Загрузил SVmikea

matematicheskoe-modelirovanie-prochnosti-i-nesushchei-sposobnosti-anizotropnykh-i-kompozitny

Реклама
Министерство образования Российской
Федерации
Камский политехнический институт
На правах рукописи
Сибгатуллин Эмер
Сулейманович
УДК 539.3:539.4:539.374:539.375
Математическое моделирование прочности и несущей
способности анизотропных и композитных элементов
конструкций
С п е ц и а л ь н о с т ь - 01.02.04 - м е х а н и к а
деформируемого
твердого тела
Диссертация на соискание ученой степени
доктора физико-математических
г. Набережные Челны - 2 0 0 1 г.
наук
Содержание
стр.
ВВЕДЕНИЕ
б
ОБЗОР ЛИТЕРА ТУРЫ.
23
1. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ И ПЛА СТИЧНОСТИ ОДНОРОДНЫХ
КВАЗИОДНОРОДНЫХ
ИЗОТРОПНЫХ и
АНИЗОТРОПНЫХ
МА ТЕРН АЛОВ. КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ
И
86
1.1.
Краткий обзор известных теорий кратковременной
прочности
86
1.2. Критерии прочности при многоцикловом нагружении
86
1.2.1. Определения и обозначения
94
1.2.2. Некоторые традиционные критерии прочности при многоцикловом
нагружении
95
1.2.3. Новый критерий прочности при многоцикловом нагружении
96
1.3. Критерии начала распространения .макротрещин в изотропных
телах при с.чожных напряженных состояниях
102
1.3.1. Некоторые определения и формулы
102
1.3.2. Развитие концепции Си в механике разрушения
105
1.3.3. Критерий разрушения на базе энергетической теории прочности 118
1.3.4. Новый вариант ов - критерия в механике разрушения
127
1.3.5. Новый вариант se - критерия в .механике разрушения
131
1.3.6. Вариант трактовки приб.чиженных критериев разрушения
137
1.4. Критерий разрушения для анизотропного тела с макротрещиной 139
2.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ПРЕДЕЛЬНОГО
РАВНОВЕСИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДА Ч О НЕСУЩЕЙ
СПОСОБНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
146
2.1.
Поверхность нагружения
2.2.
Принцип .максимума Мизеса и постулат Друккера.
закон деформирования
2.3.
Постановка задачи о пределъно.м равновесии
2.4.
Уравнение баланса мощностей
2.5.
Экстремальные свойства предельных состояний
146
Ассоциированный
149
152
153
деформирования
755
2.6.
Кинематический
и статический методы определения
несущей
способности конструкций. Сведение задачи к задаче
линейного
программирования
158
2.7.
Универсачьный характер ассоциированного
закона
деформирования.
О методе пластических решений
161
3.
ТЕОРИИ ПРО ЧНОСТИ ОДНОРОДНЫХ
ОБОЛОЧЕК, ПЛАСТИН, БРУСЬЕВ
АНИЗОТРОПНЫХ
168
2
3.1.
Некоторые определения и гипотезы
168
3.2.
Вывод параметрических уравнений предельной поверхности для
анизотропных оболочек и п.частии
170
3.3.
Вывод параметрических уравнений предельной поверхности для
анизотропных брусьев
174
3.4.
Вывод параметрических уравнений предельной поверхности для
окрестности вершины сквозной макротрещины в анизотропных
тонких
оболочках и п.частинах
178
3.5.
Некоторые частные случаи
182
4.
ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ ОБОЛОЧЕК, ПЛАСТИН,
БРУСЬЕВ,
ИЗГОТОВЛЕННЫХ
ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ
МА ТЕРИАЛОВ
186
4.1.
О ко.мпозиционных материалах
186
4.2.
Параметрические уравнения предельной поверхности в
пространстве обобщенных сил для слоистых композитных оболочек и
п.пастин
191
4.2.1. Уравнения предельной поверхности для случая
кратковременного
статического нагружения
191
4.2.2. Уравнения предельной поверхности для случая
многоциклового
нагружения (многоцикловая устачостъ)
196
4.2.3. Прочность слоистых композитных обо.чочек и пластин при
д.чительно.м статическо.м нагружении
206
4.2.4. Прогнозирование прочности слоистых гибридных
композитных
оболочек и п.частин, работающих в условиях высоких температур
212
4.2.5. Учет совокупного влияния раз.чичных факторов на прочность
слоистых гибридных ко.ипозитных оболочек и пластин
214
4.2.6. Параметрические уравнения предельной поверхности для слоистых
ко.мпозитных оболочек и п.частин в пространстве обобщенных сич (общий
с.чучай)
217
4.3.
Прочность композитов, составленных из симметричных
слоев
структуры
[
-(р^
223
4.3.1. Уравнение преде.чьной поверхности для композита структуры [+ (pJ/
- (р^ для случая кратковременного
статического ... М.^.'^.р^.?^.^.(^.Р<<Л. 224
4.3.2. Прочность ко.мпозитных оболочек и пластин, составленных из
силшетричных слоев структуры [+(Р]/~(Р]], в с.чучае
кратковременного
статического нагружения
234
4.3.3. Учет влияния времени, температуры и других факторов при
прогнозировании прочности композитов структуры [4-(Р]/-щ].
236
4.4.
Параметрические уравнения предельной поверхности в
пространстве обобщенных сил для композитных ...^^>.^.<^к^.ё
240
4.4.1. Уравнения предельной поверхности для ко.мпозитных брусьев в
случае кратковременного
статического приложения нагрузок
240
4.4.1.1. Предельные поверхности д.чя композитных брусьев при начичии
силшетрии в строении .материала и в геометрии поперечного
сечения
(с.чучай кратковременного
статического нагружения)
247
3
4.4.2. Поверхность прочности
многоцикчового нагружения
для композитных
брусьев в случае
251
5.
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
ПРОЧНОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
НЕСУЩЕЙ
СПОСОБНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ.
254
5.1.
Вопросы, связанные с использованием параметрических
уравнений
предельных поверхностей для композитных элементов конструкций в
приложениях. Алгорит.м А1
254
5.2.
Определение .механических характеристик ортотропного
.монослоя
путем испытаний трубчатых образцов из композита структуры [±(р]сАчгорит.м А2
263
5.3.
О вычислении параметров ко.мпозитов путе.м осреднения по Фойхту
и осреднения по Рейссу
270
5.4. Метод прогнозирования прочности слоистых композитных
оболочек
с использованием выпукчых лшогогранных поверхностей прочности для
слоев. Ачгорит.м АЗ
273
5.5.
Оценка снизу несущей способности слоистых композитных
оболочек
вращения (статический .метод). Алгоритм А4
280
5.6.
Оценка сверху несущей способности композитных
оболочек
вращения (кинематический метод). Апгоритм ... .А^.
283
5.7.
Метод жестких элементов и обобщенных линий
разрушения.
Ачгорит.м А6
288
6.
НЕКОТОРЫЕ
РЕЗУЛЬТА ТЫ РАСЧЕТОВ
И ИХ АНАЛИЗ
312
6.1.
Результаты прогнозирования прочности слоистых
композиционных
-материачов
312
6.1.1. Резу.чьтаты прогнозирования кратковременной
статической
прочности слоистых КМ
312
6.1.2. Резу.чьтаты прогнозирования длительной статической
прочности
с.чоистых КМ
316
6.1.3. Резу.чьтаты прогнозирования прочности слоистых КМ при
повышенных температурах.
318
6.1.4. Результаты прогнозирования прочности слоистых КМ при
.многоцикчово.м нагружении
319
6.2.
Некоторые результаты прогнозирования несущей
способности
статически определимых композитных ... оВ'.олр^-о-.У^
321
6.2.1. Несущая способность круговых цичиндрических оболочек с
донышками
321
6.2.2. Несущая способность длинных цилиндрических оболочек
замкнутого
профиля при кручении с растяжением
'
326
6.3.
Некоторые примеры определения несущей
способности
анизотропных и композитных оболочек вращения с испо.чьзованием
статического и кинематического методов теории предельного
равновесия
330
6.3.1. Определение несущей способности торообразной ...о^олрьзсу^
6.3.2. Определение несущей способности круговой
цилиндрической
оболочки со шпангоутами
6.3.2.1. Алгоритм решения задачи статическим методом
6.3.2.2. Алгоритм решения задачи кинематическим методом
6.3.2.3. Некоторые результаты расчетов
6.3.3. Определение несущей способности
железобетонного
полусферического купола
,,33]
333
333
336
339
340
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
350
ЛИТЕРАТУРА
353
ГРА ФИЧЕСКИЙ
МА ТЕРИАЛ
378
5
Введение
«Композиционные материалы (КМ), или композиты - материалы, образо­
ванные объемным сочетанием химически разнородных компонентов с четкой
границей раздела между ними. Характеризуются свойствами, которыми не об­
ладает ни один из компонентов, взятый в отдельности. Различают К М волокни­
стые (упрочненные волокнами или нитевидными кристаллами), дисперсноупрочненные (упрочнитель ^ виде дисперсных частиц) и слоистые (полученные
прокаткой или прессованием разнородных материалов). По прочности, жестко­
сти и др. свойствам превосходят обычные конструкционные материалы». Такое
определение К М дает Большой энциклопедический словарь (ред. А.М. Прохо­
ров, М.: СЭ, 1991. Т 1 . С.614). Это определение, как и любое другое, не может,
естественно, претендовать на абсолютную полноту. Разные авторы в той или
иной мере уточняют и дополняют его. Например, в справочнике [1] под ред.
Д.М. Карпиноса приведены следующие определения. "Композиционными на­
зываются материалы, обладающие следующей совокупностью признаков: не
встречаются в природе, поскольку созданы человеком; состоят из двух или бо­
лее компонентов, различающихся по своему химическому составу и опреде­
ленных выраженной
границей; имеют новые свойства,
отличающиеся
от
свойств составляющих их компонентов; неоднородны в микромасштабе и од­
нородны в макромасштабе; состав, форма и распределение компонентов "за­
проектированы" заранее; свойства определяются каждым из компонентов, ко­
торые в связи с этим должны быть в материале в достаточно больших количе­
ствах (больше некоторого критического содержания).''
КМ являются прекрасной иллюстрацией к философской проблеме о соот­
ношении категорий части и целого. В настоящее время в философии общепри­
нята идея о несводимости целого к сумме частей (см., например, работу В.С.
Р е п и н а , В.Г. Горохова, М.А. Розова[1]). В работе Ю.Л. Пилиповского, Т.В.
""рудиной, А.Б. Сапожникова и др. [1] говорится о свойствах-суммах, свойст6
вах-произведениях композитов. В общем случае функциональная зависимость
свойств КМ от соответствующих свойств, объемных долей компонент, струк­
туры композита, технологии его изготовления и др. может быть весьма слож­
ной.
Компонент, непрерывный во всем объеме К М , называется матрицей, преры­
вистый, разъединенный в объеме композиции, - арматурой или армир>тющим
элементом. Понятие "армирующий" означает "введенный в материал с целью
изменения его свойств" (не обязательно "упрочняющий").
В зависимости от геометрии армирующих элементов и их взаимного распо­
ложения К М бывают изотропными или анизотропными.
Первые имеют одинаковые свойства во всех направлениях, свойства вторых
зависят от направления. К макроскопически изотропным К М относят дисперс­
но-упрочненные сплавы, псевдосплавы и хаотично армированные КМ; к анизо­
тропным К М - материалы, в которых волокна ориентированы в определенных
направлениях.
Хаотично армированные К М упрочняются короткими (дискретными) час­
тицами игольчатой формы (отрезками волокон или нитевидными кристаллами
- так называемыми усами), ориентированными в пространстве случайным об­
разом. При этом КМ получаются квазиизотропными, т.е. анизотропными в
микрообъемах, но изотропными в объемах всего изделия.
Анизотропия КМ, "проектируемая" заранее с целью изготовления из КМ
конструкций, в которых наиболее рационально ее использовать, называется
конструкционной. Существует технологическая анизотропия, возникающая при
пластической деформации изотропных материалов (металлов), и физическая,
присущая кристаллам и связанная с особенностями строения их кристалли­
ческой решетки. Обычно в технике используются анизотропные КМ с опреде­
ленной симметрией свойств (предполагается, что реальный неоднородный ма­
териал представляет собой некоторую идеализированную сплошную однород­
ную среду, обладающую симметрией строения и свойств).
7
Ортотропные (ортогонально анизотропные) материалы
наличием в каждом элементарном объеме трех взаимно
характеризуются
перпендикулярных
плоскостей симметрии свойств.
Материалы, имеющие плоскость изотропии и перпендикулярную ей ось
симметрии бесконечного порядка, называются
трансверсально-изотропными
(транстропными). К ним относятся одноосно-армированные, или однонаправ­
ленные, К М , в которых все волокна ориентированы в одном направлении.
К некоторым К М понятие матрицы и арматуры неприменимо. К таким КМ
относятся слоистые КМ, состоящие из чередующихся слоев двух металличе­
ских сплавов, или псевдосплавы, имеющие каркасное строение (эти материалы
получают пропиткой пористой заготовки более легкоплавкими компонентами,
их структура представляет собой два взаимно проникающих непрерывных кар­
каса) .
Понятно, что эти определения даны с узких технических позиций. Если по­
нимать композит в щироком смысле этого слова, то можно убедиться в том, что
окружающая нас природа дает удивительные примеры создания различных ма­
териалов (композиций) из ограниченного числа элементов. Р1мея перед собой
такой мощный пример, человек, используя научные достижения, способен соз­
давать такие материалы, которые будут оптимальными с позиций их примене­
ния в народном хозяйстве, экологии, ресурсосбережения, энергозатрат и т.д. В
последнее время, в связи с широким внедрением композитов в народное хозяй­
ство, все чаще стали говорить о том, что на смену "железному веку" приходит
"век композитов", как в свое время на смену "каменному веку" пришел "бронзо­
вый век".
Граница раздела между компонентами (фазами) К М является, по существу,
границей взаимодействия этих фаз, границей, где различные компоненты со­
единяются, связываются друг с другом. Граница раздела играет большую роль в
деле создания композита. Можно утверждать, что если нет границы раздела, то
нет и композита.
8
Для успешного применения вновь создаваемых К М в народном хозяйстве
необходимо знание их свойств. При определении необходимых характеристик
КМ экспериментальная и теоретическая работы идут параллельно, тесно пере­
плетаясь друг с другом. Накопленные экспериментальные результаты должны
быть объяснены и обобш,ены внутренне непротиворечивой теоретической мо­
делью. Удачная теоретическая модель может подсказать направление и объем
дальнейшей экспериментальной работы. Далее по результатам экспериментов
может быть развита теория и т.д. При этом, если экспериментальная часть ра­
бот предполагает наличие мощной экспериментальной базы и требует больших
затрат времени и средств, то для математического моделирования часто доста­
точно наличия бумаги и карандаша. В то же время результаты математического
моделирования могут быть весьма впечатляющими. Математическое модели­
рование позволяет выделить необходимый и достаточный минимум характери­
стик КМ, которые должны быть определены экспериментально, позволяет сни­
зить объем и стоимость экспериментальной работы, иногда позволяет обнару­
жить ошибки эксперимента. Только удачное сочетание экспериментальной ра­
боты и математического моделирования позволяют надеяться на успешное
продвижение вперед по пути определения необходимых характеристик КМ, в
частности, их эффективных механических характеристик, затрачивая на это оп­
тимальные объемы средств, сил и времени.
Проблемы механики анизотропных и композитных материалов и конструк­
ций из них решали многие известные отечественные и зарубежные ученые.
Д.С. Аболиньш, И.В. Андриянов, H . A . Алфутов, C A . Амбарцумян, Е.К. Ашкенази, И.Ю. Бабич, В.Л. Бажанов, Н.В. Баничук, Н.С. Бахвалов, В.Л. Бердичевский, В.Л. Бидерман, В.В. Болотин, В.А. Бунаков, И.А. Буяков, Ф.Я. Булаве,
Г.И. Брызгалин, В.Г. Булманис, Г.А. Ванин, А.Т. Василенко, В В . Васильев,
Ж.Р. Винсон, Э.М. Ву, И.И. Гольденблат, В.Т. Головчан, В.Т. Голуб, В.И. Гор­
бачев, Я.М. Григоренко, А.Н. Гузь, Э.И. Григолюк, Г.М. Гуняев, А.Н. Елпатьевский, Н.П. Ершов, И.Г. Жигун, Ю.В. Захаров, П.А. Зиновьев, A . A . Заболоцкий,
Р.И. Каралюнас, А.Л. Каламкаров, P.A. Каюмов, В.И. Королев, Б.А. Кудрявцев,
9
А.Ф. Крегерс, P . M . Кристенсен, В.А. Копнов, A . C . Кравчук, А.Г. Колпаков, В В .
Кобелев, Д.М. Карпинос, Ю.И. Кузьменко, М.И. Кожевников, А.Ж. Лагздинь,
С.Г. Лехницкий, В.А. Ломакин, А.К. Малмейстер, Д. Марин, В.П. Майборода,
Б.П. Маслов, Л.И. Маневич, М.Ш. Микеладзе, С Т . Милейко, Ю.А. М т р о п о л ь ский, В.Л. Нарусберг, Ю.М. Новичков, Ю.В. Немировский, И.Ф. Образцов, A . C .
Овчинский, Ю.В. Олейник, Н.Д. Пагано, В.Н. Паймушин, Г.П. Панасенко, В.З.
Партон, Б.Л. Пелех, В.В. Пикуль, В.Г. Пискунов, А.П. Полилов, В. Прагер, В.Д.
Протасов, Б.Г. Попов, Б.Е. Победря, Г.И. Пшеничнов, А.Л. Рабинович, Ю.Н.
Работнов, Б.В. Розен, A . B . Розе, М.В. Резцов, Б.С. Резников, Р.Б. Рикардс, В.А,
Родионова, Л.Н. Сараев, Н.П. Семенюк, Д.П. Сендецкий, B . C . Сипетов, Р.Л.
Сираковский, A . M . Скудра, Ю.В. Суворова, В.П. Тамуж, Ю.М. Тарнопольский,
И.Г. Терегулов, Г.А. Тетере, В.Т. Томашевский, Р. Толанд, Ю . С Уржумцев, Т.
Фудзии, Л.А. Фильштинский, И.Н. Францевич, 3. Хашин, Р. Хилл, Л.П. Хорошун, Л. Ху, С Б . Черевацкий, С. Чамис, К.Ф. Черных, P . A . Шейпери, Г.Д. Шермергор, С. Штрикман, H . A . Шульга, М.Э. Эглит и др.
Обзор, не претендующий на исчерпывающую полноту, о принципиальном
вкладе советской науки в развитие инженерной механики композитов, опубли­
кован в работе Ю.М. Тарнопольского [1], библиография в котором содержит 73
наименования.
Наиболее щироко внедряются К М в тонкостенные оболочечные конструк­
ции. Современная вычислительная техника открывает доступ к практическому
решению широкого класса прикладных задач механики деформируемого твер­
дого тела с более полным учетом свойств материала - нелинейной упругости и
пластичности, ползучести, накопления повреждений. Вопросам расчета оболо­
чек, в том числе с учетом геометрической и (или) физической нелинейности,
посвящено большое количество работ. Теория оболочек в настоящее время
представляет собой хорошо развитый и продолжающий развиваться раздел ме­
ханики. Результаты фундаментального и прикладного характера изложены в
ряде обобщающих монографий, например, в работах Х.М. Муштари, К.З. Галимова, Б.В. Новожилова, C A . Амбарцумяна, А.Л. Гольденвейзера, Я . М . Григо10
ренко, А.Т. Василенко, М.С. Корнишина, Н.В. Валишвили, И.Г. Терегулова и
др. Механике тонкостенных конструкций посвятили свои работы также Н.П.
Абовский, A . B . Александров, H . A . Алфутов, И.Я. Амиро, В.А. Заруцкий, A . M .
Андреев, Н.П. Андреев, В.Е. Вериженко, Ю.И. Виноградов, В.З. Власов, A . C .
Вольмир, И.И. Ворович, Н.С. Танеев, М.С. Танеева, Л.А. Гордон, А.Г. Горшков,
Э.И. Григолюк, A . C . Григорьев, А.П. Деруга, Л.Г. Доннел, М.А. Ильгамов, В В .
Кабанов, A . B . Кармишин, Ю.Г. Коноплев, В.И. Королев, Э.Э. Лавендел, Б.Я.
Лащенков, И.Ф. Образцов, П.М. Огибалов, В.Н. Паймушин, В.В. Петров, A . B .
Погорелов, Я.С. Подстригач, А.П. Прусаков, В.Г. Пискунов, Г.И. Пшеничнов,
A . B . Рассказов, Э. Рейсснер, Р.Б. Рикардс, A . B . Саченков, А.Д. Смирнов, А.Г.
Угодчиков, С П . Тимошенко, В.И. Феодосьев, А.П. Филин, К.Ф. Черных, H . H .
Шапошников и др.
Развитием методов расчета оболочек занимались, кроме вышеперечислен­
ных, такие ученые, как Ю.П. Артюхин, В.Г. Баженов, З.И. Бурман, Э.Л. Аксельрад, Д.В. Вайнберг, Н.В. Валишвили, А.И. Голованов, A . C . Городецкий,
А.И. Гузь, В.И. Гуляев, Ю.П. Жигалко, А.К. Ибраев, В.А. Иванов, В.В. Кабанов,
Б.Я. Кантор, В.И. Климанов, Н.В. Колкунов, В.А. Крысько, Ю.В. Липовцев,
A . M . Масленников, Б.А. Куранов, В.И. Мяченков, Б.Е. Победря, В..А. Постнов,
B . В. Рогалевич, Л.А. Розин, Л.М. Савельев, Я.Г. Савула, A . C . Сахаров, М.Н.
Серазутдинов, B . C . Сипетов, H . H . Столяров, Х . С Хазанов, Н.И. П1апошников,
Н.М. Якупов, С. Атлури, К. Бате, Д.В. Клаф, Р. Галлагер, Л. Марлей, Т. Пиан,
O.e. Зенкевич, Дж. Оден и др.
Широкий круг исследований по механике композитных конструкций прове­
ден украинскими учеными: Бабич И.Ю., Бондаренко A . A . , Ванин Г.А., Васи­
ленко А.Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М., Гузь А.П.. Семенюк Н.П., Шнерко
К.И., Шульга H.A. и др. (см. библиографию в «Механике композитных мате­
риалов и элементов конструкций», т.2).
Теории расчета многослойных оболочек посвящена весьма обширная лите­
ратура, обзор которой проводили А.К. Галиньш, Ф.А. Коган, A . A . Дудченко,
C A . Лурье, И.Ф. Образцов, C A . Амбарцумян, В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков,
11
B . B . Васильев, Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов, Я.М. Григоренко, А.Т. Василен­
ко, Г.П. Голуб, Ю.В. Немировский, Б.С. Резников, В.В. Пикуль, А.И. Голо­
ванов, В.Е. Чепига, Л.П. Хорошун, С В . Козлов, Ю.А. Иванов, И.К. Кошевой.
Проблемы теории пластичности и ползучести изучены в настоящее время
глубоко. Большой вклад сделан такими учеными как P . A . Арутюнян, А. Балтов,
Г.И. Быковцев, P . A . Васин, A . A . Вакуленко, М.А. Греков, A . A . Гвоздев, Г.
Гринберг, X . Гейрингер, A . C . Григорьев, А. Грин, О.Ю. Динариев, A . C . Дехтярь, Д. Друккер, М.И. Ерхов, Л.В. Ершов, В.Г. Зубчанинов, A . A . Ильюшин,
Г.В. Иванов, Д.Д. Ивлев, А.Ю. Ишлинский, Ю.И. Кадашевич, Г. Казинчи, Л.М.
Качанов, P . A . Каюмов, В.Д. Клюшников, Д. Коларов, В. Койтер, B . C . Ленский,
Ю.Р. Лепик, Я.А. Леллеп, P . M . Мансуров, Р. Мусс, A . A . Марков, H . H . Малинин, Р. Мизес, А.Б. Мосолов, В.П. Мясников, Ю.В. Немировский, В.В. Ново­
жилов, В. Ольшак, Е. Онат, Б.Е. Победря, A . A . Позднеев, A . M . Проценко, В.
Прагер, Ю.Н. Работнов, А.Р. Ржаницын, В.И. Розенблюм, Я. Рыхлевский, Л.Н.
Сараев, А. Савчук, В.В. Соколовский, Л.А. Толоконников, И.Г. Терегулов, П.В.
Трусов, С М . Фейнберг, А. Фрейденталь, Ф. Ходж, Р. Хилл, A . A . Чирас, О Н .
Шаблий, Г.С. Шапиро, C A . Шестериков и др.
Механика разрушения тел, имеющих макротрещину, берет свое начало с
работ A . A . Гриффитса. Большой вклад сделан такими учеными, как А.Е. Андрейкив, С. Атлури, Л.Т. Бережницкий, В.В. Болотин, В.Г. Борисковский, Э. By,
А.Н. Гузь, Д.С. Дагдейл, М. Дзако, Л.В. Ершов, Ю.В. Зайцев, С Е . Inglis, В. Н.
Ионов, Дж. Р. Ирвин, И.Н. Карпенко, Л.М. Качанов, С Е . Ковчик, М.Я. Леонов,
С Г . Лехницкий, Г. Либовиц, H . A . Махутов, F . A . McClintock, Е. М. Морозов, Ю.
Мураками, Н.И. Мусхелишвили, Е.О. Орован, В.В. Панасюк, P.C. Paris, В.З.
Партон, Ю . Н. Работнов, J.R. Rice, О.Н. Романив, Г.Н. Савин, М П . Саврук, В В .
Селиванов, T N . Sneddon, G . C Sih, Я.Б. Фридман, Т. Фудзии, Г.Т. Хан, Г.П. Че­
репанов, В.Н. Шляпников, Ф. Эрдоган, J.D. Eshelby и др.
Математические модели деформирования и разрушения материалов (в том
числе и К М ) должны учитывать наиболее существенные стороны исследуемого
физического явления, пренебрегая в то же время несущественными для рас12
сматриваемой задачи факторами. Но при этом «не следует ожидать, что когдато будет построено здание механики композитов, по строгости и завершенно­
сти напоминающее здание теории упругости или даже линейной механики раз­
рушения. Механика композитов, будучи в большой степени прикладной дисци­
плиной, всегда будет опираться на фундамент исходных предположений, го­
раздо более обширных, нежели на предположение об обратимости в теории уп­
ругости или концепцию критического коэффициента напряжений в линейной
механике разрушения. Это определяется сложной (композитной) структурой
объекта исследования» ( С Т . Милейко, Ю.Н. Работнов [1]). Одним из наиболее
удачных и широко используемых методов оценки несущей способности конст­
рукций (исходя из условий прочности) является метод предельного равновесия.
Как отмечает в своей книге A . A . Гвоздев [1, с. 185] чтобы метод предельного
равновесия был обоснован, необходимо, чтобы вплоть до исчерпания несущей
способности системы ее деформации оставались настолько малыми, что можно
пренебречь изменениями всех геометрических величин, входящих в условия
равновесия. Пренебрежение упругими деформациями в сравнении с пластиче­
скими приводит к так называемой жесткопластической модели деформируемо­
го твердого тела. Использование теории предельного равновесия дает результа­
ты, хорошо согласующиеся с опытом, для конструкций из материалов, диа­
граммы а - г которых имеют относительно малые значения Sg (предельные уп­
ругие деформации) и достаточно большие площадки текучести (например, для
конструкций из мягких сталей, из железобетона). Особенностью жесткопласти­
ческой модели является то, что бесконечно малым приращениям пластических
деформаций соответствуют конечные приращения напряжений. В "жестких"
областях тела, где приращения деформаций равны нулю, приращения напряже­
ний не определяются.
В теории предельного равновесия, а именно, в так называемых статическом
и кинематическом методах определения несущей способности конструкций,
широко используют понятия виртуальных полей напряжений (статически до­
пустимые напряжения, удовлетворяющие уравнениям статики и не выходящие
13
за пределы поверхности прочности в пространстве напряжений), виртуальных
скоростей перемещений (кинематически возможные скорости, удовлетворяю­
щие ограничениям кинематического характера). Как известно, система уравне­
ний для рещения задач механики деформируемого твердого тела включает в се­
бя три большие группы - это уравнения статики (динамики), уравнения геомет­
рии (кинематики) и уравнения физики. Уравнения физики связывают напряже­
ния и деформации, т.е. описывают диаграммы деформирования а - s. Приняв
вместо реальных диаграмм а - 8 виртуальные, можно завершить процесс пере­
хода в пространство виртуальных параметров: статически допустимых полей
напряжений, кинематически возможных полей скоростей деформаций и вирту­
альных диаграмм а - s. Как будет показано в соответствующих разделах на­
стоящей работы, использование виртуальных диаграмм а - s, аналогичных диа­
грамме G - S для л<:есткопластического тела, позволяет получать неплохие
оценки разрушающих нагрузок и в тех случаях, когда разрушение в макромас­
штабе является хрупким (например, при многоцикловой усталости). Кроме то­
го, жесткопластическая модель может служить основой для пошагового' реше­
ния задач пластичности, когда в предельном состоянии имеют место большие
необратимые деформации.
Основам теории пластического разрушения посвящены работы A . A . Гвоз­
дева, A . A . Маркова, С М . Фейнберга, Д. Друккера, В. Прагера, X . Гринберга, Р.
Хилла, Ф. Ходжа, Д.Д. Ивлева, А.О. Рассказова, A . C . Дехтяря, М.И. Ерхова,
А.Р. Ржаницына, A . M . Проценко, В. Ольшака, 3. Мруза, П. Пежины, П.И. Безухова, А. Савчука, И.Г. Терегулова, A . A . Чираса и др. В настоящей работе суще­
ственно использованы основные положения теории предельного равновесия
для прогнозирования прочности и несущей способности анизотропных и ком­
позитных элементов конструкций (оболочек, пластин, брусьев).
Цели и задачи исследования. Актуальность решаемых в диссертации задач
определяется потребностями проектирования конструкций из новых компози­
ционных материалов с учетом особенностей их структуры и свойств. Во многих
случаях композиционный материал создается одновременно с изделием из это14
го материала. Наличие эффективных методов прогнозирования прочностных
свойств к м позволяет ускорить процесс создания изделия, при необходимости
дает возможность оптимизировать структуру К М применительно к назначению
будущей конструкции. Знание разрушающей нагрузки позволяет создавать бо­
лее экономичные изделия (путем назначения более грамотных коэффициентов
запаса прочности). В связи с вышесказанным, первой целью настоящей работы
является развитие теорий прочности (разрушения) материалов при сложном на­
пряженном состоянии. Второй целью работы является разработка теорий проч­
ности анизотропных и композитных оболочек, пластин, брусьев. Третьей целью
является разработка методов и алгоритмов решения задач прогнозирования
прочности и оценки несущей способности композитных элементов конструк­
ций, получение численных результатов, их анализ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из обзора литературы по
теме, 6 разделов, заключения и списка литературы.
Первый раздел посвящен теориям прочности и пластичности однородных и
квазиоднородных изотропных и анизотропных материалов. Приводится крат­
кий обзор известных теорий прочности. По аналогии с классической энергети­
ческой теорией прочности разработан критерий прочности при многоцикловом
нагружении анизотропных материалов. Дано логкгческое обоснование струк­
туры предлагаемого критерия предельного состояния. Рассмотрены некоторые
вопросы, связанные с экспериментальным определением коэффициентов, вхо­
дящих в предлагаемый критерий. Высказаны некоторые критические замечания
по отношению к известным критериям прочности при многоцикловом нагру­
жении.
Развита концепция О.С.
в механике разрушения изотропных тел. Разви­
тие заключается в рациональном преобразовании предельного соотношения
при переходе из пространства напряжений в пространство коэффициентов ин­
тенсивности напряжений (КИН) Кь Кц, Кш, без использования при этом допол­
нительных гипотез, существенно влияющих на результаты такого перехода. Из
критерия для случая сложного разрушения, записанного предлагаемым автором
15
способом для случая сложного деформирования трещины (когда два или все
три из КИН отличны от нуля) следуют, как частные случаи, критерии разруше­
ния для всех видов простого разрушения, которые имеют место при простых
деформированиях трещины (когда только один из КИН отличен от нуля). Но­
вый критерий разрушения обозначен как 8е критерий; он является аналогом из­
вестного 8 - критерия Си.
Аналогичным, использованному для вывода 8е ~ критерия, способом полу­
чены
\iow.Sl-
еще три критерия разрушения для изотропного тела с макротрещикритерий (аналог известного ^S'^- критерия), стд- критерий (аналог
известного ае - критерия), вд-
критерий (аналог известного ее - критерия).
Проведен анализ предлагаемых критериев разрушения, отмечены их достоин­
ства в сравнении с известными аналогичными критериями. Предлагаемые кри­
терии разрушения позволяют, для известного значения параметра внешней на­
грузки р, построить линию процесса разрушения (границу зоны процесса раз­
рушения в окрестности вершины трещины с окружающей эту зону упругой об­
ластью тела). Предложен способ аппроксимации полученных «точных» крите­
риев разрушения путем использования параметра ш, определяемого из условия
удовлетворительной аппроксимации экспериментальных данных. Приведены
результаты сравнения теоретических данных с экспериментальными данными
других авторов, показана их удовлетворительная взаимосогласованность. При­
веден пример определения несущей способности растянутой пластинки с цен­
тральной наклонной трещиной.
Предложен способ определения несущей способности тела с
макротрещи­
ной путем поиска экстремума функции внешней нагрузки р(0), определяемой
соответствующим приближенным критерием разрушения, и последующего ис­
следования напряженно-деформированного состояния для критических значе­
ний угла 0.
Получен критерий разрушения для анизотропного тела с макротрещиной.
16
Во втором разделе приведены основные положения теории предельного
равновесия, изложены методы решения задач о несущей способности элемен­
тов конструкций. Здесь приведены известные положения теории, которые ис­
пользованы в следующих разделах работы. В частности, переход от сведений,
изложенных в первом разделе, к результатам, изложенным в третьем и чет­
вертом разделах, осуществляется на основе соотношений, приведенных во вто­
ром разделе. Введено понятие о виртуальных диаграммах деформирования а 8. Подчеркнуто, что концепция о поверхности нагружения и ассоциированном с
ней законе деформирования носит универсальный характер, а жесткопластическая модель деформирования твердого тела и соответствующий аппарат теории
предельного равновесия могут служить основой метода пластических решений,
когда в предельном состоянии имеют место большие деформации, а решение
задачи проводится с использованием фактической диаграммы а - 8.
Третий раздел посвящен разработке теорий прочности для однородных
анизотропных оболочек, пластин, брусьев при их кратковременном статиче­
ском нагружении. Получены параметрические уравнения поверхностей проч­
ности для анизотропных оболочек, пластин, брусьев в пространстве внутренних
сил для общего случая сложного сопротивления, а также
параметрические
уравнения поверхности разрушения для материала в малой окрестности верши­
ны макротрещины в анизотропных оболочках и пластинках в пространстве
обобщенных сил. При этом использованы, традиционные для тонких оболочек
и пластин, для брусьев, гипотезы (статические и геометрические), постулат
Друккера, ассоциированный с поверхностью прочности материала закон изме­
нения кинематических характеристик процесса деформирования. Отмечено, что
известные в научной литературе результаты следуют, как частные случаи, из
полученных в настоящей работе параметрических уравнений предельных по­
верхностей. Этот раздел, хотя и имеет большое самостоятельное значение, в то
же время, в какой-то степени, подготавливает почву для восприятия материала,
излагаемого в четвертом разделе, который занимает центральное место в рабо­
те.
17
Четвертый раздел посвящен разработке теорий прочности для оболочек,
пластин, брусьев, изготовленных из композиционных материалов. Выведены
параметрические уравнения предельных поверхностей в пространстве обоб­
щенных сил для слоисто-волокнистых (слои ортотропные) композитных оболо­
чек и пластин для случаев кратковременного статического, длительного стати­
ческого, многоциклового нагружений, позволяющие учитывать влияние повы­
шенных температур на прочность композитных конструкций. Эти уравнения
позволяют учитывать влияние комбинаций различных факторов на прочность
слоистых композитных оболочек и пластин (например, позволяют прогнозиро­
вать прочность слоистых к м при одновременном действии статических и цик­
лических нагрузок, прогнозировать длительную статическую прочность при
повышенной температуре и т.д.). При этом использованы обычные для тонких
оболочек и пластин гипотезы, постулат Друккера, ассоциированный с поверх­
ностью прочности для монослоя закон деформирования. Проведен анализ по­
лученных уравнений. Дано обобщение полученных уравнений на случай общей
анизотропии слоев, когда напряженное состояние определяется в К-мерном
пространстве (в общем случае N > 6), а изменение кинематических характери­
стик деформирования по толщине пакета слоев может быть как линейным, так
и нелинейным. Параметрические уравнения предельной поверхности в общем
случае имеют весьма компактный вид. Отметим также, что в общем случае на
структуру материала и на вид нагружения накладываются минимальные огра­
ничения самого общего характера. Показано, как из общих уравнений следуют
параметрические уравнения предельных поверхностей для некоторых частных
случаев.
Выведено непараметрическое уравнение поверхности прочности для компо­
зита структуры [ ± ф ] с в пространстве средних напряжений для случая сложного
напряженного состояния. Проведен анализ влияния принимаемых гипотез на
получаемые результаты. Даны формулы для определения прочностных харак­
теристик композита структуры [ ± ф ] с при простых напряженных состояниях.
Отмечено, что для получения экспериментальных значений прочности компо18
зита требуется создание специальных режимов деформирования, а при простых
деформациях получаем некоторые комбинации разрушающих напряжений.
Далее приведены параметрические уравнения предельной поверхности для
композитных оболочек и пластин, составленных из симметричных слоев
[±фк].
к =],п . Эти уравнения следуют из общих уравнений при учете структуры ком­
позита. Наиболее простой вид они имеют для композита структуры
[±ф]с-
Дано
обобщение полученных результатов для случая многоциклового нагружения
композитных оболочек и пластин, составленных из симметричных слоев
[±фк],
к = \,п.
Предложены критерии прочности для анизотропного бруса, для ортотропных элементов композитных брусьев для случаев кратковременного статиче­
ского и многоциклового нагружений.
Выведены параметрические уравнения предельной поверхности в простран­
стве обобщенных сил для композитных брусьев, армированных волокнами и
(или) стержнями, в общем случае сложного сопротивления, для случая кратко­
временного статического нагружения. Даны упрощенные варианты этих урав­
нений, когда имеют место симметрия в строении композиционного материала и
(или) симметрия в геометрии поперечного сечения бруса. Показано, что из об­
щих уравнений следуют известные результаты для изотропных брусьев. Полу­
ченные уравнения обобщены на случай многоциклового нагружения композит­
ных брусьев.
Пятый раздел посвящен разработке методов и алгоритмов решения задач
прогнозирования прочности и определения несущей способности композитных
элементов конструкций. Алгоритм А1 предназначен для построения опреде­
ленных сечений гиперповерхности прочности, заданной
параметрическими
уравнениями, для композитных оболочек и пластин. Указан способ преодоле­
ния некоторых трудностей построения линейных участков таких сечений (эти
трудности обусловлены особенностями жесткопластической модели).
\9
Алгоритм А2 предназначен для определения прочностных характеристик
ортотропного монослоя по результатам испытаний трубчатых образцов струк­
туры [±ф]с на прочность. Основу алгоритма составляют соотношения, получен­
ные в четвертом разделе настоящей работы. Здесь же приведен порядок опре­
деления оценок прочностных характеристик монослоя при поперечном сдвиге
по результатам испытаний образцов структуры [±ф]с на срез.
Алгоритм АЗ основан на оригинальном методе прогнозирования прочности
слоистых композитных оболочек с использованием выпуклых многогранных
поверхностей прочности для слоев. На простом примере показано, что предла­
гаемый метод дает логически правильные результаты.
Алгоритм А4 основан на статическом методе теории предельного равнове­
сия и предназначен для определения нижней оценки несущей способности
композитных оболочек вращения. Алгоритм А5 основан на кинематическом
методе теории предельного равновесия и предназначен для определения верх­
ней оценки несущей способности композитных оболочек вращения. Для улуч­
шения нижней и верхней оценок несущей способности композитных оболочек
вращения рассматриваемые задачи сведены к соответствующим задачам ли­
нейного программирования.
Разработан оригинальный метод определения оптимальных верхних оценок
несущей способности композитных оболочек и пластин, названный методом
жестких элементов и обобщенных линий разрушения. Метод является разно­
видностью кинематического метода теории предельного равновесия. Алгоритм
А6, основанный на методе жестких элементов и обобщенных линий разруше­
ния, сводит рассматриваемую задачу о несущей способности композитных обо­
лочек и пластин в общем случае их напряженно-деформированного состояния,
к соответствующей задаче линейного программирования.
В шестом разделе работы приведены некоторые результаты расчетов, прове­
денных с использованием методов и алгоритмов, разработанных в пятом разде­
ле, в том числе:
20
-
результаты прогнозирования прочности слоистых КМ при кратковремен­
ном и длительном статическом, при многоцикловом и комбинированном нагружениях, с учетом различных температурных условий;
-
некоторые результаты определения несущей способности композитных
круговых цилиндрических оболочек с доныщками при кратковременном и дли­
тельном статическом, при многоцикловом нагружениях, при различных темпе­
ратурных режимах; результаты определения несущей способности длинных
цилиндрических композитных оболочек замкнутого произвольного
профиля
при кручении с растяжением (кратковременное статическое и многоцикловое
нагружения, их комбинации);
- некоторые результаты определения верхней и нижней оценок несущей спо­
собности анизотропных и композитных оболочек вращения при их осесимметричном деформировании (нагружение - кратковременное статическое);
Проведен анализ результатов математического моделирования поведения
композитных элементов конструкций и, где это было возможно, теоретические
результаты были сопоставлены с соответствующими экспериментальными ре­
зультатами других авторов, что показало хорошую взаимосогласованность на­
ших теоретических результатов с соответствующими экспериментальными ре­
зультатами других авторов.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы.
На защиту выносятся следующие результаты диссертации:
-
развитие теорий прочности и разрушения материалов при сложном напря­
женном состоянии (в том числе новый критерий прочности для ортотропных
материалов при многоцикловом нагружении; критерии начала роста макротре­
щины в изотропных телах);
-
новые теории прочности анизотропных и композитных оболочек, пластин,
брусьев применительно к общему случаю их сложного сопротивления; теория
разрушения анизотропных оболочек и пластин с макротрещинами;
21
-
новые методы и алгоритмы решения задач прогнозирования прочности и
определения несущей способности композитных элементов конструкций; ре­
зультаты расчетов с применением предлагаемых методов и алгоритмов.
Публикации. По теме исследований опубликовано 8? печатных работ. В ав­
тореферате приводится 2 ? основных публикаций.
Диссертационная работа выполнена на кафедре динамики и прочности кон­
струкций Камского политехнического института, в соответствии с планом на­
учно-исследовательских работ института.
Автор выражает искреннюю благодарность научному консультанту, акаде­
мику АН РТ, Заслуженному деятелю науки и техники РФ И РТ, доктору физи­
ко-математических наук, профессору И.Г. Терегулову; сотрудничество с ним во
многом определило облик настоящей работы.
22
Обзор литературы
"В механике материалов очень часто используются различньш критерии,
характеризующие переход материала из одного состояния в другое, например,
условия линейной и нелинейной упругости, прочности, пластичности и т.д. Эти
критерии выражаются через напряжения или деформации и геометрически изо­
бражаются как поверхности в пространствах симметричных тензоров второго
ранга. Полученным таким образом поверхностям часто присваивается обоб­
щенный термин "предельные".
Если упомянутые критерии строятся на основе чисто физических сообра­
жений, то никаких проблем, касающихся самой предельной поверхности как
таковой, обычно не возникает, так как она однозначно определяется самим кри­
терием. Однако на практике часто известны
лишь экспериментальные пре­
дельные точки и требуется найти такую геометрическую поверхность, которая
бы их достаточно хорошо аппроксимировала, т.е. необходимо выбрать подхо­
дящее уравнение предельной поверхности. Если такое уравнение найдено и оно
достаточно универсально, то его можно назвать феноменологическим критери­
ем состояния материала" (А. Лагздинь, А. Зилауц [1]).
Основные критерии прочности однородных изотропных материалов при их
кратковременном
статическом
нагружении
(критерии
прочности
по
наи­
большим нормальным напряжениям, по наибольшим главным удлинениям, по
наибольшим касательным напряжениям, энергетический критерий прочности)
широко известны и вошли в учебники (см., например, работу И.Г. Терегулова
[1]). Например, согласно энергетическому критерию прочности предельная по­
верхность описывается уравнением (1.1.4) настоящей работы, которое для пла­
стичных материалов носит название условия пластичности Мизеса. Многие
цругие критерии состояния материалов или имеют в своей основе вышепере4исленные классические критерии прочности, или написаны по аналогии с ни-
23
ми, путем их обобщения и расширения с учетом результатов эксперименталь­
ных исследований.
Обзоры по критериям прочности и разрушения материалов имеются в ра­
ботах, авторами которых являются Е.К. Ашкенази, Э.В. Ганов [1], Г.М. Бар­
тенев, Ю.В. Зеленев [1], Э.М. B y [1], Г.А. Гениев, В.Н. Киссюк, Г.А. Тюпин [1],
И.И. Гольденблат, В.Л. Бажанов, В.А. Копнов [1], И.И. Гольденблат, В.А. Копнов [2], Л.М. Качанов [2], В.П. Когаев [1], А.К. Малмейстер, В.П. Тамуж, Г.А.
Тетере [1], Ю.В. Немировский, Б.С. Резников [1], В.В. Панасюк, А.Е. Андрейкив, В.З. Партой [1], Ю.М. Тарнопольский, A . M . Скудра [1], Ю.С. Уржумцев
[1], Г.П. Черепанов [1] и др.
Для ортотропных материалов часто используют критерий прочности Мизеса - Хилла (Р. Хилл [1]); уравнение предельной поверхности согласно этому
критерию имеет следующий вид:
Н(а^ - о J
+ Fo\ + Go\ + INil
=Г
(1)
Здесь оси системы координат 0123 направлены по осям ортотропии материала.
Коэффициенты в (1) определяются через прочностные характеристики мате­
риала. Например,
Я = 0 . 5 ( 1 / ^ 2 , +1/(7^2 - 1 / с т 2 з ) ,
где о т ь а т 2 , атз пределы текучести материала при растяжении вдоль осей 1, 2, 3
соответственно.
Недостатком критерия (1) является то, что он предполагает равенство пре­
делов текучести (прочности) при растяжении и сжатии вдоль главных осей ани­
зотропии, что не всегда выполняется для ортотропных материалов. Этот недос­
таток был устранен в работе К.В. Захарова [1], который предложил критерий
прочности для ортотропных материалов в виде (1.1.6) согласно принятой в на­
стоящей работе нумерации формул. Дальнейшее развитие это предельное усло­
вие получило в работах И.И. Гольденблата и В.А. Копнова [1], А.К. Малмей-
24
стера [1] и др. А.К. Малмейстер предложил уравнения предельной поверхности
записать в виде (1.1.7) настоящей работы. Как отмечают А. Лагздинь и А. Зилауц в [1], использованию ряда (1.1.7) препятствует то, что число констант в нем
довольно быстро растет, особенно в анизотропии, и трудно удовлетворить ус­
ловие, чтобы поверхность при этом оставалась пригодной для механики мате­
риалов, т.е. была бы без петель, вогнутостей и т.д. С целью избежать этих не­
приятностей ряд (1.1.7) часто обрывают на втором члене и пользуются уравне­
нием второй степени (1.1.9), что приемлемо, однако, не всегда.
Корректная запись уравнения предельной поверхности возможна при учете
ограничений, накладываемых на его структуру и коэффициенты структурой и
свойствами материала (изотропия, транстропия, ортотропия и т.п.), характером
нагрузки и напряженно-деформированного
состояния,
экспериментальными
данными и т.д. Иначе говоря, здесь первичной является механика, а математика
- вторичной. Иногда анализ уравнения предельной поверхности становится ме­
нее трудоемкой, если его записать через инварианты 11 тензора напряжений а,,,
образующих функциональный базис. Такой критерий прочности рассмотрен в
работе [1] Б.Е. Победри. В работе П.А. Зиновьева, С В . Цветкова [1] критерий
прочности для анизотропных материалов представлен в виде полинома от ин­
вариантов:
^ , 7 , + М / . + ^ , . / , / Л =
здесь 1], 12,
(2)
1п - инварианты тензора ау, входящие в полиномиальный базис
относительно группы ортогональных преобразований, соответствующей сим­
метрии структуры материала. Величины А1, А^, ... в отличие от
рар, раруб в
(1.1.7), не меняются при изменении ориентации осей координат. Константы А„
Ау определяются по результатам испытаний материала на прочность. Количе­
ство слагаемых в (2) выбирается наименьшим при услрвии описания экспери­
ментальных данных с необходимой точностью. Например, полиномиальный ба­
ше тензора Сту для группы ортогональных преобразований, отвечающих сим-
25
метрии транстропного материала (ось 3 совпадает с осью трансверсальной изо­
тропии) состоит из пяти инвариантов:
(3)
С целью выделения инварианта, пропорционального гидростатической со­
ставляющей тензора напряжений в качестве полиномиального базиса вводится
следующий набор инвариантов:
Л=/,+/„
J, = 1„
J,-21,-1,,
/ 3 = 9 / 3 - 3 ( 7 , + ( / , + / , ^
3, = 211, - 9 ( 7 , + 7 Л / з - 7 , + / , / , ) + 2 ( 7 , + / , У .
Здесь 11 пропорционален гидростатической составляющей тензора ац, а ос­
тальные инварианты не зависят от этой составляющей. Общий вид квадра­
тичного относительно компонент сгу критерия получают с использованием (2, 3 ,
4):
А,/, +А2./2
У,^ + А 2 2 / а + 2 А , 2 . / , / 2 + А з ^3 +А^3^
=1.
(5)
Если исходить из инвариантно-полиномиальной формулировки (2) критерия
прочности, то условия симметрии, накладываемые на константы, удовлетворяются автоматически. Еще одной особенностью записи (5)
у"
прочности в
виде полинома от инвариантов является наглядная зависимость от величины
гидростатического давления, т.е. инварианта J l . Если прочность материала не
зависит от гидростатического давления, то в (5) слагаемые, содержащие J l ,
должны быть равны нулю, т.е. А] = Ац = А 1 2 = О, и критерий прочности приоб­
ретает вид
Аз
^2 +^22-^2
+Аз<^3
/4
=1.
(6)
1сли дополнительно потребовать, чтобы критерий прочности был чисто квад­
ратичным (т.е. и А2 = 0), то получим критерий Мизеса - Хилла:
26
+A3J3+A4./4
(7)
=1-
Если выражение для критерия прочности зависит линейно от гидростатиче­
ского давления, то в (5) Ац = А 1 2 = О и получается критерий Хоффмана:
Aj J i +
А 2 ^2 + А22
+ A3 J 3 + A4 J 4
= 1.
(8)
П.А. Зиновьев , C . B . Цветков в [1] отмечают, что не возникает существенных
математических трудностей при использовании инвариантно-полиномиальной
формулировки критерия прочности любого порядка и для материалов любого
класса симметрии структуры. Ими показано, что в
У
случаях феноме­
нологический критерий прочности для материалов различных групп симметрии
должен иметь порядок, больше чем 2. Упомянутые авторы не рассматривают
других ограничений, накладываемых на предельные поверхности (таких, как
замкнутость линий пересечения поверхности прочности с
координатными
плоскостями, односвязность поверхности, ее выпуклость и т.д.).
Иной способ описания предельных поверхностей приведен в работе А. Лагздиня, В. Тамужа, Г. Тетерса, А. Крегерса [1], который заключается в разложе­
нии предельной поверхности в тригонометрический ряд Фурье как
функции на единичной сфере
в 6D пространстве тензоров щ.
a + aijCT,j \~f+a,j„cj,ja„
Г^' + ... = l ' / ' ;
(9)
здесь I2 = l2(aij) = суа^ - второй инвариант тензора напряжений. Ряд (9) дает
замкнутые поверхности, без самопересечений, но обеспечить их выпуклость
грудно. Для расширения возможностей аппроксимации (9) и улучшения схоцимости ряда целесообразно ввести вспомогательный параметрический тензор
îToporo ранга г|у и записать ряд (9) в сдвинутом пространстве, элементом котоюго является новый тензор qij:
q,, = ^ n - ^ ; , r
(10)
27
Тогда вместо (9) имеют:
а + йГу^/,у I f+aiJ^,q¡^qJ,l Г^л-...
= 1^^-
(11)
здесь Ь = 12(Чу) = ЧцЧу- Но проблема обеспечения выпуютости этим, конечно, не
решается.
В некоторых случаях стремятся конструировать такие уравнения
пре­
дельных поверхностей, которые при минимальном количестве входящих в них
неопределенных констант являлись бы достаточно гибкими и универсальными
для практических целей. Например, в работе А. Лагздиня, А. Зилауца [1] пред­
ложены следующие уравнения предельных поверхностей для сред с произволь­
ной анизотропией, задаваемой тензором четвертого ранга а^ы:
-
- лУ1 -р1)-^\
Р,(о,^)^к'В,,„„д,,д,„„+кА1р,^0,
к = ±\;
FзrV-^'5ш„M„J"'+^Po=0,
к=±\,
1
здесь
(12)
=^
^
« ш ^ и , Вкьпп =
(13)
т>\12;
1
- - й ' ш ^ х » , P,J = ^уыЧы.
(14)
= %//• = «,уа/%а •
Поверхности (12, 13, 14) являются выпуклыми в пространстве переменных а!,.
Здесь ^1 и ?12 являются функциями констант материала 1, ш, п. Преимуществом
предельных условий (12, 13, 14) является то, что по сравнению с полиномиаль­
ным уравнением второй степени в них появляется максимум четыре новые кон­
станты, не считая дискретный параметр к = ± 1 , а именно: 1, ш, п, 1; сравнение с
экспериментом показывает, что уравнения (12, 13, 14) в рассмотренных в рабо­
те А. Лагздиня, А. Зилауца [1] случаях лучше описывают прочность материапов, чем эллипсоид. Неудобства использования уравнений (12, 13, 14) в некотоэых случаях связаны с тем, что при X Ф О бки не являются непрерывно диффезенцируемыми, т.е. поверхности имеют изломы (ребра).
В некоторых случаях используют предельные поверхности, различные уча;тки которых описываются, фактически, разными уравнениями (см., например.
28
работу Э. Ву [1], где приведен модифицированный критерий Мизеса - Хилла,
работу Ю.И. Димитриенко, И.П. Димитриенко [1]). Это же замечание относится
и к работе А. Лагздина, А. Зилауца [1]. Предельная поверхность как бы "сшива­
ется" из кусочков поверхностей, описываемых разными уравнениями. Это, ес­
тественно, позволяет лучше аппроксимировать экспериментальные результаты.
Но при этом возникают свои сложности (одна из таких сложностей - отмечен­
ное выше появление ребер на предельной поверхности; другая сложность - пе­
реход в пространство обобщенных сил (внутренних сил и моментов) для тонких
оболочек и пластин, для брусьев затруднителен).
Некоторые критерии предельного состояния материалов, изначально пред­
ложенные как критерии прочности для случая кратковременного статического
нагружения однородных материалов без макродефектов, и успешно выдержав­
шие испытания расчетной практикой, получили свое дальнейшее развитие в
виде критериев предельных состояний для случаев длительного статического и
многоциклового нагружений, повышенных температур, комбинаций различных
видов внешних воздействий, для тел с макротрещинами. Сохраняя внешнее по­
добие с критериями предельного состояния для случая кратковременного ста­
тического нагружения, они, тем не менее, несут другую информационную на­
грузку. Это может осуществляться как через коэффициенты, входящие в эти
предельные условия, так и через параметры, описывающие напряженное со­
стояние. Например, условие прочности изотропного материала в случае много­
циклового нагружения (сложное напряженное состояние, компоненты тензора
напряжений изменяются синхронно и синфазно, симметричные циклы) по ги­
потезе октаэдрических напряжений можно записать в следующем виде ( С В .
Серенсен, В.П. Когаев, Р.М. Шнейдерович [1]):
]десь (71а (/ = 1,3) - амплитуды главных напряжений, с_1 - предел выносливости
1атериала
при симметричных циклах растяжения - сжатия. Аналогичный (15)
29
критерий предельного состояния при изменении главных напряжений по асим­
метричным циклам предложен С В . Серенсеном в [1]. Но при этом в уравнении
предельной поверхности появились некоторые слагаемые, не свойственные
предельным поверхностям при многоцикловой усталости (см. анализ, прове­
денный в разделе 1.1.2 настоящей работы). В работах И.Г. Терегулова, Э . С
Сибгатуллина [5], Э.С. Сибгатуллина, И.Г. Терегулова, С И . Тимергалиева [1
предложен критерий предельного состояния при многоцикловом нагружении
ортотропных материалов (сложное напряженное состояние, напряжения изме­
няются синхронно и синфазно, или синхронно и антифазно, в общем случае
циклы несимметричные), которая сконструирована путем обобщения диаграм­
мы Хея на случай многомерного напряженного состояния, приведено обосно­
вание структуры предложенного уравнения предельной поверхности в про­
странстве средних и амплитудных значений компонент тензора напряжений.
Предлагаемый критерий предельного состояния может быть использован и при
комбинированном действии статических и циклических напряжений.
Другой пример использования традиционных теорий прочности для ре­
шения актуальных задач механики деформируемого твердого тела - это запись
на их основе критериев разрушения для тел с макротрещинами: CJQ - критерия,
Se - критерия, Sd - критерия (что является модификацией S-критерия Си [1]) см., например, работу Панасюка В.В., Андрейкива А.Е., Партона В.З. [1]. По
мнению авторов вышеупомянутой работы наиболее широко
предложенный Д ж . С Си
распространен
S - критерий, постулирующий рост трещины в на­
правлении минимальной интенсивности энергии деформации и. Предельное со­
стояние наступает тогда, когда в этом направлении интенсивность энергии де­
формации
S = lim 2л г и
'
(16)
достигает критического значения Sc, определяемого для трещин отрыва фор­
мулой
3(1
S^={\-2vl\
+
v)Kl|2E.
(17)
Принимается, что напряжения ае в плоскости развития трещины
растяги­
вающие. В За - критерии вместо полной энергии упругой деформации и рас­
сматривается потенциальная энергия формоизменения
циент Пуассона, Е - модуль Юнга,
Здесь V - коэффи­
- трещиностойкость материала при нор­
мальном отрыве. В (16) энергия упругой деформации и определяется как функ­
ция вида и = и (Кь Кп, Кщ, 6, г) , где К, (i = I, II, III) - коэффициенты ин­
тенсивности напряжений (КИН); 9, г - полярные координаты точки, в которой
определяется и (полюс системы координат совпадает с верщиной трещины).
Запись критерия разрушения в виде
5 = 5,
(18)
с использованием (16), (17) имеет, на наш взгляд, следующие недостатки:
1) Выпадает из рассмотрения полярная координата г, а теория прочности
должна сопоставлять напряженно-деформированное состояние в критической
точке с координатами (0с, Гс) в общем случае напряженно-деформированного
состояния с напряженно-деформированным состоянием в опасной точке с ко­
ординатами (91с, Г1с) в частном случае напряженно-деформированного состояния
(/ = I, II, III), для которого сравнительно легко могут быть осуществлены экспе­
риментальные исследования.
2) Из критерия разрушения, записанного для общего случая, должны следо­
вать критерии разрушения и для частных случаев. Из (18) в рассматриваемом
случае следует только критерий разрушения К] =
для трещины нормального
отрыва, а критерии разрушения Кц = Кцс, Кщ = Кцк для трещин поперечного и
продольного сдвигов соответственно, из (18) не следуют, хотя Кцс, Кшс являют­
ся самостоятельными характеристиками трещиностойко'сти материала.
Указанные недостатки характерны и некоторым другим популярным кри­
териям разрушения (со - критерию, £е - критерию, 8с1 - критерию и др.) - см.,
например, работу Панасюка В.В., Андрейкива А.Е., Партона В.З. [1]. В работах
31
Сибгатуллина Э.С., Терегулова И.Г. [3], Сибгатуллина Э.С. [7], где предложены
критерии разрушения, обозначенные как сг^ - критерий, 89 - критерий, полу- .
ченные путем перехода с пространства напряжений - деформаций в простран­
ство КИН без использования дополнительных гипотез в теориях прочности,
указанные выше недостатки существенно устранены.
Как отмечает Э. Ву [2], "весьма успешное применение механики разру­
шения к изотропным материалам, с одной стороны, гипнотически привело к
прямому перенесению теории с небольшими модификациями на композитные
материалы, а, с другой стороны, оно стимулировало теоретические решения
весьма сложных математических задач. При этом многие важные факты были
упущены из вида".
Пример использования метода Си для анализа разрушения композитов при­
веден в работе Т. Фудзии, М. Дзако [1]. Там же отмечено, что результаты рас­
чета не совпадают с результатами
экспериментальных
исследований.
Ис­
пользование традиционных подходов, применяемых для анализа разрушения
изотропных тел с макротрещинами, для анализа несущей способности анизо­
тропных и композитных тел с макротрещинами связано с существенными
трудностями. Например, для анизотропных и композитных материалов пре­
дельное значение потенциальной энергии упругой деформации по в (1.3.2.1) не
является постоянной величиной для рассматриваемого материала.
В работе Э. Ву [2] высказана гипотеза, что для каждого материала суще­
ствует "характерный объем" Гс, не зависящий от вида напряженного состояния в
окрестности вершины трещины. Необходимое и достаточное условия распро­
странения трещины будут выполнены, если в радиусе Гс от кончика трещины
вектор упругих напряжений Ф равен или превышает вектор прочности Р (век­
тор прочности ¥ коллинеарен вектору напряжений Ф, а его конец лежит на пре­
дельной поверхности, описываемой уравнением вида (Г. 1.7)). В этой же работе
Э. Ву приведены некоторые экспериментальные результаты, подтверждающие
высказанную им гипотезу, а также ссылки на экспериментальные работы дру-
32
гих авторов, безоговорочно подтверждающие
существование
характерного
объема Гс для слоистых композитов, а также для изотропных материалов.
В работе Шлянникова В.Н. [1] приведены 0-распределения упругой и пла­
стической частей общей плотности энергии деформации, а также коэффициента
плотности энергии деформации 8 в полном диапазоне смешанных форм разру­
шения при плоской деформации и плоском напряженном состоянии. Выведено
общее соотношение между плотностью энергии деформации и параметром ма­
териала (размером зоны процесса разрушения). Предложены уравнения для
расчета размера зоны процесса разрушения в полном диапазоне смешанных
форм деформирования по стандартным механическим свойствам материалов.
Отмечено, что основные гипотезы современных теорий разрушения связаны с
концепцией критического расстояния, которое считается фундаментальной ха­
рактеристикой, устанавливающей взаимосвязь между процессами, происходя­
щими на м и к р о - и макроуровне по отношению к структуре материала. Это кри­
тическое расстояние часто отождествляют с размером зоны процесса разруше­
ния, в которой происходит накопление и рост микроповреждений, приводящих
к развитию макротрещин. Зона процесса разрушения характеризуется тем, что
идеализированные решения механики континуума неприменимы внутри нее изза возникновения несплошности, непропорционального нагружения и упругой
разгрузки. При нелинейном деформировании в пределах указанной зоны суще­
ственно влияние гидростатической компоненты напряжений, обуславливающей
образование и рост пор и, как следствие, объемное расширение.
От себя добавим, что на границе зоны разрушения с упругой областью в ок­
рестности вершины трещины перемещения, деформации и напряжения обычно
полагают неразрывными. Поэтому предельные размеры зоны процесса разру­
шения могут быть определены, в первом приближении, из решения упругой за­
дачи механики трещин. Такой подход сильно упрощает,рассматриваемую зада­
чу и в случае квазихрупкого разрушения удовлетворительно согласуется с со­
ответствующими экспериментальными данными для предельной нагрузки для
тела с макротрещиной. То есть к упомянутой выше границе можно подойти с
33
двух сторон - со стороны вершины, тогда имеем дело с очень сложной задачей
для материала типа Гарсона (пористая, упрочняющаяся среда с объемным рас­
ширением), или со стороны упругой части материала, которая стыкуется с упо­
мянутой выше зоной процесса разрушения. Первый подход является более об­
щим, тогда как второй подход дает удовлетворительные результаты только в
спуча& квазихрупкого разрушения, когда предельные размеры зоны процесса
разрушения малы в сравнении с размерами тела и трещины.
В работе Дж.С. Си, Е.П. Чена [1], базирующейся на концепции Си, отме­
чено, что средняя величина Гс = 0,51мм обеспечивает хорошее соответствие
теории экспериментам на слоистом стеклопластике со схемами армирования
[±15°]8, [±30°]5, [±45°]8,
[±60°]з,
[±75°]5, при нагружении в направлении 0° (вдоль
оси симметрии).
Как отмечают В.В. Панасюк, А.Е. Андрейкив, В.З. Партой [1], на практике
очень часто предпочитают использовать для аналитического описания опытных
результатов вместо критериальных уравнений предельных поверхностей эмпи­
рические уравнения, например, типа
+
= 1,
(19)
где а, Ь, с - постоянные, определяемые из условия наилучшего приближения.
Как видно из вышеизложенного, формы записи предельных условий (ус­
ловий пластичности, прочности, критериев разрушения), когда эти условия за­
писываются для опасной точки тела, во многих случаях аналогичны друг другу;
более сложные по содержанию критерии получаются путем обобщения и раз­
вития менее сложных, менее сложные критерии следуют, как частные случаи,
из более сложных (сказанное можно проиллюстрировать на примере предель­
ного условия (1.2.3.3), предлагаемого для случая, когда имеет место комбина­
ция статических и циклических напряжений). Можно предположить, что анало­
гичная ситуация будет иметь место (при учете особенностей рассматриваемых
задач) часто и в тех случаях, когда предельные условия записываются в про-
.34
странстве обобщенных сил (в частности, в пространстве внутренних погонных
сил и моментов в тонких оболочках и пластинках).
В работе В.В. Косарчука [1] условие текучести Мизеса - Хилла обобщенно
для случая квазихрупких материалов (у которых при разрушении не возникают
макропластические деформации), неодинаково сопротивляющихся растяжению
и сжатию. Расчеты предельных состояний по предлагаемому критерию сопос­
тавлены с некоторыми известными экспериментальными результатами.
В работе G . Sines, G . Ohgi [1] предложен критерий усталостной прочности
при многоцикловом нагружении и сложном напряженном состоянии. При этом
учитываются комбинации переменных и статических напряжений. Отмечено,
что наложение статических напряжений ведет к видоизменению критерия уста­
лости.
В работе Г.А. Гениева, A . C . Курбатова [1] предложены статические кри­
терии прочности анизотропных материалов для общих случаев 3-х и 2-х-осного
напряженных состояний, учитывающие различные механизмы разрушения
-
отрыв, смятие, сдвиг. Направления опасных площадок отрыва, смятия и сдвига
в общем случае не совпадают с направлениями главных нормальных и каса­
тельных напряжений и определяются аналитически. Дана линеаризованная мо­
дификация критериев прочности, учитывается влияние внутреннего кулоновского трения. Проведено сравнение предлагаемых критериев прочности с экс­
периментальными данными.
A . A . Островский в [1] рассмотрел модель разрушения материала, осно­
ванную на обобщенной концепции разрыхления и отрыва, где положительный
шаровой тензор напряжения способствует, а отрицательный препятствует раз­
рушению. В связи с этим предельная поверхность прочности в целом должна
состоять из двух различных поверхностей, плавно сопрягаемых между собой по
девиаторной кривой. Уравнение предельной поверхности при положительном
шаровом тензоре получено путем обобщения условия отрыва по первой теории
прочности (критерий прочности по наибольшим нормальным напряжениям) и
условия максимальной работы напряжений формоизменения. Это уравнение
35
лучше согласуется с экспериментальными данными при развитых пластических
деформациях, предшествующих разрушению, чем условие Мизеса.
В работе В.А. Маньковского, Э.М. Таратина [1] сопоставлено около два­
дцати существующих критериев разрушения композиционных материалов в
случае сложных напряженных состояний. Сопоставление носило статистиче­
ский характер. В качестве меры согласия выступал среднеквадратичный кри­
терий Гаусса. Тестовыми экспериментами служили опыты Э. By по разруше­
нию углепластиковых труб с варьируемым углом намотки. Как известно, ка­
ждой теории прочности отвечает свое разрушающее напряжение при растя­
жении такой трубы. Эта так называемая "проверка Р. Мизеса" позволила вы­
явить наиболее оптимальные критерии (с точки зрения меры Гаусса).
В работе P . M . Мансурова [1] предлагается подход к определению началь­
ной и последующих поверхностей текучести, не предполагающий несжимае­
мость среды и независимость условия текучести от гидростатического давле­
ния. Определяющие соотношения удовлетворяют принципу градиентальности.
Для случая квадратичных поверхностей текучести входными материальными
данными являются, кроме постоянных упругости, кривые одноосных нагружений в главных осях анизотропии. Приведено сравнение с данными для графита.
В работе Weixian Z. [1] для анизотропных материалов предложен новый не­
квадратичный критерий текучести, свободный от ограничений, которые суще­
ствуют в аналогичных критериях. Показано, что константы материала, число
которых равно пяти, входящие в критерий, включая и показатель степени, мо­
гут быть найдены только из опытов на одноосное растяжение. Приведены при­
меры для листового титанового сплава.
В работе Kurtyka Т. [1] для описания неупругого поведения анизотропных
материалов предложена модель, учитывающая перемещение, изменение раз­
меров и формы поверхности текучести.
В работе А. Troost, О. Akin, F. Klubberg [1] путем сравнения результатов
расчета с опубликованными данными ряда экспериментальных исследований
по двухосному циклическому нагружению конструкционных сталей и сплавов
36
определена точность нескольких гипотез прочности. Они представляют собой
модификацию известных в статике критериев прочности. На основе результа­
тов статистического анализа предпочтение отдано так называемой квадратич­
ной гипотезе прочности.
В работе Tan S.C. [1] выведен трехмерный критерий разрушения в виде
квадратичного полинома с фундаментальными функциями прочности, выра­
женными синусоидальными рядами. Эта теория удовлетворяет физическому
условию, согласно которому поверхность разрушения должна быть замкнутой.
Показано, что предлагаемая теория является обобщением критерия текучести
Мизеса.
Получена
хорошая
корреляция
между
расчетными
и
экспери­
ментальными данными для трех видов нагружения: одноосного растяжения,
одноосного сжатия и двухосного нагружения. Показано, что для сильно ортотропных материалов данный критерий позволяет получить хороший прогноз
наступления разрушения.
В работе W u X . , L i X . [1] проведен анализ четырех известных критериев ме­
ханики разрушения: максимальных окружных напряжений (се -
критерий),
максимальных окружных деформаций (se - критерий), минимальной интенсив­
ности энергии деформации (S - критерий) и минимальной интенсивности энер­
гии формоизменения (Sd - критерий). Предложены модификации этих критери­
ев: они получаются в результате удовлетворения критериальных условий не в
вершине, а на границе пластической зоны, окружающей вершину трещины.
При этом пластическая зона определяется приближенно при использовании
асимптотического разложения напряжений у вершины трещины, содержащего
сингулярные члены и регулярные (не зависящие от расстояния до вершины
трещины) составляющие. Проведено сравнение теоретических результатов с
экспериментальными данными при растяжении и сжатии пластины с наклонной
трещиной.
В работе Богданова Е.П., Косарчука В.В., Котречко С.А. [1] для модели по­
ликристаллического материала - микронеоднородной среды, обладающей ло­
кальной анизотропией механических свойств и состоящей из зерен с куби37
ческим типом кристаллической решетки, сформулированы статистические кри­
терии начала макротекучести для различных механизмов сдвигообразования,
включающие в себя коэффициенты корреляции касательных микронапряжений,
что позволяет учесть взаимовлияние зерен - монокристаллов. Сопоставлены
известные критерии прочности и показано, что они являются частными случая­
ми предложенных статистических критериев при определенных значениях ука­
занного коэффициента корреляции.
В работе Zhang S.Q., Jang B.Z., Valaire В.Т., Suhling J.С. [1] проведен анализ
полей напряжений у трещины в КМ, рассматриваемом как однородная анизо­
тропная среда. Это поле напряжений использовано для определения общей, дилатационной и сдвиговой плотности энергии. Предложен критерий роста тре­
щины, основанный на плотности упругой энергии в вершине трещины (Z критерий), который позволяет предсказать предельную нагрузку и направление
роста трещины. Приведены уравнения Z - критерия в общем случае и для тре­
щин I и II типов. Рассмотрена трещина в однонаправленном волокнистом мате­
риале, произвольно ориентированная относительно волокон. Дан анализ других
энергетических критериев роста трещин.
В работе Balevski Т., Ruskov D., Venkov V . [1] предложен критерий стати­
ческой прочности, описывающий влияние первого и второго главных напря­
жений на наступление разрушения. В основу критерия положены предполо­
жения о том, что начало образования микротрещин при пластическом де­
формировании происходит под действием сдвиговых напряжений, а их раз­
витие - под действием главного нормального напряжения aj. Критерий имеет
линейный вид относительно входящих в него напряжений и показывает хо­
рошее соответствие с экспериментальными данными по разрушению при дву­
мерном напряженном состоянии для широкого класса материалов.
К. Wei, De Bremaecker J.-С. в [I] предложили новую формулировку крите­
рия Gmax, которую ОНИ считают применимой ко всем типам разрушения, даже и
к разрушению под действием большого гидростатического давления, которое
существует внутри Земли. Эта формулировка утверждает, что направление
38
старта и роста трещины будет таким, в котором скорость освобождения энер­
гии деформации максимальна.
В работе Д.Д. Ивлева, A . B . Романова [1] рассмотрены условия пластич­
ности, когда поверхности текучести являются кусочно-гладкими. Установлено,
что в случае полной пластичности ранг матрицы компонент девиаторов напря­
жений равен единице. Это единственный случай, когда пространственная зада­
ча становится статически определимой. Рассмотрен также общий
случай грани поверхности текучести.
В работе М.А. Грекова [1] прочность анизотропного тела определяется пре­
дельным значением упругой энергии изменения формы, причем это значение
либо
является
постоянным,
либо
линейно
зависит
от
деформации
все­
стороннего расщирения. Для ортотропного тела найден вид предельной по­
верхности в пространстве главных напряжений. В первом случае - это по­
верхность эллиптического цилиндра, во втором - поверхность эллиптического
параболоида.
В работе Н.М. Бородачева, Ю.И. Казаринова [1] предложен метод опре­
деления предельного состояния ослабленных круговым отверстием изотропных
пластин конечных размеров, основанный на совместном использовании крите­
риев прочности механики трещин и механики сплошной среды; метод позволя­
ет определить предельное значение одноосно растягивающих пластину равно­
мерно распределенных сил и критический размер зоны повреждения материала
возле отверстия. С целью упрощения задачи принято, что напряжения в пла:тине возрастают по упругому закону вплоть до предельного состояния. При­
веденные сравнения с соответствующими экспериментальными результатами
юказали удовлетворительную, для инженерных расчетов, точность предлагае-юго метода.
В работе Ю.В. Липовцева [1] предложен критерий хрупкого разрушения об|азцов и элементов конструкций. Предполагается, что хрупкое разрушение обазца или элемента конструкции происходит тогда, когда потенциальная энерия упругих растягивающих деформаций во всем объеме или в той части объе39
ма, которая подвержена разрушению путем растяжения, достигает предельного
значения. В данном определении критической ситуации разрушения речь идет
не об удельной потенциальной энергии, а о потенциальной энергии во всем
объеме. Отмечено, что полученные теоретические результаты хорошо согласу­
ются с соответствуюшими экспериментальными данными для образцов и эле­
ментов конструкций из хрупких материалов.
В работе K i m С.Н., Yeh H . - Y . [1] предложен новый критерий текучести
материала, который требует экспериментального определения трех пределов
текучести материала: при простом растяжении, сжатии и кручении. Утвер­
ждается, что предлагаемый критерий хорошо описывает начало текучести как
вязких, так
и хрупких
материалов
при любом
возможном
сложном
на­
пряженном состоянии. Критерий имеет хорошую геометрическую интерпре­
тацию в плоскостях напряжений ст - т и ai - аз. Построенные с помощью дан­
ного критерия частные поверхности текучести хорошо соответствуют экспери­
ментам и другим теориям (например, теории Кулона - Мора). Кроме того, по­
казывается, что предлагаемый критерий позволяет прогнозировать область раз­
рушения материала.
В работе Yishu Z. [1] предложен так называемый бипараметрический кри­
терий для смешанной моды хрупкого и квазихрупкого разрушений, основанный
на принципе, заключающемся в том, что инициирование неустойчивого роста
трещины происходит в случае, когда максимальное значение плотности энер­
гии деформации, определенное вдоль начальной упругопластической границы в
окрестности конца трещины, равно упругой составляющей удельной энергии
разрушения при одноосном растяжении гладкого образца. Инициирование тре­
щины зависит не только от вязкости разрушения, но также и от отношения раз­
рушающих напряжений к пределу текучести.
В работе Л.П. Исупова, Е.А. Хлебалиной [1] для жесткопластической трансверсально-изотропной среды (для однонаправленно армированных материалов,
ось изотропии которых совпадает с направлением армирования) квадратичный
критерий текучести записан в следующем виде:
40
0.5 (c^jf +C2J2
Здесь J i ,
+c^J^J^ +c^JJ
= \.
(20)
J5 - функционально независимые инварианты тензора напряжений
относительно группы вращений вокруг оси изотропии:
Здесь i, j = 1, 2, 3. с 1,
C5 - постоянные материала. В работе приведены также
другие возможные наборы инвариантов тензора напряжений, использование
которых в условии текучести сохраняет форму записи последнего (при этом
константы материала, конечно, имеют другие значения).
В работе Gupta N . K , Meyers А., Wichtmann А. [1] отмечается, что экспе­
риментальные данные об отклонении начальных поверхностей текучести от
критерия Мизеса, а также о трансляции, вращении и искажении поверхностей
текучести в процессе деформирования неоднократно приводились в литературе.
Для описания этого предлагались многочисленные функции текучести, вклю­
чающие второй и третий инварианты девиаторов тензора напряжений и тензора
активных напряжений. Существующие функции текучести удовлетворительно
описывают начальную поверхность текучести, как для малых, так и больших
предварительных деформаций, но в большинстве своем не обнаруживают обра­
зование на поверхности текучести угла в направлении нагрузки и плоскости с
противоположной стороны. Предлагается относительно простая функция теку­
чести, учитывающая второй и третий инварианты девиатора тензора активных
напряжений, позволяющая описывать весь спектр указанных особенностей по­
ведения поверхности текучести в процессе деформирования. Сравнение теоре­
тических результатов с экспериментальными данными дало хорошее соответст­
вие их друг другу.
В работе Y e Z . , Ayari M . L . [1] для предсказания распространения трещины в
анизотропном твердом теле использована теория минимума плотности энергии
деформации, предложенная Си для изотропного тела. Критерий сформулирован
41
в виде отношения плотности энергии деформации (выраженной в функции
КИН) к критической плотности энергии материала. В частном случае исполь­
зуются следующие допущения: материал трансверсально-изотропный с двумя
плоскостями симметрии; трещина расположена в одной из плоскостей симмет­
рии. Рассмотрены сл>'чаи нагружения по смешанной моде I - II и I - III. Иссле­
дования показали, что анизотропия материала может оказывать значительное
влияние на направление распространения трещины.
В работе Хорошуна Л.П. [I] отмечено, что одно из направлений механики
разрушения связано с понятием т.н. независимого от контура интегрирования
интеграла или J-интеграла Черепанова - Раиса. В основе его построения лежат
те или иные представления авторов о напряженно-деформированном состоянии
и балансе энергии в окрестности верщины трещины при ее развитии. Хотя по­
нятие J-интеграла, методы его построения утвердились в теории трещин и при­
нимаются как неоспоримая истина, тем не менее, как считает Л.П. Хорошун,
при более внимательном взгляде можно обнаружить недостаточную строгость
способов его построения, что принципиально влияет на окончательные резуль­
таты. В работе проведен анализ способов построения J-интеграла, а также из­
ложен строгий подход для линейной задачи. Показано, что при строгом подхо­
де невозможно получить известное выражение J-интеграла.
В работе A . C . Куркина [1] сделан вывод о возможности описания вязкого,
вязко-хрупкого и хрупкого разрушений в рамках единого локального меха­
низма с использованием единого критерия разрушения. В качестве такого кри­
терия выбрана предельная пластичность в функции от объемного напряженного
состояния.
В работе Kfouri А.Р., Brown M . W . [1] предложен модифицированный крите­
рий разрушения, основанный на максимальной скорости высвобождения энер­
гии у вершин коротких ответвлений, когда главная трещина испытывает воз­
действие смещанной моды нагружения. В отличие от существующих критериев
разрушения параметр gc сопротивления разрущению представлен функцией от­
ношения КИН у вершины ответвления трещины, соответствующих модам раз42
рушения I и II. Величина параметра gc смешанной моды может быть найдена
графическим способом из построенной эллиптической области с большой и ма­
лой осями, равными соответственно коэффициентам I и II мод. Точки внутри
эллиптической
области
характеризуют
коэффициент безопасности относи­
тельно смешанной формы разрушения.
В работе Theocaris P.S. [1] рассмотрены два различных варианта тензорнополиномиального критерия разрушения, в одном из которых предполагалось,
что разрушение не может произойти при напряженных состояниях, когда тен­
зор деформаций, определенный согласно закону Гука, является шаровым. В
другом варианте предполагалось, что разрушение не может произойти в усло­
виях гидростатического напряженного состояния. Обсуждены расхождения ре­
зультатов расчетов, возникаюшие при рассмотрении этих случаев. Сформули­
рованы некоторые предложения по совершенствованию критерия.
