ТЕМА 7. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 7.1 Дифференциальные уравнения пограничного слоя.

ТЕМА 7. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
7.1 Дифференциальные уравнения пограничного слоя.
При обтекании твердой поверхности жидкостью (или газом) с большими
числами Re влияние вязкости проявляется в пределах тонкого пограничного
слоя δ (рис. 7.1.) Вне этого слоя во многих задачах среда может полагаться
невязкой и ее течение описывается системой уравнений Эйлера. Л. Прандтль
установил, что в пределах тонкого пограничного слоя уравнения вязкой среды
могут быть существенно упрощены в предположении о сопоставимости сил
вязкости и инерции. Если между поверхностью обтекаемого тела и жидкостью
происходит тепло и массообмен то вблизи твердой стенки возникают тепловой
и диффузионный пограничные слои толщиной δт и δс. Скорость, температура и
концентрация примеси принимают у стенки значения Uст, Тст и Сст и
асимптотически приближаются к значениям U  , Т  , С  во внешнем потоке
Физические условия «прилипания» жидкости на поверхности соответствует
равенству нулю скорости потока Uст = 0. За толщины пограничных слоев δ, δт,
δс обычно принимаются расстояния от стенки по нормали, на которых
скорости, температуры и концентрации примеси отличаются на 1% от
соответствующих значений во внешнем потоке.
Рис. 7.1. Схема динамического, теплового и концентрационного пограничных слоев на
криволинейной поверхности
7.1.1 Система уравнений вязкой жидкости рассматривается при
следующих допущениях: течение двумерное, среда однофазная, внешние
объемные силы отсутствуют. При этих допущениях система уравнений НавьеСтокса имеет вид:
- уравнение неразрывности


( U х )  ( U у )  0
х
y
1
1 1∙1

(7.1)
1  
- уравнение движения в проекции на ось х
 U x
U x
U х 
р 2    U x U y      U x U y  
U y


  2
    

 
x
y 
x 3 x   x
y   y   y
x  
1 1
1
1


δ
1
1
1

1
1
δ2


1
1
1

δ2
(7.2)

1
1

- уравнение движения в проекции на ось у

U у

x
 U x
1 1
U y

1
δ
U y 
р 2    U у U х

  2
 
y 
у 3 у   у
х


1
1


δ2


1
1
     U x U y

    
x
  х   y
1
1
(7.3)
(7.4)

1
1
δ2




- уравнение баланса энергии
 U x




р
р   Т
(СрТ )  U y (СрТ )   U x
U у
 
x
y
х
у х  х

   Т
  
 у  у

  Ф

1 1
1
1
1
1
1

δ
1

1
1∙1
δ
1
1
1

δ2
1

δ2

δ2
1

где Ф – диссипативная функция
2
 U 2  U y 2   U U y 2
2  U x U y 
x
x
Ф 


  2 
  
 ,
 
3  x
y 

x

y

y
x 
 

  
1
1


1
1


1


1
где под каждым слагаемым записаны порядки величин, которые необходимо
оценить.
Будем считать, что толщины δ и δт имеют порядок δ значительно меньший по
сравнению с расстоянием х. Порядок х, а, Uх, Т, ρ, р – примем за 1. Тогда δ <<
х. Оценим порядки слагаемых в уравнениях (7.1) – (7.4) и разместим эти
порядки под соответствующими величинами. В уравнении неразрывности
слагаемое

1 1

то есть имеет порядок 1 и, следовательно,  U y  ~1
 U х  ~
х
1
у
и т.к. у ~ δ, то Uу ~ δ. Производные
U х
 2U х
~1и
~ 1, т.е. имеют порядок 1, а
х
х 2
производные
U х
у
1
1
 2U х
имеют порядки
и 2 соответственно. Полагая, что
2


у
силы вязкости и инерции имеют в пределах пограничного слоя одинаковый
порядок получим из (7.2) 1 ~

и
2
μ ~  2 . Тогда число
Re 
U x

~
1
2
.
Это означает, что условием образования тонкого динамического пограничного
слоя при обтекании поверхности является
Re  ~
1
2
, то есть большая по
сравнению с 1 величина чисел Re . В уравнении энергии (7.4) полагаем, что
тепловые потоки из-за теплопроводности имеют такой же порядок что и
конвективный тепловой поток. Тогда слагаемое
  Т 

 имеет порядок 1 и,
у  у 
следовательно, λ имеет порядок δ2 .
Таким образом, оставляя в уравнениях слагаемые, имеющие большие
порядки, а именно в (7.2) порядка 1, в (7.3) порядка
пренебрегая
слагаемыми
меньшего
порядка
дифференциальных уравнений сжимаемых
1

и в (7.4) порядка 1 и
систему
сопряженных
динамического и теплового
пограничных слоев:
- уравнение неразрывности


( U x )  ( U y )  0
х
y
(7.5)
- уравнение движения в проекции на ось х

 U x

U x
U х 
   U x 
U y
 


x
y 
x у  у 
(7.6)
- уравнение движения в проекции на ось у

0
у
(7.7)
- уравнение баланса энергии


 U x 


   Т 
 U x (СрТ )  U y (СрТ )   U x
 


y
х у  у 
 x

 у 
2
(7.8)
Замыкающим уравнением является уравнение состояния
ρ = ρ (р,Т)
(7.9)
Система уравнений (7.5) – (7.9) содержащее 5 неизвестных ρ (х, у), Ux (х, у), Uy
(х, у), р (х, у), Т (х, у) является замкнутой при известных μ(т), λ(т), Ср(т) и
относится к системам уравнений параболического типа.
Граничные условия в задачах расчета пограничных слоев задаются в
следующем виде:
- в сечении при входе на рассматриваемый участок пограничного слоя задаются
профили продольной скорости и температуры
при х = 0, Ux = Ux0(y), Т =Т0(у), а также профиль поперечной скорости у =
Uу0(y), удовлетворяющий уравнению неразрывности.
- на твердой стенке
при у = 0, Ux = Uxст(х), Uу = Uуст(х), Т =Тст(х), в частном случае условий
«прилипания» жидкости на стенке Uxст = Uуст = 0
- на внешней границе пограничного слоя
у→ ∞ (у >δ, у >δт), р = р∞(х), Т = Т∞(х)
Скорость потока на внешней границе пограничного слоя находится из
уравнения Бернулли для газа
К Р U 2

Б,
2
К 1  
(7.10)
где К – показатель адиабаты газа. Система уравнений (7.5) – (7.9) с
выписанными
граничными условиями решается численно
стандартным
методом конечных разностей, методом контрольных объемов и другими.
Для несжимаемой жидкости плотность ρ = ρ0 = соnst и система уравнений
пограничного слоя (7.4) – (7.8) упрощается:
U x U y

0
х
у
(7.11)
- уравнение движения в проекции на ось х
Ux
Ux
Uх
1    Ux 

 Uy

 
x
y
 0 x у  у 
(7.12)
- уравнение движения в проекции на ось у

 0;
у
- уравнение энергии
(7.13)
 U x 
U     Т 


U x (СТ )  U y (СТ )  x
 
  
x
y
0 х у   у   у 
2
(7.14)
Для калорически совершенного (идеального) газа уравнение состояния


 RT
(7.15)
и удельная энтальпия i равна
i = CpT
Полагая удельную массовую изобарную теплоемкость Ср постоянной,
умножая (7.6) и складывая почленно результат с (7.8) получим уравнение
энергии в форме Широкова

Ср U x

U2 x 
Т 
Т   
  
U y


Т

(
Рr

1)




x
y  у y 
2Сp 
где Рr 
(7.16)
Ср
U 2x
- число Прандтля Т   Т 
- температура адиабатического λ по

2Сp
скорости Ux.
7.1.2 Уравнение диффузионного пограничного слоя.
Рассмотрим уравнение баланса масс среды состоящей из N - фаз (i = 1, 2, … N)
при установившемся течении
 ( iU xi )  ( iU yi )


x
y
где J ji
N

j 1( j  i )
(7.17)
J ji
кг
- интенсивность перехода j фазы в i-ю.; i ,U xi ,U
м3
yi
- приведенная
плотность и проекции скорости i фазы; J ji   J ij ; компоненты средней скорости
смеси определяем как
Ux 
1
N
U

j 1
i
xi
,
U yi 
1
N
U

j 1
i
yi
(7.18)
Тогда суммируя уравнения (7.17) по i = 1, 2 … N получим уравнение
неразрывности для смеси
( U x ) ( U y )

0
x
y
(7.19)
Сохраняет свой вид также уравнение состояния для смеси идеальных газов,
каждое из которых имеет вид
Рi = ρiRiT (i = 1, 2, …N)
(7.20)
Суммируя по i соотношения (7.19), получим

N

N
 Р     R  T
j 1
i

i
j 1
i

или
Р = ρRT,
(7.21)
N
N
j 1
j 1

N
Где  R   i Ri ; R   i Ri  Ci Ri ; Ci 
j 1
i
- массовая доля i компонента.

Определим диффузионную скорость Ui* как разность
скоростей движений
компонента и среднемассовой скорости смеси



U ix  U ix  U
(7.22)
Тогда уравнение неразрывности (7.17) для i - компонента примет вид


Сi (U x  U xi )  Сi (U у  U уi ) 
x
у
N

j 1( j i )
J ji
(7.23)

В соответствии с законом диффузии, скорость диффузии U i выражается
через градиенты массовых долей, температуры и давления
Di
DiT
DiP
U   gradCi 
gradT 
gradP
Ci
T
P

i
(7.24)
где Di , DiT , DiP - коэффициент массодиффузии, термодиффузии и барродиффузии.
Пренебрегая барродиффузией в пограничном слое и слагаемым
 D C  1

Сi  i i  ~
х
 Ci х  1
по сравнению с величиной
 D C  1

Сi  i i  ~ 2
у
 Ci у   D
получим уравнение диффузии i – ого компонента в плоском двумерном
пограничном слое
Ci
Ci    Ci Ti
T   N
U x
 U y
    Di
 Ci
    J ji
x
y у  
y T
y   j 1
(7.25)
7.1.3 Тройная аналогия
Рассмотрим уравнение движения (7.6), энергии (7.8) и диффузии i – ого
компонента при следующих допущениях
ρ = соnst, Ср = соnst, λ= соnst, DiT  0 , Jji = 0, Ф = 0,
Ux
U x
U х   U x 
U y
 

x
y
у  у 

 0.
x
(7.26)
(7.27)
Ux
Т
Т   Т 
U y
 

x
y у  у 
(7.28)
Ux
Сi
C
  C 
 U y i   Di i 
x
y у 
у 
(7.29)
где  

- коэффициент температуропроводности
Cp
Уравнения (7.27), (7.28), (7.29) можно записать в одинаковом виде
Ux
Фк
Фк   Фк 
U y
  Ск

x
y
у 
у 
(7.30)
где Ф1 = Ux, С1 = ν; Ф2 = Т, С2 = α; С3 = Di
Коэффициенты Ci численно совпадают при равенстве критериев
Рr 


D
 1; Sc   1; Le  1

D

(7.31)
   D
При этом
(7.32)
Запишем уравнение (7.32) (К = 1, 2, 3) в безразмерном виде, выбрав в качестве
масштабов параметры на внешней границе пограничного слоя Ux ~ U∞, ρ ~ ρ∞,
y1 ~ δ, y2 ~ δT, y3 ~ δD; λ ~ λ∞, ν ~ ν∞,T ~ T∞, Ci ~ Ci∞, x ~ l, где l – длина участка
поверхности,
диффузионный
на
которой
рассматриваются
пограничные
слои.
динамический,
Уравнение
движения
тепловой
(7.30)
и
для
динамического пограничного слоя в безразмерном виде:
U x
U х  l  1   U x 
U y
 


x
y    Re у  у 
2
Uх
(7.33)
Здесь параметры с чертой – безразмерные,
U x
U
 l

Ux
, U y  y ,   , R  
U


U
Все слагаемые в (7.33) имеют одинаковый порядок при условии
U l

1
1
l
~1 или при
~
, где Re   .
  
l

   Re
Re 
2
Таким образом, толщина динамического пограничного слоя имеет
порядок
δ~
l
Re 
(7.34)
Уравнение энергии (7.31) для теплового пограничного слоя в безразмерном
виде запишется в виде:
Uх
Т
Т  l 
1
   Т 
U у
  2 


x
y   Т  Рr Re у   C p у 
где U у 
Uy
U
, у
(7.35)
  Cp
у
, Рr     - число Прандтля
l

слагаемые в (7.35) имеют одинаковый порядок, если
 l

 Т
l
Re Pr
следовательно δТ ~
2

1
~1 и
 
Re
Pr



(7.36)
Уравнение диффузии i – ого компонента (7.31) преобразуется к
безразмерной форме
2
С
C  l 
1
  Ci 
Ux i U у i    
 Di

x
y   D  Sc Re  у  у 
где Sc 
(7.37)

  Di
Слагаемые в уравнении (7.37) имеют одинаковый порядок если множитель
 l

D
2

1
 
 Sc  Re
имеет порядок 1 и следовательно толщина диффузионного
пограничного слоя имеет порядок:
δ~
l
Sc Re
(7.38)
Сопоставим (7.38) с (7.35) и (7.36) с (7.35) будем иметь


1
1
~
и
~


Sc
Pr
D
(7.39)
T
Из выражений (7.39) следует, что δD >δ при числах Шмидта Sc <1 и δD <δ, если
Sc >1, а также δТ >δ при Рr <1 и δТ >δ при Рr >1.
Толщины пограничных слоев имеют одинаковый при Sc = 1, Рr = 1. В этом
случае в оценочных расчетах полагают δ = δТ = δD
Уравнение
(7.32)
тождественно
для
динамического,
теплового
диффузионного пограничного слоя. При подобии граничных условий при
и
у
= 0: Uст = 0, Т = Тст = соnst, Ci = Ciст = соnst и при у→∞ U → U∞ = соnst, T →
T∞ = соnst, Ci → Ci∞ = соnst, должно быть подобие безразмерных полей
скорости U х ( y ) , температур  ( у )  Т  Т СТ
C( y) 
и
и концентрации
(Т   Т СТ )
C i CiСТ
Ci  CiС
Ux    C
(7.40)
и следовательно
U х  С


y
y y
(7.41)
На стенке при у = 0 касательные напряжения iст, удельный тепловой поток qст и
поток массы i-ого компонента jст определяются с учетом (7.41) соответственно
законом Ньютона
 U  U x
 U 
 СТ    x 

 y  y  0
l
(7.42)
y
законом Фурье
 T 
 (T  TСT ) U x
qСТ   


l
y
 y  y  0
законом Фика
 C
jСТ    Di  i
 y
(7.43)

 Di (Ci  C iСT ) U х


l
y
y  0
(7.44)
Касательное напряжение на стенке определяется как
 СТ  С f
U 2
(7.45)
2
Тепловой поток через стенку в поток
qСТ   (TСT  T )
(7.46)
Удельный расход находится из уравнения
jСТi  i ( iСT  i )
(7.47)
В уравнениях (7.45), (7.46), (7.47) используются коэффициент трения на стенке
Сf,
коэффициент
теплоотдачи
α
и
коэффициент
массоотдачи
β i.
Экспериментальное определение Сf, α и βi и обобщение их в критериальном
виде является одной из основных проблем теплообмена. В приближенных
инженерных расчетах используется следующий подход
Выражая
U x
y

СТ
Сf
2
Re
U x
из соотношений (7.42) и (7.45) получают
y
(7.48)
Из (7.43) и (7.46) следует

y
 Nu
(7.49)
cT
Из составления (7.44) и (7.47) получаем
С
y
 Nuмi
(7.50)
cT
где Nuмi 
il
Di
- диффузионное число Нуссельта.
Приравнивая (7.48), (7.49) и (7.50) в соответствии с уравнением (7.41) получаем
приближенное вследствие ряда допущений, соотношение
Сf
2
Re  Nu  Nuмi
(7.51)
Число Стантона равное
Ct 
qСT
Cp U  (T  T СT )
(7.52)
выражается через Nu, Re, 2Pr:
Ct 
Nu
Re Pr
(7.53)
Соотношение (7.51) выражает «тройную аналогию» между безразмерными
параметрами трения, теплообмена и массообмена. Аналогия между трением и
теплообменом носит название аналогии Рейнольдса.
7.2 Интегральные соотношения импульсов, энергии и диффузии.
7.2.1 Характерные толщины пограничных слоев.
Дифференциальные
уравнения
пограничного
слоя,
решаемые
численными методами, требуют задания граничных условий трения и
тепломассобмена. Для этого необходимы обобщение опытных данных.
Существенные практические результаты достигнуты путем применения
уравнений импульсов, энергии и диффузии в интегральной форме. Важными
для расчетов характеристиками являются толщина вытеснения δ*, толщина
потери импульса δ**, толщина потери энергии (энтальпии) δт** и толщина
потери вещества δD**.
Толщину вытеснения δ* определяют как отрезок по нормали к стенке,
через который массовый расход идеальной жидкости был бы равен потере
расхода в сечении пограничного слоя из-за диссипативных потерь вследствие
трения и вихреобразования

 U     (U   U x )dy
(7.54)
0
откуда

   (1 

0
U x
)dy
U 
(7.55)
Толщина потери импульса δ** - это отрезок по нормали к стенке, через
который при течении идеальной жидкости проходило бы секундное количество
движения, равное потере количества движения, равное потери количества
движения в сечении пограничного слоя, вследствие трения и вихреобразования:

U 2     U х (U   U x )dy
(7.56)
0
откуда

U x
U
(1  x )dу
U 
U
   
0
(7.57)
Толщина потери энтальпии - это такое расстояние от стенки по нормали,
через которое при течении идеальной жидкости проходит секундное
количество разности полной энтальпии
 U Ср (Т СТ  Т  ) , равное разности
энтальпии в реальном потоке

U Ср (Т СТ  Т  )   U х (Т   Т  )dy ,


Т
(7.58)
0
откуда

 

Т
0
U x Cp
Т Т
 (1  СТ
)dу
U Ср
Т СТ  Т 
(7.59)
Толщина потери i-ого вещества δD** - расстояние от стенки по нормали, через
которое при течении идеальной жидкости проходило бы секундное количество
i-ого вещества при массообмене

U  (СiСТ  Ci  )    U х (Сi  Ci )dy
D
0
откуда
(7.60)

   
D
0
U x
C  Ci
 (1  iСТ
)dу
U 
CiСТ  Ci
(7.61)
7.2.2 Интегральное соотношение импульсов.
Интегральное соотношение потери количества движения получается
интегрированием
уравнения
движения
в
проекции
на
ось
х
(7.6).
Интегрирование ведется по у от у = 0 до у = δ. Используется также уравнение
неразрывности (7.5). После преобразований получают

 U
d 
 Б (2  Н12  М 2 )  СТ 2  СТ СТ
dx
U  U 
где Б 
(
dU 
dx
  dU 
U  dx
(7.62)
- параметр, характеризующий характер изменения скорости
> 0 – конфузорное течение,
dU 
dx
< 0 – диффузорное течение) при
обтекании поверхности. Предистория течения в пограничном слое отражается
на толщине потери импульсов в сечении δ
Маха равно М  
U

**

и форм параметра Н 12   . Число

, где   KRT - скорость звука; Ucт – проекция скорости на
(п. 7) ось х при подводе или отводе массы через стенку.
При обтекании поверхности несжимаемой жидкостью или газом при
числе Маха М < 1 и отсутствие массообмена через поверхность уравнения
(7.61) имеет вид
С
d 
 Б (2  Н12  f )
dx
2
(7.63)
Соотношение(7.61) замыкается модельным уравнением, найденным при
экспериментах, обобщенных опытных данных
dН12
 f ( Н12 , C f , Pi ) ,
dx
(7.64)
где Рi –параметры и функции, найденные опытным путем, коэффициент трения
Сf зависит от Re 

U  

и Н12
Для системы двух дифференциальных уравнений (7.63), (7.64) ставятся два
начальных условия
х = 0, δ** = δо**, Н12 = Н120
(7.65)
Решение системы уравнений (7.62), (7.64) с граничными условиями (7.65)
относится к задачам Коши, которые решаются стандартными численными
методами (метод Рунге – Кутта и др.).
7.2.3 Интегральные соотношения энергии и диффузии
В качестве исходных используются дифференциальные уравнения
энергии в формуле Широкова (7.42)

Ср U x

U 2x 
Т 
Т   
  
U y


Т

(
Рr

1)




x
y  у y 
2Сp 
и умноженное на энтальпию торможения СрТ*∞ уравнение неразрывности (7.5)
или, для несжимаемой среды (7.11).
Ср


( U х  )  Ср ( U у  )  0
x
y
(7.66)
Вычитая (7.66) из (7.42) и интегрируем по у от 0 до ∞(практически до у = δт



U 2x 



  




получаем Ср  U x (Т  Т  )dy Ср  U y (Т  Т  )dy    Т  ( Рr  1)

х
y
у y 
2Сp 
0
0
0
 y
(7.67)
Используются граничные условия при у = 0, Ux = Uxcт, Uу = Uуcт, Т* = Тст*; при у
=δт**, Ux = U∞, Uу = 0, Т* = Т∞*;
Второй определенный интеграл в правой части (7.67) вычисляется как
 СТ U СТ (Т СТ  Т   ) , а интеграл в правой части равен


U 2x
Т 




(
Рr

1)
y 0
y
2Сp 0
С учетом (7.56) получаем из (7.66):
 
1
( Т U  T ) 
(qСT  Cp СTU СT T )
х
Cp
где ΔТ = Тст –
Т*∞,
qСT  
Т 
y
(7.68)


