Рабочая тетрадь: «Повторяем проценты

БОУ Чувашской Республики СПО «ЧЭТК» Минобразования Чувашии
Рабочая тетрадь по теме: «Проценты»
Рабочая тетрадь предназначена для студентов первого курса по дисциплине
«Математика»
Разработала преподаватель математики
Григорьева Марина Геннадьевна
Рассмотрено на заседании
цикловой комиссии математических и естественнонаучных дисциплин
«____»____________ 2013 г. Протокол № ___
Председатель цикловой комиссии
_________________Гущина В.В.
г. Чебоксары, 2013 г.
Рецензия.
Рабочая тетрадь предназначена для организации повторения и решения
задач по теме «Проценты» студентами первого курса, закончившими 9 класс.
В тетрадь включены основные определения и правила решения разных задач
на проценты. К каждому виду задач предлагается сначала просмотреть,
практически решённую задачу, затем вставить пропуски в решении задачи, а
потом полностью самому её решить. Рабочая тетрадь содержит более
сложные задачи на проценты, которые предлагается решить студентам
дополнительно. Решения выполняются непосредственно в рабочей тетради,
что, кроме всего прочего, экономит время студента, избавляя его от
выполнения механической работы по переписыванию условий задач.
Рецензент:
Иванова А.П.
2
Введение
Тема “ Проценты” имеет непосредственную связь с другими учебными
дисциплинами (физика, химия, биология и др.), связывает между собой
точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни.
Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым.
Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует
процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты,
грамотно размещая деньги в прибыльное дело.
Знание что такое процент и его применение, умение выполнять
действия с процентами, решать задачи на проценты поможет вам в освоении
специальных дисциплин.
Определение процента.
Определение: Процентом называется сотая часть числа, т.е. 1/100
или 0,01.
Обозначают процент знаком «%».
Значит, 1 % это одна сотая доля. Процент записывается так: 1%, 5%
1% = 0,01.
Задание 1: Запишите проценты десятичной дробью:
5% =_____ , 23% =_____, 130% =_____ 7%=_____, 28%=_____, 150%=_____,
1,5%=_____,35,7%=_____,30%=_____,17%=_____,65%=_____,650%=_____,
1,5%=_____,3,8%=_____.
Проценты можно записать и обыкновенной дробью, например:
20%=0,2 или 20%=
20 1
 .
100 5
Задание 2: Запишите проценты обыкновенной дробью:
30%=_____,22%=_____,125%=_____,1,5%=_____,7%=_____.
Рассмотрите некоторые «эквиваленты»:
25 % величины – это 1/4 этой величины (четверть);
50 % величины – это 1/2 этой величины (половина);
75 % величины – это 3/4 этой величины (три четверти).
Задание 3: Выберите для каждого процента в левом столбце
соответствующую ему дробь (запишите верные равенства):
3
10%
1/2;
50%
9/10;
30%
1/10;
75%
1/4;
90%
3/10;
25%
3/4.
Ответ:_____________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Важно знать:
 Увеличение на 100 % - это то же самое, что увеличение в 2 раза,
увеличение на 200 % - это то же самое, что увеличение в 3 раза,
увеличение на 150 % - это то же самое, что увеличение в 2,5 раза и т.д.
 100% - это одно целое, исходная величина.
Решить задачи:
1. Туристы проехали 50 % пути на поезде и 40 % пути на автобусе. Весь ли
путь они проехали? Ответ:_________________________________________
2. В группе 40 % девочек. Кого в группе больше – мальчиков или девочек?
Ответ:_________________________________________
3. Что больше:
а) 60 % всей группы или половина группы? Ответ:______________________
б) 10 % зарплаты или четверть зарплаты? Ответ:______________________
в) половина или 45 % всего населения страны? Ответ:____________________
4
Задачи на проценты.
Нахождение процентов от числа.
Как найти 1% от числа? Раз 1% - это одна сотая часть, то надо число
разделить на 100. Деление числа на 100 можно заменить умножением на 0,01.
Поэтому чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А
если нужно найти 5%, то умножаем данное число на 0,05.
Правило нахождения процента от числа.
1. Проценты записать десятичной дробью, т.е. умножая на 0,01.
2. Данное число умножить на эту десятичную дробь.