В работе И.Ф. Образцова, В.В. Васильева, В.А. Бунакова [1] отмечено, что
представление конструкции в виде системы нитей целесообразно при оп­
ределении ее несущей способности или проектировании по предельным на­
грузкам. На последнем этапе расчета при определении деформаций нитяной
системы возможны два случая: либо деформации конечны (в этом случае пре­
дельная нагрузка определяется разрушением армирующих элементов), либо
бесконечны - нитяная система превращается в механизм (то есть конструкция
без связующего не воспринимает указанную нагрузку; что говорит о необходи­
мости изменения траекторий армирования для более рационального
использо­
вания свойств материсша).
В работе H . A . Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [1] деформирование
однонаправленного материала в направлении волокон считается полностью уп­
ругим. При достижении предельных напряжений растяжения или сжатия слой
считается разрушенным (хрупкое разрушение).
Поведение слоя при нагружении в направлении, ортогональном волокнам,
существенно сложнее. Когда
82 = £ 2 + ^ 1 2 ^ 1
> О, Астг > О, связь между С 2 и Zj
(где
~ приведенная деформация) берется в виде диаграммы Пран43
дтля, разгрузка с любой точки горизонтального участка диаграммы происходит
с разгрузочным модулем Е2, равным секущему модулю. После полной раз­
грузки остаточные деформации равны нулю. При последующем сжатии моно­
слоя полностью восстанавливается начальный модуль материала. Повторное
деформирование (после разгрузки) однонаправленного материала при a i > О
происходит по линии предыдущей разгрузки и далее по участку, параллельной
оси 82 (горизонтальный участок).
Поведение монослоя при сдвиге в плоскости слоя во многом аналогично его
поведению при деформировании в направлении, ортогональном волокнам. H . A .
Алфутов, H . A . Зиновьев, Б.Г. Попов считают, что процесс сдвигового дефор­
мирования не зависит от знака напряжений Т]2, поэтому на участке, где Т12 < О,
деформирование также происходит с разгрузочным модулем G^2- Это утвер­
ждение упомянутых авторов, на нащ взгляд, является спорным. Если материал
монолитен, то процесс сдвигового деформирования, действительно, не зависит
от знака напряжения тп (для ортотропного материала) и модуль сдвига равен
G i 2 . Если при t i 2 > О, Дт12 > О состояние материала характеризуется точкой на
горизонтальном участке диаграммы тп - уи, то микротрещины, образовавшие­
ся от действия max er = г,*2 (индекс * - знак наибольшего алгебраического зна­
чения параметра за предысторию деформирования), разомкнуты. После полной
разгрузки эти трещины закрыты, а повторное нагружение с Т12 < О приводит к
возникновению сжимающих главных напряжений, способствующих закрытию
микротрещин, образовавшихся при Т12 > 0. Поэтому, на наш взгляд логичнее
было бы считать, что после разгрузки и повторном нагружении с Т12 < О полно­
стью восстанавливается начальный модуль упругости G 1 2 и диаграммы G2 - Ej
и Т]2 - У12 для однонаправленно армированного монослоя полностью идентич­
ны.
С применением вышеописанной модели монослоя, в упомянутой работе со­
ставлен алгоритм решения задачи прочности многослойных композитов. Счи-
44
тают, что на всех этапах деформирования композита связь его слоев идеальна,
т.е. деформации всех слоев в системе координат композита (х, у) одинаковы и
равны средним деформациям композита в целом. Использован метод последо­
вательных нагружений. Учтена структурная нелинейность, связанная с измене­
нием геометрических параметров (углов укладки слоев) композита. Прираще­
ния напряжений продолжают до разрушения композита. Считают, что много­
слойный композит разрушен, если хотя бы в одном из его слоев выполнены ус­
ловия а[ =
или сг| =
или (и)
=
' г'де
Г[у, Г'_2 ~ характери­
стики прочности 1-го слоя монослоя при растяжении и сжатии в направлении
армирования и при сжатии поперек арматуре. Как показывают эксперименты,
это предположение оправдано, по крайней мере, для композитов, составленных
из небольшого числа групп (до 4 - 5 ) разноориентированных слоев. Описанный
алгоритм пошагового нагружения может быть использован для построения
предельных поверхностей композита в пространстве осредненных по толщине
композита напряжений а ^ , (Ту, Тху. В качестве примера построен предельный
многоугольник в плоскости
ахОсТу
для композита структуры [±30°/90°] и пока­
зано, что теоретические результаты хорошо согласуются с соответствующими
экспериментальными результатами.
В работе Ю.В. Немировского, Б.С. Резникова [1] использована структурная
модель армированного материала, основанная на следующих предположениях.
1. Материал считается квазиоднородным, составленным
из достаточно
большого количества одинаковых армированных слоев, расположенных на по­
верхностях, эквидистантных некоторой поверхности 8.
2. Армированный слой состоит из изотропного материала с внедренным в
него армирующим слоем. Последний представляет собой сеть тонких од­
номерных волокон, расположенных в направлениях, составляющих углы
< VI/ < л; к = 1, 2,
к.
(О
ш) с направлением х'.
3. Число армирующих элементов достаточно велико, так что армирован­
ный слой можно считать квазиоднородным.
45
4. Элементы композиции соединены идеально: отсутствует проскальзы­
вание между армирующими элементами и связующим.
5. Расстояние между армирующими элементами достаточно велико по
сравнению их поперечными размерами и в то же время достаточно мало по
сравнению с рассматриваемым элементом оболочки, поэтому локальными эф­
фектами вблизи волокон и нерегулярностью деформации между двумя смеж­
ными волокнами пренебрегают.
6. Постулируется, что каждое волокно, если оно внедрено в материал свя­
зующего, способно выдержать как растягивающую, так и сжимающую на­
грузки. Модули Юнга для простоты приняты одинаковыми при растяжении и
сжатии (хотя это ограничение и не принципиально).
7. Принимается, что поперечное сдвиговые напряжения воспринимаются
только слоями изотропного связующего, а слои с армирующими волокнами яв­
ляются абсолютно жесткими на сдвиг.
8. Когезионная прочность связующего не больше, чем адгезионная. Данное
условие принято в целях определенности, при наличии соответствующей ин­
формации от него можно легко отказаться.
9. Материал изотропного связующего подчиняется условию прочности Ба­
ландина, которое для плоского напряженного состояния в осях О х ' х ^ х ' ' (гло­
бальные оси, связанные с элементом конструкции) имеет вид
к'Г^аГУ
+ з(а;'У +(< - с г Я а ; '
+
а
Г
(
2
2
)
где сг^ - предел прочности связующего при растяжении, сг~ - предел прочно­
сти при сжатии (а~>
0)
10. Каждое волокно, внедренное в связующее, может выдержать как рас­
тягивающую, так и сжимающую нагрузку. Однако ,при воздействии
сжи­
мающей силы может возникнуть некоторая форма неустойчивости волокон, по­
этому считают, что предел текучести (прочности) волокон к-го семейства при
растяжении сг^д. и сжатии а~/. различны. Под сг~^ подразумевают критическое
46
напряжение, достигаемое в волокнах в момент потери устойчивости. Условие
прочности волокон к-го семейства имеет вид
Г^'ак
(^0-4 > О,
Здесь
Сц,
е22,
II - s,m\¡J,.; О <
е12
к = \,2,
-
прие^^<0
(23)
, т).
деформации
элемента
конструкции;
/^=со8^/^;
< тг - угол между направлением х' и направлением волокон
к-го семейства; Е^^. - модуль Юнга материала армирующих волокон к-го се­
мейства.
Используя условия (22), (23), исследуют начальное разрущение армиро­
ванного слоя, находящегося в условиях плоского напряженного состояния.
Пусть в плоскости армированного слоя действуют усилия р " ^ Тогда задача о
начальном разрущении может быть сформулирована следующим образом: при
заданных параметрах структуры Шк, VI/к, к = 1,т; сОс, сОа (где сОк - удельная ин­
тенсивность армирующих волокон к-го семейства в плоскости армированного
слоя, СОа - интенсивность слоя с армирующими волокнами по толщине оболоч­
ки, (Ос = \ - СОа) армированного слоя и механических характеристиках элемен­
тов композиции Ус, Е^, сг*,
, а^1, (где Ус - коэффициент Пуассона, Е^ -
модуль Юнга материала связующего) в пространстве параметров внещнего
воздействия Ор^р^^р'^ необходимо построить поверхность, внутри которой все
элементы армированного слоя деформируются упруго, а при выходе на нее на­
чинает разрушаться хотя бы один из элементов композиции.
Для построения поверхности разрушения армированного слоя поступают
следующим образом: при заданных параметрах структуры и механических ха­
рактеристиках элементов композиции, используя условия прочности (22), (23),
строят ( 2 т + 1) поверхность в пространстве р"Ор^'^р'^. Тогда произвольную
точку Р, принадлежащую одной из указанных поверхностей, характеризуют ра­
диус-вектором р { р " , р^^, р ' ^ } . В этом случае замкнутую простую поверхность,
47
соответствующую началу разрущения армированного слоя, определяют из ус­
ловия, что |р| в пространстве р"Ор^^р'^ достигает минимального значения. В
работе Ю.В. Немировского, Б.С. Резникова [1] показано, что в общем случае
поверхность разрушения армированного слоя в пространстве параметров внещнего воздействия р " , р^^, р^^ будет состоять из частей эллипсоида Пс, харак­
теризующих разрушение связующего и кусков плоскостей 0.%,
соответствую­
щих разрушению волокон армирования к-го семейства. При этом линии пере­
сечения эллипсоида Ос и плоскостей О*., будут отвечать таким параметрам
внешнего воздействия р " , р^^, р'^, при которых начинается одновременное раз­
рушение связующего и волокон армирования к-го семейства. Сингулярные
точки поверхности разрущения соответствуют одновременному разрушению
нескольких составляющих гибридного композита. Учтено влияние температу­
ры. В этой же работе предлагаемый ими подход упомянутые авторы развивают
для построения поверхности длительной прочности для армированного мате­
риала с учетом вязкоупругих свойств элементов композиции (плоское напря­
женное состояние).
В работе К. Чамиса [1] довольно подробно рассмотрена задача определения
прочностных характеристик однонаправленно армированных слоев (монослоев)
и аналогичных композитов при кратковременном статическом нагружении, а
также влияние на прочность рассматриваемых композитов таких факторов, как
остаточные микронапряжения, повышенная температура, влажность и скорость
деформирования. Прочностные характеристики монослоя определяются при
одноосном нагружении и сдвиге в плоскости слоя, а композита - при попереч­
ном сдвиге и изгибе. Отмечено, что существуют три альтернативных метода
определения прочности слоя при одноосном нагружении: (1) эксперименталь­
ный, (2) теоретический и (3) полуэмпирический. Наиболее распространен экс­
периментальный метод (по мнению автора цитируемой работы), имеющий сле­
дующие преимущества: (а) он наиболее прямой из трех указанных, (б) он наи­
более простой и (в) он наиболее надежный на уровне определения свойств слоя.
48
Однако экспериментальный метод имеет и некоторые серьезные недос­
татки, а именно; (а) он дает результат лишь для данной системы волокно-мат­
рица, полученной при помощи конкретного процесса производства; (б) он ста­
новится недопустимо дорогим и слишком долгим на стадиях оптимизации ма­
териала и создания промышленных образцов; (в) он не может учесть объемное
содержание компонентов как конструктивную степень свободы материала; (г)
он не обладает механизмом учета природы прочности слоя; (д) он не дает реко­
мендации для эффективного исследования и конструирования материала с це­
лью создания улучшенных свойств слоев и композитов.
Теоретический и полуэмпирический методы компенсируют указанные вы­
ше недостатки, но в свою очередь не лишены других, также серьезных, не­
совершенств, а именно: (а) сложность выбора адекватной, но доступной ма­
тематической модели; (б) слабая корреляция с экспериментальными данными и
(в) недостаточная для инженерных целей надежность предсказания свойств.
В работе К. Чамиса [1] математическая модель для предсказания прочности
монослоя принята в виде
5, = Р[{к,
М, А\^„ к„„ (Е,
V,
а 8,
а„ а , 7 ,
(24)
где 8 - прочность; (к, (1, Ы, А) - соответственно объемная доля, размер, число и
распределение волокон; индексы 1, f, V, т относятся к свойствам слоя, волокон,
пор или матрицы; (Е, у, О) - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и модуль
сдвига соответственно; е и а - деформация и напряжение; индексы р. В, К, А
относятся соответственно к предельному значению, значению на поверхности
раздела, остаточным и приложенным напряжениям.
Рассмотрены следующие виды разрушения слоя при продольном (в на­
правлении волокон) растяжении слоя; (а) хрупкий; (б) хрупкий с вытаскива­
нием волокон; (в) комбинированное хрупкое разрушение с вытаскиванием во­
локон и (!) со сдвигом матрицы между волокнами, (2)'с расслаиванием, т.е. с
отделением матрицы от волокон. При продольной сжимающей нагрузке разру­
шение слоя может происходить в следующих формах; (а) микровыпучивание
волокон с сохранением упругого состояния матрицы; (б) микровыпучивание
49
волокон после перехода матрицы в пластическое состояние; (в) микровыпучи­
вание волокон после нарушения связи между компонентами; (г) микровыпучи­
вание слоя; (д) сдвиговое разрушение; (е) разделение слоев из-за поперечного
растяжения в направлении толщины слоя. Под действием поперечных растяги­
вающих напряжений могут осуществляться следующие виды разрушения слоя:
(а) разрушение матрицы от растяжения; (б) разрушение матрицы от растяжения, расслаивание и (или) расщепление волокон. Под действием поперечных
сжимающих напряжений могут осуществляться следующие виды разрушения
слоя: (а) разрушение матрицы от сжатия; (б) сдвиговое разрушение матрицы;
(в) сдвиговое разрушение матрицы, расслаивание и (или) раздавливание воло­
кон. Под действием касательных напряжений в плоскости слоя могут возник­
нуть следующие виды разрушения слоя: (а) сдвиговое разрушение матрицы, из­
вестное как внутрислойный сдвиг, но называемое также межслойным сдвигом;
(б) сдвиговое разрушение матрицы и расслаивание; (в) расслаивание.
К. Чамис в [1] считает, что слой разрушился, если внешняя нагрузка создает
в нем напряжение, превосходящее предел пропорциональности начальной кри­
вой напряжение-деформация для слоя, отметив в то же время, что данное опре­
деление разрушения остается спорным вопросом. Теоретические методы опре­
деления прочности однонаправленно армированного слоя на основе свойств
компонентов могут быть разделены на три основные категории: (а) методы со­
противления материалов; (б) статистические методы; (в) точные методы. К точ­
ным методам К. Чамис относит методы классических теорий упругости, пла­
стичности, вязкоупругости, метод конечных элементов, методы механики раз­
рушения и теории моментных напряжений.
В качестве примера приведем формулы, предлагаемые К. Чамисом в [1] для
определения прочности слоя при продольном растяжении, полученные на осно­
ве метода сопротивления материалов. Математическая модель, построенная
этим методом, основана на следующих допущениях: (1) компоненты несут на­
грузку, пропорциональную их жесткости, и (2) слой в среднем деформируется
однородно, т.е. вщ = ещ = бтц. Для случая, когда прочность композита опреде.30
ляется прочностью волокон, формула для определения прочности слоя имеет
вид
5пп-5^[к^+КЕ^,,1Е^,Х
(25)
а когда прочность композита определяется матрицей - вид
^^тг=^^^.г(^.+^/^/п/^.п)
(26)
Уравнения (25) и (26) известны как уравнения правила смесей. Здесь 8гг - раз­
рушающее напряжение для п>^ка волокон; 8 т т - предельное напряжение для
матрицы; kf и кщ - объемные доли соответственно волокон и матрицы (при от­
сутствии пор кг + к т = 1); Е щ и Е^п - продольные модули волокон и матрицы.
К. Чамис в [1] отмечает, что уравнения (25) и (26) можно использовать и в не­
упругой области, при этом необходимо применять вместо начальных ка­
сательные модули.
Оценка функций, входящих в уравнение (24) оказывается
чрезвычайно
сложным делом, требующим применения сложных статистических методов и
большого числа экспериментов. Это приводит к громоздким математическим
выражениям, нелегко поддающимся анализу и расчету. Такие переменные, как
размер и распределение пор, неравномерность укладки волокон, прочность свя­
зи по поверхностям раздела и остаточные напряжения, зависят от конкретного
процесса производства. Если допустить, что процесс производства остается
практически неизменным, то разумно объединить все эти переменные в неко­
торые теоретико-экспериментальные поправочные коэффициенты. Такой прием
существенно упрощает дело. Например, полуэмпирическая формула для оп­
ределения прочности слоя при продольном растяжении может быть записана в
виде модифицированного уравнения правила смесей:
^пгг
- S^(fi^k^
+ ^^.ХЕ^,,/Е^^
(27)
51
Здесь Ргг и Ртт - теоретико-экспериментальные поправочные коэффициенты,
учитывающие конкретный процесс производства;
и
- истинные объ­
емные доли волокон и матрицы:
к^={\-К)к^,
К={^-К)К.
К=^-к^.
(28)
Здесь к|- м кд^ - кажущиеся объемные содержания волокон и матрицы, к^, истинное объемное содержание пор.
К. Чамис в [1] отмечает, что уравнения типа (27)-(28) могут оказаться не
всегда надежными, но они дают удобный аппарат для определения степени
влияния тех или иных величин на прочность однонаправленного композита.
Кроме того, их можно использовать для оптимизации материала, разумно оце­
нивая его потенциальные возможности. Однако необходимы (на взгляд К. Чамиса) более систематические исследования для развития методов точных и на­
дежных расчетов, опирающихся на свойства компонентов.
В экспериментальной работе В.М. Валдманиса, М.Я. Микельсона [1] при­
веден краткий обзор методов прогнозирования прочности слоистых композитов
при кратковременном статическом нагружении. Отмечено, что, несмотря на
обширные исследования статической прочности и разрушения слоистых ком­
позитов, эту проблему еще нельзя считать решенной. Существует около 50 фе­
номенологических критериев статической прочности композитов, основанных
на
теориях
максимальных
деформаций
и
напряжений,
энергии
фор­
моизменения, тензорно-полиномиальных критериях и др. Критерии прочности
можно условно разделить на критерии, применяемые для композитного пакета
в целом и к отдельному слою. Основные недостатки первой группы критериев
заключается в том, что коэффициенты прочности при изменении структуры ар­
мирования необходимо определять заново и они не показывают вида разруше­
ния (механизма и типа разрушения). При втором подходе интегральные крите­
рии прочности применяются к отдельным структурным элементам (монослоям)
многослойного композита и разрушение всего материала рассматривается как
52
последовательный процесс разрушения слоев. Для расчета необходимо знать
упругие и прочностные характеристики слоя. При таком подходе возникают за­
труднения при определении прочности слоистого пакета в целом, т.е. при какой
степени разрушенности слоев (поврежденности) композит потеряет несущую
способность. Иногда принимается, что прочность композита исчерпывается по­
сле первого разрушения слоя. Но во многих работах показано, что в процессе
нагружения слоистого пакета после первого разрушения по матрице какоголибо слоя снижаются его упругие характеристики, но он продолжает нести на­
грузку. Следующим шагом в развитии методов расчета прочности является
учет нелинейности зависимости а - 8 слоя при напряжениях сдвига или при
сдвиговых и трансверсальных напряжениях. В отдельных работах после неко­
торых видов разрушения учитывается сохранение несущих способностей слоя
(например, путем постепенного уменьшения толщины соответствующего слоя).
Вид редукции жесткости слоя оказывает существенное влияние на расчетные
поверхности прочности и кривые с? - 8 пакета. Применение методов расчета
послойного разрушения композитов не всегда дает удовлетворительное соот­
ветствие эксперименту, особенно для композитов, армированных вязкоупругими волокнами. Расхождение может быть вызвано рядом причин. Так, органо­
пластики и стеклопластики обладают существенной нелинейностью при нагружении в направлении армирования волокон, в то время как во хмногих случаях
данная зависимость принимается линейной. Кроме того, при редукции жесткостей не учитывается, что после разрушения отдельного слоя от сжатия в на­
правлении, перпендикулярном направлению армирования, его несущая способ­
ность может сохраняться до разрушения всего слоистого пакета в целом. В ра­
боте Валдманиса В.М. и Микельсона М.Я. [1] принято, что приложенные к
композиту усилия вызывают в нем безмоментное деформированное состояние.
Экспериментально исследованы органопластик структуры [±30°; 90°; 90°; ±30°]
и др., стеклопластик и углепластик, составленные из парных слоев с углами
ориентации ± ф к . Экспериментальные кривые для монослоя за пределом про­
порциональности аппроксимировались кубическими полиномами. На основа53
НИИ экспериментально наблюдаемых типов разрушения принято два критерия.
В первом случае пакет считается разрушенным, если в пакете произошло раз­
рушения одного или нескольких слоев по волокнам в одном из направлений
армирования и при этом еще не разрушены все слои по матрице. Во втором
случае нет разрушения волокон, однако, должны быть разрушены все слои по
матрице, а упругие свойства пакета уменьшаются в два раза. Авторы отмечают,
что практически во всех случаях окончательное разрушение образцов происхо­
дило вблизи захватов испытательной машины, из-за концентрации напряжений.
Экспериментально полученные диаграммы а - 8 в некоторых случаях зафикси­
рованы до разрыва датчика, что не всегда соответствует максимальной нагрузке
на образец. Необходимо отметить то, в связи с вышесказанным, насколько важ­
ным является информация о признаке разрушения в эксперименте при сравне­
нии теоретических результатов с соответствующими экспериментальными ре­
зультатами других авторов.
В экспериментальной работе Е.В. Мешкова, В.И. Кулика, A . C . Нилова, З.Т.
Упитиса, A . A . Сергеева [1] приведены результаты комплексного исследования
прочностных, деформативных и упругих характеристик
однонаправленных
стекло-, органо- и углепластиков в условиях кратковременного статического
нагружения. Особенностью данных экспериментальных исследований является
то, что механические свойства К М определяли в основном при испытании од­
ного типа образцов, изготовленных по единой технологии (в основном испытывались трубчатые образцы). Анализ полученных диаграмм показал, что при
растяжении К М в поперечном к направлению армирования направлении они
линейны. При сжатии в этом же направлении и сдвиге в плоскости армирова­
ния проявляются нелинейные эффекты. Нелинейные эффекты при поперечном
сжатии и сдвиге в плоскости армирования во многом обусловлены деформаци­
онными свойствами связующего (при поперечном растяжении
разрушение
композитов происходит при относительно низких значениях деформаций и не­
линейность связующего не проявляется в достаточной степени). Известно, что
вследствие сложного фибриллярного строения органические и углеродные во54
локна в отличие от стеклянных анизотропны. Их свойства в трансверсальном
направлении существенно ниже, чем в продольном. Эта особенность армирую­
щих волокон является одним из факторов, определяющих поведение однона­
правленных К М при поперечном нагружении и сдвиге. Из полученных в цити­
руемой работе результатов видно, что в поперечном направлении и при сдвиге
значения характеристик о р г а н о - и углепластиков намного меньше, чем стеююпластиков. Анализ диаграмм деформирования о р г а н о - и углепластиков при
растяжении в направлении армирования выявил нелинейность, обусловленную
"упрочнением" К М , т.е. касательный модуль упругости повышался в ходе нагружения. Увеличение касательного модуля происходит только до некоторого
уровня продольной деформации (60 - 80% от s^^). Однонаправленные компо­
зиты, армированные волокнами с анизотропной, фибриллярной структурой,
имеют относительно низкую прочность при продольном сжатии, обусловлен­
ную, прежде всего, разрушением самих волокон, а не связующего, или сцепле­
ния на поверхности раздела (Г.М. Гуняев [1]).
В работах И.Г. Терегулова, Э.С. Сибгатуллина, O.A. Маркина [1], И.Г. Терегулова, Э.С. Сибгатуллина [4], P.A. Азаматова, Э.С. Сибгатуллина, И.Г. Терегу­
лова [1] прочность пакета ортотропных слоев определяется исходя из условия
одновременного выхода слоев на предельное состояние, на основе концепции
об устойчивости поведения материала (постулата Друккера).
Приведенные
сравнения с соответствующими экспериментальными результатами других ав­
торов показывают пригодность предлагаемой модели для определения прочно­
сти слоистых композитных материалов.
В работе Г Eriksson, C . - G . Aronsson [1] обсуждены некоторые аспекты тра­
диционно
используемых
критериев,
основанных
на
введении
характери­
стического расстояния, для предсказания прочности слоистых композитов, со­
держащих трещины и отверстия. Отмечено, что данный параметр не является
физической характеристикой, а представляет собой эмпирически определенную
константу. Предложен новый критерий разрушения, учитывающий образование
поврежденности в областях, где максимальные растягивающие
напряжения
55
достигают величины предела прочности. При анализе учитывается перераспре­
деление напряжений в процессе развития поврежденности. На основе исследо­
ваний условий равновесия образца получено аналитическое выражение для
прочности композита при наличии трещин, отверстий и болтовых соединений,
включающее характеристику прочности гладкого образца и критический раз­
мер зоны поврежденности. Предсказанные величины прочности образцов раз­
личной
конфигурации
находились в хорошем
соответствии с эксперимен­
тальными данными.
В работе С. Soutis, N . A . Fleck [1] представлены результаты эксперимен­
тального и теоретического исследования разрушения при сжатии пластин i ^ r лепластика. Для определения механизмов разрушения при одноосном сжатии
проведены испытания гладких образцов структуры [±45° / 0°]. Обнаружено, что
наиболее сильное влияние на процесс разрушения оказывает микровыпучивание волокон в продольном слое. Проведена также серия экспериментов для
определения условий разрушения пластиков с круговыми отверстиями. Наблю­
дения за образованием поврежденности и его развитием проводились с помо­
щью рентгеновской радиографии и сканирующей электронной микроскопии.
На начальной стадии разрушение определялось микрорастрескиванием матри­
цы. При дальнейшем увеличении нагрузки наблюдалось микровыпучивание во­
локон в областях наибольших сжимающих напряжений. Когда поврежденность
достигала критической величины, происходило катастрофическое разрушение.
Предложен критерий разрушения, в который входят характеристики напряжен­
ного состояния в окрестности отверстия и значения КИН.
В работе Г.В. Галатенко, О.С. Де.хтяревой, A . A . Каминского [1] рассмотрено
обобщение модели трещины с тонкой пластической зоной на случай ортотропного материала при двухосном нагружении. В рамках критерия крити­
ческого раскрытия трещины и условия пластичности Мизеса - Хилла дан ана­
лиз предельного состояния пластины в зависимости от упругих и пластических
свойств материала, а также траекторий нагружения.
56
в работе Schwietert H.R., Steif P.S. [1] предложена теория расчета несущей
способности армированного волокнами композита с хрупкой матрицей. При
определенном уровне напряжений наступает множественное растрескивание
матрицы, что при достаточном коэффициенте армирования не ведет к разруше­
нию материала. Дальнейший процесс повреждений определяется обрывом во­
локон и зависит от статистического распределения их прочности и свойств по­
верхности раздела компонентов. Ряд упрощающих предположений позволил
авторам рассчитать пространственное распределение обрывов волокон и в
предположении их бесконечного числа получить оценку несущей способности
композита. Получено, что основными параметрами, определяющими прочность
композита, являются разрушение касательными напряжениями на поверхности
раздела и переменная прочность волокон. Показано, что оценки прочности
композитов с хрупкой матрицей на основе правила смеси неприемлемы,
В работе Ellyin F., El-Kadi Н. [2] проведено исследование применимости
критериев разрушения в случае трещины в однонаправленном волокнистом ма­
териале в условиях плоского напряженного состояния. Для определения НДС в
вершине трещины использован предельный переход в решении Лехницкого
С.Г. задачи об эллиптическом отверстии в анизотропной однородной пластине.
Среди рассмотренных критериев разрушения - тензорный полиномиальный
критерий Цая-Ву, критерий предельных нормальных напряжений, критерий
минимума плотности энергии деформации Си. Предложен новый критерий, ос­
нованный на представлении о предельной плотности энергии деформации. Ав­
торы считают, что трещина будет расти в направлении максимальной плотно­
сти энергии деформации. Далее показано, что предлагаемый критерий позволя­
ет точнее предсказывать как значение предельной нагрузки, так и направление
роста трещины.
В работе Вильдемана В.Э., Соколкина Ю.В., Ташкинова A . A . [1] рас­
смотрена модель деформирования многослойных трансверсально-изотропных
материалов, построенная
с использованием
тензоров
микро- и
макропо­
вреждаемости и теории пластичности анизотропных сред. На основе решения
57
поставленной стохастической краевой задачи о неупругом
деформировании
слоистых композитов при сложном напряженном состоянии и предложенной
методики учета структурного разрушения получены результаты численного
моделирования на Э В М этих процессов для
металлополимерных и
металли­
ческих КМ. Вычислены эффективные материальные функции.
В работе Hirano К. [1] рассматриваются современные направления научноисследовательских и конструкторских работ по созданию металл-матричных
композитов (ММК). Обоснованы причины и перспективы развития ММК. Осо­
бо отмечены высокие характеристики прочности, трещиностойкости М М К при
повышенных температурах. Рассматриваются результаты испытаний М М К на
основе алюминиевых, титановых сплавов как с непрерывными волокнами, так и
с дроблеными (усами). Проанализированы величины критического
KPffl,
пара­
метры диаграммы роста усталостной трещины, температурные зависимости
критических КИП, влияние укладки на характеристики трещиностойкости и др.
В работе И.В. Орыняка, В.М. Торопа [1] опубликованной в порядке дис­
куссии, рассмотрены вопросы корректного получения характеристик трещи­
ностойкости при продольном или поперечном сдвиге. Отмечено, что в случае
ограниченной пластической зоны у кончика трещины (большие размеры об­
разцов, низкая температура), когда справедлива линейная механика разруше­
ния, непосредственно полученные опытные значения Кцс и Кшс не превышают
Kic. На основе выполненного анализа экспериментальных данных установлено,
что для чистого типа нагружения II или III сложнее достигнуть хрупкого раз­
рушения, поэтому принимают Кшс и Кцс больше Kjc. Отмечен подход, извест­
ный в научной литературе, согласно которо.му величины Kic, Кцс, Кпк не явля­
ются независимыми и существует лишь одна характеристика сопротивления
материла хрупкому разрушению Kjc, а К|, К ц , Кш приводится к эффективному
значению K j . Приведены равенства К ц ^ = V 3 K j ( , / 2 , Кшс = К^. Но такой под­
ход, на наш взгляд, не учитывает реальные условие работы материала в элемен­
тах конструкций.
58
в работе В.А. Буряченко, Ю.С. Скорбова, C . B . Гунина [1] отмечено, что в
настоящее время накоплен значительный экспериментальный материал по ус­
тановлению зависимостей пределов прочности и пластичности композитной
среды от свойств компонентов последней. Однако создание соответствующих
математических
моделей
принципиально
осложняется
сзлцественно
нели­
нейной зависимостью законов прочности и пластичности от локальных напря­
жений. Распространенным способом построения эффективной
поверхности
прочности является подстановка в критерий прочности Малмейстера средних
значений напряжений в компонентах КМ. При этом использование только пер­
вых одноточечных моментов полей напряжений в компонентах может привести
к физически противоречивым результатам. Авторы предлагают метод построе­
ния эффективной поверхности прочности матричных К М , когда используются
оценки средних значений первых и вторых моментов тензоров напряжений в
компонентах.
В работе С В . Цветкова, П.А. Зиновьева и др. [1] экспериментальные ре­
зультаты, полученные для однонаправленно армированного бороалюминия, со­
поставлены с соответствующими результатами, полученными
с использо­
ванием различных критериев прочности. Отмечено, что наименьшее средне­
квадратичное отклонение экспериментальных данных от теоретической по­
верхности прочности достигается в случае применения следующего критерия
максимальных напряжений:
-
< (Tj 1 <
;
-/?_2
< ^22
< ^+2 ;
К12|<-^12-
Здесь R±i, R i 2 - соответствующие пределы прочности К М при растяжении или
сжатии в направлении одной из главных осей анизотропии материала и при
сдвиге (i = 1; 2). Отмечено также, что наблюдается большой разброс значений
прочности
при
растяжении
поперек
направления
армирования.
Эта
ха­
рактеристика материала оказалась очень чувствительной к технологическим
параметрам. В работе показано, что значение коэффициента F12 (коэффициент
при произведении a i i a 2 2 ) в критерии Цая - Ву и, соответственно, точность ап59
проксимации экспериментальных данных с использованием этого критерия,
очень сильно зависят от координат экспериментальной точки в
плоскости а ц - G22, использованной при определении F12.
В работе W u H.Р., W u L . L . , Slagter W.J., Verolme J.L. [1] описано исследо­
вание влияния на прочность (при растяжении, сжатии, сдвиге в плоскости и при
раздире) объемной доли алюминиевых слоев в композициях, состоящих из че­
редующихся
слоев алюминия
и тонких
слоев
стеклопластика
или
орга­
нопластика. В качестве теоретических оценок авторы рассматривали простейщие линейные правила смесей для прочности и модуля Юнга и среднее гармо­
ническое для модуля сдвига в плоскости. Отмечена необходимость более де­
тальных
исследований
для
обоснования
применимости
волокнисто-ме­
таллических композитов в деталях авиационных конструкций.
В работе Afaghi К.А., Ye L . , M a i Y . - W . [1] дана оценка остаточной проч­
ности растянутых слоистых композитных прямоугольных пластин с острым
надрезом или центральным вырезом. Предполагается возникновение повре­
ждений в момент, когда локальные нормальные напряжения впереди кончика
надреза достигают величины предела прочности на растяжение пластины без
надреза. Образование повреждения моделируется фиктивной трещиной с когезионными напряжениями, действующие на ее поверхностях. Процесс роста
повреждения характеризуется расщирением фиктивной трещины и понижением
когезионных напряжений с ее раскрытием. Результаты численного расчета по­
казателей остаточной прочности сопоставлены с имеющимися опытными дан­
ными.
В работе Vaidya R.S., Sun С Т .
[1] представлены результагы эксперимен­
тальных исследований разрущения образцов графитопластиков с центральными
надрезами. Исследованы влияние углов ориентации волокон в слоях и порядка
укладки слоев на механизмы роста поврежденности вблизи вершины трещины
и тип разрушения. Предложен независящий от строения слоистого композита
критерий разрзтпения, который устанавливает соответствие мел<ду вязкостью
60
разрушения композита и вязкостью разрушения главного несущего нагрузку
слоя.
В книге Н.И. Карпенко [1] обобщены построения общих физических со­
отношений - связей между напряжениями и деформациями или их прираще­
ниями. Представлены критерии оценки прочности и трещиностойкости бетона
при обьемных и частных напряженных состояниях. Учитываются физическая
нелинейность, влияние трещин, анизотропия и другие факторы. Приведены
примеры расчета различных железобетонных конструкций.
Расчету прочности железобетонных конструкций при сложных сопротив­
лениях посвящена книга В.П. Полищука, С В . Поветкина [1].
В книге С И . Корягина [1] изложены результаты теоретических и экспе­
риментальных исследований несущей способности К М при статических и ди­
намических
нагрузках.
Разработана
научная
методология
создания
ме­
таллических конструкций, упрочненных армированными полимерными пок-рытиями. Исследовано влияние технологии, условий эксплуатации, температуры и
других факторов на несущую способность композиционных элементов.
В монографии В.Э. Вильдемана, Ю.В. Соколкина, A . A . Ташкинова [2] ис­
следованы закономерности и модели процессов накопления повреждений, закритического деформирования и структурного разрушения К М при квази­
статическом натружении. Рассмотрены постановки, методы и результаты реше­
ний стохастически и физически нелинейных краевых задач механики де­
формирования и разрушения структурно-неоднородных сред. Изучены вопросы
устойчивости процессов деформирования.
Эксперименты
показывают, что характер разрушения композитных
об­
разцов при циклическом и статическом пагружениях идентичны (В.А. Лимо­
нов, В.Г. Перевозчиков, В.П. Тамуж [1]). Критерии усталостного разрушения
материалов при сложном напряженном состоянии, как правило, записывают по
аналогии с условиями разрушения при статическом нагружении, заменяя в них
константы, характеризующее прочностные свойства материала, на соответст­
вующие функции от числа циклов N д о разрушения ( С В . Серенсен [1], Z.
61
Hashin, А. Rotem [1], Ю.Н. Работнов, В.П. Когаев, А.Н. Полилов, В.Б. Стрекалов, A . M . Думанский [1]). При этом полагают, что компоненты напряжений
изменяются
синхронно
и синфазно.
Правомерность
такого
подхода
под­
тверждается результатами экспериментов (В.А. Лимонов, В.Г. Перевозчиков,
В.П. Тамуж [1], H.J. Gough [1]). Запись условий прочности при многоцикловом
нагружении на основе условий прочности при статическом нагружении требует
дополнительного анализа структуры этих соотношений (И.Г. Терегулов, Э.С.
Сибгатуллин [5]).
Обзор расчетных методов усталостной долговечности слоистых композитов
содержится в работе Я . Андерсона [1], где отмечено, что "в процессе ус­
талостного нагружения наблюдается непрерывное изменение
свойств композитного материала, вызываемое накоплением
механических
микроповрежде­
ний, перераспределением напряжений в виду различия характеристик вязкоупругости и ползучести составляющих, диссипативного саморазогрева и т.д. По
достижении критического уровня повреждерия происходит отказ конструкции,
т.е. она перестает соответствовать предъявленным функциональным требова­
ниям. Эти требования могут носить весьма разнообразный характер в зависи­
мости от области применения и ответственности конструкции, но, как правило,
их предъявляют к остаточной прочности, жесткости и (или) долговечности
композитного материала". Отмечено также, что при построении поверхностей
усталостной прочности К М могут быть использованы
феноменологический,
структурно-феноменологический и микроструктурный подходы. Феноменоло­
гический подход (построение поверхности усталостной прочности материала
по результатам ограниченного набора простых видов испытаний) становится
бесперспективным применительно к слоистым композитам в виду неограни­
ченного множества схем укладки, для каждой из которых пришлось бы прово­
дить программу испытаний заново (Nahas M . N . [1]). Подобные исследования
проведены, по видимому, лишь для однонаправленно армированного композита
(наличие банка данных для однонаправленно армированных монослоев оказы­
вается
весьма
важным
и
полезным
при
использовании
структурно62
феноменологического
подхода
к
прогнозированию
прочности
слоисто-
волокнистых композитов).
Для широкого круга задач нагружение с достаточной степенью точности
можно считать простым (пропорциональным), но необходимо учитывать ис­
торию циклического нагружения - изменение параметров нагружения со вре­
менем. Такие задачи решаются с привлечением концепции накопления повреж­
дений, причем мере повреждения обычно не дается определенная физическая
интерпретация, о ее величине судят по изменению деформативных, прочност­
ных характеристик материала, динамике саморазогрева (П.П. Олдырев, В.П.
Тамуж [1], В.П. Тамуж, B . C . Куксенко [1]), либо оценивают расчетным путем.
В последнем случае используется экспериментальная информация о долговеч­
ности композита при нагружении с постоянными параметрами нагрузки и оп­
ределенное правило суммирования повреждений. Я. Андерсон отмечает, что
известно довольно много вариантов аналитического выражения закона накоп­
ления повреждений, но ни один из них не получил всеобщего признания - ис­
пользуемые эмпирические зависимости не обладают достаточной гибкостью
для их учета и формулы, пригодные для одного случая, приводят к ошибочным
результатам в другом.
Наиболее разработанными с точки зрения учета случайного характера па­
раметров прочности композита являются модели, основанные на концепции ос­
таточной прочности (и жесткости). Суть такого подхода - замена отвлеченной
меры накопления повреждений конкретной механической характеристикой ма­
териала, изменение которой во время усталостного нагружения представляет
непосредственный интерес. Использование в качестве параметра, характери­
зующего уровень накопленного повреждения, остаточной жесткости вместо ос­
таточной прочности имеет некоторые преимущества: измерение
жесткости
можно провести на любом этапе усталостного нагружения и неразрушающими
методами, жесткость обладает меньшим разбросом значений. Трудности в этом
случае связаны с тем, что помимо ситуации, когда функциональная способ­
ность конструкций определяется именно жесткостью (потеря устойчивости, ог63
раничение на деформации или частоту собственных колебаний и т.д.), затруд­
нено формулирование критерия разрушения.
Применение феноменологических моделей разрушения композита в целом
затруднено, согласно мнению Я. Андерсона, невозможностью перенесения по­
лученных результатов на другие схемы укладки или лучи нагружения. Такое
обобшение возможно лишь при четком понимании физических механизмов
разрушения и вызываемых им структурных изменений композита в процессе
усталостного нагружения. Применительно к слоистым волокнистым компози­
там первым шагом в направлении адекватного отражения структуры материала
в расчетных моделях представляется учет его слоистого строения и, соответст­
венно, выделение двух механизмов разрушения - внутрислойного и межслойного. Усталостное разрушение композита при этом моделируется как последо­
вательное разрушение отдельных слоев с разным направлением армирования и
(или) распространения межслойного расслоения. Предполагается, что прочно­
стные свойства монослоя не зависят от строения пакета и положения слоя в па­
кете. После расчетного отказа слоя его упругие постоянные,заменяют, модели­
руя влияние трещинообразования на эффективные характеристики упругости.
Вследствие последовательного разрушения слоев пакета уровень циклических
напряжений в неразрушенных слоях меняется. Кроме того, к моменту разруше­
ний каких-либо слоев в остальных слоях уже накоплены определенные повреж­
дения. Потерю несущей способности слоистого композита обычно связывают с
отказом всех слоев пакета. Послойный расчет разрушения представляется наи­
более разработанным в настоящее время инженерным методом анализа устало­
стной прочности слоистых волокнистых композитов (Я. Андерсон [1]).
Удовлетворительные
результаты
послойного
расчета разрушения,
опи­
рающегося на весьма существенное упрощение реального процесса накопления
усталостного повреждения в композите, можно объяснить, вероятно, слабостью
влияния флуктуации времени возникновения, плотности и распределения мик­
роповреждений на окончательное предкритическое состояние материала и вре­
мя достижения этого состояния. Подобная независимость критической нагруз64
ки от фактической (расчетной) последовательности разрушения слоев получена
в работах И.Г. Терегулова, Э.С. Сибгатуллина [5], Э.С. Сибгатуллина, И.Г. Терегулова, С.Н. Тимергалиева [1] из довольно общих соображений о неустойчи­
вости поведения материала (типа принципа Друккера).
Несмотря на то, что количество элементарных механизмов разрушений, со­
ставляющих физическую картину повреждения волокнистых композитов, неве­
лико (растрескивание связующего, межслойное расслоение, отслоение волокна
и матрицы, разрыв и местная потеря устойчивости волокна), завершенная ме­
ханическая
модель,
описывающая
накопление,
взаимодействие
и
рас­
пространение повреждений вплоть до исчерпания несущей способности слои­
стого композита посредством перечисленных локальных актов разрушения, не
создана даже применительно к статическому нагружению. Эта задача усложня­
ется выраженным вероятностным характером прочностных свойств композита
и сложным взаимодействием дефектов. Применение микромеханических под­
ходов для изучения усталостного разрушения с целью использования по­
лученных результатов в инженерных расчетах в настоящее время не пред­
ставляется возможным. С этой целью необходимо схематизировать процесс
разрушения, выделить доминирующие механизмы (Рейфснайдер К.Л. [1]).
Некоторые авторы (см., например, работу Ю.В. Суворовой, B . C . Добрынина
[1]) различают струтстурные и феноменологические модели при анализе процес­
сов разрушения композитов. В цитируемой работе отмечено, что наиболее пер­
спективный путь анализа процессов разрушения композитов - развитие струк­
турных представлений, т.е. исследование внутренних процессов, происходящих
в материале и связанных с условиями взаимодействия волокон и матрицьг От­
мечено также, что все структурные модели обладают одним весьма существен­
ным недостатком: необходимо знать параметры внутреннего взаимодействия
компонентов, которые определить, достаточно надежно, никогда не удается.
Поэтому прогнозирование поведения композитов на основе структурного под­
хода можно осуществить весьма приблизительно, как правило, подгонкой
имеющихся параметров под макроэксперимент.
65
При испытании на усталость композиционных материалов жесткий режим режим постоянной деформации - качественно отличен от мягкого режима режима постоянной нагрузки. В первом случае в образце в процессе испытания
происходит снижение нагрузки, во втором - происходит нарастание деформа­
ции.
Как отмечает П.П. Олдырев в работе [4], в отличие от металлов, прекра­
щающих сопротивление многоцикловой усталости разделением образцов, ком­
позиты при жестком нагружении чаще исчерпывают несущую способность без
разделения образцов на части. Появление трещин на поверхности образцов
также не всегда указывает на значительную потерю ресурса долговечности
слоистым материалом в этом режиме нагружения. В практике испытаний арми­
рованных пластиков констатация момента разрушения при жестком нагруже­
нии осуществлялась по-разному, причем не исключался элемент субъективно­
сти: так, момент разрушения считался наступившим, когда одна из трещин на
поверхности прорастает на всю ширину рабочего сечения образца; когда ис­
ходная жесткость образца уменьшается на 10 - 20% или заданное напряжение
снижается на 20%; когда на поверхности появляется видимая трещина длиной
2-3 мм. В справочной литературе обычно не заказывается использованный кри­
терий разрушения, а между тем долговечность композитов может существенно
изменяться в зависимости от принятого критерия. Г О С Т 23207-78 (Сопротив­
ление усталости. Основные термины, определения и обозначения. - М., 1978. 48с.) термином "усталостное разрушение" определяет разрушение материала
нагружаемого объекта до полной потери его прочности или работоспособности
вследствие распространения усталостных трещин. Отсюда следует, что конст­
рукционный материал можно считать разрушенным, придерживаясь двух раз­
ных критериев: прочностного, связанного с потерей несущей способности ма­
териала, и эксплутационного, ограничивающего работоспособность изделия,
несмотря на еще достаточную прочность материала. Следовательно, при выбо­
ре критерия разрушения необходимо учитывать кинетику накопления устало­
стных повреждений, изменяющих прочность и другие свойства композита, а
66
также специальные требования, вытекающие из целевого назначения материала
в изделии. Понятно, что такие специальные требования, обычно диктуемые за­
казчиком изделия, могут быть весьма разнообразными.
Эксплуатационным
критерием усталостного разрущения композитов может быть достижение пре­
дельного значения деформации, жесткости или какого-либо физического свой­
ства материала (электропроводимости, плотности, светопропускания и т.п.).
П.П. Олдырев в [4] отмечает, что начало интенсивного изменения механиче­
ских и физических свойств композитов в режимах мягкого и жесткого нагружений, как правило, совпадает с появлением макротрещин. Так изменяются уп­
ругие свойства, диссипация энергии и температура разогрева, резонансная час­
тота, светопропуекание, акустическая эмиссия. Температура разогрева, а зна­
чит, и диссипация энергии наиболее чутко реагирует на образование макротре­
щин. Отмечено, что все косвенные способы определения долговечности по на­
чалу образования макротрещин различаются между собой незначительно и до­
вольно близки к долговечности, определенной по прочностному критерию. А в
качестве прочностного критерия разрущения в жестких режимах рекомендуется
принимать резкое снижение нагрузки за последние 1000 - 2000 циклов до 10%
ее предыдущего значения.
В экспериментальной работе П.Б. Олдырева [3] проведены исследования
влияния концентрации напряжений на выносливость стеклопластиков при мно­
гоцикловом осевом нагружении. Выяснено, что эффективные коэффициенты
концентрации
лопластиков
цов
Ку
и
с
напряжений
при статическом
=ag/Gg,
отверстиями,
=O-R/CJR,
где
где
а
G R , OR
CTB,ag
также
растяжении
и сжатии
стек­
- пределы прочности гладких образ­
при
многоцикловом
нагружении
их
- пределы прочности гладких образцов и об­
разцов с отверстиями, с любыми значениями коэффициентов асимметрии цикла
= <^minmax ^ Два-четырс раза меньще теоретических, рассчитанных для уп­
ругой среды. Коэффициенты концентрации нормальных напряжений, полу­
ченных на основе усталостных испытаний в знакопостоянных циклах, с по-
67
грешностью до 10% соответствуют таковым при статическом нагружении на
идентичные виды деформаций. Для знакопеременных циклов нагружения мож­
но коэффициенты концентрации напряжений определять по результатам стати­
ческих испытаний на растяжение и сжатие. Влияние концентратов напряжения
на пределы выносливости стеклопластиков с достаточной для практики точно­
стью можно учесть по результатам испытаний гладких образцов на усталость и
образцов с концентраторами на статическое растяжение и сжатие. Использова­
ние предложенной методики позволяет существенно сократить трудоемкость
испытаний на многоцикловую усталость образцов и деталей с различными типо-размерами концентраторов напряжений. Автор высказывает мнение, что
предлагаемая им методика оценки влияния концентраторов напряжений на ус­
талость должна быть приемлема не только для армированных пластиков и кон­
центраторов в виде круглых отверстий, но и для других материалов и форм
концентраторов.
В работе Н.Е. Саркисяна [1] разработана приближенная модель для оценки
усталостной прочности
при достаточно широком спектре изменения усло­
вий многоциклового нагружения. Модель является полуэмпирической, на ее
основе предложена методика ускоренного определения циклической прочности
при учете основных факторов, влияющих на многоцикловую усталость (анизо­
тропия свойств материала, частота нагружения, асимметрия цикла напряже­
ний). Коэффициент асимметрии цикла напряжений определен по формуле
Плавному изменению вида нагружения от длительного статического растя­
жения до длительного статического сжатия по формуле (29) соответствует не­
прерывное изменение коэффициента асимметрии от +со до -со. Симметричному
циклу соответствует значение г = 0. Связь между коэффициентом многоцикло­
вой усталостной прочности К = 0 / 0 3 , долговечностью N и частотой нагруже­
ния принята в виде
68
(30)
к = a-h Ig N-cco,
где значения параметров а, Ь, с главным образом зависят от вида деформации и
угла ориентации нагрузки относительно волокон. Для описания зависимости
усталостной прочности от асимметрии цикла напряжения может быть ис­
пользована, в частности, следующая формула:
О"max - О"min ^ М ^ ) " (^^тах + ^min)
(31)
min
Здесь ao(N) - амплитуда напряжений, вызывающих усталостное разрущение
при симметричном цикле растяжения - сжатия; (т(г) - длительная статическая
прочность, соответствующая продолжительности циклического
нагружения.
Для использования формулы (31) необходимо иметь две экспериментальные
кривые - по длительной прочности (т(г) и усталостной прочности ao(N) при
симметричном растяжении - сжатии. Прогнозирование анизотропии цикли­
ческой прочности с непосредственным учетом изменения степени анизотропии
прочности в процессе нагружения предлагается проводить на основе следую­
щей зависимости:
'^,/(р)='^'.м+тю-
(32)
Здесь функция ^{ip, N ) отражает изменение степени анизотропии прочности в
зависимости от угла ориентации (р и долговечности N .
В работе Ю.В. Суворовой, A . M . Думанского, В.Б. Стрекалова,
И.М. Мах-
мутова [1] проведены исследования, которые позволили авторам сделать вывод
о том, что по ограниченному числу параметров, полученных при ползучести и
длительной прочности, можно прогнозировать поведение углепластиков при
произвольных режимах нагружения, включая кривые деформирования, значе­
ния прочности и долговечности, а также характеристики сопротивления уста­
лости. Для определения длительной прочности использована формула
69
(33)
ст. =
1+
т
л-а
\ - а
где (7* - значение прочности, соответствующее времени t^^,
- прочность
бездефектного материала; т , а - параметры, характеризующие процесс на­
копления повреждений. Для определения времени до разрушения при цикли­
ческом нагружении использовано выражение
• 1
1-а
(Тг
ст.
(34)
т
+
(1-а)
(т„т{\.5а-0.5)Т{\-а)
Здесь а-„, - среднее напряжение цикла, сУа ~ амплитуда переменной части, Г() гамма-функция. Предел ограниченной выносливости а я определяется из (34)
выражением вида
+ (1.5а-0.5)Г(1-а) +
1+
+R
1-а
1
(35)
-(1.5а-0.5)Г(1-а)
1-а
Здесь N - число циклов до разрушения, R - коэффициент асимметрии, ю - кру­
говая частота изменения циклических напряжений.
В работе Ю.Н. Работнова, В.П. Когаева, А.Н. Полилова, В.Б. Стрекалова,
A . M . Думанского [1] для описания зависимости прочности однонаправленных
композитов от направления растяжения и от числа циклов применен линейный
критерий прочности типа Кулона - Мора
fT„ + шг„ = с.
(36)
где сг„ - нормальные к направлению армирования напряжения, т„ - касательные
напряжения, т , с - экспериментально устанавливаемые функции от числа цик-
70
лов
N
до
разрушения.
Сопоставление
расчетных
результатов
с
соот­
ветствующими экспериментальными показывает, что в многоцикловой области
значение параметра ш можно принять постоянным. Показано, что расчеты по
критерию (36) позволяют установить угловую координату начала разрушения
образцов с отверстиями.
В работе Fawaz Z . , EUyin F. [1] предложена модель для прогнозирования ус­
талостного разрушения композитных материалов при многоосном нагружении
с
изменением
отношения
между
минимальным
и
максимальным
на­
пряжениями. Учитывается различная ориентация волокон относительно на­
правлений нагрузок. Введена в расчет концепция многонаправленных
эле­
ментарных блоков. Модель обеспечивает оценку усталостной прочности как
однонаправленного, так и многонаправленных блоков посредством
опреде­
ления двух характеристических функций.
В работе Ю.И. Димитриенко, И.П. Димитриенко [1] предложен критерий
длительной прочности композитных материалов. Для макроскопически
од­
Z m , называемых
нородного материала введен набор некоторых величин Z i ,
повреждениями и являющихся функционалами над инвариантами Y | ,
Y„
тензора напряжений о относительно группы преобразований, характеризующей
рассматриваемый тип анизотропии материала. В момент
Z,{U)
когда
= \,
(37)
считают, что в данной точке тела происходит разрушение типа "к". Рассмотрен
однонаправленно армированный волокнистый КМ (транстропный материал).
Показано, что предлагаемый критерий может быть использован для расчета
долговечности при произвольных программах нагружения. Этот критерий дает
хорошее совпадение с экспериментом не только при мгновенном и длительном
статических нагружениях, но и при усталостном нагружении в области растя­
жения, сжатия и при смешанных режимах с различными
коэффициентами
асимметрии.
В работе A . M . Скудры, М.Р. Гурвича [1] разработаны структурные крите­
рии, позволяющие на уровне компонентов (полимерного связующего, волокон)
71
и сцепления между ними прогнозировать длительную прочность слоистых ар­
мированных пластиков при плоском напряженном состоянии. В качестве кри­
терия
длительной
прочности
волокон,
например,
использован
феномено­
логический критерий, позволяющий учитывать историю нагружения а^{Х):
где К^- (? - г) - закон изменения длительной прочности волокон на статическое
растяжение. Аналогичные зависимости приняты для матрицы и для описания
предельного состояния сцепления. Принято, что разрущение однонаправленно
армированного слоя определяется разрущением наислабейщего структурного
элемента (связующего, волокон или сцепления). Момент первого разрущения
связующего или сцепления принимается за начало лавинообразного разруще­
ния этих структурных элементов и, следовательно, моментом разрушения всего
слоя. Поверхность длительной прочности слоистых пластиков строится по кри­
терию нарущепия сплощности, что также определяется разрущением наисла­
бейшего структурного элемента в наиболее нагруженном слое. Сформирован­
ные критерии нарушения сплошностей позволяют прогнозировать
падение
прочности слоистых армированных пластиков от длительного нагружения.
В работе Б.Е. Победри [2] намечен подход к получению простейшего крите­
рия прочности, основанного на рассмотрении термодинамики сплошной среды.
Композит рассматривается как деформируемое твердое тело, материальные
функции которого являются разрывными функциями координат. Термодинами­
ческий критерий прочности в цитируемой работе сформулирован следующим
образом: разрушение материала наступает в момент, когда одна из аддитивных
составляющих какого-либо термодинамического потенциала (например, внут­
ренней энергии Пр) достигает своего предельного значения П р , т.е.
и,=и:
ф = 0,\,...,Ы).
(39)
72
Значение
соответствует разрушению, связанному с переходом в новое аг-
регатное состояние (например, с плавлением). Величины Нр могут быть за­
висимы от скалярных параметров, например, от инвариантов тензоров на­
пряжений или деформаций в момент времени
предшествующий разруше­
нию. Частными случаями термодинамического критерия прочности являются
некоторые известные критерии (например, критерий Журкова). Для описания
эволюции параметров прочностных характеристик
используется
закон со­
хранения энергии. Для композитов плотность внутренней энергии и может
быть представлена асимптотическим разложением
и = у{х, 0 + аП{1
ф ,(-^. 0 + «'Л^.
Ф.Д^. 0+ -
(40)
где Ni, Ыц, ... - локальные функции медленных координат £, = х / а ; а -малый
геометрический параметр, равный отношению диаметра ячейки периодичности
к характерному линейному размеру композита. Полагается, что эффективные
характеристики композита будут найдены с использованием метода усреднения
и на каждом шаге приближения термодинамический критерий прочности мо­
жет быть применен к приведенной анизотропной среде.
В работе С. Ва1111а8 [1] представлен обзор критериев разрушения при мо­
нотонном и циклическом нагружениях, механизмов повреждений на м и к р о - и
макроуровнях и методов расчета композиционных материалов. Описаны раз­
личные типы повреждений при растяжении, сдвиге, кручении, сжатии и слож­
ном нагружении цилиндрических образцов из с т е к л о - и углепластиков на ос­
нове термореактивной и термопластичной смол при наличии и отсутствии кон­
центрации напряжений. Особое внимание уделено влиянию концентрации пу­
тем расслоения в условиях сжатия. Показано, что подходы механики разруше­
ния также пригодны для описания механического поведения КМ при условии
возможности определения КИП и скорости диссипации энергии для данной
структуры композита.
73
в работе F. EUyin, Н. El-Kadi [1] предложен критерий усталостного раз­
рушения однонаправленного волокнистого композитного материала при плос­
ком напряженном состоянии. В основу критерия положено представление, что
повреждение при циклическом нагружении однозначно зависит от потока ме­
ханической энергии. Использована зависимость степенного типа между полной
энергией и числом циклов до разрушения. Параметры модели определены для
ряда КМ по известным экспериментальным данным по сопротивлению устало­
сти при циклическом растяжении под углом к направлению волокон. Обнару­
женная зависимость этих параметров от угла нагружения затрудняет использо­
вание критерия при произвольном циклическом синфазном нагружении.
В работе Chamis С . С , Ginty С.А. [1] рассматриваются КМ с металлической
или керамической матрицами, предназначенные для работы в условиях повы­
шенных температур. Обсуждаются основные аспекты теории и моды разруше­
ния таких материалов. Это включает описание прочности, форму волокон, ме­
ханизм передачи усилий от матрицы к волокну, предел усталости матрицы, па­
раметры, управляющие тепловыми напряжениями, колебаниями, сопротивле­
нием удару. Все соотношения представлены в форме, удобной для предвари­
тельной оценки качества КМ специального назначения.
В работе Yang J.N., Jones D.L., Yang S.H., Meskini А. [1] разработана модель,
описывающая уменьшение жесткости КМ при циклическом нагружении, по­
зволяющая на основе статистического распределения остаточной жесткости
образцов оценивать накопленное повреждение и прогнозировать усталостную
долговечность. Для анализа результатов усталостных испытаний при асиммет­
ричном цикле растяжения (с коэффициентом асимметрии цикла 0.1 и частотой
нагружения 10 Гц), проведенных на образцах из эпоксидного углепластика
3501-6/AS4 с укладкой волокон (90/ ±45/ 0), использован линейный регресси­
онный анализ. Представлены графики эмпирических функций распределения
остаточной жесткости двух серий образцов, испытанных при различных усло­
виях нагружения. Получено хорошее согласие расчетных
и эмпирических
функций распределения остаточной жесткости.
74
в работе А. Rotem, H . G . Nelson [1] определена остаточная прочность при
растяжении и сжатии эпоксидных углепластиков марки Т 300/934 после пред­
варительного циклического деформирования в условиях симметричного цикла
растяжения - сжатия. На основе модели накопления повреждений и трехстадийного изменения жесткости материала установлена нелинейная
корреля­
ционная связь между остаточной прочностью и средней усталостной долговеч­
ностью образца. Отмечено, что контроль жесткости образца является эффек­
тивным средством предотвращения его преждевременного разрущения. Уста­
новлено, что в зависимости от структуры материала деградация прочностных
свойств начинается приблизительно при 60 - 80% долговечности образца.
Основные положения теории пластичности
и теории предельного равно­
весия изложены в работах A . A . Ильющина [2], A . A . Гвоздева [1], Л . М . Качанова [1], H . H . Малинина [1] и др. Обзоры о приложениях статической и ки­
нематической теорем для определения несущей способности элементов кон­
струкций можно найти, например, в работе В. Ольшака, А. Савчука [1], в дис­
сертационной работе Э.С. Сибгатуллина [3]. Ниже приведены только не­
которые краткие сведения.
В работе C S . Desai [1] предложен общий подход для получения функций
текучести, разрушения и потенциальной функции пластичности для различных
сред.
Основой является задание
определенных полиномов трех инвариантов
тензора напряжения.
В работе В.И. Левитаса [1] введена модель пластической среды со струк­
турными изменениями, вызванными действием напряжений (фазовые и по­
лиморфные превращения, изменение пористости и дислокационной структуры).
Для эгой модели рассмотрены определяющие соотнощения и соответствующие
им экстремальные принципы. Доказаны экстремальные принципы для конечно­
го объема жесткопластической среды со структурными изменениями и проана­
лизирована возможность их практического применения.
В работе De Borst R., Feenstra Р.Н. [1] рассмотрены численные методы ин­
тегрирования соотнощений ассоциированного закона пластичности при конеч75
ном шаге догрузки для квадратичного критерия текучести Хилла для ортотропной пластически несжимаемой среды. Рассмотрены два алгоритма вычислений
на отдельном шаге догрузки. Основное отличие их состоит в выборе точки, в
которой вычисляется градиент функции нагружения, и в определении коэффи­
циента АХ. в ассоциированном законе. Приведены данные численных экспери­
ментов с оценкой ошибок приближенного интегрирования. Рассмотрены задачи
расчета цилиндрической оболочки с равномерно распределенной нагрузкой и
защемленной пластины с сосредоточенной силой в центре.
В работе Hofstetter G., Taylor R . L . [1] рассмотрена модель упругопластического тела при конечных деформациях, основанная на мультипликативном
разложении градиента места на упругую и пластическую составляющие, не­
сжимаемости пластической области и уравнениях гиперупругости для упругой
зоны. Отмечено наличие особых областей, в которых нарушается условие теку­
чести Друккера-Прагера; для этих областей вводится специальная поверхность
текучести, причем в этих зонах нарушается условие пластической несжимаемо­
сти. Рассмотрена методика решения задач упругопластичности, основанная на
методе конечных элементов и процедуре возврата изображающей точки (в про­
странстве напряжений) на поверхность текучести.
В сообщении И.Т. Артемьева, Д.Д. Ивлева [1] анализируется связь между
функцией текучести и диссипативной функцией. Установлена связь между сте­
пенью анизотропии (отклонение направлений главных напряжений и скоростей
деформаций) и физическими характеристиками анизотропии.
В сообщении Г.И. Быковцева [1] показано, что аддитивное и мультипли­
кативное разбиение деформаций не позволяет определить "объективной" про­
изводной, которая в упругом (разгруженном) состоянии приводила бы к неза­
висимости связи напряжений и деформаций от пути напряжения. Построены
правила разбиения деформаций на упругие и пластические части и определение
объективных производных, в которых при путях деформирования в зоне раз­
грузки напряжения могут быть потенциальными функциями упругих и пласти­
ческих деформаций и не зависеть от пути прихода в заданное напряженное и
76
деформированное
состояния. Рассматриваются
модели
упругопластических
сред при конечных деформациях, поворотах и перемещениях.
В сообщении В.Д. Клюшникова [2] дан качественный анализ различных ти­
пов существующих теорий пластичности как с позиции согласованности с экс­
периментом, так и с общефизическими требованиями (ковариантность, относи­
тельность, законы термодинамики, макродетерминизм). Указаны случаи невы­
полнения этих требований, связанные, в основном, с пренебрежением концеп­
цией предельных поверхностей в пластичности (аналитическая теория, эндохронная пластичность, гипоупругость). Проанализирована возможность дефек­
тов, обусловленных другими причинами (разного рода несимметрия, использо­
вание параметров типа длины дуги траектории деформирования). В связи с
приложениями обсуждены вопросы оптимального выбора теорий и их развития
(расчет при больших деформациях, экстраполяция полей вблизи кончика про­
двигающейся трещины и т.д.), отмечена актуальность учета естественного вре­
мени в пластических процессах, влияния структурных факторов и физических
полей.
В работе К. Hashiguchi [1] предложен вариант двухповерхностной теории
пластичности, позволяющей описать циклическое деформирование в широком
диапазоне напряжений
и деформаций.
Вводится
понятие
предельной
по­
верхности и поверхности субнагружения в пространстве напряжений. В от­
личие от классической пластичности эти поверхности не выделяют область
чисто упругого деформирования. Поверхность субнагружения находится внут­
ри предельной и всегда проходит через точку нагружения. Ее размером и рас­
положением определяются пластические модули, которые задают линейную
связь скоростей напряжений и деформаций. Поверхность субнагружения может
перемещаться внутри предельной по заданному закону.
В работе И.Т. Артемьева, Д.Д. Ивлева [2] рассматриваются различные воз­
можности описания идеальной пластической анизотропии. Предложено обоб­
щение теории идеальной пластичности для случая кусочно-гладких разрывных
поверхностей текучести.
77
в работе Я.А. Каменяржа [1] установлены соотношения на поверхностях
разрыва для жесткопластического анализа неоднородных тел, в частности тел с
кусочно-непрерывными свойствами. Они выведены как необходимые условия
равенства статического и кинематического коэффициентов нагрузки.
В работе P . A . Каюмова [1] в рамках жесткопластического анализа показано,
что нижнюю оценку предельной нагрузки можно получить из некоторой задачи
управления. Предложена методика одновременного получения и верхней оцен­
ки. Найдено условие, при котором предложенный подход дает совпадаюшие
границы.
В работе B . C . Белоусова [1] получен, на основе общего гетерогенного под­
хода к моделированию и приближенного аналитического решения задачи об
одноосном деформировании упругопластической сферической ячейки, закон
квазистатического пластического течения пористых металлов, хорошо согла­
сующийся с экспериментальными данными по деформированию пористых ме­
ди и вольфрама. Предлагаемый закон течения не является ассоцииро­
ванным с соответствующей поверхностью текучести.
В работе Hill R. [1] отмечается, что классическая теория пластичности в
значительной мере базируется на понятии поверхности текучести, построение
которой связано с большими трудностями экспериментального характера. По­
следнее особенно проявляется при сложных нагружениях, когда поверхность
текучести существенно изменяет свою форму в процессе деформирования ма­
териала. В связи с этим предлагается отказаться от построения полной поверх­
ности текучести при сохранении теоретически и экспериментально обоснован­
ного принципа градиентальности. Для каждого пути нагружения предлагается
строить лишь малый участок поверхности текучести в окрестности ее пересе­
чения траекторией нагружения.
В работе Ottosen N.S., Ristinmaa М. [1] в рамках теории течения предлага­
ется обобщение теории пластичности с кусочно-гладкой функцией текучести и
угловыми точками. Теория основана на законах термодинамики и включает в
себя как неассоциированную, так и ассоциированную пластичность. Общий
78
случай получен в предположении, что число потенциальных функций отлично
от числа функций текучести. Детально обсуждаются свойства полученных в
общем случае матрицы пластических модулей и смещанной матрицы упругих и
пластических модулей. В зависимости от соотнощения числа функций, рангов и
спектральных свойств упомянутых матриц естественным образом выводятся
упрочнение, идеальная пластичность и разупрочнение. Оценивается существо­
вание предельных точек. Анализируется критерий нагрузка/разгрузка для об­
щего случая неассоциированной пластичности. Обсужден вопрос единственно­
сти связи напряжение-деформация в данной постановке задачи и установлен
точный критерий единственности. Рассмотрены встречающиеся на практике
частные случаи формулировок теории пластичности.
В монографии Я.А. Каменяржа [2] подробно описывается современное со­
стояние предельного анализа: представления, идеи и установки задач, воз­
никающих в механике; математические основы; аналитические и численные
методы, их применения в механике пластических тел и конструкций; примеры
рещения конкретных задач.
В работе L i М., Richmond О. [1] проведен обзор работ, посвященных ис­
следованию неустойчивости неупругого деформирования, возникновению мик­
р о - и макрополос сдвига; из анализа существующих результатов следует, что
существенное влияние на возникновение неустойчивости оказывает нарущение
закона градиентальности (ассоциированного закона текучести), при этом мик­
рополосы сдвига могут возникать и в режиме упрочнения. Рассматриваются
физические аспекты нарущения ассоциированного закона для металлов и гео­
материалов; для металлов указанное нарущение связывают с неконсервативным
движением краевых дислокаций, поперечным скольжением винтовых дислока­
ций, вкладом точечных дефектов в процесс деформирования; для геоматериа­
лов важным является наличие пор, зависимость неупру^'ого деформирования от
гидростатического давления. Приведены полученные на основе энергетическо­
го подхода условия возникновения и развития полос сдвига для моделей Мора
- Кулона и Друккера - Прагера. Показано, что в режиме упрочнения неупругие
79
деформации неустойчивы и неоднородны и развиваются локализованными во
времени и в пространстве "скачками", причем величина скачков по напряжени­
ям и по деформациям в полосах сдвига существенным образом зависит от сте­
пени нарущения закона градиентальности. Полученные результаты находятся в
хорошем соответствии с экспериментальными данными.
В работе В.Е. Панина [1] дан обзор исследований, выполненных на стыке
физики и механики деформируемого твердого тела на основе новых пред­
ставлений о пластической деформации и разрушении как эволюции потери
сдвиговой устойчивости нагруженного материала на различных масштабных
уровнях. Эти исследования привели к созданию нового научного направления физической мезомеханики материалов, которая рассматривает деформируемое
твердое тело как многоуровневую самоорганизующуюся систему. Развитие ме­
ханизмов и стадийности пластической деформации на различных масштабных
уровнях подчиняется принципу масштабной инвариантности. Это качественно
изменяет методы описания процессов пластической деформации и разрушения
твердых тел. Указаны области исследований, которые являются в настоящее
время наиболее актуальными.
Для однородных изотропных упругопластических пластин и оболочек пере­
ход с пространства напряжений в пространство внутренних погонных сил и
моментов впервые был осуществлен, по-видимому, A . A . Ильюшиным [2]. Па­
раметрические уравнения предельных поверхностей в пространстве внутренних
сил и моментов для таких оболочек получены Г.С. Шапиро [1]. Для однород­
ных анизотропных оболочек, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжа­
тию аналогичные уравнения получены А. Савчуком [1], а для случая, когда
пределы текучести материала при растяжении и сжатии различны - Э.С. Сибгатуллиным [1].
Опираясь на работу A . A . Ильюшина [2], М.Ш. Мцкеладзе в [1] и в после­
дующих своих работах определял предельные поверхности в пространстве сил
и моментов для оболочек^состоящих из различных ортотропных слоев, одина­
ково сопротивляющихся растяжению и сжатию, при следующих предположе80
ниях: 1) слои расположены симметрично относительно срединной поверхности
оболочки; 2) плоскости пластической симметрии отдельных слоев оболочки
параллельны между собой и ортогональны к координатным осям, одна из кото­
рых (ось z) ортогональна к поверхности спая двух средних нулевых слоев обо­
лочки, а две другие оси (х и у) совпадают с главными направлениями кривизны
на ней; 3) постоянные анизотропии для произвольного к-го слоя пропорцио­
нальны постоянным нулевого слоя; 4) учитываются постулаты Кирхгофа - Лява; 5) слои не могут скользить друг относительно друга. Для получения при­
ближенных предельных поверхностей, пригодных для использования в прило­
жениях, М.Ш. Микеладзе часто рассматривает так называемое
простейшее
сложное напряженное состояние. Например, для случая однослойной оболочки
предполагается, что мембранные напряжения - постоянны, а напряжение изги­
ба - кусочно-постоянны по толшине оболочки (т.е. рассматриваются статиче­
ски определимые задачи).
В работах И.Г. Терегулова, Э.С. Сибгатуллина, O.A. Маркина [1], И.Г. Терегулова, Э.С. Сибгатуллина [4,5], Э.С. Сибгатуллина, И.Г. Терегулова [2], Э.С.
Сибгатуллина, И.Г. Терегулова, С.Н. Тимергалиева [1] разрабатывалась мето­
дика определения предельной поверхности для тонких слоистых композитных
оболочек и пластин произвольной структуры для общего случая напряженнодеформированного состояния в пространстве обобщенных сил. При этом суще­
ственно были использованы постулат Друккера, ассоциированный закон де­
формирования, традиционные гипотезы статического и кинематического харак­
тера.
Согласно мнению Ю.В. Немировского, A . B . Шульгина [1], для конструкций
из волокнистых композитов следует строить критерии прочности не в про­
странстве напряжений, а в пространстве нагрузок, что дает, по мнению авторов,
более наглядную и достоверную информацию для оценки их несущей способ­
ности. На основе структурного анализа разработаны методика расчета слоистых
оболочечных конструкций из волокнистых металлокомпозитов вплоть до мо­
мента разрушения и методика построения поверхностей несущей способности
81
при произвольной структуре армирования и свойствах субструктурных элемен­
тов.
В работе Щербакова В.Т., Попова А.Г. [1] приведены результаты экспе­
риментального определения прочности и устойчивости оболочек из углепла­
стика, изготовленных
намоткой предварительно
пропитанной
однонаправ­
ленной ленты. Приведены сравнения экспериментальных результатов с рас­
четными и оценка степени реализации прочностных свойств материала
конст­
рукции при плосконапряженном состоянии.
В работе Шестакова A . C . , Тимошенко A . M . [1] изложена методика экспе­
риментального определения несущей способности пластин из композиционных
материалов. Приведены результаты расчета и эксперимента.
В работе Ю.В. Соколкина, А.Г. Котова, A . A . Чекалкина [1] исследована не­
сущая способность и надежность углерод - углеродной слоистой оболочки
вращения при нестационарном динамическом воздействии. При этом процессы
деформирования и разрушения конструкции рассматриваются в рамках струк­
турно-феноменологического подхода для последовательности уровней накоп­
ления повреждений и потери работоспособности.
Целью работы Dow J.О., Abdalla J.E. [1] является установление наличия ка­
чественных ошибок (неправильное определение знака или направления "векто­
ра" деформации) в конечно-элементных моделях слоистых композитных пла­
стин. Эти ошибки возникают благодаря членам с паразитическим сдвигом, воз­
никающим, когда конечный элемент формируется с использованием несовме­
стных полиномов. Хотя такие ошибки конечно-элементного моделирования мо­
гут быть устранены из четырехузловых элементов посредством редуцированно­
го гауссова интегрирования, последний способ не применим в случае восьмиузловых элементов из-за появления при этом ложных форм нулевой энергии.
Авторами разработана процедура, основанная на использовании градиентного
представления деформаций, для предотвращения качественных ошибок рас­
сматриваемого типа с любым числом узлов.
82
в работе A . C . Дехтяря, А.Ж. Сыдыкова [1] рассматриваются пологие обо­
лочки с отверстиями, которые могут располагаться асимметрично относительно
краев оболочки, иметь различную форму. Известен функционал, описывающий
верхнюю границу предельной нагрузки для пологих оболочек с любой средин­
ной поверхностью, с произвольным распределением материала и нагрузки. По­
казано, что с помощью этого функционала могут быть учтены условия закреп­
ления краев, анизотропия жесткопластического материала, ребра и другие осо­
бенности конструкции.
В работе В. А. Постнова, М. И. Трубачева [1] отмечается, что несмотря на
простоту основных положений метода конечных элементов, его использование
в численных расчетах геометрически сложных оболочек связано с опре­
деленными техническими трудностями. Чаще всего в качестве КЭ берут части
поверхностей фиксированной формы: плоской, цилиндрической, сферической,
конической или другой. Форму КЭ ограничивают треугольным или четырех­
угольным контуром с различным количеством промежуточных точек (степеней
свободы). Дополнительно подразумевается совпадение границ КЭ с главными
линиями
кривизны
срединной
поверхности
оболочки.
Для
геометрически
сложных тонкостенных конструкций такой подход приводит к необходимости
выбора большого количества КЭ, неоправданно большим затратам ручного
труда при подготовке исходных данных, нарушению плавности формы расчет­
ной модели оболочки в месте сопряжения КЭ. Предложена общая схема по­
строения изопараметрических конечно-элементностных моделей, свободная от
перечисленных недостатков. В ее основе лежит глобальная параметризация не­
сущей поверхности оболочки системой гауссовых координатных линий, произ­
вольно расположенных на срединной поверхности оболочки. Получены анали­
тические выражения для вычисления коэффициентов матрицы жесткости и век­
тора усилий для всей конструкции в целом.
В работе Johnson D. [1] рассмотрен алгоритм расчета линий (шарниров) те­
кучести в упругопластических железобетонных плитах при равномерно распре­
деленной нагрузке. Задача сводится к поиску нижней границы текучести мето83
дом линейного программирования. Действительная схема разрушения устанав­
ливается соответствующим подбором расположения цилиндрических шарниров
текучести. В качестве примера рассмотрена ортотропная прямоугольная плита с
одним коротким защемленным краем и точечными опираниями двух углов.
В работе H . H . Панасенко, А.Н. Дудченко [1] разработана математическая
модель абсолютно жесткого пространственного конечного элемента ( А Ж К Э ) ,
включающая в себя статические и геометрические ограничения, накладывае­
мые А Ж К Э на НДС упругих частей металлоконструкций. Описан алгоритм
учета А Ж К Э применительно к М К Э в форме метода перемещений. Приведены
примеры расчетов, подтверждающие необходимость учета А К Ж Э с целью получения корректной матрицы жесткости.
В работе Kawaguchi J., Morino S., Ueda М . [1] изложены результаты ана­
литического исследования влияния процесса нагружения на несущую спо­
собность железобетонных балок, испытывающих воздействие осевой нагрузки
и биосевого изгиба. Рассмотрены четыре вида поперечных сечений балок,
включая стальной двутавр с широкими полками, стальн>то квадратную трубу,
заполненную бетоном стальную квадратную трубу и квадратный бетонный
блок с внутренним стальным двутавром. Проанализированы три типа процесса
нагружения: 1) монотонное возрастание изгибающего момента Мх при посто­
янном моменте Му; 2) пропорциональное нагружение при постоянном отноше­
нии Му / Мх; 3) пропорциональное деформирование с постоянным отношением
кривизны Фу / Фх- Сопоставлены вычисленные показатели несущей способно­
сти во всех рассмотренных случаях.
В работе Hinton M . J . , Soden P.D., Kaddour A . S . [1] обсуждены и сопостав­
лены пять известных критериев разрушения для оценки предельной прочности
композитных труб волокнистой намотки при двухосном растяжении или сжа­
тии. Использована
простая
модель для
прогнозирования
показателей
не­
линейного поведения К М рассматриваемого типа с учетом деформаций по­
перечного сдвига. Дано краткое описание применяемой испытательной уста­
новки, экспериментальных трубчатых композитных образцов, системы
на84
гружения и методики проведения статических испытаний. Результаты чис­
ленного расчета показателей несущей способности композитов сопоставлены с
полученными опытными данными.
В книге Родионовой В.А., Титаева Б.Ф., Черныха К.Ф. [1] в систематизи­
рованном виде изложена линейная теория нетонких и неоднородных анизо­
тропных пластин и оболочек с учетом поперечных сдвигов, поперечных нор­
мальных напряжений, деформируемости оболочки в направлении нормали к
срединной поверхности и нелинейного распределения компонент вектора пе­
ремещения по толщине. Получена система дифференциальных
уравнений,
удобная для расчетов на ЭВМ. Предложены уточненные теории, а также ме­
тоды расчета на прочность слоистых пластин и оболочек, собранных из ани­
зотропных слоев постоянной толщины.
85
1.
Теории прочности и пластичности
однородных
и
квазиоднородных
изотропных и анизотропных мате­
риалов. Критерки разрушения
1.1.
Краткий обзор известных теорий крат­
ковременной прочности
Твердое тело под воздействием внешних нагрузок в большей или меньшей
степени меняет свои размеры и форму, т.е. деформируется. Деформации быва­
ют упругими и пластическими. Упругие деформации полностью исчезают при
удалении воздействий, обусловивших их появление, а остаточные или пласти­
ческие - не исчезают после удаления указанных воздействий.
Если действующие на твердое тело нагрузки достаточно велики, то, пройдя
некоторую стадию деформирования, тело разрушается, т.е. теряет свою целост­
ность - распадается на отдельные части. Разрушение твердого деформируемого
тела называют хрупким, если оно происходит без предварительных пластиче­
ских деформаций; в противном случае его считают вязким. Если пластические
деформации сосредоточены только в тонком слое, примыкающем к поверхно­
сти разрушения, которое макроскопически воспринимается как хрупкое, го та­
кое разрушение называют квазихрупким. Свойство твердого тела оказывать со­
противление деформированию называют его жесткостью, а разрушению
-
прочностью.
Существуют три подхода к проблеме прочности материалов, механический,
термодинамический и кинетический. Механический подход характеризуется
тем, что разрушение рассматривается как результат потери устойчивости мате­
риала. Условием разрушения в термодинамическом подходе является достиже­
ние того критического (предельного) напряжения, при котором упругая энергия
образца может обеспечить энергетические затраты на образование новых по­
верхностей разрушения и на механические потери при разрушении. Кинетиче86
ский подход отличается тем, что основное внимание обращается на атомномолекулярный процесс разрушения и разрыв тела рассматривается как конеч­
ный результат постепенного развития и накопления микроразрушений или как
процесс развития микротрещины на молекулярном уровне. Кинетический под­
ход является наиболее предпочтительным, но и наиболее трудно реализуемым в
общем случае. Учесть влияние всех внешних и внутренних факторов, связан­
ных с процессом химической деструкции, практически невозможно. Поэтому
основой инженерной практики является механический подход.
