Мет ук Кручение 285N - Воронежский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ НА КРУЧЕНИЕ
Методические указания
к контрольной работе и задачам
по курсу "Сопротивление материалов"
для студентов всех специальностей
очной и заочной форм обучения
Воронеж 2013
2
Составители: Р.А. Мухтаров, А.В. Резунов.
УДК 624
Расчет стержня на кручение.
Метод. указания к контрольной работе и задачам по курсу "Сопротивление
материалов"/ Воронеж. гос. арх. – строит. ун-т;
Сост.: Р.А. Мухтаров, А.В. Резунов – Воронеж, 2013 – 23 с.
Даются указания по расчету на свободное кручение прямых призматических
стержней различных форм поперечного сечения. Приведен пример расчета
вручную и на ЭВМ.
Предназначаются для студентов очной и заочной форм обучения, изучающих курс "сопротивление материалов".
Ил. 9, Табл.3, Библиогр.: 6 назв.
Печатается по решению Редакционно-издательского Совета Воронежского
государственного архитектурно-строительного университета.
Рецензент – Синозерский А.Н., канд. тех. наук, профессор ВГАСУ.
3
ВВЕДЕНИЕ
Стержень испытывает кручение, если на него действуют пары сил, расположенные в плоскостях, перпендикулярных его продольной оси. С кручением на
практике приходится встречаться очень часто: оси транспортных средств, трансмиссионные валы, пружины, обыкновенный замочный ключ и т.п. – это примеры
стержней, испытывающих кручение.
Деформация при кручении характерна тем, что поперечные сечения поворачиваются вокруг продольной оси стержня X на углы   x  , называемые углами
закручивания.
При кручении стержней круглого и кольцевого сечения поперечные сечения
поворачиваются вокруг оси X, оставаясь плоскими и жесткими, т.е. сечение при
повороте остается как бы тонким абсолютно жестким диском. В общем случае
при кручении поперечные сечения, плоские до деформации, искривляются по некоторой поверхности, что называется депланацией сечения. В связи с развитием
депланаций различают два типа кручения стержней: свободное и стесненное.
Если депланации всех поперечных сечений по длине стержня одинаковы
или отсутствуют, то кручение называется свободным. При переменных по длине
депланациях кручение называют стесненным.
При свободном кручении в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения  . При стесненном кручении наряду с касательными напряжениями  появляются и нормальные напряжения  , которые и вызывают разную по длине стержня депланацию.
В настоящих методических указаниях предполагается, что обеспечены
условия свободного кручения. Вблизи от углов также пренебрегаем концентрацией напряжений.
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ.
Для определения наибольшего крутящего момента M x строят эпюру крутящих моментов. Крутящий момент равен сумме моментов касательных напряжений, действующих в поперечном сечении, относительно оси стержня. Крутящий
момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он стремится вращать рассматриваемую часть стержня по ходу часовой стрелки (рис. 1). Под рассматриваемой подразумевается та часть стержня, которая расположена слева или справа от сечения, разделяющего стержень на две
части.
Рис. 1.
4
Величина крутящего момента в данном сечении находится из уравнения
равновесия статики – сумма моментов всех сил, действующих на рассматриваемую часть стержня, относительно оси стержня должна быть равна нулю.
Условия прочности и жесткости при кручении имеют вид /1–6/
 max 
M x max
   ,
Wx
(1)
max 
M nx max
   ,
G  Jx
(2)
где  max и  – наибольшее и допускаемое касательные напряжения в поперечном сечении стержня;
 max и   – наибольший и допускаемый относительный угол закручивания;
M nx max и M x max  Mnx max  f – наибольшие по абсолютной величине крутящие
моменты от нормативных и расчетных нагрузок соответственно;
 f – коэффициент надежности по нагрузке.
Допускаемое касательное напряжение    зависит от применяемой гипотезы прочности
R
(3)
   k ,
где: k равно 1, 1+, 2, 3 соответственно при использовании 1-й, 2-й, 3-й и 4-й
гипотез прочности;
G, R,  – модуль упругости при кручении (модуль сдвига), расчетное сопротивление и коэффициент Пуассона материала;
Wx и J x – геометрические характеристики прочности и жесткости (момент сопротивления и момент инерции) при кручении, зависящие от формы поперечного
сечения (табл.1). Для круглого сечения Wx и J x совпадают соответственно с полярным моментом сопротивления и моментом инерции.
Формулы для вычисления наибольших касательных напряжении  max и положение точек, вблизи которых они имеют место, для некоторых сечений при
кручении приведены в табл.1.
5
Таблица 1
Геометрические характеристики сечений стержней, испытывающих кручение, и
формулы для определения наибольших касательных напряжений.
Поперечное се- Момент сопро- Момент инер- Положение точек, где
чение стержня
тивления кру- ции при круче- действуют
наибольшие
касательные напряжения,
чению Wx
нии J x
величина  max
Во всех точках по контуру
круга
3
4
M
d
d
 max  x max
Wx
16
32
4
4
  d 3   d0     d4   d0  
 1 
 1 


