Методические материалы по математическому анализу (1-ый семестр)

Теоретические вопросы к экзамену по математическому анализу
1-ый семестр
1) Определение предела числовой последовательности. Единственность предела.
2) Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами (теорема о переходе
к пределу в неравенстве, теорема о пределе промежуточной последовательности,
ограниченность сходящейся последовательности).
3) Арифметические свойства пределов последовательностей.
4) Предел монотонной последовательности. Число е .
5) Подпоследовательность, частичный предел. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и
нижний пределы последовательности.
6) Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Отрицание критерия Коши.
7) Определение предела функции по Коши и по Гейне и их эквивалентность.
8) Свойства пределов функций (ограниченность функции, имеющей предел, единственность
предела, теорема об односторонних пределах).
9) Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций. Теорема о связи
бесконечно малой и бесконечно большой функций. Теорема о сумме бесконечно малых
функций. Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.
10) Арифметические свойства пределов функций.
11) Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный предел.
12) Второй замечательный предел.
13) Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства. Теорема о замене
эквивалентности в пределе отношения.
14) Таблица основных эквивалентностей.
15) Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке (теорема о
приращении непрерывной функции, непрерывность арифметических действий,
непрерывность сложной функции).
16) Свойства функций, непрерывных на отрезке (ограниченность, теорема Вейерштрасса,
теорема Больцано-Коши).
17) Точки разрыва и их классификация.
18) Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Односторонние производные.
19) Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции в точке.
20) Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над
функциями.
21) Производная обратной функции. Производная сложной функции.
22) Таблица производных основных элементарных функций.
23) Дифференциал функции, его связь с производной. Свойства дифференциала, связанные с
арифметическими действиями. Геометрический смысл дифференциала.
24) Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
25) Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго
дифференциала.
26) Теорема Ролля и ее геометрический смысл.
27) Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Теорема Коши.
28) Правило Лопиталя.
29) Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
30) Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
31) Необходимые и достаточные условия монотонности дифференцируемой функции.
32) Локальный экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия
экстремума. Теорема Ферма.
33) Определение функции выпуклой вверх и выпуклой вниз. Достаточные условия строгой
выпуклости вверх и строгой выпуклости вниз.
34) Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия наличия точек перегиба.
35) Асимптоты графика функции. Условия существования наклонной асимптоты.
36) Функция n переменных. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке.
37) Частные производные функции n переменных. Теорема о равенстве смешанных
производных.
38) Дифференцируемость функции n переменных, полный дифференциал.
39) Формула Тейлора для функции n переменных с остаточными членами в форме Лагранжа
и Пеано.
40) Локальный экстремум функции n переменных. Необходимые и достаточные условия
экстремума.
Теоретические задачи к экзамену.
n 1
 1.
1) Доказать, что lim
n 
n
2) Пользуясь отрицанием критерия Коши, доказать, что последовательности
n
1
n
а) x n  sin
, б) x n   1 
не имеют предела.
2
n
3) Для каждой из следующих последовательностей найти lim xn, lim xn :
n 
n 
2   1
 5 ; б) xn  2n sin n .
3n  7
3
9
n
n
n
a
x 2  16
4)Доказать, что а) lim
 , a  1 ; б) lim n n  1; в) lim 5  0 ; г) lim 2
 2.
n 
x 4 x  4 x
n
n  n!

5) Доказать, что функция f ( x)  sin не имеет предела в точке x  0 .
x
6) Используя логические символы, записать определение предела и привести его
геометрическую иллюстрацию:
а) lim f ( x)   ; б) lim f ( x)   ; в) lim f ( x)  3 ; г) lim f ( x)  4 ; д) lim f ( x)  
а) xn 
x a 0
n
xa  0
x  
x 
xa
7) Найти точки разрыва функции f (x) и определить их характер:
 1 x
1
, x  1
sin x

