«Линейная алгебра» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ

НОУ ВПО ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ,
БИЗНЕСА И ПРАВА
Витченко О.В.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Линейная алгебра»
для студентов заочной формы обучения
Ростов-на-Дону
2014
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Линейная алгебра» разработан в
соответствии с требованиями Федерального Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для студентов заочной формы обучения, обучающихся по направлению подготовки 080100.62 «Экономика».
Учебно-методический комплекс рекомендован кафедрой «Информационные технологии» (протокол № 1 от 31.08.2013) и утвержден Учебно-методическим советом
Академии Управления (протокол №1 от 31.08.13) НОУ ВПО Института управления,
бизнеса и права.
Учебно-методический комплекс предназначен для студентов заочной формы
обучения, содержит план лекционных и практических занятий, рекомендации по
выполнению контрольных (курсовых) работ и самостоятельной работы, требования к
уровню освоения программы и аттестации по дисциплине, учебно-методическое и
учебно-информационное обеспечение дисциплины.
Составитель: к.п.н. Витченко О.В. (НОУ ВПО ИУБиП)
Рецензенты: к.т.н., Ткачук Е.О.
к.т.н., Алекперов И.Д.
СОДЕРЖАНИЕ
1
ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ
2
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
3
КОНТРОЛЬ ОВЛАДЕНИЯ КОМПЕТЕНЦИЯМИ
4
МЕТОДИЧЕСКИЕ
УКАЗАНИЯ
ПО
ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ (КУРСОВЫХ) РАБОТ
4.1 Перечень тем контрольных (курсовых) работ
4.2 Методические
рекомендации
по
выполнению
контрольных
(курсовых) работ
5
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
6
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ
(ЗАЧЕТНЫЕ)
ВОПРОСЫ
ПО
ДИСЦИПЛИНЕ
7
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
8
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А – Образец оформления титульного листа
контрольной (курсовой) работы
1 ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ
Тема 1. Алгебра матриц
Цель лекции:
- ознакомить с основными понятиями теории матриц и их приложениями к решению алгебраических задач.
План:
1. Матрицы: основные понятия. Операции над матрицами
2. Определители квадратных матриц и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей n-го порядка.
3. Обратная матрица. Ранг матрицы. Линейная зависимость и независимость строк
(столбцов) матрицы.
4. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Система т линейных уравнений с п переменными. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод. Метод Гаусса. Метод Крамера.
5. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
Содержание
1. Матрицы: основные понятия. Операции над ними.
1.Сложение (вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно:
C=A+B, если cij  aij  bij ; i  1,2,..., m; j  1,2,...n.
2.Умножение матрицы на число — каждый элемент матрицы умножается на это
число:
B   A, если bij   aij ; i  1,2,..., m; j  1,2,..., n.
3.Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матрицы
A  B назыk n
mn
вается такая матрица С, каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
k
cij   ais bis ; i  1, 2..., m; j  1, 2,..., n.
s 1
4.Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А', в которой
строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка
a 'ij  a ji ; i  1,..., m; j  1,..., n.
5.Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень
m(m  1) : Am  A  A.... A.
m
раз
2. Определители квадратных матриц и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей n-ого порядка.
1.Определитель квадратной матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:
2
| A |
a11
a21
a12
 a11a22  a12 a21. (1.7)
a22
2.Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или правилу Сарруса.
a11 a12
 3 | A | a21 a22
a31 a32
a13
a23  a11a22 a33  a21a32a13  a12a23a31  a31a22a13  a21a13a33  a32a 23a11 ,
a33
где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «-» (правая схема):
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
3.Определитель
квадратной матрицы п-го порядка определяется более сложным образом. Он может быть вычислен по теореме Лапласа.
4. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы n  го порядка называется ее минор M ij , т.е. определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием
i  й строки j  го столбца, взятый со знаком (1)i  j :
Aij  (1)i  j M ij .
5.Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
n
n
s 1
j 1
A   aij Ais   asj Asj
6. Определитель треугольной и, в частности, диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
7. Некоторые свойства определителей квадратных матриц:
а) определитель не изменяется при транспонировании матриц;
б) определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (или
столбца) матрицы;
в) определитель равен нулю, если: все элементы любой строки (или столбца)
равны нулю; элементы любых двух строк (или столбцов) пропорциональны, либо (в
частном случае) равны;
г) определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца)
матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные
на число, отличное от нуля.
8. Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если ее
определитель отличен от нуля, т.е. | A | 0 .
3. Обратная матрица. Ранг матрицы. Линейная независимость строк
(столбцов) матрицы
1.Матрица A1 , обратная к квадратной матрице А, — такая матрица, что
A1 A  A1 A  E,
 1 0 ...
 0 1 ...
гдеE  
 ... ... ...

 0 0 ...
0
0 
— единичная матрица того же порядка.
... 

1
2.Обратная матрица A1 существует (и единственна) тогда и только тогда, когда
исходная матрица А невырожденная, т.е. | A | 0 . В этом случае ее можно найти по
формуле: | A |
1
A,
| A|
Где A — присоединенная матрица, элементы которой Aks  Aks равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы А', транспонированной к матрице А.
3. Рангом матрицы A (rang А или r(А)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
4. Свойства ранга матрицы:
а) если матрица А имеет размеры т × п, то rangA  min(m; n);
б) rang А = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны 0;
в) если матрица А - квадратная порядка п, то rang А = п тогда и только тогда, когда A  0.
5. Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:
а) отбрасывание нулевой строки (столбца);
б) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;
в) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;
г) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих
элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
д) транспонирование матрицы.
6. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к сту a11 a12 ... a1r ... a1k 
 0 a
... a2 r ... a2 k 
22
пенчатому виду: A  
,
 .
.
.
.
.
. 


0 ... arr ... ark 
 0
где aii  0, i  1,..., r; r  k.
Ранг ступенчатой матрицы равен r.
7. Строки (столбцы) матрицы e1 , e2 ,..., em называются линейно зависимыми, если
существуют такие числа 1 , 2 ,..., n , не равные одновременно
нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
1e1  2e2  ....  mem  0, где 0  (0,0,...,0). В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.
8. Теорема о ранге матрацы:
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или
столбцов.
4.Системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод. Метод Гаусса. Метод Крамера.
Общий вид системы т линейных уравнений с п переменными:
 a11 x1

 a 21 x1
 

a x1
 

a m1 x1
 a12 x2    a1 j x j    a1n xn  b1,
 a 22 x 2    a 2 j x j    a 2 n xn  b2 ,
           
 ai 2 x 2   


  
aij x j    ain xn  bi ,

  

 
 a m 2 x 2    a m j x j    a m n x j  bm .
2. В матричной форме система имеет вид: А Х = В, где
 a11 a12  a1n 
 x1 
 b1 


 
 
 a21 a22  a 2 n 
b 
 x2 
A
,
X
,
B 2 .



