МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В СИСТЕМЕ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА С.В. Онищенко, студент 2 курса инженерно-физического факультета Научный руководитель С.А. Коржакова, к.с.н., доцент Цель: исследовать модели управления запасами в системе организации производства Задачи: - сопоставить однономеклатурные и многономенклатурные модели и методы обработки данных в конкретных случаях; - выяснить границы применимости моделей управления запасами: простейшей, модели с конечной интенсивностью поступления заказа, с учетом неудовлетворенных требований, с определением точки заказа, многономенклатурных моделей. Объект исследования: система организации производства Предмет исследования: модели управления запасами Практическая значимость исследования состоит в применении моделей в конкретных случаях организации производственных систем. Актуальность исследования. Предметом теории управления запасами является отыскание такой организации поставок или производства, при которых суммарные затраты на функционирование системы были бы минимальными. Под организацией поставок понимается определение объемов поставок и периодичность заказов, а при планировании производства планировании производства нескольких видов продукции на одном и том же оборудовании - определение размера партии и периодичности запуска продукции в производство. Существует четыре основных вида затрат, которые могут оказать влияние на выбор решения по управлению запасами: — затраты на приобретение запасов; — затраты на организацию заказа; — издержки хранения запасов; — потери от дефицита. Затраты, которые не зависят от принимаемых решений, не учитываются при анализе. Так, затраты на приобретение продукции целесообразно учитывать только, если цена единицы продукции зависит от величины партии, что обычно выражается в виде оптовых скидок. К затратам на организацию заказа, учитываемым в анализе функционирования систем управления запасами, относят постоянные расходы по размещению заказов: расходы на разъезды и командировки, почтово-телеграфные расходы, транспортные расходы, не зависящие от размера партии. В общем случае в стоимость поставки, кроме постоянных, входят затраты, пропорциональные объему партии и количеству заказываемых номенклатур. Однако принимаемые решения никак не влияют на величину затрат, пропорциональных размеру партии. Затраты, пропорциональные количеству номенклатур в заказе, учитываются только в многономенклатурных (многопродуктовых) моделях. Эти затраты представляют собой стоимостное выражение трудозатрат, связанных с поиском и обработкой информации по отдельным продуктам, упаковкой у поставщика, а также приемом и размещением на складе потребителя. Если складскую систему снабжает предприятие-поставщик, то при условии серийного выпуска продукции стоимость переналадки оборудования перед выпуском очередной партии тоже попадает в эту категорию затрат. Иногда сюда относят также издержки вследствие более низкой производительности труда и более высокого процента брака в начале производственного периода. В логистике затраты, связанные с началом выпуска очередной партии, называют затратами на подготовительно-заключительные операции. К издержкам хранения запасов, учитываемым в моделях управления запасами, относятся лишь издержки, зависящие от величины запасов. К ним относятся издержки физического присутствия материальных ценностей на складе (естественная убыль, плата за производственные фонды) и потери от иммобилизации средств в запасах. Если рассматривать средства, вложенные в запасы как банковскую ссуду, то издержки задаются процентной ставкой. Потери от дефицита н а промышленных предприятиях исчисляются как суммарные потери прибыли в расчете на одну денежную единицу стоимости дефицитных материалов. Прибыль предприятия при дефиците может снизиться за счет простоя производственных мощностей и рабочих, переналадки производственного процесса, замены дефицитных материалов другими, более дорогими, выпуск продукции в сверхурочное время после ликвидации причины простоя, штраф за нарушение сроков поставки. Многообразие реальных ситуаций вызвало необходимость разработки разнообразных моделей управления запасами. Основным фактором, влияющим на тип модели, является характер спроса или потребности в материальных ресурсах. Спрос может быть детерминированным или вероятностным. В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, неизменным во времени, или динамическим, изменяющимся во времени. Вероятностный спрос может быть стационарным, с неизменной во