Лабораторная работа № 27 ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКА ХОЛЛА. Цель работы: экспериментальное определение значений магнитной индукции на оси соленоида. Введение Во всех точках пространства, окружающего произвольный проводник с током, всегда существует обусловленное этим током поле сил. Это поле называется магнитным полем тока. Основной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B . Закон Био-Савара-Лапласа позволяет определить вектор индукции магнитного поля, созданного элементом тока: I d lr 0 , dB 4 r3 где I d l (1) – элемент тока I – сила тока в проводнике d l – вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с направлением тока – магнитная проницаемость среды (для вакуума =1) 0 4 107 Гн/м – магнитная постоянная r – радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция. Направление вектора d B определяется правилом вектор- ного произведения. Векторы d l , r , d B образуют правовинтовую систему (рис. 1). Рис. 1 Величина вектора магнитной индукции d B может быть выражена следующим образом: dB 0 I sin dl , 4 r2 (2) где – угол между векторами d l и r . Рассмотрим круговой проводник с током. Рис. 2 Определим величину и направление вектора магнитной индукции B в какой-либо точке, лежащей на перпендикуляре, проведенном через центр этого витка (рис.2). Выделим на кольцевом проводнике с током радиуса R элемент d l . От этого элемента проведем радиус-вектор r в т. А, лежащую на оси симметрии. Направление вектора d B в т. А определяется векторным произведением (1). Согласно принципу суперпозиции, результирующий вектор индукции магнитного поля B в т. А является векторной суммой векторов dB, созданных всеми элементами кругового проводника. Результирующей вектор B будет направлен вдоль оси симметрии, а его величину вычислим интегрированием B dB cos L где 2 R 0 sin I cos 2 dl , 4 r 0 (3) – угол между вектором r и вектором d l ( =900) – угол между вектором r и радиусом кругового провод ника R , проведенном к элементу d l 2 R – длина кругового проводника. Проведя интегрирование, получим B где 0 2 R 0 IR 2 , I cos 2 3 2 2 2 4 r 2 a R (4) a – расстояние от центра кольца до т. А I – сила тока в кольце (в обмотке плоской катушки). Если круговой проводник находится в воздухе, то магнитную проницаемость среды , входящую в формулу (4), можно приближенно считать равной 1. Магнитное поле соленоида. Соленоидом называется цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков изолированной проволоки, по которой течет ток. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Из соображений симметрии ясно, что линии вектора магнитной индукции внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему (рис.3). Магнитное поле на оси соленоида можно рассчитать следующим образом. Выделим малый участок dl длины соленоида, на него придется n dl витков ( n N L – число витков на единицу длины, N – общее число витков, L – длина соленоида). Обозначим силу тока в каждом витке через I , тогда участок dl соленоида можно рассматривать как круговой ток силы In dl . Индукция магнитного поля, создаваемая этим участком на оси соленоида согласно (4), равна: dBx 0 R 2 Indl 2R x 2 2 3 (5) 2 где x – расстояние по горизонтальной оси от участка dl до точки А, R – радиус витка (рис.4). Введем угол между положительным направлением оси соленоида (положительное направление оси соленоида связано с направлением тока в соленоиде правилом буравчика) и радиусвектором, проведенным из рассматриваемой точки к участку dl , тогда l x R ctg , r 2 R2 x2 R2 sin 2 , откуда dl Rd . sin 2 Для dBx имеем: dBx Для 0 In sin d (6) 2 получения результирующего значения индукции магнитного поля в точке А, нужно просуммировать все dBx , создаваемые всеми участками dl , то есть проинтегрировать выражение (5) по углу : Bx 0 In 2 0 In 2 1 sin d 2 cos 1 cos 3 0 In 2 cos 1 cos 2 (7) где cos 1 La R L a 2 2 , cos 3 a R a2 2 . Для точки, находящейся у левого края соленоида 3 поэтому индукция вычисляется по формуле B бесконечно длинного соленоида 0 In 2 2 , cos 1 . Для 1 0 и 2 , откуда индукция магнитного поля внутри такого соленоида равна B 0 In . Описание установки и метода измерений Для экспериментального измерения величины магнитного поля на оси соленоида в данной работе используются датчики Холла, укрепленные через каждый сантиметр внутри катушки. Эффект Холла заключается в возникновении разности потенциалов при протекании постоянного электрического тока через проводящую пластинку, помещенную в постоянное магнитное поле, перпендикулярное плоскости пластинки и направлению тока. Теория эффекта Холла объясняет появление ЭДС Холла взаимодействием носителей тока с магнитным полем. В отсутствие внешнего магнитного поля в проводнике под действием постоянного электрического поля имеет место направленное движение зарядов q со скоростью (рис.5). При наложении магнитного поля B , на заряды действует сила Лоренца под действием которой частицы отклоняются в направлении, перпендикулярном и B . В результате