Metodicheskoe posobie 1po Mekhanike zhidkosti i gaza - kopiya 3746241

Негосударственное частное образовательное учреждение
высшего образования
«Технический университет УГМК»
Т. П. Бебенина
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Методическое пособие
Екатеринбург
2019
ВВЕДЕНИЕ
Курс «Механика жидкости и газа» является продолжением дисциплины
«Гидравлика», в которой на основе законов механики сплошной среды изучались теоретические и прикладные задачи равновесного состояния и движения
жидкости. Рассматривались выводы уравнений Эйлера, получение при их интегрировании основных законов гидростатики и динамики несжимаемой вязкой
жидкости и применение уравнений Д. Бернулли для решения одномерных задач. Отметим, что «Гидравлика» является одним из разделов классической
науки «Гидромеханика» или «Механика жидкости и газа», поэтому при изучении этого раздела, в основном, рассматривалось решение задач, связанных с
движением жидкой среды. Полученные закономерности рекомендовались для
газов в случаях, когда их большой сжимаемостью можно пренебречь и рассматривать газы в соответствии с моделью несжимаемой жидкости. При действии больших давлений и движении с большими скоростями следует учитывать изменение плотности газа.
При изучении курса «Механика жидкости и газа» в первой части предусматривается для повторения и закрепления законов динамики жидкости решение комплексной задачи на основании уравнения Бернулли для установившегося движения. Далее рассматриваются вопросы газовой динамики, в которых учитывается влияние скорости движения газового потока на изменение
давления и температуры. Это значит, что наряду с законами механики учитываются законы термодинамики. В связи с этим при отборе материала для изучения рассмотрены выводы уравнения Бернулли для газовой среды с учетом
протекающих процессов и приведены решения задач для установившегося
движения газов в трубах.
2
Так как при изучении «Гидравлики» элементы кинематики изучались
только в необходимом для изложения динамики объёме, в данном курсе некоторые вопросы рассматриваются более подробно. Также приводятся примеры
плоскопараллельного движения жидкостей. В каждом разделе после рассмотрения кратких теоретических положений и примеров решения задач приводятся
задания для самостоятельного выполнения заданий.
3
Глава 1
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ
При выполнении выводов в гидравлике использовалась модель идеальной жидкости и струйная модель потока. Выведенные на основе этих допущений уравнения Эйлера и интеграл Д. Бернулли получены в соответствие с законами механики. Для учета реальных условий течения вязких жидких сред в
гидравлике использованы полуэмпирические теории, дополняющие математические модели экспериментальными зависимостями. При решении одномерных
задач в данных математических моделях применяют осредненные по живым
сечениям потоков гидродинамические параметры, к которым относятся:
ʋ - средняя скорость;
р - давление в центре сечения;
z - геометрическая высота положения центра сечения относительно выбранной горизонтальной плоскости сравнения (координата).
При использовании данных параметров основные законы механики отражаются в следующем виде:
 закон сохранения массы или уравнение неразрывности для сечений по
длине потока
Q = υ ω = const;
 закон сохранения энергии или уравнение баланса удельной механической
энергии для двух сечений потока
p1 1 υ12
p2  2 υ22
z1 

 z2 

 hw12 ;
g 2 g
g 2 g
где Q – объёмный расход в сечениях,
ω – площадь живого сечения,
α – коэффициент Кориолиса, зависящий от режима течения,
g – ускорение свободного падения,
4
ρ – плотность жидкости,
hw – затраты удельной механической энергии, учитывающие рассеивание той
её части, которая вследствие вязкого трения переходит в тепло (или потери
напора).
В приведенном виде уравнение Бернулли записано для механической
энергии, отнесенной к единице силы тяжести жидкости в сечении. Члены уравнения имеют размерность длины и могут быть представлены в виде высот –
αυ 2
напоров: геометрического z, пьезометрического
и скоростного
. В
2g
ρg
p
сумме все слагаемые составляют полный напор, а слагаемое hw отражают потери напора, происходящие в гидравлических сопротивлениях.
В курсе Гидравлики были даны методические рекомендации для использования уравнения Бернулли при решении различных прикладных задач, которые кратко приводятся далее.
Методика применения уравнения Бернулли
1. Выбираются два сечения, которые будут соединяться уравнением
Бернулли. В качестве сечений могут быть приняты
 поперечные сечения трубопровода, где установлены приборы для измерения давления, а также выходное сечение трубы при выходе потока в атмосферу,
 поверхности жидкости в резервуарах.
Сечения нумеруются по направлению движения жидкости.
2. Проводится горизонтальная плоскость сравнения (0-0), так, чтобы
было удобно определять геометрическую высоту (напор) z. Её лучше всего (но
не обязательно) проводить через нижнее из сечений. Тогда для этого сечения
z = 0. Для сечений, расположенных выше, z - положительно.
3. Записывается в общем виде уравнение Бернулли для потока
p1 1 υ12
p2 2 υ22
z1 

 z2 

 hw1 2 .
g
2g
g
2g
5
4. Определяются все параметры для рассматриваемых сечений в общем виде. Лучше это оформить в соответствии со схемой таким образом: прямо под
уравнением для каждого сечения анализируются параметры

z1 = ;
z2 = ;
p1 = ;
p2 = ;
υ1 = ;
υ2 = .
В уравнение Бернулли рекомендуется подставлять абсолютное давление
в выбранных сечениях. Так, если сечение открыто, или жидкость выходит из
трубы в атмосферу, абсолютное давление равно атмосферному: р = ра . В закрытом резервуаре или на трубопроводе, где установлены механические приборы для измерения давления, абсолютное давление записывается в виде
р = ра + рман;
или р = ра – рвак;
рман и рвак – показания манометра или вакуумметра в зависимости от прибора.
При наличии жидкостных приборов давление в сечениях записывают, применяя
основное уравнение гидростатики и понятие плоскости уровня.
 Для сечений, которые проведены по поверхности жидкости и имеют большую площадь, скорость принимается равной нулю υ=0, в сечениях трубопровода средняя скорость равна υ.
 Определяются общие потери напора
hw  hr  hl ,
где hr - местные потери напора, рассчитываемые по формуле Вейсбаха,
υ2
hr  
,
2g
ζ – коэффициент местного сопротивления, значение для каждого или задаются или принимаются по таблицам;
hl - потери напора по длине, определяемые по формуле Дарси-Вейсбаха,
l υ2
hl  
,
d 2g
λ – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси).
6
Те и другие потери можно рассматривать отдельно и потом суммировать. Но
чаще бывает удобнее после определения коэффициентов сопротивлений ζ и λ,
представить по формуле общих потерь в виде
υ2
l υ2
l υ2
hw  hr  hl  