Пример 1. Найти 30% от числа 90.
1) 30%=0, 3
2) 0, 3*90=27
Ответ: 27
Решить задачи:
1. В магазине было 800 кг картофеля. Продали 60 % картофеля.
1) Сколько килограммов картофеля продано?
2) Сколько процентов всего картофеля осталось в магазине?
3) Сколько килограммов картофеля осталось в магазине?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:____________________________________________________________
2. В кассе учреждения было 9000 руб. На оплату командировочных
израсходовали 80 % этой суммы. Какие вопросы можно поставить к задаче?
Ответьте на них.
Вопрос:___________________________________________________________
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
5
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
3. Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей, в
следующем месяце она увеличила выпуск игрушек на 200 %. Сколько
игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? Во сколько раз
увеличился выпуск игрушечных автомобилей?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
4. В первом квартале 1995 года квартплата в Москве в домах с лифтом была
на 100 % выше квартплаты в домах без лифта. Во сколько раз квартплата в
домах с лифтом была выше квартплаты в домах без лифта?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
Рассмотрим решение следующей задачи:
5. За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%, в
следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос
выпуск продукции по сравнению с первоначальной?
Эту задачу можно решить двумя способами:
1) используя пропорцию
2) по действиям
Решение.
1 способ: Узнаем на сколько увеличился выпуск продукции за первый год.
Пусть: х - начальный выпуск
у - после увеличения на 8%
х - 100%
6
у - 108%
у=
108  x
= 1,08х
100
Теперь, узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за второй год.
Пусть: 1.08х - теперь уже начальный выпуск
z - после увеличения на 25%, тогда
1,08х - 100%
z - 125% 100
z=
125  1,08 x
= 1,35х
100
В итоге у нас получилось, что выпуск продукции равен 1,35;
Значит, выпуск увеличился на 0,35 или на 35%
2 способ:
1) 1,00+0,08=1,08 (узнали выпуск продукции после первого увеличения)
2)1,00+0,25=1,25 (узнали выпуск продукции после второго увеличения)
3)1,08*1,25=1,35 (это выпуск продукции после двух увеличений)
4)1,35-1,00=0,35 (увеличения выпуска продукции после двух прибавок)
Ответ: выпуск продукции по сравнению с первоначальной вырос на 35%.
Решить задачу одним из способов:
6. Кофточка стоила 400 рублей. Перед началом сезона, продавец поднял цену
на 25%. Однако, их стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%.
Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут
торговля пошла! Какова была окончательная цена кофты?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
7
Ответ:_________________________________________
7. Получив премию, сотрудник фирмы положил её на счёт с доходом 8%.
Если бы банк выплачивал 11% годовых, то для получения такого же дохода
потребовалось бы на 900 рублей меньше. Определите, сколько рублей
составляла премия?
Решение:
Пусть x руб. сумма, которая составила премию, тогда 0,08x руб. – было
бы на вкладе. Если бы выплачивались 11% годовых на сумму_________, то
доход составил бы 0,11*_________, что равно 0,08x
рублей.0,11*_________=0,08x
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________
Ответ: 3300 рублей.
8. Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от
правительства возвращение цен к прежнему уровню. Для этого цены должны
быть уменьшены (на сколько процентов)?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
9. Вкладчик взял из Сбербанка 25% своих денег, потом
4
оставшихся и ещё
9
64000 руб. После этого у него осталось 15% всех денег. Как велик вклад?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
8
Задачи для самостоятельного решения:
1. Заполнить таблицу:
Дробь
Десят. др.
Проценты
1/2
1/10
1/50
0,25
0,05
20%
100%
1%
2. Сбербанк выплачивает вкладчикам 9% годовых, Сколько выплатил
Сбербанк дополнительно к вкладу 250000 р.?
Решение.
