Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Тема урока: Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
Цели и задачи:

дидактические: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме « Решение
тригонометрических уравнений»; закрепление основных понятий; систематизация умений и
навыков по применению способов отбора корней в тригонометрических уравнениях.
 развивающие:
развитие
познавательного
интереса,
логического
мышления,
интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
 воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и
самостоятельность мышления у учащихся.
Ход урока:
I. Организационный момент. Сформулировать цели и задачи урока.
II. Актуализация знаний учащихся.
Учитель: Давайте повторим основные типы уравнений и методы их решения, а также решения
простейших уравнений в ходе следующих устных упражнений:
1.
2. Назовите вид уравнения и изложите грамотно способ его решения.
а) 2cos2 х - cos x - 5 = 0
б) sin2 х + cos x - 8 = 0
в) 3 cos х + sin x = 0
г) sin х -
3 cos x = 1
д) 3cos x - 4sin x = 0 (или 5)
е) 5 sin2 х — 8sin x cos x + cos2 x = 0 (или 2)
ж) sin 2х - cosx = 0
з) cos 3х = cos х
2)
1
Назовите несколько чисел из множества чисел вида: 

2
 n; 2k ; 

6
 2k ; (1) n

4
 k
III. Переход к изучению нового.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений
специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло
расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто
связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений
получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих
серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим
различные способы и приемы при выборе ответа. Для нас важность этой темы связана с тем, что
тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в
тематических тестах ЕГЭ; это задание С1 с дополнительным условием.
При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один
из следующих способов.
● Арифметический способ:
а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся
ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
● Алгебраический способ:
а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление
корней;
б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
● Геометрический способ:
а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом
имеющихся ограничений;
б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся
ограничений.

Функционально-графический:
2
Выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции
Сегодня на уроке мы остановимся на наиболее часто применяемых способах отбора корней
и тех способах с которыми мы еще не сталкивались.
IV. Разбор примеров. Решение задач.
№1. . Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом .
Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2𝜋.
3x
Пример 1. cos 2 x  cos
2
4
Решение.
Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе
cos 2 x  1,


3x
cos 4  1;
 x  k , k  Z ,

8n

 x  3 , n  Z ;
Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение
8n
k 
;
3
8n
k
;
3
Получаем
k  8t , n  3t , t  Z
Итак,
x  8t , t  Z .
Ответ : {8t / t  Z }.
Пример 2.
x
x
cos sin x  2 sin 2 x  cos x  sin cos x  2 cos 2  0.
4
4
Решение.

sin( x  )  cos x  2;
4
 5x
 1,
sin
4

cos x  1;
 5x 
   2n, n  Z ,
2
4
 x  2k , k  Z ;
2 8n


,n  Z,
x 
5
5

 x  2k , k  Z ;
Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение
2 8n
2k 

;
5
5
3
1  4n
;
5
5k  1  4n;
5k  1
n
;
4
k 1
k 1
nk
,

4
4
где
целое число.
k 1
Пусть
 m,
4
k  4m  1,
n  5m  1.
тогда
Итак,
x  2  8m, m  Z .
k
Ответ : {2  8m / m  Z }.
№2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности
(геометрический).
Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений
часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев
этот прием более наглядный и убедительный.
Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1.
Решение.
cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0,
2sin x sin 2x – 2sin2 x = 0,
2sin x (sin 2x – sin x) = 0,
4 sin x sin
x
3x
cos
 0;
2
2

sin x  0,

sin x  0,
 2

3x
cos
 0;
2

 x  k , k  Z

 x  n, n  Z
2
 3x 
   m, m  Z ;
2
2

 x  k , k  Z

 x  2n, n  Z

 2m
, m  Z;
x  
3
3

Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в себя корни
второй серии, а третья серия включает в себя числа вида x    2k из корней первой серии.
4
0
Ответ : {2n;

3

2m
/ n, m  Z }.
3
№ 3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями.
Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда
применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы
комбинируются.
Пример 1. Найти корни уравнения
sin 2x = cos x | cos x | , удовлетворяющие
условию x  [0; 2𝜋].
Решение.
sin 2x = cos x | cos x |;
2sin x· cos x - cos x | cos x |=0;
cos x (2sin x - | cos x |)=0;
cos x  0,

cos x(2 sin x  cos x)  0;
cos x  0,

cos x(2 sin x  cos x)  0;
5
cos x  0,

 x    n, n  Z ,

2

1
 x  arctg  k , k  Z ;

2

 cos x  0,


1
 x  arctg  m, m  Z .
2

Определим решения систем с помощью числовой окружности.

2

2
1
2
y




2
1
2

2


 x  2  n, n  Z ,
1
x    arctg  2m, m  Z .

2
 x  arctg 1  2k , k  Z .
2


3
,
Условию x  [0; 2𝜋] удовлетворяют числа x  , x 
2
2
1
x    arctg
2 (для второй системы).
x  arctg
1
2 (для первой системы) и
 3
1
1
Ответ : { ; ; arctg ;  arctg }.
2 2
2
2
Пример 2. Найти все решения уравнения
1  sin 2 x  2 cos 3 x  0,
Решение.
ОДЗ: cos 3x ≥ 0;


2
 2n  3 x 

2
[ ;
принадлежащие отрезку
3
].
2
 2n, n  Z ;
6


6

2n
 2n
x 
,n  Z;
3
6
3
Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:
c
o
s
x
5
6

2

6
< c
y
o
7


s
0
6
6
x
3
≥2
3 0
] принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно
Отрезку [ ;
2
[
7 3
; ]. .
6 2
Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:
1 + sin 2x = 2cos2 3x ;
sin 2x = cos 6x;
sin 2x - cos 6x=0;
sin 2 x  sin(
2 cos(

4

2
 6 x)  0;
 2 x) sin( 4 x 
2 cos( 2 x 

4
) sin( 4 x 

4

4
)  0;
)  0;


cos( 2 x  4 )  0,

sin( 4 x   )  0.
4

 

2
x

  n, n  Z ,

4 2

4 x    k , k  Z .

4
3 n

x  8  2 ,

 x    k , k  Z .

16 4
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.
Из первой серии:
7 3 n 3



,n  Z;
6
8
2
2
28  9  12n  36 , n  Z ;
19  12n  27, n  Z .
7
11
.
8
Следовательно n=2, то есть
7  k 3
 

,n  Z;
Из второй серии:
6 16 4
2
56  3  12n  72 , n  Z ;
53  12n  69, n  Z .
21
x
.
16
Следовательно n=5, то есть
11 21
Ответ : {
;
}.
8 16
x
VI. Итоги урока.
Итак, мы разобрали различные виды задач, где необходим отбор корней, рассмотрели несколько
способов такого отбора. Вы в дальнейшем можете применять любой из них. Урок показал, что вы
хорошо умеете решать уравнения различных типов (учитель выставляет оценки учащимся,
работавшим у доски, наиболее активным учащимся)
VII. Домашнее задание.
Закрепить дома виды задач.
1) Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку
a) cos 2x + sin x = cos2 x
на [0;2π]
б) sin x + cos x = 0
на [-π;π]
2) Найдите число корней уравнения из [-π;π]
 3

3 sin 2 
 x   sin 2 (  x)  sin(   2 x)
 2

3) Решите уравнение:
а) 2 cos 2 x  sin x
б)*
2 cos x  1  cos x
8