ПЛАН ЛЕКЦИЙ КУРСА «МЕХАНИКА»

ПЛАН ЛЕКЦИЙ КУРСА «МЕХАНИКА»
Лекция 1
(Физическая картина природы и ее «изобразительные средства»). Физическая
модель природы. Ее адекватность эксперименту как движущая сила развития
модели. Принцип соответствия. Роль и место математики в физической модели.
Механика как физическая модель перемещения тел в пространстве и времени. Три
основных модели механики, ареал их использования. Условия перехода к
классической модели от теории относительности и квантовой механики.
Пространство и время как первичные категории механического движения.
Свойства пространства и времени, единые для всех трех моделей: размерность,
однородность, изотропность. Различия пространственно- временных
представлений в трех моделях механики: в классической модели – два
независимых континуума, с евклидовой метрикой; в теории относительности –
единый пространственно-временной 4-х мерный континуум с псевдоевклидовой
метрикой (СТО) и неевклидовой метрикой (ОТО – искривление пространства
находящимися в нем массами); квантовая механика – две независимые категории с
дискретной (ячеистой) структурой; размеры пространственно-временной ячейки
(масштабы нарушения самоподобия): λ=h/p (длина волны Де Бройля), τ=h/E.
Математика как язык физики. Параметризация пространства и времени
(накидывания на них «сетки чисел»). Системы координат: декартова, аксиальная
(цилиндрическая), сферическая. Радиус-вектор и его координаты в разных
системах. Связь между координатами в разных системах. Элемент объема в каждой
из систем. Якобиан.
Геометрическое понятие вектора. Единичный вектор как определяющая
характеристика направления вектора, модуль вектора как определяющая
характеристика его длины. Представление вектора в виде произведения модуля на
единичный вектор. Орты декартовых осей, представление радиус-вектора в виде
суммы трех векторов по декартовым осям. Скалярное произведение векторов, его
свойства. Разложение произвольного вектора в евклидовом (линейном)
пространстве по декартовым осям (его выражении через скалярные произведения).
Координаты орта. Направляющие косинусы.
Событие как отдельная пространственно-временная точка. Независимость
физических законов от координат отдельного события – отражение однородности
пространства. Физическая значимость интервала между событиями:
пространственного и временного в классике, пространственно-временного в ТО.
Физические величины как тензоры различных рангов. Иерархия тензоров по
рангам: скаляр, вектор, тензор второго ранга и т.д. Определяющие законы
преобразования координат тензоров двух низших рангов при переходе из одной
системы координат в другую: для скаляров – инвариантность, для векторов –
тождественность преобразованию координат радиус-вектора.
Пример задания координат как функций времени: движение по конической
поверхности. Визуализация движения материальной точки на экране.
Лекция 2
Кинематика линейного движения
Место и роль кинематики в построении физической модели механического
движения. Основной метод физического анализа явления («разобрать- построить»):
разбиение процесса на малые элементарные составляющие, построение модели
отдельной составляющей процесса, сложение из этих составляющих модели всего
процесса. Первый этап – дифференцирование, второй этап – интегрирование.
Разбиение vs раздробления. Предельный переход, его роль в физическом анализе и
синтезе.
Основные механические характеристики движения материальной точки в
инвариантном (векторном) представлении: траектория, перемещение, средняя и
мгновенная скорости (как относительные перемещения). Разложение движения на
три прямолинейных движения, представление перемещения и скорости в
разложении на три направления. Нахождения конечного перемещения по заданной
скорости движения. Примеры вычисления.
Среднее и мгновенное ускорение как относительные изменения скорости.
Вычисление скорости и перемещения по заданному ускорению. Примеры
вычислений. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Определение пройденного пути как длины отрезка траектории. Его выражение
через величину скорости. Примеры вычислений.
Различные способы параметризация движения в конкретных задачах: через
пройденный путь, через величину скорости. Примеры расчета.
