Документ 614561

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Саврушская средняя общеобразовательная школа
Похвистневский район Самарская область
Секция «Математика»
Реферат по теме:
Стохастическая
линия
в математике.
Выполнил: Атаманов Николай
Ученик 8 «А» класса
МОУ Саврушская СОШ
Похвистневский район
Самарская область.
Руководитель:
Ятманкина
Галина Михайловна
учитель математики.
2011г.
1
Содержание.
Введение ....................................................................................................... 3
Глава 1. Теория стохастической линии как математическая наука
1. Исторические сведения ......................................................... 4
1.1 Элементы статистики ............................................................................... 5
1.2 Статистика в практической деятельности человека .............................. 5
1.3 Примеры задач по элементам статистики ........................................ 7-11
1.4 Элементы комбинаторики ..................................................................... 12
1.5 Примеры задач по элементам комбинаторики .................................... 13
1.6 Элементы теории множеств
Глава 2. Применение теории множеств. .................................................. 14
2.1 Решение задач с помощью кругов Эйлера ..................................... 15-19
2.2 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 20
2.3 Задачи экзаменационного уровня........................................................ 21
Заключение .................................................................................................. 22
Список литературы .................................................................................................................. 23
2
Введение
Анализ ситуации:
В математике имеется ряд задач, которые относятся к элементам статистики,
теории множеств, комбинаторике - коротко, к стохастической линии.
Логические задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда
относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать
объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся
свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с
различной оценкой.
Существует несколько приемов, которые используются при решении
текстовых логических задач по теории множеств. Очень часто решение
задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение
задачи простым и наглядным. Решение каждой из этих задач можно красиво
оформить.
Актуальность состоит в том, что статистические задачи имеют
практический характер, что немаловажно в современной жизни. На уроках по
некоторым предметам (математика, география, история, технология)
приходится работать с материалом статистического или комбинаторного
вида.
Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо
проблемы с другой стороны, уметь выбирать из множества способов
решения наиболее простой, удобный путь.
Проблема:
Я учусь в 8 классе и на уроках алгебры мы разбирали тему
«Статистические характеристики». Тогда я впервые услышал понятие
«стохастическая линия», которая содержит и другие элементы, которые
будем изучать в старших классах. Нам сказали, что все эти вопросы войдут в
экзаменационный материал. Меня это очень заинтересовало. Я решил
разобрать понятия стохастической линии и научиться решать задачи такого
вида.
Цель: умение решать задачи по элементам статистики и теории
множеств.
3
Задачи исследования:
 Изучить учебную и справочную литературу.
 Собрать теоретический материал по стохастической линии.
 Классифицировать собранный материал по разделам: статистика,
теория множеств, комбинаторика.
 Рассмотреть задачи по данным разделам.
 Привести примеры моих исследований по статистике.
 Решить задачи по теории множеств с помощью кругов Эйлера
Глава 1. Теория стохастической линии.
1. Исторические сведения о теории вероятностей
Зарождение теории вероятностей относится к середине 17 века и связано с
именами французских ученых Б. Паскаля (1623-1662) и П. Ферма (16011665). Ими были рассмотрены многие задачи, возникающие в так
называемых азартных играх.
В те же годы в связи с задачами теории вероятностей была развита
комбинаторика, появились понятия размещения, перестановки, сочетания.
В 18 веке началось бурное развитие теории вероятностей, которое
продолжается до настоящего времени.
Выводы теории вероятностей находят применение в повседневной жизни,
науке, технике и т.д. В повседневной жизни нам постоянно приходится
сталкиваться со случайностью, и теория вероятностей учит нас, как
действовать рационально с учетом риска, связанного с принятием отдельных
решений. Хорошим примером применения теории вероятностей в
повседневной жизни может служить выбор наиболее целесообразной формы
страхования. При планировании, например, семейного бюджета зачастую
приходится оценивать расходы, носящие в известной мере случайный
характер. Знакомство на том или ином уровне с законами случая необходимо
каждому. Применение теории вероятностей в науке, технике, экономике и
т.д. приобретает все возрастающее значение. Именно поэтому у все большего
числа людей в процессе работы возникает необходимость в изучении теории
вероятностей. Современный образованный человек независимо от профессии
и рода занятий должен быть знаком с простейшими понятиями теории
4
вероятностей. В наши дни, когда прогноз погоды содержит сообщение о
вероятности дождя на завтра, каждый должен знать что собственно это
означает.
