cond state2

Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò
êàôåäðà òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè
À.À. Êîæåâíèêîâ
Êîíñïåêò ëåêöèé "Ôèçèêà
êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà"äëÿ
ñòóäåíòîâ îòäåëåíèÿ èíôîðìàòèêè.
×àñòü II. Îñíîâû ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè.
(ó÷åáíîå ïîñîáèå)
ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊ − 2017
Îãëàâëåíèå
1
Îñíîâíûå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
2
Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû . . . . . . . . . . . .
Çàâèñèìîñòü îò ÷èñëà ÷àñòèö . . . . . . . . . . . . . .
Ðàâíîâåñèå ïðè ðàçíûõ âíåøíèõ óñëîâèÿõ . . . . . .
Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äèýëåêòðèêîâ
Òåðìîäèíàìèêà ìàãíåòèêîâ . . . . . . . . . . . . . . .
Êîå-÷òî î òåðìîäèíàìèêå ÷åðíûõ äûð . . . . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ñòàòèñòè÷åñêîå îïèñàíèå ìàêðîñèñòåì
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3
6
Ìèêðî- è ìàêðî-ñîñòîÿíèÿ . . . . . . . . .
Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ . . . . . . . . . . . . . .
Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå . . . .
Ìåòîä íàèáîëåå âåðîÿòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñèñòåìà ÷àñòèö ñî ñïèíîì 1/2 . . . . . . .
Ýíòðîïèÿ â èíôîðìàòèêå . . . . . . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Îñíîâíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . .
Áîëüøîå êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . .
Èçîáàðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . .
Âû÷èñëåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé â àíñàìáëÿõ .
3.4.1 Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . .
3.4.2 Êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Áîëüøîå êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . .
3.4.4 Èçîáàðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
7
10
12
13
15
17
18
20
24
27
30
31
34
36
39
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
42
44
46
46
47
48
49
49
4
Êëàññè÷åñêèé èäåàëüíûé ãàç
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5
5.6
5.7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö â êîíå÷íîì îáúåìå . . . . .
Ðàñïðåäåëåíèå Ôåðìè Äèðàêà . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèáëèæåíèå ñèëüíîé ñâÿçè . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèáëèæåíèå ñëàáîé ñâÿçè . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ìîäåëü ¾æåëå¿. Ýêðàíèðîâàíèå è ðîëü êóëîíîâñêèõ ýôôåêòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ïîëóïðîâîäíèêîâ . . . . . . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
72
74
80
86
. 90
. 91
. 94
97
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èäåàëüíîãî
Ôîòîíû â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè . .
Êîíäåíñàöèÿ Áîçå Ýéíøòåéíà . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . .
áîçå-ãàçà
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Êóáè÷åñêèå ðåøåòêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ðàññåÿíèå êàê ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ñòðóêòóðû êðèñòàëëîâ
Êîëåáàíèÿ àòîìîâ â êðèñòàëëàõ. Êëàññè÷åñêîå îïèñàíèå.
Êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ëèíåéíîé öåïî÷êè. Ôîíîíû . . .
Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ñïåêòðà âîçáóæäåíèé . . . .
Òåïëîåìêîñòü êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè . . . . . . . . . .
Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå êðèñòàëëîâ â ìîäåëè Äåáàÿ . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôëóêòóàöèè è áðîóíîâñêîå äâèæåíèå
8.1
8.2
51
54
57
60
62
67
70
72
.
.
.
.
Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà è åå êîëåáàíèÿ
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
8
.
.
.
.
.
.
.
Èäåàëüíûé áîçå-ãàç
6.1
6.2
6.3
6.4
7
Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà Áîëüöìàíà
Ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö ïî ñêîðîñòÿì .
Ðàñïðåäåëåíèå ïî êîîðäèíàòàì . . . . .
Òåïëîåìêîñòü â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå
Ãàç äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë . . . . . . . .
Õèìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå è ðåàêöèè . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàç
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
6
51
97
98
102
106
110
.
.
.
.
.
.
.
.
110
112
114
118
122
124
127
130
133
Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ôëóêòóàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Áðîóíîâñêîå äâèæåíèå è óðàâíåíèå Ëàíæåâåíà . . . . . . . 138
4
8.3
8.4
8.5
9
Êîððåëÿöèÿ ôëóêòóàöèé âî âðåìåíè . . . . . . . . . . . . . 143
Ôëóêòóàöèè â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ . . . . . . . . . . . . . . 144
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Íåèäåàëüíûå ñèñòåìû
9.1
9.2
9.3
9.4
149
Ñòàòñóììà ñëàáî íåèäåàëüíîãî ãàçà . .
Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âàí-äåð-Âààëüñà
Ôàçîâûå ïåðåõîäû ïåðâîãî ðîäà . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ìàãíåòèçì êâàíòîâîå ÿâëåíèå . . . . . . . . . . .
Ñïèíîâûé ïàðàìàãíåòèçì . . . . . . . . . . . . . . .
Ïàðàìàãíåòèçì âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà .
Äèàìàãíåòèçì íåâûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà
Êâàíòîâûé öåëî÷èñëåííûé ýôôåêò Õîëëà . . . . .
Ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà ôåððîìàãíåòèçìà . . . . . . .
Òåîðèÿ Êþðè Âåéñà . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10 Ìàãíåòèçì âåùåñòâà
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
156
11 Ôàçîâûå ïåðåõîäû âòîðîãî ðîäà
156
158
159
160
161
163
165
167
168
11.1 Ñêà÷îê òåïëîåìêîñòè ïðè ïåðåõîäå â ôåððîìàãíèòíîå
ñòîÿíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Ôàçîâûå ïåðåõîäû âòîðîãî ðîäà è òåîðèÿ Ëàíäàó . . .
11.3 Íåîäíîðîäíîå óïîðÿäî÷åíèå . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Çàäà÷è. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ñî. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12 Êèíåòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
149
152
153
154
168
169
172
174
175
Óðàâíåíèå Áîëüöìàíà . . . . . . . . . .
Ðàññåÿíèå íà ïðèìåñÿõ . . . . . . . . .
Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ýëåêòðîííîãî ãàçà
Òåðìîýëåêòðè÷åñêèå ýôôåêòû . . . . .
Âÿçêîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëèòåðàòóðà
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
175
179
182
184
190
191
193
5
Ãëàâà 1
Îñíîâíûå òåðìîäèíàìè÷åñêèå
ñîîòíîøåíèÿ
 ýòîé ÷àñòè êóðñà áóäåò ðàññìîòðåíà òåîðèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ îïèñûâàòü ïîâåäåíèå îãðîìíîãî, N ∼ 1023 , ÷èñëà ÷àñòèö. Ïî ñóùåñòâó, âàì
óæå èçâåñòåí îäèí èç ïîäõîäîâ ê îïèñàíèþ ìàêðîñêîïè÷åñêè áîëüøèõ
ñèñòåì. Ðå÷ü èäåò î òåðìîäèíàìèêå. Ýòà íàóêà îñíîâàíà íà äîïóùåíèè
òîãî, ÷òî äëÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ íåò íåîáõîäèìîñòè äåòàëüíî ñëåäèòü çà ïîâåäåíèåì êàæäîé èç ÷àñòèö. (Ñîñòîÿíèåì
òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿíèå, â êîòîðîå ðàíî èëè ïîçäíî
ïðèõîäèò êàæäàÿ ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ñèñòåìà, åñëè åå ïðåäîñòàâèòü ñàìîé
ñåáå. Âðåìÿ äîñòèæåíèÿ òàêîãî ñîñòîÿíèÿ íàçûâàåòñÿ âðåìåíåì ðåëàêñàöèè τrelax . Ó ñëîæíûõ ñèñòåì ìîæåò áûòü íåñêîëüêî âðåìåí ðåëàêñàöèè,
è òîãäà ïîä τrelax ïîíèìàåòñÿ íàèáîëüøåå èç íèõ.) Ïîñëå äîñòèæåíèÿ
ñîñòîÿíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèì ÷èñëîì ïàðàìåòðîâ, òàêèõ, êàê,
íàïðèìåð, îáúåì V , äàâëåíèå P , òåìïåðàòóðà T , ìàãíèòíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà M è ò.ä. Ïîñêîëüêó îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ òåðìîäèíàìèêè
áûëè ðàññìîòðåíû â îòäåëüíîì êóðñå, îãðàíè÷èìñÿ çäåñü íàïîìèíàíèåì
îñíîâíûõ ñîîòíîøåíèé ýòîé äèñöèïëèíû, íåîáõîäèìûõ ïðè èçëîæåíèè
îñíîâ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè. Ðåãóëÿðíîå èçëîæåíèå îñíîâ òåðìîäèíàìèêè ñîäåðæèòñÿ â êíèãàõ [1, 8].
6
1.1 Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå äâà ¾ïðèáîðà¿. Íàçîâåì èõ òåðìîñòàò è
àäèàáàò. Èíòóèòèâíûé ñìûñë ïåðâîãî ïðèáîðà ÿñåí: ýòî òåëî, íàõîäÿùååñÿ â ñîñòîÿíèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ è èìåþùåå íàñòîëüêî áîëüøèå
ðàçìåðû, ÷òî îáðàòíûì âëèÿíèåì ïîìåùåííîé â íåãî èññëåäóåìîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  êà÷åñòâå èññëåäóåìîé ñèñòåìû âîçüìåì ãàç,
ïîìåùåííûé â ñîñóä ñ ïîðøíåì. Íàïîëíèì âíà÷àëå òåðìîñòàò ëüäîì è
ðàññìîòðèì îïûò, â êîòîðîì èçìåðÿåòñÿ çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ îò îáúåìà. Ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùóþ êðèâóþ è ïîìåòèì åå çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà τ1 , íàçûâàåìîãî óñëîâíîé òåìïåðàòóðîé. Ïðîäåëàåì òàêîé æå ýêñïåðèìåíò, íàïîëíèâ òåðìîñòàò òàëîé âîäîé, à çàòåì êèïÿòêîì. Ïîëó÷èì
öåëîå ñåìåéñòâî êðèâûõ (èçîòåðì), íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà
τ . Îíè ïîêàçàíû íà ðèñ. 1.1.
Ïî ñìûñëó èçìåðåíèÿ τ åñòü ôóíêöèÿ
P
ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, êîòîðàÿ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé äëÿ ïðîöåññîâ â òåðìîñòàòå.
τ
Ïîä àäèàáàòîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñîñóä
ñ ïîðøíåì, ñäåëàííûì èç òåïëîèçîëèðóþτ
τ
ùåãî ìàòåðèàëà. Ïîìåñòèì ñîñóä â òåðìîñòàò ñ íåêîòîððîé óñëîâíîé òåìïåðàòóðîé
è, ïîäîæäàâ äîñòàòî÷íîå äëÿ óñòàíîâëåV
íèÿ ðàâíîâåñèÿ âðåìÿ (ÿñíî, ÷òî äëÿ ýòîÐèñ. 1.1: Ñåìåéñòâî èçîòåðì ãî âðåìåííî íåîáõîäèìî íàðóøèòü òåïëîíà P V -ïëîñêîñòè.
èçîëÿöèþ), òåïëîèçîëèðóåì åãî è ïðîâåäåì èçìåðåíèå çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ P îò îáúåìà V . Ïðîäåëàåì ýòó
ïðîöåäóðó ïðè äðóãèõ óñëîâíûõ òåìïåðàòóðàõ. Ïîëó÷èì öåëîå ñåìåéñòâî êðèâûõ (àäèàáàò) íà ðèñ. 1.2, íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà
σ , íàçûâàåìîãî óñëîâíîé ýíòðîïèåé. Ïî ñìûñëó èçìåðåíèÿ σ åñòü ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, êîòîðàÿ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé äëÿ ïðîöåññîâ â
àäèàáàòå.
Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ôàêò ñîñòîèò â òîì, ÷òî èçîòåðìû ïðè ðàçíûõ τ
è àäèàáàòû ïðè ðàçíûõ σ íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïîýòîìó τ σ -ïëîñêîñòü íè÷åì
íå õóæå P V -ïëîñêîñòè äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ èçìåðåíèé. Ôîðìàëüíî ýòî ìîæíî âûðàçèòü â óòâåðæäåíèè, ÷òî
ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ îò îäíîé ïàðû ïåðåìåííûõ ê äðóãîé îòëè÷åí îò
3
2
1
7
íóëÿ:
∂(τ, σ)
̸= 0.
∂(P, V )
Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà ââåäåì àáñîëþòíóþ òåìïåðàòóðó T è àáñîëþòíóþ ýíòðîïèþ S ñ ïîìîùüþ óñëîâèÿ íîðìèðîâêè
∂(T, S)
= 1.
∂(P, V )
(1.1)
Îäíèì èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé òåðìîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ ðàáîòà A. Áåñêîíå÷íî ìàëûé ýëåìåíò ýòîé âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ
êàê
δA = P dV,
(1.2)
P
σ3
σ2
σ1
V
ãäå çíà÷îê δ óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ðàáîòà íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîëíàÿ ðàáîòà
∫
A = P dV
(1.3)
Ðèñ. 1.2: Ñåìåéñòâî àäèàáàò
íà P V -ïëîñêîñòè.
çàâèñèò îò ïðîöåññà (ïóòè). Ðàáîòà ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, åñëè îíà
ïðîèçâîäèòñÿ ñèñòåìîé íàä âíåøíèìè òåëàìè.  ìåõàíèêå ðàáîòà ïðîèçâîäèòñÿ çà ñ÷åò óáûëè ýíåðãèè ñèñòåìû. Ïî àíàëîãèè ñ ýòèì â òåðìîäèíàìèêå ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ
çà ñ÷åò óáûëè ýíåðãèè E (àäèàáàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà), à ðàáîòà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò óáûëè ñâîáîäíîé ýíåðãèè F ,
è íàïèñàòü
(δA)S = −dE , (δA)T = −dF,
(1.4)
ãäå èíäåêñû S è T ÿâíî óêàçûâàþò íà õàðàêòåð ïðîöåññà. Âàæíî, ÷òî
âåëè÷èíû â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (1.4) ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè äèôôåðåíöèàëàìè
òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ E è F .  îòëè÷èå îò ðàáîòû, òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû åñòü ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ, íå çàâèñÿùèå îò ïðîöåññà.
Ïóñòü àäèàáàòè÷íîñòü íàðóøàåòñÿ çà ñ÷åò êâàçèñòàòè÷åñêîãî ïîäâîäà òåïëà. Òàê íàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ìåäëåííûé ïðîöåññ, â êîòîðîì
8
íà êàæäîì ýòàïå ñîõðàíÿåòñÿ ðàâíîâåñèå. Òîãäà dS ̸= 01 Ñ ó÷åòîì (1.2)
è ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ (1.4) ìîæíî çàïèñàòü äèôôåðåíöèàë ýíåðãèè â
âèäå
dE = αdS − P dV.
Ôóíêöèþ α íàéäåì
÷òî ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôå)
( ) èç (óñëîâèÿ,
∂α
ðåíöèàëîì: − ∂P
=
.
Ïðåäñòàâèâ
÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ â âè∂S V
∂V S
∂(−P,V )
∂(α,S)
äå ÿêîáèàíà ïîëó÷èì, ÷òî ∂(S,V ) = ∂(V,S) . Ñ ó÷åòîì (1.1) ïðèõîäèì ê
( ∂α )
óðàâíåíèþ ∂T
= 1. Åãî ðåøåíèå α ≡ α(T, S) = T + φ(S) ñîäåðæèò
S
ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ ýíòðîïèè. Îáû÷íîå ñîãëàøåíèå åñòü φ(S) = 0.
Âî âòîðîì ñëó÷àå, äåéñòâóÿ àíàëîãè÷íî, ó÷òåì íàðóøåíèå èçîòåðìè÷íîñòè dT ̸= 0. Òîãäà
dF = βdT − P dV,
ãäå ôóíêöèÿ β íàõîäèòñÿ
( ∂β ) ÷òî ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ F åñòü ïîë( ∂Pèç
) óñëîâèÿ,
íûé äèôôåðåíöèàë: − ∂T V = ∂V T .  òåðìèíàõ ÿêîáèàíîâ ïîëó÷èì
( ∂β )
∂(−P,V )
∂(β,T )
= −1.
= ∂(V,T
, îòêóäà, ñ ó÷åòîì (1.1), ñëåäóåò óðàâíåíèå ∂S
∂(T,V )
)
T
Åãî ðåøåíèå β ≡ α(T, S) = −S + ψ(T ) ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ
òåìïåðàòóðû, êîòîðóþ îáû÷íî ïîëàãàþò ðàâíîé íóëþ: ψ(T ) = 0.
Ðåçþìèðóÿ ñêàçàííîå âûøå, äèôôåðåíöèàëû ýíåðãèè E è ñâîáîäíîé
ýíåðãèè F çàïèñûâàþòñÿ â âèäå :
dE = T dS − P dV , dF = −SdT − P dV,
îòêóäà
T =
(
∂E
∂S
)
(
,S=−
V
∂F
∂T
)
(
,P =−
V
∂E
∂V
)
(
=−
S
(1.5)
∂F
∂V
)
.
(1.6)
T
Âèäíî, ÷òî E ≡ E(S, V ), F ≡ F (T, V ), ò.å. äëÿ ýíåðãèè ñâîèìè ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ S è V , òîãäà êàê äëÿ ñâîáîäíîé ýíåðãèè ñâîè ïåðåìåííûå
ñóòü T è V . Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
F = E − T S,
(1.7)
ïîêàçûâàþùåå, ÷òî ýíåðãèÿ è ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåì Ëåæàíäðà. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ââîäèòñÿ äðóãàÿ ïàðà òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ H ≡ H(S, P ) = E + P V (ýíòàëüïèÿ) è Φ ≡ Φ(T, P ) = F + P V (òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà),
Ýíòðîïèÿ ìîæåò ðàñòè è â òåïëîèçîëèðîâàííîé ñèñòåìå, åñëè â íåé èäóò ïðîöåññû
óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
1
9
H = E + P V , Φ = F + P V . Èõ äèôôåðåíöèàëû èìåþò âèä:
dH = T dS + V dP , dΦ = −SdT + V dP,
(1.8)
îòêóäà
(
T =
∂H
∂S
)
(
,S=−
P
∂Φ
∂T
)
(
,V =
P
∂H
∂P
)
(
=
S
∂Φ
∂P
)
.
(1.9)
T
Òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîëè÷åñòâî òåïëà, íåîáõîäèìîå äëÿ óâåëè÷åíèÿ òåìïåðàòóðû íà îäèí ãðàäóñ, C = δQ
. Îíà çàâèñèò
δT
îò òîãî, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ òåïëî ïîãëîùàåòñÿ, C ≡ CX , ãäå èíäåêñ X
óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ïîãëîùåíèå òåïëà ïðîèñõîäèò ïðè ïîñòîÿííîì X .
 ÷àñòíîñòè, ðàçëè÷àþòñÿ òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè CV è
îáúåìå CP :
( )
( )
∂S
∂S
, CP = T
.
(1.10)
CV = T
∂T V
∂T P
1.2 Çàâèñèìîñòü îò ÷èñëà ÷àñòèö
Âûøå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå ïîñòîÿííî. Îäíàêî ÷èñëî ÷àñòèö äàííîãî ñîðòà ìîæåò ìåíÿòüñÿ, íàïðèìåð, â õèìè÷åñêèõ
ðåàêöèÿõ. Äëÿ ó÷åòà íåïîñòîÿíñòâà ÷èñëà ÷àñòèö ê ïðàâûì ÷àñòÿì âñåõ
äèôôåðåíöèàëîâ (1.5) è (1.8) äîáàâëÿåòñÿ ñëàãàåìîå µdN ,ãäå µ íàçûâàåòñÿ õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì. Òîãäà âñå ïðèâåäåííûå âûøå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû ïîëó÷àþò çàâèñèìîñòü îò ÷èñëà ÷àñòèö N .
Ñòðîãîå îïðåäåëåíèå õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà òàêîâî:
µ = E(N + 1) − E(N ),
ãäå E(N ) åñòü ýíåðãèÿ N ÷àñòèö. Èíûìè ñëîâàìè, µ ðàâåí ýíåðãèè, íåîáõîäèìîé äëÿ óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö â ñèñòåìå íà îäíó. Ïðè N ≫ 1
∂E
. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ ïîëó÷àåì, ÷òî
èìååì µ ≈ ∂N
(
)
(
)
(
)
(
)
∂E
∂F
∂H
∂Φ
µ=
=
=
=
.
(1.11)
∂N S,V
∂N T,V
∂N S,P
∂N P,T
10
 ýòîé ñâÿçè ââîäèòñÿ åùå îäèí òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë, íàçûâàåìûé Ω-ïîòåíöèàëîì:
Ω ≡ Ω(T, V, µ) = F − µN,
dΩ = −SdT − P dV − N dµ,
( )
∂Ω
N = −
∂µ T,V
(1.12)
Ïðè ó÷åòå âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó ÷àñòèöàìè çàâèñèìîñòü îòN âåëè÷èí
E , F , H è Φ ìîæåò áûòü ñëîæíîé. Íî íåêîòîðûå âûâîäû î õàðàêòåðå
òàêîé çàâèñèìîñòè ìîæíî ñäåëàòü, ïðèíÿâ â ðàñ÷åò, ÷òî âñå óêàçàííûå
òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû è ýíòðîïèÿ ÿâëÿþòñÿ àääèòèâíûìè âåëè÷èíàìè. Èõ ÷èñëåííîå çíà÷åíèå óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó ÷àñòèö. Óñëîâèÿ àääèòèâíîñòè çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(
)
S V
E(S, V, N ) = N e
,
,
N N
(
)
V
F (T, V, N ) = N f T,
,
N
)
(
S
,P ,
H(S, P, N ) = N h
N
Φ(T, P, N ) = N φ (T, P ) ,
(1.13)
ãäå e, f , h è φ − ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Èñïîëüçóÿ (1.11) è ïîñëåäíåå
ñîîòíîøåíèå â (1.13) ïîëó÷àåì
(
)
∂Φ
µ=
= φ(P, T ),
∂N P,T
îòêóäà
S
V
dT + dP.
N
N
Φ = F + P V , òî
Φ = N µ, dµ = −
Ïîñêîëüêó Ω = F − µN = F − Φ,
Ω = −P V.
(1.14)
(1.15)
Ñîîòíîøåíèå (1.15) ïîçâîëèò âïîñëåäñòâèè ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ êàê äëÿ êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö, òàê è äëÿ ñèñòåì áîçîíîâ è ôåðìèîíîâ. Âñå ñêàçàííîå âûøå î çàâèñèìîñòè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ
îò ÷èñëà ÷àñòèö ïîíàäîáèòñÿ âïîñëåäñòâèè ïðè îáñóæäåíèè õèìè÷åñêèõ
ðåàêöèé è ôàçîâûõ ïðåâðàùåíèé.
11
E , S ,V
E 0 , S 0 , V0
Ðèñ. 1.3: Ê âûâîäó óñëîâèé ýêñòðåìàëüíîñòè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ.
1.3 Ðàâíîâåñèå ïðè ðàçíûõ âíåøíèõ óñëîâèÿõ
Âàæíûì ñâîéñòâîì òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî èõ ýêñòðåìàëüíîñòè ïðè ðàçíûõ âíåøíèõ óñëîâèÿõ. Âòîðîå íà÷àëî
òåðìîäèíàìèêè óòâåðæäàåò, ÷òî ýíòðîïèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû íå óáûâàåò: ∆S ≥ 0. Ðîñò ýíòðîïèè îáóñëîâëåí ïðîöåññàìè óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ýíòðîïèÿ äîñòèãàåò ìàêñèìóìà. Ïóñòü
íàøà ñèñòåìà M èìååò ýíåðãèþ E , ýíòðîïèþ S è îáúåì V . Ïîìåñòèì
åå âíóòðü ãîðàçäî áîëüøåé ñèñòåìû M0 c ýíåðãèåé E0 , ýíòðîïèåé S0 è
îáúåìîì V0 . Ïîëíàÿ ñèñòåìà M + M0 çàìêíóòà, ïîýòîìó E + E0 = const,
V + V0 = const. Ñì. ðèñ. 1.3. Òîãäà ∆(E + E0 ) = 0, ∆(V + V0 ) = 0, îòêóäà
ïîëó÷àåì:
∆E = −∆E0 = −T0 ∆S0 + P0 ∆V0 = −T0 ∆S0 − P0 ∆V.
Ñîãëàñíî âòîðîìó íà÷àëó òåðìîäèíàìèêè ∆S0 ≥ −∆S , îòêóäà ñëåäóåò
íåðàâåíñòâî
∆E − T0 ∆S + P0 ∆V ≤ 0.
Ïîñêîëüêó ñèñòåìà M íå ìîæåò èçìåíèòü òåìïåðàòóðó T0 è äàâëåíèå P0
ñèñòåìû M0 , ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî
∆(E − T0 S + P0 V ) ≤ 0.
(1.16)
 ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ E − T0 S + P0 V = minimum. Ïîëàãàÿ ýíåðãèþ
E ôóíêöèåé ýíòðîïèè è îáúåìà ìîæíî ïîêàçàòü, ñì. [5], ÷òî èç ýòîãî
12
óñëîâèÿ ñëåäóþò íåðàâåíñòâà
CV > 0,
(
∂P
∂V
)
< 0.
(1.17)
T
Ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì íåðàâåíñòâà, íàçûâàþòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêè íîðìàëüíûìè. Ðàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ. ïóñòü ñèñòåìà
M èìååò ôèêñèðîâàííûé îáúåì V = const è òåìïåðàòóðó T = T0 . Òîãäà
èç (1.16) ñëåäóåò, ÷òî ∆(E − T S) = ∆F ≤ 0. Ïðè ôèêñèðîâàííîé òåìïåðàòóðå è îáúåìå ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ óìåíüøàåòñÿ è äîñòèãàåò ìèíèìóìà
â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ. Åñëè ôèêñèðîâàíû òåìïåðàòóðà T = T0 è äàâëåíèå P = P0 , òî ∆(E − T S + P V ) = ∆Φ ≤ 0, ò.å. ìèíèìóìà äîñòèãàåò
òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà. Èìåííî ñ íåîáõîäèìîñòüþ ôèêñèðîâàòü ðàçíûå êîìáèíàöèè âíåøíèõ óñëîâèé ñâÿçàíî èçîáèëèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ.
1.4 Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äèýëåêòðèêîâ
Ïðè ïîëó÷åíèè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé äëÿ äèýëåêòðèêîâ
ñëåäóåò ðàçëè÷àòü òðè ïîëÿ. Ýòî âíåøíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E0 , êîòîðîå èìååòñÿ è â îòñóòñòâèå äèýëåêòðèêà. Äàëåå, åñòü ñðåäíåå èñòèííîå
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé âíåøíåãî ïîëÿ
è ïîëÿ, ñîçäàííîãî èíäóöèðîâàííûìè çàðÿäàìè. Ïîýòîìó E íå ñîâïàäàåò ñ E0 . Íàïðèìåð, íåéòðàëüíûé äèýëåêòðè÷åñêèé øàð â îäíîðîäíîì
âíåøíåì ïîëå èñêàæàåò åãî çà ñ÷åò íàâåäåííîãî ïîëÿðèçàöèîííîãî çàðÿäà. Íàêîíåö, åñòü âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè D . Ýòî èñêóññòâåííîå ïîëå, ÷üèì èñòî÷íèêîì ÿâëÿþòñÿ âíåñåííûå çàðÿäû (åñëè îíè åñòü).
Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, âûáåðåì ñàìóþ ïðîñòóþ ãåîìåòðèþ çàäà÷è
è ðàññìîòðèì ïëîñêèé äèýëåêòðèê â ïëîñêîì êîíäåíñàòîðå. Êðîìå òîãî,
ïðåíåáðåæåì èçìåíåíèåì îáúåìà äèýëåêòðèêà ïðè âêëþ÷åíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ýíåðãèÿ äèýëåêòðèêà â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ èçìåíÿåòñÿ çà ñ÷åò ðàáîòû âíåøíåãî èñòî÷íèêà - áàòàðåè è ðàâíà δA = ϕdq , ãäå ϕ− ïîòåíöèàë
êîíäåíñàòîðà, dq− çàðÿä, ïåðåíîñèìûé ñ îäíîé ïëàñòèíû íà äðóãóþ. Ïîñêîëüêó
ϕ = |E|l,
13
à
ΣD
,
4π
ãäå Σ− ïëîùàäü ïëàñòèí, l− ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè, òî ïðèðàùåíèå ðàáîòû âíåøíåãî èñòî÷íèêà ïî çàðÿäêå êîíäåíñàòîðà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:
q = σΣ =
δA =
V
EδD,
4π
ãäå V = Σl− îáúåì êîíäåíñàòîðà. Òîãäà îñíîâíîå òåðìîäèíàìè÷åñêîå
ñîîòíîøåíèå äëÿ äèýëåêòðèêîâ, ñ ó÷åòîì âåêòîðíîãî õàðàêòåðà íàïðÿæåííîñòè è èíäóêöèè, çàïèøåòñÿ â âèäå:
∫
dV
dE = T dS +
EδD.
(1.18)
4π
Çàìåíà ìíîæèòåëÿ V èíòåãðèðîâàíèåì ïî îáúåìó ó÷èòûâàåò âîçìîæíûå íåîäíîðîäíîñòè â ðàñïðåäåëåíèè ïîëåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ åñòü
ôóíêöèÿ ýíòðîïèè è ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè: E ≡ E(S, D).  òåðìîäèíàìèêå äèýëåêòðèêîâ ïîëàãàåòñÿ, ÷òî (1.18) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé
ãåîìåòðèè, à íå òîëüêî ïëîñêîé.
Ðàáîòà âíåøíåãî èñòî÷íèêà òðàòèòñÿ êàê íà ñîçäàíèå ïîëÿðèçàöèè,
òàê è íà ñîçäàíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E0 . Íàéäåì äèôôåðåíöìàë ýíåðV
ãèè ñàìîãî äèýëåêòðèêà Ediel = E − 8π
E02 :
∫
∫
dV
dV
dEdiel = T dS +
(EδD − E0 δE0 ) ≡ T dS +
[Eδ(D − E0 )+
4π
4π
∫
dV
(D − E0 − D)δE0 ] = T dS +
(E − D)δE0 = T dS +
4π
∫
dV P δE0 ,
(1.19)
ãäå
1
(D − E)
4π
åñòü ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà äèýëåêòðèêà.
Ó÷òåíî, ÷òî â îòñóòñòâèå ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ íà äèýëåêòðèêå èñòî÷íèêîì ïîëåé E0 è D ÿâëÿþòñÿ çàðÿäû íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà. Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî Ediel ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ýíòðîïèè è âíåøíåãî ïîëÿ E0 , íå
èñêàæåííîãî íàâåäåííîé ïîëÿðèçàöèåé.
P =
14
1.5 Òåðìîäèíàìèêà ìàãíåòèêîâ
Ïðè ïîëó÷åíèè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ìàãíåòèêîâ íóæíî íàéòè èçìåíåíèå ýíåðãèè âñëåäñòâèå íàìàãíè÷åíèÿ. Ïîñêîëüêó ñèëà
Ëîðåíöà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïåðåìåùåíèþ, ñàìî ìàãíèòíîå ïîëå ðàáîòû íå
ñîâåðøàåò. Ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ âèõðåâûì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, êîòîðîå
âîçíèêàåò çà ñ÷åò ïåðåìåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðèðàùåíèå ðàáîòû
âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ èìååò âèä:
∫
δA = − jEdV δt.
(1.20)
Ïðèìåì âî âíèìàíèå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ïðèáëèæåíèè, êîãäà òîêîì
ñìåùåíèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü:
1 ∂B
,
c ∂t
4π
rotH =
j.
c
rotE = −
(1.21)
Âûðàæàÿ j èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (1.21) è ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî ErotH =
−∇[E × H] + HrotE , ïîëó÷èì èç (1.20):
∫
∫
1
c
[E × H]δtdΣ +
HδBdV.
δA =
4π
4π
Ïåðâûé èíòåãðàë ïî ïîâåðõíîñòè Σ îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ïîýòîìó äëÿ ïðèðàùåíèÿ ýíåðãèè E è ñâîáîäíîé ýíåðãèè F ïðè âêëþ÷åíèè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ â ïðèñóòñòâèè ìàãíåòèêà ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ
∫
1
δE = T dS +
HδBdV,
4π
∫
1
δF = −SdT +
HδBdV.
(1.22)
4π
Èç (1.22) âèäíî, ÷òî E, F åñòü ôóíêöèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè B , ò.å.
óñðåäíåííîãî èñòèííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ìàãíåòèêå. Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà
òåðìîäèíàìè÷åñêèì ïî∫ ìîæíî ïåðåéòè ê íîâûì
∫
1
1
e
e
òåíöèàëàì E = E− 4π dV HB è F = F − 4π dV HB , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
15
ôóíêöèÿìè íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ H . Äëÿ ïðèðàùåíèÿ ýòèõ
òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ ïîëó÷àåì:
∫
1
e
δ E = T dS −
δHBdV,
4π
∫
1
e
δ F = −SdT −
(1.23)
δHBdV.
4π
Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê áûëî â ñëó÷àå äèýëåêòðèêîâ, íàéäåì èñòèííóþ
e èëè Fe ýíåðãèþ
ýíåðãèÿ ìàãíåòèêà Emagnetic èëè Fmagnetic , âû÷èòàÿ èç E
âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B0 , êîòîðîå åñòü è â îòñóòñòâèå ìàãíåòèêà.
Ïîñêîëüêó â ïóñòîì ïðîñòðàíñòâå H = B = B0 , òî
∫
1
e
Efield = −
dV B02 ,
8π
àíàëîãè÷íî äëÿ Fefield . Ýòî âûðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì (1.23)
ïî B0 . Â ðåçóëüòàòå äëÿ δEmagnetic íàõîäèì:
∫
1
dV [BδH − B0 δB0 ] = T dS −
δEmagnetic = T dS −
4π
∫
1
dV [Bδ(H − B0 + B0 ) + (H − B0 + H)δB0 ] =
4π
∫
1
T dS −
dV (B − H)δB0 = T dS −
4π
∫
− dV M δB0 .
(1.24)
Ïðè âûâîäå áûëî ó÷òåíî, ÷òî ïîëÿ B0 è H óäîâëåòâîðÿþò îäèíàêîâûì
óðàâíåíèÿì, B = H + 4πM
∫ à M åñòü ìàãíèòíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà. Çàìåòèì, ÷òî Mtot = M dV − ïîëíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò îáðàçöà,
ïîýòîìó â ñëó÷àå îäíîðîäíîãî âíåøíåãî ïîëÿ âûðàæåíèå (1.24) ïðèíèìàåò âèä:
dEmagnetic = T dS − Mtot dB0 .
(1.25)
Îòñþäà íàõîäèì ïîëåçíûå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ â äàëüíåéøåì:
)
(
)
(
∂Fmagnetic
∂Emagnetic
=−
.
(1.26)
Mtot = −
∂B0
∂B0
S
T
 ðåæèìå ñëàáûõ ïîëåé çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ìîìåíòà åäèíèöû îáúåìà îò íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ëèíåéíà:M = χB0 ,à êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè χ íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèèì÷èâîñòüþ.
16
1.6 Êîå-÷òî î òåðìîäèíàìèêå ÷åðíûõ äûð
Íåìíîãî îòñòóïèì îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è çàìåòèì, ÷òî òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ñîâñåì â äðóãîì
êîíòåêñòå. Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ ãðàâèòàöèè − îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ) ïðåäñêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå ÷åðíûõ äûð (÷.ä.), ò.å.
àñòðîôèçè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ñæàòûõ äî ðàäèóñà ìåíüøåãî, ÷åì ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ
2GM
rg =
.
c2
Èõ ïîëå òÿãîòåíèÿ íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî ñâåò, èñïóùåííûé ñ ðàäèóñà
r = rg , íå ìîæåò óéòè íà áåñêîíå÷íîñòü. Ñôåðè÷åñêàÿ (ïðè îòñóòñòâèè
âðàùåíèÿ) ïîâåðõíîñòü ñ òàêèì ðàäèóñîì íàçûâàåòñÿ ãîðèçîíòîì ñîáûòèé.
Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ îáúåêòîâ íàõîäèòñÿ â êàæóùåìñÿ ïðîòèâîðå÷èè ñî âòîðûì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè. Äåéñòâèòåëüíî, òåëî ñ êîíå÷íîé ýíòðîïèåé, ñáðîøåííîå â ÷åðíóþ äûðó, ñ òî÷êè çðåíèÿ óäàëåííîãî
íàáëþäàòåëÿ óíåñåò ýíòðîïèþ èç íàáëþäàåìîé âñåëåííîé. Îäíàêî îêàçàëîñü, ÷òî ïðîòèâîðå÷èÿ ìîæíî èçáåæàòü.  ðàìêàõ ÎÒÎ áûëî ñòðîãî
äîêàçàíî, ÷òî ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè
A = 4πrg2 =
16πG2 2
M ∝ M2
c4
ãîðèçîíòà ñîáûòèé íå óáûâàåò íè ïðè êàêèõ ïðåâðàùåíèÿõ ÷åðíûõ äûð.
Íàïðèìåð, ÷.ä. ìàññû M íå ìîæåò ðàçâàëèòüñÿ íà äâå ÷.ä. ñ ìàññàìè M1
è M2 , ïîñêîëüêó M12 + M22 < M12 + M22 + 2M1 M2 = (M1 + M2 )2 , òîãäà
êàê ñëèÿíèå èõ âîçìîæíî.  ýòîì îòíîøåíèè ïëîùàäü ãîðèçîíòà ñîáûòèé î÷åíü íàïîìèíàåò îñíîâíîå ñâîéñòâî ýíòðîïèè, ïîýòîìó îòìå÷åííîå
óòâåðæäåíèå èíîãäà íàçûâàþò âòîðûì çàêîíîì äèíàìèêè ÷åðíûõ äûð.
 1972 ã. Ä. Áåêåíøòåéí ïðåäëîæèë îòîæäåñòâèòü ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè
ãîðèçîíòà ñîáûòèé ñ ýíòðîïèåé: S = γA. Îòìå÷åííûé ïàðàäîêñ ðàçðåøàëñÿ òåì, ÷òî óïàâøåå â ÷.ä. òåëî óâåëè÷èâàëî åå ìàññó è, ñëåäîâàòåëüíî, ýíòðîïèþ.
Íî òîãäà ñ íåîáõîäèìîñòüþ âîçíèêàåò âîïðîñ î ñìûñëå òåìïåðàòóðû
â âûðàæåíèè d(M c2 ) = TBH dS (BH îò àíãëèéñêîãî black hole− ÷åðíàÿ
17
äûðà). Ñ ïîìîùüþ ïðèâåäâåííûõ âûðàæåíèé ìîæíî âû÷èñëèòü, ÷òî
k0 TBH =
c6
,
32πM G2 γ
ãäå k0 − ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà. Îêàçàëîñü, ÷òî â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé
ôèçèêè íåâîçìîæíî äàòü èíòåðïðåòàöèþ òåìïåðàòóðû ÷åðíîé äûðû è
âû÷èñëèòü íåèçâåñòíóþ ïîñòîÿííóþ γ . Ðåøåíèå áûëî íàéäåíî â 1974 àíãëèéñêèì ôèçèêîì Ñ. Õîêèíãîì, êîòîðûé òåîðåòè÷åñêè îòêðûë ïðîöåññ
êâàíòîâîãî ðîæäåíèÿ ÷àñòèö ÷åðíîé äûðîé. Ðàñïðåäåëåíèå ïî ýíåðãèÿì
èñïóùåííûõ ÷àñòèö îêàçàëîñü òàêèì æå, êàê äëÿ èçëó÷åíèÿ àáñîëþòíî
÷åðíîãî òåëà ñ òåìïåðàòóðîé
TBH =
Òåì ñàìûì áûëî íàéäåíî, ÷òî γ =
SBH =
~c3
.
8πk0 GM
c3
,
4G~
à ýíòðîïèÿ ÷åðíîé äûðû ðàâíà
4πGM 2
.
~c
(1.27)
Äëÿ ÷.ä. ñ ìàññîé ïîðÿäêà ñîëíå÷íîé îöåíêà äàåò SBH ∼ 1077 . Äëÿ ÷.ä. ñ
ìàññîé ïîðÿäêà 109 , êîòîðûå, ïî-âèäèìîìó, îòâå÷àþò çà îãðîìíîå ýíåðãîâûäåëåíèå â öåíòðàëüíûõ îáëàñòÿõ ãàëàêòèê, SBH ∼ 1095 .
1.7 Çàäà÷è
1. Íàéòè âíóòðåííþþ ýíåðãèþ, ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ, ïîòåíöèàë Ãèááñà
è ýíòðîïèþ äëÿ íåèäåàëüíîãî ãàçà ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ Âàí-äåðÂààëüñà (P + aN 2 /V 2 )(V − bN ) = N T . Çàâèñèìîñòü òåïëîåìêîñòè
îò òåìïåðàòóðû CV (T ) ñ÷èòàòü èçâåñòíîé ôóíêöèåé.
2. Íàéòè ïîêàçàòåëü àäèàáàòû íà V T − è P V −ïëîñêîñòè äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ P V = wE . Ïðèìå÷àíèå. Äëÿ íåðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö w = 2/3; äëÿ áåçìàññîâûõ
÷àñòèö w = 1/3; äëÿ òåìíîé ýíåðãèè, âûçûâàþùåé óñêîðåííîå ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé,−1 < w < −1/3.
18
3. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü äèýëåêòðèêà χE îïðåäåëÿåòñÿ
ñîãëàñíî âûðàæåíèþ P = χE . Ñ÷èòàÿ, ÷òî çàâèñèìîñòü ýòîé âåëè÷èíû îò òåìïåðàòóðû èçâåñòíà, χE ≡ χE (T ), ïîëó÷èòü âûðàæåíèå
äëÿ ðàçíîñòè òåïëîåìêîñòåé CE − CP .
4. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû äèýëåêòðèêà ïðè
àäèàáàòè÷åñêîì âêëþ÷åíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
5. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò Äæîóëÿ − Òîìïñîíà
)
(
∂T
= [T (∂V /∂T )P − V ] /CP ,
∂P H
êîòîðûé äàåò èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà ïðè ïîñòîÿííîé ýíòàëüïèè â ïðîöåññå ïðîòàëêèâàíèÿ ïîðøíåì ÷åðåç ïîðèñòóþ ïåðåãîðîäêó äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà è äëÿ ãàçà ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ Âàí-äåðÂààëüñà.
19
Ãëàâà 2
Ñòàòèñòè÷åñêîå îïèñàíèå
ìàêðîñèñòåì
2.1 Ìèêðî- è ìàêðî-ñîñòîÿíèÿ
Áóäåì íàçûâàòü ìàêðîñêîïè÷åñêèìè ñèñòåìàìè ñèñòåìû, ñîñòàâëåííûå èç ìàêðîñêîïè÷åñêè áîëüøîãî, N ≫ 1 ÷èñëà ÷àñòèö. Òèïè÷íûå
çíà÷åíèÿ: N = (1 − 10) × 1023 . Î÷åâèäíî, ÷òî äåòàëüíîå îïèñàíèå òàêèõ ñèñòåì íà îñíîâå çàäàíèÿ ñîñòîÿíèÿ êàæäîé èç âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö è ðàññìîòðåíèå èõ ýâîëþöèè íåâîçìîæíî. Íå õâàòèò íèêàêèõ, äàæå ñàìûõ ìîùíûõ, âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ. Âìåñòî ýòîãî
îãðàíè÷èâàþòñÿ òåì, ÷òî ââîäÿò íåáîëüøîå ÷èñëî ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, òàêèõ, êàê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, äàâëåíèå, òåìïåðàòóðà è ò.ä. Åñëè
çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ çàäàíû, òî çàäàíî ìàêðîñêîïè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (äëÿ êðàòêîñòè, ìàêðîñîñòîÿíèå). Äàííîìó ìàêðîñêîïè÷åñêîìó ñîñòîÿíèþ îòâå÷àåò îãðîìíîå ÷èñëî ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé
(äëÿ êðàòêîñòè, ìèêðîñîñòîÿíèé). Â ýòîì ìåñòå óæå íåîáõîäèìî óêàçàòü,
êëàññè÷åñêàÿ èëè êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè ìàêðîñèñòåì. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ââåäåíèÿ îñíîâíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ
ïîíÿòèé èäåéíî áîëåå ïðîñòûì ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâûé ïîäõîä, â êîòîðîì
äëÿ ïðîñòðàíñòâåííî-îãðàíè÷åííîé ñèñòåìû âîçìîæíû ëèøü äèñêðåòíûå óðîâíè ýíåðãèè, à ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì. Âìåñòå ñ òåì â ðÿäå ñèòóàöèé, íàïðèìåð, ïðè ó÷åòå ïîñòóïàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ â ìàêðîñêîïè÷åñêîì îáúåìå ìîæíî ðàáîòàòü è â ðàìêàõ êëàñ20
ñè÷åñêîé ôèçèêè. Ïîýòîìó íèæå áóäóò ïðèâåäåíû òàêæå è êëàññè÷åñêèå
âûðàæåíèÿ äëÿ îñíîâíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ âåëè÷èí.
Ïðèìåð: ðàññìîòðèì N íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö â ÿùèêå ñ íåïðîíèöàåìûìè ñòåíêàìè 0 ≤ x ≤ Lx , 0 ≤ y ≤ Ly , 0 ≤ z ≤ Lz . Óðîâíè ýíåðãèè
òàêîé ñèñòåìû äàþòñÿ âûðàæåíèåì
[
π 2 ~2 1 2
(nx1 + n2x2 + · · · )+
Enx1 ,ny1 ,nz1 ;nx2 ,ny2 ,nz2 ··· =
2
2m Lx
1
+ 2 (n2y1 + n2y2 + · · · )+
Ly
]
1 2
2
(n + nz2 + · · · ) ,
(2.1)
L2z z1
ãäå 1 ≤ nia < ∞, (i = x, y, z , a = 1 · · · N ) íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ìèêðîñêîïè÷åñêîå ñîñòîÿíèå â ýòîì ïðèìåðå çàäàíî íàáîðîì 3N êâàíòîâûõ ÷èñåë.
Äàëåå äëÿ êðàòêîñòè íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë, õàðàêòåðèçóþùèõ ñèñòåìó, áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì n. Êâàíò ýíåðãèè çäåñü çàäàí ÷èñëîì
ϵ0 ∼ ~2 /mL2 . Äëÿ àòîìà âîäîðîäà â ÿùèêå ñ ëèíåéíûì ðàçìåðîì L ∼1
ñì ïîëó÷àåì ϵ0 ∼ 10−30 ýðã. Ìàêðîñîñòîÿíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîëíîé
ýíåðãèåé E . Åñëè E ∼ 1 ýðã, òî E/ϵ0 ∼ 1030 . Èç (2.1) âèäíî, ÷òî èìååòñÿ îãðîìíîå ÷èñëî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, õàðàêòåðèçóåìûõ íàáîðîì
êâàíòîâûõ ÷èñåë n, èìåþùèõ îäèíàêîâóþ ýíåðãèþ E . Òàêàÿ ñèòóàöèÿ
íàçûâàåòñÿ âûðîæäåíèåì. Êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ óðîâíåé ýíåðãèè ìàêðîñèñòåìû ÷ðåçâû÷àéíî âåëèêà.  ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå îíà ðàâíà
êóáó ÷èñëà ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ÷èñëî ∼ 1030 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â
âèäå ñóììû êâàäðàòîâ ïðèìåðíî 1023 öåëûõ ÷èñåë. Ââåäåì âàæíåéøóþ
âåëè÷èíó Ω0 (E), íàçûâàåìóþ ÷èñëîì ñîñòîÿíèé ñ äàííîé ýíåðãèåé E . Â
êâàíòîâîì ñëó÷àå îíà ñîâïàäàåò ñ êðàòíîñòüþ âûðîæäåíèÿ. Îãðàíè÷èìñÿ äëÿ ïðîñòîòû ñëó÷àåì îäíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî èçìåðåíèÿ. Òîãäà
äëÿ êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ ìîæíî íàïèñàòü âûðàæåíèå
Ω0 (E) =
∞
∑
δ[E/ϵ0 ],∑Na=1 n2a ,
n1 ,n2 ,···nN =1
ãäå ϵ0 = π 2 ~2 /(2mL2x ),
{
δn,m =
1, n = m
0, n ̸= m,
21
(2.2)
[x] îáîçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà x. Äëÿ äðóãèõ ñèñòåì Ω0 (E) âû÷èñëÿåòñÿ ïî-äðóãîìó.  ïðèíöèïå, äëÿ ñóììû (2.2) ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå, ñïðàâåäëèâîå ïðè N ≫ 1.
Îäíàêî åñòü è áîëåå ïðîñòîé ïóòü. Ðåàëüíî òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ýíåðãèè δE êîíå÷íà, à êâàíò ýíåðãèè ϵ0 íè÷òîæíî ìàë. Ïîýòîìó äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû â èíòåðâàëå δE èìååòñÿ î÷åíü áîëüøîå ÷èñëî
óðîâíåé. Òîãäà âìåñòî êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ áîëåå óäîáíî âû÷èñëèòü
âåëè÷èíó Γ0 (E), ðàâíóþ ÷èñëó ñîñòîÿíèé ñ ýíåðãèåé, ìåíüøåé ÷åì E :
∑
Γ0 (E) =
θ(E − En ),
(2.3)
n
ãäå θ îáîçíà÷àåò ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ Õýâèñàéäà:
{
1, x > 0,
θ(x) =
0, x ≤ 0.
(2.4)
Γ0 (E) ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê èíòåãðàë
ïî ýíåðãèè îò ïëîòíîñòè ýíåðãå∫
òè÷åñêèõ óðîâíåé Γ(E): Γ0 (E) = Γ(E)dE , ãäå
Γ(E) =
dΓ0 (E) ∑
δ(E − En ).
=
dE
n
(2.5)
Òîãäà ÷èñëî ñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå δE çàïèøåòñÿ êàê
δΓ0 (E) = Γ(E)δE.
(2.6)
Óäîáñòâî ââåäåííûõ âåëè÷èí ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêè
áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö N ≫ 1 ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòè÷åñêàÿ îöåíêà
Γ0 (E) ∼ δΓ0 (E), ò.å. ÷èñëî ñîñòîÿíèé â ñëîå ïðîèçâîëüíîé øèðèíû δE ≤
E îêîëî ýíåðãèè E ïðèáëèæåííî ðàâíî ÷èñëó ñîñòîÿíèé ñ ýíåðãèåé ìåíüøåé ÷åì E . Çíàÿ âûðàæåíèå äëÿ Γ(E) ìîæíî ñâåñòè ìíîãîêðàòíîå ñóììèðîâàíèå ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ïîëíîé ýíåðãèè ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ
∫
∑
Y (En ) = dEΓ(E)Y (E),
(2.7)
n
â êîòîðîì Y åñòü ïðîèçâîëüíàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ ýíåðãèè.
22
Âû÷èñëèì Γ0 (E) äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà â ÿùèêå ñ íåïðîíèöàåìûìè
ñòåíêàìè. Óðîâíè ýíåðãèè ýòîé ñèñòåìû äàþòñÿ âûðàæåíèåì (2.1). Ïîñêîëüêó óðîâíè ðàñïîëîæåíû ãóñòî, ñóììèðîâàíèå â (2.3) ìîæíî çàìåíèòü èíòåãðèðîâàíèåì:
[
)]
∫ ∞∏
N (
N
π 2 ~2 ∑ n2xa n2ya n2za
3
+ 2 + 2
Γ0 (E) ≈
d na θ E −
2m a=1 L2x
Ly
Lz
0
a=1
[
(
)N ∫ ∞ ∏
N
π 2 ~2
Lx Ly Lz
3
dn
ea θ E −
=
×
8
2m
−∞ a=1
]
N
∑
( 2
)
×
n
exa + n
e2ya + n
e2za ,
(2.8)
a=1
d3 na = dnxa dnya dnza . Ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ (Lx Ly Lz /8)N = (V /8)N
çàïèñàííûé èíòåãðàë åñòü îáúåì 3N -ìåðíîãî øàðà ðàäèóñà 2mE
. Ôîðìóπ 2 ~2
ëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà n-ìåðíîãî øàðà ðàäèóñà R èìååò âèä:
Vn (R) =
π n/2
(n
) Rn
Γ 2 +1
(2.9)
[íå ïóòàòü çäåñü Γ-ôóíêöèþ ñ ïëîòíîñòüþ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé Γ(E)!].
Äåéñòâèòåëüíî, ïî ðàçìåðíîñòè ìîæíî ñðàçó íàïèñàòü Vn (R) = Cn Rn .
Òîãäà
∫ ∞
∫ ∞∏
n
n
∑
−r2
e dVn (r) =
dxa exp(−
x2a ) = π n/2 .
−∞ a=1
0
Ïîñêîëüêó dVn = Cn r
a=1
dr, ëåâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ðàâíà
(n
)
n (n)
Cn Γ
= Cn Γ
+1 ,
2
2
2
n−1
îòêóäà íàõîäèì
Cn =
π n/2
.
Γ(n/2 + 1)
 ðåçóëüòàòå ÷èñëî ñîñòîÿíèé ñ ýíåðãèåé ìåíüøåå ÷åì E äëÿ èäåàëüíîãî
ãàçà â ÿùèêå ñ íåïðîíèöàåìûìè ñòåíêàìè ðàâíî
[
]N
3
(2mE) 2 V
π 3N/2
)
(2.10)
Γ0 (E) ≈ ( 3N
.
(2π~)3
Γ 2 +1
23
Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, ðàññìàòðèâàåìûõ â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ÷èñëàìè ïîðÿäêà åäèíèöû ïî ñðàâíåíèþ ñ N ∼ 1023 . Êàê âèäíî
èç (2.6) è (2.10), ÷èñëî ñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå δE îêîëî ýíåðãèè E ýêñïîíåíöèàëüíî âåëèêî ïî ÷èñëó ÷àñòèö N . Âûðàæåíèÿ (2.3) èëè (2.6) èíîãäà
íàçûâàþò ñòàòèñòè÷åñêèì âåñîì (êðàòêî, ñòàòâåñîì) ñèñòåìû.
Íåâîçìîæíîñòü äåòàëüíîãî ìèêðîñêîïè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ìàêðîñèñòåì
îçíà÷àåò, ÷òî òðåáóåòñÿ âåðîÿòíîñòíûé ïîäõîä. Äëÿ ýòîãî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîãî àíñàìáëÿ. Ïîä íèì ïîíèìàåòñÿ î÷åíü áîëüøîå
÷èñëî N0 ≫ 1 êîïèé òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, íàõîäÿùèõñÿ â îäèíàêîâûõ âíåøíèõ óñëîâèÿõ. Âåðîÿòíîñòü wn ðåàëèçàöèè äàííîãî êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ n îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ÷èñëà êîïèé Nn , â êîòîðûõ
ñèñòåìà çàíèìàåò ýòî ñîñòîÿíèå, ê ïîëíîìó ÷èñëó êîïèé N0 â àíñàìáëå:
wn =
Nn
.
N0
(2.11)
ßâíîå âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû A, ïðåäñòàâëåííîé êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèì îïåðàòîðîì Â, ñíà÷àëà âû÷èñëÿåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå ⟨n|A|n⟩ â ñîñòîÿíèè n, à çàòåì ïðîâîäèòñÿ óñðåäíåíèå ïî
ñòàòèñòè÷åñêîìó àíñàìáëþ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (2.11):
∑
⟨n|A|n⟩wn .
(2.12)
⟨A⟩ensemble =
n
Îñíîâíàÿ çàäà÷à ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äàòü ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè ðåàëèçàöèè êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ wn â
ñëó÷àå ðàçëè÷íûõ àíñàìáëåé.
2.2 Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ
Èñòîðè÷åñêè îñíîâíûå ïðèíöèïû ñòàòèñòè÷åñêîãî ïîäõîäà ê èññëåäîâàíèþ ìàêðîñèñòåì âîçíèêëè â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, â êîòîðîé ñêîëü óãîäíî òî÷íî çàäàíû îäíîâðåìåííî êîîðäèíàòà è èìïóëüñ
÷àñòèöû.Îñíîâîé ââåäåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïîíÿòèé â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî. Îíî âîçíèêàåò â ãàìèëüòîíîâîì ïîäõîäå ê
ìåõàíèêå. Ñèñòåìà èç N âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö â ýòîì ïîäõîäå õàðàêòåðèçóåòñÿ çàäàíèåì 6N ïåðåìåííûõ (p, q), íàçûâàåìûõ îáîùåííûìè
24
êîîðäèíàòàìè è èìïóëüñàìè.  êà÷åñòâå òàêèõ ïåðåìåííûõ ìîæíî âçÿòü
äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ri è èìïóëüñû pi :
(p, q) = (r1 , r2 , · · · rN ; p1 , p2 , · · · pN ).
Ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì òîãäà íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûé íàáîð ïàð (ri ,
pi ), i = 1, 2, · · · N . Äèíàìèêà ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà:
dri
∂H
=
,
dt
∂pi
dpi
∂H
= −
,
(2.13)
dt
∂ri
ãäå H ≡ H(r1 , r2 , · · · rN ; p1 , p2 , · · · pN ) îáîçíà÷àåò ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà
(ãàìèëüòîíèàí) ñèñòåìû. Ãàìèëüòîíèàí åñòü ýíåðãèÿ ñèñòåìû, âûðàæåííàÿ ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû
Ýëåìåíò îáúåìà
∏N ÷àñòèö.
3
3
ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà çàïèñûâàåòñÿ êàê i=1 d ri d pi .
Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû èç N ÷àñòèö èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ýâîëþöèÿ ñèñòåìû âî âðåìåíè äàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé
Ãàìèëüòîíà è ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü äîâîëüíî ñëîæíóþ òðàåêòîðèþ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Åñëè âçÿòü äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè t1 , t2 , · · · ,
ñîâîêóïíîñòü ñîñòîÿíèé ñèñòåìû â ýòè ìîìåíòû áóäåò ïðåäñòàâëåíà íàáîðîì òî÷åê ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà A1 , A2 , · · · . Ïîëüçóÿñü ââåäåííûì
âûøå ïîíÿòèåì àíñàìáëÿ ìîæíî íå ñëåäèòü çà ýâîëþöèåé ñèñòåìû âî
âðåìåíè. Äëÿ ýòîãî áåðåì ìãíîâåííûå ñíèìêè ñèñòåìû â óêàçàííûå ìîìåíòû âðåìåíè. Èçìåðèâ êîîðäèíàòû è èìïóëüñû äëÿ êàæäîãî èç ñíèìêîâ, ñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùóþ òî÷êó â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ýòî è áóäåò êàêàÿ-òî òî÷êà èç óêàçàííîãî íàáîðà. Íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè t = 0 ñîâîêóïíîñòü èçîáðàæàþùèõ òî÷åê
A1 , A2 , · · · äâèæåòñÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèÿìè (2.13). ∏
Âåðîÿòíîñòü ∆w òîãî, ÷òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îêðåñòíîñòè ∆p∆q = N
i=1 ∆pxi ∆pyi ∆pzi ∆xi ∆yi ∆zi òî÷êè (p, q) ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïî îïðåäåëåíèþ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
wN (p, q) êàê ∆w = wN (p, q)∆p∆q . Ôóíêöèÿ wN (p, q) ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì àíàëîãîì ââåäåííîé âûøó ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî êâàíòîâûì
ñîñòîÿíèÿì wn . (Èíäåêñ N ó w óêàçûâàåò ÿâíî íà òî, ÷òî ýòî ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ N ÷àñòèö).
 êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ñóììèðîâàíèå ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì çàìåíÿåòñÿ íà èíòåãðèðîâàíèå ïî ôàçîâîìó îáúåìó, ïîýòîìó ñðåäíåå ïî àí25
ñàìáëþ çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû A(p, q) âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå
∫
⟨A⟩ensemble = wN (p, q)A(p, q)dΓ.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñðåäíåå çíà÷åíèå A(p, q) ìîæíî âû÷èñëÿòü, â ïðèíöèïå, êàê ñðåäíåå ïî âðåìåíè ïî ôîðìóëå
∫
1 T
dtA[p(t), q(t)].
⟨A⟩time =
T 0
Âñå åùå íå äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî îáà ìåòîäà äàþò îäèíàêîâûé îòâåò íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé ãèïîòåçîé.
Ôóíêöèþ wN (p, q) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïëîòíîñòü òî÷åê, èçîáðàæàþùèõ ñîñòîÿíèå ñèñòåì àíñàìáëÿ. Ïîñêîëüêó èñõîäíàÿ ñèñòåìà ñ÷èòàåòñÿ çàìêíóòîé, ÷èñëî ïðåäñòàâëÿþùèõ åå òî÷åê ëîêàëüíî ñîõðàíÿåòñÿ. Èçìåíåíèå ÷èñëà òî÷åê âíóòðè ýëåìåíòà îáúåìà ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíî èõ ïîòîêó ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷èâàþùóþ ýòîò îáúåì.
Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî âûðàæàåòñÿ â âèäå óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè
∂ρ
+ ∇(ρv) = 0.
∂t
Àíàëîã ýòîãî óðàâíåíèÿ äëÿ 6N -ìåðíîãî ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ÿâíî âûäåëèòü êîîðäèíàòû è èìïóëüñû â óðàâíåíèè íåïðåðûâíîñòè:
(
)
(
)]
N [
∂
∂wN ∑ ∂
dpi
dri
+
wN
+
wN
= 0.
(2.14)
∂t
∂pi
dt
∂ri
dt
i=1
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà (2.13), âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â (2.14) ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê
(
)
(
)
∂
∂H
∂
∂H
∂wN ∂H ∂wN ∂H
−wN
+
wN
=
−
=
∂pi
∂ri
∂ri
∂pi
∂ri ∂pi
∂pi ∂ri
∂wN dri ∂wN dpi
=
+
.
∂ri dt
∂pi dt
Òîãäà (2.14) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:
)
N (
dwN
∂wN ∑ ∂wN dri ∂wN dpi
=
+
+
= 0.
dt
∂t
∂r
dt
∂p
dt
i
i
i=1
26
(2.15)
Âèäèì, ÷òî N -÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííà âäîëü ôàçîâîé òðàåêòîðèè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî wN äîëæíà âûðàæàòüñÿ ÷åðåç ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû, òàêèå êàê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, ìîìåíò èìïóëüñà è ò.ä.
Åñëè ñèñòåìà êàê öåëîå íå äâèæåòñÿ è íå âðàùàåòñÿ, òî wN áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò ýíåðãèè. Ýòèì îáóñëîâëåí âûäåëåííûé õàðàêòåð ýíåðãèè
â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå.
∏
3
3
Ýëåìåíò îáúåìà ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà N
a=1 d pa d ra ÿâëÿåòñÿ ðàçìåðíîé âåëè÷èíîé.  êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî äëÿ îäíîé ñòåïåíè ñâîáîäû êâàíòóåòñÿ, è
êâàíò ýòîò ðàâåí 2π~. Ôàçîâûé îáúåì ìîæíî ñäåëàòü áåçðàçìåðíûì, äåëÿ åãî íà ýòîò êâàíò. Åñëè ó÷åñòü âîçìîæíîñòü òîãî, ÷òî N ÷àñòèö ìîãóò
áûòü ðàçáèòû íà ãðóïïû NA ÷àñòèö ñîðòà A è ñïèíà sA , NB ÷àñòèö ñîðòà
B ñî ñïèíîì sB è ò.ä., òî óòî÷íåííîå âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòà ôàçîâîãî
îáúåìà, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ íèæå, èìååò âèä:
(2sA + 1)NA (2sB + 1)NB · · · ∏ d3 ri d3 pi
.
dΓ =
3
NA !NB ! · · ·
(2π~)
i=1
N
(2.16)
Ôàêòîðèàëû â çíàìåíàòåëå ó÷èòûâàþò, ÷òî ïåðåñòàíîâêà èç NA è ò.ä.
òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö íå äàþò íîâîé êîíôèãóðàöèè. Ñïèíîâàÿ êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ (2sA + 1) âîçíèêàåò, åñëè ýíåðãèÿ ÷àñòèö íå çàâèñèò
îò ñïèíà. Ñ ïîìîùüþ (2.16) ìîæíî âûïèñàòü àíàëîã êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé (2.3) è (2.3) â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå, êîãäà ýíåðãèÿ
íåïðåðûâíà:
∫
Γ0 (E) =
dΓθ(H − E),
∫
dΓ0 (E)
= dΓδ(H − E).
Γ(E) =
dE
Çäåñü H îáîçíà÷àåò ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû.
(2.17)
(2.18)
2.3 Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
Ïóñòü ìàêðîñèñòåìà èçîëèðîâàíà, ò.å. åå ýíåðãèÿ è ÷èñëî ÷àñòèö ôèêñèðîâàíû. Ïî ïðîøåñòâèè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî âðåìåíè îíà äîñòèãíåò
27
ñîñòîÿíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ. Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîå ïðåäïîëîæåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè, íàçûâàåìîå ïðèíöèïîì ðàâíîé âåðîÿòíîñòè.  êâàíòîâîì ñëó÷àå îíî ãëàñèò, ÷òî â ñîñòîÿíèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ âñå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ â îêðåñòíîñòè ∆E ýíåðãèè E ðàâíîâåðîÿòíû.  êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ýòîò ïðèíöèï óòâåðæäàåò, ÷òî ðàâíîâåðîÿòíû
âñå ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèÿìè â ñëîå òîëùèíîé ∆E âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ýíåðãèè E â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ðàçîáðàííûé âûøå ïðèìåð
ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷èñëî òàêèõ ñîñòîÿíèé ýêñïîíåíöèàëüíî âåëèêî ïî ÷èñëó
÷àñòèö â ñèñòåìå. Ïîýòîìó áîëåå óäîáíî ðàáîòàòü ñ ëîãàðèôìîì ÷èñëà
ñîñòîÿíèé è îïðåäåëèòü ñòàòèñòè÷åñêóþ ýíòðîïèþ ñèñòåìû êàê
(2.19)
S = ln ∆Γ0 (E),
∆Γ0 (E) = Γ(E)∆E , ãäå âåëè÷èíà ∆E ïðàêòè÷åñêè ïðîèçâîëüíà. Äëÿ
ìàêðîñèñòåì ýòîò ïðîèçâîë íåñóùåñòâåí. Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå ÷àñòèö
â íåïðîíèöàåìîì ÿùèêå èç (2.10) ïîëó÷àåì:
ln ∆Γ0 (E) = ln Γ0 (E) + ln
3N ∆E
.
2E
Äàæå ïðè ∆E ∼ E îòíîøåíèå âòîðãî ÷ëåíà ê ïåðâîìó ïîðÿäêà ln N/N ∼
10−22 !