Лекция 3
Кинематические характеристики криволинейного движения
Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную составляющие, роль
каждой из них в определении характера движения. Наличие нормального
ускорения как необходимое и достаточное условия искривления траектории.
Возможность аппроксимации малого кусочка траектории дугой окружности.
Радиус кривизны (каустика кривой), эволюта, эвольвента. Движение по
окружности – как базовый элемент криволинейного движения.
Угловые характеристики движения по окружности, их аналогия с линейными
характеристиками. Векторы и псевдовекторы. Векторное произведение как вектор
направленной площади. Правила вычисления его величины и направления.
Смешанное скалярно-векторное произведение и свойства его симметрии; двойное
векторное произведение, «правило BAC минус CAB».
Выражение мгновенной скорости изменения орта через угловую скорость
вращения. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения.
Примеры расчета «квазивращательных» движений: движение по эллипсу,
движение по спирали.
Лекция 4
Классическое правило сложения скоростей. Преобразования Галилея.
Допущение об инвариантности пространственных и временных интервалов в
классической механике и отказ от него в ТО. Соотношения между
кинематическими характеристиками в разных системах отсчета, движущихся друг
относительно друга. Каноническая форма преобразований Галилея.
Единицы длины и времени.
Лекция 5
Законы классической динамики
Первый закон Ньютона – постулат о существовании инерциальных систем.
Второй закон Ньютона. Масса тела и ее свойства: положительность, аддитивность,
независимость от движения. Импульс материальной точки. Ньютоновская
формулировка второго закона динамики. Закон сохранения импульса.
Третий закон Ньютона. Приближенный характер этого закона.
Четыре вида взаимодействий. Выражения для классических сил: гравитационной,
кулоновской, магнитной (силы Лоренца). Силы трения. Сухое трение: сила трения
покоя, скольжения и качения. Силы вязкого трения. Природа сил трения.
Лекция 6
Второй закон Ньютона как уравнение движения.
Дифференциальные уравнения как модели эволюционных процессов. Их роль в
классической механике (И.Ньютон).
Прямая и обратная задача механики. Роль начальных условий. Лапласовский
детерминизм и его несостоятельность в рамках современных физических
представлений.
Пример обратной задачи – пространственный маятник.
Примеры решения прямых задач: движение под действием силы вязкого трения;
падение тела в вязкой среде; движение тела под действием силы, зависящей от
времени.
Лекция 7
Механическая энергия и закон ее сохранения.
Кинетическая энергия материальной точки. Теорема об изменении кинетической
энергии.
Механическая работа, примеры вычисления работы. Потенциальная энергия
системы. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле. Потенциальные
силы и их связь с потенциальной энергией. Потенциал гравитационного поля.
Закон изменения полной механической энергии. Движение спутника в верхних
слоях атмосферы.
Лекция 8
Момент импульса материальной точки
Определение момента импульса. Закон сохранения момента импульса. Сохранение
момента импульса при движении в центральном поле.
Центробежная энергия и ее физический смысл.
Расчет траектории движения материальной точки в центральном поле. Виды
траекторий.
Законы Кеплера.
Лекция 9
Космические скорости.
Движение тела с переменной массой.
Первая, вторая и третья космические скорости.
Движение кометы вблизи земли – условия космической катастрофы.
Движение тела с переменной массой. Реактивная сила. Уравнение Мещерского.
Формула Циолковского. Расчет необходимых запасов горючего для межпланетных
полетов.
Лекция 10
Динамика системы материальных точек
Рассмотрение движения системы взаимодействующих частиц на основе законов
Ньютона для каждой частицы. Лапласовский детерминизм.
Полный импульс механической системы: определение, динамический закон
изменения, закон сохранения.
Центр инерции системы, его кинематические характеристики, динамические
законы их изменения.
