Отдел Образования Мо «Еравнинский район» МБОУ «Исингинская средняя общеобразовательная школа»

Отдел Образования Мо «Еравнинский район»
МБОУ «Исингинская средняя общеобразовательная школа»
Районная НПК «Шаг в будущее»
Секция «Математика»
ПРОЦЕНТЫ
Автор: Жамсуев Буян,
ученик 11 класса МБОУ «ИСОШ»
Руководитель: Базарова О.Ц.,
учитель математики МБОУ «ИСОШ»
2011-2012 у.г.
Оглавление
1. Введение
2. Немного из истории
3. Обзор задач на проценты
4. Выделение групп задач на проценты
4.1.Обычные задачи на проценты (повседневные)
4.2. Задачи на смеси, растворы, сплавы
4.3. Задачи банковских систем
5. Заключение
6. Литература
1. Введение
В настоящее время появляется все больше специальностей, требующих высокого
уровня
образования,
связанного
с
непосредственным
применением
математики
(экономика, бизнес, финансы, физика, химия и многие другие). Другими словами,
расширяется круг школьников, для которых математика становиться профессионально
значимым предметом. Поэтому одна из важнейших задач школьного образования –
обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять
их в учебной и практической деятельности. Большое практическое значение имеет умение
решать задачи на проценты, поскольку понятие процента широко используется как в
реальной жизни, так и в различных областях науки.
Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее
время необходимо каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и
затрагивает финансовую, демографическую, экономическую, социологическую и другие
стороны нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью.
Проанализировав программу средней школы по математике, пришел к выводу, что
по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в
5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного
времени.А учащиеся при подходе
к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах
сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, также такие задачи часто
встречаются на олимпиадах.
В данной работе я пострался на конкретных примерах убедиться в актуальности и
значимости процентов: решил типовые задачи, подтверждающие необходимость
процентов и выделил их основные группы. К основным группам выделил задачи взятые из
повседневной жизни и ЕГЭ, банковского характера и другие.
Цель работы:

расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из
разных сфер жизни человека;