Ñòàòèñòè÷åñêèé àíñàìáëü, â êîòîðîì ôèêñèðîâàíû ýíåðãèÿ E , îáúåì V è ÷èñëî ÷àñòèö N , íàçûâàåòñÿ ìèêðîêàíîíè÷åñêèì àíñàìáëåì. Îí
îòâå÷àåò èçîëèðîâàííîé ñèñòåìå. Íà îñíîâå ïðèíöèïà ðàâíîé âåðîÿòíîñòè ââåäåì ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå çàäàåò âåðîÿòíîñòü ðåàëèçàöèè êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ n â òàêîì àíñàìáëå:
{
1/∆Γ0 (E), åñëè |En,N − E| ≤ ∆E
wn,N =
(2.20)
0, åñëè |En,N − E| > ∆E.
Çäåñü ÷åðåç En,N îáîçíà÷åíû óðîâíè ýíåðãèè ñèñòåìû èç N ÷àñòèö. Çàâèñèìîñòü îò îáúåìà íå âûïèñàíà ÿâíî, íî îíà ïîäðàçóìåâàåòñÿ. Èç (2.19) è
(2.20) ìîæíî âûðàçèòü ýíòðîïèþ ÷åðåç âåðîÿòíîñòü ðåàëèçàöèè äàííîãî
êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ: S ≈ − ln wn,N . Îäíàêî ýòî âûðàæåíèå íå ó÷èòûâàåò äðóãèõ óðîâíåé âíå èíòåðâàëà ∆E , ôèãóðèðóþùåãî â îïðåäåëåíèè
(2.20). Âêëàä ýòèõ óðîâíåé ñèëüíî ïîäàâëåí; ôàêòè÷åñêè, â (2.20) îí
îòáðîøåí. Äëÿ ó÷åòà îòáðîøåííûõ óðîâíåé óòî÷íèì îïðåäåëåíèå ýíòðîïèè, çàïèñàâ
∑
S = −⟨ln wn,N ⟩ ≡ −
wn,N ln wn,N .
(2.21)
n
28
 ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè àíàëîãîì (2.20) ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå
wN (p, q) = Aδ[H(p, q) − E].
(2.22)
Ñ ó÷åòîì (2.18) ïîñòîÿííàÿ íîðìèðîâêè A = 1/Γ(E) â ýòîì âûðàæåíèè
îïðåäåëåíà èç óñëîâèÿ
∫
dΓwN (p, q) = 1.
Ïîêàæåì, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ (2.19) èëè (2.21) ìîæåò áûòü
îòîæäåñòâëåíà ñ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ýíòðîïèåé, îïðåäåëÿåìîé íà îñíîâå
áàçîâîãî òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ (5.11):
(
)
1
∂S
β≡ =
.
(2.23)
T
∂E V,N
Ýíòðîïèÿ â ñîîòíîøåíèè (2.19) áåçðàçìåðíà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òåìïåðàòóðà èçìåðÿåòñÿ â åäèíèöàõ ýíåðãèè. Äàëåå âî âñåõ ñîîòíîøåíèÿõ ýòîò
âûáîð áóäåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ. Íî ïðè äîâåäåíèè ðàñ÷åòîâ äî ÷èñëà íóæíî ó÷èòûâàòü, ÷òî òåìïåðàòóðà â êåëüâèíàõ ïîëó÷àåòñÿ èç òåìïåðàòóðû
â ýðãàõ óìíîæåíèåì íà ïîñòîÿííóþ Áîëüöìàíà
k0 = 1.38 · 10−16 ýðã/êåëüâèí.
(2.24)
Ðàññìîòðèì äâå ñèñòåìû 1 è 2 ñ ýíåðãèÿìè E1 è E2 è ÷èñëîì ÷àñòèö
N1 ≫ 1 è N2 ≫ 1 è ïðèâåäåì èõ â òåïëîâîé êîíòàêò, ò.å. ðàçðåøèì èì îáìåíèâàòüñÿ ýíåðãèåé. Ñîñòàâíàÿ ñèñòåìà 1+2 ïðåäïîëàãàåòñÿ çàìêíóòîé,
ïîýòîìó E1 + E2 = E = const, N1 + N2 = N = const. Ñòàòèñòè÷åñêèé âåñ
(1+2)
(1)
(2)
ñîñòàâíîé ñèñòåìû ðàâåí Γ0
(E) ∼ Γ0 (E1 )Γ0 (E2 ), ãäå çíà÷îê ∼ óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî àñèìïòîòè÷åñêè ïðè N1,2 ≫ 1,
ïîñêîëüêó òîëüêî ïðè òàêîì ïðåäïîëîæåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ýíåðãèåé
âçàèìîäåéñòâèÿ ïîäñèñòåì 1 . Â ñèëó (2.19) ýíòðîïèÿ ñîñòàâíîé ñèñòåìû
ðàâíà ñóììå ýíòðîïèé åå ñîñòàâëÿþùèõ, ñëåäîâàòåëüíî, êàê è â òåðìîäèíàìèêå, àääèòèâíà.
Âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ïîäñèñòåì ïðîèñõîäèò â îñíîâíîì â ïîâåðõíîñòíîì ñëîå,
ðàçäåëÿþùèì èõ. Ïîýòîìó ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè, òîãäà êàê ýíåðãèÿ êàæäîé èç ñèñòåì ïðîïîðöèîíàëüíà îáúåìó. Îòíîøåíèå ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèè ê ïîëíîé îöåíèâàåòñÿ êàê N − ∼ 10−8 è ïîýòîìó âêëàäîì
ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
1
1
3
29
Ñèñòåìà, ïðåäîñòàâëåííàÿ ñàìîé ñåáå, ñòðåìèòñÿ ðàñïðåäåëèòü ýíåðãèþ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì ÷èñëîì ñïîñîáîâ. Ñîãëàñíî (2.19) ýòî îçíà÷àåò ðîñò ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè ïðè ïåðåõîäå ê ðàâíîâåñèþ.  ýòîì
ñîñòîèò ñòàòèñòè÷åñêèé ñìûñë âòîðîãî íà÷àëà òåðìîäèíàìèêè. Ïðè
ñòðåìëåíèè òåìïåðàòóðû ê íóëþ ñèñòåìà ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé (îñíîâíîå ñîñòîÿíèå). Îñíîâíîå ñîñòîÿíèå íå âûðîæäåíî. Òàê êàê åãî ñòàòâåñ ðàâåí åäèíèöå, ýíòðîïèÿ ðàâíà íóëþ. Ñîãëàñíî
(1.10) ê íóëþ ñòðåìèòñÿ è òåïëîåìêîñòü.  ýòîì ñîñòîèò ñòàòèñòè÷åñêèé
ñìûñë òðåòüåãî íà÷àëà òåðìîäèíàìèêè (èëè òåîðåìû Íåðíñòà).
Ïîñëå äîñòèæåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñòàòâåñ äîñòèãàåò ìàêñèìóìà. Èç óñëîâèÿ ìàêñèìóìà ïîëó÷àåì
]
d [ (1)
dS (1)
dS (2)
(2)
S0 (E1 ) + S0 (E − E1 ) = 0 ⇒
=
.
dE1
dE1
dE2
Èç îïûòà èçâåñòíî, ÷òî â óñëîâèÿõ òåïëîâîãî êîíòàêòà ðàâíîâåñèå äîñòèãàåòñÿ ïðè ðàâåíñòâå òåìïåðàòóð T1 = T2 , ïîýòîìó dS/dE ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ îáðàòíîé òåìïåðàòóðîé β (2.23). Èòàê, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ
(2.19) óäîâëåòâîðÿåò âñåì ñâîéñòâàì òåðìîäèíàìè÷åñêîé ýíòðîïèè è ìîæåò áûòü ñ íåþ îòîæäåñòâëåíà.
2.4 Ìåòîä íàèáîëåå âåðîÿòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Òðåáîâàíèå, ÷òîáû â ñîñòîÿíèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ ýíòðîïèÿ áûëà ìàêñèìàëüíà ÿâëÿåòñÿ ñîäåðæàòåëüíûì óòâåðæäåíèåì, èç êîòîðîãî ìîæíî ïîëó÷àòü ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýíòðîïèÿ ñèñòåìû
ôóíêöèîíàëüíî çàâèñèò îò âèäà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: S ≡ S[wn ].
Ïðîâåäåì
âàðèàöèþ (2.21) ïî wn ïðè äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ
∑
∑ óñëîâèÿõ
w
=
1
(íîðìèðîâêà
ïîëíîé
âåðîÿòíîñòè
íà
åäèíèöó)
è
n n
n wn En = E
(çàäàíèå ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû). Äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ ó÷èòûâàþò
ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà λ1,2 â âûðàæåíèå äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ýíòðîïèè
∑
∑
∑
Se = −
wn ln wn + λ1 (
wn − 1) + λ2 (
En wn − E).
n
n
n
30
e n + δwn ] −
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âàðèàöèè ñëåäóåò âçÿòü ðàçíîñòü δ Se ≡ S[w
e n ] è ðàçëîæèòü åå â ðÿä ïî ìàëîé ôóíêöèè δwn . Ïðîâåäÿ ýòî ðàçëîS[w
æåíèå è ïðèðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò íóëþ íàõîäèì
wn = eλ2 En +λ1 −1 .
∑
Âòîðàÿ âàðèàöèÿ δ 2 Se = − n w1n (δwn )2 < 0, ò.å. íàéäåííûé ýêñòðåìóì
ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìóìîì. Ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà íàõîäÿòñÿ èç äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé. Èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ïîëó÷àåì
1
.
λ2 En
ne
eλ1 −1 = ∑
Ìíîæèòåëü λ2 ìîæíî íàéòè, åñëè âû÷èñëèòü ýíòðîïèþ â òî÷êå ìàêñèìóìà: Smax = −λ2 E − (λ1 − 1). Èç îñíîâíîãî òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àåì
(
)
∂Smax
1
=
= −λ2 .
T
∂E λ1 ,λ2
Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå ìíîæèòåëè â âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå:
e−En /T
wn =
.
Z
(2.25)
Çäåñü Z ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ïîëíîé âåðîÿòíîñòè íà åäèíèöó:
∑
Z=
e−En /T .
(2.26)
n
Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììîé è èãðàåò îïðåäåëÿþùóþ ðîëü â àïïàðàòå ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè. Ðàññìîòðåííûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì íàèáîëåå âåðîÿòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
2.5 Ñèñòåìà ÷àñòèö ñî ñïèíîì 1/2
 êà÷åñòâå ïðèìåðà èçëîæåííûõ âûøå îáùèõ ïîëîæåíèé ðàññìîòðèì
ñèñòåìó N òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ñî ñïèíîì 1/2. Äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàåì,
÷òî ÷àñòèöû íå èìåþò ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ è íå âçàèìîäåéñòâóþò.
31
Êàæäûé ñïèí èìååò äâà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèÿ, ðàçëè÷àþùèõñÿ çíà÷åíèåì ïðîåêöèè íà îñü z , sz = ±1/2. Ñèñòåìà èìååò 2N êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå äèðàêîâñêèõ êåò-îáîçíà÷åíèé.
Íàïðèìåð, | ↑↑↑↑ · · · ⟩ (âñå ñïèíû ââåðõ; îäíî ñîñòîÿíèå), | ↓↑↑↑ · · · ⟩
(îäèí ñïèí âíèç; N ñîñòîÿíèé) è ò.ä. Ìàêðîñîñòîÿíèå çàäàåòñÿ ïîëíûì
÷èñëîì ñïèíîâ N è, íàïðèìåð, ÷èñëîì ñïèíîâ N+ , íàïðàâëåííûõ ââåðõ.
×èñëî ñïèíîâ, íàïðàâëåííûõ âíèç, ðàâíî N− = N − N+ . Ââåäåì åùå
îäíó ìàêðîñêîïè÷åñêóþ ïåðåìåííóþ 2m = N+ − N− , íàçûâàåìóþ ñïèíîâûì èçáûòêîì. Îíà ïðîïîðöèîíàëüíà ñïèíîâîìó ìàãíèòíîìó ìàãíèòíîìó ìîìåíòó ñèñòåìû. ×èñëî ìèêðîñîñòîÿíèé, îòâå÷àþùèõ çàäàííûì
çíà÷åíèÿì ìàêðîïàðàìåòðîâ (N+ , N− ) èëè (N, m), ðàâíî ÷èñëó ñïîñîáîâ
âûáîðà N+ ñïèíîâ èç N :
Ω0 (N, m) =
N!
N!
) (N
).
= (N
N+ !N− !
+m ! 2 −m !
2
(2.27)
Ñèìâîëè÷åñêè, ïðèìåíèâ ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà, ìîæíî çàïèñàòü
|(↑ + ↓) ⟩ =
N
N
∑
N+ =0
N
CN + | ↑↑↑ · · · ↓↓↓ · · · ⟩,
| {z } | {z }
N+
N− =N −N+
N
ïîýòîìó áèíîìèíàëüíûé êîýôôèöèåíò CN + äàåò ÷èñëî ðàçëè÷íûõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ
| ↑↑↓↑↑↓↓↓↑↑↓↑ · · · ⟩,
â êîòîðûõ N+ ñïèíîâ íàïðàâëåíû ââåðõ. Ïîñêîëüêó ñìîòðÿùèå â îäíîì
íàïðàâëåíèè ñïèíû íåðàçëè÷èìû, ïåðåñòàíîâêà èõ äðóã ñ äðóãîì íå äàåò
íîâîãî ñîñòîÿíèÿ. Òàê êàê N, m ≫ 1, òî, íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìåñòà, áóäåì
ïðèìåíÿòü ôîðìóëó Ñòèðëèíãà
n! ≈ exp(n ln n − n).
(2.28)
Ïîëåçíî íàïîìíèòü äâà åå âûâîäà. Îñíîâíîé âêëàä â ôîðìóëó Ñòèðëèíãà
ìîæíî áûñòðî ïîëó÷èòü, åñëè çàìåòèòü, ÷òî n! = 1 · 2 · · · n < n · n · · · n =
nn , çàìåíèòü ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íà ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî è âçÿòü
îò íåãî íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì. Ïîïðàâêè ê îñíîâíîìó âêëàäó ìîæíî
ïîëó÷èòü ïóòåì ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ïåðåâàëà ê èíòåãðàëó
∫ ∞
∫ ∞
n −x
n! = Γ(n + 1) =
dxx e ≡
dxef (x) ,
0
0
32
ãäå f (x) = n ln x − x. Ðàçëîæåíèå ýòîé ôóíêöèè â ðÿä Òýéëîðà âáëèçè
òî÷êè ýêñòðåìóìà f ′ (x0 ) = xn0 − 1 = 0, x0 = n, èìååò âèä: f (x) ≈ n ln n −
1
n − 2n
(x − n)2 , îòêóäà
∫ ∞
∫ ∞
1
1 2
n ln n−n
− 2n
(x−n)2
n ln n−n
n! ≈ e
dxe
≈e
dye− 2n y =
−∞
√0
n ln n−n
2πn,
e
√
ln n! ≈ n ln n − n + ln 2πn.
Ïî îïðåäåëåíèþ, âåðîÿòíîñòü ðåàëèçàöèè êàêîé-ëèáî êîíôèãóðàöèè âî
ìíîãèõ èñïûòàíèÿõ ðàâíà îòíîøåíèþ ÷èñëà èñõîäîâ, â êîòîðûõ ýòà êîíôèãóðàöèÿ âûïàäàåò, ê ïîëíîìó ÷èñëó èñïûòàíèé. Îòñþäà âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî ñèñòåìà èç N ñïèíîâ èìååò ñïèíîâûé èçáûòîê m, ðàâíà
w(N, m) =
Ω0 (N, m)
N!
−N
(
)
(N
) ≈
=
2
N
2N
+
m
!
−
m
!
2
2
√
2
2
2m
≈
exp (−
),
πN
N
(2.29)
ãäå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè m ≪ N . Âèäíî, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ñïèíîâîãî èçáûòêà åñòü ⟨m⟩ = 0, à äèñïåðñèÿ
∫ ∞
2
2
2
∆m = ⟨m ⟩ − ⟨m⟩ =
dmm2 w(N, m) = N/4.
−∞
Îòíîñèòåëüíûé ðàçáðîñ âîêðóã ñðåäíåãî
√
√
δm ≡ ∆m2 /(m)max = 1/ N ≪ 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñïðåäåëåíèå (2.29) èìååò âèä î÷åíü îñòðîãî ïèêà.
Ïîêà ÷òî ñèñòåìà ñïèíîâ èìååò íóëåâóþ ýíåðãèþ. Ïîìåñòèì åå â ïîñòîÿííîå îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ B . Èç êâàíòîâîé
ìåõàíèêè èçâåñòíî, ÷òî ýíåðãèÿ ñïèíîâîé ñèñòåìû â ìàãíèòíîì ïîëå èìååò âèä E = −µB(N+ − N− ) = −2µBm, ãäå µ− åñòü ìàãíèòíûé ìîìåíò
÷àñòèöû. Ýòî çíà÷åíèå ýíåðãèè ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøèì (ïî N ) ÷èñëîì ñïîñîáîâ, Ω0 (N, m) (2.27). Ýíòðîïèÿ ñïèíîâîé
ñèñòåìû ðàâíà
(
) (
) (
) (
)
N
N
N
N
S = N ln N −
+ m ln
+m −
− m ln
−m ,
2
2
2
2
33
îòêóäà ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ
1
∂S
∂S/∂m
=
=
T
∂E
∂E/∂m
íàõîäèì
m=
N
µB
th
.
2
T
2.6 Ýíòðîïèÿ â èíôîðìàòèêå
Óæå äîâîëüíî äàâíî áûëî âûÿñíåíî, ÷òî ýíòðîïèÿ è èíôîðìàöèÿ òåñíî ñâÿçàíû. Äîïóñòèì, èìååòñÿ ñèñòåìà, êîòîðàÿ ìîæåò íàõîäèòüñÿ â Pi
ðàâíîâåðîÿòíûõ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèÿõ. Íàïðèìåð, äëÿ ìîíåòû Pi = 2,
äëÿ èãðàëüíîé êîñòè Pi = 6 è ò.ä. Ïîñëå ïðîâåäåíèÿ íåêîòîðîãî ýêñïåðèìåíòà íàä ñèñòåìîé ìû óçíàëè, ÷òî îíà ìîæåò íàõîäèòñÿ â Pf < Pi ñîñòîÿíèÿõ. Íàïðèìåð, ïîñëå áðîñàíèÿ ìîíåòû èëè èãðàëüíîé êîñòè Pf = 1.
Òîãäà óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî â ýêñïåðèìåíòå ïîëó÷åíî êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè
Pi
(2.30)
∆I = log2 .
Pf
Èñïîëüçîâàíèå ëîãàðèôìà ïî îñíîâàíèþ 2 âìåñòî e îòðàæàåò ïðåäïî÷òåíèÿ ñîîáùåñòâà èíôîðìàòèêîâ.
Îïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà èíôîðìàöèè îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ðàçëè÷àþùèõñÿ âåðîÿòíîñòåé. Ðàññìîòðèì ýòî îáîáùåíèå íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå. ïóñòü èìååòñÿ àëôàâèò èç M áóêâ, âêëþ÷àÿ ïðîáåë è çíàêè ïðåïèíàíèÿ. Âåðîÿòíîñòü âñòðåòèòü â òåêñòå êîíêðåòíóþ áóêâó îáîçíà÷èì
÷åðåç pi , i = 1, · · · M . ßñíî, ÷òî pi = Ni /N , ãäå Ni ðàâíî ÷èñëó áóêâ äàííîãî ñîðòà â äîñòàòî÷íî äëèííîì òåêñòå. Äàëåå, èìååòñÿ òåêñò äëèíû N .
×èñëî ðàçëè÷íûõ òåêñòîâ òàêîé äëèíû ðàâíî
N!
.
P = ∏M
i=1 Ni !
Òîãäà êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè, ñîäåðæàùååñÿ â îäíîì ñîîáùåíèè äëèíû
34
N , ðàâíî
M
∑
(Ni log2 Ni − Ni ) =
I = log2 P = N log2 N − N −
i=1
= −N
M
∑
pi log2 pi .
(2.31)
i=1
Ýòó ôîðìóëó ïîëó÷èë îäèí èç ñîçäàòåëåé
èíôîðìàöèè Ê. Øýí∑Mòåîðèè∑
íîí. Ïðè âûâîäå áûëî ó÷òåíî, ÷òî N = i=1 Ni è M
i=1 pi = 1. Ñðàâíåíèå
(2.31) ñ (2.21) ïîêàçûâàåò, ÷òî ýíòðîïèÿ è èíôîðìàöèÿ î÷åíü òåñíî ñâÿçàíû.
Âïåðâûå íà ñâÿçü ýòèõ ïîíÿòèé óêàçàë Ë. Ñöèëàðä â 1929 ã. â ñòàòüå,
ïîñâÿùåííîé òåðìîäèíàìè÷åñêîìó àíàëèçó ðàáîòû äåìîíà Ìàêñâåëëà.
Òàê íàçûâàåòñÿ ãèïîòåòè÷åñêîå óñòðîéñòâî, ñïîñîáíîå èñïîëüçîâàòü èíôîðìàöèþ î ñêîðîñòÿõ ìîëåêóë äëÿ óìåíüøåíèÿ ýíòðîïèè ñèñòåìû è
òåì ñàìûì íàðóøèòü âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè. Àíàëèç ìûñëåííûõ
ýêñïåðèìåíòîâ ñ ó÷àñòèåì äåìîíà Ìàêñâåëëà ïðèâåë ê ôîðìóëèðîâêå
ïðèíöèïà Ñöèëàðäà Áðèëëþýíà. Ýòîò ïðèíöèï ãëàñèò, ÷òî ðàçíîñòü
ýíòðîïèè è êîëè÷åñòâà èíôîðìàöèè î ñèñòåìå íå óáûâàåò:
∆(S − I) ≥ 0.
Ïðè ïîïûòêàõ ðàçðåøèòü ïàðàäîêñ ñ äåìîíîì Ìàêñâåëëà íà îñíîâå ïðèíöèïà Ñöèëàðäà Áðèëëþýíà äîëãîå âðåìÿ ñ÷èòàëîñü, ÷òî ñïðàâåäëèâîñòü âòîðîãî íà÷àëà âîññòàíàâëèâàåòñÿ çà ñ÷åò òîãî, ÷òî ïðîöåññ ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè î ñèñòåìå ñîïðîâîæäàåòñÿ äèññèïàöèåé ýíåðãèè è
ðîñòîì ýíòðîïèè. Îäíàêî îêàçàëîñü, ÷òî ýòî íå òàê, è èíôîðìàöèþ, â
ïðèíöèïå, ìîæíî ïîëó÷èòü áåç äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ïîëó÷åíèå èíôîðìàöèè ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêèì ïðîöåññîì. Òî÷íî òàêæå ôèçè÷åñêèì ïðîöåññîì ÿâëÿåòñÿ ëþáîå âû÷èñëåíèå. Ðàç òàê, çàêîíû ôèçèêè äîëæíû
áûòü ïðèìåíèìû è ê ïðîöåññó âû÷èñëåíèÿ. È òóò âîçíèêàåò âîïðîñ, òðåáóåò ëè ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè?
Ýòà ïðîáëåìà âïåðâûå áûëà ïðîàíàëèçèðîâàíà â 1961ã. ñîòðóäíèêîì
èññëåäîâàòåëüñêîãî îòäåëà ôèðìû IBM Ð. Ëàíäàóýðîì. Ñóòü åãî âûâîäîâ
ñîñòîÿëà â ñëåäóþùåì. Ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ïðåîáðàçîâàíèþ
ñòðîêè, ñîñòîÿùåé èç áèòîâ, íàïðèìåð, 010011011. . . . Ïðåîáðàçîâàíèå
ïðîèñõîäèò â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè â ñîîòâåòñòâèè ñ êîìáèíàöèåé ëîãè÷åñêèõ ïðàâèë (èëè ôóíêöèé) òèïà ÄÀ, ÍÅÒ, È è ò.ä. Ëàíäàóýð
35
ïîêàçàë, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ëîãè÷åñêè íåîáðàòèìà, òî åñòü ïî êîíå÷íîìó
ñîñòîÿíèþ íåëüçÿ âîññòàíîâèòü íà÷àëüíîå, òî ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ åå âû÷èñëåíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêè íåîáðàòèì è ñîïðîâîæäàåòñÿ äèññèïàöèåé
òåïëà ïî êðàéíåé ìåðå T ln 2 íà îäèí áèò. Êîíå÷íî, ðåàëüíî ïðîöåññîðû ãðåþòñÿ òàê, ÷òî äèññèïàöèÿ íà ìíîãî ïîðÿäêîâ ïðåâûøàåò ïðåäåë
Ëàíäàóýðà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ôèçè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ëîãè÷åñêèõ
ñîñòîÿíèé 0 èëè 1 ó÷àñòâóåò îãðîìíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñàìîå èçâåñòíîå â ïðèðîäå ¾âû÷èñëåíèå¿, èìåííî, ïðîöåññ ñèíòåçà
áåëêà â êëåòêàõ, äèññèïèðóåò ýíåðãèþ ïðèìåðíî 10T ln 2. Ðàçâèòèå ýëåìåíòíîé áàçû èäåò ïî ïóòè óâåëè÷èâàþùåéñÿ ìèíèàòþàðèçàöèè, âïëîòü
äî àòîìàðíîãî óðîâíÿ. Ôèçè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ïðîñòåéøèõ êâàíòîâûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ çàñòàâëÿåò äóìàòü, ÷òî ïðåäåë Ëàíäàóýðà
äîñòèæèì. Ìîæåò ëè îí áûòü ïðåîäîëåí?
Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ áûë ïîëó÷åí â ðàáîòàõ ×. Áåííåòà, Ò. Òîôôîëè, Ý. Ôðåäêèíà è äðóãèõ èññëåäîâàòåëåé â ñåðåäèíå 80-õ ãîäîâ 20-ãî
âåêà. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî òåîðåòè÷åñêè äèññèïàöèÿ ìîæåò áûòü óìåíüøåíà äî íóëÿ, åñëè ïðè âû÷èñëåíèÿõ èñïîëüçîâàòü ëîãè÷åñêè îáðàòèìûå
ýëåìåíòû, â êîòîðûõ íå ïðîèñõîäèò ñòèðàíèå èíôîðìàöèè. Íà îñíîâå ðàáîò óêàçàííûõ àâòîðîâ áûë òàêæå çàêðûò âîïðîñ î ïàðàäîêñå ñ äåìîíîì
Ìàêñâåëëà. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè âûïîëíÿåòñÿ íå çà ñ÷åò òîãî, ÷òî â ïðîöåññå ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè î ñèñòåìå
äèññèïèðóåòñÿ ýíåðãèÿ, à çà ñ÷åò íåîáõîäèìîñòè äåìîíó ñòåðåòü èç ïàìÿòè èíôîðìàöèþ, çàïèñàííóþ íà ïðåäûäóùåì øàãå èçìåðåíèÿ. Ëèøü ïðè
ýòîì óñëîâèè ïîëíûé òåðìîäèíàìè÷åñêèé öèêë èçìåðåíèÿ ñ ó÷àñòèåì äåìîíà áóäåò çàìêíóòûì. Ñòèðàíèå èíôîðìàöèè îáÿçàòåëüíî ñîïðîâîæäàåòñÿ äèññèïàöèåé òåïëà â êîëè÷åñòâå ïî êðàéíåé ìåðå T ln 2 íà îäèí áèò.
Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé ôîðìóëû áûëà ïðîâåðåíà íà ìíîãèõ ïðèìåðàõ, íî
îáùåãî äîêàçàòåëüñòâà åå ñïðàâåäëèâîñòè âñå åùå íåò. Áîëåå ïîäðîáíî
ñ ñîîòíîøåíèåì ýíòðîïèè è èíôîðìàöèè ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ïî êíèãå
[7].
2.7 Çàäà÷è
1. Âû÷èñëèòü ïëîòíîñòü êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íà åäèíè÷íûé èíòåðâàë ýíåðãèè äëÿ
36
• ñâîáîäíîé íåðåëÿòèâèñòñêîé êëàññè÷åñêîé ÷àñòèöû;
• êâàíòîâîé íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â ïðÿìîóãîëüíîì ïîòåíöèàëå ñ áåñêîíå÷íî âûñîêèìè ñòåíêàìè äëÿ îäíîãî, äâóõ è òðåõ
ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé;
• ñâîáîäíîé óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîé êëàññè÷åñêîé ÷àñòèöû;
• íåðåëÿòèâèñòñêîé çàðÿæåííîé êâàíòîâîé áåññïèíîâîé ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïîïåðå÷íîå
ìàãíèòíîìó ïîëþ äâèæåíèå îãðàíè÷åíî ïðÿìîóãîëüíîé ïëîùàäêîé Lx × Ly ;
• àíèçîòðîïíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñ ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèåé U = m
(ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 ).
2
2. Ñ ïîìîùüþ ìèêðîêàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âû÷èñëèòü çàâèñèìîñòü îò òåìïåðàòóðû ñðåäíåé ýíåðãèè è òåïëîåìêîñòè îäíîìåðíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.
3. Âçÿâ â êà÷åñòâå òåêñòà ï. 2.6 ¾Ýíòðîïèÿ â èíôîðìàòèêå¿ â ýòîé
ãëàâå, îïðåäåëèòü ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ pi âñåõ 33-õ áóêâ ðóññêîãî
àëôàâèòà, âêëþ÷àÿ çíàêè ïðåïèíàíèÿ è ïðîáåë. Âû÷èñëèòü êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè íà îäèí ñèìâîë â ýòîì òåêñòå.
4.  1961 ã. ñîòðóäíèê ôèðìû IBM Ð. Ëàíäàóýð ïîêàçàë, ÷òî íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ïðîöåññ âû÷èñëåíèé íà êîìïüþòåðå â èäåàëå ìîæíî
ðåàëèçîâàòü áåç äèññèïàöèè òåïëà, ïðîöåññ ñòèðàíèÿ èíôîðìàöèè
äàæå â èäåàëüíîì ñëó÷àå òðåáóåò ìèíèìàëüíîé äèññèïàöèè òåïëà
T ln 2 íà îäèí áèò ñòèðàåìîé èíôîðìàöèè. Ðàññìîòðèì ðåàëèçàöèþ
áèòà (ôàêòè÷åñêè, êóáèòà) êàê ÷àñòèöû ñî ñïèíîì s = 1/2 â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå B = Bez . Ïóñòü ñîñòîÿíèå |0⟩ ñîîòâåòñòâóåò ïðîåêöèè ñïèíà sz = +1/2 , òî åñòü |0⟩ = | ↑⟩, òîãäà |1⟩ = | ↓⟩.
Îïðåäåëèì îïåðàöèþ ñòèðàíèÿ êàê ïåðåâîä çàðàíåå íåèçâåñòíîãî
ñîñòîÿíèÿ áèòà â ñîñòîÿíèå |0⟩ = | ↑⟩. Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â òåðìîñòàòå ïðè òåìïåðàòóðå T . Ïîêàçàòü, ÷òî ñ ðîñòîì íàïðÿæåííîñòè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ B ìîæíî ðåàëèçîâàòü îïåðàöèþ ñòèðàíèÿ. Íàéòè
òåïëîòó, âûäåëÿåìóþ ïðè ñòèðàíèè áèòà.
5. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü êîìïüþòåðà èç òðåõ áèòîâ a, b è c. Áèòû
îáíîâëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè: (1) (a′ , b′ , c′ ) =
37
(a, b, b + c), (2) (a′ , b′ , c′ ) = (c, c, ab), (3) (a′ , b′ , c′ ) = (a, b, c + ab). Âûÿñíèòü, êàêèå èç ýòèõ ïðàâèë îáðàòèìû, à êàêèå íåò. Âû÷èñëèòü íà÷àëüíóþ è êîíå÷íóþ ýíòðîïèþ òàêîãî êîìïüþòåðà è îáñóäèòü, êàê
îáåñïå÷èâàåòñÿ âûïîëíåíèå âòîðîãî íà÷àëà òåðìîäèíàìèêè â ñëó÷àå íåîáðàòèìîãî âû÷èñëåíèÿ. Ñ÷èòàòü, ÷òî óñòðîéñòâî ïîìåùåíî
â òåðìîñòàò ñ òåìïåðàòóðîé T . Îìè÷åñêèìè ïîòåðÿìè ïðåíåáðå÷ü.
6. Öèëèíäð ñâîáîäíî ïîäâåøåí çà ñåðåäèíó òîðöà. N ìåäëåííûõ ýëåêòðîíîâ, ïîëÿðèçîâàííûõ âäîëü îñè öèëèíäðà, çàñòðåâàþò â íåì.
 ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ñ àòîìàìè âåùåñòâà (çà
ñ÷åò ñïèí-îðáèòàëüíîé ñâÿçè) ÷àñòü ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïåðåõîäèò â ìîìåíò âðàùåíèÿ öèëèíäðà. Ñ÷èòàÿ
òåïëîåìêîñòü öèëèíäðà áîëüøîé, íàéòè óñòàíîâèâøóþñÿ óãëîâóþ
ñêîðîñòü âðàùåíèÿ öèëèíäðà â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü ïðèíöèï ìàêñèìóìà ýíòðîïèè è óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.
7. Îöåíèòü ýíòðîïèþ Ñîëíöà, ðàññìàòðèâàÿ åãî êàê ãàçîâûé øàð èç
ïðîòîíîâ è ýëåêòðîíîâ, â êîòîðîì ãðàâèòàöèîííîå ïðèòÿæåíèå óðàâíîâåøèâàåòñÿ äàâëåíèåì êëàññè÷åñêîãî èäåàëüíîãî ãàçà. Ñðàâíèòü
ñ ýíòðîïèåé ÷åðíîé äûðû (1.27) ñ ìàññîé ïîðÿäêà ñîëíå÷íîé.
38
Ãëàâà 3
Îñíîâíûå ñòàòèñòè÷åñêèå
ðàñïðåäåëåíèÿ
Êàê óæå óïîìèíàëîñü, âíåøíèå ìàêðîñêîïè÷åñêèå óñëîâèÿ, â êîòîðûõ ìîæåò ïðåáûâàòü ñèñòåìà ìíîãèõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, ìîãóò áûòü ñàìûìè ðàçíûìè. Ïîýòîìó êîíêðåòíûé âèä ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñîñòîÿíèÿì òàêæå ìîæåò ðàçëè÷àòüñÿ.  ïðåäûäóùåé ãëàâå
áûëî ââåäåíî ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå êàê ðàñïðåäåëåíèå ïî
ñîñòîÿíèÿì äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû.  ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ îáåñïå÷åíèå òàêîé èçîëÿöèè ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. Ìàêðîñêîïè÷åñêîå òåëî
îáû÷íî íàõîäèòñÿ ëèáî â òåðìîñòàòå ñ ôèêñèðîâàííûì îáúåìîì, ëèáî â
òåðìîñòàòå ïðè ôèêñèðîâàííîì äàâëåíèè è ò.ä. Äëÿ âñåõ òàêèõ ñëó÷àåâ
ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà ïîçâîëÿåò íàéòè ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ,
ïîçâîëÿþùèå âû÷èñëÿòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ è èõ ôëóêòóàöèé. Íåêîòîðûå èç ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé ðàññìîòðåíû
íèæå.
3.1 Êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå àíñàìáëü, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ áîëüøîé
ñèñòåìû, ñ êîòîðîé îí ìîæåò îáìåíèâàòüñÿ ýíåðãèåé.  íåì ôèêñèðîâàíû îáúåì è ÷èñëî ÷àñòèö. Òàêîé àíñàìáëü íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì
àíñàìáëåì. Ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò, åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â òåð39
ìîñòàòå. Ïóñòü E, S è E0 , S0 îáîçíà÷àåò ýíåðãèþ, ýíòðîïèþ íàøåé ñèñòåìû è òåðìîñòàòà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íàøà ñèñòåìà äîñòàòî÷íî ìàëà
è íå îêàçûâàåò îáðàòíîãî âëèÿíèÿ íà ñîñòîÿíèå òåðìîñòàòà, E ≪ Etot ,
E ≪ E0 . Ñèñòåìà âìåñòå ñ òåðìîñòàòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ çàìêíóòîé, ò.å.
Etot = E0 + E = const. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîëíîé ñèñòåìû ñïðàâåäëèâî
ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ñîãëàñíî êîòîðîìó âåðîÿòíîñòü ðåàëèçàöèè êàêîãî-òî ñîñòîÿíèÿ ïîëíîé ñèñòåìû îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà
÷èñëó åå ñîñòîÿíèé: W = 1/Γtot
0 . Âûäåëèì èç ïîëíîé ñèñòåìû íàøó ñèñòåìó. Ïîñêîëüêó ìû íå ñëåäèì çà ñîñòîÿíèÿìè òåðìîñòàòà, ÷èñëî êîòîðûõ
ðàâíî Γtherm
(E tot − En ), âåðîÿòíîñòü íàéòè íàøó ñèñòåìó â êâàíòîâîì
0
ñîñòîÿíèè n ñ ýíåðãèåé En ðàâíà
(E tot − En ) = W eS0 (E −En ) ≈
wn = W Γtherm
0
)
[
]
(
∂S0
En
tot
≈ W exp S0 (E ) − En tot + · · · = A exp −
.
∂E
T
tot
Çäåñü ∂S0 /∂Etot = ∂S0 /∂E0 = 1/T0 = 1/T åñòü òåìïåðàòóðà òåðìîñòàòà.
Ñ ó÷åòîì íîðìèðîâêè ïîëíîé âåðîÿòíîñòè íà åäèíèöó ïîëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè äëÿ ñèñòåìû â òåðìîñòàòå, íàçûâàåìîå êàíîíè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì:
)
(
exp − ETn
,
(3.1)
wn =
Z
ãäå ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà Z äàåòñÿ âûðàæåíèåì (2.26). Îíî ñîâïàëî ñ
ðàñïðåäåëåíèåì (2.25), íàéäåííûì èç óñëîâèÿ ìàêñèìóìà âåðîÿòíîñòè
ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè ôèêñàöèè ñðåäíåé ýíåðãèè.
Ïîêàæåì, êàê íàéòè òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû ñ ïîìîùüþ êàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ âû÷èñëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî:
∑
∂ ln Z
E ≡ ⟨E⟩ =
wn En = T 2
.
∂T
n
Ýíòðîïèþ âû÷èñëèì, èñïîëüçóÿ (2.21) è (3.1):
S=
E
+ ln Z.
T
Îòñþäà ñ ïîìîùüþ (1.7) ïîëó÷èì âàæíóþ ôîðìóëó:
F = −T ln Z.
40
(3.2)
Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïîëó÷èì èç âòîðîãî
âûðàæåíèÿ (1.5):
(
)
∂F
P =−
.
(3.3)
∂V T
Ïîñêîëüêó íàøà ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â òåðìîñòàòå, åå ýíåðãèÿ íå ôèêñèðîâàíà. Âû÷èñëèì ôëóêòóàöèþ ïîëíîé ýíåðãèè â êàíîíè÷åñêîì
∑ 2 àí2
2
2
ñàìáëå,
îïðåäåëèâ åå êàê äèñïåðñèþ ∆E ≡ ⟨E ⟩ − ⟨E⟩ = n En wn −
∑
( n En wn )2 . Èç (2.26) íàõîäèì:
∆E
2
(
)2
T 4 ∂ 2Z
T 4 ∂Z
=
+ 2ET − 2
=
Z ∂T 2
Z
∂T
( )
2
2
F
4 ∂ ln Z
4 ∂
= 2ET + T
= 2ET − T
=
2
2
∂T
∂T
T
(
)
ST + F
∂E
4 ∂
= T2
= CV T 2 .
2ET + T
2
∂T
T
∂T
(3.4)
 ýòîé ôîðìóëå ñòîèò èìåííî òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, ïîñêîëüêó âñå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî T âûïîëíÿëèñü ïðè ïîñòîÿííîì V .
Òîãäà (δQ)V = dE , CV = dE/dT ïðè V = const.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé ýíåðãèè ìîæíî íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýíåðãèè w(E), êîòîðóþ ìû îïðåäåëèì êàê ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
òîãî, ÷òî ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå îò E −∆E/2 äî
E + ∆E/2: w(E) = ∆W/∆E , ãäå ∆W åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýíåðãèÿ
ñèñòåìû ëåæèò â óêàçàííîì èíòåðâàëå. Äëÿ ýòîãî ïåðåéäåì îò ñóììèðîâàíèÿ ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ýíåðãèè ñ ïîìîùüþ (2.7). Ïîëó÷èì âûðàæåíèå
∫
∫
∑
1
−E/T
dEΓ(E)e
E ≡ dEw(E)E,
⟨E⟩ =
En wn =
Z
n
èç êîòîðîãî íàõîäèì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýíåðãèè:
w(E) =
Γ(E)
E
exp(− ).
Z
T
(3.5)
Ìíîæèòåëü Γ(E) ÷ðåçâû÷àéíî áûñòðî ðàñòåò ñ ðîñòîì ýíåðãèè ñèñòåìû,
à ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü áûñòðî ïàäàåò, è èõ ïðîèçâåäåíèå èìååò
41
îñòðûé ìàêñèìóì. Íàïðèìåð, â èäåàëüíîì ãàçå Γ ∝ E 3N/2−1 . Ïðÿìîé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî âáëèçè ìàêñèìóìà E = E0 = 3N T /2 ðàñïðåäåëåíèå
(3.5) èìååò âèä
[
]
(E − E0 )2
w(E) ∝ exp −
.
3N T 2
√
Øèðèíà
ýòîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ
ðàâíà
2T
3N , à åå îòíîøåíèå ê E0 ðàâ√
−12
íî 4/ 3N ∼ 10 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñåõ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ïî ýíåðãèè ñîâïàäàåò ñ ìèêðîêàíîíè÷åñêèì
w(E) ∝ δ(E − E0 ).
3.2 Áîëüøîå êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
Äîïóñòèì, ÷òî êðîìå îáìåíà ýíåðãèåé ñ òåðìîñòàòîì íàøà ñèñòåìà
ìîæåò îáìåíèâàòüñÿ è ÷àñòèöàìè. Àíñàìáëü òàêèõ ñèñòåì íàçûâàåòñÿ
áîëüøèì êàíîíè÷åñêèì àíñàìáëåì. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà îêàæåòñÿ â êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè n è áóäåò ñîäåðæàòü ÷èñëî ÷àñòèö N ïðîïîðöèîíàëüíà ÷èñëó ñîñòîÿíèé òåðìîñòàòà:
wn,N = W Γtherm
(E tot − En,N , N tot − N ) = W eS0 (E −En,N ,N −N ) ≈
0
[
)
(
∂S0
tot
−
≈ W exp S0 (E ) − En,N
∂E tot N tot ,V tot
]
(
)
(
)
∂S0
µN − En,N
−N
+ · · · = A exp
.
∂N tot E tot ,V tot
T
tot
tot
Çäåñü ñíîâà T = T tot = T0 åñòü òåìïåðàòóðà òåðìîñòàòà. Çàïèñü En,N
ÿâíî óêàçûâàåò, ÷òî óðîâíè ýíåðãèè ñèñòåìû ìîãóò çàâèñåòü îò ÷èñëà
÷àñòèö. Ïðè ïåðåõîäå ê ïîñëåäíåé ñòðîêå áûëî ó÷òåíî, ÷òî dE = T dS −
P dV − µdN . Ñ ó÷åòîì íîðìèðîâêè ïîëíîé âåðîÿòíîñòè íà åäèíèöó
∞ ∑
∑
N =0
wn,N = 1
n
ïîëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè äëÿ ñèñòåìû, äîïóñêàþùåé îáìåí
ýíåðãèåé è ÷èñëîì ÷àñòèö. Îíî íàçûâàåòñÿ áîëüøèì êàíîíè÷åñêèì ðàñ42
ïðåäåëåíèåì è èìååò âèä
wn,N
1
= exp
Ξ
(
µN − En,N
T
)
,
(3.6)
ãäå òàê íàçûâàåìàÿ áîëüøàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà Ξ äàåòñÿ ôîðìóëîé
)
(
∞ ∑
∑
µN − En,N
Ξ=
.
(3.7)
exp
T
N =0 n
Âûðàæåíèå äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè (2.21), îáîñíîâàííîå ïðè
óñëîâèè N = const, ìîæåò áûòü îáîáùåíî íà ñëó÷àé ïåðåìåííîãî ÷èñëà
÷àñòèö:
∞ ∑
∑
S=−
wn,N ln wn,N .
(3.8)
N =0
n
Âûâîä âûðàæåíèÿ (3.8) äàí â §63 êíèãè [1]. Èç ôîðìóë (1.12), (3.6) è
(3.8) ïîëó÷àåì, ÷òî
⟨E⟩ − µ⟨N ⟩
+ ln Ξ ⇒ −T ln Ξ = ⟨E⟩ − T S − µ⟨N ⟩ = F − µ⟨N ⟩ = Ω.
T
Îòñþäà âûòåêàåò ïîëåçíîå âûðàæåíèå
S=
Ω = −P V = −T ln Ξ, Ξ = e−Ω/T ,
(3.9)
êîòîðîå ïîçâîëÿåò ñðàçó ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ â òåðìèíàõ áîëüøîé ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû.
Ïîñêîëüêó ÷èñëî ÷àñòèö â áîëüøîì êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå íå ôèêñèðîâàíî, âîçíèêàåò âîïðîñ î ñðåäíåì ⟨N ⟩ è äèñïåðñèè ∆N 2 = ⟨N 2 ⟩ − ⟨N ⟩2
ýòîãî ÷èñëà. Îòâåò ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ áîëüøîãî êàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (3.6) è ñ ó÷åòîì (3.9):
(
)
∞ ∑
∞
∑
1 ∑∑
µN − En,N
N wn,N =
N exp
=
⟨N ⟩ =
Ξ
T
N =0 n
N =0 n
( )
( )
∂Ω
T ∂Ξ
=
=−
,
Ξ ∂µ T,V
∂µ T,V
(
)
(
)
∞
1 ∑∑ 2
µN − En,N
T 2 ∂ 2Ξ
2
⟨N ⟩ =
N exp
=
=
Ξ N =0 n
T
Ξ ∂µ2 T,V
( 2 )
∂ Ω
= −T
+ ⟨N ⟩2 ,
(3.10)
2
∂µ T,V
43
îòêóäà íàõîäèì
(
∆N = −T
2
∂ 2Ω
∂µ2
)
(3.11)
.
T,V
3.3 Èçîáàðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
Ðàññìîòðèì òåðìîäèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ïðè çàäàííîé òåìïåðàòóðå
è äàâëåíèè. Òèïè÷íûé ïðèìåð: ãàç â ñîñóäå ïîä ïîðøíåì. Àíñàìáëü òàêèõ ñèñòåì íàçûâàåòñÿ èçîáàðè÷åñêèì àíñàìáëåì. Òàêîé àíñàìáëü îñîáåííî óäîáåí ïðè ðàññìîòðåíèè ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ ïåðâîãî ðîäà, íàïðèìåð, ãàç æèäêîñòü è ò.ä. Ñì. ðèñ. 3.1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ â
ýòîì àíñàìáëå îïèñûâàåò èçîáàðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå. Îáúåì V ñèñòåìû ìîæåò ìåíÿòüñÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç En,V óðîâíè ýíåðãèè ñèñòåìû, çàíèìàþùåé îáúåì V . Îíè ïàðàìåòðè÷åñêè çàâèñÿò îò ðàçìåðîâ ÿùèêà,
ñì. íàïðèìåð (2.1). Êàê è â ïðåäûäóùèõ äâóõ ñëó÷àÿõ, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè äëÿ ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíà ÷èñëó ñîñòîÿíèé
òåðìîñòàòà:
wn,V
∝ Γtherm
(E tot − En,V , V tot − V ) ∝ eS0 (E −En,V ,V −V )
0
)
[
(
∂S0
tot
∝ exp S0 (E ) − En,V
∂E tot V tot
(
]
(
)
)
∂S0
En,V + P V
−V
+ · · · ∝ exp −
.
∂V tot E tot
T
tot
Âñïîìíèì, ÷òî
(
∂S
∂V
Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ íîðìèðîâêè
∫ ∞
dV
0
)
=
E
∑
tot
P
.
T
wn,V = 1
n
ðàñïðåäåëåíèå ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì â èçîáàðè÷åñêîì àíñàìáëå ïðèìåò âèä
(
)
En,V + P V
1
,
(3.12)
wn,V = exp −
Y
T
44
P
Газ
Ðèñ. 3.1: Àíñàìáëü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè (èçîáàðè÷åñêèé àíñàìáëü)
ãäå Y ≡ Y (T, P ) îáîçíà÷àåò èçîáàðè÷åñêóþ ñòàòñóììó
(
)
∫ ∞
∑
En,V + P V
Y =
dV
exp −
.
T
0
n
(3.13)
Ïî àíàëîãèè ñ (3.8) îïðåäåëèì ýíòðîïèþ â èçîáàðè÷åñêîì àíñàìáëå êàê
∫ ∞
∑
dV
wn,V ln wn,V .
(3.14)
S=−
0
n
Ïîäñòàâèâ ñþäà âûðàæåíèå (3.12), ïîëó÷èì
S = (⟨E⟩ + P ⟨V ⟩)/T + ln Y,
îòêóäà
−T ln Y = ⟨E⟩ − ST + P ⟨V ⟩ = F + P ⟨V ⟩ = Φ.
Òåì ñàìûì íàéäåíî âûðàæåíèå äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà Ãèááñà Φ â òåðìèíàõ èçîáàðè÷åñêîé ñòàòñóììû Y :
Φ = −T ln Y.
(3.15)
Ïîñêîëüêó îáúåì â èçîáàðè÷åñêîì àíñàìáëå íå ôèêñèðîâàí, âîçíèêàåò
âîïðîñ î ñðåäíåì ⟨V ⟩ è äèñïåðñèè ∆V 2 = ⟨V 2 ⟩ − ⟨V ⟩2 . Îòâåò ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ èçîáàðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (3.12) è ñ ó÷åòîì (3.15). Íå
áóäåì ïðîâîäèòü ñîîòâåòñòâóþùèå âûêëàäêè, ïîñêîëüêó îíè ñîâåðøåííî
àíàëîãè÷íû òåì, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ âûøå ðàññìàòðèâàëèñü ôëóêòóàöèè ÷èñëà ÷àñòèö. Ïðèâåäåì îòâåò:
)
( 2 )
(
∂ Φ
∂Φ
2
, ∆V = −T
.
(3.16)
⟨V ⟩ =
∂P T
∂P 2 T
45
3.4 Âû÷èñëåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé
â àíñàìáëÿõ
Âàæíî, ÷òî â ïðèâåäåííûõ âûâîäàõ êàíîíè÷åñêîãî, áîëüøîãî êàíîíè÷åñêîãî è èçîáàðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèé íèãäå íå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî
ãàç èäåàëüíûé. Òåì ñàìûì ïîëó÷åí àïïàðàò, â ïðèíöèïå ïîäõîäÿùèé
äëÿ àíàëèçà ñèñòåì âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Îäíàêî äëÿ ðåàëüíûõ
ñèñòåì ñ âçàèìîäåéñòâèåì ñîîòâåòñòâóþùèé àíàëèç äî ñèõ ïîð ÿâëÿåòñÿ
ïðåäìåòîì ñåðüåçíûõ íàó÷íûõ èçûñêàíèé. Çäåñü äëÿ èëëþñòðàöèè ìàòåðèàëà ðàçáåðåì ëèøü ñëó÷àé èäåàëüíîãî ãàçà è ïîêàæåì, êàê ïîëó÷èòü
âûðàæåíèÿ äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé è óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èç
íàéäåííûõ âûøå ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòè ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì.
3.4.1
Ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
Èç (2.10) íàõîäèì ýíòðîïèþ:
3
3πN
S = ln Γ0 (E) = N ln E + N ln V +
ln π − ln Γ
2
2
|
{z
(
)
3N
+1 ,
2
}
f (N )
îòêóäà
1
=
T
(
∂S
∂E
)
=
V,N
3
3N
⇒ E = N T,
2E
2
êàê ýòî è äîëæíî áûòü äëÿ èäåàëüíîãî êëàññè÷åñêîãî ãàçà. Óðàâíåíèå
ñîñòîÿíèÿ ïîëó÷èì èç âûðàæåíèÿ
(
)
∂E
P =−
.
∂V S,N
Äëÿ ýòîãî íàéäåì óðàâíåíèå àäèàáàòû:
(
)
∂E
2E
3dE dV
+
⇒
=− ,
dS = 0 ⇒
2E
V
∂V S,N
3V
îòêóäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ
P =
2E
NT
=
.
3V
V
46
3.4.2
Êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
Äëÿ ïîëíîòû êàðòèíû ó÷òåì ýôôåêòû âçàèìîäåéñòâèÿ. Áåðåì êëàññè÷åñêèé ïðåäåë ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû (2.26), ïîëàãàÿ ÷àñòèöû áåññïèíîâûìè:
[
]
∫ ∏
N
∑
p2
a +U (r ,r ,···r )
d3 ra d3 pa − T1 Na=1 2m
1
1 2
N
.
(3.17)
Zcl =
e
N ! a=1 (2π~)3
 âûðàæåíèè (3.17) ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî èìïóëüñàì:
1
Zcl =
N!
)3N/2 ∫ ∏
N
1
mT
d3 ra e− T U (r1 ,r2 ,···rN ) .
2
2π~
|
{z
} | a=1
{z
}
(
Ztrans
(3.18)
QN
Ìíîæèòåëü Ztrans ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñòóïàòåëüíóþ ñòàòñóììó, ìíîæèòåëü QN âêëþ÷àåò ýôôåêòû âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö êàê ñ âíåøíèì
ïîëåì òàê è äðóã ñ äðóãîì è íàçûâàåòñÿ êîíôèãóðàöèîííûì èíòåãðàëîì.
Âñå îòìå÷åííûå âûøå ñëîæíîñòè ðåàëüíûõ ñèñòåì ñâÿçàíû ñ âû÷èñëåíèåì ýòîãî èíòåãðàëà. Åñëè æå îãðàíè÷èòüñÿ ñëó÷àåì îòñóòñòâèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ è âåðíóòüñÿ ê èäåàëüíîìó ãàçó, U ≡ 0, â êîíå÷íîì îáúåìå V ,
òî QN = V N , à âûðàæåíèå äëÿ ñòàòñóììû ïðèìåò âèä:
(
)3N/2
mT
1
V N.
Zcl =
2
N ! 2π~
Îòñþäà íàõîäèì ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ èäåàëüíîãî ãàçà:
F (T, V ) = −T ln Z = −
è ýíòðîïèþ
(
S=−
∂F
∂T
3N T
mT
N
ln
−
N
T
ln
V
+
N
T
ln
,
2
2π~2
e
)
=
V,N
3N
mT
N
5
ln
+ N + N ln .
2
2
2π~
2
V
Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ äàâëåíèÿ
â êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå:
(
)
∂F
NT
P =−
=
.
∂V T,N
V
47
Õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë µ è ïîòåíöèàë Ãèááñà Φ èäåàëüíîãî êëàññè÷åñêîãî ãàçà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
[ (
(
)
)3/2 ]
∂F
N 2π~2
µ(P, T ) =
= T ln
=
∂N V,T
V
mT
[ (
)3/2 ]
P 2π~2
,
= T ln
T mT
[ (
)3/2 ]
P 2π~2
Φ(P, T ) = µN = T ln
.
(3.19)
T mT
3.4.3
Áîëüøîå êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
Ïðè âû÷èñëåíèè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé â êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ÷èñëî ÷àñòèö N ôèêñèðîâàíî. Ïîýòîìó ñíàáäèì
ñòàòñóììó êàíîíè÷åñêîãî àíñàìáëÿ èíäåêñîì N : Z ≡ ZN . Òîãäà âûðàæåíèå äëÿ áîëüøîé ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû (3.7)) çàïèñûâàåòñÿ êàê
[(
]N
)3/2
∞
∞
∑
∑
1
mT
eµN/T ZN =
Ξ =
V eµ/T
=
2
N
!
2π~
N =0
N =0
]
[(
)3/2
mT
V eµ/T .
(3.20)
= exp
2π~2
Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âû÷èñëÿåì Ω-ïîòåíöèàë:
(
)3/2
mT
Ω ≡ Ω(T, V, µ) = −T ln Ξ = −V T
eµ/T .
2π~2
Îòñþäà íàõîäèì ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö:
( )
(
)3/2
∂Ω
mT
=V
eµ/T
N =−
∂µ V,T
2π~2
è äèñïåðñèþ ÷èñëà ÷àñòèö:
( 2 )
(
)3/2
∂ Ω
mT
2
∆N = −T
=V
eµ/T = N.
2
2
∂µ V,T
2π~
(3.21)
(3.22)
(3.23)
Èç (3.23)
äèñïåðñèÿ ÷èñëà ÷àñòèö ÷ðåçâû÷àéíî
√ âèäíî, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ
√
2
ìàëà: ∆N /N = 1/ N ≪ 1.
48
3.4.4
Èçîáàðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
Èçîáàðè÷åñêàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà (3.13) äëÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî êëàññè÷åñêîãî ãàçà ðàâíà
)3N/2 N
)3N/2 ( )N +1
(
(
∫ ∞
V
T
mT
mT
−P V /T
Y (T, P ) =
dV e
=
,
2
2
2π~
N!
2π~
P
0
îòêóäà ïîòåíöèàë Ãèááñà äëÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî êëàññè÷åñêîãî
ãàçà ïîëó÷àåòñÿ â âèäå
[(
)3/2 ]
mT
T
Φª« (T, P ) = −N T ln
,
2π~2
P
÷òî, ðàçóìååòñÿ, ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì âûøå èç êàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñðåäíèé îáúåì è äèñïåðñèÿ îáúåìà â óñëîâèÿõ
ïîñòîÿííîãî äàâëåíèÿ ñîãëàñíî (3.16) ðàâíû
⟨V ⟩ =
è
∆V 2 =
NT
P
⟨V ⟩2
NT 2
=
.
P2
N
√
Ìû
âèäèì,
÷òî
îòíîñèòåëüíàÿ
äèñïåðñèÿ
îáúåìà,
ðàâíàÿ
∆V 2 /⟨V ⟩ =
√
1/ N ≪ 1, îáû÷íî ìàëà äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì.
Èòàê, ðàññìîòðåíèå êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàâíîâåñíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ, íåñìîòðÿ íà êàæóùèåñÿ îòëè÷èÿ,
ïðèâîäÿò ê îäèíàêîâûì ïðåäñêàçàíèÿì äëÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé. Ðàçíèöà
âîçíèêàåò ïðè âû÷èñëåíèè äèñïåðñèé, èëè ôëóêòóàöèé, òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí. Îáùàÿ òåîðèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôëóêòóàöèé áóäåò
èçëàãàòüñÿ ïîçäíåå.
3.5 Çàäà÷è
1. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ÷èñëó ÷àñòèö èäåàëüíîãî êëàññè÷åñêîãî ãàçà â áîëüøîì êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå.
49
2. Íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî îáúåìó äëÿ èäåàëüíîãî êëàññè÷åñêîãî ãàçà â èçîáàðè÷åñêîì àíñàìáëå.
3. Âû÷èñëèòü òåïëîåìêîñòü îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà, ïîìåùåííîãî â îäíîðîäíîå ïîëå òÿæåñòè. Ñ÷èòàòü, ÷òî ãàç íàõîäèòñÿ â öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ Σ.
4. Âû÷èñëèòü ýíåðãèþ, ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ è òåïëîåìêîñòü îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà, ïîìåùåííîãî â öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä, âðàùàþùèéñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω âîêðóã îñè ñèììåòðèè. Ãàç èìååò
òåìïåðàòóðó T .
5. Èñïîëüçóÿ êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè, ìàãíèòíîãî ìîìåíòà è ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè N íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö ñî ñïèíîì 1/2 è ìàãíèòíûì ìîìåíòîì µ0 , ïîìåùåííûõ â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå íàïðÿæåííîñòè B .
6. Ïëîñêèé êîíäåíñàòîð ñ ïëîùàäüþ ïëàñòèí Σ è ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè L çàïîëíåí ãàçîì íåéòðàëüíûõ äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë, îáëàäàþùèõ ýëåêòðè÷åñêèì äèïîëüíûì ìîìåíòîì p. ×èñëî ìîëåêóë
N , òåìïåðàòóðà ãàçà T . Ñêîëüêî òåïëà âûäåëèòñÿ ïðè èçîòåðìè÷åñêîé çàðÿäêå êîíäåíñàòîðà äî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U ? Íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ òåìïåðàòóðà ãàçà, åñëè â ïðîöåññå âêëþ÷åíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ãàç îñòàâàëñÿ òåïëîèçîëèðîâàííûì. Ñ÷èòàòü, ÷òî
pU/LT ≪ 1.
50
Ãëàâà 4
Êëàññè÷åñêèé èäåàëüíûé ãàç
4.1 Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà Áîëüöìàíà
Ïðèìåíèì ðàçâèòûé â äâóõ ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ àïïàðàò äëÿ ðàññìîòðåíèÿ âîïðîñà î ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå êëàññè÷åñêîãî èäåàëüíîãî ãàçà. Ãàç ñ÷èòàåòñÿ èäåàëüíûì, åñëè ýíåðãèÿ ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ. Òîãäà ýíåðãèÿ ñèñòåìû èç N ÷àñòèö ðàâíà ñóììå ÷ëåíîâ,
êàæäûé èç êîòîðûõ âêëþ÷àåò òîëüêî ïåðåìåííûå, îòíîñÿùèåñÿ ê îäíîé
÷àñòèöå:
N
∑
En,N =
ϵna ,
(4.1)
a=1
ãäå n = {na } ≡ (n1 , n2 , · · · nN ); ïðè ýòîì na îáîçíà÷àåò íàáîð êâàíòîâûõ
÷èñåë, çàäàþùèõ ñîñòîÿíèå îòäåëüíîé ÷àñòèöû (àòîìà, ìîëåêóëû ò.ä.).
Ãàç ñ÷èòàåòñÿ êëàññè÷åñêèì, åñëè òåïëîâàÿ äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ ìíîãî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè:
λT ∼ √
~
≪ n−1/3 .
mT
(4.2)
Äîïóñòèì, ÷òî ãàç ñîñòàâëåí èç ÷àñòèö îäíîãî ñîðòà. Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñ ó÷åòîì (4.1) è â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (4.2) ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà äëÿ N ÷àñòèö ZN ïðèáëèæåííî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
51
ëåíà â âèäå:
ZN =
∑
−En,N /T
e
n
N
1 ∏ ∑ −ϵna /T
zN
e
=
≈
.
N ! a=1 n
N!
(4.3)
a
Ñòðîãîå îáîñíîâàíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ ïðèâåäåíî, íàïðèìåð, ê êíèãå [4].
Òàêîé æå îòâåò ìîæíî ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî â ðàìêàõ ÷èñòî êëàññè÷åñêîãî ïîäõîäà èç (3.17). Îäíî÷àñòè÷íàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà z â
(4.3) åñòü
∑
z=
e−ϵna /T ,
(4.4)
na
ãäå ϵna îïèñûâàåò êâàíòîâàííûå óðîâíè ýíåðãèè ÷àñòèöû a. Îíè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà óðîâíè, ñîîòâåòñòâóþùèå äâèæåíèþ öåíòðà ìàññ è óðîâíè
ýíåðãèè âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ. Äâèæåíèå öåíòðà ìàññ â ìàêðîñêîïè÷åñêîì îáúåìå âñåãäà êëàññè÷íî, ïîñêîëüêó ¾êâàíò¿ ýòîãî äâèæåíèÿ
∆ϵtrans ∼
π 2 ~2
mV 2/3
÷ðåçâû÷àéíî ìàë. Íàïðèìåð, äëÿ àòîìà âîäîðîäà â îáúåìå V = 1 × 1 × 1
ñì 3 îöåíêà äàåò ∆ϵtrans /k0 ∼ 10−13 K, ÷òî ìíîãî ìåíüøå ëþáûõ äîñòèæèìûõ òåìïåðàòóð. Ñ÷èòàÿ òåïåðü, ÷òî na îáîçíà÷àþò óðîâíè âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ, ìîæíî çàìåíèòü ϵna → p2a /2ma + U (ra ) + ϵinternal
, ãäå pa ,
na
ra , ma , ϵinternal
îáîçíà÷àþò
ñîîòâåòñòâåííî
èìïóëüñ
öåíòà
ìàññ,
ðàäèóñna
âåêòîð öåíòðà ìàññ, ñóììàðíóþ ìàññó, óðîâíè âíóòðåííåé ýíåðãèè ÷àñòèöû a. Òîãäà îäíî÷àñòè÷íàÿ ñòàòñóììà (4.4) ðàçáèâàåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå
ïîñòóïàòåëüíîé z trans , êîíôèãóðàöèîííîé q è âíóòðåííåé z internal ñòàñóìì:
(
)∫
[
]
∫
p2
U (ra )
1
3
3
3
d pa d ra exp −
d ra exp −
×
z =
(3π~)3
2ma T
T
)3/2 ∫
[
]
(
∑ internal
U (ra )
ma T
3
−ϵna
/T
×
e
=
d ra exp −
×
2
2π~
T
na
| {z } |
{z
}
×
∑
n
|a
z trans
e
−ϵinternal
/T
na
{z
q
(4.5)
.
}
z internal
52
Îäíî÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ w1 , ïî àíàëîãèè ñ (2.25), çàïèñûâàåòñÿ êàê
[
( 2
)]
1
1
pa
internal
w1 (pa , ra , na ) = exp −
.
(4.6)
+ U (ra ) + ϵna
z
T 2ma
Ãàç ÷àñòèö, äëÿ êîòîðîãî ñòàòñóììà èìååò âèä (4.3) à ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà (4.6), íàçûâàåòñÿ ãàçîì Ìàêñâåëëà Áîëüöìàíà. Ýòî ãàç
÷àñòèö, ó êîòîðûõ ïðåíåáðåæèìî ìàëî ïåðåêðûòèå âîëíîâûõ ôóíêöèé,
îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå öåíòðà ìàññ. Âíóòðåííèå æå ñòåïåíè ñâîáîäû
ìîãóò áûòü è êâàíòîâûìè.