Составляющие стохастической линии
1)
2)
3)
4)
статистика;
теория множеств;
вероятность;
комбинаторика.
1.1. Элементы статистики
Для изучения различных общественных и социально-экономических
явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся
специальные статистические исследования. Всякое статистическое
исследование начинается с целенаправленного сбора информации об
изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом
статистического наблюдения.
Для обобщения систематизации данных, полученных в ходе
статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на
группы, и результаты группировки сводят в таблицы.
При проведении статистического исследования после сбора данных
переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие
показатели. Простейшими из них являются статистические характеристики,
как среднее арифметическое, мода, медиана, размах, частота.
5
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления
суммы этих чисел на число слагаемых.
Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и
наименьшим из этих чисел.
Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще
других.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется
число, записанное посередине, с четным числом членов называется среднее
арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Частотой ряда чисел называется количество появлений одного числа в
ряду.
6
1.2 Статистика в практической деятельности
Пример-опрос.
Опросив своих одноклассников, сколько времени они тратят на домашнюю
работу по математике, я получил такие данные:
№
1
2
3
4
5
6
Фамилия
Баутова
Богданова
Васильев
Денщикова
Надеждин
Львова
Время(мин)
23
18
25
20
25
25
№
7
8
9
10
11
12
Фамилия
Тонеев
Трофимова
Коршунов
Наследова
Зырко
Шульга
время
32
37
34
26
34
25
Имея эти данные, легко определить все элементы статистики.
1. Среднее арифметическое =
(23+18+25+20+25+25+32+37+34+26+34+25):12=27
2.Размах (разность между наибольшим и наименьшим временем)=
37-18=19
3.Мода ( число, которое встречается чаще других) = 25
4.Медиана - среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине
упорядоченного ряда. Поэтому все данные запишем в виде упорядоченного
ряда :
18,20,23,25,25,25, 25,26,32,34,34,37.
(25+25):2=25
5. Частота - (количество появлений данного числа в ряду)
Время 18
частота 1
20
1
23
1
25
4
7
26
1
32
1
34
2
37
1
Пример 2.
Я решил сравнить успеваемость учеников двух параллельных классов. В
таблице показано количество отличников и хорошистов среди 7 классов в
течение прошлого учебного года:
четверти
Классы
Кол-во
отличников
хорошистов
1
7 «А»
14
2
7 «Б»
5
7 «А»
10
3
7 «Б»
4
7 «А»
9
7 «Б»
4
Построим столбчатую диаграмму. Высота каждого прямоугольника равна
количеству отличников и хорошистов 7-ых классов.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
7 «А» 7 «Б»
2
3
7 «А» 7 «Б»
7 «А»
7 «Б»
Более высокая успеваемость отмечена в 7 «А» классе.
Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой
совокупности удобно использовать круговые диаграммы.
Для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы,
центральные углы которых пропорциональны относительным частотам,
определенным для каждой группы данных.
8
Пример 3.
Однажды с одноклассниками мы говорили о том, что занятия в школе
занимают у нас большую часть дня и у нас очень мало остается свободного
времени. Я решил изучить свой распорядок дня и для этого составил таблицу
относительных частот.
Распорядок дня
Время, час.
Занятия в школе
Выполнение домашнего
задания
Отдых
Сон
7
5,5
Относительная частота,
%
30
22
3,5
8
15
33
Построим круговую диаграмму. Так как 360 : 100=3,6, то одному проценту
соответствует центральный угол, равный 3,6 . Учитывая это, определим для
каждой группы соответствующий центральный угол:
3,6 ∙ 30=108 , 3,6 ∙ 22=79,2 , 3,6 ∙ 15=54 , 3,6 ∙ 33=118,8 .
занятия в школе
выполнение домашнего
задания
отдых
сон
9
Результаты моего исследования показали, что занятия в школе и
выполнение домашнего задания занимают большую часть моего времени.
Динамику изменения статистических данных во времени часто
иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в
координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты
времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные.
Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную,
которую называют полигоном.
Пример 4. Мне стало интересно, какой средний рост моих
одноклассников. Я провел среди них опрос, и в результате моего
исследования выяснилось следующее:
Рост, см
148-154
155-161
162-168
169-175
176-182
Частота, чел.
3
2
8
7
5
Середина интервала, см
151
158
165
172
179
Построим полигон.
