Конспект лекций по общей электротехнике

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный
технический университет им Р.Е. Алексеева»
Кафедра «Теоретическая и общая электротехника»
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ОБЩЕЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
(Часть1)
«История развития, основные законы и методы расчёта»
Нижний Новгород
2013г.
1
Составители: К.С. Степанов
УДК 621.3.011(075.6)
Электротехника и основы электроники: Методическое пособие по изучению дисциплины «Электротехника и электроника» для студентов всех специальностей. НГТУ; Сост.: К.С. Степанов. Н. Новгород, 2013. 25 с.
В методическом пособии изложены: история развития электротехники,
основные законы её и методы расчёта электрических цепей.
Научный редактор Б.Ю. Алтунин
Редактор Э.Б.Абросимова
© Нижегородский государственный технический университет, 2013
2
Конспект лекций Степанова Константина Сергеевича
Лекция 1.
История развития электротехники.
Как показывает отечественный и зарубежный опыт, наиболее эффективной системой обновления знаний является гибкая, непрерывная на протяжении всей жизни, система самообразования и повышения квалификации.
Полноценный современный специалист должен обладать способностью параллельно заниматься самообразованием как в области общетеоретических,
так и специальных знаний, только тогда он сможет изыскивать эффективные
пути взаимодействия с техникой будущего.
При этом человек должен помнить, что ОН – «частица биосферы» и
«частица ноосферы». Свое бытиё Он должен приспосабливать к законам ноосферы. По образному выражению академика В.И. Вернадского, которое он
сформулировал ещё в начале прошлого века, необходимо не покорение природы, а совместное гармоническое развитие природы и общества, иначе человечеству просто не выжить.
Решающая роль в современном научно-техническом прогрессе принадлежит электротехнике, которая, включает в себя три основных раздела:
Теоретические основы электротехники (ТОЭ), Электрические машины
(ЭМ) и Электронику.
Современное определение электротехники.
Электротехника - область науки и техники,
использующая электрические и магнитные явления для осуществления
процессов преобразования энергии и превращения вещества, а так же для
передачи сигналов и информации.
В последние десятилетия из электротехники выделилась
промышленная электроника с тремя направлениями: информационное,
технологическое и энергетическое, которые с каждым годом приобретают
все большее значение для научно-технического прогресса.
В развитии электротехники и электроники можно выделить следующие
8 этапов:
I этап: до 1800г. - становление электростатики. К этому периоду
относятся первые наблюдения электрических и магнитных явлений, создание
первых электростатических машин и приборов, исследование атмосферного
электричества, зарождение электромедицины (опыты Гальвани), открытие
закона Кулона и закона сохранения энергии.
3
Лягушка, препарированная для опытов с электрофорной машиной и
лейденской банкой. Рисунок из трактата Гальвани
В 1744 г. М.В. Ломоносов писал: «Все перемены, в натуре
случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего у одного тела
отнимается, что сколько чего у одного тела отнимается, столько
присовокупится к другому, так ежели где убудет несколько материи, то
умножится в другом месте… сей всеобщий закон простирается и в самые
правила движения, ибо тело, движущее своею силою другое, столько же
оной у себя теряет, сколько сообщает другому, которое от него движение
получает.»
Соответствующие труды М.В. Ломоносова находились в забвении до
1904 г., а будучи опубликованы в России, не могли проникнуть в Западные
лаборатории, поэтому позднее А.Л. Лавуазье повторно и независимо от М.В.
Ломоносова открыл закон сохранения вещества.
Выдающийся ученый – энциклопедист М.В. Ломоносов был первым в
России основоположником изучения электрических явлений, автором
первой теории электричества. В 1745 г. был разработан первый
электроизмерительный прибор «электрический указатель» Георгом
Вильгельмом Рихманом, который погиб 25 июня 1753 г., во время сильной
грозы при проведении опыта с «грозовой машиной».
4
II этап: 1800-1830г.г. - закладка фундамента электротехники и её
научных основ. Начало этого периода ознаменовано получением «Вольтова
столба» - первого электрохимического генератора постоянного тока. Затем
была создана «Огромная наипаче батарея» Василия Владимировича Петрова,
с помощью которой была получена электрическая дуга и сделано много
новых открытий. В этот период были открыты важнейшие законы: Георга
Симона Ома, Жана Батисто Био и Феликса Савара, Андре Мари Ампера и
была установлена связь между электрическими и магнитными явлениями.