времени плотностью вероятности, и нестационарным с изменяющейся во времени плотностью вероятности. Другим важным фактором, учитываемым при построении модели, является срок выполнения заказа, т. е. интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой. Если этот фактор учитывается, то модель называется моделью с запаздыванием поставок. В модели может быть учтена интенсивность поставок. При пополнении запасов из внешнего источника обычно доставляется вся партия одновременно. Пополнение запаса с некоторой интенсивностью чаще осуществляется самим предприятием, когда продукция одного цеха используется другим. Число видов продукции учитывается в модели при условии наличия взаимосвязи между ними. Связь может возникать до поставки и после нее. Взаимодействие до поставки проявляется в снабжении из одного источника (заказ на несколько партий различных видов продукции подается одновременно), в требовании комплектности, в ограниченной мощности оборудования. Взаимодействие после поставки имеет место, когда несколько видов продукции хранится в одном складском помещении или ограничена величина оборотных средств, вложенных в запасы. В работе системы может допускаться дефицит или наоборот выдвигаться требование бездефицитной работы. Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предположениях: спрос ν в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты К на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s. На рисунке 1 показана динамика изменения уровня I запасов. Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной τ между поставками называют циклом. Издержки в течение цикла Lц состоят из стоимости заказа К и затрат на содержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса Ī=q/2 и qq длине цикла τ=q/ν, т.е. L К s . Разделив это выражение на длину цикла, 2 получим издержки в единицу времени L К определяется из уравнения q q . Оптимальный размер партии 2 s L 0 q 2 К (формула наиболее s экономной величины заказа, формула Уилсона). Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, подставляем это значение в соответствующие выражения. Получаем, 2К что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые * единиц s времени. Наименьшие суммарные затраты работы системы в единицу времени L* 2Ks . Модель с конечной интенсивностью поступления заказа. Пусть заказанная партия поступает с интенсивностью λ единиц в единицу времени. Очевидно, система может работать без дефицита, если интенсивность поставок λ превосходит интенсивность потребления. Таким образом, рассматривается система типа заводского склада, куда продукция, произведенная одним цехом, поступает с определенной интенсивностью и используется в производстве другого цеха. Изменение уровня запаса для рассматриваемого случая изображено на рисунке 2. В течение времени τ1 запас одновременно и поступает и расходуется, это время накопления запаса. В течение τ 2 запас только расходуется. Длина цикла τ =τ1+τ2 . Учитывая, что максимальный наличный запас I q(1 ) , издержки системы в единицу времени составят q L К s (1 ) , тогда величина оптимальной партии * 2 К , оптимальный q q 2 Отсюда находится оптимальный размер партии: q* s (1 период 2* возобновления заказа 2К * s (1 , его ) составляющие 1 ) 2К (1 ), минимальные издержки в единицу времени s q* , L* 2Ks (1 ), В случае, когда интенсивность поставки значительно больше интенсивности 2К q* 𝜈 * (1 ), становятся потребления 𝜆 → 0 , то * , , 2 1 2 К q s s (1 ) параметрами обычной системы Уилсона. Модель с учетом неудовлетворённых требований. В некоторых случаях, когда потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения, дефицит допускается. Пусть требования, поступающие в момент отсутствия запаса, берутся на учет. Обозначим через y максимальную величину задолженного спроса (рисунок 3). Максимальная величина наличного запаса Y=q-y расходуется за время τ1 (время существования наличного запаса), а затем поступающие требования ставятся на учет в течение времени τ2 (время дефицита). При поступлении очередной партии в первую очередь удовлетворяется задолженый спрос, а затем пополняется запас. Убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени составляют d. Затраты на хранение 𝑞−𝑦 продукции пропорциональны средней величине запаса 2 и времени его существования 𝑦 𝑞−𝑦 𝜈 , убытки от дефицита пропорциональны средней величине дефицита 𝑦 и времени его существования 𝜈 . Средние издержки работы системы в течение цикла, включая затраты на размещение заказа, содержание запаса и потери от дефицита q y q y y y . Разделим издержки цикла на его