Ðàçáåðåì ýòîò âîïðîñ ïîäðîáíåå íà ïðèìåðå àòîìà âîäîðîäà. Óðîâíè
ýíåðãèè àòîìà âîäîðîäà ñîãëàñíî êâàíòîâîé ìåõàíèêå äàþòñÿ âûðàæåíèåì ϵn = −ϵ0 /n2 , ãäå n = 1, 2, · · · . Íàïîìíèì, ÷òî ϵ0 = me4 /2~2 = 13.6
ýÂ, ÷òî ïðèìåðíî ðàâíî 1.6 × 105 K. Êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ n-ãî óðîâíÿ
åñòü gn = 2n2 . Ôîðìàëüíî âíóòðåííÿÿ ñòàòñóììà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
z
internal
(
)
ϵ0
ϵ0
ϵ0
= 2 exp + 4 exp
+ ···
=
2n exp
T n2
T
4T
n=1
∞
∑
2
∑
2
è, î÷åâèäíî, ðàñõîäèòñÿ êàê ∞
n=1 2n ïðè n → ∞. Ôèçè÷åñêè, îäíàêî,
ïîíÿòíî, ÷òî áîëüøèå n îçíà÷àþò áëèçîñòü ê ïîðîãó èîíèçàöèè àòîìà âîäîðîäà. Áîëåå òîãî, êàê áóäåò ïîêàçàíî ïîçæå ïðè ðàññìîòðåíèè õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, çíà÷èòåëüíàÿ ñòåïåíü èîíèçàöèè äîñòèãàåòñÿ ïðè òåìïåðàòóðàõ, ãîðàçäî ìåíüøèõ ÷åì ýíåðãèÿ èîíèçàöèè. Äîïóñòèì, ÷òî çíà÷åíèå
òåìïåðàòóðû ñîñòàâëÿåò äîëþ δ îò ýíåðãèè èîíèçàöèè ϵ0 , T =
( ϵ03δ .) Òîãäà
. ×èñîòíîøåíèå âòîðîãî ÷ëåíà â ñòàòñóììå ê ïåðâîìó ðàâíî 4 exp − 4δ
ëåííî ýòî îòíîøåíèå ðàâíî ïðèìåðíî 0.33, 0.09, 0.002 ïðè δ = 0.3, 0.2,
0.1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó ãëàâíûé âêëàä âî âíóòðåííþþ ñòàòñóììó
äàåò îñíîâíîå ñîñòîÿíèå àòîìà âîäîðîäà. Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó ñîñòîÿíèþ, ðàâíà f internal = −ϵ0 . Îíà íå çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è íå ñêàçûâàåòñÿ íà òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñèñòåìû,
íàïðèìåð, äàåò ðàâíóþ íóëþ òåïëîåìêîñòü.
 ñëó÷àå ìíîãîýëåêòðîííûõ àòîìîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âíóòðåííåé ýëåêòðîííîé ñòàòñóììû íóæíî çíàòü îñíîâíîé òåðì ýëåìåíòà, ò.å. çíà÷åíèÿ
L, S è J . Ïðè L = 0, S = 0 èìååì z internal = eϵ0 /T . Ïðè L = 0, S ̸= 0 ýòî
âûðàæåíèå íàäî óìíîæèòü íà ñïèíîâóþ êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ 2S + 1.
Ïðè L ̸= 0, S ̸= 0 äëÿ ðàñ÷åòà z internal òðåáóåòñÿ çíàíèå óðîâíåé òîíêîé
ñòðóêòóðû àòîìà. Îòâåò çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òåìïåðàòóðîé è
53
âåëè÷èíîé èíòåðâàëîâ òîíêîé ñòðóêòóðû. Ñì. îáñóæäåíèå ýòîãî âîïðîñà
â §46 êíèãè [5]. Âñïîìíèì åùå î ñâåðõòîíêîé ñòðóêòóðå óðîâíåé, âîçíèêàþùåé çà ñ÷åò íåíóëåâîãî ÿäåðíîãî ñïèíà sN . Åñëè ãîâîðèòü î òåìïåðàòóðàõ, êîãäà ãàç ñóùåñòâóåò êàê ãàç, òî èíòåðâàëû óðîâíåé ñâåðõòîíêîé
ñòðóêòóðû ìíîãî ìåíüøå òåìïåðàòóðû. Èõ ó÷åò òîãäà ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ âíóòðåííåé ñòàòñóììû íà 2sN + 1.
4.2 Ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö ïî ñêîðîñòÿì
Èç âûðàæåíèÿ (4.6) ìîæíî ïîëó÷àòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ëþáîé èç ïåðåìåííûõ. Ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö ïî ñêîðîñòÿì, íàçûâàåìîå ðàñïðåäåëåíèåì Ìàêñâåëëà, ïîëó÷èòñÿ ïðè ñóììèðîâàíèè ïî êâàíòîâûì
ñòåïåíÿì ñâîáîäû è èíòåãðèðîâàíèè ïî êîîðäèíàòàì öåíòðà ìàññ. Ïî
èñòîðè÷åñêèì ïðè÷èíàì ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà f (v) âûðàæàåòñÿ â òåðìèíàõ ñêîðîñòåé, à íå èìïóëüñîâ. Îíà èìååò âèä
(
)
( m )3/2
mv 2
exp −
(4.7)
f (v) =
2πT
2T
∫
è íîðìèðîâàíà íà åäèíèöó: d3 vf (v) = 1. ×àñòî èñïîëüçóåòñÿ íîðìèðîâêà íà ïëîòíîñòü n = N/V ÷èñëà ÷àñòèö, îäíîðîäíî ðàñïðåäåëåííûõ
â îáúåìå V . Çäåñü ìû îïóñòèëè èíäåêñ a, íóìåðóþùèé ÷àñòèöû. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà ñîñòîèò â òîì, ÷òî
f (v)d3 v åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî ÷òî ÷àñòèöà èìååò ñêîðîñòü â èíòåðâàëå
d3 v = dvx , dvy , dvz âîêðóã âåêòîðà vx , vy , vz .
Ïðè âû÷èñëåíèÿõ, â êîòîðûå âõîäèò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà, âîçíèêàåò èíòåãðàë Ãàóññà:
∫ ∞
( π )1/2
2
e−αx dx =
I(α) =
.
(4.8)
α
−∞
∫∞
2
Èíòåãðàëû âèäà −∞ xn e−αx dx ñ ÷åòíûì n ïîëó÷àþòñÿ èç (4.8) ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó α, ñ íå÷åòíûì n ïîëó÷àþòñÿ
ââåäåíèåì íîâîé ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ y = x2 .
Ðàñïðåäåëåíèå ïî äåêàðòîâîé êîìïîíåíòå ñêîðîñòè, ñêàæåì, vx , ïîëó÷èòñÿ èç (4.7) ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ¾ëèøíèì¿ ïåðåìåííûì
54
vy è vz :
(
)
( m )1/2
mvx2
dvy dvz f (v) =
f (vx ) =
exp −
.
2πT
2T
−∞
∫
∞
Î÷åâèäíî, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå äåêàðòîâîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ðàâíî
íóëþ: ⟨vx ⟩ = 0. Âìåñòå ñ òåì ñðåäíèé êâàäðàò äåêàðòîâîé êîìïîíåíòà
îòëè÷åí îò íóëÿ:
∫ ∞
T
2
dvx vx2 f (vx ) = .
⟨vx ⟩ =
m
−∞
Îòñþäà ñðåäíå çíà÷åíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äâèæåíèÿ âäîëü ëþáîé
äåêàðòîâîé îñè ðàâíî
⟨
mvy2
mv 2
T
mvx2
⟩=⟨
⟩ = ⟨ z⟩ = .
2
2
2
2
(4.9)
Ýòî ñîîòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïðîÿâëåíèé çàêîíà ðàâíîðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûé ãëàñèò, ÷òî ïðè êâàäðàòè÷íîé çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò
îáîáùåííîé êîîðäèíàòû èëè èìïóëüñà ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ, ïðèõîäÿùàÿñÿ
íà îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû, ðàâíà T /2. Çàêîí ðàâíîðàñïðåäåëåíèÿ ñïðàâåäëèâ òîëüêî â êëàññè÷åñêîé îáëàñòè. Ýòî âèäíî õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî âêëàä
óêàçàííîé ñòåïåíè ñâîáîäû â òåïëîåìêîñòü ðàâåí 1/2 è íå èñ÷åçàåò â ïðåäåëå T → 0 â ïðîòèâîðå÷èè ñ òåîðåìîé Íåðíñòà. Ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ðàâíà 3T /2.
Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñêîðîñòè v ≡ |v|. Äëÿ
ýòîãî èñõîäèì èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ïîëíîé âåðîÿòíîñòè íà åäèíèöó:
(
)
∫ ∞
( m )3/2 ∫ ∞
mv 2
dv exp −
4πv 2 dv.
1=
dvf (v) =
2πT
2T
0
0
Îòñþäà èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà
(
)
( m )3/2
mv 2
2
f (v) = 4πv
exp −
.
2πT
2T
√
Ìàêñèìóì ýòîé ôóíêöèè íàõîäèòñÿ ïðè ñêîðîñòè v0 = 2T /m, êîòîðàÿ
ïî ýòîé ïðè÷èíå íàçûâàåòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíîé ñêîðîñòüþ.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè ÷èñëà ïàðíûõ ñòîëêíîâåíèé â ãàçå,
òî åñòü ñòîëêíîâåíèé ñ ó÷àñòèåì íå áîëåå ÷åì äâóõ ÷àñòèö. Òàêèå ñòîëêíîâåíèÿ ïðåîáëàäàþò â äîñòàòî÷íî ðàçðåæåííûõ ãàçàõ. Êàê èçâåñòíî
55
èç êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ïðîöåññ ñòîëêíîâåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñå÷åíèåì σ ≡ σ(v ′ ), êîòîðîå çàâèñèò îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè v ′ . Äîïóñòèì
âíà÷àëå, ÷òî ñòàëêèâàþòñÿ ðàçíûå ÷àñòèöû. Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèöû 1 ëåæèò â èíòåðâàëå dv1 îêîëî v1 , à ñêîðîñòü ÷àñòèöû 2 ëåæèò â
èíòåðâàëå dv2 îêîëî v2 ðàâíà
dw12 = f (v1 )f (v2 )d3 v1 d3 v2 .
(4.10)
Ââîäèì îòíîñèòåëüíóþ ñêîðîñòü v ′ è ñêîðîñòü äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ V
ñîãëàñíî
m1 v1 + m2 v2
v ′ = v1 − v2 , V =
.
(4.11)
m1 + m2
Âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ îò ïàðû ïåðåìåííûõ v1 , v2 ê v ′ , V ðàâåí åäèíèöå. Òîãäà âåðîÿòíîñòü (4.10) çàïèñûâàåòñÿ
â âèäå:
(
dw12
)3/2
m1 + m2
2
e−(m1 +m2 )V /2T ×
=
2πT
( m )3/2
′2
r
×
e−mr v /2T d2 V d3 v ′ ,
2πT
(4.12)
ãäå mr = m1 m2 /(m1 + m2 ) îáîçíà÷àåò ïðèâåäåííóþ ìàññó. Åñëè ïðîèíòåãðèðîâàòü (4.12) ïî V , òî ïîëó÷èì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè:
(
)
( m )3/2
mr v ′2
r
′
exp −
.
f (v ) =
2πT
2T
Êàê âèäíî èç ïðèâåäåííîãî âûðàæåíèÿ, îíà ðàâíà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû ìàññû íà ïðèâåäåííóþ ìàññó
äâóõ ÷àñòèö. Ñ ïîìîùüþ íàéäåííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íàõîäèì ν̇−
÷èñëî ñòîëêíîâåíèé â åäèíèöó âðåìåíè â îáúåìå V îäíîé ÷àñòèöû ñîðòà 1 â åå ñèñòåìå ïîêîÿ ñî âñåìè N2 ÷àñòèöàìè ñîðòà 2, ïîäëåòàþùèìè
ê íåé ñî âñåõ íàïðàâëåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ñå÷åíèÿ, ñ
äàííîé ÷àñòèöåé 1 â åäèíèöó âðåìåíè ñòîëêíóòñÿ âñå ÷àñòèöû ñîðòà 2,
íàõîäÿùèåñÿ â öèëèíäðå ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ σ è âûñîòîé v ′ . Åñëè ýòî
÷èñëî óìíîæèòü íà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùåì èíòåðâàëå è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî âîçìîæíûì
56
åå çíà÷åíèÿì è ïî óãëàì ïîäëåòà, ïîëó÷èì
(
)
∫
N2 ( mr )3/2 ∞ ′ ′3
mr v ′2
′
ν̇ = 4π
dv v σ(v ) exp −
.
V 2πT
2T
0
Îòñþäà ïîëíîå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé â åäèíèöó âðåìåíè êàæäîé èç ÷àñòèö 1 ñ ÷àñòèöàìè 2 ðàâíî ν˙12 = ν̇N1 /2. Ìíîæèòåëü 1/2 ââåäåí äëÿ
òîãî, ÷òîáû äâàæäû íå ó÷èòûâàòü îäíî ñòîëêíîâåíèå. Åñëè âñå ÷àñòèöû
îäèíàêîâû, òî mr = m/2, è âûðàæåíèå äëÿ ÷èñëà ñòîëêíîâåíèé â îáúåìå
V â åäèíèöó âðåìåíè â òàêîì ãàçå ïðèìåò âèä:
(
)
∫
πN 2 ( m )3/2 ∞ ′ ′3
mv ′2
′
N =
dv v σ(v ) exp −
.
4V πT
4T
0
Åñëè èçâåñòíà çàâèñèìîñòü îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ýíåðãåòè÷åñêîãî
ýôôåêòà â îäíîì àêòå ñòîëêíîâåíèÿ, òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü èíòåãðàëüíóþ
ìîùíîñòü, âûäåëÿåìóþ (èëè ïîãëîùàåìóþ) ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ â ãàçå,
ïîäñòàâèâ óêàçàííóþ çàâèñèìîñòü â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ïðèâåäåííîé âûøå ôîðìóëû. Ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîé
ôîðìóëû ñîäåðæèòñÿ â çàäà÷å 6 ê ýòîé ãëàâå è èìååò áîëüøîé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò, â ïðèíöèïå, âû÷èñëèòü ýíåðãîâûäåëåíèå ïðè òåðìîÿäåðíûõ ðåàêöèÿõ âíóòðè çâåçä èëè ïðè òåðìîÿäåðíûõ
âçðûâàõ.
4.3 Ðàñïðåäåëåíèå ïî êîîðäèíàòàì
Ïðè íàëè÷èè âíåøíåãî ïîëÿ U (r) ìîæíî íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö ïî êîîðäèíàòàì n(r), íàçûâàåìóþ òàêæå ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Áîëüöìàíà. Îíà ïîëó÷àåòñÿ èç (4.6) èíòåãðèðîâàíèåì ïî èìïóëüñàì (èëè ñêîðîñòÿì):
]
[
U (r)
(4.13)
n(r) = n0 exp −
T
∫
è íîðìèðîâàíà íà ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö: d3 rn(r) = N . Ôèçè÷åñêè n(r)
äàåò ëîêàëüíóþ ïëîòíîñòü ÷èñëà ÷àñòèö. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèëîâîå
57
ïîëå íå âëèÿåò íà âíóòðèàòîìíóþ ñòðóêòóðó. Âîïðîñ î ñõîäèìîñòè íîðìèðîâî÷íîãî èíòåãðàëà äîëæåí ðåøàòüñÿ îòäåëüíî äëÿ êàæäîãî ïîòåíöèàëà. Èññëåäóåì åãî íà ïðèìåðå öèëèíäðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ïîòåíöèàëà
{
U0 ln aρ , ρ > a
.
U (ρ, ϕ, z) =
∞, ρ ≤ a
Îáîçíà÷èì ÷åðåç lz äëèíó â z - íàïðàâëåíèè. Òîãäà íîðìèðîâî÷íûé èíòåãðàë äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
(
)
∫ ∞
U0 ρ
N = 2πlz n0
dρρ exp − ln
=
T
a
a
∫ ∞ ( )1− U0
ρ
ρ
2πlz a2 n0
T
2
= πlz a n0
d = U0
(4.14)
a
a
−2
a
T
ñõîäèòñÿ ëèøü ïðè óñëîâèè T < U0 /2, ò.å. äëÿ äîñòàòî÷íî íèçêèõ òåìïåðàòóð. Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðàõ âûøå óêàçàííîãî
ïðåäåëà ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö íå îãðàíè÷åíî â ïðîñòðàíñòâå ââèäó ñëàáîé ëîãàðèôìè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû.
Ïîó÷èòåëüíî èññëåäîâàòü ïðè÷èíó âîçíèêíîâåíèÿ ïðåäåëüíîé òåìïåðàòóðû â ýòîé çàäà÷å ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ïîëíîé ýíåðãèè
E ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé íà åäèíè÷íûé èíòåðâàë ýíåðãèè (2.5):
)
(
∫ ∏
N
N
∑
d3 ri d3 pi
1
(4.15)
δ E−
Hi ,
Γ(E) =
N ! i=1 (2π~)3
i=1
p2
ãäå Hi = 2mi + U0 ln ρai åñòü ãàìèëüòîíèàí ÷àñòèöû i. Âñòàâèì â ïðàâóþ
÷àñòü (4.15) òîæäåñòâåííî ðàâíîå åäèíèöå âûðàæåíèå
∫
0
Ïîëó÷èì:
N
∞∏
dϵi δ(ϵi − Hi ) ≡ 1.
i=1
] (
)
∫ [∏
N
N
∑
1
dϵi ν(ϵi ) δ E −
ϵi ,
Γ(E) =
N!
i=1
i=1
58
ãäå
( 2
)
d3 rd3 p
p
ρ
ν(ϵ) =
δ
+ U0 ln − ϵ θ(ϵ)
(4.16)
(2π~)3
2m
a
îáîçíà÷àåò ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé íà åäèíè÷íûé èíòåðâàë ýíåðãèè äëÿ îäíîé ÷àñòèöû. Ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ â ïðàâîé ÷àñòè (4.16) ÿâíî ó÷èòûâàåò ïîëîæèòåëüíîñòü ïîëíîé ýíåðãèè îäíîé ÷àñòèöû â íàøåé çàäà÷å.
Ïåðåéäåì ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå è öèëèíäðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå è âíà÷àëå ïðîèíòåãðèðóåì ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå èìïóëüñà, èñïîëüçóÿ δ -ôóíêöèþ:
√
∫
lz (2m)3/2 a exp(ϵ/U0 )
ρ
ν(ϵ) =
dρρ ϵ − U0 ln .
3
2π~
a
a
∫
Åñëè ââåñòè íîâóþ ïåðåìåííóþ x ñîãëàñíî
)
(
ϵ
ρ
x=2
− ln
,
U0
a
òî âûðàæåíèå äëÿ îäíî÷àñòè÷íîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ïðèìåò âèä
( ) ∫ 2ϵ/U0
√ −x
2ϵ
lz a2
3
1/2
(m U0 ) exp
xe dx.
ν(ϵ) =
3
2π~
U0
0
Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò çäåñü âîïðîñ ñõîäèìîñòè íîðìèðîâî÷íîãî èíòåãðàëà ïðè ϵ/U0 ≫ 1, âåðõíèé ïðåäåë â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè
√ ìîæíî çàìåíèòü íà ∞, ïîñëå ÷åãî èíòåãðàë ïî x ñâåäåòñÿ ê Γ(3/2) = π/2. Òàêèì
îáðàçîì, îäíî÷àñòè÷íàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîé
ýíåðãèè îêàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøîé:
(
)1/2
lz a2 m3 U0
e2ϵ/U0 .
(4.17)
ν(ϵ) ≈ 3
4~
π
Ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé íà åäèíè÷íûé èíòåðâàë ýíåðãèè âñåãî ãàçà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé
∫
Γ(E) ≈ A dϵ1 dϵ2 · · · dϵN δ(ϵ1 + ϵ2 + · · · ϵN − E) ×
]
( )
[
2E
2
(ϵ1 + ϵ2 + · · · ϵN ) = A exp
×
× exp
U0
U0
∫
× dϵ1 dϵ2 · · · dϵN −1 θ(E − ϵ1 − ϵ2 − · · · ϵN −1 ) ≈
≈ BE N −1 e2E/U0 .
59
Çíàê ïðèáëèæåííûõ ðàâåíñòâ óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âûðàæåíèÿ ñïðàâåäëèâû â ïðåäåëå áîëüøîé ýíåðãèè, à êîíñòàíòû A, B íå çàâèñÿò îò ýíåðãèè.
Èç (3.5) íàõîäèì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýíåðãèè äëÿ ãàçà â ëîãàðèôìè÷åñêîì ïîòåíöèàëå, íàõîäÿùåãîñÿ â òåðìîñòàòå ïðè òåìïåðàòóðå
T:
(
)
2E E
N −1
w(E) ∝ E
exp
−
.
U0
T
Âèäíî, ÷òî ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü íîðìèðîâàíî ïðè òîì æå îãðàíè÷åíèè T < U0 /2, êîòîðîå âîçíèêëî ïðè íîðìèðîâêå ïðîñòðàíñòâåííîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñëåäóåò èíòåðïðåòèðîâàòü òàê, ÷òî êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå êàê ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ñèñòåìû â òåðìîñòàòå ãîäèòñÿ íå äëÿ âñåõ ñèòóàöèé.  ñëó÷àå ñèñòåì ñ ýíåðãåòè÷åñêèì ñïåêòðîì, èìåþùèì ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøóþ ïëîòíîñòü
ñîñòîÿíèé, íåïðèìåíèìî ïîíÿòèå òåðìîñòàòà êàê ñèñòåìû, íå èñïûòûâàþùåé îáðàòíîãî âëèÿíèÿ ñî ñòîðîíû ïîìåùàåìîé â íåãî òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð äîñòàòî÷íî èñêóññòâåííûé.
Îäíàêî ñèòóàöèÿ ñ íåâîçìîæíîñòüþ ââåäåíèÿ êàíîíè÷åñêîãî àíñàìáëÿ
âîçíèêàåò è â ðåàëüíîé çàäà÷å î ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ãðàâèòèðóþùèõ òåë.
4.4 Òåïëîåìêîñòü â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå
Ðàññìîòðèì ñòàòèñòè÷åñêóþ ìåõàíèêó ìíîãîàòîìíîé ìîëåêóëû ñ ïîçèöèé êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ïóñòü ÷èñëî àòîìîâ â ìîëåêóëå ðàâíî ν .
Ýíåðãèÿ ðàçáèâàåòñÿ íà ñóììó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîñòóïàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ, êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
è ýíåðãèþ ìàëûõ êîëåáàíèé àòîìîâ îòíîñèòåëüíî ðàâíîâåñíûõ ïîëîæåíèé. Âûøå óæå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå, êîãäà ñïðàâåäëèâà ñòàòèñòèêà Ìàêñâåëëà-Áîëüöìàíà, ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ íåðåëÿòèâèñòñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ íà îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû è íà îäíó ÷àñòèöó ðàâíà T /2, ñì. (4.9). Òî÷íî òàê æå ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî åñëè îáîáùåííàÿ êîîðäèíàòà qi âõîäèò â ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû êàê
ki qi2 /2, òî
⟨ 2⟩
ki qi
T
= .
(4.18)
2
2
60
Äåéñòâèòåëüíî, âçÿâ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (4.6) (4.6) è âûäåëèâ â ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè íóæíûé âêëàä, íàõîäèì
(
)
⟨ 2 ⟩ ∫ ∞ dq ki qi2 exp − ki qi2
(
)1/2
i 2
2T
−∞
ki qi
2πT
T
d
(
) =−
= ∫∞
ln
= .
2
k
q
2
d(1/T )
ki
2
dq exp − i i
−∞
i
2T
Àíàëîãè÷íûé âûâîä ñïðàâåäëèâ è äëÿ îáîáùåííîãî èìïóëüñà. Åñëè ìîëåêóëà íåëèíåéíàÿ, òî ýíåðãèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ â êëàññè÷åñêîì
ðåæèìå èìååò âèä
M12 M22 M32
Erot =
+
+
,
2I1
2I2
2I3
ãäå M1,2,3 îáîçíà÷àåò ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè 1,2
èëè 3, ðàññìàòðèâàåìûé êàê îáîáùåííûé èìïóëüñ, à I1,2,3 åñòü ìîìåíò
èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé. ×èñëî âðàùàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî rrot = 3.  ñëó÷àå ìîëåêóëû ñ ëèíåéíîé ôîðìîé
âðàùåíèå âîêðóã ïðîäîëüíîé îñè îòñóòñòâóåò, à I1 = I2 . Òîãäà ÷èñëî
âðàùàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî rrot = 2. ×èñëî ïîñòóïàòåëüíûõ
ñòåïåíåé ñâîáîäû âñåãäà ðàâíî rtrans = 3. Ñîãëàñíî çàêîíó ðàâíîðàñïðåäåëåíèÿ, ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàâíà 3T /2, ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàâíà ñîîòâåòñòâåííî 3T /2, T äëÿ
íåëèíåéíîé è ëèíåéíîé ìîëåêóëû.
Ïóñòü ν ≥ 2 åñòü ÷èñëî àòîìîâ â ìîëåêóëå. Ïîëíîå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî 3ν . Òîãäà íà êîëåáàíèÿ îñòàåòñÿ 3ν −6, 3ν −5 ñòåïåíåé ñâîáîäû ñîîòâåòñòâåííî äëÿ íåëèíåéíîé è ëèíåéíîé ìîëåêóëû. Ñ êîëåáàíèåì
ñâÿçàíà êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè, ïîýòîìó îíî ýôôåêòèâíî ñîäåðæèò äâå ñòåïåíè ñâîáîäû, òàê ÷òî ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ êîëåáàíèé
íà îäíó ìîëåêóëó ðàâíà (3ν − 6)T , (3ν − 5)T ñîîòâåòñòâåííî äëÿ íåëèíåéíîé è ëèíåéíîé ìîëåêóëû. Òàêèì îáðàçîì, òåïëîåìêîñòü èäåàëüíîãî
ν -àòîìíîãî ãàçà èç N ìîëåêóë ðàâíà
{
3ν − 3 (íåëèíåéíàÿ ìîëåêóëà),
(4.19)
CV = N ×
3ν − 52 (ëèíåéíàÿ ìîëåêóëà).
Äëÿ îäíîàòîìíîãî ãàçà
3
CV = N.
2
Ïðè íå ñëèøêîì íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ýêñïåðèìåíò íå ïðîòèâîðå÷èò ëèøü
ïðåäñêàçàíèÿì äëÿ îäíîàòîìíîãî ãàçà, òîãäà êàê äëÿ äâóõàòîìíîãî, òðåõàòîìíîãî è ò.ä. ãàçà ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ òåïëîåìêîñòè ìåíüøå
61
Òàáëèöà 4.1: Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ýíåðãèè äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë â êåëüâèíàõ.
Ìîëåêóëà
H2
N2
O2
NO
Idiss
52000
113000
59000
61000
~
~ω
2I
6100 85.4
3340 2.9
2230 2.1
2690 2.4
2
ïðåäñêàçàíèé (4.19). Ïðè÷èíà ðàñõîæäåíèÿ ëåæèò â êâàíòîâûõ ñâîéñòâàõ âíóòðåííèõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ìíîãîàòîìíûõ ìîëåêóë. Ïåðåéäåì
ê èõ ðàññìîòðåíèþ íà ïðèìåðå äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû.
4.5 Ãàç äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë
 ïåðâîé ÷àñòè ýòîãî êóðñà áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êâàíòîâàííûå óðîâíè ýíåðãèè âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû ïðèáëèæåííî
ðàçáèâàþòñÿ íà ñóììó ýëåêòðîííîé ~ωel , êîëåáàòåëüíîé è âðàùàòåëüíîé
ýíåðãèè:
(
)
1
~2
ϵv,K = ~ωel + ~ω v +
+ K(K + 1),
(4.20)
2
2I
ãäå v = 0, 1, ·, K = 0, 1, · · · îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî êîëåáàòåëüíîå è
âðàùàòåëüíîå êâàíòîâûå ÷èñëà. Ïðè ýòîì õàðàêòåðíûå âåëè÷èíû êâàíòîâ ýíåðãèè ýëåêòðîííûõ, êîëåáàòåëüíûõ è âðàùàòåëüíûõ óðîâíåé îòíîñÿòñÿ êàê
√
m m
~2
~ωel : ~ωvibr : ~ωrot ≡ ~ωel : ~ω :
=1:
:
,
(4.21)
2I
M M
ãäå m/M = 1/2000 − 1/200000 åñòü îòíîøåíèå ìàññû ýëåêòðîíà ê ìàññå ÿäðà.  êà÷åñòâå åñòåñòâåííîãî ìàñøòàáà ýëåêòðîííîé ýíåðãèè ~ωel
ìîæíî âçÿòü ýíåðãèþ äèññîöèàöèè Idiss .  òàáë. 4.1 ïðèâåäåíû ýíåðãåòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè íåêîòîðûõ äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë. Âèäíî, ÷òî
ñîîòíîøåíèå (4.21) õîðîøî âûïîëíÿåòñÿ.
62
1,0
0,8
0,6
r
b
i
v 0,4
c
0,2
0,0
0
20
40
60
80
100
T
Ðèñ. 4.1: Òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü òåïëîåìêîñòè îñöèëëÿòîðà. Òåìïåðàòóðà ïðèâîäèòñÿ â åäèíèöàõ êâàíòà êîëåáàòåëüíîé ýíåðãèè ~ω .
Íàéäåì òåðìîäèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû â ðàñ÷åòå íà îäíó ÷àñòèöó, îáîçíà÷èâ ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû ìàëûìè áóêâàìè. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû
ðàâíà
[
(
)]
∞
∑
~ω
1
1
exp −
zvibr =
v+
=
.
(4.22)
~ω
T
2
2 sh 2T
v=0
Îòñþäà íàõîäèì ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ
(
)
~ω
fvibr = T ln 2 sh
,
2T
ýíòðîïèþ
svibr
)
( )
(
~ω
~ω
~ω
+
cth
= − ln 2 sh
2T
2T
2T
è ýíåðãèþ
Evibr /N = fvibr + T svibr
~ω
=
cth
2
(
~ω
2T
)
=
~ω
1
( ~ω )
+
.
2
exp T − 1
Êîëåáàòåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü íà îäíó ÷àñòèöó ðàâíà
( )
( )2
exp ~ω
~ω
cvibr =
[
( ~ω )T ]2 .
T
exp T − 1
(4.23)
(4.24)
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè cvibr îò òåìïåðàòóðû ïîêàçàí íà ðèñ. 4.1. Ïðè
~ω/T ≫ 1 (íèçêèå òåìïåðàòóðû) òåïëîåìêîñòü ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà:
cvibr ≈ exp(−~ω/T ). Êà÷åñòâåííî ýêñïîíåíöèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü òåïëîåìêîñòè îáúÿñíÿåòñÿ íà îñíîâå ïðèíöèïà Áîëüöìàíà. Äåéñòâèòåëüíî,
63
ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ñóùåñòâåííà êâàíòîâàÿ äèñêðåòíîñòü ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà. Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííû òîëüêî îñíîâíîå è ïåðâîå
âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèÿ. Òåïëîåìêîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà ÷èñëó ÷àñòèö
â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè c ∝ exp(−∆ϵ/T ), ãäå ∆ϵ = ~ω ðàâíî ðàçíîñòè ýíåðãèé ìåæäó ïåðâûì âîçáóæäåííûì è îñíîâíûì ñîñòîÿíèÿìè.
Ïðè ~ω/T ≪ 1 (âûñîêèå òåìïåðàòóðû) cvibr ≈ 1, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ çàêîíîì ðàâíîðàñïðåäåëåíèÿ. Èç âòîðîãî ñòîëáöà òàáë. 4.1 4.1 âèäíî, ÷òî
êâàíò êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âåëèê, ïîýòîì ïðè óìåðåííî íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ T < 1000 K êîëåáàòåëüíàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû íå âîçáóæäàåòñÿ
(¾âûìîðàæèâàåòñÿ¿). Ýòî ðåøàåò îòìå÷åííóþ ïðîáëåìó êëàññè÷åñêèõ
òåïëîåìêîñòåé ãàçîâ, ïîñêîëüêó ïðè îáû÷íûõ òåìïåðàòóðàõ ñëåäóåò èñêëþ÷èòü âêëàä êîëåáàíèé.
Ïðè ðàññìîòðåíèè âðàùàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü ñëó÷àè ìîëåêóë, ñîñòàâëåííûõ èç ðàçíûõ (íàïðèìåð, CO èëè HF
è ò.ä.) è îäèíàêîâûõ (íàïðèìåð, H2 , D2 è ò.ä.) àòîìîâ.  ïåðâîì ñëó÷àå
ñòàòñóììà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàâíà
[
]
∞
∑
~2
zrot =
(2K + 1) exp −
K(K + 1) .
(4.25)
2IT
K=0
Ìíîæèòåëü 2K + 1 ó÷èòûâàåò âûðîæäåíèå óðîâíåé ïî êâàíòîâîìó ÷èñëó ïðîåêöèè îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ÿäåð íà îñü z . Ñóììà (4.25) íå âû÷èñëÿåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Íàéäåì ÿâíûå âûðàæåíèÿ â äâóõ
~2
≫ 1 ìîæíî îãðàïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ. Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ 2IT
~2
íè÷èòüñÿ äâóìÿ íèçøèìè ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ zrot ≈ 1 + 3e− IT , à ïðè
~2
âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ 2IT
≪ 1 çàìåíèòü ñóììèðîâàíèå ïî K íà èíòåãðèðîâàíèå è ïðåíåáðå÷ü åäèíèöåé ïî ñðàâíåíèþ ñ K :
∫ ∞
~2
2IT
2
zrot ≈
dK2Ke− 2IT K = 2 .
(4.26)
~
0
Ïî ôîðìóëå
(
)
∂
2 ∂ ln Z
CV =
T
(4.27)
∂T
∂T
V
íàõîäèì âðàùàòåëüíóþ òåïëîåìêîñòü â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäåëüíûõ
ñëó÷àÿõ:
{ ( )
crot ≈
3
~2
IT
2
~2
e− IT (íèçêèå òåìïåðàòóðû),
1 (âûñîêèå òåìïåðàòóðû).
64
(4.28)
Çäåñü ýêñïîíåíöèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü òåïëîåìêîñòè ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ òàêæå èìååò ÷èñòî êâàíòîâîå ïðîèñõîæäåíèå. Ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ ìû ïîïàäàåì â êëàññè÷åñêóþ îáëàñòü, ãäå ðàáîòàåò çàêîí ðàâíîðàñïðåäåëåíèÿ. Âèäíî, ÷òî ¾ãàðàíòîì¿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû Íåðíñòà (èëè òðåòüåãî íà÷àëà òåðìîäèíàìèêè) âûñòóïàåò êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ïðè ïðîìåæóòî÷íûõ òåìïåðàòóðàõ âðàùàòåëüíàÿ ñòàòñóììà (4.25)
ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíà ÷èñëåííî, åñëè îáîðâàòü ñóììèðîâàíèå ïðè K =
Kmax . Ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ âðàùàòåëüíîé òåïëîåìêîñòè ïðåäñòàâëåí íà
ðèñ. 4.2. Âèäíî, ÷òî âûõîä íà êëàññè÷åñêèé ðåæèì ïðîèñõîäèò óæå ïðè
òåìïåðàòóðàõ ïîðÿäêà óäâîåííîãî êâàíòà âðàùàòåëüíîé ýíåðãèè, à ñóììèðîâàíèå ìîæíî îñòàíîâèòü ïðè âåñüìà óìåðåííîì Kmax = 5. Ïðè÷èíó
ïîÿâëåíèÿ íåáîëüøîãî ïèêà ïðè T ≈ 0.7 ìîæíî ïîíÿòü, åñëè ðåøèòü
çàäà÷ó 4 ê ýòîé ãëàâå. Êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ ïåðâîãî âîçáóæäåííîãî
óðîâíÿ ðàâíà 3, ïîýòîìó ýôôåêò áîëüøîé êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ âåðõíåãî óðîâíÿ â äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû ïðîÿâëÿåòñÿ è â äàííîé ñëó÷àå.
Îòäåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ òðåáóþò äâóõàòîìíûå ìîëåêóëû, ñîñòàâëåííûå èç îäèíàêîâûõ àòîìîâ. Òîæäåñòâåííîñòü ÿäåð íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà èõ ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû
Ψ ñõåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè
ýëåêòðîííîé (el) è ÿäåðíîé (N) ïîäñèñòåì:
Ψ = ψel χel ψN χN ,
ãäå ψ , χ ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîîðäèíàòíîé è ñïèíîâîé âîëíîâîé
ôóíêöèÿìè. Ψ äîëæíà áûòü ñèììåòðè÷íîé (àíòèñèììåòðè÷íîé) îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè òîæäåñòâåííûõ ÿäåð, åñëè èõ ñïèí öåëûé (ïîëóöåëûé). Ïîñêîëüêó χel íå çàâèñèò îò ñïèíîâ è êîîðäèíàò ÿäåð, îíà ïðè
òàêîé ïåðåñòàíîâêå ñèììåòðè÷íà. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ψel ñèììåòðè÷íà
îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÿäåð. Ïîýòîìó ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ
áóäåò óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíèÿì ïðèíöèïà òîæäåñòâåííîñòè, åñëè òàêèì òðåáîâàíèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïðîèçâåäåíèå ψN χN . Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿäåð ψN çàâèñèò ëèøü îò ðàäèóñ-âåêòîðà R,
åå ÷åòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÿäåð ýêâèâàëåíòíà ÷åòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè R → −R è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíà (−1)K . Åñëè ÿäðà èìåþò ïîëóöåëûé ñïèí, ïðîèçâåäåíèå ψN χN àíòèñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÿäåð, ïîýòîìó K äîëæíû áûòü
íå÷åòíûìè (÷åòíûìè) äëÿ ñèììåòðè÷íîé (àíòèñèììåòðè÷íîé) ñïèíîâîé
ôóíêöèè.  ñëó÷àå, êîãäà ñïèí ÿäåð öåëûé, ψN χN ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÿäåð, ïîýòîìó K äîëæíû áûòü íå÷åòíûì (÷åòíûì)
65
1,2
1,0
0,8
to 0,6
r 0,4
Kmax=2
0,2
Kmax=3
c
Kmax=5
0,0
0
1
2
3
4
5
T
Ðèñ. 4.2: Òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü âðàùàòåëüíîé òåïëîåìêîñòè ïðè
ðàçëè÷íûõ Kmax . Òåìïåðàòóðà ïðèâîäèòñÿ â åäèíèöàõ êâàíòà âðàùàòåëüíîé ýíåðãèè ~2 /2I .
äëÿ àíòèñèììåòðè÷íîé (ñèììåòðè÷íîé) ñïèíîâîé ôóíêöèè. Âîçüìåì ìîëåêóëó H2 . ßäåðíûé ñïèí SN ðàâåí 0 ëèáî 1. Åñëè SN = 1, ìû èìååì ñëó÷àé îðòîâîäîðîäà. Ñïèíîâàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèììåòðè÷íà, ïîýòîìó
K = 1, 3, ·. Âðàùàòåëüíàÿ ñòàòñóììà äëÿ ìîëåêóëû îðòîâîäîðîäà ðàâíà
[
]
(
)
∞
∑
~2
~2
ortho
zrot =
(2K + 1) exp −
K(K + 1) = 3 exp −
+ ··· .
2IT
IT
K=1,3,···
Åñëè æå SN = 0, òî ìîäèôèêàöèÿ ìîëåêóëÿðíîãî âîäîðîäà íàçûâàåòñÿ ïàðàâîäîðîäîì. Ñïèíîâàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿäåð àíòèñèììåòðè÷íà,
ïîýòîìó K = 0, 2, · · · , à âðàùàòåëüíàÿ ñòàòñóììà ðàâíà
[
]
(
)
∞
∑
~2
3~2
para
zrot =
(2K + 1) exp −
K(K + 1) = 1 + 5 exp −
+ ··· .
2IT
IT
K=0,2,···
 ïðåäåëå âûñîêèõ òåìïåðàòóð âðàùàòåëüíûå ñòàòñóììû äëÿ îáåèõ ìîäèôèêàöèé ñîâïàäàþò è ðàâíû ïîëîâèíå âåëè÷èíû êëàññè÷åñêîé âðàùàòåëüíîé ñòàòñóììû (4.26).  êâàçèêëàññè÷åñêîì ðåæèìå ýòîò ìíîæèòåëü
1/2 îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðÿìîå è ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèÿ îñè
ìîëåêóëû âèäà AA, ñîñòàâëåííîé èç îäèíàêîâûõ àòîìîâ, äàþò îäíî è
òî æå ñîñòîÿíèå. Ó âîäîðîäà åñòü òÿæåëûå èçîòîïû, îäíèì èç êîòîðûõ
ÿâëÿåòñÿ äåéòåðèé (D). ßäðî äåéòåðèÿ äåéòîí (d) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ïðîòîíà è íåéòðîíà è ÿâëÿåòñÿ áîçîíîì ñî ñïèíîì
1.  ñëó÷àå ìîëåêóëû D2 ïîëíàÿ ÿäåðíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà
áûòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÿäåð. Òîãäà îðòîäåéòåðèé, â êîòîðîì ñïèíû ÿäåð ñêëàäûâàþòñÿ (SN = 2), èìååò ñèììåòðè÷íóþ
66
îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ñïèíîâóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ (ñîñòîÿíèå ñ
SN = 0 òàêæå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ñïèíîâ ÿäåð).
Ïîýòîìó êîîðäèíàòíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿäåð äîëæíà áûòü ñèììåòðè÷íà, ñëåäîâàòåëüíî, äîïóñòèìû òîëüêî ÷åòíûå îðáèòàëüíûå ìîìåíòû
K = 0, 2, 4, · · · äëÿ óêàçàííûõ ñîñòîÿíèé.  ïàðàäåéòåðèè SN = 1, ñïèíîâàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿäåð àíòèñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè, ïîýòîìó ÿäåðíàÿ êîîðäèíàòíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ òàêæå äîëæíà
áûòü àíòèñèììåòðè÷íîé. Îòñþäà âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ÿäåð ÿâëÿþòñÿ íå÷åòíûå ÷èñëà K = 1, 3, · · · .
Ïðèâåäåì âûðàæåíèå äëÿ ñòàòñóììû äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû ïðè òåìïåðàòóðàõ, êîãäà êîëåáàíèÿ ñ÷èòàþòñÿ âûìîðîæåííûìè, à âðàùàòåëüíîå
äâèæåíèå, íàîáîðîò, ó÷èòûâàåòñÿ ÷èñòî êëàññè÷åñêè. Ïîëàãàÿ, ÷òî âíåøíèå ïîëÿ îòñóòñòâóþò, èç (4.6), (4.22) è (4.26) ïîëó÷àåì
[
]
)3/2
~(ωel + ω) 2IT
mT
z ≡ z(T, V ) = gel gN
V exp −
×
2π~2
T
~2
{
1 (ìîëåêóëà AB)
× 1
.
(4.29)
(ìîëåêóëà AA)
2
(
ßäåðíûé ñòàòâåñ äëÿ ìîëåêóëû AB ðàâåí gN = (2sA + 1)(2sB + 1). Ýëåêòðîííûé ñòàòâåñ gel çàâèñèò çàâèñèò îò çíà÷åíèé ýëåêòðîííîãî ñïèíà S
è ïðîåêöèè îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíîâ Λ íà îñü ìîëåêóëû. Ïðè
Λ = 0 èìååì gel = 2S + 1. Åñëè Λ ̸= 0, S ̸= 0, òî âìåñòî gel íóæíî
óìåòü ñ÷èòàòü ñòàòñóììó ýëåêòðîííûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû, îïðåäåëÿåìóþ
äåòàëÿìè ðàñùåïëåíèÿ ìîëåêóëÿðíûõ òåðìîâ [5]. Ýòî âûõîäèò çà ðàìêè
äàííîãî êóðñà.
4.6 Õèìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå è ðåàêöèè
Óðàâíåíèå ëþáîé ðåàêöèè (õèìè÷åñêîé, ÿäåðíîé è ò.ä.) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
∑
νi Ai = 0,
(4.30)
i
ãäå i íóìåðóåò ðåàãèðóþùèå âåùåñòâà, Ai îáîçíà÷àåò ñèìâîë âåùåñòâà,
à âåëè÷èíû νi íàçûâàþòñÿ ñòåõèîìåòðè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàïðèìåð, ðåàêöèÿ ãîðåíèÿ âîäîðîäà â êèñëîðîäå ñ îáðàçîâàíèåì âîäû
67
2H2 + O2 2H2 O ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (4.30) ñ êîýôôèöèåíòàìè νH2 = 2,
νO2 = 1, νH2 O = −2. Ðàâíîâåñíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîäû î ðàâíîâåñíîé êîíöåíòðàöèè â ñìåñè ðåàãèðóþùèõ âåùåñòâ
1
. Ïóñòü ðåàêöèÿ èäåò ïðè ôèêñèðîâàííûõ òåìïåðàòóðå T è äàâëåíèè
P . Â ýòèõ óñëîâèÿõ â ðàâíîâåñèè äîñòèãàåò ìèíèìóìà ïîòåíöèàë Ãèááñà
Φ(P, T, {Ni }), â êîòîðîì â êà÷åñòâå àðãóìåíòà ÿâíî óêàçàíà ñîâîêóïíîñòü
÷èñåë ÷àñòèö Ni âñåõ ðåàãèðóþùèõ âåùåñòâ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü õèìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå â ãàçîâîé ñìåñè, ñ÷èòàÿ ñïðàâåäëèâûì ïðèáëèæåíèå
èäåàëüíîãî ãàçà. Òîãäà âìåñòî Ni ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ ïàðöèàëüíûå äàâëåíèÿ Pi = Ni T /V . Ni íå íåçàâèñèìû, à ñâÿçàíû óðàâíåíèåì ðåàêöèè: dN1 /ν1 = dNi /νi , i ̸= 1.2 Èçìåíåíèå
ïîòåíöèàëà Ãèááñà ðàâíî
δΦ =
∑
i
µi
∑
∂Ni
δN1 =
µi νi δN1 /ν1 ,
∂N1
i
ãäå µi − õèìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû ðåàãèðóþùèõ âåùåñòâ.  ðàâíîâåñèè
δΦ = 0, ïîýòîìó óñëîâèåì õèìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
∑
νi µi = 0.
(4.31)
i
Èç âûðàæåíèÿ äëÿ ñòàòñóììû N ÷àñòèö (4.3) è îïðåäåëåíèÿ (1.11) íàõîäèì:
[ (
]
)3/2
Ni
Pi 2π~2
1
µi = T ln
= T ln
,
(4.32)
zi (V, T )
T mi T
ziinternal (T )
ãäå
(
zi (V, T ) = V
mi T
2π~2
)3/2
ziinternal (T )
Âîîáùå ãîâîðÿ, õèìè÷åñêàÿ ðåàêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåðàâíîâåñíûì ïðîöåññîì. Îáîñíîâàíèå ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë ðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè â äàííîì ñëó÷àå ïðèâîäèòñÿ
â êíèãå [8].
2 Äëÿ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé óêàçàííîå óñëîâèå îçíà÷àåò íåäåëèìîñòü àòîìîâ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ ìîëåêóëû. Äëÿ ÿäåðíûõ è òåðìîÿäåðíûõ ðåàêöèé ïîäîáíûå ñîîòíîøåíèÿ îòðàæàþò ñîõðàíåíèå áàðèîííîãî ÷èñëà, ðàâíîãî +1 äëÿ ïðîòîíà è íåéòðîíà,
-1 äëÿ èõ àíòè÷àñòèö, è íóëþ äëÿ ôîòîíà, ýëåêòðîíà è íåéòðèíî ñ èõ àíòè÷àñòèöàìè.
1
68
åñòü îäíî÷àñòè÷íàÿ ñòàòñóììà. Óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ (4.31) ìîæíî çàïèñàòü â äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìàõ. Âî-ïåðâûõ, ìîæíî íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó ðàâíîâåñíûìè ÷èñëàìè ÷àñòèö Ni ñ ïîìîùüþ ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ â (4.32):
∏
∏
Niνi =
ziνi ≡ Kc (V, T ).
(4.33)
i
i
Âî-âòîðûõ, ìîæíî íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó ðàâíîâåñíûìè ïàðöèàëüíûìè äàâëåíèÿìè Pi ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ñîîòíîøåíèÿ â (4.32):
[ (
] νi
)3/2
∏
∏
m
T
i
T
≡ KP (T ).
(4.34)
Piνi =
ziinternal (T )
2
2π~
i
i
Âåëè÷èíû Kc (V, T ) è KP (T ) íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîíñòàíòîé ðåàêöèè ïî ÷èñëó ÷àñòèö (êîíöåíòðàöèè) è ïî äàâëåíèþ. Îáà ñîîòíîøåíèÿ
(4.33) è (4.34) âûðàæàþò ñîáîé çàêîí äåéñòâóþùèõ ìàññ. Âûðàæåíèå
(4.34) áîëåå óäîáíî, ïîñêîëüêó KP çàâèñèò òîëüêî îò òåìïåðàòóðû.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðàâíîâåñíóþ èîíèçàöèþ àòîìàðíîãî
âîäîðîäà H p + e− íà ïðîòîí p è ýëåêòðîí e− ïðè çàäàííûõ P è T .
Âû÷èñëèì ñòåïåíü äèññîöèàöèè α, îïðåäåëèâ åå êàê îòíîøåíèå ïàðöèàëüíîãî äàâëåíèÿ ñâîáîäíûõ ïðîòîíîâ Pp ê ñóììå ïàðöèàëüíûõ äàâëåíèé
ñâîáîäíûõ ïðîòîíîâ è ïðîòîíîâ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ àòîìîâ PH :
α=
Pp
.
Pp + PH
Ñèñòåìà â öåëîì ýëåêòðîíåéòðàëüíà: Pe− = Pp ; ýôôåêòû êóëîíîâñêîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ íå ó÷èòûâàåì. Î÷åâèäíî, ÷òî PH = (1 − α)(Pp + PH ). Â
òåðìèíàõ α ïîëíîå äàâëåíèå ñìåñè ðàâíî P = PH +2Pp = (1+α)(PH +Pp ).
Ñ ó÷åòîì ýòèõ âûðàæåíèé è îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíòû ðåàêöèè KP íàõîäèì
ðàâíîâåñíóþ ñòåïåíü èîíèçàöèè:
α= √
1
1 + P KP (T )
[
= 1+
(
2π~2
me
)3/2
P I/T
e
T 5/2
]−1/2
,
(4.35)
ãäå me åñòü ìàññà ýëåêòðîíà, à I = 13.6ýÂ = 1.58 × 105 K − ïîòåíöèàë
èîíèçàöèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà. Ó÷òåíî, ÷òî âíóòðåííèå
internal
ñòàòñóììû èìåþò âèä zH
= 4eI/T , zeinternal
= zpinternal = 2. Ôîðìóëà
−
(4.35) íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Ñàõà è èìååò î÷åíü áîëüøîå çíà÷åíèå â
69
ôèçèêå çâåçäíûõ àòìîñôåð. Çàâèñèìîñòü α îò òåìïåðàòóðû î÷åíü ñèëüíàÿ.  ñàìîì äåëå, äîïóñòèì, ÷òî P = 1 àòì = 106 äèí · ñì−2 . Ïðè òåìïåðàòóðàõ T = 103 , 5×103 , 104 , 1.58×104 , 5×104 K ðàñ÷åò äàåò ñîîòâåòñòâåííî α = 1.6 × 10−34 , 3.3 × 10−6 , 2.1 × 10−2 , 0.56, 0.99994. Âèäèì, ÷òî, ñ îäíîé
ñòîðîíû, óæå ïðè T = I/10 = 1.58 × 104 èîíèçîâàíî 56 ïðîöåíòîâ àòîìîâ
âîäîðîäà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè òåìïåðàòóðàõ T < 5000K ïðàêòè÷åñêè
âñå àòîìû âîäîðîäà íå èîíèçîâàíû. Ïîñêîëüêó ðàçíîñòü ýíåðãèé ìåæäó
ïåðâûì âîçáóæäåííûì óðîâíåì ðàâíà 3I/4 ∼ I , òî ïðè T < 5000K ïðàêòè÷åñêè âñå àòîìû âîäîðîäà íàõîäÿòñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè. Èìåííî
ýòî ïîçâîëÿåò âî âíóòðåííåé ñòàòñóììå àòîìà ïðè íå ñëèøêîì âûñîêèõ
òåìïåðàòóðàõ îãðàíè÷èòüñÿ îñíîâíûì ñîñòîÿíèåì.
Ðàññìîòðèì òåïëîâîé ýôôåêò ðåàêöèè ïðè ôèêñèðîâàííûõ P, T . Òîãäà êîëè÷åñòâî òåïëà ðàâíî (δQ)P = δH , ãäå H îáîçíà÷àåò ýíòàëüïèþ.
Âû÷èñëèì âåëè÷èíó T 2 ∂ ln KP /∂T , èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.34):
) ∑
internal
∑ (5
2 ∂ ln KP
2 ∂ ln zi
T
=
νi
T +T
=
νi hi ≡ −δh,
∂T
2
∂T
i
i
ãäå δh = hfinal − hinitial åñòü èçìåíåíèå ýíòàëüïèè â îäíîì àêòå ðåàêöèè.
Ïðè âûâîäå áûëî ó÷òåíî, ÷òî â ñëó÷àå èäåàëüíîãî ãàçà ýíåðãèÿ íà îäíó
÷àñòèöó ðàâíà ei ≡ Ei /Ni = 3T /2 + T 2 ∂ ln ziinternal /∂T , ýíòàëüïèÿ hi ≡
Hi /Ni = (Ei + Pi V )/Ni = ei + T = 5T /2 + T 2 ∂ ln ziinternal /∂T . Åñëè äî
äîñòèæåíèÿ õèìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ïðîèçîøëî δN0 àêòîâ ðåàêöèè, òî
òåïëîòà ðåàêöèè ðàâíà
(δQ)P = −δN0 T 2
∂ ln KP
.
∂T
(4.36)
Ê ïðèìåðó, ïðèìåíåíèå ôîðìóëû (4.36) ê ïðîöåññó èîíèçàöèè äàåò íà
îäèí àêò (δQ)P = 5T /2 + I .
4.7 Çàäà÷è
1. Îöåíèòü òåìïåðàòóðó âíóòðè Ñîëíöà, ñ÷èòàÿ, ÷òî ðàâíîâåñèå ïîääåðæèâàåòñÿ áëàãîäàðÿ êîìïåíñàöèè ñèëû ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ äàâëåíèåì êëàññè÷åñêîãî îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà
ïðîòîíîâ è ýëåêòðîíîâ.
70
2. Èäåàëüíûé ãàç èç N êëàññè÷åñêèõ áåññïèíîâûõ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ïîìåùåí â íåïðîíèöàåìûé ñîñóä îáúåìà V . Òåìïåðàòóðà T .
Âû÷èñëèòü òåïëîåìêîñòü ãàçà.
3. Âû÷èñëèòü òåïëîåìêîñòü êëàññè÷åñêîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà, ïîìåùåííîãî â çàìêíóòûé îáúåì V , âíóòðè êîòîðîãî åñòü îáëàñòü îáúåìîì V0 < V , â êîòîðîé äåéñòâóåò ïîëå ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé
U0 .
4. Ïîêàçàòü, ÷òî â òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè òåïëîåìêîñòè äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû, ó êîòîðîé êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ g âåðõíåãî
óðîâíÿ íàñòîëüêî âåëèêà, ÷òî ln g ≫ 1, âîçíèêàåò ðåçêèé ïèê. Íàéòè åãî ïîëîæåíèå è îöåíèòü øèðèíó.
5. Ãàç ìîëåêóë ïðè òåìïåðàòóðå T íàõîäèòñÿ â ñîñóäå, îãðàíè÷åííîì
ñòåíêàìè. Âû÷èñëèòü äîëþ òåõ ìîëåêóë ñ ýíåðãèåé, ïðåâûøàþùåé
ε0 , êîòîðûå äîñòèãàþò ñòåíêè.
6. Çàâèñèìîñòü ñå÷åíèÿ òåðìîÿäåðíîé ðåàêöèè d + t → He3 + n îò
ýíåðãèè ε èìååò âèä
(
)
a
b
σ(ε) = exp − √ ,
ε
ε
ãäå a = 6 × 10−17 ý ñì2 , b = 1.5 × 103 ýÂ1/2 . Ðàññ÷èòàòü âûõîä
íåéòðîíîâ ïðè òåìïåðàòóðàõ T = 107 , 108 è 109 K, âçÿâ çà åäèíèöó
âûõîä ïðè T = 107 K.
7. Çíàÿ Idiss , ~ω è ~2 /2I äëÿ ìîëåêóëû H2 (ñì. òàáë. 4.1), âû÷èñëèòü
ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû äëÿ ìîëåêóë D2 è HD.
8. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ òåïëîòû ðåàêöèè â ñëó÷àå ôèêñèðîâàííûõ V, T .
9. Âû÷èñëèòü êîíñòàíòó KP (T ) ðåàêöèè äèññîöèàöèè ìîëåêóëû àçîòà
N2 2N ïðè òåìïåðàòóðàõ T = 1000, 5000 K. Íåîáõîäèìûå ÷èñëîâûå äàííûå âçÿòü èç òàáë. 4.1. Íîðìàëüíûé òåðì ìîëåêóëû àçîòà
4
åñòü 1 Σ+
g , íîðìàëüíûé òåðì àòîìà àçîòà − S3/2 .
71
Ãëàâà 5
Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàç
5.1 Êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö â êîíå÷íîì
îáúåìå
Ïåðåõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ ñëó÷àÿ, êîãäà ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó
÷àñòèöàìè ìåíüøå ÷åì èõ òåïëîâàÿ äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ:
~
.
n−1/3 < λT ∼ √
mT
(5.1)
Ýòî óñëîâèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â òåðìèíàõ òåìïåðàòóðû êàê
T < T0 ∼
~2 n2/3
.
m
(5.2)
Õàðàêòåðíàÿ òåìïåðàòóðà T0 íàçûâàåòñÿ òåìïåðàòóðîé âûðîæäåíèÿ, à
ñèñòåìà ìíîãèõ ÷àñòèö ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5.1) èëè (5.2) íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé.  âûðîæäåííîì ãàçå âîëíîâûå ôóíêöèè îòäåëüíûõ
÷àñòèö ñèëüíî ïåðåêðûâàþòñÿ. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ òàêèõ ñèñòåì íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî âñå êâàíòîâûå
÷àñòèöû â ïðèðîäå îòíîñÿòñÿ ê äâóì ôóíäàìåíòàëüíî ðàçëè÷íûì êëàññàì. Ôåðìèîíàìè íàçûâàþòñÿ ÷àñòèöû ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì 1/2, 3/2 è
ò.ä. Èç ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ê ýòîìó êëàññó îòíîñÿòñÿ ýëåêòðîíû, ïðîòîíû, íåéòðîíû è íåéòðèíî. Ñëîæíûå ñèñòåìû ÷àñòèö, ñîñòàâëåííûå èç
íå÷åòíîãî ÷èñëà ôåðìèîíîâ, òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôåðìèîíàìè, íàïðèìåð,
72
èçîòîï ãåëèÿ He3 . Ïîâåäåíèå ìàêðîñêîïè÷åñêè áîëüøîãî ÷èñëà ôåðìèîíîâ óïðàâëÿåòñÿ ïðèíöèïîì Ïàóëè, ñîãëàñíî êîòîðîìó äàííîå êâàíòîâîå
ñîñòîÿíèå ìîæåò áûòü èëè ñâîáîäíûì, èëè çàíÿòûì íå áîëåå ÷åì îäíîé
÷àñòèöåé. Ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ òîæäåñòâåííûõ ôåðìèîíîâ ìåíÿåò
çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáîé èõ ïàðû. Ê äðóãîìó êëàññó ïðèíàäëåæàò
áîçîíû. Èõ ñïèí öåëûé: 0,1,2 è ò.ä. Ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñîâîêóïíîñòè òîæäåñòâåííûõ áîçîíîâ íå ìåíÿåò çíàêà ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáîé
èõ ïàðû. Íàïðèìåð, ôîòîíû ÿâëÿþòñÿ áîçîíàìè. Èç ñîñòàâíûõ ÷àñòèö
ê áîçîíàì îòíîñÿòñÿ àòîìû, ñîñòàâëåííûå èç ÷åòíîãî ÷èñëà ôåðìèîíîâ,
íàïðèìåð, èçîòîï ãåëèÿ He4 . Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà îáîèõ óêàçàííûõ
êëàññîâ ÷àñòèö ñîâåðøåííî ðàçëè÷íà.  ýòîé ãëàâå áóäóò ðàññìîòðåíû
ôåðìèîíû.
 íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ïðåíåáðåãàåì âçàèìîäåéñòâèåì ôåðìèîíîâ
äðóã ñ äðóãîì è ñ âíåøíèì ïîëåì. Òîãäà êîîðäèíàòíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÷àñòèöû ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïëîñêîé âîëíîé ψp (r) ∝ eipr/~ . Ïðèìåì
îáû÷íûé â ôèçèêå òâåðäîãî òåëà ïîäõîä, ñîãëàñíî êîòîðîìó êîíå÷íûé
îáúåì ñèñòåìû V = Lx Ly Lz çàäàåòñÿ íå â âèäå íåïðîíèöàåìûõ äëÿ ÷àñòèö ñòåíîê, à â âèäå ïåðèîäè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:
ψp (x, y, z) = ψp (x + Lx , y + Ly , z + Lz ).
(5.3)
Òîãäà èìïóëüñ ÷àñòèöû êâàíòîâàí:
(px , py , pz ) = 2π~(
nx ny nz
, , ),
Lx Ly Lz
(5.4)
nx,y,z = 0, ±1, ±2 · · · . Êîîðäèíàòíûå âîëíîâûå ôóíêöèè íîðìèðîâàíû
óñëîâèåì
∫ Lx ∫ Ly ∫ Lz
dx
dy
dzψp∗ ′ (r)ψp (r) = δp′ ,p ≡ δn′x ,nx δn′y ,ny δn′z ,nz .
(5.5)
0
0
0
Ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èíäèâèäóàëüíîãî ôåðìèîíà Ψp,σ (r) = ψp (r)χσ
âêëþ÷àåò â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ ñïèíîâóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ χσ , ãäå
σ = sz åñòü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå z-êîìïîíåíòû ñïèíà. Äëÿ ñëó÷àÿ s =
1/2, êîòîðûé íàñ â îñíîâíîì è èíòåðåñóåò, σ = ±1/2. Àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå ïðèìåíèìî è äëÿ áîçîíîâ.
Èòàê, êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû â êîíå÷íîì îáúåìå çàäàþòñÿ íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë èìïóëüñà è ïðîåêöèè ñïèíà: (p, σ). Äàëåå ýòîò
73
íàáîð äëÿ êðàòêîñòè áóäåò íóìåðîâàòüñÿ îäíîé áóêâîé k = (p, σ).  ñëó÷àå ìàêðîñêîïè÷åñêèõ îáúåìîâ V ∼ 1 ñì3 ¾êâàíò¿ èìïóëüñà ôàíòàñòè÷åñêè ìàë: p0 ∼ ~/V 1/3 ∼ 10−27 ã ñì/ñ, ïîýòîìó ñïåêòð îïåðàòîðà èìïóëüñà
ìîæíî ñ÷èòàòü êâàçèíåïðåðûâíûì. Òîãäà ñóììèðîâàíèå ïî êâàíòîâûì
÷èñëàì nx , ny , nz ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ ñëó÷àÿõ ìîæíî çàìåíèòü íà èíòåãðèðîâàíèå:
∫
∫
∫
∑
1
Lx Ly Lz
3
d p=
d3 rd3 p,
(5.6)
≈ dnx dny dnz =
3
3
(2π~)
(2π~)
n ,n ,n
x
y
z
à ñóììà ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì îòäåëüíîé ÷àñòèöû â ýòîì ïðèáëèæåíèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê
∑ ∑ 1 ∫
≈
d3 rd3 p.
(5.7)
3
(2π~)
σ
k
Âìåñòå ñ òåì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ýòî ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå
òðåáóåò ñóùåñòâåííîãî óòî÷íåíèÿ â ñëó÷àå áîçå-ãàçà, ðàññìàòðèâàåìîãî
â ñëåäóþùåé ãëàâå.
 êâàíòîâîé òåîðèè ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìíîãèõ ÷àñòèö çàäàåòñÿ óêàçàíèåì ÷èñëà ÷àñòèö nk , íàçûâàåìîãî ÷èñëîì çàïîëíåíèÿ, â êàæäîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè k . Äëÿ ôåðìè-ãàçà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì çàïðåòà
Ïàóëè, âîçìîæíû òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ nk = 0, 1. Âîçíèêàåò çàäà÷à î íàõîæäåíèè ñðåäíåãî ÷èñëà çàïîëíåíèÿ ⟨nk ⟩ ≡ f (ϵk ) äëÿ ãàçà èç N ôåðìèîíîâ â çàâèñèìîñòè îò ýíåðãèè ϵk îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ. Ôóíêöèÿ
f (ϵk ) èìååò ñìûñë ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî îäíî÷àñòè÷íûì êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì.
Íàøåé ãëàâíîé öåëüþ â ýòîé è ñëåäóþùåé ãëàâàõ áóäåò ðàññìîòðåíèå
òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ èäåàëüíûõ êâàíòîâûõ ãàçîâ. Ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì êâàíòîâîé òåîðèè ìíîãèõ òåë è íå áóäåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ â äàííîì êóðñå. Âìåñòå ñ òåì íèæå ìû ñäåëàåì ðÿä êà÷åñòâåííûõ âûâîäîâ î ðîëè âçàèìîäåéñòâèÿ â âûðîæäåííîì ôåðìè-ãàçå.
5.2 Ðàñïðåäåëåíèå Ôåðìè Äèðàêà
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî ñïèí ôåðìèîíà s = 1/2. Ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå T = 0 ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f (ϵ) ìîæåò áûòü íàéäåíà
74
Ðèñ. 5.1: Çàïîëíåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé N = 6 ôåðìèîíàìè ïðè
T = 0.
áåç èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ñòàòñóìì. Äîïóñòèì, ÷òî âíåøíåå ìàãíèòíîå
ïîëå îòñóòñòâóåò. Òîãäà ýíåðãèÿ ôåðìèîíà íå çàâèñèò îò ïðîåêöèè ñïèíà sz . Ìû ðàñïðåäåëÿåì N ôåðìèîíîâ ïî äèñêðåòíûì ýíåðãåòè÷åñêèì
óðîâíÿì òàê, ÷òîáû íà êàæäîì óðîâíå áûëî íå áîëåå äâóõ ÷àñòèö, ðàçëè÷àþùèõñÿ ïðîåêöèåé ñïèíà, ñì. ðèñ. 5.1. ßñíî, ÷òî ⟨np,σ ⟩ = 1, åñëè
ϵp,σ ≤ ϵF , è ⟨nk ⟩ = 0, åñëè ϵp,σ > ϵF . Âåëè÷èíà ϵF íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé
Ôåðìè è èìååò ñìûñë ýíåðãèè, îòäåëÿþùåé çàíÿòûå ñîñòîÿíèÿ îò ñâîáîäíûõ. Çíà÷èò, ïðè T = 0 ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä ñòóïåíüêè:
f (ϵp,σ ) = θ(ϵF − ϵp,σ ),
(5.8)
ãäå θ(x) = 0 ïðè x ≥ 1, θ(x) = 0 ïðè x < 0. Â òðåõìåðíîì èìïóëüñíîì
ïðîñòðàíñòâå óñëîâèå ϵp,σ = ϵF çàäàåò ïîâåðõíîñòü Ôåðìè äëÿ êàæäîé
ïðîåêöèè ñïèíà. Ýíåðãèÿ Ôåðìè íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî ïîëíîå ÷èñëî
÷àñòèö ãàçà N ïîëó÷àåòñÿ ñóììèðîâàíèåì ñðåäíåãî ÷èñëà çàïîëíåíèÿ ïî
âñåì êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì:
∑
N=
f (ϵk ).