Момент импульса системы, закон его изменения. Разложение момента импульса на
орбитальный и собственный моменты
Полная кинетическая энергия системы. Теорема Кенига о разложении
кинетической энергии системы на кинетическую энергию центра масс (энергии
движения системы в целом) и кинетическую энергию относительного движения
(«внутреннюю кинетическую энергию»). Закон изменения кинетической энергии.
. Потенциальные и диссипативные силы. Потенциальная энергия системы. Полная
механическая энергия системы и закон ее изменения. Закон сохранения полной
механической энергии в потенциальных системах.
Лекция 11
Механическая система двух материальных точек
Приведенная масса. Уравнение движения частиц в системе центра масс.
Двойные звезды.
Задача о столкновении двух тел. Упругое столкновение. Векторная диаграмма
столкновения. Предельные случаи. Лобовой удар. Неупругое столкновение.
Векторная диаграмма. Расчет потери энергии. Абсолютно неупругий удар.
Задача о рассеянье α-частиц.
Лекция 12
Законы сохранения и свойства симметрии.
Симметрия относительно трансляций (однородность пространства) и закон
сохранения импульса.
Симметрия относительно поворотов (изотропность пространства) и закон
сохранения момента импульса.
Однородность времени и закон сохранения энергии.
Лекция 13
Абсолютно твердое тело
Дискретное и непрерывное распределение масс. Физически бесконечно малый
объем и его масса. Интегрирование как суммирование по физически бесконечно
малому объему.
Определение абсолютно твердого тела (АТТ). Невозможность его точной
реализации согласно принципу конечной скорости распространения
взаимодействия.
Число степеней свободы АТТ. Набор величин, определяющий его положения в
пространстве. Системы отсчета, используемые для описания движения АТТ:
лабораторная (неподвижная); система, полюс которой связан с одной точкой тела;
система жестко связанная с телом. Углы Эйлера и связанные с ними оси поворотов.
Матрицы поворотов, отвечающих углам Эйлера.
Шесть скалярных уравнений движения, полностью определяющих динамику АТТ.
Инвариантность уравнений движения относительно перемещения точки
приложения силы вдоль линии ее действия. Нахождения равнодействующей пары
непараллельных сил.
Действие пары параллельных сил, приложенных к разным точкам тела.
Статика АТТ. Необходимые условия равновесия АТТ. Инвариантность момента
импульса АТТ относительно выбора полюса в условиях равенства нулю
равнодействующей всех сил, действующих на тело.
Статически неопределенные системы.
Лекция 14
Формы движения абсолютно твердого тела
1. Поступательное движение – движение без изменения ориентации тела. Число
степеней свободы тела, совершающего такое движение. Кинематические
характеристики движения.
2. Вращение вокруг фиксированной оси. Число степеней свободы,
кинематические характеристики.
3. Плоское движение. Число степеней свободы, кинематические характеристики.
Теорема Эйлера о разложении мгновенной скорости произвольной точки АТТ на
скорость поступательного и вращательного движения. Неоднозначность такого
разложения.
Мгновенная ось вращения. Задача о качение цилиндра по наклонной плоскости.
4. Движение тела с одной закрепленной точкой. Задача о вращении одного конуса
по поверхности другого конуса.
5. Произвольное движение АТТ.
Лекция 15
Момент импульса твердого тела, тензор инерции.
Момент импульса АТТ относительно произвольного полюса. Момент импульса
твердого тела относительно центра масс или точки на неподвижной оси.
Связь между моментом импульса и угловой скоростью в координатном
представлении. Тензорный характер связи между векторами момента импульса и
угловой скорости. Тензор инерции АТТ, его структура и физический смысл
диагональных и недиагональных компонент. Осевые и центробежные моменты
инерции. Главные оси АТТ (оси свободного вращения), приведение тензора
инерции к диагональному виду. Связь между координатами момента инерции и
угловой частоты в системе, связанной с главными осями тела. Устойчивые и
неустойчивые оси свободного вращения.