 (    )
.
2g
d 2g
d 2g
5. Все данные в общем виде выписываются под уравнением, выполняется их
подстановка в уравнение, выводится расчетная формула для определяемого
параметра и затем выполняется цифровой расчет в соответствие с типом задачи.
При выполнении расчета наиболее трудоемким является вопрос по определению коэффициента Дарси. В связи с этим можно выделить три типа задач:
 с известным расходом,
 по определению расхода,
 по выбору необходимого размера сечения потока.
Порядок цифрового расчета при заданном расходе Q
Рассчитывается средняя скорость движения потока:
υ
Q
,
ω
где Q – расход жидкости,
ω – площадь живого сечения.
Для трубопроводов круглого сечения формула принимает вид
υ
4Q 1,27Q

,
d 2
d2
где d - диаметр трубы.
Затем вычисляется число Рейнольдса, определяется режим движения и
принимаются соответствующие коэффициент Кориолиса α и формула для расчета коэффициента Дарси:
υd 1,27Q

,

d
где ν – кинематический коэффициент вязкости.
Re 
При Re  2300 - режим ламинарный: α = 2;
7
для трубопровода круглого сечения

64
Re
(формула Пуазейля)
При Re > 2300 турбулентный режим: α =1.
Коэффициент Дарси определяется по соответствующей формуле после
нахождения границ зон турбулентного течения:
«Гидравлически
гладкие» трубы
Re ≤ 20 d/э
0,3164

Re 0,25
ф. Блазиуса
Зона доквадратичного
сопротивления
20 d/э < Re < 500 d/э
Зона квадратичного
сопротивления
Re ≥ 500 d/э
0 ,25
 68  э 
  0,11 


 Re d 
ф. Альтшуля
 
  0 ,11  э 
 d 
ф. Шифринсона
0 ,25
Δэ- эквивалентная шероховатость поверхности, ограничивающей поток.
Порядок цифрового расчета при определении расхода Q
В случае, если требуется определить расход, в первом приближении принимается, что режим турбулентный, область сопротивления – квадратичная, коэффициент λ определяется по формуле Шифринсона и из уравнения Бернулли
определяется средняя скорость υ. При необходимости может быть уточнен режим, согласно полученной скорости, область сопротивления турбулентного
режима и заново определен коэффициент Дарси:
υ
Тогда расход будет равен
2 gН
l .
  
d
Q   тр  2 gН .
Здесь μтр – коэффициент расхода,
1
 тр 
l
  
d
8
.
Величина коэффициента для данного трубопровода остается постоянной, если
движение жидкости происходит при турбулентном режиме в зоне квадратичного закона сопротивления.
Задачи по определению размеров сечения решаются методом перебора
вариантов. Принимая разные значения диаметров, в соответствии с заданным расходом не-
H
сколько раз решается задача первого типа по
определению
Hзад
необходимого
напора.
Затем
строится график зависимости H = f(d) (рис. 1.1).
После чего на графике проводят линию, соответствующую заданному напору Нзад до пере-
dрасч
Рис.1.1
d
сечения с кривой. И по точке пересечения
находят расчетный диаметр dрасч.
С помощью приведенных кратких сведений предлагается сделать расчет
циркуляционной насосной установки, в котором выполняются все три типа перечисленных задач. Такая установка (рис. 1.2) может быть элементом различных технологических процессов с большим набором аппаратов и устройств,
применяемых для различных целей.
Пример 1.1
Вода по самотечному трубопроводу диаметром d и длиной l поступает из
резервуара А в резервуар В, откуда насосом перекачивается в промежуточную
емкость С и из нее выливается в резервуар А.
На всасывающей линии насосной установки (d1, l1) имеется сетка с обратным клапаном, колено и задвижка. На входе в насос установлен вакуумметр В.
На нагнетательной линии установлены манометры М1 и М2, задвижка и расходомер Вентури. Промежуточная емкость С в донной части имеет внешний цилиндрический насадок. Коэффициент вязкости ν = 10-6 м2/с.
Предполагая установившееся движение жидкости, выполнить следующие
расчеты.
9
1) По показанию ртутного дифманометра, установленного на расходомере Вентури - hВен определить величину расхода в установке.
2) Подобрать диаметр самотечного трубопровода d1.
dВен
7
7
8
6
6
hВен
8
М1, М2 - манометры
С
Н1
В- вакуумметр
Н2
dнас
const
1
D,L 3
Н
А
d1, l1
hнас
3
2
2
В М1 4
нас
ос
М2
5
5
h=2 м
d, l
4
В
Рис. 1.2
3) Определить показание вакуумметра, установленного перед входом в
насос.
4) Определить показание манометров М1 и М2, установленного от первого
на расстоянии 100 м.
5) Определить напор, создаваемый насосом, и его полезную мощность
6) Определить напор Н1 в промежуточном резервуаре С при коэффициенте расхода μнас=0,82.
7) Определить толщину стенок трубопровода из расчета на гидравлический удар, принимая скорость распространения ударной волны равной
с=1350 м/с, σadm=100 МПа.
10
Рассмотрим решение примера при следующих данных:
Таблица 1.1
hВен, dВен,
мм
мм
330 50
d,
мм
100
l,
м
280
D,
мм
125
L,
м
16
l1 ,
м
40
Н,
м
1,6
Н2,
м
16
hнас,
м
6,1
dнас,
мм
50
Δ,
мм
0,2
ζзадв
ζсет
ζкол
2,0
7
0,4
Для ответа на все поставленные вопросы при анализе элементов установки будет использовано уравнение Бернулли. Поэтому наметим на установке необходимое количество сечений потока и пронумеруем по
dВен
7
6
7
6
ходу движения жидкости (рис. 1.2).
а
hВен
О
О
Рис. 1.3
1) Определяем величину расхода в установке. Так
как движение стационарное, то величина расхода для аппаратов и частей установки одинакова. Она может быть
найдена с помощью расходомера Вентури (рис.1.3). Расчетную формулу получим, рассмотрев сечения 6-6 и 7-7.
Плоскость сравнения совмещена с осью трубопровода.
p6 6 υ62
p7 7 υ72
z6 