16   d   32   d  
n

i 1
3
i
 Si
3  max
2     min
 -площадь сечения, ограниченная срединной линией контура
1 n 3
  i  Si
3 i1
4  2
,
ds
s 
при   const
4  2  
;
s
s-длина срединной линии
Во всех точках наружного
контура
M
 max  x max .
Wx
В точках внутреннего
контура
d
  0   max
d
В точках контура посредине стороны с наибольшей толщиной стенки
M

 max  x max max .
Jx
В середине i -го участка
M 
i  x i
Jx
На участке с наименьшей
толщиной стенки
M
 max  x max .
Wx
6
k1  h  b2
Wx1  2  h0  b0  1
Wx 2  2  h0  b0   2
k 3  h  b3
2  h02  b02  1  2
h0 2  b0 1
В середине длинных сторон контура (точки 1)
M
 max  1  x max .
Wx
В середине коротких сторон контура (точки 2)
 2  k 2   max
Посредине длинной стороны
M
1  x .
Wx1
Посредине короткой стороны
M
2  x
Wx 2
Для стержня прямоугольного поперечного сечения формулы для определения касательных напряжений и угла закручивания получены в курсе теории упругости. Значения коэффициентов k 1 , k 2 , k 3 зависят от отношения длинной стороны
к короткой и приведены в табл.2.
Таблица 2
Коэффициенты k 1 , k 2 , k 3 для расчета прямоугольных сечений на кручение

1.5
1.75
2.0
2.5
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
h/b 1.0
k 1 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 1/3
0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742
k 2 1.0
k 3 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 1/3
1.
2.
3.
4.
Следует отметить, что в угловых точках   0 .
Из условий (1) и (2) можно:
Назначать размеры поперечных сечений стержней (по известным значениям
M x max ,    ,   );
проверить прочность и жёсткость стержня, вычислив по известным
M x max , Wx , J x фактические значения  max , max и сравнив их с допускаемыми    и   ;
определить допускаемый крутящий момент по заданным величинам
Wx , J x ,   ,   ;
оценить экономичность профиля при подборе сечений по удельным геометрическим характеристикам крутильной прочности и жёсткости /6/
7
wx 
Wx
3
,
ix 
Jx
,
A2
(4)
A
где A – площадь поперечного сечения стержня.
Чем больше w x и i x , тем рациональнее профиль.
Угол поворота (угловая деформация) одного сечения относительно другого
определяется из уравнения /1–6/
Mx
d
.
(5)

dx G  J x
2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ.
Геометрическая схема стержня и схема его загружения задаются студенту
преподавателем на специальном бланке. В этом же бланке задаются длины участков, значения сосредоточенных и распределенных по длине пар внешних сил,
расчетное сопротивление R , модуль упругости E, коэффициент Пуассона , доd
h