предложение компактного и четкого изложения теории по теме: «Проценты».
2. Немного из истории
Проценты
– одно из математических понятий, которые часто встречаются в
повседневной жизни. Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что
буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на
практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это
дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать между части между собой и с
целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная
практическими соображениями. Они родились еще в древности у вавилонян, которые
пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян
содержатся задачи на расчет процентов. Были известны проценты и в Индии. Индийские
математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е.
пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с
применением процентов.
Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в
процентных расчетах часто писалось сокращенно
cto. Отсюда путем дальнейшего
упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для
обозначения процента.
Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот
знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в
Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по
ошибке наборщик вместо cto ввел %.
Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин –
инженер из города Брюгге (Нидерланды)[1].
3. Обзор задач на проценты
Задача 1
Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на
10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?
Задача 2
При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 4200р. Какую
сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?
Задача 3
Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30%
остатка, а третий
-
40%
нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось
непроданным?
Задача 4
Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%
меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего
30% меди?
Задача 5
Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара,
чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
Задача 6
Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесенной суммы. Клиент сделал
вклад в размере 200 000 р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет?
4. Выделение групп задач на проценты
При сортировке задач на проценты, можно выделить 3 основные группы: обычные
задачи на проценты (повседневные, вычисления процентов от числа); задачи на смеси,
растворы, сплавы; задачи банковских систем (кредиты, вклады).
4.1.Обычные задачи на проценты (повседневные).
В этот вид задач входят все задачи, начиная с простого вычисления процента от
числа и заканчивая самыми разнообразными ситуациями нашей жизни, требующих
вмешательство процентов.
Основные формулы для вычисления процентов:
1. Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти
от b, надо b*0,01a
2. Нахождение числа по его процентам. Если известно, что
числа x
равно b, то x=b:0,01a
3. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное
отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%. a:b*100%.
4. а) Если a больше b на p%, то a= b + 0,01pb = b(1 + 0,01p)
б) Если a меньше b на p%, то
a= b – 0,01pb = b(1 – 0,01p)
5. а) Если a возросло на p%, то новое значение равно a(1 + 0,01p)
б) Если a уменьшили на p%, то новое значение равно: a(1 – 0,01p)
в) Объединив a) и б), запишем задачу в общем виде: увеличили число a на p%, а
затем полученное уменьшили на p%, то a(1 – (0,01p)2)
2. Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от
величины, полученной на предыдущем шаге, то пользуются формулой
сложных процентов (проценты на проценты) b = a(1 + 0,01p)n.
Задача №1 Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре
еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?
Решение:
Стоимость зонта в ноябре составляла 85% от 360 р., т.е. 360 ∙ 0,85 =306(р.) Второе
снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать
90% от 306 р., т.е. 306 ∙ 0,9 = 275,4(р.).
Ответ: 275 р. 40 коп.
Задача №2 При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату
4200р. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических
лиц?
Решение:
1) (4200 – 400) ∙ 0,13 = 494 р. – налог.
2) 4200 – 494 = 3706 р.
Замечание: При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать
стандартный вычет 400р., налог 13% берется от оставшийся суммы.
Задача №3 Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй
покупатель 30% остатка, а третий - 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна
осталось непроданным?
Решение:
Пусть полотна было р. Первый купил 0,25р, осталось (1 - 0,25)р полотна, второй
покупатель купил 0,3 ∙ 0,75р = 0,225р, осталось 0,75р –0,225р = 0,525р, третий купил 0,4 ∙
0,525р = 0,21р, осталось 0,525р - 0,21р = 0,315р, что составляет 31,5% от р.
Ответ: 31,5%
4.2. Задачи на смеси, растворы, сплавы.
Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций В условиях таких задач речь
идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных
веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. Эти задачи
входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике
за курс основной школы и включаются в варианты ЕГЭ. Рассмотрим задачи, решение
которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание».
Долей (концентрацией, процентным содержанием) α основного вещества в смеси
будем называть отношение массы основного вещества m в смеси к общей массе смеси M:
𝑚
𝛼 = 𝑀 ∙ (100%)
𝑚=
𝛼∙𝑀
.
100%
Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах. В
большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их
решении использовать схемы, рисунки, таблицы.
Таблица для решения задач имеет вид.
Наименование
веществ, растворов,
смесей, сплавов
% содержание вещества
(доля содержания
вещества)
Масса раствора
(смеси, сплава)
Масса вещества
Задача №4 Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой
65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава,
содержащего 30% меди?
Наименование
веществ, растворов,
смесей, сплавов
Первый сплав
% содержание
меди (доля
содержания
вещества)
15%=0,15
Масса раствора
(смеси, сплава)
хг
Масса вещества
0,15*х
Второй раствор
Получившийся
раствор
65%=0,65
30%=0,3
(200 – х)г
200 г
0,65*(200–х)=130–0,65х
200*0,3=60
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе
меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):
0,15x  130  0,65х  60.
Решив
это
уравнение,
получаем
х=140.
При
этом
значении
х
выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.
Ответ:140г., 60г.
Задача №5 Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего
25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
Наименован
ие веществ,
растворов, смесей,
сплавов
Сироп
Вода
Новый сироп
%
содержание
вещества (доля
содержания
вещества)
25%=0,25
0%
20%=0,2
Масса
раствора
(смеси, сплава)
Масса вещества
180 г.
х г.
(180+х) г.
0,25180=45 (г.)
0,2(180+х)=36+0,2х
(г.)
45 = 36 + 0,2х;
0,2х = 9;
х=45.
Ответ: 45 г.
4.3. Задачи банковских систем.
Задачи банковских систем – задачи, связанные с начислениями процентов в банке
по вкладам и кредитам. Такие задачи обычно решаются по двум формулам:
1. Sn = So ∙ (1 + pn : 100) - (формула простых процентов).
2. Sn = So ∙ (1 + p : 100)n - (формула сложных процентов).
Sn - полученная сумма; So - начальная сумма; n – кол-во лет, где n = 1, 2, 3…
Задача №6 . Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесенной суммы.
Клиент сделал вклад в размере 200 000 р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет,
через 10 лет?
Решение: Используя формулу:
n p

S n  S 0 1 

100 

 58 
S 5  2000001 
  280000( p.)
 100 
 10  8 
S10  2000001 
  360000( p.)
100 

Заключение
Проценты с каждым годом становятся все более актуальнее в современном
обществе. Из – за их удобного отношения, все больше кампаний, предприятий, фирм,
корпораций применяют их. Уже сейчас на каждом шагу можно встретить их в любой
социальной среде. Хоть проценты и не очень хорошо изучаются в обычных учебных
заведениях, но уже сейчас люди подставляют их в различные олимпиады, тестирования,
ЕГЭ и в другие проверяющие знания задания. Со временем проценты еще дальше
протиснутся в нашу жизнь. И их незнание просто не позволит дальнейшему развитию
общества.
Просмотрев литературу (задачники по ЕГЭ, брошюры олимпиадных заданий), на
конкретных примерах, я убедился в актуальности и значимости процентов. Прорешив
типовые задачи, выделил их основные группы: обычные задачи на проценты
(повседневные, вычисления процентов от числа); задачи на смеси, растворы, сплавы;
задачи банковских систем (кредиты, вклады). Думаю, что в большинстве случаев задачи
на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы,
рисунки, таблицы.
Данная работа способствовала совершенствованию и расширению моего круга
знаний, широты применения процентных вычислений в жизни. Умений, навыков:
производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической
деятельности и использования приемов, рационализирующих вычисления;
Работа построена по принципу – от простейших понятий и задач к заданиям
повышенной сложности.
Литература
1. Библиотечка «Первого сентября» «Проценты», М: Чистые пруды, 2008
2. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Авт. – сост. В. Н.
Студенецкая, Л. С. Сагателова. – Волгоград: «Учитель», 2007. – 205 с.
3. 100 дней до ЕГЭ. М:Эксмо, 2011