Застосування різних способів розкладання многочленів на множники

Застосування різних способів
розкладання многочленів на
множники
Переконаємося в тому, що
розкладання многочлена на
множники – річ корисна!
 Розв’яжемо рівняння
2x  x  6  0
2
Для таких рівнянь, а вони називаються
квадратними, є алгоритм розв’язання, але ви його
поки що не знаєте. Як бути?
На допомогу нам
прийде вміння розкладати
многочлен на множники
2x  x  6 
2
 2 x  4 x  3x  6 
2
 2 xx  2  3x  2  x  22 x  3
Рівняння набуває вигляду:
x  22x  3  0
звідки й дістаємо відповідь:
3
x1  2; x2  .
2
Розглянемо іншу ситуацію
 Нехай потрібно знайти значення
числового виразу
53  47
2
2
61  39
2
2
Зрозуміло, що найефективнішим способом
розв’язання є розкладання чисельника і
знаменника дробу на множники за допомогою
формули різниці квадратів

53  47
53  47 53  47 6 100
3



2
2
61  3961  39 100  22 11
61  39
2
2
А тепер розглянемо непросту ситуацію, до
розв’язання якої ключем також послужить
уміння розкладати вирази на множники
 Задача. Довести, що для будь-якого
натурального числа n вираз n3+3n2+2n
ділиться без остачі на 6.
Давайте спробуємо розв’язати цю
задачу.
 Якщо n=1, то n2+3n2+2n=1+3+2=6
 якщо n=2, то 23+3·22+2·2=24
 якщо n=3, то 33+3·32+2·3=60
Але зрозуміло, що перебрати всі
натуральні числа не реально.
Як же бути?
Знову звернемося до розкладання
многочлена на множники:


n  3n  2n  n n  3n  2 
3
2

2

 n n  n  2n  2 
2
 nnn  1  2n  1 
 nn  1n  2 ,
де n, n+1, n+2 – послідовні натуральні числа. А це
означає, що одне з них завжди парне, а інше
обов’язково буде ділитися на 3. Отже, і весь добуток
буде ділитись на 6.

Розгляд таких завдань переконує нас у
наступному: треба добре навчитися
розкладати многочлени на множники