пускаемый угол закручивания   ; параметры   0 ,   ,   1  2 , коэфd
b
h
b
фициент надежности по нагрузке  f .
Бланк задания вклеивается в задание над расчетной схемой стержня.
Требуется:
1. Построить эпюру крутящих моментов M x (эпюра вычерчивается под расчетной схемой стержня с указанием масштаба).
2. Из условия прочности с использованием гипотезы наибольших касательных
напряжений и условия жесткости назначить диаметр d стержня сплошного
круглого поперечного сечения. Из двух значений d для дальнейшего расчета
следует принять наибольшее.
3. Построить эпюру углов закручивания φ стержня сплошного круглого сечения (эпюра φ вычерчивается с указанием масштаба под эпюрой M x ).
4. Из условия прочности и жесткости определить допускаемые крутящие моменты для стержней кольцевого и прямоугольного поперечных сечений и
тонкостенных стержней открытого профиля в виде тавра и закрытого профиля в виде прямоугольного коробчатого сечения. Площади указанных поперечных сечений следует принять равными площади стержня круглого сечения.
5. Оценить рациональность профиля поперечного сечения. Свести в таблицу
допускаемые крутящие моменты  Mx  для всех рассмотренных типов сечений.
6. Выполнить расчет с помощью персональной ЭВМ по программе SHAFT
(только для студентов очной формы обучения).
8
2.1. УСЛОВИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ.
2.1.1. ЗАДАНИЕ.
Вычерчивается расчетная схема стержня с нормативными нагрузками, и
указываются числовые значения всех размеров и нагрузок.
По гипотезе наибольших касательных напряжений вычисляется допускаеR
мое касательное напряжение     .
2
2.1.2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ.
Построение эпюры выполняется по участкам загружения, в пределах которых не появляются новые сосредоточенные нагрузки и не заканчиваются и не
претерпевают изменение действующие распределенные нагрузки, вследствие чего
аналитическое выражение для функции M x не меняется. Начало координат задается на свободном конце стержня. При этом исключается необходимость определения реактивного опорного момента. Ось X совмещается с продольной осью
стержня и направляется к опоре. Далее на каждом участке стержень мысленно
разрезается перпендикулярным сечением на расстоянии x от начала координат и
из уравнения равновесия для моментов всех нагрузок, действующих на рассматриваемую часть стержня, относительно оси X определяется выражение для крутящего момента M x с учетом принятого правила знаков. Вычисляются ординаты
M x в характерных точках.
По полученным данным под расчетной схемой стержня в масштабе строится эпюра M x с указанием цены деления масштаба.
Если на участке с распределенными парами сил крутящий момент M x изменяет знак, то необходимо определить координату сечения, в котором M x равно
нулю, и проставить ее на эпюре.
2.1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАМЕТРА СТЕРЖНЯ СПЛОШНОГО
КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ.
Из анализа эпюры M x находят наибольшие по абсолютной величине крутящие моменты от нормативных M nx max и от расчетных M x max  M nx max   f нагрузок.
Из условий прочности (1) и жесткости (2) определяют требуемый диаметр
поперечного сечения
d  
3
16  M x max
,
   
(6)
d   
4
32  M nx max
.
  G   
(7)
9
Из двух полученных значений за требуемый диаметр принимают наибольший. При принятом диаметре стержня находят площадь поперечного сечения A и
момент инерции J x .
2.1.4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ УГЛОВ ЗАКРУЧИВАНИЯ
СТЕРЖНЯ СПЛОШНОГО КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ.
Угол поворота φ вычисляется по (5) относительно неподвижного опорного
сечения. Пусть сечение с координатой x расположено на участке загружения
 xk , xk1  . Интегрируя уравнения (5) на интервале от x до x k1 получим
  x k 1     x  
x k 1

x
Mx  x 
G  Jx
dx
(8)
Отсюда получим взаимный угол поворота сечения с координатой x относительно сечения с координатой x k 1
  x     x k 1  
x k 1