185
180
175
170
165
160
155
150
145
140
135
148-154
155-161
162-167
169-175
176-182
Средний рост моих одноклассников – 167,8 см. В основном в моем классе
учатся ребята ростом 165 см. Разница в росте между самым низким и самым
высоким составляет 32 см.
10
Пример 5.
В течении учебного года в нашем классе была отмечена низкая
посещаемость учеников в связи с их болезнью. Имеются следующие данные
об отсутствующих за ноябрь-декабрь 2009 года
Неделя
1неделя 2неделя
ноября ноября
1
4
Кол-во
учеников,
чел.
3неделя
ноября
6
1 неделя
декабря
2
4неделя
ноября
4
2 неделя
декабря
3
Построим полигон.
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
кол-во
недель
Самая низкая посещаемость учеников нашего класса была на 3 неделе
ноября.
Такие характеристики находят применение в статистике - науке, которая
занимается получением, обработкой и анализом данных о разнообразных
массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Слово
«статистика» происходит от латинского слова status, которое означает
«состояние, положение вещей». Результаты статистических исследований
широко используются для практических и научных выводов.
11
1.3 Элементы комбинаторики
В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые
приходится составлять различные комбинации из конечного числа
элементов и подсчитывать число комбинаций.
В математике существует немало задач, в которых требуется из
элементов множества составить различные наборы, подсчитать количество
всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному
правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики,
изучающий методы решения этих задач – комбинаторикой. Изучаемый в
этом блоке раздел математики играет важную роль в теории чисел, теории
вероятностей,
математической
логике,
вычислительной
технике.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов
конечного множества, являются перестановки, размещения и сочетания.
Элементы комбинаторики
Перестановки
Перестановкой из п
элементов
называется каждое
расположение этих
элементов в
определенном
порядке
Рп = п!
Размещения
Размещением из
п элементов по к
р
называется
любое
множество,
состоящее из к
элементов,
взятых в
определенном
порядке из п
элементов
п!
А п  (п  к )!
к
12
Сочетания
Сочетанием из п
элементов по к
называется
любое
множество,
составленное из
к элементов,
выбранных из
данных п
элементов.
С
к
п

п!
к!(п  к )!
Приведу примеры комбинаторных задач.
1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7,
используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Решение: 1) составим все числа, которые начинаются с цифры 1. Таких
чисел 6: 135, 137, 153, 157, 173, 175.
2) Аналогично составляются числа, которые начинаются с цифры 3, с
цифры 5, с цифры 7.
3) получим 4 строки, в каждой из которых по шесть чисел.
Ответ: 24 трехзначных числа.
Эту задачу можно решить по формуле перестановки Рп =п!=4! =1∙2∙3∙4=24
2.Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно
составить из цифр: 1, 3, 5, 7, 9?
Решение: число четырехзначных чисел (без повторения цифр), которое
можно составить из этих цифр, равно числу размещений из 5 элементов по 4.
А
к
п

п!
( п  к )!

5!
1 2  3  4  5

 120
(5  4)!
1
Ответ: можно составить 120 четырехзначных чисел.
3.Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать 3 краски для
окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной
краской. Значит, речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3.
С
к
п

п!
15!
13  14  15 13  14  15



 455
к!(п  к )! 3!(15  3)!
3!12!
1 2  3
Ответ: 3 краски можно выбрать 455 способами.
13
1.4 Элементы теории множеств
Объединением двух множеств А и В называется множество,
состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из
этих множеств.
Ааа
1. Пример: М= -1,2,3,5,7
N=
M U N=
-2,-1, 2, 3, 9, 10, 11
-2,-1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11
2. Пример: А = ( -∞; 1]
В = ( 3; 7)
1
-∞
3
7
А U В= ( -∞; 1] U ( 3; 7)
Пересечением множеств А и В называется множество, которое состоит
из тех элементов, которые принадлежат
множеству А и В
одновременно.
3. Пример: М= -1,2,3,5,7
N=
M ∩ N=
-2,-1, 2, 3, 9, 10, 11
-1, 2, 3
4. Пример: А = ( -∞; 1]
В = ( 3; 7)
1
-∞
А ∩ В= Ø
14
3
7
Глава 2. Применение теории множеств
1. Решение задач по теории множеств с помощью кругов Эйлера
Существует множество приемов, которые используются при решении
текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти
рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и
наглядным. Решение каждой из этих задач можно красиво оформить.
