Математическая логика. Раздел 4. Расширения аксиоматических

Раздел 4. Расширения
аксиоматических теорий.
4.1. Некоторые расширения и разновидности аксиоматических теорий
Рассмотренные ИВ и ИП, где основными логическими связками являлись =>, —, У
относится к строгим классическим исчислениям. Они могут быть расширены введением V, &, о и 3.
Кроме того, можно рассмотреть и другие исчисления, отличающиеся схемами аксиом и правилами
вывода.
Пример 1. Если в рассмотренном нами ИВ схему аксиом А3 заменить на А3'
А3'
(—А = = — В ) = ( В = А)
То класс теорем ИВ не изменится.
Пример 2. Рассмотренное нами ранее ИВ обозначим через Ь и рассмотрим ИВ Ь1, логическими связками
которого служат V, —, == Импликация используется для сокращения записи —А V В . В этом ИВ 4
схемы аксиом: А1
А4
А V А = А А2
А = А V В А3
АVВ=ВVА
(В V С)= ((А V В) = ( А V С)) И одно правило вывода МР. Пример 3. ИВ Ь2 в качестве логических
связок использует &, —, = для сокращения записи А = В = —(А & —В)
Имеются 3 схемы аксиом и одно правило вывода МР. А1
= А & А А2
А3
А
А&В=А
(А = В)=((—В = С)=(— С & А))
Пример 4. ИВ Ь3 аналогична рассмотренному ИВ Ь но вместо схемы аксиом рассматриваются 3
конкретные аксиомы. А1) А1 = (А2 = А1)
А2) (А1 = (А2 = А3)) = (((1 = А2)= ((1 = А3)) А3) ((—
А2)= (—А1))= ((—А2 = А1)= А2)
Но кроме МР имеется еще одно правило вывода, правило подстановки, которое
разрешает подстановку любой формулы вместо всех вхождений любой пропозициональной переменной
в формуле.
Пример 5. ИВ Ь4 в качестве логических связок использует =, &, V, —, правило вывода МР и 1 0
схем аксиом:
А1) А == (В == А)
А2) (А == (В == С)) == ЯА == В )= Я == С))
А3) А & В == А
А4) А & В == В
А5) А == (В == А & В)
А6) А == (А V В)
А7) В == (А V В)
А8) (А == С) == ((В == С) == ( Я А V В) == С))) А9)
(А == В) == ЯА == —В )= —А) А10) ——А == А
Пример 6. Для ИВ может быть построена аксиоматическая теория с одной единственной схемой
аксиом, например для ИВ Ь5 с одним правилом вывода МР и логическими связками ==, — можно
рассматривать схему аксиом
[ЯА
= В )= Я—С = —О )] ^ С ) = Е ] =
== А =
= А)]
Пример 7. Другим примером такого рода может служить система НИКОДА, в которой имеется
единственное правило вывода и единственная схема аксиом, а логической связкой является штрих
Шеффера |.
(А|(В|С)) | { [ Б | ( Б | Б ) ] | [ ( Е | В ) | ( ( А | Е ) | ( А | Е ) ) ] }
А, А | (В | С) |- Е - правило вывода.
4.2. Независимость системы аксиом и многозначные логики.
Покажем независимость системы аксиом А1 - А3 рассмотренного нами ИВ Ь.
Определение: аксиома Х системы Г называется независимой, если она не является
теоремой в формальной аксиоматической теории, описываемой системой аксиом Г\{Х} т.е., если из
Г\{Х} не выводима Х. Если каждая аксиома системы аксиом Г независима, то система Г называется
независимой.
Вопрос о независимости одной аксиомы некоторой теории от других аксиом часто
равносилен вопросу о возможности замены без противоречия данной аксиомы ее отрицанием.
Стандартным методом доказательства независимости одной аксиомы Х от остальных аксиом
этой системы является построение такой модели в которой все аксиомы кроме Х принимают значение И
(или другое выделенное значение) при всех наборах значений входящих в них атомов, а Х принимает
такое значение не при всех наборах. Т.о. нам необходимо построить 3 модели с указанными свойствами,
по одной для каждой аксиомы.