С позиций физики, явления деформации и разрушения материала, в полном
соответствии с законами диалектики, всегда связаны друг с другом. Например,
в работе А.И. Мелькера, A . B . Иванова [1] отмечается, что проблема деформа­
ции и разрушения, которую часто сводят к выяснению вопроса, является ли
разрушение следствием деформации или ее причиной, возникла из попыток пе­
ренести макропредставления сплошной среды на атомный дискретный уровень,
где деформация (накопление сдвигов) и разрушение (накопление разрывов) на­
столько связаны друг с другом, что их противопоставление носит искусствен­
ный характер. В частности, флюктуационный разрыв связи на свободной гра­
нице кристаллита вызывают образование дислокации и сдвиг, сдвиг в форме
двойникования приводит к разрыву связей и появлению зародыша трещины. На
уровне атомов и молекул разрушение материала и обратный ему процесс зале­
чивания ран идут постоянно, но при отсутствии внешних воздействий эти про­
цессы находятся в равновесии. Внешнее нагружение может нарушить это рав­
новесие и привести к макроразрушению за конечный промежуток времени.
Следует различать разрушение материалов и разрушение конструкций. В
общем случае под разрушением конструкций будем понимать ее переход в та­
кое состояние, когда она перестает выполнять свое функциональное назна­
чение. Отсюда следует, что признаков разрушения конструкций может быть
достаточно много.
Тело считают механически однородным, если его механические свойства не
зависят от координат выбора точки тела. Квазиоднородное тело не является од87
неродным, но в его расчетной модели можно использовать эффективные меха­
нические характеристики (усредненные меры жесткости, прочности и т.д.). К
таким материалам относятся, например, армированные определенным образом
тонкими нитями композиты. Тело называют изотропным в точке, если механи­
ческие свойства не зависят от выбора направления, исходящего из этой точки.
Если механические свойства зависят от направления, то тела называют анизо­
тропными, а в частном случае - ортотропными, если в точке есть взаимно орто­
гональные плоскости, относительно которых механические свойства симмет­
ричны.
В подавляющем больщинстве конструкций реализуется сложное напря­
женное состояние, которое в каждой точке характеризуется тремя главными
напряжениями; сть аг, сгз. Необходимо определить, при каком сочетании этих
напряжений произойдет разрущение. Полного рещения этой задачи пока не
имеется. Одной из причин такого положения является то, что в реальных ус­
ловиях возможно выполнение преимущественно лишь экспериментов на рас­
тяжение-сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. На базе этих данных нужно суметь
построить критерий прочности для сложного напряженного состояния. Ре­
шению этой задачи помогают гипотезы прочности, подлежащие последующей
экспериментальной проверке, после чего появляется возможность
сформу­
лировать соответствующие критерии прочности. Ввиду сложности задачи и
большого разнообразия, как свойств материалов, так и условий эксплуатации
изделий, этих критериев выработано много. Применение этих критериев долж­
но соответствовать их назначению и границам достоверности. Обзор литерату­
ры по критериям прочности (встречаются также названия: критерии разруше­
ния, условия пластичности, условия достижения предельного состояния) можно
найти, например, в работах А.К. Малмейстера, В.П. Тамужа, Г.А. Тетерса [1],
И.И. Гольденблата, В.А. Копнова [2], В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З.
Партона [1]. Рассмотрим некоторые из известных критериев прочности.
В основе критерия прочности по наибольшим нормальным напряжениям
лежит постулат о том, что, независимо от вида напряженного состояния раз88
рушение материала происходит тогда, когда нормальные напряжения в какомлибо направлении достигают критического для данного материала значения.
Последнее устанавливается путем испытания образцов из данного материала
при простом растяжении и сжатии. Опытная проверка показала, что эта теория
удовлетворительно описывает разрушение лишь очень хрупких материалов при
их растяжении и при условии, что в структуре материала нет явно выраженных
дефектов типа трещин. Применительно к материалам, переходящим перед раз­
рушением в макро- и микропластическое состояние, эта теория оказывается не­
состоятельной.
Критерий прочности по наибольшим главным удлинениям предполагает,
что прочность в исследуемой точке будет нарушена, если максимальные ли­
нейные деформации достигнут своего опасного предельного значения. Эта тео­
рия удовлетворительно согласуется с данными экспериментов и практики лишь
для материалов хрупких или находящихся в хрупком состоянии в тех случаях,
когда все главные напряжения отрицательны. В настоящее время эта теория
прочности в практических расчетах почти не применяется.
Согласно критерию прочности по наибольшим касательным напряжениям
предельное состояние наступает тогда, когда наибольшее касательное
на­
пряжение достигает критического значения. Она дает удовлетворительные ре­
зультаты для пластических материалов, одинаково хорошо сопротивляющихся
растяжению и сжатию. При определении начала пластического течения метал­
лов этот критерий представляет собой условие текучести Г. Треска.
Энергетический критерий прочности основан на гипотезе, предполагающей,
что разрушение материала происходит в точке, в которой энергия деформации
достигла некоторого опасного для данного материала значения;
иг=и'1
(1.1.1)
Здесь иг - удельная потенциальная энергия формоизменения:
89
1 + ^ Г 2 , 2 , 2 /
ЗЕ
,
,
л , о/_2 , _2
, _2
^ '
о
1/^ - опасное значение этой энергии, может быть определено из простых экспе­
риментов. Например, для линейного напряженного состояния тела без макро­
трещины
Му-=—(То.
(1.1.3)
Здесь Со ^ Су (предел текучести) - при пластическом, ао = сги (предел прочно­
сти) - при хрупком разрущениях.
Подстановка (1.1.2.), (1.1.3) в (1.1.1) дает уравнение предельной поверх­
ности в пространстве напряжений:
ст1+сг1+ а] -(а^сту
+ (Т^а, +сг^а^)
+ 3{т^ + т], +т1^) = (т1.
(1.1.4)
При пластическом разрущении материала (11.4) выражает условие пластич­
ности Р. Мизеса. Интересно отметить, что оно следует из рассмотрения пре­
дельных упругих деформаций.
Энергетический критерий прочности получил щирокое распространение для
описания условий перехода различных материалов в пластическое состояние.
Появление в последнее время новых материалов, в частности композитов, а
также недостатки рассмотренных выще классических теорий прочности по­
служили импульсом для разработки новых и обобщения указанных выше кри­
териев прочности. В общем случае принимают, что разрушение происходит то­
гда, когда определенная комбинация, включающая в себя напряжения, дефор­
мации, температуру, время и некоторые другие параметры (характеризующие
состояния материала и его конкретные свойства), достигает критического зна­
чения. Таким образом, в пространстве всех возможных значений указанных па­
раметров существует замкнутая предельная поверхность, описывающаяся соот­
ношением
90
Ф(а,^,^,^,Г,^,С„,...) = 0
(1.1.5)
« = 1,2,...),
где Сп - параметры, характеризуюгцие свойства макрообъемов реального тела
(определяются экспериментально), которая ограничивает область допустимых
(с точки зрения прочности) состояний материала. Критерии кратковременной
прочности не должны содержать время в качестве аргумента, за исключением
тех случаев, когда речь идет о быстрых нагружениях с учетом скорости нагружений и т.п.
Обычно окончательному разрушению материала, т.е. разделению его на
части, предшествует глубокие изменения в его структуре на макро-, микро- и
субмикроуровнях. Накопление этих необратимых изменений на различных ста­
диях деформирования можно интегрально отразить, если в уравнение пре­
дельной поверхности ввести параметры, зависящие от числа циклов нагружений или времени и характеризующие степень поврежденности материала. В
этом случае при помощи критерия (1.1.5) можно описать любое промежуточное
состояние материала от начала появления пластических деформаций до полно­
го разрушения и таким образом определить работоспособность конструкции на
разных стадиях наработки.
При записи новых условий вида (1.1.5) необходимо стремиться, с одной
стороны, к их универсальности, а с другой стороны, - чтобы они содержали
только минимально необходимое число независимых параметров С ь Сг, Сз
так как увеличение числа параметров С„ связано с увеличением объема экспе­
риментальных исследований.
Обобщив результаты аппроксимаций экспериментальных исследований для
ортотропных материалов, К.В. Захаров в [1] предложил следующее уравнение
поверхности прочности в пространстве главных напряжений:
(1.1.6)
+ 2а,^а,а^
+ 2 а „ с г , + 2а^^(т., + 2а^^<у^
=0.
91
Дальнейшее развитие это условие получило в работах И.И. Гольденблата и В.А.
Копнова [1], А.К. Малмейстера [1], в котором уравнение поверхности прочно­
сти предлагается записать в следующем виде:
Здесь Paß, Paßys, • • • " тснзоры второго, чствсртого и более высоких рангов, оп­
ределяющие поверхность прочности в шестимерном пространстве напряжений.
Их называют тензорами поверхности прочности. И.И. Гольденблат, В.Л. Бажанов, В.А. Копнов в работе [1] отмечают, что для геометрического
пред­
ставления предельной поверхности анизотропного материала следует ввести
особое пространство и систему координат в нем, на одних осях которой долж­
ны быть отложены компоненты тензора напряжений Gaß, на других осях - ком­
поненты тензоров прочности Paß, Paßys,
•• И др. В таком обобщенном про­
странстве предельная поверхность анизотропного материала оставалась бы не­
изменной при любых преобразованиях координат в физическом пространстве.
Обычно практикуемое задание предельной поверхности анизотропного ма­
териала в пространстве тензора напряжений фактически эквивалентно заданию
только пересечения подлинной предельной поверхности анизотропного мате­
риала в упомянутом обобщенном пространстве с поверхностью в этом про­
странстве, олицетворяющей собой пространство напряжений при определенном
фиксированном положении системы координат в физическом пространстве.
Ясно, что по этому пересечению нельзя судить о свойствах подлинной пре­
дельной поверхности анизотропного материала в целом.
Количество слагаемых в (1.1.7) выбирается наименьшим при условии опи­
сания экспериментальных данных с необходимой точностью. Наличие того или
иного вида симметрии свойств анизотропного материала приводит к опреде­
ленным зависимостям между компонентами тензоров Paß, PaßyS,
выявление
всей совокупности этих зависимостей не во всех случаях является тривиально
92
простой задачей. Как отмечают П.А. Зиновьев, C . B . Цветков в работе [1], если
(1.1.7) представить в виде
4 ^ + 4 M + 4 . . W . + - - b
(1.1.8)
где Ii (i = 1 , л ) - инварианты тензора сгц, образующие функциональный базис, то
условия симметрии, накладываемые на константы, удовлетворяются
авто­
матически. Величины Ai, Ац^ ... в отличие от paß, PaßyS, ••• не меняются при из­
менении осей координат. По мнению П.А. Зиновьева, С В . Цветкова [1], не воз­
никает существенных математических трудностей при использовании инва­
риантно-полиномиальной формулировки критерия прочности любого порядка и
для материалов любого класса симметрии структуры.
В приложениях наиболее часто используют квадратичный вариант (1.1.7):
Paß^aß + Paßyö^aß^YÖ = 1 •
(1 • 1 -9)
При рещении практических задач расчета на прочность элементов конст­
рукций все необходимые соотношения, в том числе и критерии прочности, как
правило, записывают с использованием понятий обобщенных сил и обобщен­
ных координат. В книге H . H . Бухгольца [2] обобщенные силы Qi определены
как коэффициенты при вариациях обобщенных координат qi в выражении эле­
ментарной работы S A действующих на систему сил:
ÖA-Qidq,.
(1.1.10)
Размерности входящих в правую часть формулы (1.1.10) величин устанавли­
вается из соотношения [А] = [Q] [q]. Элементарная работа может быть отнесена
к единицам объема, поверхности, длины элемента конструкции, к единице вре­
мени. В научной литературе встречаются понятия: обобщенные деформации,
обобщенные напряжения. При этом имеют в виду только те величины, которые
учитываются при вычислении элементарной работы 5А. Следует отметить, что
основная цель введения понятий обобщенных сил, обобщенных перемещений 93
это уменьшение размерности пространства переменных, где ищется решение
задачи.
1.2.
Критерии прочности при многоцикловом
нагружении
1.2.1. Определения и обозначения
Многоцикловая усталость - процесс постепенного накопления повреждений
в материале в виде микро- и макротрещин, приводящих к разрушению под дей­
ствием переменных напряжений, не превышающих предела упругости. Регу­
лярным называют нагружение, характеризующееся периодическим законом из­
менения нагрузок с одним максимумом и одним минимумом в течение одного
периода при постоянстве параметров цикла напряжений в течение всего време­
ни испытаний или эксплуатации. Все виды нагружении, не удовлетворяющие
этому определению, называют нерегулярными. Между характеристиками цик­
лов напряжений существуют следующие зависимости:
2
Здесь Стах,
'
2
'
(1.2.1)
с^тт " максимальнос и минимальное напряжения цикла соответ­
ственно, <5а - амплитуда напряжений, Стт - среднее напряжение цикла,
- ко­
эффициент асимметрии, а - показатель асимметрии цикла.
Основным, базисным документом, дающим представление о сопротивлении
усталостному разрушению исследуемого материала в изделии или образце,
служит диаграмма усталости (или кривая Веллера). Диаграмму усталости чаще
всего строят в координатах а — lgN. На рисунке 1.2.1.1 изображена схематиче­
ская диаграмма Веллера;
- число циклов до разрушения для фиксированных
характеристик а* цикла (база испытаний или долговечность).
94
Для представления и обобщения данных о влиянии асимметрии нагружения
на усталостную долговечность используют диаграмму предельных амплитуд
цию1а
(диаграмма Гудмена - Хея), которая представляет собой кривую равной
долговечности в осях Ощ — ад. Схематическая диаграмма Гудмена - Хея пока­
зана на рис. 1.2Л.2 (сплощная линия).
1.2.2.
Некоторые традиционные критерии
прочности при многоцикловом нагружении
к настоящему времени наиболее полно исследована проблема циклической
усталости металлов и сплавов. Для многих сталей существует предел выносли­
вости, который определяется как максимальное по модулю напряжение цикла,
при действии которого не происходит усталостного разрушения. Для сталей
предложены различные условия достижения предельного состояния. Например,
в книге В.П. Когаева [1] для случая плоского напряженного состояния, когда
нормальные напряжения а и касательные напряжения т изменяются синхронно
и синфазно по симметричному циклу, приведены следующие критерии прочно­
сти:
2
-1
а
+
-1
+
г
а
(Г2.2.1)
= 1:
2 - ^
а
-1
+
= Г
(Г2.2.2)
-1 У
Здесь с_1 , х_1 - пределы выносливости материала при симметричных циклах
растяжения - сжатия и сдвига соответственно.
При асимметричных циклах синхронного и синфазного изменения а и т ус­
ловия
достижения
предельного
состояния
записывают,
обобщая
(Г2.2.1),
(Г2.2.2):
95
i
+
аэ
-1
+
аэ
^-1
Здесь
СТаэ = <Уа+
(1.2.2.3)
= 1;
Ц^а^Ут, Т^аэ = Та + у/тТ т, Щ<у,
2 - ^-1 +
1 У
- аэ
(1.2.2.4)
= 1.
" КОЭффиЦИСНТЫ, ХараКТСрИЗуЮ-
щие влияние среднего напряжения цикла на предельную амплитуду.
В общем случае трехосного напряженного состояния при синхронном и
синфазном изменение главных напряжений по асимметричным циклам условие
предельного состояния по четвертой теории прочности С В . Серенсен [1] пред­
ложил записать в следующем виде:
{(^1аэ-(^2аэУ
Здесь
(71аэ = СЛа + ЩаС^т, /
+(^2аэ-(^ЗаэУ
+{<^Заэ-СГ1аэУ
=
-\-
(1-2.2.5)
=1,3.
Для большинства сплавов цветных металлов предел выносливости не оп­
ределяется. В тех случаях, когда предел выносливости отсутствует, уравнения
(1.2.2.1 - 1.2.2.5) характеризует сопротивление усталости для определенной ба­
зы М».
1.2.3.
Новый критерий прочности при много­
цикловом нагружении
Как видно, в частности, из (1.2.2.5), имеет место тенденция записи крите­
риев прочности при многоцикловом нагружении по аналогии с критериями
прочности при статическом нагружении, заменив в них соответствующим обра­
зом параметры напряженного состояния. На наш взгляд, более логичным явля­
ется следующий
способ
формирования
критериев
прочности
при много­
цикловом нагружении. Рассмотрим предлагаемый способ на примере записи
критерия прочности для ортотропного материала.
96
Пусть оси системы Охуг параллельны осям ортотропии материала. Мак­
симальные и минимальные значения компонент тензора циклических напря­
жений определяются формулой
^1к
/А- ,
ik
^п,а.х = С Г « , ± 0 - а •
(1.2.3.1)
Здесь 1, к = X , у, г.
Полагаем, что до разрушения (материала, конструкции) напряжения пре­
терпевают целое число циклов изменения, поэтому дополнение диаграммы
Гудмена - Хея симметричной ей относительно оси
частью (штриховая ли­
ния на рис. 1.2.1.2) формально не вносит дополнительной информации, но по­
зволяет получить замкнутую предельную кривую в плоскостиСтщ,стд. Обобщаем
эту предельную кривую на случай сложного напряженного состояния. Считаем,
что полученная таким образом предельная поверхность (аппроксимирующая
экспериментальные результаты) в пространстве параметров а'^,
сг'^ может
быть описана уравнением вида (1.1.7).
Введем следующие обозначения:
= ^У7;
^ 5 ='Txz'^^6
(1.2.3.2)
= ^ху-
Тогда для ортотропного материала в системе Охуг критерий прочности для
случая циклического нагружения можно записать в виде
{а^Аа
+
2В'^а1.+ {а^Аа\^\.
(1.2.3.3)
Здесь
«и
А=
«12
«13
0
0
0
Ь2'
^1
«22
«23
0
0
0
Ь2
(^2
«32
«33
0
0
0
¿3
0
с^з
;
в =
0
0
0
«44
0
0
0
0
0
0
^55
0
0
0
0
0
0
0
«66 _
0
; (1.2.3.4)
о"б
97
индекс Т означает транспонирование, индексом т отмечены средние напря­
жения цикла и коэффициенты при них, индексом а - амплитуды переменных
частей компонент тензора напряжений и коэффициенты при них. Следует от­
метить, что элементы матрицы Л , являются функциями числа циклов до раз­
рушения N . Элементы симметрической матрицы А и вектора В подлежат экс­
периментальному определению, причем элементы матрицы Ащ могут быть оп­
ределены по результатам кратковременных статических испытаний, элементы
матрицы Ад - по результатам испытаний на усталость при симметричных цик­
лах напряжений.
Для нахождения девяти неизвестных компонент элементов матрицы А,^ (с
учетом ее симметрии) и трех элементов вектора
достаточно иметь данные
экспериментов при двенадцати различных путях нагружения. В работе А.К.
Малмейстера, В.П. Тамужа, Г.А. Тетерса [1] предложено использовать так на­
зываемые характерные пути нагружения. В идеальном варианте эти пути долж­
ны привести к характерным точкам поверхности прочности (например, если по­
верхность прочности имеет форму эллипсоида, то его вершины входят в число
характерных точек). На практике, с целью более точной аппроксимации по­
верхности прочности, приходиться проводит дополнительные исследования.
Например, в работе Э. Ву [1] предложена методика оптимального выбора от­
ношения напряжений при комбинированном нагружении, используемом для
определения ¿/12.
Пусть <у"1 - прочность материала при растяжении напряжениями а,, а"!^прочность при сжатии в том же направлении {\ = 1,3), сгд" - прочность при дей­
ствии только напряжений сдвига
(к = 4,6). Еше три экспериментальные точ­
ки, лежащие на поверхности прочности, могут быть найдены, например, путем
нагружения вдоль лучей
01 = 1102, 02=1203,
а з = 1 з а | . Координаты этих предель­
ных точек в пространстве напряжений;
(/,а2",а2",0,0,0,0);
(О, ^^^3", 0-3", О, О, 0);
« ,
О,/30",", О, О, 0)
98
Подставляя координаты вынлеуказанных предельных точек в уравнение
Ф„,^{а''Аа
+ 2В^а)„,
=1,
(1.2.3.5)
получим систему из двенадцати линейных алгебраических уравнений отно­
сительно неизвестных коэффициентов этого уравнения. Решая эту систему,
можно получить следующие формулы:
а „ = - 1 / ( « ) ,
«..-l/№^
1
¿ , = « + 0 / ( 2 « ) ,
к = 47б' Ь. , ^
/ = 1:3;
(1.2.3.6)
, «,Д, ,
'
йГ.. =
в эти формулы сжимающие напряжения а,
необходимо подставлять со зна­
ком "минус".
В работе Е.В. Мешкова, В.И. Кулика, З.Т. Упитиса, Р.Б. Рикардса [1] от­
мечено, что в настоящее время для нахождения коэффициентов в критерии раз­
рушения практическое развитие получили два подхода. В первом случае для
построения поверхности прочности в рамках принятой математической модели
используют данные минимально необходимого количества независимых экспе­
риментов. Второй подход базируются на применении данных большего количе­
ства экспериментов, большего числа путей нагружения, чем это минимально
необходимо, обрабатываемые таким образом, чтобы их отклонение от ап­
проксимирующей поверхности
прочности было минимальным. При этом
обычно используют метод наименьших квадратов. В ряде практически важных
случаев первый подход дает неудовлетворительные результаты. Одна из при­
чин этого - относительно большой разброс экспериментальных значений проч­
ности, поэтому требование о необходимости строгого прохождения поверхно­
сти прочности через экспериментальные точки не всегда оправданно. Другая
причина заключается в трудности надежного определения коэффициентов ац,
«23, й'з!, что обусловлено их высокой чувствительностью к используемым при
99
этом путям нагружения материала, особенно сильно проявляющейся для мате­
риалов с большой анизотропией прочности. Второй подход связан с увеличени­
ем трудоемкости экспериментальной работы и необходимости использования
ЭВМ. Как показали Е.В. Мешков, В.И. Кулик, З.Т. Упитис, Р.Б. Рикардс в [1] на
примере плоского напряженного состояния, вполне удовлетворительных ре­
зультатов можно добиться, используя второй подход только для определения
наиболее "капризного" коэффициента ЙГ^, а остальные коэффициенты найти,
используя первый подход. При этом по сравнению с использованием второго
подхода в полном объеме, существенно уменьшается трудоемкость экспери­
ментальной работы. По-видимому, и в случае объемного напряженного состоя­
ния для определения коэффициентов 012,
¿/23, «31 уравнения (1.2.3.5) целесооб­
разно использовать второй подход, а остальные элементы матрицы Ащ и эле­
менты вектора В^, найти, оставаясь в рамках первого подхода.
Чтобы найти элементы матрицы А^ в уравнении (1.2.3.3) как функции числа
циклов N до разрушения, необходимо на основе экспериментальных результа­
тов построить соответствующие кривые Веллера. Для построения каждой от­
дельной кривой Веллера нужно, сохраняя постоянным направление "вектора" с
компонентами а'^, изменять только его длину и определять соответствующие
значения долговечности N . При этом по аналогии с понятиями характерных пу­
тей нагружения и характерных статических прочностей полезно ввести понятия
характерных направлений для "вектора" с компонентами
сг^ и характерных
кривых усталости. Минимально необходимое число таких кривых равно девяти
(по числу независимых компонент матрицы Аа). С целью уменьшения объема
экспериментальной работы, необходимой для определения элементов матрицы
Ад, можно воспользоваться выводами, сделанными П.П. Олдыревым в работе
[1], из которых следует, что устойчивая корреляция между а.] и
(а.1 - ус­
талостная прочность при долговечности Ы, соответствующая симметричным
циклам, а^,^!,, - меньший из пределов пропорциональности при статическом
100
растяжении и сжатии вдоль одного и того же направления) не зависит от на­
правления вырезки образцов для данного анизотропного материала.
Дадим некоторые пояснения относительно структуры уравнения (1.2.3.3). В
нем слагаемые, линейные относительно Gxy, Oyz, cr^x отсутствуют потому, что оси
X, у, Z являются осями ортотропии материала. Члены с первыми степенями
сг'^,a^J,
<7'~^ не могут присутствовать, так как в случае симметричных циклов
напряжений центр симметрии соответствующего сечения поверхности (1.2.3.3)
должен совпасть с началом координат. Слагаемые с произведениями
сутствуют потому, что сечения поверхности (1.2.3.3) плоскостями
<У',^,(7'^
от­
а'^^Осу'^
должны быть симметричными относительно осей сг',"^ (по аналогии с изобра­
женной на рис. 1.2.1.2 предельной кривой).
Уравнение (1.2.3.3) описывает предельную поверхность для ортотропного
материала в пространстве параметров а'^^ _ а'^ (i, к = х, у, z). Компоненты тен­
зора напряжений могут изменяться как синхронно и синфазно, так и синхронно
и антифазно (когда сдвиг фаз равняется 180"). Уравнение (1.2.3.3) может быть
обобщено по аналогии с уравнением (1.1.7) на общий случай анизотропного те­
ла при объемном напряженном состоянии (это будет уравнением поверхности
прочности в двенадцатимерном пространстве переменных сг^^, ст^^). Отдельные
сечения поверхности прочности (1.2.3.3) дают поверхность прочности для слу­
чая кратковременного статического нагружения {а'^ =0); поверхности прочно­
сти для различных симметричных циклов напряжений (а'^
= 0); поверхности
прочности для различных асимметричных циклов напряжений (сг,','| = const Ф 0);
диаграммы Гудмена - Хея. Через функции a'{,(N) уравнение (1.2.3.3) содержит
в себе и информацию о кривых Веллера.
В связи с изложенным выше обоснованием структуры уравнения (1.2.3.3)
поверхности прочности при многоцикловом нагружении, можно высказать не­
которые замечания в отношении традиционных критериев прочности (1.2.2.3),
10!
(1.2.2.4) и (1.2.2.5). Эти уравнения содержат слагаемые с произведениями
ТаГт,
а уравнения (1.2.2.4), кроме этого, - и линейный относительно
сга
ОаОт,
член. В
уравнениях поверхностей прочности для случаев многоциклового нагружения
такого вида слагаемые должны отсутствовать.
1.3.
Критерии начала распространения мак­
ротрещин в изотропных телах при слож­
ных напряженных состояниях
1.3.1. Некоторые определения и формулы
Рассмотрим макротрещину в деформируемом однородном изотропном теле
(рис. 1.3.1.1). Предположим, что при нагружении не происходит смыкания бе­
регов трещины, а при определении напряженно-деформированного состояния
на достаточно малом (по сравнению с размерами трещины) удалении от конту­
ра трещины компоненты напряжений определяются следующими известными
соотношениями (их можно найти, например, в книге М.П. Саврука [2]):
cJ,={f,K,+f,K,,)l4~r<J.={f,K,+f,K,,)-2v/^;
(1.3.1.1)
Здесь
f\ = ^ c o s - - ( l - s m - s m — ) ;
л/2л2
2
2
^ =-
./з = - r = c o s —(1+ s ш - s m — ) ;
'42K
2
2
2
/4 = — = c o s — s ш - c o s — ;
л/2л2
2
2
г
\
9
^
\
^2л
зш - ( 2 + cos - c o s ) ;
2
2
2
(1.3.1.2)
. 9
Формулы (1.3.1.1) получены в результате решения задачи теории упругости
асимптотическим методом, когда на берегах трещины отсутствуют напряжения.
102
Они справедливы только для достаточно малых значений полярного радиуса г
(рис. 1.3.1.1).
В случае плоской задачи теории упругости для компонент тензора напря­
жений в полярной системе координат (г, 6 ) имеют место следующие формулы
(М.П. Саврук [2]):
1
,
т, в
.6
(7^ =-^==(^^1 С05 —-ЗАГц 8Ш —С08 —);
41кг
2
1
{К. С05 - (2 - С05^ - ) + .^тт 51п - (1 - 3 8 т ^ - )
2^
2
"
2
2
л/2лг V I
1
сг, =
у{<У0 + (У^) -
(1.3.1.3)
26 . 9
^
• 2 9.
С08 — 5Ш — + А ц С05 — ( 1 - З З Ш —)
для плоской деформации; сг^ = О - для обобщенного плос­
кого напряженного состояния.
В (1.3.1.1), (1.3.1.3) К^, АГ„, K^^^- коэффициенты интенсивности напряжений
(КИН), которые служат мерой сингулярности напряжений около верщины тре­
щины и являются функциями приложенных нагрузок, геометрий тела и трещи­
ны, независящими от координат точки вблизи конца разреза. Они являются ба­
зовыми характеристиками напряженно-деформированного состояния материала
в окрестности верщины трещины и имеют исключительно важное значение в
механике разрущения.
На рисунке (1.3.1.1) изображена окрестность верщины трещины, указаны
принятые системы координат (ось 2 ортогональна плоскости рисунка, Охух
-
правая система), показаны различные области напряженно-деформированного
состояния. Для реальных материалов в области 1 у кончика трещины всегда
имеют место пластические деформации (на рисунке 1.3.1.1 изображен схема­
тический график эквивалентных напряжений а, перед фронтом трещины). Для
области 2 справедливо решение (1.3.1.1) задачи методами теории упругости с
учетом концентрации напряжений, обусловленной наличием макротрещины.
103
Область 3 достаточно удалена от вершины трешины, в ней отсутствует концен­
трация напряжений, обусловленная макротрещиной.
Если в критическом состоянии трещины, когда она имеет возможность
дальнейшего распространения, размеры области 1 малы, то разрущение на­
зывают квазихрупким (см. книгу В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1]).
Предельно равновесное состояние тела с трещиной определяется на основе
критериального уравнения
Ф(К„К,„К,п,С,)
=0
Г'=12,3,...Л
(L3.1.4)
включающего коэффициенты интенсивности напряжений К,
(i = I, II, III), их
критические значения К,с, а также и другие параметры тела. Соотношение
(1.3.1.4) описывает в координатах {К,, Кj,, Кц,) некую предельную для данного
материала поверхность, при достижении которой трещина переходит из устой­
чивого в неустойчивое состояние (начинает распространяться). Каждый крите­
рий достижения предельного состояния, подобно классическим
прочности,
базируется
на
заданной
характеристике
гипотезам
напряженно-
деформированного состояния материала у фронта трещины и заключается в
следующем утверждении. Разрушение начнется в направлении, в котором эта
величина экстремальна и когда экстремум достигнет некоторого критического
значения, определяемого на основании простого опыта. Характеристиками мо­
гут быть компоненты напряжений (силовые критерии), деформация (деформа­
ционные) или потенциальная энергия деформации (энергетические). В.В. Панасюк, А.Е. Андрейкив, В.З. Партон в [I] отмечают, что все критерии условно де­
лятся на простые и сложные. К первым относятся те, которые учитывают толь­
ко сингулярную составляющую напряжений и, следовательно, записываются
посредством КИП или выражаемых через них величин.' Ко вторым - критерии,
полученные в результате так или иначе уточненного анализа напряженного со­
стояния у вершины трещины, в том числе те, которые учитывают регулярную
составляющую напряжений.
104
1.3.2.
Развитие концепции Си в механике раз­
рушения
Следует отметить, что критериев начала разрушения для тел, имеющих
макротрещины, довольно много. Обзор таких критериев можно найти, в ча­
стности, в книге В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1]. Много­
численность критериев разрушения является следствием того, что в настоящее
время отсутствует достаточно общий критерий разрушения. Как отмечают В.В.
Панасюк, А.Е. Андрейкив, В.З. Партон в [1], наиболее широко распространен
предложенный О.С. 81Ь [1] 8 - критерий, постулирующий рост трещины в на­
правлении минимальной интенсивности энергии деформации. Однако не всегда
результаты расчетов, полученные с использованием критерия Си, совпадают с
соответствующими результатами экспериментальных исследований (см., на­
пример, книгу т . Фудзии, М. Дзако [1]). Следуя концепции О.С. 8Ш, ниже по­
лучен новый критерий начала развития макротрещины. В условии достижения
предельного состояния тела с макротрещиной осуществлен рациональный пе­
реход с пространства напряжений ац в пространство коэффициентов интенсив­
ности напряжений
Кц, Кщ.
Полученный критерий разрушения позволяет
определить границу зоны деструкции материала и упругой области в окрестно­
сти вершины трещины. Из него следуют критерии разрушения для всех част­
ных случаев разрушения. Рассматриваются различные аппроксимации полу­
ченной поверхности разрушения в пространстве КИП. Проведен анализ полу­
ченных соотношений.
Примем, что трещина начнет расти тогда, когда область 1 (рис. Е З . Е 1 ) дос­
тигнет своих предельных размеров во всех направлениях от вершины трещины,
а на границе области 1 и упругой области 2 при этом будет выполняться усло­
вие
у = Мо-
(1.3.2.1)
Здесь
105
и = ^[а]
+ а] + а1 -Ъ{су^а^
+ су^,а^ + а . а ^ + 2(1 + у ) ( г ^ + < + 4)]
- удельная потенциальная энергия упругой деформации, щчение этой энергии. Примем, что
(1 -3.2.2)
предельное зна­
является характеристикой материала, не
зависящей от вида напряженного состояния; тогда она может быть определена
из простых экспериментов. Например, при линейном напряженном состоянии
тела без трещины
(1.3.2.3)
2Е
где ао - предельное значение нормальных напряжений, Е - модуль Юнга; V коэффициент Пуассона.
Подставив (1.3.1.1) в (1.3.2.2), получим:
(1.3.2.4)
2яЕг
Здесь
= С05
—
1 -
V -
2У^
+ (1 + К ) 5 1 П ^ —
2
2
а^2 =0,55Ш6'2У^ + V - 1 + (1 + у)со5б'
ЙГ
22
=
1
+ V/ +
5Ш —
2 1-К-2У^
- 3(1 + ^) С08
(1.3.2.5)
в
= 1 + V.
Если имеет место плоское напряженное состояние (аг = 0), то в формулах
(1.3.2.5) слагаемые, содержащие в качестве множителя квадрат коэффициента
Пуассона у"^, следует приравнять нулю.
В предельном состоянии тела с трещиной на границе областей 1 и 2 (рис.
1.3.1.1) должно выполняться следующее условие:
1п Е г
( « 1 1 ^ ? +2«12^1^11 + « 2 2 ^ 1 1 + « З З ^ П 1 ]
(1.3.2.6)
106
Здесь Гс - критическое значение полярного радиуса границы области 1.
Случай, когда только один из Kj, K,j,
отличен от нуля, условно назовем
простым деформированием трещины, а разрущение в этом случае - простым
разрущением; в противном случае деформирование трещины и разрушение на­
зовем сложными.
Используя (1.3.2.1), (1.3.2.3), (1.3.2.4) для простых случаев, можно записать
следующие равенства:
^и^^а^Хь^Ъ&^^^а].
(1.3.2.7)
Если в (1.3.2.7) принять K i = Kjc (i = 1, II, III), где Kjc - характеристики трещиностойкости материала, то в этих равенствах необходимо положить г\ = г,с.
Здесь х\ - полярные радиусы границ упругопластичных областей 1 у вершин
трещин при простых деформированиях , Tic - предельные значения этих вели­
чин.
Разделим обе части уравнения (1.3.2.6) на uo; при этом учтем равенства
(1.3.2.7), записанные для простых разрушений. Получим:
' l , .
+
^
S
Ä
-
V
;
^
+|
f
=
(13.2.8)
Равенство (1.3.2.8) является критерием разрушения, основанным на кри­
тическом значении удельной потенциальной энергии упругой деформации.
Чтобы как-то различать критерий (1.3.2.8) от других аналогичных критериев
(таких, как 8 - критерий Си, 8(1 - критерий), назовем его 8е - критерием. От­
метим, что из (1.3.2.8) следуют критерии разрушения для всех видов простых
деформаций трещины, как частные случаи.
Если в (1.3.2.6) По определить по формуле
»о = " - ; - ^ - ' ^ ^ - - ,
(1.3.2.9)
2лЪг1^
1Ü7
коэффициенты а ц , ап, сщ, а^з определять согласно (1.3.2.5), использовать ра­
венства
fc=flc=fuc
(1.3.2.10)
= fшc^
угол 0 положить равным углу Ос, где угол Ос определяет направление возмож­
ного роста трещины, и положить А'щ = О, то получим критерий разрущения Си,
приведенный в книгах В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона
[1],Т.
Фудзии, М. Дзако [1] как критерий Си для плоского напряженного состояния.
Пусть нагружение является пропорциональным одному параметру р:
К, = Ь,р; К,
= Ь,р:
К,,
= Ь,,р.
(1.3.2.11)
Здесь Ьь Ьп, Ьш - коэффициенты, зависящие от геометрий тела и трещины, от
конфигурации внещней нагрузки. Подставив (1.3.2.11) в (1.3.2.8), получим
уравнение для определения предельного значения рс внещней нагрузки. Это
уравнение в общем случае содержит две неизвестные величины: рс и Гс. Сле­
довательно, для рещения задачи о предельном состоянии тела с макротрещиной
необходимо записать, кроме (1.3.2.8), по крайней мере, еще одно допол­
нительное уравнение.
Необходимое дополнительное уравнение можно получить, использовав ра­
венства (1.3.2.10) в точном уравнении (1.3.2.8) предельной поверхности. Таким
образом, получим:
^ +
Предельная поверхность (1.3.2.12) получается
(1.3.2.12)
из предельной
поверхности
(1.3.2.8) путем "растяжения " ее вдоль осей 0 К 1 (1 = 1, II, 111) в ф\^г~
раз. Оси
ОА'^, являются главными осями поверхностей (1.3.2.8) и (1.3.2.12). Наклон дру­
гих главных осей поверхности (1.3.2.8) относительно оси О К 1 определяется
формулой
108
(1.3.2.13)
tg2a =
a поверхности (1.3.2.12) - формулой
2AI[K,,K,,,)
1 / ~
Здесь A=ai2/4>CTj 16/22 . Как видно,
(1.3.2.14)
1/^\\c
tg
2ai
= kitg
2a, где
(1.3.2.15)
Таким образом, поверхность (1.3.2.12), которую можно рассматривать как
аппроксимирующую точную предельную поверхность (1.3.2.8), в общем случае
существенно может отличаться от нее. Отметим, что равенства (1.3.2.10) про­
тиворечат равенствам (1.3.2.7), записанным для простых разрущений и являю­
щимися соотнощениями
механики
разрушения.
Тем не менее,
равенства
(1.3.2.10) в неявном виде присутствуют при выводе известных критериев раз­
рушения (S - критерия Си, Sd - критерия и др., см., например, книгу В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1]).
С использованием соотношений (1.3.2.12), (1.3.2.11), (1.3.2.8), можно оп­
ределить оценку Pel предельной нагрузки. При этом уравнение (1.3.2.12) сле­
дует записать для критического направления с полярным углом О = Ос (в этом
направлении возможен рост трещины).
Отметим, что чем ближе разрущение по своему характеру к простому, тем
точнее осуществляется аппроксимация предельной поверхности, описываемой
уравнением (1.3.2.8), вышеизложенным способом. Для улучшения аппроксима­
ции уравнения (1.3.2.8) в тех случаях, когда два или все три К^, АГ„, А'щ вносят
существенный вклад в процесс разрушения, можно взять аппроксимирующую
поверхность согласно следующему уравнению:
109
г/- 2 т
2
т/' tyi т/' in
-4- +2 ^ - ^ ^ +^
^
1С
J^Ic^Hc
^
2
т
+^
Пс
= 1.
(1.3.2.16)
^1Пс
Здесь О < m < со. Если по характеру решаемой задачи в (1.3.2.16) могут при­
сутствовать и некоторые отрицательные значения К И Н , то значение m следует
округлять до ближайшего целого числа (не выходя при этом за пределы про­
странства действительных чисел).
Se " критерий (1.3.2.8) дает одно и тоже значение предельной нагрузки рс,
независимо от значения угла 0. А многие известные критерии разрушения (S критерий Си, Sd - критерий и т.д.) записывают для критического направления с
углом 0 = 0с. Здесь имеет место определенная непоследовательность, т.к. для
простых разрушений критерии разрушения не зависят от значения угла 0 ( K i =
Kic - для трешины нормального отрыва, и т.д.). М ы тоже будем записывать
приближенные критерии, аналогичные (1.3.2.16), для критического направле­
ния с углом 0 = 0с.
Если когда-либо, на основе принципов механики деформируемого твердого
тела, удастся установить, независимо, например, от условия (1.3.2.1), функцию
Гс = Гс(0), то необходимость в приближенных соотношениях,
аналогичных
(1.3.2.16), отпадет. Один из возможных вариантов искомой зависимости может
иметь следующий, более конкретный, вид:
fc = fc (Пс nie Ппо bj, bjj, Ь,л, ...).
(1.3.2.17)
Подставив (1.3.2.11) в (1.3.2.16), можно найти следующую формулу для оп­
ределения предельной нагрузки:
О. \\.
+ 2Лс, + с , + с 2 j
Здесь i = i* выбирается из 1, II, III таким образом, чтобы выполнялись условия
С] I < 1, I С2 I < 1 (такой выбор всегда возможен). Если, например, i* = II, то
по
Ci = b i K „ 7 ( b i , K , J , C2 =b„jKi,7(b,iKii,J . Для определенности пусть b, > О (i = I,
II, III). Из (1.3.2.18) видно, что
lim р Д ш ) = 0;
от—>+0
\im p,{m) = ^
ж—>oo
.
(1.3.2.19)
Jj,
i
Далее находим
дт
2т'
'
'
X
' '
X (2Ас"; 1п с, + с ' " 1п с, +
(1.3.2.20)
1п с,)
Отсюда видно, что при выполнении условия
2 Л с ' ; 1 п с , + с ^ ' 1 п с , 1 п с 2 <0
(1.3.2.21)
функция р с ( т ) , определяемая согласно (1.3.2.18), монотонно возрастает во всем
интервале (О, со). Прямая, соответствующая уравнению
Р. = К/Ь;,
(1.3.2.22)
является асимптотой кривой Рс(т), описываемой уравнением (1.3.2.18). Оценку
предельной нагрузки, определяемую соотнощением (1.3.2.22), можно получить
и другим способом. По известным значениям К,с, Ь, (1 = I, II, III) можно устано­
вить, какое из отнощений К, /
имеет большее значение, т.е. является как бы
"ведущим" в процессе разрушения. Пусть это имеет место для i = 1*. Тогда, по­
лагая К* = К*^, придем к результату (1.3.2.22). Следует отметить, что оценка
(1.3.2.22) предельной нагрузки во многих случаях хорошо согласуется с соот­
ветствующими результатами экспериментальных исследований (см., например,
книгу С Е . Ковчика, Е.М. Морозова [3, с.68]).
По известному значению рс, используя уравнение (1.3.2.18), можно опре­
делить параметр т .
111
Предельную нагрузку можно определить как среднее нескольких значений,
найденных по (1.3.2.18) при разных т .
В качестве примера рассмотрим задачу о предельном состоянии прямо­
угольной пластины с центральной наклонной трещиной, находящейся под дей­
ствием равномерно распределенных одноосных растягивающих сил р (рис.
1.3.2.1). Материал пластины - алюминиевый сплав 2024 - Т4 с характе­
ристиками трещиностойкости
= 34,7 М П а л / л / , Кцс = 51,8
МПал/л/ ( С Е .
Ковчик, Е.М. Морозов [3]). Предельное нормальное напряжение сто равно 490
МПа, коэффициент Пуассона V = 0.3. Пусть пластина и трещина имеют сле­
дующие геометрические характеристики: а = 60°; 1 / Ь = 0.6; Ь / Ь = 2; 1 = 6 см.
Для рассматриваемой задачи имеют место следующие формулы (см., например,
справочник под редакцией Ю. Мураками [1]):
К,^Р,р4^1,
К„^Г,рфа.
(1.3.2.23)
в рассматриваемом случае р1 = 0.3332, Рц = 0.5022. Следовательно,
Ь] =
0.1447л/л/,Ьп = 0 . 2 1 8 0 Л .
Рассматриваемую задачу с вышеприведенными исходными данными обо­
значим "пример П 1 " .
Значения полярного угла 0, соответствующие экстремальным значениям
выражения в скобках в правой части формулы (1.3.2.4), в случае плоского на­
пряженного состояния удовлетворяют следующему уравнению
(1 + v)s\n 2в + 2(v - l ) s m ^ + 4[(1 + v)cos26' + (v-\)со5в]п
+
(1.3.2.24)
+ 2{\-у)5т0-3{\
+ у)5т2в]п^
=0.
Здесь п = I Кц I / Кь в рассматриваемом случае п = 1.507 и корнями уравнения
(1.3.2.24) являются:
^,=13.05°;
^2=105.45°; ^ з = - 1 4 9 . 6 5 ° ; 6'^ = - 5 6 . 7 6 ° .
(1.3.2.25)
Выражение, записанное в скобках в правой части формулы для сте из (1.3.1.3),
достигнет своего максимума при О = - 58.53°, что близко к значению 04 из
112
(1.3.2.25). Отсюда делаем вывод, что трещина будет расти в направлении с уг­
лом Эс = 94 = - 56.76°.
Используя значение 9с и формулу (1.3.2.18) при ш = 1, находим оценку пре­
дельной нагрузки Pel = 169.4 МПа; подставив в (1.3.2.22) К*,/Ь* =K¡,^/b,i, по­
лучаем оценку рс2 = 237.6 МПа. Предельная нагрузка, определенная как полу­
сумма
Pel и рс2, равна 203.5 МПа. Отметим, что этому значению предельной
нагрузки согласно уравнению (1.3.2.22) соответствует значение ш, равное 2.15.
Если при выводе критерия Си для плоского напряженного состояния учесть
условие Gz = О, то он имеет следующий вид:
(cos' ^ + ае sin' 6»J^,' + (2ае sin 2в^ - sm /9^, )К, К,, +
2
+ (4сЕ + sin' ^
- Зж s m '
(1.3.2.26)
)K¡ = Kl.
Здесь ж = 0.25(1 + v)/(l - v ) . Согласно (1.3.2.26) для рассматриваемой пластины
значение предельной нагрузки получается равным 126.5 МПа.
Предельная нагрузка для рассматриваемой пластины с трещиной без учета
концентрации напряжений, обусловленной наличием макротрещины, равна 343
МПа.
На рис. 1.3.2.2 приведен график функции Гс(0) согласно уравнению (1.3.2.8)
для значения предельной нагрузки, равного 203.5 МПа. В тех точках, где функ­
ция Гс(0) имеет экстремумы, найдем компоненты тензора напряжений в поляр­
ной системе координат. В точке С (рис. 1.3.2.2) имеем: 9 = 9 с = -56.76°; Гс =
2.891 мм; Об = 512.1 МПа; Or = 185.2 МПа; тег= 12.9 МПа.
Елавные напряжения в точке С:
oi = 512.6 МПа; 0 2 = 184.7 МПа.
Эти напряжения удовлетворяют условию
aj =
+ а] - Iva.a^ = a¡,
(1.3.2.27)
из
которое следует из условия (1.3.2.1) и формул (1.3.2.2), (1.3.2.3). В точке В гра­
фика функции Гс(0) имеем: 9 = 105.45°; Гс = 1.080 мм; ÜQ = - 392.2 МПа; Ог = 31.9 МПа; твг = -189.1 МПа; d = 49.1 МПа; ог = - 473.1 МПа.
В точке А на рис. 1.3.2.2 ое равна 84.7МПа, в точке D OQ равна 47.3МПа.
Согласно формуле (1.3.2.27) имеем:
тах
cj, = aj4\-v^
=513.7МПа.
В книге В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1] отмечено, что 8 критерий
Си постулирует рост трещины в направлении минимальной ин­
тенсивности энергии деформации и, определяемой формулой (1.3.2.2). Фак­
тически в концепции Си угол 9с определяется из условия минимума выражения,
записанного в скобках в правой части формулы (1.3.2.4). Так как ио имеет по­
стоянное значение во всех точках линии Гс(9), то из (1.3.2.6) следует, что в на­
правлении с углом 9с функция Гс(0) тоже должна иметь минимальное значение.
Согласно формулам (1.3.1.1), (1.3.1.3) напряжения вблизи верщины трещины
имеют особенность типа 1/л/г . Поэтому можно предположить, что в направле­
нии с углом 0с окружные растягивающие напряжения ое будут близки к своим
предельно допустимым значениям. Результаты расчетов, которые были приве­
дены выще, подтверждают это. Таким образом, постулат Си о направлении рос­
та трещины стыкуется с концепцией ое - критерия в механике разрушения (см.,
например, книгу В.В. Панасюка, А.Е, Андрейкива, В.З. Партона [1]).
Как видно из рис. 1.3.2.2, направление роста трещины ОС почти перпен­
дикулярно направлению растягивающих внешних сил ОР (угол между этими
линиями равен 86.8°).
Выше было отмечено, что критерий разрушения Си и другие аналогичные
критерии записывают для критического направления с полярным углом, рав­
ным Ос. На рис. 1.3.2.3 представлен график зависимости рс(9) , построенный со­
гласно (1.3.2.18) для примера П1 при ш = 1 (кривая 1). Штриховая линия, па­
раллельная оси абсцисс, соответствует значению Рс(0). Как видно из рис.
1.3.2.3, точка рассматриваемой кривой с абсциссой 9 = 6с = - 5 6 . 7 6 ° , ничем особо
не выделяется от остальных точек кривой (здесь не имеют место экстремум,
точка перегиба и т.п.). Если - 7 0 ° < 9 < 70° (в рассматриваемом примере), то зна­
чение предельной нагрузки не очень существенно отличается от значения, вы­
численного с использованием угла Ос.
Кривая 2 на рис. 1.3.2.3 построена для примера П 1 согласно уравнению
(1.3.2.18) при т = 1, с использованием вместо коэффициента А в этом урав­
нении нового коэффициента А ] , равного А1На^ \ (где а\\ определяется согласно
(1.3.2.5)). Как видно из этого рисунка, таким путем можно существенно умень­
шить влияние значения полярного угла О на значение предельной нагрузки, оп­
ределяемого формулой (1.3.2.18). Еще большее уменьшение влияния значения
полярной координаты 0 на значение предельной нагрузки может быть достиг­
нуто путем умножения коэффициента А] на функцию вида (1 -
^,{0)
а = А/А;
/) = - 6 ' * Д / 2 ;
=
;
с = 1+6*^/4;
)>
(1.3.2.28)
А = 4/(3(6»* - 6 » ! ) ^ ) ;
(1.3.2.29)
91 - полярная координата точки, где имеет место точка перегиба графика функ­
ции (1.3.2.28); 9 * - координата точки, где имеет место максимальная невязка
между кривой 2 на рис. 1.3.2.3, и прямой, построенной согласно уравнению Рс =
Рс(9с); \ -
номер точки с максимальной невязкой,
\ = 1,й
, п - число таких точек
(согласно рис. 1.3.2.3 п = 3).
На рис. 1.3.2.4 приведена кривая зависимости Р с ( т ) , построенная согласно
уравнению (1.3.2.18) для примера П 1 . На этом рисунке прямая, параллельная
оси абсцисс, построена согласно уравнению (1.3.2.22). Кривая построена с ис­
пользованием точек, имеющих следующие координаты:
( 9 ; 9 ) , (1; 169.4), (2;
201.0), (3; 212.9), (4; 219.0), (5; 222.8), (6; 225.4), (7; 227.2), (8; 228.6), (10;
230.6), (15; 233.2), (20; 234.5), (со; 237.6). Интересно отметить, что если вычис115
лить среднеарифметическое значение ординат этих точек, то оно равно 203.2
МПа, т.е. практически совпадает с ранее найденным значением предельной на­
грузки для рассматриваемой пластины.
8 - критерий Си (1.3.2.26) и предлагаемая нами методика расчета оценива­
ют несущую способность рассматриваемой пластины существенно по-разному:
126.5
Истина может быть установлена путем сопоставления результатов расчета с со­
ответствующими результатами экспериментальных исследований. Здесь срав­
ним различные рещения такого варианта задачи, для которого заранее можно
предположить, что трещина не будет слишком сильно влиять на несущую спо­
собность рассматриваемой пластины. Пусть центральная трещина относительно
короткая
и мало
наклонена
по отношению
к растягивающим
силам
р
(рис. 1.3.2.1): а = 75°, 1/Ь = 0.1, И / Ь = 2, 1 = 6см. Пеоговоренные исходные дан­
ные - как для примера П 1 . Для этого варианта задачи Ос = - 69.18°; согласно
(1.3.2.12) имеем рс1 = 418.1 МПа; согласно (1.3.2.22) получим ра = 474.4 МПа;
без учета концентрации напряжений, связанной с наличием макротрещины, не­
сущая способность этой пластины равна 477.3 МПа; критерий разрушения Си
(1.3.2.26) дает значение предельной нагрузки, равное 299.3 МПа. Согласно
предлагаемой нами методике предельная нагрузка Рс для рассматриваемой пла­
стины равна 446.2 МПа. Па нащ взгляд маловероятно, чтобы в рассматривае­
мом случае концентрация напряжений, связанная с наличием трещины, так
сильно уменьшила несущую способность металлической пластины, как это
прогнозирует критерий Си:
^, =(299.3/477.3)-100% = 62.7%,
=(446.2/477.3)-100% = 93.5%.
С уменьшением влияния концентрации напряжений, связанной с наличием
макротрещины, необходимо использовать так называемые сложные критерии
разрушения, которые учитывают как сингулярные, так и регулярные состав116
ляющие напряжений. Сложный критерий разрушения может быть получен, на­
пример, из (1.2.3.8), путем разделения обоих частей этого равенства на Гс и по­
следующим добавлением к левой части полученного уравнения слагаемого
<^эн/^о '
^эн ~ номинальное эквивалентное напряжение. В остальных слу­
чаях поступаем аналогично. Например, условие (1.3.2.22) в нашем случае пре­
образуется к следующему виду:
2 2
2
^ £ ^ +^
= 1.
^Пс
<^ о
(1.3.2.30)
Здесь (Тз„ определяем по следующей формуле:
\-[1/Ь)со5а
Видоизменив таким образом критерий разрушения (1.3.2.12), получим для рас­
сматриваемого варианта задачи оценки предельной нагрузки /?^,, равную 314.5
МПа; согласно (1.3.2.30) для этой же пластины имеем оценку
р ^ ^ ' равную
336.5 МПа; согласно видоизмененному критерию (1.3.2.26) имеем оценку, рав­
ную 253.6 МПа; по предлагаемой нами методике предельная нагрузка /?* равна
325.5 МПа. Таким образом, в рассматриваемом случае
= 0.7рс, то есть необ­
ходимо учитывать и регулярные составляющие напряжений.
Чтобы проиллюстрировать, к каким экзотическим результатам может при­
вести игнорирование регулярными составляющими напряжений в некоторьгх
случаях, рассмотрим вариант задачи со следующими исходными данными: а =
75°, 1/Ь = 0.1,11/Ь = 2,1= 1см; неоговоренные исходные данные - как для при­
мера П1. Для этого варианта согласно (1.3.2.12) имеем рс1 = 1024.0 МПа; со­
гласно (1.3.2.22) получим рс2 = 1161.7 МПа; критерий разрушения Си (1.3.2.26)
дает значение предельной нагрузки, равное 733.1 МПа. Напомним, что пре­
дельное значение нормальных напряжений оо равно 490 МПа. Как видно, все
117
простые критерии разрушения в рассматриваемом случае дают завышенные
значения предельной нагрузки. Если при решении этого же примера учтем ре5(С
^
гулярные составляющие напряжений, то получим: р^^ = 432.6 МПа; р^2
44Е5 МПа;
*
= 437 МПа; видоизмененный критерий (Е3.2.26) дает оценку
предельной нагрузки, равную 400 МПа. Напомним, что без учета концентрации
напряжений, обусловленной наличием макротрещины, предельная нагрузка для
рассматриваемой пластины равна 477.3 МПа.
Проверим, не было ли необходимости в учете регулярных составляющих и
в примере П1? Для этого варианта задачи при учете регулярных составляющих
напряжений получаем следующие результаты: р^у= 15Е9 МПа; р^2 ^ 195.3
МПа;
= 173.6 МПа. Как видно из этих результатов /?*[ = 0.853рс и в данном
случае учет регулярных составляющий напряжений является желательным, но
не слишком обязательным. Видоизмененный, с учетом регулярных составляю­
щих напряжений, критерий разрушения (1.3.2.26) дает оценку предельной на­
грузки, равную 118.7 МПа.
1.3.3.
Критерий разрушения на базе энерге­
тической теории прочности
Энергетический критерий прочности основан на гипотезе, предполагающей,
что разрушение материала происходит в точке, в которой
удельная по­
тенциальная энергия формоизменения и у достигла некоторого предельного для
данного материала значения и^^:
и, - и о
(1.3.3.1)
Здесь иг определяется следующей формулой:
1+ г
ЪЕ
,сг, +(1 а., +
;,)].
(1.3.3.2)
118
Считают, что u^J• является характеристикой материала, не зависит от вида на­
пряженного состояния и, поэтому, может быть определена из простых экс­
периментов. Например, при одноосном растяжении тела без трещины
« Ь ™ ^ . ^ .
ЗЕ
(1.3.3.3)
Используя формулы (1.3.1.1), (1.3.3.2), условие (1.3.3.1) можно записать в
следующем виде:
1+V
МжЕг^
{a(^K¡ +2а^2^5^11 +02^2^1^! + 6 ^ n i ) = " / -
(1.3.3.4)
Здесь
af. =1.5sin2^ + ( l - 2 v ) ^ ( l + c o s 6 ' ) ;
MI
a[, = sin ^[Зсозб* - (1 - 2vy]£7¿ = 1.5 + 4.5cos^^ + (1 - Ivfil
(1.3.3.5)
- cos^).
Здесь и далее неоговоренные условные обозначения совпадают с соответ­
ствующими условными обозначениями раздела (1.3.2).
В случае плоского напряженного состояния (когда Oz = 0) в формулах
(1.3.3.5) члены с множителем v следует приравнять нулю.
Из условия (1.3.3.4), записанного для различных случаев простого разру­
шения, следуют равенства:
( 1 + Vк)) = ^ ^ - ^ = ^ 1 2 2 ^ =
ПкЕи' . у //(1
Ос
Ок
(1.3.3.6)
ОПс
Разделим обе части равенства (1.3.3.4) на UJ•, при этом учтем равенства
(1.3.3.6). Получим:
~ГПс+^==
А 1с
д/^11^22^к-^1к
л/ОсОк + Т Л ^ О к + Т Л ^ О п с
'^Ис
=0-
(1-3.3.7)
-^Ик
119
Равенство (1.3.3.7) является критерием разрушения, основанным на энер­
гетической теории прочности. Чтобы различать критерий (1.3.3.7) от других
аналогичных критериев разрушения (таких, как S - критерий Си, Sd - критерий.
Se - критерий) назовем его S{-
критерием. По своей структуре S{-
критерий
совпадает с Se - критерием (1.3.2.8). Разница между ними проявляется через
формулы (1.3.2.5) и (1.3.3.5) для коэффициентов а ^ и afj соответственно (i, j =
1,2).
Если в равенстве (1.3.3.4) Му^ определить по формуле
и ; = (l + v)(l-2v/)^Kí7(6яErJ,
(1.3.3.8)
использовать равенство Гс = г^, угол 9 положить равным критическому углу 9с,
то вместо S{ - критерия получим Sd - критерий, приведенный, например, в ра­
боте В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1].
Формулы, соответствующие формулам (1.3.2.11) - (1.3.2.22), имеют ана­
логичный вид и записываются путем замены коэффициентов а,^ на коэффи­
циенты afj
по необходимости (i, j = 1, 2).
Рассмотрим
другой
вариант преобразования
прочности из пространства
напряжений
энергетического
в пространство
критерия
КИП. Записывая
(1.3.3.4) для соответствующих критических направлений при простых раз­
рушениях и следуя той же схеме, которая была использована при выводе
(1.3.3.7), получим:
аи
А,^
^а,,а,,
+^
^22
.
К.Лис
^
^Пс
^^^^^^
г
- г
^ И к
Здесь a¡^, ríe определяются для критического направления с 9 = Oic = 9; «22' '"пс
определяются для критического направления с 9 = 9пс = arceos [(1 - 2v)V9];
120
¿7/1,0,-2,^22'
определяются для критического направления с Э = Эс при слож­
ном разрушении. Из соотношений (1.3.3.6) следует, что критерий (1.3.3.9) яв­
ляются другой формой записи 8{ - критерия. Далее, следуя работе Э. Ву [2]
примем, что критический размер области деструкции материала в окрестности
вершины трешины не зависит от вида напряженного состояния. Исходя из это­
го, в (1.3.3.9) положим
Ос = 0 . . = 01,.= О-
(1.3.3.10)
В итоги получим следующую аппроксимацию 8-^- критерия:
4 . 4 , . ^ . ^ ^ , 4 . 4 , ^ = , .
(,.з.з.п)
Аналогично, используя в (1.3.3.7) равенства (1.3.3.10), получим:
^ - Ь - ^ 2 L . - M п _ + ^
+ ^ . l .
(1.3.3.12)
Аппроксимацию (1.3.3.12) 8{ - критерия можно обобщить следующим обра­
зом:
ГУ-2т
^
ГУ.
+
Г
1/-т
г/-т
1/-1т
5—iL + ^
т/-2т
+ _ДL^l.
(1.3.3.13)
Здесь параметр т выбирается исходя из условия наилучшей аппроксимации
экспериментальных результатов. Если по содержанию задачи могут иметь ме­
сто и отрицательные значения КИН, то значение ш следует округлять до бли­
жайшего целого значения. В (1.3.3.12), (1.3.3.13) а{^, а,^,
Й Г ^ определяются
для критического направления с 9 = Ос.
121
Из S¿
- критерия, записанного в форме (1.3.3.7) или (1.3.3.9) и его ап­
проксимаций (1.3.3.11), (1.3.3.12), (1.3.3.13) следуют критерии разрушения для
всех случаев простого разрушения (К, = К,с, i = I, П, Ш). Отметим следующее
обстоятельство. Обзор существующих критериев распространения трещин в
изотропных телах при сложных напряженных состояниях (см., например, ра­
боту В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1]) показывает, что во
многие из них входит только Kic. В работе И.В. Орыняка, В.М. Торопа [1],
опубликованной в порядке дискуссии, К ц с К щ с выражены через Kjc. В настоя­
щей работе принята точка зрения, согласно которой Kjc, К ц с , К ш с являются са­
мостоятельными
характеристиками
трещиностойкости
материала.
Следова­
тельно, они на равных правах могут войти в критерий разрушения. Здесь про­
слеживается некоторая аналогия с анизотропными материалами, у которых
имеются несколько независимых характеристик прочности.
На рис. 1.3.3.1 кривая 1 соответствует предельному условию (1.3.3.11), кри­
вая 2 - предельному условию (1.3.3.12), кривая 3 - предельному условию
(1.3.3.13) при m = 2. Коэффициенты (1.3.3.5) вычислены при v = 0. Можно пока­
зать, что при m ^ со кривые, построенные согласно (1.3.3.13), могут быть сколь
угодно близкими к ломаной линии A B C . С другой стороны, требования выпук­
лости предельной кривой ограничивает эти кривые "снизу" прямой АС на рис.
1.3.3.1. На этом рисунке также приведены некоторые экспериментальные дан­
ные, взятые из работы В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1, с.110]
(условные обозначения соответствуют принятым в цитируемой работе). Как
видно из рис. 1.3.3.1, приближенный критерий (1.3.3.12) вполне удовлетвори­
тельно аппроксимирует экспериментальные результаты. Предлагаемый способ
аппроксимации "точного" критерия разрушения путем введения единственного
дополнительного параметра m позволяет удовлетворительно описывать широ­
кий спектр экспериментальных данных. Отметим также, что переход от осей
( K l / Kjc, К ц
/
К]с,),
принятых в работе В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З.
Партона [1], к осям ( K i / Kic, К ц / К ц с ) , принятым на рис. 1.3.3.1, приводит к
уменьшению разброса экспериментальных данных, когда эти данные сравни122
ваются для разных материалов. При Кпс > Kic, разброс уменьшается и для дан­
ных, относящихся к одному и тому же материалу.
Приведем некоторые результаты решения примера П1 с использованием S{
-
критерия (1.3.3.7).
Критическое значение 0с полярной
координаты,
оп­
ределенное из условия минимума выражения, записанного в скобках в левой
части равенства (1.3.3.4), равно (-61.09°). Согласно формуле, аналогичной
(1.3.2.18), при i * = II, ш = 1, А*= Л*^ получаем оценку предельной нагрузки
равную 181.9 МПа. Согласно формуле (1.3.2.22) имеем оценку предельной на­
грузки рс2 = 237.6 МПа. Предельная нагрузка р{,
определенная как полусумма
p / i и рс2, равна 209.7 МПа, что только на 3 % больше, чем предельная нагрузка,
определенная согласно Se- критерию. Значению р{
= 209.7 МПа согласно ана­
логу уравнения (1.3.2.18) соответствует значение параметра m = 2.1.
Согласно Sd - критерию (Л.Т. Бережницкий и др.)
л л
0.75sin' 0^ + cos'
^
i^; +
(3cos9^ - l)sin 9^К,K¡, +
2у
(1.3.3.14)
+ 0.75+ 2.25 cos'6/ + s i n ' ^
^11
-
^Ic^
2
ДЛЯ рассматриваемой пластины предельная нагрузка равна 117 МПа. Следо­
вательно, предлагаемая нами методика оценивает несущую способность рас­
сматриваемой пластины с центральной наклонной трещиной на 79.2% выше,
чем Sd - критерий.
Определим напряжения в критической точке с полярными координатами Ос
= -61.09°, Г с = 2.566 мм:
ое = 559.78 МПа;
= 217.77 МПа; Юг = -20.268 МПа;
О ! = 560.975 МПа; 0 2 - 2 1 6 . 5 7 5 МПа.
Эти напряжения удовлетворяют условию пластичности Мизеса
123
erf
-СГ1СГ2
(1.3.3.15)
+crf = cr^,
которое следует из равенства (1.3.3.1). Согласно уравнению (1.3.3.15) макси­
мальное значение O i для материала с оо= 490 МПа равно 565.8 МПа. Таким об­
разом, и по результатам использования S{-
критерия, в направлении воз­
можного роста трещины окружные напряжения ае являются растягивающими и
близкими к главному напряжению ( J i , которое, в свою очередь, близко к своему
максимально допустимому значению.
В качестве другого примера рассмотрим ту же задачу о предельном со­
стоянии пластины с центральной наклонной трещиной при одноосном рас­
тяжении (рис. 1.3.2.1) при следующих исходных данных; а = 45°; 1 / Ь = 0.4; 1 = 5
см. Неоговоренные исходные данные этого примера совпадают с соответ­
ствующими исходными данными примера П 1 .
Условие 5F / 50 = О, где через F обозначено выражение в скобках в левой
части равенства (1.3.3.4), приводит к следующему уравнению:
0.75 sin 20 - 0.5 sm ^ + р c o s 2^ - cosв)п +
/
+ (0.5sin^-2.25sin2^)/7^ =0.
(1.3.3.16)
Корнями уравнения (1.3.3.16) при п = 0.925 являются:
=25.15°;
9^^\\9.15°-,
^з=-139.29П
^^=-51.5151.
(1.3.3.17)
Выражение в скобках в правой части формулы для ае из (1.3.1.3) при п = 0.925
достигает своего максимума при 0 = -51.907°, что близко к значению О4 из
(1.3.3.17). Отсюда делаем вывод, что трещина имеет возможность роста в на­
правлении с 0с = 04 = - 51.515Г.
По аналогу формулы (1.3.2.18) при m = 1, i* =
дельной нагрузки
1 получим оценку пре­
= 145.3 МПа; согласно формуле (1.3.2.22) получаем оцен­
ку Рс2 = 152.9 МПа. Отметим, что в данном случае, в отличие от примера П 1 ,
ведущую роль в процессе разрушения играет КИП Кь Оценки предельной на124
грузки
и
рс2
получились довольно близкими друг к другу
(/?/i=
0.95рс2).
Коэффициент С] в аналоге формулы (1.3.2.18), который зависит от направления
вектора {Kj, Кц}^ в плоскости KjOKn и от отношения трещиностойкостей Kic,
Кпс, в случае примера П1 равен 0.991, а в рассматриваемом случае - 0.620. Это
показывает, что рассматриваемый случай по своему характеру более близок к
простому разрушению, чем случай примера П 1 . Поэтому в примере П1 имело
место равенство p / i =
0.77рс2
, т.е. оценки р{.^ и
рс2
отличались друг от друга
больше, чем в рассматриваемом случае.
Предельная нагрузка р^^ъ рассматриваемом случае равна 149.1 МПа. Этому
значению предельной нагрузки соответствует значение параметра ш, равное
1.21. Отметим, что значение параметра ш, полученное для примера П 1 , равное
2.1. Так как материал пластины в обоих случаях - один и тот же, отсюда следу­
ет, что параметр ш не может рассматриваться как характеристика материала.
Параметр m удобен тем, что при его изменении в интервале (О, сю) оценки пре­
дельной нагрузки согласно (1.3.2.18) изменяются в пределах (О,
mmK^Jh^),
1
что позволяет, определяя оценки предельной нагрузки при нескольких значени­
ях ш, саму предельную нагрузку найти как среднее этих оценок. Предельную
нагрузку можно определить и согласно следующей формуле:
1
р^ =~
'"1
\p^(m)dm.
(1.3.3.18)
о
Здесь т\ - наименьшее значение абсциссы той точки, для которой кривая, соот­
ветствующая уравнению (1.3.2.18), асимптотически достаточно близка к пря­
мой, определяемой уравнением (1.3.2.22).
На рис. 1.3.3.2 приведен график функции Гс(0) согласно S{-
критерию
(1.3.3.7) для значения предельной нагрузки, равной 149.1 МПа. В точках, где
функция Гс(0) имеет экстремумы, найдем компоненты тензора напряжений в
полярной системе координат г, 9. В точке С имеем:
125
6» = 6», = - 5 1 . 5 1 5 ° ;
= 296.7 МПа;
г^=1.6645мм;
сг^ = 5 6 5 . 5 М П а ;
г , , = 2.867 МПа.
Главные напряжения в точке С: <т, = 565.5 МПа;
а, = 296.7 МПа.
Эти напряжения удовлетворяют условию (1.3.3.15). В точке В на рис. 1.3.3.2
имеем: ^ = 119.75°,
г^^ = - 2 3 2 . 7 М П а ,
= 0.4359мм,
о-,=67.3МПа,
= - 3 0 9 . 3 М П а , сг^ = - 7 6 . 5 М П а ,
0-3 =-453.1 МПа . Эти напряжения
также
удовлетворяют условию пластичности Мизеса, аналогичному (1.3.3.15). В точке
А: 6»= 25.15°;
= 3 . 0 5 4 м м ; а е = 86.5 МПа. В точке О: О = - 1 3 9 . 2 9 ° ; Гс = 3.733
мм; ое = 78.8 МПа. Таким образом, и в рассматриваемом случае окружные рас­
тягивающие напряжения оо в критической точке С на рис. 1.3.3.2 практически
совпадают с главным напряжением Оь которое близко к своему максимально
допустимому значению.
Как видно из рис. 1.3.3.2, направление возможного роста трещины О С поч­
ти перпендикулярно направлению растягивающих внешних сил ОР (угол меж­
ду этими линиями равен 96.5°).
Па рис. 1.3.3.3 кривая 1- график функции / ' ^ ( ^ ) , построенный согласно
уравнению, аналогичному (1.3.2.18) при 1* = I, т
= 1, для последнего рас­
сматриваемого примера. Штриховая линия на этом рисунке, параллельная оси
абсцисс, проходит через точку с координатами (Ос, р / , ) . Точка С (Ос, р^^) кри­
вой 1 ничем особо не выделяется от других точек этой кривой, т.е. она не явля­
ется точкой экстремума, точкой перегиба и т.п. Локальный максимум функции
р{1(в)
имеет место в точке В (-39.5; 148.2).
Кривая 2 на рис. 1.3.3.3 построена согласно аналогу уравнения (1.3.2.18),
когда в нем вместо коэффициента А*^ использован коэффициент Л {, равный
А-^1Иа/^.
Остальные исходные данные для кривой 2 совпадают с исходными
данными, использованными для построения кривой 1.
126
На рис. 1.3.3.4 приведен график зависимости р^1{т),
построенный согласно
аналогу уравнения (1.3.2.18) при 9 = 9с. Эта кривая асимптотически приближа­
ется к прямой, параллельной оси абсцисс, и проходящей через точку с ордина­
той, равной К к / Ьь Точка с координатами (1, /7^) на этой кривой ничем особо
не выделяется.
Согласно За - критерию (1.3.3.14) предельная нагрузка для рассматриваемой
в последнем примере пластины равна 103.2 МПа. Следовательно, предлагаемая
нами методика оценивает несущую способность этой пластины на 44.5% выще,
чем За - критерий. Отметим, что если не учитывать концентрацию напряжений,
связанную с наличием макротрещины, то несущую способность рассматривае­
мой пластины получается равной 351 МПа.
1.3.4. Новый вариант Оэ - критерия в механике
разрушения
Примем, что трещина получает возможность роста тогда, когда в крити­
ческой точке с полярными координатами
(9с, Гс), лежащей на границе упру-
гопластической 1 и упругой 2 областей у верщины макротрещины (рис. 1.3.1.1)
окружные нормальные растягивающие напряжения ое удовлетворяют условию
(1.3.4.1)
Здесь, как и прежде, оо - предельное значение нормальных напряжений при од­
ноосном растяжении тела без макротрещины. Используя из (1.3.1.3) формулу
для ае, равенство (1.3.4.1) можно записать в следующем виде:
(1.3.4.2)
Рассмотрим различные случаи простых разрущений. Пусть К1 i^ О, Кц = 0.
Тогда (1.3.4.2) принимает следующий вид:
127
К , , 1 ^ , = а , .
•
(1.3.4.3)
Направление развития трещины нормального отрыва определяется углом
0. Пусть теперь К ц
=
О, К1 = 0. Тогда (1.3.4.2) принимает следующий вид:
Л/2А:„7Д/з^
=
0-3.4.4)
^О-
Направление развития трещины поперечного сдвига
определяется
углом
^,1^ = 2агс5щ(-1/л/3). Отметим, что направление развития трещины здесь опре­
деляется из условия достижения максимума выражения, записанного в числи­
теле левой части равенства (1.3.4.2).
Разделим обе части равенства (1.3.4.2) на ао. При этом учтем равенства
(1.3.4.3) и (1.3.4.4). Получим:
вА К,
с о з ' - ^ --^4г,^С052 Ч-^к
Здесь г,^, г^^^,
в,
2
З л / 3 / : , 1 ГТ
. вЛ
—--^д/01с51П—
2
^
= ф , .
п-хл^л
(1.3.4.5)
/^1,^
определяются для соответствующих критических направлений
при простых и сложном разрушениях.
Равенство (1.3.4.5) является критерием разрушения, основанным на ра­
венстве (1.3.4.1). Если в (1.3.4.2) оо определить согласно (1.3.4.3) и положить в
полученном уравнении
=
, то придем к ое - критерию, приведенному, на­
пример, в работе В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1]. Обозначим
критерий разрушений (1.3.4.5) сг^- критерием. Отметим, что из с г ^ - критерия
следуют, как частные случаи, критерии разрушения для простых случаев де­
формирования трещин.
На примере критерия разрушения (1.3.4.5) хорошо видно, что, в отличие от,
скажем, условия пластичности Мизеса (1.3.3.10), критерии разрушения для тел
с макротрещинами зависят не только от свойств материала, но и от отношения
Кц / Кь т.е. зависят от геометрии тела и трещины, а также от конфигурации
128
внешней нагрузки. Здесь прослеживается определенная аналогия с критериями
прочности для композитных материалов, которые сильно зависят от структуры
материала (макротрещину в какой-то степени можно рассматривать как изме­
нение структуры сплошного материала).
Уравнение (1.3.4.5) описывает определенную линию в координатной плос­
кости К1ОК11. С другой стороны, задание отношения п = | К „ | / K J , что следует,
например, из равенств (1.3.2.11), определяет другую линию, проходящую через
начало координат. Точка пересечения этих двух линий определяет значения пе­
ременных, соответствующих критическому состоянию тела с макротрещиной.
Отрезки, отсекаемые линией (1.3.4.5) на осях координат, определяются следую­
щими формулами:
К, =
ъ4ъ
г.
2
Координаты точки пересечения
. в ,
2 Ос
5Ш —С05 —
2
2
(1.3.4.6)
кри&ой (1.3.4.5) с линш! | К „ 1/К, = п оп­
ределяются следующими соотношениями:
-1-1
е.
С05
1
Ъ4Ъ п
Не
5Ш
С05 — 2
2 ^„ЛО
в.
(1.3.4.7)
К„ = п К , .
Подставляя (1.3.2.11) в (1.3.4.5), получим уравнение для определения пре­
дельного значения р с параметра внешней нагрузки. В общем случае это урав­
нение содержит две неизвестные величины - Р с И Гс. Использование равенств
у.
_ ^0
_ о
(1.3.4.8)
позволяет получить дополнительное уравнение, следуя определенным тради­
циям, принятым в научной литературе но механике разрушения. Использование
равенств (1.3.4.8) в (1.3.4.6), (1.3.4.7) показывает, как при этом осуществляется
аппроксимация точной предельной линии (1.3.4.5). Из формул (1.3.4.6), (1.3.4.7)
129
также хорошо видно, что при разрушениях, близких по своему характеру к про­
стому (когда Гс—>г,^, или Г с - ^ г , ^ ^ , вышеописанная аппроксимация
удовлетворительной.
Для
улучшения
аппроксимации
является
предельной
линии
(1.3.4.5) в тех случаях, когда К1 и Кц одновременно вносят существенный вклад
в процесс разрушения, можно взять аппроксимирующую кривую согласно сле­
дующему уравнению:
С05
к"1
гОс
9^
Ъфъ^^1 . 9,
С08-
К"'
Ис
2
5Ш
(1.3.4.9)
= 1.
Здесь О < ш < 00. Если по характеру решаемой задачи в (1.3.4.9) могут при­
сутствовать и некоторые отрицательные значения К И Н , то значение ш следует
округлять до ближайшего целого числа.
Используя равенства из (1.3.2.11) и уравнение (1.3.4.9), получаем формулу
для определения предельного значения параметра внешней нагрузки
2
Рс = С05
9^
О,
343Ь1\
С05-^^
2 К"
2
V 1с
9.
(1.3.4.10)
5Ш
к"'Пс
2
При отсутствии значения ш, определенного на основе экспериментальных дан­
ных, предельную нагрузку можно вычислить как среднее нескольких значений,
определенных по формуле (1.3.4.10) для разных значений ш.
Рассмотрим решение примера П1 с использованием с г ^ - критерия. В этом
случае формулу (1,3.4.10) можно записать в следующем виде:
-\1т
К Пс
Рс =
2
С05
О,
'Ь"{КЦ
в,
-С05-
Ь'1\К"'
з Т з . 9^
5Ш
(1.3.4.11)
Для рассматриваемого примера
130
Поэтому
рЛ^)
= ^1ХС1ЬП.
(1.3.4.12)
Для рассматриваемого примера числитель левой части (1.3.4.2) имеет макси­
мальное значение при 9 с = - 58.53°. Предельная нагрузка согласно (1.3.4.11) при
т = 1 имеет оценку рс1 = 146.3 МПа; оценка предельной нагрузки согласно
(1.3.4.12)
рс2=
236.7 МПа. Предельная нагрузка, определенная как среднее зна­
чение этих двух оценок, равна 192 МПа. Если использовать о е - критерий, при­
веденный в книге В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1], то для
рассматриваемой в примере П1 пластины предельная нагрузка получается рав­
ной 102.2 МПа. Таким образом, методика, предлагаемая нами, оценивает несу­
щую способность рассматриваемой пластины на 87.8% выше, чем ое - крите­
рий.
Используя равенства (1.3.4.3) и (1.3.4.4), находим Г[°= 0.798мм, г,^^= 2.37мм.
Для значения р с = 192 МПа формула (1.3.4.5) дает значение Гс = 2.82мм. Найдем
напряжения в критической точке с координатами (0^ Гс):
ое = 490 МПа; Ог =
182.2 МПа; тог = 0.003 МПа; отсюда видно, что сте и Ог практически совпадают с
главными напряжениями О] и 0 2 соответственно.
Отметим, что значению р с = 192 МПа согласно уравнению (1.3.4.11) соот­
ветствует значение ш = 2.25.
1.3.5.
Новый вариант £9 - критерия в механике
разрушения
Примем теперь, что трещина получает возможность роста тогда, когда в
критической точке с полярными координатами (0^ Гс), лежащей на границе упругопластической
1 и упругой
2
областей
у
вершины
макротрещины
(рис. 1.3.1.1) окружные деформации растяжения 89 удбвлетворяют условию
^,=£-0,
(1.3.5.1)
131
где 8о - предельное значение деформации при одноосном растяжении тела без
макротрещины.
Рассматриваем плоскую задачу механики деформируемого твердого тела. В
полярной системе (9, г) окружные деформации 8в определяются следующей
формуле:
и
дм
^й = - + •
г
где
(1.3.5.2)
Здесь и, V - радиальное и тангенциальное перемещения точки соответственно.
Если при нагружении тела не происходит смыкания берегов трещины и они
свободны от напряжений, то в малой области 2 вблизи верщины трещины (рис.
1.3.1.1) перемещения и, V определяются известными формулами, полученными
в результате рещения задачи теории упругости (см., например, работу М П .
Саврука [2]). Использование этих формул в (1.3.5.2) дает:
( ж - 1 . 5 ) с о 5 — + 0.5со8— +
2
2.
(1.3.5.3)
( 1 . 5 - а е ) 5 Щ — 1.55ш —
^ 2
2
Здесь Х = 3-4У ( Д Л Я плоской деформации), ае = (3 -
+ у) (для обобщенного
плоского напряженного состояния); О - модуль сдвига, 9 - коэффициент Пуас­
сона.