1 x
а) f ( x) 
; б) f ( x)  sign x ; в) f ( x)  2 ; г) f ( x)  1  x 3
.
x
1 3, x  1
8) Исследовать на дифференцируемость функции:
 x 3 , x  0,
а) f ( x)  x ; б) f ( x)  x x ; в) f(x)  
exp  1 x , x  0
x sin 1 x, x  0,
9) Показать, что функция f (x)  
непрерывна в точке x  0 , но не имеет в
0, x  0
этой точке ни правой, ни левой производной.
10) Выяснить, существуют ли пределы функций двух переменных:
x2  y2
x2 y
x3  y3
а) lim 2
;
б)
;
в)
.
lim
lim
x 0 x  y 2
x 0 x 4  y 2
x 0 x 2  y 2
y 0
y 0
y 0
Практические задания экзаменационного билета включают в себя:
1) Задачи на вычисление пределов последовательностей и функций с помощью
элементарных методов (сокращение на множитель, стремящийся к нулю; домножение на
сопряженное выражение; деление числителя и знаменателя на старшую степень знаменателя
в отношении двух бесконечно больших). Использование 1-го и 2-го замечательных пределов.
Вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентностей.
2) Задачи на вычисление пределов с использованием правила Лопиталя, тейлоровских
0 
разложений. Раскрытие неопределенностей , ,  - , 0  , 0 0 ,  0 , 1 .
0 
3) Вычисление производных и дифференциалов функций одного переменного, функций,
заданных неявно и параметрически. Логарифмическое дифференцирование.
4) Нахождение асимптот графиков функций, исследование функций по первой и второй
производной, построение графиков функций.
5) Нахождение частных производных и дифференциалов функции n переменных.
Нахождение частных производных сложной функции n переменных и функции,
заданной неявно. Нахождение точек экстремума функций n переменных.
Образцы задач практической части.
1) Задачи на вычисление пределов функций с помощью элементарных методов
(сокращение на множитель, стремящийся к нулю; домножение на сопряженное
выражение; деление числителя и знаменателя на старшую степень знаменателя в
отношении двух бесконечно больших). Использование 1-го и 2-го замечательных
пределов. Вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентностей.
Вычислить пределы функций:
2x 1  3
6  x 1
x 2  4 x  12  x 2  4 x  12
; 1.2 lim
; 1.3 lim
.
x 5
x 3
x2  9
x2  2
2  x 1
2 x 2
sin x  2
3 x 2
; 2.2 lim
; 2.3 lim
.
x 2
x 1 tg  x  1
sin x
6 x 2
1.1 lim
x 4
2.1 lim
x2
3x 3  4 x 6  x 2  1  cos 2 x
3.1 lim
x  
4.1 lim
x
x
5x 3  3 x 2  x  1
4
4.3 lim x 3 2
x 
5x 2  4 x  4 x 4  1
.
x  x 2  x  1  sin 2 x
; 3.2 lim

 4x
 
 2 ; 4.4 lim sin   x
x

 2 x 2  1  x 4  2 x 2  1 ; 4.2 lim
4
 13x 2  7  2 x 2 ;
x
2
1 1 ;
3
 2  x3
x 
x  

4.5 lim  2  7x  x2  3  x  x2  ; 4.6 lim  2  7x  x2  3  x  x2  .


x  
x  
 3x  2 
5.1 lim 

x  3 x  1


2 x 1
2x
 x 2  2x 
 .
; 5.2 lim  2
x  x  x  1 


1  cos 2 x 2
6.1 lim
x 0 3
1  sin x  1
4
; 6.2 lim
x 0


1

ln 1  x sin 2 5 x
; 6.3 lim
;
x 0 1  cos 4 x tgx
1  2 x  1 arctg 3x
e arcsin
2
x

ln 1  arctg 2 x   2 tg 3 x  1
ln cos 2 x 2 
1  x sin 2 x  1
lim
;
6.5
;
6.6
;
lim
3
x 0
x 0 3
e 2 x  1 arcsin 3x 2
1  arcsin 2 3 x  1
1  tg 4 x  1
5
6.4 lim
x 0










e3 x  1 1  arctg x  1
ln 1  sin 2 x3
ln 1  2tg 3 x
6.7 lim
; 6.8 lim
; 6.9 lim
.
x 0
x  0 2 x  sin 2 x
x  0 arcsin 2 x  arctg 3x  e5 x  1
tg 2 x  sin 2 x
7.1 lim 1  sin 3x 
1 2x
x 0
7.4 lim cos x 
1 tg 2 3 x
x 0
2
; 7.2 lim 1  ln 1  5 x 
1 tg 2 x
x 0
.
См. также задачу №2 типового расчета.
sin x
 1.
x
1x
Второй замечательный предел: lim 1  x   e .
Первый замечательный предел: lim
x 0
x 0

; 7.3 lim 1  arcsin 2 3x
x 0

1
x sin x
;

