Законы сохранения при вращательном движении

Лекция 8. Законы сохранения при вращательном движении
ПЛАН ЛЕКЦИИ
Учебные вопросы
Введение.
1. Момент импульса, законы изменения и сохранения момента
импульса.
2. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении. Закон
изменения и сохранения механической энергии при вращательном движении.
3. Сопоставление поступательного и вращательного движений.
Заключение.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Суханов А.Д. Фундаментальный курс физики. -М.: 1996.
2. Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. -M: -Наука, 1996. § 29,
41,42,43.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 17,19.
4. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. - М.: Наука,
1996. Глава 5.
Материальное обеспечение занятия:
Демонстрации: «Скамья Жуковского», «Фигурист».
ВВЕДЕНИЕ '
Наряду с законами сохранения энергии и импульса закон сохранения
момента импульса является одним из важнейших Фундаментальных законов
природы.
В физике понятие, момента импульса расширяют на немеханические
системы (которые не подчиняются законам Ньютона) и постулируют закон
сохранения импульса для всех физических процессов.
I. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ И ЗАКОН
СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Вспомним основной закон динамики вращательного движения:

 M

(1)
J

 d
учтем, что  
и подставим в (1)
dt



d 
d M
M
 , J
dt
dt
J
Поскольку предполагалось, что момент инерции J=const можно внести
его под знак дифференциала.



d ( J ) 
Тогда получим
 M . Векторную величину L  J называют
dt
моментом импульса твердого тела относительно оси. Тогда можно
записать так:


dL
(2)
 M.
dt
Скорость изменения момента импульса тела равна векторной
сумме моментов сил, действующих на тело.
Это более общая формулировка основного закона вращательного
движения, она справедлива и для тела с изменяющимся моментом инерции.
Момент импульса измеряется в 1кг·м/с. Килограмм-метр в квадрате
в секунду равен моменту импульса тела с моментом инерции 1кг·м,
вращающегося с угловой скоростью 1рад/с.
Момент импульса - вектор, его направление всегда совпадает с
направлением угловой скорости (рис 1).
2
Рис. 1.
Выберем произвольную систему тел.
Ведем понятие момента импульса данной системы как векторную
сумму моментов импульсов ее отдельных частей:
 n
(3)
L   Li
i 1
где все векторы определены относительно одной и той же оси вращения заданной системы отсчета. Момент импульса системы тел - величина
аддитивная; момент импульса системы тел равен векторной сумме
моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того,
взаимодействуют они между собой или нет.
Выясним, какая величина определяет изменение момента импульса
системы тел. Продифференцируем (3) по-времени:

n dL
dL
(4)
 i
dt i 1 dt

dLi
Из Формулы (2) ясно, что
равна моменту всех сил, действующих
dt
на i-ю часть системы тел. Представим момент в виде векторной суммы
моментов внутренних и внешних сил:



n
n
dLi
(5)
  M i внутр   M j внешн.
j 1
dt i 1

n
где  M i в нутр - суммарный момент всех внутренних сил относительно
i 1

n
данной оси,  M j в н ешн - суммарный момент всех внешних сил относительно
j 1
той же оси.
Суммарный момент всех внутренних сил относительно любой
точки равен нулю, так как внутренние силы - это взаимодействия между
частицами системы. По третьему закону Ньютона эти силы попарно равны
3
по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, то
есть имеют одинаковые радиус-векторы. Поэтому моменты сил каждой пары
взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению,
Значит, суммарный момент всех внутренних сил равен нулю.

n
M
(6)
 i в нутр  0
i 1
В результате уравнение (5) принимает вид:

dL 
(7)
 M внешн
dt


n
где
M внешн   M j внешн. - суммарный момент всех внешних сил,
j 1
называемый также главным моментом.
Производная момента импульса системы по времени равна
суммарному моменту всех внешних сил относительна данной оси.
Пришли к важному выводу в уравнении (7): момент импульса
системы тел может изменяться под действием только суммарного
момента всех внешних сил.
В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системе
координат с началом в точке 0 закон изменения момента импульса системы
записывается в виде:
dLz
 M zвнешн.
dL
dLx
у
внешн
внешн
dt
 Mу ;
(8)
 Mx ;
dt
dt
Здесь Lx, Ly, Lx и Mx, My, Mx - моменты импульса системы и главные
моменты внешних сил относительно соответствующих осей координат.
Из основного закона динамики вращательного движения следует закон
сохранения момента импульса.
Момент импульса замкнутой системы относительно любой
неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Для замкнутой системы Fвнешн  0 ; M в нешн  0 ,


dL
(9)
 0; L  const .
dt
Закон сохранения момента импульса принадлежит к числу самых
фундаментальных физических законов, он связан с изотропностью
пространства. Изотропность пространства проявляется в том, что
физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят
4
от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета,
т.е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как
целого на любой угол.
Особый интерес представляет случай, когда момент импульса
сохраняется для незамкнутой системы. Если относительно некоторой оси
выбранной системы отсчета главный момент внешних сил M внешн  0 то
момент импульса системы тел относительно этой оси сохраняется.