При построении моделей для каждой аксиомы будем интерпретировать атомы как переменные,
принимающие значения из некоторого множества В={0, 1, 2} и определим операции ==, — следующим
образом:
А
0
1
2
-А
1
1
0
А
0
1
2
0
1
2
0
1
2
В
0
0
0
1
1
1
2
2
2
А=В
0
2
0
2
2
0
2
0
0
Рассмотрим формулы, которые на любых наборах значений переменных принимают одно и то же
значение. В данном случае о. Формулы, принимающие только значение 0 назовем выделенными. Кроме
того, установим, что правило МР сохраняет свойство выделенности формул. Всякая формула,
полученная по схеме аксиом А2 и А3 также будет являться выделенной. Следовательно выделенной
будет и любая формула, выводимая из А2 и А3.
Чтобы показать что система аксиом независима достаточно показать, что А1, а вернее
формула, являющаяся частным случаем схемы аксиом А1 не является выделенной.
А1 = ((2 = А1) при А1=1 и А2=2 принимает значение 2, т.е. не является выделенной.
Т.о. показали независимость А1.
Чтобы доказать независимость аксиомы А2 определим == — следующим образом:
А
0
1
2
—А
1
0
1
А
0
1
2
0
1
В
0
0
0
1
1
А=В
0
0
0
2
2
2
0
1
2
0
1
1
2
2
2
0
0
Формулу, принимающую по этим таблицам значение 0 будем называть гротескными. Правило
МР сохраняет свойство гротескности формул. Гротескными будут являться и все частные случаи аксиом
А1 и А3. Частный случай А2
(А1 = ((2 = А3 ))= ((Д = А2 )= (А1 = А3)) не является гротескной, т.к. при А1 и А2=0 и
А3=1 формула принимает значение 2.
Чтобы доказать независимость А3 рассмотрим следующий подход. Пусть А -произвольная
формула и И(А) - формула, полученная из А стиранием всех вхождений знака — в А. Для всякого
частного случая А схем А1 и А2 И(А) - есть тавтология (в них нет отрицаний).
Правило МР сохраняет свойство А иметь в качестве И(А) тавтологию, т.к. если И(А=В) и И(А)
тавтологии, то и И(В) тавтология (следует лишь заметить, что И(А=В) совпадает с И(А) = Ь(В)).
Следовательно всякая формула А выводимая из А1 и А2 с помощью МР имеет в качестве И(А)
тавтологию.
А1 = —А1) = ((—А1 = А1) = А1)) совпадает с (А1 = А1) = (А1 = А1) = А1) а эта последняя
формула не является тавтологией следовательно (—А1 = —А1 )=((—А1 = А1 )= А1) частный случай А3
невыводима из Ф1 и А2 с помощью МР.
Т.о. показали, что ни одна аксиома не выводится из двух оставшихся и следовательно система
аксиом независима.
4.3. Многозначные логики
Обобщение идеи использованной для доказательства независимости аксиом А1 - А3 приводит к
следующему понятию многозначной логики.
Назовем числа 0, 1, .. .,п «истинностными значениями» и выберем какое-нибудь число т, 0 < ш <
П.
Числа 0, 1, . ..,т назовем выделенными истинностными значениями. Возьмем некоторое конечное
число «истинностных таблиц», представляющих собой функции, отображающие множество {0, 1 , . , п }
в себя. Для каждой таблицы введем знак, который будем называть соответствующей этой таблице
связкой. С помощью этих связок и пропозициональных переменных мы можем строить формы. Каждая
такая форма определяет некоторую «истинностную функцию» отображающую множество {0, 1 , . , п } в
себя. Пропозициональная форма, принимающая только выделенные значения называется выделенной.
Говорят, что числа п и т и основные истинностные таблицы определяют некоторую (конечную)
многозначную логику М.