(5.9)
k
Äëÿ èäåàëüíîãî ôåðìè-ãàçà ϵp,σ = p2 /2m, ïîýòîìó ïîâåðõíîñòè Ôåðìè
åñòü ñôåðà. Â ðåàëüíûõ ìàòåðèàëàõ ïîâåðõíîñòü Ôåðìè ìîæåò èìåòü
âåñüìà ïðè÷óäëèâóþ ôîðìó ñî ñëîæíîé òîïîëîãèåé. Îäíîé èç çàäà÷
ôèçèêè òâåðäîãî òåëà ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîå îïðåäåëåíèå ôîðìû
ýòîé ïîâåðõíîñòè.
75
Åñëè ñèñòåìà îäíîðîäíà â ïðîñòðàíñòâå, ñ ïîìîùüþ (5.7), (5.8) è (5.9)
íàõîäèì
∫
2V
V p3F
3
N=
d
pθ(p
−
|p|)
=
.
(5.10)
F
(2π~)3
3π 2 ~3
Òåì ñàìûì èìïóëüñ Ôåðìè pF = ~(3π 2 n)1/3 âûðàæåí ÷åðåç ïëîòíîñòü
÷èñëà ÷àñòèö N/V . Âèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ Ôåðìè
~2 n2/3
2m
ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû âåëè÷èíû ðàâíà òåìïåðàòóðå âûðîæäåíèÿ â ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ. Ïîýòîìó óñëîâèå ñèëüíîãî âûðîæäåíèÿ ñèñòåìû
ìíîãèõ ôåðìè-÷àñòèö ìîæíî çàïèñàòü êàê T ≪ ϵF . Ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî
ôåðìè-ãàçà ïðè T = 0 ðàâíà
∫
2
∑
2V
3 p
ϵk f (ϵk ) =
E =
d
p
θ(pF − |p|) =
3
(2π~)
2m
k
ϵF = (3π 2 )2/3
=
V p5F
3
=
N ϵF .
10π 2 ~3 m
5
(5.11)
Ïîñêîëüêó ïðè T = 0 äàâëåíèå ðàâíî P = −dE/dV , à ýíåðãèÿ çàâèñèò
îò îáúåìà êàê E ∝ V −2/3 , òî
2
P V = E.
3
Èíòåðåñíî, ÷òî òàêîé âèä óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñïðàâåäëèâ âîîáùå äëÿ
ëþáûõ èäåàëüíûõ ãàçîâ ñ íåðåëÿòèâèñòñêîé çàâèñèìîñòüþ ýíåðãèè îò
èìïóëüñà, êàê äëÿ ôåðìèîíîâ òàê äëÿ áîçîíîâ è êëàññè÷åñêîãî ãàçà.
Äëÿ íàõîæäåíèå ôåðìè-ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè T ̸= 0 óäîáíåå âñåãî ïðèìåíèòü áîëüøîå êàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå (3.6), ïîñêîëüêó ÷èñëà çàïîëíåíèÿ êâàíòîâûõ óðîâíåé ýíåðãèè nk ìîãóò ìåíÿòüñÿ çà ñ÷åò ïåðåõîäîâ
óðîâíÿ íà äðóãîé. Ãàç èäåàëüíûé, ïîýòîìó En,N =
∑ ÷àñòèö ñ îäíîãî
∑
ϵ
n
;
N
=
n
.
k k k
k k Íàïîìíèì, ÷òî çäåñü
n = {k} = (p1 , σ1 ; p2 , σ2 ; · · · pN , σN )
îáîçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü âñåõ êâàíòîâûõ ÷èñåë, îïèñûâàþùèõ êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû N ÷àñòèö.  êà÷åñòâå ïîäñèñòåìû ðàññìîòðèì
çàäàííûé êâàíòîâûé óðîâåíü k . Ñîâåðøàÿ â (3.6) ïîäñòàíîâêó N → nk ,
76
1,0
0,8
0,6
f(ε)
T=0.01µ
T=0.05µ
T=0.1µ
0,4
0,2
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
ε/µ
Ðèñ. 5.2: Ôåðìèåâñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ.
En,N → ϵk nk , íàõîäèì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî óðîâåíü k ñîäåðæèò nk ÷àñòèö:
enk (µ−ϵk )/T
wk,nk =
.
(5.12)
Ξk
Âûðàæåíèå (5.12) ñïðàâåäëèâî êàê äëÿ ôåðìèîíîâ, òàê è äëÿ áîçîíîâ.
Ðàçíèöà ìåæäó òèïàìè ÷àñòèö çàêëþ÷àåòñÿ â âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ nk .
Äëÿ ôåðìèîíîâ nk = 0, 1, ïîýòîìó áîëüøàÿ ñòàòñóììà äëÿ óðîâíÿ k
ðàâíà
Ξk = 1 + e(µ−ϵk )/T .
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîñòîÿíèå k ñâîáîäíî (nk = 0), ðàâíà 1/Ξk , âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî ñîñòîÿíèÿ∑
çàíÿòî (nk = 1), ðàâíà e(µ−ϵk )/T /Ξk .
Ñðåäíåå ÷èñëî çàïîëíåíèÿ ⟨nk ⟩ = nk =0,1 nk wk,nk è åñòü èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òîæäåñòâåííûõ ôåðìèîíîâ ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì
f (ϵk ):
1
.
(5.13)
f (ϵk ) = (ϵ −µ)/T
k
e
+1
Ðàçóìååòñÿ, òàêîé æå ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ èç âûðàæåíèÿ
)
(
∂Ωk
,
⟨nk ⟩ = −
∂µ T
ãäå Ωk = −T ln Ξk . Âûðàæåíèå (5.13) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè Äèðàêà. Íà ðèñ. 5.2 ïîêàçàíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îò ýíåðãèè äëÿ ñèëüíî âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà ïðè
77
ðàçëè÷íûõ T . Ïðè T → 0 ïîëó÷àåì f (ϵ) → θ(µ − ϵ). Ñðàâíèâàÿ ýòîò ðåçóëüòàò ñ (5.8), ïîëó÷àåì âàæíîå ñîîòíîøåíèå
µ(T = 0) = ϵF .
(5.14)
Ïðè òåìïåðàòóðàõ T ̸= 0 ñòóïåíüêà ðàçìûâàåòñÿ, ïðè÷åì èíòåðâàë ýíåðãèè, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå f (ϵ) îò åäèíèöû äî íóëÿ, îöåíèâàåòñÿ êàê ∆ϵ ∼ T . Ôåðìèåâñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (5.13) ïåðåõîäèò â êëàññè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà-Áîëüöìàíà f (ϵ) ∝ e−ϵ/T
â ñëó÷àå, êîãäà ýêñïîíåíöèàëüíûé ÷ëåí â çíàìåíàòåëå (5.13) ñòàíîâèòñÿ
ìíîãî áîëüøå åäèíèöû, ò.å. ïðè ⟨nk ⟩ ≪ 1. Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. çàäà÷ó
ê ýòîé ãëàâå), ÷òî äàííîå óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî èñïîëüçîâàííîìó ðàíåå
óñëîâèþ T ≫ T0 .
Íàéäåì õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë, ýíåðãèþ è òåïëîåìêîñòü ñèëüíî âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà. Ïðè âû÷èñëåíèè
óäîáíî èñïîëüçîâàòü îäíî÷à∑
ñòè÷íóþ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ν(ϵ) = k δ(ϵ − ϵk ). Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîîäíîðîäíîé ñèòóàöèè è êâàäðàòè÷íîãî çàêîíà äèñïåðñèè ϵp,σ = p2 /2m
ïîëó÷àåì ñ ïîìîùüþ (5.7):
(
)
∫
p2
V (2m)3/2 1/2
2V
2
4πp
dpδ
ϵ
−
=
ϵ .
(5.15)
ν(ϵ) =
(2π~)3
2m
2π 2 ~3
×èñëî ÷àñòèö è ýíåðãèÿ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
∫
V (2m)3/2 ∞
ϵ1/2
N =
dϵ
,
2π 2 ~3
e(ϵ−µ)/T + 1
0
∫
ϵ3/2
V (2m)3/2 ∞
E =
dϵ (ϵ−µ)/T
.
2π 2 ~3
e
+1
0
(5.16)
Èíòåãðàëû, ïîõîæèå íà òîëüêî ÷òî ïðèâåäåííûå, ïîñòîÿííî âñòðå÷àþòñÿ
â òåîðèè âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà. Âûâåäåì ïîëåçíóþ ïðèáëèæåííóþ
ôîðìóëó äëÿ èõ âû÷èñëåíèÿ, ñïðàâåäëèâóþ ïðè µ/T ≫ 1. Ïóñòü F (ϵ)−
ïðîèçâîëüíàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ. Ââîäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ
78
èíòåãðèðîâàíèÿ x = (ϵ − µ)/T , ïîëó÷èì
∫ ∞
∫ ∞
F (ϵ)dϵ
F (µ + xT )dx
= T
=
(ϵ−µ)/T
e
+1
ex + 1
0
−µ/T
[∫ 0
]
∫ ∞
F (µ + xT )dx
F (µ + xT )dx
=T
+
=
ex + 1
ex + 1
−µ/T
0
[∫
∫ ∞
µ/T
F (µ + xT )dx
=T
F (µ − xT )dx +
−
ex + 1
0
0
] ∫
∫ µ/T
µ
F (µ + xT )dx
−
≈
dϵF (ϵ) +
ex + 1
0
0
∫ ∞
dx
+T
[F (µ + xT ) − F (µ − xT )] .
(5.17)
x
e +1
0
Ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî âîçíèêëî âñëåäñòâèå çàìåíû µ/T → ∞ â âåðõíåì ïðåäåëå èíòåãðèðîâàíèÿ, ñïðàâåäëèâîé â ñëó÷àå ñèëüíîãî âûðîæäåíèÿ. Ðàçëàãàÿ ðàçíîñòü F (µ + xT ) − F (µ − xT ) â ðÿä ïî xT è ó÷èòûâàÿ,
÷òî
∫ ∞
x
π2
dx x
= ,
e +1
12
0
ïîëó÷èì èñêîìóþ ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó:
∫ µ
∫ ∞
π2T 2 ′
F (ϵ)
≈
dϵF (ϵ) +
F (µ).
dϵ (ϵ−µ)/T
e
+1
6
0
0
(5.18)
Âîçâðàùàÿñü ê íàõîæäåíèþ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé ôåðìè-ãàçà, ñ
ïîìîùüþ (5.18) íàõîäèì:
(
)
π2T 2
V (2m)3/2 2 3/2
µ
1+
,
N ≈
2π 2 ~3 3
8µ2
(
)
V (2m)3/2 2 5/2
5π 2 T 2
E ≈
µ
1+
.
(5.19)
2π 2 ~3 5
8µ2
Ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïî ìàëîìó îòíîøåíèþ T /µ èç
ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ íàõîäèì
)
(
π2T 2
,
(5.20)
µ(T ) ≈ ϵF 1 −
12ϵ2F
79
îòêóäà ýíåðãèÿ
3
E ≈ N ϵF
5
(
5π 2 T 2
1+
12ϵ2F
)
.
Ó÷òåíî, ÷òî µ(0) = ϵF . Òåïëîåìêîñòü âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà
(
)
∂E
π2T
CV =
≈
N
∂T V
2ϵF
ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû.  îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî ðåçóëüòàòà
CV = 3N/2, ïðåäñêàçûâàþùåãî ïîñòîÿííóþ òåïëîåìêîñòü è íå óäîâëåòâîðÿþùåãî òåîðåìå Íåðíñòà, êâàíòîâûé ðàñ÷åò ýòîé òåîðåìå óäîâëåòâîðÿåò. Îòíîøåíèå êâàíòîâîãî ðåçóëüòàòà ê êëàññè÷åñêîìó ïî ïîðÿäêó
âåëè÷èíû ðàâíî T /ϵF ≪ 1, ò.å. â âûðîæäåííîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ñâîåîáðàçíîå ¾âûìîðàæèâàíèå¿ ïîñòóïàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû.  ôèçèêå
òâåðäîãî òåëà çàâèñèìîñòü ϵ(p) ìîæåò áûòü äîâîëüíî ñëîæíîé, è îäíî÷àñòè÷íàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ν(ϵ) çàâèñèò îò ýíåðãèè íå òàê, êàê â
ðàññìîòðåííîì çäåñü ñëó÷àå ñâîáîäíûõ ÷àñòèö. Òåì íå ìåíåå ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. çàäà÷ó ê ýòîé ãëàâå), ÷òî ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü òåïëîåìêîñòè
îò òåìïåðàòóðû ñîõðàíÿåòñÿ è äàåòñÿ âûðàæåíèåì
π2T
ν(ϵF ),
(5.21)
3
â êîòîðîå âõîäèò ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðèáëèæåíèå èäåàëüíîãî Ôåðìè-ãàçà äëÿ ýëåêòðîíîâ
â êðèñòàëëàõ ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì ãðóáûì. Òðåáóåòñÿ ó÷åñòü èõ âçàèìîäåéñòâèå êàê ñ àòîìàìè ðåøåòêè òàê è äðóã ñ äðóãîì. Îáå çàäà÷è ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíû. Íèæå áóäóò ñõåìàòè÷åñêè îïèñàíû äâà íàèáîëåå ïðîñòûõ ìåòîäà ó÷åòà âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ñ ïåðèîäè÷åñêîé ðåøåòêîé. Ó÷åò
âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ äðóã ñ äðóãîì âûõîäèò çà ðàìêè ýòîãî êóðñà.
CV (T ) =
5.3 Ïðèáëèæåíèå ñèëüíîé ñâÿçè
 ïåðâîé ÷àñòè êóðñà âîçíèêíîâåíèå çîííîé ñòðóêòóðû áûëî ïðîäåìîíñòðèðîâàíî íà ïðèìåðå òî÷íîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ
÷àñòèöû â ìîäåëüíîì ïåðèîäè÷åñêîì ïîòåíöèàëå
∑
U (x) = −G
δ(x − na).
(5.22)
n
80
Êàê ïðàâèëî, çàäà÷à î íàõîæäåíèè óðîâíåé ýíåðãèè ýëåêòðîíà â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå ðåàëüíûõ êðèñòàëëîâ íå ìîæåò áûòü ðåøåíà òî÷íî. Ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ðàçëè÷íûå ïðèáëèæåííûå ìåòîäû. Îäíèì èç òàêèõ
ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåíèå ñèëüíîé ñâÿçè. Ðàññìîòðèì åãî èäåþ íà
ïðèìåðå íàõîæäåíèÿ óðîâíåé ýíåðãèè E < 0 îäíîìåðíîì ïåðèîäè÷åñêîì
ïîëå (5.22). Äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
∞
∑
~ 2 d2 ψ
−G
−
δ(x − an)ψ = Eψ.
2m dx2
n=−∞
(5.23)
Âñïîìíèì, ÷òî òî÷íîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðèâîäèò ê çàâèñèìîñòè
2 κ2
ýíåðãèè îò êâàçèèìïóëüñà E(q) = − ~2m
, ãäå κ îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì
òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ
cos qa = chκa −
mG
shκa.
~2 κ
Ïðè mGa/~2 ≫ 1 ìîæíî íàéòè ïðèáëèæåííûé ÿâíûé âèä çàâèñèìîñòè
ýíåðãèè îò êâàçèèìïóëüñà
E(q) ≈ −
)
mG2 (
−mGa/~2
1
+
4e
cos
qa
.
2~2
(5.24)
Íàïîìíèì, ÷òî çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò êâàçèèìïóëüñà íàçûâàåòñÿ çàêîíîì äèñïåðñèè.
Äîïóñòèì, îäíàêî, ÷òî òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è íåèçâåñòíî. Ïîïûòàåìñÿ íàéòè ïðèáëèæåííûé îòâåò, çíàÿ, ÷òî ïðè óñëîâèè mGa/~2 ≫ 1 â
íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âëèÿíèåì âñåõ äðóãèõ δ -ÿì íà
êàêóþ-òî âûäåëåííóþ. Óðîâåíü ýíåðãèè è âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà
â îäèíî÷íîé δ -ÿìå èìåþò âèä
E0 = −mG2 /2~2 ,
√
ψ0 (x) = κ0 e−κ0 |x| ,
ãäå κ0 = mG/~2 . Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψ0 (x − an) îïèñûâàåò ýëåêòðîí, ëîêàëèçîâàííûé ïðè x = an. Ïîïûòàåìñÿ íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ âîëíîâîé ôóíêöèåé âèäà
∑
ψ(x) =
Cn ψ0 (x − an).
(5.25)
n
81
Ñîãëàñíî îáùèì ïðèíöèïàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè, |Cn |2 ðàâíî âåðîÿòíîñòè îêàçàòüñÿ â ñîñòîÿíèè ñ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ0 (x−an), à Cn ÿâëÿåòñÿ
àìïëèòóäîé âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ýëåêòðîí ëîêàëèçîâàí âáëèçè òî÷êè
x = an. Ïîäñòàâèì âîëíîâóþ ôóíêöèþ óêàçàííîãî âèäà â (5.23) è ó÷òåì,
÷òî ψ0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
−~2 ψ0′′ /2m − Gδ(x)ψ0 = E0 ψ0
â îäèíî÷íîé δ -ÿìå. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå
∑
∑∑
(E − E0 )
Cn ψ0 (x − na) = −G
Cn δ(x − la)ψ0 (x − na).
n
n
(5.26)
l̸=n
Óìíîæèì åãî ñëåâà íà ψ0∗ (x − n′ a) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî x. Ïðè ýòîì
âîçíèêíåò, âî-ïåðâûõ, âûðàæåíèå äëÿ òàê íàçûâàåìîãî èíòåãðàëà ïåðåêðûòèÿ
∫ ∞
′
Inn′ =
dxψ0∗ (x − an′ )ψ0 (x − an) = (1 + κ0 a|n − n′ |)e−κ0 a|n−n | . (5.27)
−∞
Ïðè κ0 a ≫ 1 â íóëåâîì ïîðÿäêå ïî ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîìó ïàðàìåòðó
e−κ0 a èìååì ïðèáëèæåííî Inn′ ≈ δnn′ . Âî-âòîðûõ, ïîÿâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûå
ýëåìåíòû ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ
∫ ∞
′
dxψ0∗ (x − an′ ) [−Gδ(x − al)] ψ0 (x − an) = −Gκ0 e−κ0 (|l−n |+|l−n|) .
−∞
Âìåñòî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïîëó÷èì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ óðîâíåé ýíåðãèè è êîýôôèöèåíòîâ
ðàçëîæåíèÿ Cn :
∑
′
(E − E0 )Cn′ ≈ −Gκ0
e−κ0 a|n−n | Cn ≈
≈
n̸=n′
−Gκ0 e−κ0 a (Cn′ −1
+ Cn′ +1 ).
(5.28)
Ó÷òåíî, ÷òî ñëàãàåìûå ñ |n−n′ | ≥ 2 ýêñïîíåíöèàëüíî ïîäàâëåíû, ïîýòîìó
èõ ìîæíî îòáðîñèòü. Èùåì ðåøåíèå (5.28) â âèäå ïëîñêîé âîëíû:
Cn = αeiqan .
82
(5.29)
Ïîäñòàíîâêà åãî â (5.28) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ
E(q) = E0 −
2mG2 −mGa/~2
e
cos qa.
~2
Îòâåò ïîëó÷åí â ïðåäåëå κ0 a ≫ 1. Îí ñîâïàë ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ïðåäåëîì òî÷íîãî ðåøåíèÿ (5.24).
Çàìåòèì, ÷òî íàéäåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ (5.25) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
ψ(x + a) = eiqa ψ(x),
ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé âîëíîâîé ôóíêöèåé ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåìû
Áëîõà. Â ñàìîì äåëå, ñäâèíåì êîîðäèíàòó x íà ïîñòîÿííóþ ðåøåòêè a.
Ïîëó÷èì
ψ(x + a) =
∞
∑
Cn ψ0 (x − an + a) =
n=−∞
=e
iqa
∞
∑
Cn+1 ψ0 (x − an) =
n=−∞
∞
∑
Cn ψ0 (x − an) = eiqa ψ(x).
n=−∞
Ïðè âûâîäå áûëî ó÷òåíî, ÷òî ñîãëàñíî (5.29) ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
Cn+1 = eiqa Cn .
Òåïåðü ìîæíî ñäåëàòü îáîáùåíèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî íå îáÿçàòåëüíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåíöèàë îòäåëüíîãî îäíîìåðíîãî ¾àòîìà¿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé δ -ôóíêöèþ. Åäèíñòâåííîå òðåáîâàíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî â íåì
äîëæíî áûòü ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå. Êàê èçâåñòíî,
â ñèììåòðè÷íîé îäíîìåðíîé ÿìå òàêîå ñîñòîÿíèå âñåãäà åñòü. Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ¾àòîìíîãî¿ ïîòåíöèàëà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ψ0 (x − an) è
ψ0 (x − a(n ± 1)) íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòð ïåðåñêîêà (hopping parameter â àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå). Áóäåì îáîçíà÷àòü åãî −γ .  ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå γ = Gκ0 e−κ0 a .  ðåàëüíûõ ñèòóàöèÿõ ýòîò ïàðàìåòð îïðåäåëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî. Îòìåòèì ýêñïîíåíöèàëüíóþ çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðà ïåðåñêîêà îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè â ðåøåòêå â äàííîé
ïðîñòîé ìîäåëè. Ýòî è îïðàâäûâàåò ó÷åò ïåðåñêîêà ýëåêòðîíà òîëüêî íà
áëèæàéøèé ñîñåäíèé óçåë. Íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå âûâîä îá ýêñïîíåíöèàëüíîì ïîäàâëåíèè âåðîÿòíîñòè ïåðåñêîêà ýëåêòðîíà íà ñîñåäíèé óçåë
îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â ñëó÷àå äâóõ è òðåõ èçìåðåíèé.
Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü ñóòü ïðèáëèæåíèÿ ñèëüíîé ñâÿçè. Ñíà÷àëà ñäåëàåì ýòî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå äëÿ îäíîãî àòîìà â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå.
83
Ïóñòü Cn ≡ Cn (t) åñòü àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè ýëåêòðîíó îêàçàòüñÿ ëîêàëèçîâàííûì íà ¾àòîìå¿ ñ êîîðäèíàòîé x = an â ìîìåíò âðåìåíè t â
îäíîìåðíîì ¾êðèñòàëëå¿ ñ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè a. Åñëè ïðåíåáðå÷ü âëèÿíèåì îñòàëüíûõ àòîìîâ, ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà áóäåò E0 .  ñëåäóþùåì ïðèáëèæåíèè ýëåêòðîí ìîæåò ïåðåïðûãíóòü íàïðàâî èëè íàëåâî íà ñîñåäíèé
¾àòîì¿. Àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè òàêîãî ïåðåñêîêà −γ . Åñëè ïðåíåáðå÷ü
âîçìîæíîñòüþ ïåðåñêîêà íà àòîìû, ñëåäóþùèìè çà áëèæàéøèìè (õîòÿ ýòî è íå îáÿçàòåëüíî!), óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ òàêîé ñèòóàöèè
ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
i~
dCn
= E0 Cn − γ(Cn−1 + Cn+1 ).
dt
(5.30)
Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ
ñ ýíåðãèåé E ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèþ
(E − E0 )Cn = −γ(Cn−1 + Cn+1 ),
èìåþùåìó ðåøåíèå Cn ∝ eiqan , ãäå
E(q) = E0 − 2γ cos qa.
Çäåñü q åñòü êâàçèèìïóëüñ. Åñëè áûòü òî÷íûì, òî êâàçèèìïóëüñîì ñëåäóåò íàçûâàòü âåëè÷èíó ~q , à q áóäåò òîãäà êâàçèâîëíîâûì ÷èñëîì. Íèæå
â öåëÿõ ýêîíîìèè ìåñòà íå áóäåì äåëàòü ðàçëè÷èÿ ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè, íàçûâàÿ èõ îáå êâàçèèìïóëüñîì. Äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèé
êâàçèèìïóëüñà qa ≪ 1 ìîæíî ðàçëîæèòü êîñèíóñ â ðÿä è ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííî
~2 q 2
.
(5.31)
E(q) ≈ E0 − 2γ +
2m∗
Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò êâàçèèìïóëüñà îêàçàëàñü î÷åíü ïîõîæà íà çàêîí äèñïåðñèè íåðåëÿòèâèñòñêîãî ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà çà èñêëþ÷åíèåì
òîãî, ÷òî âìåñòî åãî ìàññû ñþäà âîøëà âåëè÷èíà
m∗ =
~2
.
2γa
Îíà íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé ìàññîé ýëåêòðîíà è îïðåäåëÿåòñÿ åãî âçàèìîäåéñòâèåì ñ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé. Åñëè àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè
84
ïåðåñêîêà ýëåêòðîíà íà ñîñåäíèé óçåë âåëèêà, òî ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ìàëà, è íàîáîðîò. Òàêèì îáðàçîì, ýôôåêòèâíàÿ ìàññà õàðàêòåðèçóåò èíåðöèîííûå ñâîéñòâà ýëåêòðîíà â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãèåé âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíà ñ àòîìîì ðåøåòêè è íå èìååò
íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ìàññå ýëåêòðîíà â ïóñòîì ïðîñòðàíñòâå.
Ìîæíî ïåðåïèñàòü Cn êàê C(xn = an). Åñëè ââåñòè îäíîìåðíûå ¾âåêòîðû¿ δ1 = a, δ2 = −a îò äàííîãî àòîìà, íàõîäÿùåãîñÿ â òî÷êå x = an, ê
åãî áëèæàéøèì ñîñåäÿì, òî ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå
dC(xn )
i~
= E0 C(xn ) − γ[C(xn + δ1 ) + C(xn + δ2 )],
dt
êîòîðûé äîïóñêàåò îáîáùåíèå íà ñëó÷àè äâóõ è òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé.  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïàðàìåòð ïåðåñêîêà îäèíàêîâ äëÿ
ïðûæêîâ ýëåêòðîíà êî âñåì áëèæàéøèì ñîñåäÿì, óêàçàííîå îáîáùåíèå
ïðèáëèæåíèÿ ñèëüíîé ñâÿçè íà ñëó÷àé áîëüøåãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå óðàâíåíèÿ
i~
∑
dC(Rn )
= E0 C(Rn ) − γ
C(Rn + δl ).
dt
l
(5.32)
Rn ïðîáåãàåò ïî àòîìàì êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, l íóìåðóåò áëèæàéøèõ ñîñåäåé. Ïîäñòàíîâêà ðåøåíèÿ â âèäå ïëîñêîé âîëíû
C(Rn ) ∝ eiqRn
ïðèâîäèò ê çàêîíó äèñïåðñèè ýëåêòðîíà
∑
E(q) = E0 − γ
eiqδl .
(5.33)
l
Çäåñü ñíîâà ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå êðèñòàëëà èìååòñÿ îäèí àòîì. Âûáîð íà÷àëà îòñ÷åòà ýíåðãèè ïðîèçâîëåí, ïîýòîìó îáû÷íî ïîëàãàþò E0 = 0.  ñëó÷àå áîëåå ÷åì îäíîãî àòîìà íåîáõîäèìî ââîäèòü ñâîþ àìïëèòóäó âåðîÿòíîñòè ïðåáûâàíèÿ ýëåêòðîíà íà êàæäîì èç
àòîìîâ. Ïðàêòè÷åñêè èíòåðåñíûé ñëó÷àé äâóõ àòîìîâ â ýëåìåíòàðíîé
ÿ÷åéêå èëëþñòðèðóåòñÿ çàäà÷åé ê ýòîé ãëàâå ïðî ýëåêòðîííûé ñïåêòð
ãðàôåíà.
85
5.4 Ïðèáëèæåíèå ñëàáîé ñâÿçè
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá óðîâíÿõ ýíåðãèè ýëåêòðîíà â ïåðèîäè÷åñêîì
ïîëå êðèñòàëëà ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ òåîðèþ âîçìóùåíèé. Òàêîé
ïîäõîä â ôèçèêå òâåðäîãî òåëà íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåíèåì ñëàáîé ñâÿçè.
Ñíîâà äëÿ îïðåäåëåííîñòè îãðàíè÷èìñÿ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì è ïîòåíöèàëîì ïðîñòåéøåãî âèäà
U (x) = 2U0 cos κx,
ãäå κ = 2π/a, a− ïåðèîä ðåøåòêè: U (x + a) = U (x). Ýôôåêòû êîíå÷íîé
äëèíû L êðèñòàëëà â x-íàïðàâëåíèè ó÷òåì ñ ïîìîùüþ ïåðèîäè÷åñêèõ
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (5.3) íà âîëíîâûå ôóíêöèè íåâîçìóùåííîé çàäà÷è.
Î÷åâèäíî, ÷òî N = L/a ðàâíî ÷èñëó àòîìîâ â îäíîìåðíîì êðèñòàëëå. Â
íóëåâîì ïðèáëèæåíèè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà åñòü
ψq (x) = L−1/2 exp(iqx),
(0)
ýíåðãèÿ ϵq = ~2 q 2 /2m, ãäå q = 2πn/L, n = 0, ±1, · · · . Ïîïðàâêà ïåðâîãî
ïîðÿäêà èñ÷åçàåò:
∫
∫ L
2U0 L
(1)
∗
dx cos κx =
ϵq = ⟨q|U (x)|q⟩ =
dxψq (x)U (x)ψq (x) =
L 0
0
2πL
2U0
sin
= 0,
=
κL
a
ïîýòîìó íåîáõîäèì âòîðîé ïîðÿäîê òåîðèè âîçìóùåíèé. Âî âòîðîì ïîðÿäêå íàõîäèì:
(
)
∑ |⟨q ′ |U (x)|q⟩|2
1
1
(2)
2
= U0
+ (0)
.
ϵq =
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
ϵq − ϵq′
ϵq − ϵq+κ ϵq − ϵq−κ
q′
(0)
Ïîïðàâêà îòëè÷íà îò íóëÿ, îäíàêî â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà ϵq =
(0)
ϵq±κ òåîðèÿ âîçìóùåíèé íå ïðèìåíèìà èç-çà âûðîæäåíèÿ óðîâíåé. Â
òåðìèíàõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ óñëîâèå âûðîæäåíèÿ ïðèíèìàåò âèä q =
±κ/2 = ±π/a, ò.å. âûðîæäåíèå âîçíèêàåò òîãäà, êîãäà âîëíîâîé âåêòîð
÷àñòèöû ïîïàäàåò íà ãðàíèöó çîíû Áðèëëþýíà. Êàê ìû çíàåì, ïðè âûðîæäåíèè óðîâíåé ñëåäóåò èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè èñõîäíîé ïëîñêîé âîëíû è âîëíû, îòðàæåííîé
86
îò ãðàíèöû çîíû Áðèëëþýíà: ψ = c1 ψq + c2 ψq−κ . Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà
äëÿ ψ ñâåäåòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íà êîýôôèöèåíòû c1,2 :
c1 ϵ(0)
q + U0 c2 = ϵq c1 ,
(0)
(5.34)
U0 c1 + c2 ϵq−κ = ϵq c2 .
Óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè äàåò óðîâíè ýíåðãèè:
[
]
√
1 (0)
(0)
(0)
(0) 2
(±)
2
ϵ + ϵq−κ ± (ϵq − ϵq−κ ) + 4U0 .
ϵq =
2 q
(±)
(0)
(0)
(±)
Ïðè U0 = 0 è q < κ/2 ïîëó÷àåì ϵq = ϵq−κ , ϵq . Ïðè q > κ/2 ϵq =
(0)
(0)
(0)
ϵq , ϵq−κ . Òàêèì îáðàçîì, â íåâîçìóùåííóþ ýíåðãèþ ϵq ïðè q < κ/2 ïå(−)
(+)
ðåõîäèò ϵq , à ïðè q > κ/2 â íåâîçìóùåííóþ ýíåðãèþ ïåðåõîäèò ϵq . Ïðè
q = κ/2 çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò èìïóëüñà èñïûòûâàåò ñêà÷îê ∆ = 2U0 , è
â ñïåêòðå ýíåðãèé âîçíèêàåò ùåëü âåëè÷èíû ∆. Íà ëåâîé ãðàíèöå çîíû
Áðèëëþýíà q = −κ/2 èìååò ìåñòî òàêîé æå ñêà÷îê. Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü
ïàêåòà ýëåêòðîííûõ âîëí â êðèñòàëëå vg = ~−1 dϵq /dq îáðàùàåòñÿ â íóëü
ïðè q = ±κ/2, ïîýòîìó ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ èìïóëüñà ïðîèñõîäèò òàê íàçûâàåìîå áðýããîâñêîå îòðàæåíèå ýëåêòðîííîé âîëíû. Àíàëîãè÷íûå ñêà÷êè (õîòÿ è äðóãîé âåëè÷èíû) è áðýããîâñêèå îòðàæåíèÿ áóäóò è ïðè çíà÷åíèÿõ èìïóëüñà q = ±κ, ±3κ/2 · · · . ×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, íàäî ïðèíÿòü
â ðàñ÷åò, ÷òî ðàññìîòðåííûé ìîäåëüíûé ïîòåíöèàë U (x) ∝ cos
∑κx ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïåðâîé ãàðìîíèêîé ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå U (x) = l Ul cos lκx
ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè U (x + a) = U (x). Ñåêóëÿðíîå óðàâíåíèå ñëåäóåò
ñîñòàâëÿòü ñ ó÷åòîì èíòåðôåðåíöèè íåñêîëüêèõ áðýããîâñêèõ îòðàæåíèé.
Ïîëíûé àíàëèç ñëîæåí, íî êà÷åñòâåííûå âûâîäû î âîçíèêíîâåíèè ùåëè
â ñïåêòðå ýíåðãèé íå èçìåíÿþòñÿ. Êàðòèíà çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò âîëíîâîãî ÷èñëà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 5.3. Òàêîé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ñïåêòðà
íàçûâàåòñÿ ñõåìîé ðàñøèðåííûõ çîí. Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîíÿòèåì
êâàçèèìïóëüñà è ïåðèîäè÷íîñòüþ ýíåðãèè êàê ôóíêöèè êâàçèèìïóëüñà
ϵq+κ = ϵq è ïðèâåñòè âñå ó÷àñòêè çàâèñèìîñòè ϵq ê ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà. Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íà ðèñ. 5.4.  ðåàëüíîé òðåõìåðíîé ñèòóàöèè
êàðòèíà çîí, êîíå÷íî, ñëîæíåå. Íàïðèìåð, íåêîòîðûå çîíû ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ.
Ïðîâåäåì ïîäñ÷åò ÷èñëà ñîñòîÿíèé â çîíå, ò.å. ÷èñëà íåçàâèñèìûõ
çíà÷åíèé èìïóëüñà (èëè ýíåðãèè). Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà êâàíòà èìïóëüñà
ðàâíà p0 = 2π~/L, ñì. (5.4), à îáëàñòü íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèé èìïóëüñà
87
εq
q
−κ
−κ / 2
κ /2
κ
Ðèñ. 5.3: Ñõåìàòè÷åñêèé âèä ñïåêòðà â ñõåìå ðàñøèðåííûõ çîí
îãðàíè÷åíà ïåðâîé çîíîé Áðèëëþýíà −π~/a ≤ p ≤ π~/a, ÷èñëî íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèé èìïóëüñà â çîíå ðàâíî
L
2π~/a
= = N,
2π~/L
a
ò.å. ÷èñëó àòîìîâ â íàøåì îäíîìåðíîì êðèñòàëëå. Çíà÷èò, íà îäíó ýëåìåíòàðíóþ ÿ÷åéêó ïðèõîäèòñÿ, ñ ó÷åòîì äâóêðàòíîãî âûðîæäåíèÿ ïî
ïðîåêöèè ñïèíà, äâà ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà. Ýòîò âûâîä ñïðàâåäëèâ è â
òðåõìåðíîì ñëó÷àå.
Ïðèâåäåííûé ïîäñ÷åò ÷èñëà ñîñòîÿíèé ñëóæèò îñíîâîé êëàññèôèêàöèè êðèñòàëëè÷åñêèõ òåë ïî òèïàì ïðîâîäèìîñòè. Åñëè ýëåìåíòàðíàÿ
ÿ÷åéêà ñîñòîèò èç àòîìîâ îäíîâàëåíòíûõ ýëåìåíòîâ, çîíà (íàïðèìåð, çîíà 1 íà ðèñ. 5.4) çàïîëíåíà íàïîëîâèíó, è â íåé åñòü ðàçðåøåííûå ñîñòîÿíèÿ. Ïðè íàëîæåíèè ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ýëåêòðîíû ìîãóò ïåðåõîäèòü â ýòè ñîñòîÿíèÿ, ò.å. â îáðàçöå âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ìû èìååì äåëî ñ ìåòàëëîì. Òèïè÷íûé ìåòàëë-ìåäü. Åñëè
çîíà 1 çàïîëíåíà ïîëíîñòüþ, à çîíà 2 ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè
ýëåêòðîíà îòäåëåíà îò íåå ùåëüþ ∆, òî ïðè ìàëûõ ïîëÿõ ýëåêòðè÷åñêîãî
òîêà íåò. Ýòî äèýëåêòðèê. Òîê ìîæåò ïîéòè â ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ñèëüíûõ ïîëåé eE > ∆, êîãäà âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé ïðîáîé äèýëåêòðèêà.
Ïðîìåæóòî÷íûé ñëó÷àé ïîëóïðîâîäíèêà âîçíèêàåò, êîãäà, ñêàæåì, çîíû
1 è 2 çàïîëíåíû, à âåëè÷èíà ùåëè ∆, îòäåëÿþùåé ñâîáîäíóþ çîíó 3 îò
çàïîëíåííîé çîíû 2, äîñòàòî÷íî ìàëà äëÿ òîãî, ÷òîáû ýëåêòðîíû èç 2 ïî88
εq
3
2
1
−κ / 2
q
κ /2
Ðèñ. 5.4: Ñõåìàòè÷åñêèé âèä ñïåêòðà, ïðèâåäåííîãî ê ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà
ïàäàëè â 3 çà ñ÷åò òåïëîâîãî âîçáóæäåíèÿ. Òèïè÷íûì ïîëóïðîâîäíèêîì
ÿâëÿåòñÿ ãåðìàíèé.
 ñëó÷àå îäíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî èçìåðåíèÿ âîçìîæåí ëþáîïûòíûé ýôôåêò, íà âîçìîæíîñòü êîòîðîãî óêàçàë Ð.Ïàéåðëñ. Ïóñòü èìååòñÿ îäíîìåðíàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîì a ðåøåòêà èç àòîìîâ îäíîâàëåíòíîãî ýëåìåíòà. Ñîãëàñíî ïðåäñòàâëåííîé êëàññèôèêàöèè îíà îáëàäàåò ìåòàëëè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ, ïîñêîëüêó íà îäíó ýëåìåíòàðíóþ
ÿ÷åéêó òàêîãî îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà ïðèõîäèòñÿ îäèí àòîì, è çîíà
−π~/a ≤ p ≤ π~/a çàïîëíåíà ðîâíî íàïîëîâèíó. Äîïóñòèì, ÷òî êàæäûé âòîðîé àòîì ñìåùàåòñÿ íà îäíî è òî æå ðàññòîÿíèå îò ïîëîæåíèÿ,
êîòîðîå îí çàíèìàë â èñõîäíîé ðåøåòêå. Òîãäà ïîëó÷àåòñÿ êðèñòàëë, ó
êîòîðîãî ýëåìåíòàðíàÿ ÿ÷åéêà ñîñòîèò èç äâóõ àòîìîâ, íî ïåðèîä åå ðàâåí 2a. Ïåðâàÿ çîíà Áðèëëþýíà −π~/2a ≤ p ≤ π~/2a îêàçàëàñü çàïîëíåííîé ïîëíîñòüþ, ïîñêîëüêó ÷èñëî ðàçðåøåííûõ ñîñòîÿíèé íà ÿ÷åéêó
= L/aN = 1, à íå 2, êàê áûëî â
ñ ó÷åòîì ïðîåêöèè ñïèíà ðàâíî 2 2π~/2a
2π~/L
ñëó÷àå ðåøåòêè ñ ïåðèîäîì a. Ïðîèçîøåë ïåðåõîä ìåòàëë-èçîëÿòîð. Èìåþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, óêàçûâàþùèå íà òàêîé ïåðåõîä â
íåêîòîðûõ ñëîæíûõ õèìè÷åñêèõ ñîåäèíåíèÿõ.
89
5.5 Ìîäåëü ¾æåëå¿. Ýêðàíèðîâàíèå è ðîëü
êóëîíîâñêèõ ýôôåêòîâ
Âíåøíèå ýëåêòðîíû îäíîâàëåíòíûõ àòîìîâ â ïåðèîäè÷åñêîé ðåøåòêå îòäàþò ñâîè ýëåêòðîíû íà ñîçäàíèå âûñîêîé ïðîâîäèìîñòè. Ïîýòîìó
ðàññìîòðåííàÿ âûøå ìîäåëü ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ ãîäèòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëàõ. Ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèòñÿ â ðàìêàõ òåîðèè ôåðìè-æèäêîñòè Ëàíäàó. Îñíîâíàÿ
èäåÿ ïîäõîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî âìåñòî ýëåêòðîíîâ â íåé ôèãóðèðóþò
êâàçè÷àñòèöû ñ òàêèìè æå êâàíòîâûìè ÷èñëàìè êàê ýëåêòðîí. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ êâàçè÷àñòèö âêëþ÷àåò â ñåáÿ íåêîòîðóþ ôóíêöèþ
èõ âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðàÿ çàâèñèò îò íåñêîëüêèõ ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Ýòè ïàðàìåòðû íàõîäÿòñÿ èç ñîïîñòàâëåíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè
äàííûìè ïî òåïëîåìêîñòè, ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè è ò.ä. Èçó÷åíèå
òåîðèè ôåðìè-æèäêîñòè íå âõîäèò â ðàìêè äàííîãî êóðñà.
Ñäåëàåì ëèøü äâà çàìå÷àíèÿ îá ýôôåêòàõ âçàèìîäåéñòâèÿ â ðàìêàõ ïðîñòåéøåé ìîäåëè òâåðäîãî òåëà ñ ìåòàëëè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ.
Ñîãëàñíî òàê íàçûâàåìîé ìîäåëè ¾æåëå¿ ýëåêòðîíû ñ÷èòàþòñÿ ãàçîì
íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ñ ýôôåêòèâíîé ìàññîé, ó÷èòûâàþùåé âçàèìîäåéñòâèå èõ ñ ðåøåòêîé. Ñàìà ðåøåòêà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ôîí ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ, â òî÷íîñòè êîìïåíñèðóþùèõ çàðÿä ýëåêòðîíîâ. Äîïóñòèì, ÷òî â ñèñòåìó âíåñåí ñòîðîííèé
çàðÿä Ze, è ìû èíòåðåñóåìñÿ âîïðîñîì î âëèÿíèè ðåøåòêè è ýëåêòðîíîâ
íà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ýòèì çàðÿäîì. Ïîòåíöèàë ýòîãî ïîëÿ
äàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
[
]
∇2 φ = −4πρ(r) = −4π Zeδ 3 (r) − |e|n(r) + |e|n0 ,
ãäå |e|n0 åñòü ðàâíîìåðíûé ïîëîæèòåëüíûé ôîí, îáóñëîâëåííûé àòîìàìè ðåøåòêè. Ýëåêòðîííûé ãàç ñ÷èòàåì ñèëüíî âûðîæäåííûì, òàê ÷òî
òåìïåðàòóðà T = 0. Òîãäà ëîêàëüíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîíîâ n(r) ðàâíà
]
[
∫
d3 p
(2m)3/2
p2
n(r) = 2
+
|e|φ(r)
=
θ
ϵ
−
[ϵF + |e|φ(r)]3/2 .
F
3
2
3
(2π~)
2m
3π ~
Ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé ïîòåíöèàë îïðåäåëÿåòñÿ ëîêàëüíîé ýëåêòðîííîé ïëîòíîñòüþ, â ñâîþ î÷åðåäü çàâèñÿùåé îò ýòîãî ïîòåíöèàëà. Ïîñêîëüêó ϵF ≫
90
|e|φ, ïðèáëèæåííî èìååì
n(r) ≈ n0 (1 + 3|e|φ(r)/2ϵF ),
ãäå n0 = p3F /3π 2 ~3 åñòü ïëîòíîñòü ýëåêòðîíîâ, íå âîçìóùåííàÿ ñòîðîííèì
çàðÿäîì.  èòîãå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
∇2 φ −
1
φ = −4πZeδ 3 (r),
2
rD
2
ãäå rD
= ϵF /6πe2 n0 . Ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå èìååò âèä
φ(r) =
eZ −r/rD
e
r
è îïèñûâàåò ýêðàíèðîâàíèå ñòîðîííåãî çàðÿäà íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà
rD . Ýòîò ïàðàìåòð íàçûâàåòñÿ äåáàåâñêèì ðàäèóñîì ýêðàíèðîâàíèÿ.
Ýíåðãèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïàðû ýëåêòðîíîâ â ýëåêòðîííîì ãàçå ïëîòíîñòè n îöåíèâàåòñÿ êàê Uc ∼ e2 n1/3 . Åå îòíîøåíèå ê õàðàêòåðíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà ∼ ϵF îêàçûâàåòñÿ ïîðÿäêà
Uc /ϵF ∼ (aB n1/3 )−1 . Ïîýòîìó îòíîñèòåëüíûé âêëàä êóëîíîâñêîãî îòòàëêèâàíèÿ â ýëåêòðîííîì óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì ïëîòíîñòè â ðàçèòåëüíîì
îòëè÷èè îò êëàññè÷åñêîãî ñëó÷àÿ. Ýòîò âûâîä ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ïðèíöèïà Ïàóëè.
5.6 Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ïîëóïðîâîäíèêîâ
Äëÿ êà÷åñòâåííîãî ïîíèìàíèÿ çîííîé ñòðóêòóðû ïîëóïðîâîäíèêîâ
îáðàòèìñÿ ê ðèñ. 5.4. Õîòÿ ïðèâåäåííûå òàì êðèâûå ïîëó÷åíû â ìîäåëè
ñëàáîé ñâÿçè, êàðòèíà çîííîãî ñïåêòðà â îáùèõ ÷åðòàõ áóäåò òàêîé æå
è â äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ìîäåëè ñèëüíîé ñâÿçè.  ýòîé ìîäåëè
çà îñíîâó áåðóòñÿ ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ â îòäåëüíûõ àòîìàõ.
Ïîñëå ñâåäåíèÿ àòîìîâ â ïåðèîäè÷åñêóþ ðåøåòêó óðîâíè ýíåðãèè ðàçìûâàþòñÿ â çîíû, êàê ýòî áûëî ïîêàçàíî â ïåðâîé ÷àñòè êóðñà íà ïðèìåðå
¾ãðåáåíêè¿ èç δ -ôóíêöèé. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ÷èñòûé ïîëóïðîâîäíèê.
 ñïåêòðå åãî ñîñòîÿíèé èìååòñÿ ïîëíîñòüþ çàïîëíåííàÿ âàëåíòíàÿ çîíà,
â êà÷åñòâå êîòîðîé âîçüìåì çîíó 2 íà ðèñ. 5.4, è ïóñòàÿ (ïðè T = 0) çîíà ïðîâîäèìîñòè, îòäåëåííàÿ îò âàëåíòíîé çîíû ýíåðãåòè÷åñêîé ùåëüþ.
91
Çîíà ïðîâîäèìîñòè ïîêàçàíà êðèâîé 3 íà ðèñ. 5.4. Òèïè÷íûå çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðà ùåëè ∆ ëåæàò â èíòåðâàëå îò ∼ 0.1 ýÂ äî ∼ 2 ýÂ, ò.å. ∆/T ≫ 1.
Ïðîâîäèìîñòü âîçíèêàåò ïðè T ̸= 0 çà ñ÷åò ïåðåõîäà ýëåêòðîíîâ èç
âàëåíòíîé çîíû â çîíó ïðîâîäèìîñòè. Âû÷èñëèì êîíöåíòðàöèþ íîñèòåëåé òîêà â ÷èñòîì ïîëóïðîâîäíèêå. Äëÿ ýòîãî íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äûðîê, ò.å. ïóñòûõ ñîñòîÿíèé â ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîé âàëåíòíîé çîíå. Åñëè fe (ϵ) åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà ñ
ýíåðãèåé ϵ çàíÿòî, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî ñîñòîÿíèå ñâîáîäíî (ò.å.
ÿâëÿåòñÿ äûðêîé), ðàâíà
fh (ϵ) = 1 − fe (ϵ) = 1 −
1
e(ϵ−µ)/T
+1
1
=
e(−ϵ+µ)/T
+1
.
Âûáåðåì íà÷àëî îòñ÷åòà ýíåðãèè â ïîòîëêå âàëåíòíîé çîíû. Òîãäà ýíåðãèÿ âàëåíòíîãî ýëåêòðîíà åñòü ϵ = −ϵh = −p2 /2mh , ãäå mh èìååò ñìûñë
ýôôåêòèâíîé ìàññû äûðêè. Ïóñòîå ñîñòîÿíèå â ¾ìîðå¿ ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ýíåðãèþ, è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äûðîê ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
fh (ϵh ) =
1
e(ϵh −(−µ))/T
+1
.
Õèìïîòåíöèàë äûðîê â ÷èñòîì ïîëóïðîâîäíèêå ðàâåí ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæåí ïî çíàêó õèìïîòåíöèàëó ýëåêòðîíîâ. Ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà
â çîíå ïðîâîäèìîñòè ϵe = ∆ + p2 /2me , ãäå me åñòü ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà. Êàê ìû çíàåì, me,h õàðàêòåðèçóåò êðóòèçíó çàâèñèìîñòè
ϵ(p) âáëèçè ýêñòðåìóìîâ â ñëó÷àå èçîòðîïíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà.
×èñëåííî, îòíîøåíèå ýôôåêòèâíûõ ìàññ ê ìàññå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà
me,h /m ëåæàò â èíòåðâàëå îò 0.016 äî 0.7 â çàâèñèìîñòè îò ïîëóïðîâîäíèêà. Ïîñêîëüêó ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè
ðàâíà ∆, à ∆ ≫ T , êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè îòíîñèòåëüíî
ìàëà äëÿ òîãî ÷òîáû ïðèáëèæåííî èñïîëüçîâàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà-Áîëüöìàíà âìåñòî ôåðìèåâñêîé. Òî æå ñïðàâåäëèâî äëÿ
äûðîê. Â ñèëó óñëîâèÿ ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòè êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ
è äûðîê ðàâíû: ne = nh . Îòñþäà íàõîäèì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ
õèìïîòåíöèàëà µ:
∫
∫
d3 p − 2mp2 T
d3 p − 2mp2 T
−µ/T
(µ−∆)/T
e
h
=
e
e
e
= nh .
ne = e
(2π~)3
(2π~)3
92
Ïîëó÷àåì:
∆ 3T mh
∆
+
ln
≈ ,
2
4
me
2
ò.å. óðîâåíü Ôåðìè µ(0) ëåæèò â ñåðåäèíå çàïðåùåííîé çîíû. Êîíöåíòðàöèÿ íîñèòåëåé ðàâíà
(√
)
me mh T 3/2 −∆/2T
ne = nh =
e
.
2π~2
µ=
Ïîëàãàÿ me = mh = 0.02m, ∆ = 0.5 ýÂ, íàõîäèì ne = 2.2 × 1012 ñì−3 ïðè
T = 300 K è ne = 1.1 × 1013 ñì−3 ïðè T = 350 K.
Íà ñàìîì äåëå â ïîëóïðîâîäíèêîâîé ýëåêòðîíèêå èñïîëüçóþòñÿ íå
÷èñòûå ïîëóïðîâîäíèêè, à ïðèìåñíûå. Åñëè â ðåøåòêó èç ÷åòûðåõâàëåíòíûõ àòîìîâ ãåðìàíèÿ Ge âíåäðèòü ïÿòèâàëåíòíûå àòîìû ìûøüÿêà As, ëèøíèé ýëåêòðîí èç As ìîæåò ïîïàñòü â çîíó ïðîâîäèìîñòè. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ äîíîðíûé ïîëóïðîâîäíèê èëè ïîëóïðîâîäíèê nòèïà. Ïðèìåñü òðåõâàëåíòíîãî èíäèÿ In â Ge, íàîáîðîò, çàáèðàåò ê ñåáå
ýëåêòðîí èç âàëåíòíîé çîíû, ñîçäàâàÿ òàì äûðêó. Ïîëó÷àåòñÿ àêöåïòîðíûé ïîëóïðîâîäíèê èëè ïîëóïðîâîäíèê p-òèïà.
Ïðè ðàññìîòðåíèè ïðèìåñíîé ïðîâîäèìîñòè äëÿ îïðåäåëåííîñòè îãðàíè÷èìñÿ ïîëóïðîâîäíèêîì n-òèïà. Îöåíèì ýíåðãèþ äîíîðíîãî óðîâíÿ â
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ëèøíèé äîíîðíûé ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â îñíîâíîì
ñîñòîÿíèè ýêðàíèðîâàííîãî êóëîíîâñêîãî ïîëÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî èîíà äîíîðíîãî àòîìà. Åñëè äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü îñíîâíîãî êðèñòàëëà ε ∼ 20, òî ýíåðãèÿ äîíîðíîãî óðîâíÿ ñîñòàâèò, ïî ïîðÿäêó
âåëè÷èíû,
me e4
me
ϵd = − 2 2 = −Ry 2 ∼ −5 × 10−5 Ry ∼ −10−3 ∆.
2~ ε
mε
Çíà÷èò, äîíîðíûé óðîâåíü ðàñïîëîæåí â çàïðåùåííîé çîíå ÷óòü íèæå
äíà çîíû ïðîâîäèìîñòè. Àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå àêöåïòîðíîãî óðîâíÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî îí ðàñïîëîæåí â çàïðåùåííîé çîíå ÷óòü âûøå ïîòîë(0)
êà âàëåíòíîé çîíû. Ïóñòü Nd − ÷èñëî äîíîðíûõ àòîìîâ â îáðàçöå. Ýòè
àòîìû ìîãóò òåðÿòü äîíîðíûå ýëåêòðîíû, îòïðàâëÿÿ èõ â çîíó ïðîâîäèìîñòè. Íàéäåì ÷èñëî ýëåêòðîíîâ íà äîíîðíûõ óðîâíÿõ Nd . Ýëåêòðîí íà
äîíîðíîì óðîâíå ìîæåò íàõîäèòüñÿ ëèáî â ñîñòîÿíèè ñ ïðîåêöèåé ñïèíà
+1/2, ëèáî -1/2. Ýìïèðè÷åñêè èçâåñòíî, ÷òî åñëè íà äîíîðíîì óðîâíå
óæå åñòü ýëåêòðîí, òî âòîðîãî ýëåêòðîíà ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ïðîåêöèåé
93
r
r
a1
a2
A
A
B
B
r
r
δ2
A
δ1
A
B
r
δ3
Ðèñ. 5.5: Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ãðàôåíà. a1,2 - áàçèñíûå âåêòîðû,
δ1,2,3 - âåêòîðû â íàïðàâëåíèè áëèæàéøèõ ñîñåäåé.
ñïèíà íå ìîæåò òàì îêàçàòüñÿ èç-çà êóëîíîâñêîãî îòòàëêèâàíèÿ. ×èñëî
ñîñòîÿíèé äîíîðíûõ ýëåêòðîíîâ ðàâíî
(0)
Γd = 2
Nd
×
Nd !
(0)
Nd !(Nd − Nd )!
,
ãäå ïåðâûé ìíîæèòåëü çàäàåò ÷èñëî ñîñòîÿíèé äîíîðíûõ ýëåêòðîíîâ íà
äîíîðíûõ óðîâíÿõ, à âòîðîé ÷èñëî ñïîñîáîâ âûáðàòü Nd ýëåêòðîíîâ
(0)
íà äîíîðíûõ óðîâíÿõ èç ïîëíîãî ÷èñëà ND äîíîðíûõ ýëåêòðîíîâ.
Ñâî(
)
áîäíàÿ ýíåðãèÿ Fd = ϵd Nd − T ln Γd . Èç âûðàæåíèÿ µ =
÷èñëî ýëåêòðîíîâ íà äîíîðíûõ óðîâíÿõ:
Nd =
1
1 (ϵd −µ)/T
e
2
+1
∂Fd
∂Nd
T
íàõîäèì
.
(0)
Nd − Nd ýëåêòðîíîâ óõîäÿò â çîíó ïðîâîäèìîñòè.
5.7 Çàäà÷è
1. Îöåíèòü òåìïåðàòóðó âûðîæäåíèÿ äëÿ ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìåòàëëå, ïîëàãàÿ ïëîòíîñòü ÷èñëà ÷àñòèö n ∼ 1022 ñì−3 .
2. Îöåíèòü èìïóëüñ è ýíåðãèþ Ôåðìè ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ â òÿæå238
. Âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö äðóã ñ äðóãîì ïðåíåáðå÷ü.
ëîì ÿäðå U92
3. Ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå ñëàáîãî âûðîæäåíèÿ (êëàññè÷åñêèé ðåæèì)
T ≫ T0 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ ìàëîñòè ñðåäíåãî ÷èñëà çàïîëíåíèÿ
⟨nk ⟩ ≪ 1.
94
4. Âû÷èñëèòü ïåðâóþ êâàíòîâóþ ïîïðàâêó ê óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ
èäåàëüíîãî ñëàáî âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà (T ≫ T0 ).
5. Âû÷èñëèâ äèñïåðñèþ ∆n2k ÷èñëà çàïîëíåíèÿ óðîâíÿ k , íàéòè äèñïåðñèþ ÷èñëà ÷àñòèö èäåàëüíîãî ñèëüíî âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà
∆N 2 â áîëüøîì êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå. Ñðàâíèòü ñî ñëó÷àåì êëàññè÷åñêîãî ãàçà.
6. Ïðÿìîóãîëüíûé ñîñóä ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ 100 ñì2 è âûñîòîé
10 ñì íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè Çåìëè. Ñêîëüêî íåéòðîíîâ ìîæíî ïîìåñòèòü â ýòîò ñîñóä? Âû÷èñëèòü ýíåðãèþ íåéòðîíîâ. Ñ÷èòàòü, ÷òî âåùåñòâî ñîñóäà íåïðîíèöàåìî äëÿ íåéòðîíîâ,
à òåìïåðàòóðà T = 0. Âçàèìîäåéñòâèåì íåéòðîíîâ äðóã ñ äðóãîì
ïðåíåáðå÷ü.
7. Âûâåñòè ñîîòíîøåíèå (5.21) â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòè
ϵ = ϵ(px , py , pz ).
8. Èäåàëüíûé ãàç èç N = 106 òîæäåñòâåííûõ íåðåëÿòèâèñòñêèõ ôåðìèîíîâ ñî ñïèíîì s = 1/2 ïîìåùåí â ïîëå èçîòðîïíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà U (r) = mω 2 r 2 /2 ñ ÷àñòîòîé ω/2π = 100 Ãö. Íàéòè ïëîòíîñòü ÷àñòèö â çàâèñèìîñòè îò êîîðäèíàòû, ýíåðãèþ Ôåðìè
è òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû ïðè óñëîâèè T /ϵF ≪ 1. Îòâåò äîâåñòè äî
÷èñëà ïðè T = 10−2 ϵF .
9.  ïðèáëèæåíèè ñèëüíîé ñâÿçè ïîëó÷èòü ÿâíûé âèä çàêîíà äèñïåðñèè ýëåêòðîíà â ïðîñòîé êóáè÷åñêîé, ãðàíåöåíòðèðîâàííîé êóáè÷åñêîé è îáúåìíîöåíòðèðîâàííîé êóáè÷åñêîé ðåøåòêàõ. Íàéòè
ýôôåêòèâíóþ ìàññó ýëåêòðîíà, âûðàæåííóþ ÷åðåç ïàðàìåòðû a è
γ . Âû÷èñëèòü âåêòîð ãðóïïîâîé ñêîðîñòè ýëåêòðîíà è íàéòè åãî
çíà÷åíèå íà ãðàíèöå ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà. Ñ÷èòàòü, ÷òî â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå íàõîäèòñÿ îäèí àòîì.
10. Âû÷èñëèòü òåìïåðàòóðíóþ çàâèñèìîñòü ýëåêòðîííîé òåïëîåìêîñòè
ïîëóïðîâîäíèêà áåç ïðèìåñåé.
11. Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà ãðàôåíà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé
êðèñòàëëè÷åñêîé ìîäèôèêàöèåé óãëåðîäà, ñîñòîèò èç äâóõ ïîäðåøåòîê A è B, ñì. ðèñ. 5.5. Íàéòè çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîíîâ â ãðàôåíå â ïðèáëèæåíèè ñèëüíîé ñâÿçè. Âûáðàâ íà÷àëî îòñ÷åòà ýíåðãèè ïðè ýíåðãèè ýëåêòðîíà, ñâÿçàííîãî ñ àòîìîì óãëåðîäà, íàéòè
95
çíà÷åíèÿ êâàçèèìïóëüñà, ïðè êîòîðûõ ýíåðãèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü.
Ðàçëîæèòü ýíåðãèþ âáëèçè ýòèõ çíà÷åíèé êâàçèèìïóëüñà è óáåäèòüñÿ, ÷òî îíà èìååò ëèíåéíûé âèä. Íàéòè ñêîðîñòü ýëåêòðîíîâ â
ãðàôåíå â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè äëÿ çàêîíà äèñïåðñèè, èñïîëüçóÿ
èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ ðåøåòî÷íîé ïîñòîÿííîé è ïàðàìåòðà ïåðåñêîêà
a = 1.42 A, γ = 2.8 ýÂ.
12. Ýëåêòðîííî-äûðî÷íûé ñïåêòð ãðàôåíà, íàéäåííûé â ïðåäûäóùåé
çàäà÷å, èìååò òàêîé æå âèä êàê ó áåñùåëåâîãî áåñïðèìåñíîãî
ïî√
ëóïðîâîäíèêà ñ ëèíåéíûì çàêîíîì äèñïåðñèè: ϵe,h = ±vF px2 + p2y ,
ãäå âåðõíèé (íèæíèé) çíàê îòíîñèòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê ýëåêòðîíàì e (äûðêàì h). ×èñëåííîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè Ôåðìè vF ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì ïðåäûäóùåé çàäà÷è. Âû÷èñëèòü ÷èñëî íîñèòåëåé
è ýëåêòðîííî-äûðî÷íóþ òåïëîåìêîñòü â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû. Âû÷èñëèòü ÷èñëî íîñèòåëåé ïðè íàëè÷èè îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E = E(1, 0), íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè x. Ñ÷èòàòü,
÷òî îáðàçåö ðàñïîëîæåí â ïëîñêîñòè (x, y) è èìååò ðàçìåðû Lx ×Ly .
13. Âû÷èñëèòü êîíöåíòðàöèþ íîñèòåëåé è ýëåêòðîííóþ òåïëîåìêîñòü
ïîëóïðîâîäíèêà n-òèïà ïðè òåìïåðàòóðàõ, êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü
âêëàäîì ýëåêòðîíîâ èç âàëåíòíîé çîíû. Äëÿ ÷èñëåííîé îöåíêè âçÿòü
(0)
êîíöåíòðàöèþ äîíîðíûõ àòîìîâ nd = 1014 ñì−3 , me /m = 0.02,
ýíåðãèþ èîíèçàöèè äîíîðíîãî àòîìà |ϵd | = 0.01 ýÂ.
14.  ìàññèâíûõ íåéòðîííûõ çâåçäàõ ïëîòíîñòü íåéòðîíîâ ìîæåò îêàçàòüñÿ ñòîëü áîëüøîé (îöåíèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ âåëè÷èíó!), ÷òî
èõ ôåðìèåâñêîå äâèæåíèå ñòàíåò óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèì. Ñèñòåìå
âûãîäíî ïîíèçèòü ýíåðãèþ çà ñ÷åò çàõâàòà óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèõ
ýëåêòðîíîâ ïðîòîíàìè: e− + p n + νe . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî õèìïîòåíöèàë íåéòðèíî ðàâåí íóëþ, à çâåçäà â öåëîì ýëåêòðîíåéòðàëüíà, âû÷èñëèòü ðàâíîâåñíóþ êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ, ïðîòîíîâ è
íåéòðîíîâ.
15. Â íåéòðîííûõ çâåçäàõ ãðàâèòàöèÿ óðàâíîâåøèâàåòñÿ äàâëåíèåì âûðîæäåííîãî ãàçà íåéòðîíîâ. Íàéòè ðàäèóñ íåéòðîííîé çâåçäû ñ
ìàññîé ïîðÿäêà ìàññû Ñîëíöà.
96
Ãëàâà 6
Èäåàëüíûé áîçå-ãàç
6.1 Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èäåàëüíîãî áîçåãàçà
Ïðèìåíèì ôîðìóëó (5.12) ê âûâîäó ñðåäíåãî ÷èñëà çàïîëíåíèÿ èäåàëüíîãî áîçå-ãàçà, ò.å. ãàçà òîæäåñòâåííûõ áîçîíîâ. Äëÿ áîçîíîâ íåò
îãðàíè÷åíèé íà ÷èñëî çàïîëíåíèÿ êâàíòîâîãî óðîâíÿ k , ïîýòîìó nk =
0, 1, · · · ∞. Áîëüøàÿ ñòàòñóììà äëÿ óðîâíÿ k åñòü
∞
∑
1
.
enk (µ−ϵk )/T =
Ξk =
(µ−ϵk )/T
1
−
e
n =0
k
Ñðåäíåå ÷èñëî çàïîëíåíèÿ ⟨nk ⟩ óðîâíÿ k â áîçå-ãàçå, èìåþùåå ñìûñë
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ f (ϵk ), íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
(
)
∂Ωk
1
⟨nk ⟩ ≡ f (ϵk ) = −
= (ϵ −µ)/T
,
(6.1)
k
∂µ T,V
e
−1
ãäå Ωk = −T ln Ξk . Êëàññè÷åñêèé ïðåäåë f (ϵ) ≈ e(µ−ϵ)/T êâàíòîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (6.1) äëÿ áîçîíîâ äîñòèãàåòñÿ â ðåæèìå ìàëûõ ñðåäíèõ ÷èñåë
çàïîëíåíèÿ âñåõ óðîâíåé ⟨nk ⟩ ≪ 1. Êàê è â ñëó÷àå ôåðìè-ãàçà, óñëîâèåì ýòîé ìàëîñòè ÿâëÿåòñÿ ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî T ≫ T0 ∼ ~2 n2/3 /m.
