,80
2,76
2,58
0,995
127,3
14,69
7,45
5,60
4,77
4,32
4,03
3,83
3,69
3,58
3,50
3,43
3,37
3,33
3,29
3,25
3,22
3,17
3,08
3,03
2,81
0,998
318,3
22,31
10,31
7,17
5,89
5,21
4,79
4,30
4,30
4,14
4,02
3,93
3,85
3,79
3,43
3,69
3,65
3,58
3,45
3,39
3,09
0,999
636,6
31,60
12,04
8,61
6,80
5,96
5,41
5,04
4,78
4,58
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,88
3,72
3,65
3,29
Полностью исключить систематическую погрешность из результатов
измерений не представляется возможным. Неисключенные остатки систематической погрешности (НСП) результата включают в себя систематические погрешности метода, средств измерений, поправок, влияющих величин и др. Примером НСП могут служить: основная и дополнительные
погрешности средств измерений, погрешность от считывания показаний,
погрешность аттестации эталона или меры и т.д.
При определении границ НСП обычно исходят из предположения,
что они являются случайными величинами, распределенными по равномерному закону.
9
Доверительные границы НСП результата измерений вычисляются по
формуле
θk
m
p
 i2
i 1
,
( 11 )
где kр  коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью Р и числом m составляющих НСП; i  границы i-й составляющей
НСП.
При доверительной вероятности 0,90 и 0,95 коэффициент kр равен
0,95 и 1,1 соответственно, при любом числе слагаемых m, при Р = 0,99 и
m = 2 значение kр =1,2, а при m  5 коэффициент kр = 1,45. Доверительную
вероятность для вычисления границ НСП принимают той же, что и при
вычислении границ случайной погрешности результата измерения.
Суммирование неисключенной систематической погрешности и случайной погрешности осуществляется следующим образом.
Если /с < 0,8, то НСП пренебрегают и за погрешность результата
измерений принимают интервал случайной погрешности   с доверительной вероятностью Р.
Если /с > 8, то пренебрегают случайной составляющей и принимают интервал НСП  за погрешность результата измерений.
Если 0,8 < /с < 8, то доверительные границы суммарной погрешности результата измерений вычисляются по формуле
Δ = k ,
( 12 )
где k  коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности
и НСП;   оценка суммарного СКО результата измерений.
Значения k и  находятся из зависимостей
k 
c  
i2
c  
i 1 3
m
,
( 13 )
i2
      c2 .
( 14 )
i 1 3
Для того чтобы оценить минимально необходимое число наблюдений, обеспечивающее минимальную долю случайной погрешности, используются различные подходы. Достижение требуемой точности с заданной доверительной вероятностью возможно только тогда, когда известно значение СКО погрешности измерений .
m
10
Из формулы (4) и условия пренебрежимой малости случайной погрешности следует, что минимально необходимое число наблюдений:
2

n  64  .
( 15 )

Другой метод заключается в использовании соотношения
2
t
n    2 ,
( 16 )

где t  нормированный коэффициент, который находится из формулы (9)
и табл. 1.
Алгоритм обработки экспериментальных данных с многократными
наблюдениями можно представить в виде следующей последовательности.
1. Анализ априорной информации. Исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений (введением поправок).
2. Вычисление среднего арифметического x исправленных результатов наблюдений по формуле (1).
3. Вычисление СКО результатов наблюдения σ по формуле (4).
4. Проверка наличия грубых погрешностей. Наблюдения, содержащие грубые погрешности, исключают из группы и заново повторяют вычисления x и σ.
5. Вычисление СКО результата измерений σc по формуле (5).
6. Проверка гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.
7. Определение доверительных границ случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности Р по формуле (6).
8. Определение доверительных границ суммарной неисключенной
систематической погрешности результата измерений θ по формуле (11).
9. Определение доверительных границ погрешности результата измерений по формуле (12).
Любая измерительная информация (результаты измерений, погрешность измерений, эмпирические зависимости и т.п.) должна сопровождаться обязательным указанием показателей точности измерений. Для
обеспечения сопоставимости и совместного использования результатов
измерений необходимо применять единообразные показатели точности
измерений.
Установлены следующие показатели точности измерений: интервал,
в котором погрешность находится с заданной вероятностью, числовые
характеристики погрешности измерений и функция закона распределения
(плотность вероятности) погрешности измерений.
11
В соответствии с нормативно-техническими документами результаты измерений могут быть представлены в следующей форме.
1. Если погрешность результата измерений А имеет симметричный
интервал границ интервала, при установленной доверительной вероятности Р
А;  ; Р или А  ; Р.
2. Если интервал погрешности измерений задан нижней н и верхней
в границами
А;  от н до в; Р,
3. Допускается записывать нижнюю Ан и верхнюю Ав границы доверительного результата измерений, в котором находится измеряемая величина:
(Ан; Ав); Р.
4. Задают СКО суммарной погрешности :
А; Σ.