 z7 

 hw67
g
2g
g
2g
z6 =0;
z7 =0;
p6 = p;
p7 определим с помощью дифферен-
циального ртутного манометра, проведя плоскость уровня О-О:
p7= p+ρg(а + hВен) – ρрт ghВен- ρgа;
скорость в шестом сечении выразим через скорость в седьмом на основании
уравнения неразрывности Q = υ ω = const, приняв υ7 = υ, тогда
2
d Вен
d 2
υ
 υ6
;
4
4
υ6  υ
d2
.
2
d Вен
Потерями напора при расчете можно пренебречь, так как сечения расположены близко друг к другу и переход от одного сечения к другому выполнен плавно. Подставим все данные в уравнение Бернулли, преобразуем его и
сформируем формулу для определения расхода, приняв коэффициент Кориолиса α равным единице для турбулентного режима:
11
2
p
gа ghВен  рт ghВен gа υ2
υ d4







,
4
g 2 g d Вен
g g
g
g
g 2 g
p
2
 рт
υ d4
( 4  1)  hВен (
 1),
2 g d Вен

 рт
 1)hВен

,
d4
( 4  1)
d Вен
2g(
υ
13600
19,6(
 1)0,33
1000
υ
 2 ,33м/с.
0 ,14
(
 1)
0 ,05 4
Теперь определим величину расхода:
d 2
2,33  3,14  0 ,01
Qυ
; Q
 0,0183 м 3 /с .
4
4
2) Для определения диаметра d1 самотечного трубопровода рассматриваются сечения 1-1 и 2-2. Плоскость сравнения совмещаем со вторым сечением.
z1 
2
p1 1 υ12
p

 z 2  2  2 υ2  hw12
g
2g
g
2g
z1 = Н;
z2 = 0;
p1= pа ;
p2= pа;
υ1=0;
υ2=0.
После подстановки данных получаем
Н  hw12
l υ2
 (   )
.
d1 2 g
Для упрощения расчетов выразим скорость через расход и преобразуем,
подставив значения известных величин. Так сумма коэффициентов местных сопротивлений на входе (ζвх=0,5) и выходе (ζвых= 1) трубопровода составит 1,5.
40 16Q 2
40 2,77  10 5
Н  (1,5   ) 2 4
 (1,5   )
d1  d1 2 g
d1
d14
12
Далее ход расчетов выполняется в следующей последовательности. Принимается диаметр равным 100 мм и проверяется режим движения.
Re 
1,27Q
.
d 1
При турбулентном режиме находится область сопротивления и определяется коэффициент Дарси. После этого рассчитывается действующий напор. Если он больше заданного, принимается новое значение диаметра в сторону увеличения, и повторяется расчет. Расчетные данные сводятся в табл.1.2. Они используются для построения графической зависимости.
Таблица 1.2
d1, мм
100
125
150
114
Re
232410
185928
154940
203868
500 d1/Δ
250000
312500
375000
285000
λ
0,0241
0,0232
0,0226
0,0235
(1,5+λ40/d1
11,14
8,92
7,53
9,78
H. м
3,09
1,01
0,41
1,604
Как можно ви-
деть, режим движения
Н. м3,5
во всех случаях турбу-
3
лентный, область со-
2,5
противления доквадра-
2
тичная, поэтому коэфРяд1
фициент Дарси рассчи-
1,5
тан по формуле Альт1
шуля. Графическая за-
0,5
висимость приведена на
0
80
0
100
20
120
40
140
60
d160
1. мм
80
рис. 1.4. По графику
100
120
требуемый в соответ-
Рис. 1.4
ствии с заданным напором Н =1,6 м диаметр составляет 116 мм. Для стальных бесшовных труб по
ГОСТ8732-78 наиболее близкое значение внутреннего диаметра по таблицам
13
Шевелева соответствует 114 мм, толщина стенки δ = 4 мм. Расхождение действующего напора с полученным по расчету для принятого диаметра составляет
0,25%.
3) Для определения показания вакуумметра рассмотрим уравнение Бернулли для сечений 2-2 и 3-3. Плоскость сравнения совместим с сечением 2-2:
p3 3 υ32
p2 2 υ22
z2 

 z3 

 hw23
g 2 g
g 2 g
z2 = 0;
z3 = hнас;
p1= pа ;
p2= pа- рвак;
υ1=0;
υ2= υвс;
hw23
L υвс2
 (   )
.
D 2g
После подстановки данных получаем
2
pа
pа pвак  υвс
L υвс2
 hнас 


 (   )
.
g
g g
2g
D 2g
pвак
υвс2
L
 hнас  (    )
.
g
D
2g
υ
Re 
1,27Q 1,27  0,0183