1)_________________________________________________________________
2)_________________________________________________________________
Ответ:_______________________________
3. Длину кирпича увеличили на 30%, ширину на 20%, а высоту уменьшили
на 40%. Увеличился или уменьшился от этого объем кирпича и на сколько
процентов?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
4. Выпускник устраивался на несложную работу, связанную с расчётом
процентов. При собеседовании начальник с хитрой улыбкой предложил два
варианта оплаты труда. По первому варианту выпускнику сразу назначалась
ставка 15000 руб в месяц. По второму выпускнику, если он согласится,
первые 2 месяца будут выплачивать пониженную на 50% зарплату. Типа, как
новичку. Зато потом увеличат его пониженную зарплату аж на 80%! Какой
вариант оплаты труда выбрать выпускнику?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
9
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
5. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов
понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
6. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В
течение первого года производства она повысилась на некоторое, число
процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной
стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна
72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы
продукции.
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
7. На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги
пролежали один год со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало
11 тыс. руб. Определить, какой процент годовых начисляет банк.
Решение.
Пусть банк начисляет x% годовых.
1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский счет под x%
годовых, через год возрастет до величины
10000 + 0,01 x 10000 = 10000 + 100x руб.
Когда со счета снимут 1000 руб., там останется ________________ руб.
2) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов
возрастет до величины ________________________________________ руб.
По условию эта величина равна 11000 руб, поэтому имеем квадратное
уравнение.
10
_______________________________________________________________________________________________
,
решим это квадратное
уравнение:_______________________________________________________
________________________________________________________________
___________________________________________________________, x1 =
10, x2 = -200.
Отрицательный корень не подходит.
Ответ: 10%.
Сложные проценты.
Рассмотрим пример:
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать
10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль - 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.
Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10
000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й
год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама
генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент. Когда вся прибыль
прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую
прибыль.
Определение: Сложным процентом называется сумма дохода,
которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что
сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого
периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем
платежном периоде сама приносит доход. Сложные проценты - это
проценты, полученные на начисленные проценты.
Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается
итоговая сумма с учётом начисления процентов.
S  (1  0,01   ) n S 0 - периодическое увеличение некоторой величины
на одно и то же число процентов.
11
где S 0 - начальный вклад, сумма.
 - процент(ы) годовых
n- время размещения вклада в банке
Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и подругому:
S  (1  0,01   ) n S 0 - периодическое уменьшение некоторой величины
на одно и то же число процентов.
Задача 1. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад,
годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не
брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через
шесть лет?
Решение: По условию задачи:   12, S 0  2000, n  6 , тогда, подставляя в
формулу сложного процента, получим:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
2. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число
процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На
сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
3. Банк предлагает клиентам два вида вкладов. Первый «До востребования»
со следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет
увеличивается на 10% от суммы, имеющиеся на счету клиента в момент
начисления. Второй вклад «номерной» с ежегодным начислением процентов
по вкладу. Сколько процентов годовых должен начислять банк по второму
вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом на каждые из указанных
счетов, через два года оказались снова равными?
12
Решение:
Решим эту задачу уравнением, применяя форму сложных процентов.
Пусть: х - начальный вклад, у- количество процентов годовых, которые
должен начислять банк по второму вкладу; тогда через 6 месяцев сумма на
счете по первому вкладу будет равна
(1  0,01 10) x  (1  0,1) x . Значит через два года сумма вклада «До
востребования» будет равна: (1  0,1) 4 x .
Сумма вклада «Номерной» через два года, после двух начислений
равна _________________________________________
Получим уравнение и решим его:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
У=___________
Ответ: банк должен начислять _____% годовых по «номерному» вкладу.
4. Для определения оптимального режима снижения цен социологи
предложили фирме с первого января снижать цены на товар в двух магазинах
двумя способами. В одном магазине - в начале каждого месяца (начиная с
февраля) на 20%, в другом через каждые два месяца, в начале третьего
(начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы
через полгода (первого июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько
процентов надо снижать ценны товара через каждые два месяца во втором
магазине?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
13
Задачи для самостоятельного решения:
1. По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению
каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма
присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000
рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении
двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
2. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от
инфляции была обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать
сотруднику зарплату на 2%. Однако с связи с финансовыми затруднениями
она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале
следующего полугодия). На сколько % фирма должна повышать зарплату
каждые полгода, чтобы первого января следующего года зарплата
сотрудника была равна той, которую он получил бы в режиме повышения,
предусмотренной договором?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
3. В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население
этого города увеличивается ежегодно на 10%. Сколько жителей было в
городе два года назад?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
14
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
Задачи на нахождение числа по его процентам.
