RGZ lyavdansky

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
_____________________________________________________________________
Кафедра Радиоприемных и Радиопередающих устройств
(РПиРПУ)
РАДИОАВТОМАТИКА
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
ВАРИАНТ № 5/1
Факультет РЭФ
Группа РТ-5-91
Студент: Потехин Ю.А.
Преподаватель: Лявданский С. Е.
Новосибирск, 2012
1
Задание на работу:
1. По имеющейся в исходных данных передаточной функции разомкнутой системы записать передаточную функцию замкнутой системы.
2. Записать передаточную функцию для ошибки от регулирующего воздействия.
3. Изобразить структурную схему исследуемой системы, считая систему
следящей.
4. Записать характеристические полиномы разомкнутой и замкнутой системы.
5. Исследовать систему на устойчивость по критерию Гурвица.
6. Исследовать систему на устойчивость по критерию Михайлова методом
чередующихся корней.
7. Построить годограф Михайлова с указанием масштабов по обеим осям.
8. Исследовать систему на устойчивость по критерию Найквиста.
9. Построить годограф Найквиста с указанием масштабов по обеим осям.
10. Определить запас устойчивости по модулю и по фазе.
11. Вычислить коэффициенты ошибки и найти ошибку регулирования
системы в установившемся режиме ξ(t) при заданной входной функции.
12. Построить график ξ(t) в масштабе по обеим осям.
Исходные данные:
Передаточная функция разомкнутой системы:
𝐾(1+𝑝𝑇1 )
𝐾(𝑝) =
, где 𝐾 = 6, 𝑇 = 0.05 (𝑐), 𝑇1 = 2 (𝑐)
4
(1+𝑝𝑇)
1
1
1
𝑐
𝑐
𝑐
A= -5, B= 1.5( ), C=2 ( 2), D=1 3)
1. Передаточная функция замкнутой системы Ф(р) =
Однако, с другой стороны, К(р) =
Таким образом, Ф(р) =
В(р)
А(р)
и Ф(р) =
К(р)
1+К(р)
В(р)
А(р)+В(р)
=
В(р)
𝐺(р)
𝐾(1+𝑝𝑇1 )
(1+𝑝𝑇)4 +𝐾(1+𝑝𝑇1 )
2. Запишем передаточную функцию для ошибки от регулирующего воздействия: К𝜉х(р) =
А(р)
𝐺(р)
=
(1+𝑝𝑇)4
(1+𝑝𝑇)4 +𝐾(1+𝑝𝑇1 )
3. Изобразим структурную схему исследуемой системы:
Рис.1. Структурная схема следящей системы
2
По всей видимости, исходная схема состоит из четырех инерционных и одного форсирующего звена.
𝐾(1 + 𝑝𝑇1 )
К1 (1 + 𝑝𝑇1 )К2 К3 К4 К5
𝐾(𝑝) =
=
(1 + 𝑝𝑇)4
(1 + 𝑝𝑇)(1 + 𝑝𝑇)(1 + 𝑝𝑇)(1 + 𝑝𝑇)
Где К=К1 К2 К3 К4 К5
К
2
К1 (р) = К1 (1 + 𝑝𝑇1 ) К2 (р) = (1+𝑝𝑇)
К
3
К3 (р) = (1+𝑝𝑇)
К4
К5
К5 (р) =
(1 + 𝑝𝑇)
(1 + 𝑝𝑇)
4. Запишем характеристические полиномы для разомкнутой А(р) и замкнутой G(p) системы:
A(p) = (1 + 𝑝𝑇)4 = 𝑇 4 𝑝4 + 4𝑇 3 𝑝3 + 6𝑇 2 𝑝2 + 4𝑇𝑝 + 1=
=0.054 𝑝4 + 4 ∙ 0.053 𝑝3 + 6 ∙ 0.052 𝑝2 + 4 ∙ 0.05𝑝 + 1 =
= 6.25 ∙ 10−6 ∙ 𝑝4 + 5 ∙ 10−4 ∙ 𝑝3 + 0.015 ∙ 𝑝2 + 0.2 ∙ 𝑝 + 1
К4 (р) =
G(p)=(1 + 𝑝𝑇)4 + 𝐾(1 + 𝑝𝑇1 ) =
= 𝑇 4 𝑝4 + 4𝑇 3 𝑝3 + 6𝑇 2 𝑝2 + (4𝑇 + 𝐾𝑇1 )𝑝 + 𝐾 + 1=
=0.054 𝑝4 + 4 ∙ 0.053 𝑝3 + 6 ∙ 0.052 𝑝2 + (4 ∙ 0.05 + 6 ∙ 2)𝑝 + 6 + 1 =
=6.25 ∙ 10−6 ∙ 𝑝4 + 5 ∙ 10−4 ∙ 𝑝3 + 0.015 ∙ 𝑝2 + 12.2 ∙ 𝑝 + 7
5. Проверка системы на устойчивость по критерию Гурвица.
Проверим для начала выполнения необходимого условия устойчивости
системы по критерию Гурвица, т.е положительность всех коэффициентов уравнения G(p):
а4 = 𝑇 4 = 0.054 = 6.25 ∙ 10−6
а3 = 4𝑇 3 = 4 ∙ 0.053 = 5 ∙ 10−4
а2 = 6𝑇 2 = 6 ∙ 0.052 = 0.015
а1 = 4𝑇 + 𝐾𝑇1 = 4 ∙ 0.05 + 6 ∙ 2 = 12.2
а0 = 𝐾 + 1 = 6 + 1 = 7
Необходимое условие выполняется, значит, есть смысл проверять достаточное условие:
Получим для заданной системы следующую матрицу:
а3 а4 0 0 5 ∙ 10−4 6.25 ∙ 10−6
0
0
−4
а1 а2 а3 а4
0.015
5 ∙ 10
6.25 ∙ 10−6 |
|
|=| 12.2
0 а0 а1 а2
0
7
12.2
0.015
0 0 0 а0
0
0
0
7
Далее необходимо вычислить диагональные определители, если все они