0
При известных ρ∞(х), U∞(х), ΔТ(х), qст(х) Uст(х) уравнение(7.68) решается с
граничным условием х = 0, δт** = δто**. Решение проводится
численно,
например,
получаем
методом
Рунге-Кутта.
распределение δт** = δто**(х).
Введя число Стантона
В
результате
решения
St 
qСT
Cp  U  
в уравнение (7.68) получаем
St 
 W
dT
1 dU 
 d ln T
 T 

(1  М 2 )  СТ СT
х
U  х
U 
 х
Аналогично
предшествующему
(7.69)
выводу
получается
соотношение
диффузии в пограничном слое. Для этого используются уравнения диффузии i
– ого компонента (7.29) и уравнение неразрывности (7.11), умноженное на С i .
Интегральное соотношение диффузии приобретает вид
d D

х
 
j
d
( U  Ci )  СТ  St D
U  Ci х
U 
(7.70)
D
где StD 
jСТ
- диффузионное число Стантона.
U  (CiСТ  Ci )
Удобной формой записи уравнений (7.63), (7.68), (7.70) является следующая:
C
d Re
 Б Re l (1  H )  Re fo  (  b)
12
l 2
dx
d Re Т


dx
d Re D

dx

d Т
 Re l St 0 ( S  bT )
Т dx
Re Т
(7.72)

Re d Ci
 D
 Re l St D 0 ( D  bD )
Ci dx

где Re
(7.71)

 U 
, ReТ




U 

(7.73)
T

, Re
D

U 

D
- характерные числа Рейнольдса
динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев; С f0. StD0 –
коэффициент трения и тепловое и диффузионное числа Стантона в
стандартных условиях на плоской пластине при тех же числах Рейнольдса,

Cf
C f0
,
S 
St
,
St 0
D 
St D
St D 0
- относительные законы трения, теплообмена и
массообмена при тех же числах Рейнольдса;
b
2 СTU СT
 U
 U
, bT  СT СT , bD  СT СT - относительные динамический, тепловой
U C f0
U  St 0
U  St D 0
и диффузионный параметры проницаемости стенки.
ТЕМА 8. ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ
Передача теплоты при движении жидкости (газа, плазмы) под действием
внешних сил, приложенных на границах системы или поля массовых сил,
приложенных внутри системы или за счет кинетической энергии, сообщенной
жидкости вне системы называется вынужденной конвекцией. В данном разделе
рассматривается вынужденная конвекция и массоперенос в ламинарном и
турбулентном
пограничном
слое
при
обтекании
жидкостью
твердой
поверхности, теплообмен при вынужденном течении жидкости в трубах и при
поперечном обтекании труб.
8.1 Тепломассоперенос в ламинарном пограничном слое.
Интегральные
соотношения
импульсов,
энергии
и
диффузии
в
пограничном слое (7.69), (7.70) и (7.71) включают в себя относительные
параметры трения Сf0 , теплообмена St0 и диффузии StD0, определяемые «в
стандартных условиях». Под стандартными условиями понимается течение в
пограничном слое при продольном обтекании плоской полубесконечной
пластины (рис.8.1) несжимаемой жидкостью с постоянными теплофизическими
свойствами (коэффициент вязкости μ, теплопроводность λ, теплоемкость Ср,
диффузии D. Температура поверхности Тст, концентрация дифференцирующего
через поверхность вещества Сст и скорость U∞, температура Т∞, плотность ρ∞ и
концентрация примеси С∞ вне пограничного слоя постоянные величины.
Рис. 8.1. Стандартные условия тепломассопереноса на пластине.
Система дифференциальных уравнений баланса массы (7.10), импульса
(7.29), энергии (7.13) и диффузии в стандартных условиях при допущениях
Pr  Sc  Le  1; Ф  0 , DiT  DiP  0
 x  y

0
x
y
(8.1)
x
 x
 x
 2 x
y

x
y
y 2
(8.2)
x
T
T
 2T
y
a 2
x
y
y
(8.3)
x
C
C
 2C
y
D 2
x
y
y
(8.4)
Граничные условия для системы уравнений (8.1) – (8.4) задаются в виде
 x  0,  y  0, T  TCT , C  CCT , при
 x    , T  T , C  C , при
y0
(8.5)
y
Допущение о равенстве Pr  Le  Sc  1 соответствует равенствам (  a  D ,
   T   D ) и уравнения становятся идентичными, что при однотипных
граничных условиях (8.5) приводится к подобию распределения безразмерных
скоростей,
температур
и
концентрации
 x T  TCT
C  CCT


  ( )
  T  TCT C  CCT
Где  
y
в
пограничном
слое
(8.6)
- безразмерная координата по нормали к обтекаемой поверхности.

Учитывая, что в соответствии с (7.33)
~
 x

(8.7)
примем в качестве независимой переменной
  y

 x
(8.8)
В качестве искомой зависимой переменной примем, следуя Блазиусу
безразмерную функцию тока
f ( ) 

(8.9)
  x 
  
м3
с
   x   

м2
м м2
 м 
с
с
с
y

 м2



dy

0 x   с


  f ( )    x  

,    x dy - функция тока
y
0
y
где  x 
Выразим продольную и поперечную скорости из (8.8) и (8.9.)
x 
  


   f( )
y  y
y  
(8.10)
   1   


 
 (  f  f )
x  x 2
x
(8.11)
и подставим в уравнение движения (8.2). После упрощений получим уравнение
Блазиуса
  0
f  f  2 f
(8.12)
с граничными условиями
f  0,
f  0 при   0
(8.13)
f   1 при   
Уравнения (8.12) с граничными условиями (8.13) решается стандартными
численными методами, в результате чего находятся
f  f ( ),
f  f( ),
f  f ( ) , которые затабулированы и могут считаться
известными. Проекции скорости  x   x ( x, y ) и  y   y ( x, y ) вычисляются по
формулам (8.8), (8.10), (8.11). Следует отметить, что полученное решение
экспериментально подтверждено Никурадзе и другими исследователями.
Последовательно
вычисляя
  x 
 ,
 y  y  0
 CT    
 **  0,664 
 x
,

находим
коэффициент трения в стандартных условиях
c f0 
0,44
,
Re **
где Re ** 
(8.14)
   **

Уравнение энергии (8.3) решается при найденных безразмерных функциях тока
и ее производных f , f , f . Обозначив  
 ( ) 

T  TCT
, получим из (8.3)
T  TCT
Pr
 f ( )   ( )  0
2
с граничными условиями, соответствующими (8.5)
(8.15)
  0 при   0
(8.16)
  1 при   
Уравнение (8.15) интегрируется разделением переменных. Решение
записывается в квадратурах

  f ( )
Pr
 ( ) 
0

  f ( )
Pr
 d
(8.17)
 d
0
Откуда при Рr = 1
( ) 
f ( )   x 
 
f ()   
(8.18)
Локальные коэффициенты теплоотдачи  x   x (x) находим из соотношения
 T 

 y CT
 x TCT  T     
(8.19)
где T  TCT    T  TCT 
(8.20)
 T
 y
Выражая 

 с учетом (8.18) – (8.20) получаем из (8.19) выражение для
CT
локального коэффициента теплоотдачи
 x  0,332  3  Pr 

 x
(8.21)
Затем находятся локальные числа Нуссельта Nux 
x  x

Nux  0,332  3 Pr  Re x
(8.22)
и локальное число St0
St0 
Nux
0,332

2
Re x  Pr
Re x  Pr 3
(8.23)
В стандартных условиях интегральное соотношение энергии (7.66)
упрощается
d **
 St 0 
dx
откуда d Re*T 
0,332
Re x  Pr
2
3
d Re x
Интегрируя (8.24), получаем
0,332
Re x  Pr
2
,
3
(8.24)
Re **  Pr
Re x  T
0,664
2
3
и из (8.23) находим критерий Стантона в стандартных условиях
St0 
0,22
Re  Pr
**
T
4
(8.25)
3
Уравнение диффузии (7.28) при найденных полях скорости (8.10), (8.11) в
безразмерном виде имеет вид аналогичный (8.15)
 ( ) 
c
где c 
Sc
 f ( )  c ( )  0
2
ci  ci CT
Ti   ci CT
(8.26)
,
Граничные условия аналогичны (8.16)
c  0 при   0
(8.27)
  1 при   
Решение уравнения (8.26) с условиями (8.27) аналогично решению уравнения
энергии (8.15)
с граничными условиями (8.16) Локальный коэффициент
массоотдачи βх находится из соотношения
jCT   x    cx  c    D   
c
y
 x  0,332  D3  Sc  Re x
Безразмерный коэффициент массоотдачи
NuM x 
x  l
D
Следовательно, по аналогии с (8.23) – (8.25), закон массообмена для
ламинарного пограничного слоя имеет вид
St D 0 
0,22
Re *D*  Sc
где Re *D* 
4
(8.28)
3
   D**
- число Рейнольдса, подсчитанное по толщине потери вещества

 D** .
8.2 Дифференциальные модели тепломассопереноса в турбулентном
пограничном слое.
Возникновение турбулентности, спектральные свойства турбулентности,
модели турбулентного переноса массы импульса и энергии, а также системы
уравнений термогазодинамики, включая замыкающие модели турбулентности,
изучаются в курсах гидрогазодинамики. Рассмотрим уравнение пограничного
слоя
на
криволинейной
поверхности
при
следующих
упрощающих
допущениях: - среда несжимаемая, течение плоское, установившееся в среднем,
внешние массовые силы отсутствуют теплофизические свойства μ, Ср, λ постоянные, вклад диссипативной функции и работы сил давления в уравнении
энергии пренебрежимо мал, можно пренебречь интенсивностью фазовых
переходов, эффектами термо – и бародиффузии в уравнении диффузии. Тогда
исходная система уравнений (7.5), (7.6), (7.8) и (7.28) имеет вид
- уравнение неразрывности
 x  у

0
x
y
(8.29)
- уравнение движения в проекции на ось х
 x
 x
P
 2 x
x
  y

 2
x
y
x
x
(8.30)
- уравнение энергии
  c p x 
T
T
  T 

   c p  y 
  
x
y y  y 
(8.31)
- уравнение диффузии
x
C
C   C 

 y
 D
x
y y  y 
(8.32)
Каждое мгновенное значение функции
состоящим из среднего значения f
f  ( x ,  x , P , T , C )
представляется
и малой импульсационной добавки f  ,
определяемой турбулентными пульсациями
f  f  f
(8.33)
Принимается следующее правило осреднения
t
f 
1
T
T
2
 f ( )d
,
(8.34)
T
t
2
где  – время, T – период осреднения, значительно больший характерного
времени пульсаций.
Осреднение по правилу (8.34) имеет следующие легко проверяемые
свойства
1) f  g  f  g ;
f f
5)

;
 
2) af  af , где a  const ;
6) fg  f  g ;
7) f  f ;
3) a  a ;
8) f   0 ;
4)
f
f

;
xi xi
(8.35)
9) fg  f g  f  g  .
Осредним по правилу (8.32) – (8.34)
Уравнение неразрывности (8.29) представим в виде
 x   x   y   y 

0
x
y
По свойствам осреднения 1), 4), и 8) получим
 x  y

0
x
y
(8.36)
Таким образом, установлено, что уравнение неразрывности несжимаемой
жидкости при турбулентном течении сохраняет свой вид для осредненных
проекций скорости. Уравнение движения в проекции на ось х (8.30) сложим с
уравнением неразрывности (8.29) умноженным на  x . Получим, применяя
формулу (8.33)



2
  x   x  y   y 
 x   x 
P  P    x   x 


 

x
y
y
y 
x
(8.37)
Применив свойства осреднения (8.35) к (8.37), используя (8.29) и
  x 
пренебрегая малыми в пограничном слое слагаемыми
получим
x
2
 x

 x

P    x
  y x  
  
    x y 
x
y
x y  y

(8.38)
В уравнении (8.38), наряду с касательными напряжениями в ламинарном
потоке  лам  
 x
появились добавочные турбулентные напряжения
y
 турб      x y
(8.39)
При этом суммарные напряжения
   лам   турб  
 x

    x y   эф x
y
y
запишем в виде   эф
   x y
 x
, где  эф     т ,  т  
 x
y
y
 эф - эффективные полный коэффициент динамической вязкости,
т
–
турбулентный аналог коэффициента вязкости.
Уравнение энергии (8.31) сложим с уравнением неразрывности (8.29),
умноженным на  и проведем осреднение
  cp
 y   y T  T    T  T  
 x   x T  T 

   cp
  
x
y
y 
y 
(8.40)
Применив свойства осреднения (8.39) и используя уравнение неразрывности
(8.29) , получим
c p x

T
T
  T
 c p y
  
 c p T  y 
x
y y  y

(8.41)
В уравнение (8.41), наряду с ламинарным тепловым потоком qлам  
T
y
появился добавочный турбулентный поток
qтурб   c p T  
(8.42)
При этом суммарный тепловой поток равен
 T 
 ,
q  q лам  qтурб  эф 
 y 
где эф    T эффективный (полный) коэффициент теплопроводности,
T  
 T  y
(8.43)
T
y
- турбулентный аналог коэффициента теплопроводности.
Турбулентным числом Прандтля называют величину
PrT 
M T  CP
T
T
   y
 x 
T  y  x
y
(8.44)
Уравнение диффузии (8.32) складывается с уравнением неразрывности (8.29)
умноженным на концентрацию примеси С

 





 C  C   x   x   C  C   y   y
   C  C 

 D

x
y
y 
y 
(8.45)
Применив свойства осреднения (8.35) и используя (8.29) получим
 x

C
C  
C
  y
  D
  C y 
x
y y 
y

(8.46)
В уравнении (8.46), наряду с ламинарным диффузионным потоком
C
, имеется добавочный поток, связанный с корреляцией пульсации
y
j лам  D
концентрации примести и пульсации проекции скорости Uу' в турбулентном
потоке
jлам   С
(8.47)
При этом суммарный диффузионный поток
 C 

j  jлам  jтурб  Dэф 
 y 
где Dэф  D  DТ – эффективный (полный) коэффициент диффузии,
DT  
 C  
C
y
(8.48)
турбулентный аналог коэффициента диффузии. Турбулентным числом Шмидта
называется число
ScT 
T
DT
(8.49)
Для замыкания системы уравнений (8.36), (8.38), (8.41) (8.46) содержащих
помимо неизвестных  x ,  y , P , T неизвестные  труб (8.39), qтруб (8.42), jтруб (8.47)
применяются уравнения для коэффициентов турбулентной вязкости µТ,
теплопроводности λТ и диффузии DТ (8.40), (8.43), (8.48). Существует
значительное число моделей турбулентной вязкости. Например, модель
Колмогорова – Прандтля связывает динамическую вязкость  т с кинетической
энергией турбулентности К и скоростью диссипации энергии ε.
т  c 
k2

(8.50)
где C   0,09 , а К и ε находится из полуэмпирических балансовых уравнений. В
стандартной К – ε модели принимаются следующие уравнения:
- баланс кинетической энергии турбулентности К
2
  
dk
   k 
  T  x   CD 

  T
dt y   k y 
 y 
(8.51)
- баланс скорости диссипации энергии турбулентных пульсаций  
Ê
3
2
l
, где l -
характерный масштаб турбулентности
d
 
 T   
   x 
2


  C 2
       C 1  T 
dt y 
   y 
k  y 
k
2
где  k  1, CD  0,07 ,    1,3 C  1,44
1
(8.52)
C 2  1,92
– эмпирические константы.
Числа PrT и ScT задаются на основе обобщенных опытных данных, тогда
T 
T C P
PrT
,
DT 
T
SCT
, что замыкает систему уравнений турбулентного
пограничного слоя, граничные условия как и в случае ламинарного течения
задаются в начальном сечении пограничного слоя, на твердой стенке и на
внешней границе (п.7.1.1). Решение этой системы уравнений турбулентного
пограничного слоя с замыкающими соотношениями проводится стандартными
методами (методы контрольных объемов, конечных разностей и другие).
8.3 Интегральные модели тепломассопереноса в турбулентном
пограничном слое
Интегральные уравнения движения, энергии и диффузии выводятся из
уравнений (8.38), (8.41) и (8.46) в таком же порядке, как и интегральные
уравнения ламинарного слоя (п. 7.3). При этом коэффициенты  ,  , D
заменяются эффективными коэффициентами  эф , эф , Dэф . Для турбулентного
пограничного слоя получают
- уравнение импульсов
d Re **
Cf
 Б  Re (1  H12 )  Re e 0   в 
2
dx
(8.53)
- уравнение энергии
d Re *T* Re *T* dT

 Re e St0  s  вT 
T d x
dx
- уравнение диффузии
(8.54)
d Re *D* Re *D* dC

 Re e St D0  D  вD 
C d x
dx
(8.55)
Уравнения (8.53), (8.54), (8.55) по виду совпадают с аналогичными
уравнениями для ламинарного пограничного слоя. Однако зависимости для
параметров C f , St0 , St D ,  ,  S ,  D , в , вT , вD
0
для турбулентных и ламинарных
режимов течения существенно размягчаются. Основной метод, который
используется для определения этих параметров – накопление и обобщение
экспериментальных данных.
Коэффициент трения в стандартных условиях на пластине при Pr = 1, Sc =
1, обычно представляют в степенном виде
C f0 
B
(8.56)
Re 
** m
где В = 0,0252, m = 0,25 при Re** < 104.
Числа Стантона и диффузионного числа Стантона при   T   D записывают в
виде аналогичном (8.56)
St0 
St D 
B
(Re *T* ) m ;
2
B
(Re *D* ) m
2
(8.57)
Влияние теплофизических свойств сред учитывается отличием чисел
Pr и Sc от 1:
St0 
St D 

B
(Re *D* ) m  Sc 0.75
2
Числа Re *T*
и

B
(Re *T* ) m  Pr 0.75
2


(8.58)
Re *D* для стандартных условий обтекания плоской пластины
находятся, с учетом (8.58), из уравнений энергии и диффузии при граничных
условиях х = 0,
Re *T* = Re *D* =0
d Re *T*
 Re e St0
dx
d Re *D*
 Re e St D0
dx
Решением (8.59) является
(8.59)
B


Re  m  1 Pr  0.75 Re x 
2


0.8
B


Re *D*  m  1 Sc  0.75 Re x 
2


0.8
**
T
(8.60)
Влияние сжимаемости газа и неизотермичности учитывается введением
относительных законов трения, тепло- и массообмена
 Cf

 Cf
 0

  ,

Re **
 St 

   s ,
 St0 Re *T*
 St D

 St D
 0

  D

Re *D*
(8.61)
где C f , St , St D - коэффициенты трения, число Стантона с учетом сжимаемости и
изотермичности, при тех числах Re** , Re*T* Re *D*
Относительный
закон
в стандартных условиях.
теплообмена с
достаточной
для
практики
точностью может быть определен по предельным законам Кутателадзе –
Леонтьева
 S    M ,
(8.62)
 2 

где   



1


 
2
,

r (k  1)
 arctg M 
2
M  

r (k  1)
 M
2



,



TCT
, коэффициент восстановления температуры на стенке r ≈ 0,9 для
**
TCT
турбулентного пограничного слоя, К – показатель адиабаты газа.
Подвод
газа
через
поверхность
(вдув)
существенно
снижает
интенсивность теплообмена. При параметрах вдува
в
CTCT 2
 
 вT  CT CT   , называемых критическими параметрами вдува
 C f
 St0
0
относительные параметельные параметры трения и теплообмена   0 ,  S  0 .
При параметрах вдува 0  в  вkp
относительные законы трения и
теплообмена описываются предельными законами трения и теплообмена
Кутателадзе – Леонтьева.
 1 в 


вkp 

4
   1 ,




2
 Сf
 Cf
 0
 



 Re **
(8.63)
где  
TCT

 
T
CT
В случае постоянной плотности   CT   при вkp  4 уравнение (8.63) имеет
вид
1 в 

   s  

в
kp


2
(8.64)
Касательное напряжение трения, удельный тепловой поток и удельный
диффузионный
потоки
при
вынужденном
турбулентном
обтекании
поверхности определяется с учетом относительных параметров  ,  s ,  D :
 CT 
C f 0 
2
2
(8.65)
qCT  St  s     Cp  (TCT  T )
(8.66)
jCT  St  s    Cp  (CCT  C )
(8.67)
Соотношения (8.51) – (8.53), (8.63) – (8.67) составляют основу многих
инженерных методик расчета трения и тепломассообмена при вынужденном
обтекании поверхностей.
8.4 Теплообмен при вынужденном течении в трубах
При входе потока в трубу на ее стенках образуется пограничный слой. На
некотором расстоянии
lТ от входного сечения называемым начальным
участком гидродинамической стабилизации, пограничный слой занимает все
сечение трубы и безразмерный профиль скорости  x (r ) 
x
стабилизируется на
0
начальном участке термической стабилизации lТ в несжимаемой жидкости при
ТСТ = соnst стабилизируется безразмерный профиль температуры
 (r ) 
T  TCT
T0  TCT
Длина участка гидродинамической стабилизации аппроксимируется
формулой l Г  1.4 Re 00.25  d 0 . На этом участке развивается пограничный слой,
характеризующийся толщиной вытеснения δ*.
Скорость в ядре потока U0 увеличивается в соответствии с зависимостью
 x 


 1  0.185 d0.25 
01
 Re 01 
0.75


. Число Re **  Re 01   1 Коэффициент трения C 
0.0256
.
Re **0.25
Интенсивность теплообмена на начальном участке аппроксимируется
зависимостью, полученной при исследовании теплообмена при обтекании
плоской пластины
St  0.0288 Re x 0.2 Pr 0.6
(8.68)
х
где Re х  Re 01   
d 
Длина участка термической стабилизации находится по формуле
 T  0.0055 Re d0
При
числах Re < ReКР в трубах происходят ламинарное течение,
описываемое уравнениями Навье – Стокса в цилиндрической системе
координат. Пренебрегая для участка стабилизированного течения радиальной
Ur и окружной Uφ cоставляющими скорости получим для Ux=U
1 d  d 
1 dP
,
r

r dr  dr 
 dx
(8.69)
На участке стабилизации    ( y ) , а P  P (x) , следовательно
dP
 const
dx
Интегрируя (8.68) находим