Пример. Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять
хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?
Решение:
480 кг волокна составляют 24 % от некоторой массы хлопка-сырца, которую
примем за Х кг. Будем считать, что Х кг составляют 100 %. Теперь кратко
условие задачи можно записать так:
480 кг - 24 %
Х кг - 100 %
Решим эту задачу двумя способами.
1 способ: Узнаем, какая масса волокна приходится на 1 %. Поскольку на 24
% приходится 480 кг, то, очевидно, на 1 % будет приходиться масса в 24 раза
меньше, то есть 480 : 24 = = 20 (кг). Далее рассуждаем так: если на 1 %
приходится масса в 20 кг, то на 100 % будет приходиться масса, в 100 раз
большая, то есть 20 х 100 = 2000 (кг)= 2 (т). Следовательно, для получения
480 кг волокна надо взять 2 т хлопка-сырца.
Эту задачу можно решить и иначе.
2 способ:
Если в условии этой задачи вместо 24 % написать равное ему число 0,24, то
получим задачу на нахождение числа по известной его части (дроби). А такие
задачи решают делением. Отсюда вытекает ещё один способ решения:
1) 24 % = 0,24;
2) 480 : 0,24 = 2000 (кг) = 2 (т).
Ответ: 2т
Правило: Чтобы найти число по его дроби (процентам), нужно число
соответствующее данной дроби (процентам) разделить на дробь
(проценты, выраженные десятичной дробью).
15
Задача 1.
8 студентов, что составляет 20% учащихся группы, за контрольную работу
получили оценку «5». Сколько студентов в группе?
Решение.
1) 20%=1/5
2) 8:
1
=________(уч.)
5
Ответ: _________учеников.
Задача 2.
В посёлке 1650 квартир имеют центральное отопление. Это составляет 55%
всех квартир в посёлке. Сколько квартир в посёлке?
Решение.
1) 55%=_______________2) 1650:__________=____________(к.)
Ответ:___________ квартир.
3. В коробке лежали лампочки, 4 из которых оказались разбитыми. Разбитые
лампочки составляют 2% от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек
было в коробке?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
4. Кладовщик выдал маляру 18% количества всей краски, после чего на
складе ещё осталось 492 кг. Сколько килограммов краски выдали маляру?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
16
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
5. Мужчины на заводе составляют 75% всего количества рабочих. Женщин
на заводе 216. Сколько мужчин работает на заводе?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
6. Товар вместе с упаковкой стоит 40,8р. Стоимость упаковки составляет 2%
стоимости товара. Сколько стоит товар без упаковки?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
Задачи для самостоятельного решения:
1. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в
книге. Сколько страниц в книге?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
2. Тело человека содержит 64% воды. Сколько килограммов воды в
человеческом теле, если он весит 80 килограмм?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
17
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
3. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным
6,5% вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для
ее заполнения?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
4. Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
5. На первом курсе колледжа 260 учащихся, из которых 10% неуспевающих.
После отчисления некоторого числа неуспевающих, их процент снизился до
6,4%. Сколько студентов отчислено?
Решение:
До отчисления количество неуспевающих составляло
0,1 260 = 26.
Пусть отчислили х человек. Тогда всего в колледже осталось 260 — х
учащихся, из них неуспевающих стало 26 - х. Составим пропорцию:
______________-_________________
______________-_________________
Получим уравнение:________________________________
Решим:_______________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________
х = 10.
Ответ: 10.
18
Задачи на нахождение процентного отношения.
Правило: чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от
другого, нужно разделить первое число на второе и полученную
дробь записать в виде процентов.
Задание.
а) На сколько процентов число 250 превышает число 200?
б) На сколько процентов число 200 меньше, чем число 250?
в) проанализировать ответы, полученные в пунктах а) и б).
Задача 1.
Каково процентное отношение золота в серебре, если на 100 г серебра
приходится 21 г золота?
Решение: Содержание золота в серебре составляет:
21
100
Находим процентное отношение:
21
 100% =________
100
Ответ:_________________
2. На выборы на избирательный участок пришло 654 человека из 963
человек, живших на данном участке. Какой процент избирателей приняло
участие в выборах?