Таблица эквивалентностей:
При x  0
Если lim ux   0 , то при x  x0
sin x ~ x
arcsin x ~ x
tg x ~ x
arctg x ~ x
ln 1  x ~ x
ex 1 ~ x
a x  1 ~ x ln a
1  x   1 ~ x
sin u ~ u
arcsin u ~ u
tg u ~ u
arctg u ~ u
ln 1  u  ~ u
eu  1 ~ u
a u  1 ~ u ln a
1  u   1 ~ u
1  cos x ~ x 2 2
1  cos u ~ u 2 2
x  sin x ~ x 3 6
u  sin u ~ u 3 6
tgx  x ~ x 3 3
tgu  u ~ u 3 3
tgx  sin x ~ x 3 2
tgu  sin u ~ u 3 2
x  x0
2) Задачи на вычисление пределов с использованием правила Лопиталя, тейлоровских
0 
разложений. Раскрытие неопределенностей , ,  - , 0  , 0 0 ,  0 , 1 .
0 
Вычислить пределы функций с помощью правила Лопиталя:
x  1 ln x  1  x ;
1.1 lim
x 0
e  x 1
x
5
1.2 lim
x  6
3tg 2 x  1
2 sin x  5 sin x  3
2
ln x   2
ln sin x
; 1.4 lim
.

x  0 ctgx
tgx
x 0
; 1.3 lim

2

2

1


2.1 lim x ln  arctgx  ; 2.2 lim x 3 ln 3 2   ; 2.3 lim   2arctg x x ; 2.4 lim sin x  tg  1  x  .
x  
x


0
x

0
x




 x
2

1 
1 
 1
1

3.1 lim 
; 3.2 lim e x  x 2 ; 3.3 lim   x

 ; 3.4 lim ln x  x .
x 1 ln x
x 0 x
x 
x 
x 1
e 1





x

1x
x
2
2

2


arcsin x
4.1 lim  arctg 2 x  ; 4.2 lim arctgx 
; 4.3 lim  arccos 3 x  ; 4.4 lim 1  arcsin  ;
x   
x  0 
x  
x 0
x





x 

4.5 lim  ctg 
x 1
4

1
2 x 1

; 4.6 lim 2 x  x
x 0

1
sin x

; 4.7 lim cos 2 2 x
x  4

sin 4 x
; 4.8 lim ctgx cos 2 x .
1
x

4
Вычислить пределы функций с помощью формулы Тейлора:
2 cos x  arcsin x  2 1  x
2tgx  sin 2 x
1  x cos x  3 1  3x
5.1 lim 2 x
; 5.2. lim
;
5.3
;
lim
x 0
x 0 e
x 0
ln 1  2 x 2 
ln 1  3x   3x
 ln 1  2 x   4 x  1




e2x  1  4x
arcsin 3x  arctg 3x  ln 1  x 3
2 x  2 sin x  ln 1  2 x 3
5.4 lim
; 5.5 lim
; 5.6 lim
.
x 0 ln 1  3 x 2   arctgx 2
x 0
x 0
xtg5 x 2
tgx  x
См. также задачи №9,10,11 типового расчета.
Основные тейлоровские разложения
При x  0 :
 
x2 x3
xn

  
 o xn ;
2! 3!
n!
3
5
 1n x 2 n1  o x 2 n 2 ;
x
x
2) sin x  x 

  
2n  1!
3! 5!
1) e x  1  x 


 1 x 2 n  o x 2 n1 ;
x2 x4

  
2n !
2! 4!
   1 2    1  2 3

4) 1  x   1  x 
x 
x  o x3 ;
2!
3!
n 1

x2 x3 x4
 1 x n
5) ln 1  x   x 


  
 o xn ;
2
3
4
n
3
5
x
2x
6) tgx  x 

 o x6 ;
3
15
x3 x5
7) arctgx  x 

 o x6 ;
3
5
3
x
3x 5
8) arcsin x  x 

 o x6 .
6
40

n
3) cos x  1 

 
 
 
 
 
3) Вычисление производных и дифференциалов функций одного переменного, функций,
заданных неявно и параметрически. Логарифмическое дифференцирование.
Найти производные функций:
sin x
1
1.1 y  e 3 x cos   2 ln 2 x  tg x 2  
;
cos x  2
 x
tgx
1.2 y  x sin x  arctg 4 x 2   2 x 1 
;
cos 2 x  4
2
x5
1.3 y  x  2  arctg 5 x  e 2 x  cos 4 x 
;
x 1
x2  1 e x  ex
1.4 y  x 2  1  arcsin 2 x  3
;

2
x 7
ex
1.5 y  3 x  tg x  arccos 3x  ln 3x  7   2
;
x 1
10
1.6 y  2 x  1  e 3 x  arcsin x  2tg 2 x  7  .