Âûðàæåíèå äëÿ ÷èñëà ÷àñòèö áîçå-ãàçà â âèäå ñóììû ñðåäíèõ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ êâàíòîâûõ óðîâíåé
∑
1
N=
(6.2)
(ϵ
−µ)/T
e k
−1
k
97
ñëóæèò äëÿ íàõîæäåíèÿ õèìïîòåíöèàëà µ(T, N ) êàê ôóíêöèè ÷èñëà ÷àñòèö è òåìïåðàòóðû. Èç (6.2) ñëåäóåò âûâîä, ÷òî õèìïîòåíöèàë èäåàëüíîãî áîçå-ãàçà íå ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíûì, µ ≤ 0. Äåéñòâèòåëüíî,
ââèäó êâàçèíåïðåðûâíîñòè ñïåêòðà ïîñòóïàòåëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â
ìàêðîñêîïè÷åñêîì îáúåìå, ïðè ñóììèðîâàíèè ïî ñîñòîÿíèÿì â (6.2) â
ñëó÷àå µ > 0 îáÿçàòåëüíî âîçíèêíåò ïîëþñíàÿ ñèòóàöèÿ ϵk = µ, è ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå îêàæåòñÿ áåñêîíå÷íûì â ïðîòèâîðå÷èè ñ èñõîäíûì
ïðåäïîëîæåíèåì. Ýíåðãèÿ áîçå-ãàçà äàåòñÿ âûðàæåíèåì
∑
ϵk
E=
.
(6.3)
(ϵ
−µ)/T
e k
−1
k
Êàê íåîäíîêðàòíî ïîä÷åðêèâàëîñü ðàíåå, ïðè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ
âìåñòî ñóìû ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì óäîáíî èíòåãðèðîâàòü ïî ýíåðãèè, èñïîëüçóþ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ν(ϵ). Åñëè ñïèí ÷àñòèö s, òî ñïèíîâàÿ êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ g = 2s + 1, è îäíî÷àñòè÷íàÿ ïëîòíîñòü
ñîñòîÿíèé çàïèñûâàåòñÿ êàê
ν(ϵ) =
∑
k
gV m3/2 1/2
ϵ .
δ(ϵ − ϵk ) = √
2π 2 ~3
(6.4)
Ñ ïîìîùüþ ýòîé âåëè÷èíû ÷èñëî ÷àñòèö áîçå-ãàçà è åãî ýíåðãèÿ ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå:
∫ ∞
ν(ϵ)dϵ
,
(6.5)
N=
(ϵ−µ)/T
e
−1
0
è
∫ ∞
ϵν(ϵ)dϵ
E=
.
(6.6)
e(ϵ−µ)/T − 1
0
6.2 Ôîòîíû â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè
Òåïëîâîå èçëó÷åíèå â îáúåìå V ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàç ôîòîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè ñ âåùåñòâîì ñòåíîê, îãðàíè÷èâàþùèõ
ýòîò îáúåì. Ôîòîíû ÿâëÿþòñÿ áåçìàññîâûìè ÷àñòèöàìè ñ çàêîíîì äèñïåðñèè ϵ = c|p|, èìåþò äâà íåçàâèñèìûõ ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè. Îäíàêî
èç òîãî, ÷òî ÷èñëî ñîñòîÿíèé ïîëÿðèçàöèè ôîòîíà ðàâíî äâóì, âîâñå íå
ñëåäóåò çíà÷åíèå ñïèíà 1/2 è ÷òî ôîòîí ÿâëÿåòñÿ ôåðìèîíîì.  ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî áåçìàññîâûå ÷àñòèöû
98
1,6
1,4
1,2
x3/(e x-1)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
x
Ðèñ. 6.1: Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ðàâíîâåñíîãî èçëó÷åíèÿ ñîãëàñíî ôîðìóëå Ïëàíêà (6.8) â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ x = ~ω/T .
èìåþò äâà ïîëÿðèçàöèîííûõ ñîñòîÿíèÿ íåçàâèñèìî îò âåëè÷èíû èõ ñïèíà. Äðóãèå èçâåñòíûå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû (íåéòðèíî) ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ òîëüêî ïàðàìè ÷àñòèöà-àíòè÷àñòèöà, ïîýòîìó òåïëîâûå ñâîéñòâà íåéòðèííîãî ãàçà íàäî îïèñûâàòü ôåðìèåâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Ïîñêîëüêó
ôîòîíû èçëó÷àþòñÿ è ïîãëîùàþòñÿ âåùåñòâîì, èõ ÷èñëî Nph â çàäàííîì
îáúåìå íå ïîñòîÿííî. Åñëè ôèêñèðîâàòü T è V , òî óñëîâèåì ðàâíîâåñèÿ
ïðè ïåðåìåííîì Nph ÿâëÿåòñÿ (∂F/∂Nph )T,V = µph = 0, ò.å. õèìïîòåíöèàë ôîòîííîãî ãàçà ðàâåí íóëþ. Ôîòîíû ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ â ëþáîì êîëè÷åñòâå, îïðåäåëÿåìîì òîëüêî âíåøíèìè óñëîâèÿìè, ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ èõ òåïëîâûõ ñâîéñòâ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ðàñïðåäåëåíèå Áîçå (6.1)
µ = 0. Ýíåðãèÿ ôîòîííîãî ãàçà â îáúåìå V âû÷èñëÿåòñÿ èç (6.6):
∫
2V
c|p|
.
(6.7)
d3 p c|p|/T
E=
3
−1
(2π~)
e
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ϵ = ~ω , èç (6.7) íàõîäèì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè
òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ:
ρω ≡
d(E/V )
~
ω3
= 2 3 ~ω/T
,
dω
π c e
−1
(6.8)
èçâåñòíóþ êàê ôîðìóëà Ïëàíêà. Èç ðèñ. 6.1 îïðåäåëÿåì, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðè xm = 2.82,
99
÷òî ñîîòâåòñòâóåò ~ωm = 2.82T . Àñèìïòîòèêè ôîðìóëû (6.8) èìåþò âèä
{
1
ω 2 T , ω ≪ ωm
ρω = 2 3
.
(6.9)
~ω 3 e−~ω/T , ω ≫ ωm
π c
Ïðåäåë ω ≪ ωm íîñèò íàçâàíèå çàêîíà Ðýëåÿ-Äæèíñà è îòâå÷àåò êëàññè÷åñêîé êàðòèíå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. Äåéñòâèòåëüíî, êëàññè÷åñêîå
ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùåå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû,
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå íàáîðà ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ. Ïî òåîðåìå î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà ðàâíà T íåçàâèñèìî îò
÷àñòîòû, à ÷èñëî êîëåáàíèé íà åäèíè÷íûé èíòåðâàë ÷àñòîò ïðîïîðöèîíàëüíî ω 2 , îòêóäà ρω ∝ ω 2 T . Ïîëíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè âî âñåì äèàïàçîíå ÷àñòîò îêàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîé. Ýòà íåàäåêâàòíîñòü êëàññè÷åñêîé
ôèçèêè ïîëó÷èëà íàçâàíèå ¾óëüòðàôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû¿ è â êîíöå XIX âåêà ïîñëóæèëà ñòèìóëîì ê ýêñïåðèìåíòàëüíîìó èññëåäîâàíèþ
ñâîéñòâ òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ, ÷òî è ïðèâåëî Ì.Ïëàíêà ê îòêðûòèþ ïðàâèëüíîãî êâàíòîâîãî çàêîíà (6.8). Äðóãîé ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ôîðìóëû
Ïëàíêà (ω ≫ ωm ) íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Âèíà. Îí ñîîòâåòñòâóåò êîðîòêîâîëíîâîé àñèìïòîòèêå, êîãäà èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå òî÷å÷íûõ
êâàíòîâ ýíåðãèè ~ω . Ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü ÷èñëà êîëåáàíèé òàêæå ïðîïîðöèîíàëüíà ω 2 , òî êëàññè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Áîëüöìàíà è äàåò çàêîí
Âèíà
ρω ∝ ~ω 3 e−~ω/T .
Ëþáîïûòíî, ÷òî ýòîò çàêîí áûë îòêðûò çàäîëãî äî ôîðìóëèðîâêè Ïëàíêîì êâàíòîâûõ êîíöåïöèé. Îäíàêî îí íå áûë èíòåðïðåòèðîâàí êàê óêàçàíèå íà êâàíòîâóþ ïðèðîäó èçëó÷åíèÿ. Êâàíòîâàÿ èíòåðïðåòàöèÿ çàêîíà
Âèíà áûëà äàíà À.Ýéíøòåéíîì óæå ïîñëå îòêðûòèÿ Ì.Ïëàíêà.
Ïëîòíîñòü ýíåðãèè òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ïî âñåì ÷àñòîòàì. Èñïîëüçóÿ òàáëè÷íîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà
∫ ∞ 3
π4
x dx
= ,
ex − 1
15
0
íàõîäèì
∫ ∞
∫ ∞ 3
~
ω 3 dω
T4
x dx
4σ 4
E
= 2 3
=
=
T ,
V
π c 0 e~ω/T − 1
π 2 (c~)3 0 ex − 1
c
ãäå ïîñòîÿííàÿ (â îáû÷íûõ åäèíèöàõ ÑÃÑÝ)
σ=
4
π 2 kB
c
= 5.67 × 10−5 £ · c−3 K−4
60(~c)3
100
íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé Ñòåôàíà-Áîëüöìàíà.
Õîòÿ èñòîðè÷åñêè ãàç ôîòîíîâ íà÷àë èññëåäîâàòüñÿ â çåìíûõ ëàáîðàòîðèÿõ â âèäå òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ â ïîëîñòè, â ÷àñòíîñòè, îáû÷íîé
ïå÷êè, â íàñòîÿùåå âðåìÿ îí ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ñàìûõ çíàìåíèòûõ ñóáñòàíöèé â àñòðîôèçèêå è êîñìîëîãèè, ò.å. íàóêè, ïîñâÿùåííîé èçó÷åíèþ
ñòðîåíèÿ è ýâîëþöèè Âñåëåííîé êàê öåëîãî. Îäíèì èç ñàìûõ âûäàþùèõñÿ íàó÷íûõ îòêðûòèé áûëî îòêðûòèå â 1965 ã. êîñìè÷åñêîãî ôîíîâîãî èçëó÷åíèÿ àìåðèêàíñêèìè èññëåäîâàòåëÿìè À. Ïåíçèàñîì è Ð. Óèëñîíîì,
óäîñòîåííûì çà ýòî îòêðûòèå Íîáåëåâñêîé ïðåìèè. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ
ñ ïîìîùüþ äåòåêòîðîâ, óñòàíîâëåííûõ íà îðáèòàëüíûõ êîñìè÷åñêèõ àïïàðàòàõ, åãî ñïåêòð èçìåðåí ñ êîëîññàëüíîé òî÷íîñòüþ è ïðåäñòàâëÿåòñÿ
êðèâîé íà ðèñ. 6.1, ñîîòâåòñòâóþùåé òåìïåðàòóðå T = 2.725 K. Êîñìè÷åñêîå ôîíîâîå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíèâøèìñÿ ðåëèêòîì ýïîõè ðàííåé
Âñåëåííîé, êîãäà ôîòîíû è ïàðû ÷àñòèöà-àíòè÷àñòèöà íàõîäèëèñü â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè. Ïî ìåðå ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé òåìïåðàòóðà ïàäàëà.
Ïàäàëà è ýíåðãèÿ ôîòîíîâ, òàê ÷òî â êàêîé-òî ìîìåíò îíè âûïàëè èç ðàâíîâåñèÿ, ïåðåñòàâ âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ íåéòðàëüíûì âåùåñòâîì. Ïî ýòîé
ïðè÷èíå ðàâíîâåñíûé ïëàíêîâñêèé ñïåêòð ñîõðàíèëñÿ äî íàøåãî âðåìåíè è ñîõðàíèòñÿ äàëüøå, íåñìîòðÿ íà îòñóòñòâèå ïðîöåññîâ, ïîääåðæèâàþùèõ òåïëîâîå ðàâíîâåñèå ôîíîâîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ è
âåùåñòâà.
Óâåëè÷åíèå òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû êîñìè÷åñêîãî ôîíîâîãî èçëó÷åíèÿ ïðèâåëî ê áóðíîìó ðàçâèòèþ ýêñïåðèìåíòàëüíîé êîñìîëîãèè. Ñ ïîìîùüþ äåòåêòîðîâ ôîíà êîñìè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, óñòàíîâëåííûõ íà âûñîòíûõ çîíäàõ, â 1979 ãîäó áûëî âûÿñíåíî, ÷òî ýòà òåìïåðàòóðà
çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ, ñ êîòîðîãî ðåãèñòðèðóåòñÿ èçëó÷åíèå. Çàâèñèìîñòü èìåëà âèä T (θ) = T0 (1 + a cos θ). Ýòà òàê íàçûâàåìàÿ äèïîëüíàÿ
àíèçîòðîïèÿ âûçâàíà äâèæåíèåì Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷åòà, â êîòîðîé ôîòîííûé ãàç êîñìè÷åñêîãî ôîíîâîãî èçëó÷åíèÿ êàê öåëîå ïîêîèòñÿ. Îíà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ýôôåêòà Äîïïëåðà.
Èç èçìåðåííîé âåëè÷èíû a ∼ v/c ∼ 10−3 áûëà îïðåäåëåíà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ v ≈ 400 êì/ñ. Áûëè çàðåãèñòðèðîâàíû òàêæå ãîäè÷íûå âàðèàöèè
ñêîðîñòè, âûçâàííûå îðáèòàëüíûì äâèæåíèåì Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà. À
ïîñêîëüêó ãàëàêòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû áûëà èçâåñòíà èç
äðóãèõ èçìåðåíèé, ïîëó÷åííàÿ èíôîðìàöèÿ ïîçâîëèëà îïðåäåëèòü ñêîðîñòü íàøåé Ãàëàêòèêè - Ìëå÷íîãî Ïóòè - îòíîñèòåëüíî ôîíà. Îíà îêàçàëàñü ðàâíà ïðèìåðíî 600 êì/ñ.
Íà ýòîì ðàçâèòèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé êîñìîëîãèè íå îñòàíîâèëîñü.
101
Êîñìè÷åñêèé àïïàðàò COBE, çàïóùåííûé â 1990 ã., îáíàðóæèë óãëîâûå âàðèàöèè òåìïåðàòóðû êîñìè÷åñêîãî ôîíîâîãî èçëó÷åíèÿ, îòëè÷íûå
îò óïîìÿíóòîé äèïîëüíîé àíèçîòðîïèè. Îíè èìåþò ìåñòî íà î÷åíü ìàëûõ óãëîâûõ ìàñøòàáàõ θ ∼ 10−3 , à èõ âåëè÷èíà îêàçàëàñü íà óðîâíå
∆T /T ∼ 10−5 . Òåîðåòè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòèõ èçìåðåíèé ïîçâîëèëà ìíîãîå óçíàòü î Âñåëåííîé íà ñàìûõ ðàííèõ ýòàïàõ åå ðàçâèòèÿ, â
÷àñòíîñòè, óñòàíîâèòü åå ãåîìåòðèþ, ñîîòíîøåíèå âåùåñòâà, èçëó÷åíèÿ,
òåìíîé ìàòåðèè è ò.ä. Ðóêîâîäèòåëü ïðîåêòà COBE Äæ. Ñìóò òàêæå
áûë óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè çà îòêðûòèå ìåëêîìàñøòàáíûõ óãëîâûõ âàðèàöèé òåìïåðàòóðû ôîíîâîãî èçëó÷åíèÿ.
6.3 Êîíäåíñàöèÿ Áîçå Ýéíøòåéíà
Ðàññìîòðèì èäåàëüíûé ãàç òîæäåñòâåííûõ áîçîíîâ, ÷èñëî êîòîðûõ
ñîõðàíÿåòñÿ.  áîëüøîì êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå ìîæíî ôèêñèðîâàòü çàäàííîå ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö çà ñ÷åò ââåäåíèÿ õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà
µ ̸= 0. Ïóñòü âíåøíèå ïîëÿ îòñóòñòâóþò. Ìû çíàåì, ÷òî äëÿ áîçå-ãàçà
µ ≤ 0. Äèôôåðåíöèðóÿ (6.5) ïî T ïðè N = const, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé õèìïîòåíöèàëà ïî òåìïåðàòóðå:
(
∂µ
∂T
)
=−
V,N
∫∞
(ϵ−µ)ϵ1/2 e(ϵ−µ)/T dϵ
0
[e(ϵ−µ)/T −1]
T
2
∫∞
0
ϵ1/2 e(ϵ−µ)/T dϵ
2
[e(ϵ−µ)/T −1]
< 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñ óìåíüøåíèåì òåìïåðàòóðû õèìïîòåíöèàë áîçå-ãàçà ìîíîòîííî óáûâàåò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, îñòàâàÿñü îòðèöàòåëüíûì. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ òåìïåðàòóðà T0 , ÷òî µ(T0 ) = 0, òî ïðè T < T0 õèìïîòåíöèàë îñòàíåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Íàéäåì T0 , ïîëîæèâ â âûðàæåíèè
äëÿ N (6.5) µ = 0, T = T0 :
3/2
gV m3/2 T0
N= √
2π 2 ~3
∫
0
∞
3/2
x1/2 dx
gV m3/2 T0
√
=
Γ
ex − 1
2π 2 ~3
( ) ( )
3
3
ζ
.
2
2
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé è ïîäîáíûõ çàäà÷ ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëè÷íû-
102
ìè èíòåãðàëàìè
∫
∞
xz−1 dx
= Γ(z)ζ(z),
ex − 1
0
∫ ∞ z x
x e dx
= Γ(z + 1)ζ(z),
(ex − 1)2
0
∫ ∞ 2n−1
x
dx
(2π)2n Bn
=
.
ex − 1
4n
0
(6.10)
Äçåòà-ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ðÿäîì
ζ(z) =
∞
∑
n−z .
n=1
Âîò íåñêîëüêî åå çíà÷åíèé: ζ(3/2) ≈ 2.612, ζ(5/2) ≈ 1.341, ζ(3) ≈ 1.202,
ζ(5) ≈ 1.037. Bn − ÷èñëà Áåðíóëëè. Äëÿ íåêîòîðûõ èç íèõ èçâåñòåí ÿâíûé
âèä: B1 = 1/6, B2 = 1/30, B3 = 1/42, B4 = 1/30. Êðîìå òîãî, Γ(1/2) =
√
π . Ñ ó÷åòîì âûïèñàííûõ âûðàæåíèé ïîëó÷àåì ÷èñëåííûé îòâåò äëÿ
T0 :
( )2/3
~2 N
,
T0 = 3.1
m V
èç êîòîðîãî âèäèì, ÷òî íàéäåííàÿ òåìïåðàòóðà îêàçàëàñü ïîðÿäêà òåìïåðàòóðû âûðîæäåíèÿ. Îäíàêî ïðè T < T0 âîçíèêàåò ïàðàäîêñàëüíàÿ
ñèòóàöèÿ: ïîñêîëüêó ïðè T < T0 äîëæíî áûòü µ = 0, ñðåäíåå ÷èñëî
÷àñòèö
( )3/2
∫
T
gV m3/2 T 3/2 ∞ x1/2 dx
N= √
=N
,
x
2
3
e −1
T0
2π ~
0
êàçàëîñü áû, ïîëó÷àåò çàâèñèìîñòü îò T , â ïðîòèâîðå÷èè ñ óñëîâèåì N =
const. Ïàðàäîêñ ÿâèëñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî îäíî÷àñòè÷íàÿ ïëîòíîñòü
ñîñòîÿíèé ν(ϵ) ∝ ϵ1/2 , âû÷èñëåííàÿ â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè,
íå ó÷èòûâàåò âêëàäà ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé ϵ = 0. Ñ ó÷åòîì ýòîãî óðîâíÿ
âû÷èñëåííîå ïðè T < T0 ÷èñëî ÷àñòèö ñëåäóåò èíòåðïðåòèðîâàòü êàê
÷èñëî ÷àñòèö áîçå-ãàçà íà âîçáóæäåííûõ óðîâíÿõ ýíåðãèè:
(
Nϵ>0 (T ) = N
103
T
T0
)3/2
.
Òîãäà ÷èñëî ÷àñòèö N0 íà óðîâíå ýíåðãèè ϵ = 0 ìàêðîñêîïè÷åñêè âåëèêî
[
( )3/2 ]
T
N0 (T ) = N 1 −
.
T0
Ýòî ïðÿìîå ñëåäñòâèå áîçå-ñòàòèñòèêè, êîòîðàÿ ðàçðåøàåò íàõîæäåíèå
íà äàííîì óðîâíå ñêîëü óãîäíî áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Ïðè T = 0 âñå
÷àñòèöû èäåàëüíîãî áîçå-ãàçà çàíèìàþò óðîâåíü ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé.
Ïðîèñõîäèò ñâîåîáðàçíàÿ êîíäåíñàöèÿ â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå,
íàçûâàåìàÿ êîíäåíñàöèåé Áîçå Ýéíøòåéíà.
Ðàçáåðåì âîïðîñ îá îñîáåííîñòÿõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé áîçåãàçà â îêðåñòíîñòè òåìïåðàòóðû êîíäåíñàöèè íà ïðèìåðå áîçå-ãàçà íåðåëÿòèâèñòñêèõ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö. Äëÿ ýòîãî íàéäåì ÿâíûé âèä çàâèñèìîñòè µ(T ) ïðè T = T0 + ∆T , ∆T /T0 ≪ 1. Ïîñêîëüêó ïðè T ≤ T0 µ(T ) = 0
ñî âñåìè ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òîëüêî ñëó÷àé
∆T > 0. Ïîñêîëüêó ν(ϵ) = Aϵ1/2 [ñì. (6.4)], èç (6.5) íàõîäèì:
( )
∫ ∞
∞
∑
3
1/2 −(k+1)ϵ/T
µ(k+1)/T
dϵϵ e
= AΓ
N = A
e
T 3/2 ×
2
0
k=0
[∞
( )
( )]
∞
∑ eµ(k+1)/T
∑ eµ(k+1)/T − 1
3
3
×
= AΓ
T 3/2
+ζ
=
3/2
3/2
(k
+
1)
2
(k
+
1)
2
k=0
k=0
( )3/2
( )
∞
∑
T
3
eµ(k+1)/T − 1
=N
+ AΓ
T 3/2
.
T0
2
(k + 1)3/2
k=0
Ïîñêîëüêó õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë µ ìàë, â ñóììå íàèáîëåå ñóùåñòâåííû
áîëüøèå k , è ñóììèðîâàíèå ìîæíî ïðèáëèæåííî çàìåíèòü íà èíòåãðèðîâàíèå, à ñàìî èíòåãðèðîâàíèå ïðîâåñòè ïî ÷àñòÿì:
∫ ∞
∞
∑
e−|µ|(x+1)/T − 1
eµ(k+1)/T − 1
dx
≈
= 2e−|µ|/T −
3/2
3/2
(k
+
1)
(x
+
1)
0
k=0
∫
4|µ| ∞
d(x + 1)1/2 e−|µ|(x+1)/T =
−
T 0
∫
4|µ| ∞
2
−|µ|/T
= 2e
−
dye−|µ|y /T .
T 1
∫∞ ∫∞ ∫1
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë â ýòîé ôîðìóëå ïðåäñòàâëÿåì êàê 1 = 0 − 0 è
∫1
ñíîâà ïðèíèìàåì â ðàñ÷åò, ∫÷òî â èíòåãðàëå 0 ìîæíî ýêñïîíåíòó ðàçëî∞
æèòü â ðÿä. Èíòåãðàë æå 0 ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó Ãàóññà. Óäåðæèâàÿ
104
ëèøü ëèäèðóþùèé âêëàä ïî îòíîøåíèþ ê ìàëîé âåëè÷èíå |µ|/T , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
[( )
]
( )
3/2
T
3
N
− 1 ≈ 2AΓ(
π 1/2 T |µ|1/2 .
T0
2
Âáëèçè T0 ÿâíîå âûðàæåíèå èìååò âèä
( )
3
9
2
µ(T ) = −ζ
(T − T0 )2 .
2 16πT0
(6.11)
Ïîñêîëüêó ïðè T ≤ T0 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî µ(T ) = 0, âèäèì, ÷òî
õèìïîòåíöèàë è åãî ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî òåìïåðàòóðå íåïðåðûâíû ïðè
T = T0 , òîãäà êàê âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ èìååò ðàçðûâ:
( )
3
9
′′
2
[µ ] = −ζ
.
2 8πT0
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýíåðãèÿ è òåïëîåìêîñòü íåïðåðûâíû ïðè òåìïåðàòóðå áîçå-êîíäåíñàöèè, à ïðîèçâîäíàÿ òåïëîåìêîñòè ïî òåìïåðàòóðå èìååò
ðàçðûâ:
[
]
( )
∫
27N 2 3
dCV
A[µ′′ ] ∞ ϵ3/2 eϵ/T0
N
dϵ = −
ζ
=
≈ −3.66 .
2
dT T =T0
T0
16πT0
2
T0
(eϵ/T0 − 1)
0
 ñâîå âðåìÿ êàçàëîñü, ÷òî òàêàÿ êîíäåíñàöèÿ ìîæåò îáúÿñíèòü ÿâëåíèå ñâåðõòåêó÷åñòè â He4 . Îäíàêî ýêñïåðèìåíòû ïî ðàññåÿíèþ ìåäëåííûõ íåéòðîíîâ â He4 âûÿâèëè, ÷òî äîëÿ êîíäåíñàòà ïðè òåìïåðàòóðàõ ìåíåå 1 K ñîñòàâëÿåò âñåãî ëèøü %½ ïîýòîìó îáúÿñíåíèå ïåðåõîäà â
ñâåðõòåêó÷åå ñîñòîÿíèå íåëüçÿ îòíåñòè íà ñ÷åò êîíäåíñàöèè Áîçå Ýéíøòåéíà. Âìåñòå ñ òåì íàñòîé÷èâûå ïîèñêè ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîäòâåðæäåíèÿ ÿâëåíèÿ áîçå-êîíäåíñàöèè ïðîäîëæàëèñü è óâåí÷àëèñü óñïåõîì
ëèøü â 1995 ã. (ò.å. ñïóñòÿ 70 ëåò ïîñëå òåîðåòè÷åñêîãî ïðåäñêàçàíèÿ)
â îïûòàõ ñ ñîâñåì äðóãèìè ñèñòåìàìè íåæåëè æèäêèé He4 . Èñïîëüçóÿ
òåõíèêó óäåðæàíèÿ è îõëàæäåíèÿ íåéòðàëüíûõ àòîìîâ ùåëî÷íûõ ýëåìåíòîâ ôèçèêàì óäàëîñü ñîçäàòü áîçå-êîíäåíñàòû â ðàçðåæåííûõ ãàçàõ
àòîìîâ Li7 , Na23 , Rb87 . ×èñëî ÷àñòèö â êîíäåíñàòàõ â ðàçíûõ ýêñïåðèìåíòàõ âàðüèðîâàëîñü îò 103 äî 107 . Óðîâåíü ýíåðãèè, íà êîòîðûé ïðîõîäèëà áîçå-êîíäåíñàöèÿ, áûë îñíîâíûì ñîñòîÿíèåì êâàíòîâîé ÷àñòèöû
â ïîòåíöèàëå àíèçîòðîïíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà
m 2 2
(x + y 2 ) + ω∥2 z 2 ],
U (r) = [ω⊥
2
105
ýôôåêòèâíî ïðåäñòàâëÿþùåãî äåéñòâèå ïîëåé ëîâóøêè, óäåðæèâàþùåé
àòîìû îò ðàçëåòà. Çàòåì ïîëÿ âûêëþ÷àëèñü, àòîìû ñâîáîäíî ðàçëåòàëèñü. Èçìåðÿëîñü èìïóëüñíîå è ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ðàçëåòàþùèõñÿ àòîìîâ. Íà îñíîâàíèè ýòèõ èçìåðåíèé è áûë ñäåëàí âûâîä î
ïîëó÷åíèè áîçå-êîíäåíñàòà.  ïîñëåäîâàâøåé çà òåì ëàâèíå ðàáîò áûëè èçó÷åíû ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà êîíäåíñàòîâ, îáíàðóæåíû ðàçëè÷íûå
êðàñèâûå ýôôåêòû, âêëþ÷àÿ ðîæäåíèå êâàíòîâàííûõ âèõðåé ïðè ïðèâåäåíèè êîíäåíñàòà âî âðàùåíèå è ò.ä. Òåì ñàìûì áûëà ñîçäàíà è îòðàáîòàíà ìåòîäèêà êîíòðîëèðóåìîãî âîçäåéñòâèÿ íà êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ
êîíäåíñàòîâ ñ öåëüþ ïðîâåðêè ôóíäàìåíòàëüíûõ êâàíòîâûõ çàêîíîìåðíîñòåé â àíñàìáëÿõ èç ìàêðîñêîïè÷åñêè áîëüøîãî ÷èñëà àòîìîâ. ×èñëî
ãðóïï ôèçèêîâ-ýêñïåðèìåíòàòîðîâ, ïîëó÷èâøèõ è èññëåäîâàâøèõ áîçåêîíäåíñàòû ïàðîâ ùåëî÷íûõ ýëåìåíòîâ èñ÷èñëÿåòñÿ äåñÿòêàìè.  ÷àñòíîñòè, Ï.Ë. ×àïîâñêèé èç ÈÀèÝ ÑÎ ÐÀÍ â 2011 ãîäó âïåðâûå â íàøåé
ñòðàíå ïîëó÷èë áîçå-êîíäåíñàò â ïàðàõ ðóáèäèÿ.
Êîíå÷íî æå, ïðîñòàÿ ìîäåëü, íå ó÷èòûâàþùàÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó àòîìàìè, íå ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ èíòåðïðåòàöèè è îïèñàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî êîíäåíñàöèè Áîçå-Ýéíøòåéíà. Âìåñòå ñ òåì
ñïîñîá ó÷åòà âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìîâ ùåëî÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðè íèçêèõ
òåìïåðàòóðàõ, äîñòèãíóòûõ â ýêñïåðèìåíòàõ, èçâåñòåí. Â îñíîâå ìåòîäà
ëåæèò òîò ôàêò, ÷òî ïðè òàêèõ òåìïåðàòóðàõ ðàññåÿíèå àòîìîâ ïðîèñõîäèò â s-âîëíå. Àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ â ýòîì ñëó÷àå õàðàêòåðèçóåòñÿ
äëèíîé ðàññåÿíèÿ a, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî. Âçàèìîäåéñòâèå â s-âîëíå ýôôåêòèâíî ïðîèñõîäèò â òî÷êå, ïîýòîìó ïîòåíöèàë
âçàèìîäåéñòâèÿ ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîñòîãî âûðàæåíèÿ U (r) ∝
aδ 3 (r).
6.4 Çàäà÷è
1. Îöåíèòü òåìïåðàòóðó âûðîæäåíèÿ äëÿ æèäêîãî He4 , ïîëàãàÿ ïëîòíîñòü ìàññû ρ ∼ 0.2 ã/ñì3 .
2. Âû÷èñëèòü ïåðâóþ êâàíòîâóþ ïîïðàâêó ê óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ
èäåàëüíîãî ñëàáî âûðîæäåííîãî áîçå-ãàçà (T ≫ T0 ). Ñðàâíèòü ñî
ñëó÷àåì ôåðìè-ãàçà.
106
3. Ðàññìîòðåòü òåðìîäèíàìèêó ôîòîííîãî ãàçà. Ïîêàçàòü, äàâëåíèå
÷òî ðàâíî îäíîé òðåòè îò ïëîòíîñòè ýíåðãèè. Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå
àäèàáàòû íà P V - è V T -ïëîñêîñòè. Ñðàâíèòü ñî ñëó÷àåì èäåàëüíîãî
îäíîàòîìíîãî íåðåëÿòèâèñòñêîãî êëàññè÷åñêîãî ãàçà.
4. Ðàññ÷èòàòü äëèíó âîëíû êîñìè÷åñêîãî ôîíîâîãî èçëó÷åíèÿ ñ òåìïåðàòóðîé T ≈ 3 K.
5. Âû÷èñëèòü ýêâèâàëåíòíóþ ìàññîâóþ ïëîòíîñòü êîñìè÷åñêîãî ôîíîâîãî èçëó÷åíèÿ ñ òåìïåðàòóðîé T = 2.7◦ K è ñðàâíèòü åå ñ êðèòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ ρc ∼ 10−29 ã/ñì3 . (Òåîðåòè÷åñêàÿ êîñìîëîãèÿ
ïðåäñêàçûâàåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâåííàÿ ãåîìåòðèÿ Âñåëåííîé ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü
ñîîòíîñèòñÿ ñ ρc ). Âû÷èñëèòü òàêæå ïëîòíîñòü ÷èñëà òåïëîâûõ ôîòîíîâ â ïå÷êå, íàãðåòîé äî òåìïåðàòóðû T = 103 K. Ïðè âû÷èñëåíèè èñïîëüçîâàòü (6.10).
6. Îöåíèòü: (à) îòíîøåíèå ýíòðîïèè èçëó÷åíèÿ ê ýíòðîïèè âåùåñòâà
äëÿ Ñîëíöà, (á) ýíòðîïèþ ôîòîíîâ ðåëèêòîâîãî èçëó÷åíèÿ âî Âñåëåííîé, ïîëàãàÿ åå ðàäèóñ ðàâíûì 1010 ñâåòîâûõ ëåò.  êà÷åñòâå
ìîäåëè Ñîëíöà âçÿòü èäåàëüíûé êëàññè÷åñêèé ãàç ïðîòîíîâ è ýëåêòðîíîâ, â êîòîðîì ñèëà òÿæåñòè óðàâíîâåøåíà ãðàäèåíòîì äàâëåíèÿ.
7. Èäåàëüíûé áîçå-ãàç èç N ÷àñòèö ïîìåùåí â îäíîðîäíîå ïîëå òÿæåñòè. Âû÷èñëèòü òåìïåðàòóðó áîçå-êîíäåíñàöèè T0 è âûÿñíèòü
îñîáåííîñòè ýíåðãèè, òåïëîåìêîñòè è ïðîèçâîäíîé òåïëîåìêîñòè ïî
òåìïåðàòóðå â îêðåñòíîñòè T0 .
8. N = 106 àòîìîâ ðóáèäèÿ 37 Rb87 íàõîäÿòñÿ â ëîâóøêå, äåéñòâèå
êîòîðîé ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîòåíöèàëîì
àíèçîòðîïíîãî
ãàðìîíè]
[
mRb
2
2
2
2 2
÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà U (r) = 2 ω⊥ (x + y ) + ω∥ z ; mRb ìàññà
àòîìà ðóáèäèÿ. Ïîïåðå÷íàÿ è ïðîäîëüíàÿ ÷àñòîòû ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ω⊥ /2π = 102 Ãö, ω∥ /2π = 10 Ãö. Âû÷èñëèòü òåìïåðàòóðó
áîçå-ýéíøòåéíîâñêîé êîíäåíñàöèè T0 è òåïëîåìêîñòü ãàçà àòîìîâ
íèæå ýòîé òî÷êè. Âûÿñíèòü õàðàêòåð îñîáåííîñòè òåïëîåìêîñòè â
çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû â îêðåñòíîñòè T0 . Âçàèìîäåéñòâèåì
àòîìîâ ìåæäó ñîáîé ïðåíåáðå÷ü.
107
9. Èìååòñÿ áîçå-êîíäåíñàò àòîìîâ íà óðîâíå ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé â ïîòåíöèàëå, ïðèâåäåííîì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ïðè÷åì ÷èñëî ÷àñòèö íà âîçáóæäåííûõ óðîâíÿõ ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Íàéòè
èìïóëüñíîå ðàñïðåäåëåíèå ñâîáîäíî ðàçëåòàþùèõñÿ àòîìîâ ïîñëå
âûêëþ÷åíèÿ ïîëÿ, âû÷èñëèòü îòíîøåíèå ⟨p2⊥ ⟩/⟨p2z ⟩. Ñðàâíèòü ýòî
îòíîøåíèå ñ òåì, ÷òî ïðåäñêàçûâàåò òåïëîâîå ðàñïðåäåëåíèå. Âçàèìîäåéñòâèåì àòîìîâ äðóã ñ äðóãîì ïðåíåáðå÷ü.
10. Âû÷èñëèâ äèñïåðñèþ ∆n2k ÷èñëà çàïîëíåíèÿ óðîâíÿ k , íàéòè äèñïåðñèþ ÷èñëà ÷àñòèö èäåàëüíîãî ñèëüíî âûðîæäåííîãî áîçå-ãàçà
∆N 2 â áîëüøîì êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå. Ðàññìîòðåíèå ïðîâåñòè
äëÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö è äëÿ ÷àñòèö
ãàðìîíè[ â ïîëå àíèçîòðîïíîãî
]
m
2
2
2
2 2
÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà U (r) = 2 ω⊥ (x + y ) + ω∥ z äëÿ òåìïåðàòóð âûøå è íèæå òåìïåðàòóðû áîçå-ýéíøòåéíîâñêîé êîíäåíñàöèè.
Ñðàâíèòü ñî ñëó÷àåì êëàññè÷åñêîãî ãàçà.
11. Èçîáðàçèòü ïðèìåðíûé âèä èçîòåðì èäåàëüíîãî áîçå-ãàçà íà P V ïëîñêîñòè â øèðîêîì èíòåðâàëå òåìïåðàòóð îò íóëåâîé äî T ≫ T0 ,
âêëþ÷àÿ îáëàñòü áîçå-êîíäåíñàöèè.
12. 2N òîæäåñòâåííûõ ôåðìèîíîâ ñî ñïèíîì sf = 1/2 ñâÿçàíû â ïàðû,
ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé áîçîíû ñ ïîëíûì ñïèíîì sb = 0. Ñèñòåìà
ïîìåùåíà â ïîëå àíèçîòðîïíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà è íàõîäèòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå ξTBEC , ãäå ξ < 1, à TBEC åñòü òåìïåðàòóðà
êîíäåíñàöèè Áîçå-Ýéíøòåéíà N áîçîíîâ â óêàçàííîì ïîëå. Çàòåì
âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ôåðìèîíàìè àäèàáàòè÷åñêè âûêëþ÷àåòñÿ,
è áîçå-ãàç, ñîñòîÿùèé èç ïàð ôåðìèîíîâ, ïåðåõîäèò â èäåàëüíûé
ôåðìè-ãàç 2N ÷àñòèö â òîì æå ñàìîì ïîëå. Íàéòè òåìïåðàòóðó
ôåðìè-ãàçà. Âêëàäîì ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ â ïîëíóþ ýíåðãèþ ïðåíåáðå÷ü. (Ïðèìå÷àíèå. Óïðàâëÿòü ñèëîé âçàèìîäåéñòâèÿ
àòîìîâ ìîæíî áëàãîäàðÿ òàê íàçûâàåìîìó ðåçîíàíñó Ôåøáàõà, êîãäà äëèíà ðàññåÿíèÿ ôåðìèîíîâ, îïðåäåëÿþùàÿ ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë èõ âçàèìîäåéñòâèÿ, ìåíÿåò çíàê ïðè àäèàáàòè÷åñêîì èçìåíåíèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ.)
13. Íàéòè òåìïåðàòóðó êîíäåíñàöèè Áîçå-Ýéíøòåéíà T0 ãàçà áåññïèíîâûõ áîçîíîâ è òåìïåðàòóðíóþ çàâèñèìîñòü ÷èñëà ÷àñòèö â êîí-
108
äåíñàòå â ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîì ïîëå âèäà
( r )γ
U (r) = U0
a
â D ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèÿõ. Âûÿñíèòü õàðàêòåð îñîáåííîñòè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé â îêðåñòíîñòè òåìïåðàòóðû T =
T0 .
14. Â 2010 ãîäó â æóðíàëå Nature áûëà îïóáëèêîâàíà ñòàòüÿ [J. Klaers,
et al., Nature, 468, 545 (2010)], â êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ïî íàáëþäåíèþ áîçå-ýéíøòåéíîâñêîé êîíäåíñàöèè ôîòîíîâ (!)
Êàê òàêîå âîçìîæíî, åñëè ôîòîíû áåçìàññîâûå, è èõ ÷èñëî íå ñîõðàíÿåòñÿ? Äåëî â òîì, ÷òî â óêàçàííîì ýêñïåðèìåíòå ôîòîíû íàõîäèëèñü â îïòè÷åñêîì ðåçîíàòîðå, çàïîëíåííîì êðàñèòåëåì ïðè
êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Êðàñèòåëü îáåñïå÷èâàë óñëîâèå òåïëîâîãî
ðàâíîâåñèÿ äëÿ ôîòîíîâ. ×èñëî ôîòîíîâ â îïòè÷åñêîì ðåçîíàòîðå
ðåãóëèðîâàëîñü ëàçåðíîé íàêà÷êîé. Ðåçîíàòîð îãðàíè÷èâàëñÿ äâóìÿ ñôåðè÷åñêèìè çåðêàëàìè ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû R = 100 ñì,
ðàçâåäåííûõ íà ðàññòîÿíèå D0 = 1.46 × 10−4 ñì âäîëü äèàìåòðà.
Íà ðàññòîÿíèè r îò îïòè÷åñêîé îñè â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè ðàññòîÿíèå ìåæäó çåðêàëàìè â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè ðàâíî
√
D(r) = D0 − 2(R − R2 − r2 );
D0 = D(0). Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðîåêöèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà
íà îïòè÷åñêóþ îñü ðàâíà k∥ (r) = πs/D(r), ãäå s = 7 ïî óñëîâèÿì ýêñïåðèìåíòà. (à) Ïîêàçàòü, ÷òî ýôôåêòèâíûé çàêîí äèñïåðñèè
äëÿ ôîòîíîâ â òàêîì ðåçîíàòîðå ýôôåêòèâíî ñîîòâåòñòâóåò ìàññèâíûì íåðåëÿòèâèñòñêèì ÷àñòèöàì â ïîëå äâóìåðíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Íàéòè ìèíèìàëüíóþ ýíåðãèþ, ýôôåêòèâíóþ
ìàññó ôîòîíà â ðåçîíàòîðå è ÷àñòîòó îñöèëëÿòîðà. Ñðàâíèâ ïîëó÷åííûå öèôðû ñ õàðàêòåðíîé òåïëîâîé ýíåðãèåé îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ÷èñëî ôîòîíîâ â òàêîì ðåçîíàòîðå ìîæíî ñ÷èòàòü ôèêñèðîâàííûì. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü ïàðàêñèàëüíîå ïðèáëèæåíèå, êîãäà
âñå ïîïåðå÷íûå ðàññòîÿíèÿ è êîìïîíåíòû èìïóëüñîâ ìíîãî ìåíüøå
ïðîäîëüíûõ. (á) Íàéòè ÷èñëî ôîòîíîâ, íåîáõîäèìîå äëÿ èõ áîçåýéíøòåéíîâñêîé êîíäåíñàöèè íà óðîâåíü ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé
ïðè òåìïåðàòóðå T = 300 K.
109
Ãëàâà 7
Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà è åå
êîëåáàíèÿ
 ïåðâîé ÷àñòè êóðñà ìû óæå ðàçáèðàëè îñíîâíûå îñîáåííîñòè ñïåêòðà êâàíòîâîé ÷àñòèöû â ïåðèîäè÷åñêîì ïîòåíöèàëå ðåøåòêè, ðàññìàòðèâàÿ îäíîìåðíóþ ìîäåëü. Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, êàñàþùèåñÿ èäåàëüíîé ðåøåòêè â òðåõ èçìåðåíèÿõ. Ïîä êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé áóäåì ïîíèìàòü ðåãóëÿðíîå ðàñïîëîæåíèå àòîìîâ â ïðîñòðàíñòâå.
Ðåøàþùåå çíà÷åíèå èìåþò ñèììåòðèè ðåøåòêè, ò.å. òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå ñîâìåùàþò åå ñ ñîáîé. Îñíîâíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âêëþ÷àþò
ñäâèãè, ïîâîðîòû íà îïðåäåëåííûå óãëû, îòðàæåíèÿ è êîìáèíàöèè ïåðå÷èñëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Å.Ñ.Ôåäîðîâûì â 1895 ã. áûëè íàéäåíû 230
âîçìîæíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé ðåøåòêè. Èìååòñÿ
òàêæå ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñèñòåì è êëàññîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðóïïàì ïðåîáðàçîâàíèé.
7.1 Êóáè÷åñêèå ðåøåòêè
Èç âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé ìû ðàññìîòðèì ëèøü ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà
r → r + Rn , ñîâìåùàþùèå ðåøåòêó ñ ñîáîé. Âåêòîð ñäâèãà
Rn = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
(7.1)
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñ öåëî÷èñëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè n1,2,3 òðåõ îñíîâíûõ âåêòîðîâ òðàíñëÿöèè a1,2,3 . Ýòè âåêòîðû
110
íå äîëæíû ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè; â îñòàëüíîì èõ âûáîð ïðîèçâîëåí.
Óçåë ðåøåòêè çàäàåòñÿ âåêòîðîì Rn ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì òðåõ öåëûõ ÷èñåë n1,2,3 . Ñ êàæäûì óçëîì ðåøåòêè ìîæíî ñâÿçàòü áàçèñ èç ν
àòîìîâ, ðàñïîëàãàþùèõñÿ îòíîñèòåëüíî Rn â òî÷êàõ xi a1 + yi a2 + zi a3 ,
ãäå i = 1, 2, ...ν , |xi |, |yi |, |zi | < 1. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êðèñòàëëè÷åñêàÿ
ñòðóêòóðà=ðåøåòêà+áàçèñ. Èçâåñòíû êðèñòàëëû, ãäå áàçèñ ñîñòîèò èç
áîëåå ÷åì 103 àòîìîâ!
Ìû êîñíåìñÿ ëèøü ïðîñòåéøèõ êóáè÷åñêèõ ðåøåòîê ñ áàçèñîì èç îäíîãî àòîìà. Ïðîñòàÿ êóáè÷åñêàÿ ðåøåòêà (ÏÊ) èìååò îñíîâíûå âåêòîðû
a1 = aex , a2 = aey , a3 = aez , .
(7.2)
Çäåñü è äàëåå ex,y,z åñòü îðòû âäîëü ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðàâëåíèé, a äëèíà ðåáðà êóáà. Îáúåìíîöåíòðèðîâàííàÿ êóáè÷åñêàÿ (ÎÖÊ) ðåøåòêà
çàäàåòñÿ âåêòîðàìè
a
a
a
a1 = (ey + ez − ex ), a2 = (ex + ez − ey ), a3 = (ex + ey − ez ), (7.3)
2
2
2
òîãäà êàê ãðàíåöåíòðèðîâàííàÿ êóáè÷åñêàÿ (ÃÖÊ) âåêòîðàìè
a
a
a
a1 = (ey + ez ), a2 = (ex + ez ), a3 = (ex + ey ).
2
2
2
(7.4)
Âûáåðåì óçåë ðåøåòêè è îòëîæèì îò íåãî òðè âåêòîðà a1,2,3 . Ïàðàëëåëåïèïåä, èìåþùèé â êà÷åñòâå ðåáåð óêàçàííûå âåêòîðû íàçûâàåòñÿ
ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêîé. Åå îáúåì ðàâåí
v = (a1 · [a2 × a3 ]).
(7.5)
Åñëè îáúåì êðèñòàëëà V , òî ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê ðàâíî N = V /v .
Êðèñòàëëè÷åñêèå ïëîñêîñòè çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíäåêñîâ Ìèëëåðà (i, j, k). Ðàçáåðåì ñïîñîá èõ ââåäåíèÿ íà ïðèìåðå ïðîñòîé êóáè÷åñêîé
ðåøåòêè. Åñëè ïëîñêîñòü îòñåêàåò ïî îñÿì x, y, z ñîîòâåòñòâåííî ðàññòîÿíèÿ a, b, c, åå óðàâíåíèå èìååò âèä
F (x, y, z) ≡ x/a + y/b + z/c − 1 = 0.
Áåðåì îáðàòíûå âåëè÷èíû (1/a, 1/b, 1/c) è âûíîñèì çà ñêîáêó 1/abc. Ïîëó÷èì òðîéêó öåëûõ ÷èñåë bc, ac, ab. Ïðîèçâåäåíèÿ bc, ac, ab ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷àþò i, j, k è çàêëþ÷àþò â êðóãëûå ñêîáêè: (i, j, k). Ýòî è
111
åñòü èíäåêñû Ìèëëåðà,õàðàêòåðèçóþùèå îðèåíòàöèþ êðèñòàëëè÷åñêîé
ïëîñêîñòè. Âåêòîð íîðìàëè n ê ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé óðàâíåíèåì F (x, y, z) =
0, ïîëó÷àåòñÿ âçÿòèåì ãðàäèåíòà n ∝ ∇F . Äëÿ óêàçàííîé êðèñòàëëè÷åñêîé ïëîñêîñòè
n ∝ (1/a, 1/b, 1/c) ∝ (bc, ac, ab).
Òåì ñàìûì êðèñòàëëè÷åñêàÿ ïëîñêîñòü, çàäàííàÿ èíäåêñàìè Ìèëëåðà
(i, j, k), ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòíî îõàðàêòåðèçîâàíà è íîðìàëüþ ê íåé,
îáîçíà÷àåìîé òåìè æå ñàìûìè èíäåêñàìè Ìèëëåðà, íî âçÿòûìè â êâàäðàòíûå ñêîáêè: [i, j, k]. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ðåøåòîê âìåñòî åäèíè÷íûõ
îðòîâ áåðóòñÿ âåêòîðû a1,2,3 , à îòñåêàåìûå ïëîñêîñòüþ îòðåçêè íà ýòèõ
âåêòîðàõ èçìåðÿþò â äëèíàõ |a1,2,3 | ñîîòâåòñòâåííî.
7.2 Ðàññåÿíèå êàê ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ñòðóêòóðû êðèñòàëëîâ
Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ òèïà êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðû ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö, óïðóãî ðàññåÿííûõ íà êðèñòàëëå. Íåóïðóãîå ðàññåÿíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ èçó÷åíèÿ
ñïåêòðà âîçáóæäåíèé â êðèñòàëëàõ. Èñòîðè÷åñêè ïåðâûìè áûëè èñïîëüçîâàíû ðåíòãåíîâñêèå ëó÷è. Çàòåì ïðèìåíÿëîñü ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ
è, óæå ïîñëå ñîçäàíèÿ àòîìíûõ ðåàêòîðîâ, íåéòðîíîâ. Õîòÿ ìåõàíèçìû
ðàññåÿíèÿ â êàæäîì èç ñëó÷àåâ ðàçíûå, êà÷åñòâåííûé àíàëèç óãëîâûõ
ðàñïðåäåëåíèé ìîæåò áûòü ïðîâåäåí â òåðìèíàõ áîðíîâñêîé ôîðìóëû
äëÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ:
∫
f ∝ ⟨kf |U (r)|ki ⟩ = d3 rU (r)eiqr ,
ãäå q = ki − kf åñòü ïåðåäàííûé âîëíîâîé âåêòîð. Åñëè ðàññåÿíèå óïðóãîå, òî |ki | = |kf |. Âèä ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ U (r) çàâèñèò îò ñïåöèôèêè âçàèìîäåéñòâèÿ ïàäàþùåé ÷àñòèöû ñ êðèñòàëëîì, îäíàêî äëÿ
íàøèõ öåëåé ñóùåñòâåííî ëèøü òî, ÷òî ïîòåíöèàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ñóììû âêëàäîâ îòäåëüíûõ àòîìîâ, ðàñïîëîæåííûõ â òî÷êàõ Rn :
∑
U (r) =
U0 (r − Rn ).
n
112
Òîãäà àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
f ∝ S(q)F0 (q),
ãäå
∫
F0 (q) =
d3 rU0 (r)eiqr
åñòü ôîðì-ôàêòîð ðàññåÿíèÿ íà îòäåëüíîì àòîìå, à âåëè÷èíà
∑
S(q) =
eiqRn
(7.6)
(7.7)
n
íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðíûì ôàêòîðîì. Îí íàïðÿìóþ çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ àòîìîâ â êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðå, ñì. (7.1). Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ðàññåÿííûõ ÷àñòèö äàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì ñå÷åíèåì ðàññåÿíèÿ:
2
∑
dσ
2
iqRn
e
.
∝ |S(q)| =
dΩ
n
Ïèêè â çàâèñèìîñòè îò óãëà ðàññåÿíèÿ θ âîçíèêàþò ïðè âûïîëíåíèè
óñëîâèÿ qRn = 2πK , ãäå K− ëþáîå öåëîå ÷èñëî.  ýòîì ñëó÷àå dσ/dΩ ∝
N 2 ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ÷èñëà àòîìîâ â êðèñòàëëå. Óñëîâèþ qRn =
2πK ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, âûáðàâ ïåðåäàííûé âîëíîâîé âåêòîð â âèäå
q = bl = l1 b1 + l2 b2 + l3 b3 ,
ãäå l1,2,3 = 0, ±1, ±2, ..., à b1,2,3 åñòü îñíîâíûå âåêòîðû îáðàòíîé ðåøåòêè.
Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî èõ ìîæíî âçÿòü â âèäå
b1 = 2π
[a2 × a3 ]
[a3 × a1 ]
[a1 × a2 ]
, b2 = 2π
, b3 = 2π
,
v
v
v
(7.8)
ãäå v îáúåì ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (7.5) îïðåäåëÿåò êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëîñêîñòü, âåêòîð íîðìàëè ê íåé n ∝ bl . Íî, ñ
äðóãîé ñòîðîíû, âåêòîð íîðìàëè ê êðèñòàëëè÷åñêîé ïëîñêîñòè õàðàêòåðèçóåòñÿ èíäåêñàìè Ìèëëåðà. Ïîýòîìó òå çíà÷åíèÿ ïåðåäàííûõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ (èëè óãëîâ ðàññåÿíèÿ) ïðè êîòîðûõ íàáëþäàþòñÿ ðåçêèå
ìàêñèìóìû â óãëîâîé çàâèñèìîñòè ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ, íàïðÿìóþ äàþò
èíäåêñû Ìèëëåðà êðèñòàëëè÷åñêèõ ïëîñêîñòåé, îò êîòîðûõ ïðîèñõîäèò
îòðàæåíèå.
113
Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå
q = ki − kf = bl
(7.9)
ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ Âóëüôà Áðýããà
2d sin θkd
= nλ,
in
(7.10)
îçíà÷àþùåãî, ÷òî îòðàæåíèå îò äâóõ ñîñåäíèõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ïëîñêîñòåé ïðîèñõîäèò â ôàçå. Çäåñü λ = 2π/|ki | åñòü äëèíà âîëíû ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ, θkd
óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ïàäàþùåé âîëíû è
in
êðèñòàëëè÷åñêîé ïëîñêîñòüþ, d ðàññòîÿíèå ìåæäó êðèñòàëëè÷åñêèìè
ïëîñêîñòÿìè, n öåëîå ÷èñëî. Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèÿ bl Rn = 2π(K + 1)
è bl Rn′ = 2πK çàäàþò äâå ñîñåäíèå êðèñòàëëè÷åñêèå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå bl , è, ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëåëüíûå äðóã äðóãó. Ïîýòîìó
ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíî d = 2π/|bl |. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âîçâîäÿ
óðàâíåíèå (7.9) â êâàäðàò, ïîëó÷èì
4ki2 sin2 θkd
/2 = b2l ,
i kf
ãäå θkd
åñòü óãîë ðàññåÿíèÿ. Ïîñêîëüêó θkd
= 2θkd
, òî 2|ki | sin θkd
=
i kf
i kf
in
in
|bl |. Âûðàæàÿ çäåñü âîëíîâîé âåêòîð ÷åðåç äëèíó âîëíû, à ðàññòîÿíèå
äëèíó âåêòîðà îáðàòíîé ðåøåòêè ÷åðåç ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëîñêîñòÿìè,
ïðèõîäèì ê (7.10).
7.3 Êîëåáàíèÿ àòîìîâ â êðèñòàëëàõ. Êëàññè÷åñêîå îïèñàíèå.
 ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ñ÷èòàëîñü, ÷òî àòîìû â êðèñòàëëè÷åñêîé
ðåøåòêå çàíèìàþò ôèêñèðîâàííûå ïîëîæåíèÿ. Ó÷òåì êîëåáàíèÿ àòîìîâ
âîêðóã ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè, êîãäà âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ëèíåéíî çàâèñèò îò ñìåùåíèÿ. Õîòÿ àòîì â êðèñòàëëå
ìîæåò êîëåáàòüñÿ â òðåõ íåçàâèñèìûõ íàïðàâëåíèÿõ, â êà÷åñòâå ìîäåëè ðàññìîòðèì çàäà÷ó â îäíîì ïðîñòðàíñòâåííîì èçìåðåíèè. Äëÿ íà÷àëà ïîëîæèì, ÷òî â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå åñòü îäèí àòîì ìàññû m.
Ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè â èäåàëüíîé ðåøåòêå a. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
114
ω
s
q
−
π
π
a
a
s
Ðèñ. 7.1: Ñïåêòð ÷àñòîò êîëåáàíèé â îäíîìåðíîé öåïî÷êå ñ îäíèì àòîìîì
â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå.
un (t) ñìåùåíèå îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ àòîìà n. Êîíå÷íîñòü îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà ó÷òåì ñ ïîìîùüþ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
un+N (t) = un (t), ãäå N a = L äëèíà êðèñòàëëà. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
àòîìà èìååò âèä
m
d2 un
+ κ(2un − un−1 − un+1 ) = 0,
dt2
(7.11)
ãäå κ ïîñòîÿííàÿ óïðóãîñòè. Èùåì åãî ðåøåíèå â âèäå áåãóùèõ ïëîñêèõ
âîëí un (t) = αe−iωt+iqan , ãäå q ïîêà åùå ñâîáîäíûé ïàðàìåòð. Ïîäñòàíîâêà óãàäàííîãî ðåøåíèÿ â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äàåò çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû
îò q :
qa
ω = 2ω0 sin
,
2
ω02 = κ/m. Èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî eiqaN = 1, òî åñòü q
êâàíòóåòñÿ:
2πs
.
(7.12)
qs =
aN
, ãäå l = 0, ±1, ±2, ..., îòâå÷àþò
Îòñþäà âèäíî, ÷òî çíà÷åíèÿ qs è qs + 2πl
a
îäíîìó è òîìó æå ñìåùåíèþ àòîìà. Ïîñêîëüêó q îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ
äî âåêòîðà îáðàòíîé ðåøåòêè 2π/a, òî â ïîëíîé àíàëîãèè ñ çàäà÷åé îá
ýëåêòðîíå â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå âåëè÷èíó ~q ìîæíî íàçâàòü êâàçèèìïóëüñîì. Íåçàâèñèìûå çíà÷åíèÿ íîìåðà êîëåáàíèÿ s ëåæàò â èíòåðâàëå
115
1 ≤ s ≤ N , îäíàêî, êàê è â ñëó÷àå ýëåêòðîíà, âîçüìåì èõ âíóòðè ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà −N/2 ≤ s ≤ N/2, ýêâèâàëåíòíî, −π/a ≤ qs ≤ π/a.
Çàâèñèìîñòü
qs a
ωs = 2ω0 sin
(7.13)
2
ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 7.1. Õîòÿ íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ñïëîøíàÿ ëèíèÿ,
ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ñïåêòð íà ñàìîì äåëå äèñêðåòíûé.
Ïðè ìàëûõ êâàçèèìïóëüñàõ ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå ωs = ω0 aqs . Ñìûñë
ïàðàìåòðà ω0 a ìîæíî âûÿñíèòü â ïðåäåëå íåïðåðûâíîé ñðåäû, êîãäà
N → ∞, a → 0, íî N a = L = fixed. Â ýòîì ïðåäåëå un (t), un±1 (t) ñëåäóåò ïîíèìàòü ñîîòâåòñòâåííî êàê u(t, x), u(t, x ± a), ãäå x = na åñòü
êîîðäèíàòà âäîëü îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà. Òîãäà
2un − un−1 − un+1 = 2u(x) − u(x − a) − u(x + a) ≈ −a2
∂ 2u
,
∂x2
è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (7.11) ïðèìåò âèä âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
2
∂ 2u
2 2∂ u
−
ω
= 0,
a
0
∂t2
∂x2
â êîòîðîì ω0 a = c0 èãðàåò ðîëü ñêîðîñòè çâóêà. Â ïðåäåëå íåïðåðûâíîé
ñðåäû êîëåáàíèÿ àòîìîâ â ðåøåòêå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà. Ýòî ïðèáëèæåíèå ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì ïðè âîëíîâûõ ÷èñëàõ âáëèçè ãðàíèö çîíà Áðèëëþýíà, ïîñêîëüêó äëèíà çâóêîâîé
âîëíû ñòàíîâèòñÿ ïîðÿäêà ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ.
Ïóñòü â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå íàøåãî îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà èìååòñÿ
äâà àòîìà ñ ìàññàìè m è M . Îáîçíà÷èì èõ ñìåùåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç u2n è u2n+1 . Ñ÷èòàåì , ÷òî â ðåøåòêå
ïî-ïðåæíåìó N àòîìîâ (äëÿ ýòîãî N äîëæíî áûòü ÷åòíûì), òàê ÷òî
ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè òåïåðü ðàâíà 2a. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåïåðü íàäî
ïèñàòü îòäåëüíî äëÿ äâóõ ñîðòîâ àòîìîâ:
d2 u2n
m 2 + κ(2u2n − u2n−1 − u2n+1 ) = 0
dt
d2 u2n+1
M
+ κ(2u2n+1 − u2n − u2n+2 ) = 0
dt2
Èùåì ðåøåíèå â âèäå
ul = e
{
−iωt+iqal
116
α, l = 2n
.
β , l = 2n + 1
(7.14)
ω
s
ω+
ω−
q
−
π
π
2a
2a
s
Ðèñ. 7.2: Ñïåêòð ÷àñòîò êîëåáàíèé â îäíîìåðíîé öåïî÷êå ñ äâóìÿ àòîìàìè â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå
Çäåñü α è β åñòü ñîîòâåòñòâåííî àìïëèòóäû êîëåáàíèé ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî àòîìîâ. Ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äàåò ñèñòåìó ëèíåéíûõ
îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé
(
)
2κ
2κ
2
−ω α−
β cos qa = 0,
m
m
(
)
2κ
2κ
2
− α cos qa +
− ω β = 0.
(7.15)
M
M
Èç óñëîâèå åå ðàçðåøèìîñòè ñëåäóåò çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû îò êâàçèèìïóëüñà:
√(
κ
κ
κ )2
4κ 2
κ
2
+
±
+
−
sin2 qa.
(7.16)
ω±
=
m M
m M
mM
Êîíå÷íîñòü öåïî÷êè ó÷òåì ñ ïîìîùüþ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êâàçèèìïóëüñà qs ñíîâà êâàíòîâàíû â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.12), òîëüêî íåçàâèñèìûå êîëåáàíèÿ N àòîìîâ áóäóò äëÿ
çíà÷åíèé s â èíòåðâàëå 1 ≤ s ≤ N/2. Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê ïåðâîé çîíå
Áðèëëþýíà ïîëó÷èì, ÷òî íåçàâèñèìûå çíà÷åíèÿ êâàçèèìïóëüñà ëåæàò
â èíòåðâàëå −π/2a ≤ q ≤ π/2a. Ñïåêòð ÷àñòîò êîëåáàíèé îäíîìåðíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ äâóìÿ àòîìàìè â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå ðàñïàäàåòñÿ íà äâå âåòâè. Âûñîêî÷àñòîòíàÿ âåòâü ω+ (q) íàçûâàåòñÿ
îïòè÷åñêîé âåòâüþ, íèçêî÷àñòîòíàÿ ω− (q) àêóñòè÷åñêîé âåòâüþ. Èç
óðàâíåíèé (7.15) ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ àêóñòè÷åñêèõ êîëåáàíèé àòîìû m
117
è M êîëåáëþòñÿ â ôàçå, à äëÿ îïòè÷åñêèõ â ïðîòèâîôàçå. Âèä ñïåêòðà ïîêàçàí íà ðèñ. 7.2, ãäå ñíîâà ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî çíà÷åíèÿ q íà
ñàìîì äåëå äèñêðåòíû. Íà ãðàíèöàõ çîíû äâå âåòâè îòäåëåíû ùåëüþ
∆ω 2 = 2κ(1/m − 1/M ).
 ñëó÷àå òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé äëÿ êðèñòàëëîâ ñ îäíèì
àòîìîì â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå èìååòñÿ òðè íåçàâèñèìûõ êîëåáàíèÿ äëÿ
äàííîãî êâàçèèìïóëüñà q : äâà ïîïåðå÷íûõ è îäíî ïðîäîëüíîå. Åñëè â
ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå ñîäåðæèòñÿ ν àòîìîâ, òî èç 3ν êîëåáàíèé 3 êîëåáàíèÿ îòíîñÿòñÿ ê àêóñòè÷åñêèì ìîäàì, à 3ν − 3 ê îïòè÷åñêèì.
7.4 Êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ëèíåéíîé öåïî÷êè. Ôîíîíû
Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ îäíîìåðíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ îäíèì àòîìîì â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.11)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ îòäåëüíûõ ìîä s:
un (t) =
N
∑
(
)
αs e−iωs t+iqs an + αs∗ eiωs t−iqs an .
(7.17)
s=1
Âòîðîå ñëàãàåìîå äîáàâëåíî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñìåùåíèå àòîìà áûëî ÿâíî
âåùåñòâåííîé âåëè÷èíîé. Ñîïðÿæåííûé èìïóëüñ pn (t) = mu̇n (t) èìååò
âèä
N
∑
(
)
ωs αs e−iωs t+iqs an − αs∗ eiωs t−iqs an .
pn (t) = −im
s=1
Ïðîâåäåì êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ëèíåéíîé öåïî÷êè, ñîïîñòàâèâ ïàðå
(un , pn ) îïåðàòîðû (b
un , pbn ), óäîâëåòâîðÿþùèå êàíîíè÷åñêèì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì
[b
un , pbn′ ] = i~δn,n′ .
Äëÿ ýòîãî àìïëèòóäàì ãàðìîíèê αs , αs∗ ñëåäóåò ñîïîñòàâèòü îïåðàòîðû
b
as , b
a†s ïî ïðàâèëó
√
~
∗
†
.
(αs , αs ) → (b
as , b
as )
2mωs N
118
√
Ìíîæèòåëü ~/2mN ωs âûáðàí äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ
as , b
as′ ] = [b
a†s , b
a†s′ ] = 0.
[b
as , b
a†s′ ] = δs,s′ , [b
(7.18)
Ïðè s = s′ ýòè âûðàæåíèÿ â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ðàçíèöà â òîì, ÷òî òåïåðü êîëåáàòåëüíûõ ìîä ìíîãî. Îêîí÷àòåëüíî îïåðàòîðû u
bn è pbn ïðèíèìàþò âèä
N √
∑
( −iωs t+iqs an
)
~
u
bn (t)
=
b
as e
+b
a†s eiωs t−iqs an ,
2mωs N
s=1
√
N
∑
)
~ωs ( −iωs t+iqs an
pbn (t) = −i
b
as e
−b
a†s eiωs t−iqs an .
