Тема 9 1 Математическое ожидание дискретной случайной величины. Пусть задан закон распределения случайной величины . х1 х2 х3 хn P p1 p2 p3 pn Математическое ожидание М (или М()) случайной величины определяется формулой n M xi pi i 1 Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные собраны в таблицу: Количество проданных 0 1 2 3 4 5 холодильников Число дней, в которые было 7 8 9 2 1 продано столько холодильников 3 По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц: 03+17+28+39+42+51 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей 1 7 4 3 1 1 ; ; ; ; ; , каждая из которых представляет собой так называемую 10 30 15 10 15 30 относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников: 1 7 4 3 1 1 0 1 2 3 4 5 2,1 10 30 15 10 15 30 Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение. Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю. Тема 9 2 Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения 1 0 Р p q Здесь p + q = 1, M = 1р + 0q = р Свойства математического ожидания. 1. Если случайная величина принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть С, то её математическое ожидание равно С. 2. Если М = а, и k – константа, то М(k) = kа (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число). 3. Если М = а, и k – константа, то М(k + ) = k + а (математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины). Выведем формулу для математического ожидания суммы двух случайных величин и , определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов и заданных законами распределения Р х1 М( + ) = p11 xn p1n Р y1 p12 yk pk2 (х1 + у1)Р(( = х1) ∩ ( = у1))+ (х2 + у1)Р(( = х2) ∩ ( = у1)) + +(хi + уj)Р(( = хi) ∩ ( = уj)) + + (хn + уk)Р(( = хn) ∩ ( = уk)) Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk слагаемых. Преобразуем эту сумму следующим образом: М( + ) = х1 Р((=х1)∩(=у1)) + х1 Р((=х1)∩(=у2)) ++х1 Р((=х1)∩(=уk)) + + х2Р((=х2)∩(=у1)) + х2Р((=х2)∩(=у2)) + + х2Р((=х2)∩(=уk)) + + хnР((=хn)∩(=у1)) + хnР((=хn)∩(=у2)) + + хnР((=хn)∩(=уk)) + + у1Р((=х1)∩(=у1)) + у1Р((=х2)∩(=у1)) + + у1Р((=хn)∩(=у1)) + + у2Р((=х1)∩(=у2)) + у2Р((=х2)∩(=у2)) + + у2Р((=хn)∩(=у2)) + + уkР((=х1)∩(=уk)) + уkР((=х2)∩(=уk)) + + уkР((=хn)∩(=уk)) = = х1(Р((=х1)∩(=у1)) + Р((=х1)∩(=у2)) + + Р((=х1)∩(=уk))) + + х2(Р((=х2)∩(=у1)) + Р((=х2)∩(=у2)) + + Р((=х2)∩(=уk))) + + + хn(Р((=хn)∩(=у1)) + Р((=хn)∩(=у2)) + + Р((=хn)∩(=уk))) + + у1(Р((=х1)∩(=у1)) + Р((=х2)∩(=у1)) + + Р((=хn)∩(=у1))) + + у2(Р((=х1)∩(=у2)) + Р((=х2)∩(=у2)) + + Р((=хn)∩(=у2))) + Тема 9 3 + уk(Р((=х1)∩(=уk)) + Р((=х2)∩(=уk)) + + Р((=хn)∩(=уk))) = = х1Р(=х1) + х2Р(=х2) ++ хn Р(=хn) + + у1Р(=у1) + у2Р(=у2) ++ у1Р(=у1) = M + M При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например, событие =х1 можно представить в виде объединения несовместных событий (=х1)∩(=у1), (=х1)∩(=у2), , (=х1)∩(=уn). Пример. Заданы n одинаково распределённых случайных величин 1, 2, , n с законом распределения Таблица 1 1 0 i P p q Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин. Решение. n M( i ) = i 1 n Mi = np i 1 Если случайные величины и независимы, то М() = ММ Доказательство. Если заданы законы распределения двух независимых случайных величин и х1 y1 xi xn yj yk Р Р p 1i p1n pk2 p11 p12 p 2j то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом: М() = n k хi y j p1i p 2j = i 1 j 1 = х1 p11 k 1 y j p 2j +х2 p 2 j 1 k y j p 2j ++ хi p1i j 1 k y j p 2j + хn p1n j 1 k y j p 2j = j 1 n = х1 p11 M + х2 p 2 M + + хi p1i M+ хn p1n M = M xi pi = ММ 1 i 1 Дисперсия случайной величины. Дисперсия D случайной величины определяется формулой D = M( – M)2. Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Рассмотрим случайную величину с законом распределения 1 2 3 Тема 9 4 Р 1 1 1 6 3 2 Вычислим её математическое ожидание. M = 1 1 + 2 1 + 3 1 = 13 6 3 6 2 Составим закон распределения случайной величины – M 5 – M 7 1 6 6 6 1 1 1 Р 6 3 2 а затем закон распределения случайной величины ( – M)2 25 49 1 (– M)2 36 36 36 1 1 1 Р 3 6 2 Теперь можно рассчитать величину D : 1 1 25 1 49 1 17 D = + + = 36 2 36 3 36 6 36 Формулу вычисления дисперсии дискретной случайной величины можно представить в таком виде: n D = xi M 2 i 1 pi Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии: 2 2 xi M pi xi 2 xi M M 2pi n D = n i 1 n = xi i 1 2 n i 1 n pi 2M xi pi M 2 pi M 2 2M M M 2 i 1 i 1 = M – M2 Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания. 2 Пример. Найти дисперсию случайной величины, с законом распределения, заданным таблицей 1.Выше было показано, что M = р. Легко видеть, что M2 = р. Таким образом, получается, что D = р – р2 = pq. Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины Тема 9 5 рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию. Дисперсия случайной величины равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа (то есть при всех исходах случайного эксперимента принимает одно и то же значение). Свойства дисперсии. 1. Если с – число, то D( + с) = D() 2. Если k – число, то D(k) = k2 D. Доказательство. D(k) = M(k – M(k))2 = M(k – k M)2 = M(k2 ( – M)2) = k2M( – M)2 = = k2 D 3. Для попарно независимых случайных величин 1, 2,, n справедливо равенство n n i 1 i 1 D i Di Это свойство оставим без доказательства. Из этого свойства, в частности, следует, что дисперсия суммы n независимых случайных величин i с законом распределения, заданным таблицей 1, равна npq. Теперь можно сделать важный вывод. Пусть проводится п повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р. Число k появлений события А можно рассматривать как случайную величину. Обозначим эту случайную величину . Как уже говорилось ранее, эта случайная величина называется бернуллиевской случайной величиной. Несложно понять, что имеет место равенство: = n ξi . Отсюда следует, что математическое ожидание i 1 бернуллиевской случайной величины равно пр, а её дисперсия равна пр(1 – р). Если случайные величины i и j зависимы, то дисперсия суммы этих случайных величин не равна сумме их дисперсий. Этот случай разобран в последующих лекциях. Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример. Пусть и – независимые случайные величины с заданными законами распределения: Р 0 0,25 1 0,75 Р 1 0,7 2 0,3 Показать, что D( + ) = D + D. Величина Dξ называется среднеквадратическим отклонением случайной величины. Как видно, среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Задача I. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке. Случайная величина – число карт между тузом и королём. Найти величины M и D. Тема 9 6 Задача II. В урне 2 белых, 2 чёрных и 1 зелёный шар. Из урны наудачу извлекаются 3 шара. Случайная величина – число белых шаров в выборке. Случайная величина принимает значение 0, если в выборке есть зелёный шар, и принимает значение 1, если в выборке нет зелёного шара. Найти величины M и D. Проверить выполнение равенства М( + ) = М + М и неравенств D( + ) D + D, М М М Задача III. По прогнозу акции корпорации С1 поднимутся в цене с вероятностью 0,7. Независимо от них акции корпорации С2 поднимутся в цене с вероятностью 0,5. Случайная величина примет значение 0, если ни одна из акций С1 и С2 не поднимется в цене, значение 1, если только одна из этих акций поднимется в цене, и значение 2, если в цене поднимутся обе акции. Случайная величина примет значение 0, если акция С1 не поднимется в цене и значение 1, если эта акция поднимется в цене. Найти величины M и D. Проверить справедливость неравенства D( + ) D + D. Задача IV. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке. Случайная величина – число карт между тузом и королём. Случайная величина принимает значение 0, если туз оказался перед королём, и значение 1, если туз лежит после короля. Найти величины M и D. Проверить справедливость равенств D( + ) = D + D, М = М М Ответы. I 2/3, 5/9; II 1,2, 0,36, законы распределения случайных величин + и имеют вид 0 1 2 3 0 1 2 + Р 0,1 0,4 0,3 0,2 Р 0,6 0,2 0,2 III 1,2, 0,46; IV 2/3, 5,9