 am1





am n
 
 
 
 xn 
  
 
 
 bm 
am 2
Здесь А — матрица системы; X— матрица-столбец переменных; В — матрицастолбец свободных членов.
3. Если определитель матрицы системы n линейных уравнений с n переменными ∆
= \А\ ≠ 0 (т.е. матрица А - невырожденная), то единственное решение системы определяется:
а) методом обратной матрицы по формуле:
Х=А-1В;
б) по формулам Крамера:
j
 j 1,, n,
xj

где ∆ј определитель матрицы, получаемой изматрицы А го столбца столбцом свободных членов В.
4. Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений. Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (А\В), приписывая к матрице А столбец
свободных членов В, затем матрицу (А\В) с помощью элементарных преобразований
приводят к ступенчатому виду (так называемый «прямой ход»); далее по полученной
матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных:
начиная с последних (по номеру);переменных находят все остальные (так называемый
«обратный ход»).
Система т линейных уравнений с п переменными
1. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен
рангу расширенной матрицы (А\В) (теорема Кронекера—Капелли).
2. Пусть r (А) = r, r < п; r переменных х1, х2,..., хr называются основными (базисными)., если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные п - r переменных называются неосновными (или свободными).
Решение системы, в котором все п - r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.
Совместная система имеет: единственное решение, если r = п, и бесконечное
множество решений, если r < п; число базисных решений конечно и не превосходит
C rn .
5. Системы линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений
1. Система называется однородной, если все свободные члены уравнений равны
нулю:
Решение
системы
записываем
в
виде
строки
(вектора)
e = (x1, x2, …, xn).
2. Если ранг матрицы системы r (А) = r < n, то система имеет n -r линейно независимых решений е1, е2, ..., еn-г, причем любое решение системы является линейной комбинацией решений е1, е2, ..., еn-г. Набор решений (векторов) е1, е2, ..., еn-г называется фундаментальной системой решений системы.
Общее решение системы имеет вид:
c1e1 + c2e2 + … + cn-ren-r,
где c1, c2, ...,cn-r - произвольные числа.
3. Для нахождения фундаментальной системы решений системы:
а) r основных (базисных) переменных (с отличным от нуля базисным минором) выражают через неосновные (свободные) переменные;
б) поочередно заменяют (n - r) неосновных переменных элементами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n - r, например, единичной Е n-r.
Литература:
1.Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш.
Кремер – Москва: ЮНИТИ, 2010. 483 c. (Глава 1. Глава 2 (§§2.1-2.5))
2.Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. –
М.: Эксмо, 2006. – 224 с. (Глава 1. Глава 2 (§§ 2.1-2.6))
Тема 2. Применение матричного исчисления
к решению экономических задач
Цель: сформировать представление об основах применения матричного
исчисления к решению экономических задач
План
1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
2. Модель планирования производства.
3. Модель планирования материальных затрат.
Содержание
1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
n
2. 1. Уравнения xi   xij  yi i 1,2,, n, называются соотношениями баланса, где
j 1
xi - объемы валового продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления, хij объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i =
1,2,..., n).
2. Соотношения баланса могут быть записаны:
n
а) в виде xi   aij x j  yi i 1,2,, n, где
j 1
aij 
xij
xj
i, j 1,2,, n - коэффициенты
прямых затрат, показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы
продукции j-й отрасли;
б) в матричном виде: X  AX Y или E  AX  Y
где
 x1 
 a11 a12
 

 x2 
 a 21 a22
X   , A  

 

 

 
 a n1 an 2
 xn 
 a1n 
 y1 
 

 a2n 
y 
, Y   2 ,


 
 

y 
 ann 
 n
X- вектор валового выпуска, Y - вектор конечного продукта, А-матрица прямых затрат.
3. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора
валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.
Вектор X находится по формуле:
X  E A1Y  SY .
4. Матрица S = (Е - А) -1 называется матрицей полных затрат, элемент которой
S ij показывает величину валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимой для
обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли уj = 1 i 1,2,, n.
5. Матрица А > 0 называется продуктивной, если для любого вектора Y > 0 существует решение X > 0 уравнения (2.11).
n
Матрица А продуктивна, если аij > 0 для любых i,j = 1, 2, ..., n и max  aij ≤1 и
j 1,, n
j 1
n
существует номер j такой, что  aij <1.
j 1
6. Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией
этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли.
2. Модель планирования производства
Имеется определенное количество изделий (деталей, полуфабрикатов, узлов),
которые необходимы для производства других изделий, в том числе конечной продукции. Между отдельными изделиями должны соблюдаться технологические соотношения. Например:
Детали
Узлы
Изделия
Рис. 1.
Стрелки и числа на них показывают, сколько единиц i-го изделия необходимо
для изготовления единицы j-го изделия. В общем виде эта информация может быть
представлена в виде матрицы затрат:
A  (aij ) n,n .
Если, кроме того, требуется определенное количество деталей и узлов в качестве
запасных частей, то для построения математической модели целесообразно также ввести
X  ( x1 , x2 ,..., xn )T - общий выпуск,
Y  ( y1 , y2 ,..., yn )T - конечный выпуск.
Тогда
x1  y1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn
x2  y2  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn
.......................................................
xn  yn  an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn
X  Y  A X
Если задан конечный выпуск, а требуется найти общий выпуск, то задача состоит в том, чтобы разрешить эту систему относительно Х:
X  A X Y
E  X  A X  Y
( E  A)  X  Y
X  ( E  A) 1  Y
3. Модель планирования материальных затрат
1. Расчет общих затрат материалов
Для того чтобы заготовить нужное количество сырья и материалов, необходимо
прежде всего рассчитать общие материальные затраты на предприятии.
Обозначим через bkj – затраты материалов k-го вида на производство одного изn
делия j-го вида (k 1, m; j  1, n) , а через bk   bkj  X j - общие затраты материалов k-го
j 1
вида.
Если объединить все bk в вектор b  (b1 , b2 ,...,bm )T , а все bkj в матрицу
B  (bkj ) m, n , то имеет место равенство
b  B x ,
где B – матрица материальных затрат,
b - вектор суммарных материальных затрат.
Подставив Х из (8.1.1) получим формулу для вектора суммарных материальных
затрат
b  B  ( E  A) 1  Y
2. Расчет суммарной стоимости затраченных материалов.
Если заданы цены всех материалов Pk (k  1, m) , то суммарная стоимость всех
затраченных материалов вычисляется по формуле:
K  P T  b  P T  B  ( E  A) 1  Y
где P T  ( P1 , P2 ,..., Pm ) .
3. Расчет стоимости затрат по каждому виду материалов.
Если требуется определить стоимость затрат по каждому виду материалов, то
целесообразно использовать не вектор, а диагональную матрицу цен, т.е.
 P1 0 ... 0 


 0 P2 ... 0 
.
P
... ... ... ... 


0
0
...
P
m

Вектор K стоимости затрат по каждому виду материалов получается следующим образом:
K  P  b  P  B  ( E  A) 1  Y
Литература
1.Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш.
Кремер – Москва : ЮНИТИ, 2010. 483 c. (Глава 2 (§2.6))
2.Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. –
М.: Эксмо, 2006. – 224 с. (Глава 2 (§ 2.7))
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Занятие 1. Действия над матрицами
Содержание
1. Найти матрицу C  A ' 3B, где
0 1
1 2 3