Был создан прообраз электродвигателя.
Вольта демонстрирует
перед Наполеоном свое
изобретение - Вольтов
столб. Художник Дж.
Бертини. 1801 год.
Вольтов столб, состоящий из металлических дисков, разделенных кружками
мокрой ткани
III этап: 1830-1870г.-зарождение электротехники. Самым
значительным событием этого периода было открытие явления
самоиндукции Майклом Фарадеем и создание первого электромагнитного
генератора (на основании ЭМИ). В этот период формулируются законы
Ленца, Кирхгофа, разрабатываются различные конструкции электрических
машин и измерительных приборов, зарождается электроэнергетика. Однако
широкое практическое применение электроэнергии в хозяйстве и быту
сдерживалось отсутствием экономичного электрического генератора.
IV этап: 1870-1890г.- становление электротехники как
самостоятельной отрасли техники.
В этот период создаётся первый промышленный генератор с
самовозбуждением (динамо-машина), что привело к созданию новой отрасли
электротехники «Электрические машины». Организуются производства с
использованием электроэнергии. С развитием промышленности, ростом
городов возникает потребность в электрическом освещении. Начинается
5
строительство «домовых» электростанций, вырабатывающих постоянный
ток. Электрическая энергия становится товаром и всё более остро ощущается
потребность в централизованном производстве и экономичной передаче
электроэнергии. На постоянном токе эту проблему решить нельзя из-за
невозможности трансформации постоянного тока. В это время Павел
Николаевич Яблочков изобрёл электрическую свечу и была разработал схему
дробления постоянного электрического тока при помощи индукционных
катушек, представляющих собой трансформатор с разомкнутой магнитной
системой. В середине 80-х годов началось серийное производство
однофазных трансформаторов с замкнутой магнитной системой (Макс дёрн,
Отто Блати, К Циперновский) и строительство центральных электростанций
переменного тока.
Однако развитие производства требовало комплексного решения
проблемы экономичной передачи электроэнергии на дальние расстояния и
создания экономичного и надёжного электродвигателя. Эта проблема была
решена на основе многофазных, в частности 3-х фазных систем.
V этап: 1891 –1920 гг. – становление и развитие электрификации.
Предпосылкой развития 3-х фазной системы явилось открытие в 1988
г. явления вращающегося магнитного поля. 3-х фазная система оказалась
наиболее рациональной. В развитие этой системы внесли вклад многие
учёные разных стран, но наибольшая заслуга принадлежит русскому учёному
Михаилу Осиповичу Доливо-Добровольскому, создавшему 3-х фазные
синхронные генераторы, асинхронные двигатели и трёхфазные
трансформаторы. Убедительным преимуществом 3-х фазных цепей было
строительство трёхфазной линии электропередачи между немецкими
городами Лауфеном и Франктфуртом при активном участии М.О.ДоливоДобровольского.
Расширяются исследования явлений, протекающих в цепях
синусоидального тока с помощью векторных и круговых диаграмм.
Огромную роль в анализе процессов в таких цепях сыграл комплексный
метод расчёта, предложенный Чарльсом Протеусом Штейнмецом.
Теоретические основы электротехники становятся базовой дисциплиной в
вузах и фундаментом научных исследований в области электротехники.
VI этап: 1920 – 1940гг. – зарождение электроники: электровакуумные
приборы, триод, диод. 1923г. – Лосев создал первый полупроводниковый
диод – кристадин, который мог работать в режиме генератора
высокочастотных колебаний. Выделилась радиотехника как самостоятельная
наука.
VII этап: 1940 – 1970гг. – зарождение информатики: построение
электронно - вычислительных машин.
VIII этап: 1970г. - по настоящее время – информатика как
самостоятельная наука.
(Лекция подготовлена на основе книги «Очерки по истории
электротехники» О.Н.Веселовский, Я.А.Шнейберг., М. МЭИ, 1993г.
6
Также рекомендую ознакомиться с книгой «Становление и развитие
электротехники и электроэнергетики» , Б.В.Папков, Нижний Новгород,
«Кварц» 2011г.)
Тестовые вопросы по теме
1) Определение науки «Электротехника».
2) Сколько этапов можно выделить в истории развития
Электротехники?
3) Время окончания первого этапа.
4) Закон сохранения материи и количества движения по Ломоносову
М.В. – определение.
