10-й класс, 2-й семестр, 2006

10-й класс, 2-й семестр, 2006-2007 учеб. год.
Вопросы для подготовки к коллоквиуму по теме:
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
1. Действительные числа
1. Метод математической индукции. Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3,
5, 9, 10. Свойства рациональных чисел. Числовые неравенства. Иррациональные
числа.
2. Сечение на множестве рациональных чисел. Множество действительных чисел.
Арифметические действия с числами. Модуль числа.
3. Десятичные дроби. Периодические и непериодические дроби. Границы числовых
множеств.
4. Обобщение понятия угла. Числовая окружность.
2. Числовые последовательности
1.Арифметическая и Геометрическая прогрессии: формула общего члена, сумма
первых n членов, характеристическое свойство.
2. Свойства числовых последовательностей.
2.1. Сумма, разность, произведение и частное последовательностей.
2.2. Свойство монотонности. Свойство ограниченности последовательностей
(сверху, снизу, сверху и снизу).
2.3. Изображение последовательности на числовой прямой. График числовой
последовательности.
3. Степень действительного числа
1. Арифметический и алгебраический корень. Доказать существование и единственность арифметического корня.
2. Степень числа с рациональным показателем. Неравенство Бернулли.
3. Степень числа с действительным показателем. Свойства степени числа с
действительным показателем.
4. Логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифма
числа. Формула перехода к новому основанию.
4. Начала тригонометрии
1. Соответствие между множеством действительных чисел и мерой угла в
радианах. Геометрическая интерпретация тригонометрических функций на
координатной окружности.
2. Синус и косинус числа. Построить графики соответствий (t, sin t), (t, cos t).
3. Тангенс и котангенс числа. Построить графики соответствий (t, tg t), (t, ctg t).
4. Доказать основное тригонометрическое тождество и следствия.
5. Доказать теоремы сложения. Вывести формулы приведения.
6. Вывести формулы двойных и половинных углов. Вывести формулы тригонометрических функций через тангенс половинного угла.
7. Вывести формулы преобразования суммы тригонометрических функций в
произведение. Вывести формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Следствия.
1
5. Комплексные числа
1. Комплексная плоскость. Действия над комплексными числами в алгебраической
форме.
2. Комплексно-сопряженные числа.Теоремы о сопряженности суммы и произведения
комплексно-сопряженных чисел.
6. Предел последовательности
1. Определение предела последовательности.
2. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
3. Теоремы о сумме и произведении бесконечно малых последовательностей.
Теоремы о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей.
4. Необходимые условия сходящейся последовательности (ограниченность,
единственность предела).
5. Признаки сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса.
6. Арифметические теоремы о пределах последовательностей.
7. Теорема о последовательности, ее пределе и бесконечно малой последовательности.
8. Теоремы о пределах последовательностей: о стабилизации члена последовательности, о предельном переходе в неравенстве, о пределе промежуточной последовательности,
9. Число Эйлера. Натуральный логарифм числа. Экспонента.
10. Раскрытие неопределенностей, например lim (
11. Доказать неравенство:
1
1
 ln(1  ) 
n 1
n
n 2  n 1 2 n
n 
1
.
n
n2
) .
12. Оценить погрешность вычисления числа Эйлера е в зависимости от n.
7. Предел функции
1. Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.
2. Теорема о функции, её пределе и бесконечно малой функции.
3. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.
4. Арифметические свойства функций, имеющих пределы.
5. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке.
6. Теоремы о единственности предела в точке и о предельном переходе в равен-стве
двух функций. Теорема о предельном переходе в неравенстве для двух функций.
Теорема о «зажатой» функции.
7. Первый и второй замечательные пределы. Другие замечательные пределы.
8. Необходимое условие и признак существования предела функции в точке.
9. Теорема о пределе сложной функции.
10. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность бесконечно малых
функций. Доказать эквивалентность бесконечно малых при x0 функций
ln(1+x) ~ x; ex-1 ~ x; cos x-1 ~ -x2/2; (1+x) -1 ~  x.
Председатель секции «Математика, 10-е классы»
В.Е.Епихин
2
10-й класс, 2-й семестр, 2006-2007 учеб. год.
Вопросы для подготовки к коллоквиуму по теме:
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
1. Действительные числа
1. Метод математической индукции. Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3,
5, 9, 10. Свойства рациональных чисел. Числовые неравенства. Иррациональные
числа.
2. Сечение на множестве рациональных чисел. Множество действительных чисел.
Арифметические действия с числами. Модуль числа.
3. Десятичные дроби. Периодические и непериодические дроби. Границы числовых
множеств.
4. Обобщение понятия угла. Числовая окружность.
2. Числовые последовательности
1.Арифметическая и Геометрическая прогрессии: формула общего члена, сумма
первых n членов, характеристическое свойство.
2. Свойства числовых последовательностей.