 1,49 м/с.
D2
0,1252
1,27Q 1,27  0,0183

 185928 ˃2300,
D
0,125  10 6
режим турбулентный, α=1, коэффициент Дарси
 68  

  0,11 

Re
D


0 ,25
0.2 
 68
 0,11 


 185928 125 
0 ,25
 0,0232 .
Значения коэффициентов местных сопротивлений заданы в условии задачи, поэтому их сумма составляет
Σζ=ζсет+ ζкол+ ζзад= 7,0+2,0+0,4=9,4.
Тогда
14
pвак
1,49 2
0
,
0232

16
 6,1  (9,4 
 1)
 7 ,61 м вод.ст.  0,76 ат.
g
0,125
2  9,8
Величина вакуума в пределах рекомендованных значений: (0,6 - 0,8) ат.
4) Для определения показания манометра М1 уравнение Бернулли записываем для сечений 4-4 и 8-8. Плоскость сравнения совместим с осью трубопровода там, где расположено сечение 4-4.
z4 
2
p
p4 4 υ24

 z8  8  8 υ8  hw48
g 2 g
g 2 g
z4 = 0;
z8 = Н2;
p4= pа+рман1 ;
p8= pа;
υ4= υ;
hw48
υ8= υ;
2
l υ
 (   )
.
d 2g
2
pа pман1 υ 2
pа υ 2
l υ


 Н2 

 (   )
.
g
g
2g
g 2 g
d 2g
2
pман1
l υ
 Н 2  (   )
.
g
d 2g
Σζ+ 
l
0,0241  280
= 3ζкол+ ζзад+
=3·0,4+2,0+67,48=70,68.
d
0,1
pман1
2,332
 16  70,68 
 35,58 м вод.ст.  3,56 ат.
g
2  9,8
Чтобы найти показание второго манометра, надо рассмотреть сечения 4-4
и 5-5:
p5 5 υ52
p4 4 υ24
z4 

 z5 

 hw45
g 2 g
g 2 g
z4 = 0;
z5 = 2 м;
p4= pа+рман1 ;
p5= pа + рман2;
υ4= υ;
hw45
υ5= υ;
2
l υ
 (   )
.
d 2g
15
2
pа pман1 υ 2
pа pман2 υ 2
100 υ


 2


 (  
)
.
g
g
2g
g
g
2g
d 2g
2
pман2 pман1
100 υ

 2  (  
) .
g
g
d 2g
2
pман1
pман2
100 υ
 2
 (  
)
;
g
g
d 2g
pман2
0,0241100 2,332
 35,58  2  (0,4 
)
 26,79 м вод.ст.  2,7 ат.
g
0,1
2  9,8
5)Напор, создаваемый насосом, определяется как разность полных напоров на выходе из насоса (4-4) и на входе в него (3-3):
H нас
2
pа pман1 υ 2
pа pвак  υвс
 H 4  H3 


( 

),
g
g
2g
g g
2g
H нас
pман1 pвак (υ 2  υвс2 )



,
g
g
2g
H нас  35,58  7 ,61 
(2,332  1,492)
2  9,8
 43,35 м
Полезная мощность насоса определяется по формуле:
Nплз=ρgHнасQ,
Nплз=1000·9,8·43,35·0,0183=7774,4 Вт≈7,8 кВт.
6) При истечении жидкости через насадки величина расхода определяется
по формуле
Qнас  нас нас 2gН1 .
Выразим из формулы Н1:
2
8  0,01832
8Qнас
Н1  2 2 4 
 6,598 м  6,6 м.
 нас d g 0,82 2  3,14 2  0,05 4  9,8
7) Определим толщину стенок трубопровода, учитывая давление после
насоса и величину повышения давления при возможном гидравлическом ударе:
рmax=рман1+ Δр = рман1+ ρсυ,
где с – скорость распространения ударной волны
рmax =35,58·9,8·104+1000·1350·2,33=6632340 Па.
16
Для определения толщины стенки трубопровода, определим силу давления на единицу длины
трубы, учитывая её гоd
ризонтальную составляющую Rx (рис.1.5):
Rx
Rx=pmax·Ay.
Здесь Ay – площадь
δ
прямоугольника при
Ay
l
l=1.
Рис.1.5
pmax·d·1=6632340·0,1·1=663234 Н.
Условие прочности при растяжении можно записать в виде:

Rx
  adm ,
2  1
где 2δ·1=Араз – возможная полная площадь разрушения.
Откуда

Rx
663234

 0,00331 м  3,3 мм. .
2 adm 2  100000000
Как можно видеть, принятый к выполнению трубопровод для заданных
условий работы соответствует условию прочности. К примеру, по ГОСТ 994081 для выпускаемых промышленностью труб с условным проходом 100 мм
применяемая толщина стенок труб от 4 до 5 миллиметров.
Глава 2
ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ МЕХАНИКИ
В самом начале раздела повторимся, что предметом изучения в данном
курсе являются физические тела, обладающие свойством текучести: под действием малых сил при их движении изменяется относительное положение элементов, составляющих их структуру. В последнее время такие физические тела
иногда объединяют под одним понятием – флюид (fluid).
17
Несмотря на различие некоторых свойств, обусловленных молекулярным строением жидкостей и газов, основной гипотезой при их изучении является гипотеза сплошности. Поэтому в гидравлике в некоторых расчетах процессов в газовых средах использовалась модель «несжимаемой жидкости». Тем
не менее, в отличие от капельных жидкостей у газов свойство «сжимаемость»
характеризуется большими значения коэффициентов объемного сжатия и температурного расширения. Оно может существенно влиять на плотность газа.
2.1. Связь плотности газа с давлением и температурой
Изменение плотности газа чаще всего сопровождается изменением температуры и теплообменом. Многие процессы в технике могут быть приближены к модели идеального или совершенного газа, для которого справедливо
уравнение Клапейрона, позволяющее определять плотность при известных давлении и температуре:

p
,
RT
где р - абсолютное давление;
R - удельная газовая постоянная, различная для разных газов, но не зависящая от температуры и давления, для воздуха R=287 Дж/(кг·K);
Т – абсолютная температура.
B технических расчетах плотность газа обычно приводят или к нормальным физическим условиям: (Т=0°С; р=101325 Па) или к стандартным условиям (Т =20°С; р=101325 Па). Так плотность воздуха при R=287 Дж/(кг·K) в стандартных условиях будет равна
0 
101325
 1,2 кг/м3 .
287 (273  20)
Плотность воздуха при других условиях определяется по формуле
  0
pT0
.
р0T
Пример 2.1. Определить плотность воздуха при избыточном давлении
р=4900Пa и температуре t = 200° С.
18
Решение. Находим абсолютное давление воздуха
рабс = 101325 + 4900 = 106225 Па.
Определяем абсолютную температуру воздуха
Т= 273+ 200 = 473° К.
Находим плотность воздуха из уравнения состояния