Подставляя (1.3.5.3) в (1.3.5.1), получаем условие достижения предельного
состояния:
0
30
К, (ае - 1 . 5 ) с о 8 — + 0.5 с о з — 2
2
(1.3.5.4)
й
3/9
(1.5-ае)5т^-1.58ш—^
^ 2
2
>/(4С;72^)=^о.
Здесь угол Ос определяется из условия достижения максимума выражения, за­
писанного в числителе правой части формулы (1.3.5.3).
132
Рассмотрим различные виды простого разрушения. Пусть К1 Ф О, Кц = 0.
Критерий разрушения (1.3.5.4) в этом случае принимает следующий вид:
(аг-1)^,7(4Г;^2^)=^о.
(1.3.5.5)
Направление возможного развития трешины отрыва определяется углом
=
0.
Пусть теперь Кц 7^ О, К 1 = 0. Тогда критерий разрушения (1.3.5.4) принимает
вид
к,•1к
2(3 + ае) ' 3+ае
(1.3.5.6)
Направление развития трешины поперечного сдвига определяется углом
21-226
З + ае
27
В этих формулах г^, г,,^ определяются для соответствующих критических на­
правлений при простых разрушениях.
Разделим обе части равенства (1.3.5.4) на £о. При этом учтем равенства
(1.3.5.5), (1.3.5.6). Получим:
К,
а
К
к
(1.3.5.7)
Пс
Здесь
в
3^
(ж-1.5)С08-^ +0.5С05-^
ае-1
2
2
(1.3.5.8)
(1.5-ае)8ш^-1.55Ш^
(ае + 3)72(ае + 3) _
2
2
В (1.3.5.7) Гс определяется для критического направления с углом 9с. Равенство
(1.3.5.7) является критерием разрушения, основанным на условии (1.3.5.1).
133
Чтобы различать его от 8е - критерия, приведенного, например, в работе В В .
Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1], обозначим критерий (1.3.5.7)
- критерием. Отметим, что из г:^ - критерия следуют, как частные случаи, кри­
терии разрушения для всех видов простых деформирований трещин.
Если в (1.3.5.4) ео определить согласно формуле (1.3.5.5) и положить г^ =
г^,то получим критерий разрушения, равноценный 8в - критерию. Здесь сле­
дует отметить, что при выводе Бе - критерия, приведенного, например, в работе
В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1], в равенстве (1.3.5.1) 8е вы­
ражен через ое, Ог, Ог с использованием закона Гука, а затем использованы
формулы (1.3.1.3). Здесь мы пошли по пути использования формулы (1.3.5.2) и
соответствующих формул для и, V в малой окрестности вершины трещины. Так
как асимптотические формулы для 09, аг, и, V являются приближенными, то вы­
ражения для Бе - критерия, приведенное в работе В.В. Панасюка, А.Е. Анд­
рейкива, В.З. Партона [1] и полученное указанным здесь способом, не совпада­
ют по внешнему виду. Но они дают практически одинаковые численные ре­
зультаты при одинаковых исходных условиях задачи (т.е. совпадают по содер­
жанию, различаясь по форме).
Уравнение (1.3.5.7) описывает определенную линию в координатной плос­
кости
К1ОКП.
С другой стороны, задавая отношение п = | К „ | / К , , что следует,
например, из равенств (1.3.2.11), мы определяем другую линию, проходящую
через начало координат. Точка пересечения этих двух линий определяет значе­
ния переменных, соответствующих критическому состоянию тела с макротре­
щиной. Отрезки, отсекаемые линией (1.3.5.7) на осях координат, определяются
следующими формулами:
(1.3.5.9)
0.
« 1 .
Кн.
«2с
Координаты точки пересечения линии (1.3.5.7) с прямой
|Кп|/К,=п
оп­
ределяются следующими соотношениями:
1.14
^1 =
л-'
а \с
(1.3.5.10)
Подставив (1.3.2.11) в (1.3.5.7), получим уравнение для определения пре­
дельного значения р с параметра внешней нагрузки. В общем случае это урав­
нение содержит две неизвестные величины - Рс и Гс. Использование равенств
вида (1.3.4.8) позволяет получить дополнительное уравнение, следуя опреде­
ленным традициям, принятым в научной литературе по механике разрушения.
Использование
равенств
(1.3.4.8) в соотношениях
(1.3.5.9), (1.3.5.10) по­
казывает, как при этом осуществляется аппроксимация точной
}?риьой (1.3.5.7). Из формул (1.3.5.9), (1.3.5.10) также хорошо
предельной
видно, что при
разрушениях, близких по своему характеру к простому (когда Гс—>г,°, или
Гс-^г,°^,), вышеописанная аппроксимация является удовлетворительной. Для
улучшения аппроксимации предельной линии (1.3.5.7) в тех случаях, когда К],
Кц одновременно вносят существенный вклад в процесс разрушения, можно
взять аппроксимирующую кривую согласно следующему уравнению:
К"!
а 1с
+ «2г
1^т
= 1.
(1.3.5.11)
^1с
Здесь О < ш < со. Если по характеру решаемой задачи в (1.3.5.11) могут при­
сутствовать и некоторые отрицательные значения КИП, то значение ш следует
округлять до целого числа таким образом, чтобы не выйти за пределы про­
странства действительных чисел.
Используя равенства из (1.3.2.11) и уравнение(1.3.5.11), получаем формулу
для определения предельного значения параметра внешней нагрузки:
и"1
ь'Ч
+
^ а-
Рс = а 1с
К"'
(1.3.5.12)
Пс
К"'
1.15
При отсутствии возможности предварительного определения значения па­
раметра т , предельную нагрузку можно найти как среднее нескольких значе­
ний, определенных по формуле (1.3.5.12) для разных значений т .
Рассмотрим решение примера П1 с использованием
- критерия. Для это­
го примера формулу (1.3.5.12) можно записать в следующем виде:
t> I i^Wc
ûTi. —
b'iK
(1.3.5.13)
+г Ы-у
ûf
J
При этом равенство (1.3.4.12) остается в силе. При m = 1 согласно (1.3.5.13)
имеем оценку предельной нагрузки pd = 157.3 МПа; оценка предельной на­
грузки при m
со, как и ранее, рс2 = 237.6 МПа. Предельная нагрузка, опре­
деленная как среднее значение этих двух оценок, равна 197.5 МПа. Если ис­
пользовать 8 9 - критерий, то для рассматриваемой пластины предельная на­
грузка получается равной 80.2 МПа. Таким образом, методика, предлагаемая
нами, оценивает несущую способность рассматриваемой пластины на 146.2%
выше, чем 8 9 - критерий, приведенный в работе В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива, В.З. Партона [1].
Приняв 6 0 = оо / Е и используя (1.3.5.5) и (1.3.5.6), находим: г,^= 0.3912 мм,
г,^^= 2.428 мм; используя (1.3.5.7), находим Гс = 2.370 мм (при р с = 197.5 МПа).
Найдем напряжения в критической точке с координатами (0^ Гс):
од = 547.6
МПа; Gr = ] 91.9 МПа; Т9г = 31.7 МПа. Главные напряжения в той же точке: <5\ =
550.4 МПа, ог = 189.2 МПа. Эти напряжения удовлетворяют условию
ст^ - v a ,
=с7о,
(1.3.5.14)
которое следует из равенства (1.3.5.1).
Отметим, что значению р с = 197.5 МПа согласно уравнению (1.3.5.12) со­
ответствует значение ш = 2.2.
Приведем некоторые результаты, полученные для примера П1 с исполь­
зованием различных критериев разрушения:
136
на основе ое - критерия р с = 102.2 МПа;
на основе ее - критерия р с = 80.2 МПа;
на основе 8 - критерия р с = 126.5 МПа;
на основе За - критерия рс = 117.0 МПа;
на основе сг^ - критерия р с = 192.0 МПа; т = 2.25;
на основе
- критерия р с = 197.5 МПа; ш = 2.20;
на основе Зе - критерия р с = 203.5 МПа; т = 2.15;
на основе 8{-
критерия р с = 209.7 МПа; т = 2.10.
Из приведенных выше результатов видно, что оценки предельной нагрузки,
полученные для одного и того же случая на основе различных критериев раз­
рушения, предлагаемых нами, достаточно близки друг другу (наибольшее от­
клонение от среднего значения рс составляет около 4.5%) и сушественно отли­
чаются от соответствующих оценок, полученных с использованием известных
критериев разрушения (предлагаемые нами критерии оценивают несушую спо­
собность пластины, рассматриваемой в примере П 1 , в среднем на 88.5% выше,
чем соответствующие известные критерии разрушения). Здесь истина может
быть установлена
на основе соответствующих экспериментальных данных.
Следует также отметить, что значение параметра ш, найденные на основе раз­
личных критериев разрущения для примера П 1 , достаточно близки друг другу
(наибольшее отклонение от среднего значения ш приблизительно равно 3.5%).
Это позволяет надеяться, что параметр ш может служить объективной характе­
ристикой тела с трещиной, полезной при решении задач о предельном состоя­
нии такого тела.
1.3.6.
Вариант трактовки приближенных кри­
териев разрушения
Рассмотрим для примера "точный" критерий разрушения (1.3.2.8) и его ап­
проксимацию (1.3.2,16), которая была получена путем использования в (1.3.2.8)
137
равенств
(1.3.2.10) и последующего
обобщения
приближенного
критерия
(1.3.2.12). По аналогии с (1.3.2.8) можно записать следующее выражение для
критического значения полярного радиуса при сложном разрущении:
2
Здесь / ^ 5 ,
2
2
,
/^3 - "весовые" коэффициенты для г^, Гцс, г щ с соответственно,
причем отнощение этих коэффициентов должны удовлетворять следующим ра­
венствам:
//^
— •
•^
'^\\с
=—
^\\\с
•^
'^\\с
•
(1 -3.6.2)
'^\\\с
Эти равенства следуют из равенств (1.3.2.7). Дополнительно потребуем, чтобы
[11, ^2, К1з удовлетворяли следующему уравнению:
/.Г'+2^//7У^'+/.2;'+/.2^'"=1.
(1.3.6.3)
Согласно (1.3.6.3), (1.3.6.1), при выполнении равенств (1.3.6.2), для простых
разрушений получаем Гс = Пс (i = 1, П, III). Если в (1.3.6.3)
положить
[л^ =К) /Kj^, то придем к приближенному критерию разрушения (1.3.2.16).
Итак, приближенный критерий разрушения (1.3.2.16) соответствует опреде­
ленной аппроксимации критического радиуса - вектора Гс при сложном раз­
рушении через критические радиусы - векторы Пс, гцс, Гщс при простых раз­
рушениях. При этом только для т = 1 требуется выполнение
равенств
(1.3.2.10). Поэтому аппроксимация критерия (1.3.2.8) приближенным крите­
рием (1.3.2.12) не является предпочтительной, так как требует одновременного
выполнения как равенств (1.3.2.7), так и равенств (1.3.2.10), что маловероятно
для реальных материалов. Тем не менее, в научной литературе по механике
разрушения часто встречаются критерии разрушения^аналогичные (1.3.2.12)
(например, S - критерий Си, Sd - критерий и т.п.).
L38
Из вышеизложенного ясно, что вместо уравнения (1.3.6.3) может быть ис­
пользовано другое аналогичное уравнение, и, как следствие, вместо (1.3.2.16)
получим другую аппроксимацию критерия разрушения (1.3.2.8). Здесь, в ко­
нечном итоге, необходимо опираться на экспериментальные данные.
Аналогичные вышеприведенным рассуждения справедливы и по отноше­
нию к другим, аппроксимирующим критерии разрушения, соотношениям (на­
пример, взаимосвязи между (1.3.4.5) и (1.3.4.9), между (1.3.5.7) и (1.3.5.11) и
т.п.).
1.4.
Критерий разрушения для анизотропного
тела с макротрещиной
Как отметил Э. Ву в [2], "весьма успешное применение механики разру­
шения к изотропным материалам, с одной стороны, гипнотически привело к
прямому перенесению теории с небольшими модификациями на композитные
материалы, а, с другой стороны, оно стимулировало теоретические решения
весьма сложных математических задач. При этом многие важные факты были
упущены из вида". Например, условие предельного состояния для анизотропно­
го материала в окрестности вершины трещины в общем случае не может быть
записано в виде (1.3.2.1), так как в этом случае по не является характеристикой
(постоянной)
материала.
Э. Ву в [2]
предложил
использовать
феноме­
нологический критерий предельного состояния материала вида (1.1.7) для
оценки несущей способности анизотропных тел с макротрещинами. При этом
напряженное состояние в опасной точке с полярными координатами (0с. Гс) оп­
ределяется по формулам, аналогичным (1.3.1.1), где Гс считается характеристи­
кой материала, которая может быть определена из простых опытов, а направле­
ние развития трещины 0с определяется как направление, где вектор напряжений
ау выходит на, или за, поверхность предельного состояния материала (1.1.7).
Ниже приведено развитие концепции Э. Ву в механике разрушения анизотроп­
ных и композитных тел с макротрещинами.
139
Обратим вновь внимание на рис. 1.3.1.1, где изображены макротрещина и
схематический график эквивалентного напряжения Оэ перед фронтом трещины.
Здесь область 1 - область деструкции материала (причиной которой могут быть
упругопластические деформации, накопление микротрещин и др.). Предполо­
жим, что в критическом состоянии трещины, когда она получает возможность
распространения, размеры области 1 малы в сравнении с длиной макротрещи­
ны, а на границе области 1 и упругой области 2 выполняется условие достиже­
ние предельного состояния материала (1.1.9).
Пусть тело имеет плоскость симметрии механических свойств материала,
ортогональную оси 2. Допустим, что при нагружении не происходит смыкание
берегов трещины и они свободы от напряжений. Тогда для суперпозиции пло­
ской задачи теории упругости и задачи продольного сдвига (т.е. сдвига в плос­
костях, параллельных оси х) напряжения в малой области 2 вблизи верщины
трещины (рис. 1.3.1.1) определяются известными формулами (см., например,
работу Г. Си, Г. Либовица [1]):
= (с, а:, + с^К,,)/л/г,
сг^, = {с,К, +
с,К,,)/л[г,
(1.4.1)
г.
III
Здесь:
1
с, =
4Ъг
1
с, =
^1
Ке
^д/с08^4-.У2
Ке
1
{
4ъг
1
с, =
Ке
1
51п в
(1.4.2)
(
^лУс08(9 + .У2
л/2^
Ке
с, =
71
1
.V,-л-2
г
1
|^7cos6' + ,s•2 т\ в
1
•^созв + s, зтв
л/2
140
с,
= - = К е
л/2
д/с08^ + 5, 5тв
-^0050+ ^-, 5тв
л/со5^ + 5, зтв
4^05в
+ з~^п9
д/с08^ + 5з 8Ш<9
в (1.4.2) 8ь 52- корни следующего характеристического уравнения:
«ПУ") -2^16;"]
+(2«12
+«6б)/^у
-2а2бу"у + « 2 2 =
(1.4.3)
Полагают (Г. Си, Г. Либовиц[1]), что неравные корни Цj уравнения (1.4.3) име­
ют вид
(1.4.4)
где aJ, Pj (] = 1,2) - действительные постоянные.
Не уменьшая общности, всегда можно положить
А>0,
у^2>0,
А^У^2-
(1.4.5)
в (1.4.2) 8з - корень следующего уравнения:
(1.4.6)
'^44/"у +2C45MJ + С 5 5
(1.4.7)
«^3 = ~ ^45 I<^44 '
В этих соотношениях а п , а 1 б ,
Рз
= л/<^'44<^'55 - < ^ 4 5 / « ^ 4 4 •
С55 - упругие характеристики материала, вхо­
дящие в обобщенный закон Гука:
141
=«110'х +«120-у +«16^.гу'
£у =
(1.4.8)
+ 022 0-у + ЙГзбГ^,
(1.4.9)
В случае плоской деформации в формулах (1.4.8) вместо коэффициентов щ бе­
рут коэффициенты Ьу (Г. Си, Г. Либовиц[1 ]).
Условие достижения предельного состояния материала (1.1.9) в системе ко­
ординат Охуг в рассматриваемом случае имеет следующий вид:
(1.4.10)
•ху
+
2Мт^т^+Ит1=\.
Подставив (1.4.1) в (1.4.10), получаем:
+
2{В,К,
+ В,К„)/ф^
(1.4.11)
= \.
Здесь
А,, = Ас^ + 2Вс\с^ + Сс'з + Ьс^ + 2Рс,с, + 2Кс^с,;
^,2 = Ас^с^ + Вс^с^ + Вс^с^ + СС3С4 + Ьс^с^^ +
+ Рс^^ + Рс^с, +Кс^с^
(1.4.12)
+Кс^с,;
^22 = Ас1 + 2Вс,с^ + Сс] + Ьс] 4- 2Рс^с^ + 2Кс^с^;
/1зз = Кс1 + 2Мс^с^ + N0^^ ;
5] = D c ,
+ Ес^
+ Ос^;
^'^"г
+ -^<^'4 +
•
В (1.4.11) Гс - размер области 1 (рис. 1.3.1.1) в предельном состоянии тела с
трещиной. Э. Ву в [2] высказал гипотезу, что Гс является характеристикой мате­
риала, не зависящей от вида напряженного состояния в окрестности вершины
142
трещины. В работе Э. Ву [2] приведены и экспериментальные результаты, под­
тверждающие эту гипотезу. Тогда значение Гс может быть определено из от­
носительно простого опыта. В общем случае в анизотропном теле с макро­
трещиной создание условий для простого разрушения (например, только путем
нормального отрыва) может оказаться трудно решаемой задачей. Если К], Кц,
Кш растут пропорционально одному параметру р согласно (Е3.2.11), то, под­
ставляя экспериментально' определенные значения параметра предельной на­
грузки р с и полярной координаты 9с, определяющей направление роста трещи­
ны (при известных значениях Ьь Ьц, Ьш) в уравнение (Е4.11), из него можно оп­
ределить Гс.
Нами здесь не был затронут вопрос о возможном направлении роста тре­
щины. Гипотеза, утверждающая, что трещина будет расти в направлении, пер­
пендикулярном вектору наибольших растягивающих окружных напряжений оо,
в общем случае для анизотропных тел неприемлема. В рассматриваемом здесь
варианте теории этот вопрос тесно связан со следующим вопросом: какое зна­
чение полярной координаты 9 = 9с должно быть использовано в уравнении
(Г4.11) при определении предельного состояния тела с макротрещиной? Ответ
на этот вопрос может быть получен на основе использования известных теорем
теории предельного равновесия (А. А. Гвоздев [1]). Формулы (Г4.1) получены в
результате решения задачи теории упругости. Напряжения, определяемые ими,
удовлетворяют уравнениям равновесия. В то же время эти напряжения, соглас­
но (1.4.11), нигде не выходят за пределы поверхности прочности (1.4.10). Сле­
довательно, в рассматриваемом варианте теории, напряжения всегда остаются
статически допустимыми. Тогда, согласно статической теореме (А. А. Гвоздев
1]), внешняя нагрузка, соответствующая этим напряжениям, есть оценка снизу
для предельной нагрузки. Подставим (1.3.2.11) в (1.4.11):
(1.4.13)
Запишем это уравнение в следующем виде:
143
(1.4.14)
ар^ + 2Ьр-1 =0.
Здесь
а = (А„Ь? + 2А,2Ь,Ь„ + А^^Ь?, + А,,Ь1,) / г , ,
^=(В.Ь,+ВА)/л/1;Из вышеизложенного следует, что параметр предельной нагрузки р с для
анизотропного тела с макротрешиной определяется следующим образом:
+а
= шах р = тах<
в
в
(1.4.15)
а
Согласно (1.4.15), одновременно с рс, определяется и соответствующее зна­
чение 0 = 0с. Полагаем, что в этом направлении будет расти макротрещина.
Итак, критерий разрушения (1.4.11) для анизотропного тела с макротре­
щиной должен быть записан для критического направления с полярной коор­
динатой 0 = 0с. Это является следствием того, что Гс в (1.4.11) принимается по­
стоянной величиной.
Вернемся к вопросу экспериментального определения величины критиче­
ского расстояния Гс. Запишем уравнение (1.4.13) в следующем виде:
р'-
2Ь,р,р-а,р1
= 0.
(1.4.16)
Здесь введены следующие обозначения:
р = 4^,
а^=аг^,
Ь^=Ь^\
(1.4.17)
Рс - экспериментально определенное значение параметра критической на­
грузки.
Трещина начнет развиваться при минимальном значении р, удовлетво­
ряющем уравнению (1.4.16). Следовательно, теоретическое направление 0с рос­
та трещины может быть определено из решения следующей задачи:
144
т ш р - т ш {pc{bl±^[ff^l)},
\р,
в
(1.4.18)
в ^
Здесь необходимо учитывать условие р>0. Решение рассматриваемой здесь
задачи создает возможность сравнения значений 6с, определенных экспери­
ментально и теоретически. Используя решение задачи (1.4.18), определяем экс­
периментальное значение
= р1.
Отметим следующие моменты. Согласно (1.4.15) следует определять ло­
кальный максимум функции р{в). Это ясно из рассмотрения кривых, обозна­
ченных номером 1 на рисунках 1.3.2.3, 1.3.3.3. Точка С на этих графиках, соот­
ветствующая направлению развития трещины согласно тому или иному крите­
рию разрушения, находится по соседству с точкой В, соответствующей локаль­
ному максимуму функции Рс1(0). Вполне вероятно, что угол 0(В) будет лучще
соответствовать экспериментально определенному направлению развития тре­
щины, чем угол 0(С).
Согласно (1.4.18) необходимо определить локальный минимум р. Это ясно
из рассмотрения рисунков 1.3.2.2, 1.3.3.2. Критическому направлению на этих
рисунках соответствует радиус ОС, что соответствует локальному минимуму
функции Гс(0), в то время как абсолютный минимум эта функция имеет в точке
В.
145
2.
Основные положения теории
предельного равновесия. Методы
решения задач о несущей спо­
собности элементов конструкций
2.1.
Поверхность нагружения
Для математической постановки задачи механики сплошной среды необ­
ходимы соотношения, определяющие связь между силовыми и кинематиче­
скими параметрами в элементе среды. Разрушение материала (пластическое
или хрупкое) является, как правило, необратимым процессом. Когда дефор­
мирование
среды является необратимым процессом, поведение материала,
предписываемое законом деформирования, должно зависеть от направления
процесса. Такая своеобразная неаналитичность приводит к появлению в фа­
зовом пространстве внутренних параметров некоторых предельных поверх­
ностей, очертание и изменение которых оказывает решающие влияние на фор­
му самого закона деформирования (В.Д. Клюшников [1]).
В результате изменения внешних сил, действующих на тело, и перемещений
его границы, происходит изменение напряженно-деформированного состояния
каждого его элемента. Процесс изменения напряжений cт¡j в элементе называют
процессом нагружения, а изменение его деформации
- процессом деформи­
рования.
Любой из этих процессов можно представить в виде кривых - траекторий в
некоторых фазовых пространствах, координатами которых являются параметры
либо напряженного, либо деформированного состояния. В пространстве на­
пряжений каждому напряженному состоянию сг^у отвечает определенная точка
или вектор <т - векторных напряжений, начало которого совпадает с началом
координат (ненапряженное состояние), а конец совпадает с данной точкой. Из146
менению напряженного состояния (догрузке) 5<J^j отвечает вектор 5а,
кото­
рый называют вектором догрузки, процессу изменения напряжений - траекто­
рия, вычерчиваемая концом вектора а (траектория, или путь нагружения).
Аналогичным образом определяют пространство деформаций. Иногда одно
и то же девятимерное декартово пространство используют как для представле­
ния напряжений, так и для представления деформаций, откладывая вдоль дан­
ного орта пространства одноиндексные компоненты тензоров (например, СГ| 1 и
^11 )•
Мы ограничимся рассмотрением только таких материалов, для которых ре;зультат деформирования не зависит от скорости процесса нагружения в данное
напряженное состояние (упруго-пластические материалы).
Обобщение свойств деформирования упругопластического тела, которые
оно проявляет при одноосном растяжении-сжатии, на случай сложного на­
пряженного состояния приводит к концепции о существовании поверхности на­
гружения (В.Д. Клющников [1]), которая состоит в следующем (рис. 2.1).
Для каждой текущей точки
произвольной траектории нагружения О/?, в
пространстве напряжений существует поверхность пределов упругости /, (по­
верхность нагружения), все внутренние точки которой достижимы из данной
упругим деформированием. Поэтому если, начиная с какой-то точки, траекто­
рия нагружения идет внутри поверхности, построенной для этой точки, напри­
мер
, то новых необратимых деформаций не возникает. Считается, что в
таком процессе сама поверхность нагружения не изменяется; для любой точки
такой траектории поверхностью нагружения служит поверхность Д (начальная
поверхность / о показана на рис. 2.1.1 штриховой линией).
Если же траектория выходит наружу поверхности нагружения, построенной
для предыдущей точки, например, траектория В^В2, то возникают новые необ­
ратимые деформации. При этом меняется сама поверхность нагружения (ибо
она должна содержать текущую точку траектории). Считается, что это измене­
ние поверхности нагружения происходит непрерывно: если отрезок В 1 В 2 мал,
147
то новая поверхность 5^, отвечающая точке В2, мало отличается от fl и в преде­
ле, когда В 2 - ^ В] эти поверхности совпадают.
Процесс, при котором возникают необратимые деформации, называют ак­
тивным нагружением, а процесс, сопровождающейся только упругим
де­
формированием - пассивным нагружением, или - разгрузкой. Процесс, при ко­
тором траектория нагружения, начиная с некоторой точки, идет вдоль по­
верхности нагружения, построенной для этой точки, например В 1 В 1 , является
пограничным между активным и пассивным, и его называют нейтральным на­
гружением. Свойства деформирования при нейтральном нагруженин
опре­
деляют как предельные.
Деформацию элемента материала Су часто представляют как сумму упругой
(обратимой) £у и пластической (необратимой) ef• частей:
Форма и размеры поверхности нагружения определяются только пластической
частью деформации и историей ее изменения. Следовательно, аналитически
уравнение текущей предельной поверхности можно представить в виде
f(cI„
в^,
ХК) = 0,
(2.1.2)
где через Хп'' условно представлены параметры, зависящие от истории изме­
нения SJJ, постоянные при фиксированных е-^ (В.Д. Клющников [1]).
Следует отметить, что представление общей деформации в виде двух ад­
дитивных составляющих является всего-навсего щироко распространенной ги­
потезой. При случайной или методологической ошибках в выделении пла­
стической составляющей из общей деформации могут возникнуть
сущест­
венные искажения экспериментального результата (А.П. Супрун [1]).
148
2.2.
Принцип максимума Мизеса и постулат
Друккера. Ассоциированный закон де­
формирования
Принцип максимума Р. Мизеса формулируется следующим образом (Ю.Н.
Работнов
[2]). Пусть
задано распределение
скоростей
г-,-^, которому со­
ответствует поле напряжений ау. Мощность диссипации О определяется сле­
дующим образом:
0 = ст,^81;,
(2.2.1)
Здесь £^ - тензор скоростей пластической деформации.
Утверждается, что для истинного напряженного состояния мощность дис­
сипации не меньще, чем для любого допустимого состояния а^, т.е. такого, что
во всех точках тела f(a*) < О . Итак,
(2.2.2)
Это условие записывают следующим образом:
(сг^-ст*)^/^ >0.
(2.2.3)
Д. Друккером было высказано следующее утверждение: новая необратимая
деформация
в
упруго-пластических
телах
не
может
возникнуть
само­
произвольно; для ее создания нужно затратить энергию. В дальнейшем это по­
ложение было развито в его многочисленных работах (см., например, Д. Друккер [1]), и был назван постулатом устойчивости материала. Согласно мнению
149
самого Д. Друккера [1], постулат устойчивости материала является не законом
природы, а средством, позволяющим дать общую классификацию материалов,
которая выходит за пределы понятий, охватывающих специальные категории:
упругость, пластичность, вязкость и т.д. Для материалов с независящими от
времени свойствами критерий устойчивости в малом для произвольного нену­
левого нагружения имеет следующий вид:
5сту Ss^j > 0.
(2.2.4)
Критерий устойчивости в малом для произвольного цикла нагрузки и разгрузки
имеет вид:
Sa^Ss^>0.
(2.2.5)
В теории пластичности доказывают (например, В.Д. Клющников [1]),что
если условие (2.2.5) выполняется, то поверхность нагружения является вы­
пуклой, а вектор
направлен по внешней нормали к этой поверхности в
точке соответствующего напряженного состояния. Условие (2.2.5) выполня­
ется, если состояние материала соответствует участкам ОА, А В , ВС диаграммы
деформирования
- 8ц (рис. 2.2.1), и не выполняется для состояний материала,
характеризующихся нисходящим участком С О этой диаграммы.
Предполагая справедливым концепцию поверхности нагружения и нера­
венство (2.2.5) можно заключить, что в регулярной точке поверхности на­
гружения
Зе,^=ЗЛ~^-
Здесь б Л = 5 Л
/ = 0;
^ с У с г ^ . >0.
(2.2.6)
) > О - скалярный коэффициент. Для конической точки по­
верхности нагружения считают справедливым подход, основанный на сле­
дующем предположении: поверхность нагружения в каждый момент времени
представляется как огибающая конечного или бесконечного числа регулярных
150
поверхностей
fa, каждая из которых обладает всеми свойствами поверхности
нагружения. Единичное приращение пластической деформации, происходящее
при изменении любой из регулярных поверхностей, дается соотнощениями
(2.2.6), где вместо 5Х и Г нужно представить ЗА,» и fa, а полное приращение пла­
стической деформации определяется как сумма единичных приращений (следу­
ет отметить, что это предположение апеллирует к принципу независимости
действия пластических механизмов). Для конической точки поверхности на­
гружения при таком подходе справедливы следующие соотнощения:
<
= Х^-^ат^;
./«=0;
(2-2.7)
а=1
Здесь отличны от нуля только те 5А,а, для которых выполняются условия, ука­
занные в (2.2.7)
Как справедливо отмечено в книге [1] В.Д. Клющникова, независимость
действия пластических механизмов - явление, не свойственное нелинейной ме­
ханике. Однако соотнощения (2.2.7) нащди довольно широкое применение в
теории пластичности. Это объясняется их относительной простотой. Формулы
(2.2.6), (2.2.7) являются соотнощениями теории пластического течения и они
позволяют решать геометрически и физически нелинейные задачи теории пла­
стичности, двигаясь малыми шагами вдоль диаграммы
Соотношения в (2.2.6), (2.2.7), связывающие
- 8ц.
с сТц, ассоциированы (свя­
заны) с функцией нагружения f, и поэтому их называют ассоциированными за­
конами пластичности.
Следует отметить, что в принципе возможны соотношения пластичности, не
удовлетворяющие условию градиентальности, но случай этот нужно отнести к
разряду необычных и считать оправданным только тогда, когда явным образом
обнаруживается структурная неустойчивость материала (В.Д. Клюшников [1]) .
151
2.3.
Постановка задачи о предельном рав­
новесии тел
Общая постановка задачи об оценке несущей способности элемента конст­
рукции состоит в следующем (Ю.Н. Работнов [2], М.И. Ерхов [1]). На части по­
верхности 5"^
заданы мгновенные скорости перемещений й- , на части по­
верхности 8р заданы усилия ц р | , где ц - неопределенный множитель (могут
присутствовать нагрузки, которые не зависят от параметра р). Требуется оце­
нить несущую способность конструкции, т.е. то значение параметра нагрузки
Рр, при котором конструкция превращается в механизм, имеющий, как мини­
мум, одну степень свободы.
Для рещения поставленной задачи привлекаются следующие соотнощения:
1. Уравнения равновесия
сту.,+^-,=0;
/,7 = 1,3.
(2.3.1)
2. Граничные условия для напряжений
о-уЛу =
Р,
на
(2.3.2)
Зр
3. Кинематические граничные условия
щ=й^
на
.S^.
(2.3.3)
4. Соотнощения ассоциированного закона деформирования
^и=^~--
(2-3.4)
152
5. Уравнение поверхности нагружения, соответствующие предельному со­
стоянию (уравнение поверхности текучести или поверхности прочности)
/ ( а ^ . ) = 0.
(2.3.5)
Поля скоростей перемещений и скоростей деформаций могут иметь допус­
тимые разрывы и связаны между собой соотнощениями
=
^
(
г
^
,
,
у
(
2
-
3
.
6
)
Решение полной системы уравнений (2.3.1) - (2.3.6) в общем случае явля­
ется чрезвычайно сложной задачей. Аналитические решения о несущей спо­
собности конструкций получены только для ограниченного круга задач.
2.4.
Вариационные
средством
Уравнение баланса мощностей
принципы
механики
являются
исключительно
мощным
исследования конструкций. Хотя соответствующие системы раз­
решающих уравнений механики сплошной среды вытекают как условия ста­
ционарности определенных функционалов, тем не менее, вариационные фор­
мулировки имеют ряд преимуществ (К. Вашидзу, [1]) . В частности, вариаци­
онные принципы иногда приводят к формулам для верхней и нижней оценки
точного решения задачи. Основой для вариационной формулировки задач во
многих случаях служит принцип возможных перемещений (принцип виртуаль­
ной работы) ( H . H . Бухгольц [2]), который можно сформулировать так: пусть
механическая система, на которую наложены заданные геометрические связи,
находится в равновесии под действием приложенных сил. Тогда сумма всех
153
виртуальных работ 8'\¥ всех внешних и внутренних сил, действуюших на эту
систему, на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлетво­
ряющих заданным геометрическим связям, равна нулю:
(^'\¥ = 0.
(2.4.1)
Здесь 5'\У не является вариацией некоторой функции состояния \ ¥ , а всего
лишь означает полную виртуальную работу. Тем не менее, из (2.4.1) следуют
для многих важных, для практики, случаев соотношения, которые имеют явно
вариационный характер.
Принцип виртуальной работы остается справедливым независимо от со­
отношений напряжения - деформации и существования потенциальных функ­
ций. Для тел, имеющих жесткие (недеформируемые) области и разрывные поля
напряжений и деформаций (перемещений) уравнение (2.4.1) имеет следующий
вид (М.И. Ерхов [1]):
'cJ,^5s^J(N + X \ c 7 , J n J { S u , ] d S - \ р ^ 3 и , с 1 8 - \X,Su,cN
V
/
5
= О
(2.4.2)
V
Здесь V - объем тела; 8] - 1-ая поверхность разрыва виртуальных перемещений;
ацП| - компоненты напряжений на Зь 1 - номер поверхности разрыва виртуаль­
ных перемещений; nj - компоненты нормали к соответствующей поверхности;
[5и1] - величина разрыва виртуального перемещения; р[ - компоненты вектора
поверхностной
нагрузки;
Х1 -
компоненты
вектора
объемной
нагрузки;
/,7 = 1,3.
Уравнения статической теории пластичности не содержат времени; однако,
разделив их на с11, можно формально перейти от приращений ёВц к скоростям
деформации £¡J.
154
Под переменной 1 здесь можно понимать время или монотонно возрас­
тающий параметр нагрузки или, наконец, какую-нибудь другую монотонно
возрастающую величину. После разделения (2.4.2) на
с учетом сказанного,
получим
( 2.4.3)
V
l S,
S
V
Это уравнение является уравнением баланса мощностей всех сил, действующих
на рассматриваемое тело. В научной литературе оно приводится под различны­
ми названиями. Например, в книге Л.М. Качанова [1] - "основное энергетиче­
ское уравнение"; в книге М.И. Ерхова [1] - " принцип виртуальной мощности";
в книге Д.Д. Ивлева [2] - " уравнение скорости виртуальных работ"; в книге
Ю.Н. Работнова [2] - "уравнение равновесия в форме Лагранжа".
2.5.
Экстремальные свойства предельных со­
стояний деформирования
Две теоремы, приведенные в этом разделе, позволяют получить нижнюю и
верхнюю оценки для предельного значения параметра нагружения (Ю.Н. Работнов [2]). Эти теоремы были впервые сформулированы и доказаны A . A .
Гвоздевым в малодоступной публикации 1934 г.; они многократно переот­
крывались независимо разными авторами.
Распределение напряжений (Т,у - называют статически допустимым, если
оно удовлетворяет всюду в теле уравнениям равновесия, граничным условиям в
усилиях на Sp и всюду в теле не выходит за пределы поверхности нагружения,
т.е./(а:)<0.
155
Пусть с^у,
, г/у - неизвестное нам истинное решение задачи о предельном
состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил
ау -
некоторое допустимое напряженное состояние, соответствующие поверхност­
ным силам pi~. Для краткости изложения примем, что объемные силы и разры­
вы скоростей перемещений отсутствуют (это не влияет на общность выводов,
Л.М. Качанов [1]). Запишем уравнение баланса мощностей (2.4.3) для рассмат­
риваемых случаев, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле
скоростей:
¡cJ•J¿,JdV
=
\p.й.dS,
(2.5.1)
¡p;й.dS.
(2.5.2)
V
cт••¿,JdV =
Вычитая (2.5.2) из (2.5.1), получим:
. ((^,; - cr~•)¿,JdV
= \(р,
V
-
(2.5.3)
p-)й,dS.
5
Из постулата Друккера следует, что левая часть уравнения (2.5.3) неотрица­
тельна, поэтому неотрицательна и правая часть:
•(р,-р-)й^(15= |(р,.-рГ)й;(18+ | ( р , - р - ) й , с 1 5 =
5
5р
|(p,-pГ)йfdS>0;
8у
\p¡йfdS>\p;йfdS.
Здесь учтено, что на
скорости перемещений заданы, т.е.
(2.5.4)
= йf , а на 5
за­
даны силы, т.е. p¡ = р ^ .
156
Итак, мощность действительных поверхностных сил на заданных скоростях
больще мощности, развиваемой поверхностными силами, соответствующими
любой другой статически возможной системе напряжений.
Это утверждение составляет содержание так называемой статической тео­
ремы о предельном состоянии.
Неравенство (2.5.4) служит для нижней оценки несущей способности тела.
Если внешняя нагрузка сводится к одной обобщенной силе О, которой соответ­
ствует обобщенная скорость перемещения ^ , то
'p,йfdS^Qq•
в этом случае в неравенстве (2.5.4) скорость д сокращается и получается оцен­
ка несущей способности
д>д"
(2.5.5)
Если нагрузки заданы в виде ppf,
сгу~ удовлетворяют условиям
обобщенную
силу,
а
а статически допустимые напряжения
сг~Лу ^ р~ р^
скорость
на 5р, то р
обобщенного
можно принять за
перемещения
будет
равна
pf щ dS. Тогда неравенство (2.5.5) принимает вид
в.
р,>р-.
Здесь
(2.5.6)
- опасное значение параметра р .
Рассмотрим суть так называемой кинематической теоремы о предельном
состоянии. Пусть
- произвольное кинематически допустимое поле скоро­
стей перемещений, т.е. такое поле, которое удовлетворяет граничным условиям
= й- на части поверхности 8^^. По значениям
определить
соответствующие
скорости
, используя (2.3.6), можно
деформации
далее,
используя
157
(2.3.4) , - напряжения сг,у . В общем случае напряжения сг,у не удовлетворяют
уравнениям равновесия. Запишем уравнение равновесия в форме Лагранжа,
принимая й'¡' за поле виртуальных скоростей:
Прибавим и вычтем в правой части этого равенства интеграл от сг^£у • Полу­
чим
Согласно постулату Друккера второй член в правой части этого равенства не­
отрицателен, поэтому
p^й;'dS<¡a^¿^dV.
(2.5.7)
V
Если внешняя нагрузка представляется одной обобщенной силой Р , то
0 < —Гс7,^4^К.
ч ч
Я V
(2.5.8)
Правая часть этого неравенства известна, если задано кинематически воз­
можное поле скоростей
.
Неравенство (2.5.7) служит для верхней оценки несущей способности. Из
(2.5.8) следует, что действительная предельная нагрузка не больше кинема­
тически возможной нагрузки. (Кинематически возможной называют нагрузку,
при действии которой конструкция превращается в механизм при соблюдении
наложенных на нее кинематических связей).
2.6.
Кинематический и статический методы
определения несущей способности кон158
струкций. Сведение задачи к задаче ли­
нейного программирования
Применяя оценки (2.5.5) и (2.5.8), можно получить интервал, в котором за­
ключено истинное значение предельной нагрузки 0 . Если верхняя и нижняя
оценки совпадают, то получено точное решение задачи о несушей способности
(доказательство соответствующей теоремы о единственности решения можно
найти, например, в книге [2] Ю.Н. Работпова).
Нахождение кинематически возможных полей скоростей, которые не обя­
зательно должны быть непрерывными, не встречает больших трудностей; варь­
ируя эти поля, находят нижнюю грань 1пГ Q"^, определяемую неравенством
(2.5.8). Эта величина М
может совпадать с точным решением, а может яв­
ляться наилучшим приближением в определенном классе возможных кинема­
тических схем пластического деформирования.
Построение статически допустимых полей встречает большие трудности,
связанные главным образом с тем, что определенные в пластических областях
'Я
поля напряжении должны допускать продолжение в жесткие зоны, притом та­
кое, что условие пластичности нигде не превышается. Варьируя поле допусти­
мых напряжений 0",^, можно найти верхнюю грань з и р О ' , определяемую нера­
венством (2.5.5). Это значение может совпадать с точным решением, а может
являться наилучшим приближением снизу в определенном классе статически
допустимых напряжений.
Параметр внешней нагрузки /у^, удовлетворяющий неравенству (2.5.6), на­
зывают статически допустимым; значение {л" этого параметра, удовлетво­
ряющий неравенству (2.5.7), называют кинематически возможным.
Статический и кинематический методы решения задач о несущей способ­
ности конструкций основаны на двух теоремах, суть которых изложена в пре­
дыдущем разделе. Для сужения "вилки"
1,59
(2.6.1)
часто используют методы математического, в частности, линейного, програм­
мирования.
Общая задача линейного программирования заключается в следующем
(Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. [1]) . Дана линейная целевая
функция
(2.6.2)
и система линейных ограничении
«1Л+^12-^2
^21^1+022X2+-.- + а2„х„ =Ь2-
X,- > 0 ;
7 = 1,л,
(2.6.3)
(2.6.4)
где п > т ; a¡J•,b¡, Cj - заданные постоянные величины.
Необходимо найти такие неотрицательные значения х , , Х 2 , х , , , которые
удовлетворяют системе ограничений (2.6.3) и доставляют целевой функции
(2.6.2) минимальное значение. Общая задача линейного
программирования
имеет несколько форм записи. Наиболее щироко используемым методом рещения общей задачи линейного программирования является так называемый сим­
плекс - метод.
Планом, или допустимым рещением, задачи линейного программирования
называют вектор {х,, Х 2 , . . . , х , ^ ^ , удовлетворяющий условиям (2.6.3), (2.6.4).
160
Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного про­
граммирования называют план, доставляющий наименьшее значение целевой
функции (2.6.2).
В статическом методе решения задачи о несущей способности тела ис­
пользуют уравнения равновесия (2.3.1), (2.3.2) и уравнение предельной по­
верхности (2.3.5). Если Г(ау) в (2.3.5) является нелинейной функцией, то пре­
дельную
поверхность
аппроксимируют
вписанным
или описанным
мно­
гогранником. Используя одно из уравнений равновесия, находят выражение для
р " (целевая функция), остальные соотношения образуют систему ограничений
задачи линейного программирования.
В
кинематическом
методе
используют
уравнение
баланса
мощностей
(2.4.3) , кинематические граничные условия (2.3.3), уравнение предельной по­
верхности
(2.3.5), соотношения
ассоциированного
закона
деформирования
(2.3.4) и соотношения (2.3.6). Используя (2.4.3) определяют выражение для //^
(целевая функция) и некоторое интегральное ограничение, остальные ограни­
чения задачи линейного программирования следуют из других используемых в
этом методе соотношений.
Дискретизацию объекта расчета осуществляют, в большинстве случаев, с
использованием метода конечных разностей, или метода конечных элементов.
2.7.
Универсальный характер ассоцииро­
ванного закона деформирования. О ме­
тоде пластических решений
Вышеприведенные соотношения теории предельного равновесия без всяких
оговорок могут быть использованы только для таких режимов деформирования,
которые характеризуются диаграммойСту- ц, изображенной на рис.2.7.1 (жест­
ко пластическая модель деформируемого твердого тела). Причем решение по­
лучается для точки А этой диаграммы только в виде тенденции дальнейшего
161
развития напряженно-деформированного состояния тела во времени (в резуль­
тате решения получаем скорости перемещений и деформаций). В связи с этим
является довольно распространенным ошибочное мнение о том, что область
приложения ассоциированного закона деформирования в форме (2.3.4) ограни­
чена только решением задач о предельном состоянии жесткопластических тел.
Между тем, как отмечает в [1] Д. Друккер, выпуклость поверхности
на-
гружения и нормальность приращения вектора кинематических характеристик
к этой поверхности играют ключевую роль для упругих и упруго пластических
тел. Теоремы о минимуме потенциальной энергии, о минимуме дополнитель­
ной энергии, теоремы о верхней и нижней границах в идеальной пластичности,
соответствующие теоремы для упрочняющихся материалов -
все они по­
лучаются непосредственно и просто как следствия постулата устойчивости ма­
териальных систем (Д. Друккер [1, 2]). Следовательно, область приложения
концепции о поверхности нагружения и ассоциированного закона деформиро­
вания должна быть намного шире, чем только решение задач о несущей спо­
собности жесткопластических тел.
Зададим себе следующие вопросы: 1. Нельзя ли использовать хорошо раз­
работанный и внутренне логичный аппарат теории предельного равновесия для
решения задач о хрупком разрушении тел? 2. Нельзя ли использовать тот же
аппарат для исследования напряженно-деформированного состояния тела на
всем протяжении экспериментальной диаграммы а!, - 8ц? Постараемся ответить
на эти вопросы.
На рис. 2.7.2 изображена условная диаграмма связи между напряжениями Су
и деформациями 8у при хрупком разрушении тела. Участок ОА этой диаграммы
соответствует устойчивому состоянию материала, участок АО - его неустойчи­
вому состоянию. Как отмечает Л.М. Качанов в книге [2], прежние представле­
ния о разрушении как о мгновенном акте оказались наивными. В любом случае
разрушение представляет собой процесс, протекающий за определенный про­
межуток времени А1. В результате действия нагрузок на изделие идет процесс
накопления повреждений в нем. В области разрушения материал непрерывно
162
меняет свои свойства. Проследить жизнь конструкции от начального момента
приложения нагрузки до ее разрушения, рассматривая это как непрерывный
процесс, в настоящее время вряд ли представляется возможным.
Одной из
причин этого является то, что способ выделения полного набора независимых
внутренних параметров для системы, допускающей необратимые деформации,
в настоящие время неизвестен. В связи с этим чаще всего ограничиваются рас­
смотрением более простой задачи - а именно, задачи определения предельного
состояния конструкции, т.е. определения такой комбинации внешних воздейст­
вий, после приложения которой конструкция перестает выполнять свое функ­
циональное назначение.
Здесь возникают, по крайней мере, два вопроса. Первый из них - что при­
нять за признак разрушения конструкции. Ответ на этот вопрос не будем кон­
кретизировать, а будем считать, что признак разрушения конструкции ус­
танавливается, исходя из ее функционального назначения. Второй вопрос - ка­
кую принять связь между обобщенными силами и обобщенными перемеще­
ниями в предельном состоянии. Постараемся ответить на этот вопрос более
подробно.
Допустим, что переход от устойчивого состояния материала, характери­
зуемого участком О А диаграммы
- 8у на рис. 2.7.2,в его неустойчивое со­
стояние, характеризуемое участком АО, происходит непрерывным образом, за
время А1. Тогда материал за этот промежуток времени испытывает целый
спектр состояний, виртуальные диаграммы
- 8ц, соответствующие этим со­
стояниям, располагаются в пределах угла В А О (рис. 2.7.2, штриховые линии).
Виртуальной диаграммой crij - s,j будем считать такую, которая имела бы
место, если бы удалось стабилизировать свойства материала, которые он имеет
в рассматриваемый момент времени. Среди виртуальных диаграмм есть и та­
кая, которая параллельна оси 8у (линия А С на рис. 2.7.2). Виртуальные обоб­
щенные перемещения определим как любые бесконечно малые перемещения
точек конструкции (удовлетворяющие кинематическим условиям на ее поверх­
ности), для которых учитывается работа внутренних сил (реакций материала), а
163
виртуальная диаграмма связи между обобщенными силами и обобщенными пе­
ремещениями совпадает с линией АС, параллельной оси Sij. Виртуальные
обобщенные силы определим как бесконечно малые приращения обобщенных
сил; вектор виртуальных обобщенных сил направлен по касательной к поверх­
ности нагружения, соответствующей предельному состоянию. Состояние мате­
риала, соответствующее виртуальной диаграмме АС, примем за предельное.
Итак, теория предельного равновесия может быть использована для опреде­
ления несущей способности тел при их хрупком разрущении, если в качестве
поверхности нагружения использовать поверхность прочности, а виртуальную
диаграмму
- 8ц принять параллельной оси Sy (рис. 2.7.2).
Отметим, что форму и размеры тела, состояние которого характеризуется
точкой А диаграммы на рис. 2.7.2, считаем известными.
При вязком разрущении материала (идеальная пластичность) виртуальная
диаграмма А С на рис. 2.7.2 имеет конечную протяженность и становится в этом
смысле действительной диаграммой.
Рассмотрим второй из поставленных в этом разделе вопросов. Известен ме­
тод решения задач теории пластичности, называемый методом упругих реше­
ний, предложенный A . A . Ильюшиным
[2]. Суть его заключается в рас­
смотрении последовательности линейных задач теории упругости, решения ко­
торых с увеличением порядкового номера сходятся к решению задачи теории
пластичности. По аналогии с этим методом можно предложить « метод пласти­
ческих решений». Суть его заключается в рассмотрении последовательности
жесткопластических задач теории пластичности, решения которых позволяют
учесть все особенности экспериментальной диаграммы
- 8у. Остановимся
подробнее на этом методе.
Рассмотрим условную диаграмму Сту - Sy, изображенную на рис. 2.2.1. Ре­
шение, соответствующее точке А этой диаграммы, получается как решение со­
ответствующей задачи теории упругости. Далее, используя аппарат теории пре­
дельного равновесия и виртуальную диаграмму Аро, можно найти скорости де­
формаций и перемещений, используя в качестве поверхности нагружения по164
верхность пределов упругостей. По деформациям (перемещениям) можно сде­
лать малый щаг и найти деформации и перемещения, соответствующие абсцис­
се точки ро- Далее поверхность нагружения нужно изменить таким образом,
чтобы она соответствовала точке р1 диаграммы
- еу. Используя эту поверх­
ность нагружения, можно сделать малый щаг в точку рг, далее корректировать
поверхность нагружения, используя ординату точки рз и т.д. - до точки В диа­
граммыСТц- 8ц.
На участке ВС диаграммыСтц- ц (рис. 2.2.1), параллельном оси 8ц (идеальная
пластичность), рещение геометрически нелинейной задачи можно искать, ис­
пользуя соотнощения теории предельного равновесия, по методике, аналогич­
ной изложенной в работе [1] И.А. Монахова и В.И. Себекиной.
Рассмотрим нисходящий участок С О диаграммы ац - еу (рис. 2.2.1). Здесь
деформирование материала сопровождается появлением внутренних дефектов,
что эквивалентно уменьшению площади эффективного, т.е. несущего фактиче­
ски нагрузку, сечения (Ю.Н. Работнов [2]). При макроскопическом описании
поведения таких материалов постулат Друккера не выполняется. Тем не менее,
если известен закон изменения поверхности нагружения на участке разупроч­
нения СО, то соотношения теории предельного равновесия и на этом отрезке
диаграммы сгу - 8у могут быть использованы для исследования напряженно-де­
формированного состояния тела. Имея результаты решения задачи, соответст­
вующие точке С диаграммы сгу - 8у, можно сделать малый шаг по деформациям
и прийти в точку р4. Далее можно корректировать поверхность нагружения, ис­
пользуя ординату точки рз, сделать малый шаг в точку рб и т.д. - до точки О
диаграммы. То, что на этом участке можно использовать соотношения теории
предельного равновесия, становиться очевидным из следующих рассуждений.
Пусть в результате предыдущего процесса решения задачи мы пришли в точку
Рз диаграммы. Если произвести разгрузку, начиная с этой точки, то она пойдет
вдоль линии рзК, параллельной участку О А диаграммы ау - 8у; Повторное нагружение до точки рз идет вдоль этой же линии Крз. При дальнейшем нагружении в точке рз свойства материала характеризуются виртуальными диаграмма165
ми, расположенными внутри угла ЬрзВ; среди этих диаграмм есть диаграмма
рзМ, параллельная оси 8ц. Используя виртуальную диаграмму рзМ , можно сде­
лать малый шаг в точку рб, далее корректировать поверхность нагружения, ис­
пользуя ординату точки р?, сделать следующий шаг и т.д.
На участке А В диаграммы сту - ЕЦ (рис. 2.2.1) поверхность нагружения ис­
пытывает перенос и (в общем случае - неравномерное) расширение. На участке
ВС (идеальная пластичность) поверхность нагружения остается неизменной. На
участке СО поверхность нагружения испытывает перенос и (в общем случае неравномерное) сужение. Поведение поверхности нагружения на всем протя­
жении д и а ф а м м ы Стц - ц в принципе может быть описано уравнением вида
(2.1.2). Основная трудность при записи уравнений этого вида - это выделение
полного набора параметров Хп'', постоянных при фиксированных значениях
В частности, в качестве параметра упрочнения можно взять выражение рассеянной энергии Ар = ] Оуёе^ (Л.М. Качанов [1]).
Следует подчеркнуть, что хрупкие элементы конструкций выключаются из
рассмотрения сразу же после достижения ими предельных напряжений, а пла­
стические - после достижения ими предельных значений деформаций.
Итак, аппарат теории предельного равновесия можно использовать: 1) для
определения несущей способности тел при их хрупком или квазихрупком раз­
рушении; 2) для исследования напряженно-деформированного состояния тел с
использованием всей диаграммы Су - еу (как основу метода пластических ре­
шений).
На рис. 2.7.3 показаны схематические эпюры нормальных напряжений а ц в
поперечном сечении тонкостенного элемента конструкции (пластины, оболочки
или бруса) для различных случаев. Рис. 2.7.3а соответствует случаю Тц ^ О (ос­
тальные внутренние силовые факторы равны нулю), рис. 2.7.3(6 - г) - случаю
Мп
0. Через ао обозначено опасное значение напряжений а ц (предел прочно­
сти ац для хрупких материалов и предел текучести Су для пластичных материа­
лов). На рис. 2.7.3(а - Ь) эпюры построены для однородного материала, на рис.
166
2.1 Зг - для слоистого (композитного) материала. Принято, что материалы оди­
наково сопротивляются как растяжению, так и сжатию. На основе этих эпюр
можно сделать следующие выводы: если разрушение элемента конструкции
происходит при чисто мембранном напряженном состоянии, то расчет хрупких
элементов с использованием теории предельных состояний, базирующейся на
жесткопластической модели твердого деформируемого тела, вполне законен.
Если же разрушение хрупкого элемента конструкции происходит путем чисто­
го изгиба, то максимальная погрешность для предельного момента М п равна
50% (в сторону завышения несущей способности сечения). Это видно из срав­
нения рис. 2.7.36 и рис. 2.7.3в.
Рациональные композитные элементы, работающие на изгиб, имеют такое
строение материала, когда наиболее прочные компоненты располагаются в
наибольшем удалении от нейтрального (при изгибе) слоя. Как видно из рис.
2.7.3г, для таких хрупких материалов погрешность при использовании теории
предельных состояний для определения их несущей способности при чистом
изгибе, будет меньше 50% .
Итак, использование теории предельного равновесия, базирующейся на же­
сткопластической модели деформируемого твердого тела, для определения не­
сущей способности хрупких тел, позволяет оценить эту несущую способность
сверху. Чем меньше влияние изгибающих и крутящих моментов на предельное
состояние конструкции, тем эта оценка ближе к истинной несущей способности
хрупкого тела (для статически определимых конструкций). При итерационном
решении задач о несущей способности хрупкие элементы конструкции, дос­
тигшие предельного состояния (по прочности) на предыдущем шаге, в после­
дующих шагах должны быть исключены из рассмотрения (как разрушившиеся).
Пластические элементы исключаются из рассмотрения после достижения ими
предельных значений деформаций.
167
3.
Теории прочности однородных
анизотропных оболочек, пластин,
брусьев
3.1.
Некоторые определения и гипотезы
Оболочками называют тела, один из раз^1еров которых (толщина) мал по
сравнению с двумя другими. Геометрия оболочки определяется
ограничи­
вающими ее лицевыми поверхностями и, если она не замкнута, боковыми по­
верхностями. Поверхность, равноудаленную от лицевых, называют срединной.
Длина отрезка перпендикуляра к срединной поверхности, заключенного между
лицевыми поверхностями, называется толщиной оболочки. В общем случае
толщина оболочки - величина переменная.
При построении теории оболочек различают тонкие и толстые оболочки.
Тонкими называют оболочки, для которых отнощение 1т/Ко (где Ко - мини­
мальный радиус кривизны срединной поверхности, либо ее характерный раз­
мер) мало по сравнению с единицей. Соответственно, для толстых оболочек это
отнощение не мало. Указанное разделение оболочек на тонкие и толстые до­
вольно условно; как отмечается в книге В.В. Новожилова, К.Ф. Черныха, Е.И.
Михайловского [1], рекомендуемое обычно условие тонкостенности Ь/Ко <1/20
слишком осторожно.
Тонкие оболочки обладают замечательным свойством выдерживать зна­
чительные нагрузки при минимальной толщине. Это свойство тонких оболочек
позволяет создавать из них легкие конструкции с хорошими жесткостными и
прочностными характеристиками, что способствует широкому
применению
оболочек в строительстве крупных сооружений, автомобилестроении, судо­
строении, авиакосмической промышленности всюду, где малый вес является
жизненно необходимым.
168
Плоской пластинкой средней толщины или тонкой плитой принято назы­
вать тело призматической или цилиндрической формы с малой по сравнению с
размерами основания высотой. Пластинку можно рассматривать как частный
случай оболочки, у которой главные кривизны в любой точке срединной по­
верхности равны нулю.
Стержнем (брусом) называют тело, у которого размеры поперечного се­
чения малы по сравнению с длиной и радиусом кривизны осевой линии. Осевой
линией бруса называется линия, соединяющая центры тяжестей площадей по­
перечных сечений стержня.
При построении расчетных схем элементов конструкций, с целью уменьщения размерности пространства независимых переменных задачи, принимают
те или иные гипотезы. Основные гипотезы для брусьев следующие: 1) попереч­
ные нормальные сечения бруса, плоские до деформации, остаются нормальны­
ми и плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли); 2) в плоскостях попе­
речных сечений сдвиги отсутствуют; 3) "волокна" бруса, параллельные его осе­
вой линии, не давят друг на друга. Основные гипотезы для пластин (гипотезы
Кирхгофа): 1) прямолинейные волокна, перпендикулярные к средней плоскости
пластины, остаются после деформации перпендикулярными к изогнутой сред­
ней плоскости, сохраняя при этом свою длину; 2) нормальными напряжениями
на площадках, параллельных изогнутой средней плоскости, можно пренебречь
по сравнению с прочими напряжениями. В теории оболочек используют анало­
гичные гипотезы (гипотезы Кирхгофа - Лява). В некоторых случаях приходит­
ся отказываться от тех или иных гипотез (например, учитывать сдвиги). Здесь
все должно быть подчинено необходимости формирования системы разре­
шающих уравнений, адекватно описывающих работу конструкции в рамках до­
пустимых погрещностей.
169
Вывод параметрических уравнений пре­
3.2.
дельной поверхности для анизотропных
оболочек и пластин
Рассмотрим случай кратковременного статического нагружения однород­
ных анизотропных оболочек и пластин. На рис. 3.2.1. изображен малый элемент
оболочки с действующими на его видимые грани напряжениями. Здесь а ь аг линии главных кривизн срединной поверхности оболочки. Оси
^2 направле­
ны по касательным к линиям а ь а2 соответственно, ось 2 ортогональна сре­
динной поверхности; О;^ (1,к =1,3) - компоненты тензора напряжений в сис­
теме
^1^22.
Согласно статической гипотезе сгзз г 0. Геометрические гипотезы
для скоростей деформаций выражаются следующими уравнениями:
Saß = ё а р + 2 ж „ р ;
вз„=0,5уз„;
a,ß = l,2.
(3.2.1)
Здесь величины е^р, sb^ß, Уз^не зависят от координаты z.
Поскольку использование геометрических гипотез приводит к вполне оп­
ределенному закону изменения скоростей деформаций по толщине оболочки,
то и закон изменения напряжений можно считать известным. Поэтому ока­
зывается целесообразным ввести вместо напряжений их интегральные харак­
теристики - усилия и моменты:
h/2
Тар= Joaßdz;
-h/2
h/2
Q„3=
ja^.dz;
-Ii/2
h/2
M„p = jo^pzdz;
a,ß = l , 2 .
(3.2.2)
-h/2
Формулы (3.2.1), (3.2.2) соответствуют случаю, когда I z| / R i и | z| /R2 явля­
ются намного меньщими единицы; здесь R j , R2 - главные радиусы кривизны
срединной поверхности.
170
На рис. 3.2.2 показаны положительные направления внутренних погонных
сил и моментов, действующих на элемент срединной поверхности оболочки.
Если справедливы соотношения (3.2.2), то Т]2 = Т 2 1 , М 1 2 = М 2 1 .
Как было отмечено выше, принятие геометрических гипотез приводит к
вполне определенному закону изменения напряжений по толщине оболочки.
Это имеет место при условии, если физические уравнения (уравнения связи
между обобщенными силами и обобщенными перемещениями) известны. Если
принять за поверхность нагружения в предельном состоянии
прочности
(пластичности) для рассматриваемого
материала,
поверхность
описываемую
уравнением Ф(сТу) = О, то связь между обобщенными силами и виртуальными
обобщенными перемещениями в предельном состоянии можно записать в виде
ассоциированного закона
дФ
58у=5^---,
где
5^
(3.2.3)
= 6(58у) > 0 .
Рассмотрим оболочку из анизотропного материала, уравнение поверхности
прочности для которого в осях
Ф = Ао^|+
£,1^22
2605,022+ С 0 2 2
+ 2Ка22а|2
имеет вид
+2ВацЧ-
+ 2 Q a , 2 + Ко?з+
2Еа22
+ Еа?2 + 2 Р а ] 1 а ) 2 +
^
2 М а , з а 2 з + N023-1 = 0.
Используя ассоциированный с (3.2.4) закон деформирования (3.2.3) и переходя
к скоростям деформаций ¿jJ - с1£у-1Л, находим
=21(Аа11+Ва22+Ра12+0);
¿12 = 2 1 ( Р о 1 , +
аа22+Еа,2 + 9);
¿22 = 21(Ва11 + С о 2 2 + К а 1 2 + Е ) ;
¿13
=
21(Ка1з+М023);
(3.2.5)
¿23 = 2А.(Ма1з+ N023).
Решаем систему (3.2.5) относительно компонент тензора напряжений:
171
0,1 = ^ ( § и ё 1 1 + § 1 2 ё 2 2 + 5 1 3 ^ 1 2 ) - ^ ;
^22
=7;Т-г(521£11+^22^22+52зё12)--^'
(3.2.6)
^12 = Г 1 - 7 ( ° 3 1 е 1 1 + 0 3 2 ^ 2 2 + Ь з 3 ^ 1 2 ) - - Т - ;
(^13 = ^ ( ^ 8 1 з - М 8 2 з ) ;
023
=4^(К82з-М81з).
Здесь
А
К
М
М
N
= K N - M ^
А =
в
Р
В
е
Р
к
К
ь
А | (1 = 1,3)- определители, полученные путем замены 1-го столбца Д на вектор
{ВЕР}^; 5у = 8J, - алгебраические дополнения (1, ]), (], 1)-тых элементов А соот­
ветственно (/,7 = 1,3).
Подставляя
V =
1
(3.2.6)
5
в {Ъ2Л), находим
8^+5
11
8^+5
22
22
¿ ' + 2 5
33
12
¿
^ 12
+5,,¿„¿,2 +
¿
11
22
(3.2.7)
+Sзlël2¿ll)+^(N¿fз-2M¿lз¿2з+K¿2з)
о
Здесь
5д = 1 М , + 5 Д 2
Если имеют место соотношения
(3.2.1),
то
+ОД34-Д.
(3.2.7)
можно записать в виде
1^ = — ^ ( Р е + 22Р,^ + 2^Р^
'Л
где Ре, Рае, Реш - квадратичныс И билинсйная формы:
172
Ре
=^11ёи+§22ё22+§ззё?2+2(512ё11ё22+§2зё22ё12+5з1ё12ё11)
+ А(Ну2^-2Муз1Уз2 +
Рее =
+
Ку?2);
§11*11 + §22*22 + 533*12 +2(512*11*22 + 523*22*12 + §31*12*11);
Реж = §11611*11 + 522 ^22*22 + 5ззё12*12 + §12 (¿22*11 + ¿11*22 ) +
+ 52з(ё22^12+
¿12*22)+ §31(612*11 + ^11*12)
Подставляя напряжения (3.2.6) в формулы (3.2.2), получаем;
Тп =^[(811611+512^22+§13^12)11+(§11*11+§12*22+§13*12)12]--^-;
Т22 =
^ [ ( § 2 1 ^ 1 1 + §22^22+
Т12 =
:Г7[(§31ё11+
2А
§32^22+
§23е12)11+(§21*11+ § 2 2 * 2 2 + §23*12)!:
А '
АЛ1
§3зё12)11+(§31*11+ § 3 2 * 2 2 + § 3 3 * 1 2 ) Ь ] -
А
=^^[(§11^11+§12^22+§1зё12)12+(§11*11+§12*22+§13*12)13];
2А
1
М22 =
г,
—[(§21611+ §22^22+ §2зё12)Ь+ (§21*11 + §22*22+ §23*12)13];
2А
М12=^[(§31ё11+§32ё22+§33612)12+(§31*11+§.32*22+§33*12)Ь];
Оз 1 = ^ (N731 - Му 32); Рз2 = ^ (1^732 - Муз, ).
(3.2.8)
Здесь Ь - толщина оболочки. Интегралы ¡1, ¡2,1з определяются формулами
-Ы2
-у 2
-11/2
Соотнощения (3.2.8) являются параметрическими уравнениями предельной
поверхности в пространстве погонных внутренних сил и моментов для тонких
анизотропных оболочек и пластин, предельная поверхность для материала ко­
торых в осях «^1^2-^ (рис. 3.2.1) описывается уравнением (3.2.4).
173
Вывод параметрических уравнений пре­
3.3.
дельной поверхности для анизотропных
брусьев
Введем систему координат 0^1^2^3' связанную с брусом следующим обра­
зом: ось ^1 направлена по нормали к поперечному сечению бруса; оси ^2^3 ле­
жат в плоскости поперечного сечения; точка О является центром приведения
внутренних элементарных сил. Гипотезы статики выражаются тождествами
<522
= О, азз 2 о, а гипотезы геометрии - тождествами 823 = 0, 832 ^ 0. Полагаем,
что сдвиги в плоскостях £,1^2 и £,1^3 в общем случае не равны нулю. Следствием
геометрических гипотез является то, что напряжения агз и аз2 не будут обоб­
щенными силами (они не совершают работу при деформации бруса).
Рассматриваем брусья из таких анизотропных материалов, поверхности
прочности для которых (при принятых гипотезах) могут быть аппроксимирова­
ны следующим уравнением:
+ 20сг1зСГц + 20ст^1 + 2ОСГ12 + 2Гсг1з - 1 = 0 .
Используя ассоциированный с (3.3.1) закон деформирования, найдем скорости
деформаций 8у:
• дФ
8.1
•(
= 2Х(Аа,, +Ро,2 + О а , з + В ) ;
5^11
8.2 = 2 1 ( Ь а , 2 + Р о , , + 5 а , з + д } ,
(3.3.2)
¿ , 3 = 21(Ко,з + 8 а , 2 + С а 1 , + Т).
Решая (3.3.2) относительно с>\\,сУи,(Уп
находим
174
2ХА
А
^12 = - | 7 ( § 2 1 ё 1 1 +
§22ё12+52зё1з)-^;
21Д
^13
(3.3.3)
А
=ТТ7(^31^11+§32^12+§33£13)-^-
2ХА
А
Здесь
А=
А
Р
О
Р
Ь
8
О
8
К
А| [{ = 1,з) - определители, полученные путем замены 1-го столбца А на вектор
{ВОТ}^; бц. =
- алгебраические дополнения (1, к)-го элемента А (/,^ = 1,з).
Подставив ( 3 . 3 . 3 ) в ( 3 . 3 . 1 ) , находим
= - ^ ( 5 1 1 8 п + 5 2 2 8 ? 2 + 5зз8?з + 2512811 ¿ 1 2 + 2 5 2 3 8 1 2 8 1 3 + 2 5 3 1 8 1 3 8 1 1 ) .
(3.3.4)
Здесь 8д = ВА] + р А 2 + ТАз + А .
Формулы Кирхгофа для скоростей деформаций имеют следующий вид (А.
Ляв [1]):
¿1, = ¿ 1 , - ¿ 2 1 ^ 2 + * з 1 ^ з ;
¿12 = О Д / 2 1 - * 1 1 ^ з ) ;
¿13 = 0 Д г з 1 + * 1 1 ^ 2 ) - (3-3.5)
Здесь ¿11 - скорость деформации вдоль оси <^1, 7 2 1 ' / з 1 ~ скорости сдвигов, ¿ 2 ,
- скорость изменения кривизны проекции осевой линии бруса на плоскость
^1^2' зез1 ~ аналогичная величина на плоскости ^1^3, ае,, - скорость изменения
закрутки осевой линии бруса. В пределах рассматриваемого поперечного се­
чения эти величины не зависят от
и 1^2 •
Подставив ( 3 . 3 . 5 ) в (3.3.4), получаем
=^
(Ре+ 2^2Ре.^ + 2^зР^^ + ^2Р^^ + 2^2^зР'^'^ + ^зР|^ }
(3.3.6)
175
Здесь
Р , = 5 „ e f i + 0,25 §22721 + 0,25 633731 + 5 i 2 e , i 7 2 i +
+ 0,552372iY3i + 5 i 3 e i i 7 3 i ;
P i ' = - 5 i i e i i * 2 i + 0,2553373i*,1-0,55,2721*21 +
+ 0,25721аец52з+ 0,55,3611^,,-0,55i373i«2i;
Pes
=§11ён*з1-0,25522721*11-0,5
(3.3.7)
5,2611^1,+
+ 0,55,2721*31- 0,2552з7з1*11+ 0 , 5 5 , з 7 з , ¿ 3 1 ;
P i ' = 5 i i J E ^ i + 0,25533*f,-5,3*21^1,;
P^i^' =-5iiae2,^3i + 0 , 5 5 , 2 ^ 2 i * i r Pi'
0,25523*u+0,55,3ce3i^,,;
=§ii*?i+ 0,25522*n-§,2*3i*ii •
Подставим ( 3 . 3 . 5 ) в ( 3 . 3 . 3 ) . Имеем:
1
^11 = г т т [ § 1 1 ё 1 1 + 0,5 5,2721+ 0,55,зУз,+
2ХД
+^2(0,55,зж,,-5,,¿21)^
^3(811*31-0,55,2«,,)
' 1
^12 = Г 7 7 [ 5 2 1 ^ 1 1 + 522 0,5721 + 0,552з7з1 +
(3.3.8)
+
^2(0,5523^11-52,^21)+^3(521*31-0,5522*11)
1
^13 =
5з,ё,, + 0,55з2721+ 0 , 5 5 з з 7 з , +
21А
+
^2(0,55зз<Б,,-5з,сВ2Л^з(5з1*з1-0,55з2*„)
А
Внутренние силы и моменты в поперечном сечении бруса определяются
следующими формулами (И.Г. Терегулов [1]):
T,, = { a i i d A ;
Q2i = j a 2 i d A ;
А
А
М1 = |(аз1^2-^^21^з)^А;
А
Q3i = | G 3 i d A ;
(3.3.9)
М 2 = {оц^зёА;
А
М3 =-|а11^2^А.
А
Здесь Т|1 - осевая сила, 021, Оз1 - поперечные силы, М] - крутящий момент, М2,
Мз - изгибающие моменты, А - площадь поперечного сечения.
176
Подставляя (3.3.8) в (3.3.9), получаем:
Т и = Л - [ ( 5 1 1 ^ 1 1 + § 1 2 - 0 , 5 у 2 , + 0,55,зУз,)11 +
2А
+ ( 0 , 5 5 5 3 ^ , 1 - 5 5 1 ^ 2 1 ) ^ 2 + ( 5 1 1 * 3 1 - 5 , 2 Ж „ ) 1 з ] - у А;
Q21 = Т т [ ( 5 2 1 ё 1 1 + 0 , 5 5 2 2 У 2 1 + 0,5 52зУз1)1! +
2А
А+ ( 0 , 5 5 2 з Ж „ - 5 2 1 ^ 2 1 ) 1 2 + ( 5 2 1 * 3 1 - 0 , 5 8 2 2 * 1 1 ) 1 3 ] - ^ А;
0^1 = Т 7 [ ( 5 ч 1 ё и + 0 ' 5 5 з 2 У 2 , + 0 , 5 5 з з У з , ) 1 , +
2А
+ (0,5 5 з з а е , , - 5 з , с ё 2 1 ) 1 2 + ( 5 з 1 * з 1 - 0 , 5
А,
5з2Жп)1з]-^А;
[ ( Ь б з , - 1 3 8 2 1 ) ё , , + ( 1 2 5 з 2 - Ь 5 2 2 ) - 0 , 5 у 21 +
М, = ^
+ 0,5(12833-1з52з)Уз,+0,5(1,822+14833-215823)*.!+
(З-З-Ю)
+ (15521-1451з)*21+(!551з-1б512)*з11 + ^ 5 2 - ^ ^ 3 ;
= Т 7 [(811611+0,58,2У21+0,55пУз1)1.+
2А
+ 0 , 5 ( 1 5 8 , з - 1 б 8 1 2 ) ж , , - 1 5 8 1 , ¿ 2 1 + 1 6 8 1 1 * 31
М з = т ^ [ ( 8 п е п + 0 , 5 8 , 2 У 2 1 + 0 , 5 5,зУз,)12 +
2А
+ 0,5(145,3-158,2 ) ж , , - 1 ^ 5 , , ¿ 2 1 + 1 5 8 1 1 * 3 1 ] А
Здесь
• с1А
Л Ч ^ ;
Л
/2
=1 ^ ;
/4
/з = ]
=
л
'
(3.3.11)
л
Уравнения
(3.3.10)
;
/ б -
являются
,4
Л
А
параметрическими
уравнениями
поверхности
прочности для анизотропных брусьев при их сложном сопротивлении.
177
3.4.
Вывод параметрических уравнений пре­
дельной поверхности для окрестности
вершины сквозной макротрещины в ани­
зотропных тонких оболочках и пластинах
Рассмотрим сквозную макротрещину в тонкой оболочке (рис. 1.3.1.1). Пусть
для малой (в сравнении с полудлиной трещины) области 2 у вершины трещины
справедливы формулы (1.4.1) для напряжений. Рассмотрим случай, когда вклад
регулярных составляющих напряжений в процесс разрушения незначителен.
Выведем параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве
обобщенных сил для области 2 на рис.1.3.1.1, используя уравнения предельной
поверхности в пространстве КИП (1.4.11).
Рассматривая режим деформирования, соответствующий виртуальной диа­
грамме АС (рис.3.2.3), можно записать следующее выражение для скорости ос­
вобождения внутренней механической энергии с единицы объема оболочки:
а = а,8^ + а , 8 , + т^уу,, + т,^у,^ + т ^ у , , .
(3.4.1)
Подставляя (1.4.1) в (3.4.1), получаем:
(1 = К1Я, + КпС1п + КшЯш.
(3.4.2)
Здесь коэффициенты интенсивности напряжений К 1 , К ^ , К щ выступают в ка­
честве обобщенных сил, Я1,Я11,Я„1 - скорости соответствующих обобщенных
перемещений:
Я1
Яп
= ( с , 8 , + Сз8,,+ С5У,у)/л/г;
= ( с 2 ё х + С4£у
Здесь коэффициенты с, -^
+ с,у,у)/7^;
(3.4.3)
определяются соотношениями (1.4,2).
178
Условие достижения предельного состояния материала на расстоянии
от
вершины трещины (1.4.11) перепишем в следующем виде:
Ф = С11К? +
2 С 1 2 К 1 К п + С22К^
+ СззК^1 + 2 В , К 1 + 2 В 2 К п - 1 = 0.
(3.4.4)
Здесь, например, С1 = Ау^/г^,
02=82/л]г^.
Используя ассоциированный с (3.4.4) закон изменения кинематических ха­
рактеристик, найдем:
с 1 , = 1 | ^ = 21(С„к,+с,2Кп +о,);
4п=21(С,2К1 + С22Кц + 0 2 ) ;
(3.4.5)
Яш = 2ХСззКщ .
Здесь 1(41, 4ц,4л1) > 0. Решая систему уравнений (3.4.5) относительно КИН,
находим:
К1=4^(С22Ч1-С12Я„)-|;
Кп
Здесь 6 = С 1 1 С 2 2 - С ^ 2 ;
=:^г(С„Яп-С,2Я1)-^;
2 ко
о
(3.4.6)
^1 = ^ 2 2 ^ - С , 2 / ^ 2 ; ^ 2 = ^ 1 1 ^ 2 " ^ 1 2 ^
Подставл51я (3.4.6) в (3.4.4), получаем:
45^' = ^ ( С 2 2 Я ? - 2 С , 2 а д п + С „ ч 5 ) + - ^ С 1 ^ .
Ьд
С33 ,
(3.4.7)
Здесь
179
Как известно (см., например, работу Э. Ву [2]), коэффициенты интенсив­
ности напряжений K j , K i i , K j j j
в малой области 2 (рис. 1.3.1.1) не зависят от
полярных координат в, г. Компоненты тензора напряжений сГу в общем случае
переменны по толщине оболочки; поэтому в общем случае считают, что
Kj = Kj{z), i = 1,11,111 (см., например, работу под ред. Ю. Мураками [1]). Здесь
переменность напряжений (точнее, переменность скорости диссипации меха­
нической энергии) по толщине оболочки учтем через геометрические гипотезы,
принимаемые для скоростей обобщенных перемещений.
В разложениях функций по координате z для q i , q i i сохраним члены при
нулевой и первой степенях координаты z , а для quj ограничимся удержанием
члена с нулевой степенью z:
q, =ej + zasj;
q^ ^ е ц + г ^ п ;
(\щ=Ущ.
(3.4.8)
Здесь ё | , ¿ 1 1 , у щ , аё}, аёц не зависят от координаты z. Подставляя (3.4.8) в
(3.4.2) и интегрируя по толщине И оболочки, получаем:
Ш h/2
П ^
h/2
h/2
j K ^ q , d z = S e-1
D =Z
i=l -h/2
i=I V
h/2
К dz+abj
-h/2
JK-zdz +
-h/2
(3.4.9)
П
+ Уш l K m d z = Z(eiT. + ^ , M j + y n i Q n j .
-h/2
Здесь
1=1
¿ 1 , ¿ 1 1 , ¿ 1 , аЬц, у ц ,
Т 1 , Тц, М 1 , М ц ,
-
скорости
обобщенных
перемещений,
- соответствующие им обобщенные силы:
180
6
1
^ 1
-
^[{С22^-С,2^^
)1,+ {С,^х,-С,,х^
)1з];
(3.4.10)
2о
М п
ш
= ^ [ ( С п е п - С , 2 ё , ) 1 2
+
( С „ * п - С , 2 * 1 ) 1
Уш11
2 С 33
Здесь
11/2
Ы2
12 =
11 =
-Ы2
^
z'dz
/ zdz
-Ь/г
1з =
-1т/2
(3.4.11)
X
В этих соотношениях Я определяется путем подстановки (3.4.8) в (3.4.7).
Уравнения (3.4.10) являются параметрическими уравнениями поверхности
прочности для малой окрестности фронта сквозной макротрешины в тонких
анизотропных оболочках и пластинах в пространстве обобщенных сил. Следует
отметить, что уравнения (3.4.10) учитывают только сингулярные составляюшие
напряжений. Если есть необходимость учета как сингулярных, так и регуляр­
ных составляюших напряжений, то для оценки предельного состояния оболоч­
ки с макротрешиной необходимо использовать сложный критерий разрушения,
который может быть получен, например, путем комбинации предельных усло­
вий (3.4.4) и (1.1.9).
Найдем связи между традиционными характеристиками
напряженно-де­
формированного состояния в тонких оболочках - с одной стороны, и обоб­
щенными силами и скоростями обобщенных перемещений - с другой. Для ско­
ростей деформации примем аналогичные (3.4.8) разложения по координате г:
(3.4.12)
181
Подстановка (3.4.8), (3.4.12) в (3.4.3) дает следующие зависимости:
(3.4.13)
Приводя напряжения (1.4.1) к серединной поверхности оболочки, получаем:
Т , = ( с 1 Т 1 + С2Т„)/л/1^;
Т , = ( с з Т 1 + С4Т11)/л/7;
Тх>. =(с5Т1 + С б Т „ ) / л А ^ ;
=080111/л/7;
М х
М.ч-у
(3.4.14)
Q,=c,Q,,,/4^•
=(с1М1+С2М11)/л/?;
Му = ( с з М 1 +
С4М11)/71^;
=(с5М1+СбМ1,)/л/7.
Здесь система координат Охух связана с фронтом трещины (рис. 1.3.1.1).
3.5.