1 dP 2
r  C1 n r  C2
4 dx
Константы C1  0 и C2 
(8.70)
d
r02 df
0
находятся из условий
dr
4 dx
при r = 0,  = 0 при r = r0 , где r0 - радиус трубы.
1 dP r 2 dP
х  

4 dx 4 dx
Профиль скорости при ламинарном течении жидкости в трубе имеет
параболический вид

P 2
r0  r 2
4


(8.71)
где P  P1  P2 - изменение давления на участке длиной l между сечениями
х = х1 и х = х2..
При этом средняя по сечению скорость потока
1
 2
r0
r0
 2rdr  
0
r02 dP
8 dx
Выражая из (8.72)
(8.72)
dP
dx
и подставляя в (8.71) получим профиль скорости
Блазиуса
  r 2 
  2 1    
  r0  
(8.73)
Потери давления в трубах выражаются по формуле
dP 

dx
2d
2
Тогда из (8.60) получаем

64
,
Re
где Re 
(8.74)
d
 Re kp

Применим уравнение энергии для расчета теплообмена в цилиндрической
трубе при гидравлически стабилизированном ламинарном течении. Процесс
считаем установившимся, жидкость несжимаемая, теплофизические свойства
считаем постоянными. Пренебрегаем теплом трения и тепловым потоком вдоль
трубы. Принимаем в соответствие с (8.73)
 r    0
1 r2 
 1 T  2T 
T


.
Тогда


a
 2  .
2 
x
 r r r 
 r0 
 x    2 
Вводя переменные  
 2
r
2


T  TCT
r
, r
T0  TCT
r0

1 

 1 r2
r r
x
и x
a
x
2 x

, получим
2 r0 r Re d
(8.75)
Задачу решаем при постоянстве температуры стенки трубы (Тст= соnst)
Граничные условия имеют вид
 1
при x  0 , 0  r  1

 0 при x  0 , r  0
r
  0 при x  0 , r  1
Решение дифференциального уравнения (8.75) ищем методом разделения
нерешенных, полагая
   
 x, r   x  r
(8.76)
Подставим (8.76) в (8.75) получим

1
r

     1  r 2  
(8.77)
Разделяя переменные получим
d
  k 2
dx
d 2
dr
2

и
(8.78)


1 d
 k2 1 r2   0
r dr
(8.79)
Уравнение (8.78) имеет решение   A  exp  k 2 x  , а (8.79) может решаться
стандартным численным методом. Полученное решение при
Pe
T
 250
d
аппроксимируется критериальным уравнением
N u  3,66 
Где N u 
0,0668 Ped / е
,
1  0,04( Ped / е) 2 / 3
(8.80)
d
1
,   dx - средний на длине трубы l коэффициент теплоотдачи

l
Решение уравнения (8.75) при условии постоянства удельного теплового
протока по длине трубы qСТ= соnst приводит к значению Nud≈4,36.
При ламинарном течении жидкости в вертикальной трубе при постоянной
тепловой нагрузке и совместном проявлении вынужденной и естественной
конвекции Б.С. Петуховым получено
Nu  Nu0 (1 
R 0, 27
)
B
(8.81)
Где Nu0 определяется при постоянных свойствах,
Ra  Gr  Pr 
4q CT
1,35
dT
qd 4 A
 78 x1 / 4 при х < 0,07; В

- число Рэлея, A 
, B
x
dx Cp d
16a
= 60 при х ≥ 0,07; Х 
1 х
d
, Pe 
,
Ре d
a
Уравнение (8.81) применимо при
250  Ra  8 105 ; Re  Re êð ; 3 10 4  x  xïð ; 4  Pr  6 .
При ламинарном течении в горизонтальной трубе и совместном
вынужденной и естественной конвекции при x  1,7 103 получено
действии
  Ra  4 
Nu  4.361  
4  
  1.8  10  
где Ra 
0.045
(8.82)
gqCT d 4
.
 a
Формула для определения среднего по длине коэффициента теплоотдачи
при вынужденном ламинарном движении жидкости в трубе, учитывающая
влияние свободной конвекции и направление теплового потока, может быть
представлено в виде
Nu f  0.17 Re
0.33
f
Pr
0.43
f
 Pr f
Gr 
 PrCT
0.1
f



0.25
(8.83)
где нижний индекс f, это физические параметры определяются при температуре
жидкости, СТ – при температуре стенки.
При Re < ReКР в условиях турбулентного течения коэффициент трения ξ
зависит от двух переменных числа Re 
 d
и относительной шероховатости и

приводится в справочной литературе.

Теплоотдачу для гладких труб   50  для труб круглого, квадратного,
d

 d2

 1  5.6  , щелевого
 d1

прямоугольного, треугольного, кольцевого 
a

  1  40 
b

в диапазоне чисел Re f  10 4  5 10 6 и числах Pr  0,6  2500 можно определять по
формуле М.А. Михеева
N u f  0,021 Re
0.80
f
Pr
0.43
f
 Pr f

 PrCT



0.25
(8.84)
где в качестве определяющего размера принимается эквивалентный диаметр
d эк 
4F
, П - периметр.

Для воздуха формула упрощается
Nu f  0.018 Re 0f.80
(8.85)
8.5 Теплообмен при поперечном обтекании труб
Рассмотрим процесс поперечного обтекания цилиндрической трубы
потоком несжимаемой жидкости (рис. 8.1)
Рис 8.1. Схема поперечного обтекания трубы
При обтекании цилиндра вблизи передней критической точки А давления
падает с ростом угла φ. При углах (φ ≥800) давление возрастает. Поверхностные
силы давления действуют навстречу основному потоку. В этом же направлении
действуют силы трения на поверхности. Ламинарный поток отрывается от
стенки при φ01 ≈ 820.
Такой режим наблюдается при числах Re  9  2 105 . При больших числах Re
ламинарное течение переходит в турбулентное и точка отрыва О2 соответствует
углу φ = 110 – 1200. Поле скорости при обтекании цилиндра определяет
распределение локальных коэффициентов α=α(φ, Re). Максимальное значение
α имеет вблизи передней критической точки А, где пограничный слой имеет
минимальную толщину. При увеличении φ до φ0 толщина пограничного слоя
возрастает. В этой области коэффициент теплоотдачи может определяться по
формулам теплоотдачи в пограничном слое (п. 8.1, 8.2) При φ > φ 0 поток
периодически отрывается от стенки, что приводит к разрушению пограничного
слоя и росту коэффициента теплоотдачи на теплоотдачу существенно влияет
число Re, а также степень турбулентности. Среднее по поверхности цилиндра
число Нуссельта при
Re = 5 ÷103
Nu f  0.5 Re
0.5
f
Pr
0.38
f
 Pr f

 PrCT
при Re  10 3  2  10 5



0.25
(8.86)
Nu f  0.25 Re
0.6
f
Pr
0.43
f
 Pr f

 PrCT



0.25
(8.87)
при Re  2  10 5  2  10 6
 Pr f
Nu f  0.023 Re 0.8 Pr 0.37 
f
f
 Pr
 CT




0.25
(8.88)
Обобщение опытных данных показывает, что при обтекании цилиндра под
углом атаки φ
Nu f  Nu f  1 0.54 cos  ,
(8.89)
где 30 0    90 0
Для тонкой цилиндрической проволоки (например, для чувствительного
элемента термоанемометра) d = (2  10) 10-6 м
Nu  0.57 Re 0.5 Pr 0.33  0.42 Pr 0.2
(8.90)
где Re  10 2  10 4 , Gr Pr  10 4
Теплообмен в первом ряду пучка труб можно рассматривать как
обтекание одиночного цилиндра независимо от геометрии пучка. Трубы
второго
и последующего
рядов лежат в вихревых
следах от труб
предшествующих рядов. Поэтому коэффициенты теплоотдачи пучка труб
выше, чем коэффициент α при обтекании цилиндра. Начиная с третьего ряда,
интенсивность теплообмена стабилизируется.
Средний коэффициент теплоотдачи для рядов, начиная с третьего ряда
 d

 Nu  3 
 

Nu  C Re Pr
n
0.33
 Pr f

 PrCT



0.25
s
(8.91)
где - для шахматного пучка труб
C  0.56
n  0.5
при Re  0.10 
C  0.35
n  0.6
при 10
3
3
 Re  0.10 5
- для коридорного пучка
C  0.56
n  0.6
при Re  0.10 
3

C  0.25
n  0.65
при 10
3
 Re  0.10 5

Для шахматного пучка труб εS = (S1 /S2) 0,2 при S1 /S2 < 2 и εS = 1,12 при S1 /S2 ≥
2. Для коридорного пучка εS = 1. Коэффициент теплоотдачи для труб первого
ряда α1 = 0,6 α3, для второго ряда α2 = 0,7 α3 для шахматного пучка и α2 = 0,9 α3
для коридорного расположения труб в пучке.
Средний коэффициент теплоотдачи для всего пучка, состоящего из рядов
труб, определяется по формуле
n


i
Fi
1
b
F
i
1
Fi - площадь поверхности теплообмена труб i-ого ряда.
ТЕМА 9. ЕСТЕСТВЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ
Естественная
или свободная конвекция происходит в газах или
жидкостях с переменной плотностью в поле массовых сил, например, в поле
земного тяготения. При этом возникают силы плавучести (Архимеда). В
реальных условиях механизмы естественного и вынужденного переноса тепла
могут действовать одновременно. Соотношение между тепловыми потоками,
вызванными
естественной
и
вынужденной
конвекцией
отношением сил плавучести пропорциональных ∆ρqh (где
оцениваются
∆ρ - разность
плотностей в точках, разделенных расстоянием h, q - ускорение свободного
падения) и сил инерции пропорциональных ρU2. Это отношение называется
числом Ричардсона.
Ri 
 g h
 02
При малых относительных изменениях плотности


по сравнению с
 02
характерной величиной
преобладает вынужденная конвекция. При условии
gh


>
 02
процессом,
gh
определяющим перенос тепла является естественная
конвекция.
Разность плотностей ∆ρ = ρ – ρ0 выражают через разность температур
   0    T  T0  ,
1 dP
где      - коэффициент термического расширения.
  dT  P
Критерием, определяющим интенсивность теплообмена при естественной
конвекции, является число Грасгофа, которое характеризует соотношение сил
плавучести и вязкости
Gr 
  T  e 3  g
2
При обработке опытных данных о теплоотдаче при естественной конвекции
используется также число Рэлея
Ra  Gr  Pr
В модели Буссинеска изменение плотности учитывается лишь при
определении массовой силы плавучести.
 FX     0 g X    Tg X
(9.1)
где g x - проекция ускорения свободного падения на выбранную ось координат
х.
Тогда уравнение плоского движения в проекции на ось х при условии
 2 x
y 2
 2 x
x 2
запишется в виде
x
 x
 x
P
 2
y

 g x  T   2
x
x
x
 y2
(9.2)
Естественная конвекция вблизи твердой стенки в большом объеме
обладает
свойствами
непосредственно
пограничного
связано
с
слоя.
распределением
Однако
поле
температуры.
скорости
Рассмотрим
ламинарное течение в пристенном слое вблизи нагретой вертикальной
пластины в неограниченном пространстве.
Уравнения пограничного слоя для стационарных свободноконвективных
течений имеет вид:
- уравнение неразрывности
 x  y

0
x
y
(9.3)
- уравнение движения в проекции на ось х
x
 x
 x
 2 x
y
 g T  T f   
x
y
y 2
(9.4)
- уравнение энергии
x
T
T
 2T
y
a 2
x
y
y
(9.5)
Для решения (9.3) – (9.5), следуя Польгаузену, переходит к новым переменным

Cy
x
f   
1
4
 x, y 
4 C x
3
4

T  Tf
(9.6)
TCT  T f
где ψ (х,у) - функция тока, C  4
g TCT  T f

4 T f
2
Проекции скорости в этих переменных выражаются следующим образом
1 2
 x  4 x 2 C f 
y  Cx
1
4  f   3 f 
(9.7)
Тогда из (9.6), (9.7) получим два обыкновенных дифференциальных
уравнения:
f ' ' '3 ff ' '2( f ' ) 2    0
 ' '3 Pr f '  0
(9.8)
Система (9.8) решается при следующих граничных условиях
f ( )  f ' ( )  0 ,  ( )  1
при
f ' ( )  0  ( )  0 при   
 0
( x   y  0 , T  TCT )
( x   y  0 , T  T f при   )
(9.9)
Уравнения (9.8) с граничными условиями (9.9) решаются численно или
методом интегральных соотношений. Полученное численное решение после
перехода к исходным физическим переменным
x, y ,  x ,  y , T
определяет
локальное число Nu x :
Nu x  0.359 Grx
0.25
(9.10)
и среднее число N u
Nu  0.478 Grx
0.25
где Gr  g 3 q
(9.11)
TCT  T f
2
.
Для расчета теплоотдачи от пластины, установленной с учетом наклона
между нижней теплоотдающей поверхностью пластины и вертикалью φ
 1  cos   
Nu  0.48
Gr
2

0.25
где 105  Grf  109
Для обращенной вверх нагретой пластины
(9.12)
Nu  0.54 Ra 0.25
(9.13)
где 10 5  Ra  2  10 7
Для турбулентной естественной конвекции установлена критериальная
зависимость
Nu  0.0674(Gre  Pr1.29 ) 0.33
(9.14)
где Pr=2.4-118 , 4 1010  Ra  9 1011
При расчете конвективной теплоотдачи за счет механизма естественной
конвекции для вертикальных пластин, горизонтальных и вертикальных
цилиндров, шаров применяется формула
N  CRa k
(9.15)
где характерный размер для вертикальных пластин и цилиндров – высота, а для
горизонтальных цилиндров и шаров – диаметр, физические параметры
определяются при T 
(Tc  Te )
,
2
Pr>0.7
Эмпирические константы С и n различные в разных диапазонах по числу Рэлея:
Ra  Gr  Pr
(9.16)
- режим псевдотеплопроводности (10-3<Ra<5∙102) , С = 1, 18, n 
1
8
- режим сформировавшегося ламинарного слоя
5  10 2  Ra  2  10 7
С = 0,54 ;
n
1
4
- переходный и турбулентный режим
2  10 7  Ra  10 3
С = 0,135 ; n 
1
3
При естественной конвекции в ограниченном пространстве толщина слоя
соизмерима с размерами пространства. Поэтому перенос теплоты существенно
зависит от формы этого пространства.
В слое жидкости или газа с температурой нижней пластины Т2 > Т1,
расположенном
между
двумя
плоскими
горизонтальными
пластинами,
отстоящими на расстоянии δ, естественная конвекция возникает при
Ra  Raкр ,
где Ra  Gr  Pr 
g     3  T1  T2 
- число Рэлея, Raкр = 1700.
 a
(9.17)
При 1700  Ra  3 10 3 возникает ползущее течение с малыми скоростями.
Образуются шестигранные в плане ячейки. В опытах с большинством
жидкостей отличается подъем жидкости в центрах ячеек и опускание на гранях.
В опытах с газами наблюдается обратная картина, что связано с возрастанием
вязкости с ростом температуры. Вязкость жидкости снижается с ростом
температуры. Критериальное уравнение теплообмена имеет вид
Nu  0,0012 Rà 0,9
где Nu 
(9.18)
экв
, экв - эквивалентная с учетом конвекции теплопроводность.

Режим развитой ламинарной конвекции наблюдается при
3 103  Ra  2,5 10 4 , возникает структура чередующихся длинных горизонтальных
валов. Число Нуссельта определяется зависимостью
Nu  0,24 Ra 1/ 4
В переходном режиме 2,5  Ra  3 104
Nu  0,3Gr 0,16 Pr 0, 21
При
(9.19)
Ra  310 4
Nu  0,1Gr 0,31 Pr 0,36
(9.20)
В формулах (9.17) – (9.20) в качестве определяющей принята температура
T
(T1  T2 )
, определяющий размер – δ.
2
Удельный тепловой поток через рассмотренный щелевой зазор δ
находится по формуле
q
экв
(1  2 )

(9.21)
где экв  N u  
Следует отметить, что численные решения уравнений Навье-Стокса
удовлетворительно
согласуются
с
обобщенными
экспериментальными
данными (9.17) – (9.20).
Рассмотрим конвекцию воздуха в вертикальном щелевом зазоре δ между
плоскими пластинами высотой h (h / δ = 10) имеющими температуры Т1 и Т2 >
Т1
при
0  Gr  2,8 103
коэффициентом
интенсивность
теплопроводности.
При
переноса
теплоты
определяется
2,8 103  Gr  2,5 10 4
наблюдается
режим, когда начинает формироваться ламинарное течение. В диапазоне
2,5 10 4  Gr  3,2 105 появляется режим развитого ламинарного пограничного
слоя. Переходный от ламинарного к турбулентному слою характеризуется
условием 3,2 105  Gr  107 . При Ra  10 7 наблюдается развитое турбулентное
течение.
Для капельных жидкостей при 103  Ra  10 7 и 5  h   20
Nu  0,28Rà 1/ 4 (h /  ) 1/ 4
(9.22)
Для воздуха при 103  Gr  5  106 и 2,5  h   47
Nu  0,119Gr 0,3 (h /  ) 0,1
(9.23)
В формулах (9.22) и (9.23) характерный размер – ширина щели δ, T 
∆Т = Т2 – Т1, N u  экв / 
(T1  T2 )
,
2
ТЕМА 10. ТЕПЛООБМЕН ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА.
10.1 Виды конденсации, равновесие капли конденсата на поверхности,
термическое сопротивление при пленочной конденсации. Режим течения
конденсата в пленке.
Конденсацией называется процесс фазового перехода пара в жидкое или
твердое состояние. При конденсации выделяется тепло фазового перехода.
Конденсация происходит при охлаждении или (и) сжатии пара при таких
температурах и давлениях, когда конденсированная фаза становится более
устойчивой, чем газообразная. Пар конденсируется в жидкость, если
температура и давление больше их критических значений для данного
вещества. Пар сублимируется
или в твердую фазу, если температура и
давление меньше их критических значений, соответствующих тройной точке
(рис.1.).
P, Па
жидкая
фаза
твердая
фаза
газовая
фаза (пар)
Тройная точка
(лед, жидкость,
пар в равновесии)
Pкр
Tкр
Рис.10.1 Диаграмма состояния
Т, К
Рис. 10.2 Процесс конденсации пара в T-S координатах.
Процесс конденсации пара при отводе тепла и условиях Т  Т н ( р )  const ,
pï  const представлен на рис.10.2
Конденсация может
происходить на охлаждаемой поверхности или в
объеме.
При конденсации количество молекул пара, попавших в жидкость, из пара
и оставшихся в ней за единицу времени Nl меньше или равно количеству
молекул пара попавших на поверхность жидкости Ngl. Некоторое количество
молекул Ng из жидкости попадает в пар. Отношение величин Nl и Ngl
K
Nl
N gl
(10.1)
находится в диапазоне 0K1 и называется коэффициентом конденсации. При
К=0 масса конденсата остается постоянной – устанавливается динамическое
равновесие.
Конденсация насыщенного на твердой поверхности происходит при
температуре поверхности меньшей, чем температура насыщения при данном
давлении.
Перегретый
пар
охлаждается
до
ТП=ТН,
а
затем
может
конденсироваться.
Если конденсат смачивает поверхность теплообмена, то на поверхности
вначале образуется тонкая пленка жидкости, наблюдаются флуктуации
толщины этой пленки. По мере осаждения конденсата, толщина пленки растет.
В поле сил тяжести пленка растекается. При непрерывном процессе масса
стекающей
жидкости
восполняется
массой
конденсирующегося
пара.
Образование на поверхности сплошной устойчивой пленки конденсата
называется пленочной конденсацией. Образование конденсатной пленки на
поверхности создает существенное термическое сопротивление передаче тепла
от пара к более холодной стенке.
При некоторой, критически малой, толщине пленки (порядка микрона) на
несмачиваемой поверхности пленка разрывается на капли. Капли образуются
вблизи микронеровностей, неоднородностей поверхности, где действуют силы
поверхностного натяжения, стремящиеся уменьшить поверхность капли.
Вбирая в себя конденсат, капли растут. Они могут скатываться на наклонной
поверхности под действием сил тяжести. Образуются новые капли. Такой
процесс называется капельной конденсацией. При капельной конденсации, изза отсутствия термического сопротивления сплошной жидкой пленки,
теплоотдача может увеличиваться в 5 – 10 раз, по сравнению с пленочной
конденсацией, что необходимо учитывать при теплотехническом расчете
конденсационных аппаратов.
Равновесие капли конденсата на поверхности.
Образование капли конденсата на твердой поверхности происходит при

взаимодействии сил поверхностного натяжения  sg на границе между твердой


стенкой и паром (газом),  lg - между жидкостью и газом и  sl - между стенкой и
жидкостью (рис.10.3). Здесь нижние индексы соответствуют s (solid) – твердой,
g (gas) – газообразной, l (liquid) – жидкой фазе.
y
газ
lg
жидкость
sg

sl
стенка
r
Рис.10.3. К условию равновесия капли
Из условия равновесия капли на поверхности следует равенство проекций
сил на ось r в точке A (рис.10.3):
 sg   sl   lg cos 
(10.2)
отсюда краевой угол смачивания:
  arccos
 sg   sl
 lg
(10.3)
На несмачивающейся жидкостью твердой поверхности S,  = 180о и
вблизи поверхности S образуется тонкая пленка адсорбированного газа, при 
= 0о газ соприкасается только с жидкостью и равновесие капель не
устанавливается. При 0о<90о имеется частичное смачивание, а при
90о<180о частичное несмачивание.
Термическое сопротивление при конденсации на поверхности.
Интенсивность
конденсации
(видимой)
пара
в
жидкость
может
оцениваться из представлений кинетической теории для идеального газа [1,2].
j gl 
Pп
Pпов
2 K 