(7.19)
2mN
s=1
Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà äëÿ ëèíåéíîé öåïî÷êè çàïèñûâàåòñÿ êàê
∑[
]
b= 1
H
pb2n + (mω0 )2 (b
un+1 − u
bn )2 .
2m n=1
N
Âûðàçèì ãàìèëüòîíèàí ÷åðåç îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Äëÿ
ýòîãî ó÷òåì ñîîòíîøåíèå
N
∑
eiqs an = N δs,0 ,
(7.20)
n=1
ãäå qs äàåòñÿ âûðàæåíèåì (7.12). 1 Ðàññìîòðèì âíà÷àëå îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.  íåãî âõîäèò êîìáèíàöèÿ
N √
∑
[ −iωs t+iqs an ( iqs a
)
~
u
bn+1 − u
bn =
b
as e
e
−1 +
2mωs N
s=1
(
)]
+b
a†s eiωs t−iqs an e−iqs a − 1 .
1
Äåéñòâèòåëüíî, ïî ôîðìóëå äëÿ ñóììû ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
N
∑
) (
(
)
eiqs an = eiqs a − eiqs a(N +1) / 1 − eiqs a = 0
n=1
ïðè s ̸= 0. Ïðè s = 0 ïîëó÷àåì ∑Nn=1 1 = N .
119
Ïðè âû÷èñëåíèè âîçíèêàþò ñëàãàåìûå ÷åòûðåõ òèïîâ, ñîäåðæàùèå ñîîòâåòñòâåííî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ b
as b
as ′ , b
a†sb
a†s′ , b
as b
a†s′ è b
a†sb
as′ . Ïåðâûå äâà
±i(qs +qs′ )an
óìíîæàþòñÿ íà e
è ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïî n èñ÷åçàþò ââèäó
(7.20). Ñëàãàåìûå òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî òèïîâ óìíîæàþòñÿ íà e±i(qs −qs′ )an
è ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïî n âûäàþò ìíîæèòåëü N δs,s′ .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:
[
~
2
N δs,s′ b
as b
a†s′ e−i(ωs −ωs′ )t eiqs a − 1 +
√
2mN ωs ωs′
s,s′ =1
]
2
+b
a†sb
as′ ei(ωs −ωs′ )t × e−iqs a − 1 =
(
) ∑
(
)
N
N
∑
2ω02
1
1
~ωs
2 qs a
†
†
=
as +
as +
sin
b
as b
=
b
as b
. (7.21)
ωs
2
2
2
2
s=1
s=1
b = mω 2
U
0
N
∑
Óêàçàííûì ñïîñîáîì ìîæíî ðàññìîòðåòü îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè êîëåáëþùåéñÿ öåïî÷êè è ïîêàçàòü (ñì. çàäà÷ó ê ýòîé ãëàâå), ÷òî,
áóäó÷è âûðàæåííûì ÷åðåç îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ, îí èìååò â òî÷íîñòè òàêîé æå âèä êàê è îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Òåì
ñàìûì êâàíòîâûé ãàìèëüòîíèàí öåïî÷êè
)
(
N
∑
1
†
b=
(7.22)
H
~ωs b
as b
as +
2
s=1
ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ íîðìàëüíûõ ìîä.
Êâàíòîâàííàÿ íîðìàëüíàÿ ìîäà êîëåáàíèé ðåøåòêè íàçûâàåòñÿ ôîíîíîì. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîäñ÷åòà ïîëÿðèçàöèîííûõ ñîñòîÿíèé ó ôîíîíà â
òâåðäîì òåëå èõ òðè, êàê è ó ÷àñòèöû ñïèíà s = 1. Êðîìå òîãî, íè÷òî íå
ïðåïÿòñòâóåò ðîæäåíèþ êîëåáàíèé ëþáîé èíòåíñèâíîñòè, ò.å. ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé íàáîð ñêîëü óãîäíî áîëüøîãî ÷èñëà ôîíîíîâ. Ïîýòîìó
ôîíîí îòíîñèòñÿ ê áîçîíàì. Äîáàâèì åãî ê ñïèñêó êâàçè÷àñòèö â êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåäàõ, â êîòîðîì óæå åñòü ôåðìèîííàÿ êâàçè÷àñòèöà ñ
êâàíòîâûìè ÷èñëàìè ýëåêòðîíà è ñîîòâåòñòâóþùàÿ äûðêà.
Ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî èçëîæåííûé ìåòîä êâàíòîâàíèÿ êîëåáàíèé öåïî÷êè àòîìîâ ïåðåíîñèòñÿ íà êâàíòîâàíèå ïîëåé â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ðàçäåëå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, êîòîðûé ïîñâÿùåí êîëè÷åñòâåííîìó
îïèñàíèþ âçàèìîäåéñòâèé ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.
 ñëó÷àå òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé è îäíîãî àòîìà â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå îïåðàòîð âåêòîðà ñìåùåíèÿ àòîìà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå120
ñèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
b n (t) =
u
3 ∑
∑
√
(
~
b
aλq e−iωλq t+iqRn eλq +
2mωλq N
λ=1 q
)
+b
a†λq eiωλq t−iqRn e∗λq .
(7.23)
Çäåñü Rn åñòü êîîðäèíàòû àòîìîâ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (7.1), q ïðîáåãàåò íåçàâèñèìûå çíà÷åíèÿ â ïðåäåëàõ ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà, λ =
1, 2, 3 íóìåðóåò ïîëÿðèçàöèîííûå ñîñòîÿíèÿ (äâà ïîïåðå÷íûõ è îäíî ïðîäîëüíîå). Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ ñïåêòðà ÷àñòîò, êîãäà ñëîæíàÿ ôîðìóëà òèïà
(7.13) çàìåíÿåòñÿ íà ïðèáëèæåííóþ ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü âèäà
ωλq ≈ cλ |q|,
(7.24)
ãäå ÷åðåç cλ îáîçíà÷åíà ñêîðîñòü çâóêà äëÿ êîëåáàíèé ñ ïîëÿðèçàöèåé
λ. Ñóììèðîâàíèå ïî êâàíòîâûì
∫ d3 q qs çàìåíÿåòñÿ íà èíòåãðè∑ ñîñòîÿíèÿì
ðîâàíèå ïî ôàçîâîìó îáúåìó qs → V (2π)3 . Âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè eλq
âûáèðàþòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûìè. Äëÿ êðèñòàëëîâ ñ ν àòîìàìè â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå ñóììà ïî λ âêëþ÷àåò êàê ñóììó ïî ïîëÿðèçàöèÿì, òàê
è ïî àêóñòè÷åñêèì è îïòè÷åñêèì ìîäàì. Îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ñëó÷àÿ
ñîñòîèò â òîì, ÷òî óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ ïîëÿðèçàöèè èìååò
áîëåå ñëîæíûé âèä, çàâèñÿùèé îò ìàññ àòîìîâ â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå,
à ëèíåéíûé çàêîí äèñïåðñèè ñïðàâåäëèâ òîëüêî äëÿ òðåõ àêóñòè÷åñêèõ
ìîä.
Ïðè êâàíòîâîì ðàññìîòðåíèè êîëåáàíèé ðåøåòêè äåéñòâîâàòü íóæíî
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âíà÷àëå ïî ïðàâèëàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîïîñòàâëÿåì èíòåðåñóþùåé íàñ âåëè÷èíå êâàíòîâûé îïåðàòîð. Çàòåì ïðîâîäèì óñðåäíåíèå ýòîãî îïåðàòîðà ïî ñîñòîÿíèþ ñ çàäàííûì ÷èñëîì ôîíîíîâ â äàííîé ìîäå. Äàëåå âûïîëíÿåì ñòàòèñòè÷åñêîå óñðåäíåíèå, çàìåíèâ ñðåäíåå ÷èñëî ôîíîíîâ ïðè òåìïåðàòóðå T íà ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Áîçå Ýéíøòåéíà ñ íóëåâûì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì. Íàêîíåö,
ïðîâîäèì ñóììèðîâàíèå ïî âñåì âîçìîæíûì ìîäàì êîëåáàíèé. Ïðèìåðîì òàêîãî âû÷èñëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå ñðåäíåãî êâàäðàòà ñìåùåíèÿ àòîìà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ⟨b
u2 ⟩ â îäíîé èç çàäà÷ ê ýòîé ãëàâå.
Ñðåäíåå çíà÷åíèå ýòîé âåëè÷èíû èñïîëüçóåòñÿ â ôîðìóëèðîâêå êðèòåðèÿ ïëàâëåíèÿ, êîòîðûé
√ ãëàñèò, ÷òî êðèñòàëë íà÷èíàåò ïëàâèòüñÿ ïðè
u2 ⟩ = ξa, ãäå a ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå. Èç
âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ⟨b
îïûòà èçâåñòíî, ÷òî ξ ∼ 0.2.
121
7.5 Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ñïåêòðà âîçáóæäåíèé
Ðàññìîòðèì èäåþ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èçó÷åíèÿ ñïåêòðà âîçáóæäåíèé â êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåäàõ íà ïðèìåðå ðàññåÿíèÿ íåéòðîíîâ â êðèñòàëëå. Áóäåì ðàáîòàòü â ïðèáëèæåíèè êëàññè÷åñêîé êàðòèíû êîëåáàíèÿ
àòîìîâ âáëèçè èõ ðàâíîâåñíûõ ïîëîæåíèé Rn . Ñàìè îòêëîíåíèÿ àòîìîâ
çàäàþòñÿ âåêòîðàìè
un (t) =
3 ∑
∑
(
λ=1
)
αλk e−iωλk t+ikRn + α∗λq eiωλk t−ikRn ,
(7.25)
k
∑
êîòîðûå
ÿâëÿþòñÿ
òðåõìåðíûìè
àíàëîãàìè
(7.17).
Íàïîìíèì,
÷òî
k =
∫ 3
3
V d k/(2π) , ãäå èíòåãðèðîâàíèå èäåò ïî k âíóòðè ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà. Ñ ó÷åòîì êîëåáàíèé àòîìîâ ýôôåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðîíà ñ êðèñòàëëîì íà÷èíàåò çàâèñåòü îò âðåìåíè:
∑
U (r, t) =
U0 [r − Rn − un (t)].
n
Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ íåéòðîíà êðèñòàëëîì íàäî èñïîëüçîâàòü òåîðèþ âîçìóùåíèé, çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íåéòðîí, èìåþùèé ïðè
t → −∞ ýíåðãèþ ϵi è èìïóëüñ pi , ðàññååòñÿ íà êðèñòàëëå è ïåðåéäåò
ïðè t → +∞ â ñîñòîÿíèå ñ ýíåðãèåé ϵf è èìïóëüñîì pf , âûðàæàåòñÿ êàê
wf i = |af i |2 , ãäå
∫
∫
∑
i ∞
i(ϵf −ϵi )t/~
dte
d3 re−ipf ·r/~
U0 [r − Rn − un (t)] ×
af i = −
~ −∞
n
∫ ∞
∑
i
ipi ·r
dtei(ϵf −ϵi )t/~
×e
= − F0 (q)
eiq·[Rn +un (t)] .
~
−∞
n
Çäåñü ôîðì-ôàêòîð ðàññåÿíèÿ íåéòðîíà íà îòäåëüíîì àòîìå F0 (q) äàåòñÿ
ôîðìóëîé (7.6), à ïåðåäàííûé âîëíîâîé âåêòîð ðàâåí
q=
pi − pf
.
~
122
Ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ñìåùåíèå àòîìà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ |un | ìîæíî ñ÷èòàòü ìàëûì. Òî÷íûé êðèòåðèé ýòîãî áóäåò óñòàíîâëåí â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. Ïîýòîìóeiq·un (t) ≈ 1 + iq · un (t). Ïîäñòàâèâ ýòî ðàçëîæåíèå â ôîðìóëó äëÿ af i ïîëó÷èì:
[
∫ ∞
∑
i
af i ≈ − F0 (q) S(q)
dtei(ϵf −ϵi )t/~ + i
eiq·Rn ×
~
−∞
n
]
∫ ∞
(1)
(2)
×
dtei(ϵf −ϵi )t/~ q · un (t) ≡ af i + af i ,
(7.26)
−∞
(1)
(2)
ãäå af i è af i ñîîòâåòñòâóþò äâóì ñëàãàåìûì â âûðàæåíèè (7.26). Âåëè÷èíà S(q) åñòü ñòðóêòóðíûé ôàêòîð èäåàëüíîé ðåøåòêè (7.7). Ïåðâûé
(1)
÷ëåí af i â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ïðîïîðöèîíàëåí δ(ϵf − ϵi ) è îïèñûâàåò óæå ðàññìîòðåííûé ñëó÷àé óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ. Äëÿ èíòåðïðåòàöèè
(2)
âòîðîãî ÷ëåíà af i â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ïðåäïîëîæèì, ÷òî un îòâå÷àåò
îäíîé ìîäå êîëåáàíèé ñ âîëíîâûì âåêòîðîì k è ïîëÿðèçàöèåé λ. Òîãäà
ðàññìàòðèâàåìûé âêëàä, ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ (7.25), ïðîïîðöèîíàëåí
∑
(2)
af i ∝ δ(ϵf − ϵi − ~ωk,λ )
ei(q+k)·Rn q · αk,λ +
n
+δ(ϵf − ϵi + ~ωk,λ )
∑
ei(q−k)·Rn q · α∗k,λ .
n
 ýòîì âûðàæåíèè ñëàãàåìîå ñ αk,λ îòëè÷íî îò íóëÿ äëÿ ïðîöåññîâ ñ
ϵf = ϵi + ~ωk,λ ,
pf = pi + ~(k + b),
â êîòîðûõ íåéòðîí ïîãëîùàåò êâàçè÷àñòèöó (ôîíîí) ñ ýíåðãèåé ~ωk è
èìïóëüñîì ~k. Ñîîòâåòñòâåííî ñëàãàåìîå ñ α∗k,λ îòëè÷íî îò íóëÿ äëÿ
ïðîöåññîâ ñ
ϵf = ϵi − ~ωk,λ ,
pf = pi − ~(k + b),
â êîòîðûõ íåéòðîí èñïóñêàåò êâàçè÷àñòèöó (ôîíîí) ñ ýíåðãèåé ~ωk è
èìïóëüñîì ~k. Âåêòîð b åñòü ïðîèçâîëüíûé âåêòîð îáðàòíîé ðåøåòêè. Ñîõðàíåíèå ïîëíîé ýíåðãèè ñëåäóåò ïðÿìî èç âèäà àðãóìåíòîâ δ 123
ôóíêöèé. ×òî êàñàåòñÿ èìïóëüñîâ, òî çäåñü ñîõðàíåíèå èìïóëüñà âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî äîáàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà îáðàòíîé ðåøåòêè b. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñóììû ïî n ìàêñèìàëüíû ïðè
óñëîâèè ei(q±k)·Rn = 1, êîãäà q ± k = b.
Èç ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà ìîæíî ñäåëàòü îáùèé âûâîä, êîòîðûé
ïîäòâåðæäàåòñÿ òî÷íûì ðàññìîòðåíèåì. Ïðè íåóïðóãîì ðàññåÿíèè ÷àñòèöû (íåéòðîíà, ôîòîíà èëè ýëåêòðîíà) â êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåäàõ
(êðèñòàëëè÷åñêîì òâåðäîì òåëå, êâàíòîâîé æèäêîñòè âðîäå ñâåðõòåêó÷åãî ãåëèÿ è ò.ä.) ïðè òåìïåðàòóðàõ âáëèçè àáñîëþòíîãî íóëÿ èçìåíåíèå
åå ýíåðãèè ðàâíî ýíåðãèè èñïóùåííîé èëè ïîãëîùåííîé êâàçè÷àñòèöû.
Èçìåíåíèå èìïóëüñà ðàâíî èìïóëüñó èñïóùåííîé èëè ïîãëîùåííîé êâàçè÷àñòèöû, ñ îãîâîðêîé, ÷òî â êðèñòàëëàõ èçìåíåíèå èìïóëüñà ñâÿçàíî ñ
èìïóëüñîì êâàçè÷àñòèöû ñ òî÷íîñòüþ äî ïðèáàâëåíèÿ âåêòîðà îáðàòíîé
ðåøåòêè. Îãðàíè÷åíèå îáëàñòüþ íèçêèõ òåìïåðàòóð ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî
â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâåííû ñîñòîÿíèÿ êîíäåíñèðîâàííîãî òåëà ñ íåáîëüøîé ýíåðãèåé. Ýòè ñîñòîÿíèÿ îïèñûâàþòñÿ êàê ãàç íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ êâàçè÷àñòèö ñ îïðåäåëåííûì çàêîíîì äèñïåðñèè.
7.6 Òåïëîåìêîñòü êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
Íàéäåì âêëàä êîëåáàíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè â òåïëîåìêîñòü
òâåðäîãî òåëà.  êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ñïðàâåäëèâà òåîðåìà î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè. Åñëè êðèñòàëë ñîäåðæèò N àòîìîâ, òî ÷èñëî êîëåáàòåëüíûõ
ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî 3N − 6, ãäå 6 ñóòü ÷èñëî 3 ïîñòóïàòåëüíûõ ñòåïåíè ñâîáîäû äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ êðèñòàëë ïëþñ 3 ñòåïåíè ñâîáîäû
âðàùåíèÿ êðèñòàëëà êàê öåëîãî. Òàê êàê N ≫ 1, òî ÷èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî ïðèìåðíî 3N . Òîãäà òåïëîåìêîñòü ðåøåòêè
â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ðàâíà CV ≈ 3N . Ýòî âûðàæåíèå, íàçûâàåìîå
çàêîíîì Äþëîíãà è Ïòè, íàõîäèòñÿ â ðåçêîì ïðîòèâîðå÷èè ñ òåîðåìîé
Íåðíñòà (òðåòüèì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè), ñîãëàñíî êîòîðîìó CV → 0
ïðè T → 0.
Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîçâîëèëà íàéòè ïðàâèëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ òåïëîåìêîñòè òâåðäîãî òåëà. Èñòîðè÷åñêè ïåðâîé êâàíòîâîé ìîäåëüþ òåïëîåìêîñòè êðèñòàëëà áûëà ìîäåëü Ýéíøòåéíà, ñîãëàñíî êîòîðîé âñå àòîìû â êðèñòàëëå êîëåáëþòñÿ ñ îäíîé ÷àñòîòîé ω . Òîãäà ìîæíî ïðèìåíèòü
âûðàæåíèå (4.24) äëÿ òåïëîåìêîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà è ïî124
ëó÷èòü
(
CVEinstein
= 3N
~ω
T
)2
( )
exp ~ω
[
( ~ω )T ]2 .
exp T − 1
Ìíîæèòåëü 3 ó÷èòûâàåò òðè âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿ êîëåáàíèé àòîìà
â êðèñòàëëå. Ýòî âûðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò òåîðåìå Íåðíñòà, ïîñêîëüêó
CV ∝ exp(−~ω/T ) ïðè T → 0. Âñå æå è îíî ïðîòèâîðå÷èò ýêñïåðèìåíòó
â òîì, ÷òî ñòðåìëåíèå òåïëîåìêîñòè ê íóëþ ïðè T → 0 ñòåïåííîå, à íå
ýêñïîíåíöèàëüíîå. Âìåñòå ñ òåì âêëàä â òåïëîåìêîñòü îïòè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ìîäåëüþ Ýéíøòåéíà, â êîòîðîé ðîëü ω
èãðàåò ÷àñòîòà â ìàêñèìóìå îïòè÷åñêîé âåòâè.
Ìû çíàåì, ÷òî àòîìû îáëàäàþò êâàçèíåïðåðûâíûì ñïåêòðîì ÷àñòîò
êîëåáàíèé, ïðè÷åì àêóñòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ íà÷èíàþòñÿ ñ íóëåâîé ÷àñòîòû. Ìîäåëü òåïëîåìêîñòè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, ó÷èòûâàþùàÿ
àêóñòè÷åñêóþ âåòâü, íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ Äåáàÿ. Ñóòü ìîäåëè ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ñïåêòð ÷àñòîò êîëåáàíèé, òî åñòü ÷èñëî ìîä, ïðèõîäÿùèõñÿ íà
åäèíè÷íûé èíòåðâàë ÷àñòîò ω , èìååò âèä
(
)
V
1
2
ν(ω) = 2
+ 3 ω 2 θ(ωD − ω).
(7.27)
3
2π
c⊥ c∥
Îáîñíîâàíèå (7.27) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîëíîå ÷èñëî àêóñòè÷åñêèõ êîëåáàíèé 3N ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
3 ∫
∑
d3 qλ
1 = dων(ω) = V
3N =
=
(2π)3
λ=1
λq
3 ∫
V ∑ ωD /cλ
= 2
dqλ qλ2 =
2π λ=1 0
(
)∫
ωD
3
V
2
1
V ωD
2
= 2
+
dωω
=
,
2π
c3⊥ c3∥
2π 2 c3s
0
∑
∫
(7.28)
ãäå ââåäåíà îáùàÿ äëÿ âñåõ ïîëÿðèçàöèîííûõ âåòâåé (7.24) ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà ωD ,
)1/3
(
2N
cs
(7.29)
ωD = 6π
V
125
íàçûâàåìàÿ ÷àñòîòîé Äåáàÿ. Ñðåäíÿÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì ñêîðîñòü çâóêà
cs îïðåäåëåíà ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ
(
)
3
2
1
=
+
.
c3s
c3⊥ c3∥
Êà÷åñòâåííî ïðîèñõîæäåíèå ìàêñèìàëüíîé ÷àñòîòû îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî
íå èìååò ñìûñëà ðàññìàòðèâàòü êîëåáàíèÿ ñ äëèíîé âîëíû, ìåíüøåé
÷åì ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå: λ ≫ λmin ∼
1/qmax ∼ a. Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó:
ωmax ∼ ωD ∼ cs qmax ∼ cs /a.
Ïîñêîëüêó ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè a ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíà (V /N )1/3 ,
âèäíî, ÷òî êà÷åñòâåííàÿ îöåíêà ωD ñîãëàñóåòñÿ ñ ôîðìàëüíûì îïðåäåëåíèåì (7.29). Ïðèâåäåì íåñêîëüêî çíà÷åíèé ÷àñòîòû Äåáàÿ â òåìïåðàòóðíûõ åäèíèöàõ:
~ωD
= 90 (Pb), 210 (Ag), 400 (Al), 280 (NaCl), 2000 (C, àëìàç).
kB
Êâàíòîâûé îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà â ñëó÷àå òðåõìåðíîãî êðèñòàëëà ïîëó÷àåòñÿ îáîáùåíèåì âûðàæåíèÿ (7.22) äëÿ îäíîìåðíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè:
(
)
3 ∫
3
∑
d
q
1
†
b =V
H
~ωqλ b
aqλb
aqλ +
.
(2π)3
2
λ=1
Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ êîëåáàíèé ðåøåòêè ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ñíà÷àëà óñðåäíèòü ýòîò îïåðàòîð ïî ñîñòîÿíèþ ñ îïðåäåëåííûì ÷èñëîì ôîíîíîâ Nqλ ,
à çàòåì ïðîâåñòè òåïëîâîå óñðåäíåíèå, çàìåíèâ Nqλ áîçåâñêîé ôóíêöèåé
ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì (ôîíîíû ðîæäàþòñÿ è óíè÷òîæàþòñÿ ñîâåðøåííî ñâîáîäíî).  ðåçóëüòàòå ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ
êîëåáàíèé ðåøåòêè â ìîäåëè Äåáàÿ çàïèøåòñÿ â âèäå
)
(
∫ ωD
3 ∫
∑
1
V d3 q
3~V
1
+
= 2 3
⟨E⟩ =
~ωqλ ~ω /T
dωω 3 ×
3
qλ
(2π)
2π cs 0
e
−1 2
λ=1
)
(
∫
~ωD /T
1
3V T 4
1
+
= 2
dxx3 ×
× ~ω/T
e
−1 2
2π (~cs )3 0
(
)
1
1
× x
+
.
(7.30)
e −1 2
126
 ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé âåëè÷èíû îòíîøåíèÿ ~ωD /T óêàçàííûé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëåííî. Àíàëèòè÷åñêèé âèä ìîæåò áûòü ïîëó÷åí â
äâóõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ âûñîêèõ (T ≫ ~ωD ) è íèçêèõ (T ≪ ~ωD ) Äëÿ
âûñîêèõ òåìïåðàòóð îñíîâíîé âêëàä â èíòåãðàë äàþò x ≪ 1. Ïîýòîìó
ýêñïîíåíòó ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä è ïîëó÷èòü
3V T 4
(~ωD )3
⟨E⟩ ≈ 2
·
= 3N T.
2π (~cs )3
3T 3
Îòñþäà òåïëîåìêîñòü â ïðåäåëå âûñîêèõ òåìïåðàòóð èìååò âèä çàêîíà
Äþëîíãà è Ïòè
CV = 3N.
Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ âåðõíèé ïðåäåë â èíòåãðàëå ìîæíî óñòðåìèòü
ê áåñêîíå÷íîñòè è âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì â òåîðèè
ôîòîííîãî ãàçà:
π2V T 4
⟨E⟩ ≈
.
10(~cs )3
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ àñèìïòîòèêà òåïëîåìêîñòè ïðèíèìàåò âèä ñòåïåííîé
çàâèñèìîñòè:
2π 2 V T 3
(7.31)
CV =
5(~cs )3
 îòëè÷èå îò îïòè÷åñêîé âåòâè, äëÿ êîòîðîé òåïëîåìêîñòè ïðè íèçêèõ
òåìïåðàòóðàõ âåäåò ñåáÿ ýêñïîíåíöèàëüíî, òåïëîåìêîñòü àêóñòè÷åñêîé
âåòâè ïðîïîðöèîíàëüíà T 3 . Íàïîìíèì, ÷òî ýëåêòðîííàÿ òåïëîåìêîñòü
ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ âåäåò ñåáÿ êàê T . Ïîýòîìó ïðè T → 0 ôîíîííûé âêëàä â òåïëîåìêîñòü óáûâàåò áûñòðåå ýëåêòðîííîãî.
7.7 Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå êðèñòàëëîâ â ìîäåëè Äåáàÿ
Íàéäåì ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ êîëåáàíèé ðåøåòêè. Ñòàòñóììà êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ðåøåòêè ðàâíà
∏(
)−1
Zph =
1 − e−~ωq,λ /T
,
q,λ
127
ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ ôîíîíîâ â ìîäåëè Äåáàÿ åñòü
Fph (V, T ) = −T ln Zph = T
∑
q,λ
)
(
× ln 1 − e−~ω/T .
(
)
3T V
ln 1 − e−~ωq,λ /T = 2 3
2π cs
∫
ωD
dωω 2 ×
0
Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ (T ≪ ~ωD ) ôîíîííûé âêëàä â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ
π2V T 4
Fph (V, T ) ≈ −
30(~cs )3
ÿâëÿåòñÿ ìàëîé ïîïðàâêîé ê ñâîáîäíîé ýíåðãèè àòîìîâ â êðèñòàëëå F0 (V, T ),
F (V, T ) = F0 (V, T ) −
π2V T 4
.
30(~cs )3
(7.32)
Ìàëàÿ ôîíîííàÿ äîáàâêà ê ïîòåíöèàëó Ãèááñà, âûðàæåííàÿ ÷åðåç ïåðåìåííûå T è P T èìååò òàêîé æå âèä êàê è â ñëó÷àå ñâîáîäíîé ýíåðãèè,
ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü
Φ(T, P ) = Φ0 (T, P ) −
Èç ôîðìóëû V =
( ∂Φ )
∂P T
π 2 V (P )T 4
.
30(~cs )3
(7.33)
íàõîäèì îáúåì:
V = V0 −
π 2 T 4 ∂ V0 (P )
,
30~3 ∂P c3s
îòêóäà è âû÷èñëÿåòñÿ òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ:
(
)
2π 2 T 3
1 ∂V
d V0 (P )
=−
α=
∝ T 3.
3
V ∂T P
15~ V0 (P ) dP c3s
Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ýòîé ôîðìóëå íå ìîæåò áûòü âû÷èñëåí. Ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ (T ≫ ~ωD ) ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ ôîíîíîâ åñòü
∫ ωD
~ω
3T V
~ω
= 3N T ⟨ln
⟩,
Fph (V, T ) ≈ 2 3
dωω 2 ln
2π cs 0
T
T
128
ãäå óãëîâûå ñêîáêè îçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî ôîíîííîìó ñïåêòðó. Çàìå⟩ → ln ~⟨ω⟩
, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîýôôèöèåíò
íèâ ïðèáëèæåííî ⟨ln ~ω
T
T
òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ îò òåìïåðàòóðû íå çàâèñèò:
3N d ln⟨ω⟩
α=
.
V0 (P ) dP
Ïðîñòàÿ ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ êðèñòàëëîâ ïðè
âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà íà îñíîâå îöåíîê ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû. Ðàññìîòðèì ìîäåëü îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ U (r) äâóõ àòîìîâ ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ
ðàññòîÿíèÿõ r ìåæäó àòîìàìè èìååò õàðàêòåð îòòàëêèâàíèÿ, à ñ ðîñòîì
r ïîÿâëÿåòñÿ ïðèòÿæåíèå. Íàêîíåö, ïðè r → ∞ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñíèçó. Ïîýòîìó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò ìèíèìóì ïðè íåêîòîðîì r = a. Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà âîçíèêàåò çà ñ÷åò
òîãî, ÷òî ìèíèìóì ýíåðãèè äîñòèãàåòñÿ ïðè ðåãóëÿðíîì ðàñïîëîæåíèè
àòîìîâ â îäíîìåðíîé ðåøåòêå ñ ïåðèîäîì a. Ïóñòü ξ = r − a îáîçíà÷àåò ñìåùåíèå àòîìà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ðàçëîæèì ïîòåíöèàëüíóþ
ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ âáëèçè ìèíèìóìà â ðÿä ïî ξ :
1
1
U (r) = U0 + U ′′ (a)ξ 2 + U ′′′ (a)ξ 3 + ·,
2
6
(7.34)
ãäå ó÷òåíà ïåðâàÿ àíãàðìîíè÷åñêàÿ ïîïðàâêà. Ïðè ýòîì äëÿ òîãî ÷òîáû
îáåñïå÷èòü òåíäåíöèþ ê îòòàëêèâàíèþ àòîìîâ íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ
ξ < 0 íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî U ′′′ (a) < 0.  ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ÷àñòîòà êîëåáàíèé íå çàâèñèò îò èõ àìïëèòóäû, ⟨ξ⟩ = 0, ýòîìó
òåïëîâîå ðàñøèðåíèå â ýòîì ïðèáëèæåíèè íå âîçíèêàåò. Ñ ó÷åòîì àíãàðìîíè÷åñêîé ïîïðàâêè êàðòèíà ìåíÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó ñðåäíåå çíà÷åíèå
ñèëû
1
dU
= −U ′′ (a)ξ + |U ′′′ (a)|ξ 2 ,
f =−
dξ
3
äîëæíî îáðàùàòüñÿ â íóëü (àòîìû â êðèñòàëëå íå ìîãóò ñàìîïðîèçâîëüíî óñêîðÿòüñÿ), òî èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñðåäíåå ñìåùåíèå
àòîìà áóäåò ðàâíî
|U ′′′ (a)| 2
⟨ξ⟩ =
⟨ξ ⟩ ̸= 0.
U ′′ (a)
Èç òåîðåìû î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ñëåäóåò, ÷òî ⟨ξ 2 ⟩ = T /mω 2 . Ïðîèçâîäíàÿ n-ãî ïîðÿäêà îò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè îöåíèâàåòñÿ êàê U (n) ∼
129
U0 /an , mω 2 = U ′′ (a), U0 ∼ 1 Ry∼ 10 ýÂ. Ñîáèðàÿ ýòè îöåíêè ïîëó÷èì
îòíîñèòåëüíîå óäëèííåíèå îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà:
∆a
⟨ξ⟩
kB T
∼
∼
= αl T.
a
a
U0
Îòñþäà íàõîäèì êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ:
αl ∼
kB
∼ 10−5 ãðàä−1 .
U0
Äëÿ ñðàâíåíèÿ: αl(Ni) = 1.3 × 10−5 ãðàä−1 , αl(Cu) = 5 × 10−5 ãðàä−1 .
7.8 Çàäà÷è
√
1. Áàçèñíûå âåêòîðû äâóìåðíîé ðåøåòêè ãðàôåíà ðàâíû a1 = a2 ( 3, 3),
√
a2 = a2 (− 3, 3). Ñì. ðèñ. 5.5. Íàéòè áàçèñíûå âåêòîðû îáðàòíîé ðåøåòêè.
2. Âû÷èñëèòü îáúåì ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè è íàéòè îñíîâíûå âåêòîðû
îáðàòíîé ðåøåòêè äëÿ ïðîñòîé êóáè÷åñêîé, ãðàíåöåíòðèðîâàííîé
êóáè÷åñêîé è îáúåìíîöåíòðèðîâàííîé êóáè÷åñêîé ðåøåòîê.
3. Ðàññ÷èòàòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñòðóêòóðíûé ôàêòîð S(q) äëÿ ãðàíåöåíòðèðîâàííîé è îáúåìíîöåíòðèðîâàííîé êóáè÷åñêèõ ñòðóêòóð.
Çíàÿ, ÷òî ïðè äèôðàêöèè ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé ñ äëèíîé âîëíû
1.542 àíãñòðåìà íàáëþäàëèñü áðýããîâñêèå óãëû 12.3◦ , 14.1◦ , 20.2◦ ,
24.0◦ , 25.1◦ , 29.3◦ ,32.2◦ è 33.1◦ , îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùèå èíäåêñû Ìèëëåðà, óñòàíîâèòü òèï êóáè÷åñêîé ðåøåòêè è íàéòè åå
ðåøåòî÷íóþ ïîñòîÿííóþ a.
4. N = 3.53 × 1016 îäíîâàëåíòíûõ àòîìîâ ðàñïîëîæåíû â êâàäðàòíîé
ðåøåòêå ðàçìåðàìè Lx × Ly = 1 × 1 ñì2 . Ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè ðàâíà
a = 10−8 ñì. Êà÷åñòâåííî èçîáðàçèòü îáëàñòü çàíÿòûõ ýëåêòðîííûõ
ñîñòîÿíèé â ïåðâîé è âòîðîé çîíàõ Áðèëëþýíà.
5. Îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ñïåêòð êîëåáàíèé ðåøåòêè ñ äâóìÿ àòîìàìè â
ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå íà ðèñ. 7.2 ïðè M → m, íà ïåðâûé âçãëÿä,
íå ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì êîëåáàíèé ðåøåòêè ñ îäíèì àòîìîì â
ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå ðèñ. 7.1.
130
6. Ïîêàçàòü, ÷òî ÷òî èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (7.18) è âûðàæåíèé (7.19) ñëåäóþò êàíîíè÷åñêîå êîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå
[b
un , pbn ] = i~.
7. Ïîêàçàòü, ÷òî â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ b
as , b
a†s îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè êîëåáëþùåéñÿ öåïî÷êè àòîìîâ èìååò òàêîé æå âèä, êàê
íàéäåííûé â òåêñòå îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.
8. Âû÷èñëèòü ñðåäíèé êâàäðàò ñìåùåíèÿ àòîìà â êðèñòàëëå îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ⟨b
u2 ⟩ â ìîäåëè Äåáàÿ. Ðàññìîòðåòü òàêæå ñëó÷àè
äâóõ è îäíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî èçìåðåíèÿ.
9. Èñïîëüçóÿ êðèòåðèé ïëàâëåíèÿ, îöåíèòü (à) ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó
ãîð íà Çåìëå (á) ìàññó è ðàçìåð òèïè÷íîãî àñòåðîèäà.
10. Íàéòè ñïåêòð ôîíîíîâ â ðåøåòêå ãðàôåíà ðèñ. 5.5.
11. Íåéòðîí ðàññåèâàåòñÿ â ñâåðõòåêó÷åì ãåëèè, íàõîäÿùèìñÿ ïðè òåìïåðàòóðå, áëèçêîé ê àáñîëþòíîìó íóëþ. Íàéòè ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü íåéòðîíà, ïðè êîòîðîé îí, èñïûòàâ íåóïðóãîå ðàññåÿíèå, ïîðîäèò ôîíîí ñ çàêîíîì äèñïåðñèè ω = cs |k|.
12. Äëÿ îäíîìåðíîãî ìîëåêóëÿðíîãî êðèñòàëëà ñ ìåæàòîìíûì ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ
[( )
( a )6 ]
a 12
U (x) = U0
−2
x
x
íàéòè êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ â êëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè.
13. Ns àòîìîâ ïàðàìàãíèòíîé ïðèìåñè, îáëàäàþùèõ îñíîâíûì òåðìîì
2
S1/2 , , ïîìåùåíû â êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó. ×èñëî àòîìîâ â ðåøåòêå Na , Ns /Na = 10−2 . Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñèñòåìû Ti = 3 K,
âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå Hi = 10 êÃñ. Âñÿ ñèñòåìà òåïëîèçîëèðîâàíà. Çàòåì ìàãíèòíîå ïîëå àäèàáàòè÷åñêè âûêëþ÷àåòñÿ. Ó÷èòûâàÿ
êîëåáàíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, íàéòè òåìïåðàòóðó ñèñòåìû
â êîíöå ýòîãî ïðîöåññà, ñ÷èòàÿ, ÷òî îñòàòî÷íîå ìàãíèòíîå ïîëå (çà
ñ÷åò ñëàáûõ ìåæàòîìíûõ âçàèìîäåéñòâèé), äåéñòâóþùåå íà àòîìû
ïàðàìàãíèòíîé ïðèìåñè, ðàâíî Hf = 10 Ãñ. Ó÷åò êîëåáàíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ïðîâåñòè â ìîäåëè Äåáàÿ â ïðåäïîëîæåíèè,
131
÷òî ýëåìåíòàðíàÿ ÿ÷åéêà ñîäåðæèò îäèí àòîì. Òåìïåðàòóðà Äåáàÿ
ΘD = 100 K. Ïðè âû÷èñëåíèÿõ ñ÷èòàòü, ÷òî µH/kB T ≪ 1.
132
Ãëàâà 8
Ôëóêòóàöèè è áðîóíîâñêîå
äâèæåíèå
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü íå òîëüêî ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû, íî è îòêëîíåíèÿ
îò ñðåäíèõ, íàçûâàåìûå ôëóêòóàöèÿìè. Â ãëàâå 3 ïðè ðàññìîòðåíèè
àíñàìáëåé ìû óæå âñòðå÷àëèñü ñ ïðèìåðîì âû÷èñëåíèÿ ôëóêòóàöèé. Â
ýòîé ãëàâå áóäåò ïðåäñòàâëåí îáùèé ïîäõîä ê òåðìîäèíàìè÷åñêèì ôëóêòóàöèÿì. Áóäóò ðàññìîòðåíû íå òîëüêî ñòàöèîíàðíûå (ò.å. íå çàâèñÿùèå
îò âðåìåíè) ôëóêòóàöèè, íî è ôëóêòóàöèè, çàâèñÿùèå îò âðåìåíè.
8.1 Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ôëóêòóàöèè
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìóëó ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ôëóêòóàöèé ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèé ïðåäåë, êîãäà äèíàìèêà õàðàêòåðèçóåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì. Ïóñòü âûäåëåííàÿ òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà
îïèñûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì H è îáëàäàåò ýíåðãèåé E . Ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû äëÿ îêðóæåíèÿ (òåðìîñòàòà) îáîçíà÷èì ÷åðåç H th , E th .
Ñèñòåìà è òåðìîñòàò âìåñòå îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H + H th è ýíåðãèåé Etot = E + E th 1 . Äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû
Îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ ÷òî äèíàìè÷åñêèì âçàèìîäåéñòâèåì âûäåëåííîé ñèñòåìû
è îêðóæåíèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è ñ÷èòàòü ïîëíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìà+òåðìîñòàò Etot
àääèòèâíîé âåëè÷èíîé.
1
133
ñïðàâåäëèâî ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå:
dw ∝ δ(H + H th − Etot )dΓdΓth ,
(8.1)
ñì.
÷àñòü (8.1) ïðîèçâåäåíèå åäèíèö 1 =
∫ (2.22). Ïîäñòàâèì
∫ â thïðàâóþ
th
δ(H − E)dE , 1 = δ(H − E∫ )dE th è ïðîâåäåì èíòåãðèðîâàíèå
ïî dΓ
∫
è dΓth . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Γ(E) = δ(H−E)dΓ, Γth (E th ) = δ(H th −E th )dΓth ,
äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýíåðãèè ïîëó÷èì:
∫
dw
∝
dE th δ(E + E th − Etot )Γ(E)Γth (E th ) =
dE
∫
dE th
th
δ(E + E th − Etot )∆Γ0 (E)∆Γth
(8.2)
0 (E ).
∆E∆E th
Ïðè âûâîäå áûëî ó÷òåíî, ÷òî ÷èñëà ñîñòîÿíèé ñèñòåìû è òåðìîñòàòà â
èíòåðâàëàõ ýíåðãèé ∆E è ∆E th ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ∆Γ0 (E) = Γ(E)∆E
th
th
th
th
è ∆Γth
0 (E ) = Γ (E )∆E . Ïðèíèìàÿ â ðàñ÷åò îïðåäåëåíèå ýíòðîïèè
(2.19) è èíòåãðèðóÿ ïî ýíåðãèè òåðìîñòàòà, ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ïî ýíåðãèè:
dw
th
∝ eS(E,V )+S (Etot −E,Vtot −V ) ,
dE
(8.3)
ãäå Vtot åñòü ôèêñèðîâàííûé îáúåì ñèñòåìà+òåðìîñòàò. Òàêèì îáðàçîì,
â ñëó÷àå ôëóêòóàöèé ýíåðãèè ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè
âåðîÿòíîñòè ôëóêòóàöèè
dw ∝ eStot dE,
ãäå
Stot = S(E, V ) + S th (Etot − E, Vtot − V )
åñòü ïîëíàÿ ýíòðîïèÿ ñèñòåìà + òåðìîñòàò. À. Ýéíøòåéí ïðåäïîëîæèë,
÷òî àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà äëÿ âåðîÿòíîñòè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôëóêòóàöèé ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû x:
dw(x) ∝ eStot (x) dx.
(8.4)
Ïîëó÷èì èç (8.3) îáùóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôëóêòóàöèé ïàðû
òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí, ñ÷èòàÿ, ÷òî N =const. Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ
è îáúåì âûäåëåííîé ñèñòåìû ìíîãî ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí
134
äëÿ òåðìîñòàòà, ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû â (8.3) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä
Òýéëîðà è ïîëó÷èòü äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè âûðàæåíèå
ρ∝e
S th +S(E,V )−
E+P0 V
T0
,
th
ãäå P0 , T0 îòíîñÿòñÿ ê òåðìîñòàòó. Ìíîæèòåëü eS âêëþ÷àåì â íîâûé
íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü, à â íåòðèâèàëüíîé ÷àñòè, îòíîñÿùåéñÿ ê ñèñòåìå, ïîëàãàåì E = Ē + ∆E , V = V̄ + ∆V è ðàñêëàäûâàåì ïîëó÷åííîå
âûðàæåíèå â ðÿä Òýéëîðà ïî ôëóêòóàöèÿì ∆E , ∆V âïëîòü äî ÷ëåíîâ
âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîñêîëüêó ðàâíîâåñíûå òåìïåðàòóðà è äàâëåíèå ñèñòåìû ñîâïàäàþò ñ òåìïåðàòóðîé è äàâëåíèåì òåðìîñòàòà, ëèíåéíûå ÷ëåíû
ñîêðàùàþòñÿ. ×ëåí íóëåâîãî ïîðÿäêà S(Ē, V̄ ) ìîæíî îòáðîñèòü, ïåðåîïðåäåëèâ íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü. Ïîëó÷èì äëÿ ïîêàçàòåëÿ ýêñïîíåíòû âûðàæåíèå
[
]
1 ∂ 2S
∂ 2S
∂ 2S
2
2
ïîêàçàòåëü =
∆E + 2
∆V =
∆E∆V +
2 ∂ Ē 2
∂ Ē∂ V̄
∂ V̄ 2
{[
(
)
(
)
]
∂
1
∂S
∂
∂S
=
∆E +
∆V ∆E+
2
∂ Ē ∂ Ē
∂ V̄ ∂ Ē
[
(
)
(
)
]
}
∂
∂S
∂
∂S
+
∆V +
∆E ∆V =
∂ V̄ ∂ V̄
∂ Ē ∂ V̄
[ ( )
( )
]
1
P
1
∆
∆E + ∆
∆V .
=
2
T
T
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∆E = T ∆S − P ∆V , íàõîäèì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå
äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôëóêòóàöèé:
ρ ∝ e 2T (∆P ∆V −∆T ∆S) .
1
(8.5)
Ðàññìîòðèì îäèí ïðèìåð è âûáåðåì â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ïàðó V, T . Ðàñïèñûâàÿ ∆P è ∆S ÷åðåç âûáðàííûå ïåðåìåííûå,
ïîëó÷èì èç (8.5):
1
∂S
ρ(∆V, ∆T ) ∝ e 2T [( ∂V )T ∆V
2−
∂S
( ∂T
)V ∆T 2 ] .
(8.6)
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé (8.6) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ðàñïðåäåëåíèÿ Ãàóññà. Äëÿ òàêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî óñòàíîâèòü ðÿä áîëåå îáùèõ ïîëåçíûõ ñîîòíîøåíèé. Ïóñòü èìååòñÿ äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû x1 è x2 , ïðè÷åì ⟨x1,2 ⟩ = 0. Ïóñòü îíè ðàñïðåäåëåíû ñ ïëîòíîñòüþ
135
âåðîÿòíîñòè
{
1
ρ(x1 , x2 ) ∝ exp − (x1 , x2 )
2
(
a11 a12
a12 a22
)(
x1
x2
)}
.
(8.7)
Òîãäà ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèé ⟨xi xj ⟩, i, j = 1, 2, âû÷èñëÿþòñÿ ïî
ôîðìóëå
∫ ∞
(
)
⟨xi xj ⟩ =
xi xj ρ(x1 , x2 )dx1 dx2 = A−1 ij ,
(8.8)
−∞
ãäå A ìàòðèöà ñèììåòðè÷íîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû (8.7). Äåéñòâèòåëüíî, ýëåìåíòû ìàòðèöû A êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïàðàìåòðû è íàïèñàòü:
∂ ln z
,
∂a11
∂ ln z
⟨x22 ⟩ = −2
,
∂a22
∂ ln z
,
⟨x1 x2 ⟩ = −
∂a12
⟨x21 ⟩ = −2
ãäå
∫
∫
∞
z=
−∞
dx1
∞
−∞
dx2 e− 2 (a11 x1 +a22 x
1
2
2 +2a x x )
12 1 2
=√
2π
a11 a22 − a212
=√
2π
.
detA
Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíûõ ïî ïàðàìåòðàì ñðàçó ïðèâîäèò ê (8.8). Ôîðìóëà ⟨xi xj ⟩ = (A−1 )ij ñïðàâåäëèâà è â ñëó÷àå ãàóññîâà ðàñïðåäåëåíèÿ
ëþáîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Èç (8.6) è (8.8) ïîëó÷àåì, ÷òî
⟨∆T ⟩
2
T2
=
,
CV
T
⟨∆V ⟩2 = − ( ∂P ) ,
∂V
T
⟨∆T ∆V ⟩ = 0.
Ìîæíî âçÿòü äðóãèå ïàðû íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ (P, T ), (P, S) è ò.ä. è
ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ ôëóêòóàöèé, àíàëîãè÷íûå âûïèñàííîìó âûøå.
Åñòü åùå îäíà ïîëåçíàÿ ýêâèâàëåíòíàÿ ôîðìóëà äëÿ âåðîÿòíîñòè
ôëóêòóàöèé, êîòîðóþ ìîæíî ïðèìåíÿòü ïðè ðàññìîòðåíèè ôëóêòóàöèé
136
Stot
− ∆S tot
Rmin
E tot
Ðèñ. 8.1: Ê âûâîäó âåðîÿòíîñòè ôëóêòóàöèé â òåðìèíàõ ìèíèìàëüíîé
ðàáîòû
ìåõàíè÷åñêèõ âåëè÷èí. Äîïóñòèì, â èíòåðåñóþùåé íàñ ïîäñèñòåìå ïðîèçîøëà ôëóêòóàöèÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîëíàÿ ýíòðîïèÿ ïîäñèñòåìû +
òåðìîñòàò ïðè ýíåðãèè Etot íà ∆Stot ìåíüøå, ÷åì ðàâíîâåñíîå ïðè ýòîé
ýíåðãèè çíà÷åíèå ýíòðîïèè Stot . Ïðè ïåðåõîäå â ðàâíîâåñèå âûäåëåííîé
ïîäñèñòåìû âñÿ ñèñòåìà ïðîèçâåäåò íåêîòîðóþ ðàáîòó. Ðàáîòà áóäåò ìàêñèìàëüíîé ïðè Stot =const. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñîçäàíèÿ ôëóêòóàöèè
òðåáóåòñÿ ìèíèìàëüíàÿ ðàáîòà Rmin , ñì. ðèñ. 8.1. Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî,
÷òî ∆Stot = −Rmin /T . Â ñèëó òîãî ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îïðåäåëåíà
ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðîâî÷íîãî ìíîæèòåëÿ, â ôîðìóëå (8.4) âìåñòî Stot
ìîæíî íàïèñàòü ∆Stot . Ýêâèâàëåíòíàÿ ôîðìóëà äëÿ âåðîÿòíîñòè ôëóêòóàöèé ïðèíèìàåò ïîñëå ýòîãî âèä
dw(x) ∝ e−Rmin /T dx.
(8.9)
 ýòîì âèäå ôîðìóëà ïðèìåíèìà ê îöåíêå ïðåäåëà ÷óâñòâèòåëüíîñòè
ïðèáîðîâ. Íàïðèìåð, ïðè èçìåðåíèè âåñà òåëà ñ ïîìîùüþ ïðóæèííûõ
âåñîâ (ãðóç íà ïðóæèíå ñ èçâåñòíîé æåñòêîñòüþ κ â ïîëå òÿæåñòè) èçìåðÿåòñÿ óäëèíåíèå x íàãðóæåííîé ïðóæèíû: P = mg = κx. Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â òåðìîñòàòå ñ òåìïåðàòóðîé T , òî óäëèíåíèå èñïûòûâàåò òåïëîâûå ôëóêòóàöèè.  äàííîì ñëó÷àå Rmin = κx2 /2, îòêóäà ïî
ôîðìóëå
(8.9)
√
√ íàõîäèì ñðåäíåêâàäðàòè÷íóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ âåñà ∆P 2 = κT . Ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ ïðèáîðà ñëåäóåò ïîíèæàòü
òåìïåðàòóðó äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîãðåøíîñòè.
137
8.2 Áðîóíîâñêîå äâèæåíèå è óðàâíåíèå Ëàíæåâåíà
Åñëè ñ ïîìîùüþ ïèïåòêè âíåäðèòü â ñòàêàí ñ âîäîé êàïëþ ÷åðíèë,
òî ìîæíî íàáëþäàòü, ÷òî ñíà÷àëà ïîä äåéñòâèåì ñèë òÿæåñòè è âÿçêîãî
òðåíèÿ íàáëþäàåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíàÿ è èíòåðåñíàÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ
êàðòèíà òîãî, êàê êàïëÿ ðàçáèâàåòñÿ íà íåñêîëüêî íèòåâèäíûõ ñòðóêòóð, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè îïóñêàþùèõñÿ ê äíó ñòàêàíà. ×åðåç
íåñêîëüêî ìèíóò ôèëàìåíòû íà÷èíàþò ðàçìûâàòüñÿ, è â êîíöå êîíöîâ
âîäà îêàæåòñÿ ðàâíîìåðíî îêðàøåííîé. Ðàâíîìåðíîå îêðàøèâàíèå ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò ïðîöåññà äèôôóçèè, êîãäà ÷àñòè÷êà ïîñòîðîííåãî âåùåñòâà (÷åðíèë) õàîòè÷íî äâèæåòñÿ ñðåäè ìîëåêóë æèäêîñòè. Õàîòè÷íîå
äâèæåíèå ÷àñòèöû ïîñòîðîííåãî âåùåñòâà â êàêîé-ëèáî ñðåäå íàçûâàåòñÿ
áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì. Ðàññìîòðèì ïðîöåññ äèôôóçèè (áðîóíîâñêîãî
äâèæåíèÿ) òðåìÿ ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè.
Íà ðèñ. 8.2 ñõåìàòè÷íî ïðåäñòàâëåíà ìîäåëü áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ,
êîãäà ñòîðîííÿÿ ÷àñòèöà áåç ñòîëêíîâåíèé ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå λ (äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà), ïîñëå ÷åãî â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè ñîâåðøåííî ñëó÷àéíî ìåíÿåò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ. Òàêîé ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé. Ðàññìîòðèì îäíîìåðíûé ñëó÷àé
è îáîçíà÷èì ÷åðåç xn çíà÷åíèå êîîðäèíàòû ÷àñòèöû â ìîìåíò âðåìåíè
tn = τ n. Ðåçóëüòèðóþùåå ïåðåìåùåíèå xN −x1 (â äâóìåðíîì ñëó÷àå èçîáðàæåííîå æèðíîé ñòðåëêîé íà ðèñ. 8.2) ïðåäñòàâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé
(âåêòîðíîé) ñóììîé xN − x1 = (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) + · · · + (xN − xN −1 ).
Âîçâåäåì ýòî ñîîòíîøåíèå â êâàäðàò è óñðåäíèì ïî àíñàìáëþ. Èç-çà
òîãî, ÷òî èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè
ñîâåðøåííî õàîòè÷íî, ïåðåêðåñòíûå ÷ëåíû ïðè óñðåäíåíèè âûïàäàþò:
⟨(xn − xn−1 )(xl − xl−1 )⟩ = 0, åñëè n ̸= l. Äëÿ êâàäðàòîâ îòäåëüíûõ âêëàäîâ ìîæíî íàïèñàòü ⟨(xn − xn−1 )2 ⟩ = λ2 . Ñðåäíèé êâàäðàò ñìåùåíèÿ çà
N øàãîâ ðàâåí
⟨(xN +1 − x1 )2 ⟩ = N λ2 = λ2
t
≡ 2Dt.
τ
Çäåñü t = N τ åñòü âðåìÿ íàáëþäåíèÿ, à ÷åðåç D îáîçíà÷åí êîýôôèöèåíò
äèôôóçèè
λ2
.
(8.10)
D=
2τ
138
Ðèñ. 8.2: Ìîäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â
äâóõ èçìåðåíèÿõ
Åñëè x1 âçÿòü çà íà÷àëî êîîðäèíàò, à ÷åðåç x(t) îáîçíà÷èòü êîîðäèíàòó áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû â ìîìåíò âðåìåíè t, òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ⟨x2 (t)⟩ = 2Dt.  òðåõìåðíîì ñëó÷àå äâèæåíèÿ
ïî òðåì íàïðàâëåíèÿì íåçàâèñèìû, ïîýòîìó
⟨r 2 (t)⟩ = 6Dt.
(8.11)
Äðóãîé ïîäõîä ê çàäà÷å äèôôóçèè ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè è ðåøåíèè
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ïóñòü w(x, t)∆x åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî, ñòàðòîâàâ â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 èç òî÷êè x = 0, áðîóíîâñêàÿ ÷àñòèöà îêàæåòñÿ â îêðåñòíîñòè ∆x òî÷êè x â ìîìåíò âðåìåíè t. Ñíîâà
ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòèöà ñîâåðøåííî ñëó÷àéíî ìåíÿåò (èëè íå ìåíÿåò)
íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè nτ , ïðîõîäÿ çà
âðåìÿ τ ðàññòîÿíèå λ. Îíà ìîæåò îêàçàòüñÿ â ∆x-îêðåñòíîñòè òî÷êè x â
ìîìåíò âðåìåíè t äâóìÿ ñïîñîáàìè: åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t−τ îíà áûëà
â îêðåñòíîñòè òî÷êè x − λ è äâèíóëàñü íàïðàâî, ëèáî áûëà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x + λ è äâèíóëàñü íàëåâî. Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòè ñîõðàíåíèÿ
çíàêà ñêîðîñòè è åãî èçìåíåíèÿ îäèíàêîâû è ðàâíû 1/2, ìîæíî çàïèñàòü
ñîîòíîøåíèå
1
1
w(x, t)∆x = w(x − λ, t − τ )∆x + w(x + λ, t − τ )∆x.
2
2
Åñëè ÷àñòèöà íàáëþäàåòñÿ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ïî èñòå÷åíèè áîëüøîãî âðåìåíè, ò.å. λ ≪ x, τ ≪ t, ìîæíî ïðîâåñòè ðàçëîæåíèå â ðÿä
Òýéëîðà âïëîòü äî ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè è âòîðîãî ïîðÿäêà ïî
139
êîîðäèíàòå è ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äèôôóçèè:
∂w
∂ 2w
=D 2
∂t
∂x
(8.12)
ñ êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè (8.10). Çà âðåìÿ t = 0 ÷àñòèöà íå óñïååò
óéòè èç òî÷êè x, ïîýòîìó íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
(8.12) èìååò âèä w(x, 0) = δ(x).
Ðåøèì óðàâíåíèå äèôôóçèè ñ ïîìîùüþ ïåðåõîäà â Ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèå
ïî êîîðäèíàòå:
∫ ∞
dk
w(x, t) =
wk (t)eikx .
−∞ 2π
Ïîäñòàâèâ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (8.12), ïîëó÷èì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
ẇk (t) = −Dk 2 wk (t).
Íà÷àëüíûì óñëîâèåì äëÿ Ôóðüå-àìïëèòóäû ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå wk (0) =
1, ïîýòîìó ðåøåíèå ïðèìåò âèä
wk (t) = e−Dk t .
2
Ïåðåõîä â êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî äàåò âûðàæåíèå
w(x, t) =
1
2
e−x /4Dt .
1/2
(4πDt)
(8.13)
Íåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî
∫ ∞
2
⟨x ⟩ ≡
dxx2 w(x, t) = 2Dt,
−∞
â ñîãëàñèè ñ êàðòèíîé ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé.  ñëó÷àå òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé íàäî âçÿòü ïðîèçâåäåíèå ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè
(8.13) ïî òðåì íåçàâèñèìûì äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì:
w(r, t) = e−r
2 /4Dt
/(4πDt)3/2 .
Ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äèôôóçèè îïèñûâàåò ýâîëþöèþ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà. Åñëè ïðè t = 0 çàäàíî íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè
ρ(r, 0), òî â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îíî ýâîëþöèîíèðóåò â ðàñïðåäåëåíèå
∫
ρ(r, t) =
d3 r′ w(r − r ′ , t)ρ(r ′ , 0).
140
Òðåòèé ïîäõîä ê çàäà÷å î õàîòè÷åñêîì âëèÿíèè îêðóæåíèÿ íà ñòîðîííþþ ÷àñòèöó ðàññìàòðèâàëñÿ Ëàíæåâåíîì, ïðåäëîæèâøèì èìèòèðîâàòü äåéñòâèå îêðóæåíèÿ (ñðåäû) íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé ñèëîé fr (t),
⟨fr (t)⟩ = 0. Ïóñòü ñòîðîííÿÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â âÿçêîé ñðåäå, èñïûòûâàÿ ñèëó òðåíèÿ −γv . Äîïóñòèì, ÷òî òðåíèå âåëèêî, è ìîæíî ïðåíåáðå÷ü
ñòîðîííèìè ïîòåíöèàëüíûìè ñèëàìè (ýëåêòðè÷åñêîé, ñèëîé òÿæåñòè è
ò.ä.). Ñíîâà ðàññìîòðèì îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
ñ ó÷åòîì ñëó÷àéíîé ñèëû, èìèòèðóþùåé âíåøíåå îêðóæåíèÿ, ïðèíèìàåò
âèä
dp
= −γv + fr (t),
(8.14)
dt
p = mv .  ñèëó ñëó÷àéíîãî õàðàêòåðà âîçäåéñòâèÿ îêðóæåíèÿ íà ñòîðîííþþ ÷àñòèöó êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ⟨fr (t1 )fr (t2 )⟩ = 0, åñëè t1 ̸= t2 .
×åìó ðàâíî ⟨fr2 (t)⟩? Èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (8.14) ñëåäóåò, ÷òî
(
γ )
p(t + ∆t) = p(t) 1 − ∆t + fr (t)∆t.
m
Âîçâåäåì ýòî ñîîòíîøåíèå â êâàäðàò è óñðåäíèì ïî àíñàìáëþ ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèÿ ⟨p(t)fr (t)⟩ = 0:
(
γ )
2
2
⟨p (t + ∆t)⟩ = ⟨p (t)⟩ 1 − 2 ∆t + ⟨fr2 (t)⟩∆t2 .
m
Ïîñêîëüêó ñòîðîííÿÿ ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè ñî ñðåäîé, òî ⟨p2 (t + ∆t)⟩ = ⟨p2 (t)⟩ = mT , ãäå T îáîçíà÷àåò òåìïåðàòóðó.
Îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî ⟨fr2 (t)⟩ = 2γT /∆t → ∞. Âìåñòå ñ ñîîòíîøåíèåì ⟨fr (t1 )fr (t2 )⟩ = 0, ñïðàâåäëèâûì, êîãäà âåëè÷èíà |t1 − t2 | ïðåâûøàåò
âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà τ , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ
ñëó÷àéíîé ñèëû ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå
⟨fr (t1 )fr (t2 )⟩ = 2γT δ(t1 − t2 ).
(8.15)
Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, â êîòîðîì âëèÿíèå ñðåäû íà ÷àñòèöó ó÷èòûâàåòñÿ
ñ ïîìîùüþ ñëó÷àéíîé ñèëû ñ òàêîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé, íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàíæåâåíà.
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8.14) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì v(0) = v0
èìååò âèä:
∫
γ
γ
1 t ′
′
−m
t
v(t) = v0 e
dt fr (t′ )e− m (t−t ) .
+
m 0
141
Ïðè t ≫ m/γ áðîóíîâñêàÿ ÷àñòèöà èñïûòàåò ìíîãî ñòîëêíîâåíèé ñ ÷àñòèöàìè îêðóæåíèÿ è ïîòåðÿåò èíôîðìàöèþ î íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Òîãäà êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñêîðîñòè ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíà ñ ó÷åòîì
òîëüêî âêëàäà îò ñëó÷àéíîé ñèëû. Ïóñòü t1 > t2 . Òîãäà ïîëó÷èì
∫ t2
∫ t1
γ
1
′
′′
′
dt′′ ⟨fr (t′ )fr (t′′ )⟩e− m (t1 −t −t2 +t ) =
⟨v(t1 )v(t2 )⟩ =
dt
2
m 0
0
∫
∫
γ
2γT t1 ′ t2 ′′ ′
′
′′
dt δ(t − δ ′′ )e− m (t1 −t −t2 +t ) =
dt
2
m 0
0
∫
γ
2γT − γ (t1 +t2 ) min(t1 ,t2 ) ′ 2 γ t′
T
m
dt e m = e− m (t1 −t2 )
e
2
m
m
0
Ñëó÷àé t1 < t2 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî, òàê ÷òî âûðàæåíèå, ñïðàâåäëèâîå ïðè ëþáîì ñîîòíîøåíèè âðåìåí íàáëþäåíèÿ, ïðèíèìàåò âèä
⟨v(t1 )v(t2 )⟩ =
T − γ |t1 −t2 |
e m
.
m
(8.16)
Ñêîðîñòè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè ñòàíîâÿòñÿ
ñîâåðøåííî íåêîððåëèðîâàííûìè, êîãäà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðåâûøàåò m/γ . Ñ ïîìîùüþ (8.16) ïîëó÷èì âàæíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè D è êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ γ . Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì
⟨x2 (t)⟩ ïðè t ≫ m/γ :
⟩ ∫ t
⟨∫ t
∫ t
∫ t
2
dt1 v(t1 )
dt2 v(t2 ) =
dt1
dt2 ⟨v(t1 )v(t2 )⟩ =
⟨x (t)⟩ =
0
0
0
0
∫ ∫
∫
∫ t2
γ
γ
T t t
T t
−m
|t1 −t2 |
dt1 dt2 e
dt2
=
=2
dt1 e− m (t2 −t1 ) =
m 0 0
m 0
0
[
]
(
)
T
m −γt/m
=2
t−
e
−1 .
γ
γ
Ïðè t ≫ m/γ íàõîäèì: ⟨x2 (t)⟩ = 2T t/γ , îòêóäà ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå
Ýéíøòåéíà
T
D=
(8.17)
γ
ìåæäó êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè D è êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ γ .
142
8.3 Êîððåëÿöèÿ ôëóêòóàöèé âî âðåìåíè
Áðîóíîâñêîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ñòîõàñòè÷åñêîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà, êîãäà, îêàçàâøèñü â êàêîì-ëèáî ñîñòîÿíèè, ñèñòåìà òåðÿåò èíôîðìàöèþ î òîì, êàê îíà òóäà ïîïàëà. Ñ áîëåå îáùåé òî÷êè çðåíèÿ,
ïóñòü x(t) åñòü ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ, çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè. Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x(t), êîòîðûé âûãëÿäèò îäèíàêîâî
íåçàâèñèìî îò òîãî, íà÷èíàÿ ñ êàêîãî ìîìåíòà âðåìåíè îí íàáëþäàåòñÿ.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ âåëè÷èíû x(t),
⟨x(t1 )x(t2 )⟩ ≡ Kx (t2 − t1 ),
çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè ìîìåíòîâ âðåìåíè. Óñðåäíåíèå çäåñü ïîíèìàåòñÿ êàê óñðåäíåíèå ïî àíñàìáëþ. Ðàññìîòðèì Ôóðüå-ðàçëîæåíèå
∫ ∞
dω
xω e−iωt .
x(t) =
−∞ 2π
Òîãäà äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïîëó÷èì:
∫
dωdω ′
′
⟨x(t1 )x(t2 )⟩ =
⟨xω xω′ ⟩e−iωt1 −iω t2 .
2
(2π)
Òðåáîâàíèå ñòàöèîíàðíîñòè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x(t) îçíà÷àåò, ÷òî íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ
⟨xω xω′ ⟩ = 2π(x2 )ω δ(ω + ω ′ ).
(8.18)
Âõîäÿùàÿ ñþäà âåëè÷èíà (x2ω ) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ
ôëóêòóèðóþùåé âåëè÷èíû x è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé Ôóðüå-êîìïîíåíòó
êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè (à íå Ôóðüå-êîìïîíåíòó x2 !):
∫ ∞
2
dteiωt ⟨x(t)x(0)⟩,
(x )ω =
−∞
∫ ∞
1
2
⟨x (t)⟩ =
dω(x2 )ω .
