4. Синус, косинус, тангенс, котангенс — теория по математике

1.4. Синус, косинус, тангенс, котангенс
1.4.1. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса
числового аргумента
Ðàññìîòðèì åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, ò. å. îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì 1.
Ñèíóñîì ÷èñëà α íàçûâàåòñÿ îðäèíàòà òî÷êè Ðα, îáðàçîâàííîé ïîâîðî(x;
y)
P
òîì
òî÷êè P0(1; 0) âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò íà óãîë α ðàäèàí.
α
y
Îáîçíà÷àåòñÿ: sin α, ò. å.
α
0
P0
x 1
sin α = y — îðäèíàòà òî÷êè Pα.
Êîñèíóñîì ÷èñëà α íàçûâàåòñÿ àáñöèññà òî÷êè Pα, ïîëó÷åííîé ïîâîðîòîì òî÷êè P0(1; 0) âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò íà óãîë α ðàäèàí.
Îáîçíà÷àåòñÿ: cos α, ò. å.
cos α = x — àáñöèññà òî÷êè Pα.
Ñèíóñ è êîñèíóñ îïðåäåëåíû äëÿ ëþáîãî ÷èñëà α.
|sin α| ≤ 1, |cos α| ≤ 1.
Òàíãåíñîì ÷èñëà α íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ñèíóñà ÷èñëà α ê åãî êîñèíóñó:
tg α =
sin α
.
cos α
π
+ πn, n ∈ Z.
2
Êîòàíãåíñîì ÷èñëà α íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êîñèíóñà ÷èñëà α ê åãî
ñèíóñó:
Òàíãåíñ îïðåäåëåí äëÿ âñåõ α, êðîìå òåõ çíà÷åíèé, ïðè êîòîðûõ cos α = 0, ò. å. α =
y
O
Pα (x; y)
R
α
P0
ctg α =
x
cos α
.
sin α
Êîòàíãåíñ îïðåäåëåí äëÿ âñåõ α, êðîìå òåõ, ïðè êîòîðûõ sin α = 0,
ò. å. α = πn, n ∈ Z.
Äëÿ îêðóæíîñòè ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà R îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
sin α =
y
;
R
cos α =
x
;
R
tg α =
y
;
x
ctg α =
x
.
y
Åñëè n ∈ Z, òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
sin (α + 2πn) = sin α; cos (α + 2πn) = cos α.
Åñëè n ∈ Z, òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
tg (α + πn) = tg α; ctg (α + πn) = ctg α.
32
Раздел 1. Выражения и преобразования
Ï ð è ì å ð 1. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
π
π
π
π
⎛ π⎞
⎛ π⎞
à) tg ⎜ − ⎟ ⋅ ctg + sin + 2 cos ⎜ − ⎟ = −tg ⋅ 1 + 1 + 2 cos =
4
2
4
6
⎝ 6⎠
⎝ 4⎠
= −1 ⋅ 1 + 1 + 2 ⋅
3
= 3;
2
á) sin 405° + ctg 570° = sin (360° + 45°) + ctg (540° + 30°) = sin 45° + ctg 30° =
2
+ 3.
2
Ï ð è ì å ð 2. Îïðåäåëèòå çíàê âûðàæåíèÿ:
à) cos 155° ⋅ sin 255° > 0, ò. ê. 155° — óãîë II ÷åòâåðòè, òî
cos 155° < 0; 255° — óãîë III ÷åòâåðòè, òî sin 255° < 0;
á) tg 127° ⋅ ctg 201° < 0, ò. ê. 127° — óãîë II ÷åòâåðòè, òî
tg 127° < 0; 201° — óãîë III ÷åòâåðòè, òî ctg 201° > 0.
1.4.2. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента
Основное тригонометрическое тождество
Îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî:
sin2 α + cos2 α = 1.
Ñëåäñòâèÿ:
sin2 α = 1 − cos2 α ⇒ sin α = ± 1 − cos2 α ;
cos2 α = 1 − sin2 α ⇒ cos α = ± 1 − sin2 α ;
sin α
π
ïðè α ≠ + πn, n ∈ Z;
tg α =
cos α
2
cos α
ïðè α ≠ πn, n ∈ Z;
ctg α =
sin α
π
1
1
tg α ⋅ ctg α = 1 ïðè α ≠ n, n ∈ Z; tg α =
, ctg α =
.