x
Mx  x 
G  Jx
dx .
(9)
Здесь учтено, что начало отсчета выбрано на свободном конце стержня и
построение эпюры   x  следует выполнять от защемленного сечения, двигаясь в
сторону уменьшения значений x.
На участках загружения, где нет распределенных нагрузок, функция   x 
изменяется по линейному закону и ее достаточно вычислить на границах участка.
При наличии на участке  xk , xk1  распределенных моментов значения   x  сле-
дует вычислять с шагом  xk1  xk  4 и в сечениях, где M x (x)  0 .
По полученным данным под эпюрой M x в определенном масштабе строится эпюра   x  .
Если при выполнении задания начало отсчета координаты x выбрать на защемленном конце стержня, предварительно найдя крутящий момент в заделке, то
вместо (9) следует использовать выражение
x
  x     xk   
xk
Mx  x 
G  Jx
dx .
(10)
Формула (10) позволяет найти угол поворота сечения с координатой x относительно сечения с координатой x k меньшей x.
10
2.1.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСКАЕМЫХ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ
ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ КОЛЬЦЕВОГО И ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЙ И ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО И
ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ.
а) Кольцевое сечение.
Из равенства площадей сплошного À ê ð и полого круглого сечения À ï
находится внешний диаметр d 1 , а затем внутренний d 0
d1 
d
1 
2
,
d 0    d1 .
(11)
По найденным значениям d 1 и d 0 по формулам, приведенным в табл.1, вычисляются момент сопротивления Wx и момент инерции J x .
Из условия прочности  Mx      Wx ,
из условия жесткости  Mx      G  J x .
В качестве допускаемого крутящего момента  Mx  принимается наимень-
шее из значений  Mx  и  Mx  .
В таком же объеме выполняются расчеты для стержней:
б) прямоугольного сечения;
в) тонкостенного сечения открытого профиля (тавр);
г) тонкостенного сечения закрытого профиля (коробчатое прямоугольное).
2.1.6. ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ ПО
ПРОЧНОСТИ И ЖЕСТКОСТИ.
Результаты расчетов для рассмотренных типов поперечных сечений стержней записываются в табл. 3.
Таблица 3
Величины
Тип сечения
ТонкостенСплошное Полое ПрямоуТонкостенное
ное таврокруглое круглое гольное
коробчатое
вое
À, ì 2
wx
ix
 Mx  , ê Í ì
 Mx  , ê Í ì
На основании анализа представленных в табл.3 сведений делается вывод о
рациональности поперечных сечений.
11
2.1.7. ИНСТРУКЦИЯ ПО РАБОТЕ С ПРОГРАММОЙ SHAFT.
Программа SHAFT, разработанная в виде Delphi приложения, предназначена для расчета прямого призматического стержня постоянного сечения на действие сосредоточенных и равномерно распределенных крутящих моментов.
Ввод исходных данных выполняется путем редактирования в окне приложения файла шаблона в соответствии с содержащимися в нем комментариями.
Начало отсчета выбирается на свободном конце стержня, ось Ox направляется по
оси стержня в сторону защемленного конца. Сосредоточенные и распределенные
пары сил считаются положительными, если при взгляде на мысленно отсеченную
часть стержня со стороны внешней нормали к сечению они стремятся вращать ее
по ходу часовой стрелки.
Исходные данные в файле шаблоне расположены в следующем порядке:
 фамилия студента, инициалы, номер группы или факультет;
 расчетное сопротивление;
 модуль упругости;
 коэффициент Пуассона;
 коэффициент надежности по нагрузке;
 допускаемый относительный угол закручивания;
 длина стержня;
 параметры, задающие геометрию сечений: h/b, d0/d и 1 b   2 h ;
 число сосредоточенных пар сил и для каждой пары сил величина и координата
сечения, в котором она действует;
 число распределенных пар и для каждой из них интенсивность нагрузки и координаты концов участка, на котором она действует.
Если какой-то тип нагрузок отсутствует, следует задать их число равным
единице, место положения задать произвольно, величину нагрузки положить равной нулю.
Вводить исходные данные можно в любой последовательности. При этом
доступны стандартные для WINDOWS сочетания клавиш для редактирования
текста.
Выходная информация выдается на экран монитора и включает в себя:
 исходные данные;
 величину максимального крутящего момента и координату сечения, в котором
он действует;
 таблицу с оценкой результатов расчета по прочности и жесткости стержней;
 данные о размерах подобранных сечений;
 таблицу значений крутящих моментов и углов закручивания для стержня
сплошного круглого сечения.
Значения крутящих моментов и углов закручивания выдаются в сечениях,
расположенных на концах стержня, в местах приложения сосредоточенных пар и
в пяти равноотстоящих сечениях на каждом из участков действия распределенных
пар. В сечениях, где приложены сосредоточенные пары, искомые величины находятся непосредственно слева и справа от них.
12
При необходимости включить в число расчетных некоторое конкретное сечение следует задать в этом сечении фиктивную сосредоточенную пару сил нулевой величины.
Результаты расчетов можно напечатать, выбрав соответствующий пункт
главного или всплывающего меню.
С содержанием данной инструкции можно ознакомиться, выбрав соответствующий пункт меню.
Листинг с результатами расчетов по программе SHAFT приведен в примере.
3. ПРИМЕР РАСЧЕТА НА КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ.
3.1. ЗАДАНИЕ.
Выполнить расчет стержня, расчетная схема которого представлена на
рис.2.а, при следующих исходных данных:
a  0.8 ì ; â  1.2ì ; c  0.4 ì ; Ì ï 1  1.6 ê Í ì ; Ì ï 2  1.5 ê Í ì ; Ì ï 3  2ê Í ì ;
êÍ ì
mn  3
; R  200Ì Ï à; Å  2  105 Ì Ï à; v  0.25;  f  1.5;    8  10 3 ðàä / ì ;
ì
d


h
  0  0.9;    1.3;   1  2  0.04.
d
b
h
b
Допускаемое касательное напряжение по 3-ей гипотезе прочности равно
  