Аксиоматическая теория, содержащая пропозициональные переменные и связки логики М,
называется подходящей для логики М в том и только в том случае, когда множество теорем этой теории
совпадает с множеством выделенных пропозициональных форм логики М.
До сих пор рассматривали двузначную логику. Выделенные формы этой логики называются
тавтологиями. Рассмотренное нами ИВ является подходящей для этой логики аксиоматической теории,
где п=1 , т=0.
Примеры трехзначных логик были рассмотрены при доказательстве независимости системы
аксиом А1 - А3.
Для любой конечной многозначной логики М существует подходящая аксиоматическая теория.
4.4. Принцип резолюции в ИВ.
Всякая логическая формула может быть представлена в КНФ. Формула может быть выполнимой
(если есть хотя бы один набор значений пропозициональных переменных, на которых формула
принимает значение 1 ). В КНФ все дизъюнкты должны быть выполнимы.
Не существует общего, эффективного критерия для проверки выполнимости КНФ. Но
существует удобный метод для выявления невыполнимости множества дизъюнктов. Множество
дизъюнктов невыполнимо тогда и только тогда, когда пустой дизъюнкт Л (константа 0) является
логическим следствием из него. Т.О. невыполнимость множества £ можно проверить, порождая
логические следствия из £ до тех пор, пока не получим пустой
дизъюнкт.
Для порождения логических следствий используется простая схема рассуждений. Пусть А, В, X формулы. Предположим, что формулы (А V X) и (В V —X) - истинны. Если X тоже
истинна, то и В истинна. Если X- ложь, то А истинно. В обоих случаях (А V В) - истинна.
Получаем правило: А V X, В V —X | — А V В или
—X == А, X == В | — А V В .
В частном случае, когда X - высказывание, а А, В - дизъюнкты, это правило называется
правилом резолюций.
Лемма: Пусть Бь и Б2 - дизъюнкты нормальной формы Б, I -литера. Если I £ £ ь и — I £ Б 2 , то
дизъюнкт г = Я \{{})иЯ \{— /}) является логическим следствием нормальной формы Б.
2
Следствие: Нормальные формы Б и Б и {г} эквивалентны.
Замечание: Дизъюнкт г называется резольвентой дизъюнктов Бь и Б2.
Алгоритм
Пример: показать невыполнимость множества Б = { р V д, р V г, — д V —г, —р }
Дизъюнкты:
1) р V д
2) р V г
3) —д V —г
4) —р
Добавим резольвенты:
5) р V — г
6) д
7) р V —
g
8) г
9) р
(1, 3)
10) —г
(3,6)
(1, 4)
11) —
д
(3,8)
(2, 3)
1 2) —
г
(4,5)
(2, 4)
13) —
д
(4,7)
(2,5)
14) Л
(4,9)
Замечание: Алгоритм проверки невыполнимости недетерминирован, т.к. возможен не
однозначный выбор для I, 81 и 82.
В примере мы выбрали дизъюнкты 81 и 82 по порядку номеров. Некоторые резольвенты
ненужные или вычислялись более 1 раза. Рассмотрим другой способ:
5) Я
(1, 4)
6) г
(2, 4)
7) — Я
(3,6)
8) Л
(5,7).
Свойство 1: Если множество 8 не содержит ни одной пары дизъюнктов, допускающих
резольвенту, то оно выполнимо (когда не содержит пустой дизъюнкт).
Свойство 2: Выполнение алгоритма может не завершиться, хотя число дизъюнктов, порождаемых с
помощью резолюций конечно. Например:
{р, —р V Я}
{р, —р V Я, —Я}- одна стратегия ведет получению пустого дизъюнкта, а дркгая
к зацикливанию.
Т. О. стратегия влияет на эффективность и на выполнимость.
Свойство завершаемости метода резолюций: конечное множество 8 невыполнимо тогда и
только тогда, когда пустой дизъюнкт может быть выведен из 8 с помощью резолюций.
Лемма: Если множество дизъюнктов 8 невыполнимо и содержит резольвенты своих элементов,
то оно обязательно содержит пустой дизъюнкт.