5) Какие учёные работали на первом этапе развития электротехники?
6) Начало и окончание второго этапа развития электротехники.
7) Какие учёные работали во время второго этапа?
8) Основные законы электротехники, открытые во втором этапе
развития.
9) Начало и окончание третьего этапа развития электротехники.
10) Какие учёные работали во время третьего этапа?
11) Основные законы электротехники, открытые в третьем этапе
развития.
12) Начало и окончание четвёртого этапа развития электротехники.
13) Какие учёные работали во время четвёртого этапа?
14) Основные законы электротехники, открытые в четвёртом этапе
развития.
15) Начало и окончание пятого этапа развития электротехники.
16) Какие учёные работали во время пятого этапа?
17) Основные события в области электротехники, произошедшие на
пятом этапе развития.
18) Начало и окончание шестого этапа развития электротехники.
19) Какие учёные работали во время шестого этапа?
20) Основные события электротехники, произошедшие в шестом
этапе.
21) Начало и окончание седьмого этапа развития электротехники.
22) Какая наука зародилась во время седьмого этапа?
23) Начало восьмого этапа развития электротехники.
Лекция 2.
Основные понятия и определения в электротехнике.
Электрическая цепь – совокупность источников электрической
энергии, линий электропередач и электроприемников. Для анализа и синтеза
электрических цепей вводят понятия: электродвижущей силы (ЭДС),
обозначается Е; напряжения, обозначается U (Е и U измеряются в Вольтах
[B]); тока (I) измеряется в Амперах [A];
сопротивления R, [Ом];
7
величины, обратной сопротивлению - проводимости (G) измеряется в
Сименсах [См] (R=1/G); индуктивности L , единица измерения Генри [Гн];
емкости С, единица измерения Фарада [Ф]. На схемах вышеперечисленные
элементы обозначаются следующим образом:
активные сопротивление и проводимость -
G
,
,
L,
индуктивность емкость -
R
C ,
Е
источник ЭДС -
,
.J
источник тока -
Положительным направлением тока называется направление, в
котором перемещают положительно заряженные частицы или направление,
противоположное движению электронов.
Источники электроэнергии.
Реальный источник электроэнергии обладает внутренним
сопротивлением больше нуля и в электротехнике представляется в виде двух
вариантов – источник ЭДС и источник тока.
У идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю.
У идеального источника тока RВН = ∞, т.е. чем выше RВН , тем ближе
источник тока к идеальному (рис. 2.1).
Реальный источник обладает внутренним сопротивлением.
U
RВН
E
RН
ВАХ идеального источника
ВАХ реального источника
Е
IКЗ
0
а),
I
б).
Рис. 2.1. Эквивалентная схема реального источника ЭДС - (а) и его
вольтамперная характеристика (ВАХ) - (б).
8
UХХ
U
ВАХ реального источника
ВАХ идеального источника
0
J
I
а),
б).
Рис. 2.2. Эквивалентная схема реального источника тока - (а), и его
вольтамперная характеристика (ВАХ) - (б).
Источник тока можно получить из источника ЭДС, если параллельно
источнику тока включить сопротивление, равное внутреннему
сопротивлению источника ЭДС. Соответственно значение тока источника
тока определяют по формуле I=E/ RВН (рис. 2.2).
Узел электрической цепи - это точка, в которой соединены 3 или
более ветвей (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Обозначение узла электрической цепи.
Ветвь электрической цепи – участок цепи, расположенный между
двумя узлами, состоящий из одного или нескольких последовательно
соединенных электрических элементов. По ветви течет один и тот же ток
(рис. 2.4).
Рис. 2.4. Обозначение ветви электрической цепи.
9
Замкнутым контур электрической цепи называют путь, проходящий
через несколько ветвей и узлов разветвленной электрической цепи (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Обозначение контура электрической цепи.
Основные законы электротехники.
Закон Ома для участка цепи, несодержащего ЭДС.
Под напряжением на зажимах цепи понимают разность потенциалов между
крайними точками ветви. Ток течет от большего потенциала к меньшему.
R
φ1 > φ2
U12 = φ1- φ2
I = U12/R = (φ1- φ2)/R
Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.
R
3
R
I = U12/R = (φ1- φ2)/R
φ2 = φ3 - E
φ1 – φ3 = U+E
Из этого следует: I = ( φ1 – φ3 –E)/R = (U13-E)/R.