Момент инерции относительно оси вращения. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
Эллипсоид инерции. Теорема Пуансо о графическом способе нахождения
направления вектора момента импульса, при заданном направлении угловой
скорости (без доказательства).
Вычисление моментов инерции тонкого стержня относительно главных осей.
Лекции 16
Кинетическая энергия абсолютно твердого тела
Выражение кинетической энергии АТТ через импульс и момент импульса.
Кинетическая энергия тела с закрепленной осью вращения. Кинетическая энергия
тела в системе центра масс. Выражение для кинетической энергии через скорость
центра масс и угловую скорость вращения тела.
Вычисление скорости шара и цилиндра, скатывающихся по наклонной плоскости с
заданной высоты.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Связь между угловым
ускорением и моментом внешних сил, приложенных к телу.
Свободное вращение симметричного волчка. Относительное расположение оси
симметрии волчка, оси его вращения и вектора момента импульса (рассмотрение
на основе теоремы Пуансо) Вычисление угловой скорости прецессии
симметричного волчка и скорости его вращения относительно оси симметрии.
Лекция 17
Движение гироскопа
Гироскопы – высокоскоростные волчки. Примеры гироскопов: конический
гироскоп, Карданов подвес. Уравновешенный гироскоп. Приближенная теория
гироскопа при условии постоянства величины его момента импульса. Вычисление
скорости вынужденной прецессии. Условия адекватности приближенной теории.
Нутации гироскопа. Применение гироскопов в навигации.
Лекция 18
Механика упругих тел
Упругие и пластические деформации. Идеально упругие тела.
Вектор напряжения. Нормальное и тангенциальное напряжения, их разложение по
декартовым осям. Тензор упругих напряжений, его структура и свойства
симметрии. Диагонализация матрицы тензора напряжений, главные оси тензора.
Деформация растяжения и сжатия. Продольные деформации Закон Гука для
малых деформаций. Модуль Юнга. Принцип суперпозиции малых деформаций
(принцип линейности). Обобщение закона Гука на случай больших деформаций
(нелинейные деформации).
Поперечные деформации. Относительное поперечное сжатие. Коэффициент
Пуассона.
Изотермические и адиабатические модули и коэффициенты упругости.
Потенциальная энергия деформированного тела. Объемная плотность его энергии.
Объемное сжатие и растяжение. Растяжение прямоугольного параллелепипеда под
действием трех взаимно перпендикулярных сил. Плотность упругой энергии этой
деформации как квадратная форма от натяжений (давлений). Ее зависимость от
модуля Юнга.
Всестороннее и одностороннее растяжение и сжатие. Модуль всестороннего
сжатия, его выражение через модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Плотность
упругой энергии при деформации всестороннего сжатия.
Деформация одностороннего сжатия. Ее модуль.
Деформация сдвига. Модуль сдвига, его выражение через модуль Юнга и
коэффициент Пуассона.
Однородные и неоднородные деформации. Деформации кручения и изгиба.
Модуль кручения, его зависимость от геометрических размеров тела.
Экспериментальное определение модуля кручения с помощью крутильных
колебаний.
Лекция 19.
Движение в неинерциальных системах отсчета
Классический закон сложения ускорений. Второй закон Ньютона в
неинерциальных системах отсчета. Силы инерции. Задача о шарике,
прикрепленном ко дну движущегося с ускорением большого сосуда с водой.
Силы инерции в поступательно движущейся неинерциальной системе отсчета.
Явление невесомости. Принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс.
Опыты Этвеша и Дикке. Современные представления о природе гравитации.
Силы инерции во вращающихся системах. Центробежная сила. Кориолисова сила.
Лекция 20.
Примеры движения в неинерциальных системах.
Свободное падение тела вблизи поверхности Земли.
Влияние суточного вращения Земли на положение отвеса. Решение задачи о
свободном падении тела методом последовательных приближений. Отклонение
траектории движения от вертикального падения под действием силы Кориолиса.
Маятник Фуко.