2  K  2RпTп
2RпTпов
 кг
,
 м 2с

(10.4)
где Тп, Рп – температура пара и давление насыщенного пара при этой
температуре. Тпов, Рпов – температура на поверхности конденсата и давление
насыщения пара при этой температуре. Rп – газовая постоянная пара, К –
эмпирический коэффициент конденсации.
Термическое сопротивление R передаче тепла от пара через пленку
конденсата толщиной  состоит из двух слагаемых:
R  R  Rф
где R 
(10.5)
Tп  Tc 1
 , q, (Вт/м2) – плотность теплового потока, , (Вт/м2К) –
q

коэффициент теплоотдачи от пара к стенке,
сопротивление пленки конденсата,
Rф 
Tп  Tпов
q
R 

ж
- термическое
- называется (условно)
термическим сопротивлением фазового перехода.
Теплота фазового перехода равна:
q  r  j gl ,
Вт
м2
(10.6)
где r, (Дж/кг) – удельная теплота конденсации сухого насыщенного пара.
Тогда из (4) и (6) получаем:
Rф 
Tп  Tпов Tп  Tпов (2  K ) 2Rп



Pп
r  j gl
r
2K
Tп

1
Pпов
(10.7)
Tпов
Из этих формул следует, что термическое сопротивление на границе фаз
зависит от вида и давления пара, коэффициента конденсации и температурных
условий. При К < 1 возникает разность температур Тп - Тпов (рис.10.4).
Коэффициент теплоотдачи при пленочной конденсации

где R 
q
1
1
 
,
Т П  Т С R R  Rф

, а Rф - определяется формулой (10.7)
ж
Режимы течения конденсата в пленке.
При течении конденсата вблизи поверхности в поле сил тяжести возможны ламинарный,
переходный и турбулентный режимы. Переход от одного режима к другому зависит от
критерия Рейнольдса:
Re 
V
(10.8)
ж
где Vж 
1


V dy
x
- средняя по толщине пленки скорость течения конденсата,
0
 - толщина пленки в сечении х, ж, (м2/с) – коэффициент кинетической
вязкости конденсата.
При Re  Reкр1 течение конденсата в пленке полагается ламинарным, в
диапазоне Reкр1  Re  Reкр2 режим течения переходный, наблюдается волновая
структура поверхности, «перемещаемость» зон турбулентности и областей
ламинарного течения. При Re > Reкр2 течение турбулентное. Пренебрегая
особенностями переходного режима, полагают, что переход из ламинарного
режима к турбулентному, в пленке конденсата, происходит при числе Re= Reкр,
которое находится в диапазоне Reкр=60–500. При конденсации пара на
вертикальной стенке принимают в частности Reкр  400.
Случайные
возмущения
потока
приводят
к
появлению
волн
на
поверхности конденсатной пленки. Это явление определяется балансом сил
поверхностного натяжения, вязкости, инерции и сил тяжести. Максимальная
скорость наблюдается на вершине волны. При малых числах Reкр1ReReволн,
возникающие в конденсате возмущения сносятся вниз по потоку и устойчивой
волновой структуры пленки не образуется. При ReволнReReкр2 наблюдается
устойчивый волновой режим. Для пленки конденсата, стекающей по
вертикальной
поверхности
под
действием
силы
тяжести,
используют
следующую формулу:




Re вол н  0.56  
1/ 3 4 / 3 
 ж g  ж 
3 / 11
(10.9)
В частности, при конденсации водяного пара, при температуре Тс = 288 К,
Reволн  5.0.
При тщательном устранении возмущений, в экспериментах установлена
возможность перехода течения пленки из ламинарного в турбулентный режим,
минуя режим с волновой структурой поверхности стекающей пленки
конденсата.
Плотность теплового потока при стекании пленки конденсата.
Тепловой поток q, (Вт/м2) при конденсации сухого насыщенного пара
определяется зависимостью (6). На интенсивность теплообмена при пленочной
конденсации влияют скорость и направление движения пара, примеси,
давление насыщенного пара, вязкость и плотность конденсата, форма и
расположение поверхности конденсации. Массовый расход конденсата в
сечении x (рис.10.5) на вертикальной поверхности конденсации:

G   ж  Vx dy   жVж  l z
(10.10)
0
где Vж – средняя скорость движения конденсата выражается через
среднюю скорость поступающего к стенке конденсирующегося пара V п ,
площадь конденсации f  x  l z , где lz – размер стенки в направлении нормали к
плоскости xy и через плотности пара и жидкости:
G   п Vп  x  l z
(10.11)
На участке [0,x] за одну секунду конденсируется G, (кг/с) конденсата и
передается тепловая мощность:
Q  q  x  l z    T  x  l z
(10.12)
где  - средний на участке [0,x] коэффициент теплоотдачи  
x
1
  dx ,
x 0
   x - локальный в сечении x коэффициент теплоотдачи, T - средний на
участке [0,x] температурный напор. С учетом (10.6) получаем:
Q  r  j gl  x  l z  r  G , (Вт)  r ж  ж    l z
(10.13)
где G = jglf – массовый расход пара, конденсирующегося на поверхности f
= х∙lZ и стекающей через сечение δ(х), lZ.
Из сопоставлений формул (13) и (12) получаем
Q  r   ж Vж    l z    T  x  l z
откуда средняя скорость конденсата в сечении х: Vж 
(10.14)
  T  x
и число
r ж  
Рейнольдса
Re 
Vж
ж

  T  x
r   ж  ж
(10.15)
Средняя скорость перемещения пара к стенке из соотношений (10.10)(10.13)
VП 
 V    l z
G
 ж
 ж ж
 Vж
п  x  lz
п  x  lz
x п
или, с учетом G 
VП 
(10.16)
Q
G
, VП 
r
п  x  lz
q  x  lz
Q
q


r  п  x  lz r  п  x  lz r  п
(10.17)
Так, например для существенного теплового потока q = 1.2103 (кВт/м2)
при конденсации водяного пара в нормальных условиях Vп  1, м / с .
Для участка стенки конденсата [x,x+dx] изменение расхода



d 
 
d


dG  Gx dx  Gx   ж l z   Vx dy    Vx dy dx    ж l z  Vx dy   ж l z dx  Vx dy (10.18)
dx 0
0
 dx 0
 
 0
dQ  rdG
Локальный, относительный к единице площади тепловой поток на отрезке
[x,x+dx] имеет вид
d 

dQ rdG
d
q

  ж r   Vx dy   r
 Vж
dxlz dxlz
dx
 dx 0


Выражение
локальный

определяет
(10.19)
(10.19)
тепловой
поток
при
конденсации на поверхности при известном поле скорости Vx ( x, y ) в пленке и
известных теплофизических характеристиках пара  ж и r.
10.2 Теплообмен при ламинарном течении конденсата на вертикальной
стенке.
10.2.1 Вертикальная стенка. Ламинарный режим.
Рассмотрим процесс конденсации сухого насыщенного пара с постоянными физическими
свойствами на вертикальной стенке (рис.10.5) при следующих допущениях:
- течение установившееся, ламинарное;
- в пленке силы инерции и давления малы, по сравнению с силами вязкости и
силами тяжести;
- трением и поверхностным натяжением на границе конденсата и пара можно
пренебречь;
- температура стенки Тс и конденсата на внешней поверхности пленки Тп = Тн
- постоянные величины;
-
конвективный перенос тепла в пленке и теплопроводность вдоль оси х
пренебрежимо малы, по сравнению с переносом тепла к стенке Vy .≤ Vх , δ ≤ α
Уравнение движения в проекции на ось x и уравнение энергии
x
x

 2 x
 2 x
1 р
y x  



 fx
x
y
 x
x 2
y 2
 2T  2T

 0,
x 2 y 2
где f   æ   Ï   g ; fx 
õ
f õ
æ

1
æ
 æ   Ï g ;  ж   ж   ж
при сделанных допущениях существенно упрощаются и приобретают вид:
ж
d 2Vx
 g (ж  п )
dy 2
d 2T
0
dy 2
граничные условия:
(10.20)
(10.21)
при y = 0, T = Tс, Vx = 0;
при y = , T = Tн,
(10.22)
Vx
 0;
y
(10.23)
интегрирую уравнение (10.20) получим:
Vx
(  п )g
 ж
y  C1
y
ж
(10.24)
и
Vx  
(ж  п )g 2
y  С1 y  С 2
2 ж
(10.25)
где постоянные интегрирования находятся из граничных условий (10.22),
(10.23)
y = 0 , ч  0 ; C2 =0
   n   g  н  С
d x
 ж
1
dy
ж
y  ;
C1 
d x
0
dy
(ж  п )g
ж
 ; C2  0
(10.26)
и
Vx  
(  ж   п ) g 2 (  ж   п ) g
(  п ) 2 
y2 
y 
yg ж
 y  
2 ж
ж
ж
2



1  C y2
1   y 3




C

y
dy

C

 0 
2
  23



0
(10.27)
y 2  1 
3
 3  C 2
 C
   C
 C  
2  
23
2 
3

5
y
где y  .

Средняя скорость V в сечении x:
Vж 
1


Vx dy 
0

1  (  ж   п ) g 2 (  ж   п ) g

y 
 0 
2 ж
ж

(  п )g 2
y dy  ж

3 ж

(10.28)
Локальный, отнесенный к единице площади, тепловой поток на участке
[x,x+dx] равен:
q    (Tн  Tс )
Из уравнения (10.21) и граничного условия (10.22):
(10.29)
dT
d 2T
 C1 , T  C1 y  C2 , y  0 , T  TC , C2  TC , y    T  TH ;
 0,
2
dy
dy
TH  C1  TC
T  Tс
dT
 C1  н
dy

C1 
TH  TC
(10.30)

и
q  ж 
T T
dT
 ж  н с
dy

(10.31)
Из сопоставления выражений (10.29) и (10.31) получаем:

ж

(10.32)
Из уравнений (10.19), (10.28) и (10.31) получаем дифференциальное
уравнение относительно (x):
r  ж 
T T
d  (ж  п ) g 3 

   ж  н с
dx 
3 ж


(10.33)
q  жr
ж 
q  ж
r  ж  (ж  п )
ж  ж
TН  TС

d
ж 
dx
 ж   п g 2
3
или
d 3
d
  3 2
dx
x
 
 3d  (Tн  Tс )dx
(10.34)
Проинтегрировав уравнение (10.34) от x = 0 до x получим:
rg ж  ж   п  4
  (Tн  Tс ) x  C
4ж  ж
(10.35)
где из условия x = 0,  = 0, следует C = 0 и
 4
4ж  ж (Tн  Tс ) x
rg ж  ж   п 
(10.36)
Из соотношений (10.32) и (10.36) получим формулу для определения
локального коэффициента теплоотдачи (впервые она получена В. Нуссельтом в
1916г.)

ж
rg  ж  ж   п 
 ж 4

4 ж (Tн  Tс ) x
3
h
1  14
x4
x
dx

3
h 0
4
h

0
(10.37)
3 3 4 1 3  14
h   h
4
h 4
Средний на длине пластины h коэффициент теплоотдачи равен:
N 
rgж  ж  ж   п 
1
1
4 rgж  ж  ж   п  4
  dx   4
dx  4
  xh

h0
h0
4 ж (Tн  Tс ) x
3
4 ж (Tн  Tс )h
3
h
h
3
(10.38)
Из соотношения (10.36) следует, что толщина пленки увеличивается при
изменении x по зависимости:
  C4 x
где C  4
(10.39)
4ж  ж (Tн  Tс )
rg ж  ж   п 
Коэффициент теплоотдачи (10.32), (10.37) уменьшается с увеличением x,
вследствие увеличения толщины пленки  и термического сопротивления

ж
C
4
1
x

.
ж
(10.40)
Увеличение температурного напора T  Tн  Tс приводит к росту удельного
теплового потока, как это следует из (10.29) и (10.37)
q   T 
4
rgж  ж  ж   п  3 4
T
4 ж  x
3
4
(10.41)
3
1
 T  T 4
T
Как показали результаты расчетов Г.Н. Кружилина и Д.А. Лабунцова, учет
сил инерции в уравнении (10.20) и конвективного переноса тепла в уравнении
(10.21) не вносит уточнений при условии K 
r
 5 , где К – критерий С.С.
C ж T
Кутателадзе, и 1Pr100. Вне этого диапазона коэффициент теплоотдачи 
умножают на поправочный множитель  (К , Pr) .
Учет переменности физических параметров конденсата может быть
 Pr
проведен введением поправки  t   н
 Prс



0 , 25
В случае волнового режима периодического движения пленки, как
установил П.Л. Капица, средний коэффициент теплоотдачи возрастает на 21%
Д.А. Лабунцов показал, что при беспорядочном волновом движении в пленке
коэффициент теплоотдачи увеличивается пропорционально Re 0.04 и Ka
1
11
, где
критерий Капицы, учитывающий соотношения сил поверхностного натяжения,
3
тяжести и вязкости, Ka 
, и приближенно   Re 0.04
4
3
g ( ж  п )  ж
Таким образом, средний коэффициент теплоотдачи при ламинарном
режиме движения пленки конденсата на вертикальной стенке может
рассчитываться по формуле:
r  g  ж   ж (  ж   п )
   N     t    0.943 

 ж  T  h
3
4
 Pr
  н
 Prс



0 , 25
 Re 0.04
(10.42)
Уравнение (42) может быть записано в безразмерном критериальном виде:
4
Nu   
4
Nu  0.943 Re
где Nu 
0.04

Pr
 Arж  K ж  Prж  н
Prс




h4
ж 4
0.25
(10.43)
 ж  Cж   ж
g  h3  ( ж   п )
 h
r
Pr

, Kж 
, ж
, Arж 
.
ж
C ж  (Tп  Tс )
ж
 ж2   ж
Число Кутателадзе для ж.
Если п <<ж, то в формуле (10.43) вместо числа Архимеда Ar,
используется число Галилея Ga 
gh 3
 ж2
.
При К≥5, 1≤Prж≤100, (= 1), Re
0.04
 Pr
 1.0 ,  н
 Prс



0.25
 1.0 , формула (10.43)
упрощается и приобретает вид:
Nu  0.943  ( Arж  K ж  Prж ) 0, 25
(10.44)
10.3 Вертикальная стенка. Турбулентный режим.
Процесс конденсации можно рассматривать как отвод массы пара в
пограничном слое. Параметры пара или парогазовой смеси на внешней границе
пограничного слоя, движущегося вдоль оси x: скорость V0, плотность 0,
энтальпия i0. Из уравнения баланса теплоты в пленке конденсата
q  qп  j gl (iп  iж )   п 0V0 StT [i0  iп  bT r ]
(10.45)
где iп, кДж/кг – энтальпия пара на границе пленки (y=), bT – параметр
отвода массы пара в пленку.
Рассматривая пар или парогазовую смесь как идеальный газ, получают
i0  iп  bT (iп  iж )  i0  [(1  bT )C p  bT C pп ]T  bT r
(10.46)
где C pп , C pв - теплоемкости пара и воздуха.
Принимая bT 
C 0  C
, с учетом C p  C C pп  (1  С )С pв , получаем в (10.46)
1  C
(1  bT 1 )C p  bT C pп 
(1  C0 )C C pп  (1  C0 )(1  C )C pв  (C0  C )C pп
1  C

 C0C pп  (1  С0 )С pв  С p 0
и, следовательно, из (10.45)
q  0V0 St [C p 0 (T0  T )  bT r ]
(10.47)
где St - число Стантона.
Приравнивая параметр bT  Le 2 / 3
C 0  C
, к выражению bT
1  C
из (10.47)
получим:

C0  C
1
q
 Le 2 / 3 C p 0 (T0  T ) 
1  C
r
 0V0 StT 
(10.48)
Если коэффициент теплоотдачи  определить из формулы (10.37), то
(10.48) преобразуется к виду
 C  C
Le 2 / 3 


Tс )  T (1 
)  0
C p 0 (T0 
r 
 0V0 StT
 0V0 StT  C  1
(10.49)
Уравнение (10.49) решается методом итераций относительно T. После
этого определяется параметр bT.
Интенсивность конденсации определяется по формуле:
j gl   0V0 bT St 0 s
(10.50)
где для случая турбулентного режима в стандартных условиях [см.раздел
8]
St 0 
0.0128
(Re ) Pr 0.75
(10.51)
** 0.25
T
где Re *T* находится из решения интегрального уравнения энергии в
пограничном слое [см. раздел 8]
1
x
 m1
1  1 m
~
Re *T* 
B
Re?
V
b
(
1

k
)
dx


0
T
0.75
0
T  2 Pr

(10.52)
Параметр s, учитывающий влияние массообмена и температурного
фактора, находится по обобщенным данным [3] при 0<bT<0.95:
при 0,1 ≤ 1 < 1
 пр

s  10  
 4 bT4
 1

где пр 
(10.53)
4
0.451  0.55
при 1 ≤ 1 ≤ 5
s  10  пр  41 bT12
где пр 
(10.54)
1  1  bT

4
, 0 
, 1  0
0.251  0.75
с
0.5bT
В ряде работ отмечается удовлетворительное соответствие между
известными опытными данными и расчетами параметров массообмена при
конденсации пара из парогазовой смеси, полученными по соотношениям
(10.49) – (10.54).
10.4 Конденсация на наклонных стенах и горизонтальных трубах.
Полученные формулы (10.43), (10.44), (10.49) и др. справедливы при
конденсации пара на вертикальных стенках. В случае наклонных стенок (ось
координат направленная вдоль наклонной стенки составляет с вектором

ускорения силы тяжести g угол ), в уравнении движения и энергии вместо g

необходимо ввести проекцию g на ось x, т.е.
g x  g cos
(10.55)
Для конденсации пара на наклонных стенках получается следующая
формула:
 накл   верт 4 cos
(10.56)
Для горизонтальной трубы угол  будет переменной величиной.
В.Нуссельт получил следующую формулу для расчета среднего по
наружной поверхности трубы коэффициента теплоотдачи при ламинарном
течении в пленке и малых скоростях внешнего потока:
 N  0.725  4
3ж  ж2 gr
(10.57)
 ж (Tн  Tс )d
где d – внешний диаметр трубы.
При
росте
скорости
движения
пара,
обтекающего
поверхность
конденсации, происходит интенсификация теплообмена. Л.Д Берманом и Ю.А.
Тумановым, получены опытные данные при обтекании горизонтальной трубы
насыщенным паром движущимся вертикально вниз. Опыты проводились при
давлениях пара Pп = 0,0032-0,098 МПа, скоростях пара V п =0,26-17,6 м/с,
температурных напорах T = 0,6-12,0 К, числе Рейнольдса Re п 
Vп d
п
 46  864 ,
при объемном содержании воздуха в паре 0,008-0,017%. Полученные данные
могут быть аппроксимированы зависимостями с учетом наличия примесей:
V2

 B   п п 
N
 g ж d 
0.08
  gd 3 r 

  ж
 ж ж T 
0.125
(10.58)
где B = 30-42
Учитывая выражение (10.57) для  N , формулу (10.58) представляют в
критериальном виде:
Nu  0.72 B Re
где Nu 
0 ,16
п
Re
0 ,125
ж
Ga
0.045
 п

 ж



0 , 08
(10.59)
 T
V d
 d
gd 3
, Re п  п , Re ж  ж
, Ga  2
ж
r ж ж
ж
п
Из уравнения (10.59) следует, что коэффициент теплоотдачи при
движущемся паре  ~ (T ) 0.125 слабее зависит от температурного напора, чем
при неподвижном паре, для которого характерна зависимость  ~ (T ) 0.25 (см.
формулу (10.57)).
Рассмотрим конденсацию пара при обтекании пучка из n рядов
горизонтальных труб. Пар обтекает трубы вертикально вниз. При этом пар
конденсирующийся на верхних трубах стекает каплями или струйками на
нижние трубки. Расход пара через i – тый ряд (1 < I ≤ n) уменьшается,
вследствие конденсации, с увеличением номера i. Gi1  Gi
Уменьшение расхода пара приводит к уменьшению средней скорости V п ,
уменьшению Re п и уменьшению коэффициента теплоотдачи . Кроме того
капли или струйки, стекаются с верхних рядов на нижние увеличивают
толщину конденсатной пленки, что увеличивает термическое сопротивление
пленки и уменьшает коэффициент теплоотдачи. Однако это уменьшение
коэффициента  в значительной степени компенсируется возмущениями
пленки при падении конденсата на нижние трубки.
Расчет конденсации пара начинают с верхнего ряда, для трубок которого
справедливы
формулы
(10.57)
и
(10.59).
Для
n-го
ряда
применяют
эмпирическую формулу:
 n G
 n   1    i
 i 1 Gn
n
Gi
G
i 1