Модуль сдвига G 
R 200

 100Ì Ï à.
2
2
E
2  105

 8  104 Ì Ï à.
2  (1  v) 2  (1  0.25)
3.2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ.
Принимаем начало координат на свободном конце стержня (рис.2,а). Стержень имеет три участка загружения.
1-й участок: ( 0.0  x1  0.4ì , рис.3). Сечением 1-1 мысленно рассекаем
стержень на две части. Рассматривая часть стержня между началом координат и
сечением 1-1 и записывая уравнение моментов относительно оси X, получим
m
x
Рис. 3.
 0, Mx  1.6  0, Mx  1.6ê Í ì .
13
14
2-ой участок: ( 0.4ì  x 2  1.6ì , рис.4).
m
x
 0, Mx  1.6  1.5  0,
M x  3.1ê Í ì .
Рис.4.
3-й участок: ( 1.6ì  x 3  2.4ì , рис.5).
Рис.5.
m
x
 0, Mx  1.6  1.5  2  3   x 3  1.6   0, Mx  5.9  3  x 3 .
x 3  1.6ì
M x  1.1ê Í ì ,
При
x 3  2.4ì
M x  1.1  2.4  1.3ê Í ì .
при
Определим координату сечения, в котором M x  0 .
1.1
1.1  3  (x 3  1.6)  0. Отсюда x 3 
 1.6  1.967ì .
3
Эпюра крутящих моментов M x представлена на рис. 2.б.
3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАМЕТРА СТЕРЖНЯ СПЛОШНОГО
КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ.
Наибольший по абсолютной величине крутящий момент от нормативной
нагрузки по эпюре M x равен M nx max  3.1ê Í ì (см. рис.2,б). Наибольший расчетный крутящий момент равен
M x max  M nx max   f  3.1  1.5  4.65ê Í ì .
Диаметр круглого поперечного сечения определяем из условия прочности (1)
M
 d3
Wx  x max , где W x 
(см. табл.1).
16
 
16  Mx max 3 16  4.65  103
Отсюда d  3

 0.06187ì  6.187ñì .
   
3.14  100
15
Из условия жесткости (2)
Mnxmax
  d4
, где J x 
Jx 
G   
32
(см. табл.1).
32  Mnx max 4 32  3.10  103
Отсюда d   4

 0.08381ì  8.381ñì .
  G   
  8  104  8  103
Из двух
d  8.381ñì .
полученных
значений
принимается
наибольший
  d 2   8.3812

 55.167 ñì 2 .
Площадь поперечного сечения À 
4
4
4
d
  8.3814
Полярный момент инерции J x 

 484.377 ñì 4 .
32
32
  d 3   8.3813
Полярный момент сопротивления Wx 

 115.589ñì
16
16
Из условия прочности (1) допускаемый крутящий момент равен
 Mx       Wx  100  103  115.589  106  11.559 ê Í ì
диаметр
3
.
Из условия жесткости (2)
 Mx       G  J x  8  103  8  107  484.377  108  3.10 ê Í ì
.
3.4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ УГЛОВ ЗАКРУЧИВАНИЯ.
Отсчитываем углы поворота (x) сечений относительно неподвижного
опорного сечения ( x  2.4ì ). По (9) составим выражения для (x) на участках
загружения стержня и определим значения (x) в характерных сечениях.
3-й участок (1.6  x 3  2.4 ì ; рис. 2.а)
2.4
(x 3 )  (2.4) 

x3
M x (x 3 )
 dx 3 .
G  Jx
При G  J x  8  107  484.377  108  387.502ê Í ì 2 , (2.4)  0 и
Mx   5.9  3  x 3  кНм (см. п.3.2) будем иметь
2.4
1
1
1.32   5.9  3  x 3  2  ðàä .
(x 3 )  
 5.9  3  x 3  dx 3 


387.502 x3
6  387.502 
Для построения эпюры  (x 3 ) на 3-м участке задаем значения x 3 через
0.25  a  0.25  0.8  0.2ì
(2.2)  5.161  104 ðàä , (2.0)  7.226  104 ðàä , (1.967)  7.269  10 4 ðàä ,
(1.8)  6.194  104 ðàä , (1.6)  2.065  10 4 ðàä .
2-й участок (0.4 ì  x 2  1.6 ì ; рис. 2.а)
16
1.6