Период вращения плоскости колебаний маятника Фуко на заданной широте.
Приливные силы.
Лекция 21
Кинематика специальной теории относительности
Нарушение классического принципа относительности для электромагнитных
явлений, выражающееся в неинвариантности законов электродинамики
(уравнений Максвелла) относительно преобразований Галилея. Революционная
работа А.Эйнштейна «Об электродинамике движущихся сред».
Основные постулаты теории относительности: равноправие инерциальных систем
относительно всех физических явлений; существование предельной скорости
распространения взаимодействия, равной скорости света в вакууме.
Понятие события как отправной точки в построении СТО. Одновременность
удаленных событий. Расстояние между событиями. Определение этих понятий
посредством светового сигнала. Относительность промежутков времени и
расстояний. Эффект замедления времени и сокращения длин.
Преобразования Лоренца для пространственно-временных координат события.
Интервал. Его инвариантность относительно преобразований Лоренца.
Классификация интервалов.
Преобразования Лоренца для скорости движения. Инвариантность скорости света
относительно этих преобразований. Аберрация света. Эффект Доплера.
Четырехмерное пространство Минковского. Световой конус, разделяющий 4пространство на области качественно различных интервалов. Метрика
пространства Минковского.
Преобразования Лоренца как преобразования координат радиус-вектора в 4пространстве. Матрица этого преобразования. Понятие 4-вектора в пространстве
Минковского. Скалярное произведение 4-векторов. Квадрат модуля 4-вектора, как
скалярное произведение вектора на себя.
Лекция 22
Динамика теории относительности
Релятивистски-инвариантное описание при помощи 4-векторов.
4-вектор скорости. Инвариантность квадрата его модуля. 4-вектор импульса.
Инвариантность квадрата его модуля. 4-вектор силы. «Релятивистская масса» и ее
зависимость от скорости. Смысл компонент 4-вектора силы в классическом
пределе.
Релятивистский закон преобразования продольной и поперечной сил.
Релятивистские аналоги второго закона Ньютона для продольной и поперечной
сил.
Релятивистское выражение для кинетической энергии. 4-вектор энергии импульса.
Закон сохранения энергии-импульса.
Энергетический аспект понятия массы.
Примеры расчета движения релятивисткой частицы.
Лекция 23
Колебательные системы с одной степенью свободы
Понятие осциллятора как механической системы, совершающей движения
относительно устойчивого положения равновесия. Устойчивые и неустойчивые
состояния равновесия и их связь с экстремальными свойствами потенциальной
энергии. Приближение гармонического осциллятора, как движения вблизи
положения равновесия.
Гармонические колебания. Энергетические преобразования при гармоническом
движении. Равенство средних значений кинетической и потенциальной энергий
(частный случай теоремы вириала).
Геометрическое представление модели осциллятора. Механическое состояние.
Фазовая плоскость. Фазовый портрет гармонического осциллятора.
Линейный осциллятор при наличии сил вязкого трения. Аналитическое выражение
для затухающих колебаний. Декремент затухания колебаний, «время жизни»
колебания. Диссипация энергии затухающих колебаний. Добротность осциллятора
и ее связь с логарифмическим декрементом затухания. Единицы его измерения:
Белл и децибел.
Фазовые портреты периодического и апериодического затухающего движения
линейного осциллятора.
Лекция 24
Вынужденные колебания линейного осциллятора
Уравнение вынужденных колебаний. Установившееся движение и переходные
процессы.
Аналитическое представление вынужденных колебаний в комплексной форме.
Фазовый сдвиг (запаздывание) между установившимися колебаниями и
вынуждающей силой. Его зависимость от частоты. Взаимосвязь фазового сдвига и
диссипации энергии.
Резонанс амплитуды колебаний и скорости колебаний. Резонансные кривые.
Энергетические преобразования при вынужденных колебаниях.
Переходные процессы и их влияние на движение осциллятора.
