ФНП Вариант 21

Вариант 21
10. Вычислить
z
x
и
z
x
, если z  sin xytg  arcsin 1  xy .
y
y
Решение.
При вычислении частных производных все переменные кроме той, по
которой дифференцируем, считаем некоторыми постоянными.


z 
x
x
1
1
  sin xytg  arcsin 1  xy  x  cos xy  ytg  sin xy 
 
x y
x 
y
y

cos 2
y


1
1  1  xy

2
1
y
 y   y cos xytg x  sin xy 
.
y
2 x
2 1  xy
2
xy
(
1

xy
)
y cos
y



z 
x
x
1
  sin xytg  arcsin 1  xy  y  cos xy  xtg  sin xy 
  
x 
y 
y
y

cos 2
y


1
1  1  xy
Ответ:

2
1
x
 x   x cos xytg x  x sin xy 
.
x
y
2 1  xy
2 xy(1  xy)
y 2 cos 2
y
z
x
sin xy
y
 y cos xytg 

,
x
y
2 x
2
xy
(
1

xy
)
y cos
y
z
x
x sin xy
x
 x cos xytg 

x 2 xy(1  xy)
y
y
y 2 cos 2
y
11. Вычислить производные
U e
x y
z
x

y 
.
U
U
и
сложной функции
t
s
 arctgx 3 y 2 z , если x  s  cos t , y  s 2 , z  t  tgs .
Решение.
Для отыскания частных производных сложной функции двух
переменных воспользуемся формулами:
1
U U x U y U z
U U x U y U z
и

 
 


 
 
 .
t
x t y t z t
s
x s y s z s
Для данной функции U  e
x y
z
 arctgx 3 y 2 z вычислим частные
производные по переменным x, y и z .
x y

x y
x y


U
1
1
e z
3x 2 y 2 z
3 2
2 2
z
z


 e  arctgx y z  x  e  
 3x y z 

,
x 
z 1  x 3 y 2 z 2
z
1 x6 y 4 z 2

x y

x y
x y
z

U  z

1
1
e
2 x 3 yz
3
  e  arctgx 3 y 2 z  x  e z 


2
x
yz



,
x 
z 1  x 3 y 2 z 2
z
1 x6 y 4 z 2

x y

x y
x y


U
1
e z
x3 y 2
 1 
3 2
3 2
z
z


 e  arctgx y z  x  e    2  
x y  2 
2
z 
z
1 x6 y 4 z 2
 z  1  x 3 y 2 z 

Для функций x  s  cos t , y  s 2 , z  t  tgs . вычислим частные
производные по переменным s и t .






z
x
1
s  sin t y
,  s2 t  0 , 
 s  cos t t   s sin t 

t
t
t
2 t
2 t
 


x
y
z
 s  cos t s  cos t ,  s 2 s  2s ,

s
s
s
 

t  tgs

s
 t

t  tgs

t

tgs
.
2 t
1
t

.
2
cos s cos 2 s
И запишем выражения
 scos t  s

2
U  e t tgs
3( s  cos t ) 2 s 2
t  tgs   s  sin t 




t  t  tgs 1  ( s  cos t ) 6 ( s 2 ) 4 ( t  tgs) 2  
2 t 




2
 
 scos t  y

 e t tgs

2( s  cos t ) 3 s 2 t  tgs

0 
 

t  tgs 1  ( s  cos t ) 6 ( s 2 ) 4 ( t  tgs) 2 




s cos t  y


 e z
 tgs
( s cos t ) 3 ( s 2 ) 2
 



2
6
2 4
2
(
t

tgs
)
1

(
s
cos
t
)
(
s
)
(
t

tgs
)
2
t




 scos t  s

 s cos t  y

5
2
 e t tgs

 tgs
3s  cos t  t  tgs
s  sin t  e z
s 7 cos 3 t

 






2
t  tg s 1  s14t cos 6 t  tg 2 s  2 t .
 t  tgs 1  s14  cos 6 t  t  tg 2 s  2 t







2
2
 scos t  s

2
U  e t tgs
3( s  cos t ) 2 s 2
t  tgs 
  cos t 


s  t  tgs 1  ( s  cos t ) 6 ( s 2 ) 4 ( t  tgs) 2 




2
 
 scos t  y

 e t tgs

2( s  cos t ) 3 s 2 t  tgs
  2s 
 

t  tgs 1  ( s  cos t ) 6 ( s 2 ) 4 ( t  tgs) 2 




s cos t  y


 e z
 t
( s cos t ) 3 ( s 2 ) 2
 



2
2
6
2 4
2
 ( t  tgs) 1  ( s cos t ) ( s ) ( t  tgs)  cos s


 scos t  s

 scos t  s

5
2
5
3
t tgs
 e t tgs


3s  cos t  t  tgs
e
2s  cos t  t  tgs 



  2s


 cos t  

t  tgs 1  s14  cos 6 t  t  tg 2 s 
 t  tgs 1  s14  cos 6 t  t  tg 2 s 









2
2
 s cos t  y

 e z
 t
s 7 cos 3 t
 

.