величину 𝜏, получим LК s d 2 2 2 q y y2 издержки работы системы в единицу времени l К s . Откуда d q 2q 2q 2 q* 2 К s * (1 ) , 1 s d Рисунок 1 2К s s (1 ) d , 2 * s d 2К s s (1 ) d Рисунок 2 , τ=τ1+τ2 Рисунок 3 Модель с определением точки заказа позволяет учитывать время выполнения заказа Ɵ. Для обеспечения бесперебойного снабжения заказ должен подаваться в момент, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на время выполнения заказа. Этот уровень называется точкой возобновления заказа и обозначается г. Для систем, в которых дефицит не допускается, заказ должен размещаться в момент, когда величина наличного запаса равна: Для обеспечения бездефицитной работы необходим минимальный начальный запас I0, величина которого Io = Ɵ ν . Пусть I – фактический начальный запас. Для непрерывной работы необходимо, чтобы I ≥ Ɵ ν . Время потребления начального запаса равно 𝑰 ⁄𝝂 . Чтобы заказанная партия была доставлена не позже полного расхода начального запаса, ее нужно разместить в момент t0 = 𝑰 ⁄𝝂 - Ɵ . В общем случае заказы нужно размещать в моменты: В системе с конечной интенсивностью поступления заказа при определении оптимальной точки заказа рассматриваются два случая: Для системы с учетом неудовлетворенных требований точка заказа определяется по формуле: и может быть отрицательной величиной. Это означает, что заявки на пополнение запаса должны посылаться, когда величина дефицита составляет │ r │ . Складские системы промышленных предприятий содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч номенклатур. Следовательно, возникает необходимость рассмотрения задач управления многономенклатурными запасами. Многие специалисты придерживаются мнения, что оптимизация должна проводиться лишь по 5-10% номенклатур, суммарная потребность в которых в стоимостном выражении составляет 60-70%. При отсутствии взаимодействия между запасами различных видов продукции затраты L в единицу времени для системы, включающей N видов хранимой продукции вычисляются по формуле: Откуда, используя необходимый признак экстремума, находим: Минимальные издержки в единицу времени составляют Пусть общая складская площадь ограничена величиной f. Ограничение на складские площади имеет вид: где fi - площадь, необходимая для хранения единицы i-го вида продукции, qi величина партии i-го вида продукции. В этом выражении обычно вводится нормировочный множитель h для учета того фактора, что запасы отдельных номенклатур могут поступать независимо друг от друга. Если запасы всех номенклатур пополняются одновременно, то в это время запас и занятая им площадь оказываются максимальными и h = 1. Полагая h = 1/2, допускаем, что запасы всех видов продукции пополняются в разное время, а уровень запасов и занятая ими площадь являются средними. Маловероятно, что занятая площадь окажется много меньше половины имеющейся, поэтому 1/2 ≤ h ≤ 1. С учетом сказанного ограничение запишется так: Для определения экстремума функции L при наличии ограничения складских площадей применим метод множителей Лагранжа. Составим дополнительную функцию Лагранжа. Если ограничение является несущественным, то ℎ ∑ случая: 𝑁 𝑞𝑖 𝑓𝑖 – 𝑓 отрицательная величина, а λ = 0. Возможны два 𝑖=1 Это обеспечивает возможность Поскольку выражение λ (ℎ ∑ 𝑁 составления функции Лагранжа. 𝑞𝑖 𝑓𝑖 – 𝑓)=0 в любом случае, то функция 𝑖=1 суммарных затрат в единицу времени будет иметь вид: Продифференцируем эту функцию по неизвестным параметрам q1 и λ и приравняем частные производные к нулю: Откуда выводим систему из N + 1 уравнения с N + 1 неизвестной q1, … , qn, λ Оптимальные партии поставок можно найти методом дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи. Неопределенный множитель Лагранжа λ в данном случае имеет конкретный экономический смысл. Он показывает, насколько можно сократить минимальные издержки функционирования системы в единицу времени, увеличив складские площади на единицу. Аналогично решается задача, если ограничения накладываются на величину оборотных средств А, вложенных в запасы. Пусть (α i - стоимость единицы материала i-ro вида, тогда ограничение имеет вид: Пропуская математические выкладки, запишем систему для решения задачи: Неопределенный множитель Лагранжа λ в этой модели показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся затраты в системе, если оборотные средства увеличатся на одну денежную единицу. ЛИТЕРАТУРА. 1. Справочник по математике для инженера. / Под ред. В.И. Ермакова - М.: Высшая школа, 1987. 2. Экономико-математические методы и модели. / Под ред. А.В. Кузнецова.Минск: Изд-во БГЭУ, 2000.