10
Законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:
Ik = 0, I1+I2-I3-I4+I5 = 0,
или - сумма токов, направленных к узлу равна сумме токов,
направленных от него.
I1+I2+ I5 = I3+ I4.
Правило: если ток направлен в узел, то перед ним в уравнении
ставится «+» , если ток направлен от узла , то «-» .
Второй закон Кирхгофа.
Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС внутри этого контура.
Ek = IiRi
E1-E2+E3 = I1R1+ I2R2+ I3R3+ I4R4
Правило: если направление тока и Е совпадает с направлением обхода то
в уравнении берётся со знаком «+», если не совпадает, то «-».
11
Последовательное соединение сопротивлений.
U
Второй закон Кирхгофа для этой схемы имеет вид U = U1 + U2 + U3 .
Поделим почленно это уравне6ние на ток I. U/I = U1 /I + U2 /I + U3 /I,
получим R = R1+ R2+ R3 .
Таким образом, при последовательном соединении сопротивлений
эквивалентное сопротивление равно сумме последовательно соединенных R.
Параллельное соединение сопротивлений.
Для преобразования этой схемы используется первый закон Кирхгофа и
закон Ома. I1 = U/R1 , I2 = U/R2 , I3 = U/R3 , I = I1+ I2 + I3 ,
U/RЭ = U/R1+U/R2+U/R3, тогда 1/RЭ = 1/R1+1/R2+1/R3 , GЭ = G1+G2+G3.
Таким образом, при параллельном соединении сопротивлений
эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей, а выражение для
эквивалентного сопротивления имеет вид
RЭ =
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
R1  R2  R3
.
R1  R2  R2  R3  R1  R3
Тестовые вопросы по теме
Обозначение и единица измерения активного сопротивления и
проводимости.
Обозначение и единица измерения индуктивности.
Обозначение и единица измерения ёмкости.
Что такое узел электрической цепи, обозначение.
Что такое ветвь электрической цепи, обозначение.
Что такое контур электрической цепи, обозначение.
Закон Ома для участка цепи без ЭДС.
Закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС.
12
9) Первый закон Кирхгофа, схема, формула.
10) Второй закон Кирхгофа, схема, формула.
11) Обозначение источника ЭДС идеального и реального.
12) Вольтамперные характеристики источника ЭДС идеального и
реального.
13) Обозначение источника тока идеального и реального.
14) Вольтамперные характеристики источника тока идеального и
реального.
15) Преобразование последовательного соединения сопротивлений в
эквивалентное, схема, формула.
16) Преобразование параллельного соединения сопротивлений в
эквивалентное, схема, формула.
Лекция 3.
Смешанное соединение сопротивлений
Иногда нельзя определить параллельно или последовательно
соединены сопротивления. Например, как показано на нижеприведенной
схеме (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Смешанное соединение сопротивлений.
В этом случае заменим треугольник abc звездой abc (рис. 3.2). с соблюдением условия эквивалентности - так чтобы параметры (токи ветвей и межузловые напряжения) схемы вне преобразуемой цепи остались без изменения.
13
Рис. 3.2. Преобразование треугольника в звезду.
Ia=0
Ib=0
Ic=0
Rb+Rc=Rbc(Rab+Rca)/(Rab+Rbc+Rca)
Ra+Rc=Rca(Rab+Rbc)/(Rca+Rab+Rbc)
Ra+Rb=Rab(Rbc+Rca)/(Rab+Rbc+Rca)
(1)
(2)
(3)
Решая систему относительно Ra, Rb, Rc . Находим их:
Ra=RabRca/( Rab+Rbc+Rca)
Rb=RbcRab/( Rca+Rab+Rbc)
Rc=RcaRbc/( Rab+Rbc+Rca)
(4)
(5)
(6)
Аналогично определяем Rab, Rbc и Rсa.
Для замены звезды треугольником надо решить систему уравнений 4,5,6 относительно Rab, Rbc и Rсa:
Rab=Ra+Rb+RaRb/Rc
Rdc=Rb+Rc+RbRc/Ra
Rca =Ra+Rc+RaRc/Ra
(7)
(8)
(9)
14
Теорема об эквивалентном активном двухполюснике.
Теорема Гельмгольца – Те Ве Нена. - Активный двухполюсник (рис 3.3
обведён пунктиром) по отношению к рассматриванию цепи можно заменить
эквивалентным источником напряжений, Э.Д.С которого равна напряжению
холостого хода на зажимах этой ветви, а внутренне сопротивление ровно
входному сопротивлению двухполюсника.