2
ctg α
tg α
1
π
ïðè α ≠ + πn, n ∈ Z.
1 + tg2 α =
2
2
cos α
1
2
ïðè α ≠ πn, n ∈ Z.
1 + ctg α =
sin2 α
Ï ð è ì å ð 1. Ìîãóò ëè îäíîâðåìåííî áûòü ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
1
1
à) cos α =
è sin α = ?
2
2
Ðåøåíèå. Òàê êàê ðàññìàòðèâàþòñÿ ôóíêöèè ñèíóñ è êîñèíóñ îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà, òî
äîëæíî âûïîëíÿåòñÿ îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî:
2
2
1 1 1
⎛1⎞
⎛1⎞
cos2 α + sin2 α = 1, íî ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = + = ≠ 1.
4 4 2
⎝2⎠
⎝2⎠
1
1
è sin α =
îäíîâðåìåííî ñïðàâåäëèâû áûòü íå ìîãóò (ò. ê. íå âû2
2
ïîëíÿåòñÿ îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî).
Ïîýòîìó ðàâåíñòâà cos α =
3
1
è cos α = −
?
2
2
Ðåøåíèå. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå îñíîâíîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî òîæäåñòâà:
2
2
⎛
3⎞
1 3 4
⎛1⎞
sin2 α + cos2 α = 1; ⎜ ⎟ + ⎜ −
⎟⎟ = + = = 1.
⎜
2
2
4
4 4
⎝ ⎠
⎝
⎠
á) sin α =
1.4. Синус, косинус, тангенс, котангенс
33
Îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî âûïîëíÿåòñÿ. Çíà÷èò, ðàâåíñòâà, äàííûå â óñëîâèè,
îäíîâðåìåííî ñïðàâåäëèâû.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ÷èñëà α, çíàÿ, ÷òî sin α = 0,6
π
è
< α < π.
2
π
Ðåøåíèå. Òàê êàê ïî óñëîâèþ
< α < π, òî α — ∈ II ÷åòâåðòè. Ïîýòîìó
2
cos α = − 1 − sin2 α = − 1 − 0, 62 = − 1 − 0, 36 = − 0, 64 = −0, 8;
sin α
0, 6
6
3
tg α =
=
=− =− ;
cos α −0, 8
8
4
1
1
4
1
ctg α =
=
= − = −1 .
3
tg α
3
3
−
4
3
1
cos α = −0,8; tg α = − ; ctg α = −1 .
4
3
Ï ð è ì å ð 3. Óïðîñòèòå:
à) (1 − sin α)(1 + sin α);
á) sin4 α + sin2 α cos2 α + cos2 α;
â)
tg α sin α
−
.
sin α ctg α
Ðåøåíèå.
à) (1 − sin α)(1 + sin α) = 1 − sin2 α = cos2 α;
á) sin4 α + sin2 α cos2 α + cos2 α = sin2 (sin2 α + cos2 α) + cos2 α = sin2 α ⋅ 1 + cos2 α =
= sin2 α + cos2 α = 1;
cos2 α
tg α sin α tg α ctg α − sin α sin α
1 − sin2 α
â)
=
= cos α;
−
=
=
cos α
cos α
sin α ctg α
sin α ctg α
sin α ⋅
sin α
Äîêàæèòå òîæäåñòâî:
(sin α + cos α) − 1
= 2 tg2 α.
ctg α − sin α cos α
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü òîæäåñòâà. Åñëè â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïðàâóþ ÷àñòü, òî òîæäåñòâî
äîêàçàíî.
(sin α + cos α)2 − 1 sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α − 1
=
=
cos α
ctg α − sin α cos α
− sin α cos α
sin α
2
=
1 + 2 sin α cos α − 1
cos α − sin2 α cos α
sin α
=
2 sin α cos α ⋅ sin α
cos α(1 − sin2 α)
=
2 cos α ⋅ sin2 α
cos α ⋅ cos2 α
= 2⋅
sin2 α
cos2 α
= 2 tg2 α.