(x 2 )  (1.6) 
x2
Mx (x 2 )
 dx 2 .
G  Jx
При M x (x 2 )  3.1ê Í ì (см. п.3.2) получим
(x 2 )  2.065  104 
3.1  (1.6  x 2 )
.
387.502
Отсюда находим (1.6)  2.065  104 ðàä , (0.4)  93.935  104 ðàä .
1-й участок (0 ì  x1  0.4 ì ; рис. 2.а)
0.4
(x1 )  (0.4) 

x1
1.6   0.4  x1 
M x ( x1 )
.
 dx1  93.935  10 4 
G  Jx
387.502
Имеем далее (0.4)  93.935  104 ðàä , (0)  110.451  10 4 ðàä .
По полученным значениям на рис. 2.в построена эпюра углов закручивания
поперечных сечений стержня.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСКАЕМЫХ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ
ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ФОРМАМИ ПОПЕРЕЧНОГО
СЕЧЕНИЯ.
4.1. КРУГЛОЕ СЕЧЕНИЕ С ОТВЕРСТИЕМ (рис.6).
d0
   0.9
d
Из равенства площадей сплошного и полого круглых сечений находим внешний диаметр d кольцевого профиля
2
  d 2   d0     d 2
An 
 1     
 1   2  A o  55.167 ñì 2 ,
4   d  
4

d
4  Ao

  1  2



4  55.167
 19.227 ñì .
  1  0.92


Тогда d 0  19.227  0.9  17.304ñì .
Из условия прочности (1) допускаемый крутящий момент равен
 M x       Wx ,
  d3
  19.2273
4
где    100Ì Ï à , Wx 
 1  
 1  0.94  479.951ñì 3 .
16
16
 Mx    100  103  479.951  106  47.995 ê Í ì .

Из условия жесткости (2)


 M x         G  J x ,

17
  d4
  19.2274
4
где    8  10 ðàä / ì , J x 
 1  
 1  0.94  4614.006ñì 4 .
32
32
3
7
 Mx    8  10  8  10  4614.006  108  29.530 ê Í ì .

3



4.2. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ (рис.7).
Находим размеры b и h поперечного сечения
Anp  b  h    b2  1.3  b2  55.167ñì 2 ,
55.167
 6.514 ñì , h  1.3  6.514  8.468ñì .
1.3
Определяем геометрические характеристики сечения. Значения
коэффициентов k 1 и k 3 находим с использованием линейной
интерполяции по табл. 2. Для 1    1.5 будем иметь
b
k 1 ()  k 1 (1) 
 1
1.3  1
  k 1 (1.5)  k 1 (1)   0.208 
  0.231  0.208   0.222;
1.5  1
0.5
k 3 ( )  k 3 (1) 
 1
1.3  1
  k 3 (1.5)  k 3 (1)  0.141 
  0.196  0.141  0.174.
1.5  1
0.5
Тогда
Wx  k1  h  b2  0.222  8.468  6.5142  79.768ñì 3 ;
J x  k 3  h  b3 = 0.174  8.468  6.5143 = 407.262ñì 4
Из условия прочности (1)
 Mx       Wx  100  103  79.758  106  7.976 ê Í ì
.
Из условия жесткости (2)
 Mx       G  J x  8  10-3  8  107  407.262  10-8  2.606 ê Í ì .
4.3. ТОНКОСТЕННОЕ ТАВРОВОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ (рис.8).
Площадь тавра
A  1  h   2  b  h   h  b   b    h 2  b 2  




2
      b   b 2    b 2  1   2  0.04  1  1.32  b 2 


 0.1076  b2  55.167 ñì 2 .
Откуда будем иметь b 
55.167
 22.643ñì .
0.1076
Учитывая заданные соотношения, получим
h  1.3  22.643  29.436ñì , 1  0.04  h  0.04  29.436  1.177 ñì ,
 2  0.04  b  0.04  22.643  0.906ñì .
18
Находим геометрические характеристики сечения
13  S1   23  S2 1.177 3  29.889  0.9063  22.643
Wx 

 18.571ñì 3 ,
3  max
3  1.177
13  S1  23  S2 1.1773  29.889  0.9063  22.643
Jx 

 21.858ñì 4 .
3
3
Из условия прочности
 Mx       Wx  100  103  18.571  106  1.857 ê Í ì .
Из условия жесткости
 Mx      G  J x  8  103  8  107  21.858  108  0.140ê Í ì
.
4.4. ТОНКОСТЕННЫЙ ЗАМКНУТЫЙ ПРОФИЛЬ (рис.9).


h
   1.3 , 1  2    0.04 ,
b
h b
A  2   b   2   h  2   2   1   2   b   2  h  1  2  1   2  


 2   b 2    b    b  2    b   b 


 2   b 2  1   2  2    0.207  b 2  55.167 ñì 2 ,
55.167
 16.325 ñì , h  1.3  16.325  21.223ñì ,
0.207
1  0.04  21.223  0.849ñì ,  2  0.04  16.325  0.653ñì .
b
Вычисляем геометрические характеристики сечения (табл.1)
Wx  2    min  2  h0  b0   min  2   21.223  0.653    16.325  0.849   0.653 
 2  20.57  15.476  0.653  415.754ñì 3 ,
2  h02  b02  1  2 2  20.57 2  15.4762  0.849  0.653
Jx 