Замечание: Число различных дизъюнктов, которое можно составить на основе конечного
множества Б, конечно.
Если дизъюнкт содержит не более одной позитивной литеры, он называется хорновским или
дизъюнктом Хорна. {—р, —Я, —г, Я}= {ряг => Хорновский дизъюнкт называют точным, если он
содержит позитивную литеру, в противном случае он называется негативным.
Точный дизъюнкт выражает обычно некоторое правило: негативные литеры соответствуют
гипотезам, а позитивная - заключение. Унитарный позитивный дизъюнкт - представляет некоторый
факт, т.е. заключение, не зависящее от гипотиз.
Часто задача состоит в том, что надо проверить формулу (цель), логически выведенную из
фактов и правил.
Резолюция - это метод доказательства от противного: исходя из фактов, правил и отрицания
цели приходим к противоречию (пустому дизъюнкту).
Пусть 8 - множество хорновских дизъюнктов (без тавтологий). Выполнимость 8 можно
проверить с помощью следующего алгоритма.
При условии Л £ 8 , выбираемр и с, такие, что:
-
р - унитарный позитивный дизъюнкт из Б,
-
с - дизъюнкт из Б, содержащий —р; вычисляем резольвенту г; заменяем Б на (Б\ {с})и{г}.
Этот алгоритм применим только к хорновским дизъюнктам. В результате либо получим пустой
дизьюнкт Л , либо множество Б, не содержащее дизъюнкты, равныер и с.
4.5. Принцип логического программирования
Понятие хорновского дизъюнкта для исчисления высказываний распространяется и на
исчисление предикатов. Метод резолюций - хорошее средство проверки множества хорновских
дизъюнктов в ИП при условии использования подходящей стратегии выбора.
Алгоритмические свойства некоторой функции можно представить множеством дизъюнктов и
использовать метод резолюций для вычисления значений этой функции. Этот принцип логического
программирования рассмотрим на примере:
Алгоритм Евклида нахождения НОД
1. НОД (х,х,х).
2. НОД (х,у,7): если х>у, НОД (х-у,у,7).
3. НОД (х,у,7): если х<у, НОД (х,у-х,7).
НОД (х,у,7) найден, когда НОД (х,у)=7.
Добавим к описанию алгоритма 4-й дизъюнкт Л : - НОД (4,6,7). Л - исходный символ. Будем искать
вывод пустой цепочки є . Л (4)
НОД (4,6,7)
(3)
НОД (4,6-4,7) НОД (4,2,7)
НОД (4-2,2,7) НОД (2,2,7)
(2)
є 7=2.
(1)
Арифметико-логическая машина базирующаяся на принципе резолюций может выполнять
алгоритм, описанный набором хорновских дизъюнктов.
4.6. Сколемовские и клаузальные формы в ИП.
Механизм квантификации является и источником сложности ИП. Предваренные и нормальные
формы интересны тем, что с одной стороны они требуют дисциплинированного использования
квантификации, а с другой - сохраняют выразительность ИП, т.к. любая формула допускает
эквивалентную нормальную форму, хотя иногда более громоздкую или менее обозримую, чем исходная.
Можно установить еще более строгие пределы использования механизма квантификации ценой
приемлемого уменьшения выразительной мощи.
Рассмотрим средство сопоставления каждой формуле А некоторой формулы БА очень простого
строения, причем обе формулы А и БА либо выполнимы, либо невыполнимы. Эта связь между А и БА
строго слабее, чем логическая эквивалентность, но полезна по следующим причинам. Например, хотим
доказать, что Н1, Н2 |- С. Это можно свести к доказательству
невыполнимости формулы О : Н1 • Н2 • С или же невыполнимости соответствующей формулы
Ба (что легче).
Можно рассматривать только предваренные формы, т. к. любая формула допускает
эквивалентную предваренную форму. Кроме того достаточно оперировать только с замкнутыми
формулами, т.е. без свободных переменных х1,х2 , " хп, которая не содержит ни одного связного
вхождения переменных. Если А - формула со свободными переменными х ь , х 2 , " , х п (после
осуществления переименования), то формула Зх1Зх
2
— ЗхпА с одной стороны замкнута и с другой
выполнима тогда и только тогда, когда выполнима формула А.