2
2
14
6
2
 t  tg s 1  s t cos t  tg s  cos s


 scos t s

 e t tgs
U
3s 5  cos 2 t  t  tgs  s  sin t

Ответ:
 


t
 t  tgs 1  s14  cos 6 t  t  tg 2 s  2 t




2
 s cos t  y

 e z
 tgs
s 7 cos 3 t
,
 


2
14
6
2
 t  tg s 1  s t cos t  tg s  2 t


 scos t  s

 scos t  s

5
2
t tgs


 e t tgs
U
e
3s  cos t  t  tgs
2s 5  cos 3 t  t  tgs 
  cos t   
  2s



s  t  tgs 1  s14  cos 6 t  t  tg 2 s 

t  tgs 1  s14  cos 6 t  t  tg 2 s 








2
2
 s cos t  y

 e z
 t
s 7 cos 3 t
 

.

2
2
14
6
2
 t  tg s 1  s t cos t  tg s  cos s


3
12. Найти все производные второго порядка функции u  x 3 y 2 z  z 4 y 3 x .
Решение.
Вычислим производные первого порядка:
u
 x 3 y 2 z  z 4 y 3 x x  3x 2 y 2 z  z 4 y 3 ,
x


u
 x3 y 2 z  z 4 y3 x
y


 2 x 3 yz  3z 4 y 2 x ,
y
u
 x3 y 2 z  z 4 y3 x z  x3 y 2  4z 3 y 3 x .
z


Повторным дифференцированием найденных производных первого
порядка вычислим частные производные второго порядка. Для упрощения
 2u
 2u
вычислений воспользуемся тем фактом, что
, то есть порядок

x1x2 x2 x1
дифференцирования не важен.
 2u
 3x 2 y 2 z  z 4 y 3
2
x


 6 xy2 z ,
x
 2u
 3x 2 y 2 z  z 4 y 3
xz

 2u
 3x 2 y 2 z  z 4 y 3
xy


z
 3x 2 y 2  4 z 3 y 3 .
 2u
 2 x 3 yz  3z 4 y 2 x
y 2

 2 x 3 z  6 z 4 yx ,

y

y
 6 x 2 yz  3z 4 y 2 ,
 2u
 2 x 3 yz  3z 4 y 2 x z  2 x 3 y  12 z 3 y 2 x .
yz


 2u
 x 3 y 2  4 z 3 y 3 x z  12 z 2 y 3 x .
z 2

Ответ:

 2u
 2u
 2u
2
2
4 2
 3x 2 y 2  4 z 3 y 3 ,

6
xy
z
,
,

6
x
yz

3
z
y
2
xz
x
xy
 2u
 2u
 2u
3
3 2
3
4
 12 z 2 y 3 x .
,
,

2
x
z

6
z
yx

2
x
y

12
z
y
x
2
2
y
z
yz
13.
y
x
Вычислить du и d 2 u для функции u  .
Решение.
Полный
du 
дифференциал
первого
порядка
найдем
по
u
u
 2u
 2u
 2u
dx  dy , второго порядка d 2 u  2 dx 2  2
dxdy  2 dy 2 .
xy
x
y
x
y
4
формуле
Вычислим частные производные первого порядка:


u  y 
y u  y 
1
  x  2 ,
  y  .
x  x 
y  x 
x
x
Вычислим частные производные второго порядка:



 2u  y 
2 y  2u  y 
1  2u  1 
  y 0.
   x  3 ,
   y   2 ,
y 2  x 
xy  x 2 
x 2  x 2 
x
x
Тогда du  
y
1
2y
2
dx  dy , d 2 u  3 dx 2  2 dxdy .
2
x
x
x
x
Ответ: du  
14.
y
1
2y
2
dx  dy , d 2 u  3 dx 2  2 dxdy .
2
x
x
x
x
y
x
Вычислить y ' для функции y(x) заданной неявно y  2 xarctg .
Решение.
Заданное уравнение продифференцируем по переменной х, учитывая
что y  y (x) .
1
y' x  y
.
x2
y '  2arctg
y
 2x 
x
y'  2arctg
y
x2
y' x  y
,
 2x  2