 4228.862ñì 4 .
h0  2  b0  1
20.57  0.653  15.476  0.849
Из условия прочности
 Mx       Wx  100  103  415.754  106  41.575 ê Í ì .
Из условия жесткости
 Mx       G  J x  8  103  8  107  4228.862  10 8  27.065 ê Í ì .
5. ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ПО ПРОЧНОСТИ И
ЖЕСТКОСТИ СТЕРЖНЕЙ.
Для оценки прочности и жесткости профиля поперечного сечения заполним
табл. 3 данными выполненных расчетов.
19
Величины
À, ì 2
wx
ix
 Mx  , ê Í ì
 Mx  , ê Í ì
Тип сечения
ТонкостенСплошное Полое ПрямоуТонкостенное
ное таврокруглое круглое гольное
коробчатое
вое
55.167
55.167
55.167
55.167
55.167
0.282
1.171
0.195
0.045
1.015
0.159
1.516
0.134
0.0072
1.390
11.559
47.995
7.976
1.857
41.575
3.10
29.530
2.606
0.140
27.065
Из данных таблицы следует, что при равных площадях поперечных сечений наибольший
крутящий момент воспринимает тонкостенный стержень замкнутого профиля (полое круглое и
коробчатое сечения). Это означает, что полые сечения с малой толщиной стенки являются
наиболее рациональными при кручении.
6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА НА ЭВМ.
Файл с исходными данными для выполнения рассмотренных выше расчетов
по программе SHAFT имеет следующий вид:
200
// расчетное сопротивление (МПа)
200000 // модуль упругости (МПа)
0.25
// коэффициент Пуассона
1.5
// коэффициент надежности по нагрузке
0.008
// допускаемый относительный угол закручивания (рад/м)
2.4
// длина вала (м)
1.3
// h/b
0.9
// d0/d
0.04
// delta1/h=delta2/b
3
// число сосредоточенных пар
-1.6 0
// величина 1-ой пары (кНм) и ее координата (м)
-1.5 0.4 // величина 2-ой пары (кНм) и ее координата (м)
2 1.6
// величина 3-ей пары (кНм) и ее координата (м)
1
// число распределенных пар
3 1.6 2.4 // величина 1-ой распределенной пары (кНм/м) и ее координаты (м)
20
Результаты расчетов представлены ниже.
Величина максимального крутящего момента:
Mmax = 3.100 кНм, Xmax = 0.40 м.
Оценка результатов расчета по прочности и жесткости стержней
---------------------------------------------------------------Тип
¦ Сплошное ¦
Полое ¦ Прямоу- ¦ Тавровое ¦ Замкнутое
сечения ¦ круглое ¦ круглое ¦ гольное ¦ тонкост. ¦ тонкост.
---------------------------------------------------------------A,
¦ 55.167 ¦ 55.167 ¦ 55.167 ¦ 55.167 ¦ 55.167
кв.см. ¦
¦
¦
¦
¦
---------------------------------------------------------------wx
¦
0.282 ¦
1.171 ¦
0.195 ¦
0.045 ¦
1.016
---------------------------------------------------------------ix
¦
0.159 ¦
1.516 ¦
0.134 ¦
0.007 ¦
1.391
---------------------------------------------------------------Mmax,кНм ¦
11.56 ¦ 47.997 ¦
7.971 ¦
1.857 ¦ 41.611
по прочн.¦
¦
¦
¦
¦
---------------------------------------------------------------Mmax,кНм ¦
3.10 ¦ 29.532 ¦
2.607 ¦
0.140 ¦ 27.094
по жестк.¦
¦
¦
¦
¦
---------------------------------------------------------------Размеры подобранных сечений:
Сплошное круглое сечение: d = 9.426 см,
GJx = 387.500 кН*м*м.
Круглое сечение с отверстием: d = 9.434 см, d0 = 0.377 см.
Прямоугольное сечение: b = 6.821 см, h = 10.231 см.
Тонкостенное тавровое сечение:
b = 23.169 см, h = 34.753 см, delta1 = 1.390 см, delta2 = 0.927 см.
Тонкостенный замкнутый профиль:
b = 16.694 см, h = 25.041 см, delta1 = 1.002 см, delta2 = 0.668 см.
Эпюры крутящих моментов и углов закручивания
(для сплошного круглого сечения)
---------------------------------------------x, м ¦
М(x), кНм
¦ Fi(x)*10000, рад
---------------------------------------------0.000
1.600
-110.45
0.400
1.600
-93.94
0.400
3.100
-93.93
1.600
3.100
2.06
1.600
1.100
2.06
1.800
0.500
6.19
2.000
-0.100
7.23
2.200
-0.700
5.16
2.400
-1.300
0.00
21
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СДАЧЕ
РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ.
Какой вид напряженного состояния называется кручением?
В каком случае кручение называют свободным, а в каком стесненным?
Что называется депланацией?
Какие напряжения возникают в поперечном сечении при свободном и стесненном кручении?
5. Как определяется крутящий момент в произвольном поперечном сечении
стержня при кручении?
6. Какая точка поперечного сечения является наиболее напряженной при свободном кручении стержня:
а) круглого сплошного сечения;
б) прямоугольного сечения;
в) тонкостенного открытого профиля;
г) тонкостенного замкнутого профиля?
7. Чему равны главные напряжения при свободном кручении?
8. Как определяются допускаемые касательные напряжения в зависимости от
применяемой гипотезы прочности.
9. Как записываются условия прочности и жесткости при кручении?
10. Какой вид напряженного состояния имеет место в любой точке поперечного сечения при свободном кручении?
