Лабораторная работа 1

Лабораторная работа
Определение момента инерции тела методом крутильных колебаний
Цель работы: изучить метод крутильных колебаний, который широко
используется для определения моментов инерции тел неправильной
геометрической формы.
Задачи:
1) экспериментально определить момент инерции диска, совершающего
колебанияя на закручивающейся проволоке;
2) измерив диаметр диска штангенциркулем и зная его массу (М = 2020 г),
вычислить теоретическое значение момента инерции и сравнить его с
экспериментальным. Это сравнение будет служить контролем проводимых
измерений и точности метода;
Схема экспериментальной установки:
1 – исследуемое тело;
А'ОА – упругая металлическая проволока;
2 – рычаг для создания крутильных колебаний;
Рисунок 1. Экспериментальная установка для изучения крутильных
колебаний
Рабочие формулы:
1) среднее значение периода колебаний крутильного маятника:
Т 
t
,
N
где t - среднее время колебаний; N = 20 – число полных колебаний за это
время
2) момент инерции диска I:
1
T2
I  m  D12  D22  2 2
8
T0 T
где m – масса добавочного груза; D1 и D2– внешний и внутренний диаметры
добавочного груза; Т0 и Т – период крутильных колебаний диска без груза и
диска с грузом соответственно
3) теоретическое значение момента инерции диска:
I теор 
МD 2
8
где М – масса диска; D – его диаметр
Выполнение работы
Прямые измерения
1. Измерим штангенциркулем трижды внешний диаметр D1 и внутренний
диаметр D2 цилиндра. Результаты измерений запишем в таблицу 1. .
Таблица 1. Результаты измерений и вычислений
№п/п
1
D1, мм
ΔD1, мм
ΔD12, мм2
D2, мм
ΔD2, мм
ΔD22, мм2
100,0
0,83
0,6889
80,0
-0,17
0,0289
2
98,5
-0,67
0,4489
79,5
-0,67
0,4489
3
99,0
-0,17
0,0289
81,0
0,83
0,6889
3
D1  99,17
D
i 1
2
1
 1,1667 D2  80,17
3
D
i 1
2
2
 1,1667
2. Измерим один раз диаметр исследуемого диска:
D =201 мм
3. Измерим секундомером шесть раз время t колебаний диска vассой М =
2020 г и время t0 колебаний добавочного цилиндра массой m = 1050 г.
Результаты измерений запишем в таблицу 2.
Таблица 2. Результаты измерений и вычислений времени колебаний диска и
добавочного цилиндра
№
п/п
t, с
Δt
Δt2
t0, с
Δt0
Δt02
1
43,4
0,338
0,114244
47,5
-0,033
0,001089
2
43,1
0,038
0,001444
47,6
0,067
0,004489
3
42,8
-0,262
0,068644
47,31
-0,223
0,049729
4
43,22
0,158
0,024964
47,73
0,197
0,038809
5
42,9
-0,162
0,026244
47,52
-0,013
0,000169
6
42,95
-0,112
0,012544
47,54
0,007
0,000049
6
 t
t  43, 062
i 1
2
6
 t
 0, 248084 t0  47,533
i 1
2
0
 0, 094334
Обработка результатов измерений
1. Определим среднее время колебаний диска:
n
t
t 
i 1
i

n
43, 4  43,1  42, 8  43, 22  42, 9  42, 95
 43, 062 с
6
Результаты вычислений запишем в табл.2.
2. Определим среднее время колебаний добавочного груза:
n
t
t0

i 1
n
0i

47, 5  47, 6  47, 31  47, 73  47, 52  47, 54
 47, 533 с
6
Результаты вычислений запишем в табл.2.
3. Определим квадраты отклонений каждого измерения времени от среднего
значения:
ti2  (ti  t ) 2
t02i  (t0i  t ) 2
Пример (для эксперимента №1 с диском):
t12  (t1  t ) 2  (43, 4  43, 062) 2  0,3382  0,1142444 с 2
Результаты запишем в табл. 2.
4. Определим полную погрешность измерения времени Δt с доверительной
вероятностью α = 0,8, считая приборную погрешность измерения времени
секундомером Δtприб = 0,01 с и значение коэффициента Стьюдента для n = 6
измерений с доверительной вероятностью α = 0,8 равным tα;n = t0,8;6 = 1,48:
n
tсл  t ;n
 (t  t )
i 1
n  n  1
n
t0сл  t ;n
2
i
 (t
i 1
0i
 1.48 
0.248084
 0.135 c
6(6  1)
 1, 48 
0, 094334
 0, 083 c
6(6  1)
 t )2
n  n  1
2
t  tcл2  tприб
 0,1352  0, 012  0,14 с
t0  t02cл  t02приб  0, 0832  0, 012  0, 08 с
Таким образом:
t = (43,06 ± 0,14) с
t0 = (47,53 ± 0,08) с
5. Определим среднее значение внешнего диаметра цилиндра:
n
D1 
D
i1

i 1
100  98.5  99
n
 99,167 мм
3
Результаты вычислений запишем в табл.1.
6. Определим среднее значение внутреннего диаметра цилиндра:
n
D2 
D
i2
i 1
n