будут больше нуля, то сможем сделать вывод об устойчивости системы.
3
а3
а
∆4 = | 1
0
0
а4
а2
а0
0
0
а3
а1
0
0
а4
| = (−1)4+4 ∙ (а3 ∙ а2 ∙ а1 − а23 ∙ а0 − а12 ∙ а4 )а0 =
а2
а0
=(5 ∙ 10−4 ∙ 0.015 ∙ 12.2 − (5 ∙ 10−4 )2 ∙ 7 − 12.22 ∙ 6.25 ∙ 10−6 ) ∙ 7 =
= -5.884∙ 10−3
В принципе, можно уже сейчас сказать, что система не будет устойчивой,
но, соблюдая формальность, вычислим оставшиеся определители.
а3
∆3 = |а1
0
а4
а2
а0
0
а3 | = а3 ∙ а2 ∙ а1 − а23 ∙ а0 − а12 ∙ а4 =
а1
=5 ∙ 10−4 ∙ 0.015 ∙ 12.2 − (5 ∙ 10−4 )2 ∙ 7 − 12.22 ∙ 6.25 ∙ 10−6
= - 8.405∙ 10−4
а3
∆2 = | а
1
=
а4
−4
−6
а2 | = а3 ∙ а2 − а1 ∙ а4 = 5 ∙ 10 ∙ 0.015 − 12.2 ∙ 6.25 ∙ 10 =
= - 6.875∙ 10−5
∆1 = а3 = 5 ∙ 10−4
Делаем вполне очевидный вывод о неустойчивости системы по критерию
Гурвица.
6. Проведем анализ устойчивости системы по критерию Михайлова.
Преобразуем полином характеристический полином замкнутой системы,
перейдя в частотную область.
G(p) = 6.25 ∙ 10−6 ∙ 𝑝4 + 5 ∙ 10−4 ∙ 𝑝3 + 0.015 ∙ 𝑝2 + 12.2 ∙ 𝑝 + 7
G(j𝜔)= 6.25 ∙ 10−6 ∙ (j𝜔)4 + 5 ∙ 10−4 ∙ (j𝜔)3 + 0.015 ∙ (j𝜔)2 + 12.2 ∙ (j𝜔) + 7=
=6.25 ∙ 10−6 ∙ 𝜔4 − 𝑗 ∙ 5 ∙ 10−4 ∙ 𝜔3 − 0.015 ∙ 𝜔2 + 12.2 ∙ 𝑗 ∙ 𝜔 + 7
Запишем отдельно действительную и мнимую части полученного выражения:
Re(G(j𝜔))= 6.25 ∙ 10−6 ∙ 𝜔4 − 0.015 ∙ 𝜔2 + 7 = 0
Im(G(j𝜔))= 12.2 ∙ 𝜔 − 5 ∙ 10−4 ∙ 𝜔3 =0
6.25 ∙ 10−6 ∙ 𝜔4 − 0.015 ∙ 𝜔2 + 7 = 0
Заменяем переменную 𝑥 = 𝜔2 :
6.25 ∙ 10−6 ∙ 𝑥 2 − 0.015 ∙ 𝑥 + 7 = 0
Решаем полученное квадратное уравнение.
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−0.015) ± √(−0.015)2 − 4 ∙ 6.25 ∙ 10−6 ∙ 7
𝑥1,2 =
=
2𝑎
2 ∙ 6.25 ∙ 10−6
4
𝑥1 = 634.314
𝑥2 = 1765.685
Возвращаясь к исходной переменной, получим:
𝜔1 = 25.186
𝜔2 = 42.02
Находим частоты пересечения вещественной оси:
Im(G(j𝜔))= 12.2 ∙ 𝜔 − 5 ∙ 10−4 ∙ 𝜔3 =0
Откуда, беря только положительные частоты, получаем:
𝜔3 = 156.204
𝜔4 = 0
Расположим все четыре частоты пересечения сей по порядку их возрастания
и подчеркнем корни одного уравнения сплошной чертой, а другого- волнистой: 0
25.186
42.02 156.204
Как видим, рядом расположены два корня одного уравнения Re(𝜔)=0, значит
два раза подряд с ростом частоты пересекается мнимая ось. Система неустойчива.
7. Изобразим годограф Михайлова.
Рис.2. Годограф Михайлова
Как и ожидали, годограф не изображает ничего похожего на устойчивую систему. Нет даже и речи о том, чтобы был последовательный обход n квадрантов комплексной плоскости. Система неустойчива.
На всякий случай, приведем часть годографа в увеличенном масштабе на его
начальном участке.
5
Рис.2. Годограф Михайлова в увеличенном масштабе
8. Исследуем систему при помощи критерия Найквиста.
Используя выражение 𝐾(𝑝) =
𝐾(1+𝑝𝑇1 )
(1+𝑝𝑇)4
=
𝐾+𝐾𝑝𝑇1
𝑇 4 𝑝4 +4𝑇 3 𝑝3 +6𝑇 2 𝑝2 +4𝑇𝑝+1
Переходим в частотную область:
𝐾(𝑗𝜔) =
𝐾 + 𝑗𝜔𝐾𝑇1
=
𝑇 4 (𝑗𝜔)4 + 4𝑇 3 (𝑗𝜔)3 + 6𝑇 2 (𝑗𝜔)2 + 4𝑇(𝑗𝜔) + 1
𝐾 + 𝑗𝜔𝐾𝑇1
= 4 4
𝑇 𝜔 − 𝑗4𝑇 3 𝜔 3 − 6𝑇 2 𝜔 2 + 𝑗4𝑇𝜔 + 1
9.
По полученному выражению строим годограф Найквиста, указав на графике
для наглядности точку с координатами (-1,0).
Глядя на рис.3, а для полной уверенности на рис.4 видим, что годограф Найквиста охватывает точку с координатами (-1,0). Система не устойчива.
6
Рис.3 Годограф Найквиста с указанием точки (-1,0)
Рис.4 Годограф Найквиста в увеличенном масштабе
7
10. Поскольку система неустойчива, то говорить об устойчивости системы
по амплитуде и по фазе нет смысла.
11. Входное воздействие: xt   5  1.5t  2t 2  t 3
Ошибку регулирования системы в установившемся режиме находим по формуле:
 t   S0  xt   S1 
dxt 
d 2 xt 
 S2 