Òîæäåñòâî äîêàçàíî.
Ï ð è ì å ð 5. Äàíî: sin α + cos α = a.
Íàéäèòå: sin αcos α.
Ðåøåíèå.
Âîçâåäåì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà â êâàäðàò: (sin α + cos α)2 = a2; sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = a2;
1 + 2 sin α cos α = a2;
a2 − 1
.
2
a2 − 1
Îòâåò:
.
2
sin α cos α =
34
Раздел 1. Выражения и преобразования
Произведение тангенса и котангенса одного и того же аргумента
π
n, n ∈ Z;
2
1
1
tg α =
, ctg α =
.
ctg α
tg α
Ï ð è ì å ð 1. Ìîãóò ëè áûòü ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
tg α ⋅ ctg α = 1 ïðè α ≠
2
5
1
, ctg α = ; á) tg α = − , ctg α = 2?
5
2
2
Ðåøåíèå.
Ïîñêîëüêó tg α ⋅ ctg α = 1, òî:
2 5
à) ðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû, òàê êàê tg α ctg α = ⋅ = 1;
5 2
1
á) ðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâûìè íå ìîãóò áûòü, òàê êàê tg α ctg α = − ⋅ 2 = −1 ≠ 1.
2
à) tg α =
Ï ð è ì å ð 2. Óïðîñòèòå: tg 1° ⋅ tg 3° ⋅ tg 5° ⋅ …. ⋅ tg 87° ⋅ tg 89°.
Ðåøåíèå.
Òàê êàê tg (90° − α) = ctg α, òî
tg 1° ⋅ tg 3° ⋅ tg 5° ⋅ …. ⋅ tg 87° ⋅ tg 89° = tg 1° ⋅ tg 3° ⋅ … ⋅ tg 43° ⋅ tg 45° ⋅ tg 47° ⋅ … ⋅ tg 87° ×
× tg 89° = tg 1° ⋅ tg 3° ⋅ … ⋅ tg 43° ⋅ 1 ⋅ ñtg 43° ⋅ … ⋅ ctg 3° ⋅ ctg 1° = (tg 1° ⋅ ctg 1°)(tg 3° ⋅ ctg 3°) ⋅ … ⋅ (tg 43° ×
× ctg 43°) = 1 ⋅ 1 ⋅ … ⋅ 1 = 1.
Ï ð è ì å ð 3. Äàíî: tg α + ctg α = 2. Íàéäèòå: tg2 α + ctg2 α.
Ðåøåíèå.
Ïîñêîëüêó tg α + ctg α = 2, òî (tg α + ctg α)2 = 22 èëè tg2 α + 2 tg α ctg α + ctg2 α = 4. Ó÷èòûâàÿ,
÷òî tg α ctg α = 1, èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà tg2 α + ctg2 α = 4 − 2 tg α ctg α = 4 − 2 ⋅ 1 = 2.
Ï ð è ì å ð 4. Óïðîñòèòå:
(tg α + ctg α)2 − (tg α − ctg α)2.
Ðåøåíèå.
(tg α + ctg α)2 − (tg α − ctg α)2 = (tg2 α + 2 tg α ctg α + ctg2 α) − (tg2 α − 2 tg α ctg α + ctg2 α) =
= tg2 α + 2 ⋅ 1 + ctg2 α − tg2 α + 2 ⋅ 1 − ctg2 α = 2 + 2 = 4.
Зависимость между тангенсом и косинусом одного и того же аргумента
1 + tg2 α =
1
cos2 α
ïðè α ≠
π
+ πn, n ∈ Z.
2
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ÷èñëà α, åñëè
π
tg α = 4, 0 < α < .
2
Ðåøåíèå.
π
Òàê êàê 0 < α < , òî α — ∈ I ÷åòâåðòè, ïîýòîìó ctg α > 0; 0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1.
2
1
1
1
Èç ôîðìóëû 1 + tg2 α =
ñëåäóåò:
= 1 + 42 ;
= 17;
2
2
cos α
cos α
cos2 α
1
1
; cos α = ±
.
