Системы уравнений Элективный курс

Элективный курс
Системы уравнений
Пояснительная записка
Настоящая программа предназначена для организации предпрофильной подготовки
в 9 классе общеобразовательной школы.
Цель занятий данного курса – расширить знания школьников о системах
уравнений, повысить интерес к предмету.
Изучение курса предполагается построить в виде лекций, практических занятий и
активный диалог с учащимися.
Продолжительность курса – 12 часов.
Форма итогового контроля – контрольная работа.
Учебно-тематический план
№ Тема занятия
1 Системы уравнений. Решение систем способом
подстановки
2
3
4
Решение систем методом линейного преобразования.
Метод Гаусса
Решение систем способом замены переменных
Итоговый контроль
Всего часов
4
3
3
2
Содержание курса
Тема №1. Системы уравнений. Основные понятия: решение системы; равносильные
системы. Основные методы решения системы уравнений: 1) метод линейного
преобразования системы (алгебраическое сложение; 2) метод подстановки; 3) метод
замены переменных. Решение систем способом подстановки.
Тема №2. Понятие «сложение уравнений». Решение систем методом линейного
преобразования. Метод почленного умножения и деления системы.
Тема №3. Решение систем способом замены переменных. Симметрические системы.
Основные симметрические многочлены.
Тема №4. Итоговый контроль: контрольная работа и обобщающий урок.
Литература
1. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов: Учеб. Пособие для
учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики. – М.: Просвещение,
1992.–272 с.: ил.
2. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. – М.:
Просвещение, 1991.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.; Под ред. С.А. Теляковского. Алгебра:
Учебник для 9 класса средней школы. – М.:Просвещение, 1990.
4. Математика в школе .№2, 2002г. статья «Система уравнений».
5. Черняк Ж.А., Черняк А.А. Решения наиболее трудных задач из Сканави. – М.:
Рольф, 2000.
Дидактические материалы
к элективному курсу «Системы уравнений»
Уравнение вида а1х1+а2х2+ …+аnхn=b, где а1, а2, …, аn – некоторые постоянные,
называются линейным уравнением с n неизвестными х1, х2, …, хn.
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему,
являются линейными. Если система из n линейных уравнений содержит n неизвестных, то
возможно следующие три случая:
1) система не имеет решений;
2) система имеет ровно одно решение;
3) система имеет бесконечно много решений.
Если ставится задача отыскания всех общих решений двух уравнений с двумя
переменными, то говорят, что задана система уравнений.
Каждая пара значений переменных (вообще говоря, упорядоченный набор k чисел),
обращающая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением
системы уравнений. Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что
таковых нет.
Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если
обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными.
Решая системы уравнений, обычно заменяют данную систему другой, равносильной
исходной, которую решать проще. При этом можно использовать следующие
утверждения о равносильности систем уравнений:
1) если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим
систему, равносильную исходной (если в уравнении перенести слагаемое из одной
части в другое, изменив его знак, то получится уравнение равносильное
исходному; если обе части уравнения умножить на одно и тоже отличное от нуля
число, то получится уравнение, равносильное исходному).
2) Если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений
данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
3) Если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной,
например х, через другие переменные, то заменив в каждом уравнении системы
переменную х на ее выражение через другие переменные, получим систему
равносильную исходной; например, системы уравнений
2
 x  y 2  1,

 x  y  1,
и  2
равносильны.
 2
2
2
2

 x  y  4; ( y  1)  y  4;
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удается выразить
одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение. При
решении систем уравнений второй степени часто используется способ замены
переменных.
Решение систем уравнений способом подстановки
Для этого выражают из уравнения одну переменную через другую, подставляют
полученное выражение в другое уравнение и решают ее. Находят соответствующие
значения второй переменной.
Примеры
№1 Решите систему уравнений:
 x  z  3,

 y  z  1,
 x  y  2;

Сначала нужно каким-либо приемом получит систему двух уравнений с двумя
переменными.
Из первого уравнения выразим х: х = 3 – z. Подставив выражение 3 – z вместо х в
третье уравнение, получим систему с переменными у и z:
 y  z  1,

 y  z  1;
Находим, что у = 0 и z = 1.
Из условия х = 3 – z получаем, что х = 2.
Ответ: х = 2, у = 0, z = 1.
№2. Решите систему уравнений:
 x  y  z  2,

2 x  3 y  z  1,
 x 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9;

Применим метод подстановки. Имеем:
 x  2  y  z,

2(2  y  z )  3 y  z  1,
(2  y  z ) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9;

 x  2  y  z,

 y  z  3,
 y 2  z 2  yz  3 z  0.