Некоторые частные случаи
Силы и моменты (3.2.8) являются однородными функциями степени нуль
относительно аргументов
¿21, ¿ 2 2 , ••-,7з2-Поэтому
координаты Г ц ,
7^22'•••'бз2
точки, лежащей на предельной поверхности в пространстве обобщенных сил,
зависят только от направления вектора скоростей обобщенных перемещений
{¿11, ¿ 2 2 ,
Уз2 }^' но не зависят от длины этого вектора. В уравнения (3.2.8)
входят семь независимых параметров, в качестве которых можно взять отнощения скоростей обобщенных перемещений. Исключая эти параметры из системы
(3.2.8), в принципе можно найти уравнение предельной поверхности в виде
р(Т11, Т 2 2 , Р з г ) = О• Для иллюстрации сказанного рассмотрим такой режим
182
деформирования оболочки, когда
^ 0 , ^ 2 2 ^ 0 , а скорости остальных обоб­
щенных перемещений тождественно равны нулю. Рассмотрим такой анизо­
тропный материал, что при этом только Гц
О,
=5^ О, остальные обобщенные
силы тождественно равны нулю.
Тогда уравнения (3.2.8) для рассматриваемого случая имеют вид:
Т
^(511611+512622)11
^ (521611 + 522622)11
2А
А '
2А
М
. З 5 | л
А•
Здесь интеграл ¡1 определяется выражением:
11 =
^/5116^1+ 2512611622 + 522622
Введем параметр г/ = ¿ 2 2 / ^ п (можно ввести 7/1 = ёц/ ¿ 2 2 ) - Тогда соотнощения (3.5.1) можно записать в виде:
^(^11+^12^)л/^
А^/г
/2(^21 + ^ 2 2 7 ) У ^
^2^
Ти-
1 22
—
I
Ад/^1,+2^,2:7 + ^227"
.
^
Изменяя параметр г|, по этим уравнениям можно построить предельную кри­
вую на плоскости
Т11ОТ22.
Тот же случай напряженно-деформированного состояния рассмотрим для
изотропной оболочки из материала, предельная поверхность для которого оп­
ределяется условием пластичности (1.1.4) Мизеса. В этом случае в уравнении
(3.2.4) необходимо принять А = С = 1, В = - 0.5, а остальные слагаемые, содер­
жащие компоненты тензора напряжений - равными нулю (полагаем, что на183
пряжения отнесены к пределу текучести ст^). Тогда уравнения (3.5.1) имеют
вид:
2Ь(е|1 + 0,5ен)
. ^
2Ь(0,5е|| + е и )
(3.5.2)
Используя (3.5.2), находим:
7^11-^11^22+7^22=/^'-
(Если Г] 2, 7^22 разделим на Ь, то получим условие пластичности Мизеса для рас­
сматриваемого случая).
Параметрические уравнения предельной поверхности для малой окрест­
ности вершины макротрешины в изотропных оболочках и пластинах полу­
чаются как частный случай уравнений (3.4.10), когда вместо исходного условия
предельного состояния (3.4.4) будет использовано соответствующее условие
для изотропного тела (например, одно из условий (1.3.2.8), (1.3.3.7), (1.3.4.5),
(1.3.5.7)).
А. Савчук и Й. Рыхлевский в [1] установили, что все частные виды по­
верхностей текучести для осесимметричных, цилиндрических и других обо­
лочек могут быть получены из общей поверхности текучести либо путем се­
чения, либо с помощью ортогональной проекции этой поверхности на соот­
ветствующее подпространство, при которой исключаются из рассмотрения не
относящиеся к делу (т.е. не являющиеся обобщенными силами) результи­
рующие напряжений.
Аналогичные выщеприведенным рассуждения справедливы и в отношении
уравнений (3.3.10) предельной поверхности для анизотропных брусьев при их
сложном сопротивлении, а также в отнощении уравнений (3.4.10) предельной
поверхности для малой области у вершины макротрещины в тонких анизотроп­
ных оболочках и пластинах.
Кратко перечислим те работы, на которые мы опирались при выводе урав­
нений (3.2.8).
184
Уравнения поверхности текучести для тонких изотропных оболочек, пла­
стические свойства материала которых описываются условием пластичности
Мизеса, были получены A . A . Ильюшиным и опубликованы в его работах [1,2].
Аналогичные уравнения для случая, когда необходимо учитывать деформации
поперечных сдвигов, были получены Г.С. Шапиро [1]. Для анизотропных обо­
лочек, без учета разносопротивляемости материала на растяжение и на сжатие
вдоль одного и того же направления, аналогичные уравнения были получены А.
Савчуком [1], а при учете разносопротивляемости материала на растяжение и
на сжатие - Э.С. Сибгатуллиным [1] (в обоих случаях - без учета деформаций
поперечных сдвигов). Все эти результаты следуют из уравнений (3.2.8) как ча­
стные случаи.
В заключение этого раздела отметим следующее. Как сказано в работе [1]
В.И. Розенблюма, в теории предельного равновесия идеально пластических
оболочек фундаментальное значение имеет условие текучести, выраженное че­
рез усилия и моменты, а согласно мнению В. Ольшака и А. Савчука [1], преоб­
разование условия текучести из пространства напряжений в пространство внут­
ренних сил и моментов составляет одну из важнейших задач теории предельно­
го равновесия. Эти же замечания, на наш взгляд, справедливы и в отношении
критериев прочности (разрушения). Но всегда нужно иметь в виду, что приня­
тие гипотез статической природы (если они не противоречат уравнениям рав­
новесия) способствует оценке снизу действительной прочности оболочки, а
принятие гипотез кинематического характера - оценке той же прочности свер­
ху. Какая из этих тенденций и в какой степени будет оказывать неблагоприят­
ное влияние на точность оценки действительной прочности оболочки, зависит
от того, в какой степени будут нарушаться положения тех или иных гипотез в
ее предельном состоянии (в эксперименте).
185
4.
Теории прочности оболочек, пла­
стин, брусьев, изготовленных из
композиционных материалов
4.1.
О композиционных материалах
Под композиционными материалами (КМ), или композитами, понимают
широкий класс многофазных природных и искусственных материалов (П.В. Баничук, В.В. Кобелев, Р.Б. Рикардс [1]). Характерной особенностью К М является
как проявление ими новых свойств, отличных от свойств компонентов, так и
возможность объединения полезных качеств отдельных фаз.
В строении искусственных КМ выделяют наполнитель (иначе называемый
включениями, армирующими материалами или арматурой) и матрицу (свя­
зующее). В конструкционных КМ армирующий материал в основном опре­
деляет механические свойства композита, а матрица служит, главным образом,
для скрепления всех элементов материала.
Классификация композитов может быть проведена по разным критериям
(см., например, справочник, изданный под общей редакцией В.В. Васильева,
Ю.М. Тарнопольского [1]), и поэтому является многовариантной. Здесь вы­
делим только два вида КМ: композиты с дисперсными частицами; волокнистые
и слоисто-волокнистые композиты. Нами будут рассмотрены вопросы прогно­
зирования прочности волокнистых и слоисто-волокнистых
композиционных
материалов.
Для создания волокнистых материалов используют неорганические и ор­
ганические волокна. К первым относятся стекловолокна, углеволокна, борные,
базальтовые, поликристаллические волокна из различных керамических мате­
риалов, металлические волокна - стальные, вольфрамовые, бериллиевые, мед­
ные. Органические волокна включают в себя всевозможные нити из полимеров.
186
в качестве матриц в различных композитах используются полимерные - эпок­
сидные, полиэфирные, фенольные; металлические матрицы -
алюминиевые,
титановые, стальные, медные; керамические матрицы.
Различные сочетания армирующих волокон и матриц позволяют получить
композиты с требуемыми механическими характеристиками. К ним принято
относить упругие постоянные, пределы прочности и пластичности, показатели
упрочнения и коэффициенты, характеризующие особенности реологического
поведения. Наибольщее распространение в настоящее время имеют стекло-, уг­
ле - и органопластики, во всем мире завоевывают признание боропластики, бороалюминиевые,
алюминий-углеродные
и углерод-углеродные
композиты.
Перспективными с точки зрения экономики являются композиты из базальто­
вых нитей.
Характерной особенностью композитов, отличающей их от традиционных
металлов и сплавов, является то, что во многих случаях К М разрабатываются и
создаются одновременно с конструкцией. Это относится в первую очередь к
волокнистым однонаправленным и намоточным слоисто-волокнистым
мате­
риалам. Материал может быть сформирован таким образом, чтобы наиболее
эффективно воспринимать действующие напряжения. В связи с этим весьма ак­
туальной является задача прогнозирования механических характеристик слои­
стых КМ - в частности, их прочности.
Необходимо обратить особое внимание на такие свойства слоистых К М , ко­
торые отличают их от традиционных конструкционных материалов (т.е. от ме­
таллов и их сплавов), как слоистость (причем в одном и том же пакете могут
присутствовать слои из разных исходных материалов) и сильно выраженная
анизотропия механических характеристик.
Для определения прочности КМ существуют три альтернативных метода:
экспериментальный, теоретический и полуэмпирический (Композиционные ма­
териалы. В 8 - ми томах. Т.5. Разрушение и усталость. Редактор Л. Браутман
[1]). Экспериментальный метод является наиболее прямым, простым и надеж­
ным при определении свойств материала, но дает результат только для кон187
кретного композита и для конкретной технологии его производства; этот метод
требует выполнения большой и трудоемкой программы испытаний; он не дает
рекомендаций для эффективного исследования и конструирования композици­
онного материала с целью создания его улучшенных свойств. Теоретический
метод свободен от указанных недостатков экспериментального метода, но он
также не лишен серьезных несовершенств: сложность выбора адекватной, но
доступной математической модели; слабая корреляция с экспериментальными
данными; недостаточная для инженерных целей надежность
предсказания
свойств. Полуэмпирический метод занимает промежуточное положение между
экспериментальным
и теоретическим методами
и является вполне
реали­
стическим и достаточно эффективным (И.Ф. Образцов, В.В. Васильев, В.А. Бунаков [1]).
Следует отметить, что вышеприведенная классификация методов опреде­
ления прочности КМ является достаточно искусственной. В научной литера­
туре встречаются другие, аналогичные вышеприведенному, разделения методов
определения прочности КМ; например, феноменологический,
структурно-феноменологический.
При феноменологическом
структурный,
подходе
экспе­
риментально определяются прочностные свойства конкретного композита, ко­
торые используются при записи феноменологических зависимостей для описа­
ния свойств именно этого композита. При структурном подходе эксперимен­
тально определяются прочностные свойства отдельных фаз композита, а проч­
ность КМ определяется с использованием теоретических соотношений, с уче­
том объемных долей фаз, их свойств и расположения в КМ. Структурнофеноменологический
подход
занимает
промежуточное
положение
между
структурным и феноменологическим подхода\^^ в основном используется при
описании свойств слоисто-волокнистых композитов. Слой (монослой) является
основным структурным элементом слоистых и волокнистых композитов. Пло­
ский или изогнутый элемент материала, состояший из матрицы и одного слоя
арматуры, уложенной в одном направлении (однонаправленный монослой) или
в виде ткани (тканый монослой). Монослоями можно считать применяемые при
188
изготовлении композитов ленты - препреги, а также материалы с однородной
по толщине укладкой арматуры. При структурно-феноменологическом подходе
свойства слоев определяются экспериментально, а соответствующие свойства
слоистого композита определяются с использованием теоретических соотно­
шений, с учетом свойств слоев, их толщин и ориентации в составе КМ. Цель
теоретических исследований заключается в том, чтобы, имея минимальный
объем экспериментальных данных, как можно шире и точнее описать свойства
композиционных материалов.
В заключение этого параграфа остановимся на информации, приведенной в
статье И. Фридляндера. П. Ениколопова, А. Братухина, С. Еолубкова, В. Бори­
сова, Р. Шалина, Е. Будницкого, А. Берлина "Композиты: прорыв к вершинам"
в газете "Социалистическая индустрия" за 27 октября 1987г. (N247), которая
освещает выгодные стороны КМ.
Применение композитов в машинах, оборудовании, сооружениях позволяет
снизить:
- массу конструкций на 25 - 50%,
- трудоемкость изготовления в 1.5-3
раза,
- энергоемкость производства в 8 - 10 раз,
- материалоемкость в 1.6 - 3.5 раза.
С помощью композитов можно в 1.5 - 3 раза увеличить ресурс техники, со­
кратить до минимума потери от коррозии, на движущихся машинах снизить
расход топлива.
Все шире начинают применять гибридные композиционные материалы. У
одного волокна может быть высокая жесткость, но низкая прочность, у другого
- наоборот. Например, стеклянные волокна хорошо работают на сжатие. А ор­
ганические нити его не терпят, но зато выдерживают большие нагрузки при
растяжении. Если совместить их, получится гибридныц материал с нужным со­
четанием свойств.
Еибридизацию
ведут и по связующему. Например, тонкие листы алюми­
ния, армированные волокнами бора, склеивают послойно с органопластиками.
189
и в результате получают материал с уникальной вибростойкостью.
На транспортном самолете - гиганте "Руслан" применили всего 5.5 тонн
композитов. Но они сберегли 15 тонн металла и позволяют >т<леньшить затраты
топлива за период эксплуатации на 18 тысяч тонн. А в вертолете КБ имени Камова на долю композитов приходится 53%. Благодаря им вес конструкции уда­
лось снизить на 25 - 30%, ресурс машины увеличился в 2 - 3 раза, а трудоем­
кость ее изготовления стала меньше в 1.5-3
раза.
По мнению специалистов, к концу нынешнего века доля композитов в кон­
струкции дозвуковых самолетов возрастет до 30 - 40%, а у сверхзвуковых даже до 50%' а в конструкции автомобилей доля пластиков и композитов воз­
растет до 65%.
Специалистов сельскохозяйственного машиностроения
привлекает соче­
тание высокой прочности композитов с их высокой стойкостью к коррозии.
Создатели скоростных железнодорожных поездов будущего видят в ком­
позитах реальную возможность преодолеть барьер вибрации. Ни один из тра­
диционных материалов не в состоянии надежно противостоять вибрации. Толь­
ко композиты.
Претендует на композиты и трубопроводный транспорт. Стальные трубы
тяжелы, дороги, требуют зашиты от коррозии, нередко дают течи. Отказаться
от них на магистральных трубопроводах пока невозможно. Но разводящие нит­
ки вполне можно делать из армированных пластмасс. Подтверждением тому опыт США, где ежегодно строится примерно 40 тысяч километров разводящих
трубопроводов: 85% из них - композитные, у которых долговечность в не­
сколько раз выше, чем у стальных.
В строительстве давно предпринимались попытки заменить металл в же­
лезобетоне стеклянным волокном. Но сделать это не удавалось из-за того, что
щелочи, присутствующие в растворе, разъедали стеклр. Но недавно в Англии
получено стойкое к щелочам стекловолокно, и стеклобетоны начали приме­
няться широким фронтом.
Из композиционного материала "Кевлар" делают броню, каски, пуленепробива190
емые жилеты.
В медицинской промышленности из К М делают детали аппаратуры для
рентгеновских исследований, центрифуги, инструменты для зубного проте­
зирования, оборудование больниц, материалы для протезирования внутренних
органов.
Из КМ производят высококачественное спортивное оборудование: сна­
ряжение и инвентарь, элементы конструкций спортивных самолетов, судов,
хоккейные клюшки, лыжи и палки для них, спортивные велосипеды, теннисные
ракетки, луки, удилиша и др.
Даже этот краткий обзор областей применения композитов показывает, на­
сколько перспективными материалами они являются.
4.2.
Параметрические уравнения предельной
поверхности в пространстве обоб­
щенных сил для слоистых композитных
оболочек и пластин
4.2.1.
Уравнения предельной поверхности для
случая кратковременного статического
нагружения
Кратковременное статическое нагружение элементов конструкций имеет
место в том случае, если, с одной стороны, за рассматриваемый промежуток
времени (за время действия нагрузок) не успевают развиться деформации пол­
зучести, а с другой стороны - можно пренебречь силами инерции вследствие
малости возникающих ускорений частей конструкции. Например, под харак­
теристиками кратковременной прочности стеклопластиков понимают их вели­
чины, полученные при длительности нагружения Д1 порядка 1 . 5 - 2
минуты
или, что то же, при скорости нагружения порядка 100 - 300 Н/(см^сек) (см. кни191
гу и.и. Гольденблата, В.Л. Бажанова, В.А. Копнова [1] и "Пластические массы.
Методы испытаний." [1]). Для краткости изложения здесь и далее под прочно­
стью материала будем подразумевать его способность сопротивляться как
хрупкому, так и пластическому разрушениям.
Пусть композиционный материал образован путем наложения п ортотропных слоев, работающих совместно. Проскальзывание между слоями от­
сутствует. Произвольный слой с номером
j
отнесем к системе коор­
динат ^1^22 , связанной с некоторой поверхностью So (рис. 4.2.1). Ось z орто­
гональна к поверхности SQ. Ориентация j - r o слоя в системе ^i^2Z определяется
углом
(pj= (£,1, Xj). Система координат (xyz)j связана с j - м слоем. Ось Zj парал­
лельна оси Z.
Предположим, что в системе координат (xyz)j уравнение предельной по­
верхности (поверхности прочности) для j - r o слоя имеет следующий вид:
(аа'^ + Iba^G^
Коэффициенты GJ,
+ со]^ +
2Í/(T,, +
1га
+ 1а\ + / и а ; + na]j^ =1.
(4.2.1.1)
nj этого уравнения определяются на основе результатов
испытаний на прочность, по формулам, аналогичным (1.2.3.6).
Компоненты тензора напряжений в системах (xyz)^ и ^i^2Z связаны сле­
дующими зависимостями (И.Г. Терегулов [1]):
^ х х = CJ^jCOS^
+ 0^2^^"^^ í^j +
a^-y = ai[,sin^
+ 0^2^05^
cjJ2SÍn2^j;
(p-^ -
^{^smlcp
^ l y = (o22~'^Íi)sin(^j cos^j + aJ2SÍn2(^j;
(4.2.1.2)
= O23C0S^j - o j j S i n ^ j .
Подставляя (4.2.1.2) в (4.2.1.1), получаем уравнение предельной поверхности
для j - r o слоя в системе ^ i ^ z :
192
= ( А а ^ , + 2 В а , , а 2 2 + С а 2 2 + 2 В а 1 1 + 2 Е а 2 2 + Ьа^2 + 2 Р а „ а 1 2
+
(4.2.1.3)
+ 2 К а 2 2 а 1 2 + 2 д а 1 2 + К о ^ з + 2 М о з , а з 2 + N 0 3 2 ) 3 ~1 = О-
Здесь
А = а соз"* (р + (2Ь + 1)зт^ (р соз^ ср + с ^ш^ (р;
В = (йг + с -
(рсо^^ (р + Ь{со?,'^ (р + ^'т'^ (р)\
С = а зш'^ (р + {2Ь + Е)
0-
с1 со$^ (р + езт'
(р с о 5 ' срл-с соз'' ^ ;
(4.2.1.4)
ср;
Е -с1$т~ (р + есо$~ (р\
1-
{а-1Ъ
+ с)51п" 1(р^1
С08^ 2(;з;
Р = 51п2<^9[((3 - Ъ) со8" (р-^{Ь~ с)^т~
= 51п2(р[{а -Ь)^\х\~
(рл-ф-с)со5^
(р-0.51
С082(^];
(р + 0.51 с о з 2 ^ ] ;
^ = (с/-г)5т2(^;
= т со5^ (р + п sm~ (р\
М -
0.5{т-п)^\\\2(р;
N -т
51п^ (р + п соз^ (р.
В дальнейшем существенно будет использован тот факт, что если каждый
элемент составного материала устойчив, то совокупность материалов (ком­
позит) должна быть устойчивой (Д. Друккер [1]). Применяя ассоциированный с
поверхностью прочности (4.2.1.3) закон изменения кинематических характери­
стик, для )-й компоненты композита находим
193
Решая эту систему, находим напряжения в ]-й компоненте композита:
1
c^H(г-I5ik¿R-A.)j/A,;
1 = 1,3;
(4.2.1.5)
а^,=(К£з,-МЁз2)^/21^е^;
а12=(К8з2-М£з,)з/21^0^.
Здесь
£а ^ ^ а а
Оа^Оаа;
(<^=1'2); Оз = а ^ ;
А
в
Р
Дц -
Р
в
е
6; =
к
К
ь
¿3 =¿12;
К
м
М
N
= К^К^-М^;
3
J
определители, полученные путем замены 1-го столбца
на вектор
{ОЕР}^ ; 51к= 5к1 - алгебраическое дополнение (1, к)-го элемента ДJ (1, к = 1,3).
Подставляя (4.2.1.5) в (4.2.1.3), находим
3
3
Д/
о \
Е Е 5 1 к ё , ¿k + - ^ i N ¿ r з - 2 M 8 , з 8 2 з + K £ ^ з J
(4.2.1.6)
./=1 к=1
где
8]^ = ( В А 1 + Е А 2 + д А з + Д)з.
В разложениях функций по нормали к поверхности приведения 8о для ско­
ростей сдвигов ¿ ¿ 3 в пределах ]-го слоя ограничимся удержанием членов с ну­
левой степенью
(т.е. скорости поперечных сдвигов в пределах отдельного
слоя остаются постоянными), а для 8^ в пределах пакета слоев сохраним члены
при нулевой и первой степенях координаты т.
8;=ё; + 2ж-
28^3 = у „ -
а = 1,2.
(4.2.1.7)
194
Если справедливы соотношения (4.2Л.7), то ( 4 . 2 . Е 6 ) можно записать в сле­
дующем виде:
Ц=i?l
Здесь Р^', P¿,Pj£e
+ 2zPi^-^z^?i)/4Si.
(4.2.Е8)
- квадратичные и билинейные формы:
1=1 к=1
3
(4.2.Е9)
3
:
3 3
1=1 к=1
1=1 к=1
Здесь
^ ё^^; ж„ = х^^ {а = 1,2); ¿ 3 = ¿ , 2 ; ¿ 3 = ¿ , 2 -
Погонные внутренние силы и моменты, приведенные к поверхности 8о, оп­
ределяются следующими соотношениями:
П
^2J
Тар = Х
п
{^¿(^¿7;
д^з = X
{^¿3^2;
(4.2.1.10)
П
Ма(5 = Е 1^^р2(12;
J=lz,
Здесь п - число слоев; хц <
а , Р = 1,2.
- координаты точек, лежащих на ограничи­
вающих поверхностях ]-го слоя. Подставляя сг/^, в (4.2.1.10) согласно (4.2.1.5),
получаем:
3
т, = Е 0 - 5 Е 5 ; , ( 1 , ^ е , + 1 2 ^ ^ к ) - А . Ь ^
]=11
ь
1
к=1
3
0-515;, ( I 2 ^ + I з A ) - A i i h J Z J
к=1
Рз1 = 0 . 2 5 1 : ( К ^ у , р М ^ у ^ р 1 , ^ / е ^ ;
/А^-;
1 = 1,3;
'J
(4.2.1.11)
п
дз2=О.252(К'у2гМ^у,^)1,70^.
195
Здесь Та= Таа; Ма =
(а = 1,2); Т3 = Ти', М3 = М ^ ; Ьз - толщина ]-го слоя; х^ -
координата срединной поверхности j - г o слоя (в системе ^1^2). Интегралы 1у
вычисляются согласно выражению
1,=
и
4}
Соотнощения
^dz;
А;
7 = 1,3.
(4.2.1.12)
"J
(4.2.1.11) являются параметрическими
уравнениями
пре­
дельной поверхности для тонких многослойных композитных оболочек и пла­
стин при их кратковременном статическом нагружении.
4.2.2. Уравнения предельной поверхности для
случая многоциклового нагружения (мно­
гоцикловая усталость)
Теория многоцикловой усталости наиболее полно разработана для конст­
рукционных металлов (Когаев В.П., Махутов H . A . , Гусенков А.П. [1], Воробьев
А.З., Олькин Б.И., Стебнев В.Н., Родченко Т.С. [1], Романив О.Н., Никифорчин
Г.Н., Махутов H . A . , Стадник М.М. [4] и др.). Композиты очень стойки к уста­
лости; при равной массе однонаправленно армированные композиты имеют ус­
талостную прочность в 2 - 3 раза выше по сравнению с конструкционными ма­
териалами (Пилиповский Ю.Л., Грудина Т.В., Сапожникова А.Б., Листовничая
С П . , Гриффен Л.А., Ступко A . B . [1]). Как отмечают А.К. Малмейстер, В.П. Тамуж, Г.А. Тетере в [1] и В.А. Лимонов, В.Г. Перевозчиков, В.П. Тамуж в [1],
общая теория усталости, пользуясь которой можно было бы определять срок
службы композитных деталей в производственных условиях под действием
циклических нагрузок, еще не создана. Имеются три обширные области перво­
очередных дальнейших исследований. Это механизмы усталостного разруше­
ния, конструирование материалов, работающих в условиях циклических де­
формаций, и прогнозирование усталостной прочности композита (Композици196
онные материалы Т.5 [1]). Как отмечают Ю.Л. Пилиповский и др. в [1], уста­
лость композитов отлична от усталости металлов по множественности типов
разрушения, чувствительности к надрезам и поведению при сжатии. В то время
как металлы разрушаются при усталости в результате зарождения и роста тре­
щины, композитам присущи несколько типов повреждения: разрушение матри­
цы, разрушение волокон, разрушение границы раздела волокно - матрица и
различные комбинации перечисленных типов разрушений.
Согласно результатам работ В.А. Лимонова, В.Г. Перевозчикова, В.П. Тамужа [1] и В.Г. Перевозчикова, В.А. Лимонова, В.Д. Протасова, В.П. Тамужа
[1], характеры разрушения композитных образцов при циклическом и статиче­
ском нагружениях идентичны.
При изготовлении и последующей обработке композитов в их структуре об­
разуются различного рода начальные дефекты (поры, трещины и т.п.), служа­
щие концентраторами напряжений в граничных с ними областях материала. В
поле среднего приложенного напряжения, в ближайших от дефектов связях по­
являются напряжения, соизмеримые со значением теоретической прочности,
что благоприятствует протеканию термофлуктуационных процессов разрыва
(Соломатов В.П., Бобрышев А.Н., Химмлер К.Г. [1]). При циклических нагру­
жениях композитной детали ее температура может заметно не увеличиваться,
но локальные перегревы в вершинах микротрещин вследствие многократных
передеформаций зоны "микропластичности" могут достичь 20 - 50 К (Бартенев
Г.М., Зеленев Ю.В. [1]). Температура нередко достигает величин, при которых
происходят структурные изменения в связующем (Олдырев П.П. [5]).
В процессе разрушения твердых тел происходят самопроизвольное по­
вышение напряжения, обусловленное уменьшением "живого" сечения. Про­
исходит деградация прочности материала (Работнов Ю.Н., Когаев В.П., Полилов А.П., Стрекалов В.Б., Думанский A . M . [1]). Дефектность оказывает на
долговечность материала такое же влияние, как и повышение приложенного
напряжения (Соломатов В.П., Бобрышев А.П., Химмлер К.Г. [1]).
197
Из трех подходов (кинетический, термодинамический, механический) к
проблеме прочности основой инженерной практики в настоящее время является
механический подход. Ниже изложен один из возможных вариантов
ме­
ханического подхода к проблеме усталостной прочности материалов. Но, преж­
де всего, отметим след\тощее. Как подчеркивает П.П. Олдырев в [4], в практике
испытаний на усталость композитов констатация момента разрушения осуще­
ствляется по-разному, с учетом специальных требований, вытекающих из целе­
вого назначения материала в изделии. Поэтому в общем случае конструкцион­
ный материал можно считать разрушенным, придерживаясь двух разных крите­
риев: прочностного, связанного с потерей несущей способности материала, и
эксплуатационного, ограничивающего работоспособность изделия, несмотря на
еще достаточную прочность материала. В частности, в практике испытаний ар­
мированных пластиков констатация момента разрушения при жестком нагружении осуществляется по-разному, причем не исключается элемент субъектив­
ности: так, момент разрушения считается наступившим, когда одна из трещин
на поверхности прорастает на всю ширину рабочего сечения образца; когда ис­
ходная жесткость образца уменьшается на 10 - 20% или заданное напряжение
снижается на 20%; когда на поверхности образца появляется видимая трещина
длиной 2 - 3 мм и др. Мы не будем конкретизировать признак разрушения ком­
позитной детали конструкции, а будем полагать, что этот признак устанавлива­
ется в каждом конкретном случае свой, исходя из требований эксплуатации из­
делия. В общем случае под Оу будем понимать обобщенные силы, а под 8у - со­
ответствующие обобщенные перемещения (в частности Оц - напряжения, Су деформации).
Пусть связь между обобщенной силой
и обобщенным перемещением ц в
процессе циклического нагружения определяется линией А]ОА (рис. 4.2.2.1). В
течение всей жизни элемента конструкции идет процесс накопления поврежде­
ний в материале. Материал деградирует, к моменту катастрофического разру­
шения материал фактически другой, чем в начале эксплуатации. Если Ы*
-
число циклов до разрушения (долговечность), то за Ы* - 1 циклов нагружения
198
материал как бы "созревает" для катастрофического разрушения, т.е. для пере­
хода из устойчивого состояния в неустойчивое. На К*-м цикле нагружения про­
исходит разрушение элемента конструкции. Переход материала от устойчивого
состояния в неустойчивое происходит не мгновенно, а в течение весьма малого
промежутка времени
При этом в зоне катастрофического разрушения мате­
риал испытывает целый спектр виртуальных состояний, соответствующие бес­
конечно малым отрезкам лучей, расположенных в пределах угла В А О (или в
пределах угла В ] А } 0 1 , рис. 4.2.2.1). За предельное состояние материала примем
его состояние, соответствующее бесконечно малому отрезку АС (или А 1 С 1 ) , па­
раллельной оси £у, а за поверхность нагружения в предельном состоянии - по­
верхность циклической прочности, определенную в пространстве обобщенных
сил и соответствующую значению К* долговечности. Тогда в предельном со­
стоянии справедлив постулат Друккера, поверхность нагружения должна быть
невогнутой, а связь между обобщенными силами и скоростями обобщенных
перемещений на бесконечно малом отрезке прямой АС (или А 1 С 1 ) может быть
записана в виде ассоциированного с поверхностью циклической прочности за­
кона. Тем самым соотношения хорошо разработанной теории предельных со­
стояний могут быть использованы (с учетом всех необходимых особенностей
многоцикловой усталости) и для определения несущей способности элементов
конструкций при многоцикловом нагружении.
Для ортотропного монослоя с номером j () = 1,«)
уравнение предельной
поверхности в осях (хух)^ запишем на основании уравнения (1.2.3.3) при учете
равенства
= 0:
(аа]^ + 2Ьа^^а^^ +
+ (а,(К)а1
+ 2^/^^^ + 1еа^^, + Ь]^ + та]^ + па],^
+ 2Ь,(К)а^^а^
+ с.гА^^а^ +
+ l,(N)al+lЩ(N)ol^n,(N)a]Ji
+
(4.2.2.1)
= \.
Здесь N - число циклов до разрушения.
Из трех альтернативных механических подходов к проблеме усталостной
прочности
материалов
(феноменологический,
структурный,
структурно-фе-
199
нологический) теоретически наиболее предпочтительным является структур­
ный подход. Но все структурные модели обладают весьма существенным не­
достатком: необходимо знать параметры внутреннего взаимодействия
ком­
понентов, которые определить достаточно надежно никогда не удается (Су­
ворова Ю.В., Добрынин В С . [1]). Поэтому при стр>т<турном подходе в на­
стоящее время прогнозирование поведения композитов можно осуществить
весьма приближенно, как правило, подгонкой имеющихся параметров под мак­
роэксперимент. Феноменологический подход требует проведения обширных
экспериментальных исследований для каждого вида материала (фактически для каждой конкретной структуры композита). По объему трудозатрат и степе­
ни удовлетворения запросов практики проектирования изделий наиболее реа­
листичным в настоящее время является структурно-феноменологический под­
ход к прогнозированию усталостной прочности слоистых композитов. В этом
подходе за основой структурный элемент композита принимают квазиоднород­
ный анизотропный монослой, необходимые характеристики которого опреде­
ляются экспериментально, которые затем описываются феноменологическими
зависимостями. Свойства слоистого композита определяются аналитически, с
учетом свойств слоев, их толщин и ориентации в составе пакета слоев.
Параметрические уравнения предельной поверхности многоцикловой ус­
талости для тонких слоистых композитных оболочек и пластин в пространстве
обобщенных сил получим по аналогии с уравнениями предельной поверхности
для слуг1ая кратковременного статического нагружения (4.2.1.11). Уравнение
предельной поверхности j-ro монослоя (4.2.2.1) после перехода к системе коор­
динат ^1^22 принимает следующий вид:
ФJ = ( а ^ А б + 2 В ' ^ б + т ' ^ С т - 1 ) ^ =0,
(4.2.2.2)
где
6 = {a,i;
T^{Ti};
A-[a.J;
C^[CiJ;
B^{b,};
ьк^Гб;
i,k = M .
200
Компоненты матриц AJ,
и вектора BJ линейно зависят от коэффициентов а^,
п] уравнения (4.2.2.1) и являются функциями угла фJ ориентации ]-го слоя в
составе пакета. В (4.2.2.2) приняты следующие обозначения:
^22.
^1
(^2
-3 =
22.
0-4 = сг^^;
.23
0-6
Т\
^2
(4.2.2.3)
^сг^;
Определение несущей способности слоистых композитных оболочек и пла­
стин при циклическом нагружении базируется на принципе возможных пере­
мещений. Согласно этому принципу в момент времени, непосредственно предществующей катастрофическому разрущению, внещние и внутренние силы на­
ходятся в равновесии. В этот момент времени удельная мощность внутренних
сил определяется выражением
d = h,г¡^j:т•^j^.
1=1
(4,2.2.4)
к=1
Здесь 8*, уу. (1 = 1,6; к = 1,4) - скорости обобщенных перемещений, на которых
соответствующие обобщенные силы (4.2.2.3) совершают работу. Необходимо
отметить, что а^'^ (средние напряжения цикла) и а'^ (амплитуды переменных
частей напряжений) в (4.2.2.4) участвуют как равноправные обобщенные силы.
Из предположения о справедливости постулата Друккера в предельном со­
стоянии следует, что предельная поверхность нагружения является выпуклой, а
деформации в начальный момент катастрофического разрушения развиваются
таким образом, чтобы вектор скоростей обобщенных перемещений был направ­
лен по внешней нормали к этой поверхности. Используя на основании сказан­
ного ассоциированный с (4.2.2.2) закон изменения кинематических характери­
стик, получаем
. дФ,8Н^^-П^-2Х^(А.а+Ь,)з;
1 = 1,6;
до!
(4.2.2.5)
У1=2Х^-^^4Щ^;
к
к = 1А.
201
Здесь l j ( 8 i , у ( ) > 0; А | - 1-я строка матрицы А; Ь, - 1-й элемент вектора В; ^
-
к-я строка матрицы С. Решая соотношения (4.2.2.5) относительно ст- и т { , по­
лучаем
6
1
=
Е 5 1 к ё к - А.)] / А ] ;
^^'^=^
1= 1Д
/
(4.2.2.6)
Здесь А = ё е ! А; 0 = с1е1 С; А1 - определитель матрицы, полученной путем за­
мены 1-го столбца матрицы А на вектор В; ^1^= 5и,.рк1 = р[к ~ алгебраические
дополнения (1, к)-го элемента А и 6 соответственно. Подстановка (4.2.2.6) в
(4:2.2.2) позволяет выразить l j > О через скорости обобшенных перемешений. В
разложениях функций по нормали к поверхности приведения 8о оболочки (пла­
стины) для у ( в пределах ]-го слоя ограничимся удержанием членов с нулевой
степенью 23, а для е- в пределах пакета слоев сохраним члены при нулевой и
первой степенях координаты х:
(4.2.2.7)
¿^=¿¿+226,.
Средние и амплитудные значения внутренних погонных сил и моментов,
приведенных к поверхности 8о, определяются согласно выражениям
П
Т.
''•2J
11 ^ 2 J
= Х J ^ M z , М, = Х J ^ ^ z ,
1
= 1,6;
'
n
(4.2.2.8)
'-^2,,
Qk^Zj^idz,
к = 1,4.
Подставляя (4.2.2.6) в (4.2.2.8) и учитывая, что
= const в пределах j-ro слоя,
а Sj в пределах пакета слоев изменяется согласно (4.2.2.7), получим
202
Т1 = 1
J=lL
0.52:5^(1иёк+12А)-АуЬ^
к=1
6
/А^;
М
.
0•5E5;k(I2A+IзJ2Ьk)-AцhjZJ
1=
1,6:
(4.2.2.9)
к=1
Q . = 0•252 ХР(!.Т/ 1 и / е р к = 1 Л
им=1
Здесь обозначения \
1ц совпадают с соответствующими обозначениями,
принятыми в п. 4.2.1.
Соотнощения
(4.2.2.9)
являются
параметрическими
уравнениями
пре­
дельной поверхности для слоистых композитных оболочек и пластин при цик­
лическом нагружении. Как частный случай (при (5'1= 0) из них следуют урав­
нения (4.2.1.11) предельной поверхности для слоистых композитных оболочек
и пластин при кратковременном статическом нагружении. При о|^= О уравне­
ния (4.2.2.9) описывают предельную поверхность для симметричных циклов
напряжений. Уравнения (4.2.2.9) применимы и при рещении таких задач о не­
сущей способности тонкостенных композитных элементов конструкций, когда
некоторые из нагрузок имеют статический характер, а некоторые - цикличе­
ские. При этом нагружение является простым, то есть
и б^ растут пропор­
ционально одному и тому же параметру; некоторые из компонент a^J,, а^, могут
оставаться постоянными.
Проведем краткий анализ структуры полученных в этом разделе работы со­
отношений. Для этого запишем их в более развернутом виде. Матрицы и векто­
ры, входящие в уравнение (4.2.2.2), имеют следующий вид;
203
в.,
-1'
р„, \ 0
0
0^
0
0
0
0
0
0
ва
Ра
о'
а
Ра
0
Ра_
0
р.,
\
0
0
0 1 л.
0
0
0
0
0
0 !
1 0
Ра
Ра
Р .
;
В^
С2„,
0~
0
•
т =
,
Г
^
(4.2.2.10)
=
—
0
0
0
0
Запишем более компактно эти матрицы и векторы:
1
1 0
т
- - -н
- ; в^
~А
0 1
_ б
1 а
1 0 т
(4.2.2.11)
-- т 1
д = тп
0 — 1- с а
1
Здесь векторы и матрицы с индексом "ш" относятся к средним напряжениям
\\А
т
цикла, а их элементы определяются по формулам (4.2.1.4) с использованием ко­
эффициентов йТщ,
Пт уравнения (4.2.2.1). Векторы и матрицы с индексом "а"
относятся к амплитудным значениям переменных частей напряжений и их эле­
менты определяются по тем же формулам (4.2.1.4) с использованием коэффи­
циентов
а1а,...,П1а
уравнения (4.2.2.1).
Определители Л и 0 соответственно матриц А и С, определители А1 (1 = 1.6),
входящие, в частности, в формулы (4.2.2.6), алгебраические дополнения
(1,
к)-го элемента матрицы А ({, к = 1.6 ) и р,к {\, к)-го элемента матрицы С (1, к =
1,4) удовлетворяют следующим соотношениям;
^1=^ыАа-^
^2-^2пгК^
^З^^ЗпАа'^
^,з=^п^.;
¿^.1=^/^^,;
^4=^5=^6=^'^
¿^,4=^15-^16=0;
^21=^2^1^«;
^^22=^22^«;
¿•23=^*73^«;
^31=^31А.;
^32=^з'"2Аа;
^^33=^1^А«; ^>'34=^35=^36=0;
^41 =^42 = ^43 = 0;
^44 = ^"Апп
¿»'24 =^25
^45 = ^12^т
=^26=^;
^46 = ^1зА„,;
204
^ 5 1 = ^ 5 2 = ^ 5 3 = 0;
^64=^^A.;
^61=^62=^63=0;
^ 5 5 = ^22^/« i
^ 5 4 = ^2 Am
^65=^^A.;
Ai=Pu'^;
A2=/'i2^;
Pl\-P2\0a^
P22=P220a^
P23=/'24=0;
Р31=Р32=0;
/^33=ЛУ;г/;
P34=Pf2^^,;
/^41 = P 4 2
^66=^^^.;
Аз=Л4=о;
/743 = / 7 2 1 ^ m ;
= 0;
^56 = ^ 2 3 ^ ^ ;
P44 =
\
^
(4.2.2.12)
P220m •
Подставляя (4.2.2.6) в (4.2.2.2), находим
1
/=1 k=\
zl...
+
46^.,.
3 3
(4.2.2.13)
+
= 12
+ ^ 3 - 2
С учетом соотношений (4.2.2.7) и равенств
= const, 7^3 = const в пределах
j-ro слоя, можно записать следующее выражение
'{p, + 2zp,^ +
z^pA
'{Pe + 2ZP,^ +
Z^PA
МП, J
s
Д,7
(4.2.2.14)
4 5 i
Уравнения (4.2.2.9) с учетом соотношений (4.2.2.12) в следующем, более
развернутом, виде:
T:=ik5z(5,^y(i,^eL'4i2^*L")-A„!.h^
/Д
J .
Ill '
j=lL
k=l
(4.2.2.15)
7=1 L
k=l
7=1
7=1 L
Jt=i
205
'AJ :
/-1
Здесь интегралы Iij, bj, bj определяются формулами (4.2.2.12), где x,j опреде­
ляется формулой
(4.2.2.14).
В вышеприведенных соотношениях величины с индексом " т " определя­
ются с использованием элементов матриц [А]т, [С]т, вектора [В]т и скоростей
обобщенных перемещений
é f , , . . , 7 f ' ; величины с индексом
"а" -
с ис­
пользованием элементов матриц [А]^, [С]„ и скоростей обобщенных переме­
щений
е",...,у2
.
Можно заметить, что система уравнений (4.2.2.15) формально как бы рас­
падается на две группы уравнений: три уравнения для определения средних
значений T , ^ , M | j j , Q ^ и три уравнения
плитуд переменных частей T^,M'^,Q^
для определения ам­
внутренних сил и моментов при мно­
гоцикловом нагружении. На самом деле связи между этими двумя грзшпами
уравнений осуществляется посредством интегралов I i , I2, I3 , а точнее - через
скалярные величины i-, определяемые согласно формуле (4.2.2.14).
4.2.3.
Прочность слоистых композитных обо­
лочек и пластин при длительном ста­
тическом нагружении
Рассмотрим случаи нагружения, когда компоненты тензора
напряжений
увеличиваются до определенного значения с последующим длительным вы­
держиванием материала при сохранении этого тензора постоянным. В таком
случае проявляются свойства ползучести, деформации изменяются во времени.
206
идет процесс накопления микроповреждений (деградация материала) и по ис­
течении некоторого срока материал разрушается. Это явление получило назва­
ние "статической усталости" (Гольдман А.Я. [1]). Если компоненты тензора на­
пряжений меньше какого-то определенного значения, то разрушения материала
за рассматриваемый промежуток времени не происходит и данное значение
тензора называется предельной длительной прочностью материала (Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. [1]). Совокупность тензоров предельной
длительной прочности можно интерпретировать некоторой поверхностью в
пространстве напряжений (поверхность равно длительной прочности). В работе
Ю.В. Немировского и Б.С. Резникова [1] предложен микроструктурный подход
к построению поверхности равнодлительной прочности для композитных мате­
риалов, а в работе A . M . Скудры, Ф.Я. Булавса, К.А. Розенса [1] для решения
той же задачи использован феноменологический подход. В настоящей работе
предложен структурно-феноменологический метод для построенил поверхно­
сти равнодлительной прочности для слоистых композитных оболочек и пла­
стин.
За основной структурный элемент слоистого композита примем квазиод­
нородный ортотропный монослой, предположив, что его необходимые меха­
нические характеристики определены экспериментально и описаны феноменоло­
гическими соотношениями.
Отметим, что вопросы прогнозирования долговечности (времени t, до раз­
рушения) и длительной прочности однородных материалов довольно хорошо
освещены в научной литературе (Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А.
[]]; Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. [1] и др.). Рассмотрим кратко некоторые под­
ходы и соотношения для однородного материала, которые могут быть полез­
ными при описании свойств монослоя.
Как было отмечено ранее, разрушение композитов в процессе эксплуатации
происходит в результате необратимого
накопления повреждений
в опре­
деленный промежуток времени, называемый долговечностью t*. С.Н. Журковым в [1] на основе многочисленных экспериментов предложена следующая
207
формула для определения долговечности материалов, находящихся под воз­
действием постоянных во времени простых (растяжение, сжатие, сдвиг) на­
пряжений а при фиксированной абсолютной температ)фе Т:
Г.=Гоехр^^.
(4.2.3.1)
Здесь to - постоянная, численно близкая к периоду тепловых колебаний атомов
( 1 0 - " - 1 0 - ' W ) ; k - постоянная Больцмана; по - энергия активации, по величи­
не близкая к энергии химР1ческих связей для полимерных материалов; у структурный коэффициент. Формула (4.2.3.1) может применяться лищь в опре­
деленном диапазоне напряжений. К ее недостаткам нужно отнести то, что она
приводит к существованию конечного времени до разрущения при отсутствии
напряжений и к независимости времени до разрущения от температуры при о =
По/у.
Часто используют более простую экспоненциальную зависимость
и = Cexp(-yÖö-),
где С и ß - определяемые из эксперимента функции температуры (Гольденблат
И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А. [1]).
Вопросы длительной прочности композиционных материалов изучены к на­
стоящему времени сравнительно мало. На композиты трудно переносить неко­
торые известные теории, разработанные для однородных материалов. Напри­
мер, для армированных материалов неясен физический смысл коэффициентов,
входящих в формулу (4.2.3.1). Здесь необходимы новые эксперименты. Напри­
мер, испытания на одноосное растяжение образцов из стеклопластика на основе
стеклоткани и полиэфирной смолы, вырезанных из листа в различных направ­
лениях (Огибалов n.M., Ломакин В.А., Кищкин Б.П. [1]), показывают, что связь
между пределом прочности и логарифмом долговечности для всех направлений
является линейной, т.е. имеет вид
208
(т =
A-B\gt,,
где А и В - опытные константы материала.
На основании анализа экспериментальных данных по длительной проч­
ности стеклопластиков при одноосном растяжении, сжатии, сдвиге в работе
И.И. Гольденблата, В.Л. Бажанова, В.А. Копнова [1] отмечены следующие за­
кономерности. С ростом времени 1* пребывания тела под нагрузкой пределы
прочности при данных видах деформации и неизменной температуре падают. В
координатах а, 1» экспериментальные точки располагаются таким образом, что
их можно удовлетворительно аппроксимировать кривыми, соответствующими
логарифмическим, экспоненциальным, показательным и другим функциям. Ха­
рактер временной зависимости прочности при рассмотренных простейщих де­
формациях (растяжение, сжатие, сдвиг) приблизительно одинаков.
Анизотропия механических свойств композитов распространяется и на дли­
тельную прочность этих материалов, причем характер анизотропии длительной
прочности может отличаться от анизотропии кратковременной прочности.
Как отмечают И.И. Гольденблат, В.Л. Бажанов, В.А. Копнов в работе [1],
рещение задачи о длительной прочности при сложном напряженном состоянии
оказывается чрезвычайно сложным. Во многих случаях уравнения предельных
поверхностей при длительном нагружении получают путем обобщения соот­
ветствующих уравнений при кратковременном статическом нагружении. Рас­
смотрим некоторые из таких подходов.
В работе И.И. Гольденблата, В.Л. Бажанова, В.А. Копнова [1] для случая
сложного напряженного состояния и сложного длительного нагружения пред­
ложено конструировать уравнение предельной поверхности путем замены в
уравнении предельной поверхности при кратковременном статическом нагру­
жении (например, в уравнении ( Г Г 7 ) ) инвариантные выражения вида Рар<7ар,
РарубСТаро-уб И Т.Д. на опсраторы по следующей схеме:
209
0
(4.2.3.2)
r«
И т.д. в этих выражениях Пар, ^аруз и т.д. - тензоры длительной прочности, ха­
рактеризующие зависимость механических свойств материала от времени пре­
бывания тела под нагрузкой; аар(т), сГу5(т) - функционалы, зависящие от харак­
тера изменения внещней нагрузки во времени; т - время.
Используя выражения типа (1.1.9) и (4.2.3.2), можно записать операторный
критерий длительной прочности анизотропного материала. Например:
t*
t»
^ a p ( t * - T K p ( ^ ) d i : + fn„ß 5 ( и - т > 7 ^ з ( т К 5 ( т ) с 1 г = 1 .
(4.2.3.3)
о
Ядра операторов Пар, Пару§ могут выражаться различными функциями, вид ко­
торых определяется из испытаний материалов на длительную прочность. На­
пример:
^арО*-0=Рар^ехр[а(1,-т)];
^ару5(1*-'г)= Рару8 • 2 « 5 { е х р [ 2 а ( 1 * - т ) ] - е х р [ а ( и - т ) ] } .
Здесь Pap, papys ~ тснзоры кратковремснной прочности материала; а - эм­
пирическая константа материала; А и В - коэффициенты.
Как утверждают И И . Гольденблат, В.Л. Бажанов, В. А. Копнов в книге [f ],
критерий прочности вида (4.2.3.3) может быть применен в случае сложного нагружения любого вида, в частности для оценки длительной прочности при цик­
лическом нагружении (мало - и многоцикловая усталость).
В случае постоянно действующих напряжений критерий длительной проч­
ности может иметь следующий вид:
Рса р О ^ К р +;^apy5(t*)ö-a|3a,s
:P^^yS + ..•= 1.
210
Здесь компоненты тензоров длительной прочности Pap(t»), PapysCt*) и т.д. необ­
ходимо определять через характеристики длительной прочности при простей­
ших деформациях. Однако этот путь связан с экспериментальным определени­
ем большого числа констант кратковременной и длительной прочности мате­
риала. Исследователями был обнаружен изящный выход из этого затрудни­
тельного положения. Результаты экспериментальных исследований, приведен­
ные в книге [1] A . M . Скудры, Ф.Я. Булавса, К.А. Роценса, показывают, что кри­
вые длительной прочности а" = a"(t*) при одноосном растяжении, сжатии, сдви­
ге во многих случаях приблизительно подобны. Это позволило, например, Р.Д.
Максимову, Е.А. Соколову, Э.З. Плуме в работе [1] записать уравнение пре­
дельных поверхностей при длительном натру женин органопластика в анало­
гичном следующему уравнению виде;
(4.2.3.4)
Здесь
f(u)=r.,(t.)Ai,
где
(4.2.3.5)
- характерные прочности материала при кратковременном статическом
нагружении, Г1к(1*) - соответствующие характерные кривые длительной прочно­
сти. Коэффициенты а,
е
уравнения (4.2.3.4) определяются через значения
г/,^ по формулам (1.2.3.6). В работе [1] Р.Д. Максимова, Е.А. Соколова, Э.З.
Плуме
обобщенная
кривая
длительной
относительной
прочности
ап­
проксимирована следующим уравнением
Г ( и ) = А+Вехр(-а15),
(4.2.3.6)
где А, В , а , Р - коэффициентьг Уравнение (4.2.3.4) описывает поверхности
равнодлительной прочности для заданных значений времени, а также позволяет
определить время до разрушения для заданных значений постоянных напряже­
ний.
211
Нами разработаны алгоритм и программа для Э В М для прогнозирования
длительной прочности слоистых гибридных композитных оболочек и пластин,
прочностные свойства слоев которых характеризуются предельными поверхно­
стями вида (4.2.3.4). В основе этих алгоритма и программы лежат уравнения,
аналогичные уравнениям (4.2.1.11). Алгоритм и некоторые результаты прогно­
зирования длительной прочности слоистых гибридных композитных оболочек
и пластин будут приведены в соответствуюгцем разделе настоящей работы.
4.2.4.
Прогнозирование прочности слоистых
гибридных композитных оболочек и пла­
стин, работающих в условиях высоких
температур
Армированные пластмассы работают в широком диапазоне температур с
максимальными перепадами от -54 до +121 °С в естественных условиях и при
еще более высоких температурах, если имеются какие-либо дополнительные
источники тепла, кроме естественных (Справочник по композиционным мате­
риалам [1]). Прочность и жесткость обычно не изменяются при низких темпе­
ратурах, а в некоторых случаях даже увеличиваются. При отрицательных тем­
пературах полимеры становятся менее гибкими, и в результате этого, более
чувствительными к усталостному разрущению под действием переменных ме­
ханических нагрузок. Все смолы имеют определенные пределы рабочих темпе­
ратур и разрушаются в большинстве случаев при неправильном подборе свя­
зующего для данных температурных условий. Армированные пластмассы мо­
гут применяться и при высоких температурах, но только при правильном выбо­
ре полимерной композиции. При этом всегда нужно иметь информацию о до­
пустимом температурном диапазоне эксплуатации материала.
Сегодня в мире уже выпускаются многие тысячи тонн изделий из компо­
зитов. Пока в основном на базе полимерного связующего. Но эти материалы
212
могут работать лишь при температуре до 200 °С. Примерно на отметке 500 °С
лежит граница применения металлокомпозитов типа алюминия или магния, ар­
мированных углеродными волокнами. Затем идут материалы на основе титано­
вых и никелевых сплавов. А при температурах до 1700 °С способна работать
только керамика типа карбида или нитрида кремния. Рекорд принадлежит угле­
роду: пронизанный углеродными волокнами, он способен работать даже при
2500 °С (И.Н. Фридляндер и др., газета "Соц. индустрия" N247, 27.10.87).
Влияние температуры на прочность композиционного материала при раз­
личных видах напряженного состояния сказывается по-разному; изменение ви­
да напряженного состояния влияет на характер температурных кривых прочно­
сти (Максимов Р.Д., Плуме Э.З., Соколов Е.А. [1]). С увеличением температуры
область безопасных напряженных состояний, прилагаемых к композиционному
материалу, сужается. В работе [1] Максимова Р.Д., Плуме Э.З., Соколова Е.А.
экспериментально установлено, что в определенном диапазоне температур пре­
дельные поверхности изменяются почти подобно. При больших значениях тем­
ператур подобие предельных поверхностей не соблюдается: прочность в неко­
торых направлениях пространства напряжений уменьшается быстрее, чем в
других. Это является следствием того факта, что высокие температуры в общем
случае оказывают различное по степени влияние на физико-механические
свойства армирующего материала и матрицы. Так как некоторые свойства ком­
позита определяются преимущественно свойствами арматуры, то и сужение
предельной поверхности для композита при возрастании температуры будет
неравномерным в разных направлениях пространства напряжений (при этом
полагаем, что взаимная ориентация осей механических характеристик магериала и осей напряженного состояния остается неизменной).
В рассматриваемом случае уравнение предельной поверхности может быть
записано в следующем виде:
Paß (T)a„ß + /7„р,5 (Т)а„ра,5 + ••• = !•
(4-2.4.1)
213
Здесь Т - температура; компоненты тензоров поверхности прочности рар, Papys.
... являются функциями температуры. В экспериментальной работе [1] Р.Д.
Максимова, Э.З. Плуме, Е.А. Соколова установлено, что в интервале темпера­
тур от 20 до 150 °С предельная поверхность для тканевого органопластика в
осях ортотропии материала может быть представлена следующим уравнением:
(4.2.4.2)
+ Р'шу ФУ^
+ ^Р^у
Ф
К
+ 2р1уу ф)о^^ауу
=1.
Здесь
./;(2^) = ехр
/т-т
V^'
^ ^ о
V
То
.
(4.2.4.3)
/ = 1,6;
J
найдены для исходной температуры То по формулам, анало­
гичным (1.2.3.6); ки, к21 - экспериментально установленные для данного ма­
териала коэффициенты.
Нами разработаны алгоритм и программа для Э В М для прогнозирования
прочности слоистых гибридных композитных оболочек и пластин при повыщенных температурах эксплуатации изделия. При этом прочностные свойства
слоев характеризуются предельными поверхностями вида (4.2.4.2). В основе
этих алгоритма
и программы лежат уравнения, аналогичные
уравнениям
(4.2.1.11). Алгоритм и некоторые результаты прогнозирования прочности слои­
стых гибридных композитных оболочек и пластин, работающих в условиях повыщенных температур, будут приведены в соответствующем разделе настоя­
щей работы.
4.2.5.
Учет совокупного влияния различных
факторов на прочность слоистых гиб­
ридных композитных оболочек и пластин
214
в книге [1] А.К. Малмейстера, В.П. Тамужа, Г.А. Тетерса
условие нераз-
рушаемости - основное требование при расчете конструкции - записано в виде
где N - расчетное усилие в элементе конструкции; Ф - предельное его сопро­
тивление, соответствующее моменту потери несущей способности и прекра­
щения эксплуатации. Значение Ф, определяющее несущую способность эле­
мента, зависит от: а) размеров элемента Р; б) предельного сопротивления ма­
териала К; в) условий работы элемента ш:
Ф = тРК.
(4.2.5.1,)
Коэффициент условий работы т учитывает понижение или повыщение пре­
дельного напряжения при воздействии низких, высоких или переменных тем­
ператур, различных полей, облучения, вакуума, агрессивности сред, другие
особенности эксплуатации и прочие обстоятельства, например, неточность рас­
четной схемы, и т.д. Ввиду разнообразия условий работы элемента, коэф­
фициентов условий работы может быть несколько:
т^пц-тг-тз----.
(4.2.5.2)
По своей природе коэффициент условий работы т является функцией времени
1, температуры Т и других факторов. Рассмотрим задачу прогнозирования
прочности слоистых гибридных композитных оболочек и пластин с учетом од­
новременного влияния этих факторов.
Для определенности примем, что композит составлен из ортотропных моно­
слоев. Прежде всего, необходимо, на основе экспериментов, определить функ­
ции г;к = Гк,(9) , где
- характерные прочности монослоя, 9 - один из выще-
упомянутых факторов (время, температура, число циклов до разрущения и т.д.).
На основе этих функций можно определить функции коэффициентов условий
работы. Например, для случая статической усталости функции коэффициентов
215
условий работы определяются выражением (4.2.3.5), при учете влияния повы­
шенных температур на прочность монослоя - уравнениями (4.2.4.3) и т.д. Да­
лее, с использованием (4.2.5.1) и (4.2.5.2) можно записать уравнение предель­
ной поверхности для монослоя при комбинированном действии различных
факторов. Например, если нужно учитывать статическую усталость монослоя
при повышенных температурах, то, на основе уравнений (4.2.3.4), (4.2.3.5.),
(4.2.4.2), (4.2.4.3) можно записать следующее уравнение предельной поверхно­
сти:
Уравнение (4.2.5.3) формально можно записать в виде, аналогичном урав­
нению (4.2.1.1), где коэффициенты а-у, Ь\ и другие будут известными функция­
ми времени и температуры. Уравнения предельной поверхности для слоистых
композитных оболочек и пластин для рассматриваемого случая формально сов­
падут с соответствующими уравнениями системы (4.2.1.11). Аналогично можно
поступить и в других случаях. Например, при прогнозировании циклической
прочности слоистых композитных оболочек и пластин при наличии высоких
эксплуатационных температур вместо уравнения (4.2.2.1) необходимо исполь­
зовать аналогичное уравнение, коэффициенты которого зависят и от значения
температуры. А уравнения предельной поверхности для слоистых композитных
оболочек и пластин в этом случае формально совпадут с соответствующими
уравнениями системы (4.2.2.9).
На основе вышеизложенного можно утверждать, что область приложения
параметрических уравнений предельной поверхности для слоистых гибридных
композитных оболочек и пластин, в частности уравнений
(4.2.1.11) или
(4.2.2.9), является весьма обширной.
216
4.2.6. Параметрические уравнения предельной
поверхности для слоистых композитных
оболочек и пластин в пространстве
обобщенных сил (общий случай)
в общем случае слои, присутствующие в составе композита, могут быть не
только ортотропными, но иметь более общую анизотропию прочностных ха­
рактеристик. С другой стороны, как это видно из выщеизложенного, число па­
раметров напряженного состояния, выступающих в качестве обобщенных сил,
не является какой-то постоянной величиной, а зависит от особенностей ре­
шаемой задачи. Поэтому желательно иметь такие уравнения предельной по­
верхности для слоистых композитных оболочек и пластин, которые являются
более общими по отнощению
к полученным
выше системам
уравнений
(4.2.1.11) и (4.2.2.9). При выводе этих общих уравнений будем исходить из то­
го, что в предельном состоянии справедливы все те допущения, которые были
приняты при выводе систем уравнений (4.2.1.11) и (4.2.2.9), т.е. полагаем, что:
деформации малы; предельная поверхность для монослоя может быть описана
уравнением второй степени; материал устойчив (справедлив постулат Друккера); справедлив ассоциированный с предельной поверхностью закон изменения
кинематических характеристик.
Пусть композит образован путем наложения п анизотропных слоев, рабо­
тающих совместно. Произвольный слой с номером j (7 = 1, л ) отнесем к сис­
теме координат
^1^22,
связанной с некоторой поверхностью приведения 5о (рис.
4.2.6.1). Ось ъ ортогональна к поверхности 8о. Ориентация ]-го слоя в системе
л
^1^22 определяется углом ^J = ( £ | , х ^ ) . Система координат (xyz)j связана с j - м
монослоем, ось
параллельна глобальной оси 2.
В системе координат
(xy2)J
уравнение предельной поверхности для ]-го
слоя имеет вид
217
(4.2.6.1)
Здесь
- вектор величин, описывающих напряженное состояние; А) - сим­
метрическая матрица. Индекс Т означает транспонирование. Компоненты мат­
рицы А} и вектора ^1 подлежат определению на основе экспериментальных ре­
зультатов.
После перехода от осей (xyz)j к осям ^1^22 с использованием известных
формул, аналогичных (4.2.1.2), уравнение (4.2.6.1) примет вид
Ф {а J)^(a'^
(4.2.6.2)
Аа + 2В'^ а - \). = 0.
Здесь
А=
^21
«22
а 2Л'
^N1
^N1
"' ^.К'М
в =
^2
аN
N - размерность пространства параметров, описывающих напряженное со­
стояние (размерность пространства обобщенных сил); А - симметрическая мат­
рица; индекс j указывает номер слоя в композите и для удобства записи может
быть как верхним, так и нижним.
Используя ассоциированный с поверхностью (4.2.6.2) закон изменения ки­
нематических характеристик, находим
(4.2.6.3)
Здесь Х ] ( 8 ^ ) ^ 0 ; А1 -
строка матрицы А; Ь1 - 1-й элемент вектора В ;
1Т
8 5 , 8 2 , . . .
,
Jj "~ вектор скоростей обобщенных перемещений ]-го слоя. Ре-
щая систему уравнений (4.2.6.3) относительно обобщенных сил
находим
218
f
N
(4.2.6.4)
k=l
Здесь 5ik = Ski - алгебраические дополнения элемента
(i, к = 1,#) матрицы А;
Д - детерминант матрицы А; Ai - детерминант, который получен при замене i го столбца Д на вектор В . Подставляя (4.2.6.4) в (4.2.6.2), находим
Л' Л'
(4.2.6.5)
w e 5 Í = 4(Í¿,A,+A)^..
Предположим, что скорости обобщенных перемещений находятся в ли­
нейной зависимости от координаты z:
(4.2.6.6)
Здесь ¿ 0 , - ,
- величины, характеризующие деформацию элемента поверхности
приведения 8о (для точек этой поверхности х = 0). Подстановка (4.2.6.6) в
(4.2.6.5) дает
Я'J=P¿+2zP¿+z'P¿
(4.2.6.7)
где
Pá-í:h/kéoAok/si;
i=l А-1
PÁ-íhíéuéik/si.
/-11-=1
/
/
Удельную мощность обобщенных сил вычисляем как сумму слагаемых вида
219
СГ/Ё/ =ст/(ёо,+¿1/4
1 = ^^.
Интегрируя по толщине слоя, получаем
-1;
^1;
Значит, если ¿ 0 / , ¿ 1 / ~ скорости обобщенных перемещений, то То1, Ти - соответ­
ствующие им обобщенные силы:
(4.2.6.8)
А-=1
Здесь hj =
- 2у - толщина З-го слоя; Zj
(22] + 2у) / 2. При выводе (4.2.6.8) ис­
пользованы соотнощения (4.2.6.4), (4.2.6.6); Ду определяем из (4.2.6.7). Инте­
гралы в (4.2.6.8) вычисляем согласно формуле
7 / = %'/А^)С12;
1 = 0,2
-1/
Суммируя соответствующие обобщенные силы (4.2.6.8) по толщине компо­
зиции, получаем
=
tf^•^l:Ч{^i¿ok + 1их?1-^1Ь^^";] 1А^: т = 01- I = Ш
(4.2.6.9)
Уравнения (4.2.6.9) являются параметрические уравнениями поверхности
прочности (пластичности) для слоистых гибридных композитных оболочек и
пластин в пространстве обобщенных сил Tmi.
Если закон изменения
по толщине оболочки отличается от (4.2.6.6), то
соотношения, аналогичные приведенным выше, могут быть получены по той
же методике. Пусть, например.
220
(4.2.6.10)
Тогда
»1=0
»г=0
'1;
где
= [^^^иЪ1.^гк)
¿=1
т = 0,р;
Здесь т1п - вклад
- М (27^ - 21^)1(т+1;;
А;
(4.2.6.11)
г=0
1 = \,Ы;
] = \,п.
действующих в ]-ом слое, в ш-ую обобщенную силу; ё,„, -
скорость соответствующего обобщенного перемещения. Интегралы Ц вычис­
ляем по формуле
1; =
{z'/i¡)dz•,
1 = 0,2р,
где Ji•>0 определяем, используя формулу
N N
N N
5=11=1
/
5=и=1
г=о
г=о
/
(4 2 6 12)
= ХЕ551Р^ёо5ео1) + 2Чео5ёи + ё15ёо1) + --- + 2^^(ёр5ер1)]/8^.
5=11 = 1
/
Приведенные выше соотношения являются довольно общими. При решении
конкретных задач теории тонких оболочек и пластин они упрощаются с учетом
особенностей этих задач.
Рассмотрим,
для примера,
частный
случай
соотношений
(4.2.6.10)
-
(4.2.6.12) для малой области у вершины сквозной макротрещины в однородной
изотропной оболочке. Скорости обобщенных перемещений по толщине обо­
лочки аппроксимируем полиномами (взамен (3.4.8)):
=
1 = 1,11,111.
(4.2.6.13)
т=0
221
Удельная скорость преобразования внутренней механической энергии опре­
деляется следующим равенством:
3
V2
D =Z
*/2
3
fK.q.dz=I
i=l
1=1 -А/2
=0
mi
3
p
K.z'"dz
i=I m=0
-A/2
Здесь efjji - скорости обобщенных перемещений, T„u - соответствующие обоб­
щенные силы. Соответствия между различными значениями индекса i осущест­
вляется по схеме 1
I, 2
II, 3
III.
Если уравнение предельной поверхности в пространстве коэффициентов
интенсивности напряжений К], Кц, Кщ имеет вид частного случая (3.4.4) для
изотропного тела с трещиной, то, согласно (4.2.6.11), получаем
1
^
Р
(4.2.6.14)
2Ai.
Здесь т = 0,р, / = 1,3, Д = С^^З, 5 = С^^:^-^-п^
^12 = - С 2 1 С 3 3 ,
= 5,
= ^2^33.
^22 =
^1^з.
^ 2 3 = <^32 = О •
Если компоненты тензора скоростей деформаций в системе 0 х у 2 , связанной
с вершиной макротрещины (рис 1.3.1.1) аппроксимировать полиномами вида
(4.2.6.10), т.е.
(4.2.6.15)
W=
0
m=0
ТО, подставив (4.2.6.13), (4.2.6.15) в (3.4.4), получим следующие зависимости:
Здесь т^О,р . Функции ^^{] = 1,6)определяются формулами (1.3.1.2). Можно
предположить, что уравнения (4.2.6.14) будут более точно аппроксимировать
222
предельную поверхность у вершины макротрещины, чем уравнения (3.4.10). В
несколько развернутом виде уравнения (4.2.6.14) имеют следующий вид:
\
р
10
I
1
р
г=0
Р
^
/-=0
Р
Л
При р = I эти уравнения аналогичны уравнениям (3.4.10) для изотропного тела
с трещиной.
4.3.
Прочность композитов, составленных из
симметричных слоев структуры
в слоистых композитах слою с углом армирования
ответствует такой же слой с углом армирования
матизированные
технологические
процессы
[+ф]/ -
+фз, как правило, со­
- ф j . Практически все авто­
формования
слоистого
пакета
обеспечивают укладку, а в некоторых случаях и взаимное переплетение смеж­
ных симметричных слоев с углами ±ф]. Такие два слоя естественно считать при
расчете как один симметрично армированный слой (Васильев В.В. [1]). Следуя
работе Ю.Н. Работнова [1] и учитывая, что два смежных симметричных (отно­
сительно глобальной оси ^1) слоя с углами ±(р) работают совместно, сначала вы­
ведем непараметрическое уравнение предельной поверхности в пространстве
напряжений для двух таких слоев, потом, на основе этого уравнения, упростим
параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве внутрен­
них сил и моментов для композитных оболочек и пластин, где слою с углом
ориентации +фJ соответствует такой же по свойствам слой с углом ориентации
-ФJ•
223
4.3.1. Уравнение предельной поверхности для
композита структуры [+ Ф]/ - Ф]] для слу­
чая кратковременного статического на­
гружен ия
в системе координат (хуг)^, оси которой совпадают с осями ортотропии j - г o
слоя, уравнение предельной поверхности для этого слоя имеет вид (4.2.1.1). В
глобальной системе координат
гъ для слоя с углом ориентации +фj уравне­
ние (4.2.1.3) запишем в виде
= Р^^Х^
+ 2 В а [ 1 0 2 2 + с(о^2 ^ + 2
2 £022+
Оац+
1^^Х^
+
(4.3.1.1)
+ 2 Ра1'"1а ^2 + 2 К о ^2^^2 + 2 ОоГг^ ^^(^з 1Г + 2 М а з 10^-2 + к(а5"2 = 1.
а для слоя с углом ориентации - ф j - в виде
Ф
г ^(сГп)^ +2.^0-15(722 +с(о-22
У +2^0-51 +
/ _ V
+ 2Е(721 + Ь\СГ]2; - 2РСГ|5(Т12 -2ОСГ12 +
Здесь коэффициенты А,
2Ра'22СГ12
-
(4.3.1.2)
- 2 М о - з , с Г з 2 + Л^^стз2/ = 1.
К[а^^]
N определяются соотношениями (4.2.1.4); знаки ± у
компонент тензора напряжений соответствуют слоям с углами ориентации ± ф .
Рассмотрим случай плоского напряженно-деформированного состояния со­
вместно работающих слоев:
•+
^11 - ^11
^22 - ^22 - ^22'
+ СГ
И/
^12 = 0.5 ((75^2
12 + спг j
^12 - ^12 - ^12'
22 = 0.5(сТ2"2+^2"2);
(4.3.1.3)
^3^ - СГ^1 =СГз^2 - ^ 3 2 =0-
Используя ассоциированные с (4.3.1.1) и (4.3.1.2) законы деформирования, рас­
пишем кинематические соотношения из (4.3.1.3):
224
[А О-Ц
л"(Ро-ц
+ 5(722 +
Р^п +о)=Л~
+ С(7^2 + Р о ^ п +
[Аа;^ + 5(722
Я"
Рст;2 + о);
-
(4.3.1.4)
+ С(7^2 - Рстп + я ) ;
{Рст11 + Яа22 + ЬстХ2 + 0)= Л~ (- Ра{1 - Ро-2'2 + Ьа[2
-о).
Используя (4.2.1.6) для рассматриваемого случая напряженно-деформи­
рованного состояния двух одинаковых слоев с углами ориентации ±ф, находим:
5;
{к^У
^К1^п
+^22^12+Чз^п
+ 2{ь12ги^22
Определение соответствующих величин
уравнений
51 = 5 д ;
(4.3.1.1), (4.3.1.2)
=
^22 =^22'^
(4 3
с использованием
показывает,
^33 =^33'^
+ ^^^^
коэффициентов
что в рассматриваемом
^12 =
^23 =-^2з'^
15)
случае
= -^з~1;
ТОГДа
ИЗ (4.3.1.5) следует, что Л^ = Л~ • Используя (4.3.1.4) с учетом этого равенства и
соотношения статики из (4.3.1.3), находим:
ВК - СР
(Гц =(711 +
ВР-АЯ
^•22 = ^^22 +
(4.3.1.6)
(7,
АС-В^"'''
РсГц + РСГ22 +0
^12 -
Рассмотрим теперь случай чистого поперечного сдвига
симметричной
{±(р) системы одинаковых слоев. Предположим, что в предельном состоянии
справедливы следующие соотношения:
¿31 - ^31 - ^ з ь
(731=0.5
(711
¿ 3 2 - ^32 - ^ 32'
[-
31
О-ц =(722 =(722
а
32
= 0.5((,С^32
^12 = ^ 1 2
+^»-32]
(4.3.1.7)
= О-
Используя (4.2.1.6) и (4.3.1.7), для рассматриваемого случая получаем:
225
(4.3.1.8)
(^"N¿[N(831)'
+2М831832+К(8з2)'
Как видно из (4.3.1.8), когда справедливы гипотезы (4.3.1.7), )А
X • Здесь 5 =
КК-М^
Введем следующее обозначение:
(4.3.1.9)
Р = Я ¡1 •
Используя (4.3.1.7), можно найти следующие результаты:
^з"1
=(«1с?-з1 +«2с^з2)М; ^3^2 =(«30-31 +«1^32 ) М ;
о-з~1 = (ЙГ40-31 + ¿750-32)/Ао ;
(4.3.1.10)
о-з"2 = (йГбСГз! + «40-32)/Ао.
Здесь
Ао = ^Ж1 + Р о ) ' - Л ^ ' ( 1 - Р о ) ' ;
Р^^УР;
а^=2р'^{КМ-М^)
« 2 = -АрМК;
+
М^Х
(4.3.1.11)
« 3 = -АрКМ;
а^ = 2р^{КМ-М^)
= Ар^ММ;
+ 2р{КМ
+ 2ро(КЫ + М^У,
сг^ = Ар^КМ.
Подставляя из (4.3.1.10) о-^,, (Тз^2 в 0"^= 1, а 0-3,, 0-32 - в Ф = 1 , получаем:
(4.3.1.12)
+ Ма2а^ + Ма^а^)+ о12(Ка1 + 2Ма^а2 + Ма^) I =
о1^(Ка1-2Ма^а(^+Иа1)-¥2а^^а^2(^а^а^
-Ма^
1;
(4.3.1.13)
-Ма^а^
+ Ыа^а(^)+ о]2(Ка1 - 2Ма^а^ + Л^а4) /А^ = 1.
Согласно результатам работы Ю.Н. Работнова
[1], уравнения (4.3.1.12) и
(4.3.1.13) должны описывать одну и ту же предельную кривую для композита
226
структуры
[±ф]с
в плоскости О о з 1 а з 2 . Значит, соответствующие коэффициенты
этих уравнений должны быть равны друг другу. Имеем:
{ка1 + IMa^a^ + Na¡ ) / = {Ka¡ - IMa^a^ + Nal )/Д^о •
Отсюда следует уравнение для р:
+2р^ -1р-\
= 0,
(4.3.1.14)
которое можно представить в виде
{p-\){p
Так как
+ \f
=0.
> О, д~ > О, то нас удовлетворяет только один корень уравнения
(4.3.1.14), а именно р = 1.
Условие равенства коэффициентов при (J32 в уравнениях (4.3.1.12) и
(4.3.1.13) опять приводит к уравнению (4.3.1.14).
Приравнивая друг другу коэффициенты при
031032
в уравнениях (4.3.1.12) и
(4.3.1.13), имеем:
(Ка^а^ +Ма] + MÜJÜ^ + Na^a^l=
(Ка^а^ - Mal -Ма^а^^ +.Na^a^)lА1 .
Отсюда следует уравнение для р:
¡
р -2р'
+2р^
\
2 лг2
——^
^ - 2 / 7 + 1 = 0.
Это уравнение имеет корень р = 1 только при 5 = КМ -
(4.3.1.15)
= 0. Отсутствие об­
щего рещения уравнений (4.3.1.14) и (4.3.1.15), удовлетворяющего условию
^ я" ( т е . условию р ^ 1) говорит о том, что при принятии кинематических
гипотез из (4.3.1.7) невозможно записать уравнение предельной поверхности
для композита структуры [ ± ф ] с по применяемой здесь методике. Причиной это-
227
го является, по-видимому, то, что в данном случае предельная кривая не явля­
ется кривой второго порядка. Ее можно построить с использованием па­
раметрических уравнений из (4.3.2.4).
Вместо (4.3.Е7) предположим, что при чистом поперечном сдвиге в пре­
дельном состоянии композита структуры [ ± ф ] с справедливы следующие с о отнощения:
¿31 = ¿31 - ¿31'
' ¿32 = 0.5(832+832);
=
^31 = 0.5((Тз^1 + 03-1); С7з2 = 0.5(<тз^2 + ^з'г);
=
О-Г1 = СГ22 = СГ22 = 0-1^2 = 0-Г2
Используя эти соотнощения, можно найти сг^1,
Ö^Sl =СГз1-—ОГз2;<Тз2
Подставляя
=0-32;
из (4.3.1.17) cr^j, cr^i в
СГ31
сг^2>
= О-
'^ъ\^ ^зг '•
= Ö-31 +-^о-з2;СГз2 =0-32.
= 1, а
(4.3.Е16)
С Г 3 1 , СГ32
(4.3.1.17)
- в Ф~ = 1, итоге получа­
ем одно и то же уравнение поверхности для композита:
^ 2
Ш -М'^
Ka^i +
1
0-3^2 = 1 •
1 10Ч
(4.3.1.18)
/л о
2
Интересно отметить, что условие д"^ = д~ приводит к следующей зависимости:
(4.3.1.19)
¿32-¿32=^¿31•
Если вместо (4.3.1.16) принять соотношения
i^=i--
831=0,5(831+8^1);
стз1=0.5(аз^с7з-1);
832=832 = 832;
^32 =0-5(0-3^2+^з"2);
'
(4.3.1.20)
= O-fi = СГ2'2 = СГ2~2 = ö-i'2 = СГ12 = О,
ТО п о л у ч и м с л е д у ю щ е е у р а в н е н и е п р е д е л ь н о й к р и в о й д л я к о м п о з и т а :
228
4
+
= 1•
(4.3.1.21)
На основе полученных выше результатов м о ж н о записать следующие урав­
нения, которые определяют соответственно нижнюю и верхнюю оценки проч­
ности композита структуры [±ф]с при чистом поперечном сдвиге:
К(71^+Ма12
= \;
(4.3.1.22)
{K-—)a¡,HN-'Y)<Jl2=\.
(4.3.1.23)
Примем допущение, что для случая объемного напряженного состояния
предельную поверхность можно сконструировать, объединяя полученные выше
для частных случаев результаты. Имеем:
А1-Р^
2
2
^ВЬ-РК
^11+2
СЬ-Р^
^11С^22+
^
^ЕЬ-КО
+2
~а22+{Е
Ь
2ВРК-СР^-АР^
+
1
АС-в'
+ {К-
- -^>32
~7->з, +
-
2
^ОЬ-РО
^22+2
0-,,+
.
> , 2 +
/ л ^ ю . л
(4.3.1.24)
= 1-
Согласно результатам, приведенным в работе Ю.Н. Работнова
[1], можно
утверждать, что уравнение (4.3.1.24) является уравнением предельной по­
верхности для композита структуры [±ф]с, причем оно оценивает прочность
композита сверху. (Как отмечено в книге И.Г. Терегулова [1], задание неко­
торого кинематически
возможного поля обобщенных перемещений
равно­
сильно наложению на механическую систему дополнительных связей, что де­
лает модель системы более "жесткой", чем сама система. Если выполнены лишь
условия статики, то это соответствует тому, что не все связи системы учтены и
ее модель "мягче", чем сама система).
229
Рассмотрим некоторые частные случаи напряженно-деформированного со­
стояния композита структуры [±ф]с- Пусть композит находится в плоском на­
пряженно-деформированном
состоянии без сдвигов. Тогда можно
предпо­
ложить, что в предельном состоянии будут справедливы следующие соотнощения:
с^и = сгй =^1^(^22= <^22 = 0^22;
^3^
Повторив
= ^з"! = ^ . 3 2
выкладки,
=
^32 = 0; ¿ 1 2
аналогичные
=
0 - 1 2 = 0.5 (сг 12 + О" ¡2)= 0;
(4.3.1.25)
^12 = ^•
выщеизложенным,
на основе
гипотез
(4.3.1.25), придем к частному виду уравнения (4.3.1.24), соответствующему
случаю (512 ^ <731 = С^32 = ОРассматривая чистый сдвиг в плоскости £,1^2 можно предположить, что в
предельном состоянии будут справедливы следующие соотнощения:
=
=^22
.
= ^ 2 2 = ^^3^
_\
.
= ^31 =^32 = ^31
_
(4.3.1.26)
(712 =0.5^0-12 +(712)= 0; 8,2 =8,2 = ¿ 1 2 -
Используя (4.3.1.1), (4.3.1.2) и ассоциированные с ними режимы деформиро­
вания, при учете (4.3.1.26) получим
= Х" и
(4.3.1.27)
^ Г 2 = ^ 1 2 - | -
Подстановка (4.3.1.27) в (4.3.1.1) при учете (4.3.1.26) дает:
(7^2
г-и12
=1-
(4.3.1.28)
Как видно, оценка прочности композита па сдвиг в плоскости ^1^2 согласно
уравнению (4.3.1.28) отличается от оценки соответствующей прочности со­
гласно уравнению
(4.3.1.24). В данном
случае
статические
гипотезы из
(4.3.1.26), принятые для напряжений о ^ , а^",,032, ^22 ^^но входят в противоре230
чие с действительной картиной разрушения композита структуры [±ф]с в ре­
жиме деформирования¿¡^2 - ¿12 = ¿ 1 2 ^ О, поэтому (4.3.1.28) оценивает снизу
прочность рассматриваемого композита при чистом сдвиге в плоскости 4i^2При сравнении теоретических результатов с экспериментальными данны­
ми могут иметь место следующие случаи:
1. Кинематические и статические гипотезы, положенные в основу расчетной
модели,
соответствуют
действительной
картине
напряженно-деформиро­
ванного состояния материала в предельном состоянии. В этом случае следует
ожидать хорошей согласованности соответствующих теоретических и экспери­
ментальных результатов.