Лекция 25
Связанные маятники
Постановка задачи. Уравнения движения. Моды свободных колебаний связанной
системы.
Установившиеся вынужденные колебания связанных маятников.
Резонансы при вынужденных колебаниях.
Бесконечная цепочка связанных осцилляторов. Бегущая волна в этой цепочке.
Лекция 26
Волны в безграничных средах
Волновое движение как движения состояния фиксированного отклонения от
положения равновесия. Осуществление в волне передачи энергии без передачи
вещества.
Классификация волн по различным критериям:
По средам распространения (по физическому процессу), по направлению
колебаний относительно направления распространения волны; по форме волновой
поверхности; по зависимости от времени; по сравнительному отношению
поверхности постоянной фазы и амплитуды; по размерности волн.
Поперечные волны в натянуто шнуре. Вывод уравнения волны. Решение в виде
стационарной волны. Скорость распространения возмущения в шнуре (фазовая
скорость стационарной волны).
Продольные волны в упругой среде. Уравнение для продольных волн и скорость их
распространения.
Энергия упругой волны. Деформация малого участка упругой среды, вызванная
прохождением волны. Объемная плотность потенциальной энергии. Объемная
плотность кинетической энергии. Уравнение волны как следствие закона
сохранения энергии.
Лекция 27
Плоские монохроматические волны.
Определение. Плоская монохроматическая волны как элементарная структурная
единица пространственно- временного процесса. Пространственная и временная
периодичность волны. Их характеристики: пространственной (длина волны) и
временной периоды, пространственная (волновое число) и временная частоты.
Фазовая скорость плоской волны. Дисперсия фазовой скорости. Объемные
плотности кинетической и потенциальной энергии плоской волны. Плотность
потока энергии в плоской волне. Интенсивность волны.
Лекция 28
Волны в ограниченных средах
Стоячие волны как суперпозиция двух бегущих вол, распространяющихся в
противоположных направлениях. Допустимые длины струны, в которых возможно
возникновение стоячей волны с заданным волновым вектором. Допустимые длины
стоячих волн в струне заданной длины. Резонаторы.
Перечень основных вопросов:
Основные понятия кинематики материальной точки, системы материальных точек,
абсолютно твердого тела.
Преобразования Галилея
Законы Ньютона.
Законы сохранения импульса и механической энергии.
Закон всемирного тяготения. Постулаты СТО, преобразования Лоренца.
Свободные и вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы.
Монохроматические волны.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Д.В.Сивухин. Механика. т.1 М.2005*
2. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Т.1. Механика. М.
1987
3. Г.А.Бордовский, С.В.Борисенок, и др. Курс физики. Т.1. Механика М.2004
4. И.Е.Иродов. Основные законы. Механика. М.-СПб. 2000
5. Е.И.Бутиков. Релятивистские представления в курсе общей физики. СПб. 2006
6. МатвеевА.Н. Механика и теория относительности. М. Наука*
7. Стрелков С.П. Механика. М. Наука. 1975*
8. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1 1968*
9. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Общий курс физики. Т.1*
Дополнительная.
1.
2.
3.
4.
5.
Г.А.Бордовский, С.В.Борисенок, и др. Курс физики. Т.1. Механика М.2004
Савельев И.В. Курс общей физики Т.2(волны), 1982 (и др), С.496. *.
Берклеевский курс физики, Т3. Волны, М. Мир, 1984, С.510.
Р. Фейнман Фейнмановские лекции по физике, Т.1,2, М.,Мир, 1977 (и др.)
Хайкин С.Э. Физические основы механики *
6.
7.
8.
9.
Угаров В.А. Специальная теория относительности, М., Наука, 1977 (и др) *
Тейлор Э.Ф., Уиллер Д.А., Физика пространства-времени, М., Мир, 1969.
Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения, М.Физматгиз, 1961. *
Берке У. Прстранство-время, геометрия, космология. М. Мир, 1985, С.411.