0.07
(10.60)
, кг/с суммарный расход конденсата, стекающего по трубке n-ого
n
ряда, Gn – расход конденсата, образующегося на рассматриваемой трубке n-ого
ряда,  1 - средний коэффициент теплоотдачи первого сверху ряда,  n - средний
коэффициент теплоотдачи трубок n-ого ряда.
Для оценочных расчетов применяется эмпирическая формула среднего для
всего пучка труб коэффициента теплоотдачи  n :
 n  1
0.8
[1  (1   ) 0.84 ]n 0.07
(10.61)
n – число рядов труб по высоте коридорного пучка или половина числа
рядов труб по высоте шахматного пучка;
  (Gвх  Gвых ) / Gвх
- степень
конденсации пара в пучке; Gвх, Gвых – массовые расходы пара в сечениях при
входе и выходе из пучка.
10.5 Теплообмен при пленочной конденсации пара движущегося внутри
труб.
При конденсации пара в трубе интенсивность теплоотдачи существенно
зависит от динамического воздействия пара на пленку конденсата. Если,
например, в вертикальной или наклонной трубе направление движения пара
совпадает с направлением течения конденсата под действием силы тяжести, то,
в случае трения на границе пара и пленки, скорость движения конденсата V ж
увеличивается, толщина пленки  уменьшается, и коэффициент теплоотдачи 
возрастает. Если направление течение пара противоположно направлению
движения конденсата, то скорость конденсата уменьшается, толщина пленки
увеличивается, а интенсивность теплопередачи снижается.
При конденсации пара в трубах уменьшается расход пара и увеличивается
расход конденсата. По мере конденсации пара часть поперечного сечения
заполняется конденсатом. При этом суммарный расход пара Gп и конденсата
Gж при стационарном течении остается постоянным вдоль трубы, т.е.:
G = Gп + Gж = const
(10.62)
Средняя скорость пара и жидкости определяется из уравнения расхода:
Vп 
4Gп
 пd 2
(10.63)
Vж 
4Gж
 жd 2
(10.64)
Наибольшая скорость движения пара наблюдается во входном сечении, так
как в нем максимальный расход пара. При полной конденсации пара Vп  0 и
Vж 
4G
.
 жd 2
Течения пара и конденсата могут быть ламинарным или турбулентным при
различном сочетании режимов на различных расстояниях от входного сечения
трубы. Так в исследованиях Х. Хартмана рассматривалось турбулентное
течение насыщенного пара вниз по вертикальной трубе с внутренним
диаметром d при Re п 
Vп 0 d
п
 2,5 10 4  10 5 ,
п
 0 .1 ,
ж
п
 10 3 , и ламинарное
ж
течение конденсата. Получено:
2

d п   п  
0, 6

 
Nu  0.28 Re п k Prж
l  ж   ж  


1/ 3
(10.65)
где Nu 
d
,
ж
Re п 
Vп 0 d
п
, Prж 
ж
aж
, k
r
,
C ж (Tн  Tс )
за определяющую
температуру принята температура насыщения.
По результатам исследований Е.П. Ананьева, Л.Д. Бойко и Г.Н. Кружилина
для турбулентного режима течения пленки конденсата:



 
1
Nu  C Re 0п,8 Prж0, 43  1  x1  ж  1  1  x2  ж  1 
2
 п
н
 п
 н 

где x1  
Gп 
 ,
 G  вх
(10.66)
G 
- массовые расходные паросодержания во
x2   п 
 G  вых
входном и выходном сечениях трубы; С = 0,024 – для стальных труб; индексы
«п» и «ж» соответствуют параметрам пара и жидкости; все теплофизические
свойства
принимаются
соответствует
опытным
по
температуре
данным
при
насыщения.
вертикальном
Формула
и
(10.66)
горизонтальном
расположении труб при Re>5103, 1>x1>0, 1>x2>0, Pп = 1,22-8,82МПа.
10.6 Теплообмен при капельной конденсации пара.
Капельная
конденсация
происходит
при
условии
несмачиваемой
поверхности стенки. Капли образуются при разрыве тонких пленок конденсата.
За
счет
многократного
слияния
и
непрерывной
конденсации
капли
увеличиваются до размеров, при которых они скатываются под действием силы
тяжести. Стягивание конденсата в капли приводит к уменьшению термического
сопротивления пристенного слоя и к высоким коэффициентам теплоотдачи.
Конденсация пара на сферической капле может происходить при условии,
что ее радиус R больше критического радиуса кривизны поверхности раздела
фаз Rкр, который определяется уравнением Томсона:
Rкр 
2Tн
r ж (Tн  Т пов )
(10.67)
На криволинейной поверхности раздела фаз капля находится под
действием сил поверхностного натяжения. Давление Pж определяется формулой
Лапласа:
Pж  Pп 
2
R
(10.68)
Изменение температуры вдоль поверхности жидкости приводит к
переменности сил поверхностного натяжения. Изменяется температурный
коэффициент
поверхностного
натяжения

1 d
.
 dT
Возникает
термокапиллярная сила, направленная по касательной l к поверхности
жидкости
P 
T
d  Tпов

  пов
dl T l
l
(10.69)
Процесс образования, роста и стекания капель является нестационарным.
Термическое сопротивление и температура изменяются по времени. Однако
можно
рассматривать
осредненные
параметры
тепломассопереноса
за
определенный промежуток времени.
В.П. Исаченко получены критериальные зависимости для капельной
конденсации
Nu  C Re *m П к1,16 Pr1 / 3
(10.70)
где при Re *  8 10 4  3.3 10 3 C = 3.210-4; m = -0,84
и Re *  3.3 10 3 1.8 10 2 C = 5.010-6; m = -1,57
Nu 
 Rкр
R
 2Т н
 (Т  Т )

, Re *  * кр  ж н с
ж
ж r ж (Т н  Т с )
ж
r ж ж
* 
ж (Т н  Т с )
- условная скорость роста конденсированной фазы.
r ж Rкр
Пк 
Rкр (Т н  Т с )
 ж ж2
-
критерий,
характеризующий
отношение
термокапиллярных сил и сил вязкости.
Pr 
ж
aж
физические
параметры
конденсата
применяются
при
температуре
насыщения.
Результаты расчета по формуле (10.70) удовлетворительно соответствуют
экспериментальным данным, полученым при капельной конденсации водяного
пара на вертикальных стенках высотой 0,12-0,61м и горизонтальных пучках
труб при Пк = 0,9810-2  4,510-2; Pr = 1.75  3.65; Pп = 0,012 – 0,1 МПа.
Из критериального соотношения (10.70), для капельной конденсации,
следует степенная зависимость коэффициентов теплоотдачи , при известной
Тн, от температурного напора T  Т н  Т с
 ~ T n
где n = 0,16 при Re ж  3.3 10 3 и n = -0.57 при Re ж  3.3 10 3
(10.71)
Тема 11. ТЕПЛОМАССООБМЕН ПРИ КИПЕНИИ ЖИДКОСТИ.
11.1 Основные понятия и модельные представления о кипении.
Кипением жидкости называют фазовое превращение жидкости в пар при
подводе теплоты. При испарении единицы массы жидкости затрачивается
теплота парообразования r, кДж/кг. Вблизи твердой поверхности теплообмена
кипение происходит при наличии центров парообразования и при выполнении
условия:
Тс  Тн
где
(11.1)
Тс – температура поверхности тела, Тн – температура насыщения
жидкости при данном давлении.
Центрами парообразования могут быть микронеровности стенки, пузырьки
воздуха, твердые частицы и т.д.
Кипение может происходить также в объеме жидкости с температурой Тж
при значительном локальном перегреве жидкости T  Т ж  Т н , например, при
быстром уменьшении давления в жидкости.
При кипении вблизи стенки разрушается пограничный слой жидкости,
имеющий
существенное
термическое
сопротивление.
Теплообмен
интенсифицируется за счет молярного переноса массы и внутренней энергии
паром, перемещающимся от твердой стенки в жидкость.
Условием возникновения сферического пузырька пара в перегретой
жидкости является равенство давления P1 пара в пузырьке напряжению от сил,
действующих на пузырек (уравнение Лапласа):
P1  P 
2
Rкр
(11.2)
где P – давление в жидкости, окружающей пузырек;  - поверхностное
натяжение; Rкр – критический радиус пузырька в момент зарождения.
При избыточном давлении P  P1  P 
P 
2
Rкр
2
Rкр
пузырек существует, при
пар в пузырьке конденсируется и пузырек исчезает. Критический
(минимальный) радиус пузырька находится из уравнения Лапласа (11.2)
Rкр 
2
P
(11.3)
Температуры пара в пузырьке Тп и в окружающей жидкости Тж полагаем
равными температуре насыщения при давлении пара P1  P 
dP
Т , где Т =
dT Т н
Тж – Тн – температурный перегрев, при котором происходит кипение, а
dP
dT
Тн
определяется по уравнению Клапейрона-Клаузиуса
dP

dT Т н
r
(11.4)
 1
1 

Т н 

 п ж 
Тогда
P  P1  P 
r (Т ж  Т н )
 1
1 

Т н 



п
ж


(11.5)
В случае п << ж из (11.3) и (11.5) может быть найден минимальный
радиус пузырька:
Rкр 
2Т н
r п (Т ж  Т н )
(11.6)
Из выражения (11.6) следует, что чем больше перегрев жидкости Т = Тж –
Тн,
тем
меньше
критический
радиус
пузырька
и
больше
центров
парообразования, размер которых lc больше чем критический диаметр пузырька
2Rкр и следовательно возникает большее число пузырьков. Уменьшение
комплекса
Т н
также приводит к уменьшению критического радиуса пузырька,
r п
большему перемешиванию жидкости и увеличению теплоотдачи.
Температура в жидкости наибольшая вблизи стенки Тж ≤ Тс и поэтому
наименьший радиус пузырька вблизи стенки оценивается как:
Rкр 
Для
2Т н
r п (Т c  Т н )
определения
(11.7)
скорости
роста
пузырька,
образовавшегося
на
поверхности, исходим из условия равенства изменения внутренней энергии
пара в пузырьке:
U п  rmп  r п
dR
dt
(11.8)
и теплового потока, поступающего в пузырек:
q  T
ж С ж  ж
(11.9)
t
где Т = Тс – Тн.
Тогда из выражений (11.8) и (11.9), разделяя переменные R и t и
интегрируя, получаем:
R  Rкр 
2T ж Сж  ж
r п
(11.10)
t
Таким образом, при наличии перегрева Т и центров парообразования,
радиус пузырька увеличивается от Rкр до значения отрывного радиуса Rо, после
чего происходит отрыв пузырька от нагретой поверхности за время
tо 
( Ro  Rкр ) 2 r 2  п2
(11.11)
4Т 2 ж C ж  ж
Для оценки характерного размера пузырька l, называемого капиллярной
постоянной,
используется
равенство
потенциальной
энергии
всплытия
пузырька g  ж   п V0l , работы сил поверхностного натяжения F:
g  ж   п   l 4 ~   l 2
(11.12)
откуда
l~

(11.13)
g  ж   п 
где V0 ~ l3 , F ~ l2 – объем и площадь поверхности пузырька.
Эквивалентный диаметр пузырька d 0  2 R0  3
6V0

может быть оценен при P
= 0,1 МПа по зависимости
d 0  3.6 10 4    l
(11.14)
где  - угол смачивания, рад; V0 – объем деформированного перед
отрывом пузырька.
Частота отрыва пузырей  0 
1
определяется из формулы (11.11)
t0
0 
4T 2 ж C ж  ж
( R0  Rн ) 2 r 2  п2
(11.15)
где R0 = d0/2, а d0 оценивается по формуле (11.14).
Интенсивность отрыва пузырьков пара от поверхности характеризуют
условной скоростью:
U 0  d 0 0
(11.16)
где d0 и 0 находятся по формулам (11.14), (11.15).
Из
формул
(11.16),
парообразования
(11.14),
увеличивается
с
(11.15)
следует,
что
ростом
температуры
интенсивность
перегрева
Т,
теплопроводности ж, теплоемкости Сж и плотности ж жидкости и
уменьшается с ростом угла смачивания , поверхностного натяжения ,
плотности пара п и теплоты парообразования r. Плотность пара существенно
снижается при уменьшении давления пара. Поэтому в условиях разряжения
происходит более быстрый переход от пузырькового к пленочному режиму
кипения, что снижает интенсивность отвода тепла от нагретой твердой
поверхности.
При кипении на гладкой, например, стеклянной поверхности, при малом
числе центров парообразования, наблюдается увеличение перегрева Т.
Скорость всплытия одиночного пузырька вс при числах Рейнольдса
Re 
d 0 в с
п
вс 
 2 определяется по формуле Стокса
С  g  ж   п R02
(11.17)
ж
где С = 2/9  1/3
Для
пузырьков
постоянной l 
с

g (ж  п )
характерным
размером
большим
капиллярной
скорость всплытия зависит от силы Архимеда,
поверхностного натяжения  и плотности ж. Эта скорость практически не
зависит от размера пузырьков и определяется по эмпирической формуле
вс  1.18  4
  g  ж   п 
ж
(11.18)
Время роста пузырька на поверхности t0 (11.11) обычно значительно
меньше, чем характерное время всплытия пузыря. При всплытии пузырь
существенно увеличивается в размерах. Происходит интенсивный теплообмен
между перегретой жидкостью и пузырьком. Коэффициенты теплоотдачи
достигают величин порядка 200 кВт/м2к. Поэтому большая часть пара
образуется при
испарении жидкости в пузыри при их подъеме и лишь
незначительная часть пара (обычно менее 510%) образуется на поверхности
при увеличении радиуса пузырька от Rкр до R0.
11.2 Параметры и структура потока при кипении жидкостей в
трубах.
При движении кипящей жидкости в трубе происходит уменьшение доли
жидкой фазы и увеличение доли пара. Общий расход парожидкостной смеси в
сечениях трубы при стационарном процессе остается постоянным:
G  Gж  Gп  const
(11.19)
Массовым расходным паросодержанием называется отношение расхода
пара к расходу смеси:

Gп
G ж  Gп
При этом
Объемным
(11.20)
Gж
 1   , где 0≤  ≤1.
Gп  G ж
расходным
паросодержанием
называют
отношение
объемного расхода пара (Vп , м3/с) к объемному расходу парожидкостной
смеси:

Vп
Vп  V ж
При этом
(11.21)
Vж
 1   , где 0≤  ≤1.
Vп  V ж
Выражая отношение
Gп
с помощью (11.20) и (11.21) получим:
Gж
Gп
V    (V  Vж )




 п п п
 п 
Gж 1   Vж   ж  (Vп  Vж )  ж 1  
где    , при 0 <  < 1.
(11.22)
Истинным
паросодержанием
называют
отношение
площади
поперечного сечения канала занятой паром fп к площади сечения f = fп + fж :

fп
,
fп  fж
(11.23)
f ж  (1   )  f ;
при этом f п    f ,
0≤  ≤1.
Истинные скорости пара п и жидкости ж связаны с истинным
паросодержанием  :
п 
Vп
,
f 
ж 
Vж
f  (1   )
(11.24)
Разность истинных скоростей фаз называется скоростью скольжения:
U ск  п   ж
(11.25)
Отношения объемного расхода пара и жидкости к полному сечению
канала называют приведенными скоростями движения фаз:
 п.пр 
Vп
,
f
 ж.пр 
Vж
f
(11.26)
Пусть во входном сечении цилиндрической трубы движется жидкость
(x=0) с объемным расходом
циркуляции ц 
G
.
 f
V
G
ж
и скоростью, называемой скоростью
Объемный расход пара изменяется по длине трубы, так
как при парообразовании изменяется плотность смеси. Если в выходном
сечении жидкость полностью испарилась (x = 1), то    п . При этом объемный
расход V 
G
п
, а также скорость среды увеличиваются в
температуре жидкости
Tж
ж
п
раз. При
во входном сечении, равной температуре
насыщения Tн удельная энтальпия торможения равна iн * . В текущем сечении
энтальпия равна i * . Подведенный на участке трубы от входного до текущего
сечения поток тепла расходуется на парообразование. Тогда из уравнения
теплового баланса:
Q  G(i * iн *)  r  Gп
Из этого соотношения следует:
(11.27)
Gп
i * iн *

G
r
(11.28)
Таким образом, при кипении во входном сечении насыщенной жидкости
массовое расходное паросодержание равно изменению удельной энтальпии,
отнесенной к теплоте парообразования. Следует отметить, что если при входе в
i * iн *
имеет отрицательное
r
трубу жидкость недогрета iж < iн , то параметр
значение и не является паросодержанием.
При движении снизу вверх в поле сил тяжести двухфазного потока в
трубе с подводом наблюдается три характерные области (рис. 11.1.)
Z
III.
п
пар
Tc= Tп
II-г
II.
II-в

парожидкостный
поток
II-б

g
Tc= Tн
I.
II-а
ж
вода
Рис.11.1 Структура двухфазного потока в вертикальной трубе.
I. – область нагрева воды (экономайзерный участок) до сечения, где Tc= Tн ;
II. – область кипения (испарительный участок от сечения где Tc= Tн, до сечения где i
→ iп);
III. – область высыхания влажного пара.
На испарительном участке наблюдаются зоны:
II-а – зона с поверхностным кипением;
II-б
–
зона
эмульсионного
распределены в жидкости;
режима,
в
которой
пузырьки
пара
II-в – зона пробкового режима, в которой при росте паросодержания
крупные пузырьки сливаются в пробки;
II-г – зона кольцевого режима, в которой влажный пар движется в ядре
потока, а жидкость в тонком кольцевом пристенном слое.
При течении парожидкостного потока в горизонтальных и наклонных
трубах наблюдается существенная неравномерность температуры по сечению.
Так, например, при незначительных скоростях и паросодержаниях в
горизонтальных трубах наблюдается расслоенный режим течения, при котором
жидкая фаза движется в нижней части трубы, а пар в верхней. Рост
паросодержания и скорости циркуляции приводит к образованию пробок пара,
которые могут смыкаться, что характерно для кольцевого режима течения.
11.3 Теплопередача при пузырьковом режиме течения.
Безразмерный коэффициент теплопередачи (критерий Нуссельта) от
нагретой стенки к кипящей жидкости записывается в виде:
Nuж 
  lж
ж
(11.29)
где  , Вт/м2 К – коэффициент теплоотдачи, характерны размер
принимается в виде lж 
Нахождение 
Cж   ж    Tн
.
(r   п ) 2
возможно из расчета поля температур по общим
уравнениям динамики многофазных сред или по обобщенным данным в
критериальном виде.
Nu=Nu(Kq, Ku, Ar, Reж, Pr)
(11.30)
Критерии подобия записывают в виде:
Kq 
где
q l2
,
r   п  a  lж
l
Ku 

g   ж   п 
 ж   п d 03
 2 ,
ж
ж
lж
,
l
Ar  g 
–
капиллярная
постоянная
Pr 

a
(11.31)
пропорциональная
отрывному диаметру d0.
Анализ опытных данных показывает, что наибольшее влияние на Nuж при
развитом кипении оказывают критерии Reж и Pr:
Nuж = Nuж (Reж, Pr)
(11.32)
Reж=
 кип  l ж
ж
 кип 
q
q
, 
r  п
Tс  Tн
(11.33)
В диапазоне величин Reж=10 -5–10 4, Pr=0,86–7,6 ;  ≤ 7 м/с,
β= 0,7
опытным путем получено:
Nuж = с Renж Pr1/3
(11.34)
где при Reж≤0,01: с=0,0625, n=0,5;
Reж>0,01: с=0,125, n=0,65.
Для воды при P=0,1–4 МПа
может использоваться эмпирическое
соотношение в размерном виде:
  3,14  q 0, 7  Pн0,15 , Вт/м2К
(11.35)
При вынужденном течении кипящей жидкости опытные данные
представляют в виде:

   q  1   
 q
где  q 
ж
lж
2

 ,


 q  lж  ж 
 ,
 f 
,
 r   п  ж aж 
(11.36)

– коэффициент теплоотдачи при
конвективном теплообмене однофазной жидкости.
11.4 Теплоотдача при пленочном режиме кипения жидкости.
Пленочный режим кипения возникает при большом количестве центров
парообразования. У поверхности
паровые пузырьки сливаются в пленку,
которая отделяет обогреваемую поверхность от жидкости. Термическое
сопротивление слоя пара толщиной δп выше, чем термическое сопротивление
жидкости. Существенное влияние на термическое сопротивление пленки имеют
теплофизические свойства пара. При высоких температурах поверхности
перенос тепла зависит не только от теплопроводности парового слоя, но и от
интенсивности излучения. Часть тепла идет на перегрев пара в пленке.
Образование и течение пара около вертикальной обогреваемой стенки
описывается уравнением неразрывности движения вязкой среды и энергии со
следующими граничными условиями (рис. 11.2.):
– условия на стенке y=0: T=Tc, ωx=0;
– условия на границе фаз y= δп(x): ωп= ωж, tп=tж=tн,  п
 d п

 d

 п   пy    ж  ж  ж   жy 
 dx

 dx

(11.37)
 ж
 ж
 ж
y
y
п 
(11.38)
– при y→ ∞: ωж→0, tж→ tж∞.
(11.39)
При ламинарном течении пленки средний коэффициент теплоотдачи на
вертикальной стенке высотой H определяется полуэмпирической формулой:
3п  r   п   ж   п g
  Cн  4
 п  T  H
(11.40)
где Сн=0,667 при неподвижной жидкости, Сн=0,943 с учетом движения
жидкости (11.38).
Средний коэффициент теплоотдачи при кипении жидкости на наружном
диаметре горизонтально расположенной трубы с диаметром
d определяется
по формуле аналогичной (11.40):
3п  r   п   ж   п g
  Cd  4
 п  T  d
(11.41)
где Сd=0,53 при неподвижной жидкости, Сd=0,72 с учетом движения
жидкости (11.38).
ωп
x
Tн
Tс
I.
δп(x)
ωж
II.
δж(x)
y
Рис.11.2 Схема движения паровой пленки (I.) и жидкости (II.) вблизи обогреваемой
поверхности.
Характерные
результаты
численных
решений
для
распределения
температуры в паровой пленке приведены на рисунке 11.3.
T  Tн
Tс  Tн
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,6
1,0
1,6
2,0
y
п
Рис.11.3 Распределение температуры по толщине пленки (Prп=1,
C p  T
r
 10 ).
Как показали результаты экспериментальных исследований, кроме
величин входящих в (11.40), на коэффициент теплоотдачи влияют параметры
Кп =
r
,
C pп T
Prп 
п  п
, а также Кволн , учитывающий волновое движение
ж  ж
плёнки:


 
    f  K п , Prп , п п , K волн 
 ж  ж


(11.42)
При турбулентном течении паровой пленки используют формулу вида
  
  1  f1   , п 
 ж 
где 1 
Nu1  п
,
H
(11.43)
N u1  c  (Gr  Pr)
1
3
m
– критерий Нуссельта при свободной
конвекции однофазной среды вблизи вертикальной стенки; g∙β∙ρ∙ΔT=g∙( ρж– ρп),
с=0,25, Gr и Pr вычисляются при средней температуре паровой пленки ,  –
паросодержание потока; для воды при давлении 4,0–22 МПа
0 ,8
0, 4