17
17
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî 0 < cos α < 1,
cos2 α =
cos α =
1
=
17
1
17
=
17
;
17
35
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî 0 < sinα < 1
sin α = 1 − cos2 α = 1 −
1
=
17
16
=
17
4
17
=
4 17
;
17
1
1
ctg α =
= = 0, 25.
tg α 4
Îòâåò: sin α =
4 17
17
; cos α =
;
17
17
α = 0,25.
Ï ð è ì å ð 2. Óïðîñòèòå:
(1 + tg2 α) +
1
sin2 α
.
Ðåøåíèå.
(1 + tg2 α) +
1
sin α
2
=
1
+
cos α
2
1
sin α
2
=
sin2 α + cos2 α
sin2 α cos2 α
=
1
sin2 α cos2 α
.
Зависимость между котангенсом и синусом одного и того же аргумента
1
1 + ctg2 α =
α ≠ πn, n ∈ Z.
sin2 α
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, åñëè ctg α = −3, α — óãîë
IV ÷åòâåðòè.
Ðåøåíèå.
Òàê êàê α — óãîë IV ÷åòâåðòè, òî tg α < 0; −1 < sin α < 0; 0 < cos α < 1.
Èçâåñòíî, ÷òî 1 + ctg2 α =
1
sin2 α
= 10; sin2 α =
1
sin2 α
. Îòñþäà 1 + 9 =
1
1
; sin α = ±
.
10
10
Íî −1 < sin α < 0, ïîýòîìó
sin α = −
1
10
=−
;
10
10
cos α = 1 − sin2 α = 1 −
1
=
10
9
=
10
3
10
=
3 10
;
10
1
1
1
tg α =
=
=− .
ctg α −3
3
Îòâåò: sin α = −
10
3 10
1
; cos α =
; tg α = − .
10
10
3
Ï ð è ì å ð 2. Óïðîñòèòå âûðàæåíèÿ:
sin2 2α + cos2 2α + ctg2 5α;
Ðåøåíèå.
sin2 2α + cos2 2α + ctg2 5α = 1 + ctg2 5α =
36
Раздел 1. Выражения и преобразования
1
sin2 5α
.
1
sin2 α
;
Другие комбинации соотношений между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента
Ï ð è ì å ð 1. Óïðîñòèòå:
1 − cos2 α
1 + tg2 α
4
4
á)
cos
α
−
sin
α
+
1;
â)
;
.
1 − sin2 α
1 + ctg2 α
Ðåøåíèå.
1 − cos2 α sin2 α
à)
=
= tg2 α;
1 − sin2 α cos2 α
á) cos4 α − sin4 α + 1 = (cos2 α)2 − (sin2 α)2 + 1 = (cos2 α − sin2 α)(cos2 α + sin2 α) + 1 =
= cos2 α − sin2 α + 1 = cos2 α + (1 − sin2 α) = cos2 α + cos2 α = 2 cos2 α;
1 + tg2 α
1
1
1
sin2 α sin2 α
â)
=
:
=
⋅
=
= tg2 α.
2
2
2
2
1
1 + ctg α cos α sin α cos α
cos2 α
à)
Ï ð è ì å ð 2. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå:
1
sin α
1 + cos α
è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå, åñëè sin α = .
+
2
1 + cos α
sin α
Ðåøåíèå.
sin α
1 + cos α sin2 α + (1 + cos α)2 sin2 α + 1 + 2 cos α + cos2 α
+
=
=
=
1 + cos α
sin α
(1 + cos α) ⋅ sin α
(1 + cos α) sin α
=
1
2 + 2 cos α
2(1 + cos α)
2
2
1
= 2 : = 4.
=
=
. Åñëè sin α = , òî
2
(1 + cos α) sin α (1 + cos α) sin α sin α
sin α
2
1.4.3. Формулы сложения
Синус суммы и разности
Ñèíóñ ñóììû äâóõ àðãóìåíòîâ ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ñèíóñà ïåðâîãî àðãóìåíòà íà êîñèíóñ
âòîðîãî è êîñèíóñà ïåðâîãî àðãóìåíòà íà ñèíóñ âòîðîãî:
sin (α
α + β)
β = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β.