2
x
x y
x2
y'  2arctg
y 2 y' x 2
2 xy
.
 2
 2
2
x x y
x  y2
 y
1  
x
2

Выразим из найденного уравнения y ' .
y'
2 y' x 2
y
2 xy
,
 2arctg  2
2
2
x x  y2
x y

2x 2 
y
2 xy
  2arctg  2
,
y' 1  2
2 
x x  y2
 x y 
 x 2  y 2  2x 2 
y
2 xy
  2arctg  2
,
y' 
2
2
x x  y2
 x y

 y2  x2 
y
2 xy
  2arctg  2
.
y'  2
2 
x x  y2
x y 
5

2 xy  x 2  y 2
y
Значит y'   2arctg  2 2   2 2 .
x x y
y x



y
2 xy  x 2  y 2
Ответ: y'   2arctg  2 2   2 2 .
x x y
y x


15. Найдите частные производные
z
z
и
для функции z  z ( x, y ) ,
x
y
заданной неявно уравнением ln( x  y  z )  x  y  z .
Решение.
Для нахождения частных производных функции, заданной неявно
воспользуемся формулами:
Fy
F z
z
 x ,
  , где F ( x, y, z )  ln( x  y  z )  x  y  z  0 .
x
Fz y
Fz
Найдем Fx  ln( x  y  z)  x  y  z  x  c ,

Fy  ln( x  y  z )  x  y  z  y 
1
1 ,
x yz

Fz  ln( x  y  z )  x  y  z  z 
1
1.
x yz
1
1
1
1
z
z
x yz
x yz
Тогда частные производные

 1 ,

 1 .
1
1
x
y
1
1
x yz
x yz
Ответ:
16.
z
z
 1 ,
 1 .
x
y
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности x 2  2 y 2  3z 2  xy  yz  2 xz  16  0 в точке M (1,2,3) .
Решение.
Уравнение касательной плоскости в точке ( x0 , y0 , z 0 ) имеет вид:
f x (M 0 )( x  x0 )  f y (M 0 )( y  y0 )  f z (M 0 )( z  z0 )  0 .
Уравнение нормали в поверхности в точке ( x0 , y0 , z 0 ) :
6
x  x0
y  y0
z  z0


f x ( x0 ) f y ( y 0 ) f z( z 0 )
Для f ( x, y, z)  x 2  2 y 2  3z 2  xy  yz  2 xz  16  0 имеем:

f x  x 2  2 y 2  3z 2  xy  yz  2 xz  16

f y  x 2  2 y 2  3z 2  xy  yz  2 xz  16

y

x
 2x  y  2z ,
 4y  x  z ,

f z  x 2  2 y 2  3z 2  xy  yz  2 xz  16

z
 6 z  y  2 x .
Для точки M (1,2,3) имеем f x(M )  2  2  6  2 , f y ( M )  8  1  3  12 ,
f z(M )  18  2  2  18 . Тогда уравнение касательной плоскости:
 2( x  1)  12( y  2)  18( z  3)  0 ,
( x  1)  6( y  2)  9( z  3)  0
x  6 y  9 z  16  0 ,
Уравнение нормали:
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3




или
.
2
12
 18
1
6
9
Ответ: уравнение касательной плоскости x  6 y  9 z  16  0 , уравнение
нормали:
x 1 y  2 z  3


.
1
6
9
17. Исследовать на экстремум функцию z  3x 2  x 3  3 y 2  4 y .
Решение.
Применим достаточный признак экстремума функции двух
независимых переменных, состоящий в следующем.
Пусть P0 ( x 0 , y 0 ) - критическая точка функции z  f ( x , y ) , имеющей
непрерывные частные производные первого и второго порядков.
 
 


 P  A , z xy
Обозначим z xx
 B , z yy
 C и составим
P0
P0
0
определитель

A B
B C
7
 AC  B 2
.
Если ∆ > 0, то P0 есть точка экстремума, причем при А > 0 –
минимума, при А < 0 – максимума.
Если ∆ < 0, в точке P0 экстремума нет.
При ∆ = 0 – требуется дополнительное исследование.
z
z
и
, каждую из них приравняем
x
y
Находим частные производные
к нулю и решаем полученную систему уравнений:

z
 3x 2  x 3  3 y 2  4 y x  6 x  3x 2 ;
x


z
 3x 2  x 3  3 y 2  4 y y  6 y  4 .
y



 x  0,

 y   2
3
x
(
2

х
)

0
,
2

6 х  3 х  0, 

3
4 
Решим систему уравнений 
, тогда

y
x

2
,

 6 y  4  0.