A
, B  5 6 .
0 1 2
 0 3


Р е ш е н и е . Найдем матрицу А', транспонированную к А, т.е. поменяем строки и
1 0
столбцы местами: A '   2 1  .
 3 2


Найдем матрицу 3B, умножив все элементы матрицы В на 3. Произведем вычитание
матриц A'и 3B (поэлементно):
3 
1 0
 0 3  1 0  0 3   1



 
 
 

C  A ' 3B   2 1   3   5 6    2 1   15 18    13 17 
 3 2
 0 3  3 2  0 9   3
7 



 
 
 
2. Найти произведение матриц А и В, если
1 2 0
 0 1
A
, B  

3 4 5
 5 1
Р е ш е н и е . Произведение матриц 2A3 2B2 не существует; поэтому найдем произведение
B A  C . Выделим элементы матрицы С; вначале — элементы 1-й строки:
22 23
2 3
c11 — это сумма произведений элементов 1-й строки первой матрицы — сомножителя
В на элементы 1-го столбца второй матрицы сомножителя A:
c11  b11a11  b12a21  0  1  1 3  3;
аналогично
c12  b11a12  b12 a22  0  2  1  4  4;
c13  b11a13  b12 a23  0  0  1  5  5.
Точно так же находятся элементы 2-й строки матрицы С:
c21  b21a11  b22 a21  5 1  1 3  8;
c22  b21a12  b22 a22  5  2  1 4  14;
c23  b21a13  b22 a23  5  0  1 5  5.
 3 4 5

 8 14 5 
Таким образом, C  BA  
1 
 2
 2 3
 обратной к матрице A  
.
 5 / 3 2 / 3 
5 6
3. Выяснить, является ли матрица A1  
Р е ш е н и е . Найдем произведения AA1 и A1 A :
1  1
 2 3  2
AA1  


 5 6  5/ 3 2 / 3   0
1  2 3   1
 2
A1 A  


 5/ 3 2 / 3  5 6   0
0
 E;
1 
0
 E.
1 
Таким образом, данные матрицы являются взаимно обратными.
Задания для самостоятельного выполнения
4. Найти матрицу С = -5А + 2В:
 0 0 1
1 1 0
3 4
 8 1


; B
. 4.2. A   1 0 1 ; B   1 2 0  .
4.1. A  


5 1
 2 3
 0 2 1
0 0 1




5. Найти произведения матриц:
 1 3 2  2 5 6 
 3 2  3 4 



5.1. 

 . 5.2.  3 4 1  1 2 5  .
 5 4  2 5 
 2 5 3  1 3 2 



6. Выяснить, являются ли взаимно обратными данные матрицы А и В:
1 2
 3 4
1 1
 0 1
; B  
 . 6.2. A  
; B  
.
5 6
 2 2
1 0 
 1 1
6.1. A  
Занятие 2. Вычисление определителей n-го порядка.
Содержание
1. Вычислить определители матрицы А:
1 2 0


a) A 
; á) A   5 1 2 
6 1
0 3 1


2 5
Решение:
а) | A |
2 5
6 1
 2 1  5  6  28.
б) | A | 1  1  1  0  2  2  0  5  3  0 1  0  1  2  3  1  2  5  15.
2. Вычислить определитель, приведенный в задаче 1 б, используя его разложение по
элементам:
а) первой строки; б) второго столбца.
Решение:
а) Находим алгебраические дополнения элементов первой строки:
A11  (1)11
1 2
5 2
5 1
 5; A12  (1)1 2
 5; A13  (1)13
 15.
3 1
0 1
0 3
Теперь по теореме Лапласа:
| A | a11  A11  a12  A12  a13  A13  1  ( 5)  2  (5)  0  15  15.
б) Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца:
A21  ( 1)21
5 2
1 0
1 0
 5; A22  ( 1)2 2
 1; A32  ( 1)3 2
 2.
0 1
0 1
5 2
Теперь по формуле:
| A | a21 A21  a22 A22  a32 A32  2  (5)  11  3  2  15.
3. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка:
 2 5 1
 3 7 1
A
 5 9 2

 4 6 1
2
4 
.
7

2
Р е ш е н и е . С помощью эквивалентных преобразований приведем матрицу А к треугольному виду. Если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся того,
чтобы элемент a11  1. В данном случае достаточно поменять местами 1-й и 3-й столбцы; при этом меняется знак определителя матрицы А:
2 5 1 2
1 5 2 2
3 7 1 4
1 7 3 4
A

.
5 9 2 7
2 9 5 7
4
6
1
2
1
6
4
2
Умножая элементы 1-й строки на числа (ai1 ); i = 1,2, 3, 4, т.е. в данном случае на
числа
1,
(-2), (-1), и прибавляя их соответственно к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк, добиваемся
того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме a11 ) равнялись нулю:
1 5 2 2
0 2 1 6
=
0 1 1 3
0 1
2
0
Далее, если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся, чтобы новый элемент
a22 = 1. В данном случае это возможно, если переставить 2-ю и 3-ю строки; при этом
меняется знак определителя. Умножая элементы 2-й строки, полученной матрицы на
числа (ai 2 )(i  3, 4), в данном случае на числа (-2) и 1, добиваемся того, чтобы все
элементы 2-го столбца (кроме a22 ) равнялись нулю.
1 5 2 2
0 1 1 3
=
0 0 3 0
0
0
3
3
Для получения треугольной матрицы в данном случае достаточно прибавить элементы
3-й строки полученной матрицы к элементам 4-й. Определитель треугольной матрицы
равен произведению ее диагональных элементов:
1 5 2 2
0 1 1 3
A
 9.
0 0 3 0
0
0
0
3
Задания для самостоятельного выполнения
4. Вычислить определители второго порядка:
4.1.
2 3
sin 
. 4.2.
1 7
sin 
cos 
cos 
5. Вычислить определители третьего порядка:
1 2 3
5 6 3
1 1 1
5.1. 4 5 6 . 5.2. 1 2 3 . 5.3. 0 2 0 .
7 8 9
7 4 5
1 3 6
6. Решить уравнения:
1 1
6.1. 1 1  x
1
1
x2
 0. 6.2. x
1
2 x
1
1
4 9
2 3  0.
1 1
7. Вычислить определитель:
2 3 4 1
4 2 3 2
,
7.1. a b c d разлагая его по элементам 3-й строки.
3
1 4 3
a 1 2 0
b 3 1 4
, разлагая его по элементам 1-го столбца.
7.2.
c 0 1 2
d
1 1 0
Занятие 3. Вычисление обратных матриц
Содержание
1. Найти матрицу, обратную к данной:
 1 1 1 


A  2 1 1
1 1 2


Решение:
1 1 1
а) Находим определитель матрицы A  2 1
1
1
1  5.
2
Так как A  0 , то матрица А — невырожденная и обратная матрица A1 существует и
единственна.
 1 2 1
б) Транспонируем найденную матрицу: A '   1 1 1 
 1 1 2