рабс 106225

 0,78 кг / м 3 .
RT 287  473
Физические константы газов зависят от характера протекания процессов в
термодинамических системах. Термодинамический процесс – это изменение
состояния системы, происходящее при обмене ее энергией с окружающей средой. Преобразование механической энергии в тепло (или обратный процесс)
происходит с помощью газа, который в этом случае является рабочим телом
системы. Рассмотренные формулы справедливы для состояний газов, когда их
параметры не меняются (или меняются весьма медленно) во времени - статических (и квазистатических).
Более общим является политропный процесс,— термодинамический
процесс, во время которого удельная теплоёмкость газа с остаётся неизменной.
Простейший политропный процесс идеального газа определяется уравнением
pW n  const ,
где W – объем газа,
n – показатель политропы
n
c  cp
c  cW
,
ср, сW – теплоёмкости при постоянном давлении и постоянном объёме соответственно, которые связаны между собой по формуле Майера зависимостью
c p  cW  R .
Можно отметить, что показатель политропы отражает пропорцию разделения
подводимой теплоты между внутренней энергией и работой.
Используя уравнение состояния, можно записать
pT
n
1n
 const
или
19
WT
1
n 1
 const .
Тогда в зависимости от вида процесса (изохорный, изобарный, изотермический,
адиабати́ческий) могут быть получены соответствующие зависимости. Так для
изотермического процесса (T=const) из данной формулы имеем
р/ρ = const;
для адиабатического процесса
p/ρk = const,
где k=cp /cυ- адиабатическая постоянная газа.
Для статических процессов закон сохранения энергии выражен 1-м началом термодинамики:
QT= A + ΔU = pΔW + ΔU.
Здесь QT – подведенное к газу тепло, A = pΔW – совершаемая работа, ΔU – изменение внутренней энергии газа. При передаче энергии тепловым путем происходит теплообмен, вызванный изменением температур. Это приводит к изменению физической величины, которую называют энтропией S:
ΔS=S2 – S1 = ∫dS,
dS=dQT/Т - бесконечно малое изменение энтропии при передаче бесконечно малого количества теплоты. Тогда в дифференциальной форме
dS 
dU p
 dW .
T
T
При переходе из одного состояния в другое изменение энтропии составит
p 2 1k
S  cW ln
.
p1 k2
Процесс, для которого ΔS=0, называется изоэнтропическим.
При термодинамическом анализе важной функцией параметров состояния является удельная (единицы массы) энтальпия – теплосодержание при постоянном давлении
h U 
p
 c pT .

Сжимаемость газов зависит от характера процесса изменения состояния.
Для изотермического процесса
20
Е=р,
а для адиабатического
Е=kр,
где Е - модуль упругости.
Важной характеристикой, определяющей зависимость изменения плотности газа при изменении давления в движущемся потоке, является скорость распространения звука с. В однородной среде скорость распространения звуковых
колебаний определяется из выражения
с2 
dp
.
d
Скорость звука с учетом процесса можно определить
с
для изотермического
Е
,

для адиабатического процесса для газов следует
с  kRT .
Соотношение между скоростью звука и скоростью движения потока позволяет судить о необходимости учета сжимаемости в каждом конкретном случае. Значительные разности давлений, вызывающие существенные изменение
плотности газов, могут возникнуть при движении с большими скоростями.
Практически газ можно принимать несжимаемым при скоростях движения, не
превышающих 100 м/с.
Для реальных углеводородных газов уравнение состояния представляют в
виде
R
p
 zRT  z 0 T ,


где R0 =8314 Дж/(кмоль·К) – универсальная газовая постоянная, μ –масса киломоля. Коэффициент сжимаемости z
 p T 
z  z , 
 pc Tc 
21
является функцией критических давления рс и температуры Тс, соответствующих давлению и температуре в критической точке на карте изотерм. В этой
точке исчезает различие между насыщенным паром и жидкостью. При температуре выше критической нет двухфазных состояний.
2.2. Равновесие газов в поле силы тяжести
При малой высоте столба газа его плотность можно считать одинаковой
по высоте столба. Тогда давление, создаваемое этим столбом, определяют по
основному уравнению гидростатики.
При большой высоте столба воздуха плотность его в различных точках
уже не одинаковая, поэтому рассматривая дифференциальное уравнение давления для случая абсолютного покоя и подставляя в него значение плотности,
имеем
dp  
pgz
RT
или
dp
gz
.