Ñèíóñ ðàçíîñòè äâóõ àðãóìåíòîâ ðàâåí ðàçíîñòè ïðîèçâåäåíèé ñèíóñà ïåðâîãî àðãóìåíòà íà
êîñèíóñ âòîðîãî è êîñèíóñà ïåðâîãî àðãóìåíòà íà ñèíóñ âòîðîãî:
sin (α
α − β)
β = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β.
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòå:
à) sin 15°; á) sin 75°.
Ðåøåíèå.
à) sin 15° = sin (45° − 30°) = sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30° =
2
3
2 1
⋅
−
⋅ =
2
2
2 2
6− 2
;
4
á) sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° ⋅ cos 30° + cos 45° ⋅ sin 30° =
2
3
2 1
⋅
+
⋅ =
2
2
2 2
6+ 2
.
4
Ï ð è ì å ð 2. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé:
7π
π
π
7π
à) sin 56° cos 34° + cos 56° sin 34°;
á) sin
cos
− sin
cos
.
12
12
12
12
.
à) sin 56° cos 34° + cos 56° sin 34° = sin (56° + 34°) = sin 90° = 1;
á) sin
7π
π
π
7π
π⎞
6π
π
⎛ 7π
cos
− sin
cos
= sin ⎜
− ⎟ = sin
= sin = 1.
⎝
⎠
12
12
12
12
12 12
12
2
1.4. Синус, косинус, тангенс, котангенс
37
Ï ð è ì å ð 3. Óïðîñòèòå:
cos α + sin α
.
2
Ðåøåíèå.
cos α + sin α
1
1
π
π
⎛π
⎞
=
cos α +
sin α = sin cos α + cos sin α = sin ⎜ + α ⎟ .
⎝4
⎠
4
4
2
2
2
Косинус суммы и разности
Êîñèíóñ ñóììû äâóõ àðãóìåíòîâ ðàâåí ðàçíîñòè ïðîèçâåäåíèé êîñèíóñîâ ýòèõ àðãóìåíòîâ
è ñèíóñîâ ýòèõ àðãóìåíòîâ:
cos (α
α + β)
β = cos α ⋅ cos β − sin α sin β.
Êîñèíóñ ðàçíîñòè äâóõ àðãóìåíòîâ ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé êîñèíóñîâ ýòèõ àðãóìåíòîâ
è ñèíóñîâ ýòèõ àðãóìåíòîâ:
cos (α
α − β)
β = cos α ⋅ cos β + sin α sin β.
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòå:
à) cos 105°; á) cos 15°.
Ðåøåíèå.
1 2
3
2
à) cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° cos 45° − sin 60° sin 45° = ⋅
−
⋅
=
2 2
2
2
á) cos 15° = cos (60° − 45°) = cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45° =
1 2
3
2
⋅
+
⋅
=
2 2
2
2
2− 6
;
4
2+ 6
.
4
Ï ð è ì å ð 2. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå:
cos (α + β) + cos (α − β).
Ðåøåíèå.
cos (α + β) + cos (α − β) = cos α cos β − sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β = 2 cos α cos β.
Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèòå:
⎛ π 4π ⎞
π
4π
4π
π
5π
π 1
cos ⎜
+
cos
cos
− sin
sin
cos
cos
⎟
15
15
⎝
⎠ =
15
15
15
15
15 =
3 = 2 = 1 = 0, 5.
=
π 1 2
cos 0, 3π sin 0, 2π + sin 0, 3π cos 0, 2π sin(0, 3π + 0, 2π) sin 0, 5π
sin
2
Тангенс суммы и разности
38
tg (α + β) =
π
tg α + tg β
α, β, (α + β) ≠ + πn, n ∈ Z ;
2
1 − tg β tg α
tg (α − β) =
π
tg α − tg β
α, β, (α − β) ≠ + πn, n ∈ Z ;
2
1 + tg β tg α
ctg (α + β) =
ctg α ctg β − 1
ctg β + ctg α
, β, (α + β) ≠ πn, n ∈ Z;
ctg (α − β) =
ctg α ctg β + 1
ctg β − ctg α
, β, (α − β) ≠ πn, n ∈ Z.