пространственного разделения носителей заряда в проводнике возникает перпендикулярное направлению тока электрическое поле с напряженностью EHall. В свою очередь это поле действует на заряды и уравновешивает силу Лоренца. В условиях равновесия: qEHall qvB (8) Принимая во внимание связь плотности тока j со скоростью направленного движения и концентрацией n носителей заряда, получаем выражение для разности потенциалов Холла: j I Bb Bb qn qnS I 1 IB IB Bb EHall qnab qn a a U Hall EHall b vBb В этом выражении RH (9) 1 - постоянная Холла, a и b – qn поперечные размеры пластинки. Из выражения (9) видно, что U Hall пропорциональна величине индукциеи магнитного поля B (в нашем случае – магнитного поля соленоида). Датчик Холла представляет собой тонкую прямоугольную пластину площадью несколько мм2 и имеет 4 электрода для подвода тока и измерения разности потенциалов U Hall , которая пропорциональна величине B . Величина индукции магнитного поля, создаваемая внутри соленоида появляется на цифровом индикаторе. Соленоид, магнитное поле которого надо определить, представляет собой совокупность большого количества витков медного провода, близко расположенных на непроводящем каркасе. Вдоль оси катушки, перпендикулярно ее плоскости, расположена пластина с укрепленными через каждый сантиметр датчиками Холла. Координаты положения текущего включенного датчика a относительно левого края соленоида выводятся на LCD дисплей. Переключение датчиков осуществляется нажатием кнопок «ДАТЧИКИ». Для плавного изменения тока катушки служит ручка «ТОК КАТУШКИ». Текущее значение установленного тока выводится на LCD дисплей в Амперах. Тесламетр, собранный на основе высокочувствительного датчика Холла, применяемый в этой работе, позволяет определить магнитное поле с точностью 0, 03 мТл. При этом показания датчика колеблются возле некоторого среднего значения в пределах ошибки. Порядок выполнения Данные установки Длина соленоида L =0,18 м, количество витков N =550, средний радиус намотки витков R =0,025м. Перед включением следует проверить целостность всех соединительных и сетевых проводов устройств. 1. Включитье установку в сеть напряжением ~220 В. Переведите переключатель «СЕТЬ» на панели в положение «ВКЛ», при этом должен загореться сигнальный светодиод. 2. Установите ручкой «ТОК КАТУШКИ» одно из значений тока, протекающего по обмотке соленоида, в диапазоне от 2 до 3 А. 3. Переключая нажатием кнопок «ДАТЧИКИ» датчики Холла, расположенные на оси соленоида через 1 см, снимите зависимость индукции магнитного поля соленоида от координаты a , отсчитываемого от левого края катушки. Данные занести в таблицу 1. 4. Величина индукции магнитного поля выводится на жидкокристаллический индикатор в мТл, показания прибора могут изменяться в пределах ошибки определения поля 0, 03 мТл относительно среднего значения. В таблицу 1 следует записывать среднее значение показаний, определенное за некоторый промежуток времени. 5. Повторите действия пп. 2-4 для 2-х других токов соленоида. 6. Для точки, расположенной в середине длины соленоида, снимите значения индукции для двух дополнительных значений токов соленоида (по указанию преподавателя). 7. По окончании работы переведите переключатель «СЕТЬ» в положение «ВЫКЛ» и выключить установку из сети. Обработка результатов измерений 1.Для каждого положения датчика a проведите теоретический расчет магнитного поля по формуле (7) и постройте теоретический график распределения поля с нанесенными на него экспериментальными точками. 2.Рассчитайте и постройте график зависимости индукции в центре длины соленоида от тока соленоида. LI 2 рассчитайте индук2 тивность соленоида, а также энергию поля внутри соленоида 3.По формулам L 0 n2V и W для 3-х значений токов соленоида ( =1, n = N/l, V=S*l, где lдлина соленоида). Таблица 1 cosβ1 + а,м cosβ1 cosβ3 cosβ3 Магнитная индукция при I1= Визм Врасч при I2= Визм Врасч при I3= ВизмВрасч Контрольные вопросы 1. Что является источником магнитного поля в данной установке? 2. Дайте определение вектора магнитной индукции. 3. Изобразите магнитные силовые линии для прямого бесконечного проводника с током и для соленоида. 4. Напишите закон Био-Савара-Лапласа. Объясните, как, пользуясь этим законом, можно определить направление и величину магнитной индукции в любой точке пространства. 5. Как определяется магнитная индукция в центре кругового проводника с током? Вывод. 6. Объясните эффект Холла. 7. Получите расчетную формулу 7. 8. Какой вид должна иметь зависимость индукции В от расстояния вдоль оси от центра катушки? 9. Как изменяется магнитное поле вдоль перпендикуляра, проведенного через центр катушки? 10. В чем заключается методика измерения магнитного поля катушки? ЛИТЕРАТУРА: 1.А.А.Детлаф, Б.М. Яворский, «Курс физики». – М.: Высшая школа», 2002г. 2. И.Е.Иродов, «Электромагнетизм. Основные законы». – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003г. 3. И.В.Савельев, «Курс общей физики. Книга 2. Электричество и магнетизм», АСТ, Астрель, 2008г.