2. Для данного способа испытания на прочность не совсем справедливы как
кинематические, так и статические гипотезы. В этом случае погрешности, вно­
симые в расчетную модель кинематическими гипотезами, частично или полно­
стью могут погасить соответствующие погрешности, вносимые в модель стати­
ческими гипотезами (если эти погрешности имеют разные знаки). Тогда фор­
мально будет иметь место хорошее соответствие между теорией и эксперимен­
том. Если же соответствующие погрешности, вносимые в расчетную модель
кинематическим и статическим гипотезами, одного и того же знака, то трудно
говорить о сопоставлении теоретических и экспериментальных р е з у л ь т а т о в .
Перепишем уравнение (4.3.1.24) в следующем виде:
yi,cri^, +25,(7„гг22 +Cir722 +2D^G^^+2E^a22 +Ly^2+^\^l\
+^1^2
= 1- (4.3.1.29)
Здесь приняты следующие обозначения:
л _
AL-P^
• ß _
^
EL-RO
Ey =
£=-:
,
L, =
BL-PR
L
~
^
L{KN-M^)
Aj =
Y~-
;
iVi =
• ^ _
CL-R'^
^ , 2BPR~CP^
L +
AC-B^
v
L{KN-M^)
—
•
£) _
-AR^)
DL-PO
(4.3.1.30)
231
Определяя точки пересечения поверхности (4.3.1.29) с осями а ц , С22, ои,
с^зь стз2
можно найти соответствующие прочности композита структуры
[±ф]с.
Имеем:
стЙ = ( - А + ^5[7А,)/А,
;
ст22 = № + д / ^ ? + ^ ) / с 1 ;
^Г2=±Л/17А;
сг17 = {-О, -,[5[7А,)/А,
;
^22 = ( - ^ 1 - > / ^ 1 ' + ^ ) / ^ ;
^З1 = ± # ^ ;
(4-3.1.31)
0-3-2 = ± 7 1 / ^ .
Здесь индекс "и" означает предельное значение соответствующего напряжения,
индекс "1" относится к растягивающим, а индекс "с" - к сжимающим на­
пряжениям.
Отметим, что для получения экспериментальных значений прочностных
характеристик композита, соответствующих формулам (4.3.1.31), требуется
создавать специальные режимы деформирования материала, которые опре­
деляются векторами скоростей деформаций, ортогональными
к соответст­
вующим точкам предельной поверхности (4.3.1.29). Пусть, например, слоистый
композит структуры [ ± ф ] с доводится до разрущения при следующем напряжен­
ном состоянии:
сгц 5^ 0; 0 - 2 2 = сг,2 = (Тз! =
СГ32
= 0.
(4.3.1.32)
В этом случае, согласно ассоциированному с (4.3.1.29) режиму деформиро­
вания, имеем:
8п=21(А1а11-ьВ1);
¿22 =2Х{В^Ои+Е^);
812=831=832=0.
Итак, при разрущении от напряжений (4.3.1.32) композиту структуры [ ± ф ] с
должен быть обеспечен следующий режим деформирования:
^
Обеспечение
-
^
в эксперименте
^
^.^^з,=%.=0.,
соблюдения
(4.3,,.33)
всех условий, содержащихся
в
(4.3.1.32) и (4.3.1.33), может оказаться технически трудно осуществимой за232
дачей. Она имеет место, если необходимо экспериментально определить сг^^
или (Ту . Гораздо проще в эксперименте обеспечить определенный режим де­
формирования композита и определить разрушающую комбинацию напря­
жений при этом режиме. Для примера определим, при каких напряжениях ком­
позит структуры [±ф]с разрушается, испытывая при этом только деформацию
сдвига в плоскости ^1^2- Имеем:
¿11=822=831=832=0;
¿¡2 = ¿¡2 = ¿ 1 2 ^ 0.
(4.3.1.34)
Используя ассоциированный с (4.3.1.29) режим деформирования и некоторые
условия из (4.3.1.34), получаем:
^1СГ11 +
В^а22
+ Д
= 0;
^'10-31+Л/1СГ32 = 0;
В^сТу 1
+ С1СГ22 + ^1 = 0;
М1ОГ31 + Л^1агз2 = 0.
Отсюда находим
Подставляя (4.3.1.35) в (4.3.1.29), находим предельное значение напряжения
±1
А^а^^ -251СГцСГ22 -С,сг22 -2D,cr,I -2£',сг22 •
^1
Используя уравнение (4.3.1.29) аналогичным образом легко могут быть оп­
ределены другие разрушающие комбинации
напряжений
для
композита
структуры [±ф]с при соответствующим образом заданных режимах деформи­
рования.
В соответствующем разделе настоящей работы теоретические значения
прочностных характеристик композита структуры [±ф]с , определенные с ис­
пользованием уравнения (4.3.1.29), будут сопоставлены с соответствующими
экспериментальными результатами других авторов.
233
4.3.2.
Прочность композитных оболочек и пла­
стин, составленных из симметричных
слоев структуры
[+Ф]/-Ф]], в
случае крат­
ковременного статического нагружения
Приводя внутренние элементарные силы, действующие в нормальных се­
чениях оболочки, к некоторой поверхности 8о, в общем случае получим как
внутренние силы, так и внутренние моменты. Предположим, что эти внут­
ренние моменты несущественно влияют на прочностные характеристики ком­
позита на растяжение, сжатие или сдвиг в достаточно широком диапазоне из­
менения моментов. Это предположение справедливо, в частности, при наличии
определенных структурных особенностей композита (например, не очень силь­
ная асимметрия структуры и свойств композита относительно поверхности 8о).
Тогда прочностные свойства композита можно прогнозировать на основе пра­
вила смесей:
=
(4.3.2.1)
Здесь <7,у - прочностная характеристика композита; <т"j^^^ - соответствующая
прочность двух совместно работающих одинаковых монослоев с углами уклад­
ки ±фк, определенная согласно уравнению (4.3.1.29); к - номер двух одинако­
вых, совместно работающих, слоев, к - ],п, п - число таких парных слоев;
= ^к/^ " относительная толщина к-ой пары слоев; Ь - толщина пакета слоев.
Если моментными эффектами при разрушении композита пренебречь нель­
зя, то для прогнозирования его прочности можно использовать частные случаи
уравнений (4.2.1.11). Общее упрощение параметрических уравнений достигает­
ся тем, что вместо уравнения (4.2.1.3) мы в рассматриваемом случае имеем дело
2М
с уравнением (4.2.1.14), то есть Pi^
Rik
Qik = О, к = \,п. Это приводит к сле­
дующим значениям коэффициентов в уравнениях (4.2.1.11):
-
- ~В\кЦк'^
Qät-^U-'
.^,^3 = 4
=0;
^22
- AkP\k'^
^33
-^k'^
(4 3 2 2)
Л,, = 1 „ ( А , С ц . - E M ;
^2k = PxkiAkE\k-B\kD\kl
^3k = 0-
Подставив (4.3.2.2) в (4.2.1.11) , получим следующую систему уравнений пре­
дельной поверхности для композита, в структуре которого слою с ориентацией
+Фк соответствует такой же по механическим характеристикам слой с углом
ориентации -фк:
" 1
^11 - к=\
'Z-r^iiCik^U-Blk^llVlk
+iCik^U-B\k^22V2k
-
-2(D,,C,,-£,,5,,)//,
^22
" 1
= Z r 7 - [ ( - ^ l Ä ^ l l + Ak^llVlk
k=\ 2дд.
-2(A,,E,,-B,M-h,];
+ i-Bik^W
+
Ак^22У2к
n
Тх2=11^-%^\2^к+^мкк)\
fc=l
^11
Л^22
^12
" 1
= Z r i ^ [ ( C u ^ l l -ß\k^22)J2k + ( C u - 2 e „
-В,,±22Уък1
кtaSk
n J
= Е т г [ ( - ^ и ^ П + ^ i e 2 2 K 2 A - +{-B,k^u+A,,±22)hkl
A-=l
n
=Z0-5(^,24A-
(4.3.2.3)
+^12^,4^);
A=l
еЗ.=1^(А^.АГз.-Л^.АГ..2);
A=l A&i^
Q32-t~-iKlkf32-Mlkf3x)k=\
Еще более простой вариант системы параметрических уравнений пре­
дельной поверхности имеет место для композита структуры [±ф]с:
235
^11 -^[(^•1^и
¿0
-В,ё22)11+(С\Х,,-В,
±22^2
-
~2(В,С,-Е,В0к];
Т22=^[(В А1 + ^1^22^1 + Г - 5, ¿ 1 , + 4 ¿ 2 2 ^ 2 ¿0
-2(А,Е,-В,0,)Н];
=0.5(6,211+^12
(4.3.2.4)
М „ = ^ / С С , ё „ -В,ё22)12
¿0
^21
+(С,^п-В\
^22
)^]'
=~[(-ВА1-^Л^22)^+(-В1^п+А^22Мз];
¿0
М,2=0.5(ё,2^+^\2^);
Огх = иО^хЬх-МхЬ2)1(^0):
Здесь
0,2 - /|Г^,7з2
п11к, 1 = 1, 2, 3; Ь = пЬк - толщина пакета слоев. Как видно, парамет­
рические уравнения (4.3.2.4) формально имеют вид частного случая уравнений
(3.2.9) для однородного ортотропного материала. Это стало возможным благо­
даря предварительному выводу уравнения (4.3.1.24) для симметричной системы
слоев структуры [±ф]с-
4.3.3. Учет влияния времени, температуры и
других факторов при прогнозировании
прочности композитов структуры [+ф]/-ф];
Рассмотрим случай многоциклового нагружения двух симметричных и со­
вместно работающих слоев с углами ориентации ±ф. Уравнение предельной по­
верхности в осях £,1^22 для этого случая может быть получено по аналогии с
уравнением (4.3.1.29) и имеет следующий вид
+ ^ , 0 - 3 ^ 7 ^ , 0 - ^ 1 +[Л(А^)^п -f 25,(УУ)ст„о-22 +С,(Л^)а2\ +
+
{Ща^2
+ ^1 ( ^ ) ^ п
+ Л^, (А^)^32 \
(4.3.3.1)
= 1-
236
Здесь индекс "m" относится к средним напряжениям цикла, индекс "а" - ам­
плитудам переменных частей напряжений. N - число циклов д о разрушения.
Коэффициенты
A i m , ••, Nim могут быть определены
согласно
формулам
(4.3.1.30) по результатам кратковременных статических испытаний монослоя.
Коэффициенты А ^ ,
могут быть определены по следующим формулам по
результатам испытаний монослоя на прочность при симметричных циклах на­
пряжений
п2
А.=(Л-~-1;
L
В,^=(В---1;
N
;
/а
L
Lu = L +
V
д / 2
d 2
O D
C\,=(C—j-l;
L
2BPR-CP^
К,^=(К---),;
N
-AR^^
(4.3.3.2)
АС-В^
Исходя из ранее полученных уравнений (4.2.2.13), запишем параметриче­
ские уравнения предельной поверхности для композита, в структуре которого
слою с ориентацией +фк соответствует такой ж е по механическим характе­
ристикам слой с углом ориентации -фк, для случая многоцикловой усталости, в
пространстве внутренних сил и моментов. П р и этом учтем, что в уравнении
(4.3.3.1) предельной поверхности для двух
совместно работающих
слоев
отсутствуют слагаемые, содержащие первую степень напряжений Gn, то есть в
(4.2.2.10) нужно положить Pim= R)m = P i a = Ria = Qim ""0. С учстом сказанного
имеем:
= t ^[(cLeu - BL^nMik (cL - BL
+
¿ 2 2
М.л -
,
¿=1 2^^
-2(DLCL-PLBL)M:
T'" - t
- Blc- Л- Ale-,)!,, Ч- ( - ßl ±:\ + A
A=l 10.
-2(ALEL-BlDl)hJ:
n
Л2
Ä:=l
237
= ЕГ^^Г
ы\ 23'^
<
- В1ёп
+ ^Ы^22;/2. + ( - В1 *Г1+ <
¿^2
)hk]l
=Ео-5Г^Г2/зА+<2/и;.-
еГ=Х-^ЛГзи-Л^^7з2Д
А=146^^
Т1' = Е [ Г С 1 ^ -
^ ¿ 2 2 ; / . . + (С1
- В1 ±1, )1гк \
А-=1 2()^
Та^
=t^[(-
В1ёп + ^1.^22;Ла + ( - В1 ±и +
4а
¿ 2 2 ^/2^ ';
к=12д^
(4.3.3.3)
¿=1
А 1
= 1 Г^^/ГС^вГ, - ^,':,^22;/2А- + (С1
к=\2о,,
^'а
В1ёп + ^ ¿ 2 2 Ка + (- <
=
- В1 ¿ 2 2 Язк] 1
Л1
¿ 2 2 >Зк
к=\ 2д^
А^1'-Е0Ж2/2.+*Г2/заЛ
к=1
й Ав1
Здесь к - номер двух совместно работающих слоев структуры [+(рк /-фк], п число таких слоев. Индекс " т " относится к средним напряжениям цикла, ин­
декс "л" - амплитудам переменных частей соответствующих величин. При вы­
числении интегралов 1], Ь, 1? по формуле (4.2.1.12) Я определяется согласно
(4.2.2.14).
Еще более простой вариант системы параметрических уравнений пре­
дельной поверхности при многоцикловом нагружении имеет место д д я компози­
та структуры [±ф]с:
238
-2(В„„С,,„-Е,,,В1,)Ь];
25.
•'т
2(А,„,Е,„-В,„В,,)Ь]
у12
_
0.5(6^21,+*Г212);
М 11 = Т ^ [ ( С , т ^П-В,т^"2)12+(С.ш г е П - В ^ ^ г ё - ) 1 з ] ;
25
т
м^^ = - ^ [ ( - в , , ё Г ; + А , , , ё ? 2 ) 1 2 + ( - в , т * Г ; + А , „ * ^ 2 ) 1 з ] ;
25т
г12
м ! „ ' = 0 . 5 ( ё - 1 а + аЬГ21з);
О^„^=о.251,(м„л--м,,л^2)/еш;
(4.3.3.4)
д^^ = о . 2 5 1 , ( к „ л - - м , л ^ о / е ^ ;
1
-[(Сь^П -^^1а^22)/1 + ( С 1 . ^ П - 5 1 а ^ 2 2 ) / 2
2^.
1
=
^ [ ( - 5 1 а ^ Г 1 + Л.^22)А + (-В,аК
+ Л.^22)/2];
г;^ = о.5(в,У1 + ^1У2);
м
11
1
15.
( - ^ . . ^ И +Ла^22)/2 + ( - А . * П + А . ^ 2 2 ) / з ] ;
м : ^ = о . 5 ( в , у 2 + *Г2/з);
Й ' = о.25Л(л^,Л1-л^1.Гз2)М,;
= 0.257,(^2-А^ьГз,
в этих уравнениях 5^^ = ^ ь / а ^ , - 5^,,,
= А^/:,^
- В^,
= К^^^М
м
Влияние длительного характера действия статических нагрузок (статиче­
ская усталость), влияние повышенных температур и комбинированное влияние
этих и других факторов на прочность композитных оболочек и пластин, имею239
щих в своем составе попарно одинаковые слои ориентации, могут быть учтены
через коэффициенты уравнения (4.2.2.1), как это было изложено в разделах
4.2.3, 4.2.4, 4.2.5 настоящей работы.
4.4.
Параметрические уравнения предельной
поверхности в пространстве обоб­
щенных сил для композитных брусьев
в этом разделе настоящей работы рассмотрены вопросы прогнозирования
прочности композитных брусьев в общем случае из сложного сопротивления.
Брусья могут быть армированы тонкими стержнями, волокнами или образова­
ны путем наложения (намотки) монослоев. Фазы и слои композита могут быть
ортотропными, изотропными или трансверсально изотропными. В составе ком­
позита могут присутствовать несколько армирующих фаз или несколько разно­
видностей монослоев (гибридные композиты). Выведены
параметрические
уравнения поверхности прочности для композитных брусьев в пространстве
внутренних сил и моментов, действующих в поперечном сечении бруса. Полу­
ченные результаты применимы для брусьев с произвольной формой продоль­
ной оси и имеющих переменное поперечное сечение. Геометрия бруса, струк­
тура композита и свойства фаз входят в исходные данные задачи. Полагаем, что
в
предельном
состоянии,
непосредственно
предшествующем
ката­
строфическому разрушению, деформации бруса малы. При решении рассмат­
риваемой задачи существенно использованы гипотезы Кирхгофа (Ляв А. [1]),
постулат Друккера (Друккер Д. [1]), ассоциированный закон деформирования
(Качанов Л.М. [1]).
4.4.1.
Уравнения предельной поверхности для
композитных брусьев в случае кратко240
временного статического приложения на­
грузок
Введем следующие системы координат:
0^1$,2£,з
- глобальная система, свя­
занная с поперечным сечением бруса, О - центр приведения внутренних эле­
ментарных сил, ось ^1 направлена ортогонально поперечному сечению, оси ^2,
^3 лежат в плоскости поперечного сечения; (Oxyz)j - локальная система, свя­
занная с осями ортотропии ]-го элемента композита (стержень, волокно, моно­
слой), ] = 1,п, п - число элементов композита, пересекающихся с рассматри­
ваемым поперечным сечением; ось Xj совпадает с продольной осью ]-го арми­
рующего стержня или волокна; ось Zj ортогональна плоскости]-го монослоя.
Для j - o й компоненты композита уравнение поверхности прочности имеет
следующий вид:
(асг1+2Ьсг^(7^+со-'^+2с^сг^+2еа^+2Ь,ст^сг^^
+
(4.4.1.1)
+ 25^(7^а^^ + с,а1 + 2е,сг^^ +
+ та^
+ па^).
= 1.
Для трансверсально изотропных армирующих элементов (стержень, волокно) Ь}
= Ь2 = Ь, С1 = с, 0} = е, ш = 1; для монослоев Огг = 0.
Компоненты тензора напряжений в рассматриваемой точке тела при пе­
реходе от декартовой системы (Oxyz)J в декартовую систему координат 0^1 ^2^з
преобразуются по следующей формуле (Мейз Д.[1]):
^^k(xJ• У,'
Здесь (Яр,,
= ар,а^1^ар^(^,, ^2, ^ з )
(4.4.1.2)
~ косинусы углов между соответствующими осями систем (Oxyz)J
и 0^1^2^з.
Используя соотнощения (4.4.1.2), уравнение (4.4.1.1) запишем в системе
0^1 ^22,3- Получим:
Ф / К . ) = 0.
(4.4.1.3)
241
Компоненты тензора скоростей деформаций определяем, используя уравнение
(4.4.1.3) и ассоциированный с ним закон деформирования:
. ¿ , = 1 . ^ .
(4.4.1,4)
Здесь l J ( s ¿ q ) > 0 .
Примем следующие гипотезы: 1) "волокна" бруса, параллельные оси
не
давят друг на друга, то есть сг22 ^ О, сгзз = 0; 2) проекции поперечных сечений
бруса на плоскости, ортогональные оси
остаются неизменными, то есть 823 =
О, Вз2 = 0 .
Если справедлива вторая гипотеза, то напряженры а2з и сгз2 не являются
обобщенными силами (то есть они не соверщают работу при деформировании
бруса). Поэтому в случае сложного сопротивления бруса достаточно рас­
смотреть сечение поверхности прочности (4.4.1.3) плоскостями а2з = О, аз2 = О ,
сг22=0, а з з = 0 .
С учетом принятых гипотез соотношения (4.4.1.2) могут быть записаны в
следующем виде:
(4.4.1.5)
=^и<^1к(^п+(^и^2к+^и^1к)(^12+(^и^зк+аз1а1к)(Т1^.
Здесь 1, к = X, у, 2. Подставляя (4.4.1.5) в (4.4.1.1), получаем:
(4.4.1.6)
+ 2С/гт,зСГ|, +20о-|1 + 2 ( > а , 2 +2Тст^^). = 1.
Здесь
Л = аА^, + 2^11^21 + <^Л^1 + ^-^31 + ^А],
+ «^5^1 +
1
+ С,А1, ;
1 = аА,2 + 2М,2^22 + <^^22 + ^^32 + ^^42 + ^^5^2 + 2 ^ 4 2 ^ 2 + ^1^62'
К = аА^, + 2 М , , Л , + сА^^ + 1А1^ + тА1-г + пА1-г + 2Ь,А^А^^ + с , ^ ;
242
+ ^ / ^ 1 1 Л 2 + ^ 1 2 ^ 1 ^ ' + С 1 Л 1 Л 2 + тА^Л^
8 = а4[2^[з + ^(^12^23
+
пА^Л2:
^^32^33
^13^-22) ' ^ • ^ 2 2 ^ 3
+ ^ / ^ 1 2 Л з + ^13^2^" + С 1 Л 2 Л 3 + ^ Л 2 Л з + «^52^53-
С = аЛ, 1
+ /)ГЛ1Лз + АзАО
+ СЛ21А2, + / ^ 1 ^ 3
+ ^^4,^43 + « ^ 5 , 4 3 + ¿ / ^ , 1 ^ 3 + Л з Л 1 >
0^с1А,,
+
сЛзА\;
+^1Л1'
+6^21
О = ¿¿4,2 +£^22 +^\А2<
Т = dA^, + еА2, + е,А(,у
В этих формулах
2
41
= ^1^;
^1
=
^ 2
^1х'^1уу
А2
Л1=«1х«Ь;
^51 =
4,1 = 4 ;
=
4 з = 2а1з.йгзз.;
2й'1^«2>.;
= ¿^,^«2^, +
С12х^1у'^
^ 2 = «1x^27+^2x^1^;
^ 2
=
а1у^2г
+ ^2у^\2^
Л2=2а1,а2г;
Аз
= <^1х^3>' +
'^Зх'^1у'^
Лз=^1х«37+^3х«1г;
^53 =
«1у^3г
+ ^Зу^^;
Лз=2д1,йгз,.
Здесь приняты следующие обозначения:
= со8(^2'^у);
«1х
= С08(^1,Х^.);
ЙГ2х
^1у
= со8(<^1,>^^.);
^2^, = 0 0 5 ( ^ 2 , ; ^ ^ ) ;
«17 = С08(^Ь^у);
¿^27 = С08(^2,^у );
«Зх = С08(^з,;с^
а^у =
^37 = С08(^з,2^.).
Используя (4.4.1.6) и (4.4.1.4), найдем:
ё/, = 2Я^//1а-,| +Рсг,2 +Г7(7,з + D)J;
^^2
21//.сг,2 + /"^т,, + .^(7,3 +
^o^[^з^Уj
0)J:
^'13 - 2 Д / ^ с г , з + 5 а , 2 + О а , , + Г ; ^ . .
Решая (4.4.1.9) относительно сг/,, сг/2, а-,'з, находим
1 ^
4
(4.4.1.10)
=
A
P
G
Здесь (J¡ = G(¡; г\=г{-\ A j = P
L
S
G
S
К
j
Ау - определители, полз^енные путем замены 1-го столбца AJ на вектор [ в р Т т .
j '
8ik= 5ki - алгебраические дополнения (i, к)-го элемента Aj (i, к =1,3).
Подставляя (4.4.1.10) в (4.4.1.6), находим
Í 3 3
ZZStké.ék
Vi=lk=l
j
(4.4.1.11)
4S^
Здесь 8^ = ( О А 1 + д А 2 + ТАз + А)^.
Формулы Кирхгофа для скоростей деформаций имеют следующий вид (Ляв
А. [1]):
=^11
"¿214^2
+^Ъ\^Ъ^
¿/2=0.5(^2,-¿,,^3);
(4.4.1.12)
^/з =0-5(Гз1 +^11^2)-
Здесь
- скорость деформации вдоль оси
У2\, 7 з 1 ~ скорости сдвигов; ¿ 2 ,
" скорость изменения кривизны проекции осевой линии бруса на плоскость
^1^,2; ¿ 3 ,
- то же, на плоскость
£,1^3; се,|
- скорость изменения закрутки осевой
линии бруса. В пределах рассматриваемого поперечного сечения эти величины
не зависят от координат £,2 и £,3.
Подставляя (4.4.1.12) в (4.4.1.11), получаем
1 | = ( р , + 2 ^ 2 Р | ^ + 2 ^ з Р Й + ^ ^ р | ^ + 2^2^зР|^^^ + Й Р ^ У ( 4 8 1 ) -
(4.4.1.13)
Здесь введены следующие обозначения:
244
=511ё„+0.255^22721 +0-255^зУз, + 5Ьё,1У21 + 0-5§^2зТ2!Уз1 + 51зё11Уз1;
(Pe¿)J = - 5 | 1 ё 1 1 ^ 2 1 + 0 - 2 5 5 ^ з У з , Ж 1 , - 0 . 5 5 ] 2 У 2 , ; Б 2 1 + 0 . 2 5 у 2 1 Ш „ 5 ^ 2 з +
+ 0.55^зё,,^1,-0.55|зУз,Ш21;
(Pe¿)J = 5 { 1 ё 1 1 ^ з 1 - 0 - 2 5 5^2^21*11-0-5 512611^11+0.5 5^2У21^з1-
- 0.255^3731^11+0.55;зУз,сБз,;
(Р^^)^ = 5 | , а ё ^ , + 0.255^зае?,-51,аЬ2,аЬ,,;
(4.4.1.14)
(P'^ш^)J =-5]1зе21аёз1+0.55^2^21^11" ^255^386^1 +0.55^3863,аец;
( P i ' ) J = S i l S Ь з ^ + 0 • 2 5 5 J 2 a b l V s ; 2 ¿ з l ¿ '11
l •
Подставим (4.4.1.12) в (4.4.1.10). Получим
И^1кЧ
+^2(0-44*11 - ^ / { ¿ 2 1 ) +
(4.4.1.15)
+ ^з(с^,:;^з1-0.5с5^^1,)1/(2Я^.А^.)-А.Л.
Здесь введены следующие обозначения:
¿1=611;
«
¿ 2 = 0.5721;
¿ 3 = 0.5731.
Внутренние силы и моменты в поперечном сечении бруса определяются
следующими формулами:
(4.4.1.16)
M2 = Y.\cJ,^,dA•.
М,=-^^\а,^2^А.
Здесь 1 = 1,3; Т1 - осевая сила; Т2, Тз - поперечные силы; М] - крутящий м о ­
мент; М2, Мз - изгибающие моменты; ] - номер компоненты композита; п число компонент, рассекаемых рассматриваемым поперечным сечением; А . площадь сечения j - o й компоненты.
Подставляя (4.4.1.15) в (4.4.1.16), получаем
245
"
1
0.5 2 ; / , Д 1 в , + о . 5 ( / 2 / , 4 - М , ф 1 1 -
-I2j8k^ll
"
+/зу^/1аЬз1]-Ау4},
/ = 1,3;
1
к=\
+ 0 . 5 ( / б / 4 +/4/^3 -2/5у^/з)ь„ + ( / 5 / 4 - / 4 / , ^ ) * 2 , +
+ ( / 5 ^ ^ -/6/1^)^31 ]+А2Л^'
"
1
(4-4.1.17)
-Азг^/};
0.5 2 / з / , 4 в , + 0 . 5 ( / з / , ^ - / , / , ^ > „ +
;^1А;
А:=1
п 1
0.5
М з = - 1 - ^
У=1А;
Здесь
/с=1
^^^^17' ' ^ ^ J т г ' ^J•^Jтг'
I5j =
Г ^2^зdA.
;
I6J=
= {^зйА;
А.
1,- А^ - J
(4.4.1.18)
SJз= ^ ^ 2 d A .
А;
Уравнения (4.4.1.17) являются параметрическими уравнениями поверхности
прочности д л я композитных брусьев при их сложном сопротивлении (для слу­
чая кратковременного статического нагружения).
Как известно, значение главного вектора внутренних элементарных сил не
зависит от выбора их центра приведения, а значение главного момента этих сил
- зависит. Поэтому значения моментов М ] , Мг, Мз в (4.4.1.17) будут зависеть от
выбора системы координат 0^,\Ъ,2^з- Но конечный результат (несущая спо­
собность бруса) не зависит от выбора центра приведения сил (точки О) и осей
^2, ^3- В то же время, минимизируя, например,
, можно определить центр
246
изгиба для рассматриваемого сечения, минимизируя величину
[Мг!
(или
|Мз|),
можно найти «главные» оси рассматриваемого поперечного сечения и т.д.
4.4.1.1. Предельные поверхности для компо­
зитных брусьев при наличии симметрии
в строении материала и в геометрии по­
перечного сечения (случай крат­
ковременного статического нагружения)
При наличии симметрии в геометрии поперечного сечения бруса и (или) в
структуре материала полученные выше параметрические уравнения (4.4.1.17)
предельной поверхности для композитных брусьев существенно упрощаются.
Рассмотрим различные варианты таких упрощений.
Рассмотрим брусья, полученные наложением попарно одинаковых моно­
слоев с углами ориентации +фк и -фк {к = \,п ,п - число пар одинаковых слоев).
Плоскость
монослоя
считывается от оси
(Oxy)J
параллельна
плоскости
0Е,\^2-
Угол
фк
от-
В этом случае два таких совместно работающих слоя мо­
гут быть приняты за один ортотропный слой (осями ортотропии являются
^2,
^з) с площадью, равной сумме площадей этих слоев. Уравнение (4.4.1.6) для та­
кого ортотропного слоя принимает следующий вид:
Ф,(стр^) ^ (Л.о-?, + ¿1
+К , +
21\а,,),=\.
(4.4.1.1.1)
Здесь к - номер двух совместно работающих слоев, к = \,п; коэффициенты А],
Ь], К ь О] определяются с использованием формул (4.3.1.30). При вычислении
коэффициентов А,
^1 = ^1 - ^1 =
Аз
= ^23
=
Т согласно формулам (4.4.1.7) в них следует положить
0;
4з
= ^1
= ^2
= ^51
= ^52
= Л]
= Аз = ^•
247
в итоге приходим к формулам из (4.2.1.4). Коэффициенты в (4.4.1.10) и 8д оп­
ределяются следующими выражениями:
А = А,Ь,К,;
§1,=Ь1К1;
Д1=В,Ь,К,;
522 = А , К 1 ;
А2=Аз=0;
5зз=А1Ь1;
8д = Ь , К , ( А 1 + В ? ) ;
5 , ^ = 0 (при
1 ^ к).
С учетом этих результатов формулы (4.4.1.14) можно записать в следующем
виде:
Р ^ = 5 1 , ё ? , + 0.25 5^2721 + 0 . 2 5 5^зУ_?,;
(Ре1' )J = - ^и^п^и
+ 0-25 5^ззУз,^н;
(Ре^^)з=5;1^и*з1-0-255^2У21*п;
(Р|2)^=51,^2^+0.255^з^?,;
(Рае^
= ~5|1Ж21^31;
(Р1^)^ =51,^3^+0.2551236?,;
J=U l .
В итоге уравнения.(4.4.1.17) принимают следующий вид:
72=Е—[0.5^22 (V2-o•5/з,¿и)];
;=1А,
^з = 1 : : ^ а , А + 0 . 5 / 2 , - * „ ) ; .
Л^2 = Е — [ 0 - 5 ^ / . ( / з ; ^ . ~hi^2^
7 =1 А ;
(4.4.1.1.2)
+/б,^з,)-А1г'^\^];
А^з = - Ё - ^ [ 0 - 5 ^ / 1 ( V I - ^ 4 А . + ^ 5 , ^ 3 . ) - А,,.^з^'].
7=1 ^J
Если поперечное сечение бруса симметрично относительно оси ^з (на­
пример), то в (4.4.1.1.2) нужно положить 5з =0 (у = 1, и ) .
248
Если все монослои имеют одинаковые механические характеристики и ком­
позит имеет структуру [±ф]с, то уравнения (4.4 Л Л.2) принимают следующий
вид:
Т, = - ^ ( 1 , ё , + 1 з ^ з 1 - 1 2 ^ 2 1 ) - 7 ^ А ;
2А,
А,
Т2 = ¿ ^ ( 1 , ^ 2 - 0 . 5 1 3 ^ , 0 ;
Тз=^(1,ёз+0.512^„);
М,=-1-(12ёз+0.514*,0 + т|-(0.51баЬ„-1зё2);
1
(4.4.ЕЕЗ)
В,
= ^ ( 1 з ё 1 - 1 5 * 2 1 + 1бгЬз1)-—8,;
Мз =
-1
В,
—(1261-14^21+152631)-—§3.
Здесь А - площадь всего поперечного сечения бруса; интегралы II,
1б вы­
числяются по всей площади А.
Чтобы в какой-то степени убедиться в достоверности полученных выще па­
раметрических уравнений предельной поверхности для бруса, рассмотрим про­
стые случаи деформирования изотропного бруса прямоугольного поперечного
сечения с щириной Ь и высотой Ъ. В этом случае коэффициенты уравнения
(4.4.ЕЕ1) имеют следующие значения (полагаем, что напряжения отнесены к
пределу текучести оо материала):
А , = 1 ; Е, = К, = 3; В , = 0.
Отсюда следует, что
А = 9;
Пусть только ¿1^0.
Д,=0;
.^д = 9;
^ „ = 9 ; с^22 =
= 3.
Тогда, согласно (4.4. Е Е 2 ) , имеем
Т, =0.51161.
В данном случае
249
В итоге получаем
Аналогично можно показать, что:
если только ¿ 2 ^ О, то Т2/А =
±\/л/З;
если только ¿ 3
О, то Т-^! А-±\1
если только
^ О, то 4 М 3 /{кЬ^ ) = ±1;
л/З;
если только зёз, ^ 0 , т о 4 М 2 / ( М ^ ) = ±1;
Рассмотрим изотропный стержень круглого поперечного сечения. Пусть
только ае,,
о. Тогда
В данном случае
А
1=
к
р/л/^^;
14+1б
=
3
11
Здесь К - радиус поперечного сечения. В итоге для предельного значения кру­
тящего момента М 1 имеем:
ЗyWl/(27г/^') = ± l / л / 3 .
Все найденные предельные значения внутренних сил и моментов для изо­
тропных брусьев при простых деформациях совпадают с соответствующими
результатами классических рещений (см., например, книгу [1] Л.М. Качанова).
Так как нащи частные результаты были получены путем последовательных уп-
250
рощений общих уравнений (4.4.1.17), то можно сделать вывод, что при получе­
нии (4.4.1.17) не допущены ощибки в выкладках.
4.4.2.
Поверхность прочности для композитных
брусьев в случае многоциклового нагру­
жен ия
Рассуждения, аналогичные изложенным в разделах 1.2.3, 4 . 2 . 2 , позволяют
записать уравнение предельной поверхности для j - r o элемента композитного
бруса в случае многоциклового нагружения в следующем виде:
{aal,
+ 2ba^ayy
+ caly + 2da^
+ le^a,, л-laly + mal,
+ leayy + Ib^a^a^,
+nalXi
+ c^a], + 2^^^^^*^* +
+ i^^lx + ^ba^ayy
+ c(^ly + 2/)iö-^a,^ + c^a], + laly + mal,+ na^X
+
(4.4.2.1)
= 1.
Осуществляя переход от осей ортотропии j - r o элемента (Oxyz)j к осям
0^1^2^з бруса, уравнение (4.4.2.1) запишем в виде
0
Фу =(Aaii
0
+ Р^п
1
+ K a i 2 + 2Paiiai2
+ 2Sai2a^2 ^^Gai^an
+ 2Da^i+2Qai2+2Tai2)i+{Aafi+Lai2
+ Kai^+
+
(4.4.2.2)
+ 2РСГ11СГ12 +25'(Tj2Ö"i3 + 2 G ö - j 3 Ö - i i ) ^ = 1.
Уравнение (4.4.2.2) записано в предположении, что гипотезы, принятые в раз­
деле 4.4.1, справедливы и в случае многоциклового нагружения. Коэффициенты
А,,^,...,Т,^ , А ^ , , . . . , G „ уравнения (4.4.2.2) определяются с использованием со­
ответствующих формул из (4.4.1.7), (4.4.1.8).
Полагаем, что
251
1к
'к
^
^ ттаа хх
т1п
1к _^ 1к.
т —'^ а ^
.1к
^ тах
• ¡1
•И
^тах
тт
^•1к^.1к.
га
— ^-я '
тш
тах
т1п
га
тах
^ д > + л > .
т —
'
тю
— а'
(4.4.2.3)
так
т1п
Здесь 1, к = 1,3; индекс " т " означает среднее значение соответствующих ве­
личин, индекс "а" - амплитудные значения переменных частей этих же вели­
чин.
Средние значения 7'^,,М^, предельных внутренних сил и моментов могут
быть определены по формулам (4.4.1.17) с использованием
А^,...,Т,^
коэффициентов
уравнения (4.4.2.2) и средних значений скоростей обобщенных пе­
ремещений ё^,,ае^. Амплитуды
Т'^,М'^
переменных частей внутренних сил и
моментов также могут быть определены по формулам (4.4.1.17), но с использо­
ванием коэффициентов А ^ , . . . , 0 „
обобщенных
перемещений
уравнения (4.4.2.2) и амплитуд скоростей
^а,^^-
При
Л'-^ = О (/= 1,3), ..^д = А д . В интегралах 1у,
этом
нужно
учесть,
1б] (4.4.1.18) значение
что
опре­
деляется с использованием следующего выражения:
Здесь
определяется по формулам (4.4.1.13), (4.4.1.14) с использованием ко­
эффициентов А^^,...,Т,^
уравнения (4.4.2.2) и средних значений скоростей
обобщенных перемещений
использованием коэффициентов
значений
Яд определяется по тем же формулам, но с
уравнения (4.4.2.2) и амплитудных
скоростей обобщенных перемещений.
В заключение этого раздела отметим, что влияние длительного характера
нагружения, температуры или других факторов, влияние комбинаций раз­
личных условий нагружения (например, многоцикловое нагружение при по­
вышенных температурах) на предельное состояние композитных брусьев могут
252
быть учтены через коэффициенты а „ , , л , , , , а ^ , у р а в н е н и я
(4.4.2.1) ана­
логично тому, как это было описано для композитных оболочек и пластин в
разделах 4.2.3, 4.2.4, 4.2.5 данной работы.
253
5.
Методы и алгоритмы решения за­
дач прогнозирования прочности и
определения несущей способно­
сти композитных элементов кон­
струкций
5.1.
Вопросы, связанные с использованием
параметрических уравнений предельных
поверхностей для композитных элемен­
тов конструкций в приложениях. Алго­
ритм А1
Параметрические уравнения предельных поверхностей для композитных
элементов конструкций, полученные в четвертом разделе настоящей работы,
являются достаточно сложными для их использования в приложениях путем
проведения аналитических операций над основными соотнощениями задачи о
предельном равновесии элемента конструкции. Одно из достоинств
метрических
уравнений
предельной
поверхности
(например,
пара­
уравнений
(4.2.6.9)) состоит в том, что они позволяют достаточно легко найти координаты
точки, лежащей на предельной поверхности (построенной в пространстве
обобщенных сил) по известному (заданному) направлению вектора скоростей
обобщенных перемещений. Это позволяет строить аппроксимации предельной
поверхности с заранее установленной необходимой и достаточной точностью
Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с различными аппроксимациями
предельной поверхности для композитов.
Если предельные поверхности, характеризующие
прочность
отдельных
элементов, выпуклы (не вогнуты), то предельная поверхность для композита.
254
образованного из таких слоев, также будет выпуклой (не вогнутой) (Ю.Н. Работнов [2]). Пусть 4/ - скорости обобщенных перемещений, Р1 - соответствую­
щие обобщенные силы. Две системы, которые будут соответственно отмечаться
индексами 1 и 2 , соединены между собой так, что некоторые элементы их де­
формируются одинаково, будучи связаны между собой. Тогда д^^^ = ¿¡1^^ = с],.
С другой стороны, суммарные усилия О, =
+ Q¡^•'. Предельные по­
верхности для системы 1 и 2 записываются следующим образом:
ФЛ01'^)
= к1,
Ф 2 ( Й ' ^ ) = ^2'-
(511)
Когда система находится в предельном состоянии, оба условия (5.1.1) вы­
полняются одновременно. В соответствии с ассоциированным законом де­
формирования имеем:
Отсюда следует пропорциональность частных производных от функций Ф] и Фп
в предельном состоянии
- Р ^ -
Примем теперь
=
-
(5.13)
- Q\^^. Если число обобщенных сил есть Ы, система
(5.1.1) и (5.1.3) состоит из N+2 уравнений, исключая из них N+1 величину 6^,^"
и р, получим уравнение предельной поверхности для составной системы
Ф{а,)
=к\
(5.1.4)
255
Геометрическая интерпретация этого результата заключается в следующем.
В пространстве сил б / строится поверхность
01(0/^-*)
= А:^, а поверхность
Ф 2 ( б Р ^ ) = ^2 переносится параллельно себе так, чтобы центр ее оказался на
первой поверхности. Такое построение можно выполнить для любой точки пер­
вой поверхности, уравнение (5.1.4) представляет собою уравнение огибающей
семейства поверхностей. Поверхности Ф, = к, и Фз = к 2 можно поменять мес­
тами, от этого результат не изменится. Как видно из такой интерпретации, если
9
поверхности Ф , =
9
и Ф 2 ==А;2 выпуклы, то будет выпуклой и поверхность
Ф = к \ Эти рассуждения можно обобщить на систему из п элементов. Уравне­
ние (4.3.1.9) предельной поверхности для композита структуры [±ф]с было по­
лучено на основе этой методики.
Отметим, что геометрическая интерпретация, изложенная выще согласно
работе Ю.Н. Работнова [2], справедлива по отношению к относительному вкла­
ду той или иной компоненты композита в его несущую способность. Поясним
сказанное на следующем простом примере. Пусть составной стержень из двух
материалов, имеющий геометрическую и физическую симметрию поперечного
сечения, доводится до разрушения путем центрального растяжения. При этом
А1 - площадь рабочего сечения первого материала, стц - предел текучести пер­
вого материала, А2 - площадь второго материала, ауг - предел текучести второ­
го материала. Имеем:
'А = А^ + А2:
1у
1'г = ГТ./.^/1, + Г7-1-2А'
л,
.-к
Здесь От - предел текучести составного материала, VI, У2 - относительные пло­
щади (У] + У2 = 1).
Рассмотрим уравнения (4.2.1.11). Предположим, что предельная поверх­
ность, описываемая
этими
уравнениями, может быть
аппроксимирована по­
верхностью второго порядка в пространстве внутренних сил и моментов:
256
ф = й'^сд + 2о'^д-\
(5.1.5)
= о.
Здесь 0 = { T l , T 2 Д з ' M l , M 2 , M з , Q з l , Q з 2 } ^ - вектор обобщенных сил; С = [с±],
1,к = \,Н - симметрическая матрица; D =
. Матрица С имеет сорок
независимых компонент (с учетом симметрии), а вектор О - восемь незави­
симых компонент. Для их определения можно поступить следующим образом.
Задавая различные направления вектору скоростей обобщенных перемещений
д = {¿1,62,¿3,26,,¿2,¿3,71572)
'
уравнениям (4.2.1.11) можно определить
соответствующие точки на предельной поверхности для композита. Всего не­
обходимо определить сорок восемь различных точек на предельной поверхно­
сти. При этом необходимо стремиться к тому, чтобы эти точки позволяли бы
как можно более точно аппроксимировать всю поверхность (4.2.1.11) или ту ее
часть, которая интересует исследователя в конкретно рассматриваемом случае.
Подставляя векторы { Т | , . . . , О з 2 } [ ,
{ Т 1 , . . . , О з 2 } 1 8 , соответствующие различ­
ным точкам на предельной поверхности (4.2.1.11), в (5.1.5), получим систему
линейных алгебраических уравнений для определения компонент матрицы С и
вектора Е>.
Если каждый элемент составного материала является устойчивым, то со­
вокупность должна быть устойчивой (Д. Друккер [1]). Элементы вектора скоро­
стей обобщенных перемещений
д
можно определять, используя
ассоции­
рованный с (5.1.5) закон деформирования:
^7^1
^(2з2
Другая возможность аппроксимации поверхности (4.2.1.11) заключается в
том, чтобы заменить её вписанным (или описанным) многогранником с пло­
скими гранями. Для этого, используя уравнения (4.2.1.11), необходимо найти
как минимум N+1 точку, лежащих на предельной поверхности (4.2.1.11), где N
257
- размерность пространства обобщенных сил. Проводя через эти точки в опре­
деленном порядке гиперплоскости
(5.1.7)
+ «/70з1+«/80з2=^,.
где i = 1,Л'^ + 1 и более, можно сконструировать аппроксимирующий много­
гранник. Коэффициенты
а,!,a,g,
определяются, используя координаты
HOL
точек, лежащи?^предельной поверхности (4.2.1.11), через которые проходит ги­
перплоскость (5.1.7). При использовании такого аппроксимирующего много­
гранника обобщенные силы и скорости обобщенных перемещений между собой
связаны ассоциированным законом в форме (2.2.6) - на гранях предельной по­
верхности, и в форме (2.2.7) - на ее ребрах и верщинах. Следует отметить, что в
данном случае на гранях и ребрах одному и тому же значению вектора скоро­
стей обобщенных перемещений q может соответствовать множество значений
вектора обобщенных сил Q .
Не всегда есть необходимость в использовании всей предельной поверх­
ности (4.2.1.11). Иногда достаточно иметь дело с тем или иным сечением этой
гиперповерхности, т.е. вместо восьмимерного пространства обобщенных сил
T i , T 2 , T 3 , M i , M 2 , M 3 , Q 3 i , Q 3 2 в этих случаях можно работать в пространствах
меньшей размерности. В отличие от случая, когда предельная поверхность за­
дана единым уравнением в пространстве обобщенных сил, при использовании
уравнений типа (4.2.1.11),построение сечений этой поверхности оказывается
достаточно сложной самостоятельной задачей. Пусть, например, необходимо
построить линию пересечения предельной поверхности (4.2.1.11) координатной
плоскостью Т 1 О Т 2 . Для этой цели можно использовать следующий алгоритм
(алгоритм A I применительно к рассматриваемому случаю).
1. Задать последовательность значений
¿2^^ (1 =1, 2, ...) из области их
допустимых значений.
258
2.
Решить систему из шести нелинейных уравнений
Гз=0,
определить
М1=0, М2=0,
¿1'^
Мз=0,
з ^ з ^ ' •
О з 1 = 0,
Оз2=0,
(5.1.8)
Левые части уравнений (5.1.8) опре­
деляются согласно (4.2.1.11).
3.
По известным значениям ё\'\
определить 7)^'\ М1'\
,
ж-'^ (1 = 1,3),
/1\/2^,
используя (4.2.1.11)
• Точка, координаты которой равны этим зна­
чениям внутренних сил и моментов, лежит одновременно на поверхности
(4.2.1.11) и на плоскости Т 1 О Т 2 , т.е. принадлежит искомому сечению.
4.
Повторяя эту процедуру для различных комбинаций
и ¿ 2 , получим р я д
точек, принадлежащих предельной кривой на плоскости Т 1 О Т 2 . Найдя доста­
точное число таких точек, строим искомую кривую.
Для решения систем нелинейных уравнений, аналогичных (5.1.8), нами бы­
ли использованы различные методы: обобщенный метод Стеффенсена (Майергойз М.Д. [1]), градиентный метод наискорейшего спуска (Д. Химмельблау [1])
и др. Если, например, ищем решение системы уравнений (5.1.8), то можно со­
ставить следующую целевую функцию:
2=
+М1 +М1 +^3^1 + ^ з \ .
Точка минимума функции (5.1.9) доставляет решение системе
(5.1.9)
уравнений
(5.1.8).
В зависимости от размерности искомого сечения поверхности (4.2.1.11) сис­
тема, аналогичная (5.1.8), может содержать от 1 до 7 уравнений. При этом пра­
вые части уравнений такой системы могут быть приняты равными некоторым
допустимым значениям, которые отличны от нуля. Эти допустимые значения
259
определяются
из условия
существования
искомого
сечения
поверхности
(4.2.1.11).
В общем случае предельная поверхность ( 4 . 2 . 1 . 1 1 ) для композиционного
материала имеет участки с кривизной, стремящейся к нулю (прямые ребра и
плоские грани). На этих участках однозначной зависимости между векторами
скоростей обобщенных перемещений и обобщенных сил нет. Это усложняет
поиск решений систем уравнений, аналогичных (5.1.8). Сказанное проиллю­
стрируем на примере двумерной задачи (рис. 5.1.1). На этом же примере по­
кажем один из возможных способов выхода из создавшегося затруднительного
положения.
Пусть участок АВ (рис. 5.1.1) предельной линии на плоскости обобщенных
сил
является отрезком прямой. На этом участке одному и тому же векто­
ру скоростей обобщенных перемещений ц
соответствует бесконечное множе­
ство точек прямой АВ, и найти точку С (например), лежащую на пересечении
прямой АВ и оси Q l , путем варьирования вектора ц в принципе невозможно.
Поэтому, после обнаружения точки А (например), путем минимизации целевой
функции г = р 2 , в ходе дальнейших вычислений на Э В М решение начинает
ухудшаться (происходит накопление ошибок за счет округлений). По коорди­
натам точки А{0[,(^2)
и по значению вектора Ц {ц^^ц^),
являющемуся внеш­
ней нормалью к участку АВ предельной кривой, найдем уравнение прямой А В :
отсюда
аа,+ьд-,=ад\+ьд1.
Согласно закону деформирования, ассоциированного с участком
(5.1.10)
АВ пре­
дельной кривой, имеем:
260
^1* =
аЯ,
д*2 = ЬЯ,
отсюда
а = д;/Я;
Ь^дЦЯ.
(5.1.11)
Подстановка (5.1.11) в (5.1.10) дает уравнение прямой АВ:
q:Ql+q¡Q2=я:Q:
+ я¡Q¡•
(5-1.12)
Точка С определяется как точка пересечения прямой (5.1.12) с прямой
= 0:
Возвращаясь к уравнениям (4.2.1.11) для случая пересечения плоского уча­
стка этой поверхности с плоскостью Т 1 О Т 2 , по аналогии с (5.1.13), получаем:
*
*
* * * * * *
**
**
**
ё1Т1+ё2Т2 =ё1Т1 +ё2Т2+ёзТз + ^1М1 + Ж2М2 + ЖзМз+
^ ^
* *
* *
+ У1Р31 + У2032-
V• • /
Здесь { Г l * , T 2 , T з * , M l , M 2 , M з , Q з l , Q з 2 ) ^ - точка на поверхности (4.2.1.11), со­
ответствующая вектору скоростей обобщенных перемещений
{ё]^,¿2,¿3'^¡1'
^ г ' ^ З ' У ь Т г ) ^ ' после достижения которой в процессе минимизации целевой
функции (5.1.9) рещение начинает ухудшаться (расходится, или очень медлен­
но сходится). По уравнению (5.1.14) можно построить прямолинейный участок
предельной кривой, располагающейся на плоскости
Т1ОТ2.
Для построения участка малой кривизны искомого сечения гиперповерх­
ности прочности можно поступить следующим образом (например):
261
1. Согласно уравнению (5.1.1 4) построить прямую линию.
2.
Некоторым компонентам векгора скоростей обобщенных перемещений
дать малые приращения (например, ё*1 + Аё1,
¿2+'^¿2)-
П ° выщеизложенной
методике, согласно (5.1.1 4) построить новую прямую (если процесс рещения
опять медленно сходится).
3.
Найти точку пересечения двух прямых, построенных согласно пунктам 1
и 2. Эту точку принять за одну из точек искомой предельной кривой, лежащей
на пересечении гиперповерхности прочности с заданной гиперплоскостью.
4.
Так, малыми щагами, пройти участок малой кривизны предельной по­
верхности.
Нами применялись различные приемы, улучшающие сходимость системы
уравнений, аналогичных (5.1.8), когда приходилось иметь дело с участками
предельной поверхности (4.2.1.11), имеющими малую кривизну (например,
различное масштабирование вдоль разных координатных осей); в некоторых
случаях улучшение сходимости достигалось путем варьирования положения
поверхности 8о для оболочки и т.д.
Все изложенное в этом разделе относительно уравнений (4.2.1.11) было
обобщено и для других параметрических уравнений предельных поверхностей,
полученных в 4-м разделе настоящей работы для композитных оболочек, пла­
стин и брусьев, а также для анизотропных оболочек со сквозными макротрещи­
нами.
Построение определенных сечений предельной поверхности и нахождение
определенных точек на ней являются особенно важными при решении задач о
несущей способности статически определимых конструкций. Например, при
определении несущей способности достаточно длинной консольной балки из
композиционного материала, подвергаемой изгибу в плоскости ^¡0^2, важно
знать точку пересечения общей предельной поверхности (4.4.1.17) с коорди­
натной осью Мз.
В некоторых случаях, исходя из особенностей решаемой задачи, возникает
необходимость построения различных линий, лежащих на предельной поверх262
ности (вдоль которых векторы скоростей обобщенных перемещений известны)
и проектирования этих линий на ту или иную координатную плоскость. Эта за­
дача является значительно более простой, чем задача построения сечений пре­
дельной поверхности различными плоскостями.
5.2.
Определение механических характе­
ристик ортотропного монослоя путем ис­
пытаний трубчатых образцов из ком­
позита структуры [±ф]с.
Алгоритм А2
При выводе параметрических уравнений предельной поверхности для ком­
позитных оболочек и пластин, аналогичных уравнениям (4.2.1.11), было приня­
то допущение, что прочностные свойства монослоя известны, а предельная по­
верхность для монослоя может быть описана уравнением (4.2.1.1). Определение
коэффициентов а,
п уравнения (4.2.1.1) представляет самостоятельную, при­
чем весьма важную, задачу. Экспериментальным методам определения прочно­
стных характеристик монослоя посвящена обширная научная литература (на­
пример, работа Г.А. Тетерса, З.Т. Упитиса, А.О. Удриса [1], работа P . A . Каюмова [2] и др.). Ниже изложена методика определения прочностных характери­
стик монослоя, основанная на применении уравнения (4.3.1.24), или, что то же
самое, уравнения (4.3.1.29).
В настоящее время сложилось определенное положительное мнение в
пользу применения в экспериментах трубчатых образцов, полученных на­
моткой монослоев. Один из существенных достоинств таких образцов - это от­
сутствие кромочных эффектов.
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, полученную намоткой
ортотропных монослоев под углами ±(р к ее образующей (рис. 5.2.1). Пусть
263
оболочка по торцам имеет достаточно жесткие донышки, которые обладают
тем свойством, что не создают моментных краевых эффектов. Если такую обо­
лочку нагрузить равномерным внутренним давлением р и осевыми силами Р ] ,
то компоненты тензора эффективных (средних) напряжений в осях ^1^22 легко
определяются из уравнений статики:
"
яс1Н
2с1Н
^
^
Если оболочку нагрузить только моментом Мк, крутящим её относительно про­
дольной оси, то мембранные касательные напряжения определяются формулой
^12 =М^/2НА.
(5.2.2)
В этих формулах Н - толщина оболочки; с1 - диаметр срединной поверхности;
А - площадь, ограниченная контуром поперечного сечения оболочки.
Сначала рассмотрим случай, когда напряжения поперечного сдвига от­
сутствуют, т.е. решим задачу определения коэффициентов а, Ь, с, ё, е, 1 урав­
нения (4.2.1.1). Для этого необходимо провести 6 разновидностей экспери­
ментов. При этом теоретически не важно, доводить ли до разрушения разные
образцы (т.е. с разными углами ф) при одном и том же луче нагружения (в про­
странстве нагрузок р, Р ь Мк), или одинаковые образцы - при разных лучах на­
гружения. Возможны промежуточные варианты. Тем не менее, для большей
достоверности результатов для монослоя, необходимо стремиться разнообра­
зить, по мере возможности, как испытуемые образцы, так и лучи нагружения.
Допустим, что эти 6 серий испытаний проведены и по формулам (5.2.1),
(5.2.2) определены соответствующие комбинации разрушающих напряжений
{<^11, С722, <^]2}\, 1
1,6. Используя полученные результаты и уравнение (4.3.1.29),
запишем систему из 6 линейных алгебраических уравнений:
264
+2Я^«+1;'КУ=1,
, = 1,6.
Здесь 1 - номер эксперимента. Номер ] неизвестных коэффициентов А ь
Ь1
совпадает с номером серии образцов с одинаковыми углами намотки ±фj. Например, если испытываются только образцы с одинаковыми^намотки ±ф при
разных лучах нагружения, то из уравнений (5.2.3) и н д е к с ] можно убрать. А ес­
ли довести до разрушения 6 образцов, имеющих углы намотки ±ф1,
±фб,
только путем растяжения вдоль оси цилиндра, то получим следующую систему
уравнений:
4«(а<1>)^=1;
А^\а1??
=1
(5.2.4)
Возможны другие варианты системы уравнений (5.2.3). Из шести уравнений
(5.2.3) определяем шесть разных коэффициентов (в любой комбинации) из со­
вокупности А1^\
Ь\-'\\<
] <6. Дапее, используя формулы (4.3.1.30), со­
ставим систему нелинейных уравнений:
{А1-Р')/{Ь
{ОЬ-Р0)/{1
+ 0') = А,;
+ 0^) = О^,
(ЕЬ - РО)/{Ь + 0^) = Е^,
Ь
Ь + О'
2ВРК-СР^
-АК^ ^
(5.2.5)
,
АС-В'
Запись системы уравнений типа (5.2.5) осуществляется с учетом видов про­
веденных экспериментов. Например, если из уравнений (5.2.4) определены ко-
265
эффициенты А [ ^ \
то, используя (5.2.5), необходимо записать
сле­
дующую систему:
( Ж - ? Ъ 1 / ( 1 + 0^),
в уравнениях типа (5.2.5), прежде чем приступить к их рещению, перемен­
ные А, В, С, В , Е, Е, Р, К, О должны быть выражены через искомые коэффи­
циенты а, Ь, с, (1, е, 1 уравнения (4.2Л. 1), с использованием формул (4.2.Е4). По­
сле этого, рещая систему типа (5.2.5) из щести нелинейных уравнений, можно
найти соответствующие коэффициенты уравнения (4.2.Е1). Определив точки
пересечения поверхности (4.2. Е1) с осями координат ахх, стуу, <^ху, можно найти
соответствующие прочности монослоя.
Отметим, что выщеизложенная методика определения прочностных ха­
рактеристик монослоя может быть применена и при использовании образцов
других форм (не только трубчатых), имеющих структуру материала [±ф]сРассмотрим случай, когда присутствуют только напряжения поперечного
сдвига, т.е. рещим задачу определения коэффициентов ш, п уравнения (4.2.1.1).
Необходимо провести 2 различных эксперимента, доведя образцы до разрущения (варьирование экспериментов может быть осуществлено как за счет изме­
нения угла укладки ф слоев, так и за счет изменения направления вектора внут­
ренних сил в плоскости Оз1,(2з2)- Пусть в результате испытаний определены
разрушающие комбинации {стз,,
СТ32},
, i =1,2, напряжений для композита. Здесь
1 - номер эксперимента. Запишем систему из 2 линейных алгебраических урав­
нений:
K[^\a'^¡f-vN[H^^^¡f=\
(5.2.7)
266
З д е с ь ] - номер серии образцов со структурой
[±фj]c,
1 <] < 2. Если, например,
доводятся д о разрушения две серии образцов, имеющих соответственно струк­
туры
[±ф1]сИ [±ф2]с,
при
^
0,^32
= о , то систсма (5.2.7) имеет вид
(5.2.8)
(2)
Если же одна и та же серия образцов, имеющих структуру материала
[±ф]с,
до­
водится д о разрушения при разных направлениях вектора поперечных сил
' ^ З 1 ' б з 2 ^ ' то система (5.2.7) имеет следующий вид:
^2Н?)'+Л^2(^з?)'=1-
Возможны промежуточные, между (5.2.8) и (5.2.9), формы записи системы
уравнений (5.2.7).
Решая уравнения типа (5.2.7), определяем
К2^\М2
\
Далее составляем сис­
тему двух нелинейных уравнений, используя следующие формулы:
К
N
^Ку,
^
N - ^
К
= N2.
^
(5.2.10)
Левые части этих уравнений являются коэффициентами уравнения (4.3.1.23).
Подставляя К,^Н согласно (4.2.1.4) в (5.2.10), приходим к следующей системе
уравнении:
К-, (тзт (р + псоз (р)-тп = О,
^
^
7^^2 {тсо5^ (р + nsm (р)- тп = 0.
(5.2.11)
267
Система (5.2.11) соответствует варианту (5.2.9) уравнений (5.2.7). Если же ис­
пользовать вариант (5.2.8) уравнений (5.2.7), то получим следующую систему
уравнений относительно неизвестных коэффициентов ш, п:
К^2^{msin^(p^ л-mos'^ (р{)-тп
Kf^{msin^(p2
+ и с о 5 ^ (р2)-тп
= О,
= 0.
гдe^<'^=l/(0^^f = l/(a«)^
Рассмотрим систему уравнений (5.2.11). Вычитая с первого уравнения вто­
рое, находим:
К2{т5т^(р
+ по,оъ^ (р)- М2{то,о^^ (р + п81п^(р) - 0.
Отсюда
т=рп,
(5.2.13)
где
^^^1^1п\-К2
cosV
^^2.14)
К2^11^1^(р - N2 COS^ (р
Подставляя (5.2.13) в первое уравнение (5.2.11), находим его ненулевое рещение:
n = K^s-in (p + —^cos (p.
р
Подставляя сюда р согласно (5.2.14), находим
„ =J ^ ^ i ^ ^ L .
К2 cos^
(5.2.15)
(p-N2Sin^(p
268
Далее по (5.2.13) находим т :
(5.2.16)
т=
Найденные значения т , п тождественно удовлетворяют второе уравнение из
(5.2.11).
Формулы (5.2.15) и (5.2.16) не применимы для ф = 45°. При ф -> 45° будем
иметь согласно (5.2.15) и (5.2.16):
К-у-^И^;
т-^К^;
п-^Ы^.
Формулы (5.2.15), (5.2.16) оценивают коэффициенты п, т снизу. Верхние
оценки этих коэффициентов определим, используя уравнение (4.3.1.22). По ре­
зультатам испытаний на прочность при поперечном срезе определяются коэф­
фициенты К, N уравнения (4.3.1.22). Далее решаем систему уравнений (напри­
мер):
(5.2.17)
тзт^ср + псоз^ (р = N.
Отсюда находим:
N00$^ (р - К8т^(р
п=
АГсо8 (р - Мзт (р
т=
При ф
(5.2.18)
С082^
(5.2.19)
С052^
45° по формулам (5.2.18) и (5.2.19) определяем, что
269
Так как в общем случае для монослоя ш ?^ п, то для испытаний на прочность
при поперечном сдвиге нежелательно использовать композит со структурой,
близкой к [± 45°]с - если целью испытаний является определение оценок
(5.2.15), (5.2.16) или (5.2.18), (5.2.19).
5.3.
О вычислении параметров композитов
путем осреднения по Фойхту и осредне­
ния по Рейссу
Как отмечено в книге В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [1], механика ком­
позитов берет начало от классической работы Фойхта. Фойхт предложил вы­
числять параметры
композитов путем осреднения соответствующих
пара­
метров компонентов по объему и по ориентациям. В настоящее время способ
вычисления параметров композита путем осреднения прямого тензора меха­
нических свойств называется методом Фойхта; противоположный способ на­
зывается методом Рейсса. Метод Фойхта соответствует предположению об од­
нородности поля обобщенных перемещений, а метод Рейсса - предположению
об однородности поля обобщенных сил. Для упругих постоянных метод Фойх­
та дает оценку сверху, а метод Рейсса - оценку снизу. Рассмотрим суть этих
методов на простейщих примерах.
На рис. 5.3.1 показан составной стержень, нагруженный центральной силой
Р через абсолютно жесткую плиту. Согласно условиям совместности де­
формаций и закону Гука имеем:
270
Здесь А = А1 + А 2 ; Е - осредненный модуль упругости составного материала.
Уравнение статики дает Т1 + Т 2 = Т = Е. С учетом этих равенств из (5.3.1) сле­
дует, что
А
А
Рассмотрим теперь составной стержень, изображенный на рис 5.3.2, который
нагружен равномерно распределенными по торцам силами. Имеем:
Т 1 = Т 2 = Т = Р;
ЕА
Е^А
Е2А'
Е
I
А1 = А11 + А12;
Е^
I
Е2
Еу
Е2
Рассмотрим несущую способность составных стержней. Пусть часть стерж­
ня с площадью поперечного сечения А] (рис. 5.3.1) имеет пластические свойст­
ва, удовлетворяющие уравнению
.Яо-,у) =
+сг1 +0-3
-0-10-2 - 0 - 2 О - 3 -0-3О-1
= сгп,
(5.3.2)
а пластические свойства части с площадью сечения А2 удовлетворяет урав­
нению
К^А
= ^тъ
(5.3.3)
Здесь а ь а 2 , СУЗ - главные напряжения; Ст] - нормальные напряжения в попе­
речных сечениях стержня.
Используя ассоциированный с (5.3.2), (5.3.3) закон деформирования, можно
записать:
271
¿ 1 =Я(2(Т1 - 0 - 2 - 0 - 3 ) ,
¿2 = ^(2^2-0-3-о-,),
(5.3.4)
¿ 3 = /1(2о-з - ( Т 1 - 0-2).
Для несжимаемого тела ¿ 1 + ¿ 2 + ¿ 3 = ^ ' поэтому не все уравнения в (5.3.4) яв­
ляются независимыми. Положив в (5.3.4) аз = О, найдем:
'
) = Д - (2¿, + ¿ 2 ) ;
зя/ '
= 4 - (2ё, + ¿ 2 )
'
3^2
Здесь учтено, что поле скоростей деформаций является однородным; (т[^^ - на­
пряжения в сечении с площадью А], а р ^ - в сечении с площадью А2;
л/Зо-у!
л/Зо'7-2
Предельная нагрузка на составной стержень будет равна
У3(^| + ¿ 1 ^ 2 + ¿ 2 )
Здесь а т - предельное напряжение для составного материала. Если
= О, то
¿2 = -0.5¿^ и в этом случае
0•J^У^ = 0 - 7 - + 0-7-2^2'
О-у- = К]0-7-} + l/20'J^2•
C учетом того, что при развитых пластических деформациях коэффициент
Пуассона V для изотропных материалов стремится к значению 0.5, можно ут­
верждать, что метод Фойхта применительно к задачам прогнозирования проч­
ности составных материалов является вариантом кинематического метода и да-
272
ет верхнюю оценку предела прочности (пластичности) составного материала.
Что касается метода Рейсса, ни при параллельной работе материалов (рис.
5.3.1), ни при последовательной их работе (рис. 5.3.2) для жесткопластической
модели из однородности поля напряжений сг^^ = сгр^ = а1 не следует оценка
Рейсса 1/(77- - ^\1'^Т\
5.4.
+ ^2/<^Г2 •
Метод прогнозирования прочности слои­
стых композитных оболочек с ис­
пользованием выпуклых многогранных
поверхностей прочности для слоев. Ал­
горитм АЗ
Почти все основные результаты, приведенные в предыдущих разделах на­
стоящей работы, были получены в предположении, что поверхность прочности
для монослоя может быть аппроксимирована уравнением вида (4.2.1.1), т.е.
представляет собой эллипсоид в пространстве напряжений. Иногда такая ап­
проксимация может дать завыщенные значения прочностных характеристик
для слоистого материала (если, например, эллипсоид получается сильно вытя­
нутым в том направлении, где отсутствуют экспериментальные точки, то, в об­
щем случае, не все его точки характеризуют прочностные свойства монослоя).
С этой точки зрения более предпочтительной является аппроксимация экспе­
риментальных точек для монослоя выпуклыми многогранниками. Но преобра­
зование совокупности уравнений, задающих гиперплоскости граней предель­
ной поверхности, из пространства напряжений в пространство внутренних сил
и моментов в оболочках и пластинах, представляет собой достаточно сложную
и трудоемкую задачу. Для однородных изотропных оболочек вращения для
случая осесимметричной деформации эта задача рещена Е. Онатом и В. Праге-
273
ром в [1]. Авторы полагают, что материал оболочки подчиняется условию пла­
стичности Треска. Та же задача решена Д.Д. Ивлевым в [1], когда материал
подчиняется условию пластичности максимального приведенного напряжения.
В этой работе Д.Д. Ивлевым показано, как результаты, полученные Е. Онатом и
В. Прагером в [1], могут быть использованы для построения поверхности теку­
чести для оболочек врашения при любом кусочно-линейном условии пластич­
ности изотропного несжимаемого тела. Для однородных анизотропных цилин­
дрических оболочек решение аналогичной задачи приведено в книге М.И. Ерхова [1] (со ссылкой на соответствующие работы В.И. Себекиной). Следует от­
метить достаточно сложный вид результатов, приведенных в цитируемых рабо­
тах. Их обобщение на общий случай сопротивления слоистых композитных
оболочек в настоящее время, по-видимому, не может быть осуществлено удов­
летворительным образом.
Ниже приложен алгоритм, позволяющий
осуществить
численное
по­
строение предельной поверхности для слоистых композитных оболочек и пла­
стин, когда предельные поверхности для монослоев в пространстве напряжений
аппроксимируются кусочно-линейными поверхностями. Идея предлагаемого
метода заключается в следующем:
1) . Задаем законы распределения скоростей деформаций по толщине пакета
слоев.
2) . На расстоянии (-Ь / 2 < 2 < Ь / 2 , Ь - толщина пакета слоев) от поверхно­
сти приведения 8о определяем предельные напряжения в рассматриваемой точ­
ке рассматриваемого сечения оболочки. Для этого решаем локальную задачу
линейного программирования. В качестве целевой функции выступает скорость
удельной диссипации механической энергии в рассматриваемой точке сечения,
а в качестве ограничений - условия прочности для материала слоя, в пределах
которого находится рассматриваемая точка с координатой ъ .
3) . Используя процедуру численного интегрирования, приводим
элемен­
тарные внутренние силы к поверхности 8о, получаем координаты одной точки,
274
лежащей на предельной поверхности для пакета слоев в пространстве внутрен­
них сил и моментов.
4). Определив таким образом достаточное число точек, строим предельную
поверхность (или ее часть) для композита.
Рассмотрим предлагаемые метод и алгоритм применительно к задаче про­
гнозирования кратковременной статической прочности композитных оболочек
и пластин, составленных из ортотропных слоев. Напряженное состояние в точт
ках ]-го слоя характеризуется вектором {с7^,(7у,(7^,(7^,а2х}j
, где оси х, у, т
являются осями ортотропии монослоя, ось т ортогональна плоскости слоя;
7 = 1,«, п - число слоев в пакете.
Пусть в результате испытаний на прочность монослоя определены экспе­
риментальные точки в пространстве напряжений, соответствующие предель­
ным комбинациям напряжений для монослоя. Эти точки могут быть исполь­
зованы в качестве верщин выпуклого кусочно-линейного предельного много­
гранника для монослоя. Следует отметить, что в пятимерном пространстве на­
пряжений
замкнутый многогранник имеет как минимум 6
<у^,<уу,аау^,от^
граней, 6 верщин. Используя координаты экспериментальных предельных то­
чек, необходимо сконструировать соответствующие предельные многогранни­
ки для монослоев (нужно указать координаты предельных точек и порядок их
объединения в плоские грани предельного многогранника). В пространстве на­
пряжений
уравнение 1-ой грани предельного многогранни­
а^,ау,а^,ау^,о-^^
ка для ]-го слоя имеет вид
( « 1 , 0 ' х + ^ 2 / 0 ^ у + « 3 / ^ х у + ^ 4 / 0 - у г +^5i^zx)J
Здесь 1=^\,т^,
т^-
= '^у
•
(5-4.1)
число граней предельной поверхности для ]-го слоя;
7 = 1'^-
275
Если среди уравнений (5.4.1) есть такие, у которых правые части меньше
нуля, то такие уравнения необходимо умножить на (-1). После этого можно за­
писать следуюшую систему неравенств:
i^U^x
здесь ¿y >0;
i = \,mj;
+ « 2 / 0 ^ . v + « 3 / С Г х у +^4,Crvz + « 5 ; C r z x ) y
^ ^^у,
(5.4.2)
j = \,n.
Неравенства (5.4.2) в глобальной системе координатО^!^, z имеют вид
( A i , a i i + А21О22+ Аз^а12+ А 4 , 0 2 з + А^[<^з\)) ^ Ь^; i = l , m j ; j = l , n .
(5.4.3)
Здесь
A(j = aÍ¡ cos^ (pj 4- a(¡ sin^ (p^ - 0.5a^. sin2^y;
Mi ~ ^ii
^2/ ^^^^ V j + ^•^'^ii
'^^j'
Mi = («// - a { . ) ú n 2 ( p j + a{. cos2(pj;
(5.4.4)
Ai¡ = al cosg?j+ai¡ sin (Pj-,
Mi =ci¡.cos(pj-a¡¡
sin(pj,
где 9j - угол между осями ^, и Xj.
Для пакета слоев примем следующие к'ияел?с!гические гипотезы:
¿ap =éap + z ¿ „ p ;
а,р=1,2;
(5.4.5)
Y¿3 =2é\^ = const в пределах j - го слоя.
Скорость диссипации механической энергии с единицы объема ]-го слоя в
точке с координатой г сечения оболочки определяется выражением
=
+ ^22¿"22 + 20/2^/2 + ^ 2 3 У 2 3 + ^31Гз1'
J=
(5.4.6)
Подставляя (5.4.5) в (5.4.6), получаем:
276
(5.4.7)
+ о^2зУ^2з + о^з1У^з1;
] = 1,п.
Внутренние погонные силы и моменты в нормальных сечениях оболочки,
проходящих через координатные линии
и
определяются выражениями
(4.2.1.10).
Алгоритм АЗ построения предельной поверхности для слоистых компо­
зитных оболочек и пластин в случае кусочно-линейных поверхностей проч­
ности для слоев следующий:
1) . Задаем значения ёаР'^аР'Тза
их допустимых областей.
2) . Для конкретного значения ъ точки сечения оболочки определяем пре­
дельные напряжения
. Для этого решаем задачу линейного программиро­
вания для рассматриваемой точки сечения оболочки. Целевая функция опре­
деляется выражением
(5.4.7),
рования являются неравенства
ограничениями задачи линейного программи­
(5.4.3). И н д е к с ]
соответствует номеру того слоя,
в пределах которого находится точка с координатой т. Ограничения
(5.4.3)
за­
писываем только для этого слоя. Ищем максимум ^ только для одной точки
оболочки с конкретной координатой 2 при известных (заданных) значениях
£ар,£аъ
согласно
(5.4.5). в результате
решения задачи линейного программи­
рования находим (в виде ее оптимального плана) предельные значения напря­
жений
в рассматриваемой точке сечения оболочки. Для рассматриваемой
точки оболочки с координатой 2 при заданных скоростях деформаций в этой
точке в результате решения локальной задачи линейного программирования
определяем ту верщину многогранника (в пространстве напряжений), или ту
его грань (ребро), которой соответствует максимальная мощность с1 диссипа­
ции внутренней механической энергии. Здесь существенно используется прин­
цип максимума Мизеса.
3) . Разбивая толщину hJ ]-го слоя на kJ частей с шагом АЬ = hj / kJ, применяя
пункт 2 настоящего алгоритма к каждой точке разбиения и используя проце277
дуру численного интегрирования, определим вклад ]-го слоя во внутренние си­
лы и моменты в сечении оболочки в предельном состоянии. Численное ин­
тегрирование можно осуществлять, используя, например, формулу трапеций:
lf{z)dz
Здесь f =
= Ah J (О.5/0 + / 1 +
/2
+ ••• +
-1 + 0 . 5 / , ^ . ) .
при вычислении сил и f = OikZ - при вычислении моментов; zij<
Z2j
-
координаты поверхностей j-ro слоя. Суммируя вклады всех слоев в соот­
ветствующие внутренние силы и моменты, получаем координаты точки, ле­
жащей на предельной поверхности для оболочки.
4). Определив таким образом достаточное число точек, строим предельную
поверхность (или ее часть) для рассматриваемого сечения оболочки.
Проиллюстрируем дееспособность пункта 2 настоящего алгоритма на простейщем примере. На рис. 5.4.1 изображен предельный прямоугольник для од­
нородного анизотропного материала в пространстве главных напряжений o i , 02
(плоское напряженное состояние, материал гипотетический). Целевая функция
задачи линейного программирования:
б/=
с г J + ( 7 2 ¿ 2 - > птах = ?
(5.4.8)
Ограничения, обусловленные прямоугольником А Б С Е на рис. 5.4.1:
о , < 3 ; Ст2<2; - а , < 2 ;
-а, < 1 .
(5.4.9)
Здесь напряжения отнесены к параметру сгд, имеющему размерность напря­
жений. Рассмотрим следующий режим деформирования:
¿1=1;
¿2=2.
(5.4.10)
Перейдем к неотрицательным переменным. Для этого последние два ограни­
чения из (5.4.9) запишем в виде
278
- cTj + Xj = 2;
-
+ ^2 = 1;
Отсюда находим:
cri=JCi-2;
сг2=Х2-1.
(5.4.11)
Задача линейного программирования принимает следующий вид:
<i = c7i + 2(Т2 = Xj + 2JC2 - 4 -> max
= ?
jcj > 0; X2 > 0; X i < 5; X2 < 3.
(5.4.12)
Как видно из рисунка 5.4.2, где приведено графическое рещение задачи (5.4.12),
шах d = 1 достигается в верщине с координатами Xi=5, Х2=3 прямоугольника
ограничений. Согласно (5.4.11) в этом случае CTJ = 3,о'2 = 2 , что соответствует
вершине А предельного прямоугольника на рис. 5.4.1. Из этого же рисунка
видно, что вектор s с компонентами
=1,^2 =2 располагается внутри прямо­
го угла, образованного нормалями к сторонам ВА и ЕА предельного прямо­
угольника АВСЕ, т.е. в результате решения задачи (5.4.8), (5.4.9) линейного
программирования мы достигли выполнения ассоциированного закона для век­
торов ё - {\,2)^ и
Пусть теперь
= {3;2}'''
= -1,^2 = 0. В этом случае
d = -cTj = -(jc - 2) ^ max = ?
при прежних ограничениях (рис. 5.4.2). Как видно из рис. 5.4.2 (где стрелками
указаны направления роста соответствующих целевых функций), шах d = 2
достигается на стороне ВС предельного прямоугольника, где a i = - 2 , -1< С2 < 2.
Итак, из рассмотренного примера видно, что пункт 2 алгоритма A 3 дейст­
вительно обеспечивает выполнение принципа максимума Мизеса.
279
Алгоритм АЗ может быть обобщен для прогнозирования прочности слои­
стых композитных оболочек и пластин в более сложном случае их нагружения
(например, при многоцикловом нагружении). Алгоритмы, аналогичные А З , мо­
гут быть использованы и для прогнозирования прочности композитных брусьев
при их сложном сопротивлении.
5.5.
Оценка снизу несущей способности
слоистых композитных оболочек вра­
щения (статический метод). Алгоритм А4
Уравнения равновесия бесконечно малого элемента срединной поверхности
оболочки вращения при осесимметричной деформации имеют следующий вид:
^К25Ш\}/+Т11К1С05\|/-Т22К1С05\}Л-Рз}К25Ш\|/+ Р1К1К28Ш\|/ = 0 ;
(5.5.1)
dQ3i
R2sin\}/-Q3iRiCos\]/+TijR2sin\|/+T22RiSinv|/-p3RiR2sin\|/
= 0;
di|/
-^—^Rj
ay/
s i n ^ - M j i / ^ i ^o^V^ + ^22^1 cosy/+ Q21R1R2 s i n ^ = 0.
Эти уравнения получаются из общих уравнений равновесия тонких оболочек
(см., например, книгу В.В. Новожилова, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловского [1])
путем соответствующих упрощений. Положительные направления внутренних
сил и моментов, действующих на элемент оболочки вращения при осесиммет­
ричной деформации, показаны на рис. 5.5.1.
Статические краевые условия для обобщенных сил и моментов можно запи­
сать в виде
^,
HaSg, i = lm,
•
(5.5.2)
280
где Qi* - заданные на поверхности SQ оболочки значения обобщенных сил, m число заданных обобщенных сил.
В статическом методе теории предельного равновесия, кроме уравнений
статики, необходимо учесть условия, налагаемые конкретной поверхностью
прочности (например, (4.2.1.11)). При осесимметричной деформации оболочек
вращения использзоот сечение поверхности прочности, удовлетворяющее усло­
виям Т ц = M i 2 = Q32 = 0. Считаем, что внещние нагрузки изменяются пропор­
ционально одному параметру ц (некоторые из нагрузок могут оставаться посто­
янными при изменении р). В случае использования аппарата линейного про­
граммирования для определения шах р , необходимо осуществить линеариза­
цию поверхности прочности и дискретизацию объекта расчета.
Линеаризацию предельной поверхности осуществляем, аппроксимируя ее
выпуклым многогранником, уравнения граней которого имеют вид (5.1.7), Из
этих уравнений, применительно к рассматриваемому случаю, следует система
неравенств:
«л ^11 + ^/2^22 + « / 4 ^ ^ 1 1 + «/5^22 + «/тбз! ^
•
(5.5.3)
Здесь, без ущерба для общности, можно считать, что все ^, > 0; /' = 1 , + 1 и
более; N - размерность пространства обобщенных сил (в рассматриваемом слу­
чае N = 5).
Дискретная модель оболочки вращения позволяет заменить уравнения ста­
тики (5.5.1) системой линейных алгебраических уравнений. Для производных
функций в (5.5.1) примем простейщие конечно-разностные аппроксимации, на­
пример.
Ч+1
г 11 - г , 11
ч
dy/
(5.5.4)
281
где i = \n - номер узла конечно-разностной сетки. Формула (5.5.4) предпола­
гает линейную аппроксимацию функции T]i(\|/) между узлами с номерами i и
i+1. Это позволяет, удовлетворяя условия задачи (уравнения статики, условия
прочности) в узлах сетки разбиения, удовлетворить эти условия и для областей
между узлами разбиения.