dt
dt 2
Коэффициенты 𝑆0 , 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 вычисляются по формулам:
𝐶0
1
1
1
𝑆0 =
=
=
= ;
𝐴0 1 + 𝐾 1 + 6 7
1
1
1
(𝐶1 − 𝐴1 𝑆0 ) =
𝑆1 =
(4𝑇 − (4𝑇 + 𝐾𝑇1 ) ∙ ) =
𝐴0
1+𝐾
7
1
1
=
(4 ∙ 0.05 − (4 ∙ 0.05 + 6 ∙ 2) ∙ ) = −0.22
1+6
7
1
1
(𝐶2 − 𝐴2 𝑆0 − 𝐴1 𝑆1 ) =
(6𝑇 2 − 𝑆0 ∙ 6𝑇 2 − (4𝑇 + 𝐾𝑇1 ) ∙ 𝑆1 ) =
𝑆2 =
𝐴0
1+𝐾
1
1
(6 ∙ 0.052 − 7 6 ∙ 0.052 − (4 ∙ 0.05 + 6 ∙ 2) ∙ (−0.22)) =0.386
1+6
1
(𝐶 − 𝐴3 𝑆0 − 𝐴2 𝑆1 − 𝐴1 𝑆2 ) =
𝑆3 =
𝐴0 3
1
(4𝑇 3 − 4𝑇 3 𝑆0 − 6𝑇 2 ∙ 𝑆1 − (4𝑇 + 𝐾𝑇1 )𝑆2 ) =
=
1+𝐾
1
1
=
(4 ∙ 0.053 − 4 ∙ 0.053 ∙ − 6 ∙ 0.052 ∙ (−0.22) − (4 ∙ 0.05 + 6 ∙ 2)
1+6
7
∙ 0.386) = −0.672
=
Теперь определим ошибку регулирования:
d x t 
d 2 x t 
d 3 x t 
  t   S0  x  t   S1 
 S2 
 S3 

dt
dt 2
dt 3
d  5  1.5t  2t 2  t 3 
2
3
S0   5  1.5t  2t  t   S1 

dt
d 2  5  1.5t  2t 2  t 3 
d 3  5  1.5t  2t 2  t 3 
S2 
 S3 

dt 2
dt 3
 S0  5  1.5t  2t 2  t 3   S1  (1.5  4t  3t 2 )  S 2   4  6t   S3  6 
1
 5  1.5t  2t 2  t 3   0.22  (1.5  4t  3t 2 )  0.135   4  6t   0.672  6 
7
 1.64t  0.375t 2  0.142t 3  3.534

8
12.
Таким образом:
  t   1.64t  0.375t 2  0.142t 3  3.534
рис. 5 Зависимость ошибки регулирования исследуемой системы от времени
в установившемся режиме
9