Решение:
Часть избирателей, пришедших на голосование выражается
дробью:__________
Обращаем эту дробь в десятичную: ____________
Находим процентное отношение:
_________*100%=__________%
Ответ:___________
3 . Число морозных дней в декабре обычно равно 21. Сколько процентов не
морозных дней в декабре?
Решение: 1)___________________
2)___________________
Ответ: _________________ не морозных дней в декабре.
19
4. На соревнования спортсмены завоевали 96 медалей, из них 35 медалей
бронзовые и 31 медаль серебряная. Сколько процентов от общего числа
составили золотые медали?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
5. Колхоз планировал получить с 1 га в среднем 29 ц зерновых, а получил –
32 ц. На сколько процентов выполнил план? На сколько процентов колхоз
перевыполнил план?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
6. Из 2150 телевизоров, выпущенных за месяц на заводе А, в первый же год
потребовали ремонта 48 штук, а из 725 телевизоров, сделанных на заводе В, в
первый год ремонт потребовали 31 телевизор. На каком заводе процент
некачественных телевизоров выше?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
7. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава
составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
20
Задачи для самостоятельного решения:
1. Из 30000 жителей города 6900 – дети. Какой процент всего населения
составляют дети?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
2. Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент
поля засажен картофелем?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
3. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66
автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
4. Токарь вытачивал за 1 час 40 деталей. Применив резец из сверх прочной
стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов
повысилась производительность труда токаря?
Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов
составляют 10 деталей от 40.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
____________
Ответ: __________________________
21
Задачи на смеси и сплавы.
При решении задач на смеси и сплавы важно помнить: при объединении
двух смесей/сплавов их массы складываются. Другими словами, масса
полученной смеси равна сумме масс исходных смесей. Аналогично,
складываются массы «чистых» веществ.
Задача1. В сосуд, содержащий 5 литров 12 % спиртового раствора, добавили
7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося
раствора?
В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд
с раствором схематично — так, как будто спирт и вода в нем не перемешаны
между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько
литров содержат сосуды и сколько в них процентов спирта. Концентрацию
получившегося раствора обозначим х.
Найдём объём получившегося раствора: 5+7=12 л.
Первый сосуд содержал 0,12  5  0,6 литра спирта. Во втором сосуде была
только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров спирта, сколько
и в первом:
x
 12  0,12  5
100
Х=5
Ответ: 5% составляет концентрация получившегося раствора?
22
2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого
вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества.
Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение: Пусть масса первого раствора равна х. Масса второго — тоже х.
В результате получили раствор массой 2х. Рисуем картинку.
Обозначим за р % концентрацию получившегося раствора.
Получаем:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:17%.
3. Слиток серебра с цинком весом в 3,5 кг содержал 75% серебра. Его
сплавили с другим слитком и получили вес 10,5 кг, содержание серебра в
котором 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?
Рисунок:
1.
2.
3.
4.
3,5*0,75=2,66 (кг) – серебра в первом слитке.
10,5*0,84=________(кг) – в 10,5 кг сплава.
_________ - 2,66 =6,16 (кг) – серебра во втором слитке.
10,5 – 3,5= 7 (кг) – вес второго слитка.
23
5. 6,16:________=0,88=_________% - во втором слитке серебра.
Ответ:__________%
4.Один раствор содержит 30% по объёму азотной кислоты, а второй – 55%
азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы
получить 100 литров 50% раствора азотной кислоты?
Решение.
Выполните рисунок:
Обозначим через x – количество 30% раствора, а через y – 55% раствора.
Составим первое уравнение:
___________________________________
Второе уравнение связываем с процентным содержанием азотной кислоты:
0,3x+0,55y=0,5(x+y)
Составим и решим систему уравнений:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
5.Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10% и получили 600 г 15% раствора.
Сколько граммов каждого раствора было взято?
Рисунок:
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
24
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
6. В сплав входит медь, олово и сурьма в отношении 4:15:6. Сколько
процентов сплава составляет каждый металл?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
7. До какого веса надо выпарить 800 г 10% раствора соли, чтобы довести её
содержание до 16%?
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
8. На складе имеются две ёмкости с 5% и 25% содержанием уксуса. Сколько
надо взять литров из каждой ёмкости, чтобы получить 80 литров 10% уксуса?