 ж  п 
п   
п
   1  0,1
  1   0, 4 
f1  
   1 
  ж

  ж   
 ж 
(11.44)
Из формулы (11.44) следует, что по мере роста паросодержания потока
коэффициент теплоотдачи возрастает
11.5 Кризисы теплообмена.
Коэффициент теплоотдачи от обогреваемой поверхности к кипящей
жидкости зависит от температурного напора ΔT=Tc–Tн и от режима кипения
(пузырьковый или пленочный (рис 11.4.).
 , Вт/м2К
А
30000
25000
20000
Д
15000
10000
Г
5000
Б В
О
ΔT, К
100
200
300
400
500
600
700
800
Рис.11.4 Зависимость коэффициента теплоотдачи α от величины перегрева ΔT при
кипении в большом объеме воды.
Линия
ОА
характеризует
монотонное
увеличение
коэффициента
теплоотдачи при пузырьковом режиме кипения с увеличением температурного
напора ΔT. В этом диапазоне увеличивается интенсивность образования и
всплытия пузырьков. На участке кривых ОА удельный тепловой поток q=α∙ΔT
от стенки к кипящей жидкости возрастает за счет увеличения α и ΔT (рис.11.5).
В точке А коэффициент теплоотдачи достигает максимального значения(ΔT=
ΔTА).
При
дальнейшем
увеличении
ΔT
режим
течения
переходит
из
пузырькового в пленочный. Термическое сопротивление парового слоя
скачкообразно увеличивается, а коэффициент теплоотдачи уменьшается до
значений характерных для точки Г. Изменение механизма кипения при
переходе от пузырькового режима течения к плёночному (и обратно)
называется кризисом кипения.
 , Вт/м2К
А
30000
25000
20000
Д
15000
10000
5000
О
2
Г
Б
qкр1
qкр2
4
6
8
В
10
12
14
q∙10-5,
Вт/м2
Рис.11.5 Зависимость коэффициента теплоотдачи α от удельного теплового потока q
при кипении в большом объеме воды.
Максимальную тепловую нагрузку, соответствующую т.А (рис.11.4. и
11.5) называют первой критической плотностью теплового потока qкр1. Эта
величина при кипении насыщенной жидкости в большом объеме зависит от
рода кипящей жидкости, поля сил тяжести, давления, состояния поверхности,
условий смачиваемости, наличия в жидкости примесей и поверхностно
активных веществ. Температурный напор в момент критической тепловой
нагрузки (рис.11.4) называют первым критическим температурным напором
ΔTкр1= ΔTА. В момент начала первого кризиса теплообмена
 кр1 
qкр1
Tкр1
(11.45)
Характерные величины первого критического теплового потока qкр1 и
критического температурного напора ΔTкр1 составляют:
qкр1 ≈ 8,5∙105 Вт/м2,
ΔTкр1=25–30 К.
При кипении в большом объеме qкр1 увеличивается при увеличении
ускорения сил поля сил тяжести g:
qкр1 ~ gn ,
(11.46)
где n=0,15–0,25.
Неустойчивость двухфазного кипящего слоя у поверхности определяется
соотношением сил тяжести, сил поверхностного напряжения и динамического
напора соответствующего скорости парообразования. Удельный критический
тепловой поток в большом объеме оценивается по формуле:
qкр1  C1  r   п  4   g   ж   п 
(11.47)
где С1 =0,13–0,16.
При кипении жидкости в условиях вынужденного течения в трубах
критический тепловой поток qкр1 увеличивается при росте скорости циркуляции
и при уменьшении паросодержания χ.
Первый кризис теплообмена кипения при фиксированной критической
тепловой нагрузке приводит к резкому возрастанию температуры стенки
(рис.11.4).
Возврат от пленочного режима кипения к пузырьковому происходит при
уменьшении q (В–Б–Г–Д, рис.11.5) до qкр2 называемого вторым критическим
тепловым потоком. qкр2 существенно меньше qкр1. Наблюдается второй кризис
кипения. Паровая пленка разрушается, термическое сопротивление парового
слоя снижается и температура поверхности уменьшается. Температурный
напор, соответствующий т. Г на кривой кипения (рис.11.4, 11.5) Называется
вторым
критическим
температурным
напором
ΔTкр2=
ΔTГ.
Вторые
критические потоки зависят от рода жидкости, давления, поверхностного
натяжения, плотностей фаз и оценивается по формуле:
qкр 2  C2  r   п  4   g 
где С1 =0,11– 0,14.
 ж   п 
 ж2
(11.48)
Тема 12. ТЕПЛОМАССООБМЕН В ГРУНТАХ И СТРОИТЕЛЬНЫХ
МАТЕРИАЛАХ.
12.1 Теплофизическая модель нестационарных тепломассобменных
процессов в пористых средах (ограждающие конструкции зданий, грунт).
Теплофизическая модель представленная в данном разделе предназначена
для моделирования процессов тепломассообмена в грунтах при сезонных
промораживании и оттаивании, процессов в основаниях зданий, в дорожных
конструкциях, вблизи нефтепроводов, в ограждающих конструкциях зданий.
Рассмотрим
модель
тепломассопереноса
на
примере
ограждающих
конструкций гражданских и промышленных зданий.
При разработке теплофизической модели учитывались особенности
реальных процессов передачи тепла и массы в ограждающих конструкциях
гражданских и промышленных зданий. К их числу относятся: 1) применение
многослойных конструкций стеновых ограждений; 2) учет нестационарности
процессов, что обуславливается необходимостью рассмотрения нестандартных
тепловых режимов в здании; 3) решение задачи в двумерной или трехмерной
постановке, что позволяет анализировать процессы в угловой части здания и
при наличии особенностей стеновых конструкций; 4) учет и наличие фазовых
переходов в многофазной среде, состоящей из: жидкой фазы (свободная и
связанная влага), газовой фазы (пары воды и воздух), твердой фазы (исходный
пористый строительный материал и лед).
Физическая
модель
многофазной
среды
в
ограждающих
конструкций.
Разработанная
модель
тепломассообменных
процессов
учитывает
балансы массы каждой отдельной фазы. Изменение массы каждой i-фазы за
единицу времени, по физическому закону сохранения массы, приравнивается
сумме потока массы этой фазы через поверхность объема V и массы фазы
образовавшейся внутри объема в результате фазовых превращений
N
i
n
J ji  dV
V t  dV  S i  i  dS  V j 
1, j  i
(12.1)
где i=1,2,…,N – номер фазы, Jji – интенсивность перехода j-й фазы в i-ю в
единице объема в единицу времени.
Уравнение баланса внутренней энергии смеси с одинаковой температурой
фаз запишем с учетом аддитивности внутренней энергии при условии малости
мощности внутренних сил, что оправдано в связи с малостью скоростей и
производных от скоростей движения газовой и жидкой фазы в ограждающих
конструкциях
 N

   i  U i 
N
 i 1
  dV  
 i  in  U i  dS   q n  dS ,

V

t
S  i 1
S


(12.2)
где в левой стороне уравнения – изменение внутренней энергии смеси в объеме
V за единицу времени, первое слагаемое в правой части характеризует перенос
внутренней энергии фаз через поверхность S, а второе – перенос тепла через
поверхность S механизмом теплопроводности. Следует отметить, что принятая
форма записи уравнения энергии не содержит в явном виде теплот фазовых переходов. Эти теплоты входят лишь в условия нормировки при вычислении
внутренней энергии. Основная сложность, проблемность и новизна разработанной модели тепломассопереноса в ограждающих конструкциях заключается
в комплексном одновременном моделировании потоков массы и внутренней
энергии влаги и газовой фазы через грани выражениями вида ρlvlnΔS, ρgvgnΔS в
(12.1) и ρеvlnulΔS, ρgvgnugΔS в (12.2); моделирование процессов испарения
жидких пленок в порах Jlg, конденсации водяного пара Jgl, замерзание воды в
порах Jls и плавление льда JSl, а также тепловых потоков, с учетом зависимости
теплопроводности от состава среды, температуры и влажности.
Газовая фаза рассматривается как смесь идеальных газов: водяного пара,
имеющего парциальное давление Рп и воздуха с парциальным давлением Рв=РРп, где Р – статистическое давление в газовой фазе. Объемные доли фаз характеризуются следующими величинами. Пористость среды характеризуется коэффициентом пористости m=Vп/V, где Vп – объем пор в контрольном объеме V,
m=1-αсм, αсм – объемная доля сухого материала. Приведенные плотности
воздуха и водяного пара в 
mв
m
V 
V 
 в g   g ,  п  п   п g   g , где  g  m   l   s V
V
объемная доля газовой фазы  g 
Vg
V
; а l 
Vl
V
,  S  S - объемные доли воды и
V
V
льда. Приведенные плотности влаги, льда и сухого материала выражаются через
l 
объемные
доли
и
истинные
плотности
(верхний
индекс
о)
ml ml
о 

  l  lo    l ,  S   So    S ,  см  см
  см . Схематически объемные доли
V
Vl
фаз и компонентов приведены на рис.12.1. При анализе процессов тепломассопереноса в ограждающих конструкциях существенную роль играет влажностный режим. Повышение влажности и промораживание стен приводит к существенному росту коэффициентов теплопроводности и в конечном итоге приводит
к росту теплопотерь и энергозатратам на поддержание благоприятных
микроклиматических условий в помещениях. Поэтому в расчетную модель
включены соотношения, описывающие нестационарные поля влажности,
льдистости и паросодержания. Разработанная модель учитывает также
основные фазовые переходы: испарение пленок влаги в поровом пространстве
при парциональном давлении пара меньшем, чем давление насыщенных паров
и конденсация влаги в ограждениях при температурах ниже, чем точка росы.
Рис.12.1
 см 
Схема
объемной
структуры
фаз
в
контрольном
объеме
V
Vg V
Vсм
V
V
V
V
V
V
V
,  S  S ,  l  l ,  в  в  в   g ,  п  п  п   g ,  g  , в   в( g ) , п   п( g ) V
V
V
V Vg
V Vg
V Vg
Vg
объемные доли; Vсм, VS, Vl, Vв, Vп – объемы, занятые соответственно сухим
веществом пористого строительного материала, льдом, влагой, воздухом,
водяным паром; x,y – ортогональные координаты.
Принятая физическая модель многофазной среды учитывает Jji, кг/м3с –
интенсивность следующих фазовых переходов: 1) испарение жидких пленок в
объеме Vg, в условиях ограниченной скорости диффузии из контрольного объема; 2) конденсации влаги из водяного пара при превышении парциального давления пара давления насыщенных паров воды при температуре Т(t,x,y) определяемой всей совокупностью тепломассообменных процессов; 3) замерзание воды в порах при температуре Т<273К с учетом обобщенных данных об изменении приведенной плотности незамерзшей воды при понижении температуры в
строительных материалах; 4) плавление льда при повышении средней температуры в контрольном объеме от Тпл-ΔТ до Тпл+ΔТ, где принимается ΔТ=0,1-1.0 К
– малый характерный интервал температур, в котором происходит плавление
льда при подводе тепла. Величина ΔТ определяется неоднородностью состава
льда и материала, наличием солей, неравновесностью процесса плавления. Следует отметить наличие и учет в данной модели гистерезиса в процессе замерзание воды – плавление льда, что выражается в монотонном снижении доли незамерзшей воды при снижении температуры от Т=Тпл до Т=Тнв, где Тпл – температура плавления, Тнв – температура незамерзшей воды и в постоянстве доли
незамерзшей воды от Т=Тнв до Т=Тпл-ΔТ с последующим увеличением доли
воды до 1.0 при возрастании Т от Тпл-ΔТ до Тпл+ΔТ.
При вычислении тепловых потоков qn характерной особенностью
принятой модели является последовательный учет зависимости коэффициента
теплопроводности от времени и координат, от вида строительного материала в
многослойных конструкций, от рассчитываемых в процессе вычислений полей
влажности, льдистости и температуры.
12.2 Уравнение баланса массы фаз в контрольных объемах.
Уравнение
баланса
массы
(п.12.1)
(в
каждом
фиксированном
контрольном объеме Vij для промежутка времени (t(n), t(n+1)=t(n)+Δt)):
- для водяного пара
( n 1)
(n)
 пij
  пij
t
k 4( 6)

 Vij  
k 1
пijk
nk
 пijk
 S ijk  I lп  Vij
(12.3)
- для воздуха
( n 1)
(n)
вij
 вij
t
k  4( 6)

nk
 вijk
 Sijk
(12.4)
nk
 lijk
 S ijk  I пl  Vij  I Sl  Vij
(12.5)
 Vij  
k 1
вij
- для воды
 lij( n 1)   lij( n )
t
 Vij  
k  4(6)

k 1
lijk
- для льда
( n 1)
(n)
 Sij
  Sij
t
 Vij  I lS  Vij
(12.6)
В уравнениях (12.3)-(12.6) правые части вычисляются как средние для промежутка (t(n), t(n+1)), т.е. в момент времени t(n)+εΔt, где 0≤ε≤1. В применяемом нами
методе «предиктор-N раз корректор» применяется итерационная на каждом шаге или на М шагах схема, как правило, с ε≥0,5. Нижние и верхние индексы
k=1,2,3,4 при решении двумерных задач и k=1,2,…,6 для пространственных задач соответствуют W,E,S,N (H,O) граням контрольных объемов. Интенсивность
фазовых переходов в поровом пространстве контрольных объемов Vij характеризуется величинами: Ilп, кг/м3С – интенсивность испарения влаги (п.12.6); Iпl,
кг/м3С – интенсивностью конденсации водяного пара (п.12.6); ISl, кг/м3С – интенсивностью плавления льда (п.12.7); IlS, кг/м3С – интенсивностью замерзания
воды. Вычисление расходов паровой и воздушной компонент газовой смеси чеk  4( 6)
рез грани контрольных объемов

k 1
пijk

nk
пijk
k  4( 6)

 Sijk и
k 1
k  4( 6)
смотрено в п.12.5 данной работы, а расходы влаги

k 1
lijk
вijk
nk
 вijk
 Sijk рас-
nk
 lijk
 Sijk в п.12.4.
Следует отметить, что в уравнении баланса массы (12.3)-(12.6) содержатся приведенные плотности пара  п 
S 
mп
m
m
, воздуха  в  в , воды l  l , льда
V
V
V
mS
m
, которые выражаются через истинные плотности i( o )  o и объемные
V
Vi
доли  i 
Vi
V
отдельных составляющих  п   п( о )   п ,  в   в( о )   в , l  l( о )   l ,
 S   S( о )   S . Газовая фаза, состоящая из водяного пара и воздуха, занимает объ-
ем Vg в пределах контрольного объема V. Так, что объемная доля газовой фазы
g 
Vg
V
, в расчетах используются также приведенные плотности пара и воздуха,
отнесенные к объему Vg:  п(V ) 
g
mп
,
Vg
в
(V g )

mв
. Вводится в рассмотрение
Vg
объемная доля сухого материала в контрольном объеме  см 
m
V  Vсм
V
см 
Vсм
 1  m , где
V
- пористость, а также приведенная плотность сухого материала
mсм
(о)
 см
  см . Плотность смеси вычисляется как сумма приведенных
V
плотностей компонентов:
  п  в  l  S  см
(12.7)
Из уравнений (12.3)-(12.6) можно выразить приведенные плотности пара
п, воздуха в, воды l и льда S в контрольных объемах Vij в момент времени
t=t(n+1) через известные плотности в момент времени t=t(n), а также потоки массы
через грани контрольного объем и интенсивности фазовых переходов (п.12.4п.12.7).
Для плотности пара из (12.3) получим
( n 1)
( n)
пij
 пij
 пk  l п ,
где пk  
k  4( 6)
 
k 1
пjk
nk
 пijk

( n  )

Sijk
Vij
(12.8)
 t - изменения приведенной плотности пара в
контрольном объеме Vij за время t, вследствие переноса пара через грани
контрольного объема под действием градиента парциальных давлений пара
(п.12.5); l п  J lп  t - изменение приведенной плотности пара в контрольном
объеме Vij вследствие испарения влаги или конденсации пара в порах (п.12.6).
( n 1)(V )
( n 1)
 пij
g .
Приведенная к объему Vg плотность пара будет равна пij
g
Для приведенной плотности воздуха из (12.4):
( n 1)
( n)
вij
 вij
 вk ,
где вk  
k  4( 6)
 
k 1
вjk
nk
 вijk

( n  )

Sijk
Vij
(12.9)
 t - изменение приведенной плотности воздуха
в контрольном объеме Vij за время t, вследствие переноса массы воздуха через
грани контрольного объема под действием градиента парциального давления
воздуха в паровоздушной смеси (п.12.5). Приведенная к объему Vg плотность
( n 1)(V )
( n 1)
 вij
g .
воздуха вij
g
Для приведенной плотности воды из (12.5) следует:
lij( n 1)  lij( n)  lk  пl  S l ,
где lk  
k  4( 6)
 
k 1
ljk
nk
 lijk

( n  )

Sijk
Vij
(12.10)
 t - изменение приведенной плотности влаги
вследствие переноса влаги через грани контрольного объема под действием
градиента потенциала влажности (п.12.4);  пl - изменение приведенной
плотности воды за счет конденсации пара или испарения воды в поровом
пространстве;  S l
- изменение приведенной плотности воды за счет
плавления льда в поровом пространстве (п.12.7).
Приведенная плотность льда в момент времени t(n+1) определяется из
уравнения (12.6):
( n 1)
( n)
Sij
 Sij
 l S ,
(12.11)
где l S  J lS  t - изменение приведенной плотности льда за счет замерзания
воды или плавления льда в порах (п.12.7).
Использование балансовых соотношений массы в форме (12.8)-(12.11)
позволяет оценивать влияние и значимость отдельных физических механизмов
массопереноса по приращениям приведенных плотностей пара, воздуха, воды и
льда пk, lп, вk, lk, пl, Sl, lS в процессе эксплуатации
ограждающих конструкций зданий и сооружений.
12.3 Уравнение баланса внутренней энергии многофазной среды в
контрольных объемах.
Уравнение баланса внутренней энергии ((12.2)п.12.1) многофазной среды
состоящей из газовой фазы (водяной пар и воздух), жидкой фазы (свободная
и связанная воды) и твердой фазы (лед, сухой пористый материал) запишем в
приближении однотемпературной среды и пренебрежения мощностью
внутренних сил:
N
   U 
i 1
i
i
( n 1)
N
   i  U i 
i 1
t
(n)
Vij 
k  4(6) N
    
k 1
i 1
i
nk
i
U i   Sk 
k
k  4(6)

k 1
qknk  Sk , (12.12)
где верхние индексы (n) и (n+1) соответствуют моментам времени t(n) и
t(n+1)=t(n)+Δt, индексы k=1,2,3,4 соответствует четырем граням контрольных объемов при 2D – моделировании, k=1,2,…,6 – шести граням КО при 3D – моделировании; N=5 – число фаз (компонент), причем индексы i=1,2,3,4,5 относятся
соответственно к параметрам паров воды (i=1), воздух (i=2), влаги (i=3), льда
(i=4), сухого материала (i=5), Ui, Дж/кг – удельная внутренняя энергия компонентов, qknk, Вт/м2 – удельный тепловой поток через к-ю грань ΔSk контрольного объем V.
Внутренняя энергия фаз в многофазной среде является аддитивной
функцией. Тогда для моментов времени t(n) и t(n+1) получим для внутренней
энергии ρU смеси в целом для контрольного объема Vij:
  U ij( n )   п  U п  в  U в  l  U l   S  U S  см  U см ij( n )
(12.13)
  U ij( n 1)  п  U п  в  U в  l  U l   S  U S  см  U см ij( n 1)
(12.14)
Удельная внутренняя энергия сред, не испытывающих фазовых переходов, определяется с точностью до постоянных. В средах с температурами фаз
T=T(t,x,y,z): для воздуха - U в  Cvв  Т , для сухого материала - U см  Cсм  Т , где Сvв,
Ссм, Дж/кгК – удельная изохорная теплоемкость воздуха и удельная теплоемкость сухого материала. Для льда U S  CS  Т  U So , где СS – удельная теплоемкость льда, USo, Дж/кг – несущественная константа, которая принимается равной нулю. Для воды Ul  Cl  (Т  To )  Ulo , для водяного пара U п  Cvп  (Т  To )  U пo ,
где Cl, Cvп – удельные теплоемкости воды и пара, а константы Ulo и USo являются существенными константами при наличии фазовых переходов типа водапар l↔п и вода-лед l↔S. Эти константы определяются условиями нормировки
при фазовых переходах
iп  il  llп ,
(12.15)
il  iS  lSl ,
(12.16)
где iS, il, iп, Дж/кг – удельные энтальпии льда, воды и водяного пара при
условиях фазовых переходов; lSl, llп, Дж/кг – удельная теплота фазовых
переходов лед-вода и вода-пар.
Для льда U S  CS  (Т  TSo )  U So и полагая TSo=0, T=TSo, USo=0. Тогда
удельная внутренняя энергия льда
U S  CS  T
и удельная энтальпия равна iS  U S 
Po
 S(o )
(12.17)
.
Удельная внутренняя энергия воды записывают в виде
U l  Cl  (Т  To )  U lo ,
(12.18)
а удельная энтальпия воды в виде
il  U l 
Po
l( o )
 Cl  T  To   U lo 
Po
l( o ) .
(12.19)
Тогда, по условию нормировки при плавлении льда, получаем
lSl Po   il T  iS
SS
TSS
 Cl  T  To   U lo 
Po