Обычно M внешн  0 и L  const. Однако, если главный момент внешних
сил относительно какой-либо оси, проходящей через точку 0, тождественно
равен нулю, то момент импульса системы относительно этой оси не

изменяется с течением времени. Например, если M z в нешн  0 , то L  const.
Такой случаи рассматривается в демонстрации со скамьей Жуковского (рис.
2).
Система тел: скамья, человек, гантели,
Эта система не замкнутая, но момент внешних сил относительно
вертикальной оси Z равен нул^, следовательно
Lz  const.
Запишем
Lz  Lz ;
(10)
Рис. 2.
Lz  ( J 0  2mr12 )1 ;

Lz  ( J 0  2mr22 )2 .
Подставляем ( J 0  2mr12 )  ( J 0  2mr22 )2 .
Найдем
2 
J 0  2mr12
1 ,
J 0  2mr22
(11)
5
где J0 - момент инерции скамьи с человеком, m - масса одной гантели,
r1 - расстояние гантели до оси в первом случае, r2 - расстояние гантели до оси
во втором случае.
2 возрастает, если r2<r1; 2 - уменьшается, если r2 возрастает.
2. РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ
ДВИЖЕНИИ. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
Запишем основной закон вращательного движения в следующем виде
J
d
 M.
dt
(12)
Умножим обе части выражения (12) на d , учтя, что d  dt
Md  Jdt.
(13)
Выражение представляет собой элементарную работу
dA
т.е.
dA Md. Проинтегрируем полученное выражение (13)

2
0
1
A   Md   Jd
- работа сил при повороте твердого тела на
конечный угол .
2
A   Jd 
1
1
1
J22  J12  E2k  E1k ;
2
2
1
Eк  J 2 .
(14)
2
(14) представляет собой выражение для кинетической энергии вращательного тела
A  E2k  E1k .
(15)
Мы получили закон изменения механической энергии при
вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси.
Изменение кинетической энергии вращающегося тела равно
работе сил, приложенных к этому телу.
Для системы тел закон изменения кинетической энергии примет вид:
k
Eсист
 Aвнеш  Aвнутр.дис.
(16)
Изменение кинетической энергии системы тел равно работе
внешних сил, действующих на систему и работе внутренних
6
диссипативных сил. Из выражения (16) следует, что если силы таковы, что
проекция их момента на какую-либо ось равна нулю, то работы они не
производят. В этом случае
k
k
Eсист
 0, Eсист
 const ,
(17)
т.е. выполняется закон сохранения механической энергии системы
тел, вращающихся вокруг неподвижной оси.
Закон сохранения момента импульса играет такую же важную роль, как
и законы сохранения энергии и импульса. Уже сам по себе он позволяет
сделать во многих случаях ряд существенных заключений о свойствах тел
или процессов, совершенно не вникая в их детальное рассмотрение.
3. СОПОСТАВЛЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЙ
Для сопоставления величин, характеризующих поступательное и
вращательное движение, полезна следующая таблица.
Таблица 1
Сопоставления величин, характеризующих поступательное и
вращательное движение
Название
физической величины
Элемент
перемещения
Скорость
Поступательное
движение
Ускорение
Мера инертности
Мера
взаимодействия
Импульс
7

dr
Вращательное
движение

d

 dr
v
dt

d
;

dt

 
  
vr

 dv
a
dt


d 
; a   r 

dt
m
J   r 2dm


F  ma




M  r F ; M  J


p  mv


L  J

 
Работа
Кинетическая
энергия
 
dA  F dr
Eк 
mv2
2
 
dA  Md
1
Eк  J 2
2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, показана аналогия между характеристиками и
законами поступательного и вращательного движений, при этом надо
помнить, что мерой инертности при вращательном движении является
момент инерции, мерой взаимодействия - момент сил, а вместо импульса
вводится момент импульса.
8