Рис. 3.3. Схема активного двухполюсника с несколькими ЭДС.
Eэк=(E1G1+E2G2)/(G1+G2)=Uxx12; где G проводимость, G=1/R
Eэк=Ei∙Yi/Yi (в комплексном виде)
.Рис. 3.4. Схема замещения активного двухполюсника.
Внутреннее сопротивление эквивалентного двухполюсника (рис 3.4)
определяется как параллельное сопротивление внутренних сопротивлений
активного двухполюсника (рис 2.3).
Rвнутр=R1R2/(R1+R2)=Rвх1,2 , I=Eэк/(Rвн+R3)
15
Режимы работы источника Э.Д.С.
Рис.3.5. Схема реального источника ЭДС с нагрузкой.
1.
Режим холостого хода (ключ S разомкнут) (рис 3.5). Напряжение холостого хода на выходе источника равно его ЭДС (UХХ = E), ток холостого хода равен нулю (IХХ = 0), т.к. сопротивление нагрузки равно бесконечности (RН = ), коэффициент полезного действия (К.П.Д.) при идеальном источнике ЭДС в этом режиме стремится к единице ( = 1).
2.
Номинальный режим – это режим, на который рассчитывается
источник, (ключ S замкнут). В этом режиме источник Е работает эффективно
с точки зрения надёжности и экономичности
IН = IНОМ =
=
E
, UВЫХ = UНОМ,
R ВН  Rн
(R  R )
Pн
Е 2  Rн
Rн

 ВН 2 Н 

2
Pи (R ВН  R Н )
R ВН  Rн
Е
1
< 1.
R ВН
1
Rн
3.
Согласованный режим - режим, при котором в нагрузку отдаётся
максимальная мощность.
Мощность источника: PИ=EI
Мощность нагрузки PН=UНАГРIНАГР
IНАГР =
E
,
Rвв  Rн
UНАГР = IНАГР  RН =
E
 RН,
Rвв  Rн
следовательно
PН = UНАГРIНАГР = RН  I2 НАГР = (
E
)2  RН.
Rвв  Rн
Вопрос: «При какой величине RН мощность в нагрузке будет иметь
максимальное значение?», т.е. нужно определить экстремум функции PН(RН).
PH
от выражения Pн=Rн·I2=E2·R/(R+R)2.
R H
P
Максимальное значение мощности будет при H =0. Это будет при Rн=Rвн .
R H
Для этого возьмем производную
К.П.Д: =Pн/Pи=E2R/(Rвн+Rн)2(Rвн+Rн)/E2=Rн(Rн+Rвн) =1/(1+Rвн/Rн)
16
Таким образом в согласованном режиме
Pнапр=Pmax=Pист/2; Uн=E/2; Iн=Iк.з/2; Rн=Rвн; =0.5
4. Режим короткого замыкания – режим, при сопротивлении нагрузки
равном нулю.
В этом режиме: Rн=0, Uн=0, Iкз =E/Rвн, =0, Pист= Pвн= Iкз E, Pн=0.
Рис. 3.6. Зависимость мощностей: источника, приемника и потерь от тока.
Как видно из рис 3.6 мощность потерь представляет собой параболу в соответствии с формулой Pвн= RвнI2, а мощность источника – прямую линию в соответствии с формулой Pи= EI, тогда мощность нагрузки в соответствии с балансом мощностей Pи= Pвн+Pн, будет иметь вид перевёрнутой параболы, т.к. Pн= Pи-Pвн . Баланс мощностей, определение – «Сумма
мощностей источников равна сумме мощностей приёмников и мощностей потерь».
Рис. 3.7. Внешняя характеристика реального источника Э.Д.С.
17
Внешняя характеристика реального источника ЭДС представляет собой
падающую прямую линию в соответствии с формулой второго закона
Кирхгофа Uн=E-Uвн=E-RвнI. Падение напряжения на внутреннем сопротивлении представляет собой растущую прямую линию Uвн=RвнI.
Iн Uн Uвн
E
E
Uн
E
2
0
Uвн
Iн
Rн
Rвн
Рис. 3.8. Зависимость падений напряжений на источнике, приемнике и тока от величины сопротивления нагрузки.