p
RT
Для того чтобы проинтегрировать это уравнение, необходимо знать закон изменения температуры воздуха по высоте столба воздуха. Однако выразить изменение температуры простой функцией высоты или давления не представляется возможным, поэтому решение уравнения может быть только приближенным.
Для отдельных слоев атмосферы с достаточной точностью можно принять, что изменение температуры в зависимости от высоты (а для шахты от
глубины) происходит по линейному закону:
Т = Т0 +αz,
где Т и Т0- абсолютная температура воздуха соответственно на высоте (глубине) z и на поверхности земли, α- температурный градиент, характеризующий
изменение температуры воздуха при увеличении высоты(-α) или глубины (+α)
на 1 м, К/м.
Значения коэффициента α на разных участках по высоте в атмосфере или
по глубине в шахте различные. Кроме того, они зависят также от метеорологи22
ческих условий, времени года, и других факторов. При определении температуры в пределах тропосферы (т. е. до 11000 м) обычно принимают α = 0,0065
K/м, для глубоких шахт среднее значение α принимают, равным 0,004÷0,006
K/м для сухих стволов, - для мокрых стволов 0,01.
Подставляя в дифференциальное уравнение давления формулу изменения
температуры,
р
dp g H dz
 p  R  T  z
р0
0 0
и интегрируя его, получаем
ln
T  H
p
g

ln 0
.
p0
R
T0
Уравнение может быть решено относительно Н при замене натуральных
логарифмов десятичными, α - его значением из уравнения через температуру, R
- значением для воздуха, R=287 Дж/[(кг·К); и подставляя g = 9,81 м/с2.
В результате этих действий получается барометрическая формула
Н = 29,3(Т-Т0)(lg p/p0)/(lgT0/T),
которая используется для определения высоты (или глубины - в шахте) по измеренному давлению и температуре, а также формула для расчета давления
p  p0 (
где n определяется по формуле
n
T n
) ,
T0
Н

29 ,3( Т  Т 0 )
2.3. Уравнения одномерного потока идеального газа
При одномерном течении идеального газа параметры, характеризующие
его состояние, изменяются только по длине потока. Для установившегося движения основные законы механики для газа будут выглядеть в следующем виде.
Закон сохранения массы выражается уравнением неразрывности для сечений по длине потока
М = ρ1υ1ω1= ρ2υ2ω2= const
23
М – массовый расход, кг/с.
Закон сохранения количества движения при принятом равномерном
распределении параметров по сечению можно записать:
   
 
M (υ2  υ1 )  P  T  G  R ,

где в правой части уравнения представлены главные векторы сил давления P ,

действующих в сечениях 1-1 и 2-2, трения T по поверхности объёма газа между


G
этими сечениями, массовых
и реакции R твердых тел, окружающих объём.
Закон сохранения полной энергии для тех же условий течения газа выглядит следующим образом:
υ22
υ12
K (e) N (e)
( gz2  h2  ) - ( gz1  h1  ) 

.
2
2
M
M
Здесь K (e ) - подведенная извне тепловая мощность,
N (e ) - подведенная извне механическая мощность.
Остальные обозначения прежние.
Как можно видеть полная энергия единицы массы газа кроме удельной
потенциальной и кинетической энергии включает и внутреннюю энергию газа.
Если для газа пренебречь действием силы тяжести и подставить значение
энтальпии h, то получится следующее уравнение
υ22
υ12
K (e) N (e)
( с р Т 2  ) - (с р Т 1  ) 

.
2
2
M
M
Рассматривая совместно зависимости для показателя адиабаты k=cp /cυ и формулу Майера c p  cW  R , можно выразить
1
k
cW 
R.
R
k 1
k 1
Выражая Т из уравнения состояния, полученные для закона сохранения энергии
cp 
выражения можно переписать в виде
k p2 υ22
k p1 υ12
K (e) N (e)
(
 )-(
 )

.
k  1 2
2
k  1 1 2
M
M
(e)
Для энергетически изолированной системы K ( e )  0 и N  0 уравнения
закона сохранения принимают вид
24
υ12
υ22
с рТ 1 
 с рТ 2  ,
2
2
k p1 υ12
k p2 υ22


 .
k  1 1 2 k  1  2
2
Рассмотрим для поперечного сечения при изоэнтропическом процессе
уменьшение скорости до нуля
с рТ 
υ2
2
 с рТ 0  h0 
k
RТ 0
k 1
k p υ12
k p0


k 1 
2 k  1 0
и обозначим параметры торможения через Т0, р0, ρ0, h0. Для изоэнтропического
потока идеального газа все параметры торможения остаются постоянными по
длине потока. Для адиабатического потока с трением при изменении энтропии
вдоль потока параметры р0, ρ0 будут различными в разных сечениях, а Т0, h0 и
р0/ρ0 остаются постоянными в сечениях по длине потока.
(e)
Для энергетически неизолированного потока при N  0 подведенная
внешняя теплота, рассчитанная на единицу массы определяется из выражения
υ12
υ22
K (e)
 (с рТ 1  )  (с рТ 2  )  h02  h01 .
M
2
2
Мощность идеального компрессора и идеальной турбины ( K ( e )  0 ) определяется по формуле
k 1




υ υ
N
k p2 υ
k p1 υ
k p1  p2 k
   1
(
 )-(
 )


M
k  1 2
2
k  1 1 2
2
k  1 1  p1 


2
2
(e)
2
1
2
2
2
1
или
k 1


N
k p01  p02  k
k R0T01

  1 
L

 k 1 
M
k  1 01  p01 


(e)
k 1


k


p
 02   1
 p01 



где индексом «01» обозначены параметры торможения до машины, «02» - после машины.
25
С помощью множителя η, являющегося к.п.д. машины, учитывается отклонение от изоэнтропического процесса, в случае компрессора
Lк=L/η,
в случае турбины
Lт=Lη.
Полезная мощность компрессора или затрачиваемая мощность турбины определяется
N ( e )  МL   01Q01L ,
где Q01 – объёмный расход газа при р01 ρ01.
2.4. Расчет трубопроводов для газа
Перекачивание газов (воздуха, пара, природного и искусственного) по
трубам применяется очень широко в технических и бытовых целях. С точки
зрения гидравлических расчетов удобнее выразить закон сохранения энергии в
механической форме

υ2
dр
 d 2  den  dew ,

2
располагаемая работа газа при его движении расходуется на изменение кинетической энергии, на совершение внешней (технической) работы den и на совершении работы трения (преодоление гидравлических сопротивлений) dew.
Для элемента длины трубопровода dx без учета энергии на совершение
внешней работы будем иметь
υ22
dр
dx υ22

d

.