(8.19)
2π −∞
Ïîëó÷èì ïîëåçíîå âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ÷åðåç
ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ñêîðîñòè. Ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû ñëó÷àé îäíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî èçìåðåíèÿ. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñìåùåíèÿ
143
áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû çàïèñûâàåòñÿ êàê ïîâòîðíûé èíòåãðàë îò êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ñêîðîñòè:
∫ t1
∫ t2
′
⟨x(t1 )x(t2 )⟩ =
dt1
dt′2 ⟨v(t′1 )x(t′2 )⟩.
0
0
Îòñþäà ñðåäíèé êâàäðàò ñìåùåíèÿ áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû âûðàæàåì ÷åðåç ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ñêîðîñòè:
∫ ∞
∫ t
∫ t
dω 2 −iω(t′1 −t′2 )
′
2
′
dt2
⟨x (t)⟩ =
dt1
(v )ω e
=
0
−∞ 2π
0
∫ ∞
dω 2 sin2 ωt/2
=4
(v )ω
.
(8.20)
ω2
−∞ 2π
Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè D îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì, ÷òî ïðè t → ∞ ñðåäíèé êâàäðàò ñìåùåíèÿ èìååò âèä ⟨x2 (t)⟩ = 2Dt. Åñëè èñïîëüçîâàòü îäíî
èç ïðåäñòàâëåíèé δ -ôóíêöèè
limt→∞
sin2 ωt/2
πt
= δ(ω),
2
ω
2
òî èç (8.20) ïîëó÷èì èñêîìîå âûðàæåíèå:
1
D = (v 2 )ω=0 .
2
(8.21)
Îáîáùåíèå (8.21) íà ñëó÷àé òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé âûãëÿäèò
òàê:
1
(8.22)
Dij = (vi vj )ω=0 .
2
8.4 Ôëóêòóàöèè â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ
Åñëè ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ïîìåùåíà â òåðìîñòàò, ýëåêòðîíû è êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà ïðîâîäíèêîâ èñïûòûâàþò áåñïîðÿäî÷íûå òåïëîâûå ôëóêòóàöèè. Çà ñ÷åò ýòîãî ãåíåðèðóåòñÿ ñëó÷àéíûé òîê, ñðåäíåå çíà÷åíèå êîòîðîãî ðàâíî íóëþ, íî ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ âåëè÷èíà îòëè÷íà îò
íóëÿ. Â äóõå ëàíæåâåíîâñêîãî ïîäõîäà ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ôëóêòóàöèè
òîêà âîçíèêàþò çà ñ÷åò ñëó÷àéíîé ý.ä.ñ E(t), ⟨E(t)⟩ = 0. Êàê è â ñëó÷àå
144
áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ⟨E(t1 )E(t2 )⟩ = Aδ(t1 − t2 ) è
íàéäåì êîýôôèöèåíò A äëÿ RL-öåïè. Ñ ó÷åòîì ñëó÷àéíîé ý.ä.ñ. óðàâíåíèå RL-öåïè
˙ + RI = E(t)
LI/c
èìååò âèä óðàâíåíèÿ (8.14), åñëè â íåì ïðîèçâåñòè çàìåíû v → I , m →
L/c, γ → R, fr → E . Òîãäà èç (8.15) ñëåäóåò, ÷òî A = 2RT ,
⟨E(t1 )(t2 )⟩ = 2RT δ(t1 − t2 ).
(8.23)
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé ý.ä.ñ. íàõîäèòñÿ èç (8.19) è (8.23):
(E 2 )ω = 2RT.
(8.24)
Îíà íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû. Ýêâèâàëåíòíûé øóì, ïðèâîäÿùèé ê ý.ä.ñ.
ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ (8.24) íàçûâàåòñÿ áåëûì øóìîì, à ñàìà ýòà
ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Íàéêâèñòà. Âûðàæåíèå (8.24) âûïîëíÿåòñÿ â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå. Îáîáùåíèå íà êâàíòîâûé ñëó÷àé ìîæíî
ïîëó÷èòü, ðåøèâ çàäà÷ó 10.
Ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (8.23) âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ
RC -öåïè, ñì. çàäà÷ó. Áîëåå òîãî, îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé öåïè. Ýòî
ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííîé òåîðåìû, êîòîðàÿ
äàåò ñâÿçü ìåæäó ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ôëóêòóàöèé ñ äèññèïàòèâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñðåäû. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòó òåîðåìó íà ïðèìåðå.
Ôóðüå-êîìïîíåíòû òîêà è ý.ä.ñ. ñâÿçàíû ÷åðåç èìïåäàíñ Z(ω): Z(ω)Iω =
Eω . Òåïëî, âûäåëÿþùååñÿ íà ñîïðîòèâëåíèè R, ðàâíî
∫ ∞
∫ ∞
dω 2
dω (E 2 )ω
2
(I )ω = R
.
Q = ⟨I (t)⟩R = R
2
−∞ 2π |Z(ω)|
−∞ 2π
Åñëè èìååòñÿ öåïü ñ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûìè èìïåäàíñàìè Z1 è Z2 ,
òî ïðè òåïëîâîì ðàâíîâåñèè êîëè÷åñòâî òåïëà, ãåíåðèðóåìîãî íà Z1 ñëó÷àéíûìè òîêàìè, âîçíèêàþùèìè íà Z2 , äîëæíî áûòü ðàâíî êîëè÷åñòâó
òåïëà, ãåíåðèðóåìîãî íà Z2 ñëó÷àéíûìè òîêàìè íà Z1 :
∫ ∞
∫ ∞
(E22 )ω
(E12 )ω
dω
dω
=
R
,
R1
2
2
2
−∞ 2π |Z1 (ω) + Z2 (ω)|
−∞ 2π |Z1 (ω) + Z2 (ω)|
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
(E12 )ω
(E22 )ω
=
,
R1
R2
145
ò.å. îòíîøåíèå (E 2 )ω /R = f (ω, T ) äîëæíî áûòü óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé,
çàâèñÿùåé òîëüêî îò ω è T . Ýòó ôóíêöèþ ìîæíî íàéòè â ÿâíîì âèäå, ðàññìîòðåâ ëþáóþ óäîáíóþ öåïü, ñì. çàäà÷ó. Åñëè åñòü Ôóðüå-êîìïîíåíòû
îáîáùåííîé êîîðäèíàòû xω è îáîáùåííîé ñèëû fω , òî â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè îíè ñâÿçàíû ïîñðåäñòâîì îáîáùåííîé âîñïðèèì÷èâîñòè α(ω):
xω = α(ω)fω .
Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè fω ≡ Eω , xω = Qω , ãäå Qω îáîçíà÷àåò Ôóðüåêîìïîíåíòó çàðÿäà. Îíà ñâÿçàíà ñ Ôóðüå-êîìïîíåíòîé òîêà: Iω = −iωQω .
Ïîýòîìó ñâÿçü îáîáùåííîé âîñïðèèì÷èâîñòè è èìïåäàíñà èìååò âèä Z(ω)ωα(ω) =
i. Ïîñêîëüêó ReZ(ω) = R, òî
ReZ(ω) =
Imα
ω|α|2
Îòñþäà è èç (8.24) ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííîé
òåîðåìû äëÿ îáîáùåííîé âîñïðèèì÷èâîñòè:
(x2 )ω =
2T
Imα(ω).
ω
(8.25)
Îíî âûïîëíÿåòñÿ â êëàññè÷åñêîì ðåæèìå. Âèä (8.25) â êâàíòîâîì ñëó÷àå
ìîæíî óçíàòü, ðåøèâ çàäà÷ó 10.
8.5 Çàäà÷è
1. Ïîêàçàòü, ÷òî èç ôîðìóëû (8.3) ïîëó÷àåòñÿ òî æå ñàìîå âûðàæåíèå
äëÿ äèñïåðñèè ýíåðãèè, ÷òî è â êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå, ñì. (3.4).
2. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû (8.8).
3. Âû÷èñëèòü ⟨∆S∆T ⟩ è ⟨∆P ∆V ⟩, ñ÷èòàÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè ïàðó V, T .
4. Âû÷èñëèòü ⟨∆E 2 ⟩ â ïåðåìåííûõ V, T è ⟨∆H 2 ⟩ â ïåðåìåííûõ P, S .
5. Ïðåäñòàâèì, ÷òî íàíîòåõíîëîã èçãîòîâèë ìîëåêóëÿðíîå óñòðîéñòâî,
êîòîðîå ñïîñîáíî ðàáîòàòü ïðè òåìïåðàòóðå T , ïðè÷åì ïîñòîÿíñòâî
146
òåìïåðàòóðû äîëæíî ïîääåðæèâàòüñÿ íà óðîâíå 10−6 . Ñêîëüêî ÷àñòèö êëàññè÷åñêîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà åìó ñëåäóåò âçÿòü äëÿ èçãîòîâëåíèÿ òåðìîñòàòà, ïîääåðæèâàþùåãî ñòàáèëüíîñòü òåìïåðàòóðû íà òàêîì óðîâíå? Ñêîëüêî ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ ñ ÷àñòîòîé ω = 102 Ãö ïîòðåáîâàëîñü áû äëÿ ýòîé öåëè?
6. Èìååòñÿ àïïàðàò ñòàöèîíàðíîé òåëåôîííîé ñâÿçè (ñ òåëåôîííûì
øíóðîì). Èì ïîëüçóþòñÿ ïðèìåðíî îäèí ðàç â 10 ìèíóò. Îöåíèòü,
÷åðåç êàêîå âðåìÿ òåëåôîííûé øíóð îêàæåòñÿ äåñÿòèêðàòíî ñêðó÷åííûì.
7. Âû÷èñëèòü ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ñêîðîñòè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû (v 2 )ω â ñëó÷àå îäíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî èçìåðåíèÿ. Èñïîëüçóÿ
(8.21) ïîêàçàòü, ÷òî èç âûðàæåíèÿ äëÿ (v 2 )ω ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå Ýéíøòåéíà (8.17).
8. Çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ãàçå, èñïûòûâàÿ äåéñòâèå îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè z . Ñèëà òðåíèÿ
ñî ñòîðîíû ãàçà ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè: f = −γv . Òåìïåðàòó2
ðà ãàçà T . Âû÷èñëèòü ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè âåëè÷èí (vx,y,z
)ω ,
(vx vy )ω , (vx,y vz )ω è íàéòè êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè Dx,y,z âäîëü
òðåõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò.
9. Ïîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå (8.23) ñïðàâåäëèâî äëÿ RC -öåïè. Âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ⟨Q(t1 )Q(t2 )⟩), ⟨Q(t1 )I(t2 )⟩) è ⟨I(t1 )I(t2 )⟩)
â RC -öåïè.
10. Ðàññìîòðåòü RLC -öåïü â ïðåäåëå R → 0. Ïîêàçàòü, ÷òî â êâàíòîâîì
ðåæèìå ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå
f (ω, T ) ≡
(E 2 )ω
~ω
= ~ω coth
.
R
2T
Ïîëó÷èòü îòñþäà âèä ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (8.25) â êâàíòîâîì
ñëó÷àå.
11. Âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ⟨x(t1 )x(t2 )⟩ è ⟨v(t1 )v(t2 )⟩ äëÿ
ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω , êîòîðûé èñïûòûâàåò
äåéñòâèå ñèëû òðåíèÿ f = −γv . Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò äèôôóçèè.
147
12. Ãàëüâàíîìåòð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàìêó ñ òîêîì I = Q̇ â ìàãíèòíîì ïîëå. Ñèëà òîêà èçìåðÿåòñÿ ïî óãëó ïîâîðîòà ðàìêè ϕ. Ïðèáîð
ìîæíî ìîäåëèðîâàòü êàê ýëåêòðîìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà
)
1(
2
2
2
L=
KQ Q̇ + Kϕ ϕ̇ − Cϕ + g Q̇ϕ,
2
ãäå KQ , Kϕ , Kϕ è g åñòü íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Âû÷èñëèòü√ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè (Q2 )ω è (ϕ2 )ω . Îöåíèòü ÷óâñòâèòåëüíîñòü ⟨I 2 ⟩,
åñëè ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ãàëüâàíîìåòðà ðàâíà τ . Òåìïåðàòóðà ñèñòåìû T .
148
Ãëàâà 9
Íåèäåàëüíûå ñèñòåìû
9.1 Ñòàòñóììà ñëàáî íåèäåàëüíîãî ãàçà
Âñå ðåàëüíûå ñèñòåìû ÷àñòèö â ïðèðîäå ÿâëÿþòñÿ âçàèìîäåéñòâóþùèìè. Ïðèáëèæåíèå èäåàëüíîãî ãàçà ñïðàâåäëèâî ëèøü â ñëó÷àÿõ, êîãäà
ìîæíî ýòèì âçàèìîäåéñòâèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîêàæåì, êàê ïðîèçâîäèòñÿ ïðèáëèæåííûé ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ íà ïðèìåðå êëàññè÷åñêîãî
ãàçà. Ïðîáëåìà ó÷åòà âçàèìîäåéñòâèÿ â êâàíòîâîì ñëó÷àå äî ñèõ ïîð
ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì èíòåíñèâíûõ èññëåäîâàíèé. Îíà íå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â ýòîì êóðñå.
 îñíîâå ìåòîäà ó÷åòà âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ñòàòèñòè÷åñêèõ è òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ êëàññè÷åñêîãî ãàçà ëåæèò âûðàæåíèå
äëÿ ñòàòñóììû Zcl (V, T ) (3.18). Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âû÷èñëèòü
êîíôèãóðàöèîííûé èíòåãðàë QN (3.18). Îñíîâíîå ïðèáëèæåíèè ñîñòîèò
â òîì, ÷òî ìû ñ÷èòàåì ãàç äîñòàòî÷íî ðàçðåæåííûì. Êðèòåðèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå na3 ≪ 1, ãäå n åñòü ïëîòíîñòü ÷èñëà ÷àñòèö,
a õàðàêòåðíûé ðàäèóñ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè. Ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ ñ áîëüøèì ðàäèóñîì äåéñòâèÿ, íàïðèìåð,
êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â ïëàçìå, òðåáóåò äðóãîãî ïîäõîäà è â äàííîì êóðñå òàêæå íå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ. Äëÿ ïîòåíöèàëà ñ êîíå÷íûì
ðàäèóñîì äåéñòâèÿ ñëåäóåò ó÷åñòü òîëüêî äâîéíûå ñòîëêíîâåíèÿ è ïðåíåáðå÷ü òðåõ- è áîëåå êðàòíûìè ñòîëêíîâåíèÿìè. Ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ
149
0,4
U(r)
0,2
0,0
-0,2
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
r/r0
Ðèñ. 9.1: Òèïè÷íûé âèä ïîòåíöèàë ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
ýíåðãèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû ïàðíûõ âêëàäîâ
∑
U (r1 , r2 , · · · rN ) =
U (ri − rj ).
i<j
Îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè Uij ≡ U (ri − rj ). Âèä ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ Uij íåèçâåñòåí. Èç àíàëèçà ìíîãî÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ â àòîìíîé ôèçèêå áûë ñäåëàí âûâîä, ÷òî íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ
äîëæíî áûòü ìîùíîå îòòàëêèâàíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè, íà ïðîìåæóòî÷íûõ - ïðèòÿæåíèå, ñïàäàþùåå ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè. Îáû÷íî èñïîëüçóþò ìîäåëüíûé ïîòåíöèàë Ëåíàðäà Äæîíñà
]
[( )
r0 12 ( r0 )6
−
U (r) = U0
,
r
r
ñì. ðèñ. 9.1. Ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû U0 è r0 îïðåäåëÿþòñÿ äëÿ êàæäîãî
âåùåñòâà îòäåëüíî. Îïðåäåëèì íîâóþ ôóíêöèþ
vij = exp(−Uij /T ) − 1.
Ïî ïîñòðîåíèþ îíà áëèçêà ê -1 â îáëàñòè ñèëüíîãî îòòàëêèâàíèÿ è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ òàì, ãäå ïîòåíöèàë ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ñì. ðèñ. 9.2. Âûðàçèì
êîíôèãóðàöèîííûé èíòåãðàë ÷åðåç vij :
∫ ∏
∫ ∏
N
N
∏
∑
− i<j Uij /T
3
d3 ri
e−Uij /T =
d ri e
=
QN (T, V ) =
i=1
i=1
=
∫ ∏
N
i=1
d3 ri
∏
(1 + vij ).
i<j
150
i<j
0,2
0,0
v(r)
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
r/r0
Ðèñ. 9.2: Ôóíêöèÿ v(r) = exp[− UT(r) ] − 1 äëÿ ïîòåíöèàëà, ïîêàçàííîãî íà
ðèñ. 9.1. Êðèâàÿ ïðîâåäåíà ïðè T = 1.92U0 . Ýòî òåìïåðàòóðà ñîîòâåòñòâóåò T = 1000 K1000, åñëè èñïîëüçîâàòü ïàðàìåòð U0 , ïîëó÷åííûé äëÿ
àðãîíà
Ïîêà ýòî òîæäåñòâåííîå ïåðåïèñûâàíèå. À âîò òåïåðü ñäåëàåì î÷åíü ñåðüåçíîå ïðèáëèæåíèå: â ïðîèçâåäåíèè∏â íàïèñàííîé âûøå ∑
ôîðìóëû îñòàâèì òîëüêî ëèíåéíûé ïî vij âêëàä i<j (1 + vij ) ≈ 1 + i<j vij . Òîãäà
ïîëó÷èì, ÷òî
∫
1
N
N −2
QN ≈ V + N (N − 1)V
d3 r1 d3 r2 v12 ,
2
∑
ãäå ìû ó÷ëè, ÷òî èíòåãðàë îò ñóììû i<j ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó îò v12 ,
à ñàìó ïàðó ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ (r1 , r2 ) ìîæíî âûáðàòü ÷èñëîì
N −2
ñïîñîáîâ, ðàâíûì CN
= N (N − 1)/2. Èíòåãðèðîâàíèå ïî îñòàâøèìñÿ
N − 2 ïåðåìåííûì r3 , . . . rN , îò êîòîðûõ ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå
íå çàâèñèò, äàåò ìíîæèòåëü V N −2 . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïîòåíöèàë çàâèñèò
ëèøü îò îòíîñèòåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ è ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷åí, ìîæíî
ïåðåéòè îò r1 , r2 ê âåêòîðó îòíîñèòåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ r = r1 − r2 è
âåêòîðó öåíòðà ìàññ R = (r1 + r2 )/2. Ïîñëå ýòîãî
∫
∫
∫
3
3
3
3
d r2 d r2 v(|r1 − r2 |) = d Rd rv(r) = V
d3 rv(r),
è ñòàòñóììà ðàçðåæåííîãî ãàçà ïðèìåò âèä:
(
)3N/2
)
(
mT
N2
1
N
V
B2 (T ) ,
1−
Zcl =
N ! 2π~2
V
|
{z
}
Zideal
151
ãäå
1
B2 (T ) =
2
∫
(
)
d r 1 − e−U (r)/T = 2π
∫
3
∞
)
(
drr2 1 − e−U (r)/T
(9.1)
0
íàçûâàåòñÿ âòîðûì âèðèàëüíûì êîýôôèöèåíòîì. Îòñþäà íàõîäèì ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ F = Fideal + N 2 T B2 (T )/V è äàâëåíèå
[
]
( )2
N
N
(9.2)
P =T
+ B2 (T )
+ ··· .
V
V
Ìíîãîòî÷èå îáîçíà÷àåò îòáðîøåííûå âêëàäû çà ñ÷åò ÷ëåíîâ vij vkl è ò.ä.
Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ â âèäå (9.2) îòâå÷àåò âèðèàëüíîìó ðàçëîæåíèþ.
Èç åãî âèäà äîëæíî áûòü ÿñíî, ÷òî ýòî ðàçëîæåíèå åñòü ðàçëîæåíèå ïî
ñòåïåíÿì ïëîòíîñòè.
9.2 Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âàí-äåð-Âààëüñà
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U (r) âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ
÷àñòèö ðåçêî âîçðàñòàåò íà ðàññòîÿíèÿõ, ìåíüøèõ 2r0 . Íà áîëüøèõ
∫ ∞ 2 ðàññòîÿíèÿõ îíà óáûâàåò äîñòàòî÷íî áûñòðî, òàê ÷òî èíòåãðàë 2r0 r U (r)dr
êîíå÷åí. Òîãäà ïðè âû÷èñëåíèè âòîðîãî âèðèàëüíîãî êîýôôèöèåíòà (9.1)
ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè r < 2r0 U = +∞, à ïðè r > 2r0
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî U (r) ≪ T , òàê ÷òî ýêñïîíåíòó â (9.1) ìîæíî
ðàçëîæèòü â ðÿä, îãðàíè÷èâøèñü ïåðâûì ïðèáëèæåíèåì. Ïðè ýòèõ äîïóùåíèÿõ âòîðîé âèðèàëüíûé êîýôôèöèåíò ìîæíî çàïèñàòü êàê
(∫ 2r0 ∫ ∞ )
(
) 16πr03
+
B2 (T ) = 2π
+
drr2 1 − e−U (r)/T ≈
3
0
2r0
∫
2π ∞ 2
r U (r)dr.
T 2r0
∫∞
Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ a = −2π 2r0 r2 U (r)dr, b = 16πr03 /3, òî óðàâíåíèå
ñîñòîÿíèÿ (9.2) ïðèìåò âèä :
(
)
aN 2
N
NT
NT
NT
)=
P+ 2 =
1 + b + ··· ≈ (
.
N
V
V
V
V − bN
V 1− V b
152
Ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî âûøå áûëà ñäåëàíà èíòåðïîëÿöèÿ, çàìåíèâøàÿ áîëåå âûñîêèå ïîðÿäêè âèðèàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ íà ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ.  ðåçóëüòàòå èíòåðïîëÿöèè ïîëó÷èëîñü óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âàí-äåð-Âààëüñà:
(
)
aN 2
P + 2 (V − bN ) = N T.
(9.3)
V
Âèäíî, ÷òî N b îïèñûâàåò ýôôåêò èñêëþ÷åííîãî îáúåìà. Âêëàä, ïðîïîðöèîíàëüíûé a, îïèñûâàåò óâåëè÷åíèå äàâëåíèÿ, âûçâàííîå ïðèòÿæåíèåì
(U < 0 ïðè r > 2r0 ). Íà ðèñ. 9.3 ïîêàçàíû èçîòåðìû ãàçà ñ óðàâíåíèåì
ñîñòîÿíèÿ âàí-äåð-Âààëüñà. Ïàðàìåòðû Pc , Vc è Tc , ââåäåííûå äëÿ òîãî
÷òîáû ñäåëàòü áåçðàçìåðíûìè äàâëåíèå, îáúåì è òåìïåðàòóðó, îòâå÷àþò êðèòè÷åñêîé òî÷êå (ñì. çàäà÷ó).  êðèòè÷åñêîé òî÷êå T = Tc ìèíèìóì B è ìàêñèìóì D èçîòåðìû ñëèâàþòñÿ, ò.å. (∂ 2 P/∂V 2 ) = 0. Âèäíî,
÷òî ïðè T < Tc åñòü ó÷àñòîê BCD èçîòåðìû, äëÿ êîòîðîãî äàâëåíèå
ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì îáúåìà, ÷òî íåâîçìîæíî äëÿ íîðìàëüíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Îáùåïðèíÿòàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî
ïðè T < Tc ïðîèñõîäèò ðàññëîåíèå âåùåñòâà íà æèäêóþ ôàçó, êîòîðîé
îòâå÷àþò áîëüøèå äàâëåíèÿ è ìàëûå îáúåìû, è ãàçîîáðàçíóþ, êîòîðîé
îòâå÷àþò ìàëûå äàâëåíèÿ è áîëüøèå îáúåìû. Èç óñëîâèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ ñëåäóåò, ÷òî òåìïåðàòóðû äâóõ ôàç ñîâïàäàþò. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà æèäêîé è ãàçîîáðàçíîé ôàç ïëîñêàÿ. Òîãäà èç
óñëîâèÿ ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñîâïàäàþò äàâëåíèÿ ôàç.
Ïîýòîìó âîëíîîáðàçíûé ó÷àñòîê ABCDE èçîòåðìû íàäî çàìåíèòü íà îòðåçîê ïðÿìîé ACE, îòâå÷àþùèé ðàâíîâåñíîìó äàâëåíèþ â ôàçàõ.
9.3 Ôàçîâûå ïåðåõîäû ïåðâîãî ðîäà
Ïðè íàëè÷èè äâóõ ôàç, êðîìå óêàçàííûõ âûøå óñëîâèé ðàâåíñòâà
òåìïåðàòóð è äàâëåíèé, âîçíèêàåò åùå îäíî óñëîâèå. Ïóñòü òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ P è T . Òîãäà â ðàâíîâåñèè èìååò ìèíèìóì ïîòåíöèàë Ãèááñà Φ ≡ Φ(P, T |N1 , N2 ), ãäå N1,2
îáîçíà÷àåò ÷èñëî ÷àñòèö â ôàçàõ 1 è 2. ×àñòèöû ìîãóò ïåðåõîäèòü èç ôàçû â ôàçó, ïîýòîìó íîâûì óñëîâèåì ðàâíîâåñèÿ, ïðè N1 +N2 =const áóäåò
ðàâåíñòâî õèìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ µ1 (P, T ) = µ2 (P, T ) ó äâóõ ôàç. Íà
ïëîñêîñòè (P, T ) ýòî óñëîâèå îïðåäåëÿåò êðèâóþ ñîñóùåñòâîâàíèÿ ôàç
153
1,50
T/Tc=0.85
1,25
T/Tc=0.90
T/Tc=1.00
T/Tc=1.20
P/Pc
1,00
0,75
D
0,50
A
E
C
0,25
B
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V/Vc
Ðèñ. 9.3: Èçîòåðìû ãàçà âàí-äåð-Âààëüñà
P = Ps (T ). Ïîëó÷èì åå óðàâíåíèå. Âäîëü ýòîé ëèíèè âûïîëíåíî óñëîâèå
µ1 (P + dP, T + dT ) = µ2 (P + dP, T + dT ), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
s1 − s2
q
dPs
=
=
.
dT
v1 − v2
T (v1 − v2 )
(9.4)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî v = (∂µ/∂P )T è s = −(∂µ/∂T )P ñóòü óäåëüíûå (ò.å.
ïðèõîäÿùèåñÿ íà îäíó ÷àñòèöó èëè åäèíèöó ìàññû) îáúåì è ýíòðîïèÿ, à
q = T (s1 − s2 ) åñòü óäåëüíàÿ òåïëîòà ïåðåõîäà. Óðàâíåíèå (9.4) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Êëàïåéðîíà-Êëàóçèóñà. Ïåðåõîä ìåæäó ôàçàìè (ôàçîâûé ïåðåõîä), ñîïðîâîæäàþùèéñÿ âûäåëåíèåì èëè ïîãëîùåíèåì òåïëà,
íàçûâàåòñÿ ôàçîâûì ïåðåõîäîì ïåðâîãî ðîäà.
Åñëè åñòü òðè ôàçû, íàõîäÿùèåñÿ â ðàâíîâåñèè, òî óñëîâèå èõ ðàâíîâåñèÿ µ1 (P, T ) = µ2 (P, T ) = µ3 (P, T ) âûäåëÿåò òî÷êó íà (P, T )-ïëîñêîñòè,
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òðîéíîé òî÷êîé.
9.4 Çàäà÷è
1. Âûðàçèòü êîýôôèöèåíò Äæîóëÿ-Òîìïñîíà (ñì. çàäà÷ó 6 â ãëàâå 1)
÷åðåç âòîðîé âèðèàëüíûé êîýôôèöèåíò.
154
2. Âûðàçèòü êðèòè÷åñêèå ïàðàìåòðû Pc , Vc è Tc ÷åðåç ïàðàìåòðû
óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ âàí-äåð-Âààëüñà. Ïîëó÷èòü ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ, ââåäÿ áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå P ′ = P/Pc , V ′ =
V /Vc , T ′ = T /Tc .
3. Ïîëó÷èòü ÿâíûé âèä çàâèñèìîñòè Ps (T ) äëÿ ïåðåõîäà ãàç-æèäêîñòü.
Ñ÷èòàòü, ÷òî q íå çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, à ãàç ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíûì.
4. Íàéòè òåïëîåìêîñòü íàñûùåííîãî ïàðà.
5. Ïîëó÷èòü è èññëåäîâàòü óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ñôåðè÷åñêîé êàïëè
æèäêîñòè â ïåðåñûùåííîì ïàðå â çàâèñèìîñòè îò ðàçíîñòè δP =
P − Ps > 0 ìåæäó âíåøíèì äàâëåíèåì P è äàâëåíèåì Ps íàñûùåííîãî ïàðà.
155
Ãëàâà 10
Ìàãíåòèçì âåùåñòâà
Ìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ óñëîâíî ìîæíî ïîäðàçäåëèòü íà ñëàáûå (äèàìàãíåòèçì è ïàðàìàãíåòèçì) è ñèëüíûå (ôåððîìàãíåòèçì è äðóãèå ôîðìû
ìàãíèòíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ). Äèàìàãíåòèêè îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî
âûòàëêèâàþò âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå. Îáðàçåö äèàìàãíåòèêà (íàïðèìåð, âèñìóòà) ñëåãêà îòòàëêèâàåòñÿ îò ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà. Ïàðàìàãíåòèê (íàïðèìåð, êóñî÷åê àëþìèíèÿ) , íàîáîðîò, ñëåãêà ïðèòÿãèâàåòñÿ ê
íåìó. ßâëåíèå ñèëüíîãî ôåððîìàãíåòèçìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî â îáðàçöå
(íàïðèìåð, æåëåçå) ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû ñïîíòàííî âîçíèêàåò
óïîðÿäî÷åííîå âûñòðàèâàíèå ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ â ìàêðîñêîïè÷åñêè
áîëüøîì ìàñøòàáå, ÷òî è íàõîäèò ïðèìåíåíèå ïðè èçãîòîâëåíèè ïîñòîÿííûõ ìàãíèòîâ. Åñòü è äðóãèå âèäû ìàãíèòíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ.
10.1 Ìàãíåòèçì êâàíòîâîå ÿâëåíèå
Êëàññè÷åñêàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà íå îáúÿñíÿåò ÿâëåíèÿ ìàãíåòèçìà. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè âû÷èñëåíèè êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû N îäèíàêîâûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå,
]
[
∫ ∏
N
N
)
d3 pa d3 ra
e
1
1 ∑(
pa − A(ra ) ,
(10.1)
ZN =
exp −
N ! a=1 (2π~)3
2mT a=1
c
ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî èìïóëüñàì, ââåäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ p′a =
156
pa − ec A(ra ), è óáåäèòüñÿ, ÷òî çàâèñèìîñòü îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ZN ïðè
ýòîì âûïàäàåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàãíèòíûé ìîìåíò êëàññè÷åñêîãî ãàçà
â ñòàòèñòè÷åñêîì ðàâíîâåñèè îáðàùàåòñÿ â íóëü (òåîðåìà Áîðà ÂàíËåâåí).
 ðàìêàõ êâàíòîâîé ìåõàíèêè íåîáõîäèìî íà÷àòü ñ âûÿñíåíèÿ âîïðîñà î òîì, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé ýëåìåíò ïàðàìàãíèòíûì èëè äèàìàãíèòíûì. Êàê áûëî ïîêàçàíî â ïåðâîé ÷àñòè êóðñà, êâàíòîâûé ãàìèëüòîíèàí, îòâå÷àþùèé çà ìàãíèòíûå ñâîéñòâà àòîìà, èìååò âèä:
Ĥmagn = −µ0 B0 (L + 2S) +
e2 B02 ∑ 2
⟨ra ⟩,
12mc2 a
(10.2)
ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ýëåêòðîíàì â àòîìå. ×åðåç B0 îáîçíà÷åíà íàïðÿæåííîñòü âíåøíåãî îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðè ëèíåéíîì ýôôåêòå Çååìàíà êàæäûé òåðì 2S+1 LJ ñ ïîëíûì ìîìåíòîì J ,
îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì L è ïîëíûì ñïèíîì S ðàñùåïëÿåòñÿ íà ìàãíèòíûå ïîäóðîâíè:
]
[
3 S(S + 1) − L(L + 1)
+
mJ ≡ −µ0 B0 gmJ (10.3)
∆EZeeman = −µ0 B0
2
2J(J + 1)
â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîåêöèåé ïîëíîãî ìîìåíòà mJ = −J, −(J −1), · · · , (J −
1), J íà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à êâàäðàòè÷íîé ïî ïîëþ äîáàâêîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ó áëàãîðîäíûõ ãàçîâ L = S = J = 0, ïîýòîìó
ëèíåéíûé ýôôåêò Çååìàíà îòñóòñòâóåò. Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà âîçíèêàþò
áëàãîäàðÿ êâàäðàòè÷íîìó ïî ïîëþ ñëàãàåìîìó â (10.2). Ìàãíèòíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà (1.26)
Z
e2 ∑ 2
∂∆Emagn
⟨ra ⟩B0 ≡ χdia B0 ,
= −n
M =−
V ∂B0
6mc2 a=1
ãäå n = N/V , èìååò äèàìàãíèòíóþ ïðèðîäó (äèàìàãíåòèçì Ëàíæåâåíà),
ïîñêîëüêó ê ïîíèæåíèþ ýíåðãèè ïðèâîäèò âûòàëêèâàíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ èç îáúåìà, çàïîëíåííîãî áëàãîðîäíûì ãàçîì. Êîëè÷åñòâåííî ýòî âûðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü îòðèöàòåëüíà: χdia < 0.
 ãàçîâîé ôàçå n ∼ 1019 . Ïîëàãàÿ Z ∼ 10, ⟨ra 2 ⟩1/2 ∼ aB , íàõîäèì, ÷òî
χdia ∼ 10−9 , ò.å. äèàìàãíèòíûé ýôôåêò äåéñòâèòåëüíî ìàë è íå çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû. Îñíîâíîé òåðì óãëåðîäà 3 P0 èìååò J = 0, ïîýòîìó
157
ëèíåéíîãî ýôôåêòà Çååìàíà íåò. Îäíàêî îòñþäà íå ñëåäóåò, ÷òî àòîì óãëåðîäà îáëàäàåò äèàìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè. Ïîñêîëüêó L = S ̸= 0, ïîïðàâêà âòîðîãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé îò ëèíåéíîãî ÷ëåíà â (10.2)
ê îñíîâíîìó òåðìó,
∑ |⟨k|Lz + 2Sz |3 P0 ⟩|2
∆Emagn
= nµ20 B02
,
V
E3 P0 − Ek
k
(2)
îòðèöàòåëüíà. À ïîñêîëüêó îñíîâíîé âêëàä â ñóììó ïî ïðîìåæóòî÷íûì
ñîñòîÿíèÿì k äàþò ïîäóðîâíè òîíêîé ñòðóêòóðû, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ìíîãî ìåíüøå õàðàêòåðíûõ ýíåðãèé àòîìîâ, óêàçàííûé âêëàä
îêàçûâàåòñÿ ìíîãî áîëüøå, ÷åì äèàìàãíèòíûé. Ïîýòîìó àòîìû ñ J = 0,
L = S ̸= 0 ïàðàìàãíèòíû (ïàðàìàãíåòèçì Âàí-Ôëåêà), χpara > 0. Ïàðàìàãíåòèçì Âàí-Ôëåêà íå çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû.
10.2 Ñïèíîâûé ïàðàìàãíåòèçì
Ðàññìîòðèì ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ãàçà N íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ àòîìîâ ñ J ̸= 0. Ñ ó÷åòîì (10.3) ìàãíèòíàÿ ÷àñòü ñòàòñóììû îäíîãî àòîìà
ðàâíà
J
∑
sh µ0 B0 g(2J+1)
2T
e−µ0 B0 gmJ /T =
zmagn =
.
µ0 B0
sh
2T
m =−J
J
Ìàãíèòíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà (1.26) ðàâåí
M = nT (∂ ln zmagn /∂B0 )T ,
îòêóäà íàõîäèì
(
M = nµ0 gJBJ
µ0 B0 gJ
T
ãäå
2J + 1
2J + 1
1
x
BJ (x) =
cth
x−
cth
→
2J
2J
2J
2J
)
{
(10.4)
,
1, x ≫ 1,
x≪1
J+1
x,
3J
(10.5)
íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Áðèëëþýíà. Ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ ðàçëîæåíèå òî÷íîé ôîðìóëû äàåò
M =n
(µ0 g)2 J(J + 1)
B0 ,
3T
158
òàê ÷òî ñïèíîâàÿ ïàðàìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü åäèíèöû îáúåìà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà òåìïåðàòóðå (çàêîí Êþðè):
χpara = n
(µ0 g)2 J(J + 1)
A
= .
3T
T
(10.6)
Ïðè T ∼ 102 , n ∼ 1019 îöåíêà äàåò χpara ∼ 10−7 . Ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü
µ = 1 + 4πχ
áëèçêà ê åäèíèöå, òàê ÷òî ïàðàìàãíèòíûå ýôôåêòû ìàëû. Áóêâàëüíî
ôîðìóëà (10.4) âûâåäåíà äëÿ ñâîáîäíûõ àòîìîâ. Îäíàêî èçâåñòíà ñèòóàöèÿ, êîãäà (10.4) ïðèìåíèìà äëÿ àòîìîâ â êîíäåíñèðîâàííîé ñðåäå,
ãäå íàëè÷èå ñèëüíî àíèçîòðîïíîãî êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ íå ïîçâîëÿåò
êëàññèôèöèðîâàòü êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ òàê, êàê ýòî äåëàëîñü äëÿ ñâîáîäíûõ àòîìîâ. Ðå÷ü èäåò î (+++) èîíàõ ðåäêîçåìåëüíûõ ýëåìåíòîâ, ó
êîòîðûõ ýëåêòðîííàÿ ñòðóêòóðà îòâå÷àåò çàïîëíåíèþ 4f -îáîëî÷êè ïðè
çàïîëíåííîé 5s2 p6 -îáîëî÷êå, ýêðàíèðóþùåé âíóòðåííèå 4f -ýëåêòðîíû îò
âëèÿíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ. Èç (10.6)
√ âèäíî, ÷òî êîíñòàíòà â çàêîíå
Êþðè çàâèñèò îò êîìáèíàöèè νtheor = g J(J + 1), êîòîðàÿ ìîæåò áûòü
âû÷èñëåíà äëÿ óêàçàííûõ èîíîâ. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçìåðåíèå χpara äëÿ
òðåõçàðÿäíûõ èîíîâ ðåäêîçåìåëüíûõ ýëåìåíòîâ ïîçâîëèëî íàéòè νexptl è
ïðîâåñòè ñðàâíåíèå ñ ðàñ÷åòîì. Îêàçàëîñü, ÷òî óäîâëåòâîðèòåëüíîå ñîãëàñèå åñòü ïî÷òè âî âñåõ ñëó÷àÿõ çà èñêëþ÷åíèåì Sm3+ (νtheor = 0.84,
νexptl = 1.85) è Eu3+ (νtheor = 0, νexptl = 3.4). Ýòî ðàñõîæäåíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî νtheor áûëî âû÷èñëåíî äëÿ îñíîâíûõ òåðìîâ, òîãäà êàê
óêàçàííûå èîíû îáëàäàþò âîçáóæäåííûìè óðîâíÿìè, ëåæàùèìè ëèøü
ñëåãêà âûøå îñíîâíûõ. Ó÷åò íèçêîëåæàùèõ âîçáóæäåííûõ óðîâíåé ïîçâîëèë îáúÿñíèòü ðàñõîæäåíèå.
10.3 Ïàðàìàãíåòèçì âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà
Íàéäåì ñïèíîâóþ ïàðàìàãíèòíóþ âîñïðèèì÷èâîñòü âûðîæäåííîãî
ýëåêòðîííîãî ãàçà. Ðàññìîòðèì ïðåäåëüíûé ñëó÷àé íóëåâîé òåìïåðàòóðû T = 0. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôåðìèåâñêóþ
159
ñòóïåíüêó, ïîýòîìó ìàãíèòíûé ìîìåíò n ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå îáúåìà
ðàâåí M = µ0 (N+ − N− )/V, ãäå
(
)
(
)3/2
∫
d3 p
p2
1
µ0 B
N± = V
θ ϵF −
± µ0 B = N 1 ±
(2π~)3
2m∗e
2
ϵF
åñòü ÷èñëî ýëåêòðîíîâ ñ ïðîåêöèåé ñïèíà íà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî
ïîëÿ (îñü z ) sz = ±1/2. Çäåñü m∗e îçíà÷àåò ýôôåêòèâíóþ ìàññó ýëåêòðîíà, ó÷èòûâàþùóþ åãî âçàèìîäåéñòâèå ñ ðåøåòêîé. Äëÿ ñëàáûõ ïîëåé
µ0 B ≪ ϵF êîðåíü ìîæíî ðàçëîæèòü è ïîëó÷èòü ïàðàìàãíèòíóþ âîñïðèèì÷èâîñòü âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà:
χpara = n
3µ20
.
2ϵF
(10.7)
Çàìåòèì, ÷òî χpara â (10.7) ïðîïîðöèîíàëüíî êîìáèíàöèè ìàññ m∗e /m2e .
Äëÿ íåâûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà, ò.å. ïðè T ≫ ~2 n2/3 /me , íàõîäèì èç (10.6), ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ g = 2, J = 1/2, ÷òî χpara = nµ20 /T ∝
1/m2e .
10.4 Äèàìàãíåòèçì íåâûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà
Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè äèàìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà áîëüøîé ïëîòíîñòè áûëà ðåøåíà Ëàíäàó [5]. Åå
ðåøåíèå âûõîäèò çà ðàìêè êóðñà. Ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì
äèàìàãíåòèçìà íåâûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà ìàëîé ïëîòíîñòè ò.å.
òàêîãî, ÷òî T ≫ ~2 n2/3 /me . Ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíî âäîëü îñè z , ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ϵn = ~ωB (n + 1/2), ωB = eB/m∗e c, êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ g = eBLx Ly /2π~c. ×àñòü ñòàòñóììû îäíîãî ýëåêòðîíà, îòâå÷àþùàÿ
óðîâíÿì Ëàíäàó, ðàâíà
zdia
∞
eBLx Ly
eBLx Ly ∑ −~ωB (n+1/2)/T
e
=
.
=
2π~c n=0
4π~csh~ωB /2T
Âû÷èñëåíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà åäèíèöû îáúåìà ïî ôîðìóëå (1.26) äàåò
(
)
1
e~
e~B
M = nT
−
cth ∗
.
B 2m∗e T
2me T
160
Äëÿ ñëàáûõ ïîëåé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëîæåíèå ctg x ≈ 1/x + x/3 è
ðàññ÷èòàòü äèàìàãíèòíóþ âîñïðèèì÷èâîñòü:
χdia = −n
µ∗2
0
3T
(10.8)
∗ 2
2
∗ 2
ãäå µ∗2
0 = (e~/2me c) = µ0 (me /me ) . Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå äèàìàãíèòíîé è ïàðàìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòåé ðàâíî
( )2
χdia
1 me
=−
.
(10.9)
χpara
3 m∗e
Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî òàêîå æå ñîîòíîøåíèå èìååò ìåñòî è â ñëó÷àå âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà. Ýòî ñîîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò îáúÿñíèòü òîò
ôàêò, ÷òî âèñìóò (îñíîâíîé òåðì 4 S3/2 ), â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè èìåþùèé ïàðàìàãíèòíûå ñâîéñòâà (ôàêòîð Ëàíäå g = 2), â êðèñòàëëè÷åñêîì
ñîñòîÿíèè ÿâëÿåòñÿ äèàìàãíåòèêîì. Äåéñòâèòåëüíî, ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå âèñìóòà ìàëà, ïîýòîìó â ñèëó (10.9) ïîëíàÿ
âîñïðèèì÷èâîñòü χ = χpara + χdia îòðèöàòåëüíà, ÷òî è óêàçûâàåò íà äèàìàãíèòíûå ñâîéñòâà òâåðäîòåëüíîãî âèñìóòà. Ðàçóìååòñÿ, ïðèâåäåííûå
ñîîáðàæåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì, ïîñêîëüêó âîïðîñ î òîì, êàêèå ìàãíèòíûå ñâîéñòâà áóäóò ïðîÿâëÿòüñÿ ó çàäàííîãî ýëåìåíòà òàáëèöû Ìåíäåëååâà â êðèñòàëëè÷åñêîì ñîñòîÿíèè, î÷åíü íå ïðîñòîé. Îáùåãî
îòâåòà íà íåãî íå ñóùåñòâóåò. Åùå îäíîé èëëþñòðàöèåé ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à 1 ê ýòîé ãëàâå.
10.5 Êâàíòîâûé öåëî÷èñëåííûé ýôôåêò Õîëëà
Êâàíòîâàíèå óðîâíåé Ëàíäàó è èõ âûðîæäåíèå ïîçâîëÿþò äàòü êà÷åñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ êâàíòîâîãî öåëî÷èñëåííîãî ýôôåêòà Õîëëà.
Åñëè èìååòñÿ òîê ñ ïëîòíîñòüþ jx = env âäîëü îñè x è ïåðïåíäèêóëÿðíîå òîêó ìàãíèòíîå ïîëå B âäîëü îñè z , òî â íàïðàâëåíèè y âîçíèêàåò
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå Ey . Èç óñëîâèÿ áàëàíñà ñèëû eEe è ñèëû Ëîðåíöà
fL = evB/c ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî
Ey = jx
B
.
enc
161
(10.10)
Âåëè÷èíà RH = B/enc íàçûâàåòñÿ õîëëîâñêèì ñîïðîòèâëåíèåì. Íåìåöêèé ôèçèê Ôîí Êëèòöèíã ñ ñîòðóäíèêàìè èçó÷àëè ýòîò ýôôåêò â ïîëóïðîâîäíèêàõ äëÿ äâóìåðíîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà, ëîêàëèçîâàííîãî â
ïëîñêîñòè (x, y). Äâóìåðèå âîçíèêàëî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî çà ñ÷åò äîïîëíèòåëüíîãî çàïèðàþùåãî îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âäîëü z ïðîäîëüíîå äâèæåíèå êâàíòîâàëîñü (âñïîìíèì çàäà÷ó î êâàíòîâàíèè óðîâíåé â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè èç ïåðâîé ÷àñòè êóðñà). Åñëè ïîíèçèòü
òåìïåðàòóðó îáðàçöà äî T ≈ 4K, òî ïåðâîå âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå äâèæåíèÿ âäîëü z íå âîçáóæäàåòñÿ, è ýëåêòðîííûé ãàç îêàçûâàåòñÿ äâóìåðíûì. Ñ ðîñòîì íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B õîëëîâñêîå ñîïðîòèâëåíèå âíà÷àëå ðàñòåò ëèíåéíî. Íî â ñëó÷àå, êîãäà ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â
ïëîñêîñòè ñ ïëîùàäüþ Lx × Ly ñòàíîâèòñÿ êðàòíûì ÷èñëó âûðîæäåíèÿ
g óðîâíÿ Ëàíäàó, ò.å. ïðè N = nLx Ly = kg , ýêâèâàëåíòíî, ïðè
n=k
eB
,
2π~c
õîëëîâñêîå ñîïðîòèâëåíèå RH ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò B .  ýêñïåðèìåíòå òàêàÿ ñèòóàöèÿ ðåàëèçóåòñÿ íå ïðè îäíîì çíà÷åíèè íàïðÿæåííîñòè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à â íåêîòîðîì èíòåðâàëå ýòîé âåëè÷èíû. Ôèçè÷åñêîé
ïðè÷èíîé ýòîãî ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ïðèìåñåé â ðåàëüíîì îáðàçöå. Íà ãðàôèêå çàâèñèìîñòè RH (B) ïîÿâëÿåòñÿ ïëàòî ïðè
RH = 2π
~
,
ke2
k = 1, 2, · · · .Ïðè ýòîì äëÿ íàïðÿæåííîñòåé ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáëàñòè
ïëàòî èçìåðåííàÿ îáû÷íàÿ ïðîäîëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü σxx îáðàùàåòñÿ â
íóëü. Ýòî ïðîèñõîäèò â ñèëó ïðèíöèïà Ïàóëè, ïîñêîëüêó ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé êâàíòîâîãî ýôôåêòà Õîëëà óðîâíè Ëàíäàó çàïîëíåíû ïîëíîñòüþ, è ïðîäîëüíûé òîê òå÷ü íå ìîæåò.
Òàêèì îáðàçîì, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ôèçèêà òâåðäîãî òåëà ïðåäîñòàâèëà êâàíòîâûé ñòàíäàðò ñîïðîòèâëåíèÿ
R0 =
2π~
= 25869.05Ω.
e2
Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî çàïèñàòü â òåðìèíàõ ïîñòîÿííîé òîíêîé ñòðóêòóðû α = e2 /~c êàê R0 = 2π/αc è èñïîëüçîâàòü êâàíòîâûé ýôôåêò Õîëëà
äëÿ íîâîãî àëüòåðíàòèâíîãî èçìåðåíèÿ ýòîé ïîñòîÿííîé.
162
 ãðàôåíå, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì ìîíîàòîìíûì ñëîåì àòîìîâ
óãëåðîäà, ðàñïîëîæåííûõ â âèäå ñîòîâîé ñòðóêòóðû, ââèäó ñïåöèôè÷åñêîãî ýëåêòðîííî-äûðî÷íîãî ñïåêòðà óðîâíè Ëàíäàó äàþòñÿ âûðàæåíèåì
(
)1/2
2eB~
En = ±vF
n
,
c
ãäå vF ≈ c/300 ñêîðîñòü Ôåðìè. Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî â ìàãíèòíîì ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ òåñëà ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìè Ëàíäàó ñðàâíèìî ñ 300 K â òåìïåðàòóðíûõ
åäèíèöàõ. Ïîýòîìó êâàíòîâûé ýôôåêò Õîëëà â ãðàôåíå íàáëþäàåòñÿ
ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå! Êðîìå òîãî, èìååòñÿ óðîâåíü ñ ýíåðãèåé
ðàâíîé íóëþ. Ýòî ïðèâîäèò ê êâàíòîâàíèþ õîëëîâñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ
ñ ïîëóöåëûìè, à íå öåëûìè k .
10.6 Ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà ôåððîìàãíåòèçìà
ßâëåíèå ôåððîìàãíåòèçìà îáúÿñíÿåòñÿ ïîÿâëåíèåì ìàêðîñêîïè÷åñêè
áîëüøîé ñïîíòàííîé (ò.å. ïîÿâëÿþùåéñÿ ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ) íàìàãíè÷åííîñòè ïðè òåìïåðàòóðàõ, ìåíüøèõ ÷åì òåìïåðàòóðà Êþðè Tc . Äëÿ æåëåçà Tc ∼ 103 K. Êàçàëîñü áû, åñòåñòâåííî
îòíåñòè íàìàãíè÷åííîñòü ê âûñòðàèâàíèþ ñïèíîâ ýëåêòðîíîâ êðèñòàëëà
çà ñ÷åò ñïèí-ñïèíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìàãíèòíîãî òèïà U ∼ −µ20 /r3 .
Ïðè òåìïåðàòóðàõ, ïðåâûøàþùèõ óêàçàííóþ ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ, çà ñ÷åò õàîòè÷íîãî òåïëîâîãî ïåðåâîðîòà ñïèíîâ íàìàãíè÷åííîñòü äîëæíà èñ÷åçíóòü, îòêóäà ïîëó÷àåì îöåíêó òåìïåðàòóðû Êþðè: Tc ∼ µ20 /a3B ∼ 1K. Ýòî ÷èñëî íàõîäèòñÿ â ïîëíîì ïðîòèâîðå÷èè ñ
ýìïèðè÷åñêèìè ôàêòàìè. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî äëÿ îáúÿñíåíèÿ ôåððîìàãíåòèçìà òðåáóåòñÿ ñïèí-ñïèíîâîå âçàèìîäåéñòâèå ñ ñèëîé, íà òðè ïîðÿäêà
ïðåâûøàþùåé ìàãíèòíóþ ñèëó. Ëèøü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå êóëîíîâñêîå
âçàèìîäåéñòâèå íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ïðåâûøàåò ìàãíèòíîå, íî îíî íå
çàâèñèò îò ñïèíîâ. Êàê áûòü?
Íà ïîìîùü ñíîâà ïðèõîäèò êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Êàê áûëî ïîêàçàíî
â ïåðâîé ÷àñòè êóðñà, ïðèíöèï Ïàóëè òðåáóåò àíòèñèììåòðè÷íîé ïîëíîé âîëíîâîé ôóíêöèè äâóõ òîæäåñòâåííûõ ýëåêòðîíîâ, áëàãîäàðÿ ÷åìó
163
âîçíèêàåò ýôôåêòèâíîå îáìåííîå ñïèí-ñïèíîâîå âçàèìîäåéñòâèå
U = −J(s1 · s2 ).
Åãî ìàñøòàá J = ξ×Ry îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãèåé êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, óìíîæåííûé íà áåçðàçìåðíîå ÷èñëî ξ , ýêñïîíåíöèàëüíî çàâèñÿùåå îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè (èíòåãðàë ïåðåêðûòèÿ âîëíîâûõ
ôóíêöèé). Òîãäà òåìïåðàòóðà Êþðè îöåíèâàåòñÿ êàê Tc ∼ ξ × 105 K. Ïðè
ðàçóìíîì âûáîðå ξ ∼ 10−2 ïîëó÷àåòñÿ ïðàâèëüíûé ïîðÿäîê âåëè÷èíû.
Èäåþ ïðèìåíèòü îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå äëÿ îáúÿñíåíèÿ ôåððîìàãíåòèçìà ïðåäëîæèë îäèí èç ñîçäàòåëåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè Â. Ãåéçåíáåðã
âñêîðå ïîñëå ñîçäàíèÿ ýòîé òåîðèè. Ïðåäëîæåííûé èì ñïèí-ñïèíîâûé ãàìèëüòîíèàí (ãàìèëüòîíèàí Ãåéçåíáåðãà) ñ ó÷åòîì âíåøíåãî ìàãíèòíîãî
ïîëÿ B0 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
∑
∑
Ĥmagn = −J
(si · sj ) − 2µ0 B0
si ,
(10.11)
i<j
i=1
ãäå ñóììèðîâàíèå èäåò ïî óçëàì, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ýëåêòðîíû, îòâå÷àþùèå çà ôåððîìàãíåòèçì. Ââèäó ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïàäåíèÿ ξ ñ
ðàññòîÿíèåì ìîæíî ó÷èòûâàòü òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå áëèæàéøèõ ñîñåäåé. Ãàìèëüòîíèàí (10.11) ÿâëÿåòñÿ ñóãóáî ìîäåëüíûì, ïîñêîëüêó ïðÿìîå îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ ìàëî ââèäó èõ
ýêðàíèðîâêè âíåøíèìè ýëåêòðîíàìè îáîëî÷êè. Íà ñàìîì äåëå îáìåííîå
âçàèìîäåéñòâèå ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ â ôåððîìàãíåòèêå ÿâëÿåòñÿ
êîñâåííûì. Òðåáóåòñÿ òðåòèé ýëåêòðîí ïðîâîäèìîñòè, èñïûòûâàþùèé
äîñòàòî÷íî ñèëüíîå ïðÿìîå îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå ñ êàæäûì èç ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ, áëàãîäàðÿ ÷åìó è âîçíèêàåò äîñòàòî÷íî ñèëüíîå
âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó íèìè.
Äàäèì ãðóáóþ êà÷åñòâåííóþ îöåíêó òîãî, ê êàêèì ìàêðîñêîïè÷åñêèõ
ïðîÿâëåíèÿì ïðèâîäèò ñóãóáî êâàíòîâûé ýôôåêò îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â ôåððîìàãíåòèêå. Äëÿ ýòîãî â ñóììå ïî ýëåêòðîíàì â (10.11) âûäåëèì âêëàä îòäåëüíîãî ñïèíà è îöåíèì âåëè÷èíó ýôôåêòèâíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, êîòîðîå íà íåãî äåéñòâóåò. Òîãäà ýíåðãèþ ñïèíîâ ìîæíî
îöåíèòü êàê
)
∑(
Jz
Umagn ∼ −2µ0
B0 +
⟨sj ⟩ ,
2µ
0
i
ãäå ñóììèðîâàíèå ïî j â (10.11) ïðèáëèæåííî îöåíåíî ïîñðåäñòâîì çàìåíû sj → ⟨sj ⟩ è óìíîæåíèåì íà ÷èñëî áëèæàéøèõ ñîñåäåé z . Òàêîå
164
ïðèáëèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåíèåì ñðåäíåãî ïîëÿ. Â ðàìêàõ ýòîãî
ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî çàìåíèòü ⟨sj ⟩ → M /µ0 n, ãäå M ìàãíèòíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà îáðàçöà, n ÷èñëî ôåððîìàãíèòíûõ ýëåêòðîíîâ â
åäèíèöå îáúåìà. Ýôôåêòèâíîå ìàãíèòíîå ïîëå, äåéñòâóþùåå íà êàæäûé
ñïèí, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
Beff = B0 +
Jz
M ≡ B0 + λM .
2µ20 n
(10.12)
Äîáàâêà B ′ = λM è ïîñòîÿííàÿ
λ=
Jz
2µ20 n
(10.13)
íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ìîëåêóëÿðíûì ïîëåì Êþðè Âåéñà è ïîñòîÿííîé Êþðè Âåéñà. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ýôôåêòèâíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ áûëî ââåäåíî èìè çàäîëãî äî ñîçäàíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè
è ââåäåíèÿ êîíöåïöèè îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïðè n ∼ 1022 îöåíêà äàåò λ ∼ 108 ξ ∼ 106 , ò.å. êîîïåðàòèâíîå äåéñòâèå ñîñåäíèõ ñïèíîâ
ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñèëüíûì. Äåéñòâèòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîíÿòèÿìè
ôèçèêè ìàãíåòèêîâ ýôôåêòèâíîå ìàãíèòíîå ïîëå ìîæíî ïðåäñòàâèòü
êàê Beff = B0 + 4πχeff M , ñ ýôôåêòèâíîé ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ
χeff ∼ λ/4π ∼ 105 , îòêóäà ýôôåêòèâíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü îöåíèâàåòñÿ êàê µeff = 1 + 4πχeff ∼ 105 .
10.7 Òåîðèÿ Êþðè Âåéñà
Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè èñ÷åçàþùå ìàëîì âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå òî÷êè Êþðè âåêòîð íàìàãíè÷åííîñòè áóäåò íàïðàâëåí âäîëü íàïðàâëåíèÿ âíåøíåãî ïîëÿ. Âûáåðåì ýòî
íàïðàâëåíèå â êà÷åñòâå áàçîâîãî è ó÷òåì òåïëîâûå ôëóêòóàöèè íàïðàâëåíèÿ ñïèíà ýëåêòðîíà ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ (10.4), â êîòîðîì ñëåäóåò
ïîëîæèòü J = 1/2, g = 2, B0 → B0 + λM . Ïîñêîëüêó B1/2 (x) = thx, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàãíèòíîãî
ìîìåíòà åäèíèöû îáúåìà:
M = nµ0 th
µ0 (B0 + λM )
.
T
165
(10.14)
Ñïîíòàííàÿ íàìàãíè÷åííîñòü M0 (T ) äàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (10.14)
ïðè B0 = 0. Â òåðìèíàõ íîâîé ïåðåìåííîé x = µ0 λM0 (T )/T óðàâíåíèå
ïðèíèìàåò âèä thx = xT /Tc , ãäå
Tc = nµ20 λ.
(10.15)
Ãðàôè÷åñêèé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè T > Tc åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ M0 (T ) = 0. Ñïîíòàííàÿ íàìàãíè÷åííîñòü íå âîçíèêàåò.
Ïðè T < Tc âîçíèêàåò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå M0 (T ) ̸= 0. Ïîýòîìó Tc
â (10.15) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê òåìïåðàòóðó (òî÷êó) Êþðè. Ïðè
òåìïåðàòóðàõ ÷óòü íèæå òî÷êè Êþðè ïðÿìàÿ è ãèïåðáîëè÷åñêèé òàíãåíñ
ïåðåñåêàþòñÿ âáëèçè íà÷àëà êîîðäèíàò M0 (T ) → 0 ïðè T → Tc − 0. Ïîýòîìó â óðàâíåíèè (10.14) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëîæåíèå thx ≈ x−x3 /3
ïðè x → 0 è íàéòè ñïîíòàííóþ íàìàãíè÷åííîñòü ïðè T < Tc :
√ (
)
T
M0 (T ) = nµ0 3 1 −
.
(10.16)
Tc
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè îò T âáëèçè òî÷êè Êþðè èñïîëüçóåì óðàâíåíèå (10.14) ïðè ìàëûõ ïîëÿõ. Ïðè
T > Tc íàìàãíè÷åííîñòü M òàêæå ìàëà, ïîýòîìó ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïåðâûì ïîðÿäêîì â ðàçëîæåíèè ãèïåðáîëè÷åñêîãî òàíãåíñà: M ≈
nµ20 (B0 + λM )/T , îòêóäà ïîëó÷àåòñÿ
χ=
nµ20
.
T − Tc
(10.17)
Ïðè T < Tc äàæå ïðè B0 = 0 âîçíèêàåò ñïîíòàííàÿ íàìàãíè÷åííîñòü,
ïîýòîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âîñïðèèì÷èâîñòü ïîëàãàåì M = M0 (T ) + ∆M ,
ãäå îò B0 çàâèñèò òîëüêî ïîïðàâêà ∆M .  ðàçëîæåíèè ãèïåðáîëè÷åñêîãî
àðêòàíãåíñà íåîáõîäèìî ó÷åñòü ñëåäóþùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ. Ïîëó÷àåì:
[
]
1 ( µ0 ) 2 3 3
nµ20
2
2
B0 + λM0 + λ∆M −
M0 + ∆M ≈
(λ M0 + 3λ M0 ∆M ) .
T
3 T
Åñëè ïîäñòàâèòü ñþäà (10.16), òî ÷ëåíû íóëåâîãî ïîðÿäêà ïî ∆M ñîêðàùàþòñÿ, à äëÿ ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå ∆M =
χB0 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè χ = (∂M/∂B0 )T
ïðè T < Tc ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå
χ=
nµ20
.
2(Tc − T )
166
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî îáà âûðàæåíèÿ äëÿ χ ñïðàâåäëèâû ïðè |T − Tc |/Tc ≪ 1.
 ðåàëüíûõ ôåððîìàãíåòèêàõ êàðòèíà ìàãíèòíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ âûãëÿäèò ñëîæíåå, ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâåííàÿ îáëàñòü, â êîòîðîé ìàãíèòíûå ìîìåíòû âûñòðîåíû â îäíîì íàïðàâëåíèè, ìåíüøå ðàçìåðîâ îáðàçöà. Òàêàÿ îáëàñòü íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì äîìåíîì. Ðàçìåð, ôîðìà è
÷èñëî äîìåíîâ îïðåäåëÿþòñÿ òîíêèìè îñîáåííîñòÿìè êîíêóðåíöèè ìåæäó ýíåðãèåé àíèçîòðîïèè è ýíåðãèåé äîìåííûõ ñòåíîê.
Àíòèôåððîìàãíåòèçì îòâå÷àåò òàêîìó óïîðÿäî÷åíèþ ñïèíîâ, êîãäà
îíè ïîî÷åðåäíî ìåíÿþò íàïðàâëåíèå: ↑↓↑↓↑↓ · · · . Îíî ìîæåò âîçíèêíóòü
ïðè îòðèöàòåëüíîì îáìåííîì èíòåãðàëå J < 0. Òîãäà èç (10.13) ñëåäóåò, ÷òî λ < 0. Ðàññìàòðèâàÿ äâå ïîäðåøåòêè ñî ñïèíàìè ââåðõ è âíèç,
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çàâèñèìîñòü îò T ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè ïðè
âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ äàåòñÿ ôîðìóëîé
χ∝
1
,
T + TN
ãäå TN íàçûâàåòñÿ òåìïåðàòóðîé Íååëÿ, ïî èìåíè ÷åëîâåêà, îòêðûâøåãî
ÿâëåíèå ôåððîìàãíåòèçìà.
Èìåþòñÿ è äðóãèå òèïû ìàãíèòíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ. Ïðè ãåëèêîèäàëüíîì óïîðÿäî÷åíèè âåêòîð ñïîíòàííîé íàìàãíè÷åííîñòè âðàùàåòñÿ êàê
îáðàçóþùàÿ íåêîòîðîãî êîíóñà ïðè äâèæåíèè âäîëü îïðåäåëåííîãî âûäåëåííîãî íàïðàâëåíèÿ â êðèñòàëëå. Âîîáùå, òåîðåòè÷åñêîå è ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ ðàçëè÷íûõ âåùåñòâ ÿâëÿåòñÿ
áóðíî ðàçâèâàþùåéñÿ îòðàñëüþ ñîâðåìåííîãî ìàòåðèàëîâåäåíèÿ.
10.8 Çàäà÷è
1. Â èîíàõ ãðóïïû æåëåçà V 4+ , V 3+ , V 2+ , Cr2+ , F e3+ , F e2+ , Co2+ ,
N i2+ , Cu2+ ïðîèñõîäèò ïîñëåäîâàòåëüíîå çàïîëíåíèå d-îáîëî÷êè.
Ïîëüçóÿñü ïðàâèëàìè Õóíäà, îïðåäåëèòü îñíîâíûå òåðìû âñåõ äåñÿòè
√ èîíîâ è ðàññ÷èòàòü äëÿ íèõ ôàêòîð Ëàíäå g è âåëè÷èíó ν =
g J(J + 1), âõîäÿùóþ â òåìïåðàòóðíóþ çàâèñèìîñòü ïàðàìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè (10.6).
167
Ãëàâà 11
Ôàçîâûå ïåðåõîäû âòîðîãî ðîäà
ßâëåíèå ñïîíòàííîé íàìàãíè÷åííîñòè (ôåððîìàãíåòèçìà), êîòîðîå
îáñóæäàëîñü â ïðåäûäóùåé ãëàâå, îòíîñèòñÿ ê îáùåìó êëàññó ôàçîâûõ
ïåðåõîäîâ âòîðîãî ðîäà. Îáñóäèì ýòè ïåðåõîäû âíà÷àëå â ðàìêàõ òåîðèè
Êþðè Âåéñà, à çàòåì îáñóäèì èäåþ îáùåé òåîðèè ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ
âòîðîãî ðîäà, ñîçäàííîé Ëàíäàó.
11.1 Ñêà÷îê òåïëîåìêîñòè ïðè ïåðåõîäå â ôåððîìàãíèòíîå ñîñòîÿíèå
Íàéäåì çàâèñèìîñòü îò òåìïåðàòóðû ôåððîìàãíèòíîé ÷àñòè òåïëîåìêîñòè ïðè |T − Tc |/Tc ≪ 1. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî íàéòè äîáàâêó ê
ýíåðãèè çà ñ÷åò íàìàãíè÷åííîñòè îáðàçöà â ðàìêàõ òåîðèè Êþðè Âåéñà:
λ
∆Emagn = −M (B0 + M ).