(o)
l
 CS  To 
Po

(o)
S
 U lo  CS  To 
Po

(o)
l

Po
 S( o )
, откуда
начальное значение удельной внутренней энергии воды
U lo  lSl  CS  T 
Po
 S( o )

Po
l( o ) ,
(12.20)
и расчетная формула для удельной внутренней энергии воды имеет вид
U l  Cl  (Т  To )  U lo ,
где существенная константа Ulo определяется формулой (12.20). Константу Uпо
находим по условию нормировки при испарении воды, с учетом удельной
теплоты испарения воды llп:
iп  il  llп .
(12.21)
Удельная энтальпия воды с учетом формулы (12.19) и (12.20) записывается как
il  Cl  T  To  
Po

(o)
l
 lSl  CS  To 
Po

(o)
S

Po

(o)
l
 Cl  (T  To )  lSl  CS  To 
Po
 S( o )
.
(12.22)
Водяной пар при условиях по температурам и давлениям, характерных для
ограждающих конструкций зданий может считаться идеальным газом. Тогда
удельная внутренняя энергия пара запишется в виде
U п  Cvп  (Т  To )  U пo ,
(12.23)
Удельная энтальпия пара равна
iп  U п 
Pп

(o)
п
 Cvп  (T  To )  U пo 
Pп
 п( o )
.
Из условия нормировки (2.22) получаем
llп  iп  il  Cvп  T  To   U по 
Pп
 п( o )
 Cl  (T  To )  U lo 
Po
l( o )
.
Следовательно
U по  U lo  llп  (Cl  Cvп )  (T  To ) 
Po
l( o )

Po
 п( o )
,
(12.24)
где Ulo определено выражением (12.20), а Uп выражением (12.23).
Полная энергия смеси (12.13), (12.14) с одинаковой температурой компонент
запишется в виде
  U   п  Сvп  в  Сvв  l  Cl  S  CS  см  Cсм   T  п  U по  Сvп  То   l  Ulo  Cl  To 
  C  п  Cvп  в  Cvв  l  Cl  S  CS  см  Cсм
обозначим
и
  U o  п  U по  Сvп  Т о   l  U lo  Cl  To  .
Из (2.12) получим для КО Vij:
  С ij( n 1)  Tij( n 1)    C ij( n)  Tij( n)    U o ij( n)    U o ij( n 1) 

 
k  4(6)
k 1
где Qвн  
ij
 
 
n
n
n
п  п  U п   в  в  U в  l  l  U l
k  4( 6)
q
k 1
nk
kij


ijk
Qвн
Sk
 t  ij  t (12.25)
Vij
Vij
 Sk - тепловая мощность, подводимая к контрольному объему
Vij через его грани механизмом теплопроводности (рис.12.2).
Температуры на гранях W, E, S, N определяем из условий равенства тепловых
потоков через грани. Так, например, для грани W имеем
qw  i 1, j 
Tw  Tww
T  Tw
 ij 
,
dxi 1 2
dxi 2
(12.26)
откуда
Tw 
ij  dxi 1  T  i 1, j  dxi  Tww
ij  dxi 1  i 1, j  dxi
(12.27)
Аналогично выражаем температуры на гранях E, S, N
TE 
ij  dxi 1  T  i 1, j  dxi  TEE
ij  dxi 1  i 1, j  dxi
TS 
ij  dy j 1  T  i , j 1  dy j  TSS
ij  dy j 1  i , j 1  dy j
TN 
(12.28)
ij  dy j 1  T  i , j 1  dy j  TNN
ij  dy j 1  i , j 1  dy j
Рис.12.2 К определению тепловой мощности и потоков массы фаз подводимой через грани
W, E, S, N к контрольному объему Vij (2D).
Тепловая мощность Q, Вт подводимая через грани W, E, S, N к контрольному
объему Vij выражается с учетом (12.27)-(12.28)
2  ij
QW  
dxi
QE  
QS  
QN  
2  ij
dxi
2  ij
dy j
2  ij
dy j
 Tij  TW   dy j  dz;
 TE  Tij   dy j  dz;
 Tij  TS  dxi  dz;
(12.29)
 TN  Tij  dxi  dz.
Тогда тепловая мощность, подводимая к контрольному объему Vij равна
Qвнij  QW  QE  QS  QN .
(12.30)
Разделив (12.25) на (ρС)n+1 получим
Tij( n  1)    T ( n)  To  Tп  Т в  Т l  Tq ,
(12.31)
  C ij( n )
где  
;
  C ij( n 1)
  U o ij( n)    U o ij( n 1)
To 
- изменение температуры, связанное с изменением
  C ij( n 1)
по времени приведенных плотностей пара и воды и ненулевыми значениями
констант Uпо и Ulо;
л


Т п    п  пn  U п k 
Sk t
( n 1)
Vij    C ij
- изменение температуры из-за потока
внутренней энергии пара через грани КО;
Т в  
k  4( 6)
 
k 1

n
в  в  U в k 
Sk t
( n 1) - изменение температуры из-за потока
Vij    C ij
внутренней энергии воздуха через КО;
Т l  
k  4( 6)
  
k 1
l
n
l

 Ul k 
Sk t
( n 1)
Vij    C ij
потока внутренней энергии влаги через КО;
- изменение температуры из-за
Tq 
Qвнij  t
Vij    C 
( n 1)
- изменение температуры из-за потока тепла через грани
КО вследствие теплопроводности.
Приведение уравнения баланса внутренней энергии к виду (12.31)
позволяет оценивать влияние и относительную значимость отдельных
физических механизмов теплопереноса по приращениям температуры ΔТо,
ΔТп, ΔТв, ΔTl, ΔTq.
12.4 Перенос массы и внутренней энергии жидкой фазы через грани
контрольного объема.
Во
влажных
строительных
материалах
происходит
перемещение
свободной влаги, образующейся при конденсации водяного пара или в
результате непосредственного впитывания воды материалом. При этом
сорбированная влага находится в связанном состоянии и не перемещается.
Обычно влага заполняет поры и капилляры частично, так как кроме влаги в них
находится воздух, водяной пар или лед. Перемещение влаги происходит, когда
отдельные массы влаги в порах и капиллярах связаны друг с другом, то есть
сливаются
в
гидравлически
связанную
систему.
В
данной
работе
рассматривается модель капиллярной диффузии влаги. Процесс капиллярной
диффузии, характерный для ограждающих конструкций зданий происходит,
если влажность материала больше предела сорбционного увлажнения.
В многослойных конструкциях ограждений значения влажности на
границах могут иметь разрыв. Поэтому в качестве движущего потенциала
примем потенциал влажности Θ=Θ(t,x,y), предложенный В.Н. Богословским

jl      grad
В
основу
определения
Θ
положен
(12.32)
постулат,
подтвержденный
экспериментально: если два влажных тела из разных материалов находится во
влажностном равновесии с третьим влажных телом из другого материала, то
они находятся во влажностном равновесии друг с другом.
Потенциал влажности Θ, при различных диапазонах влажности w,
линейно связан с влажностью
  k  w  wo   o ;
где w 
l
 сь
w 1 
 
l k l
(12.33)
- относительная влажность, k, wo, Θo – опытные константы,
получены нами по опытным данным, величина Θ измеряется в градусах
влажности (˚В). Так, например, для глиняного обыкновенного кирпича Θо=0,
wo=0, k=3077; для минеральной ваты при wl≤0,026-Θo=0, wo=0, k=3846; при
0,026<w<0,13-Θo=100, wo=0,026, k=4808; при w>0,13-Θo=600, wo=0,13, k=800.
Коэффициент β΄ в управлении (12.32) связан с коэффициентом
влагопроводности β векторного уравнения

jl     gradw ,
(12.34)
или в проекциях на оси х и у:
jlx   
w
 

 
   
;
x
k x
x
jly   
w
 

 
   
;
y
k y
y
и, следовательно
 
Коэффициент
влагопроводности

k
.
β
(12.35)
зависит
от
вида
материала,
температуры Т и влажности w:
   о, 288 
где
βо,288
–
коэффициент
1  0,04  Т  273
,
1,6
влагопроводности
(12.36)
при
w→0,
Т=288К
–
аппроксимирован нами по опытным данным зависимостью
 о , 288  во  kв  w  wв о  ,
где, например, для глиняного обыкновенного кирпича: w≤0,14-вo=0, kв=257,
wво=0; при
(w 
w>0,14, вo=36.0, kв=2850, wво=0,14; для минеральной ваты:
l
, см  85кг / м3 ):w≤0,6-вo=0, kв=0, wво=0; при
см
wво=0,6; при w≥2-вo=0,14, kв=0,047, wво=2.0.
0,6<w<2.0-во=0, kв=0,1,
Рассмотрим контрольный объем (i,j), а также соседние КО с центрами
WW(i-1,j), EE(i+1,j), SS(i,j-1), NN(i,j+1) (рис.12.3). Точки W, E, S, N –
соответствуют
серединам
соответствующих
граней.
Для
выражения
потенциалов влажности ΘW, ΘE, ΘS, ΘN запишем условия непрерывности
потоков влаги через грани. Так, например, для грани W:
jlw   ij 
  W
  W W
   i1, j  W
;
dxi 2
dxi 1 2
(12.37)
откуда
W 
  ij  dxi 1  W W  i1, j  dxi
;
ij  dxi 1  i1, j  dxi
(12.38)
Аналогично вычисляются потенциалы влажности на гранях E, S, и N:
E 
  ij  dxi 1   EE  i1, j  dxi
ij  dxi 1  i1, j  dxi
S 
  ij  dy j 1  SS  i, j 1  dy j
ij  dy j 1  i, j 1  dy j
N 
  ij  dy j 1   NN  i, j 1  dy j
ij  dy j 1  i, j 1  dy j
(12.39)
Тогда, с учетом (12.34), (12.38) и (12.39) получаем соотношение для удельных
потоков влаги через грани контрольного объема (i,j):
jlW  
jlE  
jlS  
jlN  
2  ij    W 
dxi
2  ij   E  
dxi
;
;
2  ij    S 
dy j
;
2  ij   N  
dy j
.
(12.40)
Рис 12.3 Схема контрольных объемов к расчету потоков влаги через грани W, E, S, N: jlW, jlE,
jlS, jlN, где ΘW, ΘE, ΘS, ΘN – потенциала влажности на гранях КО.
Удельные потоки внутренней энергии воды через грани, определяются при
найденных потоках массы, Вт/м2 (12.40):
U lW  jlW  Cl  TW  To   ulo   jlW ;
U lE  jlE  Cl  TE  To   ulo   jlE ;
U lS  jlS  Cl  TS  To   ulo   jlS ;
(12.41)
U lN  jlN  Cl  TN  To   ulo   jlN ,
где внутренняя энергия воды зависит от температуры U  Cl  T  To   ulo , Сl,
Дж/кгК – удельная теплоемкость воды.
Таким образом, определение потоков массы и внутренней энергии через грани
контрольного объема проводится следующим образом:
1. По обобщенным опытным данным вычисляются размерные константы k,
wo, o (ф-ла 12.33) и во, kв, wво (ф-ла 12.37).
2. По
формулам
(12.36)
и
(12.37)
вычисляются
влагопроводности ij и по (12.35) коэффициенты ij.
коэффициенты
3. Аналогично предшествующему пункту вычисляются коэффициенты  в
соседних узлах (i-1,j), (i+1,j), (j,i-1), (j,i+1).
4. По соотношениям (12.40) вычисляются удельные потоки массы через
грани контрольного объема, где потенциалы влажности находятся по
(12.39).
5. По соотношениям (12.41) определяются удельные потоки внутренней
энергии через грани объема.
12.5 Перенос массы и внутренней энергии газовой фазы через грани
контрольного объема.
Перенос
массы
в
газовой
фазе,
заполняющей
пористый
материал
определяется законом Дарси

j    gradР ,
(12.42)
где для определения потока водяного пара принимается Р=е, Н/м2 –
парциальное давление пара; , [с] – коэффициент паропроводности; j, кг/м2с –
удельный расход пара через единицу поверхности контрольного объема. Для
расчета инфильтрации воздуха в качестве движущей силы используется
градиент парциального давления воздуха Рв=Р-е. Перепад статического
давления Р определяется по эмпирической формуле
Р  5,5  Н   нар  в н   0,3   н  ,
(12.43)
где Н, м – расстояние от середины этажа до нейтральной зоны; плотность
воздуха в окружающей среды нар и внутри помещения вн определяется из
уравнения состояния идеального газа  
P
; v, м/с – характерная скорость
R T
ветра.
Модель переноса (12.42) применима при условии, что пар и воздух
непрерывно с разной плотностью и различным парциальным давлением
занимает поровые каналы. В проекциях на оси координат х, y уравнение (12.42)
имеет вид
jх    
Р
;
х
j y   
Р
.
y
(12.44)
В теории фильтрации газов в пористых коллекторах используются
зависимости коэффициентов газовой проницаемости от абсолютной и фазовых
проницаемостей, а также от пористости материалов. При моделировании
процессов
паропроницаемости
в
строительной
теплофизике
обычно
используются зависимости  от вида строительного материала. Так, например,
для красного кирпича =0,30510-10 кг/мсПа, для минеральной ваты =1,3610-10
кг/мсПа.
Рассмотрим удельные потоки массы и внутренней энергии через грани W,
E, S, N контрольного объема (i,j) (рис.12.4).Точки WW(i-1,j), EE(i+1,j), SS(i,j-1),
NN(i,j+1) – находятся в центрах контрольных объемах, примыкающих к КО
(i,j). Для выражения парциальных давлений eW, eE, eS, eN в точках W, E, S, N
запишем условия непрерывности потоков газа через грани. Так, например,
поток пара через грань W:
jпW   ij 
e  eW
e e
  i 1, j  W W W , откуда
dxi 2
dxi 1 2
eW 
e  ij  dxi 1  eW W  i 1, j  dxi
ij  dxi 1  i 1, j  dxi
.
(12.45)
Рис.12.4 Схема контрольных объемов к расчету потоков газовой фазы (водяного пара и
воздуха) через грани W, E, S, N: jgW, jgE, jgS, jgN, где eW, eE, eS, eN – парциальные давления
компонентов газовой смеси на гранях КО.
Парциальные давления компонентов газовой фазы, например, водяного пара, на
гранях E, S, N вычисляются по аналогичным формулам:
eE 
eS 
eN 
e  ij  dxi 1  eEE  i 1, j  dxi
ij  dxi 1  i 1, j  dxi
;
e  ij  dy j 1  eSS  i , j 1  dy j
ij  dy j 1  i , j 1  dy j
;
(12.46)
e  ij  dy j 1  eNN  i , j 1  dy j
ij  dy j 1  i , j 1  dy j
.
Выражения для удельных потоков компонентов газовой фазы через грани
контрольного объемы (i,j) записываем из формул (12.44), (12.45). Например,
для пара
jпW  2 ij 
e  eW
dxi ;
jпE  2ij 
eE  e
;
dxi
jпS  2ij 
e  eS
dy j ;
jпN  2ij 
eN  e
.
dy j
(12.47)
Удельные потоки внутренней энергии пара через грани определяются по
найденным потокам массы (12.47), Вт/м2
U пW  j пW  Cп  TW  To   U пo   j пW ;
U пE  j пE  Cп  TE  To   U пo   j пE ;
U lп  j пS  Cп  TS  To   U пo   j пS ;
(12.48)
U пN  j пN  Cп  TN  To   U пo   j пN ,
где внутренняя энергия пара зависит от температуры U  Cl  T  Tо   U пo  ,; Спv,
Дж/кгК – удельная изохорная теплоемкость пара; Uпо – внутренняя удельная
энергия пара при температуре Т=То.
Потоки массы и внутренней энергии компонентов газовой фазы определяются по
следующей методике:
1. По
базе
данных
о
коэффициентах
паропроводности
различных
строительных материалов определяются коэффициенты ij, кг/мсПа.
2. Аналогичные п.1 коэффициенты выражаются с учетом вида материала в
соседних узлах (i-1,j), (i+1,j), (j,i-1), (j,i+1).
3. По соотношениям (12.45), (12.46) вычисляются парциальные давления eW,
eE, eS, eN.
4. Удельные потоки массы jпW, jпE, jпS, jпN вычисляются по формулам (12.47).
5. По соотношениям (12.48) вычисляются удельные потоки внутренней
энергии vпWjпW, vпEjпE, vпEjпE, vпSjпS.
12.6 Испарение воды – конденсация пара в контрольном объеме.
При расчете фазовых переходов испарения и конденсации применяем
модель изотропного капиллярно-пористого тела, пронизанного искривленными
каналами,
имеющими
эквивалентный
диаметр
dэ=dп.
Коэффициентом
извилистости поровых каналов по i-му направлению kизв называем отношение
длины канала dli при смещении от сечения хi к сечению хi+1, т.е. kизв 
dli
. В
dxi
силу допущения об анизотропии тела, полагаем, что kизв одинаков во всех
направлениях x,y,z. Число эквивалентных пор на единицу поверхности сечения
xi=const обозначим ki. Тогда объем пор, занятый газовой фазой Vg=m∙V-αS-αl,
где V=dx∙dy∙dz – контрольный объем, выражается как
Vg 
  d э2
4
 kизв  dx  dy  dz   ni  Si
(12.49)
при dx=dy=dz=dl объем занятый газовой фазой равен
3    d э2  kизв  dl 3  ni
Vg 
4
(12.50)
Поверхность пор, заполненных газовой фазой в контрольном объеме равна
Sпg  3    d э  dl 3  ni
(12.51)
Тогда отношение поверхности пор к объему, занятому газовой фазой равно
S пg
Vg

4
;
dэ
(12.52)
Полагаем, что одновременно с процессами испарения и конденсации
происходит диффузия пара через поверхность контрольного объема S. Масса
диффундирующего пара через грани контрольного объема за время dt равна
4
mп диф   jпk  S k  dt .
(12.53)
k 1
Тогда удельный, отнесенный к единице поверхности пор, диффузионный
поток, равен
jдиф 
mп диф
Sпg  dt

M диф  d э
4   g  V  dt
,
(12.54)
где определение массы пара, диффундирующего через грани контрольного
объема описывается в п.12.5.
Рис.12.5 Схема испарения влаги из пленок (jисп) и диффузии пара (jдиф) через стенки
контрольного объема.
Рассмотрим схему испарения жидких пленок в порах контрольного объема
(рис.12.5). Удельный поток массы при испарении жидкости, отнесенный к
поверхности раздела между жидкой и газовой фазой в порах определяется
законом массообмена при испарении

V 

j    пS  п g , кг/м2С
(12.55)
где коэффициент массообмена при испарении β, м/с находится по принципу
аналогии с переносом тепла

где Nu 
Д 


Д  Nu
,
dэ
(12.56)
  dэ
- средний по поверхности пор критерий Нуссельта, равный 3,66

при ламинарном течении сред в каналах с малыми диаметрами и малыми
скоростями ( Re 
  dэ
v
 2300 ); Д, м2/с – коэффициент диффузии при испарении
влаги в паровоздушную среду. Зависимость давления насыщенных водяных
паров от температуры в диапазоне 233К≤Т≤313К аппроксимирована нами
степенной функцией в виде
 Т  233 
РпS  12  2327  

 60 
3, 23
.
(12.57)
Выражая плотность пара пV  через массу пара mп в порах контрольного объема
g
m
dmп
Vg:  пV   п и записывая удельный поток массы j 
, получим из (12.55):
g
S п  dt
Vg

1 dmп
m 

     пS  п 

Sп dt
Vg 

(12.58)
или с учетом диффузии пара через стенки КО с потоком (S)

1 dmп
m 

     пS  п   jдиф

Sп dt
Vg 

Обозначив
постоянные

С1     пS  jдиф     пS
в
и С2  
пределах

Vg
временного
шага
(12.59)
Δt
величины
, получим
1
dm
  Vg .
 п  mп   пS

C2  S п dt
Или переходя к переменной y  mп   пS  Vg ;
(12.60)
dmп dy

:
dt
dt
dy
 C2  S п  dt .
y
(12.61)
Интегрируя обе части (12.61), получим
ln
y ( n  1)
y (n)
 C2  Sп  t  C3 ,
(12.62)
где постоянная интегрирования С3=0 находится из условия yn+1=yn при Δt=0.
Из решения (12.62) получаем массу пара в объеме Vg в момент времени t(n+1):
   Sп

  Vg  exp  
  Vg .
mпn 1  mп( n )   пS
 t    пS
 V

g


Изменение массы пара в объеме Vg за время Δt:
(12.63)
n 1
mп  mп
m
(n)
п

 mп max  m
( n)
п


   Sп


 1  exp 
 t  .


Vg



(12.64)
Из формулы (12.64) следует, что при Δt→∞, Δmп→0, что соответствует
условию равновесности при равенстве парциального давления пара давлению
насыщенных паров при данной температуре Т.
Изменения плотности пара в объеме Vg за счет испарения находим с
учетом соотношений (12.52) и (12.64)
V 
  пVg   1  exp   t  ,
п gl  g   пS


(12.65)
( n)
jдиф
4  Д  Nu
Vg  mп

где   
,
,
.