Рисунок:
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
9. Сколько килограммов пресной воды надо прибавить к 80 кг морской воды,
содержащей 5% соли ( по массе), чтобы содержание соли стало 2%?
Рисунок:
25
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
10. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 455 меди. Какую массу
меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60%
меди?
Рисунок:
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:_________________________________________
11. Виноград содержит 90% влаги, а изюм —5%. Сколько килограммов
винограда требуется для по лучения 20 килограммов изюма?
Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где
из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из свежих грибов сухие,
из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача
на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор.
В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный
химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что
это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда
26
испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается
постоянным. В винограде содержалось 90% воды, значит, «сухого вещества»
было 10%. В изюме 5% воды и 95% «сухого вещества». Пусть из х
кг винограда получилось 20 кг изюма. Тогда
____ от х = 95% от ______
Составим уравнение:
_____________________________
и найдем х:________________________________________________________
Ответ: 190.
Задачи для самостоятельного решения
1. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля,
второй 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой
200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого
сплава меньше массы второго?
2. Хранили 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды.
Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника
получится в результате?
3. Из сорока тон руды выплавляют двадцать тон металла, содержащего 6 %
примесей. Каков процент примесей в руде?
Дополнительные задачи:
1. В библиотеке имеются книги на английскомги на английскомнемецком
языках. Английские книги составляют 36 % всех книг, французские - 75
% английских книг, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько всего книг в
библиотеке?
2. За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 20 рублей. Если
при сезоном изменении цен первый продукт подорожал на 15 %, а второй
подешевел на 25 % , то за тоже количество этих продуктов будет заплачено
18,2 рублей. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?
3. Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была
повышена урожайность пшеницы не 30 % и ржи на 20 %, колхоз собрал 630
тонн пшеницы и ржи. Сколько тон пшеницы и ржи собрал колхоз после
повышения урожайности?
4. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной
1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?
27
5. В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом
банке – 50 % к текущей сумме на счете, во втором – 75 % к текущей сумме на
счете. Бил и Боб в начале года часть имеющихся у них денег положили в
первый банк, а остальные деньги – во второй банк, с таким расчетом, чтобы
через два года суммарное количество денег на обоих счетах утроилось.
Какую долю денег они положил в первый банк?
6. В коробки было 25 % белых кубиков, и 75 % черных. В коробку добавили
10 черных кубиков, соотношение белых и черных стало 20 % к 80 %, сколько
было черных кубиков в коробке в начале?
Ответ: 30 черных кубиков было в начале.
Задуманы два числа, одно из которых на 18 больше другого. Известно, что 25
% одного из этих чисел равно 35 % другого числа. Найдите эти числа.
7. Имеется три слитка. Первый слиток имеет массу 5 кг, второй 3 кг, и
каждый из этих двух слитков содержит 30 % меди. Если первый слиток
сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56 % меди, а если
второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60 %
меди. Найти массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем.
8. Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый – 40 %, второй – 60
%. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и
получили 20 % раствор. Если бы вместо чистой воды добавили 5 кг 80 %
раствора, то получили бы 70 % раствор. Сколько было 40 % и 60 %
растворов?
4. Контроль знаний
Тренировочный тест№1 по теме «Проценты».
3
1. Запишите 1 % в виде десятичной дроби
8
а) 0,1375
б) 137,5
в)1,375
г)0,01375
2. Сколько процентов сахара содержит сироп, приготовленный из 750 г сахара и 1250г
воды?
а) 40%
б) 37,5%
в) 60%
г) 62,5%
3. Мотоциклист ехал из города А в город В. Проехав 42% пути, он оказался в 20,3 км
от города В. Каково расстояние между А и В?
а) 483 км
б) другой ответ
в) 35 км
г)48,3 км
4. Из 200 квартир нового дома 65,5% -двухкомнатные, а остальные –трехкомнатные.
Сколько трехкомнатных квартир в этом доме?
а) 69
б) 131
в) 34
г) 19
28
5. Сумма двух чисел составляет 180% первого слагаемого. На сколько % первое
слагаемое больше второго?
1
а) на 25%
б) на 20%
в) на 33 % г) другой ответ
3
6. Найдите число, 12% которого равны 240
а)28,8
б) 2000
в) 320
г) другой ответ
7. Первое число 40, а второе 30. Какой % составляет первое число от разности этих
чисел?