2
Çàìåòèì, ÷òî â ýòî âûðàæåíèå âõîäèò êàê áû ïîëîâèííîå ïîëå Êþðè Âåéñà, ÷òî îòðàçèëîñü â êîýôôèöèåíòå λ/2 âìåñòî λ â (10.12). Êîýôôèöèåíò 1/2 ó÷èòûâàåò, ÷òî ïîëå Êþðè Âåéñà B ′ ÿâëÿåòñÿ íå âíåøíèì,
à ïðåäñòàâëÿåò êîîïåðàòèâíîå äåéñòâèå ìàêðîñêîïè÷åñêîãî ìàãíèòíîãî
ìîìåíòà. Ïîýòîìó ïðè ó÷åòå ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ âûäåëåííîãî àòîìàðíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñ êîîïåðàòèâíûì (ñîâìåñòíûì) äåéñòâèåì
âñåõ îñòàâøèõñÿ íàäî èñêëþ÷èòü äâîéíîé ñ÷åò. Ïðè B0 = 0 ïîëó÷àåì
168
âêëàä îò ñïîíòàííîé íàìàãíè÷åííîñòè â âèäå Emagn = − λ2 M02 (T ). Ìàãíèòíóþ ÷àñòü òåïëîåìêîñòè íàõîäèì êàê ∆C = dEmagn /dT . Ñïîíòàííàÿ
íàìàãíè÷åííîñòü èìååò ðàçíûé âèä â çàâèñèìîñòè îò òîãî, âûøå èëè
íèæå òî÷êè Êþðè íàõîäèòñÿ îáðàçåö:
(
)
{
T
2 2
3n
µ
1
−
, T < Tc
0
Tc
M02 (T ) =
.
0, T > Tc
Îòñþäà âèäíî, ÷òî â îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýíåðãèÿ Emagn (T )
íåïðåðûâíà â òî÷êå T = Tc , òîãäà êàê ìàãíèòíàÿ ÷àñòü òåïëîåìêîñòè áóäåò èìåòü îñîáåííîñòü â âèäå ñêà÷êà:
{
2 2
λ dM02 (T )
λ − 3nT µ0 , T < Tc
c
=−
(11.1)
∆C = −
2 dT
2
0, T > Tc
Âûðàæàÿ Tc ñ ïîìîùüþ (10.15), âåëè÷èíó ñêà÷êà òåïëîåìêîñòè ìîæíî
ïåðåïèñàòü â âèäå
[∆C] ≡ ∆C(Tc + 0) − ∆C(Tc − 0) = −3n/2.
Êàê îêàçàëîñü, ñêà÷îê òåïëîåìêîñòè, õàðàêòåðèçóþùèé ïî êëàññèôèêàöèè Ýðåíôåñòà ôàçîâîãî ïåðåõîäà âòîðîãî ðîäà, ÿâëÿåòñÿ îáùèì ñâîéñòâîì òàêèõ ïåðåõîäîâ. Ýòî áûëî ïîêàçàíî Ë.Ä. Ëàíäàó â åãî òåîðèè
ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ âòîðîãî ðîäà. Îáñóäèì îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè.
11.2 Ôàçîâûå ïåðåõîäû âòîðîãî ðîäà è òåîðèÿ Ëàíäàó
Îñíîâíîå óòâåðæäåíèå òåîðèè Ëàíäàó ñîñòîèò â òîì, ÷òî ôàçîâûé
ïåðåõîä âòîðîãî ðîäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíåçàïíîå èçìåíåíèå ñèììåòðèè ñèñòåìû. Äëÿ èëëþñòðàöèè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñíîâà îáðàòèìñÿ ê
ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ ôåððîìàãíåòèêà. Ïðè òåìïåðàòóðàõ âûøå òî÷êè Êþðè ñïîíòàííàÿ íàìàãíè÷åííîñòü îòñóòñòâóåò, ïîýòîìó âûäåëåííîãî
íàïðàâëåíèÿ â ñèñòåìå íåò. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ ñèñòåìû êîîðäèíàò âîêðóã ïðîèçâîëüíîãî íàïðàâëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ãðóïïîé ñèììåòðèè çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ âñÿ ãðóïïà òðåõìåðíûõ âðàùåíèé. Ïðè òåìïåðàòóðå íèæå òåìïåðàòóðû Êþðè
169
âîçíèêàåò ñïîíòàííàÿ íàìàãíè÷åííîñòü, õàðàêòåðèçóåìàÿ âûäåëåííûì
íàïðàâëåíèåì â ïðîñòðàíñòâå. Òåïåðü ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà èíâàðèàíòíà ëèøü ïî îòíîøåíèþ ê ãîðàçäî áîëåå óçêîé ãðóïïå âðàùåíèé âîêðóã
âûäåëåííîãî íàïðàâëåíèÿ íàìàãíè÷åííîñòè. Ñèììåòðèÿ ñèñòåìû óìåíüøèëàñü.
Äëÿ òîãî ÷òîáû êîëè÷åñòâåííî îòëè÷èòü îáå ñèòóàöèè Ëàíäàó ââåë
ïîíÿòèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà. Åãî íåíóëåâîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèçóåò ôàçó
ñ áîëåå íèçêîé ñèììåòðèåé. Ðàâåíñòâî ïàðàìåòðà ïîðÿäêà íóëþ îòâå÷àåò
ñèììåòðè÷íîé ôàçå. Äëÿ ôåððîìàãíåòèêà ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ
ìàãíèòíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà M0 (T ).  îáùåì ñëó÷àå îáîçíà÷èì
ïàðàìåòð ïîðÿäêà áóêâîé η è áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ ïðè çàäàííîì äàâëåíèè è òåìïåðàòóðå.  ýòîì ñëó÷àå ðàâíîâåñíîå
ñîñòîÿíèå äîëæíî îòâå÷àòü ìèíèìóìó òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà
Ãèááñà, â êîòîðîì êðîìå P è T â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé íàäî óêàçàòü åùå è ïàðàìåòð ïîðÿäêà η : Φ ≡ Φ(T, P, η). Âòîðîå îñíîâíîå
ïðåäïîëîæåíèå êàñàåòñÿ âèäà çàâèñèìîñòè Φ îò η . Ëàíäàó ïðèâåë àðãóìåíòû â ïîëüçó òîãî, ÷òî â îêðåñòíîñòè òåìïåðàòóðû T0, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ñèììåòðèè ñèñòåìû, òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì ïàðàìåòðà ïîðÿäêà:
A(T, P ) 2 B(T, P ) 4
η +
η .
(11.2)
Φ(T, P, η) = Φ0 (T, P ) +
2
4
Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èìååòñÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ η → −η , ïîýòîìó íå÷åòíûå ñòåïåíè η îòñóòñòâóþò. Ó÷åò
ýôôåêòîâ âíåøíåãî ïîëÿ h ïðîèçâîäèòñÿ ïîñðåäñòâîì äîáàâëåíèÿ ÷ëåíà
−ηh â âûðàæåíèå (11.2). Ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå ñîñòîèò â êîíêðåòèçàöèè òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ A è B :
A(T, P ) = a(P )(T − T0 ),
B(T, P ) = b(P ),
(11.3)
ãäå a > 0, b > 0. Ðàâíîâåñíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ïîðÿäêà íàõîäèòñÿ èç
óñëîâèÿ ìèíèìóìà òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ïðè ôèêñèðîâàííûõ
P è T:
( )
∂Φ
= a(P )(T − T0 )η + b(P )η 3 = 0.
(11.4)
∂η P,T
Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ èìåþò âèä:
{
)
− a(P
(T − T0 ), T < T0
b(P )
η02 (T ) =
0, T < T0 .
170
(11.5)
Ýíòðîïèÿ ðàâíà
( )
(
) ( 2)
∂Φ
∂Φ
∂η
a(P ) 2
S=−
−
= S0 (P, T ) −
η (T ).
2
∂T P,η
∂η P,T ∂T P
2 0
Ñëàãàåìîå ñ ∂Φ/∂η 2 âûïàäàåò â ñèëó óñëîâèÿ (11.4), S0 îáîçíà÷àåò ýíòðîïèþ â ñèììåòðè÷íîé ôàçå âûøå òåìïåðàòóðû T0 .(Èç )(11.5) ñëåäóåò,
∂S
÷òî òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè CP = T ∂T
èñïûòûâàåò
P
ñêà÷îê â òî÷êå T0 :
a2 (P )
[CP ]T0 = −
T0 .
(11.6)
2b(P )
Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå òåîðèè è ýêñïåðèìåíòà ïîêàçàëî, ÷òî òåîðèÿ
ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ âòîðîãî ðîäà Ëàíäàó íå îïèñûâàåò äåòàëåé ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, õîòÿ êà÷åñòâåííûå âûâîäû óõâà÷åíû ýòîé òåîðèåé
ïðàâèëüíî.  ÷àñòíîñòè, çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðà ïîðÿäêà îò òåìïåðàòóðû η0 (T ) ∝ (T0 − T )1/2 äëÿ ðÿäÿ âåùåñòâ íå ñîâïàäàåò ñ íàéäåííîé â
îïûòàõ. Òåïëîåìêîñòü â òî÷êå ôàçîâîãî ïåðåõîäà èìååò ñòåïåííóþ îñîáåííîñòü CP ∼ |T − T0 |−α , à íå ñêà÷îê. Ýòî îòíîñèòñÿ è ê ïàðàìåòðó
ïîðÿäêà η0 , âîñïðèèì÷èâîñòè χ äðóãèì òåðìîäèíàìè÷åñêèì âåëè÷èíàì:
η0 ∼ |T − T0 |β ,
χ ∼ |T − T0 |−γ
è ò.ä.  ÷àñòíîñòè, äëÿ îäíîîñíûõ ìàãíåòèêîâ èçìåðåíèÿ äàþò α ≈ 0.1,
β ≈ 0.34, γ = 1.15 ± 0.02, òîãäà êàê â òåîðèè Ëàíäàó β = 0.5, γ = 1.
Ýòè äåòàëè áûëè îáúÿñíåíû â ðàìêàõ òàê íàçûâàåìîé ãèïîòåçû ïîäîáèÿ
â ôàçîâûõ ïåðåõîäàõ, â êîòîðîé ïîñòóëèðóåòñÿ ñòåïåííîå ïîâåäåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ â òî÷êå ôàçîâîãî ïåðåõîäà. Ðàçëè÷íûå ñòåïåííûå ïîêàçàòåëè, íàçûâàåìûå êðèòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè, â ðàìêàõ
ãèïîòåçû ïîäîáèÿ îêàçàëèñü ñâÿçàííûìè ìåæäó ñîáîé. Â äàëüíåéøåì
áûë ðàçðàáîòàí îñíîâàííûé íà òåîðèè ïîëÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò,
íàçûâàåìûé ϵ-ðàçëîæåíèåì, â ðàìêàõ êîòîðîãî ýòè ïîêàçàòåëè áûëè âû÷èñëåíû: α = 0.077, β = 0.34, γ = 1.244. Ñîâïàäåíèå ñ îïûòîì îêàçàëîñü
îêàçàëîñü î÷åíü õîðîøèì.
171
11.3 Íåîäíîðîäíîå óïîðÿäî÷åíèå
 ðàìêàõ òåîðèè ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ âòîðîãî ðîäà ìîæíî ó÷åñòü âîçìîæíîñòü íåîäíîðîäíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ, êîãäà ïàðàìåòð ïîðÿäêà η ≡
η(T, P, r) ìîæåò çàâèñåòü îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò (íåîäíîðîäíîå
óïîðÿäî÷åíèå). Äëÿ ýòîãî äîáàâêó Φ1 ê òåðìîäèíàìè÷åñêîìó ïîòåíöèàëó Ãèááñà, îáóñëîâëåííóþ ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà, ñëåäóåò ñ÷èòàòü èíòåãðàëîì ïî îáúåìó îò ïëîòíîñòè ïîòåíöèàëà Ãèááñà ϕ1 :
∫
Φ1 = d3 rϕ1 [η(T, P, r)].
(11.7)
Äîáàâêà ϕ1 äîëæíà âêëþ÷àòü ÷ëåíû ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè ïðîèçâîäíûìè îò ïàðàìåòðà ïîðÿäêà. Ïðîñòåéøèé íåòðèâèàëüíûé âûáîð ñîñòîèò â
òîì, ÷òî îãðàíè÷èâàþòñÿ îäíèì ñëàãàåìûì âèäà g(∇η)2 /2. Òîãäà ïîëíûé
ïîòåíöèàë Ãèááñà â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííîé íåîäíîðîäíîñòè ïàðàìåòðà
ïîðÿäêà, ñ ó÷åòîì (11.3), ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Φ[T, P, η] = Φ0 (T, P ) +
[
]
∫
g
1
b 4
3
2
2
+ d r (∇η) + a(T − T0 )η + η .
2
2
4
(11.8)
Êâàäðàòíûå ñêîáêè ó àðãóìåíòîâ Φ ãîâîðÿò, ÷òî ýòà âåëè÷èíà åñòü ôóíêöèîíàë îò ôóíêöèè êîîðäèíàò η(r). Ðàâíîâåñíóþ êîíôèãóðàöèþ η(r)
íàéäåì èç óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà (ìèíèìóìà) ôóíêöèîíàëà Φ. Ýêñòðåìóì
ôóíêöèîíàëà íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî δΦ ≡ Φ[η + δη] − Φ[η] = 0 ïðè
ëþáîé áåñêîíå÷íî ìàëîé âàðèàöèè δη ≡ δη(r) ôóíêöèè η(r), êîòîðàÿ
çàíóëÿåòñÿ íà óäàëåííîé ïîâåðõíîñòè. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ïîëó÷àåì:
[
∫
1
b
g
3
δΦ =
d r (∇η + ∇δη)2 + a(T − T0 )(η + δη)2 + (η + δη)4 −
2
2
4
] ∫
g
1
b
− (∇η)2 − a(T − T0 )η 2 − η 4 = d3 r [g(∇η)(∇δη)+
2
2
4
∫
]
[
+a(T − T0 )ηδη + bη 3 δη = d3 rδη −∇2 η + a(T − T0 )η+
]
(11.9)
+bη 3 = 0.
Ïðè ïîëó÷åíèè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà â (11.9) áûëî èñïîëüçîâàíî òîæäåñòâî
∫
∫
[
]
3
d r(∇η)(∇δη) = d3 r ∇(δη∇η) − δη∇2 η
172
è òåîðåìà Ãàóññà. Èíòåãðàë ïî óäàëåííîé ïîâåðõíîñòè ïî îïðåäåëåíèþ
áûë îòáðîøåí. Èç (11.9) ñëåäóåò óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàâíîâåñíîé
íåîäíîðîäíîé êîíôèãóðàöèè ïàðàìåòðà ïîðÿäêà:
g∇2 η + a(T − T0 ) + bη 3 = 0.
(11.10)
Ïóñòü T > T0 . Òîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ïîðÿäêà η0 = 0. Òåì
íå ìåíåå, ïðè äîñòàòî÷íîé áëèçîñòè T ê T0 âîçìîæíû ôëóêòóàöèè ýòîãî
ïàðàìåòðà, âîçíèêàþùèå â òîì èëè èíîì ìåñòå îáðàçöà. Â ïðèíöèïå,
ìîæíî ðàññ÷èòàòü âåëè÷èíó η1 è õàðàêòåðíûé ïðîñòðàíñòâåííûé ðàçìåð
ýòèõ ôëóêòóàöèé, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè ôëóêòóàöèé
w ∝ e−Rmin /T (8.9) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå Rmin = Φ − Φ0 äàåòñÿ
èíòåãðàëîì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (11.8). Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ìîæíî
íàéòè â êíèãå [5]. Îäíàêî ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá ôëóêòóàöèé ìîæíî
íàéòè èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (11.10).
 îäíîðîäíîì è èçîòðîïíîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî äîïóñòèòü ñôåðè÷åñêóþ ñèììåòðèþ ôëóêòóàöèè êàê ôóíêöèþ êîîðäèíàò. Ïîñêîëüêó ïðè
T > T0 η0 = 0, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ñëàãàåìûì ñ η 3 . Óðàâíåíèå (11.10)
ïðèìåò ïðè ýòîì âèä
η
1 d 2 dη
r
= 2
,
2
r dr dr
rc (T )
ãäå
√
g
rc (T ) =
.
(11.11)
a(T − T0 )
Åñëè ââåñòè íîâóþ ôóíêöèþ χ ñîãëàñíî η = χ/r, òî óðàâíåíèåì äëÿ χ
ñòàíåò
χ
d2 χ
= 2
.
2
dr
rc (T )
Åãî ðåøåíèå èìååò âèä χ ∝ e−r/rc (T ) , à ñàìà ôëóêòóàöèÿ, èìåþùàÿ âåëè÷èíó η1 , çàòóõàåò íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà rc (T ) (11.11):
η(r) =
η1 −r/rc (T )
e
.
r
Âåëè÷èíà rc íàçûâàåòñÿ êîððåëÿöèîííûì ðàäèóñîì.
173
11.4 Çàäà÷è.
1. Áèíàðíûé ñïëàâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå âçàèìîïðîíèêàþùèå ðåøåòêè A è B , â óçëàõ êîòîðûõ ìîãóò íàõîäèòüñÿ ïî N àòîìîâ ñîðòîâ
a è b ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëíîñòüþ óïîðÿäî÷åííîå ñîñòîÿíèå îòâå÷àåò
ñëó÷àþ, êîãäà àòîìû êàæäîãî ñîðòà ñèäÿò â óçëàõ ñâîåé ðåøåòêè.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç NaA , NaB , NbB , NbA ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëî àòîìîâ
ñîðòà a, ñèäÿùèõ íà óçëàõ ñâîåé ðåøåòêè A, ÷èñëî àòîìîâ ñîðòà
a, ñèäÿùèõ íà óçëàõ ÷óæîé ðåøåòêè B è ò.ä. Îïðåäåëèì ïàðàìåòð
ïîðÿäêà 0 ≤ η ≤ 1 ñîîòíîøåíèÿìè NaA = N (1 + η), NaB = N (1 − η),
NbB = N (1+η), NbA = N (1−η). Ó÷èòûâàåòñÿ òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå
áëèæàéøèõ ñîñåäåé, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî z . Ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ñîñåäíèõ àòîìîâ ab, aa è bb îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç
ϵab , ϵaa è ϵbb . Íàéòè ýíåðãèþ ñèñòåìû E â ïðèáëèæåíèè ñðåäíåãî ïîëÿ. Íàéòè ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû F = E − T S è, ïðåäñòàâèâ
åå â âèäå ðàçëîæåíèÿ â òåîðèè Ëàíäàó, îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû
ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì η ñ ó÷åòîì ÷ëåíîâ âïëîòü äî η 4 . Íàéòè
òåìïåðàòóðó ôàçîâîãî ïåðåõîäà è ñêà÷îê òåïëîåìêîñòè ïðè ýòîé
òåìïåðàòóðå.
2. Îïðåäåëèì ýíåðãèþ ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïëîñêîé äîìåííîé
ñòåíêè îðèåíòèðîâàííîé â ïëîñêîñòè (y, z) êàê ðàçíîñòü ìåæäó
ïîòåíöèàëàìè Ãèááñà ñ íåîäíîðîäíûì è îäíîðîäíûì ðàñïðåäåëåíèåì ïàðàìåòðà ïîðÿäêà, îòíåñåííóþ ê åäèíèöå ïëîùàäè. Âû÷èñëèòü ýíåðãèþ ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïëîñêîé äîìåííîé ñòåíêè
â ðàìêàõ òåîðèè Ëàíäàó ñ ó÷åòîì ïðîñòðàíñòâåííîé íåîäíîðîäíîñòè. Óêàçàíèå. Ðåøèòü óðàâíåíèå (11.10) â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, êîãäà η = η(T, x).
174
Ãëàâà 12
Êèíåòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ
Ðàâíîâåñíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèöû â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ðàññìîòðåííûå íàìè äî ñèõ ïîð, çàâèñÿò òîëüêî îò ýíåðãèè. Ïîýòîìó ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïîòîêà ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà (òîêà), ïîòîêà ýíåðãèè è äðóãèõ âåêòîðíûõ âåëè÷èí îáðàùàþòñÿ â íóëü. Òîêè â ñèñòåìå
ìîãóò âîçíèêàòü òîëüêî çà ñ÷åò îòêëîíåíèÿ îò ðàâíîâåñèÿ. Íàøà çàäà÷à
òåïåðü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàó÷èòüñÿ íàõîäèòü íåðàâíîâåñíûå îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Óðàâíåíèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåðàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, íàçûâàþòñÿ êèíåòè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè.
12.1 Óðàâíåíèå Áîëüöìàíà
Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû èç N ÷àñòèö åå
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ wN (p, q) â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîõðàíÿåòñÿ.
Îäíî÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f (p, r, t) ïîëó÷àåòñÿ èç wN (p, q)
èíòåãðèðîâàíèåì ïî âñåì ïåðåìåííûì êðîìå ïàðû (p, r). Â ïðèíöèïå,
âçÿâ çà îñíîâó óðàâíåíèå (2.15), â ðàìêàõ íåêîòîðûõ ïðèáëèæåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äëÿ îäíî÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ f .
Ýòà ïðîãðàììà áûëà ðåàëèçîâàíà â ðàáîòàõ Í.Í. Áîãîëþáîâà è ïîëó÷èëà íàçâàíèå äèíàìè÷åñêîãî âûâîäà êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.
Çäåñü êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå áóäåò ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ ïðàâäîïîäîáíûõ ñîîáðàæåíèé. Íàïîìíèì, ÷òî ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè ðàñ175
ïðåäåëåíèÿ f (p, r, t) ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåëè÷èíà f (p, r, t)d3 rd3 p çàäàåò
äîëþ ÷àñòèö, ÷üè èìïóëüñû è êîîðäèíàòû íàõîäÿòñÿ â ýëåìåíòå îáúåìà
d3 rd3 p îêîëî òî÷êè (p, r) ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, à ñàìà f åñòü ïëîòíîñòü ÷àñòèö â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Äîïóñòèì âíà÷àëå, ÷òî ñòîëêíîâåíèÿìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà îäíó ìîëåêóëó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
çàìêíóòóþ ñèñòåìó è èñïîëüçîâàòü àíàëîã óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ (2.15),
â êîòîðîì âìåñòî ìíîãî÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ wN ñòîèò îäíî÷àñòè÷íàÿ f (p, r, t):
df
∂f
∂f dr ∂f dp
=
+
+
= 0.
dt
∂t
∂r dt
∂p dt
(12.1)
Ñàìîñîãëàñîâàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, ñîñòîÿùàÿ èç (12.1), ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïëàçìå è óðàâíåíèé
äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ è èîíîâ, áûëà ïðåäëîæåíà À.À.Âëàñîâûì. Ñàìîñîãëàñîâàííîé ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ïîòîìó, ÷òî âîçìóùåíèå íåðàâíîâåñíîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö âûçûâàåò âîçìóùåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, âûçûâàþò âîçìóùåíèå
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðåíåáðåæåíèå ñòîëêíîâåíèÿìè âîçìîæíî, åñëè äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèö ìíîãî áîëüøå äëèíû âîëíû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïëàçìå. Èññëåäóÿ ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû, Ë.Ä.Ëàíäàó
îáíàðóæèë çàìå÷àòåëüíîå ÿâëåíèå áåññòîëêíîâèòåëüíîãî çàòóõàíèÿ, íàçâàííîå â åãî ÷åñòü çàòóõàíèåì Ëàíäàó. Îíî îáóñëîâëåíî íå ñòîëêíîâåíèÿìè, à âîçìîæíîñòüþ îáìåíà ýíåðãèåé ìåæäó ýëåêòðîíàìè è ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé â ñëó÷àå, êîãäà ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû ñîâïàäåò ñî
ñêîðîñòüþ ýëåêòðîíîâ. Ïðîòèâîðå÷èÿ çäåñü íåò, ïîñêîëüêó â ñðåäå ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ìîæåò áûòü ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà
â âàêóóìå.
Ïðè ó÷åòå ñòîëêíîâåíèé â óðàâíåíèè (12.1) ñëåäóåò äîïèñàòü ïðàâóþ
÷àñòü, íàçûâàåìóþ èíòåãðàëîì ñòîëêíîâåíèé:
∂f
∂f dr ∂f dp
+
+
= I[f ].
∂t
∂r dt
∂p dt
(12.2)
 òàêîì âèäå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèåì Áîëüöìàíà. I[f ] â îáùåì ñëó÷àå åñòü ôóíêöèîíàë îò íåðàâíîâåñíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàõîæäåíèå åãî êîíêðåòíîãî âèäà ñîñòàâëÿåò âàæíûé ðàçäåë êèíåòèêè. Çäåñü ìû ïîëó÷èì íåñêîëüêî âûðàæåíèé äëÿ I[f ], ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñòîëêíîâåíèÿ äîñòàòî÷íî ðåäêè, à ðàäèóñ äåéñòâèÿ ñèë,
176
îáóñëîâëèâàþùèõ ñòîëêíîâåíèå, ìàë. Âñïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f (p, r, t) ïðîïîðöèîíàëüíà ÷èñëó ÷àñòèö â çàäàííîì ýëåìåíòå
ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà âêðóã òî÷êè (p, r). Ïîýòîìó èçìåíåíèå f âîçíèêàåò çà ñ÷åò ïðèõîäà è óõîäà ÷àñòèö â ýòîò ýëåìåíò çà ñ÷åò ñòîëêíîâåíèé.
Óõîä âîçíèêàåò áëàãîäàðÿ ïåðåõîäó (p, p1 → p′ , p′1 ), âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî â åäèíèöó âðåìåíè îáîçíà÷èì êàê W (p, p1 → p′ , p′1 ). Ñîãëàñíî ïðèíöèïó äåòàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ, ÿâëÿþùåãîñÿ ñëåäñòâèåì èíâàðèàíòíîñòè
îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè, âåðîÿòíîñòè ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïåðåõîäà ðàâíû. Èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé ðàâåí ðàçíîñòè âêëàäîâ ïðèõîäà
è óõîäà. Îí çàïèñûâàåòñÿ ïî-ðàçíîìó â çàâèñèìîñòè îò ñòàòèñòèêè, êîòîðîé ïîä÷èíÿþòñÿ ÷àñòèöû. Åñëè èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà Ìàêñâåëëà
Áîëüöìàíà, èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé èìååò âèä
∫
I[f ] = d3 p1 d3 p′ d3 p′1 W (p, p1 → p′ , p′1 ) [f (p′ )f (p′1 ) − f (p)f (p1 )] . (12.3)
 ïðàâîé ÷àñòè (12.3) ïîäðàçóìåâàåòñÿ îäèí è òîò æå ðàäèóñ-âåêòîð âî
âñåõ ôóíêöèÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ, à ñàìà âåðîÿòíîñòü ñòîëêíîâåíèÿ îò íåãî
âîîáùå íå çàâèñèò. Ýòî ïðàâäîïîäîáíîå ïðåäïîëîæåíèå, ñâÿçàííîå ñ êîðîòêîäåéñòâóþùèì õàðàêòåðîì ñèë ìåæäó ÷àñòèöàìè. Ïðîèñõîæäåíèå
ïðîèçâåäåíèé ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ñòàíîâèòüñÿ ïîíÿòíûì, åñëè ó÷åñòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñòîëêíîâåíèå ïðîèçîøëî, ñîîòâåòñòâóþùåå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå äîëæíî áûòü çàíÿòî. Âåðîÿòíîñòü
ýòîãî êàê ðàç åñòü f .
Ïðè èñïîëüçîâàíèè êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè ïîñëåäíåãî òðåáîâàíèÿ íåäîñòàòî÷íî. Äëÿ ôåðìèîíîâ ïðèíöèï Ïàóëè òðåáóåò, ÷òîáû êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå áûëî ñâîáîäíûì. Âåðîÿòíîñòü ýòîãî ðàâíà 1 − f . Äëÿ áîçîíîâ, íàîáîðîò, åñëè â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè åñòü ÷èñëî ÷àñòèö, ïðîïîðöèîíàëüíîå
f , òî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â íåãî óâåëè÷èâàåòñÿ â 1 + f ðàç. Ñ ó÷åòîì
ýòèõ ñîîáðàæåíèé èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé â êâàíòîâîé ñòàòèñòèêå çàïèñûâàåòñÿ êàê
∫
I[f ] =
d3 p1 d3 p′ d3 p′1 W (p, p1 → p′ , p′1 ) {f (p′ )f (p′1 )[1 ∓ f (p)]×
×[1 ∓ f (p1 )] − f (p)f (p1 )[1 ∓ f (p′ )][1 ∓ f (p′1 )]} .
(12.4)
Âåðõíèé (íèæíèé) çíàê ñîîòâåòñòâóåò ñòàòèñòèêå Ôåðìè Äèðàêà (Áîçå
Ýéíøòåéíà).
Ëþáîïûòíî, ÷òî ðàâíîâåñíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ f0 ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà.  ðàâíîâåñèè ÷àñòíàÿ ïðî177
èçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà íóëþ, à ñàìà f0
åñòü ôóíêöèÿ ïîëíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû: f0 (p, r) = F [p2 /2m+U (r)]. Òîãäà
(
)
∂f0 dr ∂f0 dp
dp
′ p
+
=F
∇U +
=0
∂r dt
∂p dt
m
dt
â ñèëó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Òî åñòü ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà
îáðàùàåòñÿ â íóëü. Çíà÷èò, äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íóëü èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé. Ââîäÿ íîâóþ ôóíêöèþ F (ϵ) = f0 (ϵ)/[1 ∓ f0 (ϵ)], óñëîâèå îáðàùåíèÿ
â íóëü èíòåãðàëà ñòîëêíîâåíèé ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:
F (ϵ)F (ϵ0 − ϵ) = F (ϵ′ )F (ϵ0 − ϵ′ ),
(12.5)
ãäå äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷åíî ϵ ≡ ϵ(p) + U (r), ϵ1 ≡ ϵ(p1 ) + U (r), ϵ′ ≡
ϵ(p′ ) + U (r), ϵ′1 ≡ ϵ(p′1 ) + U (r).Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çäåñü îäíà è òà
æå, ïîñêîëüêó ðàññåÿíèå äâóõ ÷àñòèö ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò êîðîòêîäåéñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà, à âíåøíåå ïîëå U (r) íà òàêèõ ðàññòîÿíèÿõ ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ. Ó÷òåí çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ïðîöåññå ñòîëêíîâåíèÿ: ϵ + ϵ1 = ϵ′ + ϵ′1 = ϵ0 . Åñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü (12.5) ïî ϵ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå F ′ (ϵ)F (ϵ0 − ϵ) − F (ϵ)F ′ (ϵ0 − ϵ) = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
F äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ F ′ /F = const.
Åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ F (ϵ) = eaϵ+b . Òåì ñàìûì ðàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ f0 (ϵ), ïîëó÷åííàÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ èíòåãðàëà
ñòîëêíîâåíèÿ, ðàâíà
f0 (ϵ) =
1
eaϵ+b
±1
=
1
.
exp[(ϵ − µ)/T ] ± 1
(12.6)
 ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå â ýòîì ñîîòíîøåíèè ó÷òåíî, ÷òî ïðîèçâîëüíûå
êîíñòàíòû a = 1/T è b = −µ/T ìîãóò áûòü íàéäåíû ïîñëå ïîëó÷åíèÿ
óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñíîãî ãàçà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ f0 (ϵ).
Ïîêàæåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà W (p, p1 → p′ , p′1 ) â èíòåãðàëå
ñòîëêíîâåíèé âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ
äâóõ ÷àñòèö. Äëÿ ýòîãî âñïîìíèì ïðàâèëî äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà â
åäèíèöó âðåìåíè, âûâåäåííîå â ïåðâîé ÷àñòè êóðñà, ñîãëàñíî êîòîðîìó ýòà âåëè÷èíà äîëæíà âêëþ÷àòü δ -ôóíêöèè, âûðàæàþùèå ñîõðàíåíèå
ýíåðãèè è èìïóëüñà ïðè ñòîëêíîâåíèè:
f (ϵ0 , θ)δ[ϵ(p) + ϵ(p1 ) − ϵ(p′ ) − ϵ(p′ )] ×
W (p, p1 → p′ , p′1 ) = W
1
(3)
′
′
×δ (p + p1 − p − p1 ).
178
f
Äëÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ ôóíêöèÿ W
çàâèñèò îò ïîëíîé ýíåðãèè â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ϵ0 è óãëà ðàññåÿíèÿ θ.
Äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå dσ ðàâíî âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà â åäèíèöó
âðåìåíè, äåëåííîé íà ïîòîê ïàäàþùèõ ÷àñòèö |vp − vp1 |:
dσ =
1
W (p, p1 → p′ , p′1 )d3 p′ d3 p′1 .
|vp − vp1 |
Ïîäñòàâëÿÿ ýòîò ðåçóëüòàò â áîëüöìàíîâñêèé èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé
(12.3), ïîëó÷èì
(
)
∫
dσ
′
′
I[f ] = |vp − vp1 | [f (p )f (p1 ) − f (p)f (p1 )]
d3 p1 dΩp′ .
dΩp′
 ýòîì ðàâåíñòâå ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî âûïîëíåí çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, p + p1 = p′ + p′1 , à èíäåêñ p′ ó äèôôåðåíöèàëà òåëåñíîãî óãëà
óêàçûâàåò íà íàïðàâëåíèå âåêòîðà p′ . Òî÷íî òàêàÿ æå ïîäñòàíîâêà äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ âìåñòî âåðîÿòíîñòè ñïðàâåäëèâà è äëÿ êâàíòîâîãî èíòåãðàëà ñòîëêíîâåíèé (12.4).
12.2 Ðàññåÿíèå íà ïðèìåñÿõ
Èíòåãðàëû ñòîëêíîâåíèé (12.3) èëè (12.4) íåëèíåéíî çàâèñÿò îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Òåì íå ìåíåå, óðàâíåíèå Áîëüöìàíà ìîæåò áûòü ëèíåàðèçîâàíî â ñëó÷àå ðàññåÿíèÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ ÷àñòèö (óñëîâíî ýëåêòðîíàõ) íà ïðèìåñÿõ. Ïóñòü àòîìû ïîñòîðîííåãî âåùåñòâà ðàñïðåäåëåíû â êðèñòàëëå ðàâíîìåðíî ñ ïëîòíîñòüþ ni . Ìû èùåì ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ Òîãäà ïðèõîä è óõîä â ýëåìåíò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà
ñâÿçàí ñ èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ èìïóëüñà ýëåêòðîíîâ ïðè èõ ðàññåÿíèè íà ïðèìåñè. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîòåíöèàë, îïèñûâàþùèé ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà íà ïðèìåñè îáëàäàåò ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèåé. Òîãäà
äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ íå çàâèñèò îò àçèìóòàëüíîãî óãëà
ϕ. Âåëè÷èíà èìïóëüñà è ýíåðãèÿ íå ìåíÿþòñÿ. Èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé
ïðè ðàññåÿíèè íà ïðèìåñÿõ èìååò âèä:
∫
I[f ] = ni W (p → p′ ) {f (p′ )[1 ∓ f (p)] − f (p)[1 ∓ f (p′ )]} d3 p′ =
)
(
∫
dσ
′
dΩp′ ,
(12.7)
= ni |v|[f (p ) − f (p)]
dΩp′
179
ãäå ñíîâà âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â åäèíèöó âðåìåíè âûðàæåíà ÷åðåç äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ íà ïðèìåñè. Çàìåòèì, ÷òî óêàçàíèå íà
êâàíòîâóþ ïðèðîäó ðàññåèâàåìîé ÷àñòèöû âûïàëî èç îòâåòà.  îòëè÷èå
îò (12.3) èëè (12.4), èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé äëÿ ðàññåÿíèÿ íà ïðèìåñÿõ ëèíååí ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íî äàæå â òàêîì âèäå óðàâíåíèå
îñòàëîñü èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûì. Ñäåëàåì åùå îäíî óïðîùåíèå è
áóäåì â äàëüíåéøåì ñ÷èòàòü, ÷òî îòëè÷èå f îò ðàâíîâåñíîé ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ f0 ìàëî:
f (p) = f0 (ϵ) + g(ϵ)(ap).
(12.8)
Ðåøåíèå áóäåò íàéäåíî, åñëè ìû íàéäåì âåêòîð a è ôóíêöèþ g . Âûáåðåì
îñè êîîðäèíàò òàê, ÷òî p = p(0, 0, 1), p′ = p(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ).
Òîãäà f (p′ ) − f (p) = g(ϵ)p(ax sin θ cos ϕ + ay sin θ sin ϕ + az cos θ − az ). Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â (12.7) è ó÷òåì, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå
ðàññåÿíèÿ íå çàâèñèò îò ϕ. Òîãäà èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé äëÿ ðàññåÿíèÿ
íà ïðèìåñÿõ ïðèìåò âèä:
( )
]
[∫
dσ
f − f0
(12.9)
dΩ
(1 − cos θ) (ap)g(ϵ) ≡ −
I[f ] = −ni |v|
dΩ
τ
ãäå
[∫
]
( )
1
dσ
= ni |v|
dΩ
(1 − cos θ) ≡ ni |v|σtrans
(12.10)
τ
dΩ
èìååò ñìûñë îáðàòíîãî âðåìåíè ðåëàêñàöèè ê ðàâíîâåñíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, à
( )
∫
dσ
(1 − cos θ)
σtrans = dΩ
dΩ
íàçûâàåòñÿ òðàíñïîðòíûì ñå÷åíèåì. Óðàâíåíèå Áîëüöìàíà âèäà
∂f
∂f dr ∂f dp
f − f0
+
+
=−
.
∂t
∂r dt
∂p dt
τ
(12.11)
íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áîëüöìàíà â ïðèáëèæåíèè âðåìåíè ðåëàêñàöèè.
×òîáû çàìêíóòü ñèñòåìó, äëÿ êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö íàäî ó÷åñòü âòîðîé
çàêîí Íüþòîíà dp/dt = F .  êâàíòîâîì ñëó÷àå ýëåêòðîííîãî ãàçà â êðèñòàëëå ñëåäóåò íàéòè àíàëîã ýòîãî çàêîíà.
Êàê ìû çíàåì, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå
êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áëîõîâñêóþ âîëíó:
ψp (r) =
1
V
1/2
180
pr
ei ~ up (r).
Ïî ñóùåñòâó, îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêóþ âîëíó, õàðàêòåðèçóåìóþ
êâàçèèìïóëüñîì p, ìîäóëèðîâàííóþ ôóíêöèåé up (r), ïåðèîäè÷íîé ñ ïåðèîäîì ðåøåòêè. Çäåñü V îáúåì êðèñòàëëà. Íèæå ïðè îïèñàíèè êèíåòè÷åñêèõ ÿâëåíèé íàì õîòåëîñü áû ïðèäåðæèâàòüñÿ êâàçèêëàññè÷åñêîé
êîíöåïöèè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñ õîðîøî îïðåäåëåííûìè êâàçèèìïóëüñîì è êîîðäèíàòîé. Ïîñêîëüêó áëîõîâñêàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äàåò
ñîñòîÿíèå ñ ñîâåðøåííî íåîïðåäåëåííîé êîîðäèíàòîé, âîçüìåì âîëíîâîé
ïàêåò, ñîñòàâëåííûé èç âîëí ñî ñëåãêà ðàçëè÷àþùèìèñÿ êâàçèèìïóëüñàìè:
∫
i
i
Ψ(r, t) ∝
d3 pe ~ [pr−ϵ(p)t] up (r) ≈ e ~ [p0 r−ϵ(p0 )t] up0 (r) ×
|p−p0 |<∆p
∫
i ′
∂ϵ
×
d3 p′ e ~ p (r−t ∂p ) .
|p′ |<∆p
Âû÷èñëåíèå ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà â ýòîé ôîðìóëå ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ
)]
)]
)]
[
(
[
(
[
(
∆py
∆pz
∂ϵ
∂ϵ
∂ϵ
sin ∆p~ x x − t ∂p
−
−
sin
y
t
sin
z
t
~
∂py
~
∂pz
x
23 ×
·
·
.
∂ϵ
∂ϵ
∂ϵ
x − t ∂px
y − t ∂py
z − t ∂pz
Ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè â ïðîñòðàíñòâå |Ψ(r, t)|2 èìååò ðåçêèé ïèê,
öåíòð êîòîðîãî äâèæåòñÿ ïî çàêîíó
r=t
∂ϵ
.
∂p
Ïîýòîìó ýëåêòðîí ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ëîêàëèçîâàííîå îáðàçîâàíèå,
ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü êîòîðîãî ðàâíà
v=
∂ϵ
,
∂p
(12.12)
ãäå ϵ ≡ ϵ(p) ñóòü çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå. Ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E èçìåíåíèå ýíåðãèè âîëíîâîãî
ïàêåòà äîëæíî ðàâíÿòüñÿ ðàáîòå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàä çàðÿäîì:
∆ϵ =
∂ϵ
∆p = eEv∆t.
∂p
181
1,0
0,8
ε(p)
0,6
0,4
0,2
0,0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2πpa/h
Ðèñ. 12.1: Äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå. h = 2π~. Ïóíêòèðîì ïîêàçàíû ãðàíèöû ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà
Ñ ó÷åòîì (12.12) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âîëíîâîãî ïàêåòà ýëåêòðîíà:
dp
= eE.
(12.13)
dt
Õîòÿ ïî ôîðìå îíî èìååò âèä âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, îïèñûâàåìàÿ èì
ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà äðóãàÿ èç-çà òîãî, ÷òî p åñòü íå èìïóëüñ, à êâàçèèìïóëüñ, îïðåäåëåííûé ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî âåêòîðà îáðàòíîé ðåøåòêè.
Àíàëèç ñõåìàòè÷åñêîé äèñïåðñèîííîé çàâèñèìîñòè ϵ ≡ ϵ(p) íà ðèñ. 12.1
ïîêàçûâàåò, ÷òî ñêîðîñòü ýëåêòðîíà ðàñòåò ñî âðåìåíåì ëèøü äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ êâàçèèìïóëüñîâ. Ïðè äîñòèæåíèè êâàçèèìïóëüñîì âåëè÷èíû, ïðèáëèæàþùåéñÿ ê ãðàíèöàì ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà, ïîêàçàííûì
íà ðèñóíêå âåðòèêàëüíûìè ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ðåàëüíî ýëåêòðîííûé ïàêåò èñïûòûâàåò ðàññåÿíèå äî
òîãî, êàê êâàçèèìïóëüñ äîñòèãíåò ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ýòîò ïðîöåññ
è ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè ìåòàëëîâ
äàæå ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå.
12.3 Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ýëåêòðîííîãî ãàçà
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîíà â ìåòàëëå èìååò âèä
ϵ = p2 /2m∗ , ãäå m∗ − ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà. Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíò ýëåêòðîïðîâîäíîñòè σ êàê êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
ìåæäó ñðåäíèì òîêîì j è âíåøíèì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì E :
j = σE.
182
(12.14)
E ñ÷èòàåì ïîñòîÿííûì è îäíîðîäíûì. Òîãäà â óðàâíåíèè (12.11) ∂f /∂t =
0, ∂f /∂r = 0. dp/dt âîçüìåì èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âîëíîâîãî ïàêåòà
(12.13). Óðàâíåíèå Áîëüöìàíà ïðèìåò âèä:
eE
f − f0
∂f
=−
.
∂p
τ
(12.15)
Î÷åâèäíî, |a| ∼ |E| â (12.8), ïîýòîìó â ïðèáëèæåíèè ìàëûõ îòêëîíåíèé
îò ðàâíîâåñèÿ ïîëó÷àåì:
e
∂fo
g
(Ep)
= − (ap).
∗
m
∂ϵ
τ
Îáîçíà÷èâ f0′ = ∂f0 /∂ϵ, çàïèøåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12.15):
f = f0 − em∗ f0′ (Ep)/τ.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñëàáûõ ïîëåé ýòî ðåøåíèå ïåðåïèñûâàåòñÿ êàê f (p) =
f0 (p − eτ E), òî åñòü íåðàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà ðàâíîâåñíîé ñî ñäâèíóòûì àðãóìåíòîì. Òåïåðü ìîæíî íàéòè ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ýëåêòðîíîâ:
∫
∫
2e2
d3 p
d3 p
′
=
−
=
(Ep)pf
τ
(ϵ)
j = 2 evf
0
(2π~)3
m∗2
(2π~)3
∫
2e2
d3 p
= σE
(12.16)
= − ∗2 E τ (ϵ)p2 f0′
3m
(2π~)3
Ó÷òåíî, ÷òî ñðåäíåå îò pi pk ïî óãëàì ðàâíî p2 δik /3. Âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà ýëåêòðîïðîâîäíîñòè σ ïîëó÷èì â ñëó÷àå ñèëüíî âûðîæäåííîãî
ýëåêòðîííîãî ãàçà. Òîãäà f0 (ϵ) = θ(ϵF − ϵ), f0′ = −δ(ϵF − ϵ). Ïîëó÷èì
∫
∫
2e2
2d3 p
2e2
m∗
pdp2
σ = − ∗ ϵτ (ϵ)
=
×
ϵτ
(ϵ)δ(ϵ
−
ϵ
)
=
F
3m
(2π~)3
3m∗ π 2 ~3
2m∗
e2 nτ (ϵF )
=
.
(12.17)
m∗
Çäåñü n = N/V = p3F /(3π 2 ~3 ) åñòü ïëîòíîñòü ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëå, âûðàæåííàÿ ÷åðåç èìïóëüñ Ôåðìè pF .
Âåëè÷èíà
1
ρ=
σ
183
íàçûâàåòñÿ óäåëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Åñëè ïðîâîä èìååò ñå÷åíèå S è
äëèíó l, òî â ñëó÷àå ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òîêà ïî ñå÷åíèþ ïðîâîäíèêà ìîæíî çàïèñàòü ñèëó òîêà I êàê I = jS0 , à íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âûðàçèòü ÷åðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U ïî ôîðìóëå
E = U/l. Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ j = σE ïîëó÷èì çàêîí Îìà â îáû÷íîì
âèäå U = IR, ãäå
l
ρl
R=
= .
σS0
S0
Ðàññìîòðåííûé ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå çà ñ÷åò ðàññåÿíèÿ íà ïðèìåñÿõ ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ îñòàòî÷íîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Ýòî íå åäèíñòâåííûé ìåõàíèçì.
Äðóãèå âêëàäû â êîíå÷íóþ ïðîâîäèìîñòü â ìåòàëëå âîçíèêàþò çà ñ÷åò
ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ äðóã íà äðóãå è çà ñ÷åò ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ íà
êîëåáàíèÿõ ðåøåòêè ôîíîíàõ.
12.4 Òåðìîýëåêòðè÷åñêèå ýôôåêòû
Íàéäåì òàê íàçûâàåìûå êèíåòè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû â áîëåå îáùåé
ïîñòàíîâêå, êîãäà êðîìå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E èìååòñÿ ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû ∇T ̸= 0. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðè íàëè÷èè ãðàäèåíòà òåìïåðàòóðû ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïî ýíåðãèè ëîêàëüíî ïîäñòðàèâàåòñÿ
ïîä ôåðìèåâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ òåìïåðàòóðîé T (r). Âðåìÿ ðåëàêñàöèè τ â óðàâíåíèè Áîëüöìàíà (12.11) åñòü çàäàííàÿ ôóíêöèÿ ýíåðãèè
τ ≡ τ (ϵ). Äëÿ íå ñëèøêîì ñèëüíûõ ïîëåé ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12.11)
èùåì â âèäå f = f0 + (av)f0′ , ãäå âåêòîð a ñëåäóåò íàéòè, f0′ = ∂f0 /∂ϵ, à
f0 åñòü ðàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè:
f0 =
1
e(ϵ−µ)/T
+1
.
ßâíîé çàâèñèìîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îò âðåìåíè íåò, ïîýòîìó
óðàâíåíèå Áîëüöìàíà â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä
(v∇)f0 + f0′ e(vE) = −
f0′
(av).
τ
Ýòî óðàâíåíèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáûõ ñêîðîñòåé, ïîýòîìó, ñ
184
ó÷åòîì ðàâåíñòâà
(
∇f0 =
−f0′
)
ϵ−µ
∇T + ∇µ ,
T
íàõîäèì ðåøåíèå:
(
a=τ
)
ϵ−µ
∇T + ∇µ − eE ,
T
îòêóäà ïîëó÷àåì íåðàâíîâåñíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:
(
)
ϵ−µ
′
f = f0 + τ f0 v,
∇T − eE + ∇µ .
T
(12.18)
Ïîñêîëüêó íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîòåíöèàë êàê E = −∇φ, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî eE − ∇µ = −∇(eφ + µ),
à êîìáèíàöèÿ eφ + µ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîõèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì.
Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè κ îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ñîîòíîøåíèå
ìåæäó ïîòîêîì òåïëà q , ïåðåíîñèìîãî ýëåêòðîíàìè è ãðàäèåíòîì òåìïåðàòóðû:
q = −κ∇T.
 áîëüøîì êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå îáû÷íîå âûðàæåíèå äëÿ ïîòîêà òåïëà
â âèäå
∫
d3 p
q=2
ϵvf
(2π~)3
íå ñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó ôèêñèðóåòñÿ íå ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö N , à
õèìïîòåíöèàë µ. Íàéäåì ïðàâèëüíîå âûðàæåíèå èç ñîîòíîøåíèÿ
d(E − µN ) = dE − d(µN ) = T dS − P dV − N dµ.
Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî êîëè÷åñòâî òåïëà ïðè ôèêñèðîâàííîì
îáúåìå è õèìïîòåíöèàëå (δQ)V,µ = d(E − µN ), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî êîëè÷åñòâî òåïëà, ïåðåíîñèìîãî îäíîé ÷àñòèöåé â áîëüøîì êàíîíè÷åñêîì
àíñàìáëå, ðàâíî ϵ − µ. Òîãäà ïîëíûé ïîòîê òåïëà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
âûðàæåíèÿ
∫
d3 p
q=2
(ϵ − µ)vf.
(12.19)
(2π~)3
185
Ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ýëåêòðîíîâ ïî-ïðåæíåìó äàåòñÿ ôîðìóëîé
∫
d3 p
j = 2 evf
.
(12.20)
(2π~)3
Ïîäñòàâëÿÿ â ýòè âûðàæåíèÿ íåðàâíîâåñíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
(12.18) è âûïîëíèâ óñðåäíåíèå ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà ñêîðîñòè àíàëîãè÷íî òîìó, êàê áûëî îïèñàíî âûøå ïîñëå ôîðìóëû (12.16), ïîëó÷èì:
)
(
∇T
+ AqE (eE − ∇µ) ,
q = AqT −
T
(
)
j
∇T
= AjT −
+ AjE (eE − ∇µ) .
(12.21)
e
T
×èñëà AqT , AqE , AjT , AjE , íàçûâàþòñÿ êèíåòè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè.
Îíè èìåþò âèä:
∫
4
d3 pf0′ (ϵ − µ)2 ϵτ (ϵ),
AqT = − ∗
3m (2π~)3
∫
4
σ
AjE = − ∗
d3 pf0′ ϵτ (ϵ) ≡ ,
3
3m (2π~)
e
∫
4
AqE = AjT = − ∗
d3 pf0′ (ϵ − µ)ϵτ (ϵ).
(12.22)
3m (2π~)3
Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ðàâåíñòâî AqE = AjT â ïîñëåäíåé ñòðîêå (12.22),
óñòàíîâëåííîå ÿâíûì âû÷èñëåíèåì, íà ñàìîì äåëå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì áîëåå îáùåãî ïðèíöèïà ñèììåòðèè êèíåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ,
ñôîðìóëèðîâàííîãî è äîêàçàííîãî Ë. Îíçàãåðîì.
×àñòíûé ñëó÷àé ñèñòåìû óðàâíåíèé (12.21) ïðè ∇T = 0, q = 0 óæå
áûë ðàçîáðàí â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, êîãäà áûë íàéäåí êîýôôèöèåíò
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè σ . Ýòî îòðàæåíî âî âòîðîé ñòðîêå ðàâåíñòâ (12.22).
Âû÷èñëèì êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ýëåêòðîíîâ κ ïðè E = 0.
 íóëåâîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïîòîê çàðÿäà j ðàâåí íóëþ, ïîýòîìó èç
âòîðîãî óðàâíåíèÿ (12.21) ìîæíî íàéòè ãðàäèåíò ýëåêòðîõèìè÷åñêîãî
ïîòåíöèàëà:
(
)
∇T
AjT
−
.
∇(eφ + µ) =
AjE
T
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå (12.21), ïîëó÷àåì ïîòîê
òåïëà:
(
)
AqT AjE − A2jT
∇T
q=
−
.
(12.23)
AjE
T
186
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êèíåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ (12.22) âíà÷àëå ïåðåõîäèì ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ýíåðãèè ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ
d3 p
(2m∗ )3/2 ϵ1/2
=
dϵ,
(2π~)3
4π 2 ~3
ñïðàâåäëèâîãî â ñëó÷àå êâàäðàòè÷íîãî çàêîíà äèñïåðñèè ϵ = p2 /2m∗ ñ
ýôôåêòèâíîé ìàññîé m∗∫. Çàòåì èíòåãðèðóåì
è ïåðåáðàñûâàåì
∫ ∞ ïî ÷àñòÿì
∞
d
′
′
ïðîèçâîäíóþ ïî ϵ ñ f0 : 0 dϵf0 (· · · ) = − 0 dϵf0 dϵ (· · · ). Îñòàþùååñÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ϵ âûïîëíÿåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (5.18). Ïîêàæåì ýòî,
âû÷èñëÿÿ AqT :
∫
(2m∗ )3/2 ∞ 3/2
df0
(2m∗ )3/2
AqT = − 2 ∗ 3
ϵ (ϵ − µ)2 τ (ϵ) dϵ = 2 ∗ 3 ×
3π m ~ 0
dϵ
3π m ~
{∫ µ
2
2
]
d [ 3/2
π T
×
ϵ (ϵ − µ)2 τ (ϵ) dϵ +
×
6
0 dϵ
}
]
d2 [ 3/2
(2m∗ µ)3/2 π 2 T 2 τ (µ)
2
× 2 ϵ (ϵ − µ) τ (ϵ) |ϵ=µ =
≈
dϵ
9π 2 m∗ ~3
π 2 (2m∗ ϵF )3/2 τ (ϵF )T 2
π 2 T 2 nτ (ϵF )
≈
=
.
9π 2 m∗ ~3
3m∗
Ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó äëÿ âûðîæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìåòàëëå T ≪ µ, ïîýòîìó µ ≈ ϵF . Ñì. (5.20). Äåéñòâóÿ
àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò AjT ∝ T 2 . Ïîýòîìó â
ôîðìóëå (12.23) îòíîøåíèå A2jT /(AqT AjE ) ∝ T 2 ïðåíåáðåæèìî ìàëî, è
ñëàãàåìîå A2jT ìîæíî îòáðîñèòü. Îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëå ìîæíî çàïèñàòü êàê
κ=
π 2 τ (ϵF )T
.
3m∗
Ïðèíÿâ âî âíèìàíèå (12.17) ìîæíî íàéòè îòíîøåíèå êèíåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ:
κ
π2T
=
.
(12.24)
σ
3e2
Âèäíî, ÷òî èç ýòîãî îòíîøåíèÿ âûïàëè ñïåöèôè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðîííîãî ãàçà, òàêèå êàê âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà ñ
ýíåðãèåé Ôåðìè τ (ϵF ) è åãî ýôôåêòèâíàÿ ìàññà m∗ . Îñòàëàñü ëèøü çàâèñèìîñòü îò çàðÿäà è òåìïåðàòóðû. Ïî ýòîé ïðè÷èíå îòíîøåíèå (12.24)
íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Âèäåìàíà Ôðàíöà.
187
Ðèñ. 12.2: Ýôôåêò Çååáåêà
Ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (12.21) è (12.22) ìîæíî ïðîâåñòè àíàëèç òåðìîýëåêòðè÷åñêèõ ýôôåêòîâ. Òàê íàçûâàþòñÿ ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñî
âçàèìíûì ïðåâðàùåíèåì òåïëîâîé ýíåðãèè â ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî
òîêà. Ïðè îáñóæäåíèè òåðìîýëåêòðè÷åñêèõ ýôôåêòîâ ãðàäèåíò õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ∇µ ìîæíî óáðàòü ïóòåì ïåðåîïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, ò.å. çàìåíÿÿ åãî íà ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë
êàê áûëî óêàçàíî âûøå. Ïîýòîìó íèæå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ∇µ = 0.
Åñëè òîê â öåïè ðàâåí íóëþ j = 0, òî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (12.21) ïîëó÷èì, ÷òî
AjT
∇T ≡ Q∇T.
E=
eT AjE
Âåëè÷èíà
Q=
AjT
eT AjE
(12.25)
íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîé òåðìîýäñ. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â öåïè èìååòñÿ ý. ä. ñ. Äëÿ îáíàðóæåíèÿ ýôôåêòà èñïîëüçóåòñÿ ñõåìà íà ðèñ. 12.2.
Îíà ñîñòàâëåíà èç äâóõ ìåòàëëîâ A è B òàê, ÷òî ìåñòà èõ ñîåäèíåíèÿ íàõîäÿòñÿ ïðè ðàçíûõ òåìïåðàòóðàõ T1 è T2 .HÂ ìåñòå ïîäñîåäèíåíèÿ âîëüòìåòðà òåìïåðàòóðà ðàâíà T0 . Ïîñêîëüêó Edl = 0, âîëüòìåòð ïîêàæåò
íàïðÿæåíèå
∫ 2
∫ 0
∫ 2
∫ 1
EB dl +
EA dl +
EB dl =
(EA − EB )dl =
U =
0
1
2
1
∫ T2
∫ 2
(QA − QB )dT.
(QA − QB )∇T dl =
=
T1
1
188
ũ
ũ
Ðèñ. 12.3: Ýôôåêò Ïåëüòüå
Ýôôåêò âîçíèêíîâåíèÿ ý. ä. ñ. ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ íàçûâàåòñÿ
ýôôåêòîì Çååáåêà.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè â öåïè ãðàäèåíò òåìïåðàòóð ðàâåí íóëþ ∇T =
0, òî èç óðàâíåíèÿ (12.21) íàõîäèì ñâÿçü ìåæäó ïîòîêîì òåïëà è ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì:
AqE
q=
j ≡ Πj.
eAjE
Âåëè÷èíà
Π=
AqE
eAjE
(12.26)
íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì Ïåëüòüå. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ðåàëèçàöèÿ
ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàíà íà ðèñ. 12.3. Ïóñòü â öåïè çà ñ÷åò áàòàðåè òå÷åò
ïîòîê çàðÿäà j . Òîãäà ÷åðåç âåòâü A áóäåò òå÷ü ïîòîê òåïëà qA = ΠA j ,
à ÷åðåç âåòâü B ïîòîê òåïëà qB = ΠB j .  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïîòîêà òåïëà íà êîíòàêòàõ îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà îäíîì êîíòàêòå áóäåò
ïîãëîùàòüñÿ ïîòîê òåïëà (ΠA − ΠB )j , à íà äðóãîì âûäåëÿòüñÿ. Îäèí
èç êîíòàêòîâ áóäåò îõëàæäàòüñÿ, à äðóãîé íàãðåâàòüñÿ. ßâëåíèå íàáëþäàëîñü ýêñïåðèìåíòàëüíî è ïîëó÷èëî íàçâàíèå ýôôåêòà Ïåëüòüå.
Ñðàâíåíèå âûðàæåíèé (12.25) è (12.26) ïîêàçûâàåò, ÷òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå Π = QT, ÿâëÿþùååñÿ îäíèì èç ñîîòíîøåíèé Òîìïñîíà. Êàê
ñëåäóåò èç âûâîäà, ñàìè ýòè ñîîòíîøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì áîëåå
îáùèõ ñîîòíîøåíèé Îíçàãåðà, óïîìÿíóòûõ âûøå.
189
12.5 Âÿçêîñòü
Ðàññìîòðèì, êàê âû÷èñëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè êëàññè÷åñêîãî
ìàêñâåëëîâñêîãî ãàçà. Äëÿ ýòîãî íóæíî çàäàòü ñòàöèîíàðíûé ïîòîê ìîëåêóë ñ íåêîòîðûì ïðîôèëåì ñêîðîñòè u ≡ u(r). ßâíûé âèä ïðîôèëÿ
áóäåò óêàçàí íèæå. Ïîëíàÿ ñêîðîñòü ìîëåêóëû ãàçà v = u + v ′ , ãäå v ′
åñòü õàîòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ u, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà (4.7):
( m )3/2
2
f0 ≡ f0 (v ) =
e−m(v−u) /2T .
2πT
′
Ïóñòü èìååòñÿ ïëîñêàÿ ñòåíêà, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè yz , è ïëîñêèé
ïîòîê ãàçà âäîëü îñè x, òàêîé, ÷òî ïî îñè y åñòü ãðàäèåíò ñêîðîñòè
ux = Ay . Âäîëü îñè z ñèòóàöèÿ ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîðîäíà. Âÿçêîñòü
âîçíèêàåò èç-çà òðåíèÿ ñîñåäíèõ ïëîñêî-ïàðàëëåëüíûõ ñëîåâ ãàçà îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. Ðàâåíñòâî ñêîðîñòè íóëþ ïðè y = 0 îòâå÷àåò òîìó,
÷òî íà ñòåíêå ñêîðîñòü ïîòîêà îáðàùàåòñÿ â íóëü çà ñ÷åò ñèë ìîëåêóëÿðíîãî ïðèòÿæåíèÿ ìàòåðèàëà ñòåíêè è ìîëåêóë ãàçà. Êîýôôèöèåíò
âÿçêîñòè η îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
Fx = −η
∂ux
,
∂y
(12.27)
ãäå Fx åñòü x-êîìïîíåíòà ñèëû òðåíèÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè îäíîãî ñëîÿ
ãàçà îòíîñèòåëüíî äðóãîãî. Ïîñêîëüêó ñèëà ðàâíà èçìåíåíèþ èìïóëüñà
çà åäèíèöó âðåìåíè, ðàñ÷åò Fx , à ñëåäîâàòåëüíî è η ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà â x-íàïðàâëåíèè, ïåðåíîñèìîãî õàîòè÷åñêè äâèæóùèìèñÿ ÷àñòèöàìè â y -íàïðàâëåíèè:
∫
Fx = nm d3 v ′ vx vy f (v).
(12.28)
Íåðàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà â τ -ïðèáëèæåíèè (12.11), â êîòîðîì íàäî ó÷åñòü, ÷òî ÿâíîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè íåò, ∂f /∂t = 0, à âíåøíèå ñèëû îòñóòñòâóþò: ṗ = 0.
Ïîëó÷èì óðàâíåíèå
f − f0
.
∇f · v = −
τ
190
Ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåãóëÿðíàÿ êîìïîíåíòà äâèæåíèÿ ïîòîêà
íå èñêàæàåò ëîêàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ, ãðàäèåíò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí ãðàäèåíòó ðàâíîâåñíîé ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ f0 . Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà
∂f0
∂f0 ∂uj
=
,
∂xi
∂uj ∂xi
mvj′
∂f0
= f0
,
∂uj
T
äëÿ âûáðàííîãî ïðîôèëÿ ñêîðîñòè íàõîäèì íåðàâíîâåñíóþ ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ:
(
)
∂f0 ∂uj
τ mf0 ′
∂ux
f = f0 − τ v i
= f0 −
v vy
.
∂uj ∂xi
T x
∂y
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (12.28), ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò ñ (12.27) è
ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âðåìÿ ðåëàêñàöèè τ íå çàâèñèò îò ýíåðãèè, ïîëó÷èì
âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè:
∫
∫
nm2 τ
nm2 τ
3 ′ ′2 ′2
′
d v vx vy f0 (v ) =
dΩ sin4 θ sin2 ϕ cos2 ϕ ×
η =
T
T
∫
4π ( m )3/2 nm2 τ
nm2 τ ∞
6
dvv f0 (v) =
×
×
T
15 2πT
T
0
∫ ∞
2
dvv 6 e−mv /2T = nτ T.
(12.29)
×
0
Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà ïî v áûëà ïðèìåíåíà çàìåíà ïåðåìåííûõ
x = mv 2 /2T∫ è èñïîëüçîâàíî èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ Γ-ôóíêöèè
∞
Γ(z + 1) = 0 dxxz e−x .
12.6 Çàäà÷è
1. Íà ïðèìåðå êëàññè÷åñêîãî îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà ïîêàçàòü,
÷òî ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû a è b â (12.6) ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
1/T è −µ/T .
2. Ñäåëàâ ðàçóìíûå ïðåäïîëîæåíèÿ î ìèíèìàëüíîì è ìàêñèìàëüíîì
óãëàõ ðàññåÿíèÿ, âû÷èñëèòü òðàíñïîðòíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ â êóëîíîâñêîì ïîëå. Íàéòè îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå âåëè÷èíû ýòîãî
ñå÷åíèÿ ïðè èçìåíåíèè îäíîãî èç ýòèõ óãëîâ â äâà ðàçà.
191
3. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè êëàññè÷åñêîãî ðàçðåæåííîãî ãàçà â ïðèáëèæåíèè âðåìåíè ðåëàêñàöèè, ïðåäïîëàãàÿ çàâèñèìîñòü τ (ϵ) = τ0 (ϵ/ϵ0 )s .
4. Âû÷èñëèòü òåíçîð ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ýëåêòðîííîãî ãàçà âî âíåøíåì ïîñòîÿííîì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïîëó÷èòü èç íåãî âûðàæåíèå äëÿ ïîñòîÿííîé Õîëëà.
5. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò äèôôåðåíöèàëüíîé òåðìîýäñ Q.
192
Ëèòåðàòóðà
[1] Þ. Á. Ðóìåð, Ì. Ñ. Ðûâêèí. Îñíîâû òåðìîäèíàìèêè, ñòàòèñòè÷åñêîé
ôèçèêè è êèíåòèêè, Íàóêà, Ìîñêâà (1977).
[2] È. Ô. Ãèíçáóðã.
"Ëàíü"(2007).
Ââåäåíèå
â
ôèçèêó
òâåðäîãî
òåëà,
èç-âî
[3] Ã. Ë. Êîòêèí. Ëåêöèè ïî ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå. ÐÈÖ ÍÃÓ (2003).
[4] Ê. Õóàíã. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, Ìèð, Ìîñêâà (1966).
[5] Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà ÷. 1, Íàóêà,
Ìîñêâà (1976).
[6] ×. Êèòòåëü. Ââåäåíèå â ôèçèêó òâåðäîãî òåëà, Íàóêà, Ìîñêâà (1978).
[7] Ì. Â. Âîëêåíøòåéí. Ýíòðîïèÿ è èíôîðìàöèÿ. Íàóêà, Ìîñêâà (1986).
[8] Ì. À. Ëåîíòîâè÷. Ââåäåíèå â òåðìîäèíàìèêó. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà. Íàóêà, Ìîñêâà (1983).
[9] ×. Êèòòåëü. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåðìîäèíàìèêà. Íàóêà, Ìîñêâà (1977).
193