Слоение коразмерности 1 Реферат на тему:

Реферат на тему:
Слоение коразмерности 1
План:
Введение




1 Определение
2 Связанные определения
o 2.1 Определяющая 1-форма слоения
o 2.2 Класс Годбийона — Вея
3 Примеры
4 Свойства
Литература
Примечания
Введение
Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся
подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных
функций.
1. Определение
На n-мерном многообразии M задано слоение коразмерности 1, если M наделено
разбиением на линейно связные подмножества Lα со следующим свойством: в окрестности
любой точки из M найдется локальная система координат
,в
n
которой связные компоненты множества
состоят из решений x = const.
Множества Lα называются слоями слоения, M — его тотальным пространством.
Слои наделяются топологией, базу которой составляют связные компоненты пересечения
слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия M. По отношению к этой
топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное
многообразие вложением в слабом смысле.
2. Связанные определения
2.1. Определяющая 1-форма слоения
Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве
— это гладкая 1-форма
ω, не равная нулю в U, ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с U
тривиально.
Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в U, требуется, чтобы был выполнен
критерий интегрируемости Фробениуса:
Гладкая 1-форма ω, не равная нулю в U, определяет слоение тогда и только тогда, когда
в U выполняется одно из двух эквивалентных условий
1. существует гладкая 1-форма η такая что
2.
.
,
В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет какое либо слоение.
Если U = M, мы имеем глобальную определяющую форму. Слоение коразмерности 1
определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо, и
выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.
Глобальная определяющая форма
может быть замкнутой, dω = 0, только в том
случае, когда многообразие является расслоением[1].
2.2. Класс Годбийона — Вея
Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея[2]:
Ориентируемое слоение F задается глобальной формой
, удовлетворяющей
условию интегрируемости; следовательно, существует гладкая 1-форма η такая что
. Классом Годбийона-Вея слоения F называется когомологический класс
формы
.
На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона — Вея, оно равно
значению класса Годбийона — Вея на фундаментальном гомологическом классе.
Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в
настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона
— Вея являются достаточно запутанными.
3. Примеры



Гладкое расслоение над одномерным многообразием
Нарезка тора T2 на окружности или иррациональная обмотка,
Слоение Риба на сфере S3
Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде
других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах S2k + 1 [3].
4. Свойства


На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует[4].
На замкнутом многообразии M для существования слоения коразмерности 1
необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия χ(M) была
равна нулю, χ(M) = 0[5].
o В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых
многообразий M2k + 1. Для поверхности
эйлерова характеристика
,
2
поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе T существует
гладкое слоение.
Литература

И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.

Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18,
ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [1]
Примечания
1. Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over S1 — Topology, v.9, 1970, p.153154
2. Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci.,
1971, v.273, N2, p.92-95
3. Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418
4. Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183-194
5. Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2,
p.249-268