5. Систематическую с и (или) случайную  составляющие погрешности представляют в виде

А; (с); (  ).
При необходимости могут приводиться дополнительные данные и
условия измерений (функция распределения f  , количество и время

наблюдений, влияющие величины и т.д.).
Чаще всего на практике используют первую форму представления
результатов измерений, например: (1,20,4) МПа, Р = 0,95. Вместо характеристик погрешности измерений можно указывать аттестованную стандартную методику выполнения измерений.
Для окончательной записи результата измерений требуется выполнить округление результата измерений и его погрешности. При этом используют следующие основные правила.
1. Все предварительные расчеты выполняются не менее чем с одной,
реже с двумя “лишними” цифрами.
2. Погрешность результата измерений в окончательной записи указывается двумя значащими цифрами, если первая из них 1 или 2, и одной,
если первая  3 и более.
3. Последняя значащая цифра результата измерений должна находиться в том же десятичном разряде, что и последняя цифра погрешности
измерений.
12
2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Произвести по указанию преподавателя 3050 наблюдений измеряемой величины xi. Результаты занести в табл. 4.
Таблица 4
Протокол измерений
Номер измерения
Результат измерения, xi
1
2
3
…
2. По сумме первых десяти, первых двадцати и т.д. наблюдений вычислить:
а) среднее арифметическое x по формуле (1);
б) значения СКО отдельных наблюдений  по формуле (3), при необходимости исключить грубые погрешности по формуле (10);
в) значения СКО результата измерений c по формуле (4);
г) значения доверительного интервала результата измерений  по
формуле (7) при значении доверительной вероятности Р = 0,95.
Результаты занести в табл. 5.
Таблица 5
Результаты расчетов
Количество
наблюдений,  n
10
20
30
Среднее
арифметическое, x
СКО отдельных
наблюдений, 
СКО результата
измерений, c
…
3. По результатам обработки наблюдений построить на двух графиках зависимости:
а) xi = f (n) и x = f (n);
б)  = f (n) и c= f (n).
4. В соответствии с установленными правилами представить результат i-го (например, i = 12) наблюдения измеряемой величины xi с доверительной вероятностью Р = (0,95).
13
5. В соответствии с установленными правилами представить результат измерений x (по сумме всех наблюдений) с доверительной вероятностью Р=0,95. Суммарную погрешность результата измерений Δ определить при допущении отсутствия систематической погрешности ( = 0), т.е.
Δ = с.
6. Проанализировать и объяснить полученные результаты, сделать
выводы о характере изменений величин xi, x , , с.
3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
Отчет должен включать:
1. Наименование, цель работы, фамилию и инициалы студента, выполнившего работу.
2. Все относящиеся к эксперименту формулы с примерами расчета.
3. Экспериментальные и расчетные данные, сведенные в таблицу,
графики.
4. Сопоставление экспериментальных результатов с расчетными и
основные выводы, сделанные в результате проведения работы.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Эрастов, В.Е. Метрология, стандартизация и сертификация: учебное пособие
для вузов / В.Е. Эрастов.  М.: Форум, 2008.
2. Раннев, Г.Г. Методы и средства измерений: учебник для вузов / Г.Г. Раннев,
А.П. Тарасенко.  М.: Академия, 2010.
3. Маркин, Н.С. Основы теории обработки результатов измерений / Н.С. Маркин.  М.: Изд-во стандартов, 1991.
4. Сергеев, А.Г. Метрология: учебное пособие для вузов / А.Г. Сергеев,
В.В. Крохин.  М.: Логос, 2000.
5. ГОСТ 8.207-76 ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями.
Методы обработки результатов измерений. Основные положения.
14