Задача 4*: Площадь трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Пусть основания трапеции равны a и 2a, высота трапеции равна h. Площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту, то есть: Рассмотрим два возможных случая: I. Точка P лежит на большем основании трапеции 1) Треугольники AMP и BMC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (AP = BC по условию, ∠PAM = ∠BCM, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠APM= ∠CBM, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BP). Из этого следует, что BM = MP. Аналогично доказывается, что CN = NP, а это означает, что MN — средняя линия треугольника BPC, поэтому: 2)Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠OAD = ∠OCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠OBC = ∠ODA, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BD), коэффициент подобия: 3) Это означает, что относятся и треугольников h1 и h2: таким же высоты образом этих а с учетом того, что h1 + h2 = h получаем, что: Тогда площадь треугольника BOC равна: 4) Прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна BC, поскольку MN— средняя линия треугольника BPC. Треугольники OMN и BOC подобны по двум углам (∠CBO = ∠ONM, так как являются накрест лежащими при параллельных BC, MN и секущей BN, ∠BCO = ∠OMN, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных BC, MN и секущей CM), коэффициент подобия равен: Значит площади треугольников OMN и BOC относятся как квадрат их коэффициента подобия, то есть: II. Пусть теперь точка P лежит на меньшем основании 1) Треугольники AMP и MCB подобны по двум углам (∠MAP = ∠MCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠AMP = ∠BMC, так как являются вертикальными углами), коэффициент подобия: 2) 3) по Это значит, что имеет место равенство Треугольники BOC и AOD подобны двум углам (∠OAD = ∠OCB, так как являются накрест лежащими при Аналогично доказывается, что: параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠OBC = ∠ODA, поскольку являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BD), коэффициент подобия: Треугольники PMN и PBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (соотношения (1) и (2), ∠BPC — общий), коэффициент подобия треугольников: Это значит, что таким же образом относятся и их высоты (h1 — высота треугольника AOD, h2 — высота треугольника BOC): Это означает, что: а с учетом того, что h1 + h2 = h получаем, что: 4)Тогда площадь треугольника BOC равна: У подобных треугольников соответствующие углы равны, а значит, рассматривая опять подобные треугольники PMN и PBC, находим, что ∠MNP = ∠BCP. Но эти углы являются соответствующими при прямых MN, BC и секущей PC. Их равенство означает, что прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна прямой, содержащей в себе отрезок BC. 5) Треугольники MON и OBC подобны по двум углам (∠MNO = ∠OBC, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, MN и секущей BN, ∠MON = ∠BOC как вертикальные), коэффициент подобия: Тогда площадь треугольника BOC равна: 6) У подобных треугольников соответствующие углы равны, а значит, рассматривая опять подобные треугольники PMN и PBC, находим, что ∠MNP = ∠BCP. Но эти углы являются соответствующими при прямых MN, BC и секущей PC. Их равенство означает, что прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна прямой, содержащей в себе отрезок BC. Треугольники MON и OBC подобны по двум углам (∠MNO = ∠OBC, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, MN и секущей BN, ∠MON = ∠BOC как вертикальные), коэффициент подобия: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому: Ответ: 22,5 или 14,4.