Раздел 1. Выражения и преобразования
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòå:
3π
π
7π
3π
tg
+ tg
tg
− tg
10
20
16
16
à)
; á)
.
π
3π
7 π 3π
1 − tg
tg
1 + tg
tg
10 20
16 16
Ðåøåíèå.
π
3π
tg
+ tg
5π
π
⎛ π 3π ⎞
10
20
à)
= tg
= tg = 1.
= tg ⎜
+
π
3π
10 20 ⎟⎠
20
4
⎝
1 − tg
tg
10 20
7π
3π
tg
− tg
4π
π
⎛ 7 π 3π ⎞
16
16
á)
= tg ⎜
−
= tg
= tg = 1 .
⎟
7 π 3π
⎝ 16 16 ⎠
16
4
1 + tg
tg
16 16
Ï ð è ì å ð 2. Äîêàæèòå òîæäåñòâî:
à) tg 6α − tg 4α − tg 2α = tg 6α tg 4α tg 2α.
Äîêàçàòåëüñòâî.
tg 6α =
tg 4α + tg 2α
⇒
1 − tg 4α tg 2α
α + tg 2α = tg 6α(1 − tg4α tg 2α).
Òîãäà èç äàííîãî ðàâåíñòâà èìååì:
tg 4α + tg 2α = tg 6α − tg 6α tg 4α tg 2α = tg 6α(1 − tg4α tg 2α).
Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèòå tg 15°.
Ðåøåíèå.
tg 45° − tg 30°
tg 15° = tg (45° − 30°) =
=
1 + tg 45° tg 30°
=
( 3 − 1)( 3 − 1)
( 3 + 1)( 3 − 1)
=
1−
1
3 = 3 −1 =
1
3 +1
1 + 1⋅
3
3−2 3 +1 4−2 3
=
= 2 − 3.
3−1
2
1.4.4. Следствия из формул сложения
Синус двойного аргумента
Ñèíóñ äâîéíîãî àðãóìåíòà ðàâåí óäâîåííîìó ïðîèçâåäåíèþ ñèíóñà è êîñèíóñà äàííîãî àðãóìåíòà:
sin 2α
α = 2 sin α cos α.
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòå: sin 2α, åñëè sin α = −0,6; 180° < α < 270°.
Ðåøåíèå. sin 2α = 2 sin α cos α. Íàéäåì cos α.
Òàê êàê 180° < α < 270°, òî α — óãîë III ÷åòâåðòè, ò. å.
−1 < cos α < 0.
cos α = − 1 − sin2 α = − 1 − (−0, 6)2 = − 1 − 0, 36 = − 0, 64 = −0, 8.
Èòàê, sin 2α = 2 ⋅ (−0,6) ⋅ (−0,8) = 0,96.
Îòâåò: 0,96.
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòå:
à) sin 15° cos 15°; á) (cos 75° − sin 75°)2.
1.4. Синус, косинус, тангенс, котангенс
39
Ðåøåíèå.
à) sin 15° cos 15° =
1
1
1 1 1
(2 sin 15° cos 15°) = sin 30° = ⋅ = ;
2
2
2 2 4
á) (cos 75° − sin 75°)2 = cos2 75° − 2 cos 75° sin 75° + sin2 75° = (cos2 75° + sin2 75°) −
1 1
– 2 cos 75° sin 75° = 1 − sin 150° = 1 – sin (180° – 30°) = 1 − sin 30° = 1 − = .
2 2
Косинус двойного аргумента
Êîñèíóñ äâîéíîãî àðãóìåíòà ðàâåí ðàçíîñòè êâàäðàòîâ êîñèíóñà è ñèíóñà äàííîãî àðãóìåíòà:
cos 2α
α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α.