Форма Б А которую опишем, называется сколемовской формой, соответствующей
формуле А. Сведение А к БА интересно, т.к. доказательство невыполнимости становится эффективнее,
если ограничится формулами в сколемовской форме.
Приведение произвольной формулы ИП к сколемовской форме требует двух предварительных
операций:
1 ) Привести данную формулу к предваренной форме, состоящей из префикса и матрицы ( 1 х1
,(2х 2 , •• • ,ОпхпМ, где
— V и л и З М - формула, не содержащая квантификаций.
2) Привести матрицу к КНФ (алгоритм известен).
Результатом будет замкнутая предваренная форма. Сколемовская форма, соответствующая ей (и
исходной формуле) получится с помощью преобразования, которое называется сколемовским и служит
для исключения З - квантификации.
1)
Сопоставить
квантифицированных
каждой
переменных,
З
-
квантифицированной
предшествующих
ей,
а
переменной
также
список
V
еще
не
некоторую
использованную функциональную константу, число мест у которой равно мощности списка.
2) В
переменной
матрице
на
соответствующей
нашей
формулы
некоторый
терм.
данной
заменить
Этот
переменной
все
терм
и
вхождения
является
снабженной
З
-
квантифицированной
функциональной
списком
константой,
аргументов,
также
соответствующей той же самой переменной.
3) Устранить т.о. из формулы все З - квантификации.
Пример:
Vx[Р(х) & VyЗx(—((х, у) == VzЯ(a, х, у))] = ^х[Р(х) & VyЗx(——((х, у) V VzЯ(a, х, у))] =
Ух[Р(х) & Уу3и^(и, У ) V R(a, u ,
У
)
)] = УхУу3и[Р(x) & (Q(u, У) V R(a, u, У))) = УxУy[P(x)& (Q(f (x, у), у)
V R(a, f (x, у), у))] - сколемовская форма, соответствующая исходной формуле.
Рассмотрим подробнее связь между формулой и ее сколемовской формой. Рассмотрим формулы:
А: 3uУv3wУxУy3zM (u, v, w, x, у , z) - замкнутая предваренная форма БА:
УvУxУyM (а, v, f (v), x, у, g (v, x, у)) - сколемовская форма.
Предполагается, что функциональные константы a, f и g не входят в матрицу М(u,v,w,x,y,z).
Формула 8 А => А - общезначима, отсюда следует, что если формула А невыполнима, то и 8А
невыполнима. Наоборот, предположим, что формула А выполнима и принимает истинное значение при
некоторой интерпретации I в области П . (Положим, М=1с(М)).
Для любых V, X, У существуют А, В, С е П такие, что М(А,У,В,Х,У,С) - истинно в П.
А не зависит от V, X, У, В может зависеть от V (но не от X и У), С может зависеть от V, X и У .
Для получения интерпретации, при которой истинна формула 8 А достаточно интерпретировать f и g как
подходящие функции выбора (сколемовские функции). Б и О же такие, что Р(^) и О^,Х,У) были бы
допустимыми значениями В и С .
Сколемовская форма есть предваренная форма, префикс которой содержит только Уквантификации. С другой стороны, предваренная форма такого специального типа является ее
собственной сколемовской формой.
Клаузальной формой называется такая сколемовская форма, матрица которой является КНФ.
Любая сколемовская форма допускает эквивалентную клаузальную форму.
4.7. Модальная логика
В обыденном языке часто говорят о допустимости чего-либо, о гипотетических событиях, целях,
которые можно попытаться достичь, догадках о будущем и т.п. Большая часть фраз языка может быть то
истинной, то ложной, в зависимости от обстоятельств, текущего момента, собственной точки зрения. В
естественном языке модальности «возможный», «необходимый» и «допустимый» выражаются
вспомогательными глаголами «должен» и «могу».