80  79.5  81
3
 80,167 мм
Результаты вычислений запишем в табл.1.
7. Определим квадраты отклонений каждого измерения диаметра от среднего
значения:
Di21  ( Di1  D1 ) 2
Di22  ( Di 2  D2 ) 2
Пример (для эксперимента №1 с внешним диаметром):
D112  ( D11  D1 ) 2  (100  99,17) 2  0,832  0, 6889 с 2
Результаты запишем в табл. 1.
8. Определим полную погрешность измерения внешнего и внутреннего
диаметра ΔD с доверительной вероятностью α = 0,8, считая приборную
погрешность измерения штангенциркулем ΔDприб = 0,1 мм и значение
коэффициента
Стьюдента
для
n
=
3
измерений
с
доверительной
вероятностью α = 0,8 равным tα;n = t0,8;3 = 1,89:
n
D1сл  t ;n
 (D
i 1
1i
n  n  1
n
D2сл  t ;n
 (D
i 1
 D1 )2
2i
 D2 )2
n  n  1
 1,89 
1,1667
 0,833 мм
3(3  1)
 1,89 
1,1667
 0,833 мм
3(3  1)
2
D1  Dcл2 1  Dприб
 0,8332  0,12  0,8 мм
2
D2  Dcл2 2  Dприб
 0,8332  0,12  0,8 мм
Таким образом:
D1 = (99,2 ± 0,8) мм
D2 = (80,2 ± 0,8) мм
9. Поскольку диаметр диска D измерялся однократно, то его случайная
погрешность ΔDсл = 0, а полная погрешность равна приборной погрешности
штангенциркуля:
ΔD = ΔDприб = 0,1 мм
Таким образом:
D = (201± 0,1) мм
10. Определим среднее значение периода колебаний диска
Т
и
периода
Т0 :
колебаний добавочного груза
Т 
t
43, 06

 2.153 c
N
20
Т0 
t0 47,53

 2,3765 c
N
20
11. Определим значение погрешности косвенного измерения периода
колебаний, пренебрегая погрешностью в определении числа колебаний:
Т 
t 0,14

 0, 007 c
N
20
Т 0 
t0 0, 08

 0, 004 c
N
20
Таким образом:
Т = (2,153 ± 0,007) с
Т0 = (2,376 ± 0,004) с
12. Вычислим значение момента инерции диска:
1
T2
I  m  R12  R22  2 2
2
T0 T
и т.к.R = D/2, то:
1
T2
1
2,1532
2
2
I  m  D12  D22  2


1,
05

0,
0992

0,
0802

 9,803 10 3 кг  м2


2
2
2
8
T0  T
8
2,376  2,153
13. Определим теоретическое значение момента инерции диска:
I теор 
МD 2 2.02  0, 2012

 10, 20 103 кг  м2
8
8
14. Выведем формулу определения погрешности косвенного измерения
момента инерции диска:
- прологарифмируем расчетную формулу:
1
ln I  ln  ln m  ln  D12  D22   2 ln T  ln T02  T 2 
8
- найдем частные производные полученной функции lnI = f(m, D1,D2, T, T0):
  ln I 
m
  ln I 
D1
  ln I 
D2

1
m

2 D1
D  D22

2 D2
D  D22
2
1
2
1
  ln I  2
2T02
2T
  2

T
T T0  T 2 T T02  T 2 
  ln I 
T0

2T0
T T 2
2
0
- запишем формулу относительной погрешности косвенного измерения:
   ln I 
    ln I 
    ln I 
    ln I 
    ln I 

I

 
m   
D1   
D2   
T0   
T 
I
 m
  D1
  D2
  T0
  T

2
I
I
2
2
2
2
2
2
2
2
I
 m   2 D1D1   2 D2 D2   2T0 T0   2T0 T 



 
 2
 2

  2
2 
2 
2 
2
2
I
 m   D1  D2   D1  D2   T0  T   T T0  T  
2
- абсолютная погрешность измерения момента инерции:
I  I  I
15. Вычислим погрешности измерения момента инерции диска:
2
2
2
2
2

1   2  99, 2  0, 8   2  80, 2  0, 8   2  2, 376  0, 004  
2  2, 376  0, 007

I  




  0, 036
 


2
2 
2
2 
2
2 
2
2
 1050   99, 2  80, 2   99, 2  80, 2   2, 376  2,153   2,153  2, 376  2,153  
2
I  9,803 103  0,036  0, 4 103 кг  м2
Таким образом:
I = (9,8 ± 0,4)·10-3кг·м2
2
Выводы:
1) изучили метод крутильных колебаний и применили его для определения
момента инерции диска. Полученный экспериментальный результат с
доверительной вероятностью α = 0,8 и относительной погрешностью ε = 4%:
I = (9,8 ± 0,4)·10-3кг·м2
2 вычислили теоретическое значение момента инерции диска:
Iтеор = 10,2·10-3кг·м2
Полученное экспериментальное значение в пределах погрешности совпадает
теоретическим значением, что свидетельствует о правильности проведенных
измерений и подтверждает точность метода крутильных колебаний.