Логические задачи данного вида загадочны с первого взгляда, поэтому
многие считаются неразгаданными. Ценность задач, решаемых с помощью
кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и
со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений.
Эйлер наглядно изображал операции над множествами при помощи особых
чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы
элементов они не содержали, представляют при помощи кругов, овалов или
любых других геометрических фигур.
Леонард Эйлер
(1707 – 1783г.)
член Петербургской
академии наук, по
приглашению с
1727года. В списке его
трудов более 800
названий, в том числе и
по теории множеств.
Задача№ 1.
Множество М состоит из т лиц, владеющих хотя бы одним языком
(английским, французским, немецким). Известно, что английским владеют 70
лиц, французским – 65, немецким – 50, английским и французским – 40,
английским и немецким -30, французским и немецким -20, а всеми тремя – 5
человек. Сколько лиц владеют хотя бы одним языком?
15
Решение: 70+65+50-40-30-20+5=100
А
70
Ф
Н
65
50
Ответ: 100 человек.
Задача №2.
В отряде 40 ребят, 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы, только 5
ребят не умеют ни того ни другого. Сколько ребят умеют плавать и играть в
Всего-40 ребят
ввВвввввввввввввввввввввввв
П
30
ВсегоВВВввв
Ш
27
шахматы?
Решение: (30+27)- (40-5) =22
Ответ: 22 ребенка умеют играть в шахматы и плавать.
Задача №3.
16
В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19
человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по
одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по
математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют
«тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем
предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют
«тройки» по двум из трех предметов?
Решение. Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга,
изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И,
означающих соответственно математика, русский язык и история.
Дальнейшие расчеты не представляют большого труда. Так как число
ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число
учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по истории,
равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки» - по математике
и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки» - по
истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится 40-22-4-64=4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12
человек.
Задача№4 .
В классе 35 учеников. В математическом кружке из них 12 занимаются,
в биологическом - 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов
увлекаются математикой.
Решение: Мы видим, что кружки посещают 19 ребят, так как 35 - 16=19,
из них 10 человек посещают только математический кружок (19-9=10) и 2
биолога (12-10=2) увлекаются математикой.
17
Ответ: 2 биолога.
С помощью кругов Эйлера легко увидеть и другой способ решения
задачи.
Количество учеников изобразим с помощью большого круга, а внутри
поместим круги поменьше.
Очевидно, что в общей части кругов окажутся те самые биологиматематики, о которых спрашивается в задаче. Теперь посчитаем: Внутри
большого круга 35 учеников, внутри кругов М и Б : 35-16=19 учеников,
внутри круга М - 12 ребят, значит, в той части круга Б, которая не имеет
ничего общего с кругом М, находится 19-12=7 учеников, следовательно, в
МБ находится 2 ученика (9-7=2). Таким образом, 2 биолога увлекаются
математикой.
1)35-16=19(чел.);
2) 12+9=21 (чел.);
3)21-19=2(чел.).
Ответ: 2 биолога.
Задача №5.
Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике,
75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали.
Сколько учеников сделали модель и эскиз?
18
Решение: В большом круге, изображающем 100 семиклассников,
поместим 2 меньших круга, изображающих учеников, выполнивших модель
и эскиз фонтана.
Мы видим, что 90 учеников (100-10)выполнили хотя бы одну часть
задания; 15 учеников (90-75) сделали только эскиз фонтана, 75-15=50 –
учеников сделали эскиз и фонтан.
Ответ: 50 учеников.
Задача№6 .
В 5 классе нашей школы 22, в 6 классе – 16, в 7 классе – 23 ребят.
Известно, что кружки по лыжам, шахматам и спортивным играм ходят 4
человека. Каждые 2 секции посещают 9 человек. Сколько человек ходит из
каждого класса на секции? Сколько учеников не ходит ни на какой
спортивный кружок?
Решение: Если на все три кружка ходят 4 ученика, а на каждые два – 9
человек, то две секции с 5 и 6 класса, с 6 и 7 класса, с 5 и 7 класса посещают
по 5 человек. Получаем 5+5+4=14 пятиклассников посещают кружки, 2214=8 человек не ходят ни на какой кружков. Рассуждая также, из
19
шестиклассников 16-14=2 ученика никуда не ходят, а из семиклассников –
23-14=9 человек.