Так как в (5.5.1) pi = р р Л рз = ррз^, где р - монотонно возрастающий
па­
раметр, а р 1 ° , р з ° - функции только пространственных координат, то из первого
уравнения (например) системы (5.5.1), записанного в конечно-разностной фор­
ме для к-го узла сетки (1<к<п) можно найти выражение для параметра р":
/и-
= cf
+с\т,\
+c',TÍ2+c\Ql,
(5.5.5)
где, например,
J _
1
Уравнения статики (5.5.1), записанные в конечно-разностной форме для
других узлов сетки, с учетом (5.5.5) принимают следующий вид:
^2iQn
+ 4 2 ^ 3 1 + 43^11 + « Í 4 ^ 2 -
+ 4n\
+
(5.5.6)
+ Cз^Г¿ + c Й з ^ ) ^ 7 з V í / ^ ^ s щ ^ , = : 0 ;
4l^n'
Здесь i = 1,2,
+ ^32^
k - 1 , k+1,
и + «ЗЗЛ^22 + ^34^31 = «•
n. Отметим, что для узла с номером п конечно-
разностные аппроксимации производных функций примем такие же, как и для
узла с номером п - 1 .
Задача линейного программирования в рассматриваемом случае форму­
лируется так:
найти max р~.
282
где ji определяется линейной формой (5.5.5), при линейных
ограничениях
(5.5.6), (5.5.2),(5.5.3).
5.6.
Оценка сверху несущей способности
композитных оболочек вращения (ки­
нематический метод). Алгоритм А5
Пусть рро^ - нагрузки, пропорциональные параметру р, р, - нагрузки, не за­
висящие от р. Уравнение равновесия в форме Лагранжа ( Ю Н . Работнов, [2])
А = и, где А- мощность
внещних, й-
мощность внутренних
обобщенных
сил, развиваемые ими на скоростях соответствующих виртуальных обобщен­
ных перемещений, имеет для случая осесимметричной деформации оболочек
вращения следующий вид:
ju-'\p'QÜ,dS + \ PjüjdS
S
= JDdS + 2 \ D i d l
S
S
(5.6.1)
k=\ij.
Здесь гi¡- скорости обобщенных перемещений, соответствующие обобщенным
силам ро', 8 - площадь срединной поверхности оболочки;
^ = д,д,=Т,Ах
+^21^21
+Ml2^ll+Qъ^f\
(5.6.2)
- удельная мощность внутренних обобщенных с и л ; Д - удельная мощность
внутренних обобщенных сил на возможных разрывах скоростей перемещений и
их производных; в рассматриваемом случае
A='Л,A¿,+M„¿;l+gз,Лгi„
(5.6.3)
283
(здесь принята расчетная модель, допускающая только кольцевые линии раз­
рыва скоростей обобщенных перемещений); со^ - скорости взаимного поворота
нормальных сечений оболочки в «щарнирах пластичности»; А м , - разрывы ско­
ростей касательных к меридиану перемещений; Аг/„- разрывы скоростей нор­
мальных к срединной поверхности оболочки перемещений; 11 - длина 1-ой ли­
нии разрыва скоростей обобщенных перемещений; п - число таких линий.
Как отмечено в книге Ю.Н. Работнова [2], диссипативная функция О и век­
тор скоростей перемещений
определяются с точностью до произвольного
множителя. Поэтому в (5.6.1) можно принять
^р'ой,(^3 = ].
5
(5.6.4)
Тогда из (5.6.1) следует:
fi^ = jDdS + Z J А^^/ - j P j ü j d S .
S
k=\i^
s
(5.6.5)
Теперь задачу определения верхней оценки р^ параметра нагружения можно
сформулировать в виде задачи математического программирования: найти min
р"^, где р^ определяется выражением (5.6.5), при выполнении условий (5.6.2),
(5.6.3), (5.6.4), а также - кинематических граничных условий
й
=11*.
(5.6.6)
Если для решения поставленной задачи использовать аппарат линейного
программирования, то необходимо предварительно осуществить линеаризацию
соотношений (5.6.2) и (5.6.3), а такжеЧштегралы в (5.6.4), (5.6.5) конечными
суммами, заменив оболочку ее дискретной моделью. Линеаризация основных
соотношений достигается путем аппроксимации поверхности прочности вы­
пуклым многогранником. При такой аппроксимации равенства (5.6.2), (5.6.3)
можно заменить, с некоторой погрешностью, системой неравенств:
284
(5.6.7)
Здесь j = \,m - номер угловой точки аппроксимирующего многогранника; m число верщин многогранника; Q,^ - координаты j - о й угловой точки в про­
странстве обобщенных сил Qi; q, - скорости обобщенных перемещений. При
замене равенства (5.6.2) системой неравенств типа (5.6.7), многогранником ап­
проксимируется соответствующее сечение поверхности прочности (если, на­
пример, используется
предельная поверхность, определенная
уравнениями
(4.2.1.11), то это сечение должно удовлетворять условиям Т\2 = M i 2 = Оз2= 0)- А
при замене равенства (5.6.3) системой неравенств типа (5.6.7), многогранником
аппроксимируется проекция этого сечения на пространство переменных Т ц ,
М п , Оз1 (для нахождения этой проекции в уравнениях (4.2.1.11) для перемен­
ных Т ц , М п , Q31 необходимо положить ¿22
=^12
- ^ г г ^ ^ ц - У г
= 0 , а осталь­
ные обобщенные силы принять равными нулю).
*
Система неравенств (5.6.7) следует из свойства диссипативной
функции
(М.И. Ерхов [1]): мощность ассоциированных обобщенных сил Q, на соот­
ветствующих скоростях обобщенных перемещений q^ больше или равна мощ­
ности любой не "ассоциированной" обобщенной силы Q,^ на тех же скоростях
обобщенных перемещений cjj (это утверждение следует из принципа максиму­
ма Мизеса).
Рассмотрим дискретную модель оболочки вращения, состоящую из ко­
нечных элементов, один из которых, имеющий порядковый номер j (j=l,w),
изображен на рис. 5.6.1. Для конечного элемента введем относительную ко­
ординату х:
X = ( \ i ; - vj/j) / Avj/j;
A v | / j = v}/j+i - n/j.
(5.6.8)
Очевидно, что
0<x<1;
d
dy/
1
d
Ау/: dx
285
Для З-го элемента при х = О переменные рассматриваемой задачи имеют сле­
дующие значения:
=у/^;
М;=г^о;
71=г/о;
К^й1,;
Т) =
(5.6.9)
.
При X = 1 для ]-го элемента имеем:
(/^=«^,4,;
щ=й;,;
й,=и^,;
У,=У1,;
О = О{.
(з.в.щ
в пределах ]-го конечного элемента все переменные аппроксимируем линей­
ными функциями:
= (1 - х)и/,) + х ^ / ] ;
(5.6.11)
Г) = {\- х)Д{ + хО{ .
На линии стыковки конечных элементов функции й^,...,0
могут иметь ко­
нечные разрывы.
Отметим, что, при использовании аппарата линейного программирования
линейная аппроксимация функции в пределах конечного элемента обеспечи­
вает выполнение условий задачи для всего элемента (при выполнении этих ус­
ловий в его узлах). Тем самим обеспечивается
выполнение условий, ис­
пользуемых при доказательстве кинематической теоремы теории предельного
равновесия, для всей оболочки.
Связи между компонентами скорости перемещения точки срединной по­
верхности оболочки и скоростями обобщенных перемещений
¿22'¿12'
^\\^^22
оболочки вращения при осесимметричной деформации определяются следую­
щими формулами:
1 с{и,
_
+
А^сУу/
.
е„ =
Щ
1
¿¿42
.
м„
^и,+
,
А^А^ с111/ ' /?2
286
Зе 1 ] —
~ .
^ 22 ~"
-
'
Здесь А ь Аг - параметры Ламе, ^1 - скорость поперечного сдвига. Соотно­
шения (5.6.12) следуют из обших соотношений для тонких оболочек (см., на­
пример, книгу В.В. Новожилова, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловского [1]) путем
соответствующих упрошений. Аппроксимации функций в виде (5.6.11) позво­
ляют записать (5.6.12) для )-го конечного элемента в следующем виде:
"
А,Д\|/у
А , А 2 d\\lJ
К]
А1А2
A^A\\fJ
К2
dцfJ
• _ц^,-и^о^и^
\A^^J
^1
При необходимости срединная поверхность оболочки между узлами ко­
нечного элемента может быть аппроксимирована подходящей функцией (на­
пример, полиномом).
скоро ЛГЛлГ
Возможный разрыв'^^^лов поворота поперечных сечений оболочки в месте
стыковки ]-го и ]+1-го конечных элементов определяется формулой
сЬ^=0ГёГ'.
(5.6.14)
Интегралы в (5.6.4), (5.6.5) заменяются суммой интегралов по конечным
элементам. Эти интегралы можно вычислять численным способом, используя,
например, хорошо известный метод трапеций.
Ограничения задачи (5.6.7) записываем для каждого конечного элемента
при X = О и X = 1. Свободные переменные {и^,!^^,/^)
исключаются из рас­
смотрения (например, путем введения дополнительных неотрицательных пе-
287
ременных некоторые из неравенств (5.6.7) можно записать в виде равенств, по­
сле
чего
/)() > 0,0(
из
них
исключить
знакопеременные
величины).
Значения
> О являются несвободными переменными задачи линейного про­
граммирования .
Отметим, что во многих, практически важных, случаях размерность задачи
линейного программирования (которая определяется как произведение числа
ограничений на число неизвестных, входящих в эти ограничения) получается
большой. Для уменьшения размерности задачи линейного программирования и
для улучшения сходимости ее решения приходится оптимизировать как распо­
ложение узлов дискретизации оболочки, так и способ аппроксимации поверх­
ности прочности многогранником.
5.7.
Метод жестких элементов и обобщенных
линий разрушения. Алгоритм А6
Эксперименты показывают (см., например, книгу A . M . Овечкина [1]), что во
многих случаях разрушение оболочек идет по определенным линиям, области
между которыми
не разрушаются
и
не
претерпевают
пластических
де­
формаций. Традиционные методы дискретизации (например, метод конечных
элементов) очень неудобны для описания таких деформаций оболочки, когда
некоторые её части перемешаются как жесткие элементы (см., например, книгу
А.И. Голованова, М.С. Корнишина [1]). Ниже предложен метод, позволяющий
преодолеть эту трудность. Он является более общим по отношению к методу
пластических шарниров, предложенного в работах А.Р. Ржаницына [1], А. Сав­
чука [1], М. Янаса [Г .
Пусть тонкая оболочка нагружена внещними силами Pj = р /?" + pj,
где
pf,pj являются функциями только пространственных координат, р - моно-
288
тонно возрастающий параметр; способ закрепления оболочки исключает воз­
можность ее перемещений и поворотов как целиком жесткого тела. Необ­
ходимо определить предельное значение ро параметра внещнего нагружения,
когда оболочка становится механизмом хотя бы с одной степенью свободы.
Если разрущение оболочки происходит вдоль отдельных бесконечно тонких
слоев, перпендикулярных поверхности приведения So, а области между ними
остаются "жесткими", то уравнение равновесия в форме Лагранжа имеет сле­
дующих вид;
т
X J M = м\/?;' V, dS + jр] V, dS.
(5.7.1)
Здесь 1к - длирш к-ой линии разрущения; m - число линий разрущения; S площадь поверхности приведения сил; N - мощность внутренних обобщенных
сил, приходящаяся на единицу длины линии разрущения; Vj - компоненты век­
тора скорости движения точки оболочки, где приложена сила р,.
Рассмотрим жесткий элемент оболочки, который движется относительно
неподвижной системы отсчета OXYZ.(pHC. 5.7.1). Возьмем произвольную точку
А, неизменно связанную с жестким элементом. Обозначим радиус - вектор
точки А через Гд ( Х д , Уд, 2 д ) , радиус - вектор любой точки Р жесткого эле­
мента относительно неподвижной системы - через г ( X , Y , Z ) . Согласно теоре­
ме Шаля (H.H. Бухгольц [1]), движение жесткого элемента мы можем рассмат­
ривать составленным из поступательного движения вместе с полюсом А и дви­
жением жесткого элемента около точки А как неподвижной. Поэтому скорость
какой-либо точки Р жесткого элемента будет равна сумме двух скоростей: 1)
скорости от поступательного движения, равной скорости У д =с1гд/с11 точки А,
и 2) скорости от движения около точки А как неподвижной, которая равна
¿3 X АР, где О) ~~ мгновенная угловая скорость жесткого элемента. Следователь­
но,
289
(5.7.2)
р
Любое перемещение жесткого элемента может быть осуществлено путем
поступательного перемещения и вращения. При этом поступательная часть пе­
ремещения зависит от выбора полюса; вращательная же часть перемещения от
выбора полюса не зависит.
Определение мощности внешних нагрузок (т.е. правой части уравнения
(5.7.1)) можно осуществить с использованием следующей формулы:
А=/^1(^;у^
/=1
(5.7.3)
+м^¡.ШJ.)+f:{F;v^+м]wJ).
7=1
Здесь 3 - номер жесткого элемента; П] - число жестких элементов, на которые
действуют нагрузки, зависящие от параметра р ; пг - число жестких элементов,
на которые действуют нагрузки, не зависящие от параметра р ;
Р- = Е ^ / ' +11 ¡^'^1 + Х 1 р^с18
/=1
,=!
(5.7.4)
/=1 5,
- главный вектор соответствующих сил, действующих на j - й жесткий элемент;
к], кг, кз - числа соответствующих сил, действующих на j - й элемент; аналогич­
но определяются F ^ ;
=
/=1
X Р') + Е\Сг X ^7-'¥/ + I / ( ^ X р^)с(8.
(=1/
/=1л;
(5.7.5)
- главный момент соответствующих внешних сил, приложенных к )-му жест­
кому элементу, относительно полюса В^ этого элемента; аналогично опреде­
ляются Му, Р^^, Р--
сосредоточенные силы;
- распределенные вдоль
линий \[ силы; р^, , р] - распределенные по площадям 8, силы;
- скорость
290
поступательного движения полюса
уто жесткого элемента; со^ - скорость
вращения З-го элемента. Радиусы - векторы г в (5.7.5) определены относи­
тельно полюса 5 у .
Рассмотрим левую часть уравнения (5.7.1). На рис. 5.7.2 изображены два
смежных жестких элемента оболочки с полюсами в точках А и В соответст­
венно, и линия разрушения 0 1 0 2 между этими элементами. Разрывы скоростей
поступательных перемещений Д У , (В точке О 1 ) ,
(В точке О 2 ) и вращений
жестких элементов А и В А<5 определяются следующими выражениями:
АУ[ = УВ + (Уц X
ВО, -
Vд
- й>д
X
АО,;
АУТ = Ув +(:0ц X В О , - V д -й5д X А О 2 ;
(5.7.6)
Асд = ( « в - (Уд .
Обозначим через
и
главный вектор и главный момент внутренних
погонных обобщенных сил в точке 0 | линии разрушения, полученные после их
^1 " аналогичные величины в точке О 2 . То­
приведения в точку О), через
гда мощности погонных внутренних сил и моментов в точках О 1 и О 2 линии
разрушения 0 1 0 2 ( р и с . 5.7.2), развиваемые ими на разрывах скоростей соответ­
ствующих перемещений и поворотов (5.7.6), определяются следующими выра­
жениями:
7\^|
= ^ , • АУ,
1
_
+ М, • АСУ;
J
Л^2 = В.2- АУ2 +
^ 2 -
(5.7.7)
.
Между точками 0 | и О 2 линии разрушения (ХС)2 (рис. 5.7.2) примем ли­
нейную аппроксимацию функции N . Тогда левую часть уравнения (5.7.1) мож­
но записать в следующем виде:
т
т
Х|Л^^/=10.5(Л^,,+Л/2,)/,
(5.7.8)
291
Полагаем, что в предельном состоянии материал устойчив (справедлив по­
стулат Друккера), а вектор скоростей обобщенных перемещений {Av, Аа>}^ на­
правлен по внещней нормали к поверхности прочности в пространстве пере­
менных R и М (справедлив ассоциированный закон деформирования). Пре­
дельную поверхность аппроксимируем выпуклым многогранником, i-ая верщина которого определяется вектором { R j , M j } , i = 1,к, к-число верщин аппрок­
симирующего многогранника. Тогда равенства (5.7.7) могут быть аппроксими­
рованы следующей системой неравенств:
Л^, >i^,;Av,+м;.АйЗ,
1 = Щ;
(5.7.9)
N2 > /?2* А^2 + Мз-Ай),
/ = 1,^5.
Здесь кд, кз - числа верщин соответствующих предельных многогранников. В
общем случае разным точкам линии разрущения могут соответствовать как
различные поверхности прочности, так и различные их аппроксимации.
Теперь задачу можно сформулировать в виде задачи линейного програм­
мирования:
найти min р^, где
т
/¡2
= 0.5Х(/^„. + А^2.У. - Z ( ^ ' + М;^>у),
(5.7.10)
при условии
i ( / ^ « V j + M;^3^.)=l
(5.7.11)
и при соблюдении ограничений вида (5.7.9). Как будет показано ниже, анало­
гичными неравенствами должны быть учтены и условия опирания оболочки.
292
Несвободными переменными задачи линейного программирования явля­
ются значения мощности диссипации внутренней энергии Nik > О, N 2 k > О в на­
чале и конце к-ой линии разрущения соответственно (к = \,т), а свободными
(знакопеременными) переменными задачи - скорости поступательного пере­
мещения
J = 1,^?з,
полюса )-го жесткого элемента и поворота a>J этого же элемента.
- число всех жестких элементов.
Итак, предлагаемый метод жестких элементов и сосредоточенных линий
разрушения между этими элементами является разновидностью кинематиче­
ского метода теории предельного равновесия. Для определения inf р"^ необ­
ходимо решить ряд задач линейного программирования, уточняя разбиение
оболочки на возможные жесткие элементы и, соответственно, формы линий
разрушения между ними.
Перейдем к координатной форме записи основных соотнощений (5.7.9),
(5.7.10) и (5.7.11). На рис. 5.7.3 изображен бесконечно малый элемент по­
верхности приведения 5о оболочки (пластинки) и указаны действующие на него
погонные внутренние силы и моменты. Наклонная линия О1О2 является эле­
ментом линии разрущения. Направление линии О1О2 определяется углом а ме­
жду направлением линии главной кривизны а 1 поверхности 8о и направлением
внешней нормали ^ к жесткому элементу А. Условия равновесия элемента,
изображенного на рис. 5.7.3:
= Г,, cos" а +
sin^ а + Г,2 sin 2а;
=0.5(7^1, - Г 2 2 ) 5 1 п 2 а - 7 ' , 2 c o s 2 « ;
= М ,yQ,os~ а + М 22 sin" а + М,2 sin 2 а ;
(5.7.12)
= 0.5(М], - M 2 2 ) s i n 2 a - A / , 2 cos2a;
(2« = О, c o s a + О2 sin а.
Теперь неравенства (5.7.9) можно записать в следующем виде:
29.1
(5.7.13)
^ 2 ^ ^5a>V2^ + Г , > У 2 2 + 0;,АУ2з " М'^^АСО^, + Н;,АбУ22 , г' = 1^5-
Здесь Д У ц - проекция А У , на ось Х] (рис. 5.7.3), соответствует деформации
сдвига в точке О ь А У , , - проекция А У , на ось у ь соответствует деформации
растяжения - сжатия в точке О ь
- проекция Ай) на ось
А<У22
у2,
соответ­
ствует деформации кручения в точке О2. Оси Х1У12| - сопровождающий трех­
гранник линии разрущения О1О2 в точке О1, а оси хгУгХг - то же, в точке О2.
Выразим в (5.7.13)
АУ|,,АУ,2,
Ай;22через проекции векторов
УА,УВ,
сод^,(Ов (соответственно скорости поступательных перемещений полюсов и по­
воротов жестких элементов А и В, между которыми проходит линия раз­
рущения (У](^2) на глобальные оси X , У, Z. Пусть
-
оси
2],
^21
-
оси
Х 2 , ¿^22 ~ ^ С И У2, ^23
-
ё,,
орт оси
-
Х ь ^12
О С И 22. П р О С К Ц И И В С К Т О р О В
- оси у ь
^1 [ ,
^23 на оси X , у , 2 обозначим Г ц , ? з з соответственно (табл. 5.7.1).
Таблица 5.7.1
«12
«13
^21
«22
«23
'?2
'?з
2
X
'и
у
'2^3
г
'к
'з'з
>1г
Теперь можно записать следующие соотнощения:
Д ^ , ^
=
/ , ^ A y , x + / 2 ; A V i Y + / ; , A v , ^ ;
;5.7.14)
АЙ;, J =
Ай^х
+
+ ^¡,^('^7.;
' = 12;
7 =
1,3.
294
Здесь A v , x , ,A(D^- проекции векторов A v , , A v 2 , A ö 5 на глобальные оси X , Y ,
Z:
- V A X - K y ( 2 o , - ^ . ) - « A z ( ^ o , - ' ^ Ü ;
(5.7.15)
Выражения для AVjy, Acoy, АУ|2, A&)2 получается путем круговой замены
индексов и переменных в (5.7.15): X на У, У на Z , Z на X .
Подставляя (5.7.15) и аналогичные выражения для Avjy, A U ; ^ , A V , ^ , АСО^ В
(5.7.14), получаем:
-^1>Ах
A^,j = ri>BX
-^2/VAY
-tyVj^-k'J^o)^
- - ^ л ^ д у -^y^^Az;
(5-7.16)
+ ^2>^ВУ + ^.V^^BZ - ^ 1 > A X - ^ 2 y « A Y " b > A Z -
Здесь k'ßj^r =t^jAYjß-t2jAZjß;
k^y, k'J^ соответственно получаются путем кру­
говой замены X на Y , Y на Z, Z на X , индексов 3 на 1, 2 на 3, 1 на 2 в этом вы­
ражении; например, k'^z = t^jAXjß-tljAYjß-,
k'jij, k'j^Y, ^^z получаются путем
замены индекса В на индекс А в соответствующих выражениях для к'/^у,
4^;
например,
=/^АГ,^-r^/Z,^;
A Z , 5 = Z o , - Z ^ , ; z = i;2; y ^ Ü .
Подставляя (5.7.16) в (5.7.13), получаем:
AA^,-^ =
A - Q , - - ;
...;
^-al,VAx
- 4 V A Y - 4 V A Z -«i>AX -«ä>AY
-
(5.7.17)
^2 ^ -ÖI'VAX - 4 V A Y - 4 V A Z - ^ • ' ' ^ A X - 4 > A Y 2/1
2
2
2
2,B
- «6, ^ A Z + % V B X + a2,VBY + öfs/VeZ +
^BX +
Здесь
(O'^.'a(0'^.4г
- « , ) ' ^ n
+(Q:,yk'^y
+(я;,)'//2;
-(M;,)'^', +(я;,)'/22;
(5.7.18)
=(C)'^.4z+(cy^^z+(Ö:)'^^Z -(<,y^/,
/ = 1,2.
Выражения для ü'^,a'^^,a'^
a'fj,
получаются соответственно из формул для
а'^, а^^ заменой индекса А на индекс В.
Так как работу погонных внутренних моментов относительно осей Z\
(^ = 1,2) в соотношениях (5.7.13) не учитываем, то в число ограничений задачи
линейного программирования необходимо включить следующие неравенства:
в точке О1 (начало линии разрушения, рис. 5.7.2)
^^п
= - ^ / з ^ А Х - ^2з^АУ - Ь'?«А2, + ^ з ^ в х + 'гз^ву + Ь'з^вz = 0;
(5.7.19)
в точке О2 (конец линии разрушения)
А^2з = -'п^АХ - ^2З^УАУ - 'зз^^лг + '1^з^вх + ^2з^ву + ^зз^вг = О-
(5.7.20)
296
Отметим, что в соотношениях (5.7.14),
kßyr, a^j, (S^i)'
(5.7.20) в обозначениях типа / ц ,
и т.п. 2,/у, / и др. являются индексами. Обозначение типа ¿3^
соответствует скорости врашения жесткого элемента с полюсом в точке А, во­
круг полюса А.
Линия разрушения (У]02 между жесткими элементами поверхности при­
ведения So оболочки (рис. 5.7.2) в общем случае является пространственной
кривой линией. Для того чтобы определить локальные системы
координат
OiXiyiZi, OiXiyiZi, необходимо записать уравнение кривой О1О2. Окончательное
разбиение оболочки на жесткие элементы и, следовательно, расположение ли­
ний разрушения на поверхности So будут определяться путем решения ряда за­
дач линейного программирования с целью определения inf р^ (т.е. в результате
численного эксперимента). Рассматривая уравнение (5.7.10), можно сделать
вывод, что минимизацию р"^ можно осуществить и за счет уменьшения суммарт
НОЙ длины линий разрушения
' т.е. истинный механизм разрушения не бу-
дет содержать большого числа дисков. С другой стороны, линия разрушения
между точками О] и О2 будет стремиться к геодезической кривой на поверхно­
сти 8о, проходящей через точки О1 и О2. Чтобы записать уравнение геодезиче­
ской кривой на поверхности Z^ Z ( X , У), проходящей через точки О1 и О2, не­
обходимо решить нелинейное дифференциальное уравнение. В общем случае
это - сложная математическая задача. Необходимо еще учесть, что линия разрущения О1О2 может довольно существенно отклониться от геодезической кри­
вой на поверхности 8о, проходящей через точки О] и О2 (причинами отклонения
могут^^однородности материала и напряженно-деформированного состояния,
конструктивные особенности изделия и т.д.). С учетом сказанного, и прибли­
женного характера решения, можно считать, что предлагаемый нами ниже под­
ход к определению систем координат 01Х1У1г1, ОгХгуггг и линии разрушения
297
0 ) 0 2 является достаточно алгоритмичным
и имеет удовлетворительную точ­
ность. Краткое содержание этого подхода заключается в следующем:
1. Восстановим нормали к поверхности приведения 8о оболочки в точках
О] и О2, направляющими векторами которых являются векторы е^, и
'со­
ответственно.
2. Проведем касательные плоскости к поверхности приведения 8о оболочки
в точках О] и О2, спроектируем на эти плоскости отрезок прямой О1О2. соответ­
ственно получим прямые с направляющими векторами ёц и 6213. Используя правило правого винта, найдем
и ^22 (соответственно на­
правляющие векторы осей у1 и у2).
4. Если точное определение длины линии разрущения О1О2 затрудни­
тельно, то ее можно определить приближенно. Если оболочка достаточно по­
логая, то длину линии разрущения ^02
можно считать приблизительно равной
длине отрезка прямой О1О2. Можно построить плоскость, содержащую в себе
вектор
и прямую О1О2, найти линию пересечения этой плоскости с поверх­
ностью 8о и длину дуги 0162 этой линии принять за длину линии разрущения.
Возможны другие варианты приближенного определения длины линии разру­
щения О1О2.
Рассмотрим более подробно некоторые из этих пунктов.
Уравнение касательной в точке 0|(Х1, У ь Z]) плоскости к оболочке имеет
вид
а{Х-Х,)
+ Ь(Г-V,)
+ ciZ-Z,)
= 0.
(5.7.21)
Уравнения нормали к поверхности 8о в точке 01(Х1; У ] , Z]У.
X -X
а
У-У
Z-Z
Ь
с
(5.7.22)
298
(если знаменатель какой-либо из дробей равен нулю, это означает, что равен
нулю соответствующий числитель).
Если поверхность приведения 8о оболочки определена в явной форме, т.е.
Z = ZiX, У),
то коэффициенты в (5.7.21), (5.7.22) определяются следующими формулами:
дх
дУ
Если поверхность 8о задана в векторной форме, т.е. г = г(и, У ) , где и, V параметры (например, криволинейные координаты на поверхности 8о), то ка­
сательная плоскость в точке О] определяется уравнением
( г - Г о 1 ) е 1 з =0,
(5.7.24)
а нормаль к поверхности 8о в той же точке О1 - уравнением
г = г^,+(ё,,,
(5.7.25)
где 1 - параметр, ё^^ " единичный вектор нормали к поверхности 8о в точке О].
Аналогично определяются нормаль к поверхности 8о и касательная плос­
кость к этой поверхности в заданной точке О1 в случае задания уравнения по­
верхности 8о в другой форме (в неявной или параметрической формах).
Найдем радиус - вектор точки Т|, которая является точкой пересечения
прямой, проведенной через точку О2 линии разрущения параллельно 2 , 3 , с ка-
299
сательной плоскостью (5.7.24) в точке О1 (рис. 5.7.4а). Уравнение прямой, про­
ходящей через точку О2 параллельно ё^, '•
г=Го2+Ге1з,
(5.7.26)
Рещая совместно (5.7.24) и (5.7.26), определяем параметр 1т1 для точки Т ь
(^^ог+^п
.
^13-^01)^13 = 0 ,
р
(^01-^02)^13
(5-7.27)
^13
Подставив (5.7.27) в (5.7.26), находим радиус - вектор точки Т ь
^п=%+^71^^13'
(5.7.28)
Далее находим
(Щ=гт,-г,,.
Аналогично определяем вектор Г2О2
(5.7.29)
(рис 5.7.46). Уравнение
касательной
плоскости к поверхности 8о в точке О2:
(^-^02)^23=0-
(5-7-30)
Уравнение нормали к поверхности 8о в точке О2:
г = Го2+1ё22,
(5.7.31)
300
уравнение прямой, проходящей через точку О1 параллельно
:
(5.7.32)
г = Го1+^е2з
Рещая совместно уравнения (5.7.30) и (5.7.32), находим параметр 1т2-
(П)1 + ^ Г 2 ^23 -^02)^^23 = О'
(5.7.33)
(^02 - ^01)^23
_
^01)^23-
""(^02
2
^23
Подставляя (5.7.33) в (5.7.32), находим радиус - вектор точки Т2:
(5.7.34)
^7'2 - ^01 + ^Т2 ^23 '
Далее находим вектор
7'202
^2^2
- ^
(5.7.35)
^Т2
Находим единичные векторы локальных систем координат в точках О1 и О2 ли­
нии разрущения
^11
=о^т.
;
^21=7^2<^^2.
Т202
(5.7.36)
;
Здесь Ыу = {йГ1,
^ 2 3 = ^ 2 .
СуУ, N2 = { ^ 2 ' ^ 2 ' ^2 у ~ векторы нормалей к поверхности 8о
в точках О] и О2 соответственно; а , , /)], С } ,
например, могут быть определены
по формулам (5.7.23). Используя правило правого винта, находим
301
^12
^13
(5.7.37)
^22 = ^ 2 3 X 6 2 , .
Запишем полученные формулы в координатной форме. В глобальной (не­
подвижной) системе координат OXYZ
имеем:
уравнение поверхности приведения 5о оболочки
(5.7.38)
р(х,у,г)=о.
Нормаль к этой поверхности в ее точке О] имеет следующие компоненты:
^^_дFiX„Y,,Z,)^
^^_дР{Х„¥„7.,)^
^^_дЕ{Х,,¥„г,)
^
52
дХ
Длина этой нормали:
(5.7.40)
Проекции единичного веКтора £¡3 оси 0121 на оси Х,У,2 соответственно:
1
^13 =
;
^23 =
•
/2
23
;
^1
'зз =
(5.7.41)
Аналогично можно найти
1^ -
2
^33
=
(5.7.42)
Далее находим
302
1п
= {X, - Х^) / / з + {Ух - Уг) ^23 + ( ^ 1 - ^ 2 ) ^33;
{^Т\)х = ^ 2
(5.7.43)
^13'
(01Г1)х=^2-^1+^П^13-
Аналогично можно найти
(5.7.44)
33
Далее находим
0,Т,\ = ^{0,Т,)\
+{0{Г,)].
+{0,Т,)\;
(5.7.45)
0{Г,
^21 =
'31
Найдем компоненты единичного вектора
1 Г2
=
оси Х2 в точке О2. Имеем:
= {Х^ - X, ) г^3 + (Г2 - У, ) /|з + (^2 - ^1) ^33 ;
(5.7.46)
(^2^2)А-
^ 2 - ^ 1 - ^Г2 '13 •
Аналогично можно найти
(Г2О2),
=Г2-У1-г,-24;
(5.7.47)
{T2(\)z=Z2-Z,-tr2
Ьз-
Далее находим
303
1,0, = д / ( Г 2 0 2 Й + ( 7 А ) г + ( ^ 2 ^ 2 ) 1 ;
,2_(Ш)х_.
Л_(Тг02)у.
,2_(7222к
(5.7.48)
^2^2
Используя полученные результаты и формулы (5.7.37), найдем компоненты ор­
та
оси У] в точке
Ч2-'23'31
'33'21'
'22 - ' 3 3 ' И
'13'31 '
'32 " ' 1 3 ' 2 1
'23'И
(5.7.49)
Анашогично находим компоненты орта ё,, оси у, в точке О2:
Л _ 2
2 _ 2
2.
'12 - ' 2 3 ' 3 1
'33'21'
2 _ 2
2 _ 2
2.
'22 - ' 3 3 ' и
43'31 '
2 _ . 2
2 _ 2
2
^32 - 4 3 '21
'23'И'
(5.7.50)
Рассмотрим условия опирания оболочки или пластины. В задачах о пре­
дельном равновесии ограничения, вытекающие из условий опирания, суще­
ственно отличаются от краевых условий, накладываемых теми же опорными
устройствами при рещении задачи о напряженно-деформированном состоянии
упругой конструкции. Рассмотрим, например, линию О1О2, вдоль которой осу­
ществляется жесткое защемление оболочки (рис. 5.7.5а). Линию О1О2 можно
рассматривать как линию стыковки двух жестких элементов: А - диск оболочки
с полюсом в точке А, В - опорный неподвижный диск с полюсом в точке В,
О1О2 - линия разрушения между этими жесткими дисками. Для неподвижного
диска В имеем:
(5.7.51)
С учетом (5.7.51) из (5.7.6) получаем:
304
=-Уд-<»д X
(5.7.52)
АЗ = -й5д.
Эти значения разрывов скоростей обобщенных перемещений и должны быть
использованы при определении мощности внутренних обобщенных сил вдоль
линии жесткого защемления О1О2 (рис. 5.7.5а), которая в предлагаемом здесь
методе жестких элементов и обобщенных линий разрущения является вирту­
альной линией разрущения.
Рассмотрим теперь свободный край оболочки О1О2 (рис. 5.7.56). Здесь диск
А - жесткий диск оболочки с полюсом в точке А, диск В - искусственный диск
с полюсом в точке В. В рассматриваемом случае имеют место следующие ра­
венства:
3^=й)в=3;
Ув=\'д+й5хЛЛ.
(5.7.53)
Подставив (5.7.53) в (5.7.6), получаем:
АУ,=0;
АУ2=0;
Асд = 0.
(5.7.54)
Значит, вдоль свободного края оболочки мощность внутренних сил тождест­
венно равна нулю. На концах линии
(рис 5.7.56), совпадающей со сво­
бодным краем оболочки, ограничений вида (5.7.17) не записываем (они вы­
рождаются в неравенства N1 > О, N2 > О, которые автоматически учитываются
симплекс - методом линейного программирования).
Другие устройства опирания занимают промежуточные положения между
жестким защемлением и свободным краем. Они будут отличаться друг от друга
тем, какие из внутренних сил и моментов 8«, Та, Qa, N4«, На не будут давать
вклада в суммарную мощность внутренних обобщенных сил (из-за наличия
30,5
конструктивных степеней свободы). В общей сложности таких разновидностей
устройств опирания будет 2^ = 32 варианта (сумма различных сочетаний
С1=
п\{т-п)\
(5.7.55)
где щ = 5, п пробегает значения 5, 4, 3, 2, 1, 0). Например, 1) все силы и мо­
менты 8а,
На совершают работу (жесткое защемление); 2) 8« не совершает
работу; 3) 8а и Та не совершают работу; 4) 8«, Та, Р а не совершают работу; 5)
8а, Та, Р а , М а НС совсршают работу; ...; 32) все 8а,
Н« не совершают работу
(свободный край). Отметим, что, при наличии конструктивных степеней свобо­
ды, пренебрежение мощностью той или иной обобщенной внутренней силы не
накладывает ограничений на разрывы соответствующих обобщенных скоростей
перемещений.
При решении конкретных задач о предельном равновесии элементов кон­
струкций возникает необходимость уменьшения (что связано с возможностями
ЭВМ и экономией машинного времени) и бывает возможным уменьшение (что
связано с физической картиной разрушения) размерности соответствующей за­
дачи линейного программирования. Например, пусть в результате предвари­
тельного решения задачи при грубом разбиении оболочки на жесткие элементы
(или в результате физических экспериментов, или каким-либо другим образом)
получены результаты, показывающие, что в процессе разрушения оболочки
крутящий момент 1На вносит незначительный вклад в суммарную мощность
обобщенных внутренних сил. Тогда при следующих итерациях (при более де­
тальном и точном разбиении оболочки на жесткие диски) работу момента На
исключаем из рассмотрения. Это осуществляется путем обнуления слагаемых
Я^уДбб)12, Яд,Д&)22 В
соотнощениях (5.7.13), т.е. в формулах (5.7.18) нужно по­
ложить Н^1 = О. Но при этом к ограничениям задачи линейного программиро­
вания должны быть добавлены равенства
.306
(5.7.56)
соответственно в начале и конце каждой линии разрушения.
Если пластинка или оболочка разрушаются в основном путем сосредото­
ченных изгибов по определенным линиям, то нужно учитьшать работу только
момента
Ма. В
этом
случае
в
= Та/ = 0*а1 = О, Я * , = О. Но при
формулах
ЭТОМ К
(5.7.18)
нужно
положить
ограничсниям задачи линейного
программирования добавляются:
в точке О] линии разрушения СУ]()2
АУ1,=0;
Ай912
АУ,2=0;
=0;
АУ1З=0;
(5 7 57)
Ай>,з = 0;
в точке О2 линии разрушения
АУ,,=0;
^'
Ас1)22 = 0;
АУ„=0;
АУ-,, =0;
'
(5.7.58)
Ай>2з =0.
Аналогично поступаем и при решении других частных видов обшей задачи
о предельном равновесии оболочек и пластин.
С другой стороны, могут встретиться задачи, в которых отсутствие вклада
той или иной обобшенной внутренней силы в суммарную мошность обусловле­
но конструктивными особенностями оболочки или пластины. Например, пусть
на одной из линий срединной поверхности 8о имеется конструктивный цилинд­
рический шарнир. Рассматривая эту линию как виртуальную линию разруше­
ния О1О2, работу изгибающего момента М а на этой линии принимаем равной
нулю. В соответствующих ограничениях вида (5.7.13) положим М*,Аб911 = 0 ,
307
М*,Д<У21 = 0. Но при этом не требуем выполнения условий Ай^ц = О, А<»21 = О
на концах линии
Аналогично поступаем и при наличии других конструктивных особенно­
стей изделия, дающих ей эту или иную степень свободы.
На основе полученных соотнощений разработан алгоритм А6 определения
верхней оценки р"^ параметра внещнего нагружения. Суть этого алгоритма за­
ключается в следующем:
1. Разбиваем оболочку или пластинку на жесткие элементы с помощью
виртуальных линий разрушения (рис. 5.7.6), производим нумерацию узлов. Ну­
мерация узлов носит субъективный характер. Первоначальное разбиение обо­
лочки на жесткие элементы также носит субъективный характер (для более
удачного разбиения может быть использована имеющаяся информация, напри­
мер, результаты экспериментов над аналогичными конструкциями).
2. Указываем полюса жестких элементов Р ] , Р2, ...,Рпз, где пз - число всех
жестких элементов. Приводим все внешние нагрузки, действующие на )-ый же­
сткий элемент, к его полюсу Pj (у = \^п^).
3. Записываем выражение (5.7.3) для мощности внешних нагрузок.
4. Записываем выражение (5.7.10) для целевой функции задачи линейного
программирования и ограничение (5.7.11).
5. Для каждого узла разбиения оболочки
определяем
соответствующую
поверхность прочности, осуществляем ее аппроксимацию многогранником.
6. Нумерацию виртуальных линий разрушения осуществляем двумя чис­
лами. Все жесткие элементы, начиная с элемента с полюсом Р ь обходим по ча­
совой стрелке. Жесткие элементы обходим по возрастающим номерам полюсов
PJ. При обходе каждого нового жесткого элемента отмечаем только те вирту­
альные линии разрушения, которые не были отмечены при обходе предыдущих
жестких элементов. За начало линии разрушения принимаем номер того узла,
который встречается раньще при обходе данного жесткого элемента (точка О]
308
для данной линии разрушения), а за конец линии разрушения - номер следуюшего узла, который встречается при обходе данного жесткого элемента (точка
О2 для данной линии разрушения). Из двух соседних жестких элементов, между
которыми располагается данная линия разрушения ^02,
за элемент А прини-
маем^Гменьшим номером полюса, а за элемент В - элемент с большим номером
полюса. Благодаря этим правилам достигается однообразие при назначении ло­
кальных систем координат
öibi
0]XiyiZi
и ОгХгуггг, связанных с линией разрушения
для всех линий разрушения (рис. 5.7.2).
7. Определяем, используя формулы (5.7.38),
(5.7.50), компоненты ортов
локальных систем координат O i X i y i Z i и O i X i y i Z i в неподвижной системе коор­
динат O X Y Z (для каждой виртуальной линии разрушения).
8. Определяем углы а как углы между осями a i и y i , aj и уг в начале и в
конце каждой линии разрушения О1О2 (рис. 5.7.3). Здесь оси a i ,
- это оси, в
которых записаны уравнения исходных поверхностей прочности (в частности
a i , а2 могут совпасть с линиями главных кривизн поверхности приведения So
оболочки). Используя координаты каждой вершины многогранника прочности,
по формулам (5.7.12) определяем соответствующие этой вершине, и рассматри­
ваемой линии разрушения, предельные значения внутренних обобщенных сил
, 5^, М ^, Н ^ ^Qa9. По формулам (5.7.18) и аналогичным им определяем коэффициенты в
ограничениях (5.7.17).
10. Записываем ограничения вида (5.7.17), (5.7.19), (5.7.20) для каждой ли­
нии разрушения.
11. Если необходимо, учитываем упрощения и ограничения, связанные с
конструктивными особенностями изделия.
12. Ограничения, обусловленные условиями опирания оболочки или пла­
стинки, имеют вид (5.7.17).
309
13. Если это возможно, используем симметрию конструкции, нагрузок и
картины разрушения для уменьшения размерности задачи линейного про­
граммирования.
14. Существенное уменьшение размерности
задачи линейного
програм­
мирования может быть достигнуто следующим образом. Путем добавления в
правые части некоторых ограничений вида (5.7.17) дополнительных неотри­
цательных переменных, эти ограничения можно записать в виде равенств. Ис­
пользуя полученную таким образом систему уравнений, можно исключить из
рассмотрения знакопеременные величины
УДХ, VAY,
о З в у , <»BZ-
После решения
задачи линейного программирования можно вернуться к переменным VAX,
CÖBZ-
15. В результате решения задачи линейного программирования определяем
min р^ и соответствующее поле переменных N i , N 2 (для каждой линии разру­
шения) и VAX, VAY,
coez (для каждого жесткого элемента оболочки).
16. Анализируем полученные результаты. В областях интенсивного раз­
рушения оболочки величины суммарных мощностей внутренних обобщенных
сил N i , N2 будут отличаться от соответствующих величин в областях менее ин­
тенсивного разрушения, сравнительно большими значениями. Используя полу­
ченное поле значений N i , N2, уточняем картину разбиения оболочки на вирту­
альные жесткие элементы и повторяем рещение задачи - начиная с пункта №2
настоящего алгоритма. Удовлетворительным считаем решение, соответствую­
щее inf р^.
На рис. 5.7.6 показан пример разбиения на жесткие элементы защемленной
прямоугольной
пластинки, нагруженной
равномерно распределенной,
нор­
мальной к So, нагрузкой. При обходе жесткого элемента Pi встречаем линии
разрушения 1-2, 2-6, 6-5, 5-1; при обходе жесткого элемента Р2 встречаем но­
вые линии разрушения 2-3, 3-7, 7-6; при обходе жесткого элемента Рз встреча­
ем новые линии разрушения 3-4, 4-8, 8-7; при обходе жесткого элемента Р4
встречаем новые линии разрущения 4-1, 5-8; при обходе жестких элементов Р5,
310
Рб новых линий разрушения не встречаем (Рб - полюс опорного жесткого дис­
ка). Здесь, например, для линии разрушения 8-7 началом является узел № 8
(точка О1 для линии 8-7), концом - узел № 7 (точка О2 для линии 8-7). Для ли­
нии разрушения 8-7 жесткий элемент Рз соответствует элементу А на рис 5.7.2,
а жесткий элемент Р5 - элементу В на этом же рисунке.
.111
6.
Некоторые результаты расчетов и
их анализ
6.1.
Результаты прогнозирования прочности
слоистых композиционных материалов
6.1.1.
Результаты прогнозирования кратко­
временной статической прочности
слоистых КМ
Сначала рассмотрим некоторые примеры, где расчетные результаты, по­
лученные с использованием методов и алгоритмов, изложенных в предыдущих
разделах
настоящей
работы,
сопоставлены
с
соответствующими
экспе­
риментальными результатами других авторов, взятыми из имеющихся научных
публикаций.
На рис. 6.1.1.1 приведены результаты, полученные для композита структуры
[±45з]^..
Кривая
1 на этом
рисунке
построена
с использованием
пара­
метрических уравнений (4.2.1.11) и алгоритма А 1 . Уравнение поверхности
прочности
для однонаправленно
армированного
стеклопластикового
слоя
(монослоя) в его осях ортотропии Охут имеет следующий вид:
0.019<т^ + 0 . 0 0 2 9 а ^ с т , , + 3 . 3 4 а ^ - 1 . 3 5 ^ ^
+ 3370-^^ +
(6.1.1.1)
+ 2.070-^-10000 - 0 .
Коэффициенты этого уравнения определены с использованием формул (1.2.3.6)
и соответствующих экспериментальных результатов, приведенных в работе
Г.А. Тетерса, З.Т. Упитиса, А.О. Удриса [I] для монослоя.
Центры треугольников на рис. 6.1.1.1 соответствуют
обнаруженным
разрушающим
комбинациям
напряжений
экспериментально
для
композита
312
структуры [±45°]с при различных лучах нагружения, приведенным в работе Г.А.
Тетерса, З.Т. Упитиса, А.О. Удриса [1]. Они получены путем испытаний на
прочность трубчатых образцов при кратковременном статическом нагружении.
Кривая 2 на рис. 6.1.1.1, построенная с использованием метода наименьших
квадратов, заимствована с работы Г.А. Тетерса, З.Т. Упитиса, А.О. Удриса [1].
Как видно из рис. 6.1.1.1, теоретическая кривая 1 и экспериментальная кривая 2
качественно хорошо согласуются между собой. Количественное расхождение
результатов объясняется, по нашему мнению, тем, что для описываемого
случая в работе Г.А. Тетерса, З.Т. Упитиса, А.О. Удриса [1] результаты, повидимому,
получены
для
конструкции
(были
использованы
трубчатые
образцы), а не для материала (иначе трудно объяснить отсутствие симметрии
кривой 2 на рис. 6.1.1.1 относительно линии а п = G22 - в частности, для точек с
номерами 2 и 6).
На рис. 6.1.1.2 темные кружочки соответствуют разрушающим комбина­
циям средних (по толщине композита) напряжений, определенным экспери­
ментально для стеклопластика структуры [±30°/90°]^ при различных лучах
нагружения. Эти результаты приведены в работе H . A . Алфутова, П.А. Зи­
новьева, Б.Г. Попова [1]. Кривая 1 на рис. 6.1.1.2 построена для композита
структуры
[(±30790°)2]s
с
использованием
параметрических
уравнений
(4.2.1.11). Прочностные характеристики для соответствующего монослоя взяты
с работы H . A . Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [1, с.59]. Предельная
поверхность для монослоя в его осях ортотропии (Oxyz)j описывается сле­
дующим уравнением:
a^-6.51a^^cr,,. + 1 0 0 a ^ - 1 1 0 0 a ^ + 1 6 - l o V ^ , +
^ ^ ^
+ 222(ст^+(тД+а^)-8-10'=0.
Ломаная линия 2 на рис. 6.1.1.2 заимствована с работы H . A . Алфутова, H . A .
Зиновьева, Б.Г. Попова [1] и является решением рассматриваемой задачи на
основе структурного подхода с помощью алгоритма силового нагружения.
когда
на
каждой
итерации
решения
задается
прирашение
(напряжения). На каждом шаге решения анализируется
нагрузки
напряженно-дефор­
мированное состояние слоев. Приращение напряжений продолжают до раз­
рушения композита. Считают, что многослойный композит разрушен, если хотя
бы в одном из его слоев выполнены условия а^^ =
или
а^х = с ? х х '
или (и)
Как видно из рис. 6.1.1.2, расчетная кривая 1, построенная с использованием
уравнений
(4.2.1.11),
хорошо
согласуется
с
соответствующими
экспе­
риментальными и расчетными результатами других авторов.
• На рис. 6.1.1.3 темными квадратиками отмечены точки, соответствующие
экспериментально обнаруженным предельным значениям растягивающей силы,
а темными кружочками - экспериментальные значения предельной сжимающей
силы F / h (h - толщина пакета), приведенные в работе С В . Цая [1] для
стеклоэпоксидного композита структуры [±ф]с для различных значений угла ф .
Предельная кривая 1 на этом рисунке соответствует случаю растяжения этого
композита, а предельная кривая 2 - случаю сжатия (кривые построены с
использованием уравнений (4.2.1.11)). Как видно из рис. 6.1.1.3, и в этом случае
расчетные
результаты,
полученные
с
использованием
параметрических
уравнений (4.2.1.11) хорошо согласуются с соответствующими эксперименталь­
ными результатами других авторов.
Как было отмечено в разделе 5.3 настоящей работы, уравнения типа
(4.2.1.11) дают верхнюю оценку прочности слоистого композита (так как при
их выводе существенно использованы кинематические гипотезы). Рассматривая
рисунки 6.1.1.1 - 6.1.1.3, можно заметить, что сказанное выше в основном
подтверждается экспериментально полученными результатами. Некоторые оти HUA
клонения экспериментальных
'у"
в большую сторону от соответствующих
теоретических результатов, полученных с использованием уравнений (4.2.1.11)
- например, отклонение точки №6 на рис. 6.1.1.1 от предельной кривой 1 на
этом рисунке - нами объясняются особенностями эксперимента. С другой
314
стороны, имеют значение такие факторы, как принятый в эксперименте признак
разрушения композита, а также отсутствие или наличие больших деформаций
перед
окончательным
разрушением
КМ.
Например,
из-за
больших
предварительных деформаций, углы ориентации слоев в композите, который
имеет
первоначальную
структуру
[±30790°]с
(рис. 6.1.1.2),
перед
ката­
строфическим разрушением (когда материал теряет устойчивость) могут сушественно отличаться от своих первоначальных значений. Чтобы учесть такие
возможности, необходимо решить задачу о предельном равновесии композита с
учетом
геометрической
экспериментальные
нелинейности.
точки,
Тогда
соответствующие
можно
ожидать,
разрушающим
что все
комбинациям
напряжений для композита (например, приведенные на рис. 6.1.1.2), будут
оценены уравнениями (4.2.1.11) сверху.
На рис. 6.1.1.4 изображены предельные кривые, построенные для композита
с использованием уравнений (4.2.1.11) при различных углах укладки слоев.
Экспериментальные данные для монослоя взяты с работы Г . А . Тетерса, З.Т.
Упитиса, А . О . Удриса [1] (на рис. 6.1.1.4 центры маленьких треугольников
соответствуют
разрушающим
комбинациям
напряжений
для
предельная поверхность для монослоя в его осях ортотропии
монослоя;
описывается
уравнением (6.1.1.1)). Кривая 1 на рис. 6.1.1.4 соответствует схеме укладки
слоев [0^°2], кривая 2 -[±30з]^., кривая 3 -
5-
[90J°2].
[±453]^,
кривая 4 - [±60з]^., кривая
Следует отметить наличие симметрии на рис. 6.1.1.4 относительно
линии а п = а22 и двух огибающих, перпендикулярных этой линии (пЕтриховые
линии на рис. 6.1.1.4). Отметим также, что кривые 1,
быть построены
согласно уравнению
(4.3.1.24)
5 рис. 6.1.1.4 могут
при углах
ориентации
ф
соответственно О, 30, 45, 60, 90° (при этом в уравнении (4.3.1.24) следует по­
ложить а12=аз1 =
СГ32
= 0). Все большие оси эллипсов на рис. 6.1.1.4 пересе­
каются в точке с координатами (-50, 52; -50, 52), а центры симметрии всех
эллипсов лежат на одной прямой, параллельной огибающим (на рис. 6.1.1.4 эту
прямую можно построить согласно уравнению
= - стц + 308.4).
31.3
На рис. 6.1.1.5 приведены предельные кривые, построенные для композита в
плоскости безразмерных напряжений G•^^/o^y,\ = \;2.
Здесь
136 МПа -
предел прочности однонаправленно армированного стеклопластика при сжатии
поперек волокон (данные для монослоя взяты с работы Г.А. Тетерса, З.Т.
Упитиса, А.О. Удриса [1] и описываются уравнением (6.1.1.1)). Кривая 1 на
рис. 6.1.1.5 соответствует схеме укладки [90707907079070°]8,
кривая 2
-
[907±607±3070°]5, кривая 3 - [±45707±4570°]5, кривая 4 - [±457907079070°]8.
Отметим, что в зависимости от схемы укладки слоев могут быть получены
предельные кривые разных размеров и форм (кривая 1 на рис 6.1.1.5 по форме
близка к квадрату, кривые 2 и 3 -
к параллелограмму,
кривая
4 -
к
шестиугольнику).
На рис. 6.1.1.6 приведены результаты сравнений значений коэффициентов
уравнения (4.3.1.29), определенных по методике, изложенной в разделе 4.3.1
настоящей работы (сплошные линии) с отвечающими
экспериментальными
значениями из работы В.Л. Нарусберга, Г.А. Тетерса [1] (светлые и темные
треугольники). Как видно, качественное соответствие результатов хорошее.
Количественные
расхождения
связаны,
прежде
всего,
с
принятым
в
эксперименте признаком разрушения и с отклонениями от геометрических
гипотез, принятых при выводе уравнения (4.3.1.29).
6.1.2.
Результаты прогнозирования длительной
статической прочности слоистых КМ
На рис. 6.1.2.1 приведены некоторые результаты прогнозирования проч­
ности композита слоистой структуры при длительном статическом нагружении.
Для сравнения на этом же рисунке приведены соответствующие результаты,
полученные при кратковременном статическом нагружении.
Уравнение предельных поверхностей при длительном нагружении монослоя
(органопластик тканевой
структуры) принято
в виде (4.2.3.4).
Уравнение
.316
поверхности прочности при кратковременном статическом нагружении мо­
нослоя имеет вид
3.18сг^ - 2су^(7уу
+ З.Збо-^ - 2 . 2 1 ^ ^ - 1.55^7^
+
ХбЛсг^
= 1,
(6.1.2.1)
а уравнение обобщенной кривой длительной относительной прочности (4.2.3.6)
для органопластика записано в виде
Д О = 0.458 + 0.542 ехр(-0.017/^^^^).
(6.1.2.2)
При записи этих уравнений использованы экспериментальные
результаты,
приведенные в работе Р.Д. Максимова, Е.А. Соколова, Э.З. Плуме [1]. Рас­
смотрены
случаи
плоского напряженного
состояния
композита.
При по­
строении предельных кривых, приведенных на рис. 6.1.2.1, использован ал­
горитм А 1 . Композит состоит из 12 одинаковых слоев, параллельных по­
верхности приведения 8о, уложенных (в общем случае) под разными углами
относительно оси £,1. Напряжения отнесены к кратковременной
прочности
монослоя при растяжении вдоль утка ткани (это направление совпадает с на­
правлением оси XJ).
Кривая 1 на рис. 6.1.2.1 соответствует кратковременному
статическому
нагружению композита структуры [0]с, а кривая 2 - длительной прочности
такого же композита (1=2500 часов). Эти кривые соответствуют эксперимен­
тальным результатам для монослоя, приведенным в работе Р.Д. Максимова,
Е.А. Соколова, Э.З. Плуме [1]. Кривая 3 на рис. 6.1.2.1 соответствует кратко­
временному
статическому
нагружению
композита
структуры
[90/± 6 0 / ± 3 0 / 0 ] у , а кривая 4 - длительной прочности композита такой же
композита (1 = 2500 часов).
Как видно из рис. 6.1.2.1, при длительном нагружении несущая способность
композита снижается. В то же время можно отметить, что, варьируя структуру
317
композита,
можно
добиться
улучшения
его
работоспособности
для
определенных режимов нагружения (например, точка А на рис. 6.1.2.1 является
общей для композита структуры [0]с (кратковременное статическое нагружение) и композита структуры [90/± 6 0 / ± 30/0]_^. (длительное ста[тическое нагружение), когда <У221^\\
6.1.3.
= 2 7 )•
Результаты прогнозирования прочности
слоистых КМ при повышенных
температурах
На рис. 6.1.3.1 приведены результаты, полученные для бороэпоксидного
композита, работающего при температуре Т = 450 К. Кривая 1 построена для
композита структуры [0°]с, экспериментальные данные для ее построения взяты
со справочника (ред. Д. Любин [1]). Уравнение предельной поверхности для
монослоя при Т = 450 К имеет вид
2,02а^+37.4ах,,ст^^ + 5 6 2 а ^ - 0 . 4 3 4 а ^ ^ + 14.86Оуу+1210а^, =1. (6.1.3.1)
Здесь напряжения отнесены к со = 1323 МПа. Кривая 2 на рис. 6.1.3.1 соот­
ветствует структуре композита [±45°]с. Она построена, исходя из уравнения
(6.1.3.1), с использованием алгоритма А 1 . Точки на рис. 6.1.3.1 соответствуют
экспериментальным
значениям
прочности
бороэпоксидного
композита
структуры [±45°]с, взятым со справочника (ред. Д. Любин [1]), при температуре
Т = 450 К. Как видно, соответствующие экспериментальные результаты в
точности ложатся на расчетную кривую 2 .
На рис. 6.1.3.2 приведены результаты, полученные с использованием ал­
горитма А1 для органопластика, работающего в условиях плоского напря­
женного состояния при температуре Т=150°С. При построении этих кривых
.118
использованы уравнения (4.2.4.2), (4.2.4.3). Необходимые экспериментальные
данные для монослоя взяты с работы Р.Д. Максимова, Э.З. Плуме, Е.А. Соко­
лова [1]. Кривая 1 на рис. 6.1.3.2 построена для композита структуры
[0°]с,
кривая 2 - для композита структуры [ 9 0 / + 6 0 / ± 3 0 / 0 ] 5 . Напряжения отнесены
к пределу прочности при растяжении
вдоль утка ткани
(монослоя) при
температуре Т = 20°С. Предельные кривые при Т = 20°С для этих же компо­
зитов приведены
на рис. 6.1.2.1 (кривая
1 -
для
[0°]с,
кривая 3 -
для
[90/± 6 0 / ± 30/0]^.). На рисунках 6.1.3.2 и 6.1.2.1 принят один и тот же мас­
штаб. Как видно из сравнения кривых 1 на этих рисунках, а также кривых 2 из
рис. 6.1.3.2 и 3 из рис. 6.1.2.1 между собой, повышение температуры сушественно уменьшает прочность К М . Изменяя структуру К М , можно добиться
увеличения его прочности для некоторых режимов нагружения, что может быть
целесообразным при конкретных условиях эксплуатации изделия.
6.1.4.
Результаты прогнозирования прочности
слоистых КМ при многоцикловом
нагружении
На рис. 6.1.4.1 приведены предельные кривые на плоскости
о-^ОсГд^
(симметричные циклы нагружения, плоское напряженное состояние) для раз­
личных структур слоистого композита. Они построены с использованием
уравнений (4.2.2.15) и алгоритма А 1 . Уравнение предельной поверхности для
монослоя (стеклопластик ВФТ-С) в его осях ортотропии хуг имеет следующий
вид:
28.2(0-^^)2 - 3 9 . 9 ( 7 ^ ^ 7 + 8 1 . 6 ( с 7 - 7 ) 4 1 4 0 0 ( ^ 7 ) 2
-1400.
(6.1.4.1)
Здесь напряжения отнесены к а ^ ( = 8.45 МПа. Необходимые для записи уравР1ения (6.1.4.1) экспериментальные данные взяты с работы П.П. Олдырева [2
319
(для базы испытаний N = 1000000 циклов). Композит образован из 12 слоев
одинаковой
толщины. Кривая
1 на рис. 6.1.4.1
соответствует
композиту
структуры [0]с, кривая 2 - композиту структуры [(±45°)з]5, кривая 3 - компо­
зиту структуры [±30/90/±30/90°]8, кривая 4 - композиту структуры[(90/0°)з]з.
Как видно из рис. 6.1.4.1, изменяя структуру слоистого композита можно су­
щественно увеличить его прочность для определенных путей нагружения в
пространстве напряжений.
Кривая
1
на
рис.
6.1.4.2
построена
для
композита
структуры
[0/15/30/45/60/75/90°] с использованием уравнений (4.2.2.15) и алгоритма А 1 . В
данном случае имеет место комбинированное нагружение статическим (о{,|) и
циклическим
(^а^)
относительные
напряжениями.
толщины:
:
Слои
композита
имеют
следующие
: /23: /74 : /гз: /г^ : /27 = 6 : 2 : 2 : 45 : 2 :
2:6.
Предельная поверхность для монослоя (стеклопластик В Ф Т - С ) в осях его ортотропии определена следующим уравнением:
( 2 . 2 4 а ; - 3 . 6 7 а ^ а ^ + 7 . 1 5 а ; -1.25ог^ - 1 . 3 3 а ^ +
^^^^^^
+ 3 9 . 1 а ^ ) „ , + ( 4 2 . 2 0 - ; - 5 9 . 7 а ^ а ^ + 1 2 2 0 - ^ + 2 0 9 5 0 - ^ ) , =1.
Здесь напряжения отнесены к а ^ =387 М П а (пределу прочности монослоя при
кратковременном статическом растяжении в направлении оси х). Необходимые
для записи уравнения (6.1.4.2) экспериментальные данные взяты с работы П.П.
Олдырева [2] (для базы испытаний N = Ю*' циклов).
Кривая 2 на рис. 6.1.4.2 построена согласно уравнению
11.2(ст>,;,)- - 1 . 2 9 а ' ^ + 2 2 6 ( а ' ; ) - =1,
(6.1.4.3)
которое является уравнением сечения поверхности прочности для композита
структуры
[45°]с
плоскостью
о-„,Оаа • Так как для композита структуры
[0/15/30/45/60/75/90°] в рассматриваемом случае ведущим является четвертый
слой с углом ориентации ф 4 = 45° (этот слой имеет наибольшую относительную
.120
толщину), то сравнение кривых 1 и 2 на рис. 6.1.4.2 показывает достоверность
результатов, полученных с использованием уравнений (4.2.2.15) и алгоритма
А1 (по крайней мере, эти результаты
качественно:
на
растяжение
и
хорошо согласуются между
сжатие
прочности
композита
собой
[0/15/30/45/
60/75/90°] больше, чем у композита структуры [45°]с, а на чистый сдвиг наоборот).
6.2.
Некоторые результаты прогнозирования
несущей способности статически
определимых композитных оболочек
6.2.1.
Несущая способность круговых цилин­
дрических оболочек с донышками
Рассмотрим предельное состояние цилиндрической оболочки, нагруженной
крутящим (относительно оси цилиндра) моментом Мк, осевой силой Р] и
равномерным давлением р (рис. 5.2.1). За 8 о примем срединную поверхность
оболочки. Введем следующие безразмерные обозначения:
^*ар
= ^ар/^0
;
р,=Р,/7и^Нст^;
= РаР/^О'^;
« , ^ =
1,2;
p2=p{d-Hf|2dHcJQ;
(6.2.1.1)
Здесь оо - параметр, имеющий размерность напряжений; (1 - диаметр, Н толщина оболочки; А - площадь, ограниченная контуром поперечного сечения
оболочки.
Используя уравнения равновесия элемента оболочки, получаем
/'1=^11-^22/2;
/^2 = ' 2 2 ;
^^А='12-
(6.2.1.2)
321
На рисунке 6.2.1.1 приведены результаты, полученные с использованием
алгоритма А1 для круговой цилиндрической оболочки (рис. 5.2.1). Число слоев
п = 15. Кривая 1 на рис. 6.2.1.1 соответствует структуре композита [ 0 ] с , кривая 2
- структуре [45/-45/45/.../-45/45°], кривая 3 - структуре [90°]с, кривая 4 структуре [90/0/90/.../0/90°]. Все кривые построены для случая, когда пре­
дельная
поверхность
для
однонаправленного
монослоя
описывается
уравнением (6.1.1.2). В качестве сто принят предел прочности на сжатие в на­
правлении поперек арматуры (GQ = 2 0 0 МПа).
Как видно из рис. 6.2.1.1, несущая способность оболочки существенно за­
висит от структуры материала.
На рис. 6.2.1.2 приведены результаты, полученные при использовании
следующих предельных поверхностей для монослоя:
+ 5 • 10
fj^^ + 2 - 1 0 V J ,
- 2 а ^ + 2 • 10^ (al
+^
+ а ^ ) = О;
(6.2.1.4)
(6.2.1.5)
- о - ^ +8-10^(crJ^ + C 7 j ^ + с г 2 ^ ) = 0 .
Эти уравнения аппроксимируют прочностные свойства нитяной модели. Здесь
Фь
...,ф15
равны соответственно 90°, 0 ° , 90°,
90°. Параметр
GQ
характеризует
предел прочности на растяжение в направлении армирования. Результаты на
рис. 6.2.1.2а соответствуют условию (6.2.1.4), на рис. 6.2.1.26 - случаю, когда
свойства слоев с ^ j = 0 °
описываются условием (6.2.1.5), а с
= 90°
-
условием (6.2.1.4).
Отметим, что предельные кривые на рис. 6.2.1.2 имеют участки большой
кривизны (например, в окрестности точек О, В,
кривизны (например, О А В , B C D ,
F, см. рис. 6.2.1.2а) и малой
F L O , см. рис. 6.2.1.2а). Вследствие этого
предельные кривые на рис. 6.2.1.2 в масштабе рисунка изображаются в виде
параллелограммов.
На рис. 6.2.1.3 приведены результаты, полученные для цилиндрической
оболочки, материал которой имеет структуру [ ± ^ ] ^ , для различных углов ф.
Уравнение предельной поверхности для монослоя имеет вид (6.2.1.4). Число
322
монослоев п = 11. Предельные кривые построены путем варьирования скоро­
стей ёц Ф О, ¿22 ^ ^ (остальные скорости обобщенных перемещений приняты
тождественно равными нулю), и представляют собой проекции замкнутых
линий на предельной поверхности для оболочки на плоскость
р10р2
(т.е. в
данном случае не искали сечения предельной поверхности для композита
структуры
[±ф]с
плоскостью
а110а22)-
Замкнутые
предельные
кривые на
плоскость Р1ОР2 в рассматриваемом случае получаются настолько узкими, что в
масштабе чертежа практически изображаются отрезками прямых. Как видно,
только при ^ = arctgV2 имеет место р) = 0. Это согласуется с известными в
литературе результатами (см., например, книгу И.Ф. Образцова, В.В. Ва­
сильева, В.А. Бунакова [1]). Цифрой 1 на рис. 6.2.1.3 отмечена кривая, описы­
ваемая уравнением
5р1 +4р^р2
+4/7,2
_ ,6 ^ о ,
(6.2.1.6)
*
которая соответствует уравнению о 2 ^ - 2 а . ^ ^ = 0 предельной кривой для моно­
слоя.
На рис. 6.2.1.4 приведены результаты, полученные с использованием ал­
горитма А1 для цилиндрических оболочек с донышками при кратковременном
и
длительном
статическом
действии
нагрузок.
Уравнение
предельной
поверхности для монослоя при его кратковременном статическом нагружении
имеет вид (6.1.2.1). Кривые 1 и 3 на рис. 6.2.1.4 характеризуют несущую
способность оболочки при ее кратковременном статическом нагружении, а
кривые 2 и 4 - при длительном статическом действии нагрузок (1 = 2500 часов).
Кривые 1 и 2 построены для оболочек, имеющих структуру материала [0]с,
кривые 3 и 4 - д л я оболочек, имеющих структуру материала [(±30/90°)2]5. Число
слоев п = 12.
На рис. 6.2.1.5 приведены результаты, полученные с использованием ал­
горитма А1 для круговой цилиндрической оболочки с донышками для раз­
личных температурных режимов эксплуатации при кратковременном стати.123
ческом нагружении. Прочностные свойства монослоя при Т= 20°С описыва­
ются уравнением (6.1.2.1). Предельная кривая 1на рис. 6.2.1.5 построена для
оболочки, материал которой имеет структуру [0]^, когда Т= 20°С; кривая 2 - для
структуры [0]с, когда Т=150°С; кривая 3 - для оболочки, материал которой
имеет структуру
[(±30/90°)2]8, когда Т=150°С. (Отметим, что кривые под
номером 1 на рисунках 6.2.1.4 и 6.2.1.5 идентичны друг другу и соответствуют
одному и тому же уравнению (6.1.2.1). Масштаб на рисунках 6.2.1.4 и 6.2.1.5 ~
один и тот же).
Как видно из рис. 6.2.1.5, несущая способность оболочки существенно
зависит как от температуры эксплуатации, так и от структуры материала.
На рисунках 6.2.1.6 и 6.2.1.7 приведены различные предельные кривые для
оболочки, изображенной на рис. 5.2.1, построенные с использованием ал­
горитма А1 для случая многоциклового нагружения. Критерий потери несущей
способности для ) - г о монослоя (У = \,п) при циклическом нагружении принят в
виде
(1.50о-^ - 2 . 4 5 с т , , а ^ +4.78о-^, -38.2ст^з, - 4 0 . 7 О - , , +
(6.2.1.7)
+ 26.1а-2)/,,=1399.3-^^.
где
й)^ = ( 2 8 . 2 о - ^ - 3 9 . 9 0 - ^ 0 - ^ ^ + 8 1 . 6 с 7 ^ + 1 3 9 9 . 3 о - Д ) 7
(6.2.1.8)
При записи (6.2.1.7), (6.2.1.8) использованы экспериментальные результаты,
приведенные в работе П.П. Олдырева [2] для базы испытаний N = 10*" циклов
(для стеклопластика В Ф Т - С ) . Напряжения отнесены к Со = сг^{ =8.45 МПа.
Здесь индексом т отмечены статические слагаемые, индексом а - амплитудные
значения переменной части напряжений. То же замечание справедливо и для
внещних нагрузок. Результаты, приведенные на рис. 6.2.1.6, получены для
случаев, когда материал оболочки имеет структуру [0]с, а на рис. 6.2.1.7 - для
оболочек, у которых композитный материал имеет структуру [+45]^. Во всех
324
вариантах число слоев п =
11. Кривые 1 на рис. 6.2.1.6, 6.2.1.7
соответств>«>т
случаю, когда амплитуда цикла равна нулю (кривые прочности при кратко­
временном статическом нагружении). Кривые
2 и 3 на рис. 6.2.1.6
отвечают
амплитудным значениям переменной части параметров нагрузок pía = 5,
=ои
Pia =
7.035, р2а =
гПка
=О
=
соответственно. Очень близко к кривой
располагается другая кривая, когда параметры амплитудных
3
составляющих
нагрузок следующие: pía = pia = О, ш^д = 0.99 (некоторые ее точки помещены в
треугольниках). Аналогично на рис.
3 и Pia =
Pia = О,
Щка
= 3.
6.2.1.7
Очснь близко
другая кривая с параметрами pia = -
К
кривые
кривой
1.435,
2 и 3 при
3 на
р2а = Шка
pia=
1.5,
р 2 а = Шка =
рис.
6.2.1.7 располагается
= 0.95
(некоторые ее точки
помещены в треугольниках). Здесь интересно отметить, что при различных
режимах несимметричных многоцикловых нагружении получаются
друг другу результаты (кривые
3
на рис.
6.2.1.6, 6.2.1.7 и близкие
близкие
к ним точки в
треугольниках).
На рис.
6.2.1.8 приведены
результаты для круговой цилиндрической обо­
лочки с доныщками, полученные для случая симметричных циклов много­
циклового нагружения. Предельное состояние монослоя с номером j (7 = 1,«)
характеризуется условием
(6.1.4.1). Во всех
примерах число слоев п=
12, за
So
принята срединная поверхность оболочки. Кривая 1 получена для структуры
[0]с, кривая
2
-
для
[±45/90/0/90/0°]<^..
[±45°]^^ кривая 3
Как видно из рис.
-
для [90°]с, кривая
6.2.1.8, несущая
4
- для
способность (много­
цикловая усталость) оболочки существенно зависит от структуры компози­
ционного материала оболочки.
В заключении отметим, что все результаты, приведенные на рисунках
6.1.4.1, 6.1.4.2, 6.2.1.6, 6.2.1.7, 6.2.1.8
получены для случаев, когда компози­
ционный материал образован из одинаковых монослоев (стеклопластик В Ф Т С).
325
6.2.2.
Несущая способность длинных цилин­
дрических оболочек замкнутого профиля
при кручении с растяжением
Рассмотрим предельное состояние композитных длинных цилиндрических
оболочек
произвольного
замкнутого
профиля,
когда
внешние
нагрузки
приводятся к осевой силе и крутящему (относительно оси оболочки) моменту
(рис. 6.2.2.1). Такие задачи встречаются, в частности, при расчете конструкций
типа лопастей вертолета.
На
рисунках
оболочек
6.2.2.3,
6.2.2.4
из композиционного
кратковременном
статическом
приведены
материала
результаты,
полученные
под названием
нагружении.
Информация
"алор"
о
для
при их
прочности
однонаправленного органопластика взята с технической справки предприятия
п/я Р-6209. Композитная структура образована из семи слоев (три слоя из
алюминиевого сплава, толщины слоев 11^; четыре слоя из органопластика, тол­
щины слоев Ьз, рис 6.2.2.2). На рис. 6.2.2.3 результаты приведены для случая,
когда
предельная
поверхность
для
однонаправленного
органопластика
описывается уравнением
1.73сг4 + 0.174а^^ст^^ + 2010-;,. -1.60СГ^^ + 2 6 . 2 ( 7 , + 1 2 3 с г ^ =1. (6.2.2.1)
На рис. 6.2.2.4 результаты приведены для случая, когда предельная поверхность
для органопластика описывается уравнением
0.329 а 4 + 0.112 а , ^ а ^ . +129 а^, - 0.814 а^^ + 20.9 о,^. + 78.9 о^, = 1. (6.2.2.2)
Уравнение (6.2.2.1) записано с использованием нижних границ прочностных
характеристик органопластика, приведенных в технической справке, а урав­
нение (6.2.2.2) - верхних границ прочностных характеристик для этого же
материала. Здесь ось х совпадает с направлением армирования монослоя; на-
326
пряжения отнесены к ав алюминиевого сплава. Для металлических
слоев
Принято условие пластичности Мизеса
^ ^ - ^ х х О - , . ^ . + о - ^ + 4 о - ^ =1.
(6.2.2.3)
Во всех примерах на рисунках 6.2.2.3, 6.2.2.4 принято Ьз/Ьд* 0.22. Кривые 1
на этих рисунках соответствуют структуре материала [0]с, кривые 2 - структуре
45/0/-45/0/-45/0/45°]. Точки, отмеченные 0 на этих рисунках, располагаются
на предельной кривой для оболочки только из алюминиевого сплава.
Симметрия графиков на рис. 6.2.2.3, 6.2.2.4 относительно оси р1 является
следствием принятых вариантов укладки слоев. На рис. 6.2.2.5 приведены ре­
зультаты
для алюмостеклопластика
структуры
[45/0/45/0/45/0/45°].
Схема
расположения слоев дана на рис. 6.2.2.2, Из: \1а~ 0.22. Предельная поверхность
для стеклопластиковых слоев описывается уравнением
О.ЗбОо-Л + 0.055ст,,сг,, + бЗ.Зсг^ -0.588сг^^ +
•
^
+ 14.7а^+39.3^^-1.
Здесь напряжения отнесены к
(6.2.2.4)
алюминиевого сплава. Исходные данные для
записи уравнения (6.2.2.4) взяты с работы Г.А. Тетерса, З.Т. Упитиса, А.О. Удриса [1] (уравнения (6.2.2.4) и (6.1.1.1) характеризуют один и тот же материал).
Точки
®
на рис. 6.2.2.5
лежат
на предельной
кривой
для
оболочки,
изготовленной только из алюминиевого сплава. В рассматриваемом
случае
симметрия относительно оси пзк отсутствует.
На рис. 6.2.2.6 приведены некоторые другие предельные кривые для обо­
лочек из алюмостеклопластиков, а в таблице 6.2.2.1 - некоторые их параметры.
Схема расположения слоев дана на рис. 6.2.2.2. Предельная поверхность для
стеклопластиковых слоев описывается уравнением (6.2.2.4). Номер варианта в
табл. 6.2.2.1 соответствует номеру графика на рис. 6.2.2.6. Здесь max pi имеет
место при т к = 0; в четвертой строке табл. 6.2.2.1 приведены значения pi,
соответствующие max 1щ; 5р и
показывают изменение несущей способности
327
оболочки из алюмостеклопластика
по сравнению с оболочкой только из
алюминиевого сплава (по max pi и max mk); ц>\,
ф 7 равны соответственно О,
0° (первый вариант намотки); 45, О, - 4 5 , О, - 4 5 , О, 45° (второй вариант); 90,
90° (третий вариант). Шестой вариант соответствует значению t i i = 0.5. Для
всех остальных вариантов tu = 0. Точки, отмеченные
® на рис. 6.2.2.6,
располагаются на предельной кривой для оболочки только из алюминиевого
сплава. Как видно, изменяя угол намотки стеклопластиковых слоев (сравниваем
варианты 1, 2, 3), относительную толщину слоев (варианты 1 и 4, 2 и 5), изме­
няя усилие предварительного натяга Т22 (варианты 2 и 6), можно существенно
повлиять на несущую способность оболочки.
•
Табл. 6.2.2.1
Номер варианта
Величина
5
6
1.27
0.976
1.20
0.436
0.468
0.583
0.617
0.041
0.052
0.104
0.021
0.288
+52
-6.2
-13
+27
-2.4
+20
5,n, %
-12
+32
-13
-6,4
+17
+23
\\: \\
0.22
0.22
0.22
0.1
0.1
0.22
2
3
1
2
2
1
2
3
max pi
1.52
0.938
0.870
max mk
0.438
0.661
Pi,max mk
0.202
§p,%
4
Номер
варианта
1
намотки
.328
Далее
приведены
некоторые
результаты,
полученные
для
длинных
композитных цилиндрических оболочек произвольного замкнутого профиля
(рис. 6.2.2.1), полученные для случая совместного действия статических и
циклических нагрузок. Оболочка нагружена статической осевой силой Р] и кру­
тящим (относительно оси оболочки) циклическим моментом М^. Во всех
вариантах за 8о принята срединная поверхность оболочки, ао = 387 МПа.
На рис. 6.2.2.7 приведены предельные кривые на плоскости безразмерных
параметров ри^,
(введенных согласно (6.2.1.1), индекс т относится к ста­
тическим величинам, или к средним значениям циклических величин, а индекс
а - к амплитудным значениям циклических величин). Предельная поверхность
для монослоя описывается уравнением (6.1.4.2). Число слоев п = 12. Циклы Мк
являются симметричными. Кривая 1 на этом рисунке соответствует структуре
материала [О " 2 ] , кривая 2 - [ 9 0 / + 6 0 / ± 30/0°],^, кривая 3 - [(±45°)з]^-, кривая 4
-[90;2]-
Кривая 1 на рис. 6.2.2.8 соответствует структуре композита [0°]с, и совпа­
дает с кривой 1 на рис. 6.2.2.7, а кривые 2, 3, 4 - структуре [0/15/30/45/60/ 75/
90°] (число слоев п = 7). Кривые 1 и 2 соответствуют нулевым значениям
правых частей нелинейных уравнений, аналогичных уравнениям (5.1.8), кривая
3 - значениям при (^^ = 0.2584, кривая 4 - значениям при
= 0.1661.
П а р и с . 6.2.2.9 результаты приведены для симметричных и несимметричных
циклов Мк. Структура материала - [90/± 6 0 / ± 30/0°]^. (число слоев п = 12).
Кривая 1 на этом рисунке соответствует случаю Шкт = О, кривая 2 - случаю Щкт
= 0.2, кривая 3 - случаю шьп = 0.26.
На рис. 6.2.2.10 приведены результаты для оболочки из композиционного
материала, имеющего следующую структуру: [стеклопластик/ сплав А1/боропластик/ сплав А1/ боропластик/ сплав А1/ стеклопластик] (число слоев п = 7,
рис. 6.2.2.2). Отнощения толщин слоев 1:11:2.5:11:2.5:11:1. Кривая 1 на этом
рисунке соответствует структуре композита [0°]с, кривая 2 - структуре [О/О/ 45/0/45/0/0°], кривая 2 - структуре [0/0/90/0/90/0/0°]. Точки, отмеченные ® на
.329
рис. 6.2.2.10, располагаются на предельной кривой для оболочки только из
алюминиевого сплава. Предельная поверхность для стеклопластикового слоя
задается уравнением (6.1.4.2). Для алюминиевого сплава В95пч необходимые
прочностные характеристики взяты из справочника под ред. Б.Н. Арзамасова
[1, с. 244], а для боропластика - из справочника под общ. ред. В.В. Васильева,
Ю.М. Тарнопольского [1, с. 61].