Последние два уравнения полученной системы, образуют систему двух уравнений
с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки. Имеем:
 y  z  3,

2
2
( z  3)  z  ( z  3) z  3z  0
 y  z  3,
 2
 z  3z  3  0.
Из последнего уравнения находим: z1 = 1, z2 = 3.Из уравнения у = z-3 получаем
соответственно:
у1 = –2, у2 = 0, а из уравнения х = 2 – у – z находим х1 = 3, х2 = –1.
Ответ: (3;-2;1), (-1;0;3).
№3. Решить систему уравнений:
 x  1  y  1  8,

2 x  y  1  5.
Решение.
1)При х + 1 ≥ 0 и у + 1 ≥ 0, т.е. при х ≥ –1, у ≥ –1, имеем:
 x  1  y  1  8,

2 x  y  1  5;
 x  y  6,
откуда x = 4, y = 2.

2 x  y  6;
2) При х + 1 ≤ 0 и у + 1 ≤ 0, т.е. при х ≤ –1 и у ≤ –1, имеем:
 x  1  y  1  8,

2 x  y  1  5;
 x  y  10,
откуда x = 14, y = – 24.

2 x  y  4;
Корень х = 14 не удовлетворяет условию х < –1.
3) При х < –1 и у > –1 имеем:
 x  1  y  1  8,

2 x  y  1  5;
 x  y  8,
откуда x = 14, y = 22.

2 x  y  6;
Корень х = 14 не удовлетворяет условию х < –1.
4) При х > –1 и у < –1 имеем:
 x  1  y  1  8,

2 x  y  1  5;
Ответ: (4;2). (4;-4).
 x  y  8,
откуда x = 4, y = – 4.

2 x  y  4;
Решение систем уравнений способом сложения (метод линейного
преобразования системы)
Этот способ удобнее и проще способа подстановки. Само понятие «сложение
уравнений» требует пояснения: составляют сумму левых частей уравнений, входящих в
систему, и сумму их правых частей, а затем соединяют полученные выражения знаком
равенства. Целью такого преобразования системы является исключение одной из двух
переменных: поэтому складываются те уравнения, в которых коэффициенты при какойлибо из переменных являются противоположными числами. Существует два приема
решения таких систем: первый – вычитание одного уравнения из другого, а второй –
умножение одного из уравнений на –1.
Примеры
№1 Решить систему:
2
 x  13 x  4 y,
 2
 y  4 x  13 y.
Вычтем второе уравнение из первого.
2
2

 x  y  (13 x  4 y )  (4 x  13 y ),
 2

 y  4 x  13 y.
Рассмотрим первое уравнение полученной системы. Имеем:
(х – у)(х + у) = 9(х – у), далее
(х – у)(х + у – 9) = 0.
В итоге приходим к следующей системе:
( x  y)( x  y  9)  0,
 2
 y  4 x  13 y.
Эта система равносильна следующей совокупности систем:
 x  y  0,
 x  y  9  0,
 2
 2
 y  4 x  13 y.
 y  4 x  13 y.
Решим методом подстановки.
 x  y,
 x  0,  x2  17,
откуда находим  1
 2

 y1  0.  y 2  17.
 y  4 x  13 y.
Вторая система совокупности преобразуется к виду:
 x  9  y,
 2
 y  4(9  y)  13 y.
Из уравнения у2 = 4(9 – у) + 13у находим: у3 = 12, у4 = – 3,
и далее из соотношения х = 9 – у получаем х3 = – 3, х4 = 12.
Проверка. Поскольку в процессе решения заданной системы выполнялись только
равносильные преобразования, то найденные решения являются и решениями исходной
системы.
Ответ: (0;0), (17;17), (-3;12), (12;-3).
№2. Решить систему уравнений:
3
3
 x  y  1,
 2
 x y  2 xy 2  y 3  2.
Выполним алгебраическое сложение уравнений системы:
2
x3  y 3  1
 2
2
3
x y  2 xy  y  2  (1)
2 x 3  x 2 y  2 xy2  y 3  0
Получим систему:
2 x 3  x 2 y  2 xy2  y 3  0,
 3
 x  y 3  1,
равносильную заданной.
Рассмотрим уравнение 2х3 – х2у – 2ху2 + у3 = 0.
Разложим левую часть на множители:
х2(2х – у) – у2(2х – у) = 0,
(2х – у)(х – у)(х + у) = 0.
Наша система равносильна следующей совокупности:
 x  y  0,
2 x  y  0,  x  y  0,
 3

 3
3
3
3
3
 x  y  1;  x  y  1;  x  y  1.
Применив метод подстановки к каждой из этих систем, находим следующие
решения системы:
 3 3 23 3   3 4 3 4 


 
 3 ; 3 ,  2 ; 2 


 
№3. Решить систему уравнений:
 x  y  z  2,

2 x  y  4 z  1,
 x  6 y  z  5.

