Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Новомеловатская средняя общеобразовательная школа Калачеевский район Воронежская область VII межмуниципальная научно-практическая конференция обучающихся общеобразовательных организаций «Школьная исследовательская инициатива» Физико-математическая секция Эти загадочные проценты Исследовательская работа Автор - Грищенко Максим, 7 класс Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Новомеловатская средняя общеобразовательная школа Калачеевский район Воронежская область Научный руководитель – Медведева Татьяна Петровна учитель математики Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Новомеловатская средняя общеобразовательная школа Калачеевский район Воронежская область х. Хвощеватое, 2017 г. Оглавление: 1. Введение..…………………………………………………………….3 - 4 с 2. Основная часть...…………………………………………................ 5-14 с 2.1. История возникновения процента..........…………………………... 5 с 2.2. Понятие «процент»........…...…...………………………................. 6-7 с 2.3. Социологический опрос……………………………………………. ..8 с 2.4. Виды задач на проценты и способы их решения………………..9-10 с 2.5. Процентные расчёты в разных сферах деятельности…………11-14 с 3. Заключение…………………………………………………….............. 15 с 4. Список литературы……………………...…...…...…............................. 16 с 2 1. Введение В жизни важно обладать знаниями, но важнее уметь их применять. Одна из главных задач математического образования - обеспечение математической грамотности школьников: готовность и способность решать жизненные задачи с помощью математики. Актуальность. «Проценты» - одна из сложнейших тем математики. Значение этой темы очень велико. Она затрагивает многие сферы нашей жизни: финансовую, экономическую, социальную, интеллектуальную, личную, демографическую и др. Изучение процентов продиктовано самой жизнью. Мы ежедневно получаем информацию в процентах: на 14 марта полеводы подкормили озимые на 17% всего массива, магазин предоставляет скидку на все товары на 20%, банк начисляет 5,1 % годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д. Человек должен уметь свободно просчитать предложения магазинов, различных банков, кредитных отделов и выбирать наиболее выгодные. Текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс основной и средней школ. В прошлом году моя сестра сдавала экзамен по математике, т. к. заканчивала 9 классов. При подготовке к экзамену она пользовалась пособием «Математика. Подготовка к ОГЭ - 2016» под редакцией Ф. Ф. Лысенко. Из любопытства я полистал книгу и обнаружил, что каждый тренировочный вариант содержит задачу на проценты. Некоторые из них я включил в свою исследовательскую работу. Цель работы: расширение знаний о применении процентных вычислений в различных сферах деятельности и жизни человека. Задачи: 1. выяснить историю происхождения процентов; 2. рассмотреть основные типы задач на проценты; 3. раскрыть практическую значимость процентов; 3 4. показать широту применения процентных вычислений при решении задач из разных сфер жизнедеятельности человека; 5. провести статистическое исследование; 6. обобщить результаты работы. Объект исследования: различные типы задач по теме «Проценты». Предмет исследования: практические задачи на проценты и процентное содержание, иллюстрирующие использование процентных расчетов в различных сферах жизнедеятельности человека. Методы исследования: 1. теоретический анализ научной и учебной литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет, систематизация полученной информации, обобщение выводов; 2. практический метод: решение различных задач на проценты, в том числе из сборников ОГЭ, представление результатов исследований в виде таблиц; 3. опросно-диагностический метод. 4 2. Основная часть 2.1. История возникновения процента Слово «процент» произошло от латинского слова «pro centum» и означает буквально «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, то есть, пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, то есть сложные проценты (так их называют в наше время). Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческую тайну фирмы. 5 Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Он известен замечательным разнообразием научных открытий. 2.2. Что такое процент? Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, теперь проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается с конца XVIII века. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтеховского (первое издание 1795 года) и Т.Ф. Осиповского (первое издание 1802 года). В обоих учебниках имеется по несколько задач «на проценты по вкладу», но Е. Войтеховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент». Знак « %» происходит, как полагают, от итальянского слова «cento» (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно «cto». Путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t превратилась в наклонную черту (/) и возник современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где наборщик по ошибке вместо «cto» напечатал «%». Нынче процент – это сотая доля целого, принимаемого за единицу. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, то есть 13 сотых от зарплаты; 3,5% жира в молоке означает, что 3,5 сотых массы продукта составляет жир или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,5 грамма жира. Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. 6 В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов, поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, три пятых — 60%, а один – 100%. Знание наизусть соотношений из таблицы облегчит решение многих задач. Дробь Десятичная дробь Проценты 1/2 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 1/10 1/20 1/50 0,5 0,25 0,75 0,2 0,4 0,6 0,1 0,05 0,02 50% 25% 75% 20% 40% 60% 10% 5% 2% 7 2.3. Социологический опрос Я решил провести опрос жителей нашего села с целью выяснения, знают ли они определение процента. Было опрошено 40 человек, возраст которых от 10 лет и старше. На вопрос «Что такое процент?» были получены следующие ответы: Варианты ответов Число ответивших % Сотая часть числа 25, в т.ч. 17 учащихся 62,5 Что-то из математики 8 20 Это прибыль 2 5 Банковские расчёты 3 7,5 Затрудняюсь 2 5 ответить Вывод: опрос показал, большая часть опрошенных знает, что такое процент. 8 2.4. Виды задач на проценты и способы их решения. Основные задачи на проценты можно разделить на три группы: 1) Нахождение процентов от числа. Чтобы найти проценты от числа, нужно: 1) представить проценты в виде дроби (десятичной или обыкновенной); 2) умножить число на эту дробь. Задача: Плата за телефон составляет 400 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 9% . На сколько рублей повысится плата в следующем году? [5,115 ] Решение: 9% = 0,09; 400 · 0,09 = 36 (р.) повысится плата за телефон в следующем году . Ответ: на 36 рублей. 2) Нахождение числа по его процентам. Чтобы найти число по его процентам, нужно: 1) представить проценты в виде дроби (десятичной или обыкновенной); 2) разделить значение процентов на эту дробь. Задача: Вес Вани равен 45 кг и составляет 90% от среднего веса мальчиков того же возраста, что и Ваня. Какой средний вес мальчиков Ваниного возраста? [5,125] Решение: 90% = 0,9; 45 : 0,9 = 50 (кг) средний вес мальчиков . Ответ: 50 кг 3) Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо: 1. найти отношение этих чисел, т. е. одно число разделить на другое; 2. результат умножить на 100 и дописать знак процента. Задача: Поступивший в продажу в сентябре мобильный телефон стоил 2400 рублей. В октябре он стал стоить 1320 рублей. Сколько процентов составляет новая цена от первоначальной? [5,94] Решение: 1) 1320 : 2400 = 0,55 = 55% составляет новая цена от первоначальной? 9 Ответ: 55% Задачи, связанные с банковскими расчетами решаются с помощью сложных процентов. Я хотел бы в будущем разобраться с их решением, так как сегодня мне не хватает знаний. Решение задач на проценты составлением пропорции. При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть – величина a – принимается за x % и составляется пропорция: = Из пропорции по двум известным величинам определяют неизвестную третью величину, пользуясь правилами нахождения неизвестного крайнего (среднего) члена пропорции. Задача . В парке растёт 36 берёз. Сколько всего деревьев в парке, если клёны составляют 52%? Решение: Берёзы составляют 100% - 52% = 48% всех деревьев. Берёзы: Все деревья: 36 д. - 48% х д. - 100% Составляем пропорцию: х= = = 75 Ответ: 75 деревьев. Решение задач на проценты алгебраическим методом. Задача. Одна из сторон прямоугольника на 42% больше другой, его площадь равна 568 см2. Найдите меньшую из сторон прямоугольника. Решение: Пусть х см – меньшая сторона прямоугольника, тогда большая сторона - 1,42 х см. Площадь прямоугольника равна 568 см2. Составим и решим уравнение: х · 1,42 х = 568, 1,42х2 = 568, х2 = 400, х1 = 20 и х2 = - 20, -20 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: Меньшая сторона прямоугольника равна 20 см. 10 2.5. Проценты в повседневной жизни Можно и нужно для задач брать примеры из окружающей жизни. Н.К. Крупская Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я показал это на следующих задачах. Зарплата. Мне не раз приходилось слышать выражение «грязная зарплата». Я никак не мог понять, где она испачкалась. Первые разъяснения по этому вопросу мне дала мама, а более подробно этот вопрос был рассмотрен на уроке математики, когда мы изучали тему «Проценты». Я решил проанализировать зарплату мамы и выяснить, как из «грязной» получается «чистая» зарплата. Мама работает библиотекарем Хвощеватовской сельской библиотеки. Её оклад составляет 8091рубля. В нашей семье 2 детей, значит, сумма, не облагаемая налогом, составляет 1400 • 2 = 2800 рублей. 8091 – 2800 = 5291– сумма, которая облагается 13% налогом – НДФЛ. 5291 • 0,13 = 688 р. Значит, «чистая» зарплата мамы составляет 8091 – 688 = 7403 рубля. Ответ: 7403рубля. Бюджет семьи В начале своей исследовательской работы я изучил много различной литературы о процентах. Меня заинтересовала информация о бюджете семьи: чтобы достичь финансового успеха, необходимо разделить общий доход семьи на три части: 50% - на нужды семьи (продукты, платежи, транспорт и т. п.) 30% - на желанные вещи (хобби, путешествия, походы в кино, театр и др.) 20% - на сбережения. 