На рис. 3.8 приведены зависимости падений напряжений на источнике,
приемнике и тока от величины сопротивления нагрузки. Как видно эти зависимости имеют вид гиперболы. Действительно, в формуле I н 
E
Rвн  Rн
E и Rвн - постоянные величины, а Rн – величина переменная, значит это
уравнение гиперболы. График падения напряжения на внутреннем сопротивлении тоже представляет собой гиперболу, т.к. по закону Ома
Uвн=RвнIн , Rвн величина постоянная, а график Iн(Rн) – гипербола, значит и Uвн(Rвн) тоже
– гипербола.
Вопросы по теме лекции.
1. Условие эквивалентности схем.
2. Эквивалентное сопротивление при последовательном сопротивлении оных, схема, формула.
3. Эквивалентное сопротивление при параллельном сопротивлении
оных, схема, формула.
4. Преобразование реального источника ЭДС в эквивалентный источник тока. Схема, формула.
5. Преобразование реального источника тока в эквивалентный источник ЭДС. Схема, формула.
6. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную
звезду, схемы, формулы.
18
7. Преобразование сопротивлений, собранных по схеме «звезда» в эквивалентный треугольник, схемы, формулы.
8. Теорема об эквивалентном генераторе (Гельмгольца – Те Ве Нена),
сема формула.
9. Теорема об эквивалентном источнике тока (Нортона).
10.Режимы работы источника ЭДС (типы).
11.Холостой ход источника ЭДС, схема, условия проведения, для чего
проводится.
12.Номинальный режим работы источника ЭДС, определение, формулы падения напряжения: на нагрузке, на внутреннем сопротивлении.
13.Номинальный режим работы источника ЭДС, определение, формулы тока и кпд.
14.Номинальный режим работы источника ЭДС, определение, формулы мощностей: источника, приёмника, потерь.
15.Баланс мощностей, определение, формула.
16.Согласованный режим работы источников ЭДС, где применяется.
17.Условие наступления согласованного режима работы, доказательство.
18.Режим короткого замыкания ЭДС, ток короткого замыкания, формула.
19.Зависимости мощностей и кпд от тока, формулы, подтверждающие
вид этих графиков.
20.Зависимости ЭДС, падения напряжений на нагрузке и на внутреннем сопротивлении от тока, формулы, подтверждающие вид этих
графиков.
21.Зависимости ЭДС, тока, падения напряжений на внутреннем сопротивлении и на нагрузке от величины сопротивления нагрузки.
Лекция 4.
Методы расчёта электрических цепей.
1. Расчёт схем по закону Ома.
2. Расчёт схем по методу свёртывания и развёртывания.
3. Расчёт схем по методу наложения.
4. Расчёт схем по уравнениям Кирхгофа.
5. Расчёт схем по методу контурных токов.
6. Расчёт схем по методу узловых потенциалов.
7. Расчёт схем по методу эквивалентного двухполюсника.
8. Расчёт схем по методу компенсации.
9. Топологический метод расчёта.
19
Простые цепи.
Простые цепи рассчитываются при помощи метода свёртывания и развёртывания. Простая цепь – цепь, содержащая один источник энергии.
Рис. 4.1. Схема простой цепи и эквивалентная схема замещения её.
R678=R6(R7+R8)/(R6+R7+R8)
R4-8= R678(R4+R5)/(R4+R5+R876)
R12= R4-8(R2+R3)/(R2+R3+R4-8)
Rэкв=R1+R12
I1=E/(R1+R12)
U12=I1R12
I2=U12/(R2+R3)
I3=U12/(R4+R5)
I5=U12/(R7+R8)
I4=U12/R6
Метод наложения или суперпозиции.
Применяется, когда цепь содержит несколько источников питания (рис.
4.2.).
Разветвленная электрическая цепь с несколькими источниками питания
и все процессы, происходящие в этой цепи можно рассматривать как совокупность нескольких цепей в каждой из которых содержится один и только
один источник питания.
При составлении цепей учитывается правило:
- если есть идеальный источник ЭДС E с Zвн=0 (внутреннее комплексное сопротивление источника), то идеальный источник ЭДС заменяется го20
лым проводом; у реального источника есть внутреннее сопротивление
Z=Rix, в схеме оно остаётся без изменения;
- если есть источник тока с Z=, то он заменяется разрывом цепи, а поскольку у реального источника тока всегда есть проводимость, включённая
параллельно с ним, то обычно она заменяется сопротивлением, которое в
схеме остаётся без изменения.