T

п
пS
пS
d э2
Vg

Изменение плотности пара пVl  g  может производится также в предложении
g
jдиф=0 в формуле (12.65). Однако при этом необходимо учитывать аддитивное
изменение плотности пара за счет переноса массы пара через стенку. Как
показывают выполненные расчеты, эти два способа вычисления изменения
приведенной плотности пара в объеме Vg дают близкие результаты при реально
малых шагах по времени.
Аналогичные зависимости описывают процесс конденсации пара на
стенки пор (рис.12.5) при превышении приведенной плотности пара в объеме
Vg пV  плотности насыщенного пара при данной температуре. Однако при этом
g
вместо коэффициента испарения β в выражении (12.55) вводится коэффициент
конденсации конд  kконд   , где kконд несколько меньше 1.0 (kконд=0,97).
12.7 Теплофизическая модель замерзания воды – оттаивания льда в
пористой среде.
В процессе эксплуатации зданий и сооружений возникают тепловые
режимы, когда часть стен имеет температуры Т≤Тпл, где Тпл =273К –
температура, характеризующая начало замерзания воды. Особенно актуальной
эта проблема является для условий Севера, где температура окружающей среды
может достигать Токр=223К и ниже, а аварии в теплосетях или системах
отопления зданий и сооружений приводят к кризисным условиям. Поэтому
модель тепловлажностного режима в данной работе учитывает особенности
локального снижения температуры до значений Т<273К.
Принцип
динамического
равновесного
состояния,
впервые
установленный Н.А. Цытовичем в 1945г. и впоследствии подтвержденный З.А.
Нерсесовой сводится к следующему: количество незамерзшей воды для
данного типа незасоленного материала определяется температурой материала.
В ряде работ приводятся обобщенные опытные данные о зависимости весовой
влажности w незамерзшей воды в определенных материалах имеющих
определенную начальную влажность wо только от температуры. Так, например,
для красного кирпича по Фокину:
w  0,0018 
При этом отношение
fw 
0,93  wo  0,0264
.
t
w
l

 0,38
wo l   S
при t=-3˚C и
(12.66)
f w  0,122
при
t=-10˚C. Анализ опытных данных, приведенных в приводит к возможности аппроксимации содержания незамерзшей воды в материалах при снижении температуры от Т=Тпл≈273К до Тнво≈263К и ниже. В качестве независимой переменной принимается величина, зависящая только от температуры Т при известной температуре плавления Тпл и известной для данного материала Тнво, ниже
которой содержание незамерзшей воды приближается к постоянной величине
х
Т  Т нв о
.
Т пл  Т нв о
(12.67)
Долю незамерзшей воды fw характеризуем как отношение приведенной
плотности незамерзшей вода ρl к сумме приведенных плотностей незамерзшей
воды и льда:
f w (T ) 
l
l   S
.
(12.68)
Тогда, имея аппроксимационную зависимость безразмерной функции fw(T) для
различных материалов, можно найти приведенные плотности незамерзшей
воды и льда
 l( n 1)  f w (T ) n 1   l( n )   S( n ) ,
 S( n 1)  (1  f w (T ) n 1 )   l( n )   S( n ) ,
(12.69)
где T(n+1)≤T(n), верхние индексы (n) и (n+1) относятся к предшествующему и
последующему шагам; весовая влажность w вычисляется как w 
l
, где ρсм –
см
приведенная плотность сухого материала.
Для каждого из анализируемых материалов по опытным данным берутся
следующие величины: Тнво, fw(Тнво), а также fw(T) для одной из температур Тх
при Тнво<Тх<Тпл.
Степенную аппроксимацию кристаллизации незамерзшей воды при
уменьшении температуры находим для различных материалов в виде:
f w(T )  f w ост  1  f w ост х ,
n
где fw
ост=fw(Tнво);
строительных
(12.70)
n – показатель степени, характерный для различных групп
материалов.
Так,
например,
для
распространенного
в
строительстве сплошного красного кирпича нами получено n=3,43. Формула
(12.70) может применяться при температурах Тнво≤Т<Тпл или при 0≤ х ≤1. При
Т<Тнво в данной модели принимается fw=fw(Тнво), при Т>Тпл доля fw равна 1.
Изменения приведенной плотности воды ∆ρl(l→S) при Т(n+1)≤T(n) находится
по следующей зависимости
l l S    f w( n 1)  f w( n )     S( n )  l( n )  ,
(12.71)
при 0≤ х ≤1; ∆ρl(l→S)=0 при x <0 или x >1.
Тогда
интенсивность
кристаллизации
незамерзший
воды
определяется
формулой
I lS 
l (l  S )
V  t
,
(12.72)
где V – контрольный объем, t  t ( n 1)  t ( n ) - расчетный шаг по времени.
Как известно, при нагревании пористой замерзшей среды содержание
льда и незамерзшей воды не изменяется вплоть до температуры Тпл-∆Т, где
∆Т=0,1-1.0К. Уменьшение льдистости происходит в узком температурном диапазоне Тпл-∆Т<T<Тпл+∆Т. Отношение приведенной плотности незамерзшей воды к сумме приведенных плотностей незамерзшей воды и льда нами аппроксимируется многочленом 3ей степени:
f w (T )  f wоос  3  1  f wоос   х 2  2  (1  f wоос ) х 3
где хТ 
(12.73)
Т  (Т пл  )
; f wоос  f w (Т нво) ; 0≤ хТ ≤1, f w (T )  0 при xT  0 или xT  1 .
2
Изменение приведенной плотности воды при таянии льда определяется с
учетом (12.73):
l  S l    f w( n 1)  f w( n )     S( n )  l( n ) 
(12.74)
при 0≤ хТ ≤1.
Интенсивность
плавления
льда
при
0≤ хТ ≤1
определяется
аналогично
интенсивности кристаллизации незамерзшей воды (12.72)
I Sl 
l ( S l )
V  t
,
(12.75)
где l ( S l )  0, l((nS1)l )  l(n)  l ( S l ) , I Sl  0.
Диаграмма, характеризующая соотношение массы незамерзшей воды к
сумме масс незамерзшей воды и льда в контрольном объеме строительного
материала для кирпича приведена на рис.12.6.
1,2
fW, б/р
1
0,8
Кривая доли незамерзшей воды при замерзании
0,6
Кривая доли незамерзшей воды при оттаивании
0,4
0,2
Т, К
0
262
264
266
268
270
272
274
276
278
Рис. 12.6 Модельные кривые кристаллизации незамерзшей воды(_____) и плавления льда (----)
l
в кирпиче; fW 
.
l   S
Из рис.12.6 видно, что при одной и той же температуре Т в диапазоне
Тнво<T<Тпл+∆ для одного и того же материала содержание незамерзшей воды и
льда различно при замерзании и оттаивании, т.е. имеется гистерезис, который
учитывается в разработанной модели тепломассопереноса в многослойной
ограждающей конструкции.
12.8 Аппроксимационная модель теплопроводности материалов при
различных влажностях и температурах.
В качестве исходных коэффициентов теплопроводности обычно принимают экспериментально определенные характеристики строительных материалов в сухом состоянии при стандартных температурных условиях. В разработанной в данном исследовании теплофизической модели тепломассопереноса
искомыми параметрами являются температура Т, влажность w 
тость L 
l
и льдиссм
S
в пределах контрольных объемов. Рассматриваются параметры
см
материалов в мерзлом состоянии, при наличии незамерзшей воды, в состоянии
отсутствия льдистости при температурах выше Тпл+∆, а также в зоне отрицательных температур Т<273К, когда в порах строительного материала имеется
лед и незамерзшая вода, соотношение, которых меняются при изменении температуры.
Полагаем, что для каждого материала многослойной конструкции
известен коэффициент теплопроводности сухого материала λ 288;w=0 при
температуре Т=288К. Используется зависимость
 Т   273, w 0  fT ,
(12.76)
где fT  1    T  273; 273К≤Т≤323К;
273, w  0 
Влияние влажности w 
288, w  0
.
1    15
(12.77)
l
, где ρсм – плотность сухого материала, на
см
коэффициент λ учтем по обобщенным опытным данным:
 T , w  273; w 0  fT  f w ,
(12.78)
n
где f w  1,0  a1  x  a2  x , x  10  w .
Так, например, для кирпича глиняного обыкновенного по ГОСТ 530-80, СНиП
II-3-79 в диапазоне 0≤w≤0,1 нами получено методом наименьших квадратов
а1  35,05; а2  32,9; n  1,03 .
Принимая допущение от независимости содержания незамерзшей воды в
строительном материале от температуры при Т≤263К, принимаем с учетом
данных
М 263  273  f МТ ( w) ,
(12.79)
где λм263, λ273, Вт/мК – коэффициент теплопроводности мерзлого материала при
Т≤263К и оттаявшего материала при Т=273К, f МТ (w)  1.0  2,5  w273 , w273 –
влажность материала при Т=273К. В диапазоне температур 263К<Т<273К
используем зависимость, предложенную Н.С. Ивановым
 T , w  273  (М 263  Т 273 ) 
где wнв 
wнв 263 
w  wнв (Т )
,
w  wнв 263
(12.80)
l
содержание незамерзшей воды в материал при 263К<Т<273К,
 см
 ост
, ρост – приведенная плотность незамерзшей воды при Т=Тнв, которая
 см
принимается по опытным данным для различных материалов. В первом приближении принимается Тнв=263К. Выражение
писывается
wнв 263 
через
приведенные
w273  wнв
в формуле (12.76) заw273  wнв 263
плотности
w
l 273
,
см
wнв 
l (T )
,
см
l (T  263К )
, w  wнв  L(T ) - относительная льдистость при температуре
 см
Т, w  wнв263  Lmax - максимальная льдистость в материале при Т≤263К, w273 –
влажность при Т=273К. При этом
w273  wнв
S

, где ρост - приw273  wнв 263 l   S  ост
веденная плотность влаги при Т≤Тнв.
Итак, алгоритм расчета коэффициента теплопроводности влажных мерзлых, промораживающихся и оттаивающих материалов состоит из следующих
этапов:
1. По базе справочных данных определяется коэффициент теплопроводности λ288,w=0 сухого материала при Т=288К и приведенная плотность сухого
материала ρсм.
2. Из формулы (2.76) находится λ273,w=0.
3. В рамках разработанной расчетной теплофизической модели итерациями
находится температура Т, приведенные плотности влаги и льда на
следующем временном шаге.
4. Если температура Т≥273К, то коэффициент теплопроводности находится
по формуле (12.78). Если температура Т≤263К, то вначале вычисляется по
n
формуле (12.78) 273  273; w0  (1,0  a1  x  a2  x ) , а затем находится коэффициент теплопроводности промерзшего материала М 263  273  f МТ . Если
температура Тнв<Т<273К, то вычисляется параметр А2 
S
, а
l   S   ост
затем  T , w  273  М 263  273   А2 .
12.9 Замыкающие соотношения, граничные и начальные условия
нестационарного тепломассопереноса в ограждающих конструкциях.
Начальное распределение температур, а также приведенных плотностей
пара, воздуха, воды и льда задается во всей расчетной, например, двумерной
области, при t=t(o) (рис. 12.7)
Т  Т о (to , x, y );
п
(V g )
  по g (to , x, y );
(V )
 в   в о (to , x, y );
l  l (to , x, y );
 S   S (to , x, y ).
(V g )
(V g )
(12.81)
В качестве примера задания начального поля температур приведем аналитическое решение для плоской трехслойной стенки при y=0 и х=0. Считаются
известными: - коэффициенты теплоотдачи от воздуха внутри помещения к
стенке αвн и от внешней стенки к воздуху во внешней среде αнар; - температуры
воздуха в помещении и в окружающей среде в начальный момент времени Т вно
и Тнаро; - толщина слоев ∆1, ∆2, ∆3; - коэффициенты теплопроводности материала слоев λ1, λ2, λ3.
Рис.12.7 Пример расчетной (2D) угловой области трехслойной ограждающей конструкции.
Как
известно
аналитическим
решением
одномерного
уравнения
теплопроводности является кусочно-линейное распределение температур в
пределах каждого плоского слоя. Тепловой поток q 
сопротивление стенки R 
1
 вн

1
1

2
2

3
3

1
 нар
Т вн  Т нар
R
, где термическое
. Температуры в т.1,2,3,4 на
границах слоев определяется формулами
Т1  Т в н 
q
вн
, Т 2  Т1  q
1
1
, Т3  Т 2  q
2
2
, Т 4  Т3  q
3
3
.
(12.82)
В пределах каждого слоя распределения температур – линейное
при х1≤х≤х2 Т  Т1  q 
при х2≤х≤х3 Т  Т 2  q 
при х3≤х≤х4 Т  Т 3  q 
х  х1
1
;
х  х2
2 ;
(12.83)
х  х3
3 .
Аналогичное распределение имеется на второй стенке с заменой координат х на
у. В угловой области полагаем Т(х,у)=Т(х=0,у) при х≤у и Т(х,у)=Т(х,у=0) при
х≥у.
Аналогичное решению (12.83) имеется решение для
начального
распределения парциального давления пара Рп и воздуха Рв. Например, для пара
задается паропроницаемость слоев µ1, µ2, µ3, а также сопротивление
паропроницаемости Rпвн и Rпнар. Суммарное сопротивление паропраницанию
Rп  Rпв н 
1
1

2
2

3
3
 Rпнар . Поток пара jп 
Рпвн  Рпнар
Rп
. Парциальные давления
пара в т.1,2,3,4 находятся по формулам:
Рп1  Рпв н 
Рп 2  Рп1 
Рп 3  Рп 2 
Рп 4  Рп 3 
jп
Rпв н ,
jп  1
1 ,
jп   2
2
jп   3
3
,
(12.84)
.
Аналогичное распределение имеется для воздуха с заменой нижнего индекса п
на в. Давления пара Р=Рп и воздуха Р=Рв определяется по соотношениям:
при х1≤х≤х2 Р  Р1  j 
при х2≤х≤х3 P  P2  j 
х  х1
1
;
х  х2
2 ;
(12.85)
х  х3
P

P

j

3
при х3≤х≤х4
3 .
Приведенная плотность пара и воздуха определяется по уравнениям состояния
идеального газа
п 
Рп
Рв
; в 
.
Rп  Т
Rв  Т
(12.86)
Приведенные плотности, отнесенные к объему газовой фазы Vg=αgV, где αg –
объемная доля газовой фазы, вычисляются как
п
(V g )

 п (V ) в
; в 
g
в .
g
(12.87)
Начальное распределение приведенной плотности влаги ρl может записываться
как заданная доля от сорбционной влажности
l  lссор ( , см ) ,
где  
Рп
РпS
(12.88)
- относительная влажность паровоздушной смеси, РпS=РпS(Т) –
давление насыщенных паров при температуре Т.
Приведенная плотность льда ρS=0 при Т≥Тпл. При Т<Тпл ρS принимается в
виде
 S  (1  f w (T )) l Т ,
(12.89)
пл
где fw(T) рассмотрена в п.12.7.
Граничные условия задаются на границе расчетной области в течение
расчетного периода по времени 0≤t≤tmax:
 при х=0, qу=0, jу=0; при у=0, qх=0, jх=0, где qВт/м2 – удельные тепловые
потоки, jкг/м2С – плотность потоков пара, воздуха и влаги;
 задается изменение по времени температуры и парциальных давлений
пара и воздуха в помещении и в окружающей среде:
Твн=Твн(t), Тнар=Тнар(t);
Рпвн=Рпвн(t), Рпнар=Рпнар(t);
Рввн=Рввн(t), Рвнар=Рвнар(t).
 задаются постоянные или переменные коэффициенты теплообмена
αвн(t), αнар(t) и массообмена µвн(t), µнар(t).
Таким
образом,
теплофизическая
модель
тепломассопереноса
в
многослойной стенке, определенная уравнениями, приведенными в п.12.2-12.8,
с начальными данными и граничными условиями, описанными в данном
подразделе, позволяют вычислить параметры тепловлажностных режимов и
находить
теплопотери
нестационарности.
через
ограждающие
конструкции
в
условиях
ТЕМЫ СЕМИНАРОВ
Тема 1. Простейшие задачи теории теплопроводности.
Тема 2. Поток тепла через плоскую стенку с учетом зависимости коэффициента
теплопроводности от температуры.
Тема 3. Поток тепла через плоскую стенку с учетом теплообмена с окружающим воздухом.
Тема 4. Поток тепла через цилиндрическую стенку.
Тема 5. Поток тепла через цилиндрическую стенку с учетом теплообмена с
окружающим воздухом. Критический диаметр цилиндрической стенки.
Тема 6. Задачи с объемными источниками тепла.
Тема 7. Теплообмен излучением.
Тема 8. Безразмерные параметры теплообмена.
Тема 9. Основы теории пограничного слоя.
Тема 10. Теплообмен при вынужденной конвекции.
Тема 11. Теплообмен при свободной конвекции.
Тема 12. Тепломассообмен при конденсации.
Тема 13. Тепломассообмен при кипении.
Тема 14. Тепломассообмен в грунтах и строительных материалах.
Темы курсовых работ
Проблема: гидратообразование при транспорте природного газа
1.
Разработка
физико-математической
модели
и
компьютерной
программы для расчета течения газа и образования газогидратных пробок.
2. Исследование динамики гидратообразования на стенке газопроводов.
3. Исследование влияния теплоизоляции на температурный режим и
динамику гидратообразования внутри газопровода.
4. Влияние электрообогрева на температурный режим и условия
гидратообразования в трубопроводе.
5.
Влияние
сушки
природного
газа
на
гидратообразование
в
трубопроводе.
6.
Влияние
давления
природного
газа
на
интенсивность
гидратообразования.
7. Предотвращение гидратообразования при подаче в газопровод
метанола.
Основная литература:
1. Нигамтулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.I. – М.: Наука, 1987. 464с.
2. Уразов Р.Р. Динамика накопления и диссоциации газогидратных
отложений в действующих газопроводах. – Диссертация на соискание ученой
степени кандидата физико-математических наук, Тюмень, 2005.
3.
Шагапов
В.Ш.
Характеристики
газопровода
при
наличии
гидратообразования// Теплофизика высоких температур, 2004, т. 42, № 3 с.461 –
468.
Проблема: тепломассоперенос в пористых средах применительно к
нефтегазовым и строительным технологиям
1.
Разработка
физико-математической
модели
и
компьютерной
программы для расчета температурных полей и деформации в мерзлых и
оттаивающих грунтах.
2. Разработка установки и экспериментальное исследование процессов
промораживания и оттаивания грунтов.
3.
Тепловлагоперенос
в
замерзающих
и
оттаивающих
грунтах
применительно к задачам «морозного пучения».
4. Тепловлагоперенос в замерзающих и оттаивающих грунтах вблизи
нефте- и газопроводах.
5. Тепловлагоперенос в замерзающих и оттаивающих грунтах вблизи
фундаментов и оснований зданий и сооружений.
Основная литература
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. – М.: Наука, 1987.
– 464 с.
2. Пульдас Л.А. Нестационарные тепловые режимы в гражданских
зданиях. Раздел 2 теплофизическая модель тепломассопереноса в пористых
строительных материалах. – Тюмень, 2007.
3. Ильинский В.М. Строительная теплофизика. –
1974.-319с.
М. высшая школа,
Проблема: моделирование процессов тепломассопереноса при добыче,
транспорте и хранении нефти и газа
1.
Разработка
физико-математической
модели
и
компьютерной
программы для определения фильтрационно-емкостных свойств нефтяного
пласта.
2.
Разработка
физико-математической
модели
и
компьютерной
программы для определения фильтрационно-емкостных свойств газового
пласта.
3.
Разработка
физико-математической
модели
и
компьютерной
программы расчета параметров углеводородных сред в скважинах.
4. Исследование динамики парафинообразования на стенке скважины.
5. Моделирование характеристик и рабочих режимов насосов при
закачивании жидкостей в нефтяной пласт
6. Тепломассообмен в резервуарах при хранении и перекачке нефти
Основная литература
1. Техническая и параметрическая диагностика в трубопроводных
системах /Антипьев В.Н., Земенков Ю.Д., Шабаров А.Б. и др. – Тюмень, 2002.
2. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика.
– М.: Недра, 1993.
3. Теплообмен при трубопроводном транспорте нефти и газа /Антонова
Е.О., Бахмат Г.В. и др. – С.Петербург, 1999.
Примерный объем курсовой работы: 30 стр. текста, включая рисунки, графики,
таблицы, титульный лист и курсовой работы в ТюмГУ.
Примерное содержание: литературный обзор, постановка задачи исследования,
результаты исследования, основные выводы, список литературы
Литература
Основная
1. Теория тепломассообмена / Под ред. А.Н.Леонтьева. - М.: Изд-во МГТУ, 1997.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.
3. Исаченко В.П., Осипова В.А. Теплопередача./Учебник для студентов
энергетических вузов и факультетов. – М. –Л.:Энергия, 1965. – 419с.
4. Архаров А.М., Исаев С.Н. и др. Теплотехника. – М.: Машиностроение, 1986.
5. Краснощеков Е.А., Сукомел А.С. Задачник по теплопередаче. – М.: Энергия,
1975. – 280с.
Дополнительная
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I .- М.: Наука, 1987. – 464с.
2. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном
пограничном слое. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 320с.
3. Лыков А.В. Тепломассообмен (Справочник). - М.: Энергия, 1971.
4. Краснощеков Е.А., Сукомел А.С. Задачник по теплопередаче. – М.: Энергия,
1975. – 280с.
5. Луканин В.Н., Шатров М.Г. и др. Теплотехника. – М.: Высшая школа, - 2000.
6. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. – Новосибирск: Наука.
Сибирское отделение, 1970.
7. Кислицын А.А. Основы теплофизики. - Тюмень, изд-во ТюмГУ, 2002.