в) Находим алгебраические дополнения Aij' всех элементов транспонированной матрицы A' и составляем из них присоединенную матрицу A :
A '11  ( 1)11

1 1
1 1
1 1
 1; A '12  ( 1)12
 3; A '13  ( 1)13
 2;
1 2
1 2
1 1
A '21  (1) 21
2 1
1 1
1 1
 3; A '22  (1) 2 2
 1; A '23  (1) 23
 1;
1 2
1 2
2 1
A '31  (1)31
2 1
1 1
1 1
 1; A '32  (1)3 2
 2; A '33  ( 1)33
 3,
1 1
1 1
2 1
 1 3 2 
Т.е A   3 1 1  .
 1 2 3 


г) Находим обратную матрицу по формуле:
3/ 5 2 / 5 
 1 3 2   1/ 5
1
1


A 
A   3 1 1    3/ 5 1/ 5
1/ 5  .
| A|
5
 

 1 2 3   1/ 5 2 / 5 3/ 5 
1
д) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы:
 1 0 0
AA  A A  E, где E   0 1 0  — единичная матрица 3-го порядка.
0 0 1


1
1
2. Найти матрицу, обратную к матрице А, используя преобразования исходной матрицы к единичной Е:
 2 1 1


A   5 2 4 .
7 3 4 


Р е ш е н и е . Определитель матрицы A  20  0 , значит, матрица А имеет обратную,
матрицу А можно привести к единичной Е элементарными преобразованиями только
строк или только столбцов , при этом единичная матрица, подвергаемая тем же преобразованиям, перейдет в матрицу A1 . Удобно совершать элементарные преобразования
над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом, через черту в виде
объединенной матрицы:
 2 1 1 1 0 0 


 5 2 4 0 1 0 .
 7 3 4 0 0 1


Поменяем местами 1-й и 2-й столбцы.
Затем к элементам 3-го столбца прибавим элементы 1-го, а к элементам 2-го — 1-го,
умноженные на (-2). Получим:
 1 2 1 0 1 0   1 0 0 0 1 0 

 

 2 5 4 1 0 0   2 1 6 1 2 1  .
3 7 4 0 0 1 3 1 7 0 0 1

 

К элементам 1-го столбца прибавим элементы 2-го, умноженные на (-2), а к элементам
3-го столбца — умноженные на (-6). Далее в полученной матрице к элементам 1-го и
2-го столбцов прибавляем элементы 3-го, умноженные на (-1):
 1 0 0 2 1 6 


 0 1 0 5 2 13 
1 1 1 0 0 1 


7 6 
1 0 0 4


 0 1 0 8 15 13  .
 0 0 1 1 1 1 


Слева получили единичную матрицу. Найденная справа от черты квадратная матрица
является обратной к исходной матрице А:
7 6 
4


A   8 15 13  .
 1 1 1 


1
Задания для самостоятельной работы
3. Найти обратную матрицу A1 двумя способами — с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований:
 1 2 1
 2 1 1
3 8 0
3.1. A   5 2 4  . 3.2. A  
 2 2 4
7 3 4 



 3 8 1
2 
4 
.
3 

6 
Занятие 4. Ранг матрицы. Преобразование матриц
Содержание
1. Найти ранг матрицы:
1 1

2 1
A
 1 1

 3 6
1

1
.
2

5
Р е ш е н и е . Матрица А имеет размер 4x3, значит, r ( A)  3.
С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы, приведем
матрицу к ступенчатому виду.
1) Транспонируем матрицу А:
1 1
 2 1

 1 1

 3 6
1
1 
2

5
1 2 1 3 
 1 1 1 6 


1 1 2 5 


2) Умножим элементы 1-й строки на (-1), сложим ее со 2-й и 3-й строками матрицы. В
новой матрице поменяем местами 2-ю и 3-ю строки:
3  1 2 1
3
1 2 1
 0 3 2 9   0 1 1
2 

 
 0 1 1
2   0 3 2 9 

(-3).
3) Умножим элементы 2-й строки на 3 и сложим с элементами 3-й строки:
1 2 1 3 


 0 1 1 2  .
 0 0 1 3 


Получили ступенчатую матрицу размера 3 х 4, у которой 3 ненулевых элемента на
главной диагонали, значит, r ( A)  3 . Эта матрица имеет ненулевой минор 3-го порядка,
1 2 1
например, 0 1 1  1.
0
0
1
2. Выяснить, при каком значении параметра а матрица А имеет 3 линейно независимые
строки:
1 0 2


A   3 1 0 
 4 1 a 


Р е ш е н и е . Матрица А имеет 3 линейно независимые строки, если ее ранг равен 3,
т.е. A  0.
Вычислим
определитель
матрицы
А
по
правилу
треугольни-
ков: A  a  6  8  2  a; A  0, откуда a  2 , т.е. при всех значениях а, кроме a  2 , все
строки матрицы линейно независимы.
3. Определить максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы А:
2 3 5

1 7 2
A
 3 10 7

0 0 0
1 4

3 0
.
4 4

2 3
Р е ш е н и е . С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранга матрицы,
приведем ее к ступенчатому виду:
2 3 5

1 7 2
 3 10 7

0 0 0
1 7

 0 11
 0 11

0 0
1 4

3 0
4 4

2 3
2 3 0

1 5 4 
1 5 4 

0 2 3
1 7 2

2 3 5
 3 10 7

0 0 0
3 0

1 4
4 4

2 3
1 7

 0 11
0 0

0 0
2 3 0

1 5 4 
.
0 0 0

0 2 3
Отбросив нулевую строку, найдем:
1 7 2 3 0
 0 11 1 5 4 


 0 0 0 2 3


1 7 3 2 0
 0 4 5 1 4  .


 0 0 2 0 3


Получили ступенчатую матрицу, у которой существует минор 3-го порядка:
1
7
3
0 4 5  8  0, значит, ранг матрицы равен 3, и исходная матрица имеет 3 линейно
0 0 2
независимые строки (или столбца).
Задания для самостоятельной работы
4. Найти ранги матриц:
1 1
2 1 4 5

1 2
4.1. A  1 0 1 2  . 4.2. A  
3 1
1 2 4 0 



0 1
1 1

1 2
.
3 1

1 0
 2 1 1
 2 1 1 2 


4.3. A   3 1 1 . 4.4. A   3 1 1 0  .
 4 3 1 
 4 3 1 1 




5. Найти максимальное число линейно независимых строк матриц:
1 1

2 1
5.1. 
 1 1

 3 6
1

1
. 5.2.
2

5
1 1 1

 2 1 1
 1 1 2

 3 6 5
1 2 1 4 
5.3.  0 1 1 3  . 5.4.
 2 5 1 11


6

3
.
5

6
2 3 5 


 3 7 8 .
 1 6 1 


 7 2 15 
6. Выяснить, являются ли строки матрицы линейно независимыми:
6.1.
1
3
2 3 ,
6 7.
6.2.
4
6
2 6  ,
3 9  .
7. Найти максимальное число линейно независимых столбцов матриц:
2 3 1
7.1.  3 1 4  . 7.2.
1 5 3