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом
Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на –2 и, складывая полученный результат со
вторым уравнением, получаем –3у + 6z = –3. Это уравнение можно переписать в виде
y – 2z = 1.
Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7у = 7 или у = 1.
Таким образом, система приобрела треугольный вид:
 x  y  z  2,

 y  2 z  1,
 y  1.

Подставляя у = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя у=1 и z=0 в
первое уравнение, находим х = 1.
Ответ: (1;1;0).
Решение системы уравнений методом замены переменных
Выражение F(х;у) называется симметрическим, если оно при замене переменных х
на у, у на х не изменится. Так симметрическим будет выражение F(х;у) = х2 + 3ху + у2.
Для этого в качестве новых переменных выбирают основные симметрические
многочлены. Основными симметрическими многочленами с двумя переменными
считаются х+у и ху. Все остальные симметрические многочлены с двумя переменными
могут быть выражены через основные. Положив для краткости u = х + у и v = ху,
получаем:
х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху = u2 – 2v,
х3 + у3 = (х + у)( х2 – ху + у2) = u(u2 – 3v) = u3 – 3uv,
х4 + у4 = (х2 + у2)2 – 2х2у2 = (u2 – 2v)2 – 2v2 = u4 – 4u2v + 2v2,
х2 + ху + у2 = (х2 + 2ху + у2) – ху = u2 – v и т.д.
Примеры
№1. Решите систему уравнений
 x 3  x 3 y 3  y 3  17,

 x  xy  y  5
Решение.
 x  y  u,
Положим 
 xy  v.
Так как х3 + у3= u3 – 3uv, то заданная система сводится к следующей:
u 3  3uv  v 3  17,

u  v  5.
u  3,
u 2  2,
Из этой системы находим:  1

v1  2;
v2  3.
Теперь остается решить следующую совокупность систем:
 x  y  2,
 x  y  3,


 xy  2;
 xy  2;
Решения этой совокупности, а с нею и исходной системы таковы: (1;2), (2;1).
Ответ: (1;2), (2;1).
№2. Решите систему уравнений:
 x  x  2  x 3
        14,
y  y  y

 x  y  3.
Решение. Положим
x
 u , у=0, тогда
y
u3 + u2 + u – 14 = 0,
(u – 2)(u2 + 3u + 7) = 0,
u = 2.
x
  2,
Отсюда  y
 x  y  3;

 x  2,

 y  1;
Ответ: (2;1).
№3. Решить систему иррациональных уравнений:
 3x  2 y
2x

 2,

2x
3x  2 y
(1)

 2
4 y  1  3 y ( x  1).
3x  2 y
Решение. Положим u =
. Тогда первое уравнение системы примет вид
2x
1
u   2 , откуда находим u = 1.
u
Таким образом, решение системы (1) сводится к решению следующей системы:
 3x  2 y
 1,

(2)
2x

4 y 2  1  3 y ( x  1).

Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы (2) и освободившись от
знаменателя, приходим к системе
3x  2 y  2 x,
(3)
 2
4 y  1  3 y( x  1).
из которой находим:
 x1  2,
 x 2  1,


 y1  1.
 y2  1 2.
Проверка. При условии, что х ≠ 0 и 3х ≠ 2у, система (3) равносильна системе (2). В свою
очередь система (2) равносильна системе (1). Таким образом, решения системы (3)
являются также решениями системы (1). Итак, решениями системы (1) являются пары
(2;1), (1;1/2).
Ответ: (2;1), (1;1/2).
Контрольная работа
№1. Решите систему уравнений методом подстановки:
 x  y  3,
 3
2
 x  x y  12.
№2. Решите систему уравнений:
 x( y  1)  16,

 x
 y  1  4.

№3. Решите систему уравнений методом замены переменной:
( x  y ) 2  5( x  y )  4  0,

( x  y ) 2  ( x  y )  2  0.
№4. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
2 x 2  3 y  23,
 2
3 y  8 x  59.
№5. Решите систему уравнений методом почленного умножения:
5 7
 x y  32,
 7 5
 x y  128.