Возможность
и
необходимость
называются
алетическими
модальностями
или
модальностями возможности. Так же можно построить формальный язык, используя пру понятий
возможно/необходимо (как У/3) как кванторы, действующие на формулы. Логическая система,
базирующаяся на операторах «возможно, что» и «необходимо, чтобы» называется логикой возможного.
Для обозначения модальности будем использовать следующие знаки:
Необходимо - ,
возможно -
Б - необходимо, чтобы Б или Б необходимо,
◊Б - возможно, что Б или Б возможно.
Один из этих операторов принимается за основной, а другой определяется через его отрицание: Б=—
0—Б ^ХА^ЕЕ—ЗХ—А(х)). Другие модальные формы:
1) деоптическая логика - разрешено/обязательно;
Конструкции «разрешается», «надо, чтобы».
2) эпистемическая логика или логика знания - знание/вера;
3) временная логика модальности - иногда/всегда (в будущем/в прошлом) вместе с их
отрицаниями часто/всегда.
Эти логические схемы формально схожи и термин модальная логика используется для
обозначения их совокупности.
Старейшая - это логика возможного. Именно ее часто и называют модальной. Термин модальная
логика происходит от того, что модальные логические системы вводят такие операторы над
логическими формулами, которые позволяют модифицировать их интерпритацию.
Например: "«возможно, что Б»; «в будущем, возможно, будет правда, что Б».
Модальные операторы перед Б могут относиться к любой формуле Б, а значение истинности
формул зависит не только от истинности Б, но и от момента провозглашения модальной формулы
(временные логики), от человека, который думает или верит, что Б (логика веры) или от необходимого,
возможного или случайного характера некоторого факта (логики возможного).
Примеры модальных операторов:
1 ) Алетические необходимо
А истинно тогда и только тогда, когда а) А не
б) А абсолютно истинно
с) А истинно во всех возможных мирах.
◊ - возможно
◊А истинно а) если А может оказаться истиной, б) если
А условно истинно,
с) если А истинно в некотором возможном мире.
2) временные
0 - всегда ( в будущем)
ОА= И, если А останется истиной навсегда.
Н - всегда ( в прошлом)
НА=И, если А было истинно.
Б - иногда (в будущем)
БА=И, если А иногда будет истинно.
р - иногда (в прошлом)
рА =И, если А иногда оказывалось истинно.
и - до тех пор, пока
и(А,В)=И, если А истина (начиная с текущего момента) до тех пор, пока В не станет =И в некоторый
момент в будущем. БА=—О—А РА=—Н—А
3) эпистемические операторы
верит (а)
верит (а)А=И, если индивид а верит в формулу А. Синтаксис
модальной логики аналогичен синтаксису ЛП. М1.. ..М„ модальные операторы Формулы - 1) все формулы ЛП
2) если Б - формула, то MjБ - формула.
Трехзначная семантика модальной логики
Классическая логика {И, Л}или {1, 0}, закон исключения третьего и противоречия. Если вводятся
модальности «возможно» и «необходимо» N - класс необходимых высказываний Р - класс возможных
высказываний
1 - класс невозможных (абсурдных) высказываний
С - класс нейтральных (или возможно (случайно) ложных) высказываний. Любое высказывание
одновременно не принадлежит N и С или I и Р. Это закон противоречия.
N £ Р, I £ С
Закон следования возможного из необходимого и нейтрального из абсурдного. Любое необходимое
высказывание - возможно, любое абсурдное высказывание не является необходимым.
и - высказывания, которые являются возможными и нейтральными одновременно
проблематичные.
Любые высказывания принадлежат N или И или I. Закон
исключения четвертого.
N - необходимо И -
2'
проблематично I -
1 ? семантические значения высказываний
невозможно
0
Трехзначная логика Лукасевича.
"о"
Т
"У"
~г
о
о
о
о
1
о
2
о
о
о
о
1
1
2
2
Ко о
о 2
1 1
2 о
1
о
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
о
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2