Рис. 4.2. Схема с несколькими источниками питания.
Заменим эту схему другой (рис. 4.3), в которой оставим только один
источник питания, и определим частный ток I1'.
Рис. 4.3. Схема, с одним источником ЭДС (E1).
В этой схеме определяем ток I1' по методике расчёта простых цепей.
Аналогично определим частные токи для других источников (рис. 4.4,
и рис. 4.5).
Рис. 4.4. Схема, с одним источником тока (J5).
В этой схеме определяем ток I1'' по методике расчёта простых цепей.
21
Рис. 4.5. Схема, с одним источником ЭДС (E4).
В этой схеме определяем ток I1''' по методике расчёта простых цепей, и
т.д.
Число составных частей ровно числу источников питания. Тогда общий
ток определится как сумма частных токов в вышеприведенных цепях.
I1 = I1’+I1’’+I1’’’.
Расчёт разветвлённых цепей с помощью законов Кирхгофа.
1.Упрощение элементарных цепей.
2. Произвольно расставляются направления токов в ветвях и расставляют
их на схеме.
3. Выбирают направление обхода контуров с целью упрощения, берут
одинаковое направление обхода во всех контурах. Учитывают только независимые контура.
Независимый – контур, который содержит хотя бы одну ветвь, которая не
учитывается другими контурами.
4. Записывается уравнение по первому закону Кирхгофа. Число этих
уравнений на 1 меньше числа узлов. Использовать все Y уравнений невозможно, т.к. одно из них обязательно будет зависимым. Это связано с тем, что
токи ветвей войдут в уравнения, составленные для всех Y узлов, дважды,
причем с разными знаками, т.к. один и тот же ток направлен от одного узла к
другому. При сложении всех уравнений левая и правая части будут равны
нулю, а это означает, что одно из уравнений можно получить суммированием
(Y-1) уравнений и заменой знаков всех токов на противоположные. Таким
образом Y-е уравнение всегда будет зависимым.
5. Записывается уравнения по 2 закону Кирхгофа для контуров.
Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов.
6. Решаем систему уравнений относительно токов.
22
Пусть дана схема рис. 4.6. Заданы величины ЭДС и номиналы сопротивлений. Записать систему уравнений для определения токов по законам
Кирхгофа.
Е3
R3
R4
a
b
R2
R1
R5
Е1
Е2
R7
c
R6
d
J6
Рис. 4.6. Исходная схема
После выполнения пунктов 1, 2, 3 схема примет вид рис. 4.7. При этом
Сопротивления R1 и R7 заменены эквивалентным R17, а реальный источник
тока J6 c R6 - эквивалентным ЭДС (E6Э) с внутренним сопротивлением R6.
Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов – их в схеме два, т.к. узел c превратился в точку на линии, а ток I6=I1.
Для узла a
I1 - I3+I4-I5 =0,
Для узла b
I2+I3-I4 =0.
Запишем далее уравнения для независимых контуров по второму закону Кирхгофа – их три.
Для первого контура I3*R3+I4*R4 = - E3,
Для второго контура -I2*R2-I4*R4-I5*R5 = -E2,
Для третьего контура I1*(R17+R6)+I5*R5 = E1-E6Э.
Добавляем к этим уравнениям 2 уравнения, составленные по первому
закону Кирхгофа и получим систему уравнений 5-го порядка.
23
Е3
I3
R
R3
I
a
R17
R4
b
I4
R2
II
I5
R5
Е1
Е2
III
I1
I2
c
R6
I6 Е6Э
R
d
Рис. 4.7. Эквивалентная схема с обозначением токов, узлов и контуров
I3+I4-I5 = 0,
I2+I3-I4 = 0,
I3*R3+I4*R4 = - E3,
-I2*R2-I4*R4-I5*R5 = -E2,
I1*(R17+R6)+I5*R5 = E1-E6Э
Запишем матрицу коэффициентов при токах и столбец свободных членов. Получим следующую таблицу:
I1
I2
I3
I4
I5
E
1
0
0
0
R17+R6
0
-1
0
R2
0
-1
1
R3
0
0
-1
1
-R4
R4
0
-1
0
0
-R5
R5
0
0
-E3
-E2
E1-E6Э
=
С левой стороны от знака равенства мы получили матрицу коэффициентов, с правой – столбец свободных членов. Используя правило Крамера,
решаем систему и определяем искомые токи. Как видно из вышеприведенного метода нам нужно решать систему уравнений пятого порядка.