1
а) 40%
б) 400%
в) 133 %
г) другой ответ
3
Контрольный тест № 2
Вариант 1
Уровень 1
1. Выразите 3,5% десятичной дробью
А. 3,5 Б. 0,35
В. 0,035
Г.0,0035
2. Найдите 0,8% от 500 мг.
А. 40 мг
Б. 4мг
В. 0,4 мг
Г. 0,04 мг
3. Какое из утверждений неверное?
1
1
А. урожая больше 33% этого урожая Б. урожая составляет 25% этого урожая
3
4
1
1
В.
урожая больше 17% этого урожая Г.
урожая меньше 20% этого урожая
6
20
4. В конце года сотрудникам фирмы была выплачена премия в размере 150%
ежемесячной зарплаты. Какую премию получил сотрудник, зарплата которого была 5000
р.?
Ответ:
5. Майский тираж нового ежемесячного журнала составил 300 экземпляров. В июне его
тираж увеличился на 20%, а в июле – еще на 110%. Каким стал тираж журнала в июле?
А. 756 экз. Б.450 экз.
В. 396 экз. Г. 360 экз.
6. В начале года в хоре занимались 16 ребят. К концу года их число увеличилось на
200%. Во сколько раз увеличилось число ребят, занимающихся в хоре?
А. В 2 раза Б. В 3 раза В. В 4 раза Г. Определить нельзя
7. При оформлении витрины магазина использовались 64 синих и 16 красных ламп.
Сколько % всех ламп составляют лампы красного цвета?
А.80%.
Б.75%.
В. 25%
Г.20%
8. Из 40 учащихся класса 30% занимаются в спортивных секциях, причем 25% из них – в
шахматной. Сколько учащихся в шахматной секции?
А. 12 уч.
Б. 10 уч.
В.7 уч.
Г. 3уч.
Уровень 2.
9. Определите , на сколько примерно процентов снижены цены при распродаже мебели?
Цена
Стол
Стул
кресло
Старая
1999р.
750р.
1500р.
Новая
1600р.
600р.
1189р.
А. На 20 % Б. На 25 % В. На 30 % Г.Определить нельзя.
10. В начале года тариф на электроэнергию составлял 2 р. за 1 кВт/ч. В середине года
он увеличился на 50%, а в конце года – еще на 50%. Какое утверждение верно?
А. Тариф увеличился на 100%
Б. Тариф увеличился меньше, чем на 100%.
29
В. Тариф увеличился больше, чем на 100%
11. Когда 60 пассажиров заняли в автобусе свои места, остались свободными 20% всех
мест. Сколько сидячих мест в автобусе?
А. 72
Б. 120.
В. 85
Г. 75
12. Летние каникулы 60% всех учащихся школы проводят в спортивных лагерях, 25%
оставшихся учащихся – на дачах, остальные – в городе. На какой из диаграмм правильно
показано распределение числа учащихся школы?
А
Б
В
Г
1
2
3
Спортивный лагерь
1
1
2
2
3
3
На даче
1
2
3
В городе
Вариант 2
Уровень 1
1. Выразите 0,8% десятичной дробью
А. 0,08
Б. 0,008
В. 8
Г. 80
2. Найдите 3,5% от 140 мг.
А. 40 мг
Б. 4мг
В. 49 мг
Г. 4,9 мг
3. Какое из утверждений неверное?
1
1
А.
урожая меньше 20% этого урожая. Б. урожая меньше 17% этого урожая
20
6
1
1
В. урожая больше 33% этого урожая. Г. урожая больше 25% этого урожая
3
4
4. В конце года сотрудникам фирмы была выплачена премия в размере 125% ежемесячной
зарплаты. Какую премию получил сотрудник, зарплата которого была 8000 р.?
Ответ:
5. Январский тираж нового ежемесячного журнала составил 200 экземпляров. В феврале
его тираж увеличился на 50%, а в марте – еще на 120%. Каким стал тираж журнала в
марте?
А. 300 экз. Б.360 экз.
В. 600 экз. Г. 660 экз.
6. В четверг на экскурсию записались 18 ребят. В пятницу число записавшихся
увеличилось на 300%. Во сколько раз увеличилось число ребят, записавшихся на
экскурсию?