11 Сначала откладываем 20%, а потом тратим на всё остальное. Рассчитаю бюджет нашей семьи, доход которой составляет 15000 + 7400 = 22400 рублей. На сбережения 20% 22400 • 0,2 = 4480 На необходимые вещи 50% 22400 • 0,5 = 11200 На желанные вещи 30% 22400 • 0,3 = 6720 Вывод: На практике получается совсем другой расклад бюджета: на желанные вещи, да и на сбережения не всегда остаётся указанное количество денег, т. к. постоянно происходит повышение цен на продукты питания, одежду и другие услуги. Задача по вкладу. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. Сбербанк начисляет на срочный вклад 9% годовых. Какая сумма будет на счету вкладчика через год? [4,99] Решение: 9% = 0,09; 5 000 • 0,09 = 450 р., то через год на счету вкладчика будет 5000 + 450 = 5450 (р.). Ответ: 5450 руб. Здравоохранение. Задача. Известно, что в среднем 80% курящих страдают заболеванием легких. Найдите количество больных, если в исследовании приняло участие 500 курящих человек. Решение: 80% = 0,8; 500 • 0,8 = 400 (ч.) Вывод: 400 человек из 500 курящих страдают заболеванием легких! Распродажа. Задача . Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре? Решение. Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 р. 360 • 0,85 = 306 (р). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта, теперь следует искать 90 % от 306 р. 306 • 0,9 = 275,4 (р.). 12 Ответ: 275 рублей 40 копеек. Скидки Мама совершила покупку в нашем местном магазине. Я составил таблицу её покупок. Наименование Цена (руб.) Количество (шт.) товара Моющее средство Стоимость (руб.) 90 1 90 Порошок «Лоск» 68 1 68 З/п «Новый жемчуг» 30 1 30 Т/мыло 18 2 36 Известь 40 1 40 Белизна 35 1 35 «AOS» Итого 209 В «Калачеевских зорях» за 14 марта я увидел рекламу о скидке на все товары бытовой химии на 20% в магазине «Магнит косметик» и решил подсчитать, сколько денег сэкономила бы наша семья, если бы всё это мама купила в Калаче. [3,11] Решение. 20% = 0,2; 209 • 0,2 = 41,8 (руб.) Ответ: 41 рублей 80 копеек. 41 рублей 80 копеек - сумма небольшая, ну, всё-таки, как говорится: «Копейка рубль бережёт». Задача на растворы. В прошлом году моя сестра закончила 9 классов и сдавала экзамен по математике. К экзамену она готовится по книге «Математика. Подготовка к ОГЭ - 2016» под редакцией Ф. Ф. Лысенко. Из любопытства я полистал книгу и обнаружил, что в тренировочные варианты включены задачи на проценты. Вот одна из них. 13 В сборнике «Типовые тестовые задания 2016» я обнаружил задачи на растворы. Для меня эти задачи самые сложные. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? [4,78] Решение: 1) 80% = 0,8; 120 • 0,8 = 96(г) соли в 80% растворе; 2) 20% = 0,2; 480 • 0,2=96(г) соли во 20% растворе; 3) 96 + 96 = 192 (г) соли 4) 120+480 = 600 (г) жидкости (растворителя). 5) 192 : 600 = 0,32 = 32% соли содержится в получившемся растворе. Ответ: 32%. Учитель химии мне сказала, что задачи данного типа решают и на уроках химии. Значит, решая такие задачи на уроках математики, мы изучаем химию уже в 6 классе. Задачи с процентами из литературы. Эта задача не осталась без моего внимания: В романе М. Е. Салтыкова - Щедрина « Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год. Согласилась ли бабушка на его условия. Решение: 5% в месяц, значит, 60% в год. 60% = 0,6 3000 • 0,6 + 3000 = 4800 (руб) Петя вернул бы бабушке через год. Предложение заманчивое за год получить прибавку в 1800 руб, но игроки – ненадёжные люди. Думаю, бабушка не согласится на условия Пети. Ответ: 4800 рублей. 14 3. Заключение В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что проценты помогают нам: • грамотно разбираться в большом потоке информации; • правильно вкладывать деньги; • совершать выгодные покупки, экономя на скидках; • грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант; • решать математические задачи. Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым, обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Трудно назвать область, где бы ни применялись проценты. В своей работе я показал применение понятия «процент» при решении реальных задач только из некоторых сфер жизнедеятельности человека (торговля, здравоохранение, литература, химия, быт и др.). Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Данная тема оставляет широкое поле для дальнейших исследований. 15 4. Литература: 1. Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. М, 2010г. 2. Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. М, 2011г. 3. «Калачеевские зори» № 18 от 14 марта 2017 г. 4. Математика. 9-й класс. По дготовка к ОГЭ – 2016. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016год: учебно-методическое пособие / Под ред. Лысенко и др. – Ростов на Дону: Легион, 2015. 5. ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. 3 модуля. 30 вариантов типовых тестовых заданий / Высоцкий И.Р. и др. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. 6. Минаева С.С., Дроби и проценты. 5 – 7 классы /С.С. Минаева. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 125 с. 7. Шевкин А.В., Текстовые задачи по математике: 5 – 6. – М.: ИЛЕКСА, 2011. – 106 с. 16 17