2.1. Сумма, разность, произведение и частное последовательностей.
2.2. Свойство монотонности. Свойство ограниченности последовательностей
(сверху, снизу, сверху и снизу).
2.3. Изображение последовательности на числовой прямой. График числовой
последовательности.
3. Степень действительного числа
1. Арифметический и алгебраический корень. Доказать существование и единственность арифметического корня.
2. Степень числа с рациональным показателем. Неравенство Бернулли.
3. Степень числа с действительным показателем. Свойства степени числа с
действительным показателем.
4. Логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифма
числа. Формула перехода к новому основанию.
4. Начала тригонометрии
1. Соответствие между множеством действительных чисел и мерой угла в
радианах. Геометрическая интерпретация тригонометрических функций на
координатной окружности.
2. Синус и косинус числа. Построить графики соответствий (t, sin t), (t, cos t).
3. Тангенс и котангенс числа. Построить графики соответствий (t, tg t), (t, ctg t).
4. Доказать основное тригонометрическое тождество и следствия.
5. Доказать теоремы сложения. Вывести формулы приведения.
6. Вывести формулы двойных и половинных углов. Вывести формулы тригонометрических функций через тангенс половинного угла.
7. Вывести формулы преобразования суммы тригонометрических функций в
произведение. Вывести формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Следствия.
1
5. Комплексные числа
1. Комплексная плоскость. Действия над комплексными числами в алгебраической
форме.
2. Комплексно-сопряженные числа.Теоремы о сопряженности суммы и произведения
комплексно-сопряженных чисел.
6. Предел последовательности
1. Определение предела последовательности.
2. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
3. Теоремы о сумме и произведении бесконечно малых последовательностей.
Теоремы о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей.
4. Необходимые условия сходящейся последовательности (ограниченность,
единственность предела).
5. Признаки сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса.
6. Арифметические теоремы о пределах последовательностей.
7. Теорема о последовательности, ее пределе и бесконечно малой последовательности.
8. Теоремы о пределах последовательностей: о стабилизации члена последовательности, о предельном переходе в неравенстве, о пределе промежуточной последовательности,
9. Число Эйлера. Натуральный логарифм числа. Экспонента.
10. Раскрытие неопределенностей, например lim (
11. Доказать неравенство:
1
1
 ln(1  ) 
n 1
n
n 2  n 1 2 n
n 
1
.
n
n2
) .
12. Оценить погрешность вычисления числа Эйлера е в зависимости от n.
7. Предел функции
1. Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.
2. Теорема о функции, её пределе и бесконечно малой функции.
3. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.
4. Арифметические свойства функций, имеющих пределы.
5. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке.
6. Теоремы о единственности предела в точке и о предельном переходе в равен-стве
двух функций. Теорема о предельном переходе в неравенстве для двух функций.
Теорема о «зажатой» функции.
7. Первый и второй замечательные пределы. Другие замечательные пределы.
8. Необходимое условие и признак существования предела функции в точке.
9. Теорема о пределе сложной функции.
10. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность бесконечно малых
функций. Доказать эквивалентность бесконечно малых при x0 функций
ln(1+x) ~ x; ex-1 ~ x; cos x-1 ~ -x2/2; (1+x) -1 ~  x.
Председатель секции «Математика, 10-е классы»
В.Е.Епихин
2
ПАМЯТКА ПРЕПОДАВАТЕЛЮ
1. Цели коллоквиума:
− индивидуальная помощь по подготовке к семестровой контрольной работе и
к переводному экзамену в 11-й класс;
– проверка усвоения текущего учебного материала по теме:
«ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ»;
− достижение понимания школьником необходимости и достаточности
добросовестных занятий для продолжения обучения в 11 классе.
2. Рекомендуется проводить коллоквиум в три этапа:
• письменный опрос на лекции или на дополнительном
занятии, не более 45 минут;
• проверка письменных работ;
• собеседование с автором каждой работы и выставление
положительной оценки.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА ЗАДАНИЙ
Вариант 1
1. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.
Признаки делимости натурального числа на 2, 3, 4, 5, 9, 10.
2. Арифметическая прогрессия. Доказать формулы: общего члена, суммы
первых n членов. Доказать характеристическое свойство А.п.
3. Числовые последовательности. Основные свойства. Сумма и произведение
последовательностей.
4. Предел последовательности. Теоремы о пределе суммы и произведения
сходящихся последовательностей.
5. Предел функции в точке. Дать два определения предела функции и
доказать их эквивалентность.
6. Обобщение понятия угла. Определение основных тригонометрических
функций, их свойства и графики. То же для обратных тригонометрических
функций.
7. Дополнительные вопросы, включая качественные задачи на понимание
материала.
Рекомендуются задания из Методических указаний В.В.Кузнецова
«Математический анализ»: с.3-9.
Председатель секции «Математика, 10-е классы»
В.Е.Епихин
3