2
d 2
Здесь потери удельной энергии на трение взяты по формуле Дарси-Вейсбаха.
При движении газа в трубопроводе постоянного диаметра одновременно
изменяются давление, плотность и скорость движения. Давление уменьшается
вследствие совершения работы по преодолению силы трения, плотность также
изменяется. Средняя скорость движения газа увеличивается по ходу его движения, так как массовый расход остается постоянным. Остается постоянным ди26
намический коэффициент вязкости μ=νρ (из закона сохранения массы для изотермического процесса) и, следовательно, число Рейнольдса.
Для политропного процесса, преобразуя и интегрируя, результат можно
записать в виде
n 1
n
2
n 1
n
1
1 p  p

n 1
p11 / n
n
υ22
p1
l υ22

ln

 0.
n
p2
d 2
В реальных длинных трубопроводах, выполненных без тепловой изоляции, существует теплообмен между газом и окружающей средой, поэтому температуру
газа можно считать постоянной, а термодинамический процесс - изотермическим. Кроме того, для магистральных трубопроводов
1 р1
ln
часто значительn р2
но меньше l / d . Поэтому подставляя n = 1 и выражая скорость из уравнения
для массового расхода можно записать формулу
( p12  p22 )d
M 
RT l
В случае более подробного расчета при изменении сечений потока и
необходимости учета местных сопротивлений формула расхода будет иметь
вид
p12  p22
M 
RT ( сист
где
p
 2ln 2 )
p1
 сист    
,
l
.
d
Коэффициент гидравлического сопротивления λ для газа в зависимости
от числа Рейнольдса можно вычислить по формулам, используемым при течении жидкости.
При изотермическом движении газа в трубопроводе постоянного сечения
вывод расчетных зависимостей для определения давлений и массового расхода
27
можно получить проще, применяя принятые допущения и учитывая изменение
плотности в сечениях с помощью уравнения состояния для данного процесса.
28
Для двух сечений, расположенных в непосредственной близости друг от
друга (рис. 2.1) уравнение Бернулли будет выглядеть
2
р+dp
1
р
x
0
0
1 dx
p
p  dp
dx M 2


,
g
g
d  2 2 2 g
2
где скорость выражена через массовый расход.
p p  dp
dx M 2


;
g
g
d  2 2 2 g
Рис. 2.1
dx gM 2
dx M 2
 dp  

;
d 2 2 2 g
d 2 2
 dp  
р2
dx M 2 RT
;
d p2 2

p
;
RT
M 2 RT
 pdp  
dx
2d2
l
p12  p22 lM 2 RT

;
2
2d2
M 2 RT
  pdp  
dx
2 
2
d

р1
0
Откуда формула для определения давлений
lM 2 RT
p p 
d2
2
1
2
2
и ранее рассмотренная для массового расхода
( p12  p22 )d
M 
.
RT l
Пример 2.2
Определить массовый расход воздуха М в магистральном пневмоприводе
с диаметром труб d = 15 мм и общей длиной l = 15 м, содержащем вентиль, распределитель и пневмоцилиндр с поршнем, диаметр которого D = 250 мм (рис.
2.2). Величина подводимого давления составляет р1= 0,63 МПа, температура
воздуха Т = 20° C. К штоку поршня приложена сила F =0,8 кН. Принять эквивалентную шероховатость Δэ = 0,02 мм и сумму коэффициентов местных сопротивлений Σζ=12. Процесс считать изотермическим.
29
Как уже отмечалось, расчеты пневмосистем производятся на осное законов сохранения массы и энергии, математическим описанием которых для газовых течений яв-
F
ляются уравнение сплошности и уравнение Бернулли.
пневмоцилиндр
2
Уравнение сплошности показывает, что массо-
2
D
вый расход газа М через все поперечные сечения
распределитеь
трубопровода ω величина постоянная для данного
потока:
вентиль
М= ρ1·υ1·ω1= ρ2·υ2·ω2= const.
1
Сечения, для которых выполняется расчет,
1
d, l
Рис. 2.2
указаны на схеме (рис. 2.2).
Решение.
1. Определяется абсолютное давление в поршневой полости
p 2  pа 
F 4
,
D 2
здесь ра - атмосферное давление, ра=1 атм=101325 Па (физическая атмосфера)
F - приложенная к поршню сила, Н;
D 2
- площадь поршня, м2.
4
p2  101325 
800  4
 117631 Па.
3,14  0,252
2. Рассчитывается плотность воздуха в поршневой полости на основании
уравнения состояния совершенного газа:

p
,
RT
где R – удельная газовая постоянная R = 287 Дж/(кг К) для сухого воздуха;
Т - абсолютная температура, ° К
Т = 273+20=293° К
30

117631
 1,399 кг / м 3  1,4 кг / м 3 .
287  293
.
3. В первом приближении определим коэффициент гидравлического трения (Дарси) λ, предполагая, что газ движется в трубопроводе при турбулентном
режиме в квадратичной зоне сопротивления по формуле Шифринсона:
 
  0 ,11  э 
 d 
0 ,25
 0 ,02 
= 0 ,11 

 15 
0 ,25
=0,0210.
4. Коэффициент сопротивления системы с учетом суммы коэффициентов
местных сопротивлений
l
15
ζсист = (Σζ+  ) = 12+0,021
=33.
d
0 ,015
5. Массовый расход найдем по формуле
M 
p12  p 22
RT ( сист  2ln
M1 
3,14  0,015 2
4
p2
)
p1
630000 2  1176312
 0,0625 кг/с.
117631
287  293(33 - 2 ln
)
630000
6. Проверим правильность выбора формулы для расчета коэффициента
Дарси. Для этого определим число Рейнольдса
Re 
υd Md
4M


  d
Для изотермического процесса в связи с постоянной температурой кинематический ν и динамический μ коэффициенты вязкости не изменяются
     а  а 
pа
а
RT
Кинематическая вязкость воздуха при атмосферном давлении рат =101325 Па и
температуре Т = 293° К принята νа = 1,5·10-5 м2/с
101325 1,5 10 5