5 3 8


 4 3 7 .
3 2 5


Занятие 5. Методы решения систем линейных уравнений
Содержание
1. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:
 x1

2 x1
3x
 1



x2
x2
3x 2

4x3
6x3


13x 3

1,


2,
2.
Решение.Обозначим:
Тогда в матричной форме система имеет вид: АХ = В. Определитель матрицы
, т.е. обратная матрица А-1 существует:
. Теперь по формуле:
Х = А-1ּВ =
Ответ: (3; 2; -1).
2. По формулам Крамера решить систему:
Р е ш е н и е . Определитель
следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим
определители матриц ∆1, ∆2, ∆3, полученных из матрицы А заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
Теперь по формулам Крамера:
Ответ: (1;0;-2).
3. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы. Необходимо на первом шаге,
чтобы а11≠ 0, но удобнее для вычислений, чтобы а11 = 1. Поэтому поменяем местами
первую и четвертую строки, чтобы а11 стал равным 1:
Шаг 1. Умножим элементы первой строки на -5, 3 и -2 и прибавим их соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк, чтобы под элементом а11 в первом
столбце образовалась «ступенька» из нулей.
Для проведения второго шага необходимо, чтобы в новой матрице a22 ≠ 0, но удобнее,
чтобы a22 = 1 или a22 = -1. Поэтому переставим вторую и третью строки:
Шаг 2. Элементы второй строки умножаем на 4 и 3 и прибавляем соответственно к элементам третьей и четвертой строк, тогда под элементом a22 во втором столбце появится
вторая «ступенька».
Шаг 3. Так как в полученной матрице а33 = 26 ≠ 0, умножаем элементы третьей строки на
и прибавляем к элементам четвертой строки. Получим:
Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система
имеет вид:
Из последнего уравнения х4 = 1, из третьего
из вторго
второгоx2x=2=11
11x33––4x
4x44==11
11++11ּ
110∙ –04–ּ 14 =
∙ 17= 7,
из
11 ++11x
из первого x1 = -4 + x2 – 4x3 + 2x4 = -4 + 7 – 4 ∙ 0 + 2 ∙ 1 = 5.
Ответ: (5; 7; 0; 1).
Задания для самостоятельной работы
4. Методом обратной матрицы и по формулам Крамера решить системы уравнений:
5. Методом Гаусса решить системы уравнений:
6. Решить (любым методом) систему уравнений, заданную в виде АХ=В, где А —
матрица системы, В — столбец свободных членов:
7. Решить матричные уравнения:
Система т линейных уравненийс п переменными
1. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
Следовательно, ранг матрицы системы r (А) = 2.
Определитель при переменных х1, х2 (базисный минор) отличен от нуля:
1 2
 0 , эти пе0 1
ременные берем за основные. Остальные, неосновные переменные хз, х4 (с их коэффициентами) переносим в правые части уравнений:
откуда x1 = -2x2 + 3x3 + 2x4 + 1 = -2 ּ (5x3 + x4 + 5) + 3x3 + 2x4 + 1 = -10x3 – 2x4 + 2x4 + 1 = 7x3 – 9.
Задавая неосновным переменным произвольные значения хз = с1, х4,= с2, найдем бесконечное множество решений системы:
2. Найти все базисные решения системы, приведенной в примере 1.
Р е ш е н и е : Так как ранг матрицы системы r(А) = 2, то одно из уравнений системы,
например, третье, можно отбросить; тогда возможны следующие группы основных переменных:
x1,x2; x1,x3; x1,x4; x2,x3; x2,x4; x3,x4.
Переменные x1, x2 могут быть основными (базисными). Приравнивая неосновные
 2 x2  1

(свободные) переменные нулю, т.е. x3 = x4 = 0, получим  x1
, откуда x1 =


3

2
x
3
x
1
2

-9,
x2
=
5,
т.е.
первое
базисное
решение
(-9;
Возьмем в качестве основных переменных x1, x3: базисный минор
5;
2
2
3
3
0;
 0 .Полагая
0).
не-
основные переменные х2, х4 равными нулю, т.е. х2 = х4 = 0, получим х1 = -2, x3 = -1, т.е.
второе базисное решение (-2;0;-1;0).
Рассуждая аналогично, найдем еще три базисных решения:
Переменные х2, х4 не могут быть основными, так как соответствующий базисный
минор
2
2
3
3
0.
З а м е ч а н и е . Все базисные решения системы можно было найти из общего решения, полученного в примере 2.35, приравнивая соответствующие переменные нулю. Например, при
х3 = с1 = 0, х4 = с2 = 0, х1 = -7с1 - 9 = -9, х2 = 5с1
+ с2 + 5 = 5, т.е. получаем базисное решение (-9; 5; 0; 0). А при х1 = -7с1 - 9 = 0, х2 =
5с1 + с2 + 5 = 0, т.е. при
c1 =
9
7
;
9
7
10
7
, c2 =
10
7
, x3 = c1 =
9
7
, x4 = c2 =
10
7
, т.е. получаем базисное решение (0; 0; -
) и т.д.
Задания для самостоятельной работы
3.
Методом Гаусса решить системы линейных уравнений и найти все базис-
ные решения:
4.
Исследовать систему уравнений относительно параметра  и найти общее
решение системы:
Занятие 6. Решение задач экономического содержания
Содержание
1. В некоторой отрасли т заводов выпускают n видов продукции. Матрица
Amn задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица
Втхп — соответственно во втором; ( aij , bij ) — объемы продукции j-гo типа на i-м
заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:
2

1
A
4

2
3 7
3


2 2
2
; B
4
1 5


1 3
5
0 2

4 1
.
3 2

2 4
Найти:
а) объемы продукции;
б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым
по видам продукции и заводам;
в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если  — курс доллара по отношению к рублю.
Решение:
а) Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц A и B, т.е
5
3
C  A B  
8

7
3 9
6 3 
, где
4 7

3 7
cij  aij  bij  объем продукции j-го типа, произведен-
ный за полугодие i-м заводом.
б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью
матриц:
30
 1 3 5 


1 2 1 
D  B A
.
 0 2 3 


3 1 1 
Отрицательные элементы d ij показывают, что на данном заводе i объем производства j-го продукта уменьшился; положительные d ij — увеличился; нулевые
d ij — не изменился.
е) Произведение C   ( A  B) дает выражение стоимости объемов производства
за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию (соответствующую матрицу не выписываем).
2. Предприятие производит n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей A1n . Цена реализации единицы i-го типа продукции в j-м регионе задана
матрицей
Bnk , где к — число регионов, в которых реализуется продукция.
Найти С — матрицу выручки по регионам. Пусть A13 = (100, 200, 100);
B34
 2 3 1 5
  1 3 2 2  .
 2 4 2 4


Решение.
Выручка
определяется
матрицей
C1k  A1n  Bnk ,
причем
n
cij   a1n  bij — это выручка предприятия в j-м регионе:
i 1
2 3 1 5


C  (100, 200,100)  1 3 2 2   (600,1300, 700,1300). ►
 2 4 2 4


3. Предприятие производит п типов продукции, используя т видов ресурсов.
Нормы затрат ресурса i-го товара на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат Amn Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа xij , записанное матрицей X n1
31
Определить S — матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени. Дано:
A43
2
0

1

2
5 3
 100 
1 8 
, X 31   80  .