11. Как записывается закон Гука при чистом сдвиге?
12. Какова зависимость между E, G, v для изотропного материала?
1.
2.
3.
4.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М., Высшая шк., 2003. – 560 с.
2. Андреев В.И., Паушкин А.Г., Леонтьев А.И. Техническая механика (для
учащихся строительных вузов и факультетов): Учебник. – М., Издательство
АСВ, 2012. – 251с.
3. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов (с
основами строительной механики). – М., ИНФА-М, 2003. – 480 с.
4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов. М., Высшая шк., 1975. – 479 с.
5. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М., Наука, 1976. – 608 с.
6. Степин П.А. Сопротивление материалов. М., Высшая шк., 1997. – 319 с.
22
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ....................................................................................................................... 3
1. Основные положения теории ................................................................................. 3
2. Задание для выполнения расчетной работы ......................................................... 8
2.1. Условия выполнения расчетной работы ........................................................ 8
2.1.1. Задание ....................................................................................................... 8
2.1.2. Построение эпюры крутящих моментов ................................................ 8
2.1.3. Определение диаметра стержня сплошного круглого поперечного
сечения ....................................................................................................... 8
2.1.4. Построение эпюры углов закручивания стержня сплошного
сечения ....................................................................................................... 9
2.1.5. Определение допускаемых крутящих моментов для стержней кольцевого и прямоугольного сечений и тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля ...................................................................... 10
2.1.6. Оценка результатов расчета по прочности и жесткости стержней ..... 10
2.1.7. Инструкция по работе с программой SHAFT ........................................ 11
3. Пример расчета прямого призматического стержня при кручении .................. 12
3.1. Задание .............................................................................................................. 12
3.2. Построение эпюры крутящих моментов ....................................................... 12
3.3. Определение диаметра стержня сплошного круглого поперечного
сечения .............................................................................................................. 14
3.4. Построение эпюры углов закручивания ........................................................ 15
4. Определение допускаемых крутящих моментов для стержней с различными формами поперечного сечения.................................................................... 16
4.1. Круглое сечение с отверстием ........................................................................ 16
4.2. Прямоугольное поперечное сечение .............................................................. 17
4.3. Тонкостенное тавровое поперечное сечение ................................................ 17
4.4. Тонкостенный замкнутый профиль ............................................................... 18
5. Оценка результатов расчета по прочности и жесткости стержней.................... 18
6. Результаты расчета на ЭВМ ................................................................................... 19
Контрольные вопросы для подготовки к сдаче расчетной работы .................. 21
Библиографический список .................................................................................. 21
Содержание ............................................................................................................. 22
23
РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ НА КРУЧЕНИЕ.
Методические указания к контрольной работе и задачам по курсу "Сопротивление материалов" для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей.
Составители – ст. преп. Ринат Абдуллаевич Мухтаров,
к.ф.-м.н., доцент Александр Васильевич Резунов.
Редактор Акритова Е.В.
Подписано в печать
Формат 60х841/16
Уч-изд.л. 1,5 Усл.-печ. 1,6. Бумага для множительных аппаратов
Тираж 500 экз. Заказ
Отпечатано в типографии Воронежского государственного архитектурностроительного университета.
394006, Воронеж, ул.20-летия Октября,84.