6

2
 y  
3

2
3
2
3
имеем две стационарные точки P1 (0; ) и P2 (2; ) .
Найдем частные производные второго порядка:

z xx  6 x  3x 2

x
 6  6x ,

z xy  6 x  3 x 2

y
0 ,

z yy  6 y  4 y  6 .
2
3
Для точки P1 (0; ) имеем А = 6  0 , В = 0, С =4,   6  4  0 2  24  0 ,
2
3
значит P1 (0; ) является точкой минимума.
2
3
Для точки P2 (2; ) имеем А =  6  0 , В = 0, С =4,   6  4  0 2  24  0 ,
2
3
значит P2 (2; ) не является точкой экстремума.
2
4 8
4
z (0, )  0  0  3     .
3
9 3
3
2
3
2
3
4
3
Ответ: P1 (0; ) - точка минимума, z (0, )   .
8
18. Найти набольшее и наименьшее значения функции
z  x 3  y 3  9 xy  27 в замкнутой области D , заданной системой неравенств:
0  x  4 , 0  y  4 .Построить чертеж.
Решение.
Построим указанную область 0  x  4 , 0  y  4 . Это квадрат,
ограниченный прямыми линиями x  0 , x  4 , y  0 , y  4 .
Обозначим вершины A (0,0), B (0,4), C (4,4), D (4,0).
Рис.1.
Исследуем функцию z  x 3  y 3  9 xy  27 на экстремум. Найдем частные
производные первого порядка и приравняем их нулю:
 x  0,

y2

y2
2
x

,


y
x

,
2

 z x  0,  z x  3 x  9 y  0, 
,
3
x 

y  0
3

 4



3
 
2
 x  3
 z y  3 y  9 x  0
z y  0
 y  3 y  0.  y 4  27 y  0.  y  0



 9
 y  3
 y  3
Точки А(0,0) и M (3,3)  D .
Найдем z ( A)  27 , z(M )  33  33  9  3  3  27  0 .
Теперь будем исследовать значение функции на границах области.
9
На прямой AB выполняется x  0 , причем 0  y  4 , тогда функция
z  x 3  y 3  9 xy  27 является функцией одной переменной. z x 0 ( y )  y 3  27 .
Исследуем z x0 ( y )  y 3  27 на экстремум на отрезке y  0,4 .
z ( y)  3 y 2  0  y  0  0,4 .
Найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка:
z x0 ( y  0)  27 , z x 0 ( y  4)  4 3  27  91 , тогда 27  z  91 .
AB
На прямой BC выполняется y  4 , причем 0  x  4 , тогда функция
z  x 3  y 3  9 xy  27 является функцией одной переменной.
z y4 ( x)  x 3  64  36 x  27  x 3  36 x  91 .
Исследуем z y4 ( x)  x 3  36x  91 на экстремум на отрезке x  0,4 .
z ( x)  3x 2  36  0  x 2  12  x  2 3  3.46 , отрицательное значение -
3,46 не входит в отрезок x  0,4 .
Найдем значение функции на концах отрезка и в критической точке
x  2 3 : z y 4 ( x  0)  91 , z y 4 ( x  2 3 )  24 3  72 3  91  7.86 ,
z y 4 ( x  4)  64  144  91  11 , тогда 7.86  z  91 .
BC
На прямой CD выполняется x  4 , причем 0  y  4 , тогда функция
z  x 3  y 3  9 xy  27 является функцией одной переменной.
z x 4 ( y )  64  y 3  36 y  27  y 3  36 y  91 .
Исследуем z x4 ( y )  y 3  36 y  91 на экстремум на отрезке y  0,4 .
z ( y )  3 y 2  36  0  y 2  12  y  2 3  3.46 , отрицательное значение -
3,46 не входит в отрезок y  0,4 .
Найдем значение функции на концах отрезка и в критической точке
y  2 3 : z x4 ( y  0)  91 , z x4 ( y  2 3)  24 3  72 3  91  7.86 ,
z x4 ( y  4)  64  144  91  11 , тогда 7.86  z  91 .
CD
На прямой AD выполняется y  0 , причем 0  x  4 , тогда функция
z  x 3  y 3  9 xy  27 является функцией одной переменной z y0 ( x)  x 3  27 .
10
Исследуем z y0 ( x)  x 3  27 на экстремум на отрезке x  0,4 .
z ( x)  3x 2  0  x  0  0,4 .
Найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка:
z y 0 ( x  0)  27 , z y 0 ( x  4)  43  27  91, тогда 27  z  91 .
AD
Среди полученных значений выбираем наибольшее M  z (4,4)  z (C )  91
и наименьшее m  z (3,3)  z ( M )  0 .
Ответ: наибольшее M  z (4,4)  z (C )  91 и наименьшее
m  z (3,3)  z ( M )  0 , рис.1.
11