 1,8 10 5 Па  с.
287  293
31
Re 
4M
4  0.0625

 294880 .
d 3,14  0,015  1,8  10 5
Границей начала квадратичной зоны сопротивления для трубопроводов
можно считать соотношение 500
15
d
d
: 500
=375000. Так как Re < 500
, то
э
э
0 ,02
зона сопротивления в задаче - доквадратичная. Коэффициент трения необходимо вычислять по формуле Альтшуля
  0 ,11(
68  э 0,25

) ;
Re
d
  0 ,11(
68
0 ,02 0,25

)
 0 ,0218 .
294880
15
7. Новый коэффициент сопротивления системы
15
l
ζсист = (Σζ+  ) = 12+0,0218
=33,8.
d
0 ,015
Значение массового расхода во втором приближении
630000 2  1176312
 0,0619 кг/с.
117631
287  293(33,8 - 2 ln
)
630000
8. Определим относительное расхождение значений расхода в двух приM2 
3,14  0,015 2
4
ближениях
М1  М 2
0,0625  0,0619
 100% 
 100%  0,97%
М2
0,0619
Разница не превышает 5% и считается допустимой. Дальнейших приближений
выполнять не надо.
Пример 2.3
От газопромысла по газопроводу внутренним диаметром d = 500 мм,
длиной l = 3,6 км, шероховатостью Δэ = 0,1 мм подается массовый расход природного газа М = 40 кг/с (R= 520 Дж/(кг·К), ν = 14·10-6 м2/с) до газораспределительной станции (ГРС). Показание манометра, установленного на газопроводе у
газопромысла составляет рм1, = 2,8 МПа. При этом температура окружающего
воздуха Т = 15 °С и атмосферное давление ра= 98 кПа. Определить давление
32
рм2, которое показывает манометр на газопроводе у газораспределительной
станции ГРС.
Решение
1) Плотность газа в начальном сечении можно найти в соответствии с
показанием манометра рм1 после определения абсолютного давления по уравнению состояния
рабс= ра+ рм1 = 2800000 + 98000 = 2898000 Па;
1 
pабс
289800

 19,35 кг/м 3 .
RT 287  (273  15)
2) Скорость газового потока в начальном сечении определится из уравнения массового расхода:
М = ρ1υ1ω1.
υ1 
М
4М
4  40


 10,53 м/с.
2
1 1 d
19,35  3,14  0,25
3) Далее определяется число Рейнольдса потока, чтобы выбрать соответствующую формулу для расчета коэффициента гидравлического трения λ:
Re 
υ1d 10,53  0,5

 376071 2300.

14  10 6
Режим турбулентный, поэтому определяем границы областей сопротивления:
«гладкие стенки » Re ≤ 20 d/э = 20·500/0,1 = 100000;
начало квадратичной зоны сопротивления Re ≤ 500 d/э=500·500/0,1=2500000.
Так как Re ≤ 500 d/э , то область сопротивления – доквадратичная и коэффициент гидравлического трения рассчитывается по формуле Альтшуля
 68  
  0,11   э 
 Re d 
0 ,25
0,1 
 68
 0,11 


 376071 500 
0 ,25
 0,0154.
4) Из формулы массового расхода для трубопровода постоянного сечения
определим абсолютное давление во втором сечении
( p12  p22 )d
M 
RT l
33
M 2 ( p12  p22 )d

;
2
RT l
M 2 RT l 16M 2 RT l
(p  p ) 

2 d
2 d 5
2
1
p2 
p2 
2
2
16M 2 RT l
p 
.
2d 5
2
1
16  40 2  520  288  0 ,0154  3600
2898000 
 2776430 Па
3,14 2  0 ,55
2
Показание манометра рм2 составит
рм2 = рабс2 - ра = 2776430- 98000 = 2678429 Па = 2,68 МПа.
Указание.
В случае отсутствия сведений о шероховатости газопровода коэффициент гидравлического трения может быть определен по формуле Веймаута:
  0,009407 / 3 d .
34
Библиографический список
литературы, использованной при создании учебных материалов
1. Альтшуль А. Д., Животовский Л. С., Иванов Л. П. . Гидравлика и аэродинамика. М.: Стройиздат, 1987. 497 с.
2. Гидравлика и гидропривод: Учеб. пособие / Н. С. Гудилин, Е. М. Кривенко, Б. С. Маховиков, И. Л. Пастоев; Под ред. И. Л. Пастоева- 2-е изд., стереотип. М.: Изд-во МГУ, 2001. 520 с.
3. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика. М.: Машиностроение, 1978.
463 с.
4. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям Под
ред. М. О. Штейнберга.3-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992. 672 с.
5. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика: Учеб.
Для вузов / Под ред. Д.Н. Попова. 2-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2002. – 384с.
6. Сборник задач по гидравлике для технических вузов: учебное пособие /
Д.А. Бутаев, З.А. Калмыкова, Л.Г. Подвидз и др.; под ред. И.И. Куколевского,
Л.Г. Подвидза. - 6-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э.Баумана, 2009. – 486 с.
7. Сборник задач по гидравлике и газодинамике для нефтегазовых вузов /
И. М.Астрахан, В. Г. Иванников, В. В. Кадет, И. Н. Кочина, А. Е. Евгеньев, Г. Д.
Розенберг; под ред. В .В. Кадета –Изд. второе, переработанное и дополненное.М.: Грифон, 2007.- 304 с.
8. Тужилкин А. М., Степанов В. М., Злобин Е. К., Калинчев В. Н., Вислогузов В. М. Примеры гидравлических расчетов: учебное пособие. - М.: Изд-во
АСВ, 2008. - 167 с.
35