Ï ð è ì å ð 1. Äîêàæèòå òîæäåñòâî:
cos2 (α + β) + cos2 (α − β) − cos 2α cos 2β = 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà:
cos2(α + β) + cos2(α − β) − cos 2α cos 2β = (cos α cos β − sin α sin β)2 + (cos α cos β + sin α sin β)2 −
− (cos2 α − sin2 α)(cos2 β − sin2 β) = 2 cos2 α cos2 β + 2 sin2 α sin2 β − cos2 α cos2 β +
+ cos2 α sin2 β + sin2 α cos2 β − sin2 α sin2 β = cos2 α cos2 β + sin2 α sin2 β + cos2 α sin2 β + sin2 α cos2 β =
= cos2 α(cos2 β + sin2 β) + sin2 α(sin2 β + cos2 β) = 1, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòå:
π
π
à) cos2
− sin2 ; á) cos4 15° − sin4 15°.
8
8
Ðåøåíèå.
π
π
2
2 π
− sin2 = cos =
;
à) cos
8
8
4
2
cos4 15° − sin4 15° = (cos2 15°)2 − (sin2 15°)2 = (cos2 15° − sin2 15°)(cos2 15° + sin2 15°) =
3
.
2
Ï ð è ì å ð 3. Óïðîñòèòå:
= cos 30° ⋅ 1 =
à) 2 cos2 α − cos 2α;
á)
1 − cos 2α + sin 2α
.
1 + cos 2α + sin 2α
.
à) 2 cos2 α − cos 2α = 2 cos2 α − (cos2 α − sin2 α) = 2 cos2 α – cos2 α + sin2 α = cos2 α + sin2 α = 1;
1 − cos 2α + sin 2α cos2 α + sin2 α − cos2 α + sin2 α + 2 sin α cos α
á)
=
=
1 + cos 2α + sin 2α cos2 α + sin2 α + cos2 α − sin2 α + 2 sin α cos α
=
2 sin2 α + 2 sin α cos α
2 cos2 α + 2 sin α cos α
=
2 sin α(sin α + cos α) sin α
=
= tg α.
2 cos α(cos α + sin α) cos α
Тангенс двойного аргумента
Òàíãåíñ äâîéíîãî àðãóìåíòà ðàâåí ÷àñòíîìó óäâîåííîãî òàíãåíñà àðãóìåíòà è ðàçíîñòè åäèíèöû è êâàäðàòà òàíãåíñà äàííîãî àðãóìåíòà:
2 tg α
.
tg 2 α =
1 − tg 2 α
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòå:
π
2 tg
6 tg 75°
8
à)
.
; á)
π
1 − tg2 75°
1 − tg2
8
40
Раздел 1. Выражения и преобразования
Ðåøåíèå.
π
2 tg
8
à)
π
1 − tg
8
6 tg 75°
2
á)
π
⎛ π⎞
= tg ⎜ 2 ⋅ ⎟ = tg = 1;
⎝ 8⎠
4
1 − tg 75°
2
= 3⋅
2 tg 75°
1 − tg 75°
2
= 3 ⋅ tg 150° = 3tg(180° − 30°) = 3 ⋅ (−
−tg30°) = −3 ⋅
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòå tg 2α, åñëè tg α =
1
3
= − 3.
1
.
2
Ðåøåíèå.
1
2 = 1: 3 = 4 = 11.
tg 2α =
=
4 3
3
1 − tg2 α 1 − 1
4
Ï ð è ì å ð 3. Óïðîñòèòå:
1
1
−
.
1 − tg α 1 + tg α
2 tg α
2⋅
Ðåøåíèå.
1
1
1 + tg α − (1 − tg α) 1 + tg α − 1 + tg α
2 tg α
−
=
=
=
= tg 2α.
1 − tg α 1 + tg α
(1 − tg α)(1 + tg α)
1 − tg2 α
1 − tg2 α
1.4.5. Формулы приведения
π
3π
± α, π ± α,
± α, 2π ± α ìîãóò áûòü âûðàæåíû
2
2
÷åðåç ôóíêöèè àðãóìåíòà α ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, êîòîðûå íàçûâàþò ôîðìóëàìè ïðèâåäåíèÿ.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè àðãóìåíòîâ
⎛π⎞
Äâà óãëà íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè, åñëè èõ ñóììà ðàâíà 90° ⎜ ⎟ , äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâû
⎝2⎠
ðàâåíñòâà:
⎛π
⎞
sin α = cos ⎜ − β ⎟
⎝2
⎠
⎛π
⎞
tg α = ctg ⎜ − β ⎟
2
⎝
⎠
⎛π
⎞
cos α = sin ⎜ − β ⎟
⎝2
⎠
⎛π
⎞
ctg α = tg ⎜ − β ⎟ .