А. В 2 раза Б. В 3 раза В. В 4 раза. Г. Определить нельзя
7. При оформлении витрины магазина использовались 64 синих и 16 красных ламп.
Сколько % всех ламп составляют лампы синего цвета?
А. 80%.
Б. 75%.
В. 25%
Г. 20%
8. Из 40 учащихся класса 75% занимаются в спортивных секциях, причем 30% из них – в
шахматной. Сколько учащихся в шахматной секции?
А. 30 уч.
Б. 10 уч.
В.9 уч.
Г. 3 уч.
Уровень 2.
9. Определите, на сколько примерно процентов снижены цены при распродаже мебели.
30
Цена
Старая
Новая
шкаф
3999р.
3000р.
кровать
1200р.
899р.
стол
1000р.
750р.
На 20 %
Б. На 30 % В. На 25 % Г.Определить нельзя.
10. Летом рюкзак стоил 608 р. Осенью цены на рюкзаки снижены на 25%, а зимой еще на
25%. Какое утверждение верно?
А. Цена рюкзака снизилась на 50%
Б. Цена рюкзака снизилась меньше, чем на 50%
В. Цена рюкзака снизилась больше, чем на 50%
11. После повышения цен на 20% альбом стал стоить 96 р. Сколько стоил альбом до
повышения цен?
12. При озеленении территория парка 25% его площади отвели под посадку кленов, 50%
оставшейся площади – под посадку рябин, остальную – под газоны. На какой из диаграмм
правильно показано распределение посадок?
А
клены
Б
В
Г
1
1
1
2
2
2
3
3
3
рябины
1
2
3
газоны
Проверочная работа.
Вариант 1.
1. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому
составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год? Через два года? Через 6
лет?
Ответ: 2240 р.; 2508 р.80 к.; 3947 р.65 к.
2. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент
уменьшилась со 125 до 80 руб. на сколько процентов снижалась цена каждый раз?
Ответ: 20%
3. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся
в цене на 30% и стал по цене равен первому товару. Какова первоначальная цена первого
товара, если второй до повышения цены стоил 1,25 тыс.руб.?
Ответ: 1 тыс. руб.
4. К 15л 10%- ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8 %-ный
раствор. Сколько литров 5%-ного раствора добавили?
5. В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди. Каково процентное
содержание составных частей сплава?
Вариант 2
1. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 3000 р. на вклад, годовой доход по которому
составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год? Через два года? Через 6
лет?
Ответ: 3360 р.; 3763р. 20к.; 5921 р.48 к.
2. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент
уменьшилась со 250 до 160 руб. на сколько процентов снижалась цена каждый раз?
31
Ответ: 20%
3. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся
в цене на 30% и стал по цене равен первому товару. Какова первоначальная цена первого
товара, если второй до повышения цены стоил 3,75 тыс.руб.?
Ответ: 3 тыс. руб.
4. К 15л 10%- ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8 %-ный
раствор. Сколько литров 5%-ного раствора добавили?
5. В сплаве содержится 15 кг цинка, 8 кг олова и 27 кг меди. Каково процентное
содержание составных частей сплава?
Заключение.
В данной разработке рассмотрены всевозможные задачи на проценты с
разным уровнем сложности, которые позволят преподавателю лучше
подготовить студентов к освоению специальных дисциплин. В работе
составлен материал для текущего и итогового контроля, изготовлены
наглядные и раздаточные материалы.
Литература:
Дорофеев Г. В., Седова Е.А. Процентные вычисления: Учебноеметодическое пособие.
–М.: Дрофа, 2003.
Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука,
1990
Журналы «Математика в школе» №5-95, 8-02, 1-92
М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л. И. Звавич. Сборник задач по алгебре для
8-9 классов.-М.: « Просвещение» 1994
С.С. Минаева. 20 тестов по математике для 5-6 классов. -М., «Экзамен» 2008
Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. Математика.
Учебники для 5 и 6 класса. М., «Просвещение» 2008.
Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. Математика. Учебник для 5 и 6 классов. М.,
«Просвещение» 2007.
Г. В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Математика. Учебник для 5 класса. М.,
«Просвещение».
32
33