3 1
 110 



2 3
Р е ш е н и е . Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение
матриц А и X, т.е. S = АХ. В условии данной задачи
2

0
S 
1

2
5 3
 930 
 100  

1 8
  960 
80  
,
 450 
3 1  

 110  

2 3
 690 
т.е. за данный период времени будет израсходовано 930 единиц ресурса 1-го
вида, 960 единиц ресурса 2-го вида, 450 единиц ресурса 3-го вида, 630 единиц
ресурса 4-го вида. ►
4. Пусть в условии предыдущей задачи указана стоимость каждого вида ресурсов в расчете на единицу. Она задается матрицей P1m . Определить полную стоимость всех затраченных за данный отрезок времени ресурсов, если Р = (10, 20,
10, 10).
Р е ш е н и е . Стоимость всех затраченных ресурсов С определяется как произведение матриц Р и S, т.е. С = PS или С = PAX.
 930 
 960 
В данном случае C  10, 20, 10, 10     3990 (ден. ед.)
 450 


 690 
32
5. Завод производит двигатели, которые могут либо сразу потребовать дополнительной регулировки (в 40 % случаев), либо сразу могут быть использованы
(в 60 % случаев). Как показывают статистические исследования, те двигатели,
которые изначально требовали регулировки, потребуют дополнительной регулировки через месяц в 65 % случаев, а в 35 % случаев через месяц будут работать хорошо. Те же двигатели, которые не требовали первоначальной регулировки, потребуют ее через месяц в 20 % случаев и продолжат хорошо работать
в 80 % случаев.
Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через 2 месяца после выпуска? Через 3 месяца?
Р е ш е н и е . В момент после выпуска доля хороших двигателей составляет 0,6,
а доля требующих регулировки — 0,4. Через месяц доля хороших составит:
0,6·0,8 + 0,4·0,35 = 0,62. Доля требующих регулировки: 0,6·0,2 + 0,4·0,65 = 0,38.
Введем строку состояния Xt в момент t; Xt = ( x1t ; x2t ), где x1t доля хороших двигателей в момент t, x2t — доля двигателей, требующих регулировки в момент t.
 a11 a12 
 , где aij доля двигателей, которые в настоящее
 a21 a22 
Матрица перехода A 22  
время находятся в состоянии i (1 — «хороший», 2 — «требует регулировки»), а
через месяц — в состоянии j. Очевидно, что для матрицы перехода сумма элементов каждой строки равна 1, все элементы ее неотрицательны.
 0,8 0,2 
.
 0,35 0,65 
Очевидно, X 0  (0,6 0,4), 2A2  
12
 0,8
0,2 
Тогда через месяц X 1  X 0  2A2  (0,6 0,4) 
  (0,62 0,38);
12
12
 0,35 0,65 
через 2 месяца X 2  X 1 A  X 0 AA  X 0 A2 ;
через 3 месяца X 3  X 2 A  X 0 A3 .
Найдем матрицы A2 и A3 :
33
0, 29 
 0,8 0, 2  0,8 0, 2   0, 71
A2  


;
 0,35 0, 65  0,35 0, 65   0,5075 0, 4925 
0, 29  0,8 0, 2   0, 67 0,33 
 0, 71
A3  


.
 0,5075 0, 4925  0,35 0, 65   0,58 0, 42 
Отметим, что если А — матрица перехода, то А' — тоже матрица перехода при
любом натуральном t. Теперь
0,29 
 0,71
X 2   0,6 0,4  
   0,629; 0,371 ,
 0,5075 0,4925 
 0,67 0,33 
X 3   0,6 0,4  
   0,634; 0,366  .
 0,58 0,42 
Очевидно, X t  X 0 At .
Задания для самостоятельной работы
6.Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков
А1 А2 и А3, б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц В1
и В2 и проанализировать результаты:
 2 3 1 2
1 4 2 2
2 5 3 1






A1   4 2 2 1  ; A2   3 3 3 2  ; A3   3 4 3 1  .
 4 5 4 3
 5 4 4 2
 4 4 4 4






7. Найти С — матрицу выручки по регионам в условиях задачи 1.67, если
2
4
A  (10;40;10;20); B  
3

2
1 2
2 1 
.
1 1

4 4
Определить, какой из трех регионов наиболее выгоден для реализации товара.
8. Предприятие производит мебель трех видов и продает ее в четырех регионах.
Матрица
34
 2 5 1 2


B  (bij )   1 8 3 4  задает цену реализации единицы мебели i-го типа в j-м
 2 4 1 3


регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация
 200 
мебели за месяц (по видам) задана матрицей A   80  .
 100 