Уменьшить порядок системы позволяет метод контурных токов.
24
Метод контурных токов.
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток рис.4.8. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи
ветвей.
I3
R
Е3
R3
I11 I
R4
a
R17
I4
b
R2
I22
II
I5
R5
Е1
Е2
I33
III
I1
I2
c
R6
I6 Е6Э
R
d
Рис. 4.7. Эквивалентная схема с обозначением контурных токов.
Уравнение для первого контура
I11*(R3+R4)-I22*R4 = -E3,
Уравнение для второго контура
-I11*R4+I22*(R2+R4+R5) = -E2,
Уравнение для третьего контура
-I22*R5 +I33*(R17+R5+R6) = E1-E6Э.
Система уравнений будет третьего порядка и имеет вид:
I11*(R3+R4)-I22*R4 = -E3,
-I11*R4+I22*(R2+R4+R5) = -E2,
I33*(R17+R5+R6)-I22*R5 = E1 -E6Э.
В этой системе только три уравнения, следовательно, решать её проще.
Как видно из схемы: I11=I3, I22=I2, I33=I1=I6, I4=I11-I22, I5=I22-I33. Таким образом, все токи определены.
Аналогичную картину даёт метод узловых потенциалов.
25
Метод узловых потенциалов.
Основан на применении 1-го закона Кирхгофа
Е3
R3
R4
a
b
R2
R1
R5
Е1
Е2
R7
R6
c
d
J6
Рис. 4.8. Эквивалентная схема к расчёту по методу узловых потенциалов.
Составить уравнения по методу узловых потенциалов для узлов a,b,c.
Потенциал узла d приравниваем к 0 (рис. 4.8).
Для узла a:
a(1/(R1+R7)+1/R3+1/R4+1/R5)-b(1/R3+1/R4)-c(1/(R1+R7))=E1/(R1+R7)+E3/R3=Ia.
Для узла b:
-a(1/R3+1/R4)+b(1/R3+1/R4+1/R2)=E2/R2-E3/R3=Ib.
Для узла с:
-a/(G1+G7)+c(1/(G1+G7)+1/G6)=-E1/(G1+G7) - J=Ic.
В общем виде уравнение для к-го узла:
k  G kl- i  G kl=  G  k +   k
l
l
l
 G kl-проводимость.
kl
l
l
k-потенциал к-го узла.
Gkl-сумма узловых проводимостей к-го узла, представляя собой сумму проводимостей ветвей, подключенных к к-му узлу. Это собственная проводимость к-го узла.
Ik-алгебраическая сумма источников токов ветвей, подключённых к ктому узлу.
26
EkGkl-алгебраическая сумма произведений E ветвей, сходящихся в к-м
узле на проводимости этих ветвей.
Правило:
Если Е и ток источника направлены к узлу, то в правой части уравнения берётся знак .
. a(1/(G1+G7)+1/G3+1/G4+1/G5)-b(1/G3+1/G4)c/(G1+G7)=E1/(G1+G7)+ +E3/G3=Ia
-a( 1/G3+1/G4)+b( 1/G3+1/G4+1/G2)= E2/G2- E3/G3=Ib
- a/(G1+G7)+c(1/(G1+G7)+1/G6)= -E1/(G1+G7)-I=Ic
или
. aGaa+bGab-cGac=Ia
aGba+bGbb=Ib
aGca+cGcc=Ic
Решая систему относительно потенциалов. Токи в ветвях определяется
разностью потенциалов между узлами по следующим формулам:
I1=(c-a+E1)G1
I4=(a-bG4
2b2G2
I5=G5a
I3=(a-b-E3)G3
I6=G6c
Тестовые вопросы по теме.
1.
Назовите основные методы расчёта электрических цепей.
2.
Что такое простая цепь, определение, пример схемы.
3.
Расчёт схем по методу свёртывания и развертывания, алгоритм.
4.
Расчёт схем по методу наложения, алгоритм.
5.
Расчёт схем по уравнениям Кирхгофа, алгоритм.
6.
Расчёт схем по методу контурных токов, алгоритм.
7.
Расчёт схем по методу узловых потенциалов, алгоритм.
8.
Расчёт схем по методу эквивалентного двухполюсника, алгоритм.
9.
Что такое собственная проводимость узла?
27