Ответ: 14 учеников с каждого класса посещают кружки, не ходят ни на
какой из 5-ого – 7, из 6-ого – 2, из 7-ого – 9 учеников.
Как видно из моей исследовательской работы, задачи состоят из
множества данных. Выстроив данные в единую цепочку, можно увидеть, что
решение задач подчиняется одному и тому же способу. Для решения задач,
решаемых с помощью кругов Эйлера, был составлен алгоритм, состоящий
из следующих этапов:
• Записываем краткое условие задачи.
• Выполняем рисунок.
• Записываем данные в круги (или в диаграмму Эйлера).
• Выбираем условие, которое содержит больше свойств.
• Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в
части круга (диаграммы).
• Записываем ответ.
Примеры для самостоятельного решения.
1.Записать все возможные двузначные и трехзначные числа с помощью цифр 8 и
9.
2.Перечислить, в какой последовательности Аня, Боря и Витя могут занять
очередь в школьный буфет.
3.Точки М и Н разбивают отрезок АВ на 3 части. Перечислить все отрезки с
концами в точках А, В, М и Н.
II. Перебор элементов заданного множества и выделение тех, которые
подчиняются заданному свойству
Примеры
1. Даны числа 251, 180, 1563, 672. Подчеркнуть те, которые кратны 3.
2. Найдите все двузначные числа, которые делятся на каждую свою цифру.
III. Выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур
Пример
Записать еще два числа последовательности:
а) 1,4,7,10,…, …, …;
б) 1, 4, 9, 16, …, …;
в)1,4,4,16,…, …, …;
г)1/2, -2/3, 3/4, - 4/5, …, …
20
IV. Перемещение цифр (или спичек) в неверных равенствах, записанных
арабскими (или римскими) цифрами с целью создания верного равенства
Пример. В неверном равенстве 101-102=1 передвинуть одну цифру так, чтобы
получилось верное равенство.
V. Разрезание, разбиение, разделение целого на определенные части
Примеры.
1.Указать несколько способов разделения квадрата на четыре равные части.
2. Представить число 74 в виде суммы квадратов двух чисел.
VI. Составление “из частей” целого объекта с заданными свойствами
Примеры.
1.С помощью цифр 1,2,3 (используя каждую по одному разу)
записать числа, кратные 4.
2. Задачи экзаменационного уровня
из демоверсии ГИА-2010 года
(1 часть, № 17,18)
№17. На 1000 электрических лампочек в среднем приходится 5 бракованных.
Какова вероятность купить исправную лампочку?
Решение: 1) составим краткую запись: 1000-100%
995- х%
2) по свойству пропорции имеем: х=995∙100:1000=99,5%
Ответ: __99,5%
___________
№18. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132.
На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его
медианы?
Решение: 1) упорядочим числа в порядке возрастания:
130, 132,134, 158,166.
2) найдем среднее арифметическое данных чисел:
(158+130+132+134+166):5=144
3) найдем медиану данного ряда чисел ( число, записанное в середине): 134
21
5) 144-134=10
Ответ: _НА 10СМ.________________
Заключение.
В результате исследовательской работы я понял, что такое
стохастическая линия. Научился решать задачи по статистике и теории
множеств. Рассмотрел задачи №17 и №18, которые предложены
ученикам 9 класса в демоверсии ГИА-2010.
Я думаю, что моя работа послужит опорным материалом для изучения
понятий стохастической линии. Задачи, приведенные в качестве
примеров, помогут всем ученикам научиться решать задания такого вида,
успешно сдать выпускные экзамены и дальше продолжить учебу .
Применение табличной формы записи для анализа способов решения
комбинаторной задачи дает наглядное представление статистических
данных. Методы математического моделирования позволяют учащимся
связать воедино представления, полученные в практической деятельности,
оформить результаты исследований в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Я рекомендую данное пособие в качестве самоучителя всем учащимся.
22
Литература:
1. Альхова З.Н. Внеклассная работа по математике. Саратов ОАО
издательство «Лицей» 2003г.
2. Величко М.В. Проектная деятельность учащихся. Волгоград.
Издательство «Учитель»2008г.
3. Видеман Т.Н. Рефераты и творческие работы учащихся. Волгоград.
Издательство « Учитель» 2009г.
4. Глейзер Н.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 7 класс. Москва «Просвещение»
2009г.
6.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 8 класс. Москва «Просвещение»
2009г.
7.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс. Москва «Просвещение»
2009г.
23
24