9. Продавец может закупить от 1 до 5 билетов на спектакль по цене 100 руб. и
продать перед спектаклем по 200 руб. каждый. Составить матрицу выручки
продавца в зависимости от количества купленных им билетов (строка матрицы)
и от результатов продажи (столбец матрицы).
10. В ремонтную мастерскую поступают телефонные аппараты, 70 % которых
требуют малого ремонта, 20 % — среднего ремонта, 10 % — сложного ремонта.
Статистически установлено, что 10 % аппаратов, прошедших малый ремонт,
через год требуют малого ремонта, 60 % — среднего, 30 % — сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших средний ремонт, 20 % требуют через год малого
ремонта, 50 % — среднего, 30 % — сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших сложный ремонт, через год 60 % требуют малого ремонта, 40 % — среднего. Найти доли из отремонтированных в начале года аппаратов, которые будут
требовать ремонта того или иного вида: через 1 год; 2 года; 3 года.
35
КОНТРОЛЬ ОВЛАДЕНИЯ КОМПЕТЕНЦИЯМИ
Перечень названий и шифров компетенций в соответствии с ФГОС ВПО:
Формируемые профессиональные компетенции (ПК):
расчетно-экономическая деятельность
способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые
для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
способен на основе типовых методик и действующей нормативноправовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК-2);
способен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3).
Перечень практических заданий для контроля степени овладения
компетенциями:
1. Если матрица
1)
, то матрица 4A имеет вид
2)
3)
2. Если матрицы
вид
1)
2)
3. Для матрицы
на побочной
диагонали.
4. Для матриц
можно выполнить
B · A B · A BT · A
4)
и
, то матрица 3A – 2B имеет
3)
4)
указать сумму элементов, расположенных
указать те операции, которые
A·B
36
Указать те преобразования строк (столбцов) матрицы, которые являются
элементарными
умножение строки (столбца) на ненулевое число
замена элементов строки (столбца) произвольными числами
замена строки (столбца) суммой этой строки (столбца) и другой строки
(столбца), предварительно умноженной на некоторое число
поменять местами две строки (два столбца)
замена строки (столбца) нулевой строкой (столбцом)
транспонирование матрицы
6.
При умножении матрицы A на матрицу B справа должно соблюдаться
условие
число строк матрицы A равно числу строк матрицы B
число строк матрицы A равно числу столбцов матрицы B
5.
если матрицы не квадратные, то они должны быть одинакового размера
верный ответ отсутствует
7. Для матриц
найти элемент c23 произведения С = B A.
8. Квадратная матрица называется диагональной, если
элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю
элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны
9. Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если
элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю
элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны
10.Установить соответствие между парой матриц A и B и их произведением A B:
Матрицы A и B
Произведение A · B
37
7
11.Установить соответствие между определителем и числом α,
при котором этот определитель равен 0:
Определитель
Число α
12
-3/2
-1
-12
12.При замене некоторой строки невырожденной квадратной матрицы на
сумму этой
строки и какой-то другой, умноженной на число α, определитель.
не изменится
поменяет знак
умножится на число α
станет
равным нулю
13.Если поменять местами две строки (два столбца) квадратной матрицы,
то определитель:
не изменится
поменяет знак
станет равным нулю
увеличится в 2 раза
14.Известно, что определитель квадратной матрицы A равен Δ. Укажите,
чему будет равен определитель матрицы, полученной из матрицы A
умножением первой строки на число (–3).
38
15.Указать матрицы, которые имеют обратные
1
4
2
5
3
16.Указать верные утверждения, связанные с определением и существованием
обратной матрицы:
обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная и det A
≠0
обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная
обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная и вырожденная, т.е. det A ≠ 0
A·A-1 = A-1·A = E, где E – единичная матрица соответствующего размера
17.Элемент
обратной матрицы A (в случае существования) вычисляется по формуле:
18.Алгебраическое дополнение A12 элемента a12 матрицы
равно: .
39
верный ответ отсутствует
19.Если матрицы
, то определитель матрицы A·B равен:
0 –16 32 2 –32
20.Распределите матрицы в порядке увеличения их определителей:
1.
2.
3.
4.
5.
21.Разложение определителя
по второму столбцу имеет
вид:
–4a + b – 2c –a + 2b + 3c верный ответ отсутствует
4a + b + 2c 4a – b + 2c
22.Указать, с каким знаком («плюс» или «минус») произведение a12a23a31
входит в
определитель третьего порядка
.
23.Если матрица системы n уравнений квадратная и ее определитель не
равен нулю, то система
не имеет решений имеет единственное решение имеет не более n
решений
имеет ровно n решений имеет бесконечно много решений
24.При решении системы по правилу Крамера используют формулы
25.Если
, то
40
26.Найти значение b, при котором система совместна
27.Найти значение а, при котором система несовместна
28.При решении системы
по правилу Крамера
верно
29. Пусть дана система
Тогда ее решение через обратную матрицу находится как
41
4
30.В системе
базисными можно объявить переменные
1)
2)
3)
4)
5)
6)
31.Модель Леонтьева - это
а) модель межотраслевого баланса;
б) модель планирования производства;
в) уравнение равновесия рынка.
32. Модель Леонтьева с матрицей А называется продуктивной, если
а) матрица А позволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления;
б) элементы матрицы А неотрицательны;
в) коэффициенты прямых затрат меньше единицы;
г) коэффициенты прямых затрат положительны;
33. В модели Леонтьева с матрицей А=(aij) числа aij называются
а) конечными продуктами;
б) коэффициентами прямых затрат;
в) элементами вектора потребления;
42
34. Задан межотраслевой баланс открытой двухсекторной экономики.
Сельское хозяйпромышленность Домашние хозяйство
ства
Сельское хозяй20
30
150
ство
Промышленность 30
40
30
Вектор выпуска продукции равен вектору
 50 
а)   ;
 70 
 200 
□ б)   ;
100 
 150 
□ в)   ;
 30 
□
120 
г)   .
 290 
39 Задан межотраслевой баланс открытой двухсекторной экономики.
Сельское хозяйпромышленность Домашние хозяйство
ства
Сельское хозяй20
30
150
ство
Промышленность 30
40
30
Вектор потребления продукции равен вектору
 50 
 200 
 150 
120 
а)   ;
б)   ;
в)   ;
г)   .
100 
 290 
 70 
 30 
40. Модель Леонтьева с матрицей А и вектором потребления C называется продуктивной, если
а) уравнение АX–X=C имеет неотрицательное решение для любого
C ≥ 0;
б) элементы матрицы А неотрицательны;
в) коэффициенты прямых затрат меньше единицы;
г) уравнение АX–X=C имеет решение.
41.При решении задачи на определение количества продукции выпускаемой по плану каждым из 4-х предприятий, входящих в объединение,
получено следующее матричное уравнение:
1) 8%; 2) 12% 3) 26% 4) 27%
42.В таблице приведены данные по балансу между двумя отраслями за
некоторый период. Найти коэффициент a11 модели Леонтьева (Вес: 1)
43
43.Для модели Леонтьева многоотраслевой экономики вида X=AX+Y в
таблице приведены частичные данные по балансу между двумя отраслями за некоторый период. Найти количество конечного продукта
первой отрасли
44.Для модели Леонтьева многоотраслевой экономики вида X=AX+Y в
таблице приведены данные по балансу между двумя отраслями за некоторый период. Найти количество валового продукта второй отрасли,
если конечный продукт первой отрасли будет увеличен в два раза
44
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ
(КУРСОВЫХ) РАБОТ
4.1 Варианты контрольных (курсовых) работ
Вариант i (i – номер по журналу).
I. Для матриц:
5
15  i
29 
52  i
9 
 1
 5  i 15




32
24
12 
3
13
18 
 25  i
 2
, B
A
14
28  i 17
14 
16
8
18
30  i 




 24
 24 21  i
15
19
26  i 
32
25 


1. Найти сумму А+В, разность А – В, разность В – А, произведение АВ, произведение ВА
2. Найти определители матриц А и В.
3. Найти матрицы А-1 и В-1.
II. Решить СЛАУ AX=B
5
15  i
29 
 1
5  i