⎝2
⎠
×òîáû îáëåã÷èòü çàïîìèíàíèå ôîðìóë ïðèâåäåíèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèé âèäà:
⎛ πn
⎞
sin ⎜
± α⎟
⎝ 2
⎠
⎛ πn
⎞
tg ⎜
± α⎟
⎝ 2
⎠
⎛ πn
⎞
cos ⎜
± α⎟
⎝ 2
⎠
⎛ πn
⎞
ctg ⎜
± α ⎟ , n ∈ Z,
⎝ 2
⎠
óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ òàêèìè ïðàâèëàìè:
à) ïåðåä ïðèâåäåííîé ôóíêöèåé ñòàâèòñÿ òîò çíàê, êîòîðûé èìååò èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ, åñëè
0<α<
π
;
2
1.4. Синус, косинус, тангенс, котангенс
41
á) ôóíêöèÿ ìåíÿåòñÿ íà «êîôóíêöèþ», åñëè ï — íå÷åòíîå; ôóíêöèÿ íå ìåíÿåòñÿ, åñëè ï — ÷åòíîå (êîôóíêöèÿìè ñèíóñà, êîñèíóñà, òàíãåíñà è êîòàíãåíñà íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîñèíóñ, ñèíóñ, êîòàíãåíñ è òàíãåíñ).
Ïðèìåðû ê ýòîìó ïðàâèëó ïðèâåäåíû â òàáëèöå.
Àðãóìåíòû
Ôóíêöèÿ
ϕ=
π
±α
2
sin ϕ
cos α
cos ϕ
ϕ=π ± α
ϕ=
3π
±α
2
ϕ = 2π − α
−cos α
−sin α
∓ sin α
∓ sin α
−cos α
± sin α
cos α
tg ϕ
∓ctg α
±tg α
∓ctg α
−tg α
ctg ϕ
∓tg α
±ctg α
∓tg α
−ctg α
Ï ð è ì å ð 1. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ:
à) sin
8π
5π
; á) tg
.
3
6
Ðåøåíèå.
8π
2π ⎞
2π
π⎞
π
3
⎛
⎛
;
= sin ⎜ 2π +
= sin
= sin ⎜ π − ⎟ = sin =
⎝
⎝
3
3 ⎟⎠
3
3⎠
3
2
5π
π⎞
π
1
⎛
á) tg
= tg ⎜ π − ⎟ = − tg = −
;.
⎝
6
6⎠
6
3
à) sin
Ï ð è ì å ð 2. Óïðîñòèòå:
⎛π
⎞
⎛ 3π
⎞
ctg ⎜ − α ⎟ − tg (π + α) + sin ⎜
− α⎟
⎝2
⎠
⎝ 2
⎠
.
cos(π + α)
Ðåøåíèå.
⎛π
⎞
⎛ 3π
⎞
ctg ⎜ − α ⎟ − tg (π + α) + sin ⎜
− α⎟
⎝2
⎠
⎝ 2
⎠ tg α − tg α − cos α cos α
=
=
= 1.
cos(π + α)
− cos α
cos α
π
áåç ïîìîùè òàáëèö.
12
π
3
1 − cos
1−
2− 3
1 − cos α
2 π
6
2
2 α
=
=
=
.
Ðåøåíèå. Ïî ôîðìóëå sin
èìååì: sin
=
12
2
2
4
2
2
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèå sin
Òàê êàê 0 <
π
π
π
π
< , òî 0 < sin
< 1 . Ïîëó÷èì: sin
=
12 2
12
12
2− 3
.
2
Óïðîñòèì îòâåò:
2− 3
=
2
2− 3 ⋅ 2
2⋅ 2
=
6− 2
.
4
42
Раздел 1. Выражения и преобразования
4−2 3
2 2
=
( 3 − 1)2
2 2
=
3 −1
2 2
=
3 −1
2 2
=
6− 2
.
4