Как видно из приведенных на рис. 6.2.2.7- 6.2.2.10 результатов, предла­
гаемая методика качественно правильно отражает явление
многоцикловой
усталости слоистых композитных оболочек. Правильность результатов фор­
мальных операций проверялась различными способами. В частности, кривая 1
на рис. 6.2.2.7 была построена с использованием алгоритма А 1 , а потом по­
верялось
соответствие
координат
точек
этой
кривой
уравнению
2.24(сг,7)^ -1.25(о-^^) + 2095(сг7)^ =1- Еще отметим, что симметрия кривых
относительно оси т^а = О на рис. 6.2.2.7- 6.2.2.10 является следствием рещения
задачи с использованием алгоритма А1 (т.е. при их построении не использована
заранее известная информация об их симметричном характере).
6.3.
Некоторые примеры определения несу­
щей способности анизотропных и компо­
зитных оболочек вращения с ис­
пользованием статического и кинемати­
ческого методов теории предельного
равновесия
Ниже приведены результаты, полученные для статически неопределимых
оболочек. Рассматриваются осесимметричные
напряженно-деформированные
состояния. Использованы алгоритмы А4 и А5. Нагружение - кратковременное
статическое.
330
6.3.1
Определение несущей способности торообразной оболочки
На рис. 6.3.1.1 изображена торообразная оболочка вращения, нагруженная
равномерным внутренним давлением р и частично заполненная жидкостью с
объемным
весом
параллелей,
у. Оболочка
находится
шарнирно
опирается
в осесимметричным
по
одной
из
своих
напряженно-деформированным
состоянии. Для торообразной оболочки главные радиусы кривизны опреде­
ляются формулами
Щ=аК^,
К, =
(6.3.1.1)
+ а?,т(р)1^\п(р.
Здесь а = г^/к^ . Для точек с - (р^^. <(р< (р.^ поверхностная нагрузка равна р, а
для точек с (р^ <(р <1к - (р^ имеем
Р„ = Р + у Н ж ,
(6.3.1.2)
где
(6.3.1.3)
= « ^ 0 ( С 0 5 ^ ^ - С 0 8 ( ^ 9 ) .
Здесь (р^ - координата, характеризующая уровень жидкости (рис. 6.3.1.1).
На рис. 6.3.1.2 приведены результаты, полученные для торообразной обо­
лочки статическим методом теории предельного равновесия (алгоритм А4).
Здесь ? а = 7'^«/сг,)/7,
= 4М^^/(7(^11^ , р = р*1с1о,
И - толщина оболочки
(звездочкой отмечены размерные величины). Материал оболочки - однородный
и анизотропный, поверхность прочности для материала описывается уравне­
нием
32сгц -41сг,1а-22 + 60а22 - З З с г ц -18сг22 = 24.
Здесь
сг^сс
13 = 4К,/И
= сг^о-/с^о '
= Ш/3;
« = 1,2.
Исходные
г = /?ог7^()=МО^';
данные
задачи:
= 3;г/8;
(6.3.1.4)
а = г^/Т^д = 0.3;
= л:.
На
рис.
6.3.1.3 приведены результаты, полученные для этой же оболочки кинемати­
ческим методом (алгоритм А5). Здесь й - й*I,
\у = \y*/RQ , О = О*/аок
.
331
Исследования, проведенные для торообразной оболочки, показали, что на
качество получаемых результатов (для рст и рк) существенное влияние оказы­
вает оптимальное расположение узлов дискретизации. Увеличение числа узлов
без оптимизации их расположения (например, при равномерном размещении
узлов дискретизации вдоль меридиана) не дает существенного
улучщения
получаемых
отнощении
результатов.
Особенно
чувствителен
в
этом
статический метод. Хорошей иллюстрацией сказанному является следующий
простой пример. На рис. 6.3.1.4 а изображена защемленная с двух сторон балка,
нагруженная равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. При
решении задачи с использованием кинематического метода дискретизация,
изображенная на рис. 6.3.1.46, позволяет получать лучшие результаты, чем
дискретизация, изображенная на рис. 6.3.1.4в, так как дает возможность лучще
аппроксимировать действительный механизм разрушения. С другой стороны
видно, что, например, скорость перемещения
является линейной комбинацией w, и
в узле 2 на рис. 6.3.1.4в
скоростей в узлах 1 и 3 соот­
ветственно (в лучщем варианте решения, который может быть получен при
использовании дискретизации на рис. 6.3.1.4в). В процессе решения задачи
линейного программирования из-за этого начина!&т проявляться линейные за­
висимости между различными ограничениями, что ухудшает сходимость ре­
шения. Более того, "вывод" точки 2 на прямую 1 - 3 требует определенных за­
трат машинного времени, что также может ухудшить конечный результат из-за
накопления ошибок вычислений. Поэтому здесь в полной мере справедлив
принцип "лучше меньше, но - лучше", то есть нужно стремиться как можно
меньше назначать узлов дискретизации, но их лучше разместить. Этого можно
достичь, например, следующим образом. Взяв минимальное количество узлов и
варьируя
координаты
их
всех,
находим
min
рк. Далее
каждый
вновь
добавляемый узел пробегает весь меридиан оболочки и фиксируется в том
положении, которое отвечает меньшему значению Рк. И так до получения
удовлетворительного решения. Отметим, что здесь существенную роль играет
линейная аппроксимация
функций между узлами дискретизации
(что, как
332
известно,
гарантирует
выполнение
ограничений
задачи
линейного
граммирования для областей между узлами при записи этих
про­
ограничений
только в узлах дискретизации).
6.3.2. Определение несущей способности
круговой цилиндрической оболочки со
шпангоутами
Ниже приведены результаты исследования предельного состояния беско­
нечно
длинной
цилиндрической
оболочки,
подкрепленной
шпангоутами
большой жесткости. Оболочка нагружена внутренним давлением постоянной
интенсивности
я (рис. 6.3.2.1). Она
изготовлена путем намотки ортотропных
монослоев. Необходимо определить несушую способность
рассматриваемой
оболочки. Данный объект расчета представляет собой пример статически не­
определимой конструкции. Рассмотрим алгоритмы А4, А5 применительно к
рассматриваемому случаю.
6.3.2.1. Алгоритм решения задачи статическим
методом
Для решения задачи статическим методом привлекаются следующие со­
отношения:
1. Уравнения равновесия элемента оболочки
^ ^ = 0;
^
-
^
= ,;
^ ^ - 1 ; „ = 0 .
(6,3.2...,)
Структура пакета слоев такова, что в предельном состоянии Т|2 = М|2 = 0. Рас­
смотрим случай, когда Тц = 0. Из двух оставшихся уравнений равновесия
(6.3.2.1.1), исключив перерезывающую силу
получим
33.3
11
(6.3.2.1.2)
2. Для записи условий прочности композиционного материала используем
параметрические
уравнения
(4.2.6.9)
предельной
поверхности.
В
сматриваемом случае необходимо построить предельную кривую ^Тц,
0. Расчетная схема является осесимметричной, поэтому
тождества и задавая значения ¿ 2 2 '
рас­
Мп) =
= 0. С учетом этого
их допустимой области, решаем
систему нелинейных алгебраических уравнений
^11 = 0 .
^12 = 0 '
(6.3.2.1.3)
^12=0,
находим соответствующие значения скоростей ё , , , ¿ , 2 , ¿ ¡ 2 . Подставляя задан­
ные значения
¿22»
^22 ^ найденные значения ё ц ,
¿ , 2 , 36,2
в уравнения пре­
дельной поверхности (4.2.6.9), получаем определенную точку, принадлежащую
этой поверхности. Так как ae^^ = О, то М22'ае22 ~
^ 2 2 не является
обобщенной силой. Поэтому найденную выщеизложенным способом точку,
лежащую
на поверхности
(4.2.6.9), можно
спроектировать
на
плоскость
Т22ОМ11, и в дальнейшем работать с этой проекцией. Найдя таким
образом
достаточное число точек, можно построить предельную кривую f(T22, М п ) = 0.
Далее эту кривую можно аппроксимировать различными вписанными или
описанными многоугольниками. Стороны аппроксимирующего
многоуголь­
ника определяются уравнениями вида
^ П ^ 2 2 + ^ / 2 ^ 1 1 = А,
1=
1 т ,
(6.3.2.1.4)
где т - число сторон выпуклого многоугольника. Без ущерба для общности
можно считать, что в (6.3.2.1.4) все Ь, > 0. Теперь можно записать условия
прочности композитной цилиндрической оболочки:
1 = \,т.
(6.3.2.1.5)
334
3. Условия на поверхности оболочки можно учитывать двумя способами.
Первый способ заключается в следующем. Считаем, что в сечениях, где
оболочка
подкреплена
щпангоутами,
разрушение
невозможно,
поэтому
характерные прочности материала в этих сечениях задаем достаточно боль­
шими по сравнению с другими областями оболочки, т.е. предельные много­
угольники вида (6.3.2.1.4) для зон подкрепления оболочки берем достаточно
больших размеров.
Второй способ заключается в следующем. Шпангоуты считаем достаточно
жесткими,
поэтому
можно
принять, что в зоне
подкрепления
оболочки
шпангоутами скорость ¿22 равен нулю. Предельную кривую Г(Т22, М п ) = О
можно аппроксимировать уравнением вида
6/7^22 +
+ 2сТ1, - 1 = О.
(6.3.2.1.6)
При записи этого уравнения учтено, что композит имеет структуру, симмет­
ричную относительно срединной поверхности
оболочки, которая
является
поверхностью приведения 5о , т.е. предельная кривая (6.3.2.1.6) симметрична
относительно
оси ОТ22-
Используя
ассоциированный
с (6.3.2.1.6)
закон
деформирования, находим
ё21-^^^к2аТ,,+2с).
(6.3.2.1.7)
5^2
Так как в общем случае ?1
О, то из условия ¿22 ^ ^ и (6.3.2.1.7) следует, что в
зоне подкрепления оболочки шпангоутом должно выполняться
следующее
условие:
йгГ22+с = 0.
(6.3.2.1.8)
Нами был принят первый способ учета условий на поверхности оболочки.
Для сведения рассматриваемой задачи к задаче линейного программиро­
вания уравнение статики (6.3.2.1.2) записываем в конечных разностях. Ко-
З.к5
нечно-разностное уравнение для точки разбиения, например, с номером 1
используем для формирования функции цели
(6.3.2.1.9)
R
<
(1)
Это выражение для я подставляем в уравнения статики для других точек:
R
1
R
J (2)
(1)
(6.3.2.1.10)
R
T22
d Mil
R
d^i
2
d^i
(/)
41)
Эти уравнения записываем таким образом, чтобы их правые части были не­
отрицательными. Теперь задачу можно сформулировать следующим образом:
найти max Qct из (6.3.2.1.9) при выполнении ограничений (6.3.2.1.5), (6.3.2.1.10).
Это - задача линейного программирования.
6.3.2.2. Алгоритм решения задачи кинемати­
ческим методом
Уравнение баланса мощностей для рассматриваемой задачи имеет сле­
дующий вид:
к
^qЫS=
\ШS
+ Y,¡M,^Q),dl.
(6.3.2.2.1)
Здесь 8о - площадь поверхности оболочки между двумя соседними шпанго­
утами; \у - скорость перемещения точки поверхности 8о по нормали к ней; N 336
удельная мощность внутренних сил и моментов; lj -
длина ]-ой линии
обобщенного щарнира разрущения; М ц - изгибающий
момент в щарнире
разрущения; к - количество шарниров разрушения между двумя соседними
шпангоутами.
Расчетная схема оболочки является осесимметричной, поэтому уравнение
(6.3.2.2.1) принимает следующий вид:
^|^с1^, = | Ы ( 1 ^ , + Х М У М \
о
о
/=1
(6.3.2.2.2)
В рассматриваемой задаче мощность внутренних силовых факторов опреде­
ляется выражением
Н = Т,2ё22+^и^\\-
(6.3.2.2.3)
Появление второго слагаемого в правой части (6.3.2.2.2) можно обосновать
следующими соотношениями. При наличии "к" шарниров разрушения на длине
Ь, можно записать:
|Ш^ =Х
о
\ т + 1 : \Nd^.
М ^,+^
(6.3.2.2.4)
J=HJ-s
Здесь 8 > О - достаточно малая величина. В шарнире разрушения может про­
изойти излом образующей цилиндрической оболочки, т.е. в этой зоне ае,,
может иметь разрыв второго рода. Остальные величины в выражении (6.3.2.2.3)
для N не имеют таких разрывов. С учетом этого имеем:
X
| Ш ^ = ХЛ^п'
[^11^^-
^
(6.3.2.2.5)
Далее:
337
(6.3.2.2.6)
Отсюда следует наличие второй суммы в правой части (6.3.2.2.2).
В тех местах, где оболочка подкреплена шпангоутами, выполняется ра­
венство ¿ 2 2 = ^ ' откуда следует, что там
(6.3.2.2.7)
w = 0.
Вместо равенства (6.3.2.2.3) можно записать следующую систему нера­
венств:
^^^22(0^22
+Л^И(,)^11'
i^^.m.
(6.3.2.2.8)
Здесь ( ^ 2 2 ' ^ п ) ( / ) - координаты 1-ой вершины предельного многоугольника.
Для обобшенных шарниров разрушения можно записать аналогичные нера­
венства:
(6.3.2.2.9)
где
{+)МЦ\
(-)МЦ'•О) -
предельные значения изгибающего момента М ц в j - о м
шарнире разрущения; j = \,к .
Задача определения верхней оценки предельной нагрузки принимает сле­
дующий вид: найти min Qk, где
(6.3.2.2.10)
о
7=1
при условии
wd<f, = 1
(6.3.2.2.11)
и при соблюдении условий (6.3.2.2.7), (6.3.2.2.8), (6.3.2.2.9). Это - задача ли­
нейного программирования.
.138
6.3.2.3. Некоторые результаты расчетов
При приближенном решении задачи о несущей способности оболочки не­
обходимо стремиться к получению достаточно узкой "вилки" для параметра
нагрузки q:
q^,<q<q,.
(6.3.2.3.1)
Для сужения вилки (6.3.2.3.1) были использованы различные приемы: более
детальная аппроксимация предельной кривой вписанным
многоугольником
именно в тех областях этой кривой, куда, по результатам расчетов на преды­
дущем этапе, "тяготеет" напряженно-деформированное состояние оболочки в
рассматриваемой
ее точке; увеличение количества узлов дискретизации в
статическом методе (было принято
= const на всей длине L между сосед­
ними шпангоутами); оптимизация количества и координат по оси
возможных
обобщенных шарниров разрушения из условий достижения минимума qK в
кинематическом методе.
Характерные прочности однонаправленно
армированного
композитного
слоя приняты следующими:
С^И
=СГ0>
=-С^11
СГ22 = -0-22
= 0-J2
=0.1о-о.
Введены следующие безразмерные параметры:
qR
q*=—г;
(То/2
•
Т^,
^22 = - ^ ;
сг„/г
4М,,
ту;
(j^h
.
W
^' = ^R
Па рис. 6.3.2.3.1 приведены графики зависимости q* от углов ориентации
слоев ±ф. Параметры оболочки: LjR = 0.5; hjR = 0.01. Кривая 1 соответствует
оболочке без шпангоутов; для этого случая предельная нагрузка определяется
формулой q. = t22. Кривая 2 получена с использованием статического метода,
кривая 3 - е использованием кинематического метода.
.1.19
На рис. 6.3.2.3.2 приведены графики зависимости
от отношения
Ь/К.
Композит имеет структуру [±20°]с, отношение /з/7? = 0.01. Прямая 1 на этом
рисунке соответствует оболочке без шпангоутов, кривая 2 получена с ис­
пользованием статического метода, кривая 3 - е
использованием кинемати­
ческого метода.
На рис. 6.3.2.3.3 приведены графики изменения безразмерных параметров
окружного усилия 122 И изгибающсго момента Ш ц между двумя соседними
шпангоутами (статический метод). В этом случае оболочка имеет следуюшие
параметры: Ь/Я =0.5; Н/К = 0.01; ф = ±20°.
На рис. 6.3.2.3.4 приведен график изменения скорости нормального пере­
мещения \¥ между двумя соседними шпангоутами. Штриховая ломаная линия
соответствует решению с использованием кинематического метода, сплошная
кривая 2 - сплайновой аппроксимации этого решения. Оболочка в этом случае
имеет следующие параметры: Ь/Я = 1; к/Я = 0.01; ф = ±30°.
Из приведенных результатов видно, что статический и кинематический
методы позволяют получать достаточно узкую вилку (6.3.2.3.1) для компо­
зитной оболочки. Следует обратить внимание на симметрию графиков функций
122(^1), т 1 1 ( ^ 1 ) ,
^ (£,]). Получены также результаты (которые здесь не при­
ведены), показывающие, что для достаточно больших значений Ь/Я
имеет
место ярко выраженный краевой эффект.
6.3.3.
Определение несущей способности
железобетонного полусферического
купола
Рассмотрим предельное состояние купола Б б-З (рис. 6.3.3.1), экспери­
ментальные данные для которого приведены в книге A . M . Овечкина [1]. Ар­
мирование купола состоит из наружной и внутренней кольцевой арматуры
340
диаметром 1.95 мм из отожженной проволоки, уложенной спиралью с шагом 40
мм. Предел прочности при растяжении aut проволоки равен 3950 кг/см^,
предельное удлинение 8ut равно 13 - 16 %. Меридиональная арматура состоит
из 2 x 1 6 диаметром 1.95 мм тоже из отожженной проволоки. Двенадцать
прутков меридиональной арматуры по каждой поверхности обрываются, не
доходя 50 мм до вершины купола, а два стержня пропушены целиком через
весь купол, пересекаясь в его вершине, образуя здесь четыре прутка мери­
диональной арматуры. В опорном кольце уложены три витка из одной нити
диаметром 2 мм из неотожженной проволоки у наружной поверхности купола и
один виток - у внутренней поверхности. Для неотожженной проволоки Gut =
8600 кг/см% Sut = 0.8 - 0.9 %. К арматурному каркасу прикреплены сверху и
снизу
коротыши
диаметром
6
мм, которые
обеспечивали
надлежащее
положение каркасу между опалубками, сохранение защитного слоя бетона.
Купол нагружался вертикальной силой, передающейся через шаровую опору
диаметром 10см.
При нагрузке F = 13 т образовались две меридиональные трещины и на
части купола показалась кольцевая трещина. При нагрузке F = 14 т образова­
лись еще восемь меридиональных трещин, а кольцевая трещина замкнулась.
После этого нагрузка упала до 13 т и устойчиво держалась этого значения до
достижения прогибом вершины купола (в долях наружного радиуса) величины
s = 0.01, после чего нагрузка стала падать. Меридиональные и кольцевая
трещины раскрылись более 4 мм. Радиальное смещение опорного
кольца,
достигнув величины s = 0.0023, оставалось после этого все время постоянным.
Нагрузка купола достигла величины F = 14 т за счет работы бетона на
растяжение. После образования всех десяти меридиональных трещин и коль­
цевой трещины растянутый бетон выключился из работы, и купол устойчиво
нес нагрузку F = 13 т до значительных величин деформаций.
Состав
бетона
-
цементно-песчаный.
Прочность
бетона
в
кубиках
20 X 20 X 20 составляла R20 = 320 кг/см^.
341
Далее приведем результаты, полученные для полусферического железо­
бетонного купола с использованием алгоритма А5 (кинематический метод). На
рис. 6.3.3.5 изображен элемент железобетонной оболочки. Направление оси ^1
совпадает с меридианом, оси £,2 - с параллелью оболочки. Будем считать, что
оболочка состоит из семи совместно работающих слоев. Толщины этих слоев:
к] = 117 = 6 мм; 112 = Из = Ьз = Ьб = 2 мм; 114 = 45 мм. Углы ориентации слоев: ф 1 = ф2
= ф4 = ф5 = ф7 = 0°; фз = Фб
90°. Диаметр срединной поверхности 8о оболочки
равен 905 мм.
Используя формулы, приведенные в книге В.Н. Байкова, Э.Е. Сигалова [1],
определим прочностные характеристики бетона. Призменная прочность при
сжатии
^с(20)
= 0.75/?^. = 0.75-32-0.98 = 2 3 . 6 ^ ^ 0 ;
^с(15)=^с=^^с(2О)/0,93
= 25,ЗМ/7йг.
Временное сопротивление бетона осевому растяжению можно определить по
эмпирической формуле
К, =0.233 ^
,
(6.3.3.1)
а временное сопротивление на срез - по формуле
=2/?,.
(6.3.3.2)
Вследствие неоднородности структуры бетона формула (6.3.3.1) не всегда дает
правильные значения
Более точное значение К{ определяют испытаниями на
разрыв образцов в виде восьмерки. Значение прочности
= 25.3 МПа
примерно соответствует классу бетона В 45. Для этого бетона К! = 1.45 М П а
(что меньще значения, вычисляемого по формуле (6.З.З.. 1)), а временное
сопротивление на срез
= 2.9 МПа.
Уравнение предельной поверхности прочности для бетона запишем в
следующем виде:
342
При записи этого уравнения мы опирались на условие прочности, приведенное
в книге Г.А. Гениева, В.Н. Киссюка, Г.А. Тюпина [1, с. 20]. В рассматриваемом
случае уравнение (6.3.3.3) имеет вид
+
- ^хх^уу
+ 4.36(^7^
+
+ 23.85(0-^ +
стуу) +
0 - ^ + o • ¿ ) = 36.68
(6.3.3.4)
(МПа^).
Определим прочности армированных слоев. Прочность проволоки на раз­
рыв ар = 395 0.98 = 387 МПа. Такой же примем прочность проволоки на сжатие
(возможности потери устойчивости не рассматриваем). Прочность проволоки
на срез
= 0.5 стр = 194 МПа. Площадь сечения проволоки диаметром 1.95
мм равна 2.986 мм^.
Рассмотрим слои, армированные в направлении параллелей сферы (слои № 3
и №6 на рис. 6.3.3.5). Одна проволока диаметром 1.95 мм приходится на
щирину слоя в 40 мм. Коэффициент армирования слоев № 3 и № 6 :
Мз=Мб=
2.986-100%
-^^^
= 3.7325%.
Используя правило смесей, найдем прочность слоя на растяжение в направ­
лении армирования:
387 - 3.7325 1.45 - 96.3 , ^ ^ ^ , ,
, ^ ол д ^гг
о-"1 = +
= 14.44+ 1.4 = 15.84 М Я а .
100
100
Прочность слоя на сжатие в направлении армирования:
^хх
'387-3.7325 25.3-96.3' = -(] 4.44 + 24,36) = -38,8 МПа
100
^
100
343
'Прочности слоя на растяжение и сжатие поперек арматуры примем равными
соответствующим прочностям бетона:
а"^ = 1.45 МПа;
а"^ = -25.3 МПа .
Определим временное сопротивление армированного слоя на срез:
по Фойхту
^ 194-3.7325 ^ 2
'
^
100
^ ^
^ _ _
,^^3
100
по Рейссу
1
3.7325
а%{К)
194
96.3
+
2.9
^^^^^
= 0.0192 + 33.2 = 33.226;
0-^(7?) = 100/33.226 = 3.01 МПа ;
примем
^ %
= с г г у ( ^ ^ )
=
3.01
МПа.
Используя найденные выще значения прочностных характеристик для слоев
№3
и
№6,
армированных
вдоль
параллелей
(рис. 6.3.3.5),
уравнение
поверхности прочности для монослоя запищем в следующем виде:
16.27о-^ - 0.9808о-^ст^, + 272.6сгХ + 373.4ст^^ +
XX уу
уу
+ 6501с7^ + 1 1 0 4 ( ( т ^ +
+ c 7 ¿ ) = 10000
{МПа^).
(6.3.3.5)
Около опоры с наружной стороны добавлено три витка неотожженной
проволоки диаметром 2 мм, с внутренней стороны - один виток такой же
проволоки
(в направлении
параллели
оболочки).
Найдем
характеристики
прочности этих слоев. Прочности арматуры на растяжение и на сжатие соот­
ветственно:
344
о - ^ = 842.8 МПа;
с г ^ = -842.8 МПа
Прочность арматуры на срез;
с г ^ =421.4 МЯйг
Найдем характеристики слоя у опоры с наружной стороны оболочки (слой № 6
на рис. 6.3.3.5). Коэффициент армирования
3-3 14159
80
Прочность на растяжение слоя № 6 в направлении армирования:
а >
'^^^•^ • "
100
'
• ^«
100
. 99.28 .1.28 ^ 100.56 Л^Яа,
Прочность слоя № 6 у опоры на сжатие в направлении армирования:
99.28 +
25.3-88.22
= -(99.28 + 22.32) = -121.6 МПа.
100
Прочность слоя № 6 у опоры на растяжение поперек арматуры
=1.45МЛ^7.
Прочность слоя № 6 у опоры на сжатие поперек арматуры:
100
(7 ис
УУ
Г11.78
88.22
842.8 + 25.3
= -3.5;
о-;;^ =-100/3.5 =-28.56 М Я а .
Прочность слоя № 6 у опоры на срез:
345
М =
сг"
421.4
0 . 0 2 8 . 30.42, = 30.45;
2.9
о-;^ =100/30.45 = 3.28 М Л а .
Используя найденные значения прочностных характеристик, для монослоя № 6
у опоры (армированной вдоль параллели оболочки) уравнение поверхности
прочности запишем в следующем виде:
0.8178сг^, - 3.714о-^сг^ + 241.5о-^ + 17.21о-^ +
(6.3.3.6)
+ 6546о-^ + 929.5(с7^ + о-^ + ст,^) = 10000
{МПа^).
Найдем прочностные характеристики слоя № 3 у опоры.
Коэффициент
армирования этого слоя
3 14159
„ = ^-^^^^^ . 100% = 3.93% .
80
Прочность слоя № 3 на растяжение в направлении армирования:
сг^ =
842.8-3.93 1.45-96.07
^
оио^д^гт
—
•f
—
= 33.122 + 1.393 = 34.515 7 ^ 7 0
100
100
Прочность слоя № 3 у опоры на сжатие в направлении армирования:
33.122 +
25.3-96.07^
= -(33.122 + 24.305) = -57.43 МПа.
100
Прочность слоя № 3 у опоры на сжатие поперек арматуры:
100
ис
сгуу
3.93
842.8
+
96.07
25.3
= -(4.663-10"^ + 3 . 7 9 7 ) = - 3 . 8 0 2 ;
а''^ = -100/3.802 = -26.3 МПа .
.346
Прочность слоя № 3 у опоры на растяжение поперек арматуры возьмем равной
прочности бетона на растяжение:
ст"^=\Л5МПа.
Прочность слоя №3 у опоры на срез:
421.4
2.9
а1у = 100/33.137 = 3.018 М Я о .
Используя найденные выше значения прочностных характеристик, для слоя
№3 у опоры, армированной вдоль параллели оболочки, уравнение поверхности
прочности запишем в следующем виде:
5.045с7^-15.66о-^о-^+262.2а^ + 115.6о-^+
(6.3.3.7)
+ 651 б о - ^ +1098(сг^ + о-^ + o • ¿ ) = 10000
Определим прочностные характеристики
{МПа^).
армированных
в направлении
меридиана оболочки слоев (слои № 2 и №5 на рис. 6.3.3.5). Коэффициент ар­
мирования этих слоев меняется в зависимости от угла р (рис. 6.3.3.1). При О < Р
< 6° имеем:
Отметим, что р < 100 %. Здесь Но - радиус срединной поверхности оболочки.
При 6° < р < 90°:
зш р
Прочность слоев №2 и №5 на растяжение в направлении армирования:
347
842.8 0.84
100
1.45
8ту9 + 100
100-
0.84
= 1.45 +
6.9678
(6.3.3.8)
Прочность этих же слоев на сжатие в направлении армирования:
7.08
+
зту?
25.3
100-
0.84
(6.3.3.9)
100
Прочность слоев № 2 и № 5 на растяжение и сжатие поперек направления ар­
мирования, а так же их прочность на срез примем равными соответствующим
прочностям бетона:
ст"^=\Л5МПа;
а"^ =-25.3 МП а;
а1у=2.9МПа.
Используя найденные выще прочностные характеристики, для слоев №2 и
№ 5 , армированных
вдоль меридианов
оболочки, уравнения
поверхностей
прочности запишем для некоторых значений угла р. Имеем:
при р = 6'
1.591о-^ - 10.29сг^сг^ + 212.6ауу
+ 34.89о-;^ +
(6.3.3.10)
2 = 10000
+ 6501с7^ + 1 1 8 9 ( о -ху^ +• ^а;,уг + сг^;)
2Х,
{МПа');
при Р = 43°
23.94СГ.1
- 55.87сг^о-^^ + 272.6сг^ + 564о-_
+
XX
XX
+ 65000-^ + 1189(о-^ + о-^ + о-^) = 10000
(6.3.3.11)
{МПа\
при р = 90°
36.48о-^ -191.5сг,..сг,„,
+ 272.6СГ1 + 862.80-,..
+
XX
хх^ уу
+ 65010-^ +1189(ст^ + о-^ + о-,^) = 10000
(6.3.3.12)
{МПа^).
На рисунках 6.3.3.2 - 6.3.3.4 приведены предельные кривые, построенные с
использованием алгоритма А1 для железобетонной оболочки Б - б - 3 (на основе
348
уравнений (6.3.3.4), (6.3.3.5) - (6.3.3.7), (6.3.3.10) - (6.3.3.12)). Кривые 1 на этих
рисунках соответствуют координате р = 6° (рис. 6.3.3.1), кривые 2 - координате
Р = 43°, кривью 3 - координате Р = 90°. В качестве поверхности приведения So
принята срединная поверхность оболочки.
На рисунках 6.3.3.6, 6.3.3.7 приведены результаты, полученные для желе­
зобетонного купола с использованием предельных кривых, приведенных на
рисунках 6.3.3.2 - 6.3.3.4 и алгоритма А5. На рис. 6.3.3.8 для сравнения при­
ведена схема разрушения
купола согласно
эксперименту
из книги A . M .
Овечкина [1].
Как видно из приведенных результатов, верхняя оценка F k = 15.62 т отли­
чается от действительного значения разрушающей нагрузки Fu = 14 т всего на
11.5 %. Теоретические результаты также хорошо согласуются с эксперимен­
тальной картиной разрушения.
349
Заключение
Основные результаты и выводы по диссертации заключаются в следующем:
1. Развиты теории прочности и разрущения материалов при сложном на­
пряженном состоянии:
-
предложен критерий прочности для ортотропного монослоя при со­
вместном действии статической и многоцикловой нагрузок; проведен анализ и
обоснование структуры предлагаемого критерия прочности; предложены ана­
логичные критерии для анизотропного бруса, для ортотропных элементов ком­
позитных брусьев;
-
на базе классических теорий прочности получены "точные" критерии
разрушения для изотропного тела с макротрещиной; предложен способ аппрок­
симации
точных
критериев
разрушения;
осуществлено
сравнение
тео­
ретических результатов с соответствующими известными теоретическими и
экспериментальными
результатами других авторов; отмечены
достоинства
предлагаемых критериев разрушения;
-
предложен критерий разрушения для анизотропного тела с макро­
трещиной и методика определения несущей способности такого тела без при­
влечения дополнительного критерия для предварительного определения на­
правления роста трещины.
2. Разработаны теории прочности анизотропных и композитных оболочек,
пластин, брусьев для случаев:
-
кратковременного статического нагружения;
-
длительного статического нагружения;
-
многоциклового нагружения;
-
наличия повышенных температур;
-
комбинированного воздействия перечисленных выше факторов.
На базе теории предельного равновесия жестко-пластического тела для рас­
сматриваемых элементов конструкций получены параметрические уравнения
предельной поверхности в пространстве обобщенных сил (в частности,
для
350
пластин и оболочек - в пространстве внутренних погонных сил и моментов; для
малой окрестности вершины сквозной макротрещины в них - в пространстве
аналогичных обобщенных сил, зависящих от коэффициентов интенсивности
напряжений). Применимость теории предельного равновесия при разрушении
материалов обоснована путем введения в рассмотрение виртуальных диаграмм
деформирования а - е; принято, что предельному состоянию материала со­
ответствует виртуальная диаграмма, параллельная оси е. Полученные пара­
метрические уравнения позволяют, в частности, построить предельные по­
верхности для композиционных материалов в пространстве усредненных на­
пряжений (при растяжении - сжатии, при срезе элементов конструкций). Для
композиционного материала структуры [+ Ф / - ф] получено непараметрическое
уравнение предельной поверхности в пространстве усредненных напряжений.
Сравнение новых теоретических результатов с соответствующими имеющими­
ся экспериментальными результатами других авторов показало их удовлетво­
рительную взаимосогласованность.
3. Разработаны методы и алгоритмы решения
прочности
и оценки
несущей
способности
задач
композитных
прогнозирования
элементов
кон­
струкций, в том числе:
-
алгоритм определения прочностных характеристик ортотропного мо­
нослоя по результатам испытаний трубчатых образцов из композита структуры
[+ф/-ф];
-
метод и алгоритм решения задачи прогнозирования прочности слои­
стых композитных оболочек и пластин, когда предельные поверхности для сло­
ев в пространстве напряжений имеют вид выпуклых многогранников;
-
метод жестких элементов и обобщенных линий разрушения, яв­
ляющийся вариантом кинематического метода теории предельного равновесия
применительно к общему случаю сопротивления композитных пластин и обо­
лочек.
Составлены программы для ЭВМ для прогнозирования прочности компо­
зитных пластин и оболочек, армированных волокнами (тонкими стержнями )
351
при различных видах внешних воздействий на них (статическое и многоцик­
ловое нагружения, их комбинация и т.п.). С использованием этих программ ре­
шены некоторые задачи от несущей способности композитных оболочек. Про­
веден анализ полученных результатов, их сравнение
с имеющимися
со­
ответствующими экспериментальными данными других авторов.
3.52
Литература
Азаматов P . A . , Сибгатуллин Э.С., Терегулов И.Г. [1]. Аналитический метод
прогнозирования прочности слоистых композитов // П М Т Ф . - 1995. - Т. 36. N2.-C.144-149.
Азаматов P . A . , Сибгатуллин Э.С., Тимергалеев Р.Г. [1]. Композиционные ма­
териалы в автомобилях КАМАЗ // Автомобильная промышленность. - 1990. N6.-С.9.
Азаматов P . A . , Сибгатуллин Э.С., Тимергалиев С.Н. [1]. М е т о д верхней оценки
несущей способности слоистых композитных оболочек и пластин // Труды 16ой Международ, конф. по теории оболочек и пластин. - Нижний Новгород,
1994.-Т.З.-С.З-7.
Азаматов P . A . , Тимергалеев Р.Г., Сибгатуллин Э.С. [1]. Композиционные ма­
териалы - в продукции акционерного общества КАМАЗ // Изв. вузов. Маши­
ностроение. - 1993. - N11-12. - С.100-103.
Алфутов H . A . , Зиновьев H . A . , Попов Б.Г. [1]. Расчет многослойных пластин и
оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение , 1984.
-
264с.
Андерсон Я. [1]. Расчётные методы оценки усталостной долговечности слои­
стого композита // Механика композитных материалов. - 1993. - Т.29, N6. С.741-754.
Андерсон Я.А., Лимонов В.А., Тамуж В.П., Перевозчиков В.Г. [1]. Усталость
слоистых композитов с различными схемами армирования. 2. Плоское на­
пряженное состояние и расчетная модель // Механика композитных материа­
лов. - 1989. - N4. - С.608-616.
353
Артемьев И.Т., Ивлев Д.Д. [1]. Теория идеальной пластической анизотропии //
VII Всес. съезд по теор. и прикл. мех., Москва, 15-21 авт., 1991: Аннот. докл. М.,1991.-С.22.
Артемьев И.Т., Ивлев Д.Д. [2]. Теория идеальной пластической анизотропии //
Прикладная механика (Киев) - 1993. - 29, N 1 . - С.73-78.
Ашкенази Е.К., Панов Э.В. [1]. Анизотропия конструкционных материалов. Л.: Машиностроение, 1980. - 2 4 7 с .
Байков В.П., Сигалов Э.Е. [1]. Железобетонные конструкции: Общий курс. М.:
Стройиздат, 1991. 767с.
Бакешко В.В., Курноскин A . B . , Цыбин B . C . , Гусев Л.Л., Ильин В.М. [1]. Стек­
лопластики для однолистовых автомобильных рессор переменной толщины /
Тезисы докл. VII Всесоюзной конференции по механике полимерных и ком­
позиционных материалов. - Рига: 1990. - С.21.
Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. [1]. Оптимизация элементов конст­
рукций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 224с.
Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. [1]. Физика и механика полимеров. - М.: Высшая
школа, 1 9 8 3 . - 3 9 1 с .
Батнидзе H . A . , Сибгатуллин Э.С. [1]. Некоторые проблемы математического
моделирования в механике трещин // Труды математического центра имени
Н.И. Лобачевского. Т.5. Актуальные проблемы математики и механики. Казань:
Унипресс, 2000. - С. 254-255.
Белоусов B . C . [1]. Неассоциированный закон пластического течения пористых
металлов // Изв. вузов. Физика - 1994. - 37, N4. - С . 5 4 - 6 1 .
Богданов Е.П., Косарчук В.В., Котречко С.А. [1]. Статистические критерии те­
кучести для различных механизмов сдвигообразования'// Проблемы прочности.
- 1990.-N3.-C.46-52.
354
Болотин В.В., Новичков Ю.Н. [1]. Механика многослойных конструкций. - М.:
Машиностроение, 1980. - 375с.
Бородачев Н.М., Казаринов Ю.И. [1]. Теоретический способ определения пре­
дельного состояния пластины с отверстием // Проблемы прочности. - 1990. N10.-C.3-7.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. [1]. Справочник по математике. - М.: Наука,
1980 .- 976с.
Быковцев Г.И. [1]. Конечные деформации упругопластических сред // VII Всес.
съезд по теор. и прикл. мех., Москва, 15-21 авг., 1991: Аннот. докл. - М., 1991.
-С.69.
Буряченко В.А., Скорбов Ю.С., Гунин С В . [1]. Эффективные параметры проч­
ности матричных композитов // Проблемы прочности. - 1991. - N12. - С . 4 7 - 5 1 .
Бухгольц H . H . [1]. Основной курс теоретической механики. Часть I. - М.: Наука,1972.-468с.
Бухгольц H . H . [2]. Основной
курс теоретической
механики. Часть
П.
-
М.:Наука,1972.-332с.
Валдманис В.М., Микелсонс М.Я. [1]. Расчёт и экспериментальное исследо­
вание прочностных и деформационных характеристик слоистых композитов
при статическом нагружении // Механика композитных материалов. - 1991. N3.-C.447-458.
Ван Фо Фы Г.А. [1]. Теория армированных материалов. - Киев: Наукова думка,
1971.-232с.
Васидзу К. [1]. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М . : М и р , 1987.- 542с.
Васильев В.В. [1]. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. - 2 7 2 с .
355
Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В,, Ташкинов A . A . [1]. Прогнозирование неуп­
ругого деформирования и разрушения слоистых композитов // Механика ком­
позитных материалов. - 1992. - N 3 . - С.315-323.
Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов A . A . [2]. Механика неупругого де­
формирования и разрушения композиционных материалов. - М.: Физматлит,
1997.-288с.
Воробьёв А.З., Олькин Б.И., Стебнев В.П., Родченко Т.С. [1]. Сопротивление
усталости элементов конструкций. - М.: Машиностроение, 1990. - 240с.
Ву Э.М. [1]. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред /
Композиционные материалы. Т.2. Механика композиционных материалов.
-
М.:Мир, 1978.-С.401-491.
Ву Э. [2]. Прочность и разрушение композитов // Композиционные материалы.
Т.5. Разрушение и усталость. Ред. Л. Браутман. - М.: Мир, 1978. - С.206-266.
Галатенко Г.В., Дехтярева О . С , Каминский A . A . [1]. Упругопластическое раз­
рушение ортотропной пластины с трещиной при двухосном нагружении // При­
кладная механика (Киев). - 1990. - 26, N8. - С.93-99.
Гвоздев A . A . [1]. Расчет несущей способности конструкций по методу пре­
дельного равновесия. - М.: Стройиздат, 1949. - 280с.
Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. [1]. Теория пластичности бетона и же­
лезобетона. - М.: Стройиздат, 1974. - 316с.
Гениев Г.А., Курбатов A . C . [1]. Критерии прочности анизотропных материалов,
учитывающие различные механизмы разрушения // Проблемы прочности.
-
1991. - N 1 2 . - C . 3 - 6 .
Голованов А.И., Корнишин М.С. [1]. Введение в метод конечных элементов
статики тонких оболочек. - Казань: Таткнигоиздат, 1989. - 269с.
Голуб В.П. [1]. Повреждённость и одномерные задачи разрушения в условиях
циклического нагружения // Прикладная механика . - 1987. - 23. - N10. - С . 1 9 29.
.•5.56
Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А. [1]. Длительная прочность в ма­
шиностроении. - М.: Машиностроение, 1977. - 248с.
Гольденблат И.И., Копнов В.А. [1]. Прочность стеклопластиков при сложном
напряженном состоянии // Механика полимеров. - 1965. - N 2 . - С.70-78.
Гольденблат И.И., Копнов В.А. [2]. Критерии прочности и пластичности кон­
струкционных материалов. - М.: Машиностроение, 1968. - 192с.
Гольдман А.Я. [1]. Прочность конструкционных пластмасс. - Л.: Машино­
строение, 1979. - 320с.
Греков М.А. [1]. Энергетический критерий прочности анизотропного тела / Ред.
ж. В е с т ЛГУ. Мат., мех., астрон. - Л., 1989. - Деп. в В И Н И Т И 24.01.89. - № 5 6 8
- В89.-25С.
Грушецкий И.В., Димитриенко И.П., Ермоленко А.Ф., Микельсон М.Я., Олдырёв П.П., Протасов В.Д., Тамуж В.П., Филипенко A . A . [1]. Разрушение кон­
струкций из композитных материалов. - Рига: Зинатне, 1986. - 264с.
Гуняев Г.М. [1]. Структура и свойства полимерных волокнистых композитов. М., 1 9 8 1 . - 2 3 2 с .
Гусев A . C . [1]. Сопротивление усталости и живучесть конструкций при слу­
чайных нагрузках. - М.: Машиностроение, 1989. - 248с.
Дехтярь A . C . , Сыдыков А.Ж. [1]. О несушей способности пологих жёстко- пла­
стических оболочек с отверстиями // Прикладная механика (Киев). - 1994. - 30,
N6. - С.73-79.
Димитриенко Ю.И., Димитриенко И.П. [1]. Длительная прочность армиро­
ванных композитов // Механика композитных материалов. - 1989. - N 1 . - С . 1 6 22.
Друккер Д. [1]. О постулате устойчивости материала в механике сплошной сре­
ды // Механика. - 1964. - N3. - С. 115-128.
357
Ерхов М.И. [1]. Теория идеально пластических тел и конструкций. - М.: Наука,
1978.-352с.
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. [1]. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1 9 7 0 . - 5 2 8 с .
Журков С.Н. [1]. Кинетическая концепция прочности твёрдых тел (термофлуктуационный механизм разрушения) // Изв. АН СССР. Сер. Неорганические ма­
териалы. - 1967. - Т.З. - С. 1767-1775.
Зайцев Г.П. [1]. Определение долговечности типовой части намотанной лопасти
винта вертолёта по критерию монолитности // Проблемы прочности. - 1987. N4.-C.19-23.
Захаров К.В. [1]. Критерии прочности для слоистых масс // Пластические мас­
сы. - 1961. - N8. - С.61-67.
Зиновьев П.А., Цветков С В . [1]. Инвариантно-полиномиальный
критерий
прочности анизотропных материалов // Известия РАН. МТТ. - 1994. - N4. С140-147.
Ивлев Д.Д. [1]. К теории предельного равновесия оболочек врашения при ку­
сочно-линейных условиях пластичности // Изв. АН СССР. - ОТН. Механика и
машиностроение. - 1962. - N6. - С.95-102.
Ивлев Д.Д. [2]. Теория идеальной пластичности. - М.: Наука, 1966. - 232с.
Ивлев Д.Д., Романов A . B . [1]. Об условиях текучести для идеально пластиче­
ского т е л а / / И з в . РАН. МТТ. - 1992. - N5. - С. 107-109.
Ильюшин A . A . [1]. Приближённая теория упругопластических
деформаций
осесимметрических оболочек. - ПММ. - 1944. - 8. - С. 15-24.
Ильюшин A . A . [2]. Пластичность. - М. - Л.: Гостеортехиздат, 1948. - 375с.
Исупов Л.П., Хлебалина Е.А. [1]. Жесткопластическая модель волокнистого
композита / Механика композитных материалов. - 1994. - 30, N6. - С 7 3 0 - 7 3 6 .
358
Каменярж Я.А. [1]. Условия на поверхностях разрыва в жесткопластическом
анализе // П М М . - 1989. - 53, N3. - С.506-517.
Каменярж Я.А. [2]. Предельный анализ пластических тел и конструкций - М.:
Физматлит, 1997. - 512с.
Карпенко Н.И. [1]. Общие модели механики железобетона. - М.: Стройиздат,
1996.-413с.
Качанов Л.М. [1]. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420с.
Качанов Л.М. [2]. Основы механики разрущения. - М.: Наука, 1974. - 312с.
Каюмов P.A. [1]. Об оценке несущей способности конструкций при произ­
вольных условиях текучести //ПМТФ. - 1993. - N 1 . - С. 115-120.
Каюмов P.A. [2]. Моделирование нелинейного поведения анизотропных и ком­
позитных материалов и конструкций из них / автореферат диссерт. на соиск. уч.
степени доктора ф.-м.н. - Казань, офсет, лаб. КИСИ, 1994. - 33с.
Кищкин Б.П. [1]. Конструкционная прочность материалов. - М.: МГУ, 1976. 184с.
Кишкина С И . [1]. Сопротивление разрушению алюминиевых сплавов. - М.:
Металлургия, 1981. - 280с.
Клющников В.Д. [1]. Математическая теория пластичности. - Изд-во Мос­
ковского университета, 1979. - 207с.
Клющников В.Д. [2]. Теория пластичности: Современное состояние и пер­
спективы // VII Всес. съезд по теор. и прикл. мех., Москва, 15-21 авг., 1991:
Аннот д о к п . - М . , 1991.-С.191-192.
Когаев В.П. [1]. Расчёты на прочность при напряжениях, переменных во вре­
мени. М.: Мащиностроение, 1977. - 232с.
Когаев В.П., Махутов Н.А, Гусенков А.П. [1]. Расчеты деталей машин и кон­
струкций на прочность и долговечность. - М.: Машиностроение, 1985. - 224с.
359
Композиционные материалы. В восьми томах. Т.5. Разрушение и усталость /
Под общей ред. Браутмана Л.И. и Крока Р. [1]. - М.: Мир, 1978. - 486с.
Композиционные материалы. Справочник. П о д ред. Д.М. Карпиноса. [1]. - Ки­
ев: Hayкова.думка, 1985. - 592с.
Композиционные материалы. Справочник / Под общей ред. Васильева В.В.,
Тарнопольского Ю.М. [1]. - М.: Машиностроение, 1990. - 512с.
Конструкционные материалы: Справочник / Б.Н. Арзамасов и др.; Под общ.
ред. Б.Н. Арзамасова. [1]. - М.: Машиностроение, 1990. - 688с. - (Основы про­
ектирования машин).
Корягин С И . [1]. Несущая способность композиционных материалов. - Кали­
нинград: Изд-во гос. ун-та, 1996. - 300с.
Косарчук В.В. [1]. Обобщение условия текучести Мизеса - Хилла на случай
квазихрупких материалов // Проблемы прочности. - 1981. - N 7 . - С.62-67.
Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г. [1]. Построение трёхмерной области прочно­
стных свойств слоистого композита // Механика композитных материалов. 1993.-T.29,N6.-C.765-771.
Кристенсен Р. [1]. Введение в механику композитов.- М.: Мир,1982. - 336с.
Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.П., Волощенко А.Б. [1]. Математическое програм­
мирование. - М.: Высшая школа, 1976. - 352с.
Куркин A . C . [1]. Необходимый и достаточный критерий хрупкого, вязкохрупкого и вязкого разрушения // Завод, лаб. - 1995. - 61, N9. - С.40-44,66.
Лагздинь А., Зилауц А. [1]. Построение выпуклых предельных поверхностей в
механике материалов // Механика композитных материалов. - 1996. - Т32, N3.
- С339-349.
Левитас В.И. [1]. О некоторых моделях неупругого деформирования мате­
риалов. Сообщ.1. Теория пластичности, учитывающая структурные изменения
// Проблемы прочности. - 1980. - N12. - С.70-76.
360
Лимонов в.А., Перевозчиков В.Г., Тамуж В.П. [1]. Усталость слоистых ком­
позитов с различными схемами армирования. 1. Экспериментальные резуль­
таты // Механика композитных материалов. - 1988. - N5. - С.786-796.
Липовцев Ю.В.
[1]. Критерий хрупкого разрушения образцов и элементов кон­
струкций//Изв. АН. МТТ. - 1994. - N2. - С. 194-198.
Ляв А. [1]. Математическая теория упругости. - М.: Л.: О Н Т И НКТП С С С Р ,
1935.-676с.
Маергойз М.Д. [1]. Об одном методе решения систем нелинейных алгебраи­
ческих и трансцендентных уравнений // Ж. вычисл. математики и мат. физики 1967. - Т.7. - №4. - С.869-874.
Максимов Р.Д., Плуме Э.З., Соколов Е.А. [1]. Исследование зависимости проч­
ности тканевого композита от температуры при плоском напряженном состоя­
нии // Механика полимеров. - 1978. - N3. - С.452-457.
Максимов Р.Д., Соколов Е.А., Плуме Э.З. [1]. Поверхность равнодлительной
прочности органотекстолита при плоском напряженном состоянии // Механика
композитных материалов. - 1979. - N1. - С.51-56.
Малинин H . H . [1]. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Ма­
шиностроение, 1968. - 400с.
Малмейстер А.К. Геометрия теорий прочности // Механика полимеров. [1 . 1966.-N4.-С.519-534.
Малмейстер А.К.., Тамуж В.П., Тетере Г.А. [1]. Сопротивление полимерных и
композитных материалов. 3-е изд., перераб. и доп. - Рига: Зинатне, 1980. - 572с.
Мансуров P . M . [1]. Начальная и последующие поверхности текучести для гек­
сагонального тела // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. - N5. - С.97-104.
Маньковский В.А., Таратин Э.М. [1]. Сопоставление критериев разрушения
анизотропных материалов в случае сложного напряжённого состояния / Тезисы
докл. 4 Симп. "Прочн. матер, и элементов конструкций при слож. напряж. со­
стоянии". - Киев, 1992. - С.45.
361
Мейз Д. [1]. Теория и задачи механики сплошных сред. - М.: Мир, 1974. - 319с.
Мелькер А.И., Иванов A . B . [1]. Моделирование на Э В М динамики накопления
повреждений в пластичной матрице волокнистого композита // Механика ком­
позитных материалов. - 1987. - N6. - С.973-976.
Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4-х то­
мах / Под общей ред. Панасюка В.В. Т.1. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. [1]. Основы механики разрушения материалов.- Киев: Наукова думка,
1988.-488с.
Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4-х то­
мах / Под общей ред. Панасюка В.В. Т.2. Саврук М.П. [2]. Коэффициенты ин­
тенсивности напряжений в телах с трещинами.- Киев: Наукова думка, 1988. 620с.
Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4-х то­
мах / Под общей ред. Панасюка В.В. Т.З. Ковчик С.Е., Морозов Е.М. [3]. Ха­
рактеристики кратковременной трещиностойкости материалов и методы их оп­
ределения. - Киев: Наукова думка, 1988. - 436с.
Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4-х то­
мах. Т.4 / Под общ. ред. Панасюка В.В. [4]. - Киев: Наукова думка, 1990. 680с.
Мешков Е.В., Кулик В.И., Нилов A . C . , Упитис З.Т., Сергеев A . A . [1]. Иссле­
дование механических характеристик однонаправленных композитных мате­
риалов при статическом нагружении // Механика композитных материалов. 1991.-N3.-C.459-467.
Мешков Е.В., Кулик В.И., Упитис З.Т., Рикардс Р.Б. К вопросу определения ко­
эффициентов в тензорно-полиномиальных критериях разрушения // Проблемы
прочности. - 1987. - N9. - С.66-72.
Микеладзе М.Ш. [1]. О пластическом течении анизотропных оболочек // Изв.
АН СССР. ОТН. - 1955. - N8. - С.67-80.
362
Милейко С Т . , Работнов Ю.Н. [1]. Механика волокнистых композитов // Успехи
механики (ПНР). - 1980. - 3, N 1 . - С.3-55.
Монахов И.А., Себекина В.И. [1]. Практический метод расчёта жестко-пла­
стических пластин и оболочек в области больших прогибов // Деп. в ЦРТНИС,
НТЛ серия Б "Строительство и архитектура
в.7, 1977, per. № 6 9 3 . - 14с.
Мороз С Л . , Шураков С С . [1]. Проблема прочности цементованной стали. - Л.:
Судпромгиз, 1947. - 228с.
Нарусберг В.Л., Тетере Г.А. [1]. Устойчивость и оптимизация оболочек из ком­
позитов. - Рига: Зинатне, 1988. - 299с.
Немировский Ю.В., Резников B . C . [1]. Прочность элементов конструкций из
композитных материалов. - Новосибирск: Наука, 1986. - 166с.
Немировский Ю.В., Шульгин A.B. [1]. Упругопластическое деформирование и
разрушение оболочек из волокнистых металлокомпозитов // Механика компо­
зитных материалов. - 1990. - N6. - С 1 0 6 4 - 1 0 7 1 .
Низамеев В.Г., Сибгатуллин Э . С , Терегулов И.Г. [1]. Приближённые методы
оценки нес)ацей способности композитных оболочек вращения // Числ. методы
решения задач теории упругости и пластичности: Тр. 13 Межресп. конф. - Но­
восибирск, 1995. - С 1 4 0 - 1 4 4 .
Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. [1]. Линейная теория тонких
оболочек. - Л.: Политехника, 1991. - 656с.
Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. [1]. Оптимальное армирование
оболочек вращения из композиционных материалов. - М.: Машиностроение,
1977.- 144с.
Овечкин A.M. [1]. Расчет железобетонных осесимметричных конструкций. М.: Госстройиздат, 1961. - 241с.
Огибалов n.M., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. [1]. Механика полимеров. М.: Издво МГУ, 1 9 7 5 . - 528с.
363
Олдырев П.П. [1]. О корреляции между статической и усталостной прочностью
армированных пластиков // Механика полимеров. - 1973. - N 3 . - С.468-474.
Олдырев П.П. [2]. Об оценке анизотропии усталостной прочности композитных
материалов // Механика композитных материалов. - 1982. - N 1 . - С . 5 7 - 6 1 .
Олдырев П.П. [3]. Учёт концентрации напряжений при многоцикловом осевом
нагружении стеклопластиков // Механика композитных материалов. - 1986. N5.-C.826-835.
Олдырев П.П. [4]. Построение кривых усталости при жёстком многоцикловом
нагружении армированных пластиков // Механика композитных материалов. 1987.-N3.-C.457-463.
Олдырев П.П. [5]. Учёт разогрева стеклопластика при испытаниях на много­
цикловую усталость // Механика композитных материалов. - 1988. - N 1 . - с . 4 5 49.
Олдырев П.П., Тамуж В.П. [1]. Многоцикловая усталость композитных мате­
риалов // Жури. Всесоюзн. хим. о-ва им. Д.И. Менделеева. - 1989. Т.24, N 5. С.545-552.
Ольшак В., Савчук А. [1]. Неупругое поведение оболочек. - М.: Мир, 1969. 144с.
Онат Е., Прагер В. [1]. Предельное равновесие оболочек вращения // Механика.
Сборник перев. и обз. ин. период, лит. - 1955. - N 5 . - С. 107-119.
Орыняк И.В., Тороп В.М. [1]. Двухкритериальная оценка предельного со­
стояния тела с трещиной при несимметричном нагружении // Проблемы проч­
ности. - 1991. - N11. - С.32-38.
Островский A . A . [1]. О предельной поверхности прочности конструкционных
материалов / Тезисы докл. 4 Симп. "Прочн. матер, и элементов конструкций
при слож. напряж. состоянии". - Киев, 1992. - С.20-21.
Павлов H . A . [1]. Основы инженерных расчётов элементов мащин на усталость
и длительную прочность. - Л.: Мащиностроение , 1988. - 252с.
364
Панасенко H . H . , Дудченко А.Н. [1]. Математическая модель абсолютно жё­
сткого пространственного конечного элемента // Изв. вузов. Сев. - Кавк. ре­
гион. Техн. н. - 1994. - N 3 - 4 . - С.214-227.
Панин В.Е. [1]. Современные проблемы пластичности и прочности твёрдых тел
// Изв. вузов. Физика. - 1998. - 41, N 1 . - С.7-34.
Партон В.З. [1]. Механика разрушения: от теории к практике. М.: Наука, 1990.
240с.
Партон В.З, Морозов Е.М. [1]. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1 9 7 4 . - 4 1 6 с .
Перевозчиков В.Г., Лимонов В.Д., Протасов В.Д., Тамуж В.П. [1]. Статическая
и усталостная прочность однонаправленных композитов при совместном дей­
ствии напряжений сдвига и трансверсальных напряжений растяжения- сжатия
// Механика композитных материалов. - 1988. - N 5 . - С . 8 4 5 - 8 5 1 .
Пилиповский Ю.Л., Грудина Т.В., Сапожникова А.Б., Листовничая С П . , Гриффен Л.А., Ступко A . B . [1]. Композиционные материалы в машиностроении. Киев: Тэхника, 1990. - 141с.
Писаренко Г . С , Яковлев А.П., Матвеев В.В. [1]. Справочник по сопротивлению
материалов. - Киев: Наукова думка, 1988. - 736с.
Пластические массы. Методы испытаний. [1]. - М.: Изд-во стандартов, 1967. 140с.
Победря В.Е. [1]. Критерий прочности однонаправленного волокнистого компо­
зита // Проблемы прочности. - 1987. - N 7 . - С.3-4.
Победря В.Е. [2]. Термодинамический критерий прочности композитов // Меха­
ника композитных материалов. - 1993. - Т. 29, N 3 . - С.302-310.
Полищук В.П., Поветкин С В . [1]. Расчёт прочности железобетонных конст­
рукций при сложных сопротивлениях. - Курск: Изд-во гос. техн. ун-та, 1996. 144с.
365
Постнов в . А . , Трубачёв М.И. [1]. Новая модель изопараметрического конеч­
ного элемента для расчёта оболочек // Изв. АН. МТТ. - 1995. - N 1 . - С.141-146.
Прочность, устойчивость колебания. Справочник в трёх томах. Том 1. П о д ред.
И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. [1]. - М.: Машиностроение, 1968. - 832с.
Работнов Ю.Н. [1]. Упругопластическое состояние композитной структуры //
Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. - М.: Наука, 1969. С.411-415.
Работнов Ю.Н. [2]. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука,
1988.-712с.
Работнов Ю.Н., Когаев В.П., Полилов А.Н., Стрекалов В.Б., Думанский A . M .
[1]. Циклическая прочность однонаправленных углепластиков при растяжении
под углом к направлению армирования // Механика композитных материалов. 1985.-N2.-C.242-246.
Ржаницын А.Р. [1]. Приближённые решения задач теории пластичности // Ис­
следования по вопр. строит, механ. и теории пластичности. М.: Госстройиздат,
1956.-C.6-65.
Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. [1]. Прикладная теория анизо­
тропных пластин и оболочек. - СПб: Изд-во гос. ун-та, 1996. - 278с.
Розенблюм В.И. [1]. О расчёте несущей способности идеально пластических
осесимметрических оболочек // Исслед. по упругости и пластичности. - Л.:
ЛГУ, 1965. - N4. - С.207-218.
Савчук А. [1]. О теории анизотропных пластических оболочек и пластинок //
Механика. Период, сб. перевод, иностр. статей. - 1961. - N 3 . - С. 153-161.
Саркисян Н.Е. [1]. Приближённая модель прогнозирования анизотропии мно­
гоцикловой усталостной прочности композитных материалов // Механика ком­
позитных материалов. - 1986. - N5. - С.914-919.
366
Себекина В.И. [1]. Кинематический метод определения предельного состояния
оболочек с применением линейного программирования / Труды VII Всес. конф.
по теории оболочек и пластинок, 1969. - М.: Наука, 1970. - С.547-550.
Серенсен С В . [1]. Об условиях прочности при переменных нагрузках для плос­
кого и объёмного напряженного состояния // Инженерный сборник. - 1941. Т.1,вып.1. С З - 1 2 .
Серенсен С В . , Когаев В.П., Шнейдерович P . M . [1]. Несущая способность и
расчёты деталей мащин на прочность. - М.: Мащиностроение, 1975. - 488с.
Си Г., Либовиц Г. [1]. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрущение. Т.2. Математические основы теории разрушения. Ред. Г. Либовиц. М.: Мир, 1 9 7 5 . - С . 8 3 - 2 0 3 .
Сибгатуллин Э . С [1]. К расчету анизотропных тонких оболочек по теории пре­
дельных состояний / Деп. в ВИНИТИ 02.11.81, N4997. - 12с.
Сибгатуллин Э.С. [2]. Несущая способность и оптимальное проектирование жёсткопластических оболочек вращения / Автореферат диссерт. на соиск. учён,
степени к.ф.-м.н. - Казань: ОЛ КИСИ, 1986. - 15с.
Сибгатуллин Э.С. [3]. Несущая способность и оптимальное проектирование жё­
стко-пластических оболочек вращения. - Дисс. на соиск. уч. степ, к.ф.-м.н. Казань, 1 9 8 6 . - 2 4 1 с .
Сибгатуллин Э.С. [4]. Построение предельной поверхности для тонких мно­
гослойных композитных пластин и оболочек // Труды 14-ой Всес. конф. по тео­
рии пластин и оболочек. Т.2. - Тбилиси: 1987. - С.418-423.
Сибгатуллин Э.С. [5]. Несущая способность слоистых композитных оболочек и
пластин при повышенной температуре // Изв. вузов. Авиационная техника. 1991.-N2.-C11-13.
Сибгатуллин Э . С [6]. Композит материалдан эшлэнгэн кабырчыкнын,йек кутэру сэлэтен ачыклау // Фэн Ьэм тел. - 1997. - N 1 . - Б.53-56.
.167
Сибгатуллин Э.С. [7]. Несущая способность элементов конструкций, имеющих
макротрещину//Изв. вузов. Авиацион. техника. - 2000. - № 2 . - С.11-13.
Сибгатуллин Э.С. [8]. Развитие концепции Си в механике разрзлпения // Изв.
РАН. Механика твердого тела. -2001. - №2. - С. 103-108.
Сибгатуллин Э.С. [9]. Вариант критерия разрушения на базе энергетической,
теории прочности // Проблемы прочности. -2001. - №2. - С. 28-34 .
Сибгатуллин Э . С , Батнидзе H . A . [1]. Предельное состояние анизотропных обо­
лочек и пластин, имеющих сквозную макротрещину // Труды Международной
конференции «Актуальные проблемы механики оболочек». - Казань: Новое
знание, 2 0 0 0 . - С . 380-385.
Сибгатуллин Э . С , Терегулов И.Г. [1]. Предельное состояние некруговой ци­
линдрической оболочки замкнутого профиля, изготовленной из металлокомпозита // Материалы 6-ой Всес. конф. по композицион. матер. Т.2. - Ереван,
1987.-С.210-211.
Сибгатуллин Э . С , Терегулов И.Г. [2]. Определение несущей способности слои­
стых композитных оболочек, работающих в условиях циклического нагружения
//Журнал ПМТФ. - 1991.-N1. - С. 126-130.
Сибгатуллин Э . С , Терегулов И.Г. [3]. Новый вариант ае-критерия в механике
разрушения // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное
моделирование физико-механических процессов: Межвуз. сборник. - М.: Т Н И
КМК, 1 9 9 9 . - С . 5 2 - 5 5 .
Сибгатуллин Э . С , Терегулов И.Г., Тимергалиев С П . [1]. Предельное состояние
слоистых композитных оболочек при совместном действии статических и цик­
лических нагрузок // Изв. АН РФ. МТТ. - 1994. - N4. - С 1 5 5 - 1 6 1 .
Сибгатуллин Э . С , Тимергалиев С П . [1]. Несущая способность длинных ци­
линдрических оболочек замкнутого профиля, изготовленных из слоистого металлополимерного композита, при совместном действии статических и цикли­
ческих нагрузок// Изв. вузов. Авиационная техника. - 1994. - N 2 . - С . 8 - 1 1 .
-168
Скудра A . M . , Булаве Ф.Я. [1]. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978. - 192с.
Скудра A . M . , Булаве Ф.Я., Роценс К.А. [1]. Ползучесть и статическая усталость
армированных пластиков. - Рига: Зинатне, 1971. - 238с.
Скудра A . M . , Гурвич М.Р. [1]. Структурная теория длительной прочности ар­
мированных пластиков // Механика композитных материалов. - 1989. - N5. С.833-839.
Соколкин Ю.В., Котов А.Г., Чекалкин A . A . [1]. Структурные многоуровневые
модели несущей способности углерод-углеродных слоистых оболочек // Меха­
ника композитных материалов. - 1994. - 30, N 1 . - С.72-80.
Соломатов В.П., Бобрыщев А.Н., Химмлер К.Г. [1]. Полимерные композици­
онные материалы в строительстве. - М.: Стройиздат, 1988. - 312с.
Справочник по композиционным материалам: в 2-х кн. Кн.2 / Под ред. Д. Л ю бина. [1]. - М.: Мащиностроение, 1988. - 584с.
Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2-х томах / Под
ред. Ю. Мураками. [1]. - М.: Мир, 1990. - 1016с.
Стёпин B . C . , Горохов В.Г., Розов М.А. [1]. Философия науки и техники. - М.:
Контакт-Альфа, 1995. - 3 8 4 с .
Суворова Ю.В., Добрынин B . C . [1]. Феноменологический и структурные под­
ходы в механике разр)чпения волокнистых композитов // Механика компо­
зитных материалов. - 1989. - N5. - С.861-868.
Суворова Ю.В., Думанский A . M . , Стрекалов В.Б., Махмутов И.М. [1]. Про­
гнозирование характеристик сопротивления усталости углепластиков по ре­
зультатам испытаний на ползучесть и длительную прочность // Механика ком­
позитных материалов. - 1986. - N4. - С.711-715.
Супрун А.Н. [1]. К проблеме существования конических точек и вогнутостей на
поверхности текучести металлов // МТТ. - 1991. - N4. - С. 180-185.
369
Тамуж В.П., Куксенко B . C . [1]. Микромеханика разрушения полимерных ма­
териалов. - Рига, 1978. - 294с.
Тарнопольский Ю.М. [1]. Инженерная механика композитов в С С С Р // Ме­
ханика композитных материалов. - 1991. - N 5 . - С.787-795.
Тарнопольский Ю.М., Скудра A . M . [1]. Конструкционная прочность и деформативность стеклопластиков. - Рига: Зинатне, 1966. - 260с.
Терегулов И.Г. [1]. Сопротивление материалов и основы теории упругости и
пластичности. - М . : Высшая школа, 1984. - 4 7 2 с .
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. [1]. К предельному состоянию торообразной
оболочки врашения при осесимметричной деформации // Изв. вузов. Авиаци­
онная техника. - 1978. - N2. - С.92-96.
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. [2]. Определение несущей способности то­
рообразной оболочки вращения на основе кинематического метода // Изв. ву­
зов. Авиационная техника. - 1979. - N4. - С.85-88.
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. [3]. Несущая способность длинных цилинд­
рических оболочек замкнутого профиля, изготовленных из слоистого металлополимерного композита // Известия вузов. Авиационная техника. - 1988. N4.-C.9-13.
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. [4]. Критерий разрушения для многослойных
композитных пластин и оболочек // Механика композитных материалов. - 1990.
-N1.-C.74-79.
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. [5]. Метод расчёта на усталость композитных
оболочек и пластин // Механика композитных материалов. - 1990. - N5. С.871-876.
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. [6]. Несущая способность слоистых ком­
позитных оболочек и пластин при длительном действии статических нагрузок //
Труды 15-ой Всес. конф. по теории оболочек и пластин. - Казань, 1990. - Т.1. С.679-684.
370
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. [7]. Структурно-феноменологический подход
к определению прочности пластин и оболочек из слоистых композиционных
материалов // Технол. Сер. Конструкции из композицион. матер. - 1992. - N 4 . С.3-9.
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. [8]. Прогнозирование прочности гибридных
композитных брусьев в общем случае сложного сопротивления // Труды 17-ой
Международ, конф. по теории оболочек и пластин. - Казань, 1996. - Т . 1 . С.127-132.
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э . С , Маркин O . A . [1]. Предельное состояние
многослойных композитных оболочек // Механика композитных материалов. 1988.-N4.-С.715-720.
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э . С , Низамеев В.Г. [1]. Определение несущей
способности
многослойных
композитных
цилиндрических
оболочек,
под­
креплённых щпангоутами, статическим методом // Моделирование в механике.
- Новосибирск, 1990. - Т. 4(21). - N6. - С Л 4 6 - 1 5 0 .
Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э . С , Низамеев В.Г. [2]. Предельные поверхности
для многослойных композитных оболочек // Исслед. по теории пластин и обо­
лочек. - 1991. - ВЫП.23. - С 7 5 - 8 0 .
Терегулов И.Г., Сибх^атуллин Э . С , Фаляхов М.А. [1]. Деформирование и проч­
ность однонаправленно армированных волокнами гибридных композитов //
Механика композитных материалов. - 1995. - Т.31, N 2. - С.186-192.
Тетере Г.А., Упитис З.Т., Удрис А.О. [1]. Механолюминесценция ранних и пре­
дельных стадий разрущения стеклопластика // Механика композитных мате­
риалов. - 1987. - N3. - С 4 4 0 - 4 4 9 .
Упитис З.Т., Брауне Я.А., Рикардс Р.Б. [1]. Определение компонент тензоров
поверхности прочности по методу наименьщих квадратов // Механика поли­
меров. - 1978. - N 1 . - С . 5 1 - 5 4 .
371
Упитис З.Т., Рикардс Р.Б. [1]. Исследование зависимости прочности композита
от структуры армирования при плоском напряжённом состоянии // Механика
композитных материалов. - 1976. - N6. - С. 1018-1024.
Уржумцев Ю.С. [1]. Прогнозирование длительного сопротивления полимерных
материалов. - М.: Наука, 1982. - 223с.
Фудзии Т., Дзако М. [1]. Механика разрушения композиционных материалов. М.:Мир, 1982.-232с.
Хилл Р. [1]. Математическая теория пластичности. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 407с.
Химмелблау Д. [1]. Прикладное нелинейное программирование. - М.: М и р ,
1975.-536с.
Хорошун Л.П. [1]. Об интегральных соотношениях в окрестности вершины
трешины // Прикладная механика. (Киев). - 1995. - 31, N8. - С. 11-18.
ЦветковС.В., Зиновьев H . A . , Еремичев А.Н., Цыруль В.П., Бухарин В.Е.,
Бушуев Ю.Г. [1]. Деформирование и разрушение бороалюминия при сложном
напряжённом состоянии // Проблемы прочности. - 1991. - N12. - С.29-35.
Цыплаков О.Г. [1]. Конструирование изделий из композиционно-волокнистых
материалов. - Л.: Машиностроение, 1984. - 140с.
Чамис К. [1]. Микромеханические теории прочности // Композиционные ма­
териалы. Т.5. Разрушение и усталость. Ред. Л. Браутман. - М.: М и р , 1978. С.106-165.
Черепанов Г.П. [1]. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640с.
Шапиро Г.С. [1]. О поверхностях текучести для идеально пластических обо­
лочек // Проблемы механики сплошной среды. - М., 1961. - С.504-507.
Шестаков A . C . , Тимошенко A . M . [1]. О несушей способности пластин из ком­
позиционных материалов // Прикладная механика. - 1989. - 25, N4. - С.126128.
372
Шлянников В.Н. [1]. Плотность энергии деформации и зона процесса разру­
шения. Сообшение 1. Теоретические предпосылки // Проблемы прочности . 1995.-N10.-C.3-17.
Щербаков В.Т., Попов А.Г. [1]. Экспериментальное исследование прочности и
устойчивости оболочек из углепластика // Механика композитных материалов.
- 1990.-N2.-C.256-262.
Afaghi К.А., Ye L . , M a i Y . - W . [1]. Effective crack growth and residual strength of
composite laminates with a s h a ф notch // J. Compos. Mater. - 1996. - 30, N 3 . P.333-357.
Balevski Т., Ruskov D . , Venkov V . [1]. A static strength criterion // J. Theor. and
Appl. Mech. - 1 9 9 1 . - 2 2 , N2. - P.81-90.
Bathias C. [1]. Fracture and fatigue of high performance
composite
materials.
Mechanisms and prediction // Eng. Fract. Mech. - 1991. - 40, N 4 - 5 . - P.757-783.
Chamis C.C., Ginty C . A . [1]. Fundamental aspects and failure modes in high- tem­
perature composites // S A M P E Quart. - 1990. - 21, N4. - P.20-26.
De Borst R., Feenstra P.H. [1]. Studies in anisotropic plasticity with reference to the
Hill criterion // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1990. - 29, N2. - P.315-336.
Desai C.S. [1]. A general basis for yield, failure and potential functions in plasticity //
Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. - 1980. - 4. - N4. - P.361-375.
Dow J.O., Abdalla J.E. [1]. Qualitative errors in laminated composite plate models //
Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1994. - 37, N7. - P. 1215-1230.
Drucker D . C . [1]. On uniqueness in the theory of plasticity // Quart. Appl. Math. 1956.- 1 4 . - N 1 . - P . 3 5 - 4 2 .
Drucker D . C . [2]. A definition of stable inelastic material // J. Appl. Mech., A S M E . 1959.-N26.-P.101-106.
Ellyin P., El-Kadi H . [1]. A fatigue failure criterion for fiber reinforced composite
laminae//Compos. Struct. - 1990. - 15, N1. - P.61-74.
373
Ellyin F., El-Kadi H . [2]. Predicting crack growth direction in unidirectional composite laminae // Eng. Fract. Mech.. - 1990. - 36, N 1 . - P.27-37.
Eriksson I., Aronsson C.-G. [1]. Strength of tensile loaded graphite / epoxy laminates
containing cracks, open and filled holes // J. Compos. Mater. - 1990. - 24, N 5 . P.456-482.
Fawaz Z., Ellyin F. [1]. Fatigue failure model for fibrereinforced materials under
general loading conditions // J. Compos. Mater. - 1994. - 28, N15. - P.1432-1451.
Gough H . J . [ 1 ] . Engineering Steels Under Combined Cyclic and Static Stresses //
Proc. J. Mech. Eng. - London, 1949. - Vol. 160. - 417p.
Gupta N . K . , Meyers A . , Wichtmann A . [1]. A function for representing experimental
yield surfaces // Eur. J. Mech. A . - 1995. - 14, N 1 . - P.45-53.
Hashiguchi K . [1]. Subloading surface model in uncondentional plasticity // Int. J.
Sohds and Struct. - 1989. - 25, N8. - P.917-945.
Hashin Z., Rotem A . [1]. A fatigue failure criterion for fiber reinforced materials // J.
Composite Materials. - 1973. - Vol.7, N5. - P.443-464.
Hill R. [1]. Classical plasticity: a retrospective view and a new proporsal // J. Mech.
and Phys. Solids. - 1 9 9 4 . - 4 2 , N 1 1 . - P . 1803-1816.
Hinton M.J., Soden P.D., Kaddour A.S. [1]. Strength of composite laminates under
biaxial loads // Appl. Compos. Mater. - 1996. - 3, N 3 . - P.151-162.
Hirano K . [1]. R and D trends of advanced metal matrix composites and fracture mechanics characterization // ISIJ International. - 1992. 32, N12. - P.1357-1367.
Hofstetter G . , Taylor R . L . [1]. Non-associative Drucker - Prager plasücity at finite
strains // Commun. Appl. Numer. Meth. - 1990. - 6, N8. - P.583-589.
Janas M . [1]. Limit analysis of non-symmetric plastic shells by a generalized yield
line method // Non-classical shell problems. - Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1964. - P.701-721.
374
Johnson D . [1]. Yield - line analysis by sequential linear programming // Int. J. Solids and Struct. - 1995. - 32, N10. - P.1395-1404.
Kawaguchi J., Morino S., Ueda M . [1]. Analytical study on uhimate strength of steel
- concrete composite sections under biaxial bending // Res. Repts Fac. Eng. M i e
Univ.-1996.-21.-P.27-35.
Kfouri A.P., Brown M . W . [1]. A fracture criterion for cracks under mixed - mode
loading // Fatigue and Fract. Eng. Mater, and Struct. - 1995. - 18, N 9 . - P.959-969.
K i m C . H . , Yeh H . - Y . [1]. Development of a new yielding criterion: The Yeh-Stratton criterion // Eng. Fract. Mech. - 1994. - 47, N4. - P.569-582.
Kurtyka T. [1]. Invariant formulation of a distortional model of plastic hardening //
Mech. teor. i S t o s o w . - 1 9 9 0 . - 2 8 , N l - 2 . - P . 115-131.
Lagzdins A . , Tamuzs V . , Teters G . , Kregers A . [1]. Orientational Averaging in M e chanics of Solids. - London: Longman Scientific & Technical, 1992. - 236p.
L i M . , Richmond O. [1]. Intrinsic instability and nonuniformity of plastic deformation // Int. J. Plast. - 1997. - 13, N 8 - 9 . - P.765-784.
Nahas M . N . [1]. Survey of failure and post-failure theories of laminated fiber-reinforced composites // J. Composite Techn. & Res. - 1986. - Vol.8, N4. - P.138-153.
Ottosen N.S., Ristinmaa M . [1]. Comers in plasticity-Koiter's theory revisited // Int.
J. Solids and Struct. - 1996. - 33, N25. - P.3697-3721.
Reifsnider K . L . [1]. Life prediction analysis: directions and divagations // Proc.
ICCM 6 . - 1987.-Vol.4.-P.4.1-4.31.
Rotem A . , Nelson H . G . [1]. Residual strength of composite laminates subjected to
tensile - compressive fatigue loading // J. Compos. Technol. and Res. - 1990. - 12,
N2.-P.76-84.
Sawczuk A . [1]. On experimental foundations of limit analysis theory of reinforced
concrete shells// Shell research.- Amsterdam: North-Holland Publishing Company,
1961.-P.217-231.
375
Sawczuk A . , Rychlewski J. [1]. On yield surfaces for plastic shells // Arch. Mech.
Stos.- 1960.- 1 2 . - P . 2 9 - 5 3 .
Schwietert H.R., Steif P.S. [1]. A theory for the ultimate strength of a brittle-matrix
composite // J. Mech. and Phys. SoHds. - 1990. - 38, N3. - P.325-343.
Sih G.C. [1]. Some Basic Problems in Fracture Mechanics and New Concepts // Eng.
Fract. Mech. - 1973. - 5. - P. 365-377.
Sih G . C , Chen E.P. [1]. Fracture Analysis of Unidirectional Composites // J. Compos. Materials. - 1973. - 7. - P.230-244.
Sines G., Ohgi G . [1]. Fatigue criteria under combined stresses or strains // Trans.
A S M E . J. Eng. Mater, and Technol. - 1981. - 103. - N2. - P.82-90.
Soutis C , Fleck N . A . [1]. Static compression failure of carbon fibre T800/924C composite plate with a single hole // J. Compos. Mater. - 1990. - 24, N 5 . - P.536-558.
Parnate O. [1]. A theory of dislocations in the plate under flexure with application to
crack problems // Technol. Reports of the Tohoku Univ. - 1975. - 40. - P.67-88.
Tan S . C [1]. A new approach of tlireedimensional strength theory for anisotropic
materials // Int. J. Fract. - 1990. - 45, N1. - P.35-50.
Teregulov I.G. [1]. Nonelastic deformation of fibrous composites // Proc. of Intern.
Symp. "Composites : fracture mechanics and technology" / E d . S.T. Mileiko and
V . V . Tvardovsky. - Chemogolovka, 22-25 September, 1992. Russian Composite
Soc.-P.270-273.
Theocaris P.S. [1]. Variances in failure tensor polynomials for anisotropic bodies //
Eng. Fract. Mech. - 1995. - 51, N5. - P.707-733.
Troost A . , A k i n O., Klubberg F. [1]. Treffsicherheit neuerer Festigkeitshypothesen
fur die mehrachsige Schwingbeanspruchung metallischer Werkstoffe // Materialwiss.
und Werkstofftechn. - 1991. - 22, N1. - S. 15-22.
376
Tsai S.W. [1]. Strength theories of filamentary structures. - In: Fundamentel aspects
of fibrereinsorced plastic composites. Ed. by R.T. Schwartz, H.S. Schwartz. New
York, Wiley - Intersience, 1968, pp.3-11.
Vaidya R.S., Sun C.T. [1]. Fracture criterion for notched thin composite laminates //
A I A A Journal. - 1997. - 35, N2. - P.311-316.
Wei K . , De Bremaecker J. - C . [1]. The direction of fi-acture // 18 th Int. Congr. Theor.
and Appl. Mech., Haifa, A u g 22-28, 1992. - R157.
Weixian Z . [1]. A new non-quadratic orthotropic yield criterion // Int. J. Mech. Sci. 1990.-32,N6.-P.513-520.
Wu E . M . [1]. Optimal experimental measurements of anisotropic failure tensors // J.
Composite Materials. - 1972. - 6. - P.472-489.
Wu H.F., W u L . L . , Slagter W.J., Verolme J.L. [1]. Pilot study of metal volume fi-action approach for fiber / metal laminates // J. Aircraft. - 1995. - 32, N 3 . - P.663-671.
Wu X . , L i X . [1]. Analysis and modification of fracture criteria for mixed-mode
crack//Eng. Fract. Mech. - 1989. - 34, N1. - P.55-64.
Yang J.N., Jones D . L . , Yang S.H., Meskini A . [1]. A stiffnes degradafion model for
graphite / epoxy laminates // J. Compos. Mater. - 1990. - 24, N7. - P.753-769.
Ye Z., Ayari M . L . [1]. Predicfion of crack propagation in