32
24
12 
 25  i
4  i
где A  
, B
14
28  i 17
14 
2  i




 24
9  i
15
19
26  i 



1. Методом Гаусса;
2. Методом Крамера;
3. Методом обратной матрицы.
III. Решение экономических задач
1. Некоторое производственное объединение должно выпустить три вида
продукции А1, А2, А3 в количествах, выраженных в процентах к плану, соответственно: (20+ i) %, 30 % и (50- i) %.
В объединении участвуют четыре предприятия, причем по плану предприятие №1 должно выпустить 30% всей продукции А1, 40% всей продукции
А2 и 10% всей продукции А3. План для остальных предприятий соответственно
следующий:
Номер предприятия
предприятие №2
А1
(40 - 0,5 i) %
А2
10%
А3
30%
45
предприятие №3
30%
20%
30%
предприятие №4
(0 + 0,5 i)%
30%
30%
Требуется найти процент выполнения плана объединения каждым предприятием.
2. В таблице приведены данные по балансу между двумя отраслями за некоторый период. Найти необходимый объём валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление 1-й отрасли увеличится вдвое.
Отрасль
Производство 1
2
Потребление
1
x11=11
X21=21
2
x12=12
x22=22
Конечный продукт
Валовой продукт
y1=77+ i
y2=157+ i
x1=100+ i
x2=200+ i
4.2 Методические рекомендации по выполнению контрольных
(курсовых) работ
Содержание рекомендаций
1.Контрольная работа оформляется в печатном виде.
2.Задания пишутся в порядке нумерации (формулировки). Далее приводится
его решение.
3.Текст оформляется шрифтом Times New Roman, 14 пт, стиль
«ОБЫЧНЫЙ», интервал между строками – одинарный.
4.Требования к оформлению формул: формулы заносятся в текст задания
последовательным выбором пунктов меню «Вставка», «Объект»,
«Microsoft Equation 3.0» (либо щелчком по соответствующему инструменту на панели инструментов). Формулы должны находиться «в слое
текста», как это и происходит по умолчанию) (меню «Формат», «Объект», вкладка «Положение»; не должно быть галочек «Поверх текста» и
«Перемещать вместе с текстом»).
5.Требования к оформлению рисунков: рисунки могут быть выполнены во
внешнем графическом редакторе (Paint и др.) и затем вставлены в текст,
либо созданы средствами рисования MS Word (в этом случае рисунок
должен быть сгруппирован).
Примечание. При оформлении текста соблюдайте общие правила компьютерного набора текстов (ГОСТ 2.105 – 95).
I. Блок задач.
Задачи № I.1 соответствуют теме «Действия над матрицами».
46
Задачи №№ I.2, I.3 соответствуют теме «Вычисление определителей n-го
порядка».
Задачи № I.4 соответствуют теме «Вычисление обратных матриц».
II. Блок задач.
Задачи №№ II.1 – II.3 соответствуют теме «Методы решения систем линейных уравнений».
III. Блок задач.
Задачи №№ IV.1,IV.2 соответствуют темам «Исследование и обсуждение модели планирования производства» и «Исследование и обсуждение модели Леонтьева межотраслевого баланса».
47
5. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Основные виды самостоятельной работы студентов:
1. Формирование и усвоение содержания конспекта лекций, на базе рекомендованной учебной литературы, включая информационные образовательные ресурсы (электронные учебники, электронные библиотеки и др.).
2.
Выполнение практических заданий в виде решения отдельных задач
(приведены в п.2 «Практические занятия»).
3.
Текущий самоконтроль и контроль успеваемости на базе электронных
обучающих и аттестующих тестов.
Рекомендации к организации самостоятельной работы:
1. Знание школьного программного материала, наличие прочной системы знаний, необходимой для усвоения основных вузовских курсов. Это особенно
важно для математических дисциплин. Необходимо отличать пробелы в знаниях, затрудняющие усвоение нового материала, от малых способностей. Затратив силы на коррекционную работу по устранению этих пробелов, студент
обеспечит себе нормальную успеваемость и поверит в свои способности.
2. Формирование умений, навыков умственного труда:
а) умение конспектировать на лекции и при работе с книгой;
б) владение логическими операциями: сравнение, анализ, синтез, обобщение,
определение понятий, правила систематизации и классификации.
3. Развитие познавательных психических процессов: внимание, память, речь,
наблюдательность, интеллект и мышление.
4. Формирование умений работать с информацией.
5. Адекватная самооценка знаний, достоинств, недостатков - важная составляющая самоорганизации человека, без нее невозможна успешная работа по
управлению своим поведением, деятельностью.
48
6. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ (ЗАЧЕТНЫЕ) ВОПРОСЫ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
1. Понятие матрицы. Частные виды матриц.
2. Операции над матрицами.
3. Определители квадратных матриц.
4. Свойства определителей.
5. Обратная матрица.
6. Ранг матрицы.
7. Системы m линейных уравнений c n неизвестными: основные понятия и
определения.
8. Система n линейных уравнений с n переменными.
9. Однородные системы линейных уравнений.
10. Основные методы решения системы линейных уравнений.
11. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
49
7.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
7.1. Основная литература
№
Перечень литературы
п/п
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для
1
вузов / Н.Ш. Кремер – Москва : ЮНИТИ, 2010. 479 c.
Романников А.Н. Линейная алгебра // Московский государственный
2
университет экономики, статистики и информатики. – М., 2003. –
180 с.
Кремер Н. Ш. Практикум по высшей математике для экономистов:
3
учебник для вузов / Н.Ш. Кремер – Москва : ЮНИТИ, 2005. 423 c.
7.2. Дополнительная литература
№
Перечень литературы
п/п
Виленкин И.В. Высшая математика для студентов экономических,
1
технических, естественно-научных специальностей вузов: пособие /
И.В. Виленкин, В.М. Гробер – Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. 414 c.
Воронов М.В. Высшая математика для экономистов и менеджеров:
2
учебное пособие / М.В. Воронов, Г.П. Мещеряков – Ростов-на-Дону:
Феникс, 2004. 288 c.
Красс М. С. Математика для экономистов: учебное пособие / М.С.
3
Красс, Б.П. Чупрынов – Санкт-Петербург: Питер, 2009. 464 c.
Соболь Б.В. Практикум по высшей математики: учебная книга / Б.В.
4
Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян – Ростов-на-Дону: Феникс,
2007. 630 c.
Макаров С.И. Математика для экономистов: учебное пособие / С.И.
5
Макаров – Москва: КноРус, 2007. 264 c.
Самаров К.Л. Финансовая математика: практический курс: учебное
6
пособие / К.Л. Самаров – Москва : Альфа-м, 2005. 80 c.
Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра.
7
Курс лекций. – М.: Эксимо, 2006. – 224 с. (серия Высшее экономическое образование)
50
8.ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
№
Перечень
п/п
1. www.exponenta.ru
2. http://www.mathelp.spb.ru/solver.htm
3. Российское образование. Федеральный портал. (www.edu.ru)
4. Решение задач по высшей математике (www.matburo.ru)
5. Нехудожественная библиотека (www.nehudlit.ru)
51
КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ
Фамилия, имя, отчество:
Витченко Ольга Викторовна
Ученая степень:
Кандидат педагогических наук
Должность:
Доцент
Кабинет:
607
Телефон:
89043417862
e-mail:
[email protected]
52
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Образец оформления титульного листа контрольной (курсовой) работы
НОУ ВПО ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ, БИЗНЕСА И ПРАВА
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине:
Вариант: №
Выполнил
(фамилия, имя, отчество)
(курс, группа)
Проверил
(фамилия, имя, отчество)
(должность, научная степень, подпись)
Ростов-на-Дону
2014
53