2
1
2.1 y  ln 3 2sin x  1 ; 2.2 y  cos 3 2arctg x ; 2.3 y  arcsin 4 
2x
 1 e




;



2.4 y  arctg 5 1  cos 3x ; 2.5 y  3 1  cos 4 x 2  1 ; 2.6 y  ln 2 1  3ctg 2 5x .
 x
tgx
3.1 y  x x ; 3.2 y  sin x  ; 3.3 y   tg 
 2
3.5 y  1  cos 2 x 
3 x 16
4.1 y 
4.4 y 
x  24
7
x 5  3 2 x  7 
5
3
2 x  13  x
; 3.6 y  ctgx 
ln x
; 4.2 y 
2
x  23 3x  5
.
3
arcsin 3 x
; 3.4 y  arctg 4 x 
3
1 x 2
;
.
2x  9
x  7 3x  4
3
; 4.3 y  3
x  1x  15
x11
;
Найти производную функции y  yx  , заданной неявно уравнением:
5.1 y 5  y 3  y  x  0 ; 5.2 y  x 
1
sin y ; 5.3
2
x  y  2 ; 5.4
x2 y2

 1.
a2 b2
Найти производную y x для функции y  yx  , заданной параметрически:
6.1 x  sin 2 t , y  cos 2 t , 0  t   2 ; 6.2 x  2t  sin t , y  21  cos t ,    t   ;
6.3 x  t  1 t  2, y  t  1 t  3, 5 3  t   ;
6.4 x  ln sin t 2, y  ln sin t , 0  y   .
2
2
См. также задачи № 3,4,5,6,7 типового расчета.
Правила дифференцирования функций

1) C   0, C  const ;

2) u  v   u   v ;

3) Cu   Cu ;

4) uv   u v  uv ;

 u  u v  uv 
5)   
v2
v
Правило дифференцирования сложной функции
 f ux f  u  u x
Таблица производных основных элементарных функций

1) x   ax , a  0;
1) u a   au a 1u , a  0;


2) a x   a x ln a (a  0, a  1);
2) a u   a u ln au  (a  0, a  1);


2a ) e x   e x ;
2a ) e u   e u u ;
1
u


3) log a x  
(a  0, a  1);
3) log a u  
(a  0, a  1);
x ln a
u ln a
 1
 u
3a ) ln x   ;
3a ) ln u   ;
x
u


4) sin x   cos x;
4) sin u   cos u  u ;


5) cos x    sin x;
5) cos u    sin u  u ;
1
u


6) tgx 
;
6) tgu  
;
2
cos x
cos 2 u
1
u


7) ctgx   2 ;
7) ctgu    2 ;
sin x
sin u
1
u




8) arcsin x   arccos x  
;
8) arcsin u   arccos u  
;
1 x2
1 u2
1
u








9) arctgx   arcctgx  
9
)
arctgu


arcctgu

1 x2
1 u2
a

a 1
4) Нахождение асимптот графиков функций, исследование функций по первой и второй
производной, построение графиков функций.
Найти промежутки монотонности и точки экстремумов указанных функций:
1.1. y 
1.5. y 
5x  2
x2 1
3
; 1.2. y 
x  12
x
3
; 1.6. y 
x2  4
3
x 1
; 1.3. y 
3
x  32
; 1.4. y 
3
 x  2 2
;
x 1
x2
.
x3
x  12
Найти асимптоты графиков указанных функций:
2
2.1. y  x  2x  3  x

2.4. y  ln 1  e2x

1
;2.2. y  2x  3e x
;2.3. y  x4  x3  x2
;
.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции:
x3
3.1. y  2 x  3x  x  1 ; 3.2. y  x  10 x  3x ; 3.3. y 
; 3.4. y 
12  x 2
4
2
5
x
2
3
x 1
2
.
См. также задачи № 12, 13, 14 типового расчета.
5) Нахождение частных производных и дифференциалов функции n переменных.
Нахождение частных производных сложной функции n переменных и функции,
заданной неявно. Нахождение точек экстремума функций n переменных.
Найти частные производные и дифференциал первого порядка функции двух переменных:
1.1. f x, y   2 x 4  3x 2 y 2  x 3 y ;
1.3. f x, y  


x  y e xy  y 2 x ;


1.2. f x, y   ln x  x 2  y 2  x y ;
1.4. f x, y   cos
2x  1
3y
  x  1 ;
x  3y
2
x
y2
y 2
;
1.6 f x, y   sin x  2 y   e x y  3x  2 .
y
xy  1
Найти частные производные второго порядка функции двух переменных:
x
2.1. f x, y   xyx 3  y 3  3 ; 2.2. f x, y   e xy ; 2.3. f x, y  
; 2.4. f x, y   x y .
x y
1.5. f x, y   arctg xy  1 
y
Найти z , z , если z  1  u 2 ln 1  v, u  , v  x4  y 2 .
x
x y
Найти частные производные функции u ( x; y) , заданной неявно уравнением
x2  2 y 2  3u 2  yu  x  0 в точке (1;1;1 3) .
Найти экстремумы функции двух переменных f(x,y)  x 4  y 4  2x  y  